Investigacion de Operaciones capitulo 7

1. ¿De las relaciones matemáticas siguientes, cuáles podrían encontrarse en un modelo de programación lineal y cuáles no? Para las relaciones que son inaceptables para los programas lineales, explique las causas. a. b. c. d. e. f.

-1A-2B ≤ 70 2A -2B 50 1A -2B2 ≤ 10 32 A+2B ≥ 15 1A+1B = 6 2A+ 5B+1AB ≤ 25

NOTA: Las opciones subrayadas corresponde a las respuestas acertadas.

JUSTIFICACIÓN PARA RELACIONES MATÉMATICAS INACEPTABLES. a. -1A-2B ≤ 70 De acuerdo a la regla de la no negatividad la siguiente relación matemática no puede ser solucionada porque toda variable debe ser igual o mayor a cero; mediante la solución gráfica se presenta en el cuadrante negativo de un plano cartesiano. b. 2A -2B 50 La expresión matemática no presenta un signo de igualdad o relación con respecto a las variables. c. 1A -2B2 ≤ 10 La expresión matemática tiene una variable cuadrática. f. 2A+ 5B+1AB ≤ 25 La expresión matemática presenta una combinación de las variables presentes en el ejercicio. 2. encuentre las relaciones que satisfacen las restricciones siguientes: a. 4A + 2B ≤ 16 b. 4A + 2B ≥ 16 c. 4A + 2B = 16 Identificar los dos puntos que satisfagan la ecuación. Si A = 0

Si B = 0

4A + 2B = 16

4A + 2B = 16

2B = 16

4 A = 16

B=8

A= 4

P1 (0 , 8)

P2 (4 , 0) SOLUCIÓN RESTRICCIÓN A 4A + 2B ≤ 16

Las relaciones EJEMPLO satisfacen la A son todos 4A + 2B ≤ 16 posibles que 4(1) + 2(2) ≤ 16 encuentran por 5+4≤ 16 la recta de 9 ≤ 16

que condición los puntos se debajo de restricción.

SOLUCIÓN RESTRICCIÓN B 4A + 2B ≥ 16

Las relaciones que satisfacen la condición B son todos los puntos posibles que se EJEMPLO encuentran 4A + 2B ≥ 16 por encima de la recta de 4(2) + 2(6) ≥16 restricción. 8 + 12 ≥ 16 SOLUCIÓN 20 ≥16 RESTRICCIÓN C 4A + 2B = 16

EJEMPLO 4A + 2B = 16 4(2) + 2(4) =16 8 + 8 = 16 16 = 16

Las relaciones que satisfacen la condición C son todos los puntos posibles que se encuentran sobre la recta de restricción.

3. Trace una gráfica separada de cada una de las restricciones siguientes, donde muestre las rectas de restricción y las soluciones que satisfacen a) 3 A +2B

18

b) 12A + 8B ≥ 480 c) 5A +10B = 200 RESTRICCIÒN 1 a) 3 A +2B

18

P1 (0; 9)

Área factibl P2 (6; 0)

Las soluciones posibles para esta restricción están comprendidas entre los puntos extremos de la misma que son P1 (0; 9) y P2 (6; 0) RESTRICCIÒN 2

b) 12A + 8B ≥ 480 P1 (0; 60)

Área factibl

P2 (40; 0)

Las soluciones posibles para esta restricción están comprendidas entre los puntos extremos de la misma que son P1 (0; 60) y P2 (40; 0) RESTRICCIÒN 3

c) 5A +10B = 200

Las soluciones posibles para esta restricción están comprendidas entre los puntos extremos de la misma que son P1 (0; 20) y P2 (40; 0)

INTERPRETACIÓN GENERAL

Tomando en cuenta cada una de las restricciones graficadas anteriormente las soluciones posibles para cada una de ellas se encuentran comprendidas entre cada uno de los puntos extremos de las mismas es decir que se encuentran dentro de cada una de las distintas áreas factibles. Cualquier punto que se encuentre fuera de alguna de estas áreas factibles no es una solución posible. 4. Trace una gráfica separada de cada una de las restricciones siguientes, donde muestre las rectas de restricción y las soluciones que satisfacen: a) 3A – 4B ≥ 60 b) -6A + 5B ≤ 60 c) 5A - 2B ≤ 0 a. 3A – 4B ≥ 60

b. -6A + 5B ≤ 60

c. 5A - 2B ≤ 0

Interpretación: 

Una gráfica con las tres restricciones.; la región sombreada incluye cada punto de solución que satisface todas las restricciones de forma simultánea. Como las soluciones que cumplen con todas las restricciones de forma simultánea se llaman soluciones factibles, la región sombreada se llama región de solución factible, o sencillamente región factible. Cualquier punto en el límite de la región factible o dentro de ésta es un punto de solución factible para el problema de programación lineal; la solución óptima sería en el punto (0,4).

5. Trace una gráfica separada de cada una de las restricciones siguientes, donde muestre las rectas de restricción y las soluciones que satisfacen: a. A >= 0.25 (A + B) b. B <= 0.10 (A + B) c. A <= 0.50 (A + B)

A = 0,25 A + 0.25 B B = 0.10 A + 0.10 B A = 0.50 A + 0.50 B

0.85 = 0,25 A + 0.25 B 0.85 = 0.10 A + 0.10 B 0.85 = 0.50 A + 0.50 B

Restricción 1: A=0

B=0

0.85 = 0,25 (0)+ 0.25 B

0.85 = 0,25 A+ 0.25 (0)

B= 0.85/0.25

A= 0.85/0.25

B= 3.4

Gráfica

(0, 3.4)

A= 3.4

(3.4, 0)

Posibles Soluciones: 1. 0.5= 0,25(1) + 0.25 (1) 2. 1.62 = 0,25(2.5) + 0.25 (4) La Solución 1 es la que satisface la restricción, todas las demás soluciones del mismo lado de la recta de restricción también la satisfarán.

Restricción 2: A=0

B=0

0.85 = 0.10 (0)+ 0.10 B

0.85 = 0.10 A+ 0.10 (0)

B= 0.85/0.10

A= 0.85/0.10

B= 8.5

Gráfica

(0, 8.5)

A= 8.5

(8.5, 0)

Posibles Soluciones: 1. 0.40 = 0.10 (2) + 0.10 (2) 2. 1.55 = 0.10 (6.5) + 0.10 (9) La Solución 1 es la que satisface la restricción, todas las demás soluciones del mismo lado de la recta de restricción también la satisfarán.

Restricción 3: A=0

B=0

0.85 = 0.50 (0)+ 0.50 B

0.85 = 0.50 A+ 0.50 (0)

B= 0.85/0.50

A= 0.85/0.50

B= 1.7

Gráfica

(0, 1.7)

A= 1.7

(1.7, 0)

1. 0.5 = 0.50 (0,5)+ 0.50 (0,5) 2. 1.9 = 0.50 (0,1.3)+ 0.50 (2.5) La Solución 1 es la que satisface la restricción, todas las demás soluciones del mismo lado de la recta de restricción también la satisfarán.

6. Tres funciones objetivo para problemas de programación lineal son 7A + 10B, 6A + 4B y -4A +7B. Muestre la gráfica de cada una para los valores de la función objetivo iguales a 420. A -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

7A + 10B = 420 B= (420-7A)/10 112 105 98 91 84 77 70 63 56 49 42 35 28 21 14 7 0 -7

6A + 4B = 420 B= (420-6A)/4 255 240 225 210 195 180 165 150 135 120 105 90 75 60 45 30 15 0

-4A + 7B = 420 B= (420+4A)/7 2,9 8,6 14,3 20,0 25,7 31,4 37,1 42,9 48,6 54,3 60,0 65,7 71,4 77 82,9 88,6 94,3 100,0

7. Identifique la región factible para el conjunto de restricciones siguientes:

1. 2. 3.

1.

2.

3.

GRÁFICO

8. Identifique la región factible para el conjunto de restricciones siguientes:

9. Indique la región factible para el conjunto de restricciones siguiente:

1.

2.

3.

10. Para el programa lineal

1)

2)

-(1) 1) + 2)

A en 1)

Función Objetivo

La solución óptima en este ejercicio es 2,75 de A y 1,08 de B obteniendo de esta manera una Utilidad de 8,75 .

11. Resuelva el programa lineal siguiente mediante el procedimiento de solución gráfica:

1) 1 A ≤ 100 A = 100

A 100

B 0

2) 1B ≤ 80 B = 80

A 0

B 80

A 0 200

B 100 0

3) 2 A + 4B ≤ 400 2 A + 4B ≤ 400 2 A + 4B = 400 2 A + 4B = 400 2 A + 4*(80) = 400 A = 40

2 A + 4B = 400 2 *(100) + 4B = 400 B = 50

Max

B = 5 A + 5B B = 5 *(0) + 5 *(0) B=0

A = 5 A + 5B A = 5 *(100) + 5 *(0) A = 500

C = 5 A + 5B C = 5 *(0) + 5 *(80)

D = 5 A + 5B D = 5 *(40) + 5 *(80)

C = 400 E = 5 A + 5B E = 5 *(100) + 5 *(50) E = 750

D = 600

12. Considere el problema de programación lineal siguiente:

a. Encuentre la solución óptima mediante el procedimiento de solución gráfica.

Despeja Y de cualquier ecuación Introduce Y en la posterior ecuación para encontrar x

b. Si la función objetivo se cambia a 2A + 6B, ¿cuál será la solución óptima?

c. ¿Cuántos puntos extremos hay? ¿Cuáles son los valores de A y B en cada punto extremo?

Despeja Y de cualquier ecuación Introduce Y en la posterior ecuación para encontrar x

13. Considere el programa lineal siguiente:

a. Muestre la región factible.

b. ¿Cuáles son los puntos extremos de la región factible?

Despeja Y de cualquier ecuación

Introduce Y en la posterior ecuación para encontrar x

c. Encuentre la solución óptima utilizando el procedimiento gráfico.

14. Par, Inc. es un pequeño fabricante de equipo y material de golf. El distribuidor de Par cree que existe un mercado tanto para una bolsa de golf de precio moderado, llamada modelo estándar, como para una bolsa de golf de un precio alto, llamada modelo de lujo. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que, si Par puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, comprará todas las bolsas que Par fabrique durante los tres meses siguientes. Un análisis detallado de los requerimientos de manufactura dio como resultado la tabla siguiente, la cual muestra los requerimientos de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación que hizo el departamento de contabilidad de la contribución a las utilidades por bolsa:

El director de manufactura estima que se dispondrá de 630 horas de corte y teñido, 600 horas de costura, 708 horas de acabado y 135 horas de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf durante los tres meses siguientes. a. Si la empresa quiere maximizar la contribución total a las utilidades, ¿cuántas bolsas de cada modelo debe fabricar? Producto Corte y Teñido Costura Terminado Inspección y empaque

Estándar 7/10

Lujo 1

Disponible 630

1/2 1 1/10

5/6 2/3 1/4

600 708 135

Utilidad por bolsa

$ 10

$9

Función Objetivo:

Restricciones:

Restricción 1+ Restricción 2

Restricción 3+ Restricción 4

X de 1+2

X en 3+4

252

Función Objetivo

540 bolsas estándar, 252 bolsas de lujo b. ¿Qué contribución a las utilidades puede obtener Par con estas cantidades de producción? 7668 c. ¿Cuántas horas de tiempo de producción se programarán para cada operación? 630, 480, 708, 117 d. ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada operación? 0, 120, 0, 18. 15. Suponga que la gerencia de Par (problema 14) se encuentra en las situaciones siguientes: Tiempo en Horas Producto Estándar Corte y 7/10 Teñido Costura 1/2 Terminado 1 Inspección 1/10 y empaque Utilidad por bolsa

$ 10

Lujo

Disponible

1

630

5/6 2/3

600 708

1/4

135

$9

Literal A.- El departamento de contabilidad revisa su estimación de la contribución a las utilidades para la bolsa de lujo en $18 por bolsa.

Tiempo en Horas Producto Estándar(x) Lujo(Y) Disponible Corte y 7/10 1 630 Teñido Costura 1/2 5/6 600 Terminado 1 2/3 708 Inspección 1/10 1/4 135 y empaque Utilidad por bolsa

$ 10

$ 18

Respuesta: Bolsa estándar = 300 y Bolsa de lujo = 420 Interpretación: La empresa de Par al obtener $18 de utilidad por la bolsa de lujo y $10 por la bolsa estándar, su solución óptima será vender 300 bolsas de lujo y 420 bolsas estándar, resultando así unas utilidades de $10 560.

Literal B.- Un nuevo material de bajo costo está disponible para la bolsa estándar y la contribución a las utilidades por bolsa estándar aumenta a $20 por bolsa. (Suponga que la contribución a las utilidades de la bolsa de lujo es el valor original de $9.)

Tiempo en Horas Producto Estándar(X) Lujo(Y) Disponible Corte y 7/10 1 630 Teñido Costura 1/2 5/6 600 Terminado 1 2/3 708 Inspección 1/10 1/4 135 y empaque Utilidad por bolsa

$ 20

$9


Literal C.- Se adquirió un equipo de costura nuevo que aumentará la capacidad de operación de costura a 750 horas. (Suponga que 10A + 9B es la función objetivo apropiada.)

Tiempo en Horas Producto Estándar Corte y 7/10 Teñido Costura 1/2 Terminado 1 Inspección 1/10 y empaque Utilidad por bolsa

$ 10

Lujo

Disponible

1

630

5/6 2/3

750 708

1/4

135

$9


16. Remítase a la región factible para Par, Inc. del problema 14. Par, Inc. es un pequeño fabricante de equipo y material de golf. El distribuidor de Par cree que existe un mercado tanto para una bolsa de golf de precio moderado, llamada modelo estándar, como para una bolsa de golf de un precio alto, llamada modelo de lujo. El distribuidor tiene tanta confianza en el mercado que, si Par puede fabricar las bolsas a un precio competitivo, comprará todas las bolsas que Par fabrique durante los tres meses siguientes. Un análisis detallado de los requerimientos de manufactura dio como resultado la tabla siguiente, la cual muestra los requerimientos de tiempo de producción para las cuatro operaciones de manufactura requeridas y la estimación que hizo el departamento de contabilidad de la contribución a las utilidades por bolsa:

Producto Estándar De lujo

Corte y teñido 7/10 1

Tiempo de producción Costura Terminado 1/2 5/6

1 2/3

Inspección y empaque 1/10 1/4

Utilidad por Bolsa $10 $9

El director da manufactura estima que durante los siguientes tres meses estarán disponibles 630 horas de tiempo de corte y teñido, 600 horas de tiempo de costura, 708 horas de tiempo de terminado y 135 horas de tiempo de inspección y empaque para la producción de las bolsas de golf. a) Desarrolle una función objetivo que haga del punto extremo (0, 540) el punto extremo óptimo.

FUNCION OBJETIVO 3x1+10x2 = 0

Los precios de la actividad de corte y teñido, costura y terminado a la empresa de cuesta 0 ctv. En la actividad de inspección y empaque le cuesta $40 dólares. Para el caso de la primera restricción (corte y teñido) el mínimo seria de 540 minutos, mientras que para la segunda restricción 449.82 minutos, para la tercera restricción es de 360.18 Para el caso de la primera restricción (corte y diseño) dela segunda y tercera restricción es infinito y para el caso de la cuarta restricción es 157.5 minutos. b. ¿Cuál es la solución óptima para la función objetivo que seleccionó en el inciso a?

Para obtener una utilidad máxima de $5400 se debería vender un total de 540 bolsas de golf de lujo y ninguna del modelo estándar. Para que el pequeño fabricante de equipo y material de golf pueda obtener una utilidad de $ 5400 es preciso elaborar 540 de lujo y 300 estándar.

c. ¿Cuáles son los valores de las variables de holgura asociadas con esta solución?

INTERPRETACION Corte y teñido se planifico 630 horas de las cuales nos sobraron 90 horas para elaborar las bolsas. Costura se planifico 600 horas de las cuales nos sobraron 150 horas para elaborar las bolsas. Terminado se planifico 708 horas de las cuales nos sobraron 347 horas para elaborar las bolsas. Inspección y empaque se consumieron las 135 horas que designaron

17. Escriba el programa lineal siguiente en forma estándar

SOLUCIÓN:

La forma estándar del problema de programación lineal de programación lineal es equivalente a la formulación original del problema. Es decir la solución óptima para la resolución del programa lineal es la misma que la solución óptima para la forma estándar del problema. La forma estándar no cambia el problema básico, solo cambia el problema básico, solo cambia las restricciones de escribir el problema.

18. Para el programa lineal

s. a.

Resolución

a) Escriba este problema en forma estándar

b) Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica.

Para que la Empresa pueda obtener una utilidad de $ 12.43 es preciso elaborar 3 blusas y 2 camisas.

c) ¿Cuáles son los valores de las tres variables de holgura en la solución óptima?

Se observa que en la actividad de terminado preexiste un exceso de 57 minutos con 14 segundos, y en la fase de corte -teñido y costura el lapso de tiempo empleado es preciso.

Hemos observado la necesidad de invertir este tiempo sobrante, en el área de control y calidad el mismo que manifiesta una pérdida debida a que el tiemplo empleado para la inspección y registro de eficiencia de la prenda no cumple con el lapso establecido, apto para obtener un producto estándar.

Los precios sombras en la actividad de corte y teñido es de 0.36 centavos, mientras que en la actividad de costura es de 0.14 centavos, y en la actividad de terminado a la Empresa le cuesta 0 centavos.

Para el caso de la primera restricción (corte y teñido) el mínimo seria de 26 minutos, mientras que para la segunda restricción 9 minutos y para la tercera restricción es de 9.43.

Para el caso de la primera restricción (corte y teñido) el tiempo máximo es de 40 minutos, mientras que para la segunda restricción es de 12.5 minutos y para la tercera restricción es infinito.

19. Dado el programa lineal Max 3A + 4B Restricciones -1A + 2B ≤ 8 1A + 2B ≤ 12 2A + 1B ≤ 16 A, B ≥ 0 a. Escriba este problema en forma estándar -1A + 2B = 8 1A + 2B = 12 2A + 1B = 16 b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica.

c. ¿Cuáles son los valores de las tres variables de holgura en la solución óptima?

20. Para el programa lineal Max 3 A + 2 B s.a. A + B >= 4 3 A + 4 B <= 24 A >= 2 A - B <=0 A, B >= 0

a) Escriba este problema en forma estándar. 3A + 2B + 0S1 + 0S2 + 0S3 +0S4 A + B + 1S1 =4 3 A + 4B +1S2 =24 A + 1S3 =2 A – B + 1S4 = 0 A, B, S1, S2, S 3, S4 = 0

b) Resuelva el problema.

La solución óptima dentro del problema es que se debe tener 3.43 de A y 3.43 de B, para llegar a la maximización y obtener el objetivo.

c)

¿Cuáles son los valores de las variables de holgura y de excedente en la solución óptima?

Las variables de holgura y el excedente dentro del problema son los siguientes:

La restricción del material 1 tiene 2,86 de holgura. La restricción del material 2 tiene una holgura de 0 en la solución óptima. La restricción del material 3 tiene 1.43 de holgura, o capacidad sin utilizar. Y la restricción del material 4 tiene 0 de capacidad sin utilizar, es decir una holgura de 0


a. Coloque un número (1, 2 o 3) al lado de cada recta de restricción para idenficar a cuál restricción representa, y, b. Sombree la región factible de la gráfica.

c. Identifique el punto extremo óptimo. ¿Cuál es la solución óptima? La solución óptima es realizar 35 artículos de A, 45 artículos de B para obtener una máxima utilidad de 205. d. ¿Cuáles restricciones son confinantes? Explique por qué. La única restricción confinante es 1A + 3B ≤ 90 porque es la variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menos o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. e. ¿Cuánta holgura o exceso se asocia con la restricción confinante? Aproximadamente tiene 20 de holgura es decir el valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado y se asocia a la restricción 1A + 3B ≤ 90 22. Reiser Sports Products quiere determinar la cantidad de balones de futbol de All-Pro (A) y Universitario (U) a producir con el fi n de maximizar las utilidades durante el siguiente horizonte de planeación de cuatro semanas. Las restricciones que afectan las cantidades de producción son las capacidades de producción en tres departamentos: corte y teñido, costura e inspección y empaque. Para el periodo de planeación de cuatro semanas se dispone de 340 horas de corte y teñido, 420 horas de costura y 200 horas de inspección y empaque. Los balones de futbol All-Pro producen utilidades de $5 por unidad y los balones Universitarios producen una utilidad de $4 por

unidad. El modelo de programación lineal con los tiempos de producción expresados en minutos es el siguiente:

(0; 3400)

(2000; 0) (0; 1680)

FUNCIÓN OBJETIVO: Max 5 A + 4U    

12 A + 6 U <= 20,400 Corte y teñido 9 A + 15 U <= 25,200 Costura 6 A + 6 U <= 12,000 Inspección y empaque A, U <= 0 (0; 2000)

(2800; 0)

Una parte de la solución gráfica al problema de Reiser se muestra en la figura 7.24 SOLUCIÓN GRÁFICA:

Solución óptima (1400; 600)

(400; 500)

Región factible

(1700; 0)

a) Sombree la región factible para este problema.

La solución óptima es producir 1400 unidades del bien x1 y 600 unidades del bien x2 quedando una utilidad de 9400 dólares UTILIDAD= 5(1400)+4(600) UTILIDAD= 9400 dólares b. Determine las coordenadas de cada punto extremo y las utilidades correspondientes. ¿Cuál punto extremo genera mayores utilidades?

RESTRICCIÓN 1  PUNTO EXTREMO N: 1 (0; 3400) = 5(0)+4(3400)=13600 DE UTILIDAD  PUNTO EXTREMO N: 2 (1700; 0) = 5(1700)+4(0)= 8500 DE UTILIDAD RESTRICCIÓN 2  PUNTO EXTREMO N: 1 (0; 1680) = 5(0)+4(1680)= 6720 DE UTILIDAD  PUNTO EXTREMO N: 2 (2800; 0) = 5(2800)+4(0)= 14000 DE UTILIDAD RESTRICCIÓN 3  PUNTO EXTREMO N: 1 (0; 2000) = 5(0)+4(2000)= 8000 DE UTILIDAD  PUNTO EXTREMO N: 2 (2000; 0) = 5(2000)+4(0) = 10000 DE UTILIDAD El punto extremo que genera mayor utilidad es el punto (2800; 0)

c. Trace la recta de utilidades correspondiente a una utilidad de $4 000. Mueva la recta de utilidades lo más lejos posible del origen con el fin de determinar cuál punto extremo proporcionará la solución óptima. FUNCIÓN OBJETIVO:  MÁXIMIZAR: 5A+4U UTILIDAD: 5(400)+4(500) UTILIDAD: 4000 dólares La solución óptima es producir 400 unidades del bien x1 y 500 unidades del bien x2 quedando una utilidad de 4000 dólares

UTILIDAD= 4(500)+5(400) UTILIDAD= 4000 dólares d. ¿Cuáles restricciones son confinantes? Explique por qué. La restricción 1y la restricción 2 debido a que el precio dual en ambos casos es cero respectivamente.

e. Suponga que los valores de los coeficientes de la función objetivo son $4 para cada modelo All-Pro y $5 para cada modelo Universitario producidos. Utilice el procedimiento de solución gráfica para determinar la solución óptima y el valor correspondiente de las utilidades. FUNCIÓN OBJETIVO: MAXIMIZAR: 4A+5U

(0; 3400) (0; 2000) (0; 1680)

1

Solución óptima (800; 1200)

PUNTO EXTREMO N: 1 Región factible

(1700; 0)

RESTRICCIÓN N: 1  PUNTO EXTREMO N: 1 (0; 3400) = 4(0)+5(3400)= 17000 DE UTILIDAD (1700; 0) = 4 (1700)+5(0)= 6800 DE UTILIDAD RESTRICCIÓN 2  PUNTO EXTREMO N: 1 (0; 1680) = 4(0)+5(1680)= 8400 DE UTILIDAD  PUNTO EXTREMO N: 2 (2800; 0) = 4 (2800)+5(0)= 11200 DE UTILIDAD RESTRICCIÓN 3  PUNTO EXTREMO N: 1 (0; 2000) = 4(0)+5(2000)= 10000 DE UTILIDAD  PUNTO EXTREMO N: 2

(2000; 0)

(2800; 0)

(2000; 0) = 4(2000)+5(0) = 8000 DE UTILIDAD  El punto extremo que genera mayor utilidad es el punto (0; 3400) La solución óptima es producir 800 unidades del bien x1 y 1200 unidades del bien x2 quedando una utilidad de 9200 dólares UTILIDAD= 4(800)+5(1200) UTILIDAD= 9200 dólares 23. Embassy Motorcycles (EM) fabrica dos motocicletas ligeras diseñadas para un manejo fácil y seguro. El modelo EZ-Rider tiene un motor nuevo y un perfil bajo que facilitan el equilibrio. El modelo Lady-Sport es ligeramente mayor, utiliza un motor más tradicional y se diseñó especialmente para las mujeres motociclistas. Embassy fabrica los motores para ambos modelos en su planta de Des Moines, Iowa. Cada motor de EZ-Rider requiere 6 horas de tiempo de manufactura y cada motor Lady-Sport requiere 3 horas. La planta de Des Moines tiene 2100 horas de tiempo de manufactura disponibles para el siguiente periodo de producción. El proveedor de cuadros de motocicleta de la empresa puede suministrar todos los cuadros para la EZ-Rider que solicite la empresa. Sin embargo, el cuadro de la Lady-Sport es más complejo y el proveedor sólo puede suministrar hasta 280 cuadros de ésta para el siguiente periodo de producción. El ensamblaje final y las pruebas requieren2 horas para cada modelo EZ-Rider y 2.5 horas para cada modelo Lady-Sport. Se dispone de un máximo de 1000 horas de tiempo de ensamblaje y pruebas para el siguiente periodo de producción. El departamento de contabilidad de la empresa proyecta una contribución a las utilidades de $2 400 por cada EZ-Rider producida y $1800 por cada Lady-Sport producida. SOLUCIÓN horas cuadros

ensamblaje utilidades

EZ-Rider (X)

6

2

2400

Lady-Sport (Y)

3

2,5

1800

Total

2100

280

1000

Restricciones 6x+3y ≤ 2100 2x+2.5y ≤ 1000

Función objetivo Z= 2400X + 1800Y

y ≤ 280 x,y ≥ 0 a) para obtener la cantidad de equilibrio se realiza un planteamiento de ecuaciones despejando las variables y obteniendo los valores de cada una.

Se reemplaza los puntos obtenidos para obtener el valor de la ganancia

Se debe producir 250 unidades de Ez Rider (x) y 200 unidades de Lady Sport (y) con el objetivo de maximizar su ganancia alcanzando un valor de 960.000, además con estos valores se cumplen las restricciones.

Todas las restricciones son confinantes debido a que se encuentran dentro de los parámetros establecidos con el número de unidades producidas para alcanzar el equilibrio.

24. Kelson Sporting Equipment, Inc. fabrica dos tipos diferentes de guantes de béisbol: un modelo regular y un modelo para catcher. La empresa dispone de 900 horas de tiempo de producción en su departamento de corte y confección, 300 horas en su departamento de acabados y 100 horas en su departamento de empaque y envío. Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a las utilidades por guante se proporcionan en la tabla siguiente:

Suponiendo que la empresa está interesada en maximizar la contribución total a las utilidades, responda lo siguiente: a. ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema? Modelo regular= x Max s. a. 5x+8y 1x+1.5y ≤ 900

Modelo catcher= y

0.5x+0.33 y ≤ 300 0.125x+0.25y ≤ 100 x, y ≥ 0 b. Encuentre la solución óptima utilizando el procedimiento de solución gráfica.

¿Cuántos guantes de cada modelo debe fabricar Kelson? Kelson debe fabricar 501 guantes del modelo regular y 149 guantes del modelo catcher. c. ¿Qué contribución total a las utilidades puede obtener Kelson con las cantidades de producción dadas? Las utilidades que Kelson obtuvo son $3701,492 dólares. d. ¿Cuántas horas de tiempo de producción se programarán en cada departamento? DEPARTAMENTOS

HORAS

Corte y confección Acabados

0 2.985.075

Empaque y envío

280.597

e. ¿Cuál es el tiempo de holgura en cada departamento? DEPARTAMENTOS Corte y confección Acabados

TIEMPO DE HOLGURA 174,62 0

Empaque y envío

0

25. 26. Al restaurante Sea Wharf le gustaría determinar la mejor manera de asignar un presupuesto de publicidad mensual de $1000 entre los periódicos y la radio. La gerencia decidió que debe invertir por lo menos 25% del presupuesto en cada tipo de medio y que la cantidad de dinero gastada en la publicidad en los periódicos locales debe ser por lo menos del doble de la publicidad invertida en radio. Un consultor de marketing elaboró un índice que mide la penetración en la audiencia por dólar de publicidad en una escala de 0 a 100, en el que los valores más altos implican una mayor penetración. Si el valor del índice para la publicidad en los periódicos locales es 50 y el valor del índice para el espacio publicitario en la radio es 80, ¿cómo debe asignar el restaurante su presupuesto de publicidad para maximizar el valor de la penetración total en la audiencia? a. Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para determinar cómo debe asignar el restaurante su presupuesto de publicidad con la finalidad de maximizar el valor de la penetración total en la audiencia. b. Resuelva el problema mediante el procedimiento de solución gráfica.

a) Solución Modelo de programación lineal Variables  

X1 = Presupuesto periódicos X2 = Presupuesto Radio

Función Objetivo

Restricciones MINIMO PARA PERIODICOS MINIMO PARA RADIO RELACION PERIODICOS RADIO

PRESUPUESTO NO NEGATIVIDAD NO NEGATIVIDAD

Se igualan las restricciones a 0 para poder ingresar al Programa QM For Windows 0.75X1 – 0.25X2 >= 0 -0.25X1 + 0.75X2 >= 0 1X1 -2X2 >= 0 1X1 + 2X2 <= 10000

Resolución del problema en QM

b) PROCEDIMIENTO DE SOLUCION GRAFICA

27. Blair & Rosen, Inc. (B&R) es una firma de corretaje que se especializa en portafolios de inversión diseñados para cumplir con las tolerancias al riesgo específicas de sus clientes. Un cliente que contactó a B&R la semana pasada tiene un monto máximo de $50,000 para invertir. El asesor de inversiones de B&R decide recomendar un portafolio que consta de dos fondos de inversión: uno de Internet y uno Blue Chip. El fondo de Internet tiene un rendimiento anual proyectado de 12%, mientras que el Blue Chip tiene un rendimiento anual proyectado de 9%. El asesor de inversiones sugiere que como máximo se inviertan $35,000 de los fondos del cliente en el fondo de Internet. Los servicios de B&R incluyen una tasa de riesgo para cada alternativa de inversión. El fondo de Internet, que es la más riesgosa de las dos alternativas de inversión, tiene una tasa de riesgo de 6 por cada mil dólares invertidos. El fondo Blue Chip tiene una tasa de riesgo de 4 por cada mil dólares invertidos. Por ejemplo, si se invierten $10,000 en cada uno de los dos fondos de inversión, la tasa de riesgo de B&R para el portafolio sería 6(10) -4(10) 100. Por último, B&R desarrolló un cuestionario para medir la tolerancia al riesgo de cada cliente. Con base en las respuestas, los clientes se clasifican como inversionistas conservadores, moderados o agresivos. Suponga que los resultados del cuestionario clasifican al cliente actual como un inversionista moderado. B&R recomienda que un inversionista moderado limite su portafolio a una de riesgo máxima de 240. a) ¿Cuál es el portafolio de inversión recomendado para este cliente? ¿Cuál es el rendimiento anual para el portafolio?

INTERPRETACIÓN La solución óptima se da al invertir 2000 acciones Internet y 3000 acciones Blue chip y la contribución total a las utilidades es de 5100 dólares. Si el cliente invierte un máximo 50.000 se recomienda al cliente Invertir en Blue Chip ya que tendría una utilidad de 30.000 dólares

b) Imagine que un segundo cliente con $50,000 para invertir se clasifica como inversionista agresivo. B&R recomienda que la tasa de riesgo máxima del portafolio para un inversionista agresivo sea 320. ¿Cuál es el portafolio de inversión recomendado para este inversionista agresivo? Explique qué sucede con el portafolio bajo la estrategia del inversionista agresivo.

INTERPRETACIÓN La solución óptima se da al invertir 35000 acciones Internet y 15000 acciones Blue chip y la contribución total a las utilidades es de 5550 dólares. Si el cliente invierte un máximo 50.000 cliente agresivo se recomienda al cliente Invertir en Internet ya que tendría una utilidad de 35.000 dólares

c) Suponga que un tercer cliente con $50,000 para invertir se clasifica como un inversionista conservador. B&R recomienda que la tasa de riesgo máxima del portafolio para un inversionista conservador sea 160. Elabore el portafolio de inversión recomendada para el inversionista conservador. Comente la interpretación de la variable de holgura para la restricción del fondo de inversión total.

INTERPRETACION

Inversión se planifico invertir 50000 dólares de las cuales nos sobraron 10.000 dólares para la inversión. El asesor sugirió que invierta el cliente agresico 35.000 Nos encontramos ningún riesgo en las inversiones realizadas.

INTERPRETACIÓN La solución óptima se da al invertir 26666.67 acciones Internet es una la contribución total a las utilidades es de 3.200 dólares. La solución óptima se da al invertir 40.000 acciones Blue Chip es una la contribución total a las utilidades es de 3.600 dólares. En este caso el cliente puede invertir en cualquiera de las acciones que le ofrecen el asesor. 28. Tom’s, Inc. elabora varios productos de comida mexicana y los vende a Western Foods, una cadena de tiendas de abarrotes localizadas en Texas y Nuevo México. Tom’s produce dos tipos de salsa: la salsa Western Foods y la salsa Mexico City. Básicamente, las dos contienen una mezcla diferente

de tomates enteros, salsa y puré de jitomate. La salsa Western Foods contiene una mezcla de 50% de tomates enteros, 30% de salsa de tomate y 20% de puré de tomate, mientras que la Mexico City, que tiene una consistencia más espesa y en trozos, incluye 70% de tomates enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de puré de tomate. Cada frasco de salsa producido pesa 10 onzas. Para el periodo de producción actual Tom’s, Inc. puede comprar hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de tomate y 100 libras de puré de tomate; el precio por libra de estos ingredientes es $0.96, $0.64 y $0.56, respectivamente. El costo de las especias y otros ingredientes es aproximadamente $0.10 por frasco. La empresa compra frascos de vidrio vacíos por $0.02 cada uno y los costos de etiquetado y llenado se estiman en $0.03 por cada frasco de salsa producido. El contrato de Tom’s con Western Foods produce ingresos por ventas de $1.64 por cada frasco de salsa Western Foods y $1.93 por cada frasco de salsa México City. a. Elabore un modelo de programación lineal que permita a Tom’s determinar la mezcla de productos de salsa que maximizará la contribución total a las utilidades. b. Encuentre la solución óptima.

PRODUCTO Western Foods

Mexico City

Tomates Enteros

50%

70%

Salsa

30%

10%

Pure de Jitomate

20%

20%

Cantidad Disponible Tomates Enteros

280 libras

salsa

130 libras

Pure

100 libras

Precio x libra Enteros 0,96 Salsa 0,64 y Pure 0,5 Especias $0,10

Vidrio 0,02 Etiqtado 0,03 x frasco

Produce ingresos por ventas de $1.64 por cada frasco de salsa Western Foods y $1.93 por cada frasco de salsa México City. A) W= Numero de libras para salsa Western M= Numero de libras para salsa México Función Objetivo Max= (1,64-(0,10+0,02+0,03+50%(10)(0,96)/16+30%(10)(0,64)/16+20%(10)(0,56)/16)W+ (1,93-(0,10+0,02+0,03+70%(10)(0,96)/16+10%(10)(0,64)/16+20%(10)(0,56)/16)M Max= (1,64-(0,15+0,3+0,12+0,07))W+ (1,93-(0,15+0,42+0,04+0,07))M Max= 1W+1,25M Restricciones 5W+7M≤4480 3W+1M≤2080 2W+2M≤1600

b) Solución Óptima

Análisis Para Maximizar nuestra utilidad en las salsas tomate se distribuirán 640 por parte de Western y 160 de México City en libras en esto ya cuentan todos los costos disponibles que se agregan al mismo y así podrá optimizar su producción.

29. AutoIgnite produce sistemas de encendido electrónico para automóviles en una planta de Cleveland, Ohio. Cada sistema de encendido se ensambla con dos componentes producidos en las plantas de AutoIgnite de Buffalo, Nueva York y Dayton, Ohio. La planta de Buffalo puede producir 2 000 unidades del componente 1, 1000 unidades del componente 2 o cualquier combinación de los dos componentes cada día. Por ejemplo, 60% del tiempo de producción se podría dedicar a producir el componente 1 y 40% del tiempo de producción para producir el componente 2; en este caso, la planta de Buffalo sería capaz de producir 0.6(2 000) 1200 unidades del componente 1 y 0.4(1000) 400 unidades del componente 2 diariamente. La planta de Dayton puede producir 600 unidades del componente 1, 1400 unidades del componente 2 o cualquier combinación de los dos componentes diario. Al final de cada día, la producción de componentes de Buffalo y Dayton se envía a Cleveland para ensamblar los sistemas de encendido al día hábil siguiente. a. Elabore un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para hacer un programa de producción diaria para las plantas de Buffalo y Dayton que maximice la producción diaria de los sistemas de encendido en la planta Cleveland.

b. Encuentre la solución óptima.

-

En este ejercicio se tiene un sistema de crecimiento. Por lo que se debe producir 1600 unidades del componente A en la fábrica de Buffalo con lo que se maximizara la producción diaria de los sistemas de encendido de la planta de Cleveland

30. Un asesor financiero de Diehl Investments identificó dos empresas que son probables candidatos para una adquisición en el futuro cercano. Eastern

Cable es un fabricante importante de sistemas de cable flexible utilizados en la industria de la construcción, y ComSwitch es una empresa nueva especializada en sistemas de conmutación digital. Eastern Cable cotiza en la actualidad a $40 por acción y ComSwitch a $25. Si ocurre la adquisición, el asesor financiero estima que el precio de Eastern Cable aumentará a $55 por acción y de ComSwitch a $43. En este momento el asesor financiero ha identificado a esta última como la alternativa de mayor riesgo. Suponga que un cliente mostró una disposición a invertir un máximo de $50,000 en las dos empresas. El cliente desea invertir por lo menos $15,000 en Eastern Cable y $10,000 en ComSwitch. Debido al mayor riesgo aso ciado con ComSwitch, el asesor financiero ha recomendado que se inviertan cuando mucho $25,000 en esta empresa. a. Elabore un modelo de programación lineal que se utilice para determinar el número de acciones de Eastern Cable y el de ComSwitch que cumplan con las restricciones de la inversión y maximicen el rendimiento total sobre la inversión.

b. Trace la gráfica de la región factible.

c. Determine las coordenadas de cada punto extremo.

d. Encuentre la solución óptima.

31. Considere el programa lineal siguiente: Min 3A+4B 1A+3B=> 6 1A+1B=> 4 A,B>=0 Identifique la región factible y encuentre la solución óptima mediante el procedimiento de solución gráfica. ¿Cuál es el valor de la función objetivo?

32. Identifique las tres soluciones del punto extremo para el problema de M&D Chemicals (vea la sección 7.5). Identifique el valor de la función objetivo y los valores de las variables de holgura y excedente en cada punto extremo. Min 2A + 3B Valor óptimo: 800 Restricciones

Añadiendo las Variables de Holgura

-

Los puntos extremos de este sistema se encuentran e el punto (125,325) y (250,100).

33. Considere el problema de programación lineal siguiente:

A) Encuentre la solución óptima mediante el procedimiento de solución gráfica y el valor de la función objetivo. B) Determine la cantidad de holgura o excedente para cada restricción. C) Suponga que la función objetivo cambia a Max 5A + 2B. Encuentre la solución óptima y el valor de la función objetivo.

A)

B)

C)


s.a.

a.

Muestre la región factible.

b.

¿Cuáles son los puntos extremos de la región factible?

c. Encuentre la solución óptima mediante el procedimiento de solución gráfica.

Solución: (4, 1)

Investigacion de Operaciones capitulo 7

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