Investigación de operaciones Método dual simplex
Instituto tecnológico superior de Coatzacoalcos Materia: Investigación de operaciones
Docente: Karina Sastre Antonio
Integrantes: Barradas Méndez Ramón Daniel Figueroa Hernández Cindy Paola Helston Vara Gabriela Marín Valdivieso Fernando
Carrera: 4 A Ing. Industrial
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Investigación de operaciones Método dual simplex
INDICE Introducción………………………………..…………………..1
Desarrollo……………………………………………………….2
Conclusión……………………………………………………..9
Referencias bibliográficas………………………………….10
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Investigación de operaciones Método dual simplex
INTRODUCCIÓN El método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalidad. Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que como contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la solución óptima. El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex. A continuación se presenta su estructura y un ejemplo para ilustrar su aplicación. Se aplica a problemas que tienen factibilidad dual inicial, es decir, que son óptimos pero infactibles simples. La factibilidad dual se reconoce expresando las restricciones en la forma canónica (£). La función objetivo puede ser de maximización o minimización. El método simplex dual resulta ser una estrategia algoritmica eficiente cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar, la aplicación del método simplex no es inmediata o más bien compleja, por ejemplo, puede requerir la utilización del método simplex de 2 fases. Una aplicación típica del método simplex dual es en la resolución de problemas con una función objetiva de minimización, con restricciones del tipo mayor o igual y donde las variables de decisión son mayores o iguales a cero.
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Investigación de operaciones Método dual simplex
DESARROLLO El método dual simplex se aplica a problemas que tienen factibilidad dual inicial, es decir, que son óptimos pero infactibles simples.La factibilidad dual se reconoce expresando las restricciones en la forma canónica (£). La función objetivo puede ser de maximización o minimización. Condiciones: Factibilidad
La variable de salida es la variable básica que tiene el valor más negativo, en caso de empate procedemos de forma arbitraria, y si todas las variables básicas son no negativas, el proceso finaliza y la solución factible óptima se encuentra.
Optimalidad
La variable de entrada es seleccionada de las variables no básicas, se hacen cocientes cuyos denominadores serán necesariamente negativos y se toman de la ecuación pivote. Los numeradores serán los números correspondientes en la función objetivo.
Ejemplo 1
Paso 1: Se lleva el modelo a su forma estándar. Esto se logra agregando
variables de exceso en cada una de las restricciones (3 primeras: S1, S2, S3, respectivamente). Luego, se multiplica cada fila de las restricciones por -1 de modo de disponer una solución básica inicial (infactible) en las variables de exceso S1, S2 y S3. De esta forma se obtiene la siguiente tabla inicial.
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Investigación de operaciones Método dual simplex A
B
C
S1
S2
S3
-15 -7,5 -5
-2 -3 -2
-1 -1 -1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-200
315
110
50
0
0
0
0
-150 -120
Paso 2: Se selecciona el lado derecho "más negativo" lo cual indicará cuál
de las actuales variables básicas deberá abandonar la base. En el ejemplo el lado derecho más negativo se encuentra en la primera fila, por tanto S1 deja la base. Para determinar cuál de las actuales variables no básicas (A, B, C) entrará a la base se busca el mínimo de {-Yj/aij} donde aij es el coeficiente de la respectiva variable no básica en la fija i (del lado derecho más negativo, marcado en verde) y donde Yj es el costo reducido de la respectiva variable no básica. De esta forma se obtiene: Min {-315/-15, -110/-2, -50/-1} = 21, donde el pivote (marcado en rojo) se encuentra al hacer el primer cuociente, por tanto A entra a la base. Paso 3: Se actualiza la tabla anterior siguiendo un procedimiento similar al
utilizado en el Método Simplex. En el ejemplo se debe dejar a la variable A como básica y S1 como no básica. La tabla que resulta es la siguiente: A
B
C
S1
S2
S3
1 0 0
2/15 -2 -4/3
1/15 -1/2 -2/3
-1/15 -1/2 -1/3
0 1 0
0 0 1
-160/3
0
68
29
21
0
0
-4.200
40/3 -50
Paso 4: Continuar las iteraciones y siguiendo el mismo procedimiento hasta
disponer de una solución básica factible. Luego de unas iteraciones se obtiene la siguiente tabla final: A
B
C
S1
S2
S3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-1/10 1/4 0
0 -1 2
1/10 3/4 -3
10
0
0
0
4
10
36
-6.620
8 60
La solución óptima es A=8, B=10, C=60, con valor óptimo V(P)=6.620. También es interesante notar que los costos reducidos de las variables artificiales S1, S2 y S3.
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Investigación de operaciones Método dual simplex Ejemplo 2
Min Z = 2X 1 + X2 s.a 3X1 + X2 ³ 3 4X1 + 3X2 ³ 6 X1 + 2X2 ³ 3 X1, X2 ³ 0 1er Paso: Ponemos las restricciones en forma canónica
Min Z = 2X 1 + X2 s.a -3X1 - X2 £ -3 -4X1 - 3X2 £ -6 - X1 - 2X2 £ -3 X1, X2 ³ 0 2º Paso: Agregamos holguras positivas
Min Z = 2X 1 + X2 s.a -3X1 - X2 + S1 = -3 -4X1 - 3X2 +S2 = -6 - X1 - 2X2 +S3 = -3 X1, X2 ³ 0
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Investigación de operaciones Método dual simplex 3er Paso: Igualamos a 0 la función objetivo
Z - 2X1 - X2 = 0
Como tiene factibilidad dual se puede aplicar el método dual-simplex.
Hacemos la primera iteración Definimos la variable de salida, para ello tomamos el coeficiente más negativo de la columna de solución, esto es válido tanto para casos de Max como de Min. Puesto que tiene factibilidad dual, se puede aplicar el método dual-simplex.
Hacemos una segunda iteración 7
Investigación de operaciones Método dual simplex Ejemplo 3
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CONCLUSIÓN La aplicación del método simplex dual es especialmente útil en el análisis de sensibilidad. Se usa cuando después de haber obtenido la solución óptima, se desea agregar una nueva restricción al modelo si la nueva restricción no se cumple. En este caso se obtiene que para los valores óptimos de las variables de decisión, la solución permanece óptima pero se convierte en infactible. Surge entonces la necesidad de aplicar el algoritmo Dual-Simplex para extraer la variable básica que tiene valor infactible. Cuando estudiemos el tema de análisis de sensibilidad analizaremos un caso como el citado.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ejercicios de investigación de operaciones, autor: Félix Alfonso Gomollón, editorial: esic editorial. Investigación de operaciones, autor: Juan Prawda Witenberg. http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/plineal/dualidad10.htm. http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/plineal/dualidad10.htm. http://148.204.211.134/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/InvOperCha ve/DOCUMENTOS/Unidad5/UNIDAD53.htm.
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