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Capítulo 1
CAPITULO 1
MOVIMIENTOS IRROTACIONALES. ECUACIONES GENERALES
1.1. INTRODUCCION INTRODUCCION En esta asignatura se analizan los fundamentos de la Aerodinámica que, articulados en torno a modelos matemáticos sencillos, permiten determinar o al menos estimar las cargas que el viento ejerce sobre cuerpos cuya geometría no sea muy complicada (perfiles de ala y alas) que se desplazan a través del aire en calma a velocidades bajas o moderadas. Como es sabido cualquier sistema de cargas se puede reducir a una fuerza y a un momento aplicados en un punto cuyas componentes variarán según el sistema de ejes que se adopte como referencia. En el cálculo de las acciones del viento sobre un cuerpo que se mueve con velocidad U ∞ a través del aire en calma se suele adoptar un triedro de referencia ligado al cuerpo de modo que en este sistema el cuerpo está en reposo y es el aire el que incide sobre el cuerpo con velocidad U ∞. En el triedro de referencia elegido el eje x x tiene la dirección y el sentido de la velocidad incidente U ∞, el eje z eje z está está contenido en un plano vertical, dirigido hacia arriba, y forma un ángulo de π/2 con el eje x x y, por último, el eje y y se define de modo que el sistema de ejes forme un triedro a derechas, tal como se indica en la figura 1.1. Este sistema de referencia se denomina ejes viento, y la proyección de la fuerza resultante sobre el eje x eje x recibe recibe el nombre de resistencia aerodinámica, D aerodinámica, D (llamada (llamada también fuerza de arrastre en algunos textos, sobre todo en aquellos que tratan de Aerodinámica no aeronáutica), se llama sustentación, L sustentación, L,, a la proyección correspondiente al eje z eje z y y fuerza lateral, F lateral, F y, a la del eje y eje y;; de igual modo las componentes ( M M x, M y y M z ) del momento según los ejes del triedro de referencia se conocen con los nombres de momento de balance el correspondiente al eje x eje x,, momento de guiñada el del eje z eje z , y momento de cabeceo la proyección sobre el eje y eje y.. z U ∞ ∞
y
x Fig. 1.1. Definición del sistema de ejes viento.
En la mayoría de los movimientos de interés para la Aerodinámica el efecto de la viscosidad es despreciable, salvo en zonas localizadas del campo fluido (capa límite, estela, etc ... ). Dicho efecto puede ser cuantificado por el cociente entre las fuerzas convectivas, de orden ρ V V 2/ L L (donde ρ es la densidad del fluido, V una velocidad característica del movimiento y L L una longitud característica), y las viscosas, de orden µ V V/ L L2 (siendo µ la viscosidad del fluido). A dicho cociente se le denomina número de Reynolds, Re Reynolds, Re = ρ VL/ VL/µ . Este número adimensional tiene, para la inmensa mayoría de los problemas de interés aeronáutico, un valor muy grande (por ejemplo, en un vuelo típico de una avioneta y tomando como velocidad característica V = 60 m.s –1, como longitud característica la cuerda del ala, L L = 1 m, y considerando vuelo a −6 2 –1 6 nivel del mar, µ / ρ = 15x10 m .s , se obtiene Re obtiene Re ∼ 4x10 ; para el caso de un avión comercial ρ = típico tendríamos Re tendríamos Re ∼ 5x107).
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Así pues, el efecto de la viscosidad se concentra en general a una capa delgada (capa límite) de forma que sea posible cumplir la condición de contorno de velocidad tangencial nula del fluido sobre el obstáculo. Salvo en aquellas lecciones en las que específicamente se describa el efecto de la viscosidad (mecanismo de creación de la circulación sobre un perfil, capa límite sobre perfiles, capa límite sobre alas, resistencia fluidodinámica), se supondrá a lo largo del desarrollo de la asignatura que dicho efecto es despreciable. En cualquier caso, resulta inabordable el estudio analítico de los movimientos en los que se considera el efecto de la viscosidad, salvo que se suponga que dicho efecto está confinado en la capa límite. Otra hipótesis introducida en el estudio es la adiabaticidad del movimiento. Esta condición se deriva de la consideración de que la conducción de calor es despreciable y se traduce en la imposición de que el producto RePr sea grande, donde Pr = µ c p/k, es el número de Prandtl (aquí c p es el calor específico a presión constante y k la conductividad térmica del fluido). Dicho número para los gases es del orden de la unidad y por tanto la condición requerida anteriormente, Re >> 1, se traduce automáticamente en RePr >> 1. Además se considerará tan sólo el movimiento de fluidos para los que es posible definir una relación de barotropía. Con este último término se designa a aquellos movimientos de fluidos en los que la relación entre la presión y la densidad es única en todo el campo fluido. En particular esta relación existe para los movimientos de líquidos, en los que su densidad es constante y por tanto independiente de la presión (y de la temperatura) y en el movimiento isentrópico (adiabático y reversible) de gases, en el que la condición de constancia de la entropía proporciona una relación simple entre presión y densidad (en la que no interviene la temperatura). Finalmente se considerará que el campo de presiones se debe a efectos dinámicos y no a efectos estáticos, es decir, que el efecto que aparecería en el campo de presiones debido a los campos de fuerzas másicas (en particular la aceleración de la gravedad, g ) es despreciable. Esta condición se cumple siempre que gL << V 2 y ocurre en todos los casos de interés (salvo para globos y dirigibles en los que las fuerzas de flotabilidad debidas al gradiente de presión hidrostática son fundamentales).
1.2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que rigen el movimiento del fluido (supuesto que sean despreciables los efectos de la viscosidad y de la conducción de calor) son: Ecuación de continuidad
∂ ρ Dρ + ∇ ⋅ ( ρ V ) = + ρ ∇ ⋅ V = 0 . ∂t Dt
(1.1)
Ecuación de conservación de la cantidad de movimiento DV = ∂V + V ⋅ ∇V = ∂V + ∇ V 2 − V × (∇ × V ) = − 1 ∇ p ∂t ∂t Dt ρ 2
.
(1.2)
donde V = V . No se han incluido los efectos de las fuerzas másicas ni de la viscosidad, ya que, como se ha dicho, se han supuesto despreciables.
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Ecuación de evolución de la entropía D s = ∂s + V ⋅ ∇ s = 0 Dt ∂t
.
(1.3)
Bajo la hipótesis de conducción del calor y efectos viscosos despreciables la entropía puede considerarse constante a lo largo de cada una de las líneas de corriente. Si, además, la entropía es constante en el infinito aguas arriba esta constante es la misma para todas las líneas de corriente (no debe olvidarse sin embargo que en ciertas superficies, de espesor muy pequeño dentro de la aproximación que estamos considerando, tales como ondas de choque, capas límite, etc, este valor de la entropía cambia y, en general, crece). La ecuación de evolución de la entropía sustituye a la ecuación de conservación de la energía y puede ser expresada de una manera sencilla en el caso de los gases perfectos en la forma p/ ρ γ = constante
.
(1.4)
Ecuación de estado En los dos casos de interés que se consideran la ecuación de estado viene dada por ρ = constante
(1.5a)
si se trata de líquidos, o bien p = ρ RT
(1.5b)
en el caso de gases perfectos.
1.3. MOVIMIENTOS IRROTACIONALES. ECUACION DE EULER-BERNOULLI Bajo las hipótesis de viscosidad y conducción de calor despreciables y existencia de una relación de barotropía, la vorticidad, es decir el rotor del vector velocidad, se conserva. Si, además, suponemos que en el infinito aguas arriba la velocidad es constante deducimos que allí la vorticidad es nula y, como debe conservarse, es nula en todo el campo fluido, es decir:
∇ ×V = 0 .
(1.6)
Se puede demostrar que esta última condición es condición necesaria y suficiente para que se pueda representar la velocidad como el gradiente de una función escalar a la que llamaremos potencial de velocidades, Φ = Φ ( x, y, z ,t ), es decir V
= ∇Φ .
(1.7)
La ecuación (1.2), teniendo en cuenta que ∇ × V = 0 , puede ser reescrita en la forma
∂V + V ⋅ ∇V = ∂V + ∇ V 2 = − 1 ∇ p = −∇ d p ∂t ∂t ρ ρ 2
∫
,
(1.8)
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y teniendo en cuenta que como
V
= ∇ Φ , V = |∇Φ | esta última ecuación también se puede escribir
∂Φ ∇Φ 2 d p =0 ∇ + + t 2 ρ ∂
∫
.
(1.9)
El hecho de que el gradiente de la cantidad entre corchetes sea nulo implica que dicha cantidad es constante en todo el campo fluido (aunque, quizás, es función del tiempo) y por tanto 2
∂Φ + ∇Φ + d p = F (t ) ∂ t 2 ρ
∫
.
(1.10)
A esta última ecuación se la denomina ecuación de Euler-Bernoulli. Es conveniente evaluar la integral en la que aparece la presión en los dos casos de interés que nos van a ocupar. En el caso de los líquidos es trivial ya que, al no ser la densidad función de la presión, se puede extraer ésta de la integral, obteniéndose finalmente 2
∂Φ + ρ ∇Φ + = G(t ) ρ ∂ t 2
.
(1.11a)
Para el caso de gases perfectos, de la definición (en el punto considerado) de la velocidad local del sonido, a, se deduce γ p ∂ p dp = = γ R T = ρ ∂ ρ s d ρ
a 2 ≡
(1.12)
y dd a 2 i = aγ − 1f
dp ρ
,
(1.13)
por tanto, en este caso, la ecuación de Euler-Bernoulli se reduce a 2
∂Φ + ∇Φ + a 2 = G(t ) ∂ t 2 γ − 1
.
(1.11b)
Finalmente, en el caso usual de suponer el movimiento estacionario y tomar el origen del sistema de referencia ligado al objeto de interés (avión), que se mueve a velocidad U ∞, siendo la presión en el infinito aguas arriba p∞ (o la velocidad del sonido a∞), las ecuaciones se escriben
ρ ∞
∇Φ 2
2
U ∞2 + p = ρ ∞ + p∞ 2
en el caso de líquidos, y
(1.14a)
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∇Φ
2
2
2 2 U∞ a∞ + = + 2 γ −1 γ − 1
a2
(1.14b)
para gases perfectos.
1.4. ECUACION DIFERENCIAL PARA EL POTENCIAL DE VELOCIDADES Para obtener una ecuación diferencial para el potencial de velocidades se debe eliminar la densidad y la velocidad de las ecuaciones de continuidad (1.1) y de Euler-Bernoulli (1.10), en la que supondremos uniformes e independientes del tiempo las propiedades en el infinito. En estas condiciones de la ecuación de Euler-Bernoulli se deduce p
∫
2
∇Φ − U ∞2 d p ∂Φ =− − ∂ t 2 ρ
.
(1.15)
p∞
Por otro lado, de la reglas de derivación de las integrales definidas se obtiene p
d d p
∫
d p 1 = ρ ρ
.
(1.16)
p∞
Si al primer miembro de la ecuación (1.15) se le aplica el operador derivada sustancial y se hace uso de (1.16) y de las igualdades (1.12) se tiene
F p I L F p I O D G d p J M d G d p J P Dp 1 D p 1 d p D ρ 1 2 D ρ = = = = a Dt G ρ J M d p G ρ J P Dt ρ Dt ρ dρ Dt ρ Dt H p∞ K MN H p∞ K PQ
z
z
,
(1.17)
y por tanto, haciendo uso de (1.15)
p 2 2 2 ∇Φ D ρ d p ρ D ∂Φ ∇Φ − U ∞ ρ D ρ D ∂Φ = 2 = − − =− 2 + . (1.18) Dt 2 Dt ∂t 2 ρ a 2 D t ∂ t a D t a p∞
∫
Por otra parte, de la ecuación de continuidad se obtiene la relación D ρ = − ρ ∇ ⋅ V = − ρ ∆Φ , Dt
(1.19)
y de (1.18) y (1.19) resulta
D ∂Φ ∇Φ . a DΦ = + D t ∂ t 2 2
2
(1.20)
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Operando en esta última ecuación se tiene
∂ ∂Φ ∇Φ ∇Φ D ∂Φ ∇Φ + = + + ∇Φ ⋅∇ ∂Φ + = a DΦ = Dt ∂t 2 ∂t ∂t 2 2 ∂t 2
2
2
2
2 ∂ ( ∇Φ ) ∂ ( ∇Φ ) 1 ∂ = Φ + ∇Φ ⋅ + ∇Φ ⋅ + ∇Φ ⋅∇ (∇Φ ⋅∇Φ ) ∂t ∂ t 2 ∂ t 2
{
(1.21)
}
y como en coordenadas cartesianas ∇Φ = Φ x , Φ y , Φ z (los subíndices indican derivación respecto de la variable), desarrollando la ecuación (1.21) se obtiene
( a 2 − Φ x2 ) Φ xx + ( a2 − Φ 2y ) Φ yy + ( a2 − Φ 2z ) Φ zz − 2Φ xΦ yΦ xy − 2Φ yΦ zΦ y z − 2Φ zΦ xΦ zx = Φ tt + 2Φ xΦ xt + 2Φ yΦ y t + 2Φ zΦ zt
(1.22)
Finalmente, si se considera que el movimiento es estacionario la ecuación anterior se reduce a la siguiente
( a2 − Φ x2 ) Φ xx + ( a2 − Φ2y ) Φ yy + ( a2 − Φ2z ) Φ zz − 2Φ xΦ yΦ xy − 2Φ y Φz Φ yz − 2Φz Φx Φzx = 0 . (1.23) Resulta de interés obtener la ecuación a la que obedece el potencial de velocidades del movimiento de un líquido ( ρ = constante). En este caso, de la ecuación (1.12) se deduce 1/a2 = 0, o lo que es lo mismo, se debe considerar una velocidad del sonido infinita, con lo que la ecuación (1.20) se reduce a
∆Φ = Φ xx + Φ yy + Φ zz = 0 .
(1.24)
Este mismo resultado se podría haber obtenido directamente a partir de la ecuación de continuidad para un líquido
∇ ⋅ V = ∇ ⋅ (∇ Φ) = ∆ Φ = 0 ,
(1.25)
y debe de notarse que, en el caso de un líquido, en la ecuación diferencial no intervienen derivadas con respecto del tiempo del potencial y que por tanto, en cada momento, el campo fluido se acomoda instantáneamente de forma que se cumplan las condiciones de contorno. En cuanto a estas últimas, debe señalarse que sobre el obstáculo no es posible imponer que sea cero la velocidad tangencial, ya que hemos despreciado el efecto de la viscosidad (en realidad aparecerá una capa límite a través de la cual la velocidad se modificará para que se pueda cumplir la condición de contorno); tan sólo se puede imponer que la superficie del obstáculo F ( x, y, z ,t ) = 0 sea superficie fluida, es decir D F ∂ F = + ∇Φ ⋅∇ F = 0 . ∂ t Dt
(1.26)
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Capítulo 1
En el caso de que la superficie del obstáculo no varíe con el tiempo la última condición se reduce a imponer que la componente velocidad del fluido en la dirección normal a la interfase es nula (Fig. 1.2), es decir
∇Φ ⋅ n = 0 ,
(1.27)
siendo n la normal a la superficie,
n
= ∇ F ∇F . n
∇Φ
Fig. 1.2. Condición de contorno en un problema potencial estacionario.
EJERCICIOS
Ejercicio 1.1. Considere un perfil de ala situado en un túnel aerodinámico bidimensional cuyos techo y suelo son planos, tal como se indica en la figura. Supuesto que se han medido los perfiles de velocidad corriente arriba y corriente abajo del perfil, U ∞ y U ( z ) respectivamente, así como las distribuciones de presión en el suelo del túnel, p s( x) , y en el techo del mismo, pt ( x), determine la resistencia aerodinámica del perfil, d , así como la sustentación producida por el mismo, l , en función de las distribuciones de presión y de velocidad medidas. Suponga fluido incompresible de densidad ρ . pt ( x) z
U ∞
x
p s( x) Ejercicio 1.2. Considere un obstáculo bidimensional sometido a una corriente incidente de densidad ρ y velocidad U ∞. Los experimentos demuestran que a gran distancia corriente abajo, donde la presión vuelve a ser uniforme y vale p∞, los perfiles de velocidad, U = U ∞ − ud ( x,z ), son semejantes, donde el déficit de velocidad, ud ( x,z ) , que es mucho menor que U ∞, se puede expresar como: ud ( x , z ) =
A x
ud ( x , z) = 0
cos
π
b( x )
; para z ≤ ; para z
≥
b( x )
, 2 b( x ) , 2
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siendo A es una constante conocida y b( x) el ancho de la estela viscosa del obstáculo. U ∞ − ud z U ∞ x
b( x)
Supuesto que el valor del número de Reynolds es suficientemente alto, mediante la aplicación del teorema de la cantidad de movimiento a un volumen de control apropiado, calcule la resistencia aerodinámica, d , del obstáculo, en función de A y b( x). Teniendo en cuenta que la fuerza calculada no puede depender del volumen de control elegido, deduzca la ley de ensanchamiento de la estela lejana, b( x), en función de la resistencia d , del parámetro A y de la variable x. Ejercicio 1.3. Considere un perfil volando en régimen incompresible a través del aire en calma (densidad ρ ) con velocidad U ∞. Relacione la sustentación del perfil, l , con la circulación, Γ, medida experimentalmente a lo largo de la línea ABCD. Suponga que la velocidad en la estela del perfil es horizontal.
A
B z
, U ∞ ρ
x
Γ=
∫
ABCDA
D
C
V ⋅dl
