1ª) Determinar a frequência natural (f n) de oscilação do sistema composto por um fio tensionado com uma massa (m) concentrada (pontual) no seu ponto médio. O fio é tensionado por uma tensão (T) que não varia com as oscilações do sistema (pequenos deslocamentos) e tem massa desprezível comparada à massa concentrada já mencionada.
Solução:
[Hz]
2ª) Determinar a frequência natural (f n) do pêndulo simples (massa concentrada ou pontual) para pequenos deslocamentos angulares (). NOTA: O momento de inércia de massa referente a uma massa pontual, tomado com relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade, é considerado desprezível (J cg desprezível) quando comparado ao momento de inércia de massa do sistema completo.
Solução:
[Hz]
3ª) Determinar a frequência natural (f n) do pêndulo composto para pequenos deslocamentos angulares ( ).
Solução:
[Hz]
4ª) O centro de percussão ou centro de golpe de um corpo pode ser definido como segue: Se toda a massa do sistema fosse concentrada em um único ponto e o pêndulo simples equivalente obtido apresentasse a mesma frequência natural que a do pêndulo composto original, a distância deste ponto ao centro de giro seria “qo”, sendo este ponto chamado de centro de percussão ou centro de golpe. Com base nesta definição e nas questões 2 e 3, comprove que o momento de inércia de massa do sistema (J o) pode ser dado pela seguinte expressão:
=
5ª) Determinar a localização relativa ao centro de giro “o” do centro de percussão ou centro de golpe de uma barra com seção uniforme e com comprimento “L”.
NOTA: Neste caso, “Jcg” não pode ser desprezado.
Solução:
=
6ª) Determinar a massa equivalente do sistema massa-mola, considerando que a massa da mola não pode ser desprezada por ser relevante dentro do sistema, e a sua freqüência natural.
= = +
Solução:
[Hz]
7ª) Determinar as frequências naturais e os modos de vibração do sistema retilíneo com dois graus de liberdade mostrado na figura a seguir.
Solução:
= 0 = (∙+) = = −
8ª) Determinar a frequência natural do sistema representado na figura a seguir, sem considerar as massas das barras. NOTA: A massa “m” é uma massa concentrada (pontual).
Solução:
∙ = ∙
9ª) Determinar as frequências naturais e os modos de vibração do sistema torcional com dois graus de liberdade mostrado na figura a seguir.
Solução: Essa questão eu deixei sem solução propositalmente para que a turma refletisse e chegasse à solução por conta própria. 10ª) Uma porta com 2,13m de altura, 0,76m de largura, 0,038m de espessura e 34kg de massa, é montada com um fechador automático. A porta abre contra uma mola torcional com 10,17N.m/rad de rigidez. Determinar o amortecimento crítico para o sistema. Se a porta é aberta de 90º, em quanto tempo ela alcança 1º ?
Solução:
= 16,3 ∙∙
O tempo para a porta alcançar 1º é calculado a partir da equação transcendental (ou seja, que não possui solução analítica):
0,017 = (1,571,95∙) ∙ −,∙ cuja solução pode ser obtida por métodos iterativos. Verifica-se que esta equação é satisfeita quando t = 5,24s, que corresponde ao tempo de fechamento da porta. 11ª) Para o problema que segue, envolvendo o choque inelástico de “m2” com “m1”, determinar: i. ii. iii. iv.
A resposta x(t) do sistema; O deslocamento máximo do sistema; A força f T(t) transmitida à base do sistema; O valor máximo assumido por f T(t).
Dados: m1 = 100kg; m2 = 10kg; h = 1,0m; g = 9,8m/s2; vq = 4,43m/s (velocidade de queda de m2); k = 100.000N/m; c = 663,32N.s/m.
() = −,∙ ∙0,0133 ∙ (30∙) (ii) = 0,0114 (iii) () = −,∙ ∙ [1303,40∙(30∙) 264,66∙(30∙)]
Solução: (i)
ou
() = −,∙ ∙ [1330 ∙ (30∙ 0,20033)] (iv) = 1164,73 12ª) Determinar o suspensa como pêndulo bifilar) através de teste experimental medindo-se sua frequência natural de oscilação no momento de inércia de massa “
” da hélice mostrada na figura a seguir (onde ela aparece
plano horizontal. Dados: P = peso da hélice; D = comprimento da hélice; h = comprimento dos fios do pêndulo.
∙ Solução: = ∙∙
ou
∙ = ∙∙
13ª) Um instrumento com 4,5kg é condicionado em uma embalagem com material isolante que tem um k eq = 9000N/m. A embalagem é deixada cair de uma altura de 90cm. Determine: (i) a deformação máxima do material isolante, (ii) a máxima aceleração do instrumento e (iii) a força máxima transmitida à base da embalagem após o choque do conjunto com o solo. Considere que a massa da embalagem é desprezível comparada à massa do instrumento. (2,5 pontos) Dados:
= = √ 2 ∙ ∙ℎ ;
g = 9,8m/s2.
á = 9,39×10− ̈ á = 187,82/ (ii) (iii) á = 845,1
Solução: (i)
NOTA1: COMPLEMENTANDO A LISTA, O ALUNO DEVERÁ RESOLVER MAIS QUATRO (4)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS (NÃO RESOLVIDOS) DO LIVRO TEXTO DE VIBRAÇÕES (RAO), SENDO DOIS (2) DO CAPÍTULO UM (1) E DOIS (2) DO CAPÍTULO DOIS (2). NÃO ESQUEÇA DE IDENTIFICAR QUAIS FORAM OS EXERCÍCIOS ESCOLHIDOS, CASO CONTRÁRIO SERÃO DESCONSIDERADOS. NOTA2: PARA OS ALUNOS QUE NÃO FOREM PARTICIPAR DA SEMANA DA MECÂNICA
NO HORÁRIO CORRESPONDENTE AO DAS AULAS DE VIBRAÇÕES, SERÁ COBRADO MAIS DOIS (2) EXERCÍCIOS EXTRAS, UM (1) DO CAPÍTULO UM (1) E UM (1) DO CAPÍTULO (2).
