Introduzione All'Analisi Complessa e Teoria Delle Distribuzioni

F. Fagnani, A. Tabacco e P. Tilli

Introduzion Introduzione e all’Analis all’Analisii Complessa e Teoria delle distribuzioni 8 marzo 2006

Indice

1

Numeri Numeri comp comples lessi si e funzi funzioni oni elem elemen entar tarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 Numeri Numeri comples complessi si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.1 Operazi Operazioni oni algebr algebric iche he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 1.1.2 Coordin Coordinate ate cartesi cartesiane ane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 1.1.3 Forma orma trigonom trigonometr etrica ica e forma espon esponenz enzial ialee . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 1.1.4 Equaz Equazion ionii algebr algebric iche he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Elemen Elementi ti di topolog topologia ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.1 Il punto punto all’infini all’infinito to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Funzioni unzioni elementari elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Lim Limiti iti e cont contin inuit uit` a` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Continu Continuit` it` a. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Eserci Esercizi zi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 1.5.1 Soluzi Soluzioni oni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Funzio unzioni ni analit analitic iche he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

1 1 1 3 5 9 10 12 13 19 21 21 23

Deriv Derivabi abilit lit` a` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condizioni Condizioni di CauchyCauchy-Riema Riemann nn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funzioni unzioni analitiche analitiche e armonich armonichee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Richia Richiami mi su archi archi e cam cammin minii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integ Integral ralii di linea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema eorema di Cauchy-G Cauchy-Gours oursat at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formula ormula integrale integrale di Cauchy Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risultati Risultati globali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eserci Esercizi zi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 2.9.1 Soluzi Soluzioni oni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 32 38 40 45 52 55 57 59 61

Serie Serie di di Tay Taylor lor e di Laure Laurent nt.. Residu Residuii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1 Successio Successioni ni e serie di numeri complessi complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 3.1.1 Serie Serie di potenze potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Serie Serie di Taylor aylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Serie Serie di Lauren Laurentt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 70 76 79

VI

Indice

3.4 Singolarit` a isolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Residui e loro calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Calcolo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Introduzione alle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1 4.2 4.3 4.4

4.5 4.6 4.7 4.8 5

83 85 87 87 89

Introduzione e motivazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Lo spazio delle funzioni test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Distribuzioni: definizione ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Le propriet` a fondamentali delle distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4.1 La traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4.2 Il riscalamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4.3 La moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4.4 La derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Convergenza di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Supporto di una distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.1 Distribuzioni a supporto compatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Convoluzione di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.8.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Trasformata di Fourier di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto compatto . . . . . . 129 Distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Altri esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.6.1 La trasformata di Fourier della funzione di Heaviside . . . . . . . 139 5.6.2 La trasformata di Fourier del treno di impulsi . . . . . . . . . . . . . 140 5.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.7.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6

Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 7

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Trasformata di Laplace di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Trasformata di Laplace di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Legami tra la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace . . . 151 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.5.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Applicazioni a modelli fisici e ingegneristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.1.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Indice

8

VI I

Funzioni e integrali: alcuni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.1 Convergenza uniforme e la norma del sup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.1.1 La norma infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.2 Alcuni richiami di teoria dell’integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.2.1 La classe delle funzioni 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.2.2 La classe delle funzioni 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 8.2.3 Teoremi di passaggio al limite sotto integrale. . . . . . . . . . . . . . 173 8.3 L’operazione di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.4 Alcune estensioni possibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.4.1 Funzioni a valori complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.4.2 Funzioni di pi` u variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

R R

1 Numeri complessi e funzioni elementari

1.1 Numeri complessi ` ben noto che non tutte le equazioni algebriche E p(x) = 0

(dove p è un polinomio di grado n nella variabile x ) ammettono soluzioni in campo reale. Ad esempio la semplice equazione x2 =

−1 ,

(1.1)

corrispondente all’estrazione della radice quadrata del numero negativo 1, non è risolubile in R; lo stesso accade per la generica equazione di secondo grado

−

ax2 + bx + c = 0

(1.2)

qualora il discriminante ∆ = b 2 4ac sia negativo. Tanto nella matematica pura quanto in quella applicata, risulta utile poter garantire l’esistenza di una soluzione, opportunamente definita, di ogni equazione algebrica. A tale scopo, l’insieme dei numeri reali dotato delle operazioni di somma e prodotto pu` o essere ampliato, introducendo il cosiddetto insieme dei numeri complessi, estendendo nel contempo ` rimarchevole il fatto che è tali operazioni e conservandone le proprietà formali. E sufficiente effettuare tale ampliamento in modo da garantire la risolubilit` a dell’equazione (1.1) per ottenere, attraverso un profondo risultato noto come Teorema Fondamentale dell’Algebra, la risolubilit` a di ogni equazione algebrica.

−

1.1.1 Operazioni algebriche

Un numero complesso z può essere definito come una coppia ordinata z = (x, y ) di numeri reali x e y . Indicheremo con C tale insieme di coppie che quindi può essere identificato con l’insieme R 2 . I numeri reali x e y sono detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria di z e indicati con

2

F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli

x =

Re z

I

e

y = m z .

Il sottoinsieme dei numeri complessi della forma (x, 0) può essere identificato con l’insieme dei numeri reali R, in tal senso scriviamo R C. Numeri complessi della forma (0, y ) sono invece detti immaginari puri. Diremo che due numeri complessi z1 = (x1 , y1 ) e z2 = (x2 , y2 ) sono uguali se hanno le stesse parti reali e immaginarie, ossia

⊂

z1 = z 2

In

C,

⇐⇒

x1 = x 2

e y1 = y 2 .

definiamo le operazioni di somma e prodotto come z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) z1 z2 = (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2

− y1 y2, x1 y2 + x2 y1) .

(1.3) (1.4)

Osserviamo che (x, 0) + (0, y) = (x, y) ,

(0, 1) (y, 0) = (0, y )

e quindi (x, y ) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0) .

(1.5)

Inoltre le (1.3) e (1.4) diventano le usuali operazioni di somma e prodotto quando ristrette ai numeri reali: (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0)

e

(x1 , 0) (x2 , 0) = (x1 x2 , 0) .

In tal senso, l’insieme dei numeri complessi è un’estensione naturale dell’insieme dei numeri reali. Denotiamo con i il numero immaginario puro (0, 1). Identificando il numero complesso (r, 0) con il numero reale r , possiamo riscrivere la (1 .5) nella forma z = (x, y ) = x + iy ,

detta forma cartesiana o algebrica del numero complesso z . Osserviamo che i2 = (0 , 1)(0, 1) = ( 1, 0) = 1 ,

−

−

e quindi il numero complesso i è soluzione dell’equazione (1.1). Usando la forma cartesiana di un numero complesso, le operazioni di (1.3) e (1.4) diventano z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = x 1 + x2 + i(y1 + y2 ) , z1 z2 = (x1 + iy1 ) (x2 + iy2 ) = x 1 x2

−

y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ) ;

(1.6) (1.7)

come si vede è sufficiente operare con le usuali regole dell’algebra, tenendo conto della relazione i 2 = 1. Elenchiamo di seguito alcune proprietà della somma e del prodotto, lasciando la facile verifica al lettore; per ogni z 1 , z2 , z3 C si ha

−

∈

1.1 Numeri complessi

I

m

3

z

z = x + iy

y

x

R z e

Figura 1.1. Coordinate cartesiane del numero complesso z = x + iy

z1 + z2 = z 2 + z1 , (z1 + z2 ) + z3 = z 1 + ( z2 + z3 ) , z1 (z2 + z3 ) = z 1 z2 + z1 z3 .

z1 z2 = z 2 z1 , (z1 z2 ) z3 = z 1 (z2 z3 ) ,

I numeri 0 = (0, 0 ) e 1 = ( 1, 0) sono rispettivamente l’identit` a additiva e moltiplicativa, cioè z + 0 = 0 + z = z

e

z 1 = 1 z = z ,

∀z ∈ C . L’opposto (additivo) di z = (x, y ) è il numero − z = (−x, −y); ovvero si ha z + (−z ) = 0. Utilizzando tale nozione possiamo definire, per ogni z1 , z2 ∈ C, la sottrazione: z1 − z2 = z 1 + ( −z2 ) ovvero x1 + iy1

− (x2 + iy2) = x1 − x2 + i(y1 − y2) . Il reciproco (moltiplicativo) di un numero z  = 0, indicato con −1 definito dalla relazione z z

1 z

= 1; non è difficile verificare che

= z −1 =

x x2

+ y 2

+ i

−y

x2

+ y 2

1 z oppure

z −1 , è

.

Definiamo dunque la divisione, per ogni z 1 , z2

∈ C con z 2 = 0, come z1 x1 x2 + y1 y2 x 2 y1 − x1 y2 = z 1 z −1 = + i . z2

2

x22 + y22

x22 + y22

Infine, sottolineiamo che l’usuale ordinamento dei numeri reali non è estendibile all’insieme dei numeri complessi. 1.1.2 Coordinate cartesiane

` naturale associare al numero z = (x, y ) = x + iy il punto del piano cartesiano di E coordinate x e y (si veda la Figura 1.1). Il numero z può anche essere pensato come il vettore dall’origine al punto (x, y ). L’asse x è detto asse reale e l’asse y asse

4


I

m

z

I

m

z 1 + z 2

z z 2 z 1

z 2

− z

2

z 1 z 1

R z e

z 1

− z

2

R z e

Figura 1.2. Rappresentazione grafica della somma, a sinistra, e della differenza, a destra, di due numeri complessi z 1 e z 2

immaginario. Osserviamo che, dati z1 , z2

∈

C, la somma z1 + z2 corrisponde al vettore somma ottenuto mediante la regola del parallelogramma (si veda la Figura 1.2, a sinistra), mentre la differenza z 1 z2 è rappresentata dal differenza (si veda la Figura 1.2, a destra). Il modulo o valore assoluto di z = x + iy , denotato con z , è il numero positivo z = x2 + y 2

−

| |

||



che rappresenta la distanza del punto (x, y) dall’origine; si osservi che tale definizione si riduce all’usuale valore assoluto quando y = 0. Notiamo che, mentre l’affermazione z1 < z2 non ha in generale significato, la diseguaglianza z1 < z2 significa che il punto corrispondente a z1 è pi` u vicino all’origine del punto corrispondente a z 2 . La distanza tra i punti corrispondenti a z 1 e z 2 è data da z1 z2 . Per ogni z C, si ottengono facilmente le seguenti relazioni

| | | | | − |

∈

|z| ≥ 0 ; |z| = 0 se e solo se z = 0 ; |z|2 = ( Re z)2 + ( I m z)2 , |z| ≤ | Re z| + |I m z| ; |z| ≥ | Re z| ≥ Re z , |z| ≥ | Im z| ≥ I m z ; |z1 | − |z2| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2 | .





Il complesso coniugato, o semplicemente il coniugato, di un numero complesso z = x + iy , indicato con z¯, è definito come z¯ = x

− iy .

(1.8)

Graficamente il coniugato z¯ è rappresentato dal punto (x, y) che si ottiene mediante riflessione rispetto all’asse reale del punto ( x, y). Per ogni z, z1 , z2 C, valgono le seguenti proprietà

−

∈


I

m

5

z z = x + iy y

r

θ x

R z e

Figura 1.3. Coordinate polari del numero complesso z = x + iy

z¯ = z , z1 + z2 = z¯1 + z¯2 , z1 z2 = z¯1 ¯ z2 ,

z ¯ z = |z |2 , |z¯| = |z| , z1 − z2 = z¯1 − z¯2 , z1 z¯1 = (z2  = 0) . z2 z¯2



` immediato verificare che, per ogni z E

∈ C,

Re z = z +2 z¯ ,

I m z = z 2−i z¯ .

1.1.3 Forma trigonometrica e forma esponenziale

Dato il punto (x, y ), siano r e θ le sue coordinate polari; poiché x = r cos θ

e

y = r sin θ ,

il numero complesso z = (x, y) può essere rappresentato nella forma polare o trigonometrica come z = r (cos θ + i sin θ) . (1.9)

| |

Si ha r = z ; il numero θ è detto argomento di z e indicato con θ = arg z . Geometricamente, arg z è un qualsiasi angolo (misurato in radianti) formato dalla semiretta dei reali positivi e dal vettore individuato da z (si veda la Figura 1.3). Pertanto pu` o assumere infiniti valori che differiscono per multipli interi di 2 π . Chiameremo valore principale di arg z , denotato con Arg z , quell’unico valore θ di arg z tale che π < θ π , definito dalla formula

−

≤

6


y x y arctan + π , x y arctan π, x π ,

     −

arctan ,

r =



x2 + y 2 ,

θ =

2

−

π

2

se x > 0 , se x < 0 , y

≥ 0 ,

se x < 0 , y < 0 ,

(1.10)

se x = 0, y > 0 , se x = 0, y < 0 .

,

Osserviamo che due numeri complessi z 1 = r 1 (cos θ1 +i sin θ1 ) e z2 = r 2 (cos θ2 + i sin θ2 ) sono uguali se e solo se r 1 = r 2 e θ 1 , θ2 differiscono per un multiplo intero di 2π . La rappresentazione polare risulta molto utile per esprimere in maniera semplice il prodotto di due numeri e di conseguenza fornisce un’espressione elementare per il calcolo delle potenze e delle radici di un numero complesso. Pi` u precisamente, siano z1 = r 1 (cos θ1 + i sin θ1 ) e z2 = r 2 (cos θ2 + i sin θ2 ) ; allora, ricordando le formule di addizione per le funzioni trigonometriche, si ha



z1 z2 = r 1 r2 (cos θ1 cos θ2



− sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1)



= r 1 r2 cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 ) . Vale dunque la relazione

arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 .

(1.11)

(1.12)

Si osservi che tale identità non vale se sostituiamo arg con Arg ; ad esempio, se z1 = 1 = cos π + i sin π e z 2 = i = cos π2 + i sin π2 risulta

−

z1 z2 =

−i = cos − π2

 

ovvero Arg z1 = π ,

Arg z2 =

π

2

,

+ i sin

π

− 

Arg z1 + Arg z2 =

2

3 π = Arg z1 z2 = 2



− π2 .

Talvolta e` comodo esprimere un numero complesso attraverso la cosiddetta forma esponenziale. A tale scopo, estendiamo la definizione di funzione esponenziale al caso di un esponente immaginario puro, ponendo per ogni θ R,

∈

eiθ = cos θ + i sin θ .

(1.13)

Tale relazione, nota come formula di Eulero, trova una giustificazione (anzi è oggetto di dimostrazione) nell’ambito della teoria delle serie in campo complesso. Accontentiamoci qui di prenderla come definizione. L’espressione (1.9) di un numero complesso z diventa allora


z = r eiθ ,

7

(1.14)

che è, appunto, la forma esponenziale di z . La relazione (1.11) fornisce immediatamente l’espressione del prodotto di due numeri complessi z1 = r 1 eiθ1 e z 2 = r 2 eiθ2 , come z1 z2 = r 1 r2 ei(θ1 +θ2 ) ;

(1.15)

dunque, per moltiplicare due numeri complessi è sufficiente moltiplicare i moduli e sommare gli argomenti. Per quanto riguarda il quoziente, notiamo che dalla (1.11) con r 1 = r 2 = 1, si ottiene eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) . (1.16) In particolare,

eiθ e−iθ = 1

e dunque e−iθ è il reciproco di eiθ ; pertanto il reciproco di un numero complesso z = r eiθ = 0 ` e dato da 1 z −1 = e−iθ .



r

Combinando tale formula con quella del prodotto, otteniamo l’espressione del quoziente di due numeri complessi z 1 = r 1 eiθ1 e z2 = r 2 eiθ2 = 0, z1 r1 i(θ1 −θ2 ) = e . z2 r2

Iterando le relazioni (1.15) e (1.17), per ogni n z n = r n einθ



(1.17)

∈ Z, si ottiene

con z = r eiθ ;

(1.18)

in particolare, quando r = 1, si ottiene la cosidetta formula di De Moivre (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ .

(1.19)

Consideriamo ora il problema del calcolo della radice n-esima di un numero complesso; fissato un intero n 1 e un numero complesso w = ρ eiϕ vogliamo determinare i numeri complessi z = r eiθ soddisfacenti z n = w . Dalla (1.18), si ha

≥

z n = r n einθ = ρ eiϕ = w

e dunque, ricordando la condizione di uguaglianza tra due numeri complessi, dovranno essere verificate le condizioni

ovvero

 

rn = ρ nθ = ϕ + 2kπ , r =

√ ρ

θ =

ϕ + 2kπ , n

k

∈Z

n

k

∈ Z.

8


I

m

z

1+

√ 3i

z 2

z 3 z 1

R z e

z 4

z 5

Figura 1.4. Rappresentazione grafica del punto 1 + j = 1, . . . , 5

√ 3i e delle sue radici quinte, z , j

Ricordando la periodicità del seno e del coseno, risultano quindi determinate n soluzioni distinte del nostro problema

√ z = ρ e n

ϕ+2kπ n

√ = ρ n



ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ cos + i sin n n



k = 0, 1, . . . , n

,

− 1.

Geometricamente tali punti si trovano sulla circonferenza di centro origine e raggio √ ρ e sono i vertici di un poligono regolare di n lati (si veda la Figura 1.4). n

Esempi 1.1 i) Si consideri, per n

≥ 1, l’equazione zn = 1 .

Scrivendo 1 = 1e i0 , si ottengono le n radici distinte z = z k = ei

2kπ

n

,

k = 0, 1, . . . , n

− 1,

a. Si noti che per n dispari, si ha un’unica dette le radici n-esime dell’unit` radice reale z0 = 1, mentre per n pari si hanno due radici reali z0 = 1 e zn/2 = 1 (si veda la Figura 1.5). ii) Verifichiamo che l’equazione z2 = 1

−

−

±i. Scriviamo −1 = 1eiπ da

ammette, come ci si aspetta, le due radici z± = cui otteniamo π

z+ = z 0 = ei 2

e z− = z 1 = ei

π +2π 2

π

= e −i 2 =

−i .

1.1 1.1 Numeri meri comp omples lessi

I

m m

I

z

m m

z 2

z

z 3

z 1

9

z 2

z 4

z 1

R z

R z

e

e

z 3

z 5

z 6

Figura 1.5. Radici dell’unit` a: terze, a sinistra, e seste, a destra a:

1.1.4 Equazioni algebriche algebriche

Mostriamo ora che l’equazione di secondo grado az 2 + bz + c = 0

ammette due soluzioni complesse coniugate nel caso in cui il discriminante sia negativo. Non è restritti re strittivo vo supporre supp orre a > 0. Ricordando lo sviluppo del quadrato di un binomio, possiamo scrivere z2 +

b c b b2 c z + = z 2 + 2 z + 2 + a a 2a 4a a

ossia

2

  b z + 2a

dunque otteniamo

b z + = 2a

ossia

2

− 4ba2 = 0

=

∆ < 0 ; 4a 2

√ −∆ ±i 2a

√ − b ± i −∆ z = . 2a

√ b± ∆ − Tale espressione può essere scritta come z = , in analogia analogia con con il caso di 2a discriminante ≥ 0. Le equazioni di terzo e quarto grado ammettono rispettivamente tre e quattro radici (contate con le opportune molteplicità) a) che sono esprimibili in forma esplicita mediante le operazioni algebriche e l’estrazione di radici quadrate, cubiche e quarte. Non esiste invece una espressione analitica per le radici di equazioni di ordine superiore. Il Teorema Fondamentale dell’Algebra garantisce per` o che ogni equazione algebrica di ordine n ammette esattamente n radici in campo complesso, ciascuna con l’opportuna molteplicit` a. a. Tale teorema sar` a dimostrato nella Sezione 2.8.

10

F. Fagna agnani ni,, A. Tabac abacco co,, P. Till Tillii

1.2 Elementi di topologia

∈ C un numero complesso e r > 0 un numero reale positivo. L’insieme Br (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} (1.20) si dice intorno di centro z0 e raggio r ; esso consiste di tutti i punti z ∈ C che distano meno di r dal centro z 0 (si veda la Figura 1.6). Sia Ω ⊆ ⊆ C un insieme di numeri complessi; un punto z0 ∈ Ω si dice interno a Ω se esiste un intorno Br (z0 ) interamente contenuto in Ω , cioè Br (z0 ) ⊆ Ω ; si dice esterno a Ω se esiste un intorno Br (z0 ) che non contiene punti di Ω , ossia Br (z0 ) ∩ Ω = = ∅; se z 0 non no n è né inte intern rnoo né este es tern rnoo a Ω si dice punto di frontiera per Ω . In altri termini, un punto di frontiera z 0 per Ω è tale che ogni o gni suo intorno c = ∅ Br (z0 ) contiene punti sia di Ω sia del suo complementare Ω , ossia B r (z0 ) ∩ Ω   ∅. Indicheremo l’insieme dei punti di frontiera con il simbolo ∂ Ω , e B r (z0 ) ∩ Ω c = che viene comunemente detto frontiera di Ω . Ad esempio si consideri il disco unitario Ω 1 = {z ∈ C : |z | ≤ 1} allora tutti i punti z di modulo < 1 sono interni a Ω e la frontiera ∂ Ω consiste consiste della circonferenza {z ∈ C : |z | = 1 }. Un insieme Ω ⊆ C si dice aperto se ogni suo punto punto è interno, interno, ovvero ovvero se Sia z 0

non contiene punti della sua frontiera; si dice chiuso se il suo complementare compleme ntare è un insieme aperto. apert o. Non No n è difficile diffic ile verificare ver ificare che un insieme i nsieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di frontiera. Si osservi che ogni intorno Br (z0 ) è un insieme aperto; il disco unitario prima considerato Ω 1 è un insieme chiuso. L’insieme L’insie me Ω 2 = C : 1 z z < 2 , che rappresenta la corona circolare (o anello) delimitato dalle circonferenze di centro l’origine e di raggio rispettivamente rispettivamente 1 e 2, non è n´ e aperto né chiuso (si veda la Figura 1.7). Si osservi che la circonferenza esterna non appartiene a Ω 2 e che ∂Ω 2 = z z C : z = 1 C : z = 2 . L’insieme e sia aperto sia chiuso (ed è l’unico insieme non vuoto con tale propriet` a) a ) e la C ` frontier front ieraa è vuota. vuot a.

{ ∈

≤ | |

}

{ ∈

I

m m

| |

} ∪ { ∈

| |

z

r z 0

Br (z 0 )

R z e

Figura 1.6. Intorno B r (z 0 ) di centro z 0 e raggio r > 0

}

1.2 1.2 Ele Eleme men nti di topo topolo logi gia a

I

m m

11

z

1

R z

2

e

Figura 1.7. Corona circolare Ω 2 = z

{ ∈ ∈ C : 1 ≤ |z | < 2}

Ω z 4

z 2

z 3

z 1

Figura 1.8. Insieme aperto connesso

Un insieme aperto Ω si dice connesso se presi comunque due punti in Ω esiste una spezzata lineare 1 che li unisce (si veda la Figura 1.8). L’anello Ω 2 è un insie ins ieme me connesso, mentre il suo complementare Ω 2c = z C : z < 1 oppure z 2 non lo è. Un insiem insiemee aperto aperto e connes connesso so si dice dice dominio. Ogni Ogni intor intorno no Br (z0 ) è un dominio. Si dice regione un insieme che consiste di un insieme aperto unito a tutti oppure alcuni oppure nessun punto di frontiera. Un insieme Ω si dice limitato se esiste una costante R > 0 tale che ogni z Ω soddisfa z < R; ossia Ω BR (0). Un insieme chiuso e limitato si dice compatto. L’insieme Ω 1 è una regione compatta; ogni intorno B r (z0 ) è un dominio limitato; limit ato; il semipiano Ω 3 = z C : e z > 0 è un dominio non limitato (si veda la Figura 1.9, a sinistra); il settore Ω 4 = z C : π4 Arg z π3 è una regione chiusa non limitata (si veda la Figura 1.9, a destra). Infine, un punto z 0 si dice punto di accumulazione per un insieme Ω se ogni intorno di z 0 contiene almeno un punto di Ω distinto da z 0 stesso. Ne segue che se

{ ∈

||

∈

| | ≥ }

∈

⊂ ⊂

{ ∈

1

||

R

−

} { ∈

≤

≤ }

C; gli n 1 segmenti z 1 z 2 , z 2 z 3 , . . . , zn −1 z n , presi in successione, Siano z 1 , z 2 , . . . , z n formano una curva detta spezzata lineare.

12


Ω è chiuso allora contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Infatti se un punto di accumulazione z0 non appartenesse a Ω , sarebbe necessariamente di frontiera per Ω ; ma questo contraddice il fatto che un insieme chiuso contiene tutti i suoi

punti di frontiera. Non è difficile verificare che vale anche il viceversa e dunque un insieme è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Ogni punto di Ω 1 è di accumulazione per Ω 1 ; l’insieme dei punti di accumuC : z lazione di Br (z0 ) è l’insieme z z 0 r ; mentre l’unico punto di accumulazione di Ω 5 = z C : z = ni , n = 1, 2, . . . è l’origine.

{ ∈

{ ∈

| − | ≤ } }

1.2.1 Il punto all’infinito

Talvolta risulta conveniente includere nel piano complesso il punto all’infinito , denotato con . Il piano complesso con tale punto è detto piano complesso esteso o piano di Gauss. Al fine di visualizzare il punto all’infinito, possiamo pensare al piano complesso come il piano passante per l’equatore di una sfera unitaria centrata nel punto z = 0 (si veda la Figura 1.10). A ogni punto z nel piano corrisponde esattamente un punto P sulla superficie della sfera. Il punto P è determinato dall’intersezione della retta passante da z e dal polo nord N della sfera con la superficie della sfera. Viceversa, ad ogni punto P della sfera, che non sia il polo nord N , corrisponde esattamente un punto z nel piano. Facendo corrispondere al punto N della sfera il punto , otteniamo una corrispondenza biiettiva tra i punti della sfera e i punti del piano di Gauss. La sfera è nota con il nome di sfera di Riemann e la corrispondenza come proiezione stereografica . Si osservi che l’esterno del cerchio unitario centrato nell’origine nel piano complesso, corrisponde all’emisfero superiore (senza l’equatore e il polo nord). Inoltre,

∞

∞

I

m

z

I

m

z

R z e

π

3 π

4

R z e

Figura 1.9. Insieme Ω 3 , a sinistra, e insieme Ω 4 , a destra

1.3 Funzioni elementari

13

Figura 1.10. ?????????????????

| |

per ogni r > 0, i punti del piano complesso esterni al cerchio z = r corrispondono a punti sulla sfera vicini a N . Chiameremo pertanto intorno del punto all’infinito ogni insieme (aperto) B r ( ) = z C : z > r . Dato un insieme Ω C, se ogni intorno di contiene almeno un punto Ω diremo che è un punto di accumulazione per Ω . Ad esempio, è punto di C : z = ni, n N cos` accumulazione per l’insieme Ω 6 = z ı come per il semipiano Ω 7 = z C : m > 0 . Notiamo che un insieme Ω è non limitato se e solo se è uno dei suoi punti di accumulazione. Nel seguito z indicher` a sempre un punto nel piano finito, se si intende il punto questo sarà esplicitamente segnalato.

⊆

∞

{ ∈ I

∞ { ∈ | | } ∞ ∞ { ∈ ∈ } } ∞

∞

1.3 Funzioni elementari Una funzione w = f (z ) che associa a un numero complesso z un numero complesso w viene detta funzione di variabile complessa . Si osservi che il suo dominio di definizione Ω C non è necessariamente un dominio (insieme aperto e connesso). Ad esempio, f 1 (z ) = z è definita su tutto C mentre f 2 (z ) = z1 è definita su 0 . Se il dominio di definizione non è esplicitamente indicato, la funzione C si intende definita sull’insieme più ampio possibile, compatibile con l’espressione della funzione. Poich´ e sia l’insieme di partenza sia quello di arrivo sono 2-dimensionali, non è in generale possibile disegnare il grafico della funzione w = f (z ). Ci limiteremo ad individuare il dominio e l’immagine (quando possibile) della funzione disegnandoli separatamente. Ad esempio, si consideri f 3 (z ) = z¯ ristretta al semipiano superiore m z > 0. Allora la sua immagine è il semipiano inferiore m z < 0 (si ricordino la (1.8) e le considerazioni successive e si veda la Figura 1.11). Sia ora f 4 (z ) = z 2 ristretta a m z 0. Allora, usando la rappresentazione polare z = r eiθ , 0 θ < π, del generico z appartenente al dominio di definizione di f 4 , si vede che w = z 2 = r 2 e2iθ = R eiϕ avendo posto R = r 2 e ϕ = 2θ . Pertanto l’immagine è tutto il piano complesso in quanto R 0 e 0 ϕ < 2 π (si veda la Figura 1.12).

⊆

\{ }

I

I

≤

I ≥

≥

≤

14


I

m

I

z

m

z

f 3 (z )

z

R z

−→

e

R z

z¯

e

¯

Figura 1.11. Dominio e immagine della funzione f 3 (z ) = z¯ ristretta al semipiano superiore m z > 0

I

Ogni funzione w = f (z ) di variabile complessa può essere naturalmente pensata come una funzione da R2 in R2 . In effetti, posto z = x + iy e w = u + iv , f (z ) pu` o essere scritta come w = f (z ) = u (x, y) + iv (x, y )

dove u, v sono due funzioni reali delle due variabili reali x e y . Chiameremo funzione parte reale di f la funzione u(x, y) = e f (z ) e funzione parte immaginaria di f la funzione v (x, y ) = m f (z ). Per gli esempi sopra considerati avremo

R

I

f 1 (z ) = z = x + iy , 1 x f 2 (z ) = = 2 z x + y 2 f 3 (z ) = z¯ = x iy ,

−

2

f 4 (z ) = z = x

2

−y

u(x, y ) = x , y

− i x2 + y 2 ,

u(x, y) =

v(x, y) = y x

x2

+ y 2

,

u(x, y) = x ,

2

Fissato un intero n funzione

u(x, y ) = x 2

+ 2ixy ,

− y2 ,

− x2 +y y 2 v(x, y) = −y v(x, y ) =

v(x, y ) = 2xy .

∈ N e n + 1 costanti complesse aj ∈ C, j = 0, 1, . . . , n, la

I

m

P (z ) = a 0 + a1 z + . . . + an z n

I

z

m

z

z

f 4 (z )

−→ R z

R z

e

e

z 2 Figura 1.12. Dominio e immagine della funzione f 4 (z ) = z 2 ristretta al semipiano superiore m z 0

I ≥


15



si dice polinomio; se an = 0, n indica il grado del polinomio. Essa è definita su tutto C. Una funzione razionale è il quoziente di due polinomi P (z ) e Q (z ) R(z ) =

P (z ) Q(z )

∈ C tali che Q (z) = 0.

ed è definita per tutti gli z

Definiamo ora alcune funzioni che, con i polinomi e le funzioni razionali, saranno utilizzate nel seguito. Funzione esponenziale

Per z = x + iy , poniamo ez = e x eiy = e x (cos y + i sin y ) .

(1.21)

Allora ez = u (x, y ) + iv(x, y), con u (x, y ) = ex cos y e v(x, y) = ex sin y, è definita su tutto C. Direttamente dalla (1.21) si ottiene che, per ogni z = x + iy, z1 , z2 C e n Z, si ha

∈

∈

ez1 +z2 = e z1 ez2 , ez = e x ,

e0 = 1 , ez = ez¯ .

(ez )n = e nz , argez = y ,

| | Osserviamo che |ez | = e x > 0 per ogni z e dunque ez =  0 , ∀z ∈ C ;

pertanto l’immagine della funzione esponenziale è tutto C tranne l’origine. Inoltre la funzione è perio dica con un periodo immaginario uguale a 2πi; infatti ez+2πi = e z e2πi = e z (cos2 π + i sin2π ) = ez ,

∀z ∈ C .

Funzioni trigonometriche

Se x

∈ R, dalle formule eix = cos x + i sin x ,

ne segue che sin x =

eix

− e−ix , 2i

e−ix = cos x

cos x =

− i sin x ,

eix + e−ix . 2

` dunque naturale definire le funzioni seno e coseno della variabile complessa z E come eiz e−iz eiz + e−iz sin z = , cos z = . (1.22) 2i 2

−

16


Le altre funzioni trigonometriche sono definite in termini delle funzioni seno e coseno secondo le usuali relazioni: sin z , cos z 1 sec z = , cos z tan z =

cos z , sin z 1 cosec z = . sin z cotan z =

(1.23)

Tutte le usuali identità trigonometriche seguono direttamente dalle definizioni; ad esempio, per ogni z, z1 , z2 C, si ha

∈

sin2 z + cos2 z = 1 sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 . . . La periodicit` a di sin z e cos z segue dalla definizione e dalla periodicità di e z :

∀z ∈ C ,

sin(z + 2 π ) = sin z , cos(z + 2 π ) = cos z ,

cos`ı come quella delle altre funzioni trigonometriche; ad esempio tan(z + π ) = tan z ,

∀z ∈ C .

Esplicitiamo la parte reale e quella immaginaria della funzione f (z ) = sin z ; per z = x + iy , si ha

− e−i(x+iy) = e−y (cos x + i sin x) − e y (cos x − i sin x) 2i 2i 2i e y + e−y e y − e−y = sin x + i cos x

sin z =

ei(x+iy)

2 2 = sin x cosh y + i cos x sinh y

e dunque u (x, y) = sin x cosh y e v (x, y) = cos x sinh y. Analogamente si ottiene cos z = cos x cosh y

− i sin x sinh y .

Da queste espressioni, si ricava immediatamente che 2 sin z = sin z¯ , cos z = cos z¯ 2 2 sin z = sin x + sinh2 y , cos z

|

|

|

|

2

2

2

= cos x + sinh y .

(1.24) (1.25)

Infine, le ultime due uguaglianze ci permettono di ricavare gli zeri delle funzioni seno e coseno: sin z = 0 sin x = 0 e 2

sin2 x + sinh2 y = 0 x = kπ (k sinh y = 0

⇐⇒

Si ricordi che cosh 2 x

⇐⇒ ∈ Z)

⇐⇒

2

− sinh

x = 1, per ogni x

∈ R.

e y = 0


17

ossia sin z = 0 se e solo se

z = kπ ,

k

∈ Z;

(1.26)

analogamente cos z = 0 se e solo se

1 π, 2

 

z = k +

k

∈ Z.

(1.27)

Le (1.26) e (1.27) permettono di ricavare il dominio di definizione delle funzioni trigonometriche definite in (1.23); ad esempio, la funzione tangente è definita su 1 C tranne i punti z = k + 2 π , k Z.

 

∈

Funzioni iperboliche

Anche in questa situazione generalizziamo le formule sinh x = valide per ogni x

ex

− e−x , 2

cosh x =

ex + e−x , 2

∈ R, ponendo in modo naturale ez − e−z ez + e−z sinh z = , cosh z = , 2

2

(1.28)

per ogni z C. Analogamente al caso reale è possibile definire le funzioni tangente, cotangente, secante e cosecante iperbolica. Seguono dalle definizioni le usuali relazioni iperboliche quali, ad esempio,

∈

cosh2 z

− sinh2 z = 1 ,

∀z ∈ C .

Il seno e coseno iperbolico sono funzioni periodiche di periodo 2πi , mentre la tangente iperbolica lo è di periodo π i. Le funzioni seno e coseno iperbolico sono strettamente legate alle analoghe funzioni trigonometriche; infatti, dalle (1.22) e (1.28) si ottiene immediatamente che sinh iz = i sin z , cosh iz = cos z , sin iz = i sinh z , cos iz = cosh z . Inoltre, posto z = x + iy , si ha sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y ,

| sinh z|2 = sinh2 x + sin2 y , Infine

cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y ,

| cosh z|2 = sinh2 x + cos2 y .

 ∈

sinh z = 0

se e solo se

z = kπi ,

cosh z = 0

se e solo se

z = k +

Funzione logaritmo

k

1 2

Z;

πi ,

k

∈ Z.

18


Indichiamo con Log r il logaritmo naturale di un numero reale e positivo r ; considerato z = r eiθ = 0, utilizzando formalmente le note propriet` a del logaritmo, poniamo



log z = log reiθ = Log r + iθ ,

con r = z

||

e θ = arg z .

(1.29)

∈ 

Poiché arg z = Arg z + 2kπ , k Z, la (1.29) non definisce una funzione univoca ma multivoca, cioè ad ogni z = 0, corrispondono infiniti valori di log z aventi tutti la stessa parte reale ( e log z = Log r) e parte immaginaria che differisce per un multiplo intero di 2π . Chiameremo valore principale di log z il valore ottenuto ponendo θ = Arg z nella (1.29). Tale valore si denota Log z ed è quindi dato dall’equazione Log z = Log r + iArg z . (1.30)

R

||

\{ }

La mappa w = Log z è una funzione il cui dominio di definizione è C 0 e la cui immagine è la striscia π < m w π . Osserviamo che Log z si riduce all’usuale logaritmo naturale di una variabile reale quando il dominio di definizione è ristretto al semiasse dei reali positivi. Occorre una certa cautela nell’estendere le note proprietà dei logaritmi. Innanzitutto, verifichiamo che elog z = z .

− I ≤

Ci` o significa che indipendentemente dal valore di log z che scegliamo, il numero elog z sar` a sempre z . Per verificare tale uguaglianza, scriviamo z = r eiθ e log z = Log r + iθ ; allora elog z = e Log r+iθ = eLog r eiθ = r eiθ = z . Non è invece vero in generale che log ez = z . Infatti, se z = x + iy , si ha logez = Log ez + iargez = x + i(y + 2 kπ ) = z + 2 kπ ,

| | Per ogni z 1 , z2 ∈ C \ {0} valgono tuttavia le relazioni log z1 z2 = log z1 + log z2 ,

log

z 1 = log z1 z2

k

∈ Z.

− log z2 .

(1.31)

Queste uguaglianze sono da intendersi nel senso che, ad esempio, ogni valore di log z1 z2 può essere espresso come la somma di un valore di log z1 e di un valore di log z2 ; viceversa, ogni valore di log z1 sommato a un valore di log z2 è un valore di log z1 z2 . Per verificare la prima delle (1.31), poniamo z 1 = r 1 eiθ1 , z2 = r 2 eiθ2 ; ricordando la (1.12), si ha log z1 z2 = log r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) = Log r1 r2 + i(θ1 + θ2 ) = Log r1 + iθ1 + Log r2 + iθ2 = log z1 + log z2 . In modo analogo si dimostra la seconda delle (1 .31). Si osservi che le (1.31) non valgono sostituendo log con Log . Ad esempio, per z1 = z2 = 1 = eiπ si ha Log z1 = Log z2 = πi mentre Log z1 z2 = 0 e dunque

−

Log z1 z2 = 0 = 2πi = Log z1 + Log z2 .



1.4 Limiti e continuit` a

19

1.4 Limiti e continuit` a I concetti di limite e di continuit` a sono simili a quelli già studiati per funzioni di variabile reale e pertanto la nostra trattazione sarà concisa. Diamo la seguente definizione. Definizione 1.2 Sia f : Ω C e sia z 0 un punto di accumulazione per il dominio Ω . Si dice che f ha limite  C (o tende a  ) p er z tendente a z0 e si scrive

→ ∈

lim f (z ) = 

z

→z

0

se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che 0 < z

∀z ∈ Ω ,

=

⇒ |f (z) − | < ε .

| − z0| < δ

(1.32)

Con il linguaggio degli intorni: per ogni intorno B ε () di  esiste un intorno B δ (z0 ) di z0 tale che

∀z ∈ Ω ,

∈ Bδ (z0) \ {z0}

⇒

=

z

f (z )

∈ Bε() .

La definizione di limite è illustrata graficamente nella Figura 1.13. La definizione di limite può essere estesa in modo ovvio al caso in cui z 0 oppure  oppure entrambi siano il punto all’infinito , utilizzando la formulazione con gli intorni. Ad esempio, lim f (z ) =  C z

∞ ∈

→∞

equivale a dire che per ogni intorno B ε () di  esiste un intorno B R ( ) di che z Ω, z BR ( ) = f (z ) Bε () ;

∞ ∞ tale

∀ ∈

∈

∞

⇒

∈

ovvero, per ogni ε > 0 esiste un R > 0 tale che

∀z ∈ Ω , I

m

|z | > R

⇒ |f (z) − | < ε .

=

I

z

m

(1.33)

z

ε

δ z 0



Bδ (z 0 )

Bε ()

f (z )

−→ R z e

Figura 1.13. Rappresentazione grafica della definizione di limite

R z e

20


Esempi 1.3 a) Verifichiamo erifichiamo che lim iz = i . Per ogni ε > 0, la condizione z

|f (z) − | < ε

→1

equivale equivale a

|iz − i| = |z − 1| < ε .

Allora la (1.32) è verifi ve rificata cata con δ = ε . 1 b) Verifichiamo erifichiamo che lim 2 = 0. Poich´ Poi ché z

→∞ z



1 z2

 − 

0 <ε

|z| > √ 1ε .

equivale equivale a

1 la (1.33) è soddisfatta soddisf atta con R = √ . ε



Lasciamo al lettore la facile verifica dell’unicità del limite, quando esiste, e delle seguenti proprietà. a. Teorema 1.4 Sia z0 un punto di accumulazione per il dominio di definizione di una funzione funzione f ; supponiamo che

f (z ) = u (x, y ) + iv (x, y ) ,

z0 = x 0 + iy0 ,

Allora lim f (z ) = 

z

 

⇐⇒

→z

0

lim

(x,y) x,y)

→(x

(x,y) x,y)

→(x

0

lim

0

,y0 ) ,y0 )

 =  re + + iim . u(x, y) =  re v (x, y ) =  im .

Teorema 1.5 Sia z0 un punto di accumulazione per il dominio di definizione di due funzioni funzioni f f e g ; supponiamo che

lim f (z ) = 

z

lim g(z ) = m .

e

→z

z

0

→z

0

Allora lim [f (x)

z

→z

0

→z

0

± g(x)] =  ± m,

lim [f (x) g(x)] =  m,

z

lim

z

→z

0

f (x)  = , g(x) m

m = 0.



Teorema 1.6 Sia z0 un punto di accumulazione per il dominio di definizione di una funzione funzione f ; allora

⇒

lim f (z ) = 

z

→z

=

0

|

| ||

lim f (z ) =  .

z

→z

0

Utilizzando la definizione di limite e i risultati appena enunciati si ha immediatamente che, se P (z ) e Q(z ) sono due polinomi, allora lim P (z ) = P (z0 ) ,

z

→z

0

lim

z

→z

0

P (z ) P (z0 ) = Q(z ) Q(z0 )



(Q(z0 ) = 0) .

1.5 Esercizi

21

1.4.1 Continuit` Continuit` a

Consideriamo ora la nozione di continuità. a. Definizione 1.7 Sia Ω continua in z0 Ω se

∈

⊆

C una

regio regione ne e sia f : Ω

→

C.

Si dice che f è e

lim f (z ) = f (z0 ) .

z

→z

0

continua in una regione Ω se è continua Diremo che f f ` e e continua conti nua in ogni punto pu nto z 0

∈ Ω .

Ricordando il Teorema 1.5, se due funzioni sono continue in un punto z0 allora anche la somma, la differenza, il prodotto sono funzioni continue in z 0 ; il quoziente è continuo co ntinuo purch´ pur ché la l a funzione f unzione a denominato de nominatore re non sia s ia nulla in z 0 . ` E inoltre possibile verificare, direttamente dalla definizione, che la composizione di funzioni continue è continua. Infine, dal Teorema 1.4, 1 .4, segue seg ue che una funzione f di variabile complessa è conti con tinua nua in z0 = (x0 , y0 ) se e solo se le sue parti reale e immaginaria u e v sono continue in (x0 , y0 ). Riassumendo e utilizzando le definizioni date nella Sezione 1.3, vale il seguente risultato. Teorema 1.8 Tutte le funzioni elementari (polinomi, funzioni razionali, funzio-

ne esponenziale, funzioni trigonometriche e iperboliche, funzione logaritmo) sono continue nel loro dominio di definizione.

1.5 Esercizi 1. Scrivere Scrivere in forma algebrica algebrica i seguenti seguenti numeri complessi: complessi: a) (2

− 3i)(−2 + i) 1 + 2 i 2 − i + 3 − 4i 5i

b) (3 + i)(3

c)

d)

− i) 5

(1



1 1 5 + 10 i



− i)(2 − i)(3 − i)

2. Scrivere in forma trigonometrica ed esponenziale i seguenti numeri complessi:

−1

a) z = i

b) z =

c) z = 1 + i

d) z = i(1 + i)

e) z =

1 + i 1 i

f ) z = sin α + i cos α

−

3. Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi: a) z =

1 1

−i

+

2i i

−1

b) z = 1 + i

− 1 −i 2i

22




−



3z i 4. Verificare che se z = 1 si ha = 1. 3 + iz

| | |

5. Risolvere le seguenti equazioni: a) z 2

b) z 2 + 3iz + 1 = 0

c)

d)

− 2z + 2 = 0 z |z | − 2z + i = 0

e) z 2 + iz¯ = 1

f)

polin omio z 4 6. Verificare che 1 1 + i è radice del polinomio le altre radici.

|z|2 z2 = i z 3 = |z |4 − 5z3 + 10z2 − 10z + 4 e trovare

7. Calcolare z z 2 , z 9 , z 20 per a) z =

1

−i

b) z =

i

√ 32− i + 1i

8. Calcolare e rappresentare graficamente i seguenti numeri complessi: a) z =

√ −i

b) z =

3

√ 1 5

c) z =

√ 2 − 2i

Rappresentare tare graficamen graficamente te i seguenti seguenti sottoinsiemi sottoinsiemi del piano complesso; complesso; di 9. Rappresen ognuno di essi si dica se è aperto, chiuso, connesso e se ne indichi la fr ontiera:

{ ∈ C : |z − 2 + i| ≤ 1} Ω 2 = {z ∈ C : |2z + 3 | > 4 } Ω 3 = {z ∈ C : | I m m z | > 2 } π π Ω 4 = {z ∈ C : |z | > 0 , ≤ Arg z ≤ } 6 3

a) Ω 1 = z b) c) d)

10. Trovare il dominio di definizione delle seguenti funzioni: 1 1 a) f (z ) = 2 b) f (z ) = Arg z +4 z z 1 c) f (z ) = d) f (z ) = z + z¯ 9 z2



−| | 11. Per le seguenti funzioni f (z ) si trovino u(x, y ) = Re f (z ), v(x, y ) = I m m f (z ) e g(z ) = |f (z )|. a) f (z ) = z 3 + z + 1 c) f (z ) =

3z z

− z¯

1 +1 1 d) f (z ) = 2 z +3 b) f (z ) =

z2

||

1.5 Esercizi

23

12. Data f (x, y ) = x 2 y2 complessa z = x + iy .

− − 2y + 2ix(1 − y) esprimerla in funzione della variabile

1.5.1 Soluzioni

1. Forma algebrica numeri complessi: a)

−1 + 8i ;

b) 2 + i ;

− 25 ;

c)

d)

1 2i .

2. Forma trigonometrica e esponenziale numeri complessi: a) z = cos c) z =

π

+ i sin

π

π

= ei 2 ;

2 2 π π 2 cos +i sin = 4 4 π + i sin π2 = e i 2 ;

√

e) cos π2





b) z = cos π + i sin π = eiπ ; 3 3 π 3 2ei 4 ; d) z = 2 cos π +i sin π = 2ei 4 π ; 4 4 π π π f) cos 2 α + i sin 2 α = e i( 2 −α) .

√

√

 − 

3. Modulo numeri complessi: a)

 5 2

;

b)



13 5



 − 



√

.

| |

4. Invece di compiere la verifica diretta, moltiplichiamo il denominatore per z¯ (= 1) e otteniamo

 

 

 

 

 

3z i 3z i 3z = = z + i 3 + iz 3¯ 3z

−

5. Risoluzione equazioni:

−

   

− i = | 3z − i| = 1 . − i 3z − i

a) z = 1 i ; b) Applichiamo la formula risolutiva per equazioni di secondo grado e otteniamo

±

√ √ √ 3i ± −9 − 4 −3i ± 13i −3 ± 13 − z = = = i. 2

2

2

c) Scrivendo z = x + iy , l’equazione diventa



(x + iy ) x2 + y 2 ovvero



x

x2 + y 2

− 2x + i

− 2x − 2iy + i = 0 ,

  y

x2 + y 2

− 2y + 1



=0.

Uguagliando parte reale e parte immaginaria del primo e del secondo membro, otteniamo il sistema x x2 + y 2 2 = 0

   y

x2 + y 2

−



− 2y + 1 = 0 .

24




Dalla prima equazione, dovr` a essere x = 0 oppure x2 + y 2 = 2. Quest’ultima relazione inserita nella seconda equazione del sistema d` a un risultato impossibile. Pertanto l;e uniche soluzioni possibili saranno



| |−

≥ 0 e y < 0, otteniamo

Distinguendo i due casi y



x = 0 yy 2y + 1 = 0 .

x = 0 y 2 2y + 1 = 0 ,

−

e



x = 0 y 2 2y + 1 = 0 ,

− −

e dunque



x = 0 y = 1



x = 0 y = 1

− ± √ 2 . √ 2). Pertanto le soluzioni sono z = i , z = i ( 1 − ± √ 2 √ 7 1 √ 7 1 d) z = ± (1 + i) ; e) z = − i 2 ; z = − 2 − i 2 . 2 2 f) Ricordando che |z |2 = z z¯, l’equazione diventa z 3 = z 2 z¯2 ⇐⇒ z2(z − z¯2) = 0 . Allora una soluzione è z = 0 e le altre soddisfano z −z¯2 = 0. Ponendo z = x +iy, si perviene al sistema x2 − y 2 − x = 0



e

2xy + y = 0 .

Riscrivendo la seconda equazione come y (2x +1) = 0, si ottengono i due sistemi





y = 0 x(x 1) = 0 ,

−

x = 12 y 2 = 34 .

−

In definitiva, le soluzioni sono z = 0 ;

z = 1 ;

z =

1 2

− ±

√ 3 2

i.

6. Poiché il polinomio è a coefficienti reali, oltre alla radice z = 1 + i, vi è anche la radice coniugata z¯ = 1 i. Pertanto il polinomio è divisibile per (z 1 i)(z 1+i) = z 2 2z + 2 e si ha

−

−− −

− z 4 − 5z 3 + 10z 2 − 10z +4 = (z 2 − 2z +2)(z 2 − 3z + 2) = (z 2 − 2z +2)(z − 1)(z − 2) . Le radici sono quindi z = 1 + i ,

7. Potenze di numeri complessi:

z = 1

− i,

z = 1 ,

z = 2 .

1.5 Esercizi

I

m

I

z

m

z 2

I

z

m

25

z

z 2 z 3 z 2 z 1

R z e

z 3

z 1

R z e

z 4 z 5

Figura 1.14. Radici cubiche di quadrate di 2 2i, a destra

−

− i, a sinistra, radici quinte di 1, al centro, e radici

a) z 2 = 2 i , z 9 = 16(1 + i) , z 20 = b) Razionalizzando i denominatori si ha

−

z = 2

√ 3 + i 4

−210 .

√ − i = 12 ( 3 − i) .

Scrivendo il numero in forma esponenziale, si ha z =

√

1 ( 3 2

π

− i) = e − i 6

e quindi π

z 2 = e− 3 i = cos 3

√ π 1 − i sin = (1 − 3i) ; 3 3 2

π

π

z 9 = e− 2 πi = e 2 i = cos 20

2

z 20 = e− 6 π i = e 3 πi =

π

2

+ i sin

1 ( 1+ 2

−

π

√

2

= i ,

3i) .

8. Calcolo e rappresentazione grafica di numeri complessi:

√ − 

− √

a) z1 = 12 3 i , z2 = i , z3 = 12 3 + i . I numeri sono rappresentati nella Figura 1.14, a sinistra. b) Scriviamo il numero 1 in forma esponenziale 1 = e0πi . Allora, ricordando che ea+2πi = e a , si ottiene z1 = 1 ,

 

2

z2 = e 5 πi ,

4

z3 = e 5 πi ,

4

z4 = e− 5 πi ,

I numeri sono rappresentati nella Figura 1.14, al centro. 1 7 c) z1 = 4 8e− 8 πi , z2 = 4 8e 8 πi . I numeri sono rappresentati nella Figura 1.14, a destra.

√

9. Studio sottoinsiemi:

√

R z e

z 1

2

z5 = e− 5 πi .

26


I

m

I

m

z

z

2

R z e

1 2

Ω 1

−

3 2

R z e

Ω 2

−i

Figura 1.15. Insiemi Ω 1 , a sinistra, e Ω 2 , a destra , relativi all’Esercizio 9

a) L’insieme Ω 1 , rappresentato in Figura 1.15 a sinistra, è chiuso, connesso e la sua frontiera è ∂ Ω 1 = z C : z 2 + i = 1 , circonferenza di centro 2 i e raggio 1. b) L’insieme Ω 2 , rappresentato in Figura 1.15 a destra, è aperto, connesso e la sua frontiera è ∂Ω 2 = z C : 2z + 3 = 4 , circonferenza di centro 32 e raggio 2. c) L’insieme Ω 3 , rappresentato in Figura 1.16 a sinistra, è aperto, non connesso e la sua frontiera è ∂ Ω 3 = z C : m z = 2 , coppia di rette parallele all’asse reale. d) L’insieme Ω 4 , rappresentato in Figura 1.16 a destra, non è né aperto né chiuso, è connesso e la sua frontiera è ∂ Ω 4 = z C : Arg z = π6 z C : Arg z = π 0 . 3

{ ∈

| −

|

}

−

{ ∈

|

|

}

−

{ ∈

|I |

}

{ ∈

}∪{ }

} ∪ { ∈

10. Dominio funzioni: a) Ω = C 2i ; b) Ω = C c) Poiché z + z¯ = 2 e z , risulta Ω = C d) Ω = C z =3 .

\ {0} ; \ {Re z = 0} .

\ {± } R \ {| | }

11. Parte reale, immaginaria e modulo di funzioni: a) u(x, y) = x 3 3xy2 + x + 1 , v (x, y) = 3x2 y y3 + y , f (z ) = (x3 3xy2 + x + 1)2 + (3x2 y y 3 + y )2 . b) Posto z = x + iy si ha

|

|

 −−

−

−

1 1 = 2 2 2 (x + iy ) + 1 x y + 1 + 2ixy 2 2 x y + 1 2ixy = 2 , (x y 2 + 1)2 + 4x2 y 2

f (z ) =

− −

pertanto

−

−

1.5 Esercizi

u(x, y ) =

|f (z)| =

x2 y2 + 1 , y 2 + 1)2 + 4x2 y 2

(x2

 − − (x2

−

v (x, y) =

y2 + 1)2 + 4x2 y2 = y2 + 1)2 + 4x2 y 2

(x2

− c) Ricordand Ricordando o che z − z¯ = 2iy , si ha f (z ) =



(x2

−

27

− (x2 − y2 +2xy , 1)2 + 4x2 y2

y2

1 . + 1)2 + 4x2 y2

3x + 3iy 3 = 2iy 2

− 32 xy i ;

pertanto 3 u(x, y) = , 2 d) u(x, y) = 12. Posto x =

1 x2

+ y 2

z + z¯

2

+3

v(x, y) =

v(x, y) = 0 ,

,

e y =

−

z

|

3 f (z ) = 2

|



1+

x2 . y2

|f (z)| = x2 + y12 + 3 .

− z¯ , si ha

2i

(z + z¯)2 ( z z¯)2 + + i(z 4 4 = z¯2 + 2iz .

−

f (z ) =

3x , 2y

− z¯) + i(z + z¯) − 12 (z + z¯)(z − z¯)

I

m m

z

Ω 4

π

3 π

I

m m

z

6

Ω 3

R z e

2

R z e

Figura 1.16. Insiemi Ω 3 , a sinistra, e Ω 4 , a destra , relativi all’Esercizio 9

2 Funzioni analitiche analitiche

2.1 Deri De rivabil vabilit` it` a Cos` Cos`ı come per le funzioni funzioni di variabil variabilee reale, anche per le funzioni funzioni di variabil variabilee complessa si può introdurre il concetto di derivata in un punto, ottenuta come limite dei rapporti incrementali della funzione, nel punto considerato. Definizione 2.1 Sia f una f una funzione a valori complessi, definita in un intorno di derivabile in z 0 , e la sua derivata si indica f z0 C. Essa si dice derivabile indica f  (z0 ), se esiste

∈

finito il limite f  (z0 ) = lim

z →z0

f ( f (z ) z

− f ( f (z0 ) − z0 .

Altri simboli spesso usati per indicare la derivata in z in z 0 sono Posto ∆z Posto ∆z = z = z

(2.1) si può riscriver riscriveree nella forma − z0 , la (2. f ( f (z0 + ∆z + ∆z)) − f ( f (z0 ) f  (z0 ) = lim lim . ∆z→ ∆z →0

∆z

(2.1)

df (z0 ), Df ( f (z0 ). dz

(2.2)

` immediato verificare che se una funzione è derivabile E derivabile in un punto z punto z 0 allor al loraa è ivi iv i anche continua. Infatti lim

z→z0



f ( f (z )



− f ( f (z0 )

f ( f (z ) z →z z f ( f (z ) = lim z →z z = lim

0

0

− f (z0 ) (z − z0 ) − z0 − f (z0 ) lim (z − z0) = f  (z0) · 0 = 0 , − z0 z→z 0

ovvero ovvero lim f ( f (z ) = f ( f (z0 ). z→z0

e derivabile in ogni punto, e la sua derivata Esempi 2.2 a) Una funzione costante ` è identicamen i denticamente te nulla. Infatti, i suoi rapporti incrementali sono identicamente identicamente nulli ed è quindi nullo anche il loro limite.

30


b) La funzion funzionee f ( f (z ) = z è derivabile der ivabile in ogni ogn i punto, e si ha f ha f  (z0 ) = 1 per ogni z ogni z o . Infatti si ha f (z0 + z ) f (z0 ) z0 + z z0 f  (z0 ) = lim lim = li m = 1. 1. z →0 z →0 z z c)

 −  −   Consideria Consideriamo mo f f ((z ) = z = z 2 e z 0 ∈ C; usando la (2. (2.2), si ha (z0 + ∆z + ∆z))2 − z02 ∆z(2 ∆z (2zz0 + ∆z + ∆z)) lim = lim lim = lim lim (2z (2z0 + ∆z + ∆z)) = 2z0 . ∆z

∆z→ ∆z →0

∆z

∆z→ ∆z →0

∆z→ ∆z →0

Pertanto f Pertanto f  (z0 ) = 2z0 . d) Sia Sia f ( f (z ) = z 2 e z 0 C; risulta

||

lim

∆z→ ∆z →0

∈

|z0 + ∆z + ∆z |2 − |z0 |2 =

(z0 + ∆z + ∆z)( )(zz0 + ∆z + ∆z)) z0 z0 ∆z→ ∆z →0 ∆z z0 ∆z + ∆z + z z0 ∆z + ∆z + ∆z∆z ∆z∆z = li m ∆z→ ∆z →0 ∆z ∆z = li m z 0 + z0 + ∆z + ∆z . ∆z→ ∆z →0 ∆z

∆z

−

li m





Se z0 = 0, si ha f  (0) (0) = lim lim ∆z = ∆z = 0; mentre se z0 = 0, il limite non esiste.



∆z→ ∆z →0 a z a z 0 lungo

Infatti, avvicinandosi direzioni differenti si ottengono valori diversi; ad esempio, se ∆z se ∆z 0 lungo l’asse reale, allora ∆z allora ∆z = ∆z = ∆z e

→

lim

∆z→ ∆z →0



∆z z0 + z0 + ∆z + ∆z ∆z



= z 0 + z + z0 ,

mentre se ∆z se ∆z

→ 0 lungo l’asse immaginario, ∆z immaginario, ∆z = −∆z e ∆z lim z0 + z0 + ∆z + ∆z = z 0 − z0 . ∆z→ ∆z →0 ∆z In conclusione, la funzione f funzione f ((z ) = |z |2 è derivabile solo in z in z 0 = 0.







Definizione 2.3 Sia Ω

⊆ ⊆ C un insieme aperto non vuoto, e sia f : Ω → → C una funzione a valori complessi. complessi. Se f ` f è derivabi de rivabile le in i n ogni punto pun to z z 0 ∈ Ω , si dice che f è e analitica i n Ω . analitica o olomorfa in Infine, una funzione f si f si dice intera e olomorfa olomo rfa in i n tutto tu tto il i l piano pian o complesso. intera se `

Per le funzioni prima considerate, possiamo affermare ad esempio che le funzioni f (z ) = z e f ( f (z ) = z 2 sono funzioni intere, mentre la funzione f ( f (z ) = z 2 non è analitica analitica in alcun insieme aperto, in quanto quanto la sua derivata derivata esiste esiste soltanto soltanto nel punto z punto z = 0. Si osservi che la definizione di derivata derivata è formalmente identica a quella introdotta per funzioni reali di variabile reale. In effetti, le regole di derivazione e le derivate di funzioni elementari sono del tutto analoghe a quelle delle funzioni di variabile reale. Con tecniche del tutto analoghe a quelle di variabile reale, è possibile dimostrare che valgono i seguenti risultati.

| |

2.1 Derivabilit` a

Teorema 2.4 Siano f e g due funzioni derivabili in un punto z 0

31

C. Allora sono ivi derivabili le funzioni somma f (z) + g(z), la funzione prodotto f (z)g(z) e, se f (z) g(z0 ) = 0, anche la funzione quoziente . Inoltre si ha g(z)

∈



(f + g) (z0 ) = f  (z0 ) + g  (z0 ), (f g ) (z0 ) = f  (z0 )g(z0 ) + f (z0 )g (z0 ), 

 f g

(z0 ) =

f  (z0 )g(z0 ) f (z0 )g  (z0 ) . g(z0 )2

−

Teorema 2.5 Sia f (z) una funzione derivabile in un punto z 0

C. Sia poi g(w) una funzione derivabile nel punto w0 = f (z0 ). Allora la funzione composta g f (z) = g(f (z)) è derivabile in z 0 e si ha

∈

◦

(g f ) (z0 ) = g  (w0 )f  (z0 ) = g  (f (z0 ))f  (z0 ).

◦

Esempi 2.6 i) Abbiamo gi` a verificato nell’Esempio 2.2 che le funzioni costanti,

la funzione f (z) = z e la funzione f (z) = z 2 sono funzioni olomorfe, anzi sono funzioni intere. Applicando ora il Teorema 2.4 con f (z) = z e g(z) = z 2 , si deduce che anche la funzione prodotto h(z) = z 3 è intera e la sua derivata è la funzione h (z) = 3z 2 . Pi` u in generale (scegliendo ad esempio f (z) = z e 3 g(z) = z , ecc.) e procedendo per induzione, si deduce che ogni monomio, cioè ogni funzione del tipo h(z) = z n , n intero positivo, è una funzione intera, e la sua derivata è la funzione h(z) = nz n−1 . ii) Sempre dal Teorema 2.4, segue che una combinazione lineare di funzioni olomorfe è olomorfa, quindi in particolare ogni polinomio a coefficienti complessi P (z) = a 0 + a1 z + a2 z 2 +

·· · + anzn

è una funzione intera, e vale l’usuale regola di derivazione dei polinomi P  (z) = a 1 + 2a2 z +

· · · + nanzn−1.

iii) Dal punto precedente e dal Teorema 2.4 segue quindi che una qualsiasi funzione razionale, cioè una funzione del tipo P (z) a0 + a1 z + a2 z 2 + = Q(z) b0 + b1 z + b2 z 2 +

·· · + anzn , · ·· + bmzm

è una funzione olomorfa nel suo dominio di definizione, cioè in tutto C tranne i punti nei quali si annulla il polinomio Q(z).  Anche la funzione esponenziale f (z) = e z e le altre funzioni elementari da essa derivanti (introdotte nel capitolo precedente) risultano essere derivabili nel loro dominio, e restano valide le usuali regole di derivazioni, ad esempio

32


D ez = e z Dsin z = cos z D sinh z = cosh z

Dcos z = sin z Dcosh z = sinh z.

(2.3)

−

Tutto questo, in linea di principio, si può dimostrare direttamente facendo ricorso alla definizione di derivabilit` a data all’inizio di questo paragrafo; tuttavia, queste verifiche dirette risulterebbero piuttosto laboriose. Vedremo nel paragrafo successivo che in realtà esiste un importante criterio (condizioni di Cauchy– Riemann) che consente di verificare che una data funzione è olomorfa, senza ricorrere direttamente alla definizione di derivata complessa.

2.2 Condizioni di Cauchy-Riemann Supponiamo che una funzione f sia definita in un insieme aperto Ω dall’equazione f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy Ω,

⊆

C

∈

dove le due funzioni reali u : Ω R e v : Ω R sono, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria della funzione f . In questo paragrafo studieremo condizioni necessarie e sufficienti sulle funzioni u e v, affinché la funzione f risulti olomorfa nell’aperto Ω .

→

→

Teorema 2.7 Sia Ω un insieme aperto del piano complesso, e sia f : Ω

→ C una

funzione a valori complessi. Allora, indicando con u(x, y) e v(x, y) la parte reale e la parte immaginaria di f , le due condizioni seguenti sono tra loro equivalenti: 1. La funzione f è olomorfa in Ω . 2. Le due funzioni u(x, y) e v (x, y) sono di classe C 1 in Ω (cioè hanno derivate parziali prime continue in Ω ) e verificano le condizioni di Cauchy–Riemann

in ogni punto (x0 , y0 )

  

∂u (x0 , y0 ) = ∂x

∂v (x0 , y0 ) ∂y

∂u (x0 , y0 ) = ∂y

∂v (x0 , y0 ) ∂x

(2.4)

−

∈ Ω .

Inoltre, se f è olomorfa la derivata complessa si esprime in funzione del le derivate parziali di u e v come f  (z) =

∂u ∂v ∂v (x, y) + i (x, y) = (x, y) ∂x ∂x ∂y

Dimostrazione. Iniziamo con l’implicazione 1.

(x, y) . − i ∂u ∂y

(2.5)

2. L’idea della dimostrazione consiste nel calcolare il limite (2.2) in due modi: prima lungo l’asse reale (cio` e considerando incrementi reali ∆z = ∆x) e poi lungo l’asse immaginario (cioè

⇒

2.2 Condizioni di Cauchy-Riemann

33

considerando incrementi immaginari puri, del tipo ∆z = i∆y). Ad esempio, preso un punto z 0 = x 0 + iy0 Ω e un incremento reale ∆z = ∆x, si ha

∈

f (z0 + ∆z) ∆z

− f (z0) = u(x0 + ∆x, y0) − u(x0, y0) + i v(x0 + ∆x, y0) − v(x0, y0) ∆x

∆x

e, facendo tendere a zero l’incremento ∆z = ∆x, si trova f  (z0 ) =

∂u ∂v (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) ∂x ∂x

(2.6)

(si noti che il limite a primo membro, cioè f  (z0 ), esiste per ipotesi e quindi, per il Teorema 1.4, esistono anche i corrispondenti limiti della parte reale e della parte immaginaria presenti a membro destro, cio` e le derivate parziali ux e vx ). Analogamente, con incrementi immaginari puri ∆z = i∆y si ha f (z0 + ∆z) ∆z

− f (z0) = u(x0, y0 + ∆y) − u(x0, y0) + i v(x0 , y0 + ∆y) − v(x0, y0) =

i∆y u(x0 , y0 + ∆y) i ∆y

−

−

i∆y u(x0 , y0 ) v (x0 , y0 + ∆y) + ∆y

− v(x0, y0)

e quindi passando al limite si trova f  (z0 ) =

∂ v (x0 , y0 ) + (x0 , y0 ). −i ∂u ∂y ∂y

Confrontando con la (2.6) si trova la (2.5), e le condizioni di Cauchy–Riemann (2.4) seguono dalla (2.5), uguagliando parte reale e parte immaginaria delle due espressioni. Non dimostriamo qui la continuità delle derivate parziali di u e v, che seguir` a dai risultati pi` u generali dei paragrafi successivi. Veniamo ora all’implicazione 2. 1., e supponiamo quindi che u e v siano di classe C 1 (e quindi differenziabili). Preso un punto (x0 , y0 ), poniamo per semplicit` a

⇒

A =

∂u (x0 , y0 ), ∂x

B =

∂u (x0 , y0 ), ∂y

C =

∂v (x0 , y0 ), ∂x

D =

∂v (x0 , y0 ) ∂y

e consideriamo gli sviluppi di Taylor al primo ordine u(x0 + h, y0 + k) = u(x0 , y0 ) + Ah + Bk + ε1 (h, k) v(x0 + h, y0 + k) = v(x0 , y0 ) + Ch + Dk + ε2 (h, k), dove gli “errori” ε 1 (h, k) e ε 2 (h, k) sono infinitesimi di ordine superiore a per (h, k) (0, 0), ovvero

√ h2 + k2

→

|ε1(h, k)| = lim √ |ε2(h, k)| = 0. √ 2 2 (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) h + k h2 + k 2 lim

Pertanto, considerando l’incremento complesso ∆z = h + ik, si ha che

(2.7)

34


f (z0 + ∆z)

− f (z0) = Ah + Bk + ε1(h, k) + i(Ch + Dk + ε2(h, k)). D’altra parte, si ha A = D e B = −C grazie alle condizioni di Cauchy–Riemann (2.4), quindi eliminando D e B si ottiene f (z0 + ∆z)

− f (z0) = A(h + ik) + C (ih − k) + ε1(h, k) + iε2(h, k)

= A(h + ik) + iC (h + ik) + ε1 (h, k) + iε2 (h, k) = (A + iC )∆z + ε1 (h, k) + iε2 (h, k).

(2.8)

| | √

Poiché ∆z = h2 + k 2 , grazie alla (2.7) il termine ε1 + iε2 è un infinitesimo di ordine superiore a ∆z, quando ∆z tende a zero. Pertanto, dividendo per ∆z nella (2.8) e passando al limite, si ottiene che f  (z0 ) esiste e coincide con A + iC (quindi anche con D iB), dimostrando cos`ı la derivabilità nel punto z 0 e la validità della (2.5). 

−

L’uso che si può fare del Teorema 2.7 è duplice. Da un lato, esso offre un comodo criterio per verificare che una data funzione è olomorfa: è sufficiente verificare che parte reale e parte immaginaria siano di classe C 1 e soddisfino le condizioni di Cauchy–Riemann (2.4) (si vedano gli esempi successivi). Dall’altro, se sappiamo gi` a che una certa funzione f (z) è olomorfa, allora in base al teorema sappiamo che sono automaticamente verificate le condizioni di Cauchy–Riemann (2.4): come vedremo nel capitolo successivo, da questo potremo ricavare numerose proprietà delle funzioni olomorfe. e una funzione intera. Ricordiamo che, Esempio 2.8 Verifichiamo che f (z) = ez ` ponendo z = x + iy, si ha per definizione ez = e x (cos y + i sin y), e dunque le parti reale e immaginaria di e z sono le due funzioni u(x, y) = ex cos y ,

v(x, y) = ex sin y.

` chiaro che si tratta di funzioni di classe C 1 (anzi, C ∞ ) e che E ∂u (x, y) = ex cos y , ∂x ∂v (x, y) = ex sin y , ∂x

∂u (x, y) = ex sin y ∂y ∂v (x, y) = ex cos y, ∂y

−

quindi le condizioni di Cauchy-Riemann (2.4) sono soddisfatte in tutto il piano complesso. Pertanto, applicando il Teorema 2.7 otteniamo che la funzione f (z) = ez è analitica in tutto il piano complesso, ovvero è una funzione intera. Inoltre, dalla (2.5) si ottiene ∂u ∂v (x, y) + i (x, y) = ex cos y + iex sin y = e z ∂x ∂x (cio` e la derivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa, in accordo con quanto avviene in ambito reale).  f  (z) =


35

Osservazione 2.9 Avendo dimostrato che la funzione esponenziale è olomorfa,

si ottiene che anche le funzioni trigonometriche e quelle iperboliche, definite nelle (1.22), (1.28), sono funzioni intere. Inoltre, sempre usando le (1.22), (1.28), si ottengono le formule (2.3) per il calcolo delle derivate. 

| |2

Esempio 2.10 Nell’Esempio 2.2 abbiamo dimostrato che la funzione f (z) = z

non è olomorfa in alcun insieme aperto, verificando direttamente che essa è derivabile soltanto nell’origine. Alla stessa conclusione si può giungere applicando il Teorema 2.7, nel modo seguente. La funzione f (z) = z 2 assume soltanto valori reali, quindi la sua parte immaginaria è la funzione identicamente nulla v(x, y) = 0, mentre la parte reale è la funzione u(x, y) = x 2 + y 2 . Le derivate parziali sono date da

||

∂u = 2x, ∂x

∂u = 2y, ∂y

∂v = 0, ∂x

∂v = 0, ∂y

quindi le condizioni di Cauchy–Riemann sono soddisfatte soltanto nel punto (0 , 0). In altre parole, non esiste alcun insieme aperto Ω (non vuoto!) nel quale siano soddisfatte le condizioni di Cauchy–Riemann, e la funzione non può quindi essere olomorfa, in nessun insieme aperto.  Osservazione 2.11 La condizione 2. del Teorema 2.7 richiede la validit` a delle condizioni

di Cauchy-Riemann in un insieme aperto, assieme alla continuità delle derivate parziali prime. In effetti, la validità delle condizioni di Cauchy-Riemann in un singolo punto non implica necessariamente che la funzione sia derivabile in quel punto. Riesaminando la dimostrazione dell’implicazione 1. ⇒ 2., si vede che la derivabilità in un singolo punto implica, da sola, le condizioni di Cauchy–Riemann in quello stesso punto. Più in generale, se esistono le derivate parziali di u e v nell’intorno di un punto ( x0 , y0 ), sono continue e soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann nel solo punto ( x0 , y0 ), allora la derivata di  f in z 0 = x 0 + iy0 esiste.

Esempio 2.12 La funzione

f (z ) =

(

¯z 2 z

z  =0

0 z = 0 soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann (2 .4) nell’origine ma non è ivi derivabile. Infatti, per z  = 0, risulta f (z ) =

z¯ 2 z¯ 3 x(x2 − 3y 2 ) y (y2 − 3x2 ) = 2 = + i |z | z x2 + y 2 x2 + y 2

e dunque u(x, y ) =

x(x2 − 3y 2 ) , x2 + y 2

Pertanto, per definizione di derivata parziale,

v (x, y ) =

y (y 2 − 3x2 ) . x2 + y 2

36

F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli ∂u u(x, 0) − u(0, 0) x3 (0, 0) = lim = lim =1 0 0 x · x2 x x ∂x x ∂v v (0, y ) − v (0, 0) y3 (0, 0) = lim = lim =1 y y 0 0 y · y 2 ∂y y →

→

→

→

∂u ∂v (0, 0) = 0 = (0, 0). Cos`ı le condizioni di Cauchy-Riemann sono ∂y ∂x soddisfatte in z = 0. Ma la derivata in z = 0, se esistesse, sarebbe il valore del limite

e, analogamente,

lim

z→0

z¯ 2 . z 2

Tale limite non esiste, come si può vedere considerando le direzioni lungo l’asse reale oppure lungo la diagonale x = y ; in effetti, se y = 0 e x → 0, risulta lim

x→0

x2 =1 x2

mentre, se x = y e (x, y ) → (0 , 0), si ha (1 − i)2 x2 = −1 . (0,0) (1 + i)2 x2

lim

(x,y)



→

Forma polare delle condizioni di Cauchy-Riemann

Fissato z0 = 0, il Teorema 2.7 pu` o essere riformulato utilizzando le coordinate polari anzich´ e quelle cartesiane. Riscriviamo per tale ragione le condizioni di Cauchy-Riemann (2.4) in forma polare. Usiamo la trasformazione x = r cos θ e y = r sin θ e la sua inversa r = x2 + y 2 , θ = arctan yx + cost (si ricordi la (1.10)) per esprimere le derivate parziali di u e v rispetto alle variabili r e θ anziché x e y. Risulta





∂r = ∂x ∂θ = ∂x

x



−

= cos θ ,

x2 + y 2 y = x2 + y 2

− sinr θ ,

∂r y = = sin θ ∂y x2 + y 2 ∂θ x cos θ = 2 = ∂y x + y 2 r



e quindi, usando la regola di derivazione in catena, ∂u ∂u ∂r ∂ u = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂u ∂u ∂ r ∂ u = + ∂y ∂r ∂y ∂θ

· ·

∂θ ∂ u sin θ ∂ u = cos θ · − · ∂x · ∂θ ∂r r · ∂∂yθ = sin θ · ∂∂ru + cosr θ · ∂∂θu ;

analogamente, ∂v ∂ v = cos θ ∂x ∂r

· − sinr θ · ∂∂θv ,

Pertanto le condizioni (2.4) equivalgono a

∂v ∂ v cos θ ∂ v = sin θ + . ∂y ∂r r ∂θ

·

·


    cos θ cos θ

∂u 1 ∂v ∂r r ∂θ ∂v 1 ∂u + ∂r r ∂θ

−

 





∂v 1 ∂u = sin θ + ∂r r ∂θ ∂u 1 ∂v = sin θ ∂r r ∂θ

−



−



37

.

Tali relazioni sono verificate solo se

 

∂u 1 ∂v = ∂r r ∂θ 1 ∂u ∂v = r ∂θ ∂r

(2.9)

−

e queste corrispondono alle condizioni di Cauchy-Riemann in forma polare. Il Teorema 2.7 può quindi essere espresso in modo equivalente nella seguente forma. Teorema 2.13 Sia f (z) = u(r, θ) + iv(r, θ) definita in un intorno del punto z 0 =

r0 eiθ = 0. Supponiamo che le derivate parziali di u e v , rispetto a r e θ, esistano in tale intorno e siano continue in (r0 , θ0 ). Allora, se sono soddisfatte le condizioni (2.9) in (r0 , θ0 ), la derivata di f  (z0 ) di f in z0 esiste e 0





 

−iθ0

f (z0 ) = e

 

∂u ∂v (r0 , θ0 ) + i (r0 , θ0 ) ∂r ∂r

e−iθ = r0

0



∂v (r0 , θ0 ) ∂θ

−



∂u i (r0 , θ0 ) . ∂θ

Dimostrazione. L’esistenza segue per quanto detto prima. Verifichiamo che vale

f  (z0 ) = e−iθ

0

∂u ∂v (r0 , θ0 ) + i (r0 , θ0 ) . Posto z 0 = r 0 eiθ = x 0 + iy0 , si ha ∂r ∂r 0

∂u ∂v (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) ∂x ∂x sin θ0 ∂u sin θ0 ∂v ∂u ∂v = cos θ0 (r0 , θ0 ) (r0 , θ0 ) + i cos θ0 (r0 , θ0 ) i (r0 , θ0 ) ∂r r0 ∂θ ∂r r0 ∂θ ∂u ∂v = cos θ0 i sin θ0 (r0 , θ0 ) + sin θ0 + i cos θ0 (r0 , θ0 ) ∂r ∂r ∂u ∂v = e −iθ (r0 , θ0 ) + i (r0 , θ0 ) . ∂r ∂r

f  (z0 ) =

−



−

0





−

 



In modo analogo si verifica la seconda uguaglianza.

Esempio 2.14 Verifichiamo che la funzione f (z) =

Poiché f (z) = risulta

1 1 = cos θ reiθ r





1 e z `

− i sin θ



analitica per ogni z = 0.



,

38


1 u(r, θ) = cos θ , r sin θ v(r, θ) = , r

cos θ ∂u (r, θ) = , ∂r r2 ∂v sin θ (r, θ) = 2 , ∂r r

∂u (r, θ) = ∂θ ∂v (r, θ) = ∂θ

−

−

− sinr θ , − cosr θ .

Dunque le derivate parziali di u e v rispetto a r e θ sono continue per ogni (r, θ) con r > 0 e le condizioni (2.9) sono verificate. Applicando il Teorema 2.13 otteniamo il risultato. Inoltre





∂u ∂v f (z) = e (r, θ) + i (r, θ) = e −iθ ∂r ∂r −2iθ e 1 1 = = = . 2 2 2iθ r r e z2 

−iθ

−

−

−

cos θ + i sin θ r2



−



Nel seguito useremo la notazione u x per indicare la derivata parziale di u rispetto a x e similmente per le altre variabili.

2.3 Funzioni analitiche e armoniche Diamo innanzitutto la seguente definizione 2 Definizione 2.15 Una funzione reale di due variabili reali h : Ω R R si 1 2 dice funzione armonica in Ω se è di classe (Ω ) e soddisfa in Ω l’equazione

⊆

C

differenziale

hxx (x, y) + hyy (x, y) = 0 .

→

(2.10)

Tale equazione è nota in letteratura come equazione di Laplace e l’operatore ∆ =

∂ 2 ∂ 2 + ∂x 2 ∂y 2

è detto operatore di Laplace o laplaciano. Possiamo quindi riscrivere l’equazione (2.10) nella forma ∆h(x, y) = 0

per ogni (x, y)

∈ Ω.

Il legame tra funzioni armoniche e funzioni analitiche è espresso dal seguente risultato. Teorema 2.16 Sia f (z) = u(x, y)+iv(x, y) analitica in Ω

u(x, y) e v(x, y) sono armoniche in Ω . 1

⊆ C. Allora le funzioni

Ricordiamo che h ∈ C 2 (Ω ) significa che h ammette derivate parziali sino al secondo ordine continue in Ω .

2.3 Funzioni analitiche e armoniche

39

Dimostrazione. Utilizziamo un risultato che verr` a dimostrato nel seguito (si veda

il Paragrafo 2.7) il quale garantisce che, se una funzione di variabile complessa f è analitica, allora le funzioni parte reale u e parte immaginaria v sono di classe 2 (Ω ). Per dimostrare il teorema è sufficiente dunque verificare che le funzioni u(x, y) e v(x, y) soddisfano l’equazione di Laplace in Ω . In effetti, dalle condizioni di Cauchy-Riemann, ux = v y e u y = vx , derivando entrambe le equazioni rispetto a x e a y, otteniamo

C

−



uxx = v yx uyx = vxx

−



e

uxy = v yy uyy = vxy .

−

Per il Teorema di Schwartz 2 applicato alle funzioni u e v , si ha uxx + uyy = v yx

− vxy = 0 ,

vxx + vyy =

−uyx + uxy = 0

e quindi u e v sono armoniche in Ω .



Se due funzioni u e v sono armoniche in Ω e soddisfano le condizioni di CauchyRiemann in Ω , si dice che v è una funzione armonica coniugata di u. Chiaramente se f (z) = u(x, y) + iv(x, y) è una funzione analitica in Ω , allora v(x, y) è un’armonica coniugata di u. Viceversa, se v è un’armonica coniugata di u in Ω , necessariamente la funzione f (z) = u(x, y) + iv(x, y) è analitica in Ω (Teorema 2.7). Si osservi che se v è un’armonica coniugata di u in Ω , non è in generale vero che u è un’armonica coniugata di v . Ad esempio, si consideri u(x, y) = x 2

− y2

e

v(x, y) = 2xy .

Poiché f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = z 2 è una funzione intera, v è un’armonica coniugata di u. Ma u non è un’armonica coniugata di v in quanto, scambiando i ruoli di u e v , non valgono le (2.4). Notiamo che se Ω è un insieme connesso e u e v sono una la coniugata dell’altra allora necessariamente sono funzioni costanti. Infatti, se valgono contemporaneamente



ux = v y uy = vx

−

e



vx = u y vy = ux ,

−

si ha ux = ux e uy = uy , ossia ux = uy = 0. Quindi u(x, y) è costante; analogamente si ottiene che v(x, y) è costante.

−

−

Data una funzione armonica u(x, y) in Ω ci poniamo il problema di trovare una funzione armonica coniugata v(x, y) di u in Ω ; ovvero ci chiediamo se sia possibile individuare una funzione analitica la cui parte reale sia assegnata. Vediamo con un esempio come si può procedere. 2

Teorema di Schwartz. Sia h (x, y) di classe C 2 su Ω ⊆ R2 ; allora le derivate parziali miste h xy e h yx coincidono.

40


Esempio 2.17 Sia u(x, y) = y 3

− 3x2y, con

ux (x, y) = 6xy e uy (x, y) = 3y 3x . Dalla condizione ux = vy , si dovr` a avere vy (x, y) = 6xy; possiamo concludere, integrando rispetto alla variabile y, che 2

−

2

v(x, y) =

−

−

−3xy2 + φ(x)

dove φ(x) è una funzione (al momento arbitraria) della variabile x. Poiché vx (x, y) = 3y 2 + φ (x), dalla condizione u y = vx , si dovrà avere

−

−

3y2

− 3x2 = 3y2 − φ(x) .

Pertanto φ (x) = 3x2 e, integrando rispetto a x, si ha φ(x) = x3 + c, dove c è un’arbitraria costante. In definitiva, v(x, y) = 3xy 2 + x 3 + c è un’armonica coniugata di u e la funzione

−

f (z) = y 3 è analitica in

− 3x2y + i(−3xy2 + x3 + c) = i(z3 + c)

C.



2.4 Richiami su archi e cammini Come è noto dai corsi di calcolo, con il termine “curva” si indica in generale una n applicazione γ : I e un intervallo della retta reale e Rn è lo R , dove I = [a, b] ` spazio Euclideo. L’idea intuitiva e` la seguente: possiamo immaginare [a, b] come un intervallo temporale, e il valore γ (t) della funzione γ nel punto t come una posizione nello spazio Euclideo (ad esempio nel piano o nello spazio tridimensionale), cioè la “posizione al tempo t”. In altre parole, all’istante iniziale t = a ci troviamo nel punto γ (a), all’istante finale t = b ci troviamo nel punto γ (b) e cos`ı via, per tutti gli istanti di tempo intermedi.

→

Qui siamo interessati al caso di curve 3 nel piano, cioè ad applicazioni del tipo 2 γ : [a, b] R , in relazione alla teoria delle funzioni di variabile complessa ed in particolare delle funzioni olomorfe. Conviene quindi identificare il piano R2 col piano complesso C, e dare la seguente definizione:

→

Definizione 2.18 Si chiama curva nel piano o cammino una applicazione γ :

[a, b] 3

→ C continua e di classe C 1

a tratti, dove [a, b] è un intervallo limitato

La terminologia qui adottata non è esattamente quella classica. Di solito, infatti, si definisce “curva nel piano” una applicazione γ : I → C, dove I è un qualsiasi intervallo reale, con la sola ipotesi che γ sia continua: viene poi specificato separatamente cosa si intende per curva regolare, o regolare a tratti, chiamando talvolta “arco” una curva regolare a tratti il cui dominio I sia un intervallo chiuso e limitato, come nel nostro caso. Per non appesantire la terminologia, qui abbiamo preferito fornire la definizione di curva in un caso particolare, limitandoci a quanto sarà necessario nel seguito.

2.4 Richiami su archi e cammini

della retta reale. Indichiamo con z(t) il punto immagine di t l’insieme C = z(t) C : t [a, b] ,

{

∈

∈

41

∈ [a, b] attraverso γ ;

}

cioè l’immagine dell’applicazione γ , viene detto sostegno della curva. Come per tutte le funzioni a valori complessi, data una curva z (t) possiamo considerare la sua parte reale x(t) e la sua parte immaginaria y(t). In altre parole, possiamo scrivere z(t) = x(t) + iy(t) ` dove x(t) e y(t) sono due funzioni reali, entrambe definite sull’intervallo [a, b]. E importante rimarcare che nella definizione precedente, quando si dice che z(t) è continua e C 1 a tratti, si intende dire che ognuna delle due funzioni x(t) ed y(t) è continua e C 1 a tratti su [a, b]. Si pu` o allora parlare della derivata z  (t0 ) di una curva nel punto t 0 , intendendo con questo il numero complesso z  (t0 ) = x  (t0 ) + iy  (t0 ), a patto che entrambe le funzioni x(t) e y(t) siano derivabili nel punto t 0 (si noti che questo avviene su tutto [a, b] tranne eventualmente in un numero finito di punti, avendo richiesto che z (t) sia C 1 a tratti). La richiesta che z(t) sia continua e C 1 a tratti ha in parte motivazioni tecniche, mentre è essenziale comprendere la differenza tra una curva z (t) e il suo sostegno C . La curva z(t) è una funzione (di variabile reale e a valori complessi), mentre il suo sostegno C è un insieme di punti nel piano (cioè l’immagine della curva stessa). Se immaginiamo la curva come la descrizione del moto di una particella nel piano, la funzione z(t) rappresenta la legge oraria del moto, mentre il sostegno C rappresenta l’insieme di tutti i punti nei quali la particella è passata almeno una volta. Si può anche pensare una curva z(t) come ad un modo di parametrizzare il suo sostegno C , associando ad ogni valore del parametro t [a, b] uno ed un solo punto del sostegno C . Tuttavia, l’insieme C può essere il sostegno di curve diverse, ovvero pu` o essere parametrizzato in modi diversi: con un’immagine del mondo reale, si pensi a C come al tracciato di una pista automobilistica, ed a z(t) come ad uno dei tanti modi in cui questo tracciato può essere percorso (tenendo quindi conto di eventuali accelerazioni, soste, inversioni di marcia ecc.). Ad esempio, la curva z(t) = t(1 + i) con t [0, 1] ha come sostegno il segmento di estremi w 1 = 0 e w 2 = 1 + i nel piano complesso. Tale segmento è però anche il sostegno di altre curve, ad esempio della curva h(t) = t2 (1 + i), t [0, 1]. Le due curve costituiscono due diverse parametrizzazioni dello stesso segmento w 0 w1 . Ad esempio, il punto medio del segmento è individuato dal parametro t = 1/2 nel primo caso e t = 2/2 nel secondo. Va tuttavia detto che frequentemente si indica con il termine “curva” o “arco” un sottoinsieme del piano (ad esempio, si parla comunemente di ‘arco di circonferenza’); in tal caso viene sottointesa una parametrizzazione dell’oggetto geometrico, solitamente definita nel modo più naturale.

∈

∈

∈

√

42


Nelle applicazioni, è importante costruire curve che parametrizzano figure geometriche semplici, quali ad esempio segmenti e circonferenze. Esempi 2.19 i) Consideriamo due punti del piano complesso w0 e w1 , ed un

intervallo reale [a, b]. Per costruire una curva γ : [a, b] segmento w 0 w1 , possiamo porre z(t) = w 0 + (t

− a) wb1 −− aw0 ,

t

→ R che parametrizzi il

∈ [a, b]

(2.11)

(si verifichi per esercizio che si ottiene effettivamente la parametrizzazione cercata). La formula precedente si può interpretare, da un punto di vista cinematico, nel modo seguente: si vuole andare da w 0 a w 1 , con un percorso rettilineo, nell’intervallo di tempo [a, b] (e quindi in un tempo totale pari a b a). La velocit` a media (identificando i vettori coi numeri complessi) è quindi data dal rapporto (w1 w2 )/(b a) (spazio totale percorso, diviso tempo totale impiegato). Percorrendo il segmento con velocità costante, al tempo t ci troveremo nella posizione ottenuta sommando il vettore di partenza w0 allo spazio già percorso, cioè la velocit` a media (w1 w2 )/(b a) per il tempo trascorso t a. Se siamo liberi di scegliere l’intervallo [a, b], conviene lavorare sull’intervallo unitario [0, 1]. La curva precedente allora prende la forma più semplice

−

−

−

−

z(t) = w 0 + (w1

−

− w0)t,

−

t

∈ [0, 1].

ii) Per parametrizzare una circonferenza di centro w0 e raggio R, con una curva γ : [a, b] C, basta porre

→

z(t) = w 0 + Rei2π(t−a)/(b−a) ,

t

∈ [a, b].

L’interpretazione cinematica è ora quella del moto circolare uniforme, con velocità angolare costante pari a 2π/(b a) (perché si vuole compiere un angolo giro in un tempo totale b a). Come prima, il termine t a indica il tempo trascorso, all’istante t, dall’inizio del moto. Se siamo liberi di scegliere l’intervallo di tempo [a, b], conviene scegliere [a, b] = [0, 2π], in modo da parametrizzare con velocità angolare unitaria. La curva precedente allora prende la forma pi` u semplice

−

−

z(t) = w 0 + Reit ,

−

t

∈ [0, 2π].

(2.12)

Una curva γ si dice semplice se γ è un’applicazione iniettiva, ossia se valori diversi del parametro individuano punti diversi del sostegno. Inoltre, una curva γ : [a, b] C si dice chiusa se z(a) = z(b): si noti che, ovviamente, una curva chiusa non può essere semplice (a parte il caso degenere in cui a = b e l’intervallo si riduce a un solo punto!). Una nozione fondamentale nella teoria delle curve piane è quella di curva di Jordan. Una curva γ : [a, b] C si dice curva di Jordan se verifica le due condizioni seguenti:

→

→

2.4 Richiami su archi e cammini

43

` una curva chiusa, cioè z (a) = z(b). 1. E 2. Il punto z (a) = z(b) è l’unico punto del sostegno ad essere l’immagine di due valori diversi del parametro. Intuitivamente, una curva di Jordan è la parametrizzazione di un percorso chiuso che non passa mai una seconda volta sui punti già percorsi, tranne ovviamente per il punto finale z (b) che coincide con z (a). Esempi 2.20 i) La curva

z(t) = 1 + cos t + i(3 + sin t) = 1 + 3i + e it ,

t

∈ [0, 2π] ,

ha come sostegno la circonferenza di centro 1 + 3i e raggio 1; infatti



x(t)

−1 2+

 

y(t)

− 3 2 = cos2 t + sin2 t = 1.



Si tratta quindi di una curva di Jordan e costituisce il modo pi` u naturale per parametrizzare tale circonferenza percorrendola in senso antiorario, a partire dal punto 2 + 3i. Pi` u in generale, la curva definita nella (2.12) è una curva di Jordan che ha come sostegno la circonferenza centrata nel punto w 0 di raggio R. Si osservi che, se nella (2.12) facciamo variare t in un intervallo di tipo [0, 2kπ], con k intero positivo 2, la curva ottenuta ha ancora come sostegno la stessa circonferenza, ma questa viene ora percorsa k volte: pertanto, in questo caso non si avrebbe una curva di Jordan. Se invece t varia nell’intervallo [0, π], la corrispondente curva ha come sostegno una semicirconferenza, è semplice ma non è chiusa (e non è quindi una curva di Jordan). ii) Similmente, assegnati a,b > 0, la curva chiusa e semplice

≥

z(t) = a cos t + ib sin t ,

t

∈ [0, 2π] ,

parametrizza l’ellisse centrato nell’origine e con semiassi a e b (si verifichi che questa parametrizzazione fornisce una curva di Jordan). iii) La curva z(t) = t cos t + it sin t = teit , t [0, 4π] ,

∈

ha come sostegno la spirale parzialmente rappresentata in Figura 2.1, che viene percorsa in senso antiorario a partire dall’origine. Infatti il punto z(t) ha distanza dall’origine uguale a z(t) = t, che cresce al crescere di t. La curva è semplice ma non è chiusa. iv) La formula (2.11) fornisce una parametrizzazione del segmento di estremi w0 e w 1 . La curva è semplice, ma non è una curva di Jordan. v) Sia f : I R una funzione derivabile con continuità sull’intervallo I ; la curva

| |

→

 

γ (t) = t, f (t) , ovvero z(t) = t + if (t) , t funzione f .

t

∈ I,

∈ I , è una curva avente come sostegno il grafico della

44


Figura 2.1. Rappresentazione della spirale definita nell’Esempio 2.20 iii)

vi) La curva γ : [0, 2]

→ R2

 

γ (t) = ovvero z(t) =

(t, 1) , t (t, t) , t

∈ [0, 1) , ∈ [1, 2] ,

t + i , t (1 + i)t , t

∈ [0, 1) , ∈ [1, 2] ,

è una parametrizzazione della poligonale ABC (si veda la Figura 2.2, a sinistra); invece la curva (t, 1) , t [0, 1) , t [1, 2) , γ (t) = (t, t) , 1 t, 2 2 (t 2) , t [2, 4]

  

ovvero

−

−

∈ ∈ ∈



C

1

1 B

A

O

C

1

B

A

2

O

1

2

Figura 2.2. Poligonale ABC , a sinistra e ABCA, a destra, definite nell’Esempio 2.20

vi)

2.5 Integrali di linea

z(t) =

 

t + i , t (1 + i)t , t 1 t + (3 2 t)i , t

−

45

∈ [0, 1) , ∈ [1, 2] , ∈ [2, 4] ,

è una parametrizzazione della poligonale ABCA (si veda la Figura 2.2, a destra). Entrambe le curve sono C 1 a tratti, in particolare l’ultima poligonale è una curva di Jordan.  Enunciamo ora un risultato intuitivamente vero, detto Teorema di Jordan, la cui dimostrazione è tutt’altro che immediata. Teorema 2.21 Associati ad ogni curva di Jordan γ vi sono due domini ognuno

dei quali ha la frontiera coincidente con il sostegno C della curva. Uno di questi domini, detto l’ interno di γ , è limitato; l’altro, l’ esterno di γ , è non limitato.

2.5 Integrali di linea In questo paragrafo si vuole definire l’integrale di una funzione di variabile complessa lungo un cammino. Prima di tutto, occorre definire l’integrale di una funzione di variabile reale e a valori complessi g : [a, b] C. Possiamo scrivere

→

g(t) = u(t) + iv(t) ,

a

≤t≤b

con u e v funzioni reali che supponiamo continue a tratti in [a, b]. Definiamo quindi l’integrale di g su [a, b] come b



b

g(t) dt =

a



b

u(t) dt + i

a



v(t) dt.

(2.13)

a

In altre parole, l’integrale è un numero complesso: la sua parte reale, è l’integrale della parte reale di g, mentre la sua parte immaginaria è l’integrale della parte immaginaria di g. In formule, b

 R e

b

g(t) dt =

a

b

 R

 I

e g(t) dt ,

m

a

b

g(t) dt =

a

 I

m g(t) dt.

a

Inoltre, si verifica facilmente (lo si faccia per esercizio) che b

 a

b

λg(t) dt = λ



g(t) dt ,

a

∀λ ∈ C .

Consideriamo ora una curva γ : [a, b] C, ed una funzione f (z) di variabile complessa e a valori complessi, che supponiamo essere continua sul sostegno C della curva.

→

46


Definizione 2.22 Si definisce integrale di linea di f lungo C la quantit` a



b

f (z) dz =

γ



f (z(t)) z  (t) dt .

(2.14)

a

Si noti che, per definizione, l’integrale lungo una curva e` ricondotto all’integrale, sull’intervallo reale [a, b], della funzione g(t) = f (z(t))z  (t), che va quindi inteso nel senso della (2.13). Vale la pena di scrivere in modo esplicito il membro destro della (2.14). Ponendo f (z) = u(x, y) + iv(x, y) e z (t) = x(t) + iy(t), si ha z  (t) = x  (t) + iy  (t) e quindi svolgendo il prodotto si trova 







 −  

f (z(t)) z (t) = u x(t), y(t) x (t)



v x(t), y(t) y (t) +

 

+i v x(t), y(t) x (t) + u x(t), y(t) y  (t) .



(2.15)

Il secondo integrale nella (2.14) è quindi ben definito grazie alle ip otesi fatte sulla funzione f , e grazie al fatto che z(t) è (per definizione stessa di curva) C 1 a tratti, quindi le funzioni x  (t) e y  (t) sono continue a tratti su [a, b]. Inoltre, usando la (2.15), si ha

  I Re

b

f (z) dz =

γ

m

     

u x(t), y(t) x (t)

a

b

f (z) dz =

γ

Possiamo riscrivere la (2.14) come f (z) dz =

γ

   

− v x(t), y(t) y (t)

 

dt, (2.16)

v x(t), y(t) x (t) + u x(t), y(t) y  (t) dt. (2.17)

a



 

 

u dx

γ

− v dy

   + i



v dx + u dy ,

γ

(2.18)

espressione che può anche essere formalmente dedotta dalla (2.14) sostituendo f con u + iv e dz con dx + idy. Per motivare la Definizione 2.22, cerchiamo di capire cosa succede se si cerca di costruire l’integrale complesso come limite di somme di Riemann. Dividiamo quindi l’intervallo [a, b] in n intervalli congruenti, di estremi a = t 0 < t1 <

·· · < t n = b, dove tj − tj−1 = b −n a ,

consideriamo i punti sulla curva z0 = z(t0 ),

z1 = z(t1 ),

·· · ,

zn = z(tn )

corrispondenti agli estremi degli intervalli, e costruiamo la somma di Riemann


47

n



f (zj ) (zj

· − zj−1 ).

j=1

(2.19)

Si potrebbe pensare di definire l’integrale di f lungo γ come il limite delle somme di Riemann, cioè porre



 

 

n

f (z) dz = lim

n→∞

γ

f (zj ) (zj

· − zj−1)

j=1

(2.20)

(i punti tj e le loro immagini zj dipendono ovviamente anche dal valore di n: non indichiamo esplicitamente questa dipendenza, per non appesantire troppo la notazione). In effetti, questa seconda definizione non solo sarebbe perfettamente lecita, ma sarebbe in totale accordo con la (2.14). Infatti, se in ogni somma di Riemann moltiplichiamo e dividiamo ogni termine per il corrispondente incremento temporale t j tj−1 , otteniamo

−

 γ

  n

f (z) dz = lim

n→∞

f (z(tj ))

j=1

z(tj ) tj

 

− z(tj−1) (tj − tj−1) − tj−1

.

(2.21)

Si può dimostrare non solo che il limite esiste, ma che esso coincide col membro destro della (2.14): la presenza della derivata z  (t) nella (2.14), infatti, è dovuta proprio alla presenza dei rapporti incrementali nella somme di Riemann, scritte come nella (2.21). Preferiamo comunque mantenere la (2.14) come definizione di integrale, perché essa si presta maggiormente al calcolo diretto del valore dell’integrale. ` comunque utile tenere presente che vale la caratterizzazione (2.20), perché E ben si adatta a interpretare il significato dell’integrale complesso da un punto di vista fisico e geometrico. Infatti, ponendo ∆zj = z j

− zj−1 = ∆xj + i∆yj ,

la somma di Riemann (2.19) si può scrivere come

 n



u(zj ) + iv(zj ) (∆xj + i∆yj ) =

 

+i

n

n

u(zj )∆xj

− v(zj )∆yj

 

+

v(zj )∆xj + u(zj )∆yj .

(2.22)

Consideriamo ad esempio la parte reale di questa somma. La quantità u(zj )∆xj v(zj )∆yj si può interpretare come prodotto scalare tra i due vettori

−→ E j = −→



u(zj )

−v(zj )



e

−→

∆ lj =

Pensando al vettore E j come al campo vettoriale

∆xj

  ∆yj

.

−

(2.23)

48


−→ E (x, y) =

u(x, y)



−v(x, y)

 −→

calcolato nel punto zj della curva4 , e al vettore ∆ lj come a un incremento (che, passando al limite, diventerà infinitesimo) di posizione lungo la curva, risulta chiaro, in base alla (2.20), che la parte reale dell’integrale complesso di f lungo γ non è nient’altro che l’integrale di linea (detto anche circuitazione se γ è una curva chiusa) del campo vettoriale E lungo il cammino γ . Ad esempio, se E rappresenta un campo di forze, la parte reale dell’integrale complesso rappresenta il lavoro compiuto dal campo di forze lungo il cammino γ . Notiamo inoltre che, identificando ancora i numeri complessi coi vettori, il campo E si ottiene da f (z) passando alla funzione coniugata. In formule,

−→

−→

−→

 R e

f (z) dz =

γ

 −→ · −→

−→ E (x, y) = f (x + iy).

E d l ,

γ

Veniamo ora all’intepretazione della parte immaginaria dell’integrale. Nella seconda sommatoria della (2.22), analogamente, la quantità v(zj )∆xj + u(zj )∆yj si può interpretare come prodotto scalare tra i due vettori

−→ E j =



u(zj )

−v(zj )



−n→j =

e

−→

−→ − →

∆yj

  −∆xj

.

−→

Notiamo che il vettore nj è ortogonale al vettore ∆ lj definito nella (2.23), anzi nj si ottiene ruotando ∆ lj di 90 gradi in senso orario. Quindi, se indichiamo con ν j il vettore normalizzato ν j =

−n→j

∆lj

,

∆lj =



(∆xj )2 + (∆yj )2 ,

esso rappresenta una approssimazione del versore normale alla curva, nel punto z j (è infatti perpendicolare al segmento di estremi z j−1 e z j ), e possiamo scrivere

−→ · −→ → − ·→ −

v(zj )∆xj + u(zj )∆yj = E j nj = E j νj ∆l j . Questa quantità rappresenta quindi il flusso del vettore E (zj ) attraverso il segmento ∆ lj (con la normale orientata verso destra, rispetto all’orientazione del segmento). Sommando e passando al limite, si ottiene quindi che

−→

 I m

γ

f (z) dz =

 −→ ·

E ν dl,

γ

−→ E (x, y) = f (x + iy),

(2.24)

ovvero la parte immaginaria dell’integrale complesso di f (z) lungo γ , rappresenta il flusso del campo vettoriale E attraverso la curva γ (nella formula, ν indica la normale alla curva, orientata verso destra rispetto al verso di percorrenza della curva stessa).

−→

4

Al solito, per comodità, identifichiamo i numeri complessi coi vettori nel piano.


49

Esempio 2.23 Vogliamo calcolare la circuitazione ed il flusso uscente del campo

−→

vettoriale E (x, y) = (x, y), relativamente alla circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine, orientata in senso antiorario. Per quanto detto prima, conviene considerare la funzione di variabile complessa f (z) = z, in modo che il campo vettoriale E sia rappresentato dalla funzione f (z) (lo si verifichi), e calcolare il suo integrale complesso lungo la circonferenza. Per parametrizzare la circonferenza C , consideriamo la curva z(t) = e it , 0 t 2π.

−→

≤ ≤

Si ha z  (t) = ie it e quindi usando la definizione (2.14) troviamo



f (z) dz =

γ



2π

z dz =

γ

 0

it

eit ie dt = i

2π



dt = 2πi.

0

L’integrale complesso ha parte reale nulla e parte immaginaria uguale a 2 π: la circuitazione del campo lungo γ è quindi nulla, mentre il flusso uscente è pari a 2π (si noti che, avendo orientato la circonferenza in senso antiorario, il versore normale punta verso l’esterno, essendo orientato a destra rispetto al verso di percorrenza della curva). 

Introduciamo ora due definizioni che utilizzeremo nel seguito. C, vi ` Associato al sostegno C , parametrizzato dalla curva γ : [a, b] e il cammino indicato con γ che ha lo stesso sostegno di γ percorso nel senso inverso. In altre parole, il cammino γ unisce il punto z(b) col punto z(a) ed è descritto dalla parametrizzazione z = z( t), con b t a.

−

→

−

− − ≤ ≤ − Sia data la curva γ : [a, b] → C; introduciamo una suddivisione di [a, b] mediante i punti a = t0 < t1 < · ·· < tn = b e consideriamo i punti z(t0 ), z(t1 ), · · · , z(tn ) appartenenti al sostegno. La quantità sup

|

a=t0
z(t1 )



− z(t0 )| + |z(t2) − z(t1)| + · · · + |z(tn) − z(tn−1)| , (2.25)

dove l’estremo superiore è fatto al variare di tutte le scelte di numeri reali ti viene chiamata lunghezza della curva. Notiamo che, per una data scelta dei numeri t i , la sommatoria che compare nella (2.25) rappresenta la lunghezza della spezzata che si ottiene congiungendo tra loro, tramite segmenti, i punti del sostegno z(t0 ), z(t1 ), . . . , z(tn ), presi in questo ordine. Immaginiamo, per fissare le idee, che z(t) sia una curva semplice . Intuitivamente, è chiaro che la lunghezza di qualsiasi spezzata ottenuta in questo modo fornisce una approssimazione per difetto della lunghezza della curva (dove la parola “lunghezza” è usato qui nel senso intuitivo del termine). D’altra parte, si intuisce anche che, infittendo la spezzata (cioè considerando un numero via via maggiore di punti del supporto), si ottiene una approssimazione via via migliore della lunghezza effettiva della curva. Queste considerazioni intuitive giustificano la presenza dell’estremo superiore, nella definizione di lunghezza tramite la (2.25).

50


Effettivamente, nel caso in cui z(t) sia una curva semplice, si può dimostrare che la sua lunghezza dipende unicamente dal supporto C , e non dal modo in cui C e` parametrizzato (purch´ e la parametrizzazione sia iniettiva). In altre parole, la lunghezza è effettivamente una caratteristica geometrica del supporto C . In ogni caso, in base alla nostra definizione di curva, si può dimostrare che la lunghezza L definita nella (2.25) è sempre finita , e può essere calcolata tramite il seguente integrale: b

L =

 |

z  (t) dt.

|

a

Per interpretare il significato di questo integrale notiamo che, per quanto detto in questo paragrafo, la derivata z  (t) rappresenta la velocit` a istantanea con cui la curva viene percorsa al tempo t. Il suo modulo z  (t) rappresenta quindi la velocità scalare al tempo t: integrando la velocità scalare rispetto al tempo, si ottiene di fatto la “lunghezza del percorso”, ovvero -più precisamente- la lunghezza della curva.

|

|

Torniamo all’integrale complesso e alla sua definizione. Proposizione 2.24 Sia γ un cammino e siano f e g due funzioni continue a

tratti su C , sostegno di γ . Allora a) per ogni λ, µ

∈ C,

 



λf (z) + µg(z) dz = λ

γ



b)



f (z) dz =

−γ

c) sia M

f (z) dz + µ

γ



g(z) dz ;

γ

 −

f (z) dz ;

γ

≥ 0 tale che |f (z)| ≤ M su C e sia L la lunghezza di γ ; si ha f (z) dz ≤ ML ;





γ

d) se C è l’unione dei sostegni C 1 e C 2 di due curve γ 1 : [a1 , b1 ] C tali che z 1 (b1 ) = z 2 (a2 ), risulta [a2 , b2 ]

→



f (z) dz =

γ



γ 1

f (z) dz +



→

(2.26) C

e γ 2 :

f (z) dz .

γ 2

Lasciamo la dimostrazione di queste proprietà dell’integrale come esercizio, soffermandoci soltanto sul punto c) che fornisce un’utile maggiorazione per il modulo di un integrale complesso. Per mostrare la (2.26), è utile ricorrere alla caratterizzazione (2.20). Infatti, nelle ipotesi del punto c), per una qualsiasi somma di Riemann si ha

  n

j=1

   ≤ | n

f (zj ) (zj

· − zj−1)

n

f (zj )

j=1

| · |zj − zj−1| ≤ M

 | − zj

j=1

zj−1

| ≤ ML


51

(si noti che l’ultima sommatoria è la lunghezza della poligonale individuata dai punti zj , ed è quindi minore o uguale rispetto alla lunghezza L della curva). Passando al limite sulle somme di Riemann, si ottiene la maggiorazione (2.26). Esempi 2.25 a) Calcoliamo



z¯ dz, dove γ è descritta dall’equazione z = z(t) =

γ

2t + it, 0

≤ t ≤ 2. Poiché z (t) = 2 + i, dalla (2.14), si ha 2



z¯ dz =



(2t

0

γ



b) Calcoliamo

− it)(2 + i) dt = (2 − i)(2 + i)

2



t dt = 10 .

0

z¯ dz, dove γ è l’unione dei cammini γ 1 e γ 2 descritti rispettiva-

γ

mente dalle equazioni z1 (t) = t, t z1 (t) = 1 e z 2 (t) = i,



z¯ dz =

γ



z¯ dz +

γ 1

c) Calcoliamo





∈ [0, 4], e z2(t) = 4 + it, t ∈ [0, 2]. Poiché 4

z¯ dz =



2

t dt +

0

γ 2

 0

(4

− it)i dt = 10 + 8i .

ez dz, dove γ è il cammino descritto in a). Poiché e z = e x (cos y +

γ

i sin y), si ha

2

          ez dz =

e2t cos t + i sin t (2 + i) dt = . . . = e4+2i

0

γ

− 1.

ez dz, dove γ è il cammino descritto in b). Risulta

d) Calcoliamo

γ

4

ez dz =

2

et dt +

0

γ

e4 cos t + i sin t i dt = . . . = e4+2i

0

− 1.

Si osservi come gli integrali della funzione f (z) = z¯ lungo due cammini, entrambi aventi come estremi i punti 0 e 4 + 2i, abbiano valori differenti, mentre per la funzione f (z) = ez essi assumano lo stesso valore. 

Esempio 2.26 Calcoliamo



z n dz dove n

∈ Z e γ è il cammino percorso in senso antiorario, il cui sostegno è la circonferenza {|z | = 1 }. Usiamo la parametrizzazione (2.12) z = z(t) = eit , t ∈ [0, 2π]; allora z  (t) = ieit e dunque γ



z n dz =

2π

  

eint i eit dt = i

0

γ

=

1 i(n+1)t e n + 1 2πi

2π



ei(n+1)t dt

0



2π 0

=0

n=

 −1, n = −1 .

52


Un analogo risultato vale se γ è il cammino, percorso in senso antiorario, il cui sostegno è la circonferenza centrata in z 0 C e avente raggio r > 0. Precisamente si ha 0 n = 1, n z z0 dz = (2.27) 2πi n = 1 . γ

∈

− −



  − 

2.6 Teorema di Cauchy-Goursat Il seguente teorema è uno dei risultati fondamentali della teoria delle funzioni olomorfe. Esso venne dimostrato da Cauchy con l’ipotesi aggiuntiva di continuità della derivata e, in un secondo tempo, da Goursat nella sua forma più generale che qui riportiamo. Teorema 2.27 (di Cauchy-Goursat ) Sia γ una curva di Jordan, contenuta in

un insieme aperto Ω , tale che il suo interno A sia ancora contenuto in Ω . Se f (z) è una funzione olomorfa in Ω , allora si ha



f (z) dz = 0 .

γ

Occorre riflettere attentamente sul significato di questo teorema e sulle sue ipotesi. Il valore dell’integrale di f lungo γ dipende unicamente dai valori che f assume nei punti del sostegno C ; tuttavia, le ipotesi richiedono che f sia olomorfa in un aperto Ω che contiene sia C sia la regione A delimitata da C . Qui dimostreremo questo risultato nell’ipotesi pi` u restrittiva che la derivata  prima f (z) sia anch’essa una funzione continua nell’aperto Ω . Faremo discendere il teorema di Cauchy–Goursat dal seguente importante teorema, che riportiamo senza dimostrazione. Ricordiamo che, se E (x, y) = (a, b) è un campo vettoriale piano avente per componenti due funzioni a(x, y) e b(x, y) di classe C 1 , si chiama divergenza di E la funzione ∂a ∂b div E = + , (2.28) ∂x ∂y

−→

−→

−→

−→

mentre si chiama rotore (o vorticit` a) di E la quantità

−→

rot E =

∂a ∂y

∂b − ∂x .

(2.29)

Teorema 2.28 ( Formula di Gauss–Green ) Sia γ una curva di Jordan, conte-

nuta in un insieme aperto Ω , tale che la parte di piano A delimitata dal sostegno C sia anch’essa contenuta in Ω . Se E (x, y) : Ω R2 ` e un campo vettoriale avente per componenti due funzioni di classe C 1 , allora si ha

−→

→

 −→ · −→  E dl =

γ

A

−→

rot E dxdy,

(2.30)

2.6 Teorema di Cauchy-Goursat

 −→ ·

E ν dl =

γ



−→

div E dxdy.

A

−→

53

(2.31)

In altre parole, la circuitazione di E lungo γ è uguale all’integrale del rotore di E all’interno di γ , mentre il flusso di E uscente da γ è uguale all’integrale della divergenza di E , esteso all’interno di γ .

−→

−→

−→

Per dimostrare il Teorema di Cauchy–Goursat nell’ipotesi che f  (z) sia continua, è sufficiente considerare il campo vettoriale

−→ E (x, y) =



u(x, y) v(x, y)

−



dove u e v sono la parte reale e la parte immaginaria di f . Calcoliamo divergenza e rotore di E . Si ha

−→

→ −

div E (x, y) =

∂u ∂x

− ∂∂yv ,

→ −

rot E (x, y) =

∂u ∂v + ∂y ∂x

−→

e quindi, applicando le condizioni di Cauchy–Riemann, si ottiene che il campo E ha divergenza nulla e rotore nullo. Pertanto, dalla formula di Gauss–Green, segue che sia la circuitazione di E (parte reale dell’integrale complesso di f ) lungo γ sia il flusso di E (parte immaginaria dell’integrale complesso di f ) attraverso γ sono nulli. Di conseguenza, l’integrale complesso di f lungo γ è nullo, e si ottiene il teorema di Cauchy–Goursat.

−→

−→

Ricordiamo che un campo a rotore nullo è detto irrotazionale , mentre un campo a divergenza nulla è detto solenoidale (ad esempio, il campo elettrico dovuto a una distribuzione stazionaria di cariche è ovunque irrotazionale e solenoidale, nei punti al di fuori delle cariche che lo generano). Da quanto appena detto segue subito che il campo E associato a f (z) è irrotazionale e solenoidale, nelle regioni dove f (z) è analitica.

−→

Osserviamo che il cammino considerato può essere sostituito da un cammino chiuso non necessariamente semplice. Infatti, se γ interseca s´ e stesso solo un numero finito di volte, allora è formato da un numero finito di cammini semplici ` dunque possibile applicare il teorema ad ognuno di essi e ottenere il e chiusi. E risultato per il cammino γ . Il teorema può essere esteso a domini più generali. Iniziamo con l’introdurre la nozione di dominio semplicemente connesso, ovvero un dominio al quale si applica il Teorema di Cauchy-Goursat. e un dominio tale Definizione 2.29 Un dominio semplicemente connesso D ` che l’interno di ogni cammino semplice e chiuso è interamente contenuto in D . Intuitivamente, un dominio semplicemente connesso è un insieme senza buchi. Sono, ad esempio, semplicemente connessi gli intorni e i poligoni, mentre non lo è una corona circolare. Introduciamo ora la nozione di dominio con bordo.

54


I m z

r1

C 1

C 2

z 0 r2

Re z

Figura 2.3. Anello Ω = { z ∈ C : r 1 < | z − z 0 | < r2 }

Definizione 2.30 Chiameremo dominio con bordo un dominio Ω la cui fron-

tiera ∂Ω è l’unione di un numero finito di sostegni C 1 , C 2 , . . . , Cn , a due a due disgiunti, di cammini chiusi e semplici, γ 1 , γ 2 , . . . , γn . Ciascuno di questi cammini è orientato in modo tale che un osservatore ideale che percorre la frontiera vede Ω alla sua sinistra. Chiameremo tale orientamento orientamento positivo. Esempio 2.31 Ogni anello Ω = z

C : r 1 < z z0 < r2 è un dominio con C : z bordo la cui frontiera è l’unione dei sostegni C 1 = z z0 = r1 e C 2 = z C : z z0 = r 2 relativi ai cammini γ 1 e γ 2 dove γ 1 e γ 2 ammettono parametrizzazioni z1 (t) = z0 + r 1 eit e z2 (t) = z0 + r2 eit , t [0, 2π]. Si noti che la circonferenza esterna è percorsa in senso antiorario, mentre la circonferenza interna in senso orario (si veda la Figura 2.3). 

{ ∈

{ ∈

|− |

}

| − | } { ∈ | − | − ∈

}

Teorema 2.32 Sia Ω un dominio con bordo e sia γ l’unione dei cammini i cui

sostegni coincidono con la frontiera di Ω orientata positivamente. Sia f analitica in un aperto che contiene l’unione di Ω con la sua frontiera; allora



f (z) dz = 0 .

γ

Dimostrazione. Indichiamo con C 0 il cammino esterno e C 1 , . . . , Cn quelli con-

tenuti nell’interno di C 0 (si veda la Figura 2.4). Consideriamo un cammino che

Figura 2.4. ?????????????????

2.6 Teorema di Cauchy-Goursat

55

Figura 2.5. ?????????????????

decomponga Ω in due parti Ω 1 e Ω 2 per mezzo di cammini L 1 , . . . , Ln+1 congiungenti rispettivamente C 0 a C 1 , C 1 a C 2 , . . . , C n−1 a C n e C n a C 0 (aventi sostegno in Ω ). Indichiamo con K j il cammino il cui sostegno coincide con la frontiera di Ω j , j = 1, 2. K 1 e K 2 consistono di cammini L j o Lj e di parti di C . Il Teorema di Cauchy-Goursat 2.27 può essere applicato a f su K 1 e K 2 e la somma degli integrali su questi cammini è nulla. Poiché gli integrali in direzioni opposte lungo Lj si elidono, risulta

−

0=



f (z) dz +

K 1



f (z) dz =

K 2



f (z) dz .



γ

Osservazione 2.33 Se f è analitica in Ω , dominio semplicemente connesso, alloz2

ra, per ogni z 1 , z2

∈ Ω , risulta ben definito



f (z) dz. Esso è quell’unico numero

z1

corrispondente al valore dell’integrale di f lungo un qualsiasi cammino, con sostegno in Ω , congiungente z 1 a z 2 . Infatti, se γ 1 e γ 2 sono due cammini congiungenti z1 a z 2 , l’integrale di f lungo il cammino chiuso ottenuto unendo γ 1 a γ 2 è nullo; dunque

−

0=



f (z) dz +

γ 1

e quindi

 

f (z) dz =

−γ 2



f (z) dz

γ 1

f (z) dz =

γ 1



 −

f (z) dz .

f (z) dz

γ 2



γ 2

Osservazione 2.34 Supponiamo che Ω sia un dominio con bordo la cui frontiera

sia l’unione dei sostegni C 1 e C 2 di due cammini chiusi γ 1 e γ 2 (si veda la Figura 2.5). Sia f analitica in un aperto contenente Ω ∂Ω , allora

∪



f (z) dz =

γ 1



f (z) dz

γ 2

dove i sostegni C 1 e C 2 sono percorsi in senso antiorario.



` possibile dimostrare un risultato che può considerarsi il viceversa del Teorema E di Cauchy-Goursat. Vale infatti il seguente teorema dovuto a Morera. Teorema 2.35 (di Morera) Se f è una funzione continua in un dominio sem-

plicemente connesso D e se, per ogni cammino semplice e chiuso γ il cui sostegno sia contenuto in D , risulta

 γ

allora f è analitica in D .

f (z) dz = 0 ,

56

F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli Figura 2.6. ?????????????????

2.7 Formula integrale di Cauchy Stabiliamo ora il seguente fondamentale risultato. Teorema 2.36 (formula integrale di Cauchy) Sia f analitica in un aperto

contenente Ω ∂Ω , con Ω dominio e ∂Ω sostegno di un cammino chiuso e semplice γ percorso in verso antiorario. Se z 0 Ω , allora

∪

∈

1 f (z0 ) = 2πi

f (z) dz . z0 γ z



−

(2.32)

e Ω è aperto, esiste r 0 > 0 tale che B r (z0 ) Dimostrazione. Poich´ 0

⊂ Ω . Indichia-

mo con γ 0 il cammino chiuso e semplice percorso in verso antiorario il cui sostegno è la circonferenza C 0 = z z0 = r 0 (si veda la Figura 2.6). Consideriamo la funf (z) zione g(z) = ; essa è analitica in Ω z0 ∂Ω e dunque, per l’Osservazione z z0 2.34, risulta

{| − |

}

−



g(z) dz =

γ



 \{ }∪   1

g(z) dz = f (z0 )

γ 0

z

γ 0

− z0

dz +

γ 0

f (z) z

− f (z0 ) dz . − z0

Ricordando la (2.27), si ha



g(z) dz = 2πif (z0 ) +

γ



γ 0

f (z) z

− f (z0) dz . − z0

Verifichiamo ora che l’ultimo integrale è nullo, ottenendo cos`ı la (2.32). Poiché f è continua, fissato ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni z Ω con z z0 < δ si ha f (z) f (z0 ) < ε. Non è restrittivo supporre che r 0 δ . Pertanto, grazie alla (2.26), si ha

|

−

∈ ≤

|

 

γ 0

f (z) z

 

− f (z0) dz ≤ sup − z0 z∈C

 

0

Per l’arbitrariet` a di ε, otteniamo l’asserto.



Esempio 2.37 Si voglia calcolare

 γ

z (9

 

− f (z0) · 2πr0 − z0 = 2π sup |f (z) − f (z0 )| < 2πε . z∈C 0

f (z) z

| − |

−

z 2 )(z + i)

dz

2.7 Formula integrale di Cauchy

57

dove γ è il cammino (verso antiorario) il cui sostegno coincide con la circonferenza z =2 . z La funzione f (z) = è analitica in tutto C tranne nei punti z = 3 9 z2 e quindi, in particolare, sull’insieme Ω = z C : z < 2 unito alla frontiera ∂Ω = z C : z = 2 . Possiamo pertanto applicare la formula integrale di Cauchy (2.32) con z 0 = i e ottenere

{| |

}

{ ∈

− | | } −

1 f ( i) = 2πi

−

In definitiva

 γ

(9

−

{ ∈

| |

f (z) dz = γ z + i

− 10i .



z dz = 2 z )(z + i)

±

}

f (z) π dz = . 5 γ z + i





Usando il Teorema 2.36, possiamo dimostrare che se una funzione è analitica in un punto z0 allora esistono (in z0 ) le derivate di ogni ordine, ovvero le derivate successive sono anch’esse funzioni analitiche in z0 . Precisamente vale il seguente risultato di cui omettiamo la dimostrazione. Teorema 2.38 Sia f analitica in z 0 , allora le sue derivate di ogni ordine esistono

in z 0 . Inoltre, per ogni intero n 1 e per ogni cammino γ semplice e chiuso (verso antiorario) il cui sostegno sia contenuto nell’intorno di z 0 in cui f è derivabile, si ha n! f (z) f (n) (z0 ) = dz . (2.33) 2πi γ (z z0 )n+1

≥



−

Esempio 2.39 Sia f (z) = 1, allora f (n) (z) = 0, per ogni n

applicando la (2.33) a f per ogni z 0



γ 0

(z

−

∈ C, ritroviamo la (2.27):

1 dz = 0 , z0 )n+1

≥ 1.

Dunque,

n = 1, 2, . . .

dove γ 0 è, ad esempio, il cammino con sostegno la circonferenza di raggio r0 > 0 e centro z 0 .  Osservazione 2.40 Ricordando il Teorema 2.32, è immediato verificare che le

formule (2.32) e (2.33) possono essere estese al caso in cui il cammino chiuso e semplice γ è sostituito dalla frontiera orientata di un dominio con bordo. 

58


2.8 Risultati globali Diamo ora una serie di risultati che si riferiscono al comportamento di una funzione in una regione (o anche in tutto il piano complesso). Mostriamo innanzitutto che il valore di una funzione al centro di un cerchio sul quale essa è analitica dipende soltanto dai valori della funzione sulla frontiera di tale cerchio. Precisamente, si ha Teorema 2.41 (Propriet` a della media ) Sia f analitica su un insieme sem-

plicemente connesso D unito alla sua frontiera. Sia z0 Br (z0 ) D. Allora 2π 1 f (z0 ) = f (z0 + reit ) dt . 2π 0

⊂

∈ D e r

> 0 tale che



Dimostrazione. Sia γ il cammino semplice e chiuso percorso in senso antiora-

rio descritto dalla parametrizzazione z = z(t) = z0 + reit , 0 applicando la (2.32), si ottiene 1 f (z0 ) = 2πi =

1 2π

f (z) 1 dz = z z 2πi 0 γ

 

2π

−

2π

 0

≤ t ≤ 2π. Allora,

f (z0 + reit ) rieit dt reit

f (z0 + reit ) dt .



0

Enunciamo ora il cosiddetto principio del massimo che si può dedurre dalla propriet` a della media. Teorema 2.42 (Principio del massimo) Sia f analitica e non costante in un

dominio Ω , sia inoltre continua in Ω ∂Ω . Allora f (z) raggiunge il suo valore massimo sulla frontiera ∂ Ω . 

∪

|

|

Analoghe propriet` a si possono dedurre per le funzioni armoniche u(x, y) = e f (z) e v (x, y) = m f (z).

R

I

Teorema 2.43 (di Liouville) Sia f intera e limitata per ogni z

è costante. Dimostrazione. Sia z0

∈ C, allora f (z)

C, r0 > 0 e γ 0 il cammino di sostegno C 0 parametrizzato da z = z(t) = z 0 + r0 eit , t [0, 2π]. Per ipotesi, esiste M > 0 tale che f (z) M per ogni z . Dalla formula (2.33) con n = 1, usando la (2.26), si ha

∈

∈



|

 ≤

1 f (z) f (z0 ) = dz 2π γ (z z0 )2 1 M = sup f (z) . r0 z∈C r0

|



|

−

0

0

|

|≤



1 f (z) sup 2π z∈C (z z0 )2 0

−

 ·

2πr0

|≤

2.9 Esercizi

59

| ≤ M r0

Poiché r 0 è arbitrario e f  (z0 ) è un numero fissato, la disuguaglianza f  (z0 ) pu` o valere solo se f  (z0 ) = 0. Quindi f  (z) = 0, per ogni z costante.

|

∈ C e dunque f (z) è 

Un’interessante conseguenza del Teorema di Liouville è il Teorema fondamentale dell’algebra. Esso afferma che ogni polinomio P (z) = a 0 + a 1 z + + an z n , an = 0, n 1, ha almeno uno zero; ossia esiste z 0 C tale che P (z0 ) = 0. In effetti, procedendo per assurdo, se P (z) fosse non nullo per ogni z C allora la funzione f (z) = 1/P (z) sarebbe intera e limitata in C. Si giunge cos`ı ad un assurdo in quanto, per il Teorema di Liouville, ne segue che f (z) è costante e conseguentemente anche il polinomio P (z) lo è.



≥

···

∈

∈

2.9 Esercizi 1. Dire se le seguenti funzioni soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann nel loro dominio:

a) f (z) = z

b) f (z) =

||

1 z

c) f (z) = z n ,

n = 1, 2, . . .

2. Dire dove esiste la derivata delle seguenti funzioni e trovarne il valore: a) f (z) =

1 z

b) f (z) = x 2 + iy 2

c) f (z) = z m z

I

√

3. Usando il Teorema 2.13, verificare che la funzione f (z) = r eiθ/2 definita in Ω = z = reiθ C : r > 0, π < θ < π è derivabile in ogni punto di Ω con 1 f  (z) = . 2f (z)

{

∈

−

}

4. Sia f (z) = x 3 i(y 1)3 ; allora u x (x, y) + ivx (x, y) = 3x2 . Perché f  (z) = 3x2 solo nel punto z = i?

− −

5. Dire se le seguenti funzioni sono analitiche nel loro dominio: a) f (z) = 3x + y + i(3y c) f (z) = e−y eix e) f (z) =

2z + 1 z(z 2 + 1)

− x)

b) f (z) = xy + iy d) f (z) = ey eix f) f (z) =

(z +

1 + 2z + 2)

2)(z 2

6. Verificare che la funzione f (z) = Log r + iθ definita in Ω = z = r eiθ r > 0, π2 < θ < π2 è analitica in Ω e f  (z) = 1z .

−

}

{

∈ C :

60


7. Verificare che le seguenti funzioni u(x, y) sono armoniche nel loro dominio e trovare la corrispondente funzione armonica coniugata v(x, y): a) u(x, y) = 2x(1

b) u(x, y) = y 2

− y)

c) u(x, y) = sinh x sin y

d) u(x, y) =

x2

− x2

y + y 2

8. Sia f analitica in un dominio Ω ; verificare che f è necessariamente costante se:

a) la funzione f (z) è anch’essa analitica in Ω ; b)

I m f (z) = 0 in Ω .

9. Sia f (z) = u(r, θ) + iv(r, θ) analitica in Ω con 0 = Ω . Utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann in forma polare (2.9), verificare che la funzione u(r, θ) soddisfa l’equazione di Laplace in forma polare in Ω :



r2 urr (r, θ) + r ur (r, θ) + uθ,θ (r, θ) = 0 .

10. Verificare che la funzione u(r, θ) = Log r è armonica in Ω = z = r eiθ r > 0, 0 < θ < 2π . Trovare un’armonica coniugata v(r, θ) in Ω .

{

}

(2.34)

∈ C :

11. Sia z = z(t) = x(t) + iy(t), t t = φ(r), c r d, con φ : [c, d]

regolare. Verificare che se ∈ [a, b], un arco → [a, b], φ ∈ C 1([c, d]) e φ  (r) > 0, allora

≤ ≤

b

L =

 | a



d

z (t) dt =

|

 | c

Z  (r) dr

|

dove Z (r) = z(φ(r)). 12. Calcolare, direttamente dalla definizione (2.14), l’integrale di linea delle seguenti funzioni lungo il cammino di cui è indicato il sostegno: a) f (z) = z 2

C =segmento che unisce l’origine a 2 + i;

b) f (z) = z¯

C =circonferenza unitaria centrata nell’origine;

z + 2 z z d) f (z) = e c)

e)

f (z) =

f (z) =

C =semicirconferenza superiore con r = 2 e centro 0; C =segmento che unisce π i a 1;

1 C =circonferenza con r = 4 e centro (z + 2 + i)2

−2 − i.

2.9 Esercizi

61

13. Sia γ il cammino percorso in verso antiorario il cui sostegno è la frontiera del quadrato con vertici nei punti z = 0, z = 1, z = 1 + i, z = i. Calcolare



eπz¯ dz .

γ

14. Verificare che, se C è la frontiera di un triangolo con vertici nei punti z = 0, z = 3i, z = 4 orientato in verso antiorario, allora

−

 

z

(e

C

− z¯) dz

 ≤ 

60 .

15. Sia C la frontiera della circonferenza z = R percorsa in senso antiorario. Verificare che Log z lim dz = 0 . R→+∞ C z 2

{| |

}



16. Calcolare i seguenti integrali di linea lungo i cammini γ di cui è indicato il sostegno (percorsi in senso antiorario, se chiusi): a)

      

ze−z dz

sostegno C = z

{ ∈ C : |z| = 1 };

γ

b)

eπz dz

sostegno C = segmento da i a i/2;

γ

c) d)

cos z dz sostegno C = z 2 γ z(z + 8) γ

e) f)

(z 2

1 dz sostegno C = z + 4)2

cosh z dz 4 γ z γ

g)

{ ∈ C : |z| = 2 };

γ

{ ∈ C : |z − i| = 2 };

sostegno C = frontiera del quadrato [ 1, 1]

× [−1, 1];

1

− 1 dz sostegno C = {z ∈ C : |z + i| = 1 }; ez (z 2 − 3) dz sostegno C = {z = x + iy ∈ C : x 2 + 23 y − 2z 2 + 3 z4

2.9.1 Soluzioni

1. Condizioni di Cauchy-Riemann: a) No

−

  

3 2 2

=1 .

}

62


b) Poiché, per z = 0,



f (z) =

1 x = 2 z x + y 2

y − i x2 + y 2

si ha y 2 x2 , (x2 + y 2 )2 2xy vx (x, y) = 2 , (x + y 2 )2

x , 2 x + y 2 y v(x, y) = , x2 + y 2 u(x, y) =

−

ux (x, y) =

−

, − (x2 2xy + y 2 )2 y 2 − x2 vy (x, y) = . uy (x, y) =

(x2 + y 2 )2

Pertanto le condizioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte per ogni z = 0. ` possibile procedere come nell’esercizio precedente, esplicitando le funzioni c) E u(x, y) e v (x, y). In alternativa, osserviamo che la funzione f (z) = z è intera e, per il Teorema 2.4, anche f (z) = z z z = z n lo è. Dunque soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann.



· · ··

2. Derivate: a) f  (z) = b) Risulta

− 1z2 , z = 0. u(x, y) = x 2 , v(x, y) = y 2 ,

ux (x, y) = 2x , vx (x, y) = 0 ,

uy (x, y) = 0 , vy (x, y) = 2y ;

le condizioni (2.4) sono verificate se x = y e dunque per ogni z = x+ix, x In tali punti si ha

∈ R.

f  (x + ix) = u x (x, y) + ivx (x, y) = 2x . c) Poiché f (z) = (x + iy)y = xy + iy 2 , si ha u(x, y) = xy , 2

v(x, y) = y ,

ux (x, y) = y ,

uy (x, y) = x ,

vx (x, y) = 0 ,

vy (x, y) = 2y ;

e dunque le (2.4) sono verificate solo in z = 0 dove risulta f  (0) = u x (0, 0) + ivx (0, 0) = 0 . 3. Poiché f (z) =

√ r eiθ/2 = √ r

√ θ u(r, θ) = r cos , v(r, θ) =

2 θ r sin , 2

√



cos θ2 + i sin θ2 , si ha 1



θ ur (r, θ) = cos , 2 2 r 1 θ vr (r, θ) = sin , 2 r 2

√

√

√ r

θ sin , 2 θ vθ (r, θ) = cos . 2 2 uθ (r, θ) =

Quindi le condizioni (2.9) sono soddisfatte in Ω . Inoltre, si ha

−2 √ r

2.9 Esercizi

e−iθ θ θ cos + i sin 2 r 2 2 1 −iθ/2 1 1 = e = = . −iθ/2 2f (z) 2 r 2 re

f  (z) = e−iθ ur (r, θ) + ivr (r, θ) = =



1 −iθ iθ/2 √ e e 2 r

63

√



√





√

4. Poiché u(x, y) = x 3 , v(x, y) = (y

− − 1)

3

ux (x, y) = 3x2 , vx (x, y) = 0 ,

,

uy (x, y) = 0 , vy (x, y) = 3(y

− − 1)2 ,

la condizione u x = v y è verificata solo se x 2 + (y 1)2 = 0, ossia se x = 0 e y = 1. Dunque le (2.4) sono verificate solo in z = i e la funzione f è derivabile solo in z = i dove vale f  (i) = 0.

−

5. Funzioni analitiche: a) Si con f (z) = (3 i)z ; d) No ; e) Si in

−

C

b) No ; 0, i ;

\{ ± }

c) Si con f (z) = eiz . f) Si in C 2, 1 i .

\{ − ± }

7. Funzioni armoniche: a) v(x, y) = x 2 y 2 + 2y + c ; c) v(x, y) = cosh x cos y + c . d) Poiché

−

b) v (x, y) =

−

2y(3x2 y 2 ) (x2 + y 2 )3 2y(3x2 y2 ) uyy (x, y) = (x2 + y 2 )3

− (x2 2xy , + y 2 )2 x2 − y 2 uy (x, y) = , ux (x, y) =

(x2

−2xy + c . −

uxx (x, y) =

−

+ y 2 )2

−

la funzione u(x, y) è armonica. Per determinare v(x, y), imponiamo l’uguaglianza u x = v y , da cui vy (x, y) =

− (x2 2xy ⇒ + y 2 )2

Cos´ı vx (x, y) =

v(x, y) =

x2

x + φ(x) . + y 2

y 2 x2 + φ (x) ; (x2 + y 2 )2

−

dall’uguaglianza v x = uy , si ottiene φ (x) = 0, ossia φ(x) = c. In definitiva, x un’armonica coniugata di u(x, y) è v(x, y) = 2 + c. x + y 2

−

8. Funzioni analitiche: a) Poich´ e le funzioni f (z) = u(x, y) + iv(x, y) e g(z) = f (z) = u(x, y) iv(x, y) sono analitiche in Ω , dovranno valere per entrambe le condizioni di CauchyRiemann; dunque

−

64




ux (x, y) = v y (x, y) uy (x, y) = vx (x, y)



e

ux (x, y) = vy (x, y) uy (x, y) = v x (x, y) .

−

− Allora ux = −ux e uy = −uy , ossia ux = u y = 0 in Ω e quindi u(x, y) è costante in Ω . Analogamente, v x = v y = 0 e anche la funzione v(x, y) è costante in Ω . 9. Dalla relazione u r = 1r vθ , derivando rispetto a r si ha urr =

− 1r2 vθ + 1r vθr , ossia

1 vθr = ru rr + vθ ; r

analogamente, derivando rispetto a θ la relazione 1r uθ = 1 uθθ = r

−vrθ , ossia

vrθ =

1 rurr + vθ = r

− 1r uθθ ,

−vr , si ha

− 1r uθθ .

Poiché v rθ = v θr , si ottiene

cioè

r2 urr + vθ + uθθ = 0.

Usando l’uguaglianza v θ = ru r , otteniamo il risultato. 10. Per verificare che u(r, θ) è armonica, osserviamo che 1 ur (r, θ) = , r

urr (r, θ) =

− 1r2 ,

uθ (r, θ) = u θθ (r, θ) = 0

e quindi l’equazione (2.34) è verificata in Ω . Dalla prima delle (2.9), ur = ricaviamo v θ (r, θ) = ru r (r, θ) = 1. Pertanto v(r, θ) = θ + φ(r) Dalla seconda delle (2.9), definitiva, v (r, θ) = θ + c.

1 r uθ

=

   

e

1 r vθ ,

vr (r, θ) = φ  (r) .

− vr , otteniamo φ (r) = 0, ossia φ(r) = c. In

11. Poiché Z (r) = z φ(r) , si ha Z  (r) = z  φ(r) φ (r)

e

|Z (r)| = |z φ(r) |φ(r)

   | |

in quanto φ  (r) > 0. Pertanto, con la sostituzione t = φ(r) da cui dt = φ  (r) dr, si ottiene d

 |



d

Z (r) dr =

c

12. Integrali di linea: a)

2 11 3 + 3 i

.

|

 |  | c

z  φ(r) φ (r) dr =

b

a

z  (t) dt .

2.9 Esercizi

b) Parametrizziamo la circonferenza unitaria con z = eit , t dz = ieit dt e dunque



2π

z dz =



−it

e

[0, 2π], da cui

2π

it

i e dt = i

0

γ

∈



dt = 2πi .

0

c) La semicirconferenza pu` o essere descritta dall’equazione z = 2eit , t Cos`ı z  (t) = 2ieit e z + 2 dz = z γ

 d) 1 + e ; 13.

4 π π (e

π

2eit + 2 it 2ie dt = 2i 2eit

 0

65

π



∈ [0, π].

(1 + eit ) dt = 2πi + 4 .

0

e) 0 .

− 1) .

14. Utilizziamo la (2.26), ottenendo



z

(e

C

− z) dz

 ≤

ML

con ez z M per z C e L è la lunghezza di C . Non è difficile verificare che L = 12, in quanto i lati del triangolo hanno lunghezza rispettivamente 3, 5 e 4. Per determinare una costante M soddisfacente la relazione ez z M , osserviamo che ez z ez + z = ex + z e0 + 4 = 5 .

| − | ≤

∈

| − | ≤

| − |≤| | | |

| |≤

Pertanto vale la disuguaglianza desiderata. 15. Usando la (2.26), si ha

 

Log z dz 2 C z

Ma

 

 

|

 

||

 ≤   

Log z dz 2 C z

 

Log z 2πR max . z2 |z|=R

log z 1 max = 2 max Log z + iArg z 2 z R |z|=R |z|=R

Allora

e, per R

 

 ≤ 

| ≤ R12 (log R + π) .

2π(Log R + π) R

→ +∞, la quantità la secondo membro tendo a 0. Dunque lim

r→+∞

da cui l’asserto.

 

Log z dz = 0, 2 C z

66


16. Integrali di linea: a) 0 ; b) π1 (i + 1) ; c) π4 i . 1 d) All’interno della circonferenza C , la funzione g(z) = (z +4) ha un unico punto 1 di non analiticità z = 2i. Usando la (2.33) con n = 1 e f (z) = (z+2i) , risulta 2

2

2

1 d 1 dz = 2πi 2 2 dz (z + 2i)2 γ (z + 4)





= z=2i

π . 16

z e) Nel quadrato in esame, la funzione g(z) = cosh ha un unico punto di non z analiticit` a z = 0. Sempre usando la (2.33) con n = 3 e f (z) = cosh z, si ha 4

cosh z 2πi d3 dz = cosh z 4 3! dz 3 γ z

f)

π 2 ;

  −

g)

√ i

3 2 πe

3 2

.

 

=0. z=0

3 Serie di Taylor e di Laurent. Residui

3.1 Successioni e serie di numeri complessi Una successione cn n∈N di numeri complessi è un’applicazione di N in C . Diremo che la successione cn n∈N ha limite  C se per ogni ε > 0 esiste un numero nε N tale che per ogni n > n ε si ha cn  < ε. In simboli

{ } { }

∈

lim cn = 

n→∞

⇐⇒

∈ | − | ∀ε > 0, ∃nε ∈ N : ∀n > nε si ha |cn − | < ε .

Geometricamente, questo significa che per valori di n sufficientemente grandi i punti cn sono arbitrariamente vicini al limite . Non è difficile verificare che il limite, se esiste, è unico. Quando il limite esiste, diremo che la successione converge a ; in tutti gli altri casi diremo che la successione non converge. Come per i limiti di funzioni di variabile complessa, vale un risultato analogo ai Teoremi 1.4 e 1.6. Teorema 3.1 Supponiamo che c n = a n + ibn e  =  re + iim . Allora

a) b) c)

lim cn = 

n→∞

lim cn = 

n→∞

lim cn = 

n→∞

⇐⇒ ⇐⇒ =⇒

 

lim an = re

n→∞

lim bn = im .

n→∞

lim cn

| − | = 0 . lim |cn | = || . n n→∞ →∞

Dimostrazione. a) Supponiamo dapprima che lim cn = . Per definizione, per

ogni ε > 0, esiste n ε

n→∞

∈ N tale che ∀n > nε =⇒ |an − re + i(bn − im )| < ε . |an − re | ≤ |an − re + i(bn − im )| e |bn − im | ≤ |an − re + i(bn − im )| .

Ma Conseguentemente, per ogni n > n ε , risulta

68


|an − re | < ε

e

|bn − im | < ε ;

cioè lim an = re e

lim bn = im .

n→∞

n→∞

(3.1)

Viceversa, se vale la (3.1), per ogni ε > 0, esistono n 1 , n2

∀n > n1 ⇒ |an − re | < 2ε

e

∈ N tali che ⇒ |bn − im | < 2ε .

∀n > n2

Pertanto, se n ε = max(n1 , n2 ), si ha

∀n > nε

=

⇒ |an − re + i(bn − im )| ≤ |an − re | + |bn − im | < ε ;

ovvero

∀n > nε

e dunque lim cn = .

=

⇒ |cn − | < ε

n→∞

b) Si osservi che, direttamente dalla definizione, si ha lim zn = 

lim (zn

⇔

n→∞

n→∞

− ) = 0 ⇔

c) Il risultato segue immediatamente osservando che

lim zn

| − | = 0 . |cn| − || ≤ cn −  . n→∞



  



Osserviamo che nel punto c) non vale, in generale, l’implicazione inversa. Si pensi, ad esempio, alla successione c n = ( 1)n . Risulta cn = 1 e quindi la successione dei moduli cn converge a 1, mentre la successione di partenza cn non converge.

−

{| |}

| |

{ }

Esempio 3.2 Studiamo il comportamento della successione geometrica c n = z n ,

al variare di z C. Per z = 1, la successione converge a 1. Per z < 1, utilizzando il punto b) del teorema precedente, risulta

∈

| |

| |n = 0 ⇔

lim z n = 0

lim z

n→∞

n→∞

| |

⇔

lim z n = 0 ;

n→∞

dunque anche in questo caso la successione converge. Sia ora z > 1. Poiché

| |

| |n = nlim |zn| = + ∞ ,

lim z

n→∞

→∞

la successione z n non può convergere, altrimenti si contraddirebbe il punto c) del teorema precedente. ` possibile dimostrare, ma non è immediato, che la successione non converge E neppure per z = 1 e z = 1. Riassumendo

| |



n

lim z =

n→∞



1, z = 1 , 0, z < 1 , non converge, altrimenti .

||



3.1 Successioni e serie di numeri complessi

69

Come nel caso reale, la somma di infiniti numeri complessi (studio della convergenza di una serie) si definisce a partire dalle successioni. Più precisamente, sia cn una successione di numeri complessi. Consideriamo la successione delle ridotte o somme parziali sn definita, per ogni n 0, come

{ }

{ }

≥

n

s0 = c0 ,

sn =



ck = s n−1 + cn ,

n

k=0

≥ 1.

∞

Diremo che la serie



cn converge a s

n=0

∈ C se nlim sn = s. In tutti gli altri casi →∞

diremo che la serie non converge. Il numero s, se esiste, è detto somma della serie. Dal Teorema 3.1 si ottiene il seguente risultato. Teorema 3.3 Supponiamo che cn = an + ib n e s = sre + is im . Allora la serie ∞



∞

cn converge a s se e solo se le serie

n=0

∞

  an e

n=0

rispettivamente.

bn convergono a sre e sim ,

n=0 

Si osservi inoltre che il termine generale cn di una serie convergente tende necessariamente a 0, in quanto tendono a 0 sia la sua parte reale an sia quella immaginaria bn . In particolare, la successione cn è limitata, ossia esiste una costante M > 0 tale che cn M , per ogni n.

{ }

| | ≤

∞

Esempio 3.4 Consideriamo la serie geometrica



z n , al variare di z

n=0

∈

C.

Se

z = 1, sappiamo che la serie non converge. Sia ora z = 1, scriviamo

 1 − z n+1 2 n · · · sn = 1 + z + z + + z = 1−z

e utilizziamo l’Esempio 3.2 per concludere che



lim sn =

n→∞

1

, z < 1 , 1 z non converge , altrimenti .

−

||

In conclusione, la serie converge e la sua somma vale

1

1

− z solo se |z| < 1.



∞

Come per le serie a valori reali, diremo che la serie

e si ha

cn converge assoluta-

n=0

∞

mente se converge la serie



|

cn . La convergenza assoluta implica la convergenza

n=0

|

70


  ∞

∞

cn

n=0

∞

Si osservi che la serie

|

  ≤ |

cn .

n=0

|

cn è una serie a termini reali positivi e quindi ad essa

n=0

|

si possono applicare tutti i criteri studiati nei corsi di base di matematica. ∞

Esempio 3.5 Verifichiamo che la serie ∞

in in 1 converge. Infatti, = e la n! n! n! n=0

 



1 converge (si applichi, ad esempio, il Criterio del rapporto). Dunque la n! n=0 serie data converge assolutamente.  serie



3.1.1 Serie di potenze

Particolarmente importanti per lo studio delle funzioni di variabile complessa sono le serie di potenze. Una serie di potenze ha la forma ∞



an (z

n=0

− z0)n

con an successione di numeri complessi, detti coefficienti della serie e z0 C detto centro della serie. Le definizioni e i risultati che seguono sono riferiti a serie con centro l’origine; ci si riconduce al caso generale mediante la sostituzione w = z z0 . Si osservi che una serie di potenze converge sempre almeno nel suo centro z 0 . Il primo esempio di serie di potenze è la serie geometrica considerata nell’Esempio 3.4. Ricordiamo che

{ }

∈

−

∞



zn =

n=0

1 1

se

−z

|z| < 1

e la serie non converge per z 1. Vedremo che il comportamento di tale serie è tipico: infatti, proveremo che ogni serie di potenze converge all’interno di un cerchio e non converge al suo esterno eccetto nei casi limite in cui si ha convergenza solo nel centro della serie oppure per ogni valore di z . Pi` u precisamente, vale il seguente risultato dovuto a Abel.

| | ≥

∞

Teorema 3.6 Per ogni serie di potenze

R



an z n esiste un numero R, con 0

n=0

≤ +∞, detto raggio di convergenza con le seguenti proprietà:

a) se R = 0, la serie converge solo per z = 0;

≤


71

b) se R > 0, la serie converge assolutamente per ogni z con z < R; se 0 < ρ < R, la serie converge uniformemente nel cerchio z ρ ; c) se R = + , la serie converge assolutamente per ogni z C e uniformemente in ogni cerchio z ρ con ρ > 0.

∞

{| | ≤ }

{| | ≤ }

|| ∈

Per dimostrare il teorema, premettiamo un risultato tecnico. ∞

Lemma 3.7 Sia data la serie



an z n .

n=0

a) Se esiste z 1 = 0 in cui la serie converge, allora la serie converge assolutamente per ogni z con z < z1 . b) Se esiste z2 = 0 in cui la serie non converge, allora la serie non converge per ogni z con z > z2 .

 | | | |  | | | |

∞

e la serie Dimostrazione. a) Poich´



an z1n converge, il suo termine generale

n=0

an z1n tende a 0 per n e dunque la successione an z1n è limitata. Quindi esiste una costante M > 0 tale che an z1n M , per ogni n. Sia ora z = 0 tale che z < z1 ; risulta z n z n an z n = an z1n M . z1 z1

→ ∞

|| | |

|

|

| |

∞

{|

|≤

  ≤  

|}



|

z n z converge in quanto è una serie geometrica con < 1; perz1 z1 n=0 tanto, applicando il Criterio del confronto valido per serie numeriche reali, la serie La serie ∞



  

 

an z n converge assolutamente.

n=0

b) Se la serie convergesse in z con z > z2 , allora per la prima parte del lemma, dovrebbe convergere anche in z 2 , contrariamente all’ipotesi. 

| | | |

Il lemma appena dimostrato ci permette di definire il raggio di convergenza ∞

della serie converge



an z n come l’estremo superiore dei moduli dei punti in cui la serie

n=0 ∞

R = sup z :

{| |



an z n converge .

}

n=0

(3.2)

Torniamo ora alla dimostrazione del Teorema 3.6. Dimostrazione. (del Teorema 3.6)

` immediata dalla definizione di raggio di convergenza (3.2). a) E b) Sia z con z < R. Dalla (3.2), esiste z1 con z < z1 < R in cui la serie converge. Per il punto a) del Lemma 3.7, la serie converge assolutamente in z . Sia ora ρ tale che 0 < ρ < R. Per quanto è stato appena dimostrato, la serie

| |

| | | |

72

F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli ∞

|

converge assolutamente nel punto z = ρ, cioè la serie

n=0

an ρn converge. Allora

|

se z ρ, si ha an z n an ρn . Per il Criterio di Weiertrass, la serie converge uniformemente in z ρ . c) La dimostrazione è analoga a quella relativa al punto b). 

| | ≤

| | ≤ | | {| | ≤ }

Si noti che il teorema non fornisce alcuna indicazione sulla convergenza della serie nei punti della circonferenza z = R .

{| |

}

∞

Esempi 3.8 a) Per quanto visto in precedenza, al serie geometrica



z n ha

n=0 ∞

raggio di convergenza R = 1, cos`ı come la serie Criterio del rapporto alla serie dei moduli, si ha



nz n . Infatti, applicando il

n=0

(n + 1) z n+1 = z . n→∞ nzn

|| || || Dunque la serie converge per ogni z con |z | < 1; inoltre non converge se |z | > 1 lim

in quanto il termine generale non tende a 0. ∞ zn b) Consideriamo la serie . Fissato z C, studiamone la convergenza n! n=0 assoluta applicando ancora il Criterio del rapporto alla serie numerica cos`ı ottenuta z n+1 n! z lim = lim = 0 < 1 . n n n→∞ (n + 1)! z n→∞ n + 1

 |

∈

|

| |

||

Dunque la serie converge per ogni z C e il suo raggio di convergenza R vale + . Vedremo pi` u avanti che la sua somma è la funzione analitica f (z) = ez (si veda l’Esempio 3.15). ∞ zn c) Consideriamo la serie . Come sopra, fissato z C, applichiamo il Criterio n2 n=1 della radice alla serie dei moduli

∞

∈



∈

lim

n→∞

 | | n

zn = z . n2

||

Pertanto la serie converge se z < 1; non converge se z > 1 in quanto il termine generale non tende a 0; il raggio di convergenza vale quindi 1. Per studiare il comportamento della serie sulla circonferenza z = 1 , osserviamo ∞ 1 che la serie dei moduli si riduce alla serie armonica generalizzata che n2 n=1 converge. In definitiva, la serie converge assolutamente (e uniformemente) in z 1 .

| |

| | {| |

}



{| | ≤ }


73

∞

d) Non è difficile verificare che la serie



n!z n converge solo per z = 0.



n=1

Per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze senza ricorrere allo studio diretto della serie stessa, è possibile utilizzare i cosiddetti criteri del rapporto e della radice. Non riporteremo le dimostrazioni di tali teoremi in quanto sono del tutto analoghe a quelle già viste nei precedenti corsi di matematica validi ∞

per le serie di potenze reali



an xn con coefficienti a n

∈ R e variabile x ∈ R.

n=0 ∞

Teorema 3.9 (Criterio del rapporto) Sia



an z n una serie di potenze e sia

n=0

an = 0 per ogni n; se esiste







an+1 lim =  n→∞ an allora il raggio di convergenza R è dato da R =

 

0 1  +

se  = +

∞,

se 0 <  < +

(3.3)

∞,



se  = 0 .

∞

∞

Teorema 3.10 (Criterio della radice) Sia



an z n una serie di potenze e

n=0

supponiamo che esista lim

n→∞

 | | n

an =  .

Allora il raggio di convergenza R è dato dal la (3.3).



∞

lizziamo il Criterio del rapporto: (n + 1)! nn n lim = lim n+1 n→∞ (n + 1) n→∞ n + 1 n!

n

 

= lim

n→∞

n! n z . Utin n n=1

   

Esempi 3.11 a) Calcoliamo il raggio di convergenza della serie

1 1+ n

n

−1

= e −1 ;

quindi R = e. ∞

b) Sia



nn z n . Applicando il Criterio della radice si ha

n=1

lim

n→∞

pertanto R = 0.

√ nn = n

lim n = +

n→∞

∞; 

74


Il nostro interesse verso le serie di potenze deriva dal loro comportamento come ∞

funzioni. Come abbiamo già detto, una serie di potenze



an z n , con raggio di

n=0

convergenza R = 0, converge per z < R e quindi ivi definisce una funzione f (z). Mostreremo che f è analitica in tale disco. L’idea è dimostrare che la derivazione termine a termine è legittima. Iniziamo con il seguente risultato tecnico.



| |

Lemma 3.12 Le due serie di potenze ∞

∞



an z

n



e

n=0

nan z n−1

n=0

hanno lo stesso raggio di convergenza. ∞

Dimostrazione. Verifichiamo dapprima che se

| |



an z n converge assolutamente

n=0

∞

in z < R (R = 0), allora anche la serie



 | | | | |

nan z n−1 ivi converge assolutamente.

n=0

Fissato z con 0 < z < R e scelto ρ tale che z < ρ < R, si ha

||

n−1

n = z

|nanz | | | ∞

n

n=0

z ρ

n

an ρn .

|

n

 | | | |

La serie

z ρ

converge (si ricordi l’Esempio 3.8 a) e che z < ρ), dunque

| |

n

z lim n = 0 e pertanto esiste una costante M n→∞ ρ per ogni n. In definitiva, M nan z n−1 an ρn z

≥ 0 tale che n

|

| ≤ | ||

Viceversa, se la serie z = 0, risulta



z ρ

M ,

|

∞

e, per il Criterio del confronto per serie numeriche, la serie assolutamente.

n

| | ≤



nan z n−1 converge

n=0 ∞



nan z n−1 converge assolutamente in z < R, per ogni

| |

n=0 −

∞

e dunque anche la serie

|anzn| ≤ |1z| |nanzn 1|



n=0

an z n converge assolutamente in z < R.

| |




75

∞

Teorema 3.13 Una serie di potenze



an z n , con raggio di convergenza R > 0,

n=0

rappresenta una funzione f (z) analitica nel disco

{|z| < R }.

Dimostrazione. Per z < R, scriviamo

| |

∞

f (z) =



an z n = s n (z) + rn (z)

n=0

dove

n

sn (z) =

∞

 

k

ak z ,

rn (z) =

k=0

e



ak z k

k=n+1

∞

g(z) =

nan z n−1 = lim sn (z) . n→∞

n=1

Dobbiamo verificare che f  (z0 ) = g(z0 ) per ogni z 0 con z0 < R. Siano z e ρ tali che z , z0 < ρ < R; possiamo scrivere

| | | | f (z) − f (z0 ) − g(z0) = z − z0



| |

sn (z) z



− sn(z0 ) − s (z0) + (s (z0) − g(z0)) + n n − z0 rn (z) − rn (z0 ) + . z − z0 Inoltre, ricordando che z k − z0k = (z − z0 )(z k 1 + z k 2 z0 + · ·· + zz 0k 2 + z0k 



−





−

−

(3.4)

−1

), si

ha

rn (z) z

∞

− rn(z0) = 1 ak − z0 z − z0 k=n+1

 

∞

=



zk

− z0k



ak (z k−1 + z k−2 z0 +

k=n+1

·· · + zz0k

−2

+ z0k−1 ) .

Usando la disuguaglianza triangolare e la condizione z , z0 < ρ, risulta

| | | |

|zk

−1

· ·· + zz0k 2 + z0k 1| | |k 2|z0| + · · · + |z||z0|k

+ z k−2 z0 + z k−1 + z

≤| |

−

−

−

−2

| |k 1 ≤ kρk

+ z0

−

−1

e quindi

 

rn (z) z

∞

  

− rn(z0) ≤ k|ak |ρk − z0 k=n+1

−1

.

Quest’ultima espressione è il resto di una serie convergente e tende a 0 per n Pertanto, fissato ε > 0, possiamo trovare n 0 N tale che, per ogni n n0 ,

∈

 

rn (z) z

− rn(z0) − z0

 

≥

ε < . 3

→ ∞.

76


Inoltre, poiché lim s (z) = g(z0 ), esiste n 1

∈ N tale che, per ogni n ≥ n1,

n→∞

|sn(z0 ) − g(z0)| < 3ε . 

Sia n n 0 , n1 ; per definizione di derivata, esiste δ > 0 tale che 0 < z implica sn (z) sn (z0 ) ε sn (z0 ) < . z z0 3

| − z0| < δ

≥

 

− −

   

−

In definitiva, tornando alla (3.4), si ha

 

f (z) z

− f (z0) − g(z0 ) − z0

<ε

quando 0 < z z0 < δ . Abbiamo dimostrato che f  (z0 ) esiste ed è uguale a g(z0 ). Poich´ e il ragionamento pu` o essere ripetuto, abbiamo in realtà dimostrato che

|− |

f (z) = a 0 + a1 z + a2 z 2 + f  (z) = a 1 + 2a2 z + 3a3 z 2 + .. . (n + 1)! (n + 2)! f n (z) = n!an + an+1 z + an+2 z 2 + 1! 2! .. .

···

In particolare, a n =

· ··

· ··

f n (0) e la serie di potenze ha la forma n! ∞

f (z) =



n=0

∞

n

an z =

f n (0) n z . n! n=0



(3.5)

3.2 Serie di Taylor La serie (3.5) altro non è che il familiare sviluppo di Maclaurin, ma lo abbiamo ricavato nell’ipotesi che f (z) abbia uno sviluppo in serie. Sappiamo che, se esiste, lo sviluppo è unico; la proprietà fondamentale, ovvero che ogni funzione analitica in un punto z 0 ammette uno sviluppo in serie di Taylor centrato in z 0 è dimostrata nel seguente risultato. Teorema 3.14 (Sviluppo in serie di Taylor) Sia f analitica in un dominio

Ω . Fissato z0 Ω , sia Br0 (z0 ) un intorno di z0 contenuto in Ω . Allora per ogni z Br0 (z0 ), si ha

∈

∈

3.2 Serie di Taylor

77

Figura 3.1. ????????????????? ∞

f (z) =

f (n) (z0 ) (z n! n=0



− z0 )n



= f (z0 ) + f (z0 )(z

−

(3.6)

1 z0 ) + f  (z0 )(z 2

2

− z0 ) + ·· ·

(ovvero la serie di potenze converge a f (z) se z

| − z0| < r 0). Dimostrazione. Sia z ∈ Br (z0 ); poniamo | z − z0 | = r < r0 . Sia r1 tale che r < r 1 < r0 e sia s un qualunque punto sulla circonferenza C 1 di centro z 0 e raggio r1 , cos`ı |s − z0 | = r 1 (si veda la Figura 3.1). Poiché f è analitica in {| z − z0 | ≤ r1 }, per la formula integrale di Cauchy 0

(2.32), si ha

1 f (z) = 2πi Ma

1 s

−z

(s

− z0 ) − (z − z0 )

1 1

− q

= 1 + q +

l’espressione precedente con q = 1 s

−z

=

1 s

− z0

Allora

1+

C 1

1

=

ricordando che

 



z s

z s

f (s) ds . s z

−

1

=

s

− z0 1 − − −

−1

·· · + q n

1

− z0 diventa − z0

− z0 + · · · + − z0

−

q n

+

z s

−

−

n−1

−

z0 z0

z s

+

n

z0 z0

−

1

1 z z0 s z0

− −−

 

.

···

−

−

− q ,

−  − 

f (s) f (s) f (s) = + (z z0 ) + + s z s z0 (s z0 )2 f (s) + (z z0 )n−1 + (s z0 )n (s

−

1 z z0 ; s z0

−

f (s) (z z)(s z0 )n

−

− z0 )n ;

integriamo ora su C 1 e dividiamo per 2πi, ottenendo 1 f (z) = 2πi



f (s) 1 ds = s z 2πi

− (z − z0 )n + C 1

−1

2πi

Ricordando la (2.33), si ha



C 1



C 1

f (s) z z0 ds + s z0 2πi

−

−

 

f (s) (z z0 )n ds + (s z0 )n 2πi

−

−

C 1

f (s) ds + (s z0 )2

C 1

−

(s

−

·· · +

f (s) ds . z)(s z0 )n

−

78

F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli (n−1)

f (z) = f (z0 ) + f  (z0 )(z con rn (z) =

(z0 ) − z0) + ·· · + f (n − 1)! (z − z0 )n (z

− z0)n



2πi

C 1

(s

−

−1

+ rn (z)

(3.7)

f (s) ds . z)(s z0 )n

−

Per stimare r n (z), sia M = max f (s) e si osservi che s∈C 1

|

|

|s − z| = |s − z0 − (z − z0)| ≥ |s − z0 | − |z − z0| = r1 − r ; allora, usando la (2.26), si ha

|rn(z)| ≤

rn M 2πr 1 Mr1 = n 2π (r1 r)r1 r1 r

−

−

n

 r r1

.

r1 < 1, abbiamo lim rn (z) = 0. Cos`ı per ogni punto z Br0 (z0 ), il limite n→∞ r per n della somma dei primi n termini a secondo membro nella (3.7) è f (z) e questo conclude la dimostrazione.  Poiché

∈

→∞

Si noti che lo sviluppo (3.6) vale nel più grande disco aperto centrato in z0 e contenuto in Ω . Il raggio di convergenza della serie di Taylor è cos`ı almeno uguale alla distanza di z0 dalla frontiera di Ω . Naturalmente, come abbiamo visto nel Teorema 3.13, ogni serie di potenze convergente coincide con il proprio sviluppo di Taylor. Come nel caso reale, se z 0 = 0 parleremo di serie o di sviluppo di Maclaurin. Esempi 3.15 a) Consideriamo la solita serie geometrica ∞



zn =

n=0

La funzione f (z) = ∞



1 1

−z

|z| < 1 .

(3.8)

1

1

− z è analitica in |z| < 1, il suo sviluppo di Maclaurin è

z n , da cui si ricava inoltre f (n) (0) = n!.

n=0

b) Sia f (z) = ez e z 0 = 0. Ricordando che tutte le sue derivate coincidono con e z , abbiamo f (n) (0) = 1 per ogni n 0. Pertanto, lo sviluppo in serie di Maclaurin della funzione è ∞ zn ez = (3.9) n! n=0

≥



e, come abbiamo già visto nell’Esempio 3.8 b), il raggio di convergenza di tale serie è R = + ; quindi l’uguaglianza vale per ogni z C.

∞

∈

3.3 Serie di Laurent

79

c) Procedendo come nel punto precedente, si ha che le funzioni trigonometriche sin z e cos z e le funzioni iperboliche sinh z e cosh z ammettono i seguenti sviluppi di Maclaurin con raggio di convergenza R = + :

∞

∞

sin z =

∞

z 2n+1 (2n + 1)!

− −

( 1)n

n=0

sinh z =

∞

z 2n+1 (2n + 1)! n=0

 

(3.10)

∞

z 2n cos z = ( 1)n (2n)! n=0

z 2n cosh z = (2n)! n=0

3.3 Serie di Laurent In molte applicazioni si incontrano funzioni che non sono analitiche in qualche punto o in qualche sottoinsieme del piano complesso. Di conseguenza esse non ammettono sviluppi in serie di Taylor nell’intorno di tali punti. Ciononostante è possibile costruire rappresentazioni in serie di potenze, centrate in un punto di non analiticit` a z 0 , contenenti potenze sia positive sia negative di (z z0 ). In effetti, la decomposizione in serie di Laurent permette di rappresentare una funzione analitica in un anello r1 < z z0 < r2 (con 0 r 1 < r2 ) come la somma di una funzione analitica nell’anello e di una analitica all’esterno. Vale infatti il seguente teorema.

−

{

| − |

}

≤

Teorema 3.16 Sia f analitica nell’anello Ω = z

{ ∈ C : r 1 < |z − z0 | < r2} con

z0

∈ C e 0 ≤ r1 < r2. Allora per ogni z ∈ Ω , si ha +∞

f (z) =

 

cn (z

n=−∞

dove cn =

1 2πi

− z0 )n

(3.11)

f (s) ds z0 )n+1 C (s

−

(3.12)

e C è il cammino, percorso in senso antiorario, il cui sostegno è la circonferenza s C : s z0 = r con r 1 < r < r2 .

{ ∈

|− |

}

Dimostrazione. Fissato z

Ω e posto z z0 = r, sia t > 0 tale che r 1 < t < r < r 2 e indichiamo con C t il cammino, percorso in senso antiorario, il cui sostegno è la circonferenza z z0 = t . Allora, ricordando l’Osservazione 2.40, la formula integrale di Cauchy diventa

∈

| − |

{| − | } 1 f (z) = 2πi

f (s) ds z C s



−

−

1 2πi



C t

f (s) ds . s z

−

Come nella dimostrazione del Teorema 3.14, nel primo integrale scriviamo

(3.13)

80


f (s) f (s) f (s) = + (z z0 ) + + s z s z0 (s z0 )2 f (s) + (z z0 )n−1 + (s z0 )n (s

−

−

−

−

···

−

−

Per il secondo integrale della (3.13), notiamo che

−

f (s) (z z)(s z0 )n

− s −1 z = (z − z0) −1 (s − z0 ) = z −1 z0

−

1

− z0 )n .

1 s z0 z z0

− −−

e otteniamo l’identit` a f (s) 1 f (s) 1 = f (s) + + + −1 s z z z0 (s z0 ) (z z0 )2 f (s) 1 (s z0 )n f (s) 1 + + . n −n+1 (s z0 ) (z z0 ) (z s) (z z0 )n

− −

−

−

···

−

−

−

− − − Poiché le funzioni f (s)/(s − z0 )k+1 con k = −n , . . . , n sono analitiche nella regione {t ≤ |z − z0| ≤ r}, l’integrale sul cammino C coincide con quello sul cammino C t . Tornando alla (3.13), si ha

n

f (z) =



k=−n

ck (z

− z0)k + rn(z) + q n(z)

con c k , k =

−n , . . . , n, dati dalla formula (3.12) e (z − z0 )n f (s) rn (z) = ds n 2πi C (s − z)(s − z0 ) 1 (s − z0 )n f (s) q n (z) = ds . 2πi(z − z0 )n C z−s La dimostrazione del fatto che r n (z) → 0 quando n → +∞ è identica a quella vista nel Teorema 3.14. Analogamente, per stimare q n (z), sia M = max |f (s)|, allora s C |z − s| = |z − z0 − (s − z0)| ≥ |z − z0| − |s − z0| = r − t





t

∈

e

1 tn M 2πt Mt t q n (z) = 2πr n r t r t r Poiché t < r , lim q n (z) = 0 e il teorema è dimostrato.

|

|≤

−

−

t

n



. 

n→∞

La serie (3.11) è detta serie di Laurent. Si osservi che se f è analitica in z o essere scelto arbitrariamente z0 < r2 eccetto che nel punto z0 , il raggio r1 pu` piccolo e lo sviluppo vale per 0 < z z0 < r2 . Se f è analitica in tutto il disco z z0 < r2 , per n + 1 0 anche la funzione f (z)/(z z0 )n+1 lo è. Dunque tutti i coefficienti cn con n intero negativo sono nulli e lo sviluppo si riduce allo sviluppo di Taylor. Infine, non è difficile verificare che la serie di Laurent converge uniformemente in ogni sottoanello t z z0 r con r 1 < t r < r 2 .

} {| − |

{| −

|

}

≤

| − |

{ ≤ | − | ≤ }

−

≤

3.3 Serie di Laurent

1 (z 1)(z sviluppo di Laurent centrato in z 0 = 0 valido nelle regioni

Esempi 3.17 a) Consideriamo la funzione f (z) =

A = z : z < 1 ,

{ ||

−

− 2) e cerchiamo lo

B = z : 1 < z < 2 ,

}

{

||

Osserviamo che

C = z : z > 2 .

}

{ ||

1 − z−2 z−1

e utilizziamo lo sviluppo della serie geometrica (3.8). Se consideriamo z risulta f (z) =

− −

−

∞

−

}

1

f (z) =

1 1 1 + = 2 1 z/2 1 z

81

∞

∞

1 zn + zn = 1 2 n=0 2n n=0 n=0

   −  1

2n+1

∈ A, zn

e la funzione, analitica in A, ammette uno sviluppo in serie di Maclaurin con cn = 1 2 1+1 , n 0. Sia ora z B, si ha

−

≥

n

∈

1 1 2 1 z/2

f (z) =

− − − −1 zn + =

1 1 = z 1 1/z

∞

∞





n=0

2n+1

− −1 ,

∞

−

1 zn 2 n=0 2n



−

1 z

∞

1 zn n=0



zn

n=1

quindi la funzione ha uno sviluppo in serie di Laurent con coefficienti cn =

 − −

1

n

2n+1

1

Infine, se z

∈ C , avremo 1 1 f (z) = z 1 2/z

1 1 1 2n = z 1 1/z z n=0 z n

∞

=

n=0

n

(2

n < 0 .

∞

− −



≥0

−

1

− 1) zn+1 =

1 z

∞

1 zn n=0

 −    −  −1

n=−∞

1

2n+1

1 zn .

La funzione ha dunque un o sviluppo in serie di Laurent valido per z C , con cn = 2 1+1 1 per n < 0 e c n = 0 per n 0. ez b) Sia f (z) = 2 . Per trovare lo sviluppo in z > 0, centrato in z 0 = 0, utilizziamo z la (3.9), ottenendo n

−

f (z) =

∈

≥ ||

1 z 1 e = 2 2 z z

∞

∞

∞

zn z n−2 zn = = n! n! (n + 2)! n=0 n=0 n=−2

 



82


con cn =

1 (n + 2)!

n

≥ −2 n < −2 .

0

− 1 e individuiamone lo sviluppo di Laurent centrato in z0 = 1 z valido nella regione |z − 1| < 1. Consideriamo la sostituzione w = z − 1 e la 1

c) Sia f (z) =

z

 

funzione g(z) = z . Allora a z 0 = 1 corrisponde w 0 = 0 e possiamo scrivere ∞

g(z) =

∞

1 1 = = ( 1)n wn = ( 1)n (z z w + 1 n=0 n=0

−

−

− 1)n .

Pertanto ∞

f (z) = (z

− 1)g(z) =

∞

−

n

( 1) (z

n=0

n+1

− 1)

=

−

( 1)n−1 (z

n=1

− 1)n

e lo sviluppo è in realtà uno sviluppo in serie di Taylor. Se consideriamo ora la regione z 1 > 1 e procediamo come sopra, avremo

{| − |

}

∞

1 1 1 1 1 ( 1)n g(z) = = = = z w + 1 w 1 + 1/w w n=0 wn ∞

∞

( 1)n ( 1)n = = wn+1 (z 1)n+1 n=0 n=0

− 

− −

−

e dunque ∞

f (z) = (z

( 1)n (z 1)n n=0



− 1)g(z) =

con cn =

− −

( 1)n

n

0

n > 0 .

−

≤0

3.4 Singolarit` a isolate Sia f una funzione analitica in z 0 , allora esiste un intorno Br0 (z0 ) all’interno del quale f pu` o essere rappresentata dalla sua serie di Taylor +∞

f (z) =



n=0

cn (z

− z0)n ,

|z − z0| < r 0 .

Se z 0 è uno zero di f , allora c 0 = 0; se, inoltre, f  (z0 ) = f  (z0 ) =

· · · = f (m

−1)

(z0 ) = 0 e f (m) (z0 ) = 0 ,



3.4 Singolarit` a isolate

83

allora z 0 è detto zero di ordine m e +∞

f (z) = (z

m

− z0)



cn+m (z

n=0

− z0 )n = (z − z0)mg(z) , |z − z0| < r0 , cm = 0 .

Si osservi che g(z0 ) = 0 ed essendo la funzione g continua in z0 , ne segue che è non nulla in tutto un intorno di z 0 . Vale quindi il seguente risultato.



Teorema 3.18 Sia f analitica in un punto z 0 che ` e uno zero per f . Allora esiste

un intorno di z 0 in cui z 0 è l’unico zero di f a meno che f non sia identicamente nulla. Ossia, gli zeri di una funzione analitica (non nulla) sono isolati. Definizione 3.19 Un punto z0

e detto singolarit` C ` a isolata per f se esiste un intorno di z 0 in cui f è analitica eccetto il punto z 0 .

∈

Pertanto se z0 C e` una singolarità isolata per f , esiste r > 0 tale che f è analitica in Ω = z C : 0 < z z0 < r . Dunque, per ogni z Ω , f pu` o essere rappresentata dalla serie di Laurent

∈ { ∈

f (z) =

| − |

}

∈

· ·· + (z −c z20)2 + z c− 1z0 + c0 + c1(z − z0) + c2 (z − z0)2 + ·· · −

−

La parte di serie contenente le potenze negative di z z0 è detta parte principale di f in z0 . Utilizzeremo la parte principale per classificare il tipo di singolarit` a isolata di f in z 0 .

−

a isolata per f , conDefinizione 3.20 Se la parte principale di f in z 0 , singolarit` tiene almeno un termine non nul lo ma il numero di tali termini è finito, z 0 si dice u precisamente, se esiste un intero non nullo m tale che c −m = 0 e polo per f . Pi` c−m−1 = c−m−2 = = 0, ossia



·· ·

f (z) =

c−m c−m+1 + + m (z z0 ) (z z0 )m−1

−

−

· ·· + z c− 1z0 + c0 + c1(z − z0) + · · · −

il polo si dice di ordine m. In particolare, se m = 1, parleremo di polo semplice e se m = 2 di polo doppio. Ragionando come nel caso di uno zero, possiamo scrivere 1 f (z) = (z z0 )m

−

∞



n=0

c−m+n (z

− z0)n = (z −g(z) , z0 )m

|z − z0 | < r, c m = 0 −

dove g è una funzione analitica e non nulla in un intorno di z 0 . Definizione 3.21 Se la parte principale di f in z0 contiene un numero infinito a essenziale. di termini, allora il punto z 0 è detto punto di singolarit`

84


Esempi 3.22 i) Consideriamo la funzione f (z) = z sinh z e scriviamone la serie

di Maclaurin

∞

f (z) = z

z 2n+1 1 = z 2 + z 4 + . . . (2n + 1)! 3! n=0



Dunque z 0 = 0 è uno zero per f di ordine 2. z sin z ii) Sia f (z) = . Lo sviluppo di Laurent di f centrato in z0 = 0 ha la z2 forma

−

  − − − ∞

1 f (z) = 2 z

z

z 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! n=0

∞

=

( 1)n

n=1

2n−1

z 1 = z (2n + 1)! 3!

  − =

1 z2

∞

( 1)n

n=1

z 2n+1 (2n + 1)!

− 5!1 z3 + . . .

Dunque z 0 = 0 è uno zero per f (singolarit` a apparente) di ordine 1. eπz iii) Consideriamo f (z) = 3 in z 0 = 0. Risulta z 1 f (z) = 3 z

∞

πn z n 1 π π 2 π 3 π 4 = 3+ 2+ + + z + . . . n! z z 2z 3! 4! n=0



e quindi z 0 = 0 è un polo per f di ordine 3. Il risultato si poteva anche ottenere direttamente dall’espressione di f , senza g(z) ricorrere agli sviluppi di Laurent, osservando che f (z) = 3 con g(z) = eπz , z analitica e non nulla in z 0 = 0. iv) Sia f (z) = cos z1 . In z 0 = 0, si ha ∞

f (z) =

( 1)n . 2n (2n)! z n=0



−

Cos`ı z 0 = 0 è una singolarità essenziale per f .

3.5 Residui e loro calcolo a isolata per f e sia r > 0 tale che Definizione 3.23 Sia z0 una singolarit` +∞

f (z) =



n=−∞

cn (z

− z0)n ,

0 < z

| − z0| < r .

Allora il coefficiente c −1 è detto residuo di f in z 0 e indicato con c −1 = e f (z0 ).

R

3.5 Residui e loro calcolo

85

Figura 3.2. ?????????????????

Ricordiamo che

1 e f (z0 ) = c −1 = 2πi

R



f (z) dz

C

dove C è un cammino chiuso il cui sostegno, ad esempio, coincide con la circonferenza z C : z z0 = r .

{ ∈

| − |

}

Teorema 3.24 (dei residui) Sia C un cammino chiuso e semplice all’interno

del quale e sul quale una funzione f è analitica eccetto che per un numero finito di punti singolari z 1 , z2 , . . . , zn appartenenti all’interno di C . Allora



n

f (z) dz = 2πi

C

R

e f (zk ) .

k=1

Dimostrazione. Sia Ω l’interno di C ; poiché z1 , z2 , . . . , zn

Ω , è possibile trovare n intorni B r (zk ) disgiunti a due a due e interamente contenuti in Ω . Siano C 1 , . . . , Cn i cammini i cui sostegni sono le circonferenze z Ω : z zk = rk = ∂B r (zk ) (si veda la Figura 3.2). La frontiera del dominio con bordo

∈ { ∈

k

}

Ω 0 = Ω

| − |

k

n

 \

Br (zk ) è il sostegno di un cammino C 0 al quale possiamo applicare k

k=1

il Teorema 2.32 e ottenere



f (z) dz = 0 .

C 0

Ma 0=

 

f (z) dz =

C 0

=

C

n

  − R

f (z) dz

C

k=1

n

f (z) dz

  −

f (z) dz

C k

e f (zk )

k=1

e dunque il teorema è dimostrato.



Osservazione 3.25 Si noti che il teorema dei residui permette di trasformare un

integrale lungo un cammino generico in una somma di integrali lungo circonferenze. 

Esempi 3.26 i) Si voglia calcolare



C

z z2

− 1 dz

86


dove C è il cammino il cui sostegno è la circonferenza z C : z = 3 . Poiché f (z) = z 2z−1 è analitica in Ω = interno di C tranne che nei punti z1 = 1 e z2 = 1, per il Teorema dei residui, risulta z dz = 2πi ( e f (z1 ) + e f (z2 )) . 2 1 C z Ma z 1/2 1/2 = + 2 z 1 z 1 z + 1 1 e dunque e f (z1 ) = e f (z2 ) = 2 . In conclusione, l’integrale vale 2πi. ii) Si voglia calcolare

{ ∈

−



R

R

−

−

R

||

}

R

−



e1/z dz

C

dove C è il cammino il cui sostegno è la frontiera del quadrato [ 1, 1] [ 1, 1]. La funzione f (z) = e1/z è analitica in tutto C tranne l’origine; pertanto

−

 

×−

e1/z dz = 2πi e f (0) .

R

C

Poiché

∞

f (z) = risulta c 1 =

1 1 1 = 1 + + 2 + . . . n n!z z 2z n=0

Re f (0) = 1; dunque l’integrale cercato vale 2πi .



3.5.1 Calcolo dei residui Poli semplici

Sia z 0 un polo semplice per f , allora f (z) = per cui risulta

c−1 + c0 + c1 (z z z0

−

− z0) + ·· · = zg(z) − z0 ,

0 < z

| − z0 | < r

Re f (z0) = c 1 = g(z0) o, anche, osservando che g(z) = (z − z0 )f (z), Re f (z0 ) = zlimz (z − z0)f (z) . −

→ 0

n(z) , con n(z0 ) = 0 e z0 zero di ordine 1 per d(z), d(z) ossia d(z0 ) = 0 ma d  (z0 ) = 0. Allora si ha Pi` u in generale, sia f (z) =





Re f (z0 ) = dn(z(z00)) . 

Infatti

Re f (z0) = zlimz (z − z0) n(z) = lim d(z) z z → 0

→ 0

(z d(z)

− z0) n(z) = n(z0 ) . d (z0 ) − d(z0) 

3.6 Esercizi

87

Poli multipli

Sia z 0 un polo di ordine m per f , allora f (z) = con

c−m

c−m+1

+ (z − z0 )m (z − z0 )m

−1

+

· · · + z c− 1z0 + c0 + c1(z − z0) + ·· · = (z −g(z) z0 )m −

g(z) = c−m + c−m+1 (z Si ha

Re f (z0) = (m −1 1)! g(m

−1)

− z0) + · · · + c

(z0 ) =

1 (m

− 1)!

−1

lim

(z

z →z0

− z0)m + · · · 1

dm−1 (z dz m−1

− z0)mf (z) .

3.6 Esercizi 1. Determinare l’insieme di convergenza delle seguenti serie di funzioni: ∞

a)

∞

zn n! n=0



b)

∞

zn n2 n=1



c)



n!z n

n=0

2. Verificare che: a) b)

1 4z

− z2

∞

=

sin z 2 1 = 2 4 z z

z n−1 4n+1 n=0



2

per 0 < z < 4

||

6

10

− z3! + z5! − z7! + · · ·

per z = 0



3. Calcolare lo sviluppo di Taylor di: a) f (z) = z 3

− 3z2 + 4z − 2 b) f (z) = z e2z in z 0 = −1 c) f (z) = (z 2 + 1) cos 3z 3

in z 0 = 2

in z 0 = 0

4. Calcolare lo sviluppo di Laurent in z 0 = 0 delle seguenti funzioni nelle regioni indicate:

z + 1 in z < 1 e in z > 1 z 1 cos2z 2 b) f (z) = in z > 0 z5 6iz 2 c) f (z) = 2 in z < 3 e in z > 3 z +9 2 d) f (z) = in z 1 < 2 (z 1)(z 3) a) f (z) =

| |

−

| |

| |

| |

−

−

| |

| − |

88


1 5. Verificare che z 0 = 0 è una singolarità essenziale per f (z) = cosh . z 6. Classificare le singolarit` a di cos z cosh z

f (z) = z3



z2

2

− π4

2



z2

+

π2 4



.

7. Determinare le singolarità e calcolare i residui delle seguenti funzioni: z + 1 z 2 2z 1 c) f (z) = z cos z

a) f (z) =

b) f (z) =

b)

− 2

e1/z dz

C =

{|z| = 2 }

C =

{|z| = 1 }

C =

{|z| = 3 }

C =

{|z − 2| = 2 } oppure C = {|z| = 4 }

C

c) d)

5z C z(z

− e2z

z4 1 d) f (z) = 3 + 2iz

−

8. Calcolare: e−z a) dz 1)2 C (z

   

1

− 2 dz − 1)

3z 3 + 2 dz 1)(z 2 + 9) C (z

−

3.6.1 Soluzioni

1. Insiemi di convergenza: a)

C;

b)

{|z| ≤ 1} ;

c)

{ 0} .

3. Sviluppi di Taylor:

− 2) + 3(z − 2)2 + (z − 2)3 ; e 2 n−2 n f (z) = −e 2 + 2 (z + 1) n ; 2 n!

a) f (z) = 2 + 4(z

−

b)

−

c) f (z) = 1 + z

2

−

9 6 z 2

∞



n=1

− 92 z8 + 814! z 12 + 814! z14 − · · · .

4. Sviluppi di Laurent: ∞

a) f (z) = 1

−2



n=0

∞

z n in

{|z| < 1} ; e

f (z) = 1 + 2



1

z n+1 n=0

in

{|z| > 1} ;

3.6 Esercizi ∞

b) f (z) =

22n z 4n−5 ; (2n)!

− −  − ( 1)n

n=0

∞

c) f (z) = 6i

( 1)n z 2n+2 in n+1 9 n=0

∞

{|z| < 3} ; e

f (z) = 6i

∞

3n+1 1 n z se z < 1 mentre f (z) = 3n+1 n=0 z > 1 e z 1 < 2 .

d) f (z) =

||

89

| |

| − |

6. z = 0 polo del terzo ordine; z = singolarit` a eliminabili.

( 1)n 9n in 2n z n=0

−  − ∞

n=0

zn

{|z| > 3} ;

∞

− 3n+1



n=0

1 z n+1

se

± π2 poli semplici; z = ± π2 i sono punti di

7. Singolarità e residui: a)

Re f (0) = − 12 ; Re f (2) = 32

c)

Re f (0) = − 12 ;

;

b) e f (0) =

R

3 d) e f ( i) = 2

R

− 43

;

− 2i .

8. Integrali: a)

− 2πi e

;

b) 0 ;

c) 10πi ;

d) πi

e

πi . − 2π2 + 23 10

4 Introduzione alle distribuzioni

4.1 Introduzione e motivazioni. Come pi` u volte abbiamo avuto modo di constatare, ci sono molte situazioni nelle quali si ha l’esigenza di generalizzare il concetto di funzione a qualcosa di più flessibile. Presentiamo un paio di esempi, in parte già visti, per illustrare questo tipo di necessit` a. Esempio 4.1 Consideriamo il circuito come in figura sotto.

 E 

C

(4.1) Come è ben noto il legame tra l’intensit` a di corrente i(t) che scorre nel circuito e la forza elettromotrice E (t) è dato da: E  (t) =

1 i(t) . C

(4.2)

Tuttavia questo presuppone che la funzione E (t) sia derivabile. Che cosa succede se ad esempio E (t) = H (t) la funzione di Heaviside? E (t) è derivabile ovunque tranne che in 0 e la sua derivata e` sempre eguale a 0. In t = 0 non è derivabile e si potrebbe pensare di porre E  (0) = + . Quindi per la (4.2) si avrebbe che la

∞

92


∞

corrente i(t) è sempre 0 tranne che per t = 0 dove vale + . Ha senso una i(t) definita cos`ı ? Si noti che la (4.2) pu` o anche essere scritta come 1 E (t) = C

t



i(s) ds .

−∞

Essendo i(t) sempre 0 tranne che in un punto e poich´ e l’integrale di una funzione (di Riemann, ma in realtà anche qualunque estensione ad esempio l’integrale di Lebesgue) non ‘vede’ ciò che la funzione fa in un singolo punto, otterremmo che E (t) = 0 su tutto R. Ma questa non è la nostra E (t) di partenza! Eppure fisicamente è chiaro che cosa succede: la corrente fluisce per un tempo infinitamente breve con un picco in 0. Il problema è come rappresentare una fenomenologia di questo tipo: una funzione sempre 0 con il valore + in 0 non è soddisfacente. Finché imponiamo che i(t) sia una funzione non riusciamo a superare il problema.

∞



a volumetrica di cariche distribuite secondo Esempio 4.2 Se abbiamo una densit` la densità di carica ρ(x,y,z), la carica totale contenuta in un certo volume V si calcola come: Q = ρ(x,y,z) dxdydz .

   V

Se abbiamo invece cariche puntiformi q 1 , . . . , qn nel volume V , l’espressione per la carica totale diventa n Q =



q i .

i=1

Le due formule sono chiaramente di tipo diverso; ci piacerebbe averne una unica che possa trattare densità e cariche puntiformi alla stessa stregua. Il problema chiaramente è che le cariche puntiformi non possono essere descritte da densit` a se queste devono essere delle normali funzioni. Si noti che cariche puntiformi possono in effetti essere approssimate da densità di carica. Facciamolo vedere lavorando per semplicit` a sulla retta invece che nello spazio. Si consideri la successione di densità lineari di carica1 ρn (x) = qnp 1/n (x) dove q è una costante. Esse descrivono distribuzioni omogenee concentrate sull’intervallo [ 1/2n, 1/2n] e la carica totale è data da

−

+∞

Qn =



−∞

ρn (x) dx = qn

1 = q n

e non dipende quindi da n. All’aumentare di n quindi queste distribuzioni di carica tendono a concentrarsi sempre di più intorno allo 0, ma sempre mantenendo 1

La funzione p 1/n indica la funzione porta di ampiezza 1 /n.

4.2 Lo spazio delle funzioni test.

93

costante la quantità di carica totale q . L’idea dovrebbe essere che al tendere di n a + tali densità dovrebbero convergere alla carica puntiforme q concentrata in 0. Tuttavia se ne guardiamo il limite dal punto di vista delle funzioni si ha che

∞

lim ρn (x) =

n→+∞



0 +

∞

se x = 0 se x = 0



e tale funzione limite, se integrata sulla retta, da come risultato 0 e non q . Anzi l’informazione che la carica totale è q sembra essersi completamente persa nel passaggio al limite. Come vedremo, utilizzando invece le distribuzioni, saremo in grado di non perdere questa informazione nel passaggio al limite.  L’idea fondamentale della teoria delle distribuzioni è che una misura di una quantità fisica, di un segnale temporale, non fornisce mai il valore in un preciso istante o in un preciso punto dello spazio. Lo strumento di misura, per quanto preciso, comunque media la quantità da misurare nel tempo e nello spazio anche se su intervalli temporali o zone di spazio molto piccole. Ne consegue che la quantit` a fisica, il segnale non è necessario pensarlo come qualcosa di definito punto per punto o istante per istante, quanto invece come un qualcosa che associa ad ogni possibile misura un numero che è il valore della misura su quel segnale. D’altra parte, le possibili misure possono essere descritte dalle medie che esse operano. Ne consegue che un segnale potrà essere pensato come un’applicazione dallo spazio delle funzioni che descrivono le medie, dette funzioni test , al campo degli scalari. Il primo problema da affrontare è la scelta dello spazio delle funzioni test. Una possibilit` a, per il caso di segnali di tipo scalare, è prendere lo spazio delle funzioni infinitamente derivabili a supporto compatto. Come vedremo questa scelta permette di costruire una teoria ricca e completa e ben si adatta all’idea dello strumento di misura che media su intervalli spaziali o temporali piccoli. Altre scelte sono possibili e necessarie quando si vogliono studiare particolari problemi; vedremo in particolare l’utilit` a di un altro spazio di funzioni test quando cercheremo di estendere la trasformata di Fourier all’ambito distribuzionale.

4.2 Lo spazio delle funzioni test. Cominciamo con l’introdurre con precisione lo spazio delle funzioni test che useremo.

D come lo spazio delle funzioni φ di classe C ∞ su compatto, cioè tali che esiste R ≥ 0 per cui φ(x) = 0 per

Definizione 4.3 Definiamo 2

tutto R ed a supporto ogni x tale che x > R.

| |

2

Il supporto di una funzione f = f (x) è l’insieme degli x tali che f (x)  = 0, unito alla sua frontiera.

94


Un esempio di tali funzioni è γ (x) =



− 1−1x2

|x| < 1 |x| ≥ 1

e 0

il cui grafico è mostrato in Figura 4.1. E’ a supporto compatto in [ 1, 1] per costruzione e si può far vedere che è effettivamente di classe C ∞ . Da essa se ne possono costruire molte altre. Ad esempio si possono considerare, al variare del parametro r > 0, γ (rx) γ r (x) = +∞ . γ (rx) dx

−



−∞

−

Si noti che γ r ha supporto concentrato in [ 1/r, 1/r] che diventa sempre pi` u piccolo all’aumentare di r. Per definizione tuttavia +∞



γ r (x) dx = 1

−∞

qualunque sia r > 0. Questo significa che il picco γ r (0) dovrà forzatamente crescere all’aumentare di r (anzi tender` a a + per r + ). In Figura 4.2 sono riportati i grafici per alcuni valori di r. Se convolviamo le γ r con funzioni porta otteniamo altre funzioni in . Definiamo: γ r,M = γ 2r χ[−M − 1 ,M + 1 ] .

∞

→ ∞

D

∗

2r

2r

Il grafico di una funzione di questo tipo è proposto in Figura 4.3. Non è difficile far vedere (provare per esercizio) che

| | ≥ M + 1/r . | | ≤ M

γ r,M (x) = 0 γ r,M (x) = 1

se x se x

1/e

−1

1

Figura 4.1.

4.2 Lo spazio delle funzioni test.

95

Figura 4.2.

1

−M−1/r

−M

M

M+1/r

Figura 4.3.

Inoltre si può dimostrare che esse sono effettivamente in C ∞ . Questo è un fatto generale: convolvendo una funzione in con una qualunque altra funzione continua a tratti, si ottiene una funzione in C ∞ . Sullo spazio delle funzioni test si può introdurre un concetto di convergenza molto forte nel modo seguente: data una successione φ n di elementi di e un’altra

D

D

D

96


∈ D

D

funzione φ diciamo che φn converge a φ in , se tutte le φn mantengono il loro supporto in un intervallo limitato fissato e se la successione φn converge uniformemente3 con tutte le sue derivate a φ. Pi` u formalmente, se

≥

| |

(i) Esiste a 0 tale che φ n (x) = 0 per ogni x tale che x > a. (q) (ii) φn φ (q) uniformemente per ogni q N.

→

∈

` facile rendersi conto che se abbiamo due successioni convergenti Osservazione 4.4 E φn → φ e ψn → ψ in D , allora qualunque combinazione lineare risulta ancora convergente, pi` u precisamente si ha λφn + µψn → λφ + µψ . Questo permette di affermare, in particolare, che φn → φ in D ⇔ φn − φ → 0 in D .

(4.3)

4.3 Distribuzioni: definizione ed esempi Possiamo ora definire le distribuzioni: Definizione 4.5 Si definisce distribuzione una qualunque applicazione

D → R

T : tale che

(i) T è lineare : T (λ1 φ1 + λ2 φ2 ) = λ 1 T (φ1 ) + λ2 T (φ2 ) qualunque siano φ 1 , φ2 e λ 1 , λ2 R. (ii) T è continua: se φ n φ in , allora T (φn ) T (φ).

∈

→

D

∈ D

→

Si noti che in virtù dell’Osservazione 4.4 e del punto (i) è sufficiente richiedere che se φ n 0 in , allora T (φn ) 0 ` comune usare la notazione distribuzionale < T,φ > anziché T (φ) per motivi E che saranno chiari tra poco. Presentiamo ora alcuni fondamentali esempi di distribuzioni.

→

3

D

→

Una successione di funzioni f n : I ⊆ R → R, si dice che converge uniformemente ad una funzione f : I → R se fissato comunque ε > 0 si può trovare un intero positivo n 0 tale che ∀n ≥ n0 , ∀ x ∈ I ⇒ |f n (x) − f (x)| < ε . Equivalentemente, la successione f n converge uniformemente a f se lim sup |f n (x) − f (x)| = 0 .

n→∞ x∈I

4.3 Distribuzioni: definizione ed esempi

97

∈ R1loc (R). Definiamo la distribu-

Esempio 4.6 (Distribuzioni regolari) Sia f

zione T f associata ad f nel modo seguente: +∞

< T f , φ >=



f (x)φ(x) dx ,

φ

∈ D .

−∞

(4.4)

Si noti innanzitutto che l’integrale sopra ha sempre senso. In effetti se φ si ha che esiste a 0 tale che φ(x) = 0 se x > a. Quindi l’integrale in questione si riduce di fatto ad un integrale su un intervallo limitato [ a, a] di una funzione f (x)φ(x) che è in 1loc (R). Per essere sicuri che (4.4) definisce una distribuzione dobbiamo verificare che si tratti di un’applicazione lineare e continua. La linearità è semplice e viene lasciata per esercizio. Vediamo la continuit` a: supponiamo che φn 0 in . Si ha allora che esiste a 0 tale che φn (x) = 0 se x > a. Inoltre φn 0 uniformemente. Possiamo allora stimare come segue:

≥

∈ D

| |

−

R

→ →

D

≥

∞

| < T f , φn >

  |    ≤ | =

 

f (x)φn (x) dx =

−∞ a

f (x) φn (x) dx =

||

−a

|

| |

a

  

  |  |

f (x)φn (x) dx

−a

a

sup

−a
|φn(x)

−a

f (x) dx .

|

A causa della convergenza uniforme si ha che sup

−a
converge a 0 per n

|φn(x)|

→ +∞. Per confronto si ha quindi che < T f , φn > → 0

che è quanto volevamo dimostrare.



Sono proprio le distribuzioni regolari a motivare la notazione < T,φ >. In effetti si ha che < T f , φ > si esprime come il prodotto scalare nella norma quadratica tra le funzioni f e φ. Esempio 4.7 (La delta di Dirac) La distribuzione delta di Dirac nel punto

∈ R è definita come

a

< δ a , φ >= φ(a) ,

∈ D .

φ

E’ immediato verificare la linearità e la continuità di questa applicazione che cos`ı è effettivamente una distribuzione. Questa non è una distribuzione regolare, cioè 1 non esiste una funzione f loc (R) tale che

∈ R

98

F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli +∞

< δ a , φ >= φ(a) =



f (x)φ(x) dx

−∞

∈ D

qualunque sia φ . Questo è intuitivo, f per quanto a supporto molto piccolo intorno ad a far` a una media di φ e non potrà mai fornire l’esatta valutazione nel punto a. Dimostrarlo in realt` a,... non è tanto semplice! Vedremo in seguito delle dimostrazioni indirette.  L’insieme di tutte le distribuzioni viene indicato con il simbolo  . Esso è uno spazio vettoriale reale in modo naturale. In effetti, date T 1 e T 2 in  e due scalari λ1 e λ 2 , possiamo definire la distribuzione combinazione lineare λ 1 T 1 + λ2 T 2 come

D D

< λ 1 T 1 + λ2 T 2 , φ >= λ 1 < T 1 , φ > +λ2 < T,φ2 > . Si verifichi per esercizio che questa sopra è effettivamente una distribuzione (si tratta di verificare la linearità e la continuità).

∈ R punti della retta e λ1, λ2, . . . , λn ∈ R scalari.

Esempio 4.8 Siano a 1 , a2 , . . . an

La distribuzione

n i=1 λi δ ai agisce

nel modo seguente:

n

n

 

 

λi δ ai , φ =

i=1

n

λi < δ ai , φ >=

i=1



λi φ(ai ) .



i=1

Esempio 4.9 La distribuzione T = T sin x 12δ 4 agisce sulle funzioni test nel modo

−

seguente +∞

< T,φ >=



sin xφ(x) dx

−∞

− 12φ(4) .



Esempio 4.10 Consideriamo l’applicazione T :

D → R data da

< T,φ >=

 |

φ(x) dx .

|

R

Questa non è una distribuzione in quanto non è verificata la linearità. Infatti si ha sempre, ad esempio, < T, φ >=< T,φ > qualunque sia φ .

−

∈ D

4.4 Le propriet` a fondamentali delle distribuzioni Le funzioni definite su R a valori in R (o in C ) ammettono una serie di importanti trasformazioni: esse possono essere tra loro sommate e moltiplicate; inoltre, data una funzione f (x), si possono considerare le traslazioni f (x x0 ), i riscalamenti

−

4.4 Le propriet` a fondamentali delle distribuzioni

99

f (ax) (in particolare l’inversione temporale per a = 1), la derivazione f  (x) (se f (x) è derivabile). Vorremmo introdurre le stesse operazioni anche sulle distribuzioni. Sappiamo già come sommare tra loro le distribuzioni e come moltiplicarle per scalari. Come fare p er le altre operazioni? L’idea è di partire dalle distribuzioni regolari e cercare da queste di trovare il modo per estendere la definizione alle altre distribuzioni. Prima di continuare facciamo un’ulteriore convenzione notazionale che sar` a molto utile in seguito. Denoteremo le distribuzioni T spesso con il simbolo T (x) anche se T non è in generale una funzione della variabile x. Scriveremo quindi < T (x), φ(x) > per indicare l’azione sulla funzione test φ. Il motivo di questa notazione è che ci agevoler` a nelle notazioni per la traslazione che indicheremo T (x x 0 ) e per i riscalamenti che indicheremo T (ax) come se fossero funzioni. Naturalmente queste sono soltanto scelte notazionali e non devono far perdere di vista il fatto che in generale le distribuzioni T (x) non sono funzioni della variabile x e che quindi < T (x), φ(x) > non sta per l’integrale del prodotto, ma come l’azione di T sulla funzione test φ.

−

−

4.4.1 La traslazione 1 Cominciamo dunque con le traslazioni. Sia f e fatta R. Come ` loc (R) e sia x 0 la distribuzione associata a f (x x0 )? Vale la seguente catena di eguaglianze (la seconda si ottiene con una sostituzione nell’integrale) qualunque sia φ .

∈ R

−

∈

∈ D

+∞

< T f (x−x0 ) (x), φ(x) > =



+∞

f (x

−∞

− x0)φ(x) dx =



f (x)φ(x + x0 ) dx (4.5)

−∞

= < T f (x) , φ(x + x0 ) > . Quindi l’azione della distribuzione associata alla funzione f (x x0 ) sulla funzione test φ(x) è eguale all’azione della distribuzione associata ad f (x) sulla funzione test traslata in senso opposto φ(x+x0 ). Questo suggerisce di definire la traslazione di una qualunque distribuzione T (x) come quella distribuzione, indicata T (x x0 ), tale che < T (x x0 ), φ(x) >=< T (x), φ(x + x0 ) > (4.6)

−

−

−

qualunque sia la funzione test φ(x). Questa è una buona definizione in quanto effettivamente definisce una distribuzione: si ricordi che per dare una distribuzione si deve dire quanto essa vale su ogni funzione test e poi verificare linearità e continuità. L’espressione sopra definisce T (x x0 ) contro ogni funzione test φ(x), linearit` a e continuità seguono facilmente dal fatto che la T (x) aveva le due propriet` a. Si noti inoltre che per distribuzioni regolari, la traslazione cos`ı definita coincide con la traslazione usuale delle funzioni, nel senso che

−

T f (x) (x

− x0) = T f (x−x ) (x) . 0

Questo segue semplicemente confrontando (4.5) e (4.6).

100


∈

Esempio 4.11 Siano a, b

R. Consideriamo δ a e calcoliamo la traslata δ a (x + b) in base alla precedente definizione:

< δ a (x + b), φ(x) >=< δ a (x), φ(x

− b) >= φ(a − b) =< δ a−b(x), φ(x) > .

Dunque si ha che δ a (x + b) = δ a−b (x). 4.4.2 Il riscalamento 1 Sia f 0 . Vogliamo capire come opera la distribuzione R loc (R) e sia a associata alla funzione f (ax). Qualunque sia φ , si ha che

∈ R

∈ \ { }

∈ D

+∞

< T f (ax) , φ(x) > =

 

+∞

f (ax)φ(x) dx =

−∞

=



f (x)

−∞

1 x φ a a

||



dx (4.7)

 

1 T f (x) , |a| φ

x a

(la seconda eguaglianza segue operando la sostituzione t = ax). Questo suggerisce di definire il riscalamento di una qualunque distribuzione T (x) come quella distribuzione indicata T (ax) tale che < T (ax), φ(x) >=



 

1 x T (x), φ a a

||

(4.8)

qualunque sia la funzione test φ(x). Come nel caso della traslazione questa formula definisce effettivamente una distribuzione; si verifichino linearità e continuità per esercizio. Si noti come anche in questo caso il riscalamento di una distribuzione regolare T f (x) (ax) coincida con la distribuzione T f (ax) . Si noti infine che per a = 1 otteniamo la definizione dell’inversione temporale di una distribuzione:

−

< T ( x), φ(x) >=< T (x), φ( x) > . Esempio 4.12 Siano

− a, b ∈

−

(4.9)

R con b = 0. Consideriamo δ a e calcoliamo il riscalamento δ a (bx) in base alla precedente definizione:



< δ a (bx), φ(x) >=



 

1 x δ a (x), φ b b

Ne segue che δ a (bx) =

||

1 δ a . b b

||

=

1 a φ . b b

||




101

4.4.3 La moltiplicazione

Supponiamo di avere due funzioni f e g in 1loc (R), una delle due limitate. Il loro prodotto f g è ancora in 1loc (R). La distribuzione T fg agisce nel modo seguente sulle funzioni test:

R

R

+∞

< T fg (x), φ(x) >=



f (x)g(x)φ(x) dx .

−∞

Non è chiaro come questa azione si possa esprimere in termini di T f e T g per poi generalizzarla al prodotto di generiche distribuzioni. Potremmo essere tentati di scrivere +∞



f (x)g(x)φ(x) dx =< T f (x), g(x)φ(x) > .

−∞

Si noti tuttavia che se g non è ∞ , g(x)φ(x) non è pi` u una funzione test e l’espressione sopra non avrebbe quindi senso se al posto di T f vi fosse una distribuzione non regolare. Affinché g(x)φ(x) sia ancora una funzione test qualunque sia φ funzione test, è necessario e sufficiente che g(x) sia di classe C ∞ . Questi problemi sono intrinseci alle distribuzioni. In effetti le distribuzioni, in generale, non possono essere moltiplicate tra loro. Il massimo che si può fare è moltiplicare una  distribuzione per una funzione C ∞ : in effetti, se T e ψ C ∞ (R) possiamo definire la distribuzione ψT come

C

∈ D

< ψ (x)T (x), φ(x) >=< T (x), ψ(x)φ(x) > ,

∈

∈ D ;

φ

ψ(x)T (x) cos`ı definita è effettivamente una distribuzione: la linearità la lasciamo per esercizio e diamo un’idea di come si dimostra la continuità. Sia φn φ in ` facile vedere che i supporti della . Dobbiamo mostrare che ψφ n ψφ in . E successione ψφ n sono equilimitati essendo tali quelli delle φ n . Per quanto riguarda la convergenza si noti innazitutto che ψφn ψφ uniformemente in quanto

D

→

sup ψ(x)φn (x) x∈R

|

→

D →

− ψ(x)φ(x)| = sup [|ψ(x)||φn(x) − φ(x)|] |x|≤a ≤ sup |ψ(x)| sup |φn(x) − φ(x)| . |x|≤a

|x|≤a

e per le derivate, usando la regola di Leibnitz, q

(q)

(ψφn )

=

  k=0

q ψ(k) φ(q−k) n k (q−k)

ci si riconduce a studiare la convergenza uniforme dei vari termini ψ (k) φn a (k) (q−k) (k) ψ φ che si fa esattamente come per ψφ n , notando che ψ è ancora una (q−k) funzione di classe C ∞ e che φ n converge uniformemente a φ (q−k) .

102


Esempio 4.13 Sia ψ

∈ C ∞(R). Calcoliamo ψδ a . Si ha che < ψ δ a , φ >=< δ a , ψφ >= ψ(a)φ(a) .

Abbiamo dunque ottenuto che ψδ a = ψ(a)δ a . Come sono fatte le distribuzioni T (x) tali che xT (x) = 0? E’ chiaro che le distribuzioni del tipo T = cδ 0 soddisfano questa proprietà (verificare). Il seguente risultato mostra che non ce ne sono altre. Proposizione 4.14 Sia T (x) una distribuzione tale che xT (x) = 0. Allora esiste

∈ R tale che T (x) = cδ 0(x).

c

Dimostrazione. Supponiamo prima che T sia una distribuzione a supporto com-

patto tale che xT (x) = 0 e consideriamo una φ C ∞ tale che φ(0) = 0. Allora Ψ (x) = φ(x)/x C ∞ (estendendola per continuità in x = 0). Abbiamo quindi che

∈

∈

< T (x), φ(x) >=< T (x), xΨ (x) >=< xT (x), Ψ (x) >= 0 . Sia ora φ

∈ D qualsiasi. Allora φ(x) − φ(0) sta in C ∞ e si annulla in 0, e quindi 0 =< T (x), φ(x) − φ(0) >=< T (x), φ(x) > −φ(0) < T, 1 >

che implica < T (x), φ(x) >=< T, 1 > φ(0) e questo significa proprio che T (x) = cδ 0 con c =< T, 1 >. Questo ragionamento non funziona se T non è a supporto compatto. In questo caso si considera allora una successione di Ψ n tali che Ψ n (x) = 1 per ogni x [ n, n] (sappiamo come costruire una successione del genere). Le distribuzioni T n (x) = Ψ n (x)T (x) sono ora a supporto compatto e godono ancora della proprietà xT n (x) = 0. Per i risultati precedenti sappiamo che esistono costanti cn tali che T n = cn δ 0 . Sia ora φ una qualunque funzione test tale che φ(0) = 0 e φ(x) = 0 se x 1. Consideriamo

∈ D

∈ −



| | ≥

∈ D

< T (x), φ(x) >=< T (x), Ψ n (x)φ(x) >=< T n (x), φ(x) >= c n φ(0) Questo mostra che necessariamente c n deve essere una successione costante c n = c per ogni n. Dunque, T n = cδ 0 per ogni n. Poiché, come è facile vedere T n T in  , ne segue che T = cδ 0 . 

D

→

La Proposizione 4.14 ha varie possibili estensioni che proponiamo per esercizio (vedi Esercizi 4.7, 4.8, 4.9).


103

4.4.4 La derivazione

Consideriamo questa volta una funzione f : 1 loc (R). Studiamo T f  (x):

→ R derivabile con derivata f  ∈

R

R

+∞



< T f  (x) (x), φ(x) > =

f  (x)φ(x) dx

−∞

+∞

= f (x)φ(x)

+∞

 −

=



+∞ −∞

 −

f (x)φ (x) dx

(4.10)

−∞

f (x)φ (x) dx =< T f (x) , φ (x) >

−

−∞

(la seconda eguaglianza segue dall’integrazione per parti, la terza dal fatto che f (x)φ(x) è nulla fuori di un insieme limitato). Questo suggerisce di definire la derivata di una qualunque distribuzione T (x) come quella distribuzione indicata T  (x) tale che < T  (x), φ(x) >=< T (x), φ (x) > (4.11)

−

E’ ancora una buona definizione? Sicuramente è un’applicazione da in R che si vede facilmente essere lineare. Per quanto riguarda la continuit` a, si noti innazitutto che se abbiamo una successione φ n in tale che φn φ in , allora anche φ n φ in (si pensi al perché). Quindi,

D

D

D

→

D

→

< T  (x), φn (x) >=

− < T (x), φn(x) >→ − < T (x), φ(x) >=< T (x), φ(x) >

come volevamo. Si noti inoltre che anche in questo caso il nuovo concetto di derivazione coincide col vecchio nel caso di derivazione di distribuzioni regolari con sim1 bolo derivabile, cioè se f (x) ammette derivata f  (x) loc (R), le considerazioni precedenti mostrano che  T f (x) (x) = T f  (x) (x) . (4.12)

∈ R

In base alla definizione che abbiamo appena dato, ogni distribuzione T è derivabile. La derivata T  essendo una distribuzione è dunque ancora derivabile. Ogni distribuzione può quindi essere derivata quante volte vogliamo. Indicheremo con il simbolo T (n) la derivata n-esima della distribuzione T . Esempio 4.15 Calcoliamo le derivate della delta di Dirac. In base alla definizione

data:

< δ a (x), φ(x) >=

− < δ a(x), φ(x) >= −φ(a) .

La derivata n-esima sarà quindi data da

< δ a(n) (x), φ(x) >= ( 1)n φ(n) (a) .

−



104


R. Consideriamo la distribuzione T = C ∞ (R) e a Valutiamo la sua azione sulle funzioni test. Utilizzando il risultato dell’Esempio 4.15 si ottiene,

Esempio 4.16 Sia ψ (n) ψ(x)δ a .

∈

∈

n

< T,φ

>=< δ a(n) ,ψφ

(n)

n

>= ( 1) (ψφ)

−

n

(a) = ( 1)

−

n

=

n k

k=0

Dunque si ha, T = ψ(x)δ a(n)

 

ψ (n−k) (a)φ(k) (a) .

  −

k=0

n k

( 1)n−k ψ (n−k) (a)δ a .

Dedichiamoci ora alle derivate delle distribuzioni regolari. Si noti che ogni 1 distribuzione T f con f a derivata. Tuttavia nei casi in cui il loc (R), ammetter` simbolo f non è lei stessa derivabile, non è chiaro come questa derivata si calcoli. Vedremo che in generale non sarà una distribuzione regolare. Una precisazione notazionale: quando si deriva una distribuzione regolare T f , la derivata T f  (che in genere sarà una distribuzione) si dice anche derivata distribuzionale della funzione f .

∈ R

Esempio 4.17 Calcoliamo la derivata della distribuzione regolare T H associata

alla funzione di Heaviside H (x). Si noti che, poiché H (x) non è derivabile come  funzione non si può utilizzare la (4.12). Chi è dunque T H ? Usiamo la definizione: +∞

− < T H (x), φ(x) > =

< T H  (x), φ(x) >=

 −

H (x)φ (x) dx

−∞

+∞

 −

=

φ (x) dx = φ(0) .

0

Abbiamo dunque, < T H  (x), φ(x) >= φ(0) il che vuol dire che T H  (x) = δ 0 (x): la derivata della distribuzione regolare associata alla Heaviside è la delta di Dirac in 0.  L’esempio precedente ammette la seguente generalizzazione: Proposizione 4.18 Sia f : R

→ R una funzione ovunque derivabile tranne che in un punto x 0 dove f (x) presenta al più una discontinuit` a eliminabile od un salto. Supponiamo inoltre che f  (x) definita per x  = x 0 sia in R1loc (R). Allora, T f  (x) (x) = [f (x0 +) − f (x0 −)]δ x (x) + T f (x) (x) dove f (x0 +) e f (x0 −) indicano i limiti, destro e sinistro rispettivamente, di f (x) per x → x 0 . 0




105

Dimostrazione. In base alla definizione di derivata di una distribuzione abbiamo

che

+∞

< T f  (x), φ(x) > =

 −  −

− < T f (x), φ (x) >= x0

 −

=

f (x)φ (x) dx

−∞

f (x)φ (x) dx

−∞ +∞

(4.13)

f (x)φ (x) dx

x0

−∞

Poiché f (x) è una funzione continua su ( , x0 ], se in x 0 la facciamo valere il suo limite sinistro f (x0 ), ed è ovunque derivabile si ha che integrando per parti

−

x0



x0



f (x)φ (x) dx = f (x)φ(x)

−∞



x0 −∞

 −

f  (x)φ(x) dx

−∞ x0

−

= f (x0 )φ(x0 )

 −

f  (x)φ(x) dx .

−∞

Similmente si ottiene, +∞



+∞

f (x)φ (x) dx = f (x)φ(x)

x0



 −

+∞ x0

x0

+∞

−f (x0+)φ(x0)

=

f  (x)φ(x) dx

 −

f  (x)φ(x) dx .

x0

Sostituendo queste due espressioni nella (4.13) otteniamo la tesi.



Osservazione: Con riferimento al risultato precedente si noti che nel caso in

cui la funzione f (x) sia continua nel punto x0 , anche se ivi non necessariamente derivabile, si ha che la derivata della distribuzione T f non contiene parte singolare. Si ha cioè T f  = T f  . Esempio 4.19 Calcoliamo la derivata della distribuzione regolare avente il sim-

bolo

f (x) = e x H (x

Possiamo scrivere f (x) =



0 ex

− 1) .

se x < 1 . se x 1

≥

106


` chiaro quindi che siamo nelle ipotesi della Proposizione 4.18: la nostra funzione E è di classe C 1 tranne che nel punto 1 dove presenta un salto. Si ottiene dunque T f  = (e dove f  (x) = e x H (x

− 0)δ 1 + T f , 

− 1) = f (x). Quindi, T f  = eδ 1 + T f .

Esempio 4.20 Calcoliamo la derivata della distribuzione regolare avente il sim-

bolo

f (x) = x + x2 .

| |

La nostra funione è chiaramente di classe C 1 tranne che nel punto 0 dove è comunque continua. Applicando di nuovo la Proposizione 4.18 (in particolare l’osservazione ad essa seguente), si ha che T f  = T f  dove f  (x) = sgn(x) + 2x. La Proposizione 4.18 si può estendere al caso in cui vi siano un numero finito di punti di discontinuità della f (x). Proposizione 4.21 Sia f : R

→

funzione ovunque derivabile tranne che in un numero finito di punt1 x1 , . . . , xk dove f (x) presenta al pi` u una discontinuit` a eliminabile od un salto. Supponiamo inoltre che f  (x) (definita per x R x1 , . . . , xk ) sia localmente integrabile. Allora,

∈ \ {

R una

}

k

T f  (x) =



[f (xi +)

i=1

− f (xi−)]δ x (x) + T f (x) . i



Esempio 4.22 Calcoliamo la derivata della distribuzione regolare avente il sim-

bolo f (x) = H (x)

− 2H (2 − x) .

La nostra funione è chiaramente di classe C 1 tranne che nei punti 0 e 2. In effetti si ha 2 if x < 0 1 if 0 x 2 f (x) = 1 if x > 2

 − −

≤ ≤

Si noti che f  (x) = 0 per ogni x = 0, 2. Applicando la Proposizione 4.21 si ottiene quindi T f  = δ 0 + 2δ 2



I salti dunque producono delta di Dirac a livello della derivata. Meno facile è capire che cosa succeda quando la funzione che si deriva presenta ad esempio un asintoto in un punto. Non miriamo a presentare una teoria generale che studi questo tipo di fenomeni e ci limitiamo invece a presentare un paio di esempi significativi.


||

Esempio 4.23 Si consideri la funzione f (x) = ln x . Essa ` e in

107

R1loc (R). Calcolia-

mo la sua derivata distribuzionale. In base alla definizione si ha che +∞

 < T ln |x| , φ >=



− < T ln |x|, φ

 −

>=

ln x φ (x) dx .

||

−∞

(4.14)

Come nei casi considerati precedentemente, non possiamo integrare per parti, senza prima spezzare l’integrale isolando la singolarità in 0. Possiamo scrivere, +∞



−∞

+∞

−

ln x φ (x) dx = lim

||

→0+

     −∞

= lim

→0+

ln x φ (x) dx +

||



ln x φ (x) dx

||



−

−

(ln )φ( )

 − −∞

1 φ(x) dx x

+∞

− (ln )φ()

−

= lim ln [φ() →0+

lim − φ(−)] − →0+

 

   −∞

 −

1 φ(x) dx + x



+∞

 

   

1 φ(x) dx x

1 φ(x) dx x

(4.15)

Si noti ora che lim ln [φ()

→0+

φ() − φ(−) − φ(−)] = (→0+ lim  ln ) lim = 0 · 2φ (0) = 0 →0+ 

(si giustifichino questi passaggi). Sostituendo in (4.15) si ha dunque +∞



−∞

−

ln x φ (x) dx =

||

lim − →0+

   −∞

1 φ(x) dx + x

+∞

 

1 φ(x) dx x

 

e quindi, tornando alla derivata che volevamo calcolare, utilizzando la (4.14) otteniamo −

 < T ln |x| , φ >= lim

→0+

   −∞

1 φ(x) dx + x

+∞

 

Potremmo essere tentati di scrivere

+∞

 < T ln |x| , φ >=



−∞

 

1 φ(x) dx . x

(4.16)

1 φ(x) dx x

e di dire come conseguenza che la derivata della distribuzione regolare T ln |x| è la distribuzione regolare T 1/x cioè quella ottenuta semplicemente derivando il simbolo

108


ln x . Tuttavia questo non è corretto in quanto la funzione 1/x non è in 1loc (R): la singolarit` a che presenta in 0 non è integrabile nel senso di Riemann (e neppure di Lebesgue o di qualunque altra teoria dell’integrazione). Dunque 1 /x non può definire una distribuzione regolare. Tuttavia la relazione (4.16) è perfettamente corretta ed in particolare implica che l’applicazione

||

R

−

→ →0+ lim

φ

  

1 φ(x) dx + x

−∞

+∞

 

 

1 φ(x) dx x

è una distribuzione (infatti è proprio la derivata di T ln |x| ). In particolare questo vuol dire che, nonostante la singolarità non integrabile di 1/x, il limite sopra esiste sempre finito. Questo si può anche dimostrare direttamente (esercizio): il fatto cruciale è che il limite venga fatto sulla somma dei due integrali che separatamente invece divergerebbero, il fatto che 1/x sia una funzione dispari gioca qui un ruolo fondamentale. Questa distribuzione viene chiamata il valore principale di 1/x, ed indicata v.p.1/x. Dunque 1   T ln |x| = v.p. . x Incontreremo ancora, pi` u avanti la distribuzione v.p.1/x. Intanto mostriamone un’utile ed intuitiva proprietà: Osservazione: Vale la seguente relazione:

»

–

1 x v.p. = T 1 . x In effetti,

1 x

˙x ˆv.p. ˜ , φ(x)¸ = ˙v.p.

(4.17)

1 x , xφ(x)

¸

−

+∞

2 Z 3 Z xφ(x) xφ(x) = lim 4 dx + dx5 x x →0+



−∞

+∞

=

Z

φ(x) dx =< T 1 (x), φ(x) > .

−∞

Esercizio 4.1 Dimostrare che la distribuzione v.p.1/x ammette anche la seguente

rappresentazione alternativa: fissato un qualunque a > 0 vale −a

< v.p.1/x, φ >=

Z 1

x

−∞

+∞

φ(x) dx +

Z 1 a

x

+a

φ(x) dx +

Z φ(x) − φ(0)

−a

x

dx ,

∀φ ∈ D .

La derivata distribuzionale gode di molte propriet` a simili al caso della derivata di funzioni. Alcune sono raccolte nella seguente proposizione.


Proposizione 4.24 Siano T 1 , T 2

le seguenti relazioni:

109

∈ D , λ1 , λ2, x0 ∈ R, a ∈ R \{0}. Allora valgono

(i) (λ1 T 1 + λ2 T 2 ) = λ 1 T 1 + λ2 T 2 . (ii) (T (x x0 )) = T  (x x0 ). (iii) (T (ax)) = aT  (ax).

−

−

Dimostrazione. Dimostriamo (iii) lasciando (i) e (ii) per esercizio. Utilizzando

la definizione di derivata e di riscalamento di una distribuzione, si ottiene < (T (ax)) , φ(x) >=

− < T (ax), φ(x) >=< T (x), −|a|−1φ (a−1x) > .

D’altra parte, considerando il secondo membro, < aT  (ax), φ(x) > = a < T  (x), a −1 φ(a−1 x) > = < T (x), a a −1 (φ(a−1 x)) > = < T (x), a a −1 a−1 φ (a−1 x) > = < T (x), a −1 φ (a−1 x) > .

−

|| || −|| −| |

Avendo ottenuto lo stesso risultato, (iii) segue.



Osservazione: Segue dalle regole precedenti che proprio come per le funzioni, per

ogni a, b

∈ R con a = 0, si ha T (ax + b) = T (a(x + a−1 b)) = aT  (a(x + a−1 b)) = aT  (ax + b) .

Esempio 4.25 Ricalcoliamo la derivata dell’Esempio 4.22 utilizzando le regole

precedenti. Si noti che T f (x) = T H (x)

− 2T H (2 − x). Si ha dunque:    T f  (x) = T H (x)−2(T H (2−x) = T H (x)+2T H (2−x) = δ 0 (x)+2δ 0 (2−x) = δ 0 (x)+2δ 2 (x) . Vale anche una generalizzazione della formula di Leibnitz:

∈ D e ψ ∈ C ∞(R). Si ha che

Proposizione 4.26 Siano T

(ψ(x)T (x)) = ψ  (x)T (x) + ψ(x)T  (x) . Dimostrazione. Per esercizio.



Esempio 4.27 Calcoliamo la derivata della distribuzione T (x) = (x 2 9)T I[ −2,3] (x).

− − T H (x − 3). Dunque si ottiene: (x) + (x2 − 9)[δ −2 (x) − δ 3 (x)] = 2xT I (x) − 5δ −2 (x) .

Si noti che T I [−2,3] (x) = T H (x + 2) T  (x) = 2xT I [−2,3]

[−2,3]

110


4.5 Convergenza di distribuzioni Sullo spazio delle distribuzioni  si può introdurre un utile concetto di convergenza nel modo seguente. Data una successione T n in  diciamo che T n converge ad una distribuzione T in  se accade la cosa seguente:

D

D

D

< T n , φ >

→< T, φ >, ∀φ ∈ D .

Valgono alcune immediate proprietà sulla convergenza di distribuzioni. Se abbiamo due successioni convergenti di distribuzioni T n T e S n S e λ, µ R, si verifica facilmente che λT n + µS n λT + µS . Si noti in particolare che dire che T n T è equivalente a dire che T n T 0 o che T T n 0.

→ → ∈ → − → Esempio 4.28 Consideriamo la successione δ n ∈ D  e facciamo vedere che essa tende alla distribuzione nulla. In effetti se φ ∈ D si ha che → − →

< δ n , φ >= φ(n) = 0 per n sufficientemente grande in virt` u del fatto che φ ha supporto compatto.



Esempio 4.29 Consideriamo la successione

T n = n(δ 1/n

− δ 0) e cerchiamo di stabilire a cosa converge. Se φ ∈ D si ha che φ(1/n) − φ(0) < T n , φ >=< n(δ 1/n − δ 0 ), φ >= → φ (0) . 1/n

Dunque abbiamo dimostrato che

− δ 0) → −δ 0 .

n(δ 1/n

Esempio 4.30 Consideriamo la successione δ (−1)n

∈ D e facciamo vedere che

∈ D si ha che < δ (−1) , φ >= φ((−1)n ) . Se φ assume valori diversi nei due punti − 1 e +1, è chiaro che la successione φ((−1)n ) osciller` a tra questi due valori e non sarà dunque convergente. essa non converge. In effetti se φ

n

Esempio 4.31 Consideriamo la successione di somme parziali n



k=−n

δ k

4.5 Convergenza di distribuzioni

111

Vorremmo far vedere che essa converge ad una distribuzione T . Ma chi è la possibile candidata distribuzione limite? Verrebbe di pensare all’oggetto: +∞

T =



δ n ,

−∞

ma ha senso? Dobbiamo dire come T agisce sulle funzioni test; definiamo nel modo naturale +∞

+∞

   δ n , φ =

−∞

φ(n) .

−∞

Si noti innazitutto che la somma a secondo membro è in realt` a una somma finita in virt` u di nuovo del fatto che φ ha supporto limitato. Bisogna far vedere che effettivamente si tratta di una distribuzione, cio` e che la mappa sulle funzioni test che abbiamo appena definito è lineare e continua. Per quanto riguarda la linearit` a si tratta come al solito di una verifica semplice che lasciamo per esercizio. Vediamo la continuit` a. Sia φ k φ per k + nel senso dello spazio . Allora sappiamo che esiste a > 0 tale che φ k (x) = 0 per ogni x tale che x > a e per ogni k; non è restrittivo supporre che a N. Valutiamo ora T su questa successione. Abbiamo

→

→ ∞

| |

∈

+∞

D

a

       δ n , φk =

−∞

φk (n)

−a

Ma quest’ultima espressione converge a

a

−a

φ(n) poiché φ k converge a φ uniforme-

mente e quindi anche puntualmente. D’altra parte si ha +∞

a

δ n , φ =

−∞

φ(n)

−a

e quindi abbiamo dimostrato che +∞

+∞

    → δ n , φk

δ n , φ .

−∞

−∞

Dunque +∞

T =



δ n ,

−∞

è effettivamente una distribuzione che consiste in infinite delta di Dirac posizionate nella griglia dei numeri interi. Essa viene detta treno di impulsi . Facciamo vedere per concludere che +∞

n

 →  δ k

k=−n

−∞

δ n

112


Facciamo vedere equivalentemente che la differenza +∞

n

 − δ n

−∞

tende a 0. Fissiamo φ

δ k

k=−n

∈ D e notiamo in effetti che +∞

n

    − δ n

−∞

δ k , φ =

k=−n

φ(n)

n∈Z |n|>a

è eguale a 0 se n è sufficientemente grande.



L’esempio precedente ammette un’utile ed evidente generalizzazione. Sia an una successione che diverge a + e sia bn una qualunque successione. Consideriamo la successione di distribuzioni:

∞

n

T n =



bk δ ak .

k=0

Ripetendo le argomentazioni precedenti si pu` o far vedere che se definiamo +∞

T =



bk δ ak ,

k=0

intendendo che se φ

∈ D, si ha +∞

< T,φ >=



bk φ(ak ) ,

k=0

→

T risulta una distribuzione e T n T . Similmente accade se avessimo che invece ak tende a . Queste considerazioni permettono di estendere la Proposizione 4.21 a situazioni con un’infinità di punti di discontinuità:

−∞

Proposizione 4.32 Sia f : R

R una funzione ovunque derivabile tranne che in una successione di punti xk (crescente a + o decrescente a ) dove f (x) presenta al pi` u una discontinuit` a eliminabile od un salto. Supponiamo inoltre che f  (x) (definita per x R xk , : k N ) sia localmente integrabile. Allora,

→

∈ \ {

∞

−∞

∈ }

+∞

T f  (x) =



[f (xi +)

i=1

− f (xi−)]δ x (x) + T f (x) . i



Dimostrazione. Supponiamo che xk tenda crescendo a +

successione di funzioni f n (x) = f (x)I ]−∞,xn ] (x) .

(4.18)

∞ e consideriamo la


113

` chiaro che T f E T f . Ne segue che T f n T f  . Si noti ora che poiché la f n presenta n un numero finito di discontinuità, ad essa si può applicare la Proposizione 4.21 ed ottenere quindi che

→

→

n−1

T f n (x)

=



[f (xi +)

i=1

Passando al limite per n

− f (xi−)]δ x (x) − f (xn−)δ x i

n

(x) + T fn  (x) .

→ +∞ si ottiene quindi la formula (4.18).

Esempio 4.33 Consideriamo la funzione f : R



di periodo 1 e tale che f (x) = x per ogni x [0, 1[. Essa presenta salti nei punti dell’insieme Z. Applicando il risultato precedente alle due funzioni f (x)H (x) e f (x)H ( x) si ottiene che

∈

→

R periodica

−

+∞

T f 

 −

=

δ k + T 1 .

−∞

e derivabile in Esempio 4.34 Consideriamo la funzione f (x) = sin x . Essa non ` tutti i punti del tipo kπ con k che dove

| | ∈ Z. Di nuovo per il risultato precedente si ottiene T f  = T f  ,

f  (x) = sgn(sin x)cos x .

Esempio 4.35 Consideriamo la successione di distribuzioni

1 T n = n

n



δ k

k=1

∈ D .

e vediamo se essa converge alla distribuzione nulla. In effetti se φ < T n , φ >=

1 n

Poichè φ ha supporto compatto, esiste n 0 Si ha dunque che se n n 0 ,

≥

n



φ(k) .

k=1

∈ N tale che φ(k) = 0 per ogni k > n0 .

1 < T n , φ >= n

n0



φ(k) .

k=1

E’ chiaro che il secondo membro sopra tende a 0 per n 

∈ D si ha che

→ +∞ e quindi è dimostrato.

114


Vediamo qualche esempio che coinvolge le distribuzioni regolari. Supponiamo R di funzioni continue a tratti che converge di avere una successione f n : R uniformemente su tutti gli intervalli limitati ad una funzione f ancora continua a tratti. Allora T fn converge a T f nel senso delle distribuzioni (si provi a dimostrarlo). Si possono indebolire le ipotesi e richiedere che f n converga ad f solo in norma quadratica su ogni intervallo limitato ed ottenere ancora che T fn converge a T f nel senso delle distribuzioni (anche questo si provi a dimostrarlo per esercizio).

→

Esempio 4.36 Consideriamo la successione di funzioni f n (x) = nI [n,+∞[ (x).

→

Chiaramente f n (x) 0 uniformemente su ogni intervallo limitato e dunque T fn 0 nel senso delle distribuzioni. 

→

Esempio 4.37 Consideriamo la successione di funzioni f n (x) = nI [−n,n] (x). Chia-

ramente f n (x) + qualunque sia x R. Questo di per sé non dimostra che T fn non converge nel senso delle distribuzioni: facciamo vedere che effettivamente è cos`ı: n

→ ∞

∈

< T fn , φ >= n



φ(x) dx .

−n

Si noti ora che

+∞

n

lim



n→+∞ −n

φ(x) dx =

Nell’ipotesi in cui questo integrale da strettamente positivo, si ottiene che



φ(x) dx .

−∞

−∞

a +

lim < T fn , φ >= +

n→+∞

Questo dimostra il nostro asserto.

∞ sia non nullo,

ad esempio

∞. 

La convergenza delle distribuzioni si può tuttavia avere anche in casi in cui i simboli corrispondenti non convergono affatto. Questo viene mostrato negli esempi seguenti: Esempio 4.38 Consideriamo la successione di funzioni f n (x) = sin nx. Sappia-

mo che la f n (x) non converge a nessuna funzione f (x), neppure puntualmente. Tuttavia si noti che


115

+∞



< T sin nx , φ > =

sin nxφ(x) dx

−∞

−

=

=

1 n

+∞



+∞

 ∞  −∞

1 + cos nxφ(x) n

1 + n

cos nxφ (x) dx

−∞

cos nxφ (x) dx

−∞

(dove abbiamo usato un passo d’integrazione per parti ed utilizzato il fatto che φ ha supporto limitato). Si noti ora che +∞

   1 n

cos nxφ(x) dx

−∞

+∞

  ≤ | 1 n



cos nx φ (x) dx

−∞

||

| ≤

1 n

+∞

 |

φ (x) dx

−∞

|

→ ∞

L’ultima quantit` a è chiaramente infinitesima per n + in quanto si tratta di 1/n moltiplicata per una costante finita. Quindi, per la catena di eguaglianze e diseguaglianze che abbiamo stabilito segue che < T sin nx , φ >

→ 0

Dunque T sin nx

→ 0!



Un altro esempio importante è il seguente che mostra come la delta di Dirac si possa pensare come limite di distribuzioni regolari. Esempio 4.39 Consideriamo la successione di funzioni

f n = np1/n e mostriamo che T fn converge alla delta in 0. Prendiamo una qualunque φ consideriamo:

∈ D e

1/2n

+∞

< T fn , φ >=



f n (x)φ(x) dx = n

−∞



φ(x) dx = φ(ξ )

−1/2n

dove ξ è un punto in [ 1/2n, 1/2n] (abbiamo utilizzato il Teorema della media integrale). Al tendere di n + , ξ deve tendere a 0 e per la continuità di φ, φ(ξ ) tende a φ(0). Quindi abbiamo mostrato che

−

→ ∞

< T fn , φ > in altre parole che T fn

→ δ 0.

→ φ(0) 

116


Mostriamo ora un’esempio dove una successione di distribuzioni costituite da delta di Dirac converge invece ad una distribuzione regolare. Esempio 4.40 Consideriamo la successione di distribuzioni

T n = Sia φ

1 n

∈ D. Si ha che < T n , φ >=

n



δ k . n

k=1

1 n

n



φ(k/n) .

k=1

Quella sopra è una somma integrale della funzione φ sull’intervallo [0, 1] e relativa alla partizione [0, 1/n] , [1/n, 2/n] , . . . , [(n 1)/n,n/n] .

−

Essendo φ integrabile su [0, 1] si ha che 1 lim n→+∞ n

1

n



φ(k/n) =

k=1



φ(x) dx .

0

Si ha dunque che T n

→ T I

[0,1]

.

4.6 Supporto di una distribuzione

→

R Richiamiamo innazitutto il concetto di supporto di una funzione. Sia f : R 1 una funzione in loc (R) e consideriamo l’insieme N f ottenuto facendo l’unione di tutti gli intervalli aperti sui quali f è nulla. Allora il supporto di f , è dato dal complementare di N f , cioè supp(f ) = (N f )c

R

Esso è quindi per definizione sempre un insieme chiuso. Esempio 4.41 Sia f (x) = sin x. Non ci sono intervalli aperti sui quali f è nulla.

∅

Quindi N f = e di conseguenza supp(f ) = sarebbe potuto pensare.

R (e

non

R

\ {kπ | k ∈ Z} come si



Si pu` o dimostrare che in generale si ha

{ ∈ R | f (x) = 0 }

supp(f ) = x

(dove la riga sopra l’insieme indica l’operazione topologica di chiusura).  Veniamo ora alle distribuzioni. Data T e un intervallo aperto A R si dice che T è nulla su A se per ogni φ tale che supp(φ) A si ha che < T,φ >= 0.

∈ D

∈ D

⊆

⊆

4.6 Supporto di una distribuzione

117

Sia N T l’unione di tutti gli intervalli aperti sui quali T è nulla. Definiamo quindi il supporto della distribuzione T come il complementare supp(T ) = (N T )c . Se T = T f è una distribuzione regolare non è difficile dimostrare che N T = N f . Esempio 4.42 Consideriamo T = δ x0 e mostriamo che supp(δ x0 ) =

x0 . In effetti se consideriamo un qualunque intervallo aperto (a, b) R x0 e φ tale c che supp(φ) (a, b) si ha che φ(x) = 0 per ogni x (a, b) e quindi in particolare < δ x0 , φ >= φ(x0 ) = 0. Dunque N δx0 = R x0 e quindi supp(δ x0 ) = x0 . 

⊆

\{ }

{ } ⊆ \{ } ∈ D { }

∈

L’operazione di derivazione non aumenta il supporto di una distribuzione:

∈ D . Allora supp(T  ) ⊆ supp(T ) .

Proposizione 4.43 Sia T

Dimostrazione. Sia A

R un intervallo aperto dove si annulla T . Vediamo che su esso si annulla anche T  . In effetti se prendiamo φ tale che supp(φ) A  abbiamo che anche supp(φ ) A e quindi

⊆

∈ D

⊆

⊆

< T  , φ >=

− < T,φ >= 0 .

Dunque T  si annulla su tutti gli intervalli aperti dove si annulla T e quindi vale la tesi.  Esempio 4.44 In virt` u del risultato precedente, tutte le derivate della delta di Dirac (q)

δ x0 hanno supporto { x0 }.



4.6.1 Distribuzioni a supporto compatto  Veniamo ora ad una definizione molto importante: una distribuzione T tale che supp(T ) è un insieme compatto (chiuso e limitato) si dice distribuzione a supporto compatto. Se T è a supporto compatto si può estendere la sua azione dallo spazio delle funzioni test a tutto quanto ∞ (R) nel modo seguente. Supponiamo che supp(T ) (a, b). Utilizzando le funzioni test γ r,M introdotte nel paragrafo 4.2, possiamo costruire una funzione φ 0 tale che φ 0 (x) = 1 per ogni x (a, b). A questo punto, se ψ è una generica funzione in ∞ (R) definiamo

∈ D

⊆

D

C

∈ D

∈

C

< T,Ψ >=< T, φ0 Ψ >

(4.19)

Poiché φ0 Ψ è sicuramente in la definizione sopra ha senso. L’unica cosa da verificare è che non dipenda dalla particolare funzione test di taglio φ 0 che abbiamo

D

118


scelto: se consideriamo un’altra funzione φ˜0 x (a, b), dobbiamo far vedere che

∈

∈ D tale che φ˜0(x) = 1 per ogni

< T, φ0 Ψ >=< T , ˜ φ0 Ψ > ,

∀Ψ ∈ C ∞(R) .

Consideriamo

− < T, ˜φ0Ψ >=< T , (φ0 − ˜φ0)Ψ >

< T, φ0 Ψ >

Poiché (φ0 φ˜0 )Ψ è una funzione test nulla su (a, b) e supp(T ) (a, b) ne segue che < T, (φ0 φ˜0 )Ψ >= 0. Questo dimostra che la nostra definizione (4.19) non dipende dalla particolare funzione φ 0 scelta. C’è ancora un’importante verifica da fare: vorremmo che (4.19) fosse un’estensione della T originale definita solo su . Dobbiamo quindi verificare che se φ si ha che

− −

⊆

D

∈ D

< T,φ >=< T, φ0 φ > . Consideriamo la differenza < T,φ >

− < T,φ0φ >=< T, (1 − φ0)φ > .

−

e notiamo che (1 φ0 )φ è una funzione test che si annulla su (a, b) che contiene il supporto di T . Quindi come prima < T, (1 φ0 )φ >= 0. Dunque effettivamente la nuova definizione estende la vecchia.

−

4.7 Convoluzione di distribuzioni Per estendere il concetto di convoluzione alle distribuzioni, cominciamo col fare R e g : R R alcune considerazioni per la convoluzione di funzioni. Se f : R sono due funzioni in 1loc (R), una delle due a supporto compatto e limitata, la convoluzione f g è ben definita ed è una funzione continua dunque in particolare anche in 1loc (R). Si può quindi considerare la distribuzione regolare associata T f ∗g . Abbiamo che utilizzando le regole di scambio degli integrali per integrali assolutamente convergenti:

∗

R

→

R

+∞

< T f ∗g (x), φ(x) >=



−∞ +∞

=

+∞

(f g)(x)φ(x) dx =

∗

+∞

    f (t)

−∞

−∞

g(x

+∞

        

f (t)g(x

−∞

−∞

+∞

− t)φ(x) dx

dt =

 

φ(x) dx

+∞

f (t)

−∞

− t) dt

→

−∞

g(x)φ(x + t) dx

 

dt

+∞

=

f (t) < T g (x), φ(x + t) > dt =< T f (t), < T g (x), φ(x + t) >>

−∞

4.7 Convoluzione di distribuzioni

119

Dunque, < T f ∗g (x), φ(x) >=< T f (t), < T g (x), φ(x + t) >> . Vediamo di capire meglio quello che abbiamo ottenuto. La formula sopra dice che per calcolare l’azione della distribuzione T f ∗g (x) sulla funzione test φ(x) si può alternativamente procedere come segue: per primo sulla funzione test φ(x + t) pensata come funzione della x, agisce la distribuzione T g (x); il risultato ottenuto è a questo punto una funzione di t e su questa agisce quindi la distribuzione T f (t). Si noti in questo caso l’utilità della notazione con la variabile indipendente nelle distribuzioni. Se T e S sono distribuzioni, saremmo quindi tentati di definire la convoluzione di T e S tramite la formula

∗

< T S,φ >=< T (t), < S (x), φ(x + t) >>

(4.20)

` lecito farlo? Si noti che certamente fissato un qualunque t E R, la funzione x φ(x + t) è una funzione test (è semplicemente una traslazione della φ(x)). Quindi ha perfettamente senso fare < S (x), φ(x + t) > che è effettivamente una funzione di t. Tuttavia per poter applicate la distribuzione T (t) dovremmo prima accertarci che < S (x), φ(x + t) > sia, rispetto a t, una funzione test. Il problema non è la regolarit` a in t, in effetti vale il seguente risultato che è una sorta di estensione del teorema di derivazione sotto segno di integrale:

∈

→

∈ D e S ∈ D si ha che t →< S (x), φ(x + t) > è una funzione di classe C ∞ . Proposizione 4.45 Se φ

Senza tuttavia ipotesi aggiuntive su S , la funzione < S (x), φ(x + t) > potrebbe non avere supporto compatto. In effetti se ad esempio consideriamo S = T 1 si ha che +∞

< T 1 (x), φ(x + t) >=



−∞

φ(x + t) dx =

+∞



φ(x) dx

−∞

cio` e una funzione costante in t. Se la funzione test φ è tale che il suo integrale non è nullo, si ha quindi una funzione non a supporto compatto. Per ottenere il supporto compatto è sufficiente ipotizzare che S sia a supporto compatto come mostra il seguente:

∈ D a supporto compatto e sia φ ∈ D. Allora t →< S (x), φ(x + t) >

Proposizione 4.46 Sia S

è una funzione test.

120


Dimostrazione. In virt` u della Proposizione 4.45 è sufficiente far vedere che ha

⊆ − ⊆ − − − ∩ − − − ∅ − −

⊆

il supporto compatto. Supponiamo che supp(S ) ( a, a) e che supp(φ(x)) ( b, b). Allora fissato t, si ha che supp(φ(x + t)) ( b t, b t). Si noti che se ( a, a) ( b t, b t) = , allora chiaramente < S (x), φ(x + t) >= 0. Basta ora osservare che sicuramente ( a, a) ( b t, b t) = se b t < a o se b t > a quindi se t > b + a o se t < b a. Questo completa la dimostrazione. 

− −

∩−− −

∅ − − −

− −

Dunque nell’ipotesi che T sia una qualunque distribuzione e che S sia una distribuzione a supporto compatto, la formula (4.20) ha perfettamente senso e definisce T S che agisce sulle funzioni test. Per esser certi che T S è effettivamente una distribuzione, dovremmo come al solito controllare che linearit` a e continuità siano rispettate. La linearit` a segue sfruttando la linearità delle due distribuzioni T e S e viene lasciata per esercizio. Per quanto riguarda la continuità, omettiamo la dimostrazione che usa tecniche di analisi funzionale che esulano dal corso. Dunque in questo caso effettivamente (4.20) definisce una distribuzione che è detta la convoluzione di T e S e rappresentata appunto con il simbolo T S . E’ interessante notare che la formula (4.20) ha ancora senso nel caso T sia a supporto compatto e S qualunque. In effetti in tal caso si ha che comunque la funzione t < S (x), φ(x + t) > è di classe C ∞ . Per cui ad essa si può applicare la distribuzione T (t) in virt` u dei risultati ottenuti precedentemente per distribuzioni a supporto compatto. Si può mostrare che ancora comunque (4.20) definisce una distribuzione ancora chiamata convoluzione di T e S . Se infine entrambe le distribuzioni T e S sono a supporto compatto si può mostrare che anche la convoluzione T S è a supporto compatto (lo si verifichi p er esercizio). La convoluzione tra distribuzioni gode di molte delle propriet` a che valevano nel caso di funzioni. Alcune sono raccolte nella seguente proposizione che enunciamo senza fornire dimostrazione.

∗

∗

∗

→

∗

Proposizione 4.47 Siano S , T e U tre distribuzioni con almeno due di esse a

∈ R. Allora le seguenti convoluzioni sono tutte ben

supporto compatto e siano λ , µ definite e valgono le eguaglianze:

S T = T S

∗ ∗ S ∗ (T ∗ U ) = (S ∗ T ) ∗ U S ∗ (λT + µU ) = λ(S ∗ T ) + µ(S ∗ U ) Calcoliamo ora esplicitamente alcuni prodotti di convoluzione. Esempio 4.48 Sia T una qualunque distribuzione. Calcoliamo δ x0

mostrando in particolare la validità della regola di commutatività:

∗ T e T ∗ δ x

0

< δ x0 T (x), φ(x) >=< δ x0 (s), < T (x), φ(x+s) >>=< T (x), φ(x+x0 ) >=< T (x x0 ), φ(t) >

∗

−

4.7 Convoluzione di distribuzioni

Dunque, (δ x0

121

∗ T )(x) = T (x − x0). D’altra parte,

∗

−

< T δ x0 , φ >=< T (t), < δ x0 (s), φ(t+s) >>=< T (t), φ(t+x0 ) >=< T (t x0 ), φ(t) > Dunque, (T δ x0 )(x) = T (x x0 ). Quindi abbiamo ottenuto che la convoluzione di una distribuzione T per la δ x0 ne determina una traslazione di x 0 . Cioè,

∗

−

(δ x0

∗ T )(x) = (T ∗ δ x )(x) = T (x − x0) . 0

Si noti in particolare che δ 0 T = T δ 0 = T .

∗

∗

La convoluzione per la δ 0 non produce alcun cambiamento nella distribuzione. In termini algebrici, pensando la convoluzione come un’operazione di prodotto, potremmo dire che δ 0 è l’unità rispetto a questo prodotto.  Questo esempio è collegato al seguente risultato: Proposizione 4.49 Siano S e T due distribuzioni delle quali almeno una a

∈ R. Allora si ha (S (x) ∗ T (x))(x − x0 ) = S (x − x0 ) ∗ T (x) = S (x) ∗ T (x − x0 ) .

supporto compatto e sia x 0

a di associativit` a Dimostrazione. Segue dall’esempio precedente e dalla propriet` che (S (x) T (x))(x x0 ) = (S (x) T (x)) δ x0 (x) = S (x) (T (x) δ x0 (x)) = S (x) T (x x0 ) .

∗

− ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − Quindi, (S (x) ∗ T (x))(x − x 0 ) = S (x) ∗ T (x − x 0 ). L’altra eguaglianza si dimo-

stra similmente in modo diretto oppure segue utilizzando la commutatività della convoluzione.  Il prossimo risultato mostra invece come le operazioni di derivazione e di convoluzione interagiscono tra di loro. Proposizione 4.50 Siano S e T due distribuzioni delle quali almeno una a

supporto compatto. Allora si ha, (S T ) = S  T = S T 

∗

∗

∗

∈ D. Abbiamo che, < (S ∗ T ) , φ > = − < S ∗ T, φ >= − < S (s), < T (t), φ (s + t) >> = < S (s), < T  (t), φ(s + t) >>=< S ∗ T  , φ > Quindi abbiamo fatto vedere che (S ∗ T ) = S ∗ T  . Essendo la convoluzione Dimostrazione. Sia φ

commutativa l’altra eguaglianza segue da quella appena dimostrata.



122


Esempio 4.51 Sia T una qualunque distribuzione e consideriamo la sua convolu-

zione per le derivate della delta di Dirac. Utilizzando ripetutamente la Proposizione 4.50 e l’Esempio 4.48 otteniamo, (δ x(q) T )(x) = (δ x0 0

∗

∗ T )(q)(x) = T (q) (x − x0) .

In particolare, per x 0 = 0 otteniamo che (q)

δ 0

∗ T = T ∗ δ 0(q) = T (q) .

Cioè la convoluzione di una distribuzione T per la derivata q -esima della delta δ 0 produce semplicemente la derivata q -esima di T .  Vediamo un altro risultato ancora che mostra come il prodotto di convoluzione trasforma la convergenza.

→ T in D e sia S un’altra distribuzione a supporto compatto. Allora si ha che T n ∗ S → T ∗ S . e una funzione Dimostrazione. Fissiamo φ ∈ D. Sappiamo che < S (s), φ(s+t) > ` Proposizione 4.52 Sia T n una successione di distribuzioni tali che T n

test in t. Dunque per la definizione di convergenza di successioni di distribuzioni abbiamo che, < T n (t), < S (s), φ(s + t) >>

→< T (t), < S (s), φ(s + t) >> .

Questo dimostra il risultato.



Si può fornire un’altra versione del risultato sopra ipotizzando che anziché la S , siano le T n e la T ad essere a supporto compatto: Proposizione 4.53 Sia T n una successione di distribuzioni a supporto compatto e

→

sia T un’altra distribuzione sempre a supporto compatto. Supponiamo che T n T ma nel senso che < T n , ψ > < T,ψ > ψ C ∞ (4.21)

→

∀ ∈

D). Sia poi

(si noti che questa è una nozione di convergenza più forte di quella in S un’altra qualunque distribuzione. Allora si ha che

∗ → T ∗ S .

T n S

Dimostrazione. Si procede ripetendo i passi della dimostrazione della Proposi-

zione 4.52 e viene lasciata per esercizio.



` interessante mostrare che cosa succede quando facciamo la convoluzione tra E una qualunque distribuzione T e una distribuzione regolare T γ con simbolo dato

4.8 Esercizi

∈D

123

da una funzione test, γ . La convoluzione si può sicuramente fare poich´ e T γ è certamente a supporto compatto. La cosa interessante è che T T γ è una distribuzione regolare con simbolo C ∞ . Vediamo perché. Sia φ .

∗

∈ D

+∞

< T T γ , φ > = < T (t), < T γ (s), φ(s + t) >>=

∗

  T (t),

γ (s)φ(s + t) ds

−∞

+∞

=

  T (t),

φ(s)γ (s

−∞

− t) ds



=< T (t), < T φ (s), γ (s



− t) >>

+∞

= < T φ (s), < T (t), γ (s

− t) >>=



φ(s) < T (t), γ (s

−∞

− t) >

ds .

(4.22) Ma questo mostra proprio che T T γ coincide con la distribuzione regolare avente come simbolo la funzione s < T (t), γ (s t) >

∗ →

−

che sappiamo, dalle considerazioni sulla definizione di convoluzione, essere di classe C ∞ . E’ possibile dimostrare che vale il seguente risultato.

∈ D , esiste una successione di funzioni T Ψ → T

Teorema 4.54 Data una qualunque T

ψn

∞

∈ C

tale che

n

nel senso delle distribuzioni.

4.8 Esercizi Esercizio 4.2 Dire, giustificando la risposta, quali delle seguenti applicazioni da

D in R sono effettivamente delle distribuzioni: 1

< T 1 , φ >=

  0 1

< T 3 , φ >=

1

ln(x + 1)φ(x) dx ,

φ(x) 2 dx ,

 |

|

0

φ (x) dx ,

0

< T 5 , φ >= φ(1)

< T2 , φ >=

|

|

< T4 , φ >= φ(5) 4

− φ(2) + φ(3) − φ(4) ,

< T 6 , φ >=



sin xφ(x) dx + 6φ(4)

−4

124


Esercizio 4.3 Dire, giustificando la risposta, quali delle seguenti applicazioni da

D in R sono effettivamente delle distribuzioni: 1

< T 1 , φ >=

x2 φ(x) dx +

  

−1 1

< T 3 , φ >=

xφ (x) dx , (sinh x

−∞

Esercizio 4.4 Sia φ

1

ex φ(x) dx ,

< T2 , φ >=

φ(x)3 dx

 0

−2

0 ∞

< T 5 , φ >=

3



< T4 , φ >= φ(5)φ(3)

− 4x)φ(x) dx + e12φ(e) ,

< T 6 , φ >= 1

∈ D. Dimostrare che φ  ∈ D e vale +∞



φ (x) dx = 0 .

−∞


∈ D tale che +∞



φ(x) dx = 0 .

−∞

Dimostrare che esiste un’altra funzione test ρ x R. E’ unica una siffatta ρ?

∈


∈ D tale che ρ  (x) = φ(x) per ogni

∈ D tale che +∞



φ(x) dx = 0 .



−∞

Mostrare che non esiste una funzione test ρ

∈ D tale che ρ (x) = φ(x).

Esercizio 4.7 Sia f (x) una funzione di classe C 1 tale che f (x0 ) = 0, f  (x0 ) = 0 e



f (x) = 0 per ogni x = x 0 . Allora le uniche distribuzioni che soddisfano l’equazione f (x)T (x) = 0 sono quelle del tipo T (x) = cδ x0 .





Esercizio 4.8 Sia f (x) una funzione di classe C 1 per la quale esistono punti

distinti x1 , x2 , . . . xk tali che f (xi ) = 0 , f  (xi ) = 0 per ogni i = 1, . . . , k e f (x) = 0 per ogni x x1 , x2 , . . . xk . Allora le uniche distribuzioni che soddisfano l’equazione f (x)T (x) = 0 sono quelle del tipo



∈ {



}

k

T (x) =

 i=1

ci δ xi .

4.8 Esercizi

125

Esercizio 4.9 Sia f (x) una funzione di classe C 1 per la quale esiste una succes-

sione di punti distinti (xk ) priva di punti di accumulazione tale che f (xk ) = 0, f  (xk ) = 0 per ogni k e f (x) = 0 per ogni x x1 , x2 , . . . . Allora le uniche distribuzioni che soddisfano l’equazione f (x)T (x) = 0 sono quelle del tipo





∈ {

}

+∞

T (x) =



ci δ xi .

i=1

Esercizio 4.10 Calcolare la derivata delle distribuzioni regolari aventi i seguenti

simboli:

|x2 − 1|

(5x + 3)H (x) , sgn(x) + 2x , (x2

1 sin xH (x) , arctan x−1

− 1)H (−x) ,

Esercizio 4.11 Calcolare la derivata delle distribuzioni seguenti 2

ex δ −1 + T 3sgn(−x) ,

T H (2x) + 5δ 3 (2x) , Esercizio 4.12 Sia φ

x2 T I [−1,1] (x)

∈ D una funzione test tale che φ  (0) = −2. Calcolare < sin xδ 0 ,φ > .

Esercizio 4.13 Mostrare che le uniche distribuzioni T

sono quelle del tipo T f con f : risultato dell’Esercizio 4.5.)

R

→

R funzione

∈ D  tali che T (x) = 0

costante. (Sugg.: utilizzare il

∈ D tali che T  = δ 0 + δ 2 −

Esercizio 4.14 Determinare tutte le distribuzioni T

2δ 1 .

(Sugg.: utilizzare il risultato dell’Esercizio 4.13.)

tale che T  = 2δ 0 e che +∞ tale che φ(0) = 3 e −∞ φ(x) dx = 1.

Esercizio 4.15 Determinare la distribuzione T

soddisfa < T,φ >= 1 per ogni φ

∈ D

Esercizio 4.16 Dimostrare che per n

nn δ n

→ 0 ,

∈ D



→ +∞ si ha che δ n(n) → 0 , e−1/n δ 1/n → δ 0

nel senso delle distribuzioni. Esercizio 4.17 Dimostrare che la successione

T n = n(δ 1/n + δ 0 ) non converge. Esercizio 4.18 Per ciascuna delle successioni di distribuzioni seguente stabilire

→ +∞ ed in caso affermativo determinarne il limite. √ n(δ − δ ) , n2(δ − δ ) . n(δ 1/n − δ −1/n ) , 1/n −1/n 1/n −1/n

se converge o meno, per n

126


Esercizio 4.19 Consideriamo la successione di funzioni

f n (x) = I [2(−1)n ,2(−1)n +1] (x) . Dimostrare che T fn non converge nel senso delle distribuzioni. Esercizio 4.20 Consideriamo la successione di funzioni

f n (x) = n2 p1/n (x) . Dimostrare T fn non converge nel senso delle distribuzioni. Esercizio 4.21 Mostrare che se consideriamo la successione γ n (x) definita nel

paragrafo 4.2, la successione di distribuzioni T γn converge a δ 0 . Esercizio 4.22 Costruire una successione di funzioni f n (x) tale che T fn

senso delle distribuzioni.

→ δ 0 nel

Esercizio 4.23 Determinare il limite della successione di distribuzioni

T n =

5n

1 n



δ k . n

k=−2n

Esercizio 4.24 Determinare il limite della successione di distribuzioni

T n =

1 n2

2n



kδ k . n

k=1

Esercizio 4.25 Per ciascuna delle seguenti distribuzioni, se ne determini il sup-

porto e si dica quali di esse risulta a supporto compatto: T p1

− δ 1/2 ,

xδ 0 ,

+∞

 δ −2 2

− T H ,

 ex δ 32 + x6 δ −12 ,



n=0

e−n δ n2

T x2 −x

∈ C∞(R). Dimostrare che

Esercizio 4.26 Sia T una distribuzione e sia Ψ

supp(Ψ T )

⊆ supp(T ) .

Esercizio 4.27 Sia T n una successione di distribuzioni per le quali esiste x 0 > 0

tale che supp(T n )

⊆ [−x0, x0 ] , ∀n ∈ N . Dimostrare che T n (x − n) → 0 per n → +∞.

4.8 Esercizi

127

4.8.1 Soluzioni

4.2 T 1 è una distribuzione in quanto coincide con T g dove g(x) = [0,1] (x)ln(x + 1). T 2 non è una distribuzione in quanto non è lineare (si ha ad esempio < T 2 , φ >=< T 2 , φ > qualunque sia φ ). T 3 è una distribuzione in quanto, per il Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che

X

−

∈D

< T 3 , φ >= φ(1)

− φ(0) =< δ 1 − δ 0,φ > .

−

Dunque, T 3 = δ 1 δ 0 . T 4 non è una distribuzione in quanto non è lineare. T 5 è una distribuzione in quanto coincide con δ 1 δ 2 +δ 3 δ 4 . T 6 è una distribuzione in quanto coincide con T g + 6δ 4 dove g(x) = [−4,4] (x)sin x. 4.3 Sono distribuzioni T 1 , T 3 e T 5 . Non lo sono le altre. 4.10 5T H + 3δ 0 , 2δ 0 + T 2 , T 2xsgn(x2 −1)

−

T 2xH (−x) + δ 0 , 4.11

 δ 0 + 5/2δ 3/2 ,

− 4.

4.12 4.14 4.15 4.18 4.23 4.24 4.25

 eδ −1

T cos xH (x) ,

− 6δ 0 ,

−

X

T

−1 (x−1)2 +1

+ πδ 1

2xT I [−1,1] (x) + δ −1

− δ 1

T = T H (x) + T H (x−2) T = 2δ 0 5T 1 . 2δ 0 , 0, non converge. T I [−2,5] . 0.

−

− 2δ 1 + CT 1 al variare di C ∈ R costante.

∗ [−1/2, 1/2], {−2} ∪ [0, +∞[, {n2 | n ∈ N} ∗ ∅, ∗ {−12, 32}, R Sono a supporto compatto quelle contrassegnate con una ∗.

5 Trasformata di Fourier

5.1 Introduzione 5.2 Trasformata di Fourier di funzioni Le serie di Fourier non sono utilizzabili per rappresentare segnali non periodici. Una delle conseguenze è l’impossibilità di utilizzarle per risolvere equazioni alle derivate parziali definite su domini non limitati come ad esempio il caso della corda vibrante infinita. Le trasformate di Fourier che introdurremo in questo capitolo sono una naturale estensione delle serie di Fourier al caso di segnali non periodici e hanno importanti applicazioni proprio sul tipo di equazioni alle derivate parziali alle quali accennavamo. Facciamo prima alcune considerazioni informali che guideranno però le nostre derivazioni successive. Consideriamo una funzione f : R → R continua. Fissato T > 0 sia f T la funzione ottenuta estendendo per T -periodicità la restrizione di f all’intervallo [−T /2, T /2]. Supponendo che f T ∈ C T possiamo allora scrivere la sua rappresentazione in serie di Fourier complessa come +∞

f (t) =



2π

ck eik T t ,

t ∈ [−T /2, T /2]

−∞

dove 1 ck = T

T /2



2π

f (t)e−ik T t dt

−T /2

(il limite della serie deve intendersi in senso quadratico ma non ci preoccupiamo di questo nelle considerazioni informali seguenti). Possiamo dunque scrivere, se t ∈ [ −T /2, T/2], +∞

f (t) =

   −∞

1 T

T/ 2

−T /2

2π



2π

f (t)e−ik T t dt eik T t

130


Con un po’ di fantasia il secondo membro della formula sopra può essere interpretato, per t fissato, come la somma di Riemann relativa ad una partizione uniforme di intervalli di ampiezza 1/T dall’intervallo di integrazione (−∞, +∞) della funzione



T /2

gT (γ ) =

f (t)e

−2πikγt



dt e2πikγt

−T /2

che, con un po’ di fortuna, per T → + ∞ dovrebbe convergere all’integrale della funzione limite ∞ g∞ (γ ) =



f (t)e

−2πikγt



dt e2πikγt

−∞

cos`ı da ottenere +∞

f (t) =

+∞

  −∞

−2πikγt

f (t)e

−∞



dt e2πikγt

(5.1)

Naturalmente il procedimanto non è rigoroso in quanto le somme di Riemann convergono su intervalli chiusi e limitati ed in questo caso si sta anche contemporaneamente facendo il limite della funzione integranda; le cose in effetti possano andare male in quanto già l’integrale pi` u interno potrebbe non esistere affatto come integrale improprio (ad esempio se f in partenza era periodica). Tuttavia questo suggerisce che se f sarà scelta ‘buona’ (in senso da specificare ma che riguarderà soprattutto le sue proprietà asintotiche), la formula (5.1) dovrebbe valere: in essa f è essenzialmente rappresentata come una somma di un insieme continuo (data dall’integrazione esterna) di componenti periodiche e 2πikγt pesate dalla funzione ˆ )= f (γ

+∞



f (t)e−2πikγt dt

−∞

che gioca qui il ruolo analogo ai coefficienti di Fourier e che prende appunto il nome di trasformata di Fourier. In questo senso, tutto questo è la naturale estensione delle serie di Fourier a segnali non periodici. 5.2.1 Definizione e prime propriet` a Come per le serie di Fourier dobbiamo prima definire lo spazio dei segnali che considereremo. Definiamo R1 come lo spazio delle funzioni f : R → C continue a tratti (nel senso che su ogni intervallo limitato presentano al più un numero finito di discontinuit` a che possono essere solo salti) ed integrabili assolutamente su tutto e tali che R cio` +∞



−∞

M

|f (t)| dt =

lim

M →+∞



|f (t)| dt < +∞ .

−M

(si noti che l’ipotesi di continuità tratti implica l’integrabilit` a su ogni intervallo limitato).

5.2 Trasformata di Fourier di funzioni

131

Esempio 5.1 Le funzioni seguenti:

1 , 1 + t2 stanno in

R

1

2

e−t ,

sin te−|t|

(sono continue e assolutamente integrabili). Invece le funzioni, sin t,

„ «

t

e,

, sin

1 t

2

e−t

non ci stanno (le prime due perchè non sono assolutamente integrabili pur essendo continue, la terza perchè presenta una discontinuità di terza specie in 0.

Introduciamo alcune utili notazioni. Se a < b sono due numeri reali, indichiamo con I [a,b] la funzione indicatrice dell’intervallo [a, b], (nota come funzione porta nel linguaggio dell’ingegneria elettronica): I [a,b] (t) =



1 se t ∈ [a, b] ∈ [a, b] 0 se t 

La funzione indicatrice I [0,+∞[ viene anche indicata col simbolo H (t) ed è nota con il nome di funzione di Heavyside . Esempio 5.2 Le funzioni seguenti: +∞

I [a,b] (a < b stanno in

R

1

X

∈ R),

2−k I [k,k+1[

k=0

(verificare per esercizio). Invece le funzioni, +∞

H (t),

X−

( 1)k I [1/k,1/(k+1)[

k=1

non ci stanno (la prima non è assolutamente integrabile, la seconda perch` e presenta un’infinita di salti nell’intervallo limitato [0 , 1]. Esercizio 5.1 Si dica quali delle seguenti funzioni stanno in

t4 sin te−|t| , 2

cos(e−t ),

(sin t)2 t2

sin t , t2 + 1

1

R :

( 1)k I [1/k,1/(k+1)[ , k k=1

P−

+∞

P

+∞ k=1

1 I [1/k,1/(k+1)[ k2

Si noti che R1 è effettivamente uno spazio vettoriale (combinazione lineare di funzioni in R 1 è ancora una funzione in R 1 ) e in esso è definita una norma: +∞

||f ||1 =



−∞

|f (t)| dt .

132


Si può far vedere che essa gode delle proprietà della norma N1), N2), N3) del Capitolo 1 e da essa si può definire un concetto di distanza come fatto prima. Si noti che a differenza della norma quadratica tuttavia, la norma ||·||1 non ‘proviene’ da un prodotto scalare. Sia ora f ∈ R 1 e sia γ ∈ R; consideriamo la funzione t → f (t)e−2πiγt essa è sicuramente una funzione assolutamente integrabile su R. In effetti essa, essendo ancora continua a tratti, è integrabile su ogni intervallo limitato e si ha

|f (t)e−2πiγt | = | f (t)| il che implica, poichè f ∈ R 1 , che essa è assolutamente integrabile. In particolare questo implica che ha senso definire la funzione f ˆ : R → C come f ˆ(γ ) =

+∞



f (t)e−2πiγt dt

−∞

che è detta la trasformata di Fourier della f . Talvolta si usa anche la notazione F (f ) per indicare la trasformata di Fourier della f . Prima di cominciare ad introdurre le propriet` a principali della trasformata di Fourier presentiamo alcuni semplici esempi. Esempio 5.3 sia α

∈ C tale che e α > 0 e consideriamo la funzione f (t) = H (t)e−

αt

.

Essa è continua a tratti e

Z

+∞

−∞

Dunque sta in

Z

+∞

|f (t)| dt =

Z

+∞

H (t)e−e αt dt =

−∞

e−e αt dt =

0

1 < + eα



∞

1

R . Calcoliamo la sua trasformata di Fourier:

ˆ )= f (γ

Z

+∞

−αt −2πiγt

H (t)e

e

Z

+∞

dt =

−∞

e−(α+2πiγ )t dt =

0

1 α + 2πiγ

Esempio 5.4 Sia T > 0 e consideriamo la funzione f (t) = I [−T,T ] (t). Chiaramente,

f

1

∈ R

e si ha

ˆ )= f (γ

Z

+∞

−∞

−2πiγt

I [−T,T ] (t)e

Z

T

dt =

−T

e−2πiγt dt =

e2πiγT e−2πiγT sin(2πγT ) = 2πiγ πγ

−

La trasformata di Fourier gode di alcune basilari propriet` a: per prima cosa è un’operazione di tipo lineare; inoltre scambia tutta una serie di operazioni che vengono fatte sul dominio del tempo con altre operazioni nel dominio della frequenza. Il prossimo risultato inizia a presentare questo tipo di risultati molto utili nelle applicazioni. Teorema 5.5 Siano f (t), g(t) ∈ R1 e siano α, β ∈

C,

γ 0 , t0 ∈

R.

Allora si ha


133

a 1. linearit`

F (αf (t) + βg(t))(γ ) = α F (f (t))(γ ) + β F (g(t))(γ ). 2. modulazione

F e2πiγ t f (t) (γ ) = F (f (t))(γ − γ 0 ).



3. traslazione



0

F (f (t − t0 ))(γ ) = e −2πiγt F (f (t)) 0

Dimostrazione. Le dimostrazioni sono molto semplici. Vediamo la 3. lasciando le altre

per esercizio. Una semplice sostituzione nell’integrale mostra che

Z

+∞

F (f (t − t ))(γ ) = 0

−∞

f (t

− t )e−

2πiγt

0

Z

+∞

dt =

f (s)e−2πiγ (t+t ) dt = e −2πiγt 0

−∞

0

F (f (t)) 

Osservazione: I punti 2. e 3. del teorema precedente mostrano come scambi tra di loro le operazioni di moltiplicazione per esponenziali immaginari e di traslazione.

F

Un altro risultato dello stesso tipo di quelli illustrati nel teorema precedente è il seguente: Proposizione 5.6 Sia f (t) ∈ R1 , allora

F (f (−t))(γ ) = F (f (t))(−γ ) Dimostrazione.

Z Z

+∞

F (f (−t))(γ ) =

−∞ +∞

=

−2πiγt

f ( t)e

−

−∞

dt =

f (t)e2πiγt dt =

−∞

Z −

f (t)e2πiγt dt

+∞

F (f (t))(−γ ) 

Da questo segue subito il seguente: Corollario 5.7 Sia f (t) ∈ R1 , allora ˆ ) è pari. 1. Se f (t) ` e pari, anche f (γ 2. Se f (t) è dispari, anche f ˆ(γ ) ` e dispari. Facciamo ora alcune considerazioni sulla struttura in parte reale ed immaginaria della trasformata di Fourier. Sia f (t) ∈ R1 . La sua trasformata di Fourier può essere scritta come

134

F. Fagnani agnani,, A. Tabacco abacco,, P. Till Tillii

f ˆ(γ ) =

+∞

 

f (t)e−2πiγt dt

−∞ +∞

=

(5.2)

+∞

f (t) cos(2 cos(2πγ πγtt) dt − i

−∞



f ( f (t) sin(2 sin(2πγt πγt)) dt

−∞

Da questa questa rappre rappresen sentaz tazion ionee si ottien ottienee il seguen seguente te risult risultato ato,, che che tra l’altr l’altroo implica il corollario precedente. Corollario 5.8 Sia f ( f (t) ∈ R1 , allora 1. Se f ( f (t) è pari, allora al lora +∞



f ˆ(γ ) =

f (t) cos(2 cos(2πγt πγt)) dt .

−∞

2. Se f ( f (t) è dispari, dispar i, allora al lora f ˆ(γ ) = −i

+∞



f ( f (t) sin(2 sin(2πγt πγt)) dt .

−∞

Dimostrazione. Dimostriamo 1. lasciando 2. per esercizio. Se f ( f (t) è pari, segue che

f ( f (t)sin(2πγ )sin(2πγtt) è dispari disp ari in t. t . Dunque, Dunque,

Z

+∞

f ( f (t) sin(2 sin(2πγ πγtt) dt = dt = 0

−∞

Segue allora dalla rappresentazione (5.2) che f ( f ˆ(γ ) =

Z

+∞

f ( f (t) cos(2 cos(2πγ πγtt) dt

−∞ 

5.2.2 Propriet` Proprie t` a di d i regolari r egolarit` t` a e di comportamento comp ortamento asintotico asintoti co Notiamo alcuni propriet` a comuni alle trasformate di Fourier degli Esempi 5.3 e 5.4: si sono ottenute, in entrambi i casi funzioni continue, limitate, infinitesime per t → ±∞. Questo Questo non è un caso e lo faremo vedere vedere in generale. generale. Prima tuttavia tuttavia dobbiamo premettere alcuni richiami tecnici sugli integrali che ci saranno utili nel seguito; sono presentati senza dimostrazione. Teorema eorema 5.9 (della conver convergenza genza dominata dominata di Lebesgue) Lebesgue) Sia f n : I → R 1 una successione di funzioni in R che convergono puntualmente ad una funzione R 1 . Supponiamo inoltre che esista g f : I → R anch’essa in R g ∈ R1 a valori positivi tale che | | f n (t)| ≤ g( g (t) per ogni t ∈ I . I . Allora vale lim

n→+∞

 I

f n (t) dt = dt =

 I

f ( f (t) dt

5.2 Trasf Trasform ormata ata di Fourier ourier di funzio funzioni ni

135

Questo risultato ha due importanti conseguenze espresse nei seguenti: Teorema 5.10 (della continuit` a sotto segno di integrale) Sia f (t, x) una funzione di due variabili con t t ∈ I e x ∈ J J intervalli. Supponiamo che 1. f (t, x) sia continua in x x per ogni t t ∈ I e x x ∈ J . J . 1 2. per ogni x x ∈ J , J , f ( f (t, x) sia in R rispetto a t. t . 3. esista g ∈ R1 a valori non negativi tale che |f (t, x)| ≤ g(t) per ogni t ∈ I e x ∈ J . J . Allora, la funzione di x di x::



f ( f (t, x) dt

I

è cont co ntin inua ua in x su J su J .. Dimostrazione. Sia x

∈ J e J e sia x → x. Si tratta di far vedere che f ( f (t, x ) dt → f ( f (t, x) dt n

Z

Z

n

I

I

Sia f Sia f n (t) = f ( f (t, xn ) e f ( f (t) = f ( f (t, x). Per la continuità della f della f ((t, x) rispetto a x a x segue che f n (t) f ( f (t) puntualmente in t. t . Inoltre, Inoltre,

→

|f (t)| = |f ( f (t, x )| ≤ g (t) n

n

Tutto allora segue dal teorema di convergenza dominata di Lebesgue.



Il seguente è ancora un’altra applicazione del teorema di convergenza convergenza dominata di Lebesgue e la dimostrazione (un po’ più complicata di quella del Teorema 8.24) è lasciata l asciata per esercizio. eserciz io. Teorema eorema 5.11 (della derivazion derivazione e sotto segno di integrale integrale)) Sia f ( f (t, x) una u na funzione di due variabili con t con t ∈ I e x ∈ J J intervalli. Supponiamo che 1. f (t, x) sia derivabile in x x per ogni t t ∈ I e x x ∈ J . J . R 1 rispetto a t. 2. per ogni x x ∈ J , J , f ( f (t, x) e f x (t, x) siano in R t . 1 3. esista g ∈ R a valori non negativi tale che |f x (t, x)| ≤ g (t) per ogni t ∈ I e x ∈ J . J . Allora, la funzione di x di x::



f ( f (t, x) dt

I

è deriva der ivabile bile in x su J su J e e si ha d dx .

 I

f ( f (t, x) dt = dt =



f x (t, x) dt

I

Infine presentiamo il seguente utile risultato.

136

F. Fagnani agnani,, A. Tabacco abacco,, P. Till Tillii

Proposizione 5.12 Sia f ( f (t) ∈ R1 una funzione derivabile con f f  (t) ∈ R1 . Allora, lim f ( f (t) = 0

t→±∞

Dimostrazione. Possiamo Possiamo scrivere, scrivere, in virt` u del teorem teorema a fondam fondamen ental talee del calcol calcolo o

integrale:

Z

t

f ( f (t) = f (0) f (0) +

f  (s) ds

0

dalla quale segue che esiste finito

lim f ( f (t) = l

t→+∞

Supponiamo per assurdo che l = 0. Allora si ha che f ( f (t) consegue che esiste sicuramente t 0 tale che



|l| |f ( f (t)| ≥ , 2 Ne segue che

| → |l| > 0 per t → +∞; ne

|

Z |

∀t ≥ t

0

t

| ≥ (t − t ) |2l| → +∞ per t → +∞ il che è assurdo assurdo per il fatto che f ( f (t) ∈ R . Quindi f ( f (t) è infinitesima infinites ima per t → +∞. Analogamente si dimostra per t per t → −∞. f ( f (s) ds

0

t0

1



Osservazione: Se sappiamo soltanto che f che f ((t)

della Proposizione 8.15. Si consideri infatti: f ( f (t) =



∈R

1

non è affatto affat to detto de tto che valga la tesi

N se t = N = N N 0 altr altrim imen enti ti

∈ ∈

1 Allora è facile rendersi conto che f che f ((t) e che infatti si ha f 1 = 0. D’altra parte f ( f (t) non n on è infinitesim in finitesima a p er t + in quanto f quanto f ((N ) N ) + per p er N N N + .

→ ∞

∈ R

|| || → ∞ ∈ ∈ → ∞

Possiamo ora presentare il seguente risultato: Teorema 5.13 Sia f ∈ R 1 . Allora, 1. f ` f ˆ è contin cont inua ua.. 2. f ` f ˆ è limita lim itata ta e | f ( f ˆ(γ )| ≤ ||f ||1 per ogni γ γ ∈ ˆ 3. lim f ( f (γ ) = 0.

R.

|γ |→+ |→+∞

Dimostrazione. 1. Immediata conseguenza del Teorema 8.24. 2. +∞

f (γ )| = | |f (



−∞

−2πiγt

f ( f (t)e

+∞

dt| ≤



−∞

f (t)e |f (

−2πiγt

+∞

dt = | dt =



−∞

dt = ||f || |f (t)| dt = ||1


137

3.Consideriamo il caso particolare in cui f è di classe C 1 su di un intervallo limitato [a, b] e 0 altrove. Si ha allora, integrando per parti b

f (γ ) =



f (t)e−2πiγt dt

a

2πiγt = f (t) e−2πγ −



b a

+

1 2πγ

b



f  (t)e−2πiγt dt

a

f (a)e−2πiγa − f (b)e−2πiγb 1 f ˆ (γ ) + 2πγ 2πγ

=

ˆ (γ ) Per γ → ±∞ l’espressione sopra è infinitesima in quanto per il punto 2. f risulta essere limitata in γ . Il caso generale può essere affrontato approssimando opportunamente la funzione f con funzioni di questo tipo; gli aspetti tecnici sono tuttavia alquanto complicati e non vengono qui riportati.  La trasformata di Fourier scambia le operazioni di derivazione e di moltiplicazione per la variabile indipendente tra i domini del tempo e della frequenza come mostra il seguente importante risultato. Teorema 5.14 Sia f (t) una funzione. Allora si ha, 1. derivazione Supponendo che f (t) sia in R 1 , derivabile con f  (t) ∈ R1 , si ha che F (f  (t))(γ ) = 2πiγ F (f (t))(γ ) 2. moltiplicazione Supponendo che f (t), tf (t) ∈ R1 , si ha che F (f (t))(γ ) è derivabile e si ha 1 F (tf (t))(γ ) = − F (f (t)) (γ ) 2πi Dimostrazione.

1. Si ha, utilizzando l’integrazione per parti e la Proposizione 8.15

F (f  (t))(γ ) = = =

Z » ˆ

M

lim

M →+∞

lim

M →+∞

lim

M →+∞

f  (t)e−2πiγt dt

−M

f (t)e−2πiγt

˛˛

M −M

f (M )e−2πiγM

= 2πiγ (f (t))(γ ).

F

2. Si ha, utilizzando il Teorema 8.25

Z

M

+ 2πiγ

–

f (t)e−2πiγt dt

−M

˜

2πiγM

− f (−M )e

+ 2πiγ (f (t))(γ )

F

138


Z

∞

F (tf (t))(γ ) =

tf (t)e−2πiγt dt

−∞

=

−

1 2πi

Z

∞

f (t)

−∞

1 ∂ − 2πi ∂γ

=

Z

∞

∂ −2πiγt e dt ∂γ

f (t)e−2πiγt dt .

−∞ 

Corollario 5.15 Sia f (t) una funzione. Allora si ha, 1. Supponendo che f (t) sia in R1 , derivabile k volte con f  (t), . . . , f (k) (t) ∈ R1 , si ha che F (f (k) (t))(γ ) = [2πiγ ]k F (f (t))(γ ) 2. Supponendo che f (t), tk f (t) ∈ R1 , si ha che F (f (t))(γ ) è derivabile k volte rispetto a γ e si ha k

 

k

F (t f (t))(γ ) = −

1 2πi

F (f (t))(k) (γ )

Dimostrazione. Segue da un’applicazione ripetuta del Teorema 5.14.



Osservazione: Il risultato espresso nel Corollario 5.15 ha importanti implicazioni sul legame tra regolarit` a di una funzione e comportamento asintotico della trasformata. In effetti segue da 1. che se f (t) è derivabile k volte, [2πiγ ]k (f (t))(γ ) risulta essere la trasformata di Fourier di f (k) (t) e dunque, per il punto 3. del Teorema 5.13 si ha che essa è infinitesima per t . Si ha dunque

F

→ ±∞

F (f (t))(γ ) = o

„« 1 γ k

per t

→ ±∞ .

Il punto 2. del Corollario 5.15 si può invece leggere come una sorta di risultato inverso. 1 Sapendo che t k f (t) si ottiene che (f (t))(γ ) è derivabile k volte.

∈R

F

Esercizio 5.2 Calcolare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni (dopo aver

verificato che stanno in

1

R ):

e−a|x| ,

H (x)e−x cos ax,

−x H (x)e sin ax

I [0,1] cos x,

x2 e−x H (x),

x sin xI [−1,1]


139

5.2.3 L’inversione della trasformata di Fourier La formula (5.1), se vera, permetterebbe di ricostruire f dalla sua trasformata di Fourier f ˆ: +∞

f (t) =



f ˆ(γ )e2πiγt dγ

(5.3)

−∞

Questa formula di inversione in generale non potrà valere in quanto f ˆ(γ ) potrebbe non essere integrabile. Inoltre se f (t), g(t) sono due funzioni in R 1 che coincidono ˆ ) = gˆ(γ ) per ogni γ . ovunque tranne che in un insieme finito di punti, si ha che f (γ Questo implica che (5.3) non può valere simultaneamente per f e g nei punti t dove esse differiscono. Problema simile lo avevamo notato nello studiare la convergenza puntuale delle serie di Fourier. Come allora per` o si possono ottenere dei risultati positivi di inversione. Il pi` u importante risultato che presentiamo è il seguente: Teorema 5.16 Sia f (t) ∈ R1 una funzione per la quale esistono ovunque derivate destra e sinistra da intendersi come i limiti (supposti finiti) f (t) − f (t0 +) , + t − t0

lim

t→t0

Allora esiste

M

lim

M →+∞



M

f (t) − f (t0 −) . − t − t0

lim

t→t0

f (t+) + f (t−) f ˆ(γ )e2πiγt dγ = 2

(5.4)

Dimostrazione. Presenteremo in pi` u passi la dimostrazione di questo risultato che

contiene una serie di idee e tecniche molto interessanti. Utilizzando il teorema di scambio per integrali doppi assolutamente convergenti si ha

Z

M

ˆ )e2πiγt dγ = f (γ

M

Z »Z Z »Z Z Z Z Z M

+∞

f (s)e

M

M

f (s)

−∞

e2πiM (t−s) e−2πiM (t−s) ds π(t s)

− − −∞ ∞ sin2πM (t − s) f (s) ds π(t − s) −∞ ∞ sin2πM (s − t) f (s) ds π(s − t) −∞ f (s)

+

=

+

=

+∞

=

f (t + u)

−∞

–

dγ ds

M

+∞

=

2πiγ (t−s)

e

–

ds e2πiγt dγ

−∞

+∞

=

−2πiγs

sin2πM u ds πu

(5.5)

140


(la penultima eguaglianza segue dalla parità della funzione (sin 2πM t)/t, mentre l’ultima si ottiene con il cambiamento di variabile u = t s.) Fissiamo ora δ > 0 e decomponiamo

−

Z

+∞

f (t + u)

−∞

Z

sin2πM u ds = πu

f (t + u)

|u|<δ

sin2πM u ds + πu

Z

+δ

f (t + u)

−δ

sin2πM u ds πu (5.6)

Si noti ora che

Z

f (t+u)

|u|<δ

sin2πM u ds = πu

Z

+∞

−∞

f (t + u) I |u|<δ sin 2πMudu = πu

„

−m F

f (t + u) I {|u|<δ} πu

D’altra parte, la funzione u

→ f (t + u) I | | πu

u <δ

sta in 1 e quindi la sua trasformata di Fourier è infinitesima all’infinito (vedi Teorema 5.13). Dunque, sin2πM u lim f (t + u) ds = 0 (5.7) M →+∞ |u|<δ πu

R

Z

Lavoriamo ora sull’altro integrale. Lo riscriviamo nel modo seguente:

Z Z Z +δ

f (t + u)

−δ

δ

=

0

δ

+

0

sin2πM u ds = πu

Z

+δ

f (t + u)

0

f (t + u) f (t+) sin2πMuds + πu

−

sin2πM u f (t+) ds + πu

Z

0

−δ

f (t )

−

Z

0

−δ

sin2πM u ds + πu

0

−δ

f (t + u)

sin2πM u ds πu

f (t + u) f (t ) sin2πMuds πu

− −

sin2πM u ds πu

I primi due integrali convergono a 0 per M utilizzata prima: si noti infatti che la funzione u

Z

(5.8)

→ +∞ e si vede con la stessa tecnica

→ f (t + u)πu− f (t+) I

[0,δ] (u)

è continua, se δ è stato scelto sufficientemente piccolo, per l’ipotesi fatta sull’esistenza della derivata destra ed è assolutamente integrabile in quanto funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Tutto allora segue ancora dal punto 3. del Teorema 5.13. Analogamente si ragiona per l’altro. Si ha dunque

«


Z

+δ

lim

M →+∞

−δ

sin2πM u f (t + u) ds = πu

Z

+δ

lim

M →+∞

0

sin2πM u f (t+) ds + πu

Z

+δ

= f (t+) lim

M →+∞

Z

0

−δ

−

R Z Z

+δ sin 2πMu πu M →+∞ 0

= [f (t+) + f (t )] lim

2πMδ

1 M →+∞ π

= [f (t+) + f (t )] lim

−

0

M

1 M →+∞ π

= [f (t+) + f (t )] lim

−

−

sin2πM u ds πu

sin2πM u ds + f (t ) lim M →+∞ πu

0

−

f (t )

141

0

Z

0

−δ

ds

sin x dx x

sin x dx x (5.9)

Da (5.5), (5.6), (5.7), (5.8) e (5.9) segue che

Z

M

lim

M →+∞

ˆ )e2πiγt dγ = [f (t+) + f (t )] lim f (γ

−

M

M →+∞

1 π

La dimostrazione è dunque completa se facciamo vedere che

Z

M

lim

M →+∞

0

Z

M

0

sin x dx x

sin x π dx = x 2

Questo è vero e sarà dimostrato nelle considerazioni successive.



Definiamo la seguente famiglia di funzioni: DN (t) = Lemma 5.17

π

 0

sin(N + 12 )t 2sin 2t

π DN (t) dt = = 2

0



DN (t) dt

−π

Dimostrazione. Vale la seguente eguaglianza

1 DN (t) = + 2

N

X

cos kt

k=1

che si pu` o ottenere semplicemente scrivendo la serie di Fourier di DN (t) (farlo per esercizio). Ne segue che,

Z

π

Z " X # P Z π

DN (t) dt =

0

0

N

1 + cos kt dt 2 k=1 π

N

= π 2 + k=1 L’altra eguaglianza segue per parità.

cos ktdt =

0

π 2 

sin2πM u ds πu

142


Lemma 5.18

M

lim

M →+∞

 0

sin x π dx = x 2

Dimostrazione. Consideriamo la funzione

t Essa è in si ha che

R

1

»

→ 1t − 2sin1

t 2

–

I [0,π]

(si dica il perch` e). Dunque sempre in virtù del punto 3. del Teorema 5.13

Z » − – „ « Z ` ´ Z ` ´ Z Z π

1 t

lim

N →+∞

0

1 1 sin N + t 2 2sin 2

t dt = 0

Segue dunque dal Lemma 5.17 che

π

lim

N →+∞

Si noti ora che

0

sin N + t

sin N + 21 t dt = t 0 Quindi alla fine abbiamo ottenuto che π

lim

N →+∞

1 2

t

dt =

π 2

(N + )π sin x dx x 0 1 2

(N + )π sin x π dx = x 2 0 1 2

Questo non è ancora il risultato che volevamo perchè ci stiamo limitando a valutare la convergenza dell’integrale improprio lungo la particolare successione (N + 12 )π. Tuttavia, si noti che se M [(N 21 )π, (N + 21 )π] si ha che

˛˛Z ˛

∈

−

(N + )π sin x dx x 0 1 2

Z −

M

0

˛˛ ≤ Z ˛ Z

˛˛

˛˛ ≤ ` ´ → −

(N + )π sin x dx x (N − )π

sin x dx x

1 2

1 2

π/2 N 21 π

0

per N + . Con questa ultima stima si può ora dimostrare (per esercizio lo si faccia) che effettivamente esiste il limite

→ ∞

M

lim

M →+∞

0

sin x π dx = . x 2 

Sia f : R → C una funzione continua a tratti per la quale esiste finito M

lim

M →+∞



f (t)e−2πiγt dt

−M

per ogni γ ∈ R. In tal caso, questo limite si definisce la trasformata di Fourier di f (t) estendendo la definizione iniziale che era stata data solo per funzioni assolutamente integrabili. Si noti che questo è in generale pi` u debole che richiedere l’esistenza dei due limiti separatamente

5.2 Trasformata di Fourier di funzioni M

lim

M →+∞



−2πiγt

f (t)e

0

dt,

lim

M →+∞

0



143

f (t)e−2πiγt dt .

−M

Si può dimostrare che questa estensione della trasformata di Fourier gode ancora delle propriet` a espresse nel Teorema 5.5, nella Proposizione 5.6, nei Corollari 5.7 e 5.8, e, con opportune modifiche nelle ipotesi, anche quelle nel Teorema 5.14. Con questa definizione, il teorema di inversione pu` o riformularsi nel modo seguente: se f ∈ R 1 ammette derivate sinistra e destra in ogni punto si ha che

F (F (f )(−t) =

f (t+) + f (t−) 2

(5.10)

In particolare se f è anche continua, si ha

F (F (f )(−t) = f (t)

(5.11)

cio` e trasformando due volte con Fourier e operando un inversione di segno nella variabile indipendente si riottiene, sotto quelle ipotesi, la funzione iniziale. Esempio 5.19 Sappiamo che

 

F I [−T,T ] (γ ) =

sin(2πγT ) πγ

Segue dunque dal teorema di inversione che



sin(2πγT ) F πγ



(t) = I [−T,T ] (t),

∀t  = ± T

dalla quale segue anche, prendendo T = 1/2π e scambiando t e γ che

F

  sin t t

(t) = πI [−

1 2π

,T 21π ] (t),

∀t  = ±

1 . 2π

5.2.4 La teoria quadratica Il principale risultato di convergenza per le serie di Fourier era in termini della norma quadratica. Anche per le trasformate di Fourier i risultati pi` u eleganti e generali si possono stabilire proprio in norma quadratica; vi sono tuttavia una serie di difficoltà tecniche in pi` u che motivano il fatto di aver presentato questi risultati in un secondo tempo e praticamente senza alcuna dimostrazione. Definiamo innanzitutto R 2 come lo spazio delle funzioni f : R → C continue a tratti e assolutamente quadrato integrabili, cio` e tali che +∞



|f (t)|2 dt < +∞

−∞

R2 è uno spazio vettoriale di funzioni dotato della cosidetta norma quadratica :

144

F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli +∞

||f ||2 =



2

|f (t)| dt

−∞



1/2

Si verifichi che essa soddisfa alle proprietà solite delle norme espresse nel capitolo sulle serie di Fourier. Osservazione 1:

dato da

2

R , se limitato alle funzioni a valori reali ammette un prodotto scalare

Z

+∞

(f, g) =

f (t)g(t) dt

−∞

Tale integrale è in effetti assolutamente convergente; vale infatti la diseguaglianza di Schwartz (che si dimostra con la stessa tecnica di quella dimostrata nel capitolo sulle serie di Fourier:

Z

+∞

−∞

„Z

−∞

« „Z 1/2

+∞

|f (t)||g(t)| dt ≤

|f (t)|

2

−∞

«

1/2

+∞

dt

2

|g(t)|

dt

Se invece consideriamo anche funzioni a valori complessi, l’oggetto giusto da considerare è il cosiddetto prodotto hermitiano

Z

+∞

(f, g) =

f (t)g(t) dt

−∞

Si noti che in ogni caso si ha

1/2

||f || = (f, f ) 2

e non in 2 e viceversa come mostrano le considerazioni seguenti. Consideriamo infatti le funzioni: Osservazione 2: Vi sono funzioni che stanno in

R

1

+∞

f (t) = Allora,

Z Z Z Z

+∞

X √

n=1

nI hn,n+

+∞

f (t) =

n=1

X

n=1

+∞

1 1 f (t) = n 2 = =+ n n n=1 n=1 +∞

g(t) =

−∞

n=1 +∞

2

f (t) =

−∞

n=1

1 =+ n

1 < + n2

Se f (t) ∈ R2 , potrebbe non aver senso l’integrale +∞



−∞

1 I [n,n+1[ n

1 1 < + 2 = 3/2 n n=1 n

+∞

2

+∞

+∞

g(t) =

+∞

n

−∞

−∞

1 n2

h,

X √ X X X X ∞ X ∞

+∞

+∞

R

f (t)e−2πiγt dt

∞

∞


145

in quanto, in virt` u dell’Osservazione 2, la funzione integranda potrebbe non essere integrabile. Tuttavia vale il seguente fatto: ˆ ) tale che Teorema 5.20 Sia f (t) ∈ R2 . Allora esiste sempre una funzione f (γ

 

M

lim

M →+∞

 

f (t)e−2πiγt dt − f ˆ(γ )

−M

=0 2

La funzione f ˆ(γ ) introdotta nel teorema precedente è detta, anche in questo caso la trasformata di Fourier della f (t) e spesso impropriamente si scrive f ˆ(γ ) =

+∞



f (t)e−2πiγt dt

−∞

anche se l’integrale sopra potrebbe non esistere e va dunque in generale inteso come il limite in senso della norma quadratica di M



f (t)e−2πiγt dt

−M

per M → +∞. Useremo anche in questo caso la scrittura alternativa F (f ) per indicare talvolta la trasformata di Fourier di f . ˆ ) definita nel ∈ R ∩ R , allora si può far vedere che la f (γ Teorema 5.20 coincide con la vecchia definizione data per funzioni in R . 1

Osservazione 3: Se f (t)

2

1

ˆ ). Se f (t) ∈ R2 , non è in generale garantito alcun tip o di regolarit` a per la f (γ Con un’opportuna estensione della teoria dell’integrazione di Riemann si può tuttavia mostrare come f ˆ(γ ) sia ancora una funzione quadrato integrabile e valga il seguente fondamentale risultato: Teorema 5.21 Sia f (t) ∈ R2 . Allora, 1. Parseval

+∞



−∞

2

|f (t)| dt =

+∞



|f ˆ(γ )|2 dγ

−∞

2. Inversione

F (F (f ))(t) = f (−t) dove l’eguaglianza è da intendersi nel seguente senso: +∞



|F (F (f ))(t) − f (−t)|2 dt = 0

−∞

Osservazione 4: Vale la pena di dare una definizione formale al senso di eguaglianza

espresso nel punto 2. del Teorema 5.21. Date due funzioni f (t) e g(t) diremo che esse sono quasi ovunque eguali se

146


Z

+∞

−∞

|f (t) − g(t)| dt = 0

(naturalmente dobbiamo ipotizzare che l’integrale abbia senso). Dunque il punto 2. precedente dice che ( (f ))(t) = f ( t)

F F

−

quasi ovunque. Si noti che questo non è affatto in contrasto con la formula (5.4) in quanto, se f è continua a tratti, si ha che f (t+) + f (t ) = f (t) 2

−

quasi ovunque.

5.2.5 Trasformate di funzioni rapidamente decrescenti Introduciamo ora una classe di funzioni che ci sarà utile nel seguito del corso: le funzioni rapidamente decrescenti. Una funzione f (t) si dice rapidamente decrescente se essa è di classe C ∞ e se le con tutte le sue derivate tendono a 0 a ±∞ con ordine superiore ad ogni polinomio cio` e formalmente se lim

|t|→+infty

t p f (q) (t) = 0,

∀ p, q ∈

N

L’insieme delle funzioni rapidamente decrescenti viene indicato con il simbolo S . Non è difficile mostrare che S è uno spazio vettoriale di funzioni. Esso risulta inoltre chiuso rispetto ad altre operazioni. Vale infatti il seguente riultato: Proposizione 5.22 Sia f (t) ∈ S . Allora, per ogni r, s ∈

N si

ha che

f (s) (t) ∈ S

tr f (t) ∈ S , Dimostrazione. Il fatto che f (s) (t) stia in

segue immediatamente dalla definizione. Per l’altra, si noti che, detta g(t) = t r f (t, si ha, per la formula di derivazione di Leibnitz,

S

q

p (q)

t g

(t) =

X

αk tr−k+p f (q−k) (t)

k=0

dove Sapendo che f (t)

“”

q r(r 1) (r k + 1) k , segue subito che t p g (q) (t) 0 se t + . αk =

∈ S

− ·· · − → | | → ∞

Vale inoltre la seguente Proposizione 5.23 Ogni f (t) ∈ S sta in R 1 .




147

Dimostrazione. Consideriamo la funzione (t2 + 1)f (t). Essa ` e continua e infinitesima

all’infinito. Segue dunque che essa è una funzione limitata. Esiste cio` e M > 0 tale che (t2 + 1)f (t) M per ogni t R. Dunque,

|

|≤

∈ |f (t)| ≤ M t

2

1 , +1

∀t ∈ R

Per onfronto, questo implica che f (t) è assolutamente integrabile su R .



Esempio 5.24 Si considerino le seguenti funzioni: 2

f 1 (t) = e −at , Allora f 1 (t)

f 2 (t) =

1 , t2 + 1

f 3 (t) = e −|t|

∈ S se a > 0 (lo si dimostri). f (t) è C ∞ ma non sta in S in quanto 2

lim t2

|t|→+∞

f 3 (t) invece non sta in t = 0).

t2

1 =1 +1

S poichè non è una funzione in C ∞ (ha un punto angoloso per

Sulle funzioni rapidamente decrescenti, la trasformata di Fourier ha un ottimo comportamenteo. Si ha infatti il seguente risultato: Teorema 5.25 Sia f (t) ∈ S . Allora f ˆ(γ ) ∈ S . ˆ ) ammette derivate di qualunque Dimostrazione. Segue dal Corollario 5.15 che f (γ ordine, è cioè di classe

C ∞ e si ha F (f (t))

(q)

(γ ) = ( 2πi)q ((tq f (t))(γ )

−

F

(5.12)

D’altra parte, sempre dal Corollario 5.15 applicato ora alla funzione t k f (t) (che sta ancora in in virtù della Proposizione 5.22) segue che

S

k

F ((t

f (t))(p) )(γ ) = (2πi)p γ p (tk f (t))(γ )

F

(5.13)

Mettendo insieme le eguaglianze (5.12) e (5.13) si ottiene dunque che γ p (f (t))(q) (γ ) = ( 1)q (2πi)q−p ((tk f (t))(p) )(γ )

F

−

F

(5.14)

Poichè la funzione (tk f (t))(p) sta in in virt` u della Proposizione 5.22), essa sta anche in 1 in virt` u della Proposizione 5.23). Dunque per il punto 3. del Teorema 5.13 si ha che ((tk f (t))(p) )(γ ) è infinitesima per γ + . Segue dunque dall’eguaglianza (5.14) che anche γ p (f (t))(q) (γ )è infinitesima per γ + . Poichè questo vale qualunque siano  p, q N, questo implica la tesi.

S

R F

∈

F

| | → ∞ | | → ∞

Segue dal Teorema 5.16 di inversione che se f (t) ∈ S si ha che

F (F (f (t)) = f (−t) Ne segue che, F è una trasformazione invertibile da S in se stesso. Presentiamo ora un esempio notevole di trasformata di una funzione in S .

148

F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli 2

Esempio 5.26 Sia f (t) = e −αt dove α > 0. Sappiamo gi` a che questa è una funzione in

S . Calcoliamone la sua trasformata di Fourier: ˆ )= f (γ

Z

+∞

2

e−αt e−2πiγt dt

−∞

Derivando rispetto a γ ed utilizzando il Teorema 5.14, si ottiene: f ˆ (γ ) = ( 2πi)  tf (t)(γ )

−

Z

+∞

= ( 2πi)

−

2

te−αt e−2πiγt dt

−∞

1 = ( 2πi) 2α

−

Z “ ” +∞



2

e−αt

e−2πiγt dt

−∞

πi  ˆ = πi α f (γ ) = α (2πiγ )f (γ ) =

b

− 2πα

2

γ ˆ f (γ )

ˆ ) soddisfa l’equazione differenziale: Dunque f (γ f ˆ (γ ) =

− 2πα

2

γ ˆ f (γ ) .

Integrando si ottiene ˆ ) = e f (γ ˆ Rimane perciò soltanto da calcolare f (0): ˆ = f (0)

Z

+∞

2π

2

α

γ 2

2

e−αt dt =

−∞

f ˆ(0)

√ 1α

Z

+∞

2

e−x dx

−∞

√ (abbiamo operato la sostituzione x = αt). Si tratta quindi alla fine di calcolare

Z

+∞

I =

2

e−x dx

−∞

Sappiamo che la funzione integranda non ammette primitive esprimibili per mezzo di funzioni elemenatri. Tuttavia l’integrale improprio si riesce a calcolare esattamente con un trucco che consiste nel considerare un integrale doppio e passare in coordinate polari. Ecco il trucco:

„Z Z Z

+∞

2

I =

−x2

e

−∞

0

0

+∞

dx

2π

−ρ2

e

ρdρdθ =

« Z Z

+∞ +∞

−y 2

e

dy =

−∞

2π +∞

=

«„Z Z

−∞ −∞

1 dθ = π 2

0

√ Quindi si ha che I = π e dunque √ √

ˆ = 1 π = f (0) α

r

π α

2

e−(x

+y2 )

dxdy

5.2 Trasformata di Fourier di funzioni Si ottiene dunque alla fine ˆ )= f (γ Si noti in particolare che f (t) = e −πt

r

π − πα e α

2

2

149

γ 2

2

f (γ ) = e −πγ

⇒

5.2.6 Convoluzioni e loro trasformate L’operazione di convoluzione ha già fatto la sua comparsa in vari punti del corso ed è arrivato il momento di presentarla in mo do un po’ pi` u formale. Date due funzioni f : R → C e g : R → C, si definisce la convoluzione di f e g come la funzione indicata f ∗ g data da +∞

(f ∗ g)(t) =



f (t − s)g(s) ds

−∞

nell’ipotesi che, fissato un qualunque t ∈

R,

la funzione

s → f (t − s)g(g) sia integrabile. Le ipotesi da fare sulle f e g che assicurino tale integrabilità possono essere di vario tipo. Ecco alcune possibilità. Proposizione 5.27 f ∗ g esiste se siamo in uno dei seguenti casi: (a) f continua a tratti e limitata, g ∈ R1 . (b) f, g ∈ R2 . (c) f e g continue a tratti e tali che esista t 0 ∈ R tale che f (t) = g(t) = 0 per ogni t < t0 . (d) f e g continue a tratti e tali che esista M > 0 tale che f (t) = 0 per ogni t tale che |t| ≥ M .

∈ R: |f (t − s)g(s)| ≤ M |g(s)| dove M è una costante oppor tuna che limita | f (t)|. Questo implica, per confronto, che f (t − s)g(s) è assolutamente integrabile rispetto ad s. (b): s → f (t − s), s → g(s) sono due funzioni di classe R (si dica perch` e lo è la prima). Dunque utilizzando la diseguaglianza di Schwartz si ha che il loro prodotto è integrabile. (c): Per le ipotesi fatte s → f (t − s)g(s) è eguale a 0 se s < t e se t − s < t , quindi se s > t − t . Essendo poi essa una funzione continua a tratti, risulta dunque integrabile Dimostrazione. (a): Si osservi che, qualunque sia t

2

0

0

0

su R . (d): Stesse considerazioni che nel caso (c) (svolgerle per esercizio).



150


Osservazione 1: Nel caso (c) della Proposizione precedente supponendo t0 = 0, si ha

che la convoluzione può essere scritta nella forma particolare:

Z

t

(f g)(t) =

∗

0

f (t

− s)g(s) ds

Il ruolo della f e della g pu` o essere interscambiato, come mostra il seguente risultato: Proposizione 5.28 Siano f e g due funzioni. Se esiste f ∗ g esiste anche g ∗ f e si ha f ∗ g = g ∗ f . Dimostrazione. Basta operare la sostituzione t

Verificare per esercizio.

− s = r nell’integrale di convoluzione.



Oltre all’esistenza del prodotto di convoluzione è spesso importante avere informazioni su che tipo di funzione sia il prodotto di convoluzione. I risultati successivi vanno in questo senso: Proposizione 5.29 Siano f e g due funzioni. Allora 1. Se f ∈ R 1 e g ∈ R1 ed è limitata, allora f ∗ g ∈ R1 ed è limitata. 2. Se f ∈ R 1 e g ∈ R2 ed è limitata, allora f ∗ g ∈ R2 ed è limitata. Osservazione 2: Con riferimento alla dimostrazione del risultato precedente si noti che,

nel caso 1. abbiamo in effetti dimostrato che

||f ∗ g|| ≤ ||f || ||g|| . 1

1

1

Nel punto 2. si potrebbe invece dimostrare che vale

||f ∗ g|| ≤ ||f || ||g|| . 2

1

2

Arriviamo ora al rapporto tra convoluzione e trasformate di Fourier. Vale il seguente importante risultato: Teorema 5.30 Sia f ∈ R 1 e g ∈ R1 (oppure in R2 ) e limitata. Allora si ha:

F (f ∗ g) = F (f )F (g) Dimostrazione. Facciamo la dimostrazione nel caso in cui entrambe le funzioni sono in 1

R . Si ha che,

5.3 Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto compatto

Z Z Z Z Z Z

+∞

F (f ∗ g)(γ ) =

−∞

−∞

−∞

−∞

−∞

− s)e−

g(s)e−2πγs dsdt

f (t

− s)e−

g(s)e−2πγs dtds

f (t

− s)e−

dtg(s)e−2πγs ds

+∞

+∞

+∞

2πγt

2πγ (t−s)

2πγ (t−s)

2πγ (t−s)

dt

f (r)e−2πγr drg(s)e−2πγs ds

−∞

+∞

=

f (t

+∞

−∞

+∞

=

− s)g(s) dse−

−∞

+∞

=

f (t

−∞

+∞

=

+∞

−∞

+∞

=

Z Z Z Z Z

151

f (r)e−2πγr dr

−∞

Z

+∞

g(s)e−2πγs ds

−∞

=

F (f )(γ )F (g)(γ )



Osservazione 3: Alla luce di queste nuove considerazioni forniamo ora un’altra deri-

vazione ed un’altra interpretazione dell’eguaglianza (5.5): Consideriamo la funzione di 2 : sin2πM t t K M (t) = (5.15) πt

R

→

d

Sappiamo che KM = I [−M,M ] . Segue dunque da Teorema 5.30 e dalla Proposizione 8.31 1 che, se f  K f ˆ = f ˆ I [−M,M ] (5.16) M f = KM

∈ R

∗

d ·

·

che può essere interpretata nel modo seguente: la convoluzione di una funzione f con il nucleo K M ha l’effetto, nel dominio della frequenza, di tagliare tutte le frequenze γ con γ M . Si noti che prendendo la trasformata di Fourier di ambo i membri di (5.16) ed utilizzando il Teorema 5.21, si ottiene nuovamente l’eguaglianza (5.5).

| |≥

5.3 Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto compatto Se f : come

R → R ` e

una funzione in R 1 (R), la sua trasformata di Fourier si definisce +∞

f ˆ(ω) =



f (x)e−2πiωx dx .

−∞

Per generalizzare il concetto di trasformata di Fourier alle distribuzioni, saremmo tentati di scrivere l’espressione sopra come,

152


f ˆ(ω) =< T f (x), e−2πiωx > e di definire la trasformata di Fourier di una qualunque distribuzione T come ˆ T (ω) =< T (x), e−2πiωx > .

(5.17)

Si noti tuttavia come la funzione x → e−2πiωx

(5.18)

non sia una funzione test: primo perché non è a valori reali ma complessi, secondo perch´ e non è comunque a supporto limitato. Al primo problema si pu` o ovviare facilmente. In effetti se u(x), v(x) ∈ D e T è una distribuzione, si può definire < T (x), u(x) + iv(x) >=< T (x), u(x) > +i < T (x), v(x) > .

(5.19)

In questo modo abbiamo esteso in modo naturale l’azione della distribuzione T a tutte le funzioni C ∞ a supporto compatto a valori complessi. Se ad esempio consideriamo la δ x , otteniamo 0

< δ x (x), u(x) + iv(x) >=< δ x (x), u(x) > +i < δ x (x), v(x) >= u(x0 ) + iv(x0 ) . 0

0

0

Quindi la distribuzione δ x agisce anche sulle funzioni test complesse, come la valutazione nel punto x 0 . Non abbiamo tuttavia risolto il nostro problema perch´ e comunque la funzione (5.18) non è a supporto compatto. Possiamo dare un senso a (5.17) se T è a supporto compatto. In effetti in tal caso T agisce su tutte le funzioni C ∞ e quindi anche su tutte le funzioni C ∞ a valori complessi con il trucco dell’estensione (5.19). Possiamo quindi definire la trasformata di Fourier tramite la formula (5.17) per le distribuzioni a supporto compatto. Si può dimostrare, generalizzando ˆ la Proposizione 4.45 che T (ω) è una funzione di classe C ∞ . 0

Esempio 5.31 Calcoliamo la trasformata di Fourier della delta di Dirac. In base alla definizione (5.17) e alle considerazioni precedenti sull’azione della delta su funzioni a valori complesse abbiamo che ˆx (ω) =< δ x (x), e−2πiωx >= e −2πiωx . δ 0

0

In particolare, abbiamo che

0

ˆ0 (ω) = 1 . δ

Non è soddisfacente per vari motivi aver esteso la trasformata di Fourier esclusivamente alle distribuzioni a supporto compatto. Intanto perch´ e non si tratta di una vera estensione in quanto la trasformata di Fourier di funzioni era stata definita anche per funzioni non a supporto compatto. Secondo perch´ e è comunque molto limitativo considerare solo questo tipo di distribuzioni. Per estendere oltre la trasformata di Fourier dovremmo cambiare completamente strategia e non passare per la formula (5.17). Come vedremo non riusciremo ad estenderla a tutte le

5.4 Distribuzioni temperate

153

distribuzioni, ma ad una ampia classe di esse che contiene quelle a supporto compatto, ad esempio anche il treno di impulsi o le distribuzioni regolari con simboli anche non limitati. La classe di distribuzioni della quale stiamo parlando è quella delle cosiddette distribuzioni temperate che verrà esattamente definita e studiata nel prossimo paragrafo.

5.4 Distribuzioni temperate Consideriamo lo spazio S delle funzioni rapidamente decrescenti 1 . Come sappiamo, si tratta di uno spazio vettoriale chiuso per le operazioni di moltiplicazione per la variabile indipendente x e per l’operazione di derivazione. In esso possiamo inoltre definire un concetto di convergenza come segue. Sia φ n una successione di elementi in S e sia φ ∈ S . Diciamo che φn converge a φ in S (φn → φ in S ) se per ogni p, q ∈ N si ha che p (q) x p φ(q) (x) n (x) → x φ uniformemente su R. Dalla definizione stessa segue che se φn → φ in S , allora si ha anche che xφ n → xφ in S e che φ n → φ  in S . Si definisce distribuzione temperata una qualunque applicazione T : S → R che sia lineare e continua (< T,φn > →< T,φ > se φ n → φ in S ). L’insieme delle distribuzioni temperate si indica con il simbolo S  . Come accadeva per le distribuzioni usuali, l’azione di una distribuzione temperata può essere analogamente estesa allo spazio delle funzioni rapidamente decrescenti a valori complessi che sarà indicato con il solito simbolo S . In questo modo una distribuzione temperata diventa un’applicazione T : S → C lineare e continua. Questa estensione sarà fondamentale nel trattare la trasformata di Fourier. Si noti che essendo D ⊆ S , data una distribuzione temperata T , se ne può considerare la restrizione T |D su D . Tale restrizione è sicuramente lineare e si pu` o vedere che è continua: segue dal fatto (provarlo per esercizio) che se abbiamo φn successione in D tale che φn → φ in D allora si ha anche φn → φ in S . Dunque ogni distribuzione temperata può essere pensata come una ordinaria distribuzione semplicemente restringendo la sua azione alle funzioni test in D. Abbiamo dunque stabilito un’inclusione S  ⊆ D . Viceversa, data una distribuzione T ∈ D  ci possiamo chiedere se essa proviene da una distribuzione temperata, cio` e se la sua azione può essere estesa dallo spazio delle funzioni test D allo spazio pi` u grande S . Si osserva innanzitutto che se tale estensione esiste essa è unica: fatto non del 1

Una funzione f se è C ∞ , decrescente per x pi` u rapidamente di una qualunque potenza di 1/ x , cos`ı come tutte le sue derivate.

∈ S

||

| | → ∞

154


tutto facile da far vedere e che segue dal fatto che lo spazio D è denso dentro S intendendo con questo il fatto che ogni funzione rapidamente decrescente può essere ottenuta come limite nel senso di S di una successione di funzioni in D. Questo motiva il fatto che l’eventuale estensione di una distribuzione T ∈ D  allo spazio S verr` a indicata con lo stesso simbolo T . Vediamo ora alcuni esempi di distribuzioni che sono effettivamente temperate. Iniziamo con il seguente Proposizione 5.32 Ogni distribuzione a supporto compatto e` temperata. Dimostrazione. Sia T una distribuzione a supporto compatto. Abbiamo già esteso la sua azione a tutto C ∞ . Essa quindi agisce in particolare sullo spazio S . Rimane da vedere se la continuità è verificata. Supponiamo che suppT ⊆ [−M, M ] e sia ψ ∈ D tale che ψ(x) = 1 per ogni x ∈ [ −M, M ]. Consideriamo ora una successione convergente in S : φ n → φ. Allora, < T,φn > − < T,φ >=< T, φn − φ >=< T,ψ(φn − φ) > Poiché φ n → φ in S e ψ ∈ D si può far vedere (esercizio) che ψ(φn − φ) → 0 in D . Ne segue che < T,ψ(φn − φ) >→ 0 e questo completa la dimostrazione.  Esempio 5.33 Segue dalla Proposizione precedente che le delta di Dirac e tutte le (q) loro derivate δ x sono distribuzioni temperate. Pi` u in generale ogni combinazione lineare finita di distribuzioni delta e di loro derivate e` una distribuzione temperata. 0

Non tutte le distribuzioni temperate sono a supporto compatto come vedremo tra breve. Esempio 5.34 Consideriamo il treno di impulsi definito nell’Esempio 4.31 +∞

T =



δ n ,

−∞

e facciamo vedere che T è temperata. Sia φ ∈ S . Possiamo definire, analogamente al caso di funzioni test, +∞

< T,φ >=



φ(n) ,

(5.20)

−∞

La somma sopra non è più finita come nel caso delle φ a supporto compatto, è effettivamente una serie, ma essa è assolutamente convergente. In effetti, poich´ e sappiamo che (x2 + 1)φ(x) sta ancora in S , essa è sicuramente limitata, cioè si ha (x2 + 1)|φ(x)| ≤ K e quindi

|φ(x)| ≤

K , x2 + 1

∀x ∈ R

5.4 Distribuzioni temperate

155

In particolare si ha, qualunque sia n ∈ Z,

|φ(n)| ≤

K +1

n2

Poich´ e la serie associata a 1/(n2 +1) è convergente (sia per n positivi che negativi), ne segue, per confronto, che anche la serie associata a | φ(n)| è convergente. Questo mostra che la definizione (5.20) ha perfettamente senso. Facile vedere che T cos`ı definita è lineare; rimane da vedere se è continua. Sia φ k → φ in S e consideriamo

 

  

+∞

| < T,φk > − < T,φ > | =

+∞

(φk (n) − φ(n)) ≤

−∞

|φk (n) − φ(n)| (5.21)

−∞

Per come è definita la convergenza su S , sappiamo che (x2 + 1)(φk (x) − φ(x)) converge a 0 uniformemente su R. Possiamo quindi stimare

|φk (x) − φ(x)| = | (x2 + 1)(φk (x) − φ(x))| dove

x2

1 1 ≤ ak 2 +1 x +1

(5.22)

ak = max |(x2 + 1)(φk (x) − φ(x))| x∈R

è una successione infinitesima per k → +∞. Inserendo ora la stima (5.22) specializzata nel caso di x = n ∈ Z in (5.21) otteniamo, +∞

+∞

 



1 1 ak 2 = a k . | < T,φk > − < T,φ > | ≤ 2 n +1 n +1 −∞ −∞ 1 Poiché la successione a k è infinitesima e +∞ e un numero finito essendo la −∞ n +1 ` somma di una serie convergente, ne segue che, per confronto, < T,φk > − < T,φ > converge a 0 per k → + ∞. Questo conclude la dimostrazione della continuità. 2

Esercizio 5.3 Consideriamo una successione a n indicizzata con n ∈ esistono una costante A > 0 e q ∈ N tali che

|an | ≤ A |n|q . Dimostrare che

+∞

T =



an δ n ,

−∞

è una distribuzione temperata.

Esercizio 5.4 Mostrare che la distribuzione +∞

T =

 −∞

non è una distribuzione temperata.

en δ n ,

Z per

la quale

156


Presentiamo ora una classe di distribuzioni regolari temperate. Premettiamo una definizione: una funzione f : R → R continua a tratti, si dice a crescita lenta se esistono A > 0 e m ∈ N tali che

|f (x)| ≤ A(1 + |x|)m ,

∀x ∈ R

Proposizione 5.35 Se f : R → R è una funzione a crescita lenta, allora la distribuzione regolare T f è temperata. Dimostrazione. Se φ ∈ S , si può in effetti definire +∞

< T f , φ >=



f (x)φ(x) dx

−∞

in quanto la funzione integranda è assolutamente integrabile: questo segue dal fatto che |f (x)φ(x)| ≤ A|xm φ(x)| e che x m φ(x) sta in S . Rimane da verificare la continuità su S : questo si vede con tecniche simili a quanto visto sinora e viene lasciato come esercizio.  Esempio 5.36 Consideriamo una funzione razionale f (x) = p(x)/q (x) con p(x) e q (x) polinomi e q (x)  = 0 per ogni x ∈ R. Si vede facilmente che f (x) è a crescita lenta (farlo per esercizio) e che quindi T f è una distribuzione temperata. L’insieme S  delle distribuzioni temperate risulta chiuso rispetto a tutta una serie di operazioni come descritto nella proposizione seguente che mostra in particolare come esso sia un sottospazio vettoriale dello spazio D  delle distribuzioni. Proposizione 5.37 Valgono le seguenti propriet` a: (a) (b) (c) (d) (e)

Se S, T ∈ S  e λ, µ ∈ R, allora λS + µT ∈ S  . Se T ∈ S  e x 0 ∈ R, allora T (x − x0 ) ∈ S  . Se T ∈ S  e a ∈ R \ {0}, allora T (ax) ∈ S  . Se T ∈ S  e p(x) è un polinomio , allora p(x)T (x) ∈ S  . Se T ∈ S  , allora T  ∈ S  .

Dimostrazione. La dimostrazione delle varie proprietà non presenta particolari difficolt` a e si fa utilizzando le tecniche fin qui utilizzate per lavorare con le funzioni in S . Viene dunque lasciata per esercizio.  Esercizio 5.5 Dire, giustificando la risposta data quali delle seguenti funzioni sono simboli di distribuzioni temperate: sin x ,

H (x)e−x

arctan x , ex cos x , x sin ex ,

ex ex +1 ,

2

x3 − e−x sin x x

5.5 Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate

157

5.5 Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate Lo spazio S  è l’ambiente appropriato per estendere la nozione di trasformata di Fourier. Prima di farlo dobbiamo per` o richiamare alcuni aspetti importanti della trasformata di Fourier di funzioni rapidamente decrescenti e presentare anche qualche nuovo risultato. Come vedremo la trasformata di Fourier in S  sar` a definita sfruttando proprio quella su S . Sappiamo che la trasformata di Fourier preserva lo spazio S delle funzioni rapidamente decrescenti a valori complessi, cioè possiamo scrivere:

F : S → S Abbiamo inoltre che l’applicazione F è continua su S nel senso che trasforma successioni convergenti in successioni convergenti: Proposizione 5.38 Sia φ n una successione in S tale che φ n → φ in S . Allora si ha che F (φn ) → F (φ) in S . Dimostrazione. Consideriamo la successione φn − φ. Poich´ e essa converge a 0 in S , segue in particolare che (x2 + 1)(φn (x) − φ(x)) → 0 uniformemente su R. ˆ )| ≤ |f (x)| dx, ne segue Ricordando che | f (ν R



+∞

max |F (φn − φ)(ν )| ≤ ν ∈R



|φn (x) − φ(x)| dx

−∞

+∞

=



|(x2 + 1)(φn (x) − φ(x))|

−∞

1 dx x2 + 1 +∞

≤ max |(x2 + 1)(φn (x) − φ(x))| x∈R



−∞

x2

1 dx +1

L’ultimo membro della catena di diseguaglianze sopra tende a 0 per n → +∞ e quindi, per confronto, anche il primo deve fare altrettanto. Questo mostra che F (φn − φ)(ν ) converge a 0 uniformemente su R. Per concludere la dimostrazione bisogna però far vedere che ν p F (φn − φ)(q) (ν ) converge uniformemente a 0 qualunque siano p, q ∈ N. D’altra parte, p

(q)

ν F (φn − φ)

q

q− p

(ν ) = (−1) (2πi)



q

( p)

F (x (φn − φ))



.

Poiché (xq (φn − φ))( p) converge a 0 in S (si pensi al perch´ e) utilizzando il ragionamento iniziale possiamo far vedere che la sua trasformata di Fourier converge a 0 uniformemente e concludere cos`ı la dimostrazione. 

158


Siamo ora pronti per definire la trasformata di Fourier di distribuzioni temperate. Fissiamo dunque T ∈ S  e ricordiamo che essa è un’applicazione T : S → C (ricordiamo che sta agendo su S che è lo spazio delle funzioni rapidamente decrescenti a valori complessi, e che quindi essa stessa assume valori complessi). Ricordiamo che la trasformata di Fourier trasforma S in se stesso, cioè F : S → S . Le due applicazioni F e T possono quindi essere composte e determinare T ◦ F : S → C . Essendo composizione di applicazioni lineari, T ◦ F e` anch’essa lineare. Inoltre essendo T continua per definizione e F continua in virt` u della Proposizione 5.38, ne segue che T ◦ F è continua, nel senso che trasforma successioni convergenti in S in successioni numeriche convergenti. Dunque essa è una distribuzione temperata ˆ o F (T ). che viene detta la trasformata di Fourier di T ed indicata con i simboli T Abbiamo cos`ı definito una nuova trasformata di Fourier

F : S  → S  F (T ) = T ◦ F (dove naturalmente la F in T ◦ F rappresenta la vecchia trasformata di Fourier sulle funzioni in S . La nuova definizione, si legge meglio se vista nell’azione contro le funzioni in S . In effetti se T ∈ S  e φ ∈ S abbiamo che < F (T ), φ >= (T ◦ F )(φ) = T (F (φ)) =< T , F (φ) > . che si può anche scrivere come < Tˆ, φ >=< T, ˆ φ> . Che cosa succede per le distribuzioni a supporto compatto? Per esse avevamo già dato una definizione di trasformata di Fourier nella formula (5.17). E’ compatibile con questa nuova definizione? La risposta è affermativa e si vede nel mo do seguente: +∞

< Tˆ, φ >=< T , ˆ φ >=< T (t),



φ(x)e

+∞

−2πixt

−∞

dx >=



< T (t), e−2πixt > φ(x) dx

−∞

(la terza eguaglianza segue sulla linea degli stessi ragionamenti utilizzati in (4.22)). ˆ coincide con la distribuzione regolare che ha come Dunque, in questo caso, T simbolo proprio x →< T (t), e−2πixt > che era esattamente la primitiva definizione di trasformata di Fourier per le distribuzioni a supporto compatto. Quindi non c’è alcuna contraddizione tra le due definizioni. In seguito, quando T è a supporto ˆ compatto, indicheremo con T direttamente il simbolo della distribuzione regolare; −2πix ν ˆ ad esempio scriveremo δ x (ν ) = e . La trasformata di Fourier su D  gode di propriet` a analoghe alla trasformata di Fourier di funzioni e vengono raccolte nella seguente proposizione. 0

0

5.5 Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate

159

Proposizione 5.39 (a) Linearit` a. F (λS + µT ) = λ F (S ) + µF (T ). (b) Traslazione. F (T (x − x0 ))(ν ) = e −2πiνx F (T )(ν ). (c) Modulazione. F (e2πiν x T (x))(ν ) = F (T )(ν − ν 0 ). (d) Riscalamento. F (T (ax))(ν ) = | a|−1 F (T )(νa −1 ). (e) Derivazione. F (T  )(ν ) = 2πiν F (T )(ν ). (f ) Moltiplicazione. F (xT (x))(ν ) = −(2πi)−1 (F (T )) (ν ). 0

0

Dimostrazione. Si dimostrano tutte utilizzando la definizione di trasformata di Fourier per distribuzioni temperate e le corrispondenti propriet` a della trasformata di Fourier di funzioni. A titolo di esempio dimostriamo la (e): < F (T  )(ν ), φ(ν ) > = < T  (x), F (φ)(x) >= − < T (x), (F (φ)) (x) > = − < T (x), −2πiF (νφ(ν ))(x) >= 2πi < F (T )(ν ), νφ(ν ) > = < 2πiν F (T )(ν ), φ(ν ) > (dove la prima eguaglianza segue dalla definizione di trasformata di Fourier per T , la seconda dalla definizione di derivata, la terza dal punto 2. del Teorema 1.10 (dispense sulla trasformata di Fourier), la quarta ancora dalla definizione di trasformata di Fourier per le distribuzioni ed infine, la quinta, dalla definizione di moltiplicazione di una distribuzione per una funzione C ∞ .  C’` e anche un importante risultato di connessione con la convoluzione che presentiamo senza dimostrazione. Proposizione 5.40 Siano S, T ∈ S  e supponiamo che T è a supporto compatto. Supponiamo inoltre che S ∗ T ∈ S  . Allora si ha

F (T ∗ S ) = F (T )F (S )

(5.23)

(si noti che F (T ) è una distribuzione regolare con simbolo C ∞ per cui la moltiplicazione a secondo membro a senso). La trasformata di Fourier su S  è invertibile in quanto lo è quella su S . In effetti se consideriamo la trasformata di Fourier inversa F −1 su S , possiamo definire F −1 su S  come segue < F −1 (T ), φ >=< T, F −1 (φ) > (5.24) Si noti che < F −1 (F (T )), φ >=< F (T ), F −1 (φ) >=< T , F (F −1 (φ)) >=< T, φ > . Questo mostra che effettivamente F −1 ◦ F è l’identità su S  . Similmente si fa vedere che anche F ◦ F −1 è l’identit` a. Quindi effettivamente l’operatore F −1 su  S definito in (5.24) è l’inversa della trasformata di Fourier F . Si noti inoltre che poiché la trasformata di Fourier inversa F −1 su S ha semplicemente la forma

160


F −1 (φ)(x) = F (φ)(−x) , ne segue che la F −1 su S  ha la forma < F −1 (T )(x), φ(x) > = < T (t), F −1 (φ)(t) >=< T (t), F (φ)(−t) > = < T (−t), F (φ)(t) >=< F (T (−t))(x), φ(x) > = < F (T (t))(−x), φ(x) > . Cioè, anche su S  si ha che

F −1 (T )(x) = F (T )(−x) . Esempio 5.41 Sappiamo che

F (δ x )(ν ) = e −2πix

0

ν

0

Dunque, si ha anche

F −1 (e−2πix ν )(x) = δ x (x) . 0

0

In realt` a avremmo dovuto scrivere sopra, a primo membro

F −1 (T e

πix 0 ν

−2

)(x)

ma per semplicit` a, in tutto il resto di questa sezione, spesso confonderemo a livello notazionale, una distribuzione regolare con il suo simbolo. Per come agisce F −1 , si può anche scrivere

F (e−2πix ν )(x) = δ x (−x) = δ −x (x) . 0

0

0

Quest’ultima si può scrivere pi` u chiaramente come

F (e2πiν x )(ν ) = δ ν (ν ) . 0

0

In particolare, abbiamo che

F (1)(ν ) = δ 0 (ν ) .

Esempio 5.42 Dalla (5.25), utilizzando la (f) della Proposizione 5.39 che

F (x)(ν ) = − ed iterando m

m

     

F (x )(ν ) =

−

1 2πi

Se abbiamo dunque un polinomio p(x) = m

F ( p(x))(ν ) =

1  δ (ν ) . 2πi 0

pj

j=0

(m)

δ 0

m j j=0 pj x

1 − 2πi

j

(ν ) . abbiamo che (j)

δ 0 (ν )

(5.25)

5.6 Altri esempi

161

Esercizio 5.6 Calcolare la trasformata di Fourier delle distribuzioni regolari associate ai seguenti simboli: cos ax , sin ax ,

x sin x , ea|x|

1 x x2 , , , sin2 x . 1 + x2 1 + x2 1 + x2

5.6 Altri esempi In questa sezioni presentiamo il calcolo di alcune trasformate di Fourier particolarmente importanti per le applicazioni. Sono, con precisione, le trasformata di Fourier della funzione di Heaviside H (x) (o meglio della distribuzione temperata T H ) e del treno di impulsi. Cominceremo con la funzione di Heaviside. 5.6.1 La trasformata di Fourier della funzione di Heaviside  Si noti che, poiché T H = δ 0 , segue dal punto (e) della Proposizione 5.39 che  T 1 = F (δ 0 ) = F (T H ) = 2πiν F (T H )(ν ) .

(5.26)

Si può da questa relazione stabilire chi è F (T H )(ν )? Saremmo tentati di dire che essa è eguale alla distribuzione regolare avente come simbolo (2πiν )−1 . Il problema è che un tale simbolo non è in R 1loc (R), tuttavia noi sappiamo, da (4.17) che





1 1 T 1 = 2πiν v.p. . 2πi ν

(5.27)

Confrontando con la (5.26) si ha che





1 1 0 = ν F (T H )(ν ) − v.p. . 2πi ν Segue allora dalla Proposizione 4.14 che esiste c ∈ 1 F (T H )(ν ) = 2πi

R tale

(5.28)

(5.29)

che

  v.p.

1 + cδ 0 . ν

Rimane a questo punto da determinare il valore di c. Si noti che v.p.1/ν è una distribuzione dispari: la sua inversione temporale è eguale a − v.p.1/ν (verificare). Dunque 1 1 F (T H )(−ν ) = − v.p. + cδ 0 . (5.30) 2πi ν

 

Invece H (−x) + H (x) = 1. Dunque,

F (T H (−x))(ν ) = −F (T H (x))(ν ) + δ 0

162


Ne segue che 1 F (T H (x))(−ν ) = F (T H (−x))(ν ) = −F (T H (x))(ν )+δ 0 = − 2πi

  v.p.

1 − cδ 0 +δ 0 ν (5.31)

Confrontando la (5.30) e la (5.31) otteniamo infine cδ 0 = − cδ 0 + δ 0 che implica c = 1/2. Otteniamo quindi,

 

1 F (T H )(ν ) = 2πi

v.p.

1 1 + δ 0 . ν 2

(5.32)

Esercizio 5.7 Calcolare

 

F v.p.

1 , x

F (sgn(x)) .

5.6.2 La trasformata di Fourier del treno di impulsi Per calcolare la trasformata di Fourier del treno di impulsi avremo bisogno di un semplice risultato preliminare: Proposizione 5.43 F : S  → S  è continua, cioè se T n → T in S  , allora F (T n ) → F (T ) in S  . Dimostrazione. Sia φ ∈ S . Abbiamo che < F (T n ), φ >=< T n , F (φ) > →< T , F (φ) >=< F (T ),φ > . 

Consideriamo ora il treno di impulsi +∞

T =



δ k

−∞

che sappiamo essere una distribuzione temperata. Sappiamo anche che essa è il limite in D  della successione di distribuzioni +n

T n =



δ k .

k=−n

Non è difficile verificare che in realtà T n → T anche nel senso di S  . In virt` u della proposizione precedente abbiamo dunque che

5.6 Altri esempi

163

F (T n ) → F (T ) in S  . Si noti che

+n

F (T n )(ν ) =



e−2πiνk .

k=−n

Possiamo dunque scrivere

+∞

F (T )(ν ) =



e−2πiνk ,

−∞

ricordando per` o che la serie precedente converge non nel senso usuale delle funzioni, ma nel senso delle distribuzioni temperate! Vorremmo però trovare un’altro modo, pi` u operativo, di esprimere la trasformata di Fourier del treno di impulsi. Cominciamo col dimostrare la cosa seguente e2πiν F (T )(ν ) = F (T )(ν ) .

(5.33)

Per dimostrare (5.33) si noti innazitutto che (si pensi al perch´ e), per n → +∞, e2πiν F (T n )(ν ) → e 2πiν F (T )(ν )

(5.34)

e2πiν F (T n )(ν ) − F (T n )(ν ) = e 2πi(n+1)ν − e−2πinν

(5.35)

D’altra parte,

ˆn = e2πinν e δ n → 0 in S  per n → ±∞, ne segue che e2πinν → 0 in S  Poiché δ per n → ±∞. Questo implica, per la (5.35), che per n → + ∞, e2πiν F (T n )(ν ) − F (T n )(ν ) → 0

(5.36)

Dalle (5.34) e (5.36) segue (5.33) che può essere riscritta come.

Si noti ora che



e2πiν − 1 F (T )(ν ) = 0



e2πiν − 1 = 0 ⇔ ν ∈

(5.37)

Z

ed inoltre che

d 2πiν − 1) = 2πie2πiν  (e = 0 ∀ν dν Segue allora dall’Esercizio 4.9 che necessariamente +∞

F (T )(ν ) =



ck δ k (ν ) .

(5.38)

−∞

Rimangono da determinare i coefficienti ck . Con la stessa tecnica utilizzata per dimostrare (5.33) si può anche mostrare che

164


F (T )(ν − 1) = F (T )(ν )

(5.39)

Utilizzando (5.39) in (5.38), otteniamo

F (T )(ν ) = F (T )(ν − 1) =

+∞

+∞

+∞







ck δ k (ν − 1) =

−∞

ck δ k+1 (ν ) =

−∞

ck−1 δ k (ν ) .

−∞

(5.40) Confrontando (5.40) con (5.38) otteniamo subito che ck = ck−1 per ogni k ∈ Z, cioè che (ck ) è una successione costante: c k = c per ogni k. Dunque +∞

F (T )(ν ) = c



δ k (ν ) .

(5.41)

−∞

Rimane da determinare c. Per fare questo, si consideri una successione φm (x) di funzioni test tali che

  

Allora

φm (x) = 1

∀x : | x| ≤ 1/2

φm (x) = 0

∀x < − 1/2 − 1/m e x > 1/2 + 1/m

|φm (x)| ≤ 1 ∀x

+∞

< F (T )(ν ), φm (ν ) >=

 c



δ k (ν ), φm (ν )

−∞

= c

∀m ≥ 3 .

(5.42)

D’altra parte, segue dalla definizione di trasformata di Fourier che +∞ +∞

< F (T )(ν ), φm (ν ) >=

 

φm (ν )e−2πikν dν

−∞−∞

Si pu` o dimostrare che, per come sono fatte le φ m e notando in particolare che lim φm (x) = I [−1/2,1/2] (x) ,

m→+∞

si ha

1/2

+∞

lim



m→+∞ −∞

φm (ν )e

−2πikν

dν =



−2πikν

e

dν =

−1/2



1 0

se k = 0 se k  =0

Dunque, +∞

lim

m→+∞

< F (T )(ν ), φm (ν ) >=

1/2

 

−∞ −1/2

e−2πikν dν = 1

(5.43)

5.6 Altri esempi

165

Confrontando (5.42) con (5.43), otteniamo quindi che c = 1 e che dunque +∞



F (T )(ν ) =

δ k (ν ) .

(5.44)

−∞

In particolare si noti che

F (T )(ν ) = T (ν ) . Esercizio 5.8 Dimostrare che +∞

F



+∞



δ k T (x) (ν ) =

−∞

1 δ (ν ) . T −∞ k/T



Esempio 5.44 Consideriamo una funzione f : Consideriamo



f 0 (x) = f (x)I [0,T [ (x) =

f (x) 0

R

→

C

T -periodica in R1loc (R).

se x ∈ [0, T [ se x  ∈ [0, T [

Si noti che f (x)I [−nT,(n+1)T ] (x) =

n

n





f 0 (x+kT ) =

k=−n

n



f 0 (x)∗δ kT (x) = f 0 (x)∗

k=−n

δ kT (x) .

k=−n

Si pu` o dimostrare che per n → +∞, l’eguaglianza precedente converge a +∞

f (x) = f 0 (x) ∗



−∞



δ kT (x) .

nel senso delle distribuzioni temperate. Si noti in particolare che f (x) essendo una funzione periodica è sicuramente a crescita lenta e quindi induce una distribuzione temperata. Invece f 0 (x) è una funzione a supporto compatto e quindi induce una distribuzione a supporto compatto. f (x) e f 0 (x) d’ora in avanti indicheranno le rispettive distribuzioni temperate associate ai due simboli. Usando la Proposizione 5.40 e il risultato dell’Esercizio 5.8 otteniamo la trasformata di Fourier di f : +∞

+∞





1 1 δ k/T (ν ) = F (f (x))(ν ) = F (f 0 (x))(ν ) F (f 0 )(k/T )δ k/T (ν ) . T T −∞ −∞ Antitrasformando poi si ottiene +∞

k 1 F (f 0 )(k/T )e2πi T x f (x) = T −∞



e si noti che



(5.45)

166

F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli T

F (f 0 )(k/T ) =



k

f (x)e−2πi T x dx

0

Quindi, (5.45) è lo sviluppo in serie di Fourier complessa della funzione T -periodica f (x). Si noti tuttavia che in questo contesto la convergenza della serie non è nel senso della norma quadratica, ma nel senso delle distribuzioni S  . E’ interessante notare come la trasformata di Fourier estesa alle distribuzioni temperate permette di vedere la trasformata di Fourier classica di funzioni e la serie di Fourier in maniera unificata.

5.7 Esercizi

5.7.1 Soluzioni

6 Trasformata di Laplace

6.1 Introduzione 6.2 Trasformata di Laplace di funzioni Sia f : [0, +∞[→ C sia una funzione continua a tratti. Definiamo Ω f = { s ∈

C

| x → e −sx f (x) ∈ R1 (0, +∞)}

 Una funzione f (x) si dice Laplace trasformabile (o anche L -trasformabile) se Ω f = ∅ ed in tal caso si definisce la trasformata di Laplace di f come la funzione L (f ) : Ω f → C definita dall’espressione +∞

L(f )(s) =



f (x)e−sx dx

0

La struttura dell’insieme Ω f è chiarito dalla seguente proposizione. Proposizione 6.1 Sia f : [0, +∞[→ C sia una funzione continua a tratti. Allora Ω f è un insieme dei possibili quattro tipi seguenti:

• • • •

semipiano destro chiuso {s ∈ C | Re s ≥ x 0 }, semipiano destro aperto {s ∈ C | Re s > x0 }, l’intero piano complesso C, l’insieme vuoto ∅ .

La seguente proposizione richiama invece alcune proprietà di base della trasformata di Laplace. Proposizione 6.2 Siano f e g continue a tratti. Siano λ,µ,s0 ∈ Allora (A) L(λf + µg)(s) = λ L(f ) + µL(g) per ogni s ∈ Ω f ∩ Ω g .

C.

Sia x 0 ∈

R

+

.

168


(B) L(es x f (x))(s) = L(f (x))(s − s0 ) per ogni s ∈ Ω f + s0 . (C) L(f (x − x0 )H (x − x0 ))(s) = e −sx L(f (x))(s) per ogni s ∈ Ω f . (D) Se f è derivabile in (0, +∞) e f  è continua a tratti, allora 0

0

L(f  ) = s L(f ) − f (0+) per ogni s ∈ Ω f ∩ Ω f . (E) L(f )(s) è olomorfa nel la parte interna di Ω f e si ha 

L(f ) (s) = −L(xf (x))(s) per ogni s nella parte interna di Ω f . Esempio 6.3 Utilizzando la proposizione precedente si vede subito che, per ogni k ∈ N, si ha Ω xk H (x) = {s ∈ C | Re s > 0 } e che

L(xk H (x)) =

k! sk+1

∀s tale che Re s > 0 .

Vediamo ora il collegamento tra la trasformata di Laplace e quella di Fourier. Supponiamo che f sia una funzione Laplace trasformabile. Possiamo scrivere, per s = a + ib ∈ Ω f , +∞

L(f (x))(a + ib) =



f (x)e

−ax −ibx

e

dx = F (f (x)e

0

−ax

)

 

b . 2π

(6.1)

Questo collegamento mostra come la trasformata di Laplace completamente determini la funzione nel senso più precisamente espresso dalla seguente proposizione la cui dimostrazione segue dal corrispondente risultato per la trasformata di Fourier: Proposizione 6.4 Siano f : [0, +∞[→ C e g : [0, +∞[→ C due funzioni continue a tratti tali che L(f )(s) = L(g)(s) su una retta verticale Re s = x0 che stia in Ω f ∩ Ω g . Allora, f (x) = g(x) per ogni x dove entrambe le funzioni sono continue. Di conseguenza abbiamo che Ω f = Ω g e L (f )(s) = L (g)(s) per ogni s ∈ Ω f . Inoltre (6.1) suggerisce un modo per invertire la trasformata di Laplace. In effetti, se ipotizziamo che f (x) sia una funzione che ammette pseudoderivate destra e sinistra in ogni punto, utilizzando il Teorema 1.12 (dispense trasformata di Fourier) si ottiene che per ogni x dove f è continua, +∞

−ax

f (x)e

−1

= F (b → L (f (x))(a + ib)) =



L(f (x))(a + ib)e2πibx db (6.2)

−∞

dove l’integrale è in generale da intendersi nel senso del valor principale cioè:

6.2 Trasformata di Laplace di funzioni +∞



169

M

L(f (x))(a + ib)e

2πibx

db =

−∞



lim

M →+∞ −M

L(f (x))(a + 2πib)e2πibx db .

Da (6.2) otteniamo anche che per ogni x dove f è continua, si ha M

f (x) =

lim



M →+∞ −M

L(f (x))(a + 2πib)e(a+2πib)x db

(6.3)

Consideriamo ora la funzione complessa L (f )(s)esx che sappiamo essere olomorfa su Ω f (in quanto prodotto di funzioni ivi olomorfe). Integriamola sulla curva γ M : [−M, M ] → C data da γ (t) = a + 2πit. Otteniamo



+M

L(f )(s)e

sx

ds = 2πi

γ M



L(f (x))(a + 2πit)e(a+2πit)x dt

−M

Si ha dunque la seguente formula di inversione 1 f (x) = 2πi



lim

M →+∞ γ M

L(f )(s)esx ds .

(6.4)

per tutti gli x dove f (x) è continua. Questa formula di inversione viene spesso scritta, esplicitando la curva γ M come 1 f (x) = 2πi

a+2πiM



lim

M →+∞ a−2πiM

L(f )(s)esx ds .

(6.5)

o anche, inglobando il limite nel processo di integrazione 1 f (x) = 2πi

a+2πi∞



L(f )(s)esx ds .

(6.6)

a−2πi∞

Si noti che se la funzione integranda L(f )(s)esx è assolutamente integrabile per s = a + 2πit e t ∈ (−∞, +∞), non ha importanza come si svolge l’integrale improprio; se però non è assolutamente integrabile la formula (6.6) è da intendersi nel senso della (6.4): l’integrale va fatto sulla curva simmetrica γ M e successivamente si prende il limite M → + ∞. Se partiamo da una funzione F (s) olomorfa su qualche semipiano aperto {s | Re s > x0 }, ci possiamo chiedere come si può riconoscere se essa è la trasformata di Laplace di una qualche funzione f (x). Sotto condizioni opportune di limitatezza della F si può considerare la funzione f (x) definita da

170


1 f (x) = 2πi

a−2πiM

lim



M →+∞ a−2πiM

F (s)esx ds .

(6.7)

Sotto opportune ipotesi effettivamente la trasformata di Laplace di f (x) è F (s) come mostra il seguente risultato di cui omettiamo la dimostrazione. Teorema 6.5 Sia F (s) una funzione olomorfa sul semipiano aperto Π = {s | Re s > x0 } e supponiamo che esista una costante M > 0 tale che |F (s)| ≤ M |s|−2 per ogni s ∈ Π . Allora se a è scelto in modo che a > x 0 , la (6.7) definisce una funzione f (x) che è continua su R tale che f (x) = 0 per ogni x < 0. Inoltre f (x) è Laplace trasformabile, si ha Π ⊆ Ω f e vale L (f )(s) = F (s) per ogni s ∈ Π . 

6.3 Trasformata di Laplace di distribuzioni Se f : [0, +∞[→ C e` una funzione Laplace trasformabile, la sua trasformata di Laplace si può scrivere come +∞

L(f )(s) =



f (x)e−sx dx =< T f (x), e−sx >

0

cos`ı che saremmo tentati di definire la trasformata di Lapace di una distribuzione T ∈ D  a supporto in [0, +∞[ come qualcosa del tipo

L(T )(s) =< T (x), e−sx >

(6.8)

La (6.8) presenta una serie di problemi che ci impediscono di poterla utilizzare cos`ı come è. Intanto x → e −sx non è mai in D e neppure in S , è soltanto in C ∞ . Quindi la (6.8) funziona soltanto se T è una distribuzione a supporto compatto. In questo caso è il modo giusto per definire la trasformata di Laplace di una distribuzione e si noti che s può assumere un qualsiasi valore sul piano complesso. Se T ∈ S  tuttavia, dovremmo riuscire a dare un senso alla (6.8) se Re s ≥ 0 in quanto e −sx è rapidamente decrescente se guardata per x ≥ 0 e d’altra parte il supporto di T è per ipotesi in [0, +∞[. Per rendere rigorosa questa intuizione, si consideri una funzione λ(x) ∈ C ∞ tale che supp(λ) ⊆ [ −1, +∞[ e tale che λ(x) = 1 per ogni x ≥ 0. Definiamo, per gli s tali che Re s ≥ 0,

L(T )(s) =< T (x), λ(x)e−sx >

(6.9)

Si noti che se Re s ≥ 0 effettivamente la funzione λ(x)e−sx è in S e dunque la (6.9) ha senso. Si noti che poich´ e λ(x) = 1 sul supporto di T , ‘moralmente’ non abbiamo cambiato niente; che sia comunque una buona definizione lo prova il fatto che essa non dipende dalla particolare λ(x) scelta (verificarlo per esercizio).

6.3 Trasformata di Laplace di distribuzioni

171

Per poter definire la trasformata di Laplace anche per distribuzioni non temperate (si noti che la funzione ex ad esempio è Laplace trasformabile ma non determina una distribuzione temperata), è necessario fare un’ulteriore modifica alla (6.9). Cominciamo con una definizione: una distribuzione T ∈ D  si dice Laplace trasformabile se esiste c ∈ R tale che e −cx T (x) ∈ S  . Se ne troviamo uno di siffatti c ve ne è per lo meno una semiretta destra. In tal caso poniamo cT = inf {c ∈

R

| e −cx T (x) ∈ S  }

e Ω T = {s ∈

C

| Res > cT } .

La trasformata di Laplace di T è una funzione L (T ) : Ω T → C definita nel modo seguente: dato s ∈ Ω T , sia c ∈ R tale che cT < c < Re s (un tal c sicuramente esiste) e poniamo

L(T )(s) =< e −cx T (x), λ(x)e−(s−c)x >

(6.10)

Si noti che l’espressione sopra ha senso in quanto, essendo c < Re s, la funzione λ(x)e−(s−c)x è ancora in S , mentre per ipotesi e−cx T (x) ∈ S  . Si noti che passando il fattore moltiplicativo e−cx a destra, esso si cancellerebbe con l’altro e ritorneremmo alla (6.9). Questo lo possiamo fare se T è gi` a lei in S  , altrimenti non possiamo spostarlo. Infine si noti che dato s ∈ Ω T , di numeri reali c tali che cT < c < Re s ve ne sono chiaramente infiniti: non è tuttavia difficile mostrare che la definizione (6.10) non dipende da quale scegliamo. Un’ultima osservazione. Se f : [0, +∞[→ C è Laplace trasformabile, per definire correttamente T f dobbiamo ipotizzare di aver definito f (x) = 0 per x < 0. Fatto questo, pu` o tuttavia accadere che Ω f =  Ω Tf : in effetti, per definizione Ω Tf è sempre un insieme aperto, mentre sappiamo che Ω f pu` o anche essere un semipiano chiuso. Si rifletta su un esempio concreto mostrando la differenza tra i due insiemi. In ogni caso la trasformata di Laplace L (f )(s) coincide con L (T f )(s) per s ∈ Ω Tf (segue da come è stata definita la trasformata di Laplace di distribuzioni). La trasformata di Laplace di distribuzioni gode di proprietà molto simili alla trasformata di Laplace di funzioni. Alcune di queste sono riportate nella seguente proposizione. Proposizione 6.6 Siano S e T due distribuzioni Laplace trasformabili. Allora (A) (B) (C) (D)

L(λS + µT )(s) = λ L(S ) + µL(T ) per ogni s ∈ Ω T ∩ Ω S . L(es x T (x))(s) = L (T (x))(s − s0 ) per ogni s ∈ Ω T + s0 . L(T  )(s) = s L(T )(s) per ogni s ∈ Ω T ⊆ Ω T . L(T )(s) è olomorfa in Ω T e si ha 0



L(T ) (s) = −L(xT (x))(s) per ogni s ∈ Ω T .

172


Esempio 6.7 Calcoliamo la trasformata di Laplace delle distribuzioni delta. Sono a supporto compatto quindi si può utilizzare la definizione pi` u semplice (6.8). Abbiamo per ogni s ∈ C,

L(δ x (x))(s) =< δ x (x), e−sx >= e −sx

0

0

0

In particolare,

L(δ 0 (x))(s) = 1 . Dimostrazione. (parziale con alcuni commenti) (A) afferma che, come nel caso delle funzioni, la trasformata di Laplace di distribuzioni è lineare; si noti che implicitamente (A) afferma anche che Ω λS +µT ⊇ Ω T ∩ Ω S . La dimostrazioni di (A) è una semplice verifica e viene lasciata per esercizio. cos`ı come quella di (B). (C) la dimostriamo in dettaglio. Si noti che essa intanto afferma che Ω T ⊆ Ω T  . Vediamo prima questo. Sia c ∈ R tale che cT < c. Osserviamo che, poich´ e per Leibnitz, (e−cx T (x)) = − ce−cx T (x) + e−cx T  (x) abbiamo che

e−cx T  (x) = (e−cx T (x)) + ce−cx T (x)

(6.11)

Si noti che e−cx T (x) ∈ S  per ipotesi, e quindi anche (e−cx T (x)) ∈ S  . Segue dunque dall’espressione sopra che e −cx T  (x) ∈ S  . Questo mostra che sicuramente cT  ≤ cT e dunque che Ω T ⊆ Ω T . Per mostrare il resto di (C), consideriamo s ∈ Ω T e c ∈ R tale che cT < c < Re s. Utilizzando (6.11) e le propriet` a delle distribuzioni, abbiamo che, 

L(T  )(s) = < e−cx T  (x), λ(x)e−(s−c)x > = < (e−cx T (x)) , λ(x)e−(s−c)x > + < ce−cx T (x), λ(x)e−(s−c)x > = − < e−cx T (x), (λ(x)e−(s−c)x ) > +c < e−cx T (x), λ(x)e−(s−c)x > = − < e−cx T (x), λ (x)e−(s−c)x > +(s − c) < e−cx T (x), λ(x)e−(s−c)x > + c < e −cx T (x), λ(x)e−(s−c)x > = s < e−cx T (x), λ(x)e−(s−c)x >= s L(T )(s) (Nella penultima eguaglianza abbiamo sfruttato il fatto che poiché λ(x) = 1 per ogni x ≥ 0, ne segue λ (x) = 0 per ogni x ≥ 0; quindi il termine dove compare λ (x) scompare in quanto la distribuzione ha supporto in [0 , +∞[.) La dimostrazione di (D) si basa sulle proprietà di continuità delle distribuzioni in S  e viene omessa.  Si confronti la propriet` a (D) della Proposizione 6.2 con la proprietà (C) nella Proposizione 6.6: non sono in contraddizione? In effetti se f : R → C è tale che

6.3 Trasformata di Laplace di distribuzioni

173

f (x) = 0 per x < 0, è Laplace trasformabile e derivabile con f  ancora Laplace trasformabile, abbiamo due formule:

L(f  )(s) = s L(f )(s) − f (0+) ,

L(T f  )(s) = s L(T f )(s) .

(6.12)

Si noti che poiché f è derivabile ovunque tranne che eventualmente in 0 dove potrebbe avere un salto (se f (0+)  = 0) abbiamo che T f  (x) = T f (x) + f (0+)δ 0 (x) 

Dunque abbiamo, usando la prima delle due in (6.12),

L(T f  )(s) = L (T f ) + f (0+)L(δ 0 )(s) = s L(f )(s) − f (0+) + f (0+) 

= s L(f )(s) = s L(T f )(s) . Abbiamo dunque ottenuto la seconda in (6.12). Questo mostra come le due formule siano essanzialemnte la stessa formula, modulo la corretta interpretazione della derivata distribuzionale. Esempio 6.8 Usando poi la proprietà (C) della Proposizione 6.6 otteniamo

L(δ x(q) (x))(s) = s q e−sx . 0

0

In particolare, (q)

L(δ 0 (x))(s) = s q . Usando la linearità abbiamo quindi che n

L



n

 

(k)

λk δ 0 (x) (s) =

k=0

λ k sk .

k=0

Esempio 6.9 Calcoliamo la trasformata di Laplace del treno di impulsi a destra +∞

T =



δ k

k=0

E’ una distribuzione temperata, quindi si può usare l’espressione (6.9). Otteniamo, per Re s > 0, +∞

L(T )(s) =< T (x), λ(x)e

−sx

>=



k=0

e−sk =

1 . 1 − e−s

174


6.4 Legami tra la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace Come nel caso di funzioni, c’` e un profondo collegamento con la trasformata di Fourier di distribuzioni temperate espresso nel seguente risultato: Teorema 6.10 Sia T una distribuzione Laplace trasformabile e sia a > C T . Allora vale, L(T )(a + it) = F (e−ax T (x))(t) ∀t ∈ R . Poich´ e come sappiamo la trasformata di Fourier è invertibile su S  , possiamo scrivere l’eguaglianza sopra anche come e−ax T (x) = F −1 (L(T )(a + it)) (x) . o anche

T (x) = e ax F −1 (L(T )(a + it)) (x) .

(6.13)

che mostra come la trasformata di Laplace di distribuzioni possa sempre essere invertita. L’operazione inversa si indica L−1 . In particolare vale un risultato di unicit` a: Corollary 6.11. Siano S e T due distribuzioni Laplace trasformabili tali che

L(S )(s) = L (T )(S ) su una retta del tipo Re s = x 0 (con x 0 > cS , cT ). Allora S = T . Dimostrazione. Conseguenza immediata della formula di inversione (6.13).



Esempio 6.12 Segue dall’Esempio 6.7 che n

L−1

n

   λk sk

k=0

(x) =

(k)

λk δ 0 .

k=0

Abbiamo cos`ı determinato la trasformata di Laplace inversa di un qualunque polinomio. Consideriamo ora una qualunque funzione razionale F (s) = p(s)/q (s) e facciamo vedere che essa è sempre la trasformata di Laplace di una distribuzione su un opportuno semipiano destro. Dividendo p per q otteniamo p = rq + d dove r e d sono altri due polinomi con il grado di d strettamente inferiore al grado di q . Possiamo quindi scrivere p(s) d(s) = r(s) + q (s) q (s)

6.4 Legami tra la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace

175

r(s) essendo un polinomio può essere antitrasformato utilizzando l’esempio precedente ottenendo una combinazione lineare di delta e delle sue derivate nell’origine. Per quanto concerne la seconda frazione, essendo strettamente propria, si pu` o antitrasformare in un opportuno semipiano destro che escluda tutti i poli, ottenendo una combinazione lineare di espressioni del tipo xk eax H (x): questo si vede riducendo la frazione in fratti semplici od utilizzando la tecnica dei residui. L’antitrasformata di p(s)/q (s) si ottiene infine per linearit` a sommando i due pezzi ottenuti. Esempio 6.13 Consideriamo F (s) = Abbiamo

s s+1

s 1 =1 − . s+1 s+1

Dunque, −1

L

  s s+1

= L

−1

−1

(1) − L

  1 s+1

= δ 0 (x) − e−x H (x)

Si noti che e−x H (x) è da intendersi come la distribuzione avente come simbolo e−x H (x), Vale infine un teorema di inversione che generalizza il Teorema 6.5 Theorem 6.14. Sia F (s) una funzione olomorfa sul semipiano aperto Π = {s | Re s > x0 } e supponiamo che esista una costante M > 0 e un numero m ∈ Z tale che |F (s)| ≤ Msm per ogni s ∈ Π . Allora esiste una distribuzione T con supporto in [0, +∞[, Laplace trasformabile con Ω T ⊇ Π tale che L(T )(s) = F (s) per ogni s ∈ Π . Dimostrazione. Si basa sul Teorema 6.5. Se m ≤ −2 siamo proprio nelle ipotesi del Teorema 6.5 e non c’è dunque niente da dimostrare. Supponiamo dunque che m > − 2. In questo caso si sceglie c > x0 e si considera G(s) = F (s)(s−c)−m−2 . Non è difficile dimostrare che G(s) è ancora olomorfa in Π e ivi soddisfa una condizione di crescita del tipo |G(s)| ≤ M 1 s−2 . Quindi, in virt` u del Teorema 6.5, esiste una funzione continua f (x) a supporto in [0, +∞[, Laplace trasformabile con Ω f ⊇ Π e tale che L(f )(s) = G(s) per ogni s ∈ Π . Di conseguenza L(T f )(s) = G(s) per ogni s ∈ Π . Si noti ora che F (s) = (s − c)m+2 G(s) e che per ipotesi m + 2 > 0. Segue dalla propriet` a (C) della Proposizione 6.6 che

L





d − c dx

Dunque

m+2



T f (x) (s) = (s − c)m+2 L(T f )(s) = (s − c)m+2 G(s) = F (s)

176


 è la distribuzione cercata.

6.5 Esercizi

6.5.1 Soluzioni



d − c dx

m+2

T f (x) 

Introduzione All'Analisi Complessa e Teoria Delle Distribuzioni

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