EXAMEN SUSTITORIO 2017-1 PROBLEMA N°1 a) En un problema lineal de minimización, el costo reducido de la variable Xj es 3, y el correspondiente Cj es 12. ¿Cuál debería ser el nuevo valor de Cj para que Xj forme parte de la solución óptima?
Se tiene el siguiente ejemplo: Cj CK 0 14 17 Zj
XK S1 X2 X1
17 X1 0 0 1 0 17
b 360 420 220 9620
Cj - Zj
14 X2 0 1 0 0 15
12 + ∆j Xj 2 -5 5 15 -3 + ∆j
…
…. …
Rpta: Como la variable Xj es una variable no básica, el nuevo Cj para que Xj forme parte de la solución óptima es: -3 + ∆j <= 0 [ ∆j <= 3 ] sumando Cj = 12 Cj <= 15 Cj = 15 b) En un PL minimización con solución óptima:
Se tiene en el óptimo que: Si el precio sombra de su recurso R1 es PS1=10. ¿Qué sucede con el valor de la función objetivo si a dicho recurso se le disminuye 1 unidad de R1? De la teoría: “En problemas de PL minimización, el precio sombra es el negativo del precio dual.” PS1 = - Y1 = 10
Y 1=−10[
$ ] unidad
$ ʑop = Zop + [ #N ]*{ −10 [ unidad ]
}
Dato: #N = 1 unidad
ʑop = Zop + [-1
$ ] unidad ]*{ −10 [ unidad
} = Zop + (10)
Rpta: El valor de la función objetivo, si a dicho recurso R1 se le disminuye en 1 unidad, aumenta en 10 $ .
PROBLEMA N°2
La Bellota S.A. fabrica cuatro tipos de finas alfombras afelpadas (A, B, C, D). Las alfombras tienen gran demanda y se puede vender todo lo que se produce, pero la demanda de la alfombra de tipo B es de por lo menos 20 unidades. En el proceso de producción las alfombras pasan por la sección de teñido, después a la sección de tejido y finalmente por control de calidad. En la sección de teñido se dispone de 3600 horas por semana. En la sección de tejido se dispone de 4200 horas por semana y en control de calidad se tienen 2200 horas por semana. A continuación, se indican las horas requeridas por cada tipo de alfombra en cada sección y la contribución a las ganancias. TIPOS DE ALFOMBRA A B Sección de teñido 6 12 Sección de tejido 8 12 Control de calidad 4 3 Ganancia 640 700
C 8 5 4 700
D 10 10 5 1000
Definiendo las variables:
XA : N° de alfombras demandados del tipo A. XB : N° de alfombras demandados del tipo B. XC : N° de alfombras demandados del tipo C. XD : N° de alfombras demandados del tipo D.
Maximizar: Sujeto a:
Z = 640 X A + 700 XB + 700 XC 6 XA +
12 XB +
8 XC +
10 XD
=< 3600
8 XA +
12 XB +
5XC +
10XD
=< 4200
4 XA +
3 XB +
4 XC +
5 XD
=< 2200
XB PL:
+ 1000 XD
>=
20
XA , XB, XC , XD >= 0
Maximizar: Sujeto a:
Z = 640 X A + 700 XB + 700 XC + 1000 XD
+ 0e1 + 0S1 + 0S2 + 0S3 - M
6 XA +
12 XB +
8 XC
+
10 XD +
8 XA +
12 XB +
5 XC
+
10 XD
4 XA +
3 XB + XB
4 XC
+
S1
+
=< 3600 S2
5 XD + -
a4 =< 4200
S3
e1
+
XA , XB, XC >= 0
a) Utilizando el método simplex determine la solución óptima:
=< 2200
a4
>=
20
Cj
640
700
700
1000
0
0
0
0
¬M
CK
XK
b
XA
XB
XC
XD
e4
S1
S2
S3
a4
0
S1
3600
6
12
8
10
0
1
0
0
0
0
S2
4200
8
12
5
10
0
0
1
0
0
0
S3
2200
4
3
4
5
0
0
0
1
0
¬M
a4
20
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
¬20M
0
¬M
0
0
M
0
0
0
¬M
640
M+700
700
1000
¬M
0
0
0
0
Zj Cj - Zj 0
S1
3360
6
0
8
10
12
1
0
0
-12
0
S2
3960
8
0
5
10
12
0
1
0
-12
0
S3
2140
4
0
4
5
3
0
0
1
-3
700
XB
20
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
1400
0
700
0
0
-700
0
0
0
700
640
0
700
1000
700
0
0
0
¬M-700
Zj Cj - Zj 1000
XD
336
0.6
0
0.8
1
1.2
0.1
0
0
-1.2
0
S2
600
2
0
-3
0
0
-1
1
0
0
0
S3
460
1
0
0
0
-3
-0.5
0
1
3
700
XB
20
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
350000
420
700
800
1000
500
100
0
0
220
0
-100
0
-500
-100
0
0
-500 ¬M+50 0
Zj Cj - Zj 1000
XD
156
0
0
1.7
1
1.2
0.4
-0.3
0
-1.2
640
XA
300
1
0
-1.5
0
0
-0.5
0.5
0
0
0
S3
160
0
0
1.5
0
-3
0
-0.5
1
3
700
XB
20
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
362000
640
700
740
1000
500
80
20
0
0 0 PRECIO DUAL COSTO REDUCIDO
-40
0
-500
-80
-20
0
-500 ¬M+50 0
Zj
Cj - Zj VALOR VARIABLE VALOR XA
300
0
XB
20
0
XC
0
40
XD VARIABLE S1 S2 S3
156
0
a4
0 0 160
80 20 0
0
-500
Explique los valores de todas las variables del modelo aumentado: XA = 300 unidades de alfombras de tipo A. XB = 20 unidades de alfombras de tipo B. XC = 0 no se fabrica unidades de alfombras de tipo C. XD = 156 unidades de alfombras de tipos S1= 0 se usa todas las horas de la sección de teñido. S2= 0 se usa todas las horas de la sección de teñido. S3= 160 horas de la sección de teñido. S4=0 se demanda 20 unidades de alfombras de tipo B.
b) ¿Cuánto se gana o cuánto se pierde por la producción de 1 unidad de la alfombra no incluida en el plan de producción óptimo? Considerando que Xc(Variable no básica) se requiere determinar el precio que se requeriría para la producción de la alfombra del tipo C. Para esto se debe determinar ΔC y Ĉc para la variable Xc. Se comienza el proceso añadiendo una cantidad Δc al coeficiente Cc asociado con Xc en la tabla. Cj
640
700
700 + ∆C
1000
0
0
0
0
¬M
CK
XK
b
XA
XB
XC
XD
e4
S1
S2
CK
XK
1000
XD
156
0
0
1.7
1
1.2
0.4
-0.3
0
-1.2
640
XA
300
1
0
-1.5
0
0
-0.5
0.5
0
0
0
S3
160
0
0
1.5
0
-3
0
-0.5
1
3
700
XB
20
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
362000
640
700
740
1000
500
80
20
0
-500
0
0
-40 + ∆C
0
-500
-80
-20
0
¬M+500
Zj Cj - Zj
Rpta: En esta tabla modificada, antes de que Xc se pueda volver básica, el valor (Ĉj-Zj) asociado con Xc debe volverse no negativo , esto significa que : -40 + ∆C >= 0 Despejando ΔC, se tiene que ∆C >= 40. Puesto que Ĉc = Cc + ΔC, Cc = 700 + ΔC Sustituyendo ΔC >= 4.0 se obtiene Ĉc = 740. •
Esto indica que si el precio de Xc se elevara un poco más de los $40, es decir, si su contribución a las ganancias fuera mayor que $740, entonces la producción de Xc se volvería más rentable que el plan de producción óptimo actual.
•
Si el precio se aumentara exactamente $40, se llegaría a un punto de decisión en el que podría fabricarse Xc, pero no se obtendrían ganancias adicionales. Se obtendrían los mismos $362,000 de ganancias para esta solución óptima alternativa.
Cj CK
XK
b
640 + ∆A XA
1000
XD
156
0
0
1.7
1
1.2
0.4
-0.3
0
-1.2
640 + ∆A 0
XA 300
1
0
-1.5
0
0
-0.5
0.5
0
0
S3
160
0
0
1.5
0
-3
0
-0.5
1
3
700
XB
20 362000 +300∆A
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
362000 0
640 0
700-1.5∆A -40+1.5∆A
1000 0
500 -500
80-0.5∆A -80+0.5∆A
20+0.5∆A -20-0.5∆A
0 0
-500 ¬M+500
Zj Cj - Zj
700
700
1000
0
0
0
0
¬M
XB
XC
XD
e4
S1
S2
S3
a4
c) Por variación delos costos de producción de las alfombras se ha decidido bajar la
ganancia de la alfombra tipo A. ¿Hasta cuánto se podía bajar su ganancia sin que cambie la base de la solución actual?
Para que la solución actual siga siendo óptima, debe asegurarse que ningún valor (cj–zj) de la tabla se vuelva positivo. La pregunta es ¿Cuánto puede cambiar c1 en una dirección positiva o negativa de manera que mantengan las condiciones de optimalidad? -40+1.5∆A <= 0
∆A <= 26.67
-80+0.5∆A <= 0
∆A <= 160
-20-0.5∆A <= 0
-40 <= ∆A
Luego de elegirse el conjunto más restrictivo se obtiene que los cambios permisibles en c1 pueden expresarse como –40 <= ΔA <= 26.67. Por ello, la contribución a las ganancias de X1 no pueden aumentar en más de $1.50 o disminuir en más de $4. Entonces las utilidades de x1 están limitadas a quedar en el intervalo 700 <= C A <= 726.67.
d) Se puede comprar o vender horas de tejido a $ 25 la hora. ¿Hasta cuántas horas le conviene a la empresa comprar o vender, sin que cambie la base de la solución actual? ¿Cuál sería el nuevo valor de la F.O. por esta operación? Para calcular el efecto de modificar el nivel de un recurso S2, se añade un cantidad Δ2 al recurso que se quiere cambiar y después se vuelve a aplicar el proceso de solución. La siguiente tabla muestra el nivel modificado del segundo recurso. En este caso, el nuevo nivel de horas de tejido es 4200 +Δ2, donde Δ2 representa el posible aumento o disminución en la disponibilidad de las horas de tejido.
Cj
640
700
700
1000
0
0
0
0
¬M
CK
XK
b
XA
XB
XC
XD
e4
S1
S2
CK
XK
1000
XD
156-0.3 Δ2
0
0
1.7
1
1.2
0.4
-0.3
0
-1.2
640
XA
300+0.5 Δ2
1
0
-1.5
0
0
-0.5
0.5
0
0
0
S3
160-0.5 Δ2
0
0
1.5
0
-3
0
-0.5
1
3
700
XB
20
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
362000
640
700
740
1000
500
80
20
0
0
0
-40
0
-500
-80
-20
0
-500 ¬M+50 0
Zj Cj - Zj
Para hacer esto, se estructura una desigualdad para cada función, mayor o igual que cero, y se obtiene de ella el intervalo de Δ2 que satisface a cada una de ellas. Estas desigualdades y las variables básicas correspondientes son: XD: 156-0.3 Δ2>= 0 XA:
300+0.5 Δ2>= 0
s3:
160-0.5 Δ2>= 0
Cada desigualdad produce un posible tamaño para el cambio Δ2. Este cambio neto debe ser no negativo para mantener la factibilidad y, por ello, la desigualdad. Despejando ΔN se tiene: 520 >= Δ2
|
Δ2 <= -600
|
320 >= Δ2
Se determina que los límites de Δ2 son – 600 <= Δ2 <= 320. Expresado en términos de la disponibilidad de horas de tejido, b2, se tiene: 4200 – 600 <= b2 <= 4200+ 320
3600 <= b2 <= 4520
Así la solución óptima seguirá siendo óptima si existen cuando menos 3600 horas de tejido disponibles o si no hay más de 4520 horas. ¿SE VENDE? Y2 = 20
[
$ ] horas de tejido
, debido a que la oferta es $ 25 la hora. Y2 <
$ 25.
se vende las 600 horas de tejido a -20*600+25*600
$ 25 El Zoptimo = 362000
Si se vende el nuevo valor de la F.O. por esta operación es 36500 . ¿SE COMPRA?
Debido a que Y2 < $ 25, adquirir horas a $ 25 la hora no resulta rentable, por ello no le conviene a la empresa compra por esta operación. e) Se puede fabricar un nuevo tipo de alfombra. Este producto requiere 8, 12 y 9 horas respectivamente en las secciones de teñido, tejido y control de calidad. ¿Cuánto debería ser la ganancia mínima de este tipo de alfombra para que sea rentable producirlo? Añadiendo el nuevo producto:
XA : N° de alfombras demandados del tipo A. XB : N° de alfombras demandados del tipo B. XC : N° de alfombras demandados del tipo C. XD : N° de alfombras demandados del tipo D. XE : N° de alfombras demandados del tipo E.
Maximizar:
Z = 640 XA + 700 XB + 700 XC
Sujeto a:
+ 1000 XD
+ G D XE
6 XA +
12 XB +
8 XC +
10 XD
+
8 XA +
12 XB +
5XC +
10XD
+ 12 XE =< 4200
4 XA +
3 XB +
4 XC +
5 XD
XB PL:
>=
+
8 XE
=< 3600
9 XE =< 2200
20
XA , XB, XC , XD, XE >= 0
DUAL para XE: 8 Y1 + 12 Y2 + 9 Y3 + 0 Y4
>= G D
Datos: Y1 = 80 Y2 = 20 Y3 = 0 Y4 = -500
8(80) + 12(20) +9(0) + 0(-500) >= GD 400 >= GD Entonces la ganancia mínima para el nuevo tipo de alfombra parra que sea rentable producirlo es GD = 400 $ /unidad.
f) Un cliente ha pedido más alfombras tipo B por lo cual la demanda mínima de este tipo de alfombra se incrementaría a 100 unidades por semana. ¿Se podría cumplir con este tipo de requerimiento del mercado? ¿Cuál es el monto mínimo que la empresa debería cobrarle? 130 >= Δ4
156 - 1.2 Δ4 >= 0 300 + 0Δ4 >= 0
300 > 0
160 + 3 Δ4 >= 0
-20 <= Δ4 <= 130
Δ4 >= -53.33
20 + Δ4 > = 0
Δ4 = 80 si está incluido en
Δ4 >= -20
el intervalo permitido.
XK
Antiguo nivel de producción
XD
156
156-1.2 Δ4
Nivel de producción impuesto 60
XA
300
300+0Δ4
300
S3
160
160+3 Δ4
400
XB
20
20 + Δ4
100
362000-500Δ4
Si se podría cumplir con este tipo de requerimiento, y el monto mínimo que la empresa debería cobrarle es:
Cj CK
XK
b
640 + ∆A XA
1000
XD
156
0
0
1.7
1
1.2
0.4
-0.3
0
-1.2
640
XA
300
1
0
-1.5
0
0
-0.5
0.5
0
0
0
S3
160
0
0
1.5
0
-3
0
-0.5
1
3
700 + ∆B Zj
XB 20 362000 +300∆A
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
362000 0
640 + ∆B -640 - ∆B
700 -40
1000 0
500-∆B -500 +∆B
80 -80
80 -80
20 -20
-500 ¬M+500
Cj - Zj
700
700
1000
0
0
0
0
¬M
XB
XC
XD
e4
S1
S2
S3
a4
-640 - ∆B <= 0 -640 <= ∆B -500 +∆B <= 0
∆B <= 500
-640 <= ∆B <= 500
60 <=
CB <= 1200 CB = 60
El monto mínimo que la empresa cobraría por este pedido es: 60(100)
$ 6000.
