UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA E. A. P. Ingeniería Civil
Trabajo Encargado Curso Métodos numéricos
Autor JOSE MIGUEL TAYPE HUAMAN
Docente LIC. BRAULIO GUTIÉRREZ PARI
Ciclo V – A A Juliaca, 22 DE ABRIL DE 2016
1.- dada la función
= 1
a.-MEDIANTE EL METODO DE GRAFICO LOCALIZAR LA SOLUCION b.-EFECTUE ITERACION Y DAR EL APROXIMADO DE LA RAIZ
ITER 1 2 3 4
A 0 1 -1 -1
B 1 2 -2 -1
C 0.7109375 1.9990023 1.9921857 -1.9921857
F(C)
ERROR 0.001 0.001 0.001 0.01
EXPORT Biseccion(A,B,E) Biseccion(A,B,E) BEGIN I:=0; WHILE ABS(B−A)>E DO
C:=(A+B)/2; I:=I+1; IF f(A)*f(C)>0 THEN A:=C; ELSE B:=C END; END; PRINT("C:="+C); PRINT(I); END;
EXPORT f(X) BEGIN X^2*e^X-1; END;
2.- Dos escaleras de madera, de longitudes L1=3 metros y L2=4 metros de largo, están colocadas contra las paredes de dos edificios que limitan un pasillo, como muestra la figura h=1,5 metros del suelo. Se sabe que la altura indicada x en la figura puede determinarse por medio de la ecuación. x
4
2hx 3
( L12
2 L2
) x 2
2h( L12
2 L2
) x h 2 ( L12
2
L2 )
Primero: Pitagoras L2
2
Z
2
Z
L1
2
X
2
2
Y
2
.....................1
.......................2
Igualando 1 y 2. 2
Z
2
Z
2
L2 2
L2 2
L2
2
L2
L1
2
X
2
X
2
2
L1
X
Y
2
2 2
L1
( L12
X
2
Y
2
Y
Y
2
2
)
0
0....................... ECUAC ION 1
Semejanza de triángulos X Z
h
X Z
donde.........a
a h
Z
Z
b
................................................3
b Y Z
h
b
.................................................4
0
De las ecuaciones 3 y 4 X
h
Z
X ( Z
Z
b
b)
hZ
XZ
Xb
hZ
XZ
hZ
Xb
b
XZ
X
Y
................................................5
h
Z
b
Zh
b
hZ
.........................................................6
Y
Igualando 5 y 6 Zh
XZ
Y
X
XZh XZ Y
hZ
Xh
hZ
X
Y
.........................................7
Z
Remplazando 7 en ECUACION 1 2
Xh X 0 X Z ( Xh) 2 2 2 2 L2 L1 X X 2 2 XZ Z 2 0 2 L2
2 L1
2
( L22 L12 X 2 )( X 2 2 XZ Z 2 ) ( Xh) 2 0 2
2
X L2 X
2
2 L22 XZ L22 Z 2 L12 X 2 2 L12 XZ L12 * Z 2 X 4 2 X 3 Z X 2 Z 2 X 2h 2 0
2hX 3 ( L12 L22 ) X 2 2h( L12 L22 ) X h 2 ( L12 L22 ) 0
3.- Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura adjunta. Emplee el método de bisección para resolver la posición de la viga donde no hay momento.
+ = 550 = 265 = 285 ∑ = 0 265 + 150 2 + 300 4,5 + = 0 265 + 150 300 + 300 1350 + = 0 = 185 + 1650
Esta misma función ingresaremos en Matlab expresando en función de
= 185 + 1650 = 185 + 1650 Primero la función: function y=f(x) y=-185*x+1650; end
Segundo la implementación: function [c,iter] = bisseccion(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; end
Luego la respuesta: [c,iter] = bisseccion(0,12,0.001) c = 8.9187 iter = 15
EJERCICOS PROPUESTOS 1.
Demuestre que la estimación del número de iteraciones (k) por el método de la Bisección está dada por:
> −−
O
>
= 2 = 2 = 2
El método termina cuando
2.
= 2 = 2 = 2 < < 2 2 > 2 > log 2 > log > log 2
Cuántas iteraciones como mínimo debemos realizar para encontrar un cero en la función f(x) = x log(x) – 1 en [2,3] con una precisión de 0.01.
> log 2
K > 7 iteraciones
− log 3 2 log10 > 2 > log1 22log10 2 > 2
3.
Encuentre una aproximación de
X=1.732 4.
√ 3 correcta con una precisión 10−. = 3 = 3 0 = 3 √ 3 =
Implemente un nuevo programa teniendo en cuenta el número de estimación de iteraciones (según item1). function [c,iter] = bisseccion(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; end
5.
Se tiene un tanque esférico de radio R=12m y cuyo volumen de agua almacenado es V=60 . a) Hallar la altura del líquido h y el error cometido usando el método de la posición falsa [1,2], realizando 3 iteraciones. Se sabe que la altura se encuentra alrededor del valor Primero la función:
ℎ = 1
function y=f(x) y=3.142*(12-x/3)*x^2-60; end
Segundo la implementación en el matlab: function [c,iter] = posicion (a,b,e) iter=1; c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)); M=f(a); while abs (f(c))>e c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)); if f(a)*f(c)>0 a=c; else b=c; end if iter>1000 error ('parece que no converge'); end iter=iter+1; end La respuesta es: [c,iter] = posicion (2,1,0.0001) c= 1.2846 iter = 9
b)
¿Cuántas iteraciones como mínimo se deberán realizar utilizando el método de la bisección tomando el intervalo [0.5,1.5] para obtener el mismo error cometido en el ítem anterior? Primero la función: function y=f(x) y=3.142*(12-x/3)*x^2-60; end
Segundo la implementación: function [c,iter] = bisseccion(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; end Luego la respuesta: [c,iter] = bisseccion(0.5,1.5,0.0001) c= 1.2846 iter = 15 c)
Si el ítem a) lo hubiese realizado con un programa de MATLAB pero con una precisión de − ¿Cómo sería el programa?
10
Considere
= ℎ
Primero la función: function y=f(x) y=3.142*(12-x/3)*x^2-60; end
Según la implementación: function [c,iter] = posicion (a,b,e) iter=1; c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)); M=f(a); while abs (f(c))>e c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)); if f(a)*f(c)>0 a=c; else b=c; end if iter>1000 error ('parece que no converge'); end iter=iter+1; end
Luego la respuesta: [c,iter] = posicion (1,2,0.00000001) c= 1.2846 iter = 15
6.
Se carga una viga de la manera que se aprecia en la figura adjunta. Emplee el método de bisección para resolver la posición de la viga donde no hay momento.
+ = 550 = 265 = 285 ∑ = 0 265 + 150 2 + 300 4,5 + = 0 265 + 150 300 + 300 1350 + = 0 = 185 + 1650
Esta misma función ingresaremos en Matlab expresando en función de
= 185 + 1650 = 185 + 1650 Primero la función: function y=f(x) y=-185*x+1650; end
Segundo la implementación: function [c,iter] = bisseccion(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; end
Luego la respuesta: [c,iter] = bisseccion(0,12,0.001) c = 8.9187 iter = 15
7.
La velocidad v de un paracaidista que está dada por
− = 1
Donde g=9.81m/ . Para un paracaidista con coeficiente de arrastre de c=15kg/s, calcule la masa m de modo que la velocidad sea v=35m/s en t=9s. Utilice el método de la falsa posición para determinar m con una precisión de 0.000001
Primero la función: function [y] = f(x) y=0.6533333333333*x*(1-(2.71828182846)^(-135/x))-35; end
Segundo la implementación: function [c,iter] = bissec(a,b,e) iter=1; while abs(b-a) > e & iter<1000 c=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > 0 a=c; else b=c; end iter=iter+1; Luego la respuesta: [c,iter] = posicion (0,60,0.000001) c =59.8410 iter =10
8.
Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20m3/s. La profundidad crítica y para dicho canal satisface la ecuación 0
1
Q2
gAc 3
*b
Donde g = 9, 81m/s2, Ac = área de la sección transversal (m2) y B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la profundidad y por medio de B = 3 + y y Ac
3 y
y
2
2
Resuelva para la profundidad crítica con el uso del método a. Gráfico b. Bisección en el intervalo [0,5 2,5] con una precisión de 0,0001 c. Falsa posición en el intervalo [0,5 2,5] con una precisión de 0.000001. análisis de resultados.
9.
-
-
-
Verifique que:
El número (0,5) tiene una precisión binaria finita (0,1) 10
0
5*2
1
0
El número (0,125)
10
tiene una representación binaria finita (0,001)
0
125*2
0
250*2
0
500*2
1
000
El número (0,7)
10
2
2
tiene una representación binaria infinita (0,10110)
0
7*2
1
4*2
1
6*2
1
2*2
0
4*2
0
8*2
1
6*2
1
2*2
0
4*2
0
8
2
10.-DETERNIME LA GRAFICA Y ANALITICAMNETE, LA EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA RAIZ DE
F ( X )
X 2 ln( X )
LUEGO AISLE LA RAIZ EN UN INTERVALO.
11.-Dos escaleras de madera, de longitudes L1=3 metros y L2=4 metros de largo, están colocadas contra las paredes de dos edificios que limitan un pasillo, como muestra la figura h=1,5 metros del suelo. Se sabe que la altura indicada x en la figura puede determinarse por medio de la ecuación. x
4
2hx 3
( L12
2 L2
) x 2
2h( L12
2 L2
) x h 2 ( L12
2
L2 )
0
DETERMINE EL AANCHO DEL PASILLO CON UNA PRESICION DE 1 MILIMETRO (3,4)
REMPLAZANDO LOS DATOS LA ECUACION NOS QUEDA x
4
2(1.5) x3 (32 42 ) x 2 2(1.5)(32 42 ) x (1.5)2 (32 42 ) 0
F ( X )
x
4
3 x3 7 x 2 21 x 15.75
EXPORT Biseccion(A,B,E) BEGIN
EXPORT f(X)
I:=0;
BEGIN
WHILE ABS(B−A)>E DO
X^4-3*X^3-7*X^2+21*X-15.57
C:=(A+B)/2;
END;
I:=I+1; IF f(A)*f(C)>0 THEN A:=C; ELSE B:=C END; END; PRINT("C:="+C); PRINT(I); END;
13.-una viga voladizo de 20 pies de longitud con una carga de 600 lb en su extremo se desvioa por una cantidad d (60 x2 x3 ) /1600 donde d se mide en pulgadas y x
en pies. Use el método de la bisección para aproximar el valor de x que corresponde a una desviación de 0.01 pulg.
EXPORT Biseccion(A,B,E) BEGIN
EXPORT f(X)
I:=0;
BEGIN
WHILE ABS(B−A)>E DO
-12*X^3+720*X^2-160;
C:=(A+B)/2;
END;
I:=I+1; IF f(A)*f(C)>0 THEN A:=C; ELSE B:=C;
RESPUESTA
END; END; PRINT(C);
13 ..ITERACIONES =0.473632
PRINT(I); END;
14.- de la figura adjunta (posición falsa) sean m1 y m2 pendientes de la recta l, igualanado estas pendientes . demostrar que:
m1 m2 m1 tg
f (b)
ba m2 tg
f (a) ba
m1 m2
f (b)
bc
f ( a) a c
af (b) cf (b) bf (a) cf ( a)
af (b) bf (a) cf (b) cf ( a)
af (b) bf ( a) f (b) f (a )
c
11.-Dos escaleras de madera, de longitudes L1=3 metros y L2=4 metros de largo, están colocadas contra las paredes de dos edificios que limitan un pasillo, como muestra la figura h=1,5 metros del suelo. Se sabe que la altura indicada x en la figura puede determinarse por medio de la ecuación. x
4
2hx 3
( L12
2 L2
) x 2
2h( L12
2 L2
) x h 2 ( L12
Primero: Pitagoras L2
2
Z
2
Z
L1
2
X
2
2
Y
2
.....................1
.......................2
2
L2 )
0
Igualando 1 y 2. 2
Z
2
Z
2
L2 2
L2 2
L2
2
L2
L1
2
X
2
X
2
2
L1
X
Y
2
2 2
L1
( L12
X
2
Y
2
Y
Y
2
2
)
0
0....................... ECUAC ION 1
Semejanza de triángulos X Z
h
donde.........a
a
X Z
h
Z
Z
b
................................................3
b
Y Z
h
.................................................4
b
De las ecuaciones 3 y 4 X Z
h
X ( Z
Z
b
b)
hZ
XZ
Xb
hZ
XZ
hZ
Xb
b
XZ
X
Y Z b
hZ
................................................5
h
b
Zh
.........................................................6
Y
Igualando 5 y 6
Zh
XZ
Y
X
XZh XZ
hZ
Xh
Y
hZ
X
Y
.........................................7
Z
Remplazando 7 en ECUACION 1 2
Xh X 0 X Z ( Xh) 2 2 2 2 L2 L1 X X 2 2 XZ Z 2 0 2 L2
2 L1
2
( L22 L12 X 2 )( X 2 2 XZ Z 2 ) ( Xh) 2 0 2
2
X L2 X
2
2 L22 XZ L22 Z 2 L12 X 2 2 L12 XZ L12 * Z 2 X 4 2 X 3 Z X 2 Z 2 X 2h 2 0
2hX 3 ( L12 L22 ) X 2 2h( L12 L22 ) X h 2 ( L12 L22 ) 0
De la figura adjunta (Posición falsa) sean m1 y m2 pendientes de la recta L, igualando estas pendientes. Demostrar que:
10.
= = = ( ) =
=
MÉTODO DE PUNTO FIJO El Método de Punto Fijo (también conocido como iteración de punto fijo), es otro método para hallar los ceros de f ( x). Para resolver f ( x) = 0, se reordena en una forma equivalente: f ( x) x - g ( x) x = g ( x)
= =
0 0
Observe que si c es un cero de f ( x), f (c)=0 y c= g (c). (Siempre que se tenga c= g (c) se dice que c es un punto fijo de la función g ). Para aproximar un cero de f se utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g ( xn) , n = 0, 1, 2, 3, . . Donde x0 es una aproximación inicial del cero de f . Gráficamente su análisis se denota:
Ejemplo: Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de , comenzando con Solución
y hasta que
.
Si despejamos la del término lineal, vemos que la ecuación equivale a
De donde, En este caso, tenemos que
no convence que , para método sí converge a la raíz buscada.
. Un vistazo a la gráfica,
, lo que es suficiente para deducir que el
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:
Con un error aproximado del 100%. Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:
Con un error aproximado igual al 28.41%. En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: De donde vemos que la aproximación buscada es:
Método de la secante El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f ( x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante. El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:
Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración:
Grafico N° 1 Grafica del método de la secante
En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente.
Ejemplo: Usar el método de la secante para aproximar la raíz de con
,
y hasta que
.
, comenzando
Solución
Tenemos que y secante para calcular la aproximación
, que sustituímos en la fórmula de la :
Con un error aproximado de:
Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: Aprox. a la raíz 0 1 0.612699837 0.653442133 0.652917265
Error aprox. 100% 63.2% 6.23% 0.08%
De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es:
