TUGAS AKHIR M4
Nama No. Peserta Prodi PPG/Kelas LPTK Tahap
: Farid Hidayat, S.Pd. : 18032118010173 : (180) Matematika Matematika / Kelas A : UNS :2
1. Buatlah bangun datar segi empat dengan diagonal-diagonalnya saling tegak lurus. Tunjukkan bahwa luas suatu segi empat yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya! Penyelesaian: Bangun datar segi empat yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus adalah persegi, belah ketupat dan layang. N
y 1
D K
y A
x
x
x O
M
y 2
C
O
x
y
B
L
(i) belah ketupat
(ii) layang-layang D
C
x O
A
B
(iii) persegi (iii) persegi
Akan dibuktian luas persegi yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya Misal: AO = OC = BO = OD = x = x Diagonal AC = BD = 2.AO = 2 x Luas belah ketupat =
.∆ . ∆ + .∆ . ∆ + .∆ . ∆ + = . . + . . + . . + .. = . ( + + + ) = . (4. )
= (2).(2 ) = .. Luas belah ketupat = × × Akan dibuktian luas belah ketupat yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya Misal: BO = OD = x AO = OC = y Diagonal AC = 2.AO = 2 x Diagonal BD = 2.BO = 2 y Luas belah ketupat =
.∆ + .∆ + .∆ + = . . + . . + .. + .. = . (. + . + . + .) = . (4.. ) = (2). (2 ) = .. Luas belah ketupat = × ×
Akan dibuktian luas layang-layang yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya Misal: KO = OM = x NO = y1 OL = y2 Diagonal KM = 2.KO = 2 x Diagonal BD = NO + OL = y1 + y2 Luas layang-layang =
.∆ +.∆ + .∆ +.∆ = .. + .. + .. + .. = . (. + . + . + .) = . (2.. )(2.. ) = .2. ( + ) = .. Luas layang-layang = × ×
Akan dibuktian luas segi empat sebarang yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya
Diperoleh diagonal diagonal adalah dan Luas segi empat dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas Δ Misal , karena tegak lurus dengan titik sekitu di maka
= = = = sehingga
= + = ∙ ∙ + ∙ ∙ = ( + ) = ( ∙ )
dan Δ
2. Lukiskan titik tembus PQ ke bidang ACF dengan P adalah titik tengah AD dan Q terletak pada BF (BQ:QF = 2:1)! Penyelesaian:
G
F
H
E
Q
S
C B D
R P
A
Langkah-langkah: 1) Buatlah kubus ABCD.EFGH 2) Tentukan titik P sebagai titik tengah AD 3) Bagi garis BF menjadi 3 bagian, kemudian tentukan titik Q sehingga BQ : BF = 2:1 4) Buatlah bidang ACF 5) Tarik garis dari P ke B yang memotong AC di R 6) Tarik garis dari R ke F 7) Hubungkan P dan Q sehingga memotong garis RF di S 8) Titik S adalah titik tembus PQ ke bidang ACF
3. Tulis dalam bentuk standar, dan identifikasilah unsur-unsur (contoh: pusat, fokus, nilai a, nilai b, atau yang lainnya) yang ada pada: , dan lukiskan grafiknya. Penyelesaian: merupakan persamaan parabola horizontal dengan puncak M(a, b)
− − + 1 = 0
− − + 1 = 0
− − + 1 = 0 − − − + 1 = 0 − − + 3 = 0 − = − 3 Dari bentuk umum persamaan parabola horizontal
Titik puncak = (a, b) =
3 ,
4 = 1 ↔ = 3 Titik fokus = ( + , ) = + , = 1, Persamaan garis direktris : = − + = − + 3 = Sumbu simetris = = = Panjang latus rectum = |4| = 1 Gambar grafik:
( − ) = 4( − ) diperoleh:
4. Gambarlah sebuah garis s. Pilih titik A dan B. Jika A’ pencerminan dari A, dan B’ pencerminan dari B, tunjukkan bahwa AB = A’B’! Penyelesaian: Melukis garis dan titik
Akan ditunjukkan Konstruk ruas garis
, , , ′
= ′′
, ruas garis ′′, = ′, = ′, ruas garis ′, ruas garis ′
= perpotongan dan = perpotongan ′dan ′ = perpotongan dan
Ilustrasi ditunjukkan gambar berikut
’ Karena ′ pencerminan oleh maka ⊥ sehingga ∠ = ∠′ = (berimpit) = ′ (B’ pencerminan B) berdasakan teorema sisi, sudut, sisi maka ≅ ’ Perhatikan
′ ′ = = ′
Perhatikan Karena pencerminan oleh maka g sehingga (berimpit) (A’ pencerminan A)
⊥
∠ = ∠′
≅ ′
berdasakan teorema sisi, sudut, sisi maka Perhatikan dan Karena maka Karena maka Karena berpotongan dengan di maka berdasakan teorema sisi, sudut, sisi maka
∆ ∆′′ ≅ ’ = ′ ≅ ′ = ′ ′ ′ ∠ = ∠′′ ∆ ≅ ∆′′
Perhatikan
∆′′ dan ∆′
(berimpit) = ′ ∠′ = ∠′ (berimpit) ∠ = ∠ (berimpit) Karena ≅ maka ∠ = ∠ Akibatnya ∠ = ∠′′ Karena ∆ ≅ ∆′′ maka ∠ = ∠′′ Jelas ∠ = ∠ + ∠ ∠ = ∠ + ∠ = ∠ +∠ = ∠ Diperoleh ∠ = ∠ Berdasarkan terorema sisi, sudut, sisi ∆′′ ≅ ∆′ Akibatnya = ′′
Terbukti
