Jean Cavailles - Metodo Axiomatico y Formalismo.pdf

MATHEMA Colección dirigida por:

Carlos Alvarez - Rafael Martínez Santiago Ramírez - Carlos Torres

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Método Axiomático y Formalismo

Traducción directa del francés de:

Carlos Alvarez y Santiago Ramírez

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La edición original fue publicada en Francia bajo el título: Métode Axiomatique et Formalisme en HERMANN éditeurs des sciences et des arts, Paris, Primera edición en español: México 1992* Producción Editorial Tipografía Fenian S.A. de C.V. © Edición en francés HERMANN éditeurs des sciences et des arts. © Primera edición en español. Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias, UNAM, Ciudad Universitaria, 04510, México, D.F.

ISBN 968-36-2307-7 ISBN 968-36-1887-1 (Colección MATHEMA)

In d ic e Presentación ........................................................................

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Introducción ...................................................................... El problema planteado por la crisis en la teoría de conjuntos ................................................... 1. Soluciones técnicas: ................................................ a. El empirismo de Borei .................................... ß. Lebesgue y la noción de lo nombrable ........ 2. Necesidad de una teoría de la razón; antecedentes del problema: a. El primado del número y la extensión en Descartes ..................................................... ß . El continuo como fenómeno y el panlogismo de Leibniz ......................................................... 7 . Esquematismo e intuición espacial en Kant .. 3. El intuicionismo brouweriano ................................

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Capítulo I .............................................. Axiomatizaciones y formalismos en el siglo diecinueve. (de Gauss y Bolzano a Russell y Hilbert) ............................ 1. Las tendencias formalizantes: ................................ a. El cálculo generla de Grassmann-IIankel ---ß. El sistema de Dedekind ................................ 7 . Los logicistas: Frege, Russell ........................ 2. Las axiomatizaciones de la geometría: .................. a . Crítica de los fundamentos (de Gauss a Riemann) .................... ß. Pasch y la geometría proyectiva ................... 7 . Los axiomas de Hilbert y el cálculo arguesiano .......................................

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Capítulo II .......................................................................... 77 El método axiomático .......................................................... 77 1. El papel del método en matemáticas ..................... 11 2. Las tres propiedades características de un sistema de axiomas: ........................................ 81 a. La no contradicción ....................................... 81 ß. Los estudios sobre la independenci ......... a. 81 7 . Saturación; categoricidad; axioma de saturación ........................................... 3. Insuficiencia de una axiomatización para fundamentar las matemáticas ................... ....... 88 Capítulo III ............................................................ Noción de sistema formal. El formalismo hilbertiano y el análisis ......................................... 1. La filososfía del signo ........................................... 91 2. La formalización como adjunción de ideales ........ 95 3. Definición de un sistema formal en general ..........100 4. Formalismo integrante. Lógica y matemáticas clásicas ................................................ 102 5- Formalismo propio de Flilbert: el axioma €; funciones recursivas .................................................... 112 6 . Aplicación al problema del continuo .....................119 Capítulo IV ........................................................................ 123 Las demostraciones de no contradicción ............................. 123 1. Método de valuación: Ackermann-von Neumenn .. 124 2. Método de desintegración: Herbrand-Presburger . 127 3- Satisfacción en un campo: .......................................129 a. Teorema de Löwenheim-Skolem ....................129 ß . Teorema de Herbrand ................................... 133 7 . Aplicación a la no-contradicción ............. 137 4. Limitación común a todos los métodos. El teorema de Gödel, sus consecuencias para la saturación y la no contradicción ................................. 5. Ensayo de solución por medio de la ampliación de la zona metamatemàtica: a. Incorporación de la aritmética intuicionista (Gödel-Gentzen) .................................................149

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ß. Inducción transfinita, demostración de Gentzen ...................................................... 153 Conclusión .............;....................................................... 161 1. La situación para: a. El formalismo radical .....................................161 ß. El logicismo ................................................... 162 7 . El intuicionismo .............................................I 66 2. Dos temas esenciales en Hilbert : a. La teoría de la generalización ...................... I 68 ß. La experiencia sobre los signos ................... 169 3- Experiencia dialéctica y existencia de objetos: a. El campo temático y los métodos ................ 171 ß. Relación con la experiencia física ................ 175 7 , Relación con la lógica .....................................175 Bibliografía ...................................................................... 179 Indice analítico ............

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ESTE LIBRO NO D E B E S A L IR D E L A B IB L IO TE C A

Método Axiomático y Formalismo de Jean Cavai liés. Se terminó de imprimir el día 16 de marzo de 1992 en los talleres de Olmeca Impresiones Finas SA. de C.V. a cargo de Fenian SA. de C.V. Se utilizaron los tipos Garamond 18/24, 12/14, 10/12 y 8/9. El tiraje constó de mil ejemplares.

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P re se n ta c ió n Jean Cavaillès nació en 1903 enei seno de una familia protes­ tante portadora de una gran tradición de resistencia: su padre era descendiente de un famoso camisardy su madre formaba parte de una de las familias valdenses más notorias. En 1920 ingresó al Liceo Louis-Ie-Grand y en 1923 fue admitido en primer lugar a la Escuela Normal Superior. Ahí escuchó a Emile Bréhier, el gran maestro del estoicismo y, en 1925» pidió a Leon Brunschvicg que dirigiera su diploma de estudios superiores. En 1927 pasó un mes en Berlín en donde decidió escribir su tesis principal sobre teoría de conjuntos. Diez años después sustentó su examen de doctorado con el trabajo, Méthode axiomatique et formalisme, cuya traducción se presenta ahora en la colección Mathema. Esa década, de 1927 a 1937, no transcurrió sin acontecimien­ tos de una gran importancia y que serían determinantes en el desarrollo intelectual y moral de Jean Cavaillès: Husserl, Heide­ gger, Bachelard y Emmy Noether fueron sus interlocutores; Hi­ tler tomó el poder en Alemania sometiendo a las iglesias católica y protestante y, por último, Herbrand, Gödel y Gentzen llevaron al proyecto hilbertiano a sus más inesperadas consecuencias. La vertiente religiosa en el trabajo de Cavaillès no puede ser soslayada. Sus trabajos de la época, en buena medida, tratan de asuntos morales y religiosos1; sus actividades giran en torno de movimientos de renovación espiritual y en 1930 obtiene una beca de la Fundación Rockefeller para estudiar los movimientos juveniles alemanes; sus lecturas estaban marcadas por el pen1 Cf. la bibliografía de Cavaillès al final.

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samiento de Romano Guardini y de Erich Przywara, en quienes reencontró el pensamiento de Nietzsche y una tradición literaria que incluye a San Juan de la Cruz y a Dostoyevski. De gran importancia es el hecho de que en 1933 rompiera con todo su interés previo en cuestiones de religión, pues esta ruptura no está desvinculada de los acontecimientos políticos de la época y habrá de ser fundamental en la decisión final de Jean Cavaillès. Sin pretender dar cuenta de tales acontecimientos, baste constatar que Cavaillès había escuchado en 1931 a Hitler. Las relaciones entre el nacional-socialismo y las iglesias cató­ lica y protestante le permitió darse cuenta, tempranamente, y de manera profètica, de la verdadera naturaleza del nazismo. Esta visión le permitiría tomar la decisión, desde 1941, de participar activamente en el movimiento de resistencia francés. Fundador de Libération-Sud y de la red terrorista Cohors, fue detenido en 1942 por la policía francesa. Confinado a un campo de concentración, escribe su Logique et théorie de la seiende, editado postumamente. Poco después escapa y ocupa un puesto en la Universidad de Clermont-Ferrand; de ahí se traslada a parís en donde imparte un curso en la Sorbona. AI poco tiempo la Gestapo lo detiene nuevamente. En 1944, en condiciones ex­ trañas, los alemanes lo fusilan en la ciudad de Arras. Su cadáver fue descubierto en la fosa común bajo la inscripción “Descono­ cido no. 5”. Georges Canguilhem escribe: “Frecuentemente he pensado que no se habría podido en­ contrar un epitafio más conmovedor para un filósofo matemá­ tico: cinco, suma pitagórica del primer par y el primer impar, y desconocido, el ente del pensamiento que la filosofía a veces exhalta y a veces exorcisa y que la matemática reduce calmada­ mente por medio de un cálculo”2. Cuando Cavaillès redactaba su tesis escribía a su hermana en su tono habitual: “Te aseguro que si escribo mi tesis, no es por ambición de carrera —en la que cada vez me intereso menos— ni por creer 2 Canguilhem, G., Vie et mort de Jean Cavaillès, Les carnets de Baudasser.

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inocentemente que será útil a la filosofía, sino porque las cosas, incluso una tesis de filosofía, poseen una esencia en la que de­ bemos participar de manera tal que interrumpir la colaboración sea un pecado.”3 La obra de Cavadles, y este trabajo en particular, es una mues­ tra, no está lo suficientemente terminada como para poderla re­ sumir. Es, sin embargo, suficientemente vasta para poder apre­ hender el sentido trágico de su discurso filosófico. Resuenan, en Méthode axiomattque et formalisme, por sí mismas, dos te­ sis centrales para la filosofía matemática: la que afirma un sitio privilegiado para la teoría de conjuntos en la comprensión de la estructura lógica e histórica de las matemáticas y la que establece la autonomía y pureza de las matemáticas; en este sentido, Cavaillés muestra que la esencia de las matemáticas no debe nada a la existencia. Casi medio siglo después de la muerte de Cavaillés, tras ha­ ber testimoniado los cataclismos que bien pudieran ser los más impresionantes de la historia, podemos preguntar nuevamente acerca del sentido de dos eventos insoslayables desde los tiem­ pos de Sócrates y acerca de los que Jean Cavaillés nunca cesó de interrogarse: el sentido de la muerte y el sentido de la enseñanza. La muerte de Cavaillés, como antes la de Sócrates, y como después la de tantos hombres y mujeres que dieron su vida por causas que hoy parecen desprestigiadas, sigue teniendo un sen­ tido ético con cuya esencia nosotros no podemos dejar de co­ laborar. Este es el sentido de la profesión que hemos escogido: la enseñanza de la filosofía y de las matemáticas; debemos hoy, también, seguir considerando ineluctable nuestro combate con­ tra lo insoportable. El trabajo que ahora se traduce por primera vez al español (y posiblemente a cualquier otro idioma) es extremadamente ar­ duo, pero toda actividad intelectual es extremadamente ardua si pretende ser un combate para dejar de ser un ritual. Los te­ mas que trau Cavaillés posiblemente se han expuesto de ma­ nera más pedagógica y sucinu, puede que muchos de ellos ya 3 Ferrières, G., Je an Cavaillés, philo sopire et combattant, PUF, 1950, p. 97.

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estén superados o disueltos, sin embargo, no hay que leer a Cavaillès para aprender matemáticas, no hay que leer a Cavaillés para aprender historia. Ni siquiera hay que leer (o traducir) a Cavaillés para aprender filosofía. Cavaillés, como apuntaba Ba­ chelard, no hace concesiones: ninguna concesión al rigor, nin­ guna concesión ante úna pasión que no puede ser negociada o estimulada: la pasión por la inteligencia. Santiago Ramírez agosto, 1991

Bibliografía de Jean Cavaillés 1928- “Education morale et laicité”, en Cahiers de Foi et Vie, 31929- “Les deuxièmes Cours Universitaires de Davos”,en cl dos­ sier de la Escuela Normal Superior, la edición original está pu­ blicada en la memoria de los cursos, Davos, Neu Sc Zahn, Da­ vos. 1931- “Oecuménisme et missions”, en Cahiers de Foi et Vie. 1932- “Un mouvement des jeunes en Allemagne”, en Annales de VUniversité de Paris. 1932- “Les oeuvres complets de George Cantor”, en Revue philo­ sophique, nos. 11-12. Este trabajo ha sido traducido al español y publicado en la revista Mathesis. 1932—“Sur la deuxième définition des ensembles finis donné par Dedekind”, en Fundamenta mathematicae, t. XIX. 1932- “U Allemagne et le Reichstag”, en La Paix par le Droit, no. 9 1933- “Protestantisme et Hitlérisme”, en Esprit nov. 1934- “Crise de protestantisme allemand”, en Politique. 1935- “L’école de Vienne au Congrès de Prague”, en Révue de Métaphysique et de Morale, 1. 1937- “Logique mathématique et syllogisme” en Rev. Int. Phil. 1937- “Réflexions sur le fondement des mathématiques”, en IX Congrès intérnation ale de Philosophie, t. vi, Hermann, Paris. 1937- (con E. Noether) Briefwechsel Cantor- Dedekind\ Her­ mann. La traducción al francés fue publicada en Philosophie Mathématique.

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1938- Remarques sur ta form ation de la théorie abstraite des ensembles , Hermann, publicada también en Philosophie Ma­ thématique. 1938- Méthode axiomatique et form alism e , Hermann. Reedi­ ción en Hermann, 1981 1940- “Du collectif au Pari”, en Rev. Met et Mor., 2. 1940- ‘Allocution en hommage a M. C. Bougie”, en el dossier ENS. 1946- (con Albert Lautman) “Discussion sur la pensée mathéma­ tique”, en Bull. Soc. Fran. Phil., 1. lai traducción a] español fue publicada en Mathe sis. 1947- Sur la logique et la théorie de la science, PUF. 1949- "Mathématiques et formalisme”, en Rev. In t Phil., no. 8. La traducción de este trabajo fue publicado en Matbasis. 1962- Philosophie mathématique , Hermann. 1962- “Trans fini et continu”, en Philosophie mathématique .

In tro d u c c ió n

El p ro b lem a p lan tead o p o r la crisis en la teo ría de co n ju n to s El problema del fundamento de las matemáticas sólo ad­ quirió toda su importancia a partir de la crisis de la teoría de conjuntos. ¿Qué era fundamentar, hasta entonces, si no escoger entre distintos tipos de evidencia, dar prioridad a tal desarrollo en relación a tal otro, o situar a la actividad matemática entera en relación a otras actividades de la conciencia? Sin embargo, la vali­ dez misma de los resultados, la estructura interna del edificio, no se ponían en cuestión. Por el contrario, con las paradojas descu­ biertas entre 1890 y 1904 se debía enfrentar un peligro que ame­ nazaba a la técnica: la teoría de conjuntos, nacida de un tronco común y con la misma necesidad natural que las otras teorías, sólo utilizaba para su desarrollo ios instrumentos normales de las matemáticas clásicas. Inversamente, sus resultados se revelaban cada día más valiosos en el análisis y en dominios cercanos. ¿Se podía romper esta dóble solidaridad y aislar de las regione^ in­ ciertas una especie de zona central en donde los robustos méto­ dos tradicionales conservaran una evidencia concreta indudable? La tentativa era tan difícil de realizar técnicamente como poco sa­ tisfactoria para el espíritu. Así, la eliminación del transfinito por la exigencia de que todas las definiciones de los objetos se pudie­ ran efectuar por medio de un número finito de palabras condujo

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directamente a la paradoja de Richard1. En cuanto a los remedios localizados en la teoría, éstos no podían ser sino inoperantes pues, en tanto que localizados, por una parte rompían los pasa­ jes y, por la otra, los métodos que enmendaban se encontraban ya actuando en otros sitios. De allí la necesidad de reconstruir el edificio entero: desde el continuo aparecían las dificultades; se debía empezar en una teoría del continuo, materia común para engendrar los objetos matemáticos.

1. Soluciones técnicas a. El empirismo de Borei En Francia, siguiendo las teorías de Poincaré, y sin duda bajo su influencia, parece predominar una corriente empirista. En las Cinco cartas sobre la teoría de conjuntos, Hactamard es el único en afirmar que la existencia de objetos matemáticos es indepen­ diente de nuestros medios para alcanzarlos (posición platónica de la que no deduce, por cierto, ninguna solución ai problema técnico planteado). En cambio Bai re, Borei y Lehesgue, analis­ tas que militaban en la teoría concreta de conjuntos (teoría que desarrollaron al grado de ser sus nuevos creadores), son empiristas. Se trata, para ellos, de su trabajo mismo; lejos de toda especulación quieren establecer qué objetos y qué métodos se deben considerar sin correr el riesgo de enfrentarse a una con­ tradicción. 1 Si se consideran todas las fracciones decimales cuya definición mas corta no exija más que un número finito de signos, es posible clasificarlas según este número mínimo N. Así a cada N corresponde un número finito de fracciones decimales: todas las fracciones decimales que tienen |a propiedad se pueden arreglar en una sucesión ordenada

*1 *2,.

(1)

Sí se define la fracción b por medio de la condición de que su primera cifra sea igual a 1+ la primera cifra de a \, su n-ésima a 1 + la «-ésima cifra de a n, b no puede pertenecer a la sucesión (1); sin embargo, la definición precisa que acaba de darse no requiere sino un número finito de signos (los caracteres de imprenta empleados).

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Ahora bien, la primera contradicción —fuente de otras, pues ningún criterio de verdad subsistiría— es razonar en el vacío. “No comprendo, exclama Borei, el punto de vista de Jos ana­ listas que creen poder razonar sobre un individuo determinado pero no definido; hay allí una contradicción en los términos so­ bre la que he insistido muchas veces”.2 Pero, ¿qué se entiende por definición de un individuo? Aquí interviene una noción de intuición en oposición a una de discurso, característica del sis­ tema ele Borei quien rechaza todas las “matemáticas verbales” o “construcciones lógicas... en las que se manipulan símbolos que no corresponden a ninguna intuición”3. Corresponden a una intuición, por una parte, el número entero; por otra, el con­ tinuo geométrico: es a partir de ellos y solamente desde ellos que se podrán engendrar los objetos matemáticos. El engendra­ miento está sometido al mismo control: si la sucesión indefinida de enteros es perfectamente clara, es decir, algo que “cada quien comprende y está seguro de comprender... como su vecino”4 es porque se fundamenta en la proposición —resultado de un acto efectivo del espíritu—: “tras cada entero hay otro”. La sucesión de ordinales transfinitos de la clase II (y, a fortiori los de las cla­ ses superiores)5, en cambio, no forma parte de las matemáticas reales “pues la proposición análoga: más allá de cada sucesión indefinida de funciones crecientes hay otra, no basta para dar­ nos una idea clara del transfinito”. No hay un proceso regular de engendramiento de todos los ordinales; sólo se podrán uti­ lizar aquellos cuya definición es posible, es decir, una pequeña 2 E. Borei (B), p. 92. 3 Borei (t), p. 181. 4 Borei (I), p. 181. 5 Los números ordinales transfinitos denotan, según su orden, a los conjuntos bien ordenados; es decir, ordenados de tal manera que cada parte posee un pri­ mer elemento: en la clase II de Cantor aparecen aquellos que denotan conjuntos numerables (es decir, coordinables a la sucesión de enteros cf. n. 9); así, u para el conjunto 1 , 2 , 3 , . . w+ t para el conjunto 2, 3 . . 1 ; etc... Estas no son, dice Borei, “sino notaciones abreviadas para indicar el orden en que deben ser efectuadas una infinidad numerable de operaciones que involu­ cran una infinidad numerable de pasos al límite sucesivos o superpuestos”(Borel (I), p. 231). Para la explicación de las nociones de la teoría de conjuntos que se utilizan véase J. Cavaillès (III), del que el presente ensayo es una continuación.

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parte de la clase II. Las mismas amputaciones para el conjunto de los números reales: si “la noción de continuo se adquiere por intuición geométrica”67,el continuo aritmético es una noción ne­ gativa, es la seguridad de que siempre se podrán calcular nue­ vas fracciones decimales, cualquiera que sea la infinitud (regida por una ley) de aquellas que se pueden considerar como ya cal­ culadas (por ejemplo, todas las fracciones racionales). Así, no existen más que los números calculables: “un número a es cal­ culable cuando dado un número entero cualquiera n , es posible obtener un número racional que difiere de a en menos de Así se desvanece la paradoja de Richard: no se pueden consi­ derar, en la sucesión ( 1), más que “los números decimales que están definidos de una manera precisa y sin ambigüedad posi­ ble, por medio de un número finito de palabras”. Allora bien, el número b no goza de tal definición pues sería necesario “para que b esté definido sin ambigüedad, que la sucesión de las a esté, ella misma, definida sin ninguna ambigüedad posible. Este no es manifiestamente el caso para la definición precedente, visto que queda en duda si el número b forma o no parte de la su­ cesión de las cC\ Al considerar las cosas desde el punto de vista empirista —es decir, de aquello que se piensa efectivamente tras las palabras o tras las “realidades observables”— se ve cómo la “pretendida definición de Richard ... es insuficiente ... para po­ nerla en acción; en efecto, sería necesario, primero, haber re­ suelto todos los problemas matemáticos que podrían ser plantea­ dos: pues, entre las definiciones posibles, las hay que suponen la solución de estos problemas”8. Así, el conjunto de términos de la sucesión ( 1) no es realizable: es numerable9 (en tanto que parte 6 Borei (I), p. 160. 7 Borei (I), p. 161. 8 Borei (I), p. 164. 9 Se dice que un conjunto es numerable cuando es posible establecer (sin pre­ cisar cómo) una correspondencia biunivoca entre sus elementos y los de la su­ cesión de enteros. De manera general, la potencia de un conjunto es el carácter que comparte con todos los conjuntos con que puede ponerse en corresponden­ cia biunivoca. Si un conjunto A tiene la misma potencia que un subconjunto de otro B y la recíproca es falsa, decimos que la potencia de A es < que la de B, Así, la potencia de lo numerable < la del continuo (conjunto de números reales). Cantor llama Ho a la potencia de lo numerable, Nx a la de la clase li de ordì-

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del conjunto de combinaciones de un número finito de signos) pero no es efectivamente numerable, “es decir, no es posible indicar, por medio de un número finito de palabras, un proce­ dimiento seguro para atribuir, sin ambigüedad, un rango deter­ minado a cada uno de sus miembros”. Es necesario sustituir la distinción entre conjuntos numerables y no numerables (siendo estos últimos una ficción verbal), por la distinción entre conjun­ tos numerables y conjuntos efectivamente numerables. Estos se caracterizan por la propiedad: “un subconjunto, parte alícuota de un conjunto efectivamente numerable, no necesariamente es efectivamente numerable”. “Todas las pretendidas paradojas de la teoría de conjuntos provienen del hecho de admitir como evi­ dente la proposición ... : todo conjunto numerable es efectiva­ mente numerable”. A partir de estos principios, en efecto, se pueden construir una teoría de conjuntos y un análisis irrefutables. No se consi­ derarán como funciones reales sino Jas funciones calculables-. “una función es calculable cuando su valor es calculable para todo valor calculable de la variable”: De ahí la consecuencia de que toda función calculable es continua para los valores calcu­ lables de la variable. La noción de conjunto de puntos está de­ terminada del mismo modo: un conjunto está definido por la función característica que toma el valor 0 para sus elementos y 1 en los puntos exteriores. Una función de este tipo, continua en un punto, es evidentemente constante en un intervalo que contiene al punto. Se considerarán como conjuntos bien defini­ dos (correspondientes a las funciones calculables) los conjuntos obtenidos por adición (indefinidamente iterable) o sustracción10 de intervalos, “los extremos de los intervalos deben ser estudia­ dos aparte”. Si se deja de lado esta dificultad11 (un conjunto bien definido lo es salvo por una infinidad numerable o incluso efec­ tivamente numerable de puntos), se ve que los conjuntos bien nales transfinitos. La hipótesis del continuo asegura que Ni = la potencia del continuo. 10 Lusin sustituye la sustracción por intersección (parte común) y obtiene los mismos conjuntos. 11 Es posible desembarazarse de ella considerando solamente los intervalos con extremos racionales.

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definidos coinciden con los conjuntos B-medibles, introducidos por la teoría de la integración. Se les clasifica, siguiendo el pro­ cedimiento introducido por Baite para las funciones» según el número de pasos sucesivos al límite que su definición exige a partir del continuo numérico. Así se reúnen, por una feliz conver­ gencia, las exigencias del problema de los fundamentos y los de­ sarrollos espontáneos procurados en la técnica misma por Baire y Borei. El campo del análisis clásico no rebasa el de los conjun­ tos B-medibles. ¿Pero hay que entender por análisis clásico el análisis ya he­ cho?, ¿cómo asegurar la ciencia por venir? Borei se ha perca­ tado de las transformaciones que su punto de vista impone a los métodos tradicionales. El tercero excluido ya no es utilizable: para dos números calculables, entre las hipótesis de igual­ dad o de desigualdad, se inserta una tercera: imposibilidad de decidir cuándo sus modos de definición son distintos y dan, sin embargo, por lejos que se vaya, el mismo desarrollo decimal12. Del mismo modo habría que eliminar las funciones anormales ya introducidas: “hay que resignarse a hacer sistemáticamente eso que los matemáticos han hecho espontáneamente y sin espíritu de sistema; es decir, restringirse a estudiar a las funciones que se presentan de manera natural, lo que podemos llamar ‘seres rea­ les y normales' en oposición a los ‘monstruos creados artificial­ mente o concebidos de manera abstracta”’13. La realización efec­ tiva de este programa no se ha emprendido. Parece enfrentarse, desde el principio, a una dificultad esencial: la noción misma de conjunto bien definido permanece ambigua, a partir del mo­ mento en que ya no se trata de conjuntos efectivamente construi­ dos. Ahora bien, desde el momento en que se avanza en la clasi­ ficación de Baire, las dificultades para la construcción efectiva se vuelven rápidamente insuperables: el conjunto de clase más ele­ vada de que hasta ahora se ha podido dar un modo efectivo de Del mismo modo, “el conjunto formado por un solo punto, digamos 0, no está bien definido en e! sentido de que, para saber si un número dado pertenece o no al conjunto, puede exigir una infinidad de operaciones o la resolución de un problema difícil, o de hecho insoluble”. Borei (1), p. 22ó, 13 Borei (If), p. 146.

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construcción14 pertenece a la clase 4. ¿Qué significa, entonces, un razonamiento en donde intervenga un conjunto ß-medibie cualquiera? Como no hay más cota superior para el número de pasos al límite que lo definen que el orden de éstos, esencial para su definición, se denota por medio de un número finito o de un número de la clase II y se hace intervenir, en realidad, para la to­ talidad de los conjuntos ß-medibles, a la totalidad de la clase II. La respuesta de Borei es que no hay que considerar tal totalidad como dada (seríaun conjunto mal definido). Los razonamientos en donde figuren —o se demuestren— las propiedades gene­ rales de los conjuntos ß-medibles son inductivos: “en lugar de partir de intervalos y de seguir la construcción paso a paso, se supone que la construcción lia sido hecha hasta un cierto punto y que posee ciertas propiedades y se demuestra que estas pro­ piedades subsisten cuando se da un nuevo paso”15. No se trata, por lo tanto, de un sistema dado sino de una realidad en deve­ nir, de un campo abierto en oposición, por ejemplo, al campo cerrado de números racionales (invariante en relación a las cua­ tro operaciones aritméticas); campo cerrado porque se puede dar una definición única. Desgraciadamente, no todas las pro­ piedades encontradas para los conjuntos medibles son induc­ tivas: es el caso de la propiedad, descubierta por Hausdorft' y Alexandroff, de que un conjunto ß-medible, no numerable, con­ tiene un subconjunto perfecto, propiedad que no es invariante respecto a la segunda operación generadora (sustracción). Hay que recurrir, nota Lusin, a otra definición que, esta vez, produce el campo cerrado de los conjuntos ß-m edibles: “se obtienen to­ dos los conjuntos ß-medibles tomando todos los conjuntos fi­ nitos, los conjuntos numerables y los que sirven de conjuntos de valores para las funciones / (x) regulares y continuas (sobre el intervalo fundamental) ... excepto por un conjunto numera­ ble de puntos ”16 (una función regular es una función que siem14 Ejemplo dado por Keldyeh; Cf. Lusin (I), p. 94. La lengua matemática da aquí dos usos a la palabra clase: hay clases de conjuntos (o de funciones) de la clasi­ ficación de Baire, numeradas con numerales arábigos y hay clases de números ordinales transfinitos numerados con numerales romanos. 15 Borei (I), p- 235. 16 Lusin (I), p. 39.

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pre toma dos valores distintos para dos valores distintos de su argumento) . “Parece, añade Lusin, que no se pueden hacer ob­ jeciones a esta definición de campo cerrado, pues la noción de función continua y la de función regular aparecen en las ramas clásicas de las matemáticas”. Sin embargo, esto es evidentemente inadmisible desde el punto de vista precisado por Borei. Por lo tanto, o se pierden las propiedades no inductivas, o la totalidad de conjuntos jß-medibles se puede considerar como una totali­ dad dada (si bien ilegítima). Pero, incluso así, es imposible sos­ tenerse: “si se admiten todos los conj untos ZTmedibi es, es nece­ sario admitir a los conjuntos proyectivos como hace notar con razón Lebesgue”17. Lusin, Sierpinski y Souslin, siguiendo a Lebesgue, han estudiado una primera clase más vasta, la de los con­ juntos analíticos cuyo parentesco con los conjuntos /i-medibles es sorprendente. Pueden definirse como conjuntos de valores de funciones continuas no regulares sobre el intervalo fundamental. Numerosas propiedades se conservan. El primer ejemplo —dado por Lebesgue— de un conjunto analítico que no es /i-medible hace intervenir a la totalidad de la clase II. Souslin y Lusin creen poder pasar este hecho por alto; en realidad la definición nega­ tiva a la que llegan es rigurosamente equivalente a una definición positiva en donde aparezca la clase II. Lusin propone conside­ rar también a los nuevos conjuntos como conjuntos ¿Lmedibles de orden 0 (O es el primer ordinal transfinito superior a tocios los números de la clase II) en la clasificación derivada de la de Baire. Una operación geométrica tan simple como la proyección permite pasar de un conjunto Æ-medi ble a un conjunto analítico. Más aún, si se toma el complemento y si se le proyecta de nuevo, se obtienen los conjuntos proyectivos, una especie nueva, cuyas propiedades, hasta allora, son difíciles de estudiar18. Así, es imposible detener la marcha progresiva del análisis clásico, por restringido que haya sido el punto de partida, si no se tiene cuidado al definir los nuevos métodos. Tras las amputa­ ciones, cuya necesidad había demostrado, Borei se limitó a bre­ ves indicaciones para una reconstrucción positiva. Los procedi17Ibid., p, 323. 18 Cf. para ésto la importante obra de Lusin (I).

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mientos naïfs 19 del análisis clásico se oponen directamente a las exigencias empiristas. Lusin propone eliminar “algunos conjun­ tos Æ-medibles” sin decir cómo. Se rebela así contra las operacio­ nes negativas, como el paso al complemento: si el conjunto E de valores de una función puede ser considerado como dado, “no poseemos ningún procedimiento regular para reconocer si un número realeo dado pertenece o no al complemento de/T’20; lo demuestra la teoría de conjuntos analíticos cuyos complemen­ tos deben ser considerados como pertenecientes a una especie más complicada. En realidad se recurre, en ello, a la intuición geométrica. Pero aquí aparece la segunda dificultad esencial de la empresa boreliana: el papel de la intuición geométrica en la definición del dominio fundamental —por ejemplo— no se pre­ cisa en ningún lugar. Si el continuo numérico no es más que una “noción negativa”, ¿hay que eliminarlo atendiendo a la exigen­ cia de Lusin? Entonces desaparece todo el edificio de los con­ juntos Æ-medibles: el continuo de números calculables (y toda porción que se pueda distinguir) tiene, en efecto, medida 0. La actitud de Lusin implica, por otra parte, más de una paradoja: si todo lo que rebasa los conjuntos Æ-medibles cae en la ma­ temática verbal, ¿qué sentido tienen para él los importantes re­ sultados que obtiene sobre conjuntos analíticos? Lusin concluye su obra: “el autor de este libro se inclina .. .a considerar los ejemplos construidos por él como formados de palabras y ta­ les que no definen seres verdaderamente terminados sino sola­ mente virtualidades”21. No se vislumbrad sentido que pueda te­ ner aquí la palabra virtualidades, sobre todo cuando se trata de conjuntos analíticos o proyectivos que nunca podrán ser actua­ lizados por medio de una construcción efectiva a partir de los elementos iniciales impuestos por Borei. Pero, ¿no hay, en los razonamientos geométricos que utiliza, operaciones concretas cuyo encadenamiento posee un sentido, incluso si no se puede

19 Se mantiene el témino en francés en virtud de su aceptación dentro del léxico matemático moderno. (N del T) 20Ibid., p. 4 l#n. 21 Ibid., p. 322.

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fabricar el resultado con números enteros por medio de cálculos efectivos?

ß. Lebesgue y la noción de lo nombrable Es justamente poniendo el acento sobre el contenido actual de un razonamiento —independientemente de objetos, puntos de partida unificados para todos los matemáticos— que Lebesgue intentó procurar una limitación menos rigurosa, gracias a su noción de nombrable o de efectivo. “Un objeto se define o se da cuando se pronuncia un número finito de palabras que se aplican a este objeto y solamente a éste; es decir cuando se lia nombrado una propiedad característica del objeto”22*.Se ve la distancia en relación con las afirmaciones puramente existericiales de Zermelo o de Cantor: es imposible considerar como satisfactoria la demostración —por ejemplo— de que la clase II tiene una poten­ cia inferior o igual a la del continuo (haciendo corresponder “al símbolo 1 un punto Í!, al símbolo 2 un puntó ¿2>• •• >al símbolo a. un punto tot__no nos detendremos nunca, pues hasta a no he­ mos empleado sino una infinidad numerable de puntos ta y, por lo tanto, quedan puntos y podemos aislar uno de ellos, ta+i ”)25, pues “hemos pretendido demostrar la existencia de una apli­ cación ... (de la clase II) sobre el continuo sin nombrar ninguna”. De manera general es la unicidad de lo nombrado la que inter­ viene: el conjunto dado por el axioma de elección no está deter­ minado de manera unívoca24. Por otra parte, un razonamiento carece de sentido excepto si los objetos que figuran en él están “efectivamente definidos”. Hay en ello, por tanto, una “analogía con el punto de vista escogido por Borei”25. Pero la noción de 22 Lebesgue (II) p. 205. 23 /ó/¿,p.2L 3. 2tí Se sabe que el teorema de Zermelo, que afirma la posibilidad de bien-ordenar todo conjunto M, había sido muy atacado por los empiristas franceses (cf. Cinq lettres sur la théorie des ensembles7en particular la carta de Lebesgue en Borei (J), p, 153): Zermelo utiliza el axioma de elección que afirma la existencia de un conjunto que tiene uno y solo un elemento común con todo subconjunto de M. Damos precisiones y bibliografia sobre este tema en Cavaillès (III), p. I l4 ss. 25 Lebesgue (II), p. 205.

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definición ha sido cambiada: lejos de exigir una construcción po­ sible a partir de un tipo de objetos propuestos de una vez por todas, lo efectivo, por el contrario, reclama que en la caracteri­ zación del objeto sólo aparezca aquello que importa para el ra­ zonamiento presente. “No habría que ... creer que una función ty) esté necesariamente mejor definida cuando se da una pro­ piedad característica del conjunto y = / (X |,... ,x„), x t, \ \ . ,x„, pues una propiedad tal no permite, en general, calcular^”26. La representación analítica es igualmente ilusoria; así, la función27 X(jc) = lim [lim (eos m\irx)2tl] ni

ti

(igual a 1 parax racional ya 0 parax irracional) “no es conocida parax = C (C es la constante de Euler) si bien se puede calcular C con tantos decimales como se quiera; y si la conocemos para X = 7T, no es su expresión analítica la que nos hace conocerla”28. La noción de definición debe, por tanto, permanecer en la va­ guedad: “es nombrar una función el decir que es igual a 0 o a 1 según la constante de Euler sea racional o no. No debemos extrañarnos si en lo que sigue considero como perfectamente definidas y dadas funciones que no podría calcular para ningún valor de la variable”29. Él movimiento del pensamiento que lleva a Lebesgue a poner a las definiciones descriptivas como funda­ mento de su teoría de la medida y de la integración, en lugar de las definiciones constructivas que usa Borei, es el mismo. Este, por ejemplo, otorga medida 1 al dominio fundamental (repre­ sentado por el segmento (0 , 1)) y conviene que cada una de las operaciones (suma numerable, sustracción) generadoras de con­ juntos Æ-medibles se traduzca por una operación aritmética con el mismo nombre y operando sobre las medidas de los conjuntos utilizados, de manera que todo conjunto así definido, posea una medida dada por su construcción. Lebesgue, por el contrario, Ibid., p. 206. -7 Es la función llamada de Dirichlet —el símbolo m\ representa el producto 1 * 2 ... m. 28 Lebesgue (II), p. 206 29 Loe. cít.

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plantea el problema in abstracto30: a todo conjunto de puntos E sé le puede asociar un número positivo o cero m(E) que satis­ face las tres condiciones: 1. clos conjuntos iguales tienen la misma medida; 2 . el conjunto suma de un número finito o de una infini­ dad numerable de conjuntos sin puntos en común —dos a dos— tiene como medida la suma de las medidas; 3 . la medida del segmento (0 , 1) es 1. Se ve, fácilmente, que para los conjuntos ¿J-medibles, la so­ lución está dada precisamente por la medida tal y como la define Borei. Más aún, dado un conjunto cualquiera E, éste está con­ tenido en un conjunto Ei y contiene un conjunto E2 , ambos B-medibles y que tienen la misma medida. Pero “la ventaja prin­ cipal que tiene razonar sobre conjuntos medibles (es decir todos aquellos para los que el problema precedente admite solución) y no solamente sobre los conjuntos B-medibles, no es que se con­ temple una clase más vasta de conjuntos sino que se parte de la propiedad capital de los conjuntos a los que se puede asignar una medida y no de un procedimiento de construcción en perpe­ tuo devenir”31. Es conocido el desarrollo considerable que han tenido, en el análisis general, la teoría de la medida y la teoría de integración que se desprende de ella. Ambas provienen del aligeramiento procurado por el carácter descriptivo de la defi­ nición: sólo importa lo que se nombra, mientras que una cons­ trucción, que no tiene nada que ver con el problema planteado, no podrá sino volverlo pesado o restringirlo arbitrariamente. Es, en cierto sentido, la homogeneidad de los materiales de una em­ presa, la simultaneidad de la matemática con su trabajo presente, lo que aquí se afirma: se trata aún de un empirismo, pues sólo se describe el trabajo efectivo, pero es empirismo del pensamiento en acto, sin otra referencia que el devenir imprevisible de las matemáticas. Los modos de definición son abandonados a las variaciones y a las exigencias del movimiento: por cada nueva adquisición aparecen nuevas posibilidades. El enriquecimiento de lo nombrable coincide con el enriquecimiento mismo de la ciencia. 30 Lebesgue (I), p. 111. S'lbid., p. 117 n.

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Sierpinski ha estudiado32 cómo codificar las definiciones de conjuntos sometidos a esta regla; se puede hacer una especie de superposición progresiva análoga a la de las funciones recur­ sivas de números enteros. Tomando como base la sucesión de conjuntos Ei,E2> ■.. se toma como primera función la suma de una sucesión parcial cualquiera Eni,En2, f l (fi\ ’£ 2»...) = E„v + E„2 + ... y luego, de manera general: A ( £ i , 4 - ) =fi(EmtE„2,...) donde es una función previamente definida. La característica de cada función es, cada vez, la elección del sistema «i ,«2, ■ *■ en la sucesión de enteros. Se puede hacer intervenir, en lugar de la suma, la intersección. Hausdorff lo ha generalizado utilizando en la definición misma conjuntos ya definidos33: fMißvß. 2^3 ■ • •) = ' •‘ en donde la suma se extiende a todas las sucesiones de números naturales tales que el punto a* representado por el desarrollo 1

X

1

1

= - — - H-------------------1------------------------- u

2«l

2” t+»2

2” 1+»2+**3

. . .

pertenezca al conjunto Af. Se procede de la misma manera para los conjuntos proyectivos. Se ve que una gran parte de la teoría naïve de los conjuntos puede ser alcanzada, tan grande que po­ demos preguntarnos si las paradojas están eliminadas. Una primera paradoja es la posibilidad de nombrar conjun­ tos tales que no se pueda decidir si un objeto dado les pertenece o no. Sierpinski ha dado el ejemplo de un conjunto $ de fun­ ciones de variable real que seguramente tiene elementos, pero tal que, dada una función bien definida, para decidir si dicha función pertenece a $ es necesario resolver el problema del con­ tinuo. De manera general, si se pueden nombrar dos conjuntos, 32 Sierpinski (ÍII). 33 HausdorfT (IT).

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Ei no vacío y lb —del que no se sabe si es vacío o no—, basta definir el conjunto E igual a E\ si £2 es vacío, e igual a E2 en el caso contrario, para que, dado un objeto cualquiera, sea imposi­ ble saber si pertenece o no a E. Además, se tienen ejemplos de conjuntos como £2 en *a teoría de conjuntos proyectivos: a partir de un conjunto de Borei de clase 3, Lusin logra nombrar, gracias a un pequeño número de operaciones geométricas elementales —proyectar y tomar el complemento— lo que llama conjuntos resolventes de problemas conocidos (como el problema del con­ tinuo, etc,... ): si se sabe nombrar un elemento de estos conjun­ tos, se tendrán, por ejemplo, numerados de un solo golpe los puntos del segmento (0 , 1) por medio de la totalidad de ordina­ les de la clase II. Esta es la respuesta a una pregunta planteada por Borei en 1908: “¿es o no posible definir un conjunto E tal que no se pueda nombrar ningún elemento individual de £, es decir, distinguirlo de todos los otros elementos de £?”Es imposi­ ble, incluso, afirmar la existencia de un elemento de E. La razón es clara: está en el acto de nombrar, con la intervención de no­ ciones heterogéneas como la definición analítica de un conjunto y las operaciones geométricas sobre este conjunto. Proyectar y tomar e! complemento de un conjunto tienen en general, como correlato analítico, complicaciones insuperables; más aún, para saber si el complemento de la proyección de M es vacío no se puede ignorar la definición analítica de M.

M

FlG. 1.

Los objetos nombrabíes pueden, por tanto, estar insuficien­ temente determinados. Así, Lusin “considera como insoluble la cuestión de saber si todos los conjuntos proyectivos son medibles o no, porque, según él, los procedimientos mismos de de­ finición de conjuntos proyectivos y de la medida en el sentido

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de Lebesgue son virtualidades incomparables”. ¿Se está seguro, incluso, que no pueden aparecer contradicciones? La heteroge­ neidad entre propiedades igualmente nombrables deja abierta la posibilidad de que su yuxtaposición sea contradictoria. En ca­ sos privilegiados la presencia de ejemplos (efectivamente cons­ truidos) puede ser una garantía en contra de este peligro. Pere; para nombrar una función no representable analíticamente —y en consecuencia un conjunto que no sea /i-medible— Lebesgue utiliza, por ejemplo, la totaliad de la clase II, que en sí misma se considera como nombrada. Esta es, sin duda, caracterizable de manera unívoca: un razonamiento en donde intervenga no aparece, sin embargo, ni menos oscuro ni menos peligroso; ¿se puede estar seguro de que la clase II no sea contradictoria en tanto que totalidad?34 Al menos la diferencia de seguridad —o del sentido que se puede aprehender— entre tal razonamiento y aquéllos que recurren al axioma de elección no es notable: para un buen número de matemáticos éste ofrece, incluso, mas ven­ tajas. Así, una posición intermedia entre el empirismo y el idea­ lismo parece difícil de sostener. Mas aún, una limitación cual­ quiera del campo matemático, extraída de consideraciones es­ trictamente matemáticas —como hacen Borei y Lebesgue— pa­ rece imposible: es lo imprevisto de un problema, la desviación en su aplicación, lo que hace vana la regla de seguridad o bien obliga a su abandono. Parece que aquí la reflexión crítica sobre la esencia misma del trabajo matemático y la noción de objeto, son condiciones previas necesarias. La dualidad entre construcción analítica y operación geométrica, incluso los diferentes sentidos de estas dos expresiones —que los trabajos profundos de Ja es­ cuela de Borel-Lebesgue han hecho aparecer—, así como la mul­ titud de problemas ocultos bajo la palabra definición, obligan a una revisión sistemática y á una regresión que conduce a cruzar, más allá de las matemáticas propiamente dichas, al suelo común de todas las actividades racionales. Véanse, acerca de esta cuestión, las dudas recientes de Lusin y Sierpinski, li­ gadas a los trabajos sobre conjuntos analíticos y proyecrivos en Lusin (II), (III) y Sierpinski (III).

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2. Necesidad de una teoría de la razón; antecedentes del problema a. El primado del número y la extension en Descartes La teoría de la razón depende, por otra parte, de tal tra­ bajo: la historia muestra la estrecha vinculación entre conflic­ tos técnicos parecidos y los sistemas edificados por los filóso­ fos. La dificultad actual se encuentra prefigurada en Descartes, Leibniz y Kant, a partir de quienes se puede aprehender me­ jor su evolución. En las Regulae, el número y la extensión son, con el mismo derecho, naturalezas simples. En las Meditaciones son nociones que poseen, por igual, claridad y distinción. ¿Pero qué es la idea de extensión? La separación del alma y el cuerpo tiene, como lo hace notar L. Brunschvicg, su contraparte en el método mismo de la ciencia: “para que el pensamiento cons­ tituya la ciencia de la naturaleza según el orden mismo de la naturaleza, es necesario que pueda, siguiendo la conexión de sus ideas, desenredar el encadenamiento de las cosas; es nece­ sario, por lo tanto, que el pensamiento comprenda a la noción misma de extensión como perteneciente al dominio de su activi­ dad; noción de extensión, de tal manera distinta de la noción del pensamiento, que el atributo de extensión y el del pensamiento marquen dos tipos diferentes de sustancias”35. La imaginación entera es arrojada del lado del cuerpo: “cuando me imagino un triángulo no sólo concibo que es una figura compuesta de tres líneas, sino que con ello me imagino estas tres líneas como pre­ sentadas por la fuerza y la aplicación de mi espíritu. Si voy a pen­ sar un kilógono, concibo bien, y con la misma facilidad, que en verdad es una figura compuesta por mil lados ... pero no puedo imaginarme los mil lados ... ”36. La idea clara y distinta es, por lo tanto, únicamente intelectual, la imaginación no es “otra cosa que una cierta aplicación de la facultad que conoce al cuerpo, que le está íntimamente presente”. Doble peligro: técnicamente el aritmetismo; filosóficamente la imposibilidad “de justificar una 35 L. Brunschvicg (I), p. 129. 3^ 6a meditación, Adam Tannery, Oeuvres de Descartes, t. DC, p. 57.

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ciencia que, teniendo valor intrínseco en su conformidad estricta con el orden del pensamiento, pueda aplicarse de manera directa a un universo completamente desprovisto de pensamiento”37. Uno y otro no han sido evitados sino parcialmente, esbozo de la separación operada por Malebranche entre extensión inteligible y extensión local, con los acomodamientos fáciles de la teoría de las sustancias: “en lo que se refiere .. .a la extensión y a la figura ... es verdad que no están en mí formalmente pues yo no soy sino una cosa que piensa; pero, por ser solamente ciertos modos de la sustancia y siendo yo mismo una sustancia, parece que pueden estar contenidas en mí eminentemente”38. Como consecuencia está, al menos, la física relativista de los Princi­ pios en donde el carácter imaginativo de las explicaciones está en razón inversa a su valor explicativo. la única ciencia verdadera parece ser aquélla en donde reina el número; en el espacio las únicas curvas de las que tenemos una idea son aquellas represen­ tadas por una ecuación algebraica: la ecuación es la idea. Elimi­ nación de curvas mecánicas: “líneas que parecen cuerdas, es de­ cir, que devienen tanto rectas como curvas a causa de que la pro­ porción entre rectas y curvas no es conocida e incluso creo que no podrá ser conocida por los hombres; no se puede concluir, de ello, nada que fuera exacto y seguro”340?; exclusión que, mo­ dificada, debe prolongarse hasta el fin del siglo XVIII con el de­ bate, a propósito de las cuerdas vibrantes, sobre la continuidad euleriana y sobre la noción de función arbitraria. Leibniz pudo satirizar a Descartes por la estrechez del juicio y la pobreza del método, esta “presunción... midiendo las fuerzas de toda la pos­ teridad por contraste con las suyas”*0. De cualquier manera, ni relativismo ni aritmetismo están completos: la idea de triángulo no es su ecuación sino, como indica el texto de las Meditaciones, es la regla para construirlo41. La dualidad del espíritu y de algo 37 L. Brunschvicg, op. cit. 383« meditación, Adam Tannery, Oeuvres de Descartes, t. IX, p. 35. 39Géométrie, Adam Tannery, t. VI, p. 412. 40 Carta a Philippi, enero 1680, citada por Brunschvicg, op. cit., p. 12341 Lo mismo paralas curvas: “no se deben excluir la líneas más compuestas, siem­ pre que se les pueda imaginar como descritas por un movimiento continuo o por muchos que se entreveran, y en donde los últimos están regidos por los que Ies

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dado, exterior aJ espíritu, pero a lo que se puede aplicar para co­ nocerlo, es el hecho primordial del racionalismo cartesiano. La ciencia no es reconstrucción sino ordenación: en ningún lugar se encuentra un intento de definición exhaustiva para la extensión. Las relaciones métricas se privilegian porque son más maneja­ bles, pero lo importante es que de algún modo se establezcan relaciones; moverse de manera autónoma a lo largo de sus en­ cadenamientos. Lo que es pensado es el acto de pensar, no su objeto: la intuición no es intelectual excepto cuando es clara y distinta, éstos son caracteres extrínsecos a la especificidad del objeto sobre las que se aplica. Así, el método universal desborda el éxito de un método particular pues apunta solamente a un or­ den y a una evidencia que carecen de canon. Pero el problema es escamoteado en la confianza de que el método encuentra por todos lados dónde aplicarse; no hay definición de matemáticas: es la ciencia de la extensión y todo pensamiento de la extensión es matemático. La relación de elemento, número, magnitud li­ neal, se abandonan a un optimismo de suposición; la limitación del conocimiento, incluso matemático, es aceptada gracias a la imagen teológica del infinito.

ß . El continuo como fenómeno y el panlogismo de Leibniz A pesar del cálculo infinitesimal, esta imagen teológica del in­ finito desempeña todavía un papel en el leibnizianismo. El hilo conductor en el laberinto del continuo es la distinción entre la pluralidad discreta de las sustancias, única realidad en la volun­ tad divina, y la continuidad fenoménica de sus vínculos espaciotemporales. “La extensión, la figura y el movimiento encierran algo de imaginario y de aparente aun cuando se les conciba con mayor distinción que el color y el calor, sin embargo... encon­ tramos que estas nociones tienen todavía algo de confuso ... y sostengo como demostrable que no hay figura exacta en el cuerpo”42. La exigencia de que todos los juicios sean predicati­ preceden: pues por este medio se puede, siempre, tener un conocimiento exacto de su medida”. Ibid., p. 390. La predominancia de lo métrico se restablecía. 42 Carta a Toucher, hacia 1688, Gerhardt, Phil Sehr., I, p. 392.

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vos, hace de la extensión el resultado de la difusión del atributo extendido “como en la leche hay difusión de la blancura”43; atri­ buto cuyo concepto se revela, por otra parte, como compuesto “cum resolvatur in pluralitatem quam communem habet cum numero, continuitatem quam cum tempore, coexistentiam quam cum rebus etiam non extensis”44. Así, la dificultad se es­ cinde: si la intuición primitiva ya no es sino un “fenómeno bien fundamentado”, la matemática permanece a su nivel; por un lado el problema del fundamento estará resuelto por medio de una reducción virtual de las matemáticas a la lógica; por otra parte, las relaciones entre cantidad continua y sistemas discretos se trans­ portan del plano matemático al plano metafisico. La matemática no es si no la ciencia de las relaciones ideales; en la voluntad divina todo se afirma de un solo golpe, no hay un número para la totalidad de las mónadas; un número infinito, por otra parte, es contradictorio. No es sino en el entendimiento divino, es de­ cir de manera hipotética, que aparecen las relaciones; no tienen nada de real, como el número, atributo “asentado en dos sitios”. En la medida en que las matemáticas afirman, no hacen sino ex­ plicar los axiomas o definiciones: todo se reduce, como funda­ mento, a combinaciones infinitamente variadas de un sistema primitivo de nociones simples. Históricamente, cualquiera que haya sido para las matemáticas el valor heurístico de tal repre­ sentación, el problema que aquí se plantea no recibe ninguna solución: por un lado no se indican ni el modo de una intuición de las nociones simples, ni un criterio con el que se pueda re­ conocer su simplicidad; y la idea de una combinación entre no­ ciones radicalmente simples es impensable, subtendida, en rea­ lidad, por la imagen de la combinación espacial de sus símbolos. Por otra parte, la confianza en una multiplicidad previamente dada suprime, en provecho de la cantidad discreta, la cantidad continua que no posee otra realidad que ser su resumen; todo se remite siempre a hacer pasar por los puntos de un conjunto una línea continua “de la que un espíritu fino puede compren­ der la definición. El espíritu la puede concebir y llevarla por la 43 Examen des principes de Matebrancbe, 1711. Erdmann, p. 69344 Carta a de Voider, Gerhardt, H, p. 183-

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imaginación a través de los cuerpos (o de los sistemas de pun­ tos) de cualquier forma que éstos sean”45. No serán jamás sino aproximaciones sucesivas, pero justificadas y exitosas porque su convergencia es metafísica: la realidad del conjunto dado. No hay ciencia del infinito porque no hay más que uno. 7 . Esquematismo

e intuición espacial en Kant

Sin embargo Leibniz preparaba la vía al esquematismo kan­ tiano: el carácter fenoménico, en sentido kantiano, del número y del espacio ya están reconocidos. Una línea no existe sino en tanto que es trazada por la imaginación, un número en tanto que es percibido por la conciencia. En la Dissertano de 1770, en donde el intuítus purus del espacio y del tiempo sólo pro­ veen de objeto a la geometría y a la mecánica respectivamente —aparentemente dejando de lado a la aritmética— se encuen­ tra ya precisado claramente el carácter sintético del concepto de número: “accedit bisce conceptus quidam in se inteîlectualis, sed cujus tarnen actuatio in concreto exigit opitulantes notiones temporis et spatii (successive addendo plura et juxta se simul parendo) qui est conceptus numeri”46. Esta actividad sintética del yo pienso justifica dos características para el trabajo matemá­ tico: devenir imprevisible y valor absoluto: valor absoluto porque la síntesis es exigida por la unidad de la apercepción, devenir im­ previsible porque hay ahí efectivamente una actividad construc­ tiva. La intuición es necesaria para la demostración de nuevas relaciones: “geometria propositiones suas universales non demonstrat objectum cogitando per conceptum universalem ... sed illud oculis subjiciendo per intuitimi singulärem quod fit in sensitivis”47. Definición de 1770 que la Critica precisa: “ésta (la matemática) no puede establecer nada por los conceptos sim­ ples sino que salta rápidamente hacia la intuición en la que con­ sidera al concepto in concreto; mas no empíricamente, sino en una intuición que representa apriori, es decir, que ha construido 45 Carta a la electora Sofía, 31 de octubre de 1705, en Gerhardt, VII, p. 563. 46 De mundi sensibiíis . .., II, §12, ed. Cassirer, II, p. 413. 47Ibid., Ill, §15, II, p. 419.

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y en la que lo que sigue de las condiciones generales de la cons­ trucción debe valer del mismo modo para el objeto del concepto construido”48. Es difícil ir más lejos en el análisis del papel de la intuición: no es la contemplación de un todo hecho, sino aprehensión, en la experiencia del acto, de las condiciones mismas que la hacen posible. Escapamos de la irracionalidad de lo constatado por la necesidad interior de la construcción. De todas maneras, para ésta, se requiere un medio que le sea lógicamente anterior: si “el filósofo puede reflexionar sobre el concepto (triángulo) tanto como quiera ... y distinguir ahí el concepto de línea recta, o de ángulo, o de número tres y aclararlos sin por ello llegar a otras propiedades que no estén encerradas en los conceptos”49; si el matemático debe estar “siempre guiado por las intuiciones”50 en el encadenamiento de sus razonamientos, es porque la intuición posee una estructura o una realidad propia —de cualquier or­ den. Más aún, la dualidad de las dos formas de la intuición hace que el problema sea insoluble. Sin duda hay una subordinación del espacio al tiempo pues toda síntesis se cumple en el tiempo; “no puedo representarme una línea, por pequeña que sea, sin ex­ traerla por medio del pensamiento”51. Y así se explica inmediata­ mente la aplicación del número al espacio: “el esquema puro de la magnitud como un concepto del entendimiento es el número, que es una representación que abarca la adición sucesiva de la unidad con la unidad (homogénea). Por lo tanto el número no es otra cosa que la unidad de la síntesis de lo diverso de una in­ tuición honfogénea en general, por el hecho que yo engendro el tiempo en la aprehensión de la intuición”52. Pero la dificul­ tad será pasar de esta “intuición homogénea en general” a dos intuiciones particulares de nuestra facultad de conocer: recurri­ remos, para caracterizarlas, a las nociones naïves de la experien­ cia común: el tiempo, que “contiene las relaciones de sucesión, 48 Kritik der reinen Vernunft, Methodenlehre, I, l, Cassirer. Ill, p. 486. *9ibid., p. 487. 50 Loc. cit. 51 Axiomes de l’intuition, op. cit., p. 157. 52 Esquematismo, op. cit., p. 144. Subrayado nuestro.

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simultaneidad y de lo que es simultáneo con lo sucesivo (lo per­ sistente) ... manera en la que el espíritu se afecta a sí mismo”53 mientras que el espacio es “la propiedad formal (del espíritu) de ser afectado por los objetos”. Distinción a propósito de la que Kant no oculta su molestia: “aquí toda la dificultad reside en esto: ¿cómo puede el sujeto tener una intuición interior de sí mismo?, pero esta dificultad es común a todas las teorías”5'1. Sin embargo es esencial al sistema si la imaginación es el poder central que permite someter la diversidad intuitiva a la unidad de los con­ ceptos: es necesario que el acto ele unificación sea, él mismo, de algún modo, sensible, fisto es lo que queda perfectamente claro en la Deducción trascendental cuando retoma la “paradoja del sentido íntimo”55: puesto que no poseemos intuición intelectual, la dualidad en nosotros entre actividad cognoscente y receptiva sometida al exterior exige que el acto sintético, en tanto que se aplica a esta receptividad, la afecte y se revele, así, sensiblemente. “Su síntesis (la del entendimiento) si se le considera sola, no es otra cosa que la unidad de la acción de la que está consciente, en tanto cjue tal, sin sensibilidad, pero por ella puede determi­ nar la sensibilidad en vista de la diversidad que puede serle dada según la forma de la intuición, lìje ree, pues, bajo el título de una síntesis trascendental de la imaginación, esta acción sobre el su­ jeto pasivo, del que decimos, con pleno derecho, que su sentido íntimo es afectado”56; Si la unidad sintética de la apercepción es, por lo tanto, no solamente numérica sino conscientemente distinta de la acción sintética efectiva, si “la consciencia del yo soy” es distinta del “conocimiento de mí tal como aparezco”, es necesario que yo me aparezca, incluso en la actividad sintética pura puesto que el “entendimiento no encuentra el vínculo de lo diverso en el sentido íntimo sino que lo pone en evidencia, afectando el sentido”57. La dualidad entre los dos “yo”, “yo, su­ jeto pensante, yo objeto pensado” no es menos injustificada: no 53 Esférica trascendental, op. cil.. p. 73. 5*Ibid., p. 76. 55ibid., p. L27. 56 Loe. cit. *>7Ibid., p. 129.

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implica ni más ni menos dificultad que la de comprender “cómo puedo, en general, ser para mí objeto, a saber, un objeto de in­ tuición, de la percepción interior”58. Debemos inclinarnos ante el hecho que nos impone el testimonio de la conciencia; somos de tal manera un objeto para nosotros mismos que requerimos del espacio para representar nuestra vida interior: “no podemos representarnos el tiempo, que no es un objeto de la intuición exterior, salvo como la imagen de una línea, en tanto que la tra­ zamos (modo de representación sin el que no podríamos reco­ nocer que solamente tiene una dimensión). Del mismo modo, para lá determinación de la longitud del tiempo o de los momen­ tos para todas nuestras percepciones interiores, debe extraerse lo que de las cosas exteriores se nos presenta como cambiante, a continuación debemos ordenar las determinaciones del sentido íntimo ... en el tiempo, como ordenamos aquéllas del sentido externo en el espacio”59. Así, la existencia misma de una sensibilidad interna se ase­ gura no por una falsa simetría con la sensibilidad externa, sino porque los testimonios de una se piden prestados, y la otra: la co­ nocemos a través del espacio. Pero ahora, el tiempo se desvanece en el espacio, el tiempo es magnitud extensiva “en la que la repre­ sentación de las partes hace posible la representación del todo”60 o, más bien, no hay sino una intuición, la del movimiento que traza las líneas, describe los círculos, marca la línea recta; imagen del tiempo. No es sino por la abstracción, gracias a la distinción, previa a toda crítica, entre nosotros como sujetos cognoscentes y un sistema de objetos que afectan nuestra sensibilidad, que po­ demos aislar, con pleno derecho, en nuestra intuición, aquello que se relaciona solamente al yo. “Lo que al principio produce el concepto de sucesión es el movimiento como acto del sujeto .. .y, en consecuencia, la síntesis de lo diverso en el espacio; si hacemos abstracción de éste y presumos atención solamente a la acción por la que determinamos el sentido íntimo conforme a

58 Loe, dt. 59 Loe. cit. 60 Axiomas de la intuición, op. cit., p. 157.

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su forma”61. Así, la representación del tiempo no se obtiene sino, por abstracción del espacio en la síntesis espacial. Pero, ¿cómo hacer abstracción del espacio si no está ya dado anteriormente a la síntesis? La dificultad se manifiesta si se quieren precisar las relacio­ nes entre las diferentes ramas de las matemáticas. La aritmética sería la ciencia del tiempo, la geometría la ciencia del espacio62. Pero, por una parte, el tiempo es una magnitud continua; por otra parte, la simetría está rota por la diferencia de los méto­ dos: la geometría procede sólo deductivamente a partir de axio­ mas, que son definiciones y proposiciones sintéticas a priori-, la aritmética, por el contrario, va de lo particular a lo particular. “Independientemente de que la proposición 7 + 5 " 12 sea sintética, es, sin embargo, solamente particular. En tanto que aquí sólo se toma en cuenta la síntesis de lo homogéneo (de las unidades), la síntesis no puede cumplirse sino de una sola manera, independientemente de que el uso de los números sea, después, universal. Si digo: con tres líneas de las que dos reuni­ das son más grandes que la tercera, se puede dibujar un triángu­ lo, tengo aquí la función simple de la imaginación reproductora que puede trazar líneas más o menos grandes y, por lo mismo, hacer que se encuentren en ángulos arbitrarios”63. En realidad, lo que está en el mismo plano que la geometría, ciencia “de las magnitudes simples (quanta)”, es el álgebra, cien­ cia de la magnitud simple (quantitas), “donde se hace abstrac­ ción completa de la constitución del objeto que debe ser pen­ sado según tal concepto de magnitud. El álgebra elige un modo para designar todas las construcciones de magnitud en gene­ ral (números), como la adición, sustracción, etc., y representa en la intuición, según ciertas reglas generales, todas las opera­ ciones gracias a las que la magnitud se produce o se cambia: alti donde una magnitud debe ser dividida por otra, las pone juntas en el algoritmo de la división y (el álgebra) llega, por me­ 61 Deducción trascendental, op. cit., p. 128. Subrayado nuestro. 62 Por lo menos en la Crítica; sobre las oscilaciones de Kam, Ci* 1.. BrunsClivicg, op. cit, p. 257ss. 63 Axiomas de la intuición, op. c it, p. 158.

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dio de una construcción simbólica, al igual que la geometría por medio de una (construcción) ostensiva (la construcción geomé­ trica de los objetos mismos) a donde el conocimiento discursivo, por medio de conceptos simples, no podría llegar jamás”6'1. Si el álgebra es “conocimiento por construcción de conceptos”, esta construcción se efectúa también en el espacio. En cuanto a la aritmética, si bien en apariencia más particular que el álgebra (sustituibilidad de un número particular por letras), domina a ambas ciencias; hay que recordar que e! número es un esquema puro superior al espacio y al tiempo: “la imagen pura de todas las cantidades (quantorum) para el sentido exterior es el espa­ cio, el de todos los objetos de los sentidos en general, el tiempo. Pero el esquema puro de la cantidad (
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Su única evidencia proviene de la práctica de la construcción: no se puede hacer otra cosa para unificar los objetos.

3. El intuicionismo brouweriano La originalidad del intuicionismo brouweriano yace en que su esfuerzo directo por resolver el problema actual del funda­ mento de las matemáticas lo haya llevado a retomar los temas esenciales del kantismo: carácter intuitivo inmediato del conoci­ miento matemático en donde la verdad se constata en una expe­ riencia sui generis, definición de su desarrollo como una cons­ trucción imprevisible, independiente de la lógica; en fin, pri­ mado del tipo de construcción aritmética sobre la geométrica, transposición de la primacía del esquema número sobre la sínte­ sis en el espacio. Sin embargo, la intuición de la que aquí se trata carece de contenido propio: la forma del espacio está entera­ mente eliminada. En sus primeras exposiciones, Brouwer “consideraba al con­ tinuo como dado en la intuición temporar68. En la doctrina ac­ tual, si el tiempo opaco de la historia interviene, lo hace exteriormente: la aparición de una solución a un problema puede desviar, en una dirección determinada, la construcción en curso de un objeto matemático, pero el carácter intrínseco de la cons­ trucción, en tanto matemática, no se ve afectado por ello: si se desarrolla en el tiempo, éste sólo representa un orden, tiempo activo del yo pienso unificante más que tiempo sentido del jo pienso afectado. La actividad matemática, en realidad, se expe­ rimenta en sí misma en su desarrollo original: no se le puede definir, sólo se le puede seguir69. A lo más, se le puede caracteri­ 68 Heyting (IV), p. 19. 69 Weyl, quien fue —o se creyó— en un tiempo brouweriano (lo que Brouwer hoy duda), había aproximado esta intuición original con aquélla a la que hace referencia Husserl: no es definible porque se confunde con la evidencia de la conciencia. El objeto aparece en sí mismo pero no en otro sitio sino en el acto que lo aprehende, O. Becker (I), por su lado, intentó operar una síntesis entre las definiciones de Brouwer y la filosofía existencial de Heidegger. Para Husserl, por lo menos, importa notar que su concepción de las matemáticas es totalmente distinta, mucho más cercana a la de Hilbert que a la de Brouwer. Cf. Husserl (II).

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zar en sus inicios “como acto de voluntad al servicio del instinto de conservación del hombre aislado”70 por medio de las dos fa­ ses en que se manifiesta, la de la “posición temporal” y la de la “posición causal”. En la primera, “un momento de conciencia” se encuentra disociado en dos realidades cualitativamente distintas, dualidad que la memoria fija y luego separa tajantemente en una multiplicidad indefinida: en esta diada temporal ya está latente la sucesión de los números. Pero es necesaria la posición causal que “identifica diferentes series de fenómenos” y Ies procura un “sustrato común, la sucesión causal”71; de ahí, en particular, la construcción intelectual de un mundo de objetos independian­ tes y fijos. Así, la primera actividad matemática es la creación de un orden en el mundo y hasta en las sociedades72. Pero si la nu­ meración es reveladora de la “actitud espiritual matemática”73, Brouwer se niega, sin embargo, a “encerrar las posibilidades del pensamiento en la camisa de fuerza de los principios de cons­ trucción determinados de antemano”74. Hay una verdadera re­ velación no solamente de resultados sino también de métodos, como en la vida misma, “las matemáticas son más una acción que una doctrina”75. De donde, en primer lugar, la doble afirmación de la inde­ pendencia de las matemáticas en relación con el lenguaje y en re­ lación con la lógica. Por su esencia, el lenguaje no tiene nada que ver con las matemáticas: instrumento para “la transmisión de vo­ luntades”, la lengua es “una función de la actividad del hom­ bre social”76 pero no posee “ni exactitud ni seguridad”. “Un len­ guaje matemático fundamentalmente unívoco es imposible”77. En vano la escuela formalista ha querido someter al lenguaje de las matemáticas a un tratamiento matemático para dotarlo de la “precisión y de la estabilidad de un instrumento material”78: por 70 Brouwer (VII), p. 153. 71 Ix>c. cit. 72 Ibid., p. 156. 73 Heyring (IV), p. 12. 74 Loe. cit. 75 Die Mathematik ist mehr ein Ihn denn eine Lehre. 76 Brouwer (VII), p. 157. 77 Heyting (IV), p. 13. ■78 Brouwer, p. 158.

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un lado la dificultad no ha sido sino desplazada; para entenderse en este lenguaje se requiere una lengua superior o metalenguaje en el que aparecen las mismas incertidumbres. Por otra parte, si el objetivo es la aparición de un cierto resultado en el espíritu, las posibilidades de un malentendido subsisten por completo. En realidad, formalistas y logicistas hacen del discurso un fin en sí mismo. Sin embargo, ningún investigador se equivoca: hay un gran número de formas de expresar la misma verdad, de descri­ bir el mismo procedimiento: es una cierta intuición la que ase­ gura la verdad, es en el éxito en la resolución de problemas del mismo orden que se reconoce haber comprendido una teoría. Solamente “e'l sistema construido en el espíritu del matemático es exacto (en la medida en que ello es posible)”7?. El origen de esta creencia “en un poder mágico” de la len­ gua, o por lo menos de creer que posee un valor propio, debe buscarse “en un error antiguo y ... profundamente enraizado, en la confianza ciega en la lógica clásica”80. “Desde la antigüedad se dispone de una lehgua perfecta para las consideraciones ma­ temáticas sobre grupos finitos de objetos estables”81. La sinta­ xis de esta lengua es la lógica, con sus tres principios: de nocontradicción, de tercero excluido y del silogismo que permiten pasar mecánicamente de una proposición a otra sin preocuparse por su contenido: la experiencia ratifica siempre el resultado por­ que estas operaciones son sólo el correlato lingüístico (la tra­ ducción) de operaciones intuitivas efectuadas sobre un sistema de objetos finitos. Ahora bien, para la experiencia cotidiana, la consideración de un universo discreto y finito es suficiente. De ahí la explicación de un éxito constante de alguna autoridad su­ perior atribuible a principios lógicos; de ahí también las dificul­ tades y las paradojas que su uso provoca para un lenguaje de la matemática infinita. En ésta, una revisión se impone, misma que se sostiene sobre los principios de no-contradicción y del silogismo; el tercero excluido desaparece.*801 7? Heyting, op. cit. 80 Brouwer, op. cit. 81 Loe. cit

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Se pueden dar numerosos ejemplos: de manera general, si llamamos propiedad huidiza a una propiedad “cuya existencia —o cuyo absurdo— se puede verificar para todo número natu­ ral dado mientras que no se posee ningún medio para indicar un número natural que la posea y ni demostrar que es absurda para todos los números naturales (pares o impares)”82 (por ejemplo la propiedad, para un número natural n, de que no se puedan en­ contrar dos números primosx y tales que# +y = 2w)83. LLamaremos número resolvente Ay al menor entero (hipotético) para el que la propiedad es verdadera: sea py el límite de la sucesión convergente: ¿*1 > * * 2 »

en donde

■ • •

flu-* •

~ (-i)

■ •

para i/
para v > Ay Se ve que py no es cero, ni distinto de cero, ni racional, ni irracional, contrariamente al principio del tercero excluido. Si se escribe «y como el límite de la sucesión convergente

con bv

para v < \f

y bv

para v > Ay

“fu y a n t”en el original. (N del T}^ 82 Brouwer (VU), p. l6 t. 83 Los trabajos recientes de Vinogradov (C. R. Acad. Se. URSS, 15 (1937), p. 169 y Recueil mathématique de Moscou, 1937, p. 179) obligan a abandonar el ejemplo. Se le puede reemplazar por el siguiente: la propiedad para un número n de ser el rango, en el desarrollo decimal de ir, del primer decimal seguido por la secuencia 0123456789-

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y si hacemos pasar la recta I por dos puntos de coordenadas (1 p f) y (—l,«y), el eje de las a: y l “no son paralelos si bien su paralelismo no es absurdo, ... no coinciden aunque su coinci­ dencia no es absurda,... no se cortan aunque su intersección no sea absurda”. Menos fuerte que el tercero excluido es el postu­ lado de la alternativa, entre lo absurdo y lo absurdo de lo absurdo; debe, sin embargo, ser rechazado también: ni lo absurdo, ni lo absurdo de lo absurdo de la existencia de Ay pueden afirmarse. Detenemos en dos la superposición de absurdos: lo absurdo de lo absurdo de lo absurdo es equivalente con lo ab­ surdo84. Heyting ha desarrollado de manera formal85 las conse­ cuencias de estas modificaciones para una lógica intuicionista. Representan las “reglas universales según las que se forman teo­ remas nuevos, de manera intuitivamente cerrada y a partir de teoremas conocidos”86. La presencia de este elemento fijo no afecta, sin embargo, el devenir de la construcción matemática: Heyting no ve en su trabajo sino un estudio matemático de la lengua matemática; fuera de ello, las reglas que formula “carecen de sentido”. Se está lejos, pues, de las pretensiones de la antigua lógica que quería regir el pensamiento mismo y proponer exis­ tencias. Para los principios que subsisten, como el principio de no-contradicción, su aplicación es “sólo una apariencia, en reali­ dad se trata de la afirmación de que una construcción matemática que debe satisfacer condiciones dadas no puede tener éxitb”87. Volvemos a encontrar aquí, sin cambio alguno, la distinción kan­ tiana entre “deducciones (Beweise) acroamáticas” como las de la filosofía “que se dejan conducir por palabras (el objeto en el pensamiento) y las demostraciones que, como la expresión ya lo indica, progresan en la intuición del objeto”88. El mundo de 84 Brouwer (IV), p. 253- En efecto si a implica b, lo absurdo de b no implica el de a : ahora bien, la verdad (que reemplaza a la propiedad a) implica lo absurdo de lo absurdo (b): por lo tanto lo absurdo de lo absurdo de lo absurdo, implica lo absurdo. Inversamente como la verdad de a implica lo absurdo de lo absurdo de a, reemplazando a por lo absurdo, lo absurdo implica lo absurdo de lo absurdo de lo absurdo. 85 Heyting (I) y (II). 86 Heyting (TV), p. 14. *7 Ibid., p. 1388 Kant, Metodología, op. cit., p. 498. I

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elementos ideales proyectados por la lógica para satisfacer sus axiomas —en particular el tercero excluido— debe desaparecer de las matemáticas: no hay, tras cada problema, una solución implícitamente adherida a sus términos, de manera que se pueda hablar de los objetos que ella define como si existieran. Un pro­ blema no parece soluble sino en la medida en que se le resuelve: “la posibilidad del conocimiento no se manifiesta sino por el acto mismo de conocer”89. De ahí la necesidad de una transformación radical de las matemáticas clásicas. Para empezar, el continuo tradicional no puede subsistir. Weyl ya había criticado la definición de Dedekind90: si un número real es una cortadura, o en general, una cierta propiedad común a los números racionales de un conjunto; un conjunto de núme­ ros reales estará definido por un carácter A de propiedades de números racionales. La cota superior de este conjunto será el conjunto de los números racionales que poseen la propiedad B de que existe, a su conveniencia, una propiedad cualquiera de carácter A. Pero, o bien la noción de propiedad de núme­ ros racionales tiene ya una extensión determinada, lo que da un sentido a B porque ésta se refiere a la totalidad de propieda­ des de los números racionales (en el seno de los que el carácter hace una partición) y entonces B no puede ser subconjunto: con­ tradicción. O bien, la existencia de una propiedad es su cons­ trucción, con posibilidades siempre abiertas; pero entonces la definición de B supone a B ya construido, sin lo que no tendría sentido: círculo vicioso. Sobre este círculo vicioso, dice Weyl, se fúnda todo el análisis. Dos soluciones: mantenerse en las propie­ dades —números reales— efectivamente construí bles a partir de los números racionales; se tiene entonces un continuo numera­ ble (denso en todas partes en el continuo clásico) análogo al continuo boreliano; o se rechaza también, como ilegítima, la to­ talidad de los números racionales (o de enteros), sin reconocer la existencia de nada que no sea objeto de una construcción po­ sitiva. Esta es la posición de Brouwer y lo notable es que, así, obtiene una especie de continuo no numerable, de medida no »9 Heyring (III), p. 107. 90 weyl (II).

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nula, que le permite salvar los resultados esenciales de la teoría de conjuntos ZJ-medibles. De manera general, un “conjunto puro »-determinado (» fi­ nito) es una ley según la cual si ... uno de los números 1,2,..., n se elige, cada una de estas elecciones engendra una serie deter­ minada de signos. Cada sucesión de series de signos así engen­ drados, por una sucesión ilimitada de elecciones, es un elemento del conjunto”91. Un conjunto, entonces, se encuentra definido por dos leyes: la primera restringe la libertad de elección, la se­ gunda asocia, a cada sucesión finita de elecciones autorizadas, un objeto matemático ya definido. En el caso del continuo (0,1), Brouwer toma el ejemplo de un conjunto de determinación tri­ ple: la primera ley restringe toda elección a tres posibilidades dadas por la elección precedente, la segunda ley asocia a cada elección una fracción diadica. Para la primera elección tomamos: 1,1/3 a\ = - o —ó 1 4 2 4 Para la «-esima: an — an ~ i

2«+i

® an~^ ó a n - 1

+ 2»+ i.

“La introducción de la construcción de conjuntos sobre la que se apoya, por lo tanto, la multiplicidad determinada y supranumerable del continuo, no requiere de ninguna otra noción — tras el llamado a la intuición matemática primitiva de la diada que sirve de fundamento a todo el intuicionismo— e implica también un círulo vicioso ... Pues en la intuición primitiva se encuentra la posibilidad de una inserción entre dos elementos (saber la consideración del vínculo como nuevo elemento) y como consecuencia también la construcción”92 de estas sucesio­ nes arbitrarias de intervalos anidados que permiten definir todo número real93. La libertad en la elección en cada etapa da al número real una movilidad que le permite recorrer totalmente ?! Brouwer (VIH), p. 5. 92 Brouwer (VIH), p. 6. 93 Un intervalo no es, por supuesto, algo geométrico: decir que en la /i-ésima

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el antiguo continuo geométrico. Sin embargo, los caracteres son modificados: carecen de sentido, en general, las cuestiones para las que “basta conocer las leyes o condiciones restrictivas de la elección”?4. Así, el continuo no se puede ordenar (lejos de po­ derse bien ordenar) de ninguna manera: dados dos elementos es, en general, imposible saber si uno es más grande o más pe­ queño que el otro o si son iguales; se necesitaría, como ya lo había notado Borei, poseer “un método para resolver todos los problemas matemáticos”?5. Todo lo que se puede definir es un orden virtual: la relación de orden se establece para un subcon­ junto del continuo cuyos elementos satisfacen ciertas condicio­ nes efectivamente observables en los desarrollos que los defi­ nen. De la misma manera, el continuo es imposible de ser diso­ ciado en sistemas parciales ajenos-, en toda disociación en siste­ mas parciales, uno de ellos es idéntico al continuo. Las propie­ dades clásicas de la densidad en sí?6, de la separabilidad?7, de la conectividad?8, desaparecen: son reemplazadas por propiedades en cuya definición interviene, de manera efectiva, la construcción de elementos. Así, para la densidad en sí se define en el conti­ nuo “virtualmente ordenado” un intervalo cerrado {a,tí) como el sistema de elementos c del continuo para los que ni las re­ laciones c>a, c>bt ni las relaciones c
elección el número está en el intervalo

J es. lo mismo que decir que

en su desarrollo binario el »-ésimo término es 1 y el n + 1-ésimo es 0. ?4 Heyting (IV), p. 21. 95 Brouwer, op. cit., p. 8. ?6 Si llamamos elemento principal de un conjunto a todo elemento límite de una sucesión numerable creciente o decreciente de elementos del conjunto, un conjunto es denso en sí, si cada uno de sus elementos es un elemento principal. ?7 Un conjunto ordenado E es separable si existe una sucesión numerable 5 de elementos tales que entre dos elementos arbitrarios de E hay un elemento de S. ?8 Un conjunto ordenado es conexo si toda disociación d e£ en dos subconjuntos E l, E2 tales que cada elemento de Ey precede a todo elemento d e £ 2 ; ° tiene último elemento y E? no tiene primer elemento, o E\ no tiene último elemento y E2 tiene un primer elemento.

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relación a a y > b. Como se ve, el desarrollo transformado de la teoría clásica de los conjuntos de puntos exige, al lado de la noción cons­ tructiva de conjunto, la intervención de otra noción, la de sis­ tema o especies, propiedades de objetos matemáticos ya dadas por una construcción (la definición de la especie, a diferencia de la de conjunto, no engendra elementos): tales son los interBrouwer (Vili), p. 10.

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valos, sus complementos, sus subconjuntos. Una especie es, a su vez, un objeto matemático: de ahí la posibilidad de superpo­ ner especies de especies, etc...— Una parte de los resultados de Cantor y de sus continuadores se reencuentra; la teoría abs­ tracta de los conjuntos, por el contrario, desaparece casi com­ pletamente, lo mismo que la teoría de conjuntos analíticos, de la medida en el sentido de Lebesgue, etc....—. Para el resto de las matemáticas las nociones y los métodos se transforman profun­ damente. Es incorrecto, nota Heyting, preguntarse qué, de las matemáticas clásicas, subsiste en el intuicionismo pues “no es verdad que éste sea una parte de aquéllas: por un lado el intui­ cionismo desdobla las nociones clásicas de manera tal que una teoría clásica se separa en diferentes teorías paralelas, por otra parte sustituye a las nociones clásicas por nociones de una natu­ raleza totalmente diferente, que en ocasiones no corresponden a nociones determinadas de las matemáticas clásicas ... La ma­ temática nueva podrá desarrollarse en un todo tan imponente y armonioso como el de la vieja, pero será de una naturaleza total­ mente diferente”100. Tal es el resultado, sorprendente por lo menos a primera vista, de este esfuerzo por eliminar las paradojas por restitución de lo específicamente matemático. En lugar de fundar el edificio dado, Brouwer construye otro a su lado. Sean cuales fueren la audacia y el interés de la empresa, es comprensible la repugnan­ cia de la mayoría de los matemáticos : en el “todo imponente y armonioso” de la matemática tradicional hay métodos cuya fe­ cundidad ha sufrido múltiples pruebas, nociones cuyo sentido —si bien es rechazado por los brouwerianos— no parece resul­ tar de la convergencia accidental de malentendidos. Antes de aceptar el sacrificio, deben ensayarse todos los medios de sal­ vamento, comenzando por la transformación de una lógica insu­ ficiente bajo su forma primitiva. Es también el desarrollo mismo de la técnica quien lo exige: la aparición y el importante creci­ miento del método axiomático elaborado en el siglo XIX bajo la presión, en cierto sentido, de los problemas, plantea en términos 100 Heyting (V), p. 10-11.

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nuevos la cuestión de la relación entre lògica y matemáticas. Aun cuando una axiomática no tenga sentido —para Brouwer— sino en la medida en que un sistema de objetos, entre los que se verifi­ can las relaciones, haya sido efectivamente construido, Brouwer no puede negarle al nuevo método un “valor heurístico”, como tampoco puede dejar de justificarlo en su doctrina. El punto de partida de Hilbert para la elaboración de su sistema formalista es, por el contrario, una reflexión profunda sobre las razones de su fecundidad — fecundidad que él fuera uno de los primeros en descubrir. Para Hilbert, como para los logicistas, la noción de demostración toma un sentido original —que no podía sospe­ char Kant— y que escapa a su dilema porque en ella el sentido es separado por el espesor de las formalizaciones espontáneas efectuadas a lo largo del siglo XIX. En la línea de su encadena­ miento, el hilbertismo y el logicismo toman su aspecto verda­ dero: si todo debe ser salvado en el desarrollo conceptual de las matemáticas —en el que los matemáticos están tentados a ver, bajo lo accidental histórico, un devenir objetivo— su razón de ser es intentar, a la vez, continuar el movimiento y justificar, en él, los resultados.

C a p ítu lo I

A xiom atizaciones y form alism os en el siglo diecinueve de Gauss y Bolzano a Russell y Hilbert La doble crisis de rigor de principios del siglo XIX provoca una nueva interrogación sobre los principios y las nociones fun­ damentales de la geometría y el análisis. La utilización cada vez más intensa de los números complejos y de las series infinitas llega por vez primera a la noción ingenua de evidencia. Primero a través de las paradojas vinculadas a los instrumentos mismos: L. Brunschvicg analiza1 en detalle las dificultades que retrasaron la incorporación de los números imaginarios al sistema de las representaciones matemáticas; era necesario que “la ecuación i2 — - I ... formara parte de alguna manera de la verdad de la que parecieron susceptibles las operaciones sobre los núme­ ros reales”2. Pero aquí “la evidencia racional y la evidencia sen­ sible fallan por igual”. Lo mismo sucede en el caso de las se­ ries infinitas, que una asimilación demasiado apresurada hacía tratar como sumas finitas: sin la convergencia absoluta no hay conmutatividad entre los términos, sin la convergencia uniforme para las serie enteras no hay posibilidad de integrar término a término. Lo que es de suyo ya no, por lo tanto, es criterio de 1 L. Brunschvicg (I), p. 542-550: La noción de imaginario, 2 Ibid., p. 543.

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verdad. El espíritu debe desconfiar constantemente de su gesto espontáneo; ahora bien, no se trata de un dominio artificial, yux­ tapuesto provisionalmente por la técnica sobre las matemáticas reales fundamentadas sobre la intuición. Son de inmediato los resultados obtenidos gracias a los nuevos instrumentos los que llevan a transformar todo el sistema matemático; modelos no euclidianos y geometría proyectiva construidos con ayuda de los números complejos, teoría de funciones arbitrarias representa­ das por series trigonométricas. La fecundidad es la instancia ante la que cualquier rechazo en nombre de la evidencia se revela como prejuicio: las matemáticas reales iniciales no son más que un caso particular, situado dentro de la nueva matemática y expli­ cado por ésta. ¿Pero, en dónde se encuentra ahora el criterio de certeza? Un sólo ejemplo pudo mostrar a Cauchy que no se tenía el derecho de integrar término a término en una serie; para evi­ tar esas experiencias, una reedificación lógica rigurosa aparece como el único remedio.

1. Las tendencias formalizantes A partir de 1810 Bolzano se propone sentar las bases de una nueva lógica como Contribución a una representación bien fu n ­ dada de las matemáticas3. A los científicos de su tiempo, Käst­ ner, Clairaut, Lagrange, que recurren a la intuición geométrica4y sólo se preocupan por convencer, Bolzano les opone a Euclides y sus predecesores. “¿La lectura de los Elementos, L. I, Prop. 5 ha hecho más cierto que en un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales?"5. El objetivo de la ciencia es diferente: “en el sistema de todos los juicios verdaderos reina una conexión ob­ jetiva e independiente dél hecho contingente de que la conoz­ 3 “Las matemáticas son una ciencia que trata de las leyes universales (formas) según las cuales las cosas deben disponerse en su ser o leyes sobre sus condicio­ nes de posibilidad Bolzano (I), p. 17. 4 A propósito del teorema fundamental del análisis. Bolzano (II), p. 5. Estudia­ mos la demostración de Bolzano, ella misma carente de rigor, en Cavaillès (III), p. 11-13. 5 Bolzano (I), p. 32.

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camos subjetivamente; es por ella que ciertos juicios son el fun­ damento de otros’16. Para manifestar estas relaciones de depen­ dencia objetiva —es decir demostrar— es necesario enumerar las nociones simples irreductibles y los primeros principios. De éstos, definidos como relaciones entre los conceptos simples, la indemostrabilidad debe ser a su vez “no demostrada sino dedu­ cida ... parte esencial del trabajo científico”67. Fundamentar a las matemáticas es, entonces, tanto aislar los principios como des­ cribir los modos de encadenamiento lógico, programa para el cual Bolzano carecía de instrumentos —intenta de manera muy curiosa rebasar el marco del silogismo8— pero que sus sucesores realizaron. A lo largo del siglo XIX aparecen, en efecto, dos tenden­ cias que se yuxtaponen y que incidirán sobre el análisis la pri­ mera y sobre la geometría la segunda. La primera critica a la lógica y la lleva a un formalismo; si los hábitos mismos del pensa­ miento deben ser abandonados, el sustituto de la evidencia intui­ tiva será esta evidencia sensible particular que constituye la aper­ cepción de los símbolos. Las operaciones intelectuales efectivas se reemplazan por un juego mecánico en el que se confia porque las reglas se han dado, de una vez por todas. Así, la matemática, puesto que no es sino encadenamiento de razones (y ya no de intuiciones), se incorporará a una lógica formal ampliada; el fin será el logicismo de los sistemas de Frege y de Dedekind, conti­ nuado por Russell. La segunda tendencia, en cambio, deja intacto el razonamiento lógico tradicional; lo que interesa es el análisis de las nociones y de los principios iniciales, enumerados con exactitud y a partir de los cuales basta deducir correctamente. Ella provoca toda la exploración abstracta de la representación espacial, de Gauss a Riemann, culmina en la axiomatización de Pasch, y en aquélla más perfeccionada de los Grundlagen de Hil­ bert. Así se elabora, en la comprobación misma de su eficacia, el método axiomático. 6 Ibid. p. 31. 7 Ibid. p. 56. 8 Distingue, por ejemplo, el esquema: “A es B y A es C implica A es B y C”e incluso “A contiene M y la reunión de A y B es posible, implica que Ja reunión de A y li contiene a M n(Ibid., p. 44).

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En fin, en la confluencia de ambos el sistema de Hilbert, el formalismo propiamente dicho.

a. El cálculo general de Grassmann-Hankel El recurso a los símbolos es exigido por la extensión de las operaciones: si la adición ordinaria posee la evidencia inmediata que le reconocía Kant, será necesario, para definir las especies diversas de adición, proceder sólo por la manipulación de sig­ nos siguiendo ciertas reglas. Así, es necesario ampliar el cálculo. Como los objetos no determinan su modo específico de em­ pleo, en una intuición, que en adelante es imposible, no serán sino apoyos para un cierto tratamiento: la certeza de su cono­ cimiento —y su contenido— no pueden provenir sino del en­ cadenamiento exacto de las operaciones que les convienen. Así, hay tantos cálculos como teorías matemáticas, y un cálculo gene­ ral que los subsume a todos y que no puede ser sino una teoría formal de operaciones. Al inicio de la Ausdehnungslehre, Grass­ mann rechaza el uso de la geometría analítica: sería un método para desarrollar de manera abstracta la geometría, pero no exac­ tamente adaptado a su objeto. Es necesario abandonar este “mal­ sano hábito de introducir coordenadas arbitrarias que no tienen nada que ver con el asunto y oscurecen las ideas: el cálculo de­ viene un desarrollo mecánico de fórmulas extrañas que es mor­ tal para el espíritu”9. Si la formalización da un mecanismo, sólo tiene interés y razón de ser en tanto que hace aparecer las verda­ deras relaciones constitutivas de la teoría, debe ser, en términos de Bolzano, una Begründung, es el único sentido de la teoría. En el cálculo geométrico por ejemplo “no solamente las fórmulas asimétricas y complicadas ... se vuelven simétricas y muy sim­ ples, sino que ... todo paso de una fórmula a otra aparece de inmediato como la expresión simbólica de un encadenamiento paralelo de conceptos”. Para el cálculo general se sabe que las propiedades formales de la adición y de la multiplicación —conmutatividad, distributi9 Grassmann (I), 1.1, 1, p. 9.

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vidad, etc.— eran ya el objeto de los trabajos de la escuela alge­ brista de Cambridge (Peacock, de Morgan... ) y los cuaterniones de Hamilton daban la ocasión de utilizar efectivamente las varia­ ciones imaginadas en sus leyes. El mérito de Grassmann es haber alcanzado de inmediato tanto la abstracción más completa como las aplicaciones más amplias. La adición, como la multiplicación, no son más que dos operaciones “sintéticas”(Hankel dice téticas) cuyas propiedades son determinables arbitrariamente según la relación que se quiere establecer entre ellas y con las operacio­ nes inversas —o analíticas— (líricas para Hankel) : si se exige la univocidad del resultado obtenido por la superposición de dos especies sintéticas distintas, será necesario establecer la distributividad de la segunda con respecto a la primera y la conmutatividad de la primera. Conmu tatividad, asociatividad, por otro lado, valen para un número cualquiera de términos en cuanto se han demostrado para tres. Son esas las consideraciones de simple combinatoria, de las que Grassmann, y sobretodo Han­ kel, afirman la pureza formal, es decir, la independencia respecto de la “sustancia de los objetos”10. El simbolismo, que garantiza a las operaciones una representación distinta y una superpo­ sición complicada, pasa a un primer plano: “un número [formal] es la expresión de ciertas relaciones formales que los objetos arbitrarios tienen entre sí; un sistema de números representa una sucesión sistemáticamente ordenada de tales relaciones o vínculos”11. Queda por definir un proceso de diversificación gracias al cual se ordenan y, en ocasiones, se engendran los cálculos par­ ticulares. Hankel, siguiendo a Peacock, formula el principio de permanencia de leyes formales , “si dos formas de la antieme­ tica universalis expresadas en signos generales son iguales entre sí, deben también permanecer iguales cuando los signos dejan de designar magnitudes simples y cuando, en consecuencia, las operaciones reciben otro contenido real”12. Pero no hay allí más que una regía negativa cuya autoridad tampoco puede ser ab­ 10 Hankel (i), p. 1. 11 Ibid., p. 3¿. 12 Hankel (I), p. 11.

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soluta. Las leyes formales, si se conservaran todas, dejarían sólo un cálculo; se les conserva o modifica según el interés práctico de una teoría ya en curso: la multiplicación no será conmuta­ tiva para el producto exterior de dos vectores (es decir, el pro­ ducto vectorial, área del paralelogramo construido sobre ellos, afectado de un signo determinado por el sentido de rotación en el plano), pero lo será para su producto interior (producto es­ calar, producto dé la longitud de uno de los vectores por la pro­ yección del otro sobre él) ; en el primer caso es igualmente nece­ sario abandonar la exigencia de que un producto sólo se anule cuando uno de los factores es nulo: supresión de la univocidad del resultado. Las complicaciones pueden también introducirse por la consideración simultánea de varias especies de signos o unidades que obedecen, cada una, a sus propias leyes. Así, el número complejo más general se escribirá: a

=

a \Q L \

+ U 20L2 ** * +

a na n

(los coeficientes an son números ordinarios) y se tendrán, por ejemplo, tantas especies de multiplicaciones13, que será posible establecer ecuaciones de condición (es decir de relaciones en­ tre los productos) de diferentes unidades. Por ellas, Grassmann establece de manera más simple y más general los resultados ob­ tenidos por Cauchy mediante sus “claves algebraicas”. Pero es­ tas abstracciones no son, si embargo, sino relativas: Grassmann se deja guiar por la consideración de las figuras de las que pre­ tendía prescindir como ayuda intuitiva; el paralelogramo es la imagen del producto de dos vectores. La unidad, la homogenei­ dad de los diferentes elementos engendrados por las operacio­ nes, tiene como soporte los movimientos correlativos de los ob­ jetos geométricos: la adición de los segmentos corresponde al desplazamiento del punto que las recorre; la conmutatividad se garantiza por la posibilidad de alcanzar de dos maneras distintas el mismo extremo de la diagonal. Igualmente, la multiplicación es el desplazamiento de un segmento en el plano. Esta imagi­ nación geométrica latente, si bien reafirma la unidad del edifi­ cio y mantiene un vínculo continuo con los objetos realmente 13 Grassmann (III).

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estudiados, destruye al mismo tiempo su carácter abstracto. No hay aquí desarrollo lógico de un formalismo, sino formalización de operaciones cuya razón de ser se encuentra en otra parte, Hankel14 distingue claramente entre “matemática pura” que no conoce ni airy j¿octa ni xoiisaC'ei/i/otat , y teoría de las magnitu­ des en donde rechaza tanto el estudio de los números comple­ jos como el de los números irracionales. Ya para éstos es inútil el limitarse al simbolismo operatorio: los números racionales bas­ tan para la unicidad del resultado de las cuatro operaciones. En cuanto “a los otros problemas que plantea, cada vez, la intro­ ducción de nuevos signos, es necesario renunciar a considerarlos de manera exhaustiva; se perdería uno en un inmenso laberinto si fuera necesario atenerse al punto de vista de una construcción puramente formal de los números”. La existencia y las propie­ dades de los números irracionales se basan en las propiedades del continuo lineal; “la puesta en orden de nuestros números en una sucesión continua ... incluye ya al concepto de magnitud ex­ tendida. Cualquier tentativa por tratar a los números irracionales formalmente y sin el concepto de magnitud debe conducir a los artificios más abstrusos y embarazosos”15. Es necesario pues, pa­ sar de los números, “formas abstractas del pensamiento sintético del discontinuo”16, a la matemática concreta en donde los núme­ ros “expresan relaciones actuales entré objetos”, como las rela­ ciones de magnitud “inmediatamente dadas en la intuición”17. Igualmente los números complejos ordinarios, y todas sus gene­ ralizaciones, reciben su definición y su tratamiento sistemático de una representación en el plano o sobre la esfera. ¿Pero sobre qué basar esta segunda matemática y cuál crite­ rio de verdad se le puede aplicar? Hankel observa que la teoría de las proporciones de Euclides permite fundamentar la noción de número irracional: si una relación se prueba por consideracio­ nes de similitud entre los segmentos a,b,c cualquiera que sea 14 Hankel (I), p, 56. Euclides llama aìri?piar a a lo que conocemos como “postulados" y x OLL/otí ''¿¡/volai a los axiomas (nociones comunes). (N del T) ^ Ib td .. p. 46. ^ Ibid, p. 41. W ib id , p. 48.

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la unidad con la que se les mide, existe igualmente entre los coeficientes A,B,C, de esta unidad u una vez elegida (arbitraria­ mente, se pone a = Au, b = Bu, etc. .. ): los números que las fi­ jan serán entonces, en general, irracionales. Pero “si la teoría de la similitud pierde su verdad, las relaciones de magnitud.. .no se reducen más a relaciones numéricas... ahora, el caso se pre­ senta con la geometría trascendental desarrollada por Gauss”18. La yuxtaposición de las diferentes geometrías, en igualdad plena, es imposible: se requiere que la geometría eucl¡diana sea previa para fundamentar el número irracional y desde éste el número complejo. La forma en que se sobreponen esas complicaciones permanece oscura,1como aquella intuición imprecisa que hace fracasar al formalismo integral. En realidad el punto de partida había sido muy ambicioso: en lugar de estudiar la noción abs­ tracta de operación simbólica como punto de partida, que su­ pone de manera más o menos oculta la de número entero, lo más simple es tomar a ésta como elemento inicial inexplicable y es­ tudiar la forma en que, a partir de ella, se engendran los objetos matemáticos. Esto es evidentemente una doble renuncia del for­ malismo: origen admitido mediante la pura constatación; ense­ guida, la descripción de un proceso de generalización que debe ser reconocido también de inmediato como válido. Pero esta re­ nuncia sólo es provisional: el análisis crítico desprende, tanto en la noción primitiva de número como en la necesidad subya­ cente a las generalizaciones, aquello que constituye la esencia del razonamiento matemático y, al ser disociado de su aspecto histórico, podrá ser reestablecido, gracias al formalismo, en su carácter auténtico de sistema riguroso. Este es —en ese grado de generalidad— el método común a Dedeklnd y a los logicistas Frege, Peano y Russell.

ß. El sistema de Dedekind En 1854, en su discurso de habilitación19, Dedekind se pre­ guntaba por la ley a la que obedecía el progreso de las matemáti^ Ibid., p. 66. 19 Dedekind (III), t. III, p. 4$0.

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cas “la ampliación de las definiciones no deja ningún lugar para lo arbitrario, ésta se sigue con una necesidad absoluta de las de­ finiciones primitivas si se aplica el principio de que las leyes, que de estas definiciones se desprenden, y son características de los conceptos que introducen, tienen una validez universal”20. No es el principio de Hankel, el cual sólo tiene un valor “analítico”, es decir, “guía pero no demuestra”. Aquí interviene la necesidad en un movimiento doble: por un lado, la operación restringida propuesta exige, ya sea por sí misma, ya sea por su relación con las operaciones existentes, una ampliación ensan­ chamiento del campo de los individuos sobre los que opera; por otro lado, en este nuevo campo, las relaciones planteadas pro­ vocan la sustitución ele la definición inicial por una nueva defi­ nición. Así las operaciones aritméticas —y los problemas a ellas ligados— engrendran a los campos de los números algebraicos, reales y complejos; la elevación a la potencia no tiene ya signifi­ cado si el exponente no es un número entero, pero el teorema de adición de los exponentes da una nueva definición, esta vez, válida universalmente:

La elección no es arbitraria: toda definición dada engendra de manera inmediata su filiación con el sistema existente, y es el tejido completo en realidad el que se toma como nueva defi­ nición, para lo que sólo se le condensa al máximo. Por otro lado, la ampliación no se obtiene por una combinación con otras ope­ raciones de la definición primitiva; se podría creer esto cuando se trata de la aritmética o del álgebra, pero en el análisis, la in­ tegración, por ejemplo, definida originariamente como la ope­ ración inversa de la diferenciación, no se deja generalizar así: se debe concebir a la integral como el límite de una suma para que aparezca en su verdadera significación independiente, sin perder por ello su relación recíproca con la diferenciación. ¿Qué sen­ tido reviste este engendramiento necesario de conceptos nue­ vos, qué consecuencias para el problema del fundamento de las 20 Ibid., p. 431.

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matemáticas? Dedekind no lo hizo jamás explícito. En el pre­ facio a la primera edición de Was sind und was sollen die Za­ hlen*21 recordaba ese discurso “cuyo espíritu fue aprobado por Gauss”para oponerlo a la concepción aritmetizadora del análi­ sis. Después de haber citado las palabras de Dirichlet “que todo teorema de álgebra o de análisis se deja traducir en un teorema sobre los números naturales”: “no veo ningún mérito —y ésto estaba también lejos del pensamiento de Dirichlet— en la em­ presa efectiva de esta traducción. Al contrario, los más grandes y fructuosos progresos en matemáticas han sido el resultado de la creación y la introducción de conceptos nuevos, una vez que la aparición frecuente de fenómenos complejos obligó a los científi­ cos a ello”22*.De este dinamismo interno de la matemática autó­ noma, a falta de teoría, vemos una primera representación en Stetigkeit und irrationale Zahlend. El continuo numérico no podría ser explicado con imágenes geométricas. Por otra parte, el sistema de los números racionales forma un “campo” relativo a las cuatro operaciones. Pero tienen otra propiedad de mayor importancia para el análisis, “constituyen un dominio bien or­ denado e infinito, en ambos sentidos, de una dimensión”. Esto no es una imagen geométrica, sino la condensación de tres pro­ piedades cuyo enunciado es a la vez la consecuencia necesaria de las operaciones matemáticas que engendraron al sistema y su definición exhaustiva: orden, entre dos elementos hay una infinidad, todo elemento divide el sistema en dos clases cuyos elementos poseen la misma relación de orden respecto de él. Pero hay también cortaduras del sistema a las cuales no corres­ ponde ningún elemento; intervención de la matemática en acto: la relación de orden entre los cuadrados y un número no cua­ drado. Se llamará continuidad de un sistema que posee ya las tres primeras propiedades a la posibilidad de establecer una co­ rrespondencia biunivoca entre sus elementos y sus cortaduras. Definición que muestra, por la forma en que fue obtenida, que satisface todas las exigencias del análisis: su necesidad es garantía 21 ¿Qué son y qué significan ios números?* (N de T) 22 Dedekind (II) en (III). p. 338. [La traducción es de J. Cavaillès (N del T)J. -3 Continuidad y números irracionales. (N de T)

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de su carácter exhaustivo. La referencia a la recta no es sino una ayuda; es inútil buscar para ella, ni como significación, ni como fundamento, otra cosa que la relación matemática exacta que ella explicita24. Así aparece una nueva especie de enunciados que no deben nada, ni a la intuición (como las definiciones de magnitud de Hankel y Grassmann) ni a la experiencia, pero cuyos contenidos no son vacíos ni son tampoco el resultado de determinaciones ar­ bitrarias (como en las matemáticas formales de Hankel). La inde­ pendencia y la seguridad que procuran a las matemáticas no son, sin embargo, absolutas; cada enunciado está condicionado por una actividad matemática previa. ¿Sobre qué se apoya el sistema total? Esta es en suma la pregunta de Was sind und ivas sollen die Zahlen? y cuya respuesta se da desde la primera página: “la aritmética (el álgebra, el análisis) no es sino una parte de la lógica .. .el concepto de número es una emanación inmediata de las leyes puras del entendimiento”25. Pero en adelante ya no es un asunto de la lógica, y los verdaderos logicistas como Frege no se equivocaron en ello: “no hay en ninguna parte una enumeración de las leyes lógicas u otras sobre las que se. funda ... él dice, y bien, que la teoría de números es una rama de la lógica, pero su libro ayuda muy poco para mostrarlo, pues las expresiones que él emplea, “sistema”, ‘cosa pertenece a una cosa’, no son usua­ les en lógica y no pueden ser reducidos a nada en la lógica”26. La solución es suprimir toda referencia a una actividad del espíritu: en lugar de sistema —“objetos conjuntados por el espíritu bajo un mismo punto de vista”— se hablará de concepto; en lugar de aplicación (Abbildung), se hablará de relación ÇBeziehung). Las definiciones serán las descripciones de clases de objetos ya dados: “el número cardinal (Anzahl) que pertenece al concepto 24 Se ve el progreso respecto de Hankel, quien escribía en 1867: “interpolar el número irracional en la matemática pura gracias al concepto de límite me parece enteramente opuesto a la naturaleza de la cosa ya que justamente un concepto tal de límite descansa sobre la representación del más grande y del más pequeño y sobre la puesta en orden de los números en una sucesión continua que envuelve ya al concepto de magnitud extensiva" Hankel (I), p. 46. 25 Dedekind (II), p. 335. 26 Frege (ID, t.I, p. VIII.

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F es la extension del concepto: concepto de número igual al concepto F, nombramos a un concepto F, de igual número que un concepto (7, cuando es posible establecer una coordinación unívoca y recíproca”27, coordinación fundada únicamente sobre relaciones lógicas. De ahí la consecuencia inmediata, realismo, correlato necesario del logicismo: “el matemático no debe crear arbitrariamente algo, como tampoco el geógrafo, sólo debe, como éste, descubrir algo que ya está ahí y darle un nombre”28. Así resulta precisamente lo'opuesto al pensamiento de Dedekind: los números son para éste, como lo eran para Hankel — contra quien también se manifestaba Frege— creaciones libres del espíritu humano; “aconsejaría más, le escribe a Weber2930,el no entender por número (cardinal: Anzahl) la clase misma, sino algo nuevo... que el espíritu engendra. Nosotros somos una raza divina y poseemos .. .el poder de crear”. Así, el número irra­ cional no es la cortadura, sino que representa algo novedoso “que corresponde a la cortadura y que afirmo que es lo que la engendra”. Esta actividad del espíritu se manifiesta en una sola operación, la aplicación (Abbildung, i.e., coordinación unívoca de los elementos de un sistema con los elementos de otro sis­ tema) y su iteración según esquemas cada vez más complica­ dos, de la cual en el tiempo ordinario no apreciamos los deta­ lles, como leyendo pasamos las letras, basta para edificar todo el análisis a partir de la simple numeración: “¿qué hacemos para contar?, aplicar (ahhilden)'^0. Mediante la aplicación se definen los sistemas infinitos, la sucesión de los enteros, que es su in­ tersección común, y los dos procedimientos característicos de la aritmética: razonamiento de inducción completa y definiciones por recurrencia. Gracias a ellos la obra da el desarrollo efectivo de los primeros elementos de la teoría de los números. Ello no es una reconstrucción —como la aritmetización de Kronecker— es la teoría misma, cuando nuestro “entendimiento escalonado

27 Frege (T), p. 117. 28 ibid., p. 108. 29 24 de enero de 1888, en Dedekind (III), t. ni, p. 484. 30 Primer borrador de Was sind und was sollen die Zahlen? (1887) manuscrito conservado en la Biblioteca de la Universidad de Göttingen.

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(treppenimstand) no quiere saltar ningún paso 7« Anfang toar die Abbildung’*”31. 7 . Los

logìcistas: Frege, Russell

El recurso a la actividad del espíritu, si bien permite com­ prender el desarrollo imprevisible de las matemáticas, le con­ fiere al mismo tiempo un rigor y una inteligibilidad perfectas, a condición de admitir como claras y distintas las nociones corre­ lativas de sistema y de aplicación. Sabemos cómo la paradoja de Russell mostró en 1903 que había ahí una ilusión: la definición de la sucesión de los números era, en particular, condenada, y Dedekind se rehusó durante mucho tiempo a reeditar su obra. La utilización de las nociones naïves de la teoría de conjuntos — aun precisadas como había tenido cuidado de hacerlo Dedekind en los enunciados que sirvieron a Zermelo para axiomatizai* la teoría— tiene el inconveniente de fundamentar las matemáticas sobre una parte de las matemáticas, y precisamente la menos se­ gura. Los logicismos se enfrentan a la misma dificultad a pesar del camuflaje de los sistemas en clases lógicas: Frege reconocía en un post-scriptum32 al segundo volumen de las Grundgesetze que la base de su obra —el axioma 5 de extensión— había su­ cumbido. Ellos creyeron, sin embargo, encontrar la seguridad en úna formalización lo más completa posible. Dos años después de De­ dekind, Peano presentó en su Arithmetices principia novo metfoodo expósita un contenido análogo pero planteado completa­ mente en símbolos: las definiciones fueron tomadas del manual de aritmética de Grassmann33; en las demostraciones, uso exclu­ sivo de la inducción completa (sin reducción a la aplicación), la aritmética deviene una colección de fórmulas, posiblemente ob­ tenibles a partir de ciertas fórmulas iniciales por medio de ciertas reglas no justificadas.

* En un principio fue la aplicación. (N del T)

31 Carta inédita á Cantor (manuscritos de Göttingen). 32 Frege (II), t. II, p. 253. 33 Grassmann.

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Es el mismo procedimiento que Russell debía extender a una parte del análisis erigiendo el monumento de los Principia: las fórmulas iniciales son más numerosas, las reglas más complica­ das. ¿Es posible hablar todavía de un fundamento por la vía de una reducción a la lógica? Sólo a condición de extender desme­ suradamente la lógica y de i*eivindicar la evidencia para algunas reglas, salidas más bien de un interés, sobre todo técnico, para el formalismo, que de la reflexión lógica. Así Russell renuncia a caracterizar expresamente a las proposiciones lógicas puras, salvo como tautologías, transposición o prolongación —en la in­ tención— de la antigua definición (proposición cuya negación es contradictoria) : se trata de una impresión psicológica, no de una propiedad objetiva. Por otro lado, en el propio edificio aparecen los axiomas que se rebelan manifiestamente contra este criterio: así el axioma del infinito, proposición sintética (afirmación de la existencia de una infinidad de individuos) sobre la cual Russell reconoce que “aunque suceptible de ser enunciada en términos lógicos no puede ser afirmada como verdadera por la lógica”34. Se trata más bien de una hipótesis, y la parte de las matemáticas que depende de ella será separada cuidadosamente del resto. Lo mismo para el axioma de elección. En fin, un axioma —que ni la intuición procura ni la experiencia recomienda— se muestra in­ dispensable para las necesidades propias de la tarea emprendida por Russell; el axioma de reductibilidad35, que permite alcan­ zar la teoría de los números reales evitando las paradojas. Sobre este punto Russell muestra la indiferenica de un empirismo que prolonga —y que agrava— el realismo de Frege36; las construc­ ciones “lógico-simbólicas”(como aquéllas en las que intervienen conjuntos y números) no son sino los medios para describir las relaciones entre objetos (relaciones) que existen en sí, indepen­ dientemente de aquellos. May entonces tanto la traducción de lo que es como la comodidad para dicha traducción: tal cosa es el axioma de reductibilidad. Para el número la definición de Frege 34 Russell (T), p. 24l. 35 Ver aquí mismo Cap. III. 36 Cf. en particular, el prefacio de Whitehead y Russell (I), 2a. ed. y el capítulo de Fraenkel consagrado al problema del fundamento en Fraenkel (II), p. 254-268.

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se conserva: propiedad de conceptos cuya extensión puede ser puesta en correspondencia biunivoca; pero éste aparece sólo a medio edifìcio.

2. Las axiomatizaciones de la geometría a . Crítica de los fundamentos (de Gauss a Riemann) La representación formal se preocupa en especial de los mo­ dos de encadenamiento, cualesquiera que sean las proposicio­ nes iniciales. Se entiende que el origen de éstas, la investigación exacta de las nociones y de los postulados ocultos, haya preocu­ pado sobre todo a los geómetras. Euclides había dado un mo­ delo cuyo espíritu, curiosamente, no fue retomado por ios ma­ temáticos de los siglos XVII y XVIII. Probablemente la sacudida, todavía viva, del descubrimiento de los números irracionales era la responsable de esta necesidad crítica de enumeración, de esta desconfianza hacia lo que no es explícito. Cualquiera que sea la importancia del éxito, el punto de vista axiomático no se alcanza todavía: por un lado, las nociones no están descritas exhausti­ vamente, hay en las definiciones simples una remisión a una in­ tuición sensible que debe ser supuesta —así, el punto es “lo que no tiene partes”, la línea es “longitud sin anchura”—- por otro lado, el carácter apodíctico de altri fiara y de xotvat 'évvotai no se pone en duda. Es tal vez ésta la razón por la que la obra crítica de Euclides no fue continuada, se veía en ella solamente la ele­ gancia de la presentación. Hasta fines del siglo XVIII si alguien se ocupaba del postulado de las paralelas era sólo para funda­ mentarlo sobre los otros. Se trataba solamente de prescindir de él, como Euclides lo había hecho en sus primeras 28 proposi­ ciones, Probablemente es la analogía entre los resultados así ob­ tenidos, —por ejemplo la medida del área del triángulo— y los de la geometría esférica la que, supone Delin, “condujo a Lam­ bert por primera vez a la convicción de que era posible una geo­ metría razonable sin el axioma de las paralelas”37. Pero era ne37 M. Dehn (I), p. 192.

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cesarlo poder definir las relaciones de manera abstracta. Como se ha visto, tanto el cálculo de magnitudes, yven consecuencia la geometría analítica, como la definición de los grupos de despla­ zamiento, dependía^ de la teoría de las paralelas. Una falta de armonía lógica resentida tempranamente por los geómetras; la teoría de las paralelas y la de las proporciones “duo maculae in pulcherrimo geometriae corpore”, decía Henry Savile en 1621. Fue necesaria la intervención de los imaginarios para deducir de la trigonometría esférica una trigonometría que definiera al grupo de desplazamientos en un plano no sometido al .quinto postulado. Así, una geometría en donde la suma de los ángulos del triángulo sea más pequeña que dos rectos, le parece a Gauss “absolutamente consecuente”porque puede ahí “resolver analíti­ camente cualquier problema salvo la determi nación de una cons­ tante que no se deja fijar a priori”3Ä(constante que cuando es in­ finita da la geometría euclidiana). Después de Schweikart y Taurinus, Bolyai y Lobatchewsky determinan completamente esta trigonometría “pseudo-esférica”. Sabemos cómo las investigacio­ nes abstractas de Riemann Sobre las hipótesis que sirven de fu n ­ damento a la geometría, lo llevan a reecontrar —sin duda de manera independiente— los mismos resultados. Riemann sólo se ocupa de un espacio acotado para el cual supone: Io que sus puntos constituyen una multiplicidad continua de tres dimensio­ nes; 2° que en lo infinitamente pequeño la geometría euclidiana vale; 3o que el espacio es aplicable sobre sí mismo sin modifi­ cación de las longitudes. Sólo tres geometrías son posibles con estas hipótesis: la geometría euclidiana ordinaria, la geometría de curvatura constante positiva (que comprende a la geometría sobre la esfera) y la geometría de curvatura constante negativa que coincide con la de Bolyai-Lobatchevsky. Así; el estudio único de los desplazamientos representables analíticamente permite reencontrar no sólo los teoremas de la geometría euclidiana, sino también insertarla en una clasificación que la rebasa. Hay incluso una ventaja sobre la geometría de Bolyai-Lobatchewski en tanto que el espacio sólo se considera acotado, sin ninguna intuición38 38 Carta a 'Iimrinus, 8 nov. 1824. Gé& \V, VIH, p. 187.

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del infinito. Sin embargo la liberación respecto de la intuición no es completa: la geometría euclidiana se supone en lo infinita­ mente pequeño. Sin duda Bolyai y Lobatchevsky no requieren de esta hipótesis, pero sólo desarrollan una trigonometría cuya ga­ rantía es la referencia a la trigonometría esférica asegurada por la geometría euclidiana: así, es todavía por delegación de ésta que su sistema es válido. Se dice^ que en su vejez Bolyai se pre­ guntaba si una contradicción pudiera aparecer por la aplicación de sus fórmulas al espacio de tres dimensiones —por ejemplo para los poliedros— así de importante era para él la garantía de la esfera (para tres dimensiones debía considerar la geometría sobre una hi pe resfera). La verdadera demostración de la inde­ pendencia del postulado de las paralelas, al mismo tiempo que un análisis más agudo de las nociones geométricas, sólo debía obtenerse por el desarrollo de la geometría proyectiva; doble re­ sultado, que siguiendo la observación de Dehn, es muy natural si se considera que las únicas propiedades necesarias para una teoría de las proporciones —y en consecuencia para la definición algebraica de los desplazamientos— son las propiedades proyectivas, independientes del quinto postulado.

ß. Pasch y la geometría proyectiva Desde 1820 Poncelet distinguía entre propiedades de ‘‘si­ tuación”(o gráficas) y propiedades métricas: las primeras, inva­ riantes bajo la proyección, son así despegadas de su apoyo in­ tuitivo. Klein observaba que en lugar de rectas y de-planos se podría también hablar de líneas y de superficies. Por otro lado, \Á abstracción en los encadenamientos se imponía por el princi­ pio de dualidad; en 1826, Gergonne3940 lo formulaba claramente y desarrollaba en dos columnas el principio de la geometría, se pasaba de izquierda a derecha intercambiando las palabras punto y plano. Hay que notar, en fin, la intervención de ele­ mentos imaginarios para culminar la liberación: puntos imagina­ rios del círculo, círculos imaginarios de la esfera. Gracias a ellos 39 Stäckel, citado por Dehn (I), P- 200: 40 Gergonne (!)•

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las relaciones geométricas devienen, según las palabras de ChasIes, “permanentes, en lugar de accidentales, como eran antes”41. Puntos, rectas y figuras concretas no son sino casos particulares de los puntos, rectas y figuras abstractas, definidas únicamente por sus propiedades, y edificadas, es cierto, sobre una compli­ cación de lo concreto. Así Cayley puede construir dentro del círculo un modelo geométrico abstracto (es decir, uno en donde los puntos y las rectas son definidos a partir de puntos y rec­ tas euclidianas, y en donde el grupo de coalineaciones permite fijar las relaciones de ángulos y de longitudes) que Klein mues­ tra, en 1871, que satisface todos los axiomas de Euclides salvo el de las paralelas42*—y así se justificaba definitivamente la tri­ gonometría de Bolyai-Lobatchewsky—. Pero sobre todo, gracias a la unificación de las relaciones bajo la autoridad de una o de varias operaciones fundamentales, podrá ser operado un nuevo recuento de nociones: el geómetra las introduce según las nece­ sidades de aquellas —(definición de instrumentos: haces de rec­ tas ó de planos). La enumeración de los axiomas coincide con un plan de trabajo. Tal es, en particular, el caso de Pasch en sus Lecciones sobre la nueva geometría de la que decía “presenta desde su origen una oposición, no tanto a la geometría de los antiguos como a la geometría analítica”45. Se parte de los axio­ mas que rigen el orden y la incidencia de los puntos sobre una recta: es la primera relación de la que se debe ocupar al proyectar (y dejar invariante) (dos puntos determinan un segmento, en un segmento siempre se puede encontrar un punto, etc.). Lo mismo para el plano: tres puntos determinan un plano, una recta que tiene dos puntos en un plano está totalmente contenida en él (axioma omitido por Euclides y descubierto por.Grassmann); el axioma del orden plano —del cual Hilbert retomará la fórmula intacta—: toda recta que intersecta un lado de un triángulo en­ tre dos vértices, intersecta a alguno de los otros dos lados, etc. Finalmente la congruencia es caracterizada por sus propieda­ des independientemente de las consideraciones de un desplaza­ 41 Chasles (I). 42 Klein (I). 45 Pasch (í), p. 1.

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miento particular. Resultan importantes tanto la abstracción del método como su fundamento filosófico. La matemática, en tanto que ciencia, no es sino encadenamiento lógico; “el proceso de demostración debe ser en todo momento independiente del sen­ tido de los conceptos, como debe serlo también de las figuras: sólo las relaciones establecidas en los principios o en las defi­ niciones deben ser tomadas en cuenta”44. Pero estas relaciones fundamentales fueron tomadas de la experiencia: es la unidad de ésta, la “repetición incesante de las observaciones desde tiem­ pos inmemoriales”45 la que garantiza la posibilidad de la geo­ metría como ciencia; la que impone también las restricciones a las hipó tesis naïves. La primera es fecunda: no se definirán los objetos, puntos, segmentos (lo que es aprehensible por la in­ tuición) salvo en lo finito; el espacio proyectivo será reconstruido mediante la introducción de elementos “impropios”(puntos, rec­ tas) definidos por medio de haces, “en sí un éxito matemático importante”46. La otra esteriliza: para completar la obra de von Staud que había encontrado el modo de evitar “el círculo vi­ cioso que para la relación anarmónica hace medir los segmentos y para las coordenadas mide las distancias”47 atribuyendo a cada relación un número, determinado por medio de convenciones independientes de toda consideración extrínseca a las relacio­ nes proyectivas. Klein mostró que un axioma de continuidad es indispensable: el teorema central en geometría proyectiva nos dice que la relación de 3 puntos de una recta con 3 puntos de otra bastan para determinar a la relación proyectiva entre ellas; se procederá a construir progresivamente sobre cada recta el cuarto conjugado armónico de los tres puntos ya dados. Pero hay que postular para ello que “el punto límite, aun si se obtiene de esta forma por un proceso infinito, puede ser considerado como dado en lo finito”48. Pero “admitir ésto como principio estaría en desacuerdo con nuestras intuiciones fundamentales. Abstracción 44 Ibid., p. 98. 45 ib id ., p. 17. 46 Heyting (IV>, p. 60. 47 F. Klein (II), p. 311. 48 K Klein (I), p. 140.

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hecha de la imposibilidad, para una observación, de extenderse a una infinidad de objetos, nuestro punto de vista nos impide .... admitir en un segmento una infinidad de puntos, sin cam­ biar el sentido de la palabra punto”4?. Con mucha lucidez, Pasch había ya notado que su posición empirista impedía también una iteración indefinida para la aplicación de ciertos principios fun­ damentales: no se podrá invocar en todo momento el princi­ pio de que entre dos puntos de un segmento siempre hay un tercero; ni que dados dos puntos A y B, se puede encontrar C tal que B esté entre A y C: se requiere que el segmento AB no sea demasiado pequeño en el primer caso, ni demasiado grande en el segundo50. Para culminar a la geometría proyectiva, exten­ derá la noción de punto haciendo corresponder a todo número real, en los cálculos analíticos que acompañan al desarrollo de la red proyectiva, “un punto matemático”51. Támbién se puede, en cada caso particular, “asignar un segmento al interior del cual los puntos ya no son discernibles”52. Pero es a expensas tanto de la precisión como del rigor lógico.- “la traducción dé las figuras a números y la vuelta de los resultados del cálculo a las figu­ ras no puede efectuarse con la misma exactitud”53. ¿En dónde quedó la promesa de no hacer ningún llamado a la intuición en una geometría enteramente deductiva? Una axiomatización con base empírica está condenada al fracaso en cuanto se aborda el laberinto del continuo: aun en el caso privilegiado de las rela­ ciones gráficas, es necesario suponer ya efectuadas una sucesión infinita de operaciones, es decir, calcular de un modo que rebase a la experiencia. 7 . Los

axiomas de Hilbert y el cálculo arguesiano

Así, es justamente inventando una especie de nuevo cálculo — que le permitiera evitar el recurso a los números—, unificando la geometría proyectiva bajo la jurisdicción de una operación Pasch (I), p. 126. W Ibid, p. 18. 51 Ibid, p. 191. 52Ibid., p. 188. 53Ibid, p. 200.

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única, que Hilbert podía llevar adelante la investigación precisa de los axiomas y desprender su verdadero significado. En una conferencia en 1891, a la que asistió Hilbert, H. Wiener había ya mostrado la importancia del teorema de Desargues sobre los triángulos perspectives, y la del teorema de Pascal sobre las pare­ jas de rectas: “bastan para demostrar, sin apelar a las considera­ ciones de continuidad ni a los procesos infinitos, el teorema fun­ damental de la geometría proyectiva y también para desarrollar, en principio, toda la geometría proyectiva del plano”5*. Todos los problemas se reducen, en efecto, a cuestiones de “cerradura”: puntos y rectas no tienen ya una significación intuitiva, son, úni­ camente, “elementos de dos especies, tales que la relación de dos elementos de una especie da un elemento de la otra”; la cerradura: reunión de tres elementos de una misma especie en una sola relación (rectas concurrentes, puntos colineales); la so­ lución será siempre una combinación más o menos complicada de las proposiciones “oclusoras” de Desargues y Pascal55 Los dos problemas que se plantean son: Io determinar los requisitos lógi­ cos de los dos teoremas: relación entre ellos, relación con los modos de definición, ya empleados, de los objetos geométricos (axiomas ya aislados); 2o precisar las razones profundas de su efi5í H. Wiener (I), p. 47. ■ 55 in teorema de Desargues se enuncia: si 2 triángulos ABC y A'B'C' son tales que las rectas que unen 2 a 2 a sus vértices son concurrentes (AA\ Bß’,CC,)>entonces los puntos de intersección de los lados correspondientes son colineales (fig. 2)

B

El caso particular considerado del teorema de Pascal: cuando en un plano los puntos A, Br C están en una recta y A \ B \ C’ están sobre otra recta, los puntos de intersección Ai de AB' y de BA'\ N de AC' y de A'C; y P de BC' y de B'C son colineales. (Fig. 3)

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cada y averiguar hasta dónde se extiende ésta. Más significativa que los Grundlagen es en este sentido la redacción56 del curso de 1898-99 de donde surgió el libro. Los teoremas de Desargues y de Pascal son “puros teoremas de intersección”: deben ser en­ tonces independientes del grupo de desplazamiento de la geo­ metría euclidiana, definido por los axiomas de congruencia57. 56 Curso redactado por H.v. Schaper (Wintersemester 1898-1899), Hilbert (II). 57 Hilbert, desde la primera redacción del curso, distingue 5 grupos de axiomas (cuyo enunciado ha variado entre las distintas reediciones; aquí tomaremos los de la última edición): I) Los de incidencia definen las relaciones entre puntos, rectas y planos: 1. A dos pumos corresponde una recta. 2. No hay más de una recta que corres­ ponda a dos puntos. 3. Sobre una recta hay al menos dos puntos. Hay al menos tres puntos que no están en línea recta, 4. A tres puntos que no están en línea recra corresponde un plano. Un plano contiene al menos un punto. 5. A tres pumos que no están en línea recta no les corresponde más de un plano. 6. Si una recta tiene a dos puntos en un plano todos sus puntos están en ese plano. 7. Cuando dos planos tienen un punto en común tienen al menos otro punto en común. 8. Hay al menos cuatro puntos que no están en un mismo plano. El grupo I 1-3 constituye el grupo de axiomas planos! Los enunciados son una simplificación y una precisión de los de Pasch, con la diferencia importante de que la noción inicia! es la de recta indefinida y no la de segmento (se ha visto que Pasch partía de lo finito). II) Los de orden: 1. Si un punto B está entre dos puntos A y C; A, B, C, están en línea recta y B está entre C y A. 2, A dos puntos A y C corresponde al menos un punto B sobre la recta AC tal que C está entre A y B. 3. Dados tres puntos sobre una recta sólo uno de ellos puede estar entre los otros dos. 4. Si A, B, C, forman un triángulo y si la recta A corta el lado ÆB entre A y B, ella coita uno de los lados AC o BC entre los dos vértices. Los axiomas 1-3 definen el orden lineal, el axioma 4 el orden en el plano. Nue­ vamente los enunciados son casi los mismos-que dio Pasch, el axioma 4 es el mismo. Desde 1894 en la carta a Klein, Über die gerade Unie als kürzeste Ver­ bindungzweier Punkte (Hilbert (I)), estos dos grupos de axiomas se introducen al principio con enunciados análogos (junto con el axioma de Arquímedes V). Gracias al orden se pueden orientar las rectas y los planos, definir los ángulos (parejas de dos rectas) con un sentido de rotación. III) Congruencia-. 1. A y B estando sobre una recta, A’ sobre otra recta, se puede determinar sobre ésta (y del mismo lado de A’ que B está con respecto a A) B’ tal que AB = A'B' (Atí y ATT se dice que son congruentes). 2. Si dos segmentos son congruentes a un tercero, son congruentes entre sí. 3. Si A# y BC son dos segmentos sin puntos en común y que están sobre la misma recta, y A'B' y B'C’ están en la misma situación sobre otra recta, y si AB ~ A'B’ y BC - B'C', en­ tonces AC —A’C’ (adición). 4. Para todo ángulo (a,b), se puede construir sobre, una recta a', y del mismo lado de a' que (a,b) está con respecto a a, un ángulo (a’,b‘) que le es congruente. 5. Si en dos triángulos ABC y A'B'C' los lados AB y A'B', AC y A'C', y los ángulos BAC y B'A'C' son respectivamente congruentes, se

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Pero no se evitan los números —o la congruencia— por cons­ trucciones sino a condición de añadir una dimensión más: Wie­ ner observa que al pasar al plano no se requiere ya ningún cálculo para determinar al 4o armónico de tres puntos sobre una recta. Igualmente, el teorema de Desargues no se demuestra en el pla­ no salvo a condición de suponerlo verdadero en el espacio y de utilizar el espacio. De ahí la intervención necesaria de una crítica axiomática que “purifique los métodos”. Conocemos el resultado: es imposible demostrar el teorema de Desargues prescindiendo a la vez de los axiomas del espacio y de los de congruencia. Se requiere, si se permanece en el plano, además de I 1-3, II, y el último axioma de congruencia III 5; in­ versamente se puede definir un modelo geométrico que satisfaga los axiomas planos, todos salvo para la congruencia, el axioma 5 y en donde no se satisface el teorema de Desargues. Un vínculo aparece así entre el teorema y la posible inserción de una geo­ metría de dos dimensiones en una geometría de tres dimensio­ nes. Para precisarlo, así como para establecer la relación con el teorema de Pascal, Hilbert introduce un “cálculo de segmentos” original: mediante simples trazos de rectas se definen la sumay el producto de dos segmentos; el teorema de Desargues simpli­ ficado58, por medio del axioma de las par;.idas (aun si la simriene igualmente ABC - A'B'C'. Aquí de nuevo los enunciados de Pasch sirvieron de guia; sin embargo Pasch no tenía la noción de plano (y de ángulo) orientado, él reemplaza los axiomas 45 por los enunciados de la forma: dos figuras planas siendo congruentes, si se añade un punto a una, se le puede añadir un punto a la otra de modo que la congruencia se conserve. Pasch (Ï), p. 93-99. IV) Parale las-. De un punto no se puede trazar más que una paralela a una recta. V) (Aj-químedes) : Dados dos segmentos AS y CD, se pueden, sobre la recta AB, yuxtaponer los s e g m e n t o s .. .An_ jAtt, todos ellos congruentes a CD de modo que B esté entre Arl—j y An. Axioma enunciado por primera vez por O. Stolz (I), retomado textualmente por Pasch (I) como cuarto axioma de con­ gruencia, y por Hilbert (II) como axioma de continuidad. 58 Se enuncia entonces: Si dos triángulos en un plano tienen sus lados homólo­ gos paralelos, las rectas que unen los vértices son concurrentes o paralelas y recíprocamente, (fig 4.)

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plifìcación es exterior al principio de razonamiento)59, garantiza entonces la conmutatividad y la asociatividad de la adición, la do­ ble distributividad de la multiplicación respecto de la adición60; los únicos axiomas supuestos61 (además de Desargues) son I 13, Il y IV Se puede entonces construir un modelo geométrico de tres dimensiones, los puntos siendo definidos como ternas de

Lo mismo para el teorema de Pascal: en los dos sistemas ABC, A 'B’C\ si CB' y CA’ son paralelas respectivamente a BC' y AC\ BA' es también paralela a A B \fig. 5.) 59 Hilbert (IV), p. 88n: “aun sin axioma de las paralelas se puede introducir un nuevo cálculo de segmentos”, 69 El cálculo arguesiano se define así: se toman como ejes dos rectas cualesquiera que se intersectan —a partir de la intersección Ö se toman los segmentos. 1. Adición: dados los segmentos a,b tomados sobre el mismo eje OA se elige un punto cualquiera A’ sobre el otro eje, se traza de A’ una paralela al eje OA, sea A” su intersección con la recta paralela a OA' trazada desde B, de A" se traza una paralela a AA’, que intersecta ÖA en C. OC es, por definición, la suma de los segmentos OA y OB. El teorema de Desargues muestra que el punto C es inde­ pendiente de la elección de A’ (fig. 6)

FiG. 6. 2. Producto. Se toma sobre cada eje un segmento unidad QE, OE’; desde A (ex­ tremidad del segmento a) se traza la paralela AA’ a EE'. Se une EA' y se traza

desde B)a para\e\aBC aíX-.OC 61 Para poder prescindir de los axiomas de congruencia se debe tomar un axioma de las paralelas más fuerte, IV*: hay, en el plano determinado por una recta y un pumo, una recta y una sola que pasa por el punto y no corta a la recta.

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segmentos, los planos como tëtradas (en donde el último no es nulo) salvo por un factor común; el cálculo tiene todas las apa­ riencias de la geometría analítica, pero no se trata más que de operaciones gráficas62. Se constata que el modelo satisface todos los axiomas, in­ cluyendo los axiomas del espacio. El teorema de Desargues es entonces la condición necesaria y suficiente para la inserción de la geometría plana en la geometría de tres dimensiones. Pero el cálculo arguesiano no satisface ni el axioma de Arquímedes, ni la ley de conmutatividad para la multiplicación; dos exigencias cuya equivalencia Hilbert muestra. Ást, el teorema de Pascal, que se puede demostrar sin el axioma de Arquímedes con ayuda de los axiomas de congruencia, no se puede obtener si estos dos grupos de axiomas se excluyen simultáneamente. El cálculo arguesiano da la razón63: en su definición de la multipli­ cación, la exigencia de la conmutatividad coincide con el enun­ ciado mismo del teorema de Pascal. Inversamente, el teorema de Desargues es demostrable a partir del teorema de Pascal, sin intervención de los axiomas de congruencia ni del axioma de Arquímedes (sólo con I 1-3, Il y IV*) : se reduce a la sucesión de un número finito de configuraciones pascalianas. Se llega así al 62 Si un plano está representado por (u,L>,w,r), u,v,wtr siendo cuatro segmentos definidos salvo por un factor de proporcionalidad; una recta será una pareja de planos y (u',v\w \r') (si las dos cuartetas no se reducen a una por la multiplicación de un factor común) la incidencia de un punto (x y , z ) sobre un plano se expresa por la ecuación; ux + tyt + wz + r = 0 la incidencia sobre una recta, además, por la ecuación u'x + v'y + w ’z + r' = 0 . Los axiomas de orden se satisfacen: dados tres puntos (xyz)> (x ’y ’z ’), (v’y ’z ”) sobre una recta, se dirá que {x'y'z') está entre los otros dos si se tiene al menos una de las seis siguientes desigualdades:

y>y’>y" x K x 'K x "

y < y '< y ”

63 Se ve, en efecto, según la figura adjunta,

z > z ’> z ” z < z ’< z ”

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importante resultado que representa la culminación de los Grun­ dlagen, y precisa la afirmación de Wiener: “todo teorema de in­ tersección, válido en una geometría plana en la que se satisfa­ cen los axiomas I 1-3, Il y IV* y el teorema de Pascal, se pre­ senta, después de la construcción de puntos y de rectas auxilia­ res, como la combinación de un número finito de configuracio­ nes pascalianas”. Analíticamente, la intersección se expresa por una relación idéntica entre los parameños que definen a los ele­ mentos arbitrarios iniciales: así, las operaciones de cálculo en las que se descompone la relación, son todas ellas definibles me­ diante un numeró finito de configuraciones pascalianas. Doble consecuencia: 1. En la investigación, el papel de los diferentes axiomas se precisa tras las operaciones que ellos condicionan. La posibili­ dad de intercambiar entre sí los axiomas de incidencia en el es­ pacio y los axiomas de congruencia es significativa: se trata de obtener las “cerraduras”. El axioma III5 resulta ser precisamente un axioma “oclusor”. Igualmente para el axioma de Arquímedes que no supone la congruencia (contrariamente a lo que pensaba Pasdfek la traslación de segmentos es reemplazada por la adición (construcción grafica) del segmento a sí mismo (fig, 9). Lo que importa entonces no es el enunciado descriptivo en un axioma, sino la eficacia que posee relativamente a un cierto resultado. De allí la reunión de los axiomas en 5 títulos que corresponden a los 5 resultados principales previstos:

X F i g . 8. que dados sobre el eje 0,Y los puntos E, A, B (representando respectivamente a los segmentos 1, a%b) sobre OY los puntos A'B'C (representando respectiva­ mente a,b y ah'), el teorema de Pascal afirma el paralelismo úeEB' y de C’A: por construcción OC' representa también al producto ba.

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relación, orden de los punios sobre una recta o sobre un plañó, relación de igualdad éntrelas figuras, paralelismo, continuidad. Los dos últimos grupos procuran una especie de toma de po­ sición sobre ía infinidad del espacio; es decir, son a la vez su afirmación y el medio para dominarla mediante operaciones fi­ nitas: dado un punto sobre una recta, se podrá siempre a partir de otro punto de la recta, alcanzarlo por yuxtaposición de un número finito de segmentos iguales; dadas dos rectas indefini­ damente prolongables en un plano, su intersección está siempre fijada por su conocimiento a distancia finita (lo que no sucede en una geometría no euclidiana si se quiere conservar el axioma de incidencia: dos,rectas distintas sólo tienen un punto en común). El orden entre los grupos es, por cierto, esencial: así, en el or­ den de los Grundlagen, la congruencia es anterior a la noción de transformación continua61, que podría fundarla (para justifi­ car los axiomas de congruencia —si bien es cierto que sólo desde el punto de vista de la filosofía empirista—, Pasch hace intervenir la imagen sensible del movimiento); el único resultado previsto es “el-teorema más general de congruencia”: dadas dos figuras (definidas por los axiomas de incidencia y de orden) entre las qué se supone ya la relación de congruencia, si se extiende una de ellas (por adjunción de puntos), siempre es posible extender á la otra (de manera unívoca si la figura no está situada sobre una recta) conservando la congruencia. Se trata de una relación que debe ser mantenida entre dos sistemas de objetos a través de todos los incrementos que se les puede dar con los medios' de construcción de los que se dispone.64 64 Hilbert (If), p. 60.

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Pero si el orden se invierte, si en particular la “continuidad pasa a primer rango”, el desplazamiento se convierte en la no­ ción fundamental. Con esta noción de desplazamiento, dotada de las tres propiedades que le atribuyen tres axiomas, será po­ sible reconstruir, a partir del plano numérico, toda la geometría euclidiana plana: este es el objetivo de la memoria de 1902, do­ minada por los métodos de Lie y de Cantor, en donde se deter­ mina el único procedimiento de construcción65. A los elemen­ tos del plano numérico les corresponden los puntos del plano geométrico, a los dominios de Jordan (numéricos), las vecin­ dades de estos puntos, que permiten definir la continuidad: y, después de la demostración de las propiedades esenciales del círculo geométrico (curva de Jordan), la congruencia de los seg­ mentos se define por los desplazamientos, que permiten también tomar la mitad de un segmento: la recta será el sistema de pun­ tos engendrados a partir de dos puntos por la toma de la mitad de un segmento, semirotación y paso al límite. 2. Extensión del campo de aplicación del método. Todo cál­ culo será susceptible de ser axiomatizadp, puesto que no se trata ya de la descripción de objetos dados previamente. Se ha visto que Grassmann y Peano habían comenzado ya por la aritmética, gracias a una desviación de la formalización. El mérito de los Grundlagen es el de haber mostrado con toda claridad, mediante la fuerza de los razonamientos, —y a propósito del sistema arguesiano y de su relación con el axioma de Arquímedes— que el tratamiento en las dos ciencias debía ser exactamente el mismo puesto que se trataba de los mismos procedimientos de pensa­ miento. De ahí la consideración de que sólo el método axiomá­ tico puede fundamentar y extender el trabajo matemático, pues­ to que expresa su esencia, sólo había un paso. Este fue dado en 1899.

65 Hilbert (VI), p. 178-230. Los tres axiomas son: 1. Los desplazamientos forman un grupo. 2. Siendo A y B dos puntos distintos, se puede, por desplazamientos, y dejando fijo a B (rotación), llevar a A a una infinidad de posiciones distintas. 3. Los desplazamientos forman un sistema cerrado. Los desplazamientos son una puesta en correspondencia biunivoca y continua del plano consigo mismo.

C a p ítu lo II

El M étodo Axiom ático 1. El papel del método en matemáticas En 1899, Hilbert oponía el método axiomático en geometría al método genético en teoría de números: “partiendo del con­ cepto de número 1, nos representamos, ante todo, el engendra­ miento de los enteros sucesivos y de las reglas de cálculo gracias al acto de contar; luego, por la exigencia de que la sustracción siempre pueda realizarse, el número negativo; el número fraccional, definido como una pareja de enteros (y entonces toda función lineal se anula); en fin, el número real como cortadura o sucesión fundamental por medio de la que se obtiene que toda función ... continua indefinida se anula”1. Así se procedía en la escuela de Weierstrass, así Kronecker reconstituía todo el análisis a partir del número entero, “única creación de Dios”. La pregunta que se plantea es saber “si el método genético es el único apropiado para el estudio del concepto de número, y el método axiomático lo es para el fundamento de la geometría ... He aquí mi opinión: a pesar del alto valor pedagógico y heurístico del método genético, el método axiomático es preferible para una representación definitiva y una consolidación lógica com­ pleta del contenido de nuestro conocimiento”. En efecto, en el caso de la teoría de números reales, ésta evita las dificultades de 1 Hilbert (V), p. 241.

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“la existencia del sistema de todos los números reales y, en ge­ neral, de conjuntos infinitos” que el método genético obligaba a construir. “Por conjunto de los números reales, no tenemos que pensar en la reunión de todas las leyes posibles según las cuales los elementos de una sucesión fundamental pueden sucederse, sino solamente un sistema de cosas cuyas relaciones mutuas están dadas de manera completa por el sistema finito de axiomas precedentes y sobre los que nuevos enunciados son váli­ dos sólo si se les puede deducir mediante un número finito de pasos lógicos”23.Es solamente por un prejuicio realista que nos preocupamos de los objetos cuando lo único que importa, en la sucesión de nuestras afirmaciones, lo que rige esta sucesión es, a saber, el trabajo intelectual efectivo. La observación vale para toda disciplina, para “los dominios especiales puramente ma­ temáticos como la teoría de superficies, la teoría de ecuaciones de Galois, la teoría de números primos, así como para muchos dominios científicos ajenos al matemático, como ciertas partes de la psicofisica o de la teoría del dinero”^. En efecto, ¿qué es una teoría si no “el establecimiento de cierta armazón de conceptos” que permiten poner en orden los hechos? Ahora bien, para la construcción del armazón, “ciertos teoremas fundamentales bas­ tan”, a partir de los que todo el resto se deduce lógicamente. Así, “en mecánica, las ecuaciones de Lagrange ..., en teoría de radiación, la ley de Kirchoíf sobre la relación entre la emisión y la absorción ..., en teoría de números primos, el teorema so­ bre la realidad y la frecuencia de los ceros de la función de Riemann Ç(s) ”. El método axiomático permite no sólo fundar las matemá­ ticas, sino justificar su aplicación universal en las ciencias de la naturaleza. Gracias a ellas alcanzamos, en efecto, “la esen­ cia del pensamiento científico”. “Todo lo que puede ser, en ge­ neral, objeto del pensamiento científico, cae bajo el dominio del método axiomático y, por ahí, mediatamente pertenece a las ma­ temáticas”4. Ibid., p. 246. 3 Hílbert (Vffl), p. 147. 4Ibid., p. 156. 2

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La identificación que aparece, incluso en la última fórmula, se justifica por los éxitos obtenidos por el método axiomático en el curso de los últimos años. Manifestando la unidad orgánica de una teoría, no según los objetos —construidos— de los que se ocupa, sino por la unidad operatoria de un cierto procedimiento intelectual, el método axiomático provoca a la vez el reagrupamiento de disciplinas y la redistribución de la economía interior de una disciplina. Es el impulso de la teoría de campos en el álge­ bra, tras los trabajos de Dedekind y de Steinitz. Es, en análisis, la liberación de lo que C. Chevalley llama “el estilo de las e”5 que torna inútilmente pesados los escritos de la escuela de Weierstrass: bastará precisar de una vez por todas en qué condiciones (es decir, para qué relaciones) tiene sentido un paso al límite. Así se constituye uno de los más bellos productos del método axiomático, la teoría de los espacios abstractos6 —o topología general— cuyos elementos son objetos matemáticos arbitrarios (números, funciones, etc.) entre los que relaciones muy genera­ les de vecindad (es decir, las que permiten definir una conver­ gencia entre los elementos) son introducidas de manera arbitra­ ria: el hecho de que se puedan definir las funciones de estos ele­ mentos (o funcionales cuando tienen por valor un número real), diferenciarlas7 e integrarlas8 en estos espacios, aún provistos de las propiedades más pobres, permitió grandes simplificaciones, en particular en teoría de la integración cuyo primer tratamiento axiomático ha sido inaugurado por los trabajos de Lebesgue. Acercamientos inesperados se producen —evitando transpo­ siciones fastidiosas—-, como entre la teoría de la medida de Le­ besgue y el cálculo de probabilidades. En fin, se eliminan esas reconstrucciones fastidiosas por medio de las que una teoría es constreñida a seguir el método de otra que complica y enmascara sus propios encadenamientos: como la representación de pun-

5 C. Chevalley (I). 6 Fundada por M. Fréchet. Cf. M. Fréchet (I). 7 Esto es lo que ha hecho Nykodym. 8 La integración más general, definida como producto de dos espacios ha sido introducida simultáneamente por H. Hahn y R. de Possel.

W U 0TE C A CENTRAL U.N.A.M .

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tos de un plano eudidiano o de números complejos por parejas de números reales. Pero, por fecundo que sea el método axiomático, por estre­ cho que sea su vínculo con la matemática verdadera, ¿puede fun­ damentarla? Puestos como características de un procedimiento operativo, los axiomas de un sistema no hacen sino describirlo. Sin embargo, dice Hilbert, una vez formulado, basta una deduc­ ción lógica para deducir todos los resultados de la teoría: pa­ rece un retorno al antiguo logicismo. La diferencia sería, sola­ mente, que en lugar de un axioma hay varios. La analogía puede continuarse: para los logicistas, el valor apodíctico del axioma viene de su virtual reductibilidad al principio de identidad: “por lo tanto, todas las demostraciones desembocan en este princi­ pio (de identidad) que hemos propuesto; es, por su naturaleza, el origen de todos los demás axiomas”?. Sabemos que Leibniz, siguiendo la lógica de Port-Royal que a ello tendía también*10, de­ finía al axioma como “una propiedad evidente tan pronto como se entienden los términos”11, y no lo consideraba como estable­ cido sino cuando la definición de los términos producía una pro­ posición idéntica12. Para Hilbert, la autoridad de un sistema de axiomas, relativa a la teoría de la que constituye el inevitable pre­ facio, se funda sobre tres características: no contradicción, in­ dependencia de los axiomas entre sí y saturación. Solamente el modo de su establecimiento puede darles sentido; se ve de todos modos que la primera característica otorga materia (étoffe) lógica a las otras dos: un axioma es independiente de los otros si el sis­ tema formado por éstos y su negación es no contradictorio; un sistema es saturado si la adjunción de todo nuevo axioma, inde­ ? Aristóteles, Metafisica, T 1005 b 3310 "Cuando, para ver claramente y de manera distinta que un atributo conviene a un sujeto, no se necesita sino considerar, las ideas de sujeto y de atributo con una atención mediocre, de manera tal que se pueda hacer 0a conexión) sin percibir que la idea del atributo está verdaderamente encerrada en la idea del sujeto; se tiene el derecho, entonces, de tomar esta proposición como axioma que no requiere demostración puesto que posee, por sí mismo, toda la evidencia que pudiera proveerle la demostración”. Lógica, IX 6, p. 483. 11 Nuevos Ensayos. 12 Por ejemplo, para el axioma: "el todo es más grande que las partes”, Specimen Geometriae luciferae. Math. Sehr. VII, p. 274.

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pendiente de los precedentes, hace que el sistema sea contradic­ torio. Así, la no contradicción desempeña, para la axiomática mo­ derna, el papel que desempeñaba la identidad para la axiomática tradicional. Existir, para un objeto matemático, decía Poincaré, es ser no contradictorio.

2. Las tres propiedades características de un sistema de axiomas a. La no-contradicción ¿Cómo probar estas propiedades? La no contradicción, dice Hilbert, es la “imposibilidad de deducir lógicamente de los axio­ mas un hecho que los contradiga”, que sea la negación parcial o total de uno de ellos. Para la geometría se tiene el recurso de un modelo: se asocia a cada objeto — indeterminado— de la teoría un objeto de otra teoría. A cada relación fundamental de la pri­ mera (estar en, estar entre) una relación de la segunda. Las exi­ gencias de los axiomas devienen consecuencias en el seno de la teoría testigo: si una contradicción puede surgir, se le alcanzará. En los Grundlagen Hilbert usa el sistema de números algebraicos obtenidos a partir del 1 por medio de las cuatro operaciones y de la operación \V 1 + n2|, siendo n un número ya obtenido. Un punto estará representado por una pareja de números, una recta por las razones de tres números (uw\w). La geometría analítica ordinaria traduce las relaciones fundamentales y muestra que los axiomas se satisfacen. La congruencia se define por medio de los grupos de traslaciones y de rotaciones en el plano (de ahí la ope­ ración jx/1 H- n21). La no contradicción —supuesta— del álgebra se delega a la geometría. ß. Los estudios sobre la independencia; las dos nociones de independencia Uis demostraciones de independencia piden prestado su mo­ delo, ya sea directamente a la aritmética, o a una porción o com-

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plìcación de la teoría entera. En el segundo caso, el principio es: si la teoría define N relaciones entre sus objetos, su agolpa­ miento dos a dos permitirá definir 2N relaciones entre las que —una vez hechas las eliminaciones requeridas por las exigen­ cias de los axiomas— siempre será posible escoger las variacio­ nes que satisfacen la negación del axioma en cuestión. Así, para el axioma de las paralelas, el modelo de Cayley; para el axioma de Arquímedes —más simplemente— el modelo de Veronese de una geometría reducida a los puntos situados en paralelas equi­ distantes y en donde un segmento puede incluir a dos o más paralelas: se ve que AB>nCD, por grande que sea n (ver fig. 10). Para el último axioma de congruencia (111,5), es, en el plano, una geometría en donde la longitud de los segmentos se evalúa por la longitud de su proyección en un plano que forma un ángulo agudo con el plano considerado; la congruencia de los ángulos se define de manera usual (fig 11: AC = AB, DAC = DAß por hipótesis, se ve que ADC ADB) .

Fio. 10.

I

B

(T

D

Ä

FIG. 11.

La independencia de los axiomas es importante, no sola­ mente para la elegancia de la presentación sino para la eficien­ cia de la teoría. Su estudio permite descubrir relaciones lógicas profundamente ocultas: es el caso de la equivalencia, para la de-

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mostración de un teorema (el de Desargues), de la adjunción a un sistema dado (axiomas I 1-3, II, IV) de dos nuevos grupos (I 4-5, y III) que son, sin embargo, independientes entre sí e inde­ pendientes del sistema. De ahí las investigaciones de O. Veblen13 y Huntington14 sobre la “independencia afín”, el medio de ob­ tener para la geometría enunciados que conllevan —visibles o no— el mínimo posible de partes comunes. Se debe distinguir, por otra parte, entre independencia de sentido e independencia de afirmación: un axioma siempre puede ser puesto en forma de proposición hipotética, la dependencia de sentido tiene que ver con la hipótesis, la dependencia de afirmación con la conclusión. La segunda sólo se evita en general; la primera, por el contrario, marca el orden necesario de los axiomas (y de sus grupos: los axiomas de congruencia y de continuidad carecen de sentido si los axiomas de incidencia o de orden no se satisfacen). Veblen estudia sistemáticamente la independencia de diez axiomas de un sistema que sustituye a los doce axiomas de inci­ dencia y de congruencia de Hilbert (las únicas nociones primiti­ vas son las de punto y orden: una recta es el conjunto de puntos X que poseen, en relación a dos puntos^ y/i, una de las relacio­ nes de orden AXB, ABX o XAB; un plano el conjunto de puntos “en línea recta” con dos puntos situados sobre los lados de un triángulo; un triángulo se define por tres puntos no colineales, el inconveniente es, como se ve, el recurso constante a la noción de conjunto). Para sus ocho axiomas de orden, establece una matriz de modelos, triadas o pernadas de números ordenados de ma­ nera natural y en donde las permutaciones cíclicas (completas, es decir, de la sucesión 0,1,... ,9 ó pardales 1,2,3, por ejemplo) permiten introducir un gran número de variaciones. Cada mo­ delo satisface todos los axiomas salvo uno, la mayor parte de las satisfacciones se obtienen por anulación (la hipótesis del axioma no se satisface). Veblen nota un hecho curioso: cada uno de los ocho modelos no implica sino un número finito de elementos mientras que la satisfacción simultánea de los ocho axiomas re­ clama una infinidad. En realidad, sólo el axioma ocho implica !3 O. Veblen (I). 14 Huntington (X).

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esta exigencia (axioma de Pasch, axioma IT, 4 de Hilbert) pero su hipótesis depende de los siete axiomas precedentes: de los ocho modelos examinados, uno no lo satisface y siete lo satisfacen por anulación. 7.

Saturación; categoricidad; axioma de saturación

La noción de dependencia de sentido permite introducir ló­ gicamente la de saturación para un sistema: entre todas las posi­ bilidades de una (o varias) relaciones de dos o tres términos (por ejemplo, el orden), el papel de cada axioma posterior (desde el punto de vista del sentido) es el de introducir una limitación. Se encuentra, así, relativamente determinado. Es concebible que en un cierto momento la zona de variabilidad desaparezca, que haya saturación. Precisar es difícil: se podrá decir indirectamente que la teoría está saturada si toda proposición formulable en sus no­ ciones fundamentales es, o demostrable o refutable (su negación es demostrable) en la teoría (definición fuerte); o si es imposible que la proposición y su negación sean simultáneamente compa­ tibles con los axiomas (definición débil, equivalente a la que se dio antes). Una y otra carecen de sentido exacto en los sistemas no formalizados (en los que las nociones de demostrabilidad y de incompatibilidad no pueden ser circunscritas). Recurrir a un modelo tiene el efecto de transformar la pro­ piedad. Se considerará que todos los modelos que satisfacen los axiomas son isomorfo*, es decir, que se puede establecer entre sus elementos una correspondencia biunivoca que deje invarian­ tes las propiedades definidas por los axiomas. Esto es lo que Veblen llama categoricidad, en oposición a los sistemas disyunti­ vos “a los que todavía se puede añadir un axioma independien­ te”, Se ve que aquí es imposible: sólo tendríamos que someter uno de los modelos al nuevo axioma y el otro a su negación y ya no habrá isomorfismo. La categoricidad implica entonces la satu­ ración (definición débil) pues ésta coincide con la imposibilidad de bifurcación (Nichtgabelbarkeit) . Pero el recíproco se pone en duda: las dos nociones tienen contenidos bien distintos. Históri­ camente, la saturación apareció primero: Hilbert habla de ella en su artículo Sobre el concepto de número (1899) y le da el sentido

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de que “el sistema de axiomas basta para la demostración de to­ das las proposiciones geométricas”15. No indica, sin embargo, ni ahí, ni en las ediciones sucesivas de los Grundlagen, de qué ma­ nera se podría efectuar la demostración, mientras que se ocupa extensamente de la independencia y de la no contradicción. Por el contrario, Veblen es conducido a la cacegoriddad por medio de la noción de definición exhaustiva —a la que Huntington re­ duce la axiomática de los números reales— y da un medio para demostrarla en su sistema. La laguna en el edificio hilbertiano se explica por Ja inter­ vención de un axioma especial de saturación que no dejó de ocasionar algunos conflictos. En la primera edición de los Grund­ lagen no había sino un axioma de continuidad, el axioma de Arquímedes. En su memoria Sobre el concepto de número — en donde los axiomas destinados a fundamentar la teoría de los números reales están casi calcados de los de la geometría— apa­ rece un segundo axioma de continuidad: “no es posible adjun­ tar otro sistema de objetos al sistema de los números, de ma­ nera tal que, en el conjunto total, se mantengan las relaciones primitivas entre los números y se satisfagan los axiomas I (re­ lación), II (cálculo), III (orden), IV (Arquímedes); en una pa­ labra: los números forman un sistema de objetos que, conser­ vando todas las relaciones y axiomas, no es extensible”16 El con­ junto.de los números racionales —y todo sistema análogo (es decir denso y numerable)— satisface los axiomas pero siempre se puede ver añadido de elementos nuevos. Si se cancela esta posibilidad se excluye el modelo racional y se caracteriza el de los números reales en donde toda extensión es imposible, pues toda sucesión convergente está determinada de manera unívoca. En la segunda edición de los Grundlagen el axioma se traduce a términos geométricos “no es posible añadir a los puntos, rec­ tas, planos, otros objetos ... Se puede simplificar, incluso, ha­ blando solamente de puntos y sin citar a los axiomas lineales:

15 Hilbert (V). ^ Ibid., p. 183.

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el resto del axioma se transforma en teorema17. Aquí la categoricidad se alcanza si se supone dado el conjunto de los núme­ ros reales: el axioma de Arquímedes asegura que a todo punto corresponde un número real, el axioma de saturación procura el recíproco. Desde entonces, gracias a la geometría analítica, habrá isomorfismo entre todos los modelos que satisfacen los axiomas (la combinación la provee el análisis). Pero esta coinci­ dencia no es sino accidental. R. Baldus18muestra que, lejos de ser la “piedra angular” (Schlussstein) de todo el edificio, el axioma de saturación podría del mismo modo concluir la geometría in­ dependiente del axioma de paralelas o geometría absoluta (Bol­ yai). En efecto, no se relaciona, en su enunciado, al axioma de las paralelas y se tiene un medio, en esta geometría, de coordi­ nar, de manera biunivoca, los puntos a las ternas de números reales. El axioma se satisface: es imposible añadir otros elemen­ tos. Sin embargo ahora tenemos dos modelos no isomorfos: la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica. Se pueden citar otros ejemplos: E. Noether ha dado el de los campos algebrai­ camente cerrados absolutos de Steinitz: éstos son inextensibles, pero sin su “característica” son susceptibles de una infinidad de interpretaciones no isomorfos. De manera más simple, sea la re­ lación de buen orden recíproca definida en c

>r a FlG. 12. dos axiomas: Io Si a sigue de b, b no sigue de a\ 2o Todo ele­ mento es sucesor de un único elemento y tiene un único sucesor. Tres, cuatro,..., etc., puntos sobre un círculo orientado (fig. 12) 17 Realizado por Hilbert en las ediciones posteriores de los Grundlagen aten­ diendo a un comentario de Bemays. 18 R. Baldus (I).

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son modelos inextensibles y no isomorfos19. La inextensibilidad es, por lo tanto, condición necesaria mas no suficiente de la categoricidad. La fórmula misma del axioma ha sido objeto de dos críticas: en lugar de relacionarse directamente con los elementos y las nociones fundamentales, “habla” de los otros axiomas, es así un axioma de segundo grado. De allí una complicación para las de­ mostraciones de independencia: ¿es necesario, pregunta R. Baldus20, bajo la hipótesis de que uno de los axiomas (digamos B) es falso cambiar el enunciado (y decir, por ejemplo, que el dominio que Satisfacevi, no-B, C, etc. es inextensible)?, ¿hay que interpre­ tar la frase de Hilbert: “si el axioma de Arquímedes no se veri­ ficara, el axioma de saturación sería contradictorio” como una afirmación de dependencia del primero respecto del segundo? La pregunta no parece resolverse simplemente por medio de la distinción éntre dependencia de sentido y dependencia de afir­ mación. Si la fórmula del axioma de saturación conlleva una re­ ferencia expresa al axioma de Arquímedes, en caso de que éste no se verifique, se satisface evidentemente por anulación. Pero si su enunciado es: el conjunto de objetos sólo que satisface a los axiomas del sistema (no precisado) no es extensible, se ve que es contradictorio si se retira el axioma de Arquímedes y que subsiste, en cambio, si se quita el de paralelas. Por otra parte, la relación que introduce entre los objetos sólo es propuesta negativamente: es necesario tener ya la noción de conjunto de números reales para comprenderla. De ahí su sustitución, pre­ conizada por Veblen, por el axioma de Cantor que le es equiva­ lente: en toda sucesión infinita de segmentos anidados, hay al menos un punto común a todos los segmentos. Pero es precisa­ mente este recurrir a la noción de una sucesión infinita arbitraria lo que quería evitar Hilbert en su axiomatización de los números reales: “los escrúpulos que se han formulado a propósito del sis­ tema de todos los números reales y de los conjuntos infinitos en general pierden (con este método) ... toda justificación”21. Otra 19 Estos ejemplos son de Baldus, op. cit., p. 328-329 n. 20 Baldus, o/>. cit. p. 33121 Hilbert (V), p. 242.

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solución consiste en referirse al conjunto de todos los sistemas de objetos que podrían satisfacer los axiomas: entre ellos, afirma el axioma de saturación, hay uno solo que es máximo. El infinito no se evita mas que en las palabras, las dos nociones de conjunto y de aplicación (para el máximo) intervienen.

3. Insuficiencia de una axiomatización para fundamentar las matemáticas ¿Pero es posible evitar (el infinito N de T) en la definición misma de una axiomática? Esta, en tanto que método para fun­ damentar, se enfrenta a dos obstáculos: Io Considerados como elementos de una definición implí­ cita de uná o varias palabras, los axiomas deben recurrir, para el resto de su enunciado, a nociones previamente introducidas: nociones aritméticas elementales (hay por lo menos dos puntos sobre una recta, hay por lo menos cuatro puntos no coplanares,.. nociones funcionales vagas o nociones de existencia, de objeto, de correspondencia (a dos puntos corresponde una recta, dados dos puntos A y B sobre una recta, existe un tercer punto C tal que B está entre A y C) ; lo mismo que, en álgebra, la noción de conjunto. Por lo tanto, la axiomatización no es sino aislamiento en el seno del sistema conceptual ya constituido; no nos representamos la axiomatización en el vacío. 2o Este aislamiento no es arbitrario: se ha visto que los axio­ mas, en sistemas o en subgrupos, caracterizaban, cada vez, la uni­ dad de un proceso intelectual original. La axiomatización, en ge­ neral, es posterior a la constitución de la teoría, no hace sino despojarla de todo lo adventicio para mostrarla en toda su pu­ reza. En los casos en los que, por el contrario (álgebra o teoría de conjuntos), la elección de los axiomas crea una nueva teoría, éstos no tienen jamás como contenido sino la descripción de una cierta operación —ya definida en una teoría más vasta— y otor­ gada por la vía de restricciones: así, se podrá, en topología, defi­ nir vecindades como conjuntos abiertos arbitrarios, y conjuntos abiertos como conjuntos invariantes en relación a la intersección

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finita y a la unión infinita. Lo mismo para la definición axiomática de la integral de Lebesgue que tiene como meta asegurar la aditividad completa. De cualquier manera, la axioma tizad ó n se refiere de manera doble a algo dado: exteriormente, dato del sistema al que se le piden prestados sus conceptos; interiormente, datos de una unidad operatoria que no hace sino caracterizar. Si la axiomatización fundamenta, debe, o bien justificar una y otra sólo de un golpe, o bien transformarse para ignorarlas. La distinción entre fundamento lógico y actualización psicológica puede hacernos creer en la posibilidad de la primera solución. Hilbert mismo pa­ rece haber sido atrapado aquí: el dato exterior se evitará si se demuestra sucesivamente la no contradicción de teorías adosa­ das unas a otras, el dato interior si se prueba la saturación como garantía de una especie de unidad. Se ha visto la dificultad de la segunda empresa: la categoricidad carece de sentido excepto en una teoría más vasta en la que es posible definir correspondencia entre objetos y transferencia de relaciones. En cuanto a la verda­ dera saturación, no se percibe en la lógica ordinaria ningún me­ dio que la pueda probar y que le dé un sentido efectivo; el que tiene ha sido tomado prestado, en realidad, de la intuición de la unidad del proceso operatorio caracterizado por los axiomas; pero exige más que esta unidad: la geometría absoluta, perfec­ tamente única, no es saturada. Se podría dejar de lado y hacer de cada teoría un sistema hipotético deductivo; reunión arbitra­ ria de proposiciones no contradictorias. Pero el problema de los fundamentos de las matemáticas es justamente que se pueda de­ ducir algo y, por otra parte, que una cerradura aparezca tras un cierto número de adjunciones. Debe haber un sentido común a los axiomas reunidos que permita el razonamiento sin el cual se corre el riesgo de caer —con proposiciones completamente in­ dependientes (es decir, independientes en las dos acepciones)— en la dificultad de la combinatoria leibniziana de nociones sim­ ples: no se deduce, se yuxtapone, en un número, por cierto, pre­ determinado de combinaciones. Es la noción de demostración, enmascarada por la imagen vaga de deducción lógica, lo que debe profundizarse: hemos visto que, en realidad, tanto en Pasch como en Hilbert, el razonamiento consiste en encadenamientos

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operativos guiados por ïa intuición misma de esas operaciones. En tanto que los axiomas no se analicen perfectamente desde el punto de vista de la lógica, es en vano hablar de deducción. Lo mismo para la primera cuestión: la dificultad, aquí, consiste en establecer la no contradicción de la teoría inicial, sobre la que todo reposa, la teoría de los números reales. Hilbert reconoce muy rápido el carácter original del obstáculo: desde 1900, en su discurso en París22, enunciaba como el segundo de los gran­ des problemas a resolver el de la demostración de la no contra­ dicción de la aritmética para la que, a diferencia de lo que tiene lugar en la geometría, “hay que tomar, esta vez, la ruta directa... Estoy además convencido del éxito ... si se adoptan... los méto­ dos conocidos de la teoría de los húmeros irracionales”. Sin em­ bargo, en 1904, se percataba de que “fundamentar la aritmética sobre la lógica”23 no es posible porque “para exponer las le­ yes de la lógica, ciertos conceptos aritméticos, como el de con­ junto y como el de número cardinal, son indispensables”. Queda, como recurso único, el de una “reedificación simultánea de la matemática y la lógica”. Pero, ¿cómo reglamentar los caminos inmediatos del pensamiento si no es separándolos del pensa­ miento reflexivo por medio de una materialización? La noción de demostración no puede precisarse sino por un canon, un ca­ non no es posible sino en un formalismo. El elemento común a la lógica y a las matemáticas, el signo, debe dominar: la axiomatización termina, necesariamente, en formalización.

22 Hilbert (IV), p. 300. 23 Hilbert (VU), p. 230.

C a p ítu lo III

N oción d e sistem a form al El form alism o h ilb ertian o y el análisis 1. La filosofía del signo El formalismo aparece ya en la demostración de no contra­ dicción intentada en 1904: “un objeto de nuestro pensamiento se llama ... una cosa (Gedankending) y es fijado por un signo” con el cual prácticamente se confunde: tales son los objetos I, II, III,..., | (que representa la implicación), etc.; un conjunto es una letra m y la relación elemento-conjunto es el símbolo mn. No se trataba más que de un pasaje involuntario, provocado por las exigencias del problema. Después de 1920, al momento de la verdadera construcción de la teoría de la demostración, se re­ conoce y se justifica, a la vez por la reflexión sobre la esencia del trabajo matemático y por el deseo de salvar sus resultados y sus métodos de las amputaciones exigidas por los intuicionistas. ‘Ta Kant demostró que la matemática dispone de un material asegurado, independientemente de toda lógica y, por lo tanto, no podrá jamás estar fundamentada por la lógica solamente: de ahí el fracaso de Frege y de Dedekind. La condición previa para la aplicación de los razonamientos lógicos, por el contrario, es la presencia de algo dado en la representación, ciertos objetos con-

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cretos extralógicos que intuitivamente se encuentran ahí, como una experiencia inmediata, anterior a todo pensamiento”1. La idea es ciertamente kantiana: la matemática es algo más que la lógica, en tanto que es pensamiento efectivo, y todo pensa­ miento efectivo supone la aplicación del pensamiento abstracto a una intuición. La lógica no es entonces sino la parte común de las diversas actividades científicas; y todas ellas la rebasan de la misma forma. “Tal es la posición filosófica que estimo necesaria ante la matemática como en general, ante todo esfuerzo por pen­ sar, comprender y expresar. Abandonarla sería negar toda activi­ dad intelectual”. Pero no es tanto la esterilidad de la lógica lo que aquí se critica sino, de manera extra kantiana, su inseguridad: “para que la deducción lógica esté asegurada, se debe aplicar so­ bre objetos que se puedan aprehender de inmediato en todas sus facetas, y tales que sus signos distintivos y sus relaciones recípro­ cas, estén dadas intuitivamente con ellos, como algo irreductible y que no requiere ninguna reducción"2. Sin embargo la diferen­ cia es menos grande de lo que parece: si perdida en el vacío, la lógica lleva a contradicciones es porque su empleo es incorrecto; se ha dado un objeto falso. La diferencia con Kant es que no hay un pensamiento lógico puro, la lógica no es sino un constitu­ yente, imposible de aislar, de todo pensamiento que funciona verdaderamente. De ahí que el problema de la conjunción entre pensamiento abstracto e intuición ya no se presente, al menos en el mismo sitio. Si la lógica desaparece como disciplina autónoma, su papel sólo se puede definir negativamente mediante la elimi­ nación del papel de las intuiciones concretas que son garantía de la certeza y de la fecundidad de los razonamientos. Mucho antes de las paradojas, Hilbert había ya insistido en la importan­ cia de los encadenamientos intuitivos eñ el verdadero trabajo matemático. “¿Quién no se apoya en un dibujo de segmentos o de rectángulos anidados para demostrar con todo rigor un teo­ rema complicado acerca de la continuidad de funciones o de la 1 Hilbert (IX), p. 170. Remitimos a la paginación de la primera edición —com­ pleta— de la memoria de los Mathematische Annalen. 2 Ibid. p. 171, pasaje reproducido en Die Grundlagen der Mathematik Hilbert (XII), p. 65.

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existencia de puntos de acumulación? ¿Quién podría prescindir de la figura del triángulo, del círculo con su centroide la cruz de ejes coordenados?”3 ¿Se trata de una ayuda psicológica para la imaginación? La matemática no está fuera de la imaginación: “los signos aritméticos son figuras escritas4, las figuras geométri­ cas son fórmulas dibujadas, y para un matemático sería igual­ mente imposible prescindir de ellas como ignorar los paréntesis para escribir”. Esta homogeneidad reestablecida entre fórmulas y figuras permite considerar como intuitiva a la matemática de los algebristas y, en general, a la de los defensores de una abstracción completa que no podría existir. En realidad la teoría está apenas esbozada; sin embargo, desde 1900, las nociones correlativas de signo y de axiomática muestran que no se trata de descripcio­ nes empíricas. La esencia misma de las matemáticas es la de ser un juego regulado de símbolos, éstos no son una ayuda para la memoria, sino que definen una suerte de espacio abstracto con tantas dimensiones como grados de libertad hay en la operación, concreta e imprevisible, de la combinación. Es ésta la que debe determinar, no de hecho sino por derecho, “una región irreduc­ tible de razonamientos intuitivos” sin la cual la matemática no podría ser: “desde el inicio de un problema, en aritmética al igual que en geometría, nos libramos a combinaciones provisio­ nales, rápidas e inconscientes, confiando siempre en un cierto sentimiento aritmético para la zona de acción de los signos”5. Si el pensamiento abstracto implica la necesidad, si el devenir ma­ temático es la aparición de una verdad nueva, se requiere que la creación se sitúe en esa (zona) sensible que representa el espacio combinatorio. Como lo entendía Kant, primero es la fecundidad la que garantiza el recurso a lo intuitivo, pero no como el resul­ tado de la unificación de algo diverso a través del pensamiento abstracto. La doble relación activo-intelectual, pasivo-sensible se quiebra: en la intuición en donde aparece el acto libre. El papel intelectual o lógico se restringe lo más posible: simplemente el acto de fijar los resultados adquiridos o las convenciones adop3 Hilbert (IV), p. 295. 4 Cf. más arriba los textos análogos de Kant. 5 Hilbert, op cit., p. 296.

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tadas, la fidelidad del espíritu a Io que ha hecho. Pero aquí inter­ viene nuevamente lo sensible: en la configuración del signo se inscribe una evocación a sus reglas de empleo, un razonamiento escrito no puede engañar, pues en su esquema aparecerían las fi­ guras excluidas. Este es el doble papel del signo, mezcla también de intelectual y de sensible; si posee en su esencia una regla inte­ lectual que es garantía contra el error, es condición de creación por su movilidad en lo sensible. Es a él, y no a la aplicación {Ab­ bildung) de Dedekind, que le debe su origen y desarrollo toda la matemática: “am Anfang so heisst es hier, ist das Zeichen'*. Sin embargo, su intervención en la matemática clásica esta sometida al arbitrio de los problemas; aparece al azar de los méto­ dos encontrados. Pero si en cada caso, la regla de su empleo fija con precisión el dominio correlativo del pensamiento concreto en donde se mueve, no existe un sistema de todos los signos acompañado de una intersección delimitada de todas las regio­ nes intuitivas. De ahí la incertidumbre de los formalismos par­ ciales, este empleo ambiguo en donde el signo es a la vez un punto móvil en una zona de absoluta libertad —como lo quería Hilbert— y el representante de otras operaciones concretas, sim­ plemente supuestas, pero cuyo resultado interesa para el uso ac­ tual. La repercusión, sobre otros planos, de las combinaciones realizadas, implica una complicación de las relaciones de las que el espíritu ya no se siente el amo. Aparece entonces la necesidad de unir de manera efectiva las distintas operaciones superpues­ tas, de reconstruir, por ejemplo, todo el objeto del análisis a par­ tir de la intuición simple de número entero. Tál era el punto de partida de Kronecker; pero siguiendo su línea de pensamiento se llega, mediante una curiosa inversión del formalismo, al intuicionismo, con todas las restricciones de método que impone.

6 Hilbert (IX), p. 1 6 3 .

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2. La formalización como adjunción de ideales Hilbert no acepta someterse a esto. No se resigna ni el re­ chazo de la teoría abstracta de los conjuntos, y en particular la aritmética de los números transfinitos “la mas admirable flo­ ración del espíritu matemático”7 —rechazo aceptado por mu­ chos matemáticos no intuicionistas— ni, sobre todo, la renun­ cia a las “elegantes demostraciones” en donde interviene el ter­ cero excluido. “Privar al matemático del tertium non datur sería tanto como privar al astrónomo de su telescopio, de sus puños al boxeador”8. Es en nombre de la técnica que protesta contra Brouwer: la teoría de funciones, la teoría de las aplicaciones con­ formes y la teoría de ecuaciones en derivadas parciales devie­ nen con el intuicionismo “un monton de ruinas”. El problema existe (hemos visto que el punto de partida filosófico de Hilbert es idéntico al de Brouwer), pero importa situarlo con respecto a la verdadera ciencia: no son las dificultades técnicas las que han provocado, después de la guerra, el desarrollo del intuicionismo: el análisis fue reelaborado en todos sus sentidos, sus métodos fueron refinados y mezclados al extremo, sin que apareciera nin­ guna contradicción. Si el círculo señalado por Weyl es incontesta­ ble, al menos es inofensivo9. La solución no es pues una recons­ trucción — que sería una vuelta al pasado10— sino una redistri­ bución de los métodos, cada uno puesto en su propio lugar. La única dificultad viene del infinito: exigir que una demostración se efectúe en un número finito de pasos es evidente —“¿cómo podría suceder de otro modo?”— pero queda la referencia a las colecciones infinitas, ya sea por la aplicación del tertium non datur (afirmación de la existencia de un objeto... basado en la 7 Hilbert {XI}, p. 167. * Hilbert (XII), p. 80. 9 Hilbert (X), p. 160. 10 “Brouwer no representa una revolución, como lo cree Weyl, sino la reelabo­ ración de una tentativa de golpe de estado con los viejos métodos que, en su tiempo, aunque fueron utilizados con más energía, fracasaron. Y ahora que eL poder central está armado y reforzado gracias a Frege, Dedekind y Cantor, están de antemano condenados al fracaso”. Hilbert (IX), p. l60.

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negación de una proposición general), ya sea por la elección ar­ bitraria de un elemento. Así corno Weierstrass salvó el paso al límite, que parecía condicionar al infinito potencial, precisando la noción finita de convergencia, es igualmente posible dar un sentido admisible a las intervenciones del infinito actual. Es la analogía con la introducción de los elementos ideales la que pro­ vee la solución. Se trata de asegurar una validez universal a las reglas —principio del tercero excluido— cuyo empleo concreto somete a limitaciones (colecciones finitas). “Recordemos que so­ mos matemáticos y como tates nos hemos encontrado ya ante semejantes dificultades, y recordemos cómo el método genial de los ideales nos sacó del problema”11. En teoría de números, para la validez incondicional de las leyes de sustracción, de la división o de extracción de raíces; en el álgebra, para asegurar las leyes que fijan el numeró de raíces de una ecuación alge­ braica o la divisibilidad de los números enteros algebraicos, fue­ ron introducidos cada vez, los enteros negativos, los números racionales, los reales, los complejos, los ideales de Kummer. El procedimiento es siempre el mismo, cualquiera que sea la formalización previa: el punto de partida es una operación que se escapa (zona de utilización del signo) y cuya ejecución concreta sobre un material dado previamente se somete, ipsofacto, a res­ tricciones: la exponenciación es la iteración de la multiplicación, etc. La adjunción de ideales sustituye los objetos primitivos por un sistema de símbolos, punto de partida y resultado de las ope­ raciones, definidas esta vez, sólo por sus propiedades formales (ax • av = ax+y para la elevación a potencias, por ejemplo). Se trata de las generalizaciones sucesivas estudiadas por Dedekind en su discurso de habilitación. Se les impone, como condición, una doble relación con el dominio primitivo: por una parte, la posibilidad de retraducir las operaciones y los objetos nuevos: un número racional es una pareja de números enteros, un ideal de Kummer es un sistema infinito de números enteros algebrai­ cos ordinarios, y las operaciones efectuadas sobre ellos se redu­ cen a las operaciones en un plano inferior sobre sus elementos; 11 Hilbert (XI), p. 174.

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por otra parte, la restitución del sistema inicial (objetos y opera­ ciones) por eliminación de los ideales: al hacer nula la parte ima­ ginaria de un número complejo podemos reencontrar las opera­ ciones sobre los números reales. La primera condición asegura el paso libre de abajo hacia arriba: cualquiera que sea el grado de abstracción establecida, siempre es posible alcanzar un objeto particular y dar a una operación particular su sentido concreto de sistema más o menos complicado de operaciones sobre los enteros. La segunda garantiza la unidad de arriba hacia abajo: en el progreso formal, la matemática debe conservar cada vez, como caso particular, el nivel inferior, más concreto, que acaba de abandonar. En el caso del tercero excluido, la operación in­ tuitiva es el razonamiento matemático en general; el punto de partida es la aritmética vulgar finita en donde los objetos son co­ lecciones de barras verticales; las operaciones son la adjunción iterada de una unidad, sus propiedades (asociatividad, distributividad, conmutatividad: a + b —b+a) son constataciones expe­ rimentales. Pero en cuanto se avanza un poco, aun en la teoría elemental de números, aparece la referencia al infinito de los enteros y, en consecuencia, los problemas no resueltos (como el teorema de Fermat), con una posibilidad permanente de crear nuevos números (decimales de tt, etc.); esto imposibilita la apli­ cación del tercero excuido. La solución es una formalización to­ tal de los razonamientos de la matemática entera, gracias a la lógica simbólica, “bien preparada para este fin gracias a una ar­ monía prees tablee ida”12: no habrá más que un juego mecánico de signos. Las condiciones de relación se satisfacen, una, en prin­ cipio, gracias a la edificación de la matemática intuicionista de Brouwer (Hilbert no parece aquí preocupado por precisar más), la otra, efectivamente, por la demostración de no contradicción formal del sistema simbólico13, Esta demostración consiste en la imposibilidad de obtener cualquier fórmula: cuando contiene a la lógica clásica, en particular, es la imposibilidad de obtener una fórmula y su negación. Puesto que el sistema simbólico debe tra­ ducir a toda la matemática finita, las proposiciones que ésta de12 I b id ., p. 176. 33 Hilbert (XII), p. 73.

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cide como verdaderas serán evidentemente demostrables, así sus negaciones, 0 ^ 0 por ejemplo, no podran aparecer como la con­ clusión de un razonamiento formal: mediante la eliminación de los ideales, si el sistema es no contradictorio, se reencuentran exactamente los resultados de la matemática intuitiva. Queda por precisar, en fin, la zona del pensamiento efec­ tivo: cada adjunción de ideales sólo tiene la finalidad de liberarla en la región concreta correlativa del signo. La formalización del conjunto de las matemáticas procura este sistema general de to­ dos los signos y, en perspectiva, la intersección de los dominios intuitivos que reclamaba el uso racional. La metamatemàtica, o teoría de la demostración, deviene la verdadera ciencia: sus ob­ jetos serán las reuniones de signos o fórmulas y la organización de éstos en unidades de dependencia o teorías. Es en el agrupa­ lmento de éstas, en la adjunción de axiomas y en la prueba de su fecundidad relativa, en lo que consiste el trabajo real, capaz de procurar una verdad. El pensamiento está, por otra parte, siem­ pre seguro de sí mismo ya que la conciencia plena acompaña cada uno de sus pasos (un número finito) : las exigencias intuicionistas se satisfacen aquí con todo rigor. La aritmética elemen­ tal primitiva se utiliza: esto marca un progreso sobre la memo­ ria de 1904 en la que se trataba todavía-de formalizarla y res­ ponde a las objeciones de Poincaré quien veía en la intuición del número puro —sobre la que se basa la inducción completa— un irreductible lógico, recurso, imposible de eliminar, a la sucesión infinita de los enteros. La inducción verdadera —debiendo es­ tar formalizada— que permite enunciar las proposiciones que conciernen a una totalidad infinita, no tiene nada que ver con la inducción utilizada en la metamatemàtica, que procede poco a poco y no hace sino resumir los resultados adquiridos que se podrían retomar de manera individual. Lógica y matemáticas tienen una suerte común y están repartidas por igual entre los dominios del formalismo y de la intuición; la separación no se efectúa entre ellas sino que involucra a su síntesis de donde sería vano tratar de aislarlas. Así se ven suprimidas las dificultades que provenían, cada vez, de una confusión entre razonamientos matemáticos y metamatemáticos: distinguirlos con cuidado es la primera tarea de la teoría de la demostración. El esfuerzo es necesario pues, a dife-

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rencia de la adjunción ordinaria de ideales —y aquí “la compa­ ración falla un poco”14—, por un lado el sistema formal debe ser total; por otro lado, el dominio primitivo ya había sido desbor­ dado por una matemática clásica que, superando los obstáculos, constituyó formalismos parciales. Situación análoga, si se quiere, a la de la teoría de los números reales previa a las definiciones de Dedekind-Weiers trass : a la vez con lo que es bajo esta forma y con la exigencia de su progreso indefinido, importa precisar su relación. De ahí la divergencia entre lo que Heyting llamaforma­ lismo radical de von Neumann y la teoría propia de Hilbert15. Para el primera las posibilidades de un sistema formai son ili­ mitadas (por la libre adjunción de símbolos y de reglas), la ma­ temática histórica no sería sino una elección entre esas posibi­ lidades; su devenir no se explica, la teoría de la demostración tiene como objetivo el mostrar solamente —après coup— la so­ lidez de sus resultados mediante su traducción en formalismos no contradictorios. El fracaso de la operación es prueba de error, su éxito no justifica lo esencial, sólo hay una puesta en corres­ pondencia entre dos procesos extrínsecos. Hilbert, por el contra­ rio, ve en las fórmulas “imágenes de pensamientos”16.- al edificar su formalismo, no hace sino llevar hasta su fin a los métodos y a los razonamientos que engendran efectivamente a las teorías. Si no hay coincidencia con la matemática histórica (que no em­ plea los signos lógicos, etc.) es porque ésta conlleva inconve­ niencias y atajos que se desprenden de una contingencia pura. No hay otra matemática, por derecho, que la matemática formal y su correlato metamatemàtico; ambas no son sino “el proto­ colo de reglas según las cuales procede efectivamente nuestro entendimiento”17. El progreso se debe a la consideración intui­ tiva de los objetos-teorías, con todo lo que conlleva de impre­ visible, y se traduce en la adjunción de nuevos axiomas. Queda por establecer con detalle esta correspondencia estrecha; por dar un ejemplo del carácter metamatemàtico de un avance; en fin, 14 Heyting (IV), p. 56. 15/¿>i¿., p. 51-52. 16 Hilbert (X), p. 153. 17 Hilbert (XII), p. 79.

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queda por probar que Ja condición ordinaria de adjunción de ideales está bien realizada. Serán las tres tareas principales lleva­ das adelante por la escuela hilbertiana; demostración de no con­ tradicción formal; a propósito del progreso, el problema de la decisión, y como prueba de fecundidad, el estudio del problema del continuo; desarrollo detallado del formalismo que debe dar al análisis su aspecto verdadero.

3. Definición de un sistema formal en general Un sistema formal en general18 es un agrupamiento jerar­ quizado de conjuntos de signos —o fórmulas completas— tal que a partir de algunas de ellas (en número finito, o infinito) que son consideradas como válidas, se pueden obtener otras gra­ cias a procedimientos fijados de antemano y para siempre. Su definición implica pues: I o La determinación tanto del material simbólico (signos primitivos y, si es el caso, de los medios para fabricar nuevos signos, repartidos en diversas categorías) como de las condiciones que deben satisfacer las únicas reuniones de signos que serán estudiadas: las fórmulas provistas de sentido, distinguiendo entre fórmulas completas (que se bastan a sí mis­ mas, es decir, las únicas capaces de ser válidas o no) y/ órmuías parciales, aislabíes sólo a partir de la posibilidad de un reem­ plazo mutuo al interior de las primeras (¡reglas de estructura). 2o El enunciado de las condiciones de validez, es decir, la enu­ meración (o delimitación) de las fórmulas completas admitidas como válidas ai principio y las reglas que permiten obtener otras (reglas de deducción). Si el formalismo incluye a la lógica, las fórmulas completas se llaman proposiciones, ios axiomas son el punto de partida y el 18 Cf. A. ïïu'ski (II) y (IV); en (IV) se encuentra una definición abstracta de sistemas deductivos, a la vez más estrecha y más general que la nuestra; más estrecha por­ que descansa sobre la noción de consecuencia, definida con ayuda de la lógica clásica; más general puesto que alude a las consideraciones naïves de los con­ juntos: un sistema es un conjunto de proposiciones; hay que aislar entonces los sistemas deductivos invariantes respecto a la operación de deducción. Se toma como base al conjunto de todas las proposiciones compie ras.

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proceso de deducción es una demostración19: una vez efectuada, da una especie de esquema con ramificaciones convergentes “la cadena de la demostración” (Hilbert), cada una de ellas com­ puesta por una sucesión de proposiciones entre las cuales el paso se efectúa mediante la aplicación de una regla. Hay reunión de varias cadenas cuando la regla exige la presencia simultánea de varias proposiciones. Se requiere, desde luego, que las ca­ denas y los trazos puedan ser dominados por el pensamiento finito20. Gracias a la regla de sustitución se obtiene sin embargo una extensión infinita de sistemas: ella determina una parte móvil en las fórmulas completas: los signos que son llamados variables que se pueden reemplazar por signos o fórmulas de una cate­ goría determinada. Se les evita escribiendo en lugar de axiomas de esquemas, simples esquemas con vacíos que se pueden llenar de manera análoga. Para que resulte de interés, un sistema formal debe poseer una especie dé cerradura que se puede manifestar de dos ma­ neras distintas e independientes, aunque conjugadas: por una parte, no toda fórmula completa del sistema se debe poder de­ mostrar; por otra parte, la imposibilidad de añadir al principio una nueva fórmula completa no demostrable sin que toda fór­ mula completa devenga demostrable21. La definición precisa —y el establecimiento— de esas dos propiedades dependen desde 19 En castellano se puede reservar el término “demostración" para la matemática informal y designar con el vocablo “prueba” al proceso de deducción formal. No obstante, nos ceñimos al texto en francés llamando “demostraciones" a las pruebas. (N del T) Társki distingue, enrre los sistemas deductivos, los sistem as axioniatizabÍes, que son los que tienen un número finito de proposiciones como punto de par­ tida; parece que esta distinción es superflua a partir de la regla de sustitución. Se pueden, sin duda, concebir sistemas con una infinidad irreductible de pro­ posiciones iniciales (es decir, que no se pueden fijar en un número finito de esquemas); su consideración parece desprovista de interés. 21 Tärski define así esta propiedad: todo sistema deductivo que contenga al sis­ tema considerado o bien coincide con él, o bien coincide con el sistema de to­ das las proposiciones completas (el método de Tarski excluye a la noción de ex­ tensión sucesiva). Introduce también la noción de sistem a irreductible, tal que todo subsistema coincide con él o con el cálculo lógico, intersección común a todos los sistemas deductivos.

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luego de las reglas de deducción que fijan a la noción de de­ mostración. La segunda propiedad no excluye la posibilidad de extender un sistema formai por adjunción de nuevos signos y de nuevas reglas (y axiomas)22. El sistema formal que representa a las matemáticas se define así progresivamente; el primer paso coincide con el cálculo lógico de proposiciones. Heyting dio un ejemplo de un sistema formal divergente desde el inicio de la lógica clásica23; su cálculo intuicionista de proposiciones con­ tiene dos especies de signos: las constantes lógicas V , A , D y las proposiciones elementales a,b,c,... Una fórmula completa consiste, o bien en una proposición elemental, o bien en una agrupación de proposiciones regulada por las constantes lógicas (->a ,a V b, etc.). Los axiomas plantean las combinaciones que son válidas inicialmente; dos reglas, la de sustitución y la de se­ paración (si a y a D b son válidas, b también) permiten obtener otras. De las dos propiedades enunciadas más arriba, sólo la pri­ mera se puede establecer, la segunda no existe: si se añade aV^a a los axiomas, se obtiene el cálculo clásico de proposiciones.

4. Formalismo integrante Lógica y matemáticas clásicas Para el cálculo de proposiciones, la definición más breve es la de Lukasiewicz-Tarski24: además de los signos de proposicioneselementos (a,b,c), dos signos fundamentales -i y —►. En las reglas de estructuras que proponen como proposiciones a las coleccio­ nes de signos ^ a ya —* bt etc. interviene la definición de signos abreviaciones a V b para -¡a —»b\ a A b para ~>(a —► ~^tí) En fin, reglas de sustitución, reglas de separación (como para Heyting), y tres axiomas: 22 Bernays precisó esta noción de extensión de un formalismo a propósito de la aritmética formalizada. Cf. Hilbert- Bernays (I), p. 354-356. 23 Heyting (I), p. 43. 24 Lukasiewicz-Tärski (I).

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( i a —► a) —* a a —► (-ia —+b) ( a —>b)—>[(b —► c) —► (a —► c)] El inconveniente de tal introducción es que esconde el ver­ dadero significado del cálculo de proposiciones, parte común y privilegiada de todos los sistemas formales clásicos. En realidad si no se quiere operar una duplicación de las nociones lógicas intuitivas, se le debe considerar, no como sistema formal par­ ticular, sino como complemento de las reglas de estructura y de deducción en la definición de un sistema formal en general: las fórmulas completas se suponen repartidas, según su validez o no validez, en dos clases ajenas (sin elemento común) (princi­ pio de no contradicción) y de manera exhaustiva (principio del tercero excluido). La única novedad es la de considerar esas co­ lecciones de una, dos o n proposiciones-elementos que consti­ tuirán las proposiciones complejas cuya validez se definirá según aquella de las proposiciones-elementos (funciones de verdad): así, para ~^aya A b,a V b,a —► b25 entre las cuales se reestablece la simetría26. No hay pues ni axioma ni reglas de razonamiento: la regla de sustitución vale en todo sistema formal, la regla de separación es consecuencia inmediata de la definición de —+27. Con la relación a los objetos comienza la matemática verda­ dera.* una proposición es la afirmación de que una cierta pro­ piedad es poseída por uno o por varios objetos. De ahí tanto la repartición de las variables en tipos y la introducción de las no­ ciones correlativas defunción matemática y de individuo. Una proposición-elemento es una pareja formada por una variable -5 -i« vale cuando a no vale; a V b vale cuando al menos uno de los dos elementos a o b vale; a A b cuando los dos valen a la vez; a —>b vale siempre, salvo cuando a v a le v i no. Se podrían tomar otras funciones como la incompatibilidad (Nicod). Para la relación con la lógica tradicional véase J. Cavaillés (IT). 26 Así a —* b se escribe V b,a A b : -t(-uz V -»è) n ” A ~>b), a V b: -»(-i« A “»è). Cuando, como es común, las 4 constantes figuran en una proposición compleja, se conviene, para evitar los paréntesis, que sus potencias de acción relativas sean determinadas por el orden —+, A, v, -v Por ejemplo se escribirá: a —► -
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de un cierto tipo (predicado) y un argumento, grupo de varia­ bles de las cuales el tipo más alto es inmediatamente inferior al tipo del predicado (toda reunión de predicados que se refie­ ren al mismo argumento, operada por el cálculo de proposicio­ nes, será considerada como una proposición elemental, la co­ ordinación por medio de funciones de verdad de los diferentes predicados que definen completamente un predicado, represen­ table por una letra)28. Es evidente que un sistema dado no puede contener sino una infinidad numerable de tipos (puesto que no se pueden definir más que una infinidad numerable de signos). Los individuos son signos de tipo determinado que pueden ser sustituidos en una proposición con variables del mismo tipo; la recíproca es imposible. Se introducen en el formalismo por me­ dio de los axiomas que dan nuevos medios de demostración. Sucede así que una proposición con variables, imposible de ser demostrada, deviene demostrable para ciertas individualizacio­ nes de sus variables (las sustituciones de individuos afectando a todas las variables o solamente a una parte de ellas). Se podría también concebir que una proposición sea demostrable para to­ dos los individuos sustituibles por una de sus variables (por repe­ tición cada vez de una demostración para cada individualización) sin que sea conocida una demostración para la proposición con variables2930.Estas eventualidades exigen la introducción de nue­ vos signos, los cuantificadores. Si por un medio cualquiera la proposición50: 28 La noción de tipo —introducida por Russell para escapar a la paradoja que había descubierto en la teoría de los conjuntos— responde a aquello que Hus­ serl (II) llama la facultad tematisante de las matemáticas: toda propiedad de un objeto puede devenir a su vez un objeto y poseer propiedades*, en lenguaje- de la teoría de conjuntos: todo conjunto de elementos puede devenir a su vez ele­ mento de un conjunto. El conjunto paradójico de Russell se contiene él mismo como elemento: o la variable predicado se posee ella misma como argumento. Se ve que la regla de estructura del texto impide tal encuentro. Pero en matemáti­ cas se llega a definir un número (entero, real) por la propiedad (un conjunto) de números (reales, enteros); así la cota superior de un conjunto. El número obtenido será de un tipo superior; de donde el axioma de reductibilidad. 29 El caso puede presentarse si no hay mas que un número finito de individuos sustituibles por la variable. 30 Las letras mayúsulas góticas ¡3. representan a las proposiciones complejas que tienen por elementos a predicados de tipo « +1 (las variables son de tipo ti).

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•• •) es demostrable para toda individualización de las variables x n, y m se escribe: n %&(xny n Zn . ..) Xft 0’n Si por el contrario ella es demostrable solo para ciertas indi­ vidualizaciones de las mismas variables se escribe31: -< Il ~^{xny nZn ...) xn\Vn o por abreviación32: S Q{pCn-yn&n • • •) xn Se dice que las proposiciones están cuantificadas por TI o por £ y las variables correspondientes (aquí x f1, y n) ligadas por TI ó 2: no hay más posibilidad de sustitución por individuos para estas variables. Un cuantificador puede figurar en el interior de una proposición compleja (por aplicación de la regla de susti­ tución): tiene como extensión —fijado por los paréntesis— la proposición elemental o compleja de la cual liga una o varias va­ riables. la introducción formal de los cuan ti ficado res se efectúa por medio de una regla de un axioma: a) regla de generalización: se tiene el derecho de cuantificar con II toda proposición válida con variables ligando II todas o sólo algunas de las variables de la proposición. La extensión de TI se puede aumentar o disminuir de manera arbitraria (cuando, por ejemplo, la proposición cuantificada figura en una propo­ sición compleja) bajo la doble reserva de que: Io las variables ligadas por II, u otras variables representadas por el mismo sím­ bolo, no aparezcan en las proposiciones parciales admitidas o excluidas por estas extensiones o estas disminuciones; 2o que el cuantificador no encierre una negación cuando la proposición 31 Lo que no se podría expresar sin cuanrificadores.

32 El símbolo S no es como IT un nuevo signo, sino la abreviación de -^IT-i.

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completa se pone bajo forma normal conjuntiva o disyuntiva. Di­ cho de otra manera, que estas variaciones no cambien en nada las operaciones de demostración de la proposición33; se puede escribir indistintamente n[S(*)VjB] o na(*)V Î5 La justificación intuitiva de la regla es inmediata: si una pro­ posición con variables es demostrable se sigile de la regla de sus­ titución que todas sus individualizaciones son demostrables, en­ tonces también lo es la proposición cuantificada que resume a su conjunto. b) axioma del cálculo de predicados -. Il &(x„yn¿n, &(x„yn¿„, . . .) (1) x*tó’n que garantiza el paso, en una demostración, de proposiciones individualizadas a proposiciones cuantificadas: si se sustituyen los individuos in,jn por x iu y„ en (1), se ve que la sustitución sólo se puede efectuar a la derecha. Por contrapuesta se obtiene: ~~[& (in jn ¿ z tit • . .) —* —i

II &(Xfi J'firZfj,. . .)

o, reemplazando -i&C ) por ?B(

)

ì&(hijn r2"/?« ■ ••)"* £ Í&(Xnyn*Zn> • - •) \Vti 33 Esta regla, incorporada a la regla de generalización, reemplaza a ia que se co­ noce comúnmente como regla de paso: paso de los signos V y A en la extensión de II (Cf. en particular Herbrand (II), p. ¿2). Gödel introduce un axioma especial:

n(fl(.r)viB) ->.na(.r)v?í .V

(Gödel (I), p. 350) que nos parece superfluo. El enunciado de la regla del texto muestra muy bien que se trata de un solo acto del espíritu que opera sobre el formalismo.

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Si los individuos in,jn permiten demostrar el primer miem­ bro de la implicación resulta entonces una demostración para la cuantificación de la proposición por £. No hay aquí una justifi­ cación intuitiva sino más bien, una definición del cuantificador, o —si se le da un sentido intuitivo— de la relación entre varia­ ble e individuo: la sustitubilidad no recíproca se transforma en relación de representación: la variable no es, para la fórmula (1), sino la representante de la colectividad de los individuos que le son sustituibles. Una demostración de no contradicción de las reglas y de los axiomas no tiene sentido ni para el cálculo de predicados ni para el cálculo de proposiciones: se ha visto que para el cálculo de proposiciones tal y como se introduce de manera natural, no hay axiomas, sino reglas que se desprenden inmediatamente de la noción de no contradicción. Para el cálculo de predicados la regla es una convención de escritura y el axioma es único. Gracias a la regla se unifica el formalismo al reemplazar, ahí en donde es cómodo, proposiciones con variables por proposiciones cuantificadas: el axioma termina la unificación mediante la introducción de una nueva relación. Se trata de una relación en donde — como se ve— la negación desempeña un papel esencial: sólo permite demostrar un poco en el plano de las proposiciones con variables cuando se tiene una demostración para una cierta in­ dividualización. Esta heterogeneidad entre las dos especies de proposiciones —característica de los sistemas formales que re­ presentan a las matemáticas y origen de las dificultades señaladas por los intuicionistas— no impide una confusión causada por la intervención de proposiciones con variables en la definición de los individuos (de ahí la imposibilidad de una solución radical, como eliminación de las proposiciones con variables, en la cual no pueden soñar los intuicionistas).34 Las definiciones de individuos o de categorías de variables35 ‘ se efectúan de dos formas distintas: unas, por medio de simples 34 Cf. Heyting (II), p. 57 y 158, los signos de can tí dad no son, para él, como se podría creer, simples abreviaciones de conjunciones o disyunciones iteradas. 35 Se puede, desde luego, distinguir en cada tipo diversas categorías de variables, caracterizadas por los axiomas.

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abreviaciones de escritura; un signo nuevo reemplaza a una ex­ presión cuya categoría (especie de variable o d e individuo, tipo) está bien determinada36. El axioma que lo define es entonces siempre una equivalencia y no representa ninguna extensión de potencia para el formalismo: los axiomas y signos introducidos siempre pueden ser eliminados, no hay demostración de no con­ tradicción para la adjunción. Al contrario, las otras definiciones ponen en relación distintas partes del formalismo: enuncian que una cierta expresión —-reunión original de signos— puede ser representada por un signo de una categoría ya conocida; todos los modos de razonamiento válidos para esta categoría serán en­ tonces extendidos al nuevo sistema de expresiones: posibilidad de demostrar más. Se ve que la no contradicción con los axiomas anteriores no es evidente. Estas definiciones —en el sistema que consideramos— pueden ser fundadas de manera uniforme por el axioma-esquema llamado de reductibilidad: £

n

.[*«(*,,_u>Wl...)±=>a]

xn Xn—i xV / t 1•••

(2)

(siendo una proposición cualquiera —la expresiónxa reempla­ zar—en donde no figuran como variables libres sino las variables de tipo inferior o igual a n — 1; en cambio, pueden aparecer en ella variables ligadas de cualquier tipo). El axioma da al forma­ lismo su carácter general predicativo, es decir, garantiza la posi­ bilidad de llevar cualquier relación a una proposición-elemento de tipo inmediatamente superior (en el lenguaje de la teoría de los conjuntos, toda propiedad se expresa por la pertenencia a un conjunto). En particular, autoriza las definiciones no predi­ cativas indispensables en matemáticas: un individuo de tipo n se puede definir por referencia a todos los individuos de su tipo (si en ¡3 aparece como variable ligada la variable de tipo n) . Se 36 Ejemplo, la definición de cada tipo n de inividuo = n xn -\

= «JVi-1 *5 npf«(*„_!)

X»

.Tw(y„_i)]

(ponemos aquí, por simplicidad, el predicado individuo ~ n entre sus 2 argumen­ tos).

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completa por medio del axioma-esquema de extensión, que ga­ rantiza que las definiciones de individuos o las caracterizaciones de las variables sean unívocas: n

[**„+!(*<,)'» ...)

*„+i = y „+1

(x„y„

(3)

(en lenguaje de la teoría de clases-, una clase está determinada por sus elementos). Se puede, cuando se trata de un individuo, poner la definición en forma explícita37 gracias al artificio russelliano del término “aquel que” ¿*2l(x), pero el nuevo axioma es una simple consecuencia de los axiomas obtenidos a partir de los esquemas (2) y (3), sus “fórmulas de unidad”3®. El análisis clásico estudia los procedimientos de definición progresiva de los individuos —o de categorías de variables— a partir de una sola especie de individuos de tipo 1, los números enteros. Se toman para ellos dos signos fundamentales, o y s, caracterizados por tres axiomas-, los dos axiomas de Peano y el axioma de inducción completa (6): “tf/ ~ i o

(4)

sj =l sk ~~>j =i k

(5)

37 Una definición es explícita cuando el objeto (individuo) a definir, k, puede ser relacionado por la expresión que define por medio de una igualdad. Si la ex­ presión que define es 3t(.v),Sl representando una arquitectura lógica cualquiera en donde aparece la variable x, el axioma-definición se escribe:

k = ¿Va(.v). 3# La definición general del término “aquel que” se efectúa por medio de dos proposiciones: S 3(.t) y TI [8(A:)A2l(y) -* x ~ y] .V xj Se obtiene a(i.v3(¿:)). En el caso particular de una definición de individuo por los esquemas (2) y (3), 9(.rn) se representa por H [x«(*n -i) *=► &]■

•v«—!•••

Bemays mostró (Hilbert-Bernays (I), p. 433-457) que siempre es posible eliminar el término ¿ de una demostración: su introducción no representa una verdadera extensión del formalismo.

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{ * 2(o)

a

n [ * 2( í) -*■ ^2 (•'■'01}

n ^ 2( 0

(O

(f y k son individuos de tipo 1, £ es la variable correspondiente39 —única categoría de variables en este tipo— es una variable proposicional de tipo 2). Todos los individuos de tipo 1 se ob­ tienen por iteración del signo s frente a o, s£ expresa pues que hay que iterar una vez más s frente al individuo que sustituye a £. En los tipos superiores se introduce una especie particular de variables —y de individuos correspondientes— las funciones ma­ temáticas, que resultan de una disociación de los predicados en donde interviene el individuo =. Se distinguen entonces 3 ele­ mentos: la función propiamente dicha, el individuo = ,y un va­ lor, es decir, otra función o la variable de tipo 1. El argumento se constituye ya por una variable proposicional, ya por un sistema fi­ nito de otras funciones, entre las cuales puede aparecer también la variable de tipo l 40. Cuando se reemplazan en el argumento las variables por individuos, la misma sustitución se efectúa en el valor. Una función es pues un medio de poner en correspon­ dencia a los individuos. Se observa la misma repartición en tipos que para las variables proposicionales, ya que la función siempre tiene un tipo inmediatamente superior al máximo tipo que figura en el argumento. En cambio, el tipo del valor (y el del individuo = que es obligatoriamente el mismo) se fija de manera arbitraria por la definición de la función. Se tienen41 los dos esquemas42; 39 £ se llama variable portadora de la inducción en la fórmula .r2( 0 que puede incluir en su argumento a otras variables. 40 La variable de tipo 1 es pues de la misma categoría que las funciones matemáti­ cas; en los tipos >2 hay al menos 2 categorías de variables: las proposicionales (o de predicados) (representados por letras latinas) y de variables funciones (re­ presentadas por letras griegas); s, a pesar de ciertas analogías, no es una función si no u n sign o su i generis. 41 En lo que sigue, como no hay ambigüedad posible, omitimos para el individuo el índice n que marca el tipo al que pertenece. 42 Ejemplos: para el primero la función x(rt), introducida por Hilbert, donde a representa una proposición: ir(a) = 0 si a es verdadera (demostrable en el formalismo). ir(d) = 1 si a es falsa El segundo esquema representa las funciones o funcionales que aparecen en el análisis.- cuando el argumento y el valor son de tipo 1 se tiene una flmción de en-

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«„(*/)= /£/ 1€/•••)=>«/■ (7) Las definiciones se efectúan siguiendo el esquema (2) que se puede simplificar (habida cuenta del significado de —) supri­ miendo la equivalencia lógica. Si 3 (que pertenece a la categoría de funciones o de números, es decir, es una expresión que, al reemplazar a todas las variables por individuos y al efectuar to­ dos los cálculos, deviene un individuo función o número) sólo contiene una variable libre í , se tiene: S n [ í» ï»-i

í

,

= 3]

(2) bis

Para el análisis clásico uno puede limitarse a la aplicación del esquema (2)bis cuando la variable libre en 3 es de tipo 1: el esquema expresa entonces que toda relación, por complicada que sea, puede ser representada por una función de enteros y asegura el uso universal del axioma de inducción completa. Este es, en lo esencial43, el sistema desarrollado en los Prin­ cipia Mathematica. Permite edificar al análisis clásico y al me­ nos una parte de la teoría de conjuntos. Pero las condiciones planteadas por Hilbert no se cumplen. Los esquemas (2) y (2)bis representan una infinidad de axiomas, que ninguna ley permite engendrar (dada la indeterminación radical de la expresión 3) : el pensamiento intuitivo no rige a la construcción metamatemàtica del sistema (no se requiere que intervengan las consideraciones de todas las expresiones o del conjunto de las funciones: no­ ciones confusas que el formalismo tiene como misión eliminar). teros: ejemplo un número real (definido por su desarrollo decimal: el argumento es el rango, el valor es el decimal correspondiente). Las funciones de variables reales del análisis clásico tienen un argumento de tipo 2 (de una o varias varia­ bles) y un valor de tipo 2. Lo que se llaman comúnmente funcionales tienen un argumento >2 y un valor de tipo 2. 4Ò Se dejan de lado, como inútiles para el estudio que aquí llevamos, el axioma del infinito y la teoría de tipos ramificados (con el correspondiente axioma de reductibilidad). El formalismo de Hilbert no requiere de un axioma especial del infinito. En cuanto a la inutilidad de la teoría de tipos ramificados en el desarrollo mismo del sistema russelliano, Cf. Ramsey (I) y Carnap (II). p. 98. El axioma esquema (2) es más débil que el verdadero axioma russelliano de reductibilidad,

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En particular, una demostración de no contradicción está, evi­ dentemente, fuera de alcance. De ahí dos soluciones intentadas a su vez: dividir la dificultad al considerar únicamente formalis­ mos parciales en donde se puedan dar al axioma esquema (2) sustitutos más accesibles; cerrar el tejido del formalismo entero dotándolo a la vez de medios más poderosos de demostración y de reglas más precisas (que sean más fáciles de dominar por el pensamiento finito) para la introducción de nuevas entidades.

5. Formalismo propio de Hilbert: el axioma funciones recursivas El aumento de potencia lo procura la intervención de la fun­ ción e: se define, en el caso de una variable, por el axioma es­ quema: m ó - 'Z i e x M x ,,) ) (8) (¡H es una proposición compleja cualquiera, j n el lugar para un individuo de tipo », x n una variable de tipo ti). Hay pues tantas funciones e como categorías de variables: el tipo y la categoría del valor de e (es decir de la pareja e*,,# (*#?)) son evidentemente los del individuo^,44. El esquema (8) reemplaza a la vez a los esque­ mas (1) y (2) (o (2) bis). El papel de la función e es, en efecto, triple: Io establece la relación entre las variables y los individuos: los signos II y E pueden desaparecer (se les reintroduce, sin em­ bargo, por comodidad, por medio de definiciones explícitas45); 44 e,x„ es una función de argumento ¡3(.r«) cuyo valor puede ser tanto una varia­ ble proposicional como una función o la variable numérica. Prácticamente sólo el segundo caso interviene en el sistema de Hilbert. Las reglas de sustitución deben tener en cuenta el carácter funcional de las variables o individuos sustituidos: e.v„¡3(.Vrt) es una función de tipo n. posee pues a su vez un argumento de tipo n — 1. Sobre los errores cometidos a este respecto, Cf. von Neumann (II), p. 41. El índice xn en e,T„ indica que e iig a s ó lo a la variable xn (si otras variables libres figuran en 3). Puede haber varias e superpuestas, véase infra. 45 Se escribe —siempre en el caso de una sola variable (las fórmulas para el caso general se deducen fácilmente)—

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2o cuando un predicado es verdadero sólo para un individuo, designa a este individuo; evita el artificio del término russelliano “aquel que” y permite transformar inmediatamente todas las de­ finiciones de individuos en definiciones explícitas; 3o determina la elección de un individuo particular cuando el predicado con-

n %(x„)

z ( SXii

Xn

E a(.v„) *=► fl(e.v„ «(*„))

Xn

(9) (10)

Se verifica sin dificultad que las relaciones entre II y E, el esquema (1), se satis­ facen. Para el esquema (2) bis —que consideraremos en lugar de (2) por servir en el desarrollo dado por Hilbert, pero la demostración sería idéntica, sólo de escri­ tura más complicada— basta sustituir en (8) por el signo 21 la expresión:

n [*„(*„_!)»»] ï» - t se tiene:

n [/w(£„-i) = a] -

C«-L

n [«í < n [€„(*„-1) = aj) = »]

í«-l

n Íít-l

(donde j n representa un lugarvacío para un individuo, función de tipo >?). Si se reemplaza en el término izquierdo y« por O, se tiene:

n ta««]-* n [«€ ( n [€«(í«-i) = *1) = »1 El primer término es una identidad fácil de demostrar en el formalismo; el tér­ mino de la derecha es igualmente una identidad; se escribe, según la definición del signo E:

J n rî„(î„-i) = a] Ï» frt-l

(Cf. von Neumann (II), p. 43). En fin, el axioma de inducción completa (ó) se escribe ahora: (ó) bis

11

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viene a una colectividad. Es pues un medio universal de paso entre proposiciones con variables y proposiciones individualiza­ das; en este caso el paso tiene lugar en ambos sentidos, sin que, por cierto, la definición de la pareja variable-individuo se-afecte: es sólo por medio del individuo eXn-*&(pcn) que hay reversibili-* dad de sustitución con la variable. Se ve la ganancia de poder: los procedimientos que son aplicables sólo a los individuos pueden ahora ser utilizados de manera universal, aun si no hay medios de definición unívoca (papel de la elección)46. La condensación correlativa del formalismo se obtiene pri­ mero por la definición expresa de dos tipos empleados; para 46 En (IX) (p. 176) Hilbert hace alusión a este axioma “transfinito” que le per­ mite dominar de manera finita al formalismo de la teoría de números. Lo enun­ cia explícitamente por primera vez en 1923 (Hilbert (X), p. 183); en lugar de la hinción ff,vS(ar) aparece la función t.v3(.y), llamada familiarmente la Aristide: designa al individuo del cual, antes que cualquier otro individuo, sería verdadero el predicado 3 (si es que conviene a algún individuo). El axioma (8) tiene pues la forma (dejamos de lado el índice del tipo) :

3(r.va(*)) -+ SI(.X)

(8) bis

“si 3 (y) significa ser corruptible, entonces rA3(.v) designa a cierto hombre de tan inquebrantable integridad que si se le pudiera comprobar su corruptibilidad, en­ tonces todos los demás hombres serían corruptibles” (Ibid., p. 183);

nfl(*)t5S(r*(.r)) £ a(.y) 3(rA->3(.r)) Desde la memoria Sobre el Infinito (1925) la aplicación del formalismo a la teoría de los conjuntos lleva a Hüben a hacer coincidir este axioma con el axioma de elección; r A3 (x) deberá entonces ser reemplazado por e,x&(x): el elemento dis­ tinguido de la clase de ios individuos que poseen el predicado 3. El verdadero axioma de elección de la teoría de conjuntos no se alcanza por este camino: se re­ quiere que el elemento distinguido se coordine de manera unívoca con su clase. Se debe añadir entonces el axioma:

fl[»(.Y«)£5ÍB(x„)] -*•[eXn& (xn) Xn axioma fuerte de elección (Hilbert (XIII), p. 319).

$(-*«)]

(8)ter

Metodo Axiomático y Formalismo

115

cada categoria de variables se tiene un medio recursivo de en­ gendrar las definiciones. Así, para las variables-funciones cuyo valor es del tipo de los números enteros, si $»(£„) caracteriza al tipo n, el tipo n + 1 será definido por *»+i(C».+i) ^ £ [* „ « „ ) - *i(C„+1(í„))l <*i caracteriza a la variable numérica). Se ve así que la superpo­ sición prosigue en el transfinito47, el tipo u>, caracterizado, por ejemplo, por48*: < M íw) *3 n[*„(É„) - *i(e„ (i„ ))J

(9)

Para alcanzar la teoría cantoriana de los conjuntos se requie­ re, además, suponer en el tipo 1, no una sino tantas especies de variables como clases hay de números ordinales transfinitos, cada clase se caracteriza por un modo de generación de los in­ dividuos. A la clase I corresponde la recursion ordinaria (axio­ mas de Peano y axioma de inducción completa); a la clase II la recursion transfinita sobre los individuos que caracterizan a los axiomas: *i(0) * ! ( « ) - « ! (sa) - *1 (««i))} -

Villini

(10) (11) «(it)]

(12)

(en donde $ i , es la característica de la variable de tipo 1; $ i , la de la variable numérica ordinaria £x, a es una expresión cualquiera). En fin, el axioma de inducción transfinita4^: 47 De manera general, toda relación lógica establecida entre tipos ya definidos procura un tipo superior. Como las relaciones no pertenecen sino a un número finito de especies, hay un medio de bien ordenar a los tipos. (Para el estudio de las funciones de enteros, Hilbert no requiere sino la relación introducida por II) No hay nunca mas que una infinidad numerable de tipos en un formalismo determinado: pero la generación transfini ta, cuyo mecanismo muestra Hilbert, no se puede detener arbitrariamente. Véase infra, cap. IV 48 Hilbert (XI), p. 184. 4? Tomamos caracteres góticos para la categoría de variables correspondientes a la clase II.

tló

Jean Cavai liés

{«(0) A n ivi -< X! — «(Pi)]} -* n«(xO (13) Pi,Xl *1 (el signo -< representa la relación de orden entre los números de la clase II, debe pues definirse previamente, lo mismo que en (12) el signo lim) . ¿Es posible ir más lejos y regular, al inte­ rior de cada tipo, las definiciones de funciones? Hilbert sólo se ocupó dei tipo 2: no se trata de leyes ya que se permanecería en lo numerable y hay ya 2**° funciones de enteros. Se puede, sin embargo, al menos para una parte importante de ellas, unifor­ mizar su definición gracias a una profundización de la noción de recursion; es natural que ésta, ya que preside la generación de los individuos, permita dominar al menos en parte a los modos de puesta en correspondencia entre los individuos. En sentido clásico50, se llama función recursiva a toda fun­ ción p obtenida sea directamente por la definición

<¡>(Oíai (sn,ax . .

.

=
.

1

(i4)

J

v

'

(en donde p y x son funciones recursivas ya introducidas, a\ .. .ar son parámetros, n es un número), sea por sustitución en una función recursiva ya conocida, de otras funciones igualmente conocidas en lugar de las variables. Como punto de partida51 se toman (en lugar de y? y de x) los signos conocidos 0 y s. Procedi­ miento regular que responde exactamente a las exigencias de un 50 En la actualidad, las funciones de esta clase se les Warnafunciones recursivas primitivas para distinguirlas de las llamadas funciones recursivas de las que for­ man una subclase. Estas últimas se distinguen por la propiedad adicional de que pueden generarse a partir de la aplicación del operador pi si R(xi ... xn j>) es una relación con la propiedad de que para toda »-ada (fej . . . k n) de números natu­ rales hay un número natural k tal quei?(&i .. entoncesMy(R(k\ .. &nvv)) denota al menos número natural que estíí en la relación R (k\ .. .k n,k). (N del T) 51 Por ejemplo, la definición de la adición: a+0 =a a -f sn• — s(a + «).

Método Axiomático y Formalismo

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formalismo52 (esquema y como única operación la sustitución), pero que no permite rebasar al numerable. Ackermann53 dio el ejemplo efectivo de una función de enteros, cuyo crecimiento es superior a toda función recúrsiva. Pero la definición clásica y el esquema (14) no agotan la noción de recursion: se pueden es­ tablecer otros modos regulados de construcción progresiva por medio de operaciones conocidas de valores de una función (re­ cursion adhérente, recursion encajada, recursion cruzada)54. La función de Ackermann se define por una recursión ordinaria, a condición de utilizar (en lugar de x en el esquema (14)) una función de tipo 355* De ahi la idea de que la intervención de 52 cf. cap. IV 53Ackermann (II), P- 1X8, es la función 0(«,¿»,O igual a a + b para c = 0; igual a b

a 'b para c — 1 ; igual a a b

(con n —2 exponentes iguales a b superpuestos) para c — n. La demostración de Ackermann fue simplificada después en dos artículos de R. Péter (I), p- 612 y (II), p. 43. 54 Clasificación tomada de R. Péter (I), p. 613. En la recursión adhérente, el valor 4>(n + 1) no depende solamente de 0(n) sino de un cierto número de valores pre­ cedentes 0(0), 0(1) ... (n - 1). En la recursión encajada, 0 es también función de los parámetros; se tiene, por ejemplo, el esquema: 4>(oai

0(« +

...«,■)=
. ..a r) = X(n\a \ •* .flr,0(«l¿>l . ..b r))

las b representan nuevos valores de los parámetros a \ ... ar . En fin, la recursión cruzada (o múltiple) procede siguiendo dos o varias variables portadoras si­ multáneas, p. ej.: ¥?(rt,0) = 2a + 1

ip(0,sn) = y?(L,rt)


118

Jean Cavaillès

los tipos superiores permite a la vez dar un canon a todas las variedades de recursiónes y alcanzar la mayor parte —si no la totalidad— de los procedimientos de construcción de funciones de enteros. Hilbert plantea el esquema general: p( s,a,0)=a

]

'

+ 1) = B(p(B.a.«),n) J

'

(en donde a y g son expresiones dadas de tipo cualquiera — pudiendo incluir parámetros—■; 2 tiene dos argumentos, el pri­ mero es del mismo tipo que a, el segundo es una variable numé­ rica; el valor de g tiene el tipo de a). Para una cierta elección de g y de a, hay una generación regulada de funciones por sustitución de funciones ya introducidas en los lugares vacíos de los argu­ mentos. La unidad obtenida así es, sin duda, poco satisfactoria: g y a no son determinables previamente y son tomadas de los ti­ pos superiores (por hipótesis aún no exploradas). Pero, por una parte, parece imposible exigir más, por otra parte, procura un dominio suficiente del pensamiento finito sobre el formalismo para que, gracias a esta unidad, Hilbert pueda intentar una so­ lución al problema del continuo, primer “fruto por el cual se reconoce el valor de su teoría”56. Txtf

=

b

TX ( f (x ),b ,s n ) ~ f ( T x (f(x'),b,n)).

Lafunción äe Ackermann se escribe entonces (a,b,0) = a + b

(16) (17)

Con una excepción para n = 1 (es decir, s0): la 2a ecuación se debe reemplazar por: (a}b,2) = TX((a,x,l)A,b) Se obtiene un esquema genera! a! hacer intervenir funciones recursivas elemen­ tales tales que una, -y, sea siempre nula salvo si su argumento = 1, en cuyo caso toma también el valor t y la otra, k, haciendo la inversa. Basta entonces en (17) reemplazar a por + ak(n) en el argumento de rx ^ Ibid., p. 180.

Método Axiomático y Formalismo

119

6. Aplicación al problema del continuo El paralelismo entre la definición progresiva de los tipos y la generación de los ordinales de la clase II es sorprendente (está marcado por la utilización de estos ordinales como índices para los tipos): a la sustitución de una variable de tipo n en un argu­ mento de tipo n —1 (elevación del tipo en una unidad) corres­ ponde la adjunción +1 ; a la reunión de todos los tipos de una sucesión numerable, que satisfacen la misma condición, en un tipo inmediatamente superior (ejemplo el esquema (9)), corres­ ponde el paso al límite. Pero la coordinación biunivoca puede establecerse entre las funciones mismas, definidas por medio de estos tipos y los ordinales. La generación de éstos, en efecto, —si se le quiere formalizar— exige una recursion, en realidad trans­ finita. ¿Se la puede llevar (como sucede con las recursiónes cru­ zadas en donde la simultaneidad de las variables exige también un paso al transfinito) al esquema (15), reemplazando los tipos superiores de la variable numérica (en a y fi) por aquellos de la variable correspondiente a la clase II? La recursión sería, aun en este caso, ordinaria (es decir, no transfinita), ya que el avance se llevaría sólo por adjunción de unidad (es decir, la variable “portadora” de la recursión sería un número n) y por otra parte el paralelismo sería completo con las definiciones de funciones, si se ponen en correspondencia los tipos de la misma altura en las dos categorías de variables. Hilbert define así una aplicación: si se fija una cota superior para la altura de los tipos empleados (en los dos procesos) no se podrán definir, con el esquema (15) (y su trasposición para la construcción de ordinales) más que una infinidad numerable de números ordinales y de funciones de enteros (se puede dar un esquema universal —deducido de (15)— para todas las definiciones posibles en donde interviene un parámetro del tipo inmediatamente superior57: si se ordenan 57 se tiene pues, para la definición del esquema, que hacer intervenir sólo una función de tipo superior (o igual) a la cota establecida: para la determinación de esta función, ninguna regla se da; el lema II afirma que esto siempre es posible, las funciones de tipo >2 que intervienen en un esquema universal para una cota cualquiera no serán, en cada tipo, mas que un número finito (es posible que la construcción del parámetro exija más).

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según su altura los tipos cuya sustitución es efectivamente utili­ zada, se tiene una sucesión numerable de sistemas de funciones, ellos mismos finitos y ordenables según el número de sustitucio­ nes utilizadas para cada función). El procedimiento de la diago­ nal permite entonces definir una nueva función de enteros, por ejemplo <¡>{aa) + 1, si {atJ) es la numeración obtenida en el con­ junto numerable precedente, de tipo inmediatamente superior y que se coordinará al primer número ordinal según el conjunto simétrico de números ordinales (es el elemento inicial del con­ junto de los ordinales para la definición de los cuales los tipos superiores a la cota marcada son necesarios). La aplicación es biunivoca: el conjunto de funciones recursivas (en sentido am­ plio) tiene la misma potencia que la clase II. La demostración es un ejemplo de cómo la teoría cantoriana de los conjuntos se puede integrar a un formalismo y también de cómo el método metamatemàtico sitúa y resuelve los pro­ blemas. Pero no esta completa en esta forma: “esquema que se tendrá que reformar para someterlo a las exigencias del pensa­ miento finito”58. En el fondo, se apoya sobre dos afirmaciones hasta aquí no demostradas: por una parte, que no hay más fun­ ciones de enteros que funciones recursivas (en sentido amplio) —o al menos que el número con el que se rebasa es irrelevante para la potencia del conjunto total; por otra parte, que la re­ cursion transfinita es eliminable por completo—. Con más pre­ cisión, “si una función de enteros es construida por medio de una recursion transfinita, o gracias afuso de tipos introducidos con tal recursion .. .se le puede siempre definir mediante recursión ordinaria, utilizando exclusivamente los tipos del mismo origen.., "{lema II). Por otra parte {lema I) “si por la utilización de funciones definidas por medio del símbolo e se puede dar una refutación formalizada del teorema del continuo, estas funcio­ nes se pueden siempre reemplazar en la demostración por fun­ ciones definidas sin et simplemente por medio de la recursion finita o transfinita de modo que el transfinito sólo aparece en los signos FE y E”. Siempre es posible hacer depender los valo­ 58ibid., p. 190.

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res de una función de enteros de la solución de un problema aún abierto: en la formalización de la definición de función hay que hacer intervenir el símbolo e que designa a un número que ningún cálculo efectivo puede procurar (II y £ serían insuficien­ tes puesto que se debe fijar un individuo determinado). Tales funciones no son evidentemente recursivas (en sentido amplio) ya que lo propio de la recursion es permitir un cálculo efectivo del valor para cada argumento. El lema I es sólo una parte59 —un debilitamiento— de un “lema general de la metamatemàtica: la resolubilidad de todo problema matemático bien determinado”; basta situar el problema en su lugar propio —una axiomática lo suficientemente poderosa— acto de fe en la potencia sin límites de las instauraciones de los formalismos. Toda función de ente­ ros precisa es, por esencia, calculable: el axioma e no pertenece a su sitio, el problema del continuo se debe poder resolver sin elección. En cuanto al lema II, expresa más aún: que el infinito de las funciones enteras y el de la clase II son lo suficientemente pequeños para poder ser dominados por la recursion ordinaria (lo que evidentemente no es verdadero para el infinito de las funciones de variable real); no sólo el modo de demostración empleado lo exige,también lo exige la posibilidad misma de una coordinación formalizada entre números reales y ordinales de la clase II. Si ninguna posibilidad de demostración aparece para los dos lemas, al menos provocaron las investigaciones —ya citadas— sobre las definiciones de funciones por recursion y sobre la ex­ ploración de la clase II por medio de la recursion ordinaria60. El intento tiene —además de su belleza propia— el interés de ser una primera confrontación precisa entre la teoría cantóriana de 59 El lema I restringido se ocupa sólo de la refutación posible: si estuviera hecha, no podría consistir sino en la puesta en evidencia de un sistema de funciones de enteros no coordinables con los ordinales de ja clase II (ya que de cualquier forma /*h > Ko): si el sistema está determinado (puede servir en una demos­ tración precisa), entonces se debe prescindir de e en su definición. 60Trabajos no publicados de P. Bernaysy dej. von Neumann: lograron definir por recursión del esquema (14) y los tipos correpondientes, aplicados a la variable X, el número cantoriano «o (primer número transfinito et tal que - a) y el primer número crítico e —citado por Bernays (VI), p. 208.

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los conjuntos y el poder de un formalismo riguroso. Pero aquí se produce un fenómeno inesperado: la frontera entre matemática y metamatemàtica deviene imprecisa (cuando había sido trazada precisamente a causa de la teoría de los conjuntos). Por otra parte, la demostración intentada por Hilbert es metamatemàtica, cuando de lo que se trata es de un problema matemático61; se podría sin duda separar el momento de situación del problema (por ejemplo el lema I) y el momento propiamente matemático (establecimiento de la correspondencia) formal izable en una teo­ ría más amplia. Pero, por otra parte, la edificación finita de esta

C a p ítu lo IV

Las d em o stracio n es de n o co n trad icción La no contradicción de una teoría suficientemente rica no puede ponerse de manifiesto sin algún artificio. La demostrabi­ lidad de una proposición no es, en efecto, —como el carácter “provisto de sentido”— una propiedad estructural: las reglas de deducción y de sustitución suprimen las huellas del proceso ge­ nerador; escapa incluso a toda decisión finita: si el sistema con­ lleva una infinidad numerable de axiomas, no hay cota superior para la longitud de los esquemas de demostración. Es necesa­ rio, entonces, recurrir a una caracterización indirecta: una con­ dición necesaria mas no suficiente de demostrabilidad, tal que la negación de un cierto axioma no la satisfaga. Se sabe que esta negación puede escogerse arbitrariamente si el formalismo contiene al cálculo de proposiciones; añadida al sistema hace que todo sea demostrable. Para los sistemas formales del análisis clásico y de la teoría de números se han ensayado, una tras otra, la valuación, la desintegración y la efectuación1. t Berna)« (III), p. 342 distingue tres métodos: valuación, desintegración y eli­ minación, Sobre el tercero solamente se han publicado indicaciones breves; re­ emplazamos su estudio por el del método que se desprende del teorema de Herbrand.

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1. Mètodo de valuación: Ackerman-von Neumann El método de valuación ya había sido planteado por Hilbert en 39O42: se trata de encontrar una regla para repartir todas las proposiciones de la teoría en dos clases tales que a la primera pertenezcan: 1. todos los axiomas; 2. todas las proposiciones deducidas por medio de las reglas de una proposición que pertenece a la primera clase; 3. entre las proposiciones de la forma -*¡3, sólo aquéllas para las que ¡3 está en la segunda clase. Se ve que todas las proposiciones demostrables pertenecen a la primera clase y que la negación de un axioma (en general una proposición y su negación) no puede pertenecer a la primera clase. Hilbert efectuaba la separación por medio de un forma­ lismo rudimentario (inicio de la teoría de los números con la sola adición de los individuos numéricos) gracias a la homogeneidad de las fórmulas, es decir, a la presencia del mismo número de signos de ambos lados de =. Como el único axioma en donde aparecía la negación es, también, el único axioma que no es ho­ mogéneo, las tres condiciones se satisfacían, Ackerman3 y luego von Neumann4 intentaron retomar la idea para el sistema to­ tal del análisis; pero la exigencia de una valuación completa es entonces exhorbitante. Supone la elección, efectuada para toda proposición ¡9, entre irrefútabilidad (es decir indemostrabilidad de -i¡9, con 9 en la primera clase) e indemostrabilidad (9 per­ tenece a la segunda clase). La exigencia es menos fuerte que la de decisión (si la proposición 9 es o no demostrable) ; en efecto, todas las proposiciones irrefutables (contenidas en la primera clase) no son necesariamente demostrables; pero como señala von Neumann: “su relación con todos los problemas matemáti2 Hilbert (VTI), p. 247. 3 Ackerman (I). 4 El procedimiento había sido ya retomado por J. König a quien von Neumann atribuye la paternidad: “la primera idea para demostrar la no contradicción de las matemáticas por una valuación viene de J. König (I)... la noción de valuación parcial se apoya sobre las ideas de Hilbert”. Cf. Von Neumann (IO, P- 22.

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cos posibles hace que su satisfacción sea muy poco verosímil”5. Salvo para el dominio que formalizara Hilbert en 1904: basta co­ locar en la primera clase todas las ecuaciones numéricas intuiti­ vamente verdaderas (la decisión es siempre posible, basta con­ tar) y sus combinaciones (por medio de constantes lógicas) a las que el cálculo de proposiciones da el mismo valor lógico: la teoría de funciones de verdad muestra que las tres condiciones se satisfacen. Es en referencia a esta valuación intuitiva que se intentarán definir otras: se ve el progreso sobre la memoria de 1904: su punto final se transforma en punto de partida. Von Neumann reemplaza la imposible valuación general por una valuación parcial: una regla que, para todo sistema finito de axiomas, procure una repartición que satisfaga las tres con­ diciones. Se ve que la primera, por sí misma, caracteriza la va­ luación en relación con los axiomas elegidos. La exigencia basta: si 0 ^ 0 o 9 A — i¡aí fueran demostrables en la teoría total, no sería posible (como en toda demostración) sino por medio de un número finito de axiomas y, en relación a ellos, la valuación sería imposible. La regla devaluación parcial se determina aquí por un procedimiento de reducción parcial: para todo sistema finito de axiomas se tiene un medio de asociar, a toda proposición, una proposición numérica —su reducida— y la valuación intuitiva de ésta implica la valuación parcial de las proposiciones primitivas. Von Neumann no concluye su demostración sino a través de un formalismo reducido al tipo 1 (con la función e para este tipo, de allí la posibilidad de definir los individuos de tipo 2). Lo esen­ cial para la valuación es la satisfacción de la condición 1: para los axiomas ordinarios de la aritmética (axiomas de Peano) no hay dificultad (al menos en el tipo l)6. Es sobre el axioma-esquema del cálculo de predicados —tomado en la forma (8)— que todo el esfuerzo de la demostración debe centrarse. En efecto: 5Ibid., p. 22n. 6 El axioma de inducción completa se restringe a su uso elemental : imposibilidad de asociar a X2 Ü) en (6) proposiciones en donde intervienen variables ligadas (sería necesario, para ello, o el axioma de reducribilidad, o la función t de tipo

> 3).

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a w — a(e*s(*))

(g)bis

representa una infinidad de axiomas que se obtienen reempla­ zando &y j por expresiones de complicación arbitraria (en donde ya interviene e como abreviación de II y £ entreveradas unas en otras tanto como se quiera). La regla de reducción será parcial: a todo sistema con un número finitop de actualizaciones del esquema, le permite asociarp proposiciones numéricas intui­ tivamente verdaderas. Se procede por inducción. Basta conside­ rar la edi ficación progresiva en la teoría de las formas Sí y j : se pro­ duce por inserción de fórmulas ya construidas en las matrices de relaciones de subordinación establecidas entre los lugares vacíos por los cuantificadores II, £ y e dispuestos según un cierto es­ quema por un número finito de signos (es el caso de un sistema finito de axiomas). No habrá sino urt número finito de esquemas tales (todas las combinaciones posibles de subordinación y de re­ ducción): al insertar en sus lugares vacíos y paraj, las fórmulas ya reducidas, se podrá elegir para etr!?((x) un número que haga que el axioma sea numéricamente verdadero. Se ve que el proceso exige una doble inducción completa: será necesario, para cada matriz de examinar todas las reparticiones posibles de fórmu­ las reducidas en sus espacios vacíos y, cada vez, insertar en lugar de la variable todas las j posibles ya reducidas. Como las matri­ ces M están clasificadas —y progresivamente reducidas— según el número de signos que en ellas intervienen, se ve que, por un lado, las j sustituibles siendo de clase necesariamente inferior, serán siempre reducidas previamente y, por otro lado, las dos inducciones son finitas. Se tiene, por lo tanto, la certeza de lle­ gar al objetivo. El momento esencial de la reducción consiste en dar su sentido concreto al esquema (8) bis: siendo realizadas todas las reducciones, un número, ex se toma igual a la menor j para la que &(/) sea intuitivamente verdadera (si £(/) es falsa para todas las sustituciones, se pone ex = oo con la convención de que &(oo) es intuitivamente falsa). Ello es una sucesión de aproximaciones en donde la consideración de la estructura de las proposiciones garantiza que tenga fin.

Método Axiomático y Formalismo

127

Ackermann había intentado un procedimiento análogo para el esquema general, pero, como demuestra von Neumann, sus razonamientos no tomaban en cuenta las complicaciones provo­ cadas por la presencia de tipos múltiples (causados por las varia­ bles subordinadas). Las reglas de sustitución en el caso de tipo superior, por ejemplo en el caso de una función/ ( . y ) en donde interviene la variable libre a:, no permiten la extensión del proce­ dimiento de aproximaciones sucesivas. Von Neumann esperaba, sin embargo, alcanzarlo gracias a la analogía de forma entre el esquema (8)bis y el esquema general (8). ¿No se trata en ambos casos de encontrar un ejemplo para s? Sólo en el primer caso se tenía la certeza de llegar; la construcción progresiva de los individuos 9 de tipo 2 aseguraba cada vez una cota superior al número de individuos sustituibles de tipo 1; en el segundo caso, por el contrario, era necesario recurrir a un artificio: la aparición de variables de tipo 2 hacían imposible poner orden en la edifi­ cación de individuos de tipos más altos. Una cota superior para el número de individuos sustituibles está fuera de la cuestión: hay, de hecho, 2N° individuos de tipo 2. El formalismo cuya no con­ tradicción establecen las demostraciones de Ackermann y von Neumann no permite reconstituir más que la parte del análisis sin definiciones no predicativas, más o menos “aquéllo^que co­ rresponda a la matemática semi-intuicionista de los críticos de la teoría de conjuntos... matemática de Weyl en el Continuo”7.

2. Método de desintegración: Herbrand-Presburger Para un formalismo sensiblemente más restringido, el de la teoría de números con la función sucesor —como única fun­ ción— y las variables ligadas introducidas por el axioma lógico ordinario (sin s), Herbrand8 y Presburger9 lian dado un método que demuestra la no contradicción, la saturación, e incluso per7 Ibid., p. 46. 8 Herbrand (II). cap. IV 9 Presburguer (I).

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mite decidir si una proposición es o no demostrable. Es todavía una reducción pero que concierne, esta vez, directamente a toda proposición de la teoría (la desviación de la valuación es inútil) : una proposición está constituida por la superposición de un cier­ to número de cuantificadores TI, £. . . , cuyo dominio son ecuaX y

ciones de la forma x ~ y +1 (t es un número; no hay más que dos variables pues la suma no se introduce como función), ligadas por constantes lógicas. Se eliminan progresivamente los cuanti­ ficadores partiendo del interior: como toda proposición puede ser puesta en forma canónica en la que no aparecen más que los signos S y V como constantes lógicas, la reducción se limita a satisfacer intuitivamente las relaciones que ellas expresan: bajo el signo E, situado al extremo interior, se reemplaza la variable que liga por su valor calculado en una de las ecuaciones del do­ minio (que se suprime). Procediendo así, por aproximaciones, se llega, con la eliminación del último signo E, a una disyunción de ecuaciones numéricas (lo cual siempre puede suponerse, según la regla de generalización, si todas las variables están ligadas). La aritmética intuitiva decide entonces inmediatamente sobre la verdad o falsedad de la proposición. Consideradones simples de combinatoria muestran que el procedimiento de reducción es unívoco; por otra parte, la adjunción del axioma: x = o V£ . y

je = V + 1

(que tiene al axioma elemental de inducción completa como consecuencia) permite demostrar que toda proposición es equi­ valente a su reducida. La verdad intuitiva de ésta implica la de­ mostrabilidad de aquélla. La teoría es a la vez saturada y soluble. Presburguer ha extendido la aplicación del método a una aritmética un poco más amplia, que comprende ahora los axio­ mas que definen la suma10. El formalismo es menos simple pues­ to que en las proposiciones elementales aparecen las congruen­ cias numéricas 10 Cf. el resumen de su método en Hilbert-Bcmays (I), p. 359-368.

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a = b ( mod k) (k es un número particular). El principio es el mismo: se elimi­ nan las variables ligadas satisfaciendo sucesivamente las ecuacio­ nes. Pero las relaciones generales en donde interviene un pro­ ducto entre variables no pueden representarse en este forma­ lismo, hay que añadir siempre los axiomas que definen a la mul­ tiplicación: para este nuevo sistema el método no es utilizable. Si­ guiendo la observación de Bemays11, en efecto, ello exige que se dominen las relaciones formalmente expresadas. Si la reducción permite un procedimiento de decisión es porque exige efecti­ vamente la resolución de todos los problemas: ahora bien, los problemas irresolubles comienzan, en aritmética, con la multi­ plicación como función. La proposición (Teorema de Fermat): Il (x ¿ o A y ¿ o —►

xyz

^

¿ zk)

(donde k debe ser un número, pues la exponenciación no es aquí una función) no puede ser reducida si k>2. De aquí los límites de interés del método: se trata, siguiendo a Bernays, de una desintegración que no hace sino destruir, poco a poco, el proceso de formalización y restablece las relaciones intuitivas ini­ ciales; la ganancia es nula.

3. Satisfacción en un campo a. Teorema Löwenheim-Skolem De las reflexiones críticas sobre un teorema de Löwenheim, Herbrand extrajo un procedimiento enteramente nuevo para de­ mostrar la no contradicción de formalismos restringidos al tipo 1 (sin axioma e). El Teorema de Löwenheim12 se enuncia en el iiib ü L , p. 371. 12 Löwenheim (I)*

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cálculo relativo de Schröder, sistema que sólo está formalizado a medias. La pareja variable-individuo se define por la relación intuitiva conjunto-elemento. Una proposición con variables es una proposición válida para todo individuo del dominio base o campo (Denkbereich); los cuantificadores representan las con­ junciones o las disyunciones de proposiciones individualizadas extendidas a la totalidad del campo (la regla de generalización y el axioma (I) evidentemente se satisfacen): la verdad de una proposición depende por tanto del campo, que se definirá si se conocen a la vez sus individuos y los valores lógicos atribuidos a todas las individualizaciones que él determina de los predica­ dos elementales. Reconocer la validez de la proposición, a conti­ nuación, no es más que un problema del cálculo de proposicio­ nes. Se ve que el número de individuos en el campo, desempeña un papel: la proposición13: Il 53 (AxyAAyz A Azar) A -*•£Axx x yz

X

no puede ser verdadera excepto en un campo con al menos tres individuos. En cuanto a: II53Axy A II \Ax\> A Ayz -+ Axz] x y

•'

x ty , z l

'

.

1

A

-i'LAxx X

(definición de orden) exige una infinidad numerable de indivi­ duos. Löwenheim demuestra que, contrariamente a las aparien­ cias, no es necesario ir más lejos: toda proposición no contra­ dictoria se puede satisfacer en un campo numerable. La dificul­ tad proviene de la superposición de cuantificadores: una con­ junción infinita de disyunciones infinitas es imposible de domi­ nar. Löwenheim lo reordena interpretando la sucesión II £ como una relación funcional: a todax corresponde unajy. Se reemplaza y por una función de índicef (*) a definir y se hace pasar la 53 13 Representamos a los predicados elementales por mayúsculas latinas y, cuando no hay ambigüedad, omitimos los paréntesis para las variables a que se refieren los predicados.

Método Axiomático y Formalismo

131

a la izquierda: £ II; repitiendo la operación para cada varia­ /(*) * ble restringida es posible escribir una proposición bajo la forma canónica: E / (Xí>-•./) j'.. -0- •M*,v-•-0 Parece que no se ha ganado nada-, la disyunción está en efecto extendida, incluso para una sola variable restringida a un infi­ nito superior al de la conjunción (infinito de las funciones de enteros si el dominio base es el de los enteros). Pero para que la proposición sea verdadera basta probar la verdad de uno de los términos de la disyunción: bastará entonces definir una sola función f {x y , ... t), una sola función ... í), etc... Como el dominio base es arbitrario, todo se reduce a dar un procedi­ miento regular que, por una parte, para cada valor de los argu­ mentos defina a los individuos-valores de las funciones de índice y, por otra parte, atribuya a los predicados, así individualizados, valores lógicos tales que la proposición sea verdadera. Es una construcción progresiva del dominio que constituirá la demos­ tración. Löwenheim demuestra que esto siempre se puede hacer: en un primer estadio se sustituyen las k variables generales por el mismo individuo 0, las n funciones de índice tienen entonces n valores, por ejemplo 1,2,... ,n; se fijan los valores lógicos de ma­ nera que la proposición sea verdadera. En una segunda etapa se consideran las (n + 1)* —1 reparticiones de los n + 1 individuos puestos previamente, entre las k variables generales (la repar­ tición 0... 0 ha sido ya vista) : las funciones de índice dan ahora ((« + 1)* — 1)n individuos nuevos; se fijan los valores lógicos de los predicados individualizados de manera que la conjunción de n + 1 términos (se adjunta el término del primer estadio) sea verdadera y así sucesivamente14. Hay en general muchas solucio­ nes en cada estadio (modos de repartición de los valores lógi­ cos, entre los predicados individualizados); cada solución en un 14 Se tiene en el primer estadio: fl 00

0,1,2 . .. « en el segundo:

%10...0,« + 1...2«A¡a 010...0,2« + t ...3«A...

Jean Cavaillès

132

cierto estadio es por definición la prolongación de una solución en el estadio inmediatamente precedente (pues la conjunción considerada en uno contiene como conjunción parcial a la que se consideró en el otro). Como las soluciones en cada estadio no son sino un número finito (<2W \ siendo m el número de pre­ dicados elementales que figuran en la proposición), si se puede continuar indefinidamente se ve que habrá finalmente una sola solución (persistente en todos los estadios). En fin se puede pro­ seguir indefinidamente; supongamos en efecto que nos hemos detenido en el estadio «; sea N el número de individuos engen­ drados en este estadio: como la conjunción obtenida sería falsa cualquiera que sea la repartición de los valores lógicos, reempla­ zando cada individuo por una variable: ->(&r<>ro .. .A'o

. •x n A

. . . x 0 * „ +1 . . . x 2n A .. -

AÄX/, .. . x ik x N- „ + i .. . xN)

sería una identidad lógica, por lo tanto también: IT -i(Sbfq^o ■ •

a Mx í Xq ..

xoX ¿ ,, .xN

.*o*«+i ■ ■ **2« A ...

A¡3br/t .. •Xik xyv -« + l • *-x n )

ahora bien, se demuestra15 que: 15 Por inducción completa: IT

2

& y i... y k z i...Z H

s

—

TL....T* 2T1..JT«

a r 0 ..

..-*0 x

i ... x n

(evidente)

X Q X 1,. X n

y n

2

y l .,v„zl ..jr„

& y y ...y k z \ ,.,z n

XO*n + í ■-X2HA -*

s

.-.

(a.x 0 . . .

A

2

xo-.xt+n

■ . . x n A & X 0X i

..■xikXs .■.Xs+ tt)-► x 0 X i .

. .Xft A ...

X Q .. M s + 2 li

ASLryl .. .*yA.rJ+w +1 . . ..T r+ 2 *)-

Cf. Gödel (I), p. 353-355.

(& v 0 .. * 0 * 1

..

X ¡. Xs . . . X s + n

...

Método Axiomático y Formalismo

n

XoX¿...XK

(ßxQXQ . .. x 0x l .. .x„ A ... A

133

.. .xikxN- íí+i . . .xN)

^

s n n yi-Xk Z\-Zn &y\---ykZ\ La proposición inicial sería por lo tanto contradictoria, con­ trariamente a la hipótesis.

ß. Teorema de Herbrand El razonamiento pierde toda significación en el caso de un formalismo verdadero. Pero las operaciones sucesivas de satis­ facción en un campo son rigurosamente finitas: se les puede considerar como un tratamiento formal aplicable a toda propo­ sición no contradictoria. De ahí la idea de Herbrand de cons­ truir un criterio de no contradicción demostrando la recíproca — evidente para el sistema intuitivo de Löwenheim—-. si una propo­ sición es contradictoria, no puede ser “satisfecha en un campo”; ó también: toda identidad lógica posee la siguiente propiedad formal: su negación es imposible de satisfacer en un campo. La prueba no puede ser hecha sino por inducción completa sobre la demostración de la proposición: de allí la necesidad de trans­ formar el tratamiento de satisfacción que no se aplica más que a las proposiciones en forma prenexa (cuanti ficado res agrupados al principio). Se le define así: la proposición se supone escrita de manera que no haya negación aplicable sobre un cuantificador (que como hemos visto no exige la aplicación de una regla, sino una simple convención de escritura), se reemplazan todas las variables generales por las funciones de los índices de las va­ riables restringidas en la extensión en que se encuentran —o por un individuo elegido de una vez por todas si no hay tales variables restringidas—, las variables libres por individuos fijos. Cada etapa de la operación corresponde a una repartición de individuos construidos entre todas las variables restringidas; las funciones de índices o funciones matemáticas, cuyos argumen­ tos han sido así individualizados, se reemplazan cada una por un nuevo individuo (diferente para cada función y para cada argu­ mento). En fin en la proposición inicial —de donde las II han BIBLIOTECA CENTRAL U .N .A .M .

134

Jean CavaiIlès

desaparecido— se sustituye, por cada proposición parcial que comience en una S, una disyunción de todas las individualizacio­ nes de la proposición parcial (hay en relación al procedimiento de Löwenheim, un intercambio de las II y las £, de las disyun­ ciones y de las conjunciones, pues se trata de la satisfacción de la negación de la proposición). Si hay muchas £ consecutivas (es decir, tales que las últimas estén en la extensión de las primeras) se superpondrán tantas disyunciones como £ : se obtiene enton­ ces en cada etapa una proposición individualizada sin cuantificador, la reducida. Cuando la proposición inicial es una identidad lógica se debe llegar, al cabo de un número finito de etapas, a una identidad del cálculo proposicional. En efecto: 1) el axioma (1) posee esta propiedad: las reglas precedentes lo transforman en. Mi

Mi

siendo i un individuo cualquiera; 2) la regla de generalización la conserva: dada la identidad de tratamiento entre variables ge­ nerales no dominadas y variables libres, la cuestión es inmediata pues hay una generalización en una proposición que no involu­ cra £. En el caso contrario, siguiendo la extensión más o menos grande elegida para la nueva II, la variable que liga estará o no subordinada a variables restringidas. No es evidente que el tra­ tamiento dé el mismo resultado. Todo consiste en probar que Si:

E&r V $ X

(M y involucrando un número cualquiera de otras variables), sometidas al tratamiento proveen una identidad del cálculo pro­ posicional, lo mismo para: £(Ü L rvP )

X

y recíprocamente. Bajo la primera forma las variables generales que figuran en P se reemplazan por funciones de índice /(tt,i\ ... t) , .. .(u,vy... t) independientes de x\ bajo la segun­ da forma, x aparece en su argumento.

Método Axiomático y Formalismo

135

a) Si la segunda forma de la proposición produce una identi­ dad, la proposición individualizada es verdadera cualquiera que sean los valores lógicos atribuidos a los predicados en donde fi­ ... t,x), guren los individuos dados por/(w,i>,.. .tjc ),... y por lo tanto sigue siendo verdadera si se da el mismo valor lógico a los predicados cuando/ , .. . no difieren en su argu­ mento sino por el individuo que sustituye a x; reencontramos entonces la disyunción correspondiente a la primera forma de la proposición inicial: ella es, también, una identidad, b) Si la segunda forma, en la etapa w, no produce una identi­ dad, hay un sistema de valores lógicos que hacen falsa a ia redu­ cida correspondiente. Se pueden tomar los mismos individuos como reducida de la primera forma en la w-ésima etapa (ella com­ porta menos, pues ciertas de sus funciones de índices tienen una variable menos en su argumento) : si la nueva reducida no es una identidad, la primera tampoco en virtud de que:

Todo se reduce, por lo tanto, a comparar en las reducidas dos proposiciones parciales:

(1)

(2)

Ait VAj2 V ... V Aín V primera forma A¿1 VBjí VA¿2 V B¿2 V ... VAín V B¿n segunda forma

El sistema de valores lógicos que dan el valor Palso a la re­ ducida total, bajo la segunda forma, puede dar a (2), el valor Verdadero, en cuyo caso es: o una de lasyl^ que tiene este valor lógico16, y ponemos f{Íh ,íj2, ■ ■ ■ ,Íjn) =/(*>!, • • ■ ,íjnA ) o una de las Zty, sea Btf¡ y se pone /((/l >2/2>• •• ¿jn) ~ f (ijl ¿j¿ ’ ' • •¿jn¿k) 16j

representa un índice cualquiera entre 1 y iV.

136

Jean C avail! ès

osea el valor Falso, y entonces se tiene f V h ’ - J jn )

=


(pues todas las Bik son falsas) La utilización de otras reglas (sustitución, separación) con­ serva, evidentemente, la propiedad: reglas del cálculo de propo­ siciones, su aplicación a las reducidas no puede cambiar el valor lógico del resultado. Si se les aplica a las proposiciones antes de la reducción, éstas no pueden involucrar sino extensiones de disyunciones con crecimiento en el argumento de las fun­ ciones de índice. Nos encontramos exactamente en la situación contemplada arriba. En efecto, cualquiera que sea el valor lógico atribuido a la reducida más larga, siempre es posible obtener el mismo para la reducida más corta. La extensión no tiene eficacia mas que en la medida en que, gracias a las funciones de índice, una variable restringida y una variable general se encuentran re­ presentadas en el mismo predicado (situadas en dos lugares dis­ tintos) para el mismo individuo: pero esto no es posible sino en el caso de subordinación auténtica, y no de subordinación ficticia, como aquél que involucra estas reglas. Tal es el sentido verdadero del tratamiento definido por Herbrand: intentar, gra­ cias a las funciones de índice, todas las identificaciones posibles entre variables restringidas y variables generales, de manera que se pueda descubrir, bajo los cambios de símbolos que la apli­ cación de las reglas del cálculo de predicados provoca, el carácter idéntico de la proposición. Toda identidad de la forma S IT¡2bcy Xy deviene, en efecto, una identidad n %bcy xy el artificio de las funciones de índices no tiene por objetivo sino reestablecerla.

Método Axiomático y Formalismo

137

7. Aplicación de la no contradicción La aplicación de lo anterior a los problemas de la no contra­ dicción de una teoría es inmediata: si la conjunción de los axio­ mas de la teoría puede ser satisfecha por el proceso precedente, la teoría no es contradictoria. Para los axiomas de la teoría de números, el axioma de Peano, y todos los esquemas (sin variables del tipo 2) de definición por recurrencia, se ve que su conjunción con el axioma del cálculo de predicados es satisfacible. Las fun­ ciones matemáticas son —como las funciones de índices— reem­ plazadas por un individuo particular para cada valor particular de su argumento. Si se considera sx como una función, se ve que el proceso de satisfacción no deja subsistir sino el predicado entre individuos en el enunciado de los axiomas: los individuos generados por s coinciden con el sistema de los enteros; si se conviene que i = j no tiene el valor Verdadero sino cuando i y j son idénticos, la conjunción de los axiomas se satisface en el campo y se encuentra la aritmética ordinaria; en particular la de­ terminación de los valores de las funciones matemáticas para un argumento dado se efectúa por cálculos ordinarios. Los axiomas de una definición recursiva no pueden jamás introducir contra­ dicción pues no implican, cada vez, sino una igualdad entre dos funciones donde una (la de la izquierda) es representable por un individuo arbitrario: basta tomar el mismo que nos da la función de la derecha ya definida. El proceso de satisfacción coincide, por lo tanto, exactamente con el devenir de la aritmética naïve. Queda el axioma de inducción completa. Pero ahí aparece una variable de tipo 2, y la satisfacción sólo lia sido definida para proposiciones con variables (o individuos) de tipo 1 e individuos de tipo 2: fijar el curso de los valores lógicos de un individuo de tipo 2 para todas las individualizaciones posibles para sus varia­ bles de tipo 1 es la prueba de no contradicción de su definición formal. Se puede concebir la extensión del procedimiento a un tipo superior: pero sería necesario poder pasar revista a todos los individuos de tipo 2 sustituibles por la variable en la teoría contemplada. Ahora bien, la situación no es la misma: en el tipo 1, por un lado, no hay, para una teoría dada, sino un número finito de modos de engendrar a los individuos (signos presentes

138

Jean Cavaillès

en los axiomas efectivamente formulados); por otro lado, para cada individuo, la construcción y la definición formal coinciden (el individuo no es más que 1 o de la forma s .. .si). Por el con­ trario, un individuo del tipo 2 es una expresión formal en donde aparece la variable libre de tipo 1: si ésta es correcta como es­ tructura (provista de sentido), su enunciado mismo distingue al individuo (es su definición) pero no lo determina; es nece­ sario además, para toda individualización de su variable, un me­ dio para decidir su verdad o falsedad si es una proposición, o de calcular su valor si es una función matemática. Ahora bien, la satisfacción en un campo supone que, para una individuali­ zación de las variables, sólo queda por resolver un problema de cálculo de proposiciones (repartición de valores lógicos entre los predicados que aquí son de tipo 3) para atribuir el valor Ver­ dadero a la proposición examinada: para cada tipo considerado se exige pues que todos los problemas de tipos precedentes ha­ yan sido resueltos en el formalismo. Así, en la aritmética definida anteriormente —incluso con un número finito de funciones ma­ temáticas— sería necesario, para contemplar la satisfacción ’del axioma de inducción completa, suponer decididas todas las pro­ posiciones en donde figuran estas funciones (toda proposición compleja es una arquitectura cuyos elementos son igualdades entre dos funciones o entre una función y la variable, o indivi­ duo, de tipo 1). En el momento en que interviene la multipli­ cación es, por lo tanto, imposible satisfacer el axioma. La restricción es sin embargo menor que en el caso del mé­ todo de las reducidas. Se pueden admitir en el formalismo tantas definiciones recursivas de funciones como se quiera (sin varia­ bles de tipo 2) a condición de no añadir a estos axiomas sino el axioma de inducción completa elemental, o el axioma general en donde sólo figura la suma. En el primer caso el predicado $x es evidentemente decidióle para toda individualización de la va­ riable, pues sólo implica una arquitectura con las constantes A, V, -i (sin cuantificador) a partir de ecuaciones entre funciones recursivas ya definidas (o entre tales funciones y la variable de tipo 1). Con la intervención de cuantificadores (segundo caso) ya se ha visto que una decisión siempre es posible. Herbrand de­ muestra que en los dos casos el axioma es una consecuencia de

Método Axiomático y Formalismo

139

definiciones recursivas de funciones. En el primer caso basta in­ troducir, para todo predicado decidible la función ¡i^x tal que si i es el menor individuo para el que $x es falso, se tiene: ß $x = 0

para

x
y

p$x = i

para

x > i:

Esta es una función recursiva; los axiomas que la definen se satisfacen para cualquier valor lógico atribuido a a condición de reemplazar en todos lados $x por el campo de su sa­ tisfacción se encuentra así caracterizado. Es imposible que allí se satisfaga la negación del axioma elemental de inducción: £ II[$0 A (-'$x

yx

V

$£r)

A

-»$)/].

Se ve en efecto que si se reemplazan x y y por fi$x y cualquiera que sea la elección del individuo fijo j para y , nos topamos con una imposibilidad: si j< i se tiene $0 A

V

A —1$0

si j> i en la construcción de la conjunción de satisfación se llega a sx = i y se tiene $ 0 A (-* $ 0 V $ í) A

En virtud del teorema de Herbrand, la implicación M —► ITE [“i $ 0

V

($x

A

V

(donde M representa los axiomas que definen a fi$x) es por tanto una identidad lógica, el axioma de inducción total elemen­ tal es consecuencia de las definiciones por recurrencia17. Ya he­ mos visto el método para decidir sobre toda proposición en que 17 Se puede dar una demostración formal. Los axiomas que definen fix se enun­ cian (escribimos para abreviar, fix en lugar de

¿¿0 = 0 [ $ 0 A “ i$ x r A ju .r = 0 ] —► fis x — s x -i[$ Q A ~ > $ s x A ftx = 0 ] —► p s x = f ix f i x = sy —► fis y ~ sy A fiy — 0

140

Jean Cavaillès

no aparece sino la adición como función matemática: al estar así constituida, el axioma general es deducible a partir del axioma elemental. Así se manifiesta que el axioma de inducción total no hace crecer el formalismo sino en la medida en que la propo­ sición a la que se refiere no puede decidirse ahí: pero entonces el método de los campos es también impotente para demostrar su no contradicción.

4. Limitación común a todos los métodos. El Teorema de Gödel, sus consecuencias para la saturación y la no contradicción Es muy notable que todas estas demostraciones de no con­ tradicción, si bien se refieren a formalismos de diferentes am­ plitudes, fracasan por igual ante el axioma general de inducción completa. Ahí, sin embargo, dice Hilbert, “se encuentra la verda­ dera fuente del concepto de variable matemática”*Il*18, la irreducti­ ble intervención del infinito: la metamatemàtica no es eficaz sino cuando lo alcanza. Pero entonces se impone una comparación Se concluye facilmente: fisx — 0 -+ /¿X— 0

Ilfisx

— 0 —►fl[$0 —> X

X

X ~if¿SX — 0 —►X[¿Í5SZ = fXSSZ A fiSZ — 0] X

z

—*X[$0 —►$sz A z

Haciendo la conjunción de las dos identidades:

$0 —►[IT V X X

z

A -»O-ssz]

ó

[$0A II($js2t—►jst)]-+ IT Z

18 Hilbert (XIII), P- 321.

X

Método Axiomático y Formalismo

141

—que aleja la distinción, que ya es muy clara, entre ciencia y metaCiencia— entre la potencia de los medios que se utilizan en la teoría fundada y en la teoría que funda. La inducción com­ pleta elemental juega el papel esencial para von Neumann y para Herbrand: en uno hay una doble inducción, sobre el número de símbolos £, II, e, en donde las subordinaciones mutuas dan un sistema finito de matrices, y sobre las sustituciones en cada matriz de fórmulas ya reducidas; en el otro hay también tanto in­ ducción para la construcción progresiva de campos, como para la construcción de proposiciones cuya negación es imposible de sa­ tisfacer. ¿En qué se distinguen estos desarrollos de los desarrollos lícitos de los formalismos que fundan? Hilbert se conforma con una delimitación extrínseca de la zona intuitiva: los razonamien­ tos aritméticos que ahí autorizaba eran simplemente señalados de paso en el movimiento indivisible del pensamiento concreto, sin que se haya previsto para éste un intento de codificación de procedimientos por esencia imprevisibles. Pero los ejemplos precedentes muestran que su utilización está determinada por la materia a la que se aplican. De ahí el intento simultáneo por precisar esta relación y, para alcanzar un formalismo completo por lo menos para la teoría de los números, por enriquecer la noción de razonamiento en términos finitos, limitado hasta en­ tonces a consideraciones combinatorias. A la primera cuestión responde el teorema de Gödel19 —con el criterio negativo que proporciona—, a la segunda la última demostración de no con­ tradicción intentada por Gentzen. La idea de una sistematización —de acuerdo a las necesida­ des de una formalización— de los desarrollos de la metaciencia ya se encuentra, por ejemplo, en los trabajos de la escuela po­ laca20 que superpone lengua y metalenguas —en escala indefi­ nida— cada grado conteniendo la sintaxis (es decir axiomas y reglas de encadenamiento) del grado inmediatamente inferior. Pero se va de sistemas menos ricos a sistemas más ricos sub­ 19 Gödel (II) p. 173. 20 Lukasiewicz, y sobre todo Társki, quien ha hecho una exposición histórica y sistemática de sus trabajos (independientes de ios de Gödel y en parte previos), Tärski (IV). Cf. también Carnap (IV).

142

Jean Cavaillès

sumiéndolos: de su consideración no puede surgir ninguna so­ lución al problema de los fundamentos como lo planteó Hilbert. La originalidad de Gödel es la de haber efectuado la operación inversa al intentar determinar cuáles de los procedimientos del metalenguaje pueden formalizarse en el lenguaje. La empresa provee así un análisis de la noción en bruto de razonamiento in­ tuitivo. Ibmando como lengua la aritmética ordinaria, se puede coordinar de manera biunivoca todo el material simbólico con los números enteros, gracias a la unicidad de la descomposición de un número en sus factores primos: los signos lógicos (cons­ tantes, variables) se representan por números (sus números) ; las fórmulas o sucesiones de signos y los razonamientos o sucesio­ nes de fórmulas por el producto de los n primeros factores pri­ mos tomados como exponentes de números correspondientes a los signos —o fórmulas— de la sucesión. I-a coordinación es evidentemente biunivoca21. Así, los conceptos y las relaciones de la metaciencia se vuelven conceptos y relaciones aritméticas acerca de los números de las fórmulas. Es posible codificar la de­

21 Gödel coordina los signos:

^v,no,syO respectivamente con los números 5,7,9,11,13,3 y 1Tbda variable del tipo n está representada por un número primo > 13 elevado a la potencia n. La fórmula n.Tof.-ti) que escribe .t ^1T(.T7) tendrá por número, determinado de manera unívoca, el producto:

217.3’ -511-71í,2 U13.

Método Axiomático y Formalismo

L43

finición gracias al esquema de recursion ordinaria22: se ve que las funciones de verdad del cálculo de proposiciones (—► V, A, -■) se transforman inmediatamente en funciones recursivas si se reemplazan las proposiciones por números. Para las relaciones principales o relaciones metamatemáticas, Godei da el ejemplo efectivo de su traducción aritmética: para un signo, figurar en una fórmula será “ser el exponente del n-ésimo término en el producto de factores primos que representan a la fórmula”; a los axiomas corresponden números calculables, ser un axioma será entonces la función de disyunción entre ellos; lo mismo para la proposición A, ser “consecuencia inmediata” de una pro­ posición B (por aplicación de reglas de implicación o de gene­ ralización) será una relación recursiva entre el número de A y el de B; ser “esquema de demostración” es para un número la propiedad de descomponerse en factores primos, cada uno de los cuales tiene como exponente al número correspondiente a un axioma o a una proposición, consecuencia inmediata de una proposición cuyo número es exponente de uno de los facto­ res precedentes. “Ser en fin, una demostración x para una pro­ posición y ” (abreviado xDy) es, entre dos números, la relación que en el desarrollo del primero, x —que posee ya la propiedad de “ser un esquema de demostración”— el último factor tiene por exponente la segunda y. Todas estas relaciones son rigu­ rosamente recursivas —en el sentido ya precisado— de donde la doble consecuencia: que pertenecen a la metamatemàtica fi­ nita, pues dado el o Tos números a que se refieren, se puede constatar por un cálculo finito si son o no son verificados por ellos, por otra parte, que pueden ser formalizadas en un sis22 Se llamará función recursiva a toda función obtenida por sustitución en una función recursiva ya definida en términos de otras funciones también definidas o gracias al esquema siguiente:

/(O) = ÿ

f(n + 1) = *(»/(»))

siendo 0 y < pfunciones recursivas ya introducidas. Las funciones recursivas for­ man por lo tanto una sucesión bien ordenada, la primera es la adición (definida gracias a la función sucesor). Una relación recursiva es una ecuación entre fun­ ciones recursivas.

144

Jean Cavai liés

tema que expresa a la aritmética. Para el sistema de los Principia Mathematica —cuyo material simbolico lia sido previamente ennumerado por los procedimientos ya indicados— Gödel precisa la segunda consecuencia demostrando el Teorema 1: a toda re­ lación recursiva/?(xiX2> • • *»*n) de la aritmética ordinaria entre los números x\,X2 , - -xn, corresponde en el sistema formal un número (de signo) r tal que, si se reemplazan, en su desarrollo en factores primos, los exponentes representando las variables mediante los números de los números23 x\X2> ■ ■ • Ia verdad —o la falsedad— aritmética de R(x\ tX2 , ... Xn) implica para r así transformada —o para su negación— la existencia de una de­ mostración formal en el sistema. Esta es evidentemente la con­ secuencia del hecho de que los axiomas del sistema considerado permiten decidir para toda relación aritmética recursiva entre n números si es verdadera o no24*.Se le puede escribir abreviada­ mente bajo la forma de la doble implicación intuitiva25 (no se trata de nada formal, pues ponemos en relación una expresión de la aritmética ordinaria con una expresión perteneciente a un sistema formal): R(x\ X2 »■ ■ •¿Oí) 3 Demostrabil de r{Nx\ .. .Nxn) (1) ~ R{x \X 2 >■ • ■ ¿Oí) Demostrabil de Neg. r(Nxy .. .Nxn) (2) La propiedad demostrabil es una propiedad del número r (transformado por la sustitución) y es una de las relaciones del metalenguaje definida como relación aritmética recursiva, y pol­ lo tanto expresable en el lenguaje. 23 Los números ordinarios se expresan en un sistema como el de los Principia por una fórmula: por ejemplo, 4 se escribe sxss(O). En el sistema numerizado, 4 tendrá por núm ero 23 • *5 3 • 73 ■ l l 1. 24 Gödel (II), p. 186n. La demostración exacta “no presenta dificultades de princi­ pio, añade, pero es muy complicada” —se contenta con esbozarla en su memoria procediendo por inducción completa para todas las relaciones recursivas de la forma a1! = .. xn) (donde ¿ es una función recursiva). 23 Para evitar toda confusión empleamos signos especiales (que son simples abre­ viaciones): D para implica, ~ para la negación (r) para expresar para todax. En fin a la derecha de la implicación (I), en donde se trata de nociones del me­ talenguaje, Nx significa el número del número x y r (Atri, * ■Xxn)- el número que se obtiene para r cuando se sustituye por los números de las variables Nx \JVx 2 • ■ .Nxn.

Método Axiomático y Formalismo

145

Así planteado consideremos la relación “x no es una demos­ tración para la proposición y, de una variable, cuando se hace ésta igual al numeral26 del número y ’; abreviado: - xDy(Ny) (3) Es, como se lia visto, una simple relación aritmética recursiva entre los números x y y. Implica, según el teorema precedente, para sí (o para su negación) la demostrabilidad en el sistema de una proposición (en signos del sistema) r{Nx;Ny) (o de su ne­ gación). Seap el número de la generalización de r en relación a la primera variable; si sustituimos/^ por y, el teorema I nos da las dos implicaciones intuitivas: xDp(Np) D Demostraba de r(NxJWp') (4) xDp(Np) D Demostraba de Neg. r(Nx,Np) (5) Si existiera una demostración x para la generalización de r(Np) en relación con la primera variable, es decirp(Np), se ten­ dría al mismo tiempo en el sistema, en virtud de (5), una demos­ tración de la negación de r(Np) para el valor Nx de la primera variable: el sistema sería contradictorio. La no contradicción del sistema conlleva la imposibilidad de demostrar en él p{Np)\ la proposiciónp(Np) tiene por su parte el sentido —según las defi­ niciones dadas—de afirmar su propia indemostrabilidad (no hay demostración para la proposición con númerop cuando se hace la variable igual al número de la proposición): es intuitivamente verdadera27. Los razonamientos precedentes no hacen sino en­ cadenar relaciones recursivas: son a su vez formalizables en la 26 y es en el formalismo considerado un número: éste como número entero está representado a su vez, en el formalismo, por una fórmula que tiene el minie­ rò Ny: se ve aquí la traducción de la sintaxis (designación de la fórmula y) en el lenguaje. La teoría de tipos se respeta: y es una variable de tipo 2 (se le repre­ sentará por un número primo a la potencia 2) pero Ny es un individuo de tipo 1 que puede, por lo tanto, figurar e n y como argumento. 27 Se ve por otra parte que, para toda x, ~ xDp(Np), la implicación (4) da para toda.v

Demostraba de r(NxJ\’p): ningún ejemplo puede refutarp(A/?).

146

Jean Cavailiés

teoría. Se puede escribir —si se representa la no contradicción de la teoría con (pe) ~ xD(Q ¿ 0) (no hay demostración para 0 ^ 0)— la implicación, esta vez for­ mal (*) - xD(0 ¿Q)-+

(X )

~ xDp(Np)

(6)

en donde se supone que todos ios signos de abreviaciones utili­ zados que representan nociones de la sintaxis han sido reempla­ zados por los signos de la teoría que los traduce. Pero entonces el segundo miembro deviene, en virtud de (3), la generalización de r(Nx,Np) con respecto a la primera variable; es decir, por defi­ nición,/? (Np) : si hubiera en la teoría una demostración formal de su no contracción la implicación (6) permitiría demostrar p(Np), lo que es imposible. El razonamiento precedente no sólo se aplica al sistema de los Principia, sino a todo sistema tal que: 1. La clase de los axiomas y las reglas sea definible por re­ cursion (es decir, por medio de relaciones recursivas en cuanto se reemplazan los signos por números). 2. Toda relación recur­ siva sea expresable en el sistema (al modo del teorema I). Tal es el caso de todo formalismo, suficientemente vasto para contener a la aritmética y provisto de un número finito de axiomas o de es­ quemas de axiomas; en particular el de los sistemas de ZermeloFraenkel y von Neumann, para la teoría de conjuntos, o el sis­ tema de von Neuman para la matemática clásica. Godei introduce por otra parte la propiedad de te-no contradicción para un sis­ tema: imposibilidad de demostrar ahí simultáneamente una pro­ posición en una variable (de tipo 2) para cada valor (numérico) de esta variable y la negación de la generalización de esta propo­ sición28. Como r(NnJVp) (de la que p(Np) es la generalización) 28 l!n sistema puede ser por lo tanto no contradictorio y te-conr radie torio: basta añadir a los axiomas del sistema formal considerado Negp(Ap); el sistema es contradictorio y es, sin embargo, imposible dem ostrar ahí p(Np) (es por lo tanto no contradictorio).

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es demostrable para todo valor de x, la fórmula Neg p(Np) no debe ser demostrable si el sistema es te-no contradictorio: p{Np) es indeci dible en el sistema. Un sistema de axiomas que satis­ face las condiciones 1 y 2 y que es te-no contradictorio, es ne­ cesariamente no saturado; se puede Lomar, en particular, como proposición indecidible la afirmación de su no contradicción. La razón de este resultado debe ser buscada en el hecho de “que la formación de tipos más elevados se prosigue en el trans­ finito, mientras que existen a lo más una infinidad numerable en cada sistema”2?. La definición de un sistema no puede, en efecto, implicar sino una infinidad numerable de signos (y por tanto de tipos), y Hilbert ha dado para las funciones el ejemplo de una construcción recursiva transfinita de tipos*30, por grande que sea la cota superior (numero ordinal de la clase II) podrá ser siempre rebasada. Pero ésta es una imposibilidad intuitiva: no se veía la consecuencia para la no saturación, pues uno imaginaba propo­ ner así sójo un nuevo sistema. Es la teoría de tipos la que oculta su propia insuficiencia: en una proposición las variables tienen siempre un tipo determinado, perteneciente al sistema; una pro­ posición acerca de tocios los tipos (o que enuncie que una re­ lación es verdadera para variables de todos los tipos) —por lo tanto de tipo inmediatamente superior a éstos— forma parte de la sintaxis y no del sistema. De manera general, la característica “imposible de demostrar” no es definible (no pertenece a la sin­ taxis). Von Neumann la reemplaza por la apreciación psicològica “es poco probable que se llegue a demostrar que ... ”. Es necesa­ rio para salir de la vaguedad encontrar una proposición cuya de­ mostrabilidad conlleve contradicción, es decir, que se formalice la sintaxis en el lenguaje: de ahí la elección que hace Godei de la proposiciónp(Np) para alcanzar la no saturación31. Entonces, el artificio de la coordinación biunivoca entre fórmulas y números (que son por sí mismos fórmulas) permite hacer vanas las pro-

2? Gödel (II), p. I9 ln . 30 véase supra, cap.III. 31 Es la única para la que la demostración tiene éxito: sin formalización de la sintaxis en el sistema no hay dem ostración directa de la no saturación.

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hibiciones de la teoria de tipos32: Np es un nùmero, individuo de tipo 1, pero puesto en correspondencia con una proposición en donde una variable x (de tipo 1) vea su sistema de valores aplicado (de manera biunivoca) sobre el conjunto de todas las demostraciones posibles; recorre por lo tanto, prácticamente, to­ dos los tipos. Si se considera ya no la escritura, sino el sentido intuitivo de la proposición en la que figura Np, se refiere a todas las demostraciones y es, por lo tanto, de un tipo inmediatamente superior: se puede, en efecto, decidirla si se adjunta al sistema de los Principia el tipo T«,33, pero el mismo fenómeno se repro­ duciría. Se ve con esto el desfasamiento esencial entre un formalismo completo y las relaciones que se encarga de expresar: la fachada puede ser salvada porque la aplicación de las reglas de uso in­ troduce. relaciones implícitas que no aparecen en el formalismo: al integrarle una parte de la sintaxis, Gödel ha resucitado la pa­ radoja del mentiroso que se creía definitivamente eliminada. No hay, por otra parte, paradoja sino relativamente a la saturación; es decir, si se exige que el sistema se baste a sí mismo (o que haya solamente una lengua): la noción de totalidad que reapa­ rece hace vana la distinción de tipos (elaborada en el interior del sistema) ; no se puede evi tar la cuestión de la pertenencia de un elemento a la clase de todas las clases del sistema, cuestión que desborda al formalismo (en tanto que capax de dar respuesta) pero que es planteada por él mismo. Hilbert3435había intentado “forzar la solución”33 por medio de una regla nueva: si una proposición &(x) (x siendo una varia­ ble de tipo 2) es verdadera para todo valor numerico n de A', se puede añadir a los axiomas, la generalización 1121(a). Para toda proposición de la forma 1121(pe) la irrefutabili dad (ausencia de contradicción con los axiomas) implica entonces la demostrabi­ lidad: la saturación se alcanza, pero de manera ficticia: si la regla 3 2 Es obviamente gracias a este artificio, y al resultado que obtiene, que la sintaxis es formal izablc en el lenguaje. , 33 Gödel (II), p. 191n.

34 Hilbert (XIV), p. 485. 35 Bernays (III), p. 216.

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puede introducir contradicción en un sistema te-no contradicto­ rio36, destruye al formalismo en tanto que tal (una demostración no es un esquema, no se efectúa en un número finito de pasos). Los intuicionistas la admiten sin dificultad —expresa para ellos el único sentido del signo II— pero en la medida en que integra el infinito a sus razonamientos (sucesiones libres de elección). Si uno se restringe a la Teoría de la demostración, no se puede “considerar este proceso como definitivo”37; sin embargo sólo éste podría salvar la saturación.

5. Ensayo de solución por medio de la ampliación de la zona metamatemàtica a. Incorporación de la aritmética intuicionista (Gödel-Gentzen) Para las demostraciones de no contradicción, en cambio, el mal parece menos irreparable: Gödel rechaza haber atentado contra el punto de vista de Hilbert: “quiero notar expresamente que el teorema [precedente] (y los resultados correspondien­ tes. .. ) no están en modo alguno en contradicción con el punto de vista formalista de Hilbert. Puesto que éste supone solamente la existencia de una demostración de no contradicción llevada a 36 En cambio es inaplicable en an sistema que fuera no contradictorio sino wcontradictorio como el sistema que se vio antes cuando se añade a los axiomas -/> » )• Hilbert no vio esta excepción (loe. cit.) porque no considera la no contradicción en general sino los m étodos basta ahora utilizados para demostrarla y cree to ­ davía en su éxito, es decir, en la posibilidad de encontrar un medio para “reducir” (es decir transformar en demostración aritmética sin cuan ti fie adores ni variables) toda dem ostración formal: el mecanismo daría entonces el carácter de “verdad aritmética intuitiva” a una demostración hecha con la nueva regla (si fuese repre­ sentable). Ahora bien, es justamente la imposibilidad de tal mecanismo universal de reducción lo que dem uestra el trabajo de Gödel (si existiese, todo sistema no contradictorio sería te-no contradictorio, pues -i n &(.V) reducida daría - 1£!(/?) .V

(para cualquier ti) y p or lo tanto no seria una proposición demostrable —o un axioma— siéndolo &(«) para toda «). 37 Bernays, op. cit.

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cabo con medios finitos y sería concebible que existan demos­ traciones finitas que no se dejan formalizar en P [el sistema de los Principia o sistemas análogos que satisfagan las condiciones 1 y 2]”38. El teorema no da más que un criterio negativo, invo­ lucrando a la verdad contra los métodos (combinatorios) em­ pleados hasta entonces. ¿Pero cómo ampliar la noción de razo­ namiento finito? Herbrand había dado la definición más precisa: “no se considera más que un número finito determinado de ob­ jetos y de funciones; las definiciones de éstas permiten calcular sus valores de manera unívoca; jamás se afirma la existencia de un objeto sin dar los medios para construirlo; jamás se consi­ dera el conjunto de todos los objetos .y de una colección infinita; y cuando se dice que un razonamiento es verdadero para todas las y , esto significa que para cada y tomada en particular, es posi­ ble repetir el razonamiento general en cuestión”-^. La indetermi­ nación no subsiste más que a propós i lo de la construcción: se le puede concebir como una progresión de etapas, cada una de las cuales es finita en el sentido precisado antes. No hay medio para visualizar de un golpe todos los procesos —la conciencia cesa de ser coextensiva a su sucesión a pesar de estar presente en cada una de ellas. Se pasa de la matemática intuitiva a la matemática intuicionista. Así, Hilbert había admitido este parentesco entre la metamatemàtica y el intuicionismo en la respuesta que daba a éste; y Brouwer había intentado precisarla"0.38940 38 Gödel (TI), p. 197. 39 Herbrand (IV), p. 340 FI acuerdo se hace sobre los siguientes punios: a) "distinción entre la edifi­ cación formal de las matemáticas y la teoría intuitiva de las leyes de esta edifi­ cación —reconociendo que para esta teoría la matemática imuicionista sobre el conjunto de los enteros es indispensable— b) “rechazo de la utilización irrefle­ xiva del tercero excluido.. .y su limitación a sistemas finitos”; c) “idemilicación del tercero excluido con el principio de la resolubilidad de todo problema ma­ temático”; d) “reconocimiento de que la justificación de la matemática formal por medio de la dem ostración de la no contradicción contiene un círculo vicioso porque esta justificación se apoya sobre la aplicación intuitiva del tercero ex­ cluido (cuya validez se desprende de la no contradicción de una proposición)”. Brouwer (VI). Las afirmaciones c) y d) carecen de sentido para Hilbert; la re­ solubilidad de lodo problema matemático es un principio regulador de la metammemática (preside la constitución de nuevos sistemas), el tercero excluido, principio constitutivo de la matemática formalizada. En cuanto a Yájustificación.

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Tras el resultado de Gödel era natural buscar en esa direc­ ción: simultáneamente, Gödel por un lado41y Bernaysy Gentzen por el otro42, lograron una traducción de la aritmética clásica en la aritmética intuicionista (formalizada por IIeyting)4A si los pro­ cesos de ésta son inatacables, la no contradicción de la aritmética clásica está, por ello mismo, demostrada (puesto que toda pro­ posición demostrable ¡3a - i¡3, por ejemplo, tendría su traducción en el sistema intuicionista). Glivenko44 ya había, en electo, de­ mostrado que toda expresión del cálculo clásico de proposicio­ nes, construida solamente con los signos -> y A, si es válida en este cálculo, es demostrable en el cálculo intuicionista. Basta por lo tanto poner toda proposición en esta forma. Así el tercero ex­ cluido % V -i& deviene ^(-<¡3 A Como se ve, solamente la interpretación difiere, pero ya no hay proposiciones demostra­ bles. En matemáticas se admite45 el tercero excluido para las igual­ dades numéricas (que son especies de identidades) ; cuando &es una ecuacipn tal, se tiene por lo tanto -.-lia -V ¡3 (Se sabe que en la lógica intuicionista sólo la implicación 3 — i— .¡a vale). Gödel demuestra por recursion sobre la construcción de la proposición (es decir api icando la regla de general ización y la regla de tránsito) que la implicación vale para todas las propo­ siciones de la aritmética definida por los axiomas de Herbrand. Los medios de demostración son exactamente los mismos, sea que se tome a la lógica clásica o a la lógica intuicionista: las dos aritméticas se corresponden exactamente, La razón es simple: los individuos a los que se refieren las proposiciones aritméticas carece de relación con la prueba*de validez de un formalismo (propiedad que no convendría sino a una proposición en el interior de un formalismo). Se han visto los dos sentidos de la justificación en Hilbert y en von Neumann. Cf. más abajo el comentario de Heyting (IV), p. 54-56. 44 Gödel (ÎII). 42 Cf. Bernays, /oc. c i t p. 212. 43 Heyting (I), p. 42-50. 44 Glivenko (I), p. 183-188. 45 Heyting (II), P- 57-71.

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son siempre efectivamente calculables (por un número finito de pasos, son valores de funciones recursivas de un esquema cual­ quiera pero siempre de tipo 1 —es decir, que no hacen interve­ nir referencias a colecciones infinitas). De ahí que la prohibición intuicionista de afirmaciones no constructivas de existencia no tiene otro efecto que el de un cambio de escritura; en lugar de £ &(*v) se pone Pero se tendrá exactamente el mismo x X número de afirmaciones “puesto que se tiene el. derecho de apli­ car el predicado de absurdo a proposiciones generales”46. La se­ paración entre matemática intuicionista y matemática clásica no aparece sino con el análisis y las definiciones no predicativas (es decir, que parten de sistemas infinitos; el tercero excluido no desempeña, ahí tampoco, ningún papel). Skolem47 había, por otro lado, obtenido un resuluido un poco más extenso gracias a la consideración d£ campos: ni el ter­ cero excluido ni la función e (para variables de tipo 1) pueden aportar contradicción en un sistema de axiomas que ya fuera no contradictorio. Si, por ejemplo, IT-iÜÍ^y) lleva a un absurdo al intentar satisfacer progresivamente la proposición en un campo (en donde los axiomas de la teoría ya son satisfechos) nos vere­ mos detenidos en un cierto orden, es decir, encontraremos un individuo i para el que íH(¿) es verdadero (para el sistema de valo­ res lógicos asociados al campo). Ahora bien, todos los procesos para satisfacer una proposición en un campo están sometidos a las condiciones del intuicionismo (son incluso finitos en el sen­ tido de Herbrand): éste alcanza entonces el resultado £ ¡3(;c) que X procuraba el tercero excluido: simple atajo. Lo mismo para los axiomas de e: en el caso simple en que no se introduce sino una sola función e, se ve que es siempre posible deducir de los valores lógicos asociados al campo I (en donde se satisface la conjunción: ¡Si A £2 A ,.. A de los otros axiomas), un sistema de valores (que definen un campo II) tales que 46 Gödel, op. cit. 4 7 Skolem (IV), p. 30.

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&l A $ 2 A . . . A

A [ P ( 0 -»■ j®(e*?B(*))]

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(1)

(donde i es un individuo) sea siempre verdadera. Si j$(x) no siempre es verdadera en el campo primitivo 1 (sin lo cual sería suficiente conservar éste), se reemplaza i por el individuo j del campo I, de orden n, para el que $5(/) es falsa48; se obtiene en­ tonces una satisfacción de la conjunción (1) en el campo 1 de orden 2n (el orden del campo se duplica pues i era un indivi­ duo de orden 0 y j es de orden n; se ve que ’ß (i) deviene j©(/) y por lo tanto es falsa). Las proposiciones elementales donde in­ tervenía i se transforman en proposiciones acerca de individuos del campo I: basta atribuirles como valores lógicos aquellos que reciben, así transformadas, para satisfacer (1) en el nuevo campo II. —Si el axioma que introduce e es inofensivo, es también inefi­ caz: no permite decidir una proposición C que no pudiera serlo sin él. fin efecto, puesto quedos valores lógicos del campo II se determinan por los del campo I en cada etapa de la construcción de éste, los dos sistemas de valores que satisfacen igualmente los axiomas y en donde uno hace a € verdadera y el otro falsa, de­ terminan para II dos sistemas distintos que producen el mismo resultado. La fecundidad de las s no aparece excepto cuando se refieren al tipo 2 (o superior), es decir, cuando la construcción finita de los campos ya no es posible. ß. Inducción transfinita, demostración Gentzen La posibilidad de una traducción directa en la matemática intuicionista —si bien manifiesta la ineficiencia de las prohibi­ ciones de ésta (cuando nos restringimos al tipo 1)—, no puede procurar una demostración de no contradicción. Por un lado no hay extensión posible al análisis, por el otro, para la teoría de números (con axioma general de inducción completa), la ga­ rantía de la evidencia intuicionista parece insuficiente si nos ate­ nemos al punto de vista hilbertiano con sus exigencias finiiis4S El orden del campo en donde se satisface una proposición es el núm ero de estadio de la operación progresiva de satisfacción (véase arriba p. 131).

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tas tal y como las ha formulado Herbrand. Por otra parte, la tra­ ducción de Godei arroja luz sobre un punto débil de la doctrina intuicionìsta que mezcla como fuentes de certeza a la evidencia intuitiva y al razonamiento lógico; si hay un criterio absoluto, debe ser único, si éste es la intuición no debiera ser posible, por ejemplo, aplicar el signo de absurdo a proposiciones generales. Gentzen49 define un construccionismo en términos muy cer­ canos a los que utilizaba Herbrand: se puede rebasar lo linito a condición de no considerar jamás colectividades “en sí”, sino medios regulados para engendrar siempre nuevos individuos en un sistema caracterizado (y que sólo existe) por medio de es­ tos procedimientos de construcción. Así para la sucesión de los enteros. Es el papel de este infinito potencial el de dar a los pro­ cedimientos metamatemáticos, al mismo tiempo, un poder sufi­ ciente y una seguridad mayor que aquéllos de los formalismos examinados. A costos menores no se puede actuar, y su inter­ vención —tal como la concibe Gentzen— tiene la ventaja de loca­ lizar dificultades y dudas en un sólo punto, cuando aparece bajo la forma de una inducción transfinita rigurosamente limitada a un segmento de la clase II. Es a priori plausible que el método pueda tener éxito, pues en cada etapa de un razonamiento ma­ temático clásico nunca se considera sino un número linito de ob­ jetos, individuos, conceptos, resultados de razonamientos ante­ riores: Gentzen da una prueba detallada para la teoría completa de números. Para toda demostración válida en este formalismo y puesta bajo una forma canónica, establece que: Ì . existe una operación de reducción bien determinada (si bien en ciertos casos invo­ lucra necesariamente una infinidad de modos diferentes de ac­ tualización) que la transforma en una nueva demostración igual­ mente válida y de forma igualmente canónica; 2. tras un número finito de reducciones parecidas, la conclusión de la demostración deviene una proposición trivial (en la aritmética intuitiva sin va­ riable); 3- sólo las demostraciones válidas gozan de las propieda­

49 Gentzen (II), p. 520.

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des 1 y 2. La no contradicción de la aritmética clásica está, por lo tanto, asegurada. Las operaciones de reducción son una especie de desmantelamiento de la arquitectura lógica de las proposiciones. En arit­ mética todos los predicados numéricos son inmediatamente de­ cidióles, todas las funciones son inmediatamente calculables tras sustituir enteros determinados por las variables; el primer paso consiste por lo tanto en reemplazar todas las variables libres por números (por supuesto, con excepción de las variables portado­ ras cuando en la demostración aparecen una generalización o una inducción completa). —Gentzen introduce, para definir su forma canónica, las nociones de secuencia y de intersección. La secuencia amplía la implicación: “con las hipótesis.21, JS, C, se ha podido demostrar: 3B” & 3B50 La intersección es una generalización de la deducción si­ guiendo el esquema =>€

»jUC ... = » j r => jf La fórmula común C se llama fórmula de intersección. El principio de la reducción es el de eliminar los signos lógicos dándoles su sentido intuitivo de manera que se obtenga una secuencia-conclusión que tenga como fórmula posterior una fór­ mula númerica verdadera, o que tenga una fórmula elemental fal­ sa posteriory, entre las fórmulas anteriores, una elemental igual­ mente falsa. Así se reemplazarán TT¡3(x) por ¡3(/) para cualquier i51 si Ilícl(je) está al final, o al contrario, convenientemente es­ <£ son las fórmulas anteriores (en cualquier número), 2D la fórmula pos­ terior de la secuencia. Es en general posible transformar una secuencia en im­ plicación (Teorema de deducción. Cf. Hilbert-Bernays (IV), p. 155); se cambian

50 ¡a}

ahora las comas en A. Pero es más cómodo tener las comas; salvaguardan para las fórmulas así unidas, una especie de independencia lógica: la reducción puede ser solamente sobre una de ellas. En la fórmula canónica no aparecen más que A, y n. 51 De ahí la infinita variedad de modalidades de reducción señaladas arriba: el sentido mismo de la reducción exige que la sustitución sea arbitraria, que la pro­ piedad 2 se alcance cualquiera que sea la elección —sin lo cual la propiedad 3 se perdería. De ahí vienen todas las dificultades de la demostración— y la necesidad de recurrir al transfinito.

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cogida de manera que rU(i) sea falsa si n¡H(;t) està al principio, incluso ... por o por. (arbitrariamente o siguiendo una elección determinada según se esté al principio o al final), al final por 0 = 1, % pasa al principio, al principio por & al final, fin los casos en que sea necesario escoger —reducción que invo­ lucra una fórmula anterior—, se puede estar obligado a dejar que subsista la fórmula inicial (si la elección no ha permitido encontrar el valor i que hace a &(¿) falsa, por ejemplo): de to­ dos modos la elección debe de estar determinada por las opera­ ciones precedentes en la demostración. El teorema de Gentzen afirma que para toda demostración la operación de reducción que debe llevarse a cabo inmediatamente está determinada de manera unívoca por su estructura: Si la última aplicación de la re­ gla de donde procede la conclusión es una generalización, se su­ prime la secuencia-conclusión y se sustituye la variable portante en la secuencia precedente (y en todos los lugares en donde apa­ recía con anterioridad) por un número arbitrario. Si es una in­ ducción completa se reemplaza la secuencia-conclusión IT¡cl(x) por 8(¿) donde i es arbitraria y, en la demostración, el esquema de inducción por una cadena de intersecciones cuya longitud está determinada por i. Si, en fin, se trata de una intersección, la reducción de la conclusión reproduce la reducción de la (o las) fórmula(s) de las premisas que allí figuran. Se puede presentar una dificultad cuando la reducción (determinada por las demos­ traciones de donde surgen las premisas) involucra la fórmula de intersección (que no aparece más en la conclusión). F.s posible arreglárselas para tener una nueva demostración todavía válida pero en la que la conclusión sea la misma: nada demuestra que se haya avanzado hacia el resultado final. Aquí interviene la noción de complicación de una demos­ tración: Gentzen la evalúa por medio de un número decimal, el grado cuya característica y mantisa dependen del número de sig­ nos lógicos que aparecen en las secuencias iniciales y del número de reglas lógicas aplicadas en el transcurso de la demostración. Toda operación de reducción disminuye el grado: así, en el caso precedente, la complicación es tanto menor cuanto que la fór­ mula de intersección involucre menos signos lógicos. Los grados

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de complicación se organizan por orden de magnitud creciente en una sucesión bien ordenada y se demuestra —por inducción transfinita— que toda demostración se reduce al cabo de un número finito de operaciones. En electo, si todas las demostra­ ciones de complicación menor a un grado dado gozan de la pro­ piedad, las demostraciones correspondientes a este grado tam­ bién la poseen (puesto que la primera operación de reducción disminuirá el grado). La intervención del transfinito es necesaria por el axioma (regla) de inducción total: una inducción total es de complicación inmediatamente superior a la de todas las cade­ nas de intersección de longitud arbitraria en las que la reducción la transforma. Si el grado de estas cadenas es un entero —y rio un número decimal— se ve que será necesario uLilizar las w. De todos modos cuando el axioma es elemental o cuando el número de signos de la fórmula portante es acotado se pueden todavía formalizar, en la aritmética, todos los razonamientos preceden­ tes, incluida la inducción final. No es sino cuando el axioma se toma en toda su generalidad que el transfinito se incorpora pro­ piamente al razonamiento: escapamos bien al criterio de Gödel y si se le quiere formalizar en las matemáticas será necesario uti­ lizar el análisis. La sucesión bien ordenada de grados de compli­ cación tiene como tipo de orden el número can tor iano eo52El método no exige que el formalismo examinado sea ce­ rrado; se pueden dejar indeterminados (como hacía Herbrand) los esquemas de definición de función y añadir también nuevas reglas de razonamiento; basta con que los predicados introduci­ dos sean decidibles y las funciones calculables en términos fini­ tos y que para cada regla esté dado, al mismo tiempo, un proce­ dimiento de reducción. Así la propiedad no dccidiblc aislada por Gödel puede ser inmediatamente reducida: como es de la forma rLH(x), &(¿) siendo demostrable para todo entero i, la secuencia =>" n¡3(x) es parte de las secuencias válidas de esta teoría de números no cerrada. Para otras teorías matemáticas en donde ____________ t 52 El primer núm ero ordinal transfinito e tal que tu* = e. Es el límite —el tipo de orden— de la sucesión

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los predicados y las funciones sean decidibles o calculables en términos finitos, el método se extiende sin modificación: tal es el caso para la parte constructiva del análisis. ¿Es posible, con­ siderando en la clase II (de ordinales transfinitos) un segmento suficientemente largo, dominar, gracias a la inducción transfinita, un fragmento más considerable del análisis clásico? La pregunta carece, por el momento, de respuesta. Al menos para la teoría de números con axioma general de inducción completa el resul­ tado es claro: Gentzen filtra cuidadosamente las nociones y los razonamientos metamatemáticos empleados. Todos pertenecen a la zona finita, salvo la demostración terminal de la finitud del número de operaciones de reducción. La ordenación de los gra­ dos de complicación responde a la representación del infinito potencial; no es necesario pedir prestada la noción de buen or­ den a la teoría de conjuntos; basta considerar la transmisión pro­ gresiva del orden: si todos los grados, de característica r, están ya ordenados, se deduce53 por operaciones cada vez finitas, la ordenación de los grados de característica r + 1. En cuanto al mo­ mento decisivo, la demostración de la finitud de la reducción es, como hemos visto, inmediata en cuanto los grados se ordenan. Lo que le permite tener éxito, como anota el propio Gentzen, es que no hay para cada secuencia (como hacía von Neumann) determinación directa de un proceso de reducción, sino demos­ tración “de la posibilidad de tal determinación”. Solamente así se pueden dominar las superposiciones de elecciones libres, algu­ nas de las que, como se lia visto, condicionan la modalidad de las reducciones ulteriores.

53 Los grados de característica 0 se toman entre los núm eros 0.1, 0.11, 0 .1 1 1 ,..., 0.2; los grados de característica r + 1 entre los números cuya mantisa está consti­ tuida por mantisas de números ya constituidos de ca ráete astica r ordenados de manera decreciente y separados cada vez por r + l ceros. Así para 1 se tiene 1.1, 1.11, 1.1101, l . l l l , 1.11101, etc. El orden se obtiene así: a todo número a de característica r corresponde un sistema í (a) de números de característica r + 1 cuyo orden se deduce del conjunto de números de característica r ya ordenados (en efecto, se obtiene añadiendo a la mantisa de a sucesivamente estos núm e­ ros). En fin, las 5 (a ) tienen entre sí el mismo orden (de magnitud) que las o¡. Se ve que el tipo de orden de los núm eros de característica 0 es w + 1, para 1: 2tu+1 = u> • w, luego 2WW = tuw, etc.

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No parece que otras investigaciones puedan hacerlo mejor: el criterio de Gödel impide que se opere con un gasto menor: el mérito de la demostración de Gentzen es el de haber fijado exactamente hasta dónde era necesario ir. Sin duda la represen­ tación del segmento 0... escapa a la intuición. Por lo menos “no se puede refutar una cierta evidencia al procedimiento que lo engendra”. Basta considerar los números transfinitos más pe­ queños: “el sentido finitista preciso de su sucesión puede en... una cierta medida, ser visto de un sólo golpe... la dificultad apa­ rece porque, en el caso general,... aparece una complicación tal de infinitos superpuestos que no es posible tener una represen­ tación determinada”54. Pero entre los casos iniciales y los otros “nada nuevo aparece”. Incluso los intuicionistas no tienen obje­ ciones que presentar: dado que se trata de un segmento determi­ nado de la clase II (de ahí la necesidad de fijar exactamente hasta dónde ir), una ley puede darlo; sólo es contradictoria la clase en su totalidad. Si nos negamos, incluso, a esta representación, la ventaja es que ahí se concentran todas las dudas sobre la validez de la teoría.

54 Gentzen (II), p. 559

C on clu sión

La situación p ara el form alism o radical Tal parece que éste es el máximo de claridad que se puede obtener, hasta que un nuevo resultado aparezca, sobre el pro­ blema del fundamento. La solución de Hilbert tenía el singu­ lar mérito de indicar por sí misma el criterio preciso del cual dependía su validez. “A pesar de las investigaciones intensas y de las muchas ideas de demostración, ninguna ha logrado el objetivo”1planteado originalmente. En este caso la actualización efectiva transformaba a las consideraciones sobre las matemáti­ cas en construcciones matemáticas: “en el dominio de las re­ flexiones me tama temáticas el riesgo de las ilusiones se vuelve particularmente grande”23.Ninguna reflexión filosófica sospechó jamás^, y al parecer no podía sospecharlo antes de Gödel, la im­ posibilidad de extender métodos como los de Ackermann y de von Neumann a la teoría general de los números. Al menos para el formalismo radical, tal como lo presenta von Neumann, el re­ sultado de Gödel es decisivo: si la matemática recibe su validez objetiva de su representación como sistema —o colección de 1 Bernays (VI), p. 210. 2 Loe. cit. 3 Fraenkel, sin embargo, expresaba en 1928 sus “serias dudas sobre el éxito del m éto d o ... para la demostración de no contradicción de la teoría general de los conjuntos o aun para la teoría clásica del continuo”. Fracnkel (V), p. 3S3-

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sistemas— de signos desprovistos de otro sentido que aquel que les confieren las reglas de estructura y las reglas de deducción, con la imposibilidad de una prueba de no contradicción, el edi­ ficio se hunde. La noción de demostración formal era la que daba su significación única al sistema, y ésta ya no es precisable (puesto que no se puede probar que no todo es demostrable en un sistema formal). No se podría tratar aquí de una extensión de la zona metamatemàtica finita: puesto que se deben definir a las matemáticas, la zona previa no debe comportar más que proce­ sos intuitivos experimentales —es decir, rigurosamente finitos— como los usados por von Neumann. La inducción transfinita re­ ducida de Gentzen no es, de ninguna manera, experimental, ella pertenece ya a las matemáticas.

L a s i t u a c i ó n p a r a e l l o g ic i s m o

Así, las otras dos soluciones al problema del fundamento, el logicismo y el intuicionismo, parecen aventajados por los traba­ jos de la escuela de Hilbert. Para el logicismo, tal y como era ex­ puesto en el Círculo de Vierta hasta 1929 (fecha en la cual Gödel comunicó su demostración), por una parte los símbolos forma­ les se encuentran provistos de un sentido, que es el que justi­ fica su uso en lugar de desprenderse de éste; por otra parte, la noción de tautología, retomada de Russell para ser precisada, de­ termina la validez incondicional de la lógica y, en consecuencia, de las matemáticas, al ser éstas una parte de aquélla: las demos­ traciones de no contradicción son sólo confirmación y no fun­ damento. Todo signo lógico es la representación de una noción intuitivamente clara y “para todo signo matemático hay uno o varios sentidos puramente lógicos”4. En cuanto a las tautologías, ellas representan las transformaciones puramente combinatorias de las proposiciones: un enunciado tautológico afirma la equiva­ lencia de dos expresiones que —una vez manifestado el sentido de los signos— se confirman como idénticas salvo por la forma de la combinación. En el cálculo de proposiciones la teoría de 4 Carnap (II), p. 143.

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funciones de verdad daba, para Wittgenstein5, el tipo de los en­ cadenamientos lógicos. De alti la extensión de lo tautológico a todo enunciado que se derive únicamente de las leyes lógicas; éstas están provistas, para Frege y Russell, de una evidencia in­ mediata. La teoría de la lengua como imagen del mundo viene a darle a lo tautológico su sentido negativo6: las proposiciones lógicas, en tanto que sintéticas, no tienen contenido (empírico), no nos enseñan nada sobre los hechos7. A esta definición algo corta de la lógica, los trabajos de Car­ nap han aportado la extensión y la complicación necesarias a partir del desarrollo mismo de la técnica formalista. La relación de consecución deja de ser unívoca: se le puede definir de ma­ nera arbitraria por el enunciado de las reglas de estructura y de deducción. Cada determinación genera una sintaxis particular: la lógica no es más la sintaxis de una lengua sino el sistema de todas las sintaxis posibles. La no saturación de la aritmética y de las teorías que la engloban no las excluyen de la lógica: “todo concepto matemático puede ser definido en un sistema apro­ piado y toda proposición matemática puede ser decidida en un sistema apropiado. Pero no hay un sistema único que contenga a todos los conceptos matemáticos y a las demostraciones de to­ das las proposiciones matemáticas válidas. La matemática exige una sucesión infinita de lenguajes cada vez más ricos”8. Es posi­ ble que haya yuxtaposición: así Carnap contempla relaciones de consecución infinita (una proposición es consecuencia de una clase infinita de otras proposiciones), tales como la última re­ gla de Hilbert. Es el principio de tolerancia de la sintaxis: no se debe preguntar ¿son permitidos tal regla o tal signo?, sino ¿cómo queremos edificar una lengua determinada? —Pero habría que preguntar si esta tolerancia no amenaza con destruir las tesis cen­ trales del logicismo—. Primero la evidencia lógica desaparece, o 5 Resumimos algunas de las tesis esenciales de Wittgenstein en Cavai liés (T), p. 137-141. Se encontrará una exposición francesa de las discusiones dentro del Circulo de Viena y entre éste y otros grupos afines en A. Lautman (I). 6 Para el segundo y tercer sentidos “que no corresponden al uso ordinario” Carnap emplea el término analítico. Carnap (III), p. 39. 7 Wittgenstein (I) proposición 5-43; “Todas las proposiciones de la lógica dicen lo mismo, a saber, nada”. 8 Carnap (III), p. 165-

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al menos es desplazada de los fundamentos (punto de partida axiomático) hacia el encadenamiento de los procedimientos por medio de los cuales se extrae de esos fundamentos la estruc­ tura de una sintaxis. Aquí —segunda consecuencia— se produce una extraña inversión: esos encadenamientos son de orden ma­ temático. La lógica deviene una parte de las matemáticas. La tra­ ducción de Gödel —que Carnap utiliza para definir dos ejemplos de lenguajes (los lenguajes I y II)— lo imponía. “No hay propo­ siciones particulares de la lógica de la ciencia. Las proposiciones de la sintaxis son, en parte, proposiciones de la aritmética y, en parte, proposiciones de la física (en la medida en que la sinta­ xis es descriptiva, es decir, estudia los discursos dados efectiva­ mente en el espacio y en el tiempo) que se llaman proposicio­ nes sintácticas sólo porque son relacionadas con configuracio­ nes lingüísticas o con su estructura formal”9. “La sintaxis pura (lógica) es ... una parte de la aritmética”10. Sobre este punto el hilbertismo triunfa: por una parte la formalización de las ma­ temáticas no se puede efectuar mediante la traducción a la lógica sino mediante la reconstrucción simultánea de las dos discipli­ nas. Por otra esta reconstrucción debe ser rigurosamente formal, en el sentido hilbertiano, “es decir, sin relación alguna con el sentido de los signos ... basta fijar la validez de ciertas proposi­ ciones y las relaciones de consecución, no hay que plantear... preguntas que rebasen la estructura formal del sistema”11. Sin embargo el formalismo estricto no es adoptado, en su contra el logicismo transformado mantiene una objeción deci­ siva: es incapaz de dar cuenta de la aplicación de las matemáti­ cas a la física. ¿Qué tienen que ver los juegos no contradictorios de símbolos con los fenómenos del mundo? “No se ve en abso­ luto la razón, escribía Fraenkel en 1928, por la que las leyes de la aritmética formal corresponden exactamente a las experiencias del niño frente a su àbaco”12. No hay paso entre la proposición: en esta sala se encuentran ahora Pedro y Jacobo y sólo ellos, 9Ibid, p. 210. W Ibid. , p. 66 *lib iti, p. 254. 12 Fraenkel (V), p. 383-

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y la proposición: en esta sala hay ahora dos personas. La defi­ nición del número 2 tal y como la daba Frege lo permitía. “No se dará un fundamento lógico a las matemáticas sino construyendo un sistema que haga posible tales deducciones"13. Esta es la larea que rebasa la empresa formalista y que la escuela logicista reconoce como suya: reemplazar la metamatemàtica o “sintaxis de la matemática por una sintaxis de la lengua total que unifi­ que a las proposiciones lógico-matemáticas y a las proposiciones sintéticas”14. Pero no se ve cómo, habiendo renunciado a distin­ guir entre lógica y matemáticas; es decir sin poseer —como la sintaxis de Frege— ninguna base de referencia previa a las ma­ temáticas, esta sintaxis podrá “contener determinaciones forma­ les generales sobre la aparición de los signos matemáticos en las proposiciones sintéticas descriptivas, y relaciones de conse­ cución para esas proposiciones”15. Á menos de suponer ya una parte no precisada —ni precisable tal vez, a diferencia del for­ malismo que no suponía sino la aritmética finita— de las ma­ temáticas, ella puede apenas codificar lo que ha sido efectiva­ mente realizado en los escritos de los lisíeos, salvo algunas sim­ plificaciones y unificaciones: nada compromete para una nueva teoría física. Cualquiera que sea el interés de los ingeniosos en­ sayos de Camap sobre este tema, parece que lo llevan más ha­ cia una especie de filología científica que hacia un fundamento lógico —diferente, por lo tanto, de una simple constatación— de la aplicación de las matemáticas a la realidad. Por otra parte hacen intervenir la “lengua total”, sorprendente retorno a Witt­ genstein. No se puede tratar de una lengua general, esquema común de todo lenguaje: en el ensayo de la sintaxis general16 no hay sino marcos vacíos. Es una especie de receptáculo de to­ das las lenguas el que se pretende, necesario puesto que ningún lenguaje puede contener a todas las matemáticas; aunque de ma­ nera ilegítima, pues al no ser un lenguaje, no puede ser el objeto de una investigación sintáctica. Del logicismo así entendido —y 13 Carnap (III), p. 25<í.

14 Loe. cit. 15 Lo c. cit. 16 Estudiada en Carnap (III), p. 106-202.

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guiado por el mismo realismo escondido que para Frege y Russell planteaba un en sí del universo— ninguna solución al problema del fundamento se puede esperar.

La situación para el intuicionismo Quedaría sólo el intuicionismo. Ya se ha visto su papel en las demostraciones de no contradicción. Estas consistían—salvo en las dadas por Ackermann y von Neumann— en dar un medio de coordinar una interpretación intuicionista a las proposicio­ nes válidas. El método de los campos —extraido del teorema de Herbrand— es sólo la construcción intuicionista de un modelo que satisface los axiomas. Para la demostración de Gentzen este carácter es particularmente claro: “la parte esencial de mi demos­ tración ... consiste en que un sentido finitista (es decir acepta­ ble para el intuicionismo) se coordina a las proposiciones en sí (a las proposiciones formales de la matemática clásica)”17. Se trata del procedimiento de reducción, determinable para cualquier proposición demostrada. Puede suceder que no presente “sino un vínculo bastante laxo con la forma de la proposición”, que sea más débil que para las proposiciones de la misma forma, demos­ tradas de manera finita (así, para proposiciones como £ ¡3(pe), donde el sentido finitista —procedimiento de reducción— nò enuncia que se pueda dar un ejemplo i para el cual &(z) es ver­ dadera, sino que depende de la demostración de S¡3(ar)). ¿Pero no representa de todas maneras el único sentido matemático ad­ misible? Parece que en el intuicionismo la necesidad de una in­ terpretación conduce prácticamente a la reducción al intuicio­ nismo. La matemática clásica tendría el interés de una presen­ tación más rápida o más armoniosa; la auténtica matemática es intuicionista18. 17 Gentzen (II), P' 564. 18 Sin que Gentzen se pronuncie de manera explícita sobre el tema (“si algo real corresponde al sentido-en-sí de una proposición transfinita, se trata de un problema deí que no se ocupa una demostración de no contradicción”) tal' pa­ rece que se aproxima a esta tesis; busca sólo un valor estético y práctico de los

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La situación no es, en efecto, ia misma que cuando Kronecker quería reducir las matemáticas a las operaciones sobre los números enteros. Recordamos la respuesta de Dedekind1^: la in­ troducción de un nuevo concepto tiene éxito sólo si se aban­ donan los conceptos anteriores en los cuales se descompone. O, con la comparación de la adjunción de ideales* 20: es la pri­ mera operación de relación con el dominio primitivo la que se efectúa (reemplazo de un sistema de cálculos anteriores por un nuevo cálculo), en lugar de la segunda (eliminación de los ele­ mentos ideales II, £, s) que los métodos de Ackermann-von Neu­ mann en vano habían intentado realizar directamente. Para la relación, la primera operación—más complicada— basta (ella implica también la no contradicción, ya que 0 0 debía ser in­ terpretable). Pero la introducción de conceptos, la adjunción de ideales sólo tienen interés en tanto que momentos insertos en el desarrollo dialéctico de las matemáticas. Si el número com­ plejo es más que la pareja de números reales que reemplaza, es porque es también punto de aplicación concreta para los razo­ namientos de la teoría de las funciones analíticas. La transfor­ mación de las matemáticas en sistemas enteramente formales — por la adjunción de los símbolos ideales transfinitos— no tenía sentido sino en tanto que ella permitía un tratamiento concreto metamatemàtico de estos sistemas; es decir, principalmente su caracterización y su utilización gracias al procedimiento de la de­ cisión (dada una proposición se reconoce si ella podía ser deci­ dida dentro de un sistema o bien si se requiere transformar y enriquecer a los axiomas). Pero el procedimiento sólo es apli­ cable para los sistemas saturados: aquí interviene de nuevo el resultado de Godei. La metamatemàtica, tal y como Hilbert la definió, que debía procurar su verdadero aspecto al desarrollo de las matemáticas, aparece sin objeto. El edificio formal clásico es sólo una superestructura accesoria. enunciados clásicos: ya que no hay contradicción ellos dispensan al menos al intuicionista de buscar una demostración para su negación. W Véase supra, p. 58. 20 Véase supra, p. 96.

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Dos temas esenciales en Hilbert a. La teoría de la generalización Quedan sin embargo, en los análisis propios de Hilbert y no en el formalismo radical, dos temas que al ser liberados de su vínculo con el resto de la doctrina no son alcanzados por las consecuencias del teorema de Godei y dan una significación in­ dependiente al sistema clásico freme a la construcción intuicionista: por una parte la teoria de la generalización y del mètodo axiomático, por otra parte la teoria del signo. La primera justifica la fecundidad, la segunda el sustrato objetivo del sistema. Se ha visto el triple papel de la generalización21, bajo los di­ versos aspectos de definiciones descriptivas que genera (tales como la adjunción de ideales, las axiom atizaci ones parciales o completas): liberación de operaciones de condiciones extrínse­ cas a su realización plena, disociación o identificación de pro­ cesos unidos o distinguidos accidentalmente; posición de nue­ vos objetos como correlatos de operaciones reconocidas como autónomas. En todos los casos la fecundidad del trabajo efec­ tivo se obtiene a través de esas rupturas en el tejido matemático, ese pasaje dialéctico de una teoría que conlleva ella misma sus límites hacia una teoría superior que la desconoce, aunque —y porque— procede de ella. Llenado de lagunas, inversiones ope­ radas voluntariamente. No hay nada más opuesto a las construc­ ciones progresivas del intuicionismo que acopla todo a los pro­ cedimientos generados unos de otros y que toma como único punto de partida a la diada. Hay, sin embargo, una aproximación a propósito del primer estadio de la definición del continuo: hasta la intervención de las definiciones no predicativas, el análi­ sis clásico es sólo razonamiento sobre fracciones continuas (o sucesiones diádicas) cualesquiera; es decir, en donde sólo im­ porta al razonamiento el hecho de que se tienen fracciones con­ tinuas y no los números efectivamente sustituibles en los lugares de su desarrollo. ¿Pero no se encuentran así exactamente las su­ 21 Véase supra p. 56 (análisis de Dedekind) y p. 96-97 (análisis de Hilbert).

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cesiones libres de elección? En lugar de colocarse inicialmente en la exigencia auténtica del problema, lo arbitrario se concre­ tila de alguna forma en un desarrollo indefinido. Para rebasar lo numerable, es decir, lo que puede ser alcanzado efectivamente, era necesario liberarse de esas restricciones: aceptando que el matemático haga razonamientos “provistos de sentido” sobre las sucesiones que no están completamente determinadas, en la me­ dida en que no toma en cuenta sino lo que en ella está determi­ nado, Brouwer reintroduce de manera subrepticia uno de los momentos esenciales de la generalización clásica, oculta apenas bajo la imagen —que para él no es sino imagen— del desarrollo en el tiempo. De ahí el acuerdo parcial (las posibilidades de éxito para empresas como la de Gcntzen), la inutilidad, para la mayoría de los problemas de este estado, de la distinción entre las defi­ niciones positivas o negativas (de la separación, del orden); los razonamientos clásicos pueden ponerse bajo forma hipotética: si se saben separar, ordenar, tales números reales, resulta ésto. Queda el segundo estado, el análisis completo con las definicio­ nes no predicativas: aquí nuevos objetos se plantean y devienen punto de partida de razonamientos. La generalización se actua­ liza en idealización. Se trata del poder de crear que hablaba Dedckind, que Hilbert creyó legitimar con las demostraciones de no contradicción. La teoría del signo debe entonces intervenir. ß* La experiencia sobre los signos No se trata para Hilbert de una mera descripción psicológica. Se trata del reconocimiento fenomenològico (en el sentido hus­ serliano) de un carácter esencial de los enunciados matemáti­ cos: no son más que la constatación de una cierta situación en­ tre objetos sensibles. Se ha visto que Kant experimentaba ya la necesidad de extender su teoría de las demostraciones geométri­ cas a los procesos algebraicos. El movimiento general de forma li­ bación en el siglo XIX no es un accidente histórico: los símbolos no son una simple ayuda para la memoria sino los nuevos ob­ jetos que se consideran de manera auténtica (que no son pues­ tos para otra cosa que la que representan) en una teoría radical­ mente nueva generada por el proceso de generalización. La ac-

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titud del Círculo de Viena es instructiva: Wittgenstein rechazaba las proposiciones sintácticas porque una situación entre objetos (aquí elementos del lenguaje) se ve, no se enuncia. Es absurdo escribir a = a, a ^ b. Con la distinción de sintaxis superpues­ tas (que corresponden al paso de la combinatoria intuitiva a las matemáticas propiamente dichas), los enunciados sintácticos re­ toman un sentido, pero en tanto que se inscriben en un sistema formal. “La posibilidad de ser traducido en el modo de expresión formal... es el criterio que distingue a las verdaderas proposi­ ciones de la lógica de la ciencia de otras proposiciones filosóficas [desprovistas de sentido]”22. Se ha visto el triunfo del formalismo sobre el antiguo logicismo en este punto: esta inserción forzada obliga a no dar al signo otro sentido sino el de sus modos de empleo. El enunciado de una situación matemática es él mismo una situación matemática. Pero, como tal, sin relación directa con el primero. Fue un error común del logicismo y del forma­ lismo el querer transformar en vínculo necesario una relación que pertenece —por modificado que sea— al fenómeno general del lenguaje. Al grado que el logicismo actual se ocupa de hacer las distinciones indispensables23. Por otra parte las matemáticas mismas se prestan a confusión: /(* ) = o es a la vez situación y expresión de una situación. Pero desde el juego sobre la ecuación, su tratamiento efectivo, se separan acto y discurso. Si las matemáticas son un trabajo sobre fórmulas, ellas no son ni el sistema formal de Russell ni el sistema formal de Hil­ bert. Ambos carecen de interés salvo para la teoría de conjuntos (o para la combinatoria lógica)24donde justamente los razona­ 22 Carnap (III), p. 210. 23 Ya Frege distinguía entre el símbolo/? en tanto que representante de un objeto, y la designación de ese símbolo *p* (ejemplo de Carnap: "París es la capital de Francia” y “‘París’ es disilábica”. Cf. las observaciones de Carnap (II), p. 109-113 y 184-192 sobre el m odo de expresión autónimo (donde el símbolo se representa él mismo, por ejemplo, en la proposición pN(p) en Gödel (II), supra, p. 145) y Társki (III) sobre la superposición de los lenguajes. 24 Independientem ente de los desarrollos técnicos como el de la teoría de las funciones recursivas de Hilbert, Ackermann {supra, p. 117-118).

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mientos naïfs, desprovistos de un soporte serisible, corrían el riesgo de referirse implícitamente a las imágenes finitas. Se ve que la camisa de fuerza de las reglas de la lógica clásica sólo pueden incluir de manera incómoda a las experiencias impre­ visibles sobre las fórmulas25. Son éstas en su originalidad con­ creta las que constituyen la realidad objetiva, no su traducción que también se reduce a una serie de experiencias de orden dife­ rente. No hay ya por qué reemplazar todas las operaciones efec­ tuadas en matemáticas por operaciones aritméticas26, así como en tiempos de Weierstrass se construían todas las relaciones en sistemas de relaciones de números reales. La formalización com­ pleta llega, paradójicamente, a suprimir las independencias ope­ ratorias que el método axiomático tenía como fin preservar27.

Experiencia dialéctica y existencia de objetos a. El campo temático y los métodos Pero, ¿en dónde se pueden situar las experiencias y cómo re­ conocer la existencia efectiva de los objetos? El problema carece de solución si se conserva la ontologia acrítica admiüda implícita25 Gentzen (I) intentó definir un sistema lógico (equivalente ut sistema clásico) más próximo a los procedimientos cercanos del pensamiento, en particular in­ siste sobre el procedimiento de distinción de casos para la eliminación de v (las dos hipótesis de la disyunción se contemplan sucesivamente, si conducen al mismo resultado éste sería afirmado como consecuencia de la disyunción). A propósito de la formal ización de la demostración de Fuel ides sobre ¡a exis­ tencia de una infinidad de números primos (Gentzen (II)p. 506-511) distingue diferentes modelos de inducción completa, en particular la inducción completa descendente: X2(t)A TI [^ (s a q ) —» .io(.t i )] —+ X2(0) *1

t es un núm ero particular. Estamos ante el caso de razonamientos aritméticos para los cuales las experiencias están próximas de aquéllas de la sintaxis de una lengua. Cf. Sin embargo la longitud de la formal ización (con el sistema clásico) del principio de la aritmética en Hilbert y Bemays (r), p. 405-406, en particular la dem ostración de la simetría de la relación Pr(ab): a y b son primos relativos. 26 Aquéllas de la aritmética recursiva en donde se traducen las operaciones lógi­ cas. Cf. también Skolem (II). 27 Cf. sobre este punto C. Chevallcy (1), p. 379-

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mente en la mayoría de las discusiones; la dualidad de un mundo sensible en sí y de un pensamiento confundido con las manifes­ taciones históricas. De donde el recurso a Platón con la referen­ cia a un sistema inteligible que es garantía objetiva de la con­ ciencia empírica: es más el reconocimiento de la imposibilidad de limitarse a un sistema de objetos construidos efectivamente, afirmación de una complejidad de la noción de existencia ma­ temática, que un camino hacia una solución —a menos que se admita una intuición intelectual que, sin desempeñar un papel en el trabajo matemático propiamente dicho, intervenga para ha­ cer posible un sistema de axiomas, para aprehender la armonía de una teoría ya construida y que escapa a toda demostración de no contradicción, como la teoría de los conjuntos en la axiomatización de Zermelo-Fraenkel. Parece más seguro no romper, aún para una justificación, el encadenamiento con los pasos de la conciencia empírica desde el origen. “El análisis matemático —escribe L. Brunschvicg— ... es una sugestión de la experien­ cia para la extensión de la experiencia misma”28. No hay nada tan poco histórico —en el sentido del devenir opaco, percibido sola­ mente en una intuición artística— que la historia de las matemáti­ cas. Pero nada tan poco réductible por su radical singularidad. Si la necesidad de la configuración de las teorías en un tiempo dado es dudosa —aún recortada la contingencia sociológica de su expresión— si son posibles de simular una o varias teorías ausentes, conservando el resto— aunque no sea sino por igno­ rancia de las relaciones escondidas entre los problemas, no se puede prever el todo como un sistema arbitrario de teorías yux­ tapuestas, el lugar o la presencia del análisis, por ejemplo, o de la aritmética, siendo indiferentes. No hay definición ni justificación de los objetos matemáticos que no sea la matemática misma; es decir, como hacía Brouwer, desarrollo de su historia a partir de la diada, con la diferencia de que por una parte el desarrollo es único, mientras que para Brouwer hay en apariencia una arbitra­ riedad de creaciones, y por otra parte, que no está situada en una región de la conciencia, caracterizada por una intuición siti gene28 L. Brunschvicg (I), p. 570.

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ris (lo que da su validez a las creaciones). La intuición en cuestión no es sino el prolongamiento de la intuición sensible verdadera no fijada en el primer estadio de una conciencia fragmentada: el crecimiento de la conciencia y el desarrollo dialéctico de la expe­ riencia coinciden. Ellos dan lugar a la generación indefinida de los objetos en lo que llamamos el campo temático, se han visto algunos de los procesos de generación, los diferentes tipos de generalización, las formalizaciones a las que se añade la tematización propiamente dicha: transformación de una operación en elemento de un campo operatorio superior; ejemplo la topo­ logía de las transformaciones topológicas (esenciales de manera general en la teoría de grupos)2?. Tres especies de momentos dialécticos —según una clasificación forzosamente burda y no exhaustiva— en realidad cada uno incomparable con los otros, en la originalidad de la situación matemática en donde nace. La necesidad de la generación de un objeto no es nunca aprehendida más que a través de la constatación de una con­ quista; la existencia en el campo temático no tiene sentido salvo como correlato de un acto efectivo. Así, para el campo de los números reales: las definiciones no predicativas alti son, como ya se ha señalado*30, inofensivas si se supone dada la existencia total del campo de los números; para éste la posibildad de rea­ lización de las operaciones del análisis clásico es el único crite­ rio: la pregunta sobre el sentido de una operación, tal y como la plantean los intuicionistas, nace del prejuicio —de ontologia no crítica— de que el objeto debe ser definido anteriormente a la operación cuando en realidad es inseparable. Duplicando el campo temático se encuentra el sistema de los métodos sólo precisables por la intuición central que dirige las variaciones de sus aplicaciones y que constituye la unidad profunda —aunque ac­ cesible mediante la acción— de una teoría: tales son el cálculo arguesiano en geometría proyectiva elemental, el procedimiento general de la diagonal o la linearización en la teoría de Can­ tor, o el procedimiento de la cadena para Dedekind, compren­ der es atrapar el gesto y poder continuar. La dualidad objeto2? Véase los análisis de esto en Lautmann (II). 30 véase por ejemplo Fraenkel (IV) p. 233.

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procedimiento de acción sobre éi es ía apariencia de la supe­ ración dialéctica de un método por otro, los objetos planteados independientemente del segundo son los correlatos de la pri­ mera. En cuanto al motor del proceso, parece escapar a toda investigación: es el sentido pleno de la experiencia, diálogo en­ tre ja actividad consciente en tanto que poder de tentativas so­ metidas a ciertas condiciones y esas mismas condiciones. Dis­ tinguir a una como entendimiento, y a las otras como sensibi­ lidad no plantearía avance alguno salvo que, al menos por un lado, fuera posible precisar una estructura. Abandonado el pri­ mado de las categorías injustificables, no queda sino una duali­ dad de derecho, imposible de actulizar ya que la imprevisibili dad de la síntesis es la definición de su existencia. Sólo al ir al fondo de la formalización —en particular formalizando la sintaxis en la lengua— se pudo saber qué era un sistema formal y percibir los límites del procedimiento. Pero lo sensible, conciencia con­ creta inmediata, no se abandona: no es dejarlo el incidir sobre él (todo objeto abstracto, obtenido, por ejemplo, por la tematización, es un gesto, sobre un gesto ... sobre un gesto sobre lo sensible primitivo). El campo temático no está, pues, situado fuera del mundo, es la transformación de éste: el pensamiento efectivo (exigiendo una conciencia más completa) de las cosas es pensamiento de estos objetos (el pensamiento adecuado de una pluralidad es el pensamiento de su número). Si queda un ele­ mento ineliminable de incertidumbre (dudas sobre el campo de los números reales, o, para Lusin, sobre el conjunto de los ente­ ros), su acción no lleva hacia atrás, los gestos completados efec­ tivamente permanecen válidos (validez definitiva de los enun­ ciados), sino hacia adelante por una transformación de lo que se plantea (modificación de las nociones). Para los logicistas, re­ basada la representación del triángulo, inmutable en tanto que representación, está el discurso sobre el triángulo que hace a las matemáticas. Pero el discurso en tanto que movimiento no es sino un aspecto particular del devenir general de la conciencia: el acompañamiento simbólico, como toda marca de la conciencia de las etapas de su acción sobre las cosas, no debe estar aislada, participa en el mejor de los casos (lenguaje sistematizado) de la extensión correlativa de la experiencia.

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ß. Relación con la experiencia física Tal parece que ésta es la doble respuesta de un formalismo modificado al logicismo y al intuidonismo. En primer lugar, la separación entre la experiencia verdadera que es conocimiento, que no puede ser otra sino aquélla que rige a las matemáticas y la experiencia, superposición de elementos heterogéneos, en sen­ tido corriente o experiencia física. Sin pretender analizar éstas, podemos contentarnos, para evitar toda confusión, con señalar que si no hay nada más que pensar en la física que la matemática que ahí se encuentra, la intención técnica —en sentido socioló­ gico: afirmación de la vida humana en el mundo, o puesta en pre­ sencia del hombre, en tanto que ser individual, con las cosas— interviene para detener el proceso dialéctico normal, fragmentar o coordinar las experiencias diversas, a su primer estadio (privi­ legio por lo vivido): por ejemplo, el percatarse individualmente de una experiencia, tanto en sí misma y como acontecimiento vivido de una conciencia, aun cuando el hecho de percatarse es en sí mismo, como objetivo, una experiencia de otro orden31. En este entretejido, la noción de experiencia pura o de concien­ cia desaparece. En cuanto a la aplicación de las matemáticas a ‘ia realidad”, es decir, al sistema de interacciones vitales entre hombre y cosas, es claro de lo anterior que ella ya no tiene más interés para el problema del fundamento de las matemáticas: el niño frente a su àbaco es matemático, y todo lo que con él puede hacer es matemáticas. Pero el orden seguido, el vínculo con otras experiencias pueden ser dirigidas por una intención técnica que en principio tiene un papel negativo: suspensión de la profundización de la conciencia redamada por cada experiencia por separado.

7. Relación con la lógica En segundo lugar el abandono de todo apriori. El verdadero significado de la lógica parace haber sido precisado en definitiva De ahí, por ejemplo, el pape) del cálculo de probabilidades que parece ser el desarrollo matemático de la experiencia i>?dividuo-colediiddad . Esperamos regresar a ello en otra parte. 31

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por Brouwer: es la traducción, en la sintaxis del lenguaje, de las experiencias generales sobre los sistemas finitos; su autoridad es la de una primera etapa por la que siempre hay que pasar, autori­ dad idéntica a la de la aritmética o el análisis para las teorías pos­ teriores. Pero de ahí también el abandono de una crítica que no puede ser eficaz cuando se ejerce sobre la realidad de los encade­ namientos y no sobre el discurso matemático. La contradicción no es sino la experiencia de un fracaso (imposibilidad de com­ pletar de un gesto previsto por la conciencia inadecuada). De ahí la confusión —que señalaba Hilbert— entre existente, es de­ cir aprehendible de manera empírica, y no contradictorio: esto es, contrariamente a las apariencias, lo que constituye el verda­ dero sentido de aquél . Igualmente para el tercero excluido: no hace sino traducir la independencia dialéctica de la experiencia en relación a su actualización en una conciencia individual o en un procedimiento dado. Se vio a propósito del continuo en el primer estadio: la noción de totalidad es idéntica a la de arbitra­ rio. En toda teoría, transformar la negación de una proposición universal en proposición particular no-es sino el juego previo a nuevas operaciones: nada impide a priori que para ésta baste el punto de partida negativo (que no está, por cierto, situado en el vacío sino en un medio dotado de propiedades positivas; por ejemplo en el análisis, si las propiedades que permanecen atribuidas a un número real permiten incidir sobre él). La ne­ gación tiene, en cambio, un efecto de disociación; ella permite liberar una operación hasta entonces asociada a otras (exacta­ mente como las axiomatizaciones parciales). Es aún un poco de apego al apriori lógico el que obliga a los intuicionistas a sus pro­ hibiciones. Para separar la necesidad matemática de las consta­ taciones experimentales es necesaria una intuición original cuya realidad, ya que es imposible de definir, sea al menos probada por la continuidad de las construcciones encadenadas. Pero la racionalidad de la conciencia es verdadera inmanencia; es de­ cir, que ninguna exigencia —al igual que ninguna definición— la puede garantizar. La matemática intuicionista es una parte en* *

En el texto original están invertidos “esto” con “aquel" (N del T).

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el seno de las matemáticas,, que puede presentar, por otro lado y en virtud de las condiciones impuestas, ventajas para la técnica humana32. Bernays negaba en 1934 —es decir, poco después de la de­ cepción de las ambiciones formalistas— que haya habido una crisis de las matemáticas: en realidad las ciencias matemáticas crecen con seguridad y armonía plenas”33. Sólo se trató de una crisis filosófica porque ciertas exigencias extrínsecas fueron im­ puestas, también porque tanto del lado de Hilbert como de los intuidonistas un ideal de evidencia fue definido: axiomatización y formalización no son ya los momentos de una dialéctica crea­ dora sino vestimentas obligadas. De alti sin duda igualmente no pocas exageraciones en las dificultades de la teoría de los con­ juntos: realmente no hay, a lo que parece, más que aquéllas que provienen de la mezcla entre especulación filosófica y razona­ mientos matemáticos y aquéllas, normales, que provocan las in­ suficiencias técnicas. Se ha visto además34el nacimiento de las primeras; cómo de las experiencias efectivas sobre los conjun­ tos del análisis, Cantor y después Zermelo, partieron para fun­ dar las nociones de número y de función sobre una teoría que les sea previa (es decir, que ninguna dialéctica experimental per­ mite alcanzar). Con las axiomatizaciones formalizantes de JFraenkel y de von Neumann la teoría abstracta reencuentra una signi­ ficación sensible: las operaciones efectuadas sobre los símbolos. Que éstas no correspondan al sentido inicial no tiene nada de sorprendente. La prueba es la no categoricidad fundamental de esos sistemas, concebidos como traducción de otra realidad (im­ posible de alcanzar concretamente) y no como sistemas formales independientes. Sólo son matemáticos en tanto que formales; cualesquiera que sean, por cierto, las posibilidades de coordi­ nación con otros sistemas para ciertas operaciones efectuadas, sobre los conjuntos construidos en otras teorías (el pasaje de un conjunto al conjunto de sus subconjuntos). En cuanto a las pa­ 3 2 Pensamos aquí en las observaciones —-verbales— de R. Wavre sobre la utili­ zación de las matemáticas intuicionistas por la física moderna. 3 3 Bernays (IV), p. 52. 34 Cavai lies (III), p. 14 y 118.

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radojas de los conjuntos analíticos o proyectivos —fuera de los vínculos inesperados que ponen al descubierto (entre el uso de la totalidad de la clase II y la operaciones geométricas)— no ha­ cen, en tanto que paradojas, sino acentuar de nuevo el vacío en­ tre los procedimientos geométricos y los procedimientos analíti­ cos. La situación es simétrica —y es una prolongación— a aquélla de la matemática griega en el momento del descubrimiento de los irracionales: aquí de nuevo un modo de unificación (las defi­ niciones de los irracionales dadas en el siglo XIX) se revela ine­ ficaz. No más que las objeciones de los Sofistas en contra de la di­ visión de la unidad, hoy son justificadas las dudas sobre el análi­ sis. Aquí como en otros lados, la necesidad dialéctica se esconde bajo un fracaso. La experiencia nueva no se da sino por un es­ fuerzo positivo de auténtica apercepción.

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I n d ic e a n a lític o A Ackermann: 117, 129, 166, 167, 170. Ackermann (función de): 117. Aleph: No, Ni: 16, 17. Alexandroff: 19Analíticos (conjuntos): 20. Analíticos (proposiciones): 163. Anulación (satisfacción de un axioma por): 83. Aquel que (término de Russell): 109. Arguesiano (cálculo): 68-74. Arquímedes (axiomade): 71, 74, 76, 82, 85, 86. Aristide (función de la) —Hilbert— g: 114. Antónimo (modo de expresión) : 170. Axioma-esquema: 101. B Baire: 14, 18. Baldus: 86. Becker: 38, 122. BernaysP: 86, 102, 109, 121, 128, 149, 151, 155, 161, 171. Bien definido (conjunto) —Borei—: 17, 18. Bien ordenado (conjunto): 15, 158. B-medible (conjunto): 18-20. Bolyai: 64-66. Bolzano: 50-52. Borei: 14-27, 45. Brouwer: 38-48, 95, 97, 150, 169, 172. Brunshvicg: 28-29, 36, 49, 172.

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Cadena de la demostración-. 101. Calculable (números) —Borei—-. 16. ----- (función) —Borei—: 17. Cantor G.: 15, 22, 95, 115, 121. Cantor (axioma de): 87. Característica (función) de un conjunto: 17. Carnap: 111, 141, 162-165, 170. Categoricidad: 84. Cauchy: 50, 54. Cayley: 66. Chasles: 66. Chevalley C: 79, 171. Clairaut: 50. Clase II (de números ordinales transfinitos): 15, 22, 26, 115. Clases de Baire (de conjuntos): 18, 20. Campo de satisfacción de una proposición -. 130, 153Complicación (grado de) una demostración —Gentzen—: 156. Congruencia (axiomas de): 66-67. Continuo (problema e hipótesis del): 16-17, 119Continuidad (axioma de): 71, 82. Cuantificada (proposición): 105. Cuantificadores. 104-105. D Decisión. 123, 128, 138, 167. Dedekind: 51, 56-61, 91, 95-96, 99, 167-169. Deducción (reglas de): 100, Dehn: 63-65. Desargues (teorema de) : 70-73, 81. Descartes: 28-30. Desintegración (método de): 123. Diagonal (procedimiento): 120.

Método Axiomático y Formalismo

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e (función): 112, 152. Efectivo (noción de) —Lebesgue—: 22. Efectuación (método de): 123Elección (axioma fuerte de) : 114. Esquematismo (kantiano): 32-38. Estructura (reglas de): 105. Euclides: 50, 55, 63, 65-66. Explícita (definición): 109Extensión (axióma-esquema de) : 109Extensión (de un cuantificador): 105. F Fermat (teorema de): 97, 129Función matemática: 110. Formalismo radical —von Neumann—: 99: Fórmulas completas: 100. Fórmulas parciales : 100. Fórmulas provistas de sentido: 100. Fraenkel: 62, 146, 161, 164. Frege: 51, 56, 59-63, 91, 95, 163, 165, 170. G Gauss: 51, 56, 58, 64. Generalización (reglade): 105. Gentzen: 141, 151, 154-159, 162, 166, 169, 171. Gergonne: 65. Glivenko: 151. Gödel: 105, 141-149, 150, 151, 152, 157, 162, 164. Gödel (teorema de): 144-146, 157, 161. Grassmann: 52-64, 59, 61, 66. H Hamilton: 53.

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Hankel: 53-56, 59-60. Hausdorff: 19, 25. Heidegger: 38. Herbrand: 106, 127-129, 133-140, 150, 152-153, 158. Herbrand (teorema de) : 123, 133-140. Heyting: 38-48, 67, 99, 102, 107, 151Hilbert: 48, 51-52, 66, 68-169Huidiza (propiedad) —Brouwer—: 41. Huntington: 83, 85. Husserl: 38, 104. I t (término de Russell); aquel que: 109Ideales (adjunción de): 95-98, 100. Incidencia (axiomas de): 66, 70, 82. Independencia (de sentido y de afirmación): 82. Individuo (en lógica): 104. Inducción completa (metamatemàtica) : 126, 133 Inducción completa (axioma general de la): 109-110, 125, 138141. Inducción completa transfinita (axioma de la): 115-116. Indice (función de) que hace corresponder a todo sistema de individuos sustituido por las variables restringidas (genera­ les) situadas en Ja extensión de una variable general (res­ tringida), un individuo sustituiblc por esta variable: 130131, 134, 136. Intersección (esquema lógico de Ja) —Gentzen—. 155. Intersección (fórmula d e)—Gentzen—: 155, 156. Irreductible (sistema)—Tarski—: 101. Isomorfismo (de modelos que satisfacen un sistema de axio­ mas): 84. K Kant: 28, 32-37, 42, 62. Kästner: 50. Keldych: 19.

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Klein: 66, 67, 70, König: 124. Kronecker: 60, 94, 167. Kummer: 96. L

Lambert: 63- * Lagrange: 50. Lautman: 163, 173Lebesgue: 14, 20, 22-27, 89Leibniz: 28, 29, 30-32. Lejeune-Dìrichlet: 58. Libre (variable) —no ligada—: 108. Ligada (variable): 105. Lobatchewsky: 64-66. Löwenheim: 129-134. Löwenheim (teorema de). 130-133. Lukasiewicz: 102, 141. Lusin: 19-21, 26.. M

Malebranche: 29. Medible (conjunto), en sentido de Lebesgue: 23-24. Metalenguaje (lenguaje superior en el cual se formula la sintaxis de un lenguaje base): 39, 142. Morgan (de): 53N

Neumann (von): 99, 112, 113, 121, 124-127, 141, 146, 147, 151, 159, 161, 162, 167. Nicod: 103. Noether (Emy): 86. Nombrable (noción de)Lebesgue: 22. No contradicción. 123, 127, 137, 146. No contradicción-^}{Godei): 147, 149.

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Número de un signo, de una formula logica (Gödel): 142, 144. Numerable (conjunto): 16. O Ordinales transfinitos (números): 15. Orden (axioma de): 66, 70. P Pascal (teorema de): 69, 74. Pasch: 51, 66, 68, 70, 71, 74, 84, 89Paso (regla de): 106. Peacock: 53Peano: 56, 61. Peano (axioma de): 109, 125, 137. Peter R.: 117. Poincaré: 14, 98. Poncelet: 65. Portadora (variable) de un axioma o de una regla lógica: 110, 155. Predicativas (no): 168. Predicado (cálculo de): 104. Predicados (axioma del cálculo de): 125, 106. Presburger: 127, 128. Projectivo (conjunto): 20, 25. Proposición compleja: 103. Proposición ciernen tal . 104. Proposiciones (calculo de): 102. Potencia (de un conjunto): 16. Prenexa (forma de una Proposición): 133R Ramificados (teoría de tipos) : 111. Ramsey: 111. Recursion ordinaria (definición par): 115, 137, 138, 143. Recursion transfinita-. 115, 147.

Metodo Axiomático y Formalismo

Recursiva (función): 116, 143, 146. Reductibilidad (axioma de): 62, 104, 108. Resolvente (número) de una proposi ción-Brouwer: 41. Resolvente (conjunto) —Lusin—: 26. Richard (paradojas de ): 14, 16. Riemann: 51, 64. Russell: 51, 56, 61, 62, 104-111, 162,-163, 170. S

s (sucesor): 110. Saturación: 84, 127, 147, 149, 163, 167. Axiomas de saturación —Hilbert—: 85. Schaper (von): 70. Schröder: 130. Schweikart: 64. Separable (conjunto): 45. Separación (reglas lógicas de ): 102, 103Sierpinski: 20, 25. Sintaxis de una lengua. 141, 164, 165. Skolem: 152, 171. Souslin: 20. Sucesión libre de elección —Brouwer—: 44. Sucesión lógica: —Gentzen—: 154. Stackel: 65. Staudt (von): 67. Steinitz: 86. Stolz: 71. Sustitución (reglade): 101-103. T t : (función

de la Aristide) —Hilbert—114. Tarski: 100-102, 141, 170. Taurinus: 64. Tautología: 62, 162. Tercero excluido: 40-43, 95-97, 103.

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tolerancia (principio de): 163. Tipo (lógico): 103, 104, 142-149V Valuación (mètodo de): 123-127. Variables (lógicas): 101. Veblen (O): 83-85, 87. Verdad (función de): 103W Wavre: 177. Weber: 60. Weierstrass: 96, 99, 171. Weyl(H.): 38, 43, 95, 127. Wiener (H.): 69, 71, 74. Wittgenstein: 163, 170. 2

Zermelo: 22, 61, 146.