Geometria delle aree 1
MOMENTO STATICO
1.1
Sistema discreto di aree
Il momento statico di un’area Ai rispetto ad un asse è il prodotto dell’area per la distanza dell’area dall’asse. Dire “momento statico” soltanto non ha senso, bisogna sempre specificare: 1) di cosa si stà calcolando il momento statico; 2) rispetto a quale asse si sta calcolando il momento statico.
y x1
A1 y1 x
Il momento statico di A1 rispetto all’asse x è: S x1
=
y1 A1
Il momento statico di A1 rispetto all’asse y è: S y1
=
x1 A1
Il segno del momento statico dipende dalla posizione dell’area rispetto all’asse e dal riferimento fissato: y x1
A1 y1 x y1 A1
L’area A1 che si trova dalla parte delle ordinate positive ha momento statico rispetto all’asse x positivo mentre l’area A1 che si trova dalla parte delle ordinate negative ha momento statico negativo rispetto all’asse x. Entrambe hanno momento statico positivo rispetto all’asse y.
1
La somma dei momenti statici di due aree uguali poste simmetricamente rispetto ad un asse rispetto allo stesso asse è quindi nulla. Estendendo questo ragionamento ad un sistema di più masse si può affermare che è nullo il momento statico di un insieme di aree rispetto ad un certo asse se le aree sono disposte simmetricamente rispetto a quell’asse. Per un sistema di n aree si definisce momento statico la somma dei momenti statici delle singole aree:
y A1
x1
A2
x2 x3 A3
y2
y1
A4
x4 A5
x5
y4
y5
y3
x n
S x
=
y1 A1 + y2 A2
+
..... yn An
=
∑ y A i
i
n
S y
=
x1 A1 + x2 A2
+
..... xn An
=
∑ x A
i =1
1.2
i
i
i =1
Sistema continuo y
dA
x
y
x
Per un sistema continuo la definizione di momento statico è analoga. Se si immagina il sistema costituito da aree infinitesime d A la relazione che esprime il momento statico si ottiene da quella relativa ad un sistema discreto semplicemente effettuando le sostituzioni: n
∑
⇒
1
xi
∫
A
⇒
dA
y i
⇒
y
A
⇒
x
e quindi: 2
S x
=
∫ ydA
S y
=
A
1.3
∫ xdA A
Sistema continuo riconducibile a sistema discreto
Figure geometriche più complesse possono essere scomposte in figure semplici in modo da considerare l’insieme come un sistema di aree discrete ciascuna concentrata nel suo centro. La sezione a doppio T in figura può essere scomposte in tre rettangoli di area A1, A2 ed A3.ed il momento statico della figura calcolato come somma dei momenti statici delle tre aree ciascuna considerata concentrata nel suo centro.
y A1
A2
x A3 S x
=
S x1
+
S x 2
+
S x 3
=
S y
=
S y1
+
S y 2
+
S y 3
=
2
A1 y1 + A2 y 2
+
A3 y 3
A1 x1
+
A3 x 3
+
A2 x 2
MOMENTO D’INERZIA
Il momento d’inerzia di un’area Ai rispetto ad un asse è il prodotto dell’area per il quadrato della distanza dell’area dall’asse Anche nel caso del momento d’inerzia bisogna bisogna sempre specificare: 3) di cosa si stà calcolando il momento d’inerzia; 4) rispetto a quale asse si sta calcolando il momento d’inerzia.
y x1
A1 y1 x
Il momento d’inerzia di A1 rispetto all’asse x è: 3
I x1
=
y12 A1
Il momento statico di A1 rispetto all’asse y è: I y1
=
x12 A1
I momenti di inerzia sono sempre positivi perché le distanze sono elevate al quadrato e quindi, qualunque sia la posizione dell’area rispetto all’asse (ossia qualunque sia il segno della distanza) il segno del momento di inerzia è positivo. Per un sistema di n aree si definisce momento diinerzia la somma dei momenti di inerzia delle singole aree: n
I x
=
2
y1 A1
+
2
y 2 A2
+
..... y n2 An
=
∑
n
2
y i Ai
I y
=
2
2
x1 A1 + x 2 A2
i =1
+
..... x n2 An
=
∑ x
2 i
Ai
i =1
Esempio 1. Sezione rettangolare
Per il calcolo dei momenti statici e dei momenti di inerzia è conveniente suddividere l’area in aree infinitesime di forma rettangolare come in figura: y
dA = bdy
dy h
xG
x b h
y 2 S x = ∫ ydA = ∫ ybdy = b ∫ ydy = b 0 0 2 0 A h
h
=
bh 2
momento statico rispetto all’asse x
2 h
S x
=
∫
ydA =
∫
h
2 h
ybdy
−
b
∫
y 2 b 2 h 2
2 h
ydy
−
2
A
=
h
2
=
=
2 h
h
h
2
momento statico rispetto all’asse xG
−
y 3 I x = ∫ y dA = ∫ y bdy = b ∫ y dy = b 0 0 3 0 A 2
0
2
=
bh 3
3
momento d’inerzia rispetto all’asse x
h
y 2 I x = ∫ y dA = ∫ y bdy = b ∫ y dy = b 3 h 2 2 A h
2
2 h
−
h
2
2 h
3
2
−
−
=
bh 3
12
momento d’inerzia rispetto all’asse xG
2
4
y yG dA = hdx
dx
h
x b h
x 2 S y = ∫ xdA = ∫ xbdx = h ∫ xdx = h 0 0 2 0 A b
b
=
hb 2
momento statico rispetto all’asse y
2 b
y 2 S y = ∫ xdA = ∫ xhdx = h ∫ xdx = h 2 b 2 2 A b
b
2 b
2 b
−
2
=
0
momento statico rispetto all’asse yG
−
−
2 b
x 3 2 2 2 I y = ∫ x dA = ∫ x hdx = b ∫ x dx = h 0 0 3 0 A b
b
=
hb 3
momento d’inerzia rispetto all’asse y
3 b
x 2 I y = ∫ x dA = ∫ x hdx = h ∫ x dx = h 3 b 2 2 A b
2
2 b
b
2
2 b
−
3
2
−
−
=
hb 3
momento d’inerzia rispetto all’asse yG
12
2
3
CENTRO GEOMETRICO
Si definisce centro geometrico di un insieme di aree il punto in cui si può considerare concentrata l’area di tutte le aree per avere uguale momento statico rispetto ad un qualunque asse. Se si considera un insieme di aree discrete A1, A2, ,… An, di area totale A, il centro geometrico di tale sistema, in base alla definizione, ha coordinate xG e yG rispetto ad un riferimento fissato che soddisfano le relazioni: n
AxG
=
∑ x A 1
1 +
n
x1 A1
+
... + x n An
AyG
=
∑ y A
1 +
1
i
y1 A1 + .... + y n An
i
Da cui si ricava: n
n
∑
x1 A1 + x1 A1
xG
=
xG
=
∑ y A
+ ... + x n An
1
i
y G
A S y A
y G
=
=
1 +
y1 A1
+
... + y n An
i
A
S x A
5
Nel caso della sezione rettangolare di dimensioni bxh queste relazioni conducono al risultato ben noto: xG
=
hb
2
=
2bh
b
y G
2
=
bh
2
2bh
=
h
2
Nel caso della sezione a doppio T la posizione del centro si determina ancora in funzione dei momenti statici rispetto ai due assi calcolati per i rettangoli in cui la sezione può essere scomposta e cioè: yG
=
xG
=
S x
=
A S y
A1 y1
+
A2 y 2
A1 + A2 =
A
+
A1 x1 + A2 x2 A1 + A2
+
A3
+
+
A3 y 3
A3 x3
A3
queste relazioni consentono di determinare la posizione del centro di un sistema di aree generico. Inoltre queste relazioni mostrano che se rispetto ad un asse è nullo il momento statico di un insieme di aree vuol dire che rispetto a quell’asse è nulla la distanza del centro ossia che il centro si trova su quell’asse: Se S y=0
AxG
=
0 quindi xG=0
cioè il centro si trova sull’asse y.
Se S x=0
AyG
=
0 quindi yG=0
cioè il centro si trova sull’asse x.
Viceversa possiamo dire che se il momento statico rispetto ad un asse è nullo vuol dire che quell’asse passa per il centro del sistema. 4
TEOREMA DI TRASPOSIZIONE DEI MOMENTI DI INERZIA
Noto il momento di inerzia rispetto ad un asse che passi per il centro di un’area si può calcolare il momento di inerzia rispetto ad un altro asse ad esso parallelo mediante una formula semplice. Vediamo come si arriva a questa formula. Consideriamo due assi posti a distanza “ d” , paralleli tra loro, di cui uno passante per il centro della figura. y
x
dA y0
d
y
x0
x
6
Il momento di inerzia rispetto all’asse x è dato da: I x
=
∫ y dA 2
A
Tenendo conto che y I x
=
∫
d + y 0 e svolgendo l’espressione sotto il segno di integrale:
2 2 2 ∫ ( y0 + d ) dA = ∫ ( y0 + d + 2dy0 )
2
y 2 dA =
A
=
A
∫
∫
∫
A
A
A
dA = y 02 dA + d 2 dA + 2dy 0 dA
A
Portando fuori dal segno di integrale i termini costanti ( d ) si ottiene: I x
=
∫ y dA 2 0
+
∫
∫
A
A
d 2 dA + 2d y 0 dA = I x0
A
+
∫
d 2 A + 2d y 0 dA A
L’integrale che compare nell’ultimo termine è il momento statico dell’area rispetto all’asse x 0 che passa per il centro dell’area ed è quindi nullo. Risulta perciò: I x
=
I x0
+
2
d A
cioè il momento di inerzia di un’area rispetto all’asse x è pari alla somma del momento di inerzia rispetto all’asse x0 parallelo ad x e passante per il centro, più il prodotto dell’area per il quadrato della distanza d tra i due assi. Questa formula mostra che il minimo valore del momento di inerzia si ha rispetto ad un asse passante per il centro dell’area ( d =0). Confrontando i valori dei momenti d’inerzia rispetto agli assi x e xG e y e yG ottenuti per la sezione rettangolare si ritrova quanto dimostrato.
Esempio 2. Confronto tra momenti di inerzia
Il comportamento di due sezioni accoppiate dipende dall’esistenza o meno di un collegamento tra le sezioni stesse. Il momento d’inerzia della sezione composta rispetto ad un asse si può calcolare come somma dei momenti d’inerzia delle singole parti rispetto allo stesso asse se e solo se la sezione si comporta come un unico elemento ossia se le singole parti sono connesse rigidamente. Se non è così, le sollecitazioni si distribuiscono tra le varie parti della sezione ed ognuna di esse funziona indipendentemente dalle altre. Per esempio le sezioni B e C, dotate di area uguale si comportano diversamente tra loro: nel primo caso non vi è collegamento tra le due sezioni mentre nel secondo esse sono collegate a formare un’unica sezione. Nel primo caso le sollecitazioni agenti si distribuiscono tra le due sezioni che funzionano indipendentemente l’una dall’altra; nel secondo caso la sezione è unica. La sezione C invece funziona come un’unica sezione rettangolare di altezza 6 e quindi il momento d’inerzia è 4 volte più elevato. 7
Esempio 3
Se lo spessore di entrambe le flange della sezione in figura viene incrementato della stessa quantità, come si modifica la posizione del baricentro in orizzontale ed in verticale?. Non sono richiesti calcoli. Fornire solo una breve motivazione della risposta.
s
2s
s
2s
Poiché le aree si modificano della stessa quantità la posizione del loro centro in verticale non cambia. In orizzontale invece, poiché aumentano solo le aree delle flange il centro si avvicina maggiormente ai centri delle flange che hanno un’area maggiore rispetto alla situazione precedente.
9
Esempio 4
Si consideri la sezione circolare cava in figura con diametro esterno Dest =300mm e spessore t =2mm. Si considerino le sezioni in figura dotate di area uguale a quella assegnata e si faccia una graduatoria tra le sezioni in funzione del valore del massimo momento di inerzia rispetto all’asse orizzontale ed in base al modulo di resistenza.
Sezione circolare cava
t
2 Dest
A = π
Sezione quadrata cava
4
I = π
2
I =
d
4 Dint
d
π
− π
64
I
20.775 ⋅ 10
=
−
64
236
=
=
d / 2
296
) = 1872mm
2
) = 20.8 ⋅ 10
6
4
mm
4
3 3 138 ⋅ 10 mm
4
−
232
12
17.1 ⋅ 10
=
−
2
16 + 8d → d =
12
I
4
296
= −
(d − 2t )4
−
−
6
15
(d − 2t )2
2
(300
=
64
12
W =
(300
4
Dest / 2
A = d
π
=
4
4
2mm
− π
4 Dest
W =
Dest
2 Dint
A
8
+
2 = 236mm
4
=
12
6 4 17.1 ⋅ 10 mm
6
=
118
3 3 145 ⋅ 10 mm
Sezione quadrata A = l 2 l
I =
l4
=
W =
l
=
→
4
D
=
0.29 ⋅ 10 6 mm 4
13.5 ⋅ 10 3 mm 3
4 A
=
48.83mm
π
D 4 =
64
=
21.63
D 2
=
12
0.29 ⋅ 10 6
l / 2
I = π
−
232 4
12
I
A = π
A = 43.26mm
=
43.26 4
12
l
Sezione circolare piena
=→
0.28 ⋅ 10 6 mm 4
D
W =
I D / 2
=
0.28 ⋅ 10 6 24.415
=
11.5 ⋅ 10 3 mm 3
10
Sezione rettagolare piena
A = 3b 2
A
b=
→
25mm
=
3
3
I x
3b
W x
b
b ⋅ (3b )
=
6
0.88 ⋅ 10 mm
=
12 I
=
=
3b / 2
4
23.4 ⋅ 103 mm 3
I y
=
W y
=
3b 4
=
12 I
0.0325 ⋅ 10 6 mm 4
=
b / 2
2.6 ⋅ 103 mm 3
Sezione tipo HE
t
b
A
A = 3bt → b =
t
I x
I y
=
3
3
b + t +2 + 2bt 12 12 2
tb
bt
bt 3
=
W y
+
12
b W x
312mm
=
3t
tb 3
2
12
I
=
(b / 2 + t ) I
=
=
=
=
=
35.82 ⋅10 6 mm 4
10.12 ⋅ 10 6 mm 4
35.82 ⋅ 10 6 158
10.12 ⋅ 10 6
b / 2
2
=
156
=
226 ⋅ 10 3 mm 3
64.8 ⋅ 10 3 mm 3
Sezione tipo IPE t
5 3
b
A = 3bt → b =
t I x
=
5 t b 3
3
12
A
312mm
=
3t 2
3
bt
3 +2 12
2 3 t b bt 3 3 +2
5 I y 2 3
=
12
t 5 bt b + +2 3 6 2
2
2
=
80.11 ⋅ 106 mm 4
3
=
12
3 ⋅ 10 6 mm 4
b
W x
=
I
5 6
W y
=
=
80.11 ⋅ 10 6 262
b + t
I b / 3
=
3 ⋅ 10 6 104
=
=
305 ⋅ 103 mm 3
28.85 ⋅ 10 3 mm 3
11
160 140 120 100 Ix
80
Iy
60 40 20 0 tubo circolare
t ubo quadro
quadrat o
c irc ol are
ret tangolare
HE
IP E
350 300 250 200
Wx Wy
150 100 50 0 tubo circolare
t ubo quadro
quadrat o
c irc ol are
ret tangol are
HE
IP E
A parità di area le sezioni cui corrispondono i massimi valori sia del momento d’inerzia sia del modulo di resistenza sono quelle a doppio T ed i particolare gli IPE. Le sezioni compatte sono quelle cui corrispondono i valori più bassi sia dei momenti di inerzia sia dei moduli di resistenza. I momenti d’inerzia rispetto agli assi x e y sono uguali tra loro per le sezioni circolari e quadrate. Le sezioni cave, a parità di area, hanno momenti di inerzia più elevati.
12
Nei grattacieli si utilizza frequentemente una disposizione dei pilastri a “tubo” ossia si collocano i pilastri sul contorno esterno della pianta in modo da realizzare una sezione cava in cui, a parità di area dei pilastri, i momenti di inerzia della sezione nel suo complesso siano più elevati.
Pianta di una delle torri del World Trade Center
13
Esempio 5
2) Tra le sezioni in figura indicare quella con: a. il massimo momento di inerzia rispetto all’asse orizzontale passante per la mezzeria della sezione; b. il massimo momento di inerzia rispetto all’asse verticale passante per la mezzeria della sezione; c. il massimo momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico verticale.
a.
Rispetto all’asse orizzontale tutte le sezioni hanno uguale momento d’inerzia e modulo di resistenza perché la distribuzione delle aree è simmetrica rispetto a tale asse.
b.
Rispetto all’asse verticale passante per la mezzeria della sezione, il momento d’inerzia delle ali è uguale per tutte le sezioni (a), …(d), quindi il confronto viene condotto solo sui momenti di inerzia dell’anima, Quest’ultimo è pari alla somma del momento d’inerzia rispetto al baricentro dell’anima stessa I 0 e del momento di trasporto. Per le prime 3 sezioni (a, b, e c) il termine I 0 è lo stesso e quindi il massimo momento di inerzia è quello in cui l’anima è più distante dall’asse ossia la c. Per la sezione d il termine I 0 è 4 volte più piccolo essendo l’altezza di ciascuna delle due anime dimezzata rispetto ai casi precedenti: I 0
=
b⋅h
3
per le sezioni a, b e c
12
h b⋅ 2 I 0 = 2 ⋅ 12
3
=
2⋅
b ⋅ h3 1
=
12 8
b ⋅ h3 1
12 4
per la sezione d
Il momento di trasporto è pari all’area dell’anima per il quadrato della distanza. La somma delle aree delle due anime nel caso d è pari all’area dell’anima del caso c e la distanza nei due casi è la stessa quindi il momento di trasporto nei due casi è lo stesso. Concludendo quindi la sezione con il massimo momento di inerzia rispetto all’asse verticale passante per la mezzeria delle ali è la sezione c cioè quella con le due aree di anima che formano un’unica area e che sono poste alla massima distanza dall’asse rispetto al quale si calcola il momento di inerzia. 14
c.
Per rispondere alla domanda è necessario determinare nei 4 casi la posizione del baricentro della sezione per poter determinare la distanza tra l’anima e l’asse baricentrico e quindi il momento di trasporto. Nei casi (a) e (c) il baricentro della sezione si trova sull’asse di simmetria verticale (ossia quello che passa per la mezzeria), la distanza tra il baricentro dell’anima e l’asse rispetto al quale ci calcola il momento di inerzia nei due casi è quindi: d (caso a)=0; d (caso d )=50-1.5=48.5mm;
Negli altri due casi la posizione del baricentro deve essere determinata. Svolgendo i calcoli si ricava che, rispetto ad un sistema di riferimento con origine nello spigolo sinistro della sezione, l’ascissa del baricentro è: xG(caso b) =40.53mm xG(caso c) =33.51mm
Nei due casi quindi la distanza tra il baricentro dell’anima ed il baricentro della sezione è: d (caso b)=40.53-23=17.53mm; d (caso c)=33.51-3=30.51mm;
Il momento d’inerzia del’anima è la somma del momento di inerzia rispetto all’ asse baricentrico I 0 e del momento di trasporto. Nei casi (a, b, e c) il momento di inerzia baricentrico ò lo stesso e quindi da un caso all’altro varia solo il momento di trasporto in funzione della distanza dell’anima dal baricentro della sezione. La sezione con il massimo momento di inerzia è quindi quella cui corrisponde la massima distanza ossia la sezione ( c) per la quale il momento di inerzia è: I =
b⋅h
3
+
12
2
bhd
=
180 ⋅ 6 3 12
+
180 ⋅ 6 ⋅ 30.512
=
(3240 + 1005328)mm 4 = 1008568mm 4
Come si può vedere il secondo termine è preponderante rispetto al primo cioè l ’influenza del momento di trasporto sul valore totale del momento d’inerzia dell’anima e fortissima. Nel caso (d ) il valore del momento d’inerzia delle due anime rispetto al loro asse baricentrico è (come si è visto al punto b) ¼ rispetto a quello della sezione c però la distanza dal’asse baricentrico, e quindi momento di trasporto, sono più alti:
h b⋅ 2 I = 12
3
+
2
bhd
=
2⋅
180 ⋅ 33 12
+
2 ⋅ 180 ⋅ 3 ⋅ 48.52
=
(810 + 2540430)mm 4
=
2541240mm 4
Quindi, in sintesi, la sezione con il massimo momento d’inerzia rispetto all’asse verticale baricentrico è la sezione ( d ) ossia quella in cui le aree sono collocate a maggiore distanza 15
dall’asse stesso. Questo si verifica perché il momento di trasporto , che dipende dal quadrato della distanza, ha importanza preponderante sul valore totale del momento di inerzia.
16
