INSTITUTO ARGENTINO DE NORMALIZACIÓN
ESQUEMA 1 DE NORMA IRAM 35014 3501435014 3501435014 20002000 2000 2000
Estadística Interpretación Interpretación estadística de los resultados de ensayo Estimación de la media Intervalo de confianza Statistics. Statiscal interpretation of test results. Estimation of the mean. Confidence interval.
Este esquema está sometido a discusión pública. Las observaciones deben remitirse fundadas y por escrito, al Instituto IRAM, Perú 552/556 1068 – Capital Federal antes del 2001-03-12
DOCUMENTO EN ESTUDIO
Junio de 2000
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Esquema 1 IRAM 35014:2000
Prefacio El Instituto Argentino de Normalización (IRAM) es una asociación civil sin fines de lucro cuyas finalidades específicas, en su carácter de Organismo Argentino de Normalización, son establecer normas técnicas, sin limitaciones en los ámbitos que abarquen, además de propender al conocimiento y la aplicación de la normalización como base de la calidad, promoviendo las actividades de certificación de productos y de sistemas de la calidad en las empresas para brindar seguridad al consumidor. IRAM es el representante de la Argentina en la International Organization for Standardization (ISO), en la Comisión Panamericana de Normas Técnicas (COPANT) y en la Asociación MERCOSUR de Normalización (AMN). Esta norma IRAM es el fruto del consenso técnico entre los diversos sectores involucrados, los que a través de sus representantes han intervenido en los Organismos de Estudio de Normas correspondientes. La presente norma está basada en la norma ISO 2602:1980 Statiscal interpretation of test results. Esimation of the mean. Confidence interval .; durante el tratamiento del esquema, se
decidió respetar en un todo el texto de la norma ISO, a pesar que se desconocen los fundamentos del cálculo del intervalo de confianza a partir del rango, que se incluye en el anexo A. Este cálculo fue extraído de la publicación Biometrika, Vol. 34, 1947, pp. 41-67.
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Esquema 1 IRAM 35014:2000
Índice Página
0 INTRODUCCIÓN ...........................................................................................................................5 1 OBJETO Y CAMPO DE APLICACIÓN............................................................................................6 2 NORMAS PARA CONSULTA.........................................................................................................6 3 DEFINICIONES Y SÍMBOLOS........................................................................................................6 4 ESTIMACIÓN DE LA MEDIA .........................................................................................................6 5 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA..........................................................................7 6 PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS.....................................................................................9 Anexo A............................................................................................................................................12 Anexo B............................................................................................................................................14 Anexo C............................................................................................................................................15
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Esquema 1 IRAM 35014:2000
Estadística Interpretación estadística de los resultados de ensayo Estimación de la media Intervalo de confianza 0 INTRODUCCIÓN El alcance de esta norma está circunscripto a un tema especial. Concierne solamente a la estimación de la media de una población con una distribución normal, sobre la base de una serie de ensayos aplicados a una muestra aleatoria de casos individuales, obtenidos de dicha población. Se trata sólo el caso donde la variancia de la población es desconocida. Esta norma no se ocupa del cálculo de un intervalo que contenga, con una probabilidad fija, al menos una fracción de población (límites estadísticos de tolerancia). Es de destacar que la norma ISO 2854 menciona la siguiente serie de problemas (que incluyen los problemas tratados en esta norma): -
-
estimación de la media aritmética y de la diferencia entre dos medias (la variancia puede ser conocida o desconocida); comparación de una media aritmética con un valor dado y de dos medias aritméticas con alguna otra (las variancias pueden seguir siendo conocidas o no, pero iguales);
-
estimación de una variancia y de la razón entre dos variancias.
-
comparación de una variancia con un valor dado y de dos variancias entre sí.
Los métodos de ensayo generalmente se aplican realizando muchas determinaciones, las cuales pueden ser llevadas a cabo:
-
-
-
sobre el mismo ítem (donde el ensayo no es destructivo); sobre distintas porciones de un producto muy homogéneo (por ejemplo un líquido); sobre distintos items de muestras a partir de un agregado con una cierta cantidad de variabilidad.
En los primeros dos casos, las desviaciones entre los resultados obtenidos dependen solamente de la repetibilidad del método. En el tercer caso, depende solamente de la variabilidad del producto en sí mismo. El tratamiento estadístico de los datos permite el cálculo de un intervalo el cual contiene, con una probabilidad dada, la media de la población de resultados que deberían ser obtenidos a partir de un número grande de determinaciones, llevadas a cabo bajo las mismas condiciones. En el caso de ítems con variabilidad, esta norma IRAM asume que los individuos sobre los cuales se llevan a cabo las determinaciones, constituyen una muestra aleatoria a partir de la población original y pueden ser considerados como independientes. El intervalo calculado se denomina intervalo de confianza para la media. Asociado con este intervalo, hay un nivel de confianza (a veces denominado coeficiente de confianza) que expresa la probabilidad (generalmente en porcentaje) de que el intervalo contenga la media poblacional. Solamente se proveen en esta norma los niveles de confianza de 95 % y 99 %.
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Esquema 1 IRAM 35014:2000
1 OBJETO Y CAMPO DE APLICACIÓN
norma ISO 2854 pueden ser útiles en ciertos casos para identificar errores sistemáticos.
1.1 Esta norma establece el tratamiento estadístico de los resultados de ensayos (denominados datos) necesario para calcular un intervalo de confianza para la media.
2 NORMAS PARA CONSULTA
1.2 Los resultados de un ensayo están expresados por mediciones de carácter continuo. Esta norma no cubre los ensayos de carácter cualitativo (por ejemplo la presencia o ausencia de una propiedad, números de defectos, etc.). 1.3 La distribución de probabilidad tomada como un modelo matemático para una población total es una distribución normal para la cual los parámetros, media µ y la desviación estándar σ , son desconocidos. 1.4 La suposición de normalidad es ampliamente satisfactoria: la distribución de los resultados obtenidos bajo condiciones de ensayo es generalmente normal, o semejante a una distribución normal. Sin embargo, es usual verificar la validez del supuesto de la normalidad con métodos apropiados. 1.5 Los cálculos se pueden simplificar por un cambio del origen o de la unidad de los resultados del ensayo, pero es arriesgado aproximar estos resultados. 1.6 No se permite descartar ninguna observación o aplicar corrección alguna a observaciones aparentemente dudosas sin una justificación basada en hechos experimentales, técnicos, u otro criterios evidentes que deben estar claramente establecidos. 1.7 Los métodos de ensayo pueden estar sujetos a errores sistemáticos, cuya determinación no es tenida en cuenta en esta norma. Se debe hacer notar, sin embargo, que la existencia de tales errores puede invalidar los métodos siguientes. En particular, si hay un sesgo insospechado, el incremento del tamaño de la muestra n no tiene influencia sobre el sesgo. Los métodos que son tratados en la
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Los documentos normativos siguientes contienen disposiciones, las cuales, mediante su cita en el texto, se transforman en disposiciones válidas para la presente norma IRAM. Las ediciones indicadas son las vigentes en el momento de su publicación. Todo documento es susceptible de ser revisado y las partes que realicen acuerdos basados en esta norma se deben esforzar para buscar la posibilidad de aplicar sus ediciones más recientes. Los organismos internacionales de normalización y el IRAM mantienen registros actualizados de sus normas. IRAM 34552-1:1989 – Estadística Definiciones de carácter general.
–
IRAM 34552-2:1992 – Estadística – Simbología de carácter general. ISO 2854:1976 - Stadistical interpretation of data techniques of estimation and tests relating to means and variances.
3 DEFINICIONES Y SÍMBOLOS El vocabulario y símbolos usados en esta norma IRAM se establecen en las normas IRAM 34552-1 e IRAM 34552-2.
4 ESTIMACIÓN DE LA MEDIA 4.1 Caso de datos no agrupados La serie esta compuesta por n datos de x i (donde i = 1, 2, 3, ..., n), algunos de los cuales pueden tener el mismo valor. La media µ de la distribución normal subyacente se estima por la media aritmética x de los n resultados:
Esquema 1 IRAM 35014:2000
x =
1
n
∑ x
n i=1
i
s=
4.2 Caso de los datos agrupados en clases Cuando el número de datos es suficientemente grande (por ejemplo, más de 50), puede ser ventajoso agruparlos en clases de la misma amplitud. En ciertos casos, los datos también pueden haber sido obtenidos directamente agrupados en clases. La frecuencia de la clase i-ésima, es decir, el número de datos en la clase i , es denominado como ni . Si el número de clases es k , se obtiene: n=
( x − x ) 2 i
=1
x i
es el valor del dato i ésimo (i = 1, 2, 3, ..., n);
n
es el total de números de datos;
x
es la media aritmética de las n datos, calculadas como se indica en 4.1.
Para calcularlo más fácilmente, se recomienda el uso de la siguiente fórmula: 2 n 1 n 2 1 s= x i − x i n - 1 i =1 n i =1
∑
i
El punto medio de la clase i es designado como y i. La media µ es entonces estimada como la media aritmética ponderada de todos los puntos medios de las clases: y =
∑ n-1
donde
i =1
1
n
i
k
∑n
1
∑
5.1.2 Caso de datos agrupados En el caso de datos agrupados por clases, la fórmula para estimar la desviación estándar es:
k
∑n
n i =1
i
y i s=
1
k
∑n n-1 i
5 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA
LA MEDIA
i
( y − y ) 2 i
=1
Para calcularlo más fácilmente, se recomienda el uso de la siguiente fórmula:
El intervalo de confianza para la media de una población se calcula a partir de la estimación puntual de la media y de la desviación estándar.
2 k 1 n 1 2 s= n i y i − n i y i n - 1 i =1 n i =1
∑
∑
En el anexo A se presenta un método alternativo utilizando el rango para el cálculo del intervalo de confianza.
donde y i
es el punto medio de la i ésima clase;
5.1 Estimación de la desviación estándar
k
es el número de mediciones;
5.1.1 Caso de datos no agrupados
ni
es la frecuencia de la i-ésima clase;
La estimación de la desviación estándar σ , calculada a partir de la raíz cuadrada de las desviaciones con respecto a la media aritmética, está dada por la fórmula:
n
es el número total de datos;
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Esquema 1 IRAM 35014:2000
es la media aritmética ponderada de todos los puntos medios de las clases, calculada como se indica en 4.2. En el caso de resultados agrupados, el valor calculado de s debería ser corregido (corrección de “Sheppard”). Como esta corrección es de importancia secundaria, no ha sido mencionada. y
o
µ > x −
t 0,95 n
s
Nota IRAM. Generalmente expresado como
s
µ < x + t 0,95
ó
n
5.2 Intervalo de confianza para la media
µ > x − t 0,95
s n
Para un nivel de confianza elegido (95 % o 99 %), de acuerdo con el caso especificado, se deberá determinar un intervalo de confianza bilateral, o unilateral.
b) para un nivel de confianza del 99 %:
5.2.1 Intervalo de confianza bilateral
o
t 0,99
µ < x +
Los intervalos de confianza bilaterales para la media de una población están definido por la siguiente desigualdad:
n
µ > x −
t 0,99 n
s
s
a) para un nivel de confianza del 95 %: x −
t 0,975 n
s < µ < x +
t 0,975 n
s
Nota
Nota IRAM. Generalmente expresado como
x − t 0,975
s n
< µ < x + t 0,975
t 0,995
s n
n
s < µ < x +
t 0,995 n
s
Nota IRAM. Generalmente expresado como
x − t 0,995
s n
< µ < x + t 0,995
s
a) para un nivel de confianza del 95 %
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n
s
ó
n
µ > x − t 0,99
como
s n
Esta tabla también da los valores de las razones t 0,975 t 0,995 t 0,95 t 0,99 n
;
n
;
n
;
n
Cuando los valores de n son mayores que 60, es preferible calcular los valores de t realizando 120 una interpolación lineal a partir de n
utilizando la tabla 2. Por ejemplo:
s
expresado
Estos valores están dados en la tabla 1.
n
El intervalo de confianza unilateral para la media de la población está definido por una de las siguiente desigualdades:
µ < x +
Generalmente
Los valores de t 0,975, t 0,995, t 0,95, t 0,99 se calculan a partir de una distribución t de Student con ν = n + 1 grados de libertad.
5.2.2 Intervalo de confianza unilateral
t 0,95
IRAM.
µ < x + t 0,99
b) para un nivel de confianza del 99 % x −
con x , si es necesario, reemplazado por y , en el caso de los datos agrupados en clases.
si
n = 250
Esquema 1 IRAM 35014:2000
2,617 120
entonces
n
= 0,48
Para un intervalo bilateral de un nivel de confianza del 99 % t = 2,576 + 0,48 x (2,617 – 2,576)
= 2,596 donde 2,576
es el valor de t0,995 para n = 60
es el valor de t0,995 para n = 120
6 PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS 6.1 Se expresa la media aritmética de acuerdo con 4.1 o 4.2, según el caso. 6.2 Se expresa el intervalo de confianza en la forma de una doble desigualdad, como se muestra en 5.2.1 o en la forma de una de las desigualdades, como se muestra en 5.2.2, indicando el nivel de confianza (95 % o 99 %).
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Esquema 1 IRAM 35014:2000
Tabla 1 - Valores de t1- y de la razón Nivel de confianza Nivel de confianza Caso de dos límites Caso de un límite 95 % 99 % 95 % 99 % t 0,975
t 0,995
t 0,95
t 0,99
n
Nivel de confianza Caso de dos límites 95 % 99 % t
n
t 1- α
n
0,975
t
0,995
n
n
Nivel de confianza Caso de dos límites 95 % 99 % t
0,95
n
t
0,99
n
2 3 4 5 6
12,71 4,303 3,182 2,776 2,571
63,66 9,925 5,841 4,604 4,032
6,314 2,920 2,353 2,132 2,015
31,82 6,965 4,541 3,747 3,365
2 3 4 5 6
8,985 2,484 1,591 1,242 1,049
45,013 5,730 2,920 2,059 1,646
4,465 1,686 1,177 0,953 0,823
22,501 4,021 2,270 1,676 1,374
7 8 9 10 11
2,447 2,365 2,306 2,262 2,228
3,707 3,499 3,355 3,250 3,169
1,943 1,895 1,860 1,833 1,812
3,143 2,998 2,896 2,821 2,764
7 8 9 10 11
0,925 0,836 0,769 0,715 0,672
1,401 1,237 1,118 1,028 0,956
0,734 0,670 0,620 0,580 0,546
1,188 1,060 0,966 0,892 0,833
12 13 14 15 16
2,201 2,179 2,160 2,145 2,131
3,106 3,055 3,012 2,977 2,947
1,796 1,782 1,771 1,761 1,753
2,718 2,681 2,650 2,624 2,602
12 13 14 15 16
0,635 0,604 0,577 0,554 0,533
0,897 0,847 0,805 0,769 0,737
0,518 0,494 0,473 0,455 0,438
0,785 0,744 0,708 0,668 0,651
17 18 19 20 21
2,120 2,110 2,101 2,093 2,086
2,921 2,898 2,878 2,861 2,845
1,746 1,740 1,734 1,729 1,725
2,583 2,567 2,552 2,539 2,528
17 18 19 20 21
0,514 0,497 0,482 0,468 0,455
0,708 0,683 0,660 0,640 0,621
0,423 0,410 0,398 0,387 0,376
0,627 0,605 0,586 0,568 0,552
22 23 24 25 26
2,080 2,074 2,069 2,064 2,060
2,831 2,819 2,807 2,797 2,787
1,721 1,717 1,714 1,711 1,708
2,518 2,508 2,500 2,492 2,485
22 23 24 25 26
0,443 0,432 0,422 0,413 0,404
0,604 0,588 0,573 0,559 0,547
0,367 0,358 0,350 0,342 0,335
0,537 0,523 0,510 0,498 0,487
27 28 29 30 40
2,056 2,052 2,048 2,045 2,024
2,779 2,771 2,763 2,756 2,707
1,706 1,703 1,701 1,699 1,682
2,479 2,473 2,467 2,462 2,430
27 28 29 30 40
0,396 0,388 0,380 0,373 0,320
0,535 0,524 0,513 0,503 0,428
0,328 0,322 0,316 0,310 0,266
0,477 0,467 0,658 0,449 0,384
50 2,008 60 2,000
2,680 2,664
1,676 1,673
2,404 2,393
50 0,284 60 0,258
0,379 0,344
0,237 0,216
0,340 0,309
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Esquema 1 IRAM 35014:2000
Tabla 2 n
60 120
∝
120 n
2 1 0
t 0,975
t 0,995
t 0,95
t 0,99
2,000 1,980 1,960
2,664 2,617 2,576
1,673 1,658 1,645
2,393 2,358 2,326
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Anexo A (Normativo) Intervalo de confianza para la media aritmética a partir del rango A.1 Si los datos se disponen en orden ascendente de magnitud, de manera que x 1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x n, entonces w = x n – x 1 se define como el rango de la muestra. Si aún se puede suponer que la población tiene una distribución normal, el intervalo de confianza para la media de la población puede ser determinado a partir del rango de la muestra cuando el número de mediciones es pequeño, es decir 12 o menos. La conveniencia práctica de este cálculo es que es más rápido; su desventaja es que conduce a un intervalo de confianza que es generalmente más amplio y más sensible a desvíos a partir de haber asumido la distribución normal de las observaciones. A.2 Intervalos de confianza bilateral Para intervalos de confianza de dos límites, el intervalo para la media de la población está definido por las siguientes dos desigualdades: a) a un nivel de confianza de del 95 % x − q 0,975 w < µ
< x + q 0,975 w
b) a un nivel de confianza del 99 % x − q 0,995 w < µ < x + q 0,995 w
A.3 Intervalos de confianza unilateral Para intervalos de confianza de un límite, el intervalo para la media de una población está definido por una de las siguientes desigualdades: a)
a un nivel de confianza de del 95 %
µ < x + q 0,95 w b)
o
µ > x − q 0,95 w
a un nivel de confianza del 99 %
µ < x + q 0,99 w
o
µ > x − q 0,99 w
Los coeficientes q0,975, q0,995, q0,95, q0,99 son dados en la tabla A.1.
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Tabla A.1 Nivel de confianza Caso de dos límites 95 % 99 % n
q0,975
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6,353 1,304 0,717 0,507 0,399 0,333 0,288 0,255 0,230 0,210 0,194
q0,995
31,828 3,008 1,316 0,843 0,628 0,507 0,429 0,374 0,333 0,302 0,277
Nivel de confianza Caso de un límite 95 % 99 % q0,95
3,157 0,885 0,529 0,388 0,312 0,263 0,230 0,205 0,186 0,170 0,158
q0,99
15,910 2,111 1,023 0,685 0,523 0,429 0,366 0,322 0,288 0,262 0,241
Anexo B (Informativo)
Bibliografia En el estudio de esta norma se ha consultado el antecedente siguiente: ISO -
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INTERNTIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION ISO 2602:1980 - Statiscal interpretation of test results. Esimation of the mean. Confidence interval .
Anexo C (Informativo) El estudio de esta norma estuvo a cargo de los organismos respectivos, integrados en la forma siguiente:
Subcomité de Estadística Participantes:
Representan a:
Est. María Cristina ARRIAGA
CONSEJO PROFESIONAL DE ECONÓMICAS - ROSARIO CNEA INVITADO ESPECIAL CONSEJO PROFESIONAL DE ECONÓMICAS - ROSARIO JENCK S.A. CITEFA – DCYMT FACULTAD DE INGENIERÍA – UBA CONSEJO PROFESIONAL DE ECONÓMICAS - ROSARIO CONSEJO PROFESIONAL DE ECONÓMICAS - ROSARIO INVITADO ESPECIAL CNEA IRAM
Dr. Fernando AZCOAGA Dr. Jorge H. CAPACCIOLI Est. Susana HANCEVIC Ing. Lic. Ing. Est.
Horacio NAPOLITANO Ana M. PALERMO Carlos PÉREZ Stella Maris ROLANTE
Est. Liliana SEVERINO Dra. Dora VIGODA DE LEYT Lic. Alba ZARETZKY Ing. Flavio A. DURANTE
CIENCIAS
CIENCIAS
CIENCIAS CIENCIAS
TRÁMITE El estudio de este esquema ocupó la atención del subcomité de estad´sitica en las reuniones del 26 de octubre y del 30 de noviembre de 1999 (actas 8 y 9-1999), del 28 de marzo , del 25 de abril , del 23 de mayo de 2000 y del 27 de junio de 2000 (actas 1, 2, 3 y 4-2000); en esta última, se aprobó como esquema 1 y se envió a discusión pública por 30 d. ***************************** APROBADO SU ENVÍO A DISCUSIÓN PÚBLICA POR EL SUBCOMITÉ DE ESTADÍSTICA, EN SU SESIÓN DEL 27 DE JUNIO DE 2000 (Acta 4-2000). FIRMADO Ing. Flavio A. Durante Coordinador del Subcomité
FIRMADO Ing. Carlos Pérez Secretario del Subcomité FIRMADO Lic. Marta R. de Barbieri Vº Bº Equipo A
GS.
