JERARQUÍA DE OPERACIONES 1
(a)
2 3
PARÉNTESIS, CORCHETES Y LLAVES
POTENCIAS Y RAÍCES
√
1
2
× MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ÷ + SUMAS Y RESTAS -
4
3 4
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Ley de signos sumas y restas Si se tiene dos números con Si se tiene dos números con signos (+), se suma los números signos (-), se suma los números y se pone el signo (+). y se pone el signo (-). •
+3+5=+8
-3-5=-8
Si se tiene un número con signo (+) y el otro signo (-), se resta los valores de ambos números y se conserva el signo del número más grande, tapando los signos.
+3-5=-2
•
-3+5=+2
Ley de signos de la multiplicación y división MULTIPLICACIÓN Ejemplos
(+) (+) = (+)
(+) (-) = (-)
9 4 = 36
(+) (+) = (+)
+ +4 = +4
(+) (-) = (-)
+ -4 = -4
(-) (+) = (-)
-
(-) (-) = (+)
- -4
+4 = -4 = +4
DIVISIÓN
++ +− −+ −−
( ) = (+) ( )
Ejemplos 8/2 = 4
5 -4 = - 20
( ) = (-) ( )
12/-3 = -4
(-) (+) = (-)
- 8 4 = - 32
( ) = (-) ( )
-36/6 = -6
(-)
- 6 -4 = 24
( ) = (+) ( )
-48/-3 = 16
(-) = (+)
Ejercicio 1 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >> 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
- 6 - 10 -3 + 12 + 13 + 14 = - {7 – 8 + [15 – 12 – (14 + 1 – 9) + 5]} 5]} = – 15 - {6 + [(- 3 + 1 – 8) - ( 4 – 1)] – 7 + 1 = – 8 + (- 7 + 5) + 3 - [2 - (4 - 9) + 3] - (- 7) 7) + 9 = 3 x 6 ÷ 2 + 10 ÷ 5 x 3 = 50 ÷ 5 – 16 ÷ 2 + 12 ÷ 6 = 12 ÷ 4 x 3 + 18 ÷ 9 x 3 – 4 x 3 = (10 - 2) ÷ 2 x 3 + (8 + 6) (7 -2) – 12 x 2 ÷8 = (6 + 2) x (7 - 4) 4) ÷ (14 (14 - 2) + ( 12 – 8) x (7 + 3) ÷ (10 - 2) = 12 + (- 4) + 2 (- 5) (- 4)(- 1) – 24 ÷ (-8+2) - (-4) (2) (- 3) = En un cine hay 54 hombres, 74 mujeres y 12 niños cada uno ocupa una butaca. ¿Cuántas butacas no se han ocupado si el cine tiene 300 butacas? a) 140 b) 150 c) 160 d) 200 12. En el cuartel hay 426 soldados. Han llegado 318 soldados más y se han ido 20. ¿Cuántos hay ahora? a) 718 b) 728 c) 700 d) 708
13. Vendiendo 13 sacos de grano a $220 cada uno, se ganan $50 sobre el precio de compra. ¿Cuánto han costado los 13 sacos? a) 2860 b) 650 c) 2210 d) 3510 14. Después de comprar 12 libros de algebra del mismo precio me sobran $27 y me falta $35 para comprar otro libro más. ¿Cuánto dinero disponía? a) 771 b) 787 c) 694 d) 744 15. Un comerciante compra 30 trajes a $20 cada uno, vendió 20 trajes a $18 cada uno. ¿En cuánto debe vender los restantes para no tener perdida? a) 12 b) 20 c) 24 d) 34 16. Un comerciante adquiere una partida de 185 computadores, abonándolos a razón de $1518 cada uno, vende 74 a $1639 cada uno y el resto a $1958 cada uno, se desea saber cuánto ha ganado. a) 75792 b) 8624 c) 57794 d) 28080 17. Para la instalación de un negocio se dispone un capital de $ 603000. El balance de fin de año dio una entrada de $586210 y un gasto de $495760. ¿a cuánto aumento nuestro capital inicial? a) 603450 b) 90450 c) 765450 d) 693450 18. De una pieza se han vendido 1575 m; luego 850 m y finalmente 2260 m, quedando aun 3215 m ¿Cuántos metros tenía la pieza? a) 7900 m b) 7500 m c) 5000 m d) 6900 m 19. Una dueña de casa compra 1150 granos de fiambre surtido por $58650; otra ha comprado 350 gramos por $16800, ¿Cuál es la diferencia diferencia de precio por gramo? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 20. Un campo rectangular tiene 208 m de largo y 156 m de ancho, ¿Cuántos metros de alambre se necesitaran para cercarlo sabiendo que se ponen tres hileras de alambre? a) 2184 b) 1092 c) 546 d) 1638 RETO Este acertijo con números
Recuerda tener en
consiste en encontrar el año de
cuenta la
nacimiento y fallecimiento de
jerarquización de las
un personaje.
operaciones, unas dominan sobre otras.
NACIMIENTO
FALLECIMIENTO
FECHA DE NACIMIENTO 54 ÷ 18 × (64 + 23) – 3 × 8 FECHA DE FALLECIMIENTO 3 × [18 ÷ 2 × (15 + 18) + 7 × 9 -5 + 13 × 15]
NÚMEROS PRIMOS Un Numero Primo es aquel que solo es divisible entre sí mismo y la unidad. El 1, por definición, no es un número primo. Los números primos entre 1 y 100 son: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,59,61,67,71,73,79,83,89,97}
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) es el menor de los múltiplos comunes a varios números. Para cálculo, descomponemos los números en factores primos, y el m.c.m es el resultado de multiplicar los factores comunes y los no comunes, afectados por el mayor exponente. Calcular el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,… Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36,… Los múltiplos de 8 son: 8, 16,24, 32, 40,…
1. a) d) g) j)
Hallar el m.c.m. en cada caso: 8 y 12 28 y 35 35 y 63 42, 36 y 48
b) 4 y 6 e) 36 y 99 h) 12 y 60 k) 45, 75 y 90
c) f) i) l)
15 y 18 85 y 15 12,15 y 20 160, 180 y 360
MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (M.C.D) (M.C.D) es, como su su nombre indica, el mayor de los divisores comunes de varios números. Para calcularlo, se descompone cada uno de ellos en factores primos. EL M.C.D. es el resultado de multiplicar los factores que se se repitan en todos las descomposiciones, afectados por el menor exponente. Calcular el máximo común divisor de 12 y 18 Los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12 Los divisores de 18 son: 1, 2, 3 , 6,9 , 18 1. Hallar el M.C.D. en cada caso: a) 49 y 63 b) 48 y 72 c) 75 y 125 d) 45 y 95 e) 120 y 90 f) 24, 36 y 68 e) 30, 60 y 90 h) 20, 36 y 40 i) 48, 52 y 72 Ejercicio 2 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1. Un comerciante va a Quito cada 18 días, otro va a Quito cada 15 días y un tercero va a Quito cada 8 días, hoy día 28 de agosto los tres comerciantes coinciden en viajar a Quito. ¿dentro de cuantos días volverán a coincidir en viajar a Quito? a) 270 b) 360 c) 180 d) 150 2. Un autobús par aun paradero cada 18 min, otro cada 25 min, y un tercer autobús cada 36 min, si a las 9 de la mañana han pasado en el lugar los tres autobuses a la vez. ¿Después de cuantas horas volverán a pasar los tres simultáneamente? a) 8 h b) 18 h c) 9 h d) 15 h 3. Se compra en una florería 24 rosas y 36 claveles. ¿Cuántos ramilletes se pueden elaborar si se colocan la mayor cantidad de flores sin que sobre ninguna? a) 12 b) 6 c) 9 d) 8 ¿Cuántas rosas y claveles se colocan en cada ramillete? a) 2 y 4 b) 3 y 1 c) 2 y 3 d) 4 y 3 4. Karla tiene 25 perlas blancas 15 perlas azules y 90 perlas rojas y quiere hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna perla. ¿Cuántos collares iguales se pueden hacer? a) 4 b) 6 c) 9 d) 5 ¿Qué número de perlas rojas tendrá cada collar? a) 22 b) 15 c) 10 d) 18 Ejercicio 3 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1) En cierto lugar el 1 de enero el sol sale a las 7h33 y se pone a las 17h15 ¿Cuál es la duración del día? a) 10h24 b) 12h30 c) 14h00 d) 9h42 e) 14h30 2) Un obrero construye tres paredes de tres metros de largo por metro y medio de alto en un día. Si cada ladrillo tiene treinta centímetros de largo por cinco de ancho. ¿Qué número de ladrillos utiliza en tres días? a) 2700 b) 400 c) 3600 d) 6000 e) 2380 3) Se han comprado, por un importe total de $9600, cinco docenas de sillas y cuatro mesas para una oficina. Si cada mesa ha costado $100 ¿Cuánto se habrá pagado por una docena de sillas? a) 960 b) 1840 c) 644 d) 126 e) 1000 4) Una persona compra cierto número de trajes por $20500. Vendió una parte por $15000, cobrando por cada traje lo mismo que le costaron. Hallar el número de trajes que le quedan si el precio de estos es el mayor posible. a) 10 c) 12 d) 13 e) 14 5) ¿Entre cuantas personas se reparten 185 naranjas, si a cada persona le toca 10 y sobran 15 naranjas? a) 15 b) 14 c) 16 d) 19 e) 17
6) Si tenía $1380, el día siguiente cobre $356 y el siguiente pague $223.5. ¿Cuánto tengo ahora? a) 1504,5 b) 1503,5 c) 1500,5 d) 1205,5 e) N.A. 7) ¿Cuál es el número que agregado 12 y a esta suma al dividir para 2 da como resultado 15? a) 12 b) 14 c) 18 d) 16 e) 20 8) Si Juan tiene $2200, Jorge tiene el doble del dinero que tiene Juan y Enrique el triple de los que tiene Juan y Jorge juntos. ¿Qué suma de dinero tiene entre los tres? a) 14400 b) 26400 c) 28400 d) 32400 e) 44400 9) Un padre le da a su hijo mayor 80 dólares, al segundo 75 dólares y al menor 60 dólares, para repartir entre los mendigos de tal forma, que todos den a cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada pobre y cuantos los mendigos socorridos? a) 5 y 15 b) 5 y 43 c) 12 y 5 d) 15 y 12 e) 16 y 15 10) ¿Cuántos árboles se tiene en borde de un campo triangular que tiene un árbol en cada vértice y cinco en cada lado? a) 12 b) 15 c) 18 d) 10 e) 14 11) Un caracol corre 5 centímetros el primer día, si cada día recorre el doble del anterior. ¿Qué distancia en total recorrerá en 4 días? a) 75 b) 55 c) 18 d) 45 e) 85 12) Una persona cobra $4 por cortar un árbol en dos partes. ¿Cuánto cobrara por cortarlo en 8 partes? a) 14 b) 16 c) 18 d) 32 e) 28 13) Ocho postes telefónicos están separados entre si por 15 metros. ¿Cuál es la distancia entre el primero y el último poste? a) 30 b) 60 c) 85 d) 105 e) 120 14) Un cangrejo, cada vez que avanza 7 metros, en línea recta, retrocede 3 m y luego se detiene un instante, para enseguida proceder igual. Si desde su punto de partida hasta su destino final, solo hay una distancia de 20 metros, ¿Cuántos metros recorrió en toda su trayectoria? a) 20 b) 40 c) 50 d) 30 e) 42 15) Un caracol sube por una pared, cada día logra ascender un metro, pero noche baja 60 cm. ¿Cuánto tardará en llegar a lo alto de la pared que mide 10 m de altura? a) 25 días b) 26 días c) 23 días d) 24 días e) 22 días 16) Si un pedazo de madera corto primero 3 pedazos y luego de cada uno de ellos se corta en 3 partes iguales y finalmente cada uno de estos en 2 partes, el número total de cortes es. a) 9 b) 8 c) 18 d) 15 e) 17 17) Dos niños que están separados una distancia de 200 pasos, comienzan a caminar uno hacia el otro, el mismo instante, con una rapidez de 4 pasos por segundo y 6 pasos por segundo, respectivamente. El tiempo transcurrido para que se encuentre es: a) 10 b) 20 c) 12 d) 15 e) 30 18) Un guardia al realizar su recorrido pasa por el frente de una cierta casa cada 45 minutos. ¿entonces en su turno de 9 horas cuantas veces visito la casa? a) 5 b) 12 c) 10 d) 9 e) 13 19) Un fusil automático puede disparar 8 balas por segundo. ¿Cuántas balas disparara en un minuto? a) 421 b) 491 c) 416 d) 431 e) 480 20) Si el reloj da 3 campanadas en 3 segundos. ¿En qué tiempo dará 6 campanadas? a) 5 b) 6 c) 7,5 d) 6,5 e) 5,5
FRACCIONES Para expresar las partes de una unidad utilizamos las fracciones. Representación gráfica.
s e n o i c c a r f e d s o i T
Propias
De la forma , donde a < b
Impropias
De la forma , donde a > b
Mixtas
De la forma
, donde a < b
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Número
Regla de divisibilidad
Ejemplos
Son divisibles para 1
Todos los números
20, 17, 45321.
Son divisibles para 2
Los números que terminan el cero o cifra par
74, 354, 3356.
Son divisibles para 3
Los números cuyas cifras suman 3 o múltiplos de 3
111, 213, 1233.
Son divisibles para 4
Los números cuyas dos últimas cifras son 00 o múltiplos de 4
12312, 987624.
Son divisibles para 5
Los números terminados en 0 o 5
20, 45, 70, 1250.
Son divisibles para 6
Los números divisibles por 2 y 3 el mismo tiempo.
132, 147, 1274.
Son divisibles para 7 Son divisibles para 8
Un numero entero es divisible entre 7, cuando al multiplicar el número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o un múltiplo de 7 los números cuyas tres últimas cifras son 000 o múltiplos de 8
315, 147, 1274. 12000, 12520.
Son divisibles para 9
Los números cuyas cifras sumas 9 o múltiplos de 9
32090310, 607300.
Son divisibles para 10
Los números terminan en 0
40, 160, 560.
Son divisibles para 11
Los números en los que la suma de las cifras de lugar par, menos la suma de las cifras de lugar impar (o viceversa) da 0 o múltiplo de 11.
4356781, 1672.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Simplificar una fracción es convertirla en una fracción equivalente más sencilla más sencilla. Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por el mismo número, la fracción simplificada se debe seguir simplificando hasta llegar a una fracción irreducible (ya no se puede simplificar mas). Aunque se puede empezar a simplificar dividiendo por cualquier número, es recomendable seguir un orden lógico (por ejemplo los primos: 2, 3, 5…), es decir probamos a dividir ambos entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente:
60192 22 1096 22 90 22 52 15 20126 22 2106 7021 77 15 120200 1220 106 5 1257 156 20 152 26 126 596 2072 ÷ ÷
÷ ÷
=
÷ ÷
=
=
÷ ÷
=
÷ ÷
=
÷ ÷
÷ ÷
=
=
Cuando numerador y denominador terminan en cero(s), se puede efectuar la simplificación más rápidamente:
=
1.
60 191
=
=
Simplificar las siguientes fracciones: a)
f)
b)
c)
d)
e)
g)
h)
i)
j)
90210 170 200 72960
k)
p)
u)
l)
722 1059 51050 20150 12926 2000 m)
n)
q)
r)
s)
v)
w)
x)
59 96000 2051 150 500 101 2650 1590 o)
t)
y)
SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES COMPUESTAS
Para simplificar expresiones fraccionarias cuyo numerador sea un producto (multiplicación) y su denominador otro producto, se van dividiendo los factores del numerador y denominador hasta que no haya factores comunes al numerador y denominador. 2. a) c)
1216 101 521 12027 5066 61 1210 16020 56 717 7 907 95 Simplificar las siguientes fracciones:
×
×
×
=
× ×
21 29 119 6 216 2720 25017 105196 106 57 29 116 265 76 5712 12715 12 127 1219 1617 152 172 ×
b)
×
×
×
× × × OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS FRACCIONARIOS d)
=
×
=
Ejercicio 3 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1. Conversión de numero mixto a fracción impropia a)
15 =
25 =
e)
2.
e)
f)
13 =
29
=
b)
=
f)
7 15
12 1225
11
d)
e)
El valor de 2 ÷
b) 2 c)
d)
f)
59 119
+
4
2+
+
2
19 = =
g)
=
h)
=
f)
3 =
3+
12 =
e)
1+
h)
d)
c)
12 +
16 =
=
÷ es:
1
d)
c)
2 5 5 5 1 5 12 25 2 12 1 5 + 52+ − 1 1+
Operaciones básicas con fracciones a)
5 12 18 =
g)
=
b)
12 =
c)
=
Comparación de fracciones a)
4.
13 =
Conversión de fracción impropia a número mixto
a)
3.
b)
2+
=
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES Ejercicio 3 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1. Suma y resta de decimales: a) 5,7 + 39,4 + 4,0318 + 21,68 = b) 28,018 + 37,42 + 4,0318 + 3,028 + 5,084 = c) 8576 + 0,3867 + 2,64 + 38 + 0,5643 + 213 = d) 4,273 – 3,16 = e) 12 – 8, 963 = f) 5276,2369 – 4998,269889 = 2.
Multiplicación y división de decimales. a) 4,56 x 3,45 = Para multiplicar un decimal por 10, 100 o 1000 se desplaza la b) 42,25 x 6,2 = coma hacia la derecha tantos lugares como ceros c) 4,85 x 12,5 = acompañen a la unidad. Para dividir, se desplaza la coma d) 3,12 x 2,4 = hacia la izquierda. e) 12,05 ÷ 6 = 1,7321 x 100 = 173,21 f) 184,42 ÷ 5 = 1414,2 ÷ 100 = 14,142 g) 4,8 ÷ 1,2 = h) 3,25 ÷ 2,5 =
CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN COMÚN
DECIMAL EXACTO
7 0,7 = 10
0,5 =
0,6 =
0,3 =
1.
3. 5.
DECIMAL PERIÓDICO PURO
0,555… … = 0,5 =
5
0,3131 … … = 0,31 =
10 6
0,1333 …… = 0,13 =
9
31
0,010101 … … = 0,01 =
10 3
0,9999 … … = 0,9 =
10
12,12333…=
97
59
DECIMAL PERIÓDICO MIXTO
1−190 1902 21−2 990 29909 =
0,2 0,24141 41414 41 … = 0,2 0,241 =
9
9
01 9
9 =1 9
=
7−7 900 690065 1− 90 790
0,7388 … = 0,738 =
=
8,3111 … = 8,31 =
=
2. 0,323232… =
x (0,444… - 3,555…) =
5,333… - 0,2666… - 0,4777… -
15
4. 2 – 0,333… + =
… =(0,01212… 6.
1 125
15
– 3,22 3,222
) x 0,04545… =
RAZONES Y PROPORCIONES CONCEPTOS CLAVE Razón. Se llama razón entre dos o más cantidades, a la relación de comparación que establecemos entre ellas. Solo se podrán comparar cantidades de la misma naturaleza o de la misma unidad de medida. Razón aritmética: es la diferencia que hay entre dos cantidades, se tendrán de la siguiente manera: Razón geométrica (razón): es el cociente que hay entre dos cantidades, se tendrá de la siguiente manera: ó
7
La razón , se lee 7
3,ó 7:3; en donde 7 es el antecedente y el 3 es el consecuente.
Ejemplo: 21. ¿Cuál es la razón entre las manzanas y naranjas de una canasta de frutas, si en total se tiene 100 frutas y las naranjas son 20?
200 1 ∶ =
20 frutas
100 frutas
=
,
4 1.
80 frutas
Proporción: Es la igualdad entre dos o más razones de la misma naturaleza. Se la encuentra expresada de la siguiente manera:
=
o bien
∶ ∶ ≠ ≠
Se lee
: :
0
0
es a como es a
Ejemplo: 1. La suma de las edades de cuatros personas es 108 años, y las relaciones de las edades están en 2, 3, 5 y 8. Hallar las edades respectivas. Se halla ya que se conoce la suma de todos y sus relaciones.
1
1 ∑ 10 101 1 2++5+ = =
=
11 11
: 2( : 3( : 5( : 8(
) = 2(6) = 12 ) = 3(6) = 18 ) = 5(6) = 30 ) = 8(6) = 48
=6
ñ ñ ñ ñ
Ejercicio 4 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Para un terreno de 0,6 km de largo y 200 m de ancho, la razón entre el largo e el ancho es: a) 3 : 1000 b) 3 : 1 c) 3 : 100 d) 1: 3 e) 0,6 : 2 Entre Julio y Juan tienen juntos $ 72. Lo que tienen ambos, son directamente proporcionales a 5 y 3, respectivamente. ¿Cuántos dólares más que Juan, tiene Julio? a) 45 b) 27 c) 9 d) 15 e) 18 La edad de 2 personas están en relación de 3 a 5, si la suma de las dos edades es 72 años. ¿Qué edad tiene el de menos años? a) 27 b) 30 c) 24 d) 45 e) 21 Las camisas en una tienda se vendían a 60 dólares cada una, y ahora se venden a 648 dólares la docena. ¿Cuál es la razón entre el precio antiguo y el actual? a) 9/5 b) 10/9 c) 5/9 d) 9/10 e) 3/5 La suma de las longitudes de dos segmentos es 49 cm y estos están es una relación de 2/5, entonces las longitudes de los segmentos son: a) 19 y 30 b) 14 y 35 c) 18 y 40 d) 22 y 27 e) N.A. A una fiesta asistieron 390 personas, se sabe que por cada 6 varones habían mujeres. ¿Cuántas mujeres asistieron? a) 200 b) 205 c) 210 d) 215 e) 220 La razón de los caballos y vacas de una granja es de 5 a 7, si entre caballos y vacas hay 600 animales, ¿Cuántas vacas hay en la granja? a) 50 b) 250 c) 350 d) 120 e) 84 La relación de las velocidades velocidades de dos motociclistas es de 4 a 9. Si el segundo motociclista después de cierto tiempo llega a la posición de 180 km. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido el primer motociclista? a) 20 b) 40 c) 60 d) 45 e) 80
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. 17.
La relación aritmética de las edades de dos personas es 12, y se sabe que el mayor tiene el triple de edad del menor. Hallar la suma de las edades. a) 18 b) 24 c) 18 d) 6 e) 9 Se tienen tres ángulos suplementarios, tales que las medidas medidas de sus ángulos están están en relación de 2, 3 y 4 hallar la medida de ángulo menor. a) 40 b) 60 c) 80 d) 90 e) 45 La herencia de tres hermanos, asciende a 60 dólares. Si dichas herencias están en relación con los números 2, 6 y 7, respectivamente. ¿Cuántos miles de dólares hereda cada hermano? a) 2, 6 y 7 b) 8, 24 y 28 c) 6, 18 y 21 d) 6, 28 y 36 e) 2, 15 y 45 En una escuela, la razón de niños de niños y de niñas es 8/7. Si hay 2400 alumnos; el número de niños que excede al número de niñas es: a) 150 b) 180 c) 120 d) 200 e) 160 En una fiesta se observa que las mujeres son el quíntuple de los varones y la razón aritmética de dichas cantidades es 72. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta? a) 126 b) 90 c) 108 d) 120 e) 132 La relación de dos edades A y B es de 3 a la relación de B a otra C es de 2 a 7, si la suma de las tres edades es 108. Hallar la diferencia entre el mayor y el menor. a) 39 b) 42 c) 48 d) 45 e) 36 Tres obrero que pagan igual jornal han trabajado, respectivamente 4, 5 y 8 días. Sabiendo que el segundo cobro $ 360. ¿Cuánto han cobrado entre los tres? a) $1212 b) $1214 c) $1224 d) $1296 e) $1324 La razón de las superficies de dos cubos es 1:4. ¿Cuál es la razón de sus volúmenes? a) 1 : 2 b) 1 : 4 c) 12 : 5 d) 1 : 8 e) 1 : 16 El número de soles de Pilar y Sandra están en la relación de 2 a 3, el de Sandra y Henry como 3 es a 4. Sabiendo que los tres juntos tienen 2700 soles. ¿Cuánto de dinero tiene Sandra? a) 1200 b) 600 c) 750 d) 1500 e) 900
REGLA DE TRES
Es la relación de problemas hay que considerar que para encontrar la incógnita, empleamos la siguiente formula:
EJEMPLO REGLA DE TRES DIRECTA 1. Si 12 discos compactos cuestan $600 , ¿Cuánto costaran 18 discos?
ANALISIS DE MAGNITUDES: Si ha y que comprar más discos (+), entonces tendrá que pagar más dinero (+). Las magnitudes son directamente proporcionales. Los signos son iguales, entonces la multiplicación se debe realizar en forma cruzada.
Todo lo que NO va unido a la incógnita “x” va en el numerador y lo que va unido a “x” en el denominador, se simplifica y se multiplica. EJEMPLO REGLA DE TRES INVERSA 2. Se ha planeado que una barda sea construida por 24 hombres en 18 días, sin embargo, solo se logró contratar a 12 hombres, ¿en cuántos días la construirán? (-) (+) Hombres Días 24 ------------------------18 12--------------------------X ANALISIS DE MAGNITUDES: Si disminuye el número de hombres (-), los hombres contratados tardaran más días (+)en construir la barda. Las magnitudes son inversamente proporcionales. Los signos distintos, entonces la multiplicación se realizan en línea recta.
=
24 . 18 = 36 12
EJEMPLO REGLA DE TRES COMPUESTA 3. Se calcula para construir una cerca de 600 m en 18 días, trabajando 8 horas diarias se necesitaran 12 hombres. hombres. ¿Cuántos días tardaran 8 hombres trabajando 6 horas diarias para construir una cerca de 400 m?
ANALISIS DE MAGNITUDES: 1) Hombres Hombres / horas diarias. diarias. Entre menos menos hombres hombres (-) (-) trabajen trabajen en la la construcció construcción n de la cerca, más horas diarias (+) tendrán que emplear para terminarla. Las magnitudes son inversamente proporcionales. 2) Horas diarias diarias / metros. metros. Entre Entre menos menos horas horas diarias (-) dediquen, dediquen, menos menos metros (-) (-) construyen. Las magnitudes son directamente proporcionales. 3) Metros / días. Si Si construyen construyen menos menos metros metros (-) menos menos días días (-) se se tardaran. tardaran. Las magnitudes son directamente proporcionales.
Ejercicio 5 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>
1.
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3. 4. 5.
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18.
19.
Ocho hombres pueden hacer una obra en tres días. ¿Cuántos hombres más harían falta, para hacer la obra en 2 días? a) 3 b) 8 c) 6 d) 2 e) 4 Una guarnición de 1500 hombres tiene víveres para que duren 125 días. Si se desea que los víveres duren 25 días más, ¿Cuántos hombres se tienen que retirar de la guarnición? a) 150 b) 350 c) 100 d) 200 e) 250 Veinte señoras en 12 días hacen 250 chompas. ¿Cuántas chompas tejerán 15 señoras en 8 días? a) 120 b) 135 c) 105 d) 130 e) 125 Si diez caballos consumen diez sacos de avena en diez días. ¿En cuántos días un c aballo consume un saco? a) 1 b) 5 c) 20 d) 10 e) 15 Si una pieza de tela de 36 cm de largo, lavándola se reduce a 33 cm. ¿Qué largo tendrá una pieza de tela de 48 cm después de lavarla? a) 47 b) 44 c) 45 d) 46 e) 42 ¿Cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,50 m, sabiendo que la misma hora una vertical de 0,49 m arroja una sombra de 0.63m? a) 4,93 b) 495/78 c) 3,5 d) 3/5 e) 4/3 Si 15 manzanas son necesidades para 7 niños en 2 días, calcule el número de manzanas que se requieren para 4 niños en 7 días. a) 20 b) 15 c) 25 d) 30 e) ninguna Cinco montañistas tienen alimento para 6 días, si se retira el 60% de ellos, ¿para cuantos días les alcanza los alimentos a los que quedan? a) 4 días b) 10 días c) 1 día d) 2,4 días e) ninguna Si 9 bombas levantan 1050 toneladas de agua en 15 días, trabajando 8 horas diarias. ¿en cuántos días 10 bombas levantaran 1400 toneladas, trabajando 6 horas diarias? a) 12 días b) 15 días c) 14 días d) 13,5 días e) 24 días Cinco motores consumen 7200 kg de combustible en 42 horas de funcionamiento. ¿para cuantas horas alcanzara esa misma cantidad de combustible, si funcionan solo 3 de esos motores? a) 32 h b) 25 h c) 70 h d) 25 h 12 min e) 58 h Una familia compuesta de 6 personas consumen 2 días 3kg de pan. ¿Cuántos kg de pan serán consumidos en 5 días, estando 2 personas ausentes? a) 5,5 kg b) 4 kg c) 800 g d) 5 kg e) 4,5 kg Para un campamento se envían provisiones, si para 500 personas se envían 20 cajas de comida durante dos días. ¿Cuántas cajas se necesitan para 700 personas en 14 días? a) 100 b) 169 c) 295 d) 196 e) 120 Una rueda recorre 120 m, cuando ha girado los 3/5 de una revolución completa. Si da una vuelta completa. ¿Cuántos recorrerá? a) 200 m b) 72 m c) 36 m d) 100 m e) ninguna En un colegio de 120 alumnos se han gastado en manutención $ 1512 durante 6 días. Habiendo disminuido el número de alumnos en 1/3. ¿Cuánto se gastara durante un mes de 30 días? a) 7450 b) 9040 c) 5040 d) 11340 e) 7050 La tripulación de un barco la forman el capitán, 5 ayudantes y 6 investigadores. El capitán programa las raciones de agua a razón de 8 litros diarios para toda la tribulación en un viaje de 6 días pero a la hora de zarpar 2 de los investigadores deciden quedarse. Debido a esto se decide que el viaje dure 2 días más, ¿Cuál debe ser la ración diaria de agua? a) 7 litros b) 7,2 litros c) 9 litros d) 7,5 litros e) 6 litros 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de nacho en cinco días? a) 20 b) 10 c) 21 d) 42 e) 15 3 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m de capacidad. ¿Cuántas horas tardaran cuatro 3 grifos en llenar 23 depósitos de 500m cada uno? a) 37 b) 35,5 c) 37,5 d) 70 e) 22,5 Nueve albañiles, en 21 días trabajando 8 horas cada día, han pintado un edificio. ¿Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 4 albañiles, para hacer lo mismo en 7 días a) 56 b) 55 c) 54 d) 53 e) 52 Dos ruedas están unidas por una trasmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda? a) 20 b) 100 c) 45 d) 600 e) 15
20. Si 12 obreros pueden hacer una obra en 21 días. Si 8 de ellos aumentan su rendimiento en 60%. ¿Qué tiempo empleara para realizar la obra? o bra? a) 24 b) 18 c) 15 d) 12 e) 14 21. Para realizar una cerca de 120 m. se emplearan cierto número de obreros. Si está cerca fuese 40 m más larga, hasta harían falta 5 obreros más, ¿Cuántos obreros se emplearan? a) 15 b) 12 c) 30 d) 18 e) 10
RETO 1 Un ganadero tiene 1500 ovejas para las cuales tiene alimentos para 30 días. Desde vender cierto número de ellas y a las restantes proporcionales los tres quintos quintos de ración para que los alimentos duren tres meses más. ¿Cuál fue el número de ovejas que se vendieron? v endieron?
RESPUESTA – JUSTIFICACIÓN
RETO 2 Para cavar una zanja de 78m de largo, 902 cm de ancho y 75 cm de profundidad, se necesitan 39 obreros. ¿Cuántos obreros habrá que disminuir para hacer en el mismo tiempo la zanja de 60 m de largo, 0.50 m de ancho y 45 cm de profundidad?
RESPUESTA – JUSTIFICACIÓN
PORCENTAJES Porcentaje quiere decir partes por 100, y su símbolo es %. Por ciento quiere decir “por cada 100”, por lo que se debe recordar siempre que hay que dividir por 100.
Por ejemplo, si se expresa que el 55% de la población son mujeres, se interpreta que de cada 100 habitantes 55 son mujeres.
TRANSFORMACIONES De porcentaje a fracción (decimal): 30% = 30/100 = 0,3 50% = 50/100 = 0,5 75% = 75/100 = 0,75
De fracción a porcentaje: 4/5 = 4/5 x 100% = 80% 1/4 = 1/4 x 100% = 25% 3/10 = 3/100 x 100% = 30%
Cálculo de porcentajes Ejercicio: Halle el 30% de 450 dólares
Ejercicio 8 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1.
Ejecute las siguientes transformaciones:
2.
Calcule los siguientes porcentajes:
PORCENTAJE
FRACCIÓN
a) 10% de 500
_________________
35%
7 20
b) 5 % de 50
_________________
c) 30% de 600
_________________
d) 45% de 81
_________________
e) 50 % de 340
_________________
f) 25 % de 48
_________________
12%
4 25 72%
g. 15% de 200 h. 20% de 80 i. 30% de 150 j. 4% de 250 k. 25% de 488 5% de 180
_____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ _____________________
3. calcule el término que falta falt a en las siguientes expresiones a. b. c.
40% de ____________=60 20% de ____________=12 15% de ____________= 100
4. ¿Qué porcentaje representan las siguientes cifras? a)
20 de 250 _____________________ _____________________
b) 16 de 800 _____________________ _____________________ c)
44 de 2200 _____________________ _____________________
d) 30 de 40
_____________________ _____________________
5. Calcule las siguientes fracciones: a) b) c) d) e) f) g) h)
5 2 17 56 25 56 127 9
90
_____________________
48
_____________________
572
1
_____________________
b) c) d)
a) 30 de 75 ___________________________ b) 54 de 72 ___________________________ ___________________________ c) 36 de 108 ___________________________ d) 189 de 441 ___________________________ e) 264 de 360 ___________________________ ___________________________ 8) Calcule: a) Cual es el 85% de 320? __________________ b) ¿De qué número es 45 los tres t res quintos ______ c) ¿Qué porcentaje de 150 es 36? ____________ d) ¿De ¿De qué número es 270 un quinto más? ____ e) ¿De ¿De qué número es 325 el 20% mas? _______
354
_____________________
f) ¿Qué fracción es 32 de 120? _______________
120
_____________________
g) De De que numero es 77 cinco doceavos menos? ___
210
_____________________
h) De que numero es 49 el 30% menos? _______
504
396
_____________________ _____________________
6. calcule el término que falta falt a en las siguientes expresiones a)
7) ¿Qué fracción representa las siguientes cifras?
7 59 127 1
____ ______ _____ _____ __ = 48 _____ _______ _____ _____ = 105 105 _____ ________ _____ ____ = 196 196
___ ______ _____ ____ ____ = 63
PROBLEMAS CON NUMEROS FRACCIONARIOS Y PORCENTAJES EJERCICIO 9 ****************************** 1. Tenía $500 y gaste 3/5 partes ¿Cuánto me queda? a) 200 b) 250 c) 300 d) 150 2. ¿Qué horas serán dentro de 30 minutos si ya ha transcurrido los 5/8 de los días? a) 9h30 b)15h30 c)14h30 d)12h39 3. ¿Cuánto le falta a los 2/5 de los 5/3 para ser igual a los 3/7 de los 7/4 a) 1/120 b) 1/3 c) 1/12 d) 1/15
4. 5.
6.
7.
8.
2
7
2
1
¿Cuál es la fracción fra cción que multiplicada por 7/3 es igual ¼ a) b) c) d) Un joyero elabora una pulsera de 150 gamos, de la cual los 3/5 es de oro y el resto de plata ¿Cuántos gramos de plata tiene la pulsera? a) 90 b) 60 c) 30 d) 20 En un curso de electrónica de 180 estudiantes, estudiantes, se sabe que 2/5 son son informáticos, el 1/3 son mecánicos y ¼ son son físicos ¿Cuántos estudiantes estudiantes hay de otras carreras? a) 5 b)6 c) 3 d) 0 De una herencia de 124000dolares se se reparte entre 3 hermanos de la siguiente manera: al primero le corresponde 2/5, al segundo ¼ y a l tercero 1/10; lo que sobre es para la fundación, ¿Cuánto recibirá la fundación? a) 21 000 b) 42 000 c) 12 000 d) 31 000 De una pieza de tela de 58m se vendieron 8 y luego 32 ¿Ciatos metros quedan?
1
12
1
12 5
a) 8 b) 17 c) 18 d) 17 9. Dos ciudades se encuentran separadas por 240km. Un caminante recorre un día 1/16 de esa distancia, otro día ¼ y un tercer día 1/8 de la misma distancia ¿A qué distancia se encuentra del punto de llegada después del tercer día? a) 90km b) 100km c) 110km d) 130km 10. Ana compra en el mercado 1 de azucara USD USD 2.60 el kilogramo y 100 g de quedo a USD 13.50 el kg. Si paga con un billete de USD 20, ¿Cuánto recibe de vuelto? a. USD. 4.40 b) USD 4.55 c) USD. 5.45 d) USD. 4.45 11. Un almacenista tiene 600 reglas. Suministra 3/8 3 /8 de reglas a la división X, ¼ a la división Y, y 1/6 a la división Z, El número de reglas que le quedan es. a) 240 b) 125 c) 102 d) 150 12. En un encuentro universitario de 24 estudiantes existen 14 ecuatorianos, y el resto colombianos ¿Qué fracción representa los colombianos? a) 7/12 b) 2/3 c) 5/12 d) 2/7 13. A un hospital llegan 80 enfermos de los cuales mueren 30. ¿Qué porcentaje de los que no murieron; murieron? a) 40% b) 80% c) 50% d) 60% 14. Si el área de un cuadrado disminuye en 51% ¿En qué porcentaje disminuye el lado del cuadrado? cuadra do? a) 30% b) 25% c) 49% d) 20% 15. Una persona gasta 1/5 del saldo de su celular en llamadas de lo que sobra gasta la mitad en mensajes y le quedan quedan USD 2.00. ¿Cuántos dólares de saldo tenia inicialmente? a) 7.00 b) 5.00 c) 3.00 d) 9.0 16. Juan puede pintar una pared en 20 días, mientras que José puede pintar la misma pared en 30 días. ¿Cuánto tiempo tardarían en pintarla si trabajaran juntos? juntos? a) 50 días c) 25 días c) 15 días d) 12 días 17. Dos llaves abiertas a la vez pueden llenar un estanque en 4 horas y una estrella sola lo pueda pueda de llenar en 12 horas. ¿En cuánto tiempo puede llenar el estanque la otra llave? a) 3 horas c) 6 horas c) 8 horas d) 2 horas 18. Una tienda de electrodomésticos decide dar el 30% de descuento en toda su mercancía; si e l precio normal de un televisor es de $ 6000, ¿Cuánto ¿ Cuánto se pagara en caja? a) 2800 b) 1800 c) 6000 d) 4200 19. Laura compró un refrigerador en $ 3500, el precio precio incluía 30% de descuento. ¿Cuál era el costo costo sin el descuento? a) 3800 b) 4550 c) 5000 d) 6150 20. Si se compra un auto por $17100, incluido el 14% de IVA ¿Cuál es el valor del vehículo sin IVA? a) 14706 c) 14000 c) 12528 d) 15000 21. Julio compra un nuevo automóvil y recibe un descuento del 30% al cancelar. Si el pago inicial fue de USD. 3510, lo que corresponde al 10% del valor original del automóvil, ¿cuál es es el valor total, en dólares, que se debe pagar por el vehículo? a) 24570 b) 17550 c) 35100 d) 10 530 22. Dos autos costaron 27000 dólares y uno es los 4/5 del otro. Hallar la diferencia de los precios de ambos. a) 1500 b) 2000 c) 2500 d) 3000 23. Dos amigos tenían la misma cantidad de dinero, pero uno de ellos pierde el 80% de su parte. Si ahora Juntos poseen 2400 dólares, ¿qué cantidad de dinero guarda el que tiene menos?
12
a) 480
b) 2000
c) 360
d) 400.
24. En cierta dase de 30 estudiante 18 son chicas. Si 2/3 de las chicas tienen 16 años de edad o menos, ¿qué-fracción de la clase son chicas de más de 16 años? a) 2/15 c) 1/3. d) 1/2 b) 1/5 25. Si el 20%del 40%dei 60% del 120% de la mitad de un número es igual a 288¿Haliar el número? a)15 000 b) 10 000 c) 11000 d) 12 000 26. Si el salario de un empleado aumenta de $350 a $380, entonces ¿qué porcentaje se incrementó? a) 8,5% b) 15% c) 12,5% d) 5%
27. Una aerolínea internacional dispone de 120 aviones, de los cuales el 25% tiene 4 turbinas, otro 25% funciona a motor ye! 50% restante tiene 2 turbinas. ¿Cuantas turbinas existen existen en total? a) 60 b) 90 c) 120 d) 240
28. Un abogado recupera el 90% de una demanda de 3.00 dólares y cobra por sus servicios 15% de la suma recuperada. ¿Cuánto recibirá su cliente? a) 229,5 b) 220,5 c) 218 d) 214 29. La compañía A adquiere 100 kg de hierro y por cada kg paga 100 USD. Por una promoción, el hierro tiene un descuento del 10% y por ser cliente una rebaja del 2%. ¿Cuál es el valor de la factura? a) 1200 b) 8800 c) 8820 d) 9800
30. En una oficina se sabe que 1/4 de los trabajadores son hombres; 1/2 de las mujeres son solteras. 3/5 de las casadas son rubias.3/7 de los hombres son casados y qué solo 1/3 de estos tienen hijos. Si además se sabe sabe que 1/5 de las rubias casada tienen tienen hijos y qué qué esta son 189 ¿Cuántos son los hombres casados que no tienen hijos? a) 180 b) 150 c) 300 d) 360
RETO 1 Para conseguir el color violeta se mezcló pintura roja y azul en una proporción de 5 a 3 Si se mezcla violeta y tomate (mezcla de amarillo y rojo en igual cantidad) en una proporción de 3 a 4. ¿Cuál es la fracción del color rojo en la mezcla?
RESPUESTA - JUSTIFICACIÓN
Reto 2 RESPUESTA - JUSTIFICACIÓN
Al realizarse las elecciones regionales, el 45% de los sufragantes eran mujeres. Se sabe que el 70% de las mujeres no han votado por el partido "Luchemos" y el 45% de los hombres si votaron por ese partido. ¿Cuál fue el porcentaje de votación que alcanzó el partido '‘Luchemos’1?
POTENCIAS Y RAÍCES
OPERACIONES CON POTENCIAS Y RAICES Escalera de exponentes Para efectuar esta operación, se toman los exponentes de dos en dos desde la parte superior hacia abajo, sin considerar los signos de la base de estos exponentes. Introducción de factores a un radical Para introducir factores dentro de un radical se aplica la siguiente propiedad Por ejemplo:
√ √ 2 √ √ =
.
5 3 = 5 . 3 = 25.3 = 175 175 Extracción de factores de un radical Es el proceso inverso de la introducción de factores. Se descompone al radicando en factores primos y luego se aplica la propiedad distributiva de la radicación. Por ejemplo:
Racionalización La racionalización es un proceso aplicado a las fracciones, que consiste en transformar a la expresión a una equivalente sin radicales en el denominador. Racionalización con denominadores monomios. •
Racionalizar
2√
Se multiplica el numerador y el denominador por
√ √ 2 √ 2 √ √ √ 3
=
. = 2
Racionalización con denominadores polinomios
•
Racionalizar
+√ 2
Se multiplica el numerador y el denominador de la Expresión por (3-
√
√ +√ 2 +√ 2 −−√ √ 22 − −7 2
2) 2) que es el conjugado de (3+ 2) 2)
= (
).(
)=
(
)
EJERCICIO 10 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>> 8) 20 = 1) (- 3) = 5
a) 2 5
a) - 15
b) - 18
c) 21
d) NA
b) 20
c) - 16
d) NA
b) - 32
c) 48
d) NA
9) 1008
2) (- 4 ) = 2
a) 16
b) 10
b) 504
3
10) 6 2 6
3) - 2 = 5
11)
1 5) 5
4
=
a) - 3 6) 2 9
b) 1 4- 2
c) 4
d) NA a)
b) - 8 32 3-1
7)[2 ] )8
c) 0
=
c) 23 9
d) NA
=
5
5
3
6
b)
2 5
c) 23 5
5
d) NA
10 =
6
5
−
1
3
6
b)
2 5
c) 23 5
5
d) NA
d) NA 13)3 2 639
= b) -8
d) NA
2
12)
-1
a) 8
a
a)
0
c) 7 12
b) 33 5
a) 3 5
a) 32
d) NA
=
a) 12 7 6
c) 5 2
c) 0
a
d) NA
)108
=
b) - 108
14) ( 5 4 25 ) 2 a) 25
c) 58
d) NA
=
b) 1/25
c) 1
d) NA
√ √ √ 5 0
15) 3 3 9 + ( 3) ÷ ( 9) + [( 2) ]
a) 16)
7
√ √
b) -7
√ √ √ √ 5 2
1080÷ 1080÷ 5 + ( 7)
a ) -250
12 12 3
81
d) 4
5 25 25
b) 150
17) [ 405÷5 4 05÷5] ÷ (40 ( 40 ÷ 10) 10) + (36 (36
a)
c) -4
c) -150
d)-350
c) 120
d) -120
25)
b) -81
19. RETO 1
De los siguientes números ¿Cuál es el mayor?
20. RETO 2 0
1/3
Calcular: 5 -9(27 ) es: a) -26 b)26 b)26
c) -27
d) 27
√
Hallar la solución para: 0, 0, 000 001 001 69 a) 0,13 b) 0,013 0,013 c) 0, 00013 00013 d)0,0013 d)0,0013
−2 6−2 5 −1 5 6
Calcula 4
+9
a) 13
b)
c)
−2
d) 13
e) -28
e)1,3
e)
125
21. RETO 3: Halle 3: Halle la última cifra del resultado de la potencia
222
2
22. RETO 4: MENSAJE SECRETO ¡Tienes que ser el primero en descifrar el mensaje secreto! Para eso, realiza 18 operaciones. Cada resultado corresponde a una letra o a un número que aparece en la tabla del código secreto. El número de la operación te indica el sitio de la letra en el mensaje. Animo y que gane el mejor.
2 0 ∙ −2 −2−5 −1−−5 − −2 1 −∙ −1 22− 2 −2−1 −7 ∙ 2 −2 ∙ −1 12 2 12 2 ∙ 56 12
10.8
1
1
2. 16 + ( 64) 64) =
11.
−0 −12 2 2 −2 2 −20 12 ∙ −6 ∙ ∙
125 = 8 ( + ) 4. = 9 3.
( 8) =
13. 14.
-1/2
217 = 8
6. 9 + 4
( ) [ ]
12.81
4.
5 .125
8 +8 2
15.
CÓDIGO SECRETO A 5 O 0 I 9 N 4 T 21 L 3 V 2/5
2/3
2=
18.
1=
125
- 3/
5+25 ( ) [ ] 1 9
17.36
+ ( 32)
=
-2
8.
-1/3
9
25
16.3
9. 4 ( 8)
=
+
7. (8) + ( 27) 27) = =
=
5
=
=
1 4
+
1 16
5
143 = 9
−1
9 + 0,25 0,25
=
=
5
Coloca aquí tu mensaje
1
2
3
11
4
12
5
13
6
7
14
8
7
15
8
16
17
9
18
10
−1 ≥
12. Un banco ofrece un plan de inversión, en el cual las ganancias están definidas por la ecuación C(t)=C 0 , 0 Dónde: (C0) es la inversión inicial La tasa de rendimiento (k) es igual a 5/3 El tiempo (t) es dado en meses Si una persona decide invertir USD 2 187, ¿Cuánto dinero, en dólares, habrá ganado dentro de 4 meses? 13. en una clase de matemáticas el profesor establece las notas de cada estudiante siguiendo una formula, sabiendo que
y y son las notas de las dos primeras parciales y
x
z es la nota final examen final
a es la nota de los deberes y b es la nota de participación en clase, todas las notas sobre 10 puntos.
++2 + 2
Ayuda al profesor a calcular la nota final de cada estudiante.
+ 0,2
0,8 ESTUDIANTE
PRIMERA PARCIAL
SEGUNDA PARCIAL
EXAMEN FINAL
DEBERES
PARTICIPACIÓN
Pérez Diego
4
6
7.5
6
8
Torres Fernando
5
5
6
4
4
Villa David
8
9.5
9
9
10
NOTA FINAL
OPERACIONES ENTRE MONOMIOS Y POLINOMIOS Suma y Resta: Para Resta: Para sumar y restar polinomios solo se debe reducir términos semejantes. ( )+ ( ) Ejemplo: Dados los siguientes polinomios: ( ) = 3 + 2 + 1 Q( ) = 6 + 5 + 3, Desarrollo:(3 + 2 + 1 ) + ( 6 5 +3)=3 +2 +1+6 5 +3=9 3 +4 Multiplicación de Polinomios: Se multiplican todos los términos del primer factor por cada término del segundo factor y se reduce los términos semejantes si los hay. Ejemplo: Con los polinomios del ejemplo anterior, halle ( ) . ( )
2 2 ℎ 2 2 2 2
2
2 2
Desarrollo:
(3
+ 2 + 1)(6 1)(6
5 +3)=
18
2
2 2 2 2 15
= 18
+9
3
+ 12 +5
10
+6 +6
5 +3
+ +3
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
EJERCICIO 3>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 3>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>> 1. Elimine los paréntesis
2.
Multiplique los siguientes conjugados:
3.
Resuelve:
6.- (m – 1)² =
MISCELANEA
7.-(8a+2ab)2 8.- (5x + y)² = 9.- (9a – 7b)² =
1.- (m + n)² = (m)² + 2(m)(n) + (n)² = m² + 2mn + n² 2.- (5x – 7y)² = (5x)² + 2(5x)(-7y) + (-7y)² = 25x² – 70xy + 49y² 3.- (ab – 1)² = (ab)² + 2(ab)(-1) + (-1)² = a²b² – 2ab + 1 4.- (3a³ + 5ab)² = (3a³)² + 2(3a³)(5ab) + (5ab)² = 9a6 + 30 a4b + 25a²b²
5.- (4x² – 7xy)² = 12. El producto de dos números que se diferencia en seis tiene 54 unidades más que el cuadrado del menor. ¿Cuáles son los números? 13. Si un número aumento en doce se multiplica por el mismo número disminuido en cinco, resulta el cuadrado del número más 31.
5
56
14. Hallar tres números en teros consecutivos tales que la suma de los del menor con los del
⋯
mayor exceda en 31 al número medio. RETO 1 Determina 1 Determina el valor de ( + + ),
1 + 2 + 3 +
..+ 9 =
4
FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS
2 2 22 2 2 2 2
2 2
CASO Diferencia de Cuadrados Suma de Cubos Diferencia de Cubos Suma de Cuadrados Perfectos
EJEMPLO
DESARROLLO
+
81
+ 64
(9
( + )( ( + )( ( + )( + + 12 + 8 )(9
) + +
) )
12
+8 )
FACTORIZACIÓN DE D E TRINOMIOS TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
2 2 2 2 2 ±2
+
TRINOMIO DE LA FORMA SIMPLE
=( ± )
Ejemplo:
22 +
Ejemplo:
12 + 36 =( 6)
+
4)(
22 +
Ejemplo:
12
=(
TRINOMIO DE LA FORMA COMPUESTA
3)
+
3 +7 +2 = (3 + 1)( + 2)
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS CASO Factor Común Factor Común por agrupación
5 2 2
EJEMPLO
25 (
10
) 2 +
+5 3(
)
2
2 2
DESARROLLO
= 5 (5 2 + 1) =( )( 3) = ( + ) (2 + 2 = ( + ) 2 ( + ) = ( + )( 2 )
)
EJERCICIO 4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 4>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1. Extrae el factor común en cada una de las siguientes expresiones: a) 6 d) 15 + 5 + 10 +4 b) 4 e) 10 +4 2 +4 c) 3 + 6 + 3 f) 20 45 + 15 5 2.
3.
22 2 22
2 2 2 2 6 2 5 5
Utiliza los productos notables y la extracción del factor común para descomponer en factores las siguientes expresiones: a) 6 d)3 18 + 27 9 b) 3 e)8 27 32 + 32 c) 7 f) 7 Encuentre el valor que hace falta para que se forme trinomios cuadrados perfectos, y encuentre su binomio.
a) b) c) 4.
2 2 2 +
+16
+6 +
25
d)
=
+ 10 +
=
2 2 2
+9 =
e) 100
+16 =
f) 16
+36
2
=
Factorice los siguientes trinomios 2
a) X 2 + 4X + 3 = b) X 2+ 8x+ 12 =
d) X - 9X + 8 = d) X e) X 2+ 9x+ 18 =
c) X 2 - 6X - 40 =
f) X 2 - X - 6 =
2
2
EJERCICIO >>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>
1. Reduce ( 1) + ( + 1) a) 2 + 2 2. Reduce (4x+2)2 – (4x+2)
b) 2x2+2
c)2x2
a) 4x2 b) 16x2 3. Cual es el perímetro de la siguiente figura:
√ √ √ √ √ 1 ∅ ∅ √ √
c)4x2
√
a) (2x+y)2 b) (2x+y+5)2 c)6(2x+y) 4. Si x=2 5, 5, halla el valor numérico de x 3 -3 5x 5x2 +15x -5 5 a) 5 b)5 5 c) 5+ 5 d)8 5.
Calcula el cociente de (x2 +4x+3)÷(x+3)
a) X+1 b)x 6. Sabiendo que x y= (
c)x-1 ) -1/2 , hallar 2 3 P
d)4x2 -2 d)16x+8
d) (2x+y)(2x+y+5)
d)x+4
√
) 6 ) 3 )4 d)2 2 2 3 1/2 7. Si p¥ q= 6a - 4b , calcula el valor de (4¥2) ¥ (2¥2) a) 128 b) -2342 c) 2432 d)1664
Se llama fracción algebraica al cociente indicado indic ado de dos polinomios, donde el denominador es siempre distinto de cero. Igual Denominador
Distinto Denominador
Para multiplicar fracciones algebraicas se procede a simplificar factores del numerador y del denominador, para luego multiplicar en forma horizontal.
Para dividir fracciones se procede a convertir la operación a multiplicación. Para eso se invierte la fracción que se encuentra en divisor (después del operador) y luego se simplifica.
1. Simplificar las siguientes fracciones
2. Calcular la adición o sustracción de las siguientes fracciones. Simplifique cuando proceda.
3. Multiplicar y dividir las siguientes fracciones
4.
Ejecutar las siguientes operaciones
+ 2 2 2 +− −+ ++ 9−6 ∙ +12 +6 ∙ +2 9 − ) 1+
)
)
÷ 1+
+
=
2+1 −+9−9 +1−9 −1 1 = ) 1
+
)
+
)
=
+ =
Una ecuación es una igualdad con una o varias incógnitas que se representan con letras. Dichas ecuaciones pueden ser fórmulas que se utilizan para encontrar una magnitud. La solución o soluciones de una ecuación son los valores que hacen que la igualdad se cumpla.
1. 24X-8X=62+34 2. 16X=96 3. X=6
1. 2. 3.
1. 7X + 4 = X - 8 a) 2 b)0 c)-2 2. 13x – 8 = 8x + 2 a) 2 b)0 c)-2 3. 2 - 3X + 7 = 8X + 3 - X a) b) c)0
5
5
24X-62=8X+34 se deja un solo lado la variable se procede a realizar términos semejantes Se procede a dividir toda la ecuación para 16
d)NA d)NA d)NA
4. 8x - 15x - 30x - 51x - 51x = 53x + 31x – 172 a) 1 b)-1 c)0 d)NA
5. 5y-(3y-2)=0 a)1 b)-1 c)0 6. X-(2x+1)=8(3x+3) a)3 b)-3 c)1 7. X + 3 (x + 1) = 6 a) b) c)
1
1
12
d) NA d) NA d) NA
8. (z + 1)(z + 5) = (z + 2)(z + 3) a)1 b) – 1 c) 0 d) NA
Resolver un sistema por el método de reducción consiste en encontrar otro sistema con las mismas soluciones, que tenga los coeficientes de una misma incógnita iguales o de signo contrario, para que al restar o sumar las dos ecuaciones la incógnita desaparezca
Para resolver un sistema por el método de sustitución se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye su valor en la otra
Para resolver un sistema por el método de igualación se despeja la incógnita en las dos ecuaciones y se igualan.
Resuelva los siguientes sistemas por el método indicado: a. 2x+7y=24 3x -7y = 1 REDUCCIÓN
b. 2x + 3y =9 3x – 5y = 4 c. x + 7y = 11 3x - 5y = 7
SUSTITUCIÓN
d. 2x + y =7 =7 3x + 4y = 13 e.
x + 7y = 23 x – 5y = -13 f. 2x + y =13 x + y =9
REDUCCIÓN
Resuelva:
Para plantear una ecuación debemos traducir el enunciado de un problema en lenguaje común (oral o escrito) al lenguaje algebraico (ecuación). A continuación se muestra la clave para interpretar dentro de un problema.
Un número cualquiera Un número aumentado 5 El doble de un número El cuádruple de un número disminuido en tres La tercera parte de un número
X X+5 2x 4x-3
3 El cuadrado de un número Tres números consecutivos Tres números pares e impares consecutivos El inverso o recíproco de un número
X2 X, x+1, x+2 X, x+2, x+4
1
Mi edad hace 4 años
X-4
Mi edad dentro de 6 años
X+6
Operadores Añadir, aumentar, + agregar, excede Disminuir, quitar, la diferencia De, del, de los, de las Multiplicación Es a, cociente División Es tanto como, tendrá, = nos da, equvale
-
1. Resuelva los cuatro problemas propuestos a continuación lo más rápido posible. Carmela tiene el triple de años que su hija María. Ambas edades suman 60 años. ¿Qué edad tiene cada una de ellas? La suma de las edades de tres personas es 88 años. El mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que el mayor. Hallar las edades respectivas. David compro 9 manzanas. En el camino a su casa se comió 2 de esas manzanas y el resto las vendió, aumentando el precio en $4.00 dólares. Finalmente ganó $4.00 dólares. ¿Cuánto pago David por cada manzana cuando las compró? 2. Ricardo tiene 40 monedas. Si tuviese 4 monedas menos tendría la tercera parte de lo que tiene Luis ¿Cuántas monedas más que Ricardo tiene Luis? a) 50 b)36 c)20 d)48 3. Si René tiene el doble de edad que Daniela y entre ambos acumulan 45 años, ¿Cuál expresión ayuda a determinar la edad de ambos? a) 2x=45 b) 2x+x=45 c)x+ +45=0 d)x-- -45=0 4. Jazmín gano el martes el doble de lo que gano el lunes; el miércoles; el doble de lo que gano el martes; el jueves, el doble de lo que gano el miércoles; el viernes, $30 menos que el jueves y el sábado $10 más que el viernes. Si en los seis días Jazmín ganó $1500, ¿Cuánto gano el miércoles? a) 350 b) 400 c)200 d)180 5. Juan y Pedro gastaron USD 58 entre los dos y lo que gasto Pedro aumentando en USD 14 es igual al doble de lo que gastó Juan. Por lo tanto, Pedro gastó USD___ y Juan gastó USD____ a) 22 y 36 b) 24 y 34 c) 34 y 24 d) 36 y 22 6. Juan tiene 7 años más que Manuela y hace 1 año tenía el doble. ¿Qué edad tiene cada uno? a) 15 y 8 b) 2 y 4 c) 14 y 7 d) 16 y 9 7. Se desea repartir 310 dólares entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera ¿Cuánto recibió reci bió la primera persona? a) 130 b) 150 c)110 d) 60 8. La edad de Fernando es tres veces la edad de Verónica y ambas suman 44 años ¿Qué edad tiene cada uno? a) 16 y 28 b) 10 y 30 c) 11 y 33 d) 18 y 26 9. La suma de dos números es 25, dos veces el mayor excede en 1 a 5 veces el menor ¿Cuáles son los números? a) 7 y 18 b) 10 y 15 c) 5 y 20 d)12 y 13 10. Dentro de 4 años María tendrá x años ¿Qué edad tenía hace 5 años? a) 4x – 4 b) x – 9 c) x – 8 d) x - 4 11. Rafael tiene 4 años más que su primo Esteban y dentro de 3 años, entre los dos sumarán 20 años. ¿Cuántos años tiene cada uno? a) 9 y 5 b) 8 y 4 c) 12 y 8 d) 9 y 6 12.Un 12. Un padre tiene 38 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que el padre tenga el doble de la edad que su hijo? a) 6 b) 13 c) 12 d) 15 13.¿Qué 13. ¿Qué edad tengo en este momento, si dentro de 12 años tendré el triple de la edad que tenía hace 6 años? a) 15 b) 16 c) 17 d)18 14.En 14. En el acondicionamiento de las aulas en la ciudad universitaria, el número de carpinteros duplica al número de electricistas. Al mes, cada carpintero gana $1400 y cada electricista $1200. Si en un mes la suma de los sueldos de todos ellos es $48.00, ¿Cuántos carpinteros hay? a) 12 b) 6 c) 24 d)48 15.Un 15. Un hacendado compró 35 vacas; si hubiese comprado 5 vacas más por el mismo precio total, cada vaca hubiese costado $10 menos. ¿Cuánto le costó cada vaca inicialmente? a) 70 b) 80 c) 90 d) 100 16.El 16. El tiempo de trabajo de un ingeniero consultor se factura a 60 USD por hora y el de su ayudante a 20 USD por hora. Si entre los dos cobraron $540 por determinado trabajo, ¿Cuánto tiempo trabajó el ingeniero y cuanto su ayudante, si el ayudante trabajó 5 horas menos que el ingeniero? a) 7 y 2 b) 20 y 15 c) 6 y 1 d) 8 y 3
2
2
17.Si 17. Si tengo como mascotas: perros, gatos y canarios, además si todos son perros menos 8, todos son gatos menos 5, y todos son canarios menos 7, ¿Cuántos perros tengo? a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 18.Se 18. Se compran 8 cuadernos y se paga con un billete de $10. El vuelto es de $0.40. ¿con que ecuación se puede representar el costo (x) de cada cuaderno? a) 8x-0.4=10 b) 10x+0.4=8 c)8x-4=100 d)8x=100-4 19.Se 19. Se tiene un triángulo rectángulo cuyo perímetro es de 256m y su lado es 7 veces mayor que el otro. ¿qué ecuación de las siguientes es útil para hallar la longitud del lado más pequeño? a) L+7=256 b) 2(L+7L)=256 c) L+7L=256 d) 2(L+7L)=128 20.Juanita 20. Juanita y Felipe hacen helados e chocolate para vender. La materia prima necesaria para hacer un helado grande cuesta $5 y para un helado pequeño $3. Si disponen de $770 y quieren hacer 150 helados, ¿Cuántos helados de cada tamaño podrán hacer? a) 90 grandes y 60 pequeños b) 90 pequeños y 60 grandes c) 85 grandes y 60 pequeños d)85 pequeño y 65 grandes 21.Un 21. Un par de agricultores planea comprar semillas para un sembrío. José compro cuatro sacos de maíz y tres sacos de frejol. Por otro lado, Tito compro tres sacos de maíz y dos de frejol. La carga de José fue de 480 kg y la de Tito es de 340kg. ¿Cuánto pesaban cada saco de maíz y cada saco de frejol? a) El saco de frejol pesa 100 kg y el el de maíz 45 kg b)el saco de frejol pesa 80 kg y el de maíz 60 kg c) El saco de frejol pesa 60 kg y el de maíz 75 kg d)el saco de maíz pesa 80 kg y el de frejol 53.3kg 22.Pablo 22. Pablo tiene 3 grifos en su bañera. Cuando el solo abre el primer grifo, se tarde10 minutos en llenar la bañera. Cuando solo abre el segundo grifo, se tarda 15 minutos en llenar la bañera. Si el solo abre el tercer grifo, se tarda 30 minutos. Si abre todos los grifos al mismo tiempo, ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse la bañera por completo? a) 10 min b) 7 min c) 5 min d) 18 min 23.Un 23. Un fotógrafo tiene una fotografía de 6 x 8 pulgadas, y desea reducir la misma cantidad de cada lado de modo que la fotografía resultante tenga la mitad de área de la fotografía original. ¿en cuánto se debe reducir cada lado? a) 12 pulg b) 2 pulg c) 35 pulg d) 1 pulg 24.Una 24. Una ventana contiene 40 artículos entre tablets y ¡Pod. Si el valor a pagar es de USD 14.080, se sabe que las tablets cuestan USD 240 y los ¡Pod cuestan USD 400, ¿Cuántas tablets se vendieron? a) 3 b) 12 c) 2 d) 37 25.La 25. La triple edad que tendré dentro de 3 años, menos el triple de la edad que tenía hace 3 años resulta mi edad actual. ¿Cuántos años faltan para cumplir 35 años? a) 16 b) 18 c) 17 d) 20 26.Un 26. Un terreno rectangular tiene de ancho 5m menos que de largo y su perímetro es de 45m. ¿sus dimensiones son? a) 15 y 20 b) 19.25 y 24.25 c) 20 y 25 d) 21,25 y 26,25 27.El 27. El perímetro de un triángulo isósceles es de 48 cm, cada lado igual excede en 9 cm al largo de la base. Determina las dimensiones del triángulo. a) 19,19 y 10 b) 18,18 y 12 c) 17,17 y 8 d) 15,15 y 18 28.De 28. De los $30 que tenía, gaste la cuarta parte de lo que gaste. ¿Cuánto no gaste? a) 24 b) 20 c) 18 d) 15 29.Si 29. Si Nathaly tiene el triple de edad que Sebastián y entre ambos acumulan 96 años. ¿Cuál expresión ayuda a determinar la edad de ambos? a) 3x + x =96 b) x - – 96=0 c) 2x + x =96 d) x + +96=0 30.Si 30. Si Patricio tiene el doble de edad que Mercedes y entre ambos acumulan 106 años, ¿Cuál expresión ayuda determinar la edad de ambos? a) + +106 = 0 b) 2 = 106 c) ) x - – 106=0 d) 2 + = 106 106
2
2
EJEMPLO
2 3
. .
20
= 30 15 = 6 6 = 5
2
=
1 5
Se establece el m.cm entre tofos los denominadores de la ecuación Se multiplica a cada fracción por el . . Se resuelve la ecuación resultante.
1. 2.
12 5 16 1 +
= 33
4.
= +
3. 5
5.
= 9, 5
6.
5−1 5+2 2+1 2−1 −1 −5 2−− 2+ − = =
(
)
=
(
)
7. Resuelva los tres problemas propuestos a continuación lo más rápido posible
La edad de B es los 3/5 de la de A, y si ambas edades suman, la suma excede en 4 años al doble de la edad de B. hallar ambas edades. El triple de un número excede en 48 al tercio del mismo número. Hallar el número. El largo de un bloque es de 800 m excede en 744 m a los 8/9 del ancho. Hallar el ancho. 8. Un cartero dejo 1/3 de las cartas ca rtas que lleva en un oficina, los 2/5 en un banco; si aún a ún le quedaban 32 cartas por distribuir. ¿Cuántas cartas tenía para distribuir? a) 130 b) 90 c) 110 d) 120 9. Al perder los 3/5 de mi dinero y luego lu ego los 2/3 de resto me quedan 60 dólares. ¿Cuánto tenía? a) 360 b) 125 c) 75 d) 225 10.En 10. En el año 2000 se realizó un encuesta encu esta por el departamento de Seguridad del hogar 4/16 4/ 16 de los encuestados respondió que tenía un sistema de seguridad de nivel 4 o superior instalado en su casa 3/9 respondieron que tenían un sistema de seguridad grado 3 o menor 125 respondieron que no tiene un sistema de seguridad ¿Cuántas personas respondieron que tenían un sistema de seguridad grado 4 o superior? a) 175 b) 125 c) 75 d) 225 11.Dispongo 11. Dispongo de $80 y gasto los 3/5 de lo que no gasto ¿Cuánto gasto? a) 42 12.Un 12. Un técnico realiza la reparación de un calefactor eléctrico, el cual tiene rota una niquelina. Según el manual técnico, se requiere una niquelina de 2 ohm de resistencia. Como no dispone del calor exacto hace un arreglo en paralelo como se muestran en la figura. La relación es = + , R T es la resistencia equivalente y R 1 y R 2 son las resistencias que dispone el técnico, siendo una mayor con 3 ohmios que la otra. Una resistencia de __ ohmios y la otra de ___ ohmios en paralelo, equivalen a la que el técnico técnico necesita para reparar el calefactor. a) 1 y 4 b) 3 y 6 c) 4 y 7 d) 6 y 9 13.Codificado 13. Codificado que fue descubierto por la Policía en una investigación puede describirse mediante la expresión + = Determine el último valor que ayuda a completar el texto.
1 11 21
a)
− +22 12 √ 25
1
√
b)π: 3
b)
1
c)
12 12
d)
1 1
−71 0
14.Las 14. Las acciones x de una empresa en un día han variado según la expresión ( =2 ) Determine el calor del incremento de cada ca da acción de la empresa en estudio. a) b) c) d) 15. Un granjero tiene un corral de hexágono regular, el cual está rodeado con malla de alambre, ya va a transformarlo en un invernadero de tomates. Desea que el invernadero tenga forma circular y quiere cercarlo con la misma malla del corral. Para saber la cantidad de semillas que debe comprar, el granjero tiene que conocer la proporción entre el área que tiene el corral y el área que tendrá el invernadero una vez v ez que lo construya. ¿Cuál es esta proporción? a) : 2 3 3 3
c) π: 8√ d) π: 4√ ⌊⌋ ≥ ⌈⌉
En estas ecuaciones se aplica la definición del valor absoluto: , <0 = , 0 Para resolver una ecuación con valor absoluto, se tiene que si =
= ,
=
ç
ó
á
:
⌊ ⌋ 3
1 =2 +5
Se resuelven las dos ecuaciones
3
(3
1 = 2 +5
1) = 2 + 5
=
=6
2 +4 5
⌈ ⌉
1. Un estudiante dese calcular para que valores puede cumplirse el siguiente modelo 3 1 = 2 + 5, sabiendo que que estos pueden ser positivos positivos o negativos. a) 6 b) 3 c) 6 d) 6 2. En un circuito amplificador se requiere amplifica r el modelo de señal 600 600 3 = 9. Dond Dondee x representan los niveles de sonido que la persona puede variar, si la persona puede subir o bajar el volumen. Encuentre cuanto puede subir y cuanto puede bajar para que cumpla el modelo. a) Sube 5; baja 2 b) sube 3; baja 1 c) sube 5; baja 1 d) sube 5; no baja 3. Una radio antigua requiere sintonizar una frecuencia fr ecuencia si para ello se requiere resolver el siguiente modelo: + = . Calcule que valores puede tener x para establecer la frecuencia
5
a) -10;2
−2−2 12 2
b) 5; - 10
Completas: ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
5
5
⌈ 25 ⌉
c) 10; -2
2
Incompletas:
+
d) 10; - 5
+ =0
Mixtas: Puras:
22 +
= 0,
+ =0
=0
=0
1. Si Fernanda cambia su alfombra antigua por una nueva en su habitación de 6 m de largo por 6 m de ancho, ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra debe comprar? a) 12 b) 24 c) 72 d) 36 2. Si el lado de un cuadrado fuera 4 metros más largo que el otro lado, el área el doble. ¿Cuál sería la ecuación que permite el cálculo de los dos lados de dichos cuadrados? a) (x + 4) = 2x b) 2(x + 4)= x c) (x + 4) 2=2x d)(x + 4)2=2x2 3. El volumen de una caja de madera es de 240 cm 3. Encontrar si el largo es de 20 cm, y su ancho es 12 cm. a) 1 b) 4 c) 4,1 d) 5 4. Si el lado de un cuadrado es 3 cm más largo que el otro cuadrado. Las áreas de los cuadrados difieren en 63 centímetros cuadrados. Entonces el lado del cuadrado más pequeño es: a) 9 b) 1 c) 13 d) 8 5. El área de un cuadrado es de 36 cm 2. Si un triángulo tiene el mismo perímetro que el cuadrado; entonces el lado del triángulo mide a) 4 b) 6 c) 8 d) 9
6. El área de un cuadrado es 81 cm 2. ¿si un triángulo equilátero tiene el mismo perímetro que el cuadrado entonces el lado del triángulo mide? a) 36 b) 6 c) 12 d) 9 7. Un rectángulo tiene 20 metros más de largo que de ancho. Si tuviese 100 metros más de largo y 40 metros menos el área sería la misma. Hallar dimensiones del triángulo primitivo. a) 60 y 40 b) 70 y 50 c) 100 y 80 d) 80 y 60 8. Un terreno rectangular tiene 400 metros más de largo que de ancho. Si tuviese 200 metros menos de largo y 10 metros más de ancho su área sería 600 metros cuadrados. Calcular sus dimensiones. a) 10 y 20 b) 10 y 50 c) 15 y 25 d) 15 y 55 9. La distancia x en metros, que recorre un balón de futbol en el primer minuto de juego se representa por la expresión ((x – 48) 1/2)2= x0. Determine la distancia en metros, que ha recorrido el balón en el primer minuto de juego. a) 48 b) 96 c) 49 d) 24 2 10.El 10. El área de un triángulo es de 200m . Si su base es el cuádruplo de su altura, el valor de la medida de la base es: a) 30 b) 40 c) 44 d) 60
EJEMPLO 3x+1=34 X+1=4 X= 3
3
+1
= 81
Se igualan los exponentes de ambos lados Se eliminan las bases y se igualan los exponentes Se despeja la variable
1. En la igualdad 2 x+2x+2x = 96, el valor de x es: a) 16 b) 5 c) 9 d) 8 2. Halle la solución de la siguiente ecuación: 2 x+1 + 2x +2x+1 =7 a) 1 b) 1 c) 3 d) 5 3. Encontrar la solución de la siguiente ecuación: 2 x+1 = 8 a) 2 b) 3 c) 1,4142 d) 0,5 4. Una población de células se triplica cada una hora. ¿Cuál es la expresión que modela la población de células en un tiempo t en horas y con población inicial? a) a3t b) (3a)t c) 3at d) a(3t ) 5. una población de moscas crece según la función ( ) = donde k es el número inicial de moscas y t representa el tiempo en minutos. Si inicialmente hay 3 mosc as, ¿Cuántas moscas habrá en el minuto 3? a) 192 b) 64 c) 49 d) 16 6. La masa de una muestra radiactiva, sin desintegrar, disminuye según la función = 100( 100(2) 2) (y en gramos, t en días)¿Cuánto tiempo tarda en reducirse a la mitad? a) 1 hora b) 15 minutos c) 45 minutos d) 30 minutos 7. Considerando que una bacteria en estudio se reproduce por bipartición cada cuarto de hora, calcula la cantidad de bacterias que se obtienen después de 3 horas. a) 4 b) 8 c) 2048 d)4096 8. El aumento en el número de árticos que se venden en una tienda en los rimeros días del mes de diciembre se representa mediante la expresión 2 x = 64 a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 9. El aumento en el número de artículos que se venden en una u na tienda en los primeros días del mes de diciembre se representa mediante la expresión 3 2x = 729, donde x representa los días. Determine el día en el que el incremento en ventas v entas es igual a 729 artículos. a) 6 b) 2 c) 3 d) 1 10. La proporción de disminución en el número de artículos que se vende en una tienda en los primeros días del mes de enero se representa mediante la expresión ( ) = , donde x representa los días. Determine el día en el que la proporción proporc ión de disminución en ventas es igual a . a) 3 b) 4 c) 5 d)6
12
−
11
1 11
11. En un laboratorio se lleca un registro del número de bacterias, en millones, que crecen en función del tiempo para dos muestras diferentes. Si la primera muestra se encuentra expresada por 24t y la segunda mediante 4 t (161-3t ), donde t representa el tiempo en minutos. Determine el tiempo en que las muestras son iguales. a) b) c) d) 12. Tres amigos se encuentran por casualidad después de x años desde que salieron de la universidad. Con motivo motivo del reencuentro, deciden emprender un pequeño negocio para la venta de camisetas de su promoción, para lo cual necesitan inicialmente USD 4368. Marlon, como gestor de la idea, quiere que cada uno aporte con un valor simbólico relativo a sus años de amistad, así que ofrece colaborar con 2 2x+2dólares. José colabora con 4x+1 dólares y
27
29
16
52
Pedro con 16 dólares para completar el dinero que necesitan. Conociendo lo que José debe aportar, ¿Cuántos son los años de amistad que tienen? a) 5 b) 2 c) 10 d) 11
13. Tres socios, después de que su empresa cumple x años, deciden abrir una nueva sucursal, para lo cual necesitan inicialmente 6656 dólares. Acuerdan que cada uno aporte con una cantidad dependiendo de los años de trabajo. El socio más antiguo colabora con 2 x+5, el segundo socio aporta con 2x+4 y el último con 2 2x+2. Según esta información, ¿Cuántos años tiene la empresa? a) 10 b) c) 7 d) 6
1. En un laboratorio clínico se estudia el Ph de una solución de jabón natural. Si después de varios estudios se determina el Ph de la concentración de jones de hidrogeno, en moles, contenidos en 10 litros de solución. Considere que Ph =log( ) a) 5 b) c) 100 d)
1100
ℎ
110
2. Los grados de tonalidad de las notas musicales se expresan por la ecuación logarítmica, en donde x representa el número de vibraciones vibrac iones en cada una de las notas. log( log( ) +log( +log( ) = log(16) log(16) a) 8 b) 18 c) 4 d) 16 3. Científicos de un laboratorio estudian una nueva especie de árbol y desean saber la altura del tallo con respecto al nivel del suelo. Después de varios estudios llegan a la ecuación. H = log( + 1) +log( +log(5) Donde t es el tiempo en días y H es la altura en metros. ¿En cuántos días el árbol alcanzara los 3 metros de altura? a) 9994 b) 199 c) 994 d) 1999
4. E sobre una caldera, cuya temperatura (T) en grados Celsius varía de acuerdo al tiempo en segundos (t), según la forma: . ( )=2 ¿En qué instante de tiempo (t) la caldera tendrá una temperatura t emperatura de 400 0c? a) 9 b) 8 c) 2 d)3 5. Una mezcladora de audios utiliza potenciómetros logarítmicos para controlar el volumen de salida en decibles, por medio de una función. = log ( + 1)
log 5
2
Donde x es la distancia en al que se coloca el potenciómetro desde su parte más baja. ¿En qué posición se debe poner del potenciómetro para que se tenga una salida de 3 decibeles y poder amplificar la señal de audio? a) 2
b) 5
c) 7
d) 9
1. ¿Cuál es el número que agregado 12 y a esta suma dividir para 2 da como resultado 15? a) 12 b) 14 c)18 d)16 e)20 2. La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 80. Diga cuales son los números a) 19 y 21 b) 13 y 15 c) 63 y 65 d) 111 y 109 e) ninguna 3. Un comedor mide 4,5 m de largo larg o y 3,5 m de ancho. La puerta mide 1,5 m y la ventana 2,5 m ¿Cuántos metros de barredera necesito? a) 6.55 m b) 15.5 m c) 14.5 m d) 13 m e) 12 m 4. Mi padre me dobla a mí la edad y yo se s e la doblare a mi hermano dentro de dos años. añ os. Mi hermano tiene ahora 8 años. Cuantos años tiene mi padre a) 34 b) 28 c) 44 d) 36 e)Ninguna 5. En un número de dos cifras, la cifra de las decenas excede en 5 la cifra de las unidades. unidad es. Si se invierte el orden de las cifras resulta un nuevo número que sumado al anterior da 121 ¿Cuál es el número? a) 83 b) 27 c) 38 d) 72 e)16 6. La suma de los números A y B, es cuatrocientos treinta y ocho, y la diferencia de los números es cierto y seis. ¿cuáles son los números? a) 310 y12 b) 290 y 125 c) 310 y 100 d) 312 y 126 e) 326 y 128 7. A un padre le faltan $52 para comprar un juguete a su hijo, cuyo precio es el triple de lo que tiene. ¿Cuánto dinero tiene el padre? a) 78 b) 25 c) 27 d) 26 e) N.A 8. Después de 15 años, la edad de Juan será el quíntuplo de la que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tiene ahora? a) 15 b) 40 c) 25 d) 10 e) N.A 9. Mi edad, más la mitad de mi edad, es igual a lo que me faltará dentro de 5 años para cumplir 50. ¿Cuántos años tengo? a) 25 b) 18 c) 24 d) 26 e) 30 10.Entre 10. Entre juan y Pedro tenían $100. Juan duplico su dinero y Pedro triplicó el suyo y ahora Pedro tiene $ 25 más que Juan. ¿Cuánto tenía cada uno al principio? p rincipio? a) 35 y 65 b) 80 y 20 c) 30 y 70 d) 55 y 45 e) 40 y 60 11.Ricardo 11. Ricardo tiene 40 monedas. Si tuviese 4 monedas menos tendría la tercera parte de lo que tiene Luis. ¿Cuántas monedas más que Ricardo tiene Luis? a) 50 b) 36 c) 20 d) 68 e)44 12.Al 12. Al producir unidades, cada unidad tiene en materiales $12. Además , los demás gastos de producción que son P en dólares en total se distribuyen igualitariamente entre todas las unidades producidas. ¿Qué expresión representa el costo de cada unidad? a) 12n + P/n b) 12 +P/n c)P+(12/n) d)P/n e) 12
13.María, 13. María, Juana, Carmen, tienen cierta cantidad de muñecas que guardan en 3 cajas. El primero y segundo juntos tienen 17. El segundo y el tercero juntos tienen 28 y el primero y el tercero juntos tienen 21. La primera caja tiene, a) 8 b) 5 c) 13 d) 2 e) 15 14.La 14. La suma de 2 números es 24. Tres veces el mayor excede en 2 unidades a cuatro veces el menor. Hallar los números. a) 14 y 10 b) 8 y 14 c) 20 y 10 d) 10 y 15 15.Pablo 15. Pablo gana 5 dólares en un trato con su madre. mad re. Ella le ofrece pagarle 2 dólares por cada ca da ejercicio bien resuelto, pero le cobrará 1 dólar si la resolución es incorrecta. Si resolvió 52 ejercicios, ¿Cuántos ejercicios resolvió bien y cuantos mal? a) 19 y 33 b) 40 y 12 c) 15 y 37 d) 17 y 35 e) 10 y 20 16.Al 16. Al efectuar una suma, se ha puesto el número de 3 en vez del 8, en la cifra de las decenas, dec enas, y 7 en vez de 6 en la de las centenas. ¿En cuánto ha sido aumentada la suma? a) 35 b) 40 c) 50 d) 70 e) 45 17.Hay 17. Hay cuatro números cuya suma es 90. El segundo es el doble del primero, el tercero es el doble del segundo y el cuarto es el doble del tercero. ¿Cuáles son los números? a) 8,16,32,64 b)5,10,20,40 c) 6,12,24,48 d) ninguna 18.Un 18. Un caballo son su silla valen $1400. Si el caballo vale $900 más que la silla. ¿Cuánto vale cada uno? a) $200 y $2900 b) $1150 y $250 c) $900 y $1800 d)ninguna 19.Un 19. Un terreo rectangular tiene 40 metros más de largo que de ancho. Si tuviese 20 metros menos de largo y 10 metros más de ancho de su área sería 600 metros cuadrados. Calcular sus dimensiones. a) Ancho=10; largo=20 b) ancho=10; largo=50 c) ancho=15; largo=25 d)ninguna 20.La 20. La edad de un padre es el cuádruplo de la de su hijo y dentro de cinco años será el triple. Hallar la edad actual de cada uno. a) Hijo=5; padre=20 b)hijo=9; padre=36 c) hijo=10; padre=40 d)ninguna 21.A 21. A tiene 20 años y B tiene 12 años. ¿Cuándo la edad de A será el doble de la de B? a) -4(hace 4 años) b) 4(dentro de 4 años) c) -2(hace 2 años) d) 8(dentro de 8 años) e) 2 (dentro de 2 años) 22.A 22. A tiene el doble de dinero que B. si A diese $15 a B entonces tendrían la misma cantidad cantida d de dinero ¿Cuánto tiene cada uno? a) A=60; B=30 b) A=40; B=20 c) A=30; B=15 d) A=50; B=25 23.El 23. El doble de las horas que han transcurrido de un día es igual al cuádruplo de las que quedan por transcurrir. Averiguar la hora. a) 15p.m b) 16p.m c)17p.m d)18p.m 24.Seis 24. Seis amigos van a comprar un terreno a partes iguales. A última hora dos de ellos desisten y esto hace que cada uno de los otros tenga que aportar $500 $ 500 más. ¿Cuál es el valor del terreno? a) $5000 b) $7200 c) $6000 d)$22000 25.El 25. El denominador de un quebrado excede en 2 unidades al numerador. Si se suma al numerador y uno al denominador el nuevo quebrado equivale a 2/3. Hallar el quebrado primitivo. a) 3/5 b) 7/9 c) 9/11 d) 13/15 26.El 26. El denominador de un quebrado excede en 3 unidades al numerador. El triple del denominador excede el cuádruplo del numerador en 4 unidades. unidad es. ¿cuál es el quebrado? a) 5/8 b) 1/3 c) 4/7 d) 8/11 27.El 27. El área de un cuadrado es 81 cm 2. ¿si un triángulo equilátero tiene el mismo perímetro que el cuadrado entonces el lado del triángulo mide? a) 36 cm b) 6 cm c) 12 cm d) 9cm e)ninguna
28.Un 28. Un padre le da a su hijo mayor $80 dólares, al segundo 75 dólares y al menos 60 dólares, para repartir los mendigos de tal forma, que todos den a cada c ada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrían dar a cada pobre y cuantos los mendigos socorridos? a) 5,15 b) 5,43 c) 12,5 d) 15,12 e) 16,15 29.Se 29. Se hace un batido en el que el 60% y el 54% es leche y el 40% es manzana. Luego se mezcla el batido con el agua. Si el 70% de la nueva mezcla corresponde al batido, ¿Qué porcentaje de manzana tendrá la nueva mezcla? a) 30% b) 33% c)24% d) 28% e) 70% 30.La 30. La diferencia entre el 60% y el 54% de un número es 126. Hallar el número. a) 200 b) 2100 c) 2400 d) 200 31.Una 31. Una aerolínea internacional dispone de 120 aviones, de los cuales el 25% tiene 4 turbinas, otro 25% funciona a motor el 50% restante tiene 3 turbinas. ¿Cuántas turbinas existen en total? a) 30 b) 60 c) 90 d) 120 e) 240 32.Un 32. Un automóvil está asegurado por el 80% de su valor, correspondiente co rrespondiente a $5.000. ¿el valor total del automóvil? a) 4000 b) 9000 c) 6250 d) 8000 e) 3750 33.Se 33. Se han comprado dos piezas de una máquina de la misma medida y del mismo fabricante. Una de ellas se compró al precio de lista y la otra con rebaja del 25%. Si por las dos se pagaron $250 dólares, ¿Cuánto se pagó por cada una? a) 30 y 25 b) 20 y 35 c) 40 y 125 d) ninguna 2 . Si un triángulo equilátero tiene el mismo perímetro que el 34.El 34. El área de un cuadrado es 36 cm cuadrado; entonces el lado del triángulo mide. a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12 35.Un 35. Un hombre compra una botella de ¾ litros de vino; si se toma 3/8 litros. Entonces le queda: queda: a) 1/10 b) % de botella c) 0.25 litros d) media botella e) casi nada 36. En una fiesta se observa que los 3/8 del número de asistentes más 10 son mujeres y 7/8 de número de asistentes menos 44 son hombres. ¿Cuántas mujeres asistieron? a) 51 b) 61 c) 62 d) 68 e) 78 37.En 37. En la operación M= X – Y, Si X aumenta 2 unidades y disminuye en 2 unidades el nue vo valor de M es: a) No varía b) aumentan en 4 c) disminuyen en 4 d) aumentan en 2 e) disminuye en 2 38.Si 38. Si M es a N como 3 es a 2 y además M+N -1=10-1 entonces M es igual a: a) 1/10 b) 25 c) 15 d) 30 e) 12 39.Si 39. Si tenía $p y compre en libros pagando pag ando un total de $b, entonces el precio de cada libro es: a) (p-n) b) (p-n)/n c) n/b d) b/n e) p/n 40.Enrique 40. Enrique comenta, si compro 80 lapiceros me faltarían $4, pero si compro 50 lapiceros me sobrarían $2, ¿Cuánto dinero tenia al inicio? a) 13 b) 15 c) 18 d) 16 e) 12 41.Un 41. Un supermercado compra cada cartón de jugo de naranja por k dólares y entonces, los vende cada cartón por dólares. ¿Cuántos cartones tiene que vender para obtener una ganancia de $2000? a)
2000
b)
6000
c)
2000
d)
6000
e) 600 k
42.En 42. En el 2006 Gerardo alquilo varias películas. Desde Enero hasta Abril el alquiló un promedio d e m películas por mes y desde mayo a diciembre dici embre el alquiló un promedio de n películas por mes. ¿Cuál fue el número promedio de películas que el alquiló cada mes en el año 2006? a) M+n b) 20 + 4m c) ( m+n)/2 d) (m+n)/12 e) (m+2n)/3 43.Un 43. Un taxista cobra $ x por los primeros 1000 metros y $ p, por cada 100 metros adicionales. ¿Cuánto cobra por una “carrera” de 3500 metros? a) $(x+25p) b) $(3x+5p) c) $(x+250p) d) $(x+35p) e) $(4x-5p) 44.Un 44. Un automóvil debe recorrer un trayecto de 500 km. Las dos primeras horas circula a 70 km/h y la tercera a 90 km/h. ¿Qué porcentaje del trayecto la falta recorrer al terminar la tercera hora? a) 36% b) 46% c) 54% d) 64% e) 74% 45.Las 45. Las edades actuales de Juan y Carlos suman 48 años. Juan le dice a Carlos: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía 5 años menos m enos de los que hoy tienes”. ¿Qué edad tiene Carlos? a) 26 años b) 24 años c) 20 años d) 23 años e) 22 años 46.El 46. El doble de un número más el triple del mismo número es igual a 20. Hallar el número. a) 5 b) 4 c) 2 d) 6 47.El 47. El doble de un número más el triple de su consecutivo es 23. Hallar el número a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) ninguna
48.Un 48. Un grupo de 296 personas, conformado por hombres, mujeres y niños, llegó a una convención co nvención escolar. Para mayor comodidad, las mujeres y los niños se deben sentar en asientos tipo A, mientras que los hombres se sentaran en asientos tipo B. si se sabe que hay 5 veces más hombres que niños y el doble de mujeres que niños, determine la cantidad d e asientos tipo A que se deben colocar en el salón. a) 74 b) 111 c) 185 d) 222 49.Las 49. Las entradas para el espectáculo de circo cuestan $6 para pa ra adulto y $4 para niño. Si una familia pagó $32 por seis boletos, ¿Cuántos adultos fueron? a) 4 b) 2 c) 6 d) 3 50.Dos 50. Dos números son entre si como 7 es a 13. 1 3. Si al menor se le suma 140, el valor del otro número debe multiplicarse por 5 para que el valor de la razón no se altere. Halle el mayor de los dos números. a) 130 b) 65 c) 52 d) 78 e) 104 51.En 51. En una granja hay dos patos y gallinas g allinas en razón 9:10, si sacan 19 gallinas, la razón raz ón se invierte. ¿Cuántas gallinas había inicialmente? a) 10 b) 81 c) 90 d) 100 52.A 52. A es inversamente proporcional al cuadrado de T. cuando A es 2 el valor de T es 3 si T=2 entonces el valor de A es: a) 8/9 B) 9/2 c) 9/4 d) 8/9 e)9 53.La 53. La relación entre las edad de dos hermanas es, actualmente 3/2 se sabe que dentro de 8 años dicha relación será 5/4. ¿Cuál es la edad actual de la hermana menor? a) 4 años b) 6 años c) 8 años d) 10 años e) 12 años 54.De 54. De las x personas que participan inicialmente es una fiesta, se sabe que a un hora dad se retiraron 15 mujeres, quedando 2 varones para cada mujer. Enseguida se retiran 60 valores quedando dos mujeres para cada varón. El numero x es igual a: a) 95 b) 135 c) 120 d) 115 e) 100 55. Un deposito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su ca pacidad, entonces para que llegue 30% de su capacidad ¿Cuántos litros hay que agregar? a) 4 litros b) 24 litros c) 40 litros d) 60 litros 56.Si 56. Si se posaran 3 palomas en cada poste sobrarían 4 postes, pero si se posara un paloma en cada poste sobrarían 6 palomas. ¿Cuántas palomas hay? a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 57.Mateo 57. Mateo estuvo pescando en la mañana. Si él hubiese pescado el triple de lo que realme nte pescó, tendría 12 pescados más. ¿Cuántos pescados pescó Mateo? a) 3 b) 5 c) 5 d) 6 58.Un 58. Un número es tal, que multiplicando por 2, por 3 y por p or 4 da tres números respectivamente. La suma de estos tres números es 45. ¿Cuál es el número? a) 5 b)10 c) 6 d)8 59.Un 59. Un funcionario tiene que archivar 800 cartas. car tas. Si se puede archivar 80 en una hora, el número de cartas que le quedan por archivar luego de 7 horas de trabajo es es a) 140 b) 240 c) 250 d) 260
DESIGUALDAD. Es una expresión que indica que una cantidad es mayor menor que otra. Los símbolos de desigualdad son:
>
< Propiedades de las desigualdades
1. Si a > b enton entonces ces a + c > b + c y a – c > b – c 2.
> ú 4. Si a > b, entonces b < a 3.
>
Si a > b y c es un numero positivo, entonces ac >bc y
,
<
<
A las desigualdades se las puede representar en intervalos y en la recta numérica, como se muestra en la siguiente tabla de desigualdades Desigualdad X>a X
≥ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ∞ ∞ <
<
<
<
<
<
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
Intervalo ( , ) (
Grafica 1
Grafica 2
, )
[ , )
[
, ]
( , ) [ , ] [ , ]
[ , )
(
, )
Una inecuación es una desigualdad en la que hay uno o mas cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones se llaman también desigualdades de condición.
La resolución de estas desigualdades es estas desigualdades es semejante al proceso efectuado en una ecuación lineal: se despeja la variable considerando las propiedades de las desigualdades.
Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:
Desigualdades cuadráticas con una variable Para resolver una desigualdad cuadrática se una el método por intervalos. Se factoriza la expresión cuadrática, después se buscan valores que haga cero a cada factor, entonces los valores se indican en la recta numérica y se forman los intervalos a realizar EJERCICIO 2>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 2>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>
Desigualdades con valor absoluto Valor absoluto de un número real x se expresa como [x] y se define por:
≤ ≤ ≤ ≥ ≤ ≥ ≥ ≥ ≤ ≥ >0 =0 <0
[x]= 0
Esto nos indica que el valor absoluto siempre es un número real positivo, o cero. El conjunto solución de una desigualdad que involucra valor absoluto, está dado por las siguientes propiedades: 1. 2. 3. 4.
[ [ [ [
]< ] ]> ]
< >
< , , > ,
>
<
>
,
EJERCICIO 3 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. a)
Para que el doble de un número x, aumentado sea mayor que 10, entonces x debe ser mayor que: 2 b) 3 c) 4 d)5
2. Si 6 veces un número, se disminuye en 3 y con ello es menor que 57, entonces el número podría ser: a) 11 b) 10 c) 14 d) 8 3. Si el perímetro de un cuadrado es mayor o igual que 28, ¿cuál es su área? a) b) c) d) 14 7 49 56 4. ¿Cuál es el mejor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación:
≥
÷ 127 < 3
45?
≥
≥
≥
a) 82 b) 84 c) 86 d) 88 5. Nelly es 8 años menor que Diego. Si se suman las dos edades, el resultado es menor que 80. ¿Cuál es la edad que puede tener Diego? a) <36 b) >36 c) >44 d) <44 6. Un laboratorio ha efectuado pruebas para registrar las horas de espera para el efecto de cierta vacuna en el humano, y ha obtenido la siguiente inecuación.
2<
+3 <3 2
Identifique el intervalo de tiempo en el que actúa la vacuna a) 1< t <3 b) 2 < t <3 c) 4 < t < 6 d) 6 < t < 7 7. La consistencia de un helado cambia cuando su temperatura sale de un cierto rango definido por la expresión 2x2 – 7x ≥(x - 2)2, donde x representa la temperatura en grados centígrados. Determine los rangos en los cuales la consistencia del helado cambia. a) X ≤ 1 x ≥ 2 b) x ≥ 4 c) x ≤ 1 x ≥ 4 d) x ≤ - 1 8. La fuerza de tensión s de un nuevo plástico varía en función la temperatura de acuerdo a la fórmula S= 500 + 600t – 20t*2 ¿Dentro de que intervalo de temperatura podemos hacer que la fuerza de tensión se mayor a 4500? a) (5;25) b) (10;20) c) (5;30) d) (20;40) 9. Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 120 km/h y 150 km/h. ¿Entre que valores oscila la distancia del coche a punto de partida al cabo de 3 horas? a) Entre 40 y 50 b) entre 200 y 300 c) entre 300 y 400 d) entre 80 y 100 10. Un globo aerostático pasea sobre la ciudad. Al verlo, un niño desea lanzar su oso de peluche a los tripulantes del globo justo cuando pasan sobre él. Se sabe que la rapidez final del oso (en m/s) está descrita por V f = 50 -10t se ha determinado, además que esta rapidez debe estar comprendida entre 25 y 32 m/s para que los tripulantes logren tomar el oso. ¿entre que instante de tiempo pueden alcanzar el oso los tripulantes del globo? a) 2
Considere que el eje de las abscisas representa el nivel del mar a) – 20 < x < - 12 b) 6 < x < 10 c) – 10 < x < - 6
d) 12 < x < 20
15. Ana y Beatriz preparan pasteles. Si el triple de lo que prepara Ana más lo de Beatriz es mayor que 51 y, si además el doble de Ana menos lo de Beatriz es 24, ¿Cuál es la cantidad mínima de pasteles que pueden hacer juntas? A) 21 B) 23 C) 24 D) 25 E) 28 16. Sean A y B dos enteros positivos. Decimos que A es hijo de B, si A < B, A es un divisor de B, y además la suma de los dígitos de A es igual a la suma de los dígitos de B. Por ejemplo, 12 es hijo de 300, pues 12 < 300, 12 es un divisor de 300, y además 1+2 = 3+0+0. ¿Cuantos hijos tiene el numero 10010? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 17. El número de alumnos de un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de ciencia. La suma de los alumnos que usan anteojos con los de la especialidad de ciencia, será: A) 110 B) 108 C) 91 D) 122 E) 120 18. Un comerciante compra cierto número de cuadernos por S/.68. Si los vende a S/.4,80 la unidad, pierde; y si los vende a S/. 5 la unidad, gana. ¿Cuánto ganó si vendió la mitad de cuadernos a S/.6,20 y la otra a S/.6,80? A) S/.14 B) S/.23 C) S/.21 D) S/.13 E) S/.24 19. Si en medio kilogramo de manzanas se puede tener de 4 a 6 manzanas, ¿cuál es el menor peso que puede obtenerse con 9 docenas de ellas? A) 9,5 kg B) 18 kg C) 13,5 kg D) 9 kg E) 8 kg 20. Un número natural es tal que la sexta parte del número anterior es menor que 6; además la sexta parte del número natural siguiente es más que 6. ¿Cuál será la raíz cuadrada del número natural, disminuido en 1? A) 6 B) 5 C) 4 D) 12 E) 36 FUNCIONES La función es la relación que existe entre dos conjuntos, de manera que a los elementos de x les corresponde a lo más un elemento de y. se dice que y es función de x cuando a cada valor de la variable x corresponde un valor único de la variable y. la tacion para expresar que y es función x = ( ), y se lle y es igual a Dónde: x: variable independiente Y: variable dependiente ( ): regla de correspondencia. Evaluación de funciones Evaluar un función es un valor dado consiste simplemente en sustituir la variable independiente por el valor dado. El valor real ( ) de una función es aquel que toma y cuando se asigna a x un determinado valor real.
∫ ∫
∫
∫
EJERCICIO 1>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>> Evaluar las siguientes funciones:
2 ℎ 2.
Encuentre el valor que toma y cuando se la asigna el valor indicado a x. a) F ( ) = 3 14
=f( )=3
14
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-29
3
4
5
9
12
15
-8
b) g(x) =2x2 – 6x
= ( )=2 c)
-15
-12
-9
-6
6
-3
0
3
6
36
h(x) =x2-5x +1
= ( )=
-9
-7
-5
-3
-1
0
5 +1
2
4
6
8
10
-1
FUNCION LINEAL Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Se llama así debido a que su representación en el plano cartesiano es una línea recta. PENDIENTE DE UN RECTA La pendiente de un recta es la tangente del ángulo de inclinación. La Pendiente de un recta que pasa por dos puntos P 1 (X 1 ,Y 2 ) Y P 1 (X 1 ,Y 2 ) es
Si un recta está inclinada hacia la derecha, tiene una pendiente positiva, y su ángulo de inclinación es un ángulo agudo (0 0 < 0 <900; m>0), mientras que si un recta esta inclinada hacia la izquierda, tendrá un pendiente negativo y su ángulo de inclinación es un ángulo obtuso (90 0 < 0 < 180 0, m <0). Si la recte es paralela el eje x, es decir, si es horizontal, su ángulo de inclinación es cero y su pendiente también es cero ( = 0 , = 0. Si una recta es paralela al eje y, es decir, si es vertical, su ángulo de inclinación es 1800 y su pendiente no se puede determinar = 180 , =
∅0 0 ∅
EJERCICIO 2 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>> 1.
Determine la pendiente de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos:
2.
Encuentra la media de los ángulos de inclinación de las rectas que pasan por los puntos
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA Una recta queda completamente determina si se conocen dos condiciones de ella, por ejemplo un punto y su pendiente, o dos de sus puntos PUNTO – PENDIENTE.-La PENDIENTE.-La ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 (X 1 Y X ) y que tiene una pendiente m, es: PENDIENTE-ORDENADA: La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en el punto b) es CARTESIANA. La CARTESIANA. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 ( X 1 Y X ) Y P 2 (X 2 Y 2 ) GENERAL. La ecuación para cualquier recta, lineal de primer grado, se expresa de la forma
1 1 =
(
)
11 22 =
+
=
+
+
=0
EJERCICIO 3 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>> Hallar las ecuaciones de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones: a)
Pasa por (0,2)m=3
b) Pasa por (-3,4) m= c)
Pasa por (-4,6), m =
d) Pasa por (2,-3) y (4,2)
25 2
e) Pasa por (-9,-2) y (-3,8) f) Pasa por (-4,12) y (-14,-23)
Hallar la ecuación de la recta que cruza por el punto de intersección de las rectas 2 3 4=0 +2 9=0 Que pasa por el punto (1,8) Hallar la ecuación de la recta que cruza por el punto de intersección de las rectas 3 5 +9=0 4 +7 29=0 Que pasa por el punto (-3,-5) Calcular la pendiente de cada recta. Luego encuentra su ecuación considerando los puntos que pertenecen a ella
a)
b)
c)
e)
f)
h)
i)
d)
g)
5.
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo ABC. ¿puede afirmarse que el triángulo es rectángulo?
6.
Relacione la gráfica con la función correspondiente
) f ( ) =
) f ( ) =
2
0.5
2.
+3
∫ ) ( )=4
1
) f ( ) = 2
1.
4
3.
4.
Análisis de una función lineal Dentro del concepto de función, se maneja la forma y = m x + b. La constante m es la pendiente de la recta y b es el punto norte de la recta con el eje y. si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo. La pendiente indica el número de unidades que incrementa o disminuye y, y cuando x aumenta. Las funciones lineales sirven para describir multitud de fenómenos en los que se relacionan dos magnitudes que caría proporcionalmente. Por ejemplo: Cantidad de alimentos a comprar → valor a pagar Volumen de una cierta sustancia → peso de esta Tiempo de movimiento de un móvil → Distancia recorrida Todas ellas se representan mediante rectas sobre las cuales se aprecia cómo varía una magnitud respecto a la otra. EJERCICIO 4 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>> 1. Una piscina es llenada por una manguera en forma constante, de modo que la altura alcanzada por el agua aumenta 20 cm por cada hora que transcurre. Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una altura de 1,2 m ¿Cuál es la ecuación de la función que determina la altura h del agua después de transcurridas t horas? 2. La función ( ) = 4 + 9 representa la variación del capital (en millones de dólares) de una empresa con x años de funcionamiento. El capital inicial fue: e) 13 millones f) 4 millones g) 9 millones h) 8 millones 3. Stronger Than Hate, una banda de thrash metal cobra por presentación USD 1000 por 2 horas de espectáculo, y por cada canción adicional que el evento requiera, solicita USD 50. Si un manejador utiliza la siguiente fórmula: ( ) = 100 + 50 ¿Cuál es el significado de x? a) El número de canciones excedidas. c) El valor por cada canción adicional b) La cantidad a pagar por cada canción excedida d) El número de canciones interpretadas en total 4. Un plan de internet móvil cuesta $10 000 de cargo fijo, el que incluye 1000 MB para navegación y descarga, y por cada 1MB adicional se cobra $250. La función que representa el costo de la cuenta en la función la cantidad de MB adicional es: 250[ ] a) ( ) = 10.0 c) ( ) = 10.0 10.000 00 + 250[ 250[ ] 10.000 00 + 250[ b) ( ) = 10. d) ( ) = 10.00 10.000 000 + 250[ 50[ ] 10.000[ 0[ ]+250 5. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que media 2cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo. a) = 2,5 + 2 b) = 0,5 + 2 c) = 0,5 + 2,5 d) = 2 + 2,5 2,5 2,5 6. Por el alquiler de una buseta para 10 personas, se cobra $30 diarios más $4 por kilómetro. ¿Cuál es la función que relaciona al costo diario del alquiler con el número de kilómetros? a) = + 30 b) = 30 + 4 c) = 4 + 30 d) = 34 7. El costo C para una encomienda de peso p (en kilos) es de $10 por el primer kilo y de $3 por cada kilo adicional. La fórmula lineal que representa el costo dependiendo del peso es: a) b) = 1 0 + 3 c) = 1 0 + 3 ( + 1) d) = 10 + 3( = 10 + 3 3( 1) 8. En una prueba de rendimiento de un vehículo se obtiene que en un tiempo de 3 min se consumen 10 galones de gasolina, y en un tiempo de 11 min el consumo de gasolina es de 24 galones. Si el gráfico entre los dos puntos da como resultado una línea recta, donde las abscisas indican los minutos, determine el valor de la pendiente
∫
∫
∫∫ 2 ℎ ℎ
∫∫ ℎ ℎ
a)
7
b)
59
b)
211
c)
95
c)
10
d)
59
d)
177 0
0
9. En un programa de televisión se indica que la temperatura en Miami es de 95 F o su equivalente 35 C. mientras que en Nueva York la temperatura es de 410 F o su equivalente 5 0 C. si se representa estos estos 0 valores en un plano cartesiano donde las ordenadas corresponden a las temperaturas en F, determine la relación entre 0F y 0C.
a)
59
10. Una persona compra un auto en el año 2007, por un valor de USD 16200, y lo vende en el año 2015, por USD 9 600. Hace la representación sobre un plano cartesiano, suponiendo una tendencia continua donde las abscisas indican los años. Determine la pendiente de la recta para conocer la variación del precio en el intervalo de tiempo dado. a) I= 4V -28 b) I= 4V+28 c) I= + 2 d) I= 2 11. El tramo recto de una carretera, que viene representado por la ecuación — jX — ~y — 9 debe ser arreglado. Si se tiene un equipo A para carreteras con pendiente negativa y un equipo B para pendientes positivas, y se necesita .conocer que equipo se debe enviar; ¿cuál es la pendiente del tramo de la carretera?
a)
67
b) -2
c) 2
d)
67
12. Las mediciones de voltaje, en voltios, y de corriente eléctrica, en amperios, para un circuito eléctrico en serie se han medido así: cuando el voltaje de entrada es 8V, 8V, la corriente medida es 4A, 4A, mientras que para un voltaje de 24V 24V de entrada, la corriente-es 8A. Si después del estudio matemático del circuito se establece que la relación de la corriente que depende del voltaje de entrada es lineal, determine la función que' permite conocer la intensidad, de corriente I, dependiendo de! voltaje de entrada V. b) b) I=4v+28 c) = + 2 d) = 2 a) I = 4V - 28 13. a una persona le regalaron un vehículo nuevo. A los 4 años de haberlo recibido, el carro fue avaluado en USD 1500, a los 7 años el avalúo fue de USD 10 500. Si la relación entre avaluó y tiempo es lineal, determine el valor inicial del vehículo para que la persona pueda realizar la declaración de impuestos con base en su valor original. a) 18 000 b) 19 500 c) 21 000 d) 21 500 14. Un veterinario utiliza Xilacima, un sedante para operar a los animales A un caballo de 500 kg administra 100 mg mientras que otro que pesa 550 kg le administra 1210 mg. Si la relación entre el peso del animal y la cantidad donde los caballos pesan de 450 a 600 kg. a) [790,1420] b) [890,1220] c) [900,1200] d) [90,1320] FUNCIÓN CUADRÁTICA Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de segundo grado, cuya gráfica en el plano es una parábola. Una función cuadrática puede escribirse de la forma ( ) = + + donde a, b y c son números reales cualquiera y a distinto de cero. Análisis de una función cuadrática
∫ 2
1) La grafica grafica de una función función cuadrática cuadrática corresponde corresponde geométricam geométricamente ente a una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o hacia abajo. 2) La parábola parábola que representa representa a la gráfica gráfica tiene simetría simetría con respecto respecto a la recta
−2 =
3) La función función toma su su valor máximo máximo o mínimo mínimo (dependie (dependiendo ndo de la la concavidad) en un punto que se denomina vértice de la parábola.
∆ 2 2
,
2
4) Si a >0, entonces entonces la parábola parábola se abre hacia hacia arriba y su vértice vértice represent representaa el punto mínimo de la función. Si a <0, entonces la parábola se abre hacia abajo y su vértice representa el punto máximo de la función. 5) Si el signo signo del del discr discrimin iminante ante ( = 4 )de la parábola es positivo( > 0), la parábola intersecta al eje x en 2 puntos, estos se conocen como soluciones o raíces de la ecuación + + =0
∆
2
2
6) si el valor del discriminante ∆ es cero ( ∆=0), la parábola es tangente al eje x y la ecuación + = 0 solo tiene una raíz. 7) si el signo del discriminante ∆ es negativo (∆<0), la parábola no interseca al eje x y las raíces de la ecuación + + = 0 no son reales.
2
+
EJERCICIO 5 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>> 1. Encontrar las coordenadas del vértice y determinar las raíces de las siguientes funciones:
ℎ 2
2. Para una exposición de ciencias se ha construido un cohete impulsado por una reacción química a altas presiones. La altura máxima que alcanza definirse a través de función = 120 + 6 , donde (h) es la altura máxima expresada en metros (t) el tiempo en segundos ¿Cuál ¿Cuál es la altura que alcanzo el cohete y cuánto tiempo ha tardado? a) 900m y 15s b) 600m y 10s c) 400m y 12s d) 1200m y 20s 3. Un grupo de estudiantes de ingeniería Mecánica ha construido un vehículo unipersonal alternativo eléctrico que almacena la energía en baterías de litio de larga duración se se ha calculado que la distancia máxima que puede recorrer el vehículo en determinado tiempo, con una sola carga y en terreno sin pendiente se pude expresar de la siguiente función = 14 169, donde (d) es la distan vía máxima alcanzada expresada en kilómetros y (t) el tiempo expresado en horas. ¿Cuál es la distancia que alcanzó el vehículo y cuánto tiempo ha tardado? a) 100km y 14h b) 180km y 7h c) 150km y 14h d) 120km y 7h 4. Si el costo mensual en servicios de aseo en una casa se determina con la función ( ) = +6 +8 donde x es el número de artículos de aseo comprados. ¿Cuál será el número de artículos mensuales que se compran considerando el máximo costo del presupuesto? a) 17 b) 6 c) 3 d) 9 5. Dada la función ( ) = 3 4 + 1 determine si tiene el punto de máximo o mínimo absoluto y las coordenadas de ese punto.
2
∫ 2
a)
1 ∙ 2
∫ 2 b)
12 ∙ 2 1 ∙ 2 2 c)
d)
2 ∙ 1
6. Una compañía que inicia sus operaciones, proyecta que sus utilidades anuales en miles de dólares, se pueden calcular mediante la función ( ) = + 2 15, donde t es el número de años en operación. ¿Qué tiempo será necesario para que la compañía alcance su punto de equilibrio? a) 5 b) 0 c) 3 d) -5 7. Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función I(z)=1000 z donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes. ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso y A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas? a) 300 y 250 b) 250 y 500 c) 250 y 350 d) 300 y 500 8. En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se produjeron rápidamente pero los recursos de la isla comenzaron a escanear y la producción decreció. El número de iguanas a los t años de haberlos dejado en la isla está dado por Calcule la cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó a) 28 b) 11 c) 11 d) 3 9. Un jugador realiza un pase de tal manera que el balón se aleja describiendo un movimiento parabólico dado por la ecuación = + 25 100. Determina la distancia a la que caerá la pelota respecto al jugador. Considere que el campo de juego se encuentra sobre el eje de las abscisas. a) 12,5 b) 15 c) 18 d) 22,5
2
10. Un motociclista extremo ha planeado saltar sobre una fila de automóviles colocados uno a continuación de otro. Durante las prácticas, el motociclista ha saltado desde una rampa de salida hasta otra de llegada, siguiendo la trayectoria descrita por la ecuación = + 30 125. Si se sabe que el ancho de un auto promedio es de 1,5 , ¿cuál es la cantidad máxima de automóviles que podrá saltar el motociclista? a) 8 b) 15 c) 13 d) 25
2
11. Al llegar al edificio en donde vive, una persona se da cuenta de que ha olvidado las llaves y su celular, por lo que empieza a lanzar pequeñas piedras para llamar la atención de alguien en su departamento.
ℎ 2
Las piedras que golpean en su ventana alcanzan una altura máxima según la ecuación = 10 – – 2 , donde h es altura dada en metros y t el tiempo que viaja la piedra. Si entre cada piso del edificio hay una altura de 3 y se considera la planta baja como el primero, ¿en qué piso vive la persona? a) Sexto b) Cuarto c) Tercero d) Quinto
12. Un ingeniero civil desea construir un puente colgante que ayude a cruzar a través de un barranco. La expresión que describe al puente está dada por la función ( ) = 4 2 12 8. Determine la distancia, en hectómetros, que existe entre los apoyos del puente. Considere que estos son los cortes con el eje de las abscisas. a) 2,0 b) 3,0 c) 1,5 d) 1,0
2
13. Una cocina solar de forma parabólica se fabrica siguiendo la ecuación = 2 20 + 48, y está montada sobre un mesón, cuyo borde coincide con el eje de las abscisas. Si todas las medidas están dadas en metros, determine la profundidad que deberá tener el mesón para que la cocina quepa perfectamente. a) 2 b) 5 c) 1 d) 3
ℎ 2
14. La altura que alcanza un volador en función del tiempo está representada por la expresión = 4 + 24 , Si la altura se mide en metros, el tiempo en segundos, no se considera la resistencia del aire y se toma el eje de las abscisas como referencia del suelo, la altura máxima alcanzada es ____ metros y el tiempo que demora en alcanzar la misma es ____ segundos. a) 3,60 b) 3,36 c) 36,3 d) 60,3 15. Se diseña un túnel de 3 m de ancho y 2,25 m de alto como se muestra en la figura. y 2 1,5 1 0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x
Determine la ecuación que se deberá utilizar para el diseño del túnel. a) y = x2 — 3x b) y = —x2 + 3x — 1 c) y = x2 - 3x + 1
d)y=-x2+3x
LA PAR PAR BOLA BOLA Y LA LA GEOM GEOMET ETR R A ANAL ANAL TICA TICA Dentro de la geometría analítica, La sección cónica correspondiente a ¡a parábola tiene la siguiente definición: "La parábola es el lugar geométrico de los puntos plano qué son equidistantes de un punto flujo de una recta fija en el plano. El punto fijo fijo llama toco y la recta fija, directriz." Los elementos de la parábola se mencionan a continuación:
ELEMENTOS DE LA PARABOLA El punto fijo F es es el foco de la parábola. La recta fija DD' es es la directriz de la parábola. La recta que pasa por el foco y que es perpendicular a la directriz es el eje de simetría de la parábola. El punto V donde la parábola corta con el eje de simetría se denomina La distancia desde el vértice V hasta hasta el foco F o hasta la directriz DD' se se denomina parámetro p La longitud del segmento LR que pasa por el joco y es perpendicular al eje se llama latas rectum. La longitud del látus rectum es 4p.
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
CANÓNICA
Con vértice en el origen, y con eje de simetría sobre el eje 7.
x = 4py
Con vértice en el origen y con eje de simetría sobre el eje X.
y = 4px 4px
Con vértice en V (h, k) y con eje de simetría paralelo al eje Y. ORDINARIA
Con vértice en V (h, k ) y con eje de simetría paralelo al eje X.
(x-hj = 4p(y-k)
. (y - k) = 4p(x — E)
EJERCICIOS RESUELTOS »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»
2
Hallar el foco, la ecuación de la directriz y al longitud de latus rectum de la parábola 3 Solución Se puede representar la ecuación en la forma canónica
2
=8
=
Analizar la ecuación de la parábola, se puede notar que su eje de simetría es paralelo al eje . Se
2
obtiene que 4 = , por lo que
=
. El latus rectus es 4 = .
2
= . El foco de coordenadas
2
, 0 , y la ecuación de la directriz es
Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el punto (3,2) y foco (5,2)
ℎ 2 2 22 2 222
Solución Con la información proporcionada, se tiene que ordinaria con eje paralelo al eje .
(
= 3, = 2 y
2) = 8(
= 2. La ecuación tiene la forma
3)
Pasando a la forma general:
4
8 +28=0
EJERCICIOS 6 »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»» 1.
Determine los elementos de las siguientes parábolas (foco, directriz, latus rectum, eje de simetria): a) d) = 4 10 12 + 3 7 = 0 b) e) 20 = 0 12 + 16 + 6 8 = 0 c) 2 + 16 = 0 f) + 8 + 20 + 5 6 = 0 2. a) b) c) d)
Determinar la ecuación de la parábola con los datos:
é é (2,4) ( 3,4) V (3, (3, — 1) y (3,—3)
(— 5,0) 5,0)
+ 2 =0
e) f) g)
(3,2) y (5,2) V ( 5, 2) y ( 5,5)
Vértice en el orden, eje de simetría sobre el eje y, pasa por el punto (18,6)
3. Un arco parabólico tiene 18m de altura y 24m de ancho. Si la parte superior del arco es el
vértice de la parábola. ¿A qué altura sobre la base la parábola tiene un ancho de 16 m? a) 6m b) 7,5 m c) 8m d) 10 m 4. Dos torres de 24 metros de altura sostienen a un puente colgante. Si las torres están separadas 36 metros y el puntal más corto mide 6 metros, ¿cuál es la altura de un puntal que se encuentra a 6 metros del centro? a) 6 m b) 2 m c) 8m d) 0m 5. Se desea diseñar un faro que tenga 30 centímetros de diámetro. El filamento de la bombilla se encuentra a 3 cm del vértice. ¿Qué profundidad debe tener el faro si se quiere que el filamento quede justo en la posición de su foco? a) 18,75 cm b) 16,5 cm c) 20,25cm d) 10,125cm 6. Hugo desea construir un faro parabólico de 25 cm de ancho y 15 cm de profundidad, como se muestra en el gráfico. ¿A qué distancia del fondo del faro habría que situar la fuente luminosa? a) b)
252 125
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN El dominio de una función f , denotado por Dom (f), es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente x. El rango, o recorrido de una función f , denotado por Rec (f), es el conjunto de todos los valores qué toma la variable dependiente y . ( )= X
En la figura que se muestra a continuación, podemos observar gráficamente el comportamiento de la función f(x) = x 2. Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida o dominio (representado por los valores que le asignemos a la variable independiente “X"), del lado derecho observamos el conjunto de llegada o recorrido (representado por los valores que toma, la variable dependiente "y" una una vez que se efectúa la potencia al valor que se le asignó a “x’') y sobre la flecha está indicada la relación matemática (función) que transforma jlos los valores del conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada.
2
Y
5 2
25 4
1
1
0
0
3 2
9 4
4
16
EJERCICIOS 7 »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»» 1. Analice las siguientes relaciones entre entre conjuntos. Determine si cada relación representa una función. En el caso de las funciones, indica su dominio y su rango. Madre
Hijo
Persona
Edad
b)
a)
Dia la semana
Temperatura al amanecer d)
c) e)
2
1 = {(2,6) 2,6), ( 3,6) 3,6), (4,7) 4,7), (6,8) 6,8), (7,9) 7,9)}
2 = {( 4,9) 4,9), ( 9,4) 9,4), (1,7) 1,7), ( 4,8) 4,8), (3,1) 3,1)}
2 ∞ ∞ 2
En una fábrica de zapatos se maneja esta fórmula para encontrar las utilidades.
( )=
2 +2 Donde representa la cantidad de zapatos producidos, ( ) las utiildades en dóIares. Identifique los
∞
valores que puede tomar la utilidad. a) [3; + [ b) [1; + [ 3.
d) [2; + [
En una empresa, se calcula que las ganancias mensuales (en miles de dólares) van de acuerdo con la función
4.
∞
c) [0; + [
( )=
18 + 85
Dónde representa el número de empleados. Si el dominio de la función está entre 6 y 12 empleados, calcule el rango. a) [0,13] b) [9,13] c) [4,13] d) [13;+ [ Sobre una placa de acrílico se planea efectuar dos cortes usando una cuchilla grogramable, que sigae esta función
2 2 17 5 2 2 ( ) = 3(2
∞
3)
Donde el origen de coordenadas coincide con el centro de la mesa. Si la cuchilla opera en el dominio [— 5, 0[U]0, detenninar el tamaño 0[U]0,5] 5] centímetros, ¿cuál es el rango de la función para detenninar totaI que se puede obtener de la placa? a) [ 39;0[U]0,21] b)[ 13;0[U]0,7] c)[ 13;3[U] 3,7] d)[ 39;9[U] 9,21] 5.
Se va a realizar la repavimentación de una carretera, cuya trayectoria está descrita por la fiinción
( ) = 2( — 3) — 2(
+ 4)
Si se define que la ruta de la carretera debe mantener un rango de f (x) (x) entre — 10 y 10 dominio de la función.
, determine el
d) [ 10;10] 6. Emana competencia de motocicletas se debe subir una montaña, en la que un tramo del trayecto está definido por la expresión ( ) + 1 = 2( 2 ( — 1). 1). Se necesita hacer un estudio para evitar accidentes en un dominio entre 5 25 , determine el rango de la función. b) [4,14] c) [7;47] d) [2;22] ) [12;36] 7. Si se conoce que la temperatura de un líquido, en grados centígrados, varía de acuerdo a la función a)
[ 110; 130] 130]
b)
( ) = 5
,0
+ 2(
c)
3)
5(
0, 0,
1)
Si se necesita que la temperatura debe mantener un rango de/(x) entre 25y 85 °C, determine el dominio de la función. a) [5;14] b) [3,8] c) [7;22] d) [6;17] [5; 14]
SISTEMAS DE DESIGUALDADES Gráfica de una Desigualdad Lineal con dos variables
En una desigualdad lineal de dos variables, el conjunto solución es el área o región que se forma por el conjunto de todos los pares ordenados ( , ) que satisfacen la desigualdad. Incluyen a la recta las desigualdades lineales de la forma No incluyen a la recta las desigualdades lineales de la forma
≤≥ < >
+ + + +
,
. , .
EJERCICIO RESUELTO »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »» Determina la gráfica del conjunto solución de
≥
+ 4.
Solución
Primero, se gráfica la recta = + 4, con una línea continua, ya que el signo de la desigualdad representa un intervalo cerrado. Para determinar la región solución del sistema, se sustituye un punto, perteneciente a una de las regiones y se verifica que cumpla con la desigualdad. Por ejemplo, el punto (— 1,4). 1,4).
≥
+4
→
4
≥
1 +4
→ ≥ 4
3
Se puede ver que el punto si satisface a la desigualdad, por lo que la región solución es el conjunto de puntos que está por arriba de la recta punteada. Si el punto elegido no hubiese satisfecho a la desigualdad, la región solución sería la que se encuentra debajo de la línea.
EJERCICIO 1»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» 1»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» 1. a) e) i)
Graficar las siguientes desigualdades lineales: y<6 b) y > -3 c) x > —4 . y < 3x — 2 f) y > 1 — 2x g) 2x - y > 3 3y—5x< 30 j) 7x + 126 < 9y k) 3* — 2y < 0
d) h)
I)
x<5 4xJr3y> 12 2x > 5y
Sistema de Desigualdades Lineales con dos variables El conjunto solución de un sistema de desigualdades es el área correspondiente a la intersección de las regiones solución de cada desigualdad lineal. Los vértices de esta región sombreada serán los puntos en los que se cruzan las rectas. A mayor número de rectas, se tendrá más vértices. EJERCICIO 2 »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»
1. a)
Determinar la región solución de los siguientes sistemas:
≤
>2 3
� ≤ )
2.
<
4
1
b)
e)
≥ ≤
< 3 <4
c)
2 +3
0
6
≤ ≤ 1 0<
f)
4 <3
� ≤ <
+
Determine los sistemas de ecuaciones que corresponden a los siguientes graficos:
1
PROGRAMACION LINEAL Conceptos clave La programación lineal es el proceso matemático a través del cual se resuelven situaciones reales, identificando las dificultades y restricciones respecto a los recursos, para aumentar la productividad y aumentarlos beneficios. La programación lineal responde a estas que exigen maximizar o minimizar funciones lineales, sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Los elementos básicos de un modelo matemático son: La función objetivo: La objetivo: La función objetivo es la ecuación que será optimizada, sujeta a ciertas limitaciones o restricciones determinadas. La función objetivo es una función lineal de varias variables:
( , ) =
+
Variables de decisión: Las decisión: Las variables de decisión son, en teoría, elementes controlables del sistema que se está modelando, que pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo. Restricciones: Restricciones: Los valores que podrían tomar nuestras variables de decisión se encuentran condicionados por una serie de limitantes o restricciones. Estas restricciones están expresadas por ecuaciones o inecuaciones lineales, y su número depende del problema en cuestión. Entre las restricciones se distinguen: Las del tipo 0, llamadas de no negatividad. El resto de restricciones, denominadas restricciones verdaderas.
≥
• •
Solución Factible: Factible: Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. La intersección de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles. Aquí se hallan todos los ya valores de “ ” y " " que verifican todas y cada una de las restricciones.
Solución Óptima: La Óptima: La solución Óptima será un par de valores ( , ) del conjunto factible que hacen que la función objetivo tenga un valor máximo o mínimo. El conjunto de los vértices del recinto de soluciones factibles se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso) El valor que toma, la función objetivo en el vértice de solución se llama valor del programa lineal.
EJERCICIO RESUELTO »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» Maximizar = ( , ) = 3 + 4 , sujeto a las restricciones •
≤≤ ≥≥ 2 + 2 +3 0 0
1000 1500
Solución. Se baila la solución factible, resolviendo el sistema de inecuaciones. Posteriormente se hallan los vértices A, B, C y D de la región factible, para buscar el valor máximo de ¡a función objetivo. Los vértices son los puntos en donde se cortan las ecuaciones de las restricciones. Se evalúa la función objetivo = 3 + 4 en cada uno de los puntos En el punto (0,500) tenemos (0,5 (0,500 00)) = 3(0) 3(0) + 4(50 4(500) 0) = 2000 2000 En el punto (375,250) tenemos (375 (375,2 ,250 50)) = 3(37 3(375) 5) + 4(25 4(250) 0) = 212 212 En el punto (500,0) tenemos (500 (500,0 ,0)) = 3(50 3(500) 0) + 4(0) 4(0) = 1500 1500 En el punto (0,0) tenemos (0,0 (0,0)) = 3(0) 3(0) + 4(0) 4(0) = 0
Se puede observar que
= 2125 2125..
asume su valor máximo en el punto B, por lo que el valor máximo es
EJERCICIO RESUELTO »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »» La industria Ford produce dos tipos de auto: Fiesta y Focus que se deben procesar a través de dos departamentos. El departamento 1 tiene 92 h disponibles y el departamento 2 tiene 64 h disponibles. La fabricación de un Fiesta requiere 4 h en el departamento 1 y 2 h en el departamento 2. Cada Focus requiere 2 h en el departamento 1 y 4 h en el departamento 2. La utilidad del fiesta es $40 000 y del Focus $60 000. ¿Cuántos coches se deben producir para alcanzar el máximo de ingresos? Solución. Se organiza la información en una tabla:
Fiesta Focus Horas disponibles
Dpto 1 4 2 92
Dpto 2 2 4 64
Utilidades 40000 60000
Sean "x" el número de autos Fiesta Fiesta y "y" el número de autos Focus. La función objetivo es:
≤≤ ≥≥ ( , ) = 40
Con las restricciones:
4 +2 2 +4 0 0
+ 60
92 64
No negatividad
Se halla, el conjunto de soluciones factibles, resolviendo gráficamente el tema de inecuaciones. posteriormente se hallan los vértices A, B, C y D de la región factible. Se evalúa la función objetivo = 40 000 000 4 60 000 en cada uno de los puntos En el punto (0,16) tenemos (0,1 (0,16) 6) = 40 00(0 00(0)) + 60 000( 000(16 16)) = 9600 960000 00 (20,6) En el punto (20,6) tenemos 20,6) = 40 000 000(20) 20) + 60 000( 000(6) 6) = 1 160 160 000 000 (23,0) En el punto (23,0) tenemos 23,0) = 40 000 000(23) 23) + 60 000( 000(0) 0) = 920 920 000 000 (0,0) En el punto (0,0) tenemos 0,0) = 40 000 000(0) + 60 000( 000(0) 0) = 0
Se puede observar que
asume su valor máximo en el punto , porque el mayor beneficio se obtiene:
Número de autos Fiesta = 20 Número de autos Focus = 6 Valor máximo 160 000 EJERCICIO 3 »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»» 1.
Una panadería que tiene 150 panes grandes y 300 panes pequeños, desea acabar con su stock. Para ello, lanza dos combos: 2 panes {1 grande y 1 pequeño) por USD 0,25 y 4 panes (1 grande y 3 pequeños) por USD 0,40. Determine la máxima ganancia que se podría obtener a partir de esta venta. a) 37,50 f) 120,00 g) 40,00 h) 48,75
2.
b) Solo 300 de 1
a) 240 y 60 3.
b) 120
c) 160
d) 210
b) 22 y 6
c) 18 10
d) 20 y 8
La elaboración de la estructura de una mesa tarda 50 horas de trabajo y el proceso de lacado toma 20 horas. Por otro lado, la elaboración de una cama tarda 45 horas, en la estructura y 10 horas en el lacado. Se dispone, como máximo de 900-horas de trabajo para realizar la estructura y 225 para entecado. ¿Cuál es el sistema de restricciones para la maximización de la elaboración estos muebles
a)
b)
6.
d) Solo 480 de 2
c) 210 y 60
Un grupo de aficionados de un equipo de fútbol encarga a una cooperativa de buses el traslado de 1200 aficionados a ver un partido de su equipo. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada viaje en autobús es $220 y en microbús $120. Sabiendo que la empresa dispone de 28 conductores, ¿cuántos autobuses y microbuses se deben contratar?
a) 16 y 12 5.
Geppetto manufactura dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un soldado se vende en $27 y requiere $24 de materia prima. Un tren se vende en $21 y utiliza $19 de su valoren materia prima. Se requiere dos tipos de mano de obra especializada: carpintería y acabados. Un soldado necesita dos horas de trabajo de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería. Se consigue todo el material, pero solo tiene 100 horas de trabajo de acabado y 80 de- carpintería. Se venden cuando menos 40 soldados por semana. Determine la utilidad máxima que se puede obtener.
a) 180 4.
Una fábrica dispone de dos modelos de llantas 1 y 2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo 1 y de 30 minutes para el 2; y un trabajo de maquina de 20 min para 1 y de 10 minutos para 2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de $15 y $10 para 1 y 2, respectivamente, ¿cuántas llantas de cada tipo se deben vender para obtener la máxima utilidad?
≤ ≥≥ ≤ ≤ ≥≥ ≤ 50 + 20 45 + 10
900 225
c)
0 0
10 + 45 20 + 50
900 225
d)
0 0
≤ ≥≥ ≤ ≤ ≥≥ ≤ 50 + 45 20 + 10
900 225
0 0
50 + 10 20 + 45
900 225
0 0
Para la liquidación de almacenes, se pretende vender 100 camisas y 200 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un conjunto de 1 camisa y 1 pantalón, que se vende a $30; la oferta B consiste en un conjunto de 4 camisas y más 1 pantalón, que se vende a 50 $. Para que la oferta sea válida, los compradores no pueden adquirir menos de 25 conjuntos de la oferta A ni menos de 15 de la B. ¿Cuál es el sistema de restricciones que se ajusta a este problema de programación lineal?
a)
c)
≤≤ ≥≥ ≤≤ ≥≥ +4 +
200 100 25 15
4 + +
100 200 25 15
b)
d)
≤≤ ≥≥ ≤≤ ≥≥ + +4
100 200 25 15
+4 +
100 200 25 15
7. Una empresa elabora dos productos similares y a partir de una misma materia prima cuya región de posibles combinaciones de producción como se muestra en el gráfico. Determine la utilidad máxima que podría obtener la empresa, si se conoce que la misma está representada en miles de dólares por ( , ) = 6 + 10 22
a) 36 b) 46
8.
c) 38 d) 64
El gráfico representa las posibles combinaciones de productos en relación con los costos de producción de pantalones y camisas. La función de costo está expresada por = 8 + 7 + 90. Determine la cantidad de pantalones y camisas que reducen el costo de producción.
a)
1 pantalón y 3 camisas
b)
1 pantalón y 12 camisas
c)
3 pantalones y 1 camisa
d)
5 pantalones y 1 camisa
9.Una industria de lácteos tiene dos productos representativos: leche ( ) y queso ( ), cuyo precio de venta es de USD 2 y USD 5 respectivamente. La gráfica representa las restricciones del proceso de producción y comercialización: insumo ( + 4) y volumen de Producción (2r +5y > 8 ). Determina la cantidad de leche y queso que maximiza la utilidad.
a) (0; 0). c) (4; 0)
≤
b) (0;4) d) (0;16)
10. Un restaurante 'ofrece dos productos: hamburguesas (x) y papas fritas {-y}. Si la utilidad unitaria por día es USD 50 y USD 80 respectivamente, determina el valor Máximo de la utilidad
a} USD 600 b) USD 1000 c) USD 560 d)USD 800 .
11. Con base en el texto, complete-el enunciado. Una empresa que fabrica mesas y sillas ha estimado los costos de producción en función del número de elementos producidos de estos dos productos, sus restricciones en los recursos utilizados para la producción han generado la región factible (región sombreada) que se muestra en la figura, donde la recta Z representa la función de costos que se debe minimizar y esta crece cuando crece el número de elementos producidos. Por tanto, se deben fabricar mesas y sillas para minimizar los costos. a) 10 y 15 c) ' 45 y 50
b) 50 y 45 d) 15 y 10
12. Con base en el texto, complete. Una empresa productora de bicicletas de paseo y Montaña ha estimado sus utilidades en función del.' Número de bicicletas producidas, sus restricciones, Tanto en material como en demanda han generado la; Región factible (región sombreada) que se muestra en la figura, donde la recta Z representa la función de Utilidades que se debe maximizar y esta crece cuando Crece el número de elementos producidos; x Representa el número de bicicletas de paseo (escala En Miles de unidades) y y representa repr esenta el número, de Bicicletas de montaña;(escala en miles de unidades). Por tanto, se deben fabricar___Bicicletas dé montaña Y___¿bicicletas de Paseo para. Maximizar las actividades. a)/ 8000 y-5000 b) 8000 y 10 000 c) 6000 y 6000
13. En una industria de alimentos para mascotas se” produce comida para perros y gatos. Este mercado creció en los últimos 5 años, por lo que se realizó un estudio que permitió obtener las máximas utilidades en donde se encontró que la región factible de soluciones es la que indica la gráfica. Si mensualmente se obtienen USD 2 000 de utilidad en comida para perros y USD 3 000 en comida para gatos, pero se gastan USD' 9 000 de las utilidades (función objetivo Z), determina la utilidad máxima que se puede Obtener. a) 4 000 b) 4500 c) 7 500 d)12000
d) 5000 y 8000
14. Paúl tiene USD 25 para comprar comida para una reunión con sus amigos, así que desea comprar gaseosas (USD 2 cada una) y chocolates (USD 3 cada uno). Si Paúl decide comprar más gaseosas que chocolates, determine. El gráfico que representa el conjunto de opciones que tiene Paúl para efectuar su compra.
b)
d)
15. Del estudio de los compuestos x y y)-dé dos sustancias utilizadas para alimentar al Ganado vacuno, se ha determinado que la Región factible está dada por el triángulo ABC , como muestra la figura. Se han propuesto 4 posibles funciones objetivo de las cuales, por motivo de presupuesto, se va a elegir aquel fundón que se minimice únicamente en el punto B (0; 5). Determine la función que pone en marcha la producción.
a) 15x+3y c) x 4- 2 y
b) 3 x — y d) x + 4y
PROGRESIONES Una progresión es una sucesión (un conjunto ordenado) de números. Cada elemento se denomina término de la sucesión y se los puede determinar a partir de cierto criterio (regla de formación). Existen dos tipos de progresiones: aritméticas y geométricas.
TERMINO GENERAL ARITMÉTICAS
= +(
1
1).
Término que vamos a buscar Término que inicia el conteo n posición del término a buscar d Diferencia (valor que vamos a sumar a cada término)
GEOMÉTRICAS
= 1
-1
*r
Término que vamos a buscar Término que inicia el conteo n Posición del término a buscar Razón (valor que vamos a multiplicar a cada termino
SUMATORIA DE LOS TÉRMINOS ARITMÉTICAS
GEOMÉTRICAS
=
= −1
2
(a1 + an)*n
( n*r - a1)
EJERCI Cl O 1 »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»» »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»> »»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»»> 1. Encuentre el 8º termino en: 2, 5,8,... 2. Encuentre el 12º tér mino en: 0.5; 0; -0.5, …. 3. Calcula el primer término de una progresión aritmética que consta de 10 términos; si si sé sabe que el último es 34 y la diferencia es 3. 4. Calcula cuantos términos tiene una progresión aritmética cuyo primer térmiAo.es 8 y el último 36, si se sabe que la diferencia 5.Un estudiante de 3o BGU se propone el día 1 septiembre repasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio: a) ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de septiembre? b) ¿Cuántos ejercicios hará en total? 6. En una urbanización realizaron la instalación .del gas natural en el año 1999. Consideramos que en ese momento se hizo la primera revisión. Sabiendo que las revisiones sucesivas se realizan cada 3 años, responde: a) ¿En qué año se realizará la décima revisión? b) ¿Cuál es el número de revisión que se realizará en ébano 2035? En una progresión geométrica, at = 3 y a4 = 24. Calcula la razón y la suma de los ocho primeros términos. 8. El tercer término de una progresión geométrica vale 80, y la razón es 4. Calcula la suma de los cinco primeros términos. 9. Halla la suma de los ocho primeros términos de la progresión geométrica: ¿4, %, 1, 10. Una máquina costó inicialmente $10480. Al cabo. De unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años Volvió a venderse por la mitad, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó la máquina al quinto propietario? E J E R C! Cl 0.2 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 1. Tatiana debe pagar un préstamo en 8 cuotas que aumenta a razón de $6 cada mes. Si la cuota inicial
es de $6, ¿cuánto pagará en total? a) 48 b) 54
c) 216 ,
d) 432
En un determinado mes, el número de personas afectadas por una enfermedad creció de acuerdo- a una, progresión geométrica. Se sabe que en el quinto día había 400 personas enfermas y en el octavo día había 3200 personas enfermas. Determine el número de personas enfermas en el primer .día. a) 25 b) 20 c) 35 d) 40 Un trabajador cobró el primer mes de trabajo en una obra $1000 y en el último mes cobró $2540. Si en cada mes ganó $140 más que en el mes anterior. ¿Cuántos meses trabajó en la obra? a) 11 meses b)12 meses c)13 meses d)14meses Un atleta, por el periodo de 30 días, siguió un ritmo de entrenamiento en progresión aritmética. Sabiendo que en el 5° día del entrenamiento el recorrió 3000 m y en el 12° día el corrió 5100 metros, determine cuántos metros el corrió en el 30° día. a) 12500 b) 10500 c) 17500 d) 13000 Tanta deposita $7 dólares en su alcancía el primer mes, $14 el segundo mes, $28 el tercero y así sucesivamente.¿Cuánto dinero habrá ahorrado al cabo de 1 quimestre? a) 926 b) 892 c) 896 d) N.A. Juan ha comprado 10 libros, por el primero ha pagado $1por el segundo $2, por el tercero $4, por el cuarto $8 y así sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros. a) 1024 b) 1023 c) 1022 , d) 1000 Calcular el número de términos que hay que tomar en la progresión geométrica 5,15,45….,... para que su suma sea 442865. a) 8 b) 9 c)11 d)14 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que a)39 b) 40 c)41 d) 45 El primer término de una progresión progresión aritmética es -1, y el decimoquinto decimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos. a) 2.195 b)2.199 c)3.195 d)3.199 10. Una persona olvidó el Ultimo código de su caja fuerte, pero recuerda-haber ingresado la siguiente sucesión de 8,5;13;17,5,22,26,5 Si el último código que necesita la persona está-ubicado en la octava posición ¿Cuál es este este código?, ¿cual.es este ¡código? a)31 b)40 c)49 d)58 11. En enero, un coleccionista de monedas empezó su colección y cada mes logró tener el triple de piezas que tenía ^ el mes anterior. Si en mayo tiene 162 monedas, ¿Cuántas monedas tendrá en total al finalizar junio? a) 726 b) 728 c) 730 d) 732 12. Pedro concedió a Pablo un préstamo sin intereses. Pablo se comprometió a cancelarlo en cuatro pagos | mensuales que seguirían una progresión aritmética. Sí la segunda cuota es de USD 40 V la cuarta es USD 100, | ¿cuánto dinero le prestó Pedro a Pablo? a) 140 b) 220 c)230 d)240 13. María tiene cuatro hermanos. La edad del hermano mayor es 15 años, mientras que ia edad del menor es 3 ^ años. Si se sabe que María es la tercera hija de su familia, y que las edades de María y sus hermanos cumplen I con una progresión aritmética, ¿cuál es la edad de María? . a)7 b)9 c)11. d)12 . 14. RETO 1. Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y que la suma de sus cuadrados es 511/2. 15. RETO 2. El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una. Progresan aritméticas.
ANÁLISIS COMBINATORIO El análisis combinatorio estudia las ordenaciones o agrupaciones de un determinado número de elementos. Con frecuencia-se presenta la necesidad de calcular el número de maneras distintas en que un suceso se presenta o puede ser realizado. El análisis combinatorio analiza los métodos que permitan sistematizar tales cálculos para encontrar las soluciones apropiadas.
PRINCIPIOS DE CONTEO Principio de multiplicación Es conocido también como el principio fundamenta! del análisis combinatorio. Si un evento "A" ocurre de n maneras diferentes seguido de otro ot ro evento “ B“que ocurre de m maneras distintas, entonces: El número de maneras en que puede ocurrir el evento A y el evento B es nxm
Se aplica el principio de multiplicación (simultáneamente) o uno a continuación.
cuando los
eventos ocurren al mismo
tiempo
Principio de adicción Si un evento o suceso “A” ocurre de n maneras y otro evento “B” ocurre de m maneras distintas, entonces. El número de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es n+m
Se aplica el principio de adicción cuando los eventos ocurren de una forma o de otra, mas no de ambas formas a la vez (no sucede sucede simultáneamente. EJEMPLOS Para vestirse, la persona se pone el el pantalón y la ¿De cuantas formas se puede vestir una persona camisa, es decir tiene 3x3=9 opciones opciones diferentes que tiene 3 pantalones y 3 camisas? de vestirse. ¿de cuantas formas se puede proteger del frio una persona que tiene 3 chompas y 3 chaquetas? No se puede poner casaca y chompa a la vez?
Para enfrentar el frio, la persona se puede puede poner poner chompa o chaqueta, es decir, tiene 3+3=6 opciones diferentes para protegerse del frio.
FACTORIAL DE UN NÚMERO Se denomina factoría! de un numero n(n 6 N) al producto de todos los enteros desde 1 hasta n, y se simboliza por n!
¿Por qué el factorial de 0 es 1? Se puede decir que el factorial de un número se representa también Con la siguiente expresión:
!=
FACTORIALES DE LOS PRIMEROS NUMEROS NATURALES
( + 1)! +1
Entonces, si reemplazamos la n por el 0, se obtiene el resultado de 1.
0!=1(p =1(por or conven convencion cion)) 2! = 2x1 = 2 3!=3X2X1 =3X2X1 = 6 4! = 4x 3 x 2 x 1 = 24 20 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1 20 6!= 6 x 5 x 4X 3 x 2 X 1=720 7! =7 x 6x5 x 4 x 3x2x 1=5040
