Primera edición Editorial Tecnológica de Costa Rica, 1986 Segunda edición Editorial Tecnológica de Costa Rica, 1996
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Acuña Acuña, Jorge Control de Calidad: un enfoque integral y estadístico / Jorge Acuña Acuña. — 2 ed. — Cartago: Editorial Tecnológica de Costa Rica, 1996. PISBN 9977-66-076-X 1. Control de Calidad. I. Título
© EDITORIAL TECNOLOGICA DE COSTA RICA Instituto Tecnológico de Costa Rica Apartado Postal 159-7050, Cartago •S (506) 551 -5333 Fax (506) 552-5354 ISBN 9977-66-076-X (ISBN 9977-66-010-7 Primera edición) Hecho el depósito de ley Impreso en Costa Rica
CONTENIDO
P resentación
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C A P IT U L O I. C on ceptos y definiciones Definición de control de calidad, 14 El sistema de control de calidad, 20 Beneficios del sistema de control de calidad, 31 Factores que controlan la calidad, 32 Responsabilidad de calidad, 35 La calidad en sistemas modernos de manufactura,37 Resumen, 38 Preguntas de repaso, 40 Problemas, 40
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C A P IT U L O II. E stadística Análisis de datos, 44 Concepto de probabilidad, 55 Pruebas de hipótesis, 81 Bondad de ajuste, 100 Análisis de varianza, 108 Muestreo estadístico, 128 Resumen, 141 Preguntas de repaso, 141 Problemas, 142
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elem ental
CONTROL DE CALIDAD
C A P I T U L O III. I n g e n ie r ía d e c a lid a d Características de calidad, 160 Normalización, 172 Metrología, 179 Especificaciones, 180 Método de Taguchi, 194 Diseño para la manufactura, 201 Conceptos de efectividad de sistemas, 206 Resumen, 215 Preguntas de repaso, 215 Problemas, 216
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CAPITULO IV. G r á f i c o s
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d e c o n t r o l p a r a v a r ia b l e s
Definición de gráfico de control, 223 Etapas de un gráfico de control, 224 Causas de variación, 225 Gráficos de control para variables, 228 Gráfico de promedios e intervalos, 232 Utilización del gráfico x, R para ajustar un proceso, 254 Gráfico de promedios y desviación estándar, 282 Gráfico de medianas e intervalos, 301 Gráfico de sumas acumuladas, 319 Aplicaciones de series de tiempo, 368 Resumen, 382 Preguntas de repaso, 383 Problemas, 384
CAPITULO V. G
r á fic o s
de
c o n t r o l p ara a tr ib u to s
Defectuosos vrs disconformes, 400 Gráfico para fracción defectuosa o disconforme, 405 Gráfico para número de defectuosos, 419 Gráfico para defectos por unidad, 435 Gráfico para deméritos, 455 Resumen, 461 Preguntas de repaso, 462 Problemas, 463
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CAPITULO VI. M u e s t r e o
d e a c e p t a c ió n
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Manual de inspección, 477 Definición de muestreo de aceptación, 479 Muestreo de aceptación para atributos, 480 Planes simples de muestreo 481 Planes dobles de muestreo 503 Planes múltiples de muestreo 506 Planes de muestreo para variables, 551 Norma ISO 3951,556 Resumen, 590 Preguntas de repaso, 591 Problemas, 592
CAPITULO VIL A s p e c t o s
generales
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DE LA ADMINISTRACIÓN DE LA CALIDAD
Organización de la función calidad, 610 Funciones del gerente de calidad, 613 Prevención de producto fuera de especificaciones, 615 Coordinación y control, 617 Economía de la calidad, 618 Indicadores de calidad, 633 Organización de la inspección, 639 Diseño de un sistema de control de calidad, 649: Resumen, 653 Preguntas de repaso, 654 Problemas, 655
APENDICES APENDICE I. T a b l a s
d e d is t r ib u c ió n d e p r o b a b il id a d
APENDICE II. D e m o s t r a c i ó n
d e o b t e n c ió n d e f ó r m u l a s
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PARA EL CÁLCULO DE LOS LÍMITES DE CONTROL
APENDICE III. F l u j o g r a m a s
p a r a g r á f ic o s d e c o n t r o l
APENDICE IV. P e c u l i a r i d a d e s
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del éxito está en darle al consumidor los productos ne cesarios para satisfacer sus requerimientos y lograr así una excelente calificación por parte de éste, la que se reflejará en un incremento de ventas. Durante el desa rrollo del texto se irán analizando diversos temas de or ganización de calidad y de aplicaciones estadísticas, cada capítulo con ejemplos y abundantes problemas para ser resueltos por el lector. Agradezco a todas aquellas personas que con su ayuda e impulso me dieron su apoyo para transmitir mis conocimientos en este tema. Jorge Acuña A. Cartago, Costa Rica
Capítulo I
CONCEPTOS Y DEFINICIONES
uando se oye hablar de Control de Calidad se cree que este es un concepto nuevo. Sin embargo, Control de Calidad es un medio que las personas han utilizado desde épocas prehistóricas, con el fin de decidir entre lo que es bueno y lo que es malo, de acuerdo con la utiliza ción que se le vaya a dar al bien, servicio o actividad. Esto lo ha hecho y lo hace el ser humano con el fin de mejorar cada día más su calidad de vida. El hombre primitivo conocía cuando una fruta era buena o mala de acuerdo con las características fijadas por él mismo. También, al fabricar sus utensilios de caza y posteriormente de agricultura, se efectuaban controles con el fin de garantizar que éstos no fallarían al utilizar los. Estos fueron los inicios de lo que actualmente se conoce como demanda de calidad. Durante la conquista y colonización de América, el nivel de calidad del armamento y de los navios jugó un papel muy importante en el éxito de los planes trazados por conquistadores y demás personajes de la época. Además, un aspecto de gran relevancia en ese período fueron los medios usados para conservar alimentos du rante los largos viajes, no solo a América sino también al resto del mundo. Tampoco hay que olvidar que los vikin gos, años atrás, habían experimentado viajes de esta
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naturaleza, para lo cual debieron contar con medios de transporte y de conser vación de alimentos que les permitieran los largos desplazamientos. En el siglo XVIII, con el desarrollo de la Revolución Industrial y a través de invenciones como la máquina de vapor, la industria sufrió un cambio importante en su nivel de productividad y muchas empresas pasaron de un nivel de orga nización familiar a una administración que se preocupaba más por el desarrollo del mercado por medio de la entrega de un producto de mayor calidad. El sistema de producción cambió de un modelo artesanal a uno en serie o en línea que obligó a estructurar mejor las operaciones de producción, ponién dole mayor atención a los problemas de eficiencia y de variabilidad en las ca racterísticas de los productos fabricados, problemas que en el sistema artesanal no eran prioritarios pues en la elaboración de cada unidad del producto par ticipaba solo una persona. Como consecuencia del cambio en el sistema de producción, se desarrolla la división del trabajo, fenómeno que es sumamente importante para el con cepto de calidad de proceso, pues el obrero se especializa en un sector de la producción lo que permite una mejor crítica y visualización de los problemas propios de su área de trabajo. Cabe mencionar el aporte que ofreció a finales del siglo XVIII y principios del XIX el llamado "Padre de la administración científica”, F. W. Taylor, quien con sus teorías impulsó la organización de la producción. Esta reorganización con carácter científico ayudó a poner mayor atención a la calidad del producto. En la segunda mitad del siglo XIX, con las primeras explotaciones petrolí feras y más tarde con el desarrollo de la tecnología petroquímica, la industria tomó un gran auge, pues ya se podía producir en una forma más eficiente con materias primas de un nivel tecnológico más avanzado. Esto permitió a su vez que las empresas aumentaran considerablemente el nivel de producción, con lo que el problema de calidad se agudizó. Poco a poco se fueron desarrollando métodos de inspección para verificar la calidad del producto final. Estos mé todos son los precursores de la tecnología de calidad empleada por las empre sas hoy en día. Conforme pasaron los años, las personas se preocuparon más por aumen tar el nivel de calidad de todo aquello que consumían o utilizaban. Sin embargo,
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no todo fue para bien de la humanidad pues mucha de esta tecnología fue usada para la fabricación de material bélico. Es así como con el transcurso de la Primera Guerra Mundial (1914-1918) no solo se emplea la citada tecnología sino que ésta es mejorada radicalmente. Obligadas por las circunstancias, las industrias de la época producen armamento más perfeccionado. Aquí no solo es im portante la cantidad producida sino tam bién la m inim ización de la probabilidad de falla. Hasta esta época, el hombre actuó con instinto para conocer sobre el éxito del producto que fabricaba, pues todavía no ideaba ningún medio que le permi tiera cuantificar la eficacia de sus programas. En 1931, Walter Schewart introduce conceptos estadísticos en la inspec ción de procesos a través de los llamados gráficos de control o cartas de control. La aplicación de estos conceptos permitirá luego el desarrollo de lo hoy conocido como control estadístico de procesos. Durante la Segunda Guerra Mundial (1939-1944), la tecnología del control de calidad alcanzó un mayor auge debido a las exigencias de calidad del arma mento requerido, el cual era radicalmente superior al usado en !a Primera Gue rra Mundial. Para lograr esos niveles de calidad, las empresas metalmecánicas, alimentarias y farmacéuticas, entre otras, establecen departamentos de control de calidad con profesionales altamente calificados, dedicados al diseño de un producto capaz de hacer frente a las exigencias del momento. Esto permite el desarrollo de la investigación en este campo que genera entre otras cosas: normas de muestreo conocidas como Normas Militares Estándar y técnicas de contabilidad para la investigación de la probabilidad de falla del producto. Finalizada la Segunda Guerra Mundial, las industrias, aprovechando y perfeccionando los modelos generados durante el conflicto bélico, desarrollan una tecnología más eficiente. A inicios de la década de 1950-1960, grandes estudiosos de la calidad como Edward Deming y J.M. Juran comparten sus conocimientos fuera de los Estados Unidos. Es así como Japón, deseoso de salir del desastre causado por la guerra, contrata los se rvicio s de estos dos importantes personajes. Los conocimientos impartidos por ellos, sumados al gran interés mostrado por los japoneses para aprender y mejorar sus sistemas de calidad, dio paso al Japón industrializado que se tiene hoy en día. La importancia que los japoneses dan a la calidad de los productos industriales así como el nivel de motivación y conciencia de sus trabajadores han permitido este gran desarrollo.
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CONTROL DE CALIDAD
En la actualidad, con los sistemas de producción automatizados, con la aplicación de los robots industriales a la producción y con el desarrollo de la tecnología de visión de máquina, la inspección 100% es eficiente, con lo que se reduce considerablem ente la cantidad dé producto defectuoso que sale al mercado. En Costa Rica, se hacen grandes esfuerzos por desarrollar la calidad de los productos fabricados, aspecto en el cual muchas empresas han tenido éxito. Sin embargo, la conciencia de calidad necesaria para producir más y mejor aún no ha sido correctamente comprendida por el trabajador. Por otro lado, no hay claridad en las políticas gubernamentales y empresariales, por lo que es difícil establecer el camino por seguir. En la actualidad muchas empresas nacionales requieren de un proceso de reco nve rsió n en tre s planos: a d m in istra tivo , te cn o ló g ico y m ental. La reconversión mental permitirá cambiar nuestra forma de pensar y preparará el camino para los cambios tecnológicos y administrativos que se requieren. Por otro lado, se debe apoyar el Sistema Nacional de Metrología, Normali zación y Control de Calidad el cual pretende ordenar todo lo referente a esta materia tan importante. Es de esperar que se reúnan los esfuerzos dispersos para que el país su pere los problemas que no le permiten exportar productos competitivos a mer cados internacionales.
DEFINICION DEL CONTROL DE CALIDAD Para definir mejor este concepto es importante analizar por separado los conceptos de control y calidad. Control Al intentar definir este término, generalmente se hace mención de una serie de sinónimos, tales como verificación, comparación, registro, comprobación y confrontación. Algunas definiciones comunes son:
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a.
Control es el acto de verificar que algún material cumple con un patrón pre viamente establecido con el fin de corregir cualquier desviación.
b.
Control es un conjunto de actividades que se realizan con el fin de cercio rarse de que un determinado proceso o tarea se está llevando a cabo de acuerdo con los planes establecidos.
Desde el punto de vista de los procesos de fabricación, control se puede definir como: E l conjunto de actividades que se realizan sobre un proceso o produc to con e l fin de verificar que éste se encuentra dentro de los límites fi jados p o r un patrón previamente establecido. Al observar esta definición, se puede notar que se habla de límites de con trol. La razón es muy simple: para hablar de control necesariamente se debe hablar de límites, pues éstos son los que marcan el intervalo de comportamien to del producto o proceso. En el plano del control de calidad estos límites de control se llaman normas o especificaciones. La existencia de límites de control es primordial, pues es imposible conocer si un proceso o producto se está desempeñando correctamente si no se tiene un patrón de comparación. En otras palabras debemos determinar qué es lo que se considera como bueno o deseable para saber qué es lo contrario. El control se identifica a través de un ciclo. La Figura 1 muestra la represen tación de las actividades que componen este ciclo. En la Figura 1 se puede notar que, para la ejecución de un adecuado con trol, se deben recolectar datos, analizarlos por métodos científicos, compararlos con el patrón y obtener conclusiones y recomendaciones haciendo uso no solo de los datos suministrados sino también de la experiencia generada por quien toma las decisiones. Estas decisiones se revisarán constantemente con el fin de verificar su acierto y tomar en cuenta los cambios dinámicos a que están some tidos los procesos. Por ello, el control se convierte en un ciclo. Calidad Al tratar de definir calidad se debe tener presente que la calidad es un gra do y por lo tanto, la expresión popular que dice “este producto es de calidad”, es imprecisa, pues el término “calidad”, en sí mismo, no es sinónimo de bueno.
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FIGURA 1.1. Representación esquemática delciclo de control
Calidad es adecuación al uso (Juran, 1951). Esto significa que calidad se define en términos del uso dado al producto y del nivel de satisfacción logrado. A raíz de este cambio radical en el concepto de calidad, es necesario definir el término desde dos ángulos: el del productor y el del consumidor. Es así como nacen los conceptos de calidad absoluta o de concordancia y calidad relativa o de diseño. Calidad absoluta es el grado en que un proceso es capaz de reproducir un diseño, es decir existe una concordancia entre el producto y su diseño. Esta es una definición del productor y es válida durante el proceso de fabricación de un producto. Calidad relativa es el grado en que un producto cumple con el fin para el cual fue creado. En otras palabras, la medida en que satisface las necesidades o requerimientos del consumidor o cliente. Esta es la definición del consumidor y es la de más importancia, pues todo esfuerzo que conlleve a mejorar la calidad relativa se reflejará en el volumen de ventas. Las necesidades del consumidor se plasman en el diseño; por lo que pode mos afirmar que si existe calidad relativa es porque hubo calidad absoluta. Lo contrario no siempre es cierto.
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Dos conceptos importantes en calidad relativa son disponibilidad y servi cio. Disponibilidad es la acción mediante la cual el cliente utiliza el producto y éste cumple con la función requerida. Servicio es el conjunto de beneficios que se le otorgan al cliente con el fin de garantizar un adecuado funcionamiento del producto durante el período de garantía. Control de calidad Definidos los anteriores términos es necesario presentar las diversas for mas que el control de calidad ha tomado en el pasado, en las que se aprecia la evolución que se ha tenido en esta materia. La Figura 1.2 muestra la pirámide del control de calidad que representa este avance.
El primer nivel es la concepción más primitiva de control de calidad y viene dada por la inspección final de producto. Esta actividad es la acción mediante la cual se revisan las unidades producidas para evitar que producto defectuoso
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salga al mercado. Esta acción es totalmente correctiva y su aporte a la mejora de la calidad es ínfimo pues la mayor parte del tiempo se dedica a separar pro ducto bueno de malo. El segundo nivel lo constituye la inspección de proceso, que es la acción mediante la cual un sistema de inspección organizado detecta los problemas de calidad en el lugar donde ocurren, controlando a través de las líneas de produc ción. Este control es más preventivo que correctivo, pues la mayor parte del tiempo se dedica a la búsqueda e identificación de causas y efectos de los pro blemas de calidad. El tercer nivel de la pirámide lo constituye el control de calidad, control to tal de calidad y aseguramiento de la calidad. Control de calidad se define como la verificación de que un producto se fabrica de acuerdo con el diseño planteado, diseño que es el resultado de la interpretación técnica de las necesi dades del consumidor, y que por lo tanto lo satisface. Para hacer frente a esta concepción de calidad, es necesario que todo el personal de la empresa tenga muy claro su rol en el logro de ese importante objetivo. “Control Total de Calidad es el conjunto de esfuerzos efectivos de los di ferentes grupos de una organización, para la integración del desarrollo, del mantenimiento y de la superación de la calidad del producto, con el fin de ha cer posible fabricación y servicio, a satisfacción completa del consumidor y al nivel más económico” (Feigenbaum,1977). En esa definición hay varios térmi nos que es necesario explicar más a fondo. Son ellos: -
Grupos de una organización: se refiere a que un nivel de calidad adecua do solo se logra con el compromiso de todos los niveles de la empresa y que todo miembro de la organización tiene tareas específicas para el logro del objetivo. Desarrollo: señala al hecho de que es necesario desarrollar la calidad, que no es algo que funciona por sí solo. Se deben establecer medios por los cuales se estén revisando constantemente los procedimientos que garan ticen el desarrollo de la calidad del producto.
-
Mantenimiento: la calidad no solo debe ser controlada sino también man tenida y se deben establecer procedimientos para velar porque se manten ga el régimen de trabajo, de manera que se garantice un nivel de calidad cada día mejor.
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Superación: es importante que el personal de la empresa se desarrolle y se supere, como un medio para mejorar los niveles de calidad de los pro ductos que se fabriquen. -
Fabricación y servicio: el viejo concepto de que la responsabilidad de la calidad termina en la bodega de producto terminado queda obsoleto. La empresa es responsable por cualquier falla de calidad ocurrida cuando el producto se encuentra en manos del cliente. Para ello se deben establecer medios de servicio que garanticen una atención rápida a los problemas de calidad detectados por el consumidor. Satisfacción completa del consumidor: el objetivo de calidad solo se lo gra si hay completa satisfacción del cliente al usar el producto adquirido. Esto redunda en la posibilidad de nueva compra, lo cual constituye el obje tivo número uno de toda empresa industrial.
-
Nivel más económico: deben realizarse los respectivos análisis de costobeneficio con el fin de conocer el nivel de calidad al que aspira la empresa, que no es, precisamente, producir cero por ciento defectuoso, que de por sí resulta tecnológicamente imposible de lograr.
El control total de la calidad revoluciona el concepto popular de control de calidad pues: a.
Deja claro que el problema de calidad no es exclusivo de un departamen to que lleva ese nombre, sino de todos los miembros de la empresa.
b.
Supera la creencia de que controlar la calidad es una tarea de inspección, al establecer la calidad como un concepto de sistema que involucra a to das las funciones empresariales,
c.
Cambia de un concepto específico y simple de clasificar producto como bueno o malo a un concepto de logro de satisfacción del consumidor.
El aseguramiento de la calidad es el conjunto de acciones y actividades que tienen como objetivo brindar los medios técnicos y humanos que garanticen la aplicación y éxito de los programas de calidad total. Esto incluye entre mu chos aspectos: personal profesional, personal técnico, análisis científico de decisiones y herramientas adecuadas de análisis y control.
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El cuarto nivel o cúspide de la pirámide es “autonomation”. Este es el con cepto más moderno de control de calidad y consiste en un cambio total en la concepción de calidad. Con “autonomation” el obrero adquiere una alta motiva ción y conciencia que le permite ser inspector de su trabajo. Esto se basa en el principio de que la calidad del trabajo que una persona ejecuta, es el reflejo de la calidad de persona que es. Se tiene una amplia conciencia de que el próximo proceso es el cliente y que para que se pueda efectuar un buen trabajo se necesita de una alta calidad de entrega. Quienes tienen una alta aplicación de este concepto son los japoneses, los resultados son evidentes.
EL SISTEMA DE CONTROL DE CALIDAD Debido a la nueva concepción de calidad como una responsabilidad de todas las funciones de la empresa, es necesario establecer un sistema que sea capaz de coordinar todas las actividades que deben llevarse a cabo. El sistema de calidad es el engranaje que se encargará de planear, ejecu tar, coordinar y controlar todas las actividades cuya realización tienen como objetivo entregar al cliente un producto con la calidad requerida por él. Uno de los aspectos que es necesario para concebir este sistema es el establecimiento de políticas claras de calidad, que perfilen los lineamientos por seguir, mostrando las intenciones de los niveles jerárquicos de dar prioridad a proyectos y actividades que tengan como principal fin la conservación y mejo ra de la calidad del producto. El implantar un sistema de control de calidad persigue una serie de objeti vos que al cumplirse facilitan el desempeño de la empresa y aumentan su pres tigio en el mercado. Los más importantes objetivos son: 1. Brindar al consum idor un producto acorde con sus requerimientos de calidad, 2. Diseñar un producto acorde con los requerimientos del consumidor y las limitaciones de fabricación, 3. Asegurar que los materiales suministrados por los proveedores cumplen con los requerimientos de calidad fijados para la fabricación,
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4. Hacer un uso más racional de equipos, maquinaria y mano de obra para lograr niveles de calidad competitivos. 5. Disminuir al máximo la cantidad de producto defectuoso y reprocesable con el fin de hacer un aporte importante a la disminución de los costos de- rivados de productos de mala calidad, 6. Disminuir el tiempo y el costo de las actividades de inspección de materias primas, materiales, producto en proceso y producto terminado, 7. Mejorar la moral del trabajador a través de la solución participativa de pro blemas, lo que redundará en fabricación de productos de más alto nivel de calidad, 8. Disminuir y si es posible eliminar, los reclamos del cliente y las devolucio nes de producto, 9. Impulsar todas las actividades que conlleven al establecimiento de siste mas de control preventivo y proyectivo más que correctivo, 10. Impulsar la ejecución de actividades cuyo fin sea analizar el comportamien to del producto en el mercado, 11. Promover unas buenas relaciones con el proveedor con el fin de que se suministren materiales de alta calidad. Pueden existir diversas formas de visualizar este sistema. Sin embargo, todas ellas convergen en que el sis te m a e stá c o m p u e s to p o r c u a tro subsistem as que abarcan el diseño de producto, el mercado de proveedo res, el proceso y el mercado de consum idores, con los que se abarca tanto a las actividades dentro de los procesos de fabricación como fuera de él. La Figura 1.3 esquematiza este sistema. Subsistema Diseño de producto Cuando se proyecta el lanzamiento de un nuevo producto al mercado o cuando se desea retroalimentar uno ya establecido con opiniones de consumido res y fabricantes, la revisión cuidadosa del diseño es de gran importancia. La in tención aquí es diseñar un producto acorde con las necesidades del consumidor
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y con las limitaciones de fabricación y no simplemente acorde con los gustos e inventiva del diseñador. Esto es comúnmente conocido como diseño para la manufactura. Los requerimientos del consumidor deben ser transformados en especifica ciones técnicas que sirvan como base para la fabricación del producto. Algunas
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de las actividades que se deben ejecutar con el fin de cumplir con ese importan te objetivo son: 1. Planeación de producto: se debe diseñar un producto bajo un plan ade cuado que tome en cuenta la tecnología más apropiada y más económica. •Este plan involucra la organización de los métodos, materiales, máquinas y procesos que garantizan un máximo aprovechamiento de los recursos de la empresa. Se debe planear un producto desde el punto de vista económico, lo que significa que éste debe cumplir con sus características de calidad a un nivel económico asequible para la empresa y para el consumidor. 2. Análisis estadístico: en el análisis de diversas opciones de diseño se ge neran datos que deben ser estudiados a fondo con el fin de tomar decisio nes. El diseño de experimentos se puede aplicar con el fin de encontrar el mejor conjunto de características que beneficien la calidad del producto. En la actualidad se aplica con éxito el Método de Taguchi, el cual se explicará más adelante. 3. Registro de proveedores: consiste en el desarrollo de un registro que contenga información sobre niveles de calidad, tipos de materiales que ofrecen y otras características que sirvan a los diseñadores para analizar opciones. 4. Estudios de capacidad de calidad: dentro de los requerimientos de ma nufactura es necesario que el diseñador conozca sobre la capacidad de ca lidad de la maquinaria con el fin de que genere un diseño capaz de ser fa bricado económicamente. 5. Experiencia con producciones anteriores: en el caso de productos para los cuales se tengan datos generados en producciones anteriores, se pueden usar esas experiencias para que no ocurran contratiempos inne cesarios. 6. Pruebas piloto: antes de producir a gran escala, se pueden efectuar prue bas piloto que analicen las características del producto y retroalimenten los procesos. Esta es una forma de lograr más fácilmente los objetivos de ca lidad que se persiguen. 7. Normalización: el diseño de un producto debe cumplir con las normas de calidad fijadas en el ámbito nacional o internacional. En el caso de que no
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existan normas, el diseñador debe fijarse metas alcanzables que en el fu turo se puedan convertir en normas de empresa. 8. Simplificación: todas las partes de un producto deben tener una función específica, y el conjunto de operaciones para fabricarlo debe basarse en procedimientos simplificados y fáciles de entender. El desarrollo de este tipo de actividades facilitará el alcance del objetivo de calidad por medio de un adecuado equilibrio costo-rendimiento. 9. Sistemas CAD. La aplicación de la computación a la industria se ha ido incrementando día con día. El diseño asistido por computadora (CAD) es un excelente medio para diseñar un producto que se encuentre aún más cerca de los requerim ientos del cliente. Para ello, el diseñador debe retroalimentar al programa con todas aquellas características que el consu midor desea que estén presentes en el producto.
Subsistema Mercado de Proveedores Es importante recalcar que no es posible fabricar un producto de un alto nivel de calidad si no se cuenta con materiales que cumplan los requerimientos para tal fin. Esto implica que se deben desarrollar métodos que garanticen la obtención de materiales que cumplan con las condiciones adecuadas de fabri cación. La empresa receptora debe ser lo suficientemente exigente para obligar al proveedor o proveedores a enviar los productos con la calidad solicitada. Algunas de las técnicas que pueden ser aplicadas para lograr el citado objetivo son: 1. Relaciones con proveedores: mantener una buena relación entre pro veedor y comprador facilita el envío de materiales de alta calidad. Esta re lación se puede enriquecer a través de visitas recíprocas que evidencien tanto capacidades como limitaciones de ambas partes. 2. Mantenimiento de instrumentación: la ejecución de mediciones con ins trumentos que no tienen adecuadas condiciones de almacenaje ni adecua dos programas de mantenimiento representa un alto riesgo de tomar me diciones erróneas que conllevan a decisiones igualmente erróneas.
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3. Educación y entrenamiento para la inspección: el inspector es la perso na que con criterios objetivos o subjetivos decide sobre la aceptación o re chazo de producto. Para ello, debe ser adecuadamente entrenado con el fin de que sus decisiones sean tan acertadas como sea posible. Los manuales de inspección son de gran ayuda para unificar criterios entre inspectores. 4. Análisis de especificaciones: la aplicación de una especificación tiene como principal objetivo tener un patrón de comparación que permita tomar decisiones acertadas. A su vez es posible someter esa especificación a un proceso de análisis, de tal manera que se concluya acerca de la eficacia de su aplicación. 5. Control de inventarios: conviene desarrollar modelos de inventario que tomen en cuenta no solo la cantidad sino también la calidad, pues así se pondrá atención tanto a la cantidad que se va a comprar y a cuándo com prarla, como a la calidad de los lotes recibidos. 6. Manejo de materiales: no basta con recibir los materiales en buen estado, sino que es necesario desarrollar eficientes programas de almacenamiento y sistemas de manejo que eviten el deterioio de los mismos. 7. Muestreo de aceptación: esta técnica, que se verá detalladamente más adelante, consiste en la aceptación de lotes con base en el análisis de ca lidad efectuado sobre muestras sacadas de ellos. 8. Cotizaciones y órdenes de compra: la comunicación de los requerimien tos del comprador se hace utilizando cotizaciones y órdenes de compra. Si estos documentos son mal preparados, se corre el riesgo de que se envíen mercaderías que no cumplen con los requisitos de fabricación, con las con siguientes pérdidas económicas y de tiempo. 9. Estimación de la actuación de la inspección: la inspección, como activi dad de producción, puede ser sometida al estudio de tiempos y movimien tos con el fin de estandarizar métodos y calificar la actuación del inspector. Esto se puede hacer no solo en términos de la cantidad de producción que es capaz de inspeccionar sino también en función de su capacidad para detectar defectuosos y defectos. 10. Certificación de calidad: la posibilidad de entregar al proveedor un certifi cado de calidad es una opción que debe estar presente. Esta opción ayudará
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8. M anejo de m ateriales en proceso: el m anejo de producto en proceso es una de las actividades que m ás tiem po consum e (aproximadamente de 65 a 70% del tiem po total de fabricación), con lo que la probabilidad de que el producto se deteriore en esta actividad es alta. Por ello, se debe diseñar un sistem a de m anejo de m ateriales que se ajuste a los requerim ientos esta blecidos por las características físicas y quím icas del producto que se va a transportar. 9. Planeación d e m éto d o s de inspecció n : la inspección de producto no puede ser una actividad im provisada, sin o que, po r el contrario, debe ser planeada de ta l m anera que se fije n los de b e re s y responsabilidades de inspección y se asignen a las diversas personas. El capítulo VII profundiza al respecto. 10. Utilización d e gráficos de control: el gráfico de control es una buena he rramienta para controlar en form a correctiva y preventiva el comportam ien to de una determ inada característica de calidad. Este tem a se verá deteni dam ente en los C apítulos IV y V. 11. M u e s tre o d e a c e p ta c ió n : ta l y c o m o se e x p lic ó a n te rio rm e n te , este m u e s tre o c o n s is te en la a c e p ta c ió n d e lo te s co n b a s e en la c a lid a d detectada en m uestras extra íd as de él. El C a pítulo VI ahondará en esta im portante técnica. 12. Reproceso y desecho d e producto: el reproceso de producto es una ac tividad que debe ser considerada. Si la em presa no cuenta con esta posibi lidad e s im portante la ejecución de un proyecto que analice la factibilidad té c n ic a y e co n ó m ica d e rep roce sar. P o r o tro lado, se d e b e d isp o n e r de á re a s c la ra m e n te id e n tific a d a s con el fin d e que ta n to e l pro d u cto po r reprocesar com o el que se va a de sech ar sean colocados. Esto ordenará las líneas de producción y evitará los errores al tom ar producto defectuoso com o producto bueno o viceversa. 13. Auditorías de calidad: en ocasiones el trabajo de inspección y control no se ejecuta adecuadam ente. A través de auditorías de calidad es posible in vestigar si lo s m étodos y pro ced im ie nto s d e control de proceso se están aplicando en la form a fijada. Con esto se pueden hacer los cam bios nece sarios para lograr los objetivos y metas.
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Subsistem a M ercado de consum idores Este subsistem a está relacionado con todas aquellas actividades que tie nen com o objetivo estudiar las necesidades del consum idor y retroalim entar al sistem a acerca de la efectividad del producto para cum plir con esas necesida des. Este subsistema se puede llamar tam bién Control de Producto o Control Post-proceso, pues todas sus actividades son ejecutadas fuera de los proce sos de fabricación. C uando el producto ha sido fabricado, es alm acenado para su posterior transporte y distribución. Es im portante que la em presa tenga presente que la m áxim a responsabilidad de calidad se in icia a pa rtir de este m om ento, pues éste es el período de tiem po en que se pondrán a prueba las características de calidad y se evaluará si el producto satisface las necesidades del consumidor. Para esto es necesario estructurar cuidadosamente el transporte y distribu ción de producto, con el fin de que haya un manejo adecuado que garantice que éste no se deteriorá antes de llegar a m anos del consumidor. A lgunas de las activida de s que pueden ayu da r en el desarrollo de este subsistem a son: 1. Análisis de reclamos: es importante ponerle especial atención a los recla m os efectuados po r el cliente, pues en ellos se pueden encontrar motivos para buscar soluciones a los problem as de calidad. 2. Análisis de devoluciones: al igual que en el caso anterior, las causas de devoluciones deben ser cuidadosam ente estudiadas y no sim plem ente li m itarse a cam biar producto. Se deben llevar registros que perm itan reco lectar toda la información posible acerca de las razones que el cliente tiene para rechazar el producto. El objetivo es tom ar las medidas correctivas del caso y las medidas preventivas necesarias para reducir y en lo posible eli m inar este problema. 3. Seguim iento de producto: un adecuado plan de seguim iento de produc to, instaurado desde el instante en que el producto sale de la empresa, per mitirá recolectar todo aquel producto que saldrá fuera de especificaciones antes de que lo ha g a y llegue a m anos del consum idor. A lgunas de las
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al proveedor a superarse con el fin de mejorar su calidad generando un his torial que lo puede hacer acreedor a un diploma de esta naturaleza. Este tipo de premiación es un medio de incentivar al proveedor pues constituye para él una estupenda carta de presentación cuando participe en nuevas ofertas. 11. Destino de material rechazado: se deben fijar áreas destinadas a recibir el material que ha sido rechazado. Se debe evitar al máximo la probabilidad de que este producto defectuoso ingrese a las líneas de producción. Para ello se deben etiquetar con colores llamativos que faciliten su discrimina ción a los encargados del manejo y distribución de materiales. Subsistema Proceso Si se ha logrado obtener un buen diseño de producto y se han podido ad quirir materiales que reúnen los requerimientos, la siguiente etapa es proceder a la fabricación del producto. El control de proceso debe ejecutarse a lo largo de todas las etapas de pro ducción y no al final, ya que ésta última debe ser una actividad preventiva y no correctiva. El control preventivo es el que brinda las oportunidades de mejorar, detectando fallas en el momento en que ocurren, evitando altos volúmenes de producción defectuosa o no conforme con los requrimientos. También con con trol preventivo se pueden investigarlas causas de las fallas de calidad, generan do resultados que permiten eliminar o reducir considerablemente la producción defectuosa. Al igual que los sistemas de control de producción, los sistemas de control de proceso se clasifican en control por proceso y control por producto. El sis tema de control por producto se basa en procedimientos y métodos cuya función principal es dar un seguimiento al producto a través de las líneas de producción chequeando que sus características estén acordes con las espe cificaciones técnicas establecidas. El sistema de control por proceso no se ocupa del producto y sus partes sino de las operaciones de fabricación. Aquí lo importante es mantener bajo control la ejecución de la operación de tal manera que se cumpla con los estándares de calidad fijados para la máquina o mano de obra utilizada.
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Algunas de las técnicas que pueden aplicarse para el logro de los objetivos del control de proceso son: 1. Análisis del proceso: para que se tenga un control de proceso adecuado se debe hacer un estudio de las diversas operaciones que lo componen. Este estudio puede ser apoyado por diagramas de operaciones y de flujo que identifiquen y resalten los puntos críticos de calidad. 2. Análisis de operaciones: con base en el estudio anterior se procede a es tudiar operación por operación identificando materiales, métodos y otros factores que influyan en la calidad del proceso ejecutado ahí. 3. Clasificación de características de calidad: cada operación del proceso genera una o más cara cterísticas de calidad, las cuales deben s e r clasificadas de acuerdo con su frecuencia de ocurrencia y con su impacto en la calidad. 4. Análisis del nivel de calidad: el nivel de calidad que mejor conviene a la empresa no es cero defectuosos, puesto que si fuese posible lograrlo se necesitaría de alta tecnología. Esto lógicamente encarecería el producto haciéndolo no competitivo en el mercado. Ante ello, se debe investigar cuál es el nivel más económico. 5. Control de herramientas y dispositivos: el diseño de sistemas adecua dos de revisión y reemplazo de equipo constituye una de las armas más im portantes puesto que éste es, en muchas ocasiones, el origen de los pro blemas de calidad. 6. Estudio de capacidad de proceso: no es posible exigir a un proceso que produzca bajo una capacidad para la cual no está diseñado. Por ello, se de ben hacer estudios con el fin de conocer esa capacidad y así hacer un uso más eficiente de ella. 7. Entrenamiento y adiestramiento de personal: la mano de obra es otra fuente importante de fallas de calidad. Por ello, se deben establecer progra mas de entrenamiento y adiestramiento que minimicen esta situación. La capacitación, la motivación y la conciencia de calidad son excelentes me dios para lograr un buen desempeño de la mano de obra.
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técnicas que se utilizan aquí son pruebas de anaquel, códigos de fabrica ción, y equipo de recolección. Las pruebas de anaquel consisten en mues tras de producto que la empresa conserva con el fin de estar evaluando constantemente su calidad. En el momento en el que esta calidad no sea satisfactoria, se ordena la recolección de los remanentes en el mercado. La identificación se hace usando códigos de fabricación. La recolección la lle va a cabo el equipo de recolección, que es un grupo de personas que visi tan constantemente al distribuidor en busca de producto rechazado. Servicio: en algunos productos más que en otros, se debe poner énfasis en programas de servicio al cliente, con el fin de hacer frente a posibles eventualidades que provoquen descontento en el cliente. El servicio debe ser rápido y eficaz de tal manera que el cliente no pierda su grado de satis facción para con el producto. Garantía: la garantía es un medio de protección al cliente que ninguna empresa debe pasar por alto. Existen dos formas de garantía: comercial e industrial. La garantía comercial es la que comúnmente ofrecen las casa® comerciales cuando se compra determinado producto. Esta consiste de un lapso de tiempo dentro del cual la empresa responderá por ciertas fallas del producto. La garantía industrial es aquel período de vida útil forjada en el producto por medio de un diseño que permite evaluar la duración de deter minado producto. Esta consiste de un lapso de tiempo dentro del cual la empresa responderá por ciertas fallas del producto. La garantía industrial es aquel período de vida útil forjada en el producto por medio de un diseño que permite evaluar la duración de determinado producto. Esta garantía define la capacidad de nueva compra, siempre y cuando el grado de satis facción del cliente sea favorable. Auditorías de calidad: estas auditorías son procedimientos diseñados para evaluar el grado en que el producto satisface los requerimientos fija dos por el consumidor. Encuestas de mercado: una encuesta de mercado puede servir como un medio para evaluar el impacto que el producto está teniendo en el mer cado. Se pueden hacer preguntas que retroalimenten el diseño, el proceso o la calidad de materiales usados.
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8. Visitas ai cliente: un programa de visitas al cliente puede servir como me dio para recolectar de la fuente, información relevante sobre el desempeño del producto. Este puede ser un medio para demostrarle al cliente la res ponsabilidad de la compañía.
BENEFICIOS DEL SISTEMA DE CONTROL DE CALIDAD Con la implantación de un sistema de control de calidad, la empresa podrá obtener una serie de beneficios, dentro de los cuales se pueden citar: 1. Mejoramiento de la calidad del diseño y por consiguiente del producto, gra cias al estudio de las causas de los problemas. 2. Reducción de los costos de operación, al detectar los defectos y defectuo sos en el momento preciso en que ocurren y no en etapas posteriores. 3. Reducción de pérdidas económicas y materiales debido a una utilización más adecuada de materiales y máquinas. 4. Mejoramiento de la moral del trabajador al producir con un nivel más alto de calidad. 5. Reducción de tropiezos en las líneas de producción, al ejecutarse un con trol más preventivo que correctivo. 6. Mejoramiento de los métodos de inspección, al existir guías más claras y procedimientos que ayuden a los inspectores a tener un criterio unificado en la toma de decisiones. 7. Establecimiento racional de verdaderas razones de producción, al tomar en cuenta los defectuosos encontrados. 8. Oportunidad para acumular datos verídicos que pueden ser utilizados para propaganda veraz. 9. Cálculo más objetivo de costos de reproceso y desperdicio que ayudan a determinar un costo más real de producción y por ende un precio más cer cano a la realidad. 10. Mejoramiento de la organización del trabajo.
CONTROL DE CALIDAD Un enfoque integral y estadístico Jorge Acuña A. 2a edición
ÉT EDITORIAL TE C N O LO G IC A DE C O S TA RICA
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CONTROL DE CALIDAD
i 1. Concientización y motivación hacia la calidad que deben tener los diferen tes niveles de organización de la empresa. A través de estos beneficios se puede llegar a demostrar que la calidad lejos de ser un costo es una valiosa inversión.
FACTORES QUE CONTROLAN LA CALIDAD La obten ción de un pro du cto de buena o m ala calid ad , no es un acontecimiento de buena o mala suerte, sino que es el resultado directo de las políticas de calidad que gobiernen la empresa. Estos resultados se deben al comportamiento de una serie de factores que se denotan factores de la calidad. Los factores de la calidad, conocidos como las siete emes de la calidad (debido a sus iniciales en inglés), son los siguientes:
1.
Mercado (Marketing)
El mercado juega un papel muy importante en la calidad de un producto. En el estudio del mercado se conjugan tres frentes que son las necesidades del consumidor, las necesidades de la sociedad y el espacio de soluciones que ofrece la empresa. Las necesidades del consumidor surgen de la vida cotidiana y especial mente de los recursos necesarios para agilizar las actividades de las personas. Esto permite la ejecución de tareas en forma más eficiente. En este sentido po demos mencionar las diferencias entre el ama de casa del pasado y el ama de casa de hoy en día. El ama de casa del pasado basaba el desempeño de sus labores en su esfuerzo físico. El ama de casa actual ha recibido el beneficio de la tecnología industrial, que le ha permitido agilizar sus oficios domésticos, de tal manera que le ha quedado más tiempo para dedicarlo a otras labores. Las necesidades de la sociedad, enmarcadas dentro del Triángulo de Necesidades de Maslow, pueden ser cubiertas por la industria a través de cuatro de sus prin cipales componentes como son vivienda, alimentación, vestido y medicinas, es decir aquellas que determinan su subsistencia.
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Las soluciones de la empresa se dan en términos de diseños que recojan las necesidades del consumidor y de la sociedad para convertirlas en producto terminado. En realidad, este proceso es bastante complejo, pues las necesida des tanto de la sociedad como del consumidor son amplias y muy variadas, mientras que las posibilidades de solución que se ofrecen son escasas. Esto se puede representar en la Figura 1.4.
S: Nso
Nso: N:
Soluciones que brinda la empresa Necesidades de la sociedad Necesidades del consumidor
N FIGURA 1.4. Representación esquemática de las necesidades del mercado en función de las soluciones de la empresa.
Se puede observar en la Figura 1.4 que solamente una pequeña porción de las necesidades del consumidor y de la sociedad pueden ser abastecidas por la empresa (zona sombreada). De ahí la importancia de investigar a fondo las ne cesidades del consumidor. 2.
Hombre (Man)
El hombre constituye el principal factor de calidad, pues de su grado de motivación y conciencia dependen los demás factores. No se logra nada si las personas no cooperan, ni tienen conciencia de calidad en la labor que se les enco mienda. Por más eficientes y eficaces que sean los medios técnicos propuestos, si
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el ser humano no colabora no se obtendrán buenos resultados. Para ello, se deben buscar los medios que logren una adecuada capacitación de los diferen tes niveles de la empresa, de tal manera que las políticas de calidad se cum plan.
3.
Capital de trabajo (Money)
Como en toda labor de tipo comercial o industrial, el capital de trabajo es absolutamente necesario. Para llevar a cabo las actividades planeadas es ne cesario invertir. Cualquier recurso económico utilizado en el sistema de control de calidad debe verse como una inversión y no como un gasto. En control de calidad debe tenerse muy presente el siguiente pensamiento: La buena c a lid a d cu e sta , p e ro la m ala c a lid a d cue sta m ás (IMMECA, 1979).
4.
Material (Material)
Los materiales y materias primas juegan un papel primordial en la calidad final de un producto. No es posible obtener alta calidad con materiales medio cres, pues el proceso de producción no es capaz de generar calidad. Ante esto el objetivo clave es suministrarle al proceso los materiales que necesita para un desempeño eficaz de sus actividades. 5.
Máquina (Machine)
Las máquinas constituyen el medio de transformación de materiales en productos terminados. Cualquier desperfecto o desajuste que éstas sufran, se visualizará en defectos en los productos que se fabriquen. Por esto es de impor tancia tener adecuados programas de mantenimiento preventivo que garanti cen baja p ro b a b ilid a d de d e sajustes y d e s p e rfecto s. Adem ás, debe concientizarse al operador de la importancia de vigilar los diferentes controles que la máquina tenga, con el fin de tomar acciones preventivas en el momento preciso.
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6.
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Método (Method)
Los métodos de trabajo que se utilicen en operaciones de producción y en operaciones de carga, descarga y manejo de materiales, si no son adecua damente diseñados, son fuente de fallas de calidad. El analista de métodos debe contemplar en sus diseños los requerimientos de calidad de la operación. Una forma de hacer ésto es a través de dispositivos que faciliten la operación eliminando toda posibilidad de que el producto sea defectuoso por causa de un mal método de trabajo. Además, es labor del analista lograr, mediante una adecuada motivación, que el operario desarrolle su trabajo siguiendo el método establecido, de tal ma nera que la ejecución de su operación se produzca en el nivel más alto de calidad. 7.
Administración (Management)
La administración de la empresa es la primera que debe de estar conven cida de los beneficios de un sistema de control de calidad. La razón es que son ellos los encargados de dictar las políticas, de aprobar los planes y de asignar los recursos. Sin este convencimiento es muy poco lo que pueden hacer los departamentos y secciones de la organización. La forma de medir el desempeño del sistema es a través de un diagnóstico de estos factores. Es así como nos daremos cuenta de las fallas de la organi zación en la consecución del objetivo de calidad.
RESPONSABILIDAD DE CALIDAD Se puede afirmar que la responsabilidad de la calidad del producto termina do recae en todos los niveles de la organización. Sin embargo, existen diferentes grados de responsabilidad, siendo los más altos para el equipo diseñador, el equipo proveedor, el equipo productor y el cuadro gerencial de la empresa. El equipo diseñador tiene la enorme responsabilidad de traducir los requeri mientos del cliente en especificaciones técnicas de acuerdo con limitaciones de fabricación. El equipo proveedor es responsable de entregar a producción los materiales que reúnen los requerimientos de fabricación. El equipo productor es
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responsable de fabricar el producto de acuerdo con los requisitos del diseño conservando el nivel de calidad de los materiales suministrados. El cuadro gerencial es responsable de dictar las políticas y facilitar los recursos para que los equipos de trabajo puedan cumplir con su función. Lo anterior implica que la estructura organizativa no solo debe ajustarse a los niveles jerárquicos ya esta blecidos sino también al flujo de información vertical y horizontal, necesario para coordinar actividades. Esto se puede visualizar mejor en la Figura 1.5, en la que se observa cómo las diversas unidades se coordinan. Así, por ejemplo, Ventas tiene una clara interrelación con el consumidor en su trabajo con el mercado mientras Personal -usando programas de reclutamiento y selección de perso n a l- brinda a las líneas de producción el personal idóneo.
Información
Responsabilidad
■■■■■ Autoridad
FIGURA 1.5. Representación gráfica de responsabilidades de calidad
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LA CALIDAD EN SISTEMAS MODERNOS DE MANUFACTURA Al igual que los sistemas de producción, los sistemas de control de proceso también han evolucionado. Esta evolución se ha dado a través de la generación y aplicación de sistem as modernos de m anufactura tales como robots, sensores de máquina, visión de máquina y sistemas CAD/CAM. La aplicación de robots al ambiente industrial ha permitido la ejecución de operaciones con más altos niveles de exactitud y precisión, lo que ha favorecido la calidad de lo fabricado. Esta se da puesto que es más factible cada día produ cir con tolerancias más angostas o sea con especificaciones más cerca del valor objetivo. Los sensores de máquina han favorecido el desarrollo de instrumentos que facilitan la inspección reduciendo el tiempo de recolección y análisis de informa ción. Los sensores electrónicos son capaces de detectar diferencias y en algu nos casos accionar mecanismos que permiten tomar medidas correctivas y preventivas. Esta acción es una clara ventaja para el control de los procesos. La visión de máquina ha dado grandes aportes a la inspección visual pues a través de este sistema se pueden obtener conclusiones más rápidas y más efi cientes. Este sistema ayuda además a sustituir al hombre en la labor de inspec ción visual, la cual es monótona y perjudicial a la vista en la mayor parte de los casos. Una explicación general del sistema se presenta en la Figura 1.6. En esta figura se tiene una cámara de televisión que toma imágenes del producto, las tra duce a señales digitales, para que sean interpretadas por una computadora la cual tiene alimentados los diferentes patrones contra los cuales compara. De acuerdo con la decisión tomada la computadora puede enviar una señal al siste ma de manejo de materiales para que rechace la unidad en estudio. Los sistemas CAD/CAM (Computación Aplicada al Diseño/Computación Aplicada a la Manufactura) combinan el diseño de producto con la manufactura del mismo, convirtiéndose en una garantía para reducir el eterno problema de traducir especificaciones y requerimientos de diseño en productos terminados. En un sistema de esta naturaleza, el diseñador ejecuta su labor y almacena en una base de datos todo tipo de instrucciones y características de diseño.
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CONTROL DE CALIDAD
SEÑAL ANALOGICA
CONTROL DE CAMARA
CAMARA
DIGITADOR
□ / \ SEÑAL DIGITAL
n n n n n n n n n
COMPUTADORA CENTRAL
LINEA DE PRODUCCION
FIGURA 1.6. Sistema de visión de máquina usada en inspección visual
Posteriormente, esos requerimientos son transmitidos mediante programas computacionales desde un computador central hasta uno en la línea de produc ción y de ahí a la máquina. La retroalimentación controla el proceso. La Figura 1.7 muestra un ejemplo de este sistema.
RESUMEN Se han esbozado hasta el momento algunos principios sobre los que se basa el verdadero concepto de calidad. Estos principios son: 1. El control de calidad no es únicam ente inspecr-ón, sino que va más allá, hacia la investigación de causas y corrección de las mismas, con el fin de que no se vuelvan a presentar en el futuro. Esto obliga a analizar la calidad en forma sistémica, involucrando a la organización en su totalidad.
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FIGURA 1.7. Sistema Integrado de Manufactura
2. El problema de la calidad del producto es competencia de todos los niveles de la empresa. En la medida en que haya conciencia de esta responsa bilidad se lograrán los niveles establecidos. 3. La calidades intrínseca del producto, el control no agrega calidad al mismo pues es solo un medio de investigar problemas y reducirlos. 4. El control debe ejecutarse en etapas, responsabilizando a las diferentes secciones de la ejecución de las actividades fijadas en cada una de ellas. 5. La calidad debe entenderse com o e l grado en que un cliente se siente satisfecho con las funciones que realiza el producto que adquiere.
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CONTROL DE CALIDAD
6. Se pueden automatizar los procesos de inspección, sin embargo la respon sabilidad de calidad será siempre del factor humano.
PREGUNTAS DE REPASO 1. Comente el aporte del desarrollo histórico del control de calidad a la con cepción moderna. 2. Defina los conceptos de control, calidad, calidad total y control de calidad. 3. Explique el ciclo del control. 4. Explique la pirámide del control de calidad. 5. ¿Qué es un sistema de control de calidad y cómo está estructurado? 6. Explique detalladamente cada uno de los componentes del sistema de control de calidad. 7. ¿Cuáles son los objetivos de implantar un sistema de control de calidad? ¿Qué beneficios genera un sistema de control de calidad? 8. Explique los factores que gobiernan la calidad de un producto. 9. Analice las responsabilidades de calidad en los sistemas industriales. 10. ¿Qué nuevos conceptos de calidad se manejan en sistemas modernos de producción?
PROBLEMAS 1. Seleccione una empresa industrial o de servicios y analice su sistema de control de calidad. Haga un diagnóstico inicial. 2. Evalúe en una empresa la incidencia de cada uno de los factores de calidad en la calidad del producto final. 3. Enumere las actividades por realizar para implantar un sistema de control total de calidad en una empresa del sector alimentario.
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4. Seleccione el organigrama de una empresa industrial e identifique clara mente la responsabilidad de calidad de cada uno de los niveles jerárquicos ahí representados. 5. Investigue los aspectos relacionados con control de calidad tomados en cuenta en el Plan de Reactivación Industrial en nuestro país.
Capítulo II
ESTADISTICA ELEMENTAL .»
E
n los últimos años se ha ampliado la gama de aplica ciones de la estadística en el ambiente industrial, y va desde la re co le cció n y a n á lis is de datos hasta la inferencia estadística y el diseño de experimentos.
Una de las áreas de la industria en la que más se ha ap licado es en la inspección de calidad de los productos fabricados. Esto ha dado origen a lo que se conoce como control estadístico de la calidad. En estos casos se selecciona una muestra, se analiza y con base en los resultados obtenidos se infiere la situación real del p ro ce so p ro d u c tiv o . La a p lic a c ió n de la estadística al control de procesos y de materiales es solamente un arma para la toma de decisiones y no la solución a los problemas. En este capítulo se presentarán algunos conceptos y técnicas de análisis de datos, para luego entrar en el tema de inferencia estadística, que constituye la base fundam ental para el establecim iento de un control estadístico de la calidad. Se supone de antemano que el lector tiene conoci mientos generales de estadística.
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CONTROL DE CALIDAD
ANALISIS DE DATOS El primer paso en la aplicación de la estadística a procesos industriales consiste en el registro y análisis de la información proveniente de las diferentes pruebas físicas y químicas que se hacen a los productos con el fin de verificar su estado. Del análisis de los datos provenientes de esas pruebas se derivarán las acciones preventivas, con las que se procurará reducir y si es posible eliminar los problemas de mala calidad que se presentan en las líneas de producción. Para lograr un adecuado análisis es necesario agrupar los datos de tal manera que se puedan visualizar comportamientos y tendencias históricas de los procesos.
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS Una de las formas que permite disponer los datos para su análisis es la dis tribución de frecuencias de datos agrupados, que consiste en el agrupamiento del conjunto de datos en intervalos, de tal manera que generen una distribución. Esta distribución puede ser comparada con distribuciones estadísticas teóricas y así inferir soluciones al problema planteado. Existen también las distribucio nes de frecuencia de datos no agrupados, que se usan para el análisis de datos de variable discreta, tales como número de defectuosos y número de defectos. Dos de las claves importantes para tener una distribución de frecuencias eficiente y eficaz son la escogencia de un método que considere las cifras significativas de los datos y la escogencia de un número de clases que refleje una adecuada distribución. Antes de entrar a presentar un método de elaboración de una distribución es recomendable dar algunas definiciones. Frecuencia Es el número de veces que se repite un dato en un conjunto de datos, o en un intervalo determinado. Existen varios tipos de frecuencia, éstas son:
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a.
Frecuencia absoluta
b.
Frecuencia absoluta acumulada
c.
Frecuencia relativa
d.-
Frecuencia relativa acumulada
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La frecuencia absoluta es el número absoluto de veces que se encuentra un dato en un conjunto de datos o intervalo. Se denota por n.cuando los datos no están agrupados y por nkcuando estos datos están agrupados. Se encuentra por inspección del conjunto de datos. La frecuencia absoluta acumulada es la suma acumulada de la frecuencia absoluta. Se denota por N,en datos no agrupados y por Nken datos agrupados. La frecuencia relativa es una forma de representar porcentualmente el número de veces que se repite un dato o el número de datos que se encuentran en un intervalo. Se denota por 1, para datos no agrupados y por fk, para datos agrupados. Se calcula como: Frecuencia absoluta Frecuencia relativa = -----------------------------------------------Número total de datos
x 100
La frecuencia relativa acumulada es la suma acumulada de la frecuencia re la tiva . Se denota por F(para datos no agrupados y por Fkpara datos agrupados. Se calcula como: Frecuencia absoluta acum ulada Frecuencia relativa acumulada = ---------------------------------------------- x 100 Núm ero total de datos
Clase La clase es un intervalo dentro del cual se encuentra un conjunto de datos. Sus valores extremos se llaman límites de clase. El número de clases se denota con la letra k. Los límites de clase representan a los datos. En este caso son conocidos como límites reales de clase y están denotados por L( y Ls. En caso contrario,
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los límites de clase se denotan por I, y ls y su función se reduce exclusivamente al conteo de los datos para obtener la frecuencia absoluta. La am plitud de clase o intervalo de clase es la diferencia entre los límites reales de clase. Se denota con la letra i. Histograma Un histograma es un gráfico de barras verticales continuas, en donde se representan los límites reales de clase en el eje x y la frecuencia absoluta o relativa en el eje y. La escala del eje x debe graduarse de tal manera que todas las barras sean de igual tam año, m ientras que la escala del eje y, debe graduarse con base en la frecuencia relativa o absoluta más grande. Para el desarrollo de la distribución de frecuencias se puede hacer uso de paquetes de computación. Uno de éstos es STADGRAPHICS, paquete que tiene un sinnúmero de herramientas estadísticas no solo para distribución sino también para inferencia estadística. A pesar de ser un m edio ágil para elab ora r d istrib u cio n e s, éste no considera cifras significativas que son muy importantes cuando se analizan datos con fines de análisis de calidad. Para garantizar el cuidado de cifras significativas se puede aplicar el siguiente procedimiento: 1. Recolectar los datos (x.) de acuerdo con el tamaño de muestra previamente calculado. Esta recolección debe ser ordenada de tal form a que se entienda posteriormente la información. Para ello se puede usar un formato tal como el que presenta en el Ejemplo 2.1. Este formato no solo sirve para a n ota r la in fo rm a ció n re co le cta d a sino tam bién la d is trib u c ió n de frecuencias correspondiente. 2. Ordenar los datos de menor a mayor. Es opcional; si no se hace, se ejecuta el paso 11b. 3. Calcular el rango, restando al dato mayor, el dato menor. Sea: R = Xlmix-Xwn
•*
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4. Fijar el número de clases (k), es conveniente que esté entre 5 y 20. Se puede utilizar la regla de STURGES para obtener un aproxim ado al número de clases. Esta regla es: k = 1 + 3,3 log n
donde n = tamaño de la muestra
5. Calcular el intervalo de clase (i), así: i = R/k El valor de i debe ser redondeado siem pre hacia arriba y a la misma cantidad de decimales que tienen los datos. 6. Calcular el rango propuesto (Rp) mediante la multiplicación del intervalo redondeado (¡r) por el número de clases, sea:
Rp=l’,*k 7. Calcular la diferencia (d) entre el rango y el rango propuesto: d = Rp- R Este valor es un número cuya última cifra significativa debe ser un cinco. Si no lo es, se debe devolver al paso 5 y hacer el cálculo con otro número de clases, hasta que se cumpla la condición. 8. Calcular la mitad de la diferencia (md) md=d /2 9. Fijar los límites reales de clase (L,, Ls), usando el siguiente procedimiento: a. Tomar el valor del dato menor y restarle el valor de md; el valor obtenido es el primer L,. L.i l = ximin - m .d b. Sumar i al valor de Ln, para obtener el primer Ls. LSi = Lll, + i c.
Hacer el L* igual al Ls{k1)y repetir el paso 9b. hasta completar las k clases. Al final se debe cumplir con: Lrt= x lm4x+m d
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donde Lsk= último límite real superior. 10. Fijar los límites de clase (l|t ls), sumando cinco unidades decimales a los límites inferiores reales de clase y restándoselas a los límites superiores de clase. Así por ejemplo: Si L,y Lstienen solo un decimal, se suma y se resta 0,5 Si L y Lstienen dos decimales, se suma y se resta 0,05 I.de = Lik + 5 unidades decimales lsk= Lsk- 5 unidades decimales 11. Completar el cuadro de frecuencias de datos agrupados, para ello a. Calcular el punto medio (xk) L + LS “ \ = ----------------
L+l I s o
XK=----------------
2
2
b. Obtener el valor de la frecuencia absoluta (nk) usando lo obtenido en el punto 2 o a través de conteo que consiste en ir contando dato por dato y poniendo una rayita en el intervalo correspondiente. c. Obtener la frecuencia absoluta acumulada (Nk) Nk=Acumulado de nk d. Calcular la frecuencia relativa (f.) 1%
n e. Obtener la frecuencia relativa acumulada (Fk)
n 12. Construir el histograma para observar la distribución del conjunto de datos.
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EJEMPLO 2.1 Se toman doce grupos de cinco unidades de una máquina llenadora de latas de pasta de tomate y se pesan, originando los datos que se presentan en el Cuadro 2.1. Construir una distribución de frecuencias de datos agrupados. SOLUCION 1. Los datos se recogen en el formato definido. El Cuadro 2.1 presenta la información recolectada para este ejemplo. 2. Se usará el método de conteo. 3. R = x.im á.x - x.im fn. R = 25,0 -1 8 ,0 = 6,5
CUADRO 2.1. Información recolectada en decigramos
HOJA DE DATOS - DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS Artículo: Pasta de tomate Característica: Peso Operación: Llenado Operario: M. Matamoros Fecha:02-12-84 Tumo: 1
# 1 2 3 4 5
1
2
22,0 23,0 20,5 19,0 20,0 21,5 21,0 21,0 22,5 21,5
Código: XY-987 Especificación: 20,0 ± 2,5 Máquina: Llenadora Inspector: M. Coto Hora de inicio: 8 am
Hoja # 1de 1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20,0 19,0 19,5 20,0 22,5
21,5 19,0 21,0 20,0 22,0
19,0 21,5 22,5 22,5 18,5
21,5 24,0 19,5 22,0 22,0
22,5 20,0 21,0 22,5 22,0
25,0 20,5 21,5 21,5 22,5
21,5 23,0 22,5 23,5 21,0
24,5 24,0 23,5 22,0 22,0
22,5 22,5 20,5 22,0 19,5
23,5 20,0 20,5 22,5 23,0
50
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4. k = 1 + 3 ,3 lo g n k = 1 + 3,3 log 60 k=7 R 6,5 5. i = ------ = ---------- = 0,923=1,0 k 7 6. Rp= if* k = 7 * 1 ,0 = 7,0 7. d = Rp- R = 7,0 - 6,5 = 0,5 0,5 8. md= d/2 = -----2
=0,25
9- ^ i = ximfn_md= 1 8 ,5 -0 ,2 5 = 18,25 LS1= L,, + i = 18,25 + 1,0 = 19,25 La= L „ = 19,25 L 2= L í2+¡ = 19,25+ 1,0 = 20,25 Y así sucesivamente hasta completar las siete clases. Esto se puede observar mejor en el Cuadro 2.2. El resto se obtiene de igual forma. El conteo se obtiene anotando una rayita por cada dato que se ubica en la clase respectiva. A través de las frecuencias se puede observar alguna característica importante, por ejemplo el análisis de posición para algún valor especial tal como una especificación. 12. El histograma correspondiente a este ejemplo se puede observar en la Figura 2.1. En él, se puede ver que el peso de los tarros de pasta de tomate se distribuye en una forma aproximadamente simétrica, o sea una gran frecuencia en el centro que disminuye hacia los lados.
51
JORGE ACUÑA ACUÑA
CUADRO 2.2. Cuadro de distribución de frecuencias para el Ejemplo 2.1
HOJA DE DATOS - DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS Artículo: Pasta de tomate Característica: Peso Operación: Llenado Operario: M. Matamoros Fecha:02-12-84
Tumo: 1
L,
L.
»,
K
18,25 19,25 20,25 21,25 22,25 23,25 24,25
19,25 20,25 21,25 22,25 23,25 24,25 25,25
18,3 19,3 20,3 21,3 22,3 23,3 24,3
19,2 20,2 21,2 22,2 23,2 24,2 25,2
Código: XY-987 Especificación: 20,0 ± 2,5 Máquina: Llenadora Inspector M. Coto Hoja#1 d e i Hora de inicio: 8 am
CONTEO mu iiiiniii iiiniiii iiiiiiiiiiiinii iiniiiiiiiiii mu ii
N„
nh 5 9 9 16 14 5 2
18,75 19,75 20,75 21,75 22,75 23,75 24,75
5 14 23 39 53 58 60
K 8,33 8,33 15,00 23,33 15,00 38,33 26,67 65,00 23,33 88,33 8,33 96,67 3,33 100
l(1= L„ + 0,05 = 18,25 + 0,05 = 18,30 l„ = L „ - 0,05 = 19,25 - 0,05 = 19,20 El resto se obtiene de igual forma.
El conteo se obtiene anotando una rayita por cada dato que se ubica en la clase respectiva.
MEDIDAS DE LA DISTRIBUCION No es fácil obtener conclusiones de un conjunto de datos sueltos o de cuadros calculados a partir de ellos. Debido a esta limitación es necesario calcular medidas que los representen. Las medidas de mayor importancia son la media aritmética y la desviación estándar. Tam bién pueden c a lc u la rs e la m oda, la m ediana, los p e rc e n tile s requeridos y varios coeficientes com o el coeficiente de variación y el de kurtosis. Estas medidas no se presentan en este momento. La media aritmética se calcula en datos no agrupados como:
52
CONTROL DE CALIDAD
16 14 12
n k
1 0
8 6
4 2 -U
18,25
19,25 20,25 21,25
22,25
23,25
Lím ites reales de clase (L(,Ls)
FIGURA 2.1. Histograma para e l Ejemplo 2.1 (Peso de tarros de pasta de tomate)
n
_
Ix , í=i
X = ---------------
n donde: x: valores de la variable en estudio n: tamaño de la muestra En datos agrupados se calcula así:
24,25
25,25
JORGE ACUÑA ACUÑA
53
nc
(I
nk* d ) * i
x =A+ n donde: d:
desviación del punto m edio con respecto a la posición de la media supuesta (clase de mayor frecuencia, d=0). Es medida en unidades de intervalo de clase.
i:
amplitud o intervalo de clase
A:
punto medio de la clase que contiene la media supuesta (clase de d=0)
nc: número de clases La desviación estándar, para datos no agrupados, se calcula usando la siguiente fórmula:
Para datos agrupados se tiene:
EJEMPLO 2.2 Para el Ejemplo 2.1, calcular la media aritmética y la desviación estándar para datos no agrupados y agrupados.
54
CONTROL DE CALIDAD
SOLUCION Para datos no agrupados: 1292,5 x = £x/n =
= 21,54 60
I x = 1292,5
I x 2= 27972,75 n= 60
i=1,0
(1292,5) 27972,75 60 s=
= 1,485
\
59
En datos agrupados y usando el Cuadro 2.2 se obtiene la información que se presenta en el Cuadro 2.3. El factor d se establece con valores enteros negativos hacia arriba y positivos hacia abajo de la clase de mayor frecuencia. Para el ejemplo los valores de la media y la desviación son: A= 21,75 parad = 0
-12 x = 21,75+ (
) * 1,0 = 21,6 decigramos 60
Esto significa que el conjunto de datos se distribuye con un promedio de 21,6 decigramos con una desviación estándar de 1,52 decigramos. Un aspecto muy importante que se debe considerar es que la mayor parte de las pruebas en las que se requiera el uso de esta técnica necesitan ser
JORGE ACUÑA ACUÑA
55
CUADRO 2.3. Cálculos interm edios p ara obtener X y s
XR
- 18,75 19,75 20,75 21,75 22,75 23,75 24,75 TOTAL
5 9 9 16 14 5 2 Ii\*d = -1 2
d
n„*d
-3 -2
-15 -18 - 9 0 14
-1
0 1 2
3
10 6
n k*da
45 36 9 0 14 20 18
In /(f= 1 4 2
ejecutadas en el menor tiempo posible. Ante ello es necesario confeccionar formatos que agilicen la recolección y análisis de la información. La Figura 2.2 presenta un formato que puede ser usado en estos casos. Con este formato se pueden hacer estudios futuros para evaluar el comportamiento de una variable. En estos casos se dejan fijos los límites de clase y se toman nuevas muestras.
CONCEPTO DE PROBABILIDAD Muchas pueden ser las definiciones que se den al término probabilidad. En ocasiones se asocia con la palabra posibilidad, lo cual parece en alguna medida aceptable si se cuantificara. Tres de las definiciones más comunes son las siguientes: 1.
Probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determi nación, con el fin de asignar un valor a su ocurrencia futura.
EJEMPLO 2.3 Ilustración del concepto de probabilidad Si un dado es lanzado al aire, se tiene la certeza de que va a caer, pero no se puede afirmar con certeza que la cara que quedará hacia arriba será la que
56
CONTROL DE CALIDAD
z
O)
.. o
í2y OU QJO • c/>5í= aÜ :u L □já s
"§ Q)
Íll
.<0
•2
O3 2
1es Q) 2 Ci.
S CU i £ C\i Osi
5 CD c 03) T VIi Tn 03 0 E
£ c
< s) L/> U0 Z ¿ 2 » o 2
> a: Q) 3
w E
§5
57
JORGE ACUÑA ACUÑA
contiene el número 6. Si este experimento se repite n veces podemos llamar n al número total de lanzamientos y s al número de aciertos por un número determinado, lógicamente entre 1 y 6. Para ilustrar el concepto de probabilidad se puede asociar con la frecuencia relativa que se obtiene de la relación f = s/n. Este valor tiende a estabilizarse conforme el número de lanzamientos tiende a infinito y por lo tanto puede asignarse como el valor para la ocurrencia futura del acierto. 2.
Probabilidades un valor numérico que debe llenar ciertas condiciones y que se asocia con un evento dado para expresar el grado de confianza que se tiene en la verificación futura del experimento que le dio origen. Esta es una definición dada desde el punto de vista matemático.
3.
Probabilidades la fracción n(E,)/n que se origina si un suceso puede ocurrir de n-maneras mutuamente excluyentes e igualmente posibles, de tal manera que n(E ) de ellas poseen un atributo (E). n(E.) P(E() = ----------n
Para entender más claramente esta definición se deben definir algunos conceptos claves tales como: Espacio m uestral: es el conjunto S de todos los resultados posibles, al ejecutar un experimento. Este número total de eventos se denotan de la siguiente manera: Número de eventos de S = p" donde: p: número de posibilidades del experimento n: número de veces que se repite el experimento. Evento simple es uno de los resultados E¡del espacio muestral S. Evento compuesto es el conjunto de resultados Ecdel espacio muestral S que cumplen con cierta característica.
58
CONTROL DE CALIDAD
EJEMPLO 2.4 Se lanza un dado dos veces. a. Identifique los eventos que conforman el espacio muestral y el número de ellos. b. Dé un ejemplo de un evento simple. c. ¿Cuántos eventos componen el evento compuesto X + Y > 4? SOLUCION a.
Con el fin de determinar el número total de eventos del espacio muestral se utilizará un gráfico de coordenadas donde se colocarán las posibilidades del primer lanzamiento en el eje x y las del segundo en el eje y. La Figura 2.3 muestra este gráfico. El número de posibilidades p es seis y el número de veces que se repite el experimento es dos por lo tanto: Número de eventos de S = 62= 36 eventos simples En la Figura 2.3 se pueden observar los 36 eventos simples del espacio muestral representados por asteriscos en el reticulado del gráfico.
b.
Un ejemplo de evento simple es (1,6) el cual significa que en el primer lanzamiento el resultado es uno y en el segundo lanzamiento es seis.
c.
El evento compuesto X + Y > 4 está conformado por todos aquellos eventos simples que originan una suma mayor que cuatro entre el valor del primer lanzamiento y el valor del segundo lanzamiento. Estos eventos son todos menos (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2) y (3,1). Es decir, 30 eventos conforman este evento compuesto.
En general, se puede decir que la probabilidades el resultado de dividir el número de ocurrencias de un evento determinado, entre el número total de eventos que componen el espacio muestral. La probabilidad tiene las siguientes propiedades:
59
JORGE ACUÑA ACUÑA
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5.6)
(6.6)
■
L a n z a m i e n t o
(1.5)
(2.5)
(3.5)
(4.5)
(5.5)
(6.5)
(1.4)
(2.4)
(3.4)
(4.4)
(5.4)
(6,4)
(1.3)
(2.3)
(3.3)
(4.3)
(5.3)
(6.3)
(1.2)
(2.2)
(3.2)
(4.2)
(5.2)
( 6.2)
(1.1)
(2.1)
(3.1)
(4.1)
(5.1)
( 6 .1 )
2
3 Primer Lanzamiento
FIGURA 2.3. Representación gráfica del espacio muestral
1. La probabilidad es un número o cantidad no negativa. P(E§) > 0 2. La probabilidad es un número o cantidad menor o igual a 1. P(E¡) S 1 3. La suma de las probabilidades correspondientes a cada uno de los eventos del espacio muestral es igual a 1. P(E,) + P(E2) + P(E3) + .........+ P(En) = 1 4. La probabilidad de un evento y su complemento suman 1. P(E¡) = 1 - P(E,)C La probabilidad considera dos leyes principales llamadas la ley de la suma y la ley del producto.
CONTROL DE CALIDAD
60
Ley de la suma La ley de la suma dice que si se tienen dos eventos simples E, y E2, la probabilidad de que ocurra uno u otro se representa por la suma de las probabilidades de ocu rre n cia de cada uno de esos eventos m enos la probabilidad de que ocurran ambos. Sea: P(E, U E2) = P(E,) + P(EZ) - P(Et n E2) Si los eventos ocurren en forma independiente entonces la probabilidad de ocurrencia de E, o de E2se calcula com o la suma de las probabilidades correspondientes a cada uno de ellos. Así: P(E1U E 2) = P(E1) + P(E2)
Ley del producto Si los resultados de un suceso aleatorio pueden tener a la vez los atributos E, y E2, la probabilidad de que ocurran ambos es igual a la probabilidad de que suceda E, multiplicada por la probabilidad de que suceda E2dado que sucedió E2. Sea: P(E, y E2) = PÍEj/E,)
/: dado que sucedió
Si los sucesos ocurren en forma independiente entonces la probabilidad de ocurrencia de am bos sucesos se ca lcu la com o la m ultiplicación de las probabilidades correspondientes a ambos eventos. Así: P(E, y E2) = P(E,) * P(E2) EJEMPLO 2.5 Una caja contiene ocho canutos de hilo azul, cuatro de hilo blanco y uno de hilo rojo. 1. Si se extrae un canuto al azar, hallar la probabilidad de que sea:
61
JORGE ACUÑA ACUÑA
a. azulo blanco b. blanco o rojo 2.
Si se extraen dos canutos, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea . azul y el segundo rojo? SOLUCION
1.
Sea:
E,:
evento en el que se extrae un canuto azul
E2:
evento en el que se extrae un canuto blanco
E„:
evento en el que se extrae un canuto rojo
n(E,): número de canutos de hilo azul n(E2): número de canutos de hilo blanco n(E3): número de canutos de hilo rojo Dado que n(E,) = 8, n(E2) = 4 y n(Ej) = 1 a. P (E ,o E 2) = P (E ,U E 2)
= P (E ,) + P (E 2) - P ( E 1n E 2) n(E,)
n (E2) +
- 0
n
n
8
4 +
13
- 0 13
= 12/13 Es decir, la probabilidad de que el canuto extraído sea azul o blanco es 12/13, sea 0,9. La probabilidad de que ocurran ambos eventos es cero por cuanto no hay hilos de color combinado.
62
CONTROL DE CALIDAD
b. P(E2o E ) = P(E2U E ) = P(E2) + P(E ) - P(E2n E3) 3
3
3
n(E2)
n(Eg)
=
+
0
n
n
1
4
=
+ 13
0 13
= 5/13 La probabilidad de que el canuto extraído sea rojo o blanco es 5/13, sea 0,38. 2.
Si se extraen dos canutos se pueden dar dos situaciones: a. Caso A. Con reposición, lo que significa que el canuto se retorna a la c a ja de spu és de la prim era e xtra cció n . E sto co n v ie rte am bas extracciones en eventos independientes. P(E, y E3) = P(E,) * P(E3) n(E,)
n(E3)
n
n
8
1
13
13
8 P(E,y E3) = -------- = 0,047 169
b. Caso B. Sin reposición, lo que significa que el canuto no se retoma a la caja después de la primera extracción.
*
JORGE ACUNA ACUNA
63
P(E, Y E3) = P(E,) * P(Eg/Et) n(E,)
________
n
n(E3) *
n
- 1
8 1 8 P(E,y E3) = --------- * ---------- + ----------= 0,051 13 12 156
La probabilidad de que al extraer dos canutos de la caja, el primero sea azul y el segundo sea rojo es 0,047 si se hace con reposición y 0,051 si se hace sin reposición. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Las distribuciones de probabilidad constituyen la base teórica para investigar fenómenos aleatorios cuyo comportamiento es anormal. Este estudio consiste en la búsqueda de un ajuste que permita efectuar el análisis acorde con lo expresado por la teoría de probabilidades. Las distribuciones de probabilidad pueden ser de variable aleatoria continua o de variable aleatoria discreta y su aplicación al control estadístico de la calidad dependerá de la clasificación efectuada sobre las características de calidad, de lo que se hablará en el siguiente capítulo. Una función matemática f(x) será una función de probabilidad si cumple con las siguientes dos condiciones: Si es de variable aleatoria discreta b 2. F(x) = I f ( x ) = 1
1. 0 < f(x )< 1
a
Si es de variable aleatoria continua
1
.
0
< f(x) >
1
2. F(x) = £ f(x) dx = 1
64
CONTROL DE CALIDAD
Se verán a c o n tin u a c ió n asp e cto s g e n e ra le s de las p rincipales distribuciones de probabilidad. D
is t r ib u c io n e s d e p r o b a b il id a d d e v a r ia b l e a l e a t o r ia c o n t in u a
Existen diversas distribuciones de probabilidad que comúnmente son usadas para analizar poblaciones que generan variables dimensionales. Estas dim ensiones son e stu d ia d a s a travé s del m uestreo y an aliza da s con distribuciones teóricas con el fin de inferir resultados muéstrales hacia la población. A continuación se verán algunas de las principales. 1.
Distribución normal
Es la distribución de probabilidad de variable aleatoria continua más importante, pues los datos distribuidos normalmente se originan en numerosos experimentos. La característica más sobresaliente de esta distribución es que gran cantidad de datos se agrupan alrededor del promedio, decreciendo su frecuencia conforme se alejan de él. La función densidad de esta distribución es: 1 f(X) = --------------e -l,X-M)2/2o2) o JaT
-oo < X > °o
Esta distribución posee entre otras las siguientes características: a.
El área total bajo la curva normal evaluada de -oo hasta +®° es igual a 1.
b.
La curva normal es simétrica: el área a la derecha y el área a la izquierda de la media aritmética son iguales.
c.
La curva que representa la distribución es la Campana de Gauss
d.
Esta distribución puede estandarizarse con el fin de hacer más fácil el cálculo de probabilidades. En esta estandarización se usa el estadístico X -| l
Z = --------a
JORGE ACUÑA ACUÑA
65
e.
La curva queda perfectam ente determinada cuando se conocen los parámetros p y a.
f.
Las técnicas usadas en el cálculo de probabilidades a partir de curvas unimodales, pueden ser usadas en otras curvas aunque éstas no sean . normales.
g.
La distribución muestral obtenida a partir de una población cualquiera se distribuye normalmente.
Debido a que cada valor de p y de o originan una forma de distribución distinta, es necesario acudir a la estandarización con el fin de convertir la curva normal en una curva normal estándar. Esta estandarización permite calcular probabilidades usando tablas en lugar de integrar la función. La curva normal estandarizada se caracteriza por tener p=0 y a2= 1 y se obtiene a través de la transformación de la variable x en el estadístico x -p Z = --------- . Así, la distribución se convierte en: a 1
f (Z) =
e *a
-o» < Z > +oo
\| t? 2
Con esta curva normal estandarizada, lo que se hace es encontrar el valor de la variab le transform ada Z y con ese número acu dir a la Tabla I en APENDICE I, donde se encontrará el valor de N(Z) que corresponde a la probabilidad acumulada buscada. EJEMPLO 2.6 Una fábrica especifica que el peso de los tarros de frutas que produce debe obedecer a un peso medio de 2,00 kg con una desviación estándar de 0,05 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado tarro pese entre 1,90 y 2,06 kg, sabiendo que esta variable se distribuye normalmente?
CONTROL DE CALIDAD
66
SOLUCION Representando esta probabilidad según la Figura 2.4 se tiene que: /2 ,0 6 - 2 ,0 0 \ A = P(1,9
FIGURA 2.4. Curva normal del Ejemplo 2.6
JORGE ACUÑA ACUÑA
67
los promedios de m muestras será aproximadamente normal, con media p igual a p y desviación muestral oxigual a o/'lñT El término OjSe conoce como error estándar y se calcula así: Oj
o >lN-n --------------- --■■■ \lñ 'ÍÑM
o Oj = ---------NÍñ
Si la población es finita y su tamaño se denota como N.
Si la población es infinita
En control estadístico de la calidad este teorema es muy aplicado cuando se extraen muestras sucesivas de los procesos y se desea conocer el compor tamiento de los mismos a través de los promedios. En el Capítulo IV se ana lizarán estas aplicaciones. EJEMPLO 2.7 Un proceso de llenado de bolsas de cacao en polvo origina un peso medio de 50,10 g y una desviación estándar de 5,25 g. Si se toma una muestra de 40 bolsas, ¿cuál es la probabilidad de que su media se encuentre entre 48,10 y 50,90 g? SOLUCION De acuerdo con la Figura 2.5 se tiene: A = P(48,10 < x < 50,9)=N((50,90-50,10)/0,83)-N((48,10-50,10)/0,83) A = N(0,96) - N(-2,41) A = 0,83147 - 0,00798 Obtenidos de Tabla I en Apéndice I A = 0,82349
68
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 2.5. Curva norm al para e l Ejemplo 2.7
La probabilidad de que la media de peso de una muestra de 40 bolsas se encuentre entre 48,10 y 50,90 gramos es 0,82349. 2.
Distribución t-student
En muchas ocasiones no es posible obtener muestras grandes debido a razones de costo o a razones tecnológicas propias de los procesos, entonces es necesario utilizar una distribución de probabilidad para pequeñas muestras que permita hacer estimaciones confiables. El tamaño de muestra que se consi dera como límite entre muestras grandes y pequeñas es 30. La distribución usada en este caso se conoce com o distribu ción t-student y su función densidad es: Yo f(x) = --------------------+ (t /v))‘v+,V ( 1
2
2
donde: Y0= constante que depende del tamaño de la muestra v = número de grados de libertad La distribución t-student permite definir la distribución muestral de t, con el estadístico t definido por:
JORGE ACUÑA ACUÑA
t=
69
X“ ^ \Jr— n < s - 1
La forma que tiene la curva de esta distribución es parecida a la curva normal, siendo más achatada conforme el tamaño de la muestra tiende a cero. EJEM PLO 2.8 Se fabrican productos que deben tener un peso medio comprendido entre 10,049 y 10,095 g. Se toma una muestra de 15 unidades, originándose un promedio de 10,072 g y una desviación estándar de 0,100 g. ¿Cuál es la probabilidad de cumplir con el peso fijado? SOLUCION Si se usa la Figura 2.6 para el cálculo se tiene: P(10,049 < x <10,095) = T(( 10,095-10,072)/(0,100/ \pÍ4)) -T((10,049-10,072)/(0,100/ \fÍ4)) = T (0,861) - T (-0,861) = 0,80 = 0,60 0
, 2
0
FIGURA 2.6. Cálculo de probabilidades
70
CONTROL DE CALIDAD
La probabilidad de cumplir con el peso fijado es 0,60. Los valores de T(0,861) y T(-0,861) sirven para calcular las probabilidades usando la Tabla II del Apéndice I. 3.
Distribución Chi-cuadrado
Así como existen distribuciones para el promedio se tiene una distribución para la variabilidad, específicamente para la varianza. Esta distribución es la distribución chi-cuadrado, representada por ae2. Tiene la siguiente función densidad: f(x) = Y (ae2)1/2
' 1 /2
ae
2
donde: Y0: constante que depende del tamaño de la muestra v : número de grados de libertad y equivale a n
- 1
Esta distribución tiene la forma que se presenta en la Figura 2.7. El estadístico ae2se calcula como:
FIGURA 2.7. Curvas Chi-cuadrado según grados de libertad
71
JORGE ACUÑA ACUÑA
n*s ( X, - X + ( Xg - X + .... + ( xn- X ae2 = ---------- ----------------------------------------------------o o 2
) 2
2
) 2
) 2
2
EJEM PLO 2.9 Una máquina llenadora ha ejecutado su operación con una varianza de 0,83 g2. Si se toma una muestra de 15 unidades, ¿cuál es la probabilidad de tener una varianza: a. Superior a 1,31 g2? b. Inferior a 0,56 g2? SOLUCION Utilizando la Figura 2.8 se obtienen los siguientes resultados: n*s 15(1,31) ae = ---------- =-------------- = 2 3 ,7 o 0,83 2
a.
2
2
n *s 15(0,56) b. ae2= ----------- = ------------- =10,1 o 0,83 2
2
FIGURA 2.8. Curvas Chi-cuadrado para e l Ejemplo 2.9
CONTROL DE CALIDAD
72
Los valores de la probabilidad se encuentran en la Tabla III del Apéndice I. En conclusión, la probabilidad de obtener una varianza superior a 1,31 g es 0,05 y la de obtener una varianza inferior a 0,56 g2es 0,25. 2
4.
Distribución F-Fisher
En ocasiones es de im portancia estudiar la relación de varianzas pertenecientes a dos poblaciones distintas. Para analizar esta situación se usa la distribución F- Fisher que es una distribución de probabilidad para la razón de varianzas. El estadístico por utilizar es:
F = --------s
o
, 2
es igual a o
si
a
, 2
no es igual a o
2 2
22
s, /o 2
si
,2
F = ---------
2 2
w
Esta distribución se origina al extraer muestras sucesivas de cada una de las poblaciones y al calcular el respectivo valor de F y de su probabilidad. EJEMPLO 2.10 En un proceso de corte de varillas para un ensamble especial, existen dos máquinas cortadoras tecnológicam ente parecidas aunque diferentes en antigüedad. Esta similitud hace pensar que las varianzas de corte generadas por ambas máquinas puedan ser comparadas. Si se toma una muestra de 16 elementos de cada máquina, calcular la probabilidad de que la razón de varianzas sea: a. Mayor a 1,43 b. Menor a 0,7
• 's
JORGE ACUÑA ACUÑA
73
SOLUCION Utilizando la Figura 2.9 y la Tabla IV del Apéndice I se puede calcular esta probabilidad. v, = nr 1 = 1 6 -1 =15 v = n 2-1 = 16-1 = 15 2
Como respuesta al problema se tiene que la probabilidad de que la razón de varianzas sea superior a 1,43 es 0,25 y de que sea inferior a 0,7 es también 0,25.
=1.43 a1=0,25
= 0 ’7
F v1y2.n2
F,5,15*2 =0.7 a2=0,25
FIGURA 2.9. Curvas Fpara e l Ejemplo 2.10
CONTROL DE CALIDAD
74
D
is t r ib u c io n e s d e p r o b a b il id a d d e v a r ia b l e a l e a t o r ia d is c r e t a
Cuando el estudio de poblaciones no se hace a través de mediciones sino a través del conteo o separación por atributos, las distribuciones teóricas que se usan para la inferencia son más generales y se basan en la calificación del pro ducto como bueno o como defectuoso. Algunas de las distribuciones más importantes se verán a continuación. 1.
Distribución binomial
En m uchas ocasiones no es posible o rentable con trola r procesos mediante variables, por lo que es necesario tomar decisiones con base en los atributos que caractericen a un producto como bueno o como malo. Esta calificación depende de si cumple con lo especificado por el cliente. Una de las distribuciones que se utiliza como medio de inferencia estadística es la distribución binomial. La distribución binomial es la distribución que se ajusta a experimentos que cumplen con las siguientes cuatro condiciones: a. El experimento consiste de n pruebas. b. Los resultados del experimento se enmarcan de forma que existe una probabilidad de éxito denotada por p y una probabilidad de fracaso denotada por q y que se calcula como q = 1-p. c. Las pruebas ejecutadas deben ser independientes. d. En cada prueba interesan x casos del total de casos. La función densidad de esta distribución es: n! b (x,n,p) = ---------------- px * qn-x x! (n-x) x
P (x < X) = B (X.n.p) = X b(xi,n,p) 1 * 0
JORGE ACUNA ACUÑA
75
donde: b(x,n,p): p ro b a b ilid a d de o b te n e r x ca so s, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p B(X,n,p): probabilidad de obtener menos de X casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p 1 • B(X,n,p): probabilidad de obtener más de X casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p n: número de pruebas ejecutadas en el experimento x: número de casos exactos deseados X: número de casos deseados ( implica
X ) p: probabilidad de éxito del experimento q: probabilidad de fracaso del experimento n-x: número de fracasos Las probabilidades pueden ser calculadas mediante la evaluación de la fórmula o utilizando la Tabla V del Apéndice I. La distribución binomial tiene un valor esperado (p) igual a n*p y varianza (o2) igual a n*p*q. EJEMPL0 2 . i l Un cliente establece que para aceptar un lote de producto que le envía el fabricante, éste debe cumplir con el contrato firmado. Este contrato establece que el lote se acepta si una muestra de unidades extraída de él, contiene dos o menos defectuosos. 2
0
Si el fabricante envía un lote 10% defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea rechazado? SOLUCION Primero que todo se debe analizar si se cumple con las cuatro condiciones fijadas para la distribución binomial.
74
D
CONTROL DE CALIDAD
is t r ib u c io n e s d e p r o b a b il id a d d e v a r ia b l e a l e a t o r ia d is c r e t a
Cuando el estudio de poblaciones no se hace a través de mediciones sino a través del conteo o separación por atributos, las distribuciones teóricas que se usan para la inferencia son más generales y se basan en la calificación del pro ducto como bueno o como defectuoso. Algunas de las distribuciones más importantes se verán a continuación. 1.
Distribución binomial
En muchas ocasiones no es posible o rentable con trola r procesos mediante variables, por lo que es necesario tomar decisiones con base en los atributos que caractericen a un producto como bueno o como malo. Esta calificación depende de si cumple con lo especificado por el cliente. Una de las distribuciones que se utiliza com o m edio de inferencia estadística es la distribución binomial. La distribución binomial es la distribución que se ajusta a experimentos que cumplen con las siguientes cuatro condiciones: a. El experimento consiste de n pruebas. b. Los resultados del experimento se enmarcan de forma que existe una probabilidad de éxito denotada por p y una probabilidad de fracaso denotada por q y que se calcula como q = 1-p. c. Las pruebas ejecutadas deben ser independientes. d. En cada prueba interesan x casos del total de casos. La función densidad de esta distribución es: n! b (x,n,p) = ---------------- px * q"-* x! (n-x) X
P (x < X) = B (X.n.p) = Z b( xjPn ,p ) i
=0
JORGE ACUÑA ACUÑA
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donde: b(x,n,p): p ro b a b ilid a d de o b te n e r x casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p B(X,n,p): probabilidad de obtener menos de X casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p 1 - B(X,n,p): probabilidad de obtener más de X casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p n: número de pruebas ejecutadas en el experimento x: número de casos exactos deseados X: número de casos deseados ( implica X ) p: probabilidad de éxito del experimento q: probabilidad de fracaso del experimento n-x: número de fracasos Las probabilidades pueden ser calculadas mediante la evaluación de la fórmula o utilizando la Tabla V del Apéndice I. La distribución binomial tiene un valor esperado (p) igual a n*p y varianza (o2) igual a n*p*q. EJEMPL0 2 .i l Un cliente establece que para aceptar un lote de producto que le envía el fabricante, éste debe cumplir con el contrato firmado. Este contrato establece que el lote se acepta si una muestra de unidades extraída de él, contiene dos o menos defectuosos. 2
0
Si el fabricante envía un lote 10% defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea rechazado? SOLUCION Primero que todo se debe analizar si se cumple con las cuatro condiciones fijadas para la distribución binomial.
76
CONTROL DE CALIDAD
1. n = 20
3. Hay independencia
2. p = 0,10
4. x < 2
Por leyes de probabilidad se tiene que la probabilidad de rechazo es igual al complemento de la probabilidad de aceptación. Sea: P(X > 2) = 1 - P (X < 2) 2
P(X < 2) = B(2,20,0,10) = X b(xi,n,p) i=0
P(X < 2) = b(0,20,0,10) + b(1,20,0,10) + b(2,20,0,10) 20! 20! 20! P(X < 2) = -------- 0,10o* 0,9020+ ---------- 0,10 *0,9019+ -----------0,102*0,9018 20! *0! 19! *1! 18! *2! 1
P(X<2) = 0,1216+0,27+0,2853 = 0,6769 Probabilidad de rechazo = P(X>2) = 1 - P(X<2) = 1-0,6769 = 0,3231 Si se utiliza la Tabla V del Apéndice I se tiene que: P(X<2) = B (2,20,0,10) = 0,6769 P(X>2) = 1 - P(X<2) = 1 - 0,6769 = 0,3231 Por lo tanto la respuesta es que si se envía un lote 10% defectuoso la probabilidad de que sea aceptado es 0,3231. 2.
Distribución de Poisson
Esta es otra distribución de variable discreta que puede ser utilizada como aproximación de la distribución binomial cuando se tienen muestras muy grandes y probabilidades de éxito muy pequeñas. La regla dice que la aproxi mación es mejor cuando el valor esperado (n*p) es menor que cinco. En control estadístico de la calidad se prefiere usar la distribución binomial para el control de defectuosos y la distribución de Poisson para el control de defectos.
JORGE ACUNA ACUÑA
77
La función densidad de esta distribución es: e 'i'f f(x) = p(x, ) = -----------x! 7
La función acumulada se expresa así: F(x) = P(X, y) = I p (x„ y) M> donde: P(*.Y): probabilidad de x éxitos en n pruebas P(X,y) : probabilidad de hasta X éxitos en n pruebas x : número de éxitos y : media de la distribución ( y= n *p ) •e : constante exponencial con valor 2,71828 EL valor esperado del promedio y la varianza de esta distribución es Y=n*p. Las probabilidades correspondientes a esta distribución pueden ser localizadas en la Tabla VI del Apéndice I. EJEMPLO 2.12 Una compañía farmacéutica afirma que existe una probabilidad de 0,005 de que un paciente que ingiere un nuevo medicamento, sufra una reacción secundaria. Si 2000 pacientes com pran este m edicam ento, ¿cuál es la probabilidad de que ocho sufran efectos secundarios? SOLUCION p = 0,005
n = 2000
x=
Utilizando la fórmula se tiene:
8
y = 2000 *0,005 = 10
CONTROL DE CALIDAD
78
108 p( , 8
1
0
)= e
= 0,1126
1 0
8! Utilizando la Tabla VI del Apéndice I. p (8,10)
= P (8,10) - P (7,10) = 0,333
-0 ,2 2 0 = 0,113
Por lo tanto, la probabilidad de que ocho de los 2000 pacientes sufran efectos secundarios al ingerir el medicamento es 0,113. Estim ación de intervalos En inferencia estadística, no es confiable hacer estimaciones puntuales al analizar los parám etros poblacionales. Ante ello, es necesario calcular intervalos en los cuales se espera que se encuentren esos parámetros, con un nivel de confianza ( -a) establecido. 1
Es así como basándose en las distribuciones de probabilidad antes vistas, se pueden estimar intervalos tanto para p como para o2. La estimación de un intervalo para p se construye con base en la distribución normal, cuando cr es conocida y con base en la distribución t-student cuando a es desconocida. Los límites de confianza para p, se calculan así: a LC = x ± ZOJc„ * --------i Nn
si o es conocida
s LC = x ± ta/2 * --------i----------sn-l
si a es desconocida
_
Los límites de confianza para a2, se calculan así: ns Llc = -------------2
or\2 1-o/2
®
ns LSC= ----2
oq2
/2
a
Llc= límite inferior de confianza LSC= límite superior de confianza
/)
JORGE ACUÑA ACUÑA
79
EJEM PLO 2.13 Se toman 30 varillas cortadas por una máquina cortadora. Si se tiene una longitud promedio de 5,35 cm, con una desviación típica de 0,85 cm a.
¿Cuáles son los límites de confianza para p, con 95% de confianza?
b.
¿Cuáles son los límites de confianza para o2, con 95% de confianza?
c.
Si se conociera que a es igual a 1,58 cm2, ¿cuál es la respuesta a la pregunta a? 2
SOLUCION a.
La Figura 2.10 representa el intervalo de confianza.
n = 30
x = 5,35cm
s = 0,85cm
(1-a) = 0,95
s LlC= x - t (i/2 _
s L S C = X +
\I n
a = 0,05
ta *
v[rKf
- 1
0,85
0,85
= 5,3 5-2 ,0 35
= 5,35 + 2,035 'Í2 9
= 5,02 cm
\Í29* = 5,67 cm
= t0025/2= 2,045 de Tabla II en Apéndice I
FIGURA 2.10. Limites de confianza para p (a desconocida)
80
CONTROL DE CALIDAD
Esto significa que se puede afirmar con 95% de confianza que el proceso de corte de varillas tiene un promedio de corte comprendido entre 5,02 cm y 5,67 cm. b.
s2=0,852= 0,7225 cm
2
La Figura 2.11 permite representar el intervalo de confianza. ns
30 (0,7225) 21,675 = ------------------ = -----------------=0,474 cm
2
L l= ^
0 .9 7 5
4
5
- 7
4
2
5.7
ns 30(0,7225) 21,675 LS = --------- = ---------------- = --------------= 1,35 cm 2
C
16
2
16
Los valores de chi-cuadrado están en la Tabla III del Apéndice I. Esto significa que se puede afirmar con 95% de confianza que el proceso de corte de varillas tiene una varianza de corte comprendida entre 0,474 cm2y 1,35 cm2. c.
Si o2= 1,58 cm entonces o = 1,257 cm. 2
El intervalo de confianza se puede observar en la Figura 2.12.
0 ,0 2 5
FIGURA 2.11. Límites de confianza para r f
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0
81
,
Llc
LIc
FIGURA 2.12. Limites de confianza para p (o conocida)
a
Llc = x -
1,257 = 5,35 -1 ,9 6 -------------= 4,9 cm \[rT >Í30
a LSc= x +
1,257 = 5,35 +1,96
nTTT
= 5,8 cm >130
Los valores de Z se obtuvieron de la Tabla I del Apéndice. Esto significa que se puede afirmar con 95% de confianza que el proceso de corte de varillas tiene un promedio de corte comprendido entre 4,9 cm y 5,8 cm.
PRUEBAS DE HIPOTESIS El desarrollo de experimentos en los cuales se plantean hipótesis con el fin de probarlas es una práctica muy útil en control estadístico de la calidad. A través de este pro ce d im ie n to se pueden ha cer inferencias acerca del comportamiento de un proceso con el fin de ejecutar acciones que prevengan problemas de calidad. Una prueba de hipótesis es un procedimiento mediante el cual, sujeto a un error tipo I denotado por a, se contrasta una hipótesis planteada con el fin de probar su veracidad o su falsedad.
82
CONTROL DE CALIDAD
Existen dos tipos de errores que deben ser controlados al probar una hipótesis. Estos errores son el e rro r tip o I (a) y el error tip o II ( ). La definición de estos errores es la siguiente: 6
Error tipo I (a) es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo esta verdadera. Error tipo II (3) es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula siendo esta falsa. El procedimiento para plantear y probar una hipótesis es el siguiente: a.
Plantear la hipótesis. Esta hipótesis se llama comúnmente hipótesis nula y es denotada por H0. Al establecer esta hipótesis se genera otra llamada hipótesis alternativa o alterna denotada por Ha.
b. Determinar si la prueba debe ser unilateral o bilateral. La decisión se basará en lo que se desee probar y en los resultados que se deseen obtener. c. Fijar el nivel de significación (a) o error tipo I, generalmente tomado como 1%, 5% ó 10%, d e p e n d ie n d o de la co n fia n za q u e se desee de la estimación. d. Definir el estadístico que se va a usar de acuerdo con la distribución de probabilidad que le corresponde a la variable en estudio y según lo que se desee probar (una media, dos medias, una varianza, dos varianzas, una proporción o dos proporciones). e. Definir las áreas donde se cumplirá cada una de las hipótesis. Esto se hace con base en lo fijado en b. y buscando en tablas el estadístico teórico correspondiente al nivel de significación a. f.
Calcular el valor del estadístico seleccionado en d, usando los valores obtenidos en la experimentación y que se basaron en el muestreo.
g. Comparar el estadístico obtenido en f con el estadístico teórico localizado en e. El resultado permitirá conocer la decisión de aceptación o rechazo de la hipótesis planteada. h.
Obtener las conclusiones del experimento efectuado. Un valor importante de calcular aquí es el error tipo II.
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83
Tal y como se expresó en el punto d es necesario definir la distribución de probabilidad y el estadístico que se va a usar. Las distribuciones y estadísticos más comunes de acuerdo con la hipótesis por probar son: 1.
De una media 1.1 Distribución norm al s i o es conocida x -H Z = --------a/ \fñ
EJEM PLO 2.14 En un proceso de fabricación de piezas de precisión se quiere que el valor nominal del diámetro de una pieza sea 20,0 mm. Se conoce que la desviación estándar de esta característica es 3,0 mm. Se toma una muestra de 25 piezas obteniéndose un promedio de diámetro de 19,2 mm. ¿Se ha cumplido con lo requerido? Use a=5%.
SOLUCION Se seguirá el procedimiento planteado. a. Planteo de la hipótesis H0: p = 20,0 Ha: |i = 20,0 b.
La hipótesis es bilateral puesto que no se cumple con lo requerido si el promedio de la muestra es mayor o menor que lo especificado.
c.
El nivel de significación es dado, a= 5%.
d. El estadístico por usar es el siguiente:
84
CONTROL DE CALIDAD
x -U
z=-----o/ e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura 2.13. f.
Cálculo del estadístico citado en d. X -n 1 9 ,2 -2 0 ,0 Z = --------- = ------------------- = -1 ,3 3 o/ 'íñ 3,0/^25
g.
El valor de Z calculado (-1,33) se encuentra en el área de cumplimiento de la hipótesis nula. h.
En conclusión, se puede afirmar, con a=5%, que estadísticamente se cumple con el valor nominal requerido. 1.2 Distribución t-student s i a es desconocida x -n t = --------s/ \íñ
FIGURA 2.13. Areas de cumplimiento de la hipótesis
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85
E JE M P LO 2.15 Si en el Ejemplo 2.14 no se conoce la desviación estándar pero a partir d e la muestra se calcula una desviación típica de 2,1 mm ¿Qué conclusiones s e obtienen? Use a=5%. SOLUCION Se seguirá el procedimiento planteado. a. Planteo de la hipótesis H0: P =
2
0
, 0
Ha: p = 20,0 b. La hipótesis es bilateral puesto que no se cumple con lo requerido si el promedio de la muestra es mayor o menor que lo especificado. c. El nivel de significación es dado, a = 5%. d. El estadístico por usar es el siguiente:
x-|i t = -----------s / ^n -1
v=24
FIGURA 2.14.Areas de cumplimiento de la hipótesis
CONTROL DE CALIDAD
86
e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura 2.14. f. Cálculo del estadístico citado en d. x -p 1 9 ,2 -2 0 ,0 t = ------------------ = -------------------- = -1,87 s/ \fñ-T , / \[24~ 2
1
g. El valor de t calculado (-1,87) se encuentra en el área de cumplimiento de la hipótesis nula. h. En conclusión, se puede afirmar, con a = 5%, que estadísticamente se cumple con el valor nominal requerido. 2.
De proporciones 2.1 De una proporción. Se usa la aproximación binomial a la distribución normal. x -n p Z = -----------Vnpq
E JEM P LO 2.16 Un proveedor envía lotes de producto que según sus registros son 5% defectuosos. Un cliente toma una muestra de 200 unidades y encuentra 16 unidades defectuosas. ¿Es cierto lo que muestran los registros del fabricante, con cc=5%? SOLUCION Se seguirá el procedimiento planteado, a. Planteo de la hipótesis
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H0: p = 0,05 Ha: p > 0,05 b. La hipótesis es unilateral puesto que lo problemático en cuanto a calidad es que el porcentaje de defectuosos supere lo especificado. c. El nivel de significación es dado, a= 5%. d. El estadístico por usar es el siguiente: x -n p Z= \|npq
e.
Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura 2.15. f. Cálculo del estadístico citado en d. x -n p 16-200(0,05) Z= — = =1-95 \| npq \|200*0,05*0,95
g.
El valor de Z calculado (1,95) se encuentra fuera del área de cum-plimiento de la hipótesis nula.
1,645 FIGURA 2.15. Areas de cumplimiento de la hipótesis
CONTROL DE CALIDAD
83
h. En conclusión, no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula con a = 5%. Por lo tanto, estadísticamente no es cierto lo que anotan los registros del fabricante. 2.2 De dos proporciones. Se utiliza la misma aproximación anterior.
Z=
x,
x.
n,
n
2
\l P’q’[(1/n.)+(1/n2)] x, + x p- = -------------n, + n 2
q - 1 - P’
2
EJEMPLO 2.17 Para el mismo producto del Ejemplo 2.16, existe otro proveedor. Una muestra de unidades extraídas de un lote enviado por él, tenía unidades defectuosas. ¿Se puede decir con 95% de confianza que el proveedor del Ejemplo 2.16 da peor calidad que el de este ejemplo. 2
0
0
1
2
SOLUCION Se seguirá el procedimiento planteado, a.
Planteo de la hipótesis
Sea: p la fracción defectuosa suministrada por el proveedor del Ejemplo 2.16 p2la fracción defectuosa suministrada por el proveedor del Ejemplo 2.17 H0: P, = P
2
Ha; P,>P
2
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89
b. La hipótesis es unilateral puesto que se quiere probar si la cantidad de defectuosos enviada por un proveedor es significativamente mayor que la enviada por el otro. c. El nivel de significación es dado, a= 5%. d. El estadístico por usar es el siguiente: X,
Xj,
n,
n
2
\l P’q’tí 1/n,)+(1 /n2)]
X 1+ X 2
P’ = -----------n, + n 2
q' = - p’ 1
e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura 2.16.
FIGURA 2.16. Areas de cumplimiento de la hipótesis
92
CONTROL DE CALIDAD
g. El valor de as calculado (23,2) se encuentra en el área de cumplimiento de la hipótesis nula. 2
h. En conclusión, se puede afirmar, con a = 5%, que estadísticamente se cumple con la varianza establecida. 3.2 Caso de dos varianzas Se utiliza la distribución F-Fisher. 3.2.1 o es igual a o , 2
2 2
s F = --------, 2
S
22
3.2.2 o ,2no es igual a o
2 2
S, /Oi F = ------------2
2
s ,2/ o 22
EJEM PLO 2.19 En un proceso de corte de bolsas plásticas se usan dos máquinas. De la máquina A se toma una muestra de 30 unidades que genera una varianza en el corte de 3,3 mm y de la máquina B se toma una muestra de 25 unidades que genera una varianza de 4,1 mm2. ¿Se puede afirmar, con o=5%, que una máquina es mejor que la otra? 2
SOLUCION Se seguirá el procedimiento planteado, a. Planteo de la hipótesis Sea a2Ala varianza producida por la máquina A ct2bla
varianza producida por la máquina B
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93
Ho: ° a= ° 2b 2
H . : < j 2 a = ° 2b
b. La hipótesis es bilateral puesto que se desea probar la existencia o no de diferencias entre las varianzas de ambas máquinas. c. El nivel de significación es dado, a = 5%. d. El estadístico por usar es el siguiente:
e. La Figura 2.18 muestra las áreas de cumplimiento de hipótesis. f.
Cálculo del estadístico citado en d. s 3,3 F = -----------= ---------- = 0,805 , 2
S22
g.
4,1
El valor de F calculado (0,805) se encuentra en el área de cumplimiento de la hipótesis nula. h. En conclusión, se puede afirmar, con a=5%, que no existe ninguna diferencia de variabilidad entre ambas máquinas.
94
4.
CONTROL DE CALIDAD
De dos medias
En este tipo de hipótesis se tienen dos poblaciones y se desean comparar los promedios generados después de haber extraído una muestra de cada una de las poblaciones. Esto se puede representar según la Figura 2.19. POBLACION
POBLACION
1
2
FIGURA 2.19. Representación gráfica de hipótesis de dos medias
4.1 Caso de o conocida y muestras mayores que 30 4.1.1 a ,2= o22= o x,
- x2-8
Z = -----——— — — — o \| ( /n,)+( /n2) 1
1
5: diferencia deseada entre medias, generalmente debida a la naturaleza tecnológica de los procesos, de los cuales se extraen las muestras 4.1.2 o no es igual a o , 2
x
2 2
, - x2- 8
Z = —— — \ | (o, /n )+(a /n2) 2
1
2 2
EJEM PLO 2.20 Las m áquinas a que se refiere el Ejemplo 2.19 cortan las bolsas con promedios de longitud de 16,1 m m y 14,3mm. La varianza es conocida y es 4,0
» "N • 's
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95
mm2. Se dice que existe diferencia entre los promedios de ambas máquinas si la diferencia es mayor a 0,12 mm. ¿Existe diferencia entre la longitud de bolsas fabricadas por ambas máquinas? Use a=5%. SOLUCION Se seguirá el procedimiento planteado. a. Planteo de la hipótesis Sea pAel promedio de longitud generado por la máquina Ay Sea pBel promedio de longitud generado por la máquina B Ho" Ma ® H a : MA = M B
b. La hipótesis es bilateral puesto que lo que se desea probar es si ambos promedios son ¡guales o diferentes. c. El nivel de significación es dado, a = 5%. d. El estadístico por usar es el siguiente: x,
Z=
-
x 2-
5
■ o \ |( /n,)+( /n2) 1
1
e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura 2 .20 . f. Cálculo del estadístico citado en d. x,
Z=
- x2 - 5
1 6 ,1 -1 4 ,3 -0 ,1 2
= ------------------------------=3,1 o\l(1/n,)+(1/n2) 2 \|(1/30)+(1/25)
5= 0 ,12
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 2.20. Areas de cumplimiento de la hipótesis
g. El valor de Z calculado (3,1) se encuentra fuera del área de cumpli miento de la hipótesis nula. h. En conclusión, se puede afirmar, con a = 5%, que estadísticamente existe diferencia entre la longitud de las bolsas sum inistradas por ambas máquinas. 4.2Caso de o desconocida. En este caso se requiere ejecutar antes la prueba F para varianzas. 4.2.1 o no es igual a cj , 2
x
2 2
, - x 2- 8
t= \J ( s */n j+ (s22/n2)
(s ^ W s ^ /n / v = [-------------------------------------------------{[(s, /n,)2/(n )]+[(s /n ) /(n + )]} 2
4.2.2
+
1
2 2
2
o ^ e s ig u a la a /y n(>30
2
2
1
]
-
2
JORGE ACUÑA ACUÑA
x,
97
- x2- 8
t= \| (s */n,)+(s */n2) 1
2
v = n, + n
2 -
2
4.2.3 a,2es¡gu alaa22ynj< 30 x,
- x 2- 6
t = ---------------------------SpV(1/n,)+(1/n2) SP=\| [(n
)s, +(n
, - 1
v = n, + n
2 -
2
2- 1
)s ]/(n,+n - ) 2 2
2
2
2
EJEMPLO 2.21 Una inspección de calidad efectuada sobre dos marcas de baterías para linterna, reveló que una muestra aleatoria de 61 unidades de la marca A generó un promedio de vida útil de 36,5 horas con una desviación estándar de 1 horas, mientras que otra muestra aleatoria de 31 unidades de la marca B generó un promedio de 36,8 horas con una desviación estándar de 1,5 horas. , 8
Con un nivel de significación del 5% se desea saber si hay diferencia significativa entre la vida útil de ambas marcas. SOLUCION Para probar si hay diferencia significativa entre los promedios se debe comprobar primero la diferencia entre las varianzas, para así seleccionar el estadístico adecuado. 1. Hipótesis de varianzas Siguiendo los pasos de una prueba de hipótesis se tiene:
96
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 2.20. Areas de cumplimiento de la hipótesis
g. El valor de Z calculado (3,1) se encuentra fuera del área de cumpli miento de la hipótesis nula. h. En conclusión, se puede afirmar, con a = 5%, que estadísticamente existe diferencia entre la longitud de las bolsas sum inistradas por ambas máquinas. 4.2Caso de o desconocida. En este caso se requiere ejecutar antes la prueba F para varianzas. 4.2.1 o no es igual a o , 2
x , - x 2- S t= \J (s /n,)+(s /n,) 2
2
(s, /n,)+(s /n 2
2 2
2 ) 2
v=[
] {[(s /n ) /(n + )]+[(s /n ) /(n + )]} 12
4.2.2
1
2
1
1
2 2
2
o,2es igual a o,2y n(>30
2
2
1
-
2
JORGE ACUÑA ACUÑA
97
x, ~ x2- 5 t = ---------------------------\| (s, /n,)+(s 7n2) 2
v = n, + n
2 -
2
2
4.2.3 a /'e s ig u a la a /y n ^ S O x 1-
x2-
8
t = ---------------------------SpV(1/n,)+(1/n2) Sp=\| [(nl-1 )s) +(n -1)s y(n +n -2 ) 2
v = n, + n
2 -
2
2 2
1
2
2
E JEM PLO 2.21 Una inspección de calidad efectuada sobre dos marcas de baterías para linterna, reveló que una muestra aleatoria de 61 unidades de la marca A generó un promedio de vida útil de 36,5 horas con una desviación estándar de 1 horas, mientras que otra muestra aleatoria de 31 unidades de la marca B generó un promedio de 36,8 horas con una desviación estándar de 1,5 horas. , 8
Con un nivel de significación del 5% se desea saber si hay diferencia significativa entre la vida útil de ambas marcas. SOLUCION Para probar si hay diferencia significativa entre los promedios se debe comprobar primero la diferencia entre las varianzas, para así seleccionar el estadístico adecuado. 1. Hipótesis de varianzas Siguiendo los pasos de una prueba de hipótesis se tiene:
98
CONTROL DE CAUDAD
a. Planteo de la hipótesis
b. Como la hipótesis alternativa es de desigualdad, entonces es bilateral. Esto significa que puede darse una relación mayor o menor. c. El nivel de significancia es a= 5%. d. El estadístico por usares Fc= S,z/S22(distribución F-Fisher), pues lo que se desea es medir la relación de varianzas. e. La Figura 2.21 muestra las áreas de la hipótesis que se va a probar. vi = n 1 - 1 = 6 1 - 1 = 6 0 v2 = n 2 -1 =31 - 1 = 30 De la Tabla IV del Apéndice I se tiene: F60,30.0.025 = 0,551 F60.30.0975 = 1,440 Ha
’
(
F V I , V 2, 0 (/ 2
Fvif V 2,
(l -0 ( / 2 )
FIGURA 2.21. Areas de cumplimiento de la hipótesis
JORGE ACUNA ACUNA
f.
Fc= S, /S 2
2 2
99
= 1,8 /1,5 = 1,44 2
2
g. Este valor calculado de Fc cae en el área donde se cumple H0, por lo tanto se acepta Ho. h. Se concluye que ambas varianzas, al 5% de significancia, son iguales. Se procede entonces a hacer la hipótesis de promedios. Siguiendo los pasos de prueba de hipótesis se tiene: a. Planteo de la hipótesis H0: ^1+^2 H :p , + p 8
2
b. La hipótesis es bilateral al igual que en la hipótesis anterior. c. El nivel de significación es del 5%. d. Según la hipótesis anterior las varianzas son desconocidas pero igua* les, además, los» iamaños de muestra son mayores que 30. Por lo tanto el estadístico por usar es: t=—= = = \ | (s, /n,) + (s z/n2) 2
2
e. Las áreas de cumplimiento y rechazo de la hipótesis se observan en la Figura 2.22. v = n +n 1
2
-
2
v = 61 +31 - 2 v = 90 De la tabla II del Apéndice I se obtienen los valores: *90.0.025 = ~^
f.
*90.0.975 = ^
El estadístico calculado es:
100
CONTROL DE CALIDAD
Ho
FIGURA 2.22. Areas de cumplimiento de la hipótesis
36,5 - 3 6 ,8 -0 t= \|(1 ,8 2/61) + 1,52/31)
-0 ,3 t = ----------= -0,845 0,355
En este caso (p, - p2) = 0 pues es de suponer que tratándose de un mismo producto las medias poblacionales son iguales. g. El valor de t calculado cae dentro del área donde se cumple Ho, por lo tanto, no hay evidencia estadística, con a = 5%, para concluir que ambas medias son diferentes. BO NDAD D E AJUSTE Una de las bases fundamentales del control estadístico de la calidad es la inferencia estadística. Por ello, la determ inación del tipo de distribución correspondiente a un conjunto de datos provenientes del estudio es absoluta mente necesaria. La prueba de bondad de ajuste permite probar el ajuste de los resultados de un experimento a una distribución de probabilidad teórica sujeto a un error a.
I
JORGE ACUÑA ACUÑA
101
El método en cuestión se basa en la comparación de las frecuencias ab solutas observadas y las frecuencias absolutas esperadas, calculadas a partir de la distribución teórica en análisis. La prueba de bondad de ajuste se hace a través de una prueba de hipó tesis que se plantea de la siguiente manera: H :f(x ) = |_____ | 0
H .:f(x) = l_____ | El símbolo |_____| representa a la distribución teórica que se va a probar. Así por ejemplo, si se desea probar el ajuste de un conjunto de datos experi mentales a una distribución normal, entonces la hipótesis se plantea así: 1 Ho: f(x) = --------------e-«x->1»2/2a2> o \| rc 2
1 H : f(x) = --------------e-u»-vr2n«2) ONÍ27 Si se trata de un ajuste para una distribución de Poisson, la hipótesis se plantea así: e"Ty* Ho: f(x) = p (x, ) = -----------x! 7
e-Yy* Ha: f(x) = p (x, y) = -----------x! Para la prueba de la hipótesis se usa el estadístico chi-cuadrado. Este se calcula así: a. Datos discretos n aB2c = Z (n i- e j)2/ ej i = 1
102
CONTROL DE CALIDAD
b. Datos agrupados nc ae2c = X (n k- e k) / e k 2
k=1
donde: a: frecuencia absoluta de datos discretos e¡: frecuencia esperada de la distribución (por requisitos estadísti cos, ninguna de estas frecuencias debe ser menor que 5. Si ocurriese se deben agrupar x^s o clases). n: número de datos discretos nc: número de clases La frecuencia esperada se calcula multiplicando la respectiva probabilidad asociada con el dato o la clase (p,) por el tamaño de la muestra (n). Los grados de libertad (v) usados para la búsqueda del estadístico teórico ee2„( -a).son: 1
v= k-m si se trata de datos discretos (k es el número de variaciones de la variable x) y - 1
v= nc-m
- 1
si son datos agrupados.
El valor m se refiere al número de parámetros que son necesarios de estimar para calcular la frecuencia esperada. La aceptación de Ho se da cuando el ae2c es menor que ce2(1_0). en cuyo caso se dice que el conjunto de datos se distribuye según la distribución plan teada, con ( -
EJEMPLO 2.22 Al fabricar una lámina de vidrio, se inspeccionan muestras a intervalos de tiempo regulares. En 250 muestras tomadas al azar se han encontrado imper fecciones que varían de 0 a 10 con diversas frecuencias. El Cuadro 2.4 muestra las frecuencias observadas.
I
JORGE ACUÑA ACUÑA
,0 3
Se desea saber si esta variable aleatoria se distribuye por Poisson con
S O L U C IO N
La hipótesis por probar es la siguiente: e -T
y
H0: f(x) = p (x, y) = -------------x!
con y=3
e-TY* Ha: f(x) = p (x, y) = ---------------x!
con y=3
El valor de y se calcula así: k In . * x , número total de defectos i= Y = --------------------------------------- --------------número de muestras n 1
k: número de variaciones de las imperfecciones 8*0 + 40*1 + 6 2 * 2 + ................+ 1*10 Y = ------------------------------------------------250 Y= 740/250 = 2,96
3,0
Como muestra de cálculo se presenta la frecuencia esperada de x=0 y x= . El Cuadro 2.4 presenta la totalidad de los cálculos. 6
Para x,= 0 3o p, = e ------- =0,0498 0! 3
104
CONTROL DE CALI DAD
CUADRO 2.4. Frecuencias observadas y esperadas
Número de imperfecciones (x.)
Frecuencia observada (n.)
0
8
3 4 5
40 62 54 43 27
6
1 0
1
2
7
3—
8
2
9
0
6
1
1 0
Probabilidad Poisson (y=3) (pt)
Frecuencia esperada (e.)
0,0498 0,1494 0,2240 0,2240 0,1680 0,1008 0,0504 0,0216 0,0081 0,0027 0,0008
12,5 37,4 56,0 56,0 42,0 25,2 1 2 , 6
5,4“ 2 , 0
0,7 0
e, = 0,0498 *250 =12,45 Para x
7 =
6
3 p =e 7
6
= 0,0504
3
6! e7= 0,0504 *2 5 0 =12,60 —12,5 (40 - 37,4 (6 -8 ,3 ae2c = ----------------+ ------------------- + ................ + --------------12,5 37,4 8,3 ( 8
) 2
) 2
as2=3,84 El número de grados de libertad es: v = k-m- = 1
m=
1
8
1 - 1
=
6
puesto que se estima y
) 2
, 2
_
JORGE ACUÑA ACUÑA
105
La Figura 2.23 muestra el valor de chi-cuadrado teórico.
FIGURA 2.23. Representación de las áreas de hipótesis
Como ae2c< ae260g5, entonces se acepta la hipótesis nula y se puede afirmar con a = 5% que la variable aleatoria se distribuye mediante Poisson con media igual a 3 imperfecciones.
EJE M P LO 2.23 Una muestra de 100 unidades tomadas de una máquina llenadora de bolsas de cacao en polvo, originó la distribución de frecuencias de peso (gramos) que se presenta en el Cuadro 2.5. ¿Se puede afirmar, con a=5%, que la variable aleatoria peso se distribuye según la distribución normal?
SOLUCION El Cuadro 2.5 presenta los cálculos necesarios para probar la hipótesis de normalidad. La hipótesis por probar es:
106
CONTROL DE CALI DAD
CUADRO 2.5. Frecuencias observadas y esperadas
L,
L.
— 75,55 81,85 88,15 94,45 100,75 107,05 113,35
75,55 81,85 88,15 94,45 100,75 107,05 113,35 +e°
n*
0_l r
5 15 35 25 12 8 0_
5
20
72,4 78,7 85,0 91,3 97,6 103,9 110,2 116,5
TOTALES:
d
nk*d
n k*d2
P.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 -10 -15 0 25 24 24 0
0 20 15 0 25 48 72 0
0,0087 0,0483 0,1607 0,2903 0,2830 0,1644 0,03666 0,0080
48
180
ek 0,87 — 5,7 4,83 16,07 29,03 28,30 16,44 — 20,9 3,66 0,80__
1 H :f(X )= ---------------e-K*-n) / a ] O ' ' ,----2 2
2
a \Í2rc 1
Ha:f(x) = -----------a \J27t
e-f2/2°21
Con el fin de proceder al cálculo de las frecuencias esperadas se necesita estimar la media (p’) y la desviación estándar (o'). p’ = 91,3 + [(48/100) * 6,3] = 94,324 gramos a’ = 6,3 V (180/100) - (48/100)2= 7,893 gramos La distribución teórica se presenta en la Figura 2.24. Los cálculos corres pondientes son los siguientes: 75,55-94,324 Z=---------------------- = -2 ,3 8 7,893
A, = 0,0087
I
JORGE ACUÑA ACUÑA
107
Límites de clase FIGURA 2.24. Curva normalpara cálculo de probabilidades
81,85 -9 4 ,3 2 4 Z=
= -1 ,5 8
A2= 0,057 - 0,0087 A2= 0,0483
= -0,78
A3= 0,2 1 7 7 -0 ,0 5 7 A =0,1607
= 0,016
A = 0 ,5 0 8 -0 ,2 1 7 7 A =0,2903
= 0,81
As= 0,791 -0 ,5 0 8 A5= 0,283
= 1,7
A6= 0,9544-0,791 A =0,1644
7,,893 88,15 - 94,324 Z= 7, 893
z=
94,45 - 94,324 7, 893
100,75 - 94,324
z=
7,893 107,75 -9 4 ,3 2 4
z=
7.893 113,35 - 94,324
z=
= 2,41 7,893
A?= 0,992 - 0,9544 A7= 0,0366 A„= 1 -0 ,9 9 2 = 0,008 o
CONTROL DE CALIDAD
108
El valor del estadístico chi-cuadrado calculado es el siguiente: (5 - 5,7
) 2
(1 5 -1 6.07)2
(20 - 20,9
) 2
+.... + 5.7
16,07
20,9
Como m=2, pues se estima la media y la desviación estándar para el cálculo de las frecuencias esperadas, entonces: v = 5-2-1 = 2 La Figura 2.25 muestra las áreas de la hipótesis. Como as2c< 5,99, entonces se acepta Hoy se puede afirmar con 5% de nivel de significancia que la variable peso se distribuye normalmente con media igual a 94,324 gramos y desviación estándar igual a 7,893 gramos. ANALISIS DE VARIANZA El análisis de varianza es una de las técnicas del diseño de experimentos de mayor aplicación, pues ofrece resultados muy útiles para la toma de deci siones. Consiste en una prueba de hipótesis para la diferencia de más de dos
F(x )
*2 ,0,95 -
5 ,9 9
FIGURA 2.25. Curva chi-cuadrado, para la hipótesis de bondad de ajuste
JORGE ACUÑA ACUÑA
109
medias. En esta prueba se tienen k-parámetros poblacionales distribuidos normalmente, cuya variación se estudia dividiéndola en componentes. La hipótesis general que se va a probar se plantea así: Ho: H i= m =
= m*
Ha : Al menos dos de las medias son diferentes. Si la hipótesis nula es rechazada, se pueden hacer comparaciones individuales a través del Método de Tukey, el que veremos más adelante. En el análisis de varianza se presume que cualquier variación existente entre los promedios de una o más variables categorizadas se debe a: 1.
Una variación entre las observaciones Y „dentro de cada categoría (variación inter) o
2.
Una variación entre las categorías debido a sus características propias (variación extra).
La variación inter se debe al azar mientras que la variación extra se debe a causas sistemáticas. Para tratar lo anterior, el análisis de varianza separa la variabilidad total en dos componentes: 1.
Variabilidad entre categorías, midiendo variación sistemática y aleatoria.
2.
Variabilidad dentro de las categorías, midiendo variabilidad aleatoria.
El procedimiento consiste en comparar las dos estimaciones de o2, una basada en la varianza entre medias muéstrales y otra basada en la varianza dentro de las muestras. Estas varianzas se calculan así: n _ o = Z (Y. - Y) /(n-1) varianza dentro de la muestra i 2
2
= 1
m_ _ o = n * [ I (Y. - Y) /(m-1)] varianza basada en medias muéstrales 2
2
i=1
La conclusión se obtiene una vez que se compare el valor de F calculado como el cociente de ambas varianzas con el F teórico extraído de tablas.
106
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 2.5. Frecuencias observadas y esperadas
L,
L,
—> 75,55 81,85 88,15 94,45 100,75 107,05 113,35
75,55 81,85 88,15 94,45 100,75 107,05 113,35 +co
Xk
d
nk*d
nk*d2
P.
72,4 78,7 85,0 91,3 97,6 103,9 110,2 116,5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 -10 -15 0 25 24 24 0
0 20 15 0 25 48 72 0
0,0087 0,0483 0,1607 0,2903 0,2830 0,1644 0,03666 0,0080
48
180
n„ °~ 1 r 5 5 15 35 25 12 — I 8 20 0
TOTALES:
ek 0,87— ] 5.7 4,83 16,07 29,03 28,30 16,44 — 20,9 3,66 0,80
1
Ho: fM =
— e-[ a ^271
1 Ha:f(x) = -----------O \] 271
enx-»)V2<¿)
Con el fin de proceder al cálculo de las frecuencias esperadas se necesita estimar la media (p’) y la desviación estándar [&). p’ = 91,3 + [(48/100) * 6,3] = 94,324 gramos a’ = 6,3 V (180/100) - (48/100)2= 7,893 gramos La distribución teórica se presenta en la Figura 2.24. Los cálculos corres pondientes son los siguientes: 75,55 - 94,324 Z=---------------------- = -2,38 7,893
A, = 0,0087
JORGE ACUÑA ACUÑA
75,55
81,85
107
88,15
94,95
100,75
107.75
Límites de clase FIGURA 2.24. Curva normal para cálculo de probabilidades
81,85 - 94,324 Z=
= -1,58
A2= 0,057 -0,0087 A2= 0,0483
= -0,78
A3= 0,2177-0,057 A = 0,1607
= 0,016
A4= 0,508-0,2177 A = 0,2903
= 0,81
A5= 0,791 -0 ,5 0 8 A =0,283
= 1,7
A6= 0,9544-0,791 A =0,1644
7,,893
z=
88,15 -9 4 ,3 2 4
3
7, 893
z=
94,45 - 94,324
4
7,893 100,75 - 94,324
z=
7,893 107,75 - 94,324
z=
7,893 113,35 - 94,324
z=
= 2,41 7,893
A7= 0,992-0,9544 A7= 0,0366 A =1 - 0,992 = 0,008
113,35
110
CONTROL DE CALIDAD
Según el número de variables en estudio el análisis de varianza recibe el nombre de clasificación en una dirección o en dos direcciones. Esto también se conoce como una variable y dos variables de clasificación. C lasificación en una dirección La denominación “clasificación en una dirección” se debe a que la variable en estudio se clasifica en un solo sentido y se le llama tratamiento. En este análisis se seleccionan muestras aleatorias de tamaño n de m-poblaciones pertenecientes a cada variable categorizada. La representación matricial de esta clasificación se encuentra en el Cuadro 2.6. La hipótesis que se prueba es la siguiente: Ho: Mm = M-,2®M-.3= ••••= Km H3: no todas las u.i’s son iguales CUADRO 2.6. Matriz de una variable de clasificación
Tratamientos Observación
3
2
1
m
Y,, ...... •••• Y?< ..... •••• Y ..... .... Y .....
Ylm Y2m Y^ Y4m
3 4
Y„ y„ y 3, Y.,
n
Y
Ytó
Yf»3
Y ..... .... Y ^
TOTALES
T,
t
T.3
T , .... .... Tnm
T..
MEDIA
Y,
Y,
Ya
Yo ..... ..... Y.m
Y..
1
2
n1
Y«
4
y y Y Y« 13
yk
Y Y« 32
2
23
33
34
4 4
n1
JORGE ACUÑA ACUÑA
111
El valor de Y.significa el valor asignado a la observación i en la categoría o tratamiento j. El análisis de varianza se hace con base en el Cuadro ANOVA como un medio de evitar cálculos tediosos. El Cuadro 2.7 presenta el cuadro ANOVA para una variable de clasificación. El error especifica la variación aleatoria dentro de los tratamientos. El significado y fórmulas de cálculo de los términos usados son los siguientes: m : número de tratamientos n : tamaño de la muestra. SIC(TR): Suma intermuestral de cuadrados de tratamientos m SIC(TR)= [( IT ,) /n ]- C M m
C=
T..*m*n
T ..-E T , M
T..=
Gran Total de las m*n observaciones
STC:
Suma Total de Cuadrados
CUADRO 2.7. Cuadro ANOVA para una variable de clasificación
Origen de variación
Grados de libertad
Tratamiento Error
m m*(n- )
TOTAL
Suma de cuadrados
- 1
1
SCE
> - 1
STC
m*r
Cuadrado medio CMm CME
F.
GNU CME
CONTROL DE CALIDAD
112
STC=
m [I i
n I j
= 1
Yij2] - C
= 1
SCE:
Suma de cuadrados del error.
SCE=
stc
CM
- s ic (TR)
Cuadrado medio de los tratamientos SIC(TR,
CM(TR,=
(m- ) 1
CME:
Cuadrado medio del error SCE
CME= m*(n- ) 1
La aceptación de la hipótesis nula se da cuando el F teórico es menor que el F calculado. La Figura 2.26 mucctra el área de cumplimiento de la hipótesis.
F (*)
I ' vl.v2.(1-u)
FIGURA 2.26. Area de cumplimiento de la hipótesis
EJEM PLO 2.24 Para comparar la efectividad de tres tipos diferentes de pintura fosfores cente usados para pintar cuadrantes de indicadores de instrum entación
JORGE ACUÑA ACUÑA
113
náutica, se pintan ocho cuadrantes con cada una de las pinturas. Luego, se iluminan los cuadrantes con luz ultravioleta y se mide el tiempo-en segundosque los números del cuadrante quedan iluminados después de apagar la luz. La información generada se presenta en el Cuadro 2.8. ¿Se puede afirmar con a=1 % que las diferencias observadas entre las me dias de los tipos de pintura son significativas o se deben simplemente al azar? SOLUCION H0:u 1= fi2= ft3 Ha: Al menos dos p’s no son iguales Según los datos suministrados por el Cuadro 2.8: T , = 378 T 2=396,6
CUADRO 2.8. Matriz de información para el análisis de varianza
T ip o de p in tura C uadrante
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8
46,3 48,2 42,0 41,8 48,9 51,0 49,7 50,1
38,7 53,6 49,3 47,3 51,4 53,9 43,6 48,8
62,3 64,7 56,2 60,2 53,6 55,5 61,8 54,5
TOTAL
378,0
396,6
468,8
1243,4
47,3
49,6
58,6
51,8
PROMEDIO
3
CONTROL DE CALIDAD
114
T 3= 468,8 T =1243,4 Se calculan entonces los factores del cuadro ANOVA. C
(1243.4)2 ----------------- 64418,479 24
3782 + 396,62+ 468,82 SIC,TD= ------------------------------------------ 64418,479 = 575,146 r 8 STC = (46,32+ 38,72+ 62,32+ ......+ 54,52) - 64418,479 STC = 65285,04 - 64418,479 = 866,561 SCE = 866,561 - 575,146 = 291,415 575,146 CM(TR)= -------------------=287.573 2 291,415 CME = ---------------------- =13,877
21
El Cuadro 2.9 presenta el Cuadro ANOVA correspondiente a este ejemplo. La Figura 2.20 presenta las áreas de hipótesis. Como Fces mayor que el F teórico, no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de igualdad de medias, con a= 1%. Por lo tanto, la efectividad de cada tipo de pintura es diferente. La Figura 2.27 presenta las áreas de la prueba. Clasificación en dos direcciones La denominación “clasificación en dos direcciones” se debe a que existen dos variables en estudio que se clasifican en dos sentidos, llamándose uno tratamiento y el o tro .
JORGE ACUÑA ACUÑA
115
CUADRO 2.9. Cuadro ANOVA para el Ejemplo 2.17
Origen de Variación
*
Grados de libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio
FC *
287,573 13,877
20,73
Pintura Error
2 1
575,146 291,415
TOTAL
23
866,561
2
De Tabla IV del Apéndice.
En este análisis se seleccionan muestras aleatorias de tamaño n para cada alternativa correspondiente a la intersección de las variables de clasificación según su categoría. La representación m atricial de esta clasificación se encuentra en el Cuadro 2.10. En este caso se prueban dos hipótesis, una para tratamientos y otra para bloques. Ambas hipótesis son independientes, por lo que sus resultados no se asocian. Las hipótesis son las siguientes:
FIGURA 2.27. Area de cumplimiento de la hipótesis
CONTROL DE CALIDAD
116
CUADRO 2.10. M atriz de dos variables de clasificación
B loques 3
4
•
1
Y„
y I2
Y 13
Y„
•
2
y„
y 22
y 23
y 24
•
3
y 31
Y*
Y33
Ym
•
4
y 41
y <2
Y
Y44
•
•
43
T,
Y2n
Y, y2
•
Y*
t
3
•
Y^
t
4
Y
4
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Y(n4
•
•
•
Y**
TOTAL
T,
T.
T .3
MEDIA
Y,
y
-
Yln
•
Y .,
2
•
Total Media
•
Y .,
m
n
•
-<
2
U
T R A T A M I E N T 0 S
1
y
3
t.
Y4
•
•
Y^
Tm
Tn
T..
Y.n
Ym
Y..
Para bloques Ho: M. = ^ 2= M 3 = - " = K m Ha: no tod as las ji.j’s son iguales
-
Para tratamientos Ho: lA1.= m = ^ 3 .= - - = ^ n. Ha: no tod as las jj.í’s son iguales
El valor de Y(j significa el valor asignado a la observación del bloque i y el tratamiento j.
JORGE ACUÑA ACUÑA
117
Este análisis de varianza se hace también con base en el Cuadro ANOVA como un medio de evitar cálculos tediosos. El Cuadro 2.11 presenta el cuadro ANOVA para dos variables de clasificación. El significado y fórmulas de cálculo usados son los siguientes: m:
número de tratamientos
n:
número de bloques
SIC(TR): Suma intermuestral de cuadrados de tratamientos m SIC(TR)= [ ( X T. 2)/n] - C Í=1
SIC(0L): Suma intermuestral de cuadrados de bloques
S I C ( b l >=
t( I T /)/n ] - C i=i n
C=
T..2/m*n
m
T..= I T = X T . ¡=1
1
¡=1
CUADRO 2.11. Cuadro ANOVA para dos variables de clasificación
Origen de variación Tratamiento
Grados de libertad
Suma de cuadrados
m-1
SIC™
Cuadrado medio c m (TH,
CME Bloque
n-1
SIC(BL,
c m (BU
c m (BL(
CME Error TOTAL
(m-1)*(n-1)
SCE
m*n-1
STC
CME
CONTROL DE CALIDAD
114
T ,* 468,8 T =1243,4 Se calculan entonces los factores del cuadro ANOVA. (1243.4)2 C = ---------------- = 64418,479 24 SIC
(TR
3782 + 396,62 + 468,82 ------------------------------------------64418,479 = 575,146 8
STC = (46,32+ 38,72+ 62,32+ ......+ 54,52) * 64418,479 STC = 65285,04 - 64418,479 = 866,561 SCE = 866,561 - 575,146 = 291,415 575,146 CM(TH)= -------------------=287,573 2 291,415 CME = ---------------------- =13,877 21 El Cuadro 2.9 presenta el Cuadro ANOVA correspondiente a este ejemplo. La Figura 2.20 presenta las áreas de hipótesis. Como Fces mayor que el F teórico, no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de igualdad de medias, con a= 1%. Por lo tanto, la efectividad de cada tipo de pintura es diferente. La Figura 2.27 presenta las áreas de la prueba. Clasificación en dos direcciones La denominación “clasificación en dos direcciones” se debe a que existen dos variables en estudio que se clasifican en dos sentidos, llamándose uno tratamiento y el o tro .
JORGE ACUNA ACUNA
115
CUADRO 2.9. Cuadro ANOVA para el Ejemplo 2.17
Origen de Variación
Grados de libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio
F*
Pintura Error
2 21
575,146 291,415
287,573 13,877
20,73
TOTAL
23
866,561
De Tabla IV del Apéndice.
En este análisis se seleccionan muestras aleatorias de tamaño n para cada alternativa correspondiente a la intersección de las variables de clasificación según su categoría. La representación m atricial de esta clasificación se encuentra en el Cuadro 2.10. En este caso se prueban dos hipótesis, una para tratamientos y otra para bloques. Ambas hipótesis son independientes, por lo que sus resultados no se asocian. Las hipótesis son las siguientes:
FIGURA 2.27. Area de cumplimiento de la hipótesis
118
CONTROL DE CALIDAD
T.. =
Gran Total de las m*n observaciones
STC:
Suma Total de Cuadrados
STC=
m [I
n I
|=1
i=i
Y if J - C
SCE:
Suma de cuadrados del error.
SCE=
S T C -S IC ^ -S IC ^
CM(TR): Cuadrado medio de los tratamientos SIC.(TR ) C M =
(m-1) CM|BL): cm(BL)=
Cuadrado medio de los bloques SIC(BU (n-1)
CME:
Cuadrado medio del error
CME =
SCE ----------------
La aceptación de la hipótesis nula se da cuando el F teórico es menor que el F calculado. Como se indicó antes esta decisión se toma para bloques y tratamientos por separado. La Figura 2.28 muestra el área de cumplimiento de la hipótesis. Existen dos curvas de este tipo: una para tratamientos y otra para bloques. v1,: número de grados de libertad de los tratamientos v1b: número de grados de libertad de los bloques v 2 : número de grados de libertad del error
JORGE ACUÑA ACUÑA
119
V l b av 2 , ( 1 -a )
FIGURA 2.28. Area de cumplimiento de la hipótesis
EJEMPLO 2.25 El departamento de servicio de una compañía distribuidora de equipo computacional tiene un grupo de tres técnicos encargados de la reparación de averías secundarias en unidades centrales de proceso (CPU). Estos técnicos se han especializado en tres importantes marcas. Los tiempos de reparación en minutos de cada marca para cada técnico se muestran en el Cuadro 2.12. Con a=5%, ¿se puede afirmar que el tiempo de reparación depende de la marca o del técnico que repara? CUADRO 2.12. Información para el análisis de varianza
Técnicos Marca
1
2
3
Ti.
1 2 3 4
45 42 36 49
46 44 41 47
51 50 48 54
142 136 125 150
T-j
172
178
203
553
120
CONTROL DE CALIDAD
SOLUCION Como se puede observar en el Cuadro 2.12 los totales son los siguientes: T, = 142
T2 = 136
T3 = 125
T4 = 150
T , = 172
T 2= 178
T 3= 203
T =553
5532 C =---------- = 25484 4*3 STC = 452+ 462+ 512+...........+ 542 - 25484 = 265 1422 +1362+ 1252+ 1502 SIC.Tm= ---------------------------------------------- 25484 = 111 3 1722 + 1782+ 2032 SIC(BL)= ------------------------------------------ 25484 = 135 4 SCE = 265-111 -13 5 = 19 CM(TR)= 111/3 = 37,0 C M (B L )= 1 3 5 / 2 = 6 7 -5
CME = 19/6 = 3.2 El C uadro 2.13 presenta el cuadro ANOVA correspondiente a este ejemplo. Las áreas de la hipótesis se pueden observar en la Figura 2.22. Con a =1 %, se puede afirmar que hay evidencia estadística para rechazar ambas hipótesis nulas. Esto significa, que el tiempo de reparación varía de acuerdo con el técnico que efectúa la reparación y la marca que está siendo reparada. Cuando L hipótesis se rechaza se pueden hacer comparaciones múltiples a través de diversos métodos con el fin de identificar diferencias significativas entre categorías. Existen tres métodos principales: Bonferroni, Scheffé y Tukey. En este texto se analizará solamente uno de éstos: el método de Tukey.
JORGE ACUNA ACUNA
121
CUADRO 2.13. Cuadro ANOVA para el Ejemplo 2.19
Origen de Variación
Grados de libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio
Fe
Marca Técnico Error
3 2 6
111 135 19
37 67,5 3,2
11,6 21,1
TOTAL
11
265
M étodo de Tukey Cuando Hoes rechazada significa que hay diferencia entre por lo menos I dos de los promedios. Este método es exacto cuando el tamaño de la muestra es constante y conservativo cuando ese tamaño es variable. El método consiste en evaluar el conjunto de todos los posibles pares (|x - l l ’ s ) con base en intervalos de confianza y la distribución del rango estudentizado.
FIGURA 2.29. Areas de cumplimiento de las hipótesis
CONTROL DE CALIDAD
122
La distribución del rango estudentizado se basa en la siguiente premisa: Si se tienen r observaciones independientes Y,, Y2, Y3,..., Yrde una distribución normal con media p y varianza o2, siendo w el rango de este conjunto de obser vaciones tal que w= Máx(Y.)-Mín(Y.) y si se estima o2a partir de o2con v grados de libertad e independientemente de Y¡, entonces la razón w/s es llamada rango estudentizado y se denota por q(r,v) = w/s. Como se puede notar la distribución de q depende de r y v, lo que ha permi tido el desarrollo de tablas como las mostradas en el Apéndice I, para niveles de confianza del 90,95 y 99%. Tal y como se dijo anteriormente el método de comparaciones múltiples se basa en límites de confianza para todos los posibles pares de promedios. Si el intervalo incluye al cero se dice que no hay diferencia significativa entre las medias consideradas; caso contrario, la diferencia es significativa. El intervalo de confianza se calcula así: 1.
Una variable de clasificación D±T*s(D) D = IYI. -Y..I I. s2(D) = CME[(1/nj) + (1/ni.)] 1 T =------ * [q(1 -a,m,n-m)] ||
EJEMPLO 2.26 En un estudio de efectividad de cuatro componentes químicos contra la oxidación, se toma un conjunto de cinco observaciones de cada uno, con lo que se genera la información mostrada en e! Cuadro 2.14. Se considera que entre más grande el valor de Y., mejor es la efectividad del compuesto.
JORGE ACUÑA ACUÑA
123
CUADRO 2.14. Datos del Ejemplo 2.20 I
Componente
n,
1 2 3 4
A B C D
5 5 5 5
43 89 67 40
Después de haber efectuado el análisis se generó el cuadro ANOVA, que se presenta en el Cuadro 2.15. a.
¿ E xisten d ife re n cia s s ig n ific a tiv a s entre com ponentes al 95% de confianza?
b.
Si las hay, ¿cuáles componentes establecen esa diferencia? S O LU CIO N
a.
Al lo ca liza r el valor de F3 16095en tablas este es 3,24, por lo que es significativam ente m enor que el F calculado. En conclusión, sí hay diferencias significativas entre componentes con 95% de confianza.
b.
Búsqueda de diferencias significativas, m=4
n-m = 20-4 = 16
En tabla VIII del Apéndice se localiza el valor de q. q(0.95,4,16) = 4,05 1 T = ------------- * (4,05) = 2,86 y¡2 s2(D) = 4,5 *[(1 /5 )+ (1/5)] = 1,8
CONTROL DE CALIDAD
124
CUADRO 2.15. Cuadro ANOVA del Ejemplo 2.20
Suma de Cuadrados
Origen de Variación
Grados de libertad
Componente Error
3 16
7893,75 72,00
TOTAL
19
7965,75
Cuadrado Medio
F0*
2631,25 4,50
584,72
S (D) = 1,34 T * s ( D ) = 2,8 6 * 1,34 = 3,8 Los intervalos de confianza son: 42.2 = (89 - 43) - 3,8 < |i2 - |i, < (8 9 - 43) + 3,8 = 49,8 20.2 = (67 - 43) - 3,8 < |t3 - p, < (67 - 43) + 3,8 = 27,8 -0,8 = (43 - 40) - 3,8 < p, - p4 < (43 - 40) + 3,8 = 6,8 18.2 = (89 - 67) - 3,8 < p 2 - p 3 < (89 - 67) + 3,8 = 25,8 45.2 = (89 - 40) - 3,8 < p
2
- p
4
< (89 - 40) + 3,8 = 52,8
23.2 = (67 - 40) - 3,8 £ p3 - p4 < (67 - 40) + 3,8 = 30,8 Como se puede ver, el único intervalo de confianza que incluye al cero es ( p, - p4). Por lo tanto, se concluye, con 95% de confianza, que el único par de promedios que no muestran diferencias significativas es el par formado por los componentes 1 y 4. Dado que la medida de efectividad es de maximización el componente B puede ser escogido como la mejor alternativa.
JORGE ACUÑA ACUÑA
2.
125
Dos variables de clasificación
El in te rva lo usado tam bién se basa en la d istrib u ció n del rango estudentizado, pero con pequeñas diferencias en el cálculo de sus términos. A. D = ÍY.-Yr l 2*CME s2(D) = ---------------bn 1 T = ----------------q[1-a,a,(n-1)abl <2 a: Número de tratamientos b: Número de bloques B. D = IYj-Y..I 2CME s2(D) = -----------an 1 T =------------- q[1-a,b,(n-1)ab] y¡2 EJEMPLO 2.27 La Compañía CBC vende repostería en un área metropolitana. Del total de artículos vendidos hay tres hacia los que la clientela ha mostrado especial interés. La Cía desea saber si el tamaño y el peso son significativos para la decisión del cliente por uno u otro tipo. Un análisis hecho sobre muestras de tamaño dos, para tres tamaños y dos pesos, generó la información de costo en colones del Cuadro 2.16.
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 2.16. Información del Ejemplo 2.21
Peso
Ta m a ño
1
2
1 2 3
Y Y 21 Y 31
Y Y1 22 Y 33
44 67 42
Y,
50
52
51
El análisis de va ria n za efectuado g e n e ró los resultados m ostrados por el A N O V A pre sentado en el C u a d ro 2.17. a.
¿ E x is t e n d if e re n c ia s s ig n if ic a tiv a s en ta m a ñ o s y p e s o s al 9 5 % de confianza?
b.
Si las hay, m uestre dó n de se encu entran esas diferencias.
CUADRO 2.17. Cuadro ANOVA para el Ejemplo 2.21
O rige n de
G ra do s de
Sum a de
C uadrado
Variación
libertad
C uadrados
Medio
Tam año
2
1544
772
77,2
Peso
1
12
12
1.2
Error
2
20
10
TO TA L
5
1576
Fe
JORGE ACUNA ACUNA
127
SOLUCION a.
C o n a = 5 % , los valores teóricos de F son los siguientes: ^ 2 ,2 ,0.95
1 ,2 ,0 .9 5 -
Al c o m p a ra r los valores teóricos con los valores ca lcu lado s se nota que, con a = 5 % , no hay evidencia estadística para acep tar la hipótesis nula de tam años, pero sí para aceptar la hipótesis nula de pesos. b.
S e efectuará la prueba de T u k e y para tam años, con el fin de identificar los pares que m uestran diferencias significativas. Los datos para el cálculo de los intervalos de con fian za son los siguientes: CM E =
10,3
a=
3
b=
2
n=
2
(n -1 )a b =
6 2 * 1 0 ,3
s2(D ) =
--------------------------------= 5,15
2*2 D e la T a b la VIII del A pé n d ice I se obtiene: q (0 .9 5 ,3 ,6 ) = 4,34 4 ,34 T = -----------------------------= 3,07
2 T * s ( D ) = 3 ,0 7 * ^ 5 ,1 5 = 7,0 16 = (6 7 - * 4) - 7 ,0 < p 2 - n, < (6 7 - 4 4 ) + 7,0 = 30 - 5 = (44 - 4 2) - 7,0 < p , - p 3 < (44 - 42) + 7,0 =
9
18 = (67 - 4 2 ) - 7 ,0 < |i2 - p 3 < (6 7 - 42) + 7,0 = 32
128
CONTROL DE CALIDAD
Al analizar los intervalos de confianza se puede concluir, con a = 5 % , que la única diferencia q u e no es significativa se da entre los tam años 1 y 3. Al ser la m e d id a de e fe c tiv id a d de m in im iz a c ió n , la m e jo r a lte rn a tiv a p u e d e s e r la n ú m e ro 3.
MUESTREO ESTADISTICO E n la inspección de calidad es de fundam ental im portancia confiar en los resultados obte nidos a partir del análisis de m uestras. E stas m uestras que son obtenidas de poblaciones finitas o infinitas, deben cu m plir con los d o s principales requerim ientos del m uestreo inferencial; éstos son aleatoriedad y representatividad. U n a m u e s tra e s alea toria cu a n d o los elem entos que la com pon en fueron extraídos de una población en la cual todos sus com ponentes tuvieron la m ism a probabilidad de perte ne ce r a e sa m uestra. U n a m u e s t r a e s r e p r e s e n t a t iv a c u a n d o s u s e le m e n to s re fle ja n las características de la población de la cual fueron extraídos. C o n ello, se puede afirm ar con cierto nivel de confianza, que lo qu e ocurre con la m uestra, ocurre con la población. C o m o se puede ver, para cum plir con una verdadera inspección por m u e s treo es m u y co n ve n ie n te g a ra n tiza r estas dos características, g e n e ra lm e n te ligadas al ta m a ño de la m uestra y al m étodo usado para su selección. El m u estre o e sta d ístico p a ra se r efectivo y eficaz d e b e b a s a rs e en tres aspectos principales: en la selección de m uestras de tam año a d e c u a d o , en la e je cu ció n de in fe re n cia s v á lid a s y a p lica b le s y en la m edición del g ra d o de con fian za de las conclusiones. P a ra lograr lo e x p re sa d o anterio rm ente, es necesario seg u ir un p ro ce d i m iento que incluya los siguientes paso s: a. Id e n tifica ció n de la c a ra c te rís tic a p o r e s tu d ia r y d e la to ta lid a d de las u n id a d e s de m u e stre o de n tro de las cu a le s se s e le ccio n a rá la m u e stra (m a rc o de m ue stre o).
JORGE ACUÑA ACUÑA
b.
12S
E s c o g e n c ia del tipo de m uestreo que se v a a usar identificando la unidad de m uestre o. Esto deb e garantizar la aleatoriedad y representatividad a n tes definidas.
c.
D eterm inación del tam año de la m uestra, m ediante la fórm ula que especi fique el tipo de m uestreo.
d.
S e le c c ió n a le a to ria de la m u e stra p re via definición del p ro ce d im ie n to a d e cu a d o .
e.
E s co g e n cia del m étodo de estim ación del error estadístico.
f.
C á lc u lo de inferencias, errores y grado de confianza de las conclusiones.
E n general, son m uchas las razones por las cuales se debe usar m uestreo. A lg u n a s de éstas son: a.
A h o rro de dinero al evitar la inspección 1 0 0 % , la cual tiene costos m á s altos.
b.
A h o rro de tiem po al dism inuir la cantidad por inspeccionar en relación con la inspección 1 0 0 % .
c.
Atención de caso s individuales en form a m ás sistemática.
d.
R e cu rso indispensable cu a n d o la inspección es destructiva.
e.
U n ico m étodo posible cua n d o la población es infinita.
f.
E x c e le n te o p c ió n c u a n d o los e rro re s no m u é s tra le s , e s p e c ia lm e n te hu m a n o s, son g ra n d e s e im posibles de reducir.
Al ejecutar m uestreo estadístico siem pre estarán presentes dos tipos de errores qu e se con o ce n co m o erro r estadístico y sesgo. E l e rr o r e s ta d ís tic o es aquel propio del m uestreo y que se produce por la n a tu ra le z a a le a to ria de la m u e s tra y p o r la falta de h o m o g e n e id a d en los elem entos que la conform an. Este error se m inim iza, si se ejecuta el m uestreo en form a o rd e n a d a y siguiendo el procedim iento antes fijado. El s e s g o es el error h um ano, intencional o no intencional que se com ete al ejecutar el m uestreo y que generalm ente es sistemático. Este error se m inim iza a tra vé s de p ro g ra m a s de e ntrenam iento, capacitación y m otivación de in s pectores y recolectores de inform ación estadística.
CONTROL DE CALIDAD
130
T i p o s d e m u e s tre o Existen diferentes tipos de m uestreo, dentro de los cuales se pueden citar: el m uestreo aleatorio sim ple, el m uestreo sistemático, el m uestreo estratificado, el m uestreo por conglom erados y el m uestreo de aceptación. E n inspección de c a lid a d los m á s u s a d o s s o n el m u e s tre o a le a to rio s im p le , el m u e s tre o estratificado y el m u e stre o de a ce p ta ció n . E n el C a p ítu lo VI se d esarro llará am pliam ente el m uestre o de aceptación. M u e s t re o a le a t o rio s im p le : se b a s a en la e x tra cció n de u na m u e stra aleatoria de una población, para u na característica seleccionada, con el fin de inferir los resultados a la citada población. Esta inferencia está sujeta a un error estadístico qu e es necesario determ inar. El m uestre o aleatorio p u e d e ejecutarse para estim ar el prom edio de una característica o estim ar una proporción de ella. C u a n d o se d e s e a e s tim a r un v a lo r m e d io , el ta m a ñ o de la m u e s tra se calcula así: Z 2a/2_ * N * o 2 n = --------------------------------
zV
^+
ne2
C u a n d o se d e s e a e s tim a r u n a p ro p o rc ió n , e n to n c e s ei ta m a ñ o de la m uestra se calcula com o
Z2„/2 * N * P * q Z 2o/2 * P * q + N E 2 Los térm inos usado s en estas expresiones significan: n :
ta m a ño de la m uestra
Z ^ : estadístico de distribución norm al ligado al error a N :
ta m a ño de la población
a 2:
va ria nza poblacional
E :
error de estim ación entre el parám etro y el estadígrafo
JORGE ACUNA ACUNA
131
p : proporción de la característica en la m uestra q : proporción que no pertenece a la característica en la m uestra S i la p o b la ció n es infinita las e x p re s io n e s del ta m a ñ o de la m uestra se convierten en: Z 2o/2 * o 2 n =-------------------------------------- para estim ación de la m edia E2 n = p * q [ Z 2^ / E 2] para estim ación de una proporción El error están dar correspondiente al m uestreo se calcula co m o
Si se trata de una población finita y se estim a una m edia
c -= \] o 2/n
Si se trata de una población infinita y se estim a una m edia
o p= \ l[(N -n ) / (N -1 )]* (p * q )/ n
t>i se trata de una población finita y se estim a una proporción
a p= \ ] ( p * q ) / n
Si se trata de u na población infinita y se estim a una proporción.
EJEMPLO 2.28 C o n s id é re se un lote de producción de 1000 unidades, cu ya va rianza en el diám etro de una de su s partes es 250 m m . S e d e s e a estim ar el pro m e dio del diám etro, a partir de u na m u estra , con u na co n fia n za del 9 5 % y con error no m a yor a 1 m m .
SOLUCION N
= 250
E = 1
Z (i/2= 1,96 (extraído de T a b la I de A pén dice I)
CONTROL DE CALIDAD
132
O2 = 2 5 0 1 ,962 * 1 0 0 0 * 2 5 0 n = ---------------------------------------------------= 4 8 0 ,2 - 481 (4 * 2 5 0 ) + (1 0 0 0 * 1) a ; = \|[(1 0 0 0 - 481)/(1000 - 1)] * (2 5 0 / 4 8 1 ) = 0,52 P a ra estim ar el pro m e dio de diám etro de esta pieza, se deb e extraer una m uestra de 481 unidades. El m u estre o tiene un error están dar de 0,52.
EJEMPLO 2.29 U n f a b r ic a n te a firm a q u e el 2 , 5 % d e lo s p ro d u c to s q u e e n tr e g a el c o m p ra d o r so n d e fe c tu o s o s . Si é ste re cib e los p ro d u cto s en lotes de 5 0 0 0 u n id a d e s, ¿c u á l d e b e se r el ta m a ñ o de la m u e stra p o r u s a r para verificar lo e x p re sa d o por el fabricante? U s e 9 5 % de con fian za y un error no m áxim o del 1 % en la estim ación.
SOLUCION E=
0,01
p=
0 ,025
q=
0 ,975
N =
5000
(1 -a ) = 0 ,9 5 Z„y2=
1.96
n=
1 ,962 * 5000 * 0,0 2 5 * 0,975 ------------------------------------------------------------------------------- = 7 8 9 unidades 1 ,962 * 0 ,0 2 5 * 0 ,9 7 5 ) + (5 0 0 0 * 0 ,0 1 2)
o p=
\ J [(5 0 0 0 -7 8 9 ) / (5 0 0 0 -1 )] * [(0 ,0 2 5 * 0 ,9 7 5 ) / 789] = 0,005
JORGE ACUÑA ACUÑA
Lo a n te rio r significa q u e p a ra e stim a r el p o rce n ta je d e fe c tu o so de ese producto, se de b e extraer una m uestra de 789 unidades. E ste m uestreo tiene un error estándar de 0 ,0 0 5 , bastante bajo. F o r m a s d e e x t r a c c ió n d e la m u e s t r a : un a sp e c to m u y im portante de considerar en él m uestreo aleatorio sim ple es el uso de las ta b la s de n ú m e ro s a le a to rio s , con el fin de g aran tizar aleatoriedad en la tom a de la m uestra. El p ro c e d im ie n to co n sis te en a s ig n a r un n ú m e ro a c a d a e le m e n to del m a rco m uestral y luego, con la tabla seleccionar los que la m uestra indique.
EJEMPLO 2.30 S e de se a tom ar una m uestra de 5 elem entos de un total de 80 que confor m a n la pob lación a tra vé s de la tabla de nú m e ro s aleatorios. E s ta b le z c a ios n ú m ero s que conform an la citada m uestra.
SOLUCION P a ra efectos de e ste e jem plo se u sa rá n las sig uie n te s c o lu m n a s de la T a b la IX de nú m ero s aleatorios del A pé n d ice I. 2 25 3
2176
1342
8664
5498
0184
2 36 4
0900
8439
9898
S e de b e n e sco g e r cinco núm ero s de dos cifras, com prendidos entre 01 y 80. S e to m a u n a c o lu m n a a rb itra ria , p o r e je m p lo la de
53, se a la te rc e ra
(prim era 22, se g u nda 25, tercera 53). Si es así, los elem entos asignados son el 5 3 ,4 2 ,6 4 ,3 9 y 76. Esto se obtiene en form a vertical, si se acaba ésta se puede ca m b ia r a otra.
134
CONTROL DE CALIDAD
Nótese qu e no se tom ó en cuenta el 98, por estar arriba de 80. T a m b ié n c u a n d o se ag o tó la co lu m n a , se p a só a la últim a c o lu m n a del se g u n d o bloque. O tra form a de extraer una m uestra es m ediante m u e s tre o s is te m á tic o , el cual es m u y ágil, cu a n d o el n ú m e ro de elem en tos qu e se v a a sele ccio nar es m u y grande. A s í, por ejem plo obtener una m uestra del 5 % de un lote de 20000 pro ductos, oblig aría a s e le ccio n a r 1000 n ú m e ro s aleatorios y luego h a ce r la selección correspondiente. E n estos ca so s lo m ejor es seleccionar un núm ero aleatorio entre 1 y 20 y en adelante e sco g e r cada vigésim o elem ento. A s í, si el núm ero fuese el 3, los elem entos sele ccionado s serán 3 , 2 3 , 4 3 , 6 3 , 8 3 , . . . , hasta 19983. El pro cedi m iento es el siguiente: 1. 2.
C o n o c e r el tam año del lote y de la m uestra que se v a a extraer. C alcular el intervalo de m uestreo, qu e se obtiene dividiendo el tam año del lote entre el tam año de la m uestra (N/n).
3. 4.
S e le ccio n a r un núm ero aleatorio, entre 1 y el intervalo de m uestreo. A partir del núm ero aleatorio encontrado anteriorm ente, su m ar el intervalo de m uestreo. Esto dará los núm eros posicionales de los elem entos que se deben con tem plar dentro de la m uestra.
5.
S e le c c io n a r la m u e stra , e s c o g ié n d o la del lote s e g ú n el p ro ce d im ie n to citado en 4. M u e s tre o e stra tifica d o : en este tipo de m uestreo, los elem entos poblacio-
na le s se d ivid e n p rim e ro en k -g ru p o s y lu e g o se a p lica m u e stre o a lea torio sim ple sob re ca d a g rupo. El p ro ce so usa d o para e sta b le ce r estos g ru p o s se llam a e s tra tific a c ió n y a c a d a g ru p o se le llam a e s tra to . La razó n de aplicar estratificación se de b e a qu e los elem en tos po b lacio nale s pre sentan m u ch a h e te ro ge n e id a d , por lo qu e la obtención de c o n clu sio n e s represen tativas se hace difícil. En este m uestreo, las probabilidades de selección de los estratos pueden s e r dife ren te s y no es n e c e s a rio q u e to d o s los e le m e n to s te n g a n la m is m a oportunidad de selección, pero se debe co n o ce r la probabilidad de ca d a uno.
JORGE ACUNA ACUNA
135
La estratificación se ejecuta de tal m anera que exista cierta hom ogeneidad entre los e le m e n to s de c a d a g ru p o y q u e q u e d e n en igual n ú m e ro en c a d a estrato. El error están dar del se calcula así:
O j = \J(1/N2) * { X [ ( N , - n ) / (N . - 1 ) ] * N 2 * ( a 2 / n.)} ¡=1
d onde: N : ta m a ño de la población N ¡: ta m a ño del estrato i k : núm e ro de estratos n .: ta m a ño de la m uestra por extraer del estrato i o : desviación están dar del estrato i
EJEMPLO 2.31 E n el p u e sto de re c e p c ió n de m a te ria le s se han re c ib id o 12 lotes que originaron los porcentajes defectuosos que se presentan en el C u a d ro 2.18. a.
Estratificar esta situación y obtener sus m edidas
b.
C a lc u la r el error estándar
c.
¿ C u á l es el error si se usa m uestreo aleatorio sim ple?
SOLUCION a.
El C u a d ro 2 .1 9 p re se n ta la estratificación e fe ctu a d a co n b a s e e
m agnitud del porcentaje defectuoso. S e p u e d e n c a lc u la r a lg u n o s va lo re s para c a d a estrato. El C u a d r o 2 .2 0 m u e s tra el ta m a ñ o , la m e d ia a ritm é tica y la d e s v ia c ió n e s tá n d a r d e c a d a estrato.
CONTROL DE CALIDAD
136
CUADRO 2.18. Información de recepción de materiales
Lote
% Defectuoso
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,85 1,35 0,60 2,20 1,80 3,10 0,90 0,50 1,75 0,75 2,40 2,10
CUADRO 2.19. Estratificación del % defectuoso
Estrato 1
Estrato 2
Estrato 3
0,50 0,60 0,75 0,85
0,90 1,35 1,75 1,80
2,10 2,20 2,40 3,10
CUADRO 2.20. Cálculos de la estratificación
4^
Estrato 2
Estrato 3 N3= 4
x, = 0,675
x2 = 1,45
x 3=
o, = 0,134
O, = 0,362
a 3= 0,39
II
N, = 4
Z
Estrato 1
2,45
JORGE ACUÑA ACUÑA
137
C o n b a s e e n el C u a d r o 2 .2 0 s e c a lc u la u n e s tim a d o del p ro m e d io poblacional.
_ (N 1* x ,) + (N 2* x 2) + (N 3 *x3) x ’ = ----------------------------------------------------------N _ (4 * 0 ,6 7 5 )+ (3 * 1 ,4 5 )+ (4 * 2 ,4 5 ) x ’ = -------------------------------------------------------------------------
12 x’ = 1,525 S e puede p ro b a r que este valo r es igual al poblacional. N
p = ( Z x . ) / N = 18,3 / 1 2 = 1 ,5 2 5
i=i b.
El error estándar de este m uestreo estratificado es:
0- =
\J (1 /1 2 2)*{[(4 -2 )/(4 -1 )]*42* (0 ,1 3 4 2/2 )+ [(4 -2 )/(4 -1 )]*42* (0 ,3 6 2 2/2 )+ [(4-2)/(4-1 )]*42*(0 ,39 2/2 )}
a -=
\J ( 1 / 1
o 5=
\J
a x=
44)*[(16/3)*(0,1342+ 0 ,3 6 2 2+ 0 ,3 9 2)
(1/14 4)*((16/3)*0,3011) 0 ,1 0 5 6
El error del m uestreo estratificado es 0,1056. c. Si se hubiere usado m uestreo aleatorio simple, entonces el tam año de la m uestra se ría seis y el error están dar sería: o -= \ J [(1 2 -6 )/(1 2-1 )]*(0,79282/6) = 0 ,2 3 9 C o m o se p u ede o b servar el m uestreo estratificado ofrece un error m ucho m enor, lo que lo hace m ás confiable. E n m u e s tre o estra tifica d o no s ie m p re se ca lc u la a n tic ip a d a m e n te un ta m a ñ o de m uestra constante para ca d a estrato, sino que de acuerdo con las
CONTROL DE CALIDAD
138
c a ra c te rís tic a s de los m is m o s se c a lc u la n ta m a ñ o s de m u e s tra v a ria b le s , u s a n d o p a ra e llo d o s f o rm a s : u n a d e c o n v e n ie n c ia , lla m a d a a f i ja c ió n p r o p o r c io n a l y otra re la c io n a d a c o n la v a ria b ilid a d del e s tra to , lla m a d a a fija c ió n ó p tim a . E n el m uestre o proporcional, el tam año de la m uestra se calcula com o: nl= (n / N )* N i don de n es el tam año de m uestra total fijado de antem ano. El error estándar se calcula com o: k i=i E n afijación óptim a, el ta m a ñ o de m uestra se calcula com o:
n¡= n * [ ( N i* o i) / I ( N l* o ¡)] El error estándar se estim a así:
o -= \J (1/n) * { [ I ( N . * o,) / N ]2} - [I (N .* a 2) ] / N 2
EJEMPLO 2.32 La producción de una e m presa se ha dividido en tres estratos, de acuerdo con la fracción defectuosa qu e presenten. P or registros de los últim os año s se co n o ce la inform ación que se m uestra en el C u a d ro a.
2.21.
Si se desea tom ar una m uestra de 20 lotes, ¿cuántos lotes de ca d a estrato se de b e n sele ccionar?
b.
C o m p a re los errores está n d a r corresp ondientes con el error están dar de m uestreo aleatorio sim ple.
JORGE ACUNA ACUNA
139
CUADRO2.21. Información de porcentaje defectuoso en los últimos años
% Defectuoso
Estrato
1 2 3
5 ó más 1,5 a 4,99 Menos de 1,5
TO TA L
Núm ero de lotes
Desviación estándar (% )
35 80 15
0,97 0,82 0,30
130
1,25*
Para el total de la producción.
SOLUCION a.
Para efectos didácticos este problem a se resolverá por afijación proporcio nal y por afijación óptim a. E n situaciones prácticas se debe esco ger el que m ejor se adapte a las condiciones.
•
Afijación proporcional El C u a d ro 2 .22 m uestra los cálculos de tam año de m uestra. C o m o se p u ede o b s e rv a r en el C u a d ro 2 .2 2 , para com pletar los 20 lotes
se le ccio n a d o s, se de b e n tom ar 5 lotes del estrato 1 ,1 2 lotes del estrato 2 y 3 lotes del estrato 3.
CUADRO 2.22. Cálculos por afijación proporcional
Estrato 1 2 3
Tam año de la muestra n, = (20/130) * 35 = 5,38= 5 n2 = (20/130) * 8 0 = 12,3 =12 n3 = (20/130) *15 = 2,3 = 3
CONTROL DE CALIDAD
140
•
Afijación óptim a Ei C u a d ro 2 .2 3 m uestra los cá lcu lo s iniciales para ob te n e r el ta m a ñ o de
m uestra por este m étodo. C o n b a s e en el C u a d r o 2 .2 3 se c a lcu la n los ta m a ñ o s de m u e stra de la siguiente m anera: n, = 2 0 * (3 3 ,9 5 / 1 0 4,05) = 6 ,5 2 =
6
n2= 2 0 * (6 5 ,6 / 1 0 4 ,0 5 ) = 12,61 = 13 n3= 2 0 * ( 4 ,5 / 1 0 4 ,0 5 ) b.
= 0 ,8 6 =
1
C o m p a ra ció n de errores El error están dar para afijación proporcional es: g _=
sj [(1 30-20)/(130*20)]*[(1/130)*[(35*0,972)+ (8 0 * 0 ,8 2 2)+ (1 5 * 0 ,3 0 2)]
o -= 0 ,1 6 9 El error e stán dar para m uestreo por afijación óptim a es: o -=
\J (1/20)* [(104,05/13 0 )2] - (88,07/1302)
o; = 0 ,1 6 4
CUADRO 2.23. Cálculos iniciales para afijación óptima
Estrato
N,
1 2 3
35 80 15
TO TA LE S
0,97 0,82 0,30
IN * a .= 104,05
N,*a,
ai2
N,*a2
33,95 65,60 4,50
0,94 0,67 0,09
32,93 53,79 1,35
I N * 0¡2= 88,07
JORGE ACUNA ACUNA
141
El error e stá n d a r si se usa m uestreo aleatorio sim ple se calcula así: ax= \| [(1 3 0 -2 0 )/ (1 3 0 -1 )] * (1 ,252/20)
Oj=0,26 C o m o se puede observar, los errores del m uestreo por afijación proporcio nal (0 ,1 6 9 ) y óptim a (0 ,1 6 4 ) son parecidos, m ientras que el error del m uestreo a le a to rio s im p le ( 0 ,2 6 ) es a lto , p o r lo q u e s e p u e d e c o n c lu ir q u e no es recom e nda b le usar este tipo de m uestreo en este caso.
RESUMEN S e ha visto en este capítulo que: 1.
La s aplicaciones de la estadística son am plias y variadas en los distintos aspectos de la inspección de calidad.
2.
La estadística es solam ente una herramienta poderosa para la solución de problem as. Ella no es por sí sola la solución a los problem as de calidad.
3.
E l a ná lisis de d a to s y la in fe re n cia e s ta d ís tic a , si son bien u sa d a s , se convierten en p od erosas arm as para la tom a de decisiones.
4.
E l m u e s tre o e s ta d ís tic o , en s u s d istin ta s fo rm a s , es un re c u rs o m u y necesario para co n o ce r y corregir los procesos.
5.
Para qu e los estudios estadísticos no pierdan su fundam entación científi ca, es necesario tener m uy presente que deben seguirse los procedim ien tos establecidos.
PREGUNTAS DE REPASO 1.
Establezca claram ente las ventajas que ofrecen al control estad ístico déla calidad, el análisis de datos y la Inferencia estadística.
CONTROL DE CALIDAD
142
2.
R a zo n e m e surad am ente las características de los procesos que permiten decidir si un estudio estadístico se debe hacer por variable continua o por variable discreta.
3.
¿ Q u é u s o s tie n e n los in te rv a lo s de c o n fia n za p a ra p ro m e d io s y p a ra va ria n za s ?
4.
¿ C u á l e s el principai objetivo de una p ru e b a de hipó tesis? ¿ P o r q u é se deb e seguir un procedim iento?
5.
¿ Q u é im p o rta n c ia tie n e u n a b o n d a d de ajuste al e fe c tu a r un e s tu d io estadístico?
6.
E xplique en qu é consiste un análisis de varianza.
7.
¿ Q u é significa re c h a za r una hipótesis en un análisis de v a ria n za ?
8.
¿ E n qué consiste el M étodo de T u k e y y en qu é caso s se aplica?
9.
¿ C u á le s so n las d o s p rin c ip a le s c a ra cte rís tica s q u e d e b e c u m p lir u na m uestra estadística? E xp líquelas detalladam ente.
10. ¿ E n qué casos se debe aplicar un m uestreo aleatorio simple o un m uestreo estratificado? ¿ C ó m o se decide cuál es m ejor?
PROBLEMAS 1.
El C u a d ro 2 .2 4 m uestra las m ediciones ejecutadas en el diám etro exterior de un anillo. E stas m edidas fueron tom adas en g ru pos de siete anillos. a. H a ce r una distribución de frecuencias de datos agrupad os para las 112 observaciones. b. H a c e r representaciones gráficas de la distribución. c. ¿ Q u é porcentaje de anillos tienen diám etro exterior superior a 32,241 m ilím etros? d. ¿ Q u é porcentaje de anillos están entre 32,241 y 3 2 ,2 4 9 m ilím etros? e. ¿ C u á n to s anillos se e s p e ra que tengan m edidas iguales o inferiores a 3 2 ,2 4 0 m ilím etros?
JORGE ACUNA ACUNA
143
CUADRO 2.24. Mediciones de diámetro externo de un anillo (medidas por encima de 32,200 milímetros)
G R U P O N? #
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1 2 3 4 5 6 7
34 45 45 37 41 53 45
50 50 40 44 42 34 45
55 42 47 44 46 41 48
38 49 41 46 50 43 47
51 49 47 45 48 40 39
44 49 48 43 42 46 36
49 40 49 40 40 46 46
47 46 48 39 42 55 47
43 48 43 43 50 42 44
48 45 50 48 43 42 45
48 45 50 44 49 31 40
42 42 57 40 48 37 49
40 50 40 49 49 48 44
46 41 40 49 49 48 44
46 48 41 42 52 40 36
43 48 47 43 44 51 47
f.
¿ C u á n to s anillos se esp e ra que tengan m e didas superiores a 3 2 ,2 5 0 mm?
g. Si los anillos con diámetro exterior igual o inferior a 32,240 milímetros se deben desechar, ¿q ué decisión tom aría si el costo de materia prim a es de 0 1 44,00? h. T o m a n d o en cuenta la siguiente inform ación: -c o s t o de m a n o de obra por anillo = 030,95 -c o s to de e n erg ía con su m ida por anillo = 012,65 -c o s to s indirectos = 1 8 % de costos directos -u tilid a d e s brutas = 3 5 % de costos directos -im p u e s to s = 2 5 % del precio de los anillos -n iv e l de producción m ensual = 10000 unidades ¿ C u á n to e s lo q u e la e m p re s a g a n a si los an illo s d e s e c h a d o s son vendido s a 080 ca d a uno?
CONTROL DE CALIDAD
144
2.
U n a em p re sa dedica da al pro cesam iento de cacao tiene problem as con el p e so de u n o de su s p ro d u cto s. E s te pro ducto es c a c a o en po lvo q u e se v e n d e en so b re s m a rca d o s con p e s o nom inal de 100 g. Para efectos de e s tu d ia r la s itu a c ió n s e to m a ro n 60 s o b re s lle n o s, o rd e n a d o s en seis g ru p os de d ie z unida de s qu e originaron la inform ación del C u a d ro 2.25. H a g a un análisis estadístico para resolver el pro blem a de la operación de llenado. Si el p roblem a existe estab lezca una estrategia para su solución.
3.
E n una b od e ga de m ateria prim a se han recibido tres lotes de 20 unidades cada uno. El núm ero de piezas por lote que cum plen con lo requerido es de 1 8 ,1 5 y 10 re s p e ctiva m e n te . D e un lote se to m a u na unidad q u e resulta cum plir con lo requerido. D e s p u é s de restituir la unidad, del m ism o lote se extrae otra qu e tam bién resulta cu m plir con lo requerido. Hallar la probabilidad de que a m b a s piezas hayan sido extraídas del tercer lote.
4.
El proceso A produce piezas c u y a longitud se distribuye norm alm ente con m edia 10,5 cm y va ria n za 4 c m 2. El proceso B pro du ce le0 m ism as piezas
CUADRO 2.25. Datos generados del peso de cacao en polvo
G ru p o No.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
98,7 99,5 100,5 100,0 96,6 98,7 96,7 100,3 103,2 103,7
99,4 101,3 100,3 97,7 96,0 98,0 99,7 99,9 100,3 103,0
100,8 99,7 100,7 103,4 102,1 102,3 96,9 97,5 98,7 100,0
99,7 103,0 102,5 101,4 101,0 100,8 100,1 99,7 99,8 100,7
101,5 102,3 101,7 95,8 100,7 99,9 103,6 102,0 103,7 98,0
97,9 98,8 99,0 100,0 101,5 100,8 98,8 97,9 96,5 100,5
JORGE ACUNA ACUNA
141
co n lo n g itu d ta m b ié n n o rm a lm e n te d is trib u id a co n m e d ia 1 0 ,4 cm va ria n za 8 c m 2. La utilidad lograda u sand o el pro ceso A es de 080,00 po pie za y usando el pro ceso B de 0150,00 por pieza. Las piezas qu e no midan entre 9 y 14 cm , son desechadas. ¿ C u á l procesi recom ienda usar y qu é criterio usó para la selección? 5.
U n a fábrica de aluminio produce, entre otras cosas, un tipo de canal de un; aleación de aluminio. P or experiencia, se sabe que la rigidez m edida en ps está n o rm a lm e n te d istribuida con m e dia igual a 2 4 2 5 psi y desviaciói e s tá n d a r 1 1 5 p s i. ¿ C u á l e s la p ro b a b ilid a d d e q u e un c a n a l de es; alea ción, qu e es s e le ccio n a d o aleatoriam ente, teng a un va lo r de rigide: com p re ndido entre 2230 y 2425 psi?
6.
U n a población está form ada por cuatro elem entos cu y a s m agnitudes soi 5 , 8 , 1 2 y 15. D e m o s tra r el te o re m a del lím ite cen tral co n m u e stra s d; tam año dos tom adas con reem plazo.
7.
Lo s p e s o s de las b o b in a s de tela recib ida s en una b o d e g a de materia: prim as tienen un peso m edio de 100 kilos con desviación estándar de 25 ki los. ¿ C u á l es la probabilidad de que el peso de cinco bobinas re c ib id a s ' ca rga das en una carretilla supere el límite de capacidad de ésta que es di 600 kilos?
8.
E n el P ro ble m a No. 7:
a. ¿ C u á l e s la p ro b a b ilid a d de que la m e d ia se e n c u e n tre entre 95 ,5 ' 108 ,7 5 kilos? b. Si se recibieran estas b ob in as en g ru p o s de ta m a ñ o cinco, ¿cuánta: bobinas se espera que tengan un peso m edio superior a 107,7 kilos? 9.
En un proceso de producción de láminas de acero para techo, se necesit; co n o ce r el com portam iento de su grosor. Si se extrae una m uestra de 11 e le m e n to s , q u e o rig in a u n a m e d ia de 0 ,0 5 8 c m , c o n u n a d e s v ia c ió i e stán dar de 0 ,0 0 2 8 cm a. D ete rm inar la probabilidad de encontrar lám inas que tengan; - u n g roso r igual o superior a 0,06 cm - u n g roso r entre 0,05 y 0,0 6 5 cm - u n g roso r igual o inferior a 0,056 cm
CONTROL DE CALIDAD
146
b.
¿ C o n qu é nivel de co n fia n za se p u e d e afirm ar qu e este p ro ce so p ro d u ce lám inas con un g rosor que se encuentra entre 0,055 y 0,061 cm ?
10. Para una distribución t-student con 15 grados de libertad, hallar el valor del estadístico t, tal que: a. el áre a a su derech a es 0,01 b. el áre a a su izquierda es 0,95 c. el áre a entre él y el valor de t2es de 0,95 11. El v o lu m e n p ro m e d io de un ta n q u e es de 305 litros. S i se e je cu ta n 22 m ediciones del volum en, la desviación estándar correspondiente es de 35 litros. D eterm ine la probabilidad de que la m edia de esas m ediciones: a. esté com prendida entre 290 y 304 litros b. se a inferior a 308 litros c. se a superior a 299 litros 12. Para analizar la dispersión de una m áquina cortadora de alam bre, se tom a una m uestra de 30 pie za s cortadas. Si la desviación están dar de corte es de 3 ,1 5 c m . ¿ C u á l e s la p ro b a b ilid a d de h a lla r en las 30 p ie z a s u n a desviación estándar: a. S u p e rio r a 2 cm b. Inferiora 1 ,8 cm c. E ntre 1,7 y 2,8 cm 13. C o n el fin de analizar la calidad sum inistrada por dos m áquinas troquelado ras, se tom a inform ación sobre el diám etro de m uestras de piezas m aqui nadas. El C u a d ro 2.2 6 m uestra esta inform ación. D eterm ine cuál es la probabilidad de qu e la razón de v a rianzas: a. S e a superior a 2,5 b. S e a inferiora 0,8 c. S e encuentre entre 0,95 y 2,35
JORGE ACUNA ACUNA
147
CUADRO 2.26. Información para el problema No. 13
Máquina
Tam año de Muestra
Media
Desviación estándar
1567-A 1568-B
31 27
5,5 cm 5,8 cm
0,75 cm 0,72 cm
14. La p ro b a b ilid a d de q u e no falle un tra nsistor es d e 0 ,9 5 . S e p ru e b a n 5 transistores. ¿ C u á l es la probabilidad de que fallen dos transistores, de tal m ane ra que el se g u n d o transistor que falle sea pro bado de último? 15. U n p ro c e s o de m a n u fa c tu ra de circu ito s in te g ra d o s p ro d u c e c o n una fracción defectuosa de 0 ,5 5 % . C a d a 20 m inutos se tom a una m uestra de 2 0 0 unidade s al aza r. Si la m uestra contiene u na o m ás unidade s defec tu osa s, el p ro ce so deb e ser parado. D eterm ine la probabilidad de qu e el proceso sea parado de acu erdo con el e sq u e m a de m uestreo. 16. P o r e x p e rie n c ia se s a b e q u e la p ro b a b ilid a d de q u e un to rn illo sa lg a defectuoso es 0,0 5 y la de qu e una tuerca salga defectuosa es 0,04. a. ¿C u á l es la probabilidad de que una tuerca escogida al a za r y un tornillo esco gido al a z a r no ajusten y por lo tanto el par no pueda ser usado? b. Si la fábrica ve n d e su pro d u cto en cajas de 2 0 0 parejas. ¿ C u á l es el núm ero e sperado de parejas defectuosas? 17. U n fabricante de piezas para autom óviles garantiza que una caja de estas piezas contiene un m áxim o de 2 unidades defectuosas. Si la caja contiene 20 piezas y la experiencia dem uestra que el proceso produce 2 % de piezas defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que una caja de piezas satisfaga esta garantía? 18. E n un proceso de fabricación de bombillos, se tiene una fracción defectuo sa de 0,02. Hallar la probabilidad de que en una m uestra de 100 bombillos se encuentren:
CONTROL DE CALIDAD
148
a. cero defectuosos b. un defectuoso c. m e nos de un defectuoso d. m á s de tres defectuosos 19. La probabilidad de qu e un dispositivo electrónico falle es de 0 ,0 0 2 5 . Si se to m a n 3 0 0 0 d isp o s itivo s p a ra un análisis, hallar la p ro babilidad d e que fallen: a. 8 dispositivos b. 3 ó 6 dispositivos c.
D e 4 a 7 in c lu s iv e
d. M e nos de 3 dispositivos e. M ás de 9 dispositivos 20. U n a m uestra de 12 calcetines de algodón son som etidos a una nru e b a de resistencia de rotura de h e b ra s. El resultado del experim ento g e n e ró un prom e dio de resistencia de 2 1 2 ,1 7 g/cm2con una desviación están dar de 3 5 ,6 5 g/cm 2. H a lla r los lím ites de co n fia n za del 9 5 % para la m e d ia y la desviación estándar. 21. D o s m á q u in a s lle n a d o ra s d e g e la tin a en p o lv o e s tá n s u m in is tra n d o paquetes con variabilidad m u y alta en su peso. C o n el fin de an a liza r esta s itu a c ió n s e to m a n 5 0 p a q u e te s de la m á q u in a I y 6 0 p a q u e te s de la m áqu ina II, originando las distribuciones de frecuencia del C u a d ro 2.27. a. ¿ S e pu e d e afirm ar con a = 5 % , q u e una de estas m áqu inas g e n e ra un peso superior a la otra? b. ¿ C u á l es la probabilidad de co m e te r error tipo II? c.
¿ S e p u e d e afirm ar con a = 5 % , q u e h a y diferencia entre los p e s o s de am b a s m á q u in a s?
22. E n u na inve stig a c ió n so b re eficacia y re n dim iento de d o s tipos d e s u s tancias quím icas usada s co m o pegam ento, se hicieron dos pruebas piloto, u n a co n c a d a u n a de e lla s, m id ie n d o la re s is te n c ia a la te n s ió n . E sta
JORGE ACUNA ACUNA
149
CUADRO 2.27. Distribuciones de frecuencia del Problema 21
L|
L.
"«
nwi
82,95 83,75 84,55 85,35 86,15 86,95
83,75 84,55 85,35 86,15 86,95 87,75
5 7 14 11 7 6
6 9 18 15 7 5
nkl: frecuencia absoluta de máquina I nkll: frecuencia absoluta de máquina II
p ru e b a co n s is te en te n s a r las partes p e g a d a s h asta q u e se s e p a ra n , m o m e n to en que se m ide la fuerza requerida. Los valores obtenidos para a m b a s pru e bas se observan en el C u a d ro 2.28. ¿E xiste alguna diferencia significativa entre a m bos pegam entos? ¿C u á l es la probabilidad de error tipo II?
CUADRO 2.28. Datos para el Problema 22
M uestra #
Pegam ento I
Pegam ento II
1 2 3 4 5 6 7 8
174.0 173.5 172.6 173.0 171.5 172.5 173.6 172.0
173.0 171.5 172.0 173.8 171.1 172.4 172.0 173.8
150
CONTROL DE CALIDAD
2 3. La resistencia a la rotura de cables producidos por un fabricante tiene una m e dia de 90 0 kilos y u na d e s via ció n e stán dar de 50 kilos. M ediante una nue va técnica en el proceso de fabricación, se aspira a que esta resistencia pu e da se r increm entada. Para co m p ro b a r esta suposición se e n s a ya n 50 c a b le s y s e e n c u e n t ra u n a re s is te n c ia m e d ia d e 9 2 5 kilos c o n u n a desviación estándar de 55 kilos ¿ P u e d e aceptarse que hay un increm ento significativo en la resistencia? 24. U n a m áquina debe producir arandelas con un grosor de 0,125 cm . S e saca u na m uestra de 10 arandelas que resultan tener un grosor m edio de 0,135 c m y u n a d e s via c ió n e s tá n d a r d e 0 ,0 0 7 . P ru e b e si la m á q u in a e stá en b u e n a s condiciones de fabricación. 2 5. Si en 250 piezas producidas por la m áqu ina A, hay 19 piezas defectuosas, y en 300 de la m áquina B, 27 defectuosas ¿existe diferencia en cuanto a la c a lid a d s u m in is tra d a p o r a m b a s m u e s tra s re s p e c to a su p o rc e n ta je defectuoso pro ducido? U s e a = 3 % . 2 6. U n estudio destinado a co m p a ra r el contenido de nicotina de dos m a rca s de cigarrillos reveló qu e 5 0 cigarrillos de la m arca A , tenían un contenido p ro m e d io de 2 4 ,2 m ilig ra m o s con u n a d e s via ció n e s tá n d a r de 1 ,3 m ili g ra m o s , m ien tra s q u e 5 0 cigarrillos de la m a rca B , tenían un co n te n id o m edio de 25,1 miligram os, con una desviación estándar de 1,5 miligramos. ¿ E s significativa la diferencia o b s e rv a d a entre las m edias? U se a = 5 % . 2 7. S e tom a una m uestra de 18 piezas provenientes de la m áquina 12 3 -A , que g e n e ra n u n a re s is te n c ia m e d ia a la c o m p re s ió n d e 2 2 0 0 psi c o n u n a desviación estándar de 150 psi. Lu eg o se toman 16 piezas provenientes de la m áquina 12 4 -B ; qu e generan u na resistencia m edia a la com presión de 2410 psi con una desviación estándar de 145 psi. Las piezas de la m áquina 12 3 -A , cue sta n m e n o s qu e las de 12 4 -B y se c o m p ra rá n las de la 12 4 -B , solo si resultan por lo m enos 150 psi m ás resistentes qu e las de la m áquina 1 2 3 -A . ¿ Q u é solución le da U d a este pro blem a? U s e a = 5 % . 28. S e quiere hacer un análisis sobre una pieza m ediante la utilización de dos p r o c e d im ie n t o s . E n el p r o c e d im ie n to A s e u s a u n a m u e s tra d e 2 5 e le m e n to s y en el p ro c e d im ie n to B d e 16 e le m e n to s . El C u a d r o 2 .2 9 . m uestra los resultados correspondientes.
JORGE ACUNA ACUÑA
151
CUADRO 2.29. Información para ambos procedimientos
Procedim iento
Prom edio
Desviación Estándar
A B
136 cm 128cm
12cm 10cm
P robar las hipótesis respectivas, si u = 135 cm y o = 20 cm , con a = 5 % . 2 9. D e un lote de 10 0 0 0 u n id a d e s se to m a n 2 6 0 p ie z a s e n c o n trá n d o s e un núm ero de defectos com prendido entre 0 y 13 defectos distribuidos según el C u a d ro 2 .30. ¿ S e puede afirm ar con a = 6 % , que la variable aleatoria se distribuye por Poisson? 30. Al a nalizar la calidad de un lote se pueden encontrar, segú n los registros históricos, u na cantidad de defectos qu e oscila entre 1 y 8. Ai so m e te r a in s p e c c ió n un lote d e 2 5 6 u n id a d e s s e e n c o n tró el c o m p o rta m ie n to m ostrado en el C u a d ro 2.31. Determ ine con cc= 5 % , si la distribución correspondiente a este conjunto es la distribución geom étrica g (x ;0 .5 )
CUADRO 2.30. Defectos encontrados en las 260 piezas del problema 29
No. defectos
No. de piezas
No. defectos
No. de piezas
0 1 2 3 4 5 6
18 44 58 28 18 14 12
7 8 9 10 11 12 13
10 10 9 9 8 14 8
CONTROL DE CALIDAD
152
CUADRO 2.31. Datos obtenidos para el problema 30
x: f:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
f
136
60
34
12
9
1
3
1
número de defectos número de piezas con ese número de defectos
La función den sid ad de esa distribución es: g (x ,p ) = p . qx_1 31. P a ra el P ro blem a 21 se establece que el producto que no pese entre 83,0 y 8 6 ,0 g ra m o s, no se acep tará c o m o bueno. a. P ru eb e norm alidad de peso para a m b a s m áquinas. b. ¿ Q u é se puede decir, con 9 5 % de confianza, acerca de los porcentajes de producto no co n fo rm es en a m b a s m áquinas? 32. T r e s p ro v e e d o re s e n tre g a n lotes de p ro d u c c ió n q u e se p ru e b a n en el laboratorio. La prueba consiste en m edir la resistencia a la com presión en psi. Los datos correspondientes a los últimos tres lotes de cada proveedor se m uestran en el C u a d ro 2 .32.
CUADRO 2.32. Datos obtenidos de las pruebas para el problema 32
Proveedores B
C
60500
69000
68000
59000
58000
61000
62500
65500
64500
A
T JORGE ACUÑA ACUÑA
153
a. C o n un n iv e l d e s ig n if ic a c ió n d e l 5 % , p r o b a r si h a y d if e re n c ia s significativas para las m edias de cad a lote. b. C o n un n iv e l d e s ig n ific a c ió n d e l 5 % , p r o b a r si h a y d if e re n c ia s significativas para las m edias de cad a lote y para cada proveedor. c. S i h a y d ife re n cia s en cu a lq u ie ra de los c a s o s , d e m o s tra r d ó n d e se presentan esas diferencias. 3 3. E n una em presa fabricante de piezas cilindricas se han generado m uchos re cha zo s en los últimos m eses y se cree que ello se debe a las diferencias m o s tra d a s entre las d im e n s io n e s g e n e ra d a s entre las m á q u in a s y a la Inexactitud de las m ism as. P a ra investigar esta situación se tom an cinco m uestra s de cincuen ta unidades de ca d a m áqu ina, m idiendo su longitud en m m y originando la inform ación presentada en el C u a d ro 2.33. a. ¿ S o n ciertas las hipótesis planteadas con a = 5 % ? b. Si h a y diferencias, ¿e n qué m áquinas las h a y? U s e a = 5 % 3 4. La resistencia a la tensión ha sido una de las características que m ás ha fallado en la elaboración de cintas vulcanizadas para llantas. Para analizar la situación se e n s a y a n dos m u estra s a diferentes tiem pos de c u ra d o a 14 ° C y u s a n d o d ife re n te s a c e le r a d o r e s . L a in f o rm a c ió n o b te n id a p re sentada en el C u a d ro 2.3 4 es para tres tiem pos de curado en minutos.
CUADRO 2.33. Datos para el Problema 33
M A Q U IN A S
M E D I A
A
B
C
D
53,4 55,8 54,5 55,6 54,0
55,5 56,0 55,0 55,5 54,6
53,3 56,2 54,0 55,0 53,8
54,3 54,9 55,8 54,1 53,5
CONTROL DE CALIDAD
154
CUADRO 2.34. Datos para el Problema 34
ACELERADOR
T I E M P 0 S
A
B
C
40
3900 3600
4300 3700
3700 4100
60
4100 3500
4200 3900
3900 4000
80
4000 3800
4300 3600
3600 3800
a. ¿ S e p u e d e afirm ar con a = 5 % , q u e la resistencia m edia v a ría seg ú n el tipo de acelerado r? b. ¿ S e p u e d e a firm a r c o n c t= 5 % , q u e la re s is te n c ia m e d ia v a ría de a cu erdo con el tiem po de curado? c. Si h a y diferencias identifique: ¿ e n qu é tipo de a celerado r o tiem po de cu rado se pre senta? 35. Para el P ro b le m a 22: a. ¿ Q u é ta m a ñ o de m u e s tra s e re q u ie re p a ra lo g ra r un e rro r tipo II de
0 , 12 ? b. D e acuerdo con los resultados obtenidos en 1. ¿q u é nivel de confianza se requiere pa ra obtener una decisión contraria a la obtenida? c. Si se considera defectuoso todo aquello que teng a un valor bajo 171,0 y sobre 173,0 y se supone distribución normal para am bas poblaciones. -
¿ q u é s e p u e d e a firm a r a c e rc a d e los p o rc e n ta je s d e fe c tu o s o s sum inistrados por a m bos tipos de peg am ento?
-
si se fija un porcentaje defectuoso de 1 % , ¿ q u é se pu ede afirm ar de c a d a u n o de los p e g am entos?
JORGE ACUÑA ACUÑA
155
d. Si se fija el siguiente estim ador de la desviación estándar: a ’=T/3 donde T es la tolerancia dad a, ¿ q u é se pu ede decir de las va ria n za s de cad a tipo de p e g am ento si T es igual 2 ,0 ? e. Si se especifica que el prom edio de resistencia debe ser 172,0, ¿qué se p u e de decir de la eficacia obtenida por cad a tipo de pegam ento? Nota: use a = 5 % para todas las estim aciones 36. U n a fábrica dise ñ a e m p a q u e s p a ra pro du ctos alim enticios. La form a de trabajo consiste en diseñar varios bocetos y m ostrarlos al cliente. Actua l m ente se han pre sentado a un cliente cuatro o pcion es de diseño para su a p ro b a c ió n . P a ra e v a lu a r c a d a d is e ñ o se e s tim a el m o n to de v e n ta s anu a les para ca d a opción. La s cuatro opciones se presentan en el C u a d ro 2.35. L a inform ación o bte nid a del A N O V A se pre senta en los C u a d ro s 2 .3 6 y 2.37. ¿ Q u é opción se p u e d e considerar la m ejor? U s e ot=5% 37. S i se d e s e a m u e s tre a r un lote de 5 0 0 0 0 u n id a d e s , p a ra v e rific a r el p ro m e d io de d e fe c tu o s o s , ¿ c u á l d e b e s e r el ta m a ñ o de la m u e stra si: p = 0 ,0 4 , E = 0 ,1 ,1 -a = 9 5 % ? 38. S e d e s e a m u e s tre a r la p ro d u c c ió n de u n a m á q u in a p a ra e s tim a r el prom edio del diám etro de las piezas qu e fabrica. ¿ C u á l es el tam año de la m uestra que garantiza un error no m a yo r de 0,5, con 9 5 % de confianza, si se sa b e qu e cr2= 4 ,7 c m 2?
CUADRO 2.35. Opciones de diseño presentadas al cliente
O pción A B C D
Descripción Tres colores con dibujos animados i res colores sin dibujos animados Cinco colores con dibujos animados Cinco colores sin dibujos animados
CONTROL DE CALIDAD
156
CUADRO 2.36. Tamaño de muestra y promedios
O pción A1 ",
B
C
D
2
3
4
2
15
13
19
27
CUADRO 2.37. Cuadro ANOVA deI Problema 36
O rigen
g-1.
Sum a de C uadrados
C uadrado m edio
F
Diseño Error
3 6
258 46
86 7,67
11,21
TO TA L
9
304
39. U n de pa rtam ento de control de calidad lleva un registro sobre la cantidad de defectuosos encontrados por sem ana. La Información se presenta en el C u a d ro 2.38. a. Extraer una m uestra aleatoria de seis elem entos, utilizando m uestreo aleatorio sim p le y m uestreo estratificado. E n a m b o s ca so s estim e los parám e tros poblacionales y el error estándar. b. ¿ C u á l de los dos tipos de m u éstre o s es preferible? 40. L o s p o rc e n ta je s d e fe c tu o s o s d e ios lotes re c ib id o s p o r u n a c o m p a ñ ía oscilan entre 0 ,5 % y 3 ,5 % . D u ra n te el pre sente a ñ o se han recibido 216 lotes que se han dividido en tres estratos, cuya inform ación se m uestra en el C u a d ro 2.39.
JORGE ACUÑA ACUÑA
CUADRO 2.38. Datos registrados en las últimas doce semanas
Sem ana núm ero
Cantidad de defectuosos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
30 45 60 20 15 10 10 50 30 35 9 17
CUADRO 2.39. Información para el Problema 40
Estrato
% Defectuoso
Núm ero de lotes
Desviación estándar del %
1 2 3
0 ,5 % -0 ,9 9 % 1 ,0 % -1 ,9 9 % 2 ,0 % -3 ,5 0 %
98 106 12
0,05 0,15 0,35
a. S e d e s e a sa ca r una m uestra de 40 lotes, ¿cuál es el n ú m ero de lotes que se de b e extraer de ca d a estrato? U s e tanto afijación óptim a com o proporcional. b. C a lc u le los e rro re s c o rre s p o n d ie n te s y c o m p a re a m b a s fo rm a s de estratificar.
Capítulo III
INGENIERIA DE CALIDAD
L
a ingeniería de calidad es la disciplina que se e n c a rg a de investigar los m edios que perm iten la dism inución y si e s p o s ib le la e lim in a c ió n d e la v a ria b ilid a d en los p ro c e s o s . E s te e s tu d io s e h a c e a n te s de in ic ia r la p ro d u c c ió n y tie n e c o m o o b je tiv o in v e s tig a r to d a s a q u e lla s c a u s a s q u e p ro v o c a n que u na d e te rm in a d a c a ra c te rís tic a d e c a lid a d s e c o m p o rte c o n a m p lia s tolerancias. Para ejecutar este tipo de investigaciones se nece sita un o rd e n a m ie n to en las activid ades de d ise ñ o de producto de tal m an e ra que se pu eda h acer uso de las herram ientas estadísticas y de laboratorio para efectuar las p rue bas que sean necesarias. La d is e ñ o fo rm a s causa s
b a s e estadística de este tipo de estu dios es el de e x p e rim e n to s q u e a tra v é s d e d ife re n te s de p ru e b a perm iten identificar y co n tro la r las de posibles problem as de calidad en la etapa de
diseño de producto. E n la a ctu a lid a d , la te n d e n c ia es h a cia co n stru ir calida d en la etapa de d iseño de producto, e v a lu a n d o las diferentes m odalidades en que las características de calidad p u eden actuar.
160
CONTROL DE CALÍDAD
CARACTERISTICAS DE CALIDAD El control de p ro ce so de un pro d u cto se ejecuta so b re la ba s e de c a ra c terísticas de calida d que se g e n e ra n en las diferentes etapas de fabricación. U n a ca ra cte rística de calidad es u n a va riable o un atributo g e n e ra d a en una o p e ra ció n de p ro d u cció n y q u e d e b e cu m p lir con los requisitos fijados. Si la característica es u na variable significa qu e es m edible (p o r ejem plo: longitud, tem peratura, presión, hum edad y p H ). Si ésta es un atributo significa que no es m edible (p or ejem plo: olor, color, sab or, apariencia y textura). E n el control p o r va ria b le s, s e ejecu tan una serie de m e d icio n e s co n un instru m e n to a d e c u a d a m e n te se le c c io n a d o . La m ag nitu d o bte nid a refleja la con dició n del p ro ce so y perm ite ob te n e r con clusiones para realizar accio n es correctivas, p re ve ntivas y pro yectivas que evitarán futuros problem as. E n el control por atributos, se recolecta inform ación acerca de la cantidad d e u n idade s d e fe ctu osas a s í c o m o de los defectos en co n tra d o s. E n esta a c ción se tom a nota de posibles ca u sa s y se tom an decisiones para decrem entar tanto la ca n tid a d de d e fe c tu o s o s c o m o la ca n tid a d y v a rie d a d de d e 'o c to s . T a m b ié n p ueden usarse para el control de producto que no siendo defectuoso no cu m p le con lo especificado. T a l y co m o se p u ede abstraer de la definición de característica de calidad, un producto tiene una gran cantidad y variedad de características. A n te ello, es n e c e s a rio e je c u ta r u na cla sifica ció n con el fin de d e te rm in a r a q u e lla s m á s Im portantes y relevantes. P ara ejecu tar esta clasificación se hace uso de tres d iagram as que son el diagrama de Ishikawa, el diagrama de Pareto y el dia grama de causa- efecto. La cla sifica ció n co n sis te en re c o le cta r to d a s las ca ra cte rística s y p o n erlas en el d ia g ra m a de Ishikaw a, lu eg o clasificarlas de acuerdo con su frecuencia e importancia en un diagram a de Pareto y finalmente en co n tra r las c a u s a s y efectos o ca sio n a d o s por la falla de las características se le cciona da s, u sand o d ia g ra m a s cau sa -efecto .
Diagrama de Ishikawa Este diagram a, también conocido com o diagrama de espina de pescado, es un m e dio de re c o le cta r la info rm a ció n so b re to d a s las ca ra cte rística s de calidad g e n e ra d a s en la fabricación del producto.
JORGE ACUÑA ACUÑA
161
Existen tres tipos de d ia g ra m a s de Ishikawa, el diagram a para e l proceso en el que se colocan las operaciones de proceso en las ram as, el diagram a para
e l p ro d u cto en el que se colocan las partes del producto en las ram as y el dia g ra m a g e n e ra l en el q u e se an o ta n las c a ra cte rística s d ire c ta m e n te en las ram as, de a cu e rd o con su ocurrencia. E n el diag ram a para producto, adem ás d e las partes, es reco m e n d a b le anotar, en las ram as, el n o m bre del producto final p u e s existen características que se o bservan solo en él. El procedim iento para construir este diagram a es el siguiente: 1.
E le g ir el producto o pro ceso qu e se v a a estudiar.
2.
C o lo c a r la palabra proceso o el nom bre del producto (para diagram a para producto y diagram a general) en el extrem o derecho de una flecha horizon tal, tal y co m o lo m uestra la Figura 3.1.
3.
H a c e r u n a lista de to d a s las ca ra cte rística s de calidad q u e se g e n e ra n . E sta lista se efectúa para cada parte del producto, cada etapa del proceso, o en form a general. E n esto, se deb e tom ar en cuenta al operario y a ins p ecto res exp erim entados con el fin de no dejar por fuera aq uellas c a ra c terísticas qu e te n g a n u na periodicidad m u y irregular o m u y e sp a c ia d a y que por lo tanto pu ede qu e no se detecten en el período de observación.
4.
O rd e n a r la información en forma secuencial, de acuerdo con las partes que c o m p o n e n al producto o las etapas qu e conform an el proceso.
5.
D ibujar las flechas diagonales (ra m a s principales) sobre las que se repre s e n ta rá n las partes del p ro ce s o , las partes del p ro d u cto o las c a ra c te rísticas de calidad. E sto se puede ve r en la Figura 3.2.
> >
Nombre de producto
Proceso
FIGURA 3.1. Formas de la flecha horizontal
CONTROL DE CALIDAD
162
Rama
6.
D ib u ja r las s u b ra m a s si e x iste n v a ria c io n e s p a ra la c a ra c te rís tic a de calidad anotada.
7.
Verificar qu e toda s las características han sido anotadas.
E J E M P L O 3.1 E la bo ra r un diag ram a de Ishikaw a para producto para un abridor de latas con ba se en la siguiente inform ación recolectada. 1.
El producto está com puesto por las siguientes partes: m anigueta superior, m a n ig u e ta inferior, cu ch illa de co rte , p iñ ó n , patilla de giro del p iñ ó n y rem ache de cuchilla.
2.
La s características de calidad para cad a parte son las siguientes:
Manigueta superior - resistencia - porosidad
Manigueta inferior - longitud
'
- diám etro
- longitud
- porosidad
- im presión - du re za
- resistencia - dureza
- aca b a do
Cuchilla de corte
Piñón
- ángulo de corte
- paso del diente
-filo
- du reza
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-
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profundidad de corte resistencia du re za porosidad
-
- pulido
Remache de cuchilla
resistencia porosidad nú m e ro de dientes diám etro exterior ajuste
Patilla de giro del piñón
-tip o - longitud - holgura - diám etro exterior - a ca b a do - diám etro de c a b e za
-flexibilidad de giro - an ch o - resistencia - porosidad - elasticidad
Abridor de latas - apariencia - peso - e m p aq ue S O L U C IO N C o n ba se en la inform ación su m inistrada se con struye el d ia g ra m a que m uestra la Figu ra 3.3.
Diagrama de Pareto El diag ram a de Pareto perm ite clasificar las características de calidad de acuerdo con su frecuencia de ocurrencia y su importancia. Esta acción permite c e n tra r la a te n c ió n s o la m e n te s o b re a q u e lla s c a r a c te r ís tic a s q u e sean im portantes y no triviales. E ste d ia g ra m a se u sa tam bién en clasificación de inventarios y es co m ú n m e n te con ocido co m o clasificación A B C . E n la aplicación de esta técnica se hace uso de la siguiente categorizaciór de características:
Característica crítica (A): es aquella falla qu e puede pro vocar la pérdida de vida de personas, el da ñ o a la propiedad privada o hace que el producto nc cu m p la con el fin para el cual fue creado.
CONTROL DE CALIDAD
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M anigueta superior
Rem ache
Cuchilla de corte
FIGURA 3.3. Diagrama de Ishikawa para un abridor de latas
Característica principal o mayor (B):
e s a q u e lla q u e h a c e q u e el
p ro du cto de je de cu m p lir con la función intentada si cae fu era de los lím ites prescritos.
Característica menor (C):
es a q u e lla q u e h ace q u e el p ro d u cto te n g a
fallas de poca im portancia si ca e fuera de los límites prescritos.
Característica incidental o irrelevante
( D ) : es a q u e lla falla q u e no
p ro voca p ro blem a s im portantes y en m u ch o s ca so s pasa de sa p e rcib id a a los ojos del usuario. El cliente raras v e c e s se queja por este tipo de falla. La clasificación de características o b e d e c e a u na política de elim inación de p ro ble m a s. La regla m á s u sa d a es la del 8 0 % y consiste en b u sc a r cu ále s
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ca ra cte rística s p ro v o ca n el 8 0 % de los pro b le m a s de calidad. La regla es la siguiente: De 0 % a 8 0 %
se d en om inan características críticas
D e m á s de 8 0 % a 9 5 %
se d en om inan características m ayores
D e m á s de 9 5 % a 9 8 %
se d en om inan características m enores
D e m á s de 9 8 % a 1 0 0 % se denom inan características incidentales E l p ro ce d im ie n to de se le cció n de c a ra cte rís tica s de calida d u sa n d o el d ia g ra m a de Pareto es el siguiente: 1.
Listar todas las características de calidad presentadas en el diag ram a de Ishikaw a. (C o lu m n a 1)
2.
T o m a r u n a m u e s tra de p ro d u c to te rm in a d o de ta m a ñ o p re v ia m e n te c a lc u la d o y to m a r n o ta de la fre c u e n c ia d e fa lla de c a d a u n a d e las características de calidad listadas en 1. (C o lu m n a 2)
3.
O t o r g a r un p e s o (w ) a c a d a c a ra c te rís tic a d e s p u é s de un a n á lisis de criticidad y ubicarla dentro de una de las cuatro categorías citadas. Puede u sa rse u na esca la de peso , c o m o la siguiente: 1 0 0 ,5 0 , 2 5 ,1 s e g ú n sea característica crítica, principal, m e n o r o incidental. (C o lu m n a 3)
4.
M u ltip lica r la fre c u e n c ia a n o ta d a en 2 (n :) p o r el co rre s p o n d ie n te peso a sig n a d o en 3. (w¡). (C o lu m n a 4)
5. 6.
S u m a r la colu m n a 4 y obtener el total correspondiente. C a lc u la r el p o rce n ta je de c a d a c a ra c te rís tic a d iv id ie n d o el v a lo r de la C o lu m n a 4 por el total obtenido en el paso 5. (C o lu m n a 5)
7.
A n o ta r en un s e g u n d o c u a d ro el listado de c a ra c te rís tic a s de ca lid a d o rd e n a d a s de m a y o r a m e n o r con base en el porcentaje ca lcu lado en ei p a so 6 el cual se anota en la C o lu m n a 5. (C o lu m n a s 6 y 7)
8.
C a lc u la r el p o rc e n ta je a c u m u la d o , a c u m u la n d o el p o rc e n ta je de la co lu m n a 7. (C o lu m n a 8)
9.
Efectuar el corte al 8 0 % y asignar a cada característica en el intervalo de 0 a 8 0 % , su c o r re s p o n d ie n te c la s ific a c ió n id e n tific a d a p o r u n a letra. (C o lu m n a 9)
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10. C o n s tru ir el eje x c o n e s c a la indiferente pero de igual a n c h o p a ra cad a c a r a c t e r ís t ic a d e c a lid a d y el eje / c o n u n a e s c a la d e 0 a 1 0 0 q u e representa el porcentaje. 11. Dibujar el rectángulo correspondiente a cada característica de la altura que indique la co lu m n a 2. 12. Dibujar el a cu m u la d o de la colu m n a 3. 13. Localizar en el eje y, los valores 8 0 % , 9 5 % y 9 8 % y observar en el eje x las c a ra c te rís tic a s q u e s e d e n o ta rá n c o m o c rítica s , m a y o re s , m e n o re s e incidentales. P a ra hacer esto se localiza el valor y se traza una línea hori zontal hasta intersecar la línea de porcentaje a cu m u la d o , luego se traza una línea vertical de la intersección al eje x. Las características encerradas por el cu a d ro form ado son las que corresponden a la categoría en estudio. 14. O b te n e r las conclusiones de la clasificación.
EJEMPLO 3.2 Efe ctuar un dia g ra m a de P areto para las características de calidad va ria bles del abridor de latas citado en el E jem plo 3.1. La regla por seg u ir es la del 8 0 % y se desean identificar las características críticas sobre las qu e se basará el su bsiste m a de control de pro ceso. Para clasificarlas haga uso de la información que se presenta en el C uadro 3.1 que se obtuvo de una m uestra de 200 unidades.
SOLUCION S e seguirá el procedim iento planteado. a.
Los paso s 1 ,2 y 3 se pre sentan en el C u a d ro 3.2.
b.
Lo s paso s 4 , 5 , 6 , 7 , 8 y 9 se presentan en los C u a d ro s 3.3 y 3.4.
c.
Lo s paso s 1 0 ,1 1 ,1 2 y 13 se presentan en la F ig u ra 3.4.
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CUADRO 3.1. Información recolectada para 200 unidades
Característica (Columna 1)
Abridores que no cumplieron Peso (w) (Columna 2) (Columna 3)
1. Dureza de manigueta inferior 2. Longitud de manigueta inferior 3. Longitud de manigueta superior 4. Dureza de manigueta superior 5. Diámetro de manigueta inferior 6. Resistencia de manigueta inferior 7. Angulo de corte 8. Profundidad de corte 9. Dureza de cuchilla de corte 10. Resistencia de cuchilla de corte 11. Paso del diente 12. Dureza del piñón 13. Resistencia del piñón 14. Número de dientes 15. Diámetro exterior del piñón 16. Longitud del remache 17. Diámetro exterior del remache 18. Holgura del remache 19. Holgura de la patilla 20. Ancho de la patilla 21. Resistencia de la patilla
2 3 5 4 5 4 25 10 15 1 20 1 5 6 24 30 25 10 10 25 5
100 25 1 50 50 25 100 100 50 1 25 50 50 5U 25 1 25 100 100 50 100
C o n c lu s io n e s Al o bserva r la Figura 3.4 o el C u a d ro 3.4 se concluye q u e la característica m ás im portante es la N o. 7 qu e es el ángulo de corte y la m e n o s im portante la N o. 10 qu e es la resistencia de la cuchilla de corte. A su v e z el subsistem a co n trol de p ro ce so basará su s accio n es en las características pre sentada s en el C u a d ro 3 .4 . Esto significa qu e el subsistem a bu sca la elim inación del 8 0 % de los pro ble m as de calidad por m edio del estudio e im plem entación de m edidas sobre las características seleccionadas.
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CUADRO 3.2. Cálculos Intermedios para el Paretograma
Característica (Columna 1)
(Columna 2)
",
w (Columna 3)
n*w (Columna 4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
2 3 5 4 5 4 25 10 15 1 20 1 5 6 24 30 25 10 10 25 5
100 25 1 50 50 25 100 100 50 1 25 50 50 50 25 1 25 100 100 50 100
200 75 5 200 250 100 2500 1000 750 1 500 50 250 300 600 30 625 1000 1000 1250 500
TO TA L:
Porcentaje (Columna 5) 1,800 0,670 0,040 1,800 2,230 0,900 22,350 8,940 6,700 0,009 4,470 0,450 2,2G0 2,680 5,360 0,270 5,600 8,940 8,940 11,170 4,470
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D ia g ra m a c a u s a -e fe c to P a ra c a d a u n a de las c a ra c te rís tic a s prioritaria s s e le c c io n a d a s p o r el p a re to g ra m a se c o n s tru y e un d ia g ra m a de c a u s a -e f e c to , d o n d e c o m o el n o m b re lo indica, el objetivo es b u s c a r las ca u sa s qu e pro vo ca n y los efectos p ro vo ca d o s por la falla de esa característica.
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CUADRO 3.3. Cálculos finales del Paretograma
Característica (Columna 1) 7 20 8 18 19 9 17 15 21 11 14 5 13 4 1 6 2 12 16 3 10
%
(Columna 2) 22,35 11,17 8,94 8,94 8,94 6,70 5,36 5,36 4,47 4,47 2,68 2,23 2,23 1,80 1,80 0,90 0,67 0,45 0,27 0,04 0,01
% acumulado (Columna 3)
Clasificación ' (Columna 4)
22,35 33,52 42,26 51,40 60,34 67,04 72,64 78,00 82,47 86,94 89,62 91,85 94.08 95,88 97,68 98,58 99,25 99,70 99,65 99,99 100,00
A A A A A A A A B B B B B C C D D D D D D
Este diagram a es una importante arm a para la bú sq u eda y eliminación de causa s de variación y constituye una forma ordenada de recolectar información a ce rca de las fallas que afectan la calidad del producto. Este diagram a puede ser construido de dos formas. La prim era consiste en colocar siete ram as para las causas y siete ram as para los efectos. Estas ramas co n stitu ye n los facto res de la calida d. La otra form a co n sis te en ano tar las c a u s a s y los efectos d irectam e nte en ca d a ra m a . La s e g u n d a form a tiene la desventaja de que no Identifica al agente causante o afectado con la falla de la
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FIGURA 3.4. Paretograma del Ejemplo 3.2.
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Q -O ^O L
ü
Z H < -3 U J
"3
o'-
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CUADRO 3.4. Características seleccionadas por el Paretograma
No. 7 20 8 18 19 9 17 15
Nom bre Angulo de corte Ancho de la patilla Profundidad de corte Holgura del remache Holgura de la patilla Dureza de la cuchilla de corte Diámetro exterior del remache Diámetro exterior del piñón
característica de calidad. E n a m bos casos se actúa con control preventivo con el fin de proyectar todas las actividades que pre ve ng an las fallas de calidad. El procedim iento de construcción de este diagram a es el siguiente: 1.
C o lo ca r la característica en estudio en un cu ad ro centrado
2.
A n ota r a la izquierda las ca u sa s y a la dere ch a los efectos
3.
Identificar cada ram a con un factor de calidad. Los nom bres de los factores de calidad se anotan en el e n c a b e za d o de las ram as
4.
A n o ta r en c a d a ram a las c a u s a s y los efectos se g ú n sean o rig in a d o s o afectados por cad a factor de calidad
5.
C o rro b o ra r que se haya anotado toda la inform ación La Figu ra 3.5 m uestra el e sq u e m a correspondiente a este diagram a.
EJEMPLO 3.3 D e te rm in a r las c a u s a s y e fe cto s p a ra el c a s o en q u e la o p e ra c ió n de llenado de bolsas de cacao no cum plan con el peso especificado.
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Causas Hom bre
M áquina
Efectos Dinero
Hombre
M áquina
Dinero
FIGURA 3.5. Esquema de un diagrama causa-efecto.
SOLUCION La Figura 3.6 presenta el diag ram a solicitado. La inform ación se recolecta directam ente en las líneas de producción y en entrevistas con inspectores.
NORMALIZACION El a vance tecnológico y las condiciones com petitivas de los productos en el m erca do provocan cam bios relevantes en la forma de pensar de productores y con sum ido res. U n o de estos ca m bios se refiere a exigencias de calidad, las cuales en su m a y o ría son esta b le cida s por el c o n s u m id o r y cu m plidas p o r el pro ductor, si éste d e s e a te ne r éxito en m e rc a d o s tanto ra c io n a le s c o m o internacionales. Bajo este con ce pto m od e rn o de calidad de producto, el pro ductor d e b e esta blecer eficientes y eficaces sistem as, para lograr la fabricación de un producto q u e c u m p la c o n e s p e c if ic a c io n e s d e d is e ñ o q u e g a ra n tic e n a su v e z el cum plim iento de los requerim ientos del consum idor.
FIGURA 3.6. Diagrama causa-efecto para el Fjemplo 3.3
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C o m o u n a a c tiv id a d p a ra le la a la identificación de c a ra c te rís tic a s de c a lid a d , el a n a lista de ca lid a d d e b e e s ta b le c e r o re c o le cta r las n o rm a s de proceso y de producto que sean los patrones de com paración para llevar a cabo un v e rd a d e ro co n tro l. E s te p ro c e s o p e rte n e ce a u n a disciplina o rg a n iz a d a co n o cida co m o norm alización. L a n o rm a liz a c ió n se d e fin e c o m o el p ro c e d im ie n to de fo rm u la c ió n y aplicación de reglas que pretenden e n c a u za r una determ inada actividad dentro de un patrón de com portam iento ad e cu a d o . Los objetivos m ás im portantes de esta disciplina son: 1.
2.
Facilitar y racionalizar la flexibilidad en el uso de m ateriales de tal m anera qu e se tengan costos m ás bajos y calidad de un nivel superior. E s t a b le c e r p ro c e d im ie n to s q u e p e rm ita n e v a lu a r las In n o v a c io n e s tecnológicas im portada s de otros países.
3.
P rotege r los intereses del co n su m id o r y las condiciones del am biente.
4.
G e n e r a r e s p e c ific a c io n e s q u e p e rm ita n un v e rd a d e ro co n tro l de las actividades productivas.
5.
O rg a n iz a r la producción o rd e n a n d o procedim ientos y m etodologías.
El instrum ento g e ne ra do de un estudio de norm alización se con oce com o n o rm a . La n orm a se define c o m o el resultado de la gestión de norm alizació n a p ro b a d a p or u n a autorid ad form al y c u y a aplicación se hace a tra vé s de un d o c u m e n to q u e co n tie n e los re q u e rim ie n to s y c o n d ic io n e s q u e d e b e n ser c u m p lid a s. Si se habla de p ro ce s o s pro ductivos, el n o m b re que recibe es de n orm a técnica. La norm a técnica contiene, entre otras cosas, especificaciones p a ra la va ria b le e n e s tu d io , m é to d o de e n s a y o , e q u ip o e in s tru m e n ta c ió n necesaria, m étodo de tom a de la m uestra y accion es por tomar.
Tipos de normas técnicas L a s n o rm a s té c n ic a s se cla sifican s e g ú n su c a rá c te r de a p lica c ió n , su contenido y su nivel de aplicación. L a s n o rm a s s e cla sifica n d e a c u e rd o co n su c a rá c te r de a p lica c ió n en n o rm a s obligatorias y optativas. La s norm as obligatorias son dictadas por un
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ente oficial com petente y adquieren validez al ser publicadas en un diario oficial. Las norm as optativas son tam bién aprobadas por un ente oficial pero su aplica ción es voluntaria. La s n o rm a s, de a c u e rd o con su con te n id o , se clasifican en la siguiente form a: 1.
D e term inología y definiciones. Recolectan conceptos y los definen con el fin de establecer un lenguaje uniforme.
2.
D e cla sifica ció n . C la s ifica n c o n c e p to s y los o rd e n a n en fu nción d e su finalidad.
3.
D e elaboración. Establecen condiciones de manufactura que garanticen el cum plim iento de los requisitos exigidos por el cliente.
4.
D e requisitos. Indican entre otras co s a s valores nom inales y tolerancias p ara productos y partes.
5.
D e m étodos de ensayo . Establecen los procedim ientos para la ejecución de e n s a y o s q u e p e rs ig u e n e v a lu a r el c u m p lim ie n to de los re q u isito s exigidos al producto.
6.
D e m u e s tre o y re c e p c ió n . E s ta b le c e n ta m a ñ o s de m u e s tra , p ro c e d i m ientos de extracción y criterios de aceptación y rechazo.
7.
De rotulado. Plantean la forma de identificar, manipular y transportar el pro ducto. Estas norm as son m uy útiles en el e m p a q u e de producto.
8.
9.
D e enva se y em balaje. Establecen las características y propiedades de los m ateriales por usar para proteger, transportar y alm acen ar el producto. D e uso. Establecen los m étodos para lograr una a d e c u a d a utilización del producto. La s norm as segú n su nivel de aplicación se clasifican en:
1.
D e nivel individual. S e usan para la atención de problem as que conciernen a un usuario.
2.
D e nivel em presarial. La em presa decide desarrollar una norm a para ser aplicada internam ente. P or ejemplo, una em presa del sector m e ta l-m e cá nico decide im plem entar una norm a para el proceso de limado.
CONTROL DE CALIDAD
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3.
D e nivel de asociación. V a ria s e m p re s a s afiliadas a una asociación d e ci den plantear y acatar una norm a qu e les permite cum plir con intereses afi nes. Por ejem plo, una cám ara sectorial decide implantar una norm a con el fin de qu e las e m p re s a s afiliadas la cum plan.
4.
D e nivel n a c io n a l. S e c to re s in d u s tria le s d e s a rro lla n n o rm a s p a ra s e r cum plidas por todos ellos. E sto pu ede darse a nivel formal o informal. Por ejem plo, el Instituto de N o rm a s T é c n ic a s de C o sta R ica ( I N T E C O ) decide im plem entar u na norm a para s e r cu m plida por un sector específico.
5.
D e nivel regional. V a rio s pa íse s acu e rd a n desarrollar una norm a p a ra su beneficio m utuo. P or ejem plo, el Instituto C e n tro a m e rica n o de Investig a ció n y T e c n o lo g ía Indu strial ( I C A I T i ) d e c id e p o n e r a las ó rd e n e s de la región cen troam erican a una n orm a determ inada.
6.
D e nivel m undial. S e dictan en ám bito m undial para facilitar el intercam bio e co nóm ico con parám etros c o m u n e s . P or ejem plo, la O rg a n iza ció n Inter nacional de E sta n d a riza ció n (IS O ) pon e a disposición de quien lo quiera u na norm a para el control de aceptación por atributos. U n o de los a sp e cto s cla ve s es q u e la em p re s a d e b e b u sca r por el m edio
m ás convenie nte, la form a de desarrollar o adoptar norm as. U n o de los a s p e c tos qu e ayudan en esta tarea son las norm as técnicas de aplicación específica. S in e m b a rg o , al s e r e s p e c ífic a s so n a p lic a b le s s e g ú n cie rta s c o n d ic io n e s im puestas por la naturaleza del pro ceso y producto en estudio. A sí, la tarea de integración de n orm as se pu ede vo lve r inm anejable e im productiva. P a ra ello, es m ejor el uso de norm as de aplicación general cuyo objetivo es e nm arcar una d e te rm in a d a tarea, de ja n d o los a sp e c to s específicos para ser a n a liza d o s de a cu e rdo con el p ro ceso o producto analizado.
N o r m a IS O -9 0 0 0 U n a de las te n d e n c ia s p o s itiv a s de los o rg a n is m o s de n o rm a liz a c ió n in te rn a c io n a le s h a s id o el e s ta b le c im ie n to de se rie s de n o rm a s c o n un fin e specífico. E n este ca s o la S e rie IS O -9 0 0 0 pro cu ra un ordenam iento de todo aquello relacionado con asegu ra m iento de calidad, visto desde su con cepción integral.
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E n 1987, IS O (O rg a n is m o Internacional de E sta n d a riza c ió n ) aprobó un c o n ju n to de n o rm a s q u e lle va n el n o m b re S e rie IS O -9 0 0 0 , c u y o principal objetivo es el establecim iento de m ecanism os de aseguram iento de la calidad, que garanticen la bu en a m arch a de las actividades internas de una em presa y de su relación con los clientes. La Serie IS O -9 0 0 0 es un conjunto de cinco norm as num era das de 9000 a 9004, las cuales se aplican a la gestión de calidad. Las norm as se pueden usar bajo co n d icio n e s contractuales y no contractuales, con el fin de garan tizar la entrega de un producto que cu m pla los requisitos previam ente establecidos por el cliente. La aplicación de la Serie IS O -9 0 0 0 requiere de bastante grado de especialización en co n cepto s m odernos de calidad, p u e s la norm a solo establece los in stru m e n to s p o r e v a lu a r, q u e d a n d o los m e d io s y los p ro ce d im ie n to s para h a ce rlo bajo la re s p o n s a b ilid a d del analista q u e la a pliqu e . E s to s p ro c e d i m ientos y m étodos persiguen diagnosticar el sistem a de calidad. D e b e tenerse presente aquí qu e las norm as usan el concepto de calidad con enfoque integral y no bajo el c o n ce p to m ínim o de inspección de pro du cto. La n o rm a contiene definiciones y co n ce p to s qu e perm iten e n m a rc a r la evalu ación y decidir qué a spectos evaluar. La norm a 9000 establece los criterios para seleccionar o aplicar las normas que co m p o n e n la serie. E n ella se dan las características de cad a norm a de tal m ane ra qu e se p u e d a decidir con facilidad cuál usar. Si se d e s e a estab lecer un nivel de gestión de calidad, qu e con lleve a un constante m ejoram iento de la calidad de producto y servicio al con su m ido r, y qu e tom e en cuenta tanto factores h um a nos co m o técnicos y organizativos, se de b e aplicar la norm a 9004. S i s e h a n e s ta b le c id o s itu a c io n e s c o n tra c tu a le s e n tre el clie n te y el p ro v e e d o r se d e b e aplicar la n o rm a 90 0 1 , 9 0 0 2 o 90 0 3 . Al decir situaciones contractuales im plica que el cliente ejecuta pedidos al proveedor en los cuales establece su s condiciones. El C u a d ro 3 .5 m uestra una breve descripción de cad a una de las norm as qu e co m p o n e n la Serie IS O -9 0 0 0 .
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CUADRO 3.5. Descripción de la Serie iSO-9000
Norma
Nombre
Breve descripción
ISO-9000
Norma para la gestión y aseguramiento de la calidad. Lineamlentos de selección y aplicación.
Es la guía que permite seleccionar el tipo de modelo a usar. Da las pautas para que el ana lista escoja el modelo que más se adecúa a las características de la empresa y a sus relaciones con el cliente.
ISO-9001
Sistema de calidad. Modelo de aseguramiento de la calidad aplicado al diseñodesarrollo, fabricación, instalación y servicio.
Se usa cuando existe un compromiso contrac tual entre cliente y proveedor para entregar un producto acorde a sus requisitos. Se fijan las características que demuestran que el produc tor es capaz e Idóneo para cumplir el contrato. Incluye todas las actividades por realizar desde el diseño de producto hasta el servicio post-venta.
ISO-9002
Sistema de calidad. Modelo de aseguramiento de calidad aplicado a la fabricación e instalación.
Se usa en situaciones contractuales, cuando la capacidad del proveedor para fabricar un producto acorde a las necesi dades del cliente, debe ser demostrada. Las actividades planteadas tienen por objetivo la prevención y detección de Irregularidades tanto en la etapa de fabri cación como en la etapa de instalación.
ISO-9003
Sistema de Calidad. Modelo de aseguramiento de calidad aplicado a la inspección y ensayos finales.
Se usa en situaciones contractuales cuando se debe demostrar que el produc tor ejecuta ensayos y pruebas finales al producto, con el fin de evitar que productos no conformes lleguen a manos del cliente.
ISO-9004
Sistema de calidad. Gestión de calidad y elementos del sistema. Lineamientos.
Se usa cuando se desea diseñar un sistema de calidad que dé confianza a la dirección de que se van a cumplir los requisitos impuestos por el cliente. Incluye actividades que van desde el diseño de producto, análisis de materiales, control de proceso y hasta la investigación de fallas del pro ducto en manos del cliente.
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U n a de las ventajas de esta serie es qu e sirve de base para la im plem entación de un sistem a m o d e rn o de control de calida d, el cual p o d e m o s estar se g u ro s qu e cum plirá con lo requerido por la Serie. El cum plim iento de lo establecido por esta norm a es im prescindible, pues se rá un requisito por cu m plir para iniciar o p e ra cio n e s com erciales con o rg a nism os internacionales.
METROLOGIA L a m etrología es la ciencia de la m edición y se refiere a la e sco gen cia del instrum ento adecu ado, que perm ita m edir un elem ento o característica en las u n ida de s d e seadas, y en los sistem as de unidades adoptados. E n el ca so de inspección de calidad la unidad d e s e a d a d e pe nde de la especificación qu e se t e n g a y el s is te m a d e m e d id a a d o p ta d o e s el M K S (m e t r o -k ilo g r a m o s e g u n d o ). Si la m edición no es efectuada bajo las condiciones m etrológicas fijadas, los datos obtenidos no reflejarán las condiciones de la característica qu e está siendo m edida. C o m o resultado, las conclusiones y decisiones serán erróneas y costosas. E n m e tro lo g ía se p u e d e n co m e te r dos tipos de e rrore s: sistem ático s y c a s u a le s . Lo s e rrore s sistem áticos so n pro pio s del instrum en to u sa d o y se deb e n entre otras cosas a cam bios de tem peratura qu e afectan al material de q u e están h e ch os, a de s ga ste s o a errore s en la esca la tra za d a . Lo s errores casua les se deben al ser hum ano y su origen se encuentra principalmente en la falta de e n tre nam iento en el uso del instrum ento. E sta falta de capa citació n p ro voca errores tales co m o m ala colocación del instrum ento con respecto a la p ie z a , lectura e rró n e a de e s ca la s y m a la o in a d e c u a d a re g u la c ió n del in s trum ento con respecto al patrón de m edida usado. L o s in s tru m e n to s d e m e d ic ió n s e p u e d e n c la s ific a r s e g ú n el á re a o disciplina en que se usan. Algu na s de estas á, aas son: M ecánica, Electricidad, F ísica , M etalurgia, Q u ím ic a , Biología y Botánica (Brito,1993) E n el área M e cá n ica , por ejem plo, los instrum entos se clasifican en ins tru m e nto s para m e d id a s de longitud, instrum entos para m edidas ang u la re s,
CONTROL DE CALIDAD
180
in stru m e n to s de ve rificación de atributos e instrum en tos de m e dida y verifi ca ción en el laboratorio. L o s in stru m e n to s para m e d id a s de longitud perm iten m edir entre otras d im e n s io n e s a n c h o , la rg o , p ro f u n d id a d y d iá m e tro . E je m p lo s d e e s to s instrum entos son el pie de rey y el m icróm etro. Los instrum entos para m edidas a n g u la re s c o m o su n o m b re lo Indica perm iten m edir m a g n itu d e s a n g u la re s. E je m p lo s de ellos son el gonióm etro y la regla de senos. Lo s instrum entos de verificación de atributos perm iten co m p ro b a r si una característica c u m p le con un patrón fijado sin efectuar m edición a lg u n a . Ejem plo s de éstos son los cali bres p a s a -n o pa sa , las ruedas den tadas, e scua dras, c o m p a s e s y palp adore s de carátula. Los instrum entos de verificación en laboratorio cum plen la m ism a fu n c ió n de los a n te rio re s y g e n e r a lm e n te o c u p a n un e s p a c io im p o rta n te . E je m p lo s de ellos s o n la m e sa de control de excentricidades y el co m p a ra d o r óptico.
ESPECIFICACIONES D e a cu erdo con su origen, existen dos tipos de especificaciones q u e son las especificaciones de co n su m id o r y las especificaciones de productor.
Especificaciones del consumidor E sta s especificaciones se originan en los requerim ientos o características q u e el c lie n te d e s e a in c o r p o r a r e n el p ro d u c to q u e v a a a d q u irir. E s ta s e sp e c ifica cio n e s se clasifican en o c h o g ru p o s cu y a d e s crip ció n se b rin d a a continuación. A.
Dimensional. A q u í se
definen a lg unas m edidas qu e el cliente de se a en el
producto. P or ejem plo, la capacidad en litros de un tanque de captación de a gua. B.
Funcional. E n e ste c a s o el c lie n te e s ta b le c e los re q u e rim ie n to s de fu n cio n a m ie n to q u e g a ra n tice n u n a m e jo r utilización del p ro d u cto . P o r ejem plo, la ca pa cid ad de d e sco nex ió n de una plancha cu a n d o alcance la tem peratura d e seada.
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C.
Apariencia.
181
E sta característica juega un papel m u y importante, principal
m e n te pa ra p ro d u cto s alim enticios y s u n tu o s o s , p u e sto q u e en ellos el p rim e r p unto crítico de e va lu a c ió n de calida d se da por la vista. La a p a riencia está relacionada con la forma, el color, la presentación, el em paque y todo a quello qu e llame la atención del cliente. P o r ejem plo, el color que presente una jalea. D.
Servicio.
E s te se refiere a todo s aquellos a sp e c to s relacionado s con la
a te n c ió n b rin d a d a , p o r la e m p re s a , u n a v e z q u e el p ro d u c to ha sid o adquirido por el cliente. El servicio con sid era los siguientes aspectos:
• Disponibilidad. S e
refiere a la acción qu e permite localizar el producto con facilidad, es decir, qu e si se necesita se pueda adquirir en el m enor
tiem po posible. S e asocia tam bién con la facultad del producto de estar apto para su uso.
• Mantenibilidad. S e
refiere a la necesidad qu e tiene el con su m ido r de
qu e al fallar el producto, éste pu eda s e r re p arado en el m e n o r tiem po posible, existiendo am plia disponibilidad de repuestos. P or ejem plo, la varie dad de repuestos para reparar un televisor.
• Servicibilidad.
Esto se refiere a la necesidad que tiene el consum idor
de q u e el s e rv ic io de in sta la c ió n , e x p lic a c ió n de fu n c io n a m ie n to y reparación se haga en la m ejor form a y en el m eno r tiem po posible. S e in c lu y e n las facilid a d e s q u e se le d a n al cliente de q u e d e v u e lv a el producto si éste no satisface sus expectativas. E.
Conservación.
S e refiere a la c a p a c id a d del p ro d u c to , e x ig id a p o r el
c lie n te , d e c o n s e rv a r su s c a ra c te rís tic a s in ic ia le s d u ra n te un tie m p o prudencial fijado por el fabricante. Por ejem plo, el tiem po de duración de una caja de leche. F.
Manejo. S e
refiere a las facilidades de m ovim iento que ofrezca el producto,
de tal m a n e ra qu e su traslado de un lugar a otro sea fácil. P o r ejem plo, la utilización de en va se s desechables en lugar de e nvase s retornables, en el ca so de refrescos g aseoso s. G.
Requisitos legales.
S e refiere a los requisitos de ca rá cte r legal q u e se
exigen al producto. Por ejem plo, etiqueta que contem ple los Ingredientes y la m a rca respectiva.
CONTROL DE CALIDAD
182
H.
Empaque.
S e refiere a la fu n cio n a lid a d y pro te cció n q u e se te n g a del
p ro d u c to , c o n el fin d e n o a lte ra r s u s c a ra c te rís tic a s d e c a lid a d . P o r ejem plo, e m pa q ue doble uso. El productor debe tom ar estas especificaciones y generar especificaciones técnicas capa ces de cum plir con las exigencias establecidas. Parte del éxito de lograr total satisfacción del co n s u m id o r se ba s a en h acer una correcta inter pretación de esos requerim ientos. U n a de las técn ica s q u e en la actualidad es usada para ejecutar u na efi ciente traducción de con ceptos es Q F D “Q uality Function Deploym ent” (G u tié rrez, 1989). A través de ella se pretende transformar las peticiones del cliente en e sp e c ifica cio n e s in g e n ie rile s q u e al s e r re p ro d u c id a s g a ra n tice n el c u m p li m iento de las ne ce sid a des del cliente. Este C a pítulo analizará, m á s adelante, a lgunos aspectos referentes a esta técnica.
Especificaciones del productor L a s e s p e c ifica cio n e s del p ro d u c to r o e s p e c ifica cio n e s té cn ica s so n el patrón d e c o m p a ra c ió n q u e fo rm a n parte de u na n o rm a y c u y o ob je tivo es brin d a r a la insp e cció n la g u ía p a ra ca ta lo g a r al p ro du cto c o m o a ce p ta b le o recha za ble. D e p e n d ie n d o del pro du cto, este tipo de especificaciones son fijadas por m edio de una norm a, del cliente o de la e m p re s a m ism a. N o e s p o s ib le d e c ir
que se está ejecutando un con tro l de proceso si no existe una especificación. El parámetro de com paración es absolutam ente necesario para conocer cuál esfel estado de un proceso. La s especificaciones del pro ductor se deb en dar en form a escrita y en la m e d id a de lo p o s ib le d e b e n s e r n u m é ric a s p u e s al s e r v e rb a le s p u e d e n pro voca r m alas interpretaciones. Las especificaciones a m enu do se presentan co m o un va lo r nom inal d e n o ta d o por M y u na tolerancia d e n o ta d a por T . E s e valor nom inal es un valor central m ientras qu e la tolerancia es una desviación m á xim a perm isible. E n la co m b in a c ió n de estos dos a sp e c to s se pre sentan cuatro ca so s que son:
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183
CASO I M ± T : este caso establece una variación entre dos valores, uno superior (M + T ) y otro inferior (M - T ) , s ie n d o inacepta ble la p ro d u cció n q u e sa lg a del intervalo establecido
CASO II M - T : este caso establece un valor nominal (M ) y un valor Inferior (M - T ) bajo el cual la producción se considera inaceptable
CASO III M + T : este c a s o e sta b le ce un v a lo r nom inal (M ) y un va lo r s u p e rio r (M + T ) sobre el cual la producción se considera inaceptable
CASO IV
+t ,
, ~T*
: este caso establece un valor nominal y tolerancias diferentes hacia arriba y abajo. Esto se da pu es el costo y la probabilidad de que el producto salga a un lado u otro son diferentes Para ana lizar caso s, referentes especialm ente a variables, es necesario
d o m in a r los c o n c e p to s de e x a c titu d y p re c is ió n , los q u e se v e rá n a c o n tinuación.
Exactitud y precisión La exactitud se m ide de acuerdo con la m agnitud del movimiento que tenga el p ro m e d io y la precisión de a cu e rd o con la m a g nitu d de la variabilidad con respecto a un valor prefijado. El análisis de exactitud y precisión de un proceso puede llevar a identificar anom alías, las cuales una v e z eliminadas o reducidas, oca sio na n la dism inución de producto no conform e con especificaciones.
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CONTROL DE CALIDAD
Si se tiene una especificación M ± T , entonces se definirá la exactitud com o el grado en que el prom edio estim ado del proceso coincide con el valor nominal
(M) de especificación. C u a n d o se c u m p le esa con dició n se habla de un pro ceso centrado. Si se m uestra n diferencias entre a m b o s valores es necesario pro b a r si son significativas. Lo s p ro c e s o s ce n tra d o s d e b e n ser u sa d o s solo cu an do las condiciones físicas y eco nó m icas, arriba y abajo del valor nom inal, son parecidas o iguales.
La precisión e s
el g ra d o en qu e el pro ceso tiene una m agnitud de v a ria
bilidad igual o inferior a un te rcio d e la to le ra n c ia p re fija d a . Lo a n te rio r se dem u estra así: S e a un pro ce so ce n tra d o que se distribuye no rm a lm e n te con m edia X ’ y desviación estándar a ', el cual estadísticam ente es obligado a producir dentro del rango de la m edia y 3 o ’, entonces su representación gráfica se da s e g ú n la Figu ra 3.7. D e sd e el punto de vista estadístico (9 9 ,7 4 % de producto aceptable), para tener la m áxim a producción aceptable es necesario que 6 o ’ sea igual o m e n o r a 2 T , de a quí 6 o ’ < 2 T o s e a o < T / 3 . Si hay d u d a s e n la diferencia se debe hacer la prueba de hipótesis corresp ondiente u sand o la distribución ch i-cu a d ra d o .
i__________________________________________________ i 2 T
l--------------------------------------------------------------------------------------------- 1 6 o -’
FIGURA 3.7. Representación gráfica de exactitud y precisión
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E n la com binación de exactitud y precisión existen cuatro caso s que son:
C A S O A : P roceso c entrado y p re ciso E ste e s el m ejo r de los c a s o s y a q u e el porcentaje d efectu oso s e g ú n la distribución norm al es 0 ,2 7 % o m enos. Si se tiene este caso se deben ejecutar a ctividades qu e perm itan qu e esta condición pre va lezca. La Figu ra 3 .8 m uestra este caso.
(*
)
X’
-
3 0 -’
1
X’ =
M
_ --------------------------------------------------------------
M - T
X’
-
3 tr ’
l M + T
(*) El intervalo X ± 3o’ puede ser menor que el representado. FIGURA 3.8. Representación gráfica del Caso A
C A S O B: P roceso d escentrado y pre ciso L a p re s e n ta c ió n de e s ta s itu a c ió n p u e d e g e n e r a r g ra n c a n tid a d de defectuosos o producto no conform e con especificaciones. La m agnitud de esta cantidad d e p e n d e de qu é tan g ra n d e es la diferencia entre la m edia estim ada del pro ce so y el valor nom inal especificado. La Figura 3.9 representa este caso. E n ella se puede ver que los valores de la m edia del pro ceso y el nom inal son diferentes.
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X’ " 3 u ’
X’
x» -
3tr>
FIGURA 3.9. Representación gráfica del Caso B.
C A S O C: P roceso cen tra do e im preciso E s un caso delicado, que puede provocar gran cantidad de producto defec tuoso o no conform e con especificaciones, esto depende de la m agnitud de o ’. La F ig u ra 3 .10 m uestra este caso.
M -T
M +T
FIGURA 3.10. Representación gráfica del Caso C
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1-----
C A S O D: Proceso d escentrado e im preciso E ste es el p e o r de los ca so s. C u a n d o se p re se n ta , se d e b e dism in u ir la dispersión para luego centrar el proceso. E L objetivo es disminuir la cantidad de producción defectuosa o no conform e con especificaciones. L a Figu ra 3.11 m uestra este caso .
X’
-
3 ir
X ’
X’
-
3 tr’
FIGURA 3.11. Representación gráfica del Caso D
L a e x actitu d y la p re cis ió n del p ro c e s o , se d e fin e n de a c u e rd o con la especificación, pero tam bién se pueden definir de acuerdo con la capacidad del p ro ceso. Si es así, exactitud y precisión se definen de la siguiente form a:
Exactitud es el grado en que un proceso m antiene su prom edio cerca del valor verd a d e ro poblacional sin cam bios bruscos que lo descontrolen. Precisión es la c a p a c id a d de un p ro ce so de m a n te n e r u na d ispersió n controla da, o se a q u e la desviación están dar se encu entra siem pre ce rca del valor poblacional m á s favorable. P a ra c o m p le m e n ta r el aná lisis de exactitud y p re cis ió n es im p o rtante calcular el porcentaje defectuoso o no conform e con especificaciones. Para ello es necesario que la variable en estudio se distribuya norm alm ente tal y co m o lo m uestra la Figura 3.12.
CONTROL DE CALIDAD
188
M - T
X’
M t T
A, + A2= Porcentaje de producto fuera de especificaciones
FIGURA 3.12. Representación gráfica de la curva normal para el cálculo del porcentaje de inconformidades
EJEMPLO 3.4 U n a operación de corte de piezas deb e cum plir con una especificación de 10 ,5 ± 1 ,3 c m . S e to m a u n a m u e s tra de 100 u n id a d e s y d e s p u é s de h a b e r realizado u na distribución de frecu encias se obtiene u na m edia de 10,2 cm y u na d e s via ció n e stá n d a r de 0 ,8 cm . A d e m á s , se ha e je cu ta d o la re s p e ctiva prueba de norm alidad, siendo ésta acep tada con 9 5 % de confianza. ¿ C u á l es el estado de la operación de corte?
SOLUCION 1. A ná lisis de exa ctitud D e a cu e rd o con los datos, M no es igual a X ’ por lo qu e se hará la re s p e c tiva p ru e b a d e h ip ó te sis. L a F ig u ra 3 .1 3 m u e s tra las c a ra c te rís tic a s de la hipótesis por probar. C o n a = 5 % , no h a y e v id e n cia p a ra afirm ar que el p ro c e s o está e s ta d ís ticam ente centrado, puesto que el Z teórico (-1 ,9 6 ) es m ayor que el Z calculado (-3 ,7 5 ),
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H 0: n = 10,5 H a: g no es igual a 10,5 0 ,0 2 5
0 ,0 2 5 1 0 ,2 -1 0 ,5 : -3 ,7 5
0,8 - 1,9 6
\/ióo~
l,9 6
FIGURA 3.13. Hipótesis de medias (bilateral)
2.
A ná lisis de pre cisió n C o n el fin d e a n a liz a r la p re c is ió n d e e s te p r o c e s o s e c o m p a r a la
desviación estándar con un tercio de la tolerancia. A sí: o ’ < T/3 0,8 > 1,3/3 0,8 > 0 ,4 3 E ste análisis m uestra evidencia de im precisión. N o es necesario, en este c a s o , p e ro p a ra efecto s ilustrativos se p ro b a rá la h ipó tesis. La F ig u ra 3 .1 4 m uestra las características de la hipótesis por probar.
H 0; ° 2= (T / 3 )2 H a: o 2> (T / 3 )2
0 , 82 se2 = 100 ---------- = 3 4 6 ,1 3 0 ,4 3 2
.
(*) V a lo r o b te n id o d e T A B LA III del Apéndice I. ae= 124,342"
FIGURA 3.14. Hipótesis de una varianza
CONTROL DE CALIDAD
190
C o n a = 5 % , no h a y e videncia estadística para afirm ar que el p ro ce so es pre ciso. C o m o es evidente el pro ceso es altam ente im preciso.
3. P orcentaje de p ro d u cto no a co rd e a especificaciones C o m o un m edio de co n o ce r la cantidad de producto que no cu m ple con lo e s ta b le c id o co n la e sp e c ific a c ió n se utiliza la d istribució n n o rm a l s e g ú n lo m u estra la F ig u ra 3 .1 5.
% de producto conforme = N((11,8-10,2/0,8)-N((9,2-10,2)/0,8) = N(2,00) - N(-1,25) = 9 7 ,73-10,57
o- ’ = 0 , 8
= 87,16 0 % de producto no conforme= 100- 87,16= 12,84% (*) P o rce n ta je s ob tenido s de T A B LA I en 9 ,2
10 ,2
II,8
Apéndice I.
FIGURA 3.15. Porcentaje no conforme
E n c o n c lu s ió n , s e tie n e u n p ro c e s o q u e e s tá d e s c e n t r a d o , q u e es impreciso y que g e nera un 1 2 ,8 4 % de producto fuera de las especificaciones. Al c a lc u la r el p o rc e n ta je de p ro d u c to no co n fo rm e p a ra el p ro c e s o c e n tra d o , usando el m ism o m étodo, se obtiene un valor de 1 0 ,3 2 % . Lo anterior dem uestra qu e au nq u e se centre el proceso no es m ucho lo que se logrará. La acción que co rre sp o n d e es dism in uir la variabilidad tanto co m o sea posible, con el fin de reducir la cantidad de producto qu e no cum ple con especificaciones.
Determinación de especificaciones P a ra co n ta r c o n un v e rd a d e ro co n tro l en las lín e a s de p ro d u c c ió n es n e c e s a r io fija r p a r á m e tro s d e c o m p a r a c ió n , q u e e s té n b a s a d o s en los
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requerim ientos del cliente y en la capacidad técnica, tecnológica y hum ana con que se cuenta. Lo s límites de tolerancia naturales son los que se establecen con base en el proceso en estudio. A partir de estos límites y tom ando en cuenta factores adicionales se establecen los límites de especificación. Los límites de tolerancia se establecen para características de calidad que pueden ser variables o atributos. C u a n d o son variables se pueden calcular para u n id a d e s de p ro d u c c ió n o p a ra p ie z a s e n s a m b la d a s . E n el c a s o de estas ú ltim a s, los c o m p o n e n te s d e b e n c u m p lir co n re q u isito s p a rc ia le s q u e les perm itan form ar parte del ensam ble. C u a n d o s e c u e n ta c o n un b u e n s is te m a d e in fo rm a c ió n es p o s ib le d e te rm in a r lím ites de to le ra n cia co n facilidad. A s í, p o r e je m p lo , si se tiene inform ación de qu e una característica a io largo del tiem po se ha com portado n o rm a lm e n te co n m e d ia g y d e s via c ió n e s tá n d a r a , se p u e d e n ca lcu la r los límites de tolerancia fácilmente. Basta con definir un porcentaje de artículos que se de se a que estén entre los límites y con ello se calcula un intervalo. A sí, si se quiere que ese porcentaje sea 9 0 % (P = 0 ,9 ), entonces: Lím ites de tolerancia= g ± 1,645 •a don de el valor de 1,645 se obtiene de la T a b la I del A pé n d ice I. S in e m ba rgo , esa no es la regla, puesto que es difícil co n o ce r los valores de g y a . A n te esto, es n e c e s a rio h a c e r e stim a c io n e s a partir de m u e stra s estadísticam ente obtenidas. C o n base en esta muestra se calcula el valor de la m e dia y de la d e svia ció n está n d a r (u s a n d o distribución de fre cu e n cia s) y se hacen las inferencias del caso . S e deb e enten der que los valores obtenidos a partir de la m uestra no son iguales a los parám etros poblacionales, aspecto que la estim ación de b e tom ar en cuenta. El m étodo usado consiste en calcular los límites de tolerancia con base en la constante K, la cual d e p e n d e de un nivel de confianza (1 -a ), del tam año de muestra (n) y de la proporción de producto que se desea se encuentre dentro de límites (P ). Los límites de tolerancia se calculan así: Lím ites de tolerancia= x ± K*s La constante K se obtiene de la T a b la VII en el A pé n d ice I.
CONTROL DE CALIDAD
192
C o n b a s e en e so s lím ites se pu e d e n obte ner especificacione s. El ajuste inicial se h a ce a partir del análisis de exactitud y precisión. A sí: V se + V.te M =--------------------------
2
se
ie
T = ----------------------------
2 donde: V se es el va lo r superior especificado (M + T ) V je es el va lo r inferior especificado (M -T ) L o s v a lo re s finales de e sp e c ific a c ió n se o b tie n e n a g re g a n d o facto res e x te rn o s y e x p e rie n c ia . La v a lid e z de e sta estim a ció n d e p e n d e de la b a s e estadística qu e tenga la m uestra y la eficacia de los factores de ajuste.
EJEMPLO 3.5 U n a e m p re s a q u e se d e d ica a la fabrica ció n de b o lsas plásticas, d e s e a co n o ce r los límites de tolerancia para el e speso r de la bolsa. P ara ello se tiene in fo rm a c ió n de e s p e s o r p a ra u n a m u e s tra d e 5 0 b o ls a s c a lc u la d a b a jo c o n c e p to s e s ta d ístico s . Lo s dato s o b te n id o s , en d é c im a s de m ilím e tro , se presentan en el C u a d ro 3.6. Determ ine los límites de tolerancia que garanticen con 99 de confianza que el 9 5 % de las bolsas cu m p le n con lo especificado.
SOLUCION Para calcular la m edia aritm ética y la desviación están dar se hace uso de una distribución de frecuencias. S e usa una distribución de frecuencias pues es
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193
CUADRO 3.6. Información para el Ejemplo 3.5
Dato
Valor
Dato
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8,0 6,0 7,3 5,1 7,0 6,8 7,0 6,8 8,1 6,9
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Valor 4 ,9
:;
7,1 8,2 8,0 8,5 8,1
7,1 6,0 6,3 6,3
Dato
Valor
Dato
Valor
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
7,0 6,9 7,1 7,2 6,8 6,4 6,0 7,0 5,8 4,3
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
5,3 8,3 8,1 7,6 7,8 7,3 7,2 7,0 7,1 6,9
una form a eficaz de representar la distribución de probabilidad correspondiente. El C u a d ro 3.7 presenta esta distribución de frecuencias. La prueba de b o n dad de ajuste realizada sobre la anterior distribución de frecuencias acep ta la norm alidad con a = 5 % . Los valores de la m edia aritm ética y la desviación estándar son:
CUADRO 3.7. Distribución de frecuencias del Ejemplo 3.5
L
LS
I1
IS
4,25 5,05 5,85 6,65 7,45 8,25
5,05 5,85 6,65 7,45 8,25 9,05
4,3 5,1 5,9 6,7 7,5 8,3
5,0 5,8 6,6 7,4 8,2 9,0
CO N TEO III
mu iiiiiii
iiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiini mu
nk 3 5 7 20 10 5
4,65 5,45 6,25 7,05 7,85 8,65
Nk
K
Fk
3 8 15 35 45 50
6 10 14 40 20 10
6 16 30 70 90 100
CONTROL DE CALiDAD
194
x = 7 ,0 5 + [(-6 / 5 0 ) * 0,8] = 6 ,9 décim as de milímetro o = 0 ,8 V (85/50) - (-6/50)2 = 1,1 d écim as de milímetro Al c o n su lta rla T a b la VII en el A p é n d ice I, el valor de K, para el tam año de m uestra de 50 unidades, nivel de con fian za del 9 9 % y proporción entre límites del 9 5 % , es de K = 2 ,576. Los lím ites de tolerancia son los siguientes: L st = x + 2’ ,5 7 6 * 1,1 = 9 ,7 d é cim as de m ilím etro L.It = x - 2’,5 7 6 * 1,1 = 4 ,0 d é cim as de m ilím etro E s t o q u ie r e d e c ir q u e el p ro c e s o e s c a p a z d e p ro d u c ir c o n 9 9 % de c o n fia n za , el 9 5 % d e las b o ls a s co n m e d id a s c o m p re n d id a s entre 4 ,0 y 9,7 d écim a s de m ilím etro. Si no h a y fa c to re s e x te rn o s a d ic io n a le s la e s p e c if ic a c ió n s e p u e d e establecer en 6,85 ± 2,85 décim as de milím etro. Esta especificación se calcula así: V se = 9,7 d é cim a s de m ilím etro ’ V.ie = 4 ,0 d é cim a s de m ilím etro ’
M=
v se +v le
9 ,7 + 4,0
2
2
= 6,85
V se - V
le
9 ,7 -4 ,0 = 2,85
T =
2
2
METODO DE TAGUCHI E ste m é todo , c u y o objetivo es lograr a tra vés del diseño de pro du cto un m ás alto nivel de calidad, fue desarrollado en Ja p ó n por el Dr. G enichi Ta g u ch i.
JORGE ACUNA ACUNA
195
El m étodo de T a g u ch i, cu ya aplicación ha sido am pliam ente probada en países industrializados, consiste en diseñar calidad al diseñar el producto. La principal m eta es estudiar todas aquellas fuentes de variabilidad con el fin de m inim izar su incidencia durante la m anufactura del producto. E ste m étodo es una variación de los m étodos tradicionales de diseño ex p e rim e n ta l y su a p lica c ió n co n sis te en o p tim iza r p ro c e s o s en relación con especificaciones del consum idor. E sta técnica posee una gran ventaja y es que no requiere de gran conocim iento del proceso por optim izar. El M étodo de T a g u c h i com bina técnicas co m o torm enta de ¡deas, diseño de experim entos, arreglos ortogonales y análisis de va ria n za con dos nuevos c o n ce p to s de s a rro lla d o s por el D r. T aguchi lla m a d o s análisis señal/ruido (T a g u c h i, 1987). La
función de pérdida se
función de pérdida y
define co m o la pérdida eco nóm ica ocasionada
a la socie d a d c u a n d o las características funcionales del producto se desvían del valor objetivo d eseado. Esta pérdida se g enera por cuanto el cliente desea un va lo r nom inal y no ese va lo r aso c ia d o con u na tolerancia. E n g eneral, los d ise ñad ore s e ingenieros no calculan esta pérdida por falta de inform ación la cual no ha sido recolectada o no está disponible. U n a form a de e stim a r esta p é rd id a es a tra vé s de la cu a n tifica cló n de costos tales com o servicio y garantía por reparación de productos defectuosos, p é rd id a de m e rc a d o , insatisfacción del cliente y p é rd id a de ve n ta s futuras. A lg u n o s de é sto s s o n cla ra m e n te difíciles de e s tim a r p o r lo qu e d e b e n ser prorrateados con ba s e en los otros. El
análisis señal/ruido
b u sc a d is e ñ a r el p ro d u cto o el p ro ce so lo sufi
cientem ente robusto (ca p a z de afrontar los efectos de la variación sin cam bios significativos) para qu e satisfaga las variaciones a que se verá som etido tanto interna com o externam ente. Las variaciones internas son aquellas que ocurren durante el proceso de m anufactura, m ientras que las variaciones externas son las p ro vo ca d a s por factores externos que norm alm ente no están bajo control del fabricante o el consum idor. A lg u n o s ejem plos de cau sa s de variación internas son alm acen aje inde bido, pérdidas de fricción de m aquinaria, calor, polvo y corrosión. C o m o causas de v a ria c ió n e x te rn a se p u e d e n cita r a q u e lla s c a u s a d a s p o r c o n d ic io n e s
CONTROL DE CALIDAD
196
d e s fa v o ra b le s q u e s e p re s e n ta n en el m e rc a d o o a m b ie n te en el q u e se d e se nvu e lve el producto. A lguno s ejem plos de ellas son: hum edad, cam bios de tem peratura, tensiones y otros esfuerzos que hacen que el producto se aleje de las especificaciones establecidas. D e s d e el p u n to de v is ta e s ta d ís tic o , el m é to d o b u s c a la re d u c c ió n de variabilidad alrededor de la m edia con una desviación estándar m uy peq u eña. U n a fo rm a d e m e d ir lo e x p re s a d o a n te rio rm e n te es a tra vé s del índice de q u e se define co m o la relación entre las tole
capacidad de proceso (IC P ),
rancias y la cap a cid ad de pro ceso. La F ig u ra 3.1 6 da u na representación g rá fica de este índice. El IC P se calcula de la siguiente m anera: Ancho de la especificación ( o Tolerancia de diseño) C p = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Capacidad de proceso ( o Variación Total del proceso)
v e - v ie C p = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 a (Rango Total desde - 3 a hasta +3 cr) V se: Valor superior especificado V ¡e: Valor inferior especificado El M étodo de T a g u c h i trata de optim izar la capacidad de proceso buscando un equilibrio entre lo qu e piensan los diseñadores y lo que pueden ejecutar los Ingenieros de proceso.
Valor inferior de especificación
--------------------------------------------
Valor nominal
Toleremcias
Valor superior de especificación
--------------------------------------------
FIGURA 3.16. Representación del Indice de capacidad de proceso
JORGE ACUNA ACUNA
197
E ste m é to d o se ba s a en d is e ñ o ex p e rim e n ta l a tra vé s d e los lla m ad os cu a d ros latinos. Lo s arreglos ortogonales m ás usado s son los de dos y de tres n iveles totalm ente b a la n ce a d o s. E sto s arreglos son co n o cid o s co m o L a el de d o s n iv e le s y L 9 el de tre s n iv e le s . E l C u a d r o 3 .8 p re s e n ta el a rre g lo L 9. (N e tte r,1 9 8 4 ). E n el C u a d r o 3 .8 se p u e d e o b s e rv a r q u e so n n e c e sa rio s n u e v e ex p e ri m entos para lograr la m axim ización de cuatro factores en tres niveles. Nótese que el prom edio de los tres prim eros experim entos, Y 1 ,Y 2 , y Y 3 , es el promedio de rendimiento del producto o proceso cuando se selecciona el nivel 1 del factor A . El prom edio de Y 2 , Y 5 y Y 8 es el efecto de seleccionar el nivel 2 del factor B. E n general, el p ro m e dio de las d o ce com binacion es (factores A ,B ,C y D y sus n ive le s 1,2 y 3 ) e s e va lu a d o co n el fin de ob te n e r el m ejor resultado para las especificaciones del pro ceso o producto.
EJEMPLO 3.6 ( SHINA.1990) La s p a rte s en este p ro c e s o so n p e g a d a s m e d ia n te un siste m a de alta t e c n o lo g ía . E l p e g a m e n t o R T V fu e s e le c c io n a d o c o m o a g e n te en el
CUADRO 3.8. Arreglo ortogonal para tres factores L9(3i)
Factores Exp.
A
B
C
D
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 2 3 3 1 2 2 3 1
Resultado Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9
198
CONTROL DE CALIDAD
e x p e rim e n to , c o n p a rá m e tro s e le g id o s a rb itra ria m e n te p a ra la e ta p a de p re lim p ieza y tem pera tura de curado. L a ra zó n del e stu d io se fu n d a m e n ta en el h e ch o d e qu e el p ro d u cto en m a n o s del co n s u m id o r está siendo afectado por la se paración de las partes. S u rg ió la idea de aplicar el m étodo de T a g u c h i para optim izar la resistencia de adherencia y entonces se decidió m edir la resistencia de la unión con un apara to esp ecial co m ú n m e n te u sa d o para d e te rm in a r la presión m áxim a aplicada antes de qu e dos partes se separen al elim inar cierta presión externa. S e decidió en este caso usar un arreglo ortogonal de tres niveles, y a que se d e s e a iniciar con el nivel actual ca ta lo g á n d o lo co m o m edio y luego va ria r los niveles hacia arriba o hacia abajo para ob s e rva r los correspondientes efectos. L o s c u a tro fa cto re s c o n s id e ra d o s en el a rre g lo L 9 fu e ro n : te m p e ra tu ra de cu rado, lim pieza ultrasónica, cantidad de R T V y tipo de agente quím ico. L a te m p e ra tu ra de c u ra d o se p ro b ó en tres n ive le s a s a b e r 30 ° C c o m o tem peratura am biente, 50°C com o nivel actual de tem peratura del horno y 70°C co m o un va lo r alto de tem pera tura del horno. La lim pieza ultrasónica, m étodo usa do para prelim piar las partes, se aplicó tam bién en tres niveles a sa b e r 1, 3 y 5 m in u to s, s ie n d o 3 m in u to s el tie m p o u sa d o a ctu a lm e n te . El v o lu m e n de R T V , u sand o diferentes c a b e za s de aplicación, se varió alrededor del volum en u sa do actualm ente, el cual es 1,7 cm 3; los valores usado s fueron 1 ,2 ,1 ,7 y 2,5 c m 3. El tipo de agente q u ím ic o u sado para la lim pieza ultrasónica fue variado del em pleado actualmente Metileno (M E T ), a otros limpiadores tales com o Metil Etil K etona (M E K ) y a g u a (H 20 ) . El cu a d ro latino fue diseñad o s e g ú n lo m uestra el C u a d ro 3.9. E n el C u a d r o 3 .9 s e p u e d e v e r c ó m o en el e x p e rim e n to n ú m e ro 3 los v a lo r e s u s a d o s fu e ro n : 3 0 ° C p a ra te m p e ra tu ra d e c u r a d o , 2 ,5 c m 3 p a ra volu m e n de R T V , Metil Etil K etona co m o lim piador y 5 m inutos para tiem po de lim pieza . E l resultado fue una unión qu e necesitó 2 2 ,6 libras de presión para sepa ra rse . L o s efe cto s de c a d a nivel fueron s u m a d o s y ta b u la d o s de la form a qu e m uestra el C u a d ro 3 .10. P ara calcular los valores correspondientes se su m an los fa cto re s q u e c o in c id e n . C o m o e je m p lo se p re s e n ta n tres c á lc u lo s , los d e m á s se ejecutan de la m ism a form a.
JORGE ACUNA ACUNA
199
CUADRO 3.9. Arreglo ortogonal para el Ejemplo 3.7 U (37)
F a ctores
Exp.
A
B
C
D
F u erza
1
30
1
1 ,2
h
2
30
3
1 ,7
MET
2 2 ,7 2 2 ,6
2o
1 1 ,5
3
30
5
2 ,5
MEK
4
50
1
1 ,7
MEK
5
50
3
2 ,5
6
50
5
1 ,2
MET
2 4 ,0
7
70
1
2 ,5
MET
2 5 ,1
8
70
3
1 ,2
MEK
3 0 ,3
9
70
5
1 ,7
FAC TO RES
h
h
2o
2o
N IV E L E S
A=TEMPERATURA DE CURADO B=TIEMPO DE LIMPIEZA C=VOLUMEN DE RTV D=AGENTEUSADO
30 1 1,2 h 2o
50 3 1,7 MET
3 3 ,3
U N ID A D E S 70 5 2,5 MEK
C álculo de Factor A al nivel 1 A1 = E xp erim e nto 1
+ Experim ento 2
+ Experim ento 3
A1 = 11,5
+ 22 ,7
+ 22,6 A1 = 5 6 ,8
C álculo de Factor B al nivel 2 B 2 = Experim ento 2
+ Experim ento 5
+ E x p e rim e n to s
B 2 = 2 2 ,7
+ 28,5
+ 30,3 B 2 = 81,5
1 9 ,0 2 8 ,5
°C MINUTOS cm3
CONTROL DE CALIDAD
200
C á lc u lo de F a cto r C al nivel 3 C 3 = Experim ento 3 C 3 = 22 ,6
+ +
Experim ento 5
+
2 8,5
+
Experim ento 7 25,1
C 3 = 76 ,2 C o n b á s e e n el C u a d r o 3 .1 0 , el v a lo r m á s alto p a ra c a d a f a c to r es seleccionado, de tal m anera que la resistencia de la unión sea m axim lzada. E n este experim ento, el m áxim o se da para A 3 (70°C), B2 (3 m inutos), C 3 (2 ,5 cm 3 de v o lu m e n de R T V ) y D1 (a g u a para el bañ o ultrasónico). La s co n clu sio n e s son las siguientes: 1.
El factor m ás importante es la tem peratura de curado puesto que eS el que ca u sa el m a y o r cam bio.
2.
El factor m enos importante es el agente quím ico puesto que el usarlo o no usarlo no c a u sa diferencia significativa.
3.
La com binación del m ejor factor seleccionado de los cuatro factores no se encuentra en la m atriz del arreglo L 9.
4.
La re siste ncia p ro m e d io u s a n d o los factores s e le c c io n a d o s p u e d e ser estim ada s u m a n d o los p rom edios de los cuatro factores sea 88,7 + 81 ,5 + 76 ,2 + 7 3 ,3 = 319,7/9 = 3 5,5. E sto representa a p ro xim adam ente un 5 0 % de increm ento sob re el pro m e dio de todos los experim entos.
CUADRO 3.10. Análisis de datos del experimento
A
B
C
D
N IV E L 1
5 6 ,8
5 5 ,6
6 5 ,8
N IV E L 2
7 1 ,5
8 1 ,5
7 5 ,0
7 1 ,8
N IV E L 3
8 8 ,7
7 9 ,9
7 6 ,2
7 1 ,9
2 1 7 ,0
2 1 7 ,0
2 1 7 ,0
2 1 7 ,0
TOTAL
7 3 ,3
JORGE ACUNA ACUNA
201
D e lo a n te rio r se c o n c lu y e q u e el M é to d o d e T a g u c h i p u e d e rá p id a y fácilm ente o p tim izar un p ro ce so o un pro du cto u sa n d o técn ica s estadísticas m u y sim ples. P or otro lado, no es necesario tener un conocim iento profundo de las c a ra c te rís tic a s físic a s y q u ím ic a s del p ro c e s o o p ro d u c to q u e va a se r optim izado. Este ejem plo ¡lustra có m o la m edia de un proceso puede ser llevada hasta el nivel deseado. U n procedim iento similar puede ser aplicado para optim izar la variabilidad, a lo q u e el Dr. T a g u c h i llam a Análisis Señal/R uido. E n este caso, v a rio s p ro d u c to s d e b e n s e r p ro b a d o s p a ra c a d a lín e a d e e x p e rim e n to y en to n ce s los resultados pu e d e n s e r m a x im iza d o s red u cie n d o la v a ria n za en form a opuesta al procedim iento usado en este caso de estudio. (T a g u c h i,1986)
DISEÑO PARA LA MANUFACTURA L a in te n ció n de e sta té c n ic a e s g a ra n tiz a r q u e el d is e ñ o de p ro d u cto c u m p lirá co n los re q u e rim ie n to s de c a lid a d fijado s p o r el cliente y con las lim ita c io n e s de fa b ric a c ió n e s ta b le c id a s p o r la te c n o lo g ía de p ro c e s o . El objetivo es lograr un diseño fácil de fabricar y que cum pla con las expectativas fijadas por el consum idor. T o d o producto industrial pasa por una etapa de diseño. E n unos casos este proceso es altam ente especializado y en otros casos obedece al trabajo de una única p e rs o n a , la q u e a tra vé s de los a ñ o s , ha ad q u irid o la suficiente e x p e riencia y pericia para bosquejar un diseño. E n m uchas ocasiones, se hace caso om iso de las especificaciones del co n sum ido r y se diseña un producto fácil de fabricar pero que no es del total agrado del cliente. E n otras ocasiones, se dise ña el producto sin tom ar en cuenta las capa cid ades tecnológicas y técnicas de los procesos productivos, con el correspondiente problem a de que se tiene un diseño difícil de producir. El producto que se fabrica no cu m p le con la calidad exigida por el diseño pues los ingenieros de producción se limitan a interpretar lo establecido por el diseñador. U n o de los procesos productivos m ás afectado por situaciones de este tipo es el p ro ce so de e n s a m b le , p u e s si el pro du cto no se dise ñ a para u na fácil y sim ple o p e ración de e n s a m b le , los p ro b le m a s de productivid ad y calidad se
CONTROL DE CALIDAD
202
a g r a v a r á n y s e in c re m e n ta rá n . N o im p o rta si el e n s a m b le es m a n u a l o a utom ático, los cuidados en la etapa de diseño deb en ser analizados. E n el ca so de un ensam b le m anual los operarlos necesitan m esas, dispo sitivos, cajas, sujetadores y herram ientas m anuales para llevar a cabo su traba jo. A d e m á s , se necesitan b a n d a s transportadoras, dispositivos de gra ve d a d u otros equipos de m anejo de m ateriales para el transporte de materiales, partes y p ro du ctos de un puesto de trabajo a otro. La s m a n o s son la principal h e rra mienta de trabajo. E n el caso de un ensam ble automático, el diseño de producto d e b e tom ar en cuenta todas aquellas características que faciliten el desarrollo de p ro gra m a s de co m putad ora de a cu erdo con el pro ceso por ejecutar. E n general, sin importar el tipo de ensam ble, el objetivo de los diseñadores es uno: diseñar un producto cu ya sim plicidad y características permitan un fácil en sa m b le , satisfaciendo los requerim ientos del co n su m ido r a un nivel e co n ó m ico para la e m p resa. Esto es con ocido co m o diseño para la manufactura. E n la aplicación de este concepto, los diseñadores tom an en cuenta el tipo d e p r o d u c t o , s u s c a r a c t e r ís t i c a s y a d e m á s lo s s ig u ie n t e s p r in c ip io s (F ish e r, 1984):
1. Modularidad. S e
deb en co m b in a r tantas partes co m o sea posible en una sola, con el fin de reducir inventario, m anejo de partes y piezas, tiem po de
e n s a m b le y n iv e l de d ific u lta d de la o p e ra c ió n . A la v e z , el o rd e n se favore ce y la p ro gram ación y el control de producción se hace m á s fácil. 2.
Partes multifuncionales.
E ste tipo de partes perm iten te ner tareas de
e nsam b le m ás eficientes y m ás productivas pues se reduce considerable m ente el tiem po de ensam b le, la probabilidad de errores y la necesidad de largas y com plicad as actividades de capacitación y entrenam iento. 3.
Accesibilidad.
La s partes q u e c o m p o n e n el e n s a m b le d e b e n se r d is e
ñ a d a s de tal m a n e ra q u e fa v o re z c a n el d iseño de un m éto do de trabajo fácil, e v ita n d o el tra b a jo de “c o n to rs io n is ta ” q u e es fre c u e n te v e r en o p e racione s de e nsam b le m anuales. 4.
Flexibilidad. Las partes de un producto ensam b lado deben ser diseñadas de tal m anera qu e permitan cam bios rápidos y ágiles en el futuro. Esto con el fin de reducir los costos de los cam bios necesarios para adaptarse a los requerim ientos de m erca do y del a vance tecnológico.
JORGE ACUNA ACUNA
5.
203
Utilidad. Las partes y su ben sam bles deben ser diseñad os de tal m anera que se obtengan utilidades sin sacrificar la calidad de materiales y c o m p o nentes. P ara esto, el dise ñ a d o r deb e h acer un análisis de costos y estar con sciente de q u e se deb e d is e ñ a r un pro du cto lo suficientem ente e c o nóm ico y de alta calidad y que por consiguiente cu m p la con los requisitos establecidos tanto por parte del cliente com o del proceso de manufactura.
6.
Simplicidad.
U n diseño de pro ducto que sea sim ple evita errores en las
líneas de ensam b le pues las instrucciones y e sq u e m a s son fáciles de en te n d e r. E s ta s im p lic id a d p u e d e e lim in a r o p e r a c io n e s d e e n s a m b le inne ce sa rias. E n el ca so del e n s a m b le au tom ático, sim plicidad significa diseñar el producto para que sea fácil de en s a m b la r m anualm ente. 7.
Seguridad. D is e ñ a r un pro d u cto que sea fabrica do y u sa d o bajo co n d i cio n e s s e g u ra s es u na tarea fu n d a m e n ta l del d is e ñ a d o r. D isp o sitivo s m a te ria le s y p ro c e s o s d e b e n c u m p lir co n las n o rm a s d e s e g u rid a c establecidas.
8.
Facilidad.
El ensam blaje unidireccional facilita la operación de ensam ble Puestos de trabajo que se diseñen para ejecutar el ensam ble en una ónice
dirección facilitan am pliam ente la operación. 9.
Variabilidad.
El diseño de un producto con un excesivo núm ero de partes
variables perjudica la ejecución de las o p e ra cio n e s de e n sa m b le . El nú m e ro de pa rte s d e b e se r m ín im o , de tal m a n e ra q u e se sim p lifiq u e I; estructura del ensam b le y se facilite el proceso. 10.
Orientación.
La orientación de las partes en la ope ra ció n de ensam b li p u e d e ca u sa r d e m o ra s y p u e d e increm entar la probabilidad de error. Lí n e c e s id a d de orie n ta r partes p u e d e ser e vita d a u s a n d o disp o s itivo s < superficies de orientación. El diseño de puestos de trabajo que obedezcai a un proyecto cu idado sam ente evaluado garantiza este principio. E s requisito de un d iseño p a ra el e n s a m b le el cum p lim ie n to de cierta
condiciones. Entre éstas (G a iro la ,1 986):
1. Eliminación de ajustes y escogencia de un método eficiente d ensamble de partes. La operación de ajuste es la que m ás problem as d ca lida d ca u s a , p o r ello d e b e s e r c u id a d o s a m e n te estu d ia d a b rin d a n d tole ra ncias q u e no sean tan g ra n d e s co m o p a ra q u e el p ro d u cto pierd
204
CONTROL DE CALIDAD
e s té tic a y c a lid a d , ni tan p e q u e ñ a s c o m o p a ra q u e la o p e r a c ió n d e ensam ble se vuelva difícil de ejecutar. El m étodo y los materiales para unir parte s de b e n se r c u id a d o s a m e n te s e le ccio n a d o s de tal m a n e ra q u e se re d u zca la probabilidad de desajustes y uniones defectuosas. 2.
Reducción del uso de herramientas y sujetadores. E l d is e ñ o d e b e c o n te m p la r form as de e n s a m b le q u e m inim icen el uso de tornillos y toda clase de sujetadores. Si esto se logra, el uso de herram ientas será m ínim o y la operación de e nsam b le será m á s eficiente.
3.
Atención especial sobre valores objetivo establecidos para dimen siones críticas. T o d a dim ensión crítica deb e ser especialm ente tratada y a n a liza d a por m e d io del control e sta d ístico , b u s c a n d o sie m p re el v a lo r objetivo para m in im iza r la variabilidad. El m étodo de T a g u c h i constituye una gran ayuda en el logro de esta m eta.
4. Establecimiento de superficies con características topográficas que favorezcan el ensamble. Este tipo de superficies permitirán a la m áquina o al o p e r a d o r e je c u ta r la o p e r a c ió n en u n a fo rm a m á s á g il, rá p id a y eficiente. 5.
Identificación de parámetros de diseño. Si se con o ce n los parám etros que pueden afectar la calidad del producto se pueden predecir fallas antes de la etapa de producción. El m étodo de Ta g u ch i y en general las técnicas de diseño de experim entos pu e d e n s e r útiles para este análisis.
6.
Análisis de propiedades de los materiales.
E s im p o rta n te to m a r en cu e n ta p ro p ie d a d e s de los m ateriales en el diseño de producto, p u e s es este el m edio de estudiar interacciones entre el am biente, el ser h um a no y las m áquinas, e va lu a n d o las posibles ca u sa s de fallas.
7.
Estudio del producto y de la tecnología del proceso. E s absolutam ente n e c e s a rio c o n o c e r a c e rc a de las c a ra c te rís tic a s del p ro d u c to y d e la te cn o lo g ía del p ro ce so . D is e ñ a r un p ro d u cto sin to m a r en cu en ta estos asp e cto s p ro voca un gran riesgo de co m e te r errores. El d ise ñ a d o r deb e co n o c e r las lim itaciones y forta lezas de los sistem as de e n s a m b le . E sto requiere del trabajo en equipo de d iversa s disciplinas.
8.
Análisis de la competencia.
E s im portante analizar las causa s de éxito o
fracaso de m ercado de com petidores, pues es una forma de retroalimentar
JORGE ACUNA ACUNA
205
productos y pro cesos. Para ello se deb e establecer un a d e c u a d o sistema de In fo rm a ció n q u e p e rió d ic a m e n te re c o le cte d a to s p a ra su posterior análisis. 9.
Análisis de diseños preliminares y finales.
Definitivam ente no es una
bu e n a práctica iniciar una pro d u cció n sin a n a liza r las fortalezas y debili d a d e s del d is e ñ o e sta b le cid o . E s to se logra a tra vé s de p ru e b a s piloto iniciales qu e perm itan e v alu ar las características de diseño y determ inar los c a m b io s n e c e s a rio s . L a p rá c tic a de fijar v a lo re s o b je tivo en lugar de to le ra n c ia s o b lig a al p ro c e s o a p ro d u c ir c o n un m e jo r m a rg e n de calidad. E l d is e ñ o d e un p ro d u c to ba jo esto s p rin c ip io s y c o n d ic io n e s g a ra n ti z a rá éxito en el m e rc a d o con el c o rre sp o n d ie n te a u m e n to en el v o lu m e n de ventas.
La s inquietudes g e n e ra d a s por este objetivo han da d o origen a los siste
m a s C A D (D is e ñ o A s is tid o p o r C o m p u ta d o ra ) p u e s el objetivo es utilizar la com putadora para producir un diseño que tom e en cuenta la m ayor cantidad de
variables que p u edan influir en la fabricación del producto. C o n el fin de dism i nuir la interpretación de los requerim ientos de diseño se habla en la actualidad de sistem a s C A D / C A M , a tra vés de los cu ale s el d is e ñ a d o r p u e d e transmitir instrucciones directam ente a la m áqu ina respectiva. Del a n á lisis an te rio r se d e s p re n d e qu e el d ise ñ o de p ro d u cto ju e g a un papel clave en el logro del objetivo de calidad. Si un diseño se plantea apegado a los re q u e rim ie n to s del c o n s u m id o r y a las lim itacion es y n e c e s id a d e s del proceso existe una alta probabilidad de que satisfaga al consum idor. Esta tarea incluye un análisis profundo de m ateriales y procesos.
SI se diseña para la producción, las diversas tareas de inspección de cali dad y control de producción se harán relativam ente m ás fáciles. Si los diseños e stán su je tos a interpretación del e q u ip o de p ro d u c c ió n , la pro b a b ilid a d de com e te r errore s crece.
A u n q u e la discusión se ha cen trado en diseño para el e nsam b le los crite rios citados a q u í son totalmente válidos para otros procesos.
CONTROL DE CALIDAD
206
CONCEPTOS DE EFECTIVIDAD DE SISTEMAS C u a n d o se ha bla de ca lid a d de p ro d u cto y se enfoca d e s d e el punto de vista del cliente, es n e ce sa rio e v a lu a r la efectividad co n la qu e el objetivo de satisfacción com ple ta se cum plirá. P ara ello se deb e som eter al producto a un ciclo de vida qu e con tem ple las siguientes fases: a.
Concepción y factibilidad.
S e refiere a la idea de lan zar un producto al m e rca do com o producto de investigación y desarrollo o com o producto de
la investigación de m erca do. Incluye un análisis de factibilidad desde tres ángulos: económ ico, operativo y técnico. E n el análisis económ ico se e va luarán d iv e rs a s alternativas s e g ú n su costo. E n el análisis op e ra tivo se a n a liza rá la factibilidad de fabrica r el p ro du cto de a cu e rd o con el equipo p ro du ctor que se cuen ta. E n el análisis técnico se e va luará la capa cid ad con que se cuenta y se com parará con la requerida para fabricar el produc to. L a d e c isió n final se b a s a rá en el aná lisis de co s to be n e ficio y en la ca p a cid a d de inversión que se tenga. b.
c.
Diseño de producto. E n el capítulo I se analizó el im pacto qu e el diseño de p ro d u cto tiene en la calida d q u e se o b te n ga . Y a se co m e n tó en este capítulo a ce rca de la im portancia de diseñar para producir. Desarrollo de pruebas piloto.
E s n e c e sa rio e v a lu a r las b o n d a d e s del
diseño a través de la ejecución de pruebas piloto qu e permitan corregir los errores antes de producir. d.
e.
Análisis de producción previa. C onsiste
en producir uno o m ás lotes de pru e ba qu e perm itan efectuar los ajustes necesarios directam ente en las líneas de producción.
Producción masiva.
U n a v e z q u e se tiene la c e rte z a d e q u e se han
a lca nzado los parám etros dictados por el diseño se inicia la producción en m a sa efectuando los controles previam ente diseñados. f.
Cambios en diseño. A través de la retroalimentación recibida del cliente y del proceso de fabricación se incorporan las m ejoras al diseño, con el fin de irse a ce rca nd o ca d a día m ás a lo d e s e a d o por el cliente.
E n todas estas etapas existe riesgo de error y este error será frecuente en la m edida en que la efectividad del sistem a sea baja.
JORGE ACUNA ACUNA
La
efectividad de un sistema
207
es la m e d id a de la extensión en qu e se
espera que ese sistem a satisfaga los requisitos fijados para cum plir una misión espe cífica. La efectividad es función de la
capacidad de
disponibilidad, la fiabilidad y la
los com ponentes del sistem a los cuales se com binan a través de
índices que m iden la efectividad del sistem a. La
disponibilidad del sistema se
define co m o la condición de inicio que
perm ite qu e un pro d u cto e m p ie ce la lab or para la qu e fue c re a d o . La d isp o nibilidad del sistem a se determ ina a partir del cálculo de la disponibilidad de sus com ponentes, los que se com binan por m edio de las leyes de probabilidad para determ inar la disponibilidad final. La disponibilidad de los com pon entes (P a) se calcula com o:
Pa= T M E F / (T M E F + T M D R )
donde:
TM EF =
P a:
J01 * f(t) dt
disponibilidad del com ponente
T M E F : tiem po m edio entre fallas T M D R : tiem po m edio de reparación f(t):
función de falla
EJEMPLO 3.7
La función de fiabilidad de un co m p o n e n te eléctrico de un tosta dor este, dad a por la función R (t) = e'5'. La razón constante ue falla es de 0,0 0 8 fallas por hora. Al ocurrir una falla, el tiempo m edio de reparación es de 15 minutos. ¿Cuál es la disponibilidad del tostador?
208
CONTROL DE CALIDAD
SOLUCION
T M E F = 1/5 = 1 / 0 ,0 0 8 = 125 horas Pa= ( T M E F + T M D R ) / T M E F P a = 125 7 (1 2 5 + 0 ,2 5 ) = 0,998 La disponibilidad de este co m p o n e n te eléctrico es 0,998. La
fiabilidad
e s la p ro b a b ilid a d d e q u e el s is te m a se e n c u e n tre en
c u a lq u ie ra de los e sta d o s fijados en su m isión y c u m p la a cab alidad con las funciones asociadas con ese estado. P ara calcularla se h ace uso de funciones de probabilidad. La fiabilidad de un co m p o n e n te (R (t)) se calcula com o:
h(t) = razón de dañ o = f(t)/R(t) d R (t) f(t) = ------------d(t) T a m b ié n T M E F se puede definir co m o :
TM EF =
!(t )d t
EJEMPLO 3.8 U n co m p re so r tiene una tasa constante de falla de 0 ,0 0 0 4 fallas por hora. S u p o n g a que el c o m p re so r inicia el trabajo al tiem po t=0. C a lcule la fiabilidad del c o m p re so r en 150 horas de trabajo.
JORGE ACUNA ACUNA
209
SOLUCION h(t) = 0 ,0 0 0 4 fallas/hr
1 = 1 5 0 horas
R (t) = exp [-0 ,0 0 0 4 J 0 dx] = exp [-0,0004 t] R (1 5 0 ) = exp [-0 ,0 0 0 4 (1 5 0 )] = 0 ,9418 La fiabilidad es de 0,9418, o sea que la probabilidad de falla es de 0,0582. Al e v a lu a r la fiabilidad del siste m a se c o m b in a n las fia b ilid a d e s de los co m p o n e n te s a través de tres m odelos que son el m odelo en serie, el m odelo en paralelo y el m odelo parcialm ente redundante.
Modelo en serie Este m odelo representa un sistem a que tiene m com pon entes idénticos e independientes conectados en serie, lo que significa que si uno falla, el sistem a o su bsistem a falla. La expresión de fiabilidad para este m odelo es: Rs = (R+g)m=R +m Rrn~1q + m (m -1)Rm2q2+...+m fm-1L..fm-¡+11Rmia¡+...+qm 2! i! Rs= fiabilidad del sistema R = fiabilidad del com ponente m = número de componentes Rm= fiabilidad de m elementos operando exitosamente mR'"-'q = probabilidad de que exactam ente (m -1) elem entos operen exitosamente m (m -11Rm2q2 = probabilidad d e q u e exactam ente (m-2) elementos 2! operen exitosamente m(m-1t...fm-¡+11Rmiqi = probabilidad de que exactam ente (m-i) elem entos i! operen exitosamente qm= probabilidad de falla de m elem entos
CONTROL DE CALIDAD
210
Si los c o m p o n e n te s son no idénticos la fiabilidad del sistem a se calcula com o:
m rS =
n
rI
i=1
R s = fiabilidad del sistem a R¡ = fiabilidad del co m p o n e n te i
E J E M P L O 3.9 U n sistem a de producción es alim entado por bom be o usando tres bom bas de diferente c a p a cid a d . L a s tres b o m b a s son n e cesarias para perm itir que el p ro ce so cu m pla con su razó n de producción. Las fiabilidades de estas bom ba s s o n 0 ,9 , 0 ,9 5 y 0 ,9 2 re s p e c tiv a m e n te . ¿ C u á l es la fiabilidad del s iste m a de bom beo?
SOLUCION La F ig u ra 3 .1 7 rep resen ta al sistem a de bom beo. 3
R s=
n
R¡= R , * R2* R3
¡=i R s = 0 ,9 * 0 ,95 * 0 ,9 2 = 0 ,7 8 6 6 La fiabilidad del sistem a de bo m b e o es de 0,7866.
#1
#2
#3
R,= 0,9
R,= 0,95
R,= 0,92
FIGURA 3.17. Representación del sistema de bombeo
JORGE ACUÑA ACUÑA
211
Modelo en paralelo E s te m o d e lo re p re s e n ta m a c tiv o s e in d e p e n d ie n te s c o m p o n e n te s c o n e c ta d o s en p a ra le lo . E s to significa que al m e n o s un c o m p o n e n te deb e funciona r n orm alm ente para el éxito del sistem a. La fiabilidad del sistem a se calcula com o: a.
Para com pon entes idénticos
Rs = b.
1 - qm ~
Para co m p o n e n te s no idénticos
m Rs= i - n qi i=1 don de: Rs =
fiabilidad del sistem a
qm =
probabilidad de falla de m com pon entes
q¡
=
probabilidad de falla del co m pon ente i
n
=
productoria
EJEMPLO 3.10 a.
La F ig u ra 3 .1 8 rep resen ta un sistem a de tres m otores eléctricos c o n e c tados en paralelo. Estos son idénticos e independientes. La probabilidad de falla de un m otor es 0,15. C a lcule la fiabilidad del sistem a. R s = 1 - q 3= 1 -( 0 ,1 5 )3 = 0 ,9966
b.
La Figu ra 3.1 9 representa al m ism o sistem a anterior con la diferencia de qu e los tres m otores no son idénticos. L a s fiabilidades de estos m otores son 0,80, 0,91 y 0,8 7 respectivam ente.
CONTROL DE CALIDAD
0,15
FIGURA 3.18. Sistema de motores conectados en paralelo 0,80
FIGURA 3.19. Sistema de motores conectados en paralelo
3
RS = 1 - n q 0 ¡=1
R = 1 -q ,* q 2*q3 R s = 1 - (0 ,2 0 )(0 ,0 9 )(0 ,13)
JORGE ACUNA ACUNA
R S = 1 - 0,00 234 ’ R S = 0 ,9 9766 ’
Modelo parcialmente redundante E n e ste m o d e lo n de los m c o m p o n e n te s d e b e n fu n c io n a r p a ra q u e el siste m a fu n cio n e co n éxito. La fiabilidad de este tipo de m o d e lo se calcul; com o: n
m
1 ( )R '(1 -R r
Rn/m=
i=m
i
R = fiabilidad del co m pon ente R n/m= fiabilidad de n de m co m p o n e n te s
EJEMPLO 3.11 La Figura 3.20 representa un sistem a com puesto de tres subsistem as A , I y C respectivam ente. E n el su bsistem a A solo dos co m pon entes deben operar sim ultáneam ente para g aran tizar el éxito del su bsistem a. C a lc u le la fiabilidad del sistem a.
S O L U C IO N a.
S u bsiste m a A
Ra=
£ i=2
3
Ra=
( )R¡(1-R)3-' i
3
( ) R2(1 - R) + ( )R3 2
3
CONTROL DE CALIDAD
214
Subsistema A
Subsistema B
Subsistema C
FIGURA 3.20. Representación del sistema del Ejemplo 3.11
R A = 3 R 2 (1 - R ) + R 3 = 3 R 2 - 2 R 3 R A = 3 * (0 ,8 9 )2 - 2 * (0 ,8 9 )3 = 0,9 6 6 3 6 2 b.
S u b siste m a B R b = 0,93
c.
S u b siste m a C R c = 1 - q4 = 1 - (1 - R )4 R c = 1 -( 1 - 0 ,9 4 ) 4= 0 ,999987 La Figura 3.21 representa al sistem a. R s =
R a * R b * R c
R s = (0 ,9 6 6 3 6 2 )(0 ,9 3 )(0 ,9 9 9 9 8 7 ) R S = 0 ,8 987 ’
JORGE ACUÑA ACUÑA
0,966362
215
0,93
0,999987
FIGURA 3.21. Representación del sistema
La fiabilidad del sistem a es 0,8987. La c a p a c id a d es la facultad de un siste m a para log rar los objetivos de acu e rdo con las condiciones fijadas.
RESUMEN H e m o s visto en este capítulo có m o la ingeniería de calidad busca el análi sis de los problem as de calidad de los procesos con base en una Identificación de características de calidad. A partir de ellas y de ias actividades en la etapa de d ise ñ o de p ro d u cto se logra red u cir la va riabilidad, el eterno e n e m ig o de la calidad. A d e m ás, se fundam enta la necesidad de aplicar la norm alización con el fin d e o b t e n e r n o r m a s y e s p e c if ic a c io n e s q u e g o b ie rn e n los p ro c e s o s de m anufactura. O tra de las técnicas útiles es el análisis de efectividad del sistem a a través del cu a l se p u e d e d is e ñ a r ca lid a d , e s tu d ia n d o la p ro b a b ilid a d de falla del producto y ejerciendo las acciones necesarias.
PREGUNTAS DE REPASO 1.
¿ Q u é es ingeniería de calidad y cuál es su objetivo en control de calidad total?
2.
¿ P o rq u é es im po rtante clasificar las ca ra cte rística s de ca lid a d ? ¿ Q u é m étodos se usan para esta clasificación?
216
CONTROL DE CALIDAD
3.
D é un ejem plo real en el qu e se apliquen los m étodo s de clasificación de características.
4.
E x p liq u e ¿ p o r q u é e s im p o rtante q u e la n o rm a liza c ió n se a to m a d a en cuen ta en el control de calidad?
5.
¿ O u é tipo-de n orm a s existen y c u á n d o deben ser aplicadas?
6.
Analice las ventajas de la N o rm a IS O -9 0 0 0 para el desarrollo industrial del país.
7.
A n a lice el objetivo del establecim iento de especificaciones técnicas.
8.
¿ Q u é es el diseño pa ra la m a nu factu ra y qué objetivo cu m p le el Q F D en ella?
9.
Explique el concepto de fiabilidad y capacidad en efectividad de sistem as.
10.
¿ Q u é v e n ta ja s o fre c e la a p lic a c ió n de las té c n ic a s de e fe c tiv id a d de sistem as en control total de calidad?
PROBLEMAS 1.
E s ta b le z c a las e s p e c ific a c io n e s del c o n s u m id o r p a ra los s ig u ie n te s productos:
2.
1.
Pantalón para m ecánico
2.
Pantalón de vestir
3.
B olsa para café
4.
Bicicleta
5.
B asurero
El departam ento de inspección de calidad de una em p re s a m anufacturera de agujas y alfileres desp ach a su producto en lotes de 5000 cajas de 1000 unidades cada una. La longitud m edia de la agujas es de 46,5 m m , con una desviación e stán dar de 0,8 m m . a.
Si se e xtrae u n a m u e stra de 2 0 0 ag u ja s de u n a caja, d e te rm in e la probabilidad de encontrar ag u ja s con m edidas:
JORGE ACUNA ACUNA
b.
•
com p re n d id a s entre 45 ,4 y 45 ,7 m m
•
superiores a 45 ,3 m m
217
Si la especificación de longitud dad a por norm a es E : 4 5 ,8 ± 2 ,0 m m :
3.
•
¿ C u á l es el % defectuoso?
•
¿ C u á l e s el v a lo r e s p e r a d o d e a g u ja s d e f e c t u o s a s en un d e s p a ch o ?
Para el P roblem a N o. 2 del C a pítu lo II, responda las siguientes preguntas si la n o rm a establece una especificación de peso de E: 100,0 ± 2,5 g. a.
¿ Q u é c o n d ic io n e s tie n e n q u e d a rs e p a ra g e n e ra r un 1 % de p ro ducción fuera de especificación?
b.
¿ Q u é ocurriría si la m e d ia s e d e s p la za a 103,7 g?
c.
Si en última instancia las condiciones del proceso no pueden cam biar, ¿cuál debe ser una nueva especificación?
d.
Si el c o n s u m id o r m u e stre a este p ro d u cto u sa n d o m u e stra s de 60 so b re s y re c h a za la m uestra si en cu e n tra dos o m á s bajos de peso, ¿ c u á l e s la p ro b a b ilid a d d e q u e u n a d e te r m in a d a m u e s tra s e a rech a za d a ?
e.
4.
¿ C ó m o ca lcu la ría usted los lím ites de tole rancia naturales de este p ro ce so , por un p ro cedim ien to diferente a los pre se n ta d o s en este texto?
D e un p ro c e s o de fa b rica ció n de a b o n o se extrae u na m u e stra de 100 sa co s con el fin de ch e q u e a r el peso. Esta m uestra origina la distribución de frecuencias que se presenta en el C u a d ro 3.11 (p e so en kilogram os). Si la especificación es: E : 7,0 ± 1,1 kg a.
Analice la situación de este proceso.
b.
¿ C u á le s son sus conclusiones y recom endacion es?
c.
A un nivel de c o n fia n za del 9 9 % y d e s e a n d o u na p ro p o rc ió n entre límites del 9 5 % , ¿cuáles son los límites de tolerancia?
218
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 3.11. Distribución de frecuencias del Problema No. 4
L,
L
I,
>,
nK
2,15 4,05 5,95 7,85 9,75 11,65
4,05 5,95 7,85 9,75 11,65 13,55
2,2 4,1 6,0 7,9 9,8 11,7
4,0 5,9 7,8 9,7 11,6 13,5
5 12 56 20 4 3
d.
5.
S i se h iciera un con trol b a s a d o en p ro m e d io s, ¿ q u é p o rce n ta je de ellos saldría de especificación?
D e un p ro c e s o de fa b rica ció n de v a rilla s p a ra p a ra g u a s se extrae u na m u e s tra de 2 5 u n id a d e s , c o n el fin d e in s p e c c io n a r su lo n g itu d . Lo s resultados obtenidos, con m edidas en cm , se presentan en el C u a d ro 3.12. Si la especificación es: E : 29 ,6 ± 2 ,5 cm
6.
a.
¿ S e puede afirm ar con a = 5 % , qu e el proceso está centrado?
b.
¿ S e p u ede afirm ar con a = 5 % , qu e el proceso es preciso?
c.
¿ Q u é con clu siones obtiene del análisis h echo?
La especificación para el diám etro de ciertos tubos plásticos es: E : 39,12 ± 1,90 cm .
CUADRO 3.12. Datos para el problema No. 5
28,6 28,8 28,9 29,1 30,8
30,1 32,1 32,0 30,5 30,0
29,9 30,8 31,7 30,2 29,0
28,1 28,7 29,9 30,2 30,5
30,0 29,0 29,7 30,8 31,2
JORGE ACUÑA ACUÑA
219
E xisten en la planta tres m á q u in a s qu e p ro d u c e n bajo las co n d icio n e s pre sentada s en el C u a d ro 3.13.
CUADRO 3.13. Información del Problema No. 6
M A Q U IN A S
Promedio Desviación
A
B
39,12
40,85
34,91
1,50
1,90
1,40
C
D ada s las características de las m áquinas, realizar un análisis que dé res puesta a las siguientes pregun*as: a.
¿ C u á l es el % d efectuoso de c a d a m á q u in a y qu é re c o m e n d a c io n e s se dan?
b.
Si se re a liza ra u na in sp e cció n 1 0 0 % , u s a n d o un calibre p a s a -n o pasa, cu y a s d im e n sio n e s son 3 5 ,8 y 3 9 ,8 cm , ¿cu ál es el porcentaje de tubos qu e p a sa ro n c o m o b u e n o s siendo m alo s y cuál es el porcentaje q u e se rechazaron siendo buenos? Analice la situación para cada m áquina y para la producción total.
c.
¿ C u á l d e b e s e r u na e s p e c ifica ció n p a ra q u e to d a s las m á q u in a s p ro du zca n 3 % o m enos de tubos defectuosos? R esuelva considerando tanto proceso centrado com o descentrado.
ch.
¿ C u á l se ría la especificación q u e red u ce al m ínim o el porcentaje defec tuoso de estas m áquinas?
7.
E n un estudio se tiene por objetivo determ inar la com binación de variables q u e p ro d u c e la m á s alta p ro d u c c ió n d e a lu m in io a tra v é s d e c u a tro diferentes variables del pro ceso. S e tiene la siguiente inform ación:
CONTROL DE CALIDAD
220
L ista d e v a ria b le s A.
T ie m p o de m ezclad o Se-tienen tres diferentes tiem pos que son 2 , 3 y 4 horas
B.
V e locidad de corte S e tienen tres velocida des que son 3 6 ,7 8 ,1 0 0 rpm
C.
C o nd ició n de nitrógeno usado S e p u e d e u s a r s e c o , c o n 7 2 % d e h u m e d a d re la tiv a y 5 0 % d e h u m e d a d relativa
D.
E sta d o físico del im pulsor S e tienen tres niveles qu e son alto, m edio y bajo Si los resultados de los experim entos L9 en su o rden respectivo son 1 6 ,3 , 16,0, 16,2, 16,1, 16,0, 16,8, 15,5, 15,9 y 16,7 kilo g ra m o s por hora. a. D e term ine la m ejor com binación de variables. b. ¿ Q u é conclusiones obtiene de este experim ento?
8.
U n a e m p re s a de se a invertir en un sistem a de inspección que funcione a tra v é s d e s e n s o re s . S e han re c ib id o tre s ofertas c u y a in fo rm a ció n se pre senta en el C u a d ro 3.14. Si se d e s e a q u e este e q u ipo trabaje tres turnos, c o m p a ra r las o p cio n e s ofrecidas con base en su efectividad, por un período de un año y para un uso qu e requiera inspeccionar 2 2 0 0 unidade s por hora.
9.
U n a red está com puesta de unidades independientes según la Figura 3.22. La p ro b a b ilid a d de falla de c a d a u n id a d se e sp e c ifica en el d ia g ra m a . ¿ C u á l es la fiabilidad del sistem a?
JORGE ACUÑA ACUÑA
221
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DE PRODUCCION
CUADRO 3.14. Información ,)ara el Problema No. 8
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CONTROL DE CALIDAD
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FIGURA 3.22. Diagrama para el Problema 9
Capítulo IV
GRAFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES
os procesos productivos son incapaces de producir dos unidades de producto exactam ente iguales. Esto se de be a un sinnúm ero de ca u sa s qu e provocan variación y q u e por io tanto es n e c e s a rio co n tro la rlas c u a n d o se presentan en exceso. U n a de las h e rram ienta s e sta d ística s q u e p u e d e servir para esta función es el gráfico de control. A través de un gráfico se pueden investigar anorm alidades en los pro cesos productivos, las cuales provocan producción no conform e con las especificaciones. Ta m b ié n es posi ble visualizar tendencias que lleven al pro ceso paulati n a m e n te fu e ra de co n tro l c o n las c o rre s p o n d ie n te s c o n secu encias que ello acarrea.
DEFINICION DE GRAFICO DE CONTROL El gráfico de control es una form a gráfica y cro n o lógica de representar el com portam iento de una o m ás características de calidad, fijando límites que sean acor des con experiencias y valores especificados y p re via m ente establecidos.
224
CONTROL DE CALIDAD
E n algunas e m p re s a s aún está m u y arraigado el uso de inspección 1 0 0 % (e s decir inspección del total p ro ducido) con la idea de qu e esta es la form a de evitar qu e pro d u cto fuera de e sp e cifica cio n e s alcance las m a n o s del c o n s u m idor. Sin e m b a rg o , este es un m étodo m u y caro, que requiere m u ch o tiem po y q u e no n e c e s a ria m e n te c u m p le c o n la id e a re q u e rid a . A d e m á s , no es aplicable en inspección destructiva. P a ra estos c a s o s , el gráfico de control constituye u na im portante h e rra m ienta que permite un control m ás barato con grandes posibilidades de generar un análisis representativo si se cu m plen los requisitos establecidos para su uso y aplicación. E n el análisis m ediante gráficos de control se tom an m uestras del proceso o m áquina a intervalos de tiem po, con el fin de estudiar el com portam iento de la v a ria b le . El requisito es q u e v a lo re s , q u e son rep resen tativos del c o m p o rta m iento del p ro ce so , se m antengan dentro de dos ban d a s de con fian za llam a das
límites de control con
el fin de concluir que el pro ceso es estable.
E n resum en, el gráfico de control tiene com o objetivo principal, descubrir el desajuste del pro ce so, m ostrado por tendencias pro nunciadas o puntos fuera de límites de control, y encontrar las ca u sá s a través del análisis de factores de calidad com o el hom bre, las m áquinas, los materiales y los m étodos de trabajo. Estadísticam ente, el gráfico de control se pu ede definir co m o un intervalo de co n fia n za en u na e sca la se rie -tie m p o , en don d e los lím ites de control son niveles de significación, con su s coeficientes correspondientes a la desviación están da r de la característica en estudio.
ETAPAS DE UN GRAFICO DE CONTROL U n g rá fico de co n tro l se a p lic a a tra v é s de tre s e ta p a s q u e s o n c o n s tru cció n, análisis y seg u im iento . La
construcción
del gráfico co n siste en el
d is e ñ o del e x p e rim e n to y en la re c o le c c ió n y re p re s e n ta c ió n g rá fica de la información. E n esta etapa se define, entre otras cosas, la característica por es tudiar, el núm e ro de grupo, el ta m a ñ o de cad a grupo y el m étodo de selección.
JORGF ACUÑA ACUÑA
'225
Ta m b ié n se calculan los límites de control y se dispon e la inform ación para su análisis. T o d o s e s to s p ro c e d im ie n to s d e b e n e je c u ta r s e m e d ia n te el u so de form u la rios e sp e c ia lm e n te d is e ñ a d o s con el fin de d is p o n e r de inform ación a de cu a d a m e n te o rdenada . El a n á lis is del gráfico se efectúa en dos paso s. P rim e ro , se co m p a ra la situación del p ro c e s o co n re s p e cto a su c o m p o rta m ie n to n orm al y luego se com para con respecto a la especificación. Al efectuar el análisis, las dificultades se m ostrarán por m edio de puntos fuera de límites de control o tendencias pro nu ncia d as. La intención principal no es un análisis correctivo sino preventivo. S e investigan las ca u sa s para evitar qu e situaciones sim ilares o relacionadas ocurran en el futuro. A q u í se debe tener claro que si el proceso está bajo control no significa que c u m p le con la e s p e c ific a c ió n , p o r lo q u e esto últim o d e b e in ve stig a rse por se p a rado. Este análisis es m u y im portante, pu es de los resultados obtenidos d e p e n d e rá el éxito de la siguiente etapa. El s e g u im ie n to consiste en la acción preventiva que se lleva a cabo d e s pués de conocer el com portam iento del proceso. Este consiste en graficar nue vas m uestras sobre un patrón de gráfico que contiene solo los límites de control y en elaborar con clusiones de acu e rd o con el com portam iento detectado.
CAUSAS DE VARIACION Los gráficos de control se basan en el estudio de cau sa s de variación pues son éstas las que originan los pro blem as de calidad en los procesos. C o m o se recalcó anteriorm ente ningún p ro ce so de m anu factura es c a p a z de producir dos unidade s idénticas, pues siem pre existe variación. Esta variación tiene su origen en la naturaleza del proceso y en la interven ción de agentes externos que hacen que el com portam iento de la característica en estudio se altere. E x iste n d o s tipos de c a u s a s de v a ria c ió n : las c a u s a s a s ig n a b le s y las ca u sa s no asignables.
CONTROL DE CALIDAD
226
Las
causas no asignables
o cu rre n al a z a r y se d e b e n a la n a tu ra le za
te c n o ló g ic a de m á q u in a s , p ro c e s o s y m ateriales. E s ta s c a u s a s tienen una influencia m u y p e q u e ñ a sobre la calidad del producto y no son determ inantes para qu e el p ro ce so salga fuera de control. E sta s ca u sa s son independientes entre sí y su distribución de probabilidad no es conocida. Las
causas asignables o cu rre n
d eb ido al co m po rtam ien to a no rm al de
uno o m ás factores de calidad, son pocas en núm ero pero de gran influencia en la ca lid a d del p ro d u c to . E s ta s c a u s a s p u e d e n s e r e s tu d ia d a s a fo n d o para dism inuir o anular su influencia. E stas ca u sa s llevan al proceso paulatina o bruscam ente fuera de control y se obs e rva n en los gráficos c o m o puntos fuera de límites de control o te n d e n cias pro nunciadas. S e g ú n su incidencia en la especificación pueden generar altos volúm enes de producto disconform e con especificaciones. S u distribución de probabilidad e s la distribución norm al.
E J E M P L O 4.1
U n a o p e ra c ió n de corte de una lám ina, e je cu ta d a en una g uillotina, se efectúa siguiendo este procedim iento: 1.
C o lo c a r la lám ina bajo la guillotina y sujetarla con el dispositivo.
2.
A cc io n a r la p ala nca de a v a n c e para que la guillotina baje.
3.
C o rta r la lám ina.
4.
A cc io n a r la p a la nca de a v a n c e para que la guillotina suba.
5.
D e sc a rg a r las dos piezas y colocarlas a un lado de la guillotina. Establecer un listado de posibles causas asignables de variación, que pu e
dan p rovocar problem as de calidad en esta operación, clasificadas de acuerdo con los factores de calidad h om bre, m áquina, m étodo y material.
JORGE ACUNA ACUNA
SOLUCION
Listado de características Causas imputables al hombre • •
Falta de adiestram iento E x c e s o de confianza D e scu ido
•
D esm otivación
•
N eglige ncia
Causas imputables a la máquina •
Filo de cuchilla
•
Lubricación de partes m ecánicas
•
Desajuste de cuchilla G o lp e de guillotina
•
Desajuste de dispositivo Dispositivo mal colocado
Causas imputables al método de trabajo P uesto de trabajo mal diseñado •
D istancia a palanca
•
M étodo de carga y descarga A cc io n a r de la pieza no controlado
Causas imputables a la materia prima y materiales •
D u re z a de la lám ina
•
Lá m in a s torcidas
•
P orosidad
•
Defectos superficiales
•
Brillo
•
G ranulación
•
R aya d u ra s
228
CONTROL DE CALIDAD
GRAFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES C u a n d o la característica de calidad es importante de acu erdo con el a n á lisis de P areto, una de las té cn ica s estad ísticas que se p u e d e aplicar son los g ráficos de control. E l objetivo es lle va r un estudio d e ta lla d o del c o m p o rta m iento de la variable con el fin de tom ar las acciones correctivas y en especial preventivas para qu e las a n o m a lía s no se presenten. Los gráficos de control para variables se com ponen de dos partes: una se basa en prom edios y controla la exactitud; la otra parte se basa en m edidas de dispersión y controla la precisión. T a m b ié n existen en esta categoría los g rá ficos de su m a s a cum uladas qu e solam ente controlan exactitud con base en un estudio de desplazam iento periódico del prom edio del proceso. El Ejem plo 4.2 d e m u e s tra la ra z ó n p o r la q u e se u s a n p ro m e d io s c o m o e s tim a d o re s de tendencia central. U n aspecto que se debe tom ar en cuenta para decidir si usar o no este tipo d e g r á f ic o s e s un a n á lis is d e c o s t o s p u e s es n e c e s a r io
el e m p le o de
in s tru m e n ta c ió n , m a te ria le s y p e rs o n a s q u e en m u c h o s c a s o s d e b e n s e r especia lizad os. Esto es aún m ás im portante si se tom a en cuen ta que solo se puede controlar una variable a la v e z.
EJEMPLO 4.2 U n a operación de producción debe cum plir con la especificación 34 ± 9 cm . E n este m om ento el pro m e dio del pro ceso se encuentra en 40 cm . D e m o stra r que es m ejor un control basado en prom edios con m uestras de cuatro unidades que un control ba sado en o b se rvacio nes individuales.
SOLUCION M = 34 cm
T = 9 cm
o ’ = T/3 = 9/3 = 3 cm
JORGE ACUNA ACUNA
229
P a ra d e m o s tra r lo so licita d o , se ca lc u la rá la p ro b a b ilid a d de detectar puntos fuera de límites usando observaciones individuales y se com parará con la corresp ondiente a pro m e dio s. Lo s límites se ba sa rá n en tres desviaciones e stán dar a la izquierda y tres a la d erech a del pro m e dio del proceso.
CASO A. Observaciones individuales Los límites de control se calculan así:
L S C = x + 3 * a ’ = 34 + 3 * 3 = 43 cm L IC = x - 3 * a ’ = 34 - 3 * 3 = 25 cm L a F ig u ra 4.1 m u e stra g rá fic a m e n te la fo rm a de h a c e r el cá lc u lo de la probabilidad planteada. S e a A la probabilidad de detectar un valor x fuera de límites y com puesta por la su m a de A , y A 2. A , = P ( x > 43 ) = 1 - N ((4 3 -4 0 )/3 ) A , = 1 - N ( 1 ) = 1 -0 ,8 4 1 = 0 ,1 5 9
S itu a c ió n te ó ric a
S itu a c io 'n re a l
FIGURA 4.1. Representación de probabilidad basada en observaciones individuales.
230
CONTROL DE CALIDAD
A , = 1 5 ,9 %
de T a b la I de A pé n d ice I
A 2= P ( x < 25 ) = N ((2 5 -4 0 )/ 3 ) A 2= N ( - 5 ) cu yo valor es a proxim adam ente cero P o r lo tanto: A = A , + A 2= 15,9 + 0 = 15,9 % A =15,9%
CASO B. Promedios con muestras de cuatro unidades S e a B la probabilidad de encontrar un prom edio de una m uestra fuera de límites y calculado por la su m a de B , y B 2. D a d o qu e se tra bajará con pro m e dio s se usará el teorem a del límite c e n tral, por lo que:
p_= ¡i = 34,0 a* = o 1N n = 3 / V 4 = 1,5 c m
Lo s límites de control serán:
L S C * = x + 3 * O j = 3 4 ,0 + 3*1 ,5 = 3 8 ,5 c m
L I C X- = x - 3 * o X- = 3 4’ , 0 -3 * 1,5 = 2 9 ,5 cm ’ ’ L a F ig u ra 4 .2 m u e s tra g rá fic a m e n te la form a de h a c e r el c á lc u lo de la probabilidad planteada.
B , = P ( x > 3 8 ,5 ) = 1 - N ((3 8 ,5 -4 0 ,0 )/ 1 ,5) B ,= 1 - N ( -1 ) = 1 -0 ,1 5 9 = 0,841 B , = 8 4 ,1 %
de T a b la I de A p é n d ice I
JORGE ACUNA ACUNA
231
S itu a c ió n te ó ric a
S itu a c ió n re al
FIGURA 4.2. Representación de la distribución muestral (n=4)
B 2= P ( x < 29,5 ) = N ((2 9 ,5 -4 0 ,0 )/ 1 ,5) B 2= N ( - 7 ) cu yo valor es aproxim adam ente cero B = B ,+ B 2= 8 4 ,1 + C = 8 4 ,1 %
B = 8 4 ,1 %
Al com p a rar a m bos valores es evidente que la probabilidad de detectar el p ro m e dio de una m uestra fuera de lím ites (8 4 ,1 % ) es m u ch o m ás alta que la probabilidad de detectar una observación individual (1 5 ,4 % ) fuera de límites de control. Esto dem uestra la razón por la cual se usan prom edios en el control de procesos. Existen d ive rso s tipos de gráficos de control para variables. S e ve rá n a continuación los siguientes: a.
Gráfico de prom edios e intervalos (x ,R )
b.
Gráfico de prom edios y desviación estándar (x ,o )
c.
Gráfico de m edianas e intervalos (M e,R )
d.
Gráficos de su m as a cu m u lad as (C U S U M )
CONTROL DE CALIDAD
232
GRAFICO DE PROMEDIOS E INTERVALOS ( x,R) E s te gráfico u tiliza c o m o m e d id a de control de exactitud el p ro m e d io y c o m o m edida de control de pre cisión el intervalo. E sta s m edidas se calculan con base en m -m u estra s de tam año n, extraídas del proceso en estudio a inter valos de tiem po o cantida d de pro ducción que son definidos previam ente. E s requisito c la v e para u sa r e ste tipo de gráficos s e le c c io n a r m u e stra s p e q u e ñ a s, pues el intervalo solo es un buen estim ador de dispersión en estos caso s.
Construcción del gráfico E n la co n stru cció n de un gráfico de control x,R se sig ue n los siguiente s pasos: 1.
Selección de la variable. E s te d e b e s e r n e c e s a ria m e n te un p a s o ya e je c u ta d o a tra v é s de la id e n tific a c ió n de c a r a c te rís tic a s de c a lid a d em p le an do el dia g ra m a de Ishikaw a y el paretogram a.
2.
Definición del marco de muestreo y método de seleción. E s
necesario
definir el lugar de don d e se extraerán las m uestras, sea éste lotes pro d u c id o s o m á q u in a s en p ro c e s o . A d e m á s , se d e b e e s tru c tu ra r a d e c u a dam ente la form a en que las m uestras van a ser extraídas. A lg u n a s de las form as de ejecutar estas actividades son:
3.
a.
U tiliza c ió n d e u n a p ro p o rc ió n so b re u n a ca n tid a d p ro d u c id a (p o r ejem plo cinco de ca d a cien)
b.
Utilización de intervalos de tiem po iguales (p o r ejem plo una m uestra cada diez m inutos)
c.
Selección aleatoria u sa n d o la tabla de núm ero s aleatorios
d.
U s o de m uestreo sistem ático
Determinación del número de subgrupos o muestras (m).
La d e te r
m inación de este núm ero se deb e hacer de tal m anera que la probabilidad de d e te c ta r c a u s a s a s ig n a b le s e n tre las u n id a d e s q u e c o n fo rm a n la
JORGE ACUÑA ACUÑA
233
»
m u e s tra s e a la m ín im a p o s ib le , p e ro la m á x im a e n tre m u e s tra s o s u b g ru p o s . E s to se lo g ra si se c u m p le n las c o n d ic io n e s de re p re s e n tatividad del m uestre o. La experiencia en el uso de este tipo de gráficos dicta qu e este núm ero deb e ser m ayor a veinte. Si esto no es posible solo se p ueden u sar el núm ero de subgrup os de tam año cinco especificado en la T a b la IX del A pé n d ice I. 4.
Determinación del tamaño del subgrupo o muestra (n).
E s m uy im por
tante que la selección de esta m uestra sea aleatoria y que la frecuencia de tom a de ella se haga sob re la base de los beneficios esperados y el costo de evaluación de calidad g enerado. D ebido al uso del intervalo com o m e dida de dispersión, la experiencia dicta q u e el tam año no deb e ser m ayor que die z unidades. Los núm ero s m ás u sado s son cuatro, cinco y seis. 5.
Recolección de información. U n a v e z
diseñado el esquem a de muestreo
se p ro ce d e a la recolección datos, ejecución de m ediciones y cálculo de m edidas estadísticas. E s importante en este paso hacer uso de un formato a d e c u a d o q u e p re s e n te la in fo rm a ció n o rd e n a d a p a ra su a n á lisis. El E je m p lo 4 .3 p re s e n ta un e je m p lo de fo rm a to . L o s d a to s y las m e d id a s
ca lcu lada s a partir de ellos deb en tener u n a cifra significativa m ás que lo exigido por la especificación. Los cálculos qu e se efectúan son los siguientes: a.
P rom e dio de la m uestra n Ix , i=1
X=-
n donde: n : tam año de la m uestra x.: dato individual
b.
Intervalo de la m uestra
R = x i máx - x imin.
234
CONTROL DE CALIDAD
donde: ximáx: dato de m a yo r m agnitud en la m uestra ximín: dato de m e n o r m agnitud en la m uestra
c.
P rom edio de p ro m ed ios m Xx X i + X 2 + X3 + . . . + X n
x=
¡ =1
_ m
m
d onde: m : nú m e ro de m uestras x: pro m e dio de la m uestra i
d.
Intervalo pro m e d io
XR, R 11+ 2R , + R 3, + ... + R m R = ----------------------------------------------------
¡=1
m donde: m : n ú m e ro de m uestras R¡: intervalo de la m uestra i 6.
Cálculo de límites de control. Existen
dos tipos de límites de control. Los
lím ites de con tro l d e l pro ce so sirven para analizar la situación del proceso con respecto a su s capa cid ades naturales, o sea aquellas sin la interven ció n de c a u s a s a s ig n a b le s . L o s lím ite s de c o n tro l e s p e c ific a d o s son aquellos b asa do s en la especificación y que sirven para ve r si el pro ceso cum ple con ella. La dem ostración de estos límites se puede observar en el A p é n d ice III.
JORGE ACUNA ACUNA
235
Lo s lím ites d e b e n te ner una cifra significativa m ás q u e lo exigido por la especificación y el criterio de re d o n d e o es re d o n d e a r lím ites superiores hacia arriba a la cifra siguiente y lím ites inferiores hacia abajo a la cifra pre cedente. Las fórm ulas son las siguientes: a.
Lím ites de control especificados Para prom edios
P ara intervalos
L S E -= M + T I NfrT
L S E R = D 2*T/3
L C E -x= M
L C E R = d2*T/3
L IE - = M - T / 'í ñ
L IE R = D ,* T / 3
L S E : Lím ite Su perior Especificado L C E : Línea C entral Especificada L IE : Lím ite Inferior Especificado b.
Lím ites de c o r frol del proceso Para prom edios
Para intervalos
L S C x = x + A 2* R
LSC r= [Y
LCC
lc c
L IC x = x - A 2 * R
L 'C r = D 3
r=
r
L S C : Lím ite Su p e rio r de Control L C C : Línea C entral de Control L IC : Lím ite Inferior de Control Lo s va lores de las con stantes A 2, D ,, D 2, D 3, D 4 y d2se encu e n tra n en el form ato de recolección de datos. 7.
Construcción del gráfico. El gráfico con siste de d o s partes: una para g ra ficar los p ro m e d io s y otra p a ra gra fica r los in te rva lo s. P a ra esto se
236
CONTROL DE CALIDAD
gradúan dos escalas, la del eje x que sirve para anotar entre otras cosas el n ú m e ro de la m u e stra , la hora de recolección y la m á q u in a de don d e se obtuvo. La otra esca la , la del eje y, se divide en dos partes indepen dientes, u na gra du a d a para prom edios y la otra g raduad a para intervalos, por supuesto con esca las diferentes. La fo rm a e n q u e s e g ra d ú a n las e s c a la s p a ra el p ro m e d io y p a ra el intervalo deben contem plar la m agnitud m ás grande y m ás pequeña entre los va lores de p ro m e d io e intervalo y los respectivos lím ites superiores e inferiores. Los límites de control especificados no se dibujan sobre el gráfico, sino que se p u ede n su p e rp o n e r utilizando una lám ina de plástico. U n a v e z g radu ad a s las escalas se procede a dibujar los límites de control de pro ce so y los puntos corresp ondientes a cada m uestra. Lo s intervalos se grafican con ba stone s y los pro m edio s con línea de trazo continuo. Lo s puntos que sa lg a n ruera de lím ites deb en ser identificados m ediante u na m a rc a e s p e c ia l, un c írc u lo p o r e je m p lo . La F ig u ra 4 .3 m u e stra un e sq u e m a de este gráfico.
Análisis del gráfico U n a v e z qu e se ha co n stru id o el gráfico se pro ce d e a h a c e r un análisis detallado con el fin de detectar los problem as que presenta la característica de calida d en estudio. El a n á lisis del gráfico se efectúa en d o s p a s o s qu e son : análisis del proceso con respecto a sus capacidades y análisis del proceso con respecto a especificaciones. El análisis del p ro ce so con re sp e cto a su s c a p a cid a d e s se h a c e en dos etapas que son análisis correctivo y análisis preventivo. E n el análisis correctivo se identifican puntos fuera de límites y se elim inan. La razón de su elim inación es que su causa es asignable y por lo tanto eliminable. E n el análisis preventivo se estudian las cau sa s de los puntos fuera de límites y se analizan tendencias y p e c u lia rid a d e s . Si un an á lisis inicial m u e s tra que no h a y p u n to s fuera, ni tendencias ni peculiaridades se dice qu e este proceso está bajo control.
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FIGURA 4.3. Representación de un gráfico
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x ,R .
JORGE ACUÑA ACUÑA
CONTROL DE CALIDAD
238
Al efectuar este análisis correctivo pu eden ocurrir cuatro casos:
CASO A. No hay puntos fuera de límites en ambos gráficos En este ca so a m b o s gráficos m uestran estabilidad y por lo tanto se puede concluir que la característica no presenta ca u sa s asignables.
CASO B. Hay puntos fuera de límites solo en el gráfico x E n este caso se tiene un problem a de exactitud del proceso con respecto a su prom edio natural. A q u í, los límites y los prom edios se desplazan hacia donde se desplace el prom e dio de prom edios. Lo s puntos que se encuentren fuera de lím ites d e b e n e lim in a rse y los lím ites d e b e n recalcu la rse. El n u e vo va lo r del prom edio m odificado se calcula así: m
h
x m= ( S
v
k=1
I
x j/ (m -h )
k=1
donde: Xm =
prom edio m odificado
m = nú m e ro de m uestras totales h = nú m e ro de m uestras fuera de límites Los límites m odificados se calculan usando las m ism as expresiones vistas a n te rio rm e n te , y se su stitu y e el v a lo r del p ro m e d io p o r el n u e v o v a lo r m o dificado. El c h e q u e o de p u n to s fu e ra de lím ite s d e b e e je c u ta rs e c a d a v e z q u e n u e v o s lím ites se a n obte nid os. El análisis term ina en el m o m e n to en que no h a y a ningún punto fuera de lím ites, siem pre y cu a n d o no se h ayan elim inado m á s del 3 0 % de las m u e s tra s . S i ello o cu rrie se , se s u s p e n d e el e stu dio , se analiza el proceso para encontrar las causas de lo ocurrido y una v e z corregidas
JORGE ACUNA ACUNA
239
las fallas, se inicia de n u e v o la re c o le cc ió n de datos p a ra la co n stru cció n y análisis de un nuevo gráfico.
CASO C. Hay puntos fuera de límites solo en el gráfico R E n este caso se tiene un problem a de alta variabilidad que debe corregirse. C u a n d o el intervalo au m e n ta los pu nto s del gráfico R tienden hacia el límite su p e rio r y los puntos de los p ro m e d io s en el gráfico de p ro m e dio s tienden a ubicarse cerca de los límites de control de proceso, con tendencia a salir fuera de ellos. Lo s va lo re s de R fuera de lím ites son elim in a d o s y se recalcu la un nue vo intervalo prom edio y límites m odificados, tanto para los intervalos co m o p a ra los p ro m e d io s, p u e s ellos están b a s a d o s en el in tervalo p ro m e d io . El intervalo prom edio m odificado se calcula así: _
m
Rm= (X k=1
f R k-
X
R J / (m -f )
k=1
don de: R m = intervalo prom edio m odificado m = nú m ero total de m uestras f
= nú m e ro de m uestras que se salen de límites
CASO D. Hay puntos fuera de límites en ambos gráficos E ste es el p e o r de los c a s o s , p u e s las situ a cio n e s p re s e n ta d a s en los c a s o s B y C ocurren juntas. El pro b le m a se torna aún m á s g rand e c u a n d o al corregir uno se altera el otro. C u a n d o existen cam bios m ás g rand es en la m edia del proceso qu e en los intervalos, el gráfico R p u e d e m ostrar a lg u na estabilidad m ientras q u e en el gráfico de prom edios los puntos se salen de límites. Las acciones que se deben seguir son las m ism as presentadas para los casos B y C . Al eliminar los puntos
240
CONTROL DE CALIDAD
fu e ra d e b e in iciarse c o n los p u n to s fu e ra del g ráfico de in te rva lo s p u e s el intervalo prom edio m odificará los lím ites de control de prom edios. La s m uestras qu e se elim inan por precisión no se elim inan por exactitud y vice ve rsa . A m b o s análisis se ejecutan en form a independiente. E n el análisis preventivo se efectúa una investigación detallada de las cau sas que p rovocaron qu e el o los puntos salieran fuera de control. P ara ello, se h a c e u so del d ia g ra m a c a u s a y e fe cto co n stru id o p a ra la ca ra c te rís tic a en estudio. El objetivo de este análisis es identificar las cau sa s y establecer p ro cedi m ientos para eliminarlas, de tal m anera qu e no continúen influyendo en el co m portam iento de la variable. C o m o una herram ienta para detectar cam bios futu ros se p u e den usar los límites de advertencia que son lím ites b asados en dos desviacione s están dar en lugar de tres. E n el ca so de qu e existan te n d e n c ia s , éstas deben ser analizadas cu ida dosam ente haciendo uso de ecuaciones de regresión si se considera necesario p ro ye c ta r un d e te rm in a d o co m p o rta m ie n to . El objetivo es a ctu a r de m a n e ra preventiva ya que con el tiem po causa s no asignables de variación con tenden cia m a rca d a pueden convertirse en ca u sa s asignables de variación. Si existen p eculiarid ades d e b e n se r analizad as deten id am e nte. Si éstas fuesen m u y m arca da s pueden ser el resultado de un com portam iento anorm al que aún no se ha m anifestado de m anera abierta. Ejem plos de ellas son puntos cerca de límites y cam bios bruscos en el prom edio del proceso. E n el A pén dice IV se presentan varios ejem plos de peculiaridades y sus posibles cau sa s. El análisis del p ro ce so con respecto a la especificación se h ace c o m p a rando los limites m odificados con los límites de control especificados. A d e m á s , se efectúa el análisis de exactitud y precisión y se calculan los respectivos por centajes de producto qu e no cum ple con especificaciones al inicio y al final del estudio. Al c o m p a ra r los lím ites de control del pro ceso con los lím ites de control especificados se p u e d e n g e ne rar las siguientes situaciones: S itu a c ió n 1. D oble lím ite especificado. Los lím ites de c on tro l d e l p ro ce so se en cuentran dentro de los lím ites de c o n tro l especificados y e l p ro ce so está centrado
JORGE ACUNA ACUNA
241
E sta es u na situación bastante favora ble pero po co usual. C u a n d o ésto ocurre, se de b e n seguir las siguientes acciones: 1. 2.
S e g u ir u sand o los m ism o s m edios de control C o n s id e r a r la p o s ib ilid a d d e u s a r lím ite s de co n tro l d e p ro c e s o m á s h olgados sin perjudicar el d e s e m p e ñ o del proceso
3. 4.
R e du cir los intervalos de inspección R evisar la especificación con el fin de constatar su apego a las condiciones exigidas al proceso. El objetivo es d e m ostrar qu e la situación presentada se d e b e a la b u e n a c a lid a d del p ro c e s o y no a u na m a la e s c o g e n c ia o diseño de especificaciones S itu a c ió n 2. D oble lím ite especificado. Los lím ites de c on tro l d e l proceso
se encuentran casi coincidiendo con los lím ites de control especificados cuando e l p ro ce so está centrado C u a n d o ésto ocurre, se debe: 1.
V ig ila r co n sta n te m e n te el cen tro del p ro c e s o , p u e s un m ín im o c a m b io puede pro vo ca r producto defectuoso
2. 3.
A n a liza r la posibilidad de dism inuir la dispersión Analizar la posibilidad de am pliar tolerancias (debe ser la última acción que se siga)
S itu a c ió n 3. Doble lím ite especificado. Los lím ites de control especificados se encuentran ligeram ente dentro de los lím ites de con tro l d e l pro ceso cuando
e l p ro ce so está centrado Esta situación pro voca un nivel de producto disconform e con las especifi c a c io n e s q u e d e b e se r co n tro la d o con c u id a d o . L a s m e d id a s q u e se de b e n tom ar en este ca so son entre otras: 1.
D ism inuir la dispersión del proceso haciendo los cam bios necesarios
2.
Utilizar inspección 1 0 0 % , hasta qu e el pro ceso vu elva a su norm alidad
3.
A n a liza r la posibilidad de am pliar tolerancias (últim a acción)
CONTROL DE CALIDAD
242
S itu a c ió n 4. Doble lím ite especificado. Los lím ites de c on tro l del pro ceso se en cue ntran dentro de los lím ite s de c o n tro l esp ecificado s y e l p ro ce so está descen tra do E ste c a s o es de c u id a d o p u e s si el p ro ce so es irre gu lar en m a n te n e r su c e n tro p u e d e p ro v o c a r d e un m o m e n to a otro un v o lu m e n no d e s e a d o de producto defectuoso. La s m e didas por tom ar son las siguientes: 1. 2.
Ejecuta r acciones que permitan centrar el proceso y controlar su exactitud S i no fu e ra p o sib le c e n tra r el p ro c e s o de in m e d ia to , s e d e b e e m p le a r inspección 1 0 0 % hasta que se logre
3.
E sta blecer controles rígidos que perm itan detectar cualquier cam bio en el centro del proceso. S itu a c ió n 5. D oble lím ite especificado. Los lím ites de con tro l d e l p ro ce so
se encuentran casi coincidiendo con los lím ites de control especificados cuando e l p ro ce so está descentrado E s te c a s o e s p a re c id o al m o s tra d o en la S itu a ció n 4. L a s a c c io n e s por seguir son las m ism as a u nq ue el control d e b e ser aún m á s rígido. S itu a c ió n 6. Doble lím ite especificado. Los lím ites de control especificados se encuentran ligeram ente dentro de los lím ites de con tro l d e l pro ceso cuando e l p ro ce so está descentrado E n esta situación la cantidad de pro ducto qu e no cu m p le con especifica ciones pu e de ser alta en la m edida en que el proceso tenga su valor m edio m uy a le ja d o del v a lo r n om inal e s p e c ifica d o . L a s a c c io n e s so n las m is m a s de la situación 4. S itu a c ió n 7. Un s o lo lím ite especificado. E l lím ite de c on tro l especificado
se e n cu e n tra ba jo e l lím ite de c o n tro l de p ro c e s o s i se c o n tro la un m ín im o o sob re é l s i se controla un m áxim o Esta es una situación favorable que debe continuar. La calidad del proceso se rá m ejor en la m edida en qu e el límite de control del pro ceso se aleje del e s pecificado. Si e sa distancia fuera m u y g ra n d e se puede reducir el intervalo de inspección en form a controlada.
JORGE ACUNA ACUNA
243
S itu a c ió n 8. Un solo lím ite especificado. E l lím ite de c on tro l especificado coincide con e l lím ite de con tro l d e l p ro ce so E sta es u na situación de c u id a d o p u e s p u e d e g e n e ra r pro du cto que no cu m p le con especificaciones en cu alq u ier m om ento. La s accio n es por seguir son: 1.
C u id a r qu e el p ro ce so no m u e v a su p ro m e d io hacia el lím ite de control especificado
2.
A u m e nta r la frecuencia de inspección
3.
Dism inuir ligeram ente la dispersión del proceso
S itu a c ió n 9. Un solo lím ite especificado. E l lím ite de c on tro l especificado se encuentra s o b re e l lím ite de c o n tro l de p ro ce so s i se c ontrola un m ínim o o bajo é l s i se controla un m áxim o Esta situación genera disconform idades que se agravan de acuerdo con la brecha que se presente entre los límites. Las m edidas que hay que tom ar son: 1.
M over el centro del proceso en dirección contraria a donde se encuentre el límite de control especificado
2.
Inspeccionar 1 0 0 % hasta lograr un control favorable
3.
T ra ta r de dism inuir la tolerancia (en último caso )
U n a v e z que se han co m p a ra d o lím ites se pro cede a h acer el análisis de exactitud y precisión. Para ello se realizan las siguientes com paraciones con las respectivas p ruebas de hipótesis si es necesario:
M = x g ’< T / 3
o ’ = R/d2 H e c h o ésto se calcula el porcentaje disconform e con especificaciones al inicio y al final del estudio. Las Figuras 4 .4 y 4.5 m uestran las curva s norm ales qu e se deben plantear para calcular a m b o s porcentajes.
CONTROL DE CALIDAD
244
M - T
M+ T
*¡
FIGURA 4.4. Cálculo del porcentaje disconforme inicial.
FIGURA 4.5. Cálculo del porcentaje disconforme final.
a e s t i m a c i ó n inicial de la desviación están dar antes del análisis
o j: estim ación final de la desviación están dar despu és del análisis R . : intervalo prom edio inicial -a n t e s del a n á lis is R , : intervalo prom e dio final -d e s p u é s del a n á lis is El p o rce ntaje de p ro d u cto d isco n fo rm e total se e n c u e n tra s u m a n d o las á re as A , y A 2. S i se d e s e a , se p u e d e e fe ctu a r una p ru e b a de hipótesis p a ra
JORGE ACUNA ACUNA
245
dete rm ina r si la reducción lograda en el porcentaje calculado es significativa (pru e b a de hipótesis de dos pro porcion es).
S e g u im ie n to
U n a v e z qu e se ha finalizado el análisis y se ha constatado que el proceso cum ple con las especificaciones, se proyectan los límites de control del proceso al futuro en un e sq u e m a que permitirá el control con base en nuevas muestras. C a d a m u e s tra se g rá fica y s e to m a n las d e c is io n e s del c a s o co n el fin de corregir situaciones anóm alas. Para esta actividad se debe adiestrar al personal para que tom en muestras obe deciendo a los esq u em as que cum plen con las condiciones de aleatoriedad y representatividad. E ste pro ce so debe ejecutarse hasta que las con dicio nes que presenta la característica se an favorables, es decir, hasta que se entregue al con su m ido r un producto que satisface sus expectativas. P a ra te ne r u na idea global de las tres e tapas en el uso de un gráfico de co n tro l de p ro m e d io s e in te rv a lo s se p u e d e o b s e rv a r el flu jo g ra m a I en el A p é n d ice III.
EJEMPLO 4.3 E n una industria m a nufactu rera de e n v a s e s plásticos, existe un enva se cu y o p e so nom inal deb e ser 45 g ra m o s. C o n el fin de c h e q u e a r el estado del p ro c e s o se to m a n treinta m u e s tra s de c in co e n v a s e s c a d a u na y se p e sa n obteniendo la inform ación que se presenta en el C u a d ro 4.1. a. b.
Efectuar un análisis u sand o un gráfico de prom edio e intervalo Si las tolerancias se fijan en ± 5 gram os ¿ Q u é conclusiones se obtienen del estado del pro ceso?
CONTROL DE CALIDAD
246
CUADRO 4.1. Hoja de datos y cálculos iniciales para el Ejemplo 4.3 Hoja de datos - Gráficos de control X, R A-X-30 ' Envase plástico Código: 45 ± 5 g Peso en gramos Especificación: Extrusora Extrusión Máquina: H. Picado J. Morales Inspector: 30-6-84 Tumo: 2-10 Hora de inicio: 3:30 Hoja # 1 de 1
Artículo: Característica: Operación: Operario: Fecha: Muestra
#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V A L O R
5 4 3 2 1
48 35 46 55 41
42 48 47 45 46
42 40 49 48 41
43 43 40 40 42
41 42 41 41 45
45 47 44 47 49
59 60 59 59 60
40 40 46 46 46
40 42 43 46 47
42 45 39 44 45
225 45,0 20
228 45,6 6
220 44,0 9
208 41,6 3
210 42,0 4
232 46,4 5
297 59,4 1
218 43,6 6
218 43,6 7
215 43,0 6
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
52 38 48 44 45
44 53 47 38 44
44 43 45 40 43
54 41 45 44 39
51 39 54 45 38
44 45 46 37 43
46 55 47 46 43
39 42 55 47 48
42 42 49 43 44
48 42 43 43 43
227 45,4 14
226 45,2 15
215 43,0 5
223 44,6 15
227 45,4 16
215 43,0 9
237 47,4 12
231 46,2 16
220 44,0 7
220 44,0 5
#
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
5 4 3 2 1
35 58 50 40 52
46 47 49 40 41
54 49 46 43 35
48 47 46 45 41
60 53 49 51 52
45 44 42 40 40
40 40 40 39 41
36 47 48 45 35
45 45 46 44 47
47 50 51 47 44
235 47,0 23
233 46,6 11
200 40,0 2
211 42,2 13
227 45,4 3
237 47,6 7
I N D I V
n=5
O B
TOTAL PROMEDIO INTERVALO R MUESTRA #
S E R
V A L O R
I N D I V
5 4 3 2 1
TOTAL PROMEDIO INTERVALO R MUESTRA
V A
I
N V A L O R
I N D I V
TOTAL PROMEDIO INTERVALO R
227 227 275 211 45,4 45,4 55,0 42,2 7 5 19 9 i—CONSTANTES— 5 6 7
E S
n
2
3
4
8
9
a2
1,880
1,023
0,729
0,577
0,483
0,419
0,373
0,337
0,308
0,285
d2
3,686
4,358
4,698
4,918
5,078
5,203
5,307
5,394
5,469
5,534
2,115
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
1,744
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
3,173
D4
3,267
2,575
2,282
d2
1,118
1,693
2,059
1 0 1 1
JORGE ACUNA ACUNA
247
SOLUCION A.
Construcción del gráfico Los pasos del 1 al 4 se encuentran en el C u a d ro 4.1. P a so 5. C á lc u lo del p ro m e d io de pro m e dio s y el intervalo pro m e dio . Del
C u a d ro 4.1 se obtiene que: 1359 x — ----------------= 4 5 ,3 30
' -
276 R = -------------= 9 -2 30
Paso 6. C á lc u lo de límites de control a.
Lím ites de control especificados Especificación: M ± T = 45 ± 5 g ram os
Para prom edios LSE_= M
+ T / 'f rf =
45
+
5/\f5 =
47,3 gram os
X
LCE
= M
=
45,0 gram os
X
L IE
= M
- T/fn
=
45
-
5/15
=
42 ,7 gram os
X
Para intervalos LSEr
=
D2
*
T/3 =
4 ,9 1 8 * 5 / 3 = 8 ,6 gram os
LCEr
=
d2
*
T/3 =
2 ,3 2 6 * 5/3 = 3,9 gram os
L IE r
=
D,
*
T/3 =
0*5/3
=
0 gram os
Para n=5 , los valores de D 2, d2y D , se localizan en la hoja de datos en el C u a d ro 4.1. El valor de D , es cero. b.
Lím ites de control del proceso
Para p rom edios
CONTROL DE CALIDAD
.48
LSCx=
x + A 2* R = 45 ,3 + (0 ,5 7 7 * 9 ,2 ) = 5 0 ,7 g ram os
Lca=
x
= 45 ,3 gram os
L IC x =
x - A 2* R = 4 5 ,3 - (0 ,5 7 7 * 9 ,2 )
= 3 9 ,9 g ram os
P a ra intervalos L S C R= D 4* R = 2 ,1 1 5 * 9 ,2
= 1 9 ,5 g r a m o s
LCCr =R
= 9,2 gram os
U C R = D 3* R = 0
* 9 ,2
=
0 gram os
Los valores utilizados y las constantes se encuentran en el C u a d ro 4.1. Pa so 7. C onstru cción del gráfico La Figu ra 4 .6 pre senta el gráfico correspondiente a este ejem plo.
B.
Análisis del gráfico
1.
A ná lisis con resp ecto a l p ro ce so Al o b servar la F ig u ra 4 .6 se nota que hay puntos fuera en a m b o s gráficos,
por lo qu e se p ro ce de a elim inarlos.
G rá f ic o R S e nota qu e las m uestra s 1 y 21 se encuentran sob re el límite superio r de control, ento nces se recalcula el intervalo prom edio. 2 7 6 - ( 2 0 + 23)
Rm
= 8,32 gramos 30 -2
JORGE ACUÑA ACUÑA
FIGURA 4.6. Gráfico de control X,R del Ejemplo 4.3.
249
O CC< L l — U O IX
O CC
250
CONTROL DE CALIDAD
S e re c a lc u la s o lo el lím ite s u p e r io r p u e s es el q u e s e n e c e s ita p a ra o b s e rva r si hay m ás puntos fuera. L S C Rm= D 4* R m= 2 ,1 15* 8 ,3 2 = 17,6 g ram os Al obse rvar de nuevo el gráfico se nota que la m uestra 23 se sale de límites por lo qu e se elim ina. E l nuevo intervalo m odificado es: 2 3 3 -1 9 R m= ------------------------= 7 ,9 3 gram os 2 8 -1 L S C ^ = 2 ,1 1 5 * 7 ,9 3 = 16,8 gram os Y a no hay m á s puntos fuera y se elim inaron solo el 1 0 % de las m uestras. S e p ro cede entonces a analizar el gráfico de prom edios.
Gráfico x S e recalculan los límites con el n u e vo intervalo prom edio. L S C - = 4 5 ,3 + (0 ,5 7 7 * 7 ,9 3 ) = 49 ,9 g ra m o s L i a = 45 ,3 - (0 ,5 7 7 * 7 ,9 3 ) = 40 ,7 g ra m o s S e nota que las m uestras 7 ,2 5 y 27 se encuentran fuera de límites. P or lo tanto se procede a elim inarlas y a recalcular el prom edio.
1 3 5 9 - ( 5 9 , 4 + 5 5 + 40) x m= --------------------------------------------------= 44 ,6 g ra m o s 3 0 -3 Lo s límites de control de pro ceso m odificados serán: L S C 5m= 44 ,6 + (0 ,5 7 7 * 7 ,9 3 ) = 49 ,2 g ra m o s L IC 5m= 44 ,6 - (0 ,5 7 7 * 7 ,9 3 ) = 40,0 g ra m o s
JORGE ACUÑA ACUÑA
251
Al o bse rvar de n u evo el gráfico se nota qu e ya no hay m ás puntos fuera y so lo se e lim in a ro n el 1 0 % d e las m u e s tra s . E n c u a n to a p e c u lia rid a d e s y tendencias no se observa nada importante.
2.
A nálisis con respecto a especificaciones
Al co m p a ra r la situación de los lím ites de control de pro ceso finales y los límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 3, por lo que ya se co n o cen las acciones que hay qu e tom ar. Al hacer el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto no conform e con especificaciones se tiene: a.
Exactitud M= x 45 ,0
= 44,6
S e plantea la siguiente hipótesis H 0: p = 45 H a: p = 45 La Figu ra 4.7 m uestra la curva norm al correspondiente. o ’ = 7,93/2,326 = 3,41 4 4 ,6 -4 5 Z =
= - 0,26 3,41 '15
C o m o se puede o bservar en la Figura 4.7, no existe evidencia estadística, con a = 5 % , para re c h a za r la hipótesis nula. P or lo tanto, bajo las condiciones actuales se puede afirmar con 9 5 % de confianza que el proceso está centrado.
CONTROL DE CALIDAD
252
FIGURA 4.7. Curva normal para la prueba de hipótesis.
b.
Precisión
El proceso no es preciso puesto que:
a ’ > T/3 a' = R/d2= 7 ,9 3 / 2,3 2 6 = 3,41 T/3 = 5 / 3 = 1,67 3,41
> 1 ,6 7
C o n la d ife re n c ia m o s tra d a re s u lta in n e c e s a rio h a c e r la p ru e b a de hipótesis.
c.
P orcentaje de producto disconform e
o'.= 9 ,2 / 2 ,3 2 6 = 3,96 & = 7 ,9 3 / 2 ,3 2 6 = 3,41 Las Figuras 4.8 y 4.9 m uestran las curvas norm ales usadas para el cálculo del porcentaje de producto fuera de especificaciones.
JORGE ACUNA ACUNA
FIGURA 4.8. Cálculo del porcentaje de producto disconforme inicial.
FIGURA 4.9. Cálculo del porcentaje disconforme final.
A , = P (x < 4 0 ,0 ) = N ((4 0 ,0 - 44,6)/3 ,96) = -1 ,1 6 A , = 0 ,1 2 3 ó 1 2 ,3 % A 2= P ( x > 5 0 ,0 ) = 1 - N ((5 0 ,0 - 44,6)/3 ,96) = 1 - N (1 ,3 6 ) A 2= 1 -0 ,9 1 3 1 = 0 ,0 8 6 9 0 8 ,6 9 % El porcentaje de producto disconform e total inicial es 20,9 9 % . A , = P (x < 4 0 ,0 ) = N ((4 0 ,0 - 4 4 ,6)/3 ,41) = -1 ,3 4 A , = 0,09 ó 9 % A 2= P ( x > 5 0 ,0 ) = 1 - N ((5 0 ,0 - 4 4 ,6)/3 ,41) = 1 - N ( 1 , 5 8 ) A 2= 1 -0 ,9 4 3 = 0,0 5 7 6 5 ,7 %
253
254
CONTROL DE CALIDAD
El porcentaje de producto disconform e total final es 14,7 % . C o m o se p u e d e co n clu ir del análisis rea liza do, la elim inación de ca u sa s asignables a yu da a dism inuir el porcentaje de producto disconform e de 2 0 ,9 9 % a 1 4 ,7 % . S in e m b a rg o , esto no es su ficie n te y d e b e n h a c e rs e las m e jo ra s re c o m e n d a d a s para elevar el nivel de calidad de este proceso.
UTILIZACION D EL GRAFICO PROCESO
x,
R PARA A JU ST A R UN
U n o de los aspectos en que es útil un gráfico de controfx, R es para ajustar un p ro c e s o o m á q u in a de a c u e rd o c o n el d e s e m p e ñ o de u na d e te rm in a d a característica. El prim er paso es seleccionar esa característica y m áquina en la qu e se efectuará el estudio. El procedim iento por seguir es el m ism o explicado anteriorm ente y en adelante solo se hará énfasis en las diferencias. Este análisis consiste en un estudio de por lo m enos tres días, a través de los cuales se introducen m ejoras y se evalúan al día siguiente. El procedim iento es el siguiente: 1.
R e c o le c ta r los d a to s del p rim e r d ía , co n stru ir el gráfico y a n a liza rlo . Al efectuar el análisis pueden ocurrir las siguientes situaciones: a.
H a y p u n to s fue ra de lím ite s de c o n tro l de pro ceso . E n este ca s o se procede tal y com o se explicó anteriorm ente, es decir, se recalculan lí m ites, se a n a liza n te n d e n cia s y p e cu lia rid a d e s y se c o m p a ra n con especificaciones. Al final del día se efectúan las m edidas correctivas y p re ve ntiva s n e c esarias aju stando m á q u in a s, m étodos y m ateriales, con el fin de continuar el estudio al día siguiente. Si el proceso cum ple con las especificaciones no hay necesidad de continuar con un seg un do día de estudio, a no ser que el proceso se presente m uy descontro la d o o q u e s e d e m u e s t r e q u e la s e s p e c if ic a c io n e s e s tá n m al establecidas.
b.
N o h a y p u n to s fu e ra de lím ite s de c o n tro l de p ro ce so . Si es a sí se p ro ce d e a e v a lu a r la situación del p ro ce so con respecto de e s p e c i ficaciones. Si cum ple con las especificaciones se aplica lo dicho en el
JORGE ACUNA ACUNA
255
punto a ). Si no cu m p le con ellas se deb en introducir m ejoras al pro ceso, las que se evaluarán al día siguiente.
Si en el prim er día, uno o a m b o s gráficos m ostraron estabilidad inicial, c se a n in g u n a m u e stra fue elim in a d a , e n to n ce s los lím ites de control de proceso se usan co m o límites de control iniciales para el seg u ndo día, c o r el fin de probar su consistencia. 2.
R ecolectar los datos del seg u ndo día. Si existen límites de control de pro c e s o iniciales los datos reco lecta do s se graflcan y se a n aliza la c o n s is tencia del p ro ce so co n respecto al d ía anterior sin e n trar en el análisis L u e g o , se efectúan los cálculos n e cesarios para ob te n e r n u e vo s límites con base en las m uestras del primer y segundo días com o si fuesen un solc
c o n ju n to . C o n b a s e en e s to s lím ite s y en los d a to s de a m b o s d ía s se e fectúa el a nálisis. Si h ay pu nto s fu era se e lim in an, se c o m p a ra con la especificación y se h acen los ajustes necesarios. Si no hay puntos fuera
sim p le m ente se p ro ce d e a c o m p a ra r con especificacione s y a tom ar las a ccio n e s p re ve ntivas y correctivas q u e se e va lu a rá n al siguiente día. S c u m p le con e s p e c ific a c io n e s se a p lic a lo d ic h o en el p u n to 1 a ). S i nc existen límites iniciales de control de proceso se efectúa el m ism o análisis y se toman las m ism as acciones, pero con base solamente en las muestras tom ada s el se g u n d o día.
Si únicam ente en el segundo día, uno o am bos gráficos m ostraron estabi lidad inicial, es decir, ninguna m uestra fue elim inada, entonces sus límites
de control del p ro ce so se usan c o m o lím ites de control iniciales para e tercer día Si en el prim er y seg u ndo días hubo consistencia, se tom an los límites calculados con base en las m uestras de a m b o s días. 3.
Recolectar los datos del tercer día. Si existen límites de control de procese
iniciales, los datos recolectados se grafican y se analiza la consistencia de proceso con respecto al día o días anteriores, sin entrar en la etapa de aná lisis. L u e g o , se efectúan los c á lcu lo s n e c e s a rio s p a ra o b te n e r nuevos límites con base en el conjunto de m uestras del prim ero, seg u ndo y tercei días o con base en el seg undo y tercer día, si los límites iniciales se basar
solo en el segundo día. C o n base en estos límites y en los datos de los tres
o dos días, según sea el caso, se efectúa el análisis. Si hay puntos fuera se
e lim in a n y se p ro c e d e a c o m p a ra r con la e s p e c ific a c ió n y a h a c e r los
CONTROL DE CALIDAD
256
ajustes necesarios. Si no h a y puntos fuera, sim plem ente se co m para con especificaciones y se tom an las acciones preventivas y correctivas que se e v a lu a rá n al sig uie n te d ía . Si no existen lím ites iniciales de control de proceso se efectúa el m ism o análisis y se tom an las m ism as acciones, pero con base solam ente en las m uestras to m a d a s durante el tercer día. 4.
Si ya se-ha logrado cum plir con las especificaciones, se tiene entonces un proceso ajustado a los requerim ientos. D e lo contrario pueden ocurrir dos cosa s: a.
Q u e se a necesario el análisis de un cuarto día, si h ay indicios de que el proceso todavía es ca p a z de dar algo mejor, en cu yo caso se aplica el m ism o procedim iento explicado.
b.
Q u e se concluya que la o las m áquinas analizadas no son capa ces de cum plir con las exigencias planteadas, en cuyo c a s o se deben tom ar las acciones de sustitución de equipo o modificación o eliminación del contrato con el cliente.
5.
U n a v e z ajustado el pro ceso se deb en establecer las accion es de control por seguir con el fin de qu e el proceso m antenga su g ra d o de ajuste. Este es un buen procedim iento para encontrar la capacidad de un proceso
o m áquina y así cum plir con las exigencias de calidad planteadas por el cliente o c o n su m id o r. La F ig u ra 4 .1 0 pre senta un e s q u e m a del gráfico resultante al aplicar este procedim iento. E s im portante re c a lca r qu e un estudio de esta natu ra le za deb e ir a c o m p a ñ a d o de una c a m p a ñ a de m otivación y entrenam iento a nivel de e m p re sa , p u e s los e s fu e rz o s p a ra m e jo ra r c a lid a d d e p e n d e n en un alto g ra d o del com portam iento, actitud y aptitud del factor hum ano.
EJEMPLO 4.4 U na Com pañía que fabrica paraguas desea controlar la longitud de las varillas a través de un gráfico de control de prom edios e intervalos. La recolección de
JORGE ACUÑA ACUÑA
257
0 52 M 50 D 4 8 ~
1 460 44424038 3634-
I 2218-
n
I
2
3
P r im e r d ía
4...
I
2
3.
S e g u n d o d io
I
2
3
4 ...
m
T e rc e r día
Espacio para la inform ación adicional que se desee
FIGURA 4.10. Representación de un gráfico x,R en ajuste de proceso.
inform ación se h izo durante tres d ía s to m and o cien o b s e rv a cio n e s diarias y efectu a n do las m ejo ras del ca so al final de cad a día. Lo s datos obte nid os se encuentran en los C u a d ro s 4 .2 ,4 .3 y 4.4. Te rm in a d o el análisis se de se a saber: 1.
¿ Q u é se ha logrado a través de los tres días de control?
2.
¿ Q u é se planea hacer en el futuro?
3.
¿ Q u é destino d ar a la producción fabricada?
CONTROL DE CALIDAD
SOLUCION A.
C onstrucción del gráfico
Lo s p aso s del 1 al 5 se e ncuentran en los C u a d ro s 4 .2 ,4 .3 y 4.4. Lím ite s de control especificados Especificació n: M ± T = 4 0 ,0 + 2,5 cm
P a ra pro m e dio s LSE
= M + T / T ñ = 4 0 ,0 + 2,5/ Í 5
= 4 1 ,1 2 c m
= M
= 4 0 ,0 0 cm
X
LCE X
L IE _ = M - T/ T ñ = 4 0 ,0 - 2,5/ Í 5
= 38,8 8 cm
X
P ara intervalos L S E r = D 2* T/3 = 4 ,9 1 8
*2,5/3 = 4,1 O c m
L C E r = d2 * T/3 = 2 ,3 2 6 * 2,5/3 = 1,94 cm L IE r
= D , * T/3 = 0
* 2 ,5 / 3 =
O cm
P a ra n = 5 , los v a lo re s de D 2, d2y D , se localizan en la hoja de datos en el iuadro 4 .2. El valor de D , es cero para m uestras de tam año igual o inferior a 11.
Construcción del gráfico para el día lunes (M u e stra s de la N o . 1 a la N o . 20 en el C u a d ro 4 .2 ).
a.
Lím ites de co n tro l del p ro ce so P ara prom edios
JORGE ACUNA ACUNA
CUADRO 4.2. Datos del primer día para el Ejemplo 4.4 Hoja de datos - Gráficos de control x, R Varilla de paraguas Código: Longitud de corte Especificación: Corte de barras Máquina: T. P. Aguilar Inspector: 26-09-84 Turno: 1 Hora de inicio: 8:00 a.rti. Hoja #
Articulo: Característica: Operación: Operario: Fecha: Muestra
#
1
V A L 0 R
5 4 3 2 1
42.1 42.7 40.7 39.1 43,3
I N D I V
2
3
38.5 40,2 40.5 35,9 47,2 37,5 39,4 46.7 38.6 38.8
AM-05 45,0 ± 2,5 gr Cortadora xy A. M. Flores 1 de 3
4
5
6
7
8
9
10
37,9 37.8 36,5 40,0 39.9
40.5 41.5 42.5 40,0 39,9
48.0 43,4 44.0 43.0 40.0
36.0 38.7 39.0 41.7 43,5
45.0 40,8 40,2 40.1 41,7
42,3 41,5 39,9 39.8 36.9
50.0 47.0 45,6 46.1 46,9
n=5
O B
TOTAL 207,9 204,2 199,1 186,8 204,4 218,4 198,9 207,8 200,4 235,6 PROMEDIO 41,58 40,84 39,82 37,36 40,88 43,68 39,78 41,56 40,80 47,12 INTERVALO R 4,2 8,7 10,8 1,4 2,6 8,0 7,5 5,4 4,4 4,9 MUESTRA V A L O R
I N D I V
#
11
5 4 3 2 1
37,0 38.4 39.5 38,7 37,9
TOTAL PROMEDIO INTERVALO R
12
13
40.6 35,0 41,5 37.6 39.7 40,3 38.8 39.7 37,1 38,5
14
15
16
17
18
19
20
38,9 36.3 38.4 39,6 40,0
40,3 4 ; ,3 40,8 41.5 42.5
41.5 41.5 40.3 39.3 38,9
43,3 42,1 40.0 38,8 38.0
42.1 43.2 40,8 40,0 39,7
41,5 37,4 38,3 37.8 38.9
35,9 41.7 43.8 42,7 40,1
191,5 197,7 191,1 193,2 206,4 201,5 202,2 205,8 193,9 204,2 38,30 39,54 38,22 38,64 41,28 40,30 40,44 41,16 38,78 40,84 4,4 3,7 2,5 5,3 2,2 2,6 5,3 3,5 4,1 7,9 CALCULOS
MUESTRAS DE LA 1 A LA 20
S
V A
I
N E
£ x = 810,2
X = 40,51
£ R = 99,4
S
R = 4,97
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A2
1,880
1,023
0,729
0,577
0,483
0,419
0,373
0,337
0,308
0,285
D2
3,686
4,358
4,698
4,918
5,078
5,203
5,307
5,394
5,469
5,534
D4
3,267
2,575
2,282
2,115
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
1,744
d2
1,128
1,693
2,059
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
3,173
i
CONTROL DE CALIDAD
260
CUADRO 4.3. Datos del segundo día para el Ejemplo 4.4 Hoja de datos - Gráficos de control x, R Varilla de paraguas Código: AM-05 Longitud de corte Especificación: 45,0 ± 2,5 gr Corte de barras Máquina: Cortadora xy T. P. Aguilar Inspector: A, M. Flores 27-09-84 Turno: 1 Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 2 de 3
Artículo: Característica: Operación: Operario: Fecha: Muestra
#
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
V A L O R
5 4 3 2 1
42,1 40,8 40,7 39,3 42,5
38,5 40,5 42,3 39,4 38,6
40,2 38,9 37,5 42,1 38,8
37,9 39,8 40,0 41,5 39,7
40,6 41,4 42,4 40,2 40,0
43,0 43,4 40,5 41,3 38,9
38,0 38,7 39,1 40,3 39,9
40,8 39,3 39,0 39,9 40,9
41,3 41,5 38,9 39,8 37,6
40,0 36,9 38,8 39,2 40,0
I N D I V
n=5
O B
TOTAL 205,4 199,3 197,5 198,9 204,6 207,1 196,0 199,9 199,1 194,9 PROMEDIO 41,08 39,86 39,50 39,78 40,92 41,42 39,20 39,98 39,82 38,98 3,8 3,3 3,6 2,4 4,5 2,3 INTERVALO R 3,1 3,2 1,9 3,9 MUESTRA
#
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
5 4 3 2 1
37,9 38,0 39,4 38,5 38,4
41,6 41,5 39,5 38,8 39,1
37,5 37,6 40,3 39,7 40,0
39,8 38,3 39,9 40,9 41,0
39,3 38,4 40,0 41,5 40,5
41,5 41,5 41,5 39,9 38,7
40,3 40,9 38,8 39,7 39,6
36,9 40,9 41,9 40,5 40,3
36,9 36,9 42,7 40,1 40,1
38,7 38,8 39,0 40,7 40,6
S
R V A L O R
I N D I V
TOTAL 192,2 200,5 195,1 199,9 199,7 203,1 199,3 200,5 196,7 197,8 PROMEDIO 38,44 40,10 39,02 39,98 39,94 40,62 39,86 40,10 39,34 39,56 5,0 5,8 2,0 INTERVALO R 1,5 2,8 2,8 2,7 2,8 2,1 3,1
V A
I n
CALCULOS DE LA MUESTRA 21 A LA 40 (2d° DIA) I x = 797,50
x= 39,88
IR = 62,60
R= 3,13
DE LA MUESTRA 1 A LA 40 (1», y 2do DIAS) I x = 1607,7 x= 40,19 IR = 162,0
n
2
3
4
5
6
7
8
a2
1,880
1,023
0,729
0,577
0,483
0,419
E S
R=4,05 9
10
11
0,373
0,337
0,308
0,285
5,307
5,394
5,469
5,534
d2
3,686
4,358
4,698
4,918
5,078
5,203
d4
3,267
2,575
2,282
2,115
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
1,744
d2
1,128
1,693
2,059
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
3,173
JORGE ACUÑA ACUÑA
261
CUADRO 4.4. Datos del tercer día para el Ejemplo 4.4 Hoja de datos - Gráficos de control x, R Varilla de paraguas Código: AM-05 Longitud de corte Especificación: 45,0 ± 2,5 gr Corte de barras Máquina: Cortadora xy T. P. Aguilar Inspector: A. M. Flores 28-09-84 Turno: 1 Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 3 de 3
Artículo: Característica: Operación: Operario: Fecha: Muestra
#
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
V A L O R
5 4 3 2 1
41,1 40,6 40,3 39,8 41,2
39,5 40,5 41,3 39,4 38,9
40,0 41,3 39,3 39,8 40,0
41,5 42,3 40,0 39,6 39,8
38,9 38,0 41,0 40,3 40,3
38,7 38,0 37,6 38,9 38,9
40,0 41,0 40,5 39,5 40,0
39,5 39,6 40,1 40,3 41,3
39,0 39,9 40,3 40,9 41,1
39,8 38,9 39,9 40,1 40,3
I N D I V
TOTAL 203,0 199,6 200,4 203,2 198,5 192,1 201,0 200,8 201,2 199,0 PROMEDIO 40,60 39,92 40,08 40,64 39,70 38,42 40,20 40,16 40,24 39,80 2,7 INTERVALO R 2,4 2,0 3,0 1,3 1,5 1,8 1,4 2,1 1,4 MUESTRA V A L O R
I N D I V
#
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
5 4 3 2 1
39,9 40,0 41,0 40,0 39,8
39,9 40,3 40,5 40,0 39,9
39,7 40,3 38,6 38,6 40,7
38,7 39,7 40,1 41,6 42,0
38,1 42,6 40,0 40,0 39,3
38,7 39,1 39,2 40,2 40,7
39,5 38,5 40,6 40,4 40,0
40,2 40,1 40,0 39,7 39,9
40,0 41,7 40,8 39,6 39,5
39,5 38,1 40,7 40,5 40,0
n=5
O B s E R V A C O N E S
TOTAL 200,7 200,6 197,9 202,1 200,0 197,9 199,0 199,9 201,6 199,2 PROMEDIO 40,14 40,12 39,58 40,42 40,0 39,58 39,80 39,98 40,32 39,84 2,8 INTERVALO R 0,6 3,3 4,5 2,0 0,5 2,2 1,2 2,1 2,1 CALCULOS DE LA MUESTRA 41 A LA 60 DE LA MUESTRA 21 A LA 60 (3er DIA) (2d0 y 3“ DIAS) I R = 40,90 R= 2,05 I R = 103,50 R= 2,59 I x = 799,54 n
2
I x = 1597,04
X= 39,98 3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,483
0,419
0,373
0,337
0,308
0,285
5,078
5,203
5,307
5,394
5,469
5,534
1,924
1,864
1,816
1,777
1,744
2,704
2,847
2,970
3,078
3,173
\
1,880
1,023
0,729
0,577
Dp
3,686
4,358
4,698
4,918
3,267 d2
1,128
2,575 1,693
x= 39,93
DE MUESTRA 1 A LA 60 (LOS TRES DIAS) IR = 202,9 R= 3,39 x= 40,12 I x = 2407,2
2,282 2,059
2,115 2,326
2,004 2,534
262
CONTROL DE CALIDAD
LSC
= x + A * R = 40,51 + (0 ,5 7 7 * 4 .9 7 )
¿
X
LCC _ = x
= 43,3 8 cm = 40,51 cm
X
L IC
= x - A * R = 4 0 ,51 -( 0 ,5 7 7 * 4 ,9 7 ) X
= 37,6 4 cm
¿
P a ra intervalos L S C r = D 4* R = 2 ,1 1 5 * 4 ,9 7
= 1 0 ,5 2 c m
LCCr = R
= 4 ,9 7 cm
L IC r
= D 3* R = 0 * 4 ,9 7
O cm
Los valores de x y R utilizados y las constantes se encuentran en el C u a d ro 4 .1. L a F ig u ra 4.11 presenta el gráfico correspondiente a este día.
b.
Análisis del gráfico
•
A n á lisis con resp ecto a l p ro ce so
Al o b se rva r la F ig u ra 4.11 y el C u a d ro 4.2 se nota que hay puntos fuera en a m b o s gráficos, por lo qu e se pro cede a elim inarlos.
G ráfico R S e nota que la m uestra N o . 3 se encuentra sobre el límite superior de co n trol por lo qu e se p ro cede a calcular el intervalo m odificado. 9 9 ,4 -1 0 ,8 Rm
= 4,6 6 cm 20-1
FIGURA 4.11. Gráfico de control del Ejemplo 4.4.(Prlmer día).
JORGE ACUÑA ACUÑA
o cr < u. _ o o
263
C 3cr < u— o o
264
CONTROL DE CALIDAD
S e re c a lc u la s o lo el lím ite s u p e r io r p u e s es el q u e se n e c e s ita p a ra ob s e rva r si hay m ás puntos fuera. L S C R m = D 4/ R
m
= 2 ,1 1 5 * 4 ,6 6 = 9,8 6 cm 7 7 7
Y a no hay puntos fuera y se elim inó solo el 5 % de las m uestras. S e procede ento nces a ana lizar el gráfico de prom edios.
G ráfico x S e recalculan los límites con el nu e vo intervalo prom edio. L S C x= 40,51 + (0 ,5 7 7 * 4 ,6 6 ) = 4 3 ,2 0 cm
Lia
= 4 0 ,5 1 - (0 ,5 7 7 * 4 ,6 6 ) = 37,8 2 cm S e nota en la F ig u ra 4.11 qu e las m u e stra s N o . 4, 6 y 10 se encu e n tra n
fuera de límites. Por lo tanto se procede a eliminarlas y a recalcular el prom edio. 8 1 0 , 2 - ( 3 7 ,3 6 + 4 3,6 8 + 4 7 ,1 2 ) x m= ------------------------------------------------------------------------- = 4 0 ,1 2 c m 2 0 -3 Los límites de control de p ro ceso m odificados serán: L S C xm = 4 0 ,1 2 + (0 ,5 7 7 * 4 ,6 6 ) = 42,81 cm L IC xm = 4 0 , 1 2 - (0 ,5 7 7 * 4 ,6 6 ) = 3 7 ,4 3 cm Al o bse rvar de nu e vo el gráfico se nota que ya no hay m ás puntos fuera y se e lim in a ro n solo el 1 5 % de las m u e s tra s . E n c u a n to a p e c u lia rid a d e s y tendencias no se ob s e rva nada im portante.
•
A ná lisis con respecto a especificaciones
Al co m p a ra r la situación de los lím ites de control de pro ceso finales y los límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 3. Por lo que se aplican las acciones ya citadas anteriorm ente.
JORGE ACUNA ACUNA
265
Al hacer el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto fuera de especificaciones se tiene:
•
E xactitu d
M = x 4 0 ,0 0
= 40,12
S e plantea la siguiente hipótesis H 0: p = 40,0 0 H a:g = 40,00 La Figu ra 4 .1 2 m uestra la cu rva norm al correspondiente. o ' = 4,66/2,326 = 2
Z =—
4 0 ,1 2 -4 0 ,0 0 —
= 0,13
2 \Í5 C o m o se puede observar en la Figura 4.12, no existe evidencia estadística, con cc= 5 % , para re c h a za r la hipótesis nula. P or lo tanto, bajo las condiciones actuales se puede afirmar con 9 5 % de confianza que el proceso está centrado.
Precisión El pro ce so no es preciso puesto que: a ’ > T/3
& = R/d2= 4 ,6 6 / 2 ,3 2 6 = 2 T/3 = 2 ,5 / 3 = 0,833 2 > 0,833
266
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 4.12. Curva normal para la prueba de hipótesis.
La diferencia m ostrada hace innecesario hacer la pru e b a de hipótesis.
Porcentaje de p ro d u cto discon fo rm e o \= 4 ,9 7 / 2 ,3 2 6 = 2,14 o ’, = 4 ,6 6 / 2 ,3 2 6 = 2 L a s F ig u ra s 4 .1 3 y 4 .1 4 m u e s tra n las c u rv a s n o rm a le s u s a d a s p a ra el cálculo del porcentaje de producto disconform e. A , = P (x < 37 ,5 ) = N ((3 7 ,5 - 40,51 )/2,14) = -1,41
FIGURA 4.13. Cálculo del porcentaje disconforme inicial
JORGE ACUNA ACUNA
267
FIGURA 4.14. Cálculo del porcentaje disconforme final.
A , = 0,0 79 3 ó 7 ,9 3 % A 2= P ( x > 4 2 ,5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 40,51 )/2,14) = 1 - N (0 ,9 3 ) A 2= 1 -0 ,8 2 3 8 = 0 ,1762 6 1 7 ,6 2 %
El porcentaje de producto disconform e inicial es 2 5 ,5 5 % .
A , = P ( x < 3 7 ,5 ) = N ((3 7 ,5 - 4 0 ,1 2)/2) = -1,31 A , = 0,0951 6 9 ,5 1 % A 2= P ( x > 4 2 ,5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 4 0 ,1 2)/2) = 1 - N (1 ,1 9 ) A 2= 1 -0 ,8 8 3 = 0 ,1 1 7 6 1 1 ,7 %
El porcentaje de producto disconform e final es 21,21 % . C o m o se p u e d e con clu ir del análisis realizado, la elim inación de ca u sa s a signable s a y u d a po co a dism inuir el porcentaje de producto disconform e de 2 5 ,5 5 % a 21,21 % . Esto no es suficiente y deben hacerse las m ejoras recom en dadas para elevar el nivel de calidad de este proceso y evaluarlas el día martes.
2.
Construcción del gráfico para el día martes (M u e stra s de la No. 21 a la No. 41 en el C u a d ro 4.3).
268
CONTROL DE CALiDAD
a.
Lím ites de co n tro l d e l p ro ce so
P ara prom e dios
LSCx=
x
'+ A 2* R = 39 ,8 8 + (0 ,5 7 7 * 3 ,1 3 ) = 41,69 cm
LC C x= x
= 39,88 cm
L IC x = x - A 2* R = 3 9 ,8 8 - (0 ,5 7 7 * 3 ,1 3 ) = 38,07 cm
Para intervalos
L S C R = D 4 * R = 2 ,1 1 5 * 3,13 = 6,6 2 cm ’ ’ ’
LCCr = R
L IC r = D 3* R = 0
= 3 ,1 3 c m
* 3 ,1 3 =
O cm
Los valores de x y R utilizados y las constantes se encuentran en el C u a d ro 4.2. L a Figu ra 4.1 5 presenta el gráfico correspondiente a este día.
b. A n á lis is de l g rá fic o •
A ná lisis con resp ecto a l p ro ce so
Al observar la Figura 4 .15 y el C u a d ro 4.3, se nota que no hay puntos fuera en a m b o s gráficos. E n cuanto a tendencias y peculiaridades no se observa nada importante de o n a l¡ 7 a r
G 424
FIGURA 4.15. Gráfico de control ^ ,fl de/ Ejemplo 4.4. (Segundo día).
JORGE ACUÑA ACUÑA 269
270
CONTROL DE CALIDAD
•
A ná lisis con respecto a especificaciones
Al c o m p a ra r la situación de los lím ites de control de pro ceso finales y los límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 3. Por lo q u e se aplican las a ccio n e s citadas anteriorm ente. Al h acer el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto discon form e con especificaciones se tiene:
E xactitu d
M = x 4 0 ,0 0
= 39,8 8
S e plantea la siguiente hipótesis H 0: p = 40,0 0 H a: p = 40,00
La Figu ra 4.1 6 m uestra la cu rva norm al correspondiente, o ’ = 3,13/2,326 = 1,35
FIGURA 4.16. Curva normal para la prueba de hipótesis.
JORGE ACUNA ACUNA
271
3 9 ,8 8 -4 0 ,0 0 Z = ------------------------------------------= -0 ,2 0 1.35
n C o m o se puede observar en la Figura 4.16, no existe evidencia estadística, con a = 5 % , para re c h a za r la hipótesis nula. P o r lo tanto, bajo las condiciones actuales se puede afirm ar con 9 5 % de confianza que el proceso está centrado.
Precisión El proceso no es preciso puesto que: o ’ > T/3 a ’ = R/d2= 3 ,1 3 / 2 ,3 2 6 = 1 ,3 c; T/3 = 2 ,5 / 3 = 0,833 1.35 > 0 ,8 3 3 Si se de se a se pu ede h acer la pru e ba de hipótesis. S in e m bargo, en este ca s o a m b o s v a lo re s están a lejado s p u e s es casi s e g u ro que la hipótesis de precisión se rechazará.
•
P orcentaje de pro du cto disconform e
A l no h a b e r s e e lim in a d o m u e s tra s , el p o rc e n ta je in ic ia l e s ig u a l al porcentaje final. o ’ = 3 ,1 3 / 2 ,3 2 6 = 1,35 L a F ig u r a 4 .1 7 m u e s tra la c u r v a n o rm a l u s a d a p a ra el c á lc u lo del porcentaje de disconform es.
>72
CONTROL DE CALIDAD
3 7 ,5
3 9 ,8 8
4 2 ,5
FIGURA 4.17. Cálculo del porcentaje de producto disconforme.
A , = P ( x < 3 7 ,5 ) = N ((3 7 ,5 - 39 ,88)/1,35) = -1 ,7 6 A , = 0 ,0 3 92 ó 3 ,9 2 % A 2= P (
x
> 4 2 , 5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 39,88)/1,3 5) = 1 - N (1,94)
A 2= 1 - 0 ,9 7 3 8 = 0 ,02 6 2 ó 2 ,6 2 % El porcentaje de producto disconform e es 6 ,5 4 % . C o m o se p u e d e co n clu ir del análisis re a liza d o , las a c c io n e s lle va d a s a c a b o al final del d ía lu n e s su rtie ro n efecto p u e s el p o rc e n ta je de p ro d u c to discon form e se redujo de 21,21 % a 6 ,5 4 % . A pesar de qu se corrigió este a s pecto, se harán nu e va s m ejoras pu es aún no se cum ple con especificaciones. E stas m ejoras se evaluarán el día m iércoles.
3.
Construcción del gráfico para el día miércoles
D a d o qu e el día m artes el pro ceso m ostró consistencia, el análisis se b a sa rá so b re las veinte m u e stra s del d ía m artes y las veinte del día m ié rco le s (M uestra s de la No. 21 a la N o. 40 en el C u a d ro 4.3 y de la N o. 41 a la No. 60 en el C u a d ro 4 .4 ). SI se o b s e rv a la F ig u ra 4 .1 9 qu e re su m e la situación de los tres d ías, los valores del día m artes se m uestran consistentes y m ejorados. S e p ro cederá a
JORGE ACUNA ACUNA
273
h a ce r el análisis co rre sp o n d ie n te con los va lo re s de a m b o s d ía s u sa n d o las m edida s calculadas en el C u a d ro 4.4.
a.
Límites de control del proceso Para prom e dios
L S C - = x + A 2* R = 39,9 3 + (0 ,5 7 7 * 2 ,5 9 ) = 4 1 ,4 3 cm
LCC X = x L IC -
= 3 9 ,9 3 cm
= x - A 2* R = 3 9 ,9 3 - (0 ,5 7 7 * 2 ,5 9 ) = 3 8 ,4 3 cm
Para intervalos L S C R = D ,* R = 2,1 1 5 * 2,5 9 4 ’
= 5 ,4 8 c m
LCCr=R
= 2,59 cm
L I C r = D 3* R = 0
* 2,5 9
=
O cm
La Figura 4 .1 8 presenta el gráfico correspondiente a este día.
b. Análisis del gráfico A nálisis con respecto a l pro ceso Al observar la Figura 4.18 se nota que hay puntos fuera en am bos gráficos, por lo que se p rocede a elim inarlos.
274
FIGURA 4.18. Gráfico de control del Ejemplo 4.4. (Tercer día).
CONTROL DE CALIDAD
N U M E R O DE L A M U E S T R A
o J3 O m
> Primer día
Segundo día
Tercer día
FIGURA 4.19. Gráfico de control x
276
CONTROL DE CALIDAD
G ráfico R S e nota qu e la m uestra No. 39 del C u a d ro 4.3 se encuentra sobre el límite superio r de control. 1 0 3 ,5 -5 ,8 R m= ----------------------------- = 2,51 cm 4 0 -1 S e re c a lc u la s o lo el lím ite s u p e r io r p u e s es el q u e s e n e c e s ita p a ra o b s e rv a r si hay m ás puntos fuera.
L S C R m = D „4 * R
m
= 2 ,1 1 5 * 2 ,5 1 = 5 ,3 1 cm ’ ’
Y a no hay m ás puntos fuera y se elim inó solo el 2 ,5 % de las m uestras. S e p ro ce d e ento nces a a n a liza r el gráfico de prom edios.
G ráfico x S e recalculan los lím ites con el n uevo intervalo prom edio.
LSC* = 39,93 + (0,577*2,51) = 41,38 cm LIC^ = 39,93 - (0,577*2,51) = 38,48 cm S e nota en la F ig u ra 4 .1 8 qu e las m uestra s N o . 26 y 31 del C u a d ro 4 .3 y N o. 46 del C u a d ro 4.4 se encuentran fuera de límites. P o r lo tanto se pro ce d e a elim inarlas y a recalcular el prom edio 1 5 9 7,0 4 - (4 1 ,4 2 + 3 8 ,4 4 + 3 8 ,4 2 ) x m = --------------------------------------------------------------------------= 39,97 cm 4 0 -3
Los límites de control de proceso modificados serán:
JORGE ACUNA ACUNA
277
L S C xm
= 3 9 ,9 7 + '(0 ,5 7 7 * 2 ’,5 1 )' = 41,4 2 cm ’ ’ ’
L IC ^
= 3 9 ,9 7 - (0 ,5 7 7 * 2,51 ) = 38,5 2 cm
Al observar de nuevo el gráfico se nota que ya no hay m ás puntos fuera. Se e lim in a ro n solo el 7 ,5 % de las m u e stra s. E n cu a n to a p e cu lia rid a d e s y te n dencias no se ob s e rva nada importante.
•
A ná lisis con respecto a especificaciones
Al co m p a ra r la situación de los lím ites de control de p ro ce so finales y los límites de control especificados se nota que corresponde todavía a la Situación 3, au nq u e m ás favorable qu e al inicio del estudio. Al hacer el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto disconform e se tiene:
•
E xactitiK l M = x 4 0 ,0 0
= 39,97
S e plantea la siguiente hipótesis H 0:p = 40,00 H a:p = 40,00 La Figura 4 .2 0 m uestra la cu rva norm al correspondiente. o ’ = 2,51/2,326 = 1 ,0 8
Z =
3 9 ,9 7 -4 0 ,0 0 1,08 V5
= 0,0 6 2
278
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 4.20. Curva normal para la prueba de hipótesis.
C o m o se puede observar en la Figura 4.20, no existe evidencia estadística, con a = 5 % , pa ra re c h a za r la hipótesis nula. P o r lo tanto, bajo las con dicio nes actuales se puede afirm ar con 9 5 % de confianza que el proceso está centrado.
•
P recisión
El pro ce so no es preciso puesto que: o ’ > T/3 a ’ = R/d2= 2,51 / 2 ,3 2 6 = 1,08 T/3 = 2 ,5 / 3 = 0,833 1,08
> 0 ,8 3 3
S e p rocede a efectuar la pru e b a de hipótesis. H 0: a 2= 0 ,8 3 3 2 H a : o 2> 0 ,8 332 ’ Usando la Figura 4.21, se puede notar que el valor de chi-cuadrado calculado está dentro de la zona de cum plim iento de H 0. Por lo tanto, se puede afirmar con 9 5 % de confianza que las diferencias m ostradas no son significativas. Ante ello, se p u e d e d e c ir q u e el p ro c e s o es e s ta d ís tic a m e n te p re c is o . La d ife re n cia
JORGE ACUNA ACUNA
279
FIGURA 4.21. Curva Chi-cuadrado para la prueba de hipótesis.
m o s tra d a entre el v a lo r esp e c ifica d o de o ’2 (0 ,8 3 3 ) y de s 2 (1 ,0 8 ) g e n e ra un porcentaje d e V o d u c t o disconform e que es necesario calcular. (n -1 ) * s2 (4 ) * 1,082 ae2= ---------------------------- = -------------------------------= 6,724 a2 0,8 3 3 2
•
Porcentaje de p ro d u cto disconform e o ] = 2 ,5 9 / 2,3 2 6 = 1,11 a ’ = 2 ,5 1 / 2,3 2 6 = 1,08
L a s F ig u ra s 4 .2 2 y 4 .2 3 m u e stra n las c u rv a s n o rm a le s u s a d a s p a ra el cálculo del porcentaje de producto disconform e. A = P (x < 37 ,5 ) = N ((3 7 ,5 - 39,93)/1,11) = -2 ,1 9 A , = 0 ,0 1 4 3 ó 1 ,4 3 % A 2= P ( x > 4 2 ,5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 39,93)/1,1 1) = 1 - N (2 ,3 2 ) A 2= 1 -0 ,9 8 9 8 = 0 ,0102 0 1 ,0 2 % El porcentaje de producto disconform e inicial es 2 ,4 5 % .
280
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 4.22 Cálculo del porcentaje disconforme inicial.
FIGURA 4.23. Cálculo del porcentaje disconforme final.
A , = P ( x < 37,5 ) = N ((3 7 ,5 - 39,97)/1,08) = -2 ,2 9 A , = 0 ,0 1 1 0 ó 1 ,1 0 % A 2= P ( x > 42 ,5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 39,9 7 )/1 ,08) = 1 - N (2 ,3 4 ) A 2= 1 - 0 ,9 90 4 = 0 ,0 0 9 6 ó 0 ,9 6 % El porcentaje de producto disconform e final es 2 ,0 6 % . C o m o se p u ede con clu ir del análisis realizado, la elim inación de c a u s a s a s ig n a b le s en e ste d ía a y u d a p o c o a d is m in u ir el p o rc e n ta je de p ro d u c to disconform e, pues únicam ente pasa de 2 ,4 5 % a 2 ,0 6 % . S in e m bargo, el logro o b te n id o d e s d e el p rim e r d ía es re a lm e n te significativo (p a s ó de 2 5 ,5 5 % a 2 ,0 6 % ).
JORGE ACUNA ACUNA
281
Ante este logro, quizás no sería conveniente un día m ás de estudio pues ya se ha exigido bastante al pro ceso. Si se hiciera se podrían obtener resultados desfavorables.
Respuestas al problema 1.
¿ Q u é se ha logrado? a.
D ism in uir con sid erab lem ente la variabilidad del pro ceso, desde una p o sició n inicial en la q u e se tiene un p ro c e s o im p re ciso hasta una posición final en que se tiene un pro ceso estadísticam ente preciso.
b.
C entrar el proceso logrando la exactitud deseada. Esto a pesar de que desde el inicio el pro ceso m ostró estar estadísticam ente centrado.
c.
D ism inuir el producto disconform e desde un porcentaje preocupante de 2 3 ^ 5 5 % a un porcentaje m anejable de 2 ,0 6 % .
2.
¿ Q u é h a ce r en el futuro? a.
C o n t r o la r el p r o c e s o e s t r ic t a m e n t e p a ra q u e m a n t e n g a las condiciones para las cuales ha m ostrado capa cid ad de logro.
b.
A n a liza r las implicaciones de un porcentaje de disconform e del 2 ,0 6 % en el sig u ie n te p ro c e s o , las c u a le s ló g ic a m e n te no v a n a s e r las m ism as qu e se tienen bajo las condiciones anteriores. E n el caso de qu e se esté p ro d u cie n d o para un cliente se le de b e n co m u n ica r las n u e v a s co n d ic io n e s y o b te n e r su de c isió n con el fin de v e r si se le s ig u e s u p lie n d o . D e lo co n tra rio s e rá n e c e s a rio h a c e r un estu dio técnico-económ ico para sustituir equipo, si es que se desea continuar con e se cliente.
c.
Si se quiere se p u e d e n u sar los lím ites obte nid os para el último día p ara la etapa de seguim iento.
3.
¿ Q u é h a ce r con lo fabricado? Lo fa brica do el s e g u n d o y tercer d ía es de un nivel de calida d bastante aceptable, por lo que se pu ede efectuar una inspección 1 0 0 % , utilizando
CONTROL DE CALIDAD
las varillas de longitud no conform e con especificaciones para otros p ro ductos o de s e ch á n d o lo en última instancia. C o n re s p e cto a lo fa b rica d o el p rim e r d ía , que se trata de un p ro d u cto m a y o rm e n te fuera de especificacione s, se pue d e n se g u ir los siguientes pasos: a.
A p a rta r el pro ducto disconform e m ediante inspección 1 0 0 %
b.
Utilizarlo en otro tipo de producto
c.
D e se ch a rlo totalm ente
d.
R e p ro c e s a rlo si se trata de p ro d u cto con longitud m a y o r a la e s p e cificada.
GRAFICO DE PROMEDIOS Y DESVIACION ESTANDAR U n a p rá c tic a g e n e ra liz a d a e s u s a r el in tervalo R c o m o m e d id a de v a riabilidad, qu izá s justificada en la facilidad de su cálculo. Sin e m bargo, cu an do un p ro c e s o tie n e p r o b le m a s g ra v e s d e p re c is ió n o e s im p o s ib le e x tra e r m uestras p e queñas de él, ya sea por la razón de producción o por cualquier otra ca u s a , el uso del intervalo no es u na decisión estadística confiable. E n estos ca so s, se deb e usar la desviación están dar co m o m edida de variabilidad. El grá fico de p ro m e d io s y d e s v ia c ió n e s tá n d a r u sa la m e d ia aritm ética co m o m edida de exactitud y la desviación están dar m uestral co m o m e dida de precisión. Lo s procedim ientos en el uso de este tipo de gráfico son básicam en te los m ism o s del gráfico de p ro m e d io e intervalos. A n te ello, se explicarán a conti nuación solo las diferencias en las tres e ta p a s de este gráfico de control, sea construcción, análisis y seguim iento.
C o n s t r u c c ió n de l g rá fic o
E l p ro c e d im ie n to p a r a la c o n s tru c c ió n d e e s te tip o d e g rá fic o e s el siguiente:
JORGE ACUNA ACUNA
1. 2.
283
Los p aso s 1 y 2 son los m ism os del gráfico de pro m e dio e intervalos.
Determinación del número de subgrupos o muestras (m).
La deter
m inación de este núm ero se debe hacer de tal m anera que la probabilidad de d e te c ta r c a u s a s a s ig n a b le s e ntre las u n id a d e s q u e c o n fo rm a n la m u e stra s e a la m ín im a posib le , pe ro la m á x im a entre m u e stra s o s u b grupos. E sto se logra si se cum plen las con dicio nes de representatividad del m uestreo. La experiencia en el uso de este tipo de gráficos dicta que este núm ero deb e ser m a yo r a veinte. 3.
Determinación del tamaño del subgrupo o muestra (n). E s m uy im por tante que la selección de esta m uestra sea aleatoria y que la frecuencia de tom a de ella se haga sobre la base de los beneficios esperados y el costo de evaluación de calidad generado. Al ser la desviación estándar la medida de dispersión usada no hay restricciones importantes en el tam año de esta m u e stra *
4.
Recolección de información. U n a v e z diseñado el esquem a de muestreo se procede a la recolección de datos, ejecución de m ediciones y cálculo de m edidas estadísticas. E s importante en este paso hacer uso de un formato a d e c u a d o q u e p re s e n te la in fo rm a ció n o rd e n a d a p a ra su a n á lisis. El E je m p lo 4 .5 p re s e n ta un m o d e lo de fo rm a to . L o s d a to s y las m e d id a s ca lculadas a partir de ellos deb en tener una cifra significativa m ás que lo exigido por la especificación. Los cálculos que se efectúan son los siguientes: a.
P rom edio de la m uestra n
Ex, X 1 + X2 + X 3 + . . . + Xn
i=1
x = --------------------------------------- =------------n donde: n : tam año de la m uestra x¡: dato individual
n
CONTROL DE CALIDAD
b. Desviación estándar muestral n I
_ (X ,-x)2
c. Promedio de promedios m
_
_
_
_
I
X, + X2 + X3 + . . . + Xm
*
¡=1
X = ---------------------------------------------------- = --------------
m
m
donde: m : nú m e ro de m uestra s x: prom e dio de la m uestra i
d. Desviación estándar promedio
_
rn < T = ( I s ( )/ m ¡=1
d on de: m : nú m ero de m uestras s.: desviación e stán dar de la m uestra i 5.
Cálculo de límites de control. La dem ostración de estos limites se puede obse rva r en el A p éndice II. El criterio de redondeo es el m ism o usado en el gráfico de pro m edio s e intervalos. Las fórm ulas son las siguientes:
JORGE ACUÑA ACUÑA
a.
Lím ites de control especificados
Para p rom edios
Para intervalos
L S E , = M + T/vTf
L S E O = B 2 * T/3
LCE X = M
L C E „ = c2 * T/3
L IE X = M - T / íñ
L IE O
= B , * T/3
L S E : Lím ite S u p e rio r Especificado L C E : Línea C entral Especificada L IE : Lím ite Inferior Especificado
b.
Lím ites de control del proceso
Para pfbm edios
Para intervalos
LSC- = x + A ^ o
L S C 0 = B 4* o
L C C -= x
LCC„ = o
L I C - = x - A ,* a L S C : Lím ite Su p e rio r de Control L C C : Línea Central de Control L IC : Lím ite Inferior de Control Lo s v a lo re s de las co n sta n te s A ,, B ,, B 2, B 3, B 4y c 2se e n c u e n tra n en e formato de recolección de datos. Si la muestra excede el tam año de 25, los valores se pu eden aproxim ar de la form a qu e se indica en el A pé n d ice II. 6.
C o n s t r u c c i ó n d e l g rá f ic o . El gráfico co n siste de dos partes: u na paré graficar los prom edios y otra para graficar las desviaciones. Las escalas s í
286
CONTROL DE CALIDAD
g ra d ú a n en la m is m a form a que se h ace para el gráfico de p ro m e d io s e intervalos. U n a v e z gra d u a d a s las escalas se procede a dibujar los límites de control de proceso y los puntos correspondientes a cada m uestra. A m b o s gráficos se trazan con línea continua. Los puntos qu e salgan fuera de límites deben ser identificados m ediante u na m a rca e sp e c ia l, un círcu lo por e jem plo. La F ig u ra 4 .2 4 m u e stra un e sq u e m a de este gráfico.
Análisis del gráfico Al Igual que en el gráfico de prom edios e intervalos, se procede a h acer un a n á lis is d e ta lla d o c o n el fin d e d e te c ta r los p ro b le m a s q u e p re s e n ta la c a ra c te rís tic a de c a lid a d en e s tu d io . L o s p ro c e d im ie n to s y c o n c lu s io n e s ge n e ra le s tienen los m ism o s fundam entos. Al efectuar el análisis correctivo pu eden ocurrir cuatro casos posibles:
CASO A. No hay puntos fuera de límites en ambos gráficos E n este ca so a m bos gráficos m uestran estabilidad y por lo tanto se puede concluir qu e la característica no pre senta cau sa s asignables.
CASO B. Hay puntos fuera de límites solo en el gráfico x L a conclusión es la m ism a que para el anterior gráfico. El n u evo valor del p ro m e dio m odificado se calcula u sand o la m ism a expresión:
( m_
xm =
h_ T Xxk - X x k / (m -h ) Vk=1 k=1 )
JORGE ACUÑA ACUÑA
287
UJ
c/)
< co í Í2 ° 2
< 3i
I—
kj ° ° s 2
ü
y § 2 2 a o
Ll.
2
< < tr < Q_
Lü
C L c r o ^ u j o — oc/)
OLiJtO>— <0 —0 2
CONTROL DE CALIDAD
288
donde: x m= pro m e dio m odificado m = nú m e ro de m uestra s totales h = nú m e ro de m uestra s fuera de límites L o s lím ite s m o d ific a d o s s e c a lc u la n u s a n d o las m is m a s e x p re s io n e s u s a d a s in ic ia lm e n te , s u s titu y e n d o el v a lo r del p ro m e d io p o r el n u e v o v a lo r m odificado. E l c h e q u e o d e p u n to s fu e ra de lím ite s d e b e e je c u ta rs e c a d a v e z q u e n u e v o s lím ites se a n obte nid os. E l análisis term ina en el m o m e n to en qu e no h aya ningún punto fuera de lím ites, siem pre y c u a n d o no se h ayan elim inado m ás del 3 0 % de las m uestras. Si ello ocurriese, se su spe nde el estudio, se ana liza el proceso para encontrar las cau sa s de lo ocurrido y una v e z corregidas se inicia de n u e v o la re colección de dato s para la co n stru cció n y análisis de un n u evo gráfico.
CASO C. Hay puntos fuera de límites solo en el gráfico a E n este ca so se tiene un problem a de alta variabilidad que debe corregirse. El análisis e s el m ism o del gráfico anterior. Los valores de o sob re el límite s u p e rio r so n e lim in a d o s re c a lc u la n d o u n a n u e v a d e s v ia c ió n m e d ia y lím ites m odificados, tanto para las desviaciones co m o para los prom edios, pues ellos están b a sa do s en la desviación prom edio. Los valores que se encuentren bajo el límite inferior deben ser investigados con el fin de c o n o ce r las ca u sa s de esa baja variabilidad y ve r la posibilidad de im plem entar esas ca u sa s al pro ceso, si ellas perm iten lograr una m ejora inte gral. La s c a u s a s de esta situación p o d rían s e r n e g ativas, c o m o por ejem plo, m ala inspección, m ediciones erróneas y negligencia de inspectores. La desvia ción prom e dio se recalcula así: _ ni f o m = ( I o k - I o k) / ( m - f ) k=1
k=1
JORGE ACUÑA ACUÑA
289
donde: o m = intervalo pro m e dio m odificado m = nú m ero total de m uestras f
= nú m e ro de m uestras que se salen de límites
CASO D. Hay puntos fuera de límites en ambos gráficos Este es el peor de los caso s pues las situaciones presentadas en los casos B y C o c u rre n ju n ta s . E l p ro b le m a se to rn a a ú n m á s c o m p lica d o c u a n d o al corregir uno se altera el otro. La s acciones por seguir son las m ism as presentadas para los caso s B y C . Al elim inar los puntos fuera de límites de control, debe iniciarse con los puntos fuera del grápce de desviaciones, p u e s si se modifica la desviación prom edio ca m bian los límites de control de prom edios. La s m uestras qu e se elim inan por precisión no se elim inan por exactitud y vice ve rsa . A m b o s análisis se ejecutan en form a independiente. E n el ca so de te n d e n cia s y p e cu lia rid a d e s se sig u e n los p ro cedim ien to s indicados para el gráfico de prom e dio e intervalos, inclusive lo indicado en el A pén dice IV. El aná lisis del p ro c e s o con re s p e c to a la e sp e c ifica ció n se h a ce c o m p a ra n d o los lím ite s m o d ific a d o s c o n los lím ites de co n tro l e s p e c ific a d o s . A d e m á s , se efectúa el análisis de exactitud y precisión y se calculan los res pectivos porcentajes de producto fuera de especificaciones al inicio y al final del estudio. Al c o m p a ra r los lím ites de control del pro ceso con los límites de control e s p e c ific a d o s se u tiliza n las m is m a s s itu a c io n e s d is c u tid a s en el grá fico anterior. U n a v e z que se ha hech o la com paración de límites se procede a h acer el análisis de exactitud y precisión. P a ra ello se h acen las siguientes c o m p a ra ciones con las respectivas pruebas de hipótesis si es necesario:
CONTROL DE CALIDAD
290
M = X a ’< T/3 o ’ = o/c2 H e c h o esto se calcula el porcentaje de producto disconform e al inicio y al final del estudio. La s Figuras 4.25 y 4.2 6 m uestran las curvas norm ales que se deb e n plantear para calcular a m b o s porcentajes. El p o rcentaje de p ro du cto disco n fo rm e total se e n c u e n tra s u m a n d o las á re a s A 1y A 2. Si se d e s e a , se p u e d e efectuar una p ru e b a de h ipó tesis para
FIGURA 4.25. Cálculo del porcentaje disconforme Inicial.
FIGURA 4.26. Cálculo del porcentaje disconforme final.
JORGE ACUNA ACUNA
291
determ inar si la reducción lograda en el porcentaje de producto disconform e es significativa.
Seguimiento El procedim iento y las accion es por seg u ir en esta etapa son las m ism as usada s en el gráfico de pro m edio s e intervalos. P a ra te n e r una idea global de las tres e tapas en el uso de un gráfico de control de prom edios y desviaci'on estándar se puede observar el flujogram a II en el A p é n d ice III. Este gráfico tam bién puede ser utilizado co m o herram ienta para el ajuste de un proceso, el procedim iento es el m ism o.
EJEMPLO 4.5 U n fabricante de lapiceros tiene un problem a de calidad con el diámetro de la s ta p a s . A n te e llo , d e c id e e fe c tu a r un c o n tro l m e d ia n te un g rá fic o de p ro m e d io s y d e s v ia c io n e s e s tá n d a r p u e s cre e que el p ro b le m a es de alta va riabilidad. E ste p ro c e s o es co n tin uo por lo que le perm ite tom ar m u e stra s grandes. L a e s p e c ifica ció n se fija en 10 + 2 m m . La in form ación re c o le cta d a se e ncuentra en el C u a d ro 4.5 . S e pide analizar la situación.
SOLUCION A.
C onstrucción del gráfico Lo s p aso s del 1 al 4 se encuentran en el C u a d ro 4.5.
Paso 5. Cálculo de límites de control
CUADRO 4.5. Datos para el Ejemplo 4.5
HOJA DE DATOS - GRAFICOS DE CONTROL x,0 Código: A-78 Especificación: 10 ± 5 mm Máquina: Moldeadora Inspector: J. A. Rojas Hora de inicio: 8:00 a.m.
Artículo: Tapas para lapicero Característica: Diámetro Operación: Formación de tapas Operario: J. M. Abarca Fecha: 28-11-84 Turno: 1
V A L O R E S
1
2
3
4
5
25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3
9,7 9.2 10,1 9,9 11,9 10,5 10,3 9,3 9,4 9,5 9,0 10,3 10,3 9,8 9,6 9,8 9,9 10,0 10,1 10,3 9.7 9,8
10,3 10,1 10,0 9,9 9,0 9,9 10,0 12,0 11,4 12,3 10,9 10,0 10,8 10,0 9,6 9,8 9,9 9,8 10,0 10,8 10,2 9,7 10,1
11,5 9,2 9,3 9,5 10,9 10,0 10,1 10,1 10,2 10,3 9,8 9,7 9,9 10,0 9,3 9,5 11,0 11,1 11,2 10,8 10,5 10,4 10,0
13,4 10,1 10,0 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 10,1 10,0 10,8 9,8 9,9 10,7 10,8 11,0 10,1 9,9 9,7 9,8 10,2 9,6 9,0
10,0 10,2 10,3 10,3 10,0 10,0 9,9 9,8 9,7 9,6 9,1 8,9 9,7 10,8 10,9 11,9 12,1 10,0 10,0 9,8 9,7 9,6 9,5
11,1
6
7
9,5 9,8 10,3 10,0 11,8 10,0 10,0 9,9 9,7 10,3 9,8 10,0 10,5 10,0 10,0 10,0 9,8 10,0 9,9 10,5 9,4 10,1 8,9 10,4 9,0 10,6 9,5 10,0 9,7 10,1 9,6 10,0 9,8 - 9,9 9,8 9,2 9,7 9,8 9,6 9,8 9,8 9,3 9,4 9,2 9,7 9,8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9,4 10,5 10,0 10,0 10,0 9,8 9,9 10,0 11,1 10,8 10,4 10,0 10,0 11,0 10,5 10,5 10,4 10,0 10,0 10,0 9,9 9,8 9,7
9,1 10,0 9,3 10,0 11,0 10,1 10,3 10,0 9,9 9,7 9,6 9,9 10,0 10 5 10,5 10,3 10,3 10,0 10,1 10,2 10,0 9,9 9,8
10,0 10,4 10,5 10,0 12,0 10,0 10,0 10,0 10,5 11,0 12,5 11,0 10,5 10,6 10,3 10,4 10,0 10,0 10,0 9,8 9,9 9,7 9,6
10,0 10,3 10,0 10,1 10,5 10,1 10,0 9,9 9,8 10,0 10,0 11,8 10,8 10,7 10,0 10,6 9,9 9,8 9,7 9,6 9,5 9,4 10,0
11,1 9,9 9,8 10,2 10,4 9,8 10,5 9,9 9,9 9,8 10,3 10,4 10,8 10,8 10,7 10,3 9,7 9,4 9,3 9,8 9,9 10,0 10,0
10,0 9,8 9.3 9,4 9,0 10,0 10,0 10,0 10,8 10,3 10,2 9,8 9,7 9,5 9,4 9,9 10,0 11,3 10,9 10,0 10,0 9,9 9,8
9,9 8,9 9,2 9,4 10,0 8,9 9,1 9,0 9,9 9,7 9,8 9,9 10,0 11,5 10,9 10,3 10,2 10,3 9,3 9,4 9,7 9,8 9,9
9,8 9,0 9,4 8,9 9,0 9,0 10,0 10,0 10,0 11,4 11,4 10,9 10,0 10,0 9,9 9,8 9,7 9,9 9,8 9,9 9,9 10,5 10,4
10,8 10,0 9,3 9,2 10,0 10,0 10,4 10,7 10,1 10,0 10,0 9,8 9,7 9,9 9,6 10,1 10,8 10,3 10,0 10,0 10,1 10,6 10,2
10,5 10,0 9,2 9,1 9,0 10,0 10,1 10,0 10,0 10,2 10,4 10,3 9,8 9,9 9,7 9,4 9,3 9,4 10,0 9,9 9,8 10,0 10,1
10,1 9,7 9,9 9,8 10,0 10,9 10,0 10,0 9,9 9,8 9,7 9,4 9,6 9,8 9,7 9,6 9,8 10,0 10,0 10,0 10,1 8,9 9,9
CONTROL DE CALIDAD
I N D I V I D U A L E S
#
Hoja: # 1 de 2
Continúa en la siguiente página
I
#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
2 1
10,2 10,1
13.0 12.0
9,9 9,7
8,8 8,9
9,4 9,9
9,9 10,0
9,4 9,9
9.8 9.9
9,7 9,9
9,5 9,8
10,0 10,0
10,0 9,9
9,7 11,1
9,3 12,3
9,3 8,9
9,4 9,0
9.8 8.9
10,0 9,9
Total Prom. Desv.
249,6 250,8 249,5 244,5 272,4 251,8 268,2 252,2 251,8 249,6 246,6 246,8 250,0 244,8 246,6 9,98 10,03 9,83 9,89 10,14 10,07 *10,32 10,09 10,07 9,98 9,86 9,87 10,0 9,79 9,86 0,44 0,56 0,32 0,41 0,38 0,89 0,73 0,70 0,49 0,56 0,8 0,68 0,47 0,44 0,34
248,9 261,5 253,9 9,96 10,48 10,16 0,97 0,63 0,5
I— On nstanl es — n A, c2 B, B2 B3 B4
2 3,76 0,56 0 1,84 0 3,27
3 2,39 0,72 0 1,86 0 2,57
4 1,88 0,80 0 1,81 0 2,27
5 1,59 0,84 0 1,76 0 2,09
6 1,41 0,87 0,03 1,71 0,03 1,97
7 1,28 0,89 0,10 1,67 0,12 1,88
8 1,17 0,90 0,17 1,64 0,18 1,82
9 1,90 0,91 0,22 1,61 0,24 1,76
10 1,03 0,92 0,26 1,58 0,28 1,72
11 0,97 0,93 0,30 1,56 0,32 1,70
12 0,92 0,94 0,33 1,54 0,35 1,65
13 0,88 0,94 0,36 1,52 0,38 1,62
14 0,85 0,94 0,38 1,51 0,41 1,59
15 0,82 0,95 0,41 1,49 0,43 1,57
16 0,79 0,95 0,43 1,48 0,45 1,55
17 0,76 0,95 0,45 1,46 0,47 1,53
18 0,74 0,96 0,46 1,45 0,48 1,52
19 0,72 0,96 0,48 1,44 0,50 1,50
20 0,70 0,96 0,49 1,43 0,51 1,49
21 0,68 0,96 0,50 1,42 0,52 1,48
22 0,66 0,97 0,52 1,41 0,52 1,47
23 0,65 0,97 0,53 1,41 0,55 1,45
24 0,63 0,97 0,54 1,40 0,56 1,44
25 0,62 0,97 0,55 1,39 0,57 1,43
Continúa en la página siguiente
JORGE ACUÑA ACUÑA
Continuación del Cuadro 4.5
294
Continuación del cuadro 4.5
HOJA DE DATOS - GRAFICOS DE CONTROL x, c Código: A-78 Especificación: 10 ± 5 mm Máquina: Moldeadora Inspector: J. A. Rojas Hora de inicio: 8:00 a.m.
Artículo: Tapas para lapicero Característica: Diámetro Operación: Formación de tapas Operario: J. M. Abarca Fecha: 28-11-84 Turno: 1 20
10,0 9.8 9,4 9.3 10,0 11.3 8.9 10,0 10,0 10,0 11,0 12.3 9.8 9.7 9.9 10,0 10,0 9.7 9,6 9.4 9.3 9,0 9.9
9,9 9.8 10,0 10,1 9.4 9.8 9.3 10,0 10,5 10.3 10,0 10,0 10,0 9.5 9.8 9.9 9.4 9.9 10,0 10,1 10.4 10,3 10,2 9.9 9,3
9.4
22
26
23
27
30
28
36
31
CO NTRO L
10,0
21
Continúa en la siguiente página
DE CALIDAD
19
Hoja: # 1 de 2
¡
b2
B3 b4
21
22
23
24
25
26
27
28
2 3,76 0,56 0 1 ,8 ' 0 3,27
3 2,39 0,72 0 1.86 0 2,57
4 1,88 0,80 0 1,81 0 2,27
5 1,59 0,84 0 1,76 0 2,09
29
30
31
32
33
34
35
36
4 — O o n s ta n t e s — 6 7 8 9 10 1,41 1,28 1,17 1,90 1,03 0,87 0,89 0,90 0,91 0,92 0,03 0,10 0,17 0,22 0,26 1.71 1,67 1,64 1,61 1,58 0,03 0,12 0,18 0,24 0,28 1,97 1,88 1,82 1,76 1,72
11 0,97 0,93 0,30 1,56 0,32 1,70
12 0,92 0,94 0,33 1,54 0,35 1,65
13 0,88 0,94 0,36 1,52 0,38 1,62
14 0,85 0,94 0,38 1,51 0,41
15 0,82 0,95 0,41 1,49 0,43 1,59 1.57
16 0,79 0,95 0,43 1,48 0,45
17 0,76 0,95 0,45 1,46 0,47
18 0,74 0,96 0,46 1,45 0,48 1,55 1,53 1,52
19 0,72 0,96 0,48 1,44 0,50 1,50
20 0,70 0,96 0,49 1,43 0,51 1,49
21 0,68 0,96 0,50 1,42 0,52
22 0,66 0,97 0,52 1,41 0,52 1,48 1,47
23 0,65 0,97 0,53 1,41 0,55 1,45
24 0,63 0,97 0,54 1,40 0,56 1,44
25 0,62 0,97 0,55 1,39 0,57 1,43
ACUNA
C2 B,
20
247,7 248,1 9,91 9,92 0,72 0,31
Total Prom. Desv. n A,
19
ACUNA
I#
JORGE
Continuación del Cuadro 4.5
295
CONTROL DE CALIDAD
296
a.
Lím ites de con tro l esp ecificado s
Especificación: M + T = 10 ± 2 m m
Para prom edios L S E j = M + T/1 ñ = 10 + 2/125
= 10,40 m m
LCE- = M
= 10,00 m m
L lE j
= M - T / f f i = 1 0 - 2 /(2 5
=
9 ,6 0 m m
P ara intervalos L S E a = B ¿, * T/3 = 1,39 *2/3 = 0,9 3 m m L C E O = c ¿, * T/3 = 0,97 *2/3 = 0,65 m m L IE O = B 1 , * T/3 = 0,54 * 2/3 = 0,36 mm ’ ’ Para n= 2 5 , los valores de B 2, c2 y B, se localizan en la hoja de datos en el C u a d ro 4.5.
b.
Lím ites de c on tro l d e l p ro ce so C o n ba se en la Información brindada por el C u a d ro 4 .5 se tiene:
2 0 0,1 6 x = --------------------= 1 0 ,0 0 m m
20
_
11,34
o = ----------------= 0 ,5 7 m m
20
Para prom e dios
L S C - = x + A ^ o = 10,00 + (0 ,6 2 * 0 ,5 7 ) = 10,35 m m
JORGE ACUNA ACUNA
L C C -= x
L IC - =
x
= 1 0 ,0 0 m m
- A 1* ct= 1 0 ,0 0 - (0 ,6 2 * 0 ,5 7 )=
9 ,6 4 m m
P a ra intervalos
L S C o = B 4* a = 1 , 4 3 * 0 ,5 7
= 0 ,8 2 m m
L C C o= o
= 0 ,5 7 m m
L IC 0
= 0 ,3 1 mm ’
= B 3 * o = 0 ,5 6 * 0 ,5 7 ’
P a so 6 r C b n stru cció n del gráfico La F ig u ra 4 .2 7 presenta el gráfico correspondiente a este ejem plo.
B. 1.
A nálisis del gráfico A ná lisis con resp ecto a l pro ceso
Al observa r la Figu ra 4.27 se nota que hay puntos fuera en am bos gráficos, por lo que se pro cede a elim inarlos.
G rá fico o
E n la Figu ra 4.27, se nota que las m uestras No. 2 y 4 se encuentran sobre el límite superior de control. Por ello deb en eliminarse y recalcular la desviación m edia y los límites de control de proceso. E s importante recordar que los puntos q u e sale n bajo el lím ite inferior d e b e n se r an a liza d o s en sus cau sa s, pero no elim inados. El valor de la desviación prom edio recalculada será:
< o: 3 <
O cr Lü
3
lO o
ro O
> < t _ j O cr:
(\J — o O uj
co
O
O QUJ
en
oo
o>
d
ix
“T Í fS (D d > < 3
0 0 : L ü (/)
FIGURA 4.27. Gráfico de control del Ejemplo 4.5.
CONTROL DE CALIDAD
298
JORGE ACUÑA ACUÑA
299
1 1 , 3 4 - ( 0 , 9 7 + 0 ,8 9 ) om =
= 0,53 mm ’
20 -2 S e recalculan los límites de control de proceso.
L S C c m = B„* 4
0
m
= 1,43 * 0,5 3 = 0,76 mm ’ 7 ’
L IC c m = B3 * o m = 0 ,5 6 * 0 ,5 3 = 0,29 mm 7 7 7
Al o b s e rva r de n u e v o el gráfico se nota que la m uestra No. 14 se sale de límites por lo que se elim ina.
T
*
9 ,4 8 -0 ,8 o m = -------------------------- = 0,51 mm ’ 1 8 -1
Los nuevos límites son: LSCc - m= 1 ,4 7 3 * 0 ,571 = 0 ,774 m m L IC 3m = 0 ,5 7 6 * 0 ,571 = 0 ,278 m m Y a no hay m ás puntos fuera y se elim inó solo el 1 5 % de las m uestras. S e pro cede entonces a analizar el gráfico de prom edios. G ráfico x S e recalculan los límites con el n uevo Intervalo prom edio. L S C - = 1 0 ,0 0 + (0 ,6 2 * 0 ,5 1 ) = 1 0 ,3 2 m m L C C S = 10,00 L IC -
= 10,00 m m
= 1 0 , 0 0 - (0 ,6 2 * 0 ,5 1 ) =
9,68 m m
CONTROL DE CALIDAD
300
A l o b s e r v a r la F ig u r a 4 .2 7 , s e n o ta q u e las m u e s tra s N o . 2 y 10 se encuentran fuera de límites. P or lo tanto se procede a elim inarlas y a recalcular el p rom edio. 2 0 0 ,1 6
- (1 0 , 4 6 + 1 0 , 3 2 ) = 9 ,9 7 m m
x = m 2 0 -2
Lo s lím ites de control de pro ceso m odificados serán: L S C xm
= 9 ,9 7 + (0 ,6 2 * 0 ,5 1 )' = 10,29 m m '
L C C xm -
= 9 ,9 7 ’
L I C xm
= 9 ,9 7 - (0 ,6 2 * 0 ,5 1 ) = 9,65 m m
= 9,9 7 m m
Al o b s e rv a r de n u e v o la F ig u ra 4 .2 7 , se nota qu e y a no h ay m á s p u n to s fuera. E n cuanto a peculiaridades se pueden ver ciclos en a m b o s gráficos que v a ld ría la p e n a estudiar. La variabilidad al final del estu dio tiende a m e jo ra r, p u e s dism in u ye . S e ría im portante realizar un nuevo estudio para analizar esta situación.
2.
A ná lisis con resp ecto a especificaciones Al c o m p a ra r la situación de los lím ites de control de p ro ce so finales y los
límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 1. P o r lo qu e se aplican las accion es ya citadas. Al h acer el análisis de exactitud y de precisión se tiene:
a.
E xactitu d
M = x 10,00 = 9,97
JORGE ACUÑA ACUÑA
301
E sta es u n a h ipó tesis q u e no es n e c e sa rio pro bar, por lo qu e se p u e d e concluir qu e el pro ceso es estadísticam ente centrado.
b.
P recisión
El proceso es preciso puesto que:
a ' < 1 /3 a ' = a / c2= 0 ,5 1 / 0,97 = 0,53 T/3 = 2 / 3 = 0,67 a ’ < T/3 0 ,5 3 < 0 ,6 7 Al e s ta r p ro d u c ie n d o co n u n a v a ria b ilid a d inferior a la e s p e c ifica d a el porcentaje de pro ducto disconform e es despreciable. C o m o se p u e d e con clu ir del análisis rea liza do, la elim inación de cau sa s a s ig n a b le s c o lo c a a e ste p ro c e s o en u n a s itu a c ió n v e n ta jo s a a u n q u e se cum plía con especificaciones desde el inicio del estudio. S e debe continuar con el control de exactitud y precisión perm itiendo un poco de libertad al proceso. T a m b ié n ca b e la posibilidad de revisar las especificaciones. E n con clu sión, la p re ocupación del fabricante con respecto al com porta m iento de esta va ria b le no tiene fu n d a m e n to , s e g ú n lo m uestra el presente estudio. E n otras palabras, los problem as de calidad de este producto se deben a otra característica de calidad qu e no es el diám etro.
GRAFICO DE MEDIANAS E INTERVALOS Este es un gráfico poco usado en nuestro m edio pues tiene com o requisito la certeza de qu e la característica que está siendo controlada se com porta s e g ún la distribución norm al. La razó n de ello es que esta distribución es la única que tiene m edia aritm ética y m ediana de igual m agnitud, lo que permite usar la m ediana com o m edida de exactitud en lugar de la media aritmética. A d em ás, es conveniente qu e la dispersión no sea alta y que ojalá se m antenga bajo control.
CONTROL DE CALIDAD
302
La ventaja de usar este tipo de gráfico es que se facilita el cálculo, pues la m e d ia n a e s m á s fácil de o b te n e r qu e la m edia. La v e n ta ja se h a ce aú n m ás evidente cu a n d o se requiere entrenar al personal operativo. H a y que recordar qu e la m e d ia n a se obtiene por inspección de los datos localizando aquel valor hasta el q u e se encuentra el 5 0 % de los datos. Existen dos tipos de gráficos de m ediana e intervalo, estos son: a.
G rá fico de m ediana e intervalo m ediano
b.
G rá fico de m ediana e intervalo prom edio El se g u n d o tipo de gráfico es una com binación del prim ero con el gráfico R
de un gráfico de p rom edios e intervalos. A continuación se analizará el gráfico de intervalo m ediano. Lo s cam bios que sufrirá este gráfico para convertirse en el otro son m ín im os y consisten en la utiliza ció n de los lím ites del gráfico R en lu gar de la utilización de lím ites b a s a d o s en intervalos m edianos. U n o de los aspectos qu e se deb e tom ar m uy en cuenta es qu e al localizar la m e d ia n a e s n e ce sario alterar el o rden de los datos; sin e m b a rg o , se deb e c o n s e rv a r e s e orde n al graficar, p u e s de lo contrario se alteraría la serie de tiem po y por lo tanto no se podrían analizar tendencias y peculiaridades.
Construcción del gráfico Lo s p aso s en la construcción del gráfico M e,R son los siguientes: 1.
E s t e p a s o e s el m is m o q u e s e s ig u e en el g rá f ic o d e p r o m e d io s e intervalos.
2.
E s te p a s o e s el m is m o q u e s e s ig u e en el g rá f ic o de p r o m e d io s e intervalos.
3.
Determinación del número de subgrupos o muestras (m).
La d e te r
m in a c ió n d e e s te n ú m e r o s e d e b e h a c e r d e ta l m a n e r a q u e la p ro b a b ilid a d d e d e te c ta r c a u s a s a s ig n a b le s e n tre las u n id a d e s q u e c o n f o rm a n la m u e s tra s e a la m ín im a p o s ib le , p e ro la m á x im a e n tre
JORGE ACUNA ACUNA
303
m u e stra s o s u b g ru p o s . E sto se logra si se c u m p le n las co n d icio n e s de representatividad del m uestreo. La experiencia en el uso de este tipo de gráficos dicta qu e este núm ero deb e ser m a yo r a veinte. 4.
Determinación del tamaño dei subgrupo o muestra (n).
E s m uy im por
tante que la selección de esta m uestra sea aleatoria y que la frecuencia de tom a de ella se haga sobre la base de los beneficios esperados y el costo de evaluación de calidad g enerado . Debido al uso del intervalo co m o m e dida de dispersión, la experiencia dicta que el tam año no deb e ser m ayor que diez unidades. Los nú m ero s m ás usado s son cuatro, cinco y seis. 5.
Recolección de información. U n a
v e z diseñado el esquem a de muestreo
se procede a la recolección de datos, ejecución de m ediciones y cálculo de m edidas estadísticas. E s importante en este paso hacer uso de un formato a decuqplQ q u e p re s e n te la in fo rm a ció n o rd e n a d a p a ra su a n á lisis. El Ejem plo 4 .6 presenta un ejem plo de formato. Los datos y las m edidas cal c u la d a s a partir de ellos d e b e n te ner una cifra significativa m á s q u e lo exigido por la especificación. Los cálculos qu e se efectúan son los siguientes:
a. Localización de la mediana P a ra esto se req u ie re , p rim e ro , del o rd e n a m ie n to de c a d a m u e stra de m e n o r a m ayor. n +1 M e=----------------- térm ino 2 donde: n :
tam año de la m uestra
M e: m ediana del grupo
b. Intervalo de la muestra R = x im a.x - x im ín,
S e a es el va lo r que se encuentra en la mitad de los datos.
304
CONTROL DE CALIDAD
don de: xjmáx: dato de m a yo r m agnitud en la m uestra xlmin: dato de m enor m agnitud en la m uestra
c. Localización de la mediana de medianas m +1 M e =-------------------------térm ino
2 d on de: m : n ú m e ro de m uestra s
M e : m e diana de m e diana s
d. Intervalo mediano m + 1 R = --------------------- térm ino
2
S e localiza entre los intervalos de cad a m uestra
don de: m : n ú m e ro de m uestras
R: intervalo m ediano Si se usara un intervalo prom edio se calcula el m ism o usado en el gráfico de prom e dios e intervalos. 6.
Cálculo de límites de control.
i_a descripción de estos límites es la m ism a
d a d a para el gráfico de control de prom edio e intervalos. La dem ostración de estos lím ites se p u e d e o b s e rv a r en el A p é n d ic e II. Lo s lím ites d e b e n te ne r u na cifra significativa m á s q u e lo exigido por la especificación y el
JORGE ACUNA ACUNA
305
criterio de redondeo es límites superiores hacia arriba a la cifra siguiente y lím ites inferiores h acia abajo a la cifra p re ce d e n te . La s fórm ulas son las siguientes: a.
Lím ites de control especificados
P a ra p rom e dios
ls e
Mb =
m
+
t
P ara intervalos
/^
•
L S E r = D 2*T/3
L C E Me= M
L C E R= d2* T/3
L IE U e = M - T / ^
L IE R = D ,* T / 3
L S E : Lím ite S u p e rio r Especificado L C E : Línea Central Especificada L IE : b.
Lím ite Inferior Especificado
Lím ites de control del proceso
Para pro m edio s
P ara intervalos
L S C Me= M e + A 2* R
L S C r = D 4*R
L C C Me = M e
LCCr = R
L 'C Me = M „ - A 2* R
L IC r
L S C : Lím ite S u p e rio r de Control L C C : Línea Central de Control L IC :
Lím ite Inferior de Control
= D 3* R
306
CONTROL DE CALIDAD
L o s v a lo re s de las co n sta n te s A 2, D r D 2, D 3, D 4y d2se e n c u e n tra n en el form ato de recolección de datos. 7.
C o n s t r u c c i ó n d e l g rá f ic o . El gráfico consiste de d o s partes: u na para g ra fic a r las m e d ia n a s y el otro p a ra g raficar los in te rva lo s. E l p ro c e d i m ie n to p a ra c o n s tr u ir el g rá fic o e s el m is m o u s a d o p a ra el g rá fic o d e p ro m e d io s e intervalos. La F ig u ra 4 .2 8 m uestra un e s q u e m a de este gráfico. La form a en que se graf ican los puntos debe ser acorde con la form a en que se recolecta ron los datos y no de a cu e rd o con los o rdenam iento s h e ch o s para el cálculo de m edianas. Esto es m u y importante para efectos de anali z a r te n d e n cia s y p e cu lia rid a d e s p u e s si no se h a ce a sí, se altera la serie cronológica.
FIGURA 4.28. Representación de un gráfico Mg,R.
JORGE ACUNA ACUNA
307
A n á lis is de l g rá fic o U n a v e z q u e se ha co n stru id o el gráfico se p ro ce d e a h a ce r un análisis detallado con el fin de detectar los problem as que presenta la característica de calidad en estudio. El análisis del gráfico sigue los m ism os pasos del análisis de un gráfico de p ro m e d io s e intervalos. El cálcu lo de la m e d ia n a y el intervalo m ediano m odificados se hace m ediante las siguientes expresiones: [ (m - h) + 1 ] M em = --------------------------------------- término
2 donde:
M em = m ediana de m edianas m odificada h=
núm ero de m edianas que que dan fuera de límites de control de proceso [ (m - f) + 1 ]
R m= -------------------------------------------- térm ino
2 don de:
R m = intervalo m ediano m odificado f
= nú m e ro de intervalos que q u e d a n sobre el límite superior de control de proceso
E s im portante indicar que al elim in ar puntos, los restantes d e b e n o rd e narse para continuar con el análisis. E n ocasiones, la elim inación de un punto p ro vo ca que el total de m uestras sea impar, lo qu e ocasiona que el valor de la m e d ia n a no se e n c u e n tre en el c o n ju n to de d a to s . S i esto o c u rre se d e b e calcular la m ediana co m o el pro m e dio de los valores extrem os. P or ejem plo, si quedan 20 subg ru p os, la m ediana será el térm ino 10,5°, el cual no existe. E n este caso se calcula com o el prom edio entre los térm inos de la posición 10° y 11°.
308
CONTROL DE CALIDAD
A l calcular el porcentaje de pro ducto disconform e la desviación están dar se estim a com o:
c ’ = R / d2 S e g u im ie n t o de l g rá fic o El procedim iento es el m ism o que se practica en el gráfico de pro m edio s e intervalos. S e d e b e tener especial cu idado respecto del com portam ien to de la pre cisión de la ca ra cte rística y de la co n se rva c ió n de su n o rm alidad, p o r ser requisitos cla ve s en la utilización de este tipo de gráfico. Para entender m ejor este procedim iento se puede usar el flujogram a I en el A p é n d ice III.
EJEMPLO 4.6 U n a c o m p a ñ ía farm acé utica tiene problem as con el enva se de uno de los ungü entos que fabrica, pues se ha detectado alguna variabilidad en el peso de c a d a tubo. E n el p a sa d o se han h e ch o estudios y se ha c o m p ro b a d o q u e esta va ria b le se distribuye se g ú n la distribución norm al. S e ha decidido aplicar un gráfico de control pa ra constatar la hipótesis planteada. La especificación del p e so del tubo se establece en 15 ± 5 g ra m o s. C o n el fin de h a ce r el aná lisis re q u e rido se recolectó la inform ación m o s tra d a en el C u a d r o 4 .6 . S e tra ta d e 2 7 m u e s tra s d e ta m a ñ o 5 , las c u a le s a p a r e c e n o rd e n a d a s de m e n o r a m a yo r en ca d a subgrupo.
SOLUCION A.
Construcción del gráfico Lo s p aso s del 1 al 5 se encu entran en el C u a d ro 4.6. P a so 6. C á lc u lo de límites de control
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309
CUADRO 4.6. Hoja de datos para el Ejemplo 4.6 Hoja de Datos - Gráficos de control Me, R Ungüento dermatológico Código: A385 Artículo: Especificaciones: 15 + 5 g Característica: Peso Máquina: Llenadora Operación: Llenado del envase Inspector: M. Blanco Operario: J. Sáenz Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 1 de 1 Fecha: 30-9-84 Turno: 1 1
Muestra #
2
4
3
5
7
6
8
9
10
n= O
E
24.2 19.8 18.8 14,0 11.3
21.4 17.4 16,8 15,1 12,7
23.0 22,8 21,7 18,2 14.0
27.9 19,6 18,5 15,1 12.9
19,7 15.4 14.4 13,0 11,6
19,5 18,9 18,8 17.2 15.2
21,0 19.5 17,2 15,8 15.5
19.0 18,3 18.0 15,6 14,9
19,8 16.7 15.7 15,2 13.8
18,7 16,6 14.9 14.9 12,3
Mediana Intervalo R
18,8 12,9
16,8 8,7
21,7 9,0
18,5 15,0
14,4 8,1
18,8 4,3
17,2 5,5
18,0 4,1
15,7 6,0
14,9 6,4
Muestra #
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
18.7 15.1 15.1 13,9 13.8
20,8 20,2 17,9 16,6 15,0
17.6 16,8 15,5 14.7 13,9
22,1 19.1 18.3 17.4 17.1
19.6 19.6 19,2 17.7 13,4
21.3 20,6 17.4 16,6 15,0
19,6 18,1 16.9 14.9 14,3
19.0 15.1 14.5 14,0 13.6
21,6 20.4 19,6 18.5 18,3
15.0 14,7 14,5 13,9 13.0
15,1 4,9
17,9 5,8
15,5 3,7
18,3 5,0
19,2 6,2
17,4 6,3
16,5 5,3
14,5 5,4
19,6 3,3
14,5 2,0
O
28
29
30
N
V a I o r
I n d i v.
5 4 3 2 1
B S
V V a I o r
I n d i v.
5 4 3 2 1
Mediana Intervalo R Muestra # V a I 0 r
I n d i v.
5 4 3 2 1
Mediana Intervalo R n
2
21
22
23
24
25
26
27
16.5 15,3 14.5 14,0 13.5
15,9 15,8 14,7 14,4 14,3
15.9 15,5 15,0 14.9 13.9
23.9 21,5 21,3 20.9 14.9
15.0 15.0 14,8 14,7 13.1
19.7 16,0 15.7 15,5 15,1
21,1 15,3 14,2 13,7 13,0
14,5 3,0
14,7 1,6
15,0 2,0
21,3 9,0
14,8 1,5
15,7 4,6
14,2 8,2
3
4
5
6
A C
E S
8
9
10
A2
2,224
1,265
0,829
0,712
0,562
0,520
0,441
0,419
0,369
D3
0
0
0
0
0
0,078
0,139
0,187
0,227
1,901
1,850
1,809
2,791
2,916
3,024
D4
3,865
2,745
2,375
2,179
2,055
1,967
d2
0,954
1,588
1,978
2,257
2,472
2,645
CONTROL DE CALIDAD
a.
Lím ites de c o n tro l especificados
Espe cificació n: M + T = 15 + 5 g ra m o s P a ra prom edios L S E Mb = M + T / f f = 15 + 5/1(5
= 1 7 ,2 4 gram os
L C E Me = M
= 1 5 ,0 0 gram os
L IE Me = M - T/ \frí = 1 5 - 5/
= 1 2 ,7 6 gram os
P a ra intervalos
L S E R = D 2* T/3 = 4 ,6 6 *5/3 = 7,7 9 g ram os
L C E r = d2* T/3 = 2 ,2 5 7 * 5/3 = 3,7 6 gram os
L I E r = D 1* T/3 = 0
*5/3 = 0
gram os
D 2= 3 d 3+ d 2 = 3 (0 ,8 )+ 2,257 = 4 ,6 6
d 3p ara n=5 tom a el valor de 0,8
P a ra n = 5 , los va lo re s de D 2, d2y D , se localizan en la hoja de dato s en el C u a d ro 4 .6.
b.
Lím ites de c o n tro l d e l p ro ce so
A n te s d e c a lc u la r e s to s lím ite s e s n e c e s a rio lo c a liz a r la m e d ia n a de m e d ia n a s y el intervalo m ediano. P ara ello es necesario o rd e n a r los dato s de m e n o r a m a yo r. El C u a d ro 4.7 m uestra este ordenam iento.
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311
CUADRO 4.7. Ordenamiento de mayor a menor de los datos intermedios
Muestra 27 5 18 20 21 22 25 10 23 10 13 26 9 17 2 7 16 12 8 14 4 1 6 15 19 24 3
No. Mediana
Muestra
14,2 14,4 14,5 14,5 14,5 14,7 14,8 14,9 15,0 15,1 15,5 15,7 15,7 16,5 16,8 17,2 17,4 17,9 18,0 18,3 18,5 18,8 18,8 19,2 19,6 21,3 21,7
25 22 23 20 21 19 12 8 6 26 11 14 17 18 7 12 9 15 16 10 5 27 2 3 24 1 4
Localización de la m ediana de m edianas (m + 1) 28 M = -------------------------- térm ino-= -----------térm ino = 14 o valor
2
2
No. Intervalo 1,5 1,6 2,0 2,0 3,0 3,3 3,7 4,1 4,3 4,6 4,9 5,0 5,3 5,4 5,5 5,8 6,0 6,2 6,3 6,4 8,1 8,2 8,7 9,0 9,0 12,9 15,0
312
CONTROL DE CALIDAD
M e= 16,5 g ra m o s (m + 1)
28 térm ino = --------------térm ino = 14 o valor
R=
2
2
R = 5,4 g ra m o s Para m ediana s
L S C Me= M e + A 2* R = 16,5 + (0 ,7 1 2 * 5 ,4 ) = 20,3 4 g ram os
L C C M e= M e
=
1 6 .5 0
g ram os
L IC Me = M e - A 2* R = 16,5 - (0 ,7 1 2 * 5 ,4 ) = 12,65 g ra m o s
Para intervalos m edianos
L S C r = D 4* R = 2,1 7 9 * 5 ,4
= 1 1 ,7 7 g ram os
LCCr =R
= 5,4 0 g ra m o s
L I C r = D 3* R = 0
* 5 ,4
= 0
g ram os
Los valores y constantes utilizados están en el C u a d ro 4.6. P a so 7. C onstru cción del gráfico
La Figura 4.29 presenta el gráfico correspondiente a este ejemplo.
313
JORGE ACUNA ACUNA
NUMERO DE L A MUESTRA
FIGURA 4.29. Gráfico Me,fí para el Ejemplo 4.6.
314
CONTROL DE CALIDAD
B.
Análisis del gráfico
1.
A ná lisis con resp ecto a l p ro ce so
Al obse rva r la Figura 4.29 se nota que hay puntos fuera en a m bos gráficos, por lo qu e se p ro ce d e a elim inarlos.
G ráfico R
C o m o se p uede observar en la Figura 4.2 9 y en el C u a d ro 4 .7 las m uestras N o . 1 y 4 se e n c u e n tra n so b re el lím ite s u p e rio r de co n tro l. S e re c a lcu la el intervalo prom edio. 26 R mm= ----------- térm ino = 13 o térm ino
2 R m= 5 ,3 g ra m os S e re c a lc u la s o lo el lím ite s u p e r io r p u e s es el q u e s e n e c e s ita p a ra o b s e rv a r si h a y m á s puntos fuera.
L S C r = D 4* R m= 2 ,1 7 9 * 5,3 = 11,55 g ram os C o m o se p u e d e nota r en la F ig u ra 4 .2 9 y a no h a y m á s p u n to s fuera de lím ites en el gráfico R y se elim inó solo el 7 ,4 % de las m u estra s. S e p ro cede ento nce s a ana liza r el gráfico de m edianas. G ráfico M e S e recalculan los límites con el nuevo intervalo prom edio. L S C Me = 15,7 + (0 ,7 1 2 * 5 ,3 ) = 19,48 g ram os L I C Me = 15,7 - (0 ,7 1 2 * 5 ,3 ) = 11,92 g ram os
JORGE ACUNA ACUNA
315
S e nota qu e las m uestras No. 19, 24 y 3 se encuentran fuera del límite su perior. P or lo tanto se pro cede a elim inarlas. 25 M em =
térm ino = 12,5° término
2
M em= 15,7 g ra m os E n este ca so no es necesario b u sc a r ei prom edio de extrem os, pues tanto el dato N o. 12 co m o el n ú m ero 13 tienen el valor de 15,7 gram os. Los límites de control de pro ceso m odificados serán:
L S C Mem = 15,7 + (0 ,7 1 2 * 5 ,3 ) = 19,48 gram os L I C M em
= 15,7 - (0 ,7 1 2 * 5 ,3 ) = 11,92 gram os
Al observar de nuevo el gráfico se nota que ya no hay m ás puntos fuera. En cu a n to a p e cu lia rid a d e s y te n d e n c ia s se o b s e rv a n a lg u n a s te n d e n cia s que deb e n ser ana lizad as con detenim iento, tratando de identificar sus causa s.
2.
A ná lisis con resp ecto a especificaciones Al co m p a ra r la situación de los lím ites de control de pro ceso finales y los
límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 3. Por lo que aplican las accion es y a citadas. Al h a ce r el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto no conform e con especificaciones se tiene:
a.
E xactitud
M =M
e
15,0 = 15,7
316
CONTROL DE CALIDAD
S e plantea la siguiente hipótesis H 0: p = 15,0 H a: g = 15,0 La Figura 4 .3 0 m uestra la cu rva norm al correspondiente.
a ’ = R/d? a ’ = 5,3/2,257 = 2 ,3 4 8 gram os 1 5 ,7 -1 5 ,0 Z =
= 0,67 2 ,3 4 8 '■Í5
FIGURA 4.30. Curva normal para la prueba de hipótesis.
C o m o se puede observar en la Figura 4.30, no existe evidencia estadística, con a = 5 % , para re c h a za r la hipótesis nula. P or lo tanto, bajo las co n d icio n e s a c t u a le s s e p u e d e a f irm a r c o n 9 5 % d e c o n f ia n z a q u e el p r o c e s o e s tá estadísticam ente centrado.
b.
Precisión
El proceso no es preciso puesto que:
JORGE ACUNA ACUNA
317
a ’ > T/3 2.3 4 8 > 5/3 2 .3 4 8 > 1,67
S e plantea la siguiente hipótesis H 0: cr2= 2,7 7 7 H a : o 2= 2,777 ’ La Figu ra 4 .3 0 A m uestra la cu rva ch i-cu a d ra d o correspondiente. ( 5 - 1 ) 2 ,3 4 8 2 as2= -------------------------------------------- = 7,94 2,777 C o m o se puede observar en la Figura 4.30, no existe evidencia estadística, con a = 5 % , p a ra re c h a za r la hipótesis nula. P o r lo tanto, bajo las condiciones a c t u a le s s e p u e d e a f ir m a r c o n 9 5 % d e c o n f ia n z a q u e el p r o c e s o es estadísticam ente preciso.
c.
P orcentaje de p ro d u cto disconform e c '.= 5 ,4 / 2 ,2 5 7 = 2,3 9 3 o ’f= 5 ,3 / 2 ,2 5 7 = 2,348
FIGURA 4.30A. Curva chicuadrado para la prueba de hipótesis
CONTROL DE CALIDAD
318
L a s F ig u ra s 4.31 y 4 .3 2 m u e s tra n las c u rv a s n o rm a le s u s a d a s p a ra el cálculo del porcentaje de producto fuera de especificaciones. A , = P ( x < 10,0 ) = N ((1 0 ,0 - 16,5)/2,393) = -2 ,72 A , = 0 ,0 0 3 3 ó 0 ,3 3 % A 2= P ( x > 2 0 ,0 ) = 1 - N ( ( 2 0 , 0 -1 6 ,5)/2,3 9 3 ) = 1 - N ( 1 , 4 6 ) A 2= 1 - 0 ,9 2 7 9 = 0,0721 ó 7,21 % El porcentaje de producto disconform e total inicial es 7,5 4 % . A , = P ( x < 10,0 ) = N ((1 0 ,0 - 1 5,7)/2,348) = -2 ,4 3
FIGURA 4.31 Cálculo del porcentaje disconforme inicial.
FIGURA 4.32. Cálculo del porcentaje disconforme final.
JORGE ACUÑA ACUÑA
A , = 0 ,0 0 7 5 ó 0 ,7 5 % A 2= P ( x > 2 0 ,0 ) = 1 - N ((2 0 ,0 - 1 5,7)/2,348) = 1 - N (1 ,8 3 ) A 2= 1 - 0 ,9 6 6 4 = 0 ,0 3 3 6 ó 3 ,3 6 %
El porcentaje de producto disconform e total final es 4,11 % . C o m o se p u e d e co n clu ir del análisis realizado, la elim inación de ca u sa s asignables ayu d a a dism inuir el porcentaje de producto diáconform e de 7 ,5 4 % a 4 ,1 1 % . S in e m b a rg o , a u n q u e la característica en estudio ha m ostrado ser e s ta d ís tic a m e n te e x a c ta y p re c is a , es n e c e s a rio e v a lu a r si se re q u ie re n m ejoras para elevar el nivel de calidad de este proceso. U n o de los aspectos claves en la administración de gráficos de control es el diseño de form atos que ayuden en la tom a de decisiones cuando se tengan que ejercer a ccion e s preventivas y correctivas. A lg u n a d e e s ta in fo rm a c ió n s e re fie re a re s p o n s a b ilid a d e s , tip o de a c c io n e s , c la s e de a c c io n e s , d e s c rip c ió n de e s a s a c c io n e s y s o b re todo ra z o n e s del p o r q u é d e e s ta s a c c io n e s . D e b e c o n v e n c e r s e a qu ie n to m a decisiones del p o rq u é de ellas. Si los operarlos son los encargados de llevar los gráficos, es m u y im portante entrenarlos y darles a c o n o c e r las accio n es por seguir cu a n d o se identifiquen situaciones anó m alas en los gráficos.
G R A F IC O D E S U M A S A C U M U L A D A S Lo s gráficos de s u m a s a c u m u la d a s se basan en la pre m isa de que c a m bios p e q u e ñ o s de exactitud no pu e d e n ser detectados fácilm ente u sand o los gráficos convencionales. Si esto se lograra se necesitaría graficar una gran ca n tidad de puntos para detectar el cam bio, acción que sería tardía y de tipo correc tivo. E n un gráfico de su m as acum uladas se acum ulan diferencias entre el valor obte nido de ca d a p ro m e d io m uestral y el p ro m e dio e sp e ra d o . El objetivo es lograr una estabilidad del pro ceso en cu yo caso esas diferencias deberán ser cero. C u a lq u ie r cam bio en el nivel del proceso dará origen a un valor positivo o negativo de la su m a acu m u lad a, ello depende de la pendiente del cam bio. Si el
CONTROL DE CALIDAD
320
c a m b io persiste, el va lo r absoluto de la s u m a a cu m u la d a de b e rá a u m e n ta r y ese efecto hará aparente la situación, con lo que se pueden tom ar las m edidas p re v e n tiv a s del c a s o . Si el c a m b io no es sig nificativo , la s u m a a c u m u la d a tend erá a cero en form a rápida. U n o de los p ro b le m a s de los g rá fico s de control c o n v e n c io n a le s es el hech o de que las decisiones están basa d a s en igualdad de condiciones, tanto para las prim eras m uestras com o las últimas. Al representar con ellos una serie de tiem po, debería ponérsele m ás atención a los datos m ás recientes, cosa que se pu e de lograr con los gráficos de su m as acum uladas. Lo s gráficos de su m as a cu m u la d a s, cu yo objetivo prim ario es m antene r el control del pro ceso en las m ejo res condiciones, son definitivam ente m á s baratos. C o n estos gráficos es p o s ib le id e n tific a r c a m b io s en el p ro c e s o c u a n d o é s to s so n re p e n tin o s y g e n e ra d o s p or co n d icio n e s qu e se han v e n id o a c u m u la n d o en el tiem po. La F ig u ra 4 .3 3 m uestra la rep resentación de tendencias en este tipo de gráfico. E n la F ig u ra 4 .3 3 s e re fleja un im p o rta n te c a m b io al v a ria r a lg u n a s con dicio ne s. E sto obliga a tener una regla de decisión con el fin de calificar la m ag nitu d del c a m b io y e v a lu a r si éste es rea lm ente im portante o p o r lo c o n trario no implica accion e s inm ediatas. E n otras palabras esta regla cum plirá la m isión de los límites de control en gráficos tradicionales. La su m a a cu m u la d a se calcula al a cu m u la r las diferencias de los p ro m e d io s re c o le c ta d o s co n el v a lo r n o m in a l, y a s e a en u n id a d e s s im p le s o en unidade s de error estándar. La regla de d e c isió n q u e se u sa e sta b le c e el tipo de g ráfico de s u m a s acum uladas. E n esta ocasión se presentan dos tipos que son la m áscara V y el intervalo de decisión h. D a d o qu e estos gráficos solo controlan exactitud se deb e definir qué tipo de g rá fico se v a u s a r p a ra co n tro la r p re c is ió n , p u e d e s e r un grá fico R o un gráfico a. Ta m b ié n es posible decidir no controlarla si ésta no es un problem a en la característica en estudio. Si se d e s e a se p u e d e construir, para la m ism a inform ación, el gráfico de control de pro m e dio s para o b s e rva r la gran eficacia de un gráfico C U S U M en detección de ca m bios en el centro del pro ceso.
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Z O o < >
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E
Figura 4.33. Representación de un Gráfico CUSUM.
JORGE ACUNA ACUNA 321
CONTROL DE CALIDAD
322
Máscara V E ste gráfico u sa co m o m e dida de evaluación del cam bio una plantilla en form a de V cu ya función es detectar si la pendiente de un cam bio registrado es significativa o no. Este es un procedim iento de decisión de dos extrem os (c o n trol bilateral) p u e s controla tanto c u a n d o la pend ien te de ca m b io es positiva c o m o negativa. El m étodo consiste en colocar la plantilla en un punto determ i na d o y si algún punto graficado anteriorm ente q u e d a debajo de la plantilla se evidencia un cam bio importante a partir de él. Si ello ocurre se m ide la m agnitud del ca m bio y se tom an las acciones correctivas y preventivas que se am eriten. L a F ig u ra 4 .3 4 m u e s tra un e je m p lo de e sta p lan tilla. C o m o s e p u e d e o b s e rv a r e sta q u e d a definida al c o n o c e r la m a g n itu d de la d ista n c ia
dy
dei
á n g u lo 0.
Construcción del gráfico El procedim iento para la construcción de este gráfico es el siguiente: 1.
Selección de la variable. E ste deb e ser necesariam ente un p a so y a eje c u ta d o a tra v é s de la id e n tifica ció n de c a ra c te rís tic a s d e c a lid a d e m plea ndo el diag ram a de Ishikaw a y el paretogram a. Sin e m b a rg o , en este
FIGURA 4.34. Ejemplo de una máscara V.
JORGE ACUNA ACUNA
323
caso debe haberse com probado qu e existe la necesidad de controlar m ás de cerca la exactitud del proceso. E s Importante definir aquí el gráfico que se va a u sar para controlar variabilidad. 2.
Definición del marco de muestreo y método de selección. E s n e c e sario definir el lu g a r de d o n d e s e extraerán las m u e stra s, sea éste lotes producidos o m áquinas en proceso. S e siguen los m ism os procedim ientos explicados para los gráficos tradicionales
3.
Determinación del número de subgrupos o muestras (m).
L a d eter
m inación de este nú m ero se deb e hacer de tal m anera que la probabilidad de d e te c ta r c a u s a s a s ig n a b le s e n tre las u n id a d e s q u e c o n fo rm a n la m u e s tra s e a la m ín im a posib le , p e ro la m á x im a entre m u e stra s o s u b grupos. Esto se logra si se cu m p le n las condiciones de representatividad del m uestreo. La experiencia en el uso de este tipo de gráficos dicta que este nú m ero d e b e s e r m ayor a veinte. 4.
Determinación del tamaño del subgrupo o muestra (n). E s m uy im por tante que la selección de esta m uestra sea aleatoria y que la frecuencia de tom a de ella se h a g a sobre la base de los beneficios esperados y el costo de evaluación de calidad g enerado. Si se usa el intervalo com o m edida de dispersión, la experiencia dicta qu e el tam año no deb e ser m ayor que diez unidades.
5.
Recolección de información. U n a v e z diseñado el esq u em a de m uestreo se p rocede a la recolección de datos, ejecución de m ediciones y cálculo de m edidas estadísticas. E s importante en este paso h acer uso de un formato a d e c u a d o qu e presente la inform ación ordenada para su análisis. S e p u e de usar a quí el form ato de un gráfico de prom edio e intervalo o de prom edio y desviación estándar, según cual sea el gráfico para controlar precisión. El cálculo que se efectúa es el de la su m a acum ulada. Existen dos form as de calcularlo: u sand o diferencia sim ple o unidades de error estándar. C a d a analista decide cuál usar. Las expresiones son las siguientes: •
Diferencia sim ple m
_
Ym=T(vM) i=1
CONTROL DE CALIDAD
324
•
U n id a d e s de desviación estándar m Y m= I
_ t(x ,-M )/ a ; ]
i=1
en don de: Y m = S u m a a cum ulada
xi = V a lo r del prom e dio de la m uestra i M = pro m e dio especificado o pro m e dio deseado o x = error estándar del m uestreo 6.
D is e ñ o d e la p la n tilla . T a l y c o m o s e indicó a n te rio rm e n te la plantilla q u e d a d ise ñ a d a cu a n d o se co n o ce n los valores de d y de 0. E xisten dos form as de cálculo se gú n se co n o zca o no la desviación estándar.
a.
M áscara V p a ra variables no rm alm e nte distribuidas P rocedim iento A . o con ocida (D u n c a n ,1 989) P a ra d is e ñ a r gráficos en este c a s o s e c o n o c e o ’ y se dice q u e es c o n s
tante. Para la m á sca ra V los valores de d y 0 se calculan de la siguiente form a: d= h/tan 0 0= t a n 1(k-m )/w don de w = factor de esca la. E s la ra zó n de una unidad de distancia en la e sca la hori zontal con respecto a una unidad de la e s "a la vertical. E ste m é to d o re q u ie re q u e a ntes se ap liq u e el co n c e p to de intervalo de d e c is ió n h co n el fin de e n c o n tra r los v a lo re s a q u í re q u e rid o s . E s te p ro c e dim iento se ve rá m ás adelante.
JORGE ACUNA ACUNA
b.
M áscara V p a ra variables no rm alm e nte distribuidas P rocedim iento B. o d esconocida (D u n c a n , 1989)
L o s va lo re s de d y 6 se calculan co n base en d o s parám e tros qu e son el error tipo I (a ) y el ca m b io esperado en el proceso (8). El valor de 5 se calcula en unidades de error estándar al dividir la diferencia re q u e rid a p a ra d e te c ta r c a m b io s (D ) p o r el va lo r del error están dar. La dife rencia D representa al núm ero de errores estándar que se desea detectar con la m á sca ra . A sí: S = D/a o - = o ’ /V ñ
& : estim ación de o O btenido ese valo r se calcula d com o: d = ( - 2 / 82) Inoc El valor de 0 se calcula com o: 0 = arctan (8/2) si w es igual a 1 0 = a rc ta n [1 / (2 t)]o 0= arctan [1/(2ws)] para w diferente de 1 donde: t:
es el cociente entre o -
y
w
(t = o - / w )
w: factor de escala (w = escala y / esca la x)
Seguimiento del gráfico E n este gráfico no existe un análisis por separado, pues este se realiza en la etapa de seguim iento. La razón es qu e se debe tom ar una decisión por cada punto que se gráfica.
CONTROL DE CALIDAD
326
C o n el fin de ve r si existe un cam bio significativo durante el seguim iento del g ráfico y a la v e z e v a lu a r el d iseño de la m á sca ra se co lo ca ésta so b re ca d a p u n to del grá fico a partir del s e g u n d o . S i n ing ú n p u nto q u e d a o cu lto p o r la m áscara, se dice que no hay cam bios significativos, si por el contrario un punto o m ás qu e d a n ocultos, se afirm a que un cam bio im portante se ha g e n e ra d o a partir del intervalo de tiem po en el cual fue recogida esa muestra. Esta m á sca ra pu ede ser u sada para co n o ce r la m agnitud del c a m b io en el prom e dio del proceso. P ara ello la m áscara se pivotea alrededor del punto a n a liza d o . S i se p u e d e lo c a liza r u n a posición tal qu e los últim os t p u n to s c a ig a n dentro de la m á sca ra V cu a n d o estos t puntos incluyen al m enos los puntos c u biertos c u a n d o la m á sca ra estab a horizontal, ento nces la dirección d e la línea O P en su n u e v a posición p u e d e r ser usada para m edir el increm ento en el pro m edio del proceso. Para aclarar este concepto se puede observar la Figu ra 4.35. U n a fo rm a de ca lcu la r la m a g nitu d real de c a m b io es e n c o n tra n d o una línea de regresión con los valores de los puntos com prendidos entre el punto de análisis y el punto a partir del cual se detecta el cam bio, incluyéndolos. S e a : Y c = b o + b ,x
d onde:
I x 2 * Xy - Xx * Xxy b o = -----------------------------------------------------------------
n X x 2- ( I x ) 2
nXxy - Xx * Xy b, = ------------------------------------------------------------n X x 2- ( X x ) 2 C o m o b ^ y / x entonces 6 = arctan b ,-1 U tiliz a n d o cu a lq u ie ra de las e x p re s io n e s de 9 vista s a n te rio rm e n te se despe ja el valor de 5 y con él se calcula el valor de D. D = 6* o Esta m agnitud significa el verdadero valor de D que la m áscara detectó en la z o n a do n de ocurrió el cam bio.
JORGE ACUNA ACUNA
327
Línea trazada a mano a lo largo de los 6 últimos /» puntos \ /
/ / /
-i
® Puntos cubiertos por extensión de la mascarilla en la posición horizontal en P
i i i i 1---------1-------- 1--------- 1 Número de observación
i
i
i
FIGURA 4.35. Magnitud real de cambio.
EJEMPLO 4.7 U n a característica de calidad d e b e cu m p lir con el v a lo r nom inal de 50 ,0 g ra m o s y se h a e s tim a d o u n a d e s v ia c ió n e s tá n d a r d e 2 ,0 g ra m o s . P a ra observa r tendencias en el cum plim iento con ese valor nominal se desea diseñar u n a M á s c a ra V , p a ra la cu a l se han to m a d o los d a to s del C u a d r o 4 .7 que corre sp onde a pro m edio s de m uestras de tam año n=4. Presente un gráfico C U S U M en su s diferentes etapas que pueda detectar ca m bios de un error estándar. U s a r a = 0 ,1 3 5 %
SOLUCION A.
Construcción del gráfico
Lo s pasos del 1 al 4 han sido previam ente ejecutados. P or lo tanto, se pro ce d e a calcular las su m a s acum uladas. El C u a d ro 4.8 presenta estos cálculos.
CONTROL DE CALIDAD
328
CUADRO 4.7. Información para el Ejemplo 4.7
No.
Promedio
No.
Promedio
No.
1 2 3 4 5
51,6 50,4 48,9 49,3 51,6
6 7 8 9 10
50,1 48,6 50,8 49,8 48,6
11 12 13 14 15
Promedio 50,4 52,1 49,8 52,4 51,9
No.
Promedio
16 17 18 19 20
51,1 49,9 52,4 52,9 51,4
Estos valores se grafican según se m uestra en la F ig u ra 4.37 para obtener el gráfico de su m a s acu m ulad as. 5= DI cs-= 1 /1 ,0 = 1,0
D a d o D=1 entonces:
Oj = 2,0/^4 = 2,0/2 =1,0 El factor de escala w = escala en y / escala en x = 2/1 = 2 0 = arctan [1/(2t)] t =1/1/2 = 2 0 = arctan [1/(2*2)] 0 = arctan [0,25] 0 = 14°
-2 d=
-2 Ina =
( 12)
In (0 ,0 0 1 3 5 )
2
d = -2 (-6 ,6 ) d = 13,1 D a d o q u e la esca la es de d o s a uno se divide el v a lo r de d p o r d o s para co n o ce r la m agnitud real de esa distancia. A sí, el valo r de d es:
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CUADRO 4.8. Cálculos para el Ejemplo 4.7
No.
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
51,6 50,4 48,9 49,3 51,6 50,1 48,6 50,8 49,8 48,6 50,4 52,1 49,8 52,4 51,9 51,1 49,9 52,4 52,9 51,4
x -5 0
(x - 50)/1,0
1,6 0,4
1,6 0,4
-1,1 -0,7 1,6
-1,1 -0,7 1,6 0,1 -1,4 0,8 -0,2 -1,4 0,4 2,1 -0,2 2,4 1,9 1,1 -0,1 2,4 2,9 1,4
0,1
-1,4 0,8 -0,2 -1,4 0,4 2,1 -0,2 2,4 1,9 1,1 -0,1 2,4 2,9 1,4
1,6 2,0 0,9 0,2 1,8 1,9 0,5 1,3 1,1 -0,3 0,1 2,2 2,0 4,4 6,3 7,4 7,3 9,7 12,6 14,0
d = 6,6 La F ig u ra 4 .3 6 m u estra la m á sca ra V para este ejem plo y la Figura 4.37 p re s e n ta la m á s c a ra c o lo c a d a en u n o de los p u n to s graficados. H a y qu e re ca lca r qu e esta m á s c a ra no se dibu ja sino qu e se desliza sobre el gráfico CUSUM .
B.
Análisis del gráfico
C o n el fin de analizar posibles cam bios de tendencia se coloca la máscara V sobre ca d a uno de los puntos del gráfico. Al h acer esto, el primer cam bio se
CONTROL DE CALIDAD
330
dete cta en la m u e stra N o . 15, p u e s la m u e stra N o . 10 q u e d a oculta. E s to se p u e d e ve r en la Figu ra 4.37. Si se hubiera construido el gráfico de prom edios hubiere sido difícil detec tar un cam bio en la m uestra No. 15, a pesar de que la tendencia general refleja a lgún ca m bio im portante en el prom edio del proceso. La Figura 4.3 8 presenta el gráfico corresp ondiente en el que se pu ede observar lo antes apuntado. La m a gnitu d de ca m b io detectada se calcula u sand o el valor de la su m a a c u m u la d a c o r re s p o n d ie n te a las m u e s tra s de la N o . 10 a la N o . 15. La inform ación se presenta en el C u a d ro 4.9. 91 (1 4 ,7 )-2 1 (7 4 ,3 ) - = -2 ,1 2
b 0= -
6 (9 1 )-2 1 2
6 (7 4 ,3 ) - 2 1 (1 4 ,7 ) 1,31 6 (9 1 ) - 2 1 2 La e cuación es: Y C = -2 ,1 3 + 1,31x ’ Lu e go: y/x = 1,31
FIGURA 4.37. Gráfico de sumas acumuladas para el ejemplo 4.7.
JORGE ACUÑA ACUÑA 331
CONTROL DE CALIDAD
X II
332
FIGURA 4.38. Gráfico de promedios para el Ejemplo 4.7.
CUADRO 4.9. Cálculos para análisis de regresión
Muestra
X
y
xy
X2
10 11 12 13 14 15
1 2
6
-0,3 0,1 2,2 2,0 4,4 6,3
-0,3 0,2 6,6 8,0 22,0 37,8
1 4 9 16 25 36
Total
21
14,7
74,3
91
3
4 5
JORGE ACUNA ACUÑ,
333
0 = arctan 1/1.31 = 37,35° Com o: 0 = arctan 1/(2w6) Entonce s: 37,35° = arctan 1/(2w6) 0,7631 = 1/(2w s) 1,5262 w 8= 1 w 8= 0,6552 D a d o qu e w = 2 y 0^=1 2 5= 0,6552 Slog 2 = log 0 ,6552 log 0 ,6552 5 = -------------------------------------log 2 5= -0,61 D = a x *5 = 1 * (-0 ,6 1 ) = -0,61 E s to quie re decir q u e el gráfico ha sido c a p a z de de te cta r en la zo n a de análisis una m agnitud de ca m b io de ±0,61 en lu gar de +1 tal y co m o se h abía estipulado.
C u rv a A R L U n o de los a spectos im portantes de analizar es el n ú m ero de puntos que se necesitan graficar para detectar un cam bio en la dirección del proceso. Para ello, se utiliza una cu rva A R L . Si un proceso com ienza a producir con el valor M y posteriorm ente cam bia en una cantidad d> y si este cam bio persiste hasta ser detectado, el nú m ero de
334
CONTROL DE CALIDAD
puntos de m uestra que sob re el prom edio tendrán que ser graficaaos antes de que el esq u em a de control detecte un cam bio es Ñamado Longitud Prom edio de
la C o rrid a (A v e r a g e R u n L e n g h t A R L ). P a ra co n stru ir e sta c u rv a s e u s a el n o m o g ra m a de la F ig u ra 4 .39. P a ra iniciar se fija un nivel de calidad m aque se considera el nivel de cali d a d a ce p ta b le y qu e a d e m á s existe otro nivel de calida d m r, m a y o r q u e m a, considerado la peor calidad y que por lo tanto será rechazado. A d em ás, se tiene que k = (m a+ m r)/2 y qu e ios valores de o ’, n y h son conocidos. E n t o n c e s ,’ c o n lo s v a lo r e s d e k,’ m a ’, n y J a ’ s e lo c a liz a el v a lo r d e y = Ik - m j J ñ / a ’ en la e s c a la de la d e re c h a . C o n los v a lo re s de h, n y a ’ se localiza el valor de Í2=h
/o’en la tercera escala. El punto que se obtiene en la
escala de Laal unir los dos puntos correspondientes a los dos valores anteriores es la longitud de la corrida para el nivel de calidad aceptable. El m ism o procedim iento se sigue para encontrar L rpero sustituyendo rn e n la posición de m . La cu rva se obtiene dándole valores a m m enores que k para encontra r L ay m a yore s qu e k para encontrar L r. El núm ero de puntos d e b e ser tal que perm ita identificar la suavidad de la curva.
EJEMPLO 4.8 P a ra u na ca ra cterística d e te rm in a d a el nivel de calida d acep table m aes 107, el nivel de calidad recha za ble m res 113. La desviación estándar estim ada es o ’= 1 0. El valor de h se ha fijado en h =9 ,5 y el tam año de la m uestra es de 9. C o n s tru irla cu rva A R L para valores de m entre 107 y 113.
SOLUCION P a ra con stru ir la c u rv a se necesita d e term ina r los v a lo re s de L ay L rcon valores de m dados u sa nd o la Figu ra 4.39. El C u a d ro 4 .1 0 p re se nta los pares o rd e n a d o s para la con stru cción de la cu rva .
o =
JORGE ACUÑA ACUÑA
335
I k -m l / ñ / o ’
Lo
i - 100
h 150
-200 -2 5 0
300 350 400 •4 5 0 500 550 600 650 700 750 800 900
^ lO O C
FIGURA 4.39. Nomograma para construir la curva ARL.
La Figu ra 4 .4 0 presenta la cu rva A R L correspondiente. E n ella se puede o b s e rv a r c ó m o co n fo rm e los v a lo re s de m tienden al va lo r re c h a za b le m r, la cantidad de puntos qu e es necesario graficar son pocos.
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 4.10. Pares ordenados para construirla curva ARL
m
y
107 108 109 111 112 113
0,9 0,6 0,3 0,3 0.6 0,9
L 740 155 50
FIGURA 4.40. Curva ARL para el Ejemplo 4.8.
9,5 5,5 4,0
S i se d e s e a d e te c ta r c a m b io s en el p ro m e d io del p ro c e s o en una sola direcció n, se a ésta a s ce n d e n te o d e s ce n d e n te , existe un m étodo m á s ágil y sencillo, llam ado intervalo h. P a ra tra b a ja r co n este m é to d o se e s c o g e un v a lo r de refe re n cia k, se calculan las su m a s a cu m u la d a s con diferencias entre los prom edios y el valor de k. El valor de k es un valor m ayor que el va lo r nom inal especificado. El p ro cedim iento original de este m étodo perm itía decidir cu a n d o el pro m edio del pro ce so h a b ía cam biado hacia uno de los lados. C u a n d o el gráfico era usado para detectar un cam bio con pendiente positiva, la regla de decisión consistía en com parar el último punto graficado con el graficado inicialmente. Si la diferencia ex ce d ía u n a cantidad especificada h, ento nces la conclusión era q u e un c a m b io im p o rta n te h a b ía o c u rrid o . E l p ro b le m a con esto es q u e el gráfico pod ía detectar cam bios insignificantes. A n te ello se cam bió el procedim iento y ah ora las acciones y decisiones se tom an tan pronto co m o la su m a acu m u lad a excede el valor de h. Si ello ocurre, se dice que el proceso ha cam biado por arriba de k. Si la su m a acum ulada cae p o r d e b a jo de ce ro la se rie se ro m p e y se inicia u n a n u e v a . La F ig u ra 4.41 m uestra lo apuntado. Si se usa un valor de k m enor que el valor nom inal la situación es la m ism a pero el análisis se hace con respecto a un valor de h negativo.
Construcción del gráfico El procedim iento para la construcción de este gráfico es el m ism o usado para la M á s c a ra V . L a s diferen cia s se dan en el p a s o 4 d o n d e el cálcu lo del tam año de la muestra se hace con base en el nom ogra m a de la Figura 4.39 y en el paso 6 el cual se describe a continuación. P a so 6. C á lculo del intervalo de decisión h E n el caso de un esquem a, por un lado se necesita conocer n y h. Para ello, con las con dicio nes d a d a s de A R L para m ay de A R L para m f, k y o , se puede
CONTROL DE CALIDAD
338
encontrar el valor de n usando el nom ogram a. Esto se hace localizando el valor de y = lk -m alVn/0 ’ y d e sp e jan do para n. Si n es decim al se deb en probar los dos extrem os con el fin de ve r cuál está m ás cerca de las condiciones pedidas. Para esto, se sigue el siguiente procedim iento: 1.
S e determ ina k=lm a + m r I/2
2.
S e localiza en la Figu ra 4 .39 el valor de y =lk-M N n/a’ usando los valores de L a yJ L r dados.
3.
C o n el valor de y se calcula n com o: n = (y-o’/lk-m i)2
4.
S e re d o n d e a el ta m a ñ o de la m u e stra y se localiza en la F ig u ra 4 .3 9 el n u e vo valor de y=lk-m lVn/o’, con el valor de L adado.
5.
C o n el v a lo r o b te n id o e n 3 se lo c a liz a en la m is m a fig u ra el v a lo r de 0=fWn/rr
JORGE ACUÑA ACUÑA
6.
539
C o n el valor de Q. se calcula h com o: h = Q * o ’A/n P a so 7. C onstru cción del gráfico
S e tom a el valor de h y se representa en el gráfico de su m a s acum uladas construido con el tam año de m uestra diseñado.
Seguimiento del gráfico E n este m é to d o , al igual que en la M á s c a ra V , no existe un análisis del gráfico, pues el análisis se hace durante la etapa de seguim iento. C a d a punto qu e se gráfica se co m para con h y se tom an las decisiones antes apuntadas.
EJEMPLO 4.9 P a ra un g rá fico C U S U M se tienen los sig u ie n te s p a rá m e tro s: m a= 1 0 0 , m = 1 10, L a= 5 0 0 y L = 5 . La desviación estándar se ha estim ado en cr’= 1 0. D eterm inar los valores de h y n para utilizar ese gráfico C U S U M m ediante el m étodo del intervalo de decisión.
SOLUCION 1.
El valor de k es: k = 1110+1001/2 = 105
2.
S e localiza en la Figura 4.39 el valor de y usand o La=500 y L = 5 . y=lk-mlVn/cr’= 0 ,742
3.
El valor de n es: n = [ 0,742*10/5]2= 2,20 E s decir, n está entre 2 y 3
CONTROL DE CALIDAD
D e b e hacerse el cálculo con a m b o s valores a.
Si se tom a n= 3 entonces: ■^=lk-MlVn/a’= 0,866
5.
C o n y = 0 ,8 6 6 y L a= 5 0 0 se tiene 0 = 2 ,7 2
6.
El va lo r de h será: h= 2 ,7 2 (1 0)/1,7 3 2 = 15,7 E sto quiere decir que se de b e construir el gráfico de su m a s a cu m u la das restando el valor de k a prom edios obtenidos de m uestras de tres u n id a d e s. S i la serie se h a ce neg ativa, ésta se ro m pe y se inicia de nuevo. P or otro lado, si la su m a acu m u lad a excede el valor de h = 1 5,7 se dice que ha habido un cam bio significativo en el pro m e dio del pro ceso , por lo qu e se pu e d e actuar de inm ediato. Si se localiza L r usando L a= 5 0 0 y £1=2,72 se tiene L = 3 ,9 , valor qu e es m á s ba jo q u e el d e s e a d o d e L = 5 . Si se lo c a liza L au s a n d o L = 5 y A = u ,8 6 6 el va lo r de L aobte nído es de m a sia d o alto en relación con el requerido de L a=5 00 .
b.
Si se tom a n= 2 entonces: 7 =lk-m l/Vn/o’=
1105-100IV2/10 = 0,7 0 7
5.
C o n L a= 5 0 0 y £2=hVn/o’= 3 ,3 5
6.
El valor de h es: h= 3,3 5 (10)/V2 = 23,7 E sto quiere decir qu e se de b e construir el gráfico de s u m a s a c u m u la das restando el valor de k a pro m e dio s obtenidos de m uestra s de dos unidades. Si la serie se hace negativa, ésta se rom pe y se inicia de nue vo . P o r otro lado, si la s u m a a cu m u la d a e x ce d e el va lo r de h = 2 3 ,7 se dice que ha habido un cam bio significativo en el prom edio del proceso. Si se localiza L ru sa nd o L a= 5 0 0 y Q = 3 ,3 5 se tiene L = 5 ,5 , va lo r que es m á s b a jo q u e el d e s e a d o de L = 5 . SI se lo c a liz a L au s a n d o L = 5 y 7= 0 ,7 0 7 el v a lo r de L ao b te nid o es d e m a s ia d o alto en relación con el requerido de L a=500.
JORGE ACUÑA A C U Ñ A /
l
341
/I /
/
D a d o q u e el ta m a ñ o de m u e stra de d o s e le m e n to s brin d a el v a lo r m á s c e rc a n o de L a l v a lo r re q u e rid o , e T g rá fic o C U S U M u sa rá m u e stra s de tam a ño 2, u sa n d o k=105 y un Intervalo de decisión h =23,7.
Capacidad de proceso U n o de los requisitos indispensables en control de proceso es conocer cuál e s la c a p a c id a d d e ca lid a d q u e e se p ro c e s o tiene p a ra la ca ra cte rística en estudio. El fin de ésto es saber si se pueden adquirir com prom isos para producir con tolerancias ajustadas o si por lo contrario se desiste de ello. S e con oce co m o
capacidad de proceso el grado
de variabilidad con que
un proceso o una m áquina genera una característica de calidad al ejecutar una operación determ inada. Al co n o ce r la capa cid ad de un pro ceso se puede pre decir cuál es el nivel de calidad del producto. P or ello, al h acer el estudio es im portante cerciorarse de q u e la m á qu ina está pro d u cie n d o bajo con dicio nes n orm ales y a d e m á s el a n a lista d e b e c o n o c e r a fond o el e q u ip o al q u e se le e stá d e te rm in a n d o su capacidad. Si no es así, debe asesorarse por quien co n o zca el com portam iento de ese proceso. La razón es que nunca la capacidad de un proceso es la que se obtiene al Inicio del estudio, sino aquella lograda desp u é s de varias pruebas al varia r condiciones y h acer cam bios. La capacidad de proceso se define com o la extensión m ínim a de variación de la característica, que garan tiza un 9 9 ,7 4 % de la pro ducción dentro de ella. S e g ú n ésto, la ca p a cid a d se calcula com o: K = ± 3 o ’= 6 a ’ donde: a ’= desviación están dar estim ada para la característica en estudio El cálculo de la capacidad de proceso cobra aún m ás importancia cuando se co m pa ra con la especificación para evaluar el cum plim iento. Esta com paración se puede hacer a través de las pruebas de exactitud y precisión. Sin em bargo, lo m ás usa do es el índice de capa cid ad de proceso, el cual se calcula com o: I cp
V S E -V | E 6a’
CONTROL DE CALIDAD
342
Ló gica m e n te la condición favorable de este índice se da c u a n d o tiende a +°°, q u e se origina cu a n d o la variabilidad decrece. Si este índice es m e n o r que uno e stam o s ante un p ro blem a de incum plim iento de la especificación y entre m e n o r s e a , m a y o r s e r á el p o r c e n t a je d e p ro d u c to d is c o n f o r m e c o n la especificación. U n o de los principales beneficios de encontrar la capacidad del proceso es que a través de ella se p u ede determ ina r el costo necesario o innecesario del control. A s í, se p u e d e n presentar tres casos:
C aso 1. P roceso in ne cesariam e nte caro E s te el c a s o en q u e se está tra b a ja n d o con un p ro c e s o que s u p e ra las e x ig e n c ia s de ca lid a d d a d a s p o r la esp e cifica ció n , la cual se p re s e n ta m ás am plia de lo que el p ro ce so produce. La Figura 4.42 representa esta situación. El va lo r de lcpes m a y o r qu e uno.
C a so 2. P roceso en esta do de con tro l E ste el ca so en qu e se está trabajando con un pro ceso que se encuentra en el límite de cum plim iento con la especificación. E sto representa un peligro p o r c u a n to un c a m b io p o r p e q u e ñ o q u e s e a p u e d e p ro v o c a r p ro d u c c ió n defectuosa. La F ig u ra 4 .4 3 representa esta situación. El valor del I es igual o ce rca n o a uno.
VSE
V IE
FIGURA 4.42. Representación gráfica del Caso 1.
JORGE ACUÑA ACUÑA
343
Caso 3. P roceso fuera de c on tro l E n e ste c a s o , la s itu a c ió n es g ra v e y d e b e b u s c a rs e u n a so lu ció n in m ediata, p u e s no se está cum pliendo con la especificación. D e hecho se está g enerando producto fuera de especificaciones que será de gran volum en c u a n do la especificación se cierre con sid e ra b le m e n te . La F ig u ra 4.4 4 representa esta situación. El valor del lcpes m enor que uno.
FIGURA 4.44. Representación gráfica del Caso 3.
344
CONTROL DE CALIDAD
La c a p a c id a d de p ro c e s o se ca lcu la m e d ia n te el p ro ce d im ie n to q u e se explica a continuación: 1.
R e c o le c ta r no m e n o s de 50 o b s e rv a c io n e s en fo rm a c o n s e c u tiv a o en in te rv a lo s de tie m p o o c a n tid a d . P u e d e u s a rs e la te o ría de m u e s tre o estadístico si se de se a determ inar un tam año de m uestra con a d e c u a d a s bases estadísticas. Al ejecutar esta actividad debe cerciorarse que se esté trabajando bajo condiciones norm ales. N o deben hacerse ajustes durante esta tarea.
2.
Efectuar un estudio de distribución de frecuencias de datos a g ru pad os.
3.
C a lcula r una estim ación de la desviación estándar y de la m edia aritmética de la variable a partir de la distribución de frecuencias realizada en el paso anterior.
4.
P ro b a r la n o rm a lid a d de la va ria b le m e d ia n te la p ru e b a de b o n d a d de ajuste.
5.
C a lc u la r la ca pa cid ad instantánea de pro ceso com o: K’ = 6 *o ’
6.
H a ce r la com paración con especificaciones usando el análisis de exactitud y precisión. Al hacer este análisis pu e d e n su ce d e r d o s cosas: a.
que la variable esté dentro de especificaciones
b.
qu e la variable esté fuera de especificaciones
Si su ce d e lo exp resad o en a., se continúa con el P a so 7. Si sucede lo expresado en b., se deben hacer los ajustes del caso y repetir el estudio a partir del P a so 2. Si d e s p u é s de varios intentos no es posible pasar al P a so 7, se puede continuar con el fin de con ocer la capacidad real del p ro ce so a sa b iend as de que no se cu m ple con especificaciones 7.
C o n los valores de x’ y a ’, se calculan límites de control iniciales de proceso para i in gráfico de control de prom edio e intervalo o cualq uier otro gráfico que se desee, con un tam año de m uestra escogido y aplicado en el P aso 8. Los lím ites de control de proceso son:
l s ir
=
l c ir
= d2* o ’
l
d
2'
Ur = D V
P a ra prom edios
L S I - = x ’+ ^ i
Vn L C C X- = x ’ iL i. - = “x — 3 o ’
Vn d on de : LS I = límite superior de control inicial L C I = línea central de control inicial Lll = límite inferior de control inicial 8.
R e c o le c ta r la in fo rm a ció n n e c e s a ria p a ra el a n á lisis de un grá fico de control de p rom edios e intervalos. S e siguen aq u í los pasos ya conocidos.
9.
A n a liza r el gráfico u sand o los lím ites de control iniciales calculados en el P a so 7. Si no aparecen puntos fuera de límites significa que el proceso es ca p a z de m antener su exactitud y precisión iniciales. Si se desea, se puede c o n stru ir el g ráfico d e control c o n el fin de e v a lu a r te n d e n c ia s y p e c u liaridades. S in e m b a rg o , lo que interesa aq u í es estim ar la capa cid ad del proceso con base en exactitud y precisión controladas m ás que en ejercer acciones, tal y co m o ocurre al aplicar estos gráficos en form a separada.
10. C a lcular los límites de control del gráfico analizado en el P aso 9, pero con los valores recolectados en el P a so 8. S e debe analizar de acuerdo con el p ro ce d im ie n to a ntes descrito en la secció n del gráfico de p ro m e d io s e intervalos.
346
CONTROL DE CALIDAD
11. C a lcula r la capacidad de proceso k, una v e z concluido el análisis. Para ello, se usa la siguiente expresión: 6 *R K = 6*cr = --------d2 12. C o m p ro b a r si el proceso es c a p a z de m antene r la capa cid ad instantánea m o s tra d a al inicio del e stu d io . E s to se h a ce a tra vé s de u na p ru e b a de hipótesis de dos va ria n za s co m p a ra n d o k’2con k2. 13. C a lc u la r el índice de c a p a cid a d de p ro ce so y s a ca r las co n clu sio n e s del caso. Este procedim iento se p u ede visualizar m ejor en el Flujogram a N o. 3 en el A p é n d ice IV.
EJEMPLO 4.10 E n un ta lle r m e c á n ic o se p ro d u c e u n a p ie z a c ilin d rica , c u y o d iá m e tro externo d e b e cu m p lir con una especificación de 9,40 ± 0,15 cm . P a ra e n c o n tra r la ca p a cid a d instántanea del pro ceso se ha efectuad o la d is tr ib u c ió n d e f r e c u e n c ia s q u e s e p re s e n ta en el C u a d r o 4 .1 1 , y q u e co rre sp o n d e a u na m uestra de 100 observaciones. D a d o qu e se cum ple con especificaciones, se recolectó la inform ación del C u a d ro 4 .1 2 b ) con el fin de determ inar la capa cid ad del proceso. U tilizando el procedim iento pre sentado anteriorm ente determ ine si el pro ceso es c a p a z de m a n te n e r la ca p a cid a d instantánea inicial.
SOLUCION Los p a so s 1 y 2 ya han sido realizados. P a so 3. E stim a r el pro m e dio y la desviación estándar x ’ = 9 ,3 9 + (39/100) * 0 ,0 3 = 9,40 cm o ’ = 0,0 3 -y (2 2 9 /1 0 0 ) - (3 9 /1 0O )2 = 0 ,0 4 4 cm
JORGE ACUNA ACUNA
347
CUADRO 4.11. Distribución de frecuencias del Ejemplo 4.10
L. 9,285 9,315 9,345 9,375 9,405 9,435 9,465
Xk
9,315 9,345 9,375 9,405 9,435 9,465 9,495
9,29 9,32 9,35 9,38 9,41 9,44 9,47
9,31 9,34 9,37 9,40 9,43 9,46 9,49
9,30 9,33 9,36 9,39 9,42 9,45 9,48
TO TA L
3 8 12 33 21 14 9
d
n„d
nkdz
-3 -2 -1 0 1 2 3
-9 -16 -12 0 21 28 27
27 32 12 0 21 56 81
39
229
100
CUADRO 4 .12a. Frecuencias observadas y esperadas
L,
L,
-o o
9,315 9,345 9,375 9,405 9,435 9,465
9,315 9,345 9,375 9,405 9,435 9,465
+oo
n„ 3 8 12 33 21 14 9
11
2,23 7,88 17,87 25,95 24,45 14,25 5,40
10,11
K -e J
K - e kl2/ek
0,89
0,0783
5,87 7,05 3,45 0,25 3,60
' 1,9281 1,9153 0,4868 0,0044 2,4000
as2=
6,8129
P a s o 4 . E l C u a d r o 4 .1 2 a ) p r e s e n t a las f r e c u e n c ia s o b s e r v a d a s y e sp e ra das para la pru e ba de bondad de ajuste. H 0: La variable se distribuye norm alm ente H a: La variable no se distribuye norm alm ente
CONTROL DE CALIDAD
348
CUADRO 4 .12b). Datos para el gráfico de promedios e intervalos Hoja de datos - Gráficos de control x, R Código: Pieza cilindrica Especificación: Diámetro Máquina: Torneado Inspector: R. A. Chaves 08-12-84 Turno: 1 Hora de inicio: 10:15 Hoja # 1
Artículo: Característica: Operación: Operario: Fecha:
A-80 9:40 ± 0,15 cm Torno H-1 A. F’. Pérez de 1
Muestra
#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V A L O R
6 5 4 3 2 1
9,39 9,40 9,29 9,30 9,37
9,40 9,35 9,38 9,40 9,49
9,45 9,41 9,42 9,38 9,35
9,35 9,40 9,39 9,38 9,40
9,38 9,39 9,41 9,46 9,40
9,45 9,40 9,47 9,42 9,35
9,47 9,34 9,48 9,44 9,34
9,37 9,38 9,39 9,47 9,41
9,39 9,40 9,40 9,42 9,44
9,46 9,35 9,45 9,44 9,34
I N D i V
n=5
TOTAL 46,75 47,02 47,01 46,92 47,04 47,09 47,07 47,02 47,05 47,05 PROMEDIO 9,35 9,40 9,40 9,38 9,41 9,42 9,42 9.40 9,41 9,41 INTERVALO R 0,11 0,14 0,10 0,05 0,08 0,12 0,14 0,10 0,05 0,12 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
9,34 9,34 9,45 9,37 9,47
9,40 9,39 9,42 9,43 9,35
9,41 9,40 9,43 9,40 9,33
9,40 9,41 9,48 9,31 9,37
9,47 9,39 9,45 9,42 9,40
9,42 9,38 9,42 9,41 9,46
9,40 9,40 9,44 9,38 9,41
9,43 9,33 9,41 9,43 9,48
9,40 9,44 9,38 9,40 9,40
9,38 9,37 9,42 9,36 9,42
MUESTRA# V A L O R
I N D I V
6 5 4 3 2 1
TOTAL 46,97 46,99 46,97 46,97 47,13 47,09 47,03 47,08 47,02 46,95 PROMEDIO 9,39 9,40 9,39 9,39 9,43 9,42 9,41 9,42 9,40 9,39 INTERVALO R 0,13 0,08 0,10 0,17 0,08 0,08 0,06 0,15 0,06 0,06 CONSTANTES 6 7
8
9
10
11
0.419
0.373
0.337
0.308
0.285
5,078
5,203
5,307
5,394
5,469
5,534
2,115
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
1,744
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
3,173
n
2
3
4
5
A2
1.880
1.023
0.729
0.577
0.483
D2
3,686
4,358
4,698
4,918
D4
3,267
2,575
2,282
d2
1,128
1,693
2,059
JORGE ACUNA ACUNA
349
T a l y com o se puede o b s e rv a re n la Figura 4.45, el valor del estadístico chicu a d rado teórico es m a yo r que el va lo r calculado. A nte ello, se puede afirmar, con a = 5 % , que la distribución de probabilidad que corresponde a esta variable es la distribución norm al.
FIGURA 4.45. Curva se2para la bondad de ajuste. P a so 5. C á lculo de la capa cid ad instantánea de proceso K ’= 6 * o ’ = 6 * 0,0 4 4 = 0,2 6 4 P a so 6. C o m p a ra ció n con especificaciones
A ná lisis de exa ctitud M = x’ 9,4 0
= 9,40
A n á lisis de pre cisió n a ’ < T/3 0 ,0 4 4 <0 ,1 5 /3 0,0 4 4 < 0 ,0 5 D a d o que se cu m ple con la especificación se continúa con el paso 7. P a so 7. C á lc ulo de límites de control Iniciales
CONTROL DE CALIDAD
350
Para intervalos para n= 5 L S Ir =
D 2 * a ’ = 4 ,9 1 8 * 0,0 4 4 = 0 ,2 1 7 cm
L C Ir =
d2 * o ’ = 2 ,3 2 6 * 0 ,0 4 4 = 0,1 0 2 cm
LII r =
D, * a ’ = 0
* 0 ,0 4 4 = 0
cm
P ara pro m ed ios 3* a ’ 3 * 0 ,0 4 4 L S I- = x + = 9 ,4 0 + ——T—— = 9 ,4 6 0 cm * Vñ V5 L C IX- = x ’= 9 ,4 0 0 cm , ,, 3*o’ . . . 3 * 0 ,0 4 4 L - = x ------- ^ = 9 , 4 0 -------------j= — = 9 ,3 4 0 cm V5 P a s o 8. E L C u a d r o 4 .1 2 p re s e n ta la In fo rm a c ió n re c o le c ta d a p a ra el análisis de un gráfico de pro m edio s e intervalos. P a so 9. Análisis del gráfico de prom edios e intervalos A l o b s e rv a r la in fo rm a ció n del C u a d r o 4 .1 2 se nota q u e n in g ú n p u n to su p era los límites de control iniciales, tanto en el gráfico de intervalos co m o en el d e p ro m e d io s . P o r lo ta n to , s e c o n c lu y e q u e la v a ria b le e s c a p a z de m a nte ne rse bajo la exactitud y precisión m ostradas inicialmente. P a so 10. C á lc u lo de n u evo s límites de control y análisis del gráfico. •
Para intervalos p a ra n = 5
L S C r = D 4*R = 2 ,115 * 0 ,1 0 0 = 0 ,2 1 2 cm LCCr =
R =
LIC r = D3*R = 0
= 0 ,1 0 0 cm
*0,100 = 0
cm
JORGE ACUÑA ACUÑA
•
Para p ro m ed ios
LSC; =
x’ +
A 2* R = 9,4 0 2 + 0 ,5 7 7 * 0 ,1 0 0 = 9 ,4 5 0 cm
L C C - = x’
= 9,4 0 2 cm
L IC ; = x ’ - A 2* R = 9,402 - 0,5 7 7 * 0,100 = 9 ,3 4 4 cm •
A n á lisis d e l grá fico
E n el C u a d r o 4 .1 2 se p u e d e o b s e rv a r q u e n in g ú n p u nto sale fu e ra de límites de control en a m b o s gráficos. •
A ná lisis de e xa ctitud M = x’ 9,4 0
•
= 9,402
A n á lisis de p re cisió n a ’ = R/d2= 0,10/2,326 = 0,043 o ’ < T/3 0 ,0 4 3 <0 ,1 5 /3 0,0 4 3 < 0 ,0 5
C o m o se puede observar la diferencia m ostrada en el caso de exactitud se p u e d e c o n s id e ra r d e s p re c ia b le . S i s e d e s e a se p u e d e h a c e r la p ru e b a de hipótesis. P a so 11. C á lc u lo de la capa cid ad de proceso K = 6 * 0 ,0 4 3 = 0,258 P a s o 12. C o m p a r a c ió n de la c a p a c id a d inicial co n la c a p a c id a d final calculada en el P a só 11.
CONTROL DE CALIDAD
352
La ca p a cid a d instantá nea fue de 0 ,2 6 4 , la c a p a c id a d del p ro c e s o es de 0 ,2 5 8 , esto d e m u estra qu e el p ro ce so es ca p a z de m a n te n e r las co n d icio n e s iniciales. Si se d e s e a se pu e d e h a ce r la prueba de hipótesis, sin e m b a rg o , la similitud de a m bos valores hace innecesario este cálculo adicional. P a so 13. C á lc u lo del índice de capa cid ad de pro ceso V SE- V |E I
9 ,5 5 -9 ,2 5
= -----------------------= -------------------------= 1 ,1 6 3 K
0,258
Este valor está ce rca de uno, lo q u e dice que el p ro ce so está bajo control pero m u y cerca del límite de cum plim iento. Ante ello, se le debe poner atención, p a ra e v ita r q u e p e q u e ñ o s d e s p la z a m ie n to s d e la m e d ia o a u m e n to s de v a ria b ilid a d o c a s io n e n v o lú m e n e s d e m a g n itu d im p o rta n te d e p ro d u c to disconform e con especificaciones.
Posición óptima de la media E n la m ayoría de las ocasiones, las condiciones para producto qu e supera el v a lo r su p e rio r de e specificació n no so n iguales a las del p ro d u cto q u e se e n c u e n tra ba jo el v a lo r infe rio r d e e s p e c ific a c ió n . D o s e je m p lo s d e e sta situación son: el ca s o cu a n d o en un lado se puede re p ro ce s a r pero en el otro no, con lo que el producto debe desech arse o usarse en otra actividad y el caso cu a n d o el desgaste de herram ientas ocasiona que el prom edio tienda h acia un lado, con lo que la posición inicial de la m edia debe se r tal que se h a g a un uso óptim o de la herram ienta. E n estos ca so s no es rentable m antener el pro ceso centrado y por lo tanto es necesario encontrar la posición óptim a de la m edia.
C aso de desgaste de herram ienta C u a n d o una ope ra ció n se rea liza h aciendo uso d e una h erra m ie n ta que tiene tend encia al desgaste, es co n ve n ie n te c o n o ce r el instante en o u e deb e s e r c a m b ia d a , de tal m a n e ra qu e se o b te n g a una utilización m á x im a , lo que re d u n d a en costo. P a ra lograr esto, se de b e n e sta b le ce r reglas q u e indiquen c u á n d o cam bia r la herram ienta. D o s de estas reglas se citan a continuación.
JORGE ACUÑA ACUÑA
353
Regla 1 C u a n d o el m argen de tolerancia sea superior a 6 o ’, qu e es la capacidad de p ro c e s o , no s e d e b e c o lo c a r la m e d ia del p ro c e s o in ic ia lm e n te c o in cidie ndo con la m e dia e specificada, sino q u e se d e b e co lo ca r a una d is tancia 3 o ’ del valor de especificación qu e está situado en el lado contrario de la tendencia de desgaste.
Regla 2 E n el caso de una herramienta que se desgasta de tal m anera que la media del proceso se desplaza hacia el valor superior de especificación, entonces se d e b e colocar la m edia del pro ceso a una distancia 3 o ’ del valor inferior d e e s p e c if ic a c ió n y c a m b ia r la h e rr a m ie n ta c u a n d o e s a m e d ia s e encu e ntre a una distancia 3 o ” del va lo r superio r de especificación. E s decir: Posición inicial de la m edia = V IE+ 3 o ’ Posición final de la m edia
= V SE- 3 o ”
donde: V IE: va lo r inferior de especificación V SE: valor superior de especificación o ’:
estim ación de la desviación están dar cu a n d o la herram ienta está nueva
o ” : e s tim a c ió n de la d e s v ia c ió n e s t á n d a r c u a n d o la h e rr a m ie n ta e s tá desga stada C u a n d o la tendencia de desgaste es en el otro sentido, se aplica esta regla pero en sentido contrario al expresad o aquí. La tendencia de la media del proceso es evidente en los casos de desgaste y se p u e d e re p re s e n ta r s e g ú n la F ig u ra 4 .4 6 . L a s e s tim a c io n e s o ’ y o ” se pueden obte ner a través de un gráfico de control.
CONTROL DE CALIDAD
354
FIGURA 4.46. Representación de la tendencia de desgaste.
E JE M P L 0 4 . i l U n a guillotina usa una cuchilla que se desgasta de acuerdo con las ca ra c terísticas del trabajo que se va a ejecutar. Para ello, previam ente se han iden tificado cinco trabajos qu e son los qu e m á s provocan e se desgaste. T o d o s es tos trabajos se hacen bajo la especificación 50,0 ± 10,3 cm . U n estudio de capa cidad de proceso realizado en el pasa d o originó una capacidad 6 o ’ de 12,0 cm. U n gráfico de control de prom edios e intervalos perm itió estim ar la desviación e stá n da r d e s p u é s del desgaste co m o a ”= 1 8 cm . ¿ C u á le s deben ser las posiciones inicial y final del prom edio del proceso si el d e sga ste de la h erram ienta tiende al valor superior de especificación?
SOLUCION V SE = 60 ,3 cm 6 a ’ = 1 2,0
V |E= 3 9 ,7 cm a ’ = 2 ,0 c m
6 a ”= 1 8 c m
a ”= 3 , 0 c m
P osición inicial de la m edia = V |E+ 3 a ’ = 39 ,7 + 3 * 2 ,0 = 45 ,7 cm P osición final de la m edia
= V SE- 3 a ” = 60,3 - 3 * 3 ,0 = 51 ,3 cm
JORGE ACUÑA ACUÑA
355
Esto quiere decir que la herram ienta debe colocarse inicialmente para que corte con una m edia de 45 ,7 cm . C u a n d o la m edia alcance el valor de 51,3 cm significa que es el instante de c a m b ia r la herram ienta. El m argen de desgaste permitido es de 5,6 cm (5 1 ,3 -4 5 ,7 ).
C aso de reproceso y desecho E n estos casos la posición de la m edia del proceso tiende hacia el lado que m uestre el costo m ás favorable. Existen varios m étodos de localizar esta media q u e v a n d e s d e la a p lica c ió n de d e riv a d a s p a rcia le s p a ra lo c a liza r el costo m ín im o , h a s ta el p ro c e d im ie n t o d e p r u e b a y e rr o r q u e s e e x p lic a r á a continuación. E l p ro ce d im ie n to de p ru e b a y erro r se to rn a a ú n m á s fácil c u a n d o una bondad de ajuste ha dem ostrado que la variable en estudio se distribuye según la distribución norm al. Este método consiste en calcular para diferentes valores de x el costo total e s p e ra d o por p ie za p ro d u cid a y p ro b a r hasta q u e se en cu e n tre aq u ella que o rig in e el c o s to to ta l m ín im o . E s te c o s to e s p e r a d o e s tá b a s a d o en las probabilidades de detectar producto en zonas específicas y en el costo unitario asociado con e sa zona. A sí, si una especificación establece que las piezas que estén sobre el límite superior de especificación se reprocesan y que las que estén bajo el límite infe rior de especificación se desechan y la distribución es norm al, el e sq u em a para aplicar el m étodo de pru e b a y error será el qu e pre senta la F ig u ra 4 .4 7 . Si el c o s to de d e s e c h a r e s m a y o r q u e el co s to de re p ro c e s a r, la p o s ició n m á s e co nóm ica de la m edia se localiza hacia la derecha. P ara el caso contrario al aq u í expuesto las áreas se invierten así co m o los costos y probabilidades asociadas. L a ca n tid a d de d e c im a le s en la b ú s q u e d a se b a s a en la c a n tid a d de decim ales que tenga el valor nom inal especificado. Los costos principales que se pueden considerar en este análisis son:costo del m aterial ( C m), co s to de o p e ra c ió n ( C o) y co s to de re m a q u in a d o ( C r). La
CONTROL DE CALIDAD
356
C1:
costo de producir piezas no conformes a especificación
p1:
probabilidad de que una pieza deba ser desechada
C2:
costo de producir piezas buenas
C3:
P2:
probabilidad de producir piezas buenas
costo de remaquinar o reprocesar una pieza
P3:
probabilidad de que una pieza sea remaquinada
y que por lo tanto deben ser desechadas
FIGURA 4.47. Lsquema para el método de prueba y error.
ecu a c ió n de costo e s p e ra d o con la q u e trabaja el m é to d o de p ru e b a y error, basa d a en el ca so citado anteriorm ente, es la siguiente:
( C m+ C o ) P l +
( C m+ C o )P 2 +
( C m + C o+ C r ) P 3
C o sto e spe ra do = ---------------------------------------------------------------------------------por pie za
P2+ P 3
E ste costo se ca lcu la para diferentes va lo re s de m e dia aritm ética hasta d e te c ta r la de m e n o r co s to . La c u rv a de co s to e stá re p re s e n ta d a p o r u na función tal co m o la qu e se presenta en la Figu ra 4.48. E sta m etodo logía se p u ede usar en com binación con gráficos de control. Lo que se h ace es sustituir este análisis por el análisis de exactitud el c u a 1no tiene sentido cu a n d o lo que se desea es descentrar el proceso. Lo m ism o o c u rre al calcular el porcentaje de producto no conform e con la especificación. El resto del análisis p e rm a n e ce igual.
JORGE ACUÑA ACUÑA
¡57
FIGURA 4.48. Curva de costos para el método de prueba y error.
EJEMPLO 4.12 U n torno p roduce una pie za cu y a s d im e n sio n e s deb en cum plir con la e s pecificación 5 ,0 0 0 ± 0 ,0 2 5 m m . U n analista tom ó veinte g ru p o s de cuatro pie za s ca d a uno y encontró un valor del intervalo prom edio de 0,0 4 m m . E sta v a riable ha de m ostrado en el pasad o com portarse seg ú n la distribución norm al. L o s co s to s p o r p ie za so n : p a ra el m aterial e m p le a d o 02, p a ra el re m a q u in a d o 0 0 ,1 0 (p a ra el c a s o de q u e resulte co n u n a lon gitud m e n o r q u e la especificada) y para el costo de operación 0 0 ,12. a.
¿ Q u é porcentaje de pro du cto no está co n fo rm e a especificaciones si se a su m e qu e la m edia de longitud está centrada?
b.
¿ Q u é porcentaje de producto se rep rocesa?
c.
¿ C u á l es la posición m á s e co n ó m ica de la m edia?
d.
¿ Q u é a h orro p o r m e s im plica tra baja r con la m edia m á s e co n ó m ic a ? El nivel diario de producción es de 750 piezas y se trabajan 26 días por m es.
e.
¿ Q u é m ejoras propone en esta operación?
SOLUCION
a.
Porcentaje de producto no conforme
CONTROL DE CALIDAD
358
La Figu ra 4.4 9 m uestra la cu rva para calcular ese porcentaje. % de producto conform e = N [(5,025 - 5,000)/0,0194] - N [(4,975 - 5,000)/0,0194] % de producto conform e = N (1 ,2 9 ) - N (-1 ,2 9 ) % de producto conform e = 0 ,9 0 1 5 - 0 ,0985 = 0,8 0 3 % de producto no conform e = 1 - 0,8 0 3 = 0,197 El porcentaje de producto no conform e con especificaciones es de 1 9 ,7 % .
FIGURA 4.49. Porcentaje de producto no conforme con proceso centrado.
b.
El porcentaje de producto qu e se reprocesa es 9 ,8 5 % , seg ú n los cálculos h e ch o s en a).
c.
P osición e co n ó m ica de la m edia D a d o q u e el v a lo r n o m in a l d e e s p e c ific a c ió n tie n e tre s d e c im a le s se
p robará n valores prom edio con esa cantidad de decim ales. • x= 5 ,0 0 0 m m (P ro ce so centrado) % de pie za s bu e n a s (p 2)
= 8 0 ,3 %
% de piezas bajo el V IE (p t)
= 9 ,8 5 %
% de piezas sobre el V SE (p 3)
= 9 ,8 5 %
C m = 02 por pieza
JORGE ACUÑA ACUÑA
359
C o = 0 0 ,1 2 por pieza C
= 0 0 ,1 0 por pieza ( C m+ C o+ C r ) P l + ( C m+ C o )P 2 + ( C m + C o ) P 3
C E /p ie za = -
P, + P2 (2 + 0 ,1 2 + 0 ,1 0 )0 ,0 9 8 5 + (2 + 0 ,1 2 )0 ,8 0 3 + (2 + 0 ,1 2 )0 ,0 9 8 5 C E /p ie za = 0 ,0 9 8 5 + 0,8 0 3 2 ,2 2 (0 ,0 9 8 5 ) + 2 ,1 2 (0 ,8 0 3 ) + 2 ,1 2 (0 ,0 9 8 5 ) C E / p ie z a : 0 ,9015 C E /p ie za = 02,362 D a d o q u e p ro d u c ir d e s e c h o es m á s ca ro (0 2 ,1 2 ) q u e el re m a q u in a d o (0 ,1 0 ), se proseguirá con el m étodo de prueba y error con prom edios inferiores a 5 ,0 0 0 m. •x = 4 ,9 7 0 m m La Figura 4 .50 presenta la curva normal para el cálculo de los valores de p,,
p 2y P3p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,970J/0,0194 = N (0 ,2 6 ) p, = 0 ,6026 p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -4 ,970)/0,0194 = 1 - N (2 ,8 4 ) p3= 1 -0 ,9 9 7 7 = 0,0023 p2= 1 - p, - p3= 1 - 0 ,0 0 2 3 - 0,6026 p2= 0,3951
360
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 4.50. Curva de costo esperado
= 4 ,970j.
2 ,2 2 (0 ,6 0 2 6 ) + 2 ,1 2 (0 ,3 9 5 1 ) + 2 ,1 2 (0 ,0 0 2 3 ) C E /p ie za = ----------------------------------------------------------------------------------------0 ,6 0 2 6 + 0,3951 C E /p ie za = <62,185
C o m o 0 2 ,1 8 5 es un v a lo r m e n o r q u e 0 2 ,8 2 , e n to n c e s x= 4 ,9 7 0 es u na m ejor posición que la m edia centrada. S e probará un valor m enor para ve r si es m ejor que éste. •x = 4 ,9 6 5 m m La Figura 4.51 presenta la curva normal para el cálculo de los valores de p,, p2y p 3-
(tedia propuesta
—
cr’ - 0, OI 94^
/
4 ,9 6 5
4 ,9 7 5
m edia centrada
\
/ /
s
5 ,0 0 0
FIGURA 4.51. Curva de costo esperado ( x=4,965).
\
5 ,0 2 5
JORGE ACUNA ACUNA
Pi = N [(4 ,9 7 5 -4 ,965)/0,0194 = N (0 ,5 2 ) p, = 0 ,6985 p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -4 ,965)/0,0 1 9 4 = 1 - N (3 ,0 9 ) p3= 1 -0 ,9 9 9 = 0,001 p2= 1 - p, - p3= 1 -0 ,0 0 1 -0 ,6 9 8 5 p2= 0 ,3005 2 ,2 2 (0 ,6 9 8 5 ) + 2 ,1 2 (0 ,3 0 0 5 ) + 2 ,1 2 (0 ,0 0 1 ) C E /p ie za = -----------------------------------------------------------------------------------------0 ,6 9 8 5 + 0 ,3005 C E /p ie za = 02,192 C o m o 0 2 ,1 9 2 es un v a lo r m a y o r q u e 0 2 ,1 8 5 , e n to n ce s x= 4 ,9 7 0 es una m ejo r posición q u e la m edia en 4 ,9 6 5 . S e deb en p ro b a r valores entre 4 ,9 7 0 y 5 ,0 0 0 . •x = 4 ,9 7 5 m m La Figura 4 .52 presenta la curva normal para el cálculo de los valores de p,, p 2y p 3-
FIGURA 4.52. Curva de costo esperado (x=4,975).
CONTROL DE CALIDAD
362
p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,975)/0,0194 = N (0 ,0 0 ) p, = 0 ,5 0 0 0 p3= 1 - N [ ( 5 , 0 2 5 -4 ,975)/0,0 1 9 4 = 1 - N ( 2 , 58) p3= 1 -0 ,9 9 5 1 = 0 ,0 0 4 9 p2= 1 - p, - p3= 1 - 0 ,0 0 4 9 - 0 ,5000 p2= 0,4951 2 ,2 2 (0 ,5 0 0 0 ) + 2 ,1 2 (0 ,4 9 5 1 ) + 2 ,1 2 (0 ,0 0 4 9 ) C E /p ie za =--------------------------------------------------------------------------------------------0 ,5 0 0 0 + 0,4951 C E I/ p ie za = 0 2 ,1 8 0 7 C o m o 0 2 ,1 8 5 es un va lo r m a y o r qu e 0 2 ,1 8 0 7 , ento nces x= 4 ,9 7 5 es una m ejor posición que la m edia en 4,970. S e probará un valor m ayor para ve r si es m ejor qu e éste. •x = 4 ,9 7 6 m m La Figura 4.53 presenta la curva normal para el cálculo de los valores de pv p2y p 3p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,976)/0,0 1 9 4 = N (-0 ,0 5 ) p, = 0,4801
o -' = 0 ,0 1 9 4
FIGURA 4.53. Curva de costo esperado (x=4,976).
JORGE ACUÑA ACUÑA
363
p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -4 ,976)/0,0194 = 1 - N (2 ,5 3 ) p3= 1 -0 ,9 9 4 3 = 0,0057 p2= 1 - p , - p 3= 1 -0 ,0 0 5 7 -0 ,4 8 0 1 p = 0,5142 2 ,2 2 (0 ,4 8 0 1 ) + 2 ,1 2 (0 ,5 1 4 2 ) + 2 ,1 2 (0 ,0 0 5 7 ) C E /p ie za = 0,4801 + 0 ,5 1 4 2
C E /p ie za = 02,1804
C o m o 02,1804 es un valor m eno r que 02,1807, entonces x= 4 ,9 7 6 es una m ejor posición que la m edia en 4,975. S e probará un valor m ayor para v e r si es m ejor qu e éste. •x = 4 ,9 7 7 m m La Figura 4.54 presenta la curva normal para el cálculo de los valores de p,, p 2y p 3p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,977J/0,0194 = N (0 ,10) p, = 0 ,5398
tr’ = 0 , 0 1 9 4
4 ,9 7 5
4 ,9 7 7
5 ,0 0 0
5 ,0 2 5
FIGURA 4.54. Curva de costo esperado (x=4,977).
CONTROL DE CALIDAD
p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -4 ,977)/0,0194 = 1 - N (2 ,4 7 ) p3= 1 -0 ,9 9 3 2 = 0,0068 p 2= 1 - p, - p3= 1 - 0 ,0 0 6 8 - 0,5398 p2= 0 ,4 5 3 4 2 ,2 2 (0 ,5 3 9 8 )+ 2 ,1 2 (0 ,4 5 3 4 )+ 2 ,1 2 (0 ,0 0 6 8 ) C E /p ie za = -------------------------------------------------------------------------------------------0 ,5 3 9 8 + 0,4534 C E /p ie za = 0 2 ,189
C o m o 0 2 ,1 8 0 4 es un va lo r m e n o r qu e 0 2 ,1 8 9 , en to n ce s x= 4 ,9 7 6 es una m ejo r posición que la m e dia en 4 ,9 7 7 . P o r lo tanto la posición m ás e co n ó m ica de la m edia es: x = 4 ,9 7 6 Si se probara n d o s va lore s alejado s c o m o 4 ,9 3 0 y 5 ,0 2 0 se obtienen los siguientes resultados. • x = 4 ,9 3 0 m m La Figura 4.55 presenta la curva norm al para el cálculo de los valores de p,,
p2y p 3-
ü ’= 0 , O I 9 4
FIGURA 4.55. Curva de costo esperado (x=4,930).
JORGE ACUNA ACUNA
365
p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,930)/0,0194 = N (2 ,3 2 ) p, = 0,9898 p3= 1 - N [ ( 5 , 0 2 5 -4 ,930)/0,0 1 9 4 = 1 - N ( 4 , 90) p3= 1 -1 = 0 p2= 1 - p, - p3= 1 - 0 ,0 0 2 3 - 0,6026 p2= 0,0010 2 ,2 2 (0 ,9 8 9 8 ) + 2 ,1 2 (0 ,0 0 1 0 ) C E /p ie za = 0 ,9898 + 0 ,0010 C E /p ie za = 02,219
•x = 5,0 2 0 m m
La Figura 4.56 presenta la cu rva normal para el cálculo de los valores de p ,, p2y p 3p, = N [(4 ,9 7 5 -5 ,020)/0,0194 = N (-2 ,3 2 ) p, = 0,0102
(T
- 0 ,0 1 9 4
m edia propue sta
4 ,9 7 5
med ¡a centrada
5 ,0 0 0
5 ,0 2 0
5 ,0 2 5
FIGURA 4.56. Curva de costo esperado (x=5,020).
CONTROL DE CALIDAD
366
p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -5 ,020)/0,0194 = 1 - N (0 ,2 6 ) p3= 1 -0 ,6 0 2 6 = 0,3974 p2= 1 - p, - p3= 1 -0 ,0 1 0 2 -0 ,3 9 7 4 p2= 0 ,5924 2 ,2 2 (0 ,0 1 0 2 ) + 2 ,1 2 (0 ,5 9 2 4 ) + 2 ,1 2 (0 ,3 9 7 4 ) C E /p ie za =----------------------------------------------------------------------------------------------0 ,0 1 0 2 + 0,5924
C E /p ie za = 0 3 ,5 2 0
U n re su m e n de este análisis se pu ede o b servar en el C u a d ro 4 .1 3 y en la Figu ra 4 .5 7 . Al o b s e rv a r la F ig u ra 4 .5 7 se nota qu e el costo e sp e ra d o por pie za crece c u a n d o la m e d ia se c o lo c a en el lado co n tra rio al q u e d e b e estar. E s to d e m u estra q u e el control d e b e s e r eficiente para evitar el d e sp la za m ie n to de la m edia en e se sentido. d.
A h o rro m ensual esperado
n= 75 0 pie za s por día P ro ducción m ensual = 750 * 26 = 19500 C o n x= 5 ,0 0 0 el C E /p ie za = 02,36 C E por m es = 19500 * 2,3 6 = 046020 C o n x= 4 ,9 7 6 el C E / p ie za = 0 2 ,1804 C E por m es = 19500 * 2 ,1 8 0 4 = 0 4 2517 ,8 Ahorro e sperado por m e s= 4 6 0 2 0 - 4 2 5 1 7 ,8 = 3 5 02,2 al nivel de 19500 piezas A h o rro e sperado por m e s = 0 3 502,2
FIGURA 4.57. Representación de la posición óptima de la media.
CUADRO 4.13. Resumen de posición económica de la media
Media del proceso 4,930
Costo esperado (0 por pieza) 2,2190
4,970
2,1850
4,975
2,1808
4,976*
2,1804
4,977
2,1890
5,000
2,3620
5,020
3,5200
promedio óptimo
CONTROL DE CALIDAD
368
e.
M ejoras en esta operación La prim era y m ás importante m ejora es llevar la m edia del proceso al valor
d e 4 ,9 7 6 m m , e n lu g a r del a c tu a l v a lo r d e 5 ,0 0 0 m m . C o n ello , s e e sta rá trabajando con: Porcentaje de d e s e ch o
= 0 ,5 7 %
Porcentaje de re m aq uin ado = 48,01 % Porcentaje de pie za s b u e n a s = 5 1 ,4 2 % C o s to e spe ra do p o r pie za
= 0 2 ,1 8 0 4
Si se d e s e a n lím ites p a ra un g ráfico de control de p ro m e d io s , éstos se pu e d e n calcular así:
L S C - = 4 ,9 7 6 + 3 * 0 ,0 1 9 4 = 5,0 0 3 V5 L S C - = 4 , 9 7 6 - 3 * ° ’0 1 9 - = 4 ,9 4 9 5
V
APLICACIONES DE SER IES DE TIEMPO El objetivo de aplicar se ries de tiem po al control de p ro ce so s es an a liza r te n d e n cia s en función del co m p o rta m ie n to qu e m u e stre n las o b s e rv a cio n e s to m a d a s , con el fin de eje rce r a cc io n e s p re ve ntivas. E n este ca so se utilizan técnicas de pronóstico para identificar ca u sa s de variación que permitan al per son al de calida d, con base en p ro ye c cio n e s, tom ar las a cc io n e s pre ve n tiva s que se am eriten. Los m odelos qu e se usan a q u í son los m odelos de auto-regresión con pro m edio móvil denotados con las siglas A R M A . Estos m odelos consideran los d a tos actuales co m o los de m ejor predicción co n se rva n d o la influencia de valores pasados. Esto es lo que permite afirmar que se trata de un m odelo con m em oria. U n a de las razo ne s por las qu e es deseable aplicar esta técnica es porque los gráficos tradicionales de p rom edios tienen debilidades para servir de m edio preventivo. A lg u n a s otras ra zo n e s son:
JORGE ACUÑA ACUÑA
1.
369
U n gráfico con límites basado en 3 o ~ solam ente provee una señal de alar m a cu a n d o la situación en estudio difiere del nivel de la m qdia re q u e rid o X
2.
La señal de a la rm a en un gráfico tradicional d e p e n d e ú nicam ente de los ú ltim os d a to s y los d a to s m á s a n tig u o s no so n to m a d o s en c u e n ta , a excepción de los gráficos de su m a s acum u lad as.
3.
La ve rd a d e ra tend encia de la variable no está eficazm ente representada deb ido a qu e los gráficos d e control tradicionales no han sido d iseñad os para m e m o riza r condiciones. A n te ello, las desviaciones-ácum ulativas no, s e to m a n en c u e n ta . D e n u e v o , a e x c e p c ió n de los g ráfíóos d e .s u m a s a cu m u la d a s.
4.
U n pronóstico a certado de situaciones futuras es posible solo cu a n d o los datos del m uestreo son analizad os a fondo y las conclusiones son co m b i n a d a s con la ex p e rie n cia de in specto res q u e co n o c e n la co n d u cta de la característica de calidad en estudio.
5.
Este m odelo pu ede a y u dar a determ inar las condiciones m ás económ icas de operación, por m edio de una com paración entre el com portam iento de la calida d del p ro ce so y la calida d del producto, c u a n d o las co n d icio n e s cam bian.
6.
E n gráficos tradicionales, la evaluación de tendencia es com plicada; si se usan m odelos A R M A se podrá con sid erar el im pacto que datos históricos tienen sobre la tend encia futura de la serie.
7.
E n gráficos tra dicion ales es difícil e n te n d e r y v is u a liza r la co n d u cta del p ro c e s o . L a s s e rie s a y u d a n a v is u a liz a r m e jo r la falta de con trol en el p ro ceso al existir ca u sa s asignable s de variación.
8.
A tra v é s d e un m o d e lo A R M A s e p u e d e p ro c e d e r a la c a lib ra c ió n de instrum entos de m edición.
9.
U n m o d e lo d e a u t o -r e g r e s ió n p u e d e d e te c ta r s e ñ a le s y p ro b a r las consecuencias en el sistem a si algunos parám etros son alterados. Esto es im p o rta n te p u e s p e rm ite a n a liz a r las c o n d ic io n e s d e e sta b ilid a d q u e a yu dan a m antene r un proceso bajo control.
CONTROL DE CALIDAD
370
M o d e lo s A R M A ( n ,n -1 ) Los m odelos A R M A (n ,n -1 ) fueron desarrollados con el objetivo de que se p u e d a m e m o riz a r in form a ción p a ra s e r c o n s id e ra d a al to m a r u n a d ecisión (P a n d it y W u , 1 98 6 ). A u n q u e los m odelos m ás sencillos pueden obte nerse en form a m anual, la regla general obliga a b u sca r soluciones a través del uso del com pu tad or. E sto de p e n d e del m odelo que se ajuste a la situación en estudio. E n un m odelo A R M A (n , n -1 ), n representa el núm ero de parám etros o ^ u e p o se e el m odelo en estudio. El térm ino n-1 es el n ú m ero de parám etros o ^ u e co n sid e ra el m odelo. El m odelo general es:
C o m o se p u e d e o b s e rv a r en este m odelo, los v a lo re s de a .y B ^ o n equi valen tes a los valores I3¡ de un m odelo de regresión, los valores de atson equi valentes a los valores de £¡ de dicho m odelo. La diferencia es que, en regresión, ca d a valor tiene su propia identidad, m ientras que en auto-regresión, tal y com o lo m uestra el m odelo general, la ocurrencia de un valor x,depen de de los va lo res de xtanteriores así com o de los respectivos errores asociados. L a cantidad de valores de xt y de a tde pe nden de la m em oria que se desee dar al m odelo. El C u a d ro 4 .1 4 presenta algunos m odelos qu e explican esta notación.
CUADRO 4.14. Algunos modelos ARMA (n, n-1)
Modelo
Ecuación respectiva
A R (2 )
x = 0 ,xM+ 0 2x,2+a,
M A (2)
x= at-0 ,a„ - 92a,.2
A R M A (2,1)
x,=0 ,xt.,+ 0 2x, 2-e ,a „ + a,
A R M A (3,2)
Xr 0 l X,.1+ 0 2Xt.2+ 0 3Xt-3-e,a , . , - 0 2a ,-2+ a t
JORGE ACUNA ACUNA
371
Lo s parám e tros de estas ecu acion es se obtienen a trávés de solución de e cuaciones usand o m atrices. P o r ejem plo, para los m odelos A R (n ) los valores de o , y o 2se obtienen resolviendo la siguiente multiplicación de matrices:
= ( X 'X ) ' X ' Y
—
—
—
—
Xn
X n-1
X n+2
x n+1,
Xn
•
•
•
•
•
•
•
• XN _
X =
X z rb
X n*1
_ XN-,
n: nú m ero de parám etros
0
X-i
... X,
XM N-n
¡
N : nú m ero de observaciones La solución de este sistem a de ecuaciones, la m ayor parte de las veces, se h a ce a tra vé s de un p ro g ra m a de c o m p u ta d o r, d eb ido a la g ra n cantidad de cálculos necesarios. U n o de los pro gram as que se puede usar es el program a D D S (P a n d ity W u ,1 9 8 6 ). Ta m b ié n existen m odelos A R M A (n ,m ) donde la cantidad de parám etros 6¡ se determ ina en form a independiente de los parám etros 0 :. A sí se puede tener un m o d e lo A R M A (5 ,2 ) en el cu a l se tienen c in co p a rá m e tro s 0 ^ dos p a rá m etros 9.. T a l y co m o se nota en la anterior descripción, es posible aplicar esta téc nica al control de una serie de tiempo, como lo es un gráfico de control. La decisión
CONTROL DE CALIDAD
372
por to m a r se ce n tra en la definición del m o d e lo m á s a d e c u a d o , p a ra lo cu al u sa m o s la función de G re e n y la su m a de cu ad rados de regresión en la m ism a form a qu e se u sa en regresión. A d e m á s , es im portante co n sid erar un m odelo con la m enor cantidad de parám etros con el fin de facilitar su aplicación. A sí, se d e b e p ro ba r si el d e c re m e n to en la s u m a de cu a d ra d o s del error al c o m p a ra r p a re ja s de m o d e lo s e s sig nificativo . P a ra ello, se a p lica la p ru e b a lineal F (P a n d ity W u ,1 9 8 6 ). La fu n ció n g e n e ra l de G re e n p a ra m o d e lo s A R M A (n , n -1 ) tie n e c o m o objetivo describir la dinám ica o m em o ria del m odelo en térm inos de los at. S e ex p re sa así:
Gi=glY1i+g2Y2i+ g3Y3í+
+9X
donde Y,,Y2,...,ynson las raíces de la ecuación Yn- 0,Yn'1' 0 2Y"'2 ‘ ■••• " 0 n= 0
P o r e je m p lo en u n m o d e lo A R M A ( 2 , 1 ) las ra íc e s s e o b tie n e n d e las e cu acion es Y,+Y2= 0 , y, y2=
-02
( f ’ - o x 2- - - - 0 , , )
g_.-----------------------------------------(YfY,)(YfY2)•••(YfY¡. i)(YfY¡*i)—(YfY„) i= 1 ,2 ,3 ,...,n el d e n o m in a d o re s el p ro du cto de to d o s los térm ino s (y-Y,) p a ra j= 1 ,2 ,3 ,...,n , ex clu ye n d o el térm ino ce ro (y-y.) Los com pon e nte s de la función G re e n pueden ser im aginarios o reales. El m e jo r m o d e lo e s el q u e se obtiene d e s p u é s d e c o m p a ra r a tra v é s de u n a p ru e b a F q u e éste tiene la m e n o r s u m a de c u a d ra d o s del e rro r, p a ra el m ín im o posible de parám e tros por considerar. Al graficar la Fu n ció n de G re e n
JORGE ACUNA ACUNA
373
correspondiente a ese m odelo, se podrá evaluar su dinám ica y sus condiciones de e s ta b ilid a d . La b ú s q u e d a del m e jo r m o d e lo es e fe c tu a d a m e d ia n te el com pu ta d or u sa n d o el pro gra m a D D S , citado anteriorm ente.
EJEMPLO 4 .1 3
,
E n u na e m p re s a fabrica nte de artícu lo s de P V C u n o de los principales p roductos es tubería para la construcción. La variable principal es el diám etro por lo que se quiere establecer un control sobre ella. Para efectuar este análisis se to m a u n a m u e s tra de 3 0 0 m e d ic io n e s p re s e n ta d a s e n el C u a d r o 4 .1 5 y obtenidas de la siguiente m anera: 1.
2.
C a d a tres minutos un tubo de 15 m etros se corta en tres secciones de cinco m etros ca d a uno. E n ca d a m etro de ca d a sección se efectúa una m edición para un total de cinco obse rva ciones.
3.
El intervalo de m uestreo es de 0 ,6 m inutos. a.
C o n s tru ir y a n a liza r un gráfico de control de p ro m e d io s e intervalos to m a n d o la inform ación c o m o si fu e se n se se n ta m u estra s de cinco elem entos ca d a una.
b.
D e t e r m in a r un m o d e lo A R M A ( n , m ) q u e p u e d a s e r a ju s ta d o al com portam iento de esta variable.
c.
¿ Q u é con clusiones obtiene?
SOLUCION 1.
A p lic a n d o los p ro c e d im ie n to s y a e x p lic a d o s en e ste c a p ítu lo , p a ra la construcción de gráficos de control de prom edios e intervalos, se construye el gráfico qu e m uestra la F ig u ra 4.58. T a l y c o m o se p u e d e o b s e rv a r en la F ig u ra 4 .5 8 , en las p rim eras veinte m uestras se da una inestabilidad m uy grande, inclusive existen tres puntos fuera de límites en el gráfico de prom edios y uno en el gráfico de intervalos.
CONTROL DE CALIDAD
374
CUADRO 4.15. Valores de xt para los modelos ARMA(n,m)
H o ja d e d a t o s - A n á li s i s A R M A (n ,m )
A r t íc u l o :
T ubo d e PVC
C ó d ig o :
C a r a c t e r ís t i c a :
P eso
E s p e c ific a c ió n :
4 0 ,0 ± 4 ,1
O p e r a c ió n :
E x t r u s ió n
M á q u in a :
C o m p a c ta d o ra
O p e r a r io :
L. M a ro to
F e c h a : 1 1 -0 7 -8 5
In sp e cto r
Tum o: 1
43,3
39,1
40,7
42,7
37,5 40,5 40,1
35,9 40,0 39,2
40,2
36,9
43,0 38,8
44,0 46,0
45,6 40,6
47,0 38,5
50,0 39,7
37,9 40,3
41,5 42,1 40,1
40,8 43,3 42,7
41,3 39,7 43,8
40,3 40,0 41,7
42,3 37,9
40,5 40,0
38,8 42,4
40,3
39,1
38,5 40,2 38,7
41,5 39,1
41,3 38,8
39,9 41,5
38,3 39,6 42,7
40,1 40,6 39,8 37,6 39,5 40,0 38,7 40,4 41,7
40,0 39,5 39,8
T A 457
38,0 39,2 41,4 40,5
39,7
38,8
41,1 39,6 38,0 40,3
36,9 38,9
36,9 39,4
40,0 38,7 40,1
42,3 40,0
40,5
40,3
39,3 40,6 40,0
40,0 38,5 40,0
39,9 39,9 40,0 39,5 40,5
H o r a d e in ic io : 2 : 4 5 a .m .
42,1 37,7 43,4 36,9 38,7 37,6 38,9 40,8 35,9 42,1 41,4 40,9 38,8 41,6 41,5
39,4
47,2
40,5
37,8 43,5
37,9 41,7
39,5
39,9 38,4
41,5 37,0
39,9 39,0 42,3
35,0 39,3 43,2
40,0 40,3 42,1
39,6 41,5
42,5
39,3 38,9
38,6 36,5 48,0 39,8
37,5 40,6 39,9 36,9 40,0 40,0
40,9 40,6
40,3 40,7
41,3
40,5 40,3
41,5 39,5 38,9 40,7 42,6 39,9 40,7
S . P érez H o ja # 1 d e 1
40,5 39,8 38,6 38,1 39,7 38,1
38,9 39,0 40,0 39,7 38,4
38,9 40,7 40,2 41,3 39,3 38,4 40,3
40,3
39,3 40,5
39,0 39,5
38,8 40,0
40,3 41,0
41,0 40,0 40,0
39,8 40,3 40,7
39,7
40,0
40,2 40,1
39,5
41,1
_ _ 38,5 40,0
38,8 42,5
38,7 46,9
36,0 46,1 39,7
37,1 38,4
38,8 36,3
41,5 37,8
38,0 38,3 42,1
40,8 39,7 40,5 40,8
41,5 43,4 37,6 39,4
38,5 37,6 38,7
37,5 39,9
41,9 38,7
40,9 41,2
39,8
39,3 38,9
38,0 41,3 41,0 42,0 39,2 40,2 40,9
40,3 40,0 41,6 39,1 39,5 40,3
38,9 38,8 37,4 38,6 40,0 43,0 39,8 38,0 41,0 41,5 36,9
46,7 41,5 43,7 45,6 41,5 42,5 40,0 41,5 39,4 39,8 39,9 38,9 37,9 40,9 41,9 40,1
39,9 41,3
40,3 40,0
38,9 40,1
38,9 39,6 39,9
39,9 40,1 38,7 39,6 39,9
39,7 40,0 40,8 39,0
OBSERVACIONES: Para efectos de la serie de tiempo, los datos deben leerse por renglones, pues así corresponde.
FIGURA 4.58. Gráfico de control
JORGE ACUÑA ACUÑA 375
376
CONTROL DE CALIDAD
E n las siguientes cuarenta m uestras ningún punto en el gráfico de p ro m e dios y en el gráfico de intervalos se sale fuera de límites, por lo que se pu e de decir que la variable diámetro en este período se encuentra bajo control. E n cuanto a tendencias es evidente el decrecim iento de la variabilidad, lo qu e es realm ente favorable. 2.
La F ig u ra 4 .5 9 p re s e n ta el g rá fico de o b s e rv a c io n e s in d iv id u a le s q u e p e rm itirá h a c e r el aná lisis de e sta b ilid a d y a la v e z g ra fic a r el m o d e lo seleccionado.
FIGURA 4.59. Observaciones individuales.
L a b ú s q u e d a del m odelo A R M A (n ,m ) s e hizo con el p ro g ra m a D D S . Lo s C u a d ro s 4 .1 6 y 4 .1 7 pre sentan a lg u n o s de los m o d e lo s p ro b a d o s , d o n d e se e ncu e ntra n los pa rám e tros con sus respectivos intervalos de confianza. D e s p u é s del análisis de v a ria n za para m ed ir la regresión, a sí c o m o de la función G re e n y del a ju ste o b te n id o al gra fica r el m o d e lo so b re los d a to s re a le s, la solución es usar el m odelo A R M A (4 ,3 ) pu es es el qu e m ejor calificó. E l C u a d r o 4 .1 8 p re s e n ta los v a lo re s in iciales de los p a rá m e tro s de la e cu ación del m odelo escogido.
La función de Green de este modelo es la siguiente:
JORGE ACUNA ACUNA
377
CUADRO 4.16. Salida del programa con los modelos evaluados
Parámetro
0,
Modelos AR M A (1.1)
(2.1)
(4.3) I
0,327±0,310
0,214±1,690 0,048±0,563
-0,594+0,lo 3 -0,580+0,111 -0,491 ±0,117 0 ,3 6 8 ± 0 ,1 0 2 \
02 03 0<
05 06 e, 02 e3 04
0,490±0,017 -0,644±0,791 0,36510,423 0,13210,595 \ - 0 , 12510,524 ^ 2 9 0 1 0 ,4 8 0
0,003+0,330
-0,119±1,690
0,979±0,005 -1,090+0,055 -0,934+0,054
0,13710,016 -0,02410,469 0,34710,406 0,07510,576 0,16110,438
1001,75
1007,10
888,87
913,03
05 SCE
(6,5)
-
G (j)= 1 ,0 4 7 7 * (0 ,4 0 9 8 )'+ 0 ,0 3 2 5 * (-0 ,9 5 2 3 )¡+ Q ,08173*(0,97059)<*CO S(2jt*0,42369*0,6*j+(2,9 4 4 7 9 )) P a ra j> 0 El C u a d ro 4 .19 presenta algunos valores para graficar la función de G re e n que se esq u e m a tiza en la Figura 4.60. La función de G re e n representada en la Figura 4.58 tiene dos raíces reales y dos raíces com plejas. S e presentan en form a separada, con el fin de evaluar la influencia de cada una de ellas. La prim era raíz expresa su falta de m em oria, p u e s rá p ida m e n te tom a el va lo r de ce ro . Lo s otros c o m p o n e n te s no m u e re n rá p ida m e n te por lo qu e den otan su ca p a cid a d de m em o ria. La s e g u n d a raíz tiene una tendencia a p e rm an ecer fluctuando cerca del valor nom inal 40,0. La función de G re e n , denotada por D , refleja una alta capa cid ad de m em oria que permite concluir que usar este m odelo para el control proyectivo de esta varia ble es a d e cu a d o , pu es pueden ser detectadas tendencias acum uladas.
CONTROL DE CALIDAD
378
CUADRO 4.17. Salida del programa con los modelos evaluados
0,485±0,157
SCE
1158,6
-0,398+0,120 -0,751±0,125 -0,221+0,139 0,415±0,135 0,030±0,117 0,181 ±0,111
-0,354+0,335 -0,172±0,413 0,011 ±0,373 0,636±0,300 0,109±0,217 -0,107±0,164 -0,101±0,119 -0,184+0,114
0,365+0,623 -0,276+0,387 0,358±0,343 0,670±0,452 -0,290+0,406 0,214±0,279 -0,213+0,164 -0,680±0,185 0,133±0,134
-0,749±0,050 -0,011±0,063 -0,669±0,057
-0,741 ±0,346 -0,484±0,512 -0,204±0,562 0,419±0,498 0,358±0,321
-0,009±0,629 -0,346±0,352 0,251±0,326 0,617±0,368 0,162±0,370 0,220+0,321
852,55
820,48
814,84
CUADRO 4.18. Parámetros del modelo ARMA(4,3)
«Valor
JORGE ACUNA ACUNA
379
CUADRO 4.19. Valores de la función de Green para el modelo ARMA(4,3)
'•'■í.' A ■ >, véjá j ■ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 30 50
3.
2do componente componente« componente real complejo?]
0,4294 0,1760 0,0721 0,0295 0,0121 0,0049 0,0020 0,0008 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-0,0309 0,0294 -0,0280 0,0267 -0,0254 0,0242 -0,0230 0,0219 -0,0209 0,0199 -0,0189 0,0180 -0,0172 0,0164 0,0122 0,0075 0,0028
0,3984 0,2054 0,0440 0,0563 -0,0133 0,0292 -0,0210 0,0228 -0,0205 0,0200 -0,0189 0,0181 -0,0172 0,0164 0,0122 0,0075 0,0028
-0,0132 0,0762 0,0085 -0,0722 -0,0043 0,0682 0,0005 -0,0643 0,0027 0,0604 -0,0057 -0,0566 0,0083 0,0529 -0,0424 0,0275 0,0078
mm
-
G(J) 0,38526 0,28171 0,05258 -0,01595 -0,01765 0,09749 -0,02049 -0,04153 -0,01781 0,08056 -0,02466 -0,03857 -0,00889 0,06937 -0,03023 0,03504 0,01066
C o nclu sio ne s
Al obs e rva r la Figu ra 4.57, es posible afirm ar que la serie es estacionarla pues todos los valores fluctúan alrededor del prom edio de 40,0. N o existe una tendencia estricta y es claro que la variabilidad, especialm ente d e s p u é s de la observación N o . 50, tiende a decrecer hasta el final de la serie. El m o d e lo A R M A (4 ,3 ) es sele ccio n a d o para controlar el diám etro de los tubos P V C , p u e s es el m odelo de los que tienen pocos parám etros que tiene la m e n o r s u m a d e c u a d ra d o s de erro r (8 8 8 ,8 7 ). La F ig u ra 4.61 fortalece esta afirmación. Lo s m odelos A R M A (6 ,3 ) y A R M A (9 ,6 ) son tam bién adecuados, sin em bargo, la dificultad de trabajar con m odelos de m uchos parám etros, los hace poco útiles. A d e m á s , la prueba F dem uestra qu e la dism inución en la su m a de c u a d ra d o s del e rro r, al u s a r c u a lq u ie ra de ellos en re lació n co n el m o d e lo escogido, no e s significativa.
CONTROL DE CALIDAD
380
FIGURA 4.60. Función Green del modelo ARMA(4,3).
El m odelo esco gido es: x=
-0 ,5 9 3 8 5 x t1-0 ,5 7 9 6 x t2-0 ,4 9 0 9 7 x |3+ 0 ,3 6 7 7 x t4+at + 0 ,9 7 9 1 2 a t ,+ 0,10901 at2+ 0 ,9 3 4 1 5at_3 C o n este m odelo se puede proyectar cualquier situación futura. Entre m ás
a lejado esté el valor de t, la pro yección pierde confiabilidad. Si se de sea usar el m odelo con límites de control, es posible calcular éstos b a sa do en + 3 o ’, su p on ien do distribución norm al de la siguiente m anera: L S C = M + 3 t/ v 0
U C = M-3^Vo~
M: el valor nom inal
JORGE ACUÑA ACUÑA
381
TIE M P O (m in u to s)
FIGURA 4.61. Ajuste del modelo ARMA(4,3).
E n este ca so M es igual a 4 0 ,0 y la desviación están dar V 0 se obtiene del pro gra m a D D S , V 0 = 3,81.
O sea, los límites son: L S C = 40,0 + 3* 1/ 3 ,81 = 45,86 L IC = 4 0 ,0 - 3* \ 3.81 = 34,14
382
CONTROL DE CALIDAD
E n c o n clu s ió n , el m o d e lo A R M A (4 ,3 ) se rá u sa d o para p re d e cir el c o m portam iento futuro de la variable diám etro de los tubos P V C . S e ha dem ostrado su grado de adecuación y su ajuste por lo qu e es lógico pensar que servirá para detectar, no solo ca m bios de tendencia sino tam bién cam bios bruscos, pues se pu e d e n tener límites de control. El uso de series de tiem po en control de procesos permite detectar cam bios de m a n e ra p re ve n tiva y to m a r las a cc io n e s qu e se am eriten. S u aplicación se deb e h a ce rco n m odelos de bajo nivel (pocos parám etros), pues m odelos de alto nivel com plican el análisis. Esto no es una limitación importante, pues usando la prue ba F se p u e d e p ro b a r la eficacia de un m odelo e sco gido por convenie ncia.
RESUMEN S e han visto en este capítulo distintos aspectos relacionados con el análi sis y control de p ro ce so s c u a n d o las características de calidad son variables. Lo s m á s im portantes son los gráficos de control. D entro de los aspectos relevantes a q u í analizad os se tienen: 1.
Lo s gráficos de control p u e d e n ser una excelente h erram ienta para c o n trolar de m a n e ra p re ve ntiva y correctiva las variables que se co n sid eren m á s importantes de sde el punto de vista de calidad. S e debe ser ordenado en su a plicación , p a s a n d o en form a a d e c u a d a por los tres p a so s: c o n s trucción, análisis y seguim iento.
2.
La s e le cció n del g rá fico a d e c u a d o se d e b e h a c e r so b re la b a s e de las características específicas de la variable que v a a ser estudiada. E n especial, los gráficos de su m a s acu m u lad as deben ser usado s cuan do se te ng a experiencia en el m anejo de otro tipo de gráfico.
3.
E s de su m a im portancia para el control de procesos co n o ce r la capacidad de p ro ce so , p u e s e s la m ejo r form a de sa b e r si éste es c a p a z de cum plir con las exigencias planteadas.
4.
La b ú sq u e da de la posición m ás eco nóm ica de la m edia es una m etodolo gía ade cu a da para aquellos caso s en qu e las pérdidas eco nóm icas de pro ducto bajo el v a lo r su p e rio r de especificación son diferentes de aquellas
JORGE ACUNA ACUNA
383
p ro v o c a d a s por p ro d u cto fuera del va lo r inferior d e e s p e c ific a c ió n rto s resultados obtenidos deben verse a nivel m acro, para altos volúm enes de producción. 5.
El análisis de series de tiem po es importante cu a n d o se quiere desarrollar un estudio exhaustivo de una variable con el fin de proyectar su c o m p o r ta m ie n to fu tu ro . P a ra su a p lic a c ió n s e d e b e n d e s a rro lla r p ro g ra m a s com putacion ales qu e faciliten los cálculos.
6.
\
E l análisis y control por variables requiere capacitación y entrenam iento p ara el personal e ncarg ado de esta tarea. Si esto no se h a c e ^s f, se_corrael rie s g o de q u e su a p lic a c ió n no dé los re s u lta d o s d e s e a d o s o p ro yectados.
PREGUNTAS DE REPASO 1.
¿ Q u é son ca u sa s asignables de variación y qu é im portancia tienen en el análisis de p ro c e s o s ? D é un e jem plo de un p ro ce so y desglo se las o p e raciones citando las causa s asig nable s de variación para las principales variables que se g eneren.
2.
¿ Por qué se usan gráficos de control de valores prom edio y no de valores in d iv id u a le s ? ¿ Q u é rie s g o s se c o rre n si se u s a n g rá fico s de v a lo re s individuales?
3.
D e sc rib a las tres etapas en la utilización de un gráfico de control. ¿ Q u é aspectos relevantes se deben considerar en cad a u na de esas etapas?
4.
Explique am pliam ente la siguiente afirmación: “El hecho de que un proceso esté bajo control, no significa que cum ple con las especificaciones”
5.
Explique el procedim iento para utilizar el gráfico de control de prom edios e intervalos en el ajuste de un proceso. ¿ Q u é limitaciones cree U d qu e tiene este procedim iento?
6.
¿ Q u é diferencias hay entre gráficos de control de prom edios y gráficos de control de m edianas?
384
7.
CONTROL DE CALIDAD
¿ P a r a q u é so n útiles los g rá fic o s de s u m a s a c u m u la d a s ? ¿ C ó m o se calculan las su m a s a cu m u lad as?
8.
¿ Q u é d if e re n c ia h a y e n tre un C U S U M M á s c a r a V y u n C U S U M de intervalo de decisión h?
9.
E xplique el concepto de longitud prom edio de la corrida y de m agnitud real de cam bio.
10. ¿ E n q u é c o n s is te un a n á lis is d e c a p a c id a d de p ro c e s o ? E x p liq u e el significado de la m agnitud obtenida al calcular el índice de ca p a cid a d de proceso. 11. E xplique el procedim iento para localizar la posición m á s eco n ó m ica de la m edia del proceso. 12. E x p liq u e las v e ntajas y d e s ve n ta ja s de usar series de tiem po en c o m b i nación con gráficos de control. 13. ¿ Q u é p ro c e d im ie n to se u sa p a ra s e le c c io n a r el m o d e lo A R M A m á s a d e c u a d o para ajustarlo a una variable previam ente sele ccionada ? 14. ¿ C ó m o se usa el m odelo A R M A esco gid o en control de pro cesos?
PROBLEMAS 1.
U n a em presa m anufacturera de productos farm acéuticos produce pastillas p a ra el m a le s ta r e s to m a c a l, c u y a e s p e c ifica ció n d e p e s o es 5 ,0 ± 0,1 g ra m o s. P a ra e stu d ia r la situ a ció n del p ro c e s o con re s p e cto a e sta v a ria b le se tom an veinte m uestras de tam año cinco, las cuales aparecen en el C u a d ro 4 .2 0 . S e pide:
2.
a.
Elabora r un gráfico de control x,R y ejecutar el análisis
b.
O b te n e r las con clu siones y reco m endacio n es del caso.
E n una industria de e nvase s plásticos, existe un producto cu yo peso debe cu m p lir con la especificación de 45 ± 5 g ra m o s. S e d e s e a e sta b le ce r un control de p ro ce so so b re esta ca racterística para lo q u e s e han to m a d o
JORGE ACUÑA ACUÑA
CUADRO 4.20. Hoja de datos para el
H o ja d e d a t o s - G r á f i c o s d e c o n t r o l x , R A r t íc u lo :
P a s t il la s p a r a m a l e s t a r e s
C a r a c t e r ís t i c a : O p e r a c ió n :
C o m p a c ta d o
O p e r a r io :
L. E c h e v e r r í a
F e c h a : 1 0 -0 9 -8 5
M uestra#
v
I N D I V.
A L O R
5 4 3 2 1
Muestra # V A L O R
I N D I V.
C ó d ig o :
P eso
5 4 3 2 1
A 890
E s p e c ific a c ió n :
5 ,0 ± 0 , 1
M á q u in a :
C o m p a c ta d o ra
In sp e cto r:
T um o: 2
M . A s to rg a
H o r a d e ¡n ie lo : 2 : 0 0 a .m .
4
5
H o ja # 1 d e 1
1
2
3
6
7
8
9
10
5,1 5,0 5,0 5,1 5,3
5,0 4,8 4,9 5,2 5,0
5,1 4,9 5,1 4,9 5,1
4,8 5,2 5,0 4,9 4,9
4,9 4,9 5,0 5,0 5,0
5,0 5,1 4,4 5,0 5,2
4,7 4,9 5,2 5,0 4,8
4,9 4,8 5,0 5,1 4,8
5,0 5,2 5,0 4,7 5,0
4,9 5,0 5,3 5,1 5,1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
5,0 5,1 5,0 4,9 5,0
5,0 5,0 5,1 5,0 5,1
5,0 4,9 4,8 4,8 4,8
5,1 4,8 4,8 4,8 4,9
4,9 4,9 4,9 4,9 5,0
4,5 5,0 5,0 4,8 4,9
5,0 5, i 5,0 4,9 4,9
5,9 5,1 5,1 5,0 4,8
5,2 5,1 5,0 5,1 5,3
5,2 5,1 4,6 5,0 5,1
veinte m uestras de cinco elem entos cad a una. El C u a d ro 4.21 presenta los datos recolectados.
3.
a.
E la b o ra r un gráfico de control de p ro m e dio e intervalos y efectuar el análisis correspondiente.
b.
¿ Q u é c o n c lu s io n e s se o btiene n a c e rc a de la posibilidad de q u e el p ro ceso p u e d a cum plir a cabalidad con la especificación?
E n el p ro c e s o de c o lo ra c ió n d e fib ra s de la n a , la a c id e z del líq u id o colorante d e b e ser cu id a d o sa m e n te controlada. Si el g rado de a cid e z es m enor qu e el valor especificado, la penetración del color es insuficiente. Si éste es m ayor, el color es intenso y el grado de acidez afecta la vida útil de los productos confeccionados con esa fibra.
CONTROL DE CALIDAD
386
CUADRO 4.21. Hoja de datos para el Problema 2
H o ja d e d a t o s - G r á f i c o s d e c o n t r o l x , R A r t íc u lo :
E n v a s e p lá s t ic o
C ó d ig o :
A R D 879
C a r a c t e r ís t i c a :
P eso
E s p e c ific a c ió n :
45 ± 5
O p e r a c ió n :
T e r m o fo r m a d o
M á q u in a :
T e r m o fo r m a d o r a
O p e r a r io :
K. L ópez
In sp ector
N, F on seca
F e ch a : 0 9 -0 7 -8 5
Muestra # V A L O R
I N D 1 V.
5 4 3 2 1
Muestra # V A L O R
I N D I V.
5 4 3 2 1
T um o: 3
H o r a d e in ic io : 1 0 : 0 0
§?•!:
.
i!»?’
H o ja # 1 d e 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
41 55 46 35 48
46 45 47 48 42
41 48 49 40 42
43 43 40 40 42
45 51 51 42 41
59 47 54 47 45
40 49 49 40 49
40 42 43 46 47
40 42 43 46 47
42 45 39 44 45
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
52 38 48 44 45
44 53 47 38 44
44 43 45 40 43
54 41 45 44 39
51 39 54 45 38
44 45 46 37 43
46 55 47 46 43
39 42 55 47 48
42 42 49 43 44
43 38 47 40 44
El Inspector de calidad ha llegado a la conclusión de qu e un gráfico de co n trol x ,R pu e de se r de gran a yu d a para el control de esta característica de ca lid a d . P a ra ello s e han to m a d o 2 m u e stra s de 5 e le m e n to s c a d a una originá ndo se la inform ación del C u a d ro 4.22. a - A n a lic e el g rá fico c o rre s p o n d ie n te y o b te n g a las c o n c lu s io n e s del ca so . b-
D iseñe un gráfico C U S U M m áscara V , utilizando el criterio del nivel de calidad aceptable y nivel de calidad rechazable. A n a líce lo y explique su funcionam iento.
4.
El gráfico de control x, R es llevado para controlar la resistencia a la tensión de un cierto hilo. S e ha u sa d o un ta m a ñ o de m uestra de cinco elem entos. Lo s va lores de las su m a torias co m p u ta d a s con veinticinco g rupos son:
JORGE ACUNA ACUNA
387
CUADRO 4.22. Información recolectada para el Próplema 3
H o ja d e d a t o s - G r á f i c o s d e c o n t r o l x , R A r t íc u lo :
F ib r a s d e la n a
C ó d ig o :
FB9087
C a r a c t e r ís t i c a : p H
E s p e c i f i c a c i ó n : 4 , 3 0 ± 0 ,1 8
O p e r a c ió n :
T e ñ id o
M á q u in a :
T e ñ id o r a
O p e r a r io :
P. A rce
In sp e cto r:
B. P a ch eco
F e c h a : 0 6 -1 2 -8 4
T um o:
1
H o r a d e ¡n ie lo : 6 : 0 0 a .m .
H o ja # 1 d e 1
Muestra #
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Promedio Intervalo R
4,17 0,14
4,15 0,30
4,18 0,20
4,17 0,09
4,20 0,10
4,22 0,24
4,33 0,65
4,33 0,17
4,34 0,58
4,50 0,22
Muestra #
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Promedio Intervalo R
4,34 0,22
4,31 0,18
4,61 0,44
4,21 0,20
4,37 0,23
4,24 0,23
4,29 0,32
4,35 0,62
4,31 0,28
4,32 0,20
I x = 5 1 4 ,2 8 I R = 120,00 a.
C a lcular los límites de control de proceso.
b.
Estim ar el va lo r de a ’.
c.
Determ inar el error estándar del prom edio de las 125 m ediciones.
d.
SI se e sta b le ce n to le rancias de ± 0 ,4 so b re un v a lo r nom inal de 21 ¿ P u e d e el pro ceso satisfacer las especificaciones?
5.
E n un d e te rm in a d o p ro ce s o , se h a co n stru id o un g ráfico de control de prom edios e intervalos con m uestras de tam año cinco. Hasta el m om ento, los datos originan un pro m e dio de 2 0 ,0 y una d esviación estim ada o ’ de 2 ,0 . S e re co m ie n d a que se a u m e n te el tam año de la m uestra de cinco a seis, m anteniendo en am bos gráficos los límites. La especificación de esta característica es de 20 ,0 ± 4,1. a.
¿ C u á le s serán las co n se cu e n c ia s si se siguen las re c om endacion es d ad as?
388
CONTROL DE CALIDAD
b.
¿ C u á le s s e r á n las c o n s e c u e n c ia s en el p o rc e n ta je d e p ro d u c to disconform e, si se siguen las recom endacion es?
c.
¿ H a b r á m a y o r p ro b a b ilid a d d e q u e los p u n to s c a ig a n fu e ra d e los lím ites de con trol en a m b o s g rá fico s? Ju stifiq u e su re s p u e s ta con núm eros.
6.
E n una e m p re s a qu e fabrica varillas c ro m a d a s, c u y a longitud está e s p e cificada en 1 7 8 ,0 ± 1,06 cm , se tienen p ro b le m a s de calida d, p u e s si las varillas su pe ra n el valor superio r especificado de b e n rem aq u in arse, pero se d e s e ch a n si están bajo el v a lo r inferior e specificado . El costo de pro ducción es de p 1 3,7 5 y el rem aq uin ado ag re g a a ese costo ó6,25. A ctu a lm e n te se tiene la p osibilidad de v e n d e r el p ro d u cto de d e s e c h o , recuperando 3/5 del costo de producción entregado. C o n el fin de analizar la situación se recolectó la inform ación que se presenta en el C u a d ro 4.23. a.
Analice esta situación u sa n d o un gráfico de prom edios e intervalos si se usaron m uestra s de ta m a ñ o cinco.
CUADRO 4.23. Datos recolectados para el Problema 6
Hoja de datos - Gráficos de control x, R Articulo: Varillas cromadas Característica: Longitud Operación: Corte Operario: A. J. López Fecha: 05-12-■85 Turno: 2
Código: VC987 Especificación: 178,0 ±1 ,06 Máquina: Cortadora A Inspector: C. Herrera Hora de inicio: 3:00 p.m. Hoja# 1 de 1
Muestra #
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Promedio Intervalo R
177,6 23
176,6 8
178,4 22
176,6 2
177,0 7
179,4 8
178,6 5
179,6 6
178,8 7
178,2 4
Muestra #
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Promedio Intervalo R
179,8 9
176,4 8
178,4 4
178,2 4
180,6 6
179,6 6
177,8 1
178,4 9
181,6 7
177,6 4
JORGE ACUÑA ACUÑA
7.
38í
b.
¿ Q u é dicen en este caso los límites de atención 2 a - ?
c.
D eterm ine la posición m ás eco n ó m ica de la media.
d.
¿ Q u é límites de control recom ien da para el futuro?
Los datos presentados en el C u a d ro 4.24 corresponden a ensayos de veri ficación de calibración pertenecientes a 21 m áquinas. Lo s valores se han obtenido usa nd o calibres patrón pre viam ente calibrados y verificados.
8.
a.
C o nstru ir y an a liza r un gráfico x ,R .
b.
¿ Q u é con clusiones se obtienen?
U n fa b rica n te trata de q u e el p ro d u c to c u m p la con los re q u e rim ie n to s especificados para una característica de calidad. El C u a d ro 4.2 5 presenta los valores del prom edio y la desviación estándar para quince m uestras de cincuenta o b servacio nes cad a una, tom adas en días consecutivos.
CUADRO 4.24. Hoja de datos para el Problema 7
Hoja de datos - Gráficos de control x, R Artículo: Calibres Característica: Calibración Operación: Verificación Operario: M. Orozco Fecha : 07-10-85 Turno: 1 Muestra # V
i
a I 0 r
n
d i V.
5 4 3 2 1
Muestra # V
i
a I 0 r
n
d i V.
5 4 3 2 1
Código: No hay Especificación: 70 ± 2 Máquina: Inspector: M. Arce Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 1 de 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
75 75 73 73 73
72 71 71 71 70
75 72 74 74 75 '
73 72 70 71 70
70 70 70 76 73
70 65 66 65 65
76 74 75 72 72
73 73 71 70 69
72 71 71 71 73
72 71 73 70 69
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
72 72 71 71 70
72 73 77 71 70
75 75 75 78 70
73 74 73 70 71
79 69 74 72 73
70 69 69 70 73
73 73 77 71 70
71 71 70 75 77
71 78 69 70 72
67 69 69 67 69
CONTROL DE CALIDAD
390
CUADRO 4.25. Hoja de datos para el Problema 8
Hoja de datos - Gráficos de control x, o Artículo: Característica: Operación: Operario:
Muestra #
'
■ . Código: CH456 Especificación: 34,0 ± 4,9 Máquina: Hiladora KA Inspector: C. Herra
Canutos de hilo Resistencia a tensión v Hiladura A. B. Brenes
1
2
3
4
6
5
7
8
9
10 34,8 3,8 20
Promedio Desviación
35,1 5,4
34,6 4,7
33,2 3,8
34,8 4,5
33,4 4,0
33,9 4,3
34,4 5,0
33,0 5,3
32,8 3,3
Muestra #
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Promedio Desviación
33,8 2,3
32,7 4,3
35,4 1,2
36,5 2,7
33,7 4,3
9.
U n a m áquina desarrolló un trabajo calibrada para generar un diám etro con una especificación de 0,258 ± 0,004 pulgadas. S e hizo un estudio tom ando c in c u e n ta u n id a d e s en fo rm a c o n s e c u tiv a o rig in á n d o s e los d a to s del C u a d ro 4 .26 (valores expresados en m ilésim as de pulgada, por encim a de 0 ,2 5 0 pulga da s) a.
R ealizar una distribución de frecuencias de datos ag ru p a d o s y probar la norm alidad del proceso.
b.
H a c e r un estudio de capa cid ad de pro ceso con base en un gráfico de c o n tro l d e p ro m e d io s e in te rv a lo s , s ig u ie n d o el p ro c e d im ie n to explicado en este capítulo. Utilice los m ism os datos para el análisis del gráfico.
10. R e s u e lv a el P r o b le m a 9 p e ro u tiliz a n d o u n g rá fic o d e p ro m e d io s y desvia ciones estándar. 11. U n fa b ric a n te trata d e m a n te n e r su p ro d u c to ba jo un n ivel de c a lid a d aceptable, exigido por las siguientes especificaciones de longitud:
E: 84,0 ± 8 ,0 cm
JORGE ACUNA ACUNA
391
CUADRO 4.26. Hoja de datos para el Problema 9
Hoja de datos - Gráficos de control X, R Articulo: Lámina rectangular Característica: Diámetro Operación: Taladrado Operario: M. Blanco F echa: 07-09-84 Tumo: 1 Muestra # V A L O R
I N D I V.
5 4 3 2 1
Código: LR980 Especificación: 0,258 ±0,004 Máquina: Taladro Inspector: M. Guzmán Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 1 de 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12 10 12 11 15
13 6 10 9 10
12 6 7 8 13
11 16 12 11 10
9 8 7 9 6
7 13 10 10 9
7 6 11 9 9
8 7 10 10 11
11 10 12 10 15
6 9 12 8 4
P a ra a ve rig u a r si lo está lo g ra n d o tom a qu ince m u e stra s de veinticinco lám inas ca d a una, originando la inform ación que presenta el C u a d ro 4.27.
CUADRO 4.27. Hoja de datos para el Problema 11
Hoja de datos - Gráficos de control x, o Artículo: Subensamble Característica: Longitud Operación: Corte Operario: A. B. Bolaños Fecha: 03-02-85 Turno: 2
Código: SE323 Especificación: 84,0 ± 8 ,0 Máquina: Cortadora J Inspector: D. Pacheco Hora de inicio: 3:00 p.m. Hoja #1 de 1
Muestra #
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Promedio Desviación
85,1 7,4
84,6 7,7
83,2 5,8
84,8 5,5
83,4 4,0
83,9 4,3
84,4 5,7
83,0 9,3
82,8 4,3
84,8 7,8
Muestra #
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Promedio Desviación
83,8 6,3
82,7 3,3
85,4 7,2
86,5 4,7
83,7 6,3
CONTROL DE CALIDAD
a.
H a c e r el análisis del gráfico.
b.
¿ Q u é pa sa ría si las tolerancias se am plían a + 1 0 cm ?
c.
¿ Q u é p a s a r ía si se c o m p r a u n a m á q u in a n u e v a q u e tie n e u n a capa cid ad de 6 ct’= 15,0 cm ?
d.
¿ Q u é h a ría U d si el p ro c e s o se d e s ce n tra a 3 2 ,0 cm y m a n tie n e la m ism a variabilidad?
e.
¿ Q u é h a ría U d si el p ro c e s o a u m e n ta su v a ria b ilid a d en u n 2 0 % , m a nteniendo su exactitud?
N O T A :T o d a s las respuestas deb en ser justificadas con núm eros. S e ha tenido la idea de que en la e m presa A T R A S A , el troquel 3 0 2 6 tiene problem as g ra ves, pues no p u e de m antener su exactitud en una posición e c o n ó m ic a . C o n el fin d e in v e s tig a r la s itu a c ió n s e to m a ro n tre in ta m uestras de cinco piezas ca d a una y se midió el diám etro encontrán dose un prom edio de 15,6 m m y un intervalo prom edio de 0.6 3 m m . La cara cte rística de esta m á q u in a es qu e si las p ie za s tienen d iám etros superiores a lo especificado se pueden reprocesar, pero si este diám etro es inferior a lo especificado entonces se deben v e n d e r a una cuarta parte del costo. Si la especificación que se debe cum plir es E: 15,60 ± 0,56 m m y los costos unitarios son los siguientes: C o s to del m aterial:
0 7,25
C o s to de rem aq uin ado: 0 2,15 C o sto de o peración:
0 9,35
C o sto de transporte de unidade s con dism inución de precio: 0 0,1 6 a.
¿ C u á l es el costo esp era do por pieza?
b.
¿ C u á l es la posición e co n ó m ica de la m edia?
c.
¿ C u á l es el ahorro por m e s al nivel de producción de 25000 unidades diarias en prom edio?
JORGE ACUNA ACUNA
d.
393
¿ C u á le s serán los lím ites de control para un gráfico de prom edios e intervalos?
e.
¿ C u á le s son los límites de control para valores individuales?
13. R e su e lva la parte b) del P ro b le m a 12 usand o cálculo diferencial. 14. La e m p re s a C A L C O S .A . s e d e d ic a a la fabricación de roles, los cu a le s p a sa n por una c u id a d o sa in sp e cció n , en d o n d e se c h e q u e a la distancia entre el diám etro interior y el diám etro exterior. Los datos obtenidos de 25 m uestras de cinco roles ca d a u na se presentan en el C u a d ro 4.28. Si la especificación es E: 72 ,6 ± 4 ,0 m m a.
¿ C u á l es la capa cid ad de este pro ceso?
b.
¿ Q u é porcentaje de producto fuera de especificaciones se produjo?
CUADRO 4.28. Información para el Problema 14
Hoja de datos Gráficos de control x, R Artículo: Roles Característica: Longitud Operación: Torneado Operario: A. Cabezas Fecha: 09-12-84 Tumo: 1
Código: R900 Especificación: 72,6 ± 4 ,0 Máquina: Torno M Inspector: C. Morales Hora de inicio: 9:00 p.m. Hoja #.1 de 1
Muestra #
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Promedio Desviación
73,8 8,3
72,5 3,3
73,5 2,1
72,1 1,5
74,0 5,4
67,0 4,2
72,5 4,1
73,4 1,8
75,2 2,3
73.1 2.1
Muestra #
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Promedio Desviación
73,2 2,4
72,7 1,5
74,0 1,7
72,8 1,7
72,0 1,8
71,9 2,1
70,8 1,5
71,5 1,4
74,0 1,1
75,3 1,3
Muestra #
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Promedio Desviación
72,1 1,2
72.0 1.0
72,5 3,8
71,6 0,7
73,9 2,7
CONTROL DE CALIDAD
394
c.
¿ H a y tend encias im portantes?
d.
C o n s t ru y a un g rá fic o C U S U M d e M á s c a ra V u s a n d o un n iv e l de con fia n za del 9 5 % .
e.
E s ta b le z c a c o m p a ra c io n e s entre el gráfico u s a d o en a ) y el gráfico u sa d o en d).
15.
f.
C o n s tru y a un gráfico C U S U M de intervalo h.
g.
¿ Q u é c o n c lu s io n e s o b tie n e U d . a c e r c a d e la s itu a c ió n d e e s ta característica de calidad?
El C u a d ro 4 .2 9 p re senta el peso de 20 m uestras de cinco unidade s ca d a u n a obte nid a s en un p ro ce so de elab oración de gelatina. S e ha fijado un va lo r de referencia de 0 ,8 3 4 0 d e c a g ra m o s. a.
C o n s tru y a y analice un gráfico de prom edios e intervalos.
b.
C o n s tru y a y analice un gráfico de su m a s a cu m u la d a s de M á sca ra V .
c.
C o n s tru y a y analice un gráfico de su m a s acu m u la d a s de intervalo h.
d.
C o m p a re los tres gráficos y obte nga algunas conclusiones.
CUADRO 4.29. Hoja de datos del Problema 15
Hoja de datos - Gráficos de control x, R Artículo: Gelatina Característica: Peso Operación: Llenado Operario: A. Vargas Fecha: 12-12-83 Tumo: 1 Muestra# Promedio Intervalo R Muestra# Promedio Intervalo R
1
2
Código: GÁ965 Especificación: 0,834 ±0 ,12 Máquina: Llenadora Inspector: S. Zapata Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja #1 de 1 3
4
5
6
7
8
9
10
0,8372 0,8324 0,8318 0,8344 0,8346 0,8332 0,8340 0,8344 0,8308 0,8350 0,001 0,009 0,008 0,004 0,005 0,011 0,009 0,003 0,002 0,006 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,8380 0,8322 0,8356 0,8322 0,8304 0,8372 0,8282 0,8340 0,8360 0,8374 0,006 0,002 0,013 0,005 0,008 0,011 0,006 0,005 0,004 0,006
16. Para un nivel de calidad aceptable m a=6 ,5 m m y un nivel de calidad recha zable m = 2,0 m m , ¿cuál debe ser el tam año de la m uestra y los valores de k y h para un C U S U M unilateral, si A R L a= 1 000, A R L =2 ,5 y cr’=5? 17. S u p o n g a qu e se decide controlar la exactitud de un proceso con un gráficc
C U S U M similar al del Problem a 14, excepto que k está colocado simétrica m ente al otro lado de m a y qu e se u sa -h en lugar de h co m o intervalo de decisión. Si se desea operar con +h y -h , es decir con un e sq u e m a bilateral, a.
¿ C u á l d e b ería ser el A R L para un m a=6,5, un m r1= 2 ,0 y r n ^ l 1,0?
b.
Construya una M áscara V que sea equivalente a este gráfico bilateral.
18. D a do s los siguientes valores, trazar la curva A R L de longitud prom edio de la corrida: k, = 110
= 113
k2 = 104
= 101
h = ± 9 ,5
ma=
n
= 9 o ’ = 10
107
19. E n un intento por establecer gráficos de su m as acu m u lad as se han fijado los s ig u ie n te s v a lo re s : A R L = 5 0 0 p a ra m a= 1 0 0 , A R L = 5 para m = 1 1 0 y g ’= 1 0. ¿ C u á le s son los valores de h y de n para un C U S U M unilateral?
20. C o n el fin de diseñar una m áscara V se han fijado los siguientes p a rá m e tros: A R L = 2 5 0 para m a= 7 0 , A R L = 5 para m = 9 0 , y w = 2 . ¿ C u á le s son los valores de d y 0 para la m áscara V ? 21. U n gráfico C U S U M tiene un valor de referencia k igual a 8,4 y un intervalo de decisión de 2,8. El tam año de m uestra es nueve unidades, la desviación estándar es 2 ,3 y el nivel de calidad aceptable es 10,7. Construir la curva A R L de longitud prom edio de corrida. 22. C o n s tru ir u n a m á s c a ra V p a ra el p ro b le m a 2 y c a lc u la r la v e rd a d e ra m agnitud de cam bio si se detecta algún cam bio de tendencia. 23. Desarrolle un pro gram a de com pu tad ora que permita la bú squeda de una ecuación de un m odelo A R (n ).
CONTROL DE CALIDAD
396
2 4. Desarrolle el sistem a de ecuacion es de un m odelo A R M A (n, m ). N O T A : R e cu e rd e que al existir 0's, el m odelo no es lineal. 2 5. P a ra el P ro b le m a 2, d e te rm in e si un m o d e lo A R (2 ) es a p ro p ia d o p a ra a n a liza r la estab ilidad en el c o m p o rta m ie n to de la v a ria b le en e stu dio . D em uéstrelo. 26. P a ra el P ro b le m a 1, d e te rm in e cuál de los sig u ie n te s m o d e lo s es m á s apropiado para representar la con ducta de la variable en estudio: A R (2 ), A R M A (2 ,1 ), A R M A (3 ,2 ), A R (3 ).
GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS
n m u c h a s o c a s io n e s u n a lín e a de p ro d u c c ió n tiene dificultades con dos o m á s características de calidad, las cuales pueden o no ser llevadas a una escala de m e dición. C o n lo visto hasta el m om ento solo sería posible e v a lu a r las c a ra c te rís tic a s v a ria b le s co n el in c o n v e n iente de q u e se d e b e co n stru ir un gráfico de control para cada una de ellas. Esta acción sería costosa y p o co funcional p u e s se ría im posible h a ce r el análisis de información, con lo que esta herram ienta tan importante perdería todo su aporte. Ante esta situación, se pueden aplicar los gráficos los cuale s perm iten el c o n
de control para atributos,
trol de varias características a la v e z, calificando la c a lidad de las p ie za s co m o con form es o disconform es al com pararlas con las norm as de producción previam ente establecidas. E sto s g ráficos tienen un costo de inspección por u nid a d m á s bajo q u e los g ráficos p a ra v a ria b le s. S in e m bargo , requieren de una excelente organ ización de la inspección y de la información recolectada. La organi zación de la inspección, entre otras cosas, deb e co n si d e ra r la e s ta n d a riza c ió n de criterios de a c e p ta ció n y
398
CONTROL DE CALIDAD
re c h a z o m ie n tra s q u e la in fo rm a ció n re c o le c ta d a d e b e c o n te m p la r p ro c e dim ientos qu e perm itan investigar ca u sa s asignable s de variación, las cuales no son tan e v id e n te s c o m o en los gráficos para va ria b le s, p u e s en éstos se analizan varias características a la vez. La uniform idad de criterios se logra a través de un p ro g ra m a de e ntrena m ie n to y d e c a p a c ita c ió n y del d e s a rro llo de un m a n u a l de in s p e c c ió n q u e especifique entre otras cosas: a.
Procedim ientos de inspección
b.
B a se s estadísticas de m uestreo
c.
M anejo de instrum entos
d.
Criterios de acep tación y re c h a zo de producto
e.
Especificacio nes técnicas
f.
M uestras patrón
g.
Destino de producto a cep tado y re cha za do
h.
D ocu m e n ta ción
Lo s m a n u a le s de inspección eficientes garan tizan qu e la calificación del producto se haga de una m anera m ás real y h om ogénea, evitando al m áxim o la utilización de criterios subjetivos. Si esto se logra, los resultados qu e se obten gan del uso de gráficos para atributos, solam ente dependerán del conocim iento de la técnica, qu e te n g a el personal qu e lo aplica y de los erro re s pro pio s del m uestreo. U n a ventaja qu e tiene el estudio p o r atributos es qu e si existen variables continuas de poca relevancia en el control de proceso, pero que se desean con trolar, se pueden usar calibres p a sa -n o pasa para evitar la m edición de la varia ble y tratar ésta co m o si fuese un atributo. El Ejem plo 5.1 ilustra esta situación.
E J E M P L O 5.1 L a lo n gitu d d e u n a p ie z a p lástica , u s a d a en u n e n s a m b le s e c u n d a rio , h a s id o c a ta lo g a d a c o m o d e m e d ia n a im p o rta n c ia e n la c la s ific a c ió n d e
JORGE ACUÑA ACUÑA
c a r a c te r ís t ic a s de c a lid a d . L a lo n gitu d de esta p ie z a d e b e siguiente especificación: E: 3 0 ± 2 c m D iseñar dos calibres p a sa -n o pasa qu e eviten la m edición de esta variable de tal m anera que se dism inuyan los costos de inspección.
SOLUCION U n a form a de e fe ctu a r esta in sp e cc ió n es d is e ñ a r d o s calibres q u e se ajusten a la sim etría de la p ieza. El m aterial puede s e r de plástico, m ad e ra o metal. El diseño de los calibres debe efectuarse de form a tal que las superficies que van a estar en contacto con las piezas m edidas no sean ásperas ni tengan protuberancias que afecten la decisión. Lo s calibres se diseñan uno para c o n trolar el valor superior especificado (calibre pasa) y otro para controlar el valor inferior especificado (calibre no pasa). Estos calibres pueden tener la forma que presenta la Figura 5.1, en donde se consideran los valores especificados com o los topes m áxim os en cad a caso. C o n ello se está afirm ando que una pieza no estará conform e a especificaciones si m ide m enos de 28 cm o m ás de 32 cm , sin necesidad de efectuar la m edición. El procedim iento para usar los calibres de la Figura 5.1 es el siguiente: 1.
T o m a r la pieza e introducirla en el calibre no pasa.
28 cm
Calibre no pasa
32 cm
Calibre pasa
FIGURA 5.1. Esquema de calibres pasa-no pasa del Ejemplo 5.1
CONTROL DE CALIDAD
400
2.
S i la pie za entra en el calibre no p a sa se co n sid era no conform e a e s p e cificaciones, p u e s m ide m enos de 28 cm . N o es n e cesario utilizar el otro calibre y la p ieza se rechaza. Si la pieza no entra, entonces m ide m ás de 28 cm , por lo que se procede a introducirla en el calibre pasa.
3.
S i la p ie za no entra en el calibre p a sa se con sid era no con form e a e s p e cificaciones, p u e s m ide m ás de 32 cm . Esta pieza es re cha za da. S i la p ieza entra en el calibre pasa se considera que cu m p le con lo e s p e c ific a d o p u e s tie n e u n a d im e n s ió n q u e va de 2 8 a 3 2 , p o r lo q u e es acep tada.
D E F E C T U O S O S V R S D IS C O N F O R M E S P a ra obtener conclusiones a d e cu adas despu és de efectuar un control por atributos es de su m a importancia establecer la diferencia existente entre unidad defectuosa y unidad disconform e. U n a unidad defectuosa es una unidad que no cu m p le con la n o rm a de producción y qu e por lo tanto p o se e defectos que pueden o no pueden ser corregidos conllevando a u n reproceso o a un desecho parcial o total del producto. U n a unidad disconforme es una unidad que no cu m p le con la n orm a de producción y que por lo tanto no puede ser aceptada. A diferencia de la unidad defectuosa, la unidad disconform e pu ede que no con tenga ningún defecto. Si contiene uno o m ás defectos se convierte en unidad defectuosa. U n a unidad por sí sola se cataloga c o m o defectuosa deb ido a que p u e d e te ner uno o m ás defectos. D e a q u í se c o n c lu y e que no es correcto hablar de porcentaje de defectos sino de n ú m ero de defectos por unidad, por m uestra o p o r c a d a cie n u n id a d e s p ro d u c id a s . S í e s c o rre c to h a b la r de n ú m e ro de d efectuosos o de porcentaje de defectuosos. Al igual que en el control por variables, el control por atributos requiere de clasificar las no conform idades con el fin de realizar el estudio sobre los m ás im portantes de acuerdo con su criticidad y su frecuencia de ocurrencia. S e aplican tam bién en este ca so los dia g ram as de Ishikawa, Pareto y C a u s a -e fe c to . Los defectos qu e se p u e d e n encontrar en los pro ductos se clasifican de la m ism a form a qu e las características de calidad:
JORGE ACUNA ACUNA
1.
401
No conformidades críticas
Estas co rre sp onden a pro blem as m uy serios detectados en e l producto y que conllevan a defectos críticos evidentes. S e caracterizan porque:
2.
a.
H a ce n que la unidad de producto sea totalm ente iñútif-
b.
P u e d e n c a u s a r fallas du rante la p u esta en u so del pro du cto qu e no pueden ser corregidas
c.
O fre ce n riesgo de ca u s a r dañ o s a personas o pro piedades
d.
D e b e n se r totalm ente elim inadas
No conformidades mayores
C o rre s p o n d e n a p ro b le m a s serio s en el p ro d u cto y p u e d e n o no existir defectos. S e caracterizan porque:
3.
a.
Posible m ente cau se n fallas durante la puesta en uso del producto las cuales pueden ser corregidas con un grado alto de dificultad y de costo.
b.
S e g u ra m e n te ca u sa rá n un increm ento en m antenim iento cu a n d o se deseen evitar.
c.
P ueden acortar la vida útil del producto.
No conformidades menores
S o n a q u e lla s q u e se refieren a p ro b le m a s m o d e ra d a m e n te serio s que g e neralm ente no ca u sa n defectos. S e caracterizan porque:
4.
a.
La p ro b a b ilid a d d e q u e o c a s io n e n fa lla s d u ra n te la v id a útil del producto no es despreciable.
b.
P u e de n ca u sa r problem as en las líneas de producción de naturaleza no tan seria co m o las dos clases anteriores
c.
G e ne ra lm ente cu an do existen defectos, éstos se deben a problem as de apariencia.
No conformidades incidentales
S o n aquellas que existen en el producto y que pueden ser fácilm ente vis tas, sin e m ba rgo, su influencia en el d e s e m p e ñ o del producto es casi nula. S e caracterizan porque:
CONTROL DE CALIDAD
402
a. b.
N o ca u sa n fallas de operación durante la vida útil del producto Lo s defectos, si se presentan, no tienen un peso de im portancia y en a lg u nos ca so s pu eden pasar desapercibidos.
Si se p re senta n estas no co n fo rm id a d e s h acen q u e la p ie za q u e las c o n tiene se c a ta lo g u e de a c u e rd o con la clasificación a la q u e p e rte n e c e . A s í se p ueden tener unidades disconform es críticas, m ayores, m enores e incidentales. Al igual q u e en los g ráficos de control para v a ria b le s, en los g ráficos de control para atributos es necesario clasificar las no conform idades con el fin de efectuar control sobre aquellos atributos que realm ente m erecen atención. Para esto se hace uso de los diagram as ya vistos, en especial el diagram a de Pareto. El Ejem p lo 5.2 presenta una clasificación de defectos.
EJEMPLO 5.2 C o n el fin de estructurar un control por atributos se tom ó de un proceso una m u estra de 8 0 u n id a d e s y se in sp e cc io n ó con el fin de localizar los defectos p re s e n ta d o s en el C u a d r o 5 .1 . E s te m is m o c u a d ro p re s e n ta la c a n tid a d e ncontra d a así co m o el peso asignado.
CUADRO 5.1. Información recolectada para el Diagrama de Pareto del Ejemplo 5.2
Defecto
No.
Criticidad
Huecos Rayaduras Porosidades Quebraduras Deformaciones Dimensiones Asperezas Suciedad Grietas
100 25 35 10 84 78 65 70 10
100 25 100 100 50 1 50 25 100
JORGE ACUÑA ACUÑA
403
S O L U C IO N Siguiendo el procedim iento de construcción del paretogram a ya explicado anteriorm ente se construye el C u a d ro 5.2. C o n ba s e en el o rd e n a m ie n to de la q u inta c o lu m n a del C u a d ro 5 .2 , se c o n s tru y e el C u a d r o 5 .3 , el c u a l s e rv irá p a ra g ra fic a r el d ia g ra m a q u e se p re se n ta en la F ig u ra 5.2. C o m o se p u e d e o b s e rv a r en el C u a d ro 5 .3 y en la F ig u ra 5.2 , los defectos sobre los cuales se basará prioritariamente el control p or atributos serán: hu ecos, deform aciones, porosidades y asperezas. U n a v e z c o n o c id o s los d efecto s m á s im po rtantes, el siguiente p a so es definir qué tipo de gráfico de control se debe usar. Si se detectara que la causa de a lguno de estos defectos es una variable, se puede establecer un gráfico de co n tro l p a ra v a ria b le s , y a q u e pe rm itirá e s tu d ia r m á s a d e c u a d a m e n te los problem as. Si eso no ocurre se im plem enta un gráfico de control para atributos e sco giend o, se g ú n se estudien defectos o defectuosos o unidades no confor m e s con especificaciones, entre los siguientes: a.
Gráfico de fracción defectuosa o disconform e (G ráfico p)
b.
Gráfico de nú m e ro de defectuosos o disconform es (G ráfico np)
c.
Gráfico de nú m e ro de defectos por m uestra (G ráfico c)
CUADRO 5.2. Cálculos intermedios para el Diagrama de Pareto del Ejemplo 5.2
Defectos Huecos Rayaduras Porosidades Quebraduras Deformaciones Dimensiones Asperezas Suciedad Grietas
No.
W
No. *w
%
100 25 35 10 84 78 65 70 10
10 25 100 100 50 1 50 25 100
1000 625 3500 1000 4200 78 3250 1750 1000
39,37 2,46 13,78 3,94 16,53 0,31 12,79 6,89 3,94
CONTROL DE CALIDAD
404
CUADRO 5.3. Cálculos finales para el Diagrama de Pareto
No.
Defecto
%
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Huecos Deformaciones Porosidades Asperezas Suciedad Grietas Quebraduras Rayaduras Dimensiones
39,37 16,53 13,78 12,79 6,89 3,94 3,94 2,46 0,31
% acum ulado 39,37 55,90 69,68 82,47 89,36 93,30 97,24 99,70 100,00
d.
G ráfico de núm ero de defectos por unidad (G rá fico u)
e.
G ráfico de núm ero de defectos por 100 unidade s (G ráfico 10Ou)
f.
G ráfico de dem éritos
JORGE ACUÑA ACUÑA
/
\ 405 i405
GRAFICO PARA FRACCION DEFECTUOSA O DISCONFORME (p) E ste gráfico tam bién con ocido con los n o m b re s de g rá ficcTjjy g ra fíco de p o rce n ta je d e fe c tu o so , es m u y útil en el estu d io del nivel de ca lid a d de un proceso, cu a n d o este se expresa en porcentaje defectuoso o fracción discon forme. Este gráfico es conveniente aplicarlo a aquellos procesos que no tengan porcentajes superiores al 1 0 % . S i esta cifra es s u p e ra d a se deb e optar por la aplicación de gráficos para defectos. U n a specto relevante en la aplicación de este gráfico es el hech o de que puntos qu e están bajo el límite inferior de control, no deben ser elim inados. Por el c o n tra rio , d e b e n e s tu d ia rs e a fo n d o las c a u s a s de o c u rre n c ia de e s a situación, con el fin de ejercer accion es que favore zcan la aplicación futura de esta técnica. D entro de las posibles ca u sa s que se pueden detectar se tienen, desde el punto de vista optimista, m ejoras considerables en el nivel del proceso o, desde el punto pesim ista, inspección que no se ejecuta correctam ente, por ra zo nes de falta de entrenam iento o negligencia. Si se detectan situaciones favora bles se de b e n estab lecer m e canism o s que permitan la aplicación efectiva de los m edios que generan una baja fracción d e fe ctu o sa . Si o cu rre n situ a cio n e s d e s fa v o ra b le s o in d e se a b le s, se de b e n ejercer de inm ediato las acciones del caso con el fin de elim inar totalmente las ca u sa s respectivas. E n la aplicación de este tipo de gráficos se deben utilizar m uestras grandes q u e p e rm ita n e v id e n c ia r las c o n d ic io n e s de un p ro c e s o . E l ta m a ñ o de la m uestra d e b e s e r ca lcu la d a u sa n d o la m e to d o lo g ía de m uestreo estadístico presentada en el capítulo 2. El tam año de m uestra puede ser constante o variable para cada grupo que se re c o le cte . S i es co n s ta n te , los lím ites de con trol de p ro c e s o son lín e a s rectas, tal y c o m o se vio en el ca p ítu lo anterior. S i es variable, los lím ites de control de proceso pueden ser líneas rectas o líneas quebradas. Esto depende de qué tan grande sea la variabilidad en el tam año J e la muestra. La decisión de usar un valor constante o variable depe nde de las características del proceso y de la facilidad y posibilidad de extraer m uestras de ta m a ñ o constante, form a que siem pre será la preferida, debido a la facilidad de cálculo.
CONTROL DE CALIDAD
406
Lo s dos ca so s qu e se p re sentan a continuación d e m uestran los riesgos q u e se g e n e ra n p o r u tiliza r lím ites de control de p ro c e s o rectos, c u a n d o lo requerido eran límites de control de pro ceso quebrados. Caso A O b s e r v a n d o la F ig u ra 5 .3 , se no ta , s e g ú n el lím ite recto, q u e el punto co rre s p o n d ie n te a la m u e stra k está fu e ra de control, sin e m b a rg o , el límite q u e b ra d o de ta m año de m uestra variable indica lo contrario.
FIGURA 5.3. Representación del Caso A.
Caso B O b s e r v a n d o la F ig u ra 5 .4 , se nota , s e g ú n el lím ite recto, q u e el punto c o rre sp o n d ie n te a la m u estra 1 está den tro de control, sin e m b a rg o , el límite q u e b ra d o de ta m a ño de m uestra variable indica lo contrario. Al igual que en los gráficos de control para variables, estos gráficos tam bién se aplican en las tres etapas a sa b e r construcción, análisis y seguim iento.
JORGE ACUÑA ACUÑA
FIGURA 5.4. Representación del Caso B.
C onstrucción d e l gráfico El procedim iento para la construcción de un gráfico p es el siguiente: 1.
Identificar el proceso o m áquina que cau sa problem as de calidad. Esto se hace con la ayuda de los diagram as de Ishikawa, de Pareto y causa-efecto.
2. 3.
A n a liza r en detalle los defectos que ocasionan piezas defectuosas. Determ inar el tam año de la m uestra (n ) segú n el procedim iento ya citado. E s c o n ve n ie n te q u e esta m u e stra no se a de un ta m a ñ o inferior a veinte unidades.
4.
D e term ina r el nú m e ro de m uestras (m ) por tom ar y el intervalo de m u e s treo. E s conveniente que este núm ero de m uestras sea superior a quince y el intervalo deb e ser determ inado de tal form a que se reflejen las condi ciones del proceso.
5.
R e colecta r las m -m u e stra s de tam año n. S e debe anotar aquí toda infor m a ción qu e se co n sid e re n ecesaria, p u e s se de b e record ar que en este tipo de gráfico es m ás difícil el estudio de causas asignables. Durante esta recolección no se deb en ejecutar cam bios ni ajustes en el proceso. Para
CONTROL DE CALIDAD
408
ordenar este proceso se puede hacer uso de un formato com o el m ostrado en el C u a d ro 5.4. 6.
R e a liz a r la in s p e c c ió n de las m -m u e s tr a s , s e p a r a n d o co n su d e b id a identificación a las p ie zas defectuosas o disconform es. S e debe llevar un registro de la cantidad de piezas defectuosas identificando el tipo y núm ero de defectos encontrados.
7.
C a lc u la r el p o rc e n ta je d e d e f e c tu o s o s o d is c o n fo rm e s u tiliz a n d o la siguiente expresión: To ta l de defectuosos en la m uestra np* 100 p ( % ) = ------------------------------------------------------------------------------------= ------------------tam a ño de la m uestra n
8.
C a lc u la r el porcentaje prom edio de defectuosos o disconform es usand o la siguiente expresión: _ p
To talida d de unidades defectuosas en las m -m u e stra s ( % ) = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
nú m ero total de unidades In p * 1 0 0
p(%) = ---------------m*n S e p u e d e calcu lar tam bién co m o el p ro m e dio de los porcentajes ca lcu la dos en el punto 7. Sin em bargo, existe el problem a de que por redondeo se pierden los datos originales. C u a n d o el tam año de la m uestra es variable el término m*n se convierte en In . 9.
C a lc u la r los lím ite s e s p e c ific a d o s y los lím ites de co n tro l de p ro c e s o , b a s á n d o se en la distribución binom ial. a.
Lím ite s especificados
E s to s lím ite s p u e d e n e s ta r b a s a d o s en un v a lo r m á x im o , c u a n d o se establece qu e el porcentaje defectuoso no deb e superar una cantidad fijada o en un v a lo r prom e dio cu a n d o se especifique el requerim iento en esa form a.
V a lor m áxim o (p = fracción m áxim a especificada) L S E p= p V a lor pro m e dio (p = fracción prom edio especificada) L S E p= p + 3 \J[p(1-p)]/n
L C E p= p L IE p= p - 3 v[p(1 -p)]/n b.
Lím ites de control del pro ceso
L S C p= p + 3 \J[p(1-p)]/n
L C C p= p
L IC p= P ■ 3 \j [p(1 -p)]/n El límite superior se red o ndea hacia arriba y el límite inferior hacia abajo, con dos decim ales. C u a n d o el límite inferior de control del proceso es negativo, tom a el valor de c e ro . E n c a s o de q u e el ta m a ñ o de la m u e stra se a va ria b le , se p u e d e n calcular los límites de control del pro ceso de dos form as: U sa n d o un tam año de m uestra prom edio calculado com o: m X ni
¡=t n = ----------------------m
y sustituyéndola en los anteriores límites en lugar de n.
CONTROL DE CALIDAD
•
C alcula ndo límites de control individuales m ediante la aplicación de las anteriores fórm ulas en form a se p a ra d a para cad a m uestra tom ada.
Constru ir el gráfico. El gráfico p presenta en el eje
x el núm ero
de m uestra,
la hora de recolección, nom bre del recolector, la m áqu ina, etc., y en el eje
y el porcentaje de
producto disconform e o fracción defectuosa usando una
escala ade cu a da que permita graficar hasta el valor m ás alto entre el límite s u p e rio r de control de p ro c e s o y el v a lo r de m a y o r m a g n itu d e ntre los porcentajes defectuosos o disconform es. U n a v e z que se tienen los ejes se trazan los límites de control del proceso y c a d a uno de los p u nto s c o rre sp o n d ie n te s a ca d a m u estra , u niéndo los con línea recta continua tal y co m o se m uestra en la Figura 5.5. Los límites e specificado s se p u e d e n s u p e rp o n e r en plástico so b re el gráfico. N o es con venie nte graficarlos.
álisis d e l gráfico Al analizar un gráfico p, hay que tener en cuenta dos aspectos principales: a.
La situación del proceso con respecto a sí m ism o
FIGURA 5.5. Representación de un gráfico p
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b.
411
El control del proceso con respecto a especificaciones
Si se analiza el prim er aspecto, se pueden encontrar tres situaciones: •
M uestras sob re el límite superio r de control
•
M uestras bajo el límite inferior de control
•
Te n d e n c ia s
Si existen m u e s tra s sob re el lím ite su perio r de control es n e ce sa rio eli m inarlas y recalcular una nueva fracción prom edio con sus respectivos límites de control. El va lo r de la fracción defectuosa m odificada se calcula así: In p -A Pm= ----------------------(m -s )-n don de :
pm
= fracción defectuosa pro m e dio modificada
X n p = total de defectuosos originales A
= total de defectuosos sobre del L S C
m
= n ú m e ro inicial de m uestras
s
= nú m e ro de m uestras que superan el L S C p
n
= ta m año de la m uestra
P
L o s lím ite s d e c o n tro l m o d ific a d o s se re c a lc u la n u s a n d o la fra c c ió n defectuosa m odificada. C o n estos n u e vo s límites se deb e revisar de n u e vo si existen puntos fuera. Si los hay, se recalculan de n u e v o p y los lím ites. Si se elimina m ás del 4 0 % de las m uestras, el estudio pierde validez estadística y por lo tanto no es conveniente continuar. S e deben introducir mejoras que reduzcan el porcentaje defectuoso y repetir el análisis con nu e va información. Las m uestras que se encuentren bajo el L IC p, no deben eliminarse, pero sí investigar las ra zo n e s de tal situación, pu es tal y co m o se dijo anteriorm ente, p u e de que sean ca so s especiales dignos de tratar con cuidado.
CONTROL DE CALIDAD
412
Si h a y te n d e n c ia s de p e n d ie n te p o sitiva , se d e b e d a r un s e g u im ie n to estricto al proceso, con el fin de tom ar acciones preventlvas.que eviten qu e la fracción defectuosa, de un m om ento a otro, supere el L S C p. Si la tendencia e s negativa, implica un indicio de m ejora en el proceso. De todas form as se deb e n investigar las ca u sa s para estar seg u ro s de que son de c arácte r beneficioso y no perjudicial. U n a v e z que se ha investigado el proceso, se debe analizar la situación del m is m o con re s p e cto a la e sp e c ifica ció n . S e d e b e te n e r p re se n te a q u í, si la especificación es un m áxim o o un prom edio. Si no se cum ple con lo especifica do, se deben introducir m ejoras que dism inuyan la fracción defectuosa o pactar u na n u e v a fracción con el cliente si es posible. Lo s e g u n d o es la única opción que qu e da cuando se tiene certeza de que el proceso no tiene posibilidades de m ejora.
S eg uim ien to d e l g rá fico U n a v e z q u e s e tie n e c e r t e z a de q u e el p r o c e s o h a s id o a n a liz a d o deten id am e nte, se p u ede n usar los últim os límites de control de pro ceso para con trola r las características de calidad hasta que a lca n ce un nivel de calidad satisfactorio. E s im po rtante en esta e ta p a fijar m e ta s, cu m p lirla s y tra za rs e n u e v a s. Esto con el fin de bu scar la excelencia en el proceso. L a a p lica c ió n d e g rá fico s de co n tro l p se p u e d e v is u a liz a r m e jo r en el F lu jo g ra m a que se presenta en el A p é n d ice II.
EJEMPLO 5.3 U n a lín e a de p ro d u c c ió n de p a n ta lo n e s tie n e g ra n d e s p ro b le m a s de c a lid a d , p u e s lo s lo te s e s tá n s ie n d o p r o d u c id o s c o n un p r o m e d io de defectu osos su p erio r al 3 % especificado co m o pro m e dio . Esto ha significado g ra n d e s v o lú m e n e s de re cha zo en los últimos m eses. C o n el fin de investigar esta situación se ha recolectado la información que p re senta el C u a d ro 5.4.
Estudiar este problema usando un gráfico p.
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41 3
CUADRO 5.4. Información recolectada para el Ejemplo 5.3
H O JA D E D A T O S — G R A F IC O S D E C O N T R O L P Artículo: Pantalones Inspector: V. Sanabria Línea: 12 Fecha: 12-09-85 Turno: 1 Número de muestra
Código: PA-678 Especificaciones: 3 % promedio Tam año de muestra: n=50 Hora de inicio: 8:00 am Hoja #1 de 1 1
Hora # de defectuosos Fracc. de defectuosos
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8:00 8:10 8:35 8:51 9:00 9:16 9:29 9:41 9:59 10:07 4 3 8 2 5 1 2 10 4 3 0,06 0,16 0,08 0,04 0,10 0,02 0,04 0,20 0,06 0,08
Número de muestra
11
Hora #■de defectuosos Fracc. defectuosa
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10:18 10:25 10:31 10:42 10:55 11:03 11:15 11:25 11:35 11:50 2 4 1 4 3 5 3 2 7 2 0,06 0,04 0,10 0,08 0,06 0,04 0,14 0,04 0,02 0.08
SOLUCION I.
C onstrucción
L o s P a s o s 1, 2, 3 y 4 fu e ro n r e a liz a d o s d e p re v io a la to m a d e la información. Los P a so s 5 ,6 y 7 se encuentran en el C u a d ro 5.4. P a so 8. C á lc u lo del pro m e dio de defectuosos
_
Zn p
75
p = ------------- =------------------ = 0,0 7 5 m-n
1000
CONTROL DE CALIDAD
414
P a so 9. Lím ites de control a.
Lím ites especificados p
= 0 ,0 3
n=50
L S E p = 0 ,0 3 + 3 LCE
P
\j[0,03*(1 -0 ,03)]/50 =
0,11
= 0 ,0 3 ’
L IE p = 0 ,0 3 - 3 \| [0,03*(1 -0 ,03)]/50 = -0 ,0 4 2 D a d o que el L IE p resultó negativo a su m e el va lo r de cero. S e a : L IE p= 0
b.
Lím ites de control de proceso L S C p = 0 ,0 7 5 + 3 \|[0,075*(1 -0 ,075)]/50 = 0 , 1 9 L C C = 0 ,0 7 5 P
’
L IC p = 0 ,0 7 5 - 3 \f[0,075*(1 -0 ,075)]/50 = -0 ,0 3 7 El límite inferior se asu m e cero. S e a : L IC = 0 P
P a so 10. C o n stru cció n del gráfico L a F ig u ra 5 .6 m uestra el gráfico correspondiente a este ejem plo.
II.
A n á lisis d e l grá fico Al o b s e rva r la F ig u ra 5.6, se nota un punto fuera, el co rresp ondiente a la
m u e s tra N o . 8. P o r c o n s ig u ie n te s e e lim in a y s e p ro c e d e a re c a lc u la r el p ro m e dio de defectuosos y los lím ites m odificados. 7 5 -1 0
65
65
p m= -----------------------= --------------- = ---------------= 0,068 1
(20-1 )*50
19*50
950
JORGE ACUÑA ACUÑA
415
FIGURA 5.6. Gráfico de control p para el Ejemplo 5.3.
LSC
p>
LCC.
0 ,0 6 8 + 3
\j [0,068*(1 -0,068)]/50 = 0 , 1 8
0 ,0 6 8
L IC pm
= 0 ,0 6 8 - 3 \[ [0,068*(1 -0 ,068)]/50 = -0 ,0 4
L IC
= 0
Al obs e rva r de nuevo la Figu ra 5.6 con los n u evo s límites m odificados, se nota que no se sale ningún punto. E n cuanto a tendencias no hay nada im por tante qu e m encionar. H asta aquí, el pro ceso de fabricación de pantalones es ca p a z de brindar una calidad prom edio de 6 ,8 % , lo cual está lejos de la especificación 3 % . S e de be Investigar la causa de tanto rechazo, averiguando cuáles características de calidad son las m á s problem áticas con el fin de controlarlas en una form a m ás estricta. E n general, se puede concluir que en realidad el proceso está produciendo con un bajo nivel de calidad.
CONTROL DE CALIDAD
416
III.
S eguim iento N o e s p o s ib le u s a r e ste g rá fico de con trol p a ra s e g u im ie n to p u e s no
c u m p le con la e s p e c ific a c ió n . S e d e b e repetir el e stu d io c u a n d o se te n g a ce rte za de que la calidad ha m ejorado.
E J E M P L O 5.4 E n el E je m p lo 5 .3 , se d e s e a in v e s tig a r la s itu a c ió n del p ro c e s o pero u tiliza n d o m u e s tra s de ta m a ñ o va ria b le . La info rm a ció n se p re s e n ta en el C u a d ro 5.5. Efe ctúe el análisis a través de un gráfico p.
CUADRO 5.5. Información del Ejemplo 5.4
HOJA DE DATOS — GRAFICOS DE CONTROL p Artículo:
Pantalones
Inspector:
V. Solano
Línea: 12 Fecha: 12-09-85 N ú m e ro d e m u e s tra
PA -6 78
Código: Especificación:
3% promedio
Tamaño de muestra: Hora de inicio: 7:00 am
Turno: 1
Variable Hoja # 1 de 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7:00
7:30
8:00
8:30
9:00
9:30
10:00
10:30
11:00
11:30
Tamaño dem uestra
50
58
40
80
68
65
60
44
55
58
# de defectuosos
4
3
5
10
8
4
5
2
1
3
0,061
0,083
Hora
Fracc. defectuosas
Núm ero de muestra
0,080 0,052 0,125
11
12
0,125 0,118
0.045 0,018 0,052
13
14
15
16
17
18
19
20
1:30
2:00
2:30
3:00
3:30
4:00
4:30
5:00
Tamaño dem uestra
41
54
60
50
55
65
66
50
41
66
# de defectuosos
2
8
4
5
3
2
4
3
5
Hora
Fracc. defectuosa
12:00 1:00
0,049 0.148 0,067
0,100 0,054
0,030 0,061
0,060 0,122
1 0.015
JORGE ACUNA ACUÑA
417
SOLUCION I.
C onstrucción d e l grá fico
L o s P a s o s 1, 2 , 3 y 4 f u e ro n r e a liz a d o s d e p r e v io a la to m a d e la inform ación. Lo s P a so s 5 ,6 y 7 se encuentran en el C u a d ro 5.5. P a so 8. C á lc u lo de la fracción prom edio de defectuosos Xnp p= Xn
82 = ------------1126
= 0 ,0 7 3
P a so 9. C á lc u lo de límites a.
Lím ites especificados S o n los m ism o s del E jem plo 5.3.
b.
Lím ites de control del proceso.
S e presentan aquí los dos casos, para efectos de m ostrar su aplicación. La decisión de cuál usar se da en función del grado de variabilidad del tam año de la m uestra , lo qu e pu e d e p ro v o c a r dificultades s e g ú n lo pre sentan los casos citados al inicio del capítulo. C A S O A . B a sa d o en el pro m e dio del tam año de la m uestra 50 + 58 + 4 0 + ..................+66 n =------------------------------------------------------------ = 56,3
20 L S C p = 0 ,0 7 3 + 3
J [0,073*(1 -0 ,073)]/56,3=
0,18
L C C = 0 ,0 7 3 P
L lC p = 0 , 0 7 3 - 3 \f[0,073*(1-0,073)]/56,3 = -0 ,0 3 1 L IC
P
=0
CONTROL DE CALIDAD
418
C A S O B . B a sa d o en lím ites individuales S e d e b e u s a r c u a n d o el ta m a ñ o de la m u e s tra s e a m u y v a ria b le . L o s límites se presentan en el C u a d ro 5.6.
CUADRO 5.6. Cálculos para límites individuales
#
n
LS C p
0 ,7 8 /V n
Vn
n
(*) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
(*)
0,184 0,176 0,197 0,161 0,168 0,170 0,174 0,191 0,179 0,176 0,195 0,180 0,174 0,184 0,179 0,170 0,169 0,184 0,195 0,169
0,1103 0,1024 0,1233 0,0872 0,0946 0,0967 0,1007 0,1176 0,1052 0,1024 0,1218 0,1061 0,1006 0,1103 0,1052 0,0967 0,0960 0,1103 0,1218 0,0960
7,071 7,616 6,324 8,944 8,246 8,062 7,746 6,633 7,416 7,616 6,403 7,348 7,746 7,071 7,416 8,062 8,124 7,071 6,403 8,124
50 58 40 80 68 65 60 44 55 58 41 54 60 50 55 65 66 50 41 66
— _ 3 '[ p*(1-p) 3 ,0,073(1-0,073) 0,78 3\J[p*(1-p)]/n = -----------------------= -------------------------------------------= ------------
fn
>ln
íñ
JORGE ACUÑA ACUÑA
418
0 ,78 (**) L S C p= p + ------------------ = 0,0 7 3
0,78 + ---------------
fñ
IrT
Los límites inferiores de control tienen una m agnitud negativa por lo que se tom an co m o cero. P a so 10. C onstru cción del gráfico La Figura 5 .7 m uestra el gráfico p de este ejemplo, en él se dibujan los dos tipos de lím ites, para m o stra r qu e p a ra esta m u e stra e sp e c ífica los lím ites individuales no son necesarios.
II.
A ná lisis de l gráfico
Al observar la Figura 5.7, se puede ve r que ningún punto supera el L S C , por lo qu e se concluye que el proceso está bajo control. Existe una tendencia ne g a tiva, no m u y pronunciada, que refleja una disminución del porcentaje defectuoso. E n cuanto a la especificación, este proceso no la cu m ple pues g enera un prom edio del 7 ,3 % , cuando lo requerido es del 3 % . Por lo tanto, se deben inves tigar las ca u sa s de ello.
III.
Seguim iento
N o es co n ve n ie n te tra b a ja r con este gráfico en la etapa de segu im iento hasta tanto no se cu m p la con especificación o se llegue a un acu e rd o con el cliente de ace p tar lo qu e se está pro d u cie n d o , con el co m p ro m iso de q u e se hará todo lo posible para m ejorar. Si se desea continuar con la etapa de seguim iento es posible que se den p u n to s c e rc a del L S C p, p o r lo q u e los lím ite s in d ivid u a le s p u e d e n s e r m á s efectivos que los límites b asado s en el tam año de m uestra prom edio.
GRAFICO PARA NUMERO DE DEFECTUOSOS (np) Este gráfico tiene las m ism as características del gráfico p, con la diferencia de q u e e n lu g a r del v a lo r p en el eje y , se u sa el v a lo r d e np (n ú m e r o de
0,18
FIGURA 5.7. Gráfico de controlp para el Ejemplo 5.4
420 CONTROL DE CALIDAD
JORGE ACUÑA ACUÑA
421
defectuosos o disco n fo rm e s). La form a del gráfico es la m ism a, pero la infor m ación que se obtiene es diferente, pues el gráfico p origina conclusiones con base en valores relativos, m ientras que el gráfico np las origina con base en v a lores absolutos. D e p e n d e de lo que se desee se selecciona uno u otro gráfico. El gráfico np so la m e n te se usa para ta m a ñ o de m u estra con stante. Los paso s en la construcción, análisis y seguim iento son los m ism os del gráfico p, con algu nas variantes en los cálculos. C o n s t r u c c ió n de l g rá fic o
El procedim iento para la construcción de un gráfico np es el siguiente: 1.
Identificar el proceso o m áquina qu e causa problem as de calidad. Esto se hace con la ayuda de los diagram as de Ishikawa, de Pareto y causa-efecto.
2.
A n a liz a r e n fo rm a d e ta lla d a , los d e fe c to s q u e o c a s io n a n p ie z a s d e fectuosas.
3.
D eterm inar el tam año de la m uestra (n) según el procedim iento ya citado. E s co n v e n ie n te qu e esta m u e stra no sea de un ta m a ñ o inferior a veinte unidades.
4.
D eterm inar el nú m ero de m uestras (m ) a tom ar y el intervalo de m uestreo. E s co n ve nie nte que este n ú m e ro de m uestras sea superior a quince y el intervalo debe ser determ inado de tal forma que se reflejen las condiciones del proceso.
5.
R e cole ctar las m -m u e stra s de ta m a ñ o n. S e d e b e anotar aquí toda infor m ación qu e se co n sid e re ne ce sa ria , pu es se de b e record ar qu e en este tipo de gráfico, al igual qu e en el gráfico p, es m ás difícil el estudio de ca u sas asignables. Durante esta recolección no se deben ejecutar cam bios ni ajustes en el proceso. Para tener una recolección m ás ordenada se puede usar un form ato co m o el que m uestra el C u a d ro 5.7.
6.
R ealizar la inspección de las m -m uestras, separando con su debida identi ficación a las piezas defectuosas o disconform es. S e debe llevar un regis tro de la cantidad de piezas defectuosas identificando el tipo y núm ero de defectos encontrados.
CONTROL DE CALIDAD
422
7.
C a lc u la r el n ú m e ro p ro m e d io de defectuosos o d isco n fo rm e s u sa n d o la siguiente expresión: To ta lid a d de unidades defectuosas en las m -m u e stra s np =■ nú m e ro total de m uestras extraídas In p nP =
•
100
m S e p u e d e ca lcu la r tam bién m ultiplicando el ta m a ñ o de la m u estra por la fracción defectuosa prom e dio. 8.
C a lc u la r los lím ite s e s p e c ific a d o s y los lím ites de co n tro l de p ro c e s o , ba sá n d o se en la distribución binom ial. a.
Lím ites especificados
E stos límites p u ede n estar b asados en un va lo r m áxim o, cu a n d o se esta blece que el n ú m e ro de defectuosos no debe su p e ra r una cantidad fijada o en un valor pro m e dio cu a n d o se especifique el requerim iento en esa form a.
V a lo r m á xim o (p = fracción m áxim a especificada) A
L S E p = np V a lo r pro m e dio (p = fracción prom edio especificada)
A
L C E np = np “ L IE b.
p
Lím ites de control del proceso
JORGE ACUÑA ACUÑA
423
L C C p = np L|C„p = n p - 3 ' l n p (1 -p ) El límite superior se red o ndea hacia arriba y ei límite inferior hacia abajo, con dos decim ales. C u a n d o el límite inferior de control del proceso es negativo, tom a el valor de cero. 9.
C onstru ir el gráfico. El gráfico np presenta en el eje x el núm ero de m u e s tra, la hora de recolección, nom bre del recolector, la m áquina, etc., y en el eje
y
el núm e ro de defectuosos. S e d e b e usar una escala ade cu a d a que
permita graficar hasta el valor m ás alto entre el límite superior de control de p roceso y el valor de m ás m agnitud entre los núm ero s de defectuosos. U n a v e z que se tienen los ejes se trazan los límites de control del proceso y c a d a uno de los pu nto s co rresp o ndientes a ca d a m uestra, uniéndolos con línea recta continua tal y com o se m uestra en la Figura 5.8. Los límites especificado s se p u e d e n su p e rp o n e r en plástico sob re el gráfico. N o es convenie nte graficarlos.
FIGURA 5.8. Representación de un gráfico np
CONTROL DE CALIDAD
424
A n á lisis de l grá fico Al igual que el gráfico p, hay que tener en cuenta dos aspectos principales: a.
La situación del pro ceso con respecto a sí m ism o
b.
El control del proceso con respecto a especificaciones
Si se analiza el prim er aspecto, se pueden encontrar tres situaciones: •
M uestras sob re el límite superior de control
•
M uestras bajo el límite inferior de control
•
T e n d e n c ia
S i e x is te n m u e s tra s s o b re el lím ite s u p e rio r de co n tro l es n e c e s a rio elim inarlas y recalcular el nuevo prom edio de defectuosos o disconform es con sus respectivos límites de control. El valor del núm ero prom edio de defectuosos m odificado se calcula así: _
In p -F
nPm= ------------------
(m-l) donde: npm = nú m e ro prom edio de defectuosos m odificado X n p = total de defectuosos originales F = total de defectuosos fuera del L S C np m = nú m e ro inicial de m uestras I = nú m e ro de m uestras que superan el L S C np n = ta m a ñ o de la m uestra Lo s límites de control m odificados se recalculan usand o el nuevo valor del prom edio de defectuosos. C o n estos límites se debe revisar de nuevo si existen puntos fuera. Si los hay, se recalcula de nuevo el prom edio de defectuosos y los lím ites. S i se elim ina m á s del 4 0 % de las m uestras, el estudio pierde va lid e z esta d ística y p or lo tanto no es co n v e n ie n te co n tin u a r. S e d e b e n introd u cir
JORGE ACUÑA ACUÑA
425
m ejoras que reduzcan el núm ero de defectuosos y repetir el análisis con nueva información. La s m uestras que se encuentren bajo el L IC np no deben eliminarse, pero se deben investigar las razo nes de tal situación, pu es tal y co m o se dijo anterior m ente, puede qu e sean ca so s especiales dignos de tratar con cuidado. Si h a y te n d e n c ia s de p e n d ie n te p o sitiva , se d e b e d a r un s e g u im ie n to estricto al proceso, con el fin de que se puedan tom ar acciones preventivas que eviten que el n ú m ero de defectuosos, de un m om ento a otro, su pere el L S C np, Si la tendencia es negativa, implica un indicio de m ejora en el proceso. De todas form as se deb en investigar las causa s para estar seguros de que son de carácter beneficioso y no perjudicial. U n a v e z qu e se h a investigado el p ro ce so , se d e b e an a liza r su situación con respecto a la especificación. H a y qu e tener pre sente aq u í, si la especifi cación es un m áxim o o un pro m e dio . Si no se cu m p le con lo especificado, se deb e n introducir m ejoras qu e dism in uyan el n ú m ero de defectuosos o pactar una nueva especificación con el cliente si es posible. Lo segundo es la única op ción q u e q u e d a c u a n d o se tie n e c e rte z a de q u e el p ro c e s o no tiene p o s i bilidades de m ejora.
S eguim iento d e l gráfico
S e aplica lo ya anotado para el gráfico de control p. C o n este g rá fico se p u e d e a p lica r el flu jo g ra m a q u e se p re se n ta en el A p én dice II, siem pre y cu a n d o se cam bien los térm inos que hablan de porcen taje defectuoso por núm ero de defectuosos.
E JE M P L O 5.5
U n a imprenta desea estudiar su proceso mediante un gráfico de control np. Para ello, se tom an 20 m uestras de 200 lám inas im presas cada una, las cuales se m uestran en el C u a d ro 5.7. H a c e r el análisis correspondiente.
CONTROL DE CALIDAD
426
CUADRO 5.7. Información recolectada para el Ejemplo 5.5
HOJA DE DATOS — GRAFICOS DE CONTROL np Código: Especificación: Tamaño de muestra: Hora de Inicio: 2:00 pm
Artículo: Impresos Inspector: A. Siles Linea: 1 2-67 Fecha: 12-03-85 T urno: 2 1
Número de muestra
2
2:00 2:30 7 6
Hora # de defectuosos
11
Número de muestra
12
7:00 7:30 7 9
Hora # de defectuosos
IP— 458 2% Máximo n=200 Hoja # 1de 1
3
4
5
6
7
8
9
10
3:00 4
3:30 2
4:00 10
4:30 8
5:00 6
5:30 4
6:00 5
6:30 4
13
14
15
16
17
18
19
20
8:00 2
8:30 1
9:00 4
9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 2 4 3 12 15
SOLUCION I.
C onstrucción d e l grá fico
L o s P a s o s 1, 2 , 3 y 4 f u e ro n r e a liz a d o s d e p r e v io a la to m a d e la inform ación. Los P a so s 5 y 6 se encuentran en el C u a d ro 5.5. P a so 7. C á lculo del pro m e dio de defectuosos In p
115
np = --------------= ----------------= 5,75
m
20
P a so 8. Lím ites de control a.
Lím ite s especificados
i
b.
Lím ites de control de proceso 115 p = ------------------- = 0 ,02875
200*20 L S C np = 5,75 + 3 Í5 ,7 5 * (1 -0 ,0 2 8 7 5 )%= 13 L C C np = 5 ,7 5 L IC np = 5 , 7 5 - 3 '1 5 ,75.(1-0,0287 5) = - 1 , 3 4
El límite inferior se su po n e que es cero. S ea: L IC np = 0 P a so 9. C onstrucción del gráfico La Figura 5.9 m uestra el gráfico correspondiente a este ejemplo.
II.
A ná lisis d e l grá fico A l o b s e rv a r la F ig u ra 5 .9 , se nota q u e la m u e stra N o . 17 sale so b re el
L S C np, lo que indica que en el m om ento de tom a de esta m uestra el núm ero de defectuosos se increm entó. A nte ésto, se elimina esta m uestra y se recalculan los límites de control de proceso. In p -1 5 1 1 5 -1 5 n p m= ----------------------= ------------------------------ = 5,26 m -1 19 pm 1
= 1 / 3 8 0 0 = 0 ,0263
L S C np = 5,2 6 + 3 ^ 5 ,2 6 .(1 -0 ,0 2 6 3 ) = 12,0 L C C n p = 5 ,2 6
CONTROL DE CALIDAD
428
Fi GURA 5.9. Gráfico de control np para el Ejemplo 5.5
L IC np = 5 ,2 6 - 3 i 5 ,2 6 .(1 -0 ,0 2 6 3 ) = -1 ,9 4 L IC n p = 0 Al o b s e rv a r de nu e vo la F ig u ra 5.9, pero con los n u e vo s lím ites m odifica d o s , se nota q u e la m uestra N o . 16 está fuera del lím ite su p e rio r de control. P uesto que aún no se han elim inado m ás del 3 0 % de las m uestras se procede a recalcular el pro m e dio y los lím ites de control. 1 0 0 -1 5 np r m= —
= 4 ,89 1 9 -1
pm 1
= 88/3800 = 0,0 2 44
L S C np = 4 ,8 9 + 3 'J4 ,8 9 * (1 -0 ,0 2 4 4 ) = 12,0 L C C np = 4 ,8 9
JORGE ACUÑA ACUÑA
L IC
429
= 4 ,8 9 -3 '1 4 ,8 9 .(1 -0 ,0 2 4 4 ) =
Al observar la Figura 5.9 se nota que se sale ninguna otra m uestra. C o n respecto a especificacione s, no h a y cum plim iento, pues el m áxim o requerido es de 4 unidades disconform es, m ientras que el pro ceso g e nera 12 u nidade s defectuosas co m o m áxim o. D e b e n buscarse soluciones inm ediatas pues la situación es crítica. C o n respecto a tendencias, el gráfico m uestra bastante irregularidad, con altibajos que m erecen ser estudiados.
Seguim iento El seguim iento con este gráfico no es conveniente, pues no se cum ple con la especificación, y el pro ceso se encuentra m uy lejos de cum plirla. M é to d o g rá fic o C u a n d o no interese analizar tendencias sino m ás bien sa b e r si el proceso está fuera de control con base en un análisis rápido, se p u e d e utilizar la Figura 5.10. El procedim iento por seguir es el siguiente: 1.
S e calcula el valor de np, con base en la fórm ula ya dad a.
2.
S e localiza en el eje x el va lo r del nú m e ro de d efectu osos y se tra za una línea recta hacia arriba hasta intersectar la línea de trazo grueso.
3.
S e traza una línea horizontal punteada desde la intersección anterior y el eje y. Este valor es el L S C np.
4.
S e busca en el cuadro de valores de np, la o las m uestras que sobrepasan el valor del L S C np. Si no hubiese ningún punto fuera de ese límite se dice que el proceso está bajo control estadístico.
5.
Si existen puntos fuera se ejecuta el análisis si corresponde.
CONTROL DE CALIDAD
430
Valores de np
FIGURA 5.10. Forma gráfica de aplicar un gráfico de control np.
E J E M P L O 5.6
Resolver el Ejemplo 5.5, utilizando el método gráfico.
1.
El valor de np es 5,75 según el E jem plo 5.5.
2.
S e localiza el valor de 5,75 en el eje x.
3.
Al utilizar la Figura 5.1 0 se obtiene que el L S C np es Igual a 13 defectuosos.
4.
Al o b s e rv a r el C u a d ro 5 .7 se nota qu e la m uestra N o. 17 tiene 15 defec tuosos, por lo que es necesario h acer el análisis. 1 1 5 -1 5 npm= ------------------------= 5,26
20-1 Al localizar el nuevo valor de 5,26 en el eje x de la Figura 5.1 0 se nota que el L S C np m odificado es 12 defectuosos. Al o bservar de nuevo el C u a d ro 5.7 se nota q u e la m u e stra N o . 16 se e n c u e n tra fuera de ese lím ite. S e p ro ce d e a recalcular el valor de np. npm= —
1 1 5 -1 5 -1 2 -------------------18
=
4,89
Al re visa r de n u e v o la F ig u ra 5 .1 0 , ah o ra con n p m= 4 ,8 9 se tiene qu e el L S C npsigue siendo 12 defectuosos. Por lo tanto, ya no hay m ás m uestras fuera del límite superior de control. E n c o n clu s ió n , se tiene un p ro c e s o qu e brind a un lím ite su p e rio r de 12 defectuosos, el cual es m ayor que el valor especificado de 4 defectuosos. Por lo tanto h a y que ejercer accion es para dism inuir esa cantidad de defectuosos.
GRAFICO PARA DEFECTOS POR MUESTRA (c) E ste gráfico, llam ado tam bién gráfico c, sirve para el control de defectos cu an do éstos se ch eq u e a n por m uestra extraída. E n estos gráficos, al igual que en los gráficos para defectuosos, los puntos que están bajo el límite inferior de control no se eliminan, sino que se investigar sus ca u sa s, pues pueden significar baja cantidad de defectos. La importancia
CONTROL DE CALIDAD
432
de estos gráficos es qu e perm iten a n a liza r a fondo aquellos defectos q u e se p re senta n con m á s frecu e ncia , c u y a red u cció n y posible elim inación, p u e d e permitir la elim inación o reducción de la cantidad de defectos. C o m o se ha dicho antes, la clave de éxito de este tipo de control está en la eficiencia y eficacia de la insp ección . A n te ello, es necesario n o rm a liza r m é todos y criterios en las decisiones de aceptación y rechazo de unidades. C o m o u n a a y u d a c la v e a e sto se tie nen los m a n u a le s de in sp e cc ió n b a s a d o s en m u e s tra s p a tró n q u e e s ta b le z c a n el g ra d o de criticid a d d e c a d a d e fe c to encontrad o en la línea de producción en estudio. E s im portante reca lca r qu e por ser atributos los qu e se in speccio n an, se deb e n tener a d e c u a d o s m e dios de recolección de datos que perm itan la a n o tación de ca ra cte rística s e sp e cia le s o b s e rv a d a s en el m o m e n to de to m a de m uestras. E stos gráficos tam bién se aplican en tres etapas: construcción, análisis y seguim iento.
C onstrucción d e l grá fico Los p aso s en la construcción del gráfico c son los siguientes: 1.
2.
L o c a liz a r la m á q u in a o lín e a de p ro d u c c ió n con p ro b le m a s de c a lid a d originados por la cantidad de defectos producidos. C la s ific a r los d e fe c to s , de tal m a n e ra q u e el e stu d io se re a lic e so b re defectos críticos.
3.
S e leccionar el o los defectos sobre los cuales se llevará el gráfico de c o n trol c.
4.
5.
C a lc u la r el ta m a ñ o de la m u e stra n. E s ta m u e stra d e b e s e r de ta m a ñ o constante. Determ inar el núm ero de m uestras m que se van a extraer. E s re com enda ble que sea superior a veinte.
6.
R ecolectar las m uestra s a un intervalo de m uestreo qu e garantice aleato riedad y representatividad. El C u a d ro 5.8 m uestra un ejem plo de form ato que pu e de se r usa do para orga n iza r el proceso de recolección.
JORGE ACUNA ACUNA
433
m 8.
C a lc u la r los lím ites de control del gráfico b a s á n d o s e en la distribución de Poisson. a.
Lím ites especificados
•
Si se da el núm ero de defectos en promedio, los límites se calculan así: L S E C = c + 3 j*e L C E C= c L IE C = c - 3
•
’
c
Si se da el nú m ero de defectos com o m áxim o
L S E C= c donde: A
c = nú m e ro de defectos por m uestra especificada b.
Lím ites de control de proceso L S C c = c + 3 \|c~ LCC c = c L IC C = c - 3 'Je *
434
9.
CONTROL DE CALIDAD
Construir el gráfico, colocando en el eje x el núm ero de la m uestra y/o fecha d e e x tra cció n y en el eje y el n ú m e ro de de fe c to s e n c o n tra d o s en c a d a muestra. La escala debe ser escogida con los cuidados ya explicados en los ante rio res gráficos. La F ig u ra 5.11 m u e stra un e s q u e m a de este tipo de gráfico.
FIGURA 5.11. Representación de un gráfico c.
A n á lisis de l gráfico
Si e x iste n m u e s tra s fu e ra de lím ite s d e b e p ro c e d e rs e a re c a lc u la r el p ro m e d io y los lím ites de control, en especial el límite su p e rio r de control. El prom edio m odificado se calcula así: Zc-t c m= --------------------------m -k donde: cm= prom edio de defectos por m uestra m odificado t
= total de defectos de las m uestras fuera del L S C c
JORGE ACUNA ACUNA
435
m = núm ero total de m uestras en el estudio k = núm ero de m uestras fuera del L S C c E n cuanto a tendencias, se deben obsen/ar y cuidar aquellas que tiendan a hacer crecer el núm ero de defectos a niveles que afecten el desem peño de la línea de producción o m áquina. C o n respecto a la com paración con especificaciones, se sigue el procedi m iento usado en el gráfico p. S e deb e po n e r especial cuidado para saber especificación ha sido establecida co m o un m áxim o o co m o un prom edi .
Seguim iento d e l grá fico U n a v e z qu e se tiene el p ro ce so o línea bajo control y se cu m p le con la especificación se procede a construir un gráfico que con tenga los últirhos lími tes de control. C o n este gráfico se llevará un control a futuro, de tal m anera que se puedan ejercer acciones correctivas y en especial preventivas. Este gráfico debe colocarse cerca del lugar de inspección para qu e puntos correspondien tes a inspecciones recientes se grafiquen lo antes posible. Solo así se pueden ejercer acciones eficaces.
GRAFICO PARA DEFECTOS POR UNIDAD (u) E ste gráfico, llam ado tam bién gráfico u, sirve para el control de defectos cuando éstos se chequean por unidad extraída. La form a de este tipo de gráfico es exactam ente la m ism a del gráfico c. D e b e se r u sa d o c u a n d o la can tida d de defectos es alta y por lo tanto la cuantificación por m uestra es difícil pu es m anejaría núm ero s grandes. E n estos gráficos, al igual que en los gráficos c los puntos que están bajo el límite inferior de control no se eliminan, sino que se investigan las causas, pues p u e d e n significar baja cantidad de defectos. Al igual qu e los gráficos c, éstos permiten analizar a fondo aquellos defectos que se presentan con m ás frecuen cia y cu y a reducción y posible elim inación, puede permitir la elim inación o re ducción de la cantidad de defectos.
436
CONTROL DE CALIDAD
El éxito de la aplicación de este gráfico se basa en la eficiencia y eficacia de la insp e cción , por lo qu e es ne cesario n orm alizar m étodos y criterios para las decisiones de a ceptación y re cha zo de unidades. Estos gráficos tam bién se aplican a través de las tres etapas: construcción, análisis y seguim iento.
C onstrucción d e l grá fico Lo s paso s en la construcción dei gráfico u son los siguientes: 1.
L o c a liz a r la m á q u in a o lín e a de p ro d u c c ió n con p ro b le m a s de ca lid a d originados por la cantidad de defectos producidos.
2.
C la s ific a r los d e fe c to s , de tal m a n e ra q u e el e stu d io se re a lice s o b re defectos críticos.
3.
Se le ccio n a r el o los defectos sobre los cuales se llevará el gráfico de c o n trol u. P a ra q u e se a utilizado un gráfico u y no un gráfico c el n ú m e ro de defectos debe se r alto.
4.
C a lc u la r el ta m a ñ o de la m u e s tra n. E s ta m u e stra d e b e s e r de ta m a ñ o constante o variable se g ú n lo am erite la tom a de ella.
5.
Determ inar el núm ero de m uestras m que se van a extraer. E s recom enda ble que sea supe rio r a veinte.
6.
R e co le cta r las m u e stra s a un intervalo de m uestreo que garantice a le a toriedad y representatividad. El C u a d ro 5.8 muestra un ejem plo de formato para la recolección de inform ación.
7.
C a lc u la r el v a lo r d e u p ro m e d io o n ú m e ro de d e fe c to s p ro m e d io p o r unidad. m Ic , i=1 u = ------------m*n
8.
C a lc u la r los lím ites de control del gráfico b a sándose en la distribución de Poisson.
JORGE ACUNA ACUNA
437
a.
Lím ites especificados
•
Si se da el n ú m ero de defectos por unidad en prom edio los límites se calculan así: L S E u = ú + 3 \ju/ñ LC Eu= u L I E U = u - 3 \fu/ñ '
b.
Lím ites de control de proceso L S C u= u + 3 \lu/n LCC=u L I C u = ü - 3 \Tu/rT
9.
C on s tru ir el gráfico, co locand o en el eje x el nú m ero de la m uestra y/o fe ch a de extracción y en el eje y el núm ero de defectos por unidad. La escala d e b e s e r e s c o g id a co n los c u id a d o s ya e x p lic a d o s en los a n te rio re s gráficos. La F ig u ra 5.12 m uestra un e sq u e m a de este tipo de gráfico.
A n á lisis de l grá fico S i e x iste n m u e s tra s fu e ra de lím ites d e b e p ro c e d e rs e a re c a lc u la r el p ro m e d io y los lím ites de control, en especial el límite su perio r. El p ro m e d io m odificado se calcula así:
438
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 5.12. Representación de un gráfico u.
Ic-t Um= ----------------------£n - I n h donde: um = pro m e dio de defectos por unidad m odificado t
= total de defectos de las m uestras fuera del L S C u
Zn
= total de unidades en la m m uestras
X n k = total de unidade s en las k m uestras fuera del L S C u E n cuanto a tend e ncia s y co m p a ra ció n con especificaciones, se sigue el m ism o procedim iento del gráfico c.
S eguim iento d e l gráfico E sta etapa sigue los m ism os p aso s explicados para el gráfico c.
GRAFICO PARA DEFECTOS POR CIEN UNIDADES Este gráfico, llamado también gráfico 10Ou, sirve para el control de defec tos cuando éstos se chequean por cada cien unidades extraídas de un lote o
JORGE ACUÑA ACUÑA
439
línea de producción. La form a de este tipo de gráfico es exact; ¡(mente la m ism a de los gráficos c y u.
i
Este gráfico debe ser usado cuando la cantidad de detecte ¡s es baja y por lo tanto la cuantificación por muestra es difícil pues m anejaría núr heros pequeños. E n estos gráficos, al igual que en los gráficos c, los puntos cjue están bajo el límite inferior de control no se elim inan, sino que se investigan las ca u sa s, pues pueden significar baja cantidad de defectos. La importancia de estos grá ficos e s que permiten analizar a fondo aquellos defectos que se presentan con m ás frecuencia y cu ya reducción y posible eliminación, permitiría la eliminación o reducción de cantidad de defectos. El éxito de la aplicación de este gráfico se basa en la eficiencia y eficacia de la inspección. A nte ello, es necesario n orm alizar m étodos y criterios para las decisione s de aceptación y recha zo de unidades. Estos gráficos tam bién se aplican a través de las tres etapas: construcción, análisis y seguim iento.
C onstrucción de l gráfico Lo s pasos en la construcción del gráfico 10Ou son los siguientes: 1.
L o c a liz a r la m á q u in a o línea de p ro d u c c ió n con p ro b le m a s de ca lid a d originados por la cantidad de defectos producidos.
2.
C lasificar los defectos, de tal m an e ra que el estudio se realice sob re d e fectos críticos.
3.
S e le cciona r el o los defectos sobre los cuales se llevará el gráfico de co n trol 10Ou. P ara que se a utilizado un gráfico 10Ou y no un gráfico c o u el nú m e ro de defectos deb e ser pequeño.
4.
C a lc u la r el ta m a ñ o de la m u e stra n. E sta m u e stra d e b e ser de ta m a ñ o constante o variable según se am erite.
5.
D eterm inar el núm ero de m uestras m que se van a extraer. E s recom enda ble que sea superior a veinte.
440
6.
CONTROL DE CALIDAD
R e co le cta r las m u e stra s a un intervalo de m u estre o qu e garantice a le a toriedad y representatividad. El C u a d ro 5.8 m uestra un ejem plo de formato para la recolección de inform ación.
7.
C a lc u la r el va lo r de 10Ou p ro m e d io o nú m e ro de defectos p ro m e d io por ca d a cien unidades. m 1001c, _
i= 1
100u = ------------------------m*n 8.
C a lc u la r los límites de control del gráfico ba s á n d o se en la distribución de Poisson. a.
Lím ite s especificados
•
S i s e da el n ú m e ro de d efectos p o r cien u n id a d e s en p ro m e d io los lím ites se calculan así: L S E 100u = 10Ou + 100*[3 f u / n ]
L C E IOOu= 100u L I E 100u = 100u - 100*[3 fu /ñ] •
Si se da el n ú m ero de defectos por unidad c o m o m áxim o L S E 100u = 100u donde: A
10Ou = nú m e ro de defectos por cad a cien unidade s especificada b.
Lím ites de control de proceso L S C )00u= 100u + 100*[3 i u/n]
JORGE ACUÑA ACUÑA
441
LCC1(X)u= 100u L I C ioou
9.
= 100u - 100*[3
N
u/n]
/
C onstruir el gráfico, colocando en el eje x el núm ero de la m uestra y/o fecha de extracción y en el eje y el núm ero de defectos por cada cien unidades. La escala de b e ser esco gida con los cuidados ya explicados en los anteriores gráficos. La Figu ra 5.1 3 m uestra un e sq u e m a de este tipp de gráfico.
9080" 70 60 lOOu 5 0 — 40 30
20
—
10 -LIC ioo 4
5
6
u
7
N ? d e la m u e s tro
FIGURA 5.13. Representación de un gráfico 100u.
A ná lisis d e l$ rá fic o S i e x iste n m u e s tra s fu e ra de lím ite s d e b e p ro c e d e rs e a re c a lc u la r el p ro m e d io y los lím ites de control, en especial el límite superio r de control. El pro m e dio m odificado se calcula así:
[Xc-t] 100u = 1 0 0 * --------------------------In - In k donde:
10Ou
= promedio de defectos por cada cien unidades modificado
438
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 5.12. Representación de un gráfico u.
Xc-t Um= ----------------------Xn - X nk donde: = pro m e dio de defectos por unidad m odificado t
= total de defectos de las m uestras fuera del L S C u
Xn
= total de unidade s en la m m uestras
X n k = total de unidades en las k m uestras fuera del L S C u En cuanto a tend encias y co m p a ra ció n con especificaciones, se sigue el m ism o procedim iento del gráfico c.
S eguim iento d e l g rá fico Esta etapa sigue los m ism o s paso s explicados para el gráfico c.
GRAFICO PARA DEFECTOS POR CIEN UNIDADES Este gráfico, llamado también gráfico 10Ou, sirve para el control de defec tos cuando éstos se chequean por cada cien unidades extraídas de un lote o
JORGE ACUÑA ACUÑA
439
línea de producción. La form a de este tipo de gráfico es exactam ente la m ism a de los gráficos c y u. Este gráfico debe ser usado cuando la cantidad de dpfectos es baja y por lo tanto la cuantificación por m uestra es difícil pues m anejaría núm eros pequeños. E n estos gráficos, al igual que en los gráficos c, los puntos que están bajo el límite inferior de control no se elim inan, sino que se investigan las c a u s a n pues p ueden significar baja cantidad de defectos. La importancia de estos grá ficos es que permiten analizar a fondo aquellos defectos que se presentan con m ás frecuencia y cu ya reducción y posible eliminación, permitiría la eliminación o reducción de cantidad de defectos. El éxito de la aplicación de este gráfico se basa en la eficiencia y eficacia de la inspección. A n te ello, es necesario n orm alizar m étodos y criterios para las decisione s de aceptación y rechazo de unidades. Estos gráficos tam bién se aplican a través de las tres etapas: construcción, análisis y seguim iento.
C onstrucción d e l grá fico Los p aso s en la construcción del gráfico 10Ou son los siguientes: 1.
L o c a liz a r la m á q u in a o línea de p ro d u c c ió n con p ro b le m a s de calida d originados por la cantidad de defectos producidos.
2.
C lasifica r los defectos, de tal m a nera que el estudio se realice sob re d e fectos críticos.
3.
S e lecciona r el o los defectos sobre los cuales se llevará el gráfico de co n trol 100u. P a ra que se a utilizado un gráfico 100u y no un gráfico c o u el nú m e ro de defectos debe ser pequeño.
4.
C a lc u la r el ta m a ñ o de la m u e stra n. E sta m u e stra d e b e ser de ta m a ñ o constante o variable segú n se am erite.
5.
Determ inar el núm ero de m uestras m que se van a extraer. E s recom enda ble que sea superior a veinte.
440
6.
CONTROL DE CALIDAD
R e co le cta r las m u estra s a un intervalo de m u estre o qu e garantice a le a toriedad y representatividad. El C u a d ro 5.8 muestra un ejem plo de formato para la recolección de inform ación.
7.
C a lc u la r el va lo r de 10Ou p ro m e d io o n úm ero de defectos p ro m e d io por ca d a cien unidades. m
1001c, ¡=1
100u = ------------------------m*n 8.
C a lc u la r los límites de control del gráfico ba sá n d o se en la distribución de Poisson. a.
Lím ites especificados
•
Si s e d a el n ú m e ro de d efecto s por cien u n id a d e s en p ro m e d io los límites se calculan así: L S E 100u = 10Ou + 100*[3 'I u/n] L C E 100u= 100u L I E 100u = 100u - 100*[3 fu /n]
•
Si se da el n ú m ero de defectos por unidad co m o m áxim o L S E 100u = 100u donde: A
10Ou = núm ero de defectos por cad a cien unidades especificada b.
Lím ites de control de proceso
L S C 100u= 100u + 100*[3 'J u/n]
JORGE ACUNA ACUNA
441
L C C 1OOu= 1 0 0 u
L I C ioou = 1 0 0 u - 1 0 0 * [ 3
9.
'u /n ]
/
Construir el gráfico, colocando en el eje x el núm ero de la m uestra y/o fecha de extracción y en el eje y el núm ero de defectos p o rca d a cien unidades. La escala de b e ser esco gida con los cuidados ya explicados en los anteriores gráficos. La Figu ra 5 .1 3 m uestra un e sq u e m a de este tipo de gráfico.
-LSC|<
so — 70 — 60 — lOOu 5 0 — 4 0 -30 —
20
—
10 — H 4
5
6
LICioo u
7
N?de la muestra
FIGURA 5.13. Representación de un gráfico 100u.
A ná lisis d e l$ rá fic o S i e x iste n m u e s tra s fu e ra de lím ite s d e b e p ro c e d e rs e a re c a lc u la r el p ro m e d io y los lím ites de control, en especial el límite su p e rio r de control. El prom e dio m odificado se calcula así: [Ic -t ] 10Ou = 1 0 0 * --------------------------In - In k donde:
10Ou
= promedio de defectos por cada cien unidades modificado
442
CONTROL DE CALIDAD
t = total de defectos de las m uestras fuera del L S C 100u X n = total de unidade s en las m m uestras X n k = total de unida de s en las k m uestras fuera del L S C 100u En cu a n to a te nd e ncia s y com p a ra ció n con especificaciones, se sigue el m ism o procedim iento del gráfico c.
S eguim iento d e l gráfico Esta etapa sigue los m ism o s paso s explicados para el gráfico c. D a d o que los tres gráficos anteriores tienen la m ism a form a, se presenta a continuación un ejem plo en el que se m uestra que son equivalentes. T a m b ié n se presenta otro ejem plo en el cual se tienen gráficos para diferentes tipos de defectos.
EJEMPLO 5.7 U n a e m p re s a qu e se d e d ica a la fa b rica ció n de e n v a s e s de vidrio tiene problem as de calidad, pues la cantidad de defectos en los en va se s ha crecido co n sid era b lem e nte. A n te esta situación, se ha decidido instalar un gráfico de control para defectos. La especificación es de 0,5 defectos por unidad co m o m áxim o. P a ra ello, se ha n to m a d o veinte m u e s tra s de d ie z u n id a d e s c a d a u n a , originándose la inform ación que se presenta en el C u a d ro 5.8.
SOLUCION S e construirán en este ejem plo los tres gráficos c, u y 100u, para m ostrar que los tres son equivalentes a pesar de la diferencia entre sus definiciones. E n la práctica solam e nte uno deb e ser con sid erad o. Los p a so s del 1 al 6 ya han sido ejecutados. Pa so 7. C á lc u lo de valores prom edio
JORGE ACUNA ACUNA
443
CUADRO 5.8. Hoja de datos para et Ejemplo 5 .7
HOJA DE DATOS — GRAFICOS DE CONTROL ckj,100u Código: Especificación: Tamaño de muestra: Inspector: Hora de inicio: 10:00 pm
Artículo: Envases de vidrio Características: Defectos Operación: Formado Operario: Juan Bermúdez Fecha: 23-04-85 T umo: 3 1
Número de muestra Hora de toma Defectos /muestra Defectos/unidad Defectos/100 unidad
2
3
4
5
6
ÁW -4567 0,5 por unidad n=10 L. Domínguez Hoja # 1 de 1 7
11
Hora de toma Defectos/muestra Defectos/unidad Defectos/100 unidad
11:21 1 0,1 10
12
13
14
15
16
17
Ic
90
u =---------= -----------= 0,45 defectos por unidad Xn
18
19
11:35 11:40 11:54 12:08 12:17 12:34 12:45 12:56 1 4 6 4 5 2 6 3 0,6 0,4 0,2 0,6 0,4 0,3 0,5 0,1 60 40 50 20 10 60 40 30
Ic 90 c = — — = ----------= 4 ,5 defectos por muestra
20
9
10
10:00 10:10 10:23 10:30 10:35 10:45 10:54 10:59 11:12 11:16 14 4 1 1 5 2 9 2 6 6 0,2 0,4 0,5 0,2 0,6 0,6 0,9 1,4 0,1 0,1 20 90 20 40 10 10 50 140 60 60
Número de muestra
m
8
200
10Ou = 100*0,45 = 45 defectos por cada 100 unidades P a so 8. Lím ites de control a.
Lím ites especificados
•
Para el gráfico c
20 1:15 8 0,8 80
444
CONTROL DE CALIDAD
L S E C = 5 + 3 ' T i = 11,7 ’ L C E c= 5 L IE c = 5 - 3
\Í5 = -1 , 7
UEc =0 •
P a ra el gráfico u L S E u = 0 ,5 + 3 {0 ,5 / 1 0 = 1,17 L C E u = 0,5 L IE u = 0 , 5 - 3
'Jo, 5/10 = -0 ,1 7
L IE u = 0 •
P ara el gráfico 100u L S E 100u = 100*0,5 + 100*[3 'J0,5/10]
= 117
L C E 100u= 100*0,5
= 50
L I E 100u = 1 0 0 * 0 ,5 -1 0 0 * [3 'l0 ,5 / 1 0 ]
= -1 7
LIE.oou = 0 b.
Lím ite s de control
•
P a ra el gráfico c L S C c = 4,5 + 3 { 4 ^ í = 11 L C C . = 4,5 L IC c = 4,5 - 3 {4 ^5 = - 1 , 9 L IC
•
=0
P ara el gráfico u
LSCu = 0,45 + 3 \| 0,45/10= 1,1
JORGE ACUÑA ACUÑA
445
L C C u = 0,4 5 L IC u = 0 ,4 5 -3 ^ J 0,45/10 = -0 ,1 9 L IC u = 0 •
Para el gráfico 100u L S C 100u = 100*0,45 + 100*[3 nJ0,45/10] = 110 45 L IC ,00u = 100*0,45 -1 0 0 * [3 \ |0 ,45/10] = -1 9
P a so 8. C onstru cción de los gráficos L a s Figu ra s 5 .1 4 ,5 .1 5 ,5 .1 6 m uestran los tres gráficos. E n ellas se puede o b se rva r que la form a del gráfico es exactam ente la m ism a. Ante ello, se puede concluir que en este caso cualquiera de las tres formas de m edir los defectos es bu e n a . Sin e m ba rgo , por la facilidad de cálculo y la m agnitud de los valores el m á s a d e c u a d o es el gráfico c.
A n á lisis de los gráficos Al observar las Figuras 5 .1 4 ,5 .1 5 y 5.16 se nota que la m uestra No. 5 sale fu era del lím ite s u p e rio r de control. Lo s va lo re s p ro m e d io m odificados y los n u e vo s límites son: cm
9 0 -1 4
76
2 0 -1
19
= 4 defectos por m uestra
cm: prom edio de defectos por m uestra modificado L S C c = 4 + 3\(4~ = 10 L C C c =
4
L IC C = 4 - 3 L IC c = 0
\T4 = -2
O)
FIGURA 5.14. Gráfico de control u para el Ejemplo 5.7
o o 2 H 5 O r~ O m O > n O > O
o J3 O m > o c z* > > o c z >
FIGURA 5.15. Gráfico de control cpara el Ejemplo 5.7.
"
100 u 160
FIGURA 5.16. Gráfico de control 100u para el Ejemplo 5.7.
CONTROL DE CALIDAD
JORGE ACUNA ACUNA
449
9 0 -1 4 76 u = -------------------= --------------= 0 ,4 defectos por unidad 2 0 0 -1 0 190 um: prom edio de defectos por unidad m odificado L S C u= 0,4 + 3 ''10 ,4 / 1 0 = 1 L C C u= 0,4 L I C u= 0,4 - 3 ^0,4/10 = -0 ,2 L I C u= 0 [9 0 -1 4 ] 76 100 u = 100*----------------------- = --------------= 40 defectos por 100 unidades 20 0 -1 0 190 10 0 u m: prom edio de defectos por ca d a 100 unidades m odificado L S C 100u= 100*0,4 + 100*[3\l0,4/10] = 1 0 0 L C C 100U= 100*0,4
=40
L I C 100u = 100*0,4 - 1 0 0 * [ 3 \ l 0 ,4/10] = - 2 0
E n ninguno de los gráficos se salen m ás muestras. E n cuanto a tendencias es importante investigar el com portam iento que se presenta de la m uestra No. 6 a la m uestra No. 15 y el que se aprecia de la muestra No. 15 a la No. 20. La pri m era serie evidencia una tendencia al decrecim iento en el núm ero de defectos, pero la se g u n d a serie presenta una tendencia contraria. E n cuanto a especificaciones, éstas no se cu m plen , por lo qu e se deben h acer los ajustes necesarios para bajar el núm ero de defectos.
Seguim iento N o es re com endable efectuar un seguim iento con los límites finales obte nidos, pues aún no se ha logrado cumplir con los niveles de núm ero de defectos e specificado s. Si se d e s e a se pu e d e n utilizar para identificar los p ro b le m a s
CONTROL DE CALIDAD
450
a ctu a le s y a sí e je rce r a c c io n e s p re ve n tiv a s y co rre ctiva s q u e d ism in u ya n el n ú m ero de defectos en los en va se s de vidrio. E J E M P L O 5.8
E n el control de re c e p ció n de u na e m p re s a fabrica dora de puertas d e c o radas se utilizan gráficos de control para defectos por m uestra (c ). Actualm ente s e re c ib e n lote s de m a d e ra c o rta d a s o b re los c u a le s se in s p e c c io n a n , p o r m uestreo, tres tipos de defectos principales: defectos A , defectos B y defectos C . A ctu a lm e n te no h a y e specificacione s estab lecidas por lo qu e se e s p e ra que este estudio sirva para re c o m e n d a r alguna, si es posible. S e propone llevar un gráfico para ca d a tipo de defecto y uno para defectos totales. P a ra cum plir con ello se recolecta la inform ación del C u a d ro 5.9. C o n s tru y a y analice los gráficos propuestos. S O L U C IO N
Lo s paso s del 1 al 6 y a han sido ejecutados. P a so 7. C á lc u lo de valores de c prom edio •
P a ra defectos tipo A Ic A
115 = 5,75 defectos por m uestra
'A ‘
m •
20
Para defectos tipo B Ic B
91
m
20
■= 4,55 defectos por muestra
c,'B
Para defectos tipo C
JORGE ACUNA ACUNA
451
CUADRO 5.9. Hoja de datos para el Ejemplo 5.8
HOJA DE DATOS — GRAFICOS DE CONTROL C Artículo: Láminas de acero Característica: Defectos A, B y C Operación: Recepción Operario: G. Fonseca Fecha: 01 -03-85 T urno: 1
Número de muestra Hora de toam # de defectos A # de defectos B # de defectos C Defectos totales
AC 1130 No hay n=50 C. Valdés H oja# 1 de 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7:00 5 6 8 19
7:20 8 3 8 19
7:35 8 3 2 13
7:43 1 5 6 12
7:57 6 4 3 13
8:14 3 2 1 6
8:35 5 4 3 12
8:46 9 6 6 21
9:06 8 7 7 22
9:35 10 4 3 17
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Número de muestra Hora de toma # de defectos A # de defectos B # de defectos C Defectos totales
Código: Especificación: Tamaño de muestra: Inspector: Hpra de inicio: 7 :0 0 am
9:56 6 2 1 9
10:14 10:23 10:36 10:44 10:58 11:12 11:23 11:34 11:56 7 8 4 5 3 2 4 7 6 1 5 4 7 3 4 10 5 6 2 7 5 8 9 10 4 6 3 18 16 10 19 15 22 16 13 16
lc c 102 c = -------------- = ---------------= 5,1 defectos por m uestra
m •
20
Para defectos totales Ic T cT =--------------- =
m
308 = 15,4 defectos por m uestra
20
P a so 8. Lím ites de control de proceso •
Para defectos tipo A
CONTROL DE CALIDAD
452
L S C cA4 = 5,7 5 + 3 \l 5 ’,7 5 = 13 ’ L C C cAa = 5 ,7 5 ’ L IC cA l ic
•
cA
= 5 ’, 7 5 - 3 '15 ,7 5 = -1 ,’4 ’ =o
P a ra defectos tipo B L S C cB = 4,5 5 + 3 ^ 4 ,5 5
=11
L C C cB = 4 ,5 5
=5
L IC cB = 4,5 5 - 3\|~4j55
= -1 ,9
L I CcBr •
=6
=0
P a ra defectos tipo C L S C CC = 5 ,1 + 3 \ Í5’ l T = 12 7 L C C CC = 5 ,1 7
= 5
L IC CrC = 5 ,1 7 -3 \Í5 ~7T = - 1 ,6 L IC c •
=0
P a ra defectos totales L S CCtl = 1 5 ,4 + 3'115,4
=28
L C C cl = 15,4 7
=15
L IC cT
=3
= 1 5 ,4 -3 ^ 1 5 ,4
P aso 9. C onstru cción de los gráficos. C o n el fin de c o n o c e r el a p o rte de c a d a defecto al total de d e fe c to s es c o n ve n ie n te d ib u ja r un gráfico c o m p u e s to en el que se pre senten los cuatro elem entos, se g ú n se m uestra en la Figura 5.17.
JORGE ACUNA ACUNA
453
A ná lisis de lo s gráficos Al ob s e rva r la Figura 5.17, se nota que ningún punto se sale de límites en ningún gráfico. P or ello, no existen ca u sa s asignable s en este estudio, con lo q u e los lotes se están recibiendo bajo control estadístico. Si se a n a liza n te n d e n cia s en los gráficos en form a co n ju n ta se pu e d e n saca r importantes conclusiones acerca de la influencia de cad a uno de los tipos de defecto en la cantidad de defectos totales. Si se diera una ponderación a cada tipo de defecto, se tendría que uno de los tres defectos sería el m ás importante y, por lo tanto, el control se centraría en él. O b s e rv a n d o en la F ig u ra 5 .1 7 el gráfico de defectos totales, se ve qu e a partir de la m uestra No. 6, el nú m ero de defectos por m uestra crece, debido a que la cantidad de defectos de los tres tipos se incrementa, tal y com o se puede o b serva r en los otros gráficos. T a m b ié n , a partir de la m uestra No. 9 se aprecia u na d ism in u ció n en el n ú m e ro de defectos totales, d e b id a a la d ism in ució n sufrida por los defectos tipo B y C . O tra observación m u y im portante es que a partir de la m uestra No. 13, se nota u na tend encia a dism inuir en el n ú m ero de defectos totales por m uestra, deb ida a la te nd e ncia qu e tienen los defectos tipo A , p u e s los defectos tipo B parecen p e rm a n e ce r constantes y los defectos tipo C tienden a aum entar. C o n c lu sio n e s de este tipo son las que se pueden obtener cu a n d o se lleva un gráfico por defecto, de m anera que se pueden tom ar m edidas preventivas y dism inuir la cantidad de defectos totales. O tro de los a sp e c to s q u e d e b e a n a liza rs e es el h e c h o de q u e esta ins pección indica que el proceso de donde provienen los lotes m uestreados, está bajo control en todos sus tipos de defectos. D a d o qu e la cantidad de defectos por m uestra se encuentra bajo control estadístico es posible tom ar los valores prom edio de cada tipo de defecto com o referencia para estab lecer valores iniciales especificados. D e b id o a que una especificación siem pre busca el m ejoram ienio de la calidad del producto, no es re c o m e n d a b le e stab lecerlas al m ism o nivel del pro m e dio , sino a un va lo r un p oco m á s exigente, el cual se con vierta en una m eta. A s í, los va lo re s e s p e cificados propuestos pueden ser:
456
CONTROL. DE CALIDAD
1 0 0 ,5 0 ,1 0 y 1, de tal m anera qu e el núm ero total de dem éritos para un período se determ ina u sand o la siguiente expresión: D = 1 00 cA+ 5 0 cB+ 10cc + c D donde: cA, c B, cc y c Drepresentan el núm ero de defectos de cada tipo por m uestra Estos gráficos se aplican en las tres etapas ya explicadas en los gráficos anteriores.
C onstrucción E n la construcción de un gráfico U sse siguen los siguientes pasos: 1.
S e le c cio n a r cuatro ca te gorías importantes de defectos. E sta labor puede ser a y u d a d a por un gráfico de Pareto.
2.
C a lc u la r el ta m año de la m u e s tra n .
3.
D eterm inar el núm ero de períodos de estudio. Estos pueden ser sem anas, m e se s o trim estres entre otros.
4.
R egistrar la inform ación por período. El C u a d ro 5.1 0 m uestra un ejem plo de form ato para la recolección de información.
5.
C a lc u la r el valor de U de nú m e ro de defectos del tipo i por unidad.
U=
c. -..... n
donde: c es el n ú m e ro de defectos del tipo i por m uestra 6.
C a lc u la r el valor del índice de dem éritos. U s= 1 0 0 U a + 5 0 U b + 1 0 U c + U d
donde:
UA, UB, Ucy UDrepresentan el número de defectos de cada tipo por unidad
JORGE ACUNA ACUNA
7.
457
C a lc u la r los límites de control del gráfico b a s á n d o se en la distribución de Poisson. Estos límites son para cad a período o sea son individuales.
d onde:
C s= 1002*U a + 502. U b+ 102*Uc + U d 8.
C onstruir el gráfico, colocando en el eje x la identificación del período y en el eje y el índice de d e m éritos (U s). La escala d e b e se r esco gid a con los cu idado s y a explicados en los anteriores gráficos. La Figura 5.18 m uestra un e sq u e m a de este tipo de gráfico.
90
LSCus
80 70 60 Us 5 0 40
7"
\
30
20 10 0
\
4 -----------1----------- 1----------- 1----------- 1---------- -----------1----------- 1-----------1---------- + ~ L I C u s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II
o
Período de tiem po
FIGURA 5.18. Representación de un gráfico Us
A nálisis de l gráfico
Si existen puntos fuera de límites se puede elim inar el período co rresp on diente, pero se deben investigar las causas. N o es necesario recalcular ningún valor pu e s los períodos se analizan en form a independiente.
r 454
CONTROL DE CALIDAD
C.
Ce LSCc c
CT
FIGURA 5.17. Gráficos de control c para el Ejemplo 5.8.
JORGE ACUÑA ACUÑA
455
A
cA = 4 defectos tipo A por m uestra A
c B = 4 defectos tipo B por m uestra A
cc = 4 defectos tipo C por m uestra A
cT = 12 defectos totales por m uestra
S eguim iento D e bido a la estabilidad presentada por los diferentes tipos de defectos es im p o rta n te c o lo c a r los lím ites de con trol en un g rá fico , q u e s e rv irá p a ra ir tom ando información periódica, y que permitirá la tom a de acciones correctivas o pre ve ntivas si se am eritan. A d e m á s por m edio de este se g u im ie n to se p u e d e n introducir m ejo ras y establecer especificaciones m ás rígidas que poco a poco con du zcan a m ejorar la a pa rie n cia de las p uertas de co ra d a s. Las especificaciones iniciales deb en se r revisadas periódicam ente para adaptarlas a las condiciones que m uestre el proceso.
GRAFICO PARA DEMERITOS E ste gráfico, tam bién con ocido co m o gráfico U s, es una form a gráfica de calificar la ca lida d de un p ro ce so . E s te gráfico es para uso adm inistrativo y p erm ite o b s e rv a r el g ra d o en q u e la can tida d e im po rtancia de los defectos afectan el desarrollo de un proceso. Si la tendencia que sigue el gráfico es de pendiente positiva, se tom arán m e didas adm inistrativas qu e en el próxim o período perm itan cam biar esa te n d e n cia. E n este gráfico los defectos se m iden a través de una unidad llamada d e m é rito que es una ponderación multiplicada por el núm ero de defectos por m uestra. El sistem a de ponderación usado en este gráfico se basa en el sistem a de D o d g e -T o r r e y , el cual establece cuatro categorías de defectos con peso s de
CONTROL DE CALIDAD
458
Lo m ás im portante en este ca so son las tendencias pues son las q u e per miten evaluar la función administrativa en cuanto a calidad se refiere. Las accio nes por tom ar deben se r lo m ás eficaces posibles, de tal m anera que los resul tados se p uedan ob s e rva r en la etapa de seguim iento.
S eguim iento d e l grá fico
E n esta e ta p a se e v a lu a rá n las a c c io n e s a d m in istra tiva s to m a d a s , las cuales serán positivas si logran cam biar tendencias perjudiciales en la cantidad de defectos que originan las líneas de producción.
E J E M P L O 5.9 U n a em p re sa de confección de ropa desea llevar un control administrativo s o b re cu a tro tipos de de fe c to s q u e s o n : ca rrile s (A ) , c o s tu ra s s u e lta s (B ), tonalidad ( C ) y m a n c h a s (D ). P a ra ello tom a la inform ación de la can tida d de defectos en los últimos doce m eses, la cual se presenta en el C u a d ro 5.10. Pre sentar una form a de control m ediante un gráfico U s.
S O L U C IO N
C onstrucción d e l grá fico Lo s paso s del 1 al 4 se encuentran en el C u a d ro 5.10. L o s p a s o s del 5 al 7 se e n c u e n tra n en el C u a d r o 5 .1 1 . E ste c u a d ro se construye para facilitar los cálculos y registrar la información adicional que se va genera ndo. C o m o se p u e d e o b s e rv a r los cá lcu lo s de los va lo re s de U se h a ce n por período, lo cual permite calcular los límites de control en form a individual. Esto g e n e ra rá un gráfico de control con lím ites q u e b ra d o s . S e p u e d e c a lc u la r un límite constante si se desea, pero para ello el tam año de la m uestra no debe ser q l t a m o n t o \ /a ri í}h lp »
JORGE ACUÑA ACUÑA
459
CUADRO 5.10. Hoja de datos para el Ejemplo 5.9
HOJA DE DATOS - GRAFICO Us Artículo: Piezas de confección Característica: Defectos A,B,C y D Operación: Línea de confección Operario: G. Fernández Fecha:01-01-85 al 15-12-85 Mes Tamaño de muestra # de defectos A # de defectos B # de defectos C # de defectos D Mes Tamaño de muestra # de defectos A # de defectos B # de defectos C # de defectos D
CODIGO: Especificación: Periodo: Inspector: Unidad: Defectos* 102
Varios No aplica Mensual C. Calero Hoja #1 de 1
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
35 10 8 7 4
40 15 7 10 8
30 18 6 11 7
38 14 9 12 5
37 10 10 5 3
34 9 5 7 10
30 18 8 8 12
41 14 9 9 13
35 18 6 10 8
36 10 10 11 7
N
D
38 2 12 9 5
42 12 8 7 3
LSC
L IC
CUADRO 5.11. Cálculo de limites de control para el gráfico Us
MES
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre
n 35 40 30 38 37 34 30 41 35 36 38 42
D
Uc
uD
u,
c.
au
1474 0,290 0,230 0,200 0,110 42,61 3486,1 9,98 72,55 12,67 1958 0,375 0,175 0,250 0,200 48,95 4212,7 10,26 79,74 18,16 2217 0,600 0,200 0,370 0,230 73,90 6537,0 14,76 118,20 29,60 1975 0,370 0,240 0,320 0,130 51,97 4332,0 10,68 84,00 19,93 1553 0,270 0,270 0,135 0,080 41,97 3388,6 9,57 70,70 13,20 1230 0,265 0,147 0,206 0,294 36,18 3038,4 9,45 64,53 7,82 2292 0,600 0,270 0,270 0,400 76,40 6702,0 14,95 121,20 31,60 1953 0,340 0,220 0,220 0,320 47,63 3972,0 9,84 77,16 18,10 2208 0,510 0,170 0,290 0,230 63,10 5554,0 12,60 100,90 25,30 1617 0,278 0,278 0,306 0,200 44,92 3505,8 9,87 74,52 15,31 1595 0,240 0,320 0,240 0,130 41,97 3224,0 9,21 69,60 14,34 1673 0,286 0,190 0,170 0,071 39,83 3352,0 8,94 66,63 13,03
CONTROL DE CALIDAD
460
P a s o 8. C o n s tru c c ió n del gráfico. La F ig u ra 5 .1 9 pre se n ta el gráfico U s correspondiente.
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
MESES
FIGURA 5.19. Gráfico de deméritos para el Ejemplo 5.9.
A n á lisis d e l gráfico Al o b s e rva r la Figu ra 5 .1 9 , se pueden anotar a lg unos aspectos im portan tes. E n tre ellos: a.
La tendencia aparenta ser cíclica. S e ría m uy conveniente agregar m ás in form a ción que perm ita p ro b a r la hipótesis de que los ciclos p re sentado s son significativos. E s importante, en caso de que exista ciclicidad, e n c o n tra r las c a u s a s d e e s a situ ación, p u e sto que ésta es perjudicial p a ra el control.
b.
Los índices de dem éritos m ás altos se presentaron en los m eses de m arzo y ju lio . E s c o n v e n ie n te in v e s tig a r q u é c a r a c te r ís tic a s o s itu a c io n e s im portantes se gene ra ron en esos m eses.
JORGE ACUÑA ACUÑA
c.
461
El índice de dem éritos m ás bajo es el correspondiente al m es de junio. E s c o n v e n ie n te a v e rig u a r qu é a sp e c to s b u e n o s se im p le m e n ta ro n en ese p eríodo que perm itieron dism inuir el nú m ero de defectos.
d.
A partir del m e s de setiem bre se nota u na cla ra te n d e n cia del índice de dem éritos a disminuir.
e.
D e a c u e r d o c o n la v a r ia b ilid a d e n el ta m a ñ o d e la m u e s tra , no es conveniente trabajar con límites prom edio. Si se pudiera trabajar con ellos, se calculan así: S u m atoria de la co lu m n a de límites superiores L S = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------nú m ero de períodos S u m atoria de la colu m n a de límites inferiores L l = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------núm ero de períodos E n general, se puede decir que un gráfico de dem éritos, bien llevado, puede
ser una excelente arm a administrativa, que permite evaluar la labor de la organi za ció n y llevar un control m acro del com portam iento de calidad del producto.
S eguim ien to d e l grá fico E n esta e tapa se eva lu a rá n las a cc io n e s adm inistrativas to m a d a s en el p e río d o de e s tu d io a n te rio r. S e d e b e n e m p le a r los lím ite s y a fija d o s y se m odificarán u na v e z que se tenga n u e v a inform ación del períod o en estudio. La s m edidas qu e se tom en deben g arantizar cam bios positivos de tendencias perjudiciales en la cantidad de defectos que originan las líneas de producción.
RESUMEN En este capítulo, se han a nalizad o los diferentes gráficos de control para atributos y se han podido analizar las ventajas que éstos ofrecen con respecto a los gráficos de control para variables.
CONTROL DE CALIDAD
462
Estos gráficos tienen ia ventaja de qu e permiten el control de varias carac terísticas a la v e z , pe ro la d e s ve n ta ja de qu e no son eficientes para detectar ca u sa s asignables de variación. C o n el fin de decidir qué gráfico usar se debe determ inar prim ero si el co n trol se hará para defectuosos o para defectos. Si la cantidad de defectuosos es excesiva se deb e optar por el control por defectos. U n aspecto relevante en el uso del control por atributos es el desarrollo de m a n u a le s de in s p e c c ió n c u y o obje tivo es m in im iz a r el e m p le o d e criterios subjetivos por parte de los inspectores.
PREGUNTAS DE REPASO 1.
¿ P o r q u é e s útil un m a n u a l de in s p e c c ió n ? E x p liq u e las p a rte s q u e lo co m p on e n.
2.
S eleccione en una e m presa industrial, una línea de producción y clasifique los defectos encontrados.
3.
¿ P o r q u é d e b e n s e r c la s ific a d o s los d e fe c to s , los d e fe c tu o s o s y los disconform es? Explique las diferencias entre ellos.
4.
¿ Q u é peligros se corre n al u sa r lím ites b a s a d o s en ta m a ñ o de m u estra prom edio en lugar de límites individuales en gráficos de control p?
5.
¿ Q u é de sve n ta ja s tiene el uso del m étodo gráfico en gráficos de control np?
6.
¿ Q u é criterios se de b e n s e g u ir para decidir si el control por atributos se hará para defectuosos o para defectos?
7.
¿ Q u é criterios se deben seguir para seleccionar entre un gráfico de control c, u o 100u?
8.
Ela bore un form ato qu e perm ita recolectar inform ación sobre varios tipos de defectos y qu e se p uedan graficar en el m ism o form ato.
9.
¿ Q u é ventajas y desventajas tiene el uso de gráficos de dem éritos?
10. S e le c cio n e una línea de p ro d u cció n y elabore un m a n u a l de inspecció n para los defectos que se g eneren en ella.
JORGE ACUÑA ACUÑA
463
PROBLEMAS 1.
C o n el fin de iniciar el diseño de un sistem a de control de proceso basado en atributos para la línea de cam isas, un ingeniero construyó un diagram a d e Ishikaw a que originó el siguiente listado de características de calidad: 1. La rgo del rollo de tela 2. A n c h o del rollo de tela 3. H u e c o s 4. C arriles 5. M a n ch a s 6. C o rte s torcidos 7. C o stu ra s torcidas 8. Distancia entre ojales 9. T e la desteñida 10. A juste de rayas 11. F o rm a del cuello 12. H o m b ro caído 13. C o stu ra s sueltas 14. M arca en el e m paq ue 15. Im presión del e m paq ue 16. B otones sueltos C o n b a s e en este listado, tom ó 150 ca m is a s y e n c o n tró la cantidad de
defectos indicada en el C u a d ro 5.12. ¿ C u á le s son los defectos sobre los que se basará el sistem a planteado? 2.
E n una fábrica de e nvase s de vidrio recién instalada, se ha iniciado el esta ble cim iento de un sistem a de control de pro ceso por atributos. S e deter m inó co m o área de inspección la litografía, debido al volum en de rechazo que se está g e nerando en esa sección. D ado que la inspección se ejecuta diariam ente sob re la totalidad pro du cida, el vo lu m e n de inspección será proporcional al volu m en de producción. El 1 de abril se recibió un informe del inspector de la línea de litografía, el cual se m uestra en el C u a d ro 5.13. a.
¿ C u á l fue la fracción defectiva del m es de m arzo?
b.
¿ C u á le s son los límites de control basados en el m es de m arzo?
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 5.12. Información recolectada de defectos
D EFEC TO
N IV E L DE C R ITIC ID A D
No.
Carriles Huecos
Crítico
15
Crítico
28
Manchas Costuras sueltas
Crítico Menor
125
25
Costuras torcidas
Mayor
Tela desteñida
Mayor
Cuello deformado
Mayor
15
Impresión torcida Rayas desajustadas
Incidental
25
Ojales disparejos
Crítica Incidental
Botones sueltos
Incidental
Hombro caído
Crítica
c. d.
100 55
30 100 50 23
Efectúe un análisis sobre el gráfico p del m es de m arzo. ¿ Q u é fracción defectiva re c o m e n d a ría co m o especificación para el m es de abril? El 1° de m ayo se recibió el informe del m es de abril, el cual se m uestra en el C u a d ro 5.14.
e.
C o n s tru y a y a n a lic e un grá fico p b a s a d o en la in fo rm a ció n de los m e se s de m a rzo y abril.
f. g.
¿ Q u é tan acertada fue la especificación recom endad a en el punto d.? ¿ C u á l fue la p ro d u c c ió n d ia ria p ro m e d io b u e n a del m e s de abril? ¿ C u á l es el va lo r esperado para el m es de m a yo ?
h.
¿ Q u é lím ite s d e c o n tro l p ro p o n e p a ra el m e s d e m a y o ? ¿ S e r á conveniente tom ar la fracción defectiva pro yectada del m es de m ayo co m o el pro m e dio de los dos m eses anteriores?
JORGE ACUNA ACUNA
465
CUADRO 5.13. Informe del inspector para el mes de marzo
H O JA D E D A T O S - G R A F IC O S D E C O N T R O L p Artículo:
Envases de vidrio
Código:
Operación: Litografía Fecha de inicio 03-03-85 Día
AT-4567
Tam año de muestra: Hoja #1 de 1
LUNES
MARTES
Inspector: MIERCOLES
variable L. Lara
JUEVES
VIERNES
SEM ANA
No.
N
np
N
np
N
np
N
np
N
np
Marzo 3 Marzo 7
1
172
18
68
10
75
12
76
16
65
10
Marzo 10 Marzo 14
2
77
7
78
18
70
10
60
11
72
9
Marzo 17 Marzo 21
3
78
12
62
6
70
10
71
9
62
12
Marzo 24 Marzo 28
4
58
5
57
6
77
7
75
5
74
11
Marzo 31
5
68
8
i.
¿ S e tiene suficiente inform ación para dar una especificación para el futuro?
3.
E n u n a e m p re s a la ra zó n de p ro d u c c ió n es de 9 0 0 0 u n id a d e s d iarias. C o m o plan de m uestreo se sacan m uestras de 100 piezas por día, directa m ente de la línea de producción. Lo s datos de los prim eros veinte días se m uestran en el C u a d ro 5.15.
a.
Efectúe un control por atributos usando un gráfico p.
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 5.12. Información recolectada de defectos
D EFEC TO
N IV E L D E C R IT IC ID A D
No.
Carriles Huecos
Crítico
15
Crítico
28
Manchas
Crítico Menor
125
Costuras sueltas
25
Costuras torcidas
Mayor
Tela desteñida
Mayor
Cuello deformado Impresión torcida
Mayor
15
Incidental
25
Rayas desajustadas
Crítica
Ojales disparejos Botones sueltos
Incidental Incidental
Hombro caído
Crítica
c. d.
100 55
30 100 50 23
Efectúe un análisis sobre el gráfico p del m es de m arzo. ¿ Q u é fracción defectiva re c o m e n d a ría co m o especificación para el m es de abril? El 1° de m ayo se recibió el informe del m es de abril, el cual se m uestra en el C u a d ro 5.14.
e.
C o n s tru y a y a n a lic e un grá fico p b a s a d o en la in fo rm a ció n d e los m e se s de m a rzo y abril.
f.
¿ Q u é tan acertada fue la especificación recom endad a en el punto d.?
g.
¿ C u á l fue la p ro d u c c ió n d ia ria p ro m e d io b u e n a del m e s de abril? ¿ C u á l es el va lo r esperado para el m es de m a yo ?
h.
¿ Q u é lím ite s d e c o n tro l p ro p o n e p a ra el m e s d e m a y o ? ¿ S e r á conveniente tom a r la fracción defectiva pro yectada del m es de m ayo co m o el pro m e dio de los dos m eses anteriores?
JORGE ACUNA ACUNA
465
CUADRO 5.13. Informe del Inspector para el mes de marzo
H O JA D E D A T O S - G R A F IC O S D E C O N T R O L p Artículo:
Envases de vidrio
Operación: Litografía Fecha de inicio 03-03-85
Código:
AT-4567
Tam año de muestra:
variable
Hoja #1 de 1
Inspector:
Día
LUNES
MARTES
No.
N
np
N
np
N
Marzo 3 Marzo 7
1
172
18
68
10
Marzo 10 Marzo 14
2
77
7
78
Marzo 17 Marzo 21
3
78
12
Marzo 24 Marzo 28
4
58
5
Marzo 31
5
68
8
SEM ANA
i.
MIERCOLES
L. Lara JUEVES
VIERNES
np
N
np
N
np
75
12
76
16
65
10
18
70
10
60
11
72
9
62
6
70
10
71
9
62
12
57
6
77
7
75
5
74
11
¿ S e tiene suficiente inform ación para dar una especificación para el futuro?
3.
E n u n a e m p re s a la ra zó n de p ro d u c c ió n es de 9 0 0 0 u n id a d e s d iarias. C o m o plan de m uestreo se sacan m uestras de 100 piezas por día, directa m ente de la línea de producción. Lo s datos de los prim eros veinte días se m uestran en el C u a d ro 5.15.
a.
Efectúe un control por atributos usando un gráfico p.
CONTROL DE CALIDAD
466
CU A ORO 5.14. Informe del inspector para el mes de abril
H O JA D E D A T O S - G R A F IC O S D E C O N T R O L p Artículo: Envases de vidrio Operación: Litografía Fecha de inicio: 01-04-85 Día SE M A N A
Hoja 1de 1
LUNES
MARTES
No.
N
np
N
np
Abril 1 Abril 5
1
64
5
68
6
Abril 7 Abril 11
2
65
10
66
Abril 14 Abril 18
3
68
10
Abril 21 Abril 25
4
64
Abril 28
5
66
b. 4.
MIERCOLES
JUEVES
VIERNES
N
np
N
np
N
np
10
67
6
68
5
64
7
64
12
65
5
66
6
67
8
4
62
5
64
6
68
8
65
5
8
65
9
64
10
R e co m ie n d e una especificación para el futuro.
El C u a d ro 5.1 6 proporciona los resultados de una inspección sobre rollos de tela en el m e s de abril. a.
C o n s tru y a y analice un gráfico c y un gráfico u.
b.
¿ Q u é valor de defectos prom edio recom ienda para el m es siguiente?
c 5.
Código: A T-4567 Tam año de muestra: variable Inspector: L. Lara
¿ Q u é con clu sione s obtiene de su estudio?
E n extrusión de v ig a s de M g I éstas se cortan en form a longitudinal con dim ensión 90 cm y luego se inspeccionan g e n e ra n d o el C u a d ro 5.1 7.
JORGE ACUÑA ACUÑA
467
CUADRO 5.15. Datos para el Problema 3
H O JA D E D A T O S - G R A F IC O S D E C O N T R O L p Artículo: Fajas de cuero y vlnll Código: ZV-5210 Características:Defectuosos Especificación: 7 % máximo Operación: Revisado final Tam año de muestra: n=100 Operario: JoséBism arck Inspector: L. Coronado Fecha:23-10-85 Turno: 3 Horade inicio:10:00pm Hoja #1 de 1 Número de muestra Hora de toma # de defectuosos
1 7:00 13
2 7:30 10
3 8:00 7
4 8:30 7
5 9:00 11
Número de muestra
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1:30 8
2:00 14
2:30 18
3:00 10
3:30 15
4:00 8
4:30 13
5:00 9
Hora de toma # de defectuosos
12:00 1:00 10 13
7 6 8 9 10 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 8 12 13 10 13
CUADRO 5.16. Datos para el Problema 4
H O JA D E D A T O S - G R A F IC O S D E C O N T R O L c y u Artículo: Rollos de tela de algodón Características:Defectos Operación: Inspección de recepción Operario: Juan Solera Fecha23-07-85 Turno: 1 Hora Número de muestra Hora de toma # de defectuosos Número de muestra Hora de toma # de defectuosos
Código: Especificación: Tam año de muestra: Inspector: de inicio: 7:00am
10
2
3
4
5
7:00 3
7:30 3
8:00 6
8:30 3
9:00 1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1:30 5
2:00 4
2:30 3
3:00 1
3:30 5
4:00 4
4:30 1
5:00 3
12:00 1:00 4 10
8
9
1
6
7
AS-5210 2 en promedio n=50 L. Cortés Hoja #1 de 1
9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 8 7 5 1 3
468
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 5.1 7. Datos para el Problema 5
H O JA D E D A T O S - G R A F IC O S D E C O N T R O L c y u Artículo: Vigas de Magnesio en I Código: VM-3218 Características: Defectos Especificación: No hay Operación: Inspección de recepción Tam año de muestra: n=200 Operario: Jaime Solano Inspector: H. Corrales Fecha:28-05-84 Tu rn o :1 y 2 Hora de inicio: 7:00am Hoja #1 de 1 Número de muestra Hora de toma # de defectos Número de muestra Hora de toma # de defectos Número de muestra Hora de toma # Defectos
6.
1
2
3
4
5
7:00 22
7:30 27
8:00 17
8:30 22
9:00 19
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1:30 28
2:00 33
2:30 36
3:00 43
3:30 28
4:00 30
4:30 20
5:00 17
29
30
12:00 1:00 41 18
6
7
8
9
10
9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 28 31 38 24 12
21
22
23
24
25
26
27
28
5:30 23
6:00 27
6:30 12
7:00 15
7:30 17
8:00 3
8:30 18
9:00 45
9:30 10:00 60 77
a.
C o n s tru y a y analice un gráfico c y uno 10Ou. C o m p á re lo s.
b.
¿ Q u é conclusiones sa ca U d . de este estudio?
c.
¿ Q u é valor de c prom edio recom ienda para el siguiente período?
d.
¿ Q u é valor especificado recom ienda?
U n a líne a de p ro d u cció n de ju g u e te s de rueda tiene p ro b le m a s de cali d a d q u e s e p re s e n ta n c o m o d o s d e fe c to s im p o rta n te s , d e fe c to s A y defectos B.
JORGE ACUÑA ACUÑA
469
C o n el fin de h a c e r un e s tu d io se to m a n 20 m u e s tra s o rig in á n d o s e la inform ación presentada en el C u a d ro 5.18.
7.
a.
C o n s tru y a tres tipos de gráficos e indique cu á le s se ria n los lím ites para la etapa de seguim iento.
b.
¿ Q u é su geren cias tiene para m ejorar la calidad de este producto?
c.
¿ Q u é especificaciones sugiere para el futuro?
d.
¿ Q u é probabilidad de detectar puntos fuera de límites tienen los tres gráficos construidos en a?
U n a m u e ble ría tiene pro b le m a s de calidad con cuatro características de calidad asociadas a cuatro tipos de defecto. Para investigar la situación se
CUADRO 5.18. Información para el Problema 6
H O JA D E D A T O S - G R A F IC O S D E C O N T R O L PO R A T R IB U T O S Artículo: Juguetes de rueda Características: Defectos A y B Operación: Ensamble Operario: Carlos Salas Fecna:27-03-85 Turno:1
Código: Especificación: Tam año de muestra: Inspector: Hora de inicio: 7:00 am
JR-4879 No hay Variable L. Domínguez H oja#1de1
Número de muestra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tam año de muestra # de defectos A # de defectos B # de defectos
59 39 20 5
45 18 13 4
74 28 12 8
80 35 15 19
35 36 15 2
39 28 10 5
49 28 20 4
51 18 10 3
73 35 14 8
68 39 20 7
Número de muestra
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Tam año de muestra # de defectos A # de defectos B # de defectuosos
64 39 30 8
65 30 39 12
81 41 15 8
30 20 30 22
39 21 15 13
42 31 18 4
55 30 14 10
62 31 15 11
69 39 12 15
79 41 10 31
CONTROL DE CALIDAD
470
tom an 2 0 m uestra s de ta m año variable, originándo se la inform ación que presenta el C u a d ro 5.19. a.
H a g a un p are tog ra m a con la siguiente ponderación: 1 0 0 ,5 0 , 25, y 1 para defectos A , B, C y D respectivam ente.
CUADRO 5.19. Información para el Problema 7
H O J A D E D A T O S - G R A F IC O S D E C O N T R O L P O R A T R IB U T O S Artículo: Características: Operación: Operario: Fecha:01-01-85
Muebles Defectos A ,B ,C y D Ensamble Cecilia Borbón Turno:1
Código: Especificación: Tam año de muestra: Inspector: Hora de inicio: 7:00am
JR -4879 12% Variable L. Zapata Hoja#1de1
Número de muestra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fecha
1
2
3
4
5
8
9
10
11
12
Tam año de muestra # de defectos A # de defectos B # de defectos C # de defectos D # de defectuosos
56 18 20 15 12 13
72 25 18 10 13 8
47 8 15 28 17 10
45 13 13 17 18 10
69 8 12 29 19 5
65 15 14 11 11 5
60 8 18 20 12 8
58 25 17 19 11 13
50 10 13 10 3 12
54 28 10 28 4 8
Número de muestra
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Fecha
15
16
17
18
19
22
23
24
25
26
Tam año de muestra # de defectos A # de defectos B # de defectos C # de defectos D # de defectuosos
55 16 18 18 13 5
61 17 15 15 11 14
71 16 10 14 9 8
68 14 10 15 8 7
50 11 17 16 7 10
51 9 14 17 16 8
58 10 12 20 15 17
60 9 23 18 14 3
65 17 15 17 11 4
66 15 19 16 8 10
JORGE ACUÑA ACUÑA
471
b.
C o n s tru y a y a n a lic e un g rá fic o d e co n tro l p c o n lím ite s re c to s y que brados. Analice las ventajas y desventajas de uno y otro.
c.
C onstru ya y analice un gráfico de control c para cad a tipo de defecto y uno para defectos totales.
d.
Si se da u na especificación prom edio del 5 % para defectuosos y de 5 defectos en prom edio para defectos totales, ¿cuál es la situación de esta línea de producción?
e.
C o n s tru ya y analice un gráfico u para defectos tipo D .
f. g. 8.
¿ Q u é límites de control propone usar en el período siguiente? C o n s tru ya un gráfico de Indice de dem éritos.
E n un p ro c e s o d e co rte y c o n fe c c ió n s e in s p e c c io n a n 2 0 lotes d e 20 c a m is a s c a d a un o . L o s resu ltados d e la in sp e cció n se pre se n ta n en el C u a d ro 5 .20 . La especificación se ha fijado en un p ro m e d io de 5 % para defectuosos y en 10 defectos co m o m áxim o.
CUADRO 5.20. Información para el Problema 8
H O JA D E D A T O S - G R A F IC O S D E C O N T R O L P O R A T R IB U T O S Artículo: Camisas Características: Defectos Operación: Corte y Confección Operario: Carlos Salazar Fecha:27-08-85 Turno:1
Código: Especificación: Tam año de muestra: Inspector: Horade inicio: 7:00am
CA-3412 10% 10 n=20 L. Domínguez Hoja#1 de 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
# De defectos # De defectuosos
15 5
19 8
20 3
25 4
5 3
14 2
5 1
20 5
0 0
13 4
Nímero de muestras
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
# De defectos # De defectuosos
15 6
18 8
15 4
10 5
5 1
0 0
12 5
11 3
9 /
15 8
Número de muestra
472
9.
CONTROL DE CALIDAD
a.
¿ Q u é p u e d e d e c ir U d de este p ro c e s o ? Ju s tifiq u e su a n á lisis con núm ero s.
b.
¿ Q u é pro p one h acer en el futuro?
E n u n a p la n ta q u e tra b a ja tre s tu rn o s se h a lle v a d o un re g is tro de im perfecciones de acuerdo con el tam año de m uestra seleccionado, el cual se m uestra en el C u a d ro 5.21.
CUADRO 5.21. Registro de información para el Problema 9
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Turno
c
n
c
n
c
n
c
n
c
n
c
n
6a 2 2 a 10 10a 6
16 4 15
16 20 11
21 6 16
27 34 19
6 1 1
17 6 22
18 9 9
11 33 28
17 6 5
27 21 35
3 1 2
25 37 17
a.
A n alice la situación a través de un gráfico de control.
b.
Si se pide una especificación ¿cuál recom endaría?
c.
¿ Q u é im plicaciones tiene este estudio?
d.
D e te rm in e la p ro b a b ilid a d de q u e tres p u n to s co n s e c u tiv o s e stén sob re el límite superior de control?
10.
E n u n a e n s a m b la d o r a d e a u to m ó v ile s se d is p o n e de un re g is tro de inspección de todos los ve h ícu lo s e nsam b lados en un m es. Este registro se m uestra en el C u a d ro 5 .22 y consta de la siguiente inform ación: •
F e c h a de ensa m b le
•
C ó d ig o de la unidad
•
To ta l de defectos encontrad os en la unidad
•
N ú m e ro de defectos por departam ento
473
JORGE ACUNA ACUNA
CUADRO 5.22. Información para el Problema 10
H O JA D E D A T O S - G R A F IC O S D E D E M E R IT O S Artículo: Automóvil Característica: Defectos A ,B ,C y D Operación: Ensamble Operario: Carlos Carrillo Fecha:07-12-85 Turno: 1 Código de auto # Defectos totales # Def. carrocería # Def. pintura # Def. tapicería # Def. mecánicos Código de auto
# Defectos totales # Def. # Def. # Def. # Def. # Def.
carrocería pintura tapicería mecánicos eléctricos
Código: Especificación: Tam año de muestra: Inspector: Hora de inicio: 7:00am
JR -4879 No aplica Variable L. Sánchez Hoja # 1 de 1
3646 3761 3760 3759 3758 3737 3756 3755 3745 3754 86 48 22 8 5
63 25 17 10 8
59 27 18 7 6
60 30 14 9 4
61 24 23 7 5
66 32 19 6 6
63 24 24 7 6
57 33 13 6 3
88 40 23 14 9
54 18 19 12 5
3749 3753 3750 3752 3751 3747 3746 3748 3745 3744 60 29 12 9 2 8
59 32 16 8 1 5
70 33 15 7 2 7
62 32 16 8 1 5
64 33 15 7 2 7
67 23 18 13 2 11
57 27 15 5 3 6
64 32 13 10 2 7
62 28 16 10 0 8
58 23 14 9 3 9
a.
C onstruir y analizar un gráfico c.
b.
C o n s tru ir un g rá fic o de d e m é rito s u s a n d o ia e s c a la D o d g e -T o rre y .
c.
¿ Q u é conclusiones saca U d de este estudio?
Capítulo VI
MUESTREO DE ACEPTACION
E ■
n o c a s io n e s se d e s e a in s p e c c io n a r la ca lid a d so b re cantidades de artículos ya producidos, com o en lotes de pro du ctos en p ro ce so o lotes recibidos del pro veedor. ,
P a r a e je c u ta r e s te tip o d e in s p e c c ió n e x is te n d o
f o r m a s : la in s p e c c ió n 1 0 0 % y la in s p e c c ió n p o r m uestreo. E n la p rim e ra se in s p e c c io n a la totalidad de las u n id a d e s q u e c o m p o n e n el lote m ie n tra s q u e en la in s p e c c ió n p o r m u e s tre o se to m a u n a m u e s tra de unidades y con base en su com portam iento se concluye acerca de la calidad del lote. La eficacia y eficiencia del m u e s tre o d e p e n d e d e la a le a to rie d a d y r e p r e s e n tatividad de la m uestra usada para la inferencia. A lg u n a s c a ra c te rís tic a s que d ife re n cia n a m b o s tipos de inspección se enum eran a continuación. IN S P E C C IO N 100%
IN S P E C C IO N PO R M U E S T R E O
A. COSTO S u costo total es alto, es
Su costo total es bajo, se
476
los e n s a y o s
CONTROL DE CALIDAD
son
c o s to s o s .
Las
y s e to m a n d e c is io n e s en form a ágil.
decisione s son lentas.
B. UTILIZACION S e em p le a cu a n d o no se pu e den to
S e em plean cu a n d o se pueden tole
lerar riesgos deb ido s al m uestreo en
rar riesgos y es posible aleatorizar la
oca sio nes c u a n d o los defectos ins
recolección de datos.
p eccion a dos son críticos.
C. ERRORES S e e m p le a c u a n d o no es posible tolerar errores propios de la naturale z a estadística de las m uestras.
S e em plea cu a n d o los errores de tipo e sta d ís tic o se p u e d e n a c e p ta r y pueden ser contratados.
D. SESGOS Los errores h u m a n o s tales co m o fati ga, negligencia y dificultades de s u pervisión, qu e no se pu e den m edir ni estim ar, h a ce n que rara v e z las c o n c lu s io n e s q u e se o b tie n e n s e a n exactas y vera ce s.
E s posible una exactitud real, pues la cantidad por inspeccionar es m e n o r y m anejable. La inspección se puede o rgan izar y a través de entrenam ien tos se pueden reducir los errores h u m anos.
E. TIPO DE ENSAYO N o es aplicable cu a n d o el e n s a yo es destructivo.
E s el único m étodo aplicable cu an do el e nsayo es destructivo.
F. CANTIDAD DE PERSONAL R e q u ie re de m u c h o s insp ecto res, cu y o costo de adiestram iento es alto. La orga n ización de este personal es m ás com pleja.
S e requiere m enos inspectores y su entrenam iento es m á s fácil y eficaz. La organización de este personal es m ás fácil.
JORGE ACUNA ACUNA
477
G. N ecesita de m uch o equipo. Si éste es com ple jo y caro será m uy difícil esta blecer un laboratorio.
H. Existe una tendencia a creer que solo se pueden obtener buenos resultados si s e in s p e c c io n a la to ta lid a d de lo p ro d u cid o . E sto es falso p u e s la ins p e cc ió n de g ra n d e s v o lú m e n e s m e d ia n te o p e ra c io n e s rep e titiva s difi c u lta la o b te n c ió n d e b u e n o s r e
EQUIPO S e puede sele ccionar equipo y for m ar un laboratorio a d ecuado y orga nizado.
MITOS Existe una tendencia a desconfiar de la estadística, pues se cree qu e no es posible obtener m uestras adecuadas. Si se siguen los pasos del m étodo científico no h a y por qué du da r de la eficacia de los m étodos estadísticos.
sultados.
L o s anterio res a sp e c to s h a ce n q u e la m a yo ría de las v e c e s c u a n d o se p ie n s a en co n tro l e s ta d ís tic o de la c a lid a d , se p re fie ra la in s p e c c ió n por m uestre o. Para ello se deb e dispon er de un m anual que especifique pro cedi m ientos y criterios de decisión.
MANUAL DE INSPECCION El m a nu a l de inspección constituye una im portante herram ienta para la e sta n da riza ción de criterios, pu es define los pro cedim ientos y m etodo logías que se deben aplicar al efectuar la inspección. El m anual puede estar dedicado a inspección de proceso o de materias prim as y producto terminado. Existen al g u na s diferencias qu e se centran en el hecho de que si es para el proceso, las características deben analizarse con base en las operaciones de producción y no en el o los productos que se fabriquen. El objetivo del m anual es lograr la norm alización de los m étodos y p ro ce dim ientos de inspección, con el fin de m inim izar las decisiones subjetivas que se to m e n. Lo que se quiere es qu e los inspectores tengan un m edio de tom ar decisiones que no se vean influenciadas por criterios propios y subjetivos.
478
CONTROL DE CALIDAD
El m anual de b e estar co m p u e s to por una serie de seccio nes. A lg u n a s de ellas son:
1.
2.
Información general. Esta
inform ación incluye:
a.
N o m b re de la em p resa
b.
N o m b re y tipo de producto o proceso
c.
C ó d ig o del producto
d.
N o m b re del o de los inspectores
e.
F e ch a s
Tipo de contrato. S e
indicará en el caso de inspección de materias prim as
el tipo de contrato que se ha suscrito entre el com p ra d o r y el ven d e d o r. S e indicará a q u í entre otras cosas:
3.
a.
N o m b re y dirección del p ro ve e d o r o pro veedores
b.
A Q L (N ivel de calidad aceptable)
c.
C o n d icio n e s de re ch a zo de producto
d.
R e e m b o lso p or producto no conform e a requerim ientos
e.
A c u e rd o s especiales con el p ro veedor
Tipo de inspección. S e
indicará aq u í si la inspección es de rutina o e sp e
cial y en qu é ca so s se aplica ca d a una de ellas. 4.
Lugar de inspección.
S e d e b e d e fin ir el sitio d o n d e se re a liz a rá la
inspección y el tipo de puesto que se requiere. S e estab lecerá el m étodo p or seguir y se darán la pautas para efectuar la actividad con alto g rado de eficiencia y efectividad. 5.
Procedimiento de inspección. S e
definen aquí los pasos por seguir en la
inspección, incluyendo el tam año de la m uestra y la form a en que v a a ser recolectada, de tal m anera qu e se logre la aleatoriedad y representatividad requerida. Ta m b ié n se deben definir los criterios de aceptación y recha zo de lotes, sin que haya m a yor influencia de los inspectores. S e pu eden utilizar, m uestras
JORGE ACUÑA ACUÑA
479
patrón que permitan evidenciar la criticidad de los defectos. S e debe expli ca r el procedim iento de análisis de la m uestra y de tom a de decisiones. 6.
Instrumentación. Si se ejecuta inspección por variables se debe organizar el m anejo y la utilización de instrumentos de tal m anera que las mediciones obtenidas con ellos sean confiables. S e pu eden a g re g a r ilustraciones de las partes del instrum ento y dependiendo de la com plejidad de su manejo, se p u e d e n a g re g a r ilustraciones de los diferentes pasos en su utilización. Si los instrum entos son m u ch os, esta sección puede constituir por sí sola un m anual.
7.
Documentación. E s im portante tener docu m en tos que perm itan con ser va r la inform ación recolectada de la inspección para su posterior análisis. Esta información se podría anotar en la orden de fabricación; sin em bargo, es m e jo r te ner d o c u m e n to s aparte q u e pu e d a n se r a n a liza d o s ind e p e n dientem ente. A lg uno s docum entos qu e pueden utilizarse se presentan en el C a p ítu lo 7.
8.
Destino de producto rechazado. T o d o
material o producto que sea re
c h a z a d o de b e tener su a d e c u a d o destino, con el fin de no ca u sa r d esó r d e n e s q u e c a u s e n con fusión en b o d e g a s y líneas de p ro d u cció n . D ebe b u sca rse salida a todo material re ch a za d o y a sea por venta o desecho. U n a form a es m arcar un área en bod ega desde donde se tom ará constan tem ente ese producto para su venta o desecho. El m a n u a l de inspección , si está bien estructurado, p u e d e servir para la capacitación y entrenam iento de inspectores.
DEFINICION DE MUESTREO DE ACEPTACION El m uestreo de aceptación es una técnica estadística que permite calificai la c a lid a d de un lote, con b a s e en los a n álisis e fe ctu a d o s so b re u n a o m ás características de calidad y con base en una o m ás m uestras extraídas de él. E s ta té c n ic a e s a p lic a b le p rin c ip a lm e n te en la re c e p c ió n d e m aterias prim as y m ateriales y en la inspección de productos term inados y a sea fuera c de n tro de la fá brica q u e p ro d u c e o p ro v e e . T a m b ié n es posible utilizarla e r
480
CONTROL DE CALIDAD
in s p e c c ió n e n p ro c e s o , c u a n d o un d e p a rta m e n to e n tre g a a otro lotes de producto sem ielaborado. C u a n d o se d e c id e a p lic a r m u e s tre o de a c e p ta c ió n s e p e rs ig u e n d o s objetivos fundam entales: 1.
A s e g u ra r la calida d del lote e n v ia d o p ro cu ra n d o qu e éste cu m p la con lo requerido por el cliente y qu e lo satisfaga durante el plazo pactado.
2.
A s e g u ra r la calidad del lote recibido y aceptar solo aquel que cu m pla con los requerim ientos. E n el logro de estos o b je tivo s uno de los a sp e cto s m á s relevantes es la
confiabilldad qu e tenga el m uestreo. El tam año de la m uestra y la aleatoriedad en su selección constituyen las fuentes de error que deben estudiarse a fondo. Para que el m uestreo de aceptación sea representativo, debe tenerse e s pecial cuidado en la form a en q u e se agru pan los lotes, los cuales deben estar f o r m a d o s p o r u n id a d e s q u e h a y a n s id o f a b r ic a d a s b a jo la s m is m a s c o n d ic io n e s , e s d e c ir, c o n lo s m is m o s m a te ria le s , m é to d o s , m á q u in a s , operarios y con dicio ne s am bientales. Al igual q u e en los g rá fico s de con trol, se p u e d e e fe ctu a r m u e stre o de acep tació n pa ra varia ble s y m u e stre o de aceptación para atributos. La e s c o g encia del tipo de m u e stre o d e p e n d e de las características por e v alu ar en el producto som etido a inspección.
MUESTREO DE ACEPTACION PARA ATRIBUTOS U n plan de m uestreo para atributos funciona extrayendo m uestras de lotes y con ba se en el nú m e ro de defectos o defectuosos que con teng an, se decide sob re la calidad del lote. D e a cu e rd o con ésto, se p u e d e contar con tres tipos de planes: a.
Planes sim ples de m uestreo
b.
Planes dob le s de m uestre o
c.
Planes m últiples de m uestreo
JORGE ACUNA ACUNA
481
La discrimin,ación de estos planes de sd e el punto de vista del consum idor y del productor se analiza en función de la probabilidad de aceptación del lote som etido a inspección.
P
l a n e s
s im p l e s
d e
m u e s t r e o
El plan sim ple de m uestreo se diseña con base en un tam año de m uestra (n ) y un n ú m e ro de a c e p ta c ió n (c ). E l ta m a ñ o de m u e s tra es el n ú m e ro de u n id a d e s qu e d e b e n s e r ex tra íd a s del lote y el n ú m e ro -d e a ce p ta ció n es el criterio que perm ite acep tar o recha za r la m uestra y el lote. Este n ú m ero debe especificarse co m o nú m ero de defectos, defectuosos o disconform es, al inicio de la Inspección. D e b e re co rd arse q u e el pro ducto defectu oso se diferencia del producto disconform e en que el defectuoso no puede cum plir con la función en co m e n d a da, p u e s tiene fallas, m ientras q u e el d isco n fo rm e es p ro d u cto q u e no está a co rde con lo requerido aunque no tenga fallas. Este plan de m uestreo funciona s e g ú n el siguiente procedim iento: 1.
S e selecciona un lote (N ) al a za r y se extrae una m uestra de tam año n en form a aleatoria y representativa.
2. 3.
S e inspecciona 1 0 0 % la m uestra. Si la muestra contiene c o m enos defectuosos, defectos o unidades discon form es, se acep ta la m uestra y el lote de don de pro viene. A q u í finaliza la inspección.
4.
Si por el contrario, la m uestra contiene m ás de c defectuosos, disconfor m e s o defectos, se recha za la m uestra y el lote de don de proviene.
5.
S e Inspecciona el rem anente del lote (N -n ) 1 0 0 % y se envían las unidades defectuosas al proveedor, tom ando registro de él. E ste procedim iento se representa en la Figu ra 6.1. U n plan de m uestreo
sim ple se denota con el término (n ,c). D e m anera que un plan (1 0 0 ,4 ) significa que se v a a tom ar una m uestra de 100 unidades y se aceptará la m uestra y el lote si el núm ero de defectos o defectuosos es igual o m e n o r que 4.
482
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 6.1. Representación gráfica del funcionr' rniento del plan simple.
JORGE ACUÑA ACUÑA
483
La discrim ina ción del plan d e m u estre o, anterio rm ente m e n cio n a d a , se m ide usando la curva característica de operación (O C ). Esta curva es un gráfico de línea en el qu e se representa el porcentaje de defectuosos o disconform es (p ) en el eje x y la probabilidad de aceptación (P A) en el eje y. El procedim iento para su construcción es el siguiente: 1.
E s ta b le c e r va lo re s d e p q u e se e n c u e n tre n entre 0 y 0 ,1 . E sto s valores rep resen tan las posibles fraccio nes de defectuosos o disconform es qu e p u edan tener los lotes.
2.
C a lcula r el valor de np, es decir, multiplicar el tam año de la m uestra por el v a lo r de p.
3.
Utilizar las tablas de la aproxim ación de la distribución binom ial a la P ois son, cuando el tam año del lote es grande, o la distribución binomial cuando e s p eq ueño, para b u sc a r los valores de np.
4.
L o ca liza r la probabilidad de a cep tació n (P A) aso c ia d a con el va lo r de np localizado en 3 y el n ú m e ro de acep tació n (c ) co rresp ondiente al plan de m uestreo en estudio, utilizando la T a b la VIII del A péndice I. La probabilidad de aceptación para un lote cero por ciento defectuoso es 1 0 0 % (1 ).
5.
C onstruir la cu rva característica de operación (O C ) usand o los valores de p y p A-
6.
O b te n e r las con clusiones del caso.
EJEMPLO 6.1 U n com p ra dor m uestrea los lotes qu e recibe sacando una m uestra de 150 unidades y decide recha za r si encuentra m ás de tres unidades defectuosas. E s decir, utiliza un plan de m uestreo n =15 0, c=3. ¿ C u á l es la cu rva característica con la que ese co m p ra d o r inspecciona esos lotes?
SOLUCION 1. 2.
S e establecen valores de p co m prendido s entre 0 y 0,05. S e calcula el va lo r de np, m ultiplicando el ta m a ñ o de la m uestra (n = 1$0) p or los valores d e p .
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 6.1. Datos para la curva OC del Ejemplo 6.1 n=100, c=3 p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
np
P*
1,5 3,0 4,5 6,0 7,5
0,934 0,647 0,343 0,151 0,059
U tiliza n d o las tablas de la a p ro xim a ció n de la distribución binom ial a la Poisson se localizan los va lore s de np. S e localiza la probabilidad de aceptación (P A) asociada con el valor de np lo c a liza d o en 3 y el n ú m e ro de a ce p ta ció n c= 3 , u sa n d o la T a b la VIII del A p é n d ice I. El C u a d ro 6.1 pre senta la inform ación. S e construye la curva característica de operación (O C ) usando los valores de p y P A, obtenidos en 4. La Figura 6.2 presenta la curva correspondiente.
FIGURA 6.2. Curva característica de operación del Ejemplo 6.1
JORGE ACUÑA ACUÑA
6.
485
C o n la cu rva graficada, se p u e d e localizar la probabilidad de aceptación qu e le corresponde a un lote que es inspeccionado con el plan n=1 J b ,c = 3 . A s í, por ejem plo, si se tiene un lote 3 ,4 % defectuoso, su probabilidad de aceptación será de 0 ,2 5 1 , lo que significa que si se som eten a inspección 100 lotes, se aceptarán 25 y se re c h a za rá n 75 lotes. El g ra do de discrim inación de un plan de m uestreo es el g ra d o de rigidez
con que un plan dism inuye la probabilidad de aceptación a p e sa r de que el lote con te nga poca cantidad de producto disconform e o defectuoso. A s í, el plan m ás discrim inante será siem pre aquel que se encuentre m ás ce rca del origen. Si el productor está c h e q u e a n d o m aterias prim as, usará ese plan; si está chequeando su producto term inado, deberá ch e q u e a r también con ese plan a pesar de que de se e hacerlo co n un plan m enos discrim inante. Para observar m ejor el grado de discrim inación de un plan de m uestreo, se plantean los siguientes caso s: C A S O A . Planes que m antienen el tam año de m uestra constante p e ro núm ero
de ace ptación variable EJEMPLO 6.2 C o n s tru y a las cu rva s O C para los siguientes cuatro planes de m uestreo y com párelos. n=100,
c=1
n=1 0 0,
c= 2
n=1 0 0,
c=3
n=1 0 0,
c=4
SOLUCION
El Cuadro 6.2 resume los pasos del 1 al 4. La Figura 6.3 presenta el paso 5.
486
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 6.2. Datos para la curva OC para el CASO A
n=100, c=1
n=100, c=2
n=100, c=3
n=100,c=4
p
np
P*
np
Pa
np
P*
np
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
1 2 3 4 5 6 7 8
0,736 0,406 0,199 0,092 0,040 0,017 0,007 0,003
1 2 3 4 5 6 7 8
0,920 0,677 0,423 0,238 0,125 0,062 0,030 0,003
1 2 3 4 5 6 7 8
0,981 0,857 0,647 0,433 0,265 0,151 0,082 0,042
1 2 3 4 5 6 7 8
>
a
0,996 0,947 0,815 0629 0,440 0,285 0,173 0,100
O b s e rv a n d o las c u rv a s características de ope ra ció n , en la F ig u ra 6.3, se p u e d e co n c lu ir q u e los p la n e s de m u e s tre o se v u e lv e n m á s d iscrim in a n te s c u a n d o , m ante niend o constante el ta m a ñ o de la m uestra, se hace d e c re ce r el n ú m e ro de a cep tació n.
FIGURA 6.3. Curva característica de operación para tamaños de muestra constantes y criterios de aceptación variables.
JORGE ACUÑA ACUÑA
487
O b s e rv a n d o las cu rva s características de o peración, en la F ig u ra 6.3, se p u e d e co n clu ir q u e los p la n e s de m u e s tre o se v u e lv e n m á s d iscrim in a n te s c u a n d o m antenie nd o con stante el ta m a ñ o de la m u estra se h a ce d e c re ce r el núm e ro de aceptación. A u n q u e el productor desee ch e q u e a r con el plan n=100, c=4, debe hacerlo con el plan n = 1 0 0 ,c = 1 , pues es el plan qu e usará el co n su m ido r para probar la calidad de las entregas que se le hagan. Existe tam bién la posibilidad de pactar con el c o m p ra d o r para u sa r un plan interm edio que no s e a tan rígido p a ra el pro ductor y que a la v e z proteja al com prador. C A S O B . P lanes q ue m a n tie n e n e l n ú m e ro de a c e p ta ció n co n sta n te p e ro e l
tam año de m uestra variable EJEMPLO 6.3 C o n s tru ya las cu rva s O C para los siguientes cuatro planes de m uestreo y com pá re los. n=100,
c=3
n=150,
c= 3
n=20 0,
c= 3
n=25 0,
c= 3
SOLUCION El C u a d ro 6.3 resum e los pasos del 1 al 4. La Figura 6.4 presenta el paso 5. A l o b s e r v a r la F ig u r a 6 .4 , s e p u e d e n o ta r q u e c u a n d o s e m a n tie n e constante el núm ero de aceptación y se v a ría el tam año de la m uestra, el plan m ás discrim inante será siem pre aquel que tenga el m ayor tam año de m uestra. D e los cu a tro pla n e s m o stra d o s, el q u e d e b e usa rse es el plan n = 2 5 0 , c= 3 . C laro está, en igual form a qu e en el caso anterior, un acuerdo entre el productor y el co n su m ido r puede llevar a la esco ge n cia de un plan interm edio.
CONTROL DE CALIDAD
488
CUADRO 6.3. Datos para la curva OC para el CASO B
n=100, c=3
n=150, c=3
n=200, c=3
n=250, c=3
p
np
PA
np
PA
np
PA
np
PA
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
0,981 0,857 0,647 0,433 0,265 0,151 0,082
1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5
0,934 0,647 0,342 0,151 0,059 0,021 0,007
2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
0,857 0,433 0,151 0,042 0,010 0,002 0,000
2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5
0,758 0,265 0,059 0,010 0,001 0,000 0,000
FIGURA 6.4. Curva característica de operación para tamaños de muestra variables y criterios de aceptación constantes
C A S O C . P la n e s q u e c o n s e rv a n una m is m a ra z ó n e n tre e l ta m a ñ o de la
m ue stra y e l nú m ero de aceptación (n/c).
JORGE ACUNA ACUNA
489
E J E M P L O 6.4
C o nstru ya las cu rva s O C para los siguientes cuatro planes de m uestreo y com párelos.
n= 50,
C=2
n= 75,
c= 3
n=100,
c=4
n=125,
c=5
SOLUCION C o m o se p u ede notar la razón (n/c=25) es la m ism a en todos los planes. El C u a d ro 6 .4 resum e los pasos del 1 al 4. La Figura 6.5 presenta el paso 5. C o m o se puede observar en la Figura 6.5, cuando se m antiene una m ism a ra zó n entre el ta m a ñ o de m u e stra y el n ú m e ro de a ce p ta ció n , los p la n e s de m u estre o, hasta un cierto va lo r de p, tienen un g rado de d iscrim inación m u y parecido. Para este ejem plo, este valor de p es a p roxim adam ente 3 ,3 % .
CUADRO 6.4. Datos para la curva OC para el CASO C
n=50, c=2
n=75, c=3
n=100, c=4
n=125, c=5
P
np
PA
np
PA
np
PA
np
PA
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
0,986 0,920 0,809 0,677 0,544 0,423 0,321 0,238
0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 4,50 5,25 6,00
0,993 0,934 0,800 0,647 0,480 0,342 0,231 0,151
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
0,996 0,947 0,815 0,629 0,440 0,285 0,173 0,100
1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00
0,998 0,958 0,820 0,616 0,400 0,240 0,128 0,067
490
P
CONTROL DE CALIDAD
A
I ,0 0,8 0,6 0 ,4 0 0 0 ,4 )
0,2 O O
I
2
3
4
5
6
7
8 p (% )
FIGURA 6.5. Curva característica de operación para planes que tienen una misma razón entre el tamaño de muestra y el número de aceptación.
A s í, en este e je m p lo se p u e d e con clu ir que para va lo re s de p m e n o re s o iguales a 3 ,3 % , el g ra do de discrim inación de todos los planes es el m ism o. Sin e m b a rg o , p a ra va lo re s s u p e rio re s a 3 ,3 % el plan m á s discrim inante es el de m a y o r ta m a ñ o de m u e stra y m a y o r n ú m e ro de aceptación. C A S O D. Planes que usan un tam año de m uestra po rce n tu a l a l tam año de l lote y nú m ero de a ce p ta ció n consecutivo.
EJEMPLO 6.5 E n in s p e c c ió n d e re c e p ció n se tiene la prá ctica de m u e s tre a r el 1 % del tam a ño del lote recibido (0,01 N ). C o n s tru y a las curva s O C para los siguientes planes de m u e stre o y com párelos. N=10000,
n=10 0,
c=2
N=20000,
n=20 0,
c= 3
N=25000,
n =25 0,
c=4
JORGE ACUÑA ACUÑA
491
SOLUCION El C u a d ro 6.5 resum e los pasos del 1 al 4. La Figura 6.6 presenta el paso 5.
CUADRO 6.5. Datos para la curva OCpara el CASO D
■
■
..
n=100,c=2
n=200,c=3
n=250,C=4
p
np
PA
np
PA
np
PA
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
0,920 0,677 0,423 0,238 0,125 0,062 0,030
2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0
0,857 0,433 0,151 0,042 0,010 0,002 0,000
2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5
0,891 0,440 0,130 0,029 0,005 0,001 0,000
FIGURA 6.6. Curva característica de operación para planes con tamaño de muestra porcentual a N y criterios de aceptación consecutivos
CONTROL DE CALIDAD
492
Al o b s e rv a r la F ig u ra 6 .6 , se p u e d e notar que c u a n d o se usan planes de m uestreo b a s a d o s en criterios porcentuales sobre el tam año del lote, el plan se v u e lv e m á s d iscrim in a n te c u a n d o el ta m a ñ o del lote c re c e . E n este c a s o los planes n = 2 0 0 ,c= 3 y n = 2 5 0 ,c= 4 tiene un grado de discrim inación m uy parecido, a u n q u e e s m á s discrim inante el s e g u n d o . E n g eneral, se puede concluir que bajo esta práctica e s m ejo r el e n vío de lotes p eq u eños, pu es éstos tienen una m á s alta probabilidad de aceptación. S i el p r o v e e d o r c o n o c e q u e los lo te s , en la e m p re s a del c lie n te , se m uestrean bajo el criterio de porcentajes sobre el tam año del m ism o y tiene un e n v ío de un lote de ta m a ñ o N , la m e jo r alte rn a tiva es s e c c io n a r ese lote al m áxim o que pu e da . P ara ello se d e b e h acer un análisis de costos, tom ando en cu en ta que al se cc io n a r el lote crecerá n los costos de e n vío y transporte, pero d e c re ce rá n los costos de a lm a cen aje y de m ala calidad. El E je m p lo 6 .6 ilustra lo anteriorm ente dicho.
EJEMPLO 6.6 U n fa brica nte re cib e un p e d id o de 2 0 0 0 0 u n id a d e s el cual v a a s e r in s pe cc io n a d o en la planta del cliente u sa n d o un plan de m uestre o n = 2 0 0 , c= 4 , n = 1 00, c= 2 o n=50 , c=1 según se e n víe un solo lote, dos lotes de 10000 unida des o cuatro lotes de 5000 unidades. La razón es que el cliente usa el criterio de extraer el 1 % del ta m a ñ o del lote. Analice para ca d a caso las ventajas del fabricante si este entrega lotes que son 2 % d e fe ctu o so s. N ótese q u e la ra zó n entre el ta m a ñ o de la m u estra y el n ú m e ro de a cep tación en los tres planes de m uestreo es la m ism a.
SOLUCION E nvío de un solo lote de 2 0 0 0 0 unidades A n te este ta m a ñ o d e lote el cliente u sa el plan de m u e stre o n = 2 0 0 , c=4. S i s e b u s c a e n la s T a b l a s d e la a p r o x i m a c i ó n B i n o m i a l -P o i s s o n , la p ro b a b ilid a d d e a c e p ta c ió n q u e c o r r e s p o n d e a e s e p la n , c o n p = 0 ,0 2 es 0 ,6 2 9 . A s í se tiene:
JORGE ACUÑA ACUÑA
493
N ú m e ro espe ra do de unidades ace p ta d a s= 1*20000*0,629 = 12580 unidades N ú m e ro espe ra do de unidades re c h a za d a s= 1 *20000*0,371 = 7 4 2 0 unidades
E nvío de dos lotes de 10000 un id ade s cada uno Al u sa r este ta m a ñ o de lote, el cliente utiliza el plan de m u estre o n = 1 00, c = 2 . S i s e b u s c a en las T a b la s de la a p ro x im a c ió n B in o m ia l- P o is s o n , la probabilidad de acep tación qu e co rre sp o n d e a ese plan con p = 0 ,0 2 es 0,677. A s í se tiene: N ú m e ro espe ra do de unidades ace p ta d a s= 2*10000*0,677 = 13540 unidades N ú m e ro espe ra do de unidades re c h a za d a s= 2*10000*0,323= 6460 unidades
Envío de cua tro lotes de 5 0 00 lenidades cada uno Al usar este tam año de lote el cliente utiliza el plan de m uestreo n=50, c = 1 . Si se busca en las Ta b la s de la aproxim ación Binom ial- Poisson, la probabilidad de aceptación que co rresp onde a ese plan con p = 0 ,0 2 es 0 ,6 7 7 . A s í se tiene: N ú m e ro espe ra do de unidades ace p ta d a s= 4*5000*0,736 = 14720 unidades N ú m e ro e sp e rado de unidades re c h a za d a s = 4*5000*0,323 = 5280 unidades E s claro que conform e decrece el tam año del lote, la cantidad esperada de u n id a d e s a c e p ta d a s c re ce . A s í, si se e n v ía n cuatro lotes de 5 0 0 0 u n id a d e s cada uno, se espera que se acepten 2140 unidades m ás que si se envía un solo lote de 2 0 0 0 0 u n id a d e s. D e s p u é s de h a c e r el análisis d e co sto s p la n te a d o anteriorm ente se p u e de llegar a u na m ejo r conclusión. E n re s u m e n , si se aplica el m u estre o porcentual el p ro v e e d o r te n d e rá a enviar lotes de tam año lo m ás pequeño posible, m ientras qu e el cliente deseará recibir lotes de ta m a ño lo m ás g rand e posible.
Diseño de un plan simple de muestreo A p e sa r de qu e los planes de m uestre o pueden se r extraídos de n orm as tam bién pueden diseñarse. La ventaja de ésto es que el analista puede plantear
494
CONTROL DE CALIDAD
su s condiciones y dise ñ a r un plan qu e las satisfaga. E n la norm a hay que ajus tarse a las con dicio nes d a d a s por ella. P a ra dise ña r planes de m uestreo es necesario con ocer dos pares ordena dos m u y importantes, éstos son: ( A Q L , 1 - a )y (P N C T , P). E L significado de estos p a rám e tros es el siguiente: A Q L : nivel de calidad aceptable. E s la m ejor calidad que un proceso puede brindar bajo co n d icio n e s norm ales de operación P N C T : porcentaje n o conform e tole rado en el lote. E s la peor calidad que se p u e d e dar co m o a ce p ta d a bajo co n d icio n e s norm ales
a: riesgo del productor de que le recha cen lotes buenos. E s la probabilidad de que lotes m u y buen os, con calidad superio r al A Q L , sean re cha za dos (E rro r tipo I) B: riesgo del co n su m id o r. E s la probabilidad de qu e lotes m u y m alos, con calidad inferior al P N C T , se a n acep tados (E rro rtip o II) E stos puntos se representan en la cu rva característica de operación según lo m uestra la Figu ra 6 .7 .
AQL
PNCT
FIGURA 6.7. Representación de los pares ordenados (AQL, 1-a) y (PNCT,3).
JORGE ACUÑA ACUÑA
495
C o n base en diseños experim entales y para efectos de operación y diseño de planes, se fija el riesgo del productor (a ) en 5 % y el riesgo del consum idor (13) en 1 0 % . Esto no evita que el analista pu eda usar los valores qu e le garanticen m a yo r confiabilidad a su estudio. Ta m b ié n , se puede fijar un nivel de calidad de indiferencia (p 0), para el cual la probabilidad de aceptación es igual a la pro ba bilidad de re c h a zo (0 ,5 ). E sto lo q u e b u sc a es o b te n e r un riesgo com partid o entre el productor y el consum idor. El diseño de un plan de m uestreo se puede basar en el riesgo del pro duc tor, en el riesgo del co n s u m id o r o en a m b o s. S i el p ro d u cto r es el qu e de se a tener su propio plan podrá diseñar una serie de planes y e sco g e r aquel que lle na m á s su s e x p e cta tiv a s . Lo m is m o o cu rre p a ra el c o n s u m id o r. S i tanto el consum idor com o el productor desean llegar a un acuerdo para diseñar un plan co n ju nto qu e satisfaga a m b o s riesgos, en to n ce s se d ise ñ a un único plan de m uestreo. Si el plan se dise ñ a b a s a d o en a m b o s riesgos su c u rv a característica de o p era ción es la m o strada en la F ig u ra 6.7 . Si se diseñan plan es de m uestreo b a sa do s en el riesgo del productor, las cu rva s características de operación de esos planes se p u eden representar según se m uestra en la Figura 6 .8 (a ). Si se d is e ñ a n b a s a d o s en el riesg o del co n s u m id o r, e s a s c u rv a s se re p re se n ta n se g ú n se puede v e r en el F ig u ra 6 .8 (b ). E s im p o rta n te re c a lc a r q u e a u n q u e se p u e d e n d is e ñ a r v a rio s p la n e s basados en uno de los riesgos, solo uno es ca p a z de cum plir con am bos riesgos a la v e z.
Planes de muestreo basados en el riesgo del productor P ara diseñar estos planes, tam bién llam ados planes a, se necesita co n o ce r de a ntem ano el valor del riesgo del productor (a ) y el valor del A Q L corres pondiente al producto sobre el cual se v a a aplicar el plan de m uestreo. El valor de a , tal y c o m o s e dijo a n te rio rm e n te se e sta b le c e g e n e ra lm e n te en 5 % . C o n o c id o s é stos, se utiliza para el d ise ñ o de los p la n e s el sig uiente p ro c e dim iento: 1.
Estable ce r diferentes valores de núm ero de disconform es, defectuosos o defectos. E sto d e p e nderá de lo que se quiera m uestrear. Este n úm ero se
CONTROL DE CALIDAD
496
AQL
(p % ) (o)
(p % )
PNCT
(b )
FIGURA 6.8. Curvas características de operación para riesgo del productor (a) y riesgo del consumidor (¡i).
llama núm ero de aceptación (A c). N o es recom endable utilizar el valor de A c igual a ce ro p u e s los pla n e s con este n ú m e ro de a ce p ta ció n son pla n e s m u y discrim inantes
JORGE ACUNA ACUNA
2.
497
Localizar en las tablas de la aproxim ación binom ial-Poisson los valores de np corresp ondientes a la probabilidad de aceptación (1 -a ) y a los valores de A c establecidos en 1.
3
C a lc u la r el ta m a ñ o de la m u e s tra q u e c o rre s p o n d e a c a d a v a lo r d e np e x tra íd o e n el p a s o 3. E s te ta m a ñ o de m u e s tra s e c a lc u la u s a n d o la siguiente expresión: np n = -----------------“
4.
AQL
Dibujar las curvas características de operación, con el fin de esco ger aquel plan que se acerque m ás a los requerimientos y exigencias de la inspección.
EJEMPLO 6.7 D is e ñ a r c in c o p la n e s d e m u e s tre o q u e c u m p la n c o n un rie s g o del productor (a ) del 5 % , asociado a un nivel de calidad aceptable (A Q L ) de 0 ,6 5 % .
SOLUCION El C u a d ro 6 .6 re su m e los p aso s del 1 al 3. Lo s valores de np se localizan con el valor de A c y el valor de (1 -a )= 0 ,9 5 .
CUADRO 6.6. Cálculos para planes a na = n 'pa /0,0065
498
CONTROL DE CALIDAD
Si se dibujan las cu rva s características de operación, todas pasarán por el punto (0 ,0 0 6 5 ,0 ,9 5 ) qu e es el p a r o rd e n a d o (A Q L , P A). H a b rá p e q u e ñ o s d e s fases oca sio na do s por el re d ondeo de datos. Los planes serán m ás parecidos conform e se a ce rq u e n al p a r o rd e n a d o citado.
Planes de muestreo basados en el riesgo del consumidor Para diseñar estos planes, tam bién llam ados planes B, se necesita conocer d e a n te m a n o el valor del riesgo del co n s u m id o r (B ) y el va lo r del P N C T co rre s pondiente al producto sobre el cual se va a aplicar el plan de m uestreo. El valor de B, tal y co m o se dijo anteriorm ente se establece g eneralm ente en 1 0 % . C o n o c i d o s é s to s p a r á m e t ro s , s e u tiliz a p a ra el d is e ñ o de los p la n e s el s ig u ie n te procedim iento: 1.
E sta b le ce r diferentes valores de n ú m e ro de disconform es, defectuosos o defectos. E sto d e p e n d e rá de lo qu e se quiera m uestrear. E ste n ú m ero se llama núm ero de aceptación (A c). N o es recom endable utilizar el valor de A c igual a ce ro p u e s los p la n e s con este n ú m e ro de ace p ta ció n son planes m u y discrim inantes
2.
Localizar en las tablas de la aproxim ación binom ial-Poisson los valores de np correspondientes a la probabilidad de aceptación B y a.los valores de A c establecidos en 1.
3.
C a lc u la r el ta m a ñ o de la m uestra qu e corre sp o n d e a cad a va lo r de np ex traído en el paso 3. Este ta m año de m uestra se calcula usando la siguiente expresión: nP* PNCT
4.
Dibujar las cu rva s características de operación, con el fin de e sco g e r aquel plan q u e se a c e rq u e m á s a los re q u e rim ie n to s y e x ig e n c ia s de la in s pección.
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499
EJEMPLO 6.8 D ise ñ a r cinco planes de m uestreo qu e cum plan con un riesgo del co n s u m id or (p ) del 1 0 % , a s o c ia d o a un porcentaje no co n fo rm e tolerado en el lote ( P N C T ) de 4 ,5 % .
SOLUCION El C u a d ro 6 .7 re su m e los paso s del 1 al 3. Los valores de np se localizan con el va lo r de A c y el va lo r de P= 0,1.
CUADRO 6.7. Cálculos para planes 3 n = np^O, 045
Ac
nPj
1 2 3 4 5
3,90 5,33 6,70 8,00 9,30
87 119 149 178 207
Si se dibujan las cu rva s características de operación, todas pasarán por el p u nto (0 ,0 4 5 , 0 ,1 ) o s e a el p a r o rd e n a d o ( P N C T , P A). H a b rá p e q u e ñ o s d e s fases oca sio nados por el redondeo de datos. Los planes serán m ás parecidos conform e se e ncuentren m á s cerca del par ordenado citado.
Plan de muestreo basado en ambos riesgos E ste plan de m uestreo, tam bién llam ado plan
D is e ñ a r un n ú m e ro d e te rm in a d o de plan es de m u e s tre o b a s a d o s en el riesgo del productor (a )
CONTROL DE CALIDAD
500
2.
D ise ña r el m ism o nú m e ro de planes de m uestreo b asado s en el riesgo del co n su m id o r (B )
3. 4.
O b te n e r la diferencia absoluta In a -n „8l Lo ca liza r la m e n o r diferencia lna - nBl y observar a q u é núm ero de a ce p ta ción A c pertenece, pues éste será el núm ero de aceptación del plan basado en a m b o s riesgos
5.
C a lc u la r el ta m a ñ o de m uestra u sa n d o la siguiente expresión: na,8. = (n + n„)/2 ' a 8' El plan de m u estre o será (n aB A c)
6.
Constru ir la cu rva característica del plan. Por razones de redondeo a m bos puntos no coincidirán con los va lo re s teóricos. S e de b e n dise ña r suficientes planes de m uestreo a y B de tal m anera que
sea posible encontra r la m e n o r diferencia In^ - nBl. El analista debe cerciorarse de ese m ínim o, por ello este m ínim o no puede estar en el último plan diseñado.
EJEMPLO 6.9 D ise ñ a r el plan b a s a d o en a m b o s riesgos tom ando c o m o base los planes dise ñ a d o s en los E je m p lo s 5.6 y 5.7.
SOLUCION El C u a d ro 6.8 p re senta los p aso s del 1 al 3. P a so 4. Al localizar la m enor diferencia ésta pertenece al núm ero de a c e p tación A c- 2 , lo qu e quie re de cir que este es el n ú m ero de aceptación del plan a ,p . P a so 5. Los ta m a ños de m uestra que corresponden al valor de A c del Paso 4 son 126 Jy 118. El v a lo r de n a.p„ se calcula así: na|5= ( 1 2 6 + 1 18)/2 = 122 C o n ello el plan de m uestreo qu e cu m p le con a m bos riesgos es:
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501
CUADRO 6.8. Plan de muestreo que satisface ambos riesgos
Planes R
Planes a Ac
na
1 2 3 4 5
55 126 211 300 400
nK — n. Ac 1 2 3 4 5
\
=2
87 119 149 178 207
32 7 62 122 193
,
Paso 6.
Si se con struye la c u rv a característica de o peración se ve rá que ésta pasa por los puntos (A Q L ,1 -a ) y ( P N C T ,(3). El desfase se debe al redondeo efectuado al obtener los planes de m uestreo.
Costo total esperado de inspección por muestreo Al utilizar planes de m uestreo sim ple, siem pre es co n ve n ie n te co m p a ra r las bon da de s de dos o m ás de estos planes, no solo b asándose en el grado de discrim inación de los m ism o s, sino tam bién en el costo de la inspección. C o n este fin, se p u e d e eva lu a r este costo utilizando la siguiente expresión: C T E I L = [n + ((N -n ) * P R)] * c¡ donde: C T E I L : costo total e sperado de inspección por lote n:
ta m a ño de la m uestra
N:
ta m año del lote
P R:
probabilidad de recha zo ( P R=1 -P A)
c:
costo de inspección por unidad
502
CONTROL DE CALIDAD
Si se o b s e rv a la e x p re s ió n d e co s to a n o ta d a a n te rio rm e n te se p u e d e a precia r qu e el costo se obtiene m ultiplicando el total de u n idade s inspeccio nad as por el costo de inspeccionar una unidad. El total de unidades inspeccio nadas lo constituye la su m a de las unidades que conform an la m uestra, las que se inspeccionan 1 0 0 % , con las unidades del rem anente del lote (N -n ) cuando el lote s e a re c h a z a d o . R e c u é rd e s e q u e el re m a n e n te se in s p e c c io n a 1 0 0 % cu a n d o la m uestra es re cha za da.
EJEMPLO 6.10 S e han recibido para su inspección 5 lotes cuyas características se presen tan en el C u a d ro 6.9. El costo de inspección por unidad se ha calculado en 015. ¿ C u á l plan de m u estre o resulta m ás eco n ó m ico ?
CUADRO 6.9. Características de los lotes sometidos a inspección
#
Tamaño
P
1 2 3 4 5
5000 10000 12000 8000 15000
0,076 0,030 0,035 0,051 0,014
Plan usado n=100, n=200, n=220, n=150, n=200,
A c=2 A c=4 Ac=4 Ac=3 Ac=3
SOLUCION P a ra encontra r el plan m á s eco nó m ico se hará uso del C u a d ro 6.10. La probabilidad de aceptación se localiza con el valor de np y el núm ero de aceptación corresp ondiente al plan qu e está siendo usado. A sí, para el prim er plan se m ultiplica 100 p o r 0 ,0 7 6 y con el va lo r obtenido y el n ú m e ro de a c e p tación A c= 2 , se b u sca en la tabla de aproxim ación b in o m ia l-P o is so n la p ro b a bilidad de aceptación, la cual resulta ser 0,019.
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503
CUADRO 6.10. Cálculos para determinar el plan de muestreo más económico
..
•oíüiOMv-
Plan
N
n
N-n
P*
1 -P *
Costo esperado por lote
n=100, Ac=2
5000
100
4900
0,019
0,981
[100+(4900*0,981)]*15= 0 73604
n=200, Ac=4
10000
200
9800
0,285
0,715
[200+(9800*0,715)]*15=
n=220, Ac=4
12000
220
11800
0,119
0,881
[220+( 11800*0,881)]*15= 0159237
r>=150, Ac=3
8000
150
7850
0,053
0,947
[150+(7850*0,947)]*15= 0113760
n=200, Ac=3
15000
200
14800
0,692
0,308
[200+(14800*0,308)1*15=0 71376
0108105
D a n d o respuesta a la pregunta planteada se tiene que el plan m ás e co n ó m ic o e s el p la n n = 2 0 0 , A c= 3 u s a d o c o n lote s de ta m a ñ o 1 5 0 0 0 u n id a d e s (0 7 1 3 7 6 ). D e lo anterior se concluye que el plan m ás económ ico no es aquel re la cion ado con un ta m a ñ o de lote p e q u e ñ o , sino m ás bien el plan qu e co rre s pon de al lote que sum inistra la m ejor calidad (m e n o r valor de p).
P lan es d o bles de m u estr eo
Lo s planes dobles de m uestreo son aquellos m ediante los que la decisión de a cep tación o re c h a zo del lote se ba s a en el establecim iento de dos m u e s tras, p u d ié n d o se a ce p ta r o re c h a za r co n la prim era. E s to s plan es d e b e n s e r utilizados c u a n d o se d e m u e stre qu e los pla n e s sim ples no so n con fiab les o cuando el interesado desee m ayor protección en la inspección. N o es recom en dab le usarlos sin q u e se h a y a g e n e ra d o ex p e rie n cia en el uso de pla n e s de m uestre o sim ples. La aplicación de planes de m uestreo dobles, cua n d o tienen baja pro babi lidad de aceptación con la prim era m uestra, resulta m ás cara que la aplicación de pla n e s sim ples. E sto se deb e a que el costo de inspección por m uestra es m ás g ra nd e ya que la su m a del ta m a ñ o de las dos m uestras del plan doble es m a yo r qu e el tam año de la m uestra de un plan sim ple equivalente (n ,+ n 2> n ).
CONTROL DE CALIDAD
504
U n plan doble de m u e stre o se aplica extrayendo del lote una m uestra de tam año n, y som etiéndola a inspección 1 0 0 % . Si el núm ero de unidades discon form es o d e fe ctu osas de tecta das no e x c e d e el n ú m e ro de aceptación A c1, se a ce p ta la m u e stra y el lote de d o n d e ella pro vie n e . Si e se n ú m e ro e x c e d e el n ú m e ro de re c h a z o R e1, se re c h a za la m u e s tra y el lote de d o n d e p ro v ie n e , o b lig a n d o a e fe ctu a r u na in sp e cc ió n 1 0 0 % so b re el re m a n e n te (N - n ,) . S i el n ú m e ro de d iscon form e s o defectu osos se encu entra entre los n ú m e ro s A cl y R e1, se to m a u n a s e g u n d a m u e s tra d e ta m a ñ o n2 ig u a l a n r S i e n a m b a s m u e s tra s el n ú m e ro de d is c o n fo rm e s o d e fe c tu o so s e x c e d e el v a lo r R e 2_,’ se re c h a za n a m b a s m u e stra s y el re m a n e n te del lote de d o n d e pro vien en ( N - n ,n2), obligando a una inspección 1 0 0 % so b re él. Si por el contrario, ese núm ero e s m e n o r q u e R e2, e n to n c e s s e a c e p ta n las m u e s tra s y el lote d e d o n d e pro vien e n. La F ig u ra 6.9 ilustra el funcionam iento de este tipo de planes. E n igual form a q u e los pla n es sim p le s, los planes dob les tienen su cu rva característica de o p e ra ció n . El m éto do p a ra su con stru cción es un p o c o m ás c o m p le jo p u e s la p ro b a b ilid a d de a c e p ta c ió n d e b e c a lc u la rs e p a ra a m b a s m uestra s. El siguiente procedim iento se aplica para ca d a uno de los valores de p qu e sea n escogidos. 1.
C a lc u la r la probabilidad de acep tació n de la prim era m uestra (P A1) a. C a lc u la r el va lo r de n ,p qu e con siste en m ultiplicar el tam año de la pri m e ra m uestra por el va lo r de p. b. C a lc u la r la p ro b a b ilid a d de a c e p ta c ió n c u a n d o el n ú m e ro de d e fe c tu oso s o disconform es es m e n o r que A c1.
2.
C a lc u la r la probabilidad de acep tació n de la se g u n d a m uestra (P A2) a. C a lc u la r el v a lo r de n2p q u e co n s is te en m u ltip lica r el ta m a ñ o de la se g u n d a m uestra por el valor de p. b. C a lc u la r las probabilidades de encontrar un va lo r de núm ero de defec tuosos o disconform es entre A c1 y R e1 en la prim era m uestra. c. C a lc u la r las probabilidades com ple m en tarias a las calculadas en b. tal q u e se cu m p la con A c2. d. S u m a r las probabilidades de acep tació n calculadas en b. y
JORGE ACUNA ACUNA
FIGURA 6.9. Representación gráfica del funcionamiento de un plan doble de muestreo
505
506
3.
CONTROL DE CALIDAD
C a lc u la r la probabilidad de ace p ta ció n total su m a n d o las probabilidades ca lcu la d a s en 1. y 2.
E JE M P L 0 6 . i l D ete rm ina r dos puntos de la cu rva característica de operación co rre sp o n diente al siguiente plan doble de m uestreo.
n,= 45 A,= 1 R.,= 5
n2= 45
ac2=
4
Re2=
5
U s e p=0,01 y p = 0 ,0 2
SOLUCION Lo s C u a d ro s 6.11 y 6 .1 2 presentan la inform ación necesaria para calcular la probabilidad de aceptación para valores de p de 0,01 y 0,02. La s probabilida d e s fueron localiza das en la tabla de la aproxim ación binom ial-P oisson. El va lo r de probabilidad de aceptación de 0,06 se obtiene de m ultiplicar la p ro b a b ilid a d d e e n c o n tra r d o s d e fe c tu o s o s o d is c o n fo rm e s en la p rim e ra muestra por la probabilidad de encontrar no m ás de dos en la seg u nda m uestra, p u e s el n ú m e ro d e a c e p t a c ió n en la s e g u n d a m u e s tra e s 4. L a s d e m á s pro babilidades de los C u a d ro s 6.11 y 6.1 2 se calculan en igual form a.
P l a n e s m ú l t ip l e s d e m u e s t r e o
E stos planes, tam bién llam ados planes progresivos, consisten en la tom a su cesiva de m m uestras de igual tam año. El núm ercfde m uestras depe n d e del m om e nto en qu e se logre obte ner núm ero s de aceptación y de recha zo co n se cu tivo s. E l fu n cio n a m ie n to de este tipo de pla n e s es sim ila r al de los pla n e s dobles, con la diferencia de qu e en este caso se tienen tres o m ás m uestras. La F ig u ra 6 ,1 0 y el E je m p lo 6 .1 2 m u estran este procedim iento.
JORGE ACUNA ACUNA
507
FIGURA 6.10. Representación gráfica del funcionamiento de un plan m últiple de muestreo
508
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 6.11. Cálculo de probabilidad de aceptación del EJEMPLO 6.11 p=0,01
Análisis de Primera muestra
Análisis de Segunda muestra
n,*p=45*0,01=0,45
(n, + n2)*p=90*0,01=0,9
P*
P (d < 1) = 0,925 P (d = 2) = 0,064
P(d < 2) = 0,937
0,925 0,064*0,937 0,060
P (d < 2 ) = 0,989 P (d = 3) = 0,010
P (d < 1) = 0,772
0,010*0,772 0,0077
P (d < 3) = 0,999 P (d = 4) = 0,001
P (d = 0) = 0,407
0,001*0,407 0,0004
Contribución a
P (d < 4) = 1,000 PA= 0,9931
La cu rva característica de o peración de este tipo de planes es sim ilar a la cu rva de los planes dobles, a u n q u e su construcción es sum am ente elaborada, p u e s se tienen q u e ca lcu la r p ro b a b ilid a d e s de a ce p ta ció n p o r m u estra . Lo s p la n e s m últiples de m u e stre o p u e d e n s e r re p re s e n ta d o s g rá fica m e n te tal y c o m o se ob s e rva en la Figu ra 6.11.
EJEMPLO 6.12 Exp lica r el funcionam iento y representar gráficam ente el plan múltiple de m u e s tre o q u e se e n c u e n tra en el C u a d r o 6 .1 3 . E s te p la n c o n s ta de siete m u e s tra s . N ó te s e q u e en la m u e s tra N o . 7, los n ú m e ro s de a c e p ta c ió n y
JORGE ACUÑA ACUÑA
509
CUADRO 6.12. Cálculo de probabilidad de aceptación del EJEMPLO 6.11 p=0,02
Análisis de Primera muestra
Análisis de Segunda muestra
n *p=45*0,02=0,9
(n, + ns)*p=90*0,02=1,8
P (d < 1) = 0 ,7 7 2 P (d = 2) = 0 ,1 6 2
Contribución a Pa 0,772
P(d < 2 ) = 0,731
0,162*0,731 0,1184
P (d < 2) = 0,937 P (d = 3) = 0,050
P (d
< 1) = 0,463
0,005*0,463 0,0232
P (d < 3) P (d = 4)
= 0,987 = 0,011
P (d
= 0) = 0,165
0,011*0,165 0,0018
< 4)
= 0 ,9 9 8
P (d
P,A = 0,9154 ’
re c h a zo son co n se cu tivo s. E sta situación, tal y co m o se dijo antes, es la que define el nú m ero de m uestras del plan.
SOLUCION El plan pre sentado funciona de la siguiente m anera: se to m a una prim era muestra de 200 unidades del lote, si al inspeccionarla 1 0 0 % se encuentran una o m enos unidades disconform es o defectuosas se acepta la m uestra y el lote de donde proviene. Si esa m uestra contiene och o o m ás unidades disconform es o defectuosas se rechaza la m uestra y el lote de donde proviene. Si el núm ero de unida de s d iscon form es o defectu osas se en cu e n tra entre 1 y 8, se tom a una
510
DISCONFORMES
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 6.11. Representación gráfica del plan múltiple de muestreo.
CUADRO 6.13. Plan de muestreo múltiple del Ejemplo 6.12
#
n,
m,
A,
R,
1 2 3 4 5 6 7
200 200 200 200 200 200 200
200 400 600 800 1000 1200 1400
1 6 11 16 22 27 32
8 12 17 22 25 29 33
i
JORGE ACUÑA ACUÑA
51 1
n u e v a m u e s tra de 2 0 0 u n id a d e s. Si en la totalidad de u n id a d e s c o rre s p o n dientes a a m b a s m uestras h ay 6 o m e n o s unidades disconform es se aceptan la s m u e s tra s y el lo te d e d o n d e p r o v ie n e n . S i s e e n c u e n t r a n 12 o m á s u n id a d e s d isco n fo rm e s o d efectuosas s e re c h a za n las m u e stra s y el lote de d o n d e p ro vien e n. Si e se nú m e ro se en cu e n tra entre 6 y 12 en to n ce s se tom a u n a n u e v a m u e stra de 2 0 0 u n id a d e s. E s te p ro ce d im ie n to c o n tin ú a h asta la m u e stra # 7 en la cual se extrae u na m u e stra final de 2 0 0 unid a d e s. Si en las 1 4 0 0 u n id a d e s h a y 32 o m e n o s u n id a d e s d is c o n fo rm e s o d e fe c tu o s a s se a cep tan las siete m uestras y el lote de don d e pro vienen, pero si h a y 33 o m ás u n id a d e s en e s a s c o n d ic io n e s , s e re c h a z a n las siete m u e s tra s y el lote de d o n d e pro vie n e n. E n la F ig u ra 6.11 se h ace la rep resen tación del plan múltiple.
Uso de planes en aceptación-rectificación L a utilización de plan es de m u estre o para ca so s de aceptació n-rectifica ción co n siste en recibir lotes, so m e te rlo s a in sp e cció n y re p o n e r to d o aquel p ro d u cto qu e no c u m p la con los req u erim ie ntos p a cta d o s entre fabricante y c o m p r a d o r . T o d o s los a s p e c to s re fe re n te s a la f o rm a d e in s p e c c ió n y a rep osición de pro ducto se fija de an te m a n o . E n el uso de este procedim iento se utiliza el co n ce p to de calidad saliente m e d ia ( A O Q ) y lím ite de calidad saliente m e dia ( A O Q L ) . La ca lid a d saliente m e d ia e s el p o rc e n ta je de p ro d u c to d is c o n fo rm e a re q u e rim ie n to s q u e se e ncuentra en ca d a lote cu ya m uestra es aceptada. El límite de calidad saliente m edia es el valor m áxim o de calidad saliente m edia qu e representa el m áxim o p o rce ntaje de p ro d u cto d iscon form e q u e p a sa ría al so m e te rse a inspecció n v a rio s lotes con diferentes ca lid a d e s d e entrada. L a existencia del A O Q L es ló g ica p u e s no e s p o sib le q u e los lotes te n g a n s ie m p re el m is m o n ivel de calida d a p e sa r de q u e ello se h a y a pactado. L o s p a so s en la aplicación de este pro cedim ien to son los siguientes: 1.
Estable ce r el pacto entre co m p ra d o r y v e n d e d o r fijando entre otras cosas el lugar de m uestreo, el tipo de m uestreo, el procedim iento para d e vo lve r las u n ida de s re c h a za d a s y criterios de re ch a zo .
2.
Recibir M lotes de tamaño N para ser muestreados.
510
DISCONFORMES
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 6.11. Representación gráfica del plan múltiple de muestreo.
CUADRO 6.13. Plan de muestreo múltiple del Ejemplo 6.12
#
n,
In ,
A,
R,
1 2 3 4 5 6 7
200 200 200 200 200 200 200
200 400 600 800 1000 1200 1400
1 6 11 16 22 27 32
8 12 17 22 25 29 33
¡
JORGE ACUÑA ACUÑA
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n u e v a m u e s tra de 2 0 0 u n id a d e s. S i en la totalidad de u n id a d e s c o rre s p o n dientes a a m b a s m uestras h ay 6 o m e n o s unidades disconform es se aceptan la s m u e s tra s y el lote d e d o n d e p r o v ie n e n . S i s e e n c u e n t r a n 12 o m á s u n id a d e s d isco n fo rm e s o d e fe ctu o sa s se re c h a za n las m u e stra s y el lote de d o n d e p ro vien e n. Si e se nú m e ro se en cu e n tra entre 6 y 12 en to n ce s se tom a u n a n u e v a m u e stra de 2 0 0 u n id a d e s. E s te p ro ce d im ie n to c o n tin ú a h asta la m u e stra # 7 en la cual se extrae u na m u e stra final de 2 0 0 unid a d e s. Si en las 1 4 0 0 u n id a d e s h a y 3 2 o m e n o s u n id a d e s d is c o n fo rm e s o d e fe c tu o s a s se a cep tan las siete m u estra s y el lote de don d e pro vienen, pero si h ay 33 o m ás u n id a d e s en e s a s c o n d ic io n e s , se re c h a z a n las siete m u e s tra s y el lote de d o n d e pro vie n e n. E n la F ig u ra 6.11 se h ace la rep resen tación del plan múltiple.
Uso de planes en aceptación-rectificación L a utilización de plan es de m u estre o para ca so s de aceptació n-rectifica ción co n siste en recibir lotes, so m e te rlo s a in sp e cció n y re p o n e r to d o aquel p. od u cto qu e no c u m p la con los req u erim ie ntos p a cta d o s entre fabricante y c o m p r a d o r . T o d o s los a s p e c to s re fe re n te s a la f o rm a d e in s p e c c ió n y a rep osición de p ro du cto se fija de an te m a n o . E n el uso de este procedim iento se utiliza el co n ce p to de calidad saliente m e d ia ( A O Q ) y lím ite de calida d saliente m e dia ( A O Q L ) . La ca lid a d saliente m e d ia e s el p o rc e n ta je d e p ro d u c to d is c o n fo rm e a re q u e rim ie n to s q u e se e ncuentra en ca d a lote cu ya m uestra es aceptada. El límite de calidad saliente m edia es el valor m áxim o de calidad saliente m edia qu e representa el m áxim o p o rce ntaje de p ro d u cto d iscon form e q u e p a sa ría al so m e te rse a inspecció n v a rio s lotes con diferentes ca lid a d e s de entrada. L a existencia del A O Q L es ló g ica p u e s no e s p o sib le q u e los lotes te n g a n s ie m p re el m is m o n ivel de calida d a p e sa r de qu e ello se h a y a pactado. L o s p a so s en la aplicación de este pro cedim iento son los siguientes: 1.
Estable ce r el pacto entre co m p ra d o r y v e n d e d o r fijando entre otras cosas el lugar de m uestreo, el tipo de m uestreo, el procedim iento para d e vo lve r las u n ida de s re c h a za d a s y criterios de re ch a zo .
2.
Recibir M lotes de tamaño N para ser muestreados.
512
CONTROL DE CALIDAD
3.
Lo ca liza r la probabilidad de aceptación correspondiente al va lo r de p del lote. S e p u e d e u sa r para ello la cu rva característica de operación del plan de m u e stre o utilizado.
4.
C a lc u la r los valores de calidad saliente m edia ( A O Q ) corresp ondientes a ca d a lote. E ste cálculo v a ría seg ún se esté o p e rando con un plan sim ple, doble o múltiple. La s e x p resiones que se usan son las siguientes: a.
P la n e s sim ples P A*P’* (N -n ) A O Q = -------------------------N
donde: P A: probabilidad de aceptación a sociad a a p’ p’: n ive l de c a lid a d del lote al q u e se a p lica el plan d e m u e s tre o , ex p re sa d o en fracción disconform e o defectuosa
b.
n:
ta m a ñ o de la m uestra
N:
ta m a ñ o del lote
P lan e s dobles [p A,*(N - n, ) + P A2*(N - nr n2)] 'P ’ A O Q = ----------------------------------------------------------N
d onde: P A1: probabilidad de aceptación en la prim era m uestra asociada con p ’ P A2:p roba bilida d de a ceptación en la se g u n d a m uestra asociad a con P’ n,: ta m a ñ o de la prim era m uestra n2: ta m a ñ o de la s e g u n d a m uestra p ’: n iv e l d e c a lid a d del lote al q u e s e a p lica el p la n de m u e s tre o , ex p re sa d o en fracción disconform e o defectuosa
N: tamaño del lote
JORGE ACUNA ACUNA
c.
513
P lanes múltiples [ P A i * ( N ' n i ) + P A 2 * (N ' n r n 2 ) + -
+ P A k * (N ' n r n 2
' - ' n k )]* P ’
A O Q = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------N donde: P A1: probabilidad de aceptación en la prim era m uestra asociada con p’ P ^ip ro b a b ilid a d de aceptación en la se g u n d a m uestra asociad a con P’ P Ak: probabilidad de aceptación en la k-ésim a m uestra asociada con p’ n ,: tam año de la prim era m uestra n2: tam año de la se g u n d a m uestra n k ■ tam año de la k-ésim a m uestra p ’: nivel de c a lid a d del lote al q u e se a p lic a el p la n d e m u e s tre o , expresado en fracción disconform e o defectuosa N:
tam año del lote
5.
Lo ca lizar el valor del límite de calidad saliente m edia (A O Q L ).
6.
E je cu ta r el procedim iento de devolución de producto recha za do.
L o s E je m p lo s 6 .1 3 y 6 .1 4 m u estra n la form a de o p e ra r bajo este p ro c e dim iento y la form a de calcular los valores de A O Q . R e c u é rd e s e , q u e los lotes re c h a z a d o s se d e b e n in s p e c c io n a r 1 0 0 % , sustituyendo las piezas d iscon form es p o r pie za s b u e n a s. C o m o es lógico, la calidad de salida es superior a la calidad de entrada y la calidad saliente m edia será ce ro solo en el m om ento en que todos los lotes sean rech a za d o s, puesto que la cantida d de unidade s defectuosas q u e q u e d e n en los lotes serán solo aquellas qu e la inspección no haya detectado. La aplicación de planes de m uestreo bajo este pro cedim ien to es de gran utilidad tanto para el productor com o para el consum idor. P ara ello, se requiere de m u y b u e n a s re la cio n e s e ntre a m b o s . P o r e je m p lo , p a ra fijar el nivel de calidad o fracción de pro d u cto discon form e o defectu oso se d e b e n p o n e r de
514
CONTROL DE CALIDAD
acuerdo de tal m anera que se establezca el núm ero y la form a en que se ejecu tará la inspección , se a si ésta se v a re a liza r en la fábrica del p ro d u cto r o del cliente. Si la inspección se efectúa en la planta del cliente se aum entan los costos de envío y de inspección pero se garantiza la devolución de todo aquel producto que no satisfaga los requerim ientos y la no paralización de la planta por falta de material. Si la inspección se efectúa en la planta del proveedor o fabricante se evita el e n v ío de p ro d u cto d isco n fo rm e y los co sto s de in sp e cc io n a r, pero se a u m e n ta la p ro b a b ilid a d de p a ra liza c ió n de la planta p o r falta de m a terial. Si existen acuerdos claros entre a m b a s partes no hay necesidad de preocuparse por el lugar donde se v a a ejecutar la inspección.
EJEMPLO 6.13 E n la sección de recepción de m ateria prim a de una planta se reciben diez lotes de 15000 unida de s cada uno. El pro ve e d o r y el co m p ra d o r han fijado un porcentaje de disconform es del 1 ,5 % , la utilización del plan simple n=200, A c=3 y la aplicación del procedim iento de aceptación-rectificación. a.
¿ C u á l es la calidad saliente m edia? Utilice un procedim iento de cálculo sin u sar la fórm ula y u sa nd o la fórm ula.
b.
Si los lotes realm ente tuviesen las siguientes calidades: 0,01, 0,01, 0,015, 0 ,0 2 , 0,0 2, 0 ,0 2 5 , 0 ,0 3 , 0 ,0 3 , 0 ,0 3 5 y 0 ,0 4 , ¿ C u á l es el límite de calidad saliente m edia?
SOLUCION a.
C á lcu lo de la calidad saliente m edia (A O Q ) S e c u m p le n to d o s los p a s o s p a ra la a p lic a c ió n del p ro c e d im ie n to de
ace p ta ció n -re ctifica ció n . S e p ro ce d e e n to n ce s a ca lcu la r la p ro babilidad de a ce p ta ció n qu e c o rre s p o n d e a un lote con 1 ,5 % de p ro d u cto d isco n fo rm e y utilizando el plan sim ple dado.
JORGE ACUNA ACUNA
515
Al b u sca r en las tablas de la aproxim ación binom ial-P oisson se encuentra que para un valor de np=200*0,015 = 3 y un valor de c=3, la probabilidad de acep tación es de 0 ,6 4 7. E s decir, se tiene una probabilidad de recha zo de 0,353.
P rocedim iento sin fórm ula P o r tratarse de un sistem a a cep tació n-rectifica ció n, toda s las unidades in s p e c c io n a d a s so n b u e n a s, por ello todo s los lotes se re d u ce n en 2 0 0 uni d ad e s, o se a 1 5 0 0 0 -2 0 0 = 1 4 8 0 0 unidades. A d e m á s , todas las m uestras qu e se aceptan obligan a aceptar los lotes de d o n d e p ro v ie n e n . P o r ello, la siguiente can tida d de u n id a d e s d isco n fo rm e s e v a d e n la inspección: 10 lote s*0,64 7*(15000-200)*0,015= 1437 unidade s disconform es S i este n ú m e ro de u n id a d e s se divide por la ca n tid a d total de u n idade s som etidas a inspección se obtiene la calidad saliente m edia. A sí: 1437 A O Q = ------------------= 0 ,0 0 9 5 8 0 0 ,9 5 % 150000
P rocedim iento con fórm ula P .* p ’* (N -n ) 0,647*0,015*(15 0 0 0 -2 0 0 ) A O Q = — -------------------- = ------------------------------------------------------- = 0 ,0 0 9 5 8 ó 0 ,9 5 8 % N 15000 C o m o se pu e de, ve r am b o s procedim ientos brindan el m ism o resultado, b.
C álculo del límite de calidad saliente m edia (A O Q L )
El C u a d ro 6 .1 4 pre se n ta los cá lcu lo s de la ca lid a d saliente m e dia para ca d a lote y el va lo r del límite de calidad saliente m edia. Estos valores de A O Q pueden graficarse obteniéndose la C u rv a A O Q de la Figu ra 6.12. P u e d e nota rse qu e p re cis a m e n te el límite de calida d saliente m e dia se obtiene para lotes con la calidad de entrega fijada, qu e es de 1 ,5 % . El valor de 0 ,9 5 8 % es el peor nivel de calidad qu e se acep ta con los diez lotes presentados.
516
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 6.14. Cálculo del AOQL para n=200, A =3
p’
np
0 ,0 1 0
2
0 ,8 5 7
0 ,0 0 8 4 5
0 ,0 1 5
3
0 ,6 4 7
0 ,0 0 9 5 7
0 ,0 2 0
4
0 ,4 3 3
0 ,0 0 8 5 4
0 ,0 2 5
5
0 ,2 6 5
0 ,0 0 6 5 3
0 ,0 3 0
6
0 ,1 5 1
0 ,0 0 4 4 7
0 ,0 3 5
7
0 ,0 8 2
0 ,0 0 2 8 3
0 ,0 4 0
8
0 ,0 4 2
0 ,0 0 1 6 6
Pa
AOQ
f-A O Q L
P (% )
FIGURA 6.12. Curva de calidad saliente media
EJEMPLO 6.14 ¿ C u á l es la calidad saliente m edia en el Ejem plo 6.1 3 si se usa el siguiente plan doble de m uestreo?
JORGE ACUNA ACUNA
=
120
A c, =
3
n,
P el =
7
517
n2 = 1 2 0 A c2 =
6
P e2 =
7
SOLUCION E L C u a d r o 6 .1 5 p re s e n ta los c á lc u lo s n e c e s a rio s p a ra e n c o n tra r la p ro b a b ilid a d de a c e p ta c ió n c o rre s p o n d ie n te a un lote c u y o p o rce n ta je de producto disconform e es de 1 ,5 % . P A1 = 0,966 P A2 a = 0 ,0 2 6 * 0 ,3 0 3 + 0 ,0 0 6 * 0 ’,1 2 6 + 0 ,0 0 2 * 0 ,0 2 7 = 0 ,0 0 8 6 8 8 ’ ’ 1 p’
=0,015
n,
=120
n2 =120 N
= 15000
[P A,*(N - n i)+ P A2*(N - n C n2)]*P’ A O Q = -----------------------------------------------------------------N [0,96 6*(15 0 0 0 -1 2 0 )+ 0 ,0 0 8 6 8 8 * (1 5 0 0 0 -1 2 0 -1 20)]*0 ,015 A O Q = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15000 A O Q = 0,0 14 5 o 1 ,4 5 % La calidad saliente m edia (A O Q ) de un lote que tiene un porcentaje de pro du cto d isco n fo rm e de 1 ,5 % y qu e se m u e stre a con el plan do b le d a d o es de 1 ,4 5 % . P l a n e s s e c u e n c ia l e s d e m u e s t r e o
E n m uchas ocasiones, la inspección de producto es destructiva, pues las u n id a d e s se de s tru ye n deb ido a la p ru e b a que se les ejecuta. P or ello no es
518
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 6.15. Cálculo de probabilidad de aceptación (p=0,015)
Análisis de Primera muestra
Análisis de Segunda muestra
n *p= 120*0,015=1,20
(n¡+n2)*p=240*0,015=3,6
P (d < 3) = 0,966 P (d = 4) = 0,026
P(d < 2) = 0,303
P (d < 4 ) = 0,992 P (d = 5) = 0,006
P (d < 1) = 0,126
P (d < 5) = 0,998 P (d = 6) = 0,002
P (d = 0) = 0,027
P (d < 6) = 1,000
factible, de sde el punto de vista eco nó m ico , tom ar m u ch a s unidades para ser probadas. E n este caso se deben usar planes que permitan adoptar decisiones rá p id a s , in s p e c c io n a n d o el m e n o r n ú m e ro de u n id a d e s . E s to s p la n e s se co n o ce n com o planes secuenciales de muestreo. U n plan secue ncial puede ser u sa d o en form a gráfica o en form a tabular. La Figu ra 6.1 3 m uestra la form a gráfica de este tipo de plan. El plan secuencial funciona de la siguiente m anera: se tom a una unidad y se prueba. Si su núm ero de defectos ca e en la zo n a de rechazo, se re c h a za el lote de donde proviene esa unidad. Si cae en la zo n a de aceptación, se acepta el lote de donde proviene la unidad. S i el núm ero cae en la z o n a de inspección se insp eccion a una n u e v a p ie za y se con tin úa así hasta qu e h aya criterio de a ce p ta ció n o de re c h a zo . C o m o se p u e d e notar el ta m a ñ o de la m u e stra es variable. T a l y com o se puede o b s e rv a re n la Figura 6.13, un plan secuencial queda p la n te a d o c u a n d o se d e te rm in a n la e c u a c ió n de la lín e a de re c h a z o y la ecuación de la línea de aceptación. E sta s ecuaciones son:
JORGE ACUNA ACUNA
519
FIGURA 6.13. Representación gráfica de un plan secuencia!
• E cu a ció n de la línea de aceptación (L A c) C ,= -h , + s* k • E cu a ció n de la línea de recha zo (L R e) C 2= h2 + s*k donde: k: núm ero de unidades por inspeccionar y h2: intersecciones de las líneas s: pendiente de am b a s líneas P a ra d is e ñ a r un plan se c u e n c ia l de m u e s tre o es n e c e s a rio c o n o c e r el rie sg o del p ro d u c to r (a ), el nivel de c a lid a d a ce p ta b le ( A Q L ) , el rie sg o del c o n s u m id o r (B ) y el porcentaje no con form e tolerado en el lote ( P N C T ) . C o n
520
CONTROL DE CALIDAD
e s to s v a lo re s se c a lc u la n los p a rá m e tro s de las e c u a c io n e s cita d a s a n te riorm ente. log [(1 -a )/ p ] h ,=--------------------------------------------------------------------------------------------log [(P N C T * (1 -A Q L ))/ (A Q L * (1 -P N C T ))] log [(1-p)/oc] h2=--------------------------------------------------------------------------------------------log [(P N C T * (1 -A Q L ) )/(AQ L*(1 - P N C T ) ) ] log [(1 -A Q L ) ,( 1 -P N C T )] s = --------------------------------------------------------------------------------------------log [(P N C T * ( 1-A Q L ))/ (A Q L * (1 - P N C T ) ) ] La cu rva característica de operación de un plan secuencial se puede apro xim ar con la graficación de los siguientes cinco puntos:
P a ra p ’= 1 ,
3.
P a ra p ’= A Q L ,
4.
P a ra p ’= P N C T ,
5.
Para p ’=s,
P A= 1
II<
2 .
O
P a ra p ’=0,
Ql
1.
p a= i p
-«
a=P
P A= h2/(h2+ h 1)
La form a tabular de estos planes consiste en dar valores a k y generar dos c o lu m n a s , u n a de a ce p ta ció n y otra de re c h a zo . C a d a v e z q u e se s o m e te a prue ba una unidad se ob s e rva la tabla para v e r cuál es el criterio por seguir. El v a lo r de a ce p ta c ió n se re d o n d e a hacia a b a jo y el criterio d e re c h a zo hacia a rrib a . E l E je m p lo 6.15 p e rm ite o b s e rv a r las d o s fo rm a s d e o p e ra r p la n e s secu e nciale s de m uestreo.
EJEMPLO 6.15 D is e ñ a r un plan se cu e ncial de m u e stre o q u e c u m p la c o n las sig uiente s condiciones:
JORGE ACUNA ACUNA
521
a.
R ie sgo del productor (a )
=
5%
b.
R iesgo del co n su m ido r (P)
=
10%
c.
Nivel de calidad aceptable (A Q L )
= 0 ,0 1 2
d.
Porcentaje no conform e tolerado ( P N C T )
= 0,1 3 2
SOLUCION Para conocer este plan se deben calcular los parám etros de las ecuaciones de acep tación y recha zo . log [(1 -0 ,0 5 )/0 ,10]
h _.--------------------------------------------------------------log [(0 ,1 32*(1 -0 ,0 1 2))/(0,012*(1 -0 ,1 3 2 ))] h ,= 0,8 9 log [(1 -0 ,1 0)/0,05] h2= -----------------------------------------------------------------------------------------log [(0 ,1 32*(1 -0 ,0 1 2))/(0,012*(1 -0 ,132),] h2= 1,144 log [(1 -0 ,0 1 2)/(1 -0 ,1 3 2 )] s = -----------------------------------------------------------------------------------------log [(0 ,1 32*(1 -0 ,0 1 2))/(0,012*(1 -0 ,1 3 2 ))] s= 0,051 C o n estos valores se plantean las ecu acion es siguientes: • Lín e a de re cha zo c2= 1,144 + 0,051 *k • Lín e a de aceptación
c ,= -0,89 +0,051 *k
522
CONTROL DE CALIDAD
E ste plan de m u e stre o p u e d e re c h a za r co n la p rim e ra u n id a d , p e ro no aceptar. Para tener criterio de aceptación se necesitan al m enos 18 unidades, valor que se obtiene h aciendo cero el valor de c ,. 0 = - 0 ,8 9 + 0 ,0 5 1 *k k = 0,89/0,051 = 1 7 , 4 5 - 18 La Figura 6 .14 presenta el plan respectivo. La form a tabular de este plan se m uestra en el C u a d ro 6.16. N O R M A IS O 2859-1
E sta no rm a , a c tu a liza d a en 1989 p o r la O rg a n iz a c ió n Internacional de
N°
de
D E FE C TO S
N orm aliza ción (I S O ), es m u y sim ilar a la N o rm a Militar E stá n d a r 10 5 D , la que
FIGURA 6.14. Representación gráfica del plan secuencial
JORGE ACUNA ACUNA
523
CUADRO 6.16. Plan secuencial en forma tabular
# de unidades
Aceptación
D e l a 16 17 De 18 a 37 De 38 a 56 De 57 a 95
— —
0 1 2
Rechazo 2 3 3 4
5
En adelante se continúa con el cálculo
fue ado p tada por la IS O en 1974. Ella pre senta procedim ientos de m uestreo, b a s a d o s en in s p e c c ió n p o r atribu to s p a ra c a s o s en q u e se rie s de lotes de productos sean som etidos a inspección, bajo un nivel calidad aceptable (A Q L ) pre viam ente establecido. La norm a se aplica sobre la inspección de unidades discre tas y su propósito es indu cir al p ro v e e d o r a en tre g a r lotes qu e teng an calidad igual o m ejor al A Q L y al consum idor a aceptar ocasionalm ente lotes de bajo nivel de calidad. L o s p la n e s c o n te n id o s en esta n o rm a sirven entre otras c o s a s p a ra la in sp e cc ió n de p ro d u cto te rm in a d o , de c o m p o n e n te s y m a te ria s prim a s, de operaciones de producción, de materiales en proceso, de materiales alm acena dos, de operaciones de m antenimiento, de bases de datos y de procedim ientos adm inistrativos. Estos planes han sido diseñados para permitir el cam bio de inspección de a c u e rd o con el c o m p o rta m ie n to de la ca lid a d de los lotes. A s í, iniciando en in s p e c c ió n n o rm a l é sta se to rn a rá estric ta c u a n d o el n ivel s e d e te rio re o ca m bia rá a sim plificada cu a n d o el nivel m ejore considerablem ente. La n orm a perm ite e sco g e r el plan qu e m ejor se adapte a las condiciones de quien la aplique. Estos planes pueden ser sim ples, dobles o múltiples. Para co m p re n d e r m ejor su aplicación es necesario definir algunos térm inos com o:
No conformidad:
es la g eneració n de u na característica de calidad que
resulta en un p ro du cto , p ro c e s o o servicio q u e no reúne los req u erim ie ntos
524
CONTROL DE CALIDAD
especificados. S e pu e den clasificar en la m is m a form a en q u e se clasifican los defectos.
Unidad no conforme: es una conformidad. S e
al m enos una no
unidad de producto o servicio que contiene pueden clasificar en la m ism a forma en que
se clasifican las unida de s defectuosas.
Porcentaje de no conformes:
es el n ú m e ro de u n id a d e s no co n fo rm es
m ultiplicado por 100 y dividido por el total de unidades inspeccionadas.
No conformes por cada 100 unidades: es
el nú m ero de no con form ida
des m ultiplicado por 100 y dividido por el total de unidades inspeccionadas.
Unidad de producto: es
la unidad inspeccionada con el fin de clasificar las
unidade s conform es y no conform es o para contar no conform idades. E sta uni dad puede se r un artículo, un par, un grupo, una longitud, un área o un volum en. E sta unidad p u e d e o no s e r la m is m a u nid a d de co m p ra , de p ro ducción o de envío. P a ra lo c a liza r p la n e s de m u e stre o en esta n o rm a s e d e b e n c o n o c e r los siguiente s datos. a.
T a m a ñ o del lote (N )
b.
Nivel de inspección
c.
T ip o de inspección
d.
T ip o de m uestre o
e.
Nivel de calidad acep table (A Q L )
El
tamaño del lote es necesario
para entrar a la prim era tabla de la norm a
y lo c a liza r la letra c ó d ig o del ta m a ñ o de la m u e stra . Si los lotes no han sido e s ta n d a riz a d o s , se d e b e p ro c e d e r a e s ta n d a riz a rlo s p rim e ro q u e to d o . El C u a d ro 6 .1 7 de m u e stra lo apuntado. El
nivel de inspección, que tam bién sirve
para localizar la letra código del
tam año de la m uestra, representa el grado de discrim inación del plan de m u e s treo. Existen tres niveles gene rales y cuatro niveles especiales. Si no se e s p e cifica el nivel, se utiliza el nivel norm al que es el nivel II, si se d e s e a un plan con
JORGE ACUNA ACUNA
525
m a y o r g ra d o de discrim in a ció n se usa un nivel III y si se quie re un plan con m e n o r g ra d o de d iscrim in a ció n se u sa el nivel I. Lo s n iv e le s e sp e c ia le s se deben utilizar solo cu a n d o sea absolutam ente necesario trabajar con m uestras p e q u e ñ a s y se p u e d a n to le ra r g ra n d e s rie sg o s en la in s p e c c ió n . E l tipo de inspección representa la dinám ica con la que se aplicará la norm a, c o m e n za n d o s ie m p re con in s p e c c ió n n orm al y c a m b ia n d o a estricta o a sim plificad a seg ú n las condiciones lo am eriten. El tipo de muestreo se refiere a la aplicación de m uestreo sim ple, doble o múltiple. Algu na s reglas que pueden a y u dar a la selección del tipo de m uestreo son: a.
Si nu nca se ha aplicado la norm a se debe iniciar con planes sim ples.
b.
S i se d e s e a dism in u ir co sto s, se d e b e p ro cu ra r la utilización de plan es m últiples o dobles.
c.
Lo s planes de m uestreo se vuelven m ás difíciles de m anejar conform e se p a s a de sim ple a doble y aún m ás si se pasa a múltiple. Entren am iento y capacitación son necesarios para evitar errores.
d.
C u a n d o el lote c a m b ia de lugar, al extraer la prim era m uestra, se deb en a p lic a r p la n e s sim p le s, p u e s la e xtracción de m u e stra s a d icio n a le s se com plica.
e.
C u a n d o es n e c e sa rio utilizar p la n e s con n ú m e ro de a ce p ta ció n igual a c e ro , so lo s e p u e d e n u s a r p la n e s s im p le s p u e s no e x iste n , p a ra e se n ú m ero de aceptación, planes dobles ni múltiples.
f.
Para niveles de calidad aceptable (A Q L ) superiores a 15 no conform idades por ca d a 100 unidades, solo existen planes sim ples, cu a n d o se requieran m uestra s peq u e ñas.
El nivel de calidad aceptable (AQL) es el m á s difícil de obtener, pu es raras v e c e s se g u a rd a inform ación útil para su estim ación. P a ra estim arlo se puede tom ar com o referencia el prom edio de producto disconform e que genera la línea de producción. El A Q L debe ser ligeram ente m ayor que ese valor para e v ita r g ra n d e s v o lú m e n e s d e re c h a z o d u ra n te la in s p e c c ió n y lu e g o irlo m ejo rand o cada día. U n gráfico de control p, aplicado bajo condiciones norm ales de fabricación, p u e d e se r de gra n utilidad para e stim a r el A Q L . E n tre otras co s a s , tam bién
526
CONTROL DE CALIDAD
deben considerarse para su estim ación los costos de inspección, requisitos de d ise ñ o , d e m a n d a del p ro d u cto , q u e ja s del cliente y c a p a c id a d de p ro ce s o . D e b id o a qu e es requisito c o n o c e r el v a lo r del A Q L , para localizar el plan de m u estre o, se p u e d e fijar el v a lo r co m o una prim era a pro xim ació n y luego de acuerdo con el com portam iento del pro ceso se puede revisar.
Si un valor de AQL no se encuentra en el cuadro de la norma, enton ces la norma no se puede aplicar. L o s v a lo re s de A Q L se e x p re s a n en porcentaje de dlsco nfo m e s o no co n fo rm id a d e s por ca d a 100 u n idade s si su valor es igual o inferior a 10. Si es superior a 10, el A Q L representa únicam ente no conform idades por ca d a 100 unidades. E l p r o c e d im ie n t o p a r a e x tr a e r un p la n d e la n o r m a s e d e s c r ib e a continuación. 1.
Localizar la letra código del tam año de la m uestra en la T a b la I de la N orm a y u s a n d o p a r a e llo , el ta m a ñ o d e l lo te ( N ) y el n iv e l d e in s p e c c ió n seleccionado.
2.
Localizar el plan de m uestreo deseado en la tabla correspondiente usando la letra có d ig o lo caliza da en 1., el A Q L , el tipo de inspección y el tipo de muestreo. Para ayu da r a la búsqueda de la tabla deseada, la norm a cuenta con identificaciones de tipo de m uestreo y tipo de inspección en la esquina inferior d e re ch a de ca d a hoja. Si un plan no existe p a ra un dete rm in a d o A Q L en c o m b in a c ió n con la letra c ó d ig o , la n o rm a e n v ía a otro plan de m uestreo.
3.
O p e rar el plan de m uestreo seleccionado cam biando de tipo de inspección cu a n do las condiciones lo am eriten. Ta m b ié n , la norm a contiene una serie de tablas den om inad as T a b la s X-*,
don de el asterisco representa a cad a una de las letras código. E n estas tablas se pueden tam bién localizar planes de m uestreo. La ventaja de estas tablas es que contienen la cu rva ca racte rística de ope ra ció n del plan d e s e a d o . E sta s tablas solo pu e den ser usada s en caso s de inspección norm al o de inspección estricta. La s tablas por letra tienen tres partes: la prim era parte son las cu rva s características de ope ración para todos los A Q L ’s que tienen relación con la letra, la segunda parte tiene v a lo r e s tabulados para esas curvas características y la tercera contiene los planes de m uestreo correspondientes a la letra.
JORGE ACUNA ACUNA
527
A lg u n a s tablas de la n o rm a co n tien en va rio s s ím b o lo s e speciales cu y o significado se explica a continuación: T :
usar el prim er plan de m uestreo localizado sob re la flecha
i:
usar el prim er plan de m uestreo localizado bajo la flecha
Ac:
nú m ero de aceptación
R e : nú m e ro de recha zo *:
utilizar el plan de m uestreo sim ple correspondiente con la alternativa de usar el múltiple cu a n d o esté disponible.
+ + : utilizar el plan de m uestreo doble correspondiente con la alternativa de usar el múltiple inm ediato #: I:
no se perm ite aceptación para ese tam año de m uestra indica que si el núm ero de unidades disconform es se encuentra entre el núm ero de aceptación y de recha zo se debe aceptar el lote pero se reintenra la inspección normal
V:
e m p le a r la letra c ó d ig o s ig u ie n te p a ra la q u e e stá n d is p o n ib le s núm e ro s de aceptación y de recha zo .
A:
e m p le a r la letra có d ig o p re c e d e n te para la q u e e stán disp o n ib le s núm e ro s de aceptación y rechazo .
EJEMPLO 6.16 U s a n d o la inform ación de los C u a d ro s 6.18 a 6.23, localizar los planes de m u e stre o p e didos en el C u a d ro 6 .1 7 y expliqu e c ó m o funciona ca d a uno de ellos.
SOLUCION Plan 1 O b s e r v a n d o el C u a d r o 6 .1 8 , se tiene q u e p a ra N = 2 5 0 0 0 y un nivel de inspección III, la letra código del tam año de la m uestra es la letra N.
CONTROL DE CALIDAD
528
CUADRO 6.17. Planes de muestreo solicitados en el Ejemplo 6.16
Plan No. Tam año del lote Nivel de inspección Tipo de inspección Tipo de plan AQ L
1
2
3
4
25000 kg III Normal Simple 2,5%
1 8 5 0 0 kg II Estricta Simple 6,5%
125000m I Reducida Doble 4%
5000 u III Normal Múltiple 1,5%
Sa b ie n d o que se de sea un plan sim ple para inspección norm al se localiza la T a b la ll-A , que se presenta en el C u a d ro 6.19. Al usar un A Q L de 2 ,5 % y una letra código N el plan es: n
= 50 0 kg
Ac =
21 kg d'sconform es
Re =
22 kg disconform es
Q u ie re decir, que de un lote de 2 5 0 0 0 kg se tom a u na m uestra de 500 kg. Si se e n c u e n tra n 21 kg o m e n o s d isco n fo rm e s con lo req u e rid o se a cep ta la m uestra y el lote. P ero si se encuentran 22 kg o m ás disconform es, se rechaza la m uestra y el lote y se inspeccionan 1 0 0 % los 24500 kg restantes. Otra forma de extraer este plan es usando las tablas para las letras código. El C u a d ro 6 .20 pre senta la tabla correspondiente a la letra N, que es la que se u sa en este ca so . A d e m á s , se se ñ a la el plan b u s c a d o y su re s pectiva cu rva característica de operación. Plan 2
O b s e rv a n d o el C u a d r o 6 .1 8 , se tiene q u e para N = 1 8 5 0 0 0 y un nivel de inspección II, la letra código de tam año de m uestra es la letra P. S a b ie n d o qu e se de se a un plan sim ple para inspección estricta se localiza la T a b la ll-B , que se presenta en el C u a d ro 6.21. Al usar un A Q L de 6 ,5 % y una
JORGE ACUNA ACUNA
ím O ca> CU
529
=
m u ü u J L L ü n ^ - j ^ z Q - O a ;
ss
J ^ Z Q - O
—
< < [
“) 5 ¿ - ' 2
CD
CA
C 0) TJ (A
0)
O >
d o ü ü ü j i l o i
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Z
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S-4
<
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CL (A
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< D ’o CD C I CA
Q) CA
0)
CD
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T-
c¿
CD
o CD TJ
o iC CU c c cu H
<<<
COLOLOOOOOOOOOOOO w -t -C\JLOCT>LOCOOOOOOOO'CVJ T-(MinCMCMOOOO £ T- C OO LOo o > , T- C OLOo 1- LO a a a a a a a a a a a a a a
CUADRO 6.18. Tabla I. Letras código para el tamaño de la muestra
E 'O O O
( M O i C O C O -r -T -T -T -T -T -T -T -T -
T-T-
T-C\JIOCX>IOCOOOOOOOO i-C\JLOCMC\IOOOO T- C OO lo o o 1- COL Oo T- LO
530
CUADRO 6.19. Tabla II-A . Planes de muestreo simple para inspección normal
Niveles de calidad aceptables (inspección normal) 0.010
c
A R
/
150 A R
A R
650
A R
7 8
AR.
14 15 14 15 21 22 14 15 21 22 30 31
Jl
u
250
10 11
1 0 11
14 15 21 22
A R
30 31 44 45
30 31 44 45 30 31 44 45 21 22
o
O
21 22
u 125 200 315
14 15 21 22
500 800 1250
CONTROL DE CALIDAD
2000
21 22
V 7 oi
X
CUADRO 6.20. Tablas X-N. Tablas para letra código N
N iv e le s a c e p t a b le s d e c a lid a d ( i n s p e c c i ó n n o r m a l)
Tipo de
Tam año
plan de
acum ulado
muestreo
la m uestra
Sencilo
<0,025 0,025
Ac R. 500
AR
V
0 1
V
•
0,040 Ac R
X Ae R.
0,065 AR
315
125
V
.
Use
Use
Use
código M
código 0
código
0,10 A R
625 750 875 0,065
Ac R.
0,65
Ac R.
X X X 1,5
1,0
Ac R, A c R.
2 3
3 4
5 6
7 8
8 9
10 11
0 2
0 3
1 4
2 5
3 7
3 7
5 9
1 2
3 4
4 5
6 7
8 9
# 2
# 2
# 3
# 4
0 4
# 2
X
A R
0,40
1 2
0 0 1 1 2 0,040
a cr „
0,25
11 12 12 13
0 5
0 4
AR
2,5
>2,5
de ¡a m uestra
AcR
Ac R.
A c R.
12 T3 14 15
18 19
21 22
A
500
6 10
7 11
9 14
11 16
A
315
15 16
18 19
23 24
26 21
0 6
1 7
1 8
A cR.
2 9
630
A
125
P
250 375 500
<0,040
0,15
Tam año acumulado
0,10
2 3 3 3 3
0,15
0 0 1 2 3 4
3 3 4 4 5 5
0,25
0 3 1 4 2 3 4 6
5 6 6 7
0,40
1 2 3 5 7 9
5 6 7 8 9 10
0,65
1 6 3 5 7 10 13
8 10 11 12 14
X
3 6 8 11 14 18
2 7 4 9 6 9 12 14
11 12 14 15
1,0
8 10 13 15 17 19
X
N iv e le s d e c a lid a d a c e p ta b le (in s p e c c ió n e s tric ta )
3 9 7 12
4 10 8 13
10 15 14 17
17 20 23 26
12 17 18 20 21 21 22 25 1,5
6 12 11 17 16 22 27 32
22 25 29 33
7 13 19 25 31 37
X. X 2,5
250
14 19 25 29 33 38
375 500 625 750 875 >2,5
532
Continuación Jel Cuadro 6.20
Porcentaje de lotes que se espera sean aceptados (Pa)
CONTROL DE CALIDAD
Calidad de los productos, en porcentaje de no conformes o en no conformidades por 100 unidades
I JORGE ACUÑA A
Continuación del Cuadro 6.20
Niveles de calidad aceptable (inspección normal) 0 ,0 2 5
0 ,1 0
0 ,1 5
0 ,2 5
0 ,4 0
0 ,6 5
1 ,0
X
1 ,5
X
2 ,5
C
Pa
X
U
p (e n p o r c e n t a je d e n o c o n f o r m e s o e n n o c o n f o r m i d a d e s p o r 1 0 0 u n id a d e s )
99,0
0,002 01
0,029 7
0,087 2
0,165
0,357
0,581
0,701
0,954
1,22
1,50
2,07
2,51
Ñ
95,0
0,010 3
0,071 1
0,164
0,273
0,523
0,796
0,939
1,23
1,54
1,85
2,49
2,98
A
90,0
0,021 1
0,106
0,220
0,349
0,630
0,931
1,09
1,40
1,73
2,06
2,73
3,25
75,0
0,057 5
0,192
0,345
0,507
0,844
1,19
1,37
1,72
2,08
2,45
3,18
3,74
50,0
0,139
0,336
0,535
0,734
1,13
1,53
1,73
2,13
2,53
2,93
3,73
4,33
25,0
0,277
0,539
0,784
1,02
1,48
1,94
2,16
2,60
3,04
3,48
4,35
4,99
10,0
0,461
0,778
1,06
1,34
1,85
2,35
2,60
3,08
3,56
4,03
4,95
5,64
5,0
0,599
0,949
1,26
1,55
2,10
2,63
2,89
3,39
3,89
4,38
5,34
6,05
1,0
0,921
1,33
1,68
2,01
2,62
3,20
3,48
4,03
4,56
5,09
6,12
6,87
0,040
0,15
0,25
0,40
0,65
X
1,0
X
2,5
X
1,5
X.
N i v e le s d e c a li d a d a c e p t a b l e ( i n s p e c c i ó n e s t r ic t a )
533
534
CONTROL DE CALIDAD
■83
5P3 5:
CUADRO 6.21. Tabla ll-B . Planes de muestreo simple para inspección estricta
SQ í* P3 22 A -
52 V, 22 22 ^ ■
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JORGE ACUNA ACUNA
535
letra cód ig o P el plan presenta un tam año de m uestra n = 8 0 0 , sin em bargo, no ha y criterio de aceptación y rechazo para ese A Q L . E n to n ce s se deb e u sar el plan hacia el que apunta la flecha. n = 200 m etros A c = 18 m etros disconform es R e= 19 m etros disconform es Q u ie re de cir qu e , de un lote de 185 0 0 0 m etros se to m a una m u estra de 200 metros. Si se encuentran 18 metros o m enos disconform es con lo requerido se a cep ta la m uestra y el lote. Pero si se encuentran 19 m etros o m ás disco n fo rm e s , se re c h a z a la m u e s tra y el lote y se in s p e c c io n a n el 1 0 0 % d e los 184 8 00 metros restantes. T a m b ié n se p u e d e u sa r la T a b la X - P que es s im ila r a la T a b la X -N del C u a d ro 6.20. Plan 3 O b s e rv a n d o el C u a d ro 6.18, se tiene qu e para N = 1 2 5 0 0 0 y un nivel de inspección I, la letra código de tam año de m uestra es la letra L. S abiendo que se desea un plan doble para inspección reducida se localiza la T a b la lll-C , qu e se presenta en el C u a d ro 6.22. Al usar un A Q L de 4 % y una letra cód ig o L el plan localizado es el siguiente: n, =
50 m etros
n2 = 50 metros
A c1 =
3 m etros
Ac2 = 8 metros
R e1 =
8 m etros
Re 2, =
12 metros
Q u ie r e d e c ir, q u e de un lote de 1 2 5 0 0 0 m e tro s s e to m a u n a p rim e ra m uestra de 50 metros. Si se encuentran 3 metros o m enos disconform es con lo re q u e rid o se a c e p ta la m u e stra y el lote. Si se e n c u e n tra n 8 m etros o m á s d is c o n fo rm e s , s e re c h a z a la m u e stra y el lote y se in s p e c c io n a n 1 0 0 % los 1 24950 metros restantes. Si el núm ero de disconform es se encuentra entre 3 y 8, s e to m a u na s e g u n d a m u e stra de 5 0 m e tro s . S i en a m b a s m u e s tra s se e n c u e n tra n 8 m e tros o m e n o s d isco n fo rm e s con lo re q u e rid o se a ce p ta la
536
CONTROL DE CALIDAD
ISO 2859-1 : 1989 (E) I §8 I iI I. — £8
•
•
28
£8
•
•
•
22
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•
•
•
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5
125 125 I 200 200 I 315 315 I
1
13 26
50 I 100 I 80 160 125 | 250 I 200 400 I 315 630 I 500 1 000 I
I
I
03 04
o'
Primera Sequnda Primera Segunda Primera Segunda Primera j Seaundal Primera Seaundal Primera Sequnda 1 Primera Seaundal Primera Sequnda | Primera Seaundal Primera I Seaundal Primera Seaundal Primera Seaundal Primera Seaundal
CUADRO 6.22. Tabla lll-C. Planes de muestreo doble para inspección reducida
8
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CE
JORGE ACUÑA ACUÑA
537
m uestra y el lote. SI se encuentran 12 metros o m ás disconform es, se rechaza la m uestra y el lote y se inspeccionan 1 0 0 % los 124900 m etros restantes. Este plan que es para inspección reducida no tiene núm eros de aceptación y re c h a zo co n se cu tivo s en la s e g u n d a m uestra. P o r lo tanto, si el n ú m e ro de d isco n fo rm e s se en cu e n tra entre a m b o s n ú m e ro s se d e b e n a ce p ta r a m b a s m uestra s y el lote, pero se deb e regresar a inspección norm al. Plan 4 O b s e r v a n d o el C u a d r o 6 .1 8 , se tie n e q u e p a ra N = 5 0 0 0 y un nivel de inspección III, la letra código de tam año de m uestra es la letra M. Sa bie nd o qu e se desea un plan múltiple para inspección norm al se localiza la T a b la IV -A , q u e se p re s e n ta en el C u a d r o 6 .2 3 . A l u s a r un A Q L d e 1,5 d is c o n f o rm id a d e s p o r c a d a 1 0 0 u n id a d e s y u n a le tra c ó d ig o M , el p la n localizado se m uestra en el C u a d ro 6.24. E ste plan funciona así: de un lote de 5 0 0 0 unidades se tom a una prim era m u estra de 80 u nidade s, si no contiene unidade s d iscon form es en to n ce s se a ce p ta la m u e stra y el lote. S i co n tie n e 5 o m ás d isco n fo rm e s se re c h a za la m uestra y el lote, procediendo a inspección 1 0 0 % sobre el rem anente de 4920 unidades. Si el núm ero de disconform es está entre 0 y 5 disconform es se tom a u n a s e g u n d a m u e s tra ta m b ié n de 8 0 u n id a d e s . Si el a c u m u la d o d e 160 u n id a d e s con tie n e 3 o m e n o s unidade s disconform es en to n ce s se a ce p ta la m uestra y el lote. Si contiene 8 o m ás disconform es se re ch a za la m uestra y el lote, procediendo a inspección 1 0 0 % sobre el rem anente de 4840 unidades. Si el nú m e ro de disconform es está entre 3 y 8 disconform es se tom a una tercera m u e stra ta m b ié n de 80 u n id a d e s . E ste p ro ce so se c o n tin ú a de igual form a hasta tener criterio de aceptación o de recha zo , lo cual necesariam ente debe darse al com ple tar siete m uestras, equivalentes a 560 unidades. SI se co m p a ra este plan múltiple con un plan sim ple que trabaje bajo las m ism as condiciones (n = 3 1 5, A c= 1 0, R e= 1 1) se puede notar que trabajar con el plan múltiple puede ser m ás barato siem pre y cuando el e sq u em a de m uestreo múltiple no su pe re la m uestra 4. T a m b ié n se p uede u s a rla T a b la X -M , la cual es sim ilar a la T a b la X -N del C u a d ro 6.20.
CUADRO 6.23. Tabla IV-A. Planes de muestreo múltiple para inspección normal
Niveles de calidad aceptable (inspección normal)
I I
¡i
• 3-8
|o.010|0.015 0.025 0.040 0.065 0,10
0.15
0.25
0.40
0.65
1.0
Ac Ra Ac Ral Ac Ral Ac Ra A cR aAcReAcRaAcRaAcRe Ac Ri
1.S
2.5
4.0
6.5
c Ra Ac Ra Ac Ra Ac Ral Ac Rs Iac Ral Ac Ral Ac Ral
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Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Sexto Sétimo
53 56 65 68 77 78
TV
Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Sexto Sétimo Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Sexto Sétimo Primero Segundo Tercero Cuarto Quinto Sexto Sétimo
A
40 49
TV
TV
TV
TV
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33
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Continúa en la siguiente página
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Continuación del Cuadro 6.23
33
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Mtvatas de candad aceptable (Inspección normal)
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CONTROL DE CALIDAD
540
CUADRO 6.24. Plan múltiple de muestreo del Ejemplo 6.16
No.
Tamaño
Acumulado
1 2 3 4 5 6 7
n,=80 n2=80 n3=80 n„=80 n5=80 ne=80 n7=80
80 160 240 320 400 480 560
Disconformldades/100 unidades Ael= 0 Ac2= 3
R ,= 5
A«=11
R»2= 8 R.3=10 R «= 1 3 R«5=13
Ac6=14 Ac7=18
Ree=17 R.r=19
Ac3= 6 Ac4= 8
Dinámica de la inspección A l utilizar e sta N o rm a , se d e b e te n e r presente q u e el tipo de in sp e cció n d e b e se r dinám ico, de tal m anera que se cam bie a inspección reducida cuan do la calidad m ejore o a estricta cu a n d o ésta em peore. La s re g la s y p ro ce d im ie n to s q u e s e sig u e n p a ra c a m b ia r de un tipo de inspección a otra son las siguientes:
1. Cambio de inspección normal a reducida A l iniciar la in sp e cc ió n se d e b e a p lica r in sp e cc ió n norm al. E s ta n d o en inspecció n norm al, se ca m b ia rá a inspección reducida cu a n d o se satisfagan todas las siguientes condiciones: a.
Lo s últimos 10 lotes som etidos a inspección han sido aceptados.
b.
E l n ú m e ro total d e u n id a d e s no c o n fo rm e s o d is c o n fo rm id a d e s en las m uestra s provenientes de los últimos 10 lotes no su p e ra el n ú m e ro límite d a d o en la T a b la
VIII
q u e se e n c u e n tra en el C u a d r o
6.25.
S i s e están
usando planes dobles o múltiples, se deben considerar todas las m uestras insp eccion a da s y no solam ente las prim eras. c.
La pro ducción se está ejecutando en form a estable, sin interrupciones ni situaciones ano rm ales.
JORGE ACUÑA ACUÑA
14 22 40
65
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68 110 181
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7 14 21
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189
105 177 277
100
co in *(O -— co
co o en
0,40 0 .6 5
CO O <1> O
297 490
400 250 150
04 CO CO CMCO CO
•••
. . .
0.0 1 0
CUADRO
6.25. Tabla VIII Números límite para inspección reducida
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S o n T~ CO 4
o o io t(0 0 0 3
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Q CO O ^ CD T -
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ISO 2859-1 : 1989(E)
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8 8
8
8 2
8 8 8
§ÉÍ
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Denota que el número de unidades de muestra de los últimos 10 lotes no es suficiente para inspección reducida para esta AQL. En este caso, más de 10 lotes deben ser usados para el cálculo, dado que los lotes usados son los más recientes en la secuencia, que han sido sujetos a inspección normal y que ninguno ha sido rechazado durante la inspección normal.
541
542
CONTROL DE CALIDAD
d.
La autoridad responsable co n sid e ra conveniente la instauración de la ins pección reducida.
2.
Cambio de inspección reducida a normal Estando en inspección reducida se ca m b ia rá a inspección norm al cu an do
o cu rra cu a lq u iera de las siguientes situaciones: a. b.
un lote no es a ce p ta d o o, un lote se a ce p ta c u a n d o su n ú m e ro de d isco n fo rm id a d e s se e ncu entra entre el n ú m e ro de acep tació n y el de re c h a zo o,
c.
la producción se vu e lve inestable o se presentan anorm alidades en el pro ce so de p ro du cción o,
d.
cualquier otra situación qu e am erite la reinstauración de la inspección nor mal.
3.
Cambio de inspección normal a estricta
E s ta n d o en inspe cción n o rm al se ca m b ia rá a inspección estricta cu a n d o d o s de cinco o m e n o s lotes co n se cu tivo s no han sido aceptados.
4.
Cambio de inspección estricta a normal
Estando en inspección estricta se retornará a inspección normal cuan do se acepten cinco lotes consecutivos. S i 10 lotes consecutivos perpnanecen en ins pección estricta se d e b e s u s p e n d e r la recepción de lotes e inform ar al p ro ve e do r a ce rca de los p ro b le m a s d e te c ta d o s. N o se reiniciará la re cepció n hasta tanto no se d e m u e stre qu e los pro blem as han sido elim inados.
EJEMPLO 6.17 E n recepción de materias prim as de una fábrica se reciben lotes de produc to de 8 3 0 0 u n id a d e s q u e so n in s p e c c io n a d o s m e d ia n te un plan s im p le de
JORGE ACUNA ACUNA
543
m uestreo. El A Q L se ha fijado en 4 % y actualm ente se usa el Nivel II para la Ins pección. a.
¿ C u á le s son los p la n e s d e m u e stre o p a ra in p e cció n n o rm a l, estricta y reducida?
b.
Si se recibieran 30 lotes con la cantidad de disconform es q u e presenta el C u a d ro 6 .26, ¿cuál d e b e ría ser la d inám ica de la inspecció n ? La p ro d u c ción se realizó en form a norm al y la dirección de inspección ha dicho que si se cum plen las dos prim eras condiciones para pasar a inspección reducida se p u e d e ejecutar esa acción.
SOLUCION a.
Lo s planes de m uestreo son los siguientes:
Inspección normal
b.
Inspección estricta
Inspección reducida
n =200
n =200
A =
14
A
=
12
n =80 A = 7
R e=
15
Re =
13
R e= 1 0
La dinám ica de la inspección sería la siguiente: La insp ecció n se inicia con el plan de inspección norm al (n = 2 0 0 , A c= 1 4 ,
R e= 1 5 ). E l C u a d r o 6 .2 7 m u e s tra qu e las 10 p rim e ra s m u e s tra s y por c o n s i guiente los lotes de don d e pro vien en son ace p ta d a s, con lo qu e se cum ple la prim era condición para p a sa r a inspección reducida. S e g ú n la T a b la V III del C u a d r o 6 .2 5 el n ú m e ro lím ite es 68 u n id a d e s d isco n fo rm e s p a ra un total de 2 0 0 * 1 0 = 2 0 0 0 u n id a d e s in s p e c c io n a d a s con AQL=4% . El total de disconform es hasta la m uestra No. 10 es de 74, el cual es m ayor que 68 el núm ero límite requerido. Por lo tanto, no se puede pasar a inspección reducida.
CONTROL DE CALIDAD
544
CUADRO 6.26. Número de disconformes encontrados inspección de 30 lotes (Ejemplo 6.17)
N o . m u estra
N o. d e
N o . m u estra
N o. d e
d is c o n fo r m e s
d is c o n fo r m e s
1
10
16
8
2
14
17
10
3
5
18
14
4
3
19
13
5
12
20
15
6
10
21
16
7
1
22
8
8
2
23
9
9
13
24
10
10
4
25
12
11
8
26
10
12
4
27
8
13
7
28
7
14
4
29
4
15
7
30
10
Al incorporarse la muestra No. 11, la m uestra No. 1 es sustituida para co m pletar otras 10 m uestras cuyo núm ero de disconformes es 72, núm ero que sigue siendo m ayor que el núm ero límite 68. Al ingresara inspección la muestra No.12, la m uestra N o. 2 es sustituida para form ar un nuevo grupo de 10 m uestras, las
CUADRO 6.27. Situación de las primeras 10 muestras
M u estra N o.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N o. d is c o n fo r m e s
10
14
5
3
12
10
1
2
13
4
C r it e r io
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
A
C
C
JORGE ACUÑA ACUÑA
545
c u a le s s u m a n 62 u n id a d e s d is c o n fo rm e s , n ú m e ro q u e s í es m e n o r q u e el n ú m e ro límite 68. P o r lo tanto, la s e g u n d a condición p a ra p a s a r a inspección reducida se cum ple. T a l y co m o lo e x p re sa la inform ación dad a , la pro d u cció n se ejecuta nor m alm ente y hay anuencia de la dirección para pasar a inspección reducida si se c u m p le n las dos prim eras co n dicio nes. P o r lo tanto, a partir de la m uestra No. 13 se inspecciona con el plan de m uestreo de inspección reducida (n=8 0, A c=7, R e= 1 0 ). El C u a d ro 6 .2 8 presenta lo qu e ocurre con las pró xim as 4 m uestras. Al obs e rva r el C u a d ro 6.28, se nota qu e las cuatro m u estra s son a ce p ta das. Sin em bargo, la m uestra No. 16 (señalada con asterisco) es aceptada con un núm ero de disconform es que se encuentra entre los núm ero s de aceptación y recha zo. Por lo tanto, a la v e z que se acepta la m uestra y el lote de don de pro viene, se debe reinstaurar la inspección norm al a partir de la m uestra N o. 17.
CUADRO 6.28. Situación con las muestras de la No. 13 a la No. 16
13
14
15
16
No. d is c o n fo rm e s
7
4
7
8
C rite rio
AC
AC
A
A
M u e s tra No.
El C u a d ro 6.2 9 m uestra las siguientes cinco m uestras.
CUADRO 6.29. Situación con las muestras de la No. 17 a la No. 21
17
18
19
20
21
No. d is c o n fo rm e s
10
14
13
15
16
C riterio
AC
AC
Ac
Re
Re
M u e s tra No.
546
CONTROL DE CALIDAD
C o m o se puede observar en el C u a d ro 6.29, al inspeccionar la m uestra No. 21 se recha za, por lo que ya se han re ch a za d o dos m uestras consecutivas. De acuerdo con lo apunta do en la norm a, esta condición es suficiente para inspec cionar con el plan de inspección estricta (n = 2 0 0 , A c= 1 2, R e= 1 3). P or lo tanto, a partir de la m uestra N o . 22 se inspeccionarán las m uestras usando este plan. E n el C u a d ro 6 .3 0 se detallan las siguientes cinco m uestras.
CUADRO 6.30. Situación con las muestras de la No. 22 a la No. 26
M u estra N o.
N o. d is c o n fo r m e s
C r it e r io
22
23
24
25
26
8
9
10
12
10
A
A
A
Ac
A
Al ob s e rva r el C u a d ro 6 .30 se nota que cinco m uestras con secu tivas son a ce p ta d a s, p or lo q u e se cu m p le la con dició n p a ra re in stau rar la inspecció n norm al a partir de la m uestra N o .27. El C u a d ro 6.31 presenta lo ocurrido con las últimas cuatro m uestras. Las siguientes m uestras se continúan inspeccionando con el m ism o proce dimiento.
CUADRO 6.31. Situación con las muestras de la No. 2 7 a la No. 30
M u estra N o.
27
28
29
30
N o. d is c o n fo r m e s
8
7
4
10
C r it e r io
A
A
C
A
C
A
C
JORGE ACUNA ACUNA
547
O tra s ta b la s de la N o rm a IS O 2859-1 Esta norm a contiene tam bién otras tablas que pueden ser útiles para la ins pección. Estas son la T a b la V -A , la T a b la V I-A , y la T a b la IX la cual presenta las cu rva s de m agnitud m uestral para m uestreo doble y múltiple. E stas tablas se encuentran en los C u a d ro s 6 .3 2 ,6 .3 3 y 6.34, respectivam ente. La s T a b la s V -A y V -B presentan valores aproxim ados del límite de calidad saliente m edia para inspección norm al e inspección estricta, respectivam ente. La calidad límite (L Q ) se define co m o el nivel de calidad que, para efectos de inspección por m uestreo, tiene la m ás baja probabilidad de aceptación. La T a b la V l-A presenta valores de calidad límite (L Q ) para porcentajes de producto no conform e con especificaciones cuya probabilidad de aceptación es del 1 0 % . T a m b ié n existen la T a b la V ll-A para porcentajes de producto no conform e con especificaciones cu ya probabilidad de aceptación es del 5 % . A d e m á s , existen las T a b la s V l-B y V ll-B que se usan para localizar n ú m e ros límite para disconform idades por cad a cien unidades cu ya s probabilidades de ace p ta ció n son 1 0 % y 5 % respectivam e nte. T o d a s estas tablas son para planes sim ples de m uestreo e inspección norm al. Para localizar el valor buscado en todas las tablas citadas anteriormente se necesita disponer de las letras código del tam año de la m uestra y los respecti vo s valores de A Q L . La T a b la IX sirve para localizar la m agnitud m edia m uestral, en inspección normal y estricta, que corresponde a un plan doble o múltiple dado un plan simple.
EJEMPLO 6.18 E n u na inspección por m u estre o se usa el plan sim ple n = 1 25, A c=3, que corresp onde a u n A Q L de 1% . Los lotes que se reciben han m ostrado tener un 2 % de producto no conform e a lo requerido. a.
¿ C u á l es el límite de calidad saliente m edia (A O Q L ) si se trabaja en inspec ción norm al?
b.
¿ C u á l es la calidad límite (L Q ) para probabilidad de aceptación del 10 % ?
Cuadro 6.32. Tabla V-A Valores aproximados de AOQL (inspección normal)
■o
N ivel d e calidad aceptable
« O) 0.010 0,015 0.025 0,040 0,065 0,10 i A B C
0,15
0,25
0.40
0,65
1.0
1.5
2,5
4,0
6,5
10
15
25
40
65
100
150
250
400
650
1 000
69 65 63
97 110 90
160 150 130
220 220 190
330 310 290
470 490 430
730 720 660
1 100 1 100
82 72 73
120 110
180 170
270 250
410
1 2 3 5
D E F
8 13 20
G H J
32 50 80
K L M
125 200 315
N P Q
500 800 1 250
R
2000
7.4
17
28 27
42 46 39
4.2
6,5 6,9
11 11 9,7
17 15 16
24 24 22
40 34 33
56 50 47
21 19 18
29 29
46
18 12
4.6 2,8 1.8
1,1
1.7 1.7
2,6 2,7 2,4
4,3 3,9 4,0
6,1 6,3 5,6
9,9 9.0 8,2
14 13 12
5,2 4,7 4,7
7,5 7.3
12
1,2 0,74 0,46
0,27
0.42 0.44
0,67 0,69 0,62
1,1 0,97 1,00
1.6 1.6 1.4
2,5 2,2 2,1
3,6 3,3 3,0
0,17 0,17 0.16
0,27 0,24 0.25
0.39 0,40 0,36
0,63 0.56 0.52
0.90 0.82 0.75
1.3 1.2 1,2
1,9 1,8
2,9
0.042 0,069 0.097 0,16
0,22
0.33
0,47
0,73
0.29 0,18 0,12 0.074 0.046 0.029
0.067
0,11 0,11
o o
z
H H O o > □ o > o
i CUADRO 6.33. Tabla VI-A Valores de LQ para % de disconformes (PA=10%, plan simple, inspección normal)
o
D O m > o c > > o c z> >
CJl -P*. co *
CUADRO 6.34. Tabla IX Curvas de magnitud muestralpara planes dobles y múltiples (inspección normal y estricta)
550 CONTROL DE CALIDAD
JORGE ACUÑA ACUÑA
c.
551
¿ C u á l es la m agnitud muestral de los planes dobles y múltiples eq uivalen tes ai plan sim ple dad o?
SOLUCION a.
O b s e r v a n d o el C u a d r o 6 .3 2 , se p u e d e v e r q u e el v a lo r de A O Q L para n = 1 25 (letra código K ) y A Q L = 1 % es 1 ,6 % .
b.
O b s e rv a n d o el C u a d ro 6.33, se p u e d e v e r qu e el v a lo r de L Q para n = 1 25 (letra código K ) y A Q L = 1 % es 5 ,4 % .
c.
E n el C u a d ro 6 .34, en el gráfico correspondiente a A c= 3 se puede ve r que para np= 1 25*0,02=2,5, los tam años de m uestra equivalentes al plan sim ple son: P a ra plan doble:
n ,= n 2=0,84*125
=
105 unidades
P a ra plan múltiple:
n = 0,78*125
=
98 unidades
PLANES DE MUESTREO PARA VARIABLES C o n c e p t o s g e n e ra le s El m uestreo de aceptación para variables es una técnica estadística que se usa para evaluar lotes con base en m uestras con el fin de evidenciar las causas de re cha zo , en caso de qu e éste se dé. P ara aplicar este tipo de m uestreo se deben cum plir una serie de condicio nes. La s m ás importantes son: 1.
La característica de calidad que se va a controlar deb e ser una variable, o un atributo que pu ede ser puesto en una escala de m edición.
2.
L o s costos del m u e stre o por atributos d e b e n s e r altos p o r c o n ce p to de e n s a yo s destructivos.
3.
La inspección de atributos no sum inistra suficiente inform ación sobre las ca u sa s de recha zo , las cuales de b e n ser estudiadas para increm entar el nivel de calidad.
552
4.
CONTROL DE CALIDAD
La distribución de la variable en estudio debe aproxim arse a la distribución norm al.
La aplicación de este tipo de m uestro tiene algunas ventajas sob re la ins p ección por atributos. A lg u n a s de ellas son: 1.
S e tie n e u n a p ro te c c ió n e q u iv a le n te con un ta m a ñ o de m u e s tra m á s pequeño.
2.
S e p u e d e estu dia r a fondo la característica de calidad pues solo ella es m otivo de estudio.
3.
S e ofrece u na base m á s a pro p ia d a para m ejorar la calidad. N o obstante estas ve nta ja s, es ne ce sa rio h a ce r un estudio com parativo entre am b a s form as de inspección tom and o en cuenta aspectos tales com o: costos de inspección, costos adm inistrativos, personal entrenado, cantidad y dificul tad de las m ediciones, disponibilidad de equipo de m edición y laboratorios y organ iza ción de la inspección. Los costos de inspección por variables se clasifican en cuatro categorías:
a.
Costos administrativos.
S o n los costos en que se incurre para registrar
información; entre ellos se incluyen los costos de papeleo y de personal de inspección. E sto s costos son independientes del tam año de la m uestra. b.
Muestreo. S o n los costos de evaluación que incluyen entre otros los cos tos de recolectar inform ación y de m edición de las m ism as.
c.
Inspección. S o n los costos por tener que inspeccionar piezas. Incluye en tre otros el costo de la unidad que está siendo ensayada.
d.
Cálculos. S o n los costos o ca sio nado s por el entrenam iento del personal para relizar cálculos y sa ca r conclusiones.
Tipos de planes de muestreo Existen fundam entalm ent cuatro tipos de planes que se clasifican según se co n o zca la desviación estándar y si se tienen uno o dos límites de especificación. El funcionamiento de estos planes es básicamente el mismo utilizado en los planes para atributos: se tom a una m uestra del lote, se ejecutan las m ediciones
JORGE ACUNA ACUNA
553
sobre ella y depe ndiendo de la calidad qu e ésta m uestre al ser com p a ra d a con la e sp e cifica ció n , se e sta b le c e un criterio d e a c e p ta ció n o de re c h a z o de la m uestra y del lote de don de proviene. Al igual qu e en plan es para atributos, todos los plan es de m u estre o para variables que dan determ inados cuan do se definen el tam año de la m uestra (n) y el criterio de aceptación (k). E n el caso de un plan para un solo límite especificado con variabilidad des co n o cida los valore s del ta m a ñ o de la m u estra y del criterio de aceptación se calculan con base en el riesgo del pro d u cto r(a ), el riesgo del con sum ido r (B ), el A Q L y el P N C T . La s fórm ulas son las siguientes:
(k 2 + 2 ) * ( z 1_ a + Z 1_ p) 2 n= 2 2 * ( Z 1-AQ L ~ Z 1-PNC t )
k=
( Z 1 -a * Z 1-P N C T ) + ( Z 1-p * Z 1 -A Q L )
i
-
Z 1 -a + Z 1-P
donde: n
:
T a m a ñ o de la m uestra
k
:
Criterio de aceptación (equivale a Z de C u rv a norm al)
Z 1a
:
V a lo r de Z corresp ondiente a una probabilidad (1 -a )
Zi p
:
V a lor de Z correspondiente a una probabilidad (1 -(3)
Z i -aql
;
V a lo r de Z correspondiente a una probabilidad (1 -A Q L )
Z
:
V a lo r de z correspondiente a una probabilidad (1 - P N C T )
i -p n c t
Este plan funciona en form a parecida a una pru e ba de hipótesis unilateral. E sto se debe a qu e s e g ú n la cu rva norm al están dar el porcentaje de producto disconform e d e cre ce de a cu e rd o con el crecim iento del va lo r absoluto de Z y por lo tanto hay m a yor probabilidad de aceptación.
554
CONTROL DE CALIDAD
E J E M P L O 6.19 D ise ña r un plan de m uestreo por variables que cum pla con las siguientes condiciones: 1.
R ie sgo del pro ductor (a )= 5 %
2.
R ie sgo del co n su m ido r (P )= 1 0 %
3.
Nivel de calidad aceptable (A Q L )= 2 ,5 %
4.
Porcentaje disconform e tolerado en el lote (P N C T )= 7 ,5 %
S O L U C IO N
Utilizando la T a b la I del A p én dice I, se localizan los siguientes valores de Z . z +, a
= Z , -0,050
_ Z(),950 = 1,65
Z,1+
= Z , -0.100
~ Zo,900 = 1,28
Z,1-AQL
= Z , -0,025
_ Z 0,975
Z,1-PDTL
= Z , -0,075
_ Z 0.925 = 1,44
= 1,96
A sí ,
1,65*1,44 + 1,28*1,96
K = --------------------------------------------------- = 1 , 6 6 7
1,65 + 1,28
1-
Í1 ,6 6 7 2 + 2 )* (1 ,6 5 + 1 ,28)2 --------------------------------= 76 unidades 2*(1,96 — 1,4 4)2
P or lo tanto, se con clu ye qu e el plan de m uestreo que cum ple con las co n diciones planteadas es n= 7 6 , k = 1 ,667. Q u ie re decir esto, qu e se d e b e extraer del lote u na m u e stra de 76 u n id a d e s y calcu lar el va lo r de Z corre sp o n d ie n te (Z = (V E-x)/s). Si el valor de k es m enor que Z, entonces se acepta la m uestra y el lote, de lo contrario se re cha za .
JORGE ACUÑA ACUÑA
555
Estos planes de m uestreo tienen su correspondiente cu rva característica de operación, la cual se construye bajo los siguientes pasos: 1.
Estable cer valor de p (porcentaje del lote que no cum ple con lo especifica do ). El núm ero de valores de p debe ser tal que perm ita su avizar una a d e cu a d a curva.
2.
C a lc u la r el valor de 1-p.
3.
Lo ca liza r en la T a b la I de A pé n d ice I el valor de Z 1
4.
C a lc u la r el valor de Z 1PA.
Z 1-PA -
5.
Lo caliza r en la T a b la I de A pén dice I el valor de 1 -P A.
6.
D e te rm inar el valor de P A a partir de 1 -P A.
7.
D ibujar la curva característica de operación con los valores de p en el eje x y los valores de P A en el eje y.
EJEMPLO 6.20 P a ra el plan de m uestreo diseñad o en el E jem plo 6.19, construir la cu rva característica de operación.
SOLUCION El C u a d ro 6.3 5 pre senta los paso s del 1 al 6 y la F ig u ra 6.1 5 presenta la cu rva característica de operación pedida.
556
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 6.35. Cálculos para la curva OC del Ejemplo 6.20
(1) p
(2) 1-p
0,020 0,025 0,030 0,040 0,045 0,050 0,060 0,065 0,075 0,085 0,090 0,100
0,980 0,975 0,970 0,960 0,955 0,950 0,940 0,935 0,925 0,915 0,910 0,900
(3)
(4)
(5)
(6)
Z ,-p
z , PA
1-P*
P*
0,0158 0,0156 0,1190 0,3228 0,4404 0,5478 0,7324 0,8023 0,8962 0,9495 0,9656 0,9826
0,9842 0,9484 0,8810 0,6772 0,5596 0,4522 0,2676 0,1977 0,1038 0,0505 0,0344 0,0174
2,055 1,960 1,880 1,750 1,695 1,645 1,555 1,514 1,440 1,372 1,340 1,287
h=i,J_+ i f 72 11 76
7
2*(76 - 1 )
-2,15 -1,63 -1,18 -0,46 -0,15 0,12 0,62 0,85 1,26 1,64 1,82 2,11
Q,1{
_ 1 ,6 6 7 -Z 1_P
¿ 1 -P A
------------------------
0,1Í
N O R M A IS O -3 9 5 1
Esta norm a que tiene sus oríg enes en la N orm a Militar Estándar 414, c o n siste de la a c tu a liz a c ió n de d ic h a n o rm a de tal m a n e ra q u e los p la n e s de m u estro se ajusten a los de la N o rm a 2 8 5 9 -1 . La norm a presenta diferencias significativas con respecto a la N o rm a 414. U n a de estas diferencias es el uso del m étodo gráfico qu e perm ite c o n o ce r la razón de re c h a za r una m uestra y el lote de don de proviene. Esta razón será siem pre una o a m b a s entre exactitud y precisión. E sta norm a ha sido diseña d a para ser usada en p ro ce so s que tengan las siguientes características:
JORGE ACUNA ACUNA
557
p (% )
FIGURA 6.15. Curva característica de operación del Ejemplo 6.20.
1.
El procedim iento de inspección se aplica a la recepción continua de lotes de productos discretos que han sido fabricados por un único productor bajo un único pro ceso. Si hay m ás de un proveedor, la norm a de b e aplicarse a ca d a uno de ellos en form a separada.
2.
La in sp e cc ió n se h a c e so b re u n a ú nica c a ra c te rís tic a la cu al d e b e s e r m edible. Si existen dos o m ás características, esta norm a se debe aplicar a ca d a una de ellas en form a separada.
3.
La producción debe ser estable (bajo control estadístico) y la característica en estudio de b e distribuirse norm alm ente o al m e n o s a proxim arse a esa distribución.
4.
El p ro c e d im ie n to e s ta b le c e , p o r con trato o p o r n o rm a , el uso de un lí mite su p e rio r de especificación, un límite inferior de especificación o de a m bos. A lg u n a s definiciones im portantes de esta n orm a son: M é to d o s: e s un m étodo para definir la aceptabilidad de un lote usando la
desviación están dar m uestral.
558
CONTROL DE CALIDAD
Método o: es un m étodo para definir la aceptabilidad de un lote usand o la desviación e stán dar del proceso. Método R: es
un m éto do para definir la aceptabilidad de un lote u sa n d o
una e stim a ción de la d e s via ció n e stá n d a r del pro ceso basa d a en el intervalo prom edio calculado en una serie de m ediciones cuando la m uestra se divide en su bg ru p o s.
Constante de aceptabilidad: es la constante que se extrae de tablas con base en el ta m a ño de la m uestra y el A Q L . Este valor se co m p a ra con el esta dístico de calidad para definir si se acepta o se recha za el lote. Límites dobles de especificación separados: son límites de especifica ción para los que se dan A Q L ’s diferentes.Esto quiere decir qu e el límite s u p e rior tiene un A Q L y el límite inferior otro que puede ser igual o diferente. S e d e nota con U el límite superio r y con L el límite inferior.
Límites dobles de especificación combinados: son límites de especifi cación para los que se da un solo A Q L , lo que significa el límite superior y el in ferior de b e n cum plir en conjunto con '.z especificado por el A Q L . Estadístico de calidad: es un estadístico similar al estadístico Z de la dis tribución norm al, y que se calcula de igual form a, pues es la diferencia entre un v a lo r x e s p e c if ic a d o y la m e d ia de la m u e s tra d iv id id a p o r la d e s v ia c ió n estándar. Estadístico inferior de calidad: es el estadístico de calidad don de el valor de x es el límite inferior de especificación. Estadístico superior de calidad: es el estad ístico de calida d d o n d e el valor de x e s el límite superio r de especificación. Desviación estándar muestral máxima (MSSD): es el valor m á s
grande
de la d e svia ción están dar m uestral qu e se g enera bajo condiciones dad as.
Desviación estándar máxima del proceso (MPSD): es el valor m ás g ra n de de la d esviación están dar del pro ceso qu e se g e nera bajo con dicio nes d a das. E s decir, es el valor m á s g rande de o qu e se g enera para un A Q L cu an do el pro ce so está centrado. Esta norm a y la N orm a IS O 2819-1 tienen importantes similitudes y diferen cias. A lg u n a s de esas sim ilitudes están en qu e a m b a s norm as:
JORGE ACUNA ACUNA
559
a.
Parten de una filosofía co m ú n (aceptación o re ch a zo del lote con base en m uestra s).
b.
U s a n el criterio de A Q L para determ inar el tam año de m uestra y criterio de aceptación.
c.
S e basan inicialmente en el tam año del lote y nivel de inspección para bus ca r una letra cód ig o de tam año de m uestra.
d. e.
U s a n básicam ente las m ism as reglas de dinám ica de inspección, U s a n la m is m a c la s ific a c ió n de p ro d u c to no c o n fo rm e c o n e s p e c ifi caciones. A lg u n a s diferencias son:
a.
El criterio de aceptación y rechazo en am bas norm as es diferente. Mientras q u e en la N o r m a I S O 2 8 5 9 -1 se b a s a en el n ú m e ro de u n id a d e s nc co n fo rm e s co n lo especificado e n c o n tra d a s en la m uestra , en la norm a 3951 se basa en el cálculo del estadístico de calidad.
b.
La norm a 3951 requiere para su aplicación de que la característica en es tudio se distribuya norm alm ente, m ientras que la N orm a IS O 2859 no tiene n in g ú n re q u e rim ie n to p a ra la d istrib u c ió n de p ro b a b ilid a d de las c a racterísticas.
c.
La s curvas características de operación de am bas norm as no son equiva lentes a p esar de tener los m ism os valores de A Q L .
d.
La probabilidad de que un lote que tiene una calidad igual al A Q L sea acep tado se incre m en ta con el tam año de m uestra. E sto es sim ilar en ambas norm as; sin em b a rgo , a m b a s probabilidades no son idénticas.
e.
Lo s ta m a ños de m uestra en la norm a para variables, correspondientes s una m isma letra código, son generalm ente m ás pequeños que los tam año; de m uestra en la norm a para atributos.
f.
E n esta norm a no existen ni planes dobles ni múltiples.
g.
E n esta norm a no es aplicable el concepto de A O Q L . La N orm a IS O 3951 está com puesta de las siguientes partes:
1.
Aspectos generales
560
CONTROL DE CALIDAD
2.
M étodo de selección de plan es de m uestreo
3.
F u ncionam ie nto de un plan de m uestreo para variables
4.
T a b la s y d ia g ra m a s
5.
Anexos a. P ro cedim ientos para calcular s y o b. T e o ría estadística c.
P lan e s de m uestreo p or m étodo del intervalo R
P a ra extraer un plan de esta norm a se necesita contar con la siguiente in form ación: 1.
P rueba de qu e la variable en estudio se distribuye norm alm ente y de que la pro ducción ha sido continua
2.
T a m a ñ o del lote (N )
3.
Nivel de inspección
4.
M étodo de estim ación (s, o o R )
5.
T ip o de inspección
6.
T ip o de límites de especificación
7.
AQL L a prueba de norm alidad se h ace a través de bondad de ajuste. La pro du c
ción se c h e q u e a con el fin de qu e se dem uestre su continuidad. El tam año del lote se define de antem ano y debe perm anecer constante. Si no existen lotes de ta m a ñ o e s ta n d a riza d o se de b e n ejecu tar las activid ades n e c esaria s para su estandarización. El nivel de inspección se establece de acuerdo con lo que se especifique. Si no se especifica ning u no se usa nivel II. Existen tres niveles generales y dos e s peciales qu e funcionan en la m ism a form a de los niveles de la N o rm a 2 8 5 9 -1 . El m étodo de estim ación deb e esco gerse de acuerdo con el conocim iento del valor de a. Si este es conocido se usa el m étodo a, si no se conoce se usa el m é to d o s o R. La de cisión de u s a r s o R se ba sa rá fu n d a m e n ta lm e n te en las
JORGE ACUNA ACUNA
561
facilidades de cálculo y en el tam año de la m uestra, el cual es ligeram ente m a yo r en el m étodo R. El tipo de inspección depe nde del com portam iento de la calidad de los lo tes. S e inicia con in sp e cció n norm al y se c a m b ia a in sp e cció n reducida si la calidad m ejora o a estricta si desm ejora. El tipo de límite de especificación consiste en definir si se ch equ e ará para un solo límite o para dos lím ites especificados. S i se trata de d o s límites debe definirse si son co m b in a d o s o separados. El A Q L debe ser especificado de tal m anera que el plan pueda ser extraído. Existen once valores que van de 0 ,1 0 % a 1 0 % que representan porcentajes de producto no conform e con lo especificado.
No se puede usar la norma para
valores de AQL diferentes a estos once. A lg u n a s ta b la s d e la n o r m a c o n t ie n e n s ím b o lo s e s p e c ia le s c u y o significado se explica a continuación: :
u sa r el prim er plan de m uestreo localizado sobre la flecha, incluye ta m año de m uestra y constante de aceptabilidad
^
:
usar el prim er plan de m uestreo localizado bajo la flecha, incluye tam a ño de m uestra y constante de aceptabilidad
1
:
indica el límite en el cual los planes son equivalentes a los de la norm a IS O 2859
A continuación se explicarán a fondo los m étodos s y o. El m étodo del ran go se e ncuentra en la n orm a y funciona m u y parecido al m étodo s.
Método s El m étodo s se basa en la estimación de la desviación estándar del proceso con base en la desviación estándar muestral. El procedim iento para operar con este m étodo es el siguiente: 1.
C o n el tipo de inspección y el tam año del lote se localiza la letra código de tam año de la m uestra en la T a b la l-A del C u a d ro 6.36.
CONTROL DE CALIDAD
562
CUADRO 6.36. Tabla I-A Letras código del tamaño de la muestra
Tam año del lote
Niveles generales de inspección
Niveles especiales de inspección S-3
2 9 16
a a a
8 15 25
26 51 91
a a a
50 90 150
151 281 501
a a a
1 201 3 201 10 001 35 001 150 001 500 001
S-4
B C
C D E
V
c
V
B C
D E
D E F
F G H
280 500 1 200
B c D
D E F
F G H
G H /r j
J K
a a a
3 200 10 000 35 000
E F G
G H I
I J K
K L M
L M N
a a
150 000 500 000 y más
H I J
J K L
L M N
N P
W
\
*Use H para un lote de tamaño entre 281 y 400, ejemplo para un lote de tamaño entre 401 y 500
2.
C o n base en el A Q L , la letra código del tam año de m uestra, el tipo de ins pección y la definición de si se tienen uno o dos límites y si éstos son c o m binados o separados, se busca en la tabla correspondiente el tam año de la m uestra (n ) y la constante de aceptabilidad (k). P or ejem plo, si se trata de inspección norm al se usa la T a b la ll-A del C u a d ro 6.37.
3.
S e tom a la m uestra del ta m a ñ o q u e indica la tabla c o rre sp o n d ie n te y se ejecutan las m ediciones del caso.
JORGE ACUNA ACUNA
563
co h - co oo t - co CO 0 5
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CUADRO 6.37. TABLA ll-A Planes de muestreo simple para inspección normal (Método s)
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CONTROL DE CALIDAD
564
4.
S e calcula la m edia aritmética. Si la m edia aritmética se encuentra fuera del límite de especificación el lote se recha za . D e lo contrario se continúa con el p a so 5.
5. 6.
S e calcula la desviación estándar. S e calculan los valores de Q u, Q L o am bos, según se trate de un solo límite o de d o s lím ites especificados.
q
s 7.
l ,U L s
S e esta b le ce la decisión de re c h a zo o aceptación. a. Si se especifica solo el límite superior entonces el lote se acepta si Q y>k y se re c h a za si Q uk y se re c h a za si Q L k u y Q L> k L y se re ch a za si Q u< k u o Q L< k L.
EJEMPLO 6.21 La m á xim a tem peratura de operación de un determ inado dispositivo está especificada en 98,3°C. Si un lote de 40 unidades es som etido a inspección, uti lizando nivel de inspección II, inspección norm al y A Q L = 1 % a.
¿ C u á l e s el plan de m uestre o?
b.
¿ S e acepta o se recha za un lote si la m uestra origina los siguientes valores de tem p e ra tu ra: 92°, 87°, 84°, 96° y 9 4 o?
SOLUCION a.
S e se g u irán los p aso s antes brindados. P a so 1. C o n un ta m a ño de lote N = 4 0 unidades y un nivel de inspección II,
seg ún el C u a d ro 6 .3 6 la letra cla ve del tam año de la m uestra es la letra D.
JORGE ACUNA ACUNA
565
P a s o 2. C o m o se d e s e a inspecció n norm al con un A Q L = 1 % , el plan de m uestre o, se gú n el C u a d ro 6.37 es: n= 5 unidades b.
k=1,53
Análisis. S e continuará con el P aso 3. P a so 3. La m uestra es brindada por el ejem plo. P a s o 4. C á lculo de la m edia aritmética. x
92 + 87 + 84 + 96 + 94 . . . -------------------------------------------- 90,6 5
La m edida aritm ética está dentro de lo especificado, por lo tanto se conti núa con el P a so 5. P a so 5. C á lculo de la desviación estándar.
2_
(Z x '2 J i—
n -1
4 1 0 4 1 ,8 -- l l ---------------------- § _
= 4 98
I
P a so 6. C á lc u lo de Q„ 9 8 ,3 -9 0 ,6 u
4,98
P a so 7. Debido a que Q u> k (1 ,5 5 > 1,53), se acepta la m uestra y el lote de do n de proviene.
Forma gráfica para un solo límite especificado E ste tipo de aplicación se puede ejecutar tam bién en form a gráfica. Para h acer esto, se debe dibujar en un papel milimétrico una de las siguientes líneas se g ú n corresp onda: x = U -k * s (para límite superior) x =L+k*s (p ara límite inferior)
566
CONTROL DE CALIDAD
El gráfico tiene en el eje x ia desviación estándar y en el eje y la m edia arit m é tic a . C u a n d o la in s p e c c ió n s e re fie re a un lím ite s u p e r io r la z o n a de aceptación se encuentra bajo la línea. Si se trata de un límite interior la z o n a de a ce p ta c ió n se e n c u e n tra so b re la lín e a . U n a v e z q u e se tiene el g rá fico se gráfica el p a r o rd e n a d o q u e con form an la desviación está n d a r y el pro m e dio . D e p e n d ie n d o de la z o n a en d o n d e ca ig a se tiene el criterio de a ce p ta ció n o re c h a zo de la m uestra y el lote.
EJEMPLO 6.22 R e so lve r el E je m p lo 6.21 por el m étodo gráfico.
SOLUCION Utilizando la inform ación del Ejem plo 6.21, se gráfica la recta para el límite superior, que se pu e de v e r en la Figura 6 .1 6 . La ecuación de esta recta es: x = 9 8 ,3 - 1,53*s
FIGURA 6.16. Gráfico del Ejemplo 6.22
JORGE ACUÑA ACUÑA
567
La graficación de esta recta se hace sobre la base de dos puntos: P a r a s = 5 , x = 90,6 5
P a r a s = 0 , x = 9 8 ,3
Al graficar el punto (4 ,9 8 ,9 0 ,6 ), este cae en la zo n a de aceptación aunque bastante cerca de la línea. Por lo tanto, la decisión es aceptar la muestra y el lote de d o n d e proviene.
Caso de dos límites de especificación La form a de operar en este caso es parecida pero se trabaja con dos con s tantes de aceptabilidad, una para el límite superior y otra para el Inferior.
EJEMPLO 6.23 S e ha estim ado que para un dispositivo electrónico, la tem peratura perm i sible para lograr un funcionam iento óptim o debe estar entre 98,3°C y 82°C. Un lote de 4 0 unidades es som etido a inspección, utilizando nivel II, inspección nor mal y A Q L ’s 1 % y 2 ,5 % para el límite superior e inferior respectivam ente. a.
¿ C u á l es el plan de m uestreo que se debe usar?
b.
A n a lic e la situación del lote si al an a liza r una m uestra ésta origina los si g uientes valores de tem peratura: 92°, 87°, 84°, 96° y 94°C?
SOLUCION а.
S e seguirán los pasos antes brindados.
P a s o 1. C o n un tam año de lote N = 4 0 unidades y un nivel de inspección II, se g ú n el C u a d ro 6 .3 6 la letra clave del tam año de la m uestra es la letra D. P a s o 2. C o m o se desea inspección norm al con A Q L = 1 % para el límite su perior y A Q L = 2 ,5 % para el límite inferior, el plan de m uestreo, según el C u a d ro б .3 7 , es:
n= 5 unidades
ku= 1,53
kL= 1,24
568
b.
CONTROL DE CALIDAD
Análisis. S e continúa con los pasos. Paso 3. La m uestra es brind ada por el ejem plo. P a so 4. C á lc u lo de la m edia aritmética. 92 + 87 + 84 + 96 + 94 x = --------------------------------------------- = 90 ,6 5
La m edia aritmética está dentro de lo especificado, por lo tanto se continúa con el P aso 5. Pa so 5. C á lc u lo de la d esviación estándar.
2 ¡X x S = 1|------------------ D — n -1
141041,8
453*
= \ ---------------------------------- = 4 ,9 8 ~ 1 4
P a so 6. C á lc u lo de Q y y Q L 9 8 ,3 -9 0 ,6 u
4 ,9 8 9 0 6 -8 2 ,0
L
4 ,9 8
P a so 7. D ebido a que Q u > ky (1 ,5 5 > 1,53) y Q L > kL (1 ,7 3 > 1,24), se a ce p ta la m u e stra y el lote de d o n d e p ro v ie n e . R e cu é rd e s e q u e para re c h a za r la m uestra y el lote, solo basta que no se cum pla una de las condiciones.
Forma gráfica para dos límites de especificación Este tipo de aplicación se p u e d e ejecutar tam bién en form a gráfica. Para h acer esto, se deb e n dibujar en un papel milimétrico las siguientes líneas: x = U - ky*s (p a ra límite superior) x = L + kL*s (p a ra límite inferior)
JORGE ACUÑA ACUÑA
569
El gráfico tiene en el eje x la desviación estándar y en el eje y la m edia arit mética. La zo n a de aceptación queda determ inada por el triángulo form ado por a m b a s líneas. U n a v e z qu e se tiene el gráfico se gráfica el par ord e n a d o que con form a n la d esviación están dar y el pro m e dio . D e p e n d ie n d o de la zo n a en donde caiga se tiene el criterio de aceptación o recha zo de la m uestra y el lote.
EJEMPLO 6.24 R e su e lva el E jem plo 6.2 3 por el m étodo gráfico.
SOLUCION U tiliza n d o la info rm a ció n del E je m p lo 6 .2 3 , se g rafican las rectas para a m b o s lím ites, las qu e se pu e d e n ve r en la F ig u ra 6.17. La ecuación de esta recta es: (1 )
x = 9 6 ,3 - 1,53*s
(2 )
x = 8 2 ,0 + 1,24*s
FIGURA 6.17. Gráfico del Ejemplo 6.24
570
CONTROL DE CALIDAD
La graficación de estas rectas se h ace sobre la base de dos puntos: • P a ra la e cuación (1 ) P a ra s = 5 , x = 9 0 ,6 5
P a ra s = 0 , x = 9 8 ,3
• P a ra la e cuación (2) P a ra s = 5 , x = 8 8 ,2
P a ra s = 0 , x = 8 2 ,0
Al graficar el punto (4 ,9 8 ,9 0 ,6 ) éste ca e en la zo n a de aceptación au n q u e bastante cerca de la línea. P or lo tanto, la decisión es aceptar la m uestra y el lote de d o n d e proviene.
Caso de aceptación para límites combinados S i se tiene un A Q L co m b in a d o para a m b o s lím ites d e especificación, se d e b e u s a r el m é to do g rá fico a no s e r q u e el va lo r de la d e s via ció n e stá n d a r m uestral (s ) s e a m a y o r q u e el va lo r de M S S D (d e svia ció n están dar m uestral m á xim a ), en c u y o ca so s e re c h a za el lote de inm ediato. El va lo r de M S S D se calcula así: M S S D = f s (U -L ) don d e el va lo r de fs se obtiene de la T a b la IV -s del C u a d ro 6.38. Si se aplica el m étodo gráfico se debe hacer uso de la serie s de curva s que presenta la norm a. La respectiva cu rva se selecciona con base en la letra cód i go y el A Q L respectivo. S e le c cio n a d a la cu rva se calculan los valores: —
s
U -L
y
x -L
-------------
U -L
y se grafican. Si el punto ca e en la zo n a de aceptación (den tro de la c u rv a ), la m uestra y el lote se acep tan, de lo contrario se rechazan.
E JE M P L O 6.25 R e s o lv e r el E je m p lo 6 .2 3 c o n u n A Q L = 1 % p a ra a m b o s lím ite s e s p e cificados.
JORGE ACUÑA ACUÑA
571
SOLUCION C o m o se obtiene en el Ejem plo 6.23, el tam año de la m uestra es de 5 uni da d e s para letra cód ig o D , la m edia aritmética es 9 0 ,6 y la desviación estándar 4 ,9 8 . O b s e rv a n d o el C u a d ro 6.38, el va lo r de fs es 0,308, por lo tanto: M S S D = 0,3 0 8 (9 8 ,3 -8 2 )= 5 ,0 2 0 4 C o m o el valor de s no es m ayor qu e el valor de M S S D , se debe consultar la cu rva correspondiente a la letra D y A Q L = 1 % . Esta cu rva se puede observar en la F ig u ra 6.18. Al graficar el punto (s / (U -L ),( x -L )/ (U -L )), calculado así: s
4 ,9 8
U -L
9 8 ,3 -8 2
x -L
9 0 ,6 -8 2
= 0,3 0 6
= 0,5 2 8
U - L _ 9 8 ,3 -8 2 se nota qu e ca e en la zo n a de re ch a zo . P or lo tanto, se con cluye que bajo las c o n d ic io n e s d a d a s la m u e s tra y el lo te d e d o n d e p r o v ie n e d e b e n s e r re cha za dos. Si se con sid e ra difícil visu alizar el criterio de aceptación o re c h a zo en las curva s de la Figura 6.18 entonces se puede copiar la curva aparte, inclusive con una escala m á s g rand e con el fin de facilitar la operación. Si se desea consultar la curva característica de operación de un plan espe cífico, se pueden o bservar las Ta b la s de la V -B a la V -P en donde se presentan en form a gráfica y tabulada las cu rva s O C para cad a letra código. Estas curvas son para el m étodo s y límite único. Sin em bargo, son buena aproxim ación para dos límites especificados y para los m étodos o y R . S u uso es sem ejante a las cu rva s de la N o rm a IS O 2859.
Para demostrar su uso se verá el siguiente ejemplo.
N ota: El MSSD se obtiene m ultip lica nd o el fs e sta n da riza d o por la diferencia entre el límite su pe rio r de e sp e cifica ció n U y el límite in ferior de e sp e cifica ció n L.; i.e M S S D = fs (U-L). El MSSD indica la m ayor magnitud permitida de la desviación estándar de la muestra cuando se usan planes para el caso del límite doble de e s p e c ifi cación con variabilidad d e sco n o cid a . Si la desviación estándar de la muestra es inferior al M S S D , existe la posibilidad aunque no ¡a certeza de que el lote será a c e p ta d o .
CUADRO 6.38. Tabla IV-s Valores de fspara el cálculo de la desviación estándar máxima (MSSD) (Método s)
572 CONTROL DE CALIDAD
JORGE ACUNA ACUNA
573
E J E M P L O 6.26 S u p ó n g a s e que se está tra baja ndo con un plan de m u e stre o qu e usa la letra código G , un A Q L de 2 ,5 % y el m étodo s. a.
¿ Q u é probabilidad de aceptación tiene un lote que posee un 8 % de produc to no conform e con lo especificado?
b.
¿ Q u é calidad en porcentaje de producto no conform e con especificaciones d e b e te n e r un lote p a ra q u e te n g a u n a p ro b a b ilid a d d e a ce p ta ció n del 9Q%?
c.
Si se fija el riesgo del productor en 5 % , ¿q u é calidad debe tener el lote para cum plir con él?
d.
Si el P N C T se fija en 1 6 % , ¿cuál es el riesgo del con sum ido r?
S O L U C IO N Para resolver este problem a se hará uso de las Ta b la s V -G y V -G -1 que se presentan en el C u a d ro 6.39. a.
A l o b s e r v a r la T a b la V - G y lo c a liz a n d o la c u r v a q u e c o r re s p o n d e a A Q L = 2 ,5 % se puede indicar que la respuesta a esta pregunta es PA= 4 6 % . P a ra ello, se localiza en el eje x el va lo r de 8 % y se con tin úa hasta interseca r la curva de A Q L = 2 ,5 % , entonces se lee en el eje y la correspondiente probabilidad de aceptación.
b.
Si se observa la T a b la V -G o la T a b la V -G -1 se puede notar que la respues ta a este p roblem a es p = 2 ,6 7 % . E ste va lo r se puede a p roxim ar viendo la curva O C o se puede tom ar exacto de la T a b la V -G -1 don de están algunos valores tabulados.
c.
Si a = 5 % entonces P A=0,95. Si se localiza esa probabilidad de aceptación en la m ism a forma explicada en b), se puede ver que el valor de p asignado es de 1 ,9 1 % .
d.
Si el P N C T = 1 6 % , es decir p=0 ,1 6, entonces el valor de p que es un valor de P A. es de 1 1 % .
574
CONTROL DE CALIDAD
Método a Este m étodo solo debe se r usado cuando se tenga certeza de que se cono ce el valor de a. Este valor no se trata de u na estim ación o aproxim ación de o sino el verdadero valor, el cual se considera constante. Esto es posible después de varios a ño s de llevar un control estadístico sobre la variable en estudio. El procedim iento para trabajar por este m étodo es el siguiente: 1.
C o n el nivel de inspección y el tam año del lote se localiza la letra código del tam año de la m uestra en la T a b la l-A del C u a d ro 6.36.
2.
C o n base en el A Q L , la letra código del tam año de m uestra, el tipo de ins pección y la definición de si se tiene uno o dos límites y si éstos son co m b i nados o se pa ra d o s, se b u sc a en la tabla correspondiente el tam año de la m uestra (n) y la(s) constante(s) de aceptabilidad (k). Por ejemplo, si se trata de inspección norm al se u sa la T a b la lll-A del C u a d ro 6.40.
3.
S e tom a la m u e stra del ta m a ñ o qu e indica la tabla co rre sp o n d ie n te y se ejecutan las m ediciones del caso.
4. 5.
S e calcula la m edia aritm ética. S e establece la decisión de recha zo o aceptación, segú n se trate de un lí mite superior, un límite inferior, límites separados o límites com binad os de especificación.
Caso de límite superior especificado S e acepta la m uestra y el lote de don d e proviene si: x < xu d o n d e : xu = U - k u *cr no se aceptan si: x
> xu
JORGE ACUÑA ACUÑA
FIGURA 6.18. Diagrama s-D Curvas de aceptación para límites combinados Método s - Letra código D
575
Porcentaje de lotes que se espera sean aceptados (P )
Ul
Porcentaje de lotes que se espera sean aceptados (Pa)
O g o re o
- N u ^ o i o s a t í ñ
o o o o o o o
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CONTROL DE CALIDAD
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I
Tabla V-G-1 Valores tabulados para las curvas características de operación en los planes simples de muestreo
Niveles aceptables de calidad (inspección normal) P a
0,10
[
0,15
0,25
0,40
0,65
1,0
1,5
2,5
4,0
6,5
a
10,0 99,0
99,0
0,01
0,01
0,02
0,04
0,08
0,17
0,28
0,49
0,96
1,71
3,23
5,58
95,0
0,03
0,06
0,09
0,15
0,25
0,45
0,68
1,09
1,91
3,09
5,30
8,41
95,0
90,0
0,07
0,11
0,17
0,26
0,43
0,72
1,06
1,61
2,67
4,14
6,76 10,30
90,0
75,0
0,22
0,32
0,45
0,65
0,98
1,50
2,07
2,94
4,49
6,50
9,83 14,09
75,0
50,0
0,67
0,90
1,17
1,57
2,20
3,09
3,99
5,32
7,51
10,15 14,27 19,25
50,0
25,0
1,73
2,18
2,67
3,38
4,41
5,77
7,09
8,92 11,77 15,02 19,84 25,38
25,0
10,0
3,58
4,31
5,07
6,13
7,58
9,41
11,12 13,38 16,77 20,48 25,76 31,63
10,0
5,0
5,27
6,19
7,13
8,40 10,11
12,22 14,13 16,63 20,28 24,20 29,67 35,63
5,0
1,0
9,91
16,24 18,76 21,00 23,83 27,82 31,97 37,57 43,50
1,0
0,10
11,18 12,45 14,11 0,15
0,25
0,40
0,65
1,0
1,5
2,5
4,0
________s
10,0 577
Nivel aceptable de calidad (inspección estricta)
6,5
JORGE ACUÑA ACUÑA
Continuación del Cuadro 6.39
578
CONTROL DE CALIDAD
Caso de límite inferior especificado S e acep ta la m uestra y el lote de d o n d e proviene si: x
>
X Ldonde:
xl
= l_ + kL * a
no se aceptan si: x
<
XL
Caso de aceptación para límites separados S e acep ta la m uestra y el lote de d o n d e proviene cu an do: x
<
xu
y
x
>
xl
no se aceptan si: x
> xu
o
x
<
XL
Caso de aceptación para límites combinados Si se tiene un A Q L c o m b in a d o p a ra a m b o s lím ites de especificación, se deb e u sar el m étodo gráfico a no ser q u e el valor de la d e svia ció n e stán dar a sea m ayor que el valor de M P S D (desviación estándar m áxim a del proceso), en cuyo caso se recha za el lote de inmediato, sin necesidad de extraer la m uestra. El valor de M P S D se calcula así: M P S D = fo (U -L ) don de el va lo r de fose obtiene de la T a b la IV-cr del C u a d ro 6.41. El procedim iento, si no se cum ple lo anterior, es el siguiente: 1.
Seleccionar el tam año de la m uestra en la T a b la l-B del C u a d ro 6.42, u sa n do letra código y el A Q L .
JORGE ACUÑA ACUÑA
2.
579
S e le c cio n a r de la serie a de cu rva s que pre senta la n orm a, la respectiva cu rva de aceptación con base en la letra código y el A Q L respectivo. La Fi g u ra 6 .19 presenta la serie de cu rva s para la letra E.
3.
C a lcular el valor de a / (U -L ) y dibujar una línea vertical a partir de este punto.
4.
Si la líne a in te rse ca la c u rv a de a ce p ta ció n se obtie n e n d o s va lo re s de (x -L )/ (U -L ) qu e sirven para determ inar los valores superior e inferior de la m edia ( x ^ x j . Si la línea no interseca la cu rva de aceptación, el proceso se considera no aceptable y la inspección por m uestreo pierde su validez. Si la línea interseca la porción recta de la curva de aceptación, esto es equi valente a trabajar con el caso de límites separados por lo que se debe se guir el procedim iento ya explicado para ese caso.
5.
T o m a r la m uestra del tam año indicado en 1) y calcular la m edia aritmética de la característica en estudio.
6.
A p lic a r la siguiente regla de a cep tació n de la m uestra y el lote de don de proviene:
Aceptar si la media aritmética calculada en 5) está comprendida entre los valores de x„yx Ly rechazar si ocurre lo contrario. EJEMPLO 6.27 La resistencia m ín im a de un com pon ente es de 58 0 0 0 psi. U n lote de 500 u n id a d e s e s so m e tid o a in sp e cc ió n , u tiliza ndo N ive l II, in sp e cc ió n norm al, A Q L = 1 ,5 % . La desviación estándar es conocida e igual a 3000 psi. a.
¿ C u á l es el plan de m uestreo que se debe aplicar?
b.
Analice la situación que ocurriría si la m uestra extraída origina los siguien tes datos: 6 2 5 0 0 -6 0 5 0 0 -6 8 0 0 0 -5 9 0 0 0 -6 5 5 0 0 6 2 0 0 0 -6 1 0 0 0 -6 9 0 0 0 -5 8 0 0 0 -6 4 5 0 0
580
CO
T-
T-
[i ,2 6
1 ,2 9
CUADRO 6.40. Tabla lll-A Planes de muestreo simple para inspección normal (Método o)
CONTROL DE CALIDAD
0) CM
in in
co
O
O
c£> S
&
CVI
CM
CO 0) lí)
í> : CM
CM
tf) N CO CM
=í>:
CM
CM
CO ^ CM
CO
0)
CM
CM*
CM*
CO N
H> 6J)sanuj apoublubi iapo6|pooejjan
CM
JORGE ACUNA ACUNA
581
CUADRO 6.41. Tabla IV-o Valores de tapara el cálculo de la desviación estándar máxima (MPSD) (Método o)
Niveles aceptables de calidad (inspección normal) 0,25 0,40 0,65 1,00 1,50 2,50 4,00 6,50 10,00 0,10 0,15 0,147 0,152 0,157 0,165 0,174 0,184 0,194 0,206 0,223 0,243 0,271 0,304 0,347 0,10
0,15
0,25
0,40
0,65
1,00
1,50
2,50
4,00
6,50
10,00
Niveles aceptables de calidad (inspección reducida)
0,10
0,15
0,25
0,40
0,65
1,00
1,50
2,50
4,00
6,50
10,00
Niveles aceptables de calidad (inspección reducida) Nota: El MPSD se obtiene al multiplicar fo por I? diferencia entre el límite superior de especificación U y el límite inferior de especificación Li.e. MPSD=fo (U-L) El MPSD indica la mayor magnitud permitida para la desviación estándar del proceso cuando se usan planes para el caso del límite de especificación doble con variabilidad conocida. Si la desviación estándar del proceso es menor que el MPSD existe la posibilidad pero no la certeza de que el lote será aceptado. La autoridad responsable puede especificar el uso del valor fo para inspección estricta tanto para inspección normal como reducida, en cuyo caso la selección entre el método "o” y “s” se mantiene independiente.
SOLUCION S e seguirá el procedim iento expuesto, a. 1. C o n nivel de inspección II y tam año del lote de 500 unidades se localiza la letra código del tam año de la m uestra en la T a b la l-A del C u a d ro 6.36. Esta letra es la letra I. 2. C o n base en A Q L = 1 ,5 % , letra código I, inspección norm al y para límite sim p le e s p e c ifica d o , se b u s c a en la T a b la 11l-A del C u a d r o 6 .4 0 , el
1 582
CONTROL DE CALIDAD
ta m a ñ o de la m u e s tra (n ) y la co n sta n te de ace p ta b ilid a d (k ). E s to s va lo re s son: n=10
k=1,70
b. 3. La m uestra está da d a por el ejem plo. 4. C a lc u la r la m e dia aritmética.
x = 6 3 0 0 0 0 = 6 30 00 psi
10
5. Esta ble ce r la decisión de re c h a zo o aceptación. S e usa el criterio para límite inferior de especificación. S e re ch a za la m uestra y el lote de don d e proviene puesto que: X
<
63000 x l
XL
< =
XL
63100
L + kL*s
= 58 0 0 0 + 1,7*3000 = 6 3 1 0 0 psi
EJEMPLO 6.28 R e so lve r el E je m p lo 6.27, si se tiene ad e m á s qu e cum plir con un requisito de resistencia m á xim a de 7 1 0 00 psi c u y o control tiene un A Q L de 1 % .
SOLUCION S e seguirá el procedim iento expuesto, a. 1.
C o n nivel de inspección II y tam año del lote de 500 unidades se localiza la letra código del tam año de la m uestra en la T a b la l-A del C u a d ro 6.36. E sta letra es la letra I.
lO
N
CO
11 16 23
t
L O CO CO
M - CD N
LO N O) CM CO t í
M - lO
CO
O ) CM S
M - tO
CO
CO t -
CM ’ — CM CM CO t í
CO t í
5 7 10
15 20 25
CO
LO O LO CO LO h -
CQ O
ü
O
-5
X
—
—1
eflsenuj ap ouewei |ap o6|P90 eriaq
100 150 200
0,25 0,15
Nivel aceptable de calidad
800
36 54 71
CM CO M -
30 44 59
0,65
r~"
05
27 40 54
O)
23 34 45
N
10 14 21
(O
UJ u .
CO O)
9 13 19
CM CO M -
_)
05
CO LO CO T í CO
^^>C M
fs
500
64 95 127
18 25 36
T-
CD CO O
::[ ;>
315
200
80
125
32
15 22 32
05
CM CO M -
o" O
CM i — i T Í CO CO
f-
é m .l
Q.
CO O t í N
CO
o_
M
z
L O CM LO CO O
CO T í
~
2
O CD CM CM CM t í
CO O
O
C
—I
T í- CO O ) CM CO t f
CO T í LO
LO
—5
14 19 28
cq
1
0,40
CM
m
X
12 17 25
co
50
20
co
O
11 14 17
6,5
T f LO N
2,5
4,0
lü U.
CO
E ü ^ CM
1.5
Q
9 12 15
CQ O
8 13
de
muestra
Tamaño Letra
código
co m
10,0
(ISO 2859)
muestra
equivalentes
583
JO
Método
CUADRO 6.42. Tabla l-B Tamaños de muestra para inspección normal
Atributos
JORGE ACUÑA ACUÑA
2 Z Q-
584
CONTROL DE CALIDAD
U-L
FIGURA 6.19. Diagrama o-E Curvas de aceptación para límites combinados Método o - Letra código E
JORGE ACUNA ACUNA
2.
585
C o n base en A Q L = 1 % para el limite superior, A Q L = 1 ,5 % para el límite inferior, letra cód ig o l, inspección norm al y para límite sim ple especifi cado, se busca en la T a b la 11l-A del C u a d ro 6.40, el tam año de la m u e s tra (n ) y las constantes de aceptabilidad (ky y kL). E s to s valores son: n= 10*
ky= 1,83
kL=1,7 0
co m o existen dos tam años de m uestra, se tom a el m ás grande b. 3. L a m uestra está dad a por el ejem plo. 4. C a lcular la m edia aritmética.
x = 630000 = 63000 psi
10
5.
Establecer la decisión de recha zo o aceptación. S e usa el criterio para límites se parados. x
<
xl
x
<
xu
63000
<
63100
63000
<
65900
xl
x„ = U - k,* c
= L + kL*a
xl =58000+1
,7*3000=63100 psi
R E C H A Z O
xu=710 0 0 -1 ,8 3 * 3 0 0 0 = 6 5 5 1 0 psi A C E P T A C IO N
S e recha za la m uestra y el lote de donde proviene puesto que es necesario que se cu m p la n las dos condiciones para aceptar y solo la condición de límite superior se cum ple.
EJEMPLO 6.29 R e s o lv e r el E je m p lo 6 .2 8 , co n A Q L = 4 % para a m b o s lím ites de e s p e cificación.
586
CONTROL DE CALIDAD
SOLUCION S e co m p a ra el valor de o con el valor de M P S D . M PSD
=
fo* (U -L )
M PSD
=
0 ,2 43 * (71 0 0 0 -5 8 0 0 0 )
M PSD
=
31 5 9 psi o
<
M PSD
3 00 0
<
3159
el va lo r de fo se obtuvo de la T a b la IV -o del C u a d ro 6.41. C o m o el valor de M P S D resultó ser m a yo r que o, se continúa con el pro ce dim iento ya descrito. 1.
A l s e le ccio n a r el ta m a ñ o de la m u e stra de la T a b la l-B del C u a d ro 6 .4 2 , u sa n d o letra cód ig o I y A Q L 4 % , este va lo r es n= 13.
2.
S e sele cciona de la serle a de cu rva s, la curva de aceptación para la letra código I y A Q L 4 % . La Figura 6.20 m uestra esta curva.
3.
C a lc u la r el va lo r de c / (U -L ) y dibu jar u na línea vertical a partir del punto 0,2 3 08 .
4.
a
30 0 0
(U -L )
(7 1 0 0 0 -5 8 0 0 0 )
= 0 ,2 3 0 8
D a d o que la línea interseca la curva de aceptación se obtienen dos valores de (x -L )/ (U -L ) que sirven para determ inar los valores superior e inferior de la m e d la (x u y x L). xl
- L _
U -L g 2_l _ 0,31 =
xl
- 58000
“ 7 1 0 0 0 -5 8 0 0 0 xl
xu - L _ U -L
xu -7 1 0 0 0
^ 7 1 0 0 0 -5 8 0 0 0
- 5 8 00 0 13000
X l = 5 8 0 0 0 + 0,31 * 13000
x u = 5 8 0 0 0 + 0,6 9 *13000
xl=
x u = 66970 psi
6 2 0 3 0 psi
JORGE ACUÑA ACUÑA
587
AQL
U-L
FIGURA 6.20. Curva de aceptación para letra código I (AQL-4%)
5.
La m uestra de 13 unidades da un prom edio de 6 3 0 0 0 psi.
6.
La m edia aritmética calculada se encuentra entre los valores de x^, y xL, por lo qu e se aceptan la m uestra y el lote de don de proviene.
Dinámica de la inspección Al igual que la N orm a IS O -2 8 5 9 -1 , esta norm a tiene su propia dinám ica de inspección. La inspección se inicia con inspección norm al y se cam biará a e s tricta o reducida seg ú n las siguientes condiciones:
CONTROL DE CALIDAD
588
Cambio a inspección estricta S e p a s a insp e cción estricta c u a n d o d o s de cinco o m e n o s lotes no sean a cep tados bajo inspección norm al. El n uevo plan se localiza en la T a b la lll-B si se usa m étodo a o la T a b la ll-B si se usa m étodo s. E sta ndo en inspección estricta se retornará a inspección norm al cuando se acepten cinco lotes con secu tivos.
Cambio a inspección reducida S e p u e d e p a sa r de inspección norm al a reducida cu a n d o se acepten diez lotes co n se cu tivo s que cu m p le n con las siguientes condiciones: a.
L o s lotes p o d ría n h a b e r sido a ce p ta b le s si el A Q L h u biera sido un p a so m ás estricto.
b.
La pro du cción se efectuó bajo control estadístico.
c.
La autoridad responsable da el visto bu e n o al cam bio. Los plan e s por u sa r se e ncuentran en la T a b la ll-C si se usa el m étodo s o en la T a b la lll-C si se u sa el m étodo a. Estando en inspección reducida se retornará a inspección norm al si ocurre
cualquiera de las siguientes situaciones: a.
U n lote no es aceptado
b.
La pro du cción se torna irregular o con retrasos
c.
O tras condiciones que no garanticen un adecuado control si se perm anece en inspección reducida
E JE M P L O 6.30 E n la recepción de un dispositivo electrónico se ch equ e a que la tem peratura m á xim a de ope ra ció n se a de 6 0°C . S e usa el m éto do s, p u e s se d e s c o n o c e el valor de o. L a s condiciones son usar lotes de 100 unidades, nivel 11y A Q L 2 ,5 % .
JORGE ACUÑA ACUÑA
589
a.
¿ C u á le s se ría n los tres tipos de p la n e s c o rre s p o n d ie n te s a inspección norm al, reducida y estricta?
b.
La situación de los últimos 30 lotes som etidos a inspección se presenta en el C u a d ro 6.43. Si se hubiera aplicado la dinám ica de inspección ¿cuáles serían los cam bios de inspección?
CUADRO 6.43. Registro de los últimos 30 lotes
# lote
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Qu
1,49
1,51
1,16
1,35
1,78
1,87
1,59
1,66
1,72
188
# lote
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Qu
1,72
1,66
1,59
1,62
1,77
1,60
1,65
1,77
1,81
1,00
# lote
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Qu
1,22
1,37
1,45
1,20
1,88
1,78
1,90
1,67
1,63
1,55
SOLUCION a.
b.
Inspección norm al
Inspección estricta
Inspección reducida
n = 10
n = 10
n=4
k = 1,41
k = 1,58
k = 1,01
S e aplican las reglas apuntadas. S e inicia con inspección norm al, con el plan n=10, k = 1 ,41. D e acuerdo con
lo esta b lecido al utilizar el m étodo s,
para que el lote sea aceptado.
el valor de Qudebe ser mayor que ku
Al aplicar ésto, los lotes 1 y 2 son acep tados
pero los lotes 3 y 4 son re c h a za d o s , con lo qu e se c u m p le la con dició n para p asa r a inspección estricta usando el plan n = 1 0, k= 1 ,58 a partir del lote No. 5.
590
CONTROL DE CALIDAD
Los lotes del No. 5 al No. 9 inclusive se aceptan en inspección estricta, y se retorna a inspección norm al a partir del lote N o. 10. Los lotes del No. 10 al N o. 19 se aceptan por lo que ésto permite pensar en la posibilidad de p a sa r a Inspe cción reducida. S e cu m ple la condición de que los lotes s e ría n a c e p ta d o s co n el p ró x im o A Q L m á s estricto, A Q L = 1 ,5 % c u y o k = 1 ,58. S e su p o n e qu e la producción está bajo control estadístico y que la auto ridad está de acuerdo con cam biar a inspección reducida. Por lo tanto, se pasa a inspección reducida a partir de la m uestra N o . 20 con el plan n=4, k = 1 ,01. El lote N o . 20 se re c h a za por lo qu e a partir del lote N o . 21 se pasa a ins pección norm al, con n = 1 0, k = 1 ,41. Los lotes No. 21 y No. 22 se rechazan por lo que se cum ple la condición para pasar a inspección estricta a partir del lote No. 23, con el plan n = 1 0, k = 1 ,58. Los lotes N o . 2 3 y 24 se rechazan en inspección estricta, pero los lotes del N o. 25 al N o. 29 se a cep tan, por lo qu e se cu m ple la condición para retornar a inspección norm al, con el plan n = 1 0, k = 1 ,41, a partir del lote N o. 30. El lote N o. 3 0 se acepta. La Inspección continúa en la m ism a form a a partir del lote No. 31.
RESUMEN Este capítulo dedicado al m uestreo de aceptación permite determ inar que: 1.
El m uestreo es una bu e n a herram ienta estadística para determ inar la cali dad de los lotes de productos con base en m uestras extraídas de ellos.
2.
E ste tipo de m u e s tre o p u e d e fa v o re c e r al c o n s u m id o r, al p ro d u cto r o a a m b o s s e g ú n se a quien lo aplique. La cu rva característica de operación permite analizar las bondades de un plan para con el productor o el co n su midor.
3.
Existe la posibilidad de aplicar m uestreo secuencial cua n d o la inspección es destructiva o de costos m u y altos.
4.
E l m u e s tre o p e rm ite re d u c ir los c o s to s d e In s p e c c ió n y o r g a n iz a r la inspección.
JORGE ACUNA ACUNA
5.
6.
591
E s necesario establecer m anuales de inspección qu e reduzcan la influen cia de decisiones subjetivas. N o existen requisitos especiales en cuanto a distribuciones de probabilidad en el ca so de inspecció n por atributos. S in e m b a rg o , en inspecció n por variables es absolutam ente necesario qu e la variable en estudio se distri bu ya se gú n la distribución norm al.
7.
La aplicación de norm as (IS O -2 8 5 9 -1 , IS O -3 9 5 1 ) es m u y útil para aligerar el procedim iento de inspección. A d e m á s , es m ás fácil la obtención de con clusiones.
PREGUNTAS DE REPASO 1.
¿ Q u é ve nta jas ofrece trabajar co n inspección por m u e stre o en lu g a r de inspección 1 0 0 % ?
2.
E xp liq u e có m o funciona un plan de m u estre o sim ple, un plan doble y un plan múltiple.
3. 4.
¿ C ó m o se construye y para qué sirve la curva característica de operación? C om e nte los pasos para diseñar un plan de m uestreo simple basado en los rie sg os del p ro d u cto r y del co n su m id o r. E xp liq u e en q u é consisten esos riesgos.
5.
¿ P a ra qué se u sa el concepto de inspección total de unidades?
6.
¿ C ó m o funciona un plan de aceptación-rectificación?
7.
E xp liqu e en q u é consiste un plan de m uestreo secue ncial y qué ventajas tiene sobre los otros planes de m uestreo.
8.
E xplique el procedim iento para extraer un plan de m uestreo de la N orm a IS O 2 8 59 -1.
9. Explique en qu é consiste la dinám ica de la inspección. 10. ¿ C u á n d o se deb e aplicar m uestreo de aceptación para variables? 11. ¿ C u á l es el procedim iento para extraer un plan de m uestreo de la N orm a I S O 3951?
592
CONTROL DE CALIDAD
12. Defina los siguientes conceptos: a. C a lidad límite b. Estadístico de calidad c. D e svia ción e stán dar m áxim a m uestral d. D esviación e stán dar m áxim a del proceso 13. ¿ E n qu é con dicio ne s se u sa la N o rm a
ISO 3951 ?
14. ¿ Q u é diferencias hay entre las N o rm a s
ISO 2859-1
15. E xplique los m étodos gráficos de la N o rm a
e
ISO 39 51?
ISO 3951.
PROBLEMAS 1.
C onstru ir en un m ism o gráfico las cu rva s características de operación de los siguientes planes de m uestreo: n= 100,’ A =c 0
n= 100, ’ Ac =1
n = 2 0 0 ,’ A =C 2
n= 200, » AC =3
n= 300,’ A =c 4
n= 300, ’ Ac = 5
a. ¿ Q u é con clu siones se obtienen al co m p a ra r estos plan es? b. ¿ Q u é probabilidad de acep tació n tienen lotes c u y a calidad es 2 ,5 % y 4 ,3 % , en c a d a uno de los planes? c.
¿ Q u é calidad debe tener el lote para que su probabilidad de aceptación sea del 9 0 % , en ca d a uno de los planes?
d. ¿ C u á l es el A Q L si el riesgo del productor (a ) es del 9 3 % ? e. ¿ Q u é va lo r de P N C T g e n e ra un riesgo del co n su m ido r ((3) del 10 % ? 2.
C onstruir las cu rva s características de operación de los siguientes planes de m uestre o y co m p a ra r los planes. n= 125,’ A C = 1 n= 150,’ A C = 2 n= 175, A = 3
JORGE ACUNA ACUNA
3.
593
E n inspección de recepción se recibe una serie de lotes de 100 unidades de un producto. Estos lotes se inspeccionan con m uestras de tam año 100 y criterio de aceptación A c=4. a. C o n s tru y a la cu rva O C . b. S i el p orcentaje de pro d u cto fuera de lo re q u erido es de 2 ,5 % , ¿ q u é riesgo del productor está asociado a él? c. Si el consum idor quiere rechazar lotes que tengan 8 % o m ás de produc to disconform e, ¿ q u é riesgo del co n su m ido r está a so cia d o a él?
4.
D ise ñ a r tres planes de m uestreo para atributos b asados en un A Q L = 2 % . C o m p a re esos planes con otros tres b asado s en una calidad de indiferen cia asocia d a a p = 3 ,8 % .
5.
D ise ña r un plan de m uestreo para atributos que cum pla con las siguientes condiciones:
6.
AQL= 5 %
a = 5%
P N C T= 10%
(3=10%
D iseñar un plan de m uestreo para atributos que cum pla con las siguientes condiciones:
7.
A Q L = 1 ,2 %
a = 6%
P N C T = 6 ,2 %
(3=12%
D iseñe un plan de m uestreo por atributos qu e cu m pla con u na calidad de indiferencia de 1 ,6 % . C o m p á re lo con el plan diseñado en el problem a 5.
8.
C o nstru ir las cu rva s de calidad saliente m edia ( A O Q ) para los siguientes planes:
n= 50
A C =2
n= 1 0 0
A c=4
n=200
<
II
A C =1
co
n= 10,
594
CONTROL DE CALIDAD
Lo c a lic e el v a lo r de P N C T y A Q L en c a d a plan a s o c ia d o s con a = 0 ,0 5 y (3= 0 . 1 0 .
9.
S e d e s e a aplicar un plan de aceptación-rectificación sob re la m e rca dería que entrega un productor. Esta m e rca dería consiste de 50 lotes de 10000 u n id a d e s c a d a u n o . E l con trato firm ado dice que la ca lid a d p a cta d a es 1 , 1 % de producto no conform e. a. ¿ C u á l es la calidad saliente m edia (A O Q ) si se usa el plan n=200, A c=3 ? b. ¿ C u á l es el límite de calidad saliente m edia (A O Q L ), si se varía la cali dad pactada entre 1 % y 1 0 % de uno a uno?
10. D is e ñ a r y g ra fica r un plan se cu e n cia l q u e co rre s p o n d a a las sig uiente s condiciones: oc=
7%
p= 1 1 % AQ L=
8%
PN CT= 25% 11.
U n ingeniero de sea diseñar, por prim era vez, planes de m uestreo para ins peccionar los lotes de 50000 unidades enviados por un proveedor. U n c o n trato firm ado por a m b a s partes establece los siguientes acuerdos: 1. R ie sg o del pro ductor = 0,039 2. R ie sg o del co n su m id o r = 0,091 3. Nivel de calidad acep table = 0,0 1 9 4. P orcentaje defectuoso tolerado en el lote = 0,052 a. Presente a este ingeniero cuatro tipos de planes sim ples, equivalen tes pero diferentes. b. Si el costo d e in s p e c c io n a r una unidad es de 06, ¿ c u á l es el plan m á s barato? ¿ Q u é otras consideraciones de costos de calidad d e ben tom arse en cuenta? c. D e m u e stre con nú m ero s qu e los cuatro planes son equivalentes.
r
■
JORGE ACUNA ACUNA
d.
595
¿C u á l plan le recom ienda U d . al ingeniero? Justifique su respuesta y anote las consideraciones del caso.
12. E n la inspección de ciertas m aterias prim as se de se a definir el tam año de la m uestra m ás conveniente. Actualm ente, un estudio de inventarios indica qu e el ta m año óptim o del lote pu ede variar entre 2 0 0 0 0 y 30000 unidades sin consideraciones importantes de costo. El proveedor indica que los lotes son 6 ,5 % defectuosos. a. ¿ C u á l plan recom ienda U d y en qu é se basa para hacerlo? b. U s a n d o el plan re co m e n d a d o en a ), ¿ q u é probabilidad de aceptación tiene un lote qu e es 8 % defectuoso? c. Si se usara el siguiente plan doble bajo aceptación-rectificación: n ,= 5 0
n2= 50
c = 1
c2=
5
R = 5
R 2=
6
¿ C u á l es la calidad saliente m edia? 13. S e d e s e a d ise ñ a r un plan de m u estre o por atributos q u e cu m p la con las siguientes condiciones: AQ L=
1 ,2 %
P N C T = 5 ,8 %
a=
5%
p= 1 4 %
a. ¿ C u á l es e se plan de m uestreo? b. ¿ Q u é probabilidad de rechazo tiene un lote que tiene 3 ,4 % de producto disconform e, cu a n d o es inspeccionado con el plan diseñado? c.
¿ Q u é porcentaje de producto disconform e debe tener un lote para tener u na p ro ba bilidad de ace p ta ció n del 9 8 % , si s e in sp e cc io n a con este plan?
d. C o m p a re este plan con su equivalente en m uestreo secuencial. ¿ Q u é conclusiones se obtienen? e. D e m u e stre que los planes diseñad os son realm ente equivalentes.
CONTROL DE CALIDAD
596
f.
C o n base en la N orm a IS O -2 8 5 9 -1 , ¿cu áles podrían ser los planes d o ble y múltiple equivalentes al plan d iseñad o en a.?
14. U n a p ro d u cció n de 2 0 0 0 p ie za s por h o ra es m u e stre a d a a razó n de 150 p ieza s por hora. Si el lote se acep ta c u a n d o salen tres o m enos unidade s disconform es: a. Ela bore un cu ad ro que m uestre la probabilidad de aceptar un lote para diferentes calidades g e n e ra d a s en las líneas de producción. b. C o n s tru y a la cu rva característica de operación c.
¿ Q u é su ce d e si el ta m a ñ o del lote se duplica?
d. ¿ Q u é s u c e d e si el c o n s u m id o r a ce p ta el lote c u a n d o sale n cu a tro o m e n o s unida de s disconform es? 15. U n a fábrica de bicicletas recibe neum áticos en lotes de 2000 unidades. El p roveedor establece un porcentaje de producto disconform e de 1 ,5 % , para el m uestre o de aceptación-rectificación. a. Si se som eten a inspección 300 lotes usando el siguiente plan doble: n ,=
80
R e1 =
n2=
80
6
¿ C u á l es la calidad saliente m edia? b. Si se som eten a inspección 100 lotes, con el plan sim ple n=50 0, A = 5, ¿cuál es la calidad saliente m edia? c. Si existe posibilidad de u sar cualquiera de los siguientes planes: n= 100, n= 150, n= 0,01 N ¿ C u á l de los planes usaría U d y por q u é ? Para decidir hágalo sob re la base de tres reglas de decisión.
d. ¿Qué acciones se deberían seguir si los lotes fueran de tamaño variable?
JORGE ACUNA ACUNA
597
16. Represente gráficam ente el plan de m uestreo múltiple qu e se presenta en el C u a d ro 6.44. 17. D a d a la inform ación del C u a d ro 6 .45, sele ccio nar y extraer los planes de m uestre o ade cu ados. a. Explique el funcionam iento de cad a plan b. C a lc u le los valores de P N C T y A O Q L , para cada plan.
CUADRO 6.44. Plan múltiple del Problema 16
Acumulado
Muestra n,=50 n2=50 n =50 n4=50 n =50 n=50 n7=50 n8=50
n=50 n,+n2=100 n,+n2+ n 3=150 n,+n2+ n3+ n4=200 n,+n2+ n3+n4+n5=250 n,+n2+ n3+n4+n5+n6=300 n,+n2+ n3+n4+n5+n6+n7=350 n,+n2+ n3+n4+n5+n6+n7+na=400
A0
Re
2 4 8 12 16 21 25 28
7 11 15 19 22 26 29 29
CUADRO 6.45. Información para el Problema 17
Plan
Nivel de Insp.
1 2 3 4 5 6 7 8
II II I III II III II II
Tipo de muestreo Simple Doble Simple Simple Múltiple Múltiple Simple Simple
Tipo de inspecc. Normal Reducida Estricta Normal Normal Normal Reducida Estricta
AQL
0,15 1,00% 150,00 0,40% 0,65% 0,25% 400,00 6,5%
N
55 400 4000 2000 10000 70 1500 30
598
CONTROL DE CALIDAD
18. U n producto se sum inistra en lotes de 4000 unidades. El A Q L fijado es del 1 ,5 % pa ra el p ro d u cto d isco n fo rm e . S e em p le a nivel de inspecció n III y m uestre o sim ple. a. ¿ C u á le s son los planes de m uestreo para inspección normal, estricta y reducida? b. Si la cantidad de producto discon form e en los últim os 25 lotes son los qu e aparecen en el C u a d ro 6.46, ¿cuál es el com portam iento de la ins pección?
CUADRO 6.46. Información del Problema 18
Lote#
Disconf.
Lote#
Disconf.
Lote #
Disconf.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 2 14 11 9 4 7 3 2
10 11 12 13 14 15 16 17
12 8 11 7 8 4 9 3
18 19 20 21 22 23 24 25
5 2 7 6 7 2 5 3
19. E n la b o d e ga de producto term inado de una e m p re s a se reciben lotes de 58000 unidades con un A Q L = 4 % . Esta es la primera v e z que se van a usar planes de m uestreo de aceptación por atributos. Establecer la dinám ica de la inspección si se recibieran 30 lotes c u y a cantidad de d iscon form es se presenta en el C u a d ro 6.47. 20. U n p ro ce so su m inistra lotes de 5 0 0 0 unid a d e s, fijando un A Q L del 1 0 % para defectos tipo A y A Q L del 1 ,5 % para defectos tipo B. S e em plea el ni vel II y se usa m uestreo sim ple.
JORGE ACUÑA ACUÑA________________________
599
CUADRO 6.47. Información para el Problema 19
# lote
np
# lote
np
filote
np
#lote
np
filote
np
# lote
np
1 2 3 4 5
22 24 17 16 15
6 7 8 9 10
14 15 15 18 10
11 12 13 14 15
13 10 5 4 10
16 17 18 19 20
18 12 18 6 5
21 22 23 24 25
9 10 11 20 18
26 27 28 29 30
19 20 17 18 15
np: número de disconformes
a. ¿ C u á le s son los planes de m uestreo para inspección estricta, norm al y reducida? b. Si los defectos tipo A y B en los últimos 10 lotes se presentan en el C u a dro 6.48, ¿cuál es la decisión de recha zo o aceptación de lotes? 21. A una em p acad ora de carne llegan cargam entos de 1000 kg y se som eten a inspección por atributos, con un nivel II, plan sim ple y A Q L = 2 ,5 % .
CUADRO 6.48. Información para el Problema 20
Defectos
Lote
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
18 20 24 21 20 10 18 14 16 18
9 8 7 10 11 11 8 5 7 8
600
CONTROL DE CALIDAD
a. ¿ C u á l es el plan de m uestreo en inspección norm al, estricta y reducida? b. ¿ Q u é p ro babilidad de a ce p ta ció n tiene un c a rg a m e n to co n 1 ,5 % de producto disconform e, si se usa inspección norm al? c. ¿ C u á l es el A O Q L qu e le corre sp o n d e al plan con Inspección norm al? d. ¿ C u á l e s el P N C T , a s o c ia d o a un [3=0,10, para el plan de inspecció n norm al? e. ¿ C u á l es el tam año m edio de las m uestras doble y múltiple, corresp on dientes al plan de inspección norm al? f.
Si se som eten a inspección 32 cargam entos que originan la cantidad de pro ducto disconform e del C u a d ro 6 .49, ¿cuál es la dinám ica de la ins p ección ?
CUADRO 6.49. Información del Problema 21
# lote
np
#lote
np
# lote
np
filote
np
1 2 3 4 5 6 7 8
3 4 3 6 8 4 1 2
9 10 11 12 13 14 15 16
3 2 1 0 0 4 4 3
17 18 19 20 21 22 23 24
0 1 1 3 0 0 0 1
25 26 27 28 29 30 31 32
1 2 4 5 3 4 6 8
22.
E n un proceso de fabricación de tubos para la construcción, las especifica ciones del diámetro para un tipo de tubo se han fijado en 65,3 ± 3,3 cm . Los lotes qu e se som eten a Inspección son de tam año 800 y se usa Nivel I con A Q L = 2 ,3 % para el límite superior y 0 ,1 5 % para el límite inferior. a. ¿ C u á le s s o n los p la n e s de m u e s tre o q u e s e d e b e n u s a r b a jo in s pección norm al, sim plificada y estricta?
JORGE ACUÑA ACUÑA
b.
601
T o m a n d o los prim ero s valores
seleccionados horizontalmente del
C u a d ro 6 .50 co m o los valores originados por una m uestra; ¿cuál es la decisión de aceptación o recha zo bajo inspección norm al?
CUADRO 6.50. Información del Problema 22
63
62
69
67
70
66
65
67
68
67
64
70
75
66
70
66
68
65
66
67
23.
La especificación m ínim a para ciertos tubos de acero es 50000 psi. U n lote de 8 0 0 tubos es som etido a inspección norm al, Nivel II con A Q L = 1 ,5 % . La desviación estándar es 1575 psi. a. ¿ C u á l es el tam año de la m uestra? b. Si los valores qu e g enera la m uestra se presentan en el C u a d ro 6.51, ¿cu á l es la decisión de aceptación o recha zo ?
CU A DRO 6.51. Información del Problema 23
62500 62500 61800
24.
60500 61000 63400
68000 69000 65000
59000 59000 64700
65500 64500 66600
La especificación de presión para ciertos tubos de acero es 62500±500 psi. U n lote de 2 0 0 tu b o s es s o m e tid o a in s p e c c ió n n o rm a l, N iv e l II, co n A Q L = 1 ,5 % . La desviación estándar es 2825 psi. a. ¿ C u á l es el tam año de la m uestra? b. S i los datos son los m is m o s del P ro b le m a 23, ¿c u á l es el criterio de aceptación o re ch a zo ?
602
2 5.
CONTROL DE CALIDAD
U n proceso produce con las especificaciones de longitud 25,9 ± 1,5 cm . S e som eten a inspección 50 piezas, utilizando nivel II y A Q L 1 ,5 % para el valor especificado superior y A Q L 1 ,0 % para el valor especificado inferior. a. ¿ C u á le s son los plan es de m u estre o en inspección norm al, estricta y reducida? b. S i para el plan en in s p e c c ió n n o rm a l se pre se n ta la in form ación del C u a d ro 6.52, ¿cuál es la decisión de aceptación y re c h a zo ? R esuelva gráficam ente y analíticam ente.
CUADRO 6.52. Información para el Problema 25
Unidad #
Longitud
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
27,1 24,0 27,6 24,5 28,0 24,9 25,0 26,4 26,5 27,0
2 6. El m áxim o contenido de una sustancia quím ica que debe estar presente en un alim ento es 3 ,5 m iligram os por g ram o de alimento. Si se som eten a ins p e c c ió n lotes de 2 5 0 0 g ra m o s , u tiliza n d o N ivel II, in s p e c c ió n n o rm a l y A Q L = 1 ,5 % a. ¿ C u á l es el plan de m uestre o? b. Sim ule la dinám ica de la inspección estableciendo el criterio de acepta ción. U s e valores de este criterio en el rango de 1,5 ± 1,2s. 2 7 . E n una em presa com ercial las lám paras incandescentes se som eten a ins pección en lotes de 1000 u nidade s. El po d e r lum inoso especificado para
JORGE ACUNA ACUNA
603
estas lám paras es de 100 bujía-pie co m o m ínim o. E n esa inspección se de sea tener un pian de m uestreo para el cual lotes de calidad 1 % de producto inaceptable, se acepten el 9 5 % de las v e c e s , m ientras que lotes con cali dad 5 % se acepten el 1 0 % de las veces. a. D is e ñ e el plan de m u e stre o para c h e q u e a r el p o d e r lu m inoso de las lám p a ra s y construya la respectiva cu rva característica de operación. b. ¿ Q u é plan de la norm a IS O -3951 se considera equivalente al diseñado en a? 28. U n proceso produce con las siguientes especificaciones: 28,9 ± 2,5 cm . S e som eten a inspección 70 unidades en form a norm al utilizando un Nivel II y un A Q L de 2 ,5 % para a m b o s límites especificados. a. ¿ C u á l es el plan de m uestreo? b. ¿ C u á l e s la decisión de inspección si la m uestra origina la información del C u a d ro 6 .53?
CUADRO 6.53. Información para el Ejemplo 28 b) (')
Muestra #
Valor
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
30,1 30,0 27,8 24,5 28,0 28,5 29,9 32,2 31,0 26,4 26,5 27,0 27,7 28,8 28,1
(■) Tome los valores necesarios en forma vertical y ordenada.
604
29.
CONTROL DE CALIDAD
El m ínim o contenido de un frasco de cacao en polvo es de 980 gram os. S e recibe un lote de 60 frascos. a. ¿ C u á l es el plan de m uestreo por usar si se utiliza el Nivel II, inspección norm al y A Q L igual a 2 ,5 % ? b. ¿ Q u é criterio de aceptación o re c h a zo se obtiene si la m uestra genera los valores p re sentado s en el C u a d ro 6 .5 4 ? c. R e su e lva gráficam ente.
CUADRO 6.54. Información para el Ejemplo 29 b) (')
Muestra #
Valor
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
975 965 983 989 995 1000 968 1000 1050 968 972 876 1123 999 1029
(') Tome los valores necesarios en forma vertical y ordenada.
30.
U n p ro ce so produce un artículo cu ya especificación es 25,8+4,1 cm . Este pro ceso tiene una ca p a cid a d 6 o ’ de 10,8 centím etros y está centrado. a. ¿ C u á l sería una n u e v a tolerancia si el A Q L va ría a 6 % ? b. ¿ C u á l sería una n u e v a tolerancia si el A Q L varía a 0 ,5 % ?
JORGE ACUÑA ACUÑA
605
31. La especificación de longitud para un determ inado producto es de 7 5 ,3 ± 8 ,1 centím etros. U n lote de 800 unidades es recibido para inspección, usando Nivel II, inspección norm al, A Q L = 1 ,0 % p a r a e l límite superior y A Q L = 1 ,5 % para el límite inferior. a. ¿ C u á l es el plan de m uestreo qu e se deb e usar? b. ¿ Q u é probabilidad de aceptación tiene un lote que tiene un 2 % de pro ducto no conform e con especificaciones? c.
¿ Q u é calidad d e b e tener un lote para qu e te n g a u na probabilidad de aceptación del 9 6 % ?
d. Sim ule la inspección generando valores aleatorios que estén com pren didos entre 67 cm y 83 cm . e. R e su e lva la parte d) gráficam ente 32. La resistencia m áxim a de un com ponente es 5985 psi y la m ínim a 4365 psi. Si un lote de 500 u n idade s es som etido a inspección u sand o A Q L = 2 ,5 % para límite inferior y A Q L = 1 ,5 % para el superior a. ¿ C u á l es el plan de m uestreo? b. ¿ Q u é probabilidad de acep tació n tiene un lote qu e tiene un 2 ,2 % de producto no conform e con especificaciones? c.
¿ Q u é calidad d e b e tener un lote p a ra qu e teng a una probabilidad de aceptación del 9 1 % ?
d. S im u le la inspección tom and o los valores que necesita de tal m anera qu e estén co m prendido s entre 5900 y 4300 psi. 33. E n la inspección de resistencia a la tracción de un cierto alam bre se utiliza co m o especificación el valor 68±6 libras. S e reciben para inspección lotes de 2 5 0 u n id a d e s, u sa n d o in sp e cció n norm al y N ivel II. S e usa a d e m á s A Q L = 1 ,5 % para el límite superior y A Q L = 2 ,5 % para el superior. a. ¿ C u á l es el plan de m uestreo por el m étodo de la desviación estándar? b. ¿ C u á l es el plan de m uestreo por el m étodo del intervalo?
606
CONTROL DE CALIDAD
c. ¿ Q u é proba bilida d de a ce p ta ció n tiene un lote que tiene un 1 ,8 % de pro ducto no con form e con e specificacio ne s? R e sp o n d a p a ra a m b o s m étodos. d. ¿ Q u é ca lida d d e b e te ner un lote para que te n g a una pro b a b ilid a d de aceptación del 9 0 % ? R e s p o n d a para a m bos m étodos. e. A n a lice por a m b o s m étodo s la m uestra qu e se presenta en el C u a d ro 6.5 5 y e stab le zca el criterio de aceptación o de rechazo.
CUADRO 6.55. Información para el Ejemplo 33 (")
Muestra #
Valor
Muestra #
Valor
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
63 64 64 69 70 64 69 75 69 67 66 72 64 70 72
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
64 66 66 65 68 69 67 65 74 68 66 76 67 67 77
(') Tome los valores necesarios en el orden acostumbrado.
34. E n un proceso de fabricación se han establecido especificaciones de lon gitud de 65,3 ± 5,9 cm para el corte de unas piezas. La desviación estándar de esta longitud es conocida y es o=2,1 cm . S e reciben lotes de 50 piezas y se usa Nivel II, inspección norm al y A Q L = 2 ,5 % para el límite superio r y A Q L = 1 ,5 % para el límite inferior.
JORGE ACUÑA ACUÑA
607
a. A n alice una m uestra del tam año que corre sp o n d e a las condiciones y obte nga los valores respectivos por sim ulación. b. Si los últimos 32 lotes qu e se han recibido han tenido las decisiones de aceptación y recha zo presentadas en el C u a d ro 6.56, ¿cu á l es la diná m ica de la inspecció n ? Indique si la inform ación es suficiente, si no lo es, p re su m a lo que sea necesario y siga adelante.
CUADRO 6.56. Información para el Ejemplo 34 b)
#
Decisión
1
A c
2
A
3
Ae
4
A c
5
A
6
A c
7
A c
8
R
#
Decisión
#
Decisión
#
Decisión
9 10
Re Re
11 12 13 14 15 16
Ac Ac A A„ A Ac
17 18 19 20 21 22 23 24
Re A A Ac A A A AC
25 26 27 28 29 30 31 32
Ac Ac Ac Ac Re Ac A A
35. D is e ñ a r un p la n de m u e s tre o p a ra a trib u to s, u n o p a ra v a ria b le s y uno secue ncial qu e cu m plan con las siguientes condiciones: a. R iesgo del productor (a ) = 6 % b. R iesgo del con su m ido r (P) = 9 % c. Nivel de calidad aceptable (A Q L ) = 1 , 8 % d. Porcentaje de producto no tolerado en el lote (P N C T ) = 7 ,2 % D e m ostra r qu e e sos planes son equivalentes. 36. Realice en una e m presa un proyecto qu e involucre un estudio de caracte rísticas de calidad m edibles enu m e ra n d o las ventajas y desventajas de la aplicación de esta técnica.
608
CONTROL DE CALIDAD
37. Si los últim os 4 0 lotes que se han recibido en un puesto de inspección de recepción, han tenido las decisiones de aceptación y rechazo presentadas en el C u a d ro 6.57, ¿cuál es la dinám ica de la inspección? Indique si la infor m ación es suficiente, si no lo es presum a lo que sea necesario y siga a d e lante.
CUADRO 6.57. Información para el Ejemplo 37
Decisión 1 2
A Ac
3
A c
4
A c
5 6
\ A
7
A c
8
R e
9 10
Rl r e'
Decisión 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
R Re
A< A c
Ac
A Ac Ac A c
A„
Decisión 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
R,
A< A< A< A A Ai
A R, R,
Decisión 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A A A A, R
K A A
A« A
38. E s c o ja en una e m p re s a industrial un pro ducto d e te rm in a d o y ela b o re un M anual de inspección. 39. E n los pro ble m a s 2 8 , 2 9 , 3 1 , 3 2 y 33, contestar las siguientes preguntas: a. ¿ C u á l es el riesgo del productor? b. ¿ C u á l es el riesgo del co n su m ido r para P N C T = 6 % ? 40. U n producto tiene una carga de rotura m ínim a de 1500 kilogramos. El valor del A Q L es de 0 ,1 0 % . S e d e s e a ca m biar a A Q L = 1 ,5 % . ¿ C u á l es el n u evo valor de la carga de rotura m ínim a si la m edia aritmética es de 2014 kilogra m o s? Indique sob re qu é pre m isas resuelve el problem a.
Capítulo VII
ASPECTOS GENERALES DE LA ADMINISTRACION DE LA CALIDAD
L
a a d m in istra ció n de la ca lid a d es la d isciplina q u e se encarga de la organización, coordinación, planificación, ejecución y control de todas las actividades qu e perm i ten el cum plim iento de las políticas de calidad. Estas se basan en el cum plim iento de los requerim ientos y nece sidades del cliente o usuario. T a l y com o es evidente en la anterior definición esta la b o r es c o m p le ja y re q u ie re de re c u rs o s h u m a n o s , m ateriales y e co n ó m ico s y sobre todo de m otivación y conciencia basada en un amplio conocim iento de lo que e s un sistem a de control de calidad total. D e a c u e rd o co n lo p la n te a d o en el C a p ítu lo I de este libro, el control de la calidad de un producto o servi cio es u n a ta re a q u e a ta ñ e a to d o s los n iv e le s je rá r quicos de la organización. Bajo este esq uem a, la orga nización y adm inistración de las actividades requeridas para cum plir con el objetivo básico de satisfacer al clien te es un reto qu e se torna co m p le jo y qu e exige entre otras cosas: •
Coordinación entre los distintos departam entos de la em presa, en busca de m etas com u nes.
610
•
CONTROL DE CALIDAD
M otivación y estím ulo al personal para qu e adquiera conciencia de calidad y que por lo tanto coopere ejecutando sus actividades cada día mejor. Esto deb e co n lle var a un m e jo ra m ie n to c o n tin u o .
•
B ú sq u e d a de resultados tangibles, los cuales se han de obtener respetan do las líneas de autoridad y evitando al m áxim o la fricción entre los grupos de trabajo.
•
Definición clara y concisa de funciones, responsabilidades y procedim ien tos con el fin de lograr los objetivos, y evitar duplicación de funciones y a m b ig ü e da d en las órdene s. C o n el fin de lograr lo anterior se de b e n establecer m a n u ales de pro cedi
m iento, en los qu e se definan los alcances y lim itaciones de qu ienes tienen la responsabilidad de ve la r por la calidad del producto tanto en la planta co m o en las m a nos del cliente.
ORGANIZACION DE LA FUNCION CALIDAD El éxito de los program as de calidad en la em presa depende de la forma en qu e las diferentes a ctivid ade s son o rg a n iza d a s . Ló g ica m e n te , esto refleja la m anera en q u e la función calidad se concibe en el m arco de la estructura jerár quica de la e m p re sa. El pro ble m a es que la em p re s a en los últimos años, debido a la crisis e c o nóm ica, se ha p re o cu p a d o m á s por la b ú sq u e d a de capital de trabajo de gran solidez y crecimiento, que por ei establecimiento de políticas y controles qu e las regulen y g a ra n tice n su cu m p lim ien to. A n te esta situación, el e m p re s a rio ha desviado su atención hacia los problem as económ icos, pues cree que adm inis trar la calidad e s un costo innecesario y no una inversión. E n cuanto a control de calidad, una buena cantidad de em presas continúan creye ndo en la concepción errónea de basar sus esfuerzos únicam ente en ins pección de p roducto, con lo q u e el ca m p o de acción se en cu e n tra totalm ente lim itado. P o r ello, se e n c a rg a n las fu nciones de calidad a d e p a rta m e n to s de producción c u y a m otivación se centra en cum plir con los requisitos de cantidad sin pre ocuparse por la calidad, con lo que, la tarea de control se limita a sim ples inspecciones correctivas de pro ceso y m aterias prim as.
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611
E n otras e m p re s a s se tiende a dar a u ton om ía a la función calidad, lo que pareciera la m ejor opción cu a n d o los altos niveles jerárquicos han fijado políti ca s cla ras y eficaces. D e lo expresado anteriormente, se puede concluir que en la evolución de la e m p re s a industrial se pu e d e n e n m a rca r cinco form as de organ ización para la calidad que dependen de las necesidades, tam año y cantidad de productos que se te ngan en ca d a em p re s a . E stas son:
1. Supervisión organizada E n este ca s o no existe u n a o rg a n iza c ió n cla ra de la función calida d y lo poco qu e se realiza recae sobre el supervisor de la línea y los operarios respec tivos. P a ra que esta form a funcione con éxito, el nivel de m otivación y concien cia h acia la calidad en los niveles operativos deb e ser m u y alto.
2. Inspección organizada E n este ca so se tiene un grupo de inspectores cu ya función es verificar la calidad de los productos sum inistrados por las líneas de producción y dar reco m enda cion e s sobre m edidas correctivas y preventivas. La decisión final es del enca rga do de producción. E n esta forma de organización los resultados dep e n den del grado de co n cie ncia y m otivación qu e teng a el su p e rviso r de p ro d u c ción, de lo contrario la inspección es infructuosa. El funcionam iento a d ecu ado se da a través de una am plia coordinación y com unicación entre supervisores e inspectores. Esta form a tiene varios niveles que van desde el nivel sim ple de inspección final de producto hasta el nivel de inspección por etapas, en los pun tos críticos de calidad en las líneas de producción.
3. Función calidad formando parte del Departamento de Producción E n realidad, este es el primer caso en el que se da una verdadera organiza ción para la calidad; sin em bargo, su d esem pe ño será fructífero si existe co m u nicación, coordinación y conciencia entre las funciones de producción y calidad. A p e sa r de lo anterior, este m odelo de o rga n iza ció n no es a d e c u a d o , p u e s el personal de producción cum pliría el papel de “ju e z y parte” en cuanto a calidad
CONTROL DE CALIDAD
de lo p ro d u cid o se refiere. E n estas situ aciones, el objetivo de cum plir con la cantidad de producción p la n e a d a se im po ne sob re la calidad de lo producido. U n a form a de resolver esto, e s convertir el control de producción en una tarea cuyo objetivo sea la entrega de la cantidad, en el lugar y en el tiem po pactado y con la calidad requerida. La s posibilidades de crecim iento y expansión de acti vidade s para la función calidad son absolutam ente limitadas.
4. Función de calidad autónoma La a u ton om ía para el d e s e m p e ñ o de las actividades brinda a este tipo de organización grandes probabilidades de éxito. Esta organización puede funcio nar en varios niveles que va n desde una inspección de proceso y materia prim a organ iza d a hasta el enfoque de calidad total, donde un gerente de calidad a s u me la función de coordinador y prom otor de las tareas de control de calidad. Si se trabaja bajo el esq u e m a de inspección de proceso, se debe tener una am plia coordinación con la G e re n cia de Producción para tener éxito en la consecución de objetivos de calidad.
5. Autocontrol E sta es la form a de o rgan izació n en don de el control de calidad recae so bre el operario. Bajo este concepto, el operario se convierte en inspector de su propio trabajo, planificando su s actividades de tal m anera qu e la probabilidad de producir fuera de especificaciones sea lo m ás baja posible. T a m b lé n existen m odelos de organización no ved o so s aplicados por cultu ras orientales, en especial la ja ponesa, los cuales están b asado s en una am plia capacitación, motivación y conciencia de los m andos operativos con el fin de que se conviertan en inspectores de su propio trabajo. Este con cep to se basa en la
filo so fía de q u e e l tra b a jo de u na p e rs o n a es e l re fle jo de s u c a lid a d hum ana. A d e m á s , existe una am plia cooperación de los niveles gerenciales para brindar los recursos necesarios para que ca d a em p le a d o cum pla con sus funciones. Esta form a de pensam iento originó los llam ados
Círculos de Calidad que
son g ru p os de m ejoram iento cu y o objetivo es solucionar los problem as de c a lidad, qu e se presentan en u n a línea de pro du cción con el fin de desarrollarse en su c a m p o y q u e c o m o c o n s e c u e n c ia se m ejo ren los nive le s de ca lid a d y
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613
productividad de la organización. E s decir, el objetivo primordial es la búsqueda del m ejoram iento h u m a n o y no el m ejoram iento técnico o tecnológico. Este úl timo de b e ser un resultado pero nu nca el objetivo. E s te m o vim ie n to to m ó m u ch o a u g e en L a tin o a m é ric a en la d é c a d a de 1 9 8 0 -1 9 9 0 y se p u ede n citar ejem plos de éxito y de fracaso. Lo s fracasos se han originado en m u ch a s razones, cuatro de las m ás im portantes son: 1.
Falta de planeam iento. La m ayor parte de estos fracasos han sido pro du c to de una im provisación total.
2.
Falta de un diagnóstico que evalúe las debilidades y fortalezas de la o rg a nización para la aplicación de la nu e va form a de trabajo,
3.
Planteam iento e rró n e o de objetivos, gen e ra lm e n te b a s a d o s en logro de m ejores niveles de productividad y no en la búsqueda de realización del ser h u m a no.
4.
Falta de un proceso de adaptación, tiem po de transición, para cam biar de un estilo a otro (resistencia al cam bio). E s evidente que para obtener buenos resultados con Círculo s de Calidad,
se de b e n hacer las adap taciones necesarias a la form a de vida e idiosincrasia de nuestros pueblos. E s importante hacer una evaluación de la estructura jerárquica de la o rg a n iza ción, para de te rm ina r si es posible a dap tar cualq u iera de los dos últim os m odelos, pues son los que brindan la m ejor posibilidad de lograr el cum plim ien to de los requerim ientos del cliente.
FUNCIONES DEL GERENTE DE CALIDAD El gerente de control de calidad, independientem ente del tipo de o rgan iza ción de calidad a que pertenezca, debe ejecutar una serie de actividades clási cas. A lg u n a s de las m á s importantes son: 1.
Establecer controles en las diferentes etapas de fabricación. E s de absolu ta im portancia a se g u ra r la calidad de las partes y productos de s d e la pri m era operación de producción. N a d a se logra detectando fallas cu a n d o el producto ya ha sido term inado.
614
2.
CONTROL DE CALIDAD
Im plantar m étodos de control correctivo y preventivo en la inspección de entrada de m ateriales y m aterias prim as, en los puestos de trabajo, en la in sp e cc ió n de p ro d u cto e n p ro c e s o y en la in sp e cció n de p ro d u cto te r m inado.
3.
Identificar las características críticas de calidad y clasificarlas de acuerdo con la gra ve d a d en el incum plim iento de especificaciones.
4.
Especificar los niveles de calidad y los m étodos de m uestreo para el control y aceptación de m aterias prim as y producto term inado.
5.
C o o p e ra r con el depa rtam ento de Ingeniería y Producción en el estableci m iento de norm as de calidad.
6.
D esarrollar las instrucciones y m a nu ales de inspección de calidad.
7.
D esarrollar planes de evaluación de la calidad de pro veedores.
8.
D esarrollar form atos pa ra recolección y análisis de inform ación.
9.
Especificar el equipo de inspección y de ensayo que deb e ser usado en la verificación de calidad.
10. Desarrollar nuevos m étodos y técnicas de ensayo que garanticen aún m ás la representatividad de los datos recolectados. 11. Desarrollar el program a de verificación y calibración de la instrumentación. 12. Efectuar estudios especiales tales co m o certificación, auditorías y análisis de ca p a cid a d de proceso. 13. Investigar a fondo los pro blem as de calidad cu a n d o se presenten. 14. C o o rd in a r el establecim iento de m e ca n ism o s que perm itan la recolección y análisis de quejas y devoluciones. 15. Efectuar estudios económ icos que permitan conocer los costos de calidad. 16. C o o rd in a r con Producción la m ejora de todas aquellas áreas en las líneas qu e sean causa ntes de pro blem as de calidad. 17. Im pulsar las investigaciones qu e co n lleven a c o n o ce r ca d a d ía m ejo r los requerim ientos del cliente.
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615
18. P ro m o c io n a r la ca p a cita c ió n p e rm a n e n te del p e rso n a l a su ca rg o y del personal de producción 19. Proporcionar inform ación a M antenim iento con el fin de que ellos desarro llen a d e cu a d o s pro gra m a s de m antenim iento y lubricación. 20. C oordinar a nivel de la em presa todas las acciones que se establecen en el P ro g ra m a de calidad total. Estas actividades son necesarias para tener un p ro gram a que se acerque a un control de calidad total. La ejecución exitosa de estas acciones depende de la m otivación que exista para h acer el trabajo cada día m ejor.
PREVENCION DE PRODUCTO FUERA DE ESPECIFICACIONES La cantidad de producto que no cum pla con lo especificado puede ser co n trolada m ediante m étodo s qu e se d ed iq u en a atacar las ca u sa s. P ara ello, se deb e n investigar las fuentes y establecer m edios de control que garanticen la reducción y si es posible la eliminación de defectos o productos no acordes con especificaciones. E n este estudio se pu e d e n determ inar varias fuentes, entre las principales se encuentran: 1 ."'É rro re s de diseño. E s posible qu e no se tengan en cuenta limitaciones de fabricación, las cu ale s salen a relucir al producir. 2.
M ateriales inapropiados. Falta de com unicación interna adecuada y exter na con pro ve edores p u e d e o ca sio nar la com pra de m ateriales qu e no lle nan las expectativas de fabricación.
3.
Fallas de producción a.
Falta de entrenam iento
b.
M antenim iento inefectivo
c.
C ondiciones am bientales desfavorables (tem peratura, hum edad, v e n tilación, etc.)
d.
Problem as de organización de la producción cuan do no se le ha puesto especial im portancia al establecim iento de m étodos ad ecu ado s para:
616
4.
CONTROL DE CALIDAD
•
Distribución de planta
•
M étodos de trabajo
•
Inventario en proceso
•
B alance de líneas
•
Control de producción
•
M anejo de m ateriales
S iste m a s de distribución y transporte Inadecuados P a ra tener éxito en esta tarea de prevención es im portante aplicar un pro
cedim iento tal y co m o se anota a continuación: 1.
P riorizar los pro ble m a s de calidad encontrados.
2.
R ealizar un diagnóstico para identificar las causas de los problem as detec tado s en 1.
3. 4.
A b a liza r la inform ación obtenida del diagnóstico. E sta b le c e r los m e dios y las estrategias para la elim inación de defectos y condiciones que no permiten que el producto cum pla con especificaciones.
5.
A p lica r las soluciones encontrad as en 4.
6.
R e v is a r la eficacia de las s o lu cio n e s y h a c e r los c a m b io s q u e s e a n n e cesarios. E s im portante q u e en el diag nóstico participen p e rs o n a s qu e te n g a n un
amplio conocim iento de los procesos y productos, pues solo así tendrán am plia participación en la b ú sq u e d a de posibilidades de solución. La colaboración de personas ajenas a la em p re sa es de gran valía, pues ellos pu eden obs e rva r si tu a cio n e s a n o rm a le s , difíciles de se r o b s e rv a d a s por el p e rso n a l de planta, pues están a co stu m b ra do s a convivir con ellas. L a ejecución de actividades para la prevención de pro blem as son de gran im portancia pues: 1.
Aportan teorías sobre las cau sa s asignables de los problem as encontrados.
2.
Perm iten hallar pro ble m as gen e ra d o s por una pro blem ática anterior.
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3.
P erm iten inve stigar a ce rca de la co o p e ra c ió n qu e ofrecen las pe rso n a s involucradas en la fabricación del producto.
4.
A y u d a n a c o n o c e r el am b ie n te de trabajo y las fuentes de resistencia al cam bio.
5.
A y u d a n a e sta b lecer la autoridad necesaria para ejecutar los m edios de control.
6.
F a vo rece n la investigación de cau sa s que provocan los problem as graves de calidad.
7.
P erm iten integrar a p e rsonas en el estudio de la pro blem ática de calidad del producto.
Si se plantea un a d e c u a d o sistem a de control del producto fuera de e sp e cificaciones, se tendrá un cam ino g anado en la lucha por incrementar el nivel de calidad del producto.
COORDINACION Y CONTROL S e g ú n el enfoque m oderno de control de calidad, es im prescindible tener una a de cuada coordinación de actividades entre todos los departam entos de la e m p re sa , con el fin de cum plir con las políticas de calidad, planteadas a nivel geren cial. E stas políticas son lineam ientos claros y con cisos que reflejan las intenciones y com prom iso s de la alta dirección, para enfrentar el reto de entre g a r un producto acorde con lo requerido por el cliente. Para tener una idea de cóm o tiene que ser la coordinación se pu ede c o m parar la función calidad con la función financiera. Para lograr éxito en la función financiera uno de los instrumentos m ás útiles se llama presupuesto. A través del p re supuesto se coordina con cad a departam ento la ejecución de actividades, b u s c a n d o un a d e c u a d o balance entre e g re so s e ing resos u sa n d o un control centralizado. La función calidad debe operar en form a parecida aplicando instrum entos llam ados pro gram as y ejecutando auditorías que investiguen si las actividades y los p ro ce d im ie n to s se están lle va n d o a c a b o de a cu e rd o con lo pla n e a d o . A d e m á s , se cuantifican los beneficios con el fin de com pararlos con los costos y s a ca r conclusiones acerca de la rentabilidad de la inversión.
618
CONTROL DE CALIDAD
E l éxito de esta co o rdinación está en la m otivación y con cie ncia h acia la calidad que tengan todos los departam entos de la em presa. P or ejem plo:
•
Producción para
la fabricación del producto que reúna los requisitos del
diseño.
•
Ingeniería para el desarrollo de productos que se acerqu en a los requeri m ientos del cliente.
•
Ventas para la prom oción de producto e investigación del grado en que el p roducto cum ple con lo requerido por el cliente.
•
Compras para la adquisición de m aterias prim as que reúnan los requisitos de fabricación.
•
Personal para
•
Inspección para realizar u na verificación a p e g a d a a las bu e n a s reglas y prácticas dictadas en los m anuales.
•
Mantenimiento para establecer plan es eficientes de m antenim iento pre ventivo y correctivo que m inim icen fallas en las m áquinas.
•
Distribución y servicio p ara no p ro v o ca r dañ o s al pro ducto en el tra n s porte del m ism o y para brindar un servicio eficiente y en el m om ento reque rido, al cliente que detecte fallas de calidad en el producto.
seleccionar el personal idóneo y g e nerar eficientes pro gra m as de capacitación y entrenam iento.
C o m o se puede ver cad a función de la em presa tiene que pon er su granito de are na en el logro del objetivo de calidad. Para lograr ello, se debe establecer un sistem a de inform ación qu e perm ita u na am plia com u nicación entre los di ve rs o s co m p o n e n te s de la organización. Este sistem a de información debe permitir que datos actualizados de dise ño de producto, control de pro ceso, control de m ateriales y m aterias prim as y control de producto term inado v a ya n por los canales ad e c u a d o s y lleguen a las instancias qu e necesitan de inform ación v e ra z para la tom a de decisiones.
ECONOMIA DE LA CALIDAD La e co n o m ía de la calidad tiene dos enfoques uno es el enfoque de la c a lidad de concordancia (dentro de la em presa) y el otro es el de calidad de diseño (fuera de la em p re s a ).
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L a calidad de diseño es aquella qu e garantiza que el producto qu e se v a a fabricar, satisface realm ente los requerim ientos del consum idor. T a l y com o se explicó en el C apítulo III, aquí se traducen las necesidades del cliente en espe cificaciones técnicas. E n la calidad de d iseño se to m a n en cu en ta el v a lo r de la calidad para el consum idor, en térm inos del grado en que éste satisface sus necesidades, y el costo de calidad n e c e sa rio para g a ra n tiza r ese valor. E l costo de calidad se incre m en ta con form e a u m e n ta el g ra d o de conform idad del co n su m id o r y su pendiente crecerá indefinidam ente en el m om ento en el que el grado llegue a ser m áxim o. Esto se representa m ediante una cu rva de inflexión. El valor de la calidad tam bién crece en relación directa con el grado de co n form idad, puesto qu e a m ayor grado de conform idad, m ayor valor de calidad del p ro d u cto en el m e rca d o . Sin e m b a rg o , c u a n d o ese g ra d o es m áxim o, el va lo r crece con una pendiente despreciable, mientras el costo crece alarm antem ente. P o r lo anterior, es de su m a importancia determ inar el grado óptimo de con form idad que garantice un m áxim o valor de calidad a un costo m ínim o. La Figu ra 7. i presenta las cu rva s qu e representan al costo y al valor de la calidad. E n la Figu ra 7.1 se rep resen tan cuatro áre as Identificadas por las letras A ,B ,C y D . Su significado es el siguiente: ZONA A E n esta zo na , el costo de calidad siem pre es m a yo r que el valor de la cali dad, lo cual resulta perjudicial. E s im portante recalcar que en esta área la e m presa le pone poca importancia a la calidad lo que se refleja en el bajo grado de conform idad. ZONA B E n esta zo na , el costo de la calidad es inferior al valor de la calidad, lo que evidencia que la em presa le pone m ás atención al problem a de calidad. C onfor m e el g rado de co n form idad se a c e rc a al g rado óptim o, la diferencia entre el costo y el valor se h ace m ás g rand e lo que hace m ás llamativo trabajar con un g ra do de conform idad cercano al g rado óptimo.
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CONTROL DE CALIDAD
ZONAC E n esta zo n a ocurre lo m ism o que en la z o n a B, con la diferencia de q u e el grado de conform idad es m á s alto. C o n fo rm e se aleja el g ra d o de conform idad respecto al grado óptim o, la diferencia entre el costo y el va lo r se hace m á s pe que ñ a lo qu e hace poco llamativo trabajar con un grado de conform idad lejano al g ra d o óptim o. ZONAD E n esta zona, la situación no es beneficiosa puesto que aunq u e el grado de conform idad es alto, el costo de ese grado de calidad es m u ch o m ás alto qu e el valor q u e se obtiene. A d e m á s , por m á s que se invierta en calidad el va lo r p er m a n e ce casi constante. C o m o con clu sión, se nota que será sie m p re rentable trabajar en la zo n a com p re ndida entre el punto form ado por las zo n a s A y B y el punto form ado por
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las zo n a s C y D. El grado óptim o de calidad se define co m o aquel punto para el cual la diferencia entre el valor de la calidad y el costo de calidad es m áxim a. Esto dem uestra que la producción perfecta (1 0 0 % producción b uen a), adem ás de se r una m eta im posible de a lcanzar, no es la opción m ás rentable para una e m presa. C o s t o s d e c a lid a d T a l y co m o se a pu ntó antes, una de las tareas cla ve s de la e c o n o m ía de calida d es la cu a n tifica d ó n de costos de calida d, p u e s constituye u n a form a concreta para evaluar el rendimiento de un program a de calidad en la em presa. S in e m b a rg o , son p o c a s las e m p re s a s q u e ca lcu la n co sto s de calidad, q u izá s p o rqu e e rró n e a m e n te no lo co n sid e ra n im portante o p orqu e, au n q u e están conscientes de la im portancia de co n o ce r este costo, no sab en exacta m ente có m o calcularlo. Al h ablar de costos de calidad es evidente, en prim era instancia, qu e se habla de algo que constituye un gasto m ás que una inversión. Sin em bargo, hay q u e ^o m a r en cuenta que las con secu encias de producto de m ala calidad en el m e rca d o , p u e d e n ser funestas para una c o m p a ñ ía , por lo qu e se d e b e tener p re s e n te q u e “L A B U E N A C A L I D A D C U E S T A P E R O L A M A L A C A L I D A D C U E S T A M A S ”. P or lo anterior, se con clu ye que Invertir en calidad es una excelente inver sión, si se tiene una mentalidad triunfadora en m ercados tan competitivos com o los de hoy en día. C o m o es sabido, el costo de producción está com pu esto de tres grandes rubros: costo de m a n o de obra, costo de m aterias prim as y costos indirectos. Lo s costos de m ano de obra son los costos en que se incurre al p a g ar salarios al personal, para llevar a cabo las tareas de producción en las líneas de produc ción. Los costos de m ateria prim a son aquellos que se originan por la com pra y m antención de las m aterias prim as y materiales que conform an el producto ter m inado. Los costos indirectos son todos aquellos costos que no están directa m ente relacionados con la fabricación de un producto, pero que son necesarios para d a r soporte a las a ctivid a d e s de pro d u cció n . U n o de estos co sto s es el costo de evaluación de la calidad, el cual se considera dentro de los costos de
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CONTROL DE CALIDAD
producción, pero que sin em bargo, será evaluado y analizado en form a sep a ra da con el fin de cuantificar los beneficios del sistem a. Si se enfoca la calidad co m o calidad total, una importante inversión en to das las actividades qu e conllevan a la consecución del objetivo, p u e d e llevar a una dism in ució n con sid era b le de los costos de inspección y de los co sto s de m a la ca lida d y a un a u m e n to en el prestigio del pro du cto en el m e rc a d o . P or datos generados por com p a ñ ía s que llevan registros de costos, se sab e que los costos de la m ala calidad representan del 6 0 % al 7 0 % de los costos de calidad, m ientras que los costos para evitar problem as son apenas el 1 0 % de ese costo. P a ra e m p re s a s qu e han im p le m e n ta d o sistem as de control de calida d, esos estudios m uestra n q u e los costos de m ala calidad se ve n con sid erab lem ente reducidos. Al e nfocar la calida d bajo el c o n ce p to de sistem a es n e cesario to m a r en cuen ta una serie de costos en qu e se incurre y que m u ch a s ve ce s no se consi deran co m o parte del costo de calidad. P or ejemplo, el costo de brindar servicio al cliente por d a ñ o s o defectos e n co n tra d o s durante la operación o uso de un determ ina do a rtíc u lo . A continuación se hará una explicación com pleta de los costos de calidad. L a F ig u ra 7 .2 pre senta una clasificación de los costos de calidad. C o s t o s d e ca p ita l E sto s son costos atribuibles al e sfu erzo por m ejorar la calidad de los pro d u c to s y los s e rv ic io s . S e in c lu y e n a q u í to d a s a q u e lla s e ro g a c io n e s p o r
- Depreciación Costos de capital Costos de Calidad
-
Costos de operación Costos indirectos
- Interés - Oportunidad -
Prevención Evaluación Fallas internas Fallas externas
FIGURA 7.2. Clasificación de los costos de calidad.
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co n ce p to de e q u ip o de m e d ició n , p ro ce sa m ie n to de datos, y toda s aq uellas inve rsione s q u e se da n al im p le m e n ta r un sistem a n u e vo o al re visa r uno ya existente. E n realidad, no se tom a en cu en ta la inversión en sí, sino la depreciación del equipo de laboratorio y de m edición, el interés de lo invertido y el costo de oportunidad de la inversión. Este costo de oportunidad se define com o lo que se de ja de p e rcib ir si en lu g a r d e invertir el d in e ro en el s iste m a d e control de calidad, se invierte en otro proyecto o se m antiene depositado en un banco. C o s t o s de o p e ra c ió n Los costos de operación son aquellos costos en que se incurre para preve nir y e valuar la calidad de los productos, procesos, m ateriales, m áquinas y de m á s recursos que intervienen en el sistem a de producción. Estos costos se cla sifican en costos de prevención, costos de evaluación, costos de fallas internas y costos de fallas externas. Lo s costo s de p re ven ción son aquellos en qu e se incurre para prevenir la elaboración de productos defectuosos o fuera de especificaciones y a sí evitar qu e lleguen al co n su m ido r con las correspondientes con secu encias. Los costos de éva lu ació n son los costos en q u e se incurre al pon er a fun cionar el sistem a de control de calidad y m antenerlo a lo largo del tiem po. Este costo involucra las pru e bas que se de b e n h acer a los recursos de producción para in sp e ccion a r la p ro ducción de u n idade s defectuosas o qu e no cu m plen con la especificación. Los costo s de fallas in te rna s son los costos atribuibles a las fallas de cali dad encontradas en las líneas de producción y que aún no han salido al m erca do. Lo s costo s de fallas e xte rn as son los que ocurren cu a n d o producto defec tuoso sale al m ercado. T o d o s estos costos son la ba s e fu ndam ental del costo de la calidad y se pueden representar según la Figura 7.3. E n esta figura, el costo está represen tado en función del porcentaje de producto que no cum ple con lo especificado, el cual se tom a co m o una m edida del nivel de calidad.
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CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 7.3. Representación gráfica de los costos de calidad.
C o m o se p u e d e o b s e rv a r en la F ig u ra 7 .3 , los co s to s de p re ve n ció n se incre m e n tan conform e a u m e n ta el nivel de calidad (d is m in u ye el porcentaje d e fe c tu o s o ), m ie n tra s tanto los co s to s de e v a lu a c ió n y fallas d e c re c e n . La concavidad de la curva de costo total permite identificar un nivel óptimo que no es precisamente cero por ciento de producto no conforme con las especificaciones. Los costos operativos son los más importantes pues se ha establecido que los costos de prevención representan cerca del 1 0 % de los costos totales, los costos de evaluación el 2 5 % y los costos de fallas del 50 al 7 5 % del costo total de calidad. E sto deja notar, que la inversión pu ede considerarse cerca del 3 5 % (su m a de costos de preve nción y evaluación) y el beneficio del sistem a cerca del 6 5 % al reducirse considerablem ente los costos de fallas internas y externas, al entrar a funciona r las diversa s actividades de control. C o s t o s in d ire c to s E s to s co sto s son a q u e llo s en q u e el p ro v e e d o r incu rre p a ra co n tro la r la ca lid a d de su s p ro d u cto s y q u e ló g ica m e n te están incluido s en el p re cio del
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producto. Estos costos representan los esfuerzos del proveedor por cum plir con la calidad exigida.
Cálculo de costos de calidad D e los costos de calidad los m ás importantes son los costos de operación. P or ello, es importante fijar un procedim iento que permita el cálculo acertado del costo. Lo s d e m á s costos pu e d e n se r obte nid os de los libros de la c o m p a ñ ía , p u e s generalm ente constituyen parte de la contabilidad de toda em presa. El costo total de calidad se puede calcular m ediante la siguiente expresión: C T C = C C A + C P R + C E V + C F I + C F E + C IN C T C : C o sto total de la calidad C C A : C o sto s de capital C P R : C o sto s de prevención C E V : C o sto s de evaluación C F I: C o sto s de fallas internas C F E : C o sto s de fallas externas C IN : C o sto s indirectos Los valores de los costos de operación deben ser adecuadam ente calcula dos o recolectados. U n a gran ayuda para el cálculo del costo de la calidad es el diseño de un sistema de recolección de Información, que permita cuantlficar los costos conform e se v a ya n g enerando. P ara recolectar esta información, se debe tener clara la definición de cada costo con el fin de co n o ce r a qué clasificación pertenece. Para ello, el C u a d ro 7.1 presenta un docum en to don d e se desglo sa cad a costo. U n a explicación del tipo de rubros que involucra cada costo es dada a con tinuación.
Descripción de costos de prevención Ptaneación de la ca lid a d e s el costo del tiem po que el personal del depa r tam ento de control de calidad o de ingeniería dedica a actividades com o:
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CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 7.1. Formato para recolectar costos de calidad
Empresa: XYZ Producto: Realizado por:
Periodo: Fecha:
Costos
PREVENCION (CPR)
Montos
Rubros 1. Planeación de la calidad 2. Control de procesos 3. Diseño y desarrollo de equipo de inf. 4. Entrenamiento 5. Evaluación y asesoría de proveedores 6. Actividades de prevención por otros 7. Otros costos SUBTOTAL:
EVALUACION (CEV)
1. Inspección de recibo 2. Prueba de producto 3. Inspección de prodi'Cto 4. Inspección por personal directo 5. Auditorías de calidad 6. Otros costos SUBTOTAL:
FALLAS INTERNAS (CFI)
1. Desperdicios imputables al proceso 2. Reproceso 3. Desperdicios imputables al proveedor 4. Devolución de producto 5. Atención de rechazos 6. Soporte de ingeniería 7. Otros costos SUBTOTAL:
FALLAS EXTERNAS (CFE)
1. 2. 3. 4.
Reclamos y devoluciones Servicio y garantía Pérdida de ventas Otros costos
SUBTOTAL: TOTAL:
V
y
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a.
Planeación del sistem a de control de calidad. E sto involucra los costos en q u e s e in c u rre p o r la p r e p a ra c ió n y e v a lu a c ió n d e a n te p r o y e c to s y proyectos.
b.
P re p a ra c ió n de in s tru c cio n e s p a ra la p u e s ta en p rá ctica d e los n u e v o s m étodos.
c.
D iseño de los correspondientes m étodos para el control de materiales, pro ce so y producto term inado.
d.
Diseño de los m edios que retroalimentarán ingenieros y diseñadores de las fallas en el pro ceso o en el m erca do.
e.
B ú s q u e d a de inform ación de calidad en los diverso s departam entos de la organización.
f.
An á lisis de los p ro b le m a s diarios con el propósito de e v a lu a r y m ejo rar el sistem a. Esto no incluye el tiem po ded ica do a la atención de problem as en las lín e a s de p ro d u c c ió n o en las b o d e g a s de m a te ria le s y p ro d u c to s term inados.
C o ntrol de p ro ce so s es el costo en qu e se incurre cu a n d o el personal de inspección y administración de calidad se dedica a estudiar y analizar los proce sos de producción para establecer los m edios qu e ayuden a increm entar la ca pacidad de calidad. A lg u n o s de los costos incluidos a q u í son: a.
Apliqación efectiva de las instrucciones del plan de calidad. S e debe dedi ca r tiem po para verificar las accion es que se están llevando a cabo.
b.
M a nte nción de los p ro ce so s bajo control. E sto im plica las a cc io n e s ten dientes a lograr que las condiciones a d e cuadas de calidad se m antengan en el tiem po.
c.
O rg a n iza ció n y ejecución de auditorías de calidad.
Diseño y desarrollo de equipo de inform ación de la calida d es el costo con tabilizado p or el tiem po d e d ica d o a la plan eación y sele cción de equipo para pru e bas, inspección, control y análisis. E sto no incluye el costo de equipos de m edición de producción que se necesitan para la ejecución del proceso, tal es el ca so de term óm etros y calibradores.
E ntrenam iento es el costo ocasionado por las actividades que tienen com o objetivo entrenar personas en labores de control e inspección. Ejem plo de éste
628
CONTROL DE CALIDAD
es el diseño y operación de program as de entrenamiento y actualización de per sonal de calidad. N o incluye a operarios de producción.
E valuación y ase soría de pro ve e d o re s es el costo qu e se ca rga al tiem po e m p le a d o p or p e rsonal de calidad en auditorías de e va lu a ció n de calida d en planta de p ro ve e d o re s. E sta s auditorías son asesorías a los sistem as d e cali d a d d e los p r o v e e d o r e s , c o n el fin d e s u p e r a r los n iv e le s d e c a lid a d s u m inistrados.
A ctividades de prevención por otros es el conjunto de costos originados por el trabajo de p re ve nción ejecutado por otras depe ndencias de la organización, tales c o m o Ingeniería, C o m p ra s y D iseño de producto.
O tros costos de prevención. S e incluyen aquí los costos Indirectos y adm i nistrativos g e n e ra d o s por actividades de prevención tal es el caso de secreta rias, m ateriales y papelería de oficina, teléfono y viajes.
Descripción de los costos de evaluación In sp e cció n de re cib o e s el costo a so cia d o con el tiem po d e d ica d o por el personal de inspección a la evaluación de calidad de materias prim as y m ateria les. S e inclu ye n a q u í las p ru e b a s e fectu ad as por otros d e p a rta m e n to s de la o rg a n iza c ió n c o m o sop o rte para la Inspección de recib o. Incluye el co s to de visitar al p ro ve e d o r con el fin de evalu ar calidad en su planta.
Prueba de p ro d u cto es el costo de las actividades cu y o objetivo es probar el funcionam iento de n u e vo s productos com p a ra n d o con la especificación.
Inspección de producto es el costo del tiem po necesario para inspeccionar la calidad de lo pro du cido en las líneas de pro ducción, con el fin de de cid ir su re ch a zo o aprobación. Si las p ruebas son destructivas, entonces, se deb e c o n siderar el costo de las pieza s e n s a ya d a s.
In sp e cció n p o r p e rs o n a l d ire cto es el costo del p e rsonal que ejecuta las p ru e ba s y reporta las condiciones del proceso.
Auditorías de calida d com prende el costo del tiem po y recursos necesarios para organizar y ejecutar las auditorías que evalúan el com portam iento de co m ponentes y partes. Incluye el tiem po ded ica do a pru e bas de fiabilidad.
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62S
O tros costos incluyen los costos indirectos g enerados por las actividades de inspección y prueba tales com o: a.
Preparación y com pra de reactivos y materiales de prueba necesarios para la realización de pru e bas de calidad.
b.
C o m p ra de m ate ria le s d e p ru e b a p a ra e stu d io s de v id a útil y p ru e b a s destructivas.
c.
P ru e b a s de evaluación h e ch a s por laboratorios privados.
d.
M antenim iento y calibración de equipos de laboratorio. E n estos costos no deben incluirse costos generados en desarrollo de pro
ducto, pues éstos pertenecen a costos de diseño de producto.
Descripción de ios costos de fallas internas D e sp e rd icio s im p u ta b le s a la fábrica son costos g e n e ra d o s dentro de la planta deb ido a desperdicios oca sio nados p o r errores de diseño , de m a n o de obra o de falta de capacidad de calidad de los equipos y m áqu inas. N o incluye costos por el desperdicio natural.
R e pro ceso son costos o ca sio n a d o s por el reproceso d eb ido al incum pli m iento de las norm as de calidad. ^
Desperdicio y reproceso im putables a l p ro ve e d o r son costos ocasionados
por la no detección de m aterias prim as y m ateriales que no cum plían los reque rimientos de calidad y que al llegar al proceso causan problem as de desech o o reproceso.
Devolución de producto es el costo ocasionado por reproceso o desperdi cio de producto, re cha za do por el consum idor.
A tención de rechazos de m ateriales com prados es el costo administrativo o ca sio na do por el recha zo de lotes. Incluye: a.
P resentación de las quejas y entrevista con el proveedor.
b.
M anejo y transporte de lo rechazado.
c.
P ape le o y trabajo de oficina ocasionado.
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CONTROL DE CALIDAD
Soporte de ingeniería es el costo del tiem po dedicado por los ingenieros de d ise ñ o o de p ro d u cció n a p ro b le m a s g e n e ra d o s por re c h a zo s de m ateriales co m p ra d o s y productos sem ie labo rados o term inados.
O tros costos de fallas internas incluyen los costos indirectos generados por el re c h a zo de m ateriales o el re p ro ce s o y desp e rd icio de pro d u cto s e m ie la borado o term inado.
Descripción de los costos de fallas externas R eclam os y de voluciones es el conjunto de costos oca sio nados en form a directa por atención y arreglo de fallas detectadas por el co n su m id o r dentro y fuera del p e ríod o de garantía. Incluye el costo de sustitución de producto y los costos oca sio na dos por dicha sustitución.
Servicio y garantía es el costo g enerado por la constante retroalimentación del com portam iento del producto en el m ercado.
Pérdida de ventas es el costo m ás difícil de calcu lai, pues está determ ina do por la pérdida de ventas oca sionada por la mala fam a que tom a el producto, cu a n d o las fallas son detectadas por el consum idor.
O tros costos incluyen los costos indirectos generados por los estudios rea lizados para investigar el com portam iento del producto en el m ercado. A lg uno s de estos costos son docum entación, papeleo, teléfono y costos indirectos oca sionados por la sustitución de producto defectuoso.
LA INVERSIÓN EN CALIDAD U n o de los aspectos m ás difíciles de lograr es la obtención de dinero sufi ciente pa ra p o n e r a funcionar el sistem a. E sto es d eb ido a la form a en q u e el em presario concibe la calidad. P or ello, es absolutam ente necesario que el pro yecto de calidad sea bien preparado para qu e tenga aceptación desde el inicio. El diseño de un sistem a de costos co m o el presentado aquí puede ser una excelente a rm a para con ve n ce r, pu es es absolutam ente necesario cuantificar los beneficios y los costos con el fin de co n ve n ce r acerca de la eficacia de cual quier sistem a.
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U n o de los aspectos que m ás preocupa al em presario, al hablar de un siste m a de calidad, es la inversión inicial y el tiem po estim ado de am ortización de esa inversión. La respuesta a esta pregunta deb e ser cu idado sam ente preparada. S e pueden plantear m uchos ejem plos de casos que presentan situaciones de inversión. El siguiente ejem plo es un problem a típico de un caso de inversión en calidad.
EJEMPLO 7.1 U n a planta m anufacturera produce 600 unidades diarias para obtener 400 u nida de s buenas. Lo s costos de m a n o de obra son de P240 por unidad buen a p ro du cida y el costo de inspección es de 01 2 0 0 por día . E l producto p a sa por dos departa m entos en los cuales requiere de igual cantidad de tiem po de pro d u cción . U n a inspección es practicada d e s p u é s de su salida del se g u n d o d e partam ento. La s 2 00 unidades defectuosas son reprocesadas por lo que vu e l ven a la primera operación del proceso co m o materiales cu yo costo es similar al de los m ateriales originales em plead os. U n nue vo plan de inspección es propuesto con el fin de ag reg ar un puesto de inspección interm edio a la salida del prim er departam ento, para evitar que d e fectu osos pasen a p ro cesarse al s e g u n d o departam ento. El plan ag re g a rá co sto s de inspección de (5150 por día. S e espera una fracción defectuosa de 1/6 de la cantidad producida (otro sexto es rechazado en la inspección final). Si la c a p a c id a d de la planta está lim itada al actual nivel, ¿ d e b e se r instalado el n u evo puesto?
SOLUCION D e acuerdo con lo planteado el nuevo puesto de inspección no m ejorará la capa cid ad de calidad del proceso. Sin em bargo, los costos de m ano de obra se ve rá n reducidos por la dism inución en la cantidad de reproceso requerido. U n e s q u e m a que representa al problem a se pu ede ve r en la F ig u ra 7.4. Lo s costos de m ano de obra se dividen para las dos secciones, de tal m a nera que:
CONTROL DE CALIDAD
200 unidades rechazadas 400 unidades
600 us.
600 us.
(materiales)
Sección 1
Sección 2
Comienzo
I
400 us. buenas Salida
Inspección (1/3 rechazado)
FIGURA 7.4. Esquema del Ejemplo 7.1.
(4 00 * 2 4 0 ) C o s to de m a no de obra = ------------------------- = 96000/2 = 048000 por sección 2 E sto es 080 (4 8000/600) por unidad procesada. Si se de se a tener 4 0 0 u n idade s por día, la entrada al sistem a c u a n d o un sexto es re c ha za do en ca d a sección es: X * (5/6) * (5/6) = 4 0 0
x= 576 unidades
E sto quiere decir qu e solam ente 576*(5/6) = 480 unidades pasan de la pri m e ra sección a la se g u n d a . A 08 0 por unidad pro ce sa d a, el ahorro en costo de m a n o de obra es: (4 00 * 2 4 0 ) - (5 7 6 + 4 8 0 ) * 80 = 01 15 20 por día Si el flujo se m antiene en el nivel m áxim o de 600 unidades, entonces: 600 * (1/6) = 100 unidades serán recha za das en el prim er puesto de inspección
y (6 0 0 - 1 0 0 ) * (1/6) = 83 unidade s serán re c h a za d a s en el se g u n d o puesto. C o n esto, la ca ntida d de u n id a d e s de entrada es igual al de salida (6 0 0 100 - 8 3 )= 417 unidades por día. Bajo esta premisa los costos de m ano de obra a 080 por unidad se dism in u ye n en: 11520 - (5 7 6 -5 0 0 )+ (4 8 0 -4 1 7 ) * 80 = 139 *80 = 0 1 1 5 2 0 - 01 11 20 = 0400. A d e m á s , hay q u e a g re g a r el in cre m e n to de utilidad al pro du cir a h o ra 17 u n idade s m ás.
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La inversión es de 0150 por lo que los beneficios (0 4 0 0 ) son m ás altos que los costos. La decisión es instalar los n u evos puestos de inspección. E n el A p é n dice V , el Pro gram a No. 2 presenta un program a com putacional que permite e valuar aspectos relevantes de costos de calidad. El program a sir ve para dem ostrar la importancia de cuantificar costos y evaluar su impacto en el sistem a de control de calidad.
INDICADORES DE CALIDAD A l adm inistrar cualquier función dentro de la em presa, es necesario esta ble cer algunos indicadores que permitan evaluar la función del personal encar ga d o y la efectividad de los sistem as im plem entados. Este es el caso de costos de calidad. Al trabajar con Indicadores una base u objetivo debe ser establecida com o política, con el fin de tener un patrón de com paración y a la v e z pod er determ i nar cuál es la posición del indicador en ese m om ento. Esta base es un valor del indicador que sea posible de alcanzar y que debe ser revisado constantemente. B a s e s d e c o m p a r a c ió n ^
La s bases qu e m ás co m ú nm ente se usan para co m parar son:
a.
P ro ducción total y costos de esa producción
b.
C o sto de m a n o de obra directa y ventas totales
c.
C o sto por unidad de producción equivalente A lg u n o s indicadores de calidad que pueden ser usados son: 1.
P orcentaje defectuoso por lote o por período (lpd) Total de unidades defectuosas '* = -
T a m a ñ o del lote Total de unidades defectuosas C osto de la producción en el período
CONTROL DE CALIDAD
2. R e c h a z o s en la planta (lr) T o ta l de unidades re ch a za d a s t,= ------------------------------------------------------------------------------------------C o sto de la p roducción en el período 3. R e p ro c e so ( I J C antida d de unidades reprocesadas
l,e=--------------------------------------------------------------------C o sto de la p roducción en el período 4. D e s e c h o (ld) C a n tida d de p roducción d e sech ada ld= -----------------------------------------------------------------------------------------C o sto de la producción en el período 5. Q u e ja s y reclam os (lqr) C o sto de las quejas y reclam os
I =--------------------------------------------------------------q'
M onto de ventas totales 6. C o s to s de calidad (lcc) C o sto s de calidad 'c c = ------------------------------------------------------------------------------------------------------
C o s to total de producción 7. D evolu cion e s (ldv) C o s to de las devolu cio nes ' * = ----------------------------------------------------------------------------------------M onto de ventas totales 8. C o s to de inspección por unidad equivalente (lcut C o sto de inspección en el período ^cue“
Total de producción equivalente 9. C o sto s de evaluación y pre ve nción (lcp)
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C o s to s de evaluación y prevención
I -----------------------------------------------------------------------cp
C o sto s de fallas internas y externas 10. C o sto s de evaluación (lce) C o sto s de evaluación Ice = ------------------------------------------------------------------------------------------------------C o sto s de calidad 11. C o sto s de preve nción (lp) C o sto s de prevención IP= ------------------------------------------------------------------------------------------------------C o sto s de calidad C o m o se puede observar, ca d a indicador necesita de la recolección de in form a ción para ca lcu lar los diferentes rubros, con el fin de obte ner el re s p e c tivo va lo r del indicador. U n a de las form as que se usa m á s es la basada en producción equivalen te. El siguiente ejem plo explica su utilización. E J E M P L O 7.2 S e a una e m p re s a cu y o s m ontos correspondientes a ventas, m ateriales y p roducción por año se presentan en el C u a d ro 7.2.
CUADRO 7.2. Información para el Ejemplo 7.2
Unidades
Colones Producto
Monto ventas
Mats. directo
Vol. Producción
1 2 3
500000 25000 75000
100000 60000 20000
10000 5000 8000
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CONTROL DE CALIDAD
C a lc u la r el costo de inspección por unidad equivalente si los costos de ins pección se estim an en 061000 .
SOLUCION C o n base en el C u a d ro 7.2, se pre para el C u a d ro 7.3, para calcular la p ro ducción equivalente u sa nd o el valor contribuido, la unidad de valor contribuido y un factor de corrección. E stas m edidas se calculan así: V a lo r contribuido= M onto de V en tas - M aterial directo V a lo r contribuido U n id a d de valor c o n trib u id o = ---------------------------------------------------------------V o lu m e n de producción U n id a d de valor contribuido F a c to r= ----------------------------------------------------------------------------------------------M áxim o valor de unidad de valor contribuido P ro du cció n equivalente= Factor * M áxim o volum en de producción 61000 C o s to de inspección p o r = -------------------- = <52,875 unidad equivalente
2 1220
Esto quiere decir que el costo de la inspección representa 02,875 de la pro ducción total equivalente. C o n este n ú m e ro se está en ca p a cid a d de co n o c e r
CUADRO 7.3. Cálculo de la producción equivalente
Producto 1 2 3
Valor Unidad de valor Factor de Contribuido Contribuido Corrección 400000 190000 55000
40 38 6,875
1 0,95 0,172
Producción Equival. 10000 9500 1720 21220
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q u é tan altos son los costos de calidad en relación con la cantidad de pro duc ción obtenida. Lo s indicadores pueden graficarse para analizar la tendencia y el com por tam iento en el tiempo, cu an do se tiene información de varios m eses. Para esto, se u sa un gráfico de control b asado en los siguientes valores:
x = (Zx)/n
n: núm ero de m eses x: valor de indicador
o ’ = ( Xmáx - X m í n ) / 6
x: prom edio de indicadores o ’: desviación estándar
LSC = x + 3 o
L S C : Lím ite superior de control
L IC = x - 3 a
L IC : Lím ite inferior de control
Lo s valores del indicador se grafican y si se salen o se acercan a los límites se hace un análisis. A d e m á s , dependiendo de si el indicador es perjudicial en for m a creciente o decreciente, se le d e b e pon er m ás atención al respectivo límite.
EJEMPLO 7.3 U n a e m presa ha recolectado inform ación de ventas y devoluciones en los ú ltim os siete m e s e s . La inform ación se pre senta en el C u a d ro 7 .4 y la base establecida es 3 % co m o m áxim o, ¿cuál es el com portam iento del indicador de devo lu cio n e s?
SOLUCION 1.
S e calcula el porcentaje de devoluciones co m o el cociente entre el m onto de devoluciones y el m onto de ventas multiplicado por 100. Estos cálculos se presentan en el C u a d ro 7.5.
2.
S e calcula el pro m e dio y la desviación estándar x = 28,17/7= 4 ,0 2 4 3
a ’= (8 ,4 - 0,25)/6= 1,3583
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CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 7.4. Información para el Ejemplo 7.3
Colones Mes
Ventas
Devoluciones
E F M A M J J
585713 574814 475721 608907 495815 668329 529877
8800 41700 1200 51000 17917 28315 15719
CUADRO 7.5. Cálculo de! Porcentaje de devoluciones
3.
Mes
E
F
M
A
M
J
J
%
1,5
7,25
0,25
8,4
3,6
4,2
2,97
S e calculan los límites de control L S C = 4 ,0 2 4 3 + 3 ( 1 , 3 5 8 3 ) = 8,1 L IC = 4 ,0 2 4 3 - 3 ( 1 , 3 5 8 3 ) = 0 (se a su m e cero)
4.
S e hace el gráfico colocando en el eje x períodos iguales para los m eses y en el eje y el valor correspondiente del indicador de devoluciones. La F ig u ra 7 .6 m uestra este gráfico. Al obse rvar la Figura 7.6, se puede ve r que el m onto correspondiente a de v o lu cio n e s es bastante inestable, m ostrando puntos fuera de control, los cuales p ueden ser analizados por la técnica de gráfico de control; es decir elim inando y recalcula ndo los límites. P or otro lado, la base del 3 % no se está c u m p lie n d o , p u e s el m á xim o qu e está d a n d o es 8 , 1 % , el cual está
JORGE ACUÑA ACUÑA
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FIGURA 7.6. Gráfico del indicador del Ejemplo 7.3
bastante alejado de ella. S e debe im plem entar una Investigación, con el fin de analizar las causas de estos altos montos de devoluciones que están re sultando m u y caros para la co m p a ñ ía . R ealizado el estudio se pueden im plem entar m ejoras que reduzcan las de voluciones y por ende el m onto de las m ism as. Para hacer esto es crucial re lacionarse con el cliente con el fin de co n o ce r y analizar las razo nes por las cuales se efectúan las devoluciones. Las causas de los problem as detecta dos deb e n de ser transm itidos a los responsables dentro de la co m p a ñ ía .
ORGANIZACION DE LA INSPECCION El éxito d° la inspección de calidad se fundam enta en la forma y lugar d o n de ésta se efectúe, así co m o en el adiestram iento y eficiencia de los inspecto res. U n gran aporte a este éxito lo constituye la estandarización de los m étodos y el establecim iento de especificaciones reales.
640
CONTROL DE CALIDAD
Al h a b la r de la insp ección c o m o un a rm a im portante de control, se d e b e tener claro qu e no se de b e n ejecutar inspecciones en todos los puestos d e tra bajo a lo largo de las líneas de producción. La ubicación de una inspección debe ser analizada profundam ente con base en dos criterios qu e son e l costo de p ro
ducción de la operación, e l costo acum ulado hasta ella y la criticidad de la o las cara cte rísticas de ca lid a d generadas. Para hacer el análisis antes citado, se puede hacer uso de un diag ram a de pro ceso de ope ra ciones, co m o el m ostrado en el C u a d ro 7.6, en el cual s e s e ñalen los puntos críticos, los costos de cad a operación y los costos acum ulados hasta ca d a una de ellas. C o n base en estos criterios se tiene una decisión m ás objetiva a ce rca de dón d e colocar los puestos de inspección desde el punto de vista e co n ó m ico y de cantidad. U n a v e z que se ha registrado toda la información se utiliza un paretogram a para clasificar los criterios. O tro aspecto que se debe tener en cuenta es el c o s to del puesto de inspección, pues dependiendo de qué tan alto sea, se tiene un criterio de inversión pa ra co m p a ra r con el costo de m ala calidad. El dise ñ o de un puesto de inspección deb e ser rea liza do con base en los principios del estudio de tiem pos y m ovim ientos, garantizando el cum plim iento de los principios de la e co n o m ía de m ovim ientos y la ejecución de la actividad en el m e n o r tiem po posible.
Tipos de inspección E x is te n v a rio s tip o s de in s p e c c ió n , c la s ific a d o s d e a c u e rd o c o n tre s p a rá m e tro s q u e son: objeto de inspección , cantidad de inspección y lu g a r de inspección. La inspección según el objeto de inspección se puede ejecutar s o bre cinco objetivos q u e son: a.
M aterias prim as
b.
Prim e ra tanda de producción
c.
Línea de producción
d.
P ro ducto term inado
e.
P ro ducto en el m e rca do
JORGE ACUNA ACUNA
641
E n ca d a u na de estas áre as se ejecutan las actividades necesarias para cum plir con el objetivo de lograr calidad absoluta en el producto terminado. Esto significa q u e la in sp e cc ió n o rg a n iz a s u s a ctiv id a d e s d e s d e la re cepció n de m aterias prim as y m ateriales en la b o d e g a de entrada, hasta la recepción de producto term inado en la b od ega de salida y en las m anos del consum idor. La inspección seg ú n la cantidad de unidades por inspeccionar se clasifica en inspección 100%, inspección porcentual e inspección muestral. Estos tres ti pos y a han sido a nalizad os y aplicados a lo largo de los diferentes capítulos de este libro. La insp e cción s e g ú n el lugar de inspección se p u e d e ejecu tar m ediante
in spe cción de patrulla, in spe cción centralizada o una com binación de am bos. L a inspección de patrulla consiste en la constante visita de los inspectores a los pu e sto s de inspección , con el fin de ejecutar su labor ah í m ism o. E ste tipo de inspección tiene ventajas tales com o: a.
Perm ite la localización rápida de errores
b.
A y u d a a h acer ajustes rápidam ente
c.
M inim iza el m anejo de m ateriales
d.
Agiliza la ejecución de la inspección y se puede ve r com o un sistem a natu ral cu a n d o la distribución de la planta es por producto
e.
Evita d em ora s para continuar con la siguiente operación de producción Sin e m bargo, tam bién tiene algunas desventajas entre las que se pueden
citar: a.
Dificulta la colocación de producto rechazado para evitar que se confunda con producto aceptado
b.
C o ng e stiona las líneas de producción y si no se organ iza adecuadam ente pro voca altos v o lú m e n e s de inventario en proceso
c.
D escentraliza el control de inspectores
d.
Imposibilita la utilización de instrum entos altam ente precisos o pesados
e.
R e qu iere de registros a d e c u a d o s para permitir la ejecución de accion es preventivas
642
CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 7.6. Ejemplo de diagrama de operaciones
JORGE ACUNA ACUNA
643
La inspección centralizada consiste en la ubicación de un puesto central, hacia el cual fluyen los inspectores llevando las piezas y partes que van a ser inspeccionadas. A lg u n a s ventajas de este tipo de inspección son: a.
P erm ite u na co m p ro b a ció n y recu ento de u n id a d e s re c h a za d a s en una form a m ás organizada
b.
A s e g u ra y norm aliza las actividades de inspección de producto
c.
M inim iza la posibilidad de deterioro de la instrum entación
d.
Perm ite el uso de instrum entos m ás precisos en form a m ás eficiente
e.
M inim iza la cantidad de instrum entos necesarios para la inspección
f.
P erm ite el control centralizado de la labor de inspección
g.
Facilita la ejecución de acciones preventivas. D entro de las desventajas se pueden citar:
a.
P u e d e pro vocar defectos al tener qu e trasladar constantem ente piezas y m ateriales
b.
C o rrig e los errores en form a tardía
c.
O b lig a a una organización del traslado de material
d.
P u e d e pro vocar cuellos de botella, si no se tom an decisiones ágilm ente. E n general, se puede observar que am bos sistem as tienen ventajas y des
venta jas y qu e por lo tanto pu ede ser una bu e n a idea su aplicación en form a com binad a.
El factor humano en la Inspección T a l y c o m o se ha indicado en este texto, en el control de calidad el factor h u m a n o e s el m ás im portante. Si las personas no tienen iniciativa e interés de ejecutar su s actividades cad a día mejor, no importa lo bueno que sea el sistema de control que se esté im plem entando, no tendrá los resultados esperados. Para ello, es importante que la em presa incentive el desarrollo de aptitudes en su personal en todos los niveles, sea este de carácter ejecutivo u operativo.
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CONTROL DE CALIDAD
N o se p u e de e s p e ra r qu e el nivel operativo realice las co sa s tal y c o m o se ha e n c o m e n d a d o si no tiene el ejem plo en los m a n d o s m edios y directivos de la organ iza ción . U n a de las á re a s generalm ente m ás descuidadas es la inspección. E l p er sonal que se o cu p a de las tareas de inspección es de naturaleza m u y variada, ia qu e de pe nde de factores tales com o: volum en de inspección, dificultad de la prueba, exigencia de especificaciones, precisión de los datos, tipo de m edición y lugar de la inspección. Este personal debe convertirse en un equipo especial, que com pa rta su s e xp e rie ncia s y qu e perm ita una rotación p ro g ra m a d a para evitar la m ala práctica de hacer personas imprescindibles que errónea y celosa m ente e sco nde n su s experiencias. El personal de inspección deb e tener entre otras las siguientes caracterís ticas: juicio claro, h onra de z, sentido co m ú n, responsabilidad, pericia, am istad y respeto a los procedim ientos dictados. Los inspectores deben con ocer sus res ponsabilidades, limitaciones y deberes, las que sirven de m arco para la tom a de decisione s. E s importante qu e las decisiones tom adas por el inspector no sean d e m a siado rígidas, c re ye n d o que la misión es recha za r g rand es vo lú m e n e s de pro d u cto , p a ra o b te n e r u n a a d e c u a d a calificación, ni d e m a s ia d o flexibles para encu brir a los re sp onsa b le s de los pro blem as de calidad. E n la selección de inspectores, deb e tenerse m u ch o cuidado para no utili z a r la vieja práctica de esco ge r a los m ejores operarios, pues es g rand e el ries g o de g a n a r un mal insp ecto r y p e rd e r un excelente o perario. E sto se p u e d e evitar con p ru e bas de selección y p ro gra m a s de capacitación, qu e lo faculten para realizar sus funciones y que lo concienticen de la im portancia de realizar las bajo los e sq u e m a s establecidos. N o es conveniente contratar inspectores de calidad, a no ser que sean s o m etidos a un pro gram a extenso de capacitación. La razón de lo anterior está en que no es cierto que personas ajenas a la em presa, de buen as a prim eras, ten gan criterio para evalu a r productos y procesos con los qu e no están fam iliariza dos. E sto s inspectores no serán ca p a ce s de tom ar acciones correctivas y m u ch o m e n o s preventivas. P a ra el inspector es m uy importante m antener una bu en a relación con sus c o m p a ñ e r o s , la c u a l n o In te rfie ra ni in flu y a de m a n e r a n e g a tiv a en las
JORGE ACUNA ACUNA
decisione s de aceptación o recha zo de producto. P or otra parte, es necesario considerar que los inspectores son h um a nos y que por lo tanto su s decisiones pueden ser erróneas. Esto será perdonable en la m edida en que se dem uestren las ca u sa s de una decisión de esta naturaleza. C o m o norm a general, el com portam iento de todo el personal de inspección será de total cooperación con los dem ás departam entos, adaptándose siem pre al ritmo de producción, siendo flexible en los casos de em ergencia y estudiando los procedim ientos para elegir el m étodo m ás rápido que respete las norm as y técnicas de inspección.
Precisión de la inspección La pre cisión de una inspección es el g ra d o de acierto del inspecto r para detectar los productos que no cum plen con lo establecido en la especificación. S e relaciona con el grado de certeza con qu e recha za producto qu e realm ente está m alo y acepta producto qu e realm ente está bueno. E n otras palabras eje cuta su s labores con una m u y baja probabilidad de los errores tipo I (re ch a za r algo qu e está b u en o ) y tipo II (acep tar algo que está m alo). Lo s se sg os en la inspección pueden ser de tres tipos: 1.
2.
S esg os volun ta rios que incluyen actos delictivos c o m o fraude, beneficio erróneo a otro com p a ñ e ro y falsificación para beneficio personal. S esgos interm edios que se refieren entre otras ca u sa s a parcialidad y re dondeo.
3.
Sesgos involuntarios que incluyen equivocaciones, fatiga y otras formas de im perfección hum ana.
E s importante considerar que aunque las fallas importantes de calidad son ca u sa da s por los operarios, los sesgos de inspección tam bién pueden influir en la pérdida de reputación de la em presa. T o d o lo a q u í apu nta do se refiere a la inspección por m uestreo. Si se usa in sp e ccic° 1 0 0 % , la experiencia d e m uestra qu e los pro blem as de calidad se g e ne ra n por m onoto nía y fatiga principalm ente. E s im portante b u sc a r la form a de e v a lu a r la precisión de la inspección , pues así se puede com probar la efectividad de la m ism a. U n a form a de ejecutar
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La inspección centralizada consiste en la ubicación de un puesto central, hacia el cual fluyen los inspectores llevando las pie za s y partes qu e van a ser inspeccionadas. A lg u n a s ventajas de este tipo de inspección son: a.
P erm ite una co m p ro b a ció n y recu ento de u n id a d e s re c h a za d a s en una form a m ás o rgan izad a
b.
A s e g u ra y norm aliza las actividades de inspección de producto
c.
M inim iza la posibilidad de deterioro de la instrum entación
d.
Perm ite el uso de instrum entos m ás precisos en form a m ás eficiente
e.
M inim iza la cantidad de instrum entos necesarios para la inspección
f. g.
Perm ite el control centralizado de la labor de inspección Facilita la ejecución de acciones preventivas. D entro de las desventajas se pu eden citar:
a.
P u e d e pro vocar defectos al tener qu e trasladar constantem ente piezas y m ateriales
b.
C o rrig e los errores en form a tardía
c.
O b lig a a una organ ización del traslado de material
d.
P u e d e pro vocar cuellos de botella, si no se tom an decisiones ágilm ente. E n general, se puede observar que a m bos sistem as tienen ventajas y des
v e ntaja s y qu e por lo tanto pu ede ser una bu e n a idea su aplicación en form a com binad a.
El factor humano en la inspección T a l y co m o se ha indicado en este texto, en el control de calidad el factor h u m a no es el m ás importante. Si las personas no tienen iniciativa e interés de ejecutar su s actividades cad a día mejor, no importa lo bueno que sea el sistema de control que se esté im plem entando, no tendrá los resultados esperados. Para ello, es importante que la em presa incentive el desarrollo de aptitudes en su personal en todos los niveles, sea este de carácter ejecutivo u operativo.
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N o se p u e de e s p e ra r qu e el nivel operativo realice las co s a s tal y c o m o se ha e n c o m e n d a d o si no tiene el ejem plo en los m ando s m edios y directivos de la organ iza ción . U n a de las áre as generalm ente m ás descuidadas es la inspección. El per sonal que se ocu p a de las tareas de inspección es de naturaleza m u y variada, ia que dep e nde de factores tales com o: volum en de Inspección, dificultad de la prueba, exigencia de especificaciones, precisión de los datos, tipo de m edición y lugar de la inspección. Este personal debe convertirse en un equipo especial, q u e co m p a rta su s e xp erie ncia s y qu e perm ita una rotación p ro g ra m a d a para evitar la m ala práctica de hacer personas imprescindibles que errónea y celosa m ente e sco nden su s experiencias. El personal de Inspección debe tener entre otras las siguientes caracterís ticas: juicio claro, h onradez, sentido com ú n, responsabilidad, pericia, am istad y respeto a los procedim ientos dictados. Los inspectores deben con ocer sus res ponsabilidades, limitaciones y deberes, las que sirven de m arco para la tom a de decisiones. E s importante qu e las decisiones tom adas por el inspector no sean d e m a siado rígidas, cre ye n d o que la m isión es re ch a za r g rand es vo lú m e n e s de pro du cto , para o b te n e r u na a d e c u a d a calificación, ni d e m a s ia d o flexibles para encubrir a los responsa b les de los pro blem as de calidad. E n la selección de inspectores, deb e tenerse m uch o cuidado para no utili z a r la vieja práctica de e s c o g e rá los m ejores operarios, pues es g rand e el ries g o de g a n a r un mal inspe cto r y p e rd e r un excelente o perario. E sto se pu e d e evitar con pru e bas de selección y p ro g ra m a s de capacitación, qu e lo faculten para realizar sus funciones y qu e lo concienticen de la im portancia de realizar las bajo los e sq u e m a s establecidos. No es conveniente contratar inspectores de calidad, a no ser que sean so m etidos a un pro gram a extenso de capacitación. La razón de lo anterior está en que no es cierto que personas ajenas a la em presa, de bu en as a prim eras, ten g an criterio para e valuar productos y procesos con los que no están fam iliariza dos. Estos inspectores no serán c a p a ce s de tom ar acciones correctivas y m u ch o m enos preventivas. P a ra el inspector es m u y importante m antener una bu en a relación con sus c o m p a ñ e r o s , la c u a l n o in te rfie ra ni in flu y a de m a n e r a n e g a tiv a en las
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decisione s de aceptación o re c h a zo de producto. P o r otra parte, es necesario considerar que los inspectores son h u m a nos y qu e por lo tanto sus decisiones pueden ser erróneas. Esto será perdonable en la m edida en qu e se dem uestren las ca u sa s de una decisión de esta naturaleza. C o m o norm a general, el com portam iento de todo el personal de inspección será de total cooperación con los dem ás departam entos, adaptándose siem pre al ritmo de producción, siendo flexible en los casos de em ergencia y estudiando los procedim ientos para elegir el m étodo m ás rápido que respete las norm as y técnicas de inspección.
Precisión de la inspección La pre cisión de una inspección es el g ra d o de acierto del inspector para detectar los productos que no cum plen con lo establecido en la especificación. S e relaciona con el grado de certeza con qu e recha za producto qu e realm ente está m alo y acepta producto que realm ente está bueno. E n otras palabras eje cuta su s labores con una m u y baja probabilidad de los errores tipo I (re ch a za r algo que está b u e n o ) y tipo II (acep tar algo qu e está m alo). Los se sg os en la inspección pueden ser de tres tipos: 1.
2.
S esgos volun ta rios que incluyen actos delictivos co m o fraude, beneficio erróneo a otro com pañ ero y falsificación para beneficio personal. S esgos interm edios que se refieren entre otras ca u sa s a parcialidad y re dondeo.
3.
Sesgos involuntarios que incluyen equivocaciones, fatiga y otras formas de im perfección hum ana.
E s importante considerar que aunque las fallas importantes de calidad son ca u sa da s por los operarios, los sesgos de inspección tam bién pueden influir en la pérdida de reputación de la em presa. T o d o lo a q u í apuntado se refiere a la inspección por m u estre o. Si se usa inspección 1 0 0 % , la experiencia d e m u estra qu e los pro blem as de calidad se g e ne ra n por m onotonía y fatiga principalm ente. E s im portante b u sc a r la form a de e v a lu a r la precisión de la inspección , pues así se puede com probar la efectividad de la m ism a. U n a form a de ejecutar
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CONTROL DE CALIDAD
esta ta re a es m id ie n do la precisión en función de las cantidades de u n idade s detectadas fuera de especificaciones (H a n s e n , 1979). Para aplicar este m o d e lo, se d e b e pre parar la prueba, ejecutarla a cad a inspector y luego h a ce r el e s tudio com p a ra tivo del caso . El m odelo es el siguiente: (d -k ) pr = ------------------------ * 1 0 0 (d - k) + b d on de : pr:
precisión del inspector, e x p re sa d a porcentualm ente
d:
n ú m e ro de u n id a d e s fu e ra d e e s p e c ific a c io n e s d e te c ta d a s p o r el inspector
b:
núm ero de unidades fuera de especificaciones inadvertidas por el ins pector
k:
núm e ro de unidade s bu e n a s re ch a za d a s por el inspector
(d -k ):
núm e ro de u n idade s fuera de especificaciones realm ente en co n tra das por el inspector
(d -k + b ):
n ú m ero de unidades que realm ente están fuera de especificaciones en la inspección
E ste m étodo se p u e d e aplicar para encontrar la precisión pro m e dio de un equ ip o de inspección, tal y co m o se v e en el siguiente ejem plo.
E J E M P L O 7.4 C o n el fin de e v a lu a r la precisión de la inspección de un e q u ipo de cinco inspectores se ha entregado a cad a uno en diferentes instantes un m ism o lote de 20 0 unidades. El C u a d ro 7.7 presenta los resultados obtenidos. ¿ C u á l es la precisión prom edio de este equipo?
SO L U C IO N
El Cuadro 7.8 muestra los cálculos para cada inspector.
JORGB'ACUÑA ACUÑA
647
CUADRO 7.7. Información para el Ejemplo 7.4
Inspector
d
k
b
1
18 16 18
2
4 5 5
2
3 4 5
1
21
3 O O
19
2
2
3
CUADRO 7.8. Cálculos intermedios de precisión de inspección
Inspector
(d-k)
(d-k)+b
pr
1
16 15 15 18 17
20
80 75 75 90 85
2
3 4 5
20 20 20 20
La precisión del equipo calculada con base en el prom edio de los inspectores es de 8 1 % . P recisión pro m e dio = (8 0 + 7 5 + 7 5 + 9 0 + 8 5 )/5 = 81 %
Procedimiento de inspección Al ejecutar un estudio que tenga com o objetivo la reorganización de la ins pección, es necesario usar algún procedim iento que permita visualizar el flujo de la inform ación a través de los diferentes departam entos de la em presa. U r m étodo para lograr este objetivo es el siguiente: 1.
A p ro b a r la prim era pieza o la prim era tanda de producción, utilizando prue bas sucesivas.
CONTROL DE CALIDAD
E xam inar toda la información necesaria para iniciar la producción en m asa. La inform ación requerida consta de: •
Dibujos
•
E specificaciones
•
O rd e n de trabajo
•
C o m p ro b a ció n de prim era pieza
•
Fich a de control de producción
C o m p ro b a r que el material llegue en las debidas condiciones de presenta ción y por los m edios de transporte adecuados. D e b e com probarse que el tam año del lote esté de a cu e rdo con las cifras que se encuentren en la F i
cha de c o n tro l de producción. E x a m in a r el form ato de C o m p ro b a ció n de p rim e ra p ie z a y verificar q u e ésta lleve la m a rca o sello de inspección correspondiente. P ro vee r los calibres y elem entos de com probación y m edición necesarios para llevar a cabo la inspección en form a eficiente. Esta información se en cuentra en la H oja de A n á lisis de O peración. Determ inar el tipo de inspección por m uestreo de acuerdo con las caracte rísticas m ostradas en la Ficha de inspección. Elegir al a z a r la m uestra correspondiente. Inspe ccionar todas las unidades qu e co m p o n e n la m uestra. F irm a r la orden de trabajo, si la m uestra y el lote son ace p ta d o s en todas las características. S ellar si es posible todas las piezas y anotar el resulta do de la inspección en la Ficha de C ontrol de Producción y en el Inform e de
Inspección. El material quedará en inspección hasta que sea recogido por C ontrol de P ro d u cció n para se r lle va do al siguiente pu esto de trabajo. A este material lo a co m p a ñ a rá toda la inform ación que llegó y el Informe de inspección, que dando una copia en la Sección de Inspección don de fue v e rificado el material. E fe ctu a r una insp ección
1
0 0 % . Si la m u estra y el lote son re c h a za d o s en
una o va ria s ca racterísticas, hay q u e co lo ca r en los lotes las etiquetas de
JORGE ACUÑA ACUÑA
649
material rechazado, anotando el resultado en el Inform e de Inspección y en la Ficha de C ontrol de P roducción , don de se indicará el destino del material re ch a za d o . 11. P one r todo el material a disposición del personal de Control de Producción. Ellos tom arán las deb ida s accion es b asado s en lo que diga el Inform e de Inspección, enviando las piezas adm itidas a la operación correspondiente y las re ch a za d a s al lugar qu e corresp onda. 12. E n v ia r al departam ento respectivo, las piezas recha za das reparables. U n a v e z re p a ra d a s se e n v ia rá n de n u e v o a inspecció n co n el fin de in co rp o rarlas al lote de don d e se extrajeron, si corresp onde. S e debe rectificar la
Ficha de C ontrol de P roducción con las cantidades correspondientes. 13. C ontinuar con el proceso hasta alcanzar la última operación de producción, m o m e n to en el cual se deb e d e v o lv e r toda la docu m e n ta ció n a la oficina central de inspección . S e d e b e c o n s e rv a r solo la inform ación necesaria para ejecutar la inspección final si existe. Este procedim iento se puede visualizar m ejor en el flujogram a No. 5 que se presenta en el A pé n d ice III. El inspector, en la m edida de lo posible, deb e ser ca p a z de tom ar su s pro pias decisiones y consultar a su jefe lo m enos posible. Esto es importante pues en inspección de calidad las decisiones deben ser rápidas y acertadas. Si una decisión requiere de consulta se deb e colocar la etiqueta de material detenido, hasta tanto no se haya obtenido respuesta.
DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL DE CALIDAD C o n todo lo expuesto hasta el m om ento en este texto, se puede plantear un procedim iento que permita diseñar un sistem a de control de calidad. C a b e indi car aquí, que ya existen norm as que pueden servir de m arco de referencia para e s ta b le c e r un sistem a de control de calida d. E je m p lo de ellas es la serie de norm as IS O -9 0 0 0 (en especial la IS O - 9004), las cuales permiten establecer las áre as sob re las cuales deb e centrarse la atención. E n este caso se pro pone un m e ca n ism o que puede com ple m en tarse con a lg u n a n o rm a y a sí p o d e r e sta b le ce r toda s las a ctivid a d e s n e c e sa ria s para
650
CONTROL DE CALIDAD
com pletar el sistem a. La prem isa m ás importante en este tipo de diseño se re fiere al cum plim iento de las ba ses qu e fundam entan el concepto de calidad to tal. El sistem a se de b e o rga n izar de acuerdo con las cuatro áreas de la calidad total, a sa b e r Diseño, M ateriales, P roceso y Producto. P a ra h a c e r esto, se p ro p o n e un p ro ce d im ie n to de o n c e e ta p a s , las qu e puede n ejecutarse h aciendo uso de una norm a co m o la IS O -9 0 0 4 o aplicando un instrum ento propio. E sta s etapas son: 1.
A ná lisis de la estructura o rg a n iz a c io n a ld e la em presa. E s im portante c o nocer las fortalezas y debilidades de la organización. A sí, se podrán explo tar las forta lezas y se pod rá b u sc a r a lg u na estrategia que perm ita atacar las deb ilidad es. A tra vé s de este análisis, se determ ina rá el m o d e lo que m ejor se ajuste a las características de la em presa.
2.
D e finición d e l a lca n ce d e l sistem a. El diseño de un sistem a de control de calidad es un trabajo com plejo que am erita un análisis profundo de la rela ción entre la función calidad y las d e m á s funciones de la organización. S e de b e de ja r cla ro si se v a n d is e ñ a r los cuatro su b s iste m a s y a d e m á s por cuál se e m p e za rá .
3.
E stablecim iento o revisión d e la po lítica de calidad. El prim er p a so que se debe im plem entar es la redacción de una política o la revisión de la m ism a, si ya existe. E s fundam ental para el éxito de un sistem a, el com prom iso de la alta dirección a a p oya r todo tipo de iniciativas qu e conlleven a lograr los objetivos del sistem a.
4.
Realización de un diagnóstico. N o es conveniente iniciar las actividades de diseño del sistem a sin antes co n o ce r a fondo qu é esfuerzos se realizan en la actualidad. H a y qu e tom ar en cuenta qu e no todos los esfu erzos actua les son infructuosos; p u e d e h a b e r a lg u n o s qu e c o n v e n g a co n s e rv a r con las m odificaciones que se consideren necesarias. S i el sistem a es nuevo, este diagnóstico se sustituye por u na investigación a ce rca del fu n cio n a m iento de sistem as sim ilares. E n este caso la norm a y su instrum ento son im portantes.
5.
E la b o ra ció n d e l an te p ro ye cto . U n a v e z q u e se tiene claro el a lc a n c e del pro ye c to y se c o n o c e n las a ctiv id a d e s q u e s e re a liza n a ctu a lm e n te , se debe redactar un anteproyecto, que desglose de m anera general, el m odelo
JORGE ACUÑA ACUÑA
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q u e v a a se r ap lica d o , las ju stificacion es y b en eficios de su im p le m e n tación, las actividades qu e se deben ejecutar para el diseño de cad a su b sistem a, el tiem po estim ado de desarrollo y la estim ación inicial de costo. 6
.
Presentación de l anteproyecto a la gerencia. El anteproyecto preparado se p re senta a la g e re n cia con el fin de obte ner el visto b u e n o . S e deb e c o n v e n c e r con esta p re se n ta ció n de q u e el sistem a es n e c e sa rio . E l fin es obtener una decisión positiva para seguir adelante. Si la decisión es favo rable se continúa con la etapa 7, si no lo fuera se d e b e rá revisar el ante proyecto, con base en las observaciones realizadas por el gerente. S e pre sentará de nu e vo si se ha dad o la oportunidad.
7.
D esarrollo de l proyecto. Esta etapa consiste de los siguientes pasos: a.
Planeación de l estudio. S e desglosan todas las actividades y se asig nan tiempos y recursos a cada una de ellas. S e pueden aplicar las téc nicas de P ro gram ación de Pro yectos (C P M por ejem plo), para co n o ce r con algún detalle la fecha proyectada de finalización del proyecto.
b.
D e s a rro llo d e l m od elo. E ste es el p a s o q u e c o n s u m e m ás tiem po, pu e s a quí se d e sglo sa cad a una de las actividades plan eadas. Esta parte se diseña p o r se parado para los cuatro subsistem as y se debe considerar el desarrollo de m anuales. S e incluye tam bién el desglose de actividades para el desarrollo del subsistem a de costos de calidad y las correspondientes a las pruebas necesarias para verificar la pro puesta. Al final se establecen las actividades qu e permitirán el nexo entre los subsistem as.
c.
Planificación de la inspección. C o m o parte del subsistem a de Control de proceso, se deb e diseñar todo el plan de inspección estableciendo entre otras co s a s: tipo de inspección, puestos de inspección, instru m entación y criterios de aceptación y rechazo de lotes de productos. La m ejor form a de poner esto por escrito, es a través de m anuales de inspección.
d.
Revisión d e l sistem a. U n a v e z term inado el desarrollo del sistem a se efectúa una revisión total con el fin de detectar om isiones y errores.
e . Desarrollo de la propuesta de organización. Esta etapa consiste en e desarro llo de u n a pro pu esta q u e identifique el tipo de o rga n iza ció r
CONTROL DE CALIDAD
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q u e p u e d e h a c e r frente al siste m a pro pu esto. S e d e b e n de ja r bien claras las funciones y responsabilidades de todos los m iem bros de la organ ización en la con secu ción de los objetivos del m odelo. 8
. Presentación a la gerencia. S e presenta el proyecto a la gerencia con el fin de o b te n e r el v isto b u e n o p a ra su im p le m e n ta c ió n y p o r s u p u e s to el respectivo financiam iento. Si la respuesta es positiva, se continúa con la e tap a 9, de lo contrario se h a ce n los ajustes su g e rid o s y se pre se n ta de nuevo.
9.
D esarrollo e im plem entación de un program a de capacitación y m otivación de personal. C o n el fin de facilitar la resistencia al cam bio y de evitar erro res en la im plem entación del sistem a por desconocim iento, se pro pone el desarrollo de un program a de capacitación. Este program a contem pla una explicación general de las partes del sistem a, a todos los m iem bros de la organización y una explicación detallada de cada parte a aquellos qu e es tán directam ente relacionados con su puesta en m arch a.
10. Im plem entación d e l sistem a. Esta etapa consiste de la puesta en m arch a de ca d a una de las actividades d e sglo sadas en el proyecto. S e deb en h a ce r las m ejoras y ajustes qu e se am eriten. 11. R e troalim entación y cam bios a l m odelo. C o n base en los resultados de la im plem entación del sistem a, se hacen los cam bios necesarios al m odelo. E sta etapa será siem pre necesaria, pues es ilógico pe n sa r que el m odelo será a decuado desde su prim era aplicación. Para detectar errores se pu e den aplicar auditorías de calidad. A través de una auditoría se constata si lo qu e se aplica o b e d e ce a ciencia cierta a lo establecido en el pro yecto del sistem a. El se g u im ie nto de este p ro cedim ien to perm itirá el d ise ñ o de un sistem a adecu a do de control de calidad, el cual garantiza lo que se ha anotado insisten tem ente en este texto y que constituye el m á s importante objetivo de calidad y reto de cualquier co m p a ñ ía : “ C u m plir con los requerim ientos de calida d fijados
p o r e l consum idor". La e m p resa que entienda lo anteriorm ente apuntado, está llam ada a tener g rand es éxitos en el m erca do y un futuro pró spero en é po cas de crisis.
JORGE ACUÑA ACUÑA
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RESUMEN E n este capítulo, se plantea cóm o la administración de la función calidad es esencial para el éxito de un p ro gram a de control de calidad. S e ha visto que: 1.
La o rg an iza ción qu e se instituya para el cum plim iento de las actividades e n c o m e ndada s debe ser simple y eficiente y debe g o za r, hasta donde sea posible, de la a u ton om ía necesaria para cum plir con los objetivos y políti ca s de calidad que se establezcan para cum plir con los requerim ientos del consum idor.
2.
E l o b je tiv o p rin c ip a l de to d o s los n iv e le s je rá r q u ic o s , in te rm e d io s y operativos de la em presa debe ser la búsqueda de excelencia en la calidad del producto y en ningún m om ento deb e ser el buscar culpables de los pro ble m as de calidad de los procesos y materiales. D ebe q u e d a r claro que la
resp on sabilid ad en la consecución d e l objetivo de excelencia es de todos los m iem bros de la organización y no de alguno en form a específica. 3.
C a b e d e s ta ca r el h e c h o de que toda p e rso n a den tro de la o rga n iza ció n d e b e b u sc a r los m e ca n ism o s necesarios para m antene rse en una co n s tante evaluación de su labor, de tal m anera que se puedan m edir los logros obtenidos. Esta es una forma de dem ostrar que el control de calidad es una inversión y no un costo.
4.
E s de su m a importancia analizar y cuantificar los costos inherentes al con trol de calidad y com pararlos con algu na base, qu e puede ser: el costo de producción, la producción en unidades de producción equivalente o la pro ducción total de unidades. Este será un m edio de verificar qué tan eficien tes y eficaces son los m edios de control utilizados, en función de los éxitos a lca n za d o s en el m ercado.
5.
Si se desean buen os resultados de la inspección, ésta deber ser planeada y ejecutada en form a organ izad a. S e debe reco rda r que e l objetivo p rin c i
p a l de la inspección es evitar que producto fuera de especificaciones alcan ce las m an os d e l consum idor. 6
.
La inspección de calidad no es solam ente un procedim iento repetitivo, sino que es toda una cam pañ a de motivación y conciencia, para que los niveles operativos produzcan cada día mejor. S e debe sustituir el concepto limitado
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CONTROL DE CALIDAD
de v e r la inspección co m o se paración de producto buen o de m alo, por el concepto de inspección preventiva que analiza causas y consecuencias de las fallas detectadas. 7.
La organización de la inspección deb e ser ágil, de tal m anera qu e se iden tifiquen cla ram ente las responsabilidades, los d e b eres y las funciones de los inspectores, con el fin de cum plir con los objetivos planteados. Esta or ganización permitirá desarrollar la inspección con procedim ientos eficien tes que garanticen el cum plim iento de las actividades planeadas.
. E l logro de los objetivos de calidad planteados por la organización se da a
8
través del desarrollo de un sistem a de control de calidad, que o b e d e z c a a un proyecto resp onsa b le m ente planteado y puesto en práctica. 9.
Finalm ente es importante recalcar que el principal factor en el cum plim iento de las políticas de calidad es el fa cto r hum ano. P or ello se deb en bu scar to dos los m e ca nism os necesarios para lograr su cooperación y com prom iso .
PREGUNTAS DE REPASO 1.
¿ P o rq u é e s im p o rta nte la c la ra definición de u n a o rg a n iz a c ió n p a ra la calidad?
2.
E squ e m atice las etapas necesarias para diseñar un sistem a de control de calidad.
3.
C ite die z im portante s funciones de un gerente en la o rga n iza ció n para la calidad.
4.
¿ P o r qu é es im portante la co o rdinació n de a ctivid ades en el logro de los objetivos de calida d?
5.
Explique los conceptos de valor de calidad y costo de calidad y com ente el gráfico que los relaciona.
6
. C o m e n te el d e s g lo s e de co s to s de calidad y e x pliqu e: ¿ c ó m o se p u e d e calcular ca d a uno de ellos?
7.
¿ Q u é tipo de análisis se deb en h a ce r para lograr una bu e n a ubicación de los puestos de inspección?
JORGE ACUÑA ACUÑA
8
655
. Com ente las ventajas y desventajas de la inspección de patrulla y de la Ins pección centralizada.
9.
C o m e n te la im portancia del factor h um a no en la inspección de calidad.
10. ¿ P a ra qué es im portante establecer un procedim iento de ejecución de la inspección? 11. ¿ Q u é uso p u e d e tener la norm a IS O -9 0 0 4 en el diseño de un sistem a de control de calidad? 12. ¿ P a ra qué p ueden servir los indicadores de calidad? 13. Desarrolle y explique d ie z indicadores de calidad diferentes a los pre sen tados en este capítulo. 14. ¿ Q u é técnicas de motivación se podrían em plear para lograr un máxim o de cooperación y com prom iso de todos los m iem bros de la organización? 15. D e sa rro lle un m o d e lo q u e p u e d a se rvir p a ra calificar la pre cisión de la inspección.
PROBLEMAS 1.
U n a e m p resa durante los últimos m e se s ha tenido el com portam iento de ventas y devolucio nes qu e se presenta en el C u a d ro 7.9. Analice la situación si se fija una base del 2 ,5 % de devolu cio nes en pedi dos y en colones.
2.
D esglose para una e m presa industrial los costos de calidad y preséntelos en el form ato ofrecido en el C u a d ro 7.1.
3.
D esarrolle un sistem a de incentivos para inspectores, basándose en m o delos con ocidos y aplicados a cuotas de producción.
4.
E fe ctú e un dia g nóstico de la función calidad en una e m p re s a industrial. D ivida el diagnóstico en cuatro etapas, una por ca d a subsistem a. Puede usar co m o gu ía la N o rm a IS O -9 0 0 4 .
5.
A través de una investigación, identifique el tipo de organización de calidac q u e pre valece en C o sta Rica.
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CONTROL DE CALIDAD
CUADRO 7.9. Información para el Problema 1 i
Ventas Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
6
Devoluciones Pedidos
Colones
Pedidos
Colones
617815 585700 845174 489825 500708 558719
124 215 418 145 164 175
12200
5
21700 41800 10700 8400 5200
10 8
7 12
5
. E la b o re un flujogram a para an a liza r la form a en q u e la inform ación deb e fluir en el sistem a de control de calidad. Conside re a d e m á s los formularios necesarios para recolección de inform ación.
7.
8
E la b o re un flujogram a para analizar la form a en qu e la inform ación deb e fluir en el sistem a de costos de calidad. Conside re a d e m á s los formularios necesarios para recolección de inform ación.
. U n a e m p re s a fabrica tres productos de los que se tiene la inform ación del C u a d ro 7.10. Si el costo de inspección en el período fue de «¡150000. ¿ C u á l es el costo de inspección por unidad equivalente?
CUADRO 7 . 10. Información para el Problema 8
Producto
Monto de Ventas (Colones)
Material Directo (Colones)
Volumen de Producción
A B C
1500000 789600 1123500
876900 357000 687950
51790 23450 9870
JORGE ACUNA ACUNA
9.
657
P ro p o n g a un n u e vo procedim iento qu e agilice la inspección de producto, to m a n d o c o m o b a s e el p ro c e d im ie n to p re s e n ta d o en e ste c a p ítu lo y esq u e m a tiza d o en el flujogram a No. 5 del A p é n d ice III.
10. U n a e m p re s a fabrica un p ro du cto del cual p ro d u ce 2 0 0 0 0 u n idade s por m e s con una fracción defectiva del 2 0 % . El precio de venta del producto es 020
y para fabricarlo requiere de
08
de material directo. Los salarios, g a s
tos indirectos y cargo s de depreciación son 0 3 , 0 1 , 6 y 02,4 respectivam en te. El producto defectuoso es desech ado sin ningún valor de recuperación. Si la planta quiere invertir para reducir su porcentaje defectuoso de 2 0 % a 10
% , ¿cuál es la m áxim a inversión que podría hacerse para lograr esta im
portante m ejoría en calidad? 11. U n estudio de u na línea de pro d u cció n ha revelado inform ación con res pecto al porcentaje defectuoso y el costo acum ulado en cada operación de la línea. Esta inform ación se presenta en el C u a d ro 7 .11.
CUADRO 7.11. Información para el Prou,ema 11
Operación 1
% defectuoso costo acumulado
5,1 2,75
2
0 ,6
3,98
3 4,8 4,27
4 3,2 4,85
5 1 ,2
5,12
El tam año de m uestra por inspeccionar es de 100 unidades y los inspecto res ganan a 0200 por hora. Los tiem pos de inspección en m inutos por pro ducto son, en orden de operación, 1 ,2 -0 ,6 -0 ,5 -2 ,0 -1 , 8 . N o se necesita in versión adicional para instalar los puestos de inspección. a.
Si se de se a colocar dos puestos de inspección, ¿d ónde se deben co locar? Justifique su respuesta.
b.
Si fueran tres puestos de inspección, ¿d ó n d e se deb en colocar?
CONTROL DE CALIDAD
U n a em presa fabrica un producto que pasa por cinco departam entos o sec ciones. E sta em p re sa ha tenido pro blem as de calidad en los últim os años debido al peso que suministran las m áquinas llenadoras de producto. La es pecificación para el peso se establece en 3,15 g con una tolerancia de 0,75 g. De un estudio estadístico llevado a cabo, se encontró que, para esta carac terística el proceso se distribuye norm alm ente con m edia 3,18 g y varianza 0,1 6 g 2. El co s to total de p ro d u cció n es de (586 p o r u n idad, d e s g lo s a d o en 1 2 % gastos indirectos, 5 4 % costos de m ateriales y el resto costo de m a n o de obra. C u a n d o el producto es detectado fuera de especificaciones, se qui ta o se a g re g a producto, segú n sea sobrepeso o bajo peso. Esto agrega un costo adicional de (6 1 5 por unidad, debido a pérdida de e m p a q u e y pesaje m anual. Actualm ente, no existe un puesto de inspección en la operación de llenado. La instalación de un puesto tendría costos fijos de 060000 y el costo de ins pección es 035 por hora, con m uestras de 500 unidades/hora. a. b.
¿ C u á l es la pérdida e sp e ra d a por pieza? ¿ C u á l es la pérdida esp e rada al nivel actual de producción que es de 5 0 0 0 0 unidade s por hora?
c.
¿ A qu é nivel de p ro du cción es co n venie nte la colocación del puesto de inspección?
. La em p re sa X Y Z durante los últimos seis m eses ha generado el registro de ventas y devolu cio nes qu e se presenta en el C u a d ro 7.12. Analice la situación si se fija una base de com paración del 2 % en prom edio en d evolu cio nes tanto en colones co m o en pedidos. . El C u a d ro 7 .1 3 presenta inform ación de tres productos de una em presa. a.
b.
El costo de calidad en el p eríod o es de 0 50000 . ¿ C u á l es el costo de inspección por unidad equivalente? E sta b le zca el valor de un indicador de ventas, material directo y volu m en de producción.
c.
E sta b le zca tres form as de obtener un indicador de costos de calidad.
JORGE ACUNA ACUNA
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CUADRO 7.12. Información para el Problema 13
Ventas
Devoluciones
Mes
Colones
Pedidos
E F M A M J
625000 585700 845000 490000 500000 560000
124 115 231 90 102
113
Colones 12220
21700 41800 10700 8400 15700
Pedidos 5 10
18 4 3 8
CUADRO 7.13. Información para el Problema 14
Producto
Ventas (colones)
Material directo (colones)
Volumen de producción
A B C
1500000 758000 1157000
587000 357000 684000
51700 10800 6700
15. E n la Figura 7.7, se presenta el e sq uem a de un gato hidráulico. S u s partes son: cilindro, base, ém bolo, placa giratoria, tuerca de retención, pieza de cierre de la cab eza del cilindro y clavija roscada. La placa giratoria se m on ta con a lg u na h olg u ra en el é m bolo por m edio de la tuerca. E ste s u b e n sam ble, después de ser provisto de un em paque, se m onta en el cilindro y la base, sujetándose con la pieza de cierre de la cab eza del cilindro. La cla vija roscada se usa para bloquear la entrada al cilindro, hasta que el gato se pon e en funcionam iento. El cilindro y la base, p ie za R L -8 9 , es una pie za de ace ro fundido qu e se co m p ra en un taller de fundición fuera de la fábrica a un costo unitario de
CONTROL DE CALIDAD
FIGURA 7.7. Gato hidráulico.
02500. La prim era operación que se hace es “T o rn e a r y refrentar la p esta ñ a ” la qu e se h a ce en un torno en el taller m ecánico en un tiem po de 5 ,4 m inutos por pieza. E ste torno co n su m e 0,20 kwh. Luego, la pieza va a un segundo torno igual al anterior, en donde se ejecuta el refrentado del otro extremo, así co m o el escariado y fileteado. E n esta ta rea se invierten 13 m inutos. R ealizada esta operación se procede a hacer cu atro a g u je ro s a la ba se en un tiem po pro m e dio de 0 ,0 0 8 5 m inutos por agujero (tiem po dividido en 7 5 % m ano de obra y 2 5 % tiem po de m áquina). E ste taladro, qu e p e rm a n e c e e n c e n d id o co n sta n te m e n te , c o n s u m e en esta operación 0 ,0 6 9 7 kwh. E n se g u id a , en una taladradora de eje doble se hace una perforación y se tarraja para la conexión hidráulica. El tiem po de esta operación es de 1,54 m inutos y la m áquina co n su m e 0 ,0498 kwh. Antes de enviarse al d epa rta m ento de m ontaje, la pieza fundida, ya acabada, es inspeccionada por un in sp e cto ra jornal. Para la fabricación del é m bolo se em plea el acero en barras lam inado en frío S A E -1 010. Las barras se cortan en frío, al tam año deseado en el alm a cén. Esta operación se realiza en 0,84 minutos y la sierra eléctrica consume
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0 ,0 3 6 kwh. C a d a barra es im portada a un costo de 02350, cob ránd ose en a du a n a un im pue sto del 1 2 % del costo original. La barra se corta en diez partes. L a s ig u ie n te o p e r a c ió n e s m a r c a r c e n tr o s , la q u e s e h a c e en u n a taladradora ligera en 3,9 m inutos. El co n su m o de energía es de 0,05 kwh. Luego, va a un torno en don de se hacen las operaciones de tornear, hacer garganta y redondear extrem o. E stas operaciones se hacen en 15 minutos y se co n su m e n 0 ,0 4 4 kwh. U n inspector a jornal co m p ru e b a el tam año. Lu e g o de ello, cad a cien piezas son cem entadas con un costo de 032,5 en 5,46 minutos. D e sp u é s de que la pieza es cem entada, ésta retorna al taller para se r rectificada. La rectificadora tiene una capacidad de producción de 20 piezas por hora y con su m e 0,22 kwh en ese período. C o n esto, se termi na la operación del ém bolo el cual es enviado al departam ento de montaje. La placa giratoria, p ie za S P -7 9 3 , es de ace ro fundido y cuesta 0100 por u n ida d. La p ie z a fu ndida se m a q u in a en el d e p a rta m e n to de tornillería, u sa n d o un torno re vó lve r W a rn e r A n d S w a s s e y W in IA y q u e c o n s u m e 0 ,208 kwh. Esta operación se denom ina “Ta ladrar, escariar y filetear” y tie ne una duración de 7,2 m inutos. U n a v e z m aquinada se desengrasa a pre sión en 0 ,6 m inutos usand o una solución con un costo de 05,5 por litro de solución con su m ida . C o n un litro de solución se lavan 12 piezas. Esta ope ración la realiza un operario qu e g a n a 0125 por hora. L a tu e rc a de re te n c ió n , p ie z a S P -1 0 8 , s e h a c e d e a c e ro S A E - 1 113 hexagonal en barras y lam inado en frío. C a d a barra es importada y cuesta 0 5460 m á s 1 3 % de im puesto de co n su m o y 8 % de im puesto de aduanas. D e cada barra salen 190 tuercas. Las prim eras operaciones que se hacen son taladrar, escariar, filetear y cortar y se efectúan en el departam ento de tornillería en una m áquina G rid le y de cinco ejes con un co n su m o de 0,08 kwh y un tiem po de 0,5 m inutos. Lu e g o es lim piada en la deseng rasad ora en 0 , 6 minuto, utilizando la m ism a solución y con las m ism as especificacio nes. S e inspecciona luego por un inspector a jornal y se e n vía al depa rta m ento de m ontaje. La pieza de cierre de ca b e za del cilindro, pieza S P -1 24, es hecha de barras de acero S A E - 1 113, redondo y lam inado en frío, el cual es im portado a un costo de 0 5 0 0 el kilogram o. U n a barra pesa 10 kilogram os. Los costos de
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CONTROL DE CALIDAD
de v e r la inspección co m o se p a ra ció n de producto buen o de m alo, por el concepto de inspección preventiva que analiza causas y consecuencias de las fallas detectadas. 7.
La organización de la inspección debe ser ágil, de tal m anera qu e se iden tifiquen cla ra m e nte las responsabilidades, los d e b eres y las funciones de los inspectores, con el fin de cum plir con los objetivos planteados. Esta or ganización permitirá desarrollar la inspección con procedim ientos eficien tes qu e garanticen el cum plim iento de las actividades planeadas.
. El logro de los objetivos de calidad planteados por la organ ización se da a
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través del desarrollo de un sistem a de control de calidad, que o b e d e zca a un proyecto resp onsa b le m ente planteado y puesto en práctica. 9.
Finalm ente es importante recalcar qu e el principal factor en el cum plim iento de las políticas de calidad es el fa cto r hum ano. P or ello se deben bu scar to dos los m e ca nism os necesarios para lograr su cooperación y com prom iso .
PREGUNTAS DE REPASO 1.
¿ P o rq u é e s im p o rta n te la cla ra definición de u n a o rg a n iz a c ió n p a ra la calidad?
2.
E squ e m atice las etapas necesarias para diseñar un sistem a de control de calidad.
3.
C ite die z im portante s funciones de un gerente en la o rga n iza ció n para la calidad.
4.
¿ P o r qué es im portante la co o rdinació n de activid ades en el logro de los objetivos de calida d?
5.
Explique los conceptos de valor de calidad y costo de calidad y com ente el gráfico qu e los relaciona.
6
. C o m e n te el d e s g lo s e de co s to s de calidad y e x p liq u e : ¿ c ó m o s e p u e d e calcular ca d a uno de ellos?
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¿ Q u é tipo de análisis se de b e n h a ce r para lograr una b u e n a ubicación de los puestos de inspección?
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. C om e nte las ventajas y desventajas de la inspección de patrulla y de la Ins pección centralizada.
9.
C o m e n te la Im portancia del factor h u m a no en la Inspección de calidad.
10. ¿ P a ra qu é es im portante establecer un procedim iento de ejecución de la inspección? 11. ¿ Q u é uso p u ede tener la norm a IS O -9 0 0 4 en el diseño de un sistem a de control de calidad? 12. ¿ P a ra qu é p ueden servir los indicadores de calidad? 13. D esarrolle y explique die z indicadores de calidad diferentes a los pre sen tados en este capítulo. 14. ¿ Q u é técnicas de motivación se podrían em plear para lograr un m áxim o de cooperación y co m prom iso de todos los m iem bros de la organización? 15. D e sa rro lle un m o d e lo q u e p u e d a se rvir p a ra calificar la pre cisión de la inspección.
PROBLEMAS 1.
U n a e m p re s a durante los últimos m eses ha tenido el com portam iento de ventas y devoluciones qu e se presenta en el C u a d ro 7.9. Analice la situación si se fija una base del 2 ,5 % de devolucio nes en pedi dos y en colones.
2.
3.
D e sglose para una e m presa Industrial los costos de calidad y preséntelos en el form ato ofrecido en el C u a d ro 7.1. Desarrolle un sistem a de incentivos para inspectores, b asándose en m o delos conocidos y aplicados a cuotas de producción.
4.
E fe ctúe un diagnóstico de la función calidad en una e m p re s a industrial. D ivida el diagnóstico en cuatro etapas, una por ca d a subsistem a. P uede
5.
A través de una investigación, identifique el tipo de organización de calidad
usar co m o guía la N o rm a IS O -9 0 0 4 .
qu e p reva lece en C o s ta Rica.
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CUADRO 7.9. Información para el Problema 1 ........ ■..............................................
V
V e n ta s M es
C o lo n e s
D e v o lu c io n e s C o lo n e s
P e d id o s
P e d id o s
E n ero
617815
124
12200
5
F ebrero
585700
215
21700
10 8
M a rzo
845174
418
41800
A b ril
489825
145
10700
7
M ayo
500708
164
8400
12
J u n io
558719
175
5200
5
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. E la b o re un flujogram a pa ra an a liza r la form a en qu e la Inform ación deb e fluir en el sistem a de control de calidad. Conside re a d e m á s los formularios necesarios para recolección de inform ación.
7.
8
E la b o re un flujogram a para an a liza r la form a en qu e la inform ación deb e fluir en el sistem a de costos de calidad. C onsidere a d e m á s los form ularios necesarios para recolección de inform ación.
. U n a e m p re s a fabrica tres productos de los que se tiene la inform ación del C u a d ro 7.1 0. Si el costo de inspección en el período fue de c 1 500 0 0 . ¿ C u á l es el costo de inspección por unidad equivalente?
CUADRO 7.10. Información para el Problema 8
P ro d u c to
M o n to de V e n ta s (C o lo n e s )
M aterial D ire c to (C o lo n e s )
A
1500000
876900
51790
B
789600
357000
23450
C
1123500
687950
9870
V o lu m e n de P ro d u c c ió n
JORGE ACUNA ACUNA
9.
657
P ro p o n g a un n uevo procedim iento qu e agilice la inspección de producto, to m a n d o c o m o b a s e el p ro c e d im ie n to p re s e n ta d o en e ste c a p ítu lo y e sq u e m a tiza d o en el flujogram a No. 5 del A p é n d ice III.
10. U n a e m p re s a fabrica un pro du cto del cual p ro d u ce 2 0 0 0 0 u n idade s por m e s con una fracción defectiva del 2 0 % . El precio de venta del producto es 0 20 y para fabricarlo requiere de 0 8 de material directo. Los salarios, g a s tos indirectos y cargo s de depreciación son 0 3 ,0 1 , 6 y 02,4 respectivam en te. El producto defectuoso es desech ado sin ningún valor de recuperación. Si la planta quiere invertir para reducir su porcentaje defectuoso de 2 0 % a 1 0 % , ¿cuál es la m áxim a inversión que podría hacerse para lograr esta im portante m ejoría en calidad? 11. U n estudio de una línea de p ro ducción h a revelado inform ación con res pecto al porcentaje defectuoso y el costo acum ulado en cada operación de la línea. Esta inform ación se presenta en el C u a d ro 7.11.
CUADRO 7.11. Información para el Prou,ema 11
O p e ra c ió n 1
2
3
4
5
% d e fe ctu o so
5 ,1
0 ,6
4 ,8
3 ,2
1 ,2
c o s t o a c u m u la d o
2 ,7 5
3 ,9 8
4 ,2 7
4 ,8 5
5 ,1 2
El tam año de m uestra por inspeccionar es de 100 unidades y los inspecto res ganan a 0200 por hora. Los tiem pos de inspección en m inutos por pro ducto son, en orden de operación, 1 ,2 -0 ,6 -0 ,5 -2 ,0 -1 , 8 . N o se necesita in versión adicional para instalar los puestos de inspección. a.
Si se de sea colocar dos puestos de inspección, ¿d ó n d e se deben co locar? Justifique su respuesta.
b.
Si fueran tres puestos de inspección, ¿d ónde se deben colocar?
662
CONTROL DE CALIDAD
transporte de sde la ca sa distribuidora hasta la em presa, brindados por la C ía M ondel, son <£52000 la tonelada. El im puesto de adu a n a es del 8 ,5 % . La s prim eras o p era cione s que se hacen en el departam ento de tornillería son taladrar, escariar, filetear y cortar. S e usa una taladradora C o n e m a tic que c o n s u m e 0 ,2 kw h y du ra 4 ,2 m inutos en term inar estas operaciones. S e ha calculado que de una barra se obtienen 13 piezas. Luego, la pieza se e n v ía al taller m e cá n ico para ta la d ra r los a g u je ro s p a ra la llave, en una ta la d ra d o ra lig e ra e n 3 ,3 6 m in u to s . S e d e v u e lv e al d e p a rta m e n to de tornillería para d e s e n g ra se en 0,6 m inutos. S e em plea la m ism a solución anterior y se p aga un operarlo de <5175 por hora. Luego, la pieza es revisa d a por un inspector a jornal y se e n vía al departam ento de ensam b le. La siguiente operación se realiza en el departam ento de ensam b le y c o n siste en m ontar el ém bolo, la placa giratoria y la tuerca de retención en m inutos.
0 ,1
Este su bensam ble junto con la pieza de cierre de cilindro y usando los m a teriales m ostrados en el C u a d ro 7.14, se m ontan al subensam ble del pistón en 3 ,4 m inutos.
CUADRO 7.14. Materiales usados en el subensamble
M aterial
C o s to
E m paque
C
P ie z a S P - 2 1 1
C
208
A r a n d e la S P - 1 7 6
c c
12
T o r n illo c o m ú n
3 1 ,2 5
8
L u e g o , se m onta el é m bolo a la base en 2,91 m inutos lo qu e constituye el ensam b le final. U n a v e z finalizada esta operación el gato hidráulico se so m ete a inspección por m edio de un inspector a jornal. D e s p u é s , la clavija roscada de 0,625 cm , pie za S P -1 4 8 , se coloca para proteger al cilindro en 0,2 m inutos. La clavija tiene un costo de C1300. La última operación que se
JORGE ACUÑA ACUÑA
663
realiza es limpiar y pintar, la que se realiza en el departam ento de montaje en un tiem po de 5,4 m inutos por pieza. E n este proceso de lim pieza se usa un disolvente para lavad o de a ce ro c u y o costo es de 0169 el kilogram o puro. La concentración de la solución lavadora es de 8 2 % en peso (den si dad del ag ua= 1 g/cm2). La solución se prepara en la planta y se pueden la v a r 40 0 piezas por litro. E n el proceso de pintado se gastan 3,8 litros de pintura anticorrosiva por ca d a 96 piezas. El costo del litro de pintura es de 0300. El diluyente usado cuesta 032 por litro y se gasta un litro de diluyente por cad a cuatro litros de pintura. Las piezas se pintan luego de color rojo con un costo agregado de 0 4 ,2
por pieza.
La inspección final se ejecuta en 3,0 m inutos, por un inspector a jornal.
Algunos datos adicionales T ie m p o de jornada de trabajo =
8
horas/día
C o sto de kwh = 07,76 C o s to de inspección = 0200 por hora S alario de operarios calificados = 0225 por hora a.
C onstruya un diagram a de operaciones colocando a la izquierda de la operación los tiem pos de operación y a la derech a el costo de la o p e ración y el acu m u la d o hasta ella.
b. c.
Determ ine el costo de inspección de calidad. Determ ine el costo de producción e indique: ¿a qué precio recom ien da vende rlo?
d. e.
¿ C u á l es el costo de producción m ensual si se trabajan tres turnos? ¿ C u á l es el costo acum ulado de producción, al m om ento de cad a ins pección?
f.
¿E stá n bien colocado s los puestos de inspección, desde el punto de vista del costo total del producto? Justifique con núm eros.
CONTROL DE CALIDAD
364
g.
¿ Q u é v a ria b le s se de b e n to m a r en cuenta al d ise ñ a r un sistem a de control de calidad para este producto.
h.
¿ Q u é beneficios, desde el punto de calidad, puede traer el balance de la línea de p ro ducción?
16. U n a e m p re sa fabrica un producto com puesto por cinco sub e n sa m b le s los cu a le s co n v e rg e n en cinco líneas a un departam ento de e n s a m b le . Esta em presa desea investigar sus problem as de calidad, por lo que se constru yó un pare togra m a que indicó qu e la característica de calidad principal es el diám etro de uno de los su ben sam bles. E ste diá m e tro d e b e cu m p lir con la especificación E : 3 ,1 5 ± 0 ,7 5 cm . D e datos históricos co n se rva d o s por la C ía , se ha logrado concluir q u e la v a riable diámetro se distribuye norm alm ente con p = 3 ,15 cm y o 2= 0 ,16 cm 2. El costo total de pro du cción de esta pieza representa el 2 8 % del costo total del producto, el cual se ve n d e en C8600. El p ro b le m a fu n d a m e n ta l de este diám etro es q u e no se detecta si está defectuoso antes de que la pieza sea ensam blada. Esto ocasiona qu e si el diám etro resulta defectuoso, se pierda todo el costo entregado. S e ha d e te rm in a d o q u e un 1 7 % del costo total son costos de e n s a m b le , un 1 2 % costos indirectos y un 3 5 % la ganancia deseada en la venta del producto. S e sa b e qu e del costo de p ro d u cció n de la p ieza, un 3 8 % son co sto s de m ano de obra, 4 0 % costos de m aterias prim as y el resto costos indirectos. E s o s costos representan el 7 0 % de los costos indirectos totales. T a m b ié n se sab e que en el departam ento de ensam ble, 9 0 % del costo corresponde a la m a n o de obra, 5 % a m ateriales y 5 % a costos indirectos. E n esta e m p re sa existe un único puesto de inspección y está al final de la línea. Si se re ch a za un producto, se incurre en un costo adicional de C2 0 0 al te ne r qu e de s a rm a rlo . E sto no incluye las c o rre sp o n d ie n te s p é rdid as e c o n ó m ic a s p o r el t ra b a jo e n t r e g a d o in f r u c t u o s a m e n t e . C a d a subensam ble que se rechace es reprocesado, si tiene un diámetro superior a lo especificado y d e s e c h a d o si ocu rre lo contrario. E n a m b o s c a s o s se pierde el costo ya entregado. a.
¿ C u á l es la g a na ncia e sp e ra d a por unidad?
b.
¿ C u á l es la g a n a n c ia e s p e ra d a al nivel de 5 0 0 0 0 0 u n id a d e s m e n suale s?
JORGE ACUNA ACUNA
c.
665
¿ C o n s id e ra U d con venie nte la colocación de puestos de inspección en las líneas? Justifique con núm eros.
d.
¿ A qué nivel de producción es recom endab le colocar un puesto final de inspección?
DATOS ADICIONALES C o sto de instalación del puesto = 060000 El costo del inspector es de 0290 por hora y es ca p a z de inspeccionar 100 p ieza s en un turno de 17.
8
horas
U n a e m p re s a fabrica un pro ducto co n form ado de tres su b e n sa m b le s. El diag ram a de operaciones se m uestra en el C u a d ro 7.15. Los costos de material son: 0370 para el material A , 0158 para el material B y 0215 para el material C . Lo s costos de m ano de obra por pieza se e n cuentran en el C u a d ro 7.16.
CUADRO
O p e r a c ió n
7 . 16.
Costos de mano de obra para el Problema 17
C o s t o /p ie z a (0 )
O p e r a c ió n
C o s to /p ie z a fí)
1
1 5 ,7 5
6
1 7 ,8 5
2
2 5 ,0 5
7
3 4 ,0 5
3
3 6 ,7 5
8
6 1 ,2 5
4
1 8 ,4 5
9
6 3 ,4 5
5
2 5 ,2 5
10
1 8 ,3 5
A los inspectores se les pa g a 0350 por hora y cada inspector es ca p a z de inspeccionar 500 unidades por hora. E n este proceso casi todas las características de calidad m ás importantes son variables, a excepción de las características de las operaciones 9 y 10,
CONTROL DE CALIDAD
666
CUADRO 7.15. Diagrama de operaciones para el Problema 17
D ia g r a m a d e O p e r a c i o n e s E m p resa :
XYZ
F ech a:
E nero 1985
R e a liz a d o p o r
A. G uzm án
R e s p o n s a b le :
S . C oto
C ó d ig o d e p ro d u cto :
Ensamble A Mats: 1,25 kg/pieza
3 0 A -9 0
Ensamble B Mats: 5 kg/pieza
Ensamble C Mats: 1 kg/pieza
JORGE ACUÑA ACUÑA
667
las que son atributos. El C u a d ro 7.17 presenta la inform ación qu e se obtu v o de una clasificación de características de calidad. T o d a s las variables han de m ostrado distribuirse norm alm ente. El nivel de p roducción es de 18000 unidades diarias. Los puestos de ins pección, de s e r necesarios, tienen una inversión fija de 045000 ca d a uno. Actualm ente la em presa tiene los siguientes costos diarios de producción: 016575 0 en m ano de obra, 01857000 en materiales y 086000 en gastos in directos. T a m b ié n se ha determ inado que los costos sem anales indirectos de calidad son de 034500, los costos sem anales de prevención de 034570 y los costos sem anales de fallas externas de 0 6 0 0 0 0 . B a sa d o en la problem ática de costos, pro ponga un sistem a de control de proceso.
CONTROL DE CALIDAD
668
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CUADRO 7.17. Información de características de calidad
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Apéndice I
TABLAS DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD TABLA I. Distribución normal acumulada
z
09
08
07
06
05
04
03
02
01
00
Z
-3,90 -3,80 -3,70 -3,60 -3,50 -3,40 -3,30 -3,20 -3,10 -3,00 -2,90 -2,80 -2,70 -2,60 -2,50 -2,40 -2,30 -2,20 -2,10 -2,00 -1,90 -1,80 -1,70 -1,60 -1,50 -1,40 -1,30
0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0006 0,0008 0,0011 0,0015 0,0020 0,0027 0,0036 0,0048 0,0064 0,0085 0,0111 0,0143 0,0184 0,0233 0,0294 0,0368 0,0456 0,0560 0,0682 0,0823
0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0006 0,0008 0,0011 0,0015 0,0020 0,0028 0,0037 0,0050 0,0066 0,0087 0,0113 0,0147 0,0188 0,0239 0,0301 0,0376 0,0465 0,0571 0,0695 0,0838
0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0006 0,0008 0,0011 0,0015 0,0021 0,0029 0,0038 0,0051 0,0068 0,0089 0,0116 0,0150 0,0193 0,0245 0,0308 0,0384 0,0475 0,0583 0,0708 0,0854
0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0006 0,0008 0,0012 0,0016 0,0022 0,0029 0,0040 0,0053 0,0070 0,0092 0,0120 0,0154 0,0197 0,0250 0,0315 0,0393 0,0485 0,0594 0,0722 0,0870
0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0003 0,0005 0,0006 0,0009 0,0012 0,0016 0,0022 0,0030 0,0041 0,0054 0,0072 0,0094 0,0123 0,0158 0,0202 0,0256 0,0322 0,0401 0,0495 0,0606 0,0736 0,0886
0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0003 0,0003 0,0005 0,0007 0,0009 0,0012 0,0017 0,0023 0,0031 0,0042 0,0056 0,0074 0,0097 0,0126 0,0162 0,0207 0,0262 0,0329 0,0410 0,0506 0,0618 0,0750 0,0902
0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0007 0,0009 0,0013 0,0017 0,0024 0,0032 0,0043 0,0057 0,0076 0,0099 0,0129 0,0166 0,0212 0,0269 0,0337 0,0419 0,0516 0,0631 0,0764 0,0918
0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0007 0,0010 0,0013 0,0018 0,0025 0,0033 0,0044 0,0059 0,0078 0,0102 0,0133 0,0170 0,0217 0,0275 0,0344 0,0428 0,0527 0,0643 0,0779 0,0935
0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0007 0,0010 0,0014 0,0019 0,0025 0,0034 0,0046 0,0061 0,0080 0,0105 0,0136 0,0175 0,0223 0,0281 0,0352 0,0437 0,0538 0,0656 0,0793 0,0952
0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,u004 0,0005 0,0007 0,0010 0,0014 0,0019 0,0026 0,0035 0,0047 0,0063 0,0082 0,0108 0,0139 0,0179 0,0228 0,0288 0,0360 0,0446 0,0549 0,0669 0,0808 0,0969
-3,90 -3,80 -3,70 -3,60 -3,50 -3,40 -3,30 -3,20 -3,10 -3,00 -2,90 -2,80 -2,70 -2,60 -2,50 -2,40 -2,30 -2,20 -2,10 -2,00 -1,90 -1,80 -1,70 -1,60 -1,50 -1,40 -1,30
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CONTROL DE CALIDAD
670
Continuación de la Tabla I
02
z
09
08
07
06
05
04
03
-1,20 -1,10 -1,00 -0,90 -0,80 -0,70 -0,60 -0,50 -0,40 -0,30 -0,20 -0,10 -0,00
0,0986 0,1171 0,1379 0,1611 0,1868 0,2148 0,2451 0,2776 0,3121 0,3483 0,3860 0,4247 0,4642
0,1003 0,1190 0,1401 0,1636 0,1895 0,2177 0,2483 0,2810 0,3157 0,3520 0,3898 0,4286 0,4682
0,1021 0,1210 0,1424 0,1661 0,1922 0,2207 0,2515 0,2844 0,3192 0,3557 0,3936 0,4326 0,4721
0,1039 0,1231 0,1446 0,1686 0,1949 0,2237 0,2547 0,2878 0,3228 0,3595 0,3975 0,4365 0,4761
0,1057 0,1251 0,1469 0,1711 0,1977 0,2267 0,2579 0,2912 0,3264 0,3632 0,4013 0,4404 0,4801
0,1075 0,1272 0,1492 0,1737 0,2005 0,2297 0,2611 0,2947 0,3300 0,3670 0,4052 0,4444 0,4841
0,1094 0,1293 0,1515 0,1762 0,2033 0,2327 0,2644 0,2981 0,3337 0,3708 0,4091 0,4483 0,4881
z
00
01
02
03
04
05
06
07
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20
0,5000 0,5398 0,5792 0,6179 0,6554 0,6914 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9031 0,9192 0,9331 0,9451 0,9554 0,9640 0,9712 0,9772 0,9821 0,9861
0,5039 0,5438 0,5831 0,6217 0,6590 0,6949 0,7290 0,7611 0,7910 0,8185 0,8437 0,8665 0,8868 0,9048 0,9207 0,9344 0,9462 0,9563 0,9648 0,9719 0,9777 0,9825 0,9864
0,5079 0 c477 0,5870 0,6255 0,6627 0,6984 0,7323 0,7642 0,7938 0,8212 0,8461 0,8686 0,8887 0,9065 0,9221 0,9357 0,9473 0,9572 0,9656 0,9725 0,9783 0,9830 0,9867
0,5119 0,5517 0,5909 0,6292 0,6663 0,7019 0,7356 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8707 0,8906 0,9082 0,9236 0,9369 0,9484 0,9581 0,9663 0,9731 0,9788 0,9834 0,9871
0,5159 0,5556 0,5948 0,6330 0,6700 0,7053 0,7389 0,7703 0,7995 0,8263 0,8508 0,8728 0,8925 0,9098 0,9250 0,9382 0,9494 0,9590 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9874
0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7421 0,7733 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8943 0,9114 0,9264 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9877
0,5239 0,5635 0,6025 0,6405 0,6772 0,7122 0,7453 0,7763 0,8051 0,8314 0,8554 0,8769 0,8961 0,9130 0,9278 0,9406 0,9515 0,9607 0,9685 0,9750 0,9803 0,9846 0,9880
0,5279 0,5674 0,6064 0,6443 0,6808 0,7156 0,7485 0,7793 0,8078 0,8339 0,8576 0,8790 0,8979 0,9146 0,9292 0,9417 0,9525 0,9616 0,9692 0,9755 0,9807 0,9850 0,9884
01
00 0,1151 0,1357 0,1587 0,1841 0,2119 0,2420 0,2743 0,3086 0,3446 0,3821 0,4208 0,4602 0,5000
-1,20 -1,10 -1,00 -0,90 -0,80 -0,70 -0,60 -0,50 -0,40 -0,30 -0,20 -0,10 -0,00
08
09
z
0,5318 0,5714 0,6102 0,6480 0,6843 0,7190 0,7517 0,7823 0,8105 0,8364 0,8599 0,8810 0,8997 0,9161 0,9305 0,9429 0,9535 0,9624 0,9699 0,9761 0,9812 0,9853 0,9887
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0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20
Continúa en la siguiente página
JORGE ACUÑA ACUÑA
671
Continuación de la Tabla I
z
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
Z
2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90
0,9892 0,9918 0,9937 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999
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0,9903 0,9926 0,9944 0,9958 0,9969 0,9977 0,9983 0,9988 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999
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0,9908 0,9930 0,9947 0,9960 0,9971 0,9978 0,9984 0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999
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0,9913 0,9934 0,9950 0,9963 0,9972 0,9980 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999
0,9915 0,9936 0,9952 0,9964 0,9973 0,9980 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999
2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,10 3,20 3,30 3,40 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90
Z
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
Z
2
CONTROL DE CALIDAD
TABLA II. Areas de distribución t-student (*)
Probabilidad (área unilateral) 0,10 0,05 0,025
0,40
0,20
0,010
0,005
0,0005
1 2 3 4 5
0,325 0,289 0,277 0,271 0,267
1,376 1,061 0,978 0,941 0,920
3,078 1,886 1,638 1,533 1,476
6,314 2,290 2,353 2,132 2,015
12,706 4,303 3,182 2,776 2,571
31,821 6,965 4,541 3,747 3,365
63,657 9,925 5,841 4,604 4,032
636,619 31,598 12,941 8,610 6,859
6 7 8 9 10
0,265 0,263 0,262 0,261 0,260
0,906 0,896 0,889 0,883 0,879
1,440 1,415 1,397 1,383 1,372
1,943 1,895 1,860 1,833 1,812
2,447 2,365 2,306 2,262 2,228
3,143 2,998 2,896 2,821 2,764
3,707 3,499 3,355 3,250 3,169
5,959 5,405 5,041 4,781 4,587
11 12 13 14 15
0,260 0,259 0,259 0,258 0,258
0,876 0,873 0,870 0,868 0.866
1,363 1,356 1,350 1,345 1,341
1,796 1,782 1,771 1,761 1,753
2,201 2,179 2,160 2,145 2,131
2,718 2,681 2,650 2,624 2,602
3,106 3,055 3,012 2,977 2,947
4,437 4,318 4,221 4,140 4,073
16 17 18 19 20
0,258 0,257 0,257 0,257 0,257
0,865 0,863 0,862 0,861 0,860
1,337 1,333 1,330 1,328 1,325
1,746 1,740 1,734 1,729 1,725
2,120 2,110 2,101 2,093 2,086
2,583 2,567 2,552 2,539 2,528
2,921 2,898 2,878 2,861 2,845
4,015 3,965 3,922 3,883 3,850
21 22 23 24 25
0,257 0,256 0,256 0,256 0,256
0,859 0,858 0,858 0,857 0,856
1,323 1,321 1,319 1,318 1,316
1,721 1,717 1,714 1,711 1,708
2,080 2,074 2,069 2,064 2,060
2,518 2,508 2,500 2,492 2,485
2,831 2,819 2,807 2,797 2,787
3,819 3,792 3,767 3,745 3,725
26 27 28 29 30
0,256 0,256 0,256 0,256 0,256
0,856 0,855 0,855 0,854 0,854
1,315 1,314 1,313 1,311 1,310
1,706 1,703 1,701 1,699 1,697
2,056 2,052 2,048 2,045 2,042
2,479 2,473 2,467 2,462 2,457
2,779 2,771 2,763 2,756 2,750
3,707 3,690 3,674 3,659 3,646
40 60 120
0,255 0,254 0,254 0,253
0,851 0,848 0,845 0,842
1,303 1,296 1,289 1,282
1,684 1,671 1,658 1,645
2,021 2,000 1,980 1,960
2,423 2,390 2,358 2,326
2,704 2,660 2,617 2,576
3,551 3,460 3,373 3,291
gi-
oo
Tomado del libro Control de Calidad de Bertrand Hansen, Referencia 11.
JORGE ACUÑA ACUÑA
67 3
TABLA III. Areas bajo la curva de la distribución chi-cuadrado(*)
0,25 1 ,3 2 3 2 ,7 7 3 4 ,1 0 8 5 ,3 8 5 6 ,6 2 6 7 ,8 41 9 ,0 3 7 1 0 ,2 1 9 1 1 ,3 8 9 1 2 ,5 4 9 1 3 ,701 1 4 ,8 4 5 1 5 ,9 8 4 1 7 ,1 1 7 1 8 ,2 4 5 1 9 ,3 6 9 2 0 ,4 8 9 2 1 ,6 0 5 2 2 ,7 1 8 2 3 ,8 2 8 2 4 ,9 3 5 2 6 ,0 3 9 2 7 ,1 4 1 2 8 ,2 4 1 2 9 ,3 3 9 3 0 ,4 3 4 3 1 ,5 2 8 3 2 ,6 2 0 3 3 ,7 1 1 3 4 ,8 0 0 4 5 ,6 1 6 5 6 ,3 3 4 6 6 ,9 8 1 7 7 ,5 7 7 8 8 ,1 3 0 9 8 ,6 5 0 1 0 9 ,1 41
0 ,1 0
2 ,7 0 6 4 ,6 0 5 6,251 7 ,7 7 9 9 ,2 3 6 1 0 ,6 4 5 1 2 ,0 1 7 1 3 ,3 6 2 1 4 ,6 8 4 1 5 ,9 8 7 1 7 ,2 7 5 1 8 ,5 4 9 1 9 ,8 1 2 2 1 ,0 6 4 2 2 ,3 0 7 2 3 ,5 4 2 2 4 ,7 6 9 2 5 ,9 8 9 2 7 ,2 0 4 2 8 ,4 1 2 2 9 ,6 1 5 3 0 ,8 1 3 3 2 ,0 0 7 3 3 ,1 9 6 3 4 ,3 8 2 3 5 ,5 6 3 3 6 ,7 4 1 3 7 ,9 1 6 3 9 ,0 8 7 4 0 ,2 5 6 5 1 ,8 0 5 6 3 ,1 6 7 7 4 ,3 9 7 8 5 ,5 2 7 9 6 ,5 7 8 1 0 7 ,5 6 5 1 1 8 ,4 9 8
0,05 3,841 5,9 9 1 7 ,8 1 5 9 ,4 8 8 1 1 ,0 7 0 1 2 ,5 9 2 1 4 ,0 6 7 1 5 ,5 0 7 1 6 ,9 1 9 1 8 ,3 0 7 1 9 ,6 7 5 2 1 ,0 2 6 2 2 ,3 6 2 2 3 ,6 8 5 2 4 ,9 9 6 2 6 ,2 9 6 2 7 ,5 8 7 2 8 ,8 6 9 3 0 ,1 4 4 3 1 ,4 1 0 3 2 ,6 7 1 3 3 ,9 2 4 3 5 ,1 7 2 3 6 ,4 1 5 3 7 ,6 5 2 3 8 ,8 8 5 4 0 ,1 1 3 4 1 ,3 3 7 4 2 ,5 5 7 4 3 ,7 7 3 5 5 ,7 5 8 6 7 ,5 0 5 7 9 ,0 8 2 9 0 ,5 3 1 1 0 1 ,8 7 9 1 1 3 ,1 4 5 1 2 4 ,3 4 2
0,025 5 ,0 2 4 7 ,3 7 8 9 ,3 4 8 1 1 ,1 4 3 1 2 ,8 3 2 1 4 ,4 4 9 1 6 ,0 1 3 1 7 ,5 3 5 1 9 ,0 2 3 2 0 ,4 8 3 2 1 ,9 2 0 2 3 ,3 3 7 2 4 ,7 3 6 2 6 ,1 1 9 2 7 ,4 8 8 2 8 ,8 4 5 3 0 ,1 9 1 3 1 ,5 2 6 3 2 ,8 5 2 3 4 ,1 7 0 3 5 ,4 7 9 3 6 ,781 3 8 ,0 7 6 3 9 ,3 6 4 4 0 ,6 4 6 4 1 ,9 2 3 4 3 ,1 9 4 4 4 ,461 4 5 ,7 2 2 4 6 ,9 7 9 5 9 ,3 4 2 7 1 ,4 2 0 8 3 ,2 9 8 9 5 ,0 2 3 1 0 6 ,6 2 9 1 1 8 ,1 3 6 129,561
0 ,0 1
0,005
0 ,0 0 1
6 ,6 3 5 9 ,2 1 0 1 1 ,3 4 5 1 3 ,2 7 7 1 5 ,0 8 6 1 6 ,8 1 2 1 8 ,4 7 5 2 0 ,0 9 0 2 1 ,6 6 6 2 3 ,2 0 9 2 4 ,7 2 5 2 6 ,2 1 7 2 7 ,6 8 8 2 9 ,1 4 1 3 0 ,5 7 8 3 2 ,0 0 0 3 3 ,4 0 9 3 4 ,8 0 5 3 6 ,1 9 1 3 7 ,5 6 6 3 8 ,9 3 2 4 0 ,2 8 9 4 1 ,6 3 8 4 2 ,9 8 0 4 4 ,3 1 4 4 5 ,6 4 2 4 6 ,9 6 3 4 8 ,2 7 8 4 9 ,5 8 8 5 0 ,8 9 2 6 3 ,691 7 6 ,1 5 4 8 8 ,3 7 9 1 0 0 ,4 2 5 1 1 2 ,3 2 9 1 2 4 ,1 1 6 1 3 5 ,8 0 7
7 ,8 7 9 1 0 ,5 9 7 1 2 ,8 3 8 1 4 ,8 6 0 1 6 ,7 5 0 1 8 ,5 4 8 2 0 ,2 7 8 2 1 ,9 5 5 2 3 ,5 8 9 2 5 ,1 8 8 2 6 ,7 5 7 2 8 ,3 0 0 2 9 ,8 1 9 3 1 ,3 1 9 32,8 0 1 3 4 ,2 6 7 3 5 ,7 1 8 3 7 ,1 5 6 3 8 ,5 8 2 3 9 ,9 9 7 4 1 ,4 0 1 4 2 ,7 9 6 44,1 8 1 4 5 ,5 5 8 4 6 ,9 2 8 4 8 ,2 9 0 4 9 ,6 4 5 5 0 ,9 9 3 5 2 ,3 3 6 5 3 ,6 7 2 6 6 ,7 6 6 7 9 ,4 9 0 9 1 ,9 5 2 1 0 4 ,2 1 5 11 6,321 1 2 8 ,2 9 9 1 4 0 ,1 6 9
1 0 ,8 2 8 1 3 ,8 1 6 1 6 ,2 6 6 1 8 ,4 6 7 2 0 ,5 1 5 2 2 ,4 5 8 2 4 ,3 2 2 2 6 ,1 2 5 2 7 ,8 7 7 2 9 ,5 8 8 3 1 ,2 6 4 3 2 ,9 0 9 3 4 ,5 2 8 3 6 ,1 2 3 3 7 ,6 9 7 3 9 ,2 5 2 4 0 ,7 9 0 4 3 ,3 1 2 4 3 ,8 2 0 4 5 ,3 1 5 4 6 ,7 9 7 4 8 ,2 6 8 4 9 ,7 2 8 5 1 ,1 7 9 5 2 ,6 2 0 5 4 ,0 5 2 5 5 ,4 7 6 5 6 ,8 9 2 5 8 ,3 0 2 5 9 ,7 0 3 7 3 ,4 0 2 8 6 ,6 6 1 9 9 ,6 0 7 1 1 2 ,3 1 7 1 2 4 ,8 3 9 1 3 7 ,2 0 8 1 4 9 ,4 4 9
a
V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100
Tomado del libro Estadística Elemental de Robert Johnson, Referencia 15. Continúa en la siguiente página
V T
CONTROL DE CALIDAD
674
Continuación de la Tabla III
V
a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100
0,995 0,04393 0,0100 0,0717 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 20,707 27,991 35,535 43,275 51,172 59,196 67,328
0,99 0,03157 0,0201 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256 14,953 22,164 29,707 37,485 45,442 53,540 61,754 70,065
0,975 0,03982 0,0506 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6.262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,688 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 24,433 32,357 40,482 48,758 57,153 65,647 74,222
0,95 0,00393 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 26,509 34,764 43,188 51,739 60,391 69,126 77,929
0,90 0,0158 0,211 0,584 1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 5,578 6,304 7,042 7,790 8,547 9,312 10,085 10,865 11,651 12,443 13,240 14,041 14,848 15,659 16,473 17,292 18,114 18,939 19,768 20,599 29,051 37,689 46,459 55,329 64,278 73,291 82,358
0,75 0,102 0,575 1,213 1,923 2,675 3,455 4,255 5,071 5,899 6,737 7,584 8,438 9,299 10,165 11,036 11,912 12,792 13,675 14,562 15,452 16,344 17,240 18,137 19,037 19,939 20,843 21,749 22,657 23,567 24,478 33,660 42,942 52,294 61,698 71,145 80,625 90,133
0,50 0,455 1,386 2,366 3,357 4,351 5,348 6,346 7,344 8,343 9,342 10,341 11,340 12,340 13,339 14,339 15,338 16,338 17,338 18,338 19,337 20,337 21,337 22,337 23,337 24,337 25,336 26,336 27,336 28,336 29,336 39,335 49,335 59,335 69,334 79,334 89,334 99,334
Para V > 100
Tomado del libro Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones, de Juan Prawda, Referencia 23.
JORGE ACUÑA ACUÑA
8 5
Z 1Z 1Z Z Z
5 2 2 3 2 5 5 8 2 8 5 8 2 2 3 5 3 8 3 3 8 8 2 3 3 8 3 3 8 888 2 :8
2225 22233 5 2 5 ""
^_•!•_!!-;
X 3 2 S E S S a » 8 8 3 3 2 8 5 5 3 9 3 2 S 3 3 3 3 2 2 = SSSJS^
*¿25 25225 **2*2 22222 22222 22222 22222 = 85283 32922 ¿222 22252 25*** 22222 22222 22222 22222 R S S R 2J2sS= Z S S 8 S 2 8 5 P R 5 8 3 2
3338 233X2 22832 2=555 =23X3 2=888 8=392
222* 22555 2*22* 22222 22222 22222 22225 SX 2 2 2 2X 32 X8=X= 3 23 3 3 SP222 8 23 2 2 323 3 ?
¿ 3 2 " 2*555 35352 22222 22222 22222 22225 8 3 “ 3 £ 2 5 9 5 32X23: 2 8 2 = 8 P 5 P P 2 8 3 8 8 2 3 8 = 2 5
¿ 2 2 " 22553 3¿*5* 22222 22222 22222 22222 3333 =X£?S 828sX 2283= 33333 2=283 8=332
2J22 23323 35352 22222 22222 22222 22222 ñSflt 3 8 2 X 2 3 9 2 S S £ 2 » 2 2 3 5 = 8 8 8 X 5 8 = P 8 8 S 8 225 25223 22255 - 22 22222 22222 2 -• ■ --rifi» 5 :8 5 8 3 5 = 2 2 8 8 2 X 5 = 2 8 2 2 3 8 = 8 8 5 5 = 8 8 2
TABLA IV. Areas bajo la curva de la
¡
¿222 32333 33ri¿5 52222 2222- 22222 22222
:
5.
* 2 2 2 2 ?s? ? 2 2 2 2 3 2 X 3 S 5 X 2 3 S 2 5 8 2 5 3 2 2 5 = 2 9
5322 22222 33c«33 53222 2222- 2 2 2 -- 22222 2 5 3 2 8XP33 2 8= 2 2 8808S X 22 23 £38 8 2 58=38
1 JS
¿225 25533 2 2 2 ^ 5535- 22222 2— - -2222 3 E S S = S 5 £ 9 " 8 5 8 2 2 8 8 3 3 8 5 5 :5 : 3 5 3 5 : 8 8 3 2 P P 8
2233 23532 5555c* 55355 52222 22222 22222 -a a s 8=53= =33=* xzssx sssxa 55538
s ís p c
2222 25523 22222 5«ri53 55522 22222 22222
l
S Z a S 9 S 3 8 5 X 2 5 R 3 = 2 5 3 :: 8 8 8 8 3 8=888 " 5 8 2 P
2223 22523 22225 555*»* 22555 22252 22222 2 2 = 8 2 =2 3 = 3 2 2 2 = 8 33 8 2 3 33 Z 2 88888 88S8S
2355 2«ñ252 32222 5555c* c*c«r¿c*c* 52555 33222 2XXZ £22=2 =3322 X2=28 228=2 29922 38383
"225 23535 33222 22233 5555.-* 55^^^ r¡2522 8 ^82 9888= 583XK 2X399 2X232 S=8R5 83228
2522 22533 52332 22222 22222 22233 53525 9 8 X 2 CXX ZS 2X = 55 8 8 3 3 = 2 8X 2X 2 2 = 9 9 2 3 2 2 2
nnnnn r*«r*r*r* c*r¡c*c«c* r*5r^r* ricicicír* ric*r*r*c*
3933 852XX R3532 S S S 5 Í 88539 53888 3385=
»*«•*<• •*<•*>•* 2 = 2 2 2
22922 8=553 83538 3338
( Cíl) i o p r o j u io i o p ]op /
.
pwjaaqn
» <>P «0
*
CONTROL DE CALIDAD
TABLA V. Probabilidades en la distribución binomial (') P 0,10
0,20
0,25
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0 1 2 3 4 5
0,5905 0,9185 0,9914 0,9995 1,0000 1,0000
0,3277 0,7373 0,9421 0,9933 0,9997 1,0000
0,2373 0,6328 0,8965 0,9844 0,9990 1,0000
0,1681 0,5282 0,8369 0,9692 0,9976 1,0000
0,0778 0,3370 0,6826 0,9130 0,9898 1,0000
0,0312 0,1875 0,5000 0,8125 0,9688 1,0000
0,0102 0,0870 0,3174 0,6630 0,9222 1,0000
0,0024 0,0308 0,1631 0,4718 0,8319 1,0000
0,0003 0,0067 0,0579 0,2627 0,6723 1,0000
0,0000 0,0005 0,0086 0,0815 0,4095 1,0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,3487 0,7361 0,9298 0,9872 0,9984 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,1074 0,3758 0,6778 0,8791 0,9672 0,9936 0,9991 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000
0,0563 0,2440 0,5256 0,7759 0,9219 0,9803 0,9965 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000
0,0282 0,1493 0,3828 0,6496 0,8497 0,9527 0,9894 0,9984 0,9999 1,0000 1,0000
0,0060 0,0464 0,1673 0,3823 0,6331 0,8338 0,9452 0,9877 0,9983 0,9999 1,0000
0,0010 0,0107 0,0547 0,1719 0,3770 0,6230 0,8281 0,9453 0,9893 0,9990 1,0000
0,0001 0,0017 0,0123 0,0548 0,1662 0,3669 0,6177 0,8327 0,9536 0,9940 1,0000
0,0000 0,0001 0,0016 0,0106 0,0474 0,1503 0,3504 0,6172 0,8507 0,9718 1,0000
0,0000 0,0000 0,0001 0,0009 0,0064 0,0328 0,1209 0,3222 0,6242 0,8926 1,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0016 0,0128 0,0702 0,2639 0,6513 1,0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8, 9 10 11 12 13 14 15
0,2059 0,5490 0,8159 0,9444 0,9873 0,9978 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,0352 0,1671 0,3980 0,6482 0,8358 0,9389 0,9819 0,9958 0,9992 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,0134 0,0802 0,2361 0,4613 0,6865 0,8516 0,9434 0,9827 0,9958 0,9992 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,0047 0,0353 0,1268 0,2969 0,5155 0,7216 0,8689 0,9500 0,9848 0,9963 0,9993 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,0005 0,0052 0,0271 0,0905 0,2173 0,4032 0,6098 0,7869 0 9050 0,9662 0,9907 0,9981 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000
0,0000 0,0005 0,0037 0,0176 0,0592 0,1509 0,3036 0,5000 0,6964 0,8491 0,9408 0,9824 0,9963 0,9995 1,0000 1,0000
0,0000 0,0000 0,0003 0,0019 0,0094 0,0338 0,0951 0,2131 0,3902 0,5968 0,7827 0,9095 0,9729 0,9948 0,9995 1,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0037 0,0152 0,0500 0,1311 0,2784 0,4845 0,7031 0,8732 0,9647 0,9953 1,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0042 0,0181 0,0611 0,1642 0,3518 0,6020 0,8329 0,9648 1,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0.0023 0,0127 0,0556 0,1841 0,4510 0,7941 1,0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0,1216 0,3917 0,6769 0,8670 0,9568 0,9887 0,9976 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0.0Í15 0,0692 0,2061 0,4114 0,6296 0,8042 0,9133 0,9679 0,9900 0,9974 0,9994 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,0032 0,0243 0,0913 0,2252 0,4148 0,6172 0,7858 0,8982 0,9591 0,9861 0,9961 0,9991 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,0008 0,0076 0,0355 0,1071 0,2375 0,4164 0,6080 0,7723 0,8867 0,9520 0,9829 0,9949 0,9987 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,0000 0,0005 0,0036 0,0160 0,0510 0,1256 0,2500 0,4159 0,5956 0,7553 0,8725 0,9435 0,9790 0,9935 0,9984 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,0000 0,0000 0,0002 0,0013 0,0059 0,0207 0,0577 0,1316 0,2517 0,4119 0,5881 0,7483 0,8684 0,9423 0,9793 0,9941 0,9987 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0016 0,0065 0,0210 0,0565 0,1275 0,2447 0,4044 0,5841 0,7500 0,8744 0,9490 0,9840 0,9964 0,9995 1,0000 1,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0013 0,0051 0,0171 0,0480 0,1133 0,2277 0,3920 0,5836 0,7625 0,8929 0,9645 0,9924 0,9992 1,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0026 0,0100 0,0321 0,0867 0,1958 0,3704 0,5886 0,7939 0,9308 0,9885 1,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0024 0,0113 0,0432 0,1330 0,3231 0,6083 0,8784 1,0000
TABLA VI. Distribución de Poisson acumulada
JORGE ACUÑA ACUÑA 677
LANDA
0
1
678
Continuación de Tabla VI
2
3
4
5
1,00
0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,999
1,05
0,350 0,717 0,910 0,978 0,995 0,999
1.10
0,333 0,699 0,900 0,974 0,995 0,999
6
1,15
0,317 0,681
1,20
0,301
1,25
0,286 0,645 0,868 0,962 0,991
1,30
0,273 0,627 0,857 0,957 0,989 0,998
0,999
1,35
0,259 0,609 0,845 0,952 0,988 0,997
0,999 0,999
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,890 0,970 0,993 0,999
0,663 0,879 0,966 0,992 0,998 0,998
1,40
0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997
1,45
0,235 0,575 0,821
1,50
0,223 0,558 0,809 0,934 0,981
0,940 0,984 0,996
0,999 0,999
0,999
0,995
0,999
0,796 0,928 0,979 0,995
0,999
1,55
0,212 0,541
1,60
0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994
0,999
1,65
0,192 0,509 0,770 0,914 0,973 0,993
0,998 0,999
1,70
0,183 0,493 0,757 0,907 0,970 0,992
0,998
1,75
0,174 0,478 0,744 0,899 0,967 0,991
0,998 0,999
1,80
0,165 0,628 0,731
0,891 0,963 0,990
0,997 0,999
1,85
0,157 0,448 0,717 0,883 0,960 0,988
0,997 0,999
1,90
0,150 0,434 0,704 0,875 0,956 0,987
0,997 0,999
1,95
0,142 0,420 0,690 0,866 0,952. 0,985
0,996 0,999
2,00
0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983
0,995 0,999
2,05
0,129 0,393 0,663 0,848 0,943 0,982 0,995
2,10
0,122 0,380 0,650
2,15
0,116 0,367 0,636 0,829 0,933 0,977 0,993
0,999
CONTROL DE CALIDAD
0,999
0,839 0,938 0,980 0,994 0,999 0,998 0,999
I
LANDA
0
1
2
3
4
5
0,355 0,623 0,819 0,928 0,975
6
7
8
0,992 0,998 0,999
2,20
0,111
2,25
0,105 0,342 0,609 0,809 0,922 0,973
2,30
0,100 0,331
2,35
0,095 0,319 0,583 0,789 0,910 0,967
0,990 0,997 0,999
2,40
0,091
0,308 0,570 0,779 0,904 0,964
0,988 0,997 0,999
2,45
0,086 0,298 0,557 0,768 0,898 0,961
0,987 0,996 0,999
2,50
0,082 0,287 0,544 0,758 0,891
0,986 0,996 0,999
2,55
0,078 0,277 0,531
0,747 0,884 0,954
0,984 0,995 0,999
2,60
0,074 0,267 0,518 0,736 0,877 0,951
0,983 0,995 0,999
2,65
0,071
2,70
0,067 0,249 0,494 0,714 0,863 0,943
0,596 0,799 0,916 0,970
0,958
0,258 0,506 0,725 0,870 0,947
0,981
0,997 0,999
0,994 0,998 0,999
0,979 0,993 0,998 0,999 0,978 0,993 0,998 0,999
2,75
0,064 0,240 0,481
2,80
0,061
2,85
0,058 0,223 0,458 0,681 0,840 0,930
0,973 0,991
2,90
0,055 0,215 0,446 0,670 0,832 0,926
0,971
2,95
0,052 0,207 0,434 0,658 0,824 0,921
0,969 0,989 0,997 0,999
3,00
0,050 0,199 0,423 0,647 0,815 0,916
0,566 0,988 0,996 0,999
3,05
0,047 0,192 0,412 0,636 0,807 0,911
0,964 0,987 0,996 0,999
3,10
0,045 0,185 0,401
3,15
0,043 0,178 0,390 0,614 0,789 0,900
0,958 0,984 0,995 0,998 0,999
3,20
0,041 0,171 0,380 0,603 0,781
0,895
0,955 0,983 0,994 0,998 0,999
3,25
0,039 0,165 0,370 0,591 0,772 0,889
0,952 0,982 0,994 0,998 0,999
3,30
0,037 0,159 0,359 0,580 0,763 0,883
0,949 0,980 0,993 0,998 0,999
3,35
0,035 0,153 0,349 0,569 0,753 0,877
0,946 0,979 0,992 0,998 0,999
0,231
0,703 0,855 0,939
0,992 0,998 0,999 0,991
0,469 0,692 0,848 0,935
0,625 0,798 0,906
JORGE ACUÑA ACUÑA
Continuación de Tabla VI
0,976
0,961
0,992 0,998 0,999 0,997 0,999
0,990 0,997 0,999
0,986 0,995 0,999
679
678
Continuación de Tabla VI
LANDA
0
1
2
3
4
5
1,00
0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,999
1,05
0,350 0,717 0,910 0,978 0,995 0,999
6
7
1,10
0,333 0,699 0,900 0,974 0,995 0,999
1,15
0,317 0,681
1,20
0,301
1,25
0,286 0,645 0,868 0,962 0,991
0,998
0,999
1,30
0,273 0,627 0,857 0,957 0,989 0,998
0,999
1,35
0,259 0,609 0,845 0,952 0,988 0,997
0,999
1,40
0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997
0,999
1,45
0,235 0,575 0,821
0,999
1,50
0,223 0,558 0,809 0,934 0,981
1,55
0,212 0,541
0,796 0,928 0,979 0,995
0,999
1,60
0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994
0,999
1,65
0,192 0,509 0,770 0,914 0,973 0,993
0,998 0,999
1,70
0,183 0,493 0,757 0,907 0,970 0,992
0,998 0,999
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,890 0,970 0,993 0,999
0,663 0,879 0,966 0,992 0,998
0,940 0,984 0,996 0,995
0,999
0,999
0,174 0,478 0,744 0,899 0,967 0,991
0,998 0,999
0,165 0,628 0,731
0,891 0,963 0,990
0,997 0,999
1,85
0,157 0,448 0,717 0,883 0,960 0,988
0,997 0,999
1,90
0,150 0,434 0,704 0,875 0,956 0,987
0,997 0,999
1,95
0,142 0,420 0,690 0,866 0,952 0,985
0,996 0,999
2,00
0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983
0,995
2,05
0,129 0,393 0,663
0,995 0,999
2,10
0,122 0,380 0,650 0,839 0,938 0,980 0,994 0,999
2,15
0,116 0,367 0,636 0,829 0,933 0,977
0,848 0,943
0,982
0,993
CONTROL DE CALIDAD
1,75 1,80
0,999
0,998 0,999
I
LANDA
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2,20
0,111
0,355 0,623 0,819 0,928 0,975
0,992 0,998 0,999
2,25
0,105 0,342 0,609 0,809 0,922 0,973
0,992 0,998 0,999
2,30
0,100 0,331
2,35
0,095 0,319 0,583 0,789 0,910 0,967
2,40
0,091
0,308 0,570 0,779 0,904 0,964
0,988 0,997 0,999
2,45
0,086 0,298 0,557 0,768 0,898 0,961
0,987 0,996 0,999
0,596 0,799 0,916 0,970
0,991
9
10
0,997 0,999
0,958
0,986 0,996 0,999 0,984 0,995 0,999
2,60
0,074 0,267 0,518 0,736 0,877 0,951
0,983 0,995 0,999
2,65
0,071
2,70
0,067 0,249 0,494 0,714 0,863 0,943
0,979 0,993 0,998 0,999
2,75
0,064 0,240 0,481
0,703 0,855 0,939
0,978 0,993 0,998 0,999
2,80
0,061
0,231 0,469 0,692 0,848 0,935
0,976 0,992 0,998 0,999
2,85
0,058 0,223 0,458 0,681 0,840 0,930
0,973 0,991
2,90
0,055 0,215 0,446 0,670 0,832 0,926
0,971
2,95
0,052 0,207 0,434 0,658 0,824 0,921
0,969 0,989 0,997 0,999
3,00
0,050 0,199 0,423 0,647 0,815 0,916
0,566 0,988 0,996 0,999
3,05
0,047 0,192 0,412 0,636 0,807 0,911
0,964 0,987 0,996 0,999
3,10
0,045 0,185 0,401 0,625 0,798 0,906
0,961
3,15
0,043 0,178 0,390 0,614 0,789 0,900
0,958 0,984 0,995 0,998 0,999
3,20
0,041 0,171 0,380 0,603 0,781 0,895
0,955 0,983 0,994 0,998 0,999
3,25
0,039 0,165 0,370 0,591 0,772 0,889
0,952 0,982 0,994 0,998 0,999
3,30
0,037 0,159 0,359 0,580 0,763 0,883
0,949 0,980 0,993 0,998 0,999
3,35
0,035 0,153 0,349 0,569 0,753 0,877
0,946 0,979 0,992 0,998 0,999
0,082 0,287 0,544 0,758 0,891
2,55
0,078 0,277 0,531
0,258 0,506 0,725 0,870 0,947
12
13
14
15
16
17
18
19
0,990 0,997 0,999
0,747 0,884 0,954
2,50
11
JORGE ACUÑA ACUÑA
Continuación de Tabla VI
0,981
0,994 0,998 0,999
0,997 0,999
0,990 0,997 0,999
0,986 0,995 0,999
679
LANDA
0
1
682
C ontinuación deTablaVI 2
5,85
0,003
5,90
0,003 0,019 0,067
0,020 0,069
3
4
5
6
7
8
0,165 0,306 0,470 0,630 0,764 0,862 0,160 0,299
9
10
11
12
0,926 0,963 0,983 0,993
0,462 0,622 0,758
0,857 0,923 0,961
0,454
0,852
13
14
15
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6,05
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6,10
0,002
0,430 0,590 0,730 0,837 0,909 0,953 0,978 0,990 0,996 0,999
6,15
0,002 0,015 0,056 0,138 0,265 0,422 0,582 0,723 0,831
6,20
0,002
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0,414 0,574 0,716
0,826 0,902 0,949 0,975
0,014 0,052
0,406 0,566 0,709
0,820 0,898 0,946 0,974 0,988 0,995 0,998 0,999
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0,996 0,999
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0,996 0,999
6,25
0,002
6,30
0,002 0,013 0,050
6,35
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6,40
0,002
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6,45
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6,60
0,001
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6,65
0,001
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6,70
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18
19
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6,75
0,001
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6,80
0,001
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6,85
0,001
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6,90
0,001
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0,981
0,959 0,980 0,991 0,996 0,998 0,999
CONTROL DE CALIDAD
0,495 0,643 0,767 0,860 0,921
0,472
0,986 0,994 0,998
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17
0,999
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0,550
0,001
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0,702 0,815
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6,50
19
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18
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6,00
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17
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5,95
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16
0,999 0,999
0,998
0,999
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0,999
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¡
LA N D A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7,20
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7,30
0,001
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7,40
0,001
0,005 0,022 0,063 0,140 0,253
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7,50
0,001
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0,525 0,662
7,60
0,001
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7,70
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7,80
0,481 0,620
0,741 0,835 0,902 0,945 0,971
7,90
0,003 0,015 0,045 0,106 0,201 0,326
0,467 0,607
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8,10
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8,20
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8,30
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8,40
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8,50
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8,70
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8,80
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8,90
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9,00
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0,006 0,021
JORGE ACUÑA ACUÑA
Continuación deTablaVI
0,692 0,796 0,873 0,926 0,960 0,979 0,990 0,995 0,998 0,999 0,957 0,977 0,989 0,995 0,998 0,999
0,996 0,998 0,999
683
LANDA
1
2
3
684
C ontinuación deTablaVI 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9,10
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9,20
0,001
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0,430 0,561
14
15
16
17
18
19
20
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9,30
0,001
9,40
0,001
9,50
0,001
9,60
0,001
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9,70
0,001
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9,80
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10,00
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0,001
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11,00
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11,60
0,001
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11,80
0,001
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12,00
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12,20
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0,995
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12,40
0,002 0,006 0,016 0,036 0,073 0,131
12,50
0,002 0,005 0,015 0,035 0,070 0,125 0,201
0,209 0,307 0,417 0,530 0,639 0,735 0,814 0,876 0,920 0,951
0,971
0,984
0,297 0,406 0,519 0,628 0,725 0,806 0,869 0,916 0,948 0,969 0,983
12,60
0,001
0,005 0,014 0,032 0,066
12,80
0,001
0,004 0,012 0,029 0,060 0,109 0,179 0,269 0,374 0,485 0,595 0,695 0,781
0,120 0,194 0,288 0,395 0,508 0,617 0,715 0,798 0,863 0,911
0,945 0,967 0,981
0,850 0,901 0,938 0,963 0,978
LANDA
1
2
3
4
5
0,004 0,011
6
;
0,026 0,054
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,100 0,166 0,252 0,353 0,463 0,573 0,675 0,764 0,835 0,890 0,930 0,957 0,975 0,153 0„"35 0,333 0,441 0,551 0,655 0,746 0,821 0,879 0,922 0,952 0,971
13,00
0,001
13,20
0,000 0,003 0,009 0,023 0,049 0,091
0,219 0,319 0,420 0,529 0,634 0,727 0,805 0,867 0,913 0,945 0,967 0,079 0,135 0,211 0,304 0,409 0,518 0,623 0,718 0,798 0,861 0,908 0,942 0,965
13,40
0,003 0,008 0,020 0,044 0,083 0,141
13,50
0,003 0,008 0,019 0,041
13,60
0,002 0,007 0,018 0,040 0,075 0,130 0,204 0,295 0,399 0,507 0,613 0,708 0,789 0,854 0,904 0,939 0,963 0,002 0,006 0,016 0,035 0,069 0,119 0,189 0,277 0,378 0,486 0,592 0,689 0,773 0,841 0,893 0,931 0,958
13,80
14,40
0,002 0,005 0,014 0,032 0,062 0,109 0,176 0,260 0,358 0,464 0,570 0,669 0,756 0,827 0,883 0,923 0,952 0,002 0,005 0,013 0,028 0,056 0,100 0,163 0,243 0,339 0,443 0,549 0,649 0,738 0,813 0,871 0,915 0,946 0,001 0,004 0,011 0,025 0,051 0,092 0,151 0,228 0,320 0,423 0,528 0,630 0,720 0,797 0,859 0,906 0,940
14,50
0,001 0,004 0,010 0,024 0,048 0,088 0,145 0,220 0,311
14,60
0,001
14,00 14,20
0,413 0,518 0,619 0,711
0,790 0,853 0,901
0,936
15,00
0,004 0,010 0,023 0,046 0,084 0,139 0,213 0,302 0,402 0,507 0,609 0,702 0,782 0,847 0,896 0,933 0,001 0,003 0,009 0,020 0,042 0,066 0,129 0,198 0,285 0,383 0,486 0,589 0,683 0,766 0,833 0,886 0,925 0,001 0,003 0,008 0,018 0,037 0,070 0,118 0,185 0,268 0,363 0,466 0,568 0,664 0,749 0,819 0,875 0,917
15,20
0,000 0,002 0,007 0,016 0,033 0,064 0,109 0,172 0,251
14,80
0,344 0,445 0,548 0,645 0,732 0,805 0,864 0,908
15,60
0,014 0,030 0,058 0,100 0,160 0,236 0,326 0,425 0,527 0,625 0,714 0,790 0,852 0,899 0,002 0,006 0,013 0,029 0,055 0,096 0,154 0,228 0,317 0,415 0,517 0,615 0,705 0,782 0,846 0,894 0,002 0,005 0,013 0,027 0,053 0,092 0,148 0,221 0,308 0,406 0,507 0,606 0,696 0,775 0,839 0,889
15,80
0,002 0,005
16,00
0,001
0,004
16,20
0,001
0,004 0,009
0,020 0,039 0,071 0,117 0,180 0,259 0,349 0,447 0,546 0,641
16,40
0,001
0,003 0,008
0,018 0,035 0,065 0,108 0,168
16,50
0,001
0,003
15,40 15,50
JORGE ACUÑA ACUÑA
Continuación deTablaVI
CONTROL DE CALIDAD
0,081
0,972 0,985 0,992 0,996
0,854 0,907 0,944 0,968 0,982 0,991
0,002 0,006
0,012 0,025 0,048 0,084 0,137 0,207 0,291 0,010
0,007 0,017 0,034 0,062 0,104 0,162
0,001
0,003 0,007
0,001
0,002
17,00
0,001
0,002 0,005
17,20
0,001
0,002
17,40
0,001
0,002 0,004
0,006
0,243 0,331
0,467 0,566 0,659 0,742
0,812 0,868
0,726 0,798 0,857
0,428 0,526 0,622 0,708
0,783 0,845
0,236 0,323 0,418 0,516 0,612 0,700 0,776 0,838
0,016 0,032 0,059 0,100 0,156 0,228 0,314 0,409 0,507 0,602 0,691 0,768 0,832 0,014 0,029 0,054 0,092 0,145 0,214 0,297 0,390 0,487 0,583 0,673 0,752 0,819 0,013 0,026 0,049 0,084 0,135
0,201
0,281
0,371
0,468 0,564 0,655
0,736 0,805
0,024 0,045 0,078 0,125 0,188 0,265 0,353 0,449 0,545 0,637 0,720 0,791 0,010 0,021 0,040 0,071 0,116 0,176 0,250 0,336 0,430 0,526 0,618 0,703 0,777
0,005 0,011
685
16,60 16,80
0,386 0,487 0,586 0,678 0,759 0,826 0,879
0,022 0,043 0,077 0,127 0,193 0,275 0,368
LANDA
1
2
3
686
C ontinuación deTablaVI 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
17,50
0,000 0,001
0,004 0,009 0,020 0,039 0,068 0,112 0,170 0,243 0,328 0,420 0,516 0,609
17,60
0,001
0,003 0,009 0,019 0,037 0,065 0,107 0,164 0,235 0,319 0,411 0,506 0,600
0,686 0,762
17,80
0,001
0,003 0,008 0,017 0,033 0,060 0,099 0,153 0,221
0,303 0,393 0,487 0,581
0,669 0,746 0,651 0,731
18,00
0,001
0,003 0,007 0,015 0,030 0,055 0,092 0,143 0,208 0,287 0,375 0,469 0,562
18,20
0,001
0,003 0,006 0,014 0,027 0,050 0,084 0,133 0,195
18,40
0,000 0,002 0,006 0,012 0,025 0,046 0,078 0,123 0,183 0,256 0,341 0,432 0,525
0,271
0,358 0,450
0,544 0,633 0,715
18,50
0,002
0,005 0,012 0,024 0,044 0,075 0,119 0,177 0,249 0,332 0,423 0,516
18,60
0,002
0,005
0,072 0,115 0,171
0,242 0,324 0,414
18,80
0,002
0,004 0,010 0,020 0,038 0,066 0,106 0,160
19,00
0,001
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19,20
0,001
0,003 0,008 0,017 0,031
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0,695 0,769
0,615 0,698 0,606 0,690
0,506 0,597 0,681
0,228 0,308 0,396
0,488
0,098
0,150 0,215 0,292 0,37
0,469
0,561 0,647
0,056 0,091
0,140 0,202 0,277 0,361
0,451
0,542 0,630
0,084 0,130 0,190 0,262 0,345 0,433
0,524 0,612
0,579 0,664
19,40
0,001
0,003 0,007 0,015 0,029 0,051
19,50
0,001
0,003 0,007 0,014 0,027 0,049 0,081
19,60
0,001
0,003
19,80
0,001
0,002 0,006 0,0.2 0,024 0,043 0,072
0,113 0,167 0,234 0,312 0,398
0,488 0,577
20,00
0,001
0,002 0,005 0,011 0,021
0,066
0,105 0,157 0,221 0,297 0,381
0,470 0,559
20,20
0,001
0,002 0,004 0,010 0,019 0,036 0,061
0,097 0,146 0,208 0,282 0,365
0,453 0,541
20,40
0,001
0,002
0,004 0,009 0,018 0,033 0,056 0,090 0,137 0,196 0,268 0,348
0,435 0,524
20,50
0,001
0,002
0,004 0,008 0,017 0,031
0,426 0,515
20,60
0,000 0,001
20,80
0,001
0,003 0,008 0,014 0,027 0,047 0,077 0,119 0,174 0,240 0,317 0,401 0,488
21,00
0,001
0,003 0,006 0,013 0,024 0,043 0,071
0,111
21,20
0,001
0,002 0,006 0,012 0,022 0,040 0,066
0,103 0,153 0,214 0,287
0,368 0,454
21,40
0,001
0,002 0,005 0,010 0,020
0,096
21,50
0,001
0,002 0,005 0,010 0,019 0,035
0,126 0,184 0,255 0,336 0,425 0,515 0,603
0,006 0,013 0,026 0,047 0,078 0,121
0,039
0,004 0,008 0,016 0,030 0,051
0,132 0,190 0,260 0,340
0,084 0,128 0,185 0,254 0,332 0,418 0,506
0,036 0,061
0,163 0,227 0,302
0,384 0,471
0,143 0,202
0,273
0,352 0,437
0,059 0,093 0,139 0,196
0,266
0,344 0,428
¡
1iBr/F/UBWoi
CONTROL DE CALIDAD
0,054 0,087
0,178 0,248 0,328 0,416 0,506 0,595
10
LANDA
11
14
12
15
18
16
19
20
0,259 0,336 0,420
21,60
0,001
0,002 0,004 0,009 0,018 0,033 0,056 0,089 0,134 0,191
21,80
0,001
0,002 0,004 0,008 0,017 0,030 0,052 0,083 0,125 0,180 0,245 0,321
22,00
0,001
0,002 0,003 0,008 0,015 0,028 0,048 0,077 0,117 0,169 0,233 0,306 0,387
22,20
0,000 0,001 0,003 0,007 0,014 0,025 0,044 0,071
0,109 0,159 0,220 0,291
0,403
0,371
22,40
0,001
0,003 0,006 0,012 0,023 0,040 0,066 0,102 0,149 0,208 0,277 0,355
22,50
0,001
0,003 0,006 0,011
0,022 0,039 0,063 0,098 0,144 0,202 0,271
22,60
0,001
0,003 0,006 0,011
0,021
0,037 0,061
JORGE ACUÑA ACUÑA
Continuación deTablaVI
0,347
0,094 0,140 0,196 0,264 0,340 0,185 0,251
0,325
22,80
0,001
0,002 0,005 0,010 0,019 0,034 0,056 0,088 0,131
23,00
0,001
0,002 0,004 0,009 0,017 0,031
23,20
0,001
0,002 0,004 0,008 0,016 0,028 0,048 0,076 0,115 0,165 0,225 0,296
23,40
0,001
0,002 0,004 0,007 0,014 0,026 0,044 0,071
23,50
0,000 0,001 0,003 0,007 0,014 0,025 0,042 0,068 0,104 0,150 0,208 0,275
0,052 0,082 0,123 0,175 0,238 0,310
0,107 0,155 0,213 0,282
0,066 0,100 0,146 0,202 0,268
23,60
0,001 0,003 0,007 0,013 0,024 0,041
23,80
0,001 0,003 0,006 0,012 0,022 0,037 0,061
24,00
0,001 0,003 0,005 0,011
24,20
0,001 0,002 0,005 0,010 0,018 0,032 0,052 0,081
24,40
0,001 0,002 0,004 0,009 0,017 0,029 0,048 0,075 0,113 0,160 0,219
24,50
0,001 0,002 0,004 0,008 0,016 0,028 0,046 0,073 0,109 0,156 0,213
24,60
0,001 0,002 0,004 0,008 0,015 0,027 0,044 0,070 0,105 0,151
24,80
0,001 0,002 0,004 0,007 0,014 0,024 0,041
25,00
0,000 0,001
0,093 0,137 0,191
0,255
0,020 0,034 0,056 0,087 0,128 0,180 0,243 0,120 0,170 0,230
0,207
0,065 0,099 0,142 0,196
0,003 0,006 0,012 0,022 0,038 0,060 0,092 0,134 0,185
687
C O N T R O L D E C A L ID A D
TABLA VII. Constante K, para límites de tolerancia individuales {') 1 - a - 0.99
- a - 0.95
n 2 3 4 5 6 7 3 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200 250 300 400 500 600 700 800 900 1000 00
\
p
0.90
0.95
0.99
0.90
0.95
0.99
32.019 8.380 5.369 4.275 3.712 3.369 3.136 2.967 2.839 2.737 2.655 2.587 2.629 2.480 2.437 2.400 2.366 2.337 2.310 2.208 2.140 2.090 2.052 2.021 1.996 1.976 1.958 1.943 1.929 1.917 1.907 1.897 1.889 1.881 1.874 1.825 1.798 1.780 1.767 1.749 1.737 1.729 1.722 1.717 1.712 1.709 1.645
37.674 9.916 6.370 5.079 4.414 4.007 3.732 3.532 3.379 3.259 3.162 3.081 3.012 2.954 2.903 2.858 2.819 2.784 2.752 2.631 2.549 2.490 2.445 2.408 2.379 2.354 2.333 2.315 2.299 2.285 2.272 2.261 2.251 2.241 2.233 2.175 2.143 2.121 2.100 2.084 2.070 2.060 2.052 2.046 2.040 2.036 1.960
48.430 12.861 8.299 6.634 5.775 5.248 4.891 4.631 4.433 4.277 4.150 4.044 3.955 3.878 3.812 3.754 3.702 3.656 3.615 3.457 3.350 3.272 3.213 3.165 3.128 3.094 3.066 3.042 3.021 3.002 2.966 2.97) 2.958 2.945 2.934 2.859 2.816 2.788 2.707 2.739 2.721 2.707 2.097 2.G88 2.682 2.676 2.576
160.193 18.930 9.398 6.612 5.337 4.613 4.147 3.822 3.582 3.397 3.250 3.130 3.029 2.945 2.872 2.808 2.753 2.703 2.659 2.494 2385 2.306 2.247 2.200 2.162 2.130 2.103 2.080 2.060 2.042 2.026 2.012 1.999 1.987 1.977 1.905 1.865 1.839 1.820 1.794 1.777 1.764 1.755 1.747 1.741 1.736 1.645
188.491 22.401 11.150 7.855 6.345 5.488 4.936 4.550 4.265 4.045 3.870 3.727 3.608 3.507 3.421 3.345 3.279 3.221 3.168 2.972 2.841 2.748 2.677 2.621 2.576 2.538 2.500 2.478 2.454 2.433 2.414 2.397 2.382 2.368 2.355 2.270 2.222 2.191 2.109 2.138 2.117 2.102 2.091 2.082 2.075 2.068 1.960
242.300 29.055 14.527 10.260 8301 7.187 6.468 5.966 5.594 5.308 5.079 4.893 4.737 4.605 4.492 4.393 4.307 4.230 4.161 3.904 3.733 3.611 3.518 3.444 3.385 3.335 3.293 3.257 3.225 3.197 3.173 3.150 3.130 3.112 3.096 2.983 2.921 2.880 2.850 2.809 2.783 2.763 2.748 2.736 2.726 2.718 2.576
* Tomada de la Referencia 20
Tomada de la
TABLA
VIII. Tabla de
JORGE ACUÑA ACUÑA 689
