INTRODUCCION A L AN ALISIS MATEMATICO LOGICA Y CONJUNTOS NUMEROS REALES GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL INDUCCION MATEMATICA -SUMATORIAS

INTRODUCCION

AL

A N A L ISIS MATEMATICO

LOGICA Y CONJUNTOS NUMEROS REALES

GEOMETRIA ANALITICA VECTORIAL INDUCCION MATEMATICA - SUMATORIAS

A .Venero 3.

IN T R O D U C C IO N A A N A L IS IS

l

M A T E M A T IC O

J. ARMANDO VENERO BALDEON LICENCIADO EN MATEMATICAS FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA ESTUDIOS DE MAGISTER EN MATEMATICAS PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

EDICION

LIMA

REVISADA

1995

PERU

INTRODUCCION AL ANALISIS MATEMATICO

A V E N E R O B.

Iapreso en el Perú

Printed in Perú

Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método, de este libro sin la autorización legal del autor:

REPRESENTACIONES GEMAR LIMA - PERD.

PROLOGO

Este libro esti dirigido a la formación del'razonamiento cien tífico de ios alumnos del primer iñu de las carreras de Ciencias e Ingeniería, y coi sta d e dos partea : 1.

Los fundamentos del Análisia Matemático :

Lógica, Conjuntoa, Números

Realea, Valor Absoluto, Máximo Entero, Conjuntos Acotados, Inducción Matemática y Sumatorias. 2.

La G E O M E T R I A A N A L I T I C A V E C T O R I A L en el Plano y en el Espacio. E n la presentación del texto se ha puesto u n interéa muy

particular en el enfoque intuitivo y geométrico, sin dejar de lado el auficien te rigor qu e se requiere a eate nivel del aprendizaje de las Matemáticas Su­ periores.

Se ha complementado la parte teórica - práctica del texto con Se­

ries de F roblei as Propuestos,

los cuales tienen su Clave de Respuestas in­

mediata mente al final de cada serie. Los Capítulos N ES L O G I C A S

y

1

y

2

que tratan de

LA TE O R IA DE CO N JU N TO S

L A S P R O P O S IC IO ­

resptrtil imente, siendo sen

cilloa, son imprescindibles en cualquier eatudio organizado de las Ciencias o las Hum anidades.

Ambos temas e„t¿n reladonadoa de tal forma que se pue­

de considerar a cualquier

de ellos como imagen del otro,

y son expueatos

como complemento a lo que ya se conoce deade loa estudios aecundarios. El Capítulo

3 , titulado

al Sistema de los Númeroa denominados axiomas y propiedi tal,

lea;

L O S N U M E R O S R E A L E S , estudia REALES

y está orientado a presentar la*i i icnicL

IN E C U A C IO N E S ,

en lo que se refiere a aus

requiere u n conocimiento básico del Algebra Elemen para resolver E C U A C I O N E S e

laa que taubien incluyen R A D I C A L E S .

se incluye el estudio del

VALOR ABSOLU TO

y del

E n este Capitulo,

M A X IM O E N T E R O c i n

plementada con u n a regular cantidad de Ejercicios y Problemas resueltos, una parte de los cuales fueron tomadas en prácticas y exámenes en la U N I­ V E R S I D A D N A C I O N A L D E IN G E N IE R IA , A partir del Capítulo hasta el Capítulo DERNA las

8 ,

y otra parte son inédito! 4

qu e estudia a lo

se trata al tema de la

VECTORES , y

G E O M E T R IA A N A L I T I C A M O ­

en el Plano, desde un enfoque V E C T O R I A L ;

R E C T A S , C IR C U N F E R E N C IA S Y C O N IC A S

esto permite ei tudiar

en una forma elegante y sen

cilla. En el Capítulo el Plano a la

9

se extienden los conceptos anterior«.,

en

G E O M E T R I A A N A L I T I C A V E C T O R I A L EN E L E S P A C I O . El libro termini con u n Capítulo referente a la técnic:i de ka

IN D U C C IO N M A T E M A T IC A

-

y a las

S U M A T O R IA S .

i

Siendo el objetivo inmeUirto d e este texto el de conseguir una sóliJa fon

:acií n lógico-matemática, desarrollando al mismo tiempo el aspee

to intuitivo en esti

*rea

rado p a n . acceder al F E R E N C IA L

con el material aquí tratado el alumno estará prepa

A N A L IS IS M A T E M A T I C O

en lo que al

C A L C U L O D I­

se refiere.

Aprovecho estas líneas finales pa^a agradecer muy sln^en n.ente a miscolége» de las diferentes Universidades en las que he enseñado, por haberme ayudn ‘o con sua sugerencias para la elaboración d e este texto.

J. ARM ANDO VENERO B .

GONtTEKIOO

CAPITULO 1 2 3 4 5

2

LOGICA

Proposición Lógica Conectivos Lógicos : Disyunción, Conjunción, Negación, Condl clona1 y Blcondlclonal. Proposiciones Compuestas Tautología y Contradicción. Implicación Lógica y Equivalencia

1

Lógica. Proposiciones Equivalentes Leyes del Algebra de Proposiciones Razonamiento Lógico. Argumentos VSlIdos. Métodos de Demostra­ ción

6 7

CAPITULO 1

1.

2.

13

CONJUNTOS

Conjuntos y Cuantlflcadores. flcadores

Intervalos.

Negación con Cuantl19

3

Subconjuntos. Conjunto Unitario, Conjunto Vacio, Conjunto Universal. Conjuntos Iguales Operaciones entre Conjuntos : Unión, Intersección, Complemen to. Diferencia, Diferencia Simétrica. Representación Griflca en Diagramas de Venn

4 5

Leyes del Algebra de Conjuntos Propiedades Adicionales

6 7

El Conjunto Potencia Número de Elementos de un Conjunto A :

i

1

n(A)

25

28 30 36 40 43

CAPITULO 1 2 3 4 5

3.

LOS NUMEROS RFAt.ES

El Sistema de los Números Reales Ecuaci ' es Lineales y Cuadráticas. Método de Completar Cuadrados La RelaclOh de Orden. Desigualdades Linea.es y Cuadráticas. GeneralIzacICn. Regla de los Signos Regla Gráfica de los Signos para resolv^i Inecuaciones. Método práctico Propiedades de las Raíces de la EcuaciOn de 2° Grado :

48 54 56 .

a*2 + bx + c ■ 0

62 67

6 7

Ecuaciones e Inecuaciones con Radicales VALOR ABSOLUTO. Propiedades. Teoremas relativos a las Ecua

B

MA'IMO ENTERO.

clones e Inecuaciones con Valor Absoluto

.

72

.

89

.

110

.

120

..

)3d

Puntos en el Plano 3 El Algebra Vectorial Bldlmenslonal 4 Representación Geométrica de los "ectores

..

138

..

140

5 Paralelismo de Vectores 6 Longitud 6 NORIA de un Vector. Víctores Unitarios 7 Angulo de Inclinación de un Vector en el Plano B Ortogonalldad y Producto Escalar. Desigualdad deCauchy-

..

150

..

153

..

156

..

160

..

172

..

1B6

..

188

Prpledades

9 CONJUNTOS ACOTALOS. Cota Superior, Cota Inferior. El SUPRE MO y el INFIMO de un conjunto de mineros Reales. El Máximo y el Minino de un conjunto de nún..ros Reales

CAPITULO

«i.

VECTORES EN EL PLANO

1 Introducción 2 El Sistema de Coordenadas Cartesianas.

DISTANCIA entre dos

Srhwarz 9 Combinación Lineal de Vectores. Independencia Lineal de un conjunto de Vectores. Propie ades de los Ve itores Unitarios Ortogonales 10 Angulo entre Vectores, 11 Proyección Ortogonal.

Componentes Ortogonales

141

CAPITULO 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5.

EL

PLANO

EUCLIDIANO

El Plano Euclidiano. LA RECTA. Ecuación Vectorial de la Recta Ecuaciones Paramétricas de una Recta Forma Simétrica de la EcuaclOn de una Recta Ecuación Normal y Ecuación General de una Recta Distancia de un Punto a una Recta Proyección Ortogonal de un Vector sobre una Recta Segmento de Recta .. División de un Segmento en una Razón dada, m:n . Angulo de Inclinación de una Recta

203 204 207 207 209 211 212 213 223 .. 224 .. 226 234 •• 241

ID Pendiente de una Recta 11 Paralelismo y Ortogonalldad de Rectas 12 Intersección de Rectas. La REGLA DE CRAMER 13 Angulo entre Rectas CAPITULO 1 2 3 4 5 6 7

6.

DE

ECUACIONES

Introducción

263

Criterios para graficar Ecuaciones: Extensión, Simetrías. Asíntotas

Interceptos con Los Ejes, 264

Ecuaciones Factorizables Problemas sobre Lugares Geométricos LA CIRCUNFERENCIA. La Ecuación de Id Circunferencia Condición de TANGENCIA. Método Vectorial para hallar Rectas Tangentes y Puntos de Tangencia a una Circunferencia Rectas Tangentes a la Curva definida por la Ecuación General de 2o Grado :

8

GRAFICAS

A*2 + 6xy * Cy2 * D* ♦ ly * F - 0

7.

TRANSFORMACION

270 279 291 301

.. 308

Familias de Circunferencias

CAPITULO

.. 269

DE

COORDENADAS

1

Fórmulas de Transformación de Coordenadas : RotaciOn de Ejes

Traslación y

2

Transformación de las Coordenadas de un PUNTO, y de un VECTOR D1RECC10NAL de una Recta

.. 319 .. 325

ItiVioducclôn at Anâtlici Hafemlttco

CAPITULO 1 2 3 4 5

8

LAS SECCIONES CONICAS

Introducción LA PARABOLA. Propiedades. Rectas Tangentes LA ELIPSE. Propiedades. Rectas Tangentes LA HIPERBOLA. Propiedades. Rectas Tangentes LA ECUACION GENERAL DE 2° GRADO. Diagonalización

CAPITULO

9

1 2 3

336 338 369 402 437

GEOMETRIA ANALITICA EN « 3

1 PUNTOS y VECTOk ES en el Espacio 2 El PRODUCTO VECTORIAL en R3. Propiedades El Triple Producto Escalar 3 RECTAS en el Espacio. Intersección de Rectas en el Espacio 4 PLANOS en el Espacio. Ecuación NCRMh L y Ecuación GENERAL de un Plano. Intersección de Planos. Intersección de una Recta y un Plano. Distancia de un Punto a un Plano CAPITULO 10

.. .. .. .. ..

INDUCCION MATEMATICA

Y

.. 468 .. 471 .. 475

.. 478

SUMA^ORIAS

El Primer Principio de Inducción Matemática El Segundo Principio de Inducción Matemática SUHATORIAS , Cambio de Indices. Aplicaciones. PROGRESIONES GEOMETRICAS (P.G.) . Suma de una P.G. 4 Suma de una Progresión Geométrica con Infinitos Términos 5 PRODUCTOS. Factorial. Propiedad Telescópica 6 NUMEROS COMBINATORIOS ó COEFICIENTES BINOMIALES 7 EL Teorema del Binomio de Newton. Triángulo de Pascal El Término General Tk+1 .

.. 493 .. 501 .. .. .. ..

512 543 552 560

.. 567

______________________________________________________________________________________________________-

1

1 ____________________________

LOGICA 1

PROPOSICION LOGICA

Se llama ast a toda expresión que puede cali­ ficarse bien como verdadera (V) 6 bien como falsa (F) y sin ambigüedad. En general, las proposiciones lógicas serán denotadas con letras minúsculas Pi Qi r*

•••

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES LOGICAS: p : q :

4♦ 3 « 6 La ciudad de Trujlllo es la capital de La Libertad

.. (F) .. (V)

EJEMPLOS DE EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LOGICAS: a)

¡Buenos dtasl

b)

a + z « *

c) i Cómo estás ?

respecto a estas expresiones vemos que no es posible Indicar si les corres ponde un valor de verdadero o de falso. 2

CONECTIVOS LOGICOS

a)

LA D ISYUNCION

" p v q * [se lee " p o q ' ] .- Es una propo slclón formada por las proposiciones p y q , relaciona­ das por la palabra "o" (en el sentido inclusivo: y/o ), definida por la condición: 1 p v q ' es FALSA Gnlcamentt» en el caso en que ambas p y q son FALSAS ; en cualquier otro caso es Verdadera. Su tabla de verdad es: p vq

EJEMPLO: p vq

8 es 6 es

menor que 7 mayorque 2

... (F) ... (V)

8 es 6 es

menorque7 o mayorque 2

... (V)

-

—

Introducción al Análisis Matemático

•2* b)

(se lee ’ p y q ‘ )

CONJUNCION

Es una nueva proposición que se define de tal ■añera que resulta Verdadera (V) finitamente en el caso en que p y q son om 1 1¿ Vmdadz/uu , y en todos los demSs casos es Falsa (F). Su tabla de verdad p

q

p -q

V V F F

V F V F

V F F F

NEGACION

EJEMPLO p : 1512 es múltiplo de 3 q : 5 + 2 - 10

.. (V) .. (F)

p ~ q : 1512 es múltiplo de 3 5 + 2-10

.. (F)

* ^P ’

Es una proposición que cambia el valor de la proposición p , y cuya tabla de ver-

es

d)

P

•'•P

V F

F V

CONDI 1QNAL

Se lee:

* p •* q *

" Es falso que p " " No es cierto que p ■ ■ No n ■ .

(Se leo " SI p entonces q " ) .-

Es aquella proposición que es Falsa únj^ camente cuando la proposición p (llamada ANTECEDENTE) es Verdadera (V) y la proposición q (llamada CONSECUENTF) es Falsa (F). Su tabla de verdad es También se lee: Implica q solamente sí q es una condición suficiente para q es una condición necesaria para p a menos que ■>»p Es suficiente que p para que q Es necesario que q para que p . OBSERVACIONES: Según las dos últimas filas basta que el antecedente p sea falso (F) pa •a que la condicional sea vrrdadeia (V), independientemente del valor de la proposición q . Según las filas Ira. y 3ra. basta que el consecuente q sea verdadero (V) para que la condicional sea verdadera (V).

Cap.1

Lógica

- SegGn la Gltlma fila, si tanto p sulta verdadera.

coipg

3 q son falsas, la condicional re

EJEMPLO.-

Explique porqué tienen los valores verltatlvos Indicados: a) 2 + 3 - 6 + 5 < 6 .. (V) b) 3-1-4 + 27 < 2* .. (V) c) 5 es un nGmero primo ♦ 51 es par .. (F)

PROBLEMA.-

Utilizar las palabras " si .. entonces " para expresar de otra rnaiera la siguiente proposición:

* Yo no me presento al examen de HatemStlcas a menos que lo posterguen una semana " . SOLUCION.- Senn p : Yo no ne presento al examen de HatemStlcas q : No postergarSn el examen de HatemStlcas una semana La proposición dada en el enunctado del problema corresponde por lo tanto a: * q a menos que ^ p ", la cual se simboliza precisamente como: p ♦ q . SegGn esto se tiene el enunciado equivalente siguiente: * Sl^ no postergan el exarr >n de HatemStlcas una semana entonces yo no me presei.to a dicho examen ". [Se lee " p y tolo t i q * ] Es aquella proposición que es verdadera en el caso en que ambas p y q tienen el mismo valor (ambas verdade­ ras ó ambas falsis), y que es falsa (F) si p y q tienen valores vert tativos contrarios. Su tabla de verdad correspondiente es como sigue:

e) BICONDICI3NAL

p ♦* q

p

q

p *-*■ q

v v F F

v F V F

v F F V

PROPOSICIONES COMPUESTAS ,-

También se lee : * p si y solamente si q * ■ p es una condición necesaria y suficlen te para q "

Utilizando los conectivos lógicos se pue de combinar cualquier nGmero finito de proposiciones para obtener otras cuyos valores verltatlvos pueden se1* cono­ cidos construyendo sus tablas de verdad en las que se deLen Indicar los va­ lores resultantes para todas las combinaciones posibles de valores de las proposiciones componentes.

I

Introducción al Análisis Matemático

A -

Por ejemplo, para la proposlcífin p

q

r

-\,p

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F » F » F V F

F F F F V V V V

('p)vq

[(^p) v q) r - P

[('»- p) v q ] - (r » p)

V F V F F F F F

V V F F V V V V

♦ (r ~ p)

V F V V F F F F

EJERCICIO.-

Sean p : 8 es un número par ; q : dos nCmeros enteros. Traducir en símbolos caoa una de las siguientes proposiciones: a) b) c)

8 es el p

8 es un nGmero par'o es un producto de dos enteros. 8 es impar y es un producto de dos enteros. 8 es un núnero par y un producto de dos enteros o es un nGmero impar y no un producto de dos nGmeros enteros.

SOLUCION.- a)p v q ; b)

{ ^p) - q ; c)

(p

« q) v [(•>- p) - ('»-q)] .

PROBLEMA.-

Sean p, q, r tres proposiciones tales que p es verdadera, q es falsa, y r es falsa. Indicar cuSles de las siguientes proposiciones son verdaderas: a) (p v q) v r ; b) [(p -q) v (('v-p) -^q)] « [í(^p) - q) v ((-»- q) ~ p)] ; c) (^p) v (q - r) ¡ d) (( ^pi v ->.q) - (p v -»-r) . |qv r). SOLUCION.-

a)

(p v „) v r *

♦

(V

v F) v + ' V v * V

+ F + F (verdadera)

b) Como estS formada por dos corchetes unidos por una ~ , y como el pri­ mero de ellos (a la izquierda) es falso (F) entonces toda la proposi cifin ser! falsa (F) , independientemente del valor dela proposición que queda a la derecha.

Lógica

Cap.1

5-

c) es Falsa, pues{•»> p) v (q - r) = Fv F = F d) es Falsa,análogo a (b), pues (q v r)resuHa falsa. PROBLEMA.-

Simplificar la siguiente propos'ciCn:

(Ví>/2

- 1>0) +

>V« v (l/ft < 1//1

—

-1 < 0)]

Analizando el valor de V i > /2 , vemcs que ^ ■ 22'* - 2*^2 ■ J i , y por lo tanto V 4 > /2 es FALSA, asi como también te­ nemos que 1/^4 < 1//3 es FALSA, sin embargo ^2 > ^4 es VERDADERA pues SOLUCION.-

í significa (F ~

> 0 • .Asi, equivalentemente se tiene

que

V) -■ [ V v (F *♦ V)]

F y sc;0n una observación respecto a las CONDICIONALES, basta que el anteceden te sea FALSO ¿orno en este caso, para que toda la condicionalsea VERDADERA; lo cual se pmde verificar completando lo demás si se desea. JERARQUIA DE LOS CONECTIVOS LOGICOS Cuando en una proposición compuesta se tie­ nen varios conectivos ISglcos, las operaciones se realizan luego de colocar los paréntesis adecuadamente. PROBLEMA.-

Sean p, q, r, s,

ji

proposiciones lCglcas. SI el valor de

verdad de las siguientes proposiciones (a) y (b) es FALSA: a)

[t{p - q) - r ] -

(s -

i CuSl es el valor de verdad de c)

[(n + p) * ^ r ] ♦ p

SOLUCION.-

r)

(r) y (d) ? : ,

Analizando por partes: re decir que:

M p ♦ q) ♦ r

es ».. (*)

.b)( ^p) v q d) s ♦ {p *-*• n)

que la condicional (a) sea FALSA quie­

y que

s~ r

es F

.. (**)

;

y como |i p) v q es F por (b), entonces p es V y q es F , lue­ go p ♦ q es F . Entonces, de (*) : tanto r es ¥ . Luego, de (**) : s resulta ser F , ya que ^r es F. Asimismo, la condicional (d) resulta también ser VERDADúRA pues su ante cederte s es FALSO . NCtese que aquí no fue necesario conocer el valor verltatlvo de n .

•»-(p ♦ q)

Introducción al Análisis Matemático

- 6-

3

TAUTOLOGIA

Y

CONTRADICCION .-

A toda proposicifin simple o compuesta que es siem­ preVERDADERA paracualquier comblnacifin de valores de verdad de sus compo nentes se le llama TAUTOLOGIA, y se le denota por una V . todas suscombinaciones, EJEMPLOS.-

A toda proposlcifin que toma el valor de FALSA para sé le llama CONTRADICCION y se le denota por F .

La proposicifin

IMPLICACION LOGICA

Y

[((* p) v q)~ vq ) + ' p

es una TAUTOLO-

EQUIVALENCIA LOGICA .-

Se llama IMPLICACION LOGICA (6 simplemente IMPLICA CION) a todacondicional p -*■ q que sea una TAUTOLOGIA, y en tal caso a la condicional se le denota por p => q . Por ejemplo, tenemos: ['(■'■ p) v q) « ■»>q ) = >

•»-p,

ya tabla

de verdad ya se ha dado.

Se llamaEQI’IVALENCIA LOGICA (6 simplemente EQUIVA LENCIA) a toda bicondicional p «-*■ q que sea una TAUTOLOGIA, « notSn dose en tal caso, p «=* q . EJEMPLD: p > (p v q) «— > p : p

q

pv q

V V F F

V F V F

V V V F

P « (p v q) V V F F

P * (p v q) ♦+ p V V V V

Lógica

Cap.1

-7-

PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dos proposiciones p y q son EQUIVALENTES (6 LO­ GICAMENTE EQUIVALENTES) si sus tablas de verdad son idénticas. En tal caso, se denota p = q . Por ejemplo, (p -► q) y ( ''-q) -» ( “'■p) son E QUIVALENTES, puesto que sus tablas de verdad son ioénticas como podemos ver: p

q

•tq

•up

p — q

(•t q) -* ( -up)

V V F F

V F V F

F V F V

F F V V

V F V V

V F V V

Por lo tanto. p -► q

= ( ^q) —

( ^p)

idíntÁJU .u

NOTA .-

Esta equivalencia es muy Importante en lo que respecta a demostra­ ciones de teoremas y resultados, pues es el fundamento del llama­ do METODO DE DEMOSTRACION POR REDUCCION AL ABSURDO 6 MíTODO POR CONTRADIC­ CION, que es una forma Indirecta de demostración, y que ilustraremos mSs ade­ lante en este capitulo. LE ICES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES Son equivalencias lógicas que las presentamos a continua ción, y cuya demostración es muy fScil construyendo sus tablas de verdad. la. 2a. 3a. 4a. 5a. 6a. 7a. 8a. 9c. 9b.

pv p = p p vq i q v p

Ib. P “ P = P p _q = q~ p 2b. (p v q) v r 5 (p v q) v r 3b. (p - q) - r 5 p - (q - r) p v |q * r) M p v q) * (p v r), 4b. P * (q V r) : (p • q) V (p pvF = p 5b. P ~ F = F pv V = V 6b. p - V s p pv('p) = V 7b. p » ( -x-p) = F ^p 5 p 8b. •»-V = F , -v-F = V M p v q) = ( -v-p) ~ ('»-q) LEYES DE DE MORGAN M p *> q) £ ( ^-p) v (iq)

Como es vSlidü reemplazar una proposición por su equiva­ lente sin alterar el resultado, estas leyes ayudan a simplificar el problema que se estS tratando de resolver. Con este fin presentamos a continuación una LISTA ADICIO NAL DE EQUIVALENCIAS LOGICAS muy GUI:

Introducción al Análisis Matemático 1A.

p ♦ q

3A. 5A.

p ' (p v q) = p q s

6A.

= ('p)vq

p

q E

PROBLEMA.a) b)

,

2A.

p + q = (-uq) +

p , 4A. (p -* q) « (q *• p)

p v (p * q) = .

(p » q) v [(^ p) - ( 'v-q)]

(t p)

P

.

Simplificar las siguientes expresiones utilizando las Leyes del Algebra Proposicional 6 la LISTA ADICIONAL :

' [ ’•(p-q) ♦ ’■q) v q [((^p) - q ) + (r - '»-r )] - *tq

SOLUCION.-

a)■».[*»« (p = = =

q) ♦ “»-q ] v q ''-['»'(Mp - q)) v ■»>q ] v q ^[(p - q) v ^ q ] v q [t(p ~ q) ~ q)] v q

1A. tía. 9a.

: t(1'P “ ' q ) * q ] V q = q v [ q - (tp v ^q) 5 q b)

9b. 2a, 2b. 4A.

[((^p) - q ) * (r - 'l-r )] - tq = [((^p) « q ) * F ] « " > . q = [('»•(('>.p) - q )) v F ] - -»-q = [(p v '»-q) v F ] ~ •».q = ÍP v ■>.q )~ q = '»-q

PROIILEMA .-

Demostrar que la siguiente proposición es una TAUTOLOGIA, utilizando las LEYES 6 la LISTA ADICIONAL: [(pv

* p

•t[(p v i q ) ~ q ] v p

1A.

i

[Mi» v [t*1-p) [('»'p) [(■v-p) ~

9b.

=

= =

PRO bLEM A

^ q ) - q]

= =

NOTA

7b. 1A. 9b. 5a. 2b, 3a.

V

'q)] q] V q] v q] y

v (^q) v p (”'•q) v p (p v •»-q ) (-v- [(-v-p) - q ] )

9a. 2a. 9b.

(TAUTULOGIA)

7a.

Este método es mSs prSctico que el de las tablas de verdad. Determinar si es que las proposiciones (a) valentes:

y

(b) son Equl^

Cap.1 a)

Lógica p - (r v -i- q )

SOLUCION.-

,

METODO 1

b)

-9-

(q - * p ) » (( ^r) * (tp))

.

Debemos verificar que las tablas de verdad de (a) y (b) son idénticas :

íA íaíajixu

METODO Z

Simplificando:

a)

p ♦ (r v •v-q) = (^p) v (r v 'tq)

b) (q ■* tp) v r -*• ■'-p) = t(^q) v (■'-p)] v ^r) v -»-p] = ( ^q) v (^p) v (r v ~ p) = ('‘-q) v [(^ p) v (^p)] v r = (^q) v (^p) v r = (tp) v (r v ^-q) y siendo PROBLEMA .■

(1) y (2) Iguales, entonces

SOLUCION.-

=

..(Z) (b) .

Hallar el valor verltatlvo de la proposición: t(p ♦ «l)

sabiendo que

(a)

..(1)

r ]— ► [ p

[(p ■*q) * r ]

(q

«-► r)]

*- [ p ♦ (q ♦ r)] es FALSO

Del dato se tiene que solo puede ocurrir

a)

(p - q)

*r :

V

y

p ♦ (q ■* r)

: F

b)

(p - q)

-r :

F

y

p ■* (q ■* r)

: V

.. (o) .

(a) 6 (b) :

De (a): p ♦ (q ■* r) : Fentonces p) v (■'•q) v r : F- , delo cual: ^ p ,•*.q , r : F ,y por lotanto, p, q : V y r : F (*) pero (p -* q) ■* r : V abiuAjlo, pues por (*) (p ■» q) ■* r : F. Luego,

(a) no se cumple, de modo que solamente se cumple (b), del cual: p - * q : V

bl)

p. q : V

y ,

r : F

r :F

, d e donde puede ocurrir que:

entonces

p

-* (q ■» r) : F

(abíuAdo)

Introducción al Análisis Matemático

10-

b2) b3)

p, q : F , r : F p :F , q :V , r :F

entonces entonces

p -»■ (q ■» r) p * (q -* r)

: V : V

así vemos que para b2 y b3 la proposicifin (a) NOTA.- MSs aOn, se puede comprobar que tabla de verdad.

resulta VERDADERA.

(a) es una TAUTOLOGIA, mediante la

SERIE i)E EJERCICIOS PROPUESTOS 1. 2. 3.

Demostrar las Leyes del Algebra de Proposiciones. Demostrar las proposiciones de la LISTA ADICIONAL. Demostrar que las siguientes Condicionales son IMP! ICACIONES LOGICAS: a) b) c) d) e) f)

P => P [(p - q) - (q - r)] -v,p = » (p ♦ q) [(p - q) - '»•q ] ==> P ==* (p v q) (p - q) ==*

(TRANSITIVIDAD)

(p - r) ^

p

; 9) h) i)

p

(p - q) = * (p v q) (p - q) ==> (p ♦♦ q) (p --*■ q) =•■ (p ♦ q)

4. FVmostrar que son EQUIVALENCIAS LOGICAS las bicondicionales siguientes: a) b) c) e)

(p -* q) e = > (tp) v q (p + q) - (q - P) (p --•* q) < = » d) (p - q) v i? < = > P %(p * q) «==> [ p * ' q ]

Demostrar que:

(p v

a) b)

M p + q) = p ^ ( tq) F- »p = V ; p -*• F = t p

O

(p + q)

=[(p

d)

(p ♦ q) =

[(p ~ q) ♦+ q ]

6. Dadas las proposiciones I) II) III)

v

;

p -*■ V

q) ♦+

q

s V ]

M p ~ q) "*♦ [ p v ^q ] -x-(p + q) -n- [ p v -iq ] M p ♦+ q) ♦♦ Í^P *-*■ ^q) .

indicar cuSl (es) es (son) una CONTRADICCION (F) . 7. ¿La proposiciCn

M p -► q) - (q ♦ ^r )

es equivalente a cuSl (es)

de las siguientes proposiciones 7 : a) c)

p(p v ^rl-l-tq) b) (p - -v-q) v [(p - i r) - ‘‘•q ] .

8. ¿ Alguna de las siguientes proposiciones

p ~ ( t.q) ~ [> (q - r)]

es una

Tautología 7 :

Cap.1

Lógica

a) b) c) 9.

i [(t (p v q)) ■* <1 ] ♦♦ (p * q) ''-[(■'•p) — ► q ] *— (p q) t {(p ~ q) v [ p- ( -»-p vq ) ] > *-*

Simplificar:

[(^ p) « q

■* (r ~

(p +

r )]

■».q )

~ (^q) .

10. Simplificar: [( ^q ♦ ■»•?)♦ (^p ♦ q )] * (p ~ q) 11. ¿De las siguientes proposiciones cuSles son Equivalentes entre sT ? : a) Es necesario que Juan no estudie en la UNI para que Luis viva en el RTmac. b) No escierto que Luis viva en el RTmac y que Juan estudie en la UNI. c) Luis no vive en el RTmac y Juan no estudia en la UNI. 12. ¿CuSles de las siguientes proposiciones son Tautologías? : a)

[(p v tq) - q ] -* p

c)

[{*^p) ^ (q v■».r )]

13. De la falsedad de: verdad de :

a)

♦+

(p -*■ ^q)

b)

[(p - q) v q ] *+

[(q - ■». p) v M p v ("Mr

s) ,

q

v r)] deducir el valor de

[ vp ~ -wj ] v (■».q)

b) c) 14. Si se sabe que

;

[(^ r v q) ~ q ] <-► [( '»-q v r) - s ] lp *r) ♦ [(pvq) » ■ i q ] (p » qí y

(q ♦ t)

son Falsas, ¿cuSles de las s±

guientes proposiciones son Verdaderas ? : a) ( t p v t j v s ; c) [(■»>?) v (q ~ -»-t)] ♦+

b) •''[p~('''qv'»«p)] [(p + q) « ■>.(q - t)]

15. ¿CuSl (es) de las siguientes proposiciones es equivalente a : “ Ei nece tatúo paga* I/. 5 D00 y ttA mít joven pana ¿ngH&taK al baitt * ? , I I

a) b) c)

No Ingresar al baile opagar I/. 5 000 , y ser mis joven. Pagar I/. 5 000 o ser mis joven , y no ingresar al baile. Pagar I/. 5 000 y ser mSs joven o no ingresar al baile.

16. Si la pro?osici6n: valor de verdad le:

(q ~ •>.p)

[lp <■> r) v t ]

es Falsa, hallar el

a) b)

'»-[('k'P v ■»>q) -*■ (r v ^t)] (t q « '»-r) v [(^ t) - (p v q)]

c)

(^p

-t) +

(■'•q + r )

17. Demostrar que las tres proposiciones siguientes son Equivalentes : a)■». [(q v

t

•>.p ) v ( q ~ t r v i . p l ) ]

12-

Lóqica b)

(p - -x-q) »

c)

~ C(~q) - (^p)3 - [ q - ^(p * r)]

v (p v % r) )

18.- La proposiclfin (p v q) ♦-* (r ~ s) es verdadera. Teniendo r y s va lores de verdad opuestos, ¿ cujíes son verdaderas? : a) [(tp ~ ^q) v (r ~ s)] ~ p es Verdadera. b) [ M p vq) » (r v s)] v t^p - q) es Falsa. c) [(•'•r ~ •».s) < (pv r)] «i/(r ~ s) es Verdadera. 19.

¿CuSles son EQUIVALENCIAS LOGICAS ? : a) t(q ♦ •'•p) « lq »p ) b) [('»'P « '». [(p v q) « q ] c) -t(p * q) *-* [ ( p v q ) » i q ]

20. SI p * q se define por (*».p ~ i
*-► q)

¿a

+ p]

[(•'■p) + (~ q)D v (p + q)

¿CuSles de las siguientes proposiciones: a) i/(p -
b) d)

v r

(p ■* q) ■* r ? .

22. Si p + q significa * ni p y ni proposiciones son TAUTOLOGÍA!" 7 : a) c)

(p ^ ^ q) ( i-p) v q v r

q * , ¿cuáles de las siguientes

{p + q) + (q + p) *-»■ (p - q) . b) M p (p + q) ** M p v q) .

q)

(p + q)

23. ¿CuSntas F y cuántas V tiene el resultado de la tabla de verdad de “x-[(p ~ q) ■* ^ r ] ~ (s v *'
Dada la proposición z : [ÍP * q) * (P v (q * r))] * l q * (p»r)] a) b)

,

Indicar valores de p y r tales que si q es F entonces z es F . Indicar valores de p y r tales que si q es V entonces z es V .

25. Escribir la negacSOn de cada una de las proposiciones siguientes: a) El no es rico, pero es feliz. b) El no es pobre ni es feliz. c) El es bajo pero Sgll. d) Ni Juan ni Carlos viajarán a Huaraz a fin de mes.

Cap.1

Lógica

-13-

e) El tiene un compSs o una regla. f) Ambos equipos Alianza y la U IrSn a la Copa Libertadores. g) SI Juan llega a tiempo con los documentos, entonces ambosCarlos Pedro podrSn Inscribirse en la Universidad. 26.

Si p, q, r, s, t, w son proposiciones tales que a) (p ~ t rJL * * (s ■* w) es verdadera, b) (i-w ♦ *»-s) es falsa hallar el valor de vendad de las siguientes proposiciones: c) (p * q) vr v s d) (s -*-» ■* (r v ■'•p) e) [ t ■* (wv o.p)] -
27.

y

w : F , s:V, r:V, p : F , d e donde (c) son verdaderas, mientras que (e) es falsa.

y (d)

Expresar la siguiente proposici6n compuesta de otra forma, utilizando Gnlcarente los símbolos •>< y + : (p«q) v (rvs) .

r.PTA:

(p ■* -tq) •* [{ -tr) ■* s ] .

28. Simplificar la expresión: V» > /í

29.

-

-8 < 0

- J2.

> V k v [ 1/ ^

8 > 0 ] .

S'nusar tabeas de verdad determinar si las siguientes proposiciones son Ifiglcamente equivalentes entre sT : [('*) * ('''*)] v [ t + {•»-w)]

1.5

< 1//2 +-

RAZONAMIENTO LOGICO.

y

m

*

[(^ t) v s ].

ARGUMENTOS VALIDOS

Un ARGUMENTO LOGICO (6 simplemente un ARGUMEN TO) es una condicional de la forma: ÍPj ~ p2 -... - pk) - q (*) donde las proposiciones

Pj. p2...... p^

son Humadas

PREMISAS,

y

originan como consecuencia otra proposición q llamada CONCLUSION. A) El Argumento (*) recibe el nombre de ARGUMENTO VALIDO si dicha condi­ cional es una TAUTOLOGIA. Es decir, si (Pj A

^ •"

~ P|^)

~ 9

B) Si el Argumento (*) es FALSO, entonces se tiene la llamada FALACIA. TEOREMA

SI el Argumento (*) es VALIDO, y las premisas Pj, p2. ... , Pj, , son verdaderas entonces la CONCLUSION q es correcta (V).

Introducción al Análisis Matemático

14PRUEBA.-

Siendo el argumento vílldo entonces la condicional (*) es una TAUTOLOGIA (V), en la que (Pj - p2 - ... *■ p^) es verdade ra (V), pues cada p^ lo es, de donde la única posibilidad para q es que sea verdadera (pues si fuese FALSA, la condicional (*) serla falsa y el ar guinento (*) no serta VALIDO). OBaERVACION

Un argumento no se modifica si es que una o varias de las proposiciones p^, p2> ... , p^ , q se reemplaza por otra u otras que sean EQUIVALENTES. NOTACION

Un arguirvnto

Pj ~ p2 ~ ... ~ p^

*

q

también se de

nota en la forma: Pl f>2

f>k

q PROBLEMA.-

Demostrar que el siguiente argurento es VALIDO :

p p - q q

SOLUCION.-

Por deflnicISn, se debe demostrar que la condicional [p

(p ■* q)] ♦ q

i i- [ p - (p - q)] v q = i■ v [ ( p » i . p ) v ( p . q ) ] v q = =

’•t p * q ] » q (’-P) V ( 4 V q)

EJEMPLO.-

= s

es siempre verdadera (V)

:

^[p-(i-pvq)]vq = F v (p - q)] v q ('p v '■ql v q -op v V 5 V

(TAUTOLOGIA).

En un Ejercicio propuesto se presente la propiedad TRANSITIVA: (p ■* q) ■» (q ■* r)

ente argumento es VALIDO :

==>

(p ♦ r)

. Por lo tanto, el sigui­

P ♦ q q ♦ r P * r

PROBLEMA.a)

p -► -w)

Para cada conjunto dado de premisas, encontrar una CONCLUSION adecuada de manera que el argumento sea VALIDO : ,

r -► q

;

b)

p -► M)

,

r -► p

,

q

.

Cap.1

Lógica

SOLUCION.-

-15-

De las implicaciones conocidas vemos que en :

a) SI r ■* q la reemplazaras por su equivalente se obtiene que. por la propleoad TRANSITIVA : (p ♦ ^q) - ('»•q * ^ r)

=>

(^q ■* ^ r)

entonces

(p ■* i-r) .

b) Análogamente, por corarjtatlvidad se tiene que: = [(r ■* p) -> (p ■* ~ q)] - q = » (r ■» ^q) - q = q - (q -► >x,r) = > i«r , por el problema anterior. En resumen, s han halladc las siguientes conclusiones correctas para: a) p ■* •»«r ,b) ^r . METODOS DE DEMOSTRACION Cu indo se demuestra que un argumento en la forma

Pj ~ P2 ~

~ P^

■* q

••

(I)

es una ‘'OTOLOGIA, se dice que se ha empleado un METODO DIRECTO DE DEMOSTRA­ CION. SI ahora consideramos la negad6n de la conclusICn q y de alguna de las premisas Pj , p2 ,... pk , digamos de pk , y se forma el argumento [ÍPj ~ P2 ~ ••• ^ Pk_j ) '■ (

* ’*'Pfc

(JI)

veremos que este Gltlmo argumento (II) es equivalente a (I)

:

(II) s -».[(pj « p2 ~ ... - pk_j ) - ^ q ] v (~ pk) = [^(Pj - P2 - ... - P|j_j ) v ~(~q)3 v (^Pk) = ^(pj -

... - pk_j) v (~ p k) v q

— (Pj * ... A Pk) ■* Q DEFINICION.-

5

-o(p1 * ...

- pjj . pk) v q

.. (I)

Cuando ¿e de¿ea demoitXM la validjr di (I) mando ¿u {ofuna equivalente (II) ¿e dice que ¿t ¿¿tí empleando el METODO

INDIRECTO 6 METODO POR REDUCCION AL ABSURDO. Note, que e¿te mltodo coniiite. en conildeAaA. ahofia como una pA.en¿ia a la negaciSn de ta con cluiiSn,

e¿ decJiH. a (a.q)

y tuaXa de ln¿exiA.

(viudamente) ta nega-

ciSn de alguna de tai pnemiiai (en el cooo antejiion, te tnatl de ¿niefUA.: * pk ) coniideAando tai demSi puopoticlonei veJidadenai.

PROBLEMA.-

Verifique la validez de ]os siguientes argumentos. Usar prime­ ro un m&todo directo y luego un nEtodo Indirecto.

Introducción al Análisis Matemático

-16a) p ■* q r -> *>»q

b)

q ■* p q v s P

SOLUCION.- METODO DIRECTO : a)

t>)

(p * q) - (r ■» •»-q) ♦ (p -► ^r) = (p -» q) « (q -»r) ■* (p ♦ ^ r) = TRANSITIVA.

V ,

por la propiedad

(q ♦ p) * |q » s) - (*»-*) * p = (^q v p) - (q * ^s) - p = (p ~ q ~ s) -» p = M q ~ (•». s) ~ d ) v p =
METODO INDIRECTO . #j Demostraremos la validez de:

p ■* q M p ■* o.r) M r ■* ^q)

= (p ♦ q) '*• (p ■* = ^ (p ■* q) v (p ■* = % [(p •> q) > (r = ^ [(p * q) » (q ♦ = (p ■* q) *

'L r) ■* 'x*(r -* ^ q) •»
(q ■*'*,r) -*■ (p

i- r)

=

r) r) V

(TAUTOLOGIA)

b)

Demostraremos que la siguiente condicional es una Tautología:

= =

[(q * p) - (~p) - (~ s)] - M q ’v s) [(tq v p) ~ (t p) ~ (^s)] -► * (q v s) [[(-x-q « * p) v (p - i-p)] - (i-s)] * •». (q v s)

= [[(^ q - ^ p ) vF ] ^ i-s ] ■* ^ (q v s) 5(' X/ q) ~( ^p )~ (' ts) +' '< (q vs ) = ' ( q v p v s ) - * '(qvs) = q v pv s v M q v s) = p v [(qv s) v M q v s)] =p v V =V . PROBLEMA DE APLICACION.-

Sea n si nz

SOLUCION.-

un entero positivo. Demostrar que: es par, entonces n es par .

Sean p : n2 es par , q : n es par . Se desea demos trar que: p = » q ,pero en fomto Indirecta por REDUC­ CION AL ABSURDO, es decir, demostraremos que: (•»« q) =^* (•»■p) , para lo cual, aitwUmoi como PREMISA a ¿a. NEGACION de q : (a.q) :

n es Impar

entonces

-17

Lógica

Cap.1

n - 2k + 1

para algún entero

k i 0

. y por lo tanto :

n2 - 4k2 + 4k ♦ 1 - 2(2k2 ♦ 2k) ♦ 1 donde k| > 2k2♦2kes un entero . lo que Indica que Asi, hemos llegado aInferir la NEGACION de •»
n2 es Impar ,

PROBLEMA DE APLICACION

2 kj + 1

.

n2 es IMPAR p :

.

con lo cual el problema queda resuelto.

Demostrar que no existe nlngGn número racio­ nal

q “ — , n , n enteros prlros en n tre si (es decir, que no tienen factores enteros comunes, excepto el 1) , tal que: SOLUCION

q2 ■ 2 .

(0 equivalentemente,

que Jz

no e¿ nacional).

Supongamos que (lo contrario) lanegaclfin de la tesis se cumplr, es decir, que q2 ■ 2 ,para algún racional

tal que

q - 5 n

q2 ■

2 =*►

=>

q

, con n t n enteros primos entre si . Entonces , (m/n’2 - 2 = > (*) m2 « 2n2 = > m2 es par «i también es par (por el problema anterior) • 2kj , pa ra algún entero kj = * en ( •) . 4k2 « 2n2 n2 es par n - 2kz >

n es par (por el problema anterior) para algún k2 entero ; resultando asi que

m y n tienen al número 2 cono factor común, cont/uuUtUejido (negando) la hlpfitesls acerca de m y n de no tener factores co.,tunes distintos de 1 . SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Verifique la validez de los siguientes Argumentos: a) p- q b) p « (p * q) d) r + tq **-P -» q (p » q) ♦ r p + q r ■* s i-r -» s s (p ~ q) * (r - s) (t q) v (* s) p) v (■»< q)

p ■* s d)

p (•*. p v •*•$)-► [( *»
SUG: Algunos se prueban mejor por el m&todo indirecto. Sea n un número itero. Demostrar que si n2 es múltiplo de 3 , en­ tonces n también es múltiplo de 3 .

Introducción al Análisis Matemático

-18-

SUG:

n no múltiplo de 3 equivale a que n ■ 3k+l 6 n • 3k + 2, para k entero, y en ambos casos resulta que n2 no es mGltlplo de 3 .

3.

Sea n un entero,demostrar que si n múltiplo de 5 .

es múltiplo de 5

entonces n

es

4.

Sea n un entero,den>ostrar que si n es mOltlplo de 6 entonces n es .núltiplo de 6 . SUG: m es múltiplo de 6 si y solo si m es múltiplo de 2 y múltiplo de 3 a la vez.

5. Sea n un entero, demostrar que si n3 es múltiplo de 2 entonces n es múltiplo de 2 . 6.

Demostrar que no existe ningún número racional q

tal que

q2 ■ 3 .

7. Derostrar que no existe ningún número racional q

tal que

q3 • 2 .

CLAVE DE RESPUESTAS (SERIE DE LA PAG. 10) 6. 10. 13. 18.

III i/q c) V Solo

, .

7. Todas , , 8. Solamente (c) , 9. •».q , 11.Solo (a) y (b) , 12. Todos ,13. a) F. b) , 14. Todas . 15. Solo (c) , 16. a) F,b) V, c) V (c) ,19.Solo (b) y (c) , 20. Solo (b) , 21. Solo (b),

22. Solo (a) y (c) 25. a) b) c) d) e)

El El El Al El

,

23.

IV

y 7F ,

24. a) p , r :V

,

b) p,

r: V

es rico o no es feliz. es pobre o es feliz. no es bajo o no es Sgll. menos uno Juan o Carlos viajarSn a Pitra a findemes. no tiene ni un compís ni una regla.

f) Al menos uno de los ecuipos Alianza o la U no IrS ala Copa Liber­ tadores. g) Juan no llegarS a tiempo con los documentos y en tal caso, al menos uno Carlos o Pedro no podrí Inscribirse en la Universidad. 28. V

,

29. SI son Lógicamente Equivalentes.

- 19 -

2 1

Conjuntos

CONJUNTOS Y CUANTIFICADORES

Se entiende por CONJUNTO a una colección, agrupa c16n o reunión de objetos o ELEMENTOS , y que puede ser determlnadc ya sea por EXTENSION : cuando sus elementos estSn Indicados explícitamente entre llaves, o por COMPRENSION : cuando existe una oropledad o condición que es común a todos estos elementos, de tal manera que al considerar cualquier objeto existente se pueda establecer sin ambigüedad si es o no elerento de tal crlecclón. NOTACION

Para representar a los conjuntos generalmente se utilizan le tras mayúsculas A, B,X, etc. y para representar a sus elementos se usan letras minúsculas a. b, x. etc. Si el conjuntoA con siste de los elementos 1, 3, 5, 7, se puede representar : a) b)

Por extensión : Por comprensión: 6

A » {1, 3, 5, 7 } A » (x/ (x - 1)(x - 3) (x - 5)(x - 7) » 0 } sino A « { x :(x - l)(x - 3){x - 5){x -7)

* 0}

y se lee " A es Igual al conjunto de los x tales que (x — l)(x — 3l(x - 5){x — 7) - 0 ." Si un objeto x es elemento de un conjunto A se dice que " x PERTENECE al conjunto A " 6 que " x ESTÁ en el conjunto A " , y se denota x c A . En casb contrario, se denotarS x A . En el caso del conjunto A que acabamos de presentar: 7 c A , pero 4 i A . Es Importante saber que un conjunto mismo puede ser también elemento de algún otro conjunto. Por ejemplo,si A « { { 0 } , { 2 } , { 6 } } y B ■ { 0 } , entonces

0 e B , B c A

y

0

A .

CONJUNTOS NUMERICOS r.ARACTERISTICOS

|N * { 1,

2, 3,...

>

(naturales);

Z “ l.»

Q ■ { -jj- : m, n e Z , n ¿ 0 }

-2, -1, 0, 1, 2, .. } enteros

(racionales) ;

I - { x / x tiene represent, decimal Infinita no periódica } Irracionales R * G U I (números regles)

Introducción al Análisis Matemático

-20-

C - { x + ¿y / x, y e R Z + - { Enteros Positivos } ■ Z~* { Enteros Negativos } *

} donde i ■ /-I (nOmeros complejos) { 1. 2. 3, ... } { ... , -3, -2, -1 }

Z+ - Z + U (0} • { 0. 1, 2. 3. ... - Z' U {0} - {

....

}

-3. -2. -1. 0 }

Análogamente se tiene Q , R . Q . I . R . Qq . Qq . Iq . Iq . 1^ . 1^ • INTERVALOS A)

INTERVALO CERRADO .

B)

INTERVALO ABIERTO .

[a. b] -

{x e R /

a<

x < b }

donde

st se Incluyen los extremos a y b . - { x e R /

a < x < b }

donde

no se Incluyen los extremos i ni b. C)

INTERVALOS SEMI ABIERTOS: [a. b> « { x e R /

a< x

< b

}


a< x

< b

}

[a. b] a

b

R

b

R

b

R

b

R

<». b> a [a. b> a
c

R /

x > a }

X E

R /

x > a }

<*. »>

- { x

[». ">

-

{



m

R

a [a. -> a

R

Qap.2

Conjuntos

e)

xe R /

-21-

x
(-».b]» (*tí / x < b }

o ----------------------

b

____________ <--.b]

R

_____________________ b

NOTACION NOTA

R » [a, b ] -

R

> { a } U

U {b }

.

CUANTÍFICADORES : EXISTENCIA!. Y UNIVERSAL Aquí presentamos dos nuevas proposicio­ nes relacionadas con ciertas expresiones p(x) a las que se les denomina FUNCIONES PtOPOSICIONALES, y que se convierten en pnopo¿lc¿one¿ ¿Sg¿a~i cuan do la variable x toma un valor en particular. EJEMPLOS DE FUNCIONFS PROPOSICIONALES :

p(x) : x♦ 1 2 q(x) : x es estudiante de la UNI

Note que:

.

si x ■ 1 ,p(x) es verdadera s1 x - 2 , p(x) es falsa

y si en q(x) Ud. amigo lector, reemplaza x por su nombre, enton­ ces q(x) resulta una proposición 16c lea. Para los conjuntos A ■ { 1. 2, 3, ... } , B ■ { 3, 6, 9, ... } , las funciones proposlclonales p(x) : x es un nOmero natural par q(x) : x es un nOmero negativo r(x) : x es un mGItlplo entero de 3 , se tiene que la proposición: ■ EXISTE

(porlo menos)

UN ELEMENTO x c A

TAL QUE p(x) ES CIERTO " .

simbolizada por " 3 x c A / p(x) * , m u lt a VEÍWAVIKÁpúa x e A puede ser x ■ 4 ; mientras que la proposición: * EXISTE

(porlo menos)

simbolizada por elemento

UN ELEMENTO x e A

“ 3 x c A /

q(x) ■

y

tal

TAL QUE q(x) ES CIERTO " , , Keiutta FALSA putu ningún

x de A ti negativo.

Para el conjunto

B ■ {3, 6, 9,

■ PARA TODO x e B ,

... } , li proposición:

r(x) se cumple *

=

" ¥

x c B ,

r(x)

* ,

-22KUutXa VEKDHDIRA . como se puede verificar directamente, pues todo elemen­

to de

B es mGltiplo entero de 3 ; mientras que la proposición: *

IARA TODO

xe B,p(x)

se cumple "

*¥x c B , p(x)

=

"

e¿ FALSA , pues no todo elementodeB es par (ya que existe en B al menos el número 3 que no es par. además de 9, 15. 21, etc., claro). OTRA NOTACION .-[ ¥ x c B .

r(x) ] = [ ¥

x

B :

e

r(x) ] .

A los símbolos 3 y V se les llama CUANTIFICADOR EXISTENCIAL y CUANTIFICADOR UNIVERSAL, respectivamente. NEGACION CON CUANTIFICAD-iRES

Negar el hecho que exista un x en A tal que p(x) se rump>la, equivale a afirmar que ningGn elemento x de A satisface la condición p(x) , es de clr que: pam todo x en A, M S B CUMPLE p(x) . Simbólicamente, ■»- [ 3

XE A /

p(x)

]

=

¥x

E

A,

1-

p(x)

.

Análogamente, se puede demostrar de lo anterior tsue: ¥

i- [

xt A ,

EJEMPLO.a)

¥

p(x)

]

=

3

x

e

A

*»> p(x)

/

.

Indicar el valor de verdad de las siguientes preposiciones para el conjunto Z + “ { 1, 2, 3, } y negarlas simbólicamente:

x e Z* ,

x2 -6x + 5 » 0 ,

b)

3 x

e

Z* /

x2 -6x + 5 ■ 0

.

SOLUCION.- Como laecuaciGn dada x2 -6x + 5 ■ 0 ■ (x-l)(x-5) tiene las soluciones x ■ 1 , x - 5 , ambas en Z* , entonces (a) es FALSA, pues para que sea verdadera, la ecuaciGn deberTa cumplirse pcma todoi toi ínteAOi poiitivoi de Z + y eso no es cierto pues sola­ mente se cumple para x ■ 1 y x ■ 5 . (b) es VERDADERA, pues existen hasta dos soluciones x » 1 y Z + , y solo hubiese bastado con una de las soluciones.

x » 5

en

Las negaciones correspondientes son : a)

b)

M

¥

t (x2 - 6x + 5 - 0

)

= 3 x e Z+ / x2 - 6x + 5 t 0 la cual es VERDAOERA, pues tGmese x * 2 e I* en particular.

.

M 3

x e

Z+ .

x e Z+ /

x2 - 6x ♦ 5 * 0 ) 5

x2 - 6x

+5 *

3 x e Z* /

D )=

5 ¥ x e 1+ la cual es FALSA, pues para x •

¥

x e

Z*

,M x 2 - 6x

.

x2 - 6x + 5 f 0

,

1 : x2 - 6x + 5

si es Igual a 0

.

Cap.2

__________________________________________________ Conjuntos_~23-

PROBLEMA.-

Simplificar y negar la siguí snte proposición compuesta:

" Todos los números enteros son Impares y existen números reales Irraciona­ les, si existe algún nSmero entero par; sí, y solo si, hay algún número real Irracional o cualquier número ertero es un número Impar, si cada nú­ mero real es un número racional " . SOLUCION.-

Denotamos por:

y vemos que

p ; ^ q

p : V x c Z , x es Impar q: l u í / x es Irracional

x c Z /

x es par

: ¥ x c IR ,

x es racional

asi, la proposición original se puede expresar como [(p - q) ♦

p ] *-*■ [(q v p) ♦ -tq ]

y que al simplificar se obtiene: = [ P » (p * q)] ♦+ ( q v q v p) = p « = [ P + ( P v q)] » [(q v p) + p ] = [(^p) v (p v q)] * [( 'q * 'p) v p ] = =

p v

pv q » »

[ V » (p v tq)]

( tq)

de donde tenemos que la negación corresponde a: ( *»
a) b) c) d)

Sea A - { 1, 2, 3 } , determinar el valor de verdad de ca da una de las proposiciones siguientes, asi como Indicar sus negaciones :

¥ x c A , ¥ y c H , ¥ic.

A,

x2 x2 x2 x2

J i y c A /

3 x c A / ¥ y c A , 3 xt A / 3 y c A / ■»- [ x2 ♦ 3y

SOLUCION.a) F ,

b) F ,

c) V ,

* + ♦ ♦

3y < 12 3y < 12 3y < lz 3y < 12

< 12 ] 5

d) V

[ *2 +

-

Las negaciones correspondientes son: a)

3

x

e

A /

nt[ •¥ y

= 3

x

e

A /

3

b)

3

x

e

c)

¥

x c

d)

¥xc.

y

A / ¥ 0

e

e

e

A,

A,

3

jeA /

A,

¥yc.A,

x2 ♦ 3y

A ,

A /

x2 + 3y >

x2 ♦ 3y > 12 x2 * 3

> 12

x2 + 3y > 12

luego

-24SER1E DE EJERCICIOS PROPUESTOS

(2.1)

1. Negar las siguientes proposiciones, para el conjunto Z : a)

¥ xe Z ,

c)

3

x+ 1

xe Z /

x2

>

x ;

b) 3

x e Z

;

d) V

x

« x

/

Z,

e

x2 + l » x2 -

0

1 > 0

2. Determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones, didas en el problena anterior (1). 3. Negar las siguientes proposiciones:

4.

a)

V

b)

3

c)

3- * e C /

x e

A,

}

xe A /

3

s j

¥ y

* / [ * qU) ] B / p(x) - q(jí) e B . p(x) v i. q(y) e

e

Demostrar que ■>.[ ¥

x tA ,

p(x) - q(x)

]

=

3 x

e A/p(x)- tq(x).

5. Negar cada una 4e las siguientespropos 1clone.' a)

V x e A , J j e B / ¥ zeC.

p(x,y,z)

b) c)

3 x i A / 3 í £ I / t p(*) * [ 3 II e A / Jli p(y) ] - ¥ x e A ,

] q(x)

d) e) f) g)

Todos los americanos citSn locos. Hay al meros una persona que es feliz todo el tiempo. Todos los hombres son hor?atos o algún hombre es un ladrSn. SI el nGmero x es menor que 12 , entonces hay un número real x2 * y2 - 144

tal que

v r(x) .

y

e¿ positivo.

6. Demostrar que la afirmación: " Para todo enteru positivo n , laexpre slfin n2 - n + 41 siempre es un nGmero primo " , es falsa con un con­ traejempl o. 7.

Indicar la verdad o falsedad de a) b)

8.

9.

x e R. , V y c P. , x e R / (-l)(x) » 0 ,

V 3

Dado

(-tf)(-x) - xy * xy > 0 c) ¥ x c R ,x2/x «

M - { 1, 2, 3, 4, 5 } , ¿cuSles son

a)

3

c)

-VxeM,

x e M /

x ♦ 3 < 10 ;

b)

¥ xe M ,

d)

3

xe

3 y t M/

M /

x + 3 > 6.

Dadas las p-oposlclones: a)

[ 3

b)

[ V a e Z ,- 8 < 0 ]

c)

3

xe W /

x e IR /

x + 2 « 5 ] ■* [ •¥x v

/-x e R

e

W,

[ 3 x e Z /

.

.

verdaderas? :

x+3 <8

;

x

x2

>

x

]

-x - x ]

x*y < 7

Cap. 2

- 25

Conjuntos

¿cuáles son los valores de verdad de sus negaciones en ese orden? 10. ¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde a la negación de : * Para todo entero r , existe un entero a tal que si (ar) es par, entonces (a + l)r es par * ?: a) 3 r e b) 3 r c c) 3 r e d) 3 r c 11.

Z / ¥ a e Z , a r y Z / ¥ a c Z , a r e s Z / ¥ a c Z , a r e s Z / ¥ a c Z , a r e s

¿Cuál de las siguientes proposiciones sobre Q(racionales) correspo£ de a la negación de: * Para todo nOmero racionalr existe un nGmero entero p tal que p < r < p* 1 ? : a) 3 r t Q / ¥ p e Z . b) 3 r e Q / ¥ p e Z , c) 3 » " e Q / ¥ p E Z , d) 3 r e Q / V p t Z ,

2

(a + l)r son impares Impar y (a + l)r es par par y (a ♦ l)r es Impar Impar o (a + l)r es par.

p+1 > p p < p+1 p £ r v p > r v

> r < r p+1 < r p+ 1 < r .

SUBCONJUNTOS

Se dice que un conjunto A es un SUBC0NJUNT0 de un conjunto B ,6 que A a t i ¿nttuZdo en B , si todo elemento de A es tanblCn elemento del conjunto B , denotándose en tal caso: A c B . Ver la Figura 1 en la página siguiente. Es decir, simbólicamente, A c

B

«— *•

[ ¥ x e A .

x c A

-=■»• x c B ]

Esta deflnlclSn simbólica Indica el canino a seguir cuando se desea «taños trar que A c B . De la definición se sigue que es suficiente que un elemento del conjunto A no esté en B para que A no tta iubconjunto dt B ; en tal caso se denota A <$. B . En el caso en que A c B , si B tuviese uno 6 más elementos que no pertenecen al conjunto A , entonces se dice que A ES UN SUBC0NJUNT0 PROPIO DE B . EJEMPLO 1

SI A » { 2, 4 } y

B * { 1, 2, 3, 4 )

entonces

A c

B ,

pues por simple Inspección vemos que todo elemento de A es tambICn elemen­ to de B . EJEMPLO 2 Para cualquier conjunto A se tiene la ¿mpLLcacidn

xc A = >

AC A ,

x c A es VERDADERA. [ ya que

pues ¥ x c A . p =>

p

es

Introducción al Análisis Matemático

-26una TAUTOLOGIA ]. A c B

A 4

A 4 B

B

lo elemento.

Co n j u n t o V a c í o o Nu l o

Es aquel conjunto que no tiene ningCn elemen to. Se le denota por . y estí Incluido

en cualquier conjunto, es decir,

♦ c

paAa todo conjunto A .

A ,

CoNJLN'm JNIVERSAL

Denotado por O , es aquel conjunto que contiene a todos los elementos que se estSn considerando en un estudio o contexto particular. EJEMPLO___3 SI

A ■ {2 } y

1) 4)

2 t A 2 t B

B » {{2 }} , entonces las proposiciones 2) A e B 5 ) A £ B

3) 6)

{2} ¿ A A f B

son todas verdaderas. EJEMPLO

4 Demostrar la Propiedad Transitiva de la Inclusifin de Conjuntos:

Se deseaprobar que: V x

eA

,

y por lo tanto,

V

x c A X E B x

e

x

5

e

= > A

A ,

x

e

xe B XE C

»

las proposiciones lSgicas: EJEMPLO

A c C

A c B - B c C

— >

x

e

C

= »

x

(pues (pues

A c B ) B c c) ,

♦ c A

,

. En Aefecto.

por la Propia ■’ad Transitiva de

(p - q) - (q * r)

Demostrar que:

e C

==>

(p + r) .

pana r.ualqwLtn. conjunto A .

En efecto, se quiere probar que la ¿mpLLcacLSn : (x e ♦) =*■ (x e A) es verdadera , pero esto es cierto pues el antecedente (x c ♦ ) es FALSA , ya gue el corjunto vacio no tiene elementos, y en tal caso la impl1cac16n resulta verdadera.

Cap. 2

EJEMPLO

-27-

Conjuntos

6

SI los conjuntos

{3a + b - 9 , 4 a }

son unitarios, probar que

{6a+ b,

y

{4,

5a + 2b }

2b + 8a-3 } es unitario.

Siendo unitarios los dos conjuntos, entonces: 3a + b - 9 ■ 4a

-

5a + 2b » 4

a ■ -2

y

b ■ 7,

y con estos valores vemos que { 6a + b , 2b + 8a-3 } » { - 5 , - 5 } * { -5 } resultando por lo tanto unitario. EJIMPLO

7

SOLUCION:

Demostrar que la proposición A # B clr que: ■ Exiite un eJuftnto a e A

A £

B

=


B)

= =

•>-(V a 3 a e

A. A /

=

3

A

a

e

es equivalente a de a i B ■.

tal que

a c B)

a c A

e

*»<{ a c A a e A

/

= •

a c B)

a i B

usando el Ejercicio [5a] , pSg. 10 . CONJUNTOS IGUALES A - B Por ejemplo,

Dos conjuntos A y B son IGUALES si A c y B c A . Es decir, <=>

[ A C B

dados los conjuntos

- B c A ]

A « {

te la Definición previa se demuestra que es elemento de B y todo elemento de B

B

I, 2 } ,

B * { 1, 2, 1 } median

A » B , pues todoelemento de A es también elemento de A ; por lo

tanto B tizne, ¿clámente do¿ elemento*.Asi que un conjunto no varia si sus elementos repltentes se consideran una sola vez. EJEMPLO

8

Sean A - { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } . B - { 2, 4. 6, 8 } ,

C - { 3, 5. 7, 9 } . D - { 3, 4, 5 } y E - { 3, 5 > . ¿CuSl de estos conjuntos puede ser Igual a X si se dan las siguientes con dlclones 7: l ) X c A y X < * C 3 ) X C C y X < Í A 2 ) X C 0 y X < £ B

4 ) X y 6

son dfsjuntos .

RPTA: (1) X puede ser A, B 6 D ; (2) X puede ser D D E ;

Introducci&n al Análisis Matemático

-28-

(3) X no puede ser nli.guno ; 3

(4) X puttL ser C 6 E .

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNI^N DE DOS CONJUNTOS:

A U B

Es el conjunto formado por la reunifin Je todos los elementos de A y por todos los elementos J‘_ B : A UB■ ( i £ U / donde

=*

e

A

v

x e B }

“ v " es el conectivo lfigico de disyuiii^Jn, y que se

EJEMPLO K A »{ x

x

e

lee " o "

.

Dados A • { 1, 3, 5, ... } , B « { 2, 4,6, ... } entonces A UB■ H , puesto que se puede expresar comosigue: W /

xe s Impar

} > B ■ {x

A U B - { x e H / x e s impar

INTERSECCION DE DOS CONJUNTOS:

e

N /

x e s par

o x es par } »

}

K

A n B

Es el conjunto formado por todos aquellos elei.entos comunes a ambos conjuntos A y B ; es decir, AflB'txcü/

A

x e

«

x e

B

}

donde “ ~ " es el crnertlvo lfiglco de conjanc-iín , y que se lee " y " . EJEMPLO 2.- Dados A ■ { x e H / xes múltiplo de 3 ) , B > { i e I I / x es múltiplo de 5 } ,entontas AflB •{ x e N / x e s múltiplo de 15 } , pues por extensión: A - { 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... } decir,

y

B - { 5, 10, 15, 20. 25, 30, ... } .

SI la intersección de dos conjuntos A y B es vacía (es A n B « ♦ ) entom es se dlcc que A y B son D1SJUNT0S .

-üWPLE.tcNT'J

D- UN CONJUNTO:

A' Ó CA Ó AC .Es aquel Formado por todos los elementos del Uni­ verso que no pertenecen al conjunto A : A‘ • { x e U / donde “ *»< “ Por ejemplo,

x ¿ A } , 6 también

A1 » { x

e

U

/ t(x c A) }

es el símbolo de la negacifin lógica. si

A «

, 6] U {8}

DIFERENCIA DE DOS CONJUNTOS:

, A1 ■ < 6, 8 /> U < 8, •»> .

A-B

EstS constituido por los e

Cap. 2

Conjuntos

-29-

lementos Jel conjunto A que. no r nXjjn "«.rt ai conjunto B A - B A este conjunto

{ x

A - B

e

U /

x

1

y

x

también se le denota por

La siguiente Igualdad respecto a A - B PROBLEMA

A

e

Demostrar que:

; es decir, B

}

B .

es bastante Gtll enla práctica.

A - B ■

A fl B'

La demostración se realizar! por Doble Inclusión (definición de IGUALDAD de Conjuntos) : a)

c

A-B

A n B‘ :

x e A-B

¥ x e

=>

x c A

=»

X E A n

Por lo tanto, b)

B’ c A- B :

A P

Por lo tanto, (a) y

DIFERENCIA

SI

=*■

B‘ .

V

A fl B'

,

x e t e

x

x

e A

y

A * x e B' = * ► xe A ~ A-B [definición de A-B

e

A fl B'c

A-B A-B

A - <4, 10] .

SIMETRICA :A A B

x e

B*

[definición de INTERSECCION ]

A fl B'

(b) resulta que:

EJEMPLO__3

» xt B

A -3 c

x e A fl B' = » =s> De

A-B ,

x i ]

B

. ■ A fl B'

B - [6, 16> :

A - B - <4, 6 > .

.- Es el conjunto formado por la reu nlOn de aquellos elementos que so

lamente pertenecen al conjunto A y no a B , y por los que solamente perte­ necen al conjunto B (y no al conjunto A): A á B - (A - B) U (B - A) . EJEMPLO

4

Si A - { 2, 3. 4, 5, 6, 7 } tonces

y por lo tanto

A - B

«{2, 3, 5 } ,

AA B

*

REPRESENTACION GRAFICA

EN

(A - B) U

y

B - { 1, 4, 6. 7, 9 } en B - A - { 1, 9 } ,

(B- A)

«

{ 1,2,

3, 5, 9 }.

DIAGRAMAS DE VENN

Estos diagramas sor Gtlles para verificar grSflca mente ciertas propiedades de las OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS como las que presentaremos en la pSgina siguiente, y que se pueden demostrar formalmente, utilizando las Leyes del Algebra dt Proposiciones LOgicas.

30La zona sombreada representa al conjunto indicado

(i A U B

a

Al conjunto A-B CONJUNTO A .

¡fcJÍ

J

n b

A1

también se le llama el COMPLEMENTO DE B RESPECTO AL

A AB

A-B

ÍJ

LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS

•

la. 2a. 3a. 4a. 5a. 6a. 7a. 8a.

A l) A ■ A AUB • BUA A U (B U C) > (A U B) U C A U (B n C) • (A II B) n (A U C) A U ♦ - A A U U - U A U A' - ü (A*)' - A

An A - A an b - bn a a n (b n c) - (a n b) n c A n (B II c) - (a n b ) u (a n a n ♦ ■ ♦ a n o - a a n A' - * u* - * . *■ - u

9a. 9b.

{A U B)1 « A’ n B‘ (A fl B) ‘ - A' UB'

Ib. 2b. 3b. 4b. 5b. 6b. 7b. 8b.

| LEYES de DE MORGAN

En seguida demostraremos las Leyes [4a.] y PROBLEMA a)

2

Demostrar que:

A U (B n C)

c

=»

(x E

A

V

»

e

x e \ v x (x E B - X E C) X 6 B) ~ (x E A V

E

:

= »

p v (q ~ r) = (p

V

q) - (p v r) ]

•

(A 11 B) (1 (A 11 C)

V x

(A U B) fl (A U C)

x e A U (B D C) = ► * E A V [pues

A U (B (1 C)

[9a.]

A U (B n C)

(B n c)

X E

C)

,

.

Cap. 2

Conjuntos

= > b)

(

(A U B) . x c (A U C)

e

(A U B) n (A U C) x

e

[pues = *

(x

==»

(x

e

A)

3

»

x

[pues

A1 n B'

A'flB'

A' «

e

c x

=>

e

(A U B) n (A U C)

e

(AIIB)n(AUC)

x t (A U B)

-**>

B ) ~ ( x e A

e

=

»

.

:

C)

e

X e C)

= >

x c A U (B n C) A U (B P C) • (A U B) P (A U C).

¥

e

B'

(A U B)1 : e

A'

(1

x x i

B'

= >

= =>

x

A' n B‘.

A U B = » i.(x e A U [ -v. (x e A)] ~ [ -t(x e B)]

=>

¥

B)1 -

{A U B)1 ,

e

xi

5 (*».p) ~ (tq) ] .= > x

(AUC)

x e

x

,

p v (q . r) ]

v (x c B (1 C)

i.{p v q) x

« i

A) v (x c B »

x e (A U B)‘■= > •».{xc A v x e B)

= »

x

Demostrar la LEY de DE HORCON [9a.]:(A U

(A U B)' c ==»

x

x

e

e

A'

e

A' n B'

A

« x 4

B) B

.

A' P B' , ~

x

e

B1

x4 A xt B = > t M * e *)] ~ [^ (* e B)] *>-(x e A v xe B) [pues (tp) - (‘»•q) = *»>(pv q) ] ^ (x e A U B) = » xi A U B =*■ x e (A U B)' .

= » = * Asi.

(i c A

y (b)por doble InrluslOn:

PROBLEMA

b)

U B) fl (A U C)

= >

e

— o

A ü (B n C) :

( p * q ) * (pvr)

AsT, de (a)

a)

(A

C

-31-

(a) y (b), por doble Inclusión:

PROBLEMA

4

SOLUCION.-

* A* P B'

.

Utilizando las Le;-es del Algebra de Conjuntos y la DIcEREffCIA, demostrar que: (A-B) U (B-A) - (A U B) - (A O B) . (A-B) U (B-A) - (A P B1) ü (B P A’) “ * -

PROBLEMA

(A U B)'

5

[(A P B1) U B ] P [(A O B*) U A1 ] (A U B) P (B* U B) P (A U A1) P (B1 U A*) (A U B) P U P U P (B‘ U A 1) (A U B) P (A1U B‘) (A U B) P (A P B)1 .. [Ley de De Morgan 9a.] (A U B) - (A P B) .

Demostrar que :

a)

A c A U B ,

b)

AP B e A ,

Cap. 2

Corjuntos

-32-

c)

A U (6 - A) - A U

SOLUCION

6

a) •¥ x e A ,

[pues

p

>

P

vq

Por lo tanto. b) *=»■ (x c

A c

¥ xe A n B , A) ,

**=>

xeA

x e A v x e 6

es una tautología ]

po

A U 6

x e

A U B .

.

x e Afl B = » (x e A) « (x

[pues p ~ q = »

Por lo tanto,

c

AflB c

A

.

c) A U (B-A) - A U (B 0 A1) - (A U B) n (A U A') • (A U B) n U PROBLEMA

6

Demostrar que:

SOLUCION .a) (

)

a) b)

Recordando que: p 1)

A U B c = > =»

11)

*-*• q

xe B [pues

B <- A U B :

A

p

hipótesis b) {

)

1)

>

xc A

A

p) ,

x e A v x e B

:

• B ] = >

A :

— > x c A

x e A U B • B x e B.

V xc A O B xe A ~ p ]., Asi,

v

Asi,

x e B [por la A c B .

, x e B — > A fl Bc A .

x c

A

fl B :

¥

= > =^ > = »

(x c A) ~ (x e A) , [pues p 5 p ~ p ] (x e A) ~ (x e B) , [pues A c B ] x c A n B . Asi, A c A n B . y

Por lo tanto,de (1) (< = )

.

A U 6 • B .

p v q ],

x e A fl B [pues p «■>q = » 11) A c: A

= (p •* q) ~ (q

A ,x c A

A U B

A O B c

A U B ■ B A n B- A

Ver la parte (a) del PROBLEMA 5 .

c B : V x e

[pues

• A U B .

[por la hipótesis: A c B ] p v p = p ] . Asi, A U B c B .

Por lo tanto, de (1) y (11): ( <==» )

t : «= >

A c B A c B

B :« i c t U B ,

x e Bv x cB

B)

p ]

c B :-V x

c

A ,

xc A .

(11): A fl x

c

A

B ■ A . <-■-» x

A ~

c

x

e

B

[pues por hipótesis, A fl B * A ] = > [pues

x p

C

B

*

q

= » <1] •

Asi,

A c

Cap. 2

Conjuntos

PROBLEMA 7

Demostrar que:

A-B

-33-

(A-C) U (C-B) .

C

a-b - a n b' - a n b’ n (c* u c) * [a n b' n c1] u [a n b1 n c ] c c (A n C1) U (C n B') - (A-C) U (C-B) .. per PROBL.[5b.] . PROBLEMA L

Demostrar que:

(A U B U C) - (A fl B D C) ■ -

SOLUCION.-

Desde que:

(A A B) U (B A C) .

(A U B U C) - (A n B íl C) -

[(A-C) U (A-B) U (B-A)] U [(C-A) U (B-C) U (C-B)] -

y empleando dos veces los PROBLEMAS [7] y -

[(A-B) U (B-A] U [(B-C) U (C-B]

PROBLEMA 9 -----------

Demostrar:

[6] enese orden: • (AA B) U (B A C) .

a) A U (A fl B) - A ' ' b) A ft(A U B) - A

1 V LEVES Vi ABSORCION /

SOLUCION. x c A v x cA

(x e A [pues

- xcB) P v (p * q) = p ] .

U B) g ¡ x e A » »— * x cA

(x e A [pues

v xcB) p > (p « q) = p ] .

a)

x e A U (A (1 B) f : c=*

b)

x e A D (A

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

2.

I La proposición x 4 A fl B'.a cuSl es equivalente ? : a ) x ¿ A y x ¿ B b ) x c A C x ¿ B c) * c B- A d ) x c B 6 x i K . { [(A U 8‘) fl (A O B)] U (A flB1) } U (C-A) a)

A fl B

b) A U B

3. I A culi es equivalente x4 B U (A a) b) c)

xtfB~(x¿A~ x C) x 4 BU, v x iB U C (x i B » x e A) v (x i B

4. Dados

¡ -

B• C-

{xc M / {xc M / {xc M /

hallar el conjunto

es igual a:

c) A U C D C) ? :

x eC)

x - (k2 - 1)/2 ,

x2 - 8x } . x2 - 32x +192 - O

(B - A) fl C .

d) A fl C

kcH

},

}.

Con juntos

-34-

5.

La regifin sombreada corresponde a:

(A (A [(a d) (a

a) b) c)

6.

Cap. 2

SI

A

n B) U (B n C) U C) - (A n B n C) u c) n b] - (A n b n c) n c) u [(a n b) - (b n cj]

c By

AflC ■ ♦

,simplificar:

[A U (B - C)] n [B U (C - A)] 7.

De a) c)

B.

9.

las siguientes afirmaciones: x t B fl (A - C) x c B' v x c A*

b) d)

v xe C

x 4 B v x 4 (A - C) x c (An I)1 . u C

¿cuSles son equivalentes a:

x c (¡ [ P fl (A —

La

x 4

a) b) c)

proposición:

C)]

?

[jtAíl B), ¿ a cuáles equivalente ? :

x t (D - A) ~ x 4 (D - B) x t (D - A) v t i (D - B) x c D ~ ( x ¿ A v x ¿ B )

SI A. B a) b) c)

.

y C son conjuntos, entonces:

(x t A v x c B ) ~ x c C x c (C-A) v x e (6 II C) x e (A1 U B) - C* .

x ¿ (A(l B1) II C

=>

, ,

¿ CuSl es el correspondiente ? 10. De las siguientes proposiciones acerca de conjuntos, indicar cuSles son verdaderas: a) V A, 3 B y C / HPC ■ ♦ b) 3 C / -V A , A fl C ■ C c) V A , V B , A II (B n A) • A 11. La

parte sombi'eóda del diagrama ,

i a qué conjunto corresponde ? :

a) b) c) d)

C - [(A-B) fl (B-A)] C - [(A-B) U (B-A)] [C fl(A-B)'] f> (B-A) [C fl (B-A)1] fl (A-B)

-

(BUC)-A

Cap. 2

Conjuntos

12. ¿A cuSl corresponde la reglfin sombreada? a) [B- (A O C)] U [(A fl C) - B] b) [(B-A) O (B-C)] U [(A n C)-B] c)

13.

14.

[ b 1 n (a n c)] u [(b-a) n (b-c)]

SI Mn es el conjunto de nGmeros naturales múltiplos de n a)

m2

n «3

c)

h2

n

h}

b)

m7 n Me

d)

Mm n mn

n

¿CuSles corresponden a la regifin sombreada? : a)

(C - A) U (C - B) U [(A n B) - C ]

b) c)

[ C - (An B)] U [(A n B) - C [(B - A) U (A - B)] O C

15. i Cuáles corresponden

a

]

la refi6n sombreada? :

a)

[(C - D) - (A O B)] U [(D - C) - (A n B)]

b)

[(C U D) - (C O D)] - (A n B)

c)

[(c u d )] - [(a n b ) u (c n d )]

m6

, hallar :

16. íCuSl corresponde a la reglón sombreada ? a) b) c) d)

(A - B) U [(B n C) - A ] [ c - (A n b )] u [(b n c ) - ( A n b )] [(a n b)-c] u [(b n O - ( a n b)] [(A n c) u (B n c)]- (A n b)

17. ¿Cu31 de los siguientes diagramas corresponde a la situación en que los conjuntos a, P, X, Y, Z, satisfacen:

p c

x' n y1 ,

z c xn y ,

18. Hallar una fórmula para complemento solamente.

A D B

m n (y - x) ■ * $

?

mediante las operaciones de unión y

19. Sea D el conjunto de nGmeros enteros de tres cifras, y sean E0> Ej y E2 subconjuntos cuyos elementos son números naturales una por lo menos de cuyas cifras es 0, 1 y 2 respec. Hallar D D E0 fl Ej D E2 20. Demostrar que:

a) A c B b) A c B

un A c

Mn B

M U A c

M U B

PROPIEDADES ADICIONALES a)

A =■ A 1

b)

A C A 1

c)

AUB

d)

A y B = c

PRUEBA.-

= =

■ ♦

u - *

.

U conjunto universal

A “ $ =>

A 1 $ - B * $

=•A C C

^ B c C

V conjunto M.

Cap. 2

SOLUCION:

a)

{ =« ■ )

(< * = )

A - A'

=-*►

An A - A*

IIA

=*>

A* ■

U (-

.i, por h1p6*es1s)

=a»

U -

♦

Como

♦

c

=*»■

A

ACA*

= > A n A* - A

c) A U B ■ «

u

-

>

/

l♦= © • A-♦

♦ .

A c

A U B ■ I -— / f B c: A U B -

$ c

A - 0

♦ [por hipótesis]

*

- A

—

*

u-

A* A'

== »

í ♦ c -I -

== »

c

A' ■

1 ■=* b)

- 37-

Conjuntos

A ■♦ B -

4

(A * $) - (B » ♦ ) i A c A II B ■ C -I l B c: A U B - C

d) A U B - C

PROBLEMA

1

==»

Demostrar que:

solucion:

(a * n

b)

n

(a n

B

PROBLEMA

. (A U A') n Z

SOLUCION:

D B

=>

nB

* A'

B » ♦

.

b)n a

=*• Luego,

C

B c C

A* fl B » A -

a

A c ==»

B - (A n B) U

* ■

A

(A* n B)

-

0U

nB

..

0 - *

(a) .

Demostrar que:

a)

a) b)

(A - B) - C - A - (B U C) (A U B) - C (A-C) U (B-C)

c)

A - (B

n C) -

(A-B) n (A-C) .

(A -B) - C - (A D B‘)fl C* = A fl (B U C)1 « A - (B U C)

b)

(A II B) - C ■

c)

a - (b n c)

(A U B)

n C ■ (A n C*) U (B n C') » (A - C) U (B - C)

PROBLEMA SOLUCION:

3

- a n (b n c ) ' - a n (b1 u c1) - (A nB1) U (An V ) - (A - B) Demostrar que:

A O B

* ♦

A > A D (B U B*) -

U (A -C)

«==>

A c:

b'

(A O B) U (A fl B')

♦ U (A n B*) ■= A n B’ C

B1 . Por lo ..

38

Conjuntos

tar to : ( <=

,:

A e B'

A c

B' .

=>

A fl B

==>

[ c (A 11 B)] - [(» (1 B) c

=*■ PROBLEMA. _

Cap. 2

c

B' n B -

* <(. ]

(A n B) = *

Lerostrar que: a)

A & B' - B

=>

B c A

<— >

A * B

- (A • B*) U (B* - A) -

(A fl B) U (B1 flA1)

=>

* (A IB) II (B1 P A')

.. porhipfitesis.

b)

A A B * $

SOLUCION: a)

A A B' B

b - b n b *= [(A n b) u (b1 n (a n b

-

Y

b)

como

A

A A B

«=»

-♦

PROBLEMA

5

u (a * n b* n b ) •(a n b ) u *>

a

entonces: B <=

= »

A

.

(A - B)U (B - A) -

$

<==>

A — B “ ♦

~

B - A — 4>

«==>

a n b' * ♦

-

d n a1 « $

«=»

(A C B) - (B C A)

c=>

AuemSs,

n b

n b)

AD B c A ,

B - AO B c

a 1)]

, de [5.a], p. 36

. por el [PROB. 3] ,

A * B .

Utilizando propiedades adecuadas, demostrar que: D c (A A B)

===>

D = (A U B) - [(A - D) U (B - D) U (A n B)] . SOLUCION: Utilizaremos las siguientes propiedades: 1)

M c

N

<=*• M - M

2)

M c

N

«=<

3)

(M - N) - P « M - (N U P)

4)

(M U N) - P

De la hip6tesis, de D

c

M n N'

-

O N -

(M - P) U (N - P) , (2), y de:

(A A B) c A U B

= »

A A B• (A A B)

as! que .. (A U B) - (A n B) c fl (A U B)' - *

A U B

... (5) .

n b

Cap. 2

— ¿9

Conjuntos

(A £ B) [(A £ B)

0 D • [(A £ 6) O D ] U $

..

v'

fl D ] U [(A £ 6) 0 (A ti

..

por [5]

6)’]

(A £ B) D [ D U ([ A U B ]‘ )]

t

,

Ley [4b.]

I /

(A A B) D [(A U B) n D1 ] [(A U B) - (A 0 B)] - [(A U B) - D ] (A U B) - [(A fl B) U ( [A U B] - D ) ] (A U B)

- [(A 0 B) U (A - D) U

1J

\ ..

(B -D) ]

..

por [4]

que es lo que queríamos demostrar. PROBLEMA

6

Dados dos subconjuntos A

y B de unluniverso U , ¿cuSl

de los siguientes enunciados es

verda
a)

B* - (A - B) => A U B

=>

Ai

b)

{A A B)1 - (A1 A B1)

=>

A- ♦ -

* v

B f


B * U .

SOLUCION: a) Simplificando,

B* - (A - B) - (B U A)1 => (A U (A U B) O (A U B) - 4

== •

A ■ ♦ -

B) «==»

c=*.A II B

*

í

B » ♦

Por lo tanto, la proposición (a) es FALSA. b) Simplificando.

A1 £ B1 - (A1 -B 1) U (B* - A 1) - (A1 fl B) U (B* fl A) - (A-B) U (B-A) -

\£B Sea

> A* A B‘ M « AAB,

(AAB)*

..

A £ B

por hipótesis.

entonces:M » M‘ ==•

==» M - M’ - U' - * A “ $ -

=© •

== *

B * $ ■ U

M » H (I H * M1 U M « U

U » = >

. Luego,

(b) es

VERDADERO.

SERIE DE PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Demostrar cada una de las LEYES DEL ALGEBRA DE CONJUNTOS, utilizando las correspondientes Leyes del Algebra de Proposiciones LOgicas. 2.

Demostrar qje: b) A‘ A d)

B

Ac B

a)

A c B <=^>

- A => ACB,

B' c A' . SUG: p ■* q = '*q ■» "'■p

c) M

=*■ A U (B-A) - B .e)

c A ~ M c B = > H c (A fl B) (B-A) fl A - ♦

.

por [3

40

Cap. 2

Conjuntos

I

3.

4.

A fl B - ♦ == »

h)

( n B' ■ ♦ •==»

1)

fi'O B c

j)

A-

=*

SI A » 'n +n { x / x - mk , (B1 U C)-‘ . Sean a

5.

SI

,b c l ,

= »

e

«==> A- B - ♦

B c A

A A B -

X .

A y B

yA II B ■

SUG: Pruebe qye:

Z /

B» { a e A /

a5 + 4a 3b

e

hallar el complemento de

B ■ hallar

Bf ♦ , A U

conjuntostales que

a2 <• 2b ,b2 + 1 }

A fl B .

A- { a

A c B

8 , 2m -2n + 4 } es un conjunto unitario, kcZ), C * {x / x * nk , k e Z ) , SUG: Pruebe Que n * 3 , m - 5 .

unitario, A hallar

g)

A c B

(C -A)1

Cx B

BOA1«B,

t a + 4d , b +

B es 1

- 3a }

a « + (b - 1) .

■ 5a3> y

Z /

a «

b2 }

B conrespecto a

A . Es decir, A- B .

SUG: Note que todo elemento de B es aquel elemento de A que es el cuadrado de algún número entero. Pruebe que B - { 0 , 1 } . 6.

Demuestre que:

♦ - M■

♦

7.

Demostrar que:

A fl (B A

C) ■ (A fl B) A (A fl C) .

8.

Se define la operaclfin * ¿cuSles son verdaderas? : a) b)

A * A - A1 (A * A) * (B * B) -

9. Demostrar que: b) { { a } , «==>

6

a)

, para cualquier conjunto M .

entre conjuntos tal que.

A fl

A * B> A1

D B1

c) (A * B) * (A * B) - A U B B ,d)A * (B * C) - (A * B) * C

{a}« {b ,c >

a > b * c .

{ a , b > }- { { c } , { c , d } } [(a « b) ~ (c « d)] .

CONJUNTO POTENCIA :

P (Ai ,

2

a

Dado un conjunto A , se llama CONJUNTO POTENCIA de A al conjunto formado por todos los SUBCONJUNTOS VE A . Se le denota por : P (A) - { X Es decir,

/

X c P (A)«==>

Xc A

>

X c

A

.

Conjuntos

Cap. 2 EJEMPLO 1

41

S1 A * { 1, 2 } entonces

{

<1^

( 2),

P(A) ■ ( ♦ , i n , -

t ♦ . { 1 >. {

1 >c A {’t,

2 ). A >

NOTA.- 1) Al conjunto P(A) tamllén se le llama CON^JNTO DE PAIyLS de A. 2) Se demuestra que si un conjunto A es finitcly t1eru rf elementos entonces P(A)

tiene 2n elementos, razfn\por la ci»I también A

se le denota por 2" .

-

PROBLEMA 1 Si A - { ♦ , { ♦ } } SOLUCION.-

SOLUCION.-

X c P(B)

P(A) c P(B)

P(B)

[def. de P(B)] . De donde se tiene =>

A

=»

t x } c P{A)

=:

tx} c

PROBLEMA 3 SOLUCION.e

P(A) U P(B)

== »

P(A) U P(B) c Sea{ i, b, c ) c

t (a + b *■c) /

hallar

P( M U{ -x /

x c B .

P(A) U P(B)

A ,x e A U B

Por lo tanto. PROBLEMA 4

=>

Demostrar que: e

X de

c c

P(A) c

A )

P(B)

.

c B : Sea * e A= > { x } ==.

B

Sea X

¥ x

M »

F = > P(A) cf

B => P(A) c P(B) : sea X e P(A) í=a Ac B (hlpfit ) =*> X c B(prop. transitiva

==»

==>

A c B

A}

La demostrac16n consta de dos partes'

a) ¿i c como b)

, encontrar P(A)/T

P(A)- { * , { ♦ } , { { ♦ > > .

PROBLEMA 2 Demostrar que

-

AsT, c

cA

{ x } c P(B) , [hlpfit.:P(A)c P A c:

B .

P(A U B) .

==> X c P(A) v X =*■ XC A v Xc X c A U B ==> X

P(B)

c

B e

P(A U B)

P(A U B) . Z - t -1, 1 > .

SI se tiene que

{ a2 *■b2 - 5 , -3 , -4a > » x c M ~ -x2

e

{b-2c-8,

a2 + 4 } } ,

M }) .

SOLUCION.Del dato:

a, b y c

En M se ve que -3 -

-3

b - 2c - 8

AsT, tenemos que

son enteros diferentes de 1 y de -1 . no puede ser Igual a: ==»

b - 2c - 5

„ t a2 + b2 - 5 . -3 , -4a

a2 + 4 . Luego, ...

(a )

> = t -3 ,

, a2 * 4 >

.. (*)

Conj untos

<»z

Aho.:

-4a no pued

-4a ■ a2 + 4

ser

===*

-3

Cap. 2

[ello

darfa:

(a + 2)2 » 0

dad (*) ie convierte en:

= >

a » 3/4 4

L ]= »

a * -2 . La Igual­

{ b2 - 1, -3 , 8 } ■ { -3 , 8 } , y como el

conjunto de la derechc debe tener sfilo dos elementos, entonces: b'-l>-3 1)

6

SI b2 -1 ■

11) SI

b2 - 1 ■ 8

{ SI SI Luego,

a*

pues Hest?

b2 - 1 ■ 8

entonces

b2 •

entonces

b2 «

,

de modo que,

-2

(absurdo) 9

b •3

entonces

c « (b - 5)/2 »

-1

b ■-3

entonces

c * (b-5)/2 ■

-4

-2,

b « -3 ,

formado

Como x « - 9 e H

P ( H II { -x /

-

-9

-x2 “ - 81 i

M

,entonces

b

(descartado)

==» M * {

por los elementos delaforma(a + b + c)

y

- x2 e H > * ♦

c » -4 , a + b + c

= ►

-9 >

.

{ -x /

x e M »

lo cual Implica que : (Eli

-

- x2 e H } ) • P (M)

-P ( { - 9 > ) -

{ ♦

.{ -9

> >.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Encontrar

P(A) donde

2.

Demuestre que:

3.

Dar un ejeciplo de dos conjuntos A y B en los cuales se veaque:

P(A fl B) - P(A) n P(B) .

P(A U B) 4.

5. 6.

¿ En qué caso se cumplfc Si

SI 7.

A - ♦ ,

encontrar

Dados los conjuntos B-

{x

e

A * { “ , a, { ♦ } } .

IN/

A*

P(A) U P(B)

.

que

P(A)

A

<=

P [ P (A) ] . { x c M /

2x2 - 7x + 3 » 0 } y

D • (A-B) II C

,

? .

x3 - 2x2 - 5x + 6 * 0 C*{ 2

hallar el nGmero de elementos de

P(D) .

SI A - { a . » , { * ) } y B - { { * } .{ { * } } } . ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? : a)

A U B

- (A

B)- { a , ♦ , { { ♦ > > >

.

},

, 3 } .

*

í

Cap. 2

7

Conjuntos

43

b)

El número de elementos de P(A) es 8 .

c)

P(A) fl P(B) - { ♦ . { { ♦ } >

> •

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Dados dos conjuntos FINITOS y DISJUNTÍ ' fine el número de elementos de la unifin A U B como : n[A U B] ■ n [A] + n[B]

,

A

con

y B

se de­

\ fl B • $

--(1)

l

La relacifin conjuntlsta: probar que los conjuntos

A > (A - 8) U (A fl B) , en/donde se puede com (A - B) y (A fl 8) son DISJl.'NTOS , entonces

n [A] » n [ A - B ]

Y en el caso en que A y

+ n [ A fl 8 ]

..

( 2)

B sean cuaZzsqiUeA. conjuntoi ¿¿nltoi aA.b-üt’uvu.oi

(no necesariamente disjuntos) , entonces A U8 * =>

8 U (A - B)

n[A U B] • ■

,

donde

By

(A - B) ¿on (Liijantoi ,

n [B] + n [ A - B ] n [B] + n [A] - n [ A fl 8 ]

.. debido a (2).

Es decir, n[A II B] * AdemSs,siendo A U B * (A conjuntosdisjuntos entre

n [A] +

n [B] - n [ A fl B ]

- B) U (A fl B) U (8-A) sf, teneros

n[A II B] »

.

una unlfin de tres

que :

n [ A - B ] + n[ A fl B ]

+ n[ B - A

]

que en la prSctlca es la relar.ifin mis utilizada, pues equivale a representar

44

Conjuntos

la unlfin x»

Cap. 2

en un diagrama ae Venn en zona diijuntxu coito :

A JB i'[ A - 8 ] n ‘ A fl 8] n [B - A ]

PROBLEMA

l

Un club deportivo tiene 48 jugadores de fGtbol, 25 de bSsket y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 y solo 6 de ellos figuran en los tres deportes, a) ¿CuSntos figuran en exactamente un deporte ? b) ¿CuSntos figuran en exactamente dos deportes?

SOLUCION:

datos :

a + d + e + g

b + e + f + g ■ 25 c + d + f + g • 30 a+b+c+d+e+f+g

del diagrama de Venn ,

48

68

g ■ 6 Asf, el nGmero total de jugadores que figuran en exactamente un de­ porte es: * « a + b + c y el de los que figuran en exacta mente dos deportes es: d + e + f obtiene:

x + Zy + 3g ■

y de la cuarta ecuacifin : = >

103 x+

= y

x - 39

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS

Sumando las tres primeras ecuaclones de los datos, se x * Zy *

68 - g - 62 y = 23

.

85

Cap. 2

45

Conjuntos

1. Demuestre que si A . B y Cson conjuntos finitos, entonces n(A U B U C) - n(A) + n(B) + n(C) - n(A (IB) - n(A n C) - n(B fl C) + n(A fl B O C) . 1

I

2.

En cierto Instituto de Ciencias Administrativas, se requiere que todos los estudiantes del último ciclo cursen MatemSticas, Contabilidad 6 EI conomló. SI se sabe que de 600 deestos estudiantes: 400 cursan Mate míticas, 30b Contabilidad, 250 Economía, 240 EconomTa y MatemSticas, 90 Contabilidad y MatemSticas y 50 Contabilidad y Economía. ¿CuSntos cursan las tres materias ?

3.

S1 A es un conjunto que t'ene 8nelementos, B un conjunto que tie­ ne 5n elementos, y se sabe que los dos tienen 2n - 1 elementos en co­ mún, hallar la suma del número de elementos que tienen : a)

(A n B) fl (A - B)

b)

(AUB)n(A-B)

.

4. Siendo n un número natural, y A ■ { n2 / 0 < n < 4},B■ {2 n- 5 / 2 < n < 6 } y C « { n2 -(n3/n) + 1 / 0
.

¿ CuSntos de los 2 000 alumnos estSn Inscritos en Química pero no en Física sabiendo que: 1050 estSn Inscritos en Química, 750 en Física, 650 en Química y MatemSticas, 350 en Ffslca y Química, 300 en Materró ticas y Física, 1150 en MatemSticas, 200 llevan las tres materias 7

7. Una agencia de Turismo realiza una encuesta entre 5 D00 personas para ver las preferencias en materia de viajes a Cuzco, Iquitos y Trujillo: 2 400 personas desean viajar por lo menos al Cuzco, 3 000 por lo menos a Trujillo, 2100 por lo menos a Iquitos, 1000 a Trujillo e Iquitos, 800 al Cuzco y a Iquitos, 1500 a Trujillo y al Cuzco, y 500 estSn dispuestas a realizar las tres excursiones. Se pregunta : a) b)

i CuSntas no mostraron Interés por el viaje a Iquitos 7

¿ CuSntas Indicaron que no realizarSn ningún viaje 7

c)

L CuSntas desean hacer dos excursiones siempre que ninguna sea al

46

Cap. 2

Conj jntos

d) e)

Cuzco ? ¿ CuSntas estín dispuestas a realizar exactamente dos viajes dlferen tes ? ¿ CuSntas viajarían al Cuzco si y solo si no lo harían a ¡quitos ni a Trujlllo 1

B. El registro central de la UNI proporcione los siguientes datos acerca de 2 000 estudiantes 1050 llevan Química, 1150 MatemStlcas, 750 Física, 650 Química y MatemStlcas., 350 Física y Química, 300 MatemS ticas y Física, y 200 los tres cursos. Dttermlnar el nGmero de alum­ nos Inscritos en : a) c) d) e)

Química pero no Física, b)Exactamente en dos de los tres cursos. SCo en uno de los tres cursos. En ninguno de los tres cursos. Química si y solo si estS inscritoenFísica. SLIG:

p *—► q = =

f)

(p * q) v ('»»p * ~q)

5 (p - q) v ~(p v q) .

Física siempre que se haya Inscrito en HatemSticas. SUG:

9.

(•'«p v q) ~ (•'«q v p)

n t M 1 U F] - n [F] + n [H* ] - n [ F n H1 ] .

En una fiesta para 100 niños, una gran canasta de caramelos estS sus­ pendida del techo. Cada caramelo estS envuelto en pdpel de color rojo, blanco o azul. Al final de la fiesta se rompe la canasta y los niños se abalanzan sobre los carame'os. Luego se les pregunta a los i.iños qué tj[ pos de dulces tienen, con los siguientes resultados: 40 niños tienen uno rojo (cada uno), 60 tienen uno azul, 70 tienen uno blanco, 20 uno rojo y uno nzul, 25 uno rojo y uno blanco, y 30 uno azul y uno blanco. El investigador olvldfi preguntar si c^da niño tenia al menos un caramelo. a) ¿ CuSntos niños tenían un caramelo de cade color 7 b) ¿ CuSntos no cogieron nlngGn caramelo 7 SUG:

SI

Pruebe que:

c ■ ns de niños con solamente caramelos rojos. f ■ n2 de niños con caramelos azules y rojos pero blancos. g • ns de niños con caramelos de cada color, h * n£ de niños quj no cogieron nlngGn caramelo. g t h . 5

.. (i) ,

c + f • 15

.. (2)

y

no

Cap. 2

47

Conjuntos f + g - 20 g > 5

y

.. (3) . de donde g < 5 de (2) y (3).

10. Demostrar que: Cl a v e

de

B

e

P (A)

de (1).

=>A A B

f < 15

cíe (2),

« A-B .

Re s p u e s t a s :

SECCION DE LA PAG. [24] x2 +1 * 0 ;

:

1.a)

3x e

V x £ Z , x2 i

l.c)

x ;

Z/ x + 1 <

l.d) 3 x £ Z /

x ;

l.b) V

x2 - 1 < 0 .

2.VFVF en ese orden 3^) 3 x e A / í y e A ,p(x,y) ^''*q(y) ; 3. b) ¥ x e A. V y e B, ^p(x) v-^q(y) ; c)¥ x £ C, 3 y e B/ ~p(x) - q(y) ; 5. a) J x e A / V y £ B , 3 z E C / ^ p(x,y,z) b) ¥ x e A, V y £ B,p(x) - ^ q(x,y) ; c| (¥ y e A, p(y)) v ( J x e A/ ^q(x) - ^r(x)). d)Existe al menos un americano que no estS loco. e) Todas las personas son Infelices en algGn momento. f) Hay al menos un hombre deshonesto y nlngGn hombre es ladrfin. g) x < 12, y para todo real y se cumple: x2 + y2 - 144 < 0 . 6. n ■ 41 ; 7.a) F , b) V , c) F 10. (c) ; 11. (d) . SECCION DE LA PAG. T331 :

; 8. Las cuatro ;

1 S61o (d) ; 2. S61o (c) ;

4. 8 ; 5. S61o (c) ; 6. (B-C) ; 7.(a), (b) y (c) 9. Todas ;10. Todas: a) V para B * ♦ , C ■ A ; b) V c) V ; 11. (b) ; 12. (b) y (c) ; 13.a) M6 ; b) de r - m.c.m. (m, n) ; 14. Todas i 15. Todas ; 17. S61o (c) ; 18. (A1 UB')' ; 19. { 102, 120, 201, SLCCION DE LA PAG |~39] :

9. VFF 3.

;

S61o (b)

;

; 8. Sfilo (a) ; para C ■ ♦ ; ; c) Hr , don 16 S61o (c) ; 210 } .

3. B flC • { ... , -15, 0, 15, ...} - {

x /

x » 15k , k £ Z ) ; 4. A (1 B » { 10} ,se descarta la soluclfin a b - 1 pues da A - { ^ } ; A U B * { y } M ; 5. { -1, -2, 2 8. (a), (b) y (c) . SECCION DE LA PAG. [42" : A - {♦ ) ;

3. A - { 1 } .

5. { * . { * } , { { ♦ } } . { ♦ . { * } } } ;

SECCION DE LA PAG. f45] : B - { 1, 3, 5 ) , 7. a) 300 ,b) 2 900 , 8. a) 700 ,

c) 950 ,

9. a)

b) 0 .

5 ,

B - { 2> ;

2. 30 ;

C - {1) ; c) 500 d)

■ }

4. A - ♦ , 6

6.

8 ;

7. Las tres

3.

6n +1 ; 4.

A -

{ 1, 4, 9 ),

5.

lln/4 ; 6.

700

;

,

d)1800 ,

150 ,

e) 900 ,

e) 2 900 , f)1150

.

48

3 LOS NUMEROS REALES l

SISTEMA DE LOS NUMEROS REA l ES

Es un ronjunto IR con dos ope raciones: „urna y muttipticacUón, y una relación de Orden “ < “ que se lee " menor que “ , y que satisface los siguientes axiomas: Al. A2. A3 A4.

a + b c IR (LEY DE CLAUSURA) V a, b £ IR V a , b e IR a ♦ b ■= b +a (LEY CONMUTATIVA) (a + b)+ c =a + (b + c) (LEY ASOCIATIVA) V a, b, c £ IR AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTROADIIT/0: Existe un elemento y s61o uno denotado per “ 0 “ , tal que: V a c IR : a + 0 » a = 0 + a.

A5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO INVERSO ADITIVO: Para cada a e IR . existe un elemento y sólo uno denotado por “ -a " , que satisface la siguiente relación: + . q „ j_aj + a MI. V a, b £ IR M2. V a , b e R M3. V a , b, c e IR : M4. AXIOMA DE EXISTENCIA Existe un elemento y

ab e IR ab ■= ba

(LEV DE CLAUSURA) (LEY CONMUTATIVA) (LEY ASOCIATIVA)

(ab)c = a(bc) Y UNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO MULTIPLICATIVO: sólo uno denotado por a 1 " , *(¡ Aente de 0

tal que:

a • 1 - a = 1 -a

M5. AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO: Para cada a t 0 en IR, existe un elemento y solamente uno en R , de D.

notado por a-1 , tal que: a - a-1 » 1 « a*1 a AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD: V a , b, c e IR: a(b + c) * ab + ac ’ ’ v ' LEYES DISTRIBUTIVAS (a + b)c = ac + be

01. Dados a y b en R, entonces cionet te cimple:

a

una

a= b,

y ¿oto una de tai s¡.gtu.ii.ntet lela-

ó

b< a

(LEY DE TRICOTOMIA)

Cap.3

02. Si 03. Si

a < b y b < c a < b entonces

04. Si

a < b y 0 < c ,

5.

-49-

Numeros R o a les

entonces a < c a + c < b + c , -V c e entonces

(LEY TRANSITIVA) IP .

ac < be .

AXIOMA DEL SUPREMO (AXIOMA DE LA MINIMA COTA SUPERIOR).-

Todo conjun­

to no vacio de núirjros reales, acotado superiornente, tiene una MINIMA COTA SUPERIOR (6 SUPREMO) ’n IR . 1.1 NOTA.-

Al elemento

a”1

también se le denota:1/a

De estos 16 axiomas del Sistema de los Números Reales, los cinco primeros se refieren a la SUMA 6 ADICION , los siguientes cinco a la MULH PLICACION, el axioma D relaciona ambas operaciones de Suma y Multiplicación y los axiomas 01, 02, 03 y 04 se refieren a la RELACION DE ORDEN < . 1.2

OBSERVACIONES.-

De estos axijmas se deduce que IR contiene a IN , Z y Q , es decir, a los números racionales en

general: 1. De M4 se tiene la existencia del número 1 en R . 2. De ffl se tiene que 1 + 1 = 2 e IR, 2 + 1 = 3 c F. 3. De A4 se tiene la existencia del 0 (cero) en O . 4.

Asi, IN c:

IR .

DE A5 resulta: -1, -2, -3, ... son números reales, con lo que: Z = { ... . -2 , -1 , 0 . 1 ,2 , 3 , ... } c IR .

5. Para cada entero m c IR, m f 0, se tiene que m~1 e IR ,o sea 1/m c IR, y por MI se tiene que' n - (1/m) = (n/m) c IR , para todo en teron, m, m f 0. Y como todo racional es de la forma q = n/m , se concluye que Q c: IR . Adem3s, desde el axioma Al hasta el axioma 0 se puede verifi car que los números racionales los satisfacen; sin embargo, sería imposible demostrar que los números irracionales como /3 0 J 5 son también números reales, a menos que utilicemos el Axioma S 0 AXIOMA DEL SUPREMO. De aquí la importancia de este axioma en el AnSlisis MatemStico. La correspondencia entre los números reales y los puntos sobre y na recta, puede ser usada para ilustrar geométricamente la relación de orden < : la relación a < b establece que al graficar en una recta el núme ro a se encuentra a la izquierda de b .

a

IR b

c

50-

N'jmeros Reales

Cap. 3

Con la ayuda de estos axiomas demostraremos algunas propiedades de los núme­ ros reales. Demostrar que : -0 Si

0 .

-0

- (-0) + 0 - 0 a + b * a

,

por A4 y A5

demostrar que

* [(-a) + a ] + b * (-a) + (a + b) * (-a) + a - 0 Demostrar que:

0 .

A4 AS A3

b ■ 0 + t>

Pr o b l e m a 3

b

respect.

hipCtesis y A5

a -0 ■ 0

.

a - 0 * a ■0 + 0 ■ a■ 0 + * [a.O + a.0] + {-

PROBLEMA 4 .-

■ a-

(0 +

■ a•

0

Demostrar que: a + (-l)a

A4 [a - 0 + A5 (- a - 0)] a - 0) A3 D 0) + (- a■ 0) + (- a • 0)= A40 y A5 .

-a * (-1) . a

.

• 1.a + (-l)a

M4 = [ 1 + (-1) ]a M3 = 0.a = a.O A5 y M2 = 0 . Probl. anterior. y como por A5 el inverso aditivo de a es único con la condición que a + (-a) * 0 , entonces: -a ■ (-l)-a PROBLEMA 5

V a, b e « : a(-b)

a(-b) * - (at>) =

:

a [(-1)b ]

Probl. anterior

= -

T a.(-l) ] b = [{-1 )a ] b (-1)(ab)

M3 y HZ M3

*

- (ób)

Probl. anterior.

En forma análoga se puede probar que: PROBLEMA 6.-

(-a)b

=

(-a)b

¥ a e IR :

-(-a)=a

Denotando por

b = -a

,

(ab)

(EJERCICIO).

: como

b e IR , entonces

Cap. 3

51

Números Reales t* a" (- a) +a“ 0

A5

lo que Implica que como para cada b e IR tal que: b♦ (-b) - 0 .entonces , PROBLEMA 7 .-

V a, b e IR :

,existe unúnico elemento . (_b) >es decir:

(-a)(-b)

11-b 11

- ab

Con los dos problemas anteriores, (-a){-b) PROBLEMA 8.-

-

Probar que tivo de

l”1 ■

(a) (-b)--[-(ab)] 1

j-1 .

1

,

Si a t O , demostrar que:

M4 M5 pues a”1, a ■ 1 a”1 i 0

Como a i 0 ,entonces existe a-1 a - a-1 ■ 1

,y si fuese

1 * a . a"1

■ a.O » 0

pues por PROBLEMA 10 .-

Si

h4

a f 0

Denotando por

.

1.

j-1 j

* PROBLEMA 9 .-

ab

Es decir, que el inversomultiplica

1 es el mismo

En efecto.

=

. por M5

tal

que

a-1 - 0entonces ===> 1 = 0

:1 ^ 0 .

Por lo tanto,

, entonces

(a-1)”1 *

(ABSURDO), a-1 i 0

. •

*

b ■ a'1 , se tiene que:

b . a ■(a-1) . a *

1

..

M5

y como el Inverso multiplicativo de b es Ciico tal que b . b_1

■1

entonces

a = b-1

= (a-1)"1 .

1.3 T e o r e m a .ab * 0

PRUEBA:

(= »

)

Para

< ■

ii)

(b = 0 ) ]

a , existen solamente dos posibilidades: a = 0

i)

[ (a * 0 ) v

6

a f 0

Sia = 0 , el teorema estarla probado, Sia t 0 , entonces, análogamente : b = 0

con lo que el teorema estarla probado,

b ¥0

el cual veremos que no puede ocurrir

52

Números Reales

pues

f 0

a

==>

ab - 0 == »

a'1 t 0, así que de la hipótesis:

(a-1, a), b -

) SI a * 0 ¿si b -0

1.4 NOTA.-

PROBLEMA

a"1. 0

== »

entonces entonces

ab • ab *

O.b ■ 0 a.O * 0

-- >

b « 0

,

Este teorema previo es muy Importante en lo que respecta a la resolucifin de ecuaciones, como veremos más adelante. ll

SI

a+b

• a+ c

entonces

En efecto, a+b ■ a+c (-a) + (a+b) ■ (-a) + {a + c) =©■ ==»

=*

í.b - 0

b t 0 .

lo cual es absurdo , pues ( « =

Cap. 3

[(-a) + a ] + b » [(-a) + a ] + c 0 + b - 0 + c == »

PROBLEMA 12 .-

SI

ac ■ be

y

b = c

.

=> .. A3 .. A5 y A4 .

b = c ct O

entonces

a ■ b

.

Pues

i) SI a ■ 0 = » be = 0 = » b ■ 0 (pues c + 0) por el TEOREMA [1.3]. Luego, a ■ b * 0 . 11) S1 a f 0 = » como c f 0: ac t 0, be i 0 , ademas, existe c'1 f 0 , y por ac ■ be

= >

(ac) c“1 » (be) c’1 = » a.l ■ b.l

a(cc_1) = bfee'1)

a= b b e IR:

Va,

1.6 DEFINICION .- (DIVISION):

V a. b e IR , b i 0 : También se denota

1.7 OBSERVACION

PROBLEMA 13 .-

..

.. M5 y

1.5 DEFINICION .- (RESTA) :

luego lo tanto: M3

H4 respec.

a - b - a + (-b) - - a • b'1 b

- « a/b . b

Desde que no se ha definido el inverso multiplicati­ vo del 0 (cero) en los axiomas de IR , entonces es por talrazOn que la DIVISION POR CERO NO ESTA DEFIDA . Demostrar que: Sea

c * (a + b)

-a - b = - (a + b) ,

entonces

c + (-a - b) * (a + b) + (-a-b) « (a + b) + (-a) + (-b) - a + [ b + (-a)] + (-b)

Definic. A3

Cap. 3

53

Números Reales A2 A3 A5 y

■ a ♦ [{-a) ♦ b ] ♦ (-b) ■ [ a ♦ (-a)] + [ b + (-bj] 0 + 0 « 0 y como el inverso aditivo de c es único , entonces : {-a - b) « -c - - (a + b) . PROBLEMA 14 .-

SI ab i 0 , probar que:

(ab)-1 * a’1, h"1

En efecto,

:

sea

c * ab

c(*_1b_1) - (ab){a-1 b_1) - a (ba'1) b'1 a (a'1 6) b'1

(aa*1)(b b-1)

y como el inverso multiplicativo de c t 0 es único por M5 -1 -1 a-V1 Es decir, (ab) a.-1‘ » b.-1 15 .-

Demostrar que: Como

^

^

M3

M5 y

M4 ,

entonces

d t 0 ,

= ab"1 + cd*1 « (ab-1). 1 +

(cd-1)- 1

DEF. y

M4

- (ab"1)(dd~1) + (cd-1)(bb_1)

M5

= (ad)(b"1d_1) + (cb)(d-1 b-1)

M3 y

= (ad)(bd)-1 + (cb)(bd)_1

Probi, anterior

(ad + cb)(bd) PROBLEMA

M2 y

ad ♦ cb bd

i + £ b d

b i 0 y

b-1. a"1

M3

- 1 . 1 - 1

PROBLEMA

A4 ,

ad + cb bd

-1

V a t o en R :

16

Sea

b = -a

1. a-(b-c)

-

(-a)-1 - - a-1 1

Probi. [15]

' -'-1 PROPUESTOS

.-1

En base a los axiomas, demostrar:

(a-b) + c

;

2. * - * = 0

3. a2 - b2 - (a + b)(a - b)

;

4. a (b - c)

5.

b /< 0 y

6.

(a/b)(c/d) - (ac)/(bd)

DEF.

b {- a-1) = 1

1 - (-a’1) SERIE DE EJERCICIOS

Ax. D y

, entonces

b(-a J) = (-a)(-a_1) = a • a-1 y por la unicidad en M5 :

M2

d /< 0 :

= ab - ac

ad = be si

bí f 0 .

54

Cap. 3

Números Keiles

7.

(a/b)/(c/d) = (ad)/(bc) ,

8.

a/(-b) - (-a)/b = - (a/b)

9.

TEOREMA FUNDAMENTAL OE LAS

si ,

bcd f 0 b i 0.

si

ECUACIONES LINEALFS: Sean a, b, *

con a i 0:

a* + b - 0

2

ECUACIONES

LINEALES Y

1

O

a) b)

2x + 1 = O «=> * = - 1/2 3x + 8 = x - 2 <=»• (-*) + 3x + 8 = (-x) + x - 2 2* + B= -2«==>2x = -10 «=*■

c)

2x + 3 =

es

una

< ■ ¡>

* • - ba*1 c~

e

IR ,

* = - b/a

CUADRATICAS

La resolucifin de cualquier ecuaciGn lineal a* + b aplicación directa del EJERCICIOPROPUESTO [9] previo.

2x + 5 «=^> «==s>

«==» x = -5 .

(-2x) + 2x + 3 = (-2x) ♦ 2x + 5 3 = 5 (ABSURDO) . Como 3 = 5 es FAL

SO, independientemente de x , la ecuación dada no es satisfecha para nin­ gún x e IR . La resolución de ECUACIONES CUADRATICAS ax2 + bx + c = O con a t O , puede realizarse de dos maneras: FACTORIZANDO ó COMPLETAN­ DO CUADRADOS, ambos métodos basados en los siguientes dos Teoremas, el prí mero de los cuales ya fue demostrado. 2.1 TEOREMA

ab - 0

«==>

a = 0

2.2 TEOREMA .-

a2 = b2

<^=í>

[a

=b

2.3 NOTACION :

a = ib

5

(a

=b ) v ( a = -b).

PRUEBA DE [2.2] :

a2 = b2

a-b=0

<=^-

b =0 . v

a = -b ]

a2 - b2 = 0

<•— — (a-b)(a + b) = 0 «s> v a + b = 0 [por TEOR. 2.1 ] <==> (a = b) v (a = -b )

Debido a la NOTACION [2.3], el TEOREMA [2.2] a2 Por EJEMPLO,

v

=b2

«==>

a = i b 2

resolveremos la ecuación:

x2 - 7x + 10

=0

«=*

también se expresa así:

x - 7x + 10 = 0

:

(x - 2)(x - 5) = 0 (x - 2) = D x=2

v

v

(x - 5) = 0

x =5

A continuación analizaremos el METODO DE COMPLETAR CUADRADOS.

.

Cap. 3

2. H

Números Reales

55

METODO DE COMPLETAR CUADRADOS

Cuando no se puede factorlzar en forma sencilla como en el ejemplo anterior entonces se debe tratar de formar el CUADRADl OE UN BINOMIO. En este método se trata de convertir la expresión en una de la forma (x ♦ a) donde

ay

vemos que Por ejemplo,

♦ d

d pueden tomar valores negativos.

De

x2 +' 2(a)x ♦ a2 -

(x ♦ a)2

x2 - 2(a)x ♦ a2 -

(x - a/2

debeformarse el sumando x2 - 6x - 11 « -

las expresiones

2(a)xen cualquiera

(x2 - 6x (x2 - 2(3)x (x2 - 2(3)x♦ 32 (x - 3)2 - 9- 11

) - 11 ) - 11 32 ) - 11 - (x - 3)2 - 20

Note que 2ax « 6x y que se le hasumadoy restado rar el resultado, y por lo tanto x2 - 6x - 11 - 0

«=s>(x-3)2 •e=^>

x -3 »

EJEMPLO

Resolver la ecuaclfir:

SOLUCION.-

2a » 8

<-=»

x -

; luego ,

(x+ 4)2 » x

Resolver la ecuac16n:

SULUCION.-

2a • 5

—

(X- l ) 2 - 3 6 * » 2 4 * " 2

" í T

[También pudo habe-se factorizado:

2/5

0

.

8 + 16 - 24

8

f

: :

- (2/6)2

4 - i 2/6 v

x2 - 5x - 36

a * 5/2 ;

x2 - 5x ♦ (5/2)2 -

x- 3 í

3 -2/5

x2 + 8x

x « -4 ♦ 2/6 EJEMPLO

para no alte

i /20 - i 2/1

x2 ♦ 8x - 8 ■

a • 4

x2 +8x + 42 - 8 ♦ 42 «==»

a2* 9

- 20 - 0< = > (x-3)2 - 20 - (/2Ó)2

x - 3 ♦ 2/5 v

= »

delosdos casos.

x-

■0

luego,

-4 - 2/6

.

x2 -

5x * 36« = »

36 + (5/2)2 :

ií» 4

- (±V 2

* “ 9

v

x2 - 5x - 36 -

.

x " ~4 (x - 9)(x + 4) ■ 0 ]

Ej e m p l o

3x2 + 4* - i

» o

*2 +2<§)x+ X

C a D .3

Números Reales

56

* l + £L 3 ” " 3

Ejemplo

|

<=*•

|- I * ” ”3 '

x(x + 2)(x-l) » 0<— => (x - 0)

Luego, el

v

(x » -2)

v

Conjunto Solución es:

Ej e r c i c i o s

i

< =

*=

-2 1 /? 3

3

«==»

-

(x. f ) 2 - 1

—

1 + £L

<=>

x3 + x2 - 2» - o

<— >

3 [x 2 + (4 /3 )* ]

x(x2 ♦ x - 2) - o

[ x=O

v(x + 2)(x-l)

«==> *

0]

(x = 1) { -2, 0, 1 }

.

P r o p u e s t o s .-

1. Mediante factorizaciCn, resolver las siguientes ecuaciones:

2.

a)

2 X

- 11« + 2 8 - 0

d)

2x2 ♦ x - 1 - 0

b)

X2

+ 4x - 4 5 - 0

e)

3x2 - 6x ♦ 3 - 0

c)

x2 - 4x - 2 1 - 0

f)

3-t2 + x - 10 - 0

Resolver, completando cuadrados : a)

X2

- 6x + 6 - 0

e)

b)

X2

♦ 5x - 5 - 0

f)

5x2 ♦ 4x - 1 ■ 0 2x2 - 2x - 1 ■ 0

c)

2 X

+ 2x - 4 - 0

g)

16x2 + 24x + 5 m 0

di

2x:2 - 6x - 1 - 0

h)

3x3 ♦

Cl a v e

de

a)

2.

a)

X

d)

X = (3 í /ñ j/ 2

g)

{ -5/4 , -1/4 } ,

3

- lOx X 0

R e s p u e s t a s .-

i.

e)

2 X

{ ■- 9 , 5 } ,

b)

{ 4. 7 )

c)

{ 7, -3 > ,

f) í 5/3 . -2 > {i } , * 3 i ñ , b) x - (-5 + 3 / 5 )/2 ,

e) í -■5, 1 > . h)

RELACION DE ORDEN.

• f)

d) { 1/2 .

a -i i /T X * 1 + ✓3 , c)

X

{ 0 , 5/3 , -2 > .

DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRATICAS.

3.1 D e f i n i c i o n e s 1.

Un número

a

e

R

se llama POSITIVO

si 0 < a

2.

Un número

a

e

IR

se llama NEGATIVO

si a < 0

Cap.3

3.

La relaclfin >

"MAYOR QUE"

4.

La relaciSn <

"MENOR 0 IGUAL"

5.

La relacifin

a < b

se define:

<

•» [( a < b )

7. La

a < b < c

cadena:

PROBLEMA.- Hallar Como

Sean

p:

* < 2 ,

v

[(a > b )

< c

«=*•

(a > b )]

v

(a

= b)j

= ( a < b ) « ( b<

c

)

B = {x p

IR /

e

q

q:

TEOREMA.-

Si

.

= ( a < b ) ~ ( b < c ) .

= =

x < 2

«==>

* < 8 ,

a < b

entonces

p

■?►q

- c < d

= >

e

<-»>,

PRUEBA:

( =»• )

a < b a < b

= *

:• = >

(-a)

-a + a

> -b

a+c

< b+a ..(03) .. (03) .. (02)

.

< (-a) + b

(03)

=*• 0 < (-a) + b = * 0 + (-b) < (-a) + b+(-b) -b< -a + [b + (-b)] = > -b < -a

( < = ) Es análoga.

3 > )]

2 > U [ 8,*B.

a < b = » a + c< b+c c < d = > b+c < b+d y por la LEY TRANSITIVA se concluye que: a+c < b+d TEOREMA.-

]

E

En efecto,

3.4

* < 8}.

[(^p) v q ] - [(^q) v p (p - q) v [ M p v q)] ;

= (x<2 ~ x < 8) v [M* < 2 v * < 8)] 5 x e( <-»>, 2> fl (-«». 8> ) v[ M * e 2> v x E X E <-“> , 2> V (x E <-»> ,2> ' - X E <-«■> ,8> ' ) = x E <-» , 2> V (x E [ 2, » > ~ X E [8, =>> ) E X E ^-«*> , 2> V X E [ 2, D [8, =>> E X E <-=> , 2> V X E [ 8, «°> E X E (-<» , 3.3

b < a .

se define como:

a > b <=*a < b

a > b

se define:

> ‘‘MAYOR 0 IGUAI

6. La cadena:

3.2

57

Núme-os Reales

(A5) (03) (A5)

(EJERCICIO) .

Interpretando este TeorPma, si se cambia de signo a ambos miembros de una desigualdad, ésta cambia de sentido. 3.5 TEOR2MA

Si

a > b

y

c < 0

->

ac <

be

Cap.3

Números Reales

58

PRUEBA.-

(-c) > 0 .

por TEOR:

»(-c)a > (-c)b »-(ca) > -(cb) ca < cb .

-(-ca) < -(-cb)

=

a t 0

entonces

TEOREMA.-

Si

PRUEBA.-

a > b

a i 0,

Si

,

entonces

i

>0

a >

06

a

< 0

i)a > 0

= >

a.a

> a.O

= >

ii)a < 0

= >

a.a

> a.O

=* •

TEOREMA.-

Si

0 < a < b

{

= »

i)

Si

c = 0

=s>

ac * 0

=>

ac < be

ac < bd .. (04) .. (04) ac < bd

Esto que ocurre con la multiplicación no ¿e cumple, en gtnznaX. pan la divisiön: í4 < 6 < « 4 < 3 i 1 < 2 (ABSURDO)

TEOREMA. -

i) ii)

PRUEBA.s1 si

Si Si

a y b tienen el mismo signo a y b tienen signos diferentes

(a > 0 i) a > 0 „ a < 0 ~

(a > 0 ii) si a > 0 „ si a < 0 TEOxCnA -

Sean

a y b

i) ii) PRUEBA.-

>0 . >0 .

=s>

ii) Si c > 0 y como b > 0 = * be < bd entonces por la Ley Transitiva 02 se concluye que NOTA.

luego

ac < bd

0 < c < d

PRUEBA.-

.

i)

ab > 0 ab < 0

- b > 0) v b> 0 = ==■ b< 0

=>

~ b < 0) b< 0 ==s b> 0

==¡

(a < 0

-

ab > a.O = ab > a.O * (a ab ba

= = b < 0) 0 0

<0 b > 0) < a.O = 0 < b.O = 0

ab > 0 . ab < 0 . entonces ab > 0 ab > 0 . entonces ab < 0 ab < 0 .

números reales, entonces ==*■a y b tienen el mismo signo, = » a y b tienen signos diferentes.

Si a y b tuvieran signos diferentes entonces ab < 0 lo cual serla una contradicción. Por lo tanto, a y b tie

nen el mismo signo.

La prueba de

(ii)

es análoga. Resumiendo tenemos*

Cap.3

3.11

3.12

Números Reales

La

R e g la

de

I)

ab > 0

II)

ab < 0

PROBLEMA.-

3.13

S ig n o s :•

<==>

Probar

Como a • a-1

lo s

■

Problema.-

que

1

■ 1 •1

1

> 0

s¿

Sabemos que: a

3.14

)Si

*

1> 0

b

a- 1 . 1

Si

a

:

probl.anterior),

a_t

y

tienen el mismo signo. ti mÍÁmo 6¿gno

a-1

>

-

y

b-1 .

0

= »

a' 1 b-1

>0 .

y

>

lii)

Si

b > 0 =s>

Si

b = 0

Sib > 0

y

(pues

y

entonces

>

b

entonces

a > 0

a2 > 0

(por

> b.b

a2 > b2 >0

a+ b

=>•

TRANSITIVIDAü)

==»•

a

= >

2

>

b

a2

> b2 « 0

=s>

2

a t 0 ,

y romo

> 0

=■>

===*•

a > 0

= »

(a - b)(a + b)

> 0

tienen el mismo signo, y como

y

b >

a i 0:

.

0)= >

a-b

> 0

= > a+ b

= >

> 0 , a >

b

.

6x - 11

4x + 7 - 6x - 7 < 9

a'1 .

(TRICOTOMIA),

4x + 7 >

x

<

> 0 ,

a

a2 > b2 = 0

y

a > 0

b

a > 0= > •

> b.a

a 2 - b2 a-b

b'1

2

0 ,

=s>

y

0

b

b >

b = 0

< a'^b^b) =s>

a > 2

Si

Ej e m p l o . -

el

(ab)'1 >

a > 0 = b

3.15

y

= >

(a_1a) b-1 <

I:

a > b

ii)

(por

&mtn

= >

li)

i)

2

ab > 0

a.a {==»• )

tienen signos opuestos

< b

a

( < =

tienen el mismo signo

b


1 - b'1

TEOREMA

b

a y

a”1tiene el mismo signo que

a y

==> ==»

a y

entonces a

a

y como

-59-

>

6x-ll-6x-7

Que más directamente, pudo hallarse:

■?►

-2x >

Números Reales

60

Cap. 3

Los siguientes dos teoremas son fundamentales para la resoluciGn de inecua­ ciones cuadráticas. 3.16

T e o r e m a 11 .-

SI

b i 0

a2 > b Si Si

a > 0 : a < 0 :

. entonces

<==»

a2 > b « ( /b )2 (-a) > 0 y

[ a > Sb c■i

(-a)2 = a2 > b - ( / b ) 2 C = * 3.17

T e o r e m a III

Si

b > 0

a2 < b PRUEBA: i) Si

a> 0 a > 0 y

a2 < b = ( /b)2 <==> ••• ■?► a- /b (y como a + /b a< i1)

Si

/b

(-a)2

y

= a2

< b = ( /b)2 «==>

<=*•

a+ /b

~

a- /b

(y como a - / b < 0 ) -• a < 3.18 NOTA

/b

<— =>

«==>

- a > -/ b

y

<

(a < /'b ) ]

-=• ( a - / b ) ( a + / b )

y

/b

(-a) +

(-a)2 - (/ b ) 2 <

3.19 Ej e m p l o . -

<

> 0 :

<=*

tienen signos diferentes , a -/ b< 0

~

a + /b>0

>- / b < a <

<=»

>'b

«==>x

3.20 Ejemplo.-

x2 - 9x + 18 < o

E

>

por

teoremas por el

>

x2 - x + | - ^ - 6 ó

x > 3 o x < -2

>

(a + /b)(a - »'b) < 0

, así como donde aparezca

<2 - x - 6 •> o

<0

. /b

0

«

.- Los TEOREMAS I, II y III se convierten en otros vSlidos al reemplazar donde aparezca el símbolo < símbolo

-J b

a <

tienen signos diferentes, a- /b < 0 ~ a+ / b > 0

===»•(-a) > 0

(-a - /b)(-a + / b) < 0

<= >

y

- /b < a ~ a <

b> 0

TEOR. 3.14

[(-/b < a)

a + /b > 0

~ a > -/b

a < 0

]

, entonces

a2 - (/ b)2 < 0

y a+/b > 0)

a < -/ b

a > /b (-a) > /b

«==*

6a < 0 : b> 0 = »

6

. . i < - m

>o

—

<-»>, -2> U <3, =>> = CONJUNTO SOLUCION. «=>

x2 - 9x < -18 < = >

Cap. 3 ¿ . 9x + il < 4

.ib + iL 4

- /9/4 < x - -

<

3< x < 6

«=^>

2

3.2i

61

Números Reales

x

--

2

(X . I ) 2 2 x > 5

v

< x - ^ < ?

«=*.

2

<3, 6 > - C.S.

e

> II 4

^

2

x2 - x - 20 >0

Ejemplo.«

<=>

(x.l)2 « » 2 4

^

<=*•

(CONJUNTO SOLUCION)

x-i > i 2 2

x < -4

>

> 20 + |

x2 - x + |

x

e

v

x - 4I 2

< -’ 2

<-»> , -4] U [5, ■»)> .

En el siguiente problema, analice con cuidado cada una de las situaciones que se presentan. 3.22 E j e r c i c i o .-

Resolver Indicando el Conjunto Soluclfin C.S. de :

a)

x2 > 0

D

x2 ♦ 1 > 0

b)

x2 > 0

(x ♦ 6)2 + 1 > 0

c)

x2 < 0

j) k)

d)

x2 < 0

(x ♦ 8)2 ♦ 4 < 0

e)

(x - 3)2 > 0

1) m)

f)

(x - 3)2 > 0

n)

(x ♦ 4)2 < -7

g) h)

(x - 4)2 i 0

o)

(x + 4)2 + 7 < 0

(x - 4)2 < 0

p)

x2 < -6

SOLUCION:

U - 5)2 + 4 < 0 x2 + 1 < 0

Sabemos por un Teorema que que si c > 0 entonces

a2 + c > c > 0

,

V

a

a)

x2 > 0

«==>

c)

x2 < 0

«=s>

x ■0

b)

x2 > 0

<==>

x i* 0

d)

x2 < 0 es FALSA,

e)

(x - 3)2 > 0 es VALIDO

f)

(x- 3)2 > 0

x

e

2

<=s> <=■

C.S. - R = „

pues

x2 nunca es x

V x

e

R

V X E

,

V a

e

y

R

(*)

<

0

<=*>

x

IR . Así,

C.S. = d>

- C.S.

«=>

x f 3

x e rc - { 3 ) » c . s . x E { 4 } = c.s.

g) h)

(x-4)2 < 0 (x-4)2 < 0

«==> es FALSA para todo x real.

i)

x2 + 1

es VERDADERA

j)

(n*6)2 > 0. V x t R , = ►

> 0

R

IR - { 0 } = C.S.

e

x2 > 0 ,

x- 3 f 0

e

<- «■ > , “>>

pues «==>

V a

a2 + c > 0 .

= *

R

e

a2 > 0 .

para todo

$

Luego,C.S. =

x real. Así,

C.S.

(x + 6)2 + 1 i 1 > 0 ,V x

e

.

= IR R=

C.S.

.

Números Reales

62

Cap. 3

k) (x-5)2 + 4 < 0 no tiene solución real por (*). Asi, C.S. * $ . 1) (x + 8)2 + 4 < 0 no tiene solucICn real por (*). Asf, C.S. ■ $ . m) x2 + 1 < 0 = » C.S. - ♦ . n) C.S. = . o) C.S. - p)

C.S. ■
3.23

En efecto 3.24 EJERCICIO.-

Hallarelmenor 6 + 6x - x2

6 + 6x - x2 = 15- (x - 3)2 -(x - 3)2 < 0

<=>

número real M < M

< 15PARA TODO

tal

que :

PARA TODO x

(x - 3)2 > O , para todo

x REAL

REAL , (pues x real). Luego,

M - 15 .

Lo interesante en este Ejercicio es que CUALQUIERA QUE SEA EL VALOR VE x , 2 2 se tiene que 6 + 6x - x ■ 15 - (x-3) < 15 ; aunque también será cier to que, PARA CUALQUIER x REAL , se tendrá con mayor razCn que: 6 + 6x - x2 - 15 - (x - 3)2 < 16

(6

18 , 19 , 20 ,etc.

)

peAo, eX MENOR deLot númeAct, ntaJLej¡ a la deAícha que Acutú, (¡acen taX cc..dU ■ tUón deJ. EjtAcJ.cÁ.0 : M - 15 . 3.25

EJERCICIO.-

Hallar el mayor número real m m

< x2 - 4x + 31

tal que :

PARA TODO

x

REAL .

Como x2 - 4x + 31 * (x-2)2 + 27 i 27 V x REAL , entonces por su puesto que la expresiCn también será mayor que 26.9 , 26.4 , 25 , 20 , etc. p e A o , ti MAVOR de ¿cdot z¿tc¿ númeAoi que ¿ax¿¿(ace ti pn.cble.ma 0

"=— ¡»

[(x - 4) > 0

«

(x - 6) > 0 ]

V [(x- 4) < 0

-

(x^ 6) < 0 ]

[x>4

~ x>6]

[x<4

- x<6]

Cap. 3

Números Real es

63

* e [ < 4, «°> n < 6, «°> ] u [<-•», 4> n ( - » , 6> ] x e ^6,

U

, 4)> <==>

* e

. 4> U ^6, = c.s.

Una REGLA GRAFICA equivalente al

orocesi anterior consiste en lo siguiente:

1. Se hallan las raíces de cada factor lineal y se les ordena en forma cre­ ciente: en este caso 4 y 6 . Estos valores reciben el nombre de PUN TOS CRITICOS. 2. Se trazan rectas paralelas [en las que se indicarán por zonas los signos de cada factor], una por cada factor lineal, y otra adicional para el signo del producto de ambos factores. 3. En cada factor pues: x > a coloca (-) :

(x-a) , a la djrecha de <— =• (x-a) > 0 ,

a se coloca el signo y a la izquierda de a

(+) se

x - 4 + + +

*

-

6

(x - 4)!* - 6) Por lo tanto :

4.1

(x - 4)(* - 6)

x

(x - 4)(x - 6)

x e

(x - 4) (x - 6)

x e

4^ U ^6, ■»>

e

[4, 6] 4] U [6,

Los factores siempre deben escribirse en la forma : (x - a) 6 (x + a) . Este método se basa en el hecho que : Ob s e r v a c i ó n

(+)(-)

- (-) .

(+)(+)

*

(-)(-)

(+)

y se reduce a multiplicar signos. 4.2

Ej e m p l o

Resolver

x* - 4x - 21

4x - 21 = (x - 7)(x +3) Los puntos críticos o raíces son :

-3

2 0 2 0. y

7

■

(+)

Cap. 3

Números Reales

64

x + 3 x - 7

(x ♦ 3)(«t - 7) Hor lo tarto : (x - 7)(* +3)

>0

x e <-

-3] U [7,

4.3 GENERALIZACION.-

Este método se extiende a cualquier número finito de factores lineales, asi como también a cualquier número f'nito de productos y/o cocientes de factores lineales, puesto que muj tiplicar dos signos da el mismo resultado que dividirlos. 4.4 EJEMPLO.-

Resolveremos la inecuaci&n

3

2

x - 3* - lOx + 24 < 0

:

Factorizando por Ruffini: (x- 2)íx - 4)(x + 3) < 0 , donde como vemos las ralees son -3, 2 y 4.Trazaremos tres rectas,una ra cada factor y una cuarta recta para eltriple producto:

en pa­

(x + 3) (x - 2) (x - 4) + + + + +

(x + 3)(x - 2)(x - 4)

Note que los signos se alternan, y que el signo QUE ESTA MÁS A LA DERECHA SIEMPRE ES EL SIGNO POSITIVO (+) . Debido al enunciado del Ejemplo, vemos que debemos elegir las regiones correspondientes a los signos negativos (-) : (x + 3)(x -•2)(x - 4) < 0

4.5 Ejemplo.-

- 5x + 6 X2 + X

cuyos puntos críticos son: x

-7

x e

2

- 42

(x - 3){x - 2)

> o

-7, 2, 3 y 3

<- “ , -3> U <2, 4> * C.S.

{x + 7){x - 6) 6

Luego:

6 (x - 2) (x - 3) (x + 7) (x - 6) (x - 3)(x - 2) (x+7)(x-6)

> 0

Csp.3

Números Reales

65

Note que en la soluclfin no deben Incluirse a * ■ 6 ni a x - -7 , pues anulan al denominador, y la dlvlslfin entre cero no está definida. Para este Ejercicio propuesto aquí, basta con elegirlas reglones con los SIGNOS POSITIV0S‘

CONJUNTO SOLUCION:

4.6 EJEMPLO.el factor —— — — v + g

Al resolver

5- * i

x e <-■» , -7> U [2,3] U <6, »> x(5-x) x + 9

—

, „ u

, •• i / •

deDe previamente ser transformado en

*-5

[se multipUcfi ambos miembros de (*) por -1 factores son x = x- 0 , x - 5 , y x + 9 , raíces son en orden creciente: -9 , 0 , y 5 . Verifique que el SOLUCION es C.S. = (-9, 0] U [5, donde se ha excluido a pues anula al denominador. H.7

0

: ]. Los y las CONJUNTO x = -9

METODO PRACTICO PARA RESOLVER INECUACIONES .-

El método que sigue es más práctico que el ante rior y se utiliza para resolver inecuaciones con productos y cocientes de las formas: ( x i a 1) ( x i a 2) . . . (x t ap ) > 0 , donde los a¿ y los

6

(x i a j ) ( x i a2) . . . ( x i b 1) ( x í b 2) . . .

4.8NOTA.-

4.9

En lugar de c > 0 ,

METODO.-

( x í a n) ( x ± bm)

i <

0 , b¿ 0 , tíi

<

0

son todos entm.ií.

,

(x í a¿) puede estar (exi a_¿) PERO CON así cono tamDién en (x í b¿) .

Se hallan TOPOS LOS PUNTOS CRITICOS o fiaZctu de cada fac­ tor (x i a_¿) y (x ! b¿) , ordenándolos en forma crecien

te, y colocando entre ellos los signos (+) y (-) zando de la DEKCCHA y SIEMPRE CON EL SIGNO (+) . presifin original será :

ALTERNAD1méUTí , comen­ Ello indicará que la ex

i)

>0

(POSITIVA) en los INTERVALOS ABIERTOS donde aparecen los (+) .

■u.)

< 0

(NEGATIVA) en los INTERVALOS ABIERTOS donde aparecen los (-) .

V si fuese i 0 6 < 0 entonces los intervalos abiertos se cierran SO LAMENTE EN AQUELLOS PUNTOS CRITICOS QUE NO ANULAN AL PEN0MINAP0R. Por ejem P'°-

(x - 5){x - 2) ( x + l ) ( x - 9)

cuyos puntos críticos son:

-1 , 2 , 5 y

9

66

Cap. 3

Números Reales -1

© alternadamente

ertonces la expresión dada por lo tanto será:

d)

> > < <

4.10

E j e m p l o .-

a) b) c)

0 0 0 0

, . , ,

V x e V X E

<-» , -1> U <2, 5> U <9, »> <-» , -1> U [2l 5] U <9, » >

V X E

<-1. 2> U <5, 9> <-1. 2] U [5, 9 >

V X E

x3 - 9x2 + 26x - 24 < 0

«==s>

(x - 2)(x - 3)(x - 4) < 0 son:

4.11

2,

Ej e m p l o .-

x2 1 >o X ■ 4.12

4 0

3,

+

—

==>

factorizando :

, cuyos puntos críticos

x e <-» . 2 > U <3, 4>

x > (1/x)

«=>

(** 1>(*- 1)

i 0

x - - >0

«==í>

X

, Raíces:

-1,

X

0,

1

*

~v

C.S. (Conjunto Solución) = [-1, 0 ^ U [1,

x e

-x3 * x2 * Z2x - 40

Para resolver:

E j e m p l o .-

= C.S.

.

®

_

x(x + 7) multiplicamos por

(-■1 )

(x-- 2)(x - 4)(x + 5) x(x + 7)

para cambiar el sentido de la desigualdad :

< 0

,

Raíces:

x e C.S. =

4.13

NOTA.-

-7,

-5,

0,

2,

4

q

<-=>, -7> U [-5, 0> U [2, 4]

.

Para los casos especiales se emplea tan solo algo de observa­ ción. En cualquier caso, TENER EL CUIDADO de NO INCLUIR EN LA SOLUCION AQUELLA RAIZ QUE ANULE EL DENOMINADOR.

4.14 EJEMPLO.-

Resolver:

a)

(x-2)(x-4 )2 (x + 3)(x-7)

< 0

U ~ 1)?(X~ 3) í 0 (x - 4) (x + 5) (x - 4)2 > 0 , V x e IR , b)

SOLUCION: a) (a)

x / -3 ~ x-

2

(x + 3)(x - 7)

x / 7 < 0

y como RAICES:

-3 , 2 , 7

©

x e C.S. = <-» , -3> U [2, 7>

.

Números Reales

Cap. 3

Como (x-4) >0 . V x c R , ser x t 4 ; así, se tiene que:

b)

67

pero por estar en el denominador debe , lU

■ , (x + 5) -5 , 1 , 3 0

(cuyas rafees son:

) <—

Por lo tanto, el Conjunto Solución es: 4.15 EJEMPLO.-

b)

Resolver:

{*♦!)(* - ZY (x - 2)(x ♦ l)(x - 3)

SOLUCION:

> 0 ,

(x + 1 )

a)

(x + 6)(x + 2x + 2) x+ f < 0 , x+ 6 x

b)

a)

e

-

x + 1 x3 + 8x2 + 14x + 12 (x - 3) (x + l)(x - 2)

(pues x = 2 , x = -1

- {4 }

> 0

-

(x + 6)[(** 1.) * 1 ] ♦1]

> 1 > 0 ,

.

< 0

(xM)

< 0

< 0

V x e R

C.S.

i CUIDADO ! : pero,

‘ "■i > 0 x - 3

**4 *

U ^4,

[(x+ 1)

pues

<-6, -1>

c)

- 0 *

* e ^-5, 1] U [3,

x t 2

para

anulaban al denominador original)

y

x t -1 <

x E <-», 2] U <3, ■»> - { -1, 2 } - <-», -1> U <-1, 2> U <3, »>

c)

Como

(x- 3)2 > 0 ,

(x - 3) (x + l)(x - 2) (x + l)(x- 2)

5

¥ x

R -{ 3 } , ó

-

x t 3

«=»

x

e

.

x ¿ 3 ,

1 [ ~ (x + l)(x - 2)

>0 >0

e

,

> 0

x t 3 ]

<-», -1> U <2, »> - {3 } .

PROPIEDADES DE LAS RAICES DE LA ECUACION CUADRATICA .-

Io) Sean

rj y

r2 las raíces de la ecuación

tonces se puede expresar: identificando coeficientes:

| x2 + bx + c = 0 j. en­ x2 + bx ♦ c = (x - rt)(x - r2) , ¥ x c IR + bx + c ■

x

- (rt + r2)x + (»^rj) ,

La suma de las raíces es igual al coeficiente de x con el signo cam biado ; y el producto de éstas es igual al término independiente c.

Números Reales

68

2°)

Cap. 3

En cambio, si r, y r2 son las raíces de: ax + bx + c « 0 con a / 0, tenemos que: - b/a - c/a

EJEMPLO.- Sea k t 0 ; si las raíces de: kx2 + 2kx + 5 - 0 ..{*) hallaremos el cuadrado de dicha raíz. Como (*) es equi­

5.1

valente a:

x2 +2x + (5/k) * 0

,

y como

rj + r2 • - 2

,

rtr2 =

(5/k)

= >

,

k “ 5

. Luego,

5.2

r - -1

=s >

rt ■

r2 “ r

2r = -2

entonces

- r2 =

(5/k)

r2 « 1 .

EJEMPLO.- Hallar el valor de k para que la ecuación 3x2 + kx + 2 = 0 , tenga su Conjunto Solución de la forma ( r, 3r } .

SOLUCION. = >

sfen(j0

4r » k/3

5.3

r y 3r

las raíces:

- r2 - 2/9

Pr o p i e d a d e s

==>

A d i c i o n a l e s .-

2

r + 3r ■ k/3

r = + /2/3 = >

~

(r)(3r) « 2/3

k ■ 12r » í 4/2 .

Co m p l e t a n d o

cuadrados:

. b ,2 4ac - b2 a(x + — ) + -------2a 4a el DISCRIMINANTE de (*).

.. {*)

ax + bx + c » y sea 1)

A -

b2 -4ac

Si A =

b2 -4ac > 0 ,

ax2 + bx + c - a[(x+ —

)2 - *

Za

x + ± 2a ■ l) ■U.)

Si A Si

+ J^2a

>0 ,

A =0 ,

Si a > 0

y

= »

existen dos raíces reales distintas una para cada signo.

la)

' .. (**)

dadas por (**) ,

hay una sola raíz real (doble):

2

A ■ b - 4ac

a(x + — )2 + (4aC ~ b2) 2a 4a

r. ■ r, * x = - — 1 2 2a resulta un CUADRADO PERFECTO. 2

< 0 , entonces

4ac - b

> 0

¡V

«==s> ax2 + bx + c > 0 no cxXiíf nenguna laZz nzaZ. 5.4 RES jM l N.-

- 0

_______ x = _L [ _b + / b 2 - 4ac ] 2a

en cuyo caso (*) 2)

] 4a

, ,

x

> 0, y e

IR !

i V x e I R I . e n tal caso

Analizando solamente el DISCRIMINANTE

A = b2 - 4ac

:

Cap. 3 2o).

a < 0 i) jul)

5.5

:•

a > 0 a < 0

No Existen Raíces reales.

a < 0 - a < 0

<— =•

k

de

(a) :

V x c R ! ¡ -V x e R ! ¡

, para que la ecuación dada admita dos solu­

ciones iguales en

:

R

Para tener tal condición, debe ser

(k+l)x2 - 2(k-l)x ♦ k « 0 -12k + 4 - 0

«=>

k = 1/3 .

EJERCICIO.- Hallar el conjunto de valores de k para el cual cuación:kx2 + 8x + 4 « 0 no tenga rafees reales

Como debe ser 5.7

a < 0 :

:

a » 0 :

4(k - l)2 - 4(k + 1) - 0

64 - 16k < 0

<—

k> 4 <==*

k

e

la e:

<4, ®>

EJERCICIO.- ¿Cuál es la ecuación cuadrática cuyas raíces son -3y 5? SOLUCION: Sean * -3 , r^ * 5 , enton

ces

(x - rj)(x - r2) * 0 «=*•

5.8

EJERCICIO.- Si

x2 - 2x - 15 » 0

Xj y X2 son

las raíces de:

hallar uoa expresión para: Como

2

2

Xj + x

2

■ (Xj + x2) - 2xj X2

Xj♦ x2 = -b/a .

xtx2 - c/a

^

-X >

X

x < 0

•:--:• X . Asi,

Xj + x^

+

2

5.9 Ej e r c i c i o .- Resolver:a) -x = x 2 a) -i + x * 0 <— >* * 1 * 0 , x f 0 lo cual es absurdo. Luego,

2

2i

2

ax2 + bx +

c

.

b^ . 2( c a2 a

,

<

:■

CONJUNTO SOLUCION =

b)

<=^>

CONJUNTO SOLUCION =

- + X < 0

2

.

, y de la ecuación dada: 1

b)

Además,

a*2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

~

EJERCICIO.- Hallar

5.6

69

Números Reales

-x >

}

x

x2 + 1 = 0 , x ¿ 0 $

-— — X <-» , 0>

. < 0

' t. .

5.10 EJERCICIO.1)

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 2 Si A = { a e R / para cualquier x e IR : ax + a =

2)

A ={ x

e

Q /

{ x e R -{ 0 ) / 3)

Si x e R

y A

10x2 = 13x + 3 )

es un conjunto unitario o

B

=

- x = x_1 } es un conjunto vacio. 2 = { a c R / 4x - 2ax + 3 + a es un trinomio cuadra

IQ

Números Reales do perfecto } = = >

SOLUCION:

a(x + a - 1) = 0 2)

Como

{ a

7 ax + a = a

1) Como

A = {0}

A c

10x2 = 13x

Z /

e

f

+ 3

a3 + 24 =

6a2 + 4a ) .

debe ser independiente de x entonces

= * a = 0

, A* -R - { 0 )

Cap. 3

va - 1 - x $

=s >

.Luego,

(1)

= >

a = 0

es FALSA.

(2x-3)(5x+l)

■ 0

= >

A

-

{ 3/2, -1/5 ) , y como -x = x"1 Jio tiene soluciCn real, entonces B= $ Per lo tanto, (2) es VERDADERA , pues es una disyunciCn, y la primera proposición es FALSA y la segunda es VERDADERA. 3)

Debe cumplirseque

4x2 - 2ax + 3 + a

tener dos raíces iguales, y ello

= (2x + b)2 lo que equivale a

ocurre siempre que

4a2 - 16(3 + a) = 4(a-6)(a + 2) = 0

«=*

AdemSs, a3 + 24 = 6a2 + 4a ■■■■'• A = { -2, 6 } c B - { -2, 2, 6 } 5.11 EJERCICIO.-

A

a = 6

a = -2

.

a * -2, 2, 6 = > Asi, (3) es VERDADERA.

c)

(x - 3)(2x+ 1) >

a) (x-5)(x-3) i (x-4)(x-3) b) (x - 5)(x - 2) < (x + 3)(x + 1) (x + 2){4 - x) ,d) 2x2 + 9x + 4 < x2 + 7x + 12

e)

(3x + 5)(x+ 2) <

(x - 3) (x + 4) ,f)

SOLUCION: ------(a)

a) <=>

(x - 3)[

<*=>

= 0 v

Resolver:

(2x-3)(x + l)

NO SE DEBE CANCELAR ZL FACTOR

(x-3)

> (x + 5)(x-2) . SINO MAS BIEN :

(x - 5 ) (x - 3) - (x - 4)(x - 3) < 0 +4 ] < 0

X-5-X

<=>

-(x-3)

<0

<==*

x

e

[3, »>

NOTA: Como (x-3) podría ser negativo, cancelarlo equivale a múltipla plicar ambos miembros por l/(x-3) que también es negativo y e11o haría cambiar de sentido la desigualdad en tal caso. Estos problemas se evitan trabajando como se hizo en (a) . (b) < = •

x2 - 7x + 10

(c) < = >

3x2 -llx+5

( K - 11

6

x e

< x2 + 4x + 3

<=s

>0

«=*> (x-±±

> ^

6

) v

.

u

- ^ 6

6

« = » x2 » 2x - 8

(e)

< = 2x2 + 12x + 22 = 2(x + 3)2 + 4 < 0 x2 - 4x + 7 > 0

< = í>

< -

(d)

(f) >s=>

< 0

u t

<=»

7/11

[ x - (11/6) J2

6

]

x >

: C.S.

> (61/36)

<==*

)< = >

6 ,

->

=

(x + 4)(x - 2) < 0

c.s.

«=*>

x e<2. 4>

(ABSURDO) ,ConjuntoSoluc.:

{x - 2)2 + 3

>

0 ,V x

e

< t>

IR = C.S.

Cap.3

5.12 Ejercicio.-

b)

Resolver:

^ < — — *- 1

a)

- 777

x -1

c) 3/ *2 - 1 £ 0

SOLUCION: a) AQUI NO SE DEBE CANCELAR A LA EXPRESION < o

'

x - 1

k. -

*> 1 b)

71

Números Reales

•'

Como

<=>

——

1

>

»-1

!■

*

(*-1) : y mas bien ,

0

1

<=>x -

>

0

o=>

C.S. = (1, “ )

E

x2 + 1 >

0

, PARATODO

*

REAL

,

entoncessepuedepasa

ier miembro multiplicando, sin que cambie el sentido de ladesigualdad: ¿± k

-2

2* - 1

c)

«==>

1 * : 3» r - x) 2x - 1

<^>

x e

< 0

<- « , l/2> U [1, 3] = C.S.

Como es una raíz cúbica, la expresiCn completa tiene el mismo signo que la cantidad subradical : 'V - 1 < 0 «=*> x‘ - 1 < 0 X2

5. 13

<0

1

<

<==>

X

[-1, 1] .

E

x > 0 , y > 0 , entonces

EJERCICIO.- Demostrar que si xy = 1

=* ■ x + y > 2 [ xy = 1 ~ x + y = 2 ] «:■ ■

a) b)

x » y • 1.

SOLUCION.a)

0 < ( /x -/ y ) 2 < = » ==>

b)

( = >

x + y = 2

)

x+ y

>

2 / xy

x + y

>

2.

= •

(x - l)2 = 0 , ( < = 5.14

)

xyz = 1

SOLUCION.a)

= 2 =:•

Demostrar que si x

xyz = 1

[

x ¿ 0

y como xy = 1 (dato):

puesxy =1= »

, x =

1

, y =

.

1

Obvio.

EJERCICIO.a) b)

x+ I

,

=s> x + y +z i3 . ~ x + i/+z = 3 ] =s>

x

z

> 0,

entonces

= y -z =

1

Emplearemos el Ejercicio anterior :

al) Si al menos uno xy = 1

> 0, y > 0,

=>

de ellos es x♦ y > 2

1,

digamos

z

= 1

,

entonces

= > x + y * z >2 +

1

=

3.

Cap. 3

Números Reales

72

a2)

SI todos son diferentes de 1 , existe uno que es mayor que 1 y otro que es menor que 1 . Sea * < 1 , y > 1 , w = xy > 0 , en tonces: (y- l)(x- 1) < 0 , de donde * + y - xy > 1..(*) Además, wz = 1 =í > w + z > 2 .. (**) (pues w + z = 2 implicarla que w = z * 1 , lo cual es absurdo) Luego, * + y + z = ( w+ z ) + x + i/-w =

(w + z) +

(*) y (**). Así, tenemos que: b) ( =*■ )

x + i/ - xy > 2 + 1 - 3 x + y + z

Si al menos uno de ellos es 1 , el problema anterior implica que todos son iguales a 1 . Si todos son

diferentes de 1 , entoncespor la solución

x + y + z> 3 (que contradice el dato cual es un ABSURDO. (

6

, por

> 3 .

x + y +

(a2):

z = 3) lo

) Obvio.

ECUACIONES E INECUACIONES CON RADICALES Cuando una ecuación o inecuación contiene una expresión con un radical par como : _ , /A , / a , etc.

para que las soluciones de la ecuación o inecuación original sean válidas, debe resolverse antes la condición que:

A > 0

cuyo Conjunto Solución constituirá el UNIVERSO U dentro del cual se ha de resolver la ecuación o inecuación dada. Debe observarse que /T" quiere decir + //T , y si se desea laraíz cuadrada negativa se deberá escribir explícitamente-/~A. Es decir,

^

V

b) 6.1 EJEMPLO.-

x > 0 .

/x = 0 «=^>

/x

> 0

.

x = 0 .

Resolveremos en R , completando cuadrados: x + 3 / x - 1 = 11

SO Al : x - 1 i 0

< —>

Establecemos primero el UNIVERx i 1 . Luego,

U = [ 1,(*)

Ahora resolvemos: x + 3 / x - 1 = 11

«=>

(x- 1) + 3 / x - 1 - 10 = 0

«=>

( / x - 1 + 5)( / x - 1 - 2) - 0

<

Cap. 3

Números Reales

[ / x - 1 = -5 s=^> x - 5 , es válida. 6.2 T e o r e m a .

y cono

5

D < x < y

6.4 EJERCICIO.0 < Vx

a > 0,

»

x = 0

c

:> y - 0

2 ^ l2 a < b ==>

«==>

< Jy

0 < x < y

0 < /x

< /y

. Aderas,

/x + Jy = 0 =>

a < b

0 í /x

0 < /x

< /x + /]/ = 0

g

b > D :

y

Demostrar que:

x * 5

0 < /x < /y .

0 < (/l)2 < ( / y ,

0 < x <

i)

* - 1 » 4

entonces la solución

••

«=

¿i)

(< = )

/ x - 1 = 2 ]

l) » [1,

e

Por el TEOREMA:

6.3 T e o r e m a .-

( =*■ )

v

D < x < y

PRUEBA.tenemos que:

(absurdo}

73

<=?

0

0 < /7 < 0

=s>

/i/ * /x + /{/ = 0

< /{/

-

(/ = 0 .

/x = 0 /¡f - 0

.

Obvio.

6.5 T e o r e m a .-

A) Si

n es

al) ^7 a2)

«=^>

^ 7 = 0

«=^>

a3) Vx B) Si

%

b2)/x

(bl) y

<■■■->

PAR :

x > 0 x = 0 0 < x
un entero positivo IMPAR : > 0

< 0

b3) Las proposiciones

5 n/ y

n es

bl)

un entero positivo > 0

"/x < n/y (b2)

x si es que n es IMPAR .

indican que

/x

TIENC EL MISMO SIGNO que

Todos estos resultados nos han de servir pa­

ra la resolución de ecuaciones e inecuaciones que involucren estas expresio­ nes. 6.6 NOTA.-

Cuando en una expresión existen varios (k) radicales, se cal­

culan los Universos Relativos Ut, U2, ... , Uk para cada radical, y el UNIVERSO GENERAL serS: u = ut n u2 n n ut 6.7 T e o r e m a .-

i)

¿i)

+ /b

> 0

a

>

0

-

b >

.1 + /b

<0

a

=

0

-

d

/a

0

.

= 0 .

74

Números Reales

6.8 EJERCICIO.-

Resolver:

Cap. 3

/ x -4

a)

* * + 3 > -1

d)

< 0

b)

/ x + ~S > 0

e)

/x + 1

>0

c)

/x - 3 < 0

f)

/* + 3

> -1

SOLUCION: a)

Como / x +3 > -1 es válida PAR« TODO xtal que: x e U: entonces U = L-3, «°> , yel CONJUNTO SOLUCION es C.S. - U = [-3, «■>

b) Para / x + 5 > 0 , U * [-5, x+5 >0 «— 1> x e <^-5, c) / x - 3 < 0 x- 3

»0

d) J x - 4

<0

e)

tiene U * [3, = »

x = 3

(absurdo).

/x+ 1 > 0 C.S. * [-1,

f) J x + 3

. AdemSs, / x ”+ 5 > 0 «=> «— 1> C.S. * <^-5,D U » ^-5, »^> , y como

e

U . Así,

Conj. Sol. =

también es válida

6.9 Ej e r c i c i o .-

< 0= >

}, ó

x -

e

PARA ÍODO

U

* [-1, «■> . Luego,

x e U

=[-3,

*C.S.

Resolver:

a)

/4 - x

< ,'l2

d) - / x - 2 > 0

)

/ x+ 1

+ /2 - x > -2

e) / x 2 - 4x + 3 5 /x2 - 7x + 12

c)

3 .

♦ .

es VERDAOERO PARA TODO x ■ U .

> -1

0 < / x - 3

C.S. * {3

/x - 5 > 1

f) / I T T + / 2 ~

=

2 .

SOLUCION: a)

b)

/4 - x < /Í2 < = > 4 - x < 12SIEMPRE QUE x e U = y que 4 - x < 12 «=s> x > -B<■■■-:► x e<-8, *>)> C.S. = <-8, «>> n U » <-8, fl <-«> , 4] = <-B, 4] . Universos Relativos: Uj: =

r-1,

x+1

fl <-«. ,2] ■

>0 ,

U2: 2 - x

> 0 ,

<-» , 4] _ Así, U =

U¡ fl U2

[-1, 2] , y como la suma de dos " positivos “

es siempre mayor que un "negativo” : /x¿ 1 + /2-x c)

> -2 es VALIDA PARA T000

Universo U : x - 5 i 0

=»•

x

U = [5,

e

U = [-1, 2] = C.S. , donde / x - 5

< =• x - 5 > 1 (elevando al cuadr.) ■: — x e (6, C.S. = <6, » > n U = <6, n [5. «■> = <6. » > . d)

- /x - 2 > 0

f)

Universos Relativos: Up = [-2,

« —

/ x - 2 < 0 x+ 2

>0 ,

n (-«> , 2] * [-2, 2]

(absurdo) U2: 2- x

=■* > 0 ,

> .

1

Así,

C.S. =

Uj fl U2

. Ahora, en este Universo efectuare

mos las uperaciones algebraicas convenientes :

x+3

Números Reales

Cap. 3

/x + 2 + / 2- x = /x + 2 = 0 v

2 = >

e)

2 /x+2

/2-x = 0

{ -2. 2 } c U = [-2. 2]

75

— =-> ==*■ C.S

/2-x » 0 x = -2

v

x * 2 . Y como .

= { -2, 2 }

Universos Relativos: Uj:

x2 - 4x +3 > 0

Uj = <-«» , 1] U [3, «■>

U2: x2 - 7x + 12 > 0

= >

U = Uj D u2 * < - “> ,1] U

U2 - <-» , 3] U [4, » > { 3 } U [4, «■> .

/ (x - 3)(x - 1) < /(x-4)(x-3~) == > ~ x e U ==> (x-3)(3) < 0 Por lo tanto,

C.S. = U fl <-«. ,

6.10 Ej e r c i c i o .-

I)

2)

Demostrar que:

3)

Demostrar que:

SUG:

Resolver:

(x - 3)(x - 1) < (x - 4)(x - 3) xe U= > x< 3 ~ x e U

3] = <-«> , i] U /x + 2 +/ 2 - x

=

a2 + /"b = 0

a2 = /a*

6.11 EJERCICIO.-

Y así,

1

a = 0

.

RPTA:

$ .

^ b = 0 .

. a2 + b2 = 0

Sea

{ 3}

« —

a = 0

b = 0 .

a > 0 . El Conjunto Solución de: / x + 4a - / x + 2a - 1 =

I) tiene un solo elemento xe II) tiene dos números reales distintos.

1

.

III) tiene un solo elemento x e [0, IV) no se puede determinar exactamente.

.

¿ Cuál de tales afirmaciones es verdadera ? . SOLUCION.-

Hallando el Universo U :

x > -4a - x + 2a - 1 /x + 4a -

> 0« = >

/ x + 2a - 1=

a = / x + 2a - 1

x > -4a 1«==> / x + 4a

Luego,

..(*) ;

= 1 +/ . x + 2a - 1

(*)

> 0 > -4a

x resulta ser elemento de U . Por le tanto,

y así solamente la alternativa (III) es la VFRDADERA.

6.12 EJERCICIO.-

x > 1 - 2a

«=^>a2 = x + 2a - 1

( x = a2 + 1 - 2a > 1 - 2a x = (a - 1)

~

Demostrar que:

x = (a - I)2 > 0 ,

Nümeros Reales

76-

i.) ÁÁ.)

y > 0,

x > 0,

x < 0 < y

x > y ,

Cap.3

x > / x 2 - y2

= * '<0 < y~l

= »

x-1

x > y > 0

== ►

x2 >y2

x2< x2 + y2

= >

0
.

.

SOLUCION: ¿)

EJERCICIO. SUG:

SOLUCION-

Como

a t 0 tiene el mismo

<=s>

y como

a > O

entonces debe ser

e

R /

6.14 EJERCICIO.- Hallar

SOLUCION:

z > 0 , PARA TODO

Como ¿)

e=»

lo quí

< 3

» donde z

> -1 -

x2 + 2x + 2 = (x+ l)2 + 1 > 0 z > -1 « »

z <

debe cumptcue PARA TODO

«=>

3 <=s-

REAL

} = <1/4 , <=> .

,

para los cuales:

PARA TODO x REAL

x2 + 2x + 2 * (x+1)2 + 1 z <3

.. (*)

, PARA TODO x REAL , entonces

2x2 - ax + 1 > -[(x+1)2 + 1 ] <=>

3x2 + (2 - a)x + 3 > 0

x REAL , y eltoccuAAe &í

A = (2 - a)2 - 36 = (2 - a - 6)(2 - a + 6) U.)

x

todos los valores reales de a

z = ^ --- — -- x + 2x + 2 z <3

(A * Discriminan

a e < 1/4, “ >

-1 < — ;--------x + 2x + 2 2

-1 <

.

4a - 1 > 0

2»2 . ax ^ 1

entonces

A < 0

(1 . 2a)2 . 4(J2 < 0 « = *

l a

Sea

y > 0

~

NO DEBE TENER SOLUCIONES REALES

«==• Por lo tanto,

x < 0

Si a > O , z = ax2 + x(l - 2a) + a , hallar el conjunto de valores de a tal que: z >0 , PftRA TODO x REAL . flj[2 + x(!_2a) + a , o

te). Es decir,

signo

.AdemSs,

x < 0 < y

6.13 EJERCICIO.-

.. (**)

x

Va se demostró que que a-1

.. (*)

x2

/ x 2 - y2 <

= > iÁ.)

(x2 - y2) > 0

= >

x +(6 + a)x + 5 > 0 ,

<0

0

:

«==»

(a + 4)(a-8) <

0

<=>

a

e

A <

<-4, 8 > .

V x e IR

A = (a + 6)2 - 20 < 0

Ahora, intersectamos las soluciones de U) con (
a

e

<-6 - 2 /5 ,-6

por (*) , y así :

+

Cap. 3

Números Reales

C.S. = CONJUNTO SOLUCION: PROBLEMA

a e <-4, -6 + 2/5 > .

1} SI

a > 0,

2) SI

{ a, b, x }

que

b > 0, demostrar que c

a + x ---b + x

IR+

<

/ab

, a f b,

3

demostrar

estí situado entre 1

. Resolver:

3)

77

y

a/b

x2 + 3x + 2 x ------------ < x - 2 x+ 2

.

- 2

SOLUCION.1) Como( / a - / b ) 2 > 0 2) i)

a

> b> 0

= >

1 < [(a +x)/(b x >0

== > 2 / ab

<

(a/b) > 1 ,

(a + b) = >

/ ab

<

a. * b 2

entonresdebemos demostrar que:

+ x)] < (a/b) :

= © • (a + x) > (b + x) >x > 0

además,

a > b > 0

xa + ab

> xb + ab

y

=»■

x > 0= »

=í >

> 1..(*)

b+x

xa > xb

a(b + x) > b(a + x) —

b+ x b 1 < [(a+ x)/(b+ x)] < a/b , en este caso.

asi, de (*) y (**): ii)

0 que

3)

< a< b

=© • 0 < (a/b)

a a + x , - < ---- < 1 b b + x

-*2 - 3* * 2 . !Ljl1 x - 2 x+2 [(x + 2)2 + 8 ]

< 1,

ertonces debemosdemostrar

rr. . ., [Ejercicio].

< o «

* 12> (x- 2)(x + 2)

< 0

x

(x - 2)(x + 2)

(x - 2)(x + 2) x

PROBLEMA -------SOLUCION.-

< - »

e

Resolver:V x2 - 1 (x - l)2(x3 - 13x +12) -------- t— ó---- í-----------(x + 4) (x3 + Bx2 + 4x - 48) Como

-1

tiene el mismo signo que

tiene el mismo signe que lente a:

< o

(x + 4)

(x + l ) ( x - ! ) * ( , - 3 )

(* + 4)(x - 2)(x + 6)

,

Q

t

x

f

> 0 _4

^ - 0

x2 - 1 , y

, entonces

(«2 - 1)(* - 1)2 [(* - 1)(X + 4)(x - 3)] (x + 4) [(x - 2)(x + 6)(x + 4)]

, -2> U <0, 2>

” ' ' (x + 4)3

(*) es equiva^ _

78

Números Reales [ --- (* * 1)(* ~ 3)--(x + 4)(x - 2)(x + 6)

>0

siendo los puntos críticos: x

e

v

x - 1 ]

.

x i

-4

;

luego

-6 , -4 , -1 , 2 , 3 +

<-6. -4> U [-1, 2> U [3, °>>

PROBLEMA .-

Cap. 3

- C.S.

(x + 1}*(x + ¿)

Resolver:

‘y —

£ 0 (*)

V x + 7 (x-8)3(x3 -8)(x2 - 14X + 4B) SOLUCION.-

Los radicales pares proporcionarán el Universo

B-x > 0

- x+ 7 > 0

[ no se incluye

x * -7

«==s>

x < 8

-

U :

x > -7 . Asi, U - <-7, 8]

pues anula al denominador ] ; además, como los

radicales pares son no negativos, entonces (*) es equivalente a:

V, - 4)(x - 3) / x +— T 5 ,(x +. 1)(x + 2) 7 (x

3

< Q

(x - 8)4(x2 + 2x + 4)(x - 2)(x - 6) donde

VT

y

V~b tienen el mismo signo que

A y B respect. :

(x + 5)(x + l)4(x + 2)(x - 4}{x - 3) (x - 2)(x ^

8 ) 4 [( x

_

- v »

. .. X E U

+ l)2 + 3](x - 6)

(x + 5)(x * 2)(x - 4)(x - 3) £ 0

y

x f Bi x e M

x .

(x - 6)(x - 2) y siendo

los

puntos críticos: -5 , -2 , 2 , 3 ,

4, 6 + :

«==>

xe

( [ ( [-5, -2] U <2, 3] U [4, 6 > ) U { -1} ] n U ) - { 8 }

<=*

xe

[-5. -2] U { -1 } U <2, 3] U [4,

TEOREMA . - i )

/a < b

¿ó)

«=^>

a > 0

í V

/a > b

y b

Este teorema es fScil de probar considerando. OBSERVACIONES.-

a)

La condición

- [ b > 0

- C.S.

~ a < b2 ]

o < o

b<0,

b * 0,

b>0.

a > 0 proporciona el Universo U.

Estos teoremas tienen sus análogos cuando se

b)

za, donde aparezca, :

6>

>

por

>

,

Quedando invariables

a > 0

y b > 0.

Cap. 3

Números Reales

PROB l EMA.-

Resolver la 1necuac16n :

79

/ x 2 + 4* <

5* - 1 .

a * x2 + 4x , b ■ 5x - 1 , /a < b . Usando e TEOR.(1) ü : a >0 <==» *(x + 4) > 0 -s=¡- U - <-■» , -4] t [O, “ > b » 5* - 1 > 0 <=» x > 1/5 c— => x e •• (*).

SOLUCION.-

a

< b2

Luego.

«==>

x2 + 4x

<=0

24x2 - 14x+ 1 » (2x - l)(12x - 1)

<

(5x-l)2 - 25x2 - lOx + 1

«=»

x e

1/12> U <1/2, »>

C.S. « U fl (*) fl (**)

-

Resolver la 1necuaci6n :

SOLUCION.-

Utilizando el TEOR. (11): _ /a > b

6x + 1

-

[b < O

v

=*«=^> «==?>

> (2x - 3)2

«==?>

(2x - l)(2x - 8) < O

(b> O

^

- [-1/6, » > fl (< - » .3/2 > U [3/2, 4

,

fl<1/2, 4 > ) > ) o

x - x -

a > b2 )]

4x2 - 18x + B < O x e <1/2, 4 > Luego,

«==?>

C.S.

/

b - 2x - :

U - <-1/6 , °>> x e <- “ ,3/2 > x e [3/2, «■>

- U fi [ < - » , 3/2> U ([3/2, » >

Resolver:

2x - 3

a = 6x+l , a> O

C.S.

PROBLEMA.-

.

/ 6x + 1 >

<— r

Universo U: a = 6x +l > 0 b < O «==» 2x - 3 < 0 b > O «==> 2x - 3 > 0

(**).

<1/2, - >

PROBLEMA.-

a > b2

> O

]

«[-1/6, 4 >

^

(x - 5)

2 - / x + 4 SOLUCION.-

Como

x2 - x - 2 - (x-2)(x + l) > O x

U: «=*>

donde

/x2 - x - 2 - 2 --— ■ — 2/x + 4 x

e

> 0

, (y como

e

<- " , -1] L [2. «■> ,

x + 4 >O : )

( < - » , -1] U [ 2 , ® > ) fl [-4, » >

-

( / x 2 - x- 2 - 2

> O -

2 - /x + 4

> O )

.. (1)

( / x2 - x - 2 - 2

< O -

2-/ x + 4

< O )

.. (ii)

/x2 - x - 2 > 2

x2 - x - 6 = (x - 3){x + 2) > O

c— :> «=^>

(*)

x2 - x - 2 > 4 < = >

x e < - » , -2] U [3, “>>

•• (a)

Cap. 3

Numeros Reales

BO

< '

2 -/ x + 4 > 0 x < 0

/x + 4 < 2

«=— >

xe

/ x2- x -

Análogamente,

2 i 2

/x + 4 > 2 Por lo

tanto,

i) :

(*) :

(a)

n

x

«=»

x e <0,

x

(6) :

e

e

<- « >

[-2, 3]

= >

<-°> , 0> ...... ...

(y)

...

(6)

, -2] ==*>

[-4, » > n (<-», -2] U < 0 , 3] )

= ( [-4, -1] U [2, «■> } n x e U

<=>

(y ) n (5) : x e <0, 3] ( % U (¿¿) : x e <-«■ , -2] U <0, 3]

u = (<-», . 1] u [2, » > ) n AdemSs,

x + 4 < 4«==>

<— =»

( <-«■, -2] U <0, 3] )=

-4 S x í 3

=- >

[-4, -2] U [2, 3] .

-9 S x - 5 í -2

;

de aquí observamos que el 2S miembro en el enunciado: (x-5) es siempre negativo dentro del Universo U hallado, y como una raíz positiva no puede ser negativa entonces la inecuación original es vSlida PARA TODO x e U . Por lo tanto, en este caso: 22.

EJERCICIO.-

SOLUCION:

C.S. = U = [-4, -2] U [2, 3] . / y 2 -\4y + 13

Resolver:

= y2 . U y + u a > oy e

y* 1

<

= (y . 13)(y _ X) f

.

b = y + 1 ,

<-=> , 1] U [13,

b > 0< = > y + 1 > 0 <=> y e <-1, a < b2 •• — "• y2 - 14y +13 < (y2 + 2y + 1) <=> I6y > 12 < = > y e <3/4. Como la inecuación original es de la forma /a < b , entonces la forma e quivalente es por (-0 del TEOREMA [Pag. 78] : [ a i 0 ~ b > 0 ~ a < b2 ] < = > (intersectando los tres): y

e

(

y

e

<3/4, 1] U [13, » >

1] U [13, »> ) n <-1,

23. Ejercicio.SOLUCION:

n <3/4,<==>

= C.S. / y2 -U y + 13

Resolver:

Corresponde al TEOREMA [Pág. 78] : a > 0 ~ [ b < 0 v (b > 0 «

Verificar que: 24. EJERCICIO.-

>

y - 3.

/a i b «— 1> a 2 b2 )] .

C.S. = <- “> , 1 ] . Expresar el conjunto A mediante intervalos : A = ( y

e

IR /

y =

*

3> — - , x - 2

-2 < x < 0 } .

Cap. 3

Números Reales

SOLUCION:

y como

... x2 * 3« - 1 x - 2 -2 <

[

^

^2 _ (y_ 3)x + (2y. 1} - 0

«=^>

x - { y - 3í / y 2 - U y +

13 )/2

* £ 0 , se debe reso1ver:

=-

-2 <

61

< 0 «=> -(i/+l) < í / y 1 - U y * 13 < 3 -y

-—

2 a v b ]

,

•• (*)

donde :

a

: -{y* 1) <

/ y 2 - 14y +

13

<

3-

y

b

: -(y* 1) <

- / y2 - H y + 13

<

3-

y

es decir, para cada signo

en

el radical
Note que

la

intersección delas soluciones delainecuació

(a)

equivale a

-(!/ + 1)
Se procede en forma similar para se obtiene que : (verificar)

(b) . Luego, utilizando el método anterior

y e ( < 3/4 , 1] U [13, «■> ) n

y por lo tanto,

Expresar mediante intervalos al conjunto A =

SOLUCION:

{ 16

2, (16-*_) 6x

-5 < x < -3 , 3i/ - 5 <

OX

*

x

- ( S y i / 36i/2 + 64 )/2

x

- (-3i/ í / 9i/2 + 16 )

-5

< -3i/ 1 / 91/2 + 16 (*)

<

.

3y . b

K

b :

3y - 5

< -/ Sy2 + 16

$

«:

IR fl $ *

(b)

«=0

y

ye

< x < -3}.

..

(a)

e

-5

x + 6xi/ - 16 - 0

< 3i/ - 3

letra para cada signo) , donde

(a) v (b) :

/

c=>

se debe resolver:

i / 9i/2 + 16

Verifique que:

=[ 1 /2 ,1 ]

<-», 1 ] = < 3/4 , 1 ] ,

A = [1/2,1],

24. EJERCICIO.-

C.S.:

3-y .

<

y e ( <-«■ , 1] U [13, » > ) fl [1/2 , 1 ]

a : b :

/ y 2 - 14i/ + 13

con las de

,

y como

< -3

[ a v b ]

/ 9¡/2 + 16

(una

< 3^.3 <

3y -

3.

= <-■!

,

,

<- ». 3/10>O <-7/18,

<-7/18, 3/10> . Luego,

»>

A = <-7/18, 3/10> .

Números Reales

82

Cap. 3

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1. Demostrar que no existe ningún número real t í a PARA TODO x REAL . 2. Dem. que

a
= >

a tal que:

0 < 1/a2 < 1/b2 .

3. Dem. que * >1 =^> 1 < x < x2 4. Dem. que 0 < t < 1 ■■.• 0 < x2 < x < 1 5. Dem. que si xes un número realtal que 0 £ x < h , para todo > 0 , entonces x = 0 . 6. Dem. que: -i)a > b b - a <0 •oc)a i b < 1

=

7.

Oem. que

0 < d < c

= >

8.

Dem. que

0 £ d < c

= »

9.

Resolver: a) b) c)

— x- 5

el menor

real

d)

(x2 + 2)(x2 - 4) < 0

e) f)

(x - l)(2x2 - 12x + 19) < 0 3x3 - 9x2 + llx < 5

M tal

que,

a)

4 + 6x - 3x2 £ M

c) - x2 £ M

b)

4x - Zx2

d) -x2 + 4x - 10

11. Hallar

< M

el mayor

número

real

m tal

que,

PARATODOx £

mí

2x2 - 4x +

2

c)

m £ x(x - Z) - 3

b)

m £

x2 - lOx + 32

d)

m £ 1 - 6x + x2

0 < a < b< c

SUG: Pruebe que: 13. Dem. que:

= ■

REAL:

M

PARATODOx

a)

12. Dem. que:

14.

j

d (c - d)

, c* d4 t d (c - d) < — - — < c (c - d) 4 4

4 número

b - 1

c3 d3 3 d3 - - - > 3 " 3

>6

3X*1 > -(x -4) -4 £ -2x + 3 <

10. Hallar

a - 1

h

REAL:

a3 - b3 — ------ - < a + b + c 3c(b - a)

(a + b)(3c + a) + 3c2 + b2 > 0 .

0 < a £b

<=»

b2 £—r+ 3 a

SUG:

(b - a)3 > 0

Si

x

es un número real cuya representación decimal comienza como sigue

a)

x =

2. 3476

...

«=•

a 3b -+ — b a (b - a) 2 0 .

b) x =

dar un intervalo cerrado de longitud

10

- 5 . 3254 ... que contenga a x .

Cap. 3

Números Reales

83

15. SI2.3 < a < 2.4 , 4 < b < 6 , hallar cotas para: 1) a + b , ii) a - b , 111) ab , 1v) a/b . 16. Resolver: a) b)

6 - 2x < 3x-9 6 - 2x < 3x- 9

< 2x -6 , < 2x- 6 ,

2

17. Resolver: a)

*

x-1

* 1 > 0 ,

(2x2 - Bx + B)(x +_3^ > f) (x + 6) , c)

c) l - x < 2 x - 2 < x + 8 d) 0 < x-1 < 3x-15

(2x2 - 8x + 8)(x + 3) ------------ ------ (x + 6)

e)

1LÍÍ

>3 ' x+ 1 , g)

< 0 ,

+ 3) > 0 >

d)

2x4 < 2x2

'

3 x

< x

h) _ l ________ 2 x + 4 x + 5

(x+6) 18. a)

¿ Es x + x + x > xpara todas las x ?. x > 0 ? . b) Resolver: [(x - l)2 + 2 ]_1 < 1 .

¿ Paratodas

19. Hallar el conjunto de valores de k para que la ecuación = 0 tenga aos raíces, una de las cuales es 1 . 20. Si

{ r, s ) ,

las

x2 + kx - 2

con r > s , es el conjunto solución de la ecuación

2

15x - 22x + 8 » 0 , hallar la ecuación cuadrática cuyoconjunto solu ción es { 1/r , -1/s } . 21. Hallar el conjunto de valores de k para los que x tomevalores les en la ecuación:

x2 + 3k + 1 ■ (k + 2)x

rea­

.

22. Hallar la suma de las raíces de la ecuación: / 2x + 3 + / T x ~ "2 -

/ 2x + 1 =

/5x .

23. Hallarlos valores de m para quela siguienteecuación ciones reales: (m + 5)j + 3mx - 4(m - 5) = 0

notenga solu­

24. Si a > 0 es tal que / x + 4a , les, hallar el conjunto solución de: 25. Si i) ii)

a e IR*

a

-b

1/b < 1/a b(b - a) > D

e

IR+ ,

/x + 2a - 1 son números rea­ _____ _________ /x + 4a - /x + 2a - 1 * 1 . ¿ cuáles son verdaderas ? : iii) (b3/a) - b2 < 0 iv) a2 < b2 .

26. Hallar el complemento del conjunto solución de la inecuación :

Cap. 3

Números Reales

84

a) 27.

< 0

,

b)

¿ Cuáles son verdaderas ? : ii) i

iv) 28.

(1 -■ x)(-X- ^-2i (x + 4)2 ¥ a ,b

e

R ,

ii)^ ( V a,b

e

i)

^(3a

a < b

a2

==»

V a . b E R ^ c ^ O : b
Hallar los valores de m

IR /

e

=*■

a < b R ,

x <

x + 1 (-l)-a = 0

1/a > 1/b

= >

)

be < ac

.

tales que la raíz de la ecuación

sea mayor que 2. 29.

)

< b2

- = — — — x x+m

¿ CuSles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ? : i) Si a < b y c > 0 entonces ac < be . ii) a > b =í> b+c < a + c , V c real . i ii)a a < 2b , V a , b reales.

30. Resolver:

3x3 . M 2 + 63x . 54 — — --3x + 15

a) b)

— -— 2x + 3

e < 1/4 , 2 ] , N

c)

x2 ---- + 4 > x + 10 *' 2

e)

,

---/ x - 5 < 1

>0,

d)

---- — /t . !

> /x + 1

1 — --/x + 1

> /x - 1

f)

31. 32.

Hallar las raíces de: /1 - 5x + /l - x ■ 2 . Hallar el conjunto de valores de m para que la ecuación siguiente: x2 - 15x - m(2x - 8) = 0 tenga raíces reales iguales. 33. Si r y s son las raíces de la ecuación 6 + (1/x) = x , hallar el valor deA = 2(r

+ s)/(rs) .

34.

Hallar k para que la ecuación ta dos soluciones reales iguales.

35.

kesolver: aj 3 < 6 x +2 ” x + 5 b) c)

36.

— > 6 * -5 (x + 2)(x + 10)(x + 2) > 0

Resolver:

(k+1);2 - 2(k + l)x + k = 0

d) , e) f)

admi­

(x2- x-2)(6x2 - x - 1) < 0 , 2 (x- l)(2x - 12x + 19) < 0 ____ /x - 1 < 0 .

.

a)

(x2 + 7)(x2 + 25)(x2

b)

(x2 + 2)2 (x2 + 5x -6)(x - 1)

-4)(x2+ 3) >

c)

(x2 - 16)2 (x2 + 4)(x + 3)(x - 2)

< 0 >0

0

Cap. 3

Números Reales

85

d) (x3 - 8)(x2 + 4x - 5)(x2 - 16) < 0 37. Resolver: x2 + 8x + 24 a) Ï 8 , d) x + 2 .. b) 38.

. 3x + 1 1 4 > ----- Î - , x x

Resolver:

x+ 2 *2 + 2 ---- > -- 5— x - 2 x2 x3 - 2 x + 1

. c)

-z---

(4x + 2)2 (x2 + 2)3 (2x - 8)9 . „ *> Tö < ® (x + lj2 (2x +

^

b)

(x2- 4x - 12)(x2 - x - 12)

>

x3 - 4 --x + 2

5)

< 0

(x2 - 9)(x2 - 4) , c)

2x x ^ x - 1 ---- - ---- > ---- . x+ 1 x - 1 ' x

e)

(x2 - 2x T 4)5 (1 - x,3 (2 ^ x)6

d)

x2 + 8 _ 5x - 8 ----- > ----x + 4 5

^

o

(2x + l)(x + 4)x4 ,, f) , D

39.

-

x4- 2x3 - x2 4x - 6 ------------------< 0 x3 - 4x2 + x - 4 .

x2 - 2x x + 8 ------ < ---x - 4 2

.

Resolver : a)

3x2 - 4 , ., - X+ 6

b) C) 40.

LJLi x + 4

{ z =

* x* + 1

Resolver:

2x + 3 < ----2

4 2x2 - 3x + 3 e) (x - 2)(2x + 3)

1 > - 2

/

el conjunto A :

x e<-1, 1>

SUG: Evalúe por separado los z para x 41.

x+ 4 ---x - 2

> _£_ x - 2

Expresaren términos de intervalos A =

.

d)

e

} <-1, 0> U { 0 } U <0, 1^ .

7_____ -------, 7,_____ . /27 - x V x2 - 14x - 15 (x - 2)b V x + 8 (x - 3)5 U / x + 9 (x2 + 7x - 8) (x - 27)3 (x3 - 27)

a) £ 0 , b) > 0 , c) < 0 , d) > 0 ; indicando en cada caso el Universo U proveniente de los radicales pares. 42.

Resolver: y 625 - x2 ¥*? - 4 (x + 4)8 (x2 - l)2 x3 - 2x2 - x + 2

Números Reales

86

a) 43.

< 0 ,

b)

Resolver: /

> 0 .

> /x

5-x x+3

> 0 , _

/

*A

d)

/ x 2 - 6x + 5 +

e) / x 2 - 6x + 5 + 44.

< 0 ,

/ 32 - ?x x + 2

«

W

c)

Resolver:

Cap. 3

,

d) f)

y

^ *

'

/ x 2 - 7x + 10

< 0

/ x 2 - 7x + 10

> 0

x - 3x - 4

a)

> 0 /x + /x - 2

E

>

x x-- 1

> 0

o

/ x+ 3

2x - 29

5 - /l6 - x2 3x - 4

b)

> 0

/ 2I - / x 2 - 4 7 7 T 3x - 4 /2Í - / x 2 - 4 45.

46.

Expresar el conjunto A mediante intervalos: a)

A=

b)

A=

c)

A=

d) e)

y = x2/(x- 1) ,

8x - 2x¿ 2x - 1 x2 - 4

/

X E

-1 < x < 1

[1, 4>

x

E

[-3, 0 >

}

A=

/

x

E

<2, 4>

}

A=

/

x

e

[-3, -2> U <2,

x>0,

[x/y){y/z)[z/x)

=1

y > 0, z>0,

4> }

entonces

, y un Problema resuelto (PSg. 71)

Resolver: > (1 - x2)(l - x)

}

}

/

Demostrar que si

SUG: 47.

y e R /

2 4 5 x - x +,------x - x +9 (1 - x)2 (1 + x)

Números Reales

Cap. 3

SUG:

87

Pasar todo al primer miembro y factorizar.

Dado elsistema: y- x2 -2x-15 , y mm(x + 5) ; si y • 9 face el sistema, hallar la suma de los posibles valores de m

satis­ .

49. Hallar los valores de k para los que x tome valores reales

en:

48.

t2 + (3k + 1) - (k + 2)x . 50. Dada la ecuación

ax2 + bx + c ■ 0 ,

demostrar que:

a) SI la suma de sus ralees es Igual a su producto, entonces b) Si una raíz es la negativa de la otra, entonces b ■ 0 . 2 c) Si una raíz es el doble de la otra, entonces: 2b ■ 9ac .

b+c ■ 0

51. Hallar los valores de m para los que el conjunto solución de la si guíente ecuación no esté contenido en R : (m + 5)x2 + 3mx - 4(m — 5) = 0 52. Sean r y con

s las ralees reales de la ecuación

r < s. Hallar el valor de

2

2 ax + bx + c ■ 0

,

2

r -s .

SUG:

x = ( -a i /a2^- 4ac ) /(2a) , y donde £ corresponde al sig­ no (+), y ^ corresponde al signo (-) . 2 53. Si las ralees de: x + mx + n • 0son las reciprocas de las de(la ecuación

2

4x + 8x

- 5 « 0 , hallar el producto

mn .

CLAVE DE RESPUESTAS 9. a) <5, 6> b) <0, 1> U <3, - > . c) [-1/2 . 7/2] , d) <-2, zy e) O • (complet. cuadrados), f) <-«■>, 1^ 10. a) M - 7, b) M = Z , c) M - 0 . d) M - -6 11. a) m • 0, b) m « 7 , c) m • -4 , d) m ■ -8 14.a)[2.3476 , 2.3477 ] , b) [-5.3255 . -5.3254 ] 15. ii1) (2.3)(4) < ab < (2.4)(6) .1v)(2.3)/6 < a/b <(2.4)/4 , 16. a) x - 3 , b) « , c) [1. 10> ,d) [7, «■> 17.

a)<1, » > , b) <-«■ . -6> U <-3. 2> U <2, c) <-6, -3> , d) < — , -6> U [-3, » > , e) f)

[-2. -1> .

18. a) NO, SÍ;

b)

g) < — , -1] U [0,1] , IR ,

19. k • 1

h)

-> <-1, 1> - { 0 },

<-5, -4> U <-3,

, x2 « -2

20. 8x2 + 2x- 15 - 0 , 21. A > 0 :<-», 0] U [8, »> 22. x * 3 , 23. A < 0 : <-4, 4> . 24. x = (a - l)2 25. a, b y c .

26.

<-2, 1> U { -4 } .

b)

<-3. -1] U <2, »>

»>

Números Reales

88

27.

(c) solamente .

30. a)

28.

< — .- 5 > U [2, »>

.

<1. 2>

29.

(a) y (b) solamente ,

b) [-1. 5/2> ,

c) <2, 3> .

d)

[5. 6> ,

31. x

= 0 , 32.

35. a) d)

<-5, - 2 > U [1, » > . b) <5, 6 > , c) <-10, » > - {-2 } <-l,-l/3> U <1/2, 2> , e) <-», 1> , f) x - 1 .

36. a) c)

<-», -2> U <2, ■»> , b) <-», -í] u H } <-■»,-4>U <-4, -3> U <2. 4> U < 4 , « >

37.a) d)

<-2, <*> , b) <■«, 0 > U < 1 , ■ > . c) <-2, 0> U < 0,■»> , <2, “ > ;38. a) <-5/2, 4> - { -1 . -1/2) ,

38.

e)

<5/2, ■»> ,

Cap. 3

, f) [0, 2> .

A = 0 , m e { 3 , 5 } , 33. A - 12

b) <2, 3 > U < 4 , 6> ,

d)

< — , 4> ,

34.

k » 1/3 ,

> , d.)

c) < — , -1> U <0, 1> .

e) <-», -4> U { -2 } U <-1/2, 0> U <0, 1] . 39. a)

,

d) <-4, 6] ,

f) < — , -1] U [3, 4>

b) < — , 6> , c) < — , -4> U [1/2, 2> ,

<-2, 2> U <7/2, «■> ,

e)

<-», -3/2> U <0, 7/6> U <2, » >

40. A = <-1/2, 0> U < 0 ) U <0, 1/2> -

<-1/2 , 1/2>

.

41. a) [-1, 1> U { 2 } U [15, 27> a) ( <-9, -1] U <1. 15]) - {3,-8} c) <-1, 1> U<15, 27> d) ( <-9. -1> U<1, 15> ) - { 2.3,-*} 42. a) b) c) d)

[-25, -2] U <-1, 1> U { 25 ) ( {-25 ) U [-2, -1> U <1. 25] U { -4 } ) - { 2 } ( <-25. -2> U <-1, 1> ) - {-4 ) ( <-2, -1> U < 1, 25 > ) — {2 }

43. a) d)

[0, 4] , x* 5 ,

b) U [4, 5] . c) <-3, 1> U[4, e) <->», 1] U < 5, ■»> , f) [2, » >

44. a) c)

[-4, -1] U { 4 ) , b) <-5, -2] U [4, 5> , <-5, -2] U [4, 5> .

45. a) d)

A= < — , 0] , A- <0, 3> .

5] ,

bj A - <0, fe] , c) A =[-5/3, » > e) A - [-5/3, 0 > U <0, 3> .

47.

<-» .-1 - / 3 > U <-1 +/3, 1> U <1, 2> U<2,

«>

.

48.

1DP/11

k

<-“

52.

-{1/a)

54.

Sean

,

/ a 2 - 4ac , a>0, N b

ib cuál de los dos extremos de

b>0, a+b '

I está Jz

49. 53.

e

,

0] U [8,

» >

, 51.m

(32/25) .

I “ < 7 » -— — )>t ♦ .Probarque/ Z más próximo ?

Cap. 3 7.

Números Reales

89

VALOR ABSOLUTO Dentro del Sistema le los Números Reales se define

el VALOR ABSOLUTO de un número real ,

x como sigue :

si si x - 0 s1 x < 0

x > 0

De la última linea se tiene que t < 0 Además,

<=>

x > 0 x ■ 0

-x >0

=s >

=»

|x | « x |x | * 0

- ( 1)

1*1“ -x > 0

==» |x | > 0 (por definición)

Aquí se ha demostrado que un valor absoluto ca resulta un valor negativo.)

|x | a¡

. ( 2)

- (3) mpne.

> 0 (nun­

DEFINICION EQUIVALEN

( x -x TEOREMA.-

PRUEBA.-

1)

|x | > 0

2)

|x | - 0

,

si x > 0

,

si x < 0

,

V V x xc Ic RIR «==» x = 0

(1) Ya fue demostrado.

(2) ( = > ) Con la hipótesis | x | « 0 , supongamos que ces: x> 0 6 x < 0 , ■i)

si

x

■U)

si

x < 0

> 0 ==»■ |x | ■ x > 0 =>

luego, la suposiciónx f 0 ( « = ) Si CJEMPL2?.-

a) b)

x

» 0

|x|> 0

|x | ■ - x > 0 no procede,

entonces|x| ■ 0

|3 |- 3 , |-5 | “ -(-5)

xf 0

=■

(absurdo)

| x | > 0 (absurdo) >

y por lotanto por

, enton

x •0 .

definición .

|0 | - 0 , [pues -5 < 0 ] » 5 .

A continuación presentaremos algunas propiedades del VALOR ABSOLU TO , y que serán muy útiles en la resolución de problemas. Propi

papes del

V a l o r A b s u Lu t o

9C

Cap.3

Numeros Reales

I) 2')

|-*l * 1*1 | x2 | * x2

3)

SI b > 0 ,

4)

1*1 -

•

2) I** 1 ■ M U I x2 > 0 , paJUL todo x e R )

(pues

<=* x» i b . 1*1 - b «=*■ x - i y [<--— ■• x • y v

\y\

1*1 * -x ,

1*1 2 *

-

6)

1* +

1*1 * \ y \ [ a < z

1

M

8)

1 i o A| Al

7)

y

N

<✓)

5)

V

-

x > 0,

y> 0

11)

x > 0,

y < 0 ==>

x > 0 ,

xy

=►

y > 0

b >

£ z ]

( -a )

;

1v)

x < 0,

0 ,( -==> ) i)

) v

SI

x >

«= *

de

0, 0,

1)

Si

x*

ii)

Si

x»

|x| » x ,

luego

|x| •-x ,

luego

x» b , entonces

==»

-x = b

=s>

x « -b .

b > 0

=»

-b < 0 =s>

1*11*1 -

|xx| = \yy\

|x | =

|x| « -x =

x2 * y2

x > 0 == ►

x < 0= >

-x

<-=-> <0

-x

| x + y |2 - (x + y)2 <

(de [2'])

x2 + 2 ¡xy | +

- (1*1

\y\\y\

|x2| - |y2 \

<*=*

x«

± y .

=»

Ix I -

x

~ |x| >

= »

|x | > x

~

|x | > -x .

>0== ► = >

6)

[EJERCICIOS]

entonces

=»

x <

l*l2 - U I 2

[2]: -:>

b) Si

y < 0 .

\xy\- xy • (x)(y)

=|x| | y\

1x | > 0 . |y| > 0 , entonces

1 * 1 * \y\

5) a) Si

t<0.

\xy\- -(*!/) - (x)(-y)

|x | = b (< =

x ■ 0 ,

=*•

0= *

|x | - b

Como

Ia | <

> 0

xy <

v if) Si

4)

= •

1*1 - H |

2) i)

3) Dado

x - -y ]

.

.. DESIGUALDAD TRIANGULAR.

P R U E B A 1) Considere los casos:

111) t < 0,

x c R

* y2

|x 1 »

-x

1x | > -x

-|x | > -

x2 + 2xy *

0

0>

>

x

|x | > x . y2

2 |x||y | + \y |2

«|x|2 +

+ \ y \ ) 2

= >

|x + y|2 < (|x| + \y\

por el

TEOREMA I (píg. 59) y la NOTA dela pSgina

)2

=>

Ix+ ¡/1

<|x| 60.

+

|i/|,

7)

Demostraremos que si (a i z

i) o ii) 8)

91

Números Reales

Cap.3

~

z > 0 , entonces =>

-a í z )

si a > 0 , |a | = a si a < 0 , |a | « -a

y y

|a| i z

:

z > a = |a[ z > -a = |a|

= » ==>

|x| = | y + (x- y) | < |y |+ |x - y \ ==*

1*1 - líl S

z > z >

..

|x - y |

por [6]

..

(a )

\y\ = | x + (y- x) |< | x |+ | y - x | - |x| + | x - y |

=>

Ifril- |x| < | x - y | 3e (a) , ( B ) y

[7] :

|a | {a |

-( 1x | - |y | ) < |x -y \.. (6)

=»

|x - y \ .

| | x | - |y || <

APLICACION DE LAS PROPIEDADES.PROBLEMA.-Demostrar que: SOLUCION.-


*

Demostrar que:

SOLUCION: a)

Si

V

<=•

/x

(

x < 0 «

=> )2 > o

/-x

-x

x

o = * (-x)

_(x + I) > 2 Por lo tanto,

VxeR-{0}:

PROBLEMA.-

Demostrar que:

SOLUCION: =>

0 <

> 0

(6)

x + i

x

,

1/x < O ,

■

.. (*) > 2

por (*) x

(1/x) < 0

- 2*

» ■ i-x;

o

<=s>

|x + I | > 2

|x + (1/x) | > 2 |x|

- ^

x +(1/x) > 0 <==>

|x + ^ | > 2 >0 ,

I x +* I

1/x > 0 ,

t - 2 + i

«=> Si

x e R - {O } :

x > 0 , entonces

( /x - - 4 )2 > 0

.. (a)

-y < |x| + |z |

=s>

\y\ < |x| + |z|

así, de (a) , (6) y [7] : PROBLEMA.-

< |x| + |z| .

y < |z| + |x|

) < z < |z | < |z | + | x |= >

-z < -y < -x < |X | < |x | + |z 1

b)

==> \y\

+ \y\ = 0« = »

..(**)

«=* , por (**) . x= 0

- y-

X) .

( < = ) Obvio. ( ==» )|x| + \y\ ■= 0 = > \x | < 0 = » |x| = 0==»

0 < |x| = -\y\ < 0 (*) x = 0 =^=» y = 0 .

PROBLEMA.- ¿CuSles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? :

92

Números Reales

Cap. 3

a) { x , y ) c R .|x | + |y | * I * + V I c==5, *•/ - 0 b) { a , b } c R - { 0 } . j— --- > 0 «=> ab < 0 b SOLUCION: «) I* I + \y I * I* + y I (1*1 + Ivl )2 * (* + y ) 2 «=» x2 * 2 \x\\y \+ y 2 = x2 + 2xy + y2 «==*•

b)

-=• b

2 |x|

\y | = 2 xy

xy =

|xy |>

«=» 0 .

-34

> o

> o

( Va )b < 0

<=>

bz

b

|xy| = xy Por lo tanto (a)esverdadera. - ( n )b > o

«=~

V a 2 ( V a b) < ( V a 2 )• 0 » 0

<-=»

ab < 0

Por lo tanto, también (b) es verdadera. PROBLEMA.-

Demostrar que: 1) 2)

|x | < r

PARA TOVO

r > 0

=>

x» 0

{ a, b, c, d } c R ==»

a4 + b4 + c’ + d4 > 4 1 abcd |

SOLUCION: 1) Supongamos que x i- 0 , entonces |x| > 0 , luego |x|/2 el dato afirma que "PARA T000 r > 0 , |x| < r " , to también se cumpliré en particular para r- = |x|/2 > 0 resulta que 0 < | x| < r •«=» |x| < |x|/Z <==> lo cual es un ABSURDO. Asi, la suposicifinnoprocede; ( |x| - \y\ )2 > 0

2) Puesto que i) haciendo

«=•

x2 + y2 > Z\xy\ , V x, y (*)

x = a2 , y * b2 en (*):

ii) análogamente resulta que : «=>

a4 + b4 + c4 + d4

PROBLEMA.-

Z|a2b2 |

c* + d**

Z|c2d2 |

>

x = ab, y « cd ) .

a4 + b4 + c4 + d4 > 4 |abcd | .

Demostrar que: a) { x ,
b) { a, b, c ) c

a** + b“* >

> 2[(ab)2 ♦ (cd)2] > 2 [ Z |(ab)(cd)| ]

(en la 2da. desigualdad hicimos en (*): Por lo tanto,

> 0 .Como entonces es­ con lo que 2 <1 , luego:x = 0 .

IR - { 0 } =

SUG: Utilizar la propiedad:

=>

\x + y |

< /2

I be I + |ac I + 1 ^ 1 > 1 a 1 1 b 1 'c 1 |x + (1/*)| > 2 ,

V x i 0

(*)

Números Reales

Cap. 3

SOLUCION:

(x-y)2 i 0 , entonces

a) Cono 2xy

93 2xy < x ’ + y2

< 1 . por el dato. AdemSs:

|* + y}2 - (x + y)2 ■ x2 + 2*y + y2 “ 1 f Ixy < 1 + 1 - 2 |x + y |2 < 2 ==» | * + y | < /2 . b) La expresifin S de la Izquierda se convierte sucesivamente en:

+

Al

|bK| f i * m l ' U l í i - m > * It I * i-i«l5 H 5 1> * í ¡ »

|b| 2 +

■• ( 1 )

|d 2

.. (2)

|a|2

Sumando las tres desigualdades:

>

3S

=>

2( |a| + |b| + |c| ) + S > 2 |a 2S > 2 |a + b + c

PROBLEMA.-

|= »

Si a. b y

c

Ifl * l?l ♦ 1*1

*

b + c|

g

Previamente setiene que: \y\

S

1

|a| + |b| + |c |

( 1*1 +

+

S > |a + b + c |

‘

M

V * ,y 'y 1

\y\

que |z + (1/z) | > 2 , ( M + IM+lcIM-j^j- +

4 + 2 + 2 + l » 9

+ |b|+|c|

1

1

: 4

•usando el

hecho

para todo z / 0 . Luego, + 1~F ) ■ + \*\ ) + i |b||c|

>

. Por lo tanto,

9 M

demos -

+ jb] +

t0

(|-l*|b|)( ~ + i )+ ( + j^| ) + ( |a| |b| Ia I Ic | >

1

)( 7^7 + T~7 ) “ 2 + I*, I + I ~\ 1*1

.

son números reales distintos de cero,

trar que:

SOLUCION:

-■ 0 )

1

1 1 + -- +

Ia I

|b|

Ic |

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1. Demostrar que:

a)

| a/b | «

|a|/|b|

b) I U I - |b|| < |a + b| , e)|a - b | < f)

tb

=>

c)

|a - b | * | b - a |

d)

|a - b | < | a| + | b|

|a| > (1 - t)| b| . donde

|a - c| < |a - b| + |b - c | + |c|

.

0 < t < 1

Números Reales

94

2. Oemostrar que: SUG: Probar: 3. Probar que:

||x | -

Cap. 3 / \x2 -

\y | |<

| |x| - |y \| < | y - x | a)

|a| + |b| «

b)

|a| + |b| >

~

||x| - \y\] <|i/+x| <— >

|a - b |

ab < 0

2 /faj" /|b[

4. Dados los números reales a, b, c, demostrar que: (|a |+ |b| + |c| )( a2 + b2 + c2) i 9 |aLc| SUG:

i) SIalguno de ellos es cero, la relacifin se cumple. il) Si a, b y c son todos diferentes de cero, entonces abe f 0. Utilizar el Problema resuelto de la pSgina anterior y el hecho que:

a2 + c2 > 2 |ac| ,

b2 + c2 > 2 |be | = >

a2 + b2 > 2 |ab| ,

a2 + b2 + c2 > |ab| + |ac | + Jtc|

.

7.1 TEOREMAS RELATIVOS A ECUACIONES E INECUACIONES.-

(2)

( =*> )

|x| > 0 ~ |x| < b

==*

0 < |x | < b

==*

b > 0 ;

AaemSs, de .a Propiedad [5] y del dato |x| < b x < |x |£ b ~ -x < | x | < b ==i> x < b ~ -x < -- > x < b ~ x > -b --- > -b < x < b . ( < = ) De los datos y la Propiedad [7] : b > x ~ -b < x x < b ~ -x < b =» |x | < b , pues b > 0 (3)

( = & ) Por ¿) 6

íá.)

TRIC010MIA: x > 0

6 x < 0

SI x i 0 , entonces:

( « = ) Para x > 0 , y del dato: [ x > b ] , y como El CASO:

x < 0

=*■

==> .

:

|x |i b = >

sí x < 0 : - x » | x | i b

b

x -x > b

i

b

==>

, x < -b

-completar|x| = x

=s-

|*| > b .

queda como EJERCICIO para el estudiante.

Números Reales

Cap .3

7.2 Teorema.-

|x| < |
95 2

«==*

x

.

2

< y

7.3 NOTA.- De estos dos TEOREMAS se obtienen resultados análogos como:

V

l)

x2 < y2 ..

1

TEOREMA II .

2)

1* 1 < b

«

[ b > 0 ~ ( -b < x < b )]

3)

|x| > b

«

[ (. x > b ) v ( x < -b ) ]

7.4 NOTA.- Recordemos que en estos dos TEOREMAS, cada vez que aparece: í)

un símbolo vindicará UNION de las correspondientes soluciones, mientras que: ¿i) un símbolo ~indicará INTERSECCION. 7.5 COROLARIO.

Para todo x REAL :

Pues si fuese: plo

/?

- 1*7

se cometerían muchos errores como por ejem­

/ (-2)2 = -2

, lo cual es un ABSURDO, pues se está indicando expH

citamente la raíz positiva como se había indicado anteriormente, y e lio se consigue con el Valor Absoluto. APLICACIONES DEL TEOREMA I (l) 7.6 EJERCICIO.-

Resolver:

a) I2x - 3 I = 15 ,

c)

|6x + 3 | = |18 + x | ,

e)

|2x - 3 | = |5 - 2x |

b) | 3* - 12 | - 0 , d) | x + 1| *

-4

SOLUCION: a)

2x - 3 = i 15 «=»

b)

|3x - 121 = 0

c)

|6x + 3 | = | 18 + x | 6x + 3 = 18 + x v

■=>

<=*> x = 9

3x - 12 = 0

«=>

v

( 2x - 3 x = -6

15 )v

x = 4

6x + 3 = i (18 + x) 6x + 3 = -(18 + x) <=*■

e=o x e {3,-3}.

d) Como un valor absoluto nunca puede ¿eA negativo , entonces no hay solu­ ción. Luego, C.S. = $ . e)

|2x - 3 | = |5 - 2x | <==• 2x - 3 = i (5 - 2x) <=• 2x - 3 « 5 - 2x v 2x - 3 ' -(5 - 2x) < = • [ ( x = 2 ) v ( -3 = -5 FALSO )] x= 2 .

( 2x - 3

Nümeros Reales

-96-

7.7

EJERCICIO.-

Resolver:

a) |2* + 9 1 * b) |x + 6| SOLUCION: a) |2x+ 9| ■

Cap. 3

x-1 . 2x + 6 ,

|4x - 23 | ■ x - t | 2x - 3 | - 5 - 2x

c) d)

x - 1

[ x-1 > 0 « { 2x + 9 <==• [ x > 1 - ( x — 10 v * e [1. “> O (-10. -8/3 } - 4> (NO HAY SOLUCION)

b)

.

.

i (x - 1) )] x - -8/3 )]

|x + 6| = 2x + 6

<— >[2x + 6 i 0 ~ x + 6 * ± (2x + 6) ] <=> [ x > - 3 ~ ( x * 0 v x ■ -4 ) x e [-3, “ > fl { -4 .0 } - {0} < = > x- 0 .

>=> c)

x -2

|4x- 23 |'■ x e [2,

d)

«=> [ x - 2 > 0 »4x - 23 -± (x - 2) ] <^=^> [ x > 2 - (x « 7 v *-5)] fl { 5, 7 } * { 5 , 7 } <— => x =■ 5 v x■ 7 .

|2x-3| - 5-2*

[ 5-2x > *

0

- 2x - 3 - i (5 - 2») ]

£ 5/2» [ * - 2

x c <-“ . 5/2] O { 2 } <==•

7.8

NOTA

7.9

Ejercicio.-

si a1 - { x e r /

- -5FALSO)]

I 2

i

— -— I x - 4

* - 2I

-■~161}

A - A’ .

Universo U :

:

x_4>o

x-4 ■ |x-4|,

* - 2 I

I

-4 < 2 <

4< x

- x¿ 2

==>

| x+ 4 | =«>

x-2

=*>

x2 - |x — 21 |x + 4 1

>0,

< = » x2 « x2 + 2x - 8

x+4 >

A « R ,

7.10 EJERCICIO.-

y

A - A 1 *

Resolver:

0]

<=s> x = 4

x ■ 4 4 U , entonces NO HAY SOLUCION REAL.

A1 * ♦ ,

U - <4, ■»>

y por lo tanto, en U :

(x - 4)(x + 4) x -4

x2 - (x-2)(x + 4) como

(-3

Como se puede observar en estos problemas del tipo: | a| • b, la condicifin b > 0 proporciona precisamente el Universo U con el que se intersectan al final las soluciones halla­ das al efectuar las operaciones subsiguientes.

hallar

[ y como

v

x - 2 .

2

SOLUCION:

]

,

pero

Luego,

A f l A « A

|X + ® J < 6

<— >

=

.

R *

.

Números Reales

Cap.3 SOLUCION:

-6 < x + -

<6

X

>0

x

(x + 4)(x + 2) X

««

97

-6 < x + X

x2 - 6x 8 ---------

> 0

^

X

* + - < 6

_ .

< 0

x

(» - 4)(x - 2)

~

-

< 0

X

* e ([-4, -2] U <0. <■>> ) n ( <-» , 0> U [2. 4] ) * e [-4, -2] U [2, 4] = C.S. 7.11

EJERCICIO.-

SOLUCION: I

Demostrar que:

, x+ -

X ■

iULÜf

> o

{ -^ > 0

<=:>

v

X

|x

v

11-2):

|x

| < b

, x+ -

< -2

X

2.

<» ^ l)2 < o

X

x'l)

| í b

| >

X

v

Í-^ÍO

. 0>

<=>

Y

b > 0

«==>

v

< 1

APLICACIONES DE LOS TEOREMAS 1-2 1-2):

|x +

x2 + 2x + 1 ---- — -< 0

v

x e < 0, <=> U

IR - {0} :

, x + - >2 v

X

«=s>

e

x

<=s>

>0

X

—

>2

¥

b > 0

x = -1 )

x e IR - { 0 } . I1-2 : -

- b í x í b .

*- b < x < b .

En 1-2 la condición b» 0 [asf como en I1-2:b> 0 ] proporciona el UNIVERSO U con el que se intersectarSn al final las soluciones de la relación -b < x < b [ y en el caso de 11-2: -b < x < b ] . 7.12

EJERCICIO.-

Resolver:

I --* + -1 I < --* ' -2

a)\

Ix- 2 I

x+ 3

.

x

- 16 x - 3

b)

+ 8<* * *) « o 9 - x2

SOLUCION: a)

U :

x+ 3

> 0

«==s>

U *

<-», -3> U <2, »> x N

.

Resolviendo por separado las desigualdades de la cadena x~ 2

x + 1

x - 2

- ( ---- ) < ---< ( ---- ) , x+ 3 x - 2 x + 3

e intersectSndolas

Números Reales

98

Cap. 3

se obtienen los x tales que: x

( <-», -3> ü <2. - > ) fl (-3> U < 1/8 . 2> ) -

e

Luego,

C.S. * <-■» , -3^ (11)«

*>) En forma equivalente se tiene : 8(x ♦ 4) (x - 3)(x + 3)

U:

<-«> . -3>

<(-■» , -3> . x2 - 16t x - 3

8(x + 4) ' x2 - 9

x e U - [-4, -3> U <3, » >

i 0

Observando la inecuaciCn dada: 1 (x - 4)(x + 4) I < x- 3 | y como

x e U

x+ 4 > 0

= x - 4 x- 3

(*)

__80 + 4) (x - 3)(x + 3) por lo tanto,

8 (x - 3)(x + 3)

8 (x - 3)(x + 3)

para

e

U :

x * -4

8 (x- 3)(x + 3)

x- 3

x

-4

y resolviendo la cadena de desigualdades se obtiene: x¿ -x- ‘

-t)

[ «-

> 0

(x - 3)(x + 3)

> 0

(x - 3)(x + 3) * E < - . -3> U [ j

L

-

(x - 3)(x + 3) [ pues

< 0

xeU]

Por lo tanto,

] U <3, - > (x - 5)(x + 4) (x - 3)(x + 3)

v* - . 4

1-3):

xe

C.S. *= U) D (¿¿) n U

APLICACIONES DE LOS TEOREMAS

11-3):

(x-5) i0 (x - 3)(x + 3)

< 0

1-3

■= Y

- 3 > U < 3 , 5] [-4, -3>U<3, 5].

I1-3 :

|x | >

b

[ x > b

v

x < -b ] .

|X

b

[ x > b

v

x < -b ] .

I

>

En 1-3 se resuelven las desigualdades x > by x < -b , y la solu ci6n general corresponderá a la UNION de ambas. Para el caso II-3 se pro cede análogamente.

Números Reales

Cap. 3 7.13 Ej e r c i c i o .-

Resolver:

a) SOLUCION:

|x + 6 1 > 2* - 3 .

(a) « = »

(x + 6) > 2x - 3 > (-2x + 4)

x 2 -4

v

b)

|x2 - 4 | > -2* + 4 .

(x + 6) < -(2x-3)

<-«, 9> U <-». - O - <-“ . 9 >

x e

(b)

99

v

= C.S.

/


x2 + 2x - 8 > 0 v x2 - 2x < 0 (x + 4)(x - 2) > 0 v x(x - 2) < 0 x e ( < - “ . -4] U [2. -> ) U [0, 2] x e

> -4 ] U [0,

7.14 Ej e r c i c i o .SOLUCION:

Probar que:

|x j | < 2 = * ==» =s>

.2 < * - l < 2

2x - 3 < 3 < 5

-5 < 2x-3 =s>

De (1), (2) y de : resulta que

Ix - 1 I < 2

=»

0<

=s>

x < a

y

|2x - 3 |< 5 .

-1 < x < 3

-2 < 2x < 6 ==» 0 < |2x-3| < 5

En efecto, pues de (a ): AdemSs, de (a):

1 C.S.

-5 < 2x - 3 < 3 ..(a) =>

2x - 3 < 5

-(2x-3) < 5 -x < a

=>

|x | < a

..

(1)

..

(2)

,

0 < | 2x - 3 | < 5 .

En general, con este mismo procedimiento se prueba el siguiente Teorema. 7.15 T e o r e m a . 0 < |x | < max { |a | , |b | }

a < x < b

max I r, s ) ■

donde max {

7.16

el mayor (6 igual) valur entre r y s . Así,

3 , -5 } * 3 ,

Ejercicio.-

nax { - 6 , - 6 } =

Resolver:

a)

X

-- ---|x | - 6

-6

.

> 0 .

b)

1x1

-i— !- < o , x - 5

I - 1.1

SOLUCION: (a) <=—>

[ x > 0

x e { <0, «=*

xe

~

|x | > 6 ] v [ x < 0

~

|x|<6]

D ( <-=>, -6> U < 6 , <»)> ) } U ( <-=>, 0> fl <-6, 6> ) <-6, 0> U <6. ->

- C.S.

Números Reales

100

b)

c)

|x|>0,

¥ x e R - { 0 } ,

x - 5 < 0 x < 5

- x j1 0 <==> xi 0 <==• xe

|3x - x2| - |x|

< 0

1*1 - « -j como

i)

|a | < |b |

< —

por lo tanto:

f( I3x - x2 | < |x]

-

jx | > 4)

-

|x| < 4 )

1i)

(3x - x2)2
< 0 -

x ^ 0

|3x - x2| > |x |

Por lo tanto,

entonces

«=> < 0

«=»

xe

(*) es

.

}( |3x - x2 | > |x|

(3x - x2)2 - x2 (x - 2)(x -4)

lxl < Q x - 5

, 0 } U < 0, 5 ^

a2 < b2 ,

|3x - x2| < ¡x|

Cap. 3

x

x2(x-2)(x-4)<

0< = *

<2, 4 > ;

e

. 0> U <0, 2 > U <4, <»>

;

equivalente a que:

x e {<2. 4 > O ( <-■» , -4> U <4, » > )} U{ ( < - » , 0 > U <0, 2> U <4, ■»> ) fl <-4, 4 > } * <-4, 0 > U <0. 2 > - C.S. PROBLEMA.-

Hallar en términos de Intervalos el conjunto X

-- -— |x |- 6

S- { x e R /

> 0

1*1

«=>

x - 5

< 0 ) .

SOLUCION.- Sean x -- -— |xl - 6

A - {xe R /

>0}.

B = {x

e

R /

-J-!x - 5

< 0 }

IxI ,

los queen el problema anterior ya fueron calculadoscomo: A • y sean

<-6, 0 > U

<6. » >

, B»

p(x) :

e A ,

q(x) :

x

expresar como: p donde p(x)

q

S = tx e R / =

(p —

p(x) : x t f A q(x) : x t f B < = > q(x)

PROBLEMA.-

= =

x eB

p(x)

,entonces

«=s> q(x) }

q) ~ (q — ► p) = x e A' * = x e B' *

5>

=

(p « q) v ( ^ p ~ ^q)

-6] U [0, 6] {0} U [5, .

xe AD B v x e x e <-6. 0> U {.0}

S se puede

. Además,

A* (IB' U [5. 6]

Luego,

-

S

|x - 2|2 - 2 |x - 2| - 15

> 0 } .

Empleando Intervalos expresar el conjunto: A = {x

SOLUCION.-

< - » . 0 > U <0,

Factoriz.:

e D /

( |x - 2|- 5)(|x -

2| + 3) > 0 |x - 2| > 5

Cap. 3

Números Reales

(pues

I* - 2| + 3

x-2 > 5

v

7.19

EJERCICIO.-

^es:

a)

>0

*—2

. PARA TODO x REAL ) <=—>

-5

<

Resolveremos: Considerando

* e Uj (*)

1>

<=>

x

<— >

TEOREMA

(a) v <-»

e

III ,

( b)

7.20

, entonces :

«=•

*e

Ej e r c i c i o .-

^

<-■»,-1] .

, -1] .

xe

«=»

U2 O [3,

*

[3, ■=>

4> (c): (d):

[7/3,4> [4,

Por lo tanto, el CONJUNTO SOLUCION corresponde v (c) v (d)

, -1 ] U [ 7/3 , » >

1)

a | > |b |

2)

a | < |b |

La prueba se sigue de:

(*jj

< | *- 1 |

U3 = [2, 4 > = > Solucjjjn U4 ■ [4, =>>= » SoluciCn

x e

x

<7, “ )> « A .

1 S * < 2 < 4 , entonces: t

= »

Verificar (c) y (d). a:

U

(*) en los siguientes Universos parcta-

-(x-4) + (x-2) < x-1

e e

* *

| x -4 |- |x -2 |

Uj fl <-■», -1] ■

SoluciCn (b): c) d)

<-*», -3>

e

-{* - 4) + (* - 2) < -(*-1)

U2 • [ 1 . 2 >

e

(*)

x

==> * < 1 < 2 < 4

SoluciCn (a): b)

101

- C^S.

(a + b)(a - b) > 0 «=>

Ia | > |b|

(a + b)(a - b) < 0

a2 > b2

<= =^>

Si A -

{ x e R /

| x 2 -3 x - 6 |

B ■=

{ x e R /

| | x -1| + x |

2 a - b2 > 0

> 1 6 + *| } > /-X }

.

hallar A1 U B' : Empleando el TEOREMA III (1) , expresaremos A mediante intervalos : |x2 - 3x - 6 | >

x+6 |

=*

x(x - 2)(x - 6)(x + 2) > 0 CALCULO DE B : ■V x e U ,

Universo U : x < 0

I IX - 1 | + X | >

<=■

1 > -x

Por lo tanto.

/-X

<=>

A* U B' =

(x2 - 2x) (x2 - 4x - 12) > 0 *

=>

e

_A_=

-x i 0

=s>

U =

x - 1 < -l < 0 . Asi,

(A n B)* = 4>' *

, 0] :

= ¡>

<------------- >|1 x > -1

<=

-2> U <0, 2> U < 6 , |x - 11 = 1 - x , -X + X | >

B - <(-1, R

=

luego, /-X< = > 1 >

n U = <-1, 0]

<-=> , “>> .

Cap. 3

Números Reales

102

7.21 Ej e r c i c i o .-

Resolver:

SOLUCION: (*) es equivalente a:

----> ---I 2x - 1 | Ix - 2

|5(x-2)|

> |2x-l|

pues todo valor absoluto es no negativo. '5x - 10 | > | 2x - 1 | ' x- ll)(x- 3) > 0 Por lo tanto,

<-" •

\>

u < i* n /7 J U [3, - >

Resolveremos

|x2 |2 + 8x2 > 0 |x2 |2 + 8x2 ■

valente a: | x4 . 1 0 | <

| x* - 101 <

<=>

x2 - 1 > 0

•:-- ••

x

|t* + flx2 | |x4 + 8x21

. As!, la inecuación original esequi­ «=>

[ x > 1

12

v

x < -1 ]

a > 0 <=>

V T + /b

a > 0 },

general corresponderé a 9-x > 0

+ A T T

A fl B

«=»

<— •• [ a i 0 ~ b > 0 ] b > 0 } , y la solución

:

x < 9

B = <-» , 9 ] >

| |x - 11 - 3 | U ---- !---- .. |x- 1| +4

(*)

[ » l l - l - ' l - 18 II I - 1 ' * - 1 |x + 2| + 1

x|[x|-l|-12 > 0

x = 0 no es solución)

> 0

B ■ {x/

x| |x| - 11- 12 — L!_!-- !---| x+2| + 1

- 1 I-3 | < 1

> 0

|x 1 +4 |x——111 +4

|x + 2| + 1

A={x/

Universo U:

(x2 + 5}(x2 - l)(4x2 + 5) > 0

rtesolver:

La desigualdad es del tipo:

k

(2x4 + 8x2 -10)(-10-8x7)< 0

x2 > 1

t /

11 1

|x2 |2 + 8x2

, -1 ] U [ 1, °°> ■ C.S.

e

7.23 E j e r c i c i o .-

A;

.

, PARA TODO x REAL , entonces

(x* + 4x2 -5)(4x2 + 5) > 0

B:

Asi, por el TEOREMA III :

C.S. = ( <-«> , 11/7 ] U [ 3, « ° ^ ) - { ^ , 2 )

7.22 E j e r c i c i o .-

Hallaremos

, pero, para

(7x - U)(3x - 9) > 0 E <-» , 11/7 ] U [3, »>

X

“

Como

.. (*)

-

<=o

x> 0

-

f xx - 1 > (12/x) (1

E < * ’ ” > “ [ v l x - 1 < - -(12/x) (

]

x ||x| - 11 > 12 |x-l|>

— x

.. ( donde — —

x

e

x. t

103

Números Reales

Cap. 3 Como

xl - « + 12

( pues

(x - 4)(x + 3) > „

xz - « - 12 > O

<

xz - x ♦ 12 - (x - |) 2 ♦ ^

X

< O

> O .

¥ x

e

I

R ) r

Por lo tanto»

para x> O :

|x - 1 | > ^

«==> x e

Ahora, x e ü ■ [4,co> («,

fl [4,«d >

= »

x>4>l>0>-2

(x . 4) < s : <==» <=■=>

-

(x2 - x - 12) (x - 4)(x ♦ 3)

* e( < - » , -2] ü AflB

•

,pues x ♦ 3 > O en U T e : (x - 4){x ♦ 2) > O

[4,cb> ) 0

ü

- [4.»>

í il e R

Sj ■ [2,«»>

<=-— >

y e [O, O

Luego. Id soluclOn es PROBLEMA

xcR } |x - 2| ♦ 1 ' |x - 2| - 2 - x , x < 2 , < 2 • * r í#) ■

.

Por lo tanto Aj -

:

|x - 2 1 * x - 2 ,

* ■ fr\

» ■7TT

.

definido por

y

/

1) Sea x e Sj ■ <-*» , 2> : x - 2 - 3- x — x ■ f f r « = » y c <-1, 0>

• A

[4, 9]

términos de Intervalos elconjunto x - 2 í |x- 2 1 ♦ 1

Sea u

/

, entonces

PROBLEMA .- Expresar en

11)

U

(x ♦ 3)

(x - 4) < (x - 4) <

Soiuclón General :

- [4. co>

y ♦ i

”

(*)
<-1, 0> . x >2

(**)

>- 2 P°r <**>•

7?T

< O

Por lo tanto Aj ■ [O, 1>

A - Aj U A2 -

<-1, 1> .

Expresar en términos 4e Intervalos el conjunto definido por

SOLUCION .-

* '{ jeR

/

x e <-4, 5>

= >

O < |x2 - 4 | < 21 Propiedades

del

VALOR

y m |x2 - 4 | , O < x2 < 25

x e <-4, 5>

= >

-4 < x2 - 4 < 21

O < y » |x2 - 4 | < 21 ABSOLUTO

}

(Adicionales)

Dado a > 0 , las relaciones siguientes :

A - [0. 21>.

Cap. 3

Números Reales

104 *.)

z

e

■U)

z

t <-a, a] c [-a.

[-a, a]

«=>

¿U) -tu)

z

e

z

e

|z | <

a] [-a, a> c [-a, a] <-a. 0> U <0, a>

c

a

<-a, a>

'nplican las siguiente;: propiedades: 1, 2) 3)

¥ a >0 : ¥ a >0 : V a >0 :

-a < z < a -a £ z < a 0 < |z| < a

=s> =s> =>

|z| < a |z| £ a |z| < a

SI |a | i | b | , y si | b |• max J,a| < |b | , las relaciones

como

-|b 1< ( b <

z< a )

-1b 1 < -| a| £ (a

{ |a| , |b|} , entonces < | a | <|b | < |b|

< z < b)

£|b|

se seguirán cumpliendo si es que DENTRO DE LOS PARENTESIS se reemplaza por £ en uno de los dos símbolos < 6 en ambos.

<

A partir de estas relaciones se tienen las siguientes propiedades: Si I) II) III) IV) V) VI) B)

es decir,

|a | < I M a b a b a b

< < < £ < <

z z z z z z

< b < a < b < a < b < i

=* ==» ==» ==» ==» ==>

|b| 1* 1* 1* 1* 1* 1*

< ]b| < M £ 1b | i |b| < |b| < |b|

Si a y b tienen signos diferentes, entonces a < z < b

=

í>

0 £ z2 < max { |a |2 , |b|2 }

con las debidas modificaciones para cuando aparece el símbolo b > 0 : O O V V ja

>

7.27 Ej e m p l o s .-

z < b z < b b < z

£ Z £ Z £ Z £ Z < 2

z z > -6

=~

=^>

1z 1 < 8 |z| < 4 2 £ |z| < 5 3 < |z| £ 10

NJ

==> -8 < z < -6 => -3 < 4 => 2 < 5 => -10 < -3 => -9 < z < 4 ==> < 6 -5

oo VI CN

6) 7) 8)

—

z2 > b2 z2 > 0

VI o

1) 2) 3) 4) 5)

==> ==*

O Al ÍNN

V *

C) 0) E)

0 £ z2 < 36 z2 2 0 z2 2 0

> .

,

Números Reales

Cap. 3

z < -7

10) 7.28

EJERCICIO.-

z¿ > 49

= -5 < z < 4

9)

105

0 < z* < 25

>

Expresar en términos de intervalos el conjunto Ix - 2 A = { 1 + -/ x e <-3, 3 ] ) .

/

Ix + 4

SOLUCION:

A = {

y

/ r

x-2 x+4

y-1 =

1

y x X

v£

x- 2 I

n

x+4

i- - L x+4 A

<• 1

.. (*)

---

I < -ix+4

-5 < 1- - J - < 1 x+4 7

0 <

y-1 e [0, 5>

7.29

EJERCICIO.-

. Como-3 < x < 3

< 1 <=^ 1

< 5

x+4

y e [ 1, 6>

-6 <

< A x+4 _ 7 =>

(*)

= A .

Expresar A mediante intervalos: X

' 1^

*■

< 1, 4 ]

E

}

.

Para la expresión y = |x2 - 4 |/ |2x | , resolveremos el pro­ blema separando el intervalo < 1, 4] en 2 partes, una tal y > 0 y la otra para y < 0 . Al final reuniremos a.nbos resulta-

SOLUCION: que

dos para y :

x2 . 4 2x

X E

[-2, 0 > U [2, »>

Análogamente: i) <=>

V x

e

< 1 , 2>

:

x2 + 2xi/ -4 = 0

(x-2)(x + 2) > > 0

0

x

.

( x 2 - 4 )/(2 v )

Por lo tanto, separando

>

< 0

<1.4]

«=>x *

U [2, 4] :

<1,

< 0

( x 2 - 4 )/(2 x ) <=»

<-“ , -2> U < 0 , 2> .

e

1
,

= - y t /y 2 + 4

y queal resolver para y es obtiene ii)

¥x

e

[2, 4]

:(x2 - 4)/(2x)

-----=>x2 - 2xy -4 = 0

<

»2 <

entonces x=

y que al resolver para y se obtiene:y Por lo tanto, 7.30

A * < 0 , 3 /2 > U [0, 3/2]

<

-(--- -) 2x

2 ,

y e < 0 , 3/2> . 0 ,

>

y=

entonces

=

e

y - 1

2x

¡/+ / y2 + 4< 4

. (Verificar)

[0, 3/2] [0, 3/2]

.

PROPIEDADES ADICIONALES .Es fScil demostrar que

,

Números Reales

106 [ - |a| < x < ¡b|

- 1c| < y <

-

M = max { |ac | , |bd | } m *= mUt { -1ad | , -1be |

donde

Cap. 3

|d|

]

=-

m --(*) <(xy)

, (verticalmente) } , (en cruz)

Y en caso deaparecer el símbolo < enalgún lugar, entonces en (*] 'ruebar. con los extremos para ver si deben incluirse o no. 7 30 1)

< M

se

E j e m p l o s .[ -3 *

x<

5

-

-4 < y

<6 ]

-20 < xy < 3 0

==»

pues -20 ■ min { -18 , -20 } , y 30 » max { 30 , 12 } Además t1 extremo 30 no se Incluye i>ues ello se harta para x « 5 y para y - 6 , pero este último valor no estS incluido en los datos. 2)

[ -6 <

x<

4

3)

[ -1 <

x<

1

~

-5 < y

<4 ]

=>

-5 < xy < 5

4)

[ -8 < x í

4

-

-6 < y

í5 ]

= >

-40 < xy < 4 8

Asimismo,

-

-7 < y

<6 ]

= >

-36 < xy < 4 2

también se puede demostrar que:

II)

[ 0 < x <

|b | ~

— |c 1 < y < |d | ]

= » - |be | < xy

< N

III)

[ |a¡ < x <

|b | -

-|c | < y < |d| J

= > -|bc | < xy

< Ibd I

IV)

L |a| < x <

|b |

-| c| < y < - | d y

= > - |bc | < xy < -|ad I

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1.

Resolver: c) d)

a)

|x-2| » 5 ,

2.

b) c) d)

h)

I |*f - 1 | - x | « x

Resolver:

a)

|x _ 2 | < l f

|2x + 3| < 5 |6-3x| < 2 7 |2x - 5| > 3 i)

SUG: (i)

1 ^ 1

«=*

|x2 - 2/2 x + 2 | » 18 .

e) | x+3| - I 2x + 3 1 f) I x - 4 | - |x + 2 | i)

b)

| x + 4 | « 2x - 6 | 3x - 1 | - |Fx - 15 |

I xj j I . 3 Ix + 4 I I 1X ‘

I- 1

j)

|x - 2 | • - |x|2 + 4

e)

|2x. 3| < |x + 6 |

f) g) h)

1 < 12x + 5 I < 9 2 < |x-6| < 12 |x2 + 2x - 4| > 4

*1

I2x - 5 I > |x - 4 |

«

x¿ 4

I

3.

107

Números Reales

Cap. 3 Resolver: a)

|x+8| < | x - 6 |

b)

| 3x | > 112-3*1

c)

| 3x + 4 | < x

d)

| 3x - 9 | < x + 1

SUG:

(e)

Resolver:

e)

I > 1

| 4 - 6x | > —1 x+ 3 I “ 2

9)

/

x t -1 . x i -1/4

-

d) e)

12x2 + x - 1 a)

< | 2x2 - x - 1 1 . b)

Ix - 2 12 > 4 ,

1 < |2x-3| < 3x

11 x ♦ 11 - l*l| ♦ |2x- 3 1 > 2x ♦ 4 > - . 2

r ¿ i

SUG: --

(d) «=*■ |2x + 6 | > | 2x - 6 |

x2 - 6x + 7 1 c 2 x- 1 1 < x - 1 *\

#)

x2 - 4 x+3 |

0

_ x2 - 4 1

|l*l - 1 *-3|| < .

< lì * 2

< 1-

x + 10 2

O H t rt

Resolver: k b)\

|—

I_ L i *+ 1 í

13x3 - 2x2 - 7*-2 | > | x3 + 6x2 - 9x - 14 | 110 - 3x ♦ x2 1 i 1 *2 ♦ x - 6 | J 1x - 6 | - 1* " 3 1 < |*-1 | / [|x-l| + x - 2| ]■[ 11 - x | - 12 - x | ] < ✓ ’

a)

Resolver:

d)

f)

13(x + 1) | < | 4 x + 11 b) c)

c)

1 3 1 < 1 4x+ 1 1 x

e)

x-1 |x-¿|

^ '

2x x+2

Resolver: A1

b) e) f) g)

-c+ 4 1x - 61 6-|x|

< 11Ä _ x- 6

r\ W

> -1

d)

I 3|x| - x I f 1 +1 1

X

|x |3 - 4x2 - 4 |x | +16 1*1 ♦ 1

/ tx + 2 | -3

+ / b- 14 - x | > 0

A = { x e IR /

; v- |x | - 3

>2

Ix - 3 |3 + 2(x-3)2 - 5 |x - 3| - 6

=>

— < 0 } x-4

$ Q

(x + 2)2 - 21x + 2 | - 24 h)

1

X +1

/|x-l| - 1 +

A - |x- 1 | < / 2 |x - 11 +5

..

108

Cap. 3

Números Reales

i)

[ /|x- 1| -3 - A

j)

|1* + 4| + (* + 5) | > /-x -5 .

Demostrar que:

% g) h)

| x- 1 1 < 4

- |x-4 | ][/|x- 1| -3 + A - | x - 4 | ] < |x|- 6 1 > — X 1 1 - IM I

k)

a)

X 1

1*1 < 7 | 3x - 5 1 < 20

b)

X 1

c)

1*

6

< x+4 < 8

d)

1*

I 8

< -1- < I " x+ 4 “ 6

e)

0

<5

f)

0

3| < 1

= >

I SI -

1

=~

I x- 1 | < 5

l

I < ± 7 1 35

✓x + 4

1

0 < lX - 1 | < 4

2 1 7 1 <

2 + /x + 4 1) j) 9.

|x + 4 | < 2

—

1 - ± 1 < 4x + 6 9 1 1

0 < |x + 4 | < 2

4x + 6

Hallar el conjunto H sabiendo que A » {a „

R /

e

,

.

B » { x

,

R /

e

1

3 35

11 18

1 < 4

H' « A' - (A’ fl B) ,

R e s e l CONJ. SOLUC. de:

donde

axZ -6x + a2 > 2ax-3x2 -l}

| x2 - 2x -4 8 1 [ I * 2 -2* I - |*-12| ]

--------------------------------

_

< 0

,

I

I x —2 | - 6

10. SI

^ x

e

R /

ax + b > x2 } - { x

hallar la constante A . 11. Hallar la Intersección

e

SUG:Complete A O B

í k + 4b

R / |

cuadrados en:ax + b > x2.

de los siguientes dos

conjuntos:

l1 -x L+ -1 l 1 < X 2 + 2 x + 1 11 X 2 ,

I1•

2+1 J x

1

12. Expresar el siguiente conjunto A mediante intervalos: A - {y

e

R /

y » |(16 - x2)/(6x)| ,

i

-5 < x < -3

} .

Cap. J

Numeros Reales

13.

SI a a < x < b

CLAVE

DE

y

109

b tienensignos diferentes , =5>

RESPUESTAS

probar que

0 < x2 < míx { |a |2 , |b |2 } (P5g.

106)

1.

a) * e (-3, 7) ¡ b) x e { 4 /2 , - 2 / 2 } ,c)x» 10 solame/te í)> t ( 2 , 7 } ¡ e) « e t 0 , -2 ) ; f)x «1solamente g) x e { -2 , -5 } ; h) x e { 2 , 2 /f - 2 } i) x e { /2 í 1 . 1 } ; j)i- 1, Z > , 2. a) <1 . 3> ; b) <-4. 1> . c) [-7. 11] , d) . 1] U [ V. “> e) <-1, 9> , f) <-7.-3]U[-2. 2> ;g) <-6, 4> \i óá. 18> h) . -4> U <-2, 0> U <2, -> ; 1) <-» , 1] U [3. 4>^U <4. »> 3. a) <-»,-l] ; b) <2, »> ; c) $ ; d) <2. 5> e) <-® , -1> U <-1, -4/7]U[2, ®> ; f) <- - , 0> ü <0, l/2> g) <- » , -3> U <-3. 5/13]U[ 1. ®> 4. a) <-» , -2> U <3. ®> . b) C«. “ > . c) . -2] U [ 10/3, -> d) <-» . -1] U [3.->,e) <— , - /2/2> U <0,/f/2> 5. a) <- «° , O ] U [4, “ > , b) [3, “ > , c) <-«• . 0> , d) [0, 3>U<3, - > , e) < 1, 3>U<3, 5 > , f) 6. a) [-6, 6] ; b) [-1, » > 7.

. c) <-2

a)<6, -> , b) <-6, 6> . c) <-1/4, l/2> ,d) <-®, -4]U [-2, 2]U[4, ®> e) [1, 9] . f) A - [-3. 4> . g) <-8, 1]U<4, 5] , h)[-3, 0]U [2, 5] . i) [4. 7] , j) <-6.-5] , k) Si x < 0 , se cumple para x i -1 : < - “ . -1> U<-1,0> S i x > 0 : i) 0 < x < 1 , 6 11) x > l , pues x f 1 : i) x2+ x - 1> 0 «=» x e < ( /5 - l)/2, 1> ii) x2- x + 1> 0 e ~ x e < 1, '»y . Por lotanto, C.S. <-» , -1>U<-1, 0 > U < { / 5 - l)/2, 1> U <1, »>

9. A : V x e IR : (a + 3)x2 - 2(a+ 3)x + (a2 + 1) >0 [ (a + 3 0)y (a2 + 1> 0) ]v [ (a + 3 > 0)y(D1SCRIM.A< 0)]; A = [-3, -1> U<2, ®> , B - {-6} U <-4, -3]U[4, 8> ; M = A U B . 10.

A

= a2

A 12.

; 11. A = < - » , -1>U<-1.

fl B - <- ® , -1> U <-1, -l/2> A * [0, 7/18>

-

Máximo Entero

110 -

8

Cap. 3

MAXIMO ENTERO El MAXIMO ENTERO de un número real x , denotado por I x 1 , es et HAVOR de todoi to¿ númeAoi en MENORES, o IGUALESa X :

teAoi

[[ x I -2.9

*max l de todos los enteros n tales que -

1.1

17 . 1 -4

I. -2

-3

-

0.9

0 .1

í.

2

»

I I !

3.2

4.9

1

I

n < x }

1

-1

Para calcular este número, se ubican los enteros que se encuentran a la iz­ quierda de x (6 que coincidan con éste, en caso de ser x un entero), y el MAYOR de todos ellos es precisamente I x J . As!, por ejemplo, I 4.9 1

- 4

I

-

3.2 I

1 2 1

3

*

[[-0.1 1 ■

II-1.1 I - -2 I 0.9 1 = 0 I n/2 1 * 1

I -2.9 I

■

I-4]]“ II - / Í 2 J

-4

tal como en la figura — t— -3

-/l2

de donde vemos que H * J toma siempre valores enteros, y si x se en­ cuentra entre dos enteros consecutivos como en figura siguiente

O---------------n+1

x

n entonces I x1 » n

H xI

=

-3 , , -1

-2

,

<==>

n < x < n+ 1

c=*

xe

[n, n + 1>

s1 x e [-3, -2> si x e [-2, -1 > si E [-1, 0>

X

n 0 Z

Cap. 3

Números Reales

0 II

xI

,

si « £ [0, 1>

■1> 2 ,

si x e ti. 2> si x e [2, 3>

8.1

PROPIEDADES DEl MAXIMO ENTERO

1) 2)

O I e Df«l .

Z n

3)

O I

* < (11*1 + 1)

4)

<

f' ■!

0 5 x - ttgjt]) < - I*])

.

6)

E HxDD

8.2

EJERCICIO.-

8.3

-4

n < x < n + l ]

PARA TODO x REAL Z

Resolver:

a) Haciendo

d x-1 I

~

. PARA TODO x REAL

1 , x c

II * XI

SOLUCION:

-

x <*=■>

5)

b)

[ n c Z

111

a) b)

z ■ x-1

<^=> •»=>

I x - U

- 4

E 1*1

:

4 < * -1 < 5 * e [5, 6 > »

«=* C.S

d |x| - 2x 1 “ 0 <==> 0 < |x| - 2x < 1 «=» 2x < |*| < 1 + 2x «=* x e <1/3, 0] , resolviendo la -ajena E j e r c i c i o .-

Resolver: a)IT ~

SOLUCION:

X

x

3) - 2 .

b) II 2/x - 1

c (a)

«=*

2 <

x

< 3

•*=«>

, 5 < *

< 6

* e < 5/6 , 1 ] (b)

5 < * <

<==>

0 < —^ —

< 1

2/x - 1

<=*

xt ( {0 ) U < 1/4. - > )

<==>

x= 0

n [o, 1/4 > - { 0 }

(únicasoluclfin)

8.4

Ej e r c i c i o .-

a)

I 2x-l I « -3

c)

I

x2 -2x-3 1 •

1/2

b)

E /*

d)

E

x2 * 2x - 3 ]) -

0

+ 1]) -

Resolver:

-1

------- I

Cap. 3

Máxi.no Entero

112 SOLUCION:

(a)

-4 < 2* - 1 < -3

-3 < 2x < -2 * e

b) CONJUNTO SOLUCION - 4> . pues ✓* > 0 , ¥

x

[- 3/2, -1>

U « [0. « >

e

.

=-> /x + 1 > 1 = * tt/t+IJ > 1 , ¥ x e U y así [[ /* +1 I nunca seri Igual a -1 . c) Como todo ([ •]] es un VALOR ENTERO, entonces la ecuacl&n H x2 - 2x - 3 ]]• 1/2 no tiene solucifin. d)

I x2 - 2x - 3 I 0

< (x-I)2 -4

x—1 8.5

e

->

0 < x2 - 2 x - 3

<

s>

4 < (x-1)2 <

5

<-/5. -2] U [2. / 5 > <==» x

E

Para todo n e Z :

T e o r e m a .-

PRUEBA:

0 < 1

II *•* n I ■ II* I + n .

Sea d x 1 « k . k e Z . < x< n < (k ♦ 1) + n • (k + n) +1 - k+n e Z = > E x + n I - k‘

k1

8.6

T e o r e m a .-

Para todo n

k

4) PRUEBA: entonces, 1) { = >

11*1

1)

I*

i

£ n

I* i

< n

II* i

>

n

)

( «==> )

)

()«==< )

x < n+1

«

x < n X > >

[[*1

n

n+1

S n

x- 1 < n = »

x

x < n +1 =s >

X >

n+1

B[ x ]] — n S

- (*)

=s >

x - 1< k <

n

< n+ 1 . Ixl

< n

(Ex]]

< n

Para cualesquiera dos enteros k y n se tiene que: k < n t : k+1 < n , y por lo tanto : x 1 ¡*;

(= »

-

1

X+n

x e R , existe un único entero k e Z tal y |[i] ■ k < x
k■

I 3)

= * < k‘ + 1 k + n » I * ]] + n . k+

<

k‘

n

II * B

Puesto que para todu que x e [k,k + l>

(« = ) 2)

>

< x <

Z :

e

2) 3)

I

< 1 - / 5 . -1] U [3, 1+ /'«> >

k+n

donde

,

De Six i n

I x l < n-1 x < (n-1) + 1

. yde (1) ¡ ;

: x < n

la hipótesis y (*): n < [ x j entonces existe un enteró

k +1 > x > k

==>

II x ]] « k > n

k >n = »

.

• k< * tal que ([ x I

>

n .

=* ►

x

Máximo Entero

Cap. 3

8.7

EJERCICIO.-

SOLUCION:

j ea

Demostrar que:

[[ x ]]

»

k e

Z

113

l[2xj - 2 1 x ]] ,

k

x

<

•

0 5 1.

< k +1

x e [k. k + {I/2)> U [ k + (1/2) . k + l > . i)

SI

[k, k+(l/2)>

x e

entonces

k < x < k + (1/2) Luego. t¿)

[[2x]]-2[[xJ •

k ♦ (1/21 < x < k + 1

8.8

ent ces

==»

[[2x1 “ 2k + 1 . Luego, Por lo tanto.

;ademSs ,

=*•

[[2x1 - 2k .

[[x] ■ k ;

2k + l < 2x < 2k + 2 [[ 2x I - 2 [[ x I

C:

1 2 x 1 - 2 [[ x I

EJERCICIO.-

• k

(2k) - (2k) « 0 .

x e [k+(l/2), k + 1 )

SI

II x]]

2k < 2x < 2k + l

ademSs

,

=*•

« (2k + l) - 2(¿)

- 1 .

si x e [ k , k + ff/2)> si x

e

[ k ♦ (1/2) . k ♦ 1 >

Demostrar que: x x x x

II 3xJ

e e e e

[0, 1/3 > [1/3, 2/3 > [2/3, 1 > [1, 4/3 >

La prutfca queda como Ejercicio. 8.9

EJERCICIO.-

Demostrar que para todo entero n < a

SOLUCION: [[ a I

» max { n c E Z /

8.10 Ej e r c i c i o .|[-x 1

n„ < a

. AdemSs, Resolver:

}

> n

Z :

e

< a

a) .

< 0

= >

n < [[ a ]] < a [[ -x 1 x ir-x i

SOLUCION:

n

por defiricifin. [[ a ]] es el mayor de todos los enteros n ta les que n < a . Es decir,

n < [[aj < i

b)

n < [sj

Puesto que

[[ -x ]]

([al > n ■=>

n < a

> 0 < 0

es un NUMERO ENTERO , entonces

=> .

Cap. 3

Números Reales

114 a)

I-*I

b)

> 0

I-xI

«=>

[[ -x I

<=s

x e

>1

<=*=> -x < 0

< 0

¡

< o

-x > 1 . -1 ]

..

<==>

:(1) v

x < -1

por [3],

píg. 112 .

x > 0

(11)

,

«=»

x e <0.

donde:

II -*I 1)

x< 0 -

ll-xl > 0

1= ^

¿por [a] ) 11)

x> 0 «

i c (•■, 0)

<■=--

x e

<=>

PROBLEMA ■-

(1) » (11)

A - { x

X

:

<0. * > ~ <0. ® >

E

xt

-1]

x e

<0, «■>>

,

< - ■ , -1] U <0, • )

.

Expresar el conjunto S mediante interv¿1os: S « { x E IR /

S0LUC )N:

-1J

x E <- «■> . 0 > D <- “ , -1]

I-xI < 0

SOLUCION (c) :

» x e <- <»> .

*

<0

s1

|x | > x

}

Sean e

R /

rc *

<0

},

8 ■ { x c J /

I* I > «

)

En el problema «nterlor ya fue calculado A como

A » <-«> , -1] U <0,

CALCULO DE 8 :

v [x > 0

«==>

|x | > x

x < 0

Ahora, sean

x < 0

v (x>x) p(x) :

«==>

x c A

xe

,

q(x)

S «

{x

e

R/

p(x) si q(x) ) - { x

-

{x

e

R/

['v-q(x)] v p(x)

«

8‘ U A «

“

<- “ . -1

PROB l EMA --------

■> , 0 ^ U ♦

Resolver la 1necuac16n:

SOLUCION: (a) ^

jjjjLÜll

® , 0> ■ 8 e 8,

entonce.

IR / q(x) -► p(x)

e

) » { xc R /

U [ 0, «■>

|x|>x]

-

: x

[0, “ > U ( <- °> • -1 1 U <0, » > ]

~

x

c B*

}

UA

)

.

x ♦ Ix| ----------1*1 -

< 2

< 0

Para

x

e

[0, <»> ■ Ax ,

x-lxl

< o

(*) se convierte en : ____

1,1 x - Ixl

.. (a) (*j

1*1 - 1 * 1 a)

}

<

o

.

Cap.B

Números Reales

y coa»

[[<]]< x •

¥ x e R .

< 0 * - 1*1 SOLUCION (a):

y

x

<-“ . I> n

e

x i Z e>-Z

[[*1 +

=o >

M x

0 > . Asi, de (a) :

«=»•

*í

x < 0 ,

|x| » - x :

2x< 0 ‘ = >

[[ x I ♦ x

— -(* + 11*1) lo cual es VERDADERO . PARA TODO xe Az • <-• , 0> . SOLUCION TOTAL : 8.13

(a) v (b) :x e <-“ , 0>

EJERCICIO.-

SOLUCION.

£omo

o

8.14

EJERCICIO.-

0 < /x - I x l

SI

x

-1 < -x < 2

<=>

2

1

< 1

si x

.

entonces «=»

0 < x-ffxl <1 C..»R .

6

e

<-2.

I ]

.

-2 < x < 1

1 < 2-x < 4

<-=» 2

-

<

2

^— 5< 2==*

1 . Ademís ,

I

1 - 0

si | <


I

1-1

si I <

<2

8.15

Ejercicio.-

SOLUCION:

0 < 2

.

Asi,

<-2, 1 ] . entonces

e

[[ --- - ]] » 0

<^>

Encontrar el conjunto de valores que puele tomar: II

SOLUCION:

,

U <0, 1>-».

. -¥xeR .

lo cual es VERDADERO, pjra todo x REAL.

<0

< 2

H / x - H x II ]] » o

Resolver:

[[ /x - [I x 1 I - 0

entonces

(R -Z ) D At « [0. I> fl (R - Z) « <0, I>

0^

[[ x I < x e

H x l - x , ¥ x e Z ,

[[ x 3 < 0 x < 1 . x

b) Para x e A2 »

115

Resolver:

«

II 3* * 2 l x - 1

x e < 0. I] x

<

e

3

<-2. 0]

.

.

Equivalentemente, „■ 3x + 2 „ , . [[ ----— J] < 4 , y como X-I

3x ♦ 2 , 5 ---- — ■ 3 + ---- , entonces X-I X - 1

Máximo Entero

116

II

II -

X-1

3 * |T — II < 4 X-1

-5- < 2 x- I

8.16

x

EJERCICIO«-

Resolver:

SOLUCION: Luego,

u :

x+2

x+2

Por lo tanto, OTRO METODO.-

<—

e

<=~

< 0

x- 1

[[3x1 “

«=#►

x

e

x+ 2 .

Z )

..

<=> «==>

x + 2 < 3x < (x ♦ 2) +1 x > I - x < 3/2 -

<*=>

x

x ■ 1

(a)

e

[[ 3x 1 * x + 2

r

-

1*1 , £

, 0^ x >

Luego,

Solución de

n+ 1

3 <

1 * 1 > */2

■ » *;

___ n ¡ '

-

n < 3x < n + 1 c

n < 7/2 ,

:

. n >

e

n

Z

. (i porqu6 ?)

n > 1 , n e Z

[i. , 1 ,

e

x » 1 .

.. (*)

, n e Z,

entonces cono es

de (*) :

< n * ([ x 1

Pero

Por lo tanto,

<3 n - 6 < «==»

x e [n, n + l> ,

tamos en los n > 1 ,

x e

eZ

^ [0. 1 >

= »

= >

< üli

{ 1 ) ■ C.S.

x+2 » n

> ^

x e [1, “ y

í

n

2n < 7

Resolver:

^ xj

n+1 ——

*

Z x e Z

x e

n ■ 3==> x » n-2 « 1 = >

EJERCICIO.-

y como

*

x * n-2:)

==>

SOLUCION:

[1. 3/2> n Z

-

es la Cnica solución.

2n > 6

jLLL)

*■

< 1

. I> U < 7/2, - > - C.S.

Z (
e

(y como

¿i)

& -5- I X-1

U » Z (Universo) . dentro del cual resolvemos:

([3x]] “

8.17

«=*

(por el TEOREMA [8.6] (1) )

> 0

x-1

Cap. 3

«

| x

x < -

[[ x 1 > ^ (¿¿c) :

=^>

< Ixl

,

¥

pues x es negativo * > f

[1. - >

xe

.. (**) .

(Contradicción)

♦ .

(-i), (¿t) y (<-c¿) :

SOLUCION GENERAL:

x

e

[1,

.

Cap. 3

8.19

Números Reales

EJERCICIO.-

SOLUCION: a)

Resolver:

<=*•

8.20

n; x2 - 8 i

>i .

c)

b)

[[ x2 - 1 I

< 22/9

.

«=*

x2 > 9

IIx2 <=*•

a)

>

[[ x2 - 8 I > 1

x2 < 4

x t

«=*

x2 - 1 < 3

<-2. 2 > - C.S.

x c <0.

1>

>

fl[ 3x- 1 IJ - -1

a

sectando con U :

0 < 3x < 3 3x-l I

ia

«==»

IE 3x — 1 ]]—0

x c [0, 1/3 >

(resolver) . y qje Inter-

H 3x-l ]] - -I . ¥ x

c <0. 1/3 >

c

<0, l/3> ...

: x c [1/3, 2/3 y

s

tersectandocon U :

I 3x - 1 ]] »

x2 l[3x-II - 0 c { 0 J . ¥ H 3x-l ]] - 1

-1 < 3x-I < 2

e { -1. 0. 1 }

x2 1 3 x -1 ]] - -x2e <-1/9. 0> , V x

c ■ ií

0

(resoler) , y que .

¥

x c [1/3, 2/3 >

x c [2/3, 1^

= *

(B) y

(a) 1n -

xc [1/3 . 2/3 > — = ... (B)

(resolver)

x2 C 3x- 1 1 - x2 e [4/9. 1 > De (a).

}

x c U - < 0 . 1> :

I

c)

- C.S.

ExpresarA cono combinación de Intervalos:

0 < x < 1

b)

<8

x2 - 8 > 1

I x2 - 1 1 < 3

A - 1 x2 |[ 3x-l 1 /

a)

«=»

x e < - * . -3 ] U [ 3. «■>

1 I < 22/9« = *

EJERCICIO.-

SOLUCION:

II x2 J

Por ser el MAXIMO ENTERO un entero, entonces :

I x2 - « I > 1/3

b)

117

... (y)

(y): x2 l[3x-l]] c

<-1/9, 0] U [4/9. 1>

A - <-1/9. 0] U [4/9. 1> .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1.

Demostrar que: a)

ff-x ]] - - II x ]]

b) H -x I

x e Z

-- H x J - 1

c)

I x ♦ IIxI I « 2(1x1

d)

Ex +y l

>

¡

:

IIxI ♦ Ilyl

x
Z

-e) 2.

3.

a < b

II a 1 í 1 * 1

==s>

Resolver:

a)

b)

II

1 - 2

c)

E 3* I « 2* + 2

ff2*-ll ■ -1 e) .

,

x_ *— 2/* - 1

d) ([

11 3 * U

SUG (c):

- 2* + 2

2* + 2 - n e Z

^ "*J ' 2 6-|I*I

>0

b)

3 3 - II *2 I

< 0

Hallarel conjunto de valores que puede tomar: 11 para * en:

5.

a)

[0. 6]

a) a)

1*1-2 I — — —

b)

1*1 i

I*3 I « n

7.Demostrar qu¿ si

a) b)

b) I

*

. * n i I , |*| + 1

*

<- « , -1/10> .

■ -1.para

* c

<-1. 1>

n < *3 < n + 1 V ñ < * < |* |

n e Z + , entonces

Hn*I-nH*]]

c {0.1.2,

In*]]-nlI*I-p <=* donde

n-

?* ♦ 5 „ * + 3 U

/ll*3 l

<==> *= >

9.

[-17/6. 0]

, 3> .

Demostr r que:

SUG:

8.

b)

Htlljr el conjunto de valores que puede tomar: para * e

6.

J - 0

Resolver: a)

4.

Cap. 3

Máximo Entero

118

p ■

....

n-l>. P

* e [ k +- ,

0. 1. Z, 3 , ...

, n-1

,

( P * 1) V

k ♦— -—

para todo k c Z .

Resolver: a) I »*-1 1

> 0

c) I * 2 - 1 J

< 0

b) c *2 - 1 B

> 0

d) ü *2 - 4 I

< 0

Resolver:

. í» I <

a)

II ^

b)

I *2 -4*-2 I

2 < 19/2

...

,

Números Reales

Cap. 3

10.

119 -

Resolver: a)

(I x + 1 I

>

b)2 d x J ♦ H x - 5 U

d)

E x2 - 2|x | - 16 1

|x|

,

f)

I x 2 ]| < 8

,

> 7/2

> 50/7

e)

| [[ 2x J - 1 | < 3

11. Expresar el conjunto A como combinat:iCn de Intervalos : { x2 - H | x - l | t 2 1 + E x I

A-

12. Si A - { x

R /

/

B - (x e R /

I

hallar

e

1 2x-

/

x e <0, 2]

}

1 | - 13x + 6 | < ✓ |4x - 2 | - |x-8|' I • 0

}

1

A' A ( B U A ) .

CLAVE DE RESPUESTAS 2. a)

[0, 1/2> , b)

d)

e) x - 2 , 3.

8.

x - 5/2

a) { 0,

-

1, 2, 3, 4 ) .

,

,

b)

d) < — , -6] U [6, » >

;

4. a)

,

{1 ) Z

1, 2, 3

,

. )

b) <-=> . -/2] U [ /2 . - > <-2, 2 > .

®>

c) <- “ , -3> U [2, - >

[0. » >

b) { 0,

. d)

a) < - ~ , 0 > U < 5 / 6 ,

, x - 5/2

[1. 4>

3. a) <-« , -2] U [7, - >

U <9, - > ;

a) <-«, -1] U [1, - >

10. a) 11. 12.

x- "

c)

{ -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 ) - [-4, 5/3] D

c) <-/2 , /2 >

9.

8/9> .

;

b) <- ~ , -2] U [2. 3>

4. b) 5.

[5/7,

( [0, l/4> U [1, » > ) D <1/4, 4>

.

b) <-2, 6 >

,

d) <2, 3 >

[3. » >

. A - <-2, -1> U { Universo para A : U»

,

. c)

[1, 229/4>

,

e) [-1/2, 2> , f) <-3, 3 > . 0}U<0, 3 > U {3 > [-7, -2] = » A»[-7 , ] 4

;

El Supremo

120

9.

Cap. 3

CONJUNTOS ACOTADOS

Existen conjuntos de números reales cuyos elementos tienen la característica de no «ex mayoxu que un cUeAto valon. conitante. , tal cooo ocurrí! con los elementos del conjunto A » <-“ , 6> con utipecXo al valox conitante 7 , por ejemplo ; como se ve en la figura. 9.1

DEFINICION.-

Se llama COTA SUPERIOR de un conjunto A de nGmeros reales a todo número real c talque x < c ,

¥ xc

A .

Es decir,cuu’ouler número que sea mayor 6 igual que todos A , sellama COTA SUPEKJOK DE A .

los elementos de

Cuando A tiene alguna cota superior, se dice que el Conjunto A u t i ACOTADO SUPERIORMENTE. Para Ilustrar estas definiciones , ti mareros el conjunto A • <-« , 6) y una de sus cotas superiores c ■ 7 . COTAS SUPERIORES DE A A ----------------------- *■ i O --------- 1--------- 1------r

*

6

7

8

IR

Notantes que cualqwitAa de lo¿ númviot h w JIxa w yoKU qus. 6 , e inclino 6 , es también cota superior de A , en particular c " 6.5 , c - 7 , c - 8 , De todas estas cotas superiores de A , el número 6

la mino* , co

mo ser! demostrado luego. 9.2

DEFINICION.-

i la menor de las cotas superiores de un conjunto A de números reales, acotado superiormente, se le lla­ ma SUPREMO (6 U1IJ1UA COTA SUPERIOR) de A , y se denota tup (A) .

9.3

O b s e r v a c i o n e s .-

1) El supremo de A es tanblEn una cota superior del conjunto A . Esta menor cota superior esti caracterizada por la condiclfin siguiente que es equivalente a la DeflnicICn dada:

2)

I

c B ¿upuvno de A

c— a

¥ x c A , y para toda cota superior c’ ae A, se tiene: x < c < c* .

Cap. 3

El Supremo

121

El supremo de un conjunto A, si existe, no u neceiafUamejite un elemen­ A « <-<» , 6 ^ cuyo supremo (que es .1 gual a 6) no pertenece al conjunto dado A .

3)

to de A , como es el caso de

La existencia del SUPREMO para conjuntos acotados su­ periormente esti asegurada por el siguiente axioma, con el cual completamos el SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES en lo que a sus propiedades respecta. AXIOMA DEL SiPREUO 6 AXIOMA DE LA MINIMA COTA SUPERIOR .Todo conjunto A de números reales, no vacio y acotado superiormente, tiene una mínima cota. tupt/Uo/L en IR .

9.4 EJERCICIO.-

Demostrar que si A -

entonces ¿up A » 6.

. 6>

La prueba seri hecha por neducciSn al abiuJido : Supongamos que 6 no es la menor cota superior de A, entonces se puede ase gurar que existe una cota suptrlor c- de' A tal que c < 6 . y puesto *,ue

c+6 , , c+6 c < —— < 6 , tomando *’ - — —

___ = »

c < *' < 6

..

. (*)

de donde *' e A ■ , 6} . Pero siendo c iota tupejiion de A , de­ berla tenerse x' < c , contradiciendo a (*). La suposición resulta ab­ surda, y por lo tdn¿o, efectivamente: 6 » ¿upiemo de A » aup (A) . 9.5

DEFINICION.-

Se llana COTA INFIRIO); de un conjunto A de números reales a todo nCrero real c tal que x > c

9.6 EJEMPLO.-

SI

a » [4, 9> de A .

,

entonces

V

x e A

c • 1

es una cota ¿n£e-

iU ox

SI para un conjunto A existe alguna cota Inferior, entonces se di­ ce que A estí ACOTADO 1KTEK10RUEKTE , en cuyo caso siempre es posible en contrar ta mayo* de. ta¿ cota¿ ¿niejUenti a la que se le denomina como el INFIMO DE A 6 también LA HAVOR COTA INFERIOR VE A . por ¿ni (A) .

y se le denota

E1 Supremo

122-

9.7

Cap. 3

El INFIMO de. un conjunto A está caracterizada por la con* dlción:

NOTA.-

«==s>

c • INFIMO de A

-V x c A , y para toda cota Inferior c* de A , se tiene que: c' < c < * .

Con respecto al intimo de un conjunto de números reales, se pueden hacer observaciones análogas al iupiaru , con» por ejemplo, que eJL INFIMO puede no

ívl

eJt~~wjvtc d 't conjunto dado .

Además, cono consecuencia del AXIOMAPEL SUPREMOse puede demostrar que:

9.8

"SI A es un conjnnto no vacio de números reales, acotado *n£vUo/unente. , entonces A posee una MAXIMA COTA INFERIOS (6 INFIMO} en IR .

EJEMPLO.-

El coijunto A •[-1, 8 > está acotado superiormente por f I número 9 e inferior-mente por -2 . Además, la IÁA.VO COTA INFERIOR es -1 , y la MENOK COTA SUPERIOR es G . Por lo tanto, sup (A) » 8 , Inf (A) » -1 . En este casovemos que:

sup (A) i A , Inf (A) c A .

pero

Cuando jara un conjunto A , resulta que sup A e A entonces al SUPREMO DE A se le llana el MAXIMO DE A , y si el inf A e A , enton­ ces al INFIMO DE Atantlén se le llama el MINIMO DE A . 9.9

9.10

DEFINICION.-

Se dice que un conjunto A es AC0TIPO si A está a la vez acotado superiormente e inferiormente.

E j e m p l o .- El conjunto A » <2, 6 > U [50, 60] sup (A) » 6D ,

9.11

Ejemplo.-

es ACOTAPO , y

Inf (AJ * 2 .

El conjunto <-“>, -2 ] u < 3 , - > ni Inferiormente ni superiormente.

no está acotado

A continuación presentaremos el inmortante PRINCIPIO ARQUIMEDIAND.

C a p .3

El Supremo

9.12

-123-

Pr i n c i p i o A r q u i m e d i a n o S¿

x

te un núme'LO nxat p otÁXLvo entónete exZile

un ntmtAsi NATURAL

n„

tal que

1 0 < — < * no

(6 equivalentemente,

tal que

n0 x > 1 . )

r*?UEBA.-

Suponiendo lo contrario, se tiene que nx < 1 , V n c M . luego, el conjunto A * { nx / n c M } esti acotado supe rlorinente al menos por c » 1 , y por el Axioma del Su.piuyr' el conjunto A posee una MENOR COTA SUPERIOR c en R , que satisfice la condición nx < c < 1

,

-VncM

pero siendo x > 0 entonces c- x < c , y por- lo tanto c- x no puede ser cota superior de A , ya que c es ta mero*, de todm e lO u . Lúe go, existe un elemento de A : de la forma ntjx , con m^ c N .tal que c-x < n^x < c ... *) (pues si esto no fuese cierto, setendría que: = * (*)

c- x = *

serla cota superior de A , c

< («íj +1) x

c < mx

-V

nx t A

lo cual es falso ) .

nx
Entonces

, con n ■ («i| +1)

c H ,

lo cual es un absurdo, pues Siendo c • sup \\) , deberla tenerse que mx < c . De esta manera, el Principio queda probado, por reducción al absurdo. 9.13 EJEMPLO.-

Probar queel conjunto

A»

es acotado. SOLUCION: Para

{x /

x • — , nc M } n

Encontraremos ademSs, el Supremo y el Infimo de A , ubican­ do los elementos de A en una recta:

x « - , n

n e H :

tomo n >1

-VncM, ==* 0< x - i < 1 n

(*) '

y conforme n crece, los elementos de A van acumulSndose a la derecha del

Cap. 3

El Supremo

124

numere 0 acercándosele pero sin coincidir con 0 para ningún n e M . De esta observación vemos que: Inf (A) - D {i A )

sup (A) - 1 ( e A ) , PRUEBA FORMAL % QUE

Inf (A) - D

.

:

De (*) se v16 que 0 es una COTA INFERIOR ; si no fuese la MAYOR exis tiría otra cota Inferior c mayor que 0 ,y por el Principio Arqulmedlano se tiene que existiría un núi^ero n„ c K tal que ^ < _1_ < "o

lo cual es absurdo,

pues

bería cumplírs«. que: , De esta manera, 9.14

y como

jean A c

"o

e A

y siendo c cota Inferior de A de -

j c <—

"o

,

generSndose una contradicción.

1nf (A) • D .

EJERCICIO.- SI

SOLUCION.

—

a y B son dos conjuntos de números reales, no vacíos y acotados superiormente, tales que A c B , probar que: iup A < tup B .

a m¡up ^ f

B , se tiene que

m sup b t

¥ x e B,

entonces

M x e A,

* c A

= »

* < b

* e B * < b

,

lo que Implica que b es una cota inferior de A . Luego, -V

x e A :

*
pues a es una cota superior de

A , y es

ademis la MENOR de todas las cotas superiores de A . Asi, hemos demostrado que: a < b , es decir, que:sup A < sup B. 9.15

E j e r c i c i o .-

Encontrar el SUPREMO y el A -

SOLUCION:

i 3 + 2n 1 T T Ü

,

'

«

"

INFIMO de i I

Empleando el ALGORITMO DE 0IVISI0N: 3 + 2n > -----2n + 3----3 - 2n 2n - 3

2n - 3 + 6 - ------2n - 3

y la última expresifin (entre corchetes)

•

,[ r --1 ] , -i, . 6 2n - 3

se acerca al valor 0 conforme n

aumenta ilimitadamente, de manera que los elementos de A se van acumulando

El Supremo

Cap. 3

125

alrededor de -1 de la siguiente nanera: n-2

n■ 3

-7

n»4

l

l

-3

11

,n * 1

-4-H - 1 0

1

5

De esta representación grSflca podemos ubicar al SUPREMO (A) • 5 , y al INFIMO (A) * -7 Como ambos son elemento? de A (en este caso particu­ lar), entonces MAX (A) ■ 5 . MIN (A) • -7 . Vearos a continuación otra caracterización del 9.16

TEOREMA.-

Sea A c R , A t ♦ , y acotado superior­ mente. Entonces 1)

c - SUPREMO VE A

¥ * c A ,

x < c

,

<=>

2)* c > D , 3 - * tal que c - e < *0 < c

.

(«xnétrlcamente, esto significa que PAR« CUAL­ QUIER distancia,

e > 0

ces entre los puntos to

xc

qu< se considere,

c-e

y

¿iempte u po*> .
c

(al menos uno) del conjunto A .

coincidir con

por mis pequefid que sea, i.nton Este elemento

x0 de A puede

c . i-----

e ---- i

c-e c i i ----------------- ------ o-----*— ------•-------- --------x x„ e A PRUEBA ( = & )

SI

c * SUPREMO de A , entonces c también es una cota

superior de A :

¥

x e A ,

x < c

...(*)

Cap. 3

El Supremo

126

además (por reducclfin al absurdo) supongamos que V c-e

x <

x e A ,

c- e

3

,

e > 0

esto Implicarla que

lo cual es absurdo pues c es ta

serla una cota superior de A,

menoJi de todat tai cota* ¿uptAÁjon.eJ> y porque c-e < c . Por lo tanto, como la suposlclfin original resulte FALSA, ello quiere decir que: V c > 0 , 3 *0 c A / c-e<*o y x„ < c . por (*) . ) (1) implica que c es una cota superior de A . Supongamos que c no u la mtnoK cota hupvUon dt A ,

entonces sea c* - sup (A) , cuya existencia esti asegurada por el AXIOMA DEL SUPREMO, y sien­ do c' la menor de las cotas superiores de A , entonces c* < c V-teA, Por te

(2) , dado

x < c* < c e ■ c - c'

(al meno. ) un elemento

>0

tal que

= ► c-(c-c')

x„ < c'

(**)

en particular, entonces ex1¿

x0 e A

c* - e < *0 < c*

lo cual es atsurdo, pues

..

< x0 < c

, por {**) . Como se ha ge­

nerado una contradicción, entonces la suposlclfin hecha no procede, y por lo tanto. c si viene a ser la MENOR COTA SUPERIOR VE A .

9.17

TEOREMA.-

Sea

A c R ,

A ¿, y acotado Inferlormen

te, y c un número real.

c • INFIMO VE A

«=«<•

Entonces

1)

*

x e A ,

2)

¥ c

> 0 ,

x > c 3

x„ e A

tal que: c < Xo < c + e

e c

H--------- O— x,, e A c+ e

x e A

,

/

El Supremo

Cap. 3

9.18

D e f i n i c i ó n .-

Es decir.

9.19

c ■

127

1}

Sellama MAXIMO DE A . y se denota wax (A) al Supremo de A cuando éste es elemento de A .

2)

Sellama MINIMO DE A . y se denota mcn (A) al Infimo de A cuando Sste es elemento de A .

(A) * sup (A)

c c A

c ■ min (A) * Inf (A)

c c A

m x

EJEMPLOS.-

a)

Dado el Intervalo

A » < 2, 6]

sup (A) * 6 * nax (A) , Inf (A) • 2 b)

.

entonces

pues

6 e A

, 2 i A

A no tiene MINIMO pues

Dado el conjunto

B ■ [2, 4 > U

} se

sup (B) “ max (B) • B , pues

8

eA,

Inf (B) • mln (B) » 2 , puf.*

2

eA.

tiene:

9

9.20

EJERCICIO.-

Determinar el Supremo y el ínfimo, si existen, de a)

A

{ x c R /

x - 4x - 12 < 0

}

-x2 + 2x-2 > 0

}

b)

B

í * e R /

c)

C

{ x - 4x - 12 /

« e R - <-«

d)

D

{ x2 - 4x - 12 /

x e <-5, 3]

e)

E - {xe

[-4, 6 > /

•>

)

}

x - 4x - 21 < 0

}

SOLUCION a)

x2 - 4x - 12 • (x - 6)(x + 2) < 0 sup (A) - 6 ,

b)

o

:

A ” < - 2 , 6> . Luego,

Inf (A) - -2 .

-x2 + 2x - 2 > 0

«=—*>

x2 - 2x + 2 < 0

[que no tiene soluciones reales]

o

:

(x-l)2 + l < 0 B

Coa» B es vacTo. no tiene sentido hablar ni del supremo ni del Infl mo. c)

x2 - 4x - 12 - (x - 2)2 - 16 luego,

d)

C • [-16,.

x c <-5, 3]

^

Asi,

> -16 ,

-5 < x < 3

0 < (x-2)2 < 49 Cuno

¥

sup (C) no existe,

x2 -4x-12 » (x-2)2 -16

< entonces

x e R • <-“ ,“ > Inf (C) - -16. -7 < (x - 2) < 1

-16 < (x-2)2 -16 < 33 D » [-16, 33>

;

Cap. 3

El Supremo

128

Luego, e)

sup (D) - 33 ,

Siendo

Inf (D) ■ -16

x2 -4x-21 - (x-7)(x + 3) < 0

entoncesE «

í x e [-4, 6> /

«=*>

x c [-3, 7]

xc

[-3,7],

}

E - [-4, 6> fl [ -3, 7] E - [-3. 6> Luego, 9.21

sup (E) ■ 6 ,

TEOREMA.-

Inf (E) • -3 .

SI a > O, b > O, deir-strar que existe un entero po­ sitivo n e M tal que 0 < b < na . (Ver el Ejercicio Propuesto [9] ).

9.22

Pr i n c i p i a

B u e n O r d e n a m i e n t o .-

üel

Todo cc.'junto no vacio de nCmeros naturales posee un menor i'lement}, en dicho conjunto. Por ejemplo,

seaS - { enteros positivos múltiplos - {

entonces 9.23

12 •

12 . 24. 36 .

menor elemento de S ,

TEOREMA .-

Para cualquier u ' ql*e

de

...

4 y 6 a la vez

>

}

12 e

S .

x e R . existe un Gnlco entero n

n < x < n+ 1 .

(Este Teorema taablén es llamado el TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL MAXIMO ENTE310 DE UN NUMERO REAL ). PRUEBA; a) Existe p. - si

q

e Z tal que

p

< x < q

. En efecto,

x>

0 : haciendo a » 1 en el Teorema [9.21] existe un en­ tero positivo q tal que:p ■ 0 < x < q .. (*)

- si

x•

0 : sea

- si

x<

0 : (-x) > 0

p » -1.

q » 1 . entonces

que denotamos por 0 < (-x) < b) Sea

S > { ■ c3

m » q - p

cS

/

p < x < q .

. y por (*) existe un entero positivo al

x < p+m

ya quep <

(-p)

tai que

(-p)

<=>

p < x < q - 0 .

} . entonces S i ♦ ,

x < p + m * p + (q - p) » q

Por el Principio del Buer Ordenamiento

pues ;

[9.22] se concluye que el con-

Cap. 3

129

El Supremo

junto

S tiene

un pienor elemento

n0

* < p + n0

..

y pera cualquier entero n e M : lo tanto

p+n < x

==>

en S , es decir: (a )

■ < n0

Inclusive para

p + (n0 - 1) < x

Sean + 1 ■ p + nc

.

-- >

m ¿ S

,

y por

n » nc - 1 .. (6)

entonces,

(a) y (B) :

de

n < x < n +1 La prueba de la unicidad se deja cono Ejercicio.

9.24 Teorema

( existencia de un racional entre

dos reales )

Para cualquier par de números reales a y que a < b , existe r e Q(raciorjl) que: a < r < b . PRUEBA * ----- ■ El Principio Arquimedlano implica que O

<^

< (b-a)

,

para

Por el Teoremaanterior,existe un m < an < m + 1 -— n

= *

in+1 < b a < --n

y como

nterc

< a + - < a + (b-a)«b n

(m+l)/n

b-a

tal

> 0) :

algún n e

M ..(*)

m e

- < a < n

=*■

(como

tales

Z

tal que: (a)

n ,por (*)

...

i \ por (a)

es un númeio naxUonat , elegimos

r * («i+l)/n , con

lo que concluye la prueba. 9.25 I)

II)

E j e r c i c i o .Sin a) b) c)

utilizar extracción de raíces, hallar: un número real x entre /!3 y /TT . un número entero x tal que -5 /3 < x < -3 / ? un número racional q entre /ltT y /TT .

.

Mostrar mediante un cortraejemplo que la siguiente afirmación es falsa "Si

c es una cota superior de A c R , A t ♦ , entonces 2c

130

El Supremo

Cap. 3

es también una cota surerior de A * . SOLUCION: a) b)

Sea

I) : x - ( /1Ó + ✓lí )/2

=*

/ló < -x < /lí ,

xc

=*> 3 ñ < -x < 5 /3 =* IB < x2 < 75 . 2 x como cualquiera de los cuadrados perfectos en

-5 ✓! < x < -3 /2 entonces si se elige tre 18 y 75cono

*2 - (-x]2 - 25.36. 49 6 64 =* • -x - 5. 6. 7 luego. x e C.S. ■ { -5. -6.-7. -8 > . c) Como para todo a <

b en R :

considerando a « 10 . b ■ 11 10 < (10 + lJ)/2 <

11

—

a <

, y repitiendo >

2 1 /2

— i* «=»

10 < 10 <

U/4 < 11 [ 10 + (41/4) 3/2 <

41/4 < 11

— i*

10 <

—

<

81/8 < 11 < 11 »

16

10
< 11

b. . ( * ) . :

10 < 21/2 < 11

[ 10 + ( 21/ 2 ) 3 /2 <

16

.

(*)

10 '

—

G 8

d * b<

= »

ñero ^

R

< 11

10 < —

16

< 11

16

, donde 169 es un cuadrado perfec.

= ~

/lo < i? < /Tí 4

Por lo tanto, una solución para q es

.

q * 13/4 .

II) Sea A • { -6 , -5 . -4 ) entonces c - sup A - -4 . 2c - -8 . y cono -8 es menor que cualquier elemento de A . entonces 2c (* -B) no puede ser una cota superior de A . 9.26 E j e r c i c i o .-

Sea

3n + 4 - (-i)n+2 n A » { -------- 5— -----n + (-l)n +1

Demostrar que A está acotado, y hallar SOLUCION: a n Impar , Para A1 :

A - At U Aj

,

,* Z+

, }

(Inf A + sup A) .

corresponde a n par . n e Z + .

n e{ 1, 3,5, 7, •

n e

donde Aj es la parte de A correspondiente

n e Z + . y A2 3n + 4 + n ------n

. /

...

4a +j —4 n

■

8 16/3

}

,

,

si n 1 1

,

si n » 3

los elementos de A

El Supremo

Cap. 3

• 24/5

,

131

si n ■

5

y cuando n crece en forma Impar Ilimitadamente,

la expresifin

se acerca a 4 en forma decreciente, sin tocarlo. Luego, y

■ 4 i

Inf

Para A2 :

4 + (4/n)

sup Aj * 8 e

.

n e { 2, 4, 6,

... }

, los elementos de A son:

3n + 4 - n 2(n + 2) _A^„,_.,, ------- ■ — ---- - » 2 , constante V n e { 2, 4, 6, .. > n+2 n+2 = &

A2 » { 2 > . Luegosup A2 M 2 ,

Inf A2 * 2

.

Asi,

sup (A) - inax {

sup (Aj) , sup (A2) > -

max {

8, 2

} *

8

Inf (A) - mui {

Inf (Aj)

min {

4 .' 2 } =

2

, Inf (A2) } «

Asi, hemos demostrado que A está acotado, y además: 9.27

TEOREMA.- Sea A

Inf A + sup A - 10.

un conjunto acotado. SI denotamos

conjunto

kA ■ { kx / x

por

kA al

e A } , demostrar que:

a)

k < 0

=>

sup (kA) ■ k Inf (A) ,

Inf (kA) « k sup (A)

.

b)

k > 0

=>

sup (kA) » k sup (A) ,

Inf (kA) » k Inf (A)

.

PRUEBA: a)

Sea ¿)

¿ l)

(b)es anSloga

a (a), y quedará como Ejercicio,

c * inf (A) , entonces c £ x ,

Vx e

Para todo c > 0

A ( = »

c es una cota inferior de A )

, :1ste un elemento

x„

eA

tal

qi-e-

c < x„ < c + e Como

k < 0 , entonces : (¿)

=a»

kc

Sea

d «

==>

kc

*

kx

,

V x c A

,

es una cota superior de kA . kc ,

entonces

Solo falta probar que:

kA está acotado superiormente por

(¿t) ===*►

si

e > 0 , enton-es para

un x„ e A

tal que:

c < x„ < c + e1

«=*•

c < x„ < c - (e/k)

«=s> «==> Es decir, que dado

d

.

d • sup ikA) : en efecto,

kc > kxr >kc - e d- e <

c' »

. pues

c/(-k) > 0 existe

k <

0

(kxc) < d

c > 0 , existe un elemento de kA:

kxc , tal

132

El Supremo

que

d -e <

Por lo tanto.

Cap. 3

kx„ £ d sup (kA) «

d * kc ■ k [ Inf A] ,

para

k< 0

.

De esta misma forma también se pu^de probar que: para k < 0 . Inf (kfl) = 9.28

COROLARIO.-

k sup (A)

Sea A un conjunto acotado. B - { -x /x

e

sup (B) ■ - inf (A) , SOLUCION:

9.29

Hacer k = -1 en

Ejercicio.-

Definimos el conjunto

A } .

Entonces, inf B * - sup (B) .

(a) del TEOREMA [9.27] previo.

sí a - { x E

r

/

15 1x- 3 1 < / 9 -x 2(x + 2)2

} .

demostrar que existen el supremo y el Infimo de A , tales que: -2 £ inf A £ sup A £ 3 . SOLUCION:

Universo U: -3 < x < 3

= > > 0

U - [-3, 3] y -1 £

. Luego, x+ 2 < 5

--------- , < /9 - x2 (x + 2)z £ / 9 - x 2 (25)

entonces 15(3-x) 3(3-x) = >

9-x2 > 0 x-3

<5 / 9 - x2 <

5/ 9

=s-

(3-x)

<5

x > -2 . Asi, considerando el Universo U , y la última desi^

gualdad, tenemos que ' :•

- 2 < x < 3 ,

-2 £ Inf A £

sup A £

pues -2 es una cota inferior de A , y el

V x c A 3, inf A es la mayor.

Asimismo,

3 es una ccta superior de A , y el sup A es la menor. Note que no ha sido necesario conocer exactamente los valores del Infimo ni del supremo de A . 9.30

EJERCICIO.-

I) Sea E - {

¡

n

E

Z+

que E estS acotado, y hallar: 2)

Sea

J . deoiortrar inf A

y

sup A.

A * Q D <0, 3/5 y . Hemostrar que A es un conjunto no vacío

y acotado, que SOLUCION: 1) n e Z + :

inf (A) ■ 0 ,

haciendo

y que

z ■ I n/3 ])/n ,

| sup (A) | como

n/3 > 0

« 5 .

Cap. 3

El SupreniO

z • ---n

> 0

.

y además, cono para entonces

n e Z*

n*l

6 n * 2 :

n - 3 k , 3k ♦ 1

«=>

^- k , 3

k+ i 3

<==>

H n/3 I

» k .

Por lo tanto,

0 <

y como para

k+ |

* ^

^ n

« 0

,

n • 3k - múltiplo de 3 ,

z

x c A -

k

— -— < — » 3k ♦ 1 3k 3 ,

z

kc

3

< I 3

sup (E) • 1/3 .

(¿?)

» E-E/11 n

Z + U {0 } e

Z+

,

¥

¥

k > 1

n c Z+

,

coinc.de con 1/3 entonces

Luego, E resulta ser un conjunto acotado. <— ■ >

Q D <0, ^ 5 ^

inf (A) »

0 : del dato 0

0

z

63k + 2 ,

6

0< — -— < 3k ♦ 2

=s>

a)

,

Inf (E) » 0 .

Asimismo, para

2)

¥

133

y c > 0

<

0 < x <

c *

0es una cota inferior.

c < ^5

< r
< V5

Sea

,entonces por un teorema, entre

existeunracional

0

^ 5 -x racional :

r tal

qui

= r e A

Se ha probado asi que para cualquier c > 0 , existe r c A

b)

tal que

0 < r < 0+e

sup (A) ■

Vi :

del dato

3— 0 < e < /5 ,

Sea y ^5

x « 1

e

c *

^

» 0

es una cota superior.

5

3— ( /5 ) - c

existe un neuUotutl r’ tal que:

> 0

r* < 3/5

Es decir,

¥

e

^5-e

<

r' < V i

x « 1

c « Inf (A)

entonces entre los números

0 < 3/5 - e <

Como

•r^

,

EXISTE

que A f

r‘ e A

= »

es un númvuo KacÁjonal , y

A. Asi resulta

=s» r' e A

.

tal que

sup (A)

-

0 < 1 < ^5

(i?) , entonces

♦(no vacio).

Y de (*): |sup A|3 > 5 .

3/5

- 134-

E1 Supremo

9.31

EJERCICIO.-

Si

b < 0

< a ,

M » { x c R /

|lC' 2b* x-a

> 0

V

x

E

R .

[ — x-a

«=»

[ — <0 x -a

De aquí, tenemos que: 9.32EJERCICIO.-

>0

sup M ■ a ,

Además,

SI existen, hallar el

.

v

x - 2b ]

v

x - 2b ]

b

< 0 .entonces

(¿porqué?) .

Supr-uhu y el Infimo 3 x < t < x ) :

3x < t < x

<=>

x < t-2x

0

< (t-2x)2 < x2

«=»

3x2 < 4x2 - (t - 2x)2 < 4x2 1nf A >3x2 i A

<

.. (a)

-x - (t -2x)2 < 0 z c <3x2.4x2 ] -

[lo queImplica que A ,

x < 0.

x < 0 . Denotamos

-x2 <

sup A • 4x2 • n u (A)

de

con

4xt-t2 - - (t2 -4xt) » - (t - 2x)2 + 4x2

«=»

Luego,

y como

inf M » 2b

x está fijo (constante) en R " z»

}

x c [0. a> U { 2b ) » H

A * { 4xt - t2 / SOLUCION:

> 0

1nf K y sup M .

Ix - 2b I > 0 ,

«=>

«=»

y si definimos elconjunto H:

b>lx~ 2b| x- a

hallar, s1 existen, Co m

Cap. 3

[ para

A

no tiene MINIMO ],

t * 2x ] .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS .1.

SI A y B son dos conjuntos no vacíos y acotados inferlormente que A c B . probar que: inf B 5 Inf A .

2.

SI

Ay

B son dos conjuntos acotados y diijuntoi , probar que:

a)

sup

(A U B) >

mar { sup A , sup B } (el mayor de los supremos)

b)

inf

(A U B) «

min { inf A , inf B } (el menor de los

c)

sup

(A n B) <

¿ni { sup A , sup B }

d)

inf

(A n B) i

¿up { inf A , inf B }

.

tales

Infimos)

Cap. 3

3.

El Supremo

Dar un ejemplo de dos conjuntos Inf (A n B) >

4.

A y B ,mediante intervalos tales que

sup { inf A ,inf B }

Dar un ejemplo de dos conjuntos sup (A n B) <

5.

A y B, tales que:

inf { sup A ,sup B } .

Dado el conjunto A cuyos elementos tienen la forma: n2 -n+Z

,

_+ si n c Z ,

n+2 — — , n

y

probar que A no tiene Supremo y que 6.

eos nn -— n+ 2

asi como de

8.

inf (A) - -0.125

/

n

S « { 2+

do.

Hallar

(-l)n — — n’

/

inf A y

n e

sup A

.

/ 1_6n { --- 3n + 4

10. Si

//

N } , determinar si

3— / ♦ (-l)n+2 - 3n

, W}

S

es acota -

i + 8n { —6(-l)n — -----2n ♦ 8

, /

n e

„ },. N

^-5 *

k

e

Z*

=s-

n ír par >

B= { x e R /

ÜjJ

x •

E 2

(a/b) > 0 .

Z+

}

Inf A y sup A .

Dados A » { x c R /

y

e

delos conjuntos:

.. } i , Bon eH

calcular, si existe,

= *

» n

b > 0 . dtii-jstrar que existe un entero positivo n < b < na .

A - { — 4

SUG:

, — — /

,si existen .

Hallar el Supremo y el Infimo

Si a > 0 , tai que 0

„ r 6 + *n M } , B«{ 2 - 7n

e

SUG: Aplicar el PrincipioArqulmediano para

11.

__ Z

e

A A B .

Sea

A* 9.

si n

Encontrar el Supremo y el Infimo de cada un de los conjuntos: . . A - {

7.

135

5

-

==s>

n - 2k * 3 .

k

e

n E { 5 , 7 , 9 ,

- - <0), x2 - 9

/ ----------- + 2 / (x f 2)(4 - x)

C - (

x e

Z+ ...

R/

}

—

2 -x

> 0 }, hallar,

> 0 }

siexis

El Supremo

136

Cap.3

ten, el Suprei o y el Infimo del conjunto

0 • (A - B*) (1 C

.

12. SI A es un conjunto de números reales, no vacio, y acotadoInferior mente tal que

A c

<-*» , 0 >

y

B ■ { x2 / x e A

trar que B está acotadosuperiormente, y que: SUG: Siendo

c * Inf A ,

elegir e* - / c ^ - e

},

denos

m

S(jp

- c , para el ca -

so: 0 < e < c2 . 13.

Dado el

conjunto

A . { I _ ( l)n ( 3n* 1 ) 2 n+1

determinar si A estS acotado. y el Infimo de A .

/

n c Z*

}

En caso afirmativo, hallar el Supremo

14. Encontrar tres números enteros n tales que:

12/2

< n

<

11/3 ,

sin utilizar extracclfin u ratees cuadradas. 3.

15. Hallar dos nümeros racionales q

tales que:

3 ——

/20

< q
sin utilizar extraccifin de raíces cúbicas. 16. Hallar el Supremo y el Infimo, A » {

si existen, del conjunto:

t2 - 2tx - 2x2 /-x < t < 2x } ,

SUG: xestS fijo (constante)

en R * , y

t2 - 2tx - 2x2 • (t - x)2 - 3x2 c 17.

x cR * .

t estirarlando :

[-3x2 , x2>

.

Sea A unconjunto de nümeros reales, no vacto, acotado superiormente, y sea k un número real fijo. Si B * { -i + k / a c A } , demos trar que:

18.

con

í)

B ¿i)

tiene Infimo inf B * (- sup A) ♦ k

Sean A y B conjuntos de números reales positivos, acotados superior­ mente, y C ■ { z / z • x-y x e A , y c B } . Demostrar que

19. Sea — n+3

C esti acotado superiormente, y que n c Z+ - { -3 S

sup C • (sup A)(sup

B) .

} . ¿Existe un mínimo valor de n tal que:

— sen — ? . En caso afirmativo, hallarlo, 4 3

20. Sea A un conjunto no vacio y acotado de números reales tal que : Inf A > sup A . Dadas las proposiciones siguientes , ¿ cuálesson verdaderas 7 : a)

Inf A

i

A 6 sup A

es una cota inferior de

A.

El Supremo

Cap. 3

137

b) A no tiene elemento mSxImo y A tiene un solo elei lento. SUG: Pruebe que

Inf A ■ sup A

21. SI A * { x e R /

, y que A es unitario.

| < 5b } f

|x-

hallar sup A, si existe.

asi como inf A . bI 5! I

2

'

'

'

2

Cl a v e d e Re s p u e s t a s 3. 4. 6.

A * [2. 3] U [5. 7] , B ■ <4. 6> A « [2. 4> U <6. 8> . B - <3. 5] sup A - 1/4 . Inf A * -1/3 . sup B ■■ -4/7 . sup (A A B) - 1/4 .

inf (A A B) - -2

pues, en este caso:

AA B - A U B .

7.

Inf A ■ 1 * min A ,

8.

sup B - 4 .

11. sup D » 2 ,

•

sup A • 17/8 • max A .

Inf B » 0.2 ,

10. sup A - -19/12,

inf B • -2 .

>up A - -5/7 .

Inf A - -2 .

Inf A - -2 .

Inf D * 1 .

Inf A « -5/2 » mili A . 14. n £ { 17. IB. 19 }

13.

sup A * 7/2 4

A

15. q c { 11/4 . 87/32 } • 16. sup A - x2 i A

.

inf A - -3n2 c A

19.

St existe tal n :

OSI C

A » { Xo }

21.

A » <-9b/2 . llb/2 >

[ para t - x ] .

n » 2 .

, conjunto unitario, a) Verdadera . * ■■:•

Inf A « •3b/? »

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

b) Falsa . sup iA • llb/2

138

Introducción al Análisis Matemático

4 VECTORES EN EL PLANO

1.

INTRODUCCION.-

Este capitulo trata acerca de los VECTORES y describe las operaciones entre ellos. Históricamente, la adición vectorial fue diseñada con el fin de poder trabajar con la composición y resolución de fuerzas y ve­ locidades. La regla del PARALELOGRAMO para vectores fue dictada por la re­ gla del paralelogramo para fuerzas y velocidades en el campo de la MECANICA. Aquí se presentan ademí.» varias Ilustraciones que indican cóno el Algebra Vectorial puede resolver muchas situaciones geométricas. 2.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

(6

RECTANGULARES)

Este sistema esti constituido por un plano y dos coplas de la recta real R , perpendiculares entre si, llamadas EJES Dt COORDENADAS X y Y respectivamente. El punto de Intersección de estos dos ejes es denominado EL ORIGEN DE COORDENADAS , y coincide con el número ctfio en ambos ejes. A cada punto P de este plano se le asocia un par ordenado de números reates P ■ (x, y) donde Yi # P' (*, yi ambos números x como y estSn y ■ 1 ubicadas en los ejes X y Y , i i respectivamente, tal como in­ 0 dica la figura adyacente. X X

Vectores

139

Al número x se le llama la fvUmtAa. componente. 6 a b iC s L & a del punto P, y al valor de y se le llama la ¿egunda componente, a ordenada de P . 2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados dos puntos Pj • (t¡, yj) y P2 ■ (*2. d atan w i

d[Pj, P2] entre Px y

d[Pj, P2 ] » 2.3

EJEMPLO .d[Pr

P2 por la siguiente relación pitagórica :

/ (4 - l)2 ♦ (6 - 2)2

SI Pj » (-3. 2)

P2 ] -

»

/9 + 16 -

y Pj - (1, -5) , entonces

/ [ I - (-J)]2 * [(-5) - 2 ] 2 / 42 + /65

se def^ne

(—7)2

- / 16 + 49

5

140

2.4

Cap.1»

Vectores

PROPIEDADES DE LA DISTANCIA W

la deflnicifin de ¡Ua & mcmlse tfene que

*)

dtPj. P2 ] >

0

f')

d [ p2* pi ^ *

d[P|» Pj J

(Propiedad

Conmutativa)

c) Para cualquier punto P3 del plano se satisface la siguiente propiedad denominida la DESIGUALDAD TRIANGULAR : rf[Pj. P2 ]

í

dt Pt. P3 ] +

«Í[P3 . P2 ]

Esta propiedad (c) serí demostrada mis adelante, en la secclfin 8.21. d)

pi M p2

•

La verificación de las propiedades (a) . (b) y para ei estudiante.

(d)

3.

rfC Pt. P2 ] *

0

c=o

dejamos como ejercicio

ALGEBRA VECTORIAL BIDIMENSIONAL

Recordemos que el Producto Cartesiano R x R conjunto de pares ordenados de números reales ; es decir. RxR

{ (x. ¡f) /

-

xeR

y

ycR

es el

}

donde la IGUALDAD DE PARES ORDENADOS se define de la siguiente manera. (a , b ) »

(c . d )

A los el“ entos ríe R x R

«==»

a - c

y

b ■ d

se les llama PUMOS .

A continuación presentamos dos operaciones entre Puntos de R x R . 3.1

DEFINICION. (SUMA DEPUNTOS DE

R x R ).-

a • (a^, a2) . b « (bj, b2) , se define la suma do 5 + b

-

(at ♦ bj . a2 + b2 )

+b

Dados dos puntos: como el par ordena­

Vectores

Cap.'f

3.2

DEFINICION

(MULTIPLICACION DE UN PUNTO POR UN NUMERO).-

Dados i ■ (íj, a2)

3.3

y r c R ,se define el producto

ra comosigue.

r á ■ (raj , ra2 )

eRx R .

EJEMPLO

Si i - (3. 5) . b - (6. -2) . hallar 2í ♦ 4b

3.4

141

DEFINICION

2 1 + 4b .

- 2(3, U ♦ 4(6, -2) » (2 x3 , 2x5) * (4 x6 , 4 x (-2) ) - ( 6 , 10 ) + (24 , -8 ) - ( 6 + 24 . 10 + (-8) ) - ( 30 , 2

)

(ESPACIO VECTORIAL BIPIMENSIONAL F 2 ) •-

Al pro­

ducto cartesiano R x R junto con las dos operaciones definidas previamente se le llama ESPACIO VECTORIAL BIDIMENSIONAL REAL R2 , y sus elemertos (6 puntos} a ■ (aj, a2) ahora reciben ül nombre de VECTORES . 3.5 TEOREMA

Sean £ * (b j , a2) , b * (bj, b¿) , c » (Cj, c2) v».cto-

res de R , y sean r y s nCmeros reales , entonces se cumplen las si­ guientes propiedades Aj :

a + b

e R2

(Clausura)

A? :

a + b

■

(Conmutativa)

A3 : (i + b) + A.

b♦ a c • i + (b + c)

(Asociativa)

:Existe un UNICO elemento 6 ■ (0, 0) c IR2 cero (6 nulo) de R

tal que

llamado el ORIGEN 6 elemento

a +

0 11 a .

A este elemento umbién se le llama VECTOR NULO. Ag : Para cadr vector £ ■ (a^, a2) de R2 existe un UNICO vector denotado por -i en R2 tal que _ a + (-i) « 0 donde

-i * í"aj»

es ^ ama^°

OPUESTO de a , 6 también el IN­

VERSO ADITIVO de i . Mj : ra c R 2 : l.i ■ £

,donde 1 e¡ el número real

Dj : (r + s) i

■ r i ♦ s5

D, : r (a + b)

■ r i + rb

uno

.

Vecrores

142 D3 :

r(s¡)

Cap. 4

• (rs)¡

PRUEBA. Probarenos la propiedad A^ . Todas las drmás se prueban en forma aníloga, utilizando los axiomas de los números reales en cada componente. Considerando el vector 5 » (0, 0), ne que

5 + 0

*

(aj, a2)

para todo vector a • (t^ a2) se tle-

+ (0,

0)- {dj + 0. a2 + 0) "

^*1’ a2* " *

pues para todo xcIR: * + 0 •x que es el axioma A^ de los núme­ ros reales. AdemSs, este vector 0 es el único con esta propiedad, pues si — 2 existiese otro vector b * (bj. b2) en IR tal que — a

m t

* + b

v para todo vector a de

*a

entonces tonando en particular Ó + b

-

Ó

¡ ■6

2

R

resultarla que

.es decir que

b ■ 6

necesariamente ;

por lo cual tenenos que el vector 5 es el único con dicha propiedad A4 . 3.6 DEFINICION (RESTA DE VECTORES). Para todo par de vectores i 2 b de R se define la resta a - b corno el vector

y

a - b

»

a ♦ (-b)

lo que equivale a restar las componentes respectivas. 3.7 EJEMPLO i

SI

- b -

5 ■ (3. -6).b • (4. -2) entonces ¡ + (-b)

-

(3 . -6) + (-4. 2) -

• (-1. -4) . SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Si i • (2. -3). b - (5. 4). £ . (3. 1). pc - (1. -1) y Pj (4. 3) , encontrar a) a + b

b)

a

-b

c) 3i ♦ 4b

d)

x

,si

e) Pc + 2(Pj - Pc)

f)

(Pc

íS ♦ a » 3b

+ Pj)/2

(3 - 4. -6 +

Cap. k

g)

Pc + tá

,

2. Demuestre que si solución

para

t ■ 0, í

t t 0

x •

1 , !2 ,

3 .

i

entonces s i + t x • b

tiene la única

b - sSí

3. Resolver para el vector Incógnita a)

143

Vectores

x :

2(0,3) ♦ 8 x - (1,-6)

c) 3 [ ¡¡ - (8,-2)] - 6(7,0)

b) -3(1, 3) + 2 x • 5(0, -2) +

4x .

4. En cada una de las siguientes relaciones indicar, si existe, el número real r que satisface a)

(3,-2)

- r (6, 4)

b)

c)

r(4. 2) + 3(4, -2) » ¿(6, -3)

d)

2r(4, 6) + 3(-2, 4)

- 2(-3, 6)

5. Hallar los pares de nDneros reales r

(3,-2)

- r (-6. 4)

+ 4r(2, 3) y s

talesque

a)

r(3, -2) ♦ s(6, 4) -

5 ; d)

r(5, 1) + s(3, 5) •

(5,

b)

r(3, -2) +

s(6, -4) -

Ó -, e)

r(4, 3) + s(-2, 6) «

(4, -57)

5)

c)

r(8, -2) + s(-12, 3) -

5 ; f)

r(3, -l) ♦ s(-6, 2) - (2, 2)

6. Determinar la abscisa del punto N sabiendo que su ordenada es Igual a 4 y que su distancia al punto N > (1, -2) es igual a 10 unidades. 7. Compruebe s1 los siguientes triángulas son isfisceles y/o

rectSngulos,

siendo sus vértices: a) 8.

y

(-3, 4) . (4, 3)

Encontrar en el eje de to P - (-3, 1) .

(0. 0) ;

b)

(-4, -2) , (-3, 5)

y

(0, 1)

ordenadas un punto que diste 5 unidades del pun­

g. Hallar en el eje de ordenadas un punto equidistantedel origen de coorde­ nadas y de

(3, -5) .

10. Encontrar en el eje de las abscisas un punto equidistante de los puntos P - (-1, 0)

y

Cl a v e

de

1. a)

(7, 1)

3.

(1/18, -12/8)

a)

Q - (7, -4) .

Re s p u e s t a s c)

(26, 7) 4.

d) i - (13, 15) . a) No existe r ; b) r • -1/2

; c)

r - 0 ;

d) Cualquier número real 5. a) r ■ s * 0 ;

r satisface esta relación.

b) Todos los r y

c) Todos los r y

s tales que

r + 2s

*

0 .

6.

9 6 7

s tales que 2r - 3s - 0 .

d) r » 5/11 . s • 10/11

;

7. a) Isósceles y rectSngulc ; 8. (0. 5) ó (0. -3) ;

k

Cap.*»

Vectores

144

9.

e) c * -3 , s - -8 ;

b) isósceles y rectSngulr

(0. -17/5) ;

10.

;

;

(4. 0) .

REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS VECTORES Todo vector

i • (a^, a2) puede ser representado geométri­

camente por una flecha . de la siguiente manera : Se eligí. 0 ó hacia la izquierda si es que íj < 0. Luego se continúa con un desplazamiento paralelo al eje Y en una diitancia düUeidt a2 , es decir, hacia arriba si a2 > 0 ó hacia abaju si a2 < 0 . Oe esta manera se ubica al punto de 1Vegada Pj . La flecha trazada par tiendo de P„ y que termina enPj es la que va a representar al vec­ tor a . La siguiente figura corresponde a la representación del vector £ * (a^. a2) para el caso en que a} > 0 y a2 > 0 .

Vectores

Cap. 4

145

Cada vector puede ser representad« por muchas flechas, dependiendo del punto de partida (lo cual darí lugar a un diferente punto de llegada) tal co­ mo lo Indican las flechas de la figura 1 todas las cuales representan al mis mo vector ¡ * (a^. a2) . Es asi que cada flecha determina un Gnlco vector ¡ al cual se le pue de representar en cualquier parte del plano siempre que la misma flecha haya sido desplazada de su primera posIcICn 4-út habexU. efectuado ninguna ¡wtcu ¿S Por esta razén es que a los vectores también se les llama VECTORES LI­ BRES. Ademls, a cada punto del plano se le puede asociar una únlct flecha que partlendc del ORIGEN llega hasta dicho punto ; tal es el caso del punto R. Asi, los puntos del plano también representan vectores, los que son denomina­ dos RADIO VECTOkES. 4.1 ma

SUMA DE VECTORES á +

Dados i • (flj, a2) y b ■ (bj, b2) entonces el vector su­ b - (aj+ bj , a2 + b2 )puede ser representado como siguíí

Se ronsldera un punto de pertlda P0 cualquiera.La flecha que represen ta al vector a se traza de3.de P0 hasta ubicar al punto de llegada Pj en la forma descrita anteriormente. A partir de P} se traza la flecha que representar} al vector b ubican do de esta nuneraal punto de llegada P2 . SI desde P„

hasta

Pj

se traza una sola flecha,

ésta

vector a + b , pues tendrá un desplazamiento horizontal total de bj unidades , y un desplazamiento vertical total de

a2

representarSal a} +

+ b2 unidades.

Cap. 4

Vectores

146

La misma flecha que une PQ con P2 y que representa al vector S + b pu­ do haber sido construida dibujando primero la flecha que representa al vector } , y a continuación la del vector i dando lugar a la relacICn conmutati­ va a ♦ b * b + i asi como a la relaciCn conocida como REGLA DEL PARA LELOGRAMO tal como se ilustra en la Figura 3. 4.2

MULTIPLICACION

(GRAFICA)

DE UN VECTOR POR UN NUMERO REAL

Dado un número real r . también llamado un z&caltvi, y un vector a « (alt a2) entonces el vector ra

»

(raj. ra2)

el cual se dice que es el vector r vece¿ á , 6 que es unmúltiplo di a puede ser representado corno en las figuras siguientes :

,

En particular el vector -5 » (-«j» -a2) es representado por una flecha del mismo tamaflo que el vector á pero dirigido en sentido contrario.

0

X

Cap.**

*1.3

Vectores

147

RESTA DE VECTORES

Dados los vectores á y b . la sta i - b ■ a + (-b) re­ sulta ser la sum del vector á con el vector -b y estS representada en la figura adyacente. 0

X

4.4 NOTA.-

Si se considera una flecha que part¿ de un punto P„ y lie ga hasta Pj para representar al vector á y si además se consideran a los puntos P0 y Pj como radio vectores entonces, por lo ante r.ormei.te expuesto, tenemos que

5 - Pj - P„

=

t

Pj * Po + 5

Esto quiere decir que para conocer analíticamente el punto de llegada Pj de un vector a teniendo como dato el punto de partida P„ , se toma al punto P„ como radio vector y se le suma el vector a . Es por esta razún que en el curso de Física es común representar a un vector mediante sus puntos de partida y de llegada en la forma

Además, cada punto P es Identificado con el radio vector OP del origen.

que parte

Cap. k

Vectores

148

4.5EJEMPLO.-Para encontrar el punto de llegada de la flecha que represen ta al vector a * (2, 4) sabiendo que el punto de apoyo (6 punto departida) es el punto P » (-1. 2) proceden», co" d sigue =*► Pj * P0 + á - (-1.2) + (2.4)

pi - po

(*Q, y0) y

4.6 PROBLEMA.- Probar qub si PQ » punto medio M igual a :

H - | fe, + V

Pj * (Xj, i/j)

del segmento que va desde P0

- (1. 6) entonces el hasta Pj es

•

SOLUCION Puesto que el vector ra tiene longitud |r| vjces el vector a entonces, si a » Pc Pj » Pj - P„ y H ■ Punto Hedió entre PQ y Pj . 1

-

2

3

H N

4.7 PROBLEMA.-

Para todo punto B del plano . demostrar que AC - ÁB + BC

dor

le A y

C son puntos del plano.

4.8 PROBLEMA.- Sea ABC un trISngulo y P, Q y R los puntos meOlos de sus lados. SI M es un punto Interior del trISngulo, probar que KA + MB + MC

-

MP + MQ + MR

SOLUCION Como datos tenemos pH

- i BA

• |

(A -

B)

QB

- | CB

. |

(B -

C)

RC

- i AC 2

- - (C 2

A)

A

Vectores

Cap.*t

149

Por lo tanto MA + MB + MC * « A - M + B- M + C- M - (A - P) ♦ (P - M) ♦(B Q) + (Q -M) + (C -R) - PA *

+ MP + QB + MQ

j(A-B)

+RC +

+ | (B - C) +

MR-

PA

+(R

+ QB+ RC +

| ( C - A ) * M P + MQ + M R «

-H) MP+

MP + MQ + MR .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Probar que

2.

Si P, Q, R son los vértices de un triángulo, probar que + RO - 6

AB + BC + CD •

AD . PQ

+ QR +

.

3.

Ilustrar gráficamente lasui

4.

Sea á > (2, -1), i = (3, -3); una flecha que representaal vector v« 2 á - 4b tiene corno punto terminal (5, 5). Hallar el punto inicial.

5.

Muestre analítica y grSficamente que existennúmerosr y s facen la relacifin c ■ r¡ + sb donde a) b)

6.

á ■ (5, 1) , i - (2, -1),

b - (3, b - (3.

a ♦ b ♦ c * 0 .

5) , c « 2) . £ ■

que

satis­

(5, 4) (5, 2)

Desde el punto A • (-3, 1) se ha trazado unsegmento al punto B * (4, -2). ¿ Hasta qué punto es necesario piolongarlo en la misma direccifin pa ra que se duplique su longitud ?.

7. Del punto A - (0, -1) se traza un segmento al punto B • (-4, 3). ¿ Has ta qué punto es necesario prolongarlo en la misma direccifin para que se triplique su longitud ? 8. Hállense los puntos simétricos respecto al origen de coordenadas de los puntos a) (3, 4) , b) (-6. 3) Cl a v e

f

de

4.

(13, -5)

8.

a)

Re s p u e s t a s

(-3. -4)

6.

(11. -5) b)

7.

(6, -3) .

(-12, 11)

MQ+ MR

Vectores

150

5

Cap. 4

PARALELISMO DE VECTORES

Dado un vector i , su múltiplo r á es un vector que indica la misma dirección que el vector á si r >0, e indica la dirección opuesta si r <0 , donde la direcciónestS dada por la inclinación del vec­ tor con respecto aleje horizontal X .

Al representarlos geoi §tr1 cántente, los tres vectores resultan paralelos entre sf, lo cual sugiere la siguiente definición analítica. 5.1 1)

DEFINICION .Jos vectores £ y b no nulos TIENEN LA MISMA DIRECCION (es decir, el mismo sentido)

si i es un múltiplo positivo de b , o sea, si á * r bpara algún r >0

2)

Dos vectores £ y b no nulos TIENEN Dir.ECCIONES OPUESTAS (sentidos opuestos) si a es un múlt'plo negativo de b : i

5.2

DEFINICION

• rb para algún r <0

Do' vectores

£ y b son

PARALELOS (y

se de.iota

£ // b ) si uno de ellos es un múltiplo real del otro. Es decir, a // b

5.3 NOTA.-

5.4

s—t

[ a * sb

ó

b » ti

, para algún s ó teR )

E1 vector 0 se considera paralelo a cualquier vector £ pues Ó » 0. £ ,donde 0 es el cero real .

EJEMPLO.- Losvectores i b *

■ (1, -4)

y b ■ (-2, 8) son paralelos:

(-2, 8) ■-2(1, -4)« (-2) í

; mas aún, por ser

Cap. 4

Vectores

b un múltiplo negativo de a , entonces á y

1S1

b tienen direcciones opues­

tas. SOLUCION

Los vectores á ■ (4. 4) y b - (2, 1) no son paralelos, Kjes si asi lo fuese existiría un número r tal que

a » (4. 4) = rb - r (2, 1) * (2r, r) y de laigualdad de las primeras y de las segundas componentes se tiene que 4 « 2r y 4 ■ r , respectivamente, es decir, r * 2 y r = 4 simultSnea mente para el mismo r , lo cual es absurdo. 5.6

PROBLEMA.-Dados los puntos A ■ (-4, -1) , B = (3, 2) y C *

(2, -2) , hallar un punto D cuyas componentes son positivas de manera que cuadrilStero ABCD sea un paralelogramo. SOLUCION Existen tres posibilidades para el punto D según la grSflca , puede ser Dj 6 D2 también , pero como las componentes de D deben ser positivas elegimos el que se encuentra en el primer cuadrante.

Y como ABCD debe ser un cuadrilStero entonces el vector ü ■ BD debe ser igual al vector AC , el cual viene a ser una traslación del vector ü ; lúe 9° l

BD - AC

asi que

==>

D - B - C -A

D - B + C - A - (3. 2) ♦ (2, -2) - (-4, -1) -

(9, 1)

S.7 PROBLEMA.-Dado un cuadrilStero ABCD se construyen los puntos me dios M, N, P, Q de los Tados del cuadrilStero. Demostrar que MNPQ es un paralelogramo. SOLUCION

Según la figura demostraremos que

-

|

(BC

♦CD)

-

±

(BA

♦AD)

-

i

BA

♦¿ ÁD

-

MA ♦ AQ

La prueba de 5.B

Cap.1*

Vectores

152

-

MQ

(b) es análoga.

EJERCICIO.-

SOLUCION.

SI A y B son dos puntos cualesquiera del plano, demostrar que BA * - AB .

BA - A - B

• - (B - A)

- - ÁB .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar el valor de n , si existe, para que el vector (1. m) sea para lelo a : a) (2,6), b) (3,-2), c) (4,6). d) (0,2). 2. Dddos punto 3. SI

los puntos A• (2, 5) . B - (9, 2) . C - (-3, 4),encontrar un D de talmanera que ABCD sea unpara1elogramo.(Tres soluciones)

a yb son paralelos a c

sí. 4. SI d ■ 5.

6.

b ♦ c y sí b // c ,

lo si

c es paralelo a a

SI á

- (a

í2 ♦

a2 ■ 25

. a2) y b

probar que 5 y b sonparalelos entre probar que des paralelo a á

.

* (2, -4)/3

, hallar a2 -

tienen direcciones opuestas y si

Sj .

Si el vector á ■ (1, IB) es expresado como y //c y si b - (-1, 4) , c - (2m, 3m) ,

á ■ x ♦ y donde x H b, hallar el vector x .

7. Sea el triángulo ABC tal que AB ♦ BD *(1/3) AC . Si dicar cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas : I)

SD- ¿ C B

♦

II)

DS

-(1/3) AB

III)

BD

-^ AC - |DS

si y so­

DS // AB , in­

BA -i CA

A

D

C

Cap. ‘ t

Cl a v e 1. 2. 6.

Vectores

de

'53

Re s p u e s t a s .-

a) m - 3 ,b) m • -2/3 . c) ai-3/2 . d) m no existe ; (-10. 7). (14, 3), (4. 1) ; 5. 3✓! ; x • (-3. 12) . si m t 0 ; 7. I) V . II) F. III) V .

6.

LONGITUD 6 NORMA

DE UN

VECTOR

Dado el vector á * (a¿, a2) se define la LONGITUD DEL VECTOR á y se le denota por |a| al nCmero : |á| - /aj

+ a*

A este nCmero |£ | también se 1« llama NORMA DEL VECTOR i . 6.1

Ej e m p l o s .-

1) Si ¡ • (3, -4) entonces |S| ■ i (-4)2 ■ 5 . 2) SI á ■ (D, 0) entonces |£| • D . 3) Sea a ■ (a., a,), sí a f D entonces |S| t O pues si á f (0. 0) en 2 2 tonces a^ f 0 6 sino a2 f 0.luego ax + a2 > 0 ypor lo tanto |á| » /aj + a2 6.2 NOTA.

> 0

= » |á| t0 .

Dadosdos puntos P^ » (*j, y^) 2 n

y P2 » (*2,

y^)

en elplano

i entonces sq tiene que:

IP1P2 I *

* C PI. P2 ]

■

En efecto,

IP1P2 I * h*2 * V

H - »1* I " /<*2_Jtl)2 + *»2 "»I** ‘

6.3 TEOREMA (PROPIEDADES DE LA NORMA DE UN VECTOR).. • 2 Dados los vectores a , b c R , y rcR. 1)

|¡ | > 0

2)

|r 5 | -

. Ir| |5 J

I*) .

|¡| * 0 |-5| = |5|

«=*

i - 6

.

Pl- P2]

entonces

Vectores

154

3)

|5 + b| < |a| + Ib |

Cap.4

DESIGUALDAD TRIANGULAR

PRUEBA. (1) Se sigue de la deflnicifin y del ejemplo (3). (2) Co»o rá - (raj, ra2) p®ra ¡ ■ (a^ a2) : |rá| - / (raj)2 ♦ (ra2)2 • /? ~ . /aj + a2

• / r 2 (a2 + a2 ) ■ |r|. |a|

(3) Ladesigualdad Triangular serS demostradaposteriormente en base a la De {Igualdad de Cauchy-Schwarz. 6.4

EJEMPLO

Dado el vector á ■ (4, -3), la longitud del vector 3i es

13a| * 315) M 3 / 42 + (-3)2

* 3/25 * 15

y la longitud del vector (-35) es : 1-35| - |(-3)S| - ¡-3).|5| - 3/25

- 15

6.5 PROBLEMA Encontrar el valor de t para el cual el valorde mínimo donde 5 » (2 - 3s, 1 - 4s) .

|5|

es

SOLUCION |5|2 - (2 - 3s)2 + (1 - 4s)2 - 25s2 - 20s + 5 - 25[s2 - (4/5)s + 1/5]- 25[(s - 2/5)2 + i¡ i

-

s/ u

- f

? *

1/25]

i 2

En el radical, la erpreslfin (s - 2/5) siendo un cuadrado es siempre mayor o Igual que cero, siendo ceAo su valor mínimo el cual ocurrir! para s “ 7/5. El vector correspondiente es 5 * (4/5, -3/5) y el valor de |5| es 1. 6.6

VECTORES

UNITARIOS

Un vector ü es UNITARIO si su longitud es Igual a 1, es decir, si |ü|» 1. Por ejemplo, el vector ü ■ ^ (-4, 3) es unitario pues |ü| ■ i f (-«• 3)1 ■

3)1 ■ | / i * « ) 2 + 32

‘ I ^

‘

1

SI 5 f n el vector unitario G que tiene la HISMA DIRECCION que el vector 5 tiene la forma :

Vectores

Cap.**

¡i - —

l'l

■

155

Ia I

y el vector unitario v con DIRECCION OPUESTA al vector a tiene la forma : á v -----H En lafigura adyacente, i * (4, 3) y |á| ■ 5 , por lotanto ü ■ ^ (4, 3) y el

opuesto v « - i (4, 3) - (-4/5,-3/5) .

Si ü es un vector unitario con una dirección dada, cualquier vec tor (unitario ó no) que tiene la misma direcciónque u tiene la forma k ü con k > 0 (es decir, es un múltiplo positivo de ü), y su longitud coincide con el número k . 6.7 EJEMPLO Dado el vector i » (12, -5) encontraremos el vector unita rio ü que tiene la misma dirección que á , asi como el vector unitario v que toma la dirección opuesta a i,; como |á | «

/l22 + (-5)2

ü * ñ / |5 | -

/169

- 13 , i

(12, -5) « ( ^ , ^-); 13 ' 13’

entonces á . 12 5. * ---- “ ( " — , — ) la I 13 13

6,B NOTA.-

Los vectores unitarios que siguen las mismas direcciones de los semiejes positivos X+ y Y+ se les representa por 1 ■ (1, D) y J ■ (0, 1) , respectivamente. AdemaS,todo vector á ■ (a^, a?) se puede expresar en términos de los vectores *. y j en la forma : Y 5 * aji ♦ a2 j ■ (®1’ a2> Por ejemplo, (5, 9) • 5*

♦ 9J

6.9 PROBLEMA.En el segmento AB donde A • (-2, 2) y B ■ (6, 8) encontrar un punto P que distt 4 unidades dt punto A y un punto Q que

Vectores

¿56

Cap. 4

diste 5 unidades del punto B . SI ü es el vector unitario que tiene la misma direc­ ción que AB ■ B - A ■ (8, 6) donde |AB| ■ 10 unidades, entonces los puntos P y Q segün la gríflca son : P

« A+

4ü

Q

- B-

5u

y comoü * AB / |AB | * ^ (8, 6) P Q

7

■ (4/3, 3/5)

entonaces

- A + 4 ü - (-2, 2) ♦ 4 (4/5, 3/5) - (6/5, 22/5) ■ B - 5Ü ■ (6, 8) - 5(4/5, 3/5) - (2, 5)

ANGULO

DE

INCLINACION

DE

UN

VECTOR

EN

EL

PLANO

SI se considera un vicXei unLUuúo u * (u^ u2) y su represen­ tación como radio vector, el Sngulo B formadc por el vector ü y el eje X cono en la figura donde B es medido a partir del semieje positivo de las X en ¿¿nt'do ant¿he»UL\¿o. En este caso se puede expresar a Uj y u2 en funclfin de 6 como sigue : Uj ■ eos 6 u2 >

sen 6

y por lo tanto el vector ü como (eos 6, sen 6) Esto Indica que para cada vector unitario (u1 * (eos 6, sen 6)

u2) existe un único Sngulo 6 ,(0 < 6 < 2» ), tal que ú

A este Sngulo 6 se le llama ANGULO DE INCLINACION DE ü. AdemSs, todo vec tor i M

se puede representar como

» * 1*1- ¡4U

6

á * - |a |(- p-¡) a|

Cap.**

Vectores

Asi, si se tiene la ecuación: a ■ kw tonces |®| = 1k w | = |k | = >

157

, donde |w | « 1 y k eR, en­ k = ± |a | (dos soluciones) .

Pero, si se elige al vector ¡I = (eos 0, sen 0) como el vecton. uniXa/Uo con I entcnces

la. m¿&ma icte .cifn que

5 =

|i |ü

« = =>

i =

En esta situación, alSngulo 0 se le llama el vector no nulo a .

|a |(eos 0, sen0) ANGULO DE INCLINACION

del

7.1 NOTA De la definición anterior se sigue que si se tiene á = kw don­ de w es un vector unitario en la misma dirección que á, ento.ices k = |a | es la solución y es la única solución. 7.2 PROBLEMA.-

Si

á - (alf a2), |¡| -

3

,

ya ^

- 2

,

hallar el vector á . SOLUCION V

a2 = 2

— *

al ' Za2

á = (dj, a2) » (2a2, a2) - a2(2, 1) i * (/la,)

2

^

donde

/5

w =

(2, 1)/ /5

es unitario.

/S a2 = ± |5[ = ± 3

==>

a2 = ± 3 / / T

=>

at ■= ± 6//~5 .

Por lo tanto existen dos soluciones posibles para á : i = (6, 3) / V T

7.3 PROBLEMA.-

y

á ■ (-6. -3///T

Hallar el seno del Sngulo de inclinación 6 del vector l ■= (8, -15) .

SOLUCION Como |í| = 17, el vector a = 17(8>17, -15/17) ó

á puede expresarse como á - -17(-8/l7, 15/17)

pero para conocer el Angulode IncLinacíón 6 de á se considera solamente la representación con el signo + es decir : 5 * + |i| (eos 6, serB) con el Por lo tanto (eos 8, sen 6) » (8/17, -15/17)

—

>

coeficiente - + 17 .________ + |á | sen 0 = -15/17

Cap. 4

Vectores

158

S'tfIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. SI á * (í j , *2) , |á) ■ 2, a ,’a2 » 4, hallar á (dos sol'jclones) 2. Unvector á tiene longitud 5 y el punto de apoyo en (1, -1). Encon­ trar el vector i si la abscisa del punto terminal es 4. 3.

Probar que si P t Pj entonces los puntos que trisecan al segmento que va de PO a P.1 tienen la forma (P„ ♦ 2Pj)/3 y (2P0 + PjJ/3

4. En el siguiente exSgono .¿guiar de lado Igual a 5, Indique qué vectores son Iguales y tr.r «nt.re la suma de todos los vectores de la figura en for ma geométrica y en forma analítica.

X 5.

SI L, Ht N son puntos medios de los segmentos BC, CA y AB respectlvamen te y Q es un punto cualquiera demuestre que a)

QA + QB + QC - Q L + Q H + Q * ¡

b)

AL+BM+CN

- 6

6.

Conociendo los vértices adyacentes de un paralelogramo A > (2, 0), B - (-3, 3) y el punto de Intersección de sus diagonales Q • (-1. 0) hallar los otros dos vértices.

7.

Hallar los vértices de un triSngulo, sabiendo que los puntos medios de sus lados son M - (-1. 7)/2, N - (-3. -4)/2, P - (4, 3)/2 .

B.

Hallar la longitud de la mediana del lrdo PQ en el triSngulo cuyos vér­ tices son P ■ (3. 7), Q ■ (-4, 0) y R * (1, -4).

9.

El segmento cuyos extremos son A - (-2, 3) y B ■ (4, -1) estS dividi­ do en tres partes iguales. Halle los pur.tos de trisección .

10.

El segmento cuyos extremos son A « (3, 2) y B * (18, 7) estS dividido ef; cinco partes iguales. Halle los puntos de división.

11.

Demuestre que la linea media de dos lados de un triSngulo es paralela al tercer lado.

Vectores

Cap.**

159

12. Un av16n se dirige al NE a 720 km/h (su velocidad >-elativa al aire) . El viento estS soplando hacia el sur a 120 km/h. La velocidad v^ del avión con respecto a tierra es la suma (resultante) de los dos vectores anteriores. Determinar v-j. grSfica y analíticamente. Encuentre su iuLp¿déz , es decir |v^| . 13.

Si 5 * (m, 2m), b // á , á - b * Í2m, p) y |á - b| » 20 ,calcular |b| dorde m f 0.

14.

En la figura, si q = ¡ + b + cdeterminar componente de q es cero, |Í>| * 20, |S | - 10 /2 , y que la primera com ponente de c es igual a 20. Asumir que sen 37° - 3/5.

q sabiendoque la

segunda

Y V

b

a /

37^\ 0

X

15. Se tienen los vectores ¡ » r p , b = tq , c * (-3, 2 /3); cal­ cular |b 1 si c ■ rp + tq

16. En la figura, si P es un punto tal que el Srea del triángulo o es cin­ co veces el Srea del triángulo P , calcular |P| .

17. Encontrar el coseno y el seno del ángulo de inclinacifin de los vectores: a) d) 9)

(-2, 3) (4, 1) (D. -3)

b) e) h)

(1, 1) (-8. 6) (4, 2)

c) f) i)

(1, 6) (3. -4) (-15, -8)

18. Dados los vectores ü * (a, -b) , v * (2b, c) , ü + v « (1, 1) , ü // v calcular ab/c.

si

19. Hallar la longitud de la suma de los vectores unitarios u y v si ü tiene la misma direccifin que ¡ * (4, -3) y

v tiene la direccifin núes

Cap.4»

Vectores

160

ta a la de

(-5, 0).

20. Sean a y a dos vectores *1e f2 tales que o es el vector opue de < . Si b tiene el mismo sentido que el vector c • (-1/3. 1/4) |á| * 5 . determinar el vector x * 2 b + i . 21. Encontrar

el valor mínimo de

22. SI ABCD nar

es un hexSgono regular cuyo lado mide ^21unidades, determi­

I5 «

Cl a v e I.

de

s - 2) donde s c R.

+ f CF I

Re s p u e s t a s

5 - ± (8. 2)/ /Í7 ; B * po * f

6.

|a| si á » (3s - 1,

;to y

!

C - (-4. 0) .D - (1.

2. ¡ » (3. ± <4) ;

3. A - P„ + | P^Pj

.

4. FA - DC . BC - FE , *uma - (iO. 0) ; -3) ;

7. A - (1. -4) . B - (3. 7) . C - (-4.0)

B./226/2 ; 10. (6. 3). (9. 4). (12. 5). (15. 6) II. Si M y N son puntos medios- de AB y AC entonces MN - N - H - ^ - 5 12. VT -

-

- i (C - B) - BC /2 . luego W¡ - ± BC

(360/ F . (360/2) - 120) ;13. | b | - 10 ;

15. |b | - 5 ;

16.

5/ÍO/3 ;

17. a) eos - -2/

14. q-(14.0); , sen * 3/^13 ;

c) eos - 1//37 . sen - 6//37";

g) eos - 0 . sen - -1 ;

19.

1) eos - -15/17 . sen - -B/17 ; (9. —3)/S ; 20. x - (-4. 3) ;

21.

8

0RT0G0NAL1DAD Y PRODUCTO ESCALAR .

b

EL VECTOR ¡ X

La palabra oitogonal es sinónimo de peipemUcuto/i ; si a y son los lados de un paralelogramo. entonces los vectores à +b y

à - b b

18. ab/c - -1/2 ; /5/2 .

son sus diagonales.

Geométricamente se tiene que ¡ es o.-togonal a

si las diagonales tienen Igual longitud ; es decir, si es que elparale-

Vectores

Cap.**

161

logramo es un rectSngulo como indica la figura que sigue.

8.1 DEFINICION.-

Dos vectores a y b son ORTOGONALES |i + b | *

8.2 NOTACION.8.3 EJEMPLO.

¿Z, si

|á - b |

Si á es ortogonal a b

se denota

a X t

Los vectores á * (2, 1) y b « (3, -6) sor ortogonales en­ tre si , pues siendo a ♦ b » (5, -5) , 5 - b * (-1. 7) entonces r—------ | á ♦ b | - /5 + (-5) - /5Ó |a - b | »

/(-1) ' + 72

De la definición 8.1 de ortogonal1dad de dos vectores i * (a^, a^) y b = (bj, b2) la condición

|a + b|

■

la igualdad: | i * b |2

,2

I5

-

(at ♦ bt)2 + (a2 + b2)2 - (aj - bt)2 - (a2 - b2)2 - 0 4albl + 4a2b2 aibl + ®2b2 La expresión

Sjbj + a2b2

resulta ser de considerable importancia en las

ramas del Algebra, la Geometría y nombre especial. 8.4 DEFINICION.-

(*)

la Física , y en razón de ello recibe un

EL PRODUCTO ESCALAR á.b de dos vectores a * (aj, ®2) y b * (bj, b2) se define de la si­ guiente manera :

|á-b|

PRODUCTO ESCALAR

8.5

Cap. k

Vectores

162

b

»

aibi

* 2b2

De esta definición se sigue que tZ P/Lodu:£u E¿calan, u un y no un vecton . También recibe el nombre de Producto Interno .

NOTA.-

nümvw Htat

Puesto que

|a + b|2 - | i - b | 2 “

4 ¡ .b

,

la condición de

ortogonalIdad (*) puede ahor? ser expresada en términos del Producto Esca­ lar de la siguiente manera : 8.6

TEOREMA.-

Dosvectores mente si:

á y b

son ORTOGONALES

si y sola­

á .b » 0 .

Este teorema proporciona un criterio mas sencillo para determinar la or togonalldad de vectores como en el caso del Ejemplo 8.3 en que á ■ (2, 1) y b » (3, -6),

los cuales resultarían ortogonales entre si pues

á. b •

(2.1). (3,-6) -

2x3 +

1 x (-6) • 0

mientras que los vectores c ■ (2, 6) y d • (-2, 3) no son ortogonales entre si pues ______ c . d - (2.6). (-2,3) - 2 x (-2) + 6x3 - 14 f 0 8.7 EJEMPLO.-Hallar i.b 8.8

el producto escalar de

- (-4,8) . (3,1)

PROPIEDADES

DEL

-(-4)x3

PRODUCTO

+

a • (-4,8) y b * 8x1

-

(3,1) :

-4

ESCALAR

Dados los vectores 5 * (alt a2) , b - (bj, b2) , c ■ (Cj, c2) y el número n.al 1)

á .b

2) (r 5

. b) ■

r se cumple que b .i

(Conmutativo)

r (a . b)

3)

i . (b + c) -

4)

i .á

5 .b

« | i |2 *

+ i .c + a2

> 0

(Distributivo) ;

á .á

■ 0

<=^>

i » 6

Cap. ‘t

Vectores

5)

|á + b|2

-

|á|2 + 2i . b + |b |2

6)

|a - b|

-

|a|2 - 2 ¡ . b

163

♦ |t|2

La demostración de estas propiedades es muy sencilla, de modo que solamente haremos las de (2) y (5) ; las demSsse dejanpara ellector: (2):

(r i. b) - [ (raj, ra2) .(bj, b2) ] {rajJbj -

(5):

r (5 . b)

Usando la propiedad gún (1) y (3) , (5 +

+ ( « 2)b2 - r ( a ^ + a2b2)

(4)

para el vector (i + b)tenemos

b) . (i + b) * (i + b ) . a (I.á

+

+

|á |2 + b.I

*

|á |2 +

y por otro lado:

(á + b) . b

b.a)

»

que se­

+ (á.b

+ á.b

2 á. b

(a + b) . fá + b) »

+

+ b . b)

+

|b|2

|b|2

. - 2 |i + b |

(Prop. 4)

De esta forma hemos demostrado la propiedad (5) que se diferencia del cua­ drado de una suma de números rea íes en que el dbblt pfioducXo es el dobL¿ productoucaJtaJi de losvectores á y b . Sintetizamos laspropiedades |á ± 8.9

b |2 - |á|2

(5) y (6) í

2 á. b

TEOREMADE PITAGORAS.- Dados los c?

51 b

en la siguiente fórmula + |b|2 vectores £

y b en R2, entonces

|a + b|2 » | » |2 + |b|2

PRUEBA.- La demostración es directc pues sabemos que: i 1 b s1 á. b « 0 ; luego utilizamos la relación (*). 8. ID

EL VECTOR

si y solo

i-J-

Dado el vector

á • (a^, a2)

se construye el vector

(-a2*

el cual puede comprobarse que es ortogonal a a , y tiene la misma longitud; su representación grSfica es tal que pareciera que el vector a ha girado

Cap. ‘t

Vectores

164

9G~ en sentido antihorario. Este vector se denota por : (-a2. a,) si es que

5 * (Bj . a2) .

Note que -a

(á"L) 1

8.11 NOTA.- Obsérvese que

fl . á

«o

para todo vector

5 , tanto

grifica como analíticamente.

8.12 TEOREMA.- Dados los vectores 5 * no nulos» entonces: i es ortogonal a b

a2) y b » (bj, ! ,) , ambos c

?

5 -*- //

b

DEMOSTRACION. Siendo a f 0, por lo menos una de las componentes de a es diferente de cero. Supongamos que a( f 0 ; luego, 5 JL b

<=»

5 . b - Bjbj + «2b2 » 0

«=»

L-

(bj,b2) - ([-a2b2 /a,

«=*>

b-

[b2 /a1] {-a2. Bj) -[bj/ajJS-1-

e 1

S

y

8.13 COROLARIO.-

b

<— =*bl ' * a2b2 /ai ], b2)

son paralelos

Dados los vectores 5 y b no nulos, entonces

a y b no son paralelos

<-=>

a .b

t 0

S'L 6. b t 0

PRUEBA.- Puesto que el teorema anterior es una equivalencia, entonces 5 y b rio son paralelos

<= *

que b ^ r o es ortogonal a i ) 8.14 PROBLEMA.a - ; k . Si SOLUCION.

es ortogonal a b (y del mismo modo i 1 .b t 0 (6 a .rb i"*■ f 0 ) .

Los lados de un triSngulo son los vectores 5 , b y |b | * 3 , 5 . b ■ 4 y |a + b | « 9 ; hallar | á | .

81 * | 5 + b |2 ■ |i|2 + 25 . b + |b|2 -

|i |2 + 8 + 32

Cap. k

8.15

Vectores

165

PROBLEMA.- Encontrar todos los valores reales de x tales que el vector (x. 2x + 1) sea paralelo a (2x - 1, x + 2).

SOLUCION.- Sean a > (x, 2x + mo teorema se tiene que: á U b {-[2x ♦ 1], x) ; entonces

1), b * (2x - 1, x + 2) ; aplicando el 01U si y solo si 5^". b > 0 , donde S"*-»

(-[ 2x + 1 ]. x) . (2x - 1. x + 2) ¿ 0 -[ 2x + 1], x)(2x - 1) + x(x + 2) - 0 <=*■ (3x + l)(x - 1) - 0

<=> <==> <==>

3x2 - 2x - 1 » 0 x - -1/3 6 x - 1.

8.16

PROBLEMA.- Sea el rectánguloA8CD cuyos vértices son A - (-1.6), B - (2,3). C y D . SI AC // (3.1) . DB J. (-3.1) y el Srea del rectSngulo es de 36 u2 . hallar los vértices C y D. SOLUCION.Considerando el vector unitario ü en la dirección de AB * (3, -3) tenemos que |Á8| - 3/2 ¡5 - ÁB/ |AB| - (1.-D//2 AdemSs,

ab ■ 36 , donde

a - |Á8| b -

-3/2

36/a - 6 /F

Por lo tanto, C ■ B +

bü

D * A + =*

bu C - (2, 3) + [6 /2U.l)//2]

-

(8.9)

D - (-1.6) + [6/2(l.l)//2]

-

(5.12)

8.17 PROBLEMA.-Encontrar los vectores á y b tales que a + £-*■ » (-1. 5). á + b es ortogonal a (-5. 3). ¡ + b es paralelo a (1, -1) y SOLUCION.i + b1

Sean á - (a^ «2) . b » (b1,b2) . entonces de los datos:

- (-1. 5)

(á + b) // (1,-1) á . b * - 11

i . b + 11 ■ 0 .

... (1) , <=*> «==»

(S1 + b) . (-5,3) ■ 0...(2)

(á + b).(l.-l)1 (i + b) . (1.

»0 1)

*

... (4)

Multiplicando escalarmente la ecuación

(1) por el vector b resulta que

0...(3)

Cap. k

Vectores

166

bt - 5b2 + 11

(5)

[ usando

(4) ]

al - b2 * -1 a2 + bi - 5

(6)

[ usando

(1) ]

(7)

[ usando (1) ]

(B)

[ usando (2) ]

(9)

[ usando 0) ]

3(b2 + 8j)

- 5(bj - a2)

•l + b2 - - (a 2 + b j)

.■

Resolviendo el sistema se obtiene : Asi, S - (-3, 4) y b - (1. -2) 8.18

PROBLEMA.-

- -3 ,

a2 - 4 ,

bi-1

En la figura, ABCD es un cuadrado y ABE un trISi.gulo equllítero. SI A ■ (4, 9) y B - (12, 3), hallar el

vector DE + CA . SOLUCION.Encontraremos los puntos C, D y E . El vector u en la dirección de A8 es ü - AB /1ÁB1 y como A8 * B - A - (8, -6) y a ■|A8|

-

drado) entonces

10 (el

lado del cua

h ■ (a/2) /3

pues el trISngulo EM8 es rectín_ guio de 3r* y 60° . De esta ma ner#:

h - 5/3

ü ■ (8.-6)/ |(8,-6) | - ^(8,-6) - (f ¡r1- * (3/5. 4/5) C - B +

a(-üx )- B - 10üx ■ (12,3) - 10(3/5,4/5) -

0 - C + a(-ü) » C - 10 ü -

(6, -5) - 10(4/5, -3/5)

(6, -5) - (-2,

1)

E - M + h( üJ_ )■ ^ (A + B) + 5/3 (3/5, 4/5) - | (16, 12) + (3/3. 4/3) Luego,

DE ■ E - 0 CA - A - C

y

* -

-

(8 + 3 /3. 6 + 4 /3)

(10 + 3 / 3 , 5 + 4/3) (4, 9) - (6, -5) -

(-2, 14)

DE + CA ■ ( 8 + 3 / 3 , 1 9 + 4 ^ 3 ) .

A continuación presentaremos una desigualdad muy Importante en la teoría vectorial y que se cumple en cualquier espacio Rn .

Vectores

Cap.**

8.19

167

DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARZ .-

Para todo par de vectores a y b se tiene la siguiente propiedad relacionada al producto escalar llamada la VES1GUALVAV VE CAUCWSCHWARZ |-------------------!

| á .b | < |a||b|

Para la demostración de esta desigualdad ver los Problemas Propuestos (6) y (8) de esta sección. Esta desigualdad es equivalente a - |á 11 b| <

i. b

<

|i||b|

I

(*)

La igualdad estricta en el lado derecho se satisface si es que a y b son paralelos y tienen la misma dirección, pues en tal caso se tiene b « r , con r > 0 (si es que ninguno de los dos vectores es nulo), asi qu¿ _

a.b

_

*

_

a .(ra ) *

2

_

r(a.a) * r|a| ■ I r ||i ||i 1 ,pues - | a | |rí | -|á ||

|r |--

r

b|

La igualdad estricta en el lado Izquierdo se satisface cuando i y b son paralelos y tienen diAícoionti opuíitai pues en tal caso b “ ra , con r < 0 , asi que _ _ . . _ 2 a.b - a .(ra ) * r(a.a) * r|a|

8.20

PROBLEMA.-

’ - M l » l l » l •Pues

| r |- -r

- - |i | |ra| - - I5

IIb |

Hallar un vector unitario a tal que el producto esca lar á . (-2. 1) tome su mínimo valor posible.

SOLUCION.Según la desigualdad (*) si b ■ (-2, 1) , el mínimovalor que puede tomar a.b es “ - |a | | b |" ,que por ladiscusión anterior se cumplirá en el único caso en que a // b y si tienen direcciones opuestas; y como a debe ser unitario : á * - b /1 b|

por la teoría de vectores unitarios , luege

¡ = - (-2. l)//5

« (2/ /5 , -1//5 ) .

168

8.21

Cap. k

Vectores

Desigualdad Triangular para la DISTANCIA .Dados dos puntos P

Pj y

P2 en el plano, para cualquier otro punto

se cumple que: dtP, . P2 ]

d [ f x . P3 ] +

í

d[ P3 . P2 ]

De la NOTA (6.2) : d[ Pj

. P2 ]

*¡ V 2 I

-

|TIP3 + P¡?2 |

... (Prob.

i

|P|P3 I + IP3P2 I

(Deslg.Trlang.)

8.22

PROBLEMA.-

SOLUCION.-

d [ V x . P3 ] +

4.7)

d[ P3 . P2 ]

Demostrar que todo Sngulo Inscrito en una semicircunfe­ rencia es un Sngulo recto.

Consideremos la circunferencia de radio r con centro en el

origen, y el Sngulo 8PA .Demos­ traremos que PB 1 PA :

A

(Lo que es equivalente a que PB . PA - 0 ) Puesto que

|A | » |0A| - r ,

|P | • |ÓP| - r ,

B - -Á

:

PB . PA- (B - P) .(A - P) (-A - P) . (A -P) * - I M 2 + lp |2 "-r2 + r2 - 0 . B.23

NOTA

Según los problemas anteriores se ve que las cuestiones que involucran distancias y ortogonalldad pueden ser resueltas con freLuencm usando vectores unitarios y el producto ucatax.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1. SI a , b y c son vectores tales que: 5 + b + c « 0 , |j | ■ 3 , |b | ■ 1 , |c | ■ 4 , calcular el valor de a.b + b.c + c . a . 2.

Demuestre que 5 + b |5| ' M

.

y

i - b

son perpendiculares si y solamente si

Cap.4

Vectores

169

3. ¿ Para qué posición relativa de losvectores ecuación: (a . c) b ■ (b . c)i ? 4. Demuestre que el vector

á, b y c

se satisface la

b(a . c) - c (i . b) es perpendicular

a á .

5. Demuestre que el vector

b - (a * ) a es ortogonal alvector i . I»'l2 6. Demuestre que para todo par de vectores a y b :|¿ . b | i |á| |b| . _ „o SUG. Puesto que , . - r b | > 0. pata todo nwnesio r e R . desarro lie dicho cuadradoparar ■ (a .

b)/ |b|2 . en particular

.

7. Utilizando el problema (6) demuestre la Desigualdad Triangular para to­ do par de vectores 5 y b: |S + T, | < |¿| + |b| . SUG. Considere el cuadrado de |á + b | . 8.

Demuestre a)

que :

(a + b)-*- = á-*- + b-*-

b)i . b-*- «

d)

- a-*-. b

e) (raj-*- ■ r

c)(a-*- )-*- = -a 9.

f) | |¡| - |b || < | i - b |

Demostrar que i) la-*- + b| « |í - b-*-! i i)

a-*- . b^- « á . b

a-*- +b ■ ¿ + b-*-

. =s>

a * b

10. Si a - (-3,5) , b = (2,-3) , hallar la longitud del vector c para: i)

c * (i + b) . (¿ - 2b)b"L

1i)

c « (a . b) b-*- - (5^- . b) c

11. Pruebe que er cualquier paralelogramo la suma de los cuadrados de las Ion gitudes de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de dos lados adyacentes. _ • • 2 12. Dados los vectores a , b y p en R determinar los números r y s en términos de sus productos escalares de manera tal que el vector p - ri - sb sea perpendicular a los vectores i y b simultánea­ mente. 13. Sea ABC un triángulo y H la intersección de las alturas que pasan por A y B. Probar que la tercera altura también pasa por H, es decir, que Hl es perpendicular a A8 . 14. Sea G » ^ (A + B + C) puntn, demuestre que |PA|2

+

|PB|2

un punto del triángulo ABC y sea P cualquier + | PC|2 -

3 |PG J2

+ |GA|2

170

Cap. ‘t

Vectores

15. SI a y b son vectores en IR2 y tales que demuestre que |a | « |b| .

5-*- + b"*- ■

16. SI i y b sor vectores paralelos no nulos, | a + b |■ |a | | b| , hallar (a + b)-*- .

y a * (12, 5)

a +b

,

es tal que

17. En lafigura. ABCD es un trapecio, el triSngulo ABD es equIlStero, y el trISngulo BCD es rectSngulo en D y tiene la hipotenusa BC de longitud 10 /2 unidades. SI el Sngulo BCD mide 37° (considere sen 37° ■ 3/5), 8 - (-2, 4) y D * (4, -2), nallar el vector AC y el vector AH .don de M es el punto medio de la hipóte nusa BC .

A

18.

Pruebe que c es paralelo al vector

19.

Si 5 + b + c » 6 , y

20.

En la figura PQRS es un rombe tal que |PQ | * a .

(b-*- . c) a - (i-1- . c) b .

I | ■ 2, | b| * 5 . |c| » 6 . calcular

i .b .

Demuestre que PR.SQ - 0 b - i S1

SI á // (/3, 1) , | ¡| » m , calcular n* - «i2 .

22.

Demostrar que el ¡rea del triSngulo cuyos vértices son los puntos A • (*1 >

y {)

y

i + /3 b - 2 (1, ¿3) .

21.

, (*2> y2 ^ > (*3. V3) puede expresarse en la forma de un deter

minante cono sigue (eligiendo por supuesto el valor absoluto):

23.

Si

1

*!

Vi

1

x2

y2

1

x3

y3

á + b + c + d ■ 6 , calcular

2 c .d

sabiendo que

á + b « 6,

Cap. k

Vectores

171

|c | - 3 , |d| - 4 . 24. Hallar vectores unitarios i tales que el producto escalar á. (2,-5) i) tome su mínimo valor , ii) tome su mSximo valor posible. 25. Encontrar todos los valores reales x tales que el vector dado por (x* - 5x3 + 5 x2 - x - 3, 8x - 4) seaparalelo al vector (-3, 4) . 26. Hallar xe IR tal que si A = (x2 - 9, -x) , B = (1 - x, x2 P = (2x2 - 1, x - 5) y ÁP + 3P8 - (0.0) .

8) ,

27. Si i es un vector unitario de R2 . la suma de las componentes de b es 31 , y el mSximo valor de a . b es 41. Hallar los vectores a y b. 28. Si i y b son vectores no nulos del plano tales que ||a | - |b || = |á - b| , probar que £ estS en la misma dirección que b . 29. Si 2 a-*- - b = 2 b-*- -

a ,demostrar que

30. Si i + b * ( |b | , |i |) , demostrar que Cl a v e 1.

de

(a + 5

b) .(á - b)

esortogonal a

*0 b .

Re s p u e s t a s .-

-13 ; 3. Para todo par de vectores paralelos i y D , y cualquier vector c del plano ;

13. Sean P , Q y R los pies de las alturas correspondientes a los vértices A , B y C respeet., luego H-A+

r B C1 |

H « C - s ÁC 1

BA - s Á CX - r B C 1

J

con s - (AB.BC/8C HC - C - H * 8C + (AB. BC / BC

Luego verifique que HC .AB * 0 sabiendo AC1 16. b * (12.

(AB * BC)1 - ÁB-1- + BCX . 5)/12 ó

.AC ■*")AC

que y que8C± .ÁB

A - (1 - 3 /3 . 1- 3/3 ) . C - (12. 6) , M * (5. 5) .

19.

7/2 ;

25. 26.

;

23. 11/2

x e {-1 , 1 , 2 , 3 ) ; Dossoluciones:

« -B C. ÁB1 .

b - (-12. -5)/14 ;

17.

21. 132

A C 1 ),

;

24. 1) (-2,5)//29, 11) (2,-5)//29.

26. El único valor común es x « -2 .

Ira.: b ■ (40, -9) , a = (40,-9)//1681

.

2da.: b » (-9, 40) . i - (-9,40)// 1681

.

Vectores

172

9

COMBINACION LINEAL DE VECTORES.

Cap. 4

INDEPENDENCIA LINEAL

Dados dos vectores no nulos y nc paralelos á y b , se tflce que el vector c es una COMBINACION LINEAl VE á y b si es que existen dos números reales r y s tales que sb

(*) El hecho de que a y b no sean paralelos asegu­ ra geométricamente que se pueden construir los vec­ tores r í y l " oe tal manera que la suma de ambos sea igual a c.

Analíticamente, decir que i y b no sean paralelos equivale a que a . ¿ 0 y á-*- . b ¿ 0 (Corolario (8.13) ) y que por lo tanto se puedan realizar los siguientes cÍIciUmí pcuta conoce*, r y s , a partir de la ecuación vectorial (*) c * rá ♦ sb : 1) Multiplicando ambos miembros dt (*) ej¡catajune.n,f poK ti victo*, i-*- : r a . á-*- ♦ s b . a-*-

c.a-1

sb .

s

donde

á . a-*- • 0 ,

c .a b . á-1-

k -L 2) Multiplicando ucaJtaAmtnte. ambos miembros de (*) por el vector b

c . b"*- *

■

ra . b-*- ♦ r a . b-*"

s d

donde

.Í

b . bJ

0

.

c . bJ

á .IJ De esta manera se obtienen los valores correspondientes de r y s que re­ suelven la ecuación (*) . 9.1 TEOREMA I .- Dados dos vectores no nulos a y b en R' no panaleZoi entonces cualquicA. vccXoK c puede expresarse de manera

Cap.1*

Vectores

única coro

c

■ ra ♦ sb

,

173

donde los números r y s son calcula­

dos como en la explicación anterior. 9.2 TEOREMA II .-Dados dos vectores nonulos á y b . Si estos no ion panattlot , entonces : r á ♦ sb

-5

~ -

vectores

r =0 y s « 0 . (simultáneamente)

PRUE8A.Se sigue de los cálculos anteriores tomando en particular el vec tor c * 0 . 9.3 DEFINICION .-

Cuando dos vectores a y b satisfacen el TEOR. II se dice que a y b son VECTORES LIDEALMENTE INDE­

PENDIENTES en*.e ¿X . En forma mas general, se tiene que dos vectores a y b son LINEALMENTE "NDEPE JIEWTES si se cumple la siguiente implicación: rá

+ sb

- 0

=

En caso contrario ,se di^e que a decir, si es que se presenta uno de

[r«0

s= 0 ]

y b son LINEALMENTE PEPENDIENTES. Es los dos casos siguientes :

i) Si al menos uno de los vectores á ó ii) si á y b son paralelos .

9.4

y

b es el vector

0 ,

ó sino

Ejemplos .-

1. Los vectores á - (2. 1) y b * (0, 0) son línealmente dependiente« pues uno de los vectores es el vector 0 , en este caso el vector b . 2. Los vectores á * (1, -1) y b * (3, 4) son linealmente inde.ptn
= •

r (1, -1) ♦ s (3, 4) ■ (0, 0) r . (G. OM-4.3)

, Q

(1,-1).(-4,3) * , (0, 0).(1, 1)

_ Q

(1,1).(-4, 3) ==» [ r« 0 y s*0] lo cual pudo haberse deducido mSs rápidap» U viendo que 5 y

b no son pa-

174

Vectores

Cap. 4

ralelos ni nulos, y utilizando elTEOREMA 9.2 . 3. Los vectores á * (-1, 2) y b - (3, -6) NO SON llnealmente indepentUmtti pues ton poAalelet ; en efecto, b • -3 a . 4. El vector 0 es un vector llnealmente dependiente pues es paralelo a cualquier vector á . 5. Todo vector no ñuto i por si mismo es un vector llnealmente Independien te pues rS * 0 =*• r ■ 0 (pues ¡ f 0 ) . 9.5

Tres vectores á . b y c son lineatmente indepen­ diente* entre si si es que se cumple la Implicación

DEFINICION.-

ra

+ sb

♦ te

- 0

=*•

[r - 0 , s ■ 0 y (stru1tíneamente)

t* 0 ]

En caso contrario, se dice que a , b y c son lineatmente. de.pencU.en , es decir, si es que al menos uno de los coeficientes no es cero . 9.6 1)

Co n s e c u e n c i a s d e

la

De f i n i c i ó n

e n el

SI al menos uno de los vectores a , b y los vectores i . b y c son llnealmente

Pl a n o

R2

c es el vector O entonces dependientes entre si .

2) S1 ninguno de los vectores ¿ , b y c es el vector 0 y si dos de ellos son paralelos entre si, entonces a ,b y c son llnealmente dependientes entre si . Por ejemplo , si ¡ ■ (2, 1) . b - (4, 2) y c ■ (1, 1) . entonces (*)

rS + s b + t c

*0

==»

(2r ♦ 4s ♦ t , r ♦ 2s ♦ t) ■ (0, 0)

2r ♦ 4s + t « 0

2r ♦ t * - 4s

r ♦ 2s ♦ t - 0

r ♦ t » - 2i

Resolviendo este sistema de ecuaciones tenemos que tanto r como t deperdtrín del valor de s , el cual puede tomar cualquier valor real: r*-2s, t* 0 , para cualquier valor s cIR. De este nodo la ecuación (*) se cumple para infinitas soluciones, ademSs de ceros; por ejemplo para s « 1 , r “ - 2 , t “ 0 . 3)

Si ninguno de los tres vectores es 0 , y si ningún par de los vectores á . b y c son paralelos entre si, entonces se puede expresar cualqule ra de ellos (digamos c) como combinación lineal de los otros dos de ma-

Cap. 4

Vectores

ñera única

c ■ ra ♦ sb

175

deacuerdo

ca **"*

rá + sb -

c - Ó

=»

r¿ + sb +

tc*0

al TEOREMA 9.1;

ello impli-

con t - -1 [f 0)

y según nuestra última Definición 9.5 esto indica que los vectores á , b y c son Liniatmtnti ('¿pe.AdLe.nt ¿ entns. ti. Asi, se tiene la Nota siguiente. 9.7 NOTA.-Tres vectores cualesquiera en el Espacio Vectorial nealmente dependientes entre si. 9.8 PROBLEMA.-

R2 son 11^

Indicar si los siguientes conjuntos de vectores son li­ nealmente independientes entre si: 1.

5 - (1, I) .

b -(-2. -2) .

2.

á • (2, 1) ,

b - (3, 6) .

3.

á « (1,-1) ,

b - (1, 0) ,

4.

á - (0, 2) .

b - (0, 0) .

c - (3, 1).

SOLUCION.1.

NO

SON linealmente independientes pues

2.

SÍ

SON lin. independientes pues

3.

Siendo tres vectores en

4.

NO SON lin. independientes pues

9.9 PROBLEMA.el punto medio SOLUCION.-

á no

á es paralelo a b . es paralelo a b, ni son nulos.

R 2 , NO SON linealmente Independientes. b « 0

.

Dentó ,trai' que las diagonales de un paralelogramo se bise can entre si. Es decir, que su punto de intersección es ambas diagonales.

Probaremos que

M « ¿ (A + C) ,

N - i (B ♦ D)

ó equivalentemente, que M = A + s AC (*) DATOS :

AB = DC , BC ■ AD , AB y DA son Linealmente Independien tes. Igualando los segundos miembros de (*) tenemos que

Cap. 4

Vectores

176

=^ >

(1 - t - s) AB *

= •

1-t-s

»0

(s - t)AD ■ 0 , y cono AB y

s-t-0

9.10 PROBLEMA. En el triangulo ABC mente BC. SI AB - 2rAK

+ sÑC

ÁB-ÁN

AO

y

s " ^

los puntos H

y

y H

son Lln. Indep: 4“ í •

trisecan al seg

(*)

calcular el valor de SOLUCION.-

=•

4r - 3s .

De la figura ,

+ ÑB-AN

+ 2CN

« ÁN

- 2ÑC

Reemplazando esta expresión en

(*) se tiene que: AN - 2 NC

AN - 2ÑC - 2rÁÑ + sÑC

=*■ (1 - 2r)AN + (-2 - s)NC - 0

= » 1 - 2r ■ 0 y -2 - s - 0 pues AN y NC , siendo no paralelos, son llnealmente Independientes. Asi resulta que r - 1/2 y s - -2 . Luego 4r - 3s • 8. 9.11 PROBLEMA.-Dados los puntos P • (1, 2) , Q • (2, 5) , R » (5, 8) y S ■ (9. 10) que forman un trapecio, encontrar los puntos M y N sobre las diagonales si se sabe que MN ■ (PS - QR) , tal cono en la figura siguiente.

SOLUCION.M N

-Q -P

De

(1) y

MN - i [ (8. 8) - (3, 3) ] « ( § , | )

♦ r QS ♦ tPR

MN • N - H

(2)

...

*" y puesto que

QS *(7, 5) y

- P - Q ♦ t PR- rQ

PR * (4 ,

6) ,entonces

. es decir

(5/3, 5/3) • (1, 2) - ( 2 . 5) ♦ t(4. 6) - r(7. 5) f (4. 7)

(1)

- t (4, 6) ♦ r (-7, -5)

Reemplazando estos valores en H • Q ♦ rQS

- ^

=*•

= *

t - ||

y

r- ^

(2) , seobtiene

(94. 185) .

N - P

+ tPR

- ±

(49,

90).

177

Vectores

Cap. 4

9.12 PROBLEMA (UNI) Los vértices de un rectángulo ABCD son A « (-2.-6), B - (-6.-2). C • (2. 6) y D. AdemSs, E c CD . F c ÁD . G c BC . ÍG//(l,-3) y FG + FE '(4,14). Encontrar 1) El vértice 0 , 11) Los puntos E , F y G .

F = A + sAD » (-2,-6) + s(B, 8)

... (3)

=>

k (1.-3) - re - G - F - (-6,-2) + t (8, 8) - (-2,-6) - s (B, 8) =>

(-4. 4)

—

k «

=»

=

(s - t) (8. 8) * k (1,-3)

(-4,4) . (-8,8) _ 2 ^ (1.-3) . (-8.8) ’

FG - -2 (1,-3)

s - t -

(~4,4) • t3»1) , . I (B, 8) . (3,1) *

- (-2,6)

FE * (4, 14) - FG * (6, 8) ,

y usando (2) y

(6, 8) = FE = E - F * (4,12) ♦ r (4,-4) - s (8, 8)

(3) :

el cual operando

(2,-3) = r (4, -4) ♦ s (-8, -8) =»

r « 3/4 , s * 1/8

y

Por lo tanto, reemplazando estos valores en (2) y E * (5, 3) 9.13

PROBLEMA

,

F-

Si ABCD

del segmento AB , hallar 6m - 9n AH

,

G-

(1)

obtenemos

(-3.

1)

es un paralelogramo y M es el punto medio C

si

m AC + n MO

(-1, -5) ,

t ■ 3/Bpuess-t■-1

... (*)

Vectores

178

SOLUCION.-

Dato:

AB * 2 AM , entonces

ÁM - ÁD + DH - ÁC + C D - M D ==>

3 AM

Cap. 4

* ÁC + B A - M D

- AC - 2 AM - MD

* AC - MD

Y reemplazando en

(*) :

(AC - MD)

= >

(m-

i)ÁC

* ♦

mAC + nAD (n ♦ i)ÁD

- 6

Y coi o AC y AD no pueden ser paralelos, la flltlma ecuación Implica por 1n dependencia lineal que m -

9.14

* 0

y

n ♦

■ 0

; 1uego ,

6m - 9n » 5 .

PROPIEDADES DE LOS VECTORES ORTOGONALES UNITARIOS .-

Un caso Interesante de combinación lineal de dos vectores se pre­ senta cuando éstos son vjíLtanXoí y peApentíiciUcuiu tnX\t t i ,como es el ca­ so de los vectores i ■ (1. 0) y / * (0, 1) . En general , si se considera un vector unitario u y el vector

¡j1

en lugar del vector / , entonces

en lugardelvector

i

el vector

c ■ 3 ü ♦ 2Ü1 viene a ser una combinación lineal de los vectores unlta ríos ü y ü-*- , cuya repre sentación gráfica la tenemos en la figura adyacente, don­ de la longitud de c es : |c | - / 32 + 22 guio cuyos catetos miden

13 , por ser la hipotenusa de un trlíngulo rectán 3 y

2 unidades, respectivamente.

Por esta razón , es que en general, si ü es un vector unitario, se cumplen las siguientes relaciones : a)

|xü * yu^~ | -

/ x2 + y2

,

b)|x ü - yü*-\ -

J x2 + y2

las cuales se demuestran considerando el cuadrado de los primeros miembros , que

u . u1 » 0 , y que

|ü | « |u1 1 * 1 .

Cap.1*

Vectores

179

9.15

DEFINICION.-

S1 dos vectores á y b son unitarios y ortogonales entre si, reciben el nombre de VECTORES ORTONORHALES.

9.16

EJEMPLO.- Calcularemos la longitud de los vectores: 3u ♦ 4u

-5 u ♦ 12 Si u

15 ü - Bl

-35 u - 12 .11 u

donde | u | * 1

SOLUCION.- Siendo u un vector unitario / 31 ♦ 42

I*1

| 3 u + 4 ü"*" | ■

|b|

| -5 ¡3 ♦ 12 ü1 1

/(-5)2 ♦ 122

13

|c|

■ | 15ü - 8 ¡i1 | -

J 152 ♦ (-8)2

17

|d| - |-35ü - 12 ü1 ! = 9.17. PROBLEMA.-

* !

/ ( —35)2 ♦ (-12)2

/ 13f9

37

Encontrar el vector TS de la figura.

SOLUCION.- Si ¡j es el vector unitario en la dirección del vec­ tor OQ donde Q ■ (-15, 8) , entonces : ü ■ ÓQ/IÓQI

- (-15,8)/|(-15,8)| -

(-15,8)/17

Además en el triángulo RST se tendría que 8ü - 6 Ü 1 9.18

=

(-72, 154)/ 17

, pues

PROBLEMA.-

TS * 8ü ♦ 6(-¡¡-*-)

¡J1 » (-8, -15) /17

.

En la figura, los puntos A * (2, -1), B * (10, 5) y C son los vértices del triángulo ABC de área 25 unid? Encontrar el vector BH donde

H es el pie de la altura corres pondiente al vértice B . SOLUCION.Si consideramos un vector unitario u paralelo al segmento AB , y un vector unitario v paralelo al segmento AC , entonces :

-

Vectores

180

G -

AB / 1Ab | * (8, 6)/10 ■ (4, 3)/5 ,

y como

AR * a ü entonces

- -•

b * 5

AB

*

(8,6) ■ n-4/5.

- (5, 10)/(5/5)

nv + h (-v-*-)

;

, (del dato del área)

AC - aü + bü1 » 10 (4,3)/5 * 5 (-3.4)/5 v * ÁC/|AC|

AdemSs,

donde |AB| -1 0

a ■ |a ü | - 10

■| a b = 2 5 — =► a b ■ 50 = *

Cap. 4

-

- (5. 10)

(1, 2J//5

=*► 10 u ■ n v - h v-*-

=»

n(l,2)//5 -h(-2,l)//5 , que al resolver se obtiene:

h * 2 /§" . Luego, BH - h v1 *= 2 /5 (1,2)i//5

- (-4,

2).

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1. Dados £ ■ (1,-1) , b •(1,2) encontrar ry s de tal manera c * ra ♦ sb , siendo c el vector: a) (2,3) , b) (10,-9) , c) (3,-6) . d) (0,0) 2.

Dados los vectores a « (x,2) , b • (3, x) , c « (2, 3) ,hallar r y s , donde c - r á + s b , y r»2s.

3. Sea c = t á +■ s b , hallar el valor de ¡ = (3.5) y b = (2,2) .

si

que

x,

c X (á + b) , donde

4. Si á , b y c tienen el mismo punto inicial y c ■ sa ♦ tb con s + t * 1 , y si los puntos terminales son Pj, Pj y P3 , demostrar que los vectores P ^ y P3 son colineales. 5. Sean

y PjP3 son paralelos. Es decir, que Pj , P2

á , b y ctres vectores con

elmismo punto inicial

P0 ; siexis

ten números r . s y t diferentes decerotales que ra ♦ sb +■ te = 0, donde r + s ♦ t - 1 y si Pj . P2 y P3 son los puntos terminales de 5 , b y c respect. , pi uebe que los vectores P ^ paralelos. 6.

y

son

Demostrar que las mediatrices de un triingulo se intersectan en el mismo punto.

7. Sean A , B y C los vértices de un triingulo. Demuestre que las tres medianas se intersectan en un punto 6 , llamadoBARICENTRO , y pruebe que G es un punto de trisección de cada mediana , y que:

Vectores

Cap. 4

181

6 • i (A + B ♦ C) SUG.-

SI P es el punto Medio del segmento AB , considere el punto G como la Intersección de las dos nedianas correspondientes a A y B ; luego, para probar que G se encuentra en la tercera media­ na correspondiente a C , deauestre que GC // CP . 8. Los radio vectores de los puntos A , B , C y y -á + 2b respect. Expresar en términos de

0 son i , b , 3á + b , á y b los vectores

AB , AD , BC , BD y CÜ . Hallar además los puntos mentos AB , BC , CD y ABC , ACD y BCD . 9. Si ABC y A'B'C' probar que

AA'

DA

Medios

de los seg­

asi cono los baricentros de los triángulos

son dos triángulos con baricentros G y G' ♦ BB'

respec..

CC‘ ■ 3GG‘ .

10. Dados seis puntos A, B, C, D, E y F , si P, Q, ricentros de los triángulos ABC, ABD, DEF y CEF , 0 , R y S son los vértices de un paralelogramo.

R y S son los ba demuestre que P ,

11. Si A8CD y A'B'C'D1 son dos paralelogramos, demuestre que lospuntos medios de AA' , BB' , C C y DD' son también vértices de un paralegramo. 12. Si Q , G y H sonel clrcuncentro. baricentro y el ortocentro(1nters.cclón de las alturas) de un triángulo ABC , demuestre que los vectores QG y GH son paralelos y que G triseca a QH. SUG.- Pruebe que si R es el centro de la circunferencia que pasa A, B y C , entonces RH » RA ♦ RB ♦ RC .

por

13. Suponga que ABCDEF es un hexágono regular Inscrito en una circunferen­ cia de centro Q y radio r . Sea <ÍS • p , BC • q ; expresar en térml nos de p y q los vectores CD , DE ,EF , FA y también los vectores QA , Qb , ... ,QF . Demuestre que los ortocentros de los triángulos ABC, BCD, ... ,FAB , forman un hexágono regular, y se encuentran sobre la circunferencia de centro Q y radio 2r . 14. Suponga que Q es el centro de una circunferencia que pasa por A|, A2 y Aj de radio 1. Si el punto rjj es el punto definido por QBj » Q«2 *

QA3 , demuestre que B^ es el centro de otra clrcunferen

cía de radio 1 que pasa por A2 y

. Si además otras dos clrcunferen

182

Vectores

Cap. 4

cias de radios unitarios y centros 82 y B} son dibujados y que pa­ sen por A3 , Aj

y

Aj , A2 respect., probar que los tres centros

8j , 82 y B3 se intersectan en C donde QC - QAj + QA2 + QA3 . 15 Daoos los puntos P • (1,2) . Q ■ (2,5) , R » (5,8) , S ■ (9,10) , que forman un trapecio, encontrar dos puntos M y N sobre las diagonales, si se sabe que MN -

(PS - QR)/3

tal como en la figura. 16. En el paralelogramo ABCD , M es punto medio de AB Hallar s y t si B AM «

sÁC ♦ tDM

17. En el triangulo ABC se tiene 3 EC - AE E8

; hallar s y

• sBA +

t

tBC

18. En el para'elogrrno PC^S de la ftgnra, N es punto medio. Hallar s y t si PT

- sQR +

tPH

19. En el triangulo PQR se tiene que NC // PRy que los seg­ mentos AR y BQ son medianas. Hallar s y t si se sabe que RM

- sMC +

20. En

tPQ

elparalelogramo ABCD , M N son puntos medios. Hallar 2s - 3t si se sabe que

y

OC

SMC + t ND

si

Cap. 4

Vectores

183

21. En el paralelogramo delProblema (20), si A > (1,1) , B ■(3,5) C ■ (7,7) , hallar P y Q si es que CD • -2 PQ .

y

22. Demostrar que en cualquier cuadrilítero los segmentos que unen los pun­ tos indios de los lados forman un paralelograro. 23. Demostrar que las tres bisectrices de los Sngulos de un triSngulo se 1ntersectan en un punto. 24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados opues tos Je un cuadrilíterocualquiera ABCD se bisecan entresi . 25. En el trapecio ABCD , A - ¿0,1) , B > (3,5) , C > (B,7). Si ÁD > 2BC, y M es el punto medio de CD, R r hallar P , Q y R si AM • 4PQ

26. Demostrarque lasuma de los cuadrados dianas de cualquier triSngulo es 3/4 tres lados.

de las longitudes delas tresme­ de la suma de loscuadrados di los

27. Pruebe que si a y b son 0RT0N0RMALES , c * ( . . c) i + (b . c) b para todo vector c del plano. 28. La figura ABCD es un paralelogramo. S1 P es el punto medio de BC , calcular 4m - 2n , si BG ■ m BC + n AP . 29. La figura ABCD es un paralelogramo.

SI BP •

.

BG ■ m 3C + n AP calcular

mn

30. En el triSngulo ABC se tiene Si

BM - r BA + tBC

hallar

r - t .

AM • ^ HC

B

y

si

,

184

Vectores

31. Dado el paralelogramo ABrD , si P, Q, R y

Cap. 4

S son puntos medios de los

lados y T es el punto de intersección de QB y donde AT * m BD + n QC .

PQ

hallar 4m + n ,

32. En el paralelogramo ABCD AF = ± AD ; Si

5 BE

ED

EF ■ m AD + n AB

hallar

,

m + n .

33. En el triángulo ABC , las longitudes de los segmentos como 3 y 5 respect.; si CD - mAB

+ nÁC

(*)

determinar:

8 ■ + 12n .

SUG:

- DA/5 .

34. Si

BD/3

M y

N son puntos de trisección

del lado BC del triángulo ABC , y AN - mAC

+ n A8

valor de:

j m

calcular el

j n

35. En el paralelogramo de la figura ÁE Si

4

AC .

DF • r ÓC 2

EF » m AB + n AD

calcular:

36. En la figura

TP // OX ,

Si OT = mÓP calcular:

,

m - n .

m y

+ ftOP n.

|0P| - B. . 45

BD y

DA son

Cap, k

Vectores

185

37. En el cuadrilítero ABCD, AE ■ AB/3 , F y ci6n de Cü , y M es punto medio de EF . SI AB ■ ^ OC , y AM « r AB + s AC + calcular:

G son puntos de trlsec-

t CD ,

5r - 4t ♦ 2s .

38. En el trISngulo ABC de la figura, tice C , y DA es a AB como 2 es a 5. SI DC - r/B

+ SBC

calcular:

5r + 3s .

CD es la altura trazada desde el vér

D ¡3__

39. La figura adyacente es un octógono regular ABCDEF. SI A • (/2,4/2), B - ( 5 / 2 , 4 ^ ) . hallar los K ----vértices C, D, E, F y G . y el centro Q del octógono. r

0

\F

„

40. El punto A « (-1, 6) es uno de los vértices del cuadrado ABCD cuyo cen tro es el punto E ■ (-3/2, 5/2). Hallar los vértices B, C y D.

Cl a v e 1.

de

R e s p u e s t a s .-

a) r - 1/3 ,s * 5/3 s - 4/5 ; 3.

,

s/t « -25/12 ;

P3 - Pj ■ t (P2 - Pj) = = » 6.

d) r *

s

■ 0

4.

;

2.

P ^ 3 -(1 -tJP^P,

N ■ (A + C)/2 y

==>

-1/4 ,

r » B/5,

+ tP¡P2 =* >

PjPj " t PjPj (Esto indica que son paralelos).

Considere M. N, P puntos medios de BC, AC y probar que H Q J L B C :

*»

AB

respect.; se debe

Q - P + tÁB - N + r Á C 1 .

P - ( A + B)/2

,

t ■ -(CB . AC)/(2 AB1 . AC) , reemplazando t en Q

luego usando M = (B + C)/2 , verificar que

HQ . BC * 0

15. M « (109,180)/33 , N - (164, 235J/33 . 16. s - t - 1/3 ;

17. s ' -1/4 , t - -3/4 ;

19. s = -2 , t = 1/3 ; 20. s > 2/5 , 21. P = (?5, 21)/5 , Q = (30. 31)/5

18.

t - -4/5 ;

t - 1 , s - -1/2

.

Cap. k

Vectores

186

25. P ■ (11/3, 15/4). Q - (71/12, 5). R - (16/3, 15/3) . 28. m - -1 . n - -1/2 ; 29. m - 5/8, n - -1/2 ; 30. r - j

. t - |

31. 4m + n * -1 , 32. m + n « -5/6 . 33. m • 5/8 , n ■ -1 . 34. (1/m) - (1/n) * 3/2 . 35. m - n « - l / 4 , 3b. m - (✓3 + 1)/4

. n-

(/3 -l)/4 ,

37. 5r-4t + 2s • 7/6 . 38.

5r+3s - 10 .

39. C - ( 5 / 2 + 4 , A / I - 4).D - (5/2 + 4. -4).E - ( 5 / I . -8), F - ( /2. ,-8). G - ( / 2 - 4 . -4), H - ( /2 - 4. 4/T-4), Q - (3/2, 2/2 - 4). 40.

B - (2. 2),

C- (-2, 1). D - (-5, 3)

.

8 8 8 8 8 6 8 8 8 8 8 8 6 8

10,

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

b ,

se define elCOSENO del

Sea

eos 8 »

8 el Sngulo comprendido entrelos

-r

vectores nonulos

á

y

Sngulo 8:

(*)

|b| Pero, siendo entonces

b B.¡

*r á + s ¡ ^ -

rS.i

,

♦

■ r |¡|2 Despejando el valor de equivalente del

10.1

r y reemplazando en

COSENO DEL ANGULO 6 ENTRE a y b como sigue:

PROBLEMA.-

Si los vectores

5

nes y |¡| ■ 6 , SOLUCION.a. E

*

(*) obtenemos la definición

Puesto que

y

b forman un Sngulo de w/3

eos 6 * (a

. b)/ |a | |b | , entonces

|a 1 |b| cos(ir/3) ■ 6x8x(l/2) » 24

;

luego ,

|á - b|2 = |á |2 - 2 (5 . b) ♦ |b |2 - 36 - 48 + 64 - 52 |a - b | 10.2

/52

PROBLEMA.-

radia

| b| « 8 , hallar | í - b | .

= ►

> 2 /TJ . Calcular el Sngulc

6 entre los vectores

i * (4, 2)

Cap. 4

Vectores

187

y b - (-2 . 2) . SOLUCION.-

cos6=

(5 . b ) /( |5 | |b|) - -4/(2/5 x 2 /2) = - /10/10 , y

6 - arccos(- ^10/10). (Se lee arco cuyo coseno es ...) SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular el Sngulo 6 entre los vectores a)

¿ - (4,2) y b - (1,5)

,

b)

a - ( -3,1) y

b = (3,-1)

2. Calcular los ángulos Internos del triSngulo cuyos vértices son A « (1,1) B = (4.6) y 3.

C - (6,-3) .

Probar que si

5

y

b son vectores de Igual longitud entonces el vector

5 ♦ b biseca al Sngulo entre a y al vector a + b . 4. Para dos vectores cualesquiera a)

El vector

( -5- +

b)

Los vectores (-5- +

c)

Los vectores

Ia I

1• 1

( |a |b

Ib|

no nulos

5

y

) y (-5- -

|b |

|i|

t |b|S)

|B|

6. El Sngulo entre i y b es |¡ + B| y |i - b| .

|i | * 3

7. ¿Qué condicior?s deben satisfacer ¿ y

8.

,

b)

i

el Sngulo entre ellos y

y

b.

, demos­

|b| * 5 ;calcular

b para que : 7

Dado un triSngulo cuyos vértices son A ■ (2,1) , B * (6,4)

y

hallar el punto de intersección

.

son ortogonales.

|a - b |

a)

|a - b|

)

B

y

bisecanal Sngulo entre 6

150° ,

es ortogonal

b pruebe que :

) biseca al Sngulo entre i

5. S1 ü y v sor. vectores unitarios, y trar que sen 6/2 - |ü - v |/2 .

| 5 + b| >

i - b

b , y que

|5 + b | <

C = (-4,9),

P de la bisectriz del Sngulo A con el

lado opuesto BC . SUG.- Use el Problema 4(a) y exprese AB como combinación lineal de los vectores unitarios en las direcciones de AP y PB respectivamente. 9. Los vectores ♦

s)

á = (r, s) , b = ( na + r , nb + s) y

son no nulos, y mn f 0.

Calcular el

c = (-mb +

r, ma

ángulo queformanlosvecto­

- 188-

Cap. 4

Vectores

res 10.

b - a

y

c - a .

Los Sngulos entre los vectores no nulos b y son a , B y Y respec. , como: ú ■ (i.c)E -(i. B) I

ylos vectores , v - (í.c)

demuestre que:

"

si

u-L v

Cl a v e de Re s p u e s t a s :

i .«)

■

c , cy a , y

a y E ,

ü y v estSn B- (b.c) i .

definidos Entonces,

eos 8 * eos a

árceos(7// ñ o ) ;

34 - 15 /3 , | i - B |2 ■ 34 + 15/3 ;

6.

PROYECCiON ORTOGONAL.

.

|¡ + B|2 -

7.a) 5 y B forman un Sngulo agu -

do, b) I y B forman Sngulo obtuso ; 8. P ■ (48, 167)/13 ;

11.

y

eos B eos

9.

90° .

COMPONENTES.

Ya se ha visto que si a y E son dos vectores no paralelos y distintos de 0 entonces cualquier vector c e IR2 puede ex­ presarse coi.» combinación LinfaJL de. í y b , es decir que, en este caso, siempre se pueden encontrar númejioi Keatu s y t tales que : c ■ s5 + tb SI los vectores son paralelos, ésto no es cierto, como es el caso de -

i

(1, -2) ,

b -

(-2, 4)

(3, 3) - c - si ♦ tb = *

De

(2)

y

c -

s( 1, -2)

♦

, donoe

t(-2. 4) -

3 - s - 2t

.... (1)

3 - -2s + 4t - -2(s - 2t)

___ (2)

se tiene que

s-2t

• -3/2 , pero de

lo cual es absurdo. Veamos el caso particular vectores

(3, 3)

•>

b y

V |

b

de un vector

(s - 2t. -2s + 4t)

(1) se tiene

b t 0

no ¿vn fxvtaiez'i, cualquier vector

ya

*bcomolos

m

A

a c IR

presarse como: 5 -

sB+tB1

s - 2t * 3

(*)

- -

sb

—O

puede ex

Cap. k

Vectores

Desde que estos vectores recibe el nombre de y se le denota

sb

y

189

son o/tfogontUu, el vector

tb

PROYECCION ORTOGONAL DEL VECTOR

á

SOBRE

P*- r a . Análogamente, se tiene que el vector

resultara ser la PROYECCION ORTOGONAL de ¿

SOBRE EL VECTOR

b1

sb b ,

- i tb , y se

Pr -i i . b

le denotar! por

Según esto tenemos que cuando b f 0 , siempre es posible expresar cualquier vector a cono (Pr £ á ) + (Pr-1 ¡ )

De la relación

(*)

resulta que:

(**)

a-b

i • b1

Ib

ÍB? pues

|b | - | b | .

Asi,

Pr - ¡ b Venos que

b y el vector

“ Proyección de a sobre

de tal manera que si el ángulo vector

Pr g i

los vectores

11.1

EJEMPLO.-

Pr ^ i Si

5 =

son paralelos,

6 entre ¿ y b es agudo entonces

tienen ta miima doiectUón,

b y

b "

pero si

b y el

6 es obtuso entonces

tienen dÍAecc¿one¿ opue¿-ta¿.

(8,12)

y

b =

(4,2)

, entonces el vector

190

Vectores

Pr b 8

á •b -

es:

^

D

Prb 5

IB|

Cap. k

(«.2) - y (4, 2)

.

el cual

vemos que es paralelo a b . y tiene su misma dirección, en este caso. 1 1 .2

P R O P IE D A D E S

1)

DEL

V EC T O R

P R O Y E C C IO N O R T O G O N A L

La Proyección Ortogonal de una suma de vectores en la dirección de algún vector no nulo c es la suma de las Proyecciones Ortogonales: (Pr - £) + (Pr - b)

Pr- (£ + b)

2)

La Proyección del vector tá en la dirección de B es igual a

t veces

el vector Proyección de b sobre Pr - ( tí ) - t ( Pr - i ) . La prueba de (1) y (2) es spncilla. 1 1 .3 C O M P O N EN T ES

De la definición de

PrB a

Pr ¡j a , podemos escribir:

(á • b)

(i - b) -

--- 5" b

Ib|

|b|2

Bj |b|

y desde que b / |b| es un vector unitario, el coeficiente (a • B) / |b| nos proporciona la medida del vector Pr ¡j £ , por lo cual recibe un nombre especial,

el de COMPONENTE de £ EN LA DIRECCION DE b

, y se denota por:

La COMPONENTE es un número real, y estS relacionada a la PROYECCION por Pr B £ y es tal que si

«

(Cp £ £ ) _

IB |

6 es el Sngulo entre £ y B entonces:

-Si

Cp B £ > 0 :

6 es agudo y

- Si

Cp B £ < 0 :

6 es obtuso y

CpB i = 0 :

£ y b

Si

Pr ¡j £

tiene la misma dirección que B.

Pr g a

ton o/Uogcnole¿

tiene la dirección opuesta de b. y

Pr ^ a » 0

.

Vectores

Cap.1»

191

T cp

Pr. a b Pr

Cp.

11.4 PROBLEMA.SOLUCION.-

SI

Cp r i ■

a - (-6.2).

T

b - (3,4), hallar Cp g a

(á • b)/| b | ■ -10/5

*

Pr g a - (Cp g i)[ B/|B| ] el signo negativo de

Cp

opuestas y que este vector ción opuesta al vector b 11.5

a Pr

Indica que B y ¡

-

-2

-2 (3, 4)/5 -

i

Pr

mide 2 unidades,

(el cual mide

< 0

Prb 8 *

. -f (3.4) .

tienen direcciones medidas en la direc­

5 unidades).

PROPIEDADES DE LAS COMPONENTES.-

1)

Cp - (S + B) -

(Cp - 3) + (Cp - B)

2)

Para todo número real r :

para todo vector c f Ó . r CpB a

La prueba es sencilla. (Ejercicio). 11.6

PROBLEMA.-

Hallar una fórmula para el Srea de un paralelogramo, y de un triángulo determinados por los vectores

SOLUCION.-

h « |Cp - i l | .

a y b.

-------------- 7

192

Vectores Iá ■ b'L|

Luego, 11.7

PROBLEMA.-

(4,1),

C » (-2, 2),

D - (-1. -3) y

E - (3, -2).

A * *1 + a 2 + a 3

l » C - D -

b * B - D » C ■ A - D » d - E -D »

(-i .5) > (3. 7) • (5. 4) • (4. 1) »

Ai - i |i. b X | ■

11

.

A2 * ^ |b • Í X ! ■ 11.5 A3 - | |E. d 1 ! m 5.5 Por lo tanto, 11.B

Í|i-bX |

2

Hallar el Srea de un polígono cuyos vértices son A

B ■ (2,4),

SOLUCION.-

Cap.1»

. .

AREA

2B

PROBLEMA.-

ABCD es el cuadrilítero tal que E ■ (1, 5) es el pun­ to medio de AB , H • (4, 2) es el punto medio de AD, CE es paralelo a (2,3), DE es paralelo a (1,-2), y Pr — CH - (5,5) . Encontrar los vértices A, B, C y D. SOLUCION.-

Pr

Ch * (5, 5)

indica que

AB - r (1. 1) CE

//(2.3)

H »(4. 2)

. pues = >

AB es paralelo a (5, 5) (1. 1) // (5, 5)

==►

E - C - k (2. 3)

C - (1. 5) -k (2, 3)

=*►

CÍi - H - C - (4.2) - (1.5) + K(2,3)

asi

; ..(*)

C H - (3+ 2k, -3 + 3k) (5,5) - P r - CÍi AB = > Como

(3 + 2k. -3 + 3k) ■ r (1. 1) 2r

5 = 5k/2

== »

r (1, 1) « AB DE // (1,-2) Y de

k= 2

y

C = (-3, -1)

.

E - (1, 5) es punto medio de AB :

=*

11) y (2):

Además, coro

- 2ÀÈ

=

E - D = DE =

2 (E - A)

( 1)

s (1,-2)

(2)

A = (1, 5) + § (1, 1)

(3)

D = (1,5) - s (1, -2)

(4 )

H = (4, 2) es punto medio de AD :

(4,2) = (A + D)/2

-

(1,5)+ (r/4) (1, 1) - (s/2) (1,-2)

Vectoi es

Cap. 4 = >

(12, -12) ■ r(l, 1) + s{-2,4)

De (3) y (4):

A -(3, 7),

A - (3, 7),

E - (A + B)/2

B = (-1, 3), C = (-3, -1) y

3)

[ Pr -

4)

Pr(tB) (ti) “

==>

(i + b)] •b f D

si

* es Paralel° a b ■*" S

i •b f 0

y

c - Pr - (ti) b

Pr - (Pr- ¿5) “ Pr [lPr g ¡*)

(Pr r i) . i ~ ; r y* ■ Ia I

entonces

(Pr - b) • b [ —

|b|2

^ r-r-V b _ _ t (a-b)(a-b) j - _ ^ (i-b)(i-b) |i|2 |b|2

i -b * 0

=*►

¡ I b

i- b t 0

=*►

en (*):

_

|Cp5 (i1 + b)| < |b| « = * <

|b| « = *

lal 3)

Siendo

|á| ■ |b|.

PrB ¡5) Pr^ti) = Pr(tB) i .

1) S1

Ia * b I

D -

:

|Cp 5 (5 -1- + b)| < 1b |

2)

:

¿ CuS

2)

6_

.

t i 0 .

P' iíPrjj i) ■ Prb^Prá **)

L

Y siendo

s ■ -4

Sean i y b vectores no nulos de IR2 y

1)

SOLUCION.-

r » 4 ,

les de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

11.9 PROBLEMA.-

c

= >

D » (5.-3) .

B = 2E - A - (-1, 3) . Asi, (5,-3).

193

[ Pr - (i + b) ] ■ b "*■ =

y

(

|i|2 |b|2

= » _ i = b

= >

a // b ■*" _ (VERDADERA) |i¡ = |b|

I(al ^.b ) ' a| < |b| Ül _ _ Ia - b|
(VERDADERA,

c = Pr¡j (ti) ,

. .

por ser la DESIGUALDAD DE SCHWARZ)

i • b i* D ,

entonces

[ (a + b^ ' C ] ( E - b X )

-

|E|2 ■ pues 4)

M? b-b

- ] (b . B ■*■) |b|2 |c | |b|2 = 0 . Así, la proposición dada es FALSA.

P r (tB) (ti) = [ í ^ ] ( t b )

=

[ ■-32a-: b2 ] b

|tb|2 Luego, la proposición pues sólo se cumple para

t2 |b|2 ^(tb) t = 1_ .

=

d

t Pr r i

b

= p rB i , V t / 0

es FALSA,

194

5)

Vectores Pr ¡j (ti/

t(i • tb)

t(V4> b I•>1 ■ t (Pr tb th

es FALSA,

Cap. 4 (tb)

.. (pues t f 0)

|tb|2 •

Luego, la Igualdad

Pr jj (ti) ■ Pr(t¿) *

pues solamente se cumple para t » 1 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS.1. Para cada par de vectores

i

y b

calcularla Proyección Ortogonal de i

sobre b , y la Componente de ien la dirección a) ¡-(4.2).

b » (1,-2)

c) i - (3. 12),

b - (6, -5)

de b .

b) ¡-(-1.2).

Graflque.

b - (-4,-2)

.

2. SI b y c son distintos de 0 , demuestre que: a) S1 b y c son paralelos, entonces Pr^ á b) SI

b y c tienen la misma dirección: Cp ¡j a

c) SI

b y c tienen direcciones opuestas:

- Pr - i

.

• Cp- ¡

Cp ¡j ¡

- - Cp - ¡

.

3. Demostrar que |¡ 1 • b | < |i| |b| , donde la Igualdad se cumple si y so lo si ¡ y b son ortogonales. - T Y

4. Encontrar el vector

/

AB de la figura.

/

\ft

\\

T 1 12

^

v

1

0 -----------3 5 ------------

5. Dados i - (B,6) y plb,

q // b

6. Si i = (4,-2),

b ■ (-2,6), hallar los vectores y

¡=p +

b » (-2,6)

y

q

Pr g ¡ si

Cp g i » -3

p y q tales que

w // (-1,4) , hallar w — (a - nb) 1 .

y si

(1, -1)

S + b.

Si |¡| ■ 4.

tiene la misma direc-

ción que b . 9. En el triángulo equilátero ABC de la fig. M y N trisecan al segmento de B a C. Si P = ÁM , Q = ÁN + ÁB calcular: CpÁB P

x

.

7. Los lados de un triSngulo son los vectores i , b y |b| « 6 , y Cp ^ ¡ * 2 , hallar | i + b | . B. Hallar

,

|------- B - -

Cap.1*

11 .

Vectores

195

En el hexSgono regular de lado B unidades de la figura, hallar la Pro­ yección Ortogonal de: a)

BD

sobre AC

b)

ND

sobre AM

c) MN d)

sobre MB + BD

Pr^jp (ÁT + BD - CN)

Dados A * (5, 1), B = (1,2), C ■ (3,6), hallar un punto D en el primer cuadrante de abscisa igual a 7 unidades de tal manera que el cuadrilátero ABCD tenga un Srea de 25 u2 . SI i y b son no nulos y {Pr ^ á) + (Pr - b) bar nue 111 ■ |b| y que i 1 (¡ - b) .

»

áX+ b

, pro­

Hallar el Srea del triángulo cuyos vértices son: a) A = 12, 1), B » (6, 3), C - (8,-4) ; b) A = (3, 3), B> (4 ,8 ), C - (10, 1) . Hallar el centro de un hexágono regular si A ■ (2,0) y son dos de sus vértices adyacentes. (Dos soluciones). La figura ABCDEF es una estrella regu lar de 6 puntas. Si D = (7, 6-4/3), E * (3, 6-4/3) , hallar lospuntos A, B, C, F, P, Q, R, S, T, U y el cen tro M de la estrella. 17.

En el trapecio PQRS , |RQ | = |SP¡ , S = (-4, 2), Q = (10, 4), PS ■ PR = 0, FV q P PR = (8,8) . Hallar los puntos A, P, R, y el vector PR .

18.

El helado de la figura tiene la crema semicircular y el barquillo en forma de un triángulo isósceles Si P = (-3, 4)//rt , Q = (5,10)//?, encon trar el punto R si el área de la f¿ gura plana es de (25tt +200)/(2tt) u 2.

B = (5, 3/3)

196

19.

Vectores

En el octógono regular de la figura, B » (5/2 , 4/2 ), encontrar:

Q en el centro,

a) P r ^ G C .

b)

Prp|

EG

c) Cpp¡jJ ÁD .

d)

Pr^

FHH

e)

r, s, m y n

tales que:

GC »

r GB

+ s AO

QD -

m QC

+ n AD

Cap. 4 A ■ ( /2 , 4/2 ),

20. los vectores a y b sonlos ladosde un paralelogramo. S1 |a| » 2 1b| y Cp ¡ » 10/3 .determinar |a - b | . 21. Si

i - -2j * Sí , Cp - b

22. Hallar |i 1 . b | si 23.

■ -58 ,

|b | - 29 ,

á - 3b/|b| ♦4 b i / | b 1 | y

|a |- 6 ,

hallar Cp jj a

.

Cp - ± b

.

- 2

Un avión vuela en sentido del vector y la velocidad del viento es 100 km/h en el sentido del vector v . Y Calcular el triple de la componente de la velocidad del viento en la dirección del aeroplano.

24. SI i - 32 + 4? ,

b - -5j ♦ l ,

(*, y) - /26 Pr- S , calcular: 25. SI a - (4,-2), Pr¡jX á - (-3,3),

y 2y .

*-

Cp g X i >0 , hallar

26. SI á es un vector que tiene la misma dirección que |a | ■ 50 y b * (-2,-1), calcular Cp a . 27. Los lados de un trlSngulo ■2, y |b - a | — 5 ,

son a ,b y 5-b calcular Cp jja -

Cp g á .

(1,2), tal que

. SI |í| » 6 , Cp j b .

|b|

2B. Dos lados de un triángulo miden 20 y 36 . Ladiferencia de las longf~ tudes de los segmentos determinados en el tercer lado por la bisectriz es 12 . Hallar la mediana del tercer lado. 29. Calcular el Srea del triángulo ABC si se cumpleque 0C > r2 - r2) OB , donde 0 < r < 1 . 30. En el paralelogramo |ÁB| = 2 ,

ABCD , m (6a 6) ■60°,

|ÁD| - 4 .

S1

0A +

B__________ C

(1

Vectores

Cap. 4

197

31. Dado el trISngulo ABC, demostrar que su ortocentro es el punto: (B-A)-(C-B) . D * B + — ---- ir— 5---- — (C-A) (A - C) • (C - B) SUG: 1) BD - BA + sBCX . 2) BD » tÁC 1 , 3Z. Demostrar que:

a)

3)

tÁCX • BC

SI i y b son vectores no nulos, y si

<

|¡ + b| entonces

b) c)

SI a y b SI á y b

son vectores unitarios y paralelos: son vectores tales que |a | < 1 y

tonces

t e [0, 1] :

V

- BA ■ ¿C

á es ortogonal a

|5| + |b|

b^ . 15 b| ■ JZ |b | < 1 , en­

|á + t{b - 5) | < 1 .

33. ABCD es un rectángulo tal que E, F » (x + 2, x), G ■ (3 + x, -x), y H = (6-x, 2 - x) son los puntos medios de AB, BC, CD y DA respectlv; además, P ■ (3x-Jl, x-4) es el punto de Intersección de las dlagona les del cuadrilítero EFGH . Hallar los puntos A, B, C,D y E . 34.

SI

5 / 6 yb i 5 , demostrar que:

1) { Pr-

b

es linealmente dependiente si y solo si diente.

i á ,P r - b -1"} ®

{ á , b } es 11realmente depen

11) SI i y b son unitarios y ortogonales, entonces V x , y

e

IR2 :

x - y - (x - a)(y . á) + (x - b)(y • b) SUG:

x » s + tb

==>

s" x-a,

t = x-b

y ■ rá * pb

==>

r-y-5,

p = y ■b

iii)

{a , Pr ^ i } es linealmente Independiente si y solo si no son ortogonales. 1v) SI Pr- b es unitario, entonces |b| > 1 .

5 y b

35. Sean A, B y C los vérticesde un triángulo rectángulo isBsceles rec­ to en A. El punto medio de la hipotenusa y el baricentro del ¿ABC son respectivamente: D y (-4/3, 29/3) AdemSs. P r ^ AD = (4,3) , y la abscisa de A es mayor que la abscisa de C . Hallar A, B y C . 36.

Sean A = (-3,2),

B y C = (-1, 13) y

D

los vértices de un rectán­

gulo, tal que AC es una de sus diagonales y AB es ortogonal al vec tor (4, -3). Hallar los puntos B y D . 38. Si a es un número racional, baricentro del triángulo ABC

A = (a+ 4, a -4), B = (a+ 3, -2a), es el origen de coordenadas y el área

del ¿ ABC es de 24 u2, encontrar un vector unitario en la dirección del vector (1, a) .

el

39.

Sea ABCDE el pentSgono irregular de la figura. SI A ■ (1,1), (2. 6), C » (c, 6),^c > 2 . E - (7, y ). P r ^ BC - (9.-6), i ABC =

a) b)

B

) BCD , |ÁB| ■ |CD| ,

ÁÉ| - | DE| ,

40.

Cap.1»

Vectores

198

hallar

El Srea del triSngulo ABE , El Srea del triSngulo BCD .

Sea el hexSgono regular ABCDEF (en eseorden) MN // AB y M deras ?:

talque

NE + ED ■ ^ CD ,

pertenece al perímetrodelhexágono. ¿ Cuáles son verda­

a) HB

:CB + DN - NE

b)

NA « 2 (EM - ED) ,

c) MN » EM - | CD + ÁC 41. Dados los vectores a » (k + 2, 2k) y valores de k para que

Pr g á

b * (-3, k+1) , determinar los y

b

tengan direcciones opuestas.

42. Sean los puntos A ■ (1, 1), B - (2,4) y C ■ (5,2). Hallar el punto P que está en el Interior del triSngulo ABC para que los triángulos APB, BPC y APC tengan el mismo Srea. 43. Sea ABCDE un polígono Irregular. (4,4), D = (x, 6) , x > 0 , el Pr^| AE // (10, 2). Pr

Hallar B y C si A » (2,-2), E ■ Srea del polígono mide 50 u2 ,

Prg| BA ± (-10,-6),

Prp£ BE // (1. 1) , y

EB // (14, -2) .

44. Sea ABC un triSngulo equilátero.

SI

AB + m HB »

es el punto de intersección ae las alturas, hallar:

nAC ,donde

45. ABCD es un cuadrado. E, F y G son puntos medios de los lados del cuadra do. Si m t 0 , n t 0 , hallar (m/n)

si:

APj + CP2 = mAB + n BC .

46. ABCD es un cuadrado. Se pide : a) Hallar r y s si

CQ ■ rAE + s DH

b) hallar m y n si AO = m FB + n HQ

H

(1/m) * (1/n) .

X / \

Cap.íf

47.

Vectores

Sea ABC un triángulo. SI M - (1,9)

y

199

N - (6,2)

son los puntos me­

dios de los lados AB y BC respect., AB // (1, 1) y (8/5)(3, -1). Hallar los vértices del triángulo. 48.

¿Cuáles son verdaderas 7:

a)

(Pr- á) 1 b

b) SI á y b no son paralelos, m * s y n » r . c) Si 49.

r > 0 , entonces

M - (11/2, 7/2),

P r ^ i 1

y mi + nb ■ ri + sb

CpB i a

SUG:

N - (8.6),

|DC|«/lO,

son los

hallar A,

C - A - (5,5) - ÁC ,

DB - (7, -1)

==*►|ÁC| - |DB | » 5/F el trapecio es Isósceles PM 1 PC

entonces

Cpr b 5 Í

P - (9/2, 13/2) y Q » (2, 4) puntos medios de los lados en el trape cío AFCD, y B, C y D .

50.

PrAJ¡ AB “

==> = •

.

ABCDEF es un hexágono regular, M y N son puntos medios de ED y BC respect. 0 es el centro del hexágono. RS ■ mTM + r NB , SUG:

ÑE -

S1

hallar m

y n .

(1/2) EF ,

MÍ - (1/2) ER - (l/2)( EF + 2 RS ) . 51.

a)

SI

a y b son vectores no nulos tales que |a|

-

|¡-b|. |b|

¿qué puede afirmar de a y b 7 . b)

Lo mismo si

|á| - |b| +

|a + b|

7 .

52

Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas d1< (9, 16). SI los lados de mayor longitud son paralelos al vector (1. 1), encontrar los vórtices B y D .

53

En el cuadrilátero ABCD : -1) y BC - (-5,7).

^

Si el área del cuadrilátero es de 28 u2, y M - (17/2, -1/2)

es

punto medio de AB , hallar los puntos A, B, C y D .

^ ’

Pr AB (PrÁC AD)

f (3*

Vectores

200

54. Sean

ay

Cap.4

b vectores no paralelos, y e -

(eos t) 5 + (sen t} b

a)

¿ Paraqu£ valores de

b)

¿En qué caso c es paralelo al vector i + b ?

55. Sean

üy

t es c paralelo al vector á ? .

v dos vectores no nulos.

Si w * kv + hu , y el Sngulo en

tre u y x es 15° , hallar el Sngulo entre k « |ü| . h • |v| . 56.

,

u y v sabiendo que

ABC es un triángulo isósceles donde | AB| » |BC | , M “ (7, 5) y N » (19. 21) son puntos medios de AB y BC respect., D » (-6,21), y la altura relativa al

r

lado AC del triSngulo ACD mide 15 unidades. Hallar A, B y C empleando la recta mediatrlz del segmento MN .

a f 0 , demostrar que:

57.

Si

p * b -

58.

ABC es un triángulo equilSterc. R, S, son puntos medios de los lados AB, BC y AC respect. SI MB - mAB + n SC + FG hallar m y n .

59.

ABCE es un trapecio isósceles, y ABD es un triángulo equilátero. Si |ÁC| - |AB| , EB X BD y A = (2. 3). c C - (14, 19) : a) b)

Hallar

ED ♦ CB

Hallar n

.

si

AB * n MB + CB siendo Mpunto medio de

AD . D

60.

Enla figura siguiente, AC = (a, 0) , a > 0 , M es punto medio de AC , y |BM |= b .Demostrar que:

Cap. 4

Vectores

201

4a2b2 ;(a/2, b) (a2 + 4b2)2 SUG: Vea que

i // AB

61. En la figura, sea el paralelogramo ABCD de Srea 220 u2, s1 M i ; |MC |

±§l , £ |NB| 3

i

3

a) ¿ En qué relación divide a ND y AM ? b)

B

H

P

Calcular el Srea del A APD . SUG:

P = A + sAM = D + tDN

CLAVE DE RESPUESTAS I. a)

0,0;

5. p =

(1, -3), q - (9, 3) ;

9.

c) (-42/61)(6. -5) , -42/ /61 .4. (-100, 6. n = -6/13

(10/3)(1, /3) , (32/3. 0) ;

10.

;

621)/ 37

7. /76 ;

8. (-3, 3)/'2

s = (1-/3)/(2/2) , t » (1 «-/3)/(2/2) .

II. a) (-4, -4/3), 12. D » (7, 12),

b)(-2,2/3), 14. a) 16

16. M = (5, 6-2/3),

c) (12,-4/3), d)(6,6/3).

u2 ; 15.

C = (8, 0)

6 C =(-1, 3/3)

17. A = (111, 57)/16 , P = (13, l)/2, R * (17, 29)/2 .

18. R - (13, -9)//í ; 19. d) (4+ 2/2)(-l, 1), 25.

-/2

;

19.a) (-4, -4),

26. 8/5(2, 1) ;

30. p + q - 9 ;

27.

c) 0 ,

5/2

;

1 ; 20.

28. / W

33. x ■= 5 , A = (-3, 0).

B = (3, 8),

D - (5, -6),

E = (0, 4).

_ 35. AB

b) Ó ,

e) r - 1, s - m = n = /2 -

= (8, 6), AC = ± (6. -8)

= f

AC=(-6,8),

;

5

29. 0

;

C = (11, 2).

A = (-9, 31/2),

B = (-1. 43/2), C => (-15, 47/2) . 36. B = A

+ (6, 8)

37. *

4 , 2 } ; 38.

e

{

= (3,10),

D = A + (-4, 3) = (-7. 5)

3a2 + 7a + 4 = 0 ü = (1, -l)//2 ,

39. C = (12, 6),

,

—

D = (13,1),

E = (7, -3),

= »

a - -1,

v * (3, -4)/5 a) 17,

b)

a = -4/3 , . 25 .

40. a) V ,b) F , c) F 42. P - G - (8/3, 7/3) 43.

x - 30

y

;

41. k

D - (3D. 6),

44. HB« (2/3) MB , 45. Pruebe que

B-(7,-l),

= >

C - (11, 3) .

(1/m) + (1/n) - 4/3

Á?2 - (2/3) ÁC .

m ■ -2/15 , n - 1/15 . 47. A = (-3, 5),

<-3/2, 2>

e

M punto medio de AC ,

MB - ÁB - (1/2) AC

49.

Cap.«»

Vectores

202

Cp “ 2 - (1/3) CA .

46.

B « (5, 13). C -(7. -9) ;

A -(2.1).

B - (ID, 5).

ÁP^ - (2/5) AF

r * s * -1/2 ,

m - 2,

48. a) V , b) F . c) V

C - (6, 7),

D - (3. 6) ;

5D.

51. a)

Que

i y b

son paralelos en la misma dirección

b)

Que

¡ y b

son paralelos en direcciones opuestas.

52. B - (12, 13). 53. A - (4,1),

B - (13, -2), C « (8, 5),

D -(5, 4) .

b)

55.

AC - (24, 32),

P » (9, 16) punto medio de AC,

B - (17, ID),

A ’ (-3.0),

56.

58. BM- (1/2) (BA ==>

t - (ir/4) + nir ,

+BC) ,

m - 7/12 ,

ne

SC - (1/2) BC ,

Z = >

C - (21, 32) FG-FM + M G -

. ^BA + ^MB

n - -2/3 .

59. |AD | - |ÁB| - 20 ,

D - A - Á C 1 - (IB,-9) ,

M - (A + D)/2 , E - B + DB 1

B = M + 10/3(3, 4)/5 - (10 + 6/3 , -3 + 8/3) , (4-2/3,

.

m-n-1;

D - (0. 7) .

54. a) t * nir ; 3D° ,

= »

n * -2 .

14/1 - 11),

a)

(10 + 8/1. -2D - 6/1 ) ,

61. a) P divide a

ND en la relación de

1a

ID ,

P divide a

AM en la relación de

4a

7 .

=

b) n - 2//3

b) 4D u2 .

nnnnnnnnnnnn 37. Si

i = (2x - 5 , 2 - x) ,

encontrar el valor de

x = 2 :

.Como

i =

x

e

{2,4}

(-1, D) , b • (-3,

correspondiente es Para

x = 4 :

| i - b "*• | = /lo

|2a + b - (i "*■ + 3b"*" ) | .

RPTA: iDos Soluciones) Para

b - (x - 5 , 4 - x) , y

i =

,

entonces:

2) , y el valor buscado

/145 .

(3, -2) , b - (-1,

0)

, y el valor:

5 .

2D3

5 EL PUVKO EUGLIDIAKO

1

EL P U NO EUCLIDIANO.LA RECTA.

2 cío vectorial IR , donde: * (1) A todo elemento

{x,

y)

ECUACION

DE UNARECTA .-

Se TIama PLANO EUCLIOIANO ANALITICO al espa PUNTO

de IR2 se le llama

de IR2 .

(2) Dado un conjunto L c ftz , se le llama RECTA siexiste unpunto 2 — * (*o* !/o) E R y un vecto*. a (diferente de 0), tales que L - { (3) La dlitancJji

P =

(x,

¿[Pj, P2 ]

la longitud del vector d[Pi. P2 ] = 1.1 NOTACION.-

y)

e IR2

/

P = P„ + tI ,

entre dos puntos

Pj

t e IR } y P2

P„

.. (*)

esigual a

Pj P2 , es decir, I ( P ? ^ ) I“

lp2-

pl I

Por simplicidad, con frecuenciadenotaremos ala recta L dada previamente, como L = { Pc + ti } y se dirS que

L es

LA RECTA QUE PASA POR

PARALELA AL VECTOR a ,

(*) PG

el cual serS denominado toK dín.eccÁ.onaZ " de L . Al coeficiente

t (que puede ser

r, s , etc.) se le llama

a la ecuaciSn de (*) se le conoce como

V ES " vec

PARAMETRO , y

ECUACION VECTORIAL VE LA RECTA L .

1.2

Cap. 5

La Recta

204

TEOREMA.-

Un punto

P

t i y to*j> t i el

pertenecerá a la recta L

vector

P„ P *

decir,

si P - P„ = ti ,

P - PD es paralelo al vector a .

Es

para algún número real t .

Equi va1enteme nte, P es un punto de la recta L ,

t i y ¿oto t i

i

(**)

..

1.3

EJERCICIO.-

Dados los conjuntos: Lt -

{ P = (2t + l ,-3t + 3) /

L2 » { P = (3 - 4r , 6r) / probar que SOLUCION.-

entonces

Lj y L2 representan RECTAS , y

puesto que se puede

Lj y

a = (2, -3), tor

b = (-4, 6)

R }

e

,

queLj = L2

\-l -

{ P = (1.3)

+ t(2, -3) /

t

e

R

}

L2 =

{ P = (3. D)

+ r(-4,6) /

r

e

R

} .

P„ = (1, 3)

y L2 tiene a Lj = L2

pues

Lt tiene como PUN

y como VECTOR OIRECCIDNAL al vector Qc = (3,0) comoPUNTO DE PASO,

como VECTOR DIRECCIONAL.

Ahora probaremos que

r

}

expresar como

L2 son RECTASpon. deíinicidn ,

T0 DE PASO al punto

t E IR

.

y al vec

205

La Recta

Cap. 5

Sea

P

Lj : P ■ (1, 3) + t(2, -3)

e

y se desea probar que P

L2

e

•

»

(1 + Zt, 3 -3t)

para lo cual, por

,

algún

(**),

te R

se debe veri

-

car que:

(P - Q0) • b "L

-

D

:

(P-Q0) - b-1 - [ (l + 2t. 3 - 3t) - (3.0) ] - (-6.-4) -

(Zt-2. 3-3t) - (-6.-4)

- (—6) (2t — 2) + (—4) (3 — 3t) ahora probaremos que

L2 c

L( :

sea

0 Q

= >

Lj c

L2

L2 :Q *

e

; (3-4r, 6r)

ra algún número real r , y para lo cual bastaverificar que: (Q- P„) • 3 (Q-P0) . 3 X

*

D

. (por ** ) ;

- [(3 -4r, 6r) - (1,3)]. (3. Z) -

(2 - 4r, 6r - 3) • (3, Z) (3)(2 - 4r) + (Z)(6r - 3)

Por lo

1.4

en efecto,

tanto, de estas dos inclusiones:

- D

= *

Lj■ L2

L2 c

.

O b s e r v a c i ó n .- Delejercicio previo, se deduce que, L»{

P »

P„ + t3

)

en lugar del vector direccional tor que le da la inclinación a la recta L con elegir cualquier vector ta L siempre que

b t D

b ¿ea

vedo*.

como

Lt .

en la recta

, 3 , que es el vec­

respecto al Eje X , se puede dlneccional de la misma rec­

PARALELO al vector

3

,y por

lo tanto,

la

recta L tendría la representaciSn equivalente siguiente: L = Í P « P 0 + tb

}

.

dórele

b = rS

,

para algún

Por esta raz5n, no es tan correcto hablar de Re.cXa¿ dOU.g¿da¿,

sino sim­

número reaf

plemente de RecXai , nal

6

r .

y no se debe confundir ya sea con el victon. (UxtccÁo

con la Inclinación de. L , que si son conceptos bien establecidos. Análogamente,

el Punto de Paso

y puede ser reemplazado por cualquier otro punto

P„

NO ES UNICO,

Q„ , SIEMPRE QUE SEA TAM

.

206

La Recta

Cap. 5

BIEN ELEMENTO VE LA MISMA RECTA L .

2

ECUACIONES PARAMETRICAS DE UNA RECTA SI un punto L » { P - P0 + ta } .

P * (x, y) e L

P0 - (x0, yD) ,

y donde

,

donde

y i - (alt a2),

entonces se tienen las ecuaciones simultáneas: \

que son denominadas LAS ECUACIONES PARAMETRICAS VE LA RECTA L , con PUN­ TO DE PASD PD = (x0, yD) , y con VECTOF» DIRECCIONAL a - (alt a2) . Z.l

EJEMPLO.-

La recta

L cuyas ecuaciones paramStrlcas son:

f

x-

1- t

i

y■

2

y que puede representarse como: L ■ { (*, y) * (1 - t, 2) } ■ tiene como Punto de Paso al punto nal al vector la

i = (-1,0) ,

inclinacifin ala recta

pasa por

{ (x, y) - (1,2) + t(-l, 0) } P„ = (1,2)

horizontal,

,

, y como Vector Direccio-

ypuesto que este

vector le

L , ésta resulta ser una Ke.cXahoiu.zonta¿

P„ *= (1,2) .

*

(-1,0)

0

1

2

i = (-1, 0)

3

da

, que

X

La Recta

Cap.5

3

207

FORMA SIMETRICA DE LA ECUACION DE UNA RECTA SI la recta L tiene como Punto de Paso al punto

PD * (x0 , yc ) ,

y como Vector Dlrecclonal

a2 f 0 [es decir que,

a - (a¿, a2)

con aj f 0

y

L no es vertical ni horizontal ] , entonces <1 par

de ecuaciones simultáneas:

x0 + ta! Vo * t a2

es equivalente a: ( - t )

que es denominada ia pon.

3.1

LA FORMA SIMETRICA

P„ * (x0 , ya)

Ej e m p l o .-

de

ta ecuación de ta Ateta

, y tizne. VecXon. Viiecc¿onaí

La ecuación x-(-l) 2

tiene como punto de paso

x+ 1 y-3

-5 PD » (-1, 3)

3 -y

L


pa­

a - (a¿, a2) .

es equivalente a:

y representa a la recta L que y vector dlreccional

I * (2, -5) .

H ECUACION NORMAL Y ECUACION GENERAL DE UNA RECTA Se dice que una y ur VECTOR nales.

ñ

RECTA

no nulo, SON ORTOGONALES si es que

L * { P„ + ta } y

ñ son ortogo­

Cap.5

La Recta

208

A cualquier vector ñ no nulo, ortogonal a L se le llama VECTOR NCMMAL a L , y puede ser elegido como el vector

4.1

ñ = i ■*"

6 cualquier vector múltiplo de

Un punto

P pertenecerá a la recta

TEOREMA.-

punto de t>asoP0 vector P E L

P„ P «=■

.

L que tiene

como

ñ , SI V SOLO SI

y vector normal * P - Pc

i

el

es ORTOGONAL al vector ñ

(P-P„) . F -

0

.

..

(*)

A esta última ecuacifin se le conoce como LA ECUACION NORMAL de la *.ecXa L quí fxua pon P0 y (e¿ octogonal) tiene vec.ton. normal ñ . P * (*, y) ,

Si consideramos tonces

ñ - (a, b) , yPG ■ ñ - - c , en

(*) se convierte en: P -ñ

-

PD • ñ

ax + by *

|------------------------- 1

-c

= »

I

a* + b i / + c - 0

que esllamada la ECUACION GENERAL de la A.ecta

I

L normal al \1ecX0K

ñ - (a, b) . Note que el de las variables * 4.2EJERCICIO.-

vector ñ y

y

= (a, b)

está formado por los coeficientes

,en ese orden.

Hallar laecuación la recta

Normal

y la ecuaci6n Genznal

L que pasa por los puntos

Pj * (1, 3)

de y

P2 = (4, 1) . SOLUCION:Consideraremos 5 *

V*2

coi.o vector direccional al vector : *

P2' P1

=

(4* 11 ‘ (1* 3)

y como vector normal al vector :

_ n =

=

(3''Z)

*

i a-1- =

(2, 3)

,

y puesto que un Punto de Paso puede ser cualquier punto de ai \ecta P2 ) , entonces elegimos como

PG

al vector:

( Px 6

P„ = P2 = (4, 1) .

Cap.5

209

La Recta

P ■ (x, y) e L ,

De esta manera se tiene que, para un punto genérico (P- P„) • ñ - 0 [ P - (4. 1)] • (2. 3) <■— *>

P .ñ

- 0

...

■

PD • r

(*. y) * (2, 3)

-

(4,1). (2,3)

Zx + 3y *

11 ,

que vienen a ser las

4.3 NOTA.-

ECUACION GENERAL DE L ,

2x + 3y - 11 ■ 0

6 sino

ECUACIONES GENERALAS DE LA RECTA L .

El procedimiento seguido en el Ejercicio previo proporciociona un método ripido para hallar la ECUACION GENEkAL de una recta L si es que se conoce un punto d i p aio PD y un vícXok nonmal ñ , haciendo: -----------------I P •ñ

5

DISTANCIA DE UN PUNTO

_

n = (a, b)

Sea y

Q

A UNA RECTA

(P - P0) • ñ » D

__

P„ • n * -c

entonces se tiene que relaci6n:

,

;

si

LA TISTAWCIA PE rft Q ; l ] =

=

P0 • ñ I

L

la ECUACION NORMAL de L , donde 2 Q = (Xj, es un punto de IR , Q A LA RECTA L I cP - ( Q - p 0) |

viene dada por la =

210

La Recta

d [Q ; L ]

=

Cap.5

(Q - P0) • ñ

| Cp - ( Q - PD) |

I" I Q . ñ - P„ • ñ I" I I a*i + bi/j + c | (*!• yl ) ; L

que viene a ser la fórmula de LA DISTANCIA DEL PUNTO RECTA L ruya ecuación general estS dada po-

5.1

EJERCICIO.-

|3*1 + 4
Q = (xj, yj) = (7,9) | 3(7) + 4(9) - 7 |

A LA

ax + by + c * 0

Hallar la distancia del punto Q = (7, 9) ta L : 3* + 4i/ - 7 = 0 . Cono

d[Q;L]

L :

Q « (x^, t/y)

a la rec -

entonces 10 unidades.

La Recta

Cap. 5

6

211

PROYECCION ORTOGONAL DE UN VECTOR

SOBRE UNA RECTA

V

Dado un vector v y una recta la cual tiene vector direccional

a f 6 ,

se define como

L

L * { P„ + tá } VECTOR PROYEC­

CION ORTOGONAL DE v SOBRE LA RECTA L , al

vector de Proyección Ortogo -

nal de v sobre cualquier vector direccional

i de L .

Pr ^ v

Se puede ver que el vector es un vectcr PARALELO a la recta L , y no depende del vector

dfreccional

a de L que se elija , como veremos en el siguiente Ejemplo.

6.1 Ej e m p l o .-

Sea v » (6, 8) ,

L : 2x -

+ 4 = 0

vector direccional puede tomarse so de elegir

(2. -4)

sino (-2,-1) , £ cualquier múltiplo de á ■ (4,2) : Pr i - = ( - 7 ¡ f )5

Ahora, si se eligiese

=

la recta cuyo

i > * 2)

= (4, 2) -6 (4,2).

‘

En ca

(8* 4)

•

a = (-2,-1) :

5 = - ^ ( . 2,-i) =

Pr - 5 =

1*1

5

8,4),

La Recta

212

Cap. 5

y por lo tanto, en cualquiera de los casos:

7

Pr^ v = Pr- v *

(8,4) .

SEGMENTO I>F RECTA Dados los puntos

llama

SEGMENTO CERRADO [ P0> Pj D

al conjunto

[Po. PJ = < P = Po+ t(P!-P0) /

Al segmento cerrado

[Pc , Pj]

2 PQ , Pj e IR , se

te

[0,1] }

también se le denota por

te, y es el segmento de la recta L , comprendido entre Se puede observar que conforme t crece de 0 a P = Pc + t(Pj- P0)

se desplaza desdeP0 hasta

P0Pj simplemen­ Pc y

Pj .

1 , entonces el punto Pj a una velocidad

constante, como en la siguiente figura:

en la que los puntos

R, , R2 y

de igual longitud, pues guiente representación:

Rj

dividen al segmento en cuatro partes

t va tomando valores de

1/4 en

1/4 con la si -

La Recta

Cap. 5

213

Ri “

P0 + (1/4)(P!- P„)

y de esta manera se pueden ubicar

R2 -

P„ M2/4)(P!-

R3 -

P0 + <3/4)(P1 - P0) .

todos los puntos que dividen a un segmento [P0, Pj] en n partes

P0)

de Igual longitud. 7.1

EJERCICIO.-

Encontrar los puntos que dividen al segmento AB de ex tremos A • (-1, 1) y

B » (49, 31) en cinco partes de

Igual longitud: P * A + t(B - A)

P e [A. B] Pk - A + (-)(B-A)

1, 2, 3 y 4

=*

Pj

- A + (1/5)(B - A)

P2

- A + (2/5)(B - A)

P3 P4

■ A + (3/5)(B - A) * A + (4/5)(B - A)

8

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:

(-1. (-1, (-1, (-1,

1)+ 1)+ 1)+ 1)+

(l/5)(50, 30) (2/5)(50, 30) (3/5)(50. 30) (4/5)(50. 30)

t e [0, 1] ,

« -

(9,7) (19, 13) (29,19) (39, 25) M:N

Dado el segmento de recta AB , el punto Q de la recta L que pasa por A y B y que divide a AB en dos segmentos en la raz6n Je m:n (denotada también m/n) con n f 0 , estS definido por la relaciCn:

El punto Q siempre se encontrarS en la recta que pasa por A y B , siem­ pre que m/n f -1 , pero puede estar fuera del segmento AB , como vere­ mos más adelante. 8.1

CASO I:

f -1

[es decir,

m / -n ]

La Recta

214

De

(*)

Cap. 5

resultan las siguientes formas equivalentes.

AQ « (m/n) QB » (m + n) AQ - m AB

(m/n)[QA ♦ AB ] ,

y coiw

»

(m/n)[-AQ + AB ]

AQ *

A ♦ (

m+n

Q-A ,

AB»

=

B-A,

) AB

forma que puede ser interpretada geométricamente, y de la cual se deduce la siguiente, que es muy ütil para el cSlculo explícito del punto Q

Q -

8.2

(— )B m+n

EJERCICIO.-

mentó AB La hi-

(— )A ♦ m+n

:

2,

Dados los extremos A -(1.1) yB (10, 7) del segmento AB, hallar el punto Q que divide al seg en la raz6n (-2):(-l) . raz6n (-2):(-l)

n = 1 ,

Q - (— )A m+n

+

es Igual a la razfin

n+n - 3 ,

2:1

, y por lo tanto,

y

3 (1 . 1 ) ♦ | (10. 7)

( - 51- ) B m+n

(7,5) . En este caso,

8.3

Q es un punto del segmento AB . (Ver la figura).

SUB-CASO 1-1 :

SI n y n

ambos negativos), entonces

Q

tienen el mismo signo (ambos positivos 6 resulta un punto interior del segmento

La Recta

Cap. 5

?15

AB . B.4

SUB-CASO 1-2 :

SI m y n tienen signos opuestos, un punto exterior al segmento AB

tro de la recta que contiene a este segmento),

Q resulta ser (pero siempre den

y m i < i .

I b) 8.5

Q estará mis cerca

aipunto

EJERCICIO.- Dados

B si | jj | > 1 .

los puntos A - (2,2) y

punto

B ■ (6,4),

hallar el

que divide al segmento AB en la raz6n de

2 : (-3) . SOLUCION.-

Para este caso,

Q1 *

m ■ 2,

{i ¡ ^ ] A

n ■

-3,m + n ■ -1,

* ( n+~ñ > B

por lo queel punto se encontrar!

*

donde

fueradelsegmente AB ,

correspondiente al punto A, en la recta que pasa por -

8.6

|S|

"7 A * "7 B

m/n ■

-2/3 ,

" !

< 1 '

pero en el lado A y B .

"

3A - 2B

-

3(2,2) - 2(6.4)

-

(- 6 . - 2 )

-

Asi»

(-6. -2) .

-

EJERCICIO.- Dados los puntos A » (2.2) y B * (6.4). hallar el punto Q2 que divide al segmento AB en la raz6n de í-3):(l) .

SOLUCION.-

Para este caso,

m = -3.

( — n ■■ ) A ♦ m n

Q2

n ■ 1. m + n - -2.

(— )B m+n

,

donde

1^1 |n|

m/n - -3 , » 3 > 1 ,

por lo que el punto se encontrarS fuera del segmento AB , pero al lado co rrespondiente al punto B. AsT,

Q, =

2

-i-A * - B -

2

-

2

» - ^(2, 2)

=

--A

+ | (6. 4)

2

=

+ -B

2

(B, 5) .

Cap. 5

La Recta

-216-

n En

(*)

resulta:

AQ = - QB Q- A = - (B-Q) = Q - B

= >

A = B

lo que indica que el segmento AB consta del único punto A = B , y donde el punto Q , que se cancela en la penúltima ecua cifin, pueae ser cualquier punto del plano y no necesariamente Q = A , que por supuesto que también es soluci6n.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Dida: las siguientes rectas: a)

1-1

pasa por

(0, 0) 1 paralela a

(2, 2)

b)

(1. 1) > pa"alela a (1. 0) y (2, 1)

(1. 1)

L2

pasa por

c)

1-3

pasa por

d)

L4

pasa por

l5

pasa por

f) 9)

e)

h)

(2, 3) y (4, 5) (0, 3) y paralela a

(4. 2)

l6

pasa por

(2. 4) . paralela a

(2. 1)

1-7

pasa por

(0, 2) .

paralela a

(1. 0)

L8

pasa por

(2, 2 ) y

(4, 2)

La Recta

Cap. 5

i)

L9 :

pasa por

j)

L10 :

pasa por(-1,0) y

217

(-1.2) , paralela a

(0,2)

(-1,5) .

1.1 Determinar trespuntos sobre cada una de las rectasprevias. 1.2 ¿El punto (B, 8) seencuentra en Lj ; en L2 ; en L3 ? 1.3 1.4

¿El punto (-3,3) se encuentra en L5 ; en L6 ; en L7 ? Demostrar que Lj - L2 ; Lj « Lfi i Lg f L9 ; Lj n L2 ■ $ Lj fl L3 = { (1/2 , 1/2) } .

1.5

Dar una representación analítica donde sea posible, de las 10 rectas

1.6

y en la forma { (x. mx + b) / x e IR } . Encontrar las ecuaciones paramétrlcas de Lj, L2, L3, L4 y

;

L10 .

1.7

Encontrar la Forma Simétrica de las ecuaciones de las 10 rectas, don­ de sea posible.

1.8

Encontrar las ecuaciones normales y generales de las 10 rectas.

2.-

Demuestre que que

3.-

[Pc, Pj]

es el conjunto de tcdos

|P- P0 | ♦ |Pl- *| -

Hallar lasecuaciones de las

rectas paralelas a la recta

10 , y que se encuentran a una distancia Igual a to P =■ (2, 3). 4.-

Determinar los valores m y

n

para loscuales

(m + 2n - 3) x ♦ (2m - n + 1) y * (6m + 9) = 0 clsas e intercepta al Eje Y en el punto 5.-

Desde el punto ción:

(2,-3)

Si

y ra,

8x

+ lSy >

la recta de ecuación

esparalela al Eje de Abs (0, -3).

se traza una perpendicular

a la recta de ecua­ perpendi­

(6,8) ?

L! : — ¿4/5) x ♦ (3/5) y =■

0

-(4/5) x + (3/5) y *

2 /3

L2 :

P tales

5 unidades del pun

3x - 4y + 6 ■ 0 .¿A qué distancia se halla dicha

cular del punto 6.-

los puntos

| P ^ Pc | .

A y B son los puntos de la figu hallar

d [A ; B] .

7.- Los puntos Pj = (x¡, i/j) y P2 = (x2, y2) de la recta 5x - \2y * 15 = 0 distan 3 unidades de L : (3, 4) • [(x, y) - (0, 3)] = 0 , ha llar el valor de

Xj + x2 .

La Recta

218

Cap. 5 Y

hallar el Srea del paralelogramo Lj: L2: L3:

12

X7

de la figuri, si

/

P - t(9, 12) , t reai (4, 10) + s(3,4) , s reai (a,b) ♦ r(p,q) , r reai

/

Ll

^7(6,8) / L3

X

A 0

9.

Sean

L^:

kx + (k-l)ÿ - 1B ■ 0 ,

no verticales.

Si

k2 el valor de

k para el cual

L2:

kj es el valor de

4x ♦ 3ÿ + 7 ■ 0 ,

k para el cual Lj // L2

rectas y

Lj es perpendicular a L2 , calcular

k2 - kj . 10.

Hallar el punto Q que divide al segmento AB con A - (1,2), (9, 7) , en la razón a)

2: (-3) ,

b)

3 : 2.

B 3

(-12) : (-6)

c)

11. Determinar m y n para que las rectas Lj :

(2,0) + t(m, l)

,

L2 :

(l/n, 0) + s(-2, n)

,

sean coincidentes. 12. Demostrar que la distancia entre las rectas paralelas y ax + bÿ + c' * 0 , estS dada por la fórmula:

ax + bÿ+ c -

0

/a 2 + b2 13.

Lj : (1, 3) + t(2, -6)

La recta

triSngulo de Srea At .

Si

guio de Srea A2 tal que

forma con los ejes coordenados un

L2 // Lj

y forma con los ejes un

(Aj/A2) “ 4 ,

triSn

encontrar la ecuación vec­

torial de L2 . 14. Hallar el valor de , 3/14) 15.

16.

y

k para que los puntos

(1/7 , k + (3/14) )

(-1/2, -5/14) , (5/14 ,

sean colineales.

Hallar la ecuación de la recta que estS situada a 6 unidades del ori­ gen, que pasa por (10, 0) y que corta a la parte positiva del Eje Y. Si las bases de un trapecio tienen las ecuaciones

8x - 61/ + 30 = 0 ,

hallar

4x - 3y * 10

la altura del trapecio.

= 0 ,

Cap. 5

219

La Recta

17. Graficar las siguientes ecuaciones en el plano: y ■|x-2|

a)

+ 2c)

b)y - 2x - |2 - *| * 0

y»

|x + 2 | - 4

d) 2* - \y\ * |x| - 1

18. Hallar los coeficientes a y b de la ecuaci6n una recta si debe pasar por los puntos (1,4) y Hallar la distancia entre las rectas

20.

Hallar la ecuac16n de la recta cuyos puntos equidistan de las rectas pa ralelas: 12* - 5y * 7 - 0 , 12* - Sy - 2 « 0 . .

I-! :

y

de

19.

21. S1 L: (x, y) . (1,2) - 0 llar d[L, L^] .

2x + i/ - 10

a* + by + 6 ■ 0 (3, -2).

2x + tf+6 * 0 .

[ P - (3, 3)] - (-3. -6) - 0 ,

ha

22. Hallar el punto Q que divide al segmento AB con A = (6,4) , B = (2, 2) en la raz6n: a) 2 : (-3) , c) 6 : (-4) b) (-3) : 1 . d) 4 : 4 23. Demostrar que la ecuac16n de la rectaque pasa por y2),

det

24. Dadas lasecuaciones

y^) y

(x2 ,

hallar el valor de

Lj :

1

X

y

1

X!

«i

1

x2

yi

9i/ + kx

- 0

♦ (k - 3)= 0

l2 : y.y + 4x + s = 0 , k + s de manera que Lj y L2 representen la mis­

ma recta si se sabe que 25.

(Xj,

puede ser escrita como:

k > 0 .

Sea A * (2,0), B = (3,3), la base de un triSngulo. Hallar el vérti^ ce C sabiendo que se encuentra en el 3er. cuadrante, que el Srea del triSngulo ABC es de 5 unidades cuadradas, y que la recta que une Ccon el origen forma un Sngulo de sas.

26. Si

Lj * ( PQ + t (a

+4, a - 4) /

L2 * { PQ + s (1 - 2a,

3a) /

45°

con el eje de las absci­

teIR

}

s e IR } ,

son rectas coinciden

tes, hallar el valor de a . 27.

Si

la distancia entre las rectas

y

L2

Lj =í (a, 5) + t (3, 4) /

= { (4, b) + s (-3,-4) / s e IR }

punto

(5, b-a) dista 6 unidades de

a y b

son números reales positivos.

t e IR }

es de 4 unidades, , encontrar

(a, b)

y el si

220

La Recta

28. Dados los puntos

A ■ (1, 1) y

Cap.5

B » (9, 7),

determinar las coordena­

das de un punto C de la recta L ACB sea recto . (Dos soluciones)

:

29. Hallar la Proyección Ortogonal de v ■ (6, -5) recta a) L: (*c- 1)/4 » (t/+3)/3 b)

L:

c)

t e R

}

L:(3. 2) . [(*. tf) - <1, -1)] - 0 si A f B

30. Demostrar que AB en la razón 31.

en la dirección de la

3x - y ♦ 6 ■ 0

L - { (a.b) + t(-l. 7) /

d)

y - x

Un vector i

(1) : (1)

entonces el punto Q que divide al segmento es el punto medio del segmento.

tiene longitud 6 unidades.

Un vector b

tiene la pro­

piedad de que para todo par de escalares * e y , los vectores xa + yb y 4xá - 9yb , sonortogonales. Calcular las longitudes de los vectores i y 32. Sean

[A, B] [C. D]

-

2a ♦ 3b . ( P - (1,3) + t(5.-2) /t e { P - (1,5) ♦ t(5, -2) / t e

la altura del trapecio cuyas bases son AB y 33. En el paralelogramo de la figura. dio de AC . _ _ Si EF » mÁC + nAB calcular

D

P el punto medio de diagonal

BE - BC/4 .

y

/

en eseorden. Sea

X el punto deIntersección de AP y

BD . Demostrar que X

E

F

vértices de unparalelogramo. CD , y

F es el punto me n ^ D

, . /

. Hallar

CD .

„

8m - 12n .

34. Sean A, B, C y

[0. 1] } [0. 2] >

la

-- 7 5 -----7 C

D

divide a AP en la razón 2:1. i En qué razón X divide a BD ? SUG:

A ♦ C « B ♦ D .

35. Sean A, B. C y

B

D vértices de un paralelogramo, en ese orden. Sea CD, y Q de BC. Si X es punto de intersec -

P el punto medio de ción de AP y

DQ,

demostrar que

X divide a AP en la razón 4:1. ¿ En qué razón divide X a DQ ? SUG:

A + C « B + D .

C

La Recta

Cap. 5

36. Sean

A.

B, C

221

y D los vértices de un paralelogramc.

Sea P punto

medio de CD y Q de BC. SI X es la intersección de gonal BD. Demostrar que X divide a BD en la raz6n 1/3. razfin divide X a PQ ? SUG:

PQ y la día

¿ En qué

A ♦ C - B+ D .

37. Sean A, B y C vértices de untriSngulo. SI P divide a BC , Q a AC en la razfin 2 : 1 , y si X esla Interseccifin de AP y BQ, 38. Sean

demostrar que A, B

y C

X divide a

AP y BQ en la

y

raz6n 3/1 .

vértices de un trISngulo. Supfirgase que

P y (]

di

viden a BC y AC respectivamente en la razfin (1 — k)/k donde 0 < k < 1 . Si X es el punto de interseccifinde AP y BQ, demos­ trar que X divide a AP y BQ en la razfin 1/k . 39. Sean

A, B,

C y

D

vértices de un paralelogramo.

S puntos que diviaen i los segmentos mente en la razfin 2/1 . Demos trar que P. Q, R

Sean

AB, BC, CD y

P, Q, R y

DA respectiva­

y S son

vértices de un paralelogramo. A 40. Sean

A, B,

C y

D , en ese orden, vértices de un cuadrilítero, y se­

an P, Q, R y S los puntos determinadoscomo en elejercicio ante­ rior. Demostrar que si P, Q, R y S forman un paralelogramo, eiiton ces el cuadrilítero original también era un paralelogramo. 41. Sean A, AB. Sea que pasa la recta

B, C y D vértices de un trapezoide, en ese orden, con base X el punto de Intersección de lasdiagonales. Como la recta por A y B es paralela a por C y D, entonces

DC = rAB

donde r > 0 .

Demostrar que X divide a ambas diagonales en la razfin 1/r .

42. El vector

c se descompone en la suma de dos vectores

los a los vectores m , n f 0 . Hallar

(4m, -3m) y (-n, 3n) |á| + |b| ,si

á y b parale

respectivamente, siendo

c * (10, -3) .

La Recta

222

Cap. 5

43. La figura ABCD es un paralelogramo, AH « m AB + n MC calcular:

M es punto medio de AD.

Si

.

2 3*

3 2

44. Si L es una recta no paralela a los ejes coordenados, y pasa por los puntos (2.2), (D, q), (p, D), lor de (1/p) + (1/q) .

p f 0,

siendo

q t 0,

hallar el va­

CLAVE DE RESPUESTAS.I.8 :

a) x - y m 0 ,

b) * » y ,

c)

x - 2y + 1

d) 5x - 4y + 2 » D , e) x » Zy - 6 , f) g) y - 2 . h) 2y - x » 2 . 1) x » -1 ,

, x ■ 2y - 6 , j) 5x + y • -5 ,

3. 5.

8x + 15y * 146 , 8x + 15y ■ -24 , 4. (m, n) * (7, -2) 49/5 . 6.2/6 , 7.51/7,8. 2B unid, cuadradas

9.

k2 - kj j- -1 ,lD.a)

II.

(», 2n) - (-4, 1) ,

14. 7k - -1 .

15.

(-15,-8) , 12.

3x + 4y » 30 .

18.

(a.b) - (-18/7, -6/7) ,

21.

9//5 .

22.a)

24. k + s - 8 , 27. a - 6/7,

(14,8),

25.

b)

28.

(29/5. 5) , 16.

16//5 .

2D.

b)

(0,1).

c)

26.

c)

(19. 16)/3

(-1, 0) + t (1.-3)

h - 1

1?.

C ■ (8,8) ,

b - 53/21 ,

2?. a) ¿ ( 4 . 3 ) .

b)

(1, D) + t (1, -3) ,

12x - by + (5/2) = 0 (-6,-2),

d)

C - (1, -5) , C • (10, 4)

-¿ ( 1 . 3 ) .

c)

(1. -7) ,

d)

(2. -3)

31. |b | » 4 , | 2á + 3b| • 12/2 ,

32.

15/ /29"

,33. 11 ,

34. x - A + r A P »

r ■

s ■ 2/3

.

X divide a BD 42.

15 + (2/10 ) .

B + sBD

(4,3)

a - -1

= >

en la raz6n 2/1 ; 43.

(-11/6) .44.

1/2 .

La Recta

Cap. 5

9

223

ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA .Dada la recta

L ■ { Pc + ti /

t

e IR } , don

de a es el vector dlrecclonal de L , puede presentarse dos casos: 1°) El ángulo 6 de ¿¡Aclinaciín del vecXofi i 2°) El ángulo 6 pertenece al Intervalo

pertenece a

[0, *> ,

6

[* , 2w> .

Y según esto, tenemos la siguiente definición. 9.1 Definición.-

Para la recta

l

- {

pd

+ ti /

t

E

ir }

,

a)

Si a tiene ángulo de inclinación 6 e [0, i ) ,entonces dice que 8 es eí ANGULO VE INCLINACION de. L .

b)

Si i tiene ángulo de Inclinación 6 c [ r, 2ir> , se dice que 6 -v es el ANGULO VE INCLINACION de L . Es decir, es el Sngulo de inclinación de -i .

De esta definición se sigue que elANGULO solo varia entre

0 y w

9.2 TEOREMA.-

Dada la recta el vector

Sea ü = (uj, u2) es decir,

DE INCLINACION de una recta

L

radianes .

i -

L = { Pc + ti / (a^ a2)

naiUfin que la recta

PRUEBA:

se

L

t e

R },

tiene el mismoAngulo ¿ a. y ¿olamente. b*.

entonces de i.neJU

a2 > 0 .

el vector unitario en la misma direcciOn de 5 ,

i = fa|-ü = (alt a2) ,

entonces

ü tiene el mis^

que

6

La Recta

224

Cap. 5

mo Sng- lo de inclinación de L 6¿ y 6otamznte. 6¿ con

senB

>0

<===*>

9.3 EJERCICIO.-

i

e

[O, i )

,

.

Hallar el coseno del Sngulo de inclinación de cada una de las siguientes rectas:

a)

Lx : (1, 1) + t(-2, 1)

b)

L2 :

c)

L3 :

(1, 0) + r (-2,-4) .

s (1, -3)

SOLUCION:

a)

Consideramos el vector direccional de Lt: á « (-2, 1) ■ (at, a2) que por tener a2 = 1 > D , entonces a tiene el mismo ángulo de inclinación que Lt , y á - |S|.(-2//5, 1//5)

b)

ü - (eos 6 , sen 6)

Consideramos el vector direccional de

L2 :

= *

cose - -2//1 .

b = (1,-3) = (bj, b2) ,

que por tener b2 » -3 < 0 , se elige -b * (-1, 3) como el vec­ tor que tiene el mismo Sngulo de inclinación de L2 . Lo que implica que -b c)

» | b |•( -1//Í0, 3//l0)

= >

cose

»

-1//10 .

Siendo el vector direccional de L3 , c = (-2, -4) - (cj, c2) , y por tener c2 « -4 < D , se elige al vector -c = (2, 4) como el vector direccional de L3 con el mismo Sngulo

6 de inclinación que

L3 , y por lo tanto, -c

10

- | c |-( 1//5 . 2//5 )

= »

cose

-

1//5

.

PENDIENTE DE UNA RECTA

Si L es una recta no veAtical L = { Pe ♦ tS } , don de á = (at,a2) con t 0 , se puede especificar la inclinación de la recta mediarte un númeromque recibe el nombre de PENDIENTE ae la recta L , y que , si6 es el inguto de. ¿nct¿nacÁ£n de L , con 6 c [0, n>

.

se define como: PENDIENTE

De modo que si se expresa m = tare ■= a2/aj m = tañe =

m =

tan 6

a * (a1( a2) =

aj ( 1 , a2/aj)

entonces :

, para la fig. siguiente y la fig. (a) (pSg. 223)

{-a2)/t~a1) * a2/a!

, como er la fig. (b), pSg. 223 .

La Recta

Cap. 5

AsT, resulta que si na

k exLta.

L

m

es cualquier ve.cXon di/ieccxonal de. u-

5 ■ (a^, a2)

no vertical ,

225

entonces

es la PENDIENTE de L

m > a2 / a^

En particular, si se conocen dos puntos distintos (*o» Vo)

de una recta no vertical

la dirección del vector

a «

P = (x, y)

y

( x f xc ) , entonces

L

„ _ P- Pc

,

P0 =

L siyue

\

i

\

( x - x c , y-yD ) = (alf a2)

-

y en tal caso: m » a2 /a,

= >

y - yo -----

m *

Esta relación origina otra forma de la ecuación de una recta L no vertical y - yD

-

m ( x - x„ )

que es llamada la formaPUNTO - PENDIENTE de la ecuación general de la recta L que tiene como punto de paso Pc = (xe, yD) , y con pendien­ te m . 10.2EjERCICl0 .-

Determinar la pendiente

, y la forma

TE de la ecuac'ón de larecta SOLUCION:

(x, y) = yD)

I

L = { (3t-2, l + 2t) }

( 3 t - 2 , l + 2 t ) = (-2,1)+ t (3, 2) 1 i-2* U •

PUNTO -PENDIEN

a =(3,2) ,m = a2 /aj

=* =

2/3

La Recta

226

de donde obtenemos la ecuacién de la recta

10.1

{2/3)(x + 2) .

Desde que cualquier múltiplo real del vector á • puede ser utilizado como vícX oa. disiecc-conat de la recta no ver­ L ■ { P„ + t¡ / t e á -

entonces el vector de la

y - 1 »

L:

RELACION ENTRE LA PENDIENTE Y EL VECTOR DIRECCIONAL .

(at, a2) tical

Cap. 5

recta L , SIL

IR},

ax ( 1, a2 /aj)

( 1 , m) siendo

quier punto genérico

se puede expresar:

« aj (

1, m)

también resulta ser un vector direccional

m

Intercepta

(1, m) ■*" * ( - m , 1)

y como

su pendiente .

*

al Eje Y en el punto

(0, b) , y como el vector

es un vector nonmaí a

L , entonces para cual

-

P * (x, y) e L , se tiene que

[(x, y) - (0, b)] - ( -m , 1) * 0

(x, y -b ) • (-m. 1) - 0

= »

que viene a ser otra forma de la ecuacién general de la rec ta L de pendiente m , y que pasa por el punto

(0, b).

Esta es llamada la: FORMA Y-INTERCEPTO de la ecuacién de la recta L .

11

PARALELISMO Y 0RT0G0NALIDAD DE RECTAS Dos rectas

PARALELAS Si

Lj

Lj * { Pc + ti }

si es que los vectores a

es paralela a L2 > se denotarS

í i . i Ejem plo.-

Las

re ct as

l, =

y L2 sus vectores direccionales

y

L2 = { Qc + sb } son

y b son paralelos .

(4, -6) y

Lj // L2

■

{ ( i , 2) ♦ t ( 4, - 6 ) }

í s (_2, 3) (-2, 3)

}

son paralelas, pues

son paralelos .

La Recta

Cap. 5

11.2

E j e m p l o .-

227

Demostrar que si Tas rectas *-2 ” { Qo + s

}

L1 » { P 0 + t 5 }

y

no son paralelas, entonces ¿e. ¿ n -

teAtedian en un único panto R .

SOLUCION:

SI

Lj

L2 , entonces á no es paralelo a

á no es perpendicular a b"*" f0

a -b

y

b .5

R ■ Pc + t'á = *

y

s'

y t'

,

o sea

f - -(P0 - Q0). b ^ / í i - b 1 ) ,

con lo que se prueba que

R *

á-b"*"

P0 + t'á e

- - b • i^ )

Q c Ljíl L2

d
R ■ Q„ + s'b

es decir,

, y por lo tanto: j» 0 (pues

con esto, probaremosque existe un único punto debemos hallar números

b ,

para lo cual

que:

Pc - Qc * - t’á +

s' - (P0 -

s'b b)

Lx H L2 .

La solución de este problema también sugiere el método para cal­ cular el punto de intersección de dns rectas no paralelas. 11.3 D e f i n i c i ó n .-

dos

rectas

lx

» { pc + tá },

l2

= {

q„

+ sb }

son ORTOGONALES si es que los vectores á y (direccionales) 11.4 Ej e m p l o ,-

Las rectas

son ortogonales :

b

á •b * 0 .

Lx - { (1,2) + t (-2, 1) } y

L2 = { (-1, 1) + s (2, 4) } ion ontogonaZeA pues sus vectores direccionales á « (-2, 1) y b - (2, 4) son ortogonales: (-2, 1) • (2,4) = -4 + 4 - 0 .

11.5

Definición.-

Se llama

MEDIATRIZ

de un segmento

[P0, Pj]

a

la recta L que pasa por el punto medio M úel seg­ mento. y que es ortogonal al vector dice que

Pc

es el

PUNTO SIMETRICO de

Pj

con respecto a la recta L , y viceversa.

Pc Pj ,

y se

La Recta

228 11.6

TEOREMA.-

Cap. 5

Sean Lj yLj dos rectas respectivamente,

a)

Lj // L2

b)

Lj

si y solo si

rij y m2

•

nij ■ m2 .

¿a. y 6oto i¿

J. L2

con pendientes

entonces

nij . m2 = - i , siempre que ningu­ na de las rectas sea horizontal ni vertical.

PRUEBA:

$i

|_j y L2

tienen pendientes

vectores direccionales a)

m^ y

(1, rrij) y

m2 , entonces tienen los

(1, m2) respectivamente. AsT. (1, Bl)-(1, m2f L = 0

(1, nij) // (1, m2)

Lt // L2

(1, nij) ■ (-m2,1) = O b)

Lj X

L2

(1, irij)

±

(1, m2)

1 + mj m2 =

11.7

ECUACIONSIMETRICA DE UNA Una recta (O, b) ,

los puntos (a,0) y tiene como ecuación:

que es llamada

O

<=>

«s=>

<===*>

RECTA

mt •

m2

.

(1, m,^) - (1, m2) -

mi * m2 * - 1

O

.

NO VERTICAL

L no vertical que corta a los Ejes en

la ECUACION

SIMETRICA de la recta

L . O

11.8

EjbKCICIO.-

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (4,-1), y que determina con los ejes coordenados segmentos cuya suma algebraica es de

SOLUCION:

Si

(a, 0) y(0. b)

jes, entonces L:

x

- ♦ a

y

— = b

1 ,

= >

4b - a = ab

==»

a2 -

son los puntos de interseccióncon

a+b* 3 ,

y cuno

(4, -1) e L

= » 4(3-a) -

8a + 12 =

3 unidades. los E-

y su ecuación es : entonces

4 - a

1 b

=1

a= a (3-a)

(a - 6)(a - 2) = 0

=s> [ a = 6 ,

d

= -3

]

ó

La Recta

Cap.5

6

[a * 2 ,

229

b ■ 1 ] .

AsT, existen dos rectas con las condiciones del problema: (x/2) + y - 1

(x/6) - (y/3) =■ 1

ii.9

Ej e r c i c i o .-

En la recta que pasa por P ■ (0, -2) y Q ■ (4, 1) , determinar un punto A que estí situado a 3 unidades de distancia de Q , y que no pertenezca al segmento [P. Q] :

Como d[P, Q] “ 5 , el punto A debe ubicarse tal como en la flgu ra, y Q- P 5’ 5 I Q - PI Q + 3ü (32/5, 14/5) .

íi.io

Ej e r c i c i o .

3x + ty = -8 ,

Hallar la ecuación de la recta que no corta al ter­

cer cuadrante, que es paralela a la recta y cuya distancia al origen es de 10 unidades.

Lj :

SOLUCION: Solo falta el punto de pato , pues ñ = (3, 4) es también un vector normal a L :

|H| Po *

10 (f. j) -

(6.8)

y por lo tanto. L:

(x, y) • ñ =

P„ • ñ

L:

(x.
L:

3* + Hy = 50 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Considere las siguientes rectas, tales que:

-

(6. 8)-(3, 4)

La Recta

?30

1) Lj pasa por 2) L2 pasa por 3) L3 pasa por 4) L4 pasa por

(6, 1),

paralela a

Cap. 5

(1, 1)

(2, 3) y (-3, -2) (-1,1) y (1,-5) (2,9) y (7,14)

a) ¿ Qué pares de rectas son paralelas ? b) Hallar la ecuación general de la recta L que pasa por es paralela a Lt ; L2 ; L3 ; .

(2.5)

y

c) Encontrar los puntos de intersección de cada recta, con el Eje Y . d) Encontrar el coseno y el seno del Angulo de inclinación de cada recta dada . 2.

Demostrar que tres puntos recta si y solo si

3. 4.

Dada la recta

Pt , P2 j

P2 - Pj

son paralelas. hallar la ecuación de la

por (-6,2), perpendicular a L .

Dados A = (4, 2) ,

B ■ (5,4) , hallar la u

sobre:

recta

,

donde

/

x=3-2t,

Determinar el valor (-3,2) a la recta

2x ♦ y * 6 .

R sobre el segmento PQ

tal que

P = (3, 5) y Q - (9,-7) .

Hallar el punto simétrico deP ■ (4,6) L = { (x, y)

longitud de la proyección

2x + y m 6

la recta ortogonal a

Hallar las coordenadas del punto PR “ (3/5) PQ

7.

se encuentran en una misma

L > { (4, -2) + t (4, 3) } ,

b)

6.

P3

P3 - Pt

recta L¿ que pasa

del vector ÁB

5.

y

con respecto a la

y = 1 + 2t

(o valores) de k de 5x- líy * 3 + k » 0

,

t e R

recta: }.

modo que la distancia sea de 4 unidades.

de

8.

una recta corta segmentos de longitudes iguales en los ejes coordenados y pasa por (3,2) . Hallar su ecuación.

9.

Una rerta pasa por

(3,5) de modo tal que el segmento de ella, situa­

do entre los ejes coordenados, tad. 10.

es dividido por el punto dado en su mi­

Halle su ecuación.

Encuentre las rectas que, pasando por

(6, 2) , formen con el Eje 0X un

triSngulo equilátero. 11. Encontrar la ecuación de una recta vertical tas

Lj :

x - Zy = - 2 , y

unidades cuadradas.

L que forme con las rec -

L2 : 2x+ $y * 26 ,

untriSngulo de

30

La Recta

Cap. 5

231

12. La suma de las longitudes de los segmentos que una recta sobre los ejes coordenados es igual a 3 unidades. general de L . si ésta pasa por (2. 10). 13. Dadas las rectas Lt : -2x + y » 5 . L2 : ecuación generalde una recta vertical L que triángulo de Srea 8 unidades cuadradas. 14. Hallar el valor de a tal que la recta paralela a la recta 4x + 3y + 7 » 0 .

L determina

Hallar la ecuación

4x + 2y - IB , ha?lar la forme con Lx y L2 un

ax + (a - 1)y + 1 8 - 0

sea

15. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -5/12 , y que forma con los semiejes de coordenadas positivas un triSngulo de 15 unidades de perímetro. 16. El Sngulo de inclinación de una recta que no pasa por el 2° cuadrante es de 45°. Hallar su ecuación, si su distancia al origen es 6/2 . L2 i Lt , pasan por

17. Dos rectas Lt y

(5,4).

SI

18. Dadas las rectas s1

Lj : (1,2) + t(l,-2) , L2 :

Lj es ortogonal a L2 , y s1

- d [Q,

d[Q, Lj]

L2] - /2 , encontrar las ecuaciones de ambasrectas s1

Q - (4,

(a/3, 2a/3)

Lj n L2 H (Eje Y) f 4> ,

1) . + sb ;

calcular

la constante a . 19. Dadas las rectas paralelas

21. Da jas las rectas L2 pasa por

Lx :

(-3, -2)

dades que la de

Lt ,

22. Dadas las rectas

4x - f>y + 3 * 0 ,

Lt :

21 » 0 , encontrar la ecuación L] y de L2 .

4x - 6y

L2 :

+

de la recta cuyos puntos equidistan de

(a, a) + tb ,

L2 : (-1, 2) •(P - PQ) - 0 . Si

y si su abscisa en elorigen es mayor en dos uni^ encontrar el valor de la constante

Lt :

(1,2) + t (4, 3) ,

Lt O L2 es un punto del Eje X , y si

a .

L2 :

Lt es ortogonal

a

(3a, a)+ sb L2 , h a ­

llar el valor de a . 23. Sean irij y m2

las pendientes de las rectas que pasan por

que distan 2/5 11(mj + m2) .

unidades delpunto

24. Si el ¿rea del triSnqulo de la fi_ gura es de 12 u2 , si Lj es ortogonal a L2 , encontrar las ecuaciones de

Lx y

L2 .

(5, 2)

(2, 6) , encontrar el valor de

y

;

La Recta

232

Cap.5

25. Calcular el Srea del cuadrilítero limitado por los ejes coordenados y las rectas Lj : 4* + 3y ■ 12 , L2 : 8x + ij 48 . 26. La suma de las longitudes de los segmentos que una recta determina so­ bre los ejes coordenados es Igual a 10 unidades. Hallar la ecuación de la recta, si forma con los semiejes positivos un triSngulo de 12 unidades cuadradas de Srea y tienependiente m < -1 . 27. La recta Lj : 3kx + Sy + k - 2 es paralela a la recta Hallar el valor de la constante k .

5* + 3y ■ 7.

28.

SI la recta que contiene a los puntos A ■ (k,2) y B » (0, 2k) es paralela a la recta que contiene a C * (- k, 3) y D * (1, -2k) , ha llar el valor de k .

29.

Determinar los valores de k para los cuales las rectas ky + (2k-l)x + 7 » 0 , (k- \)y + kx m 5 se corten ¿n un punto situado en el eje de abscisas.

30.

Un cuadrado tiene uno de sus lados en larecta 3x vértice en (1, 1) . Encontrar su Srea.

31.

Un rayo de luz va dirigido por la recta 2x - 3y * 12 . Al eje de las ordenadas, se refleja en él. Determinar el punto to Jel rayo con él, y la ecuación del rayo reflejado.

32.

Ha'Mar el punto Q simétrico a ción 2x + Sy * 38 .

(10, 21)

y

+ 2 •0

y un

llegar al de contac­

respecto a la recta de ecua­

33. ¿CuSntas circunferencias puede encontrar que sean tangentes alas tres rectas:

Lt : x + y ■ 1 ,

l2 : * - y ■ -1 ,

9 34. Encontrar el valor de k para que la recta k x sea perpendicular a la recta 3x - 2y + 4 ■ 0 .

L3 :

x - 3y=1. ?.

+ (k+ 1)y + 2 = 0

35.

Hallar la pendiente y el Sngulo de Inclinación de la recta que pasa por (2, 3) y es perpendicular a la recta 2x - 7y + 9 = 0 .

36.

Hallar la ecuación vectorial de la recta L cuyos puntos se encuentran a un tercio de la distancia entre las recta? Lt y L2 donde Lj : 2x - y + 9 = 0 . L2 : 4x - 2y + 6 * 0 , si la distancia es medida desde la recta L¿ .

37.Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen de coordena­ das y que cortan a las rectas Lj : 2x - y + 5 = 0 , L2 : 2x - y = 10 , determinando segmentos de longitud igual a tremos se encuentran sobre Lt y L2 respectivamente.

/10 ,

y cuyos ex­

La Recta

Cap.5

233

38. La ecuación 3x- 4ÿ + k(x- 5) + 6 » O , representa una familia de rectas donde sus miembros se determinan dando valores a k . ¿CuSl de be ser el valor de b para que la recta y = 3x + b pertenezca a la familia de rectas dada? . 39.

Dado el segmento AB con extremos A = (2, -2) y B > (6, 2) deternn nar la ecuación de la recta con pendiente postiva que pasa por el ori gen y divide al segmento en dos partescuyas longitudes están en la reción 5 : 3 .

40. Dados los puntos das de un punto Sngulo recto . 41.

A * (1,1)

b) Lj :

43.

B ■ (9,7) , determinar las coordena­ C e L:y = x - 6

Hallar la ecuación de la bisectriz del Sngulo agudo entre las rectas: a) L! : 3x + 4ÿ = 10

42.

y

12x -Sy =- 39

,

L2 :5x - \Zy = 26

,

L2 :

- 3x + 4ÿ * - 20 .

Hallar la ecuación de la bisectriz del Sngulo obtuso entre las rectas: a)

Lj : Bx - lSy ■ 84

,

L2 :

7x + 24;/ = - 75

b)

Lt : 5x + lZy = 52

,

L2 :

24x - 7y = 50 .

3x - Zy = - 12 , Lj y

Dada la recta Lt : L2 que es paralela a

hallar la ecuación de la

recta

que forma con L| y los ejes coordenados un trapecio de 5 rea igual a 15 unidades cua dradas. SUG: Use 44.

x/a * y/b

Sean las rectas

- 1 .

Lj «

{ (b2 + a3 - 2 , 3) + t (1 - a2, a)

/ t e

L2 =

{ (ab, 3b + 5) + s (a - 5, 8 - 3a)

/ s e IR

encontrar valores de a y sean coincidentes. 45.

b de tal manera que las rectas

Encontrar dos puntos tales que si ro.

47.

Lj y

} ) . L2

Encontrar la ecuación vectorial de la recta que determina al cortarse con los ejes coordenados un segmento cuyo punto medio es

46.

R

A y

B de la recta cuya ecuación es

C = (6 + 3/3, 2 + 3/3),

Dadas las rectas

(-4, 8) . x + y = 8 ,

el triSngulo ABC sea equiláte­

Lj = { (x, y) e IR2 /

2x - y = 5 ) ,

L2 = { C +

t

Cap.5

La Recta

234

+ t (11. 2) } . A ■ (9, 13) e Lj , C - (25. -3), y el punto B de Intersección de ambas rectas, encontrar la ecuación vectorial de la rec ta L que contiene a la bisectriz delSngulo ABC . Cl a v e

Re s p u e s t a s .-

de

1.

a)

(1). (2). (4) ; 3.

5.

R - (33/5. -11/5) ;

(-6. 2) + t(3.-4) ;

6. (-2. 0) ;

7.

4.a) -3/✓! . b) 4 //5

k c { 88 . - 16 } ;

8. x + y - 5 . 9. 5x + 3i/ - 30 ; (6, 2) + t(l, - /3 ) ;11. x - 8 , x - -2 , 17. Ll: (5, 4) + t(l, 1) , 24. L2: 2x - 3y - 12 . 29. k = 5/17 ,

31.

tuso es

(4,-1/2) +

46. A= (9.

27.

y -

Ll:

#jta) (4,-1/2) ♦

43. Zy - 3x - 18 ,

.

a - 2,

3y-0

42a)

b= 5 ,

45.

(3,-4) + t(-3,

(-4. 8) + t(l, 2)

,

-1),B - (3, 5) ,

B =* (-14/10, -78/10) , LBI : (-7/5, -39/5) + t(4. 3) .

12

INTERSECCION

DE

RECTAS Dadas las rectas

Lt = { PG + t a ) L2 = ( Oo + s b } ,

ya se

ha demostrado anetriormente que tlener. un único punto de intersección los vectores direccionales

si y solo si L2

,

t(l, 8) ; la Bisectriz del Sngulo ob­

47.

ioto

,

-2) .

x ,L2:7x +

t(8, -1) .

44.

a*1

i • b ■*"

t 0

a y

b no son paralelos.

y

Es decir,

.

SI ñj y ñ2 son vectores normales a Lj y respectivamente, entonces los vectores direccionales á y b no son pa­

ralelos

si y solo si

los vectores normales

ñj y

ñ2 no son paralelos, y

por lo tanto L{ y L2 tienen un único punto de intersección si y solo ñj

y ñ2 no son paralelos.

a

r¡2 ( ñj1 • ñ2 t 0 ) .

12.1 EJEMPLO.-

Es decir, si y solo si

Hallar la intersección de las rectas t(l, 2) } ,

y

/3

k = 25/9 .

Rayo reflejado:(0,-4) + t(3,

37.

(6,2) + t(l, ;

y -39 ,21.

7x +

3x + Zy * 18

(0,-4),

36. (0, 7) + t(l, 2) , 3B. b ■ -39/4 ,

L2 : Ll:

10. Ll: 14. a » 4

ñt

no es ortogonal

Lj = { (5,8) +

L2 = { (4, 3) + s(l, -1) ) .

si

29),

Cap. 5

La Recta

SOLUCION:

La recta lo a

P -

= >

Lj no es paralela a L2 , pues

(1, -1).

(5,8) + t (1, 2) = > (1.5) t.

-

Y si =

Pe

por lo tanto,

parale

Lj O L2 . entonces

- t (1. 2) + s(l.-l)

(1. 5)-(l. 1) _ _ 2

s _ ‘

(1. 5) •(-2. 1)

-

_

U,-l)-(-2,l)

P ■ (5,8) + (—2)(1.2) ■ (3,4)

(4,3) + s (1,-1)

OTRO METODO:

(1,2) no es

(4. 3) + s (1. -1)

(1, 2)-(l, 1)

que

235

, y se puede verificar

(4,3) + (-I)(l,-1) * ñ2 =

(3,4)

(1,1)

también.

Siendo

ij - (-2,1) ,

les de

L| y L2 respectivamente, se tiene el sistema: Lj :

-2* + y

»

-2

L2 :

x + y

-

7

los vectores

norma­

el cual tendrS una única solución pues (-2,1) y (1,1) no son parale­ los. Esta única solución (x, y) corresponde precisamente a la intersec­ ción de

Lj fl L2 . En efecto, resolviendo dicho sistema, obtenemos: x - 3, to

12.2

EJERCICIO.-

y = 4

P = (3, 4)

que son las coordenadas del pun

que hablamos encontrado anteriormente.

En la figura triSngulo

,

PRS

PQRS

es un paralelogramo. El Srea del

mide

6 unidades cuadradas, la recta

La Recta

236

Como

(1,-2) e L2

entonces

Cap. 5

L2

y siendo

- x .* y

:

Lj :

x + y *

= -3 ,

13

resolviendo el sistema de ecuaciones ¿■Lmuttín&uobtenemos el punto (8, 5) e Lj (1 Lj . Y como el Srea del triSngulo 6 = ab/2

y

a = 2 /2

, entonces

consideradnos el vector unitario que

b ■

3/2 .

ü ■ (-1, l)//2

m =

10-3 ---» 7 7-6

y como Lpasa por

L que pasapor S = (6, 3)

= >

LA

Por lo tanto, si

» = ■

(6,3) (5,8) (7.10)

y

Q = (7, 10)

y S = (6, 3)

entonces

L : L :

- 7x + y » -7(6) - 7x + y = - 39

lar las coordenadas RALELAS dadas.

(x0 , yD) del

En efecto,

a2 x + b2 y

.

(-bj, a^-faj, b2) + 0 resolviendo el sistema

se puede cal cu

PUNTO DE INTERSECCION DE DOS RECTAS NO PA­

= =

y por ser no paralelas, se tiene que

(*)

+ (3)

dadas las dos rectas, no paralelas,

aj x + bj y

nes de

es

REGLA DE CRAMER .Mediante el uso de los DETERMINANTES

Así,

tiene

(l,m) ' (1,7) es un vector direccional de L , (l.m) ■= (-m, 1) es un vector normal de L ,

= >

12.3

=

, de la figura se

S = R + aú1 = (8, 5) + 2/2 (-1.-l)//2 P = R + bu = (8. 5) + 3/2(-l,l)//2 Q « P + a(-üX ) (5,8)+ 2/2(1, 1)/ /T

La pendiente de la recta

R

PRS es igual a:

= » (*)

(1) (*)

(2)

(at, bj) ■*" • (a2, b2) t 0 i 0

(a^ - a^)

para lo cual multiplicamos las ecuacio-

por: (b2) x

at x + b, y =

Cj

(-bj) x

a2 x + b2 y =

c2

(a1b2) x + (bjb2) y

=

c,b2

La Recta

Cap. 5

x -

'■

1"2

"al

bi

_a2

b2 _

2 1

'

■

12

y -

----------- , alb2 ‘ a2bl

Recordando que se define como det

237

“

2 1

----------alb2 ” a2bl

(**)

DETERMINANTE al número

ajb2 - a2bj

Notamos que las coordenadas , en

, ó simplemente

(**) . del

al

bl

a2

b2

PUNTO DE INTERSECCION de Lj

y L2 pueden ser expresadas en términos de Determinantes como: C1

bl

a,

ct

C2

b2

a2

C2

»

y

DE

9

CRAMER

al

bl

al

bl

a2

b2

a2

b2

que viene a ser la llamada

REGLA

REGLA DE CRAMER para 1? resolución de un par

de ecuaciones lineales simultáneas en dos variables, con una única solución para x e y . Observe que el denominador es el mismo en ambaí variables. Adem8s, los numeradores provienen de reemplazar en el denominador: - la primera columna por los términos independientes de Lj y ra x ,

L2 , pa

- y la segunda columna por estos mismos términos independientes, para y .

rectas

Por ej»mplo, las coordenadas del punto de intersección de las (¿ no paralelas ?) 3x - 2y = 16 -1 • -2 :

están dadas por

16

-2

12

4

3

-2

5

4

5x + 4ÿ =

12

7¿(4) - 12(-2)

88

3(4) - 5(-2)

22

=

4

238

La Recta

Cap. 5

16 12

3(12) - 5(16)

36 - 80

-44

-2

3(4) - 5(—2)

12 + 10

22

NOTA.-

Esta

(4. -2) e Ll O L2

Ve donde, obte.nemo¿

4

REGLA DE CRAMER también se extiende para ecuaciones lineales

simultáneas de tres variables , mediante DETERMINANTES DE TERCER ORDEN , como sigue. Dado el sistemj de tres ecuaciones siguiente en la que el Determinante de tercer orden de los coeficientes NO ES CERO entonces se cumple que la (única solución) está dada por las fórmulas s

aj X + bj y + cl z a2 x + b2 y + c2 z a3 * + b3 y

••

(2)

••

(3)

+ c3 z ■

d3

di d2 d3

C1 c2

82

bl b2

dl d2

c3

a3

b3

d3

bi

ci

ai

bi

ci

C1 b2 c2 b3

c3

al a2 a3

al

bl b2

C1

ai

C2

^2 C2 a-j b3 c3

cientes x

(1)

dl d2

dl d2 d3

^3

••

-

bL

^3 ^3

(*)

al

a2 b2 c2 a3 b3 c3

Al determinante del denominador (correspondiente a los coefi y , z ) se le denota con el s?i»bolo:

A

=

al

bl

a2

b2

a3

b3

Recordemos que este determinante de tercer orden se calcula en base a deter­ minantes de segundo orden, como sigue:

a2

al

bI b2

c2

a3

b3

c3

cl

b2

c2

al b3

c3

- a2 Î

»1 b3

NOTE ESTE SIONO

C1 c3

+ a3

bl

C1

b2

c2

Cap. 5

La Recta

239

4x - ty - -42

Por ejemplo, dado el sistema de ecuaciones lineales

3* + el determinante de los coeficientes es igual a:

I

I A

- 22

Por lo tanto.

42 ■4

-6 I 1I

(-42) - (24)

-66

22

22

-42 -4

(-16) - (-126)

y

■ -4

-6

1

4+18

-3

110 22

22

Desde que el sistema de ecuaciones dado arriba representa las ecuaciones de dos rectas (no paralelas) , entonces la solución del sistema representa el PUNTO DE INTERSECCION (x, y) de ambas rectas, es decir,

(* . y)

(-3.5)

.

Considerando otro ejemplo, dadas las rectas (no paralelas i?) : - 5x + ly 2x - 4y ■

9

(*)

12

para hallar su PUNTO DE INTERSECCION, hallamos la solución del sistema de ecuaciones lineales s1mult8neas (*) , mediante la REGLA DF CRAMER :

(-36) - (-84) (20) - (14)

(60) - (18) (20) - (14)

_ ‘

48 6

i? 6

Asi, el punto de Intersección de Lj y L2 es

-

7

Pc -

(*.{/) “

( B , 7) .

Veamos ahora un ejemplo de cómo calcular la solución de un sis

tema de tres ecuaciones lineales simultáneas que tiene una Gnica solución. Esto está asegurado por la condición que el determinante A sea DISTINTO DE CERO. Por ejemplo, resolver el sistema de tres incógnitas: 3* x -Zk

+ Zy -

z

■

- 4y * 2z

-

+ y + 3z -

14 -7 -7

(*)

cuyo determinante A de coeficientes es 3 1 -2

2 - 1 -42 13

-

Entonces, por la REGLA DE CRAMER, 14 -7

2 -4

-1 2

-7

1

3

3 (-14) - 1(7) + (-2) (0) - -49 t 0

la Gnica solución de

14(-14) - (-7)(7) ♦ (-7)(0)

-147

-49

-49

A 3 1 -2

14 -7 -7

-1 2 3

3(-7) - 1(35) + (-2)(21)

-98

-49

-49

A 3 1 -2

2 -4 1

14 -7 -7

(*) estS dado por:

3(35) - l(-28) + (—2)(42)

49

-49

-49

A Asi, la solución del sistema es el punto

(x, y, z)

• (3, 2, -1) .

En el Capitulo de GEOMETRIA VECTORIAL EK EL ESPACIO, veremos que cada una de las ecuaciones del sistema (*) de arriba, representa un plano; veremos que estos tres planos tienen un Gnlco punto de Intersección (es decir, un 0 nico punto común) pues su determinante A es DISTINTO DE CERO, y que la solución del sistema, dada por las coordenada:, (x, y, z) halladas, represen ta precisamente a este PUNTO DE INTERSECCION de los tres planos dados en (*). Como vemos en este caso extendido a tres dimensiones, la REGLA DE CRAMER sigue siendo sumamente Gtll, y conviene siempre tenerla en cuenta.

La Recta

Cap.5

13

ANGULO

ENTRE

241

RECTAS De la Trigonometría elemental se tiene que:

tan (■» - 8) tan ( a

2-

*

- tan 6

(1)

tan a2 - tan a| a .)

1

+ tan
Asi que dadas las rectas L| y L2 no vvatinaZu , con Sngulos de Inclina clón

8| y 62 respectivamente, se puede considerar (de la figura adya­

cente) a

8 y (u - 8)

ae

a2~a| •

8*

como

SI e n to n cL S

»I »

tan oj

) ds

Sngulos formados por las dos rectas, don

m| y m2 son las pendientes de L| y L2 . ,

m2 “

tan a2 .

De la relación (2) se

tiene ademSs que: (3)

correspondiente al Sngulo 6 entre Lt y Lj en términos de las res peetivas pendientes. Y para el Sn­ gulo suplementario u - 8 se tle ne que tan (n - 8) » - tan 8

Y

/ Li

y*

\ it - 8 j* V

e / \ /

\

Por lo tanto, pueden presentarse las siguientes tres posibilidades: 0

/

\

a)

SI

tan 8

>0

b)

Si

tan 8

■=i oo

c)

SI

tan 8

<0

entonces 8 es el Sngulo obtuso entre Lj y

d)

SI

tan 8

■0

entonces 8 ■ 0 ,

13.1 REGLA

entonces 8 es el Sngulo agudo entre

1

,

entonces

8 « 90°

,

L| y

L2 .

y asi,Lj X L2 .

y así resulta que

L2 .

L, // L2 -

Para evitar confusiones en la fórmula (3) , cuando se co

La Recta

242

Cap. 5

nocen aproximadamente las gráficas de las dos rectas, se considera la si guíente regla: St 8 ti el íngulo eiJtie Lj y L2 con pendientes mx y m2 , se considera al ángulo 6 como aquel que está trazado en send do ANTIHORARIO . Asi,

ti

tot

válida, pana cuax.qiu.2A a de

to t de Za {¿guna donde

6

/m id o d e l Angulo

,

m2

y

t a p endiente

com ienza til ba/Uiido d e l in g u a i

13.2

ca

consitiponde a ta nzcta

m¡

L2

donde term ina et ba

conAesponde a t a n e c ia

Lj

donde

6 .

EJERCICIO.-Oadas las rectas

Lx : L2 :

7x - y ■ 0 x - y * -2

,

hallar

la ecuación de la recta L de pendientenegativa que pasa por Q» (4, -1) , y forma con Lj y L2 untriángulo isóscelescuyos lados iguales se encuen tran en Lt y L2 respectivamente. SOLUCION: Lj tiene pendiente L2 tiene pendiente Si m * pendiente de L entonces m

■- m t

tan 8¡ 1

m

+

IT) 1

+

1^2

ton 6,

rij

7

(m )(7 ) -

m

1 + m¿-m

1-m 1+m

La Recta

Cap. 5

y

61

c oipo

e,2

243

m - 7

entonces

1 + 7m

2m - 3m - 2 - 0

1 ♦»

(2m + 1)(m - 2) - 0

y puesto que la pendiente m debe ser negativa, tomamos la solución m ■ -1/2 como la pendiente de la recta L que pasa por Q « (4, -1) . Por lo tanto, y + 1 »

L :

13.3

¡ U - *).

Observaciones

1. Para saber si el Sngulo 6 entre dos rectas no perpendiculares {P0 + t á } y

L( ■

es el Sngulo agudo o el obtuso

Lj^íQo + sb }

en forma analítica, se graflcan los vectores dlreccíonales

5

y

b

con relativa aproximación y luego se calcula su producto escalar a * b y como _ a -b eos 6 - ---- — , entonces ÜIIM i)

s1á ■ b

> 0

eos

e > o

=>

¿1)

sii • b

< 0

eos 6

< 0

= »

e e <0. w/2 y

ti et ángulo agudo.

6

=s

6 e ^i/2 ,

ti ti Angulo uttuio.

6

2. Mediante la regla del paralelogramo se puede establecer que si se tienen dos vectores a y b entonces el vector suma el mismo Sngulo,

de igual longitud, es decir |a| * |b| , i + b forma con los vectores i y b

o sea que corta al Sngulo entre

partes iguales, y se dice que TRIZ dt loi vtcloHti i

y

b

a + b

1

| i| | 5 + b | | 5 12 + I . b

|a||i + b| ¡ b |2

*

5-b

| b | | 5 + b| b . ( 5 + b ) / [ | b| 11 + b | ]

y

b

en dos

iigut la. dlntcclln dt la.

. En efecto.

a •(a + b)

eos a

5

eos a,

8ISEC

Cap.5

La Recta

244

En la práctica, si se tienen dos vectores cualesquiera no pata t i f a , y no necesariamente de la misma longitud, entonces para hallar un vec

tor en la dirección de la BISECTRIZ de a y b derar los vectores unitarios

lo que se hace es consi­

b |B| los que por tener la misma Ion gitud unitaria, se tiene que el vector-suma a b

b

|b|

|BÍ

|5|

seguirá la dirección de la B¿ SECTRIZ de a y b . 13.4 EJEMPLO.-

* + Zy - 4 =

Dadas las rectas

* - y - 1 = entonces los vectores males, y por lo tanto,

nj - (1, 2) y

ñ2 ■ (1, -1)

son sus vectores ñor

c = (-2, 1)

i = ( 2, -1)

son dos vectores direccionales de asi como b = (1, 1) lo es -i de L2 ■ Al graficar se tiene la figura adyacente. Y como se tiene además que á ■b = 1 > 0 entonres 6 es el ángulo agudo entre Lj y Lz, c -b

= -1 < 0

entonces B es el

13.5

PROBLEMA.-

Hallar las ecuaciones generales de las rectas bisectH es de Lj : 4x - 3y + 10 = 0 , Lz : 7x + y - 20

- 0 , correspondientes al ángulo agudo, y al ángulo obtuso entre Lj y L2SOLUCION.-

El punto de intersección es los vectores:

a = (3, 4)

Lj fl L2 = í (2, 6) ) , y y

b = (1. -7)

son los

La Recta

Cap. 5

245

Además,

vectores direccionales de Lj I =>

■ b - -25 < 0 f¡ :

ángulo obtuso,

y por lo tanto, L' es la recta BISECTRIZ correspon diente al ángulo obtuso en tre Lj y L2 . 13.6 NOTA:

La recta L" BISECTRIZ co rrespondiente al ángulo agudo es siempre L” ortogonal a L* . El vector direccional de L' -L |á|

+

—

7(3. 4) +■ —

5

lb|

5/2

(1, -7)

= (3/2 +1, 4/2 - 7)/(5/2) 6 también, por simplicidad: y como L* debe pasar por

(3/2 ♦ 1, 4/2 - 7) (2, 6) e

L' : (3/2 + 1, 4/2 - 7) X L' : (-4/2 + 7) x + (3/2 ♦

,

Lj n L2 , entonces

- (x, y) = (3/2 +1, 4 ñ

-7) X

• (2. 6)

1) y = 10/2 + 20

L" correspondiente al ángulo agudo es siempre ortogonal a L' , y pasa por (2, 6) , por lo tanto, LM : (1 + 3/2, 4/2 - 7) - (x, y) > (1 + 3/2, 4 /2 L“ : (1 + 3/2 )x + (4/213.7

EJERCICIO.-

- 7) ■(2.6)

1) y = 30/2 - 40 .

En la figura, Lj 1 L2 ,

Lj : 4x - 3y = 21 .

{P } = Lj O L2 , la ordenada de P es igual a 1 , y la distancia de Q a R

es5/5 . Si el cateto mayor del triángulo

PQR

se encuentra en la recta Lj, hallar la ecuación general de L si se sabe que el área del triángulo esde 25 unidades cuadradas. SOLUCION:

Puesto que

P * (xot 1) e Lj

=»

4x0

3 ( 1 ) = 21

La Recta

246

de donde

Cap.5

xc * 6 .

Además, n, « (4, -3) es un vector normal de L y por lo tanto el vector u nitario ü de la figura es ü -

ñ^/ |ñ f 1

= (3, 4)/5 Y puesto que el área de PQR es: ab/2 » 2 5 .. (1) y c = d[Q; R] - 5/5 , c2 125

a2 + b2 a2 ♦ b2

-■ 12)

a4 - 125a2 + 2 500

(a2 - 25){a2 - 1Ü0) = 0

0

a2 * 25

a - 5

»

b « 10

de (1)

a2 - 100

a = 10

»

b - 5

de (2)

De las hipótesis del problema resulta que Q =■ P + 5¡¡ R « P + 10Ü

= -

Pendiente deL = Ecuación de

L:

a * 10

y

(6, 1) + 5(-4, 3)/5 =(2, 4) (6. 1) + 10(3. 4)/5 - (12. m

* (9 - 4)/(12 - 2) «

y - 4

=

(1/2)(*c -2)

. Luego, 9),

1/2

.

Dado P = (x, y) , y las rectas L,: (2,3)-[P - (4,5)] = 0 L2: (1.2).[p - (5,4)] = 0 , hallar la ecuación

13.B PROBLEMA.-

de larecta L que pasa por L¡ fl L2 e intersecta al Eje X en un punto cu ya abscisa es igual a dosveces su pendiente. El valor de lapendiente es un número entero. SOLUCION.-

Sea L2 :

y = mx + b .

L :

* + Zy = 13

Además,

==»

Lj :

L, fl L2 =

{ (7, 3) ) .

Comj (7, 3) debe pertenecer a L también, entonces L : (*£>■ yo)

y ■ m* + (3 - 7m)

donde

y0 = 0

.

2x + 3y = 23,

3 ■ (m)(7) + b

que intersecta al Eje X en un punto

Entonces

xD « (7m - 3)/m , de la ec. de L ,

y

xD = 2m

,

por hipótesis.

La Recta

Cap.S

Igualando los segundos miembros se obtiene 2m2 - 7m + 3 * (2m - l)(m - 3) ■ 0

247 2m - (7m - 3)/m

== >

m ■ 1/2

pero ccmo m debe tomar un valor entero, entonces L :

y -

13.9

PROBLEMA,-

3x + [3 - 7(3)]

==>

y -

L :

-•»

6

m * 3

.

m - 3 . Por lo tanto, 3x - 18 .

Hallar el punto Q simétrico a P - (2, 5) respecto a la recta L - { (4 - t, -6 + 3t) / t c R } .

SOLUCION.- METODO 1 : L también se puede expre sar L: (4,-6) + t(-l,3) , i ■ (-1,3) es un vector di^ reccional, y ñ - i-1 - (-3,-1)

es

un vector normal a L Si u

ñ/|ñ| (-3,-1)/ /10

es

el vector unitario en la misma dirección del vector PQ ,

L: 3x + y

* 6

. . d[P; L]

Q = P + 2(d)ü METODO 2.L con L*.

y siendo

|3(2) ♦ (5) - 6 1

5

/10

✓ 10

1 /10 2

(2, 5) + /10 t(-3, -1J//10 ] - (-1. 4) .

Se halla la ecuacifin de la recta L J. L y que pasa por P ■ (2, 5) y luego se encuentra el punto M de intersección d Este punto resulta ser el punto medio entre P y Q . 0 sea,

L: 3x + y * 6

==»

pasa por P - (2, 5). M - (1/2, 9/2) ,

L1:

- x

+ 3y - 13

pues tiene normal

(-1, 3) y

Resolviendo el sistema se obtiene

y como

M - (Q + P)/2

—

Q ■ 2M - P

=>

Q - 2(1/2. 9/2) - (2, 5) = (-1, 4) . 13.10 PROBLEMA.-

Pedro tiene que ir desde un el punto Q ■ (5, 10) pero car agua en un cubilete. Si la orilla del rio se (1, 2) + t(3, 1) , t e R , ubicar un punto N

punto P ■ (1, 6) hasta pasando por el rio para sa encuentra en la recta L: en la orilla del rio de ma

Cap. 5

La Recta

248

ñera que Pedro recorra la mínima distancia. SOLUCION.-

Consideraremos el punto simétrico Q' de Q respecto de la recta L' que pasa por P y Q‘. Así, ubicamos el punto ade cuado N en la intersección de L con L‘ : L:

x - 3y » -5

.. (1)

Y Q A ü // 1f^\ /l »

ü = (1.-3J//T3 , Jfn „ 1 (5) - 3(10) ♦ 5 | d[Q; L] * ----------------✓ 10 -

/

'

‘

L

2 ✓To".

Q' - Q + 2(d[Q; L]) ¡3

* ^ ^

= (5,10) + 2(2/T0)(l,-3)//Í0

i

\

'

* (9.-2J .

'

\ \

L ^ \

Y como L' pasa por (1,6) y (9,-2) entonces

\

L' : x + v = 7 .. (2) . Resolviendo (1) y (2) simultáneamente obteremos

N e

L fl L1 :

N = (4, 3).

13.11 DEFINICION.- Si la velocidad v de una partícula es un vector tons tante, y si la partícula parte del punto PD en el in£ tante t= tD . la posición P de la partícula en el instante t es: P » P„ ♦ (t - t„) v La recta L =

{ PQ + ( t -tQ)v

DE LAPARTICULA

/ te R

, y al valor |v|

13.12 EJERCICIO.-

}

es denominada la

se le llama

TRAYECTORIA

la RAPIDEZ de la partícula.

La partícula p1 tiene una velocidad Vj ■ (100, 30) y parte del origen en el instante t = 0 . Una segun­

da partícula p2 tiene una velocidad v2 » (50, -30?

y parte del

punto (0,

270) en el instante t* 0 . a) ¿ Donde se intersectan las trayectorias ? b) i Colisionan las partículas? b) ¿ En qué instante debería partir la partícula pj para chocar con p2 ? SOLUCION.-

donde t y culas pj y

tD * 0 para ambas partículas, Trayectoria de px , Lj : (0, 0) + t(100, 30) Trayectoria de p2 , L2 : (0,270) + s(50, -30)

,

s representan el tiempo transcurrido desde que parten las partí p2 respectivamente.

Luego,

L1 n L 2 = { Q } , y

Q =

Cap. 5

La Recta

Q ■ (300. 90) ponde a

249

que corres

t * 3 seg

para la partícula p¿ , y corresponde a

s * 6 seg

para la partícula p2 . va lores que son obtenidos de la ecuación (0.0) + t(100. 30) = (0.270) + sy50.-30) . y despejando t y s . nor lo tanto, las partículas NO CHOCAN, y para que esto ocurra Pj debe partir 6 - 3 * 3 segundos después que parte p2 i es decir, en el instante tD - 3 seg. 13.13 EJERCICIO.-Dada la recta L:

(-4,-10) + 1(5.12) , y el punto

P ■ (7 + 12 /3 , 16 - 5/3 )/2. hallar dospuntos R y S en L que formen con P un triSngulo equilátero, yencontrar elárea de dicho triSngulo. SOLUCION.-

Considerando el vector unitario u paralelo a la recta L. ü = (5. 12)/13 . la ecuación de la recta L resulta ser L: 12* - 5y « 2 . Por ser el tH ángulo PRS equilátero, las distancias a y d siendo d = d[P, L] , están relacio nadas por

d*

a .3 .

Además, el área del triángulo resulta igual a: a x d . Calculando el valor de d : como ces:

d * d [P, L] d *

entoji

|[ 12( 7 + 12 /3 )/2 - 5( 16 - 5/3 )/2 ] - 2 [

/ i 122 + (-5)2 ==*

d[P, L]

13/3/2

a ■= d//3

=

13/2 .

Por lo tanto, si M es el pubito medio entre R y S , entonces M * P + dú = P + (13/3)/2)(-12, 5)/13 = (7/2. 8) S = M + aú

* (7/2, 8) + (13/2)(5, 12)/13 = (6. 14)

.

La Recta

250

R = M-aú

=

(7/?, 8) - (13/2)(5, 12),'13 =

Asi, el Srea del triángulo PRS resulta: SERIE

DE

Cap. 5

EJERCICIOS

(1,2)

a x d = 169/3/4 .

PROPUESTOS .-

1. El ángulo de inclinación Hallar su ecuación si su

de una recta que no toca al 2° cuadrante es 45°. distancia al origen es de 2/2 unidades.

2. Un triángulo rectángulo tiene un vértice en el origen, un cateto de lon­ gitud 4/2 sobre la recta Lj : t(2, 2) , t e R , y el otro cateto de longitud 8/2 sobre L2 : s(-l,l) , s e R . Determinar la ecua ción de la recta que contiene a la altura relativa a lahipotenusa si su pendiente es menor que 1 y es mayor que cero. 3. Hallar los valores de a Lj : a* + (2 - b)y = 23

y

b si el punto de intersección de las rectas , L2 :

4. Hallar las ecuaciones de las rectas con pendiente 2/3 y que forman con los ejes coordenados un triángulo de área 32 unidades cuadradas. 5. Hallar las ecuaciones de con los ejes coordenados

las rectas con pendiente m • -3/4 , que forman un triángulo de Srea 24 unidades cuadradas.

6. Hallar la ecuación general de la recta L que pasa por (6, 4), tiene pendiente mayor que 1 y forma un ángulo de 45° con la recta de ecua­ ción: 2x - by + 5 - 0 . 7. Determinar los valores de r y s para quelas ecuaciones 18 , sx - By - 9r ■ 0 representen la misma recta.

7* - ry

=

8. Los puntos A * (-2,-1), B = (3,6) y C * (7,2) son los vértices de un triángulo. Hallar las ecuaciones vectoriales y generales de las rec­ tas que pasan por el vértice 6 y que trisecan al lado opuesto AC . 9. Encontrar la ecuación de la recta L de pendiente negativa que no intersecta al tercer cuadrante y que forma con Lj y con L2 un triángulo cu yos lados iguales se encuentran en Lj y L2 respectivamente, donde Lj : x - ly - 10 , L2 :2x - Zy - 4 ■ 0 . Se sabe además que la distancia de L

al punto P e

Lj fl Lz es 2/5 unidades.

10. La recta Lj forma con las rectas paralelas Lj y l_2 un ángulo de 30° y las intersecta en P y Q. Hallar df P; Q] si: L ! : (3, -4)- [ P - (*.2) ] = 0 L2 : t(4, 3) . t e R .

(a-l)x +

Cap.5

251

La Recta

11. El área del triángulo ABC de la fijura es de 200 unid, cuad., donde L,

:3x

- y - 10-,Lj 1 L3 ,

L3 pasa por (2, 6). SI el vér tice B está en Lj y d[B; Lj] -

5/10 , hallar la ecuación ge

neral de la recta L2

que pasa

por B y C .

12. Dadas lasrectas

Lj :

3x + ky + 10 ■ 0 ,

L2 :(1,3) + s(l,l) ,

L3 : x - 4y + 14 ■ 0 , encontrar el valor de k tas sean cuncurrentes.

para que las tres.rec

13. Una recta L pasa porel punte de intersección de Lj : 2x - 3y ■ 5 , L2 : x ► Zy - 13 = 0 .Hallar la ecuación de Lsi la abscisa del pun­ to de intersección de L con el Eje X es Igual al doble de supendiente. 14. Los vértices de un triángulo rectángulo CAB. con ángulo recto en A , son C = (0,0), B - (12, 5), y el vértice Aque se encuentra en la recta Lt: B + t(3.-2) . Hallar la ecuación de la recta L que contie ne a la altura correspondiente al vértice A . 15. La abscisa a y la ordenada b de los puntosde Intersección (a,0) y (O.b) deuna recta, con los ejes coordenados, son tales que su producto es -6 . Hallar la ecuador, de la recta si su pendiente es m » 3 . 16. ¿Cuál es el punto Q » (x, 0) del gráfico para que la suma de las distancias d[A; Q] y d[Q; B] sea mínima ?

y A

SUG.- Hallar el

punto B' simétrico a B respee to al Eje X y trazar el segmento de A a B' . 17.

Larecta Lj pasa por (a, 1) y (3, 2) .La recta L2 pasa por y (4, 2). SI L, // L2 , hallar el valor de (a - b) .

(b, 1)

18. Hallar la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45° con la recta que pasa por (2, -1) y (5, 3). 19.

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por (2, 5) y que forman un ánqulo de 45° con la recta

20.

x - 3y + 6 * 0 .

Lapendiente de una recta que pasa por A = (3,2) es igual

a 3/4.

llar dos puntos sobre esta recta quü disten 5

A.

unidades de

Ha­

La l
252

Cap. 5

21. La recta L forma un ángulo de 60°con la recta Lj Hallar la pendiente de L .

de perdiente

1.

22. Hallar las ecuaciones vectoriales de las rectas bisectrices formadas por las rectas L, : (1,0) + t(2, 1) , L2 : (-2,3) + s(-l. 2) . 23. Determinar el punto Q simétrico alpunto(2, 8) L : 6x - 4y - 12 .

respecto a la recta

24. Hallar el área del triángulo formado por las rectas Lj : L2 : 4x + y = 38 ,

-5x + ly = 2,

L3 : x + 3y = 4 .

25. Los puntos Pj, P2 y P3 son los vértices de un triángulo de área 5 unid. cuad. Si PL = (4,1), P2 - (-3,3) y P3 e L : (1, l)-(x, y) * 0 , hallar el vértice P3 . 26. Encuentre las rectas de pendiente 3 2 /10 unidades. 27. Dadas las rectas Lj : (0, 1)

cuya distancia al origen es de

+t(4,n) .

L2 : mx - ny = 2 , hallar

m y n si se sabe que amh*srectas forman 45°entre sí, y que la or­ denada del punto de intersección de Lt con el Eje Y es igual a un ter ció de su pendiente. 28. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A = (9, 6) y corta a las rectas 2x- 3¡/ + 6 “ 0 „
B

29. A ■ (3, 1), B = (5, 2) y C son los vértices de un triángulo y M = (4, 2) es el punto de interstcci6n de sus medianas. Encontrar C . 30. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por (4, -3) y que forma un ángulo de 45° con la recta de ecuación 3x - Sy + 9 = 0 . 31. Hallar el área del cuadrilátero ABCD de la figura, donde Lj es la recta de ecuación y

y donde

= Zx + 5

X

L2 // .¡ .

32. Se lanza un partícula p desde el punto (-2, 5)para que i.ntercepte la trayectoria rectilínea de otra partícula. Si L : 3x - 4
Cap. 5

La Recta

?53

x - ¡/ + 3 = O , el mismo ángulo que forma la recta x + 3y - 4 = 0 con la recta 4x - 2y * 5 = 0 . Hallar la ec. vectorial y gener. de L. 34. Un microbio desea observar desde el Eje X a dos de sus amiguitas con án gulos de observación respeetd del Eje X de igual medida. Si las dos fu­ lanas “viven" en los puntos (-1,4) y (5,2) respect., hallar el pun­ to donde debe ubicarse el afortunado microbio. 35. Hallar las coordenadas del punto de intersección de 1 « bisectrices del triángulo formado por x - 4 ■ 0 , y * 3 , x/4 + y/3 ■ 1 . 36. Entre las rectas que pasan por P* (3, 0) hallar una de manera que el segmento comprendido entre las rectas Zx - y m Z , x + y + 3- 0, sea dividido por la mitad por el puntn P . 37. Hallar el área del trISngulo que forma con los ejes coordenados la bls&c triz del menor Sngulo formado por las rectas Lj : 3x - y - 6 « 0 , L2 : x — 3y - 6 ■ 0 . 38. Hallar las ecuaciones generales y vectoriales de las rectas que pasan por (2, 2) y que forman un ángulo de 45° con la recta 4x - %y + 3 * 0 . (Dos soluciones). 39. Hallar 1a^ectíácionés~de~lascatetos de un triángulo rectángulo Isósceles conocrenao el vértice del ángulo~Ye^to C * (4, 1) y la ecuación de la hipotenusa 3x - y + 5 * 0 . 40. Dada la recta L :(-4,-2) + t(4, 3) , J\el punto (10/3,1) , ha llar dos puntos R y S en L que forren :on\P un triángulo eqi'lláte ro. \ 41. Hcllar el ángulo agudo agudo formado poi las rectas 3x + Zy - 1 - 0 .

4x - 9y + 1 ■ 0 .

42. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 5x - ly + 2 * 0 , 9x - Zy * 1 * 0 , 4x + Sy - 7 - 0 . Hallar los ángulos internos. 43. Demostrar que la bisectriz de cualquier ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en segrentos proporcionales a los otros dos lados correspon dientes a los respectivos segmentos. 44. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos fornidos por rectas x + y -3 ■0 , Zx - y * 6 m 0 .

las

agudo entre las rectas 3x - 4y + 1 * 0

, 2x - 3y

46. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por (2, 1) 60° con x * ¿y * 3 en forma vectorial.

y forman

47. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por (2,1)

y forman

45. Encontrar el Sngulo * 5 .

La Recta

254

45°

con

48. Sean Lj :

2x - 3y -

6 .

Aj* + B^y * C( * 0 ,

no paralelas.

Si

k

Cap. 5

L2 : A2x + B2¡/ + C2 • 0

es una constante,

dos rectas

la ecuación

representa una familia de rectas. Pruebe que cdda una de estas rectas contiene al punto de intersección de Lj y L2 . Este método evita en contrar el punto de Lj fl L2 . 49. Si

L, : 3* +

L2 : 2x + 3y * 5 , usando el Ejercicio ante­

= B .

rior, y sin encontrar

Lj fl l 2 , hallar las ecuaciones de las rectas

que pasan por este punto de intersección y tales que a) una pase por (1,3) , b) una sea paralela al Eje Y, c) una tenga pendiente 4 , d) una sea horizontal. e) una sea perpendicular a la recta x + f) una forme un triángulo isósceles con lo inaaos. 50. Hallar la ecuación de la recta de pendiente i y que pasa por la inter­ sección de las rectas 4* + 2y = 13 , 3* - 1y + 3 * 0 . 51.

Hallar la ecuación de la recta que p¡.sa por la intersección de : 2x - y * 1 , L2 :3x + Hy ■ 2 , y que es perpendicular a la recta 4x + Sy - 3 , sin calcular Lj O L2 .

52. La ecuación x + y - 2 + k(x - y + 6) * 0 rectas que pasan todas por un mismo punto. das de dicho punto.

representa una familia de Hallar la suma de coordena­

53. Un rayo de luz corre a lo largo de la recta x - 2y + 5 = 0 hasta lie gar al espejo cuya ecuación es 3* - 2y+ 7 = 0, en el cual se refleja. Hallar la ecuación de la recta en la que se encuentra el rayo reflejado. 54. Uno de los vértices de un triángulo es A - (3, -1) y la ecuaciones de la bisectriz y mediana trazadas desde vértices diferentes son respectiva mente x. - Hy + 10 = 0 , 6x + 10y = 59 . Hallar la pendiente del la­ do que contiene al vértice Ay al vértice

que está sobre la

bisectriz.

55.

Hallar la ecuación de la recta que forma un ángulo de15° con la recta * - y = 0 sabiendo que pasa por el origen de coordenadas, y que su pen diente es la menor posible.

56.

Dada la familia de rectas 2kx + y + k » 0 , determinar la tangente del ángulo agudo que forman las dos rectas de la familia que pasan por el punto (1, -8)

57. Tres rectas L,,

2

L2, Lj

se intersectan en

(-6,4).

Si Lj y L2

La Recta

Cap. 5

255

contienen a los punto? A =(2, 2) y B = (0,0) respect., y L2 es bisectriz del ángulo fcrmado por Lj y L3 , hallar la pendiente de Lj. 58. Dadas las rectas Lj : 2x 3y + 6 = 0 , L2 :ÿ - 4 « 0 intersecta a Lj en B y a L2 en C . Si L pasa por A * (9, 6), el cual divide al segmento [B. C] en la raz6n 3 : (-2) , hallar la e cuaci&n vectorial de L . 60. Desde el punto A = (9, 1) se traza una pendiente a la recta L : 3x 2y * I['= 0 que la corta en B . Tomando AB como base de un triángulo isósceles cuyo vértice se encuentra en el Eje X, hallar el área de dicho triángulo. 61. Una recta con pendiente positiva pasa por P » (1, -21 y forma con rectas 3x + Hy - 2= 0 , 4x + 3y + 1 = 0 un triángulo isósceles cu­ yos lados iguales están soLre las rectas dadas. Encontrar la ecuación de la recta. 62. Hallar los valores de a de ax + (a - \)y - 2(a + 2) »^0 ten a dos rectas paralelas:

manera que las ecuaciones siguientes: , 3ax - (3a + \)y - (5a + 5) * 0 a)

no

coincidertes,

represen

b) coïncidentes

63. Oeterminar la ecuación de la recta que pasa por (1, -1) formando la ba­ se de un triángulo isósceles con las rectas y - 5 , 4x + 3y - 11 * 0, y sabiendo además que su pendiente es positiva. 64.

Hallar la ecuación de la recta L que pasa por lo de 45° con la recta 3x - Sy + 9 ■= 0 .

65. La partícula Pj tiene una velocidad

(4, -3) y forma un ángu

Vj = (12, -5)

y parte de' punto

(-100, 150) en el instante t = 0 . Una segunda partícula p2 tiene u na velocidad v2 = (8, 6) y parte del punto (-120, -75) en el instan­ te t = 0 . ¿ En qué punto se intersectarán las trayectorias de las dos partículas ? 6b.

Hallar la ecuación de la recta que está situada a 6 unidades del ori gen, pasa por el punto (10, 0) y corta a la parte positiva del Eje Y.

67. Un vértice de un cuadrado es P * (6,8) y una de sus diagonales está so bre la recta x + y - 1 = 0 . Hallar el área dtl cuadrado. 68.

Determinar la ecuación de la recta con pendientepositiva que pasa por (0, 1) y forma un ángulo de 45° con la recta 3x + 2y - 1 ■ 0 .

69.

Las rectas Lj y L2 son ortogonales y se cortan en el punto B = 2).

La recta Lj corta a Lj en A y a

L2 en el punto C

cuya

(4,

La Recta

256

Cap. 5

abscisa es menor que la abscisa de B . El área del triángulo de 40 unid. cuad. y D es el punto medio delsegmento AC. proyección del vector

BD sobre Lt es

a) Hallar la ecuación vectorial de

(-4, -4) y

ABC es Si la

|BC | = 5/5

,

L3 .

b) Hallar la ecuación general de la recta que contiene al segmento 70. El lado del cuadrado OABCmide a unidades. Si el OMC es a 1 como el área del trapecio OABM es a 4 , calcular la pendiente de la recta determinada por 0M .

BD.

áreaael triángulo

71. Encontrar el ángulo obtuso entre las rectas L, : (-6, 3) + t(3, 1) , y * 2k + 10 , asi como el punto Pc e L j n L 2 y l2 CLAVE DE RESPUESTAS.1.

{2.-2) + t(l.l) ;

4.

2x - 3y -i 8 /6 ;

2.

s(3,l) ;3. a - 4 . b ■ 7 . 5. x/8 + y/6 - i

7.

• r - i 4 . s - i 14

; 8. Lj :(3.6)

9.

m - -2 .

L2 : (3.6) + P =(2/3. -4/3) .

U. A - (5.5).

B - (20.0), (-3,-19).

12. k *= -4 ;

13. L :

14.

17.

-1

;

23. (-2. 10) ;

L :

30. L : 32.

38. 9x - y = 16 ,

21.

-2 - /3 .

33 unid. cuad. ; 25.

i (-1.2)] P3 - (-5.5),P3

28. B -(-1. 4/3). C

(4,-3) + t(4,-l) , L : (4,-3)

- (21/2, 4) ; + t(l, 4) ;

t (mínimo) = 2 seg.

33. L : (D.2) + t(4,-3), 35. (7/2, 9/2) ;

m *= 1/7 .

L2 : (-6, 2) + t(l. 3)

m *6 , m = -24 ;

31. 625/24 ;

(6, D) + t(l, 3)

(2, 5) + t(l, 2) .

(-1/5, -3/5) ♦ t[(2,1)

24.

(6,-2) + t(l, 3) .

29. C - (4.3) ;

L’ :

18.m - -7 , L1 :

C - (-1, -1) ;

L2 * {(-1/5. -3/5) }.

27. n - 12 ,

10.d[P; Q] - 8/5 .

L2 : (20. 0) +■ t(23. 19)

t(2, -1) ,

20. B = (7. 5).

26. Ll :

y - 21 .

5x

= -2x+10 ;

(1, 0) t(2, 1) .

19. L : (2, 5) 22. Lt

- y -3 .

15. L : 3x - y - 3 /2 , L* : y - 3x - 3/2

(6, 9) + t(-5, 12) ;

16. Q = (3, 0) ;

t(l,-5) :

y

L :

6. 2x - y * 8.

1 ; + t(1.3) :3x

36.

L' : (0.2) ♦ t(-3. 4) ; 8x - y - 24

39. 2x + y - 7 .

34-

P * (3.0) ; ;37.(3/2,-3/2)+ t(3, 4)

=(

La Recta

Cap. 5

257

40. R = [(32/3 - 24)/5 . (24/3 - 13)/5] ;41. 44.

L:

(4, -1) + t(l, 3) ,

tan 6 * 35/6 .

L*: (4,-1) + t(3,-1)

;

45. are eos [18/(5 13)] ; 46. L : (2, 2) + t(l, 5/3 - 8) ;

L1 :(2,2)+ t(-l,

8 +■5/3)

;

5x - y = 9 .

47. x ♦.5¡r * 7 , 49.

a)x “ 1 , b) x = 1 , (se anula el coefic. de y ) c) y *= 4x - 3 , d) y • 1, (anular el coefic. dex), e) y - 2x - l , f) x + i/ '2 .

50.

(5/2, 3/2) + t(l, 3) ;

53. (-1, 2) + t(18, 55. x - /3y 58.

B*

59.

L :

62.

a)

- 0 ;

56.

54. L : 12/31 ;

(3/2, 3) ,

(3.-J)

57. -43/32

L :

a « 0 6 a ■ 1/3;

C + t AC = * b)

66. 4x + Zy - 30

;

-|

L :(4, 4) + t(5,2) 61. x - y * 3 . ; 63.

2x-ym

3.

y + 3 - -(l/4)(x - 4) ;

La partícula

Pj

debe par -

t * 10 seg. 67. 169 unid. cuad. ; 68.

69. a) P - (2, 20) +■ t(3, 13)

;

70. 2/5 ;71- 8 * 135°

Pe * (-3. 4) .

RELACION

m

;

No existen

65. Se Intersectan en (80, 75) ; No chocan ; tlr en el Instante

;52.+ 2;

t[(10.5) -(3,-1)].

(9, 6) + t(9, 2) ;60. 13 unid, cuad.;

64. y * 3 -4(x - 4) ;

m.l

55x - M y - 26

51.

-1);

.

ADICIONAL

DE

y

m 5x

+1

.

b) P - (4. 2) +■ s(13, 3)

PROBLEMAS

PROPUESTOS

1. Una de las diagonales de un rombo ^>st5 contenida en la recta L1 • { (a - 1 , 5a - 6) + t(a - 3, 1) ) y uno de los ladosdel mismo estS conte nido en L2 = { (-4a, a - 2) + s(3a, a +■ 1) } . SI a > 0 yM • (3a + 1, 6a) es el punto de Intersección de las diagonales del rombo, encontrar los vértices y el área. SUG: (3a+l, 6a) e L1 = » a - 4, M » (13,24). 2.

Sean L donde de 50 SUG:

: (0,2)+ t(7,l) , Q = (22, -2) y eltriángulo isósceles A y B pertelecen a L y |AQ |- |BQ |. SI el área de ABQ unid, cuad., hallar los vértices A y B . L : -x * ly = 14 , h - 5 /2 .

ABQ es

3. Si L es larecta que pasa por (2k, 3) y esoctogonal alvector I ■ (4/k, 3), k f 0, determinar los valores de k tales que el punto (k/2, (3k2 + 24)/8) esté en L . 4. Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados de un rec -

258

Cap. 5

La Recta

tángulo, dos de los cuales distan 10/2 unidades del punto Q * (-3,5). Los otros dos lados equidistan 5/2 unidades de Q , y el ángulo de in­ clinación de uro deestos últimos lados tiene tangente 1/7 . 5.

Dadas las rectas L1 : (3/5, 0) + t(2, k), y L2 : rx - ky - -84, ha­ llar los valores de r <0 y de k ,si las rectas forman un ángulo de 45° , y la abscisa del punto de intersección de L1 con el Eje X es 2/5 de su pendiente.

6.

Dadas las rectas L1 : x + 3y * 5, L2 : (-1.2) + t(4,3) ,y si A E L1 fl L2, B e L2, C c L1 y tan 6 * 13/16 , donde 6 es el án guio ABC , hallar B y C donde la ordenada de B es igual a 8 y la abscisa de C es positiva.

7.

Hallar la recta L2 de perdiente entera negativa que no pasa por el ter­ cer cuadrante. Si L3 J. L1 en A, L2fl L3 ■ { B }, L1 fl L2 ■ { C } . la abscisa de • A es 3 , L1 :3* - y - 5 ,| BC | ■ 5/10 , y el área del triángulo ABC es de 60 unidades cuadradas.

8.

Sea CAB un triángulo rectángulo en A, P es un punto del segmento

a) 9.

los vértices A y B ,

BC, y b)

Pr

la recta

C ■ (2, 7) , BC * (-8, 4). Si AP * (3, 1) ,

hallar

que contiene al segmento AP.

Sea L una ’-ecta de pendiente negativa, ortogonal a la por A y B . Si P c L y al Eje X, L es bisectriz de ” (6, 8) y el área del triángulo formado por larecta L es 8 veces el valor absoluto de su pendiente, hallar: b) la recta que pasa por A y B .

recta que pasa APB , A + B con los ejes a) L ,

10. Sea L una-recta que pasa por el origen 0 conun ángulo de inclina ción de 30°. Un cuadrado 0ABC (antihorario) tiene un lado 0A de longitud k unidades sobre la recta L, A en el primer cuadrante, P e 0C , el área del triángulo P0A es a 5 como el área del trapecio PABC es a 7 , y la diferencia de los catetos del triángulo es /3/3 . hallar: a) los vértices del cuadrado, b) segmento PB .

la recta que contiene al

11. Un triángulo isósceles ABC , donde el lado AB es paralelo a (3, 4) y mide 10 unid., la altura relativa al lado AB mide 15 unid. Deter minar la recta que pasa por C y er nara’ela al vector BM . siendo M el punto medio de AC ,

A » (2, 3), y

|CB| = |CA| .

12. .Desde (6, -4) se trazan las rectas L1 y L2 con pendientes negati vas. El ángulo de inclinación de L1 es mayor que el de L2, la recta

La Recta

Ccp.5

259

L1 determina sobre la parte positiva del Eje Y un segmento de 2 unid. La recta L2 determina sobre el Eje X un segmento de 38/7 unid. Ha­ llar la recta L que no cruza el 4° cuadrante y que forme con L1 y L2 un triángulo isósceles con base en L , y de área 15 unid, cuadradas. 13. Sea ABC un triangulo isósceles de lados iguales AC y BC, A * (5. 2), B 3 (13, 8), L: P„ + ti que contiene a los puntos medios de los la dos AC y BC, |AC| = 5/5 . Hallar la distancia de Pc ■(-12, -5/2) a la recta que contiene al lado BC del triangulo. 14. Las rectas Ll, L2 y L3 determinan un triángulo rectángulo, L1 X L2 en P ■ (4, 1), la bisectriz del ángulo recto corta a L3 en Q ■ (5, -6). Si la bisectriz del ángulo que forman PQ y uno de los lados del triangulo es L4 :(5,-6) + t(3,4) , determinar el 8rea del triSngulo formado por las rectas Ll, L2 y L3 . 15. Sean las rectas Ll y L2 ambas de pendiente 12/5 que pasan por (-4, -3) y (14,9) respect. Sean L3 y L4 paralelas al Eje X tales que P„ * (-17,-3) £ L4, d[L3; L4] - 12, y L3 no corta al tercer cuadran­ te. Las rectas Ll, L2. L3 y L4 forman un cuadrilátero. Si L es otra recta de pendiente positiva que pasa por PD tal que forma un triangulo isósceles con Ll y L4 cortando en los puntos M y N a las rectas Ll y L2 respect.,hallar los puntos M y N . 16. Sea ABC un triangulo. El lado AC mide 3/10 unid., y se encuentra sobre la recta L : * + 3
Pr^g BH = (7/5, 1/5) , hallar los vértices de ABC .

MOTA: El ortocentro puede estar ubicado dentro ó fuera del triangulo. 17.

El punto P ■ (2, 5) divideal segmento AC en la razón 3 :2 , y al seg mentó BD en la razón 2:1. Si BD // (3,-4) , AC // (1,1) , el área del triangulo ABC es 35 unid, cuad., |PC|/|BP| ■ /2/5 , hallar las rectas que contienen a los lados de ABCD. SUG: |BP | = x ==> NOTA: Elegir A a la derecha de

18.

Sea L: x + 31y M 100 . y tos en Lque forman con Q y donde

P .

Q = (17, 17) 4 L . Si A y B son dos pun un triangulo rectángulo AQB recto en Q ,

Pr-^ AB * (10, 14) , AIJ

|PC | =(/2/5)x. P , y B arriba de

hallar los puntos

A y B .

19. Sea L una recta que pasa por la intersección de Ll : x + 2y - 1 , y L2 : 5x - 3y = IB , y que forma con los ejes coordenados un triángulo de área 6 unid. cuad. Hallar la ecuación de la recta L .

La Recta

260

Cap. 5

20. El ángulo 6 entre Ll: B + ti , y * 5/7 .SI Ll D L2 = { C } siendo B ' (0, 4), AC + BC * (5, -25) , y Hallar los puntos A y C .

L2: A + sb Cun punto del cuarto cuadrante, la perdiente de L2 es -1 .

21. Sea L : (7, 12) + ti . y Q ■ (4, 3) un puntoque dista 3/5 unid, de L . Por Q pasan dosrectas que Intersectan a L en los puntos R y B - (7, 12) respect.. formando el triangulo Isósceles BQR con ba­ se en L .Si B divide al segmento RD de L en la relación 3:4, hallar lospuntos R y D . MOTA:Un vector dlreccional de L tie­ ne ambas componentes del mismo signo. 22. Demostrar que el área del triángulo formado por la recta L : Q + tá , con los ejes coordenados, y donde a ■ (a^, a2) , está dado por : AREA * 23.

Sea L :

1 (Q ■ i X )2 ----— 2 |aK - a2 |

P„+ t(i-b) ,

y s1 Pr.j b * (-3, -4) , a) L ,

tal que

|0Po| * 9

|b| * 5 . y

,

0Po J. (i-b)

|a| -5 |b| ,

b) el Srea del triángulo que forma L

hallar

con los

, :

ejes coord,

NOTA: Las componentes de i son negativas, y la recta L corta al se­ mieje positivo de Y . 0 es el origen de coordenadas. SUG:i - r (3, 4). 24.

r < 0

= ►

r - -5 .

Lospuntos A * (6, -6), B, Cy D son los vértices de un paralelogra mo, siendo AB « (1, 7) una de sus diagonales, y Pr AB - AC . Se toma un punto interno P de? paraleíogramo, de modo que AP * (1, 4) y

Pr a- BP .■ (-3/5) (2, 4) , donde

i * (19/9) BC . Hallar la rec-

ta L quetient como normalal vector PD y que divide al segmento PD en la razón Je 1:1. MOTA C se encuentra a la Izquierda y debajo de £ . 25.

Seanlas rectas Ll : (0,3) + t(2, 3) , L2 // (-1, 5) , L3 JL Ll en (2, 6). Hallar a) L2 fl L3 , s1 L2pasa por (4, 9) , b) el ángulo agudo entre Ll y L2 , y el ángulo obtuso entre L2 y L3.

26.

Seala recta L : (1, 2) + t(l, -2), y los puntos Q * (3, 1) y P ■ (2, r) estando P en la recta L . Hallar todas las rectas que pasar por Q e Intersectan a L de tal manera que los puntos de intersección

sa

Cap. 5

La Recta

A

y B disten /5

261

unidades del punto P .

27. Unespejo AB de 4/2 unid, de long. tiene su extremo A en (2, 5). Si el suplemento del ángulo de inclinación de la recta L que pasa por A y B es al complementodel mismo cono 3 : 1 , hallar las trayectorias de los rayos incidente yreflejado, de un rayo luminoso emitidodesde P “ (4, 5), para que el rayo reflejado llegue al punto C = (9, 6) . 28. En un triángulo ABC rectáng. en B, la hipotenusa de

50unid, de long.

es dividida en n partes iguales por los puntos Pj, P2, Calcular: NOTA 29.

... ,

Pn_i-

* = | BC + BA + BPj + BP2 + ... + BPn_j |

n es dato. Además,

1 + 2 + ... ♦ n ■ n(n + l)/2 .

Sean A, B, C y D vértices consecutivos de un paralelogramo tomados en sentido antihorario. Si AD = (-4, 2) es lado del paralelogramo , si Pr ^

AD « (3/13)(1, 5) * AP , donde AC es diagonal del paralelo -

grano, el área del triángulo PQB es 220/13 unid, cuad., Q es el pie de la altura trazada desde B en el triángulo ABC , hallar la recta que tiene como vector direccional a (BD + AC) y que pasa por el punto cuyas coordenadas son las componentes del vector (2D - A - C) . SUG: Tome 30.

A ■ (0. 0),

D = (-4, 2) .

Sean las rectas L1 : (2, -3) + r¡ , en R = (c, d), ces un entero mayor

L2 : (1, 9) + que 3 . Si el cuadrilátero P0QR

tiene área 71/2 unid, cuad., 0 es el origen, P * (2, -3) y Q = (1, 9), hallar la ecuador. c™= la recta bisectriz del ángulo PRQ . 31.

Seav un vector que sigue la dirección positiva del Eje Y, tal que |v| * 5. Sean L1 :x-y + 12 = 0 , L2y L3 rectas con pendientes nij ,

m2 y m3 respect-, de modo que «í (v; Ll) = <(L1; L2)

=

mt > m2 > m^ .

*(L2;L3),

a) PrL1 v + PrL2 ( P r ^ v)

Si los ángulos:

hallar:

+ Pr L3 (Pr L2 (pr L1 v ) )

b) La ecuación de la recta bisectriz del ángulo agudo entre L1 y sabiendo que pasa por (a, 6) e L1 D L2 . CLAVE

DE

RESPUESTAS

1. A =(-4,7). C > (30,41), D = 2M - B = (6. 31) . 2. Q 3. k =

L2

B = M + t A C J- e L 2 .

h(-l. 7)/(5/2) i5/2 (7. i i //3 ;

l)/(5/2) . .4. L1:

B*= (20. 17) .

A = (14.

4). (28,6).

(11. 7) + t(l, -7).L2:(-17.3) ♦ t(-l,7)

262

La Recta

5. 7.

L3, L4 : (-3, 5) i (-1, 7) + t(7, 1) k = 3, r - -15 ; 6. A = (-1, 2). B = (7. 8), C = (5. 0) A e Ll, A « (3,4) e L3: (3,4) + t(3,-l). B = (12,1). C - (7.16),

8. 9. 10. 11. 12. 13. 16.

Cap.5

L2 : (12. 1) + t(l. -3) ; B- (10. 3). A =(4.1). P - (6. 5). L: (4. T) * t(l, 2) a) punto mediode A y B es M ■ (3,4), P * (4,0), L : y + 4* * 16 b) (3, 4) + t(4, 1) , sin necesidad de hallar A y B . L: * - •ñ y « 0, k > 2 /3 . A - (3, /l). B - (3- /3. 3 * / I ) . C - (- /3, 3). P * (-5/1/6. 5/2) Dos soluciones. Ll: (-7.16) + t(7,l), L2: (17.-2) + t(-l,7) Ll: y - -x + 2, L2: y > -7* + 3B, Q -(6.-4) + 3 /5(-l. 2)/ /5 . Q - (3,2) es punto medio de la base, L :(3, 2) + t(2, 1) 10/5 ; 14. A = 50 un. tuad.; 15. M-(1,9),N = (19, 21) C « (4, -2), A - (-5, 1), B - (2, 2)

17. IB. 20.

*» 10 , A = (4,7), B * (-1,2), « (-4,13),D (14,-11) A (7, 3), B =■ ¿38. 2),pi,es ÁQ * (10, 14) ; 19. * -3y - 6 C■ (1,2), A (0.-1) ; 21. L tiene direccifin (2.1). R - (1. 9). D - (15,16); 23. a - (-15,-20), 3bj + 4b2 - -25, b - (-3, -4) , P0 - (-36/5, 27/5) , b) 675/8 unid. cuad.

24.

ÁC 1 BC , d[A; C] - /5 , C -

(4,-5). D -(9.0). B - (7.1).

P - (7.2), Pc = P + (l/2> PD - (B,l), 25.

a)

26.

r - 0 ,

27.

(5,4),

b)

A, B -(2,0) ± /5(l,-2)//5

R. Inclderte: (4,5) + s(-l,7). pues a * n/4 .

.. 29.

, A - (3,-2), B - (1,2)

R. Reflejado: (2,7) +t(7,-l)

28. BPk » BC + CPk

2B. * * (n + 1)|BMJ , h > 22/ .'Té ,

x +y- 9 .

L:

n/4 , 3 n/4 .

■ BC + (k/n)CA,

con M = (A + C)/2

|?Q| -40//26 ,

,

ÁC « (2,

. ,

A - P„ ,

* - 25(n + 1)

10) -

C,

B - A + DC - (6. 8) . L : (-10, -6) +t(-2, 1) 30. 12c + d - 21 = 50, c = 6, d = -1 , LB1 : (6.-1) ♦ t [(-1.2) + (-2.-1)] : (6.-1) + t(-3.1) . 31. W -

Pr L1 v «

d ■ P r ^ : ■= b)

(a, 6)

e

(5/2, 5/2) , í (5/4)(1, -1) Ll Í1 L2

,

Pr L2 w

de donde entonces

*(5/2)(l,

0)

w + z + d ■ (25,

a « -6 .

LBI :

(-6, 6) + t[ /2(1, 0) + (1, 1)]

LBI :

(-6, 6) + t( /2 + 1. 1)

.

Luego, ===»

, 5)/4

263

6 GRAFICAS DE ECUACIONES

1.

INTRODUCCION Se ha visto que las ecuaciones en dos variables,

como

y - 2x * 1

2 pueden ser representadas por gráficas en el plano cartesiano R . En tal ca­ so, se denomina GRAFICA DE LA ECUACION al conjunto de puntos (x, y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuaci6n dada. (Ver Fig. 1). Cuando la ecuaci6n proviene de una condici&n geométrica que debe ser satisfecha por ciertos puntos (x, y) , entonces a la gráfica de la ecua ci6n se le llama EL LU GA R GEOMETRICO (L.G.) de dichos puntos. Por ejemplo, el Lugar Geométrico de los puntos (x, y) del plano que se desplazan de tal manera que se encuentran siempre a igual distancia del Eje X que del Eje Y, origina la ecuaci6n siguiente d[ (*. y) ; x ] -

d[ (x, y) ; Y ]

=s» =-

\y\ - |x| y *

ix

,

cuya gráfica está compuesta por la reuni&n de los puntos correspondientes a las dos rectas Lj : y » x , L2 : y ■ -x . pues los Duntnc ¿jn bas rectas satisfacen la condici6» geométrica dada. (Ver Fig. 2).

Gráficas de Ecuaciones

264

Cap.6

Además, no todai tm ecuaciones m do¿ varUable¿ tienen una 'lep'ie 2 , como por ejempio, la ecuaci6n

tentación gii¿ica en el plano R x2 * y 2 - -1

no tiene solucionts reales * , y , y por lo tanto no tiene GRAFICA en R

2.

CRITERIOS

PARA

GRAFICAR

2

.

ECUACIONES

Cuando se tiene que graficar una ecuaci&n en dos va rlables x , y , es conveniente tener en cuenta ciertas consideraciones o cH terios preliminares. 2.1

In t e r c e p t o s

con

los

Ej e s Co o r d e n a d o s

Se ubican los puntos en los que la gráfica debe 1ntersectar a los ejes, para lo cual, si se desea encontrar los interceptos con el EJE Y : se hace * = 0 en la ecuac16n y se despejan los valores re ales correspondientes de y . i para hallar los Interceptos con el EJE X : se hace y = 0 en la ecuaci&n y se despejan todos los valores reales corres pondientes de x . Por ejemplo, en la ecuaci6n

4x2 + 9[y - 2)2 = 3 6

,

- si x » 0 :0 + 9[y - 2 2 ■ 36 => y m0 , y = 4 , y se di­ ce que 0 y 4 son los interceptos con el EJE Y ; y 2 -si y = 0 : 4x + 36 * 36 ==> x » 0 , y se dice que 0 es el único intercepto con el EJE X . 2.2

EXTENSION Con esto se quiere indicar un previo análisis de la e

Gráficas de Ecuaciones

Cap. 6

265

cuaci.n para encontrar los Intervalos en los cuales las variables *, y , to man valores reales. Por ejemplo, en la ecuación 4x2 + 9(y - 2)2 - 36 si se despeja x de la ecuación, se tiene que * - i | / # - [y - 2)Z y como x debe ser un número real entonces a partir del radical debe conside rarse que _ 4 - (y - 2) i 0 lo que implica que -2 i y - 2 i 2 , es decir,

0 < y < 4 ,

y c [0, 4] .

o sea todos los valores

Análogamente, despejando x de la ecuación dada, se tiene la condición para x : -3 < x < 3 , es decir, todos los valores x e [-3, 3] . De esta manera, la gráfica estará contenida en la región del plano limitada por el siguiente rectángulo, y que determina su extensión en el plano.

2.3

SIMETRIAS

fica es

íOUca

Con frecuencia es útil saber reconocer cuándo la grá respecto a los ejes coordenados y/o al origen.

Recordemos que si L es una recta y Q un punto cualquiera, entonces se d¿ ce que el punto Q* es el iimLOUco de Q con respecto a la recta L si: ¿) ¿i)

L es perpendicular al segmento

QQ'

,

y si

L intersecta al seg mentó QQ1en su punto medio

H.

En tal caso, la recta L recibe el nombre de EJE DE SIMETRIA de los dos puntos Q y Q' . Se dice además, que dos puntos P y Q ¿on ¿iml&Uco¿ M es el punto medio del segmento PQ . Este punto M recibe el nc«nbre de C3NTRC DE SIMETRIA .

w

Xa z ¿í , e n >LuptcZo a un punió M , si

Gráficas de Ecuaciones

266

2.4

S IM E T R IA

DE

UNA

CURVA

CON

RESPECTO

Cap. 6 AL

EJE X .-

Si la ecuac¿3n de una cuAva NO VARIA cuando se susU tuye y por -y , entonces se dice que la curva es SIMETRICA CON RESPECTO AL EJE X. pues ello indicará que los puntos (x, y) y (x, -y) pertenecerán a la gráfica, y tendrán como Eje de Simetría al Eje X. Ver la figura adyacente.

2.5

S IM E T R IA

DE

UNA

CURVA

CON

RESPECTO AL

EJE Y

Si le 'uACÁdn de la. cuJiva. NO VARIA cuando se sustf tuye * por -x ,entonces la curva es SIMETRICA CON RESPECTO AL EJE V . puesello indicará que que los puntos (x, y) y (-x, y) pertenecerán a la gráfica, y tendrán como Eje de Simetría al Eje Y. 4xZ * (y - 2)2 « 36

Por ejemplo, la ecuacl&n si se sustituye x por -x. Por lo tanto, la gráfica resulta ser Simétrica con respecto al Eje Y :

no varia

2 ("*• ^ )

4(-*)2 + (y - 2)2 - 36 es equivalente a: 4x2 + (y - 2)2 = 36

.

que es la ecuación original. 2.6

S I M E T R IA

DE

UNA

CURVA

CON

RESPECTO AL

O R IG E N

SIla. ecuAcenn NO VARIA cuando se sustituye slmultá neamente: x por -x , asi como y por -y , entonces la curva es SIME TRICA CON RESPECTO Al ORIGEN, pues ello indicará que los puntos (x, y) y (-*. -y) pertenecerán a la gráfica, y tendrán como CENTRO DE SIMETRIA al Origen. Ver la siguiente figura.

Gráficas de Ecuaciones

Cap.6

267

4x2 + 9y2 = 36

2.7

APINTOTAS .-

Se llama ASINTOTA de una curva a toda recta L tal que la distancia de un punto de la curva a dicha recta L va disminuyendoH^n diendo a ser cero, conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen. Por ahora consideraremos solamente ASINTOTAS que sean horizontales o verticales. 2.8 EjtMPLO.-

Dada la ecuación:

xy - x - y

si se despeja y en términos de x x

1

1+

* - 1

se oDserva que si x tiende a 1 tomando valores menores que 1 y pos id vos, entonces el denominador * - 1 tiende a cero, y por lo tanto el cocien te (asi como y ) tiende a - 00 ; mientras que si * tiende a 1 tomando valores a la derecha de 1 , entonces y tiende a + «° , como se puede ver en la figura siguiente. Esto indica que * = 1 es una ASINTOTA VERTICAL. Y si se despeja x : y -1

1+

1 1

vemos que, en forma análoga a la anterior, la recta y ■ =1

es una ASINTOTA HORIZONTAL

268

Cap. 6

Gráficas de Ecuaciones

2.9 Regla para hal'.ar Asíntotas posibles 1.- Para hallar las ASINTOTAS VERTICALES, se despeja y en términos de x , y Sí IGUALAN A CERO los factores lineales del denominador. Y si es que para tales valores hallados de x, no se obtiene la expre 0 sion entonces dichas ecuaciones corresponderán a las Asíntotas Ver --0 ticales. 2.- Para hallar las ASINTOTAS HORIZONTALES , se despeja x en térmi nos de y , y Sf IGUALAN A CERO los factores lineales del denominador, (si existiera, claro está) y se. procede como en (1).

2.10 Construcción de la Curva .Habiéndose determinado algunas ca­ racterísticas de la curva, se procede a tabular algunos puntos, y luego unir los por una curva. 2.11 EJEMPLO.-

4x2 + 9y2 * 36 :

Graficaremos la curva de ecuac16n:

a) INTERCEPTOS CON EL EJE X, hacemos pejamos

y ■ 0

en la ecuaci&n, y des x - i3.

x = 0

b) INTERCEPTOS CON EL EJE Y, hacemor pejamo!.

en la ecuaci6n, y dos

y “ i2.

c) EXTENSION . -3
-2 < y < 2 .

d) SIMETRIAS : - Es simétrica respecto al Eje X , pues la ecuaci6n no varía al reem plazar y por -y . - Es simétrica respecto al Eje Y , pues la ecuaci6n no varia al reem plazar x por -x . - También resulta simétrica respecto al Origen. e)

No tiene asíntotas verticales ni horizontales.

f)

TABLA : 2.5 = 1.49

= 1.1

Gráficas de Ecuaciones

Cap. 6

g) Gráfica:

2.12

269

por las consideraciones vistas en (d) sólo es necesa rio tabular en el primer cuadrante, y la gráfica se com­ pleta por simetrías.

Ejercicios Propuestos Graficar las curvas definidas por las siguientes ecuacio­ nes:

a)

x2y - 4 - *

b)

xi/ = -9

c)

(x-2)(¡/-3)

d)

y=

= 0

= 6

x + (1/x)

e)

(x - l)2 + (y - 3)

f)

ÁT

g)

(x2 -1)y

h)

(x - l)2 + 4(y - 3)2 = 9

+/2 y

»9

= 1 ■

16

3. ECUACIONESFACTORIZABLES Son aquellas ecuaciones que pueden expresarse como producto de dos o más factores -Lguat^dji a *2 -

ly - l ) 2

cqao ,

=

como en

0

[ x - y * rjj[ x + y - 1 ] = 0 =»

( x - i/ + 1 = 0)

v(X + I/-1

= 0)

y cuya gráfica corresponde a la reunión de los puntos de ambas de las gráfi­ cas siguientes: Lj :

x - y + 1 = 0 ,

L2 :

x + y - 1 = 0

3.1

Cap. 6

Lugar Geométrico

270

Ejercicios Propuestos Factorizar y graficar las ecuaciones siguientes:

a) b)

4x2 - y2 - 0 + 6x¡/ + 9y2 • 4

c)

x3 + x2, - 2xy2

d)

x2 + x - xi¡ * y

- 2y2 ■ 0

e)

2 2 x y + xy - 4x -

Ay

f)

x3 + xi/2 - 2x2 - ii/7 -4x + 8 - 0

- 0

-0 (CLAVE:

pág. 320 )

i». PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE LUGARES GEOMETRICOS 4.1 PROBLEMA.-

Dados los puntos A = (0. -2), B = (0, 4)y C ■= (0, 0), hallar la ecuaci6n del lugar geométrico(L.G.) de los puntos P = (x, y) tales que el producto de las pendien­ tes de PA y PB sea igual a la pendiente de PC .

Lugar Geométrico

Cap. 6

271

De la condición del problema se tiene que:

4.2

ml * m2 = m3

= *

(y + 2){y - 4)

= xy

PROBLEMA.-

,y +Z y -4 < “ 7 “ )( ~ T ~ ] " = >

y2 - xy - 2y - 8

L.G. :

■ 0 .

Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de puntos P * (x, y)equidistantes de A * (2, 2) B - (6, -E).

SOLUCION.-

, d^PíA]

-

(x - 2)2 * (y - 2)2 « (x - 6)2 * (y * B)2

.

d [ P; A ] =>

x

- d [ P; B ]

== >

los y de

, d^l^B]

Desarrollando y simplificando obtenemos la ecuación del Lugar Geométrico: L.G. :

2x - 5y - 23 - 0

el cual lo identificamos como una recta 4.3

PROBLEMA.-

. (MEDIATRIZ del segmento AB ).

Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de los puntos P - (x, y) cuya distancia a la recta de ecua­ ción L : y + ‘ ■■ 0 , sea igual a ¿os tercios de su distanciaal punto (3,

2) .

SOLUCION.d[P; L]

- | d[ P; (3,2) ]

\ y+ « I ■ \ /(* - 3)2 ♦ (y - 2)1

L.G. : 4.4

4x2 - Sy2 ■ ■24x - 88y - 92 - 0 .

PROBLEMA.-

SOLUCION.-

Un segmento rectilíneo de longitud 6 unid, se mueve de tal manera que uno de sus extremos permanece siempre en el EJE X , y el otro extremo en el EJE V . Hallar la ecuación del lugar .geométrico (L.G.) del punto medio de dicho segmento.

Sean los extremos los puntos y el punto medio

A = (a, 0) y 8 ■ (0, b) ,

M ■ (x, y) ,

entonces de la condición:

Lugar Ceométrico

272 * - a/2 y « b/2 V como

de donde "

Cap. 6

a = 2* b - 2y

d [ A; B ] = 6

entonces d [ A: B ] - 36 36

a2 + b2

4x2 + Ay2 * 36 Luego,

2

L.G. :

* +y

4.5 Problema.-

2

Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A * (0, 0) y B ■ (3, 0) . Hallar la ecuac16n del 1u gar geométrico (L.G.) del vértice opuesto C , si éste se mueve de tal manera que el ángulo en la base CAB es siempre igual al doble del ángulo en la base CBA .

SOLUCION.2 tan a

tan 2 a 1 tan 2a *

- tan a

(y/x)

tan a • - tan (1B0 - a) ■

- [»/(* - 3)]

Reemplazando en (*) : y

2 {-yHx - 3)]

1 - [-»/(* - 3)]

4.6 PROBLEMA.-

SOLUCION.-

Hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de los puntos P * (x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (c, 0) y (-c, 0) sea igual a 2a . (0 < c < a) d[P; (c. 0)] +

d[P;(-c. 0)] - 2a

( «![ P; (c, 0)] )2 - ( 2a - d[ P; (-c, 0)] )2

==>

Cap. 6

Lugar Ceométrico

273

(x - c)2 + y2 » 4a2 - 4a ( d[ P; (-c, 0)] ) + (x + c I' + y2 a ( d[ P; (-c, 0)] ) - xc + a a2(x2 + 2xc + c2) + a2y2

al cual elevamos al cuadrado

x2c2 + 2a2xc + a4

desarrollando y ordenando obtene.nos

L.G. :

+

2

a 4.7PROBLEMA.-

Desde elpur.to Q * (-1, -X) setrazan rectas L cortan a Lj : y ■ 3 , y a Lz : 3* + Zy • 6 .

el punto medio entre Geométrico. SOLUCION.-

2

a - c

da una de estas rectas L determina un punto P que es L (1 L[ y L fl L2 . Hallar la ecuaci6n de su Lugar

Considerando el

punto auxiliar A • (r, s) , B “(p, 3) , y +

y la recta

y0 + 1

1

Además, como

L

:

(* +1)

A e L2 fl L :

3r + 2s * 6 Í0 o + D r -

(*o *

Asimismo, como 4

+ U s *o

-

y 0

•

8*o - 2*0 + 6 r f ----------3*o + 20o + 5

de donde

Be

yo + 1 , - ------ (p + 1)

9»o -3 *0 + 6 3 *o + 2 0 o + 5

Ljfl L : ==>

P =

4 * o ~ 0o + 0o + 1

V por ser

P ■ (xe, y0) el punte medio del segmento AB

P ■ (*o. 0o) ■ | t(r. s) + (p. 3)] - ( 0o

s+ 3 90o - 3x0 + 6 + 9xe + 6y0 + 15 ---- * --------------------------- * 2

que Ca­

6Xo + 40o + 10

6*o0o + 40o * 50o - 6xe - 21

) 150o + 6Xo + 21 ------------6xc + 40o + 10

274

Lugar Geométrico

Cap.6

y quitando los ceros de los subíndices, obtenemos laecuaci6n genérica del lu gar geométrico _ L.G. :6xy * Ay - Sy - 6x - 21 « 0

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Hallar la ecuaci6n del lugar geométrico (L.G.) de los puntos (x, y) cuya suma de cuadrados de las distancias a los puntos fijos A 3 (2, -4) y B ■(0, 0) seaigual a 20 unidades.

2.

Hallar la ecuaci6n delL.G. de tancias a la recta x - 4 ■ 0

3.

Hallar la ecuaci6n delL.G. de los puntos (x, y) cuya distancia punto fijo (2, -2) sea tres veces su distancia a la recta y - 4

4.

Dados los puntos A - (1, 3). B * (3, -2), hallar la ecuaci6n del L.G. de los puntos P • (x, y) tales que la pendiente del segmento PA sea el reciproco con signo contrario de la pendiente del segmento PB .

5.

Hallar la ,ecuac16n del lugar geométrico del que se mantiene tangente a la recta y - 1

6.

El segmento AB de longitud constante se desliza con uno de sus extre­ mos en el EJE X y el otro sobre el EJE Y . Témese en el segmento el punto medio. Encuentre el lugar geométrico de este punto al deslizarse el segmento.

7.

Las rectas Lj : y = x/2 , L2 : y * 2xson cortadas en los pun­ tos Hj y M2 respectivamente por una recta que se mueve manteniéndose paralela siempre al EJE X . Encontrar el lugar geométrico del punto de intersección de las perpendiculares en y M2 a las rectas Lj y L2 .

8.

Encontrar la ecuación del lugar feométrico de los puntos tales que su distancia ala recta x * -1 mis su distancia a la recta y ■ -1 , sea Igual a 2 .

9.

Los vértices de un triángulo son los puntrs A » (-1, 0), B ■ (1, 0) y P = (x, y) . Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el punto P si el ángulo en P es recto, y P está en el semiplano

los puntos (x, y) cuya razón de dis y al punto (2, 3) sea igual a 1 . al

centro de una circunferencia ■ 0 y a la circunferencia

Lugar Ceométrico

Cap. 6

275

superior. 10. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se desplaza de tal manera que la pendiente de la recta que lo une alpunto(-1, -1) es siempre menor en una unidad que la pendiente de larecta que lo une al punto (3, 3) . 11. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) talesqufr la suma de sus distancias con respecto a los puntos fijos (-3, 0) y (3, 0) es siempre Igual a 8 unidades. 12. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de mane ra que la pendiente de la recta que lo une al puntoA • (1, 1) sea el triple de la pendiente de la recta que lo une al origen de coordenadas. 13. SeanA • (-12, -8) y B ■ (21, 18) los extremos del segmento AB . Hallar ellugar geométrico de todos los puntos P - (x, y) tales que lo? segmentos AP y BP formen un ángulo de 90° . 14. Sean los puntos A - (1, 2) y B “ (-1, 3) . Un punto P “ (x, y) mueve de manera que siempre se cumple que oij + *i2 * 3 , donde es la pendiente del segmento

AP y

el lugar geométrico del punto

P .

n2la del segmento

BP .

se

Hallar

15. Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de los pares de rectas y * m(x + 2) , my « 3(x - 2)para todo m e R . 16. Dado el segmento AB de 12 unidades delongitud, hallar el lugar geo métrico del punto P quedivide al segmento AB en la relación 2 a 1 cuando el segmento se desplace de modo que sus extremos se apoyen constantemente sobre los ejescoordenados (B en el EJE X , y A en el EJE Y). 17. Un segmento AB de 3 unidades de longitud se mueve manteniendo siempre su extremo A en el EJE Y y su extremo B en el EJE X . Determinar el lugar geométrico del punto P ■ (x, y)

que divide al segmento AB

en la razón |ÁP|/8 « |ÍBl/5 . 18. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta

y «

2x - 1

y del punto (-1, 2) . También, encontrar la

Cap.6

Lugar Ceométrico

276

suma de las abscisas de los puntos que se obtienen cuando la curva se 1n tersecta con el EJE X . 19. Un punto P se mueve en el primer cuadrante, en la reg16n limitada por el eje de abscisas y una rerta que forma 60° con dicho eje y que pasa por el origen. Determinar la ecuaci6n de su lugar geométrico si la su­ ma de sus distancias a las rectas que limitan la regi6n es siempre de + 6 unidades. 20.

Los vértices A y B de un rectángulo variable son uno fijo A • (2. 4), otro B móvil sobre el EJE Y , estando el lado opuesto CD so­ bre una recta que pasa por el origen. Hallar el lugar geométrico del punto P .

21.

Una recta se desplaza paralelamente al eje de abscisas cortando a la cur 2 va y m x en A y B . Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por un punto P * (x, y) dela recta m6v11 que divide al seg­ mento AB en la razónd [ A; P ]/ d [ P; B ] * 1/2 .

22. ÍHsde el punto

A ■ (-4, 0) se trazan segmentos AB siendo B un pun 2 to cualquiera de la curva y - -x Hallar la ecuac16n del lugar geométrico de los puntos P * (x, y) sobre el segmento AB tal que se satisfaga la relac16n

d[A; P]/d[A; B] * 1/3 .

23. Dados los puntos A - (-3, 2) y B ■ (I, 4) hallar el lugar geométrico deterniinado por un punto que se mueve de tal manera quesu distancia al punto medio del segmento AB es siempre igual a su distancia al EJE X . 24.

2

2

Sea y x + 3* y - 6xy « 0 una ecuac16n factorizable. Calcular el Srea de la regi6n encerrada por su grSfica. (x,. y¡),

25. Sean

{x2, y2),(x3.y3) y

(x4, y j

los puntos de ín

sección de las gráficas de las ecuaciones xy

Calcular

« -2

,9x2 + 9y2 * 85 .

(xt +■ x2 + *3 + xlf)/lyl + y2 + y3 * yu) .

26. Se Lunsidera un segmento AB de 6 unidades de longitud, y un punto P * (x, y) de dicho segmento a 4 unidades de A . Hallar la ecuación del lugar geométrico de P cuando el segmento se desplaza de forma que

Lugar Geométrico

Cap.6

277

los puntos A y B se apoyan constantemente sobre los semiejes positi­ vos de coordenadas, si el punto A está sobre el EJE Y . 27. Dos de los vértices de un triángulo son (-5, 2) y (1, -3). SI la Ion gitud de la mediana que pasa por (1, -3) es constante e igual a 4 . hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice P 3 (x, y) . 2B. La recta L se mueve en el plano formando 60° con el EJE X . Si A y B son los puntos en donde L corta a los eje X e Y , hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento AB . 29. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto P * (x, y) si la distancia de P al origen es dos veces la distancia de P a (0, 2) . 30. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A ■ (0, 1) y B = '0, 5) . Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vérti­ ce C si se mueve de tal manera que la diferencia ertre las longitudes de los lados AC y BC es siempre igual a la mitaa de la longitud del lado AB . 31. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los pun tos (-3, 0) y (3, 0). Hallar e identificar la ecuación del lugar geo métrico del vértice opuesto, si uno de los ángulos de la base es siempre igual al doble del otro.

RPTA:

Unión de los conjuntos de puntos de las gráficas de las ecuacio nes: y

(x + l)2/4 - y2/l2

- 1

(semiplano

x > 1 ) ,

(x - l)2/4 - y2/l2

» 1

(semiplano

x S -1 ).

32. Dos de los vértices de un triángulo son A = (5, 0) y B = (1, 0).

Ha

Lugar Ceométr'ico

278

Cap. 6

llar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mue­ ve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre la mitad que la del lado BC . 33.

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de mane ra .jue la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los puntos A ■ (-2, 2) y B ■ (1, 4) es siempre constante igual a 12 .

34. Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se desplaza de tal manera que su distancia al punto A * (4, 2) es siempre Igual a su distancia al EJE X , aumentada en 3 unidades. 35. Un punto se mueve tal que su distancia al punto A ■ (4, 2) es siempre igual a su distancia a la recta 4* - y ■ 2 . 36. Dados los puntos A ■ (-4, -2) y B - (6, -8) .hallar la ecuación del lugar geométrico del punto P tal que el producto de las pendientes de los segmentos PA y PB sea Igual a 1 . 37. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos (x, y) son vértices de los triángulos ABP de la figura , siendo a + tan B * 2 -

que

y P = (x

B / A-(-2,0)

(CLAVE DE RESPUESTAS:

Pág. 290)

0

B“(2,0)

X

La Circunferencia

Cap. 6

5.

LA

279

CIRCUNFERENCIA .-

Una circunferencia C es un conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo lia mado CE NTRO . Tal distancia al Centro se llama RADIO de la circunfe riñera.

6 equivalentemente. C :

(* - h)2 + {y - k)2 - r2

I

(r > 0).

A esta ecuac16n se le conoce coito la ECUACION VE LA CIRCUNFERENCIA PE CEN TRO (h. k) V VE RAPIO r > 0 . 5.1

EJEMPLO.-

La circunferencia con centro en (-2, 1) dades es el conjunto de punios P■ (x, (x - 2)2 + [ y - ( - I ) ] 2 -

EJEMPLO.-

62

(x - 2)2 + [y + l)2 - 36 .

— 5.2

y radio 6 uni^ y) tales que

La ecuacifin

x2 + y1 + 4x - 6y - 7 * 0 , que al com

pletar cuadrados se convierte en (x2 + 4x + 4 - 4) + [y2 - 60 + 9 - 9) - 7 - 0 (x + 2)2- 4 + (x + 2)2+ [y -

[y - 3)2 - 9 -

7 - 0

3)2 - 20 - (/20)2

.

representa una circunferencia de Centro (-2, 3) y de radio

/20

.

Cap. 6

La Circunferencia

280

Debido al Ejemplo previo, las ecuaciones de la forma

*2 + i/2 + Dx + Ei/ + F ■ 0 representarSn circunferencias, , D .2 (t+ i> +

pues al completar cuadrados resulta

,

E ,2 2>

'

D¿ + E2 - 4F -------- ¡--------------------

cuyo Centro es el punto C “ (-D/2, -E/2) , siempre que el segundo miembro sea positivo. 5.3

La grífica de la ecuaci6n:

EJEMPLO.-

x2 + y2 - 0 y »

cuya única so1uc16n es el punto de coordenadas x - 0 , representada gr&ficamente por el único punto (0, 0) , de la en que la grSfica de la ecuac16n

0 , estS

mismaforma

(x - 5)2 + (y * 3)2 - 0 estará representada por el único punto (5, -3) . 5.4

EJEMPLO.-

La ecuaci6n

x2 + y2

+ 25 ■ 0

no ti&ne ne.pn.zie.nta

2

(Uln gníi-ica en e¿ plano IR , pues los puntos que las

satisfacen no tienen ambas coordenadas reales, lo cual se ve de la forma equivalente x2 * y2

- - 25

Lo mismo ocurre con la ecuaci6n: (x - 5)2 + (y + 3)2 + 25 - 0 . 5.5PROBLEMA.-

SOLUCION.-

Hallar la ecuación dela circunferencia puntos P ■ (8, -2), P « (6, 2) y

que pasa por los P » (3, -7) .

Se construyen las mediatrices Lj y L2 de los segmentos PlP2 y P1P3 respectivamente. Con este método tenemos que el centro de la circunferencia

Cap. 6

La C-ixcu.n¿cAenc-¿a

resultará la intersecci6r de las rectas

Lj y

M - (Pj +

P2)/2»

(7, 0)

N = (P, +

P3)/2-

(11/2, -9/2),

La recta Lt

281 L2 :

pasapor M• (7, 0)

y tiene por vector normal a? A "

P1 * P2 "

Luego,

Lj :

La recta L2

(2*

2x - 4y -

14 .

pasapor el punto

N » (11/2, -9/2)

y tiene como

vector normal al vector ñ2 ■ pi " P3

=

Intersectar con Lj d[ P2, C] = 5

5.6

(5* 5)

.

seobtiene elCENTRO

. Por lo tanto,

PROBLEMA -

luegoL2

Hallar

C = (3, -2)

c .

5x + Sy m 5, de moduque

:

y el radio

r =

(x - 3)2 + (y + 2)2 - 25

la ecuación de lacircunferencia

.

C cuyocentro

se encuentra sobre la recta L : y = 4* , sabiendo que las longitudes de los segmentos que C determina sobre el EJE X y el

EJE Y , son

7/2

y

4 unidades respectivamente. (Dos

luciones). SOLUCION.-

Sea C

la circunferen

cia con ecuaci6n: C:

(x - h)2 + (y- k)2

C = (h, k) pertenece lo que implica que De (*)

se tiene que,

a

r2 .. I*) : y= 4x

L

k = 4h

.. (o) y = 0 , en

si

toni.es se obtienen las abscisas donde C x =

,

Xj, x2

corta al EJE X :

h i / r2 - k2

>

Xj = h - / r 2 - k2 x2 = h +/ r 2 - k2

Análogamente,haciendo

x =0 ,

seobtienen

, y2

:

so­

La Cülc.wieAe.n
282

y =

k i / r 2 - h2

yy -

==>

Cap. 6

k - / r 2 - h2

i/2 = k + / r 2 - h2 Además, de los datos:

7/2 =

Y elevando al cuadrado:

|*2 - *jJ

"

2 / r 2 - k2

4 “ l?2 ” tfll

’

2 / r2 - b2

4g »

i6(r2 - k2)

4 = Reemplazando Resolviendo

( a) (Y)

en y

r2 - h2

(Y )

( B): (6)

( B)

49 * 16(r2 - 16h2)

..

(6)

simultáneamente: /Fe

h » í 1/4 'or 10 tant0:

5.7

,

k = í 1

Ira. Respuesta:

C* : ( x -

2da. Respuesta:

C J1 :

PROBLEMA.-

Hallar las (7, 10)

SOLUCION.-

respect.

== »

| )2 + ( * +

--4

r

(y

7)2 +

distancias mínima ymáxima del punto

a la circunferencia

- l)2 =65/

(tf

A »

x2 + y2 - 2* - Ay = 20.

Completando cuadrados, obtenemos la ecuación

equivalente de la circunferencia

C :

(x - l)2 ♦ [y - 2)2 = 25 Luego, el centro de C C * (1,2) y el radio

resulta ser r = 5.

Sea ¡j el vector

unitario enla

ma dirección del vector

a » CA ,

ü - (CA) / 1CA| =

'

(A - C)/ |CA |

= (6, 8)/ |(6, 8)| = (| Luego,

mis-

•3 )

R = C + r ü = C + 5¡j =

(4, 6) ,

m = | A - R | = | (7, 10) - (4, 6) | = | (3. 4) | = Así, la distancia mínima de A m + 2r = 15 .

a C es m = 5 ,

5 .

y la máxima es igual a

+ l

5.8

283

La CiAcunfeAentUa

Cap. i

PROBLEMA.-

Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por A • (2. 1) y B * (4, 3) y que sean tangentes a la recta Lt : x + 3y - 3 » 0 .

SOLUCION.-

El vector

normal de L es : ñ, - AB -

(2,2) .

La recta L pasa por H, punto medio de AB , M -

(A +

B)/2

- (3.

2)

L : 2jc + 2y - 10

Asi, 6

k*

L:

y ■

5

y como el CENTRO C ■ (h, k) e L , entonces h + k» 5 -. (*) C - (h, 5 - h) , donde r-|CA|-

d[C, L j

= f

]CA |2 = d2[C, Lt ]

=*>

(2 - h)2 + [1 - (5 - h)]2 = [ h + 3(5 - h) - 3]2 /10 (2h - 7)(h - 1) = 0 Según (*) ,

= *

si h * 7/2 y si h * 1

h = 7/2

v

entonces

k * 3/2

entonces

k =4 .

=* >

h = 1

Eligiendo adecuadamente resulta C = (1, 4) , D * (7/2, 3/2) , existiendo por lo tanto dos soluciones correctas: C* : donde 5.9

(x - | )2 * (y - | )2 - r2 , r2 «

| DA |2 ■

PROBLEMA.-

5/2 ,

y

C - : (x - l)2 +[y - 4)2 = r2 r2 * |CA |2 » 10

.

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a las rectas

Lj : x + i/ + 4 = 0 ,

L2 : 7¡/-x +4 * 0 ,

y que tenga su centro en la recta

L3 :

3x + 4y

=2 .

(Dos soluciones). SOLUCION.-

Como Además,

C = (h, k) e Lj , entonces d[C, L(] ■ d[C, L2] = r

|h + k + 4 |/ ✓T = | 7k - h + 4|/(5/2)

3h + 4k = 2 = » =*>

.. (*).

La CtAcun ¿eA.zn.cJji

284

Cap. b

(h + k + 4) s + (7k - h + 4) /2 = * 6

5 /2 3h - k + 8 = O

.. (1)

h + 3k + 6 - O

.. (2)

PRIMERA SOLUCIOr-

Consideran­ do las ecua

ciones (1) y (*) , y resol­ viendo dicho sistema se tiene: C - (h. k) = (-2, 2) ,

y

rt > d[C, Lt] = |-2 + 2 + 4 |//2

SEGUNDA SOLUCION:

= 2/2

Considerando las ecuaciones dicho sistema se tiene:

r2 = d[D, Lj] - | 6 - 4 + 4|//2 Luego,

5.10

C2 :

(x - 6)

*

+ (y + 4)2 =

(2) y

(*) , y resolviendo

(h, k) = (6, -4) = D

18 .

RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA. UNA ECUACION

de una Circunferencia C TANGENTE a una nccta Lj ces la ecuación de Lj tiene una forma simple:

pues

y

3/2

Cuando ¿e. conocí ti Punto de Contacto

sea

,

C : (x - h)2 + {y - k)2 *

(xOJ yD) t C .

La recta Ly tiene vector normal ñ = C?0 * “

P„ - C (

í/o ” M

y pasa por PD = ( k0 , yD) . LT : (P - p„) ■ F = 0

Lúes = >

r2

(*)

(xD, yD)

EN DICHO PUNTO,

enton­

ta C¿ncun¿eAen(Ua

Cap. 6

285

(ÿ - k) - (ya - k))-(x„ - h, yD - k)

((x - h) - (x„ - h),

(* - h)(x0 - h) - (x„ - h)2 +

- 0

(y - k)(ÿ0 - k) - [y0 - k)2 - i

Agrupando y utilizando (1) esta última ecuación se transforma en: {x - h)(x„ - h) + {y - k)(ÿD - k) -

LT :

Ecuación de ¿a Recta Tangente a la CiAcun¿eAenCAA en el PUNTO VE CONTACTO

r2 (x -h)

2

2

+ [y - k)

2

=r ,

(x0, y„) .

Obsérvese el parecido de esta ecuación con la ecuación de laCircunferencia respectiva

C :

(x - h)2 * (y - k)2 * r2 .

5.11 DEFINICION.-

5.12PROBLEMA.-

Una recta Ln

recibe el nombre de

A LA R E C T A

L

Hallar

si es que

Lr

a la circunferencia C en C :x2 + y2 - 2x + y *

(3, 1), donde jeverifica que que (3, 1) c

C ,

(x - 1) (3 - 1) + (y + ^ ){

Lj :

4x + 3y - 15

PROBLEMA.-

,

Lr :

1♦ ^) ~

Puesto que

han de ser paralelas a ñ = (3, 4) û =

. ,

y

■

Por lo tanto,

-3x * Ay » -5 .

C :

3x + Ay « 1 .

(x - l)2 + [ y + (1/2)]2 =■ 25/4

ces su CENTRO es C * (1, -1/2)

Es decir,

5

La circunferencia C del Problema previo tiene dos

En referencia a la figura siguiente,

mal a

el punto

siendo éste punto de contacto con Lj ,

tangentes que son paralelas a la recta Hallar sus ecuaciones. SOLUCION.-

y de la

(x - l)2 + (y + i )2 = —

C :

Lx :

5.13

JL L .

la ecuación de la recta Tangente Lj

recta Normal

SOLUCION.-

RECTA NORMAL

y su radio r = 5/2 .

si las rectas tangentes

3x + Ay ■ 1 ,

Lt y

L2

entonces tendrán Lomo vector nor­

y como vector unitario ü al vector (3, 4)/|(3, 4) | =

, enton

(3/5, 4/5)

.

(3, 4)/ |(3, 4)|. Además,

286

Cap. 6

La C¿cun¿eAenc¿a

L2 :

3x + Ay

=

- 23/2 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

2.

Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias : 2 2 2 2 x + y + 2x - Ay * 5 k * y ■ 16 a) f) b)

x2 + 2x + y2 + Zy = -1

g)

x2 * y2 * 2x = 8

c)

x2 - 2x + y2 = 0

h)

d)

4x2 + 402 - 4x - IBy + 2 = 0

i)

2x2 + Zy2 + x + y = 1 2 ^ 2 x + y * 4x + Ay * 9

e)

3x2 + 3y2 + 6x = 1

j)

x + y * 4x - 6y - 12

2

Hallar las ecuaciones de las circunferencias : a)

con radio 3

b)

con centro en

c)

que pasa por

d)

circunscrita al Lx

e)

y centro en

f)

(2, -4) ,

(-1, 3) y que pasa por (0, 4),

(1, 2) y

(4, 1) ,

(3, 2) .

triángulo cuyos lados están sobre las

rectas

+ Zy = 13 ,L2 :k - Zy = -1 , L3 :x + Zy = 3 ,

:3*

inscrita en el triángulo cuyos lados estánsobre : 4x + 30

3.

2

con centro en

Hallar los puntos de

= 24 , L2

:

(-1, 1) y tangente a

3x - 40=18 ,L3:4x L :x+ Zy

- 3y - -32 ,

= 4

.

intersección dela circunferencia con centro en el

origen y de radio 5

con :

x - y + 5 = 0 ,

a)

la

recta

b)

la

recta de pendiente

-4/3 y que pasa por(1, 7)

,

La CÁcun£eA.e.tuUa

Cap. b c)

3* - y * 5 .

la recta

d)

287

la recta

7x + y - 25 ■ O .

4. Sea P un punto exterior a una circunferencia dada C . Sea PT el segmento de recta tangente a C en T , y PN la recta trazada desde Pque pasa por el centro de C y que intersecta a C en M y N . Probar que

|PM|

• |WL| •

|PT |2 .

5. Hallar la ecuación de la circunferencia : a) con centro en (0, -3) y tangente a 5x - \Zy + 2 = 0 , b) con centro en el EJE X y que pasa pasa por (4, 6) y (1, 3) c) que pasa por (7, -5) y es tangente a L : x - y - 4 ■ 0 en el punto

(3, -1) ,

d) de radio 5 y tangente a e) que pasa por

(2, -2)

4x - 3u + 1 * 0

en (3, 2)

,

y por los puntos de Intersecciónde las

cir­

x2 + y ' - 2x + 3y - 13 « 0 , y

cunferencias Cj : C2 :

,

x2 + y2 - x - Zy - 15 - 0 .

f) de radio 50 y corta en el EJE X una cuerda delongftud Igual a 28 unidades, y que pasa por (0, 8) , g) con centro en (-1, 1) y tangente a L : x + Zy * 4 , h) que pasa por (2, -2) y (3, 4) , y cuyo centro se encuentra en la recta i) 6.

L : x + y » 2 ,

que pasa por

Una circunferencia

(2, 3), C

(3, 2) y

(-4,

3) .

es tangente simultáneamente a

: (x - 3)2 + ( y - 4)2

- 4 ,C2 : (x - 3)2 + (y - 8)2 = 36

.

Hallar el Lugar Georétrlco descrito por el centro de C . 7. Hallar la ecuación del Lugar Geumétrico del centro de una drcunferen cia que se mantiene tangente a las circunferencias Cj : x2 + y2 - 4y - 12 - 0 , 8.

y C2 :

x2 + y2 = 1 .

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta y = 4x si las longitudes de los segmentos que determina so bre el EJE X y sobre el EJE Y son 7/2 y 4 respectivamente.

9. La distancia entre las rectas

x + Zy - a = 0 ,

x + 2
=0 ,

es

2/5 . Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a ambas rectas, y cuyo centro se encuentra en el EJE Y . 10.

Dadas

Ct : x2 ♦ y2 - 16 = 0 ,

C2 :

x2 + y2 + 4x + 8y - 80 = 0

,

288

Cip. 6

La CVicun¿eJiejnc¿a

y el punto A = (4, -12), encontrar el ¿rea dil triángulo ABC , si se sabe que está inscrito en una de las circunferencias, y circunscri­ to a la otra. 2

x

2

2 * y * D'x + E'y + F’ = 0

ta tiene ecuación

2

x + y+ D x

11. Suponiendo que las circunferencias

+ Ei/*F*0,

y

poseen una cuerda común, probar que és­

(D - D')x ♦ (E - E*)y + (F - F") = 0

.

12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por laintersección de las rec tas 2x - ¡y + 5 = 0 , x - y + 4 = 0y que es perpendicular a la 2 2 2 2 cuerda común a las circunferencias x ♦ y - Ay 9 x ♦ y =4x. 13.

Dada la circunferencia

2

2

C : x + y = 16 , desde el extremo izquier

A , de C , se traza una cuerda variable AQ y desde el extremo supe­ rior Q de dicha cuerda se traz* una perpendicular al diámetro horizon tal AB la cual corta a la curva en el punto D . Se traza la recta DB , la cual se prolonga hasta interceptar en P a la prolongación de la cuerda AQ . Hallar la ecuación del Lugar Geométrico de P . 14.

2

Determinar la ecuación del diámetro de la circunferencia x + y - 6x + 4j - 12 = 0 que biseca a la cuerda cuya ecuación es 3y + x

2

- 6 = 0. 15.

Hallar la ecuación de la circunferencia 4x - 3y +

a) cuyo diámetro es el segmento de la recta do entre los ejes coordenados , b) que pasa por

(0, 0),

(-3, 9)

y concentro

en elEJE

sitúa

Y,

c) que pasan por

(-1, 2), y son tangentes a ambos ejes coordenados ,

d)

(4, -2) y

que pasan por

(5, -3),

e) de radio 4 y es concéntrica a f) que pasa por 16.

12 = 0

y tienen radio 5 , 2

2

x + y + 6y + 8 = 0 ,

(4, -3), y es concéntrica a

2

2

x + y - 4x + 3y = 1.

Un punto P se desplaza de manera que el cuadrado de su distancia de la base de un triángulo isósceles es siempre igual al producto de sus distancias de los otros dos lados. Demostrar que el Lugar Geométrico de P es una circunferencia.

17.

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en las rectas x+ y =4 ,

18.

5x * Zy - -1 , y de raaio 3 .

La recta L es tangente a

x2 + y2 = 1

llar la tangente del ángulo que forma

en A = (-1, l)//2 . Ha­

L con la cuerda que va desde A

Cap. 6

La CÁMuin^eAuicia

289

hasta el punto B ■ (1, 0). : y m x + 5 ,

19. Una circunferencia es tangente a las rectas L2 :

y “

* + 1 . SI

(2, 5)

y

pertenece a la circunferencia, encon­

trar su ecuación si la suma de las coordenadas del centro es mayor que 7 . 20. El punto C 3 (-2, 3) es el centro de una circunferencia cuya cuerda sobre el EJE Y es dividida por el origen en la razón -4 . Hallar la longitud de la cuerda. 2

22.

2

k para que la ecuación x + y - 8x + lOy + k una circunferencia de radio 4 . 2 El punto (8, 6) es el centro de una cuerda de la circunferencia : x 2 * y - 12x - Ay » 0 . Hallar la longitud de dicha cuerda.

21. Hallar el valor de * 0 , represente

23. Hallar la ecuación de una circunferencia tangente a la recta 7x - 24y 2 2 - 55 = 0 , y cuyo centro es el de la circunferencia x + y - 8x - Ay = 0 . 24.

Hallar el Lugar tes al EJE Y ,

Geométrico de los centros de las circunferencias tangen y que pasen por (1, 0) . 2 25. Hallar la máxima distancia del punto (10, 7) a la circunferencia x + y2 - 4x - Zy - 20 - 0 . 26

Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas Lj , L2 y L3 , si su centro se encuentra en el cuarto cuadrante . siendo

L^ : y « -2 ,

L2 : y = -6 ,

27. Hallar la distancia del punto + lOy * 6x + 15 .

(4, 26)

L3 : 3x - Ay - 9 = 0 .

a la circunferencia

2

x + y

2

28. La recta L = { P„ + t(l, 1) } corta a la circunferencia C : x2 2 —1 + y » 186 + 2x + 6y en dos puntos diferentes A y B . Si |AB| ■ 14 /2 , y la

distancia del centro de C a L es

la ecuación general de 29. Dos circunferencias

, hallar

y C2 son concéntricas y el radio de Cj

es

3/5 . Además, la recta tangente a Cj , en el punto A , corta a

C2

en los puntos

Cl

y 10

Cj

14//2

L y los puntos A y B . (Dos soluciones).

(8, -10)

y

(12, -2) . Encontrar las ecuaciones de

C2 de tal manera que la abscisa del centro de

.

sea menor que

La Cíacumíesencia

290

30.

Hallar las coordenadas del centro de la circunferencia (2 + (/2 -/6), Lj :

2+(/2-/6)),

/ 3y “ x .

. (a, a)

x2 + y2 - Ay - 0 ,

CLAVE DE RESPUESTAS

genéricamente.

(x - l)2 + [y + 2)2 - 5 ,

5.

x2 - 16 - Ry ,

2

2

x2 + y2 - 4x - y - 3 - 0

4.

si (x e [-2/2, 2/2] - y > 1) o (x e <-». - 2 / 2 ] U [ 2 / 2 . ~> -

y < 1) ,

si (xe

y > 1)

(x 2

(y - 3)2 = 12 - 4x

2.

(x - 2)2 - Ry2 - 7Sy + 140 ,

x2 ■ Ay + 4 ,

x2 + y2 - 4x - 0 .

C2 :

(SERIE DE LA PÁG. 274) :

3.

, -2/2 ] U

[2 /2 ,

4x + Ay « a

7. 8.

El FJE X : y = 0 . El borde del cuadrado cuyos vértices son

9.

y (-1. -3) . x2 + y2 - 1 ,

U.

(x2/16) + (y2P ) - 1 .

13.

[x - (9/2)J2 + {y - 5)2 -

14.

3x2 - Zxy * 5x - 4 - 0 .

,

a >

0, donde

(-1, 1),

17. = 5

9x2 , x i 0 ;

y2 =

15.

x2 + Ay2 ■= 64 ,

1600x2

3x2 - 4

+ 576y2 - 2025 . 0 ,

, considerando al punto cutivo del punto A

21.

y =

23.

(x + l)2 * 2y - 1 ,

25.

Considerado como produrto y no como cociente:

26.

x2 + Ay2 = 16 ,

28.

y =

- /3 x ,

22. 3y = 24. 27.

29.

(1, -1), (-3, -1),

(1/2) /1765 .

x2 + Ay2 + Axy + 14x - ZZy + 24 = (x - 1) + {y - 2)

a * longitud de AB .

2xy + x - 3y - 0

I!-

18.

2

o

(x + l)2 - A{y + 1)

10.

16.

2

~

« y < 1) .

[-2/2, 2/2]

e

6.

20.

pasa por

Hallar la ecuación de la recta que pasa por la Intersección de las rec­ tas 2x - y + 5 m 0 , x - y + A m0, y que es perpendicular a la cuerda común de las circunferencias C| y C2 donde :

1.

C que

y quees tangente a las rectas

L2 : y “ /3x

SUG: Considerar que C pasa por 31.

Cap. 6

-(3x

19.

y »

12 - /3x .

C unvértice conse

+ 8)2

6 unidades cuadradas. (0)(0) = 0

(x - 7)2 + {y * 8)2 = 64 .

3x2 + 3y2 - ISy + 16 = 0 .

.

Cap. 6

La CiA.cun¿eAen
291

30.

x2 - 3y2 + 18j - 24 » O

31.

La reunión de los puntos de las dos ecuaciones: (x + l)2/4 - y2/12 (x - l)2/4 - y2/lZ -

v

32.x « -3 .

1 1

6x +

33.

,x > 1 . x < -1

4y *

.

21 ,

34.(x - 4 )2 - 6|í/| - 4y - 5 m 0 35.

15x2 - 8xy - 8x + 81/ - 16> 0

3E.

(x - l)2 - (y + 5 )2 -

CLAVE DE RESPUESTAS 1.

a)

(0, 0),

2.

3. 5.

x2 - 4 - Z\y\ .

37.

b)

(-1, -1),

r-/77/2,

r - 0 .

h) (-1/4, -1/4), j) (-2. 3),

,

(SERIE DE LA PAG. 286)

r • 4 ,

d) (1/2. 9/4). f) (-1. 2).

16

g)

e)

(-1. 0).

r ■ 1//8 ,

r - 1 .

(-1.0).

c)

(1. 0).

r - 1 ,

r » 2//3 ,

r - 3 .

i)

No existe tal circunferencia

,

r * 5 .

a) (x - 2)2 +

[y + 4 )2 -

c) (x - 2)2 +

[y -(15/4)]2 -65/16 .

(x + l)2 + [y

9 ,b)

d) [x - (23/8)]2 + [«/ + (1/4)]2 -

325/64 .

e) (x + l)2 +

f)

[y -I)2 -

a) (-5, 0) y (0, 5) , c) (0, -5) y (3. 4) .

25 , b) d)

-3 )2 =

(x +l)2 + (y - l)2 - 9/5 .

(4, 3) solamente , (4, -3) y (3, 4)

a)

x2 + (1/ + 3 )2 -

c)

(x - 5 )2 + (
8

d)

(x - 7)2 + [y + l)2 -

25 . y

(38/13)2 ,

b)

29 ,

.

(x - 7 )2 + y2 - 45

. (x + l)2+ (y - 5 )2 - 25

.

e) [x - (2/3)]2 + [y - (13/3)]2 «113/9 . f) (x - 3D)2 * (y - 48)2 - 2500 ,

y (x

g)

(x + l)2 + (y - l)2 - 9/5

h)

[x - (7/10)]2 +[y - (13/10)]2 = 629/50

i)

(x + l)2 + (y + l)2 -

6.

4(x- 3)2 + 3(i/ -

8.

[x- (1/4)]2

9.

Si

6)2 -

25 48 ,

+ {y - l)2 » 65/4

+ 30)2 * {y - 48)2 -2500

. 7. 100x2 + 84(i/ - l)2 = 525 , y

[x + (1/4)]2 + (1/ + l)2 = 65/4

a >

0 : a = 2 ,

x2 + [y + (3/2)]2 =

si a <

0 : a = -2 ,

x2 + {y - (3/2)]2 •

5 ,

y 5

.

La CVicun ¿eAíncia.

292

10.

96 unidades cuadradas . - y2 =

x * y

12.

13.

k2

15.

a)

[x + (3/2)]2 + (y - 2)2 - 25/4

14. 3k - y •

b)

x2 + (
c)

(x ♦ 5)2 ♦ (y - 5)2 - 25 .

16 ,

11

y

(x + l)2 ♦ (

1

(x - l)2 ♦ {y * 6;2 -

25 .

(x - 8)2 * [y - l)2 - 25 ,

y

x2 ♦ (y * 3)2 -

(x - 2)2 * {y * (3/2]2 - 25/4

16 ,

19.

(x - 3)2 * [y -6 )2 '

21.

k■= 25 .

22.

f)

18. ( 1 + / 2 ) .

2 ,

20. 18/5 .

4/5 ,

24.

y2 ■ 2x - 1 ,

26.

[x ♦ (17/3)]2 + (y ♦ 4)2

30.

2

d)

(x + 3)2 + (y - 7)2 ■ 9 ,

29.

*

e) 17.

28.

Cap. 6

23. (x - 4)2

+ (y - 2)2 « 9

25. 15unidades delongitud. ■

4 .

27.

( /962 ) - 7 .

Ira. Solución

L :

x - i/ «

-16 ,

(1. 17)

, (-13, 3)

2da. Solución

L :

x - y =

12 ,

(15, 3)

, (1, -11)

Ct :

(x - 4)2 ♦ (y ♦ 3)2 *■

C2 :

(x - 4)2 * {y * 3)2 » 65 .

.

45

Ira. Solución:

[44 ♦ 30/2 - 18/6 -24/33 (1. 1) ,

2da. Solución:

[8/3 ♦ 10/2 - 6 /6 -12](1, 1) .

31.

x ♦ y ■ 2 .

6

CONDICION DE TANGENCIA PARA ECUACIONES CUADRATICAS

A A A A A a A

En esta sección estudiaremos la Ecuación de 2° Grado Restringida: Ax2 + Cy2 + Dx + ly + F - D

... (*)

con el fin de encontrar la fórmula de la ecuación de una RECTA TANGENTE Ly q u e p a j e p oí u n p u n i ó Q u e

NO ES VE TANGENCIA . En general, para encontrar los puntos de inter­

sección dela grafica de la ecuación ecuación se despeja

L : una de las

(*) con la

ax + by * c = 0 variables,

ya

gráfica de una recta L de

, seax

óy

,digamos "

nos de la otra variable, x , de la ecuación de la recta

y ",

L , y luego este

en térmi-

Cap. 6

La C¿Kcu.n£eAencMi

valor

sereemplaza en la ecuación

(*) , obteniéndose una ecuación de

grado en LavasUabte x únicamente, los siguientes tres casos : 6.1

PRIMER Ca s o

293

2°

pudlendo presentarse solamente uno de

Que la ecuación resultante de 2° grado en la varia ble x tenga VOS SOLUCIONES REALES DISTINTAS y

Xj , existiendo por lo tanto POS PUNJASVE IN­

TERSECCION

(xj. f/j) y

(x2. y2) •

Por ejemplo, para hallar los puntos de intersección de las ecuaciones : x2 * y2 - 4* - lDi/ ♦ 9 *

0

con

x -y - 3

,

que corresponden a una circunferencia y a una recta respect. , se despeja y *

x - 3

y se reemplaza en la otra ecuación, obteniéndose:

x2 ♦ (x - 3)2 - 4x - lD(x - 3) ♦ 9 - D = >

(x - 4)(x- 6)

= >

x■ 4

v

-

D

x •

6 .

= *

x2 - lOx + 24 - 0

La existencia de estas POS S0LUC10NLS REALES para x es equivalente a que EL DISCRIMINANTE de la ecuación x2 - lOx +2 4 - (x - 4)(x - 6)

- D

sea POSITIVO . En efecto, vemos que b2 - 4ac

Además,

-

(ID)2 - 4(1)(24)

■

1DD- 96 “ ♦ 4 > 0 .

para y para

x • 4 x *6

se tiene se tiene

y » y *

x - 3 ■ 1, x - 3 ■ 3.

Asi, los puntos de Intersección resultantes son

Pj ■ (4, 1)

y

P2 ■

(6, 3) . 6.2

SEGUNDO Ca s o

■-

Cuando existe únicamente UNA SOLUCION REAL

pera

x , y por lo tanto UN UNICO PUNTO VE INTERSEC CION , y que precisamente viene a ser UP PUNTO VE TANGENCIA de ambas gráficas: (*) y la recta da das. Por ejemplo, dadas las ecuaciones :

La Cjacun¿eAcn
294 x * 8y

.

Cap. 6

x + y ♦ 2 * O

correspondientes a una parábola y a una recta, despejamos de la ecuación ae la recta: y ■

-x - 2

y reemplazamos en la ec. de la parábola: x + 8x ♦ 16 ■

.. (*)

(x + 4)2 » D cuya única solución es

x * -4 .

La existencia de esta UNICA SOLUCION es equivalente a que

EL DISCRIMINANTE

de la ecuación (*) sea

IGUAL A

CERO . En efecto, b - 4ac • 64 - 4(1)(16)

* 64-64

Como el valor correspondiente de y para -(-4) - 2 = 2

- O x = -4

y *

es

-x - 2 =

entonces existe UN UNICO "UNTO PE INTERSECCION

(-4, 2) . Cuando esta situación se presenta,

el punto

PD -

P0 es denominado

PUNTO DE Tangencia , cuya existencia está asegurada solamente cuando EL DISCRIMINANTE ES IGUAL A CERO. De esta forme obtenemos la siguiente CONDICION DE TANGENCIA :

6.3

TERCER Caso

DISCRIMINANTE IGUAL A CERO.

NINGUNA SOLUCION REAL

Cuando no existe

C:

x2 + y2 =

al reemplazar

y =

x2 + (x - 6)2 =

Por ejemplo, dadas las ecuaciones:

4 ,

L:

x - 6en la ecuación 4

=->

x,

LAS VOS GRAFICAS NO SE IWTERSEC -

y por lo tanto, TAN .

para

C


se obtiene:

x2 - 6x ♦ 16 = O

ecuación cuadrática cuyo DISCRIMINANTE ES NEGATIVO :

, b2 - 4ac • 36 - 64 =

Cap. 6 *

La CJjí£uniesencia -28 < O

295

; esto Indica que la ecuación

x2 - 6x ♦ 16 - 0

NO T7E

NE SOLUCIONES REALES . Po* ¿o tatito, no tx¿ite.n puntoi di lnX.vutc.cx5n «jxXa í tai doi gní£¿cxu dadai.

6.4

EJERCICIO.-

Encontrar el valor de la constante k de manera que 2 x - 8x - y + k • 0

la grSflca dela ecuación

sea tangente al EJE X. Hallar el punto de tangencia. SOLUCION

emplazar en x2 - 8x ♦ k = 0

.

x - 8x - ¡/ + k ■ 0

■4ac * 64 - 4k * 0

PUNTO DE TANGENCIAP„ ■ cuación

=»•

(xot ya)

x - 8x0 + 16 ■ 0 ya * D

rrespondiente a

. que al re-

resulta la ecuación

Empleando la CONDICION DE TANGENCIA: TE IGUAL A CERO

b2

y = 0

El Eje X es una recta con ecuación:

DISCRIMINAN -

resulta la condición k =

16.

Y por lo tanto, el

tiene su abscisa como solución de la e-

■ (x0 - 4)2

. Es decir,

por estar enel EJE X.

Asi, el

x0 ■ 4

, co

PUNTO DETAN -

GENCIA es el punto

P0 ■ (4, 0) , y es el único punto de Ungencia.

6.5

Hallar la ecuaciónde la recta L que pasa por

EJERCICIO.-

(0, 9) , C :

Q

y que estangente a la circunferencia x2 ♦ y2 - 2x - 4y - 20

---(*)

Encontrar ademSs el punto de tangencia. SOLUCION .-Haciendo una grSfica vemos que las condiciones dadas. mo

Q = (0, 9) e L

9 =m-0 ♦ b

= »

b = 9 L : y = mx +

que al reemplazar en

(*)

- l)2 + (y - 2)2 = 25

resulta (1 + m2)x2 + (14m - 2)x + 25 - 0 Y utilizando la CONDICION DE TANGENLIA:

y * mx + b

L :

entonces

Luego,

C : (x

existirSn dosrectas

Sea

Discriminante = CERO :

9

,

L con ,

y co

-

La C-ÍAcun&eAíncÁM.

29ó

(14m -2)2 - 4(1 + (3m - 4)(4m ♦ 3) *

m2)(25) • O

= >

= *>

O

Cap. 6

12m2 - 7m- 12 » O

nij » 4/3

,

==> m2 *

- 3/4

,

con lo cual podemos ver que existirSn VOS RECTAS TANGENTES V ORTOGONALES en&te ti las que satisfagan lascondiciones del problema, y que como ambas pasan por el punto :

4x - 3y »

Q - (0, 9) - 27 .

entonces estas rectas serán L2

y

Además, como el centro de C es

es ñ2 * (3, 4)

la dirección de ñ2

es

C + 5Ü

-

(4, 6)

♦ Ay

» 36

C ■ (1, 2) , su radio es

vector normal a L2

R«

:3x

u ■ ,

: .

r ■ 5

y el

, entonces el vector unitario (3, 4)/5, y por lo tanto

S*

los cuales serán los PUNTOS DETANGENCIA

C + 5üX

»

ü en

(ver la fig.):

(-3,5)

correspondientes a L2 y

res^

pectivamtnte. 6.6

EJERCICIO.-

Desde el punto A ■ (k, -2) con k < 0 , zan rectas tangentes a la circunferencia C : -

Zk - 1 » 0 .

A mide 3/2

des, hallar las ecuaciones delas rectas

L-j

unida tangen­

(Dos soluciones).

SOLUCION .-Completando cuadrados ca que su radio es

Según los datos

se tra 2 + y

2

Si el sermento determinado por el

punto de tangencia y el punto tes.

k

d[A, B] ■ 3^2 ,

C : /2

y su centro es

d[B, C]

(x - l)2 * y2 C » (1. 0)

= r * »'2 , entonces

- 2, ind

Cap. 6

La CüicuniHAtncÁJi (d[A. B])2 ♦ (d[B. C])2 = (3/2 )2 ♦ ( /I )2 =

==»

k = 5 ,

Luego,

(d[A. C])2

(k - l)2 + 4 k * -3

= *>

Ly :

y =

== >

*

k - 1 - i 4

b = 3m -2

mx ♦ Jm - 2

...(*)

x2 - 2x - 1 ♦ (mx + 3m - 2)2 = 0 DISCRIMINANTE - CERO

C :

, (Condición de Tangencia) en:

(1 + m2)x2 +

2(3m2 - 2m - l)x + (9m2 - 12m ♦ 3)=

4(3m2 - 2m -

1) - 4(1 ♦ m2)(9m2 - 12m ♦ 3)

7m2 - 8m ♦ 1

= 0

7

0

« 0

= (7m - 1)(m - 1) = *

Reemplazando estos valores en (*) bles: Lj : ly * x - 11 ,

e Ly :y » mx ♦ b

(-3, -2)

que al reemplazar en la ecuación original de

y haciendo el

= >

. Y comok < 0 , entoncesk = -3

A = (k, -2) -2 ■ m(-3) ♦ b

297

m * 1/7

v

m =

1

obtenemos las dos rectas tangentes posi­ L2 :

y *

x+ 1

.

METODO VECTORIAL PAriA HALLAR RECTAS TANGENTES QUE PASAN POR UN PUNTO EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA. METODO PARA UBICAR LOS PUNTOS DE CONTACTO. Tomemos como ilustración el problema particular 2 2 x * y

de encontrar las rectas tan
(2, 7)

Completando cuadrados:

(x - 3)2 + y2 = 25

= 6x + 16

así como los puntos de contacto R y ,

C = (3, 0),

S.

r= 5 ,

Haciendo un bosquejo de la gráfica del problema en el plano, como se ve en la página siguiente, el procedimiento para la solución está prácticamente indicado en dicha figura: Se toma el vector ces por el

CA = (-1, 7)

de longitud

|CA | = 5/2

TEOREMA DE PITAGORAS calculamos la distancia

te caso particular). Luego, hallamos los vectores unitarios t) (

1

L

_____

Para

LT1

(Ver la figura)

m = 5 ¡5 y

, enton (para es v :

.

La Cincun¿eAtnc¿a

298

(-1, 7) ■ CA

■

5v -

= (5v j +

Vl

(-1. 7)•(5. -5)

4

(5, -5)•(5, -5)

5

=s>

5

= *

LT1 :

áá.)

5v 2 ,

Para

=

(-4, 3)/5

==* =s>

= *

(5, 5)-(5, 5)

" 5

(3, 4)/5

LT2 :

(2, 7) + tüX

-5) +

v2 ( 5 , 5)

(-1. 7)•(5, 5)

_ 3

(5, 5)-{5, 5)

5

LT1 :

=s-

(3, 0) ♦ (-4. 3) - (-1. 3) (2, 7) ♦ t(3, 4)

(ult u2) , 5ü ♦ 5¡¡ ■*" * (5uj - 5u2. 5u2 + 5uj)

+ u2(-5, 5)

,

(5vlt 5v2) - (-5v2, 5vt)

v ^ ,

R * C + 5v =

* CA « 5ú + nu X *

_ 3

-

V2

(Ver la figura)ü "

(-1. 7)•(5, 5)

G=

’

,

= UjtS, 5)

Ul ‘

5v - 5v X »

5 v 2 - S v j)

(2, 7) ♦ t í 1

LT2 :

(-1 , 7)

mv *

Cap. 6

== » ,

*

(-1. 7)-(-5, 5) _ 4

“2 * (-5. 5).(-5, 5) S-

C + 5D = (3, 0) + (3, 4) =* >

LT2 :

5 *

(6, 4)

(2, 7) ♦ t(-4, 3)

.

Este método podrá ser utilizadosiempre que se trate de circunferencias.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Hallar la ecuación de la(s) recta(s) tangente(s), y los Puntos de Contac

La Cüicun¿eAe.ncÁjti

Cap. 6

299

to, correspondientes a : a)

9x2 ♦ 9y2 ♦ 18x - lZy * 32

, cuyas pendientes midan 2 .

b) c)

x2 *

y2

+Ak-

x2 ♦

y2

+6*-

10y * 8 ■ 0

21 • 0 , paralelas a5x - 5y* ’31* 0. , perpendiculares a 4x - y * 31 *0

d)

x2 ♦

y2

-8x-

2i/ + 12 ■ 0 , desde el punto(7,2).

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por gente a la recta

x - y -4 ■ 0

en el punto

(3,

(7, -5) ,y es tan -1).

3. Determinar el valor de la constante k para que la recta2x + 3y + 2 2 ■ D , sea tangente a C : x * y * €x * Ay m 0 . 4.

2

2

: x ♦ y - 3x - 6y + 10 ■ 0 , y

Demostrar que las circunferencias 2

k

2

C2 : x + y - 5 ■ 0 . son tangentes, y hallar la ecuación de la c*rcun ferencia tangente a Cj y C2 en su punto común y que pase por el pun­ to (7, 2). 2

2

5. Demostrar que las circunferencias x * y + ¿y - 4x * 0 , y + 2x ♦ Ay » 0 , se cortan ortogonalmente. 2

2

6. Dada la circunferencia C : x + y los cuales las rectas de la familia a) c)

* 25 , hallar los valores de 2x - y ♦ k * 0 :

x

2

2

* y

k para

corten a C ; b) sean tangentes a C ; no tengan ningún punto común con C .

7. Un punto se desplaza de manera que su distancia al punto (2, 4) es siem pre igual al doble de su distancia al punto (3, -1). Hallar la ecua ción de su Lugar Geométrico. 8. Hallar las ecuaciones de zadas desde Q • (8, -2)

las dos rectas tangentes a

2

. Hallar también los puntos de tangencia.

9. Hallar las ecuaciones de las rectastangentes trazadas a C - { P * (x, y) de contacto con C .

2

x + i/ * 34 , tra desde Q ■ (7,-2)

/ |P - (4, -1)| * /5 } , asi como lospuntos

10. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por (-1, 4) y por

(3, 0)

si sus radios miden 4' unidades.

11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por y

(4, -2),

(-5, 1)

(2. 2).

12. Hallar la ecuación del Lugar Geonétrico del centro de una circunferencia 2 que se mantiene tangente a la recta y = 1 y a la circunferencia x

La CiAcurt¿eAe.ncÁa

300

13.

Cap. 6

Dos vértices de un lado de un triángulo ABC son A ■ (-1, 0) y

B ■

(3, 0) , hallar la ecuación del Lugar Geométrico del vértice C , si la medida del Sngulo en B es dos veces la medida del Sngulo en A . 14. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por a) 15.

(3. 4), (-1, 2) y (-2, 4)

;

b)

(2. 3). (1. 4) y (5. 2).

Un Teorema importante en la Geometría Moderna es el siguiente: En cualquier trlaiigulo ABC

(ver la figura), los puntos medios

A',

B' y C* de los tres lados, los pies D, E y F de las tres alturas, los tres puntos P, Q, R a la mitad del segmento de cada vértice al or tocentro (punto de Intersección de las alturas), todos estos nueve pun tos se encuentran en la misma circunferencia la cual recibe el rombre de LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS DE LM TRIANGULO.

a) Hallar la ecuación de esta circunferencia en el trlán guio con vértices (a, 0), (b, 0) y SUG:

(c, 0).

Use C1. F y R como los puntos que determinan la Circunferencia de Nueve Puntos (busque un Sngulo recto). Note que F * (0, 0) y que el ortocentro es

b)

(0, -ab/c) .

Pruebe que los otros 6 puntos ya descritos sa­ tisfacen esta ecuación.

c)

Pruebe que N , el cantro de la Circunferencia de Nueve Puntos, se encuentra en la misma recta que el Centroide G (intersección de las Medianas), el ortocentro H , y el Circuncentro 0' (Intersec ción de las bisectrices perpendiculares de los lados).

16.

La circunferencia que pasa por (2, 3), (1, 2), (3, 0), y la que pasa por (-1, 1), (1, 2) y (0, 3) se encuentran en dos puntos. Halle es­ tos puntos resolviendo las ecuaciones simultáneamente para

17.

Hallar la ecuación de la recta tangente a

2

2

* y

y .

x * y - 2 x * y - 5 ,e n

La CiA.cunieAe.ncMi

Cap. 6 el punto

301

(3, 1). 2x - Sy * 1

18. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a

= 0

en (2, 1) y de radio 3 . (Dos soluciones). 7

*y

2

19. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a las a 3x - Sy = 4 .

x

= 25 ,parale

20. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a perpendiculares a x + 2y ■ 1 .

x2 + y2 - 4x + 2y = 0

21. Hallar la ecuación de la circunferencia: a) Tangente a los Ejes coordenados en el segundo cuadrante, de radio 4. b) Que pase por el origen, que sea radial al origen formando 45° con el EJE X en el primer cuadrante, y el radio de longitud 3 . c) Tangente al EJE X, al EJE Y, y a la recta cuyos X-intercepto e Y-in tercepto sean 3 y 4 respectivamente. x2 ♦ y2 - 4x - 6y = 12 , en

22.

Hallar la ecuación de la recta tangente a el punto (-2, 6) .

23.

Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a tangente a x - 2y * 10 = 0 .

x2 + y2 = 9 , y

24. Hallar el menor Sngulo en el centro de la circunferencia 2y -15 = 0 ,

25.

determinado

x2 + y2 + 6x

por los radios con extremos en el EJE Y .

Encontrar el punto de tangencia de la recta 2 2 cunferencia x * y - 2x - Ay = 0 .

x + 2y = 10 con la cir-

26. Una circunferencia de radio 2/2 tiene su centro en la recta 4x + 3y = 2 , y es tangente a la recta x + y = -4 . Hallar dicho centro. 27. Hallar ti lugargeométrico de los centros de ias circunferencias tangen tes al EJE Y , y que pasen por (1, 0). 28. Si el punto 2

(8 + /3 , 7)

2

satisface la

ecuaciónde la circunferencia

x * y - 16x -I2y + 96 = 0 ,hallar la pendiente de la recta te que pasa porese punto. 29.

tangen­

Si de un punto exterior P se trazan tangentes a una circunferencia, el segmento queune los puntos de contacto se llama CUERDA DE CONTACTO 2 DE P . Si P * (xj, i/j) es un punto exterior a la circunferencia x + 2

y

es 30.

=

r2 , demostrar que la ecuación de la cuerda de contacto de P « j + m/l =

2

r

.

Dada la circunferencia

x2 * y2 - 2x - 6ij + 6 = 0 , hallar los v
La CjicunieAzncUa

30?

res de m

Cap. 6 y * mx + b :

para los cuales las rectas de la familia

a) Cortan a la ci.‘diferencia en dos puntos diferentes. b) Son tangentes ron la circunferencia. c) No tienen ningún punto común con la circunferencia. 31.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a lacircunferencia 8x + y2 - Sy + 20 * 0 ,trazadas

32.

2

desde el punto(9, 8) .

2

x * y*16,

Dadas las circunferencias

x2

2

y

x

* y

2

+ 4x + 8y = 80 ,

y el punto A • (4, -12) ,encontrar el áreadel triángulo

ABC , si

se sabe que está inscrito a una de las circunferencias, y circunscrito a la otra. 33.

Desde el punto (k, -2) , con k negativo, 2

x + y - 2x - 1 * 0 . El segmento determina

tes a la circunferencia

do por el punto de tangencia y el punto A cuaciones de estas rectas tangentes. 34.

se trazan rectas tangen -

2

Encontrar la ecuaci6n de

mide

3/2 . Hallar las e-

la circunferenciaque es tangente a las rectas

2< + y = 8 , 2x + y * 13 , y cuyo centro se encuentra sobre la rec­ ta L - { (2, 4) + t(l, 8) / t e IR } . 35. Desde el cia

2

x

punto A * (4, 2) se han trazado tangentes a 2

+y

la clrcunferen-

* 10 . Hallar el ángulo formado porellas.

Cl a v e d e Re s p u e s t a s 1. a)

y* 2x + (23/3) , Q * (-3, 5/3) ; y =

y =

b)

y- x + 3 , Q * (0, 3) ;

c)

x« -4y + 14 , Q * (-2, 4) ;x = -Ay

d)

x+ Zy = 11 ,

Q - (5, 3) ;

2. (x - 5)2 * {y * 3)2 * 8

2x - (7/3)

x + 11 ,

,Q *

(1, -1/3)

Q = (-4.

-4)

Q - (-4, 7) - 20 ,

-2x + y = -12 ,

;

3. k = 25 , k ■=

,

b) k =

Q -(6, 0)

1 . (Dos soluci

4. (x - 4)2 + (y - 8)2 - 45 6. a)

k e [ -5/5 , 5/5 ]

c)

ke

x - Zj = 11 .

10.(x - 3)2 + 11.

,

<-oo,-5/5> U <5/5 , » ) ; 7. 3x2 = ZOx - lOy - 17 ;

8. y + Z = (5/3)(x - 8) , Q - (5, 3) ; 9.

+ 5/5

(y

Centro:(-1,

Q = (5, -3) ;

y * Z * - (3/5)(x- 8)

2x + y = 12 ,

- 4)2 = 16 ,(x + l)2 + y2 = -2) , radio 5 .

, Q = (3, -5)

Q = (6, 0) 16 .

.

Cap. 6

303

La CiicuníeAtni^ui

12. x2 - 4y « 4 . si -3 < y < 1 ; 14. a) [x - (1/2)]2 + (y - 4)2 - 25.

+ By = 16, si 1 < - 5)2 + (y- 7)2 » 25

x2 (x

16. 3(x2 + y2) + x - U y + 6 « 0 , x2 + y2 sectan en (1, 2) y (12/13, 18/13) . 18.

.

. , se Ínter .

[x - (2 -

)]2 + [„ - (i + ^ ) ] 2 « 9 , ✓29 ^29 [x - (2 ♦ - ^ ) ] 2 ♦ [y - (1 )32 = 9 ✓29 ^29

19. 3x - Sy -

i

5 ✓34' ;

20.

21. a) Centro (-4, 4) , b) c) Centro (1,

1) . (6,

22. 4x - 3y + 26 = 0 , 25. (2, 4) ; 30.

- 5x - 3y +16 ■ 0 17.4x + 3y- 15

y < 3

(1) Si

23.

2x - y =■ 0 .

2x - y = 10 .

Centro (3//Ü, 3//2) , 6) . x2 + y2 ■= 20

26. (26.-34), (2,-2) b2 - 6b + 6 < 0 ,

,

24. are tan (-24/7) y2 * 2x - 1 ,

, 27.

es decir

b

e

( 3 -•

j ,3 + ^ 3 >

tonces PARA TODO jn REAL , las rectas y - mx + b la circunferencia dada en dos puntos diferentes. (2)

Si (■¿)

b2 - 6b + 6 = 0 , es decir,

(3)

(¿t) Si

, entonces

respectivamente, corresponde a

y = mx + b

tangentes a la circunferencia,

PARA TDD0 m e R - { í 1//3 } , las rectas y * mx + b cortan a la circunferencia en dos puntos diferentes. b2 - 6b + 6 > 0 ,

tonces: (-€.) Si m ■ (b - 3 mx + b (¿t)

3 i ^3

en­

cortan a

m = (b - 3)/3 ■ i 1/^3 DOS RECTAS

ó

b =

28.-✓!

be

^-oo,3 - ^ 3 ^ U ^ 3 + ^ 3 , o o ^

í / b2 - 6b + 6 )/3

,

en y -

las rectas

son tangentes a la circunferencia dada.

Sim e <(b-3 las rectas

- / b 2 - 6b + 6)/3, (b - 3 + /b2 - 6b + 6 )/3 > > y * mx + bno tienen ningún punto común con

la circunferencia dada. (■cLe)

Sim e

^-oo ,(b - 3 - / b 2 - 6b + 6 )/3> U U <(b-3 + A ? - 6b + 6 )/3 , oo ^

entonces las rectas

y =

mx + b

,

cortan a la circunferen

cia dada en dos puntos distintos. 31.

x - 2y = -7 .

32.

96 unidades cuadradas.

Q = (3, 5)

34. [x - (9/4)]2 + (y - 6)2 =

; 33. 5/4 .

2x - y = 10 , ly =

x - 11 ,

35. 90° .

Q ■ (6, 2) y =

x+1.

La rÁA¿un(¡euLncii*.

304

Cap. 6

8 RECTAS TANGENTES A LA CURVA DEFINIDA POR LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO Dada la Ecuación General de 2° Grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + si es que se conoce algún punto (x0, ya) cl&n

(y por lo tanto, la satisface),

RECTA TANGENTE

F » 0

,

sobre la gráfica G de esta ecua

probaremos que

A LA GRAFICA DE

..(*)

<•)

LA ECUACION DE LA

EN EL P U N T O

( xe. ya ) tle

ne la siguiente forma

En efecto, consideremos la recta tangente forma ^

.

y » mx

Lj en la

+ b . y

como (xe, yB) e Lj ,entonces b ■ ya - mx0

,

de donde

y - mx + [ya - mx0)

, en la

que trataremos de encontrar el valor de m . Además, como

(xQ, y )

7

e G ,

entonces Ax;, + Bx0y0 + Cy2 + Dx0 + Ey0 + F = 0

... Y puesto que

Lj :

plazaremos este valor

(**)

y = mx + (y0 - mxe)

debesertangente

dey en ( * ) para obtener una ecuación

a G , reem­ de segundo

grado en x solamente, que como debe téí!Sr una única solución, utilizaremos

La C-OicunfeAencia

Cap. 6

305

la CONDICION DE TANGENCIA en el siguiente proceso: 2

2

Ax + Bx(mx + yD - mxa) + C(mx * ya - nut*,) +

(A + mB + m2C).x2 +

+ Dx +

E(mx + yQ - mxe) + F ■ 0

[(B + 2Cm)(i/0

- mxe) + D + Em]x +

+ C(i/0 - mxQ)2 + U y a - mxe) + F * 0 Y haciendo el DISCRIMINANTE IGUAL A CERO

,

, se obtiene

«i2[(B2 - 4AC) x2 - (4DC - 2BE)xe + (E2 - 4CF)] + + m[-2x0i/0(B2 - 4AC) - (?BD - 4AE) Xq + (4DC - 2BE) yQ +(2DE + [(B2 - 4AC) ■ fl + (2BD - 4AE) ya + D2 - 4AF ] Lu^g09

2 - 2 2 nT [ B x¿ + 2BEx0 + +

2

*

-4BF)] +

» 0

2 4C(-AXo - Dxe - F)] +

m[ 8x0i/0AC + 4AEX,, + 4DCi/0 + 2DE + 2B(-F) + + 2B(-Bx3y0 - DXq - lya - F)] +

+ [ B2yl + 2Büya * D2 + 4A( - C ^ - E(/0 - f)] = 0 En cada uno de los cuatro paréntesis de la ecuac16n anterior aplicaremos la relaci6n (**) , con lo cual obtendremos: ■n2 [ Bx2 + ZBEx„ + E2 + 4C(Bx0y0+ Cy2 + Ei/0)] + m [ 8ACxci/0 +4AEx„ + + 4DCy0 + 2DE + 2B(Ax2 + Bx0i/0 + Cy2 + Dxe + íy0 ) + 2B(Ax2 +Cy2)]

+

+ [B2!/2 + 2BDya + D2 + 4A(Bxe!/0 + Ax2 + Dxe)] - 0 De donde

m2(BXo + ^

+ £)2 + 2m(BXo + ^

+ E)(2AXo

+ By^ + D)

+

+ (2Ax0 + By0 + D)2 ■ 0 =s>

í(2Cya * Bx0 + E) m

Por lo tanto,

+

(2Axe + Bya + D)]2 = 0

_____________________________ 2Ax0 + Bya + D ID • -------------ZCya + Bxe + E

Reemplazando este valor en Lj : y ■ ya + m(x - xc) , y utilizando la relación (**), se obtiene la fórmula que queríamos demostrar.

306 8.1

Cap. 6

La CVicun(¡eAincÁA

En caso de no conoce*,

NOTA

P = (x0, y0)

cía

las coordenadas del Punto de Tangen

entonces NO ES RECOMENDABLE usar es y * mx + b

ta fórmula, sino tomar una recta genérica

y con algún dato adicional aplicar la CONDICION DE TANGEN CIA

haciendo el

DISCRIMIKANTE IGUAL A CERO en la ecua -

ción de 2° grado resultante Esta fórmula hallada para des muy importantes de 8.2

EJERCICIO.-

Lt

(en una sola variable).

será utilizada para deducir ciertas propieda­

las CONICAS

, las que serán estudiadas más adelante.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto (1, 2) a la curva cuya ecuación es x2 - 2xy +y2 + 4x - y - 3 = 0

SOLUCION

..

(*)

Verificamos en este caso que el punto (1, 2) satisface (*), y por lo tanto pertenece a la curva dada. Entonces la recta

tangente está dada por Lt :

!/ox + xoH, *«,* - 2( ---- 2---- ) + y° y *

x - 2x - y * 2y * 2x + 2 - {y/2) - 1 - 3

es decir,

Lj :

8.3

* + xo , . y * y0 . ( ~ 2 — ] ' ( — 2— ) '

2x + y * 4 ,

Ej e r c i c i o .- (Cu a n d o

el

* 0

Lr :

x - 2y »

LN :

x - 2y

punto es

, ‘

*

,

(1) - 2(2) » -3

- -3 .

exterior a

l a c u r v a ).

Hallar

las rectas tangentes a la curva

y

trazadas desde el punto

Encontrar además los

(-1, 2).

- 4x + 8 * 0

,

puntos de tangencia. SOLUCION

Luego de verificar que (-1, 2) no satisface la ecuación de la curva dada, tomamos genéricamente una recta tangente de la forma

entonces

2 =

este valor es reemplazado en (mx + m

y =

Lj :

mx + b

. V como

m(-l) + b 2

y

- 4x + 8 ■ 0

(-1, 2) e Lj

, es decir,

Lj :

, y =

, y se obtiene :

+2)2 - 4x ♦ 8 = 0 = m2x2 + 2(m2 + 2m - 2)x + (m2 + 4m + 12)

.

mx +

La Cíacun&eAtncia

Cap. 6

307

Como se trata de buscar rectas tangentes aplicamos la Condlci&n de Tangencia haciendo el DISCRIMINANTE IGUAL A CERO , y luego de reducir términos obte­ nemos : , 0 ■ 3m + Zm - 1 ■ (3m - l)(m + 1) = > m • 1/3 , m • -1 , valores que al reemplazar en Lti

: 3y « x + 7

(*)

,Lj2 :

generan las rectas tangentes buscadas : y “ -x + 1 .

Y para hallar

los pun -

2

tos de contacto reemplazamos estas expresiones en i / - 4 x + 8 » 0 , y asi, resultan los puntos de contacto Qj * (11, 6) , Q2 "(3, -2)

8.4

NOTA .-

Existí. un único caso especial en que

(x0. ya)

PARA UN PUNTO

DISCRIMINANTE IGUAL A CERO ,

pxodac.iL un soto valor, de Za. peni •¿nZi gente.

m de ta meta, tan -

Cuando esto se presenta , ello Indica que,

BEEXISTIR entonces ésta debe ser

A “

EXTERIOR A UNA CURVA DE SEGUNT0 GRADO DADA , la

Condlclén de Tangencia:

pendiente)

,

Lj2 respectivamente.

correspondientesa Ljjy

OTRA RECTA TANGENTE QUE PASE POR ELPUNTO A

UNA RECTA VERTICAL

de ecuaci&n

como DE .

(para las cuales no se define la

x * xe , que precisamente contiene al punto A ■

!x0, ya) . 8.5

EJEMPLO.-

y2

Hallaremos las rectas tangentes a la curva ■0 ,

trazadas desde el punto

(2, -3)

- 4x + 8

,asi como los

puntos de contacto : sea

Lj :

y ■

mx + b y

el cual reemplazamos en drática

; o

- 4x + 8 = 0

. Asi, obtenemos la ecuaclén cua-

m2x2 _ z(2[()2 + 3m + Z)K + (4m2 + i2m + 17) = 0

luego hacemos el

DISCRIMINANTE IGUAL A CERO

lZm + 4 » 0

,

es decir

Luego, la recta tangente obtenida es

Lji :

, y reduciendo términos obtem

= -1/3 3y =

Y por la NOTA [8.4] , la otra recta tangente Lj2 la cual debe pasar por

8.6

, entoncesy=mx-2m- 3 ,

(2, -3)e Lj

EjtRCICIO.-

(2, -3).

La recta

Por lo tanto,

L :

y - 2x + m

(una sola solución)

-x - 7

.

es unaRECTA

Ly¿ :

VERTICAL,

x = 2 .

es tangente a la curva

La CitcunfeAencMi

308 2 6x - x + n

y =

. Hallar el valor de

Como

SOLUCION.-

Cap. 6

16(n - m)

la recta L es tangente a lagráfica de lacurvacuadrá2

tica y = 6x - x + n, entoncestiene un solo tersección con la curva y por lo tanto, -. ,2

punto de in­

tx + in * ox -x + n

6x2 - 3x + (n - m) = 0

. Entonces para

9

==»

- 24(n - m) » 0

8.7

EJERCICIO.-

m)

=6

Hallar el ángulo agudo que forman las rectas tangentes 4(x - 5)2 - (y - 4)2 * 36 (8, 1) .

a la curva P - (x0, ya) *

desde el punto SOLUCION.-

16(/i -

—1

A = DISCRIMINANTE * 0 :

Hallaremos las rectas tangentes en tal punto. y *

mx + b . Como

(8, 1) e Lj

:

y *

, trazadas

Sea

Lj :

mx + 1 - din ..(*)

que al reemplazar en la ecuación de la curva dada, y haciendo el DISCRIMINAN TE IGUAL A CERO se obtiene:

4(x . 5)2 . (mx _ gm - 3)2 . 0

,

desarrollando esta ecuación cuadrática y haciendo el Discriminante Igual a Cero resulta una sola solución para m , m = -5/2 . Esto implica que la otra RECTA TANGENTEES VERTICAL y como debe su ecuación es precisáronte LTI :

5x + 2y * 4? ,

x = 8 LT2 :

pasar por xe * B

. Asi,

x •8

de

, entonces

(*) :

. Luego el ángulo agudo B

en­

tre ellas está dada por la relación (¿porqué?)

a (-2. 5)•(0, 1) 5 eos P ---------------- = ---|(-2, 5)||(0, 1*)| /29

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS .1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 2x - 2y - 1 = 0

2

, de pendiente 3 .

2. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva -6=0

2

x + y - xu +

2

2

x - 2xy + y + 2 y -

, trazadas desde el punto (-7, -3) .

3. Para el punto

(1, 1) de la curva

x2 + 2x.y + y2 - 6x + 2y = 0

, ha­

llar las ecuaciones de las rectas tanaente y normal en ese punto. 4. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva -1=0,

que son perpendiculares a la recta

3xi/ + x - 2y

L : 2x - 2y - 7 = 0 .

5. demuestre que la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

x

2

+

Cap. 6

La C¿Acun¿e/t^ncxa

2

y

+ Dx + ty + F * O

* * o + yy0 * D( * * xo ) / 2

6.

(xol ya)

en el punto de contacto +

E(t/ + ya ) n

está dada por

+ f = o

Si k es una constante diferente de cero, demuestre que eltriángulo formado por los ejes coordenados y cualquier recta tangente a la curva xy - k ■ 0

7.

309

^----

tiene un área constante igual a

|2k| .

SI k f 0 , demuestre que la suma algebraica de los segmentos que una 2 2 2 recta tangente cualquiera a la cfinica x -2xy + y - 2kx - 2ky + k *

0 determina sobre los ejes coordenados es igual a la constante

8.

Hallar las ecuaciones de las rectas que. pasanuo por el punto 2 son tangentes a la curva y m 4x .

9.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva que sean perpendiculares a la recta 2x - y + 7 » 0 .

10. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a lacurva 3xy - 2y + 3x + 10 ■ 0 , paralelas a la recta

x

k .

(5. 6), xy =

2x

2

-Ay

2, 2

+

-y - 5 ■ 0.

11. Hallar la pendiente de la recta tangente, donde ésta no sea vertical, en cada punto (x0, ya) de las curvas a)

2x2 + 3y2 - 10 / l y -6 /Z x + 2xy + 16 - 0

b)

x2 + 6 /3xy - Sy2 = M

12. Hallar las dos rectas tangentestrazadas desde curva

2

el punto (3,2)

a la

2

x + y • 4x , asi como los puntos de contacto respectivos.

13. Hallar las dos tangentes trazadas desde 14. Hallar las dos tangentes a ta 3x + Ay » 1 . 15. Dada la curva

x2 + y2 « 6x +

(2, 7) a

x2 + y2 - 2x * y * 5

y * 3x2 + 5 , y la recta

16.

, paralelas a larec

y • 4x + m

,

hallar m

para que dicha recta sea tangente ala curva . 16. La recta y ■ 2x + m es tangente a la curva Hallar el valor de 16(n - m) .

y =

6x2 -

x +n

17. Hallar la suma de las coordenadas delpunto de la curva y= 3x2 en donde la tangente sea paralela a la recta y * 2x + 7 . IB. Por el punto (8, 57)

se traza una recta tangente a la curva

- y - k ■ 0 . Si la abscisa del punto común es 2 , hallar la ción de tal recta tangente y el valor de la constante k .

. +2 ,

x2 + 4x ecua -

19. Por el punto {-5, 4) se trazan tangentes a la circunferencia x2 + 2 y - lOx + 7 * 0 . Hallar la tangente del ángulo agudo que forman es­

La CiAcun¿£/teni^ui

310

Cap. 6

tas rectas tangentes. 2

20.

Hallar la ecuación de la recta tangente a y - 2x + Zy + 3 * 0 , que sea perpendicular a la recta 2x + y + 7 * 0 .

21.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a trazadas desde el punto (-4, 1} .

2 y - 4x - 2i/ - 7 = 0 ,

2

22. Hallar la ecuación de la recta tangente a dicular a la recta x + Zy + 3 ■ 0 .

x >

16y , que sea perpen­

y■

23. Determinar el valor de n de manera que la recta tangente a la elipse 24.

2x + n

sea

(x2,'4) + (i/2/9) - 1 .

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación : 2

2

(x /3) + (y 12) > 1 denada positiva.

. en el punto de contacto P, de abscisa 2

1 y or

2

25. Encontrar todos los puntos sobre la curva x +Zx.y + 3y ■3 , don­ de la recta tangente sea perpendicular a la recta x + y » 1 . 26. Una recta PT es trazada tangente a la curva x.y - x + y en el pun to P ■ (-2, 2/3) . Hallar las ecuaciones dedos rectas que son norma­ les a la curva y perpendiculares a PT . 27. Hallar las rectas tangentes a la elipse zadas desde el punto Cl a v e

de

(4,9) , asi c m o

+ (i/2/9) * 1

, tra­

¡ospuntos decontacto

(x2/16)

.

R e s p u e s t a s .-

I. 3.

3x - y - 2 . 3y - 9x ■ 22 ;2. x - 3y + 2 = 0, 3x + y ■ 4;4.

8.

x - y + 1 = 0,

x

2x - Zy + 5 - 0. 6x - 7y + 21 « 0 x + y = 1 , 3x + 3y * 1 ■ 0 - 5i/ + 55 * 0; 9.

x + 2i/*4 ,x + 2i/+

4 » 0

10. x - y - -1, 41x - 41i/ - 39 II. a) 2xx„ + 3yya - S /Z [ y * ya) - 3/2(x + xe)+ (xi/„ + yxa) - -16 b) xxe

+ 3 /3(xi/0 + yxQ) - Syya - 64

12. y - 2 ,

y -

Q = (2, 2) ;

-(4/3)x + 6 . Q = (9/2,

13. 3x + Ay = 34 , 3y 15. m *= 11/3 ;

16. •

19. y = 8x - 69 ;

20.

22. 2x - y = 16

23.

25. (-2. 1)

y

(2. -1).

26. {y - (2/3)] = 9(x + [y - (4/3)] =

9(x -

4x - 13 ; ;

17

8/3

x - Zy = 1

; ;

m = i 5 27.

y =

14. 18. 21.

y = 8x - 7 , y -1 =

2) , (-2. 2/3) ;

-23.

6¿ + By=27

k = 3

í( /2/2)(x + 4)

,24.9 /lx +

x + 5. (-16/5, 9/5);

4) , (4, 4/3) .

0)

6x+ By -

By

=36 / l

x = 4 , (4. 0)

La C¿icu.n¿eA.en(Ua

Cap. 6

9

FAMILIAS

DE

311

CIRCUNFERENCIAS Análogamente al caso (simple) de las FAMILIAS

DE RECTAS , que fueron estudiadas en la Pág. 254 en los Problemas Propues­ tos [48] , [49] , [50] ,[51] , [52] , ahora estudiaremos conjuntos espe­ cialesde circunferencias llamados FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS, lascuales serán grupos de circunferencias con ciertas características particulares In­ teresantes. Sean u y

v las expresiones

u í

x2 + y2 + AjX + B^y + Ct

v =

x

2

2

+ y + A2x + B2y * C2

■respectivamente .

Entonces, si u =

x2 + y2 + AjX + B^y + Cj

■

0

v =

x2 + y2 * A2x + B2y + C2

*

0

sonecuaciones de dos circunferencias que ¿e.inteAitetan se tiene que :

u

+ nv

da. que paia pal tai do¿ ¿nt&iueccÁoneA de

u *0

y

1 + n f 0 ) , pues para cualquier punto quehaga quela igual a CERO y a la expresién v sién

u + nv

se hará CERO

Y se sabe que la expresi&n ferencia pues los términos

2

también

Igual a CERO también

v =■ 0

(siempre que

expresién

u sea

,entonces la expre

también .

u + nv x

, entonces

rt^pKuenta La. EciiatUdn de unaCía c u h íim h

> 0

= 0 2

y y

es la Ecuací&n de una Circun-

tienen coeficientes iguales si es

La Cin.cun¿eAen<úa

312

que:

1+ n f O

. y porque hay por lo menos un punto que la satisface (la

intersección de u - 0 y Cn : :

Cap. 6

v * 0).

Luego las ecuaciones de la

forma

x ! + y2 * AjX + Bji/ +■ Cj + n (x2 + y2 + A2x + B2y + C2)

= 0

(1 + n)x2 + (1 + n)y2 + (A^ + nA2)x + (Bj + nB2)i/+ (Cj + nC2) = 0

representan a esta familia de circunferencias SECCIONES PE AMBAS CIRCUNFERENCIAS s e a ambas tan g e n te s u t u

(6 pon. l a única. ¿ n t e A s e a ü ó n

u

+

nv

en

caso de

a¿).

En el caso en que la ecuación

QUE PASANPOR LAS DOS INTER­

«

0 se

1 +■ n = 0

convierte en una

(At - A2)< t (B! - B2)y *

,

es decir

n * -1 ,

euutcÁón de piUmeA. guada

(C! - C2)

=

0

y como los puntos de intersección también satisfacen a esta ecuación, enton­ ces esta ecuación debe ser la ecuación de la CUERDA COMUN , es decir, la secante común en caso existir dos puntos de intersección, ó la tangente co­ mún en caso de ser ambas circunferencias tangentes entre si. Esta recta característica recibe el nombre de EJE RADICAL . 9.1

NOTA

La ecuación de

ciu U t¡u ¿&i c iA c u n íen e n tú a que p ase pon. estos

puntos d e in t e r s e c c ió n

ma

u + nv

* 0

SIEMPRE 4e

puede e s c A ib iA en l a

¿on.

, y para cualquier otro punto sobre

tal circunferencia, al ser sustituidas sus coordenadas en la ecuación parámetro 9.2

EJEMPLO.-

u + nv

= 0

, origina una ecuación para el

n .

Hallar la ecuación de la circunferencia

C

que pasa por

los puntos de intersección de

SOLUCION.-

C, :

xZ + y2 + 2* - Ay =

1

C2 :

x2 + y2 + 3* + iy

7

=

,

y por (2, 1) .

Consideremos x2 * y2 + 2x - Ay - 1 + n (x2 + y2 + 3x + Sy - 7) = 0

.. (*)

la ecuación de cualquier circunferencia que pasa por los puntos de intersec­ ción de Ci y

i'2 . Reemplazando las coordenadas de

(2, 1)

en

(*) ,

La CiAcun{¡eAe.nc¿a

Cap. 6

se obtiene la ecuación

4 + 9n * 0

313

, es decir.

n » -4/9

como la

solución íiásica. La ecuación buscada es por lo tanto, x2 + y2 * 2x - 4y - 1 - (4/9)(x2 + y2 * 3x + 5y - 7) es decir,

2

5x

2 + Sy + 6x - S6y + 19

ferencia con centro 9.3

NOTA

(-3/5, 28/5#

■ 0

0

, que representa una circun­

y de radio

Z698/5 .

Utilizando este método no hay necesidad de conocer los pun tos de intersección de ambas circunferencias originales. Además,

las dos circunferencias

u *0

y v * 0

TIENEN QUE INTERSrr'AfcE NECESARIAMENTE, así que la

lia de circunferencias to con la recta

u + nv * 0

(eje radical)

NO

fami­

, n t -1 > jun

para la cual

n » -1 ,

también serán DISJUNTAS , como indica la siguiente figu­ ra :

Las dos circunferencias u = 0 y v = 0 podrían ser tangentes, en cuyo caso todai Itu c¿%cun¿eArn&uu de la. iamiLia y el E/e Radical también jJLtrviAn TANGENTES en tte ¿ i, tn tt punto de contacto.

9.3

EJERCICIO.-

Hallaremos la ecuación de la circunferencia de radio 5/Z2 , y que pase por las intersecciones de las cir­ cunferencias:

x2 + y2 + 2x - 6y - 16 = 0 (Dos soluciones).

y

xZ + y2 - 6x + 2y = 0

Cap. 6

La CVicxinjeA-zncia.

314 SOLUCION •(a ) ..

Consideremos la ecuación con el parSmetro n a ser hallado: (x2 + y2 + 2x - 6y - 16) + n(x2 + y2 - 6x + Zy) “ 0

, y re

ordenando y completando cuadrados resulta la expresión equivalente , +

(1 - 3n) -,2 + 1+n

(n - 3) f 1+n

c

_

(1 - 3n)2 ♦ (n - 3)2 + (1+n)2 _

Como el dato es que el radio debe ser igual a

S//2

16 1+ n 2

» o sea r *25/2 ,

y como el segundo miembro de la ecuación (*) es precisamente r , enton­ ces el valor del parSmetro n que estamos buscando lo obtenemos de igualar

2

r

25 *

—

(1 - 3n)2 + (n - 3)2 + 16(1 + n) ------------------ -----=----

2

5n2 + 42n -2 7 Para

(5n - 3)(n + 9)

n * -9

■ 0

= >

xZ + y2 - x - 3y - 10 ■ 0

n ■ 3/5 :

para

,

de lo cual.

(1 + n)2

2 2 x * y - 7x + 3i/ + 2

:

* 0

n * 3/5

ó

, [en

(a )] ,

n * -9 . y

, sonlas dos solucio­

nes para la ecuación de lacircunferencia buscada. 9.4

EJERCICIO.-

x2 + y2 - 6x - 3y + 10 * 0,

Demuestre que C2 :

2

2

x + y - 5

son tangentes.

y

Hallar la ecua­

ción de la circunferencia tangente a Cj

y C2 en

su

punto comúr., y que pasa por el punto (2, 7) . SOLUCION .-

Completamos cuadrados, de lo cual resulta (x - 3)2 + (y - |

de donde (0, 0)

^ « /5/2

y

)2 - |

-

r2

.

x2 + y2 - 5

r2 ■ / 5 . Como los centros son

-

r2

(3, 3/2) y

respectivamente, y la distancia entre ellos es d =

/ (3)2 + (3/2)2 .

+ ✓5 -

r, ♦

r2

,

y por ser la distancia entre los centros igual a la suma de sus radios enton ces lia

ambas circunferencias resultan sertangentes entre si.Además, la fami de circunferencias tangentes a Cl y C2 en su punto común está repre­

sentada por

(x2 + y2 _ 6x _ 3íf + 10) + n(x2 + y2 _ 5)

de las cuales aquella que pasa por (2, 7) corresponde a (4 + 49 - 12 - 21 + 10) + n(4 + 49 - 5) = 0

==»

, Q

...(*)

: n ■= - 5/8

,

asi

315

La CiAcuníeA intUa

Cap. 6

reemplazando este valor en(*) , obtenemos la circunferencia buscada: x2 + y2 - I6x - By * 35 - 0 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar la ecuación del eje radical de cada par de circunferencias

2.

a)

x2 + y2 - 2x - Ay * 4

b)

3x2 + 3y2 - 7x + Sy - 1 .

x2 + y2 + 6x + lOy * 15

c)

Hallar también la ecuación de la recta de ios centros en cada

,

5x2 * Sy2 + 2x - 3y • 6 .

Hallar dos miembros de la familia determinados por el Ejercicio

caso.

[l.(a)]t

a) uno de los cuales pasa por el origen . b) el otro que pase por (3, 4) . 3. Hallar dos miembros de la familia determinados por del

lascircunferencias

Ejercicio [l.(b)] ,

a) uro de los cuales pasa por el origen , b) el otro que pase por (3, 4} . 4. Hallar el miembro de la familia determinada por[l-(a)] centro en la recta de 45° que pasa por el origen. 5.

que tenga su

¿ Qué hiiembro de la misma familia es tangente al EJE X ? , ¿ CuSl es tangente al EJE Y ?

6. Tome tres cualesquiera de las cuatro circunferencias an el Ejercicio [1] • y vea si sus ejes radicales son concurrentes ó paralelos. 7.

Demuestre que dadas tres circunferencias cualesquiera que se intersectan, sus tres cuerdas comunes son concurrentes en un punto. nominado CENTRO RADICAL.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 + 2x - 6y 9. Hallar la ecuación de

- 16 * 0 ,x2

son tangentes. y C2

Cj :

5//2 , y que

pase

+ y2 - 6x + 2y ■ 0

la cuerda común de las circunferencias

x2 + y2 - 8x + 6 = 0 10. Demuestre que

Este punto es de

,

x2 + y2 - 6x - lAy * 38 = 0 .

x2 + y2 - 6x - 3y * 10 » 0 ,

C2 :

x2 + y2

= 5

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a Cj

en su punto común, y que pase por el punto

11. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a

(2, 7) . Cj yC2

del Ejer-

La CtAdun {¡eAzncia

316

ciclo

Cap. 6

[10] en su punto común, y cuyo centro se encuentra en la recta

x + 3y + 5 * 0 . 12.

Hallar la(s) ecuación(es)de la(s) clrcunferencla(s) tangerte(s) a y

C2 del Ejercicio [10]

3 13.

Cj

en su punto común y cuyo radio sea igual

Hallar las ecuaciones de las circunferencias tangentes a Cj y

C2 del

Ejercicio [10] en su punto común y que sean tangentes a la recta

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por (-2, 10) y por 2 2 las intersecciones de la circunferencia x + y - 2x + Zy - 32 ■ 0 y la recta

15.

2x

y + 1 » 0 .

14.

a

/Ü/2 .

x - y- 4 *

0 . 2

2

¿ Porqué las circunferencias x + y - 16x - 8¡/ + 71 " 0 , 4x + Hy * 4 ■ 0 ,xZ +y2 * 2x + 10y + 17 • 0

2

2

x * y no tienen

Radical ? 16.

Demostrar que -

u ■ x2 + y2 - 6x + lOy + 33 ■ 0,

2x - Zy « 0

bro de la familia

y

v ■ xZ + y2 -

no se cortan . Demuestre que para u + nv x 0

n * -1/2

es una circunferencia que

el miem

no OonXa

.i*, a u ni a v , y cuyo centro está sobre la recta de los centros de u y . Demuestre ademSs que no exiite cÁAcun¿eAenom JieaZ si n toma los valores

1 ,

1/2 , 1/3 . Encontrar otros valores de

n

pa­

ra los cuales no existe circunferencia real . 17.

Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que pasan por las Intersecciones de

2

2

2

x * y + 2 x- 4i / = 4 ,

Encontrar la ecuación del eje radical

2

x + y -6x + 2 y = 6 . .

18.

Hallar la ecuación de la familia de circunferencias que sean tangentes a x + y = 3 en el punto (-2, 5) .

19.

Hallar la ecuación de la

20.

Seleccionar los miembros de la familia en el Ejercicio Propuesto

en la recta

familia de circunferencias que

3x - y = 4

y de radio

tienen centro

5 . [17]

que satisfagan las condiciones dadas, deteiminando los valores apropia dos de n : a)

de radio 5/2

,

b)

de centro en

x = Zy

c)

que pasen por

(2, 2)

,

,d)

que pasen por

(9, -1)

.

Cent

317

La O x e an ¿vttncÁa

Cap. 6

SERIE OE PROBLEMAS ADICIONALES DE CIRCUNL ERENCIAS 1.

4 2.

2

(x - 5) + {y + 3)

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a , trazadas desde

Las circunferencias

2

■

(3, 3).

Cj y C2 son tangentes exteriores,

P0 e

de

tal modo que sus coordenadas son positivas y la suma de éstas es 3 . Con relación a Cj y C2 la recta L : (5, 11) + t(4, 3)contiene a los centros,

d[P0, L] ■ 24/5 . la suma de sus diámetros es

dades y la suma de las ¿reas de los circuios respectivos des cuadradas, siendo r2 mayor ^"1 y 3.

qt;t r^ .

es

30

uni­

125irunida

Hallar las ecuaciones de

^2 '

C es una circunferencia de radio positivo, cuyocentro tiene coordena­ das enteras. P * (-2, 6) e C , y Q ■ (-1, 9) e C . Desde A ■ (4, 7) se trazan rectas tangentes a C ,de tal forma que A dista 3r unidades de cada punto de tangencia. Hallar a) la ecuación de C , y b) los puntos de tangencia .

4.

Cj y

C2

son circunferencias tangentes

rl * 2r2 a Ci y

(rj y

r2, radios). La rteta

C2 .Además,

corta a T en te a Cj en el

(-10, 6) e

(6, -6), y la punto cuya

exteriores entre si tales que T

T , la

recta (-12, ordenadaes

es tangente simultáneamente recta

L de los centros

2) + t(3, -4) es tangen­ -6 .Hallar : a)T n C1, y

b) L n c 2 . 5.

La recta L: x -y + 2 m0 es una cuerda de C : + 10 ■ 0 . Hallar el área del triángulo formado por la cuerda y los diámetros que trisecan a dicha cuerda.

6.

Sean

y C2 dos circunferencias tangentes exteriores en

x2

(6, 9) ,

de radios 5 yr2 respectivamente. Si L pasa por (4, -6) , y es tangente solamente a C2 en (24 9), hallar las ecuaciones de C| y de C2 . 7.

Dada la recta 5

L :7x *

/I)Z = 25 ,si

y - 15 /2 ■0

Lj

y

L2

, y

C :

gativa, tangentes a C y tales que cada una de ellas forma con L un ángulo agudo 6 donde tan 6 * 3/4 , hallar las pendientes de Lj y L2 asi como sus ecuaciones vectoriales. 8.

Una circunferencia de

(x

son dos rectas paralelas de pendiente n

10 unidades de radio se encuentra en el tercer

La CiAcun{¡eAencta

318

Cip. 6

y cuarto cuadrantes, y es

tangente a lasrectas

llar las rectas tangentes

a C

x - 10 ,

y - 0

trazadasdesde P * (2, 4) , asi

Ha como

los puntos de tangencia. 9.

La recta centro

L: 3x + Ay + 15 » 0 C-

es tangente a una circunferencia cuyo

(h, k)se encuentra en el cuarto cuadrante.

es un punto de la circunferencia tal que

Si

P - (5, 2)

Pr ^ PC - (16/25)(4, -3) ,

hallar la ecuacifin de la circunferencia. 10.

Hallar la abscisa del centro de una circunferencia de radio 2/2 , sa­ biendo que estS en la recta 4x + 3i/ - 2 y que la circunferencia es tangente a la recta x + y + 4 « 0 .

11.

Un policía de 1.80 m. 2

Je estatura hace rondasiguiendo la trayectoria

2

x + y - 144 . En el punto (0, -8) se levanta un poste vertical Je 7.20 m. Je altura, en cuyo extremo hay un foco. Hallar la ecuación del extremo Je la sombra Jel policía. Cl a v e

de

R e s p u e s t a s (PAG,, 315 ) 8x + 14y - 11 n • -4/15 ,

b)

41x - 2Ay - 13

i. 2.

a) a)

3.

a) 13x2 + I3y2 - 44x + 39i/ + 12 ■ 0 b) 62x2 + 62y2 * 853x - 724i/ + 95 > 0

8. 9.

x2 + y2 - 7x + 3y + 2 - 0 x2 + y 2 - x - 3y •■ 10 , 10. xZ + i/ - 16x - By + 35 - 0 2x - lAy + 3 2 - 0 •

11.

X

b)

n - 1/68 .

18. 20.

a)

n = 1 . n * 11/39

b)

n ■ 1 ,

J)

n = -5,

x2
.

n - 1/2 , 5. Ninguno

+ 20-0 - 6y + 2 5 - 0

-

Al menos Jos no se intersectan. - 3h + 4) - 25 {y - 4 ) 2 - 2] - 0 . V n t -1 .

- 2x - y • 5 •

[X - (3/25)3 2 + ly - (67/50)3

-

25/4

■2x - Ay = A . x2 ,h y2 - 2x - y m 5 ; c) n * 0 , x2 + y~ ■ 2x2 + 2y2 - 16x + Jy - 13 .

Clave de Respuestas

(Serie Adicional, pAg. 317 )

1. Lji : 4x + 3y - 45 , 2.

4.

2

+ 4x + 2y - 15 , * y 2 2 2 x * y - lOx X * y2 + 2x + y » 10 , 2 2 2 x * y - 12x X * y2 - 2 x - y ‘ 1 0 , 2 15. X * y2 - 16x + 16y + 24 ■ 0 , 4x - 3y + 1 - 0 , 19. (x - h)2 ♦ ly (x + l)2 + {y - 6)2 - 2 + n[(x + 3)2 +

12. 13. 14. 17.

•

Lj2 : x - 3 .

P„ = (a, b) , a > 0 , b > 0 ,

a + b = 3 , r2 - 10 , rt = 5 ,

La Cíncun{¡eAencÁa.

Cap. 6 -

Po

3.

C :

4.

Q ■

(1.

2) .

C, - (-3, 5) . C2 - (9. 14) .

(x + 3)2 + {y - B)2 - 5 . A - (-2, 10) , (-6. -6) . q

- 25 .

a)

(6. -6) ,

: b)

6.

C2 - (15, 21) , Cj - (3, 5) .

7.

m1 -

8.

LT1 :

-1 ,

L¿

:

(10

Srea igual a 4 unid,

, 5 /2 ) i 5(l//2,

cuadradas.

1 / / 2 ) + <(1,-1) .

(2, 4) +í(3, -4) , P - (8. -4) ;

LT2 : (2. 4) +í(4, 3) C ■ 0 + t(3, 4) , PC • (4, -3) ■ 16

, Q - (-6. -2) .

Q e L fl C : = *

punto de tangencia .

4h - 3k ■ 30

Ce

L' : 4( - 3jf • 30 iQ e L n L*

C-

Q + (17/19)(3, 4)

10. 2 y

:(x - 9)2 * (y* 2)2

í (6, -6) , (12, 2) } .

C fl L - { (1, 3) , (-1, 1) } ;

m2 -

B - (-13/5, 2S/5).

(y + 14)2 - 100 ,C2

x2 +

5.

9.

319

= >

,

Además,

de donde se tiene que Q-

(3, -6)

, y

- (6/19, -46/19) .

26 (dos soluciones) .

11. [x - (8/3)]2 + y2 - 256 . 12. Dada la ecuación de la familia de rectas

a(3x * Ay - 10) + t(3x - y

- 5) » 0 , hallar las rectas de esta familia que sean tangentes a la 2 2 circunferencia x * y + 2 x - 4 i / “ 0 . SOLUCION.-

Debido a que tendríamos que despejar de la ecuación de

la familia de rectas dada una de las variables, digamos la variable x , en función de la variable y , y reemplazar este valor en la ecuación de la circunferencia para ahí considerar EL CISCRIMINAN_ TE IGUAL A CErO, vemos que en este caso los cálculos serian muy engo­ rrosos, POR LO CUAL aplicaremos el siguiente procedimiento: - Recordando que la ecuación a(3x * Ay - 10) + B(3x - y - 5) » 0 representa la familia de todas 1<»s rectas que potan pon. la •uite'uec3x + Ay - 10 * 0 y 3x - y - 5 ■ 0 , en

CA.ón di Lat Kí.cJtjau,

tonces resolviendo este par de ecuaciones lineales hallamos dicho PUN T0 DL INTERSECCION Q - (2, 1) , y luego consideramos la familia de rectas que potan pon. ette. punto : y = mx + b . Aquí, reem­ plazamos las coordenadas de Q :

1 * 2m + b

generando

320

La CÍAcunf eAzncía

Cap. 6

mx + (1 - 2m)

y »

la ecuación de la forma siguiente:

..

(*)

Al reemplazar esta expresión en la ecuación de la circunferencia para consi­ x2 + y2 *■ 2x - Ay - 0

derar la CONDICION DE TANGENCIA obtenemos: x2 + [mx + 1 - 2m]Z + 2x - 4[mx +■ 1 - 2m]

» 0

,

= >

(1 + m 2>x2 - 2(2m2 + m - l)x + (4m2 + 4m - 3) * 0 Es en esta ecuación cuadrática en una variable donde aplicamos la CONDICION DE 1AUSENCIA: Discriminante Igual a CERO , resultando que 4(2m2 +■ m - l)2 - 4(1 + m 2)(4m2 + 4m -3) ■ 0 2m2 + 3m - 2 » 0 PRIMERA SOLUCION:

■

(2m - l)(m + 2)

Para m * 1/2 : LT1:

-- »

0

m = |

ó

= >

. Aquí vemos que esta ecuación co­

rresponde a la familia a (3x + 4^ _ 10) + B(3x - y - 5) ■ 0 15

m = -2

y - 1 - |(x - 2)

LT1

y - 2x *

= >

para

■ -2a , a f 0 , cano se puede verificar directamente.

SEGUNDA SGlUCION:

Para

m - -2 :

LT2:

LT2:

2x + y - 5 = 0

y

- 1-

-2(x - 2)==>

, ecuación que corresponde a la

familia a(3x * Ay - 10) + B(3x - y - 5) * 0

para

a ■ 2B , B

t 0 .

******* (Serie, pág. 270)

Clave de Respuestas

*

corresponde a la

*

*

a)

La gráfica

b)

La gráfica

c)

La gráfica corresponde a la REUNION de todos los puntos pertenecientes a las tres rectas: x = 0 ,x + 2y = 0 y x = y .

d)

La gráfica a las dos

las dos rectas:

2x - y m 0

corresponde a la

a las dos rectas:

x + 3y

REUNION y

de los puntos pertenecientes a

2x + y = 0 .

REUNION - 2 * 0y

corresponde a la REUNION rectas:x* y = 0 y

de todos los puntos pertenecientes x + 3i/

+ 2 ‘, 0 .

de todos los puntos pertenecientes x - 2y * l = 0 .

e)

La gráfica corresponde a la REUNION de todos los puntos pertenecientes a la recta x + y= 0 y a la hipérbola xy = 4 .

f)

La gráfica

corresponde a la REUNION

a la rectax = 2

y

de todos los puntos pertenecientes

a la circunferencia

2

x + y

2

= 4 (radio 2).

Tnan¿(¡oAmacUun de Coordenada*

Cap. 1

321

7 TRANSFORMACION D£ COORDENADAS

1.

FORMULAS DE TKANSFORMACION DE INORDENADAS En este capitulo consideraremos transformaciones de

coordenadas en lo que respecta a la TRASLACION V A LA ROTACION de lob E/e¿ Coordenado* origínale*

XY

, para las cuales el plano IR2 permane­

ce INMOVIL , es decir que los puntos , rectas y gráficas en general, no be me eA&n mediante una traslación y/o rotación de los ejes coordenados, sino

que Lo que caí ib¿aAÍn *¿AÍn *u* REPRESENTACIONES (como pane* ordenado*, ecua done*) con respecto a los nuevos ejes coordenados.

Tomemos como ejemplo de ejes coordenados

XY

y

X'Y*

o (en el plano R ) dos sistemas

, como en la siguiente figura,

y

consideremos un punto fijo P . Supongamos que este punto P

referido a los Ejes

XY

tiene las coorde -

nadas P =

(4, 5) =

4-i +

5j

consideremos que los ejes Ejes originales el vector unitario de. rotacidn

¿¡ =

=

(*, y)

.

XYhan sido rotados mediante

(uj, l2)

y trasladados al nuevo ori

Taji.ií¿0Ajna.c¿5n de Coo/idznadeu

322

Cap. 1

gen Pc (denominado ii^ctofi dt tJuuleuuir^.% obteniéndose los nuevos ejes co ordenados X'V , entonces el mismo punto P . iegún ¿a fiouna, las coordenadas (x*. y') - (3. 2)' es decir,

+3 unidades en el EJE X* , y

más, se tiene que: P •

(4, 5)

-

tendri

+2 unidades en el EJE Y' . Ade­

_ , P0 + 3 ü + 2 ü

.

TfuuiiioMnatnJrt de CooKdinadai

Cap. 7

En esta última figura el vector unitario

323

ü ■ (u¿, u2)* (eos 8, sen 6) es

originado por la rotación del EJE X en un ángulo 6 . Elnuevo origen P„ ■ (*o>
representa al vento* Viastacióri, mientras que el vector

ü

repre­

senta la fLotcuúin dt tot í j a cooKdenadoi. Es ast que con ayuda de la figura, obtenuios la siguiente fórmula de trans formación: P„ + x' ü + y' ü "*■

( x , y)

1.1 a)

(*)

OBSERVACIGHES Si la transformación consiste de ROTACION PURA entonces

Pc * 0

,

(solamente rotación),

y la fórmula correspondiente se convierte en: RO TACION

x‘ ü + y ‘ ü "*■

(x. y)

b)

Iü | - 1 .

Si la transformación consiste de TRASLACfON PURA tonces

y u * (eos 0, senO) * ¿

8 =0

dica que el EJE X no ha sido rotado, (x0, y0 f

■

es decir,

( * . y)

y "

Las fórmulas de (x‘. y')

se pueden despejar de y luego por ü

(1, 0)

en­

, lo que 1n -

y por lo tanto que si PQ »

( x c . y0) + * ' *■ * y ' 1 .

í x - x0 + x' i

coordenadas

-

■

(sin rotación),

••

TRASLACION

y0 * y ‘

TRANSFORMACIÓN INVERSA

en términos de las (*)

que expresan las

coordenadas originales (x,

, multiplicandouc.ataAm.nte. :

primero poru

. Por lo tanto,

X'

-

[(*. y) - Po ] • ü

y’

=

ru. y) - P0 ] • Û 1

y) ,

FO RM U L A S INVERSAS

Cap. 7

T>mni (¡u>ima(U.ón de Cooidenada¿

324

1.2

PROBLEMA -

Encontrar las nuevas coordenadas del punto

(-1, 3)

si

es que los ejes coordenados han sido rotados en 30° , y luego trasladados al nuevo origen SOLUCION.-

e - 30° ,

Pc = (4. 5)

G - (cosB, sen 8)

*' - [(*. * ) - P 0 ]-ü

,

P = (*, y)

* ( /3/2 , 1/2)

- [(-1.3) - (4,5)] • G

1.3 PROBLEMA.-

P

,

- (-1, 3) ,

entonces

= - (5 / 3 +2 // 2

- [(*, !/)- Pc ] • G 1 - [(-1,3) - (4,5)] • G X

y'

(4, 5) .

-(2/3-5)/2

=

.

Por traslación de los ejes coordenador al nuevo origen (3, 2), y por rotación en 37° (considerar el triángu

lo rectángulo 3, 4, 5), las coordenadas de resultan ser(7, 6) . Encontrar las coordenadas originales en el siste

ma XY

del punto

SOLUCION.-

P .

PQ = (3, 2) , u = (eos 37°, sen 37°) P' = (x1, y‘ )

P = (x, y)

1.4

=

(4/5, 3/5) .

(7, 6) . Con estos datos tenemos:

=

PQ + x’ G +
=

(3, 2) + 7(4/5, 3/5) + 6(-3/5, 4/5)

PROBLEMA.-

=

=

(5, 11) .

Hallar la ecuación, en las coordenadas transformadas, de una recta cuya ecuación en las coordenadas origina les es

L :

y =

* + 3 /2

después de que los ejes

X , Y , han sido rotados en 45° (antihorario). SOLUCION.-

Este problema es

muy ilustrativo pues la recta L dada, según los datos, hace un ángulo de 45° con el EJE X , de modo que en el sistema X' Y‘ esta recta será hori­ zontal . Así, L tendrá la ecuación : y'

=

CONSTANTE

en

X‘Y*,

y vemos que este es un proble­ ma de ROTACION PURA con 6 = 45° , y

/ ✓ ..

u * (eos 8, sen 8) (x, y)

325

Tfíani ioHM.cU.5r de foo id '.naden

Cap. 7

■

(eos 45°, sen 45°)

- *' ü + y ' U L

»

(1//2, 1//2)

- x‘(1//2, 1//2) + y '[- l/S z . 1//2) . f «• - y‘ ñ

y que al reemplazar en la ecuación

♦ y' * '

n

L :

y *

* ♦ 3/2

se obtiene 2 y'

y'

* 3

.

- 6

.. Ecuación de L en el ¿¿¿tena. X' Y'

, tal

como lo hablamos previsto. 1.5

PROBLEMA.-

Sea la recta L : 4x + Zy 1 12 en el sistema SI el origen de coordenadas se desplaza hasta el (5, 4). encontrar la rotación u ■ (uj, u2) de

ra de obtenernuevos ejes coordenados X' Y' tlcal. Hallar la nueva ecuación de L . SOLUCION.-

en los que la recta

L

XV . punto mane­ sea ver

Pc - (5, 4) .

Este problema tiene dos solucio nes para ü . Resolveremos una de ellas como en la figura que indica que. siendo

lo que implica que: x - 5 + (4x‘ - 3y')/S ,

y >

y qué al reemplazar en la ecuación ción

x' “ -4

4 + (3x‘ + 4
obtenemos la ecua­

que viene a ser una recta vertical en el sistema X‘Y'.

Se Invita al lector a encontrar la otra solución a este problema. 1.6

PROBLEMA•-

Hallar la ecuación transformada de la curva

= ♦,

326

T/uuu¿0AMic¿ón de CíjideiuicLu

Cap. 7

si los ejes coordenados son rotados en 45°. Solución -

e - 45o .

(*, y) « it’G ♦ y'ú*~ -

ü -

(1. i)//2 ,

p„ -

(o, 0) « 6 ,

(x* - y' , x‘ * y ' ) H 2 , de donde

x = (*' - y ')/ /2 ,y * (*' + y')l S2 . se tiene que:

- 1/

*' + i/’

¿2

xy ■

Y al reemplazar en ..2

4 ,.2

8 .

✓2

Una particularidad de este Problema previo es que la ecuación original de la curva contenía al término mixto xy , y que al rotar los ejes se consigue u na ecuación que ya no contiene el término mixto x' y' 17

PROBLEMA.-

Transformar la ecuación de la circunferencia: + 4x - 12y - 9 " 0

x2 + y2

, trasladando el origen de coorde­

nadas a su centro y conservando la misma dirección de los ejes. SOLUCIÓN.-

Completando cuadrados:

. o» 2 . / .

O

v

*» 2

l «■,

_ ,

x - x0 + * ’ y -

ya * y ’

luego:

*'

v -

■

-2 +*'

6 + y'

* x + 2

!/’ “ !/ - 6 , emplazar en: (x + 2)2* (y- 6)2 - 49 la forma

x'2 ♦ y' 2

■

nuevo sistema de ejes. 1.8

PROBLEMA.-

Los ejes coordenados

tor unitario

XY son rotados mediante un vec ü « (4, 3)/5 , y la ecuación de una

circunferencia C es transformada en

x'

2

Encontrar las coordenadas del centro de C pletando cuadrados),

b)

en el sistema XY

+ y'

2

- 16x‘ + 10
: a)en el sistema (mediante las

X'Y' (com Fórmulas

de

Transformación de Coordenadas). SOLUCIÓN.en el sistema

a)

l*' - 8)2 + (y' + 5)2

X'Y‘ es:

C*

= 25

, asi, el centro de C

(8, -5)' = (h1, k1) ,

b)

como solo se ha rotado mediante (x, y) C-

327

T>ian¿¿rtimac¿5n de u.tdzr¡ada¿

Cap. 1

■ x’ü + y 'U "*■

ü • (4. 3),'5 . entonces

, y el centro

C * (h. k)

serí :

(h. k) - h'G + k'ü1 » 8(4/5, 3/5) - 5(-3/5, 4/5)

.

Luego,

C - (47/5. 4/5) . 1.9 NOTA

Este es un método estandar para hallar las coordenadas del centro de una circunferencia, elipse 6 hipérbola, primero en en el sistema X’Y* y luego en el sistema XY . Lo mismo si se trata de hallar el vértice de una parSbola cuando su ecuación estS dada en el sistema X'Y* .

Este método previo sugiere a un sistema X'Y' con el sistema X“ Y* :

una combinación de una rotación de los ejes XY mismo origen, y luego una traslaci6n a un nuevo

a) ROTACION ü de XY a b) TRASLACION

X'Y’ :(x‘

Pc - (8, -5)

del sistema X'Y'

- 8)2+ (y' + 5)2 • 25 a X"Y" , en el cual

,

la

circunferencia estarS centrada en el origen : x»2 + y "2 m 25

para

*“ ■ * ' - 8

(8, -5)son las coordenadas de la X'V .

Para conocer

ten.a original

1.10

,

traslaclbn

y“

■ y' + 5

(*, y)

donde

pznoie¿vU.daz al ¿¿¿-tema

las coordenadas del vectorTraslación

XY se emplea la fórmula

,

_ , ■ x'ü + y'ü

P„en el sis .

FORMULAS CLASICAS DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS.En la Geometría Analítica ClSsica se ensefia que cuan

do los Ejes Cartesianos XY son rotados en un Sngulo 8 y trasladados a un nuevo origen PD * (xD, yD) ,generando un nuevo Sistema de Coordenadas X'Y', las fórmulas directas de TRANSFORMACION DE COORDENADAS guiente: "i x

*

x0 + x'cos8 - y' sen 8

y

“

Vo *

tienen la forma si­

( )

x'senB + i/'cosB

Y en caso de existir ¿t lamente la n.otac¿ón de los ejes en un Sngulo 8 ,es decir (xG, yj) « (0, 0) , entonces x

■x'cos8

- (/'sen 8

y

■x'senB

+ j/'cos8

•■•

\ )

TAMii¿o/uncuU£n de Cooidenadaé

328

Sin embargo, ambas fórmulas

(*) y (**)

vienen a ¿en

Cap. 1 ím

míimai que las FOf

MULAS VECTORIALES DE TRANSFORMACION DE COORDENADAS [ de lapágina 323. don­ de el vector unitario de rotación está dadopor u ■ (eos 6, sen6) ], las que al ser expresadas en forma cartesiana al pasar a considerar las componen­ tes en la Fórmula Vectorial, toman la forma que se presenta romo sigue: (x, y)

•

(x0, ya) + x'(cos 6, sene) + y'(-sen 6. eos 6)

(x, y)

»

(x„ + x'cosO - y'sen 6 ,

yD +

y)

“

,

(xD, ya ) - (0, 0) , y

Y en caso de existir solamente ROTACION : (x,

x'senO + y'eos 6 )

{ x’cos 6 - y'sen 6 , x'senO +

y ’ eos

8 )

Asimismo, las

FORMULAS INVERSAS (rLASICAS) de Transformaciónde Coordenadas

están dadas por

[ver

f x' 1 [

y‘

la pág. 323]

(x -

x0) eos 6 +

(y - ya)

sen 6

- - (x -

x0) sen 6 +

[y - ya)

eos 8

•

••

donde 6 es el ángulo de rotación de los ejes XV , y (xD, ya) origen. Y en caso de existir solamente la ROTACION , entonces

(

x* • y’

x eos 8 + 1/ sen 6

es el nuevo

...

(**)’

« -x sen 8 + y eos 0

1.11 EJERCICIO.-

Hallar todas las rotaciones de coordenadas que trans­ formen la ecuación cuación

SOLUCION.-

Desde que

x « x'uj -

y'u2

■

Reemplazando en la ecuación - y'u2)2 +

Sfx’ Uj

2x2 ♦ 3xy + 2y2 ■

4,

en la e

7x'2 + y ‘ * 8 .

(x, y) - x’ü + y 'U 1- * x'ÍUj, u2) + i/'Í-Uj. ux) (x, y) -

2(x'Uj

(*)'

y

(x’uj - y'u2 , x'u2 + y ' Uj)

* x’u^, + í/'uj 2

2

2x + 3xi/ + 2y

,

donde

* 4

f ~\2

<=*> 2"

/ u x + u2 « 1 .

, tenemos que :

- i/, u2 ) ( x , u2 + í/ 'U j ) + 2 (x 'u 2 +

i/’ uj)2

* 4 ,

Desarrollando los cuadrados y el Droducto, y agrupando términos : x ,2 (2U j

+ 3uju2 + 2u2) + y*2(2 u | - 3uiu2 + 2uJ) + x V ( 3 u 2 - 3u|)

= 4

x,2 (4u2 + 6uju2 + 4u2) + y , 2 { 4 u 2 - 6uju2 + 4u2 ) + x V ( 6 U j - 6u2 )

= 8

..(*)

Cap. 7

TJuuiiíofimaxUSn de Cootvde.na.da¿

La expresión (*)

329

se ha obtenido de la expresión previa multiplicándola por

2 , pues debemos identificar sus coeficientes con los de la ecuac16n

7x*2 + y '2 • 8 Asi, vemos que, como el coeficiente del término mixto x'y' IGUAL A CERO en (*), entonces donde 6u, - 6u-, 2uí

De (1) y f u,

y

2

2

1 * 4 - 6UjU2

1

U1 + u2 1/2

Además, Identificando los otros coeficientes de 7 - 4 +■ 6uAu2

debe HACERSE

...

(1)

(*) resulta también que =s >

uiu2 “ 1/2

.. (2)

(2) resultan las dos soluciones válidas siguientes:

* 1//2

- eos 8

1//2

sen 0

, es decir

8 * 45° ,

ü »

(1//2 , 1//2 )

6 sino 1 //2

eos 6

-1//2

sen 6

-

, es decir 6 - 225°,

ü - (-1//2 . -1//2 )

Por lo tanto, resulta que los ejes

XY deben ser rotados ya sea en 45° 6

en 225°

para obtener la ecuación

(en sentido antihorarlo)

1.12 EJERCICIO.-

7x'2 + y '2 « 8.

Hallar la ecuación transformada de la ecuación

2x +

+ Sy - 3 m 0

, si los ejes coordenados son rotados en 8 • are tan 2.5 .

un ángulo SOLUCION.-

8 » are tan 2.5

cos6 * 2//29 ,

= »

sen6 ■ 5//29 ,

/jjg,

(x, y) - x'ü + ¡/'ü "*■ * x'(cos8, sen 8) + y'(-sene, eos 8) = x,(2, 5)//29

+ y'(-5, 2)//29

*

Reemplazando estas componentes en la ecuación 2(

)

) * 5( /29

1.13 EJERCICIO.-

/ 29

- 3

( ?*' l_5y‘ . — /29 /29 2x + 5¡/ = 3 resulta: x1 = 3//29

)

.

Por rotación de 30° de los ejes coordenados cierta e-

TàatuionmcuUón de Coofidenadai

330

2

2x‘ + 3y‘

cuación se transformó en

2

m 6

Cap. 7

. Hallar la ecuación original

en el sistema XY . SOLUCION.-

0 - 30° .

ü = (eos 30°,sen 30°)

x1 -

(x, y) • ü =(x, y) •(/1/2,

y1 =

(x, y) ■ Ü X -(x, y) • (-1/2,/3/2) 2

2x‘ + 3y’

y reemplazando estas expresiones en 2 ( / 3 x + i/)2/4

+

3( /~3y - x)2/4 =

EJERCICIO.-

1.14

6

1/2) -

2

= *

- 6

( / 3x + i/)/2 ( /~ 3 y - x )/2 ,

obtenerlos:

9x2 - 2 /3 xy + lli/2

2

2

9x - 24xy + I6y - 40x - 30y • 0

carezca del término en

x'y‘ .

=24.

(x, y) ■

uj + u2 *

(x'u! - y‘ u2 , x'u2 + i/'uj)

2

2

9x - 24x
en otra que

Identifique la curva.

(x, y) - x'ÍUj, u2) + y‘(-u2, ut) ,

SOLUCIOI*.-

,

Por una rotación de coordenadas, transformar la ecua clon

eruación

-( /3/2, 1/2)

1

,

. Reemplazando en la

obtenemos :

gU'u! - y‘u2) 2 - 24(x,u1 - y’u2){x'u2 + y'Uj) + 16(x*u2 + y’uj)2 - 40(x'u1 - y’ u2) - 30(x'u2 + i/'Uj) » 0

= >

x * 2 (9u2 - 24 u ¿u 2 + 16 u 2 ) + i/,2(9 u 2 + 2 4 u tu 2 + 1 6 u2 ) + x'(/'(-24uJ + 24 j 2 +

+ 14u¿u2) + x't^Ouj - 30u2) +
Como el término mixto

no debe apurecer, entonres se debe tener que :

-24uJ + 24u 2 + 14u 1u 2 * O l?u¿ + 7u j ü 2 - 12uJ * 0 u2 * 3uj/4

ó

PRIMERA SOLUCION :

*

3ut/4

uj ♦

( 9 u 2/16)

ü «= (4, 3)/5

ó

6 =

6

,

G = (uj, u2) *

u2 + u2 * 1

(4u 2 - 3u 1)(3u 2 + 4uA)

u2 -

= >

Para

y

u2 ■ -4ut/3

«==>

37°

...(*)

(4/5, 3/5)

.

con -

, de donde:

Por lo tanto , uj + u2 *

==>

1

, es decir ,

1

= ►

u, ■ í 4/5 , u2 = í 3/5

ü = (-4, -3)/5 6 = 37° + 180° - 217°

.

[ 8 * 37° ] , reemplazando en

(*) :

x,2[9(16/25) - 24(12/25) + 16(9/25)] + i/,2[9(9/25) + 24(12/25) + 16(16/25)] + x1[-40(4/5) - 30(3/5)] + (/'[40(3/5) - 30(4/5)] 25 y'2 - 50 x ‘

-

0

= »

ser la ecuación de una parábola.

y '2

- 0

» 2 x'

=* que viene a

Cap. 7

Tuan&loDNU ISn de CooKdtnadaA

331

Ceno ejercicio, compruebe ~uc las otras tres rotaciones que también satisfa­ cen el problema son: -Para

ü - (-4. -3)/5

:

y '2 - -2x'

- Para

ü » (-3, 4)/5

:

x ‘2 *

-2 y'

- Para

ü = (3, -4)/5

:

x '2 •

2y' .

1.15 EJERCICIO.-

En el sistema XY. consideremos la recta

L:

(3, 8)

+ t(l. 3) . SI los ejes son rotados mediante el vec tor ü * (2, l)//5 , y luego trasladados al nuevo origen llar la ecuaclbn vectorial de esta recta en el sistema SOLUCION.-

Q * (3, 8) ,hallaremos

Q' ■(x‘,

*'

- [ Q - Pc] - ü

= [(3, 8) - (3. 3)]- (2. l)//5 =

/5

y'

- [ Q - P 0] - u X • [(3, 8) - (3, 3)]-(-l,2)//5 •

2/5

Q1« (x\ y')

Luego,

Para hallar tema

Para el punto de paso

PD ■ (3, 3) , ha X'Y*.

.

» {/! . 2/5) .

las coordenadasdel VECTOR DIRECCIONAL botamente. ¿i debe, conndvaK la

X'Y*

y '):

v* « (v[, v¿)

en el sis

ROTACION , sin Traslación,

pues

un vector dit-eccional es un VECTOR LIBRE , y puede ser ubicado en el origen de coordenadas. Es asi que, como v = (1, 3) , entonces v;

= v

vj¡

- v •Ü X -

Por lo tanto, L‘ : Q1 +

•ü

=

(1, 3) • (2,

(1, 3) •(-1, 2)//5

v‘ = (/5, S i) tv* ,

es

1J//5-/5

.

»

/!

Luego,

decir,

L’

:

( /5 ,

2/5) +

t(/5,

/5)

= »

L1

:

( /5 ,

2 /?)+

t (1,1)

.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS .1. Ha’lar las nuevas coordenadas ael punto nados son llevados al nuevo origen

(-1, 3) cuando los ejes coorde­

(4, 5) y rotados en 30°

2.

Por traslaciónde los ejes al nuevo origen (3, 2) y por rotación de 37° [triángulo 3, 4, 5] , las nuevas coordenadas de un punto P resultan

3.

Demuestre que la ecuación de la circunferencia

(7, 6) . Hallar sus coordenadas originales. te en 4.

2 2 2 x‘ * y'

Dada la recta

L:

x2 + y2 = r2 seconvier

« r para cualquier rotación de los ejes coordenados. 4x + 3y = 24 , hallar las rotaciones de los ejes co-

.

T/ian¿(¡i*maclSn de Coo*ide.nadtLi

332

Cap. 7

ordenados para obtener los nuevos ejes en los cuales la recta resulte ho rlzontal. 5.

Dada la recta L: 4* + 3y ■ 12 , hallar las dos rotaciones de los ejes coordenados para obtener nuevos ejes en los que L sea vertical.

6. Dado el puntoP = (6, 8) en el plano XY, si se considera un nuevo ori­ gen de coordenadas P0 * (3, 6)y dos ejes perpendiculares que siguen la misma dirección de los vectores

(7, 2) y (-2, 7) respectlv. mente, ha

llar las coordenadas de P en el nuevo sistema. 7.

Las coordenadas de un punto P mediante una rotación de 60° y una tras­ lación al nuevo origen

(2/3, -/3)

son transformados en

(2, 4). Ha­

llar en el sistema original, la ecuación y la pendiente de la recta x' = 3 . C.

Dada la recta y « x + 3 en el sistema XY, hallar su ecuaciór. trans formada si los ejesson rotados 45°. Ilustre gráficamente.

9.

En el plano

XY, sean las rectas Lt y

L2 , donde

L2:(1,

2) + ti ,

(5, 5) e L2. Se traslada el origen al punto P0 * (1, 2) , y luego se realiza una rotación generando el sistema X'Y1 siendo L2 el eje X'. La ecuación transformada de Lj es 2x‘ + 3
Los puntos A, B y C tienen coordenadas (4, 2), (2, -4) y (-1, -3) respect. en el sistema XY. Sea G el centroide del triángulo ABC[inter­ sección de las medianas: G = (A + B + C)/3 ]. Si los ejes sonrotados en un ángulo obtuso 6 tal que sen 0 ■ 3/5 , hallar las coordenadas de A, 8, C y G en el nuevo sistema.

11. Hallar la rotación de los ejes que determina que la p<
la recta

x - 3y = D que está en el tercer cuadranteaparezca en el cuarto cua drante y con ecuación 7x' + y' = 0 en el nuevo sistema. 12.

x2 - 2x + Ay2 - 16f/ + 13 ■ 0

Hallar la ecuación en la que

formada si los ejes son trasladados al nuevo 13.

Hallar la ecuación en la que

2

origen

2

4x + y - 8x + Ay + 4 = 0

es trans­

(1 , 2). es transfor

mada si los ejes coordenados son trasladados de manera de eliminar los téi minos lineales. 14.

Hallar la ecuación transformada si el origen es trasladado al punto PD a)

x2 + y2 - 2x - Ay - 4 = 0

,

Pc = (1, 2)

b)

4x2 + y2 - 24x + Ay + 36 = 0

,

P0 = (3, -2)

c)

y2 - 8x - 81/ - 8 = 0

,

P0 = (-3, 4)

Tnani¿oAMicÁón de Cooide.nada¿

Cap. 7 d) 15.

16.

-4*2 + 9y2 - 16* - 18y - 43 - O

.

333

P0 = (-2. U

Hallar la ecuación en la que se transforma cada ecuación de [15]

si los

ejes son trasladados de manera ae eliminar lostérminos lineales sea posible:

cuando

a)

4*2 + 9y2 - 8* - 36y + 4 = 0

b)

*2 + 4* + Ay - 4 = 0

c)

4x2 - y2 +24* + Ay + 36 - 0

d)

*2 +

y2 + 10* - 6y + 18 =

f)

9*2 - y2 -36*

e)

y2 -

by - 4* + 13 = 0

h)

25*2 + Ay2- 50* - 16? - 59 > 0 , g)4*2 + 9y2

+ Zy + 26 - 0

Eliminar los términos lineales de

(* - 2)

0

- 16* + 18y- 1 1 - 0

8{y - 1) por una trasla­

=

ción, si fuese posible. 17. Por rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación -5 = 0

en otra que crrezca del término

en

18. Por rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación -7=0

en otra que carezca del término

en

* - Zy -

*‘ . Indicar la.rotación. y' .

2* + y -

Indicar la rotación.

19. ¿Hasta cuál punto debe trasladarse el origen con el fin de eliminar el 2 término lineal en y ' , así como los términos constantps, en y + 2* - Zy - 7 = 0? 20. Hallar la ecuación en la que a* + ay + c = 0 gen es trasladado al punto {-h, h).

se transforma si el oH

21. Pruebe: que la distancia entre dos puntos no varía ni por una trasla ción ni por una rotación de los ejes coordenados. 22. Hallar la ecuación en la que a* + by + c = 0 se transforma si el o H gen es trasladado al punto (bh, -ah - (c/b)). 2 ? ? 23. ¿En qué ecuación se transforma (* - h) * (y - k) = r si el origen se traslada al punto (k, h) ? 24.

Demuest. que la pendiente de una recta no es alterada por una traslación.

25.

Hallar la ecuación en la que y = m* + b se traslada al punto (-b/m, 0) .

26.

Hallar la nueva ecuación si los ejes son rotados un ángulo 8 : a)

*2 -

b)

2*2 - 3/3

c)

1U2

d)

2* + 5i/ - 4 = 0

bxy * y2 = ku

3

,

- y2 =

+ ZAxy + 4ij2 =

se transforma si el origen

8 = 45°

5

8 = 60°

9

8 = are sen 3/5 8 = are sen 5/Z29

e)

x2 - Zxy + y2 - 2*

f)

5x2 + 3xy + m 2 - 8 = 0

= 0

6 = 45° 6 = are tan 1/3

T>iani£ofunacÁ.ón de Cooidenadai

334 g) 27.

8x2 + ixy * Ay2

«3

Cap. 7

,

0 * are sen ( 1//10 )

En la ecuación A*2 + Bxy+ ly2 + Dx + Ey * F ■ O .. (*), la cual es transformada por una rotación ü de los ejes coordenados en la ecuación A'xj2 + B'x'y' + C‘ y‘ 2 + D‘x‘ + V y ' + F‘ = 0 . a)

B2 - 4AC

c)

A + C + F -

-

B’2 - 4A'C' .

d)

4( AC + CF + FA ) - B2 - D2 -

b)

Demuestre que A + C

-

A ‘ + C'

,

A‘ + C1 ♦ F' E2 -

-4 (A‘C' + CF* + F'A1 ) - l ' 2 - D'2 - E,Z . NOTA.-

Por la forma que tlenon, es que las expresiones de los prime­ ros miembros en las identidades de (a), (b), (c) y (d) son llamadas INVARIANTES POR ROTACIONES DE LA ECUACION (*)■

28.

Dada la ecuación 7x2 + ABxy - Ty2 * 20x - llOy - 100 = 0 , encontrar la ecuación en el sistema X'Y' sí los ejes son trasladados al nuevo origen (2. -1) , y luego rotados 37°(en sentido antihorario).

29.

En el plano XY se tienen los puntos (16,9) y (14,6). Oespués de una rotación de los ejes en un ángulo agudo 6, los puntos tienen coorde nadas (a, c) y (b, -c) respect. Hallar el vector ü de rotación de ejes, eos 8, sen 6, y las coordenadas de los puntos dados, en el nuevo sistema.

SUG:

Considere ¡i = (uj, u2) = (eos 8, sen 6), y trabaje pH

mero con las componentes ux y

u2 hasta obtener

u^ = 2u2 •

30. Hallar todas las rotaciones de los ejes coordenados que transformen la ecuación

2x2 + Zxy * 2y2 = 4

en

7x'2 + y "

- 8 .

31. Por una rotación de 45° de los ejes coordenados, una cierta ecuación se transformó en 32.

2

4x‘-

2

9y‘

=18 .Hallar la ecuación

en XY .

Se realiza una traslación de los ejes coordenados al punto (-4,6). Lúe go se realiza una rotación de los ejes coordenados y la dirección posi­ tiva del eje X’ es el vector (-3,4) . En el plano X'Y* , la abscisa 2 de un punto P es 10 , y satisface la ecuación 3x‘ = y‘ + 5 . Hallar las coordenadas originales de P . [Dos soluciones].

33. Por rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación dada en otra que carezca del término en x’y' . Indique la rotación empleada. a)

x2 + Axy + 4i2 * /5 y = 1

,

b) 9x2 + ’ixy * 9y2 = 10

c)

2x2 + Axy + Sy2 = 2

,

d) 2x2 - Sxy + 2y2 = 0

e)

i2 - Zxy * y2 - 8 - 0

.

f) 16x2 + 24xi/ + 9i/2 + 25x

= 0 .

34. Se traslada el origen de coordenadas hasta el baricentro del triángulo

335

T/iav,(¡oKrmcÁÁn de Coo'idi.M.dai

Cap. 1

con vértices A ■ (0.9), B ■ (9,3), C - (10, -6) y luego se rotan los ejes de modo que el semieje positivo de X' (de pendiente positiva) corte al triángulo ABC formando un triángulo Isósceles. Encontrar las coordenadas A, B y C en el nuevo sistema.

CLAVE DE RESPUESTAS 1.

((-5/3-2)/2, ú - (3, —4)/5 ;

(5 - 2/3 )/2 ) , 2. (2 .9). 5. ü - (4. 3)/5 . ü = (-4. -3)/5 .

6.

(25//53 . 8/Z53). 7. (1.2), m - -1//3 , 8. y' - 3 / /2 ,ho rizontal en X'Y'. 10. ü - (-4. 3)/5 ; 11. ü = (2. -ll)/(5/5) .

12. x,Z + 4y '2 - 4

.

14. a) x'2 + y '2 =

9,

15 16

b) 4x'2 + y '2 = 4 .c)

4x'2 + 9y '2 = 36 .

f)

9x,Z - y '2 = 9 .

b) y e)

y '2 =

17.

y’ - - /5 .6

* aretg

- k)(x' + y') = r2 .

26. a) 7y'2 - 3x*2

=6 ,

x' = 4//29 ,

e)

g)

17x'2 + 7y' 2 = 6 .

b)

y‘

25.

7y'2 - 5x'2 - 10 ,

19.Pc

c) 20x,Z

(-14,11),

- by'2 *= 9

+ y ' 2= 16

f)llx,Z

1.

(b. -c)‘ - (34//S . -2//5 ) 31.

5x2 - 26xi/ + 5i/2 + 36 =■0 .

SEGUNDA SOLUCION:

(-6,17).

b)

5x'2 + 2x' + y' * 1 . ü = (1, 2)//5 , e = are tg 2 21x'2 + 15t/12 = 10 . ü - (1. l)//2 , e = 45°

c)

6x‘ 2 * y ' 2 = 2

d)

Zy' - x‘ = 0 ,

a)

y'

ü = (1, 2)//5 , 3
e)

y'

0

5x'2 + 4x’ - 3j/‘1 = 0 ,

= 2 ,

G = (19/3 , 2) = P„

- (4, -1)

= mx‘

28. x'2 - y ' 2=

ü - (-1, -l)//2 .

32. PRIMERA SOLUCION:

l)//5 ;

/ Z y ' 2 - x1 - y' ,

(a. c)’ = (41. 2)//5 ,

ÍO. ü - (1. l)//2 .

,ü = (2,l)//5

ax* + by' - 0

23. x'2 + y"2 - 2(h d)

.

.

IB. x' = 7//5 , 8 = are tg (1/2). ü « (2. 20. ax' + ay1 + c - 0 , 22.

8x'

c) 4x'2 - y '2 « 4 .

IMPOSIBLE.

g) 4x'2 + 9y '1 - 36

(¿porqué?).

2?. G-(2,l)//5,

(-3. 4)/5,

13. P0 =■ (1, -2) ,4x,Z + y '2 = 4

a)

Imposible

4.5 -

:■ -2 .

8 = are tg 2

ü = (1, l)//2 ,

ü - (1, l)//2 ,

6 = 45°

¿¡ = (4. 3)/5 ,

6 = 37° .

ü = (1, l)//2 .

0 = 45°

A 1 = (-5/2/4 . 33/2/

336

Iiif'u-ducccÚM

aX

Cap. i

Auátcns Maf^ultcci’

8 ecciones Cónicas 1.

INTRODUCCION

En este capítulo estudiaremos ciertos lugares geomé tricos que son muy importantes en la Geometría Ana­ lítica y que se originan de considerar

cortes

en diferentes ángulos deun

cono doble circular recto, mediante un

plano,

(Fig. 1),

figuras llamadas precisamente

CONICAS , o í w U ' n

dando lugar alas

SECCIONES CONICAS,

las que según el ángulo de corte reciben el nombre de

PARABOLA , E L IP­

SE , HIPERBOLA , y algunos casos especiales úe estas curvas, llamados CO40.& Ve.ge.neAa.do6 de Las Cótu.au>. Todas estas Secciones Cónicas tienen una propiedad común que es satisfecha por cada uno de sus puntos, y es que El Cociente de la V-atancia de cada uno de io¿ punta hasta um punto ¿¿jo

F , Llamado

a una iecta ¿¿ja &¿empne

FOCO, ent>ie 4u Vii-

L , ¿tomada

CONSTA!.TE , de.notada pon. e

EXCENTRICIDAD

de La cónica.

DIRECTRIZ i e¿ y denominada ¿a

(Fig. 2)

Aquí presentaremos el enfoque vectorial de la Geometría Analítica de las Cónicas. En el tratamiento de cada cónica usaremos una figu­ ra similar a la

Fig. 2 , y omitiremos con frecuencia la representación grá

fica del vector unitario

, correspondiente al vector unitario ü de

Cap. S

337

La Pandbola

rotación de coordenadas, pero cuya presencia será implícita por medio de la dirección positiva deí EJE Y* .

P; F] ----- * e P;L]

[ Fig.2 ]

338

2.

Cap. i

tntñ.í‘ducccón al knSJU&tA UaXiunS-tcco

LA

PARABOLA . ECUACION DE L*. PARABOLA y un punto fijo F i L ,

Dada una recta fija L

se define LA PARABOLA *P como el conjunto de todos aquellos puntos P(x, y)

cuya distancia al punto ¿¿jo

F e¿ igual'a ¿u distancia a la

'w.cXa ¿¿ja L (DIRECTRIZ) . Al punto fijo

Es decir,

F

se le llama FOCO.

tales que

De la definición previa se tiene que

LA EXCENTRICIDAD

e

oe cualquier parábola, que es precisamente el valor del cociente de estas dos distancias, e¿ ¿gual a

1.

En toda parábola, en general (como en la Fig.3 ), se tiene los siguientes

puntos y segmentos característicos

L : Recta DIRECTRIZ V : VERTICE

(con ecuación

:

x' = -p ) ;

F : Foco

(Nuevo Origen de las Coordenadas X'Y' )

p : PARAMETRO VE LA PARABOLA ;

RR7 : LAVO RECTO de la Parábola .

De la definición se deduce que si hacemos

P =V

, entonces se tiene que

339

La Portábala

Cap. i

d [ V , F]

d i V. L ]

=

Es decir, ¿a díitancUa del véAZicz del víntice

NOTA.-

F
L.

sigue la dirección del vector unitario ¡¡ de rotación EJE ó

de coordenadas, y se le llama

2.1

|p|

V al £oco

M a la. riecta

El EJE X*

=

EJE FOCAL de la parábola.

ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA Aquí encontraremos la ecuación

“standar"

de una parábola

en el sistema de EJES X ’Y‘ , que luego podríasertrans­ formada a las coordenadasoriginales de acuerdo

a lo

que

convenga mediante las fórmulas de cambio de coordenadas sj^ guientes: (*, y) “ V + x'ü + «/'ü'L

donde el vértice V X'Y‘) y

,

**»

[ («• y) - V ] ■ ü

y’ *

[ (x, y) - V ]• ü 1-

corresponde a la traslación (Oriyen del Sistema Nuevo

ü al vector unitario de rotación de coordenadas. De la gráfica correspondiente a la definición

nemos que la ecuación vectorial de la RECTA DIRECTRIZ L = íQ /

Q ’ Í V - p u J + í ü - 1- , P ■ (x, y) =

Además, como

* e R

V + x’ü +

•

| [ - (* ' + p )¡¡

=

I* ’ + P I

d [P , F] = =

+ U

+ y' ü X

Reemplazando en la relación:

(x1 - p ) 2 + y '2

-

=

,

pü

Q e L

|-W'

+ p)|

(V+pü)|

|

cf[ P , F ] = d[ P , L ]

(d[ P , F] )2 = (d[P , L ] ) 2 ==>

F ■ V +

donde

- y *) ü "*■] - ü | =

|P - F | = | V + x'u + y' ü |( x ' - p ) ü

} ,

d [ P . L ] = | Cp - PQ | • | (Q - P ) - ü | ,

[F1g.3] te

tiene la forma:

=^>

11 x*

( x ‘ + P )2

- p)ü

, o también en

+ y ' ü 1 |2 = y'2 =

(x'

4px'

+

p)2

340

In fu d u c a C m

De esta manera, un punto

a l

A n á l^ i- a

M a te m à tic i)

C ap.

P está sobre la parábola

P

si y sólo si

i

P

satisface la relación vectorial P = V + x,ü + u ,ü J" , que es llamada una P = (x. y) 2.2

donde

4px’

«T2

,

|u | = 1

(*)

ECUACION VECTORIAL DE LA PARABOLA , y donde

,

x1 = [ (x. «,) - V ]• ü .

y' = [ ( * » y ) - V ] - ü J-

ECUACION DE LA PARABOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X ü = l

Corresponde al caso ¿

=(1, 0)

p

=(x, y) = (h, k) + x'ü + í/'üX

(NO HAY ROTACION DE EJES)

y si V = (h, k) es el vértice oue corresponde a la traslación, entonces reemplazando en (*) : =

k) + x’i + y'i^~

(h,

(x, y) = (h, k) + x'(l. 0) + y' ( 0, 1) = De lo cual, reemplazamos en

y' =

x* = x - h , ,.2

y - k

(h + x \ k + y")

________________________

4px'

(y - k)

= 4p(x - h)

que es la ecuación de una parábola con EJE FOCAL PARALELO AL EJE X . En tal caso,

F = V +

pü

=

(h +

L:

p , k ) ,

x = h-

pü = p i

{y - k)

Vemos que para la misma ecuación: la parábola se abre hacia la derecha, se abre hacia la izquierda.

{y - k)

y si

2

=

p

,

( p , 0)

= 4p(x - h)

= 4p(x - h) , uí p > 0 p < 0

entonces la parábola

Cap. i

La Parábola

(y - k)

2.3

341

*= 4p(x - h)

ECUACION DE LA PARABOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y Corresponde al caso

ü ■ J ■ (0,1)

.. ROTACION DE

90° , y si V • (h, k) es el vértice que correspon­ de a la traslación de EJES, entonces - [(*,?) - V ] . ü y’ “

=

[(*,«/) - V]. O-*- =

(x - h, y - k).(0, 1) (x-h. y-k)-(-l.O)

Reemplazamos estos valores en la ecuación (*) : tenemos la ecuación

y -k

= y’

2

-(x-h)

,

= 4px’

, y ob

■ (x - h)¿ = 4p(y- k)

que es la ecuación de una parábola con

EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y.

En tal caso,

*

la oirectriz

F « L :

V + pü y =

» V + pj

k-p

(h, k) + (0, p) = (h, k + p)

342

Intiuduccíón al Anáti6¿i UatímáXccu

Vemos que para la misma ecuación

(x - h)

= 4p{y - k)

-

Si p > n

, la parábola se abre hacia arriba ,

-

si p < U

, la parábola se abre hacia abajo.

2.4

EJERCICIO.

Cap. 6

y

Hallar la ecuación de la pdrábola cuyo vértice es (3,-2),

V

y su directriz la recta L : y = 2 .

Determinar las coordenadas del foco F. So l u c i ó n .

Bosquejamos la gráfica según los datos, y vemos que la

parábola tiene su EJE FOCAL (VERTICAL) PARALELO AL EJE Y , y ' M abne. hac-ta abajo.

Luego, su ecuación debe tener la forma

= 4p{y - k)

(x - h)

... (*)

con p < 0 Y como = >

V = h =

(3 ,

-2) = (h,

k)

k = -2 .

3 ,

IpI = (Hitan

Además, como laM.

[2.3] :

del Vértice a la nzcJta

V-uie.cVu.i., con d [ V ; L] -

p < 0 :

|p| = 4

= >

p = -4 .

Luego, reemplazando en (*), obtenemos la ecuación (x

- 3 )2 =

4(-4) [ y

-

(-2)]

Y como el foco F debe encontrarse a tice V ’

2.5

EJERCICIO.

|p| unidades hacia abajo del vérF =

(h,

k

-

|p

|) =

(3 ,

Identificar y bosquejar la gráfica de las ecuaciones: a)

x2 - 4x - 2y + 2 * 0 , b)

3y2 + 4x + 12y + 6

= 0

Determinar el vértice, el foco y la ecuación de la recta directriz en cada caso. SOLUCIÓN.

Completamos cuadrados en cada caso (verificar) :

-2-4)

Cap. 8

InVwduccíón al AníLa¡i¿ MatancLtíCu

a) (x - 2)

= 2(y + 1)

( x - 2=)^2>= 4 ( i ) [ y - (-1J]

Esta ecuación tienela resulta y

(x - forma h) = 4p (if - k) -1 ,

h = 2 ,k »

p =

1/2

343

( > 0) .Luego, el vértice es

V

Obtenemos asi una parábola con vértice V(2, -1) y con PARALELO AL EJE Y

(vertical)

por lo que

EJE FOCAL

que se abre hacia arriba.

El foco resulta el punto F = (h, k + p) =

(2, -1 + (1/2) )

= (2. -1/2) Y

la recta Directriz y =

L:

k-p

= -1 - (1/2) Es decir, L:

y = - 3/2

,

viene a ser la ecuación de la incXa VíaícX 'u.z (horizontal). b) { y * 2)2 = (-3 ) (* - f ) Esta ecuación tiene la forma {y - k)

==>

= 4p(x - h)

h = 3/2 , p = -1/3

V

k = -2 , (< D),

= (h, k) = (3/2, -2) .

Obtenemos así una parábola con FJE FOCAL PARALELO AL EJE X , que se abre ha cia la izquierda. Asi, tenemos el foco F : F =

(h + p , k ) = [(3/2) + (-1/3)

Y la VlnecVUz (vertical)

-2 ] =

L: * = h + |p|

(7/6 , -2) ==»

L:

x = 11/6

344

lnt'ivduccíún oí An¿Lhi¿i UatantítA.c.0

2.6 EJERCICIO,

a)

Hallar la ecuación y yos puntos equidistan punto fijo

Cap. t

el vértice de

la parábola cu

de la recta

y = 2 , y del

(4,6).

b) Hallar la ecuación y el vértice de la parábola cu­ yos puntos equidistan de la recta

x - i/ + 4/2 = 0

y del punto 2/2(1, -1). So l u c i ó n . a)

Sea la recta L: y = 2 d[P;F]=d[P;L] ,

,

el punto

donde

F =(4, 6)

d [ P ; L ] = |y - 2 1

(d[P ; F])2 = (d[P ; L ] ; 2

(x-4)2 + (y - 6)2 = {y - 2)2

rábola con el eje focal paralelo al Eje Y, con vértice

Sea la recta

L: x - y * 4/2 = 0 , entonces

DIRECTRIZ , y el punto mal de L

es

P =(x, y) , lue

que viene a ser la ecuación de una pa

(x - 4)z = 8 (y - 4)

b)

,

, entonces

F = 2/2(1, -1)

L

V = (4, 4) .

resultará

¿a *ecta

el fouo. Como un vector no*

ñ = (1, -1) , haciendo un bosquejo resultará que un

vectai urúXaiUc que tiene la misma dirección que el Eje focal X' es: n

- p (1. -1) /2

íü]

y el vértice

V = F - pü

2p = d [ F ; L ] =

, donde el valor de

| (2/2) - (-2/2) + 4/2 |

p es obtenido de p = 4

= 8

/2

Luego,

V =

[2/2(1,-1)] - [4(1,-l)//2 ] = (0, 0) es el vértice. 2 La ecuación de la parábola es: y' = 4px' = 16x’ ... (*) donde

*■ =

[(x, y) - v ]i ü

=

(x - i/)//!

y' =

[(x, y) - V ]- ü X =

(x + y ) / /2

y que al reemplazar en(*) (x + y) NOTA.

se obtiene la ecuación

cartesiana

= 16/2 (x - y)

Verificar que esta ecuación también se obtiene de la defini­ ción:

d [ P ; F] = d [ P ; L ]

para

P = (x, y) ,

Cajr. í

2.7

345

La PaAJíbola

CASO PARTICULAR:

EL VERTICE

V

EN EL ORIGEN

Cuando el vértice V(h, k) en el origen de coordenadas las ecuaciones

a')

(0, 0),

de una parábola se encuentra

y « (h> k) , (0> 0) =-,

fl)

(y _ k)2 „ 4p(x . h)

b)

(* - h)

- 4p(i/ - k)

h . o,

k■0

toman la forma siguiente.

PARABOLA CON EL EJE X COMO EJE FOCAL

SE ABRE HACIA LA IZQUIERDA {EJE FOCAL)

b‘)

PARABOLA CON EL EJE Y COMO EJE FOCAL

L : y *= |p |

4p y

p < 0

DIRECTRIZ

L : y = -p

2.8

EJ ER HC IO .

D IRECTRIZ

Hallar el foco y la directriz de la parábola cuya ecuacion es

Solución.

... .2

_

2 y » x . X2 =

Hj)y H

lnVivdu.cc4.0n ai AnáJüAÍi Mutvmáticu

346

Como esta ecuación tiene la forma [2.7(b‘)] :

Cap. S

x2 = 4pi¡

, entonces

el Eje focal es el Eje V y el vé-tice es el origen de coordenadas (0,0), y

p - 1/4

V =

( p o sit iv o )

Luego, la parábola ¿e afetc h& d a aMA.ua.. Asi, el foco es

F = (0, p) = (O, 1/4)

,

y la recta directriz tiene la ecuación

L:

y = -p

,

es decir

L:

y = -1/4

.

2.9

EJERCICIO.

DIRECTRIZ

Demostrar que la longitud del lado recto cualquier parábola es

Solución.

RR' de

4|p| .

RR‘ : Lc.do Recto DATOS:

d [F; L ] =

2|p|

(a)

d [ R ; R' ] = 2d [ K i F] (f}) Por definición de PARABOLA : d[R; F] = d [ R ; L] EJE FOCAL

= dr F i L ]

..

(y )

Asi, lalongitud del lado recto d[R

es

;R1] = 2 d [ R ; F ] , de

(B)

= 2 d [ F ; L] , de

(y )

= 2 (21 p| )

(a)

, de

= 4 |pi .

2.10 EJERCICIO.

Una antena de radar se construye tal que cualquier sección transversal que pasa por su eje es una gábala.

co. Hallar la ubicación delreceptor, si la antena tiene tro de 5m. en la abertura SOLUCIÓN.

y

un diáme­

lm. de profundidad.

Seleccionamos unsistema coordenado XY , como en figura:

pa­

Suponga que el receptor se coloca en el fo­

la

Cap. í

347

La PaAábuta

Diámetro :

5 m.

Radio:

5/2 m. ,

r

Ecuación:

x = 4p¡/

Como el punto

(*)

(r, 1)

perte

nece a la parábola, reempla­ zando en la ecuación (*): r2 = 4{p){1) d( donde

=

p = 25/16 m. p - V¿¿taniUa deZ

Y como

foco aí VOlU.cz , el recep­

en zZ Eje de.

tor se encontrará Lu antzna

2.11

(en el Foco)

EJERCICIO.

a

p

25/16 metros del vértice.

Hallar la ecuación de la parábola con vértice V ■= (5,2)

y foco

F = (7,2).

Hallar la directriz L.

So l u c i ó n . V= (5,2)

y

F = (7,2)

indican

que el eje focal es paralelo al EJE X , y se abre hacia la dert cha. Además,

p = |^ | = IF - V | =

1(2. 0)| 2 .

La ecuación de la parábola tiene la forma =

{y _

k)2 = 4p(x .h)

{y-

2)2 = 4(2) (x - 5)

y la ecuación de laDirectriz

L

es

L:

2.12

L:

x =

h- p

EJERCICIO.

==>

5-2

El foco de una parábola es es

L :

x = 3

F = (7, 5) y el vértice

V = (3,2). Hallar la ecuación de la recta direc

343

lntT.cducc.i0n al AnáLc¿4¿

MaíeJirltcCo

Cap. S

triz asi como de la parábola. So l u c i ó n Consideremos la ecuación ei el y>2 =

sistema X'Y': COm°

P-

4pX>

|PÜ| = I VF|

- |F- V| = |(4, 3) | = I b[(4, 3)/5 ] | “ 15*i I « 5 donde

ü = (4, 3)/5

, es el

vector unitario en la direc­ ción del eje focal. LaDirectriz P

L

tiene ecuación

= (*,!/)* V - pü + tú"*" , t e R (x, y) = (3.Z) - (4, 3) + t(-3. 4) y en su forma cartesiana:

(*. y) = (-1, -i) + t(-3, 4) (*.
x> = [(x,i/) - V ] • ü y'

= [(*»!/) - V ] • ü X

en la ecuación de la parábola mos la ecuación

2.13

= *

y'

o

=

L:

4x + 3y - -7

=

(4x * 3y - l£)/5

■

(4i/ - 3ji -

4px* * 4(5)x' * 20x'

9x2 + 16¡/2 - 24x¡/ - 298x - 436¡/ + 2089 = 0

EJERCICIO.

El foco de una parábola es triz es L:

F = (4,1)

Sea la ecuación en X'Y' . Y sea en L donde V es el punto medio del segmento S endo

FQ .

ü = (-1, -l)//2

un

vector unitario normal a L y

1 7 )/5

, obt°ne' , en XY .

y la direc­

x + y - 17 = 0 , hallar el vértice y

la ecuación vectorial de la parábola. SOLUCION.

.

Cap. t

349

La PanAbuía

con la misma dirección que el semieje positivo de X' , entonces - l_~ — ✓2

2p = d[F ; L ] = J Luegc,

y'

2

—

= 12/2 x’

V =

F - p¡¡ =

Q=

F - 2pü

Asi,

= 6/2

p = 3/2

es la ecuación de la parábola.

(4,1) - 3/2 [{-1, -l)//2 ] =

=

(4,1) -

la ecuación vectorial

(7.4)

de la parábola resulta:

í

P * (x, y) = V+ x'ü + i/'¡¡X V = (7, 4) , G - (-1, -l)//2

EJERCICIO.

, donde

y '2 -

El eje focal de una parábola es Si el foco es F = (4,c) V

Además,

6/2 [(-1,-1)//2 ] =(10,7)

1

2.14

= >

y

12/2x’

x + 2y - 16 * 0.

L:

elvértice es el punto

■ (6, d) , hallar c, d , la ecuaciónvectorial

de la Directriz y la ecuación de la parábola en XY. So l u c i ó n .

Considerando como Eje X' al eje focal

L , obtenemos

viene a ser la ecuación de la parábola en el sistema X'Y'. CALCULO Dt Q

( PUNTO DE PASO Dt LA DIRECTRIZ

Q = V - pff = Como se puede ver

Lx )

(6, 5) - (-2, 1) = (8, 4) e Lj ñ = (-2, 1)

es un vector normal de la directriz L^ ,

350

Introducción ai A n á d i¿i UatejnátLco

Luego, la ecuación de la directriz es

Cap. t

Lt:(x,i/).(-2, 1)

= (8, 4).(-2,1)

-2* + y = -12

Lj: y su ecuación vectorial es Li = í P *= V - pü + tü-1- , t e R Reemplazando

}=

{ (x, y) - (8, 4) + t(-l. -2)}

*’ =

[(x,i/) - V ] - ü

=

(-2* * y * 7)//5

y' =

[(*.!/) - V ]• ú X

=

(-* - 2y * 16)//5

en la ecuación (*) y’ = 4 / 5 * ' ción de la parábola en XY : 2

, y desarrollando obtenemos la ecua­ x * Ay * 4xi/ + 8< - 841# + 116 = 0

2.15

EJERCICIO.

El EjeFocal de la parábola íP es la recta de ecua ción L:

2x =

y+ 4 .

pertenece a la directriz

Si Q = (- ¿5 , 11 - 2/5) Lj de íP

y el punto

P0

(6 - 3/5 , 8 + 4/5 ) es uno de los extremo* del lado recto de F , encon trar la ecuación de la circunferencia que pasa por PG y cuyo

centro es

el vértice < de P . Hallar, además, la ecuación vectorial de la direc­ triz Lj y el foco F de (P . Solución, L : 2x - y = 4 ü = (1, 2)//5

ei Eje Focal tiene al vector

como vector uni­

tario d.reccional.

Como

4 |p |

es la longitud del lado recto: 2p - d[ Pc ; L ]

, (p > 0)

| 2(6 - 3/5)- (8 + 4 / 5 ) - 4 | 2P - ------------ — ------------/5 ==>

p = 5 .

F =

P0 - 2pü -1 = (6 + /?, 8

V =

F - pü =

+ 2 /5 )

(6, 8) , r = d [ P 0 , V ] =

de la circunferencia buscada es La directriz L j :

P = Q +

Lj : (x, y) = Y ya vimos que el foco de P

^

5/5

.Luego,

la ecuación

_ g)2 * (y - 8)2 = 125

tüX , t e R (-/5 , 11 - 2/5 ) + t(-2, 1) , resultó ser

tt

F * (6 +/5 , 8 + 2 / 5 ) .

R

.

Cap. 8 2.16

351

La Paribota

RECTAS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A LAS PARABOLAS De la ecuación de la recta tangente a la gráf_[

ca de la ecuación general de

2do. grado en un punto de contacto

(xD, y0 )

de la curva, se tiene que la parábola:

y

= 4px

tiene como ecuación de la rec ta tangente en el punto de de contacto

(xoi y0 )

yyB =

*p(-

x + x„

)

2p y =

—

(* + *o)

50

SI se hace

y * O ,

se tiene

que ta dlitanda del

VERTICE

al pie de ta perpendUcutar trazada al eje

(¡ocal de¿de el punto de contacto del

VERTICE

al punto

(xG, ya)

ta mlínta dlitancxa que ta

Q de -uit&niecdón de ta redi i tangente

Lj y el

eje ¿ocal.

2.17

TEOREMA.

La recta tangente a ta pari.b'ila * P , en un pinto de eLfo

(
que ta dlita id a de t an d a de~

VERTICE

al pie de ta perpendicular, traza­

da deide el punto de Cuntad i (xG, ya)

NOTA.

al eje iocal.

Este resultado no depende de la posición de la parábola en el plano.

2.18

EJERCICIO.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes traza das desde el punto A(-l, 1) a la parábola con ecua 2 ción x - 6x + 5y - 11 « O , y encontrar el punto de intersección de cada una de estas rectas con el eje focal de la parábola.

So l u c i ó n .

La parábola tiene la ecuación

(x - 3)

= -5(y - 4)

352

In tr o d u c c ió n

An

a l

á .ta ¡a ¡

C ap.

t* a tm á -U .c o

i

en la cual, si reemplazamos las coordenadas ae A = (-1, 1) , resulta que no satisfacen la ecuación, lo que indica que este punto está fuera de la parábola.Sea

lij:

y

- 1 =

m(x + 1)

la ecuación de la recta tangen­

te que pasa por A(-l, 1). Hallaremos el valor de m , para lo cual sustituimos y

= mx + m + 1

en la ecuación dela pará bola, y obtenemos x' * (5m - 6)x + 5m - 6 = 0 ...

(*)

Tomando la condición: DISCRIMINAN'E

= CERO

,

(5m - 6)2 - 4(5m - 6) =

0

(5m - 6)(m - 2) = 0 m = 6/5ó

m =

2 .

Al reemplazar estos valores en y

(*)

obtenemos los puntos de contacto

P2 con la parábola: (notemos que el vértice es

PL =

x2 + [ 5 (| ) - 6 ]x + 5 (| ) - 6 = 0 = *

P2 :

x = 0 ,

y

= 11/5

x2 + [ 5(2) - 6 ] x + 5(2) - 6 = 0 ==>

Luego,

(x + 2)2 = 0

= >

x = -2 ,

Ln .

y _ l m (6/5)(x * 1)

Lj2 :

y~ 1 =

2(x + 1)

,

Pt = (0, 11/5)

= >

x' + 4x + 4

=

-1

) 0

= 0

= > P2 = (-2. -1)

respectivamente. y

Lt ¡> con el eje focal

x = 3 en sus ecuaciones , y son:

Ql =

(3, (6/5)(4) + 1 )

Q2 =

(3, 2(4) + 1)

2.19 EJERCICIO.

x2 =

= >

Por lo tanto, los puntos de intersección de Lji se obtienen haciendo

V = (3, 4) = *

y

Pj

=(3,

29/5)

=(3,9)

Demostrar que la recta tangente a la parábola de e-

La Vanábala

Cap. t

cuactón

(y - k)

2

= 4p(x - h)

353

, en un punto de contacto

(*„, y0)

es

(í/o ' k)(i/ - k) » 4p[( * 2 X° ) - h ]

SOLUCIÓN.

La prueba es direct.a tomando la forma general de la

ecuación de la Recta Tangente a la Gráfica de la Ecuación General de 2do. Grado,

2.20

dada en el Capitulo [6], Sección [8].

TEOREMA.

La ecuación de la recta tangente a la parábola de ecua 2 clon (* - h) ■ 4p [y - k) en un punto de contacto (^o* k]

(*o - h)(* - h)

2.21

EJERCICIO.

Sea

y2 - By - 4*. + 20 * D

rábola. Hallar la suma de

la ecuación de una pa

las áreas de los triángu­

los determinados por la recta tangente a la parábola en el puntoP = (5, 8)

y los ejes coordenados, y la perpendicu -

lar trazada al Eje Y desde el punto de el vértice y el foco.

tangencia. Hallar además

So l u c i ó n . Completando cuadrados: (./ - 4)2 - 4(x - 1) ==s>

p = 1 .

El vértice V = (1,4) el foco F = (2, 4). Por la propiedad de la recta tangente a una parábola: d = d [R ; V ] = d [ V ; T

—

d = 5-1

= 4

,

R = (1-4,4)=

La ecuación de la recta tangente en

(-3,4)

P = (s, fe) es:

(Ver [2.19])

Intiuduccíón ai Anáíi,ii¿> Maitwiàttcu

354

(8-4JU-4)

-

= 4 < - ^ -

y = 0 x =0

haciendo haciendo

obtenemos obtenemos

S = (-11, 0) Q * (0, 11/2)

í

x - Zy = -11

Lj :

- 1)

C ap.

. Luego,

Ax + A2 = [ 5 x (8 - 11/2)/2 ] + [ 11 x (11/2J/2 ] =

73/2

AVAVAVA

u2 .

AVAVAVA

Otra propiedad de las parábolas tiene que ver con las rectas Ly

y

(x0, yD)

Ln . tangente y normal en un punto de contacto

SI la parábola tiene la ecuación

entonces

y2 = 4px

2p LT :

=

y

N1

— ( * ♦ *o) "o

0o . . ^ ° ‘ 2p ** " X°) + y°

lo que indica que un vector direccional de

Lr

es

(1. -•/£,/(2p)) y por lo tanto se puede ele gir como vector c = (2p, -yD) Si a es el ángulo formado por c y un vector á paralelo al Eje Focal, c y el vector b = PF FOCAL

del punto

sean

á = (1, 0),

entonces

, llamado

P de la parábola, b =

eos a_ _ eos 6 =

F-P -

2p2 - 2px0 + yl

= *

es el ángulo entre

RADIO VECTOR

(p - *0 . -0o) •

b-c

ó

c = (2p, -y0)

2p/ |c|

2p*0 + i/o \c\V(p-

2p2 - 2px0 + «P*o p2 - 2P*o + x2 * yD

VECTOR

a = B

probaremos que

(5.£)/(|5 11£ |) =

l¿ l | É *

(p - * 0) 2 * y l

F-P

y si 6

X o ) 2 ♦ i/o

= 2p2 ♦ 2pxc =

donde

P

2p( * 0 + P)

- 2p*o * *o + 4P*o

p2 + 2px0 + x2 = eos B = 2p(p + x0)/[>/(p + x0)2 |c|] = 2p/|c|

(p + x0)2

eos a

La Parábola

Cap. t

355

De esta manera hornos demostrado el siguiente teorema.

2.22

TF.DREJW.

La

kzcM l Nonmal

c u a l q u i e r punto

P

de u t a , (¡oimaánguloi ¿guale,i con el. fia­

ti ¡ vector

(vector iocal)

paia pon.

2.23

tn

a un a p a r á b o l a ,

= (xot yD)

PROBLrrlñ (UNI).

de P

y con la recta que

P y e¿ paralela al Eje de tr •patibola.

Sea

la parábola cuyo vértice es V (-1. 5)

y uno de los extremos de su lado recto es el punto

B * (10, 3). Si

Lj es la recta tangente a *P

en un punto

PD , correspondiente a la mitad superior de laparábola, y que cor ta al

Eje Focal en el punto Q * (-28, -31) ,

a)

laecuación vectorial de la parábola *P ,

b)

PQ y la ecuación vectorial de

Lj

So l u c i ó n . — QV = V - Q = (27, 36) QV - 9(3,4),

,

encontrar c)

el foco

F.

Y

|QV| = 5

ü - QV/ |QV | - (3, 4 )/ 5 Por la propiedad

[2.17] de

las Rectas Tangentes a una parábola, tenemos que cf[Q ; V] =*

45

= d[V;D] «

P„ = V + x¿G + y'D i X

,

La ecuación de la parábola es de la forma y '2 = 4px’ , con

p > 0

donde la longitud del lado recto es Además, [donde

2p =

| Cp - x (QB) | ■

d[ A ; B] = 4p

| (B - Q) • ü

|

,pues

=s>

d [ B ; F] ■ 2p

|G

|= 1 ,

(B - Q) = (10, 3) - (-28, -31) = (38, 34) ] 2p = |(38 , 34).[(-4, 3)/5] | =

| (-50/5) | =

10

= >

infli'Juccti'11 at AnáJLUiíí, tíatvmástlcu

356

p = 5 V

P0 =(x¿, y’0 )

X'Y‘, el punto

^,2 _ 20(45)

entonces

b)

y '2 = 20*'

. De (*), la ecuación de la parábola resulta

como en el sistema

a) 9 :

Cap. i

=>

y'0 = 30

P , y

x¿ = 45 ,

(descartamos y'0 = -30 los datos)

P = (x, y) - V + x'ü + y’ ü X ,

P0 = V + (45) ü + (30) Ü X

e

y’ 2 = 20x’,

por

G = (3, 4)/5

= (-1, 5) + 45[(3, 4)/5] + 30[(-4,3)/5] = (-1, 5) + (27, 36) + (-24. 18)

Po nD.' = po - Q

= (2, 59)

= (2. 59) - (-28, -31)

a ser un vector direccional

, =

(30, 90) = 30(1, 3)

[asi como el vector

y por lo tanto, la ecuación vectorial de LT : P = (x, y) = c)

El foco

F = V + pü

Lj , que pasa por

(2, 59) + t(l, 3) , =

viene

(1. 3) ] de

Ly , PD es

t e R

(-1, 5) + (5) [(3. 4)/5]

=

(2.9).

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Hallar el vértice, el foco y la ecuación de la directriz, de las parS bolas:

.c)

4x2 - 8x - 3y - 2 = 0

3y2 - 4x + I2y * 16 = 0 ,d)

y2 - 6x + 6y + 15 = 0

a) *2 - 4x - i/ + 3 = 0 b)

2. Hallar la ecuación de la parábola: a)

con vértice

b)

con vértice en

(2, 5) y foco (5, 2)

c)

con recta directriz L:

y

d)

con recta directriz L :

x

e)

con vértice

f)

(2, -3)

y foco en

(7, 2)

-5

,y

focoen

• -2 ,

(2, 6) y extremos del

y vérticeen(5, -1)

lado recto(6, 8)

cuyos puntos equidistan de la recta

(7,-2)

x = -1

y

(-2, 8)

y del punto (7, 1)

3. Demostrar que la longitud del lado recto de cualquier parábola mide 41p | 4.

unidades.

El ancho de un reflector parabólico es 4 m. Localizar el foco.

Rpt.

12 m.

A 9/4 m.

5. Hallar la ecuación y la longitud de^ lado t ce en

(2, 2)

y foco en

(5, 6).

y su profundidad es de del vértice.

recto de la parábolacon vér

Encontrar además los extremos del

Cap. i

lado recto. 6.

357

La PaAÁb.ilj.

3x + Ay - 31 ; 20 ; (-3, 12) y (13, 0).

Rpt:

Dados los tres puntos

(-1, 2), (1, -1) y (2,

1) ,

a) hallar la ecuación de la parábola quepase por los puntos dados y tal que su eje focal sea paralelo al Eje X , b) hallar la ecuación de la parábola que pasepor los puntos dados y tal que su eje focal sea paralelo al Eje Y . Rpt:

a)

-7y2 + 3y * 16 ,

6* »

6y = 7x2 - 9* - 4 .

b)

(2x + y - 3)(x2 + y2 - 4)(x2 - 8y)

7.

Graficar la ecuación

8.

Demostrar que los centros de todas las cuerdas de la parábola de e o cuación x « 4p y , con pendiente m ■ 3 , se encuentran en una recta, y hallar la ecuación de esta recta.

9. 10.

Rpt; x . 2pm, x « 6p

Hallar el centro de la circunferencia que pasa por tangente a la curva

y •

x2

en (2,4).

Rpx:

P

(0, 1)

.

y que es

(-16/5, 53/10)

Hallar la ecuación del lugar oeomctrlco del punto que la distancia de

■ 0

al vértice de la parábola

P » (x, y) tal 2 y * 8x , es

el doble de la distancia de

P al foco de dicha parábola. 8 2 7 1(i (x - ^ ) + y »

Rpt: La circunferencia

11. Si una parábola con eje focal vertical tiene su foco en lado recto de longitud Rpt: 12.

Sean

a)

(xj, y-_) y

parábola a)

lZ{y - 1)

x2 =

y

(0, 4) y

su

12 , hallar suecuación.(Dos soluciones)

(x2, y2)

,

y

b)

x2-

-12(i/ -

7)

los extremos de una cuerda focal de la

■ 4px , demostrar que

la longitud de esta cueroa focal es | xi + x2

+ 2p | ,

b) la distancia desde el punto medio de esta cuerda focal

a la rec­

ta directriz es la mitad de esta longitud dada en (a). c) una circunferencia con esta cuerda focal como diámetro

es tangen

te a la recta directriz. 13. Sea

P = (r, s)

un punto Je la parábola

traza una perpendicular a 0P

y

de tal manera

al Eje X en el punto 0 . Probar que

PQ

2

=

4px

.En P

se

que esta recta corte =

(4p, -s).

14. Un cometa se mueve en una órbita parabólica, con el Sol en el foco. Cuando el cometa está a

4 x 107 millas del Sol, la recta desde el

hUAuducc-íóii at Anátiiii, tíatemitícü

358

Sol hace un ángulo de

60°

Cap. S

con el eje de la órbita

(dibujada en la

dirección en la cual la órbita se abre). Hallar la distancia mínima del cometa al Sol, SU6:

es decir,

al foco.

Cuando se encuentre en el vértice.

Rpt:p

15. Hallar los áng-jlos en que se intersectan las parábolas con 16.

y2

* 64 - 16x .

Rpt:

y)

y

2

■ 4px

en un punto

de la curva. Sea A el punto donde esta recta tangente

corta al eje de la parábola,

F el foco y

PD

la recta paralela

al eje de la parábola y que intersecta a la directriz en trar que AFPD 17.

« 4x + 4,

90° .

Se traza una recta tangente a la parábola P ■= (x,

y

2

D . Demos­

es un ro-nbo.

Hallar el ángulo formado por las rectas que pasan por el or>gen y por los puntos que trisecan la cuerda rábola

2x2 - 9y = 0 . Rpt:

x « 0,

2x + 3y - 12 = 0 y •= -2x ,

a

de la pa­

= ^ - aretan2 .

18. Una piedra arrojada hacia arriba formnndo un ángulo agudo

con la ho­

rizontal, describe el arco de una parábola y cae a una distancia de 16 m.

Hallar el parámetro

alcanzada es de 19.

En la parábola focal mide

10

p de esta parábola, si la altura máxima

12 m. Rpt: p * 4/3 2 y * ex encontrar un punto para el cual su vector Rpt: (8, t 8)

unidades.

y

20. Hallar la ecuación -de la cuerda común a la parábola 2

a la circunferencia

(x + 6) + 2 21. Hallar en la parábola x = 4y focal mide 22.

17

unidades.

y

Rpt:

2

*= 100 .

Rpt;

2

= 18x

,y

* = 2

un punto para el cual su vector (i 8, 16)

El espejo del faro de un auto tiene la forma de una parábola en su sección transversal. Hallar el parámetro de esta parábola, si

el diá

metro del faro mide

0X

20 cm. y la profundidad

16 cm.

El Eje

es

el eje del faro y el Origen se ubica en la parte profunda del espejo. Rpt:

p * 5/3

23. Hallar la longitud de la cuerdf focal de la parábola que sea paralela a la recta

4x ♦ 3y m 1 .

24. Demostrar que la longitud del radio vector

Rpt:

y

2

* 8x « 0 ,

25/2

(vector focal)

de cual-

= 107

Cap. i

359

La PanÁbota

quier punto

y

P ■ (Xj, i/1) de la parábola

o

=

4px es | Xj + p |

25. Hallar la longitud del vector focal del punto dela parábola de 2

y - 16x

ción

« 0 , cuya ordenada sea igual a

12 .

ecua

Rpt: 13

26. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y 2 los extremos del lado recto de la parábola y ■ 4x . Rpt: 27.

xZ + y2 -

5x

Demostrar que los extremos del lado recto de una parábola cualquiera se unen mediante rectas tangentes a la parábola con el punto de 1n tersección del eje focal y la directriz.

28.

Una circunferencia cuyo centro es el punto de la parábola

y

+ 16x

(-1, 4)

pasa por el foco

■ 0. Demostrar que es tangente a la di­

rectriz de la parábola. 29.

30.

Demostrar que la longitud del radio vector P « (xlt y^)

es igual a

| xt- h + p |

, y de la parábola

es igual a

|i/j - k + p |

.

de la parábola

x2 + 4¡/ + 2x - 19

-0

(x - h)2 ■ Ap(y -

cuya abscisa es 3 .

la circunferencia de ecuación

x

Rpt: { (x.ii) / yZ - -8(x- 2),

2

2

+ y

En cada uno de los ejercicios de la recta tangente para la

Rpt:

5

x2 - Ay » 0

b)

x2 + Ay + 2x +

c)

y2 - 6y * 5x - 11 - 0 ,

,

y2

8x .

(a) , (b) y

Í2, 1) 9 * 0, (3, -6)

Rpt:

} U

= 4(x + 1) . -1 < x < 1 }

(-1, -2)

Hallar la ecuación de la recta tangente de y2 =

x ■ 1 , ya

(c) , hallar la ecuación

parábola y el punto de contacto

a)

bola 34.

de ecua

» 9 .

1< x < 2

U ( ix.y) /

33.

k)

Hallar e Identificar la ecuación del lugar geométrico d¿l centro de una circunferencia que es siempre tangente a la recta

32.

de cual^

(¡/ - k)2 ■ 4p(x - h)

Hallar la longitud del vector focal del punto de la parábola c16n

31.

(6 VECTOR FOCAL)

quier punto

y *

-x -

Rpt:

y-

x- 1

Rpt:

y*

-2x

Rpt:

x-

Zy * 3

pendiente

-1

dados:

a la pará­

2

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola de ecuación:

ItitioduccUón ai A « M a t e m á t i c o

360

x

35.

2

+ 4* + I2y - 8 = 0 ,

Rpt:3y = -x + 2

Hallar la ecuación

de la recta tangente a la parSbola

que sea paralela a la recta

Rpt:

- 2x + 2y

* - 2y + 4 * 0 .

x2 - 3y - 8* + 10 = 0

-3) a la parábola

(2/3)* - 5 ,

y - -2* +

. 3

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el pun­ to

x2 + 3y - 6* + 9 = 0 .

(4, 1) a la parSbola Rpt:

3y = 2 x - 5 ,

y- -2x + 9

Hallar el ángulo agudo formado por las tangentes a la parSbola de e cuación y -»x-4i/ + 6 * 0 , trazadas desde el punto Rpt:

39.

2

* = 2y + 1

Rpt: y =

38.

y

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (3,

37.

que sea perpendicular a la recta de ecuación

3« - y + 1 f 0. +3=0, 36.

Cap. S

(1, 1).

are tan (8/11)

2 Con respecto a la parSbola y - 2x + 6y + 9 « 0

, hallar los valores

de t para los cuales las rectas de la familia

x + 2y + t »

0 :

a) cortan a la parSbola en dos puntos diferentes, b) son tangentes a la parábola, Rpt: 40.

a) t < 8 ,

b)

t = 8 ,

Demostrar que las parSbolas

c)

no cortan a la parábola.

c)t>8

y2 - Ay + 8x - 20 » 0 , y2 - Ay *

4x +

+ 4 - 0 , son ortogonales entre si en cada uno desus puntos de inter sección. 41.

En cualquier punto

P de la parábola, no siendo el vértice, la tan­

gente y la normal cortan al eje de la parSbola enlos puntos A B , respectivamente.

y

Demostrar que los puntos A , B y P equidis­

tan de1 foco. 42.

Demostrar que toda circunferencia que tiene como diámetro una cuerda focal de una parábola, es tangente a la parSbola.

43. SI desde un punto exterior

P se trazan rectas tangentes a una parS

bola, el segmento de recta que une los puntos de CUERDA DE CONTACTO.

SI

Q = (xj, yy)

contacto se

llrma

es un punto exterior a la

parábola y - 4px , demostrar que la ecuación de la cuerda de con tacto de Q es

yxy

« 2p(x + Xj) .

La PanÁLota

Cap. t

361

44. Demostrar que la cuerda de contacto de cualquier punto de la direc­ triz de una parábola pasa por su foco. 45. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos medios de un sistema de cuerdas paralelas de una parábola es una recta paralela al eje fo cal. Esta recta se llama DIAMETRO DE LA PARABOLA. 2 SUG: Considerando y • 4px y las cuerdas de pendiente m , pro y -

bar que el DIAMEiRO es la recta horizontal 2

Y para

x » 4p¡/ :

x =

2 x *= 16« , vara un

46. Hallar la ecuación del DIAMETRO de la parábola sistema de cuerdas paralelas de pendiente 47.

Zp/m .

2pm

1/2 .

Rpt:

x - 4 .

La cuerda perpendicular al eje focal de una parábola es elsegmento RR' , donde por

R = (4,-1),

R' “ (-2, 5) . Si la recta directriz

pasa

(-2, 11) . hallar el Foco, el Vértice y las ecuaciones de la

directriz y de la parábola. Rpt:

F - (1, 2) , V - (5/2, 7/2) ,

x +y

x2 - 2xi/ * y2 * 14x + lOy - 71 »

- 9 ,

0

46. Hallar la ecuación de la directriz y el foco de la parábola cuyo eje es la recta sa por 49.

Sea

4x - 3y » 0 , con vértice

(2, 11).

Rpt:

x - 4x - 8y + 28 ■ 0

(3, 4)

F - (15/4, 5) ,

y sabiendo qne pa­

3x + 4
la ecuación de una parábola.

Ha’lar

la suma de las áreas de los triángulos determinados por la recta tan gente a la parábola en el punto la perpendicular trazada al Eje X Rpt: 50.

(6, 5) y los ejes coordenados, y desde el punto de tangencia.

S = 13

Por los puntos extremos de una cuerda de

24 unidades de longitud,

perpendicular al eje focal de la parábola

y

2

- 12x - 8y + 52 * 0 ,

pasan dos rectas tangentes que se intersectan en un punto Q . Hallar el perímetro del triángulo formado por los extremos de la cuerda y Q. Rpt: 51.

24(1 + / 5 )

Un triángulo equilátero Inscrito en la parábola

y

2

- 2y = 4x + 7 ,

tiene uno de sus vértices coinciaente con el vértice de la parábola. Hallar los otros dos vértices del triángulo. 52.

En la parábola

y

= 64x

Rpt:

, hallar el punto Q

(10, 1 i 4/3) más próximo a la

InVioducción al Ahól-la-gí Matemá-tcco

362

Cap. £

4* + 3y + 86 = 0 , y calcular la distancia del punto Q

recta

esta recta.

Rpt:

a

Q*9, -24) , 10 unid.

53. Desde el punto (-1, 1) se trazan las rectas tangentes a la parábo2 la * = - By . Hallar los puntos de tangencia. Rpt:

(2, -1/2) , (-4, -2) 2 54. Si en la parábola (y -4) = 4p(x-2)

se inscribe un triángulo e

quilátero de área 48 »'3 unid.cuad., de manera que unvértice coinci­ de con el vértice de la parábola, hallar el valor de Rpt:

p .

p * 6/5

55. Hallar todos los puntos de la parábola

y

2

= 12*

tales que el pie

de la perpendicular trazada del punto a la directriz, el foco y el punto misj» sean vértices de un triángulo equilátero. Rpt:

(9, i 6/3)

56. Hallar la ecuación de la parábolaque pasa por los puntos (0, 80/9)

y

y cuyo eje focal se encuentra sobre la recta de ecuación

4x - 3i/ = 0 . 57. Si

(0, 0)

16x2 - 24xy + '3y2 - 60x - 80y = 0 , p * 1 .

Rpt:

P = (3, 9) y

Q = (-5, 1)

son los extremos

del lado recto de u

na parábola, hallar la ecuación de la directriz, asi como las coorde nadas del foco.

Rpt:

Oos soluciones:

i/ = x +

14 , y = x - 2

58. Hallar el foco, el vértice y la ecuación vectorial de la parábola que pasa por el origen, su directriz es la recta y su foco se encuentra en la recta Rpt:F(l/2, 1/2) ,

V(0, 0) ,

x + y + 1 = 0 ,

y = x .

x2 - 2xi/ + y2 - 4x - Ay - 0

59. Hallar la ecuación de la parábola que tiene por foco al punto y por directriz a la recta

y = x-2 .

(0, 2)

Hallar las coordenadas del

p = /2 , V(l, 1), x2 + 2xy + y2 * 4x - \Zy + 4 = 0 2 60. La ecuación de una parábola es y + x = 0 . Hallar la ecuación de vértice.

Rpt:

la recta tangente a esta parábola que sea perpendicular L: 61.

2x + y = 0 .

Rpt:

2y =

x-1 ,

a la recta

Pto. de tang.

(-1, -1).

El lado recto de una parábola mide 8 unid.; su vértice es (2, 5) y la directriz es paralela al Eje X y está debajo del vértice. Hallar 2 la ecuación de la parábola. Rpt: (x - 2) = 8 (y 5)

62. En cierta parábola la distancia del vértice al foco

F

es

1 , P

Cap. í

363

La Pafiábuía

es un punto de la parábola que dista proyección de

P

sobre la directriz,

Q

5 unidades del foco.

es la

R es la intersección de la

directriz con el eje focal. Calcular el área del cuadrilátero PQRF . Rpt: 63.

14 u2

El cable de un puente colgante está soportado por dos torres de m. de alto y situadas a

15

120 m. una de la otra. Si el punto más bajo

del cable está a 3 m. sobre el piso del puente, hallar la longitud de una barra que está a 30 m. a la derecha del punto más bajo del cable y que va, en forma vertical, del cable al piso del puente. Rpt:

l = 6 m.

*2 = 300 (/ ,

y =

2 2 + 5x - x en el que la in -

64.

Hallar el purto de la parábola

65.

clinación de la recta tangente es de 45° . Rpt: 2 Hallar los puntos de la parábola y = x + 2x + 25 rectas tangentes pasen por el origen.

66.

y

Dada la parábola pasa por el Sean

(5, -40)

y se divide en él por la mitad.

2x + 1 2

y =

en los que las

(-5, -60),

= 20): , hallar la ecuación de la cuerdaque

punto(2, 5)

y =

Rpt: 67.

2

Rpt:

(2,8)

x - 8x + 21 ,

x = 1 , las ecuaciones de una parábola

y una recta. Hallar elárea del trapecio formado por la

tangente a

la parábola en el punto de intersección de la recta, los ejes coor­ denados y la recta dada. 68.

La directriz L = (6, 2).

de una parábola es

u2

3x - Ay +

5 =0

Rrt:

d [ V ; L] = 3/2 ,

Una circunferencia tiene su centro en el foco de ción

y2 -

ecuación. 70.

A = 25/2

y su

foco

F

Hallar la distancia del vértice a la directriz y las coor

denadas del vértice. 69.

Rpt:

V = (51/10,

la parábola de ecua

12x -36 *= 0 y pasa por el vértice de ésta. Hallar Rpt:

Dada la parábola

16/5) su

x2 + y2 = 9 y2 - 2y - 4x +J7 =0 , hallar la ecuación de la

circunferencia cuyo centro está en el vértice de

la parábola

y que

pasa por los puntos de intersección de la parábola con una recta per pendicular al eje de la parábola y que pasa pur el foco. Rpt: 71.

(x - A)2 + (y - l)2 ■= 25/4

¿ Cuál es el valor de k f 0 para que las coordenadas delvértice 2 de la parábola x - 2kx - 2y = 0 sumen cero ? Rpt: k = 2

364

72.

lutAuduccióu a(

A n á t c iU í

Cap. i

Matemótcco

Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola de pendiente 2 .

y =

Rpt:

2

x * 2y = -7 ,

Rpt:

10*

[y + 2)= 4 (x - 1)que pasan

73. Hallar las tangentes a la parábola por (-5, -1).

y2 =

Zx + (5/4)

3y - x = 2

74. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes ay~ = 16x sean perpendiculares a 75.

5x - 2i/ = 6

Probar que las dos parábolas

y

.

Rpt:

2x + y2 = 9

= 4x + 4

que = 6x

-50 se Ínter

sectan en ángulos rectos. 76.

Las rectas tangentes en los puntos 2 = y~ = 4px

la parábola que a)

T = ( el

b) 77.

v\ + y2 ) 2

^ 2 4p

y =0

Hacer

PQ

es:

recta tangente y la normal PÍÍ =

c)

el ángulo

(2p. -s) LFP

-!/1i'2 /(4p) ■

en la recta quepasa

En el punto P = (r, s) de la parábola a)

de

se intersectan en un punto T . Demostrar

X-intercepto de

SUG:

P = (xj, y^) , Q = (x2, y 2)

y2 =

por

P yQ .

4px , se traza la

PN . Demostrar que

,

b)

|FP| = | FN |

es recto, donde L es la intersección de la

recta tangente con la recta directriz. d)

FK -L LP te

, donde

(haciendo

sea tangente a: a) Rpt: 79.

a)

y2

XB = p ,

Sean A = (-9, 3)

K es el

Y - intercepto de la recta tangen

x = 0).

= 4px b)

p = -

b) x2 = 4pi/ B/ X2

y 8 = (-1, -5)los extremos

del lado recto de u

Cap. t

La PaAibola

365

na parábola. Hallar la ecuación de la parábola, su vértice foco y la ecuación de la recta directriz. 80.

‘Rpt: 81.

(Dos soluciones)

¿ Para qué valor de la pendiente m , la recta y2 ■

tangente a la parábola m ■ 1 ,

12*

V , su

y »

mx + 3

es

?

Punto de tangencia

(3, 6)

í 5 es la parábola cuyos vértice y foco son

(1, 1) y

(17/5, 21/5)

respectivamente. a)

Hallar los puntos de (P

cuya distancia a su vértice es de 4/5

unidades. b)

Si

C

es la circunferencia cuyo centroes el vértice de

cuyo radio mide A y c)

B de

9

y

6 unidades, hallar los puntos de intersección y

C .

Encontrar los otros vértices dtl rectángulo inscrito en C , uno de cuyos lados es Ab

82.

El vértice de la parábola a la recta

3x + Ay » 6

f* es

(-3, 1) , su directriz es paralela

y uno de los extremos de su lado recto es

(8, -1) . Encontrar a)

la ecuación vectorial de í* -

b)

las coordenadas del foco y del punto de intersección del eje fo­ .

cal con la directriz de c)

las ecuaciones vectorial y cartesiana del eje focal y de la di­ rectriz de ‘P .

d) las coordenadas del otro 83.

es la parábola cuyo foco

extremo del lado recto. es

focal con la directriz de *P es a)

(7, 8)

encontrar las ecuaciones vectorial y cartesiana de la recta tan­ gente a la parábola, en el punto ya abscisa es menor de

b)

10

P0

cuya ordenada es

16 y cu

.

¿ en qué punto corta a la directriz de la parábola, la recta tan gente en

c)

y la Intersección del eje

(-1, 2) ,

PQ ?

¿ cuál es la longitud de la cuerda focal contenida en la recta que forma un ángulo de

45°

con el eje focal ?

84. Los extremos del lado rectode una parábola *1

son

(-9,

12) y

InViodacción ai Ati¿}¿ó£j MaíemóXtcu

366

(7, 0), y las componentes del vector VF

Cap. t

(V:

vértice,

F: foco)

son positivas. Encontrar las ecuaciones vectoriales de la parábola P y de su directriz 85.

L .

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es extremo del lado recto es

V = (-2, -3) y un

B = (-2,7). Hallar además el foco y la e-

cuación vectorial de la recta directriz. 86. 87.

Trazar el gráfico de Sea la parábola 'p : mal a

en el punto

(Pj cuyo eje es

(|i/-2| + l)2 = -8(

x2 - 6* + Sy - 11 = 0 . N es una recta nor­ (-2, -1). Hallar la ecuación de otra parábola

N y que pasa por el foco de P

intersección de los ejes focales de 88.

|x| — 4)

y

y por el punto de

.

F = (9, 8) es el foco de una parábola *P , Q = (11, 22)

—^

1

e

_

y

Cp q X FQ = 10 , siendo ü el vector direccional del eje tocal con ambas componentes positivas. Si la recta intersecta al eje focal en el punto A

Ljtangente tal que

hallar la ecuación de (P - (El vector ü 89. Sea la parábola

ta al eje focal en el punto

Sea P

b)

y la normal a

!p

en

R

cor

.

L que pasa por

es perpendicular al eje focal se intersecta con

el

Hallar

y sea la recta

. Si una recta

PQ + tX 1,2) , tangente a

en

la recta tangente en R

una parábola con vérticeV = (4, -12)

Q

en el punto

S tal que | RS | =10/5 .

a) la ecuación de !P , 90.

R un punto

. La tangente a

R corta al eje focal en Q = (-20,0)

en *=10/17,

es unitario)

: y2 = 4px , p >0. Sea

primer cuadrante que pertenece a

a !P

d [ A ;Q]

T en

T : V y

(-2, -4) ,

hallar la ecuación de (P . 91. Dada la parábola

(x - 3)2 = Y¿(y - 2)encontrar la ecuación de la

recta tangente de la forma 92.

y

= (l/2)x + b .

Una parábola cuyo vértice está en el Eje tenido en la recta

y = 3x + 4

Y, ysuejefocal está con­

, pasa por el punto

P =(2, 20) ,

hallar la ecuación de la parábola y de su recta directriz D. 93.

Al realizarse una transformación de coordenadas, el eje de una pará­ bola *P resulta orientado según el vector

(3,4).

to Q‘ = (20, -20)’ pertenece a íP y en el sistema

En XY

X’Y1 el pun­ es el pun-

La PaAÍbvta

Cap. t

367

to E = (11, 5). Determinar en el sistema XY un punto bola

tal que el triángulo QVR

sea rectángulo en

R de la pará V , vértice

de la parábola. 94. La circunferencia rábola

P

C:

2

♦ (y -8)

en PQ = (xQ, y0) ,

= 0 es normal a í3 y punto

(*-3)

2

=25

es tangente a una pa

yD > 7 . La recta

C en

L : 4* - 3y + 12

y corta al eje focal de *P en el

PQ

R (foco de *P ). Si | C0P0 |» | P0F. |

d[ Po 1 Eje Focal ] * 4, hallar la

y si la distancia

ecuación de la parábola í* .

CD es el centro de la circunferencia, y la abscisa del vértice es me ñor que 6 . 95. Los puntos A = (60, 13) y

B * (-4, 61)

*P y son simétricos respecto al eje focal.

pertenecen a una parábola Desde un punto Q , que

se encuentra sobre el eje focal con abscisa - 20 , se traza una rec­ ta tangente a P b)

que pasa por B . Hallar : a)

La ecuación de

,

Las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde Q .

CLAVE i)E RESPUESTAS 2.

79.

(* - 2)2 - -32(1/ - 5) , U - 7)2 = -14(f/ - \ ) .

b)

(y - 2)2 =

c)

d)

(y * l)2 -

e)

(* - 2)2 = 8(y - 6)

f)

(«/ - l)2 = 16 íx - 3)

a)

y '2 =

8/2x'

,

,, F = (-5, -1) , a)

P * 2/2 , b)

ú = (-1, -l)//2

8 (x •- 5) 2B(x - 5)

G = (1, l)//2 , V * (-7,-3) ,

. V = (-3, 1)

80.

m * 1 , en

81.

P c 4 , 5 = (3 , 4)/5 , V = (1, 1) , a) (-3, 9), (49/5 , -3/5) , b) A , B = ( [ 11 + 16/2 ]/5 , [ 13 t 12/2 ]/5 ) c)

32.

83.

(-2, 4/2 )■ ,

V = (-3,1),

F » (0, 5) ,,

d)

(-8, 11)

V = (3,5),

(-2, - 4/2 )'

ü = (3, 4)/5 ,

b)

c) 84.

(3 , 6) punto de tangencia.

(-6, -3)1,

ü = (4,3)/5,

a)

y '2 = 20x' ,

p = 5 , 3x + 4t/ « -30 ,

c) 4x - 3y = -15 ,

p « 5, a)

y’ «

x’ + 5 , b)

(-1. 2) .

40 .

F = (-1. 6) , p = 5 , ü = (3, 4)/5 , V = (-4,2) , L : (-7, -2) + t(— 4 , 3) , t e R

y ' 2 - 20x' ,

Cap. t

lnViodui.C4.0n al Anátuii UaXmSZico

36E

85. p2 + 4p2 = | VB | Ira. SOLUCION:

- kOO

=>

p = 2/5

VB » (0,10) - pü -

y *2 = 8/5*'

,

2püX - Uj(2/5. -4/5) ♦ u2(4/5,

, 2/5) = > ü = (-2.1J//5 , F - V + pü « (-6, -1) , D:

(2, -5) ♦ t(l, 2)

2da. SOLUCION:

VB = (0, 10) - pü ♦ 2püX ==>

F* (2, -1),

D:

(-2. l)//5 ,y '2 - 5 / 5 * ’

87. V = (3, -7/2), ü 88. Si

ü - (2,l)//5 .

(-6,-5) ♦ tt-1. 2)

H es el pie de la perpendicular que va de

Q

V * F - 10Ü « (1,2) ,y '2 * 40x’ 89. y2 ■ 20*.

Q ” (1,0),

V • (0,0), LT :

91. A * 0 ,

D:

y '2 - 4px’ .

V - (h, k) = >

R1 - (5t, 5t)1 e

=>

,R t - 4

94. Pc - (3,8) + (3.4) - (6,12), (3, 4) ■ 4v - 3 » X

Q - PQ + 4v

*= (6,

V - pü +t(-3, 1)

p - 5=>

- (8, 1) + t(-1. 7) =>

e9

(6.12) ♦ (3. 4) -(9,

, v unitario

* ” 1=»

V -(8, 1),

R - (4, 29)

Foco - R -

,

Ü - (3, 4)/5 ,

V » (4. 5) . B' - (40. 40)' = >

x’ *

,p - 5

V - (5,

16)

= > v - (0,1)

=»

=>

ü ■ (1,

0),

16)

==► p

=

4

y '2 = 16*'

Q = (-20, -27) LTi :

n L

16) e Eje Focal , ü // QR

Recta Directriz L

95

T

e

P - (2, 20) = (5/10, /To)1 en

Q - (36, 5) , R - V ♦ sVQX

=>

(-20, 0) + t(2. 1)

4px' , p - /10/20 ,

93. ü - (3, 4)/5 ,

P0 R *

V + x’ü + y'uX

b - - 1/4

92. G - (1. 3)//Ü0 , V ■ (0, 4), y '2 •

:

ü - (4, 3)/5 ,

(x, y) =

,

90. ü = (4, 3)/5 , V - (4, -12) , (-12, -24)

aleje focal =>

|FH| « 10 , p - 10 , (2, 14) = 10Ü + 10üX

-2y’ - *' + 40 ,

[(*. y) - V ] ■ ü

,

Lt2

H - (28, 37)

- (A ♦ B)/2

,

p - 10 , :2y'

=

y' - [(*, y) - V ] • u X

*' .

♦

40

La E¿¿pie

Cap. S

3.

LA

ELIPSE . ECUACION

DE

LA

Oados dos puntos fijos (Fi f F2) separados por una distancia que

a > c > 0

, se define

doi aqueXJLot punta

Fj y

tales que

Fj

y

F2

llamados

FOCOS ,

2c , y dada una constante

LA ELIPSE £

a tal

como eJL conjunto de to -

P

F2 u cvni

tante y ¿¿ejnpxe ¿guat a

Es decir,

ELIPSE

P t a t ú que

la. Suma de ¿cu. V¿itaneUai de a to¿ Focoi

369

2a . ’

d [ P ; F 1] + rf[P; F2] = 2a o en forma equivalente, tales que

j

IP - FJ

♦ I P - F2 | =

IT"

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ELIPSt

Y< \i

0

X

InViüduccÁÉn al Anít¿i¿i Matemàtico

370

Pu n t o s

y

C = (h, k) V

S e g m e n t o s Ca r a c t e r í s t i c o s CENTRO DE LA ELIPSE ; VERTICES

V2

EJE MAYOR

BlB2

EJE MENOR

;

EJE FOC/^ FOCOS

RR

LADO RECTO

(de longitud 2b)

En el Sistema X'Y'

Bj - (O, b)1 ,

B2 = (O, -b)1

Ft = (-c, 0)’ ,

F2 = (c. O)1 ,

C = (O, 0)’

RECTAS DIRECTRICES Dos rectas

CES

X’ ;Fj, F2

V 1V 2

3.1

Cap. S

Lt y

L2

se llaman RECTAS DIRECTRI -

de la elipse £ , correspondientes a los focos

Fj y

vamente, si es que son perpendiculares al Eje Focal de £ segmento CIDAD

FjT¿ , y si es que existe una constante

de la elipse)

d[ P ; L j

P ; l2 ]

(llamada EXCENTR1 se tiene que:

Demostrar que en toda el ipse

d [ Bj ;

Fj

] = rf [ B! ;

F2 ]

=

a

d i B2 ;

Fj

] - d i B2 ;

f

2 ]

=

a

=

dL V2> c ]

=

a

La ] =

d i C ; l2 ]

=

a/e

dii. ;

=

d[(

d i Vj ; C ]

c)

rf[ C

d)

Denotando

f)

e

P e %

d i P ; F2 ]

b)

e)

pana todo punto

di P ; F J

PROBLEMA. a)

tal qLe

F2 respecti­ y no cortan al

a > b

c =

y

I*2

La excentricidad e

=

F J

c * ae

b2 ♦ c2

satisface que

0 < e < 1

las definiciones previas y la gráfica anterior.

, empleando

Cap. S

La ILtpií

So l u c i ó n . y

Bj

e

a)

Co(no¿ [ b ,;

5 , entonces

371

f l]

-/ b 2

d [ Bj ; Ft ] + d [ Bt

= » ‘=5 ' b)

¿[Bj ; Fj ] = a

= d[Bj ; F2 ]

y de =

c)

>

Como

; Fj ]

=>

d[B;Lj]

Análogamente, para

d) Puesto

dtVj-.Fj]

2a

=

2c

(a - c)

Bt

'Er

+ c ,

vértice V2 . entonces

,

e

, de donde resul

(a/e ) = = >

d [ C ; L t] =

(a/e ).

L2 se pruebaque :

d[C ; L2 ] =

(a/e)-

dtV^Fj — -----d [ Vj ; Lj ] = (a-c)

entonces

y

]

d [ C ; Lj ]

que

+ d[ Ft ; C ]=

----------d [ B ; Lj ] =

=

.

d[ 6 ;

=

= e

Por lo tanto,

■ c [ C ; L2 ] =

=

,

e

,

pues

(a/e)

V,

d [ Vj ; Lj ] =

, y como

^

e

•

(dtCiLjJ-a

,

a-c (a/e) - a

Además, siendo

e)

Como

c=

dLC;Fj]

=

d[C;F2]

d [ C ; Ft ] =

d [ C ; F 2]

d [ Bj ; F2 ] =

d [ (O, b)'; (c, D)']

=

c

= =

:

ae / b 2 + c2 2

Í a y por lo tanto

,

y análogamerte para B2.

= a . Análogamente para el

d[C ; Lj ]

taque

,

= a -c

; C]

d[ B 1 F, ] ---------d[B ; L j

f¿ ]

J = 2a

; F2 ] - d [ V t ;Ft ]

d [ V t ; C] = d L V t ; F J d[Vj

d[B, -,

d[ Vj ; F2 ] + d[Vj ;Ft] d[

d[ Vj

■

2 d [ B 1 ; F 1 ] = 2a

ComoVt e £ , entonces

= :,'

+ c2

a » b > O .

=

. 2

y 2

b + c

1

I

IntJwducción al Aniti&íi UaXemítíco

372

f)

De (d) :

O < e {= c/a) < 1

,

pues

Cap. 8

a > c > O

por defi

nición de la elipse. Ve u t e problema &e puede coruideAOA la &í guíente gráfica pana e¿ec£o de cálculo¿ y de AeiolucÁJin de pAoblemai Ae{e a entei

a longitudes y diitancíai en etípiei, y que Aeiulta muy útil y (,&-

c u de memoAÍzaA.

3.3 a)

ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE Primer Método. P-F2

»

Dado

p = (x, y)

C - F 2 + x ,ü+f/'¡¡J' =

=

c +

x'ü +

(cü) + x'ü + y' ü X

| P - F2 | =

| (x' + c)¡¡ + y ' i |=

/ (x' + c)2 + y '2

P - F!

C - Fj + x’ü + y ' i X =

(-cú) + x'ü + y ' i X

=

|P - Ft | = Reemplazando

| (*’ - c)ü + «/’S X |= / (x’ - c)2 + (a)

y

(B)

en la definición

y’ 2

[pSg. 369] :

*=t>

... (a)

... (B)

La E¿tp¿e

Cap. {

|P - Fj | + |P - F2 1 “ J (*' - c)2 + y '2

2a

, es decir

/ (x' + c)2 + y '2

+

(a2 - c2)x'2 + a2 «/’2 [pues

a2 = b2 + c2

Luego, un punto

,

y operando :

=>

]

(*,2/a2) + (!/,2/b2 ) -

=*•

b V 2 ♦ a2 «,*2 = a2b2 1

.

ptAXenece. a ta eZipAí íj. si es que para el

de rotación de Ejes Coordenados , se tiene que

P = C + x'ü + «/’ü J' , con

«2a

a2 (a2 - c2)

P ■ (x, y)

vector unitario ü

373

.2 ,2 * y _ 2 * .2 " a b

donde

,

*

|ü | « 1

que es llamada la

ECUACION VECTORIAL DE LA ELIPSE

* ' ■ [ ( * . tf) - C ]• ü

y'

.

, y donde

= [ (x, y) - C ]. ¡¡X es el centro de 'íf y si

De la figura previa vemos que si C = (h, k)

P

' (*. y) » entonces V

= C i aü

F = C i c¡¡

.. VERTICES ..FOCOS

; ;

y donde b) Segundo Método.

Como

B - C í büX L :

x* «

i

.. FXTREMOS DEL EJE MENOR (a/e)

x’ » (P - C) • ü

^

...

,

todo ^

DIRECTRICES ,

P ■ (x,

P de £

y\ .

:

di P; F2 ] -----------

=

e

...

(a)

d i P ; L2 ] d lP ,

F2 ] =

| P - F2 | -/ (x1 + c)2 +

di P ;

L2 ] =

| x’ + (a/e) | . Asi, de ( a )

(d[P; F2 ])2 = (x* + c)2 + y’ 2

e2 (d[P ; L2 ])2 =

e2 [x' + (a/e) ]2

y '2

y

de

c = ae

=» . Y desarrollando obtenemos:

374

Cap. S

UtfAoducci "n al AnáLii-ii MatanlUiCO

3.4

ECUACION DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X Corresponde al vector ü = Z = (1,D)

y si

C - (h, k)

es el Centro de la elipse

[No hay Rotación]

, que origina el radio -

vector de Traslación de Ejes, entonces x' = x - h y’

y - k

=

que al reemplazar en

(*)

produce la ecuación (« - h)2 +

(y - k)2 =

de la elipse con EJE FO­ CAL PARALELO AL EJE X. C = (h, k)

..

CENTRO

V = (h i a , k) F = (h í c , k)

3.5

.. VERTICES

B = (h, k i b)

.. FOCOS

L:

Corresponde a

..

BtB2

DIRECTRICES.

ü = (0, 1)

x' = *

( x - h , i/ - k) •

ü

( x - h , y - k) - ü J_

de donde

[Rotación de 90° ] , y si

es el Centro, que origina el radio vector de Traslación de los

Ejes Coordenados, entonc?s

x‘ = y'= -(x-h)

(«/ —k)

que al reemplazar en (*) : {y - k)2 +

V

.. EXTREMOS DE

h i (a/e)

ECUACION DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

C = (h, k)

y’

x=

(x - h)2

= (h, k i a),

B = (h í b, k),

= 1

F = (h, k i c) L:

y =

k i (a/e)

Cap. S

3.6

La

PROBLEMA.

375

E t if ie

Dada la elipse

U + 3)

+

[y - H)1

16

1

25

encontrar el Centro, los Focos, los Vértices, la Excen tricidad, las directrices y los extremos del Eje Menor. So l u c i ó n .

Centro C(h, k) * (-3, 4)

La ec. es de la forma [3.5]: (y - 4)z

25

(x + 3) 16

1

correspondiente a una elipse con el EJE FOCAL PARALE­ LO AL EJE Y , donde 16

25 a = 5,

.2

_

c~ *

b 4, 2 2 . a - b =5*

c * 3 ,

Y la excentricidad e : e * c/a

« 3/5 .

Vértices:

Vj = (-3, 4-5)

- (-3, -1),

V2

Focos: Eje Menor:

Fj = (-3, 4 - 3) = (-3, 1) , Bj = (-3-4, 4) = (-7, 4) ,

Directrices:

3.7

PROBLEMA.

So l u c i ó n . a)

(-3, 9)

F2

=(-3, 4 + 3) =

(-3, 7)

B,

-(-3 + 4, 4) = ( 1 , 4 ) .

y -

k - (a/e) = 4 - (25/3)

y «

k + (a/e) ■ 4 + (25/3)

-13/3

-1 ■

37/3

Identificar la gráfica de las ecuaciones a)

144x2 + 169y2 - 288x + 676y - 33516

b)

25x2 + 16y2 + lOOx - 96y - 156

■= 0

= 0

Completando cuadrados en ambos casos

[(* - 1)2/169 ] + [(«/ + 2}2/144] lipse con Centro en

b)

=(-3, 4 + 5) =

■1

, que corresponde a una e-

C = (1, -2)y con

je X. Ademas,

a2 * 169 ,

[{x + 2)2/ 16 ] +

[(y - 3)2/25] =

eJL Eje

b2 ■= 144 1

focal pa/ialelo al E-

a = 13 , b = 12

, que corresponde a una elip-

InVioduccA.6n al Análliti Matemàtico

376

3.8

se con Centro

en

Además,

= 25 ,

PROBLEMA.

t

y con el Eje Focal panatelo al Eje Y.

C » (-2, 3) b

Cap.

= 16

a = 5 ,

b = 4 .

Hallar la ecuación del lugar geométrico de aquellos P(x, y)

puntos

cuya distancia al punto

(2, 5) es y = 29/4 .

cuatro quintos de la distancia a la recta

Identificar la cónica y hallar su centro, focos y di­ rectrices. So l u c i ó n .

Como

d[ P ; (2, 5)]

L: y = 29/4 se con excentricidad

e = 4/5

d.i/iect'u.z conAe¿pond¿ente

.

„.2

(* ■ 2)

+ (y-5r

- —

a

Fj

3.9 PROBLEMA.

y =

25 ==»

a « 5 , b

(2. 1 +c)

k - (a/e)

L1 • L2 :

-

( * - 2 r + [ y - ir = 3 , c

= 4,

(2, 1 - c) = (2, -3)

2 Directrices

29/4 ; por lo tanto, tiene el eje

i 29 ,2 [y - — )

c2

C = (2, 1) , Focos

y =

F « (2, 5) , y la

De la ecuación inicial se deduce que

. _»2 16

a2 = 25 , b2 = 9 ,

, la ecuación corresponde a una elip

y donde un foco será

L:

focal paralelo al Eje Y.

donde

5 d [ P ; L]

-

= 1 - (25/4)

k + (a/e) =

12, 5) - -21/4

1 + (25/4) =

29/4

(DIREC. ORIGINAL]

Hallar la ecuación de la elipse cuya suma de las dis­ tancias de cualquiera de sus puntos a los puntos fi jos

(-4, -5) y

(6, -5)

es igual a 16 .

So l u c i ó n . A)

PRIMER Método.

Sea

P = (x, y).

dtPjFj] Ft = (-4, -5),

F2 = (6, -5).

Mediante la ecuación

+ d[P ; F2 ] ■= obtenemos

^ _ ^2 64

B)

Se g u n d o M é t o d o .

16

,

donde

j + 5)2 39

= 1

Por los datos se reconoce que el eje focal es pa ralelo al Eje X , y como por hipótesis tenemos

La Etífjie.

Cap. i

377

d[ P ; Ft ] + d i P ; F2 ] - 16 entonces

2a - 16 ,

a * 8 ,

2c = | F2 - FT | = 10 =»

c=

5 .

b2 -a2 - c2

b « /39 C = (Fj Asi,

+

F2)/2

la ecuación de

,

= (1. -5) la elipse

resulta por lo tanto: (* - l)2 . (y + 5)2 , ------ + ------ - 1 64 39 3.10

PROBLEMA.

.

Demostrar que, para toda elipse, la longitud de su lado recto es Igual a:

S&LUCIÓN.

Sea

L

o

(2b /a) .

la directriz correspondiente al foco

La longitud del lado recto es di Pc ; F]

_

d[ P0 1 L ]

2h . Y como

F. c ■ ae

h ^ - (ae)

h « a - (ae ) =

(a2 - a2e2)/a

=

(a2 - c2)/a b2/a

Por lo tanto, la longitud del lado recto resulta ser

3.11

2h , 2b2/a .

CASO PARTICULAR:

EL CENTRO

C

Cuando el centro C(h, k) el origen (0,0),

c =

k) » (o, o)

EN EL ORIGEN de una elipse se encuentra en

=*

h = 0,

k = 0,

entonces las ecuaciones de las elipses con ejes focales paralelos al Eje X

hitAuducctón a í Aná£t¿-t¿ Matv/nAtíCu

378

y di Eje V:

, a)

(* - h)2 . (y - k)2 , 5— + --- y - = 1

tl D)

(y - k)2 . (* - h)2 , --- 2— --- 2— =

’

Cap. t

respectivamente ,

toman la formas siguientes.

a)

ELIPSE CON EL EJE X

COMO EJE FOCAL

b )

ELIPSE CON EL EJE Y

COMO EJE FOCAl

y2 Ó

*2

+ Di? =

1

Cap. S

La UUpte

3.12 PROBLEMA.

Dada la elipse

379

(x2/25) + ly2/9)

- 1

trar el Centro, los l-ocos, los Vértices y las ecua­ ciones de las rectas Directrices. 2 Como el denominador del término en x es 25 , ma 2 yor que eldenominador del término eny , entonces la ecuación tiene la So l u c i ó n .

forma[3.11(a')3 el Origen

C (h, k) ■ (0, 0) .2 a « 25 , t2 _ n

Además, 2

> por lo cual representa a una Elipse

2

2

c - a - b

nemos que: VERTICES:

y tiene al EJE X como

E j e FOCAL .

, lo que implica

a * 5 , b ” 3 De la fórmula

con el Centro en

y

c = 4 .

c = ae , te

e = 4/5 ,y asi Vj = (-a, 0) = (-5. 0) V2 = (a, 0) = (5, 0)

FOCOS:

rl (-c, 0) - (-4,0) F2 - (C, 0) - (4, 0)

DIRECTRICES:

x = -25/4

(4 /5) 25

x = 25/4

4

3.13

PROBLEMA.

: (x2/25) + (y2/9) = 1

Los focos de las elipses y ¡f":

(x 2/1 6 ) + [y2/ZS)

= 1 ,

están unidos en -

tre si por unas rectas, y en el rombo formado de es­ te modo hay inscrita una circunferencia. Hallar la e cuación de esta circunferencia. So l u c i ó n . ELIPSE

V

: aj = 5,

bj = 3.

FOCOS: (i c, ELIPSE

E," : a2 = 5, FOCOS:

ct = /aj - b2 = 4 , Eje

0)= >

b2 = 4,

F[ =(-4, 0)

c2 = /a| -

(0, í c)= >

F¡ =

y

= 3 , Eje (0, -3)

y

Focal =

EJE X

F¿ = (4, 0) Focal =

EJE Y

F" = (0. 3)

,

Cap. t

InVuiducctón ai AníLL&¿& UatemUtico

380

Consideremos la recta

L

que pasa por los Focos

correspondientes a las elipses (Simétrica)

de la recta

L

y £ "

F"(0, 3) ,

respectivamente.

La Ecuación

viene a ser L:

Por la simetría del rombo

F'(4, 0) y

3* + 4«/ - 12 « 0

(formado por los cuatro focos)

con respecto al

Origen de coordenadas, vemos que la circunferencia buscada es tangente a la recta

L y tiene su

CENTRO en el Origen

C(h, k) = (0, 0).

Solamente falta hallar el valor de su radio

r ; pero, precisa

mente este valor de

r coinci­

de con la distancia de ¿a m e ­ ta

L:

3* + 4i/ - 12 =

al Origen r

0

(0, 0) . Asi,

=d [ L ; (0,0) ] i

| 3(0) + 4(0) - i; /

r

a2

=(1^/5) .

+ 32 Por lo

tanto, la ecuación de la circunferencia buscada *2 + y2 =

eF‘

3.14

PROBLEMA.

(12/5)2

.

Bosquejar la elipse cuyos vértices son

(1, 4)

, 10), con la longitud del semieje menorigual

y (9, a 2

Hallar el Centro, los Focos, los extremos del Eje me­ nor, las directrices y la ecuación de la elipse en XY. SOLUCION. tro

DAT0S.

= (lt4)f v2 - (9, 10),

C = (Vj + V2)/2 - (5, 7) ,

= »

a = 5 . Luego,

c2 =

la excentricidad

e

b = 2 . El cen

2a = | V2 - V,| = | (8, 6) | =

a2 - b2

■ 21

==■

c = /~2Í * 4.5

= /2Í/5 . (Ver la grSfica en la pSg. sig.)

El vector unitario ü en la dirección del semieje positivo ü

■ (V2 - Vj)/ | V2 - V j

El Centro

C = (5, 7)

10

=

(4, 3)/5

=

de X' es:

(4/5. 3/5)

corresponderá al vector de traslación de Ejes ;

.

Cap. i

381

La Elx.ptt

Luego, en el Sistema X'Y', obtenemos la ecuación (*) donde

(4* + 3y - 41)/5

x' =

[{*. y) - C ]• ü

y' -

[ ( « . y) - c J . ÜX

que al reemplazar en

(*)

=(41/ - 3* - 13) / 5

.

resulta la ecuación de la elipse, en XY :

[(4* + 2y - 41)2/ 625 ] +

[(4«/ - 3* - 13)2/ 100 ]

=

1

De la gráfica ubicamos Fj = C - cu = (5 - ^ /2l, 7 - | /2l) F2 = C + cü

= (31/5, 27/5) Lx : x' = -a/e

= -25//2Í

==>

(4* + 2y - 41)/5 = -25//2Í

L2 : x* =

=

==>

(4x + 2y - 41)/5 =

a/e

3.15 PROBLEMA.

25//H

Uno de los focos de la elipse

es

la directriz correspondiente es Si la excentricidad es

25//H

F = (2, 3)

e = 1/2 , hallar la ecuación F' y su directriz

L', los extremos de los lados rectos N, M y y los extremos dtl Eje menor Para

P(x, y),

y

L: x + y = 1 .

de 5- » los vértices, el otro foco

SOLUCION.

.

Bj y

R, S,

B2 •

( d [ P ; F ] / d [ P ; L ] ) = 1/2

,

ItUKuduccíón at Anát-iiii Matemático = > d[ P ; F] =

(1/2) d [ P ; L]

Cap. i

, entonces la ecuación de ^

-

es:

i ■ 1 « •_» - 1 1 2

/2

7x2 + 7¡/2 - 2xy - 30x - 46y + 103 = 0

=*• El eje

X'

está sobre la recta

donde además

L0

L0 donde

pasa por el foco

L0 _ L L :

F = (2, 3).

x + ¡/=l

,

y

L0 : x - y = -1,

Luego,

ü = (1, l)//2 , y como

/2 = |r|/2 a = 4/ 2/ 3

=

r/2

=*>

.

De estas dos ecuaciones:

C = (8/3, 11/3), b2 =

La directriz Q =

c = ae = 2/ 2/ 3

a2 - c2 = 8/3

L ‘ tiene vector normal ñ =

C + (a/e) ü

=>

r = B/3

=s»

y

,

b =

2/2/Z3

(1, 1) y pasa por el punto

Q = (16/3, 19/3),

L1 :

x + y = 35/3

,

F' =

C +

cü

=

(10/3, 13/3),

V, = C - aü

= (4/3, 7/3),

V2 =

C +

aü

=

(4,

Como

=

N = F + ( b 2/a) G X = S = Bj

(1,4)

5) . ,

M=

F' + (b2/a)üX = (7/3, 16/3),

b2/a

F - (b2/a)ü X

R =

(B/3)/(4/2/3)=/

= (3,2)

F' - (b2/a) ü X = (13/3, 10/3)

=

C +

buX

=

([8

-

(2/3)]/3

,

[11 +

(

B2 =

C -

büX

=

( [B

+

(2/3 ) ]/3

,

[ 11 -

(

383

La í Li.pt, i

Cap. S

3.16 PROBLEMA. (UNI)

Sea 5

la elipse cuyo centro es

uno de sus vértices es lados rectos miden

Vj ■ (24, 4)

y sus

3.92 unidades. Hallar:

a)

La longitud del eje mayor y el otro vértice V2 .

b)

los focos

d)

la ecuación vectorial de la elipse ,

e)

la ecuación vectorial de la recta

Fj , F2 ,

C » (0, -3),

c) los extremos deleje menor 81B2 L

que contieneal diámetro

de &,uno de cuyos extremos es el extremo superior del lado recto derecho. So l u c i ó n . cT i

= Vx - C = (24, 7)

I CVÍI " 1(24, 7) I ■ 25 ü » a)

cv^/lüTjl (24/25, 7/25) . 2a * d[ Vt; V2 ] - 2 d [C ; VX ] - 2 | CVÍ| = 50

=*■

a = 25

El otro vértice es b)

C - aü

V

Como la longitud del lado recto es b2 = 1.96a = (1 96)(25

)

F1 = C + aü

(576/25, 93/25)

F, » C - cü

(-576/25, -243/25)

e)

C - bü "

La ecuación vectorial de la elipse resulta ■± (x, y) = C + x’ü + y'ii , K'2 f/'2 + — = 49 625

El punto D

resulta

1

D =

, entonces 7

Luego, los focos resultan

= C + bu" B2 =

d)

3.92 (1*4)(5) -

24 .

Los extremos del Eje Menor son

(-24, -10)

2b2/a

= *

/ a 2 - b2 = / 252 - 72

c)

=

=

(-49/25, 93/25)

=

(49/25, -243/25)

donde

ü = (24, 7)/25 Fj + (b2/a)üX

C “ (0, -3) , .

= (14057, 35Dl)/625

,

IntAuduccíün ai AnáLiiii Matemático

384

y el vector direccional de y asi,

L :

3.17 PROBLxjV .

L:

Cap. S

CD = D - C = (14057, 5376)/625

P ‘ (x. y) ~ (0, -3) + t(14057, 5376) , t e R Una elipse

tiene un vértice

rectrices pasa por

» (7,9),

F2 = (1, 3)

co del otro vértice en

(8, 16).

Hallar la ecuación vec

torial de la elipse, de la otra directriz foco Fi y el vértice

el fo­

y una de sus di­ L2 , el

V2 .

So l u c i ó n . Un vector paralelo al eje fo cal es

F2V j -

V| - F2 “ (6, 6)

Tomando el vector unitario ü • (1, l)//2 , tenemos que la directriz que pasa por (8. 16) y es _L al eje focal tiene ecuación CU.

y) -

=>

Lj :

(B. 16)] ■(1 , 1) - 0

L¿ :

x ♦ y - 24 = 0

Ad(*in&s, de la figura, 1) d [ C ; Lt] - d [ C ; (a/e) 2)

-a

a + c-

De (1) y (2):

-

- 4 /2

d[ V! ;F2] -|(6, 6) | a2 - /2 a - 24 - 0

(1 )

4/2

(QVc) - a

=

(2 )

6/2 =►

a - 4/2 ,

c - 2 /2

y por lo tanto,b * 2/6 Asi,

C ■ F2 ♦ cú P * (*. donde

La otra directriz 2 '

Además,

= (3, 5) . Luego, la

y) ~

C + x' ü +

C - (3,5),

y'

ec. vect. de la elipse es :

«■*" ,

C + cu

=

y)

ü = (1,

■

x'2 —

32

L2 tiene ecuación vectorial: P ■ (*.

y '2

+ i24

= 1

P

(“5, -3) + t(-l. 1) , t e R .

(5, 7) ,

,

.

V, - C - au

*

(-1, 1) .

Cap. i 3.18

La Etí¡ i<¿ PROBLEMA.(UNI)

385

i y

Dos circunferencias

cuyos diáme­

i

tros miden 10 unidades, son tangentes exterio­ res en

F0 . La ecuación de la recta tangente a ambas en

3x + 4¡/ = 30.

Sea ^

la elipse cuyo centro es

focos es el centro de

y uno de cuyos vértices es el otro ex­

tremo del diámetro de *¿2 . Si cuaciones vectoriales de ^

y

(1, 7) e

* encontrar las e

y de sus directrices, sabiendo que la

2 es > 4 y que su ordenada es positiva.

abscisa del centro de Solución.

F0 es L :

F0 , uno de cuyos

-¿2

tendrán radio 5 . Sea

/

~¿2 - (*-h)2 + [y- k)2 - 25 ,

(1, 7) e ^ 2 , entonces

siendo

5 ■ d[(h, k) ; L ]

A)

| 3h + 4k - 30 |

B)

(1-h)2 + (7-k)2

De

(A) y

(B)

h = 5 ,

ó

que

k ■ 10

resulta que: h = 69/25

< 4 . Luego,

y que el centro de ^ 2 es

mando el vector F2 - rü

25

h = 5 ^2 = (5, 10) . Además, to­

u = (3, 4)/5, =

(2, 6) ,

2r - 10 F9 - Fn b = / aa' 2 - c2 c*

= r = 5 =

La ec. vect. de ^

5/3 es :

U , y) = F„ + x’ü + y’ i 1 -, x ,2 100

i ' . ,

75

F0 = (2,6) ,

donde

ü = (3, 4)/5

Y como la excentricidad es L’ :

P = (x, y) =

e = c/a =

1/2 - ±

F0 i (a/e)ü + -tú

las Directrices serán: t e R

,

es decir,

, lo q

hitinducción at AnitUii UaXi niLir

3BC

Cap. S

Li :

(*, y) = (2, 6) ♦ 4(3. 4) ♦ *(-4. 3) ,

t

:

(x. y) = (2. 6) - 4(3. 4) ♦ t(-4. 3) .

te

3.19

EJERCICIO.

Hallar la ecuación de las

2

lipse

— 9

2 ♦ — 4

trazadas desde el punto

■

e R R

.

rectas tangentes a la e 1

.

-•

(*)

P0 * (5, 0).

So l u c i ó n . Sea

y - 0 ■ m(x - 5)

L-p

la ecuación genérica de la recta tangente que pasa por el punto

P„ = (5, 0). y

Sustituimos

en

(*) :

mm 2(x i x -- r»5)2 i

xr

i

Operando y agrupando términos semejantes obtenemos

I.

^ n - 2 . 2

„ „ _ 2 „

Aplicamos la

«

io o c _ 2

CONDICION DE TANGENCIA :

DISCRIMINANTE = 0

8100 m* - 4(4 ♦ 9m2)(225m2 - 36) - 0

b - 4ac

4m - 1 * 0 las dos tangentes son

3.20

1/2 *-T2 :

• Asi.

y

PROPIFDADFS DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE Consideremos la elipse con ecuación

2

x

— ,2 d

y

2

+ — h2 D

. i

(a > b > 0),

entonces la ecuación de la recta Lj tangente a la elipse en el pun to de contacto

ne la forma

m a2

yoy

b2

P0 = (x0, ya)

tie

(Ver el Cap.[6] )

Cap. t

La EItpie

387

De esta ecuación se sigue que un vector dJreccional de 2

, -b x0) , y que por ser paralelo a

{-yD/b

Lj es

2

, x0/a )

(a yD ,

2

nos permite ele

gir como un vector normal de Lj al vector c

^

« (—

)

a2 ’ b2

Si además consideramos los vectores focales a y

b,

probaremos que los ángulos a y

B , formados por la

recta normal

Lfj con los

vectores focales

i y

B

respectivamente, son igua­ les,

para lo cual tenemos PF2 -

eos a

( -C

- xD , -yQ]

a •c

(. ^ " ( “T

eos 6

b •c

(c “ x0 y - y0 ) i

k .

4 -

4

) / í le IA

+ * 0 )2 + y ¡

c

]

+ l ) / [ | c | / ( c + x0 )2 ♦ i,1 ]

( £ £ . i¡ . % ) / [ | E | / ( c - x 0 )2 + y2 0 ]

|b||E| (1 debido a que

) / C IE | / ( c - x0 )2 + y2 ]

(x2/a2) + [y2/ b 2) = 1 .

(c + x j 2 + y2 =

Además,

a2 - b2 + 2cx0 + x2 + y2 - (b2x2/a2) a2 + 2cx0 + [ 1 - (b2/a2)] x2 [a + (cx0/a)]2 =

x0)2 + «/o =

.

(a2 - cx„)2/a2

2

a

(a2 ♦ cx0 )2/a2

+ 2cx0 +

C

2

x0

,

análogamente .

Luego ,

InUiuducCíón al Anóti&¿& UaXejnítíCO

388

cosB =

-(í-liÍ2,/[(i_LfÍ2,|c| ] a a

=

Cap.S

-

■=> I a = B I *------- 1

a |c |

ESTA PROPIEDAD RESULTA INDEPENDIENTE DE LA POSICION DE LA ELIP SE EN EL PLANO. Y LA RESUMIMOS EN EL SIGUIENTE TEOREMA.

3.21

TEOREMA.

La >lzcXa nonnaZ a una eJLLp&e en caatq^^A punto tacto ej¡

deJL ángulo ¿ofuiado pon.

BISECTRIZ

nej, focaZ¿i {RacLio-Ve.ctcn.eA)

de c c a

loé VccXo-

de dicho punto.

El siguiente teorema es una consecuencia directa de la forma ge neral de la ecuación de la recta tangente en su punto de contacto, a la Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey +

gráfica de la ecuación general 3.22

TEOREMA.

„

± 1 » 2 - ,

H) a

. . .

3.23

P0 = (jí0 ,

tienen la forma: ( * o - h) ( * - h)

(tfo - k)(*/ “ k)

a2 .... 11 ‘)

.

b‘

las ecuaciones de las rectas tangentes en ur. punto de contacto , yo)

=0 .

Dadas las elipses cuyas ecuaciones son Íí-A>2 = !. b2

a¿

F

,2 b

(tfo - k)(y - k) — ----- ----a2

PROBLEMA.

(xc -h)(x-h) + -------=----- = b2

Demostrar que el

1

,

respectivamente.

PRODUCTO de las dos distancies

perpendiculares trazadas desde los focos hacia cual quier recta tangente de una elipse,

es una comían

te , independiente del punto de contacto.

So l u c i ó n .

Se desea probar que

(d¿ x d2) es independiente de

las coordenadas del punto de contacto, digamos La ecuación de la recta tangente Ci6n

(x2/a2) + (*/2/b2) =

Lt 1

PD = (r, s)

de la elipse.

a la elipse ae la figura, de ecua .

según el

TEOREMA 13.22(1’)], en

Cap. g

r2

La Etipie

s2

r2

1

r2

389

b2 - a 2 a2b2

* „1 x d

1 c2r2 -=■ (1 - — r— ) .

r2 ' a2

Por lo tanto ,

c2r2 ) ] ( ! . £c2r2 £ . ) / [ 1 ( j . £_!_ a* b* a*

=

y obtenemos así, uii valor que resulta Independiente de 3.2*1

EJERCICIO.

y

(a > b > 0)

s

(x, y) = C + x'u + y’ü^~

Dada la elipse de ecuación donde |ü | = 1 ,

r y

^ a2

+

= b2

demostrar que la ecuación de la recta tangente en un punto

P„ de

la elipse, tiene la forma vectorial P *

(*• y) ~

V t e R 3.25

P0 + 'C(Ca2 (P0 - O-ili-1-] ^ - [b 2 (P0 - C ) - G ] G - L )>

.

PROBLEMA

Los extremos del Eje Menor de una elipse son

(2, 14)

y

P0 de

(14, -2)

la elipse es

y la recta tangente en el punto

Lf :

(-1,

390

Cap.S

IntAoducción al Aná¿¿i¿i UaiemítLi.0

las coordenadas de

P0 y la ecuación cartesiana en XY de la elipse.

SOLUCION. C =

(Bj + B2)/2

donde

»

(8. 6)

Bj = (14, -2),

(2, 14)

82 *

son los extremos

del eje menor.

Además,

b = |CB2 | = | (-6. 8) |

,

100

(4, 3)/5

. Luego.

10

u *

,.2

y

.

,2

100

Lj :

18* + y - -50

Y siendo

(x, y) *

C + x'ú + y'ú X = (8 + [4*' - 3i/']/5, 6 + [3x* + 4¡/']/5)

entonces, en el sistema

..

X'Y',

yl£ m

T •

y

a2100 _3_

1

40

100

P0 =

^

3*'2

i/*2

400

100

3.26

2_

(*)

obtenemos: a = 20//3 , x¿ ■ -10

PROBLEMA.

, y pasando al sistema

(8,6) - (8,6) + (-3,4) donde

84 x2 - 24X1/

-3*’ i 2y' --- + — * 1 40 40

40

P¿ = (-10, 5)'

C + (-10)u ♦ (5)ür.-L

£ :

Lt : T

°.

Reemplazando estos valores en y por lo tanto,

L-j. :3x'-

*’ ■ [(*. y' * [(*.

y) y) -

+ 91# - 1200x - 900y - 2500

Sea 2, la elipse con vértices (4 + 2/2, 4 + 2/2)

XY : =

(-3, 4) ,

c ]• ü c ]• ü x = 0

(4 - 2/2, 4 - 2/2),

y de excentricidad

Hallar las ecuaciones de las rectas

e = /2/3 .

Ljl y

Lt2 .

tangentes a la elipse y que pasan por Q = (2, 6) . So l u c i ó n .

2y'

Cap. t

La Etipie.

Vi = (4-2/2 , 4-2/2). la elipse es De

V2 = (4 + 2/2 , 4 + 2/2 ) = *

C = (Vj +

V2)/2 *(4, 4) ,

e = Z2//3 = c/a

Q » (2. 6)

=*

en la ecuación de ^

Q' e Lj: y hacer

Luego, dt las fórmu’as

b = 4//3

4 . , el vector

P„ ■ C * (4, 4) , entonces en X'Y' :

Q1 = (0. 2/2)*.

y' = mx' + B ,

el centro de

a » | CVj| =

==► c= 4/2//3 ,

G * (1. l)//2 . Y como

Lj:

391

£

:

(x'2/16) + (3¡/,2/16) - 1 ,

y' m mx' + 2/2

A = 0

, que al reemplazar

resulta

x’ -[(x, y) -

m = + 1//6 y' = [(x, y) - C]. G"*"

C]- ü ,

y' = -=r x' + 2 /2 = » (/2+2/3)x ♦ (/2-2/3)i/ = 8 ( / 2 - / 3 )

Ln:

/6

LT2: y' “ — = x' + 2/2 /6

=*►

(/2-2/3)x + (/2 + 2/3)¡/ = 8 ( / 2 + / 3 )

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Hallar el Centro, los focos, vértices, extremos del eje menor, la ex­ centricidad y las rectas directrices de la elipse de ecuación:

2.

a)

(x2/9) + (y2/ 16) = 1

b)

4x2 + y2 - 4y

c)

4x

d)

25x2 + 16y2 + lOOx - 96y = 156,

e) f)

+ y2 = 4x

8x2 ♦ 9y2 + 24x + 12y + 10 = 0 16x2 + 9y2 - 64x + 1fií/ = 71 g)

25x2 + 9y2 - 12y - 81 = 0

Hallar el centro, los vértices, la excentricidad, las directrices, los extremos del eje menor y de los lados rectos, y la ecuación de la elipse con: a)

focos

(1,4) y (9,4),

y semieje menor de longitud 2 unidades

b) centro (l, -4), vértice (1, 1) c) centro en (2,0), d) focos

(5,0) y (-5,0),

e) directrices

y un vértice en

y recta directriz

x = 3 + (169/12)

L:

x

y un foco en (0,

(-3,0) = -20 -2)

f)

un vértice en (2, 0), un foco en (-5 + 2 / 6 , 0 ) del eje menor en (-5,-5)

g)

centro en (1,-1), semieje menor horizontal de longitud 6, y excentricidad 2/3 .

h)

la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a . -1) y (4, 7)

i

y pasa por (2, -1)

foco en (5,0)

igual a 12 .

y un extremo

(4,

392

Uit'iuduccUón

<■)

3.

con focos

at

Cap.6

AnáL¿A-Lt¡ Matemático

(2,3) y (2, -5)

y excentricidad 3/5 .

Una elipse tiene los focos en (-7, -8) y (17, 2) y el semieje menor de ’ong.tud 5 unid. Hallar el centro, los vértices, la excentricidad las ecuaciones de las directrices y de la elipse en el sistema XY.

4. Una barra PQ de longftud 24 unid, se mueve de manera que P está siempre sot're el Eje Y, y Q está siempresobre el Eje X. Unpunto H está sobre PQ a dos tercios del camino desde P a 0. Hallar la ecuación de la trayectoria trazada por H . Rp.: x2 + 4i/2= 256 5. El techo en el pasillo de20 pies de jncho tiene la forma de una se mielipse y tiene 18 pies de altura en el centro y 12 pies de altu­ ra en las paredes laterales. Encontrar la altura del techo a 4 pies de cualquier pared. Rp: 78/5 pies 6.

La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con et Sol co (centro a cen tro) del Sol a la Tierra son 93 millones y 96 millones respect. ¿ Cuál es la excentricidad de la órbita de la Tierra ? Rp: 1/63

no uno de Lot ¿oco¿. Si las distancias mínima y máxima

7. Un satélite colocado en órbita alrededor de la Tierra se encuentra a 119 millas soLre la superficie de la Tierra cuando está más cercana y 881 millas cuando está más alejidt. Si el radio de la Tierra es 4000 millas, ¿cuál es la excentricidad de la órbita ? . RP: e = 20/1905/1627 s 0.S365 8. Una elipse ubicada en posición estándar con respecto a los ejes coor denados tiene excentricidad 2/3 y pasa por (2, 1). Hallar su ecua­ ción. (Doí soluciones: una vertical y una horizontal) 9. Determinar la excentricidad de

la elipse tal que:

a) su eje menor se ve desde el foco bajo un ángulo recto.

Rp: 1//2

b) la distancia entre los focos es 'gua1 a la distancia entre los ex tremos de los ejes mayor y menor. Rp: /10/5 c) la ordenada del punto de la elipse, cuya abscisa es la abscisa del foco, forma una 1/mparte de la longitud del semieje menor. Con siderar m > 1 . Rp: / m 2 - 1/m 10. 11.

12.

Se da la excentricidad

e de una elipse. Hallar la razón de sus

se­

miejes. Rp: b/a = /1 - e2 Los focos de las elipses (x2/25) + (y2/9) = 1 , (x2/16) + [y2/ 25) * 1 , están unidos entre si por unas rectas, y en el rombo formado de este modo hay inscrita una circunferencia. Hallar su ecuación. Graficar el lugar geométrico de los puntos

P(x, y)

si se cumple:

La ELlput

Cap.6

393

(x2 + 4)(2x - y - 3)(x2 + y2 - 25)(x2 + Ay2 - 4) = 0 13. Demostrar que la recta

y ■ mx + c

es tangente a la cónica Ax2 +

+ y2 » 1

si y sólo si las constantes A , m y c

condición:

A(c2 - 1) = m 2 .

satisfacen la

14.

Si los extremos de un segmento de recta de longitud constante se mué ven a lo largo de rectas perpendiculares, demostrar que un punto P sobre el segmento, a distancias a y b de los extremos, describe una elipse.

15.

Demostrar que la longitud del semieje menor de una elipse es media proporcional entre los dos segmentos del eje mayor determinados por uno de los focos.

16. Demostrar que la longitud del eje menor de una elipse es media proper cional entre las longitudes del eje mayor y su lado recto. 17. Demostrar que si dos elipses tienen la misma excentricidad, las lon­ gitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales. 18.

Si

(x-,’a2) + {y2/b2 ) = 1,

Pj = (xj, i/j) es un punto cualquiera de

demostrar que lis longitudes de sus vectores focales son y 19.

Los puntos extremos de un diámetro de (x2/a2) + [y2/b 2) = 1 son PX y P2 . Si F es uno de los focos, demostrar que la suma de los vectores focales yor.

20.

21.

|FP||

y

|FP21 es igual a la longitud del eje ma

La ecuación de una familia de elipses es kx2 + Ay2 + 6x - 8# - 5 * D . Hallar las ecuaciones de aquellos elementos de la familia que tienen excentricidad Igual a 1/2 . Rp.: Para k = 3, k = 5 . Hallar las longitudes de los vectores focales del punto la elipse

22.

|(a + ext)|

|(a - exj)| .

9x2 + y2 - 18x - Zy + 1 * 0 .

El punto medio de una cuerda de la elipse 0

, es el punto

(2, 5).

Rp:

(2, 1) de

Ambas: 3 .

4x2 + y2 - 8x - 6y - 3 =

Hallar la ecuación de la cuerda.

23.

Desde cada punto de la circunferencia x2 + y2 + 4x + Ay - 8 = D , se traza una perpendicular al diámetro paralelo al Eje X. Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de estas perpendiculares.

24.

Dada la elipse x2 + 3y2 ^ 3x - Ay - 3 = 0 , hallar los valores de k para los cuales las rectas de la familia 5x + 2y + k = 0 : a) b)

cortan a la elipse en dos puntos diferentes. RP: ke <-7, !8/3> son tangentes a la elipse. c) no cortan a la elipse. RP:

K = -7 , K = 58/3

RP:

U

<- ®> , - 7 > U <56/3, ®>>

lntudu.czi.5n xl An¿L¿js¿i UcUzmático

394

Cap. i 3x2 + Ay2 - 43 = 0,

25. Hallar el ángulo de intersección de las elipses 4x* * y

- 32* + 56 = 0 ,

en uno de sus puntos de intersección. RP:

EN <3,2,,

8 =

ARCTAN (S/Z)

26. Demostrar que las rectas tangentes a una elipse trazadas en los ex ­ tremos de un diámetro son paralelas entre si. 27. Demostrar que la pendiente de la tangente a una elipse en cualquiera de los puntos extremos de uno de sus lados rectos es numéricamente 2 gual a su excentricidad. 28. Demostrar que el producto de las distancias de los focos de una el ip se a cualquier tangente es comíante e igual al cuadrado de la Ion gitud del semieje menor. 29. Por el punto 3x + Zy - 2 30.

(7,2) se trazan tangentes a la elipse = 0 .Hallar los purtos de contacto.

x2 + Zy2 -

Si desde un punto exterior se trazan tangentes a una elipse, el segmento de recta que une los puntos de contacto se llama CUERDA DE CONTACTO DE Pj para dicha elipse. Si Pj = (xlt yi) es un punto exterior a la elipse (x2/a2) + ly2/b^) = 1 , demostrar que la ecuación de la cuerda de contacto es (x1 x/a2) + [y\y/b2) = 1 .

31. Hallar la ecuación de la cuerda de contacto del punto la elipse

2x2 + y2 = 2 .

Rp:

(1,3), para

2x + 3y = 2

32. Demostrar que la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de cualquier sistema de cuerdas paralelas de pendiente m de la elipse

(x2/a2) + (y2/b 2) = 1 , es

y = -[b2/(a2m)]x

,

Note que el lugar geométrico es una recta que pasa porel por lo tanto es un DIAMETRO de la elipse.

m t0

.

centro, y

33. Demostrar que si un diámetro de una elipse biseca a todas las cuerdas paralelas a otro diámetro, el segundo diámetro biseca a todas las cuerdas paralelas al primer diámetro. Tales diámetros reciben el nom bre de DIAMETRO;» CONJUGADOS de la elipse dada. 34.

Hallar las dos rectas tangentes a la elipse 3x2 + 4i/2 = 16 que son trazadas desde el punto (3, 2). Rp: y = 2, 36x - lli/ = 86

35.

Hallar las dos rectas tangentes son perpendiculares a la recta

a la elipse 3x2 + 4y2 = 16 2x - Zy =5 . Rp: 3x +

que Zy= i 8

36.

Hallar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal

37.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse definida

lipse

3x2 + 4y2 = 16

en el punto

a la e-

(2, -1) .

La Etcp¿e

Cap.í por 38.

395

4x2 + 5y2 = 20 , que son perpendiculares a

x + 3y « 3 .

En el punto P(r, s) de la elipse (x2/a2) + {t/2/b2) = 1 , se tra za una tangente que intersecta a la directriz D en H . Probar que a) el ángulo PFH es recto. b)

39.

OP y la recta que pasa por F , perpendicular a la tangente, se Inter sectan sobre la direc­ triz correspondiente.

Hallar los puntos de tangencia de las cuatro tangentes a la elipse (x’/a2) + {y2/b 2) = unen un extremo del

1 ,que son paralelas a las cuatro rectas eje menor a un extremo del eje mayor.

que

40.

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a amoos extremos de

41.

En la figura. K es el punto donde la tangente a la elipse en P en cuentra a la tangente en el vértice. Probar que A'P es paralelo a 0K, donde A' es el otro vértice y 0 el centro.

un lado recto de laelipse

(x2/a2) + (j^/b2) * 1 .

Las rectas A'P y AP cortan un segmento so bre la directriz D . Probar que este segmen to subtiende un ángulo recto en el correspondiente toco.

42.

A

En la figura del problema [41], la normal en jes de la elipse en N( y N2 . Probar que

P encuentra a los e-

|P¡Ti | x |w T2| =

43. Hallar las ecuaciones de las dos a la elipse

x2 + 2y2 =

y2 - Ay - 4 = 0 .

3 , b)

IFP I x | F p |

rectas tangentes desde

a)

(5, 2) a la circunferencia

Rp: Las pendientes son

rij = 5/2, m2

(-1,2) x2 + = -1/2

44. Hallar la condición sobre X y B para que la recta y * Ax + B sea tangente a (x2/a2) + [y2/b 2) = 1 . Rp: B2 = a2 A2 + b2

ItUAoduccudn al

396

UaXemSXico

Cap.S

45. Hallar las ecuaciones de las tangentes comunes a los siguientes p a ­ res de curvas:

x2 + y2 ■= 16 ,

a) b)

y2 * 16*

(*2/25) + (i/2/9) - 1 ,

46. El vértice de la parábola y2 * 8* es el centro de una elipse. El foco de la parábola es un extremo del eje mayor de la elipse; la elipse y la parábola se cortan en ángulo recto. Hallar la ecuación de de la elipse. Rp: 2x2 + y2 - 8 . 47. Hallar la ecuación de la elipse con vértices (-1, -1) y (3, 3) y excentricidad e * 1/2 . Hallar también los focos, el centro y las ecuaciones de las rectas directrices. 48. Una elipse con centro en el origen tiene un vértice en (-4, 3). Ha­ llar una ecuación de la elipse si la longitud del lado recto es 15/2. Hallar, además, el otro vértice, el centro y las directrices. 49. Hallar la ecuación de una elipse cuyo eje focal es paralelo al Eje X, el centro es el vértice de la parábola * ■ 2y2 + IZy + 24 , y que determina (sobre los ejes X , Y ) segmentos cuyas longitudes son 16 y 8 respectivamente. Rp: {* - 6)2 + 4(i/ + 3)2 » 100 50.

Los focos de una elipse cuyo eje focal es el Eje X, son

(2 i 2/5 ,

> -1), y la recta tangente a ésta en su vértice Izquierdo es * + 4 « 0 . La recta L que pasa por el centro de la elipse determina al cortarla una cuerda cuya longitud es 24//5 . Hallar los extremos de la cuerda. (Dos soluciones) Rp; a) (34/5, -17/5), (-14/5, 7/5) b) 51

52.

Se tiene una elipse tangente al Eje X con centro en la recta 4i/ > 0 , y eje focal la recta * « 4 , y pasa por (0, 5). su ecuación, excentricidad y longitud del lado recto. Rp:

53.

(34/5, 7/5), (-14/5. -17/5)

Hallar la ecuación de una elipse cuyos focos se encuentran en la in­ tersección de las rectas 2* - y m 1 , 3* - y M 14 ', con la rec­ ta * - y « 0 , y su excentricidad es e * 3/5 . Hallar el centro y los vértices. Rp: C(4, 4), Vj(-1, -1), V2(9, 9)

U y - 5)2/25] + [(* - 4)2/16] «1,

Dada la elipse mento variable = 2/3 .

Rp:

2b2/a = 32/5

*2 + 4y2 = 100 , desde el origen se traza un seg­ 0Q , siendc Q un punto de la elipse. Hallar la e-

cuación del lugar geométrico de los puntos 54. Dada la elipse

e * 3/5,

5* Hallar

P tales que

|0P|/|PQ|

x2 + Ay2 = 16 *2 + 4y2 = 36 , obtener la ecuación de la cuerda

(*2/16)

Cap. i

La Eftpae

focal

(foco derecho)

55. Una elipse

397

de 6 unidades de longitud. y¿

pasa por el pünto de intersección de las parábolas

*

4 x , y2 -Ay - 4x + 12 = 0 , y tiene por focos los focos de las pará bolas dadas. Hallar su ecuación y su excentricidad. Rp: 56.

[(x + y - 3)2/6] + [{.y - x + l)2/2] = 1 .

Determinar lipse

57.

n

( x 2/ 4 )

para que la recta + (y2/9) =

1

.

y =

Rp:

2x + n

n =

e = ñ U 1

.

sea tangente a la

e

i 5

Hallar las ecuaciones de las cuatro rectas tangentes comunes a: y2 = 1, x2 + 16y2 = 4 . Rp: y =

x2 + + (x/2) i (

58. Una elipse es tangente a una circunferencia de modo que sus focos se encuentran también sobre la circunferencia. Hallar su excentricidad. 59. En la elipse

{x2/16) + (i/2/25) = 1 , hallar el perímetro del trián

guio FF'P , siendo F y F' los focos, y de la elipse, distinto de los vértices. 60.

P un punto cualquiera Rp: 16

Por los puntos extremos de una cuerda de longitud 24 m., perpendicu lar al eje focal de la parábola y2 - 12x - By + 52 = 0 , pasan dos rectas tangentes que se intersectan en un punto Q . Hallar el perí­ metro del triángulo formado por los extiemos de la cuerda y el punto Q. Rp: 2 4 ( 1 +/5)

61.

Las elipses n2x2 + ni y2 = n2m2 , m2x2+ n2y2 = m2n2 , m f n , se cortan en cuatro puntos situados en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas. Hallar el radio de la circunferencia.

62.

Hallar el área del cuadrilátero que tiene dos de sus vértices situa­

Rp:

r = / 2 m n / / m 2 + n2

dos en los focos de la elipse 2x2 + 4x + y2 = 14 , que coinciden con los extremos de su eje menor.

y los otros dos Rp:A =16

63.

Calcular la distancia del extremo derecho del eje mayor a la direc­ triz que está a la derecha del Eje Y en la elipse 4x2 + 9i/2 = 36.

64.

Graficar la ecuación (factorizable): Rp:

65.

{ (x, y) /

y = -x/3

v

x2 + 3y2 *4xy = 0 . y = -x

)

,(x, y)eR2

Hallar el menor ángulo con que se observa desde el origen el segmen­ to que une los focos de

3x2 + y2 + 18x - Ay * 28 = 0 , (¿elipse?) .

66. Calcular la longitud del lado del cuadrado inscrito en la elipse (x2/a2) + {y2/ b2) = 1 . 67.

Hallar los valores de p

Rp;

2ab / a 2 + b2

para los cuales la ecuación

px2 - ( l - p )y2

La ttipiz

398 -

Cap. i

(3 + p) = 0 , representa una cónica del tipo elipse no degenerada. Rp:

pe

R - [-3, 1]

68. Los focos de una elipse seencuentran en las intersecciones de la pa rSbola y2 = 4px (p > 0) y la recta que pasa por el foco de la parábola y es perpendicular alamisma. Si además la elipse pasa por el origen, calcular su excentricidad. RP: e * 2//5

69. Dados el centro C(2,2), un foco F * (4,4) y la excentricidad e = 1//3 deuna elipse, hallar el área deltriángulo equ con base en la directriz correspondiente al foco dado y vértice en C. 70.

Laelipse E tiene un foco en Fj = (-4/5, pondiente al otro foco en V2 = (10, 14). Si = 4/5, hallar la ecuación vectorial de E y y L2 , el centro, el foco F2 y el vértice

-2/5), el vértice corres la excentricidad es e de las directrices Li Vj .

71.

Una elipse E tiene un foco en Fx = (7,-?), el vértice correspon­ diente al otro foco en V2 = (-3, 8) y como una de sus directrices a la recta P = (-11, 6) + t(/2, /2). Hallar la ec. vect. de E , la ecuación general y vectorial de la otra directriz L , el centro, el foco F2 y el vértice Vj .

72.

Si la elipse E tiene los vértices en Vi = (-2,-1) y V2 « (6, 7), y tiene excentricidad e = 1/2 , hallar la ec. vect. de E , los fo­ cos F¿ , F2 , los extremos Rj , R2 del lado recto derecho,y las ecuaciones vectoriales de las directrices Li y L2 .

73.

La elipse E tiene los extremos del eje menor en Bj = (2, 5), B2 = (8, -3). Si Q = (37/5, 39/5) e E , hallar el centro de E , la ex­ centricidad, la ec. vect. de E , los vértices Vt , V2 y las ecua­ ciones generales de las directrices L| y L2 .

74.

La elipse E tiene un vértice Vj = (21, 11) y el foco correspon­ diente Ft - (17, 9). Si la elipse pasa por Q = (67/5, 81/5), ha­ llar la excentricidad, el foco F2 , el vértice V2 y las ecuacio­ nes generales de las directrices Lj y L2 . SU6: C = (17,9) - cü.

75.

(UNI) Dada la elipse Ex: 16x2 + 9y2 = 47 + 32x + 54y , encontrar la ecuación de la elipse E2 cuyo centro Fc es el extremo derecho del eje menor de Ei , uno de cuyos focos es el vértice inferior de Ej y que pasa por el vértice superior de Ej .

76.

Hallar la ec. de las rectas tangentes a la elipse 9x2 + 16y2 * trazadas desde (4, 9). Rp: y = x + 5, 25x + I6y = 244

144,

Cap.i 77.

La Etíf¿¿

Sea

P una parSbola con vértice

399

V(3, 5)

y

Pr ^

VB

= (4, 4) ,

dondi B es el extremo inferior d.¿l lado recto y F el foco de P. Si E es la elipse cuyo eje mayor es el eje de P , cuyo centro es F y con un vértice sobre el Eje X. Si un foco de la elipse E se encuentra en ladirectriz de P , hallar a) la ecuación de E , y b) las rectas que contienen a los lados rectos de E . 2

2

78. Sea la circunferencia C: x + y + 2x - 6y - 15 = 0 y T la rec ta tangente a C en el punto P (2, -1) . Sea E una elipse cuyo eje mayor coincide con T , cuyo foco derecho es P . Si la elipse E pasa por el centro de C y tiene excentr. 1/2 , hallar a) la ecuación de E, b) las ecuaciones de sus directrices. 2

2

79. La circunferencia C: (x - 3) + [y * 2) = 10C está circunscrita una elipse de excentr. 1//2 que pasa por (9, 6) e C . Hallar la cuación de la elipse y de sus directrices.

a e

80. Dada la circunferencia C: x2 + y2 - 12x + Zy + 12 = 0 , la recta L: 3x - Ay + 3 = 0 es tangente a C y es directriz ae una elipse E . Si E n C = <}> y L divide perpendicularmente al segmento que une los centros de C y E enla razón de 1 a 2 , ha1lar la ecuación de E , si uno de los focosse encuentra en el Eje Y . 81. Los focos de una elipse E son Fi(-1, 3) y F2(5,3). Si R e E y la suma de las longitudes de los vectores focales de R es igual a 4 eces la longitud del lado recto, hallar la ecuación de E . 82. Hallar la ecuación de las rectas tangente* a la elipse 3x2 + y2 + 4x - Zy + 1 = 0 , que sean perpendiculares a la recta x + y - 18 = 0 . 83.

Una elipse E con centro en el origen tiene un foco en (4/2, 0). Si (3, /3) e E , hallar sus directrices. Rp: x = í (9//2 )

84.

Una elipse E tiene centro (4, 3), e = '3/2 . La -ecta 3x + 4y = 74 es tangente a E en uno desus vértices. Si Q' = (6, 4)'está dado X'Y', hallar en XY la recta normal a E en el punto Q .

85.

Sea x + Zy = 5 una directriz de una elipse E que se encuentra en el 1er. cuadrante, con e = 1/2, y cuyo eje focal pasa por el origen. Sea P una parábola cuyo lado recto coincide con el semieje mayor iz quierdo de E, que mide 10/5, y con vértice V(h, k) con 3h > 2k. Hallar las ecuaciones de la parábola P y de la elipse E .

86.

El eje menor de la elipse E está contenido en L ^ (1, /3 -1) + t(l, , /3). La recta L2: (/3, -2) + t(-l,/3) es tangente a E en P¿ = (5, y'0 ). Si e = 1//3 y E no cortaal tercer cuadrante, hallar:

400 y'0

87.

Cap. 6

Introducción oJL AnSXÁJ>4J¡ UaXemítico

y la ecuación de la elipse E .

El eje focal de una elipse E tiene pendiente 3/2. Si C es una cir­ cunferencia tangente a E , con radio 5 y centro (S, 1) coincidente con el centro de E , y si adeniás, la longitud del eje mayor de E es tres veces el diámetro de C , hallar la excentricidad de E .

88. Desde A(4, -3) se trazan tangentes a la circunf. C: x2 + y2 - 24x 6y + 117 = 0 , hallar la ecuación de una elipseEcuyo eje mayor pertenece a la tangente a C de mayor pendiente, y sabiendo además que A y el (.entro de C son extremos del eje mayor y del eje menor de la elipse, respectivamente. 89.

La recta L: 4x * iy = 61 contiene a un lado recto de unaelipseE con centro (5, 7). Si el semieje menor miae 3 unid.,hallar la ecua ción de la elipse E y el extremo superior del eje menor.

CLAVE DE RESPUESTAS 8.

9x2 + 5i/2 = 41 , 5x2 + 9y2 * 29 ,11.

22.

2x + y = 9 ,

29.

(1, 1),

37.

3x - y = + 7 ,

40.

El centro es el

(29/9,-13/9)

36.

39.

Lj:

25 A2 + 9 - 16 A2 + 25 = ►

y =i (1/Z2 )(x -

65.

are tg (6/2/11) ,

70.

C = (4,6),

69.

F2(0, 1),

+ 91y2 + Z4xy - 1875 =

48.84x2

3 /3 ),

58.1/^2,

63.

(- 7/2,

-É

C - (3 , 2 ), ü = 1, L: x - y

ú = (1. l)//2 , Rjd.8),

0

(9//5)-3

A « 24/1

ü = (3, 4)/5 , x,2/100 + y '2/36 = 1 ,

, 16) + t(-4, 3) , L2: 71.

A= i ^ ,

y = í (4/3)x i (/481/3) ..[4 tangentes]

47. 7x2 + 7y2 - Zxy - 12x - 12y - 36,

*i(- 2. -2) ;

2x + 3y = 1

(r, s) * (c, b2/a) .

origina

B = i /481/3 = »

72. C = (2, 3).

3x - Zy = 8 , LN:

X-intercepto de la normal [punto (r, s) , pendiente:

B2 = a2 A2 + b2

54. Dos cuerdas

r ■ 12/5

(± a//2, ± b//2)

(a2s)/(b2r) ] , pero aquí 45. b)

Centro (0, 0),

x2 + 4y2 + 4x + 16i/ + 4 * 0

23.

Lx : (23/2,

+

t(-4, 3) F2(44/5, 62/5) ,

=

(-1, l ) / / 2

= 19, F2(-l, 6),

,

V ^ , -4)

(x'2/32)+ (i/'2/24) = 1 , F^.4, 5)

R2(7, 2),

Lj:

x ,2/72

. .

(10, 11) + t(-l, 1) ,

L2: (-6. -5) + t(l, -1) 73.

C = (5, 1), e = /3/2 ,

Q' = (6, 4)',

a = 10, b « 5,

c=

(x'2/100) + ( y '2/Z5) = 1 , donde ü * (4, 3)/5, V|(13, 7), . -5).

L1>2: 4x + 3y • 23 i (100//3)

/5 . V2(-3,

La Etipie

Cap. % 74.

e - 4/5 , C - (1.1). u ■ (2. l)//5

.

c - 8/5,

, F2(-15, -7).

77.

( x ,2/ 5 0 0 )

p - 4/2,

b2/a - |CP| ■ |

79.

,V(3, 5),

b)

LR:

CF\| ,

81.

c* 3,

b = c -5,

2a » 8b2/a

Fj(-l.l),c » 8 / 2 , b=10//7,

c

* 10/3 .Fc -

D i >2: Fd i (40/3)ü + t(-3, 4)

D1>2: (3, -2) i 2/2(3, 4) + t(-4, 3) .

(x,2/100) + (y '2/S0) - 1 , a= 5/2,

C(7,9),

C + (8, 8) + t(-1. 1)

a « 20/3 ,

ü * (4, 3)/5 ,

¡j = (3, 4)/5, C(3, -2),

80.

V2(-19, -9) ,

+ [(3c/ - 4x + 7)2/24] = 25

ü * (1. l)//2 b - /34,

(-2/3, -3),

a = 10/5 .b = 6/5 .

L2: 4x + 2i/ = -119

E2: [(3x + 4y - 24)2/49] a « 9/2,

78.

+ (
4x + 2y « 131,

Lj: 75.

401

(*, y) - C + x’ú + y 'ü X

C - (-3, 11), , a * 2b,

F= (0,

7),ü - (-3,

4)/5

b» /3 , a = 2 /3 ,

(x-2)2 + 4(
Lj: i / * x + B ,

84.

ü* (3, 4)/5,

A • 0

F0

- (4, 3),

LÑ ’ 4x' - 3y' * 12 , 85.

..

ü * (l,2)//5, 86.

tan a = -1//3 ,

ü = (-2, l)//5,

4p

= C

donde

a es el ¿ngulo agudo entre el Eje

Lj:

(5x'/a2) + (yóy'/b2) » 1 , b ■ 5/2,

c « 5 ;

(x ,2/75) + («/'2/50) = 1 , C-

87.

C* (5, 1),

88.

a• 8 ,

10/5 , = (21, 42) ,

(*'2/500) + (
y ’ « -(l//3)x* + [y¿+(5//3)] :

=*

5 ,

de la parábola. Para la elipse:

L¿:

a - 5/7,

(Dos soluc.)

LN : (2, -1) + t(22, 41)

V■= (21, 59/2), F- (16. 32), y '2 » 10/5 k '

= > B*1/3 ,B = 3

a « 10, c = 5/3 , b -

Lj

,

X' y

L2

además

identificando:

y'0 • 10//3

R

ü - (- /3 , l)/2

L, (1 L2 ,

e

R » (0, 1),

,

C = R + 5/3(1, /3)/2

(5/3/2, 17/2) a - 15 , b * 5 , c = 10/3 ,

b - 6 ,

e = 2/2/3

F0 - (156/25 ,117/25) ,

ü - ( 7, 24)/25 ,

(x’2/64) + (y '2/ 36) * 1 89.

c * d[ L ; (5, 7) ] = 4 , ü * (4, 3)/5 ,

b = 3,

a = 5

Extremo superior del eje menor: ==»

Elipse: Y

(x,2/25) + {{/’2/9) = 1 ,

,

C = (5, 7) , Q

■

C + bü"*"

Q

* (16/5, 47/5)

x’ =

[(x, y) - C ] • ¡¡

y'

[(*, y) - c ]. ü-1

=

en XY, la Elipse:[(4x+3y-41)2/625] + [(4y- 3x - 13)2/225] = 1 .

UitluducCLÚn al Aniliii& UaXemiticv

402 <1

LA

HIPERBOLA.

Cap. S

E C U A C I O N DE LA H I P E R B O L A Dados dos puntos fijos F( y

tales que su distancia es

F2 . distintos,

| Fj - F2 I = 2c , y dada una constante a

tal que 0 < a < c , se define una

HIPERBOLA

H

como el conjunto de

todos los puntos P(x, y) tales que la diferencia de sus distancias a los puntos fijos Fj y F2 , en valor absoluto, es igual a 2a ; es decir,

I

C =(h, k) ,V2 :

| |P - Fjl - |P - F2 | | - 2a

CENTRO DE LA HIPERBOLA ; VERTICES : EJE TRANSVERSO

X'

: EJE FOCAL

;

F,

, F2 : FOCOS

;

F¡¥2

d[ C ; Fj ] = d[C ; F2 ] = c

;

Fj * (-c, 0)' ,

,

^

:

F2 =

(c, D)'

: EJE CONJUGADj (de longitud 2b)

en el sistema coordenado X'Y’

circunferencia con centro en C , radio c , y que pasa por los dos focos

Fi y

F2 .

Cap. i

4.1

La HipéAbola

EJERCICIO.

Probar que

SOLUCION.

Del hecho que

d [ Vj ; C ] =

d [ V2 ; C ]

=

a

Vi e H , y de la figura ,

d [ V! ;F2 ] - d [ V L ; Fi ]

= 2a

... (1)

d [ V t ;F2 ] + d[V, ; FL ]

= 2e

... (2)

Restando (1) de (2) :

d [ Vj ; Fj ] » c - a

Y como :

d[ Vj ; Fj ]

» d [ F l ; 4*] - d [ 1l ; -

==* Análogamente tenemos que «».2

4U3

C]

c - d[Vj ; C]

d [Vi; C ]

«

c - (c - a)

d [ V 2 ; C]

=

a .

= a

;

RECTAS DIRECTRICES Dos rectas Li y

L2 , perpendiculares

al eje focal, son llamadas RECTAS DIRECTRICES DE H cx¡AA.upond¿e.ntu a t a íjcoí Fj y F2 respectivamente, si existe una con&tante. e , de­ nominada EXCENTRICIDAD de la hipérbola H , tal que pana todo panto P e H debe cumplirse que: d[P ; Ft] d[ P ; F2 ] ----------------------

d[ P

( VER LA FIGURA SIGUIENTE )

Ademas,

mñ

y

rs

;

=

e

=

------------------------

d[P;L2]

; Li ]

LADOS RECTOS DE H

, son cuerdas que pasan

por los focos y son perpendiculares al eje focal X‘ . En toda hipérbola se cumple la relación pitagórica: c2 = a2 ♦ b2 y pueden presentarse los tres casos: En el caso en que l».3

a = b

,

EJERCICIO.Probar que el SOLUCIÓN.

h = b2/a :

Sea 2h

a > b ,

LADC RECTO de H mide

la longitud del LADO RECTO.

=s>

a < b .

H es llamada HIPERBOLA EQUILATERA.

d[ R ; Fj ] - d [ R ; F2 ] = 2a

(/ 4c2 + h2 ) - h * 2a

a = b ,

2b2/a . Probaremos que

( haciendo

h - (c2 - a2)/a = b2/a

P = R ), ..

probado.

IntAuducción ai A

404

H.H

n

Cap. i

HatnaAticv

Probar que en toda hipérbola H :

PRUBLETA

a)

c = ae ,

c)

La excentricidad e es mayor que

SOLUCION

b)

d[C ; Lx ] = d[C ; L2] = | , 1 :

e > 1 .

d[R ; F2]

b2/a

c2 - a2

d[R ; L2]

c - d[C ; L2]

a(c- d[C; L2] ) (a)

d [ v2 • ^2 ]

Y por otro lado:

d [ V2 ; L2] De (B):

d [ C ; L 2] *

a - [(c - a)/e ]

En (u): c2 - a2 = ae(c - a)(e ♦ l)/e == Para el caso de De (a)

c * ae . Luego,

.... ( 6 ) a - d[C ; L2] =»

c - d[C ; L2] ■

=»

c ♦ a = a(e ♦ 1)

d [ C ; L 2] =

(c - a)(e + 1)

a - [(ae - a)/e]

d[C ; L,] , se prueba en forma similar.

resulta que

e (* c/a) > 1 ,

puesto que

0 < a < c .

» a/e

Hiptnbotai

Cap. $

4D5

De esta forma se completa el gráfico de la FIGURA 2, que es muy útil para efecto de cálculos y resolución ae problemas. 4.5

EJERCICIO.

Demostrar que en toda HIPERBOLA Ei/UILATERA la excentM cidad es siempre constarte: En efecto,

de

c * ae , y de

c2 - a2 ♦ b2 = 2a2 4.6

e » /2 .

—

a = b ,

entonces

2 - c2/a2 - e'

.

ECUACION VECTORIAL DE UNA HIPERBOLA H y) ■ C + x'ü + y 'ü X

Para todo punto P » (x, donde C es el centro de la hipérbola, d[P, F,] ------d[P, l 2]

e-

y como

(d[P. F2])2 - e ( d [P, L2] )

«=*

d[ P, F2] = | P - F 2 | = | C - F 2 + x'u + ■ |(x* -c)ü + y'ú ■*" | d [ P, L2] = |x1 - (a/e)|

Además, (x‘, y')

,

en el sistema transformado.

pues

V 2-

(c2 -a2)x, 2 - a

(a)

y‘\¡

/(*'-

P ■ (x, y)

c)2

+ y '2

tiene coordenadas

Al reemplazar en (a) se obtiene: , donde

a2(c2 - a2)

b2x'2 - a.2y '2 = a2b2

,

pues

c = ae

.... c2 = a2 +

b2

y '2

x'2

v

..

| * |-cu + x'ü +

■

(x‘ -c)2 + y’ 2 ■ e2(x' - (a/e))2

-

e H ,

se tiene que:

v

■ 1

Luego, la ecuación vectorial de la hipérbola H es:

P ■ (*. y) ■ C + x'ü + y ’ü'L >2

a2

,

donde (*)

,2

- ^ - = 1 , b2

|ü| = 1 ,

C = Centro de H

De la figura anterior se tiene que, siendo C el centro de H VERTICES:

V * C i aü

,

FOCOS:

F = C i cú

,

406

liiVioducíUón aJL A»iclL íaía UcUemSUxco

EXTREMOS OEL EJE CONJUGADO: DIRECTRICES

Lj

:

X*

B[, P 2 =

= -a/e , X*

ü : 4.7

*

:

Cap. S

C í bü1 x'

a/e ,

=

donde

(P - Cj.fi , P =■ ( * . y) vector unitario de rotación de Ejes.

RECTAS ASINTOTAS DE LAS HIPERBOLAS Las ecuaciones de las rectas L'

las formas

b .

y'

L' :

y l"

, en X'Y',

tienen

L"

(FIG. 3)

y se puede demostrar que la distancia de cualquier punto P e H recta L'

tiende a cero conforme la coordenada

infinito.

En efecto, si

ces

7

, en el sistema X’Y1 , enton­

i

ñl . üL a2 b2 d[P ; L'] =

P « (x', y') e H

hasta la

x’ del punto P tiende al

.

i

|bx' - iy' |

I bx’ - ay'|

/ a 2 ♦ b2 | bx' - a / b2[(x'2/a2) - 1] | c

Cap. i

=*

HipVibotai

^ d [ P ; L‘] =

407

| x'- / 7 7 |

» ------ ¿

=

-

I *■ ♦ / 7 ^ ~ 7

. i

de donde vemos que si x' tiende a oo , entonces d[ P L‘]tiende a ce­ ro. Por lotanto, L' (y L“) resultaser recta ASINTOTA de H ,y pa sa por el Centro de esta hipérbola H . Como las ecuaciones de entonces, en XY , estas ASINTOTAS {

L‘ y L" son y' * i

x' « í (a/e)

L" con signo (-) .

t e

R

}

C es el Centro de H .

P ■ (x, y) ■ C ± ^ ü + tü"*■

donde C es el Centro de la hipérbola.

A)

/

Análogamente, las ecuaciones de las rectas DIRECTRICES : , tienen la forma vectorial , en XY ,

Li , L2 :

4.8

,

tienen la ecuación vectorial:

P = (x, y) * C ♦ t(aü ± b u 1 )

L' con signo (+) , y

^ x'

,

t e R

(Ver la figura 2)

CASOS PARTICULARES DE LA ECUACION DE UNA HIPERBOLA CON EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE X u » i » (1, 0)

Corresponde a hay traslación Luego, si P »

C * (h, k). (x, y) ,

. No hay Rotación de Ejes, pero sf

Y

x1 - (P-C).(l, 0) ■ y'

-

*

x - h , ( P - c ) . ( o , i) y -k

k

Reemplazando en (x,2/a2) - (y'2/b2) » 1 . se obtiene la forma:

0 Fl = (h - c , k) .

F2 - (h + c , k)

1‘

408

¡ntAodu.cc.t6n ai knilunA MaXemâticv

V, * (h - a , k ) ,

V2 * (ht-a, k )

Bt • ( h . k + b) .

B2 = (h, k-b)

DIRECTRICES :

Lt :

« = h - (a/e)

ASINTOTAS 1 ‘ y L" y -k

B)

Cap. t

x » h + (a/e)

,

reemplazando x'

en

= Í -(* - h)

y' - t (b/a )>i1 , 2

= ae ,

2

c = a ♦ b

2

CON EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y ü = J = (0. 1) : ROTACION DE 90° ; C = (h, k) Centro de H : TRASLACION « • “ [(*. tf) - C]-ü Reemplazando en

=

(«/ - k) .

y' = [(*. y) - C].5X = -(*-h) y' =

(x,2/a2) - (y'2/b2) = 1 , ASINTOTAS : (L1 y L*)

a t r(x - h)

Y “

Fl = (h, k + c) F2 = (h, k - ) V1 = (h, k ♦ a) V2 = (h, k - a )

“♦§ k

B. = (h - b . k) Bi = (h + b , k ) L1 :

y - k

t (b/a)x’ :

k--a * e-

y - k ♦ (a/e)

L2 : y = k - (a/e) , (DIRECTRICES)

(1.9

HIPERBOLAS CONJUGADAS Cuando las hipérbolas

Hj y H2 tienen las mismas

asintotas y tienen intercambiados el eje transverso y el eje conjuga do, entonces estas hipérbolas se denominan Asi, las ecuaciones

HIPERBOLAS C0NJU6ADAS. «2 :

y '2 ~2 ‘

-.2 = 1

Cap.S

Hirínb.lai

409

corresponden a un par de tn pérbolas conjugadas . CLAVE ;

No-te que milXXpli

cando ti pnimeA nUembxo di cualqu^¿Aa de La,6 ecuacw«eA

(Hj ó H2) , pol -1 , ¿e ob^ene la otAa ecuaitón (H2 6 Hj , respectivamente). Por ejemplo,

sea H la

pérbola de ecuación la ecuación de la conjugada resulta : —

4.10

NOTA.

2

y

- —

12

* 16

2 = 1

Existe un artificio muy útil para conocer las ecuaciones de (xl2/a2) - (y'2/b2) = 1 , / y consiste en reemplazar en esta ecuación el 1 por 0 , en las asíntotas, dada la ecuación

el segundo miembro: ,.2

.,2

,■2

.>2

= 0

l».ll

En la hipérbola [(x-2) 2/4‘] - [(y - l)¿/32] = 1 , hallar las ecuaciones de las asíntotas L 1 , L" , el

EJERCICIO.

centro C , los vértices , V 2 , los extremos del eje conjugado Bj , B 2 , los focos Fj , F ¿ , las directrices, L2 , y la excentricidad e . So l u c i ó n .

El eje focal es paralelo al Eje X . Las ecuaciones'de

las asíntotas las obtenemos haciendo [(x - 2)2/42] - [(y - l)2/32] = 0 AdemaS,

a = 4 , b = 3 ,

C = (h, k) = (2, 1) ,

(*/ - 1) = í - U - 2)

c - / az ♦ bz = 5 ,

Vj = (h-a, k) = (-2. 1),

(h - c. k) = (-3, 1)

e = c/¡j = 5/4 V2 = (h + a, k) = (6, 1)

F, = (h + c, k) = (7, 1)

Introducción al A nítuci UaXemítica

410 = (h. k + b) 1,2 •

*

(2, 1 + 3) - (2,4), h i (a/e) » 2

Cap.i

B2 « (h, k-b) « (2, -2)

í (16/5) : DIRECTRICES

Es decir. x * - 6/5 x • 26/5

2 '

En la hipérbola x - y ♦ 4x + Zy + 12 * 0 , hallar el centro C , las asíntotas L' . L" , los focos Ft , F2 , los vértices Vi , V2 , la excentricidad e , los N y R , S de los lados recios, y las directrices. extremos M ,

4.1? EJERCICIO.

So l u c i ó n . =o

a

Completando cuadra los:

* b * 3 , c * 3/2 , e • /2

ASINTOTAS: y -1

Como

- b - 3

a

- ♦ (x + 2)

,

C * (h, k) - (-2, 1) Vt * (h,k - a) » (-2, -2) V2 * (h. k ♦ a) « (-2, 4) F! - (h, k - c) » (-2, 1 - 3/2 ) F2 = (h. k + c) - (-2, Lj : y ■

1♦

3/1)

k - (a/e)

y - 1 - (3//2)

L2 : y =

k ♦ (a/e)

Cap.& Li :

411

Hipénbotai

y =

1 + (3/Z2)

.

32/3

o ’/a

Y como

M = Ft ♦ (b2/a) J J" = Fl ♦ 3(-l, 0)

(-5, 1 - 3 / 2 )

N = Ft - (b2/a) 7 2'-'"J= Fx - 3(-l, 0)

- (1. 1 - 3/2)

R = F2 + (b2/a) J

= F2 + 3(-l,0)

=

S = F2 - (b2/a)JX

= F2

4.13

EJERCICiIO.

3(-l> 0)

= 3 , entonces

(-5, 1 + 3/2) (1. 1 ♦ 3/?)

Hallar la ecuación de la hiperDola H cuyas asíntotas y pasa por P(2, -5) .

SOLUCIÓN.

Analizando las coordenadas del punto P = (2, -5)

y las

rectas asíntotas, se deduce que el eje focal es paralelo al Eje Y . Luego, como las asíntotas tienen como ecuaciunes y = t (a/b) *

entonces

a/b = 5/3

... (a)

lo cual no implica necesariamen te que sea

a = 5 y

b = 3 .

Asi, siendo la ecuación de H : .2 a2 =>

y

b2

(2, -5) e H

[(-5)2/a2] - [(2)¿/b2] =

De (a ) y

(B)

1

se deduce que

... ( 6 ) a = 5/5/3

Por lo tanto, la ecuación de H es

9/ 125

4.14

EJERCICIO.

— 5

= 1

En XY, hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asínto tas son paralelas a los ejes coordenados. La hipérbola pasa por (3, 2) y su centro se encuentra en el punto (-1, 1).

Encontrar, además, los focos, los vértices,

las directrices y los extremos SOLUCIUN.

B del Eje Conjugado.

Como las asíntotas son paralelas a los ejes coordena­

dos, se puede consiaerar un nuevo sistema X'Y', mediante el vector unitario ü = (1, 1)/✓2 , puts el eje focal formará un ángulo de 45°

tanto con

412

Int'iuduccA.ün al Audicj
Cap.t

las asíntotas como con los ejes coordenados XY . El nuevo origen, el centro C = (-1. 1) ; y las fórmulas de transformación de condenadas: *' - [(*. y ) - C ] - ü - [ ( * . y) - c ] • ü J-

y’

x' * (x ♦ y ) //2 y1

ly -*

*

- 2)/*2 ■

En el sistema X'Y' , el pun to P * (3. 2) = (x, y) ten dri coordenadas x' * 5//2 .

y’ = -3//2

y la hipérbola:

x'2 y *2 — - V * 1 d b2

...

(*)

Y como las asíntotas son Reemplazando x‘ , y‘

y' =■ i x* ,entonces

(5//1)2 (-3//1)2 , --- 5- - ---- y-- = 1 az b De (U

y (2) :

resulta:

a “ b .. (1)

en (*), 25 9 --J - --ó - 1 2a

=>

a » b = 2» 2 ,

...

(2)

c = 4 , e * /2 .Las directrices son:

L2 : P - C + (a/e)ü + tüX

==«

(x, y) = (-1, 1) +

2(1. 1) + t(-l.

1)

Lt : P - C - (a/e)ü + t ù X

==>

(x, y) - (-1. 1) - /2(1, 1) + t(-l.

1)

Luego,

x + y « 2/2

L2 :

,

Lt :

x + y « -2/2

las que también pueden ser obtenidas de la ecuación De (*) , con

a2 * b2 * 8

se tiene

x‘2 - y '2

,

x* »

i (a/e)

=8

, dedonde

la ecuación de la hipérbola viene a ser (x + y)2 2

Vj *

C♦ aü

-

[y - x - 2)2

--

» B

* (1, 3) ,

=>

V2 * C -

Fj *

C ♦ cü

= (-1 + 2» 2 ,

1 + 2/2)

F2 *

C - cü

« (-1 - 2*2 ,

1-2/2)

B, * C + bu-1 =

(-3. 3) ,

xy - x + y - 5

aü

*(-3,-1)

B2 = C - bu-1 » (1, -1)

.

Cap.i i*.15

H^péxbotai

EJERCICIO.

413

Los focos de una hipérbola

H se encuentran en la rec

ta L : 2x - jy + 16 » 0 . Si una de las asíntotas es la recta y « 4 , y se sabe que la hipérbola pasa por P ■ (2, 10), hallar la ecuación cartesiana de H en XY , los focos y la otra asíntota

L" .

POLUCION.

El eje focal X' es la recta L: Zx - 3y + \b = 0 , con vector di reccional ü « (3,2)//13 . Si una asíntota es la recta ho­ rizontal L‘ :y = 4 , y si P - (2, 10) c H , entonces la hipérbola H tiene la forma de la figura adyacente, donde L D L* o rigina el centro C de H Es decir, reemplazando y = 4 en L : Zx - 3y + 16 = 0 =»

x=

=>

C=

,

-2 {-2, 4) . 1

(*)

En X'Y' : La recta L = X' es horizontal, y la recta L" tiene como pen_ diente ta pendiente, con ¿ ig no opueito d e ta r¿cta

L‘ (ver la figura).

MACION DE CUORDENADAS:

x . (_2) + [(3,. . y =

L* :

y = 4

Y por las FORMULAS DE TRANSFOR­

(4) + [(2*' + 3y')/✓ 13 ]

L' : 2x' + 3y' = 0 .

la pendiente de L" es

m" = 2/3 =

L” :

,

entonces

2x‘ - 3y" = 0

tan a = b/a

,

en X’Y'

==> ... (**)

Además, por las F 1RMULAS DE TRANSFORMACION, el punto P - (2, 10) , tiene en el sistema X‘Y‘ las coordenadas P‘ = (x1, y') = (24/^ 13, 10//13) y como P‘ e H , entonces reemplazando estos valores en ( * ) y (**) : a = 3/3 ,b = 2/3 , donde

c

= /39 . Así, H:

x’ = [(x, y) - C ] -ü y ' = [(*, y) - c ] . ü x

Puesto que

L“ : 2x' - 3y'

Además, los focos son

■

(x,2/27)- (y*2/12)

(3x+ Zy -

=

[3y - 2x - i6)//Í3

0

, entonces

Fj , F2 = C t cu

2)//13

L“ : by - 12x = 44 . (-2, 4) i / 3 (3 , 2)

=

y

1

414

lntn.uducc4.ón aí A n i t a a Ma.tnmiLt<.cu

4.16

EJERCICIO.

Sea H

Cap.S

la hipérbola cuyo centro es C = (-45, 15), y

uno de sus vértices es

Vi * (3, 51) . Si el punto Q

* (10, 50) e H , encontrar las ecuaciones vectoria les de la hipérbola H y de sus asíntotas. So l u c i ó n .

CV, = Vi - C - (48. 36) = 12(4, 3)

x1 = (Q - C) -ü - (55. 35).ú = 65 , y' = -5 ,

x' = 65 ,

7

ü = (4, 3)/5

y' = (Q - C)-ü -1- = (Í5, 35) -1¡-1 = -5

a = d[C ; Vt ] » 60

y '2

x-2 B:

=>

- ?

‘ 1

Q - (x‘, y') = (65, -5) (-5

_

r

=

H

e

1

602 =s>

b = 12,

c = 12/26

ECUACIDN VECTORIAL DE H : ,,2

.,.2

y

3600

1

144

*' = [(*> y)

-

donde

c].¡¡

y ' - [ ( x . y) - c i - i 1 ü = (4, 3 )/5 .

ASINTOTAS . (x, y) = C ♦ t(aü i b ü ) .

4.17

PROPIEDADES DE LAS RECTAS TAN6ENTES A UNA HIPERBOLA Considerando la hipérbola

cuación de larecta

Pc , tiene la forma

a

de contacto

,

la e

(x0, ya) =

yo y

XoX T

Así,

(x2/a2) - (i/2/b2) = 1

Lj tangente a H en un punto “

Lj tiene vector direccional

~ b*—

w =

^Lj 2

|a üD , b xQ) .

Si a y b son los vectores focales del punto Pc = (xD, yQ) e H , proba remos que w es BISECTRIZ de estos dos vectores i y b (ver Fig.) ; es decir, que

a -

a ~ Fi- P0 -

B . Para ello, tenemos que (“ C - x O J

- y0 )

‘í^o ) *

Cap. t

415

Hipínbolai

cosa

= (5 .w)/(|£ ||w|) = -(ca2y0 + a2 x0y„ * b~ x.0y0)/[|w |/ (c ♦ xc)2 * y2 ]

cose

= (b -w)/( |b| |w |) = -[i2x0y0 + b2x0y0 - c¡ yD) /í |w|/(c - x0)2 + (x2/a2) - (y2 0lb2) = 1 ,

Y como

(c + x j 2 + «o -

b2 = c2 - a2 ,

J

|

entonces

c2 +2cx0 +x2 ♦y2 = c2 *2cx0 + *2 + (c2 - a 2)

^

- (c2 - a2)

a~

= a2 + 2cx„ ♦ (c2x2/a2) = (a2 + cx0)2/a2 . Análogamente, (c - x.l2 + u? =

Por lo tanto, ÍÍq J

eos a = (ca¿y0 + c2x0y0)

|w|(a2 + cx0)/a acy0 ’ |w| eos B

NO TA.

actfo Iw |

Eita pA.0 p4.edad iziulta independíente de ¿u poifción en el plano y la A.e¿uirUmc¿ en eJL ¿¿guíente teorema, cuya dematAación acubamoi de nealizaA.

U .1 8

TEO REM A.

La tecla tangente a una lbipin.bela en cualquier punto de contacto

PQ = (xc, yo)

u

BISECTRIZ de Coi vectonzi

íocalei de dicho punto de la hipérbola.

4 .1 9

E JE R C IC IO .

La hipérbola H tiene excentricidad

e

=

✓

los vértices l/j = (-7, -3) y V2 = (9, 9). centro C , los focos

y

5/2 , y Hallar el

F2 , las asíntotas , las

directrices y los extremo; del eje conjugado.

Introducción ai Anáí¿i¿i Hatemíticu

416 SOLUCIÓN.

Cap. i

ü = (V2 - Vl)/ |V2 - Vil = (4, 3)/5 C = (Vi + V2)/2 e = fin

=(1.3).

= c/a .

ñ = (2,-1) .

La asíntota L" = siana es

c = 5/5 .

b = / c 2 - a2

Luego,

L‘ :

2x - lly =

L" :

= (-10,5)

,ó

.

Fj = C - c ü

= (-7, -3)

C + bü-1- = (-2,7)

+ cü

= ( 1 -4 /5 ,

3-3/5)

= (1

+ 4>'5 , 3 +

V2 =

C ♦ aü

=

,

B2 =

C - bu 1

= (4,-1)

tiene como vector

Q! = C - (a/e)ü

= (1 - (16/5/5). :

ecuanóncarte

,

La directriz Lj

Lj

,y su

- 31 .

F2 = C

=»

2x - y = -1

10)

L" tiene representación vectorial

También tenemos que

=

Además.

= 5

ñ =(5,

t (*, y) = C + t(aü - bú1 ) / t e R ) ( (*. y) = (1.3) + t(11, 2) / t e R }

V, = C - aü

.

a = |C\T2 I = IV2 - C | =■ | (8, 6)| = 10 ,

aü + bu -*" = (5, 10) y como vector normal también

V 1V2 es el vector

El vector unitario en la dirección de

4x + 3y -13

3/5 ) (9, 9)

normal: (4, 3), y pasa por el punto 3 - (12/5/5)) - 20f 5

Hipíxbotüi

Cap.í Ladirectriz

L2tiene coio vector

normal : (4,

Q2 - C + (a/e)ü - (1 +(16/5/5), ==*

L2 :

4.20E J E R C I C I O

4« ♦ 3¡( *

417

3 + (12/5/5))

13 + 20/5 .

Si un Toco de la hipérbola

.

3) , y pasa por el punto

H es

Fx = (2, 1) y un la

do recto está sobre la recta L„ : 3x + 4y =10(1 + 5/2) y mide 10 unid, de longitud, determinar el centro C . los vértices Vj , V2 , las asíntotas L* , L" , la ex­ centricidad y las ecuaciones de las directrices. So l u c i ó n . El lado recto MN mide 10 = 2bZ/a

.. (1)

2c ‘ d [ F n F2] = d[Fi ; L0] z

=

=>

| ID - 10(1 + 5/2) | 5

------------------------------------------------------------

10/2

c - 5/2 ,

50 = c2 = a2 + b2 Resolviendo a = 5 ,

.. (2)

(1) y (2) : b = 5 ,

e = c/a - /2 ,

C =

F1 + cü

=

(2 + 3/2, 1 ♦ 4/2)

f2

Fj + (2c)ü -

(2 + 6/2, 1 + 8 / 2 )

-

Vt -

C - aü

V2 - C + aü La asíntota =>

de lo cualresulta que , donde

ú * (3, 4)/5

- ( - 1 + 3 / 2 , -3 + 4/2) - (5 + 3/2, L' pasa por L1:

C y

7* + y *

5 + 4/2) tiene vector direccional aü + bü X ■ (-1, 7) 15 + 25/1

La asíntota L" pasa por C y tiene vector direccional aü - bü X ■ (7, 1) y como vector rormal : (-1, 7) , de modo que =»

L* :

-x + ly -

5 + 25/2

La directriz Lt tiene vector normal

(3, 4) y pasa por el punto

Qt »

IntAoducctón al Atrilliti Matemàtico

418

Cap.S

Q t = C - (a/e)ü = (4 + 3/2,

2 + 4/2 )/2 ,

Lj : 3x + Ay = (20 ♦ 25/2J/2 La directriz L2 tiene vector normal

(3, 4) y pasa por

Q2 = C ♦ (a/e)ü -

(4 + 9/2,

2 + 12/2 )/2 ,

L, : 3x + Ay = (20 + 75/2)/2

4.21

EJERCICIO.

Después de una rotación de los ejes coordenados X, Y, en un ángulo de 8 radianes, 0 < 0 < ir/2 , segui da de una traslación al nuevo origen C = (3, -1) , la x‘2 = 6 + 2y' 2

ecuación de una cónica resulta

de jna de sus directrices en el sistema Lj :

XY

, y la ecuación

resulta ser

3x + Ay - 15 = D .

Hallar la ecuación de la cónica, identificarla, y así también la ecua ción vectorial j general de la otra recta directriz So l u c i ó n .

L2 en XY .

Reconocemos la ecuación equivalente:

.2 - £ 2 . 3 y mal

,

...

a = /6 ,

a/e * 2 , siendo (3, 4)

traslación

coiflu la dé una hipérbola H con

(*)

Lt : 3x + Ay = 15

es paralelo al eje focal C

X'

b = /3 ,

la directriz cuyo vector nor­

de H . Consideremos el vector de

= (3, -1),entonces

*' = [(*. y) - C ]-ü

=

(3x + Ay

-5)/5

y' = [(*,!/)- C ]•ü X

=

(3y -4x

+ 15) /5

La directriz

c = /a 2 + b2 = 3

2'

X-

= -(a/e) = -2

L2 : 3x +

(3x * Ay - 5)/5 = -2

Atj = -5

Y reemplazando x' , y‘ , en

(*) , se tiene la ecuación de la hipérbola

Cap.S

lntxoduc
H 1

(3* + - 5)2 (3y - 4* ♦ 15)2 ----------- — ------------ ~ 1 150 75

Y la ecuaciónvectorial * t P = C - (a/e)ú ♦tü1

dela otra directriz

y su ecuación general

EJERCICIO.

L2 resulta ser:

{ (x, y) =(3, -1) - 2(3, 4)/S +

}=

L2

^3x + 4y

=

t(-4, 3)

{ (*. y) = (9/5. -13/5) + t(-4, 3)

=

4.22

419

}

}

.

-5

La hipérbola H tiene un vértice en

= (9, 3) , y

el foco correspondiente al otro vértice en F2 = (-9, , -6) . Si la excentricidad es e = 5/4 , encontrar el centro C , el vértice V2 , el foco Fj , y las e cuaciones vectoriales de las directrices Di , D2 y de las asíntotas Li y L2 . SOLUCION.

Tomaremos

ü elvector unitario en la

?¡vi -V, — asi,

¡ = (2.1)//5 .

F2

= (9, 3)

dirección de

- (-9, -6)

=

a + c = d [ V i; F2] = | Vj - F2 | = | (IB, 9)| = 9/5 ,

y como

(c/a) * e * 5/4

, entonces

a + (5/4)a = 9/5

=>

(18,

Intlvducció» al Anátii-ii HcUi¿ri/
420 a = 4/5 ,

c = 5-5 ,

b = 3/!, .

V2 - C - aú = (-7,-5)

,

Cap.t

C =

Vt - aü > (1, -1)

Fj =

C + cü = (11,4)

Un punto de paso Q , para cada una de las DIRECTRICES [cuyo vector normal es

(2, 1) ] , loobtenemos como sigue: q = C i (a/ejü

= C i (a2/c)¡¡

= (37/5 , 11/5) ==»

D| :

ASINTOTAS

.. (+)

2x + y = 17

6

,

P = C ♦ t[aG t bü X ]

,

(*, y) = (1. -1) + t(5, 10)

L2 :

U . y) =

iüERCICIO.

( i . - i ) ♦ M U . - 2)

.

2

2

2

2 2

La hipérbola H

si

-1 ■

2

a b /c

2

.

tiene como asíntotas a las rectas

y » 1b/a)x

Luego,

P = (x, y) ,

(x /a ) - (y /b ) * 1 , es con&tante. e i

yual al valor

es decir.

donde

Demostrar que el producto de las distancias de cual quier punto P = (x y) de la hipérbola H de e cuación

So l u c i ó n .

.. (-)

2x + y ■ -15

D2 :

L, :

4.23

(-27/5 , -21/5)

y = -(b/a)x ,

,

bx - ay - 0 ,

L2 :

bx ♦ ay = 0

P = (x, y) , entonces |bx - ay|

d[P ; Lj ] • d [ P ; L2] =

/ ¿ T

|bx + ay | / a 2 ♦ b2

b2x2 - a2*2 |

a2b2

(a2 + b2) puesto que 4.24

.2 2 2 ,2 b x - ay

(x2/a2) - (
EJERCICIO.

La hipérbola H Lj :

k

a2b2

tiene como asíntotas las rectas

-y * l * 0

,

L2 :

Si el producto de las distancias del punto Q = (29/3 , 13/3) e H a las asíntotas es 9/2 , hallar la ex­ centricidad, los vértices y la eruación vectorial de la hipérbola H .

x - 7i/ + 1

Cap.S

421

Ha péAbotm

So l u c i ó n .

La intersección de L¡ y L2 es

C = (1, 2) , que

viene a ser el centro de la hipérbola. Se puede ver a encuentra ubicado como en la figura siguiente.

demás que Q se La asíntota Lj

tiene vector direccional (1, 1) y

la asíntotaL2tiene

vector direccional (7, 1). Asi, el eje focal resultará la BISECTRIZ de las dos asíntotas, y su vector direccional será ¡ = [(1. \ ) / ñ ] ♦ [{7, l)/(5/2)] Elegimos ¡¡ como

= (12/(5/2), 6/(5-2))

el vector unitario en la dirección

ü * (2, 1)/V5 .

Además,

del vectorá .Así,

b/a - tan 6 , donde 6 es el ángulo entre

(1. 1) y ü : (1. 1)•(2, 1)

eos 8

3

/ 2 /5

✓10

sen20 = 1 - cos2 0 = 1/10 , sen 0 * 1//10 ,

luego

tan 6 * 1/3 , de lo cual b/a = 1 / 3

ó

a = 3b .

Se sabe también que el producto de las distancias de Q a las asíntotas es a2b2/c2 = 9/2, y como

c

a2 ♦ b2 - 9b2 + b2

c2 = 10 b2

entonces

(9b2)b2 10b* b = /i ,

¿

a = 3/5 ,

5/2

Luego,

e = c/a

V,

= C+ aü

*

(1, 2) + [3^5 (2. l)/^5]

(7. 5)

V2

= C- aü

*

(1, 2) - [3/5(2, l)//5]

(-5, -1)

=

( » 10 )/ 3

Laecuación vectorial de la hipérbola H resulta por lo tanto, (x, y) = C ♦ x'ü + y-ü-1 H :

x-2 45

4.25

EJERCICIO.

^

5

_

,

C =

(1 2)

.

(2, l)/^5

Sea H la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas:

¡aVwducciún al Anát i
422

Lj :

(9,5) + t(l,.0) ,

L2

:

24* +

C ap. S

Jy = 131.

Una directriz

Lde

pendiente positiva corta a la Hallar la ecuación de H .

asíntota Lj en unpunto P cuya

abscisaes 7.

SOLUCION. Luego de hacer un

dibujo de

los datos:

P = (7, 5),

25(1, 0) +

(7,-24) =(32, -24) =»•

=>

F„ = (4, 5),

La directriz entonces

y como

=^>

d [Fof L] =12/5 =

b = 9/4 ,

ü = (4,-3)/5

Además, si 6 es el ángulo entre X' y Lj

eos 6 = [(1,0) - ü] = 4/5

b/a = 3/4 , a = 3 ,

ü // v =

L: 4* - 3y = 13

tan 6 = 3/4

a2/c ,

y de

==^

c2 = b2+ a2

H : *'2/9 - 16i/,2/81 =1

=»

.

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Con respecto a las ecuaciones de las hipérbolas siguientes, encontrar centro, los vértices, los focos, las asíntotas y las directrices:

el

a) (x - 2) 2/25 - (í/+1)2/5 =1, b) (x - 1)2/16 - (y * 1)2/16 = 1, c) 9*2 - 16í/2 + 144* + ily + 79 = 0 d)

9*2 - 4y2 - 18* - Hy + 44 = 0

e)

4y1 - 16*2 - 48* - Ay + 1 = 0

f)

5y2 - 4*2 - 6* - 15y + 10 = 0

2. Hallar la ecuación de cada una de las hipérbolas siguientes, así :omo el centro, los vértices, focos, extremos de las cuerdas focales y las ecua­ ciones de las asíntotas y de las directrices: Estas hipérbolas tienen: a) a = 4,

b = 3,

b) a = 3,

b = 4,

c) a = 5,

b = 12,

d) centro

(-3,-1) ,

e)

centro

(0,2) , vértice-

f)

centro (6,-3)

,

g)

vértices

/ 21 , -1) y

h) vértices

(1 i

eje conjugado paralelo al Eje Y, eje transverso paralelo al Eje X,

centro (2, 4) centro

(4, -1)

eje conjugado perpendicular al Eje Y, centro (1,-3) vértice

(1,-1)

(0, 10) vértice

y

y

foco (2,-1)

foco

(9,-3)

(0, 19)

y unfoco

foco en

en(1,-3)

(6,-1)

(6, 3 i /13 ) y un foco en (6, -4)

i) focos (3, -13)

y (3, 5) y vértice en

j) extremos del eje conjugado en

(0, -3) y (4, 3) y un vértice en el

punto k)

punto I)

(3, -4 + ✓ 17 )

(2, -3 + / 21 ) .

extremos del eje conjugado en

(-3 i /24 , 1) y un vértice

en

el

(-3,6).

un extremo deleje conjugado en

(4,6) ,

un vértice en (8, 3)

F„ e

y

Cap.S

423

Hipéribut'ii

un foco en el punto (-1, 3). 3.

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que a)

la diferencia, en valor absoluto, (4. 1) y

b)

d)

(5,-5) (-1. 0)

4.

P a

de su distancia a los puntos

(3,

de su distancia

a los puntos

(4,

es igual a 6 .

la distancia al punto

(2, 3) es el doble de su distancia a la rec­

y = 1 .

ta de ecuación e)

de las distancias del punto

es igual a 4 .

la diferencia, en valor absoluto, , 3) y

tales

es igual a 5.

la diferencia, en valor absoluto, , -2) y

c)

(-2,1)

P - (*, y)

la distancia al punto (4, 5) es de ecuación * = -2 .

tres veces la distancia a la recta

Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera centrada en el origen, y que pasa por el punto

(4, -2) .

5.

Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera centrada en el origen, y que pasa por el punto (-3, /2 ) .

6.

En la hipérbola

2

2

2

2

(* /a ) - [y /b ) = 1 , hallar un punto

<

(xQ, ya)

pa­

ra el cual sus vectores focales son perpendiculares entre sí. 7.

Hallar la ecuación de la hipérbola con focos en centricidad

8.

(6, 0)

y ex

Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene sus focos comunes con la e2

lipse 24x + 49y 9.

(0, 0) y

e = 3/2 . 2

= 1176 , si la excentricidad de la hipérbola es 5/4.

Hallar la ecuación de la hipérbola con vértices en los puntos (1, 12) , y excentricidad

(1, 2) y

e = 2.

10. Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas tienen las ecuaciones y = 2 i (3/z) (x - 1) ,

11.

y pasa por el punto(4/3 , 6/2) .

Hallar la ecuación de lahipérbola cuyos vértices se encuentran en los focos de la elipse [(* - 2)2/16] f [(y + 1)2/9] = 1 , y los vértices de esta elipse se encuentran en los focos de la hipérbola.

12. Hallar la ecuación de dos rectas perpendiculaes trazadas desde el foco derecho de la nipérbola (*2/16) - (» '9) - 1 a sus asíntotas 13.

Hallar los puntos de intersección de la recta20* + 21ij + 2 = 0 la hipérbola

(x2/9) - (y2/16) = 1 .

con

Cap. t

!ntrwduccUón al Anál¿i¿i MaXemíL.^o

424

14. Hallar el ángulo formado por las rectas asíntotas de toda hipérbola cuya excentricidad sea

H

e * 2.

15. Hallar la excentricidad de la hipérbola cuyas asíntotas forman un ángu­ lo de: a) 60° , b) 90° . 16.

Hallar la ecuación de lahipérbola centrada en paralelo al Eje X ,

(0, 0) y con eje focal

a) cuyo semieje transverso mide 6 unid, y excentricidad d

)

c)

3/2 .

cuya distancia focal es 26 y la excentricidad es 13/5 . que pasa por los puntos

(-4, 3) y (/10,-3/2) .

17. En las siguientes hipérbolas, hallar la ecuación ae la recta tangente en el punto de contactodado : a) 25x2 - y2 b) Ay2 - x2 c) 4x2 - 3y2 18.

= 100 = 1 = 24

; (-3,5/5) ; (-1, -/2/2) ; (3, 2)

Hallar la ecuación de 1? tangente en el punto de contacto dado, a : a) Ay2 - x2 = 64

; (-6, 5),

3y2

b)

= 4x

;

(3, 2) .

19. Demostrar que la longitud del eje conjugado de una hipérbola es media proporcional entre las longitudes de su eje transverso y su lado recto. 20.

Si

P = (xj, í/j) es un punto cualquiera de la hipérbola

2 2

a2b2, demostrar que las longitudes de sus vectores focales son + a| 21.

-

|exi +

y |ext - a | .

Hallar las longitudes de los vectores focales del punto hipérbola

22.

2 2

b x - a y

(6, 5)

de la

5x2 - 4y2 = 80 .

Hallar el ángulo agudo de intersección de las asíntotas de la hipérbola x2 - 9y2 + 2x + 36y - 44 = 0 .

23. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por (6, 4), tienesu eje focal paralelo al Eje Y y sus asíntotas son las rectas con ecuaciones : x + 2(/-3 = 0 ,

L2 :

24. Hallar las asíntotas dela hipérbola

x

- ly * 1 = 0. 16x2 - 9y2 = 144

25. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por su eje transverso es el Eje X, y una asíntota es 26.

.

(3, 2), centro en (0, 0) 2x - /7y = 0 .

Demostrar que el producto de las distancias de cualquier punto de la hi pérbola

b2x2 » a2b2 + a 2y2 , a sus asíntotas es una constante , , 2. 2 . 2 »

Cap.8

HipéALjlaó

425

27.

Demostrar que la distancia de cualquier punto de una hipérbola equiláte ra a su centro es media proporcional entre las longitudes de los vecto­ res focales del punto.

28.

Dem'jstrar que los focos de un par de hipérbolas conjugadas están sobre una circunferencia.

29. Demostrar que la distancia de un foco a cualquiera de las asíntotas de una hipérbola es igual a la longitud b de su semieje conjugado. 30. Si las excentricidades de dos hipérbolas conjugadas son 2 2 2 2 demostrar que eL + e, = e‘ e‘ . 2

et y

2

2

e2 .

2

31. Demostrar que la elipse 3x + y = 6 y la hipérbola 3* - y - -3 tienen los mismos focos. Tales curvas se llaman CONICAS CONFOCALES. 32.

Demostrar que la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de cualquier familia de cuerdas paralelas de pendiente m de la hipérbola x2/a2 - y2/b2 = 1

es

y » (b x)/(a2m) , con

m f 0,

m f t b/a .

NOTE que el lugar geométrico es una línea recta que pasa pur el centro y por lo tanto su ecuación corresponde a la de un DIAMETRO de la hipér­ bola. 33. Demostrar que

si un diámetro de una hipérbola biseca a todas las Cuerdas

paralelas a otro diámetro, el segundo diámetro biseca a todas las cuer­ das paralelas al primero (DIAMETROS CONJUGADOS). 34. Demostrar que la pendiente de una hipérbola en cualquier extremo de cual^ quiera de sus lados rectos es njméricamente igual a su excentricidad pa ra la hipérbola: .2 2 2 2 2.2 b x - a i / = a b . 35. Hallar todas las rectas tangentes a la hipérbola: pendiente 2 .

x

2

-

36. Hallar todas las*rectas tangentes a la hipérbola: pasan por el punto (3, -1/3) .

x

2

-y

37. Hallar el ángulo ac,udo entre la tangente a la elipse en el punto (-1, 1) y la tangente a la hipérbola el punto (10, 1) . 38. Hallar una ecuación de la hipérbola cuyos focos están 7x2 + 11y2 = 77

de la elipse elipse. 39.

2

y

2

x

2

2

x en

=1

con

= 16 , que 2

+ 4y 2

= 25 10i/

los vértices

y cuyos vértices sonlos focos de esta

Hallar una ecuación de la elipse cuyos focos son los vértices de la hipérbola

2

2

llx - 7y = 77

y cuyos vértices son los focos

de esta hi-

= 9

/»ifímiueci V

426

a t A ii&LLiis U a te mí tl co

Cap. i

pérbola. 40.

El costo de producción de una mercancía es 12 dólares menos por unidad en un punto A que en un punto B, y la distancia entre A y B es de 100 millas.

Si la ruta de entrega de la mercancía está a lo largo de

una linea recta y la entrega cuesta 20 centavos de dólar por unidad por milla, hallar la ecuación de la curva en cualquier punto del cual la mercancía puede ser surtida desde A ó desde B al mismo costo. SUG: 41.

Tomar:

A * (-50. 0) y

B = (50. 0) .

Tres radioestac'iones están localizadas en los puntos A - (0,0),

B =

(0, 21/4) y C = (25/3, 0), siendo la unidad 1 milla. En estos pun­ tos están localizados micrófonos que demuestran oue un revólver está a 5/3 de milla maS cercano a A que a C, y a 7/4 de milla más cercano a B que a A . Localizar la posición del revólver. 42.

Demostrar que el producto de las distancias de los focos de una hipérbo la a cualquier recta tangente es ccn*taníe e igual al cuadrado de la longitud del semieje conjugado.

43.

Demostrar que el punto de contacto de cualquier recta tangente a una M pérbola es el punto medio del segmento de recta tangente comprendido en tre las asíntotas.

44.

Demostrar que que el triángulo formado por una tangente cualquiera a una hipérbola y sus asíntotas tiene un afea constante.

45.

Hallar las rectas tangentes a la curva perpendiculares a la recta:

2

2

3x - 4 y + 24 = 0

«)ue sean

2* + y * 7 .

46.

En un punto P, excepto el vértice de una hipérbola equilátera se traza una norma que corta al eje focal en el punto Q . Si R es el centro de la h.pérbola, demostrar que |RP| = | PQ| .

47.

Las tangentes en los vértices de una hipérbola cortan a otra recta tan­ gente en los puntos M y N. Demostrar que M, N y los focos de la hi­ pérbola se encuentran sobre una misma circunferencia .

48.

El semieje menor de una hipérbola mide 3 unidades, y su excentricidad es >5 . Hallar la distancia focal.

49.

Demostrar que la suma de los cuadrados de los recíprocos de las excen tricidades de dos hipérbolas conjugadas es igual a 1 .

50.

Hallar la distancia de los focos de una hipérbola a una asíntota.

Hipérbola*

C a p .S

51.

427

Si desde un puhto exterior Q = (r, s)

se trazan tangentes a una hipér

bola, el segmento que une los puntos de contacto se llama CUERDA DE CONTACTO del punto Q para dicha hipérbola. Demostrar que si Q = 2 2 2 2 (r, s) es un punto exterior a (* /a ) - (y /b ) * 1 , la ecuación de la Cuerda de Contacto de 52. Hallar la ecuación de

Q es:

(r/a2)x - (s/b2)i/ = 1 .

la Cuerda de

Contacto del punto

(2, -4)

de la

hipérbola

3x2 - 2y2 = 3 . 2 53. Probar que r/s = e , donde r es la distancia entre las directri­ ces, s es la distancia entre los focos, y e la excentricidad de una hipérbola. 54.

Probar que una asíntota, una directriz y la recta que pasa por el corres pondiente foco, perpendicular a la asíntota, son concurrentes.

55.

Desde cualquier punto P = (r, s) sobre una hipérbola se trazauna rec­ ta paralela a una asíntota, que corta a la directriz D en el punto R. Demostrar que el triángulo RPF es isósceles. SUG:

Probar que

|PR | = |PF|

56.

Sean M y quier do F

AP y A'P segmentos que cortan a una directriz D en los puntos N , respect., donde A1A es el eje mayor y P = (r, s) es cual­ punto de la hipérbola. Probar que el ángulo MFN es recto, sien el foco correspondiente a la directriz D .

57.

Con respecto al Ejercicio previo, si P‘ = (r, -s) es el punto simétri­ co a P = (r, s) en el lado opuesto del eje transverso, probar que AP es perpendicular a A'P' , y también que AP' es perpendicular a A‘P , siempre }ue la hipérbola sea equilátera. SUG:

ProDar que

(m4P){m, „<) * ju- ftr

Análogamente se prueba que 58.

(—r -—a )(— +— a } =

-1 , pues a = b.

AP' _L A'P .

Probar que el producto üe las longitudes de los vectores focales de cual^ quier punto (r, s) sobre una hipérbola equilátera, es el cuadrado de la distancia desde el centro a dicho punto. SUG:

Probar que

|FP||FTP| =

(r^2 - a)(r. 2 + a)

= r2 + s ? ,

para la rama derecha. 59.

Tome cualquier cuerda P'P rectangular. SUG :

paralela al eje conjugado de una hipérbola

Probar que los ángulos

P'AP y P'A'P son suplementarios.

Es equivalente a probar que los ángulos de las pendientes de AP

428

InVwducciOn at AnátÍA<¿ Matemáiicu

y A'P son complementarios cuadrante):

Cap. t

(por simetría, tomar

(r, s) en el primer

tan (90° - are tan [s/(r - a)]) = cot tan [s/(r - a)] = = (r - a)/s = (r2 - a2)/[s(r + a)] =

s/(r + a).

60. Se trazan perpendiculares desde cualquier punto P - (r, s) de una hi­ pérbola a sus dos asíntotas. Probar que el producto deestasdos distan cias perpendiculares es una constante, independiente de r y s . Deter minar además cuál es esta constante, tomando un punto particular, tal como uno de los vértices. . . i t I(r/a) - (s/b)| |(r/a) + (s/b) | a b2 SUu . ■ ■* - — 2— /(l/a)2 + (1/b)2 / (1/a)2 + (1/b)2 c 61. Por el punto

P = (r, s) de una hipérbola se traza una recta paralela

al eje conjugado. Si esta recta corta a las asíntotas en M y bar que SUG ■

|MP |-1NP | es una cemítante. , independiente de r y Si M = (r, br/a), |MP|.|ÑP|

d 2.

-

{£

N = (r, -br/a), - S ) ( £ ♦ s)

N , pro s .

probar que .

b2 .

El punto P se mueve de manera que el triángulo formado por dos rectas fijas perpendiculares y una recta que tiene a P como su punto medio, tiene un área constante. ¿ Cuál es el lugar geumétrico del punto P ? RPT : Si se toman dos rectas fijas

como los Ejes X y Y,

P = (x, y) le

punto medio, los extremo* del tercer lado del triángulo son (2x, 0), (0, 2y) y el área resulta (1/2) |2x 11 Zty| = a2 (¡vuLa coivitante.). El lugar geométrico consiste de dos hipérbolas equiláteras con las rectas dadas como asíntotas (todos los cuatro cuadrantes). 63.

a) El punto P se mueve de manera que su distancia a una recta fija L es igual a la distancia desde un punto fijo A, el pie de esta dis­ tancia perpendicular. ¿Cuál es el lugar geométrico de este punto? b) ¿ Cuál es el lugar geométrico, si estas distancias no pero su cociente es una constante diferente de RPT:

(b) Tome L como el Eje Y, A = (a,0), 2

2

son iguales

1 ?

P = (x, y),

entonces

2 2

a * y = b x . El lugar geométrico es una hipérbola con la recta dada como eje conjugado. Si b = 1, ésta es la parte (a) y el lugar geométrico es una hipérbola equilátera con A como un vértice. 64.

Sea RR* una cuerda paralela al eje menor de una elipse. Se une un extre mo del eje mayor a R , y el otro vértice a R‘ . Se prolongan estas rec­ tas hasta intersectarse en P. Cuando RR‘ recorre la elipse, siempre per

Cap.i

Hipéibutai

429

P = (x, y)

maneciendo paralelo al eje menor , ¿qué curva recorre

?

SU6: Considere una elipse en posición standard al Eje X, y sea

R =

(r, s) , entonces R‘ es (r, -s) y r2/a2 + s2/b2 = 1 , A'R : yr - (* + a)s = -ay , AR‘ : yr + (x-a)s = ay , ==&

2

r = a /x , 1 =

s =

r /a2

ay/x

,

y como además: y2/b¿ =1

+ s2/b2 = a2/x2 + a2y2/(b2x2)= > x2/a2 -

65.

Para las propiedades de una elipse, de los problemas38-(a), (b), 41 y 42 de la Serie de Problenas Propuestos para elipses, probar que las hipérbolas satisfacen las mismas propiedades.

66.

Desde los focos de una hipérbola se trazan dos distancias perpendicula­ res a la recta tangente en el punto

(r, s) .

Probar que el producto de estas distancias esuna constante. Determinar además esta constante considerando un caso particular. el problema [4.23] , resuelto en el texto. 67.

La tangente en el punto asíntotas. Probar que: a)

Ver

(r, s) a una hipérbola es cortada por las dos

(r, s) es el punto meaio de este segmento de recta tangente.

b) el área del triángulo formado por este segmento de recta tangente con las asíntotas es una constante independiente de r y s. Deter minar además el valor de esta constante con un caso particular. RPTA: a)

La tangente

2

2

{rx/a ) - (sy/b ) = 1

x/a = y/ b

corta a la asíntota:

en el punto: ^

a

b

j

(r/a) - (s/b) ’ (r/a) -(s/b) Probar que el punto medio tiene abscisa: (l/2)(a/[(r/a) - (s/b)] + a/[(r/a) + (s/b)]) = r y ordenada igual as. d

)

El área es i (1/2) [(-ab/1) - (ab/1)] = ab lar tome la recta tangente en un vértice.

. Como caso particu­

68.

Hallar las tangentes de pendiente m = 3 a la hipérbola

69.

Hallar las dos tangentes desde (1,-2) a la hipérbola

70.

Hallar la condición sobre m y b para que la recta sea tangente a la hipérbola:

71.

2

2

4x - y ■= 5. 2

2

x - 2y y =

=2.

mx + b

(x2/a2) - (y2/b2) = 1 .

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes comunes a las curvas:

IntiuducctÓH at

430

72.

Cap.í

Calcular la longitud de un cuadrado inscrito en la hipérbola 2

2

y /b » 1

73.

MaXemáXi u

2

* /a

2

-

. Analice sobre qué hipérbolas se puede inscribir un cuadrado.

Hallar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = 2 i {3/2){ *-1)

y que pasa por

(5, -9/2) .

74.

Los vértices de una cónica son los puntos (1,2) y (5,6). Si su excen tricidad es e = /2 , hallar su ecuación vectorial y las de sus direc­ trices. 75. Dada la elipse (x + 2)2 + (y - l)2/5 = 1 , hallar la ecuación de la hi­ pérbola uno de cuyos vértices coincide con el centro de la elipse, sa­ biendo además que las asíntotas de la hipérbola se cortan en un punto de la elipse y cada una pasa por un foco de la misma.

Encuentre todas

las soluciones posibles. 76.

Dadas las hipérbolas conjugadas

2 2

2 2

* /b - y /a =1,

2 2

y /a

2 2

- x /b =

1, el Srea del rectángulo cuyos vértices son los vértices de las hipér­ bolas dadas es 3 u2 y los lados rectos miden 288unidades. Hallar los valores de a y b . 77.

Los focos de una hipérbola son los extremo» del lado recto de la paráboO la y * 12 = 4
78.

Hallar e1 área del paralelogramo limitado por las asíntotasde la hipér bola 100x2 - 4y2 = 400, y las rectas trazadas por cualquiera de sus puntos y paralelas a sus asíntotas.

79. La recta , 0) y

2x = y+ 4 (-3, 0).

es tangente a la hipérbola cuyos focos son

(3,

Hallar su ecuación.

80. Las asíntotas de una hipérbola H cuyo eje focal es paralelo al Eje

X

son 2y = x + 8. 2y + x + 4 = 0. Hallar la ecuación de H sabiendo que el producto de las distancias de cualquier punto de H a las asíntotas es 8/5 . SU6: Ver el Problema 26. 81. 82.

83.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas a la hipérbola x2 - 4i/2 = 18 desde P = (6, 3/2) . Dada la recta x - 2y = -3, y el punto F = (-9,-3), hallar la ecuación de la hipérbola cuyo centro es C = (3, 3) sabiendo fue F es uno de los focos y que su semieje transverso mide 2/5 , y su semieje conjugado 2 . Dada la recta

4x - 3y - 2 = 0, y

ción vectorial de la cónica,

F = (-2, 4),

determinar la ecua -

sabiendo que la recta dadaes una

directrices de la cónica, y F el foco correspondiente,

siendo su

delas excen

Cap.t

tricidad 84.

e = 3/Z . y su excentricidad es 5/4.

2

y /6 = 1

2

2 x /4

2y - 4x + 1 = 0 .

que son paralelas a la recta

Los focos de la elipse

y

Hallar su ecuación.

Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola -

86.

(11, -7/2)

Los extremos del lado recto de una rói.ica son los puntos (11, 11/2)

85.

431

Hipéfibvtas

2

(* + 3) /16 + {y +5) /9 = 1

son los vértices

de una hipérbola, y a su vez los focos de ésta última coinciden con los vértices de la elipse. Determinar la ecuación vectorial de la hipérbo­ la y de sus directrices. 2

2

x /25 - y /16 = 1

87.

Hallar los puntos de intersección de la hipérbola con la recta 4x - 3y = 16 .

88.

Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola trazadas desde (-1, -7) .

89.

La ecuación de una cónica es (x-a) /a“ = 1 + (y-b) /b . La pen­ diente de la recta tangente a la hipérbola, en el punto cuya abscisa es 3a y cuya ordenada es negativa, es -2 . Hallar la excentricidad.

90.

Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los vértices de la e

2

2

2

2

9

2

* - j /Í' = 16 , 2

2

lipse 64x + 100í/ = 6400 , y cuyas directrices pasan por los focos de ésta. 91.

hallar la ecuación de la elipse que tiene sus focos en los vértices de la hipérbola cuyas asíntotas y directrices son y = ± (3/2)x , y y = í 4 , respectivamente , y los vértices de la elipse son los fo­ cos de la hipérbola.

92. Calcular el área del cuadrilátero que tiene por vértices los focos y los extremos del eje conjugado de la hipérbola:

4x2 - Sy2 = 36 .

93. En una hipérbola de excentricidad 7 y de directriz 3x - Ay + 5 = 0 , calcular la distancia del pünto (-1, 1) de la hipérbola, al foco. 94. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por síntotas son:

x = 1/2

y

(1, -4) ,

y cuyas a-

y - -3/2 .

95. Hallar la ecuación vectorial de una hipérbola equilátera que tiene un foco en 96.

Si

F = (3,0)

y por directriz correspondiente a :

x - 2y = 0 .

(a, b) es el punto de intersección de las asíntotas de la hipérbola

4x2 - 24xy + 11y2 * 56x - 58y - 5 ,

hallar

a + b . (Factorizar).

97. Una eliose y una hipérbola tienen sus focos en (2,0) y (-2,0) . Si sus excentricidades son 1/4 y 4 respect., encontrar sus puntos de

Cap.i

I>ifii>duiic(i>n al A 'át
432

intersección. 98.

Hallar el valor de

k para que la ecuación

2

2

2x - k*/ + Zy - 2 ■ 0 ,

represante dos rectas que se cortan. 99.

Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen y con eje conjugado en el Eje X, si sus asíntotas son:

y - t (4/3)x

y la dis

tancia entre sus rectas directrices es de 48/5 . 100. Dados

f2 = (2,3)

Fj = (1,4),

los focos de una elipse E, se toma

un punto (3, y) en E donde y > 1 , tal que el triángulo formado por dicho punto y los focos de E tenga un área de 3/2 u2. Hallar la ecuación vectorial

y

la excentricidad de una hipérbola

H

que tiene u

no de sus vértices en el punto (3, y) sabiendo que la recta tangente a la elipse en el punto (3, y) es perpendicular al eje focal de H, que la excentricidad de E es la inversa de la de H , y que el otro vértice de H tiene coordenadas (x, 2) y pertenece a la elipse E . 101. Las asíntotas de la hipérbola H cuyo eje focal es paralelo al Eje X, son: 2
E es la elipse cuyos focos son (0,2) y (-6,2), y elárea del rectán guio circunscrito a E, cuyos lados son paralelos a los ejes focal y normal de E, es 80 u . Sea H la hipérbola cuyas asíntotas son los e jes focal y normal de E, tal que el eje transverso de H tiene pendien te positiva, yPe = (-7,0) e H , a)Hallar la ecuación de

103.

de

E,b)

La ecuación

e)

La ecuaciónde una de las directrices de H .

H

, d)

El eje transverso

c)

La recta tangente a

de H , H

en P0 ,

y

Sea C la cónica tal que su excentricidad es e = 1/5 (= c/a) , y la recta L ■ { (t - 65, 2 - 2t) / t e R } es una de sus direc­ trices correspondiente al foco

(-4, 0) ,

a) Hallar la otra directriz . b) Hallar la excentricidad de la hipérbola H cuyos focos y vértices son, respectivamente, los vértices y los focos de C . c) La directriz derecha de H . 104.

Q= (11. 3) es el centro de un cuadrado uno de cuyos lados está sobre L: 3x - iy - -4.

Si Q es el centro de las hipérbolas conjugadas H y

Cap. i

433

Hipéi bottu

y H* cuyas asíntotas son

las diagonales del cuadrado y L

es tangen

te a H , calcular a) la ecuación de uno de los lados del cuadrado, perpendicular a la recta dada, b) las ecuaciones de H y H ‘ , c) las ecuaciones de las rectas directrices de K. 105.

-4), P2 = (3, 4), P3 = (4.3, -3^3). Considere , 1-2, Lj . las rectas que contienen las alturas del triángulo equilátero P1P2P3 trazadas de los vértices Pj, P2, P3 respectivamente. Sea

Sean Pj = (-3,

una parábola, E una elipse y C una circunferencia. El eje de coincide con L2. El centro de E (excentricidad l/»3) está en L[ . Además, Lj es tangente a P y C en Pj , L2 es tangente a E y C en P2 , y L3 es tangente a í5 yE en P3 . Hallar a) la cuación de C, o) la ecuación de P , c) las longitudes a y b los semiejes mayor y menor de E . 106.

ede

Dada lahipérbola H ,uno de cuyos focos es (2, 0), si la recta L : (11, 9)* t(-1, 1), es la directriz de H correspondiente al otro fo­ co. Hallar la ecuación vectorial de H si la excentricidad de la hi­ pérbola conjugada de H es /2 . 2

2

107. Dada la elipse E : 4x + 9y = 72 . Sea H una hipérbola cuyas asín totas son la recta normal y la recta tangente a la elipse en el punto (3, 2). Si el eje transverso de la hipérbola no corta al 4to. cuadran te, y la distancia entre las directrices de H es 4v2 . hallar la ecuación de H y de las rectcs que contienen los lados rectos de H . 108. Sea

C una circunferencia con centro en

F0, el cual a su vez es cen­

tro de la hipérbola H . Se sabe que C corta a las asíntotas Je H en (5, 45) y (101, -27), que (65, 25) e C , el vector direccional del eje transverso tiene sus componentes del mismo signo y el lado recto mide 90 unidades de longitud.

Hallar la ecuación de H .

109. Sea H una hipérbola equilátera. El punto Pi = (-20, 36) e H , cuyo centro es F0 = (-17, -60), y la recta que pasa por estos dos puntos forma con el eje focal de H un ángulo cuya tangente es 4/5 . Si el eje focal tiene pendiente positiva, hallar la ecuación de H y de sus asíntotas.

110. Los extremos del lado recto de la parábola *P

cuya ecuación es “p :

U, y) = (-3, 4) + x'[(4, 3)/5] ♦ y’ [(-3, 4)/5] , x ' 2 » - 20y' , son los focos de una hipérbola H , donde L : 4>c + 3y - 2 = 0 es una directriz de H , hallar la ecuación de H

y de sus asíntotas.

1ntiwducc iú>i a¿ Ai:áJ

434

111.

MatmnáXxco

Cap. 8

Hallar la ecuación de la hipérbola con ejes paralelos a los ejes coor­ denados y centro en el origen, sabiendo que la distancia entre los fo­ cos es de 12 unid, delongitud, y el lado recto mide 5/6 de dicha d.^tancia.

Indicar las dos soluciones.

112. El punto ces es

Fc = (11, 3) es el centro de un cuadrado uno decuyos vért^ Q = (18, 2).

Si además

Fc es el centro de una hipérboia

cuyas asíntotas son las diagonales del cuadrado y si

H

Cp ¿ (FCQ ) = a ,

siendo ü el vector unitario de rotación de coordenadas (con ambas componentes positivas) del sistema XY al sistema X’Y' con origen en Fc , y donde a = 4/2

es la longitud del semieje transverso, hallar

a) la ecuación de H , b) los focos , 113. Sea H una hipérbola de excentricidad y

3 . Sean

P1 = (6/2, 6/2) e H

- 6*2) e H , tales que PjP2 es paralelo al eje focal

u = (-6i'2,

de H . Si

c) las directrices de H .

F0

es el centro de la hipérbola y el triángulo isósceles

PlP2F0 de base PjP2 , tiene como altura a

| PjP2 | , hallar la ecua -

ción de H y de sus asíntotas. LLAVE DE RESPUESTAS 2. a) c) e)

(x-2)¿/16 - [y -4)2/9 = 1 {y* 3)2/25 - (x- 1)2/144 = 1 [y- 2)2/64 - x2/225 = 1

g) i) k)

(x - 1)2/21 - (y + l)2/4 = 1 (y * 4)2/17 - (x - 3)2/64 = 1 (y - l)2/25 - (x + 3)2/24 = 1

(y2/9) - (x-3)¿/7 = 1 c) 48x2 + 48xi/ + 28y - 216x + 304« + :391 = 0 o 2 2 . e) x2 - 3y2 - 4x + 14
3. a)

4. x2 - y2 = 12 ,

5.

x2 - y2 = 7

xG ■ í (a/e) J 2e2 - 1

6. Cuatro Soluciones: 7. 9x2 - 16y2 = 144

,11.

ya -

t (b/e) J 2e2 - 1

9(x-2)2 - 7(i/+l)2

12.

4* +3y

= 20 ,

4x - 3
14.

120° ,

15.

16.

a) x2/36 - y2/45 =

1 , b)

17.

a) 15x + ✓!y = 20

, b)

x - (2/2 )y = 1

, b)

9y = 2x + 4 ,

= 63

13.(5, -16/3),

(-15/4, 3)

2 •'T/ 3 , vi

18.

a) 3x ♦ lOy = 32

23.

x2 -4y2 - 2x + By * 8 =

37.

tan 6 =5/3,

38.

x2/25 - y2/ W

0 , 7x2

24. -4y2 =

y=

28

=

1,

c)

9x2 - 8y2 = 72

.

c)

2x - y = 4

21.

5.

i (16/9)x

13

Cap. i

435

HipiribuÍJU

i 2 16x~ - 9 y - 14400 , pues

<»0. Rama derecha de la hipérbola

Costo de Producción + Costo de Entrega ,

Costo (P) =

de donde resulta:

[(x + 50)2 + i/2 ]1/2 - [(x - 50)2 * y2 ] 1/2 = 60 41.

(3,4),

45.

50. Distancia de 52. 6x + 8y = 3

y = (-l/2)x i 4

,

48.

3 /5

(c, 0) a la recta bx - ay = 0

es igual a: b .

56. AP : y

= s(x-a)/(r-a) intersecta a D en el punto 2 M = (a /c , as(a - c)/[c(r - a)] ) ; de igual forma 2 N = (a /c , as(a + c)/[c(r + a)] ) ;probar que mMF'm NF = _1

70. B2 = a2m2

- b2 ,

72. 2ab / b 2 - a2

73. 4(y - 2)2 - 9(x - l)2 = 25 ,

79. 4x2 - by2 = 20 ,

78.10 u2 , 81. x - 6 = 0 ,

, (esposible si

b> a )

77. 9(y - 3)2/16 -9(x - 2)2/128 (x + 6)2/8 -(y

80.

= 1

- 2)2/2 = 1

5x - By - 18 = 0

82. llx2 - 16y2 + 36xi/ + 114x + 132y + 224= 0 83. 64x2 + 208x + 19y2 + 292y + 216xy+364 89. e = c/a = / 1 + (b/a)2 = 2 , 99.

9y2 - 16x2 = 54 ,

96.

93.

=0 84/5 ,

98.

(a, b) = (-2/5, 11/5),

IDO. c = (3/2, 7/2) , e = /lo ,

ü =

(1, l)//2 ,

k = 1/2 a + b = 9/5

2x,2/9 - 2y,2/8l = 1

101. (x + 6)2/24 - (
(x + 3)2/25 + (y - 2)2/16

=

1

b) T : (-3, 2) + t(t, 1) . c) x'2 - y '¿ = 12 . ú = (1, l)//2 F0 = (-3, 2) , d) L : y1 = 2x‘ +_6 L : (0, -7 - 6/2) + t(l, -3) e) D : 103.

(-3, 2) i /6 G + tú-1- ,

a) L2 :(48, 26) b) C =

104.

(-8/5. 6/5)+ t(l,

a) L l 2 :

e = 5 ,

C = (11, 3) C = (11, 3)

- y ,2/120 = 1

, x'2 - y '2 = 25 , , x,¿ - y '2 - 25

(11, 3) i [(-3, 4)//2 J + t(4, 3)

105. C : (x + 4/3 )2 + {y - 3/3 )2 = 100 , 9 : ( 4 / 3 + 9 , 1 2 - 3 / 3 )/(10/3 ) , V

x,2/25

-2)

(11. 3) i (4, 3) + t(-3, 4)

b) H : ü = (3. -4)/5 , H': ü = (4. 3)/5 , c) 0 :

(1, ^ / / “ÍO

+ t(l, -2)

(-2, 1) ,u * (2, l)//5,

D2 :

ü =

G = (4/3/3 , -3/3/3 )

= G + (5/3/6)ü , y '2 = 4px‘ ; de la figura en

X'Y1 el

436

InViuducción a l A n á J Maíemá'^ct

punto P3 = (|VM¡, 5) , K . y'o) = (5/3/6, 5)

M = punto medio entre ==>

E:

Pj y P3 , y asi

p = 5/3/2 ,

La ecuación de la parábola elipse

Cap. 8

resulta

íP:y,2 = 10/3x' , y de la

ü = (P3 - P2) X / 10

i/,2/75 + x ,2/50 = 1 ,

Fo = t(P2 + P3)/Z] * [(10//3)(P3 - ¡P2tX /10] 106. 107.

x'2 - y '2 =

6 ,

ü = (1, \)/<'l

H : x'2 - y‘ 2 =

16 ,

ü = (5, l)//26 ,

H:

Lados rectos

L:

x,2/6400 - y ,2/3600

= 1,

109.

x'2- y '2 = 452 ,

¡i = (3, 4)/5 ,

110.

c -

111.

10 ,C = (0, 0) , a x'2/4 - y '2/96 = 1 ,

c =6 ,

b2 - 5a

C = (8, 6) C = (3, 2) ,

(3, 2) i [ 4 /2 (5, 1)//26 ] + t (-1, 5) ,

108.

a)

,

,

ü = (3, 4)/5 ,

C = (5, -55)

C = (-17, -60)

= 2 ,

b=

b) A ^ 2 :

a= 4 ,

teR

b =

4.'6 ,

ü

= (4,3)/5 ,

t(aü i b ü J') , t e R

2/3 :

5x2 - Ay2 = 80 ,Sy2 - 4x2 = 80 112.

113.

F0 = (11, 3) , ri =

F0 i 8¡¡ ,

para

¿ = 1,2.

a) ü = (4, 3)/5 , :

ü=(1. l)//2

,

c=

* 6/2.

3a , a

:F0 + t( aü i bü

F„ =

12/2(1,-1), b

) ,

= 24 , teR,

x‘2 - y '2 = 32 (x, y) = F0 i 4¡¡ + t(-3, 4) ,

Pl = (12, 24)’ ,

x,2/72 - y,2/576 = 1 para

í

=

1,2.

,

t e R

La Ecuación General di Segundo Guiado

Cap. S

8

437

LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO En las secciones anteriores hjmos visto que cuando el

coeficienteB tomaba 2

el valor CERO las ecuaciones de 2°

2

A* + Bxy + Cy * Dx + Ey ♦ F ■ 0

grado de la forma:

(donde el término mixto xy no aparecía)

representaban ya sea una circun¿eAe.nda, una parábola, una elipse, una hi Tal es el caso de las ecuacio

pírbola ó uncaso degenerado de estas curvas.

4x2 + y2 = 0 ,

nes

2

2

x + y

x2 -

y2 * 0 . x2 - 9 - 0 ,

{y - l)2

= 0 ,

y de

+ 1 = 0 , que corresponden, respectivamente, a un punto, dot

rectas que te contan,dot metas paruuLelo^, una tola, recta y el conjunto vacío 2

en el plano IR .

B t 0, SIEMPRE

En esta sección demostraremos que si

ES POSIBLE elegir un nuevo sistema cartesiano X'Y' mediante una rotación de los ejes XY donde la ecuación transformada de la curva general oe 2° grado 2

2

Ax + Bxy + Cy lo

+ Dx +Ey * F * 0

carezca del término mixto x'y‘

,

con

cual se habrádemostrado que todi ecuación de segundo grado con B

f

0

también repxesenta alguna de tai curvas amiba mencionadas (ó de tus casos de generados),

excepto por su posiciónen el plano R

8.1 EJEHPLO

Dada la ecuación

.

xy - 8 = 0

,

encontrar su ecuación

transformada si se rotan los ejes en 45°. So l u c i ó n

6 = 45° . El vector unitario de rotación

G = (eos 6, sene) = las fórmulas de transformación de coordenadas. (x, y) = x'u ♦ y'ü1 x

x' - y' = -- — —

ü está dado por

(1, l)//2

■ x'fd. l)//2] ♦ y'[(-i, l)//2] ,

. Luego, por

= >

x' + y' y = -------= — ,

y que al reemplazar en la eción original xy = 8 gene

^ ra la ecuación

Graficarla.

x' - a ' x' + u' ( - _ )( _ )= 8 /2 n

= ►

x

2

~T

4

u‘

2

~

‘

4

1

‘

la cual reconocemos como la ecuación de una hipérbola equilátera con longitu­ des de los semiejes a * b = 4 , y donde ya no aparece el producto mixto : x'y' . Según la gráfica correspondiente (que aparece en la siguiente pág.) si se elige el vector opuesto u - (-1, -l)//2 da será la misma

(-1, -l)//2

como un nuevo vector de rotación

se puede verificar rápidamente que la ecuación transforma­ (*) . En cambio, si se elige

ü = i (-1, l)//2

, el or

La Ecuación GenestaZ de Segundo Gxado

43B

Cap. t

togonal de los anteriores, entonces geométricamente también podemos deducir que la ecuación transfor­ mada de la misma curva se rá:

pues el eje focal resulta rS paralelo al Eje Y* en otra figura correspondien te a este vector ortogonal G « i (-1, l)//2 8.2

,

y que invitamos al lector a bosquejarla como Ejercicio.

REDUCCION DE LA FORflA CüADteTICA A SU FORflA DIAGONAL

A X 2 ♦ BXY + C Y 2

X ^ ' 2 ♦ X 2 Y' 2

Con respecto a la Ecuación General de Segundo Grado: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F - 0 analicemos en primer lugar el problema de reducir DRATICA

Ax2 + Bxy + Cy2

.. (1)

.. {*)

o transformar la FORMA CUA

a su FORMA DIAGONAL

Xjx'2 ♦ X2y'2 ,

para lo cual hallaremos la rotación de coordenadas adecuada mediante un vec­ tor unitario u de rotación, el cual será construido en los pasos que siguen a continuación. Sea ü * (eos 6, sen 8) tal vector unitario, entonces la e cuación de

ROTACION PURA:

+ y'ü-1-

que es equivalente al par de ecuacionesx = x'ut - y‘u2 y « x'u2 ♦ y‘ ul al reemplazar en

(1)

produce la relación:

Ax2 + Bxy + Cy2 *

Xjx'2 ♦ B'x'y* + X2y'2

Xj *

Au2«•BUjU2 + Cu2 ■

u • (Auj + | Bu 2 ,

B' *

Bu2♦2(C-A)uiu2 - 8u2 - 2 G-L -(Au 1 +

.

de donde (verificar):

^ Bu(+ Cu2) | Bu 2, | But +

, Cu2)

Cap.

La Ecuación GznViaL dt Segundo Guiado

i

X2 » Cu2 - Butu2 + Au2

439

.

En estas relaciones encontraremos conúiciones para hacer que

B‘ = 0

. Si

consideramos al vector v * ut(A, | B) + u2( | B . C) resultará que

ü1 •v

0

Au

1

(AUj + | Bu

2 ( ü X ■ v ) , por (**).

B'

B' » 0

=

<==>

Bu, + Cu,)

Luego,

v es paralelo a ü

(v múltiplo real de ü )

En esta última relación trataremos de hallar los númeA.o¿ /¡.ealti A que la satisfacen. En forma equivalente, se tiene que: v = Aú <: > u^(A, 2 B) + u2( 2

^1

= A(Uj, u2)

Ul(A - A, i B) + u2(| B, C - A)

-

(0, 0)

ü es ortogonal a la vez a (A - A, B/2)

«=*>

(A - A, B/2) X • (B/2, C - A)

=0

«=>

(-B/2, A - A) • (B/2, C - A)

-0

(B/2, C -

(A - A)(C - A) - (B2/4)

0

u ^ B ) + u2(C - A)

0

u • (A - A , ^ B/

-- ( 1)

ü • (| B „ C - A)

• • (2 )

(A - A , B/Z)

c=>

y

Uj(A - A) + u2( k B)

como a

{B/2, C - A)

A) son paralelos

- 0

A2 - (A + C)A - [(B2 - 4ACJ/4J

= 0

Esta última ecuación cuadrática en la incógnita

A

• (C) , denotada por (C) es

llamada la ECUACION CARACTERISTICA de la Forma Cuadrática Ax2 + Buy + asi como de la A2 son llamadas 8.3

NOTA

Ecuación General de 2o Grado (*).

Sus raíces *1 >

RAICES CARACTERISTICAS.

El Discriminante de la Ecuación Característica (C) : (A + C)2 + (B2 - 4AC)

*

(A - C)2 + B2

resulta

>0

,

pues es una suma de dos (cuadrados) números no negativos, y

440

La Ecuación GinviaL de Segundo Gnado

será POSITIVO si

B/0

ó si

Cap. i

A/C.

8.4 EJERCICIO ■- Demostrar que si Aj

y A2 sonlasajüjlm cxLXacXeXUticM,

de la Ecuación de Segundo Grado (*), entonces a)

B

b)

B = 0

c)

SiB=0

f

0

t

d)

= >

y

At t

.

A = C

Ai = x2 ’ A

y A ¿ C

,entonces:

A2y [ { Aj ■ A

Aj ♦ A2

A2 - C )

( Aj " C

6

y

A2 » A ) ]

.

Utilizando la NOTA [8.3] y la forma de las raíces de la ecuación

A>c

y

= A + C .

SOLUCIÓN

X .

A2

A2 - (A + C)A - [(B2 - 4ACJ/4] = 0

, que son

♦ / [ A - C ) ¡ .J Í 2

entonces existirán dos raíces reales distintas Aj y sión dentro del radical es POSITIVA,

A2si es que la

es decir, siB t 0

ósi

expre

At C .

Pero

si la expresión dentro del radical es CERO, entonces existirá una sola raíz doble (es decir,

Aj = A2 * A ) , y ello ocurrirá si es que

A = C . De esta manera, hemos demostrado (a) y (b).

B *0

y

La prueba de (c) y (d)

se siguen de la expresión (S). 8.5

ELECCION DEL VECTOR UNITARIO DE ROTACION DE EJES ADECUADO Regresando a los pasos seguidos para obtener la E -

CUACION CARACTERISTICA (C) en [B.2], vemos que el vector unitariode rotación G adecuado es el que satisface ya sea la ecuación ü ■ (A - A , B/2) = 0 ,

ó el que satisface

ü ■ (B/2, A - C) = 0 .

Por lo tanto, se puede elegir como ü al vector unitario paralelo al (A - A , B/2) X +

ó el vector unitario paralelo al vector (B/2 , Aj - A ) 1(B/2 . A, - A) |

_

+

(B/2, C-

vector A )X

( A2 - C, B/2) |( A2 - C. B/2 ) |

:

441

La Ecuac¿2n Gmejuit de. Segu ido G/iado

Cap. S

Además, se puede verificar que vector

(X2 - C, B/2)

(B/2, Xj - A)-(X2

y el

-C. B/2)*(B/2)[( X2- C) + (Xt- A)] ■

Xt + X2 ■

(B/2, Xt - A)

¿on oitogonalu , en todos los casos. En efecto.

(B/2) [( Xj + X2) - (A + C)] » 0

A + C , por (d) de

, pues

[B.4].

Por lo tanto, los vectores de laprimera fórmula [con (+) y con (-)],

son or

tognnales a los de la secunda fórmula. 8 .6

C O N S E C U E N C IA S

IM P O R T A N T E S

Con respecto a las fórmulas dadas- Dara EJERCICIO a)

Bt 0,

Si

u , y usando el

[8.‘Jj previo, tenemos que, Xj f X2 , y por lo tanto, para la

entonces

primera

fórmula, Xt puede ser elegido co mo cualquiera de las dos raíces características, y por consiguiente, pa ra la segunda fórmula X2 corresponderá a la otra raíz. Oe esta manera se obtienen cuaVi~ vectores

ü posibles

en cuyas direcciones se consi­

gue la DIAGONAUZACION. b)

B* 0

Si

y

A f C ,

Xjaquella raíz

entonces Xj f X2 también,

que no coincide con

y en la prime­

ra fórmula se elige para A , pues sino (B/2, Xj - A) se­

ría = (0, 0) , y no sepodría construir el vector ü de esta forma. Por lo tanto, si Xj es elige tal que Xj f A entonces la otra raíz es la que coincide con A :

X2 = A

, de donde resulta

X2

+ C .

De esta forma también es posible construir cuatru direcciones en las que la forma cuadrática general (*) esté DIAGONALIZADA. Asimismo, note en este caso que, siendo B 2

2

Ax + Bxy + C(/

2

= Ax + Cy

2

0,

la forma cuadrática :

, ya está d.agonal izada, aún cuando

existirán otras tres direcciones en las que seguirá siendo Diagonal.c)

Si B = 0 ü =

y

A=C,

entonces las fórmulas dadas para el vector ü no son aplicables, pues resultaría que

(0, 0), lo cual es absurdo.

Lo que ocurre en este caso, es que

PARA T0V0 VECTOR UNITARIO u = (u , u2) , la forma cuadrática Ae¿-íttúA¿ d¿agoruu*.¿ada .

n zmp>ie

En efecto, de las fórmulas de Rotación de Co-

La Ecuación Generai de Segundo Grado

442

A*2 + Cy2 « A(*2 +■ y2)

ordenadas [8.2] :

Cap. S

■

- AÍIí'Uj - y'u2) 1 * (*‘u2 + i/'Uj)2] - A [ (*‘2 +
,

pues

u2 + u2 =

1 ,

- A*’2 + Ay'2 = A*'2 + Cy'2 . 8.7

El caso (c) no será contemplado en la teoría que resumimos a continuación, pero todos los resultados serán válidos aún

M O TA

para este caso, con excepción de la fórmula para

8 .8

TEO REM A

2 2 Ax + Bxt/ + Cy

Dada la forma cuadrática

A

G .

,

¿iempre e¿ po4¿b¿e encontrar un vector unitario

G

de rotación de coordenadas, que la reduce a la FOR HA DIAGONAL

,

*

,2

,

* x2 y

.2

*

donde .

+

(B/2.

- A)

siendo

lI * 2 las raíces de la ECUACION

1(8/2. h - A) |

CARACTERISTICA : X2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4] = 0

8.9

NOTA

En este TEOREMA A [8.8], raíz

para el vector

Aj conjo aquella tal que

en que

B «0 .

Si

G

se elige la

AL t A , para el caso

8 f 0 , no hay ningún problema en

elegir cualquiera de las dos raíces (distintas) 8.10

C O R O L A R IO

A

:

como Aj .

En general, eligiendo cualquiera de los signos, 51

. . (B/2, A. - A) u = I ---------------

es el vec

ll

tor unita

rio de rotación de coordenadas XY, que D1AG0NALIZA la forma cuadráti­ ca de la Ecuación General de Segundo Grado (*), entonces existen 4

La Ecuación Genual de Segundo Guada

Cap. S

cuatro vectores unitarios

u diferentes que satisfacen dicha propiedad de

DIAGONALIZACIDN, y s o n : ..................... - J. u1 - u , u 2 ’ - u , u 3 - u 8.11

NOTA

8.12

COROLARIO

La NOTA [8.9] B :

443

también se aplica aquí.

Las raíces CA

- J. yu^--u

y

X2

de la ECUACION CARACTERISTI­

satisfacen las siguientes propiedades:

a)

Aj +■ X2 *

b)

Xt X2

A +■ C

- - (B2 - 4AC)/4 .

La prueba es directa pues la ECUACION CARACTERISTICA es una ecuación cuadrá­ tica enunavariable: X2 - (A + C)X - [(82 - 4AC)/4] = 0 . 8.13C0r0LAR>0

C :

Si Xj y

X2 son las raíces de la Ecuación Carac­

terística, entonces los vectores (B/2 , X2 - A) SOLUCIÓN

Probaremos que

(B/2 , Xj - A) y

son ortogonales.

(B/2, Xj - A) • (B/2 , X2 - A) = 0

:

(B/2, Xt - A) •(B/2, X2 -A) = (B2/4) ♦ (Xj - A)(X2 - A) =

(B2/4) + \l \2 - (Xt+ X2)A + A2

=

(82/4) - [(B2 - 4AC)/4] - (A + C)A + A2

= 0 ,

debido al COROLARIO B. B.14

NOTA Este COROLARIO C [8.13] para el caso de

es muy importante en la práctica B f 0

en

Ax

2

2

+■ Bxy + Cy , pues para

el vector ü se puede elegir cualquiera de las dos raíces características como Xj , fijada la cual se obtendrán dos vectores unitarios [uno con elsigno (+), y el otro conel signo (-)] que producirán lamisma ionmadiagonal

^

¡2

^

¡2

Pero si se elige la otra raíz característica como Xj entonces se obtendrín otros dos vectores unitarios (que resultarán ORTOGONALES a los anteriores dos, por dicho Corolario), que producirán la misma forma diagonal: *1

+ ^2 y'

f

que será diferente a la anterior pues ahora X( es la otra raíz.

La Ecuación GeneAol de Segundo Guado

444

8.15

PROBLEMA

Cap. S 3x2 + Zxy + 2y2 ,

Diagonali;tar la forma cuadrática:

encontrando las cuatro direcciones del nuevo semieje X’ en las que ocurre la diagonalización. Graficar la 3x2 + Zxy + 3y2 = 16 .

ecuación So l u c i ó n

A =■ 3,

B = 2,

C - 3,

A - 6A + 8 = 0 ■ (A - 2)( A - 4) Si primero consideramos cuadrática dada resulta

X2 - (A + C)X - [(B2 - 4AC)/4] - 0 raíces caracter.:

A » 2 , A ■ 4 .

Aj * 2 , X2 = 4 , la forma diagonal de la forma A, x '2 * A2 y '2

Zx ,2 + 4y '2

16

que por la teoría dada, y se puede verificar fácilmente, es obtenida al rotar los ejes XY en cualquiera de las dos direcciones siguientes: . _

+

(B/2 , At - A)

i (1. - D / / 2

|(B/2 , Aj - A) | La ecuación resultante

Zx'

2

+ 4y'

2

* 16 , es equivalente a la ecuación

,. 2

8 que viene a ser la ecuación de la elipse con semieje mayor paralelo al Eje X' [en la misma dirección que cualquiera de los vectores y de longitud a * /8 trada en el origen:

ü = t (1, -l)//2 ]

* 2 Jí , y semieje menor de longitud

Ahora, si se hubiese considerado

Aj = 4

y

A2 = 2

b = 2 , cen

(en este nuevo orden)

la forma diagonal de la ecuación dada resultaría: .2

+ A2 y '2 = 16

4x ■2 ♦ 2«/,2

16

. y que

Cap.

La Ecuación Genital de Seguido Grado

S

445

por la teoría dada se obtiene de rotar los ejes XY en cualquiera de las dos direcciones siguientes

x - A) ü

-

í ------- -—

--------

=

I(B/2 , A l - A)|

(ortogonales a las dos anteilores) y '2

-- + — = 4 8

í

(1, l ) / / 2

y la ecuación resultante equivalente a 1

representa a una elipse con el eje focal paralelo al Eje Y' (en rección de cualquiera de los vectores longitudes

j = /8 * 2/2

y

la misma di­

ü ■ - (1, l)//2 ) , con semiejes de

b = 2,

centrada en el origen, como se pue

de apreciar en los dos gráficos siguientes:

Por lo tanto, las cuatro 1 recciones buscadas son: ¡3! = (1, -l)//2,

8.16

PROBLEMA

Solución .-

ü2 = (-1, l)//2.

í¡3 = (1. l)//2,

u4 = (-1, -l)//2 .

Hallar las tres rotaciones de los ejes XY en las cua2

2

les la forma cuadrática

3x - 5y

en alguna forma diagonal.

Encontrar todas estas- formad

continúa estando

Notamos que la forma cuadrática dada ya es diagonal, y ello

indica que si se dejan intactos los ejes XY, sin rotarlos, obtenemos esta misma forma cuadrática; es decir, ü = (1, 0) = i , W0 HAY ROTACION . Y por el COROLARIO A [8.10], las otras tres direcciones serán: u2 = - u 1 = l

U,

J3

*

(-1. 0 )

■ (0. 1)

3x‘

Sy'2

2y'2 - 5x'2

= 3x2 - 5¡/2

La Ecuación Ge.neAal de. Segando Cfiado

446 í¡4 - - ü 1

'

(0. -1)

:

3y '2 - 5*'2

...

Usando el procedimiento de diagonalización A = 3, B= 0, C = -5 , A + C » -2 , A2

2A -15 ■ 0 = (A - 3)( A +■ 5)

Ai = 3 , A2 * -5 , y como

Cap, o .

se tendría: X2 - (A + C)A -[(B2 - 4AC)/4]

=^>

A = 3 y A ■ -5

B = 0 , se tiene que

= (0, 0) , y no serla posible construir el vector ces, por la NOTA [8.9] del TEOREMA A, eligiendo

.

* 0

Sielegimos

(B/2, At - A) = (0, 3 - 3) ú con la fórmula, enton­ Aj = -5 , A2 = 3 , se so­

luciona el problema, y en tal caso: . (B/2, A! -A) (0. -5-3) u =■ I --------í----- - I -------- |(B/2, At - A)| |(0, -8)|

t „ - í (0, -1)

Tomando estosdos vectores (0, 1) y (0, -1) la forma diagonal correspon­ diente a ambos vectores de rotación es: Aj x'2 + X2 y '2

=■- 5x‘2 + 3y'2

que corresponde a los vectores ü3

y

ü4hallados

antes.

Y por el CPROl ARIO A , los otros dos vectores de rotación buscados son: i y * í (1, 0) 2

3x - by 8.17

2

, en cuyo caso la forma diagonal resultante

3x'2 - 5y'2 «

coincide con la original.

PROBLEMA

Encontrar analíticamente los vectores unitarios

u , de

rotación de coordenadas, que diagonal icen la ecuación xy = 8

cuadrática So l u c i ó n .-

a

* o,

b=

i,

c = o.

A2 - (1/4) > 0 = * tanto, el vector ü

. _ .

i»«.

-(a +

.

.

A, - f l ) |

1

2

1

2

- j y'

z

- [(b 2 - 4a c )/4 ] = o

A2 - -1/2 ,

por lo

im . m

,

r'2

* 8

= >

z

.

| ( l / 2 , 1/ 2) |

y la ecuación diagonalizada resultante será: ■j x'

c )a

1/2 ,

será: , - »>

1 ( B/ 2,

a2

Aj -

.

— 16

ALx'

2

+ X2 y

2

= 8

:

,,'2

y

- — 16

=

1

,

que representa

una hipérbola con el eje focal paralelo al Eje X', en la misma dirección del vector ción.

„ = (1, l)//2 Note que si

tal como en el primer problema resuelto de esta sec

u = -(1, l))//2 , entonces se obtiene la misma forma

diagonal . Los ot^os dos vectores buscados son los ortogonales a ü ; es de

La Ecuación General de Seguidi v/iadc

Cap. S cir

8.18

(-1, l)//2

y

447

(1, -l)//2 .

TEOREMA DE LOS INVARIANTES

Para cualquier rotación de coor­ denadas determinada por el vec­

tor unitario ü = (ut, u2) > y que, en general, transforma la ecua riñn

9

9

Hx¿ + Bxy + Z y * D* + Ey + F

= 0

..

(*)

..

(**)

en la ecuación A1x12 + B'x1!/' + Z 'y '2 * D'x' * E 'y‘ * F' (donde a) c)

A' + C* = , , D'2 ♦ E'2 =

En particular, si A 1 y C' los

A + C , , D2 + E2

b)

De

B'

,

, -B- 4AC

- 4A'C*

son las raíces características de (*) ,se tienen

resultados del COROLARIO B [8.12] , pues

Prueba

0

B'puede ser igual ó distinto de cero) , se tiene que:

B‘ = 0 .

(*, y) = x*¡¡ + y 'ü L

í

* =

1

y

x'uj - y ' u2

= x’u2 + y ' u l ,

y que al ri emplazar en (*), e identificar coeficientes resulta que: A' • Au2 + Buju2 + Cu2

,

B' = Bu2 + 2(C - A)uju2 - Bu2 C' =

Cu2 - Büj U2 + A u 2

, ,

D‘ =

Duj + Eu2

E' =

-Du2 + Eut

F1= 2

F

2

De estas relaciones, y sabiendo que Uj + u2 = 1 , pues u es unitario, se obtienen las tres identidades buscadas. (Favor de verificar los cálculos). Debido a este resultado es que en toda ECUACION GE NERAL DE SEGUNDO GRADO a las expresiones se les llama

A + C .

INVARIANTES de la ecuación (*),

B2 - 4AC

y

D2 + E2

con respecto a rotaciones de

los ejes coordenados. B.19

EJERCICIO :

Identificar y bosquejar la gráfica de la ecuación 17x2 - 312xy * lORy2 = - 900 .

Solución

a = 17 , b = -312 , c = ios :

X2 - (A + C) X - [(B2 - 4flC)/4 ] = 0 (X + 100)( X - 225) = 0

=*

=5“ Aj = -100 ,

a + c = 125 , X2 - 125 X - 22 500 = 0 A., = 225 .

Asi, el vec

La Ecuación

448

Grnzra. de Segundo Grado

Cap. S

tor ü de diagonalización resulta .

_

,

w

. y

I(B/2,

. l

.

,

i - ;» .- m i ,

- A)|

,

; ( < J ) / 5

_

|(-156, -117)1

aquí, elegimos el sino (+) por comodidad. ción cuadrática diagonal izada es: -100*'2 + 225¡/‘2 - -900

Pero , para ambos signos la ecua

=*

que viene a ser la ecuación de una hipérbola con semieje mayor paralelo al Eje X‘ , paralelo alvectorü * (4, 3)/5 , de longitud a = 3, con semieje menor de longitud b = 2, y con centro en el o rigen de coordenadas NOTA .- En este Ejercicio previo pudo haberse elegido Xj = 225 , y X2 = -100 , y la fórmula para ü proporcionará dosvectoresunitarios ortogonales a los dos anteriores

(por el COROLARIO C [B.133) • En

efecto, u ■

+

(B/2. Xt - A)

_+ (-156, 208)

‘ |(B/2, Xj - A) |

'

_+

|(-156, 208)|

Esta situación siempre se presenta cuando B f 0 en (*). 8.20

OBSERVACIONES Cuando la Ecuación de 2° Grado que se analiza es A*2 + Bxy * Cy2 * f

= 0

que viene a ser la Ecuación (*) aonde y D = E = 0 , entonces, cualquiera de los signos ü = i(B/2,

que seelija enla fórmula para el vector

Xt - A)/|(B/2,

Xj*'2 + \2 y '2 * F = 0

B t 0 ,

para Xt fijo, ü

con :

- A) | , la ecuación diagonalizada : n° variará.

Pero, si se elige como

X, a la o

tra raíz característica, entonces la fórmula para ¡¡ proporcionará un vector unitario diferente

(pues

/ X2 , y corresponderá a los dos vectores u-

nitarios ortogonales a los del primer caso), y la ecuación diagonalizada re­ sultante

_ Xlx

+ x2»

, + F = 0

será diferente a la anterior, pues ahora

Aj

es la otra raíz.

Cap. S 9

La Ecuación Ger.&w de Segundo Guido

449

TRANSFORMACION DE LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO Consideraremos ahora la Ecuación General de 2° Grado: A*2 + Bxy +■ C y2 + Dx + Ey ♦ F = 0

(*)

la cual será transformada a la forma especial siguiente: Xjx'2 + \2 y '2 + D'x' + E V

+ r

= 0

...

(«*)

,

meoiante una notación de l a e
Aj y

A2 .

En este caso general todo el problema consiste en tra tar de conocer los nuevos coeficientes D‘, E‘ y F ‘ en (**), para lo cual tenemos que al reemplazar , » . ,-X > , H v (x, y) » x'u + y u , o x = x'uj - y u2 y

» x'u2 ♦ y 'Uj

en (*) e identificar coeficientes con los de (**), resulta que (y se puede verificar rápidamente) : D' *

Duj + E u2

>

ó equivalentemente

E' = -Du2 + Euj F' =

Así, obtenemos la Ecuación reducida (**) , la cual, en el caso en que ambas Aj y X2 ¿e.j.n diitintaA de ceAO, por una traslación de los ejes X‘Y' (com­ pletando cuadrados) cuación

puede transformarse, en unos nuevos ejes X"Y" , en la e-

. „2 „2 Xt x- + A2 y” + F” « 0

...

, (»»»)

9.1 ANALISIS DE LA ECUACION REDUCIDA (**) CASO I :

Aj y

x2

tienen eí miimo ¿'.gno .

Aj -A2

=

Es decir,

- (B2 - 4AC)/4

> 0

,

lo cual' in

dica uue la gráfica de la ecuación (**) puede ser como sigue: a)

Si

Aj = A2 = A ,

( ==>

B »0

y

A = C ) , t-om-

pletaodo cuadrados en (**) obti .ie..¡oü (***) cuya gráfica corresponde a: una coicun(i2Aencia, un punto ó al conjun te vade (no existe gráfica en el plano).

Los dos últimos

La Ecuación General de Segundo Gxado

450

Cap. t

son llamados "caéoi dec,%., pjiadt t de una cÍA.cun¿eAencia". Xj f X2

b) Si

, y tienen ambas el mismo signo, entonces

también completando cuadrados en (**) obtenemos (***) cuya gráfica puede corresponder a una ELIPSE, un punto ó al conjunto vacio.

Los dos últimos son también llamados "c0404 degenerado4 de una elipie".

CASO II :

*i'*2 * O

(Una de las raíces es igual a CERO). A j -^2

Entonces,

= (4AC - B2)/4 - O

en cuyo caso (**)

puede tomar una de las formas siguientes:

a)

= O:

X2 y '2 * D1*' + E V

b)

X2 = O :

+ F'

=

O

X2 x'2 + D'x' + í 'y ' + F‘

»

O ,

y si D' y E' son diferentes de CERO, entonces (a) y (b) representan Parábolos ; pero si O' = O en (a) , ó E‘ » O en (b), la gráfica corresponde a: dot rectos pa ralelas, una ¿ola m_ta (o sea, dos rectas coinciaentes), ó al conjunto vacío, los que vienen a ser los "cosoí dege nenadot di una paAábola".

CASO III :

Xj y

x2

tienen ¿ignoi di(¡eAente¿ .

*1 ' *2

*

2

Es decir,

-(B - 4AC)/4

so la ecuación transformada

Xt x"

2

< O

+■ X2 y"

2

, en cuyo ca + F" = 0

representa una HIPERBOLA , ó dot rectos no paralelos, que viene a ser el "el caio degenerado de una hipérbola" (las su­ puestas asíntotas)9.2 TEOREMA a) b) c)

Oada la Ecuación General de 2o Grado (*):

Si B2 - 4AC < O Si B2 - 4AC = O Si B2 - 4AC’ > O

, entonces (*) , entonces (*) , entonces (*)

representa una ELIPSE . representa una PARABOLA , representa una HIPERBOLA ,

ó alguno de lo¿ caso* degenerado¿ de eitai cónicas. La técnica completa de la "DIAGONALIZACION" cuación General de 2° Grado

de la E

(*) , la resumimos en el siguiente Teorema.

Cap. S 9.3

La Ecuación General de Segundo Grado

TEOREMA B

451

La Ecuación General de 2° Grado Ax2 + Buy *■Cy2 * Dx + íy * F - 0

.. (*)

es transformada en la ecuación xi*'2 * X2 y ' 2 + D ’*’ * Ev

* r

'

0

•• (**)

mediante una rotación de los ejes XY que origina la ECUACION CARACTERISTICA: X2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4] coeficientes

Aj y X2

* 0

de (**) , con una de las cuales se obtiene el vec

tor unitario de rotación de coordenadas:

+

ü Además, los coeficientes F'

, cuyas raíces son los

(B/2, At - A) I(B/2, Aj - A)|

D’. E' y

son obtenidos por las fórmulas :

D1 ■

(D. E) - ü

E1 -

(0. E) •

F'

9.4

NOTA

9.5

EJERCICIO :

F

Si D y E son ambos ceros,entonces también ambos ceros.

D‘ y E'

son

Encontrar todos los ángulos en los que hay que rotar el eje X oara diagonal izar la ecuación x2 - 2/3x0 + 3y2 - 8 / 3 x -By -

0

.

e identificar la curva a = i. b = - 2/3 , c = 3, d - -b/3 , e - - b ,

Solución A2

-(A + C) A - [(B2 - 4AC)/4] = 0

Aj

■4 ,

. , .

A2 * 0 m .

.

= >

El vector unitario

»,-»)

.

de

donde

de rotaciónde ejes será:

, I--1.3)

,}

_

2/3

I(B/2, Aj - A) | y eligiendo el signo (■•■) por la ecuación transformadaresult¡>: 4x'2 + D'x' + V y ' * F’ * 0

A2 - 4A - 0 , ü

f-o,

comodidad: u -(-1, /3)/2 ,( B*120° ) y j[12 t ^ y,2 + Dlj[, t E,y, + p, _ q . ,

donde

D',

D’ = (D, E) • ü > (-8/3, -8) • (-1, /3)/2

E' y F' son obtenidos de: =

0

.

,y

Cap. t

La Ecuación General de Segundo Guado

452 V

- (D. E) - ü F’ * F ■ D

-

(-8/3, -8) • (-/3, -l)/2

- 16.

Por lo tanto, la ecuación (*) se reduce a 4j[12 + U y . . Q > es decir jc*2

- - 4«/*

cuya gráfica es una parábola con el eje focal paralelo al Eje V, pero abriéndose hacia la parte negativa de Y* . Por el COROLA­ RIO B [8.12], los otros Sngulos de rotación de los ejes XY que también diagonal izan la ecuaclór. original son. a) Para -ü « (1, -/¿)/2 , 6 ■ 120° , y en el nuevo sistema de ejes para este Sngulo la ecuación resulta: x'2 = 4i/' lo cufl se puede verificar y sea analíticamente ó directamente de la figura. b) Para

ü

=

(-/3, -1 )/2 ,

6 * 210° , y en este nuevo sistema de

ejes X'Y', para este Sogulo, se tiene

,.2

-4x‘ bién se puede verificar ya sea gráfj^ camente 6 analíticamente mediante las fórmulas del TEOREMA B [9.3], pues este es el caso y Az ■ 4 , y el vector de rotación es: í (B/2, A1 -A)/|(B/2, A| - A) | =í (-/3,-l)/2

, lo cual tam

enque

At* 0 . con {+),

asi resulta D' ■ (D, E) • ü • 16 , E‘* (D, E)- ü*0 ,F‘ * 0 . Luego, la ecuación reducida ser? y '2 = - 4x' . que ya 4i/,2 + 16x* ■ 0 =*> había sido hallada. c) Para - ü » ( /3, l)/2 , B ■ 30° , y en estos nuevos ejes X'Y' , la ecuación de la parábola resulta: , lo cual pue 4x' de verificarse gráficamente, ó anal| ticamente considerando el signo (-) para el vector unitario de (b).

■ F

La Ecimc. ¿ i General de Segando Grado

Cap. t

9.6

COROLARIO

453

En la Ecuación General de 2° Grado A*2 ♦ Bty * Cy2 + 0* ♦ ty + F

*

0

basta que uno de los coeficientes D to de cero para que la ecuación ‘diagonalizada" reducida: Xj*'2 + X2 y’ 2 * D ‘x‘ ♦ E 'y ' * F*

6E

..

(*)

sea distin­

» D

sea diferente para cada uno de los cuatro ángulos de rotación de ejes que dia gonalizan la forma cuadrática en (*). Una aplicación de este COROLARIO lo podemos ver claramente el EJERCICIO [9.5] previo. 9.7

EJERCICIO

Hallar la excentricidad, el centro y las ecuaciones vec toriales de las asíntotas (si existen) de lacónica: 4x2 - 24xi/ ♦ lly2 * 56x - 58i/

Solución

a = 4,

b-

(X - 20)(X ♦ 5) " 0

==►

===»

Xj ■ 20,

X2 - 15 X -100 - 0 X2 * - 5 ,

ü » t (B/2,Xt - A)/ |(B/2, Xj - A)| * ú « (-3, 4)/5 . Asi, F=-5

es

t (-3, 4)/5

u:

. Elegimos

el

O 1- (D, E) ■ ü - (56, -58) -(-3. 4)/5 » -80 . E* - (D, E) - ü -1- - (56, -58)-(-4, -3)/5 =

-80x‘ - 10y' - 5 *

(x* - 2)2 (y1 + l)2 ------- - ------- » 1 4 16

X'Y'

y el vector

- 10 ,

.. HIPERBOLA eje X' ,

0

, que al

COMPLETARCUAIKAVCSs

con el eje fjcal paralelo al 2 2 2 a = 2, b = 4, cL = a¿ + b ,

e ■ c/a = /5 . Elcentro de la hipérbola conrespecto a C ■ (h'. k1) ■ (2, -1) , y para conocer las coordenadas

losejes de

C

en el sistema XY aplicaremos la fórmula de rotación de coordenadas: (h, k) = h'ü * k 'ü L

* (2)[(-3, 4)/5] + (-1)[(—4, -3)/5] = (-2/5, 11/5).

Las asíntotas tienen las ecuaciones vectoriales siguientes: (x, y) * = 2x- Ui/ ■

L' : P =

=>

L" : P =

sit

. ¥la ecuación reducida resulta:

20x12 -5y '2

c = 2/5,

» 5.

- 24,c - 11, d » 56, e = -58, f - -5 - f-

X2 - (A +C)X - [(B2 - 4ACJ/4] » 0

F' =

en

C + t(au + bu X ) , t e IR , [ ó «/+1 = |^(x'-2)] (-2/5. 11/5) + t (-22/5, -4/51 , t e IR (-2/5. 11/5) + t(11. 2) , t e R . -25 . La otrarecta asíntota tiene ecuación:

(x, y) = C + t(aü - büX ) = (-2/5, 11/5)

♦ t(2, 4) .

t e

IR

La Ecuación GeneAat de Segando Gxado

454 LM :

P ■ (x, y) =

(-2/5. 11/5) + t(l, 2) .

9.8 EJERCICIO

t e R

,

(x, y)

= 0 .

b - 2, c = 0. d - / I ,e » 3/ 2 ,

a = o.

X2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4]

- 0,

G * (1, l)//2 ,

B - 45° ,

X2

,

= -1 .

y eligiendo el

y los coeficientes

D' * (D, E) • G

- { SÍ, 3/2)-(l,

= 4,

E' = (D, E)- ÜX

= ( S i , 3/2) *(-1, l)//2

- 2 ,

obteniéndose asi la ecuación reducida:

.

3= f1

f-

X2 - 1 -0 , Xj = 1 ,

¡j » 1 (B/2, xt - A)/ t(B/2, Xj - A) | = t (1, l)//2 signo (+):

es decir.

Identificar la gráfica del conjunto de puntos que satisfacen la ecuación: /2x ♦ Zxy + 3/21/ ♦ 3

Solución

Cap. t

2

F1 = F = 3

,

2

Xjx’ + X2¡/’ + D'x' + V y ' ♦ F' = 0

x'2 _ y '2 + 4x' + 2i/' + 3 = 0 (x* + 2)2 - (
(y‘ - 1) =

=» ■

corresponde a DOS RECTAS QUE SE CORTAN,

i (*' + 2)

,

cuyas ecuaciones en el sistema

que XV

se obtienen reemplazando x

=

y'

=

ciones Lj :

(x, y)- G * (x, y)■ ü X (y' -

1) =

x = -3//2

= (x +

y )/S Í

=(x,«/)-(—1, l)//2 * {y -

x)//2

(x, !/) (l, l)//2

í (x1 + 2) , ,

, en las ecua­

obteniéndose

L2 :y = -1/^2

,

que son dos rectas perpen

La Ecuación GenenaZ de Segundo Gtiado

Cap. t

455

diculares, una vertical y la otra horizontal. 9.9

EJERCICIO

Identificar la gráfica correspondiente a la ecuación: 5x2 + 10xy + 5y2 + 20/2x + Z O /ly + 40 - 0 . a = 5. b - 10. c - 5.

Solución B2 - 4AC

d - e » 20/2 ,f - 40 . Como

■ 100 - 4(25) - 0 , entonces por [9.2]

la gráfica podría resui

tar una PARABOLA , ó alguno de sus casos degenerados. A2 - (A

C) A - [(B2 - 4AC//4] - 0 .

Veamos,

10 A » 0.

A

10

.

0

,

ü ■ 1 (B/2, Aj - A)/ |(B/2, Aj - A)| ■ 1(1. l)//2 . Elegimos el signo (♦), (1. l)//2 .

D‘ - (D, E)•ü

(2C '2. 20 / 2)•(1, l)//2

40

E' - (D. E) - G X

(20/2. 20/2)• (-1, l)//2

0

y asi la ecuación reducida resulta 10x,Z ♦ 40x’ +40

(con

F1 * F « 40 ) :

»0

x'2 ♦ 4x‘ ♦ 4 - 0 (x1 + 2)2 - 0 que corresponde a una sola recta vertical en el siste ma X'Y' : y siendo

x‘ - (x. y) • ü - U + y )tñ

entonces la gráfica coincide con la recta L : x + y ■ -2/2 . 9.10

EJERCICIO

Hallar la excentricidad y las ecuaciones de las direc­ trices de la cónica cuya ecuación es: 5x2 + 2/3x1/ + 3«/2 + (4-6/3)x - (6 + 4/3)i/ + 8 = 0 .

Solución.8 ,

a =

5, b *

2/ 3,

c - 3.

d - 4 - 6/ 3.

A2 - (A + C)A - [(B2 - 4AC)/4] = 0

(A - 2)(A - 6 ) » 0 ü " ( *'3. l)/2 ,dg

==>

Aj - 6,

Az = 2.

e - -(6 + 4 / 3 ) ,

A - 8A + 12

-

¡¡ - ( B/2 , Aj - A)/| (b/2 , Aj - A) | .

D- - (D. E) - ü = (4-6.3,

0 ,

Verifique que el vector u

-6 - 4/3)-( /3, l)/2

=

-12

Asi , ,

La Ecuación GeneA&> de Segundo Grado

456 V - (D, E) • ú

* (4-6/3, -6 - 4/3) ■{-1, /3)/2 Luego, la ecuación reducida resulta:

F' ■ F = 8 .

6x‘2 + 2y '2 - 12x‘ - üy' * 8 - 0

= »

Cap. t -

-8

,

(x‘ - l)2 ♦ [(«/■ - 2)2/3] « 1 .

cuya gráfica es la ELIPSE con eleje focal paralelo al eje Y', paralelo al vector

ü-1 - (-1, /3)/2 ,

a -/3,

b

- 1,

c* / 2

,

e- /2//3

.

Puesto que el Centro de la Elipse es C ■ (h‘, k') ■ (1, 2)

en el

sistema X'Y1 , entonces las ecua dones de las rectas directrices son:

Lj :y' - 2 ♦ (a/e) Lz :y' * 2 - (a/e)

Y puesto que y'

y

a/e - 3//2 ,

- (x. y) -

O

X

entonces Lt:

/3i/ - x - 4 + 3/2

9.11

EJERCICIO

L2:

/3 y - x - 4 - 3/2 .

Identificar la gráfica de la ecuación 34x2 - 24xi/ ♦ 41i/2 ♦ 20x - 110i/ ♦ 175 - 0 .

Solución

b - - 24, c - 4i,

a - 34,

B2 - 4AC - -5 000

<0

= >

X2 - (A ♦ C) X - [(B2 - 4ACJ/4] - 0 . (X - 50)( X - 25) - 0 ,

=s >

d - 20, e - - 110, f - 175 .

POSIBLE ELIPSE

(po- el TEO.iEMA ¿9.2])

X2 - 75 X + 1250 - 0

,

X! - 50 ,X2 - 25 ,

ü - (B/2, Xj - A)/ |(B/2, Xf - A)| - (-3, 4)/5 D' - (D, E) - ü

■= (20, -110)-(-3, 4)/5

E’ ■ (D, E)- ü'L

*= (20, -110)-(-4, -3)/5 ■

ducida resulta

-

50x'2 +25y '2 - 100x‘ + í>0i/'

50(x' - l)2 + 25(
= *

-100 50 ♦ 175 » 0

.Así,la

ecuación re­

, es decir.

2(x' - l)2 ♦ (
Y como la suma de dos números no negativos no puede ser -4 (negativo) , en­ tonces HO EXISTE GRAFICA PARA ESTA tCUACJON EN El PLANO. El conjunto de pun tos

(x, y)

que la satisface es el CONJUNTO VACIO .

9.12 EJERCICIO

La hipérbola

H:

44x2 + 216xi/ - 19i/2 - 800x - 600i/ -

La Bcuac^ín Genvuit de Segundo G>iado

Cap. S

■ O es tangente a ción de la recta L , Solución

la recta L en el puntoP3 (5, 10), b) y el vértice Vcorrespondiente al punto

a «-44,

X2 - 25X - 12500 - 0 □ // (108, 81): D’ * -1000 , reducida es:

- (A - 125)(A + 100) .

ü - (4. 3)/S .

Xt - 125 , X2- - 100 ,

D’ - (D, E) • ü - -200 (4. 3)(4, 3)/5 F‘ « F * 0 .

en el sistema X'Y' tiene

x' “ (x, y)'

ü - (5. 10)-{4,3)/5 -10

y' “ (x, y)'

ü ■*■ = (5, 10)■ (—3» 4)/5 “ 5

=s >

3[(4x +

= >

P' - (10,

EJERCICIO

(5)(y') - -----20

3«/)/5] - 2[(4«/

5) -

1

- 3x)/5] -

20.

18x ♦ y » 100 . a - 4, V - F0 + aG - (32/5, 24/5).

el sistema XV . Es decir, l : b) De F¿ - (4.0), F -4(4,3)/5. 9.13

{*

coordenadas

recta tangente L : (iq - 4)(x' - 4) -------------16

3x' - 2if' - 20

= >

Luego, la ecuación

(x1 - 4)2 u '2 ‘-----— . -— - i 16 20

125*'2 - lOO*/'2 - lOOOx' - 0 :

NOTE QUE SOLO ESTAMOS USANDO ROTACION ü . SIN TRASLACION DE EJES.

a) De (*), la

a)hallarla ecua P.

b - 216, c - - 19, d - - 800, e - - 600, f - o ,

E' ■ (D, E) • ü■ 0 ,

El punto P * (5, 10)

457

(CASO DEGENERADO OE ELIPSE)

Identificar la gráfi­

ca de la ecuación cuadrática 41 x2 - 24xi/ + 34ii1 + 270x - 140y ♦ 475 * 0 . SOLUCION B2 - 4AC

A - 41, = - 5000 < 0

B * -24, = »

Empezaremos la DIAGONALIZACION

C = 34.

POSIBLE ELIPSE

E = -140.

F =* 475 ,

(por el TEOREMA [9.2] )

resolviendo la ECUACION CARACTERISTICA :

X2 - (A + C)X - | [B2 - 4AC] - O (X - 50)(X - 25) = 0

D = 270.

==»

X2 - 75 X + 1250 = 0

= = » X t - 50 .

X2 = 25

.

.

Con esta elección (arbitraria) de los subíndices delas RAICES CARACTERIS~n CAS . procedemos a hallar el VECTOR UNITARIO ü DE ROTACION DE EJES . que viene a ser un vector unitario paralelo al vector í (-12. 50-41) ü » (4, -3)/5 D* * (D, E)•ü

■= i (-12, 9)

i (B/2, Xj - A)

- ;*3(4,-3).

. Calculamos los coeficientes =(270, -140)-(4, -3)/5

=

E‘ * (D, E)-¡¡X = (270, -140) (3, 4)/5

=

=

Asi, eligiendo (+) : D‘ , E' y

F1 « F :

300 50 .

F*

= F = 475

,

La Ecuatu5n General de Segundo Grado

458 y por el

TEOREMA B [9.3] , la Ecuación Transformada es

50x*2 + 25 1/'2 + 300x' + SOy' + 475 = 0 2x'2 + y '2 + 12x’ ♦ 2y' * 19 = 0 cuya única solución es

.

Dividiendo entre 25 :

= »

x' + 3 * 0

~

2(x’ ♦ 3)2 + (y’ ♦ l)2 « 0 . y* +

1*0

que corresponde a la intersección de las dos rectas y que viene a ser UN UHICO PUNTO. Puesto que x' = (x. y)-ü y' -

Cap. S

(~ :

x’ ■ -3

»

(x, y) -(4. -3)/5

-

(4x - 3y)/S

(x, y) -u"L -

(x, y)-( 3, 4)/5

»

(3x ♦ 4«/)/5

En el sistema

XY

in telecció n

y

)

y' * -1 ,

las dos rectas est5n representadas como

^ 4x - 3y * - 15 { l 3x + 4¡/ * - 5

cuya Intersección (x, y) - (-3, 1) viene a ser justamente la iolución de ette. pan. de e^ua
,

De esta forma, encontramos que la gráfica de laecuación cuadrática dada (x, y) ■

siste del UNICO PUNTO

(-3, 1), y que viene a ser

con

OTRO CA

SO DEGENERAVO VE LA ELIPSE.

9.14 EJERCICIO

(CASODEGENERADO DE PARABCL.J fica de la ecuación cuadrática

A - 4,

B - 4, C « 1.

B2 - 4AC - 1 6 - 1 6 * D Para la DIAGONALIZACION,

= >

Aj = 5 ,

D ■ -12,

P0SI8LE PARABOLA

E = -6,

F = 5 ,

(por el TEOREMA [9.2]).

primero resolveremos la ECUACION CARACTERISTICA :

X2 - (A + C)A - | [B2 - 4AC] - 0

= »

la grá­

♦ 4xi/ ♦ y2- 12x - 6y ♦ 5 = 0 .

4x SOLUCION

Identificar

A2 “ 0

==»

A2 - 5 A

= 0 = A (X - 5)

. Con esta elección (arbitraria) de los subin

dices de las RAICES CARACTERISTICAS , procedemos a hallar el VECTOR UNITA­ RIO ù DE ROTACION DE EJES , el cual viene a ser un vector u..¡Jjvl¿o panate lo al vectoi

+ (B/2, Aj -A) « +(2, 1).

(+), de modo que D' =

(0, E) • ü

- .

- Ahora

- (-12.

E1 = (D, E)- Ü-1 = (-12, Y por el

Por comodidad elegimos el signo calcularemos D' , E' y

-6) •(2, l)//5 > -6/5 -6) •(-1, 2)//5 =

0

,

F' =

TEOREMA B [9.3] , la Ecuación Transformada resulta ser

5x’2 - 6/5 «’ + 5

= 0

F* :

«==>

( / l x ' -3)2 =4 o = »

F = 5

.

La E'iu locón

Cap. 8

<— >

/5x* - 3 * i 2

CíneAol

de. Segnndk

/5x’ ■

3 f 2,

x' = /5

v

459

Cradu

de donde tenemos

x’ = 1//5

( v ■ UNION )

Estas dos ecuaciones representan dos rectas, verticales en el sistema X'Y', y puesto que, por las FORMULAS DE TRANSFORMACION OE COORDENADAS, (ROTACION) x' * (x, y)- ü = (x. i/) •(2, l)//5

-

(2x + i/)//5

entonces las ecuaciones de las dos rectas halladas, en el sistema XV , serán 2x * y » 5

2x

v

+ y = 1

(DOS

RECTAS PARALELAS) .

y la reunión de ambas rectas PARALELAS constituyen OTRO CASO DEGENERADO PE PARABOLA. 9.15

EJERCICIO

Identificar la gráfica de la ecuación cuadrática x2 - 6xi/ ♦ 9y2 * 4x - I2y * 4 ■ 0 -

Compruebe que la ECUACION CARACTERISTICA es

SOLUCION

X2 ■ 10 , transformada es XY , 10

/lOi/' + 2 = D

estas DOS RECTASCOINCIDENTES UNA PROPIEDAD COMUN

X‘ - 10X

ü * (3, 1)//10 , que la ecuación

(de multiplicidad DOBLE). tienen la ecuación

En el sistema

3y - x ° 2

DE LAS SECCIONES CONICAS

De nuestro estudio de las secciones cónicas sabe­ mos que todas ellas tienen la propiedad común de ser conjuntos de puntos P ta’es que EL COCIENTE VE SU DISTANCIA A UN PUNTO FIJO F LLAMAVO FOCO ENTRE SU PISTACIA A UNA RECTA FIJA L LLAMADA DIRECTRIZ es igual a una constante e llamada su EXCENTRICIDAD . Es decir, (*)

rf[P ; l ]

. .

Consideremos la cónica arbitra ria de la figura, donde L :

x * -d

,

F = (0, 0),

P = (*, y) d iP ; F ]

d [P ; L ] = |x + d| Al reemplazar estas expresio­ nes en (*), dan lugar a:

La Ecuación GeneAaZ de Segundo Gttado

460 d[ P ; F] =

e-d[P;L]

Cap. t

/ x2 + y2 ■

= >

e|x + d |,

elevando al cuadrado y dearrollando obtenemos la relación [(1 - e2)x2] * y2 - 2de2x - e2d2 - 0 que se una ecuación cuadrática cuyos coeficientes son: B * 0,

C * 1,luego

B2 - 4AC * -4(1 - e2)

siempre que

A ■ (1 - e2),

, de donde

B2 - 4AC

< 0

B2 - 4AC

* 0

siempre que

0 < e < 1 e * 1

...

PARABOLA

____

B2 - 4AC

> 0

siempre que

e > 1

...

HIPERBOLA

ELIPSE

Asi, obtenemos los siguientes resultados concernientes a la excentricidad de una cónica (ó alguno de sus casos degenerados): -

Si

0<

e < 1

, la gráfica de

(*) es una

ELIPSE

-

Si

e

= 1

, la gráfica de

(*) es una

PARABOLA

-

Si

e

> 1

.la

(*) es una HIPERBOLA .

gráfica de

NOTA .- Estos resultados últimos ya los conocimos cuando tratamos cada cóni­ ca por separado en este capitulo. SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Identificar el tipo de cónica representada por la ecuación: a)

4x2 -

3/Ixi/ ♦ y2 + 3x ’ 9,b) 8x2 + Bxy + Zy2 - 5x - 7y - 4

c)

4x2 +

7xi/

+

3y2

e)

9x2 -

6xi/

*

y2 + 4x - 7y

= 24

.

,d)3x2

-

Zxy *Sy2 -

*0 ,f)7x2

*

llxi/ + Sy2

2. Hallar el vector de rotación de coordenadas ( ü unitario) que representa al ángulo de rotación más pequeño para el cual se diagonal izan las ecuac.: a) 5x2 + 2/3x
b)

3x2 + xy * 3y2 =

1

17 .

NOTA: Considerar los ángulos en sentido antihorarlo. 3. Diagonal izar las formas cuadráticas siguientes: a)

x2 - 3xy ♦ y2

.

3x2 ♦ 4/1 xy - y2,

b)

c) 3x2 + 2xy * 3y2 .

4. En las ecuaciones siguientes, identificar la cónica ó gráfica que represen tan, hallando un vector de rotación de ejes. En los casos no degenerados hallar los vértices, focos, asíntotas y rectas directrices cuando existan. a)

2x2 +

3xi/

♦

Zy2 - x + 1 = 0,b)xy * x

* y=

0 ,

»

Cap. S

La Ecuación Gei qjuJL de Segundo Grado

x2 + /3ty - 1 * 0 , 3x2 + 2/3xi/ + y2

d) x2 + xy+ y2

461

•

3

f) 3x2 + 9y -l /l x y + y2 - 3/3x = 0

-4 ,

3x2 - 4/Ixi/ - y2 + 20y - 25 - 0 . 5x2 - 3xi/ + y2 - (33//IÓ)x + (11//Í0 )y - 0 4xi/ + 3y2 + 2 / 5 x + 4 / 5 i / * 0 4x2 + 12xi/ + 9t/2 + Z/Í3x + 2/131/ - 0 14x2 + 5xi/ + 2t/2 - 2

-

0

1)Slx.y- y2«1

;

,

16x2 - 24xi/ + 9t/2 - 38x - 34i/ + 1 0 1 - 0 25x2 + 120xi/ ♦ 144t/2 ♦ 86x - 233i/ + 270 - 0 25x2 + 120xi/ + 144i/2 - 312x ♦

130i/ +156

- D

25x2 - 30xi/ + 9i/2 + lOx - ky + 1 - 0 2x2 + 12xi/ + lBj/2 + x

+13
4x2 + 12xi/ + 9i/2 - 2x

-Zy + 2 - O

(Dos ecuaciones) .

5. Reducir las ecuaciones siguientes, diagonal izando sus formas cuadráticas: a) 5x2 - 4xi/ + 8i/2

- 36 ,

b) 8x2 - 48xi/

+ 22«/2 - 48x+ 64i/+

40 -0 .

Grafiqut ambas curvas indicando sus focos, vértices, asíntotas y directri­ ces donde correspondan. 6. Reducir las siguientes ecuaciones para identificarlas mediante una rota ción de ejes. Y luego graficarias hallando sus vértices, directrices y ex centricidad en los casos no degenerados, y solamente lagráfica casos degenerados, donde sea posible: 3x2 + 8xi/ - 3«/2 - 20 = 0 ,

b)

50x2 + 80*/2 - 72xy = 104

18x2 + 48xi/ + 32y2 * 320x - 240i/ - 0 , 14x2 - lOOxi/ + 14i/2 - 576 x2 - 2xi/ + y2

+ 8x+ 8y

- 0

x2 + 6xi/ + 9j'2 + 12/l0x - 4/lOy

- 0

9x2 + 12xi/ + 4t/2 - 9/Í3x - 6/l3i/ - 52

= 0

16x2 + 24xi/ + 9i/2 + 80x - 190i/ + 2 5 - 0 frx2 - 4xi/ + 6«/2 - 8/"2x - 8/1!/ * 0 15x2 + 20xy - 44/5x - 32/ 5y + 140 - 0 9x2 + 6xy * y2 - 16/l0x + 28/lÓi/ - 290 25x2 + 36xi/ + /x + fy

=

= 0

40«/2+ 38/l3x + 44/Ui/+169 /a , a > 0 ,

n) /x

= 0

-/¡/ » ✓ a

3x2 - 2xi/ + 3t/2 + 2Í2x - 6/"2i/ + 2 = 0 .

,

a> 0.

paralos

La Ecuación O^nviat di Segundo G/iado

462

7.

Cap. S

Hallar las ecuaciones de las rectas asíntotas, directrices y las coordena das de los focos y vértices de la cónica cuya ecuación es: llx2 - 24«!/ ♦ 4ii2 - 40x ♦ 80i/ ♦ 5 ■ 0 .

8. Después de una rotación de los ejes XY. seguida de una traslación al pun­ to (3,-1), la ecuación de una cónica resulta ser: x>2 _ 2y '2 - 6 y la ecuación de una de sus directrices es la ecuación de la cónica y de la otra directriz.

L: SUG:

3x ♦ 4j/ «

Hallar k .

9. Hallar uno de los ángulos en que es necesario rotar los e.ies para diagona Hzar la forma cuadrática de la ecuación: x2 - 2/ 3x1/ ♦ 3y2 - 8/ 3x - 8y - 0 10. Graficar la ecuación:

17x2 - IZxy ♦ 8i/2 - 22x - 4i/ + 13 * 0 .

11. Hallar la excentricidad de

9x2 - 4xi/ ♦ 6y2 -12x - 4i/ + 4

12. Hallar la excentricidad de

3j/2♦ 16 -4x;/

■ 0

■ 0 . .

13. Indicar exactamente la forma de la gráfica de la ecuación: 16x2 ♦ 24xi/ ♦ 9y2 - 200x - 150i/ + 500 - 0 . 14. Dada la hipérbola:

7x2 + 48xi/ - 7y2 + 20x - 110i/ - 100 « 0 , hallar

las ecuaciones vectoriales de las asíntotas, el centro, la excentricidad, y las ecuaciones vectoriales de las rectas directrices. 15. Identificar el tipo de gráfica de las ecuaciones siguientes:

16.

a) x2 * y2 * x y * x - y “ 3 ,

b) 2x2 - y2 +4xy

c) x2 ♦ 4xy ♦ 4i/2 - 3x - 6 .

d) x2 ♦ y2 ♦3x

¿ Para qué valores de m , la recta bola

xy » -4

y■

x ♦ m

-2x + 3i/ - 6 , - Zy -10 .

determina en la hipér­

una cuerda de 3/2 unidades de lcngitud ?

17.Identificar en forma precisa la gráfica

decada una de las ecuaciones:

a)

5x2 + 6x1/ + 5i/2 - 36x -28» ♦ 68 - 0

b)

3x2 ♦ Zxy ♦ 3y2 ♦ 1 - 0

c) 7*2 ♦ 48xi/ - 7y2 ♦ 80* ♦ 6O1/+100

* 0

d) 9x2 - 24xi/ ♦ I61/2 - 30x ♦ 40i/ ♦ 25 » 0 18. Hallar la excentricidad, focos, vértices, así como las ecuaciones vecto­ riales de las directrices y de las asíntotas, dondb correspondan, en: a)

x2 + 4xi/ ♦ Hy2 ♦ 8x- BAy + 116 * 0 ,

b)

7x2 - Zxy + 70^

d)

20x2 - 120xi/ ♦ 55t/2+ 320x - 210i/ = -2655 .

- 48 .

c) xy - x + y -

5*0,

k .Hal

Cap.

La tcua.cU.Sn Gínenaí de Segundo Gfiado

g

463

4*2 - 4x;/ * y2 - 36« - B2y ♦ 481 »

O .

20. Pruebe que la gráfica de: 7x2 - 6xy - y2 ♦ 28x - I2y ♦ 28 ■ O un par de rectas no paralelas. (Caso degenerado de Hipérbola).

es

19. Identificar la gráfica de:

21.

Dada la ecuación cuadrática general 2

2

con A ♦ B + C

2

>0

2

Ax

2

+ Bxy * Cy ♦ Ox * Ey ♦ F > 0

, demostrar que

a) Si la gráfica es una circunferencia

entonces

A * C

y

B ■ 0 .

b) SI A * C ” D - E “ 0 y B * 1, entonces la gráfica es una hipér­ bola equilátera (siempre que F f 0) cuyas asíntotas coinciden con los ejes coordenados. 22. Dada la cónica

89x2 - g6xi/ + 61
a) encontrar los vértices y

focos,

23. En XY, hallar los vértices, los

b)y las

- 0,

ec. de las directrices.

focos y las directrices de la cónica:

9x2 - 24xi/ ♦ \(¡y2 - 140x + 20y

* 0 .

24. Sea la parábola P: 16x2* 24xi/ ♦ 9t/2 - 135x ♦ una hipérbola tangente a P en el punto P0 cuyaabscisa es mayor 3. de H cidad 25

El eje conjugado de H coincide con el eje de P,

180c/ + 1 que

el centro

F0

dista 5 unidades del vértice V de la parábola. Si la excentH de H es /37/3 , hallar F0 , V y la ecuación de H .

Sea la elipse E: 5x2 - 4x;/ + By2 ♦ 4/5x - 16/5;/ + 4 » 0 . El eje transversal de una hipérbola H no corta al 2do. cuadrante y dista 2/5 unidades del eje mayor de la elipse. SI H pasa por los focos de E , y el producto de las excentricidades es /30/3 , hallar la ecuación de la hipérbola H . 2

2

26. Después de rotar y trasladar los ejes, la ecuación 4x - 12x7 + 9 y * ♦ ax ♦ 1y ♦ b * 0 , donde a y b son constantes, se transforma en 2 y" * 9/52 . Determinarlos valores de a y de b . 2

2

7x - Bxy * y ♦ 12x ♦ f>y - 27 « 0

27. La ecuación

representa dos rec­

tas que se cortan en un punto. Estas rectas son asíntotas de una hipérbo la H . SI el punto P * (-4, 8) pertenece a H , a) hallar la ecua ción de H ,

b) y las ecuaciones de las directrices de H .

28. Hallar la ecuaciónde una elipse E donde el centro F0 * (h, 1), don de la longitud del eje mayor es un entero, la longitud del lado recto es B/5 y las directrices están dadas por la ecuación 4x2 - 4xi/ * y2 - 2Bx ♦ \Hy + 24 = 0 . 29.

Después de una rotación de los ejes

(0 < 6 < n/2) y una traslación

464

La Ecuación G e n v u U de Segundo Guada

al punto P' » (- /?/2, -3/2/2)

Cap. t

en el nuevo sisi.ema, la ecuación

3x2 - 2xi/ ♦ 3¡/2 ♦ 20x + 2E¡/ ♦ F ■ 0

se transforma en la ecuación

(x “2/2) * i/''2 * 1 . Determinar los valores de D, E y

F .

30. Encontrar las coordenadas dt un punto P sobre la elipse

E:

8x

2

- Axy

♦ 5j/2 - 16/5x ♦ 4/5i/ + 4 * 0 , tal que la tangente a E en el punto P sea paralela a la recta que une el extremo superior del eje mayor con el extremo izquierdo del eje menor 2

2

31. La ecuación 9x + lZxy * Ay > 105625/4 representa las directrices de una elipse cuya excentricidad es 4/5 , con el centro en (0,0). a) Hallar la ecuación vectorial de E ,

b)

los vértices en X'Y' , y

c) las coordenadas de los vértices en el sistema XY. 2 32. Dada la ecuación 3x + By - 4 > Axy + 12». identificar la curva, y hallar las coordenadas en el sist&na rotado X'Y' del punto P que tienb como abscisa

x - 1 . (Inaicar una de las soluciones).

33. Sea ?x2 - Axy - y2 - 4x - By + 14 = 0

una hipérbola

H , y sc.a P u

na parabola cuyo vértice coincide con el foco de la parte superior de H, y cuyo foco es el centro de H . Hallar la ecuación vectorial de la pará bola P . 34. Dada la ecuación 4 ' - Axy * ly1 + 12x car la curva. b) En el sistt.na rotado,

+ 6y - 9 • 0 , a) Identifi­ hallar las coordenadas de los

vértices, focos y del centro. Cl a v e

de

Re s p u e s t a s

1. (a) y (c) hipérbolas, 2. a) ü = ( »'3, 3. a)

l)/2 , b)

a) CONJUNTO VACIO,

(d) y (f)

ü = (l,l)//2,

(5/2)x‘2 » (1/2)«/•2 . ü = (1, -1) / ñ *(/3, U/2 .

4.

(b) y (e) parábolas,

c) Ax'2 * 2y '2 , b) Hipérb.:

elipses.

c) ü * (7, l)/(5/2) ,

b)

5x, 2 -3i/1 2 ,

. ü =

G = (l.l)//2 .

(x‘ ♦ /2)2 - y '2 = 2 , ü = (1, l)//2

c) Hipérb.: 3x‘2 - y’ 2 - 2 ,ü = (1, - /3)/2 d) e) f) g)

Elipse: (x,2/Z) + (
h) (*' - l)2 - (y,2/ll) = 1 . i) Hipéro

ü = (3, -l)//l0 : Hipérbola

(y' - 5)2 - 4x'2 = 25 ,

ü = (2, -l)//5

La Ecuación GeneAai de Segundo Gfiado

Cap.

PARABOLA:

( x ' + - ^ ) 2 - i _ (y.

465

ü * (2. 3)//13

k 1

ELIPSE: [«/■2/(4/3)] ♦ [*12/(4/29)] » 1 . ü - (5. l)//26 HIPERBOLA: x'2 - 3y '2 * 2 . ü - (/3, l)/2

m

PARABOLA:

[x*

n

PARABOLA:

[x‘ - (7/13)]2 = (Í/IS»!/1 - 17) ,

o

PARABOLA:

x'2 = -Z[y' +(6/13)]

,

¡j ■ (2, 3)//13 , con el

+2-0

5. a b

9x'2 ♦ Ay'2 - 36 , ü = (1, -2)//5 , 3x - 4y - 5 = 0 , G * (3, -4)/5 ,

6.

x‘2 - y '2 - 4 . ü = (2. l ) / / 5 _ 4x‘2 ♦ y '2 - 8 . G = (-2. 3)//l3 x ,2 » By' , G « (3. 4)/5 16x,Z - 9y'2 = 288 , ü = (1, -l)//2 x'2 ■= -By' , ü - (1, -l)//2 x*2 = 4 y' , ü - (1, 3)//10 x' = 4 v x' = -1 , G * (3, 2)//13 (x1 - l)2 = By' , ü « (4, 3)/5

9 h i j k 1 m

G * (5,

12)/13

. ü =* (5, 12)/13

[«' ♦ (1//TÓ)]2 - -(/lÓ /20)[y' + (3/✓Toj],G-(1.3)//1Ó

q r ) x' - 2//13v x' = -1//13 r ) CONJUNTO VACIO: 13x'2 - / U x '

a b c d e f

ü * (4. -3)/5

x‘ - - 1//34 ,ü - (5. -3)//34

P “PARABOLA": PARABOLA:

- (1/5)]2 = Z(y' - 2) .

sig.(-)

, con el signo (+) .

(y' +2)2 - 2x‘2 = 4 , G - (1, -l)//2 4(x' - 3)2 - [y' + 2)2 = 4 , G = (2, l)//5 (x1 - l)2 = -10(
«(*' +2)2 ♦ ly' - l)2 = 4 , G = (2, 3)//TT La parte de la parábola x'2 = -/2a [ y' + (a/(2> 2))], G=(-l,l)//2 que se encuentra en la región y

La parte de la parábola x'2 = -sZa[y’ + (a/(2/2))], G = (-l,l)//7 que se encuentra en la región y i a - x . NOTE que la reunión de las gráficas de (m) y (n) conforman toda la parábo la x'2 = - /2a [y‘ * (a/(2/2))], G=(-l,l)//2 como vector de rotación, n)

o) 2(x‘ ♦ l)2 +

(y‘ - l)2 =

7.

(y' -4)2 - 4(x‘ llx - Zy = 40 , Vj = (23/5, 14/5),

8.

G = (3, 4)/5 , k = 15, ,, ¿ ,,... o 2

2,

G = (1. -D//2 .

- 2)2 = 1 , G= (4, -3)/5 , Asíntotas: x -2y 0=, Directrices: 3x + Ay = 20 + 2/5 , VERTICES: V2 = (17/5, 6/5) , FOCOS = 1(4 í [3/(2/5)],2 i (2//1)] k = -5 ,

y la ecuación de la cónica resulta:

La LcuaixJn Gene/uU de Segundo Grado

466

9.

6 * 30° ;

11. e • 1//2 ;

Cap. i

10.

Consiste de un único punto P * (1, 1) en XY .

12.

e =* /5/2 ;

13. Dos rectas paralelas: 4x * 3y « 20 , 4x ♦ 3y ■ 30 . 14. Asíntotas: 4« ♦ 3y - 5 * i (4i/ - 3x + 10) , C « (2, -1), Directrices:

e ■ /2

,

L¿: (2, -1) i (/2/2)G + tu"*" , donde ú = (4, 3'/5 .

15. a) Elipse, b) Hipérbola . c) Parábola , d)Circunferencia. 16. m ■ 5 y ■ * -5. 17. a) Un único punto (x, y) « (3, 1), 17. b) Conjunto vacio (NO HAY GRAFICA), c) Dos rectas: 7x - y + 10 * 0 , x + 7y + 10 ■ 0 , d) Una sola recta: 3x - Ay = 5 . 18. [x1 - (16//5)]2 - 4/5 [y' + (7//5)] G = (1. 2)//? , .. b) 3x'2 + Ay'2 » 24 . G - (1, l)//2 , c) x'2 - {y‘ - v i ) 2 = 8 , G - (1, l)//2 , [y' - (13/5)]2 -

d)

4[x' ♦ (9/5)]2 -

100,

(a)

;

ü = (3, -4)/5.

19. Parábola: [x‘ - (1//5)] ■ - % /líy ' + (12//5)] , ü = (-2, l)//5 , só lo rotación . 20. Sólo rotación: G » (-3, 1)/✓To’, 2(5x' - 3/TÜ-) = i (5i/' -/lÓ) 22.

A, - 125,

• 25, ¿¡ ■ (4, -3)/5 , [t*‘ - l)2/5 3 + [(*/■ - 2)2/25 3 = 1 ,

a - 5. b « /5 , c = 2/5 , a) C - ( l , 2 ) , - l u + 2ü-L - ( 2 , l ) , ■ (2, 1) ♦ (3, 4). F¿ - (2, l|f [2/5(3, 4)/5] . b) Directrices D¿: (2, 1) í ( /5/2)j3, 4) + t (4, -3) , t e R . 23. Aj V

= 25,

ü

(x1 + 2)2 - - 4 [y- - 1) .p - 1

= (-3, 4)/5,

■ (-2, 1)' , V » -2G *l G 1 = (2/5, -11/5) . F = V - pG 1 « (| , -|)

Directriz: 24.

A2 - 0.

(x, y) = V ♦ pG"1" + tG » (-2/5, -14/5) ♦ t(-3,4), t e IR

Sea PQ = (x^,, y'0) , entonces por las propiedades de las rectas tangen­ tes a cónicas: G * (4, 3)/5 , Aj = 25, A2 * 0, x'2 = -9(¡/' ♦ 5) , Fc = (0, 0)’ = 0G ♦ 0 G 1

= (0, 0) ,

y¿ « - 14,

x¿ - 9 , (SOLO ROTA­

CION), Pc - (78/5, -29/5) . Hipérbola H: F0 = (0, 0 V = (0.0), además a = 3/2, b = 2/14 , Vértice de la Parábola: V * (0, -5)' * (3, -4) , y la ecuación de la hipérbola H: (x,2/18) + (
, donde

SOLO ROTACION: E: G - (1, -2)//5 . [(x1 + 2)2/4] ♦ [(i/' - l)Z/9] * 1 , e = /5/3 . Hipérbola: G = (1, -2)//5. F0 =(2/5 - 2, 1)' - (2, /5 - 4) Los focos de la elipse ción tonces

(-2, 1 + /5)'

e

H

=» •

satisfacen la ecua­

[(i/* - l)2/a2] - [(x* - (2/5 -2))2/b2] = 1 , y conr e2 * /6 , en a = 1 ,

b = /5

; así, la ecuación de la hipérbola resulta

[Í2x ♦ y -,"5)2/5] - [(x - 2 y * 2/5 - 10)2/25] = 1 .

Cap. t

La Ecuación GineAaZ di Segundo Guido

26.

Aj - 0. A2 - 13.

ü - (3. 2)//13

27.

Aj - 9, A2 * -1 ,

ü * (-2, 1)í ’5

.

a - -2.

,

467

b - -2 .

SOLO ROTACION, la ecuación se re

duce a: 9[x' - (1//5)]2 - [y' + (12//5)]2 - 0. C « ■ (2,5). P ■ (-4,8) » (16//5, -12//5)', que genera

(1//5. -12//T)1 la ecuación de H:

9[x' - (1//5)]2 - [y‘ + (12//5)]2 - 405, asi a - 3/5, b - 9/5 15/2, D¿: x‘ - (1//5) í (3//2), o sea 4x - 2y - -2 i 3/10 .

, c-

28. Aj ■ 5, A2 ■ 0, u * (-2, l)//5,SOLO RCTACI0N , Olrectrlces: x' = -2//I, *• - -12//5, a2/c - / 5, b2 - 4a/5, a3 - 5a ♦ 4 - 0 => a ■ 1, b ■ 2//5, Fc e L: x' » -7//5 = » • Fc ■ (h, 1) e L: ■ -7 , de dcnde F0 ■ (4, 1); c » 1//5 Implica que la elipse tendrá ecuación 4x'2 ♦ 5i/‘2 » 4, donde (x, y) « F„ ♦ x' ü + i/' ü . 29.

Aj - 2, A2 - 4, 5 =>(1, 1)//I ,

2x‘2 ♦ 4^’2 ♦ [(2D + 2E)*'//2] +

+ [2(E - 0)i/7/2] + F = 0 = » (D+E)/(2/2) ■ 1//2, 3//2, = * « D - -5, E - 7, F - 15 . 30. Aj - 4, V

(E-D)/(4/2)

A2 * 9. u ■ (1, 2)//5 , [(x1- l)2/9]♦[(»'+ 2j?/4 ] » (4,-2)' , B * (1,0)' , a - 3,

b- 2,

dades de RECTAS TANGENTES, identificando: ===> y'Q « -2 +/2,

A2 » 0,

1 ,

(x0, yD) ; porpropie

P «

Lj' (x¿ - 1) " (3/2)(i/¿+2) ,

x¿ » (2 + 3/2J/2 , SOLAMFNTE ROTACION: se tiene que

P “ x¿[(l,2)//5] ♦
ü = (3.2)//Í3 ,

((10-/2)//5, 4/2//5) . x‘ - í 25/TI/2 ,

a = 10/13

,

b - 6/13 , c * 8/13 , a) [x,2/1300] +[i/,2/468] = 1 , FQ - (0, O)1 = (0, 0) , SOLO ROTACION. b) V¿ = (+ 10/13 , 0) . c) Vj =■ F ♦ aü = (30. 20), V2 - (-30. -20). 32.

Aj * 4,

A2 ■ -1,

ü « (2, -1)//5 , la gráfica es una hipérbola

:

C(x* - (4//5))2/4] - [(¡/' - (2//5))2/16] ■ 1 . Existe una única solución para P - (1, 13/4) , y es 33. A¡ - 3,

A2 = -2,

c * 2/5 ,

P » (- /5/4 , 3/5/2* .

¡¡ - (2, -l)//5 . H: 2(y' +/ 5 ) 2 - 3x'2 = 24 , lo

que implica que el centro es

F0 = (-1, -2)

F| ■ (0, /5)' « (1, 2) .

en XY

, a * 2/J,

La parábolatiene

b - 2/2

p = 2/5 ,

y

su ecuación: ^ x'2 - - 8 / 5 {y' - / 5 ) , V * Fj - (1, 2) , SOLO ROTACION 5 - (2, -D//5 . 34. Aj * 8, A2 * 3, ü ■* (1, -2)//5 , a) Es una Elipse con ecuación: (x ,2/3) ♦ [(i/' + / 5 ) 2/8] - 1 , b) C = (0,-/5)',

-2x

a - 2/2 ,

b * /3 ,

- (0, -/5) i (0. 2/2),

c » /I ,

f'¿ - (0, -/ 5 ) i (0./ 5 ).

c) En XY: C-(-2. -1). V, - (2/2 - /5)(2, l)//5 , F¡ V2 = (2/2 ♦i 5 )(-2, -1)//! , F2 > (-4. -2).

= (0, 0) ,

468

G to m e V C L a

A n a ~ L t^ ¿ a

Cap. 9

en R 3

9

GEOMETRIA ANALITICA EN R3

1

VECTORES EN EL ESPACIO

El Sistema de Coordenadas en el Espacio está formado por tres Ejes mutuamente ortogonales entre si: X , Y , Z , y que son copias de la RECTA REAL R . El Punto de intersecciónde estos tres ejes, que coincide con el número CERO en cade, une de ellos, es llamado el ORIGEN DE COORDENADAS. A caaa punto nada de números reales

1.1

P de este espacio se le asocia una terna orde­

P = (x, y, z)

SUMA DE VECTORES EN R 3

.-

de la siguiente manera

Dados

¡ = (a,. a2, a3) b

se define la SUMA

a + b

como:

- (bj, b2• b^) *

Cap. 9

GzomeJtAla. AlULtÁXlca en R3

el vector

i * b

*

(at ♦ bj , a2 ♦ b2 . a3 + bj)

1.2 MULTIPLICACION POri UN NUMERO REAL .y el número real 1.3

Ejemplo

.-Si

r

469

e

R , se define

¡ =

(2, 4.

5)

Dado

rá « yb =

mos 3á + 4b - 3(2, 4. 5) = (6. 12. 15)

i -

(a^ a?. a3) .

(ralt ra2, ra3) . (7, 2. -1 )

.

hallare -

♦ 4(7. 2. -1) + (28. 8. -4)

- ( 6 ♦ 28 , 12 + 8. 15 ♦ (-4) ) * ( 34 , 20 . 11 ) . Con estas dos operaciones, el conjunto de ternas orde.iadas de números reales toma el nombre de ESPACIO VECTORIAL REAL TRIDIMENSIONAL R , y sus elemento' á =(aj, a2, a3)son llamadosVECTORES EN EL ESPACIO . En este Espacio Vectorial también se extienda el concepto de la operación del PRODUCTO ESCALAR de dos vectores a y b : a •b

-

(alt a2, a3) •(b^.b2. b3)

Asimismo, tenemos la Iá I =

=

LONGITUD (Ó NORMA)

a^Dj

^2^2 * a3b3

deá = (alt

e

R

a2, a3)

/ a2 + a2 + a?

1-4 OBSERVACIONES Con estas definiciones previas, obtenemos muchas 2 propiedades análogas a las que se tenían en R , como son las de las construcciones geométricas, de la SUMA DE VECTORES , RESTA DE VECTORES, MULTIPLICACION POR UN NUMERO REAL y las del

PRODUCTO

ESCALAR , incluyendo las mismas fórmulas para la PROYECCION ORTOGONAL de un vector en la dirección de otro Cp j; a

Prg á

, y la COMPONENTE ORTOGONAL

, así como la fórmula para el

COSENO del ángulo entre dos vecto

res. 1.5

Ej e m p l o Dados los vectores

entonces

_

Cp - b = a

i = (2, -4, 3) y

( 2 _ (_ 1} f (_ 4j _ 5 t 3 _ 2 j

i •b

- 16

|á|

/ 29

.

b = (-1, 5, 2) ,

(3 . -9 , 1 )

GtumtXJuji AnatítLca an R3

470 pues

í-b

1.6 NOTA

= (2. -4. 3)-{-I. 5, 2) =

Cap. 9

(-2) ♦ (-20) + (6)

I) Sea 6 el ángulo entre los vectores De la figura vemos que eos 6

= -16 .

á y

b en R 3 . ä•b

b|

de donde resulta la fórmula i •b

=

Y puesto que

I i11 b I eos 6 (*) -i < cose < i ,

entonces, de (*), obtenemos la famosa relación siguiente para el _ 2 3 a y b , ya sea en R ó en R

PRODUCTO

ESCALAR de dos vectores - |¡|| b| <

(á-b)

DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARZ

< I ä II b I

donde, en la ira. desigualdad, la igualdad se cumple si y solo si a y b son paralelos y tienen direcciones opuestas [ 0 = 180° ] , y en la 2da. ,1e sigualdad, la igualdad se cumple si y solo si nen la misma dirección [ 6 = 0 ° ] . II) Los vectores solo si 1.7

NOTA

NO NULOS

i- b = 0

a y i y

b son paralelos y tie­ b son ORTOGONALES

. [ Ver (*) para

si y

6 = 90° ]

A los vectores unitarios que tienen la misma dirección que

47]

hittí'duccíón al Aníí.u.^i Matemíficu

Cap. 9

i =

+ a2i + fljfe

EJERCICIO.

¿ Son colineales los purtos

A - (1, 2,3),

B = (3,3,2)

y

C = (7,5,0) ? Estos tres puntos serán colineales si los vectores AB y AC son paralelos: AB = B - A = (2, 1, -1) , AC = 3 AB

. Por lo tanto.

EJEMPLO.

Dados

AC » C - A = (6, 3, -3),yastvemosque A, B y C son colineales.

i « (S, 3, 7) ,

b = (2,-8, 4) ,

el ángulo entre es­

tos dos vectores está dado por: a .b

14

|i#b|

✓ 83 /84

eos 0 =

2

EL PRODUCTO VECTORIAL EN

„3

Con respecto al cálculo de un vector b ortogonal a O' ___ ________ _____ . t ia a resultaba ser r b un vector paralelo es de r . 3 b = rá"*" , pero en IRJ para un vector á dado, no se define el

tro dado a en I„2 R cir,

vector á

. pues según la figura adyacente vemos que si

infinitas direcciones en las que un _ _ vector b es ortogonal a á .

i t 0 existen

K

A continuación, definiremos una operación entre dos vectores á y

3

b en IR , que dará como resulta­ do precisamente un vector. peAp^ndÁ calar. tanto a a como aJL vector b . DEF.

EL PRODUCTO VECTORIAL de los vectores a = (aL, a2. a3) y b * (bj, t>2, b3) , denote do por

á

x B

=

(a2b3 - a3b2, a3bj - ajbj,

si ¿ = (1,3,-2),

b = (4, -2, 1),

i x b = (-1, -9, -14) por lo tanto, que

.

a x

es b el vector:

ajb2 - a^bj)

e

„3 IRj - Por ejemplo,

i x b = (3-4. (-8)> !, (-2) - 12) =

Podemos verificar que, para todo á , b en IR3: a • (i x b) - 0 y b ■ (a x b) = 0 , y

á x Bej un vector ortogonal tanto a a como a

Mediante las propiedades de DETERMINANTES, se puede expresar

B .

á x B

romo

472

Intiudiicc^ón al

MatemcUice

Cap. 9

+ í-(i2bj — d b2) i x b

~

J (fljb j

- 3 j b .)

+ fe(aLb2 + a2bj) y se puede comprobar que Z x Z

i x j x fe «

=

j x J

= fe x fe = 0

J = fe , fe = i , I = j ,

J x í = - fe t x j = -i i x fe = - ]

As', vemos que el producto vectorial x b (en R3) sigue la regla del tirabuzón, o de la mano derecha; es decir, si con la mano derecha se desplaza el vector á hasta el vector b , el PRODUCTO VECTORIAL I x b , en ¡ate. o’ den , sigue la direc ción que indica el pulgar de la mano derecha, siempre ijue el giro sea me ñor de 180° , y es perpendicular a ambos vectores á y b . 2.1 PROPIEDADFS DEL PRODUCTO VECTORIAL

¡«b á x ( b ■*■£) =

1)

a x b - - b x a .

2)

(ra) x b = r(i x b) ,

2 2

EJEMPLO.

Sean l

a x b

]

3) V r e R.

i = (7, 1, 5) y fe

7

1

2

-1

=

TEOREMA

a x b

-

J [(7 )0 )

♦

|i x b |2

e

[O,

tt]

|i x b |

1á |2 |b |2 - |i l2 1b|2 eos2 0

Iá | |b | (sen 0)

-

81 - 11J - 9fe

(5 )(2 )]

(á x b ) X i

Iá |2 |b|2 - (I - b)2

,

|a |2 |b l2sen2 0

entonces

fe[(7)(-l) - (1)(2)]

De esta fórmula y de la figura se tiene que si 0

b = (2, -1, 3) ,

i [(1)0) - (5)(-l)] ■

á x b = (8, -11, -9) , y vemos que 2.3

(i x b) ♦ (i x c) .

=> (*)

Como el área del paralelogramo formado por á y b es |á |( |b |sen 0 ) , resulta que

y

|¡ x b) 1 b

V a ,

b

e

R

Cap. 9

la longitud mado por i 2.
Geometría AnaLct*.c¿ en K

03

numéricamente Igual al áreadel paralelogramo

for

de a x b es y b.

TEOREMA.

Los vectores i y b son paralelos si y sólo si su pro ducto vectorial se hace cero:

á x b * Ó

.

(Hacer 6 = 0 y 6 = a ) 2.5

2.6

TEOREMA,

l) | i x b |2 <

|i|2 |b|2 ,

3) | á x b | * | i l | b |

«=>

TEPRESENTACION GEOMETRICA DE

i x b

CUANDO

6

CRECE DE 0 °

- t . axb Sxfc

A

90°,

b

|i X axb

a

B |

2)

|i

aX b

LA

Ni¿L?

a -b = 0

axb

a

i

| 5 X b|

DECRECE

6- 4 ^

Esta situación se repite para

180° < 6 < 360°,

2.7

TE iREMA.

■

2 8

ZJERCIC10.

ix(bxc)

Dados

«=>

CRECE

CUANDO 6 CRECE DE 9 0 ° A 1 8 0 ° ,

I

x b | <|¡||b|

pero hacia abajo.

(a-c)b — (i-b)c

á * (1, -1, 5) , b * 21 * 4j - 8fe , el área

del paralelogramo de lados I y b es. í0

= | i x b | * | (-2, 18, 6) | * 2/91

formado por ¡ y b es 2.9

Aa

,

y el área del triángulo

» ^ |5 x b | = /Üí

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR

númeno >inal

El Triple Producto Escalar de los vectores i, b y c es el [ a b e ] 3 I - ( b x c ) , y que se puede calcular en la forma al

a2

a3

bl

b2

b3

_C1

c2

c3

-

det

al

b>

cl~

a2

b2

C2

_ a3

b3

CJ_

Introducción ai AnílinA Matem¿Ltccu

474

Cap. 9

por la cual se verifica que 1)

[abe]

* ¡- (bxc)

= ■

2)

[ábe]

[ábe]

[cab]

* ¡- (b xc )

Se dice que { a , b , c I si

>0,

c- (a xb )

«

b. (c x i)

es una

Ú

,

tiir.ua orientada positivamente,

[Ijfe]

y es una terna orientada negativamente

e

* [bei]

| b x í | C p - x- a

por ejemplo,

Si (Cp- _ i ) > D buc

=

= I-(Jxfe)

si

[¡be]

en R 3

» 1 >0

;

<0.

entonces

(Pr- _ ¡ ) y ( b x c ) bxc son paralelos y tienen la misma dirección. De modo que si t i , b , c } está orientado positivamente, los vectores i y (b xc ) estín a un mismo lado del pía no generado por b y c . lados a , b y

c es

Más aún, el volumen del Paralelepípedo con

(base x altura) :

Vp = |b x c | | Cp - _ i | bxc

|Cabe]!

Vp = |5 -(b x cX I y el volumen del

TETRAEDRO de lados =

2.10

EJEMPLO.

Vd » 6 VP

i b y c está dado por la fórrala

i|[¡bc]

t

Sean i -(3,0,4), tonces

|b x c |- - a* C|b x c|

bxc

b = ((l,0 1),

= (-2, -4, 2)

E * 2j ♦ 4fe . En­

, y por lo tanto los volú

menes del paralelepípedo y del tetraedro formados por a , b y c son, res pectivamente:

y

| i.(b x el | ‘ I -6 * 8 | (1/6) | i -

2.11

EJERCICIOS.

1) Si 2) Si

fb

x c') | »

2 u3

(1/3) u 3 .

¡- (2.-3. 1), b - (4,2, -5), i*b= ¡,-(1,1.2). b - (-l.fi-, -3), hallar (¡ x L) x (i ♦ b) . Rpt: (-10, -7, -21).

?

Cap. 9

3)

Ge om et rí a An at iU -J i en

Si ros

3.

R3

475

i ■ (1, 2, 1). b * (2. 3, -2), c * (4, 1, -2) , í-(b x ct R E C T A S EN

y

(5 + c)-(b x (b x c))

EL

E S P A C IO

hallar los núme­

Rpt: (-22)

y

(-110)

R3

Dado un vector a t 6 en R 3 y un punto

Pc e

R3

, se define la RECTA L QUE PASA POR PQ Y TIENE VECTORDIRECCIONAL

al

conjunto de puntos de R3

Si

[_ ={ p =

Pq + tj

P = (x, y, z) , P„ = (x0, y0 , z„) ,5 = (ap

la ecuación vectorial nas:

P =

P„ ♦ ta

y

a2, a-,)

t

á,

e R ]

, entonces

. de

se obtienen las ecuaciones cartesia-

x = xn ♦ ta, ECUACIONES PARAMETRICAS DE

y = ya * ta? z = zn + ta-, y despejando

t se obtiene la FORMA SIMETRICA DI LA ECUACION DE LA RECTA L

----

(t =

L

«

-- —

= — -— -

,

siempre que

alt a2, i] / 0

Si a= (£, m, n) t Ó es el vector direccional de una recta L , a los meros l ,m y n se les llama NUMEROS DIRECTORES DE L . Y si

a =

(i , Eje X* )

-

nú­

(¡ , Z )

6 = ■) (á

, Eje Y * )

DE L = ANGULOS(DIRECTORES ¡ ,7)

Y - •) (5

, Eje Z* )

*

Acosa,

i ( i , fe )

eos 8, eos y > se les llama los COSENOS DIRECTORES DE L I

i •!

/ £2 + m 2 + n2

lil

Y análogamente,

j •á

cos g

l¡l eos y 2

2

=

i .á

i¡r 2

cos a + cos 8 + cos y 3 .1

E JE M P L O

.

Las ecuaciones

tan a una recta L que pasa por F„ = (1, -3, 2)

, y que tiene dirección

.

IiittvdactUvH al Anáíii¿i Mar nCtccu

476

Cap. 9

2 - i

Esta misma recta L puede 3 (-3) ser representada por las ecuaciones paramétricas: pues

5 - (3. 4, -3)

* = 1 ♦ 3t , 3

2

3 .3

-3 ♦ 4t

2 - 3t

t

e

R

Las rectas Lj : Pc + ta y L2 : Q + tb son PARALELAS si los vectores i y b son paralelos. L| y L2 son ORTOGONALES si I y b son ortogonales.

D E F IN IC IO N .

Lt

y L2 SE CORTAN si existe

Lj

y L2 SE CRUZAN si Li D L2 - tan).

L2 t

L! n

(no se intersec

La recta Li pasa por (1,0, 1) y(2, 1,2) y la recta L2 pasa por el origen y es paralela a (1.0,2). Determi

PRO BLEM k

nar la recta L que pasa por (2,0, -3) y que es ortogo nal tanto a Li como a L2 .

So l u c i ó n .

Un vector direccional de Li es

i = (2,1,2) - (1,0,1),

¡ =(1,1,1). t e R Ll ^ P - (1,0,1) ♦ t(l, 1. 1) , P = »(1.0.2) . b = (1.0,2) . ¿ e R l2 : Así, un vector direccional de L(tal que L 1 L| y L X L2 ) es á x b * (1,1,1) x(1,0,2) = por (2, 0,-3) entonces 3.*»

L:

p=

(2, 0,-3) ♦ t(2, -1, -1) . t e R

Dada la recta L : (10, 7, -9) + t(l, 2, -1) y el punto Q

PK0BLEJ1A

= (13, 1,0) fuera de L , determinar dos puntos A y B en L que forman con Q un triángulo equilátero. So l u c i ó n . nal á de L ,

Oado el vector dlreccio

ü = 5 / 1a| '=(1, 2, -1)//6

es un vector unitario paralelo a L . Sea P0 = (10, 7,-9) e LElegiros c // (Po0 x i) como un vector X al plano de la figura y b // (c x a) un vector paralelo a QM .

Luego,

P¡Q x ¡ - (3, -6, 9) x (1. 2. -1) -

12(-1, 1 . 1 ) = »

c « a = (-3. 0, -3) Elegimos

b // (c x

C - (-1. 1. 1)

-3(1, 0, 1) . á)

como b

:

(2, -1, -1) , y como L debe pasar

= (1.0,1)

Cap. 9

Geometría Analítica un K 1

477

M = Q + rb = (10, 7, -9) + t (1, 2, -1)

M = (Q ♦ rb) e L

3 = t-r

(3,-6,9) = t (1. 2.-1) - r(1.0,l)

-6 = 2t de donde y como

t = -3 , r = -6 y asi,

M ■ (7, 1, -6) ,

d = d[M;Q] = |MQ| = |(6»0,6)j

entonces

6/2 ,

y siendo

d =/ 3 h ,

h = 2/6 , y:

A = M + h ü =(7, 1. -6) + 2*6 (1, 2, -l)//6

= (9, 5, -8)

B = M - h ü =(7, 1, -6) - 2 /6 (1, 2, -l)//6

= (5, -3, -4)

Dadas las rectas

E JE R C IC IO .

(1,0,-1)

Lp

+

t(l, 1, 2)

, L2:(-1,3,4)

;

+ s(-2, 3, 1) , hallar la ecuación vectorial de la recta L que es perpendicular a Lj y a L¿ y que las intersecta a ambas. Encontrar también estos puntos de intersección. SOLUCIÓN.

Lj no es paralela a L2 , pues

tor (-2, 3,

(1,

1,2)

no esparalelo al vec

1) , y además no se intersectan, pues siexisti e el

P e Lx n L2 :

punto

P - (1, o,-1) + t(l, 1, 2 ) -(-1, 3, 4)+ s(-2, 3, 1 )

==» de las primeras componentes: 1 + t = -l-2s , t = 3 + 3s = * s = -1 , t = 0 , pero al reemplazar en la ecuación, de lasterceras com­ ponentes:

-l + 2t

= 4+s = >

-1 = 3 (abiuAdc)

Un vector direccional de L es: E // (1, 2, 2) x (-2, 3.1) = (-5,-5,5) ==>

c

= (1, 1, -1)

El punto A

e

Lj fl L es de la forma:

A = (1,0, -1\ * El punto B

e

1,2)

Lj fl L es de la forma

B = (-1,3,4) ♦ s(-2, 3, 1)

,

Además, se tiene que AB = re =* B - A = r (1, 1, -1) = > (-1,3,4) + s(-2,3, 1) - (1,0,-1) - t(l, 1,2) r+ r -r -

Zs + t = 3s ♦ t = s - 2t =

-2 3 5

|

=

[

=»• A = (1, 0, -1) + t(l, 1, 2)

-

B = (-1, 3, 4) ♦ s(-2, 3, 1) = L:

(-3,

r(l, 1, -1)

-4s - t

s = -1,

(-3, -4, -9) (1,

-4, -9) ♦ r (1, 1, -1)

0, 3) ,r R

=

3

=

8

t = -4,

r

InViuducción cJL A,iilU¿í¿ Vvtiaiái.tco

478

Cap. 9

Dadas las rectas L¡: (1,0,-1) f t(l, 1, 2) ; l2- (-1,3,4) + t(-2, 3, 1) ; hallar la ecuación de la recta LBI cuyos puntos equidistan de Lt y L_

EJERCICIO.

SOLUCIÓN. Como las rectas

L) y L2 corresponden a las del problema pre­

vio, siendo los puntos de intersección con la recta L hallada: A = (-3,-4,-9) to

yB = (1,0.3)

,entonces

M = (A + B)/2 = (-1,-2.-3)

LBI

debe pasar

por el pun

y dete ser BISECTRIZ de Lj y L2 .

Viendo la figura anterior de manera que L se proyecte como un punto, vemos que hay dos soluciones para LBI : LBI : (-1,-2,-3)

+ t [/14 (1, l, 2) i /6(-2, 3. 1) ] .

eligiendo el signo de modo que el ángulo sea agudo u obtuso, entre los vectores (1, 1,2) y

4.

(-2,3. 1) .

PLANOS EN EL ESPACIO

R3

Dados dos vectores teZoi y un punto P0 , en IR3 , se define tí/uru.nadu m

5 y b , al conjunto

El PLANO

?

que

á y

b no pa\a

pa¿a po>i PD ,

de

(p , { p = Pq + s5 * tB / s. t E IR )

Así, los vectores á y b son paralelos al plano V , y cualquier vector no nulo ortogonal a ambos a y b se llama VECTOR NORMAL a P ; de manera que I x b es un vector normal a 5* , y toda otra normal será paralela a a x b . EJEMPLO.

Hallar la representación vectorial del plano P los puntos

A = (-1, 2. 1),

Q = (4, -2, 1),

que contiene a

R = (0, 1, -1) .

LÜp.9

Geom«Aa ÁjO. Analítica, tm

SOLUCIÓN.Podemos elegir

R3

479

como PD cualquiera delos puntos dados,

Po * Q = (4, -2, 1) . Los vectores á = AQ = Q - A

- (5, -4, 0) .

b - ÁR * R - A

= (1. -1, -2)

no son paralelos entre si, peroson paralelos el plano*P , por 9

: P = PQ + sa + tb (*, y, z) = (4, -2, 1) +

4 . 1 E C U A C IO N

por

s(5, -4, 0) + t(l, -1,-2) ,

NORM AL Y G E N E R A L

Si

ñ - (a, b, c)

DEL

P-ñ

E JE R C IC IO .

<= >

P_ P X

~

PQ . ñ

= 0

I

= AB - B - A

5), b - A C * C - A »

(-1, -1, 4) , y

ñ - (1, 7, 2) .

como es

<==>

[(x.i/.z) - (1, 2, -3)] • (1, 7, 2) = 0 .

ECUACION GENERAL DEL PLANO *P

Observe que en toda ecuación de 0 , los coeficientes

formati un vector normal

ó

la forma

a , b , c de

ñ = (a, b, c) de *P

obtiene dando valores, por ejemplo, PQ = (0. 0, -d/c) ,

Además,

U.tf, z).(i,7,2) - (1, 2, -3).{1, 7, 2)

x + 7y + 2z = 9

-

,

PQ - A - (1, 2, -3) , la ECUACION NORMAL DEL PLANC

<= *

entonces elegimos

C = (0, 1, 1) .

para

P.ñ = PQ .ñ

NO TA.

-d

Luego ,

(P - P0) • ñ - 0

4 .3

DEL puuw 9

ECUACION GENERAL DEL PLANO P

P0 - A -(1,2,-3)

» (-3, -1,

// a x b -(1,7, 2)

P -(»,!/, z) ,

ECUACION NORMA'

|

Hallar la ecuación normal y la ecuación general del pía

ELUCIÓN. Elegimos ñ

:

ñ I

no í5 que pasa por los puntos A = (1,2, -3), B = (-2. 1. 2),

i

R

(constante)

(x, y, z) . (a, b, c) =

<==>

a* + by * cz ♦ d

4 .2

d * - PQ- ñ

(p-pp)-n - o =

s , tt

es un vector normal al plano íP que pasa

ELpunto P peMe.ne.ce ai piano *P ~

tanto

PLA N O

P0 y P(x, y, z) , entonces haciendo

As1> |

lo

x - y -

PG - (0, -d/b, 0)

ax + by * cz + d-

x , y , z respect.,

;y un punto de paso PQ se 0=> ó

z =

(-d/c)

=»

Pc = (-d/a, 0. 0) .

Introducción al AníliAiA UatcnAtico

480 i>.4

PPOBLfi

Cap.9

Hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por Q = (1. -2, 3), paralela a la normal al plano que contiene a los puntos A(lt 1, 1), B(2, 1, 1), C - (1.-1.3) .

So l u c i ó n ■ (1,0.0),

— —* Dos vectores paralelos al plano indi'ado son a * AB » b ■ AC * (0,-Z. Z) . Ademas, I x b * 2(0, -1, -1) ,

elegimos como vector normal al plano Asi, ñ será el vector DIRECCiONAL 0 * (1. -Z, 3) . Luego,

ñ • (-1/2) i « b = (0, -1, -1) . de la recta L que pasa por el punto

P - (*. y, z) ,

para

L: P - (*, y, z) - (1,-Z. 3) ♦ t(0, 1, 1), =>

L:

y m -2 * t ,

* « 1 ,

z = 3

t

teR ,

teR

4.5 ECUACIONES DE ALGUNOS PLANOS ESPECIALES (1)

La ecuación

j

x • t

, c constante,

como vemos no tiene n.e¿t>Uc y 6 z , de mo

cionu pana loi \iaíon.ej> de

do que para que un punto de R3 satisfaga esta ecuación solamente se re quiere que su primera componente x sea igual a la constante c . Por lo tanto, esta es la ecuación del plano que pasa por P„ * (c, 0, 0) y tiene como vector normal a sar"

* ■ c

ñ * (1, 0, 0) * I . pues se puede expre

en la forma

1.* + 0-y * 0-z

» c

,

la cual

se cumple pana caalqwútn. vatoi -1 atl tanto de y como de z . Este plano es perpendicular al plano coordenado YZ , pues es perpendi­ cular al vector ñ - (1,0,0) - l . (Su gráfica es la de la Izquierda) Note que todo punto de la forma Pc * (c, y, z) , V y , z e R , se encuentra en este plano, pues satisface su ecuación: x * c .

A continuación presentamos las gráficas de otros 6 tipos de planos.

Cap. 9

GtLomtXAia \nac±tcrd en *

481

482

Cap. 9

CexmeJtAXa. KnuUÁX^ca e n

5

INTERSECCION DE PLANOS

5.1

DEFINICION Dos planos son PARALELOS si sus vectores normales son paralelos.

5.2

Ejemplo

Los planos 73 l :

(2, -3, 4) y

ñ2 » (-6, 9, -1?)

- 12z * 1 ■

5.3 TEOREMA

2* - 3y * 4z - 2 .

P2 :

-6x * 9y -

ion paJiateJLoi pues sus vectores normales

son paralelos.

'P^

SI dos planos

y

no ton panaleJLot

P2

ñj

[ r\¿ » - 3 ñj ] . entonces

¿u AtUejLie.ccU.5n eJ> UNA RCCTA.

Por ejemplo, los planos

x + 3i/ + z * 8 , y

P2: 3* +

Zy - z ■ 1

NO SON PARALELOS, pues sus normóles ñj ■ (1, 3, 1), r¡2 » (3, 2, -1) no lo son. Entonces, por el TEOREMA anterior, su Intersección es UNA RECTA . En efecto, del sistema

x + 3„ + z - 8

* + 3y - 8 - z

3* + Zy - z ■ 1

3* + Zy ■ 1 + z

y resolviendo este sistema de ecuaciones, considerando a z como parámetro libre (usamos la REGLA DE CRAMEH): * * (5z - 13J/7, y ■ (23 - 4z)/7 . Aquí, hacemos

z «7t ,

- (-13/7) + 5t = (23/7) - 4t z ■ 0 + 7t

por comodidad,

t

e

R , y obtenemos que

*

y

,t e R .

Deesta manera, obtenemos el Conjunto de Puntos (Soluciones)

£

- { P - (x. y. z) -

(- ^ 7

que viene a ser LA INTERSECCION

^ , 0) * t (5, -4. 7) 7

de la forma: /

t e R

>

(*}

de los dos Planos dados, y que representa

precisamente UNA RECTA que pasa por el punto P0 * (-13/7, 23/7, 0) y que tiene la dirección del vector i » (5, -4, 7) . 2 [ En (*) tome t » — en particular, y analice el resultado siguiente]. 5.4

EJERCICIO

Hallar la Intersección de los planos 9 l = { (1, 2, 1) +4(2, -1. 1) + t

eR ) , y SOLUCION

Un punto P = (x, y, z)

(-1, 0, 1) /

P 2 : 3x +Zy- z « en el Plano

t,

t

1 .

es de la forma

P ■= (x, y, z) = (1. 2, 1)+ ¿(2, -1, 1) +í(-l, 0, 1) para algún 6 y t en R . Este punto P también se encontrará en

.. (*), si

Cap. 9

Ge.ome.VuJ. Analítica en

ysolosi:

R3

483

3(1 + 2 4 - * ) + 2 ( 2 - 4 ) - (1 + 4 + í) = 1

34 - 4-t + 5 = 0 « =

«==•

A = (41 - 5)/3 . Y reemplazando en

P = (1. 2, 1) + ( ^ y - ^ ) (2, -1. 1) + t (-1, 0, 1)

, t e

P = (1,2,1) - (10/3, -5/3, 5/3) + t ( 5/3, -4/3, 7/3) P = (-7/3, 11/3, -2/3) + í (5, -4, 7)

t

,

e

R

R t e

,

R

,

resultando asi UNA RECTA L que tiene como punto de paso -2/3) y es paralela al vector a = (5, -4, 7) . 5.5

(*) tenemos:

P0 = (-7/3, 11/3,

DEFINICION . El ángulo entre dos Planos es elángulo entre sus vec tores normales. Por ejemplo, dados los planos :

x + 2y - z = 2

normalesson

y

ñj = (1, 2,-1)

P 2 : 2x - y + y

z = 1

ñ2 = (2, -1, 1)

respectiv.

Luego, el

ángulo 0 entre los dos planos estará dado por el ángulo 6 entre estos dos vectores normales:

y

( ñj • ñ2 ) eos 6 = -------Lñj | Iñ2 |

=

que, por tener VALOR NEGATIVO este coseno, indica que

ángulo obtuso entre estos dos vectores ; y como entonces a = n - 0 es su ángulo agudo 5.6

INTERSECCION DE Una /iccXa L

1

i — —— — /6y 6

=

-6

0 corresponde al

eos ( ti - 0) = - eos 0 = 1/6 tal quea = are eos ( 1/6 ) .

UNA RECTA CON UN PLANO z¿ panatela a un plano P

¿i

L

ortogonal a

un ve.cton no/mal

ñ del plano f 1 . En tal caso, puede ocurrir que LD P = $ ó Lnp = t , en este último caso, L estaría íntegramente contenida en P . Si L pasa por PD y tiene vector direccional i tal que L no es pa ralela a P , la intersección de L con P consiste de un UNICO PUNTO. 5.7EJEMPLO .

Intersectar la recta el plano P :

SOLUCION

L.

(1, 1, -1) + í(2,-3, 4)

con

2x - y - 2z = 6 .

Sean ñ = (2, -1, -2), a = (2, -3, 4), corno entonces la recta L NO ES PARALELA al plano

¿ •ñ = -1 / O P . Además ,

,

GetmeXAÁa knaXXx^.~jx en

484 un punto Q zar

Cap. 9

R3

pertenecerá a LA INTERSECCION l fl? ¿ ¿ y ¿oto ¿i

Q =■ (1, 1,-1) + t (2, -3, 4) -

cuación de *P :

{ 1 + 2i. 1 - 3í, -1 + U )

2(1 + 21) - (1 - 31) - 2( -1 + 41) * 6 = >

= »

t - -3 . Luego.

5.8

DISTANCIA

Q = (1. 1, -1) - 3(2, -3.

4) -

al reempla­ en la e-

3 -t «

6

(-5, 10, -13) .

DE UN PUNTO A UN PLANO

Sea f* el plano con vector normal ñ - (a, b, c) y ecua clfin f * : (P - P0 )-ñ * 0 , donde Pc • ñ * -d , entonces setiene en forma equivalente la ecuación de P : a* + by + cz + d = 0 . Oado el punto

Q M (X j,

i/j.

Z j)

,

la DISTANCIA DE

Q

A P

está dada

por

rf[Q ;P 2 ■ I CP - (Q - P„) |

I (Q -P0) " I Tsl

’

| (Q-ñ) - (Pe -ñ) |

Iñ |

| axj + bi/j + czj + a \ diQ ;P ]

donde

=

P : a* + by + cz + d = D .

/ a 2 ♦ b2 ♦ c2

5.9

EJERCICIO

Hallar la distancia del punto P

SOLUCION

Sea

:

Q * (5, -7, 4)

/ (2)2 + (l )2 + (2)2

Ej e r c i c i o

al plano

2x + y + 2z = - 10 .

p I 2xt * yx * 2Z| + 10 |

5.10

(5, -7, 4)

= (xj, =

i/j ,

Zj)

, entonces

| 2(5) + (-7.1 + 2(4) + ID |

= ?

3

Verificar que los puntos A (1, 2, 3), B(0, 3, 2) y C(3, 0, 5) son colineales y pertenecen a los dos pía

nos x - z +2 = 0,x + y - 3 = 0 . Demostrar también que cualquier plano quecontienea estos tres pumos dados tiene una ecuación de 1? forma :

Cap. 9

485

Geometría AnaJLLtica en k

k(x

- z + 2) + ¿(x + y - 3) = O .

SOLUCION. ÁB = (-1. 1,-1), ÁC « (2,-2, 2) = -2AB . Como ÁB// AC en tonces A, B y C son colineales, y por satisfacer las ecuacio nes: x-z + 2 = 0 , x + i/-3 = 0 de dos planos distintos entonces corres ponden a la recta de intersección de ambos planos L: (1,2,3) + t(l,-l, 1) . Sea 9 un plano cualquiera que contiene a A, B y C , entone« P:( P - A ) - ñ - O ñ =(r, s,

, donJe

t) J. L = •

(r, s, t) ■ (1, -1, 1) = 0

ñ = (r, r + t, t) = r(l,l,0) + t(0,l,l) P :

P - n = A •ñ

(k + t)x + ly - kz = 3£-2k

= >

y

s =r + t ,

y reemplazando en

r (x + y) + t (y + z) = 3r | 5t

= >

rx + (r + t)y + tz = 3r + 5t

,

V P e T

P = (x, y, z),

A =(1,2,3),

, ==•

entonces haciendo: $> :

==>

r = k + £ , t = -k

k(x - z + 2) + t{x + y -3) = 0

.

PLANOS QUE CONTIENEN UNA RECTA DF INTERSECCION Consideremos los siguientes planos : 2x + y + z = -3 .. (*) , y un punto genérico

x - Zy * 3z = 1 , P = (x,y,z)

que satisface ambas ecuaciones, entonces P p

la ecuación:

.

también satisface

k(x - 2i/ + 3z - 1) + ¿(2x * y * z + 3) = 0

(**)

que representa un plano que contiene a LA RECTA DE INTERSECCION LI . De­ seamos hallar el plano ‘P que contiene al punto (1, 1, 1) y también a la recta LI de intersección de los planos dados, de modo que solo falta encon trar los valores adecuados de ordenadas de

k y t ,

(1, 1, 1) en (**) y así:

Una posible solución [y riteda) de (**):

esk ■ 7 ,

5x _ lS y + 20z = 10

es el plano que pasa por

para lo cual reemplazamos las co­ k + 7£ = 0

-

l - -I ,

y por lo tanto,

==a.

da por

LI

de intersec­

(*) .

EJEMPLO. Hallarla ecuación del plano que contiene a 2x + y + z = -3 ,

x _ 3y + 4z . 2

(1, 1, 1) y contiene 4la recta

ción de los planos dados en

k =

(la intersección de) los planos: y que sea paralela al vector

la recta L defini­ x - Zy + 3z

= 1 ,

(2, 1, 0) .

SOLUCION. Considerando (**) que representa al plano con normal ñ = (k + 2-t, -2k + £, 3k + £), si el vector (2,1,0) es paralelo al plano , entonces es perpendicular a si; vector normal ñ , es decir :

(¡LmeXtúa. Anatitica en

486

¡¡-(2.1.0) - O

£-0

EJERCICIO .Un plano 9

5.13 *

=*>

z- 1 2

Cap. 9

R3

9:

. Asi. en (*).

x - 2y ♦ 3z - 1 .

contiene a la recta ¿5 :

,, . „ y es pa-alelo a 1» recta

x

:

Hallar la ecuacifin del plano.

— — - ■ -— 1 -1

* y +7 z — « -— - — 1 2 3

.

Escribimos ¡£ con» Intersección de los planos

SOLUCIÓN

y - 4 ■ 1 - z . Entonces, por contener a £ la ecuaclfin normal

k(x* y -3)

ñ • (k. 21 + k,t )

(1.2.3)

de í ' ;

Luego, eligiendo 5.14

♦ t(Zy ♦ z - 5) * 0

, §* satisface

(*)

,cuyo vector

debe ser ortogonal al vectordireccional i *

es decir.ñ • (1. 2. 3)

k= 7 , l ■ -3

EJERCICIO .

...

x - 1 m Z -y ,

en (*),

Dadas las rectas L :

= í5 :

= » 3k --71 .

0 7x ♦ y - 3z

* 6

x-1 ■ y ■ z +

M : 4r 3

“ ¡¿±2 _ z 2

.

5.

+ 2

hallar

a) La distancia mínima . b) La ecuaclfin de la recta N , perpendicular co mún a L y M . c) Los puntos de intersección A y B de N con L y M , respectivamente. SJ l-UCIÓN

(MÉTODO C o R'i ü ) .-

a * (1. 1. 1) y de

A B y como De AB

b » (3. 2. 1)

Los vectores direcclonales de L y M respectivamente.

son

Entonces ,

c N O L : A • (1. 0, -5) + ti * (l + t , t , - 5 e N O M : B - (0. -2. -2) + sb (3s. -2 ♦ 2s . AB estS en ángulo recto con ambos i y b : A B -i - (3s - t - 1. -2 + 2s - t. 3 ♦ s - t) . y de (**)

+ t) -2 +s) . - 0 - AB - b : ****

t 6s - 3t * 0 ~ 14s - 6t - 4 ■ 0 ] = » s ■ 2, t * 4 = » A « (5.4, -1), • B » (6. 2. 0). a) La mínima dist. entre L y M es |AB |* |(1, -2. 1) | « ■

/6 .b)

N:

5.15

La recta perpendicular común a las rectas

A + tAB = >

N: P ■ (x, y, z) * (5. 4. -1) + t(l, -2. 1) . ó N: (x - 5) - (y - 4)/(-2) - (z + 1) .

EJERCICIO .

SOLUC‘ON

L y K estS dadapor

: x + y « 3 , íP2 : 2u + z « 5 (*\ hallar la recta de intersección de ambos planos.

Dados los planos

Siendo los vect. normales ñj * (1. 1. 0) y

¡¡2 « (0. 2. 1) .

GeomtXAÁA AníctUca en R 3

Cap. 9

487

y como L : P0 + tí , y pertenece a arabos planos, entonces es perpendicular a sus vectores normales ñj y ñ2 . Luego, Elegjmos

a // (ñ^ x ñ2) = (1, -1, 2) .

a = (1, -1, 2) como el vertor direccional de la recta L .

Nos falta hallar un punto de paso Pc de L . para lo cual, en (*), damos un valor particular a la misma variable enlas ecuaciones de ambos planos, y = 0

por ejemplo,

de donde

la ecuación vectorial 5.16

PROBLEMA.

x - 3, z = 5;

de la recta es

P0 = (3, 0, 5) t

e

y R

.

Dado el plano P : 2x + i/ + z * 3 , indique si el punto 0 • (1,2,2) se encuentra arriba ó debajo de P . £n ja ecuación de

SOLUCIÓN.

así,

L : (3, 0, 5) + t(l, -1,2),

P hacemos x = 1 ,

y = 2 , que

son mlimcLs psUmeAat coondenadtu di Q * (1, 2, 2), y obtenemos z » -1 . Así, P0 x (I, 2, -1) e P . De aquí, vemos que Q está encima de P0 e P pues su 3ra. to,

componente es

resultaque el punto

5.17

PROBLEMA.

mayor

quela

deP0

:2>(-1)

.Porlo

Q * (1, 2, 2) se encuentra arriba delplano

P

tan­

.

Dados los planos ^i: 2x + i/+z = 3 , y P 2 : 4x + 2i/ + 2z * 16 , indicar si el punto Q * (1,1,1) se encuentra entre ambos planos.

Solución. r Como o ^ z « 3 , , J-j : , 2x +^y + P 2 : 2x + y + z =8 , ion paiaXitot , y como

Q= (1, 1, 1) e

entonces deducimos que

P

: 2x ♦ j * ! ‘4 ,

y por ser 3 <

4 < 8,

Q si se encuentra entre los planos Pj y P 2 .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTO» 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1, 2, 3) y

(-3, 2, 1) .

2. Hallar la intersección, si existe, de los siguientes pares de rectas: a) b)

Lj : (1, -1, 0) + t(2, 3, 6) , Lt: (2. 1, 4) + t(l, 1, 1) ,

3. Hallar la intersección entre la a)

L: (1, 1, 1) + t(4,3.2) . P :

L2 : (1,-6, 2) + ¿ (1, 4, 2) L2 : (-2, 3,-4) + a (1,-1, 1) recta L y el

plano indicados:

(2, 3, 4) + é (1, €, -2) + *(2. 2, 2)

b) L que pasa por (0,0,0) y (-1,3,4) por los puntos (2,3,1), (1,1, -4) y

y el plano P (-3, 4, 2).

que pasa

c) L que pasa por (0, -1, -1) y (4, 2, -1)

y el plano P

que pasa por

.

InVwduccíón al AncU^MíA Matejná-Lcco

488 los puntos

(1. 3. 2),

(-4, 1, 1) y

(2, 4, -3) .

4. Identificar el conjunto de puntos P(x, y, z) (* - 1 )/2

= (y * 6)/3

* (z -

Cap.9

2) / ( _ 3)

tales que se cumple: .

5. Hallar los cosenos de los ángulos entre una recta paralela al vector (3, 4, 12) y los ejes coordenados (COSENOS DIRECTORES).

6. Si a , B ,y eos

j

son los ángulos directores de la

+ eos2 6 + eos2 y * 1

recta L ,demostrar que .

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por:

a)

el origen, con ángulos

directores a * 60°, B ■ 4b°, o) (-2, 1,3), con ángulos directores a ■ B * 45° , c) (3, 4, 6),con ángulos directores a ■ B = y .

8. Sean Oj, B t, Yj y <*2 , 62* Y2 l3S ángulosdirectores de las rectas Li y L2 respect. Si los ángulosdirectores de L| y L2 están deternn nados por 'os vectores ¡ y b respect.. y 6 es el ángulo entre i y b entonces :

Cos 0 * eos ájeos a 2 ♦ eos Bj eos B 2 + eos Y| eos y 2 • Pj , P2 y

9. Demuestre que los juntos

P3 son colineales si y sólo si

(P2 - P 1)*(P3 - P 1) - 5 10.

Sea Li

la recta que pasa por (1, 2, 1) y (3. -2, 1). Sea L2

la recta

que pasa por ( 2 , 3, 2) paralela a (1, 2 , 1). Determinar la ecuación de la recta L que pasa por ( 2 . 0, -3) y es ortogonal a ambas Lj y L2 . 11.

Sea Li

la recta que pasa por P0 y es paralela a i ; sea

recta que pasa por Qc y es parale'a a b . Si

c ■ Q 0- P 0 y

L2 la Lj no

es paralela a L2 , demostrar que: a) La distancia

d [ L . ; L 2] -

1

1

i I c •(á x b) I Cp - - (Q 0 - Pc ) - ------ ;--1 axb 1 |a x b|

b) Lj y L2 se intersectan si y sólo si

á-(bxc) * 0 .

12. Hallar laecuación de cada uno de los siguientes planos. a)

El plano que pasa por

(1, 1, 2) con vector normal

(1, 2,

-1) .

b)

El plano que pasa por

(3, -4, 1) con normal paralelo a la

recta

que pasa por (3, -1, 2) y c)

El plano que contiene a la recta y al punto

P : x»

(1-t, 2 + 3t, 2 + t) , t e R

( 2 , 3, -4) .

13. Determinar un vector nomal a a)

(0, 8, 4) .

2 - 3t + a ,

rada plano siguiente. y "

8t + 7a ,

1 - - 5 V 3*.

Cap. 9

GcomeXAía. Analítica en R3

b) c)

9 “P

489

: { (5, t, & - t) / i , t e R } : { ( 5 - u + 3 v , 2 * 2 u + 3 v , - l + u- v)

/

u

.

v e

R)

14. Sean Pj, P2, P3, Pc e R 3 tales que i » P( - Pc , b = 1*2 - Pc , c * P3 - P0 . demostrar que Pc . Pi • P2 y

p3 son coplanares si y

(bxc) « 0 .

sólo si:

15. Hallar la intersección de los planos siguientes: a) 2x ♦ 7y - 8z « 0 , y + z * 0 b) 12x - 5*/ + 7 * 0 , 9x + 5y - 3z - 4 c) x - 1/ + z = 1 , x * y * z = 0 , x - 9y + z = 2 16. Hallar el

ángulo que forman el plano que pasa por

(0, 0, 2)

17. Hallar la intersección de L y P L: (2, 1,4) + t(l. 1,1) ;

(0, 0, 0), (0, 1, 0) y

3x - 5y + 2z * 8 .

con el plano cuya ecuación es

, e indique si L es paralela a *P :

9 : (2, -1, 4)

+a(1. 7, 3) + M-3#j8,

0)

18. Determinar el punto donde larecta L , quepasa por (1,3, 1) y es orto gonal al plano : 6x - Ay + lOz = 30 , intersecta al plano í5 . 19. Demostrar que los planos P j : (3,1, 4) + u(l, 7, 3) + v(-3, 8, 0) . u.veR, y
LOP

21. Encontrar una ecuación úel plano que contiene al punto (2, 3, 6) y a la recta { (1, -1, 4) + t(l, 2, -1) / t e R ) 22. Determinar el ángulo entre el plano de ecuación el plano 6x - y + z » 7 . 23. Dada la recta L ■ { (-5, 0, 10) + t(3, 2,-3) / toQ = (5, 4, 8) , encontrar dos puntos

A y

3x - 2y + 5z = t

e

B en

R }

3 ,y

y el pun

L , que formen

con Q un triángulo isósceles de área 24/11 u2 . 24. Un triángulo con vértices (-1, 1, -1) , (2, 3, 4) ,(3, 4, 6) ,hallar su área y la distancia perpendicular desde el origen hasta elplano que lo contiene. 25. Un

plano pasa por los puntos

(0, 1,2) y (1, -1, 0),

y es paralelo

al vector (1,-1, 1) . Hallar su ecuación asi como el

pie de la per­

pendicular sobre él trazada desde el punto (3, 0, 3).

Geometría Anatctica en R

490

3

Cap. 9

26. Demostrar que la ecuación del plano que corta a los los puntos (a, 0.0), (0, b, 0). (0, 0, c) donde diferentes de CERO es: +" + - » 1 a b e

ejes coordenados en a ,b y c son

27

Hallar el punto de intersección de la recta x = 4 + -t , y = 1 - -t , z = 31 ( t e R) con el plano 2x *■ Ay + z * 9 .

28.

Demostrar que la intersección de la recta (P - P0 )-ñ « 0 es el pjnto

P = Qc + tá r {P°

'

y el plano

lo ) ' "

,

-

R - Qo + [ ------ ] » (ñ - a)

29.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por

(3, 5, 2), perpendicular al

plano 5* - 7y + 4z = -2 Obtener las coordenadas delpie de la per pendicular en el plano desde el punto dado. 30.

Dar laecuación del plano que pasa por (1, 0, -1) ambas rectas:

x _i

y

z -\

2

3

4

y que

y

es paralelo a

y

x +i -1

z

2 ’ I

31.

Demostrar que los tres planos i/ = z + 1 , z = x + 1 . x = y + 1 , intersectín al plano x + y + z = 0 en tres rectas que son los lados de un triángulo equilátero.

32.

Si L es la recta (x + l)/2 = (y - 3)/3 = (z -l)/(-l) y L' es la recta que pasa por (5, 4, 2) y que corta a L en ángulo recto, hallar la ecuación de L 1 y las coordenadas de A e L D L' .

DEFINICION : Si 6 es el ángulo entre el vector direccional i de u na recta L y el vector normal ñ de un plano P , entonces el ángulo entre L y P se define como {n/2) - 0 . 33.

Hallarel ángulo entre la recta ción

34.

x = y,

z=0

y el plano con ecua­

x + z = 0 .

Dos planos A y B pasan por el origen. El plano A contiene a la recta (x - l)/2 = {y - 2)/3 = (z - 3)/2 , y el plano B contie ne a la recta de intersección de los planos x + i/+z = l ,

2x-y+3z

= 2.

Hallar el COSENO del ángulo entre los planos

A y

8 .

NOTA : El ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus normales. 35.

Hallar los pies de la perpendicular común de las dos recta» .

Cap. 9

t>et,meXsUa Analítica en R'*

y * l

x = ---2

= i

491

K y -2 -»2 - = ---- = ---2 1 2

,

36.

Sea L la recta de intersección de los planos x ♦ y * z = 1 , x - Zy + 3z = 2 . Hallar la ecuación del plano que contiene a esta recta L , y que pasa pnr (0, 0, 0) .

37.

Hallar la ecuación de la perpendicular común a las rectas x *2 ~~r

y z-6 = 2 = ~ r

x + 5 ’

~~r

~y

_ z = 2

•

y pruebe que la distancia mínima entre ellas es /3 38.

Hallar la ecuación del plano que contiene a la primera de las siguien­ tes dos rectas y también contiene a su perpendicular común : (x - 1)/2 = -y = -z - 1 ,

39.

x + 1 = -y /2 = z - 3 .

Cuatro puntos en el espacio son A(1,1,0),

B(3,0,l),

C(1,0, 2),

D(l, 1, 3). . Hallar las ecuaciones de dos planos paralelos, uno de los cuales contiene a A y B , y el otro contiene a C y D . Hallar también la distancia mínima entre las rectas AB y 40.

Dadas las rectas

x y - 1 - * ---- » z 2 3

,

CD .

x + l = u- 2 *

z + 4 ---2

hallar la ecuación del plano: a) que contiene a la primera recta y es paralela a la segunda. b) c) d) e) 41.

que que que que

contiene a contiene a contiene a Lontiene a

la la la la

recta recta recta recta

y es paralela a la primera. y pasa por el origen. y a la perpendicular común. y a la perpendicular común.

Hallar la ecuación de la recta que tiene la dirección que intersecta a ambas rectas siguientes: x ■ y - z

42.

segunda primera primera segunda

,

(x - 2)/5 -

[y * l)/3

(1, 2, -3), y - (z - 3)/2 .

Demostrarque existen dos planos que pasan por la recta de x-5 — -—

y -1

z + 3 = — — - = — -—

,

y que hacen un ángulo de el plano

ecuación 60 con

y -z

Hallar sus ecuaciones. 43.

Hallar la ecuación de una recta quepase por el origen y que intersec te a ambas de las rectas dadas en el Problema Propuesto 40 .

GtomeVúa Analítica en R3

492

Cap. 9

CLAVE DE RESPUESTJS 1. 2.

L : (1. 2. 3) ♦ t(2,O, 1) . t a) (3, 2, 6) , b) No existe (-3, -2. -1) .

b)

e

R

3.

a)

4.

L : (1. -6. 2) + t(2, 3, -3) .

(-2. 6. 8) .

5.

eos o ■

3/13 ,

7.

a) L: b) L : c) L :

t (1. fZ , í 1) , t£ R ... Oos soluciones (-2. 1, 3) + t(l, 1.0) . t £ R (3. 4. 6) + t(l, 1. 1) . t e R

eos 8 =

c)

(12. 8. -1)

t

£ R

4/13,

eos y

” 12/13

10. 12. 13.

L : (2. 0. -3) + t(2, 1. -4) . t e R a) x + Zy - z » 'l , b) 3x - 9y - Zz =* 43 , c)19x a) (59.4.-29). b) (1.0.0). c) (5. -2. 9)

15.

a)

L : t(15, -2. 2) . t £ R . b) L : (-1, -1.-6) ♦t(5, t e R . (¿pueden ixp'u m poiqué?) . c) No existe

16.

6 = are eos (3//38) .

18.

(77/38, 38/38, 103/38) .

20.

(11/7. -2/7. 0) ,

22.

6 = are eos (25/38).

24.

Area ■ /3/2

12. 35).

(-5/2, -7/2, -1/2)

17.

19. 151//1498 21. 8x - 3y + Zz =■ 23.

A = (10. 10. -5).

19 B = (-8. -2. 13)

; Distancia perpendicular * 1//3

25.

4x + 3y - z - 1 ,

27.

(1, 4, -9)

29.

(3. 5. 2) ♦ t(5, -7. 4) . t £ R ;

31.

+ Sy + 4z = 56

(23/13. -12/13. 43/13) 30. 5x + 6y - 7z *

Se sijue de la simetría. Los lados del triangulo son tercainbio cíclico de x , y , z ,

32.

(1, 6, 0) ♦ t( 2, -1, 1) .

34.

13/ (2 /"Í05") .

t £ R

;

( 1. 6 , 0 ) .

x ♦ Ay - z * 0

37.

(-3. -2. 7) ♦ t(-l, 1 . 1 ) .

38.

y - z « 1

39.

x + y -z = 2 ;

40.

a) 5x - 3s - z ■ -3 ,

b) 5x - iy - z = -7 ,

(-2, -2, -2) + t (1, 2, 3)

4Z.

x + y ^ e ,

43.

x/4

.

t £ R

x +y -

5x + lly - 8z = 49 .

41.

33.30°

y(2,1.0)

36.

e)

permutados por in

de modo que tienen la misma longitud.

35. (1.1.1)

d) y - 3z = 1 .

12

(32/9. 38/9. 22/9)

t£ R

x + 4i/+z*6

* tf/13 * z/2 . V A V

T

z « -1,;/ 3 .

c)

x - 2z ■ 0

Cap. 10

Inducción UaX.^lM.tica

493

10 INDUCCION MATEMATICA 1.

INDUCCION

MATEMATICA

(I. M.)

Cuando cierta proposición, fórmula, relación o teorema se cumple pana todo* to& ENTEROS POSITIVOS , su validez se demuestra em­ pleando el PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA, el cual será expues to a continuación de la situación siguiente. Para cualquier entero n i 1 , " iabemci, “ que LA SUMA DE LOS N PRIMEROS ENTEROS POSITIVOS , satisface la siguiente fórmula 1+2 + 3+

.. + (n -1)

+ n

-

^

..

(*)

Una manera de probar esta fórmula es recurrir a algunos artificios, que usualmen te no son sencillos de encontrar, por lo que podría optarse por tratar de veriM car si es que se cumple para algunos valores particulares del entero n : - Para

n = 1 :

el primer miembro de (*) es igual al número 1 , y el segun­ do miembro resulta ... ,, MLttt . ! también. 2

- Para

n = 2 :

en el primer miembro Je (*) se tiene en el segundo miembro: 2 2+ 1 ------2

- Para

n = 3 :

el primer miembro de (*) resulta y el segundo miembro:

1+ 2 =

Asi, vemos que hasta el valor de

n = 3

-6 = 3,

1 + 2+3 - 6

1-3),

2

y

. también.

(* 6) , también.

la fórmula (*) es válida, pero para

494

InVwdi

LCC

Cap.10

¿«5« al Anilló li Matemático

verificar que es vilida pana cual^ i entero positivo n , si continuamos de esta manera muy probablemente nos cansaríamos en unas horas o dias, y por supues to no terminaríamos nunca. Tampoco podemos deducir que por el hecho de cumplirse la fórmula hasta el valor n - 3 , ó hasta n = 50 , entonces se va a cumplir pana todo enSeio po iitivo n , pues podríamos cometer errores, como en este otro caso siguiente. ¿ Ei ciento que

2

2n

ei un NUMERO PRIMO , pana todo inteno

+1

n > 1 ?

Cuando se trató de verificar esta afirmación para algunos valores particulares de n , nos encontramos con que Para

n

=

1 :

z2*

4-

1

-

5

ei un

Númeno k /u j u o

- Para

n

= 2 :

?2*

4-

1

■

17

ei un

Númeno Pnimo

- Para

n

■

3 :

223

4-

1

-

257

ei un

Númeno P/Umo

- Para

n

»

4 :

2 2* +

1

-

65537

ei un

Númeno P/limo

-

donde 5 , 17 , 257 , 65537

son efectivamente números primo' ;

es decir, que son números enteros que no son divisibles por ningúnnúmero en­ tero, excepto por sí mismos y por la unidad 1 . 2n

Si concluyéramos de aquí, que la expresión dada (2 + 1 ) resulta si-mpre un Número Primo pana todo valen. entena poiitivo de n , estaríamos cometiendo un error, pues para el valor n » 5 : ,n

2¿ * 1

=

2

5

+ 1

=*

ble por 641;

4294967297

NO ES PRIMO , ya que es divisi­

en efecto,

4294967297 = 641 x 6700417 .

En esta sección presentaremos un método para comprobar la validez, pana todo enteno poiltlvo n , de proposiciones o fórmulas que de­ penden dé tal n . Eventualmente, este método también servirá paraobtener otras fórmulas, válidas para todo entero n positivo. Este método consta de dos partes : a) Se c impnueba que ta pnopoilclSn dada ei válida pana el meno/i valon di loi

entgAOi n involucrad i , qu¿ en ni pAxmeA ejimplo ei

n =

1 .

b) Aiumiendo que la pnopo&lción o {inmola dada ei válida pan i un enteno pe n Vvc n genínico , ¿e debe llegan a demoitnan que. tambiín ei válida pana el ¿igulente númeno enteno , ei decln, pana (n + 1). V fuego, de (a) y (b) , (Unidamente &e concluye que la pnopoiicÁón o £ónmj&a. da

Inducción Maiímática

Cap.10

da e¿ válida

poníi todo valen, dz

n , a paA.tÁA dit mznon. n

Apliquemos este método

a) Para n = 1 :

1

=

495

n(n + 1) 2

(a) .

al primer ejemplo: 1(1 + 1)2

=

— =------------

indicado en

— -------------- - -

2

=1(VERIFICADO)

2

b) Asumiendo la validez para n genérico , de la fórmla » , 1 + 2 + 3+

__

+n

n(n M ) -— -

-

(*),

probaremos que también se cumple para el entero siguiente cir, probaremos que se cumple que 1 + 2 + 3+

/ ... + n + (n+1)

(n + 1) . Es de­

(n + 1) [ (n + 1) + 1 ] --------------------

■

2

(**)

en efecto, 1 + 2 + 3+

.. + n + (n + 1) » ( 1 + 2 + =

.. + n) l- ]

[

+

+ (n + 1)

(n + 1)

(n + l)(n + 2)

------ -------

#

de (*) ,

y acomodando:

(n + 1) [ (n + 1) + 1 ]

y así hemos obtenido (**) . Por lo tanto, de (a) y (b) , recién concluimos que la fórmula (*) í z cumplí pana. n i1. Este procedimiento es llamado el Método oe INDUCCION MATEMATICA (I.M.) , y se basa en el principio que enunciamos a continuación.

todo znteAo

1.1

PRINCIPIO

DE

INDUCCION

MATEMATICA :

“ Vado un ¿ubconjunto dz nújnesioi entesioi poiitivoi

S

( c H ) , que. ¿a

tliface leu VOS condiaonei n g iuznt¿A :

a)El niúMAo 1 pe>ttenece a S y

b)

(1e S)

S-c íz cumplí la
m

E

S

=>

(m + 1) e S

,

entonces el conjunto S coincide con todo el Conjunto de Entenoi Poilti N . Es decir, 4e Cunduyz que. S = N "

vo&

1nOioduccíón aJL Andtíati MatemáX-i i¿o

496

Cap. 10

_

NOTA.-

En la Implicación (b) del Principio de INDUCCION MATEMATICA, la premisa : n e S es llamada HIPOTESIS DE INDUCCION.

1.2 EJEMPLO,

Probar que la iuma. de loi Cuadrada de ío& n pAineAoi Hume jio¿ Natuxules, satisface la fórmula

7

7

7

2

l2 + 22 + 3Z + .. + n So l u c i ó n .

n(n + 1) (2n + 1) — ---- -f----- -

-

, V n £ H

6

Sea o 7 ■ > 1 + 2 + 3 + . .

S » { n e H /

+n

2

*

n(n + 1) (2n + 1) ------ ------6

} c

N

Probaremos en base al Principio de INDUCCION MATEMATICA , que el subconjuntc S c N coincide con todo N . es decir, S ■ N . Veamos que 4)

n " 1 c S :

,

x

m (1) [ ( ! > ♦ ! ] [ 2 ( D * 1 ]

.

b)

(, 6

6

Asumiendo como HIPOTESIS '»E IHDUCCIOH

6

que " n e S " , es decir que

para n se cumple la fórmula 2 _2 .2 1 + 2 + 3 + . .

+ n

2

n (n + 1) (2n + 1) ------ -------

«

..

6

(*)

trataremos de implicar que " (n+1) e 5 " , es decir, probaremos que 7 2 2 , ,.2 (n+1) [ (n + 1) + 1 ] [ 2(n+l) + 1 ] 1* + l L + .. + n + (n + 1) -------------------------- — --6 •- (**) En efecto, l2 + 22 + .. + n2 + (n + 1)2

-[ l2 + 22 +

.. + n2

= f n(ntllt(2ntl-l ] +

(n + 1)2

6

,»

r n (2 n + l)

+

] + (n + 1)2 de (*),

6 ( n + 1)

- (n + 1) [ --------- --------------- ] b

, r 2n2 + 7n + 6 ■ (n + 1) [ ------ ----- ] *

- (n + 1) (n + 2 ) (2n + 3)

-

- (n + 1) [ (n+1) + 1 ] [ 2(n+1) + 1 ]

6

6

Inducción Oitemítica

C a p .10

=»

(n + 1) e S

;

497

es decir que se cumple (**).

Asi, de (a) y la implicación (b), por el Principio de Inducción Matemática, concluimos que S - N Esto significa que la fórmula dada en el enunciado será válida pasui todo entea o poiitivo n i 1 . - O 1.3 EJERCICIO.

El doble de un número natural n es igual a la Suma de to­ dos los números naturales que le anteceden. Hallar tal n .

fi SOLUCION.

£0m0 sa(jemos, la suma Sn de los n primeros números na turales es igual a n(n*l) ->n 2

y por consiguiente, la suma de S

ni ,

(n-1)

primeros números naturales será igual a

(n-1) [ (n-1) + 1 ]

2

a

----------------------------------------------------------------

a

(n-1) n

2

--------------------------

Luego, por condición del problema, la cantidad (2n) debe ser igual a la Suma Sn-1 de todos los números naturales que anteceden a n . Asi, tenemos 2n -

1.4 EJEMPLO.

=*

2n -

SOLUCIÓN.

Note que

Definimos el conjunto r .i / ■ 1" e N '

n = 1 e S : 1 i ■

b)

4 3 2-2

Asumiendo que

"

+

. n+2

n 2n

2n

t*)

prl-mer miembro de (*) consiste de n sumandos.

S c N

:

1 2 ¡T * ¡2

3 + ¡3 *

y probaremos por Inducción Matemática que a)

* = t"'1)

Probar por Inducción Matemática que, para todo entero n > 1, 1 2 3 21 * 22 + z3 *

p s

=*

n ■■ * f

o » n +2 . , - 2 - <^ÍT>> •

S coincidí con todo

N . En efecto.

pues el primer miembro de (*) consiste del único término ^ el cual se puede expresar como ■

,

,1*2,

n e S

,

J . • «•»«=”

1 „ ¡r ■

/n+ 2

es decir que se cumple {*) para n fijo :

lnViodu.ccJ.ón al AníL i i i Uatumítlco

498

-V

+ 4

2

*

+ 4r*..

+ — 2 2n

2

Cap.10

2- l ^ - r ) HIPOTESIS DE IHOUCCI

= 2

probaremos que (n+1) c S ; es decir que esta fórmula (*) se seguirá cum­ pliendo si en (*) se reemplaza n por (n + 1) . En efecto, al hacer esto, el primer miembro tendrá los n+1 sumandos siguientes: -\-

+ -^

2

2 ■

+—

] *

(n+1)

+— ■ +

n

**

y P ’ioban.ejmo4

¿urna

-i3aal a

2n 1

“ÍHT

£

" ,

que

uta

n r (n + l) + 2 2 - [ ■ 2cn+ir 1

n , n+1 * ¡ñ > + J K H

7 r 2(n + 2) - (n+1) , £ ' L 2 (n+1) J =*•

..

2n

. 1 2 ( ¡T * ¡2 +

= [2=

♦

23

por HIP0TESIS DE INDUCCION

r n * 3

£ ' L 2 (n+l)

■ >

1 J '

r (n,f!)4 2 ' L ^ (n+l> J

S

Asi, habiendo verificado (a) y (b), concluimos por el Principio de Inducción temática que S = H . Esto significa que la propiedad dada en el enunciado 4e cumplí pana todo triiAo f ib-V.*io n i. 1 . 1.5

EJERCICIO.

Dado el conjunto - /2 ,

C * { *n > 0 /

*n+i “ / 2*n

,n

n e N ) , H ,probar por

e

donde Induc

ción Matemática que una cotasuperior del conjunto C es el número 2 . Es decir, que

^ < 2 ,

v entero n > j .

So l u c i ó n . a) Si n = 1 :

= /2 < /4 = 2

=»■

< 2 *n < 2

b) Jomando como HIPOTESIS DE INDUCCION :

=»

< 2

, para n e N

fijo,

*n i 2 ,

V n e N.

verificaremos que*n +l < 2 *n

S

2 =**

Y

=* *n +L *

2x n S

<4 /4 - 2

concluimos por el Principio de Inducción Matem. que

Inducción Matemática

Cay.10

499

EXTENSION DEL PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA

1.6

Mediante esta variante se pueden probar propiedades que se cumplen WRA TODOS LOS ENTEROS POSITIVOS UAVORES 0 IGUALES QUE ALGUN EN­ TERO ne ( > 0) , sin ser éste necesariamente el número 1 . Asi, tenemos la ex­ tensión siguiente, también conocida como PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMA'iiCA : “

Si

algún¿ubconjunto deX Conjunto SnQ

S

HAVORESO IGUALES

a un

n„

eníeA o

de. todo~ ¿04

zhz ¿aoí

O , que iataface tai dji con

>

dicionei iiguiímtíi :

a) y

n„

b)

e

S

la implicación:

n

e

S

=>

zntoncu S coincide con todo e¿ Co junio SnQ yoiei o igualej, a n„ . Es decir, S * S„o

NOTA. 1.7

Sno - { nc , nD + 1 , nD + 2 , nD + 3

(n + 1)

S

e

.

de to¿ íntzAfi Ha

. “ ...

,n ,

..

}

Probar por Inducción MatemStica que 2n 2 8(n — 2} , pana eníeA o n 2 3 .

EJEMPLO.

todo

SOLUCIÓN.

Identificamos al menor entero nD = 3 , y tenemos el conjuri Sno - S3 - 1 3 , 4 , 5 . 6 ....... n .

t0 Sea

S = ( n

a)

3

b)

Asumiendo que

e

S :

e

Como

Sj /

2n 2 8 (n - 2)

8 2 8

entonces

> . Probaremos que

2n 2 8(n - 2) debemos probar que

> .

S - S3 :

23 2 8(3-2)

n e S , es decir que se cumple (con

...

(v e r if ic a d o )

n 2 3 )

.. HIPOTESIS DE INDUCCION

(n+ 1) e S

,o sea que se

2(n+ 1) 2

8 [ (n +1) - 2 ]

cumple ..(*»)

Efectivamente,

2(n*l) _ 2 (2n )

>

2 [ 8( n- 2) ] 8[ 2(n - 2) ]

[ {*): puesto que

i

8[(n- i) ]

=

8 [ (n +1) - 2 ]

por Hipótesis de Inducción ,

y como

n

2 3 :

2n-4 2 2 (n - 2) 2

n-1 n-1]

ver (*) debajo

n i 3 es equivalente a

500

at

I n t 'i u i i K i c O H

(i ú í i h i

C a p .10

A u to m á tic o

Asi, hemcr. probado (**) , y por lo tanto que (n+ 1) e S . Luego, de (a) y (b) , concluimos por el Principio de Inducción Matemática que S = S3 , lo cual indica que la propiedad dada se cumple pa.xa todo n e S = Sj , es decir pana todo entiiAO n i 3 . En la práctica se puede prescindir el referirse al conjunto S„o , como se ilustra en el ejempl3 siguiente. 1.8EJEMPLO.

Sea

y

a > 1

an >

(*)

n enteco

í 2

1 + n(a - 1).

.

PiobaA. que.

n

pana zodc znteAO

> 1

.

So l u c i ó n . •i) Para

n =2

:

De

a > 1

(a - l)2 > 0

se tiene que «=*

(a - 1) > 0

a2 - 2a + 1 > 0 a2 > 2a - 1 a2 > 1 + (2a - 2) 2 a » 1 + 2 (a - 1)

Asi, la desigualdad (*) queda probada para ¿i)

zntvu,

n :

^

(VERIFICADO)

n = 2 .

que la desigualdad (*) ¿e cumple,

Asumiremos como HIPOTESIS DE INDUCCION txvw. U

y

+ n(a .

1}

..

(.)

probaremos que también es válida para el entero n + 1 , es decir que se cumple que a"+l > 1 + (n ♦ 1) (a - 1) (**) [ Y esto equivale a probar que

De

> 1 + n(a - 1) + (a - 1)

an+1

>

a + n(a - 1)

lo cual vemosque se obtiene simultiplicamos la desigualdad (*) por el número positivo

anbos miembros de a > 1 .

an > l + n(a -1)

, s e sigue que:

a-an > a - [ l + n ( a - l ) ]

=>

an+1

a"M

Lúejo, de (¿) y que la desigualdad

y

a > l > 0 = > = ■

> 1 * (n + 1) (a - 1)

a+a-[n(a-l)] a+l-[n(a-l)] pues a + (1 - 1) + [ n(a - 1) 1 * (n * 1) (a- 1) __

VERIFICALO

]

a > 1 ]

(**)

(¿i) . concluimos por el Principio de Inducción Matemática (*) dada ti válicu pana, todo tnteAo n i 2 .

Cap.10

2.

Inducción Mate-ática

501

SEGUNDO PRINCIPIO LE INDUCCION MATEMATICA " Si

S £¿ xíjún iubcoi.junto del Conjunto

yayc'i.íA o Iguala a un eiUeAo

Sr^ di todoi £¿4 enteAOA

(i jo , que ¿at-u^ace Isa VOS con

n„

dicionei ¿iguientíi :

a)

nD e S

b)

n„

5

im p l ic a c ió n

)

V k ( la

entonces

/

k

í

n

{kyn

,

k e S

=»

e n te ro s )

(n + 1)

S coincide con todo elConjunto S„o

>lo* MayoiiiS o IguaXei a

n„ .

e S

,

de todoi loó ente-

Es decir, se conluye que S *

S„o "

Esta técnica es muy útil cuando se tratacon relaciones de recurren cía como en el ejemplo que sigue a continuación. 2.1EJEMPLO.

Dado el conjunto de números reales{ an / nidos por las relaciones de recurrencia al “ 1 • a2 = 5 •

n e H } , def^

an = 5an-l "

3an-2 • vn >3 ,

probar que - 4 = [ (5 + /13 )" - (5-/13)" ] pcuuL todo entíAo

Solución. Sea

„ , , , n„ * 3

S * ( n e S3 /

probaremos que a) n„

*3

e

S:

n > 3 .

c Sn

. * * S3 , * í { 3?, * 4, c 5, c 6 , 77,

an =

... ™ oo

vn ,, ,n _1__ r , r . „ _ [ (5+ /13)n - (5- /13)n ] 2n /13

);

S ■ S3 : Enefecto, íz =

sabiendo que porla dpfinicifin(recursiva) ,

5a2 - 3at - 5(5) - 3(1)

>22

probaremos que, para n » 3 , en (a) 22

* a3 -

2/13

=»

a3 - 22

,

[ (5 ♦/Í3 )3 - (5 -/ Í3 )3 ]

El 2do. miembro es 2 ( 75 + 13 )/8 » 2(11) - 22 con lo cual hemos probado (8) . b)

> }

Asumiendo como HIPOTESIS DE INDUCCION

que para

n

{ti)

.

entero fijo y para

,

Ca;.1. 10

lnt\cduc¿idn al Aiiiii es Maf-xnafici;

502

Codo enteno

k tal que

(n0 = ) 3 < k < n

k e S

se cumple que

es decir que a .

-

2k /13

[ (5 + /13 ) - (5 - /13 ) J

[ y en particular para en-toncei p’ioboAejno.i que «n+ l -

k = n , k = n-1

{n + 1) e S

,

y

(*)

..

k = 3 ]

es decir que (**)

_ [ [ 5 W 1 3 ) ntl - (5- /I3)n n ] /13

2

Efectivamente, por la definición recursiva: 5n U = 5an - 3 an-i y como por (*) , ~ [ (5+ /I3)n - (5- /I3)n ] , a„ = 1 n -I

,(n - l)

asi, sn n

=

5a n

-

3 a n-l

/ l3

(¿?) y

[ (5+ /13)(n‘l) - (5- /U)*""0 ] (v LANDO COMUN DENOMINADOR :

)

-^-= [ ( 5(5 + /13) - 3(2) }(5 + /13)""1 n-L

- 15(5-/13) - 3(2) }(5- /13)

]

[ §(19+5/l3)(5 + /T3)n'1 - § ( 1 9 - 5 /ñ)(5- /13)"-1]

n+1

1 ■= t(38+10/13)(5 + /l3)n_1 - (38 - 10/13)(5 - /13)"'1] 2n+l /13 'n+1 =

2

„ + / - [(5 W l 3 ) 2(5V/i3)n~l - (5 - /13 )2(5 - /13 )n-1 ] /13 ___

VERIFICADO ( * * )

(n + 1) e S Pon lo tanto, habiéndote ven.¿¿icado (a) y (b) , Pnj.nc.ipio de Inducción Matemática que mula

(a) , dada en el enunciado,

ple para

íá

coacJ i'xmci pon. ti 2do. S = Sj , lo que a<.gn¿(ica que la (¡ón-

válida. PARA TODO ENTERO

n 2 3

.

Es más, podemos comprobar que dicha fórmula (a) también se cum­ n = 1 y n « 2 :

at = [(5 + /13) - (5 - /13)]/(2/13) = 1 que coincide con el dato , a2 = [(5 + /Í3)2 - (5 - /T5 )2 ] / (22 /Tí ) = 20/4 = 5 , que también coin cide con el dato. Asi, la fórmula (a)

resulta ser válida pana todo en.tejir’n i 1 .

Inducción MitC¿máttea

Cap. 10

503

SELECCION DE PROBLEMAS RESUELTOS 2.2 DEFINICIüN.

En

Dados dos números enteros m y n , con n t 0 , se dice que m ilí MULTIPLO de n ¿-t e x c ite algún ¿nCeAo k e Z ta 1 que m = k -n me¿ DIVISIBLE

talcaso también se dice que de m .

po>i n , y que

n

e¿

urt FACTOR o DIVISOR

Por ejemplo, -15es múltiplo de. 5 , pues existe el entero k = -5 e Z tal que -15 = (-3) - 5 = k-5 . Asimismo, setiene que 0es múltiplo dí caalqiUe/Lente-io n / 0 , pues como 0 = 0 x n , entonces vemos que exi£ te el entero k *0 e Z tal que 0 =k x n 2.3 TEOREMA.

Sean m ; , mT , n plo¿ de

n,

e l,

n t 0 . Si rrij y m 2

ion"¿ttí-

en/oncei

a)

rrij + m2

múltiplo de

n

(ó

div-Uiblií poi n )

b)

m L - m2

múltiplo de

n

(ó

divisible poi ri )

c)

omj

a

diviiiblt. poii n

,

¥ entero p

PRUE8A. Por hipótesis, existen enteros kj y k2 rrij = kj^-n , m 2 = k2-n entonces

m

+ m2 = (kt + k2).n m l "m2 = (^i ■ k2)-n prrij = (pk1)-n

a)

Como existe el entero = k'- n ,entonces

k = (kt + (mj + m2)

, donde k( * k2

Z ..

e

e

tales (*)

Z ¿ porque?

, donde kj - k2 e Z , donde pkj e Z

k2) es múltiplo de n .

b) (Análogo) c) De (y) , existe el entero k = (pkj) tal que lo tanto, pmj es divisible por n ; es decir,

2.4 TEOREMA. Sean

, de (a),

que (a) (B) (y) tal que(nij+ m2)=

prrij = k-n ; por es múltiplo de n .

a, b e Z , m , n E Z - { 0 } . S-t a e¿ múltiplo de m , y b e¿ múltiplo de n , entonce-s a x b w múl­ tiplo díl producto m x n .

PRUEBA.

2.5

NOTACION.

(Ejercicio sencillo,

trate de hacerlo)

Si m es múltiplo de n , se denota

2.6

EJEMPLOS.

a)

Sabiendo que

8 y 20

8 ♦ 20 = 28 también es múltiplo de 8 - 20 * -12 también es múltiplo de 3(8) = 24 también es múltiplo de b)

Como

entonces 18x 4 72 = 6 x 12 . 2.7

Cap. Ii3

tnCudu.c.c.L¿n at A.iáíijtj MjTimü'icu

504

EJERCICIO.

son múltiplos de

4 4 4

18 es múltiplo de

« 72es múltiplo

4 . entonces

[28 = 7 x 4 ] [ -12 = (-3) x 4 ] [ 24 > 6 x 4 ] 6 , y

de (6 x 2) = 12

4 es múltiplo de

;en efecto,

Probar que 1)

4n + 5

2)

es múltiplo de

3(4n ) + 15

3

,

es múltiplo de 9

V

,

n E N

V

n c N

.

So l u c i ó n . 1)

Probaremos que a) Para

4n +

n * 1 :

5

=

pcuw. todo e.nt¿AJ

3 ,

41 * 5 = 9

b) Asumiendo que para el entero

= 3

n

se cumple que

probaremos que también se cumple pa-a 4(n + U 4(nn)

+ 5

+ 5

..

=

4(4n ) + 5

-

4[ 4n + 5 ] - 15

:

4n + 5 »

(n + 1)

3

(*)

, es decir que

3

«

n > 1 (v e r i f i c a d o )

..

(**)

= 4 [ 4 n +(5-5)]+5 4[ 3 ] - 3

.. de {*)

3 - 3 .. TEOREMA [2.3] (c) 3.. TEOREMA [2.3] (b)

2)

Así, hemosverificado (**)

.Luego,de (a) y (b) , concluimos por el

Principio de

,n ^ 5

Puesto que

I.M. que

3(4n | ♦ 15 n

* entonces

* 3[ 4n ♦ *

♦ 5 “ 3 .

3(4n ) * 1 5 *

debido al

gs mú1t:ip1o de 3 p 5 ]

pajia. todo intvuj

3x3

»

donde

3

..

de(l)

n i 1 -

9

,

V n e ü ,

TEOREhA [2.4] .

2.8 EJERCICIO.

Probar que.

paxa. todo eatMo

SOLUCIÓN.Probareis que « ( n c N

S * N

n > 1 . zi mCLtCípCo cíe

42" * + 3°

S

3x3

,

¥ n e N .

por

13 .

Inducción Matemática,

/ 42n'-1 + 3n *2 -

13

donde

(múltiplo de 13) }

=3y

Cap . 10

505

Itid.LCC.LCti Ma Temática

a)

n = 1

b)

Asumiendo que

t S :

42nM

(*)

42(1)fl

+

3(1)* 2=

n e S , es decir que

3n *'2

t

=

l°3

múltiplo de

probaremos que también se cumple que 42(n*l).l +

3(nM,*2

^ 2(n+1) * I f 3(n*l)*2

[ Probar que3n+2 e n

.

13

(n ♦ 1) e

2.9 EJERCICIO.

+3

Sea

, es decir que (..J 42_42 nH

=

16 t 42n + 1 + 3nt2 ]

=

16 (13) - 13

> 'pa-ia. todo inteAo 13 - 13

n +2

xn+1 = y xn +60

,

(*)

(EJERCICIO)

.. (a)

S = N

C = { xn e R /

de

n 2 1

= 13

e¿ múltiplo de

- 13(3n +2 ) ..

Así, hemos verificado(**) , y por lo tanto, de

2n »1

S

•

el Principio de Inducción Matemática que 4

HIPOTESIS DE 1NDUCCIDN ,

=

=

ple que

TEOR [2.3] (c) y (b) y (b),

Esto

concluimos por

significa que se cum­

¥ enteAo n

13 ,

ducción Matemática que:

n 2 1

xn <

4

.

,

e

N

Xj * Y ñ

n e N } , donde ¥ entero

]

. y

Probar por In -

¥ n e N .

So l u c i ó n .

a)

Si

n= 1 :

xL = Vio

b)Asumiendo que para

n

probaremos que*n + l

<

VíiT =

4

se cumple que:

==>

xi < 4

xn < 4

( v e r if ic a d o )

(HIPOTESIS DE INDUC.)

efect0 » de 'a Hipótesis de Induc -

< ^

cion, xn <

4

=>

=•

»„»i =

=•

*n+ l

<

xn + 60

<

/ *■„ * 60

<

64 3/

/64

= 4

4

(VERIFICADO)

Asi, de (a) y (b) ,concluimos por el Principio de I.M. que , en xn

< 4

,pa/m todoe>i¿eAo

2.10 EJERCICIO.

64

n

2 1 .

Demostrar por Inducción Matemática que 1+ —

/F

efecto ,

+ -i-

/T

+

..

♦— -

AT

¥

en.ti.to n 2 2 >

/rT

. Ve

+ 3l.

SOLUCION. a)

Cap. 10

IrtfioJiicCLÓn at AnXtóo Hatjm.itico

506

Para

¡Note que el primer miembro contiene

n = 2

:

probaremos que

^

>

1

' ...................

n

sumandos)

^

j >

..

(a )

/T

[ lo cual se^á cierto si y sólo si

/7 ♦ 1

>

/2

/2

/2 ♦ 1 <=>

/2

> 1

/2 + 1 > 2

=»

> 1

1 +

+ -—1

/2

+

1

+

>

/2

n

, se cumple que

>

/7T

HIPOTESIS DE INDUC. (*)

/n

/3

/2

♦

/3

- L

/n /n

+

( 1 + -7=- + /2

/3

+ .. + -

/n

[ Y se cumplirá que

/n / n + 1 + 1

)+ ___

/n + 1

4—

/n/n+1 n♦ 1

>

Y puesto que (y) relación (B)

n

■ /n /n

«==>

1 > 0

cumple que,

V

..

..

(y)

(B)

1/ 4ÓÍ0 4-¿

_ ___ / n / n +l + 1

___ 2 > (/ n + 1 ) = n + 1

«=>

> /n

..

/n + 1

PROPOSICION VERDADERA

]

resultó ser una Priopoi-ición VmdadeAa, aplicamos a la

y por la propiedad transitiva de la relación de orden

queda protada la validez de la relación

Luego, de (a) y (b)

(/n) + /n+ 1

'u + 1

/n +

> n

{**)

(*) :

>

/ n+ 1

A T T

, es de­

/n ♦1

/ n+1

i

(n + 1)

----------

Veamos, p&rtiendo del primer miembro y empleando

«==»

VERIFICADO ( a )

...........

1

1 +

entonces

> ( /2 )( /2 )

Probaremos que esta desigualdad también se cumple para cir

]

/2

Asumiendo que, para el entero positivo

1 + — 1—

( /2 )2

>

/2*1

> /2

/2

>

/2

a una pfíopoiición veAdadew.,

Luego, como

/I + X

b)

/2

">

(**) .

y el Principio de Inducción Matemática, concluimos que se

znXeAj

n > 2 ,

1

1 + --

J2

/3

1+ —

f

1 f -/n

>

/n

Inducción Matemática

Cap.IO

2.11

EJERCICIO.

507

Vado íl conjunto di nctu en it planu, deteAminadUi pv>i n puntoi dvi tintoi (n i 2) lates que no haya tA.es (pu« <04) 4oble ana mósma neta. Pnvba.1 qui it númeiu de Jltc tai de ate conjunto e.i n{n- 1) v M" =

SOLUCIÓN. a)

Para

b)

:

coincide ,para

Por lo tanto,

’

n > 2 .

Empíearemoi el PKinccpio di Inducción Matemática.

n * 2 (puntos)

lo cual

~

„

2

Como dos puntos distintos determinan un única recta, entonces el conjunto dado contiene exac tómente 1 neta. . As í, M 2 = 1 l n^n __

n = 2 , con 1 , - n (n -l )

*1,

„ _ para n ■ 2 .

Asumiendo que dados n puntos distintos en elplano, sin que haya tres so bre una misma recta, determinan un número derectasigual a: Mn Consideremos

-in(n-l)

..

(n + 1)puntos , siendo

HIPOTESIS DE INDUCCION punto

P„+i

(*)

adicional a lun os

n dados y que no se encuentra en ninguna de las rectas ya determinadas. Probaremos que el número total de rectas determinadas por estos (n + 1) puntos es

Mn+1 " I (n + ! H ( n + l) - 1 ] -

i (n + 1) n

...

(**)

Efectivamente, este punto adicional, al ser unido a los n puntos originales , determina n nuevas itctas. Luego, u til izando (*) , todos los (n + 1) pun tos determinarán la cantidad de Mn*l

*

Mn + n

Mnf i

= ^ (n + 1) n

1 [)"(n-l)] izetas

.

r " - 1+2 ,

■

"C —

5--- 3

hemos verificado

(**)

* n Asi,

Por lo tanto, de (a) y (b) , concluimos por el Principio de Inducción MatemáU ca que el número de rectas determinadas por tales n puntos en el plano, sa­ tisface la fórmula Mn = 2 n^n ■ ^ ^ e.ntiA.0 n i 2 .

1. (2)(2 -

508

Iitt'ioduccx.ÓK al A nilcbi

Matemático

Cap.¡C

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS Dado n

un número entero, probar por Inducción M temática

noA que ¿e indique

oía

1) 2) 3)

1 + 4 ♦ 7 + .. + (3n - 2) - n(3n - 1)/2 1 + 7 + 13 + .. + (6n - 5) ■ n (3n - 2) 2 * n + n ■ 2 4) n3 + 2n » 3

5)

5n > 1 + 4n

7)

5n - 1 - 4

9)

2 + ? + 12 + .. + (5n - 3) - \ n(5n - 1)

.

6)

3n > 1 + 2n

8)

1+3+5+

10)

1 ♦ 2(2) ♦ 3(22) + 4(23) + .. + n(2n” 1)

11)

l3 + 23 + 33 +

... ♦ n3

12)

l2 + 32 + 52 +

... + (2n- l)2

13)

l4 + 24 + 3* +

... + n4

14)

1-2 + 2-3 + 3-4 +

... + n(n +1)

15)

1-3 + 2-32 + 3-33 +

...

16)

1.22 + 2 .32 + 3 -42 +

... + (n-l)n2 »

17)

3n > 2n + lOn ,

19)

l3 + 33 + S3 ♦

20)

1 . (1)(2)

21)

_L +

22)

1 - +

23) 24)

1.3

2

1.10

-L 1

25) 26 )

3 2

,

1

5 2

-il

-33-5

1

-

-

1 + (n - 1)2"

¿n(4n2 -l)

^ n(n + l)(2n + l)(3n2 + 3n - 1)

+ n3n

18)

■ -

^ n(n + l)(n + 2)

| [ 1 «■ (2n-l)3n ] 4 yj n(n2 - l)(3n + 2),

sen (a + nn)

- (-1)n sen a n n+ 1

1 (2n - l)(2n + 1)

n Zn + l

(3)(4)

,

1

5-7 +

♦

1 n(n + 1)

1

••• +

2n-l ^n

19 - 2u

_2Í

1 1 -2 - 32-3-4

-

_

,

, 2n - 3 ' 2n )

(9n - 8)(9n +1)

...

♦

5 -7

1 ♦ -L ♦ 1- + 22 32 1

-

t n(n; l ) ]2

n > 4 ,

10-19 *

-

.. ♦ (2n - 1)

... * (2n -■l)3 - n2(2n2 - 1)

1 . (2)(3) 3-5

¥ n i l , a me

a condición :

n l

♦ ----- ---(2n - l)(2n +1)

1 (n + l)2

'

_njnM)_ 2(2n + l)

’ (n+ 1)

. 3 -4 - 5

-

9n + 1

1 n(n+l)(n + 2)

n(n + 3) 4(n + l)(n + 2)

Inducción M a (¿mitica

Cap.I0

27)

-- =-1-2.3

28)

Probar por I.M. que la suma de los cubos de cualesquiera tres enteros positivos consecutivos es un múltiplo de 9 .

?9)

Si a y b c R , probar que

30)

Probar que

,,, 31)

3 4 5 n♦2 -----♦ -------------------- * + -r +...+ ---1-2-2 2-3-2 3-4 -2 n(n + l)2n

33)

Considere el conjunto de n ( i 2 ) rectas en el plano tales que dos cualesquiera de ellas no sean paralelas ni haya tres que pasen por un mis mo punto. Demostrar que el número de puntos de intersección es igual a: n(n - 1)/2 . 1 Demostrar que . n > 1 < 1 n+1 2

34)

SUG: 35)

«• ----2-3-4

+

509

(a - t;)

... + -- ------n(n + l)(n*2)

2n + 1

Probar que

38)

2n > n2 , n > 5 •3 ° n -n = 3 ,

40)

n7 - n

7

.

42)

j2n + 3 + 2n + ^

=

44)

3 ( 5 < m , „ 2 3n +1 ■

46)

7(52n_1 ) + 23n +l1 = O j2n *2 + 26n*l * U

36)

48) 50) 51)

n 2n

=

>

> n

n(n - 1)

.

, 1 1 - ------(n*l)2n

■

n > 1

<

2 n-1 n > 2

.

n > 2

41) 43)

22n +1 + 32n + 1

45)

lln + 2 + 122n + 1

47)

5n - 4n - 1

49)

4n ♦ 15n - 1 = 9

39)

O 17 , » 17 ,

n > 1 .

4n > n4 , n > 5 c n - n * 5 O j2n +2 _ 2n * 1 = 7

37)

O 7 ,

V

n 1 ,

2n

V n i 1 .

=

O 5

=

O 16

O 133

SUG: EJ.

20n + 1 + 16n+1 - 3n + 1 - 1 - 323 o a) n2 - 7n + 16 2 , n > 1 b)

52)

que :

,

(a11- bn) ,

Probar por Inducción Matemática que : SU6:

---1--- :---2(n ♦ 1) (n + 2)

(ab)n = (an)^bn)

es un factor de

I.M.

Pruebe por

=

n4 - 34n3 » 141n2 - 206n

=

24 ,

n > 1 .

Derostrar que un polígono convexo de n lados tiene diaconales, donde n i 3 .

SUG:

[51](a)

[n(n-3)/2 ]

53) i Cuál es el número natural que es igual a la suma de todos los números na­ turales que le anteceden ?

RPTA:n*3

510

54)

55)

Introducción al Anáta-ii Mateirittci'

Cap.I0

Si n > 3 , probar por I.M. que la Suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados es: vértice fijo, trazar (n - 3) diagonales formando (n-2) íA^ngm .04 Dado el conjunto

{ xn e R /

xn + 1 = /2 + xn

, n £ 1 ,

neN

} definidos por

probar por I.M. que

x t = /2

xn < 2 , V n i l

56)

Dado el conjunto de números ( ¿ n / n e N } definidos por = 1 , 4n = 4n-l + 8{n-l) , n i 2 , probar por Inducción Matemática que 2 4p = (2n-l) , para todo n e N .

57)

Dado el conjunto

de números { an } , n e N ,

de recurrencia: probar que a 58)

Sj ■ 1 ,

Pruebe que y que

1 +~~

/2

a) x„ >

{ a„ /

an = 3an_j

Inducción Matemática que

. n "

probar que

62)

Probarque

•--

+

“

An =

b)

An

,

n > 0

, n > 0 .

,n e N

por ,

probar que:

> x„ ,c) 0 < xn n e N ) definidos + 8an_2 ,

< (2 + / 5 )

por

n > 3

, pruebepor

__ n __ n (3 + /41 ) + (3 - / 41 )

*

An_| + 4A n_2 ,

zi un entoio pot-itivo ,

Calcular A L , |A ,

<2 / ñ

7

/n

>2 /n + 2

(1+ /I7)n - (1- /17)n --------- ÍT~— ----2 /17

a)

V neN

( xn / n e N ) definidos

0 , b) xntl

at = 3 , a2 « 25 ,

SUG: b)

+

/3

2 /n + [ 1 / /n + 1 ] < 2 / n + l

Dado el conjunto de números

S1

-4r

xn - 5 - [ 4 /(xn_1 + 1 ) ]

* n " 1 *

61)

+

2 / n + 1 + [ 1 / /n + 1 ]

Dada la sucesión de números x0 * 0 ,

60)

<

.

A 2, ¥

n i 3 ,

para todo entero n i 1 :

Probar por Inducción Matemática que,

SUG:

definidos por la relación

an = an-1 + 3an_2 ■

- -- i— [ (1 + /l3)n - (1 . /T3)" ] 2 / 13

2 ( / n + 1 - 1)

59)

a2 = 1 ,

V n e N

" e K n i 3 ¥ n e N

y luego), aplicar InducciónMatemática enteron 1 3 .

A. - [ (3 + 2 /2 )" + (3 - 2 /2 )" ] / (2/2 )

Zi

un ENTERO

a

(n - 2) ,

511

Inducción Matemática

Cap./O

POSITIVO PAR, ¥ n c N .

SUG:

Si

Bn = (3 + 2 / 2 )" + (3 - 2 / 2 )n ,

utilice I.M. para probar iánultiíniajniLntií que An y óitivcu pa-iiLi , V entero n > 1 . 63)

Si

.

(1 W l ) n - (1- /!)" An - -— -------- . 2 /5

Bn ion e.nteAO¿ po

„ ( 1 * / 5 ) B ♦ (1-/S)" B„ - ------------------2

,

probar que, ¥ entero n 2 I :a) An y Bn son enteros positivos. es entCAo pottLLvo pax.

b) An * B n SUG: 64)

Utilice

Dado el conjunto de números reales { an / n e N ) , definidos de mane ra recursiva: i ■ i - 0. a2 - l . an 2 [ s "-i + *"-2 ] Aplicando el

65)

I.M. para probar (a) y (b) ¿
2do. Principio de I.M. a los enteros n 2 3 , probar que

Dado el conjunto de números { xn Xj « 1 , *2 = 2 ■

66)

2

(-l)n

3

3

2 n-l

e R / ne

xn + 2 * xn + l * *n •

x2n + l a_II * ----v_ 2n

los números

2

,

n e K

K )

Probar por Inducción Matemática que , ¥

entero

a)

xn > 0

,

a)

n(n + 1)

c)

n(n+ l)(n+2) SUG:

d)

* 2 ,

0 < an < 2

n 2 1

*

6

;

b)

n >

,

,

que se definen

x2n b II * ----y x2n -1 n 2 c)

nJ + lln

,

n e K

1: b„

» 6 ,

> 1 n 2 1

1

(n + l)(n + 2)(n ♦ 3) * n(n + l)(n + 2) + 3n(n + 1) + 6(n + 1) O más la Hipót. de Induc. , (a), y 3 * 3 . -

(n + l)(n + 2)(2n + 3)

n(n + l)(n2 + n + l) SUG:

*

6

6,n

2

,

1

» n(n+ l)(2n + 1)+ 6{n +l)2 ,n 2 1

(n + l)(n + 2)í(n + l)2 + (n + 1) + 1 ]

[ó f)

b)

n(n t l)(2n + 1) SUG:

e)

,

n e N .

tales

Vn e K

*y

V

n^ - n SUG:

■ n(n + l)(n2 ♦ n + 1) + 2n(n + l)(n ♦ 2) + 6(i+1)

, y (c)

* n(n + 1){n2 ♦ n ♦ 1) + 2n(n + l)(2n + 1) ♦ 6(n + l)2

, y (d)]

í/¡

diviiibli pon. 30 ,

V n 2 1

(n+1)^ - (n ♦ 1) * (n^-n) + 5n(n + l)(n2 + n + l) , y (e).

' n - 3

b12

InbwJucción al Anátucj Matemático

Cap.10

SUMATORIAS

3. 3.1

NOTACION SIGMA .-

Si

n es un entero positivo y si

aj, a ,, .. , an

es un conjunto de números, entonces estos pueden ser representados por la notación a^

, para

k = L,

n

núme-

2...... n

y la SUMA de todos ellos se puede representar con el s'mbolo n £ ak* a l * a2 + a3 + ... + an k= I

se lee como" La Sumato>Uade tol .uiníMii ak " .A Io í números 1 y n se les denomina ti ti linúXt tupviion. respectivamente, de la tumatolia.

dtide

el cual k

«

n

k

=

1

ha¿ta

túrnUi ingestión. y ti

Al subíndice k se le llama la VARIABLE de la sumatoria . En lugar de es^ ta letra k , también se puede usar -£,/,!i.m , etc. (Para efectos de la sumatoria, al límite superior n se le considera cont •tan-te) Por ejemplo, Zot caa.djia.doi, de lot cinco pAimfiOi tnteju t poti tivot pt »den ser representados por j ak« k , para k » 1 , 2, 3, 4 y 5, es decir,

a^ = l2 =■ 1 ,a2 * 2Z ■

4 ,

a3 ■ 32 * 9 ,

a4 ■ 42

- 16

y a5

2

■ 5 = 25 , y ta ¿urna poA ti iimboto

k= 1 5 £

kz

-

k=1

l2 + 22 + 32 + 42 + 52 =1

Análogamente,

+ 4 la

tviot patixivot Ziv o t se SE representa por

+ 9

+ 1 6 + 25

=

55

tuina de l o t CU60S de l o -& ca c u x o q n i m e j u u en (considerando ak = I , para k = 1, 2,

3 y 4) :

Z k3

l3 + Z3 + 33 + 43

-

100

k=l

Asimismo, se representa:

la turna de lot enteAoe. po&itivot dthde 4

iq

” k

k= u

»

4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

,

haita 10

' donde

¡nducc-íún UitemtCíCa

Cap.10

ak = k

,

para

513

k = 4,5, 6,7, 8, 9, 10. De la definición del símbolo de SumaXonji se sigue que

n+ 1

n

Z k=L

=

( I k-l

(a)

1 * an+ l

Mediante el Principio de Inducción Matemática se puede probar muchas propiedades de las SUMAT0R1 AS. Por ejemplo, entonces

si definimos la regla

a^ ■ c

(constante) V k = 1, 2, .. , n

c + c +' c ♦ ... + c ( n ionandoi) y en particular,

3.2

si

EJEMPLO.

c - 1 :

n yi 1 k= 1

■

-

nc

{la ¿uma de

n

n uno«)

Probar, por Inducción Matemática, que para todo entero n > 1 n Z

C

«

nc

(* )

k-1 So l u c i ó n . (a) Para

n = 1 :

Zj k= 1

c

“

c

“ 1-c

(verificado)

(b) Tomando como HIPOTESIS DE INDUCCION que (*) se cumple para n , veremos si (*) también se cumple para (n +1) : n+ i c k= 1

n * ( 2] c ) + c k-l = ( nc ) + ■ (n + l)c

c

.. por (a) .. por Hipótesis de Induc. .. verificado.

De (a) y (b) y elPrincipio de Inducción Matemática, (*) es válida pajui todo tnteAO n > 1 .

3.3 EJERCICIO.

concluimos que la fórmula

Por Inducción Matemática, probar que, V entero n > 1 :

Itit i n t i n e e , i o

514

n

a t

C a p .IO

ik it iM it ic u

E l

(*)

k= 1 SOLUCION (a)

Para

n = 1 :

¿

k3

=

l3

=

[

1(1 + 1) j2

(VERIFICADO)

k=l (bj Asumiendo cono Hipótesis de Inducción, que (*) se cumple para n , proba­ remos que (*) también es válida si se reemplaza, donde aparezca, n por l" tl):

n > ( £ k3 ) + (n + 1)3 k* 1

£ k3 k= 1

„ [ n(n» 1) ]2

^ (n + 1)3

.. por (a)

..por Hipót. de 1.

* i" + l)2 [ n2 + *(n + 1) ]/ * _ (n » l)2(n ♦ Z)2 . 4 ~

, (n + 1) [(n + 1) + 1] 2 (VERIFICADO)

De (a) y (b) y el Principio de Inducción Matemática, concluimos que la fórmula (*) es válida, pana todo inteAo n * 1 . 3.4

PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS Sear m y n

(1)

(cak)

1

k»1 (2)

n enteros positivos, entonces

n c ( £ ak ) k= 1

pana. toda, constante c .

,

X ¡ (ak ♦ bk) = ( ¿ ak ) ♦ { Z bk > k= 1 k= 1 k-1 n

n

n

k= 1 u

n II

(3)

k= 1 (4)

CoNMUT ATIVIDAD

z

k= 1

ak > *

( k=zm+l

Z

. 1 1 < m < n

n

n

k=m

ak )

ak

=

Z

k= m

an-(k-m)

-.2

Cap.IO

Inducc. 0« Mafi.r-i.tLca

515

La iiutiatoiujL dzt ¿egundo miejnbno mueitxa tot mamo i iumandos dii p^XmeX miembro, tólo que en ofídin ¿nvvuo: m* 1

díide.

an ha¿ta am .

,

n

n

Z -k

Z

k-i Ap l i c a c i ó n

1 .

k-1

(6)

an-(k-l)

20

Calcular

Jl

S

(20 - k + l)3 .

k= 1 Haciendo n = 20 , reconocemos que S-

Z

-

[n-(k-l)]

k'l

(si

ak

entonces

"

n

Z ak

k= l

an- (k-1)

) , y por (6) .

[n-(k-l)]3

[ n(n 1) ]

Z

£ k-1

^ por [3_3]f y como n » 20 :

k» 1 210

APLICACIÓN 2 . --------------

44100 » S

Suma de -ja n psUmeAoi nú n n(n + 1) £ k k-1

Deduciremos la fórmula para la meAoi znXeAJJi p aitivoi S«

En efecto,

(por [3.4](2): )

(k-1))]

Z

-

{n + l)

k-1

k-1 no depende de

y por lo tanto,

£ rn- ( k - D 3 k-1

k ) + ( jr k ) - ( r k )+ k=l (6) k-1

2s = ( £ k-1

k . Luego,

Z

k-1

...

+n

*

—

(n + 1)

2

n n

i

PRUEBA DE (5)

1+2+

i

(5) PROPIEDAD TELESCOPICA

k

n(n + 1)

2S - n(n + 1)

n S ■

» 13.31

an - ao

La idea prictica de esta propiedad es la siguiente:

Cap.10

Introducción al Análu¡ui Uatemítir"

516

4 k *1

lak-ak-l>

(ai ' V

= 2

+ (a2

'V

K

* (a3 ' a2> *

* a3>

il último imnoi il fVujneAO .

La prueba formal se realiza por Inducción Matemática: 1 (a)

Para n ■ 1 :

(a^ -

*

(b)

un iSlo turnando

(a4 - a^)

k«l

>1

(VERIFICADO)

- “o

Tomamos c o i t o Hipótesis de Inducción que la fórmula y probaremos que también se cumple para (n + 1) Z (\ - *k-i> k*1

*

t £ k-1

-

t(ap - a0)]

k

- ak-i>

(F) se cumple para n

i *(«mi

+ (an+1 - an)

-v -

an n - a0 (V E R IF IC A D O )

(6)

Va r i a n t e

de la

Pr o p i e d a d Te l e s c ó p i c a :

n £ W k- m

+1 - ak J

an+l

■

y en particular, para

am

i

m ■ 1 :

n

£

t#k+i - ak }

k-i

an+l “ al

■

Bita Piwpiidad Tapiscópica a muy útil pajia la oomtAucdön di faönmitaA.

3 5

EJEMPLO

a)

n £ k k»l

b)

n 2 £ kz ■ k =1

c)

Deducir las fórmulas: *

n « i £ k3

*

1 + 2 + 3 +

n(n » 1) 2

... +

,2 -2 . ,2 _ ^ _2 lz + Zl * 3l * ... + n i

i

i

1 + Z3 + 3' +

k-1

So l u c i ó n .

3

... + nJ

_

»

[n + l)(2n + 1)

r n(n + 1) ,2

[

--- ]

Cap.Iü

a)

Inducción Matemática

Sea

ak ■ k

an' a0 ‘Z

,

entonces por la Propiedad Telescópica :

t*fc“ »k-t 3 *

Z

k =1

n2 - O2 * 2( £ k) - £ 1 k=L k*1 Y despejando.

Z

k= 1 b)

Seí

a. * k3 ,

Despejando,

Sea

[ak ' ak-i]

n(n+1)

1

Z Ck3 -(k-l)3] le* 1

ü í n2 i l i

«. 3

^

) * 3(

Z

k =1

Z

k >*

k*l n

Z

-

1

k=1

1 )

k-i n(n + l)(2n * 1)

- n ] 1

6

entonces por la Propiedad Telescópica :

k 31 *

Z

n n ¿ k2 - - ( n3 * 3 Z k k=i J k=1

Z [»k -ak-ii ■ Z

an - a0

k* 1

2( Z k > " n k=1

£ (3k2 - 3k + 1) - 3( k=l

ak " k4 ,

n -0

'

n2 + n

*

I3 [ n 3 c)

[k2-(k-l)2] • Y.

k- 1

entonces por la Propiedad Telescópica :

Z

n3 - O3 -

517

t k4 -(k-i)*]

k*l

n J ] (4k3 - 6k2 + 4k - 1)

n ,

y despejamos

£

k3

k=l

k=1

k’i

r .4 . , n(n + l)(2n + 1) L n * 6 -----------6

k=l

, n(n + l) - 4 ------

, n J

2

, n(n + 1) -.2

Z

2

k= 1 Midianti zita ticru.cn

4 1 p u e d e haLLaA. (¡ónmxtaA p a A a

k4

k'1

,

k^

k ■1

, etc.

Cap. 10

lnViuduCCión al -\ná.tí¿ i i MíiCumiLt-Cü

518

36

EJERCICIO. Encontrar el valor de

SOLUCION.

Empleando las propiedades y resultados sobre Sumatorias:

10

S = .

10

10

2 ( X . *2 ) - 3 ( X , k k=1 k=1

)+ l H 1 k= 1

2 10(10 + 1 ) [ 2 ( 10 ) + 1 ]

3 10(10 + 1 )

_

6

3.7

la suma¿2.. ¿_, (2k¿ - 3k ♦ 7) k«L

> +

10 (7) .

2

EJERCICIO. Deducir la IT

jfri

«

770 . 165 + 70

675 .

fórmula

sen kx *

--------- [ eos ^ 2 sen (x/2) 2

cos(n+ - )x ]

So l u c i ó n . ApLLcasizmoi la ¿dtn&¿dad haciendo

eos (A - B) - cos(A + B)

A * kx , B = x/2

2 sen kx sen k / 2 Definamos

* 2 sen A sen B

,

, con lo cual obtenemos

= eos (k - ^ )x - eos (k + ^ )x

= c o s( k-^)x

...(*)

, entonces

■ eos [ (k +1) - i ]x

= eos (k + -j )x n n /T 2sen kx sen (x/2) = - ] T (wfc+ 1 - wfc) - ~ (wntl ‘ wj) k=l k=l

Luego, de (*),

= cos(l - ~ )x - cos(n + l- ^)x 1 3 .% ](')

=»

i

n

2sen(x/2) 2_, sen kx k= l

«

[ eos - - eos(n + - ) x ]

Y despejando, obtenemos la fórmula pedida. 3.8

(SUMAS GEOMETRICAS) n

V

Si x / l . x /> 0 . 0

1

r>

y si ,

deducir que

I n d u c c ió n

C a p . IO

So l u c i ó n ,

sea

ak = *

, k+1

n+i - . 1

x

entonces por la Propiedad Telescópica:

k x

Z (x k =0

x"*1 - *°

519

Matemática

Z

- * )

es decir

k=0 n

(x-l) £

1-

Z
*k

n +1 L .q .q .d .

1 - X

K 3O

k-0

X

3.9 PROPIEDAD DEL CAMBIO DE SUBINDICE n

n +h

Z a* *

(1)

k= m

Z

k= m+h

ak-h

»

h e l*

m < n

Etía propiídad insti,ca que. una tumdtofua. no attira tu vaZon ti cu. tibindí ce

k (de ak ) 4e fe n.£¿ta un

inXeAo h , ¿-tempre qui, 6-imultániamin

tí, a toi limita in¿iA ¡.or. y ¿uptrior di la amatoria.

vamente)

¿e ¿CJ) ¿time iZ númcjio ejtlesio h

n

(2)

z

k'm

EjtMPLOS.

ak

■

Z

k*0

Z

k = m-h

Análogamente, se tiene:

Z

k=5

h

a k+h

e

m < n

l *

n+5 ak

'

n b)

respecta

n-h

n a)

(m y n

Z

k-5

a k-5

*

a k- 3

=

a0 + al + a2

...

+ a n

n+ 3 ak

■

Z

k- 8

z

n -3

k=5

k=2

n+ L

n-u

k= 5

k=O

z Z

k+ 3

k+ 5

a5 + a6 + a7 +

•••

a5 * a6 + a7 +

a5 + a6 + a7 +

+an

+ an

•••

+ an+l

Usualmente se emplea esta propiedad para trasladar el límite inferior al valor k = 0 ó k = 1 .

520

In O iu d iic c U n

3.10

EJERCICIO.

a t

Calcular

A n iX Í C id

C a p .I0

M t it ilm í tic ú

2°

18

4

a> Z —

b>

k = 6 10

„ 2

Z (2k * k* U

k-U

So l u c i ó n . 20 IR a) Z ~ S=i k = 6 10

20 18 Z -4^, k = 6 10

=

=

18000 £ k =0

1 14 1 ■ 18 Z -ío k = 0 10

(— )* = 10

-

ü 103 £ Jtf k = 0 10

i«

18000 [ 1 ' (l/l0) ] 1 - <1/10>

= 2(1015 - 1 )/ 1011 . 30

b)

17

Z

£ k = L4

(2k2 + k - D

=

(pues

siak « 2 k 2 + k - l ,

[2(k +13)2 ♦(k + 13)

-1 ]

k-L entonces

ak+ 13

= 2(k+ 13)2 + (k + 13) - 1

)

17

■=

z

tZk2* 53k+ 350 i

k =1 17

=

2

17

Z

k= 1 =

3.11

EJERCICIO.

2

17

k2♦ 53 Z k k= 1

17(18_)(_35)

+ Z k= 1 +

53 17(18)

b)

n

primeros enteros positivos ¿mpaxu

Calcular el valor de la suma

S = 1 ♦ 5 + 9 + 13 + 17 + So l u c i ó n . 1 + 3 + 5 +

... +793+797.

n ..

+ (2n-1)

»

„

£ (2k - 1) k= 1

=

S= £

20°

Z

k= 1

Sk-3)

-

200

4 Z k- 1

£ 1 k= 1

200

[ 1 + 4k ]

Z

=

k =0

S.

-

■ \T\

199

Podemos notar que

n

2 £ k k= 1

■i(n

b)

+17(350)=17629

a) Hallar en términos de n , una expresión simple para la suma de los

a)

(350>

[ 1 * 4(k-l) ]

k=1 200

k “

Z

200 í 2011

3

=

*

j

' - 3 (200)

k■ 1

=

79800.

t tid u c c ic n

C a p . 10

3.12

EJERCICIO.

521

M a t e m á t ic a

Simplificar la suma siguiente, en términos de n : n )

1 k(k +1)

-------

^

=

1 1 + — 1-2 2-3

---

n(n * 1)

So l u c i ó n . Po- tener el denominador ambos factores tím ala en la vaiXabbi 1 k (k+ 1)

presar la fracción CIALES 1 k(k + l)

—

*

k

k . podemos ex

como la i urna (a¿geb'i£uca) d¿ doJ FRACCIONES PAR

B k+ 1

[ y ¿e hallan la¿ con¿tantea

A y B ]

Damos común denominador e igualamos los numeradores, luego procedemos por el mé­ todo de los COEFICIENTES INDETERMINADOS 1 = A (k + 1) + Bk

1 « (A ♦ 3)k + A A + B - 0

Luego,

1 k

k (k + 1) T'

k = I k (k + 1 )

*—*

1 k+ i

y

,

V k e H

A * 1

=•

(-1)[ — -— - — ] k+1 k

(-1) [ — -—

- —

]

, de donde

(aquí deflrimios

k-1

B - -1

a. — ) u a i t KIr

k (k + 1)

3.13

EJERCICIO.

^

Simplificar la suma siguiente, en términos de n ;

(k + l)(k + 2)

SOLUCIÓN.

i 2-3

i 3-4

i 4-S

i (n*l)(n + 2)

Haremos una traslación de lo; limites de la sumatoria (*)

n+ 1 -

z

k=2

ík >(k + 1 )

[ COMPLETADO TERMINOS EN tA SUMATORIA J

[ k? ¿

-TT (1) (2)

k(k + l) ]

f [ Z ^

f f (n + 1) (n + 2) 3

~~7~ — T ] * t —

k(k + 1)

(n + r1)A(n—+ 2) 3

522

ím.t'LüátKición ai Af.íttici MatimSXíCC

Cap.10 -

Aquí utitizainui el 'le-iu.t'íadu dit

n V 1 ) * --------* k=! (k+l){k +2)

EJEKCICIO [3.12] : y obtenemos (*) , 1 n2 + n t + r ^ 1 [ ---]i + ----------= 2 n+1 (n + 1) (n + 2) 2(n + l)(n + 2)

3.14

Simplificar en términos de n solamente, la su"ia

EJERCICIO. n

1 (3k- l)(3k + 2)

kT i

SOLUCIÓN,

1 + ---1 -1- + --+ 2-5 5-8 8-11

1 (3n-l)(3n + 2)

Separaremos el término general en FRACCIONES PARCIALES :

1 {3k - l)(3k + 2)

A + B 3k - 1 3k + 2

_

A(3k + 2) » B(3k - 1) (3k - l)(3k ♦ 2)

Igual indo numeradores

1 -

Es decir.

1 - (3A + 3B) k + (2A - B)

A(3k + 2) + B(3k- 1) . j

Por Coeficientes Indeterminados:

V k e N B - -A 3A - 1

3A + 3B = 0 »1

\ 2A - B

de donde

A = 1/3 ,

1 (3k - l)(3k + 2) Vemos que si definimos De (*),

2(n + 2)

B * - 1/3 . Luego, 1/3 3k - 1 a|

1/3 3k + 2

3k - 1

1

3

3k + 2

entonces

1 3k - 1

(O

1 3(k+l) - 1

a k+l

1 3k + 2

n Y

—

k= i 3 = i3 ! 21

3n + 2 100

3.15 EJERCICIO.Calcular el

valor de

53 I

SOLUCIÓN. kcomíante,

de modo

iumax0^¿¡i que.

100

í ,w ¿a ío > i

100 J”1

3n + 2

2 (3n + 2) 100

2Z (-i +-j) =■ 1 j ■ 1

la variable u

Z U +1) = Z j=1

3(1) - 1

* S

j ,peAmanecietnio

100

* * Z J- l

J

.

. ¿ £

!

+

t

.

j= l

523

Matemática

In d u c c ió n

C a p .10

u)(100, ♦

5050

2

100

Por lo tanto,

$

100

¿

( 100-¿ ♦ 5050)

•i= l =

100

=100 (

£

i. ) +

5050£

-i= l

LOO [ (100 y 10-1-- ] + 5050 (100)

*

-i.= 1 5050 (200)

= 101 x 104 3.16

OBSERVACION.

Como hemos podido notar en el Ejercicio previo, y en ge­ neral, en toda sumatoria n

Z \

k=m al ¿ubíndice

kse le conoce como una. va/Uable muda. ,

pues puede ser

reemplazado por cualquier símbolo y el valon de la. iumatofUa no te aXXeHJOl .

8

Por ejemplo,

8

Z] ak

k= 3

“

a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8

“

*

a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + *8

*

Z!

¿=3

8

tambUn

o

aí

8

Z! *A

A.» 3

3.17 EJERCICIO.Probar por Inducción Hat.

k* n+l

k

¿

.

i

Z!

*6 =3

que, para todo n e Z+ :

j-1

So l u c i ó n . ,

a)

Para

n * 1 :

primer niehbro

> — k^2 k

j-1 Tomando como HIPOTESIS DE

i

=— 2

V ’ (-l)i+I > - -----------. 1 i

SECUNOO MIEMBRO

b)

í

"=

J

,

1 -

1 2

-

*

1 2

—

(VERIFICA00I

INDUCCION que (*) se cumple para n , probaremos

que también se cumple (*) cuando se sustituye, donde aparezca n por (n + l):

2(n+l)

2n+2

y - ItfK&O +l

k

y ,

2n

— k = n+2

■ t k

y

— ) *

k = n+2

k

+ — *"+ 1

y en la sumatoria del paréntesis adicionaremos el término para

2" * 2 k = n+1

1

524

hittuJucik'óh at A/!Ú¿c4¿i Miiítymitten ¿T\

= [( y i.). ~ k=Tíi k , = (

POR HIPOTESIS DE IHDUC.

1 t J L , ---2n + 1 Zn + 2

± ] n+1

i , i > — ) + ---— k 2n + 1 k = n +1 2n

(-i)j*1

----

)

i ----

-

. ¿-i.

= ( 5”

i rOROUE ?

2n +

(.n<2n +1>+ 1

+

—--------

j=!

j

2,1+2

í iij*l2(n+l)

, i«(2 n+2 )+1

+

--------

2n * 1

2n + 2

- ,»j+l ^

j=l

Cap . 10

j

IlL)-

j=1

(VERIFICADO!

J

Por lotanto, concluimos por elPrincipio fle InducciónMatemática ción (*) dada se cumple paam.todo ne l* . 3.18 EJERCICIO.

que la reía -

Hallar una fórmula simplificada para las sumas a) £ - k2k‘1 k«1

b)

¿ k2k+1 k-1

So l u c i ó n . (k2 ) - (k-l)2

Sea

afc =

a)

i)

k'

',

entonces

=

a([_1 =

£ [ k 2 k - ( k - l ) 2 k‘ 1 ] k =1

(.2k - k + 1)

= 21 [ afc - a k =1 (a„ - a0 )

n

=

an -

( k - l ) 2 k_1 ,

=

¿ü

2

( k + l ) 2 k* 1

y

n2n

..

(*)

a0 = o

3 = n 2n - 0

-

n2n

n

21 [ k 2 k - ( k - 1) 2 k_1 ]

= £

k=1

( k * l ) 2 k‘ 1

..

de

(*)

k=1

=

n n ¿7 (£ k2k_1) + t 2Z zk_1) = s * k ■1 k =l

n -1 Z zk k= u

( S + SUMA CE0MEIR.) ■

S

♦

,

)

-j— ^--

Igualando los últimos miembros de S - (n - 1) 2n + 1

1 - (2

es detir

(-i) y

=

S . ( 2 n -H

(-ü.) , y despejando

S

tenemos

Inducción Matemàtica

Cap.IO

2

b) E¿ ¿u¿<< •(< nte mittipLíc.ax pon. c - 2 n¿da enlaS<_Iu ^lík de. la. panXe a) ( . n

525

a amboi mí&nblui de la ¿ómula obtt

Asi,

tenemos

n

j-> k2k +l k =1

k =1

»

M 22 k 2k_1 n +2 (n- 1) 2n 1 ♦ 4 .

=

n 3.19

EJERCICIO SUG:

Simplificar

cotA - cot B * — - = sen A sen B

So l u c i ó n .

En (SUG) hacemos

cosec (k+l)x cosec kx S •

£ cosec (k+ 1)x cosec kx k=1

S *

n - cosec x £

sen(B-A) cosec A cosec B .

=>

A • kx , B « (k +1 )x

* cosec x [cot(kx) - cot(k + l)x ]

B-A » * , . Luego,

[ cot (k + l)x - cot (kx) ]

k*l =s>

* - cosec x [cot(n + l)x - cotx ]

3.20 EJERCICIO. n a) Z sen(2k-l)x

Deducir las fórmulas -

1 ~ C0S 2n<

F 1

.

n £ cos(2k-l)x

b)

2sen,t

-

^

k=l

2^ _

2sen,t

nir.

- ' a) Ep cos(A-B) -cos(A + B) * 2 sen A sen B , tomandoB « x , A = (2k- l)x , se obtiene: 2 b)

[

sen (2k-l)x ] senx * - [ eos(2kx) - eos 2(k -l)x ]

En la identidad sen(A + B) - sen (A-6) * 2 sen B eos A , tomar A * (2k-l)x , B * x , con lo cual se obtiene 2 sen x cos(2k - U x

=

sen (2kx) - sen 2(k - l)x x f 1 ,

3.21 EJERCICIO.Deducir las siguientes fórmulas, donde a)

¿

k xk-‘

-

k-x

SOLUCIÓN.

-■«_]. §

b)

(l- o2

jea

^ : lu11 > entonces

a) (ak - a k.1) = k x k -(k-l)xk"1

¿ k= i

k

x t 0

.

3

an = nxn .

- (x-l)[ k*k_l ] ♦ ik"1

4

3

aQ = 0x° = o =-

,

Intxoduccián at A n á d i a Matemático

526

Cap.IO

Tomando sumatoria desde k = 1 hast i k = n :

£ (ak - ak.1) =

- 1>

k=I

E

k* 1

ktk_1 + ( E

k= i

n-l (an -a 0 ) - (x-l)S + ( E * ) = “ k =n Despejando la sumatoria S buscada, tenemos

l

s =

A E

k

1

£

. , x 4k - l

-ir = t ¿I m-) 1 k i

3 r

* 7[ 3.22

._ n n*n = (*-l)S + --- — » 1-*

11 - O 2 x *> ^ , para lo cual expresamos

Utilizaremos la parte (a) , naciendo

k-1 3*

=*

1 - xn [ (n + 1 ) - nx ]

k*“-1 -

k= 1 b)

*k'1)

EJERCICIO,

3

1

.

tñTT1

clajt.r

-

I —

r

3

...

$

SOLUCION

"°” se ,u's ■ ( £

1 ' í 1'3 )" t ( n + l) - n ( l / 3 ) ]

,

c ------------ r í ----- ] (i . i ) 2

1 r

2n + 3 .

* 1 ■ 7 tJ--nr-] . 3!> , 3JJ ,, „ 3 . 1003 100

30

i.1 ) - ( £

«’ )

k* 1

k= 1

Aplicamos el EJERCICIO [3 5](c): r (100) (100 + 1) ,2 S =■ [ W M

3.23 EJERCICIO. a>

2

, (30) (30 + 1) ,2 — i£ ]

2

Simplificar en términos de n solamente,

n i kr= ! 7(k + l)(k + 4)

b>

= 5050-465=25286275

las sumatorias

n i k£, l k(k + l)(k + 2)

S o l u c i ó n Separaremos en FRACCIONES PARCIALES , a)

1 (k + l)(k + 4)

A B --- + --- , k+1 k+4

hallaremos A y B dando común . .. .. . , denominador y procediendo por el Método de los Coeficientes Indeterminados al igualar los NUMERADORES : '

1 A+B = 0

=

= A (k + 4) + B(k + 1)= » 1 = ( M B|k + (4A + B) y

4A + B = 1

=*

A = 1/3 ,

B * -1/3

, de donde ; por lo tanto.

Inducción Matemática

C a p . 10

1

1

1

i

1

527

«

INTERCALAREMOS FRACCIONES CON DENO

— ) ■ - -3 H —k ♦------4 k+1

(k + l)(k + 4)

minadores consecutivos

:

, . 1 1 ( _L----- L ) + ( . J _ . _) + (_!----- 1 _ ) ] } k+4 k+3 k + 3 k>2 k+2 k+ 1 Tomamos Sumatorias desde k = 1 hasta k - nen ambos miembros y aplica­ mos la PROPIEDAD TELESCOPICAa la sumatoria de cada paréntesis y resulta

V ' 3

n+4

13 -- 36 b)

1 r ( _J_ JL) t

1 .

kTi (k* l)(k*4)

4

*

n+ 3 ~ 3

1r 1 1 [ --- + --3 n+4n+ 3

1 + --n+2

—

I _L_ n +2 ~

i ]

1 ) +( J L 2

RPTA (a) -------

Análogamente, separando ¿n Fracciones Parciales tres veces , tenemos 1 k(k + l)(k + 2)

( _1_____ 1_ j 1 k k+1 k+ 2 = -

l k(k + 2)

1 (k+l)(k + 2)

L- - ! ] * ( - ! ------ — ) 2 k+2 k k+2 k+1 + ( í 7 T - 7 )] + ( í Í ! - 7 7 T , --------- — k+ 1 k

-

. i (— — , - i ( 2 k + 2k+1 2

,

Tomamos Sumatorias desde k * 1 hasta k * n , y aplicamos la PROPIEDAD TELESCOPICA a la sumatoria de cada paréntesis : n E

^

----- 1-------- i{ - i - - 1 )

k(k+ l/(k+ 2)

Solución

3 25

n = 40

n +2

2

Calcula* la. iuma

3.24 EJERCICIO.

para

2

Note que Luego,

EJERCICIO.

Si

- i(

2

n+1

4(n + l)(n + 2)

¡ , 1 + 8 + 27 + 64 +

, S = 1J

__

+ 64 300

, , , , + 2 + 3 + 4J + .. + 40J -

, , , S ■ [ P^n * ]

JL

, kJ

k=1 =(

A =

1+2+3

B =

1+B+27+64+

+ 4+

¿ qui poJiczntaj^ dz B ti So l u c i ó n .

n (n + 3)

- i)

A ?

20 x 41 )2=

... + 3 0 ... + 27000 ,

672400

Introducción al AnitisCi Mateiràtico

528

Note que

A = 1 + 2 + 3 + __+ n ,

n J 30 ■

Luego,

B = l3 + z3 + *

n(n + 1) A = ------

30(31) -- ---

=

2

B = [ ^ V ^ ] 2 Aplicando una regla de tres:

Cap.IO

=

2

+ __+ n3

, para

,, 15 x 31

- ( 15 x 31) 2

B — * 10U %

100A

100(15)(31)

A — •

x% 8152x312 20/(3 x 31)

20

Así, tenemos que A es el — 3.26

EJERCICIO.

de B .

CatcuZoA. La tumo. ¿¿guíente

1— + 1— +1 ■ — 1+ — + __ 30 42 56 72 -----

S SOLUCIÓN.

%

1 + --6320

s . _I _ + t i . 1 . 1 5x6 6x7 7x8 Bx9 n(n + 1) calcularemos el valor de n : •> n(n + 1) = 6320 ==» n^ + n - 6320 » 0 (n + 80)(n - 79) - 0 de donde s ■

Como

n = 79

Luego, podemos expresar S en la forma

¿ • — - L-. k= 5 k(k + l) D =»

3.27

S

¿

l k=- c

[ ------ — ] k k+ 1

= (1/5) - (1/80) =

EJERCICIO.

naZlcui la iuma di.

lo¿

- t ------ — ] - 5 n+1 5

1 79 + 1

~

16 20 p/ujmí.1 M tOvninoi de la iuce¿ ¿un p>-jneA04 téAminoi ¿o.i :

de númeAoi nealzi , c u y o cuatro

1 l + ix

1 1-x

1

1+2/7 l - /x 1-x

SOLUCIÓN. Notamos que todos estos términos pueden ser expresados con el mismo denominador, de manera que la sucesión estaría conformada como sigue: 1-/7

1

1 + /7

1+2/7

1-x

1-x

1-x

1-x

Asi, los 20 primeros términos se pueden expresar según la regla siguiente 1 - / 7 + (o/7) 1-x

»

1-/7+(1/7) 1-x

1 - / 7 + (2/7)

* ------------ * •-■ » 1-x

i - / 7 + (19/7)

—

1-x

-— —

C a p . 10

In d u c c ió n

M u te m lO

529

ca

y la SUMA de todos estos 20 primeros términos es igual, per lo tanto, a : 19 — — 19 constante s -

£

C l ~ /x

k-0

} 1

£

_

,

EJERCICIO.

W

.

* P0R0UÉ ?

_A2_ [ 2 + 17/7 ] 1-X

(Desigualdad de Cauchy - Schw a r z )

( \ b k ) ]*

<

[ ¿

k= 1

19

¿ porouÉ ?

k 1 » — t 20(1 - /x) ♦ /7 £ k ] k =0 1'1 k -1

probar que, para todo entero C Z

♦ (k /*) ]

Z

♦ (A)

— — [ 20(1 - /x) + /7- -(--9H 20) ] = 1-X Z

3.28

C Cf - ' * )

k= 0

19

— [ £ - (1 1-x k-0

S *

—

1- x

19

-

=

1-1

.J ][ ¿

k= l

Si aR , bk

e r .

n > 1 : bj ]

..

(*J

k* 1

So l u c i ó n a)

Para

n

=

1

En ambos miembros de

:

(* )

se tiene

aj b2

(v e r i f i c a d o )

b) Tomando como HIP0TESIS DE INDUCCION que (*) se cumple para el entero n . probaremos que también se cumple para el entero siguiente n+1

2

t 2Z

K

n

* [ ( Z

bk > ]

k= 1

(n + 1) :

2

V k

) ♦ (antlbn+1) ]

k= l n

il

■

t

■

££

k=1

2 ak bk ]

n

0 *

2 a n + l bn * l ( £

k =1

2

a k b* >

+

lPWW¿1

t a n+ lbn * l l 2

n

akbk ] *E

2(bn+iak )(an ñ bk>

* ta’n b2+1 ]

iPOWu«

k=1

k=l

-

[ £ akbk ] 2 + k=l

£ t ( bn + l ak ) 2 + k-1

(an M bk , 2 ] + [ l n * l bn + l ]

■

[Z

Z

Z

■

akbk J2 +

t E \ \ ] k=1



* bn2+1( Z

k =i

+

*

»1 ) + < V l ( ¿

k= i

iP0R0UÉ?

ta^ + 1 bZ+ 1 ]

bk > + ^ an+l bn +l ^

y por HIPOTESIS DE INDUCCION :

: i ¿ •; n k =1

K=l

O

í

&,<

¿ ■;) * k= 1

¿ k= i

> • tv , ¿ „ ]

IntAoduccLón CÜL A h í .O i ¿i hktfcmático

530

’

[

Z » ; ] [ ( L bJ) k= 1 k= 1

• bj^ ]

♦a2t l [(

= [ z al U i Z b>)] ♦( a ^ ) t z k=1

k= 1

r'

■[( Z •£)

C a p .I0

Z O k-1

* b*M

]

b¡| ]

k= 1

■> Ma^),]t

k= 1

n+1

Z

k= l

•>

n+1

b2 ]

•>

n+1

- t I a¡J ][ Z k= 1

n +1

2

k=1

n+I

}

n+1 [ Z W V k= L

Asi, hemos implicado que k*1

•> bk

* k= 1

]-t

Luego, por el Principio de Inducción Matemática, concluimos de (a) y (b) que la desigualdad (*) es vílida

3.29

PROGRESIONES

pasui todo ¿rtvw

n > 1 .

GEOMETRICAS

Una PROGRESION GEOMETRICA ak , k = 1. 2, 3 ..........tales que cada elemento mero, se obtiene mutt¿pCLc.a.ndo e£ ¿íej ini

t0

es un conjunto de números

(á tínnino ), excepto el pri­

pieced^nie pon. un ¿acto* conótante. a

. Por ejemplo, el conjunto

fll +

a2 +

\

‘

*3 +

d* t

a5 i

a6 i

a7 i

a8 i

a9 +

2

4

8

16

32

64

128

es una PtuigmiíSn G e n i u u i (P.G.),

a10 ♦ 256

donde cada elemento, excepto el primero,

se ootiene multiplicando el elemento precedente por el factor constante A este factor constante

(*)

r 1 2 .

r se le llama la RAZÓN (ó nuzón común) de

la progresión, y se calcula dividiendo o d a término entre su precedente^

Asi,

en el ejemplo (*) dado: al

1/(1/2) *

a2/al "

*-

.

En general, si denotamos el primer elemento como r y el número de elementos (términos)

II

r = 2

r

L.

a5 Asi, vemos que la razón común es :

CVJ

2/1 V a» * 16/B

a3/a2 =

2 = II

=

■ 1 , a3 = 2 , a6 = 16 ,

a2

CVJ

a 2

= 2’ 1, = 8 .

n , entonces la

aj » a , la razón

Progresión Geométrica

correspondiente viene a estar conformada por números de la forma

Z

Itiduect-ón

Cap.10

531

V n-1

NOTA.

El término k-ésimo por la relación

a^ de una progresión geométrica está determinado a rk-l

ak =

k = 1. 2, 3.

.n

donde r es la razón común y a es el primer término. 3.30

hallan. ti tz/icz/i t&unino de. umi pjiogntiión geomé.tA^.i_a cuyo

EJERCICIO.

QLn.rt.to elemento ti So l u c i ó n . Como

81=

a

-

DATOS: 4 ar

a9 - 16

.

16_ i í { ) ‘

81

ar.4

EJERCICIO.

a.

=

r4

81

2

72?

So l u c i ó n .

4

(2/3)'

S¿ ti fVLcme-i e&wtenío de una p-rog.’iei-Cón geomé-fUca e¿ y ti octavo
Como

16 .

r * í 2/3 . Luego, el tercer elemento resulta ser , en ambos casos:

a^ = a r

3.31

a5 = 81 ,

3 16 = a9 = ar8

de donde

81 y cuyo noveno tiruiv<.m ti

DATOS:

-16, = ag =

-16 , halLan eZ ¿txJto tltmento.

a = 1/8 , =►

Jr7 =

8

ag = -16 .

r7 = -128 = (-2)7

r = -2

Luego, el sexto elemento es: a, - ar5 - ¿ (-2)5

3.32

EJERCICIO.

So l u c i ó n . Como Luego,

a2 - atr 512 729

32

=

-4

a6 - -4

En ¿a pwgiMíCn gtvmi.Ou.ci cui/o¿ -do-i p/ujnfwi eíemerttOo 512 ion 27 y -18 , ¿ cuíc elemento ti — ? DATOS: —

at = a = 27

-18 = 27 r k-l

a2 = -18 r = - 18/27

rk-i = _

=

512 729 x 27

C = -

3

( - 2/ 3)

\

53Z

k = 10 . Así, el número dado

k-1 =9

Cap . 10

Artátü li Mate/mítico

I n t r o d u c e i r> n a l

- 512/729

corresponde al

dicJno tltnznto.

3.33

LA S U M A DE U N A

PROGRESION GEOMETRICA Dada una progresión geométrica, la sjma

Sn de los

primeros n elementos L*

2* f

3’

2 3+ Sn “ a + ar + ar + ar n Sn "

n * , n-1 ar

■

ar , ar2,

a , es

••

i

a(l + r + r2 +

. ♦ arn_1 =

.. + rn l

n

£ ak k=1

*

£ k= 1

(ark"M

=>

*n * • Z rk“1 k= 1

y por la fórmula [3.8] esta sumatoria es igual a : •

II

/ 1“ r \

con

T^T"

3.3*1

EJEMPLO.

HoJJLoa . la. ¿urna

S

rf 1 .

y t i númtnxt dt tiAmuioi

n

(*)

dt ana pn.ogn.t

que loe tÍAminot prUmtAo, ttgundo 4e¿pec¿(va/nen¿e, 5 , 20 y 81920 -

i¿ón gzomíViica. ti. ti último to n ,

So l u c i ó n . DATOS: Cálculo de la razón r : Cálculo de n :

-2 * 20 ,

a r ■

a

y tí

an - 81920 r =» 4

=■ 20/5 *4

por la H0TA de la pág. anterior , 81920 = an =

arn'L = Sr"'1 - 5(4n_I)

4n‘* = 81920/5

= 16384 =

47

= n-1 = 7 n = 8

Luego, por la fórmula (*) de [3.33] : • S * Sn

3.35

-

a[

PROBLEMA.

n

1 -r

. ]

=

«8

109225

5 [ -7 — 7 - ]

l-4

Una pzlcta de jibe iz de ¡a caeA di¿dt ana altiuia de cm. Cada vez que toca el ¿uelo, >iibcta dui titcíjt de

altuxa última de

la cua.t cayó,

a) ¿ Cuál

es

729

Ca

la altana de

inducción Matemitcca

Cap.10

533

ta cuat cae La. bola cuando toca eJ iunto pon. iéptumi vez ? b) i Cuál hublzna ¿¿do ta dUitancLa total. HíconjuAo. dtAde el v ston.Ce en que la bola, jue ¿altada, lauta que tocona, zt tuíto pon 4tptuna vez ?

SOLUCION.

OATOS: altura razón

h ■ 729 r * 2/3 729

a2 h

*, ■ \ ;

*T a4

*

alturas sucesivas:

a7

V

i. i

3l * a2 ■ a3 l

h .

a2 =

I2\ u

3

(jU-.

«3-

2

(|)2 h

.

• *7“

^ )6h

Luego,

1, 2, 3,

a) La altura buscada es

a^ ■ (3)^*1 ■ (3 ) (729] ■ 26

,7

a7 » 64 cm.

=

b) La distancia total D que la bola huDiera recorrido hasta el séptimo contac to con el suelo es: (explique el motivo) D - aL + (2a2) + (2a3) + (2a4) + (2as) + (2afi) + (2a?) 7 D = (-ai) + [ Z <2ak) ]

■

7 (-K) 4 t(2h) Z

k«l

(729)( 10167)/2187

PROBIJMA

So l u c i ó n ,

]

- (-h) + 6h[ 1 -

2187

]

, h - 729

3389 cm.

Calculan. zt númzno de. tinmínot de una pncjneitón gtométteca de na.zón 2 . Alendo 189 la. ¿urna S de ztloi, y ta 4uma C de ¿u¿ cuadnadoi, 1228» datos *

a + ar + ar

*■

C = aZ + (ar)^ * (arZ)2 *

razón r ■ 2 , n -1 ..

- a2 C 1 + (r2)1 ♦ (r2)2 + Entonces, como

k-l

k -i

D » (-h) + 2h[ -1■■* (2/3 - ] 1 - (2/3)

3.36

í

(f)

r* 2 :

189 ,

C - 12285 ( n términos )

* (arn l)

( n términos )

.. ♦ (r2 )"'1 ] 189

a[

2 -1

] ■ a( 2 - 1 )

(a)

IntAoduccióh

534

clL

A>ió¿cJc4 Matemático

y por

la misma fórmula para la suma de n geométrica, n = C

12285

Dividiendo (B) entre

-^55189

(a)

primeros términos de una progresión 2

= a7 [ 4 ' 1 ] = —

( 2n - 1 )(2n + 1 )

1= 65 ] = - (2n + 1) 3 =>

(1 + 3 + 5 + 7 +

..

(2 + 4 + 8 + 16 +

195 =■ a(2n + 1)

6 * 2a

=

2n ¿ 26

=

Reóolveti el

EJERCICIO.

(8)

:

Restando (y) menos (a) :

3 37

C ap . 10

a - 3

(y )

2" - 1 ♦

- 64

■ClAminoi .

n = 6

stuna de ecuacloneó :

+ 31)* + (2 + 4 + 6 +

+ 30)y =

..

208

.. + 1024)* - [ / T 7 1296 ]' y

So l u c i ó n .

447

n* 16

1 + 3 + 5 + 7 +

..

+31

2 + 4 + 6 + 8 +

..

+30

£ (2k - 1) = k= 1

n2 =

16

-

256

n = i5 2 JT] k k- 1

*

n(n i L) •

n= 10 2+4+8+16+

..

+ 1024

=

[ J 4 / 1296~]3 = 1728 .

240

1 - Z10

2046

2 ( 41-- 42- )

T- *k

k* 1 Además*

15 x 16

Asi, el sistema dado se transforma en :

256* + 240 y = 208

16* + 15 y » 13

2046* - 1728i/ = 447

682* - 576 y ■ 149

*

1/2

=

y = 1/3

***** SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Calcular las sumas siguientes

») Z (4k-5) . b) £ k=1

k*2 4

100

O

51

4

k=o

">

z

k= i

f) Z k=1

3k + 4 k -1

k+1 k- 1

(-ir Zk - 1

5

I ?ik+l

k= 1

K

c) Z g)

■

4

V

100

d) Z 4 . k=1

í-l)4‘k+1

L ü --------

k=l 2

.<+1

- 1.

Cap. ¡O

2.

Inducción Wat¿m¿tica

535

Expresar tas siguientes suma» en la notación SIGMA £ (existen varias formas equivalentes) : a) 2 + 5 + 8 ♦ 11 ♦ 14 ♦ 17. b)

2 + 4 + 6 + 8

♦ 10 + 12.

c)

3-7+11-15+19-23.

d)

, 2 3 4 5 1 + — + — + — +— . 3 9 27 81

, e)

, 3 5 7 1- — + — - —

f)

2 4 x i - x_ t — j 5

3. Hallar la suma de

9 + —

x6 + — x 8 . —x 10 + —x 12 .— 7 9 11 13

. 491625 .

todos los enteros positivos menore'. de 141 .

4. Hallar la suma de

todos los enteros positivos impares de tres dígitos.

5. Hallar la suma de

todos los múltiplos enteros de 7 entre 60 y 400 .

6. Calcular las siguientes sumas 60 E

a)

(2k - 1) ,

b)

k“ l

n £(4k-2), k“ l

20

c)

a 40 — lIT * d> E k~0 2k'6 k = 28 (/Í0)2k-8° E

7. Calcular las siguientes sumas 10 k 80

a)

E i 3)'

b)

E

k * 9 j -0

k * 50

8. Calcular las siguientes

sumas

22

(k- 40}(k - 60) , c)¿ (3k-5)(2k-4) . k» 3

U

a)

O

12

Z t ( k - 4 ) 2 + 2] k= 5

b) £ ( j - 2 )3 j =2

26 £ (27 -k)3 k= 7

4 , ,k+ 3 d) £ k-l *

9. jedefine el conjuntode números a4 = 32, a5 ■ 55,

a^ ,(kc N) :

a, ■ -1, a2 “4 , a} - 15,

.. , an = (A +Bn +3n2) . Hal lar la suma S de los 20

primeros términos. 10.

Calcular las sigjlentes sumas «) S -

¡° ■ £ E -(D k * 7 j-1

kt, , (k - j + 1) .

5 b) S • E k-2 j*l

k E

(-1) t k - j + 3]

11. Resolver las ecuaciones siguientes a) b)

1 +7 + 13 + 19 + .. + x * 408 (x+1) +(x+4) + (x+ 7) + ..+ (x + 52)

-

549

12. Hallar la suma de los cuadrados de los primeros 20 enteros positivos múlti­ plos de 3 y mayores que 17 13. Hallar una fórmula, en términos de n solamente, para las sumatorias-

536

Íntiüduc.í.¿6n at Anáttlii Mat¿r¿L(uco

a)

d) 14.

£ (6k'3) . k= 1 n k= l

í2k - 1)

b)

.

e)

n £ ar k= l R

£ z"k+ 4 k= 1

¿cuáles son verdaderas? : c) gil) = 2 g(2) + 16 , d)

,

C)

£ (2k-l)2 k= i

1 . (r * D ■

f , g :l * — ►

Sean lasfunciones

f(n) => 2^_n (15) -

15.

£ J l M U k11

C a p .10

, definidas por ■

9(") = 2®'" - *6 ,

a) f(l) = g(l) , b) f(l) = 2f(2) f(n) = g(n) . V n c 1* .

Sea f(x) = x2 - 4x + 4 ,x e R . Hal lar el valor de A = Z + , si n £ [ f(k + l) - f(k) ] = 117 .

2-i¿+

+ 16 , n

, pira

n e

k =o

15

16. Sea f(x) = x - 9x ♦ 20 , x e R ;

calcular

17. Hallar una fórmula para la suma

n £ (9 k=1

18. Calcular

- 9 )

.

171 , E [sen(72kTÍ I) - sent/ÜTTÍ | ) ] k= 1

10

19. Si

£ [ f(k + 1) - f(k- 1) ] . k* 1

10

£ (rk + s) k- 1

- 70 ,

£ (rk - s) =■136 k= 3

,hallar

5r

+2s .

20. En cada caso, calcular el valor de n , si a)

£ (3k - 10) - 200 , k =0

b) n

£ (-l)k -ik-l 2k

t (k)

21. Calcular, sin emplear )afórmula de

,lasuma

k“' r Sea

at = k

(3k - 100)(3k + 100) , , ------------- — ---- , k + 3u0 -

22.

97

h ■

£

y

« ■ £

\ ,2

■

k =2

Hallar una fórmula, en términos de n solamente, para la suma £ (2k*1 ♦ 3k'*) k= 1

-gl 512

32 (k2 - 4k + 5) . k* 1 caícular 2(M - N) , si sesa

97

*k+3

k= l

23.

£

- -

Inducción “iXitmíX^ca

Cap. 10

24. Calcular

1x2 + 2x6

+ 3*10 + 4 x 1 4 +

k 25. Si

ak -

£ <2j - 1) j-I

.

26. Hallar una fórmula para

m

2k (x) * w |t ,

M

537

sen

hallar n £ sen k-0 para

(x)

sen x t 0 , i 1—

.

2

w > sen x

; y se tiene una S. Seométr.

27. SUMA DE UNA PROGRESION ARITMETICA La sjma Sn de los n primeros términos

ak = a + (k-l)d

, k c N ,

y con di¿eAcncLa. común d , de la progre­ +u ........a *(n-l)d

con primer término at ■ a . sión aritmética a> a + (J> es igual a:

...+ 3 0 x 1 1 8 .

n £ ak k* 1

n 5Z C* + (k-l)d ]

Sn“

y [ 2 a + (n-l)d]

-

k- 1

También seprueba que esta sumaSn es igual alproducto del numero de tér minos porlasemisuma ael primery últimotérminos, esdecir , al + an . " ( --- — )

Sn *

28. Encontrar una fórmula, en términos de n solamente, para la suma

a)

y

i

l(■ ik (k + 1 )


n £

b) ’

i

c) y

k ( k + l)(k + 2)

'

C

k. L

» k*

•

e)

k M

K+J ___ k ( k + l ) ( k + 2)

n

£

(n-k+1)

.

f) £

k»l

n

9> £

y ^

k-l

----- ----- (k4 D(k*3)

n

- . -A/. IT •

k -! k(k + l)(k + 3)

*-) £

k+ 3

k „! k(k+l)(k + 2)

29. Encontrar una fórmula, en términos de n solamente, para la si«natoria 4 1x2x3

5 2x3x4

6 3x4x5

30. Hallar una fórmula para la sumc-toria

SUG: Usar

‘

n+3 n(n + l)(n + 2)

n . £ cosec (2 t ) k =■1

cosec (2A) = cot (A) - cot (2A) ,

haciendo

A ■ 2 lc"1x .

31. Deducir las fórmulas de las sumas siguientes , para n e N , a)

1 x4 + 3x 42 + 5x 43 + ... + (2n- 1)x 4" • [ 20 + (6n-5)4n+1 ]/9

538

I n V io d u c c Á ó n

b)

y . —(4kP-— - 1)

f)

- -ílÍ!L1Li

kT \

V"1 k 1 kí= 1 ^3K =

(2n + 1)

SUS:

9k

- 1

»

?

]

)■

4

]

_ Tomar logaritmo y aplicar la Propiedad Telescópica. n(9n + 7) 2(2n + l)

-[ __________ -__________]

4

(2k-l)(2k*l)

£ ¿ 3 ) lc_1(l-aw * n 22n +1 k=l

diferencia SUG:

Y LUECO SEPARAR EN fracciones par ciales

b)

n £ sen kx k» l n E eos kx

b) SUG:

" k_ I Y

k =!

^

tnteAn po6¿tLvo n

2 1

• [ sen n ^ • sen (n + 1) ^ ] / ( sen | )

* [ sen n | • eos (n + 1) ^ ] / (sen ^ )

PlobaA. pon. Inducción UatunfÁ ■. :

a)

SÜC: (ak - ak_j) = ?

Considere a. * (k+ l)(-l)k+1 , k y la diferencia (ak_1 - ak) .

Proba i pon. Inducción Maít/nit^cí*que., paw. todo

a)

35.

tnf 2n(n*l) -¡r1—

, - , , 5k + 3 , , , 5n * 3 e) k^= i l5K 5T7¿ > = *rt( ¿

2n k b) E (-2) (2k+ l) - 2n . k= l

34.

> ■

Deducir las fórmulas siguientes a)

. 33.

**(2k— + 2

E

k =!

(3n-l)(3n + l) ‘ (2n- l)(2n +1)

4k2 - 1 32.

c>

2k -1 2k +1 = ---- - — 2k + 1 2k + 3 £K 1 £K J

2k + 3

5x7 3x5

+

•

C a p .10

U a X i¿ „ ¿ t ic u

1 [ ------------- -----(2n + l)(2n + 3)

2k -1 ----

SU6: 2x4 --1x3

1 , ¿ i

3 3 + 2n 4*» ' ' 74(3 7 ^ 7) ’

11 OL 1 £ £n ( £1-i ) ' ^ 2k + 3

. g)

Arfó1

a l

£

eos

sen kx =

a) eos2 A

Deducir la fórmula

n

kx

2

(V n e M )

(n + l)x - + 2 sen x

sen n x - C D S

*

n sen nx-cos (n +l)x - 2 2 sen x = - (1 + eos 2A) . n E

b)

sen2 A = ^(l-cos2A)

■ >

6. 4 ^ - ^

■

* ---- ü -----

:

Consi

Cap . 10

(k + 1)2 -- 5- — -(k ♦ 2)(k + 3)

SUG:

k+ 1 k+ 1 k+2 ------------- ----k+2 k +2 k+3

36. Deducir la fórmula

n £ ~T tan "T k=0 2 2

SUG:

tan B = cot B - 2cot2B

=

b

\ n

£

k= 1

2B = (x/2k_1) . Hacer a^ , b^

doentero

B * b/21* = í>

2 *

x

b

_k-l, .

2

[ 1 + 2 sen ,k •co- ^ z

1 + 2sen2 Bcos2B 1 2cos2 B - cos22B . Sea

38. Sean

,

= ik lan ^k •

Hallar uia fórmula para la suma

SUG:

c o t - Z cot 2b

2

Sea a^ » ^ cot

l , . b ak - ak-i ■ ¿

37.

539

Itiduccuún yia-tímdtíca

e

R

,(k

n > 1

e

N).

ak = 21*eos2(x/2lc),

]

z

B ■ (x/2k) , de donde ak

-

-?.

Probar por inducción matemSticc que, para to

y para todo c > 0 :

n

n

n bk

SUG : ( |x y

y

|- |y |)> 0

=»

2 |xy | í (x¿ + y2)

, y tomar

b n+1 f c / Z .

39. Hallar la suma de los .5 primeros términos de una progresión geométrica, el primer y segundo término son 0/3 ...

sf

y 0.1 ... , respectivamente.

40. Hallar la suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica, el primer y segundo términos son 3 y /3 , respectivamente.

si

41. Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica

:

2 ,

- 22 ,23 . - 24 , ...

42. Hallar la suma delos cuatro primeros términos (P.G.)

cuyo primer término es ■/\l + 6/2

de una progresión geométrica , y la razón

3 - /2 .

43. El primer término de una prog. geom. es 1 , el producto de todos los tírm[ nos 32768 , y el número de ellos. 6 . Calcular la suma de todos ellos. 44. Un pueblo que tenia 10000 habitantes, no tiehe hoy m2s que 6561. La J a minudói aniui¿ ha sido la décima par;e de los habitantes. ¿Cuántos afios ha ce que. tenía 10000 dicha localidad ? 45

Una persona gastó el lunes una cierta cantidad, el martes gastó el doble, el miércoles el doble que el martes, y así sucesivamente hasta el sábado de la

IntxoducZLÓn ai AhclLLaía Matemático

540

C-ip. '0

misma semam, en el que su gasto fue también el doble que el viernes. Si su gasto total fue de 693 soles ,¿ cuánto gastó el jueves ? 46. Hallar una fórmula para la suma Sn 2 , 22 . 222 , 2222 , ...

de n números de la forma

47. Una progresión geométrica consiste de un número par de términos. La suma de todos sustérminos es nueve veces la suma de los términos queocupan los lu i,ares impares. Hallar la razón r de laprogresión. 48. Una de las raíces de una ecuación de 2° grado esigual a lasuma de lo»ocho primeros términos de la progresióngeométrica 512 256 " 255 ’ " 255 * ■" ’ y la otra raíz, el quinto término de la progresión geométrica 93.75 .................... i Cuál es la ecuación ?

234.375 ,

49. En una progresión geométrica la suma de los términos de lugar par es 1365 y la de los de lugar impar es 455 . Hallar el primer término de laprogre sión. El número de términos es 6 . 50. Resolver la ecuación siguiente, 1+ a + a2

+ a3 ♦ ...

♦ ax

« (1 + a)(l + a2)(1 + a4 )

51. Hallar una fórmula para la suma S * (a + ¿ )2 + a Cl a v e 1.

de

49/6 , c)152/15 , d)

[ f(*o) * f(*t> + f(*2) ]d ,

2.

5 a)

d>

+ (an + - )2 a

400 ,e) 404 ,

V1 k 2J “ k^T • k =1 3

ni e)

(4). 247500 ,

Y' I I E (-1) k-L (5).

f) y

g)-26/35

,

c)

6 £ (-1) + (4k-l) k= 1

h) 87/í

6

£ (2 ♦ 3j) = £ (3j - 1) j *0 k» 1

3. 9870 ,

...

i1

Re s p u e s t a s

a) 54 , b) O

(a2 + -í- )2 +

, b) 2k — 1 k

11319 ,

6 £ (2k) k= 1 . * f) (6a).

yn (- X2 )^ £ r k= 1

3600 ,

(6b). 2n2

6c). (22 1 -l )/ ¿1 2 , (6d). (1013 - 1) , (7a). 5050 , 7b). Note que hay 31 términos S = 6355 , (7c). S = 17640 8a). 405 , (8b). 3025 , (8d). 7/12 26 26 20 8c). £ [(26-k + 7) - 6 ] 3 » £ (k-6)3 = £ k3 = 44100 k=7 k= 7 k* 1

OC/[(I -uc + zu£)(l+uz)(,tü)u] :(a)Mp)

.

(Z +U)H+U)Z (3 .M

(2 + U) ( I + u )t

(Z + u c ) li

---(C4U)U

(q8Z)

* (T + uJ/u

(e8Z)

: » z *o d /[ j+(j (x ^as) - i ]

92

9/(1+u2)(i+ u)u

'S2

Z/(E - UE + l+ u2)

E2

1=)1 0639E =

’•e 2

=S

'( K )

‘ (2-WPI - ^

0t

• 00» ■= (N - W)2

’ 002 ■= °01* ■ M - W 88fr6

I-«* = 2E + ( z* 2 )* s Ot

*2 = ■ *2 + -'S 2

-(I*) -

I =

->1) ‘V

"22

s+ W - ^ 12 s ‘ 2 = ■> 61 (2/“Z)uas - (2/u)uas -gì

I + z(Z

• si -u(e (02)

6 = u (q

‘oßann

‘ (00E + >1)/ (00001 - z*6) = 11* °“»3

anb

-

«

[ I - U6]06 = (6 - l+u6) + (z6 - z+u6) '¿I 012 (91) (J -D / ( UJ * D *

(3 ZU£

‘ OOE » V

‘ (I ■zuZ)zu (P -(eei)

•

‘ 21 = u (SI)

‘ C/[(I+ U2)(I - u Z ) u ]

6 / [ (Z + U)(I + u)u ]

«=

6»S = [ (Z - «) + * ]

eiopuaiAtosaj 'isv

• 81 = u

=u

«=

=*

uoiDpriDa

owillQ [a X

2S + x « (Z - ue) ♦ x

<=

El "21

*Í

euuoj «i uausi) sa[pmso( ‘ sopupuins ap ojauinu £9

21

c=

‘fri

^ 8I«u

' (Z -5|£) + x

(a

-(qei) • 0EZ6»

I » « *

‘ sspoi

1a

ü ea$

S-(Zl)9 - S - ug = *

(q

*i*V

0*

(ZI - U)(VE +UE)« =

80V =uç

-

9

«=

80» =

(S - >19) 2

U roqep jod oujod K ‘souiuua} ap ojauinu [a sa Ü apuop

‘ ç - ug

=

x

(c

\\

s ■ 21- ■ [oi + si]-[8 + oi] + [9 + 9 ] -[v + e] 1=r

i =r

] 5i(l') ^

= C’ iz +TY^ih

z = )(

i =r

z=*

( z 3 + (?) 3 ),(i-) 3 -{[2 + d +r-’O] 3 ,d-)} 3 ì

Ì

S

¡

i

s

(q

»91 - * S :cuiuuai e OUJUU9 Î oßani i • [ (I + >IZ)(I+)0 )l 7 ] ( I - ) 3 “ = I ‘I -, ï%] VAIlVirWNOD 'dOMd 01 \ i-t i= T-r í =* -(f) 2 (i - ) 2 (i -) = d + r->i) 3 - j- ( i - ) 3 - s Ì 01 3| 01

0i n = s i»s

uçy?z>ripni

(s

‘ V- = a ‘ 0 = V

01 6

Ol'foD

542

lntA.0ducCA.5n al Anál^.i
28

f)

29.

Igual que (28h) .

37.

2n cos2( Ar ) - eos2 x

40. 41. 42.

n(5n + 13) 12(n + 2)(n + 3)

2

Cao.10

n(7n2 + 42n + 59) 36(n + l)(n + 2)(n + 3) (30).

h

n(5n + 11) 4(n+l)(n*2)

cot(x) - cot(2nx)

(39).

a = 1/3 . r = 1/3 ,

S = 121/243

_

a= 3. r * 1//3, S = 13(3 + /3)/9 a* 2, r - -2 , S = - 682 /a + /b

» /(a + /a 2 - b )/2

/11 + 6 / 2 = /Tí + /72

+/ (a - /a2 - b~)/2

=

=>

3 + / 2 = a , 3 - /2

= r .

ro Ui

t—'

Api icardo la fórmula para la suma, S = 12(9 - 4/2} 43. a = r 1+2+J+4+5 = r15 = • r =■ 2 , 44. a = 10000 , r = 1 - (1/10) arn « 6561 = 94 = « 45.

L Ha a 2a

Mi 22a

Ju 23a

n = ..

VI 24a

Sa 25a

RPTA:

Gastó = Asi, el

S = 63 .

Hace 4 años. 693 « 63a (¿?) = > a = juevesgastó 88soles.

11

(k DIGITOS)

INI (Ni II •O

46.

Sn = 47.

n £ k* i

. 22

= 2(1 + 10 + 10'2 + ...+ 10k_1) 2

ak

n

|[ E

=

k=

k

1

wk - ¿

a . ar , ar2 . .. , ar “

ZÙ

9

raíz x, * -4

razón

r2 = 2/5 ,

raíz x2 =

♦ ar3 + ar^

455 = a + ar2 + ar4

==>

1+ r = 9 r = 8

6

» ==>

,

xL - 2x - 24 = 0 .

= ar(l +r2 + r4 ) =

a(l + r2 + r4 ) ;

dividiendo:

3 = r .

)820 = a (1 - rÉ )/( 1 - r) = a(-728)/ (-2) = »

a

(1 . ax+ 1)/(l - a) = (1 - a8 )/l1 -a) = > E

k= L

.

a

= 5 .

»: = 7 . Si -a f 1 , realizando operaciones la ecua­

Si a = 1 , entonces ción se transforma en

k= L

a(pZJ

k-0

r. = 1/2 ,

50.

\

(n-l)/2 “

48. razón

Sunnndo,

ak K

=

n X aplC k =0

49. 1365 = ar

=

~ [ lo"*1 - 10 - 9n ] 81

n : IMPAR

= ~

a , ar2 , ar4 , .. . a r " ' 1

Por el dato.

1 ] -

k=l

2( 10 ~ ■■) 9

[ U 2)k ^

M ¿ ) k ]= 2n+ a

2n + (j2n- l)(a2nTZ +I>

^

V

a " 1

+

x = J .

^

J à

Inducción Mattf"iát<.ca

Cap.IO

4.

SU M A D E UNA P R O G R E S I O N

G E O M E T R IC A

543

CON

IN F IN IT O S

T E R M IN O S

Explicaremos el concepto de SUMA de una Progresión GeométH ca con infinitos términos mediante el siguiente sencillo ejemplo. Supongamos que una persona va a recorrer toda una cuadra , de longitud L = 100 metros, cubriendo tramos consecutivos y partiendo de una esqu_[ na de la siguiente forma: Rectwfie la mitad de. la cuadna (lo¿ pnimeAoi 50 me-ttoi) ,

PRIMER TRAMO

L a.1 = 2

100 = 50 »— 2

Rectwiela mitad

SEGUNDO TRAMO

dz la

50 a2

TERCER TRAMO

:

íc& ta n d a que ¿alta,

100

Recovie la mitad dz la diitancu que. íaZta, a,

3

25 = —

100

Zi dzdA

12.5 m.

3

2

zi d zdA

= 25 m.

2

~

m.

2

Repitiendo este procedimiento n veces, la persona llega al N - ESIMO TRAMO :

ReeOAAZ una di! tañera de 100

metros

n

[.La distancia acumulada recorrida, incluido este n-ésimo tramo, es S

(

♦ a2 ♦ a3 ♦

, 100 100 100 ( --- ♦ --- ♦ --- + ' 21 2 2 1- r 1- r *

100 r

..

100

+

1 - (1/2)

2 [ 1 - (1/2)

. I 2n

y por [3.33] :

---

razón

r ■ 1/2 ,

(a)

A continuación se repite el mismo procedimiento indeftinidaminte , lo cual se simboliza n - oo , y significa: el númgAo d¿ trama n.zconk.ldiit n tiende oo . Asi, la DISTANCIA TDTAi. LIMITE recorrida será la suma :

a

IntAcdacciSn at A nátii+i Matemático

544

S = *! + a, ♦ a3 ♦

.. + an +

...

Cap.10

oo £ ak k=1

=

que recibe el nombre de SERIE INFINITA , es decir ••

* 7 *

-

3

(■>

Los sumandos (tamb-iln denominada TERMINOS) de la serie infinita (6) constituyen una PROGRESION GEOMETRICA CON INFINITOS TERMINOS, con PRIMER TERMINO:

a, = — 1 2

,

y

r = 2

RAZON:

Intuitivamente, observamos que el valor de la suma S en (p) debe ser S * 100 metros, pues ésta es precisamente la longitud total de la cuadra que va a ser re corrida por la persona en la forma ya descrita. Asimismo, vemos en la fórmula para la suma Sn en (a) , que cuando n tiende a oo (es decir, cuando el húmeio de términos

damente), el cociente

— 2n

n va creciendo ilimita

va tomando valores cada vez más pequeños, acercándo

se al vaton UmiXi 0 , de modo que S , que vienea ser eJt vatoi S ■ 100 metros.

DISTANCIA ACUMULADA leccvUda , será justamente

. S =

100 x 100 ^ 100 ^ x 100 — - ♦ —- + - * ■ ♦ . . + -2 2 2 2

Esto se simboliza como: tiende at vatoi

" Sn ■» S = 100

S = 100 cuando

A esce valor limite

^ + ...

1

cuando n •* oo

100

tímete, de la

Así, tenemos metros

, y se lee " Sn

n tiende a oo “ . S se le llama la

SUMA DE LA PROGRESION

GEOMETRICA CON INFINITOS TERMINOS descrita.

A continuación presentaremos un resultado que nos será de mucha utilidad, pero cuya demostración formal no será dada, pues corres ponde al tema de los LIMITES DE SUCESIONES Y SERIES. «t.l

LEMA.I)

Sea

r e R tal que | r | < l

, ( -1 <

r < 1 ) , entonces

Las potencias rn tienden at vato-x tXniXe 0 a °°

cuando

n tiende

” Cuando -1 < r < 1 , las potencias rn van toman do valores cada vez más cercanas a 0 , conforme n va creciendo ilimitadamente.

Inducción Ma.temiU.ca

Cap.10

II)

545

El valor S de la SUMA DE LA SERIE GEOMETRICA INFINITA: ( 1 + r + r2 + ..

* rn'1

)

,

-1 < r < 1

con primer término flj ■ 1^ . y razfin r , |r| < 1 , es >'gual a

BOSQUEJO DE LA PRUEBA DE (II) : Considerando la suma parcial Sn de los primeros n sumandos de la suma en (II) , y por la fórmula de [3.331, sabemos que ( 1 ♦ r ♦ r ♦ __ Sea

+ r n' )

*

(

1-r

)

S el valor de la suma dela serie geométrica infinita dada en (II) : S * ( 1 + r + r2 +

..

+ rn~l ♦ rn ♦ ...

Como Sn tiende al valoi Limite S cuando n

tiende a

°° , de (y) se tiene

que, cuando n tiende a_oo , entonces la potencia rntiende de modo que i-r" 1 - r" S„ ■*n ■ ----1-r 4.2

NOTA

tiende al vaioi tímete

S

)

a 0

1 - (0)

1

1- r

1- r

[de (I)],

a) ; la serie Infinita entre paréntesis de (II) se le Dama SERIE GEOMETRICA INFINITA , con psUmeA. tÍAmino ■ 1 . y Kazón r , y al valor de S se le llama la SUMA DE LA SERIE GEOMETRICA daJa. b) Si | r| i 1 , la serie geométrica infinita de (II) no tiende a ningún número real definido. c)

«t.3

El valor de la SUMA -1 < r < 1 .

S en (II) existe solamente cuando

FORMULA DE LA SUMA DE UNA PROGRESION GEOMETRICA INFINITA Consideiemos la SERIE GEOMETRICA INFINITA general a( + atr ♦ a r2 ♦ ...

+ a rn'1 + a rn ♦ .

Cap . 10

InfAuduCCtóii ai AnóXiS ci Milfeimíí¿cu

546

donde la razón r satisface la condición-1 < r < 1 , entonces el valor de la SUMA S de esta Serie Geométrica está dada por

S = { a^ * atr + a[r2 +

+ air,> + __

J

(1 - r)

la ¿unía S de la S>yu.e Geom¿X/Uca Injcricia con piimeA teimino a ^ y r, - 1 < r < 1 , C4 igual cll p/iimeA {¿Amina 3 j dividido po-t (1 - r) . "

/tazón

M .*1 EJEMPLO.

Hallar la SUMA S de la serie geométrica infinita: ,

100

*

( -2 So l u c i ó n .

4.5

EJEMPLO.

SOLUCIÓN.

*

Primer término

de [4.3] : S =

100

—r 2

ai

100

2

*

—Z

2

.

*

)

at = 100/2 = 50 ,

50

1 -r

100

■■■ *

razón r = 1/2

;

100

1 - (1/2)

Una pelota de jebe se deja caer desde una altura de 15 m. Cada vez que toca el suelo, rebota dos tercios de la altura última de la cual cayó. Calcular la distanciatotal D recorrida por la pelota antes de quedar en reposo. yer ei PROBLEMA [3.35](b).

Altura

h = 15 m.

La distancia

total recorrida D es la suma D

=h ♦2[ (| ) h ♦

( f )2 h + (|)3 h ♦

....

]

La serie dentro de los corchetes es una serie geométrica infinita con PRIMER TERMINO

al

SUMA S = -- — 1-r

a, »

| h =

2

= (10)/{ 1 - — ) = 3

Por lo tanto, la distancia total recorrida es:

10 ,RAZON

r*|

;

suSUMA es

30 m. D = h ♦ 2S = 15 v 60 = 75 m.

Como aplicación de las serie geométricas infinitas, podemos ex presar los números decimales inconmensurables como fracciones. De ello tratare­ mos en la siguiente sección.

Cap .IO

<4.6

Inducción Matemática

6 ENERATRIZ

co puro

547

DE NUMEROS DECIMALES PERIODICOS

Tomemos como ejemplo, el numero decimal periód^ * - 0.55 = 0.5555 ... , entonces vemos que pouemos expresar x

= 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 + __ 5

—

+

10

5

5

10 ‘

103

—

5 10^

10 "

que viene a ser una serie geométrica infinita con primer término y razón

» = S =

4.7

at = 5/10 .

r = l/io . Entonces, por la fórmula [4.3] :

EJEMPLO.

5/10

1-r

1 - {!/l0)

Expresar el número decimal periódico fracción.

x

=

3.1252525

So l u c i ó n . 10

10J

103

107

+

como

.. ]

(*)

La serie dentro de los corchetes es una serie geométrica con primer término at = 25/ ioo

y

razón r = 1/100 , de modo que su SUhn S es igual a

25 1 S - a, / ( 1 - r) = (— )/{1 - — ) = 1 n n inn 100 100 Luego, de (*):

4.8

25 x - 3 + — + 10 990

EJERCICIO.

1

+

7

3

—

3094 990

= 3.12525 .

+

1 3+ 7J

—

,5

—

,6 7

Podemos expresar esta serie en la forma 1

y si denominamos

5,

S = Sj

mer termino

2970 + 99 + 25 990

1 +3 — 3 7J 7'

—

7‘

7 entonces

990

Calcular la suma S de la siguiente serie infinita: —

SOLUCION.

25 —

7

. , 3 + ...) + ( — 7“

3

3 + — 7* 7

+

a la suma del primer paréntesis y 5¿ a la del segundo, Como S[ es la suma de una serie geométrica con pri-

= 1/7 , y razón r - I/72

entonces 51 *

1

- r

-r

Introducción aí Aiuífuts tiiiCimltico

548

Cap. 10

y como 5, es la suma de una serie teométrica con primer término y razón r = V 72 , entonces

.,3

bt

Por lo tanto,

*í.10

72

3 48

S = ± 24

S = S. + S, = — 1 1 48

EJERCICIO.

1 .

.

7

1- r

bj = 3/j-

Encontrar una progresión geométrica infi/iita cuya suma sea

6 , tal que cada término sea cuatro veces la sjma de todos los términos siguientes. So l u c i ó n . al

. . .. ....... Sea la progresión geométrica infinita:

• alr •

al r

>

•••

CALCULO DE LA R/.7QN: V entero airn =

»

»

ai r

...............

(*)

n i 0 y por condición del problema:

4(airn+ 1 ♦airn+2 ♦ a,rn+3 +

...

)

La serie del paréntesis es una geométrica con primer término a 1 CALCULO DE a, :

1

r , .. Como la progresión entorces

. 4 [— —^—-- ] í1 - r) (*)

24 5

«1.11

24

=>

1 - r ■*r r = 1/5

.. , tiene suma 6 y pr ner termino at ,

al al S = 6 = ---- = ---1 -r 4/5

Así, la progresión buscada es:

a^ 0*1 y razón r

n+1

de modo que por la fórmula [4.3]:

24

=>

24 a. = —

1 5

24

’ 52 ’ 53 ’ 54 .................

EJERCICIO.

Dado un cuadrado de 1 uietro de lado, se unen dos a dos los puntos medios de sus lados; se obtiene un nuevo cuadra do en el que se practicará la misma operación. Procediendo asi sucesiva e indefinidamente, i cuál es la SUMA DE LAS AREAS de todos los cuadrados así obtenidos ?

So l u c i ó n .

De la figura obtenemos la progresión geométrica infinita de áreas de cuadrados siguiente:

Inducción Síttemática

Cap.10

a, = L = 1 — i

1 i

ai ' (-— = s * y 2

549

/2

, 1 2x2

a-, = ( --- ■ 2 )

= \ 2'

1 2

=

,

y asi sucesivamente. Vemos que se trata de una progresión geométrica infinita con primer término at = l , y razón

r = 1/2 , de modo que su SUMA es 1 - ( 1/ 2 )

= 2 m .

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar la suma S de cada una de las series geométricas infinitas: a)

2 . 1 3 9

b)

5 - 2 + 0.8 -

c) -3 2.

1 54

d) e)

1 1 3 ' 27

f)

/3 + 1 Í . 1+ i 4 5 (3+/8) + 1 + (3 -/8) *

Expresar en forma de fracción los números decimales periódicos: a)

0.777

d)

3.888

g)

5.10333

b)

0.323232

e)

4.15121512

h)

4.215252

c)

0.250250250

f)

2.123123

i)

9.44305305

3. Hallar la suma de cada progresión geométrica infinita: a)

/ 4/3 , - / 3/4 , / 27/64 , /7 ♦ 1

b)

— --/3 - 1

c)

*7 . v T ñ

d)

ñ

,

* i

/3 - 1

——--»3*1

, .

-1

,

• /z - i • 2

6)

1* Ü4 ’

(1.4)'

+ 1

...

550

In tr o d u c c ió n

a t

A n A L L iis

Matoniítieo

C a p .10

4. Hallar el sexto término de una progresión geométrica infinita cuya razón es 1/3 , y su suma es ?43 . 5. Hallar el primer término de una serie geométrica infinita en la que la suma es 243/4 , y su segundo término es (-27) . 6. La suma de una serie geométrica infinita es 28 , y la suma de los cuadrados de los términos de esta serie es 112 . Hallar dicha seriegeométrica. 7. Hallar la razón de una serie geométrica infinita tal que la suma de sus seis primeros términos es 7 veces la suma de todos los términos restantes. 8. Encontrar una progresión geométrica infinita cuya suma sea 20 , y tal que cada uno de sus términos sea tres veces la suma de todoslos términos ubica dos después de éste. 9. Hallar el valor de la suma de cada serie siguiente a)

£ ♦* ♦ i. ♦ ± 3 3 33

34

♦ i. + 35

. . - 2+ , 1 + 4 — - -1 + --8-- + -1 b) 5 25 2 125 4 10. Resolver a) b)

3

Jt+ X + JL +

■

* ...

±

36

16 625

1 + 8

+ -- -

— 3/3

2 3 1 * loncos* + tog2 cosx + fogueos* +

....

=

2 -

11. La diagonal de un cuadrado mide 40 cm. El lado de este cuadrado se toma co mo la diagonal de un nuevo cuadrado, y el lado de este segundo cuadrado co­ mo la diagonal de un tercer cuadrado, y asi se continúa indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de todos estos cuadrados. 12. Después de que una persona que viaja en bicicleta retira sus pies de los pe dales, la rjeda delantera gira 240 veces durante los primeros 15 segun­ dos. Después de cada período sucesivo de 15 segundos, la rueda gira 4/5 de veces que giró en el período anterior. Calcular el número total de rota­ ciones de la rueda antes de que la bicicleta se detenga. 13. Un triángulo equilátero ABC tiene lados que miden 3 unidades. Se construye otro triángulo equilátero uniendo los puntos medios de ABC . Se procede de la misma forma indefinidamente. Hallar la suma de las áreas de todos los triángulos obtenidos con este procedimiento. 14. En un cuadrado de lado a se inscribe un circulo; en este círculo se ins­ cribe un cuadrado; en este cuadrado se inscribe otro círculo, y se continúa así indefinidamente. Determinar la suma A de las áreas de todos los cua-

Inducción Natúnáíica

Cap . 10

551

drados y la suma C de las ¿reas de todos los círculos. 15. Hallar el valor de

oo

k-4 ,1 .k-6

3

E

k*5 Cl a v e i.

de

<;>

Re s p u e s t a s s = 4/5 ;

a)

r * 1/6,

d)

r = -l//3,

f)

r = 1/(3 ♦ /8 ).

b) r - -2/5.

S = 3(3 - /T)/2 ;

e)

S = 25/7 ;

c ) r = i/y.

r = -4/5.

S - 25/36

S

27

8

S - (17 + 12 /2 )/ [2( /2 * 1)]

2. a)

7/9 . b) 32/99 . c) 250/999 . d) 35/9 . e) 41508/9999 2121/999 . g) 1531/300 , h) 41731/9 500 , i) 943361/99900 f)

3. a)

r = - 3/4,

S = 8/3/21,

c) r = 1/2, S ■ 2 /I . r = 5/7 . S = 7/2

b)

r - 7 - 4 /I . S = (12 + 7 /3)/6

r - 2 /2 - 3 . S =■ (10 + 7 JZ )/4

d)

e)

4. Tk - ark_l , k = 6 . at = 162 , T& = 2/3 5. Tz = ar = -27 y 243/4 = at/(1 - r) => at - 31 6.

28 = at/(l - r)

y

112 = a2/(l - r2) = >

y la serie:

7 t 7(3; + 7(3)2 + 7(3)3 + 4 4 4

7.

r=!l//2 ,

8.

9.

a)

^ 3

3

3

y

at = 7 , r = 3/4

±

3

34

♦ -i ♦ 3

,

... ) .

... S - * «

b) [ \5 *‘f|)2 ♦(|)3 ♦ (f)** ••• 1 +f i ' 12 * \2 - ~ 3 + "• 5 5 5 2 s - [ —

] ♦ [ --------\—

1 - (2/5) 10. a) — — - -= » 1 -x 2

= .

s -

-

1 - (-1/2) x = -

b) - = ----- -----3 tug2 eos * 11.

]

] *

.

3

5 = • eos x = 2~l/2 = 1//2 _ x = 2kn ¿ (,M ) ,

SUMA S = 800/[ 1 - (1/2)] = 1600 cm2

=»

12. 240 + (|) 240 + (|)Z240 + (| )3 240 ► ... j b □ ., 13.

9/3 9/3 — ♦ — Zl 2

9/1 — r * ....

14.

Se obtieren las series geométricas

1

,

...

15. 15/4. 15/42 . 15/43 ♦ ... ) ♦

r « - 1/3

. = 5

k e Z

S = 16 dm2 . =

240/( 1 - |) =■ 1200 rotac. b

, 9 /'3 ,,,, 1 . - ( — 5“ )/(1 - 1 ) = Z¿

Zl

infinitas siguientes

, - 2 3 '3 u

......

/

hiViodactUdn al A níLLici

552

2

» a)

2

2

¿ a s a a * — * —z * -r ♦ 2

b)

+ Jü! * 22

+

23

2

...

2i

Cap. I i)

=

,

. a A » ------=» 1 - (1/2)

c =

24

A - 2a

=,

c-—

l-(l/2)

15. 36 16. Sea c una constante real. Calcular la suma RPT: Es la serie geométrica

g (y

2

2

-c ♦ — c ♦ c ♦ .. 7 49 343

g 2 53 )c + ( y ) C ♦ ( y ) C

« ■ ............

cuya suma es: S * (~ )/ (1 - ~ ) * 6c.

PRODUCTOS SI n es un entero positivo y a^, a2> __ ■ an números reales, al producto de estos númtros se le denota por el símbolo

son

n

TT a. . . k

k» 1

»

a, x a, x a, x 1 2 3

...

x a n

y se lee " il pwducXo de ios númeA.oi a^ dude

2) Si i

es la unidad imaginaria 7 -k = T Tr -¿k

k= l 3)Si

=

-

EJEMPLO.

ai x a 2 x a 3 x a « x a 5 )(a6

Hallaremos, entérminos

T T - L *

i-.J_.J_.

!t-! 3k

3l

32

. )

k = n ".

576

=

i*2»3al»5»6<7 ¿.1»2*3.^S*S*7

, 7 - U “ )7 - l7

.

-

■ t

1 .

V k e N , entonces = -

5.1

factores

( ¿ » / -1 ) ,

, -li)U2 , -2,)Ui »-3.)Ul / -4» .¿ -5. < -6 . ,-7,) Ul l)[ 5)^yU1

afc = c , c constante

6 TT c

k = 1 huta

Por ejemplo, 6 TT k2 - (12)(22)(32)(42) k- 1

1) Si ak - k2 ,

, (n

33

c x c x c x c x c x c c6 .

de n , una fó muía . J_

. _J_

3n

3n>l

para el producto _L

""

32n

Cap . 10

Inducción MaC¿matcca

_

5 2

3 1 + 2 + 3 + ... + 2n j _

EJEMPLO.

553

l / ( 3 2rÉ j | ^ 1,/|j)

_

3 -n(2n + L)

El producto de los 5 primeros enteros positivos es 5

TT k

■ I x 2 x 3 x 4 x 5

=

120

k= L f 5.3

DEFINICION DE FACTORIAL

.-

y se le simboliza por n! ,

n

Al producto de los n prinieros enteros positivos se le llama FACTORIAL DE n ,

TT k “ l x 2 x

__

xn

=

n!

k *= 1 Por convención, se define EJEMPLOS.-

11 = 1 ,

D! » 1

2! » 1 x 2

(Factorial de 0 es igual a 1 ) = 2,

4! « 1 x 2 x 3 x 4 = 24, 5. «I PROPIEDAD DEL FACTORIAL. a)

n! =

b)

— m!

=

EJEMPLO .-

m!(m + l)(m + 2)

3 1 = 1 x 2 x 3 * 6 ,

51=1x2x3x4x5

Sean m y n enteros, (n-l)(n) ,

a')

“ 120

, 0 í m < n ,

(n + l)l *

n!(n + l)

(m + l)(m + 2) ... (n-lMn) Empleando factoriales, reduciiemos la expresión: 1 x 3 x 5 x ... x (Zn - 3) x (2n - 1)

Multiplicandoy dividiendo por los números pares que faltan en los intermedios: Ix2x3x4x5x

... x (2n-3) x (2n - 2) x {2n - 1) x (2n)

2 x 4 x 6 x ... x (2n-2) x (2n) *

(2n)l /[2°(1 x 2

x 3 x ...

x (n-1) x (n) ]

= n! 2n

NOTA .-

5.5

Compruebe que, en general, excepto para n = 1 .

EJEMPLO.

Si

(2n)l

f

2(n!)

,

ak / 0 , para todo entero k i 0 , simplificar

554

/ iCl du .i_ioti al Anitisii M
5.6

Cap .IC

itiCu

PROPIEDADES DE LOS PRODUCTOS n

1) TT c ■ cn

para c constante

k =I n

2)

n

n

TT (akbk) - ( TT ak)( TT bk )

3)

TT (cak ) = cn ( TT ak ) k=i k=i

5)

TT ( f ) = l/t TT \ ) k=l “k k-1

k= l n

ak «) TT ( t^> - ( TT ak)/( TT bk) k=l

k

k= 1

k= L

n

6) TT (ak)' = ( TT a. )* k

*l

k

.

7)

-L

n

TT ak = TT an. k H k-1 k=1

PROPIEDAD CONMUTATIVA

PROPIEDADES TELESCOPICAS . an +l

TT (-k+1) k* m

am

k

Y en particular,

para

n

II o

*■ II O

1=

II

¿t 03

m

1=

10)

al

ak

n

* ]

an*l

TT ( aakn ) ■

k =l

m

ak )( TT a

0 £ m < n

PROPIEDAD DE TRASLACION n n

JX

k= 1

n< h

n-h

n-l

P

TT ak+h

TT ak+1

k= l+h

ak-h

k = l-h

a)

TT ak-i

k=2

.

V n / 1

k =1

Expresar en términos de factoriales:

TT (k2) = ( TT k ) k=1

k= 1

=

n

TT (ak ♦ bk) / í TT ak ) ♦ ( T T b k ) k=1

EJEMPLO.

n*l

k=0

n

n ADVERTENCIA :

5.7

(PROPIEDAD ASOCIATIVA)

k= m+1

k=l

■ ( ni)

..

Prop. [5.6](6)

Inducción Matemática

Cap.10

n

b)

n

555

n

TT (k2 *2k) - [ TT k ] [ TT U*2) ] . k=l

k=l =

k=l

[n!][3x4x5x

...

de k2 *2lK= k(k*2), y la propiedad [5.6](2)

x (n «•1) x (n +2) ] x''

n !(n * 2)*

5.8

EJEm.0.

S1

SOLUCION.

Equivalentemente,

n! (n ♦ l)(n ♦ 2) -----— -- — — n!

lililí n!

1x2 \

1

. s . ¡ íilHH , (n ♦ 11)!

„

, (n * 11)! (ñ + 12) , ,w .............. . = 5 ♦ ---------------------------------------------- = > (n+1)(n+ (n ♦ 11)! n *3

0 = n2 ♦ 2n - 15 * (n ♦ 5)(r - 3)

5.9 EJEMPLO. Desarrollaremos el producto 3 T T ( a - k 2 ) > (a-l2)(a-22 )(a-32 ) = (a - l)(a - 4)(a - 9) k= 1 5.10

- (a2 - 5a ♦ 4)(a - 9) PROBLEMA.

a3 - 14a2 ♦ 49a - 36 .

Hallar la cifra u de las unidades del número M * 1! ♦ 2! ♦ 3! + ... ♦ 49! + 50! .

SOLUCION.

1! = 1 ,

2! - 2 .

3! = 6 ,

4! - 24 ,

5! - 120

Esto indica que también 6! , 7! , __ , 49! y 50! son máltípcoi de 10 , de modo que la suma (5! +6! +7! ♦ ... ♦ 50! ) también lo será. Por lo tanto, la cifra de las unidades de la suma M es justamente la cifra de las unidades de la suma de los 4 primeros factorlales: 1! ♦ 2! + 3! «- 4! = (1 ♦ 2 ♦ 6 ♦ 24)

5.11

EJERCICIO.

=

33 t u

. Es decir,

u =• 3

Hallar el número du , formado por la cifra d de las de­ cenas y la cifra u de las unidades del número M = (l!)2 + (2!)2 + (3!)2 + ... + (58! )2 .

RPTA: 5.12

dü = 17 .

PROBLEMA.

.

Probar que,

V n c N :

[ (n + 1)/ n ]n <

1 + n.

Intioducctón al Attáf-ii i i Mate/nàttco

556

SOLUCION.

C a p . IC

(Inducción Matemática)

a) Para n » 1 :

» Z ,

pri mer miembro

secundo m ie m b r o

= 2

Z < 2

=

(VERIFICADO)

b) Asumiendo que, para n , es válida: ~ verificaremos que «tí n♦ 1

(— — ) n*1

1 £

(-— -)

n

<

l + (n + l)

1+n

..

(*)

en efecto,

“ ( !rni >n - ( Jn*l L 7 > n - < !n!7+71> n - — n+1

< (1 + n).[ 5í!lilijn .( nl?) (n + 1) n+1

(*)

= [ - (2- - - Z-n)- i"*•(n » 2) (n + 2n) + 1 <

1 -(n + 2) * 1 + (n ♦ 1)

verific.

De (a) y (b) y el principio de Inducción Mat. concluye la prueba, V n £ N . 5.13

EJERCICIO.

Encontrar fórmulas para 2 n+ 1

a)

TT (1 k*l

k+ l

b)

) ,

TT (i - i ) k-2

*2

So l u c i ó n . 11

a) TT (—

k « l k+ 1

)

»

TT (r1 -) ktí

k-i

1 n+ 1

n+1

para

k .

y utilizando la Propiedad Telescópica [5.6](8) . 2n+l

b,

IT k-2

,

2n+l ..

C TT

k2

k-2

-

5.11

EJERCICIO.

2n+l

V A CADA PRODUCTO LE APLICAMOS UNA PROPIE OAD TELESCOPICA:

][ TT ílLf11 ] k=2

n+ 1 2n + 1

r (2 ' i r t2" * 1) * 1 i 1 (Zn + l) 1 2 J

Para n entero í 0 , P*

simplificar el producto

(l + a)(l + a2 )(l + a4)( ...

So l u c i ó n . i) Si a = 1 :

P =

>n + l

PUES

)(1 + a2" ) P

TIENE

n+1

FACTORES

Inducción Mate/mltica

Cap.10

k +l

- TT

k=0

Jn +1

k

k donde hemos definido

= 1-a

V.*l =~

V i - 1- 4 y luego, hemos aplicado la Propiedad Telescópica [5.6](8). 5.15

EJERCICIO. SOLUCIÓN.

Simplificar la suma Hagamos

S *

b^ * k!a

£ k!(ak) k= l

Z ( b k + 1 - b k) = (bn +1 - bA) k= 1 t P.TELE5C0P.

5.16

, a constante

.. (*) . Entonces

bk+i - bk = (k ♦ 1) Ia - k!a = k!a[(k+l)-l] S*

= 1-a

(*) II -

■>

k!(ka)

==>

( n M ) ! a - (0 M) !a

■ [ (n+ 1)! - 1 ] a

Para n entero i 0 , deducir la fórmula

EJERCICIO.

sen(2n + 1 a)

TT eos (2k a) k*0

2n+ 1 sen a

So l u c i ó n . De: n

sen(2k+la) * sen(2-2k a)

n

,„k+l ,

TT \ TT r 1 sen(2 d) , TT eos(2 a) = TT C----- r- 1 * k-0 k=0 sen(2 a) puíi hay (n ♦ 1) (¡a.cton.z¿ , e kicimoi

*

2 sen (2ka) eos(2ka ) , n

K

1 , -rr k+1 . — ( TT — ) * 2 k=0 k k k+la) bt = sen(2 a) = • bfc+1 » sen (2 sen(2n+la)

2nn 5.17

EJERCICIO.

Para

b0 h e

2n*L(sen a)

L.q.q.d.

Z* , hallar una fórmula para el producto P li

TT [ 4 eos2 (3k l a ) - 1 ] k* l SOLUCIÓN. sen 3A ----sen A

De. sen3A * 4 sen A eos2 A - sen A = sen A (4 eos2 A - 1)

2

= 4 eos (A) - 1 .

Sea

k bj. = sen (3 a)

, entonces

Introducción aX. Aniti ia¡ Matemático

558

Cap.10

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular:

. 14! a) --

«Si-

12!

c)

10! 2! 3! 5!

d)

15! 10! 5!

(n- 1)! (n + 1)!

d) "

(n ♦ 2) ! (n - 1)!

2. Simplificar: a) e)

(n - 1)! (n ♦ 3)! (n ♦ 1)1

b)

(n ♦ 1)! n!

f)

(r ♦ 1)! (r- 1)!

3. Hallar n en la ecuación:

4. Expresar

9)

(n - ■ 1) ! (n - r - 1)!

(n * 5)! * 3n = 2 [ ^ ] (n + 3) ! (n*l)!

fT k(k + 4) , en términos de factoriales. k=X

5. Hallar n en la ecuación:

[(n + 1)! - 20 ]!

*

700!

6. Hallar la cifra D de lasdecenas del numero M - 1! + 2! + 3! + ... + 49! + 50! SUG: Calcule

5! , 6! . 7! , 8! , 9! y

10! , ¿qué observa ?

7. ¿ Cuáles afirmaciones son verdaderas ? : a) TT kc k=1

■

b)

n! cn

c) TT va - k) k* l

9. Probar, por inducción, que SUG: Aplicar el resultado del

n! >

2

(n! )2 £

, nn

k= L

,

n > 4

V entero n > 1

n

TT (i k= 2

n T í (i

V entero

EJERCICIO [5.12] resuelto.

Para n entero i 2 , deducir la fórmula:

11. Deducir la fórmula:

3840

a4 - 10a3 ♦ 35a2 - 50a + 24

8. Probar, por inducción, que

10.

TT (2M k* 1

i'k

C (n + 1) ]/n!

i

n* 1 2n

) ,

V

n

e

N .

C a p .10

12.

MafiínúCtca

I n d u c c ió n

n

TT [l

Simplificar

k

+ sec(2 a)]

.

559

l + sec 2A

SUG:

»

tan2A/tanA

k -1 13. Probar,

n

l * :sen8

por inducción, que V n e

=2n

sen ( — ) JJ eos 2,1

14.

Por inducción, probar que:

SUG: Si 15.

^ OL 1 TT . k=1 2k

* > 0 , demostrarque

Si a, , a2 , ---

. an , an +1

| ___ 1___ /3n + 1

<

/ 3< + 4 (2t + 1) < / 3« + 1 (2* ♦ 2) son

todos positivos, ó si son todos nega­

n >

1 * ( £

k- 1

2.

ak )

(an + l ^ ak^ * ®v k * 1.

b)

1/990

c) 2520

d)

n

3003

n! (n + 4)!/4!, (5). n * 5 Como 5! =120,6! = 720, .. 800

7! = ..40 , B! »

.. 20 , 9! =>

* ( .. 13) . Por lo tanto, n

.

T T # k + 1 ,k I

k-1

I () ■

k

n -pj-

. , (k + 1)

II

----¡r-

k =1

k*

« . . . (y haciendo

D * 1 . n

,

T T [ 1 + sec (2k a) ]

=

-yr

- ( II

(7).

= (33) + (..80)

Todas

n

1 \ r t t (k+ 1) )[ T I - ■ .

k

r

k=l k

.k-l i a. = k ) = k k Sea bk = tan (2 a) => bk_j *

k= 1

.. 80 ,

, entonces la cifra de las decenas de M se obtiene de las dos últimas cifras del número cuya suma es

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9! * 1 * 2 + 6 + 2 4 + 120 +720 + 5040 + 40320 + 362880

12.

2, .. ,

a) n b) (n + 1) c) l/[n(n + l)] d) n(n + l)(n + 2) e) (n + 2)(n + 3) f) r(r+l) g) (n-r)(n-r + l) ; (3). n = 4

10! =

11 .

N :

e

Re s p u e s t a s

182

4. 6.

n

k=1

De las datos se sigue que:

de

1. a)

V

n

T T (1 + ak )

Cl a v e

2

V r\ z H .

tivos ymayores que -1 , probar por inducciónmatemática, que

SU6.

K M

kM

t

]

-

^

<• PORQUE ?

k

l t t ak+l 1 an +l 1 (n+1) — . ---- = -------- = ---------n! k'J1 ak n! at n! i° *i tan (2 a) , y por la sugerencia :

JJ

-“ n-(2 * *-1-

k=l

tan (2k‘ la)

-

TT

^

k = 1 bk-l tan (2n a) tan a

560

NflMEROS 6.1

Cap.I0

Inttfducciôn at Anídi^s Ma(¿mític u

COMBINATORIOS Si

De f i n i c i ó n .

(ó

COEFICIENTES

n y k son número? enteros,

COEFICIENTE BINOMIAL

B I NO MI AL ES )

0 í k < n , se llama

al símbolo

(

) que represen­

ta un rúmeAu entelo pv¿ct<-VO cuyo valor es

y que se lee

" poAínte¿-¿4 n ¿cb'te k “ .

A los números n y k se les denomina INDICE SUPERIOR e INDICE INFE­ RIOR, respectivamente, del coeficiente binomial arriba indicado. 6.2

No t a .

Dado un conjunto A de n elementos, el número (

) represen

ta el número de combinaciones (subconjuntos) de k elementos del conjunto A , razón pur la cual a estos coeficientes binomia les también se les llama NUMEROS COMBINATORIOS. 6.3

EJEMPLOS.

6!

a)

4!(6 - 4)! 7i 3!(7 - 3)!

b)

c)

d)

Empinando la definición [6.1] :

100 2

6! _ 4! 2!

7!

--------

100 !

) -

) =

e)

O

) ■

g)

) =

*

3! 4!

41 x 5 x 6 4! x 1 x 2

15

4! x 5 x 6 x 7 —

— ---- -

4! x 1 x 2 x 3

98! x 99 x100

4950

98! x 1 x 2

2!(100 - 2)! 0!

0!

0!(0 - 0)!

0! 0!

5!

5!

0!(5 - 0)!

0! 5!

5!

5!

51(5 - 5)!

5! 0!

9?

8! x 9

1! (9 - 1)!

1! 8 !

35

1 1x 1 5!

1 .

4! 5 1! 4!

1! 4!

1

i

pues

0!

= 1

pues

1!

1

=

5

InduCLxjn Ma.temli.tca

Cap.10

6.4

FORMULAS PARTICULARES

a)

n („)

b)

(„)

O

(¡ )

d>



.

e)

f)

561

_

n!

^

n!

ni

n! (n - n)!

n! 0!

n! ---------

*

U (n - 1 )!

-

1 ! (n

-

n

(n - 1) ! [n - (n - 1) ] !

(n - 1) i x 1!

(") 3

—

-— 3! (n - 3) I

O! = 1

- 1)!

(n- 1)! x n

n: -------2! (n - 2)!

-

(n - 1)! x n ----- — -

n!

n l„ ) * 2

.

pues

ni

O! (n - 0) !

(n- 2) ! x (n - 1) x n

(n - l)(n)

(n - 2)! x 1 x 2

2

(n-3)! x (n-2) x (n-1) x n

2 (n - l)(n - 2)(n)

(n - 3)! x 1 x 2 x 3 m

6.5

PROPIEDADES DE LOS COEFICIENTES BINOMIALES PROPIEDAD (I) : („".i n-K Poí coe.(iciíntiL¿ binomialíA con «X ñamo in d ia ¿upzKytjx, tutu que. La tuma de. loi indica in&gju.oi

iguaU. oí índice, iupeiion, ¿on iguaxa.

En efecto.

n! n-k

(n - k) ! [ n - (n-k)]!

Por ejemplo, se puede verificar que

(n- k)! k!

562

(ittfoducciÓH
A los números TARIOS.

(" ) y ( n, ) k n-k

Cap.10

se les 11
Algunas consecuencias de la propiedad (I) son:

(Znn" 1)

■ t 2"*!1 ) •

P“«

2n - 1

(n) + (n -1)

PROPIEDAD (II) :

La

¿urna de doi

cotL^ídentei birwnailei

con

igual índice

¿upeAcat y

con índica inífiio>iti con¿ecutivo¿, a igual a oVio coe(|cccente bi nomíCLÍ cuyo índice iupeAiOl e¿ el intU.ce ¿upuAÍoi común de lo¿ ¿a mxndoi aumentado en una unidad, y cuyo índice ingenian. e¿ ti mayon. de l a doi

incUrei in(e*io/ie¿

de tos ¿umandoi.

Veamor:

k! (n - k)!

(k ♦ 1)! [ n - (k•+ 1) ]!

k! (n - k - 1)!

, 1 1 , n! [ --- + --- ] = n-k k+ 1 k! (r - k -1)!

(n + 1)! (k + 1)! [ n - k ]!

(n + 1) (k + l)(n-k)

(n + 1)! (k + 1)! [ (n+ 1) - (k + 1) ] !

(n+ l } k+ 1

Por ejemplo,

„

( 15) + ( 15) - _ « L 4

S

+

4' 11!

JSL

1.5i j. 16 ^ 4! 10! 5 x 11 6.6

EJERCICIO. SOLUCION.

.

5! 10!

_S5LC± 5 I ] 4! 10!

11

=

16!_ j 16 j 5

5! 11!

Si n e l * , deducir la fórmula ^2f)^

(2n)j

(2n - 1)! (2n)

n! n!

n!(n-l)!n!

í.

5

( ?

n

) = 2(

(2n - 1)! (n - 1)! n!

__________ (n- 1)' [(?n- 1) - (n-1)]!

} )

n-1

„*"1, n- 1

Cap , 10

6.7

EJERCICIO.

Hallar n . si

Solución. (n-3)(n-2)

(n '2 ) + ( n ¿ 3 ) * (n ¿ 4 ) - 31.

La ecuación se transforma en forma equivalente en:

+ (n - 4) (n - 3) +

Desarrollando y factorizando: 6.8

563

Inducción Ma£¿Wtt¿ca

(n-5)(n-4)

*

62

3(n-8)(n + l) * 0

..

==>

n = 8

EJERCICIO.

Encontrar el valor de n si ,n + 2 , de ( 4 ) .

(!|) es igual al

SOLUCIÓN.

Convirtiendo en fracción

16.666 ...

(n ) .

50

(n 2 ) « I ( n * ? )

3 x 100 =■

4

=*

6 (n!)

64

SOLUCIÓN. 21 -....ü'.— 3! (n - 3)!

. 10

(n-3)! ■ ------ ■ (n - 5)¡

==>

42

=>

0 - nZ -7n-30

6.10 EJERCICIO.

c

—

/

^\ 0

y como B=

definimos

I] [ k- 0 b^ ■ { n

4! (n - 2)!

dada:

21 1 6 (n-3)!

(n-5)! (n-4)(n-3) ---------------(n - 5)! • (n - 10)(n + 3)

-

10 120

1 (n- 5)i

, „w „ (n - 4){n - 3)

=>

n - 10 .

Hallar una fórmula para la suma S -

SOLULiON.

50/3 . Luego,

21 ( " ) * 10 ( ^ )

enter0 > 5 _0e laecuación

n! 5! (n- 5)!

16.66 .. %

n ■7 .

Resolver la ecuación n

.

(n ♦ 2)!

2! (n -2)!

0 « n2 ♦ 3n - 70» (n + 10)(n - 7) = »

6.9 EJERCICIO.

*

¿porqué?

f".

, n,

(0 ) M , l

M

, n + 1, 2

.n + 2.

jfc ( 3

) *

-

,2n,

*
Empleando la notación Slgma: t

^ k =°

n | k+ 1

donde hacemos

B =

^

n♦k

.

k=0 k 1 - (n * k ) ]

k ) , entonces

bk + 1

•• por la PROPIEDAD (II) .

»

^” k♦ 1^

’ y por 'a Pr°P'eddd

564

Cap.10

Matemàtici*

IntAu iacci.cn ut

TELESCOPICA;

n B

e

k =0 s -

[ « w v

<¡¡)*B

6.11

-

■

<¡ ¡ )

Por lo tanto.

- *n : : ; v i V ) 2n+l 1 n+1 ’

C (" )J J L (2n 1 n +* 11 *) - 10

EJERCICIO.Sean k , n enteros, 0 i k < n ,k. ,k + l, ,k + 2. (k ) M k p < k )+

+{

Deducir la fórmula:

,n - 2 . , n -l. k ) + ( k ) + ( k>

,n, ’

So l u c i ó n . s-

< ;> •

¿ i[) r = k+ l

■ ([).

Prop.(Il)

¿ c([íar = k-M ar+ l " a r

y por la propie4ad Telescópica: ,k . r , k . r .n + 1 , , k + 1 . , k + n +1 ~ ak + 1 ” k + k + 1 ~ k+ 1

,n + 1

SERIE DE EJERCICIOS PROPUESTOS 1

Calcular

fl) ( 7 )t c)

2.

( 1°° ) . k = O, 1, 2, 3. 97, 98, 99 y 100 k

Demostrar las siguientes fórmulas b)

a)

(") k ■ (n" -k k>

c)

1 - 1 (k s ) * (k 1 ) = ( k +'1 k *- 1 1:

d)

k(k ) > n( k l )

e)

n k+1

k+1

1 < k < n

,

(n x k

f) (") + 2(") ■ n2 3.

k , 0. 1. . . . 7 b) (® ) . k = O, 1.

'

k < n g)

" ■

Resolver el sistema de ecuaciones siguiente

'^k+1*

Inducción Matemítica

Cap.10

4.

Sean a y b dos números positivos tales que ( ^) a3b2M

5.

Si

y

,

calcular (*) M ? ) .

d

o

las ecuaciones ■ 2 ( 3 ) - t^)M

.) « ¡ I o

a +b = 3

3 ) a2b3 = 120. Calcular a2 + b2

= ( 36 ) a ♦ £\j

(36) a

6. Resolver

7.

565

s(! ;i

( J l - §<*)

- u m 2; ; ’ )

Resolver

d>

1«)

■

las ecuaciones

a) 30(J) ♦ 2*(") - 21 ^ 3 ) * 6
b) [ 30 ( * c)

(X ) + (J) ♦ (g ) * ( 3 ) = l0 ;

d)

18f*) ♦ 24( 3 ) = 125x

8. Resolver los sistemas

i(x)(x2 + 6)

, •>

a :b :c


11.

54 54 Si ( ^2 ) = ( jx ) ■ hallar la suma

m -1

m♦ 3

14. Resolver:

-

■5:5:3

m

n

p

(m ♦ 1)! --- — (m- 2)!

=

,_,m. 2

calcular

4

= 256

2

, ,

2

12 (

S de los posibles valores de K

o

n! + -----(n- 1)!

(") ♦ (")

/

+v> ) = x -1

b) 5(

3

), .

= 125

a) {

153

a b e - = — = -

<==&

n! 3(n!) ------ + -----(n- 3)! (n - 2)!

13. Si ( 18 » = ( 18 ) .

<;>

n n « n ( J) ♦ 14(") ♦ 36( 3 ) ♦ Z4( J)

10.

136

, •

= í " 1) = £.;>

= m : n : p

9. Hallar n , si se sabe que

12. Hallar n si :

,

‘y .i> -

•>> NOTA:

, x . , x - 1 , .x - 2 . ( z ) ♦ ( 2 ) ♦( 2 )

e)

) - (

4

) = 0

.

Andiléli Mixtfináticv

I»jtU’iiuCCC¿H

v-I

O

x- 1

( 7 ) - ( 5 l) - 0

C¿p.

X -1

X

( z l ) *(*)

d)

-

Itf

16

n 15.

Hd1lar el valor de Id suma

16.

Por inducción, probar que

E

£

=

0

(

) ♦

k =0

(^

5"" ( 0

k+ 1

^ )"í0 «*)• v encero n i 0 .

17. Deducir las fórmulas: n >)

5Z

=

í"^2 )

.

V

entero

, k+ 1 , .k + Z , .k * 1 . ( )-( 3 )-( 3 )

SUG:

n > 1 . ^ „ k i 2 . Y LA PR0PI EDAD TELESCOPICA .

.

n b)

•

v entero

n > 0

k =0

|(1 4 4

SUG: 18.

k+ 5 5

|(t c () * ( , ) - ( , ) 5

Hallar una fórmula simple para

S

- ( J* ^ ) ♦

]T] ( J* ^ j =O

SUG: 19.

Hacer

flj - í , ^

)

^

, k i 1 , Y LA )

*'U *

) - [ .j n -

] -

Hallar una fórmula para .n - 10 . , n - 10 . ,n-9. ,n -8 . ) + ( ) + ( ) + ( ) + 'k-ll' l k-10' k-9 k -8

S = (

SUG: Cl a v e

s = « k - n » + . ^ ‘ k-io + j ’ ; def,n,r

,n - 1 . .n . )+ () lk-l; k

__

+ (

bj = ( k-:i*j >

Re s p u e s t a s

de

1. a) 1, 7, 21, 35, 35, Zl, 7 y 1 respect’/. b) 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9 y 1 respectiv. c) 1, 100, 495, 161700, 161700, 495, 100 y 1 respectiv. 3. m = 9, dedonde 5. 84,

n = ZO

;

(4).

a2b^(j + b) = 12

=>■

ab = Z

y

(a, b) = (2, 1), (1, Z) . En ambos casosa2 + b2

pues a = a + 20 v a = 36 - (a + ZO)

impl ica que

a* 8

a +b = 3 , - 5

. .

6. 0 f x2 - 9x + ZO =(x - 4)(x - 5) , de donde x = 4 .x = 5 : Rpt (a) . b) x = 14, c) x = 5, (x = 0 se descarta), d) x = 19 . 7. a) 0 = x5 - 5x2 - 8x + 40 = (< - 5)(x'" - 8) de donde x =5 .

PROP

Inducción Mat«ynáCiea

Cap.IO

7. b)

x = 6,

c)

567

l + x + -j x ( x - l ) + 7 x ( x - l ) ( x - 2 ) = j ( » : 3 + 6x) =» —

6

o

x= 6

d) (4x + 21)(x-6) = 0 e) 3(x + 8)(x-ll)=0

implica que implica que

x *6 . x * 11 .

8.

a) x = 18 , y = 8

b) x = 6 ,

y ■ 3 .

10. 12. 13. 14. 15. 18.

n= 6, m = 5 , m2 + n2 = 61 . (11). S = 0 + 3 + 6 = 9 (n 2)(n - 1) n+3(n-l)n+n=125 = ■ n = 5 . 36 , pues m = 8 . a) x = 4 , b) x = 3, x = 14 , c) x = 13 . d) x = 5 Ver el EJERCICIO [6.10] resuelto. _ , n-2 , r , . n + 10 , k - 12 + 1 2 ~ a0 = al2 * ^ k ^

19.

. , n - 10 . r . . t s = (k-ll} * ii * bo J ■bu

;

■

(9).

n = 4

, n + 1. < k 1*

? A V 7.

EL T E O R E M A D E L B I N O M I O DE NE W T O N

De nuestros conocimientos escolares sabemos que las prime­ ras potencias enteras del binomio (a + b) tienen los siguientes desarrollos: (a * b)° ■

1

(a ♦ b)1

a

+

b

a2

+

2ab

=

(a + b)2 = (a + b)3

=

3

a

+

2

3a b

+

b2

+

3ab2

(a + b)4 =

a4 + 4a3b + 6a2 b2

(a + b)5

a5

=

+

5a4b

+

+

b3

+

4ab3 + b4

2 3 U ' 10a3b2 + 10a b ♦ 5ab ♦ b'

Observamos que en el desarrollo de cada potencia 1. Eliiten

(n + 1)

(a ♦ b)n :

tíAjru.mo (ilxuna.dci también SUMANDOS).

2. Et pJtùntA ¿¿Amino e¿ an y ei último e¿ bn . 3. Coníonjne van apareciendo loí t&vn¿no&, toi euponentei de

yendo de 1 en 1 , mientrai que toi exponentei de ¿e de 1 en 1 .

a b van

4. En cada tvArru.no (samando), la. urna de toi e*.ponente¿ de a tamente n .

tan diiminu-

incrementando y

5. Loi coefi-Lcie/iteA de loi tétmiiwi etj’udcitantei de lo i en-tiemoi

b ei /ixiion igaa. -

le.i.

Podemos encontrar una LEY DE FORMACION para los coeficientes, muj^

Introducción ai Arult' 4 có MaLtmá-tcCO

568

Cap.I0

tiplicando sucesiȇmente cada potencia (a + b)n por (a + b) ; asi obtenemos la suma de dos productos parciales, demanera que los nuevos coeficientes van apa^ ciendo como sigue: POTENCIAS

tOEFIClENTES

(a + b)°

=

(a + b)1

=

(a + b)2

(a + b)3 (a + b)4

=

= -

(a + b)5

-

1 1

1

2 1

1 2

1

3 1

3 3

1 3

4 1

6 4

4 6

1 4

1

5

10

10

5

1

1

Analizando este cuadro, vemos que los coeficientes de cada término se pueden determinar muy fácilmente mediante la siguiente distribución llagada TRIANGULO DE PASCAL , 6 también TRIANGULO OE TARTAGLIA. n n n n n n n

= ■ = = ■ *

0 1 2 3 4 5 6

1 1

1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

" En cada KznglSn, zl füiAjntA y zl dítono coz¿ldzntz íi 1 . Cada uno de to6 otAo6 coz&icizntzb ¿e obtiznz como KzAullado de SUMAR I doi nú meAoi quz 4e encuení'uin a cada lado dz íitz, peAo zn zl fLZngiin Inmzdla o a

lo AupeAlon..

Por ejemplo, tomemos los renglones correspondientes a las potencias:

Binomi} di. Neicton

Cap.IO

569

Por otra parte, también podemos comprobar que estos coeficientes pueden ser re presentados mediante la notación de los NUMEROS COMBINATORIOS. los coeficientes del binomio

1 se pueden escribir como:

para

(a ♦ b)n . 4

4

6

4

4

(j)

<;>

1

*:»

*1'

Luego, en términos de los números combinatorios, el toma la forma n =

ü:

" “ i:

..

( ¡» 2

-

2

(J)

n = 3:

(J)

(J) "■5:

TRIANGULO DE IASCAL

(¡¡)

"

n-í:

Por ejemplo.

n * 4 , que son

(J¡>

2

(f»

(j)

(J)

(J)

(j)

(*>

(3 )

(J)

l¡> l[)

(5 )

Note que los coeficientes de cada renglón se obtienen del renglón mmedia to superior, y recordando que

,n . (0>

,n,

Pon. a t a /tazón líi denomina

7.1

,n .

.n ♦ 1 . ’

< k 5

a que a tai númeAoi combinaXoiioi de la (¡olma

(” )

COEFICIENTES B1NOMICOS.

TEOREMA (BINOMIO DE NEWTON)

(a ♦ b)n

. n .

= ( n J " 1 • ( k-l> * ( k>

E” k = 0

, n n-k k ( )a b

Si

n es un entero i 1 :

(*)

6e

s/o

In t A u d u . c c j. ó n

PRUCBA.

Cap 10

A m u o i i .Ua.temático

a t

Por inducción matemática,

a) Para n = 1 :

primer miTmbro secundo miembro

:

(a + b)1 =

:

, 1. 1-0 O , 1, 1-1,1 'o b + (^)a b

a +b = a+b (VERIFICADO)

b) Tomando como HIPOTESIS DE INJUCCDN la fórmula (*) para ji entero fijo, probaremos que n+ • , +l v*
(a + b) -

(u)3" * b* k=0

r s ,n. (n+l)-k k , r ^ ,n n-k k +1 ‘ t ( k )a b ] + [ ¿J ( )a b k =O K=O V 1 i n ^ ,Cn +l)-k k E ( k ,a b k=O

’

,n, n +l ■ <0 >a *

"

,n + l, n +l o n+l

*

, ]

"A1 . n n-(k-l) k £ (k- l,a b k= l

n „ n. . n . , (n*l)-k k Z t ♦ (k_i) ] a b k= 1 JL /ntl> (n +l)-k.k £ ( k )a b k= 1

*

, n + l. (n +l)-k k ( )a b

Z

, n . Ln*l ♦ <„>»

. n + l . .n +l n+ l ..

VERIFICADO

(**)

k=O

De (a) y (b) , concluimos que de Inducción Matemática. 7.2 EJEMPlD.

Hallar el desarrollo de

4

E

k= O

( ¡ ) Z 4'k (cz)k =

(2 + c2)

2

n = 4 , a » 2 , b

Solución. (2 + c2)" =

(*) es válida V n e N , por el Principio

(J)24(c )° + (J)23(c2)2 + ( J)a2(c2)2

*

1

u

+

4 ( 3 ) 2 ‘ (c

> " 1 ' 2< 3 ., 4 O + ( ¡ ) 2 u ( c '!)

16 + 32c2 + 24c* + 8c6 + c8 . 7.3 EJEMPLO.

Calcular

(102)^ desarrollando

(102 + 2)^

í

2 4

Cap.10

de

B in o m io

So l u c i ó n .

a =

io 2

.

571

N e u itc n

b = 2 .

n = 5 :

(102 ♦ 2)5 = ( Q )(102)52° ♦ ( *){102) V

♦ ( 2 )(102)322 M j H l O ^ V ♦ ♦ ( Jítiofy6 ♦ ( j )25

= 1(IO10) ♦ 10(108) + 40(106) ♦ 80(IO4) ♦ 80ilO2) + 32 = 11040808032 7.4

(fi)

[ escribiendo directamente de (¿) ]

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL BINOMIO De [ 7 . 1 ] , n (a + b)n

=

E

k=0

Haciendo

para n entero positivo

.n. n - k bk ( k )a

a = b = 1

:

(*)

(">

h

■

k=0 ==>

( n) + 'I' l o'

Haciendo

a * 1.

b = -1

(") vo ' .

3)

n» id, 3 + 4

=

S

L . n v n- L k k ( )a b

EJERCICIO.

(;>

Dk

=

0

.

^ —»

-

.

n .n n — k k ¿J ( > b

I. i.

a

- (b + a)

., n

k = O

Si la suma de los coeficientes del desarrollo del binomio 2 16 (x ♦ x ) es ocho veces la suma de los coeficientes del desarrollo de

So l u c i ó n .

*

... * ( - 1 ) " ( " )

k = O

7.5

...

( k )(-

k* 0

♦ i( 2 n )i

n

.n (a + b) -

f

#

* (") 2

(x3 + x5)n 1 , hallar el valor de n . 16

r

/

En

^

2 i 16

(x + x)

V

-

I

16 \

2_i l i, ) *

16-k,

2,k

■

.

'a suma de

k = O

16

sus coeficientes es

£

(

)

=

2

..

por [7.4](1)

k = O

Asimismo, la suma de los coeficientes en el desarrollo de

(x3 + x5)n 1 =

Introducción al An.itta ¿6 Matemático

572

E

(n:I)(x3)(n'1)'k (*5)k

Z

es

k =0

Cap.10

("-1 )

-

2n-1

k=O

Por condición del problema: 216 = 8(2n~1) = 2^* n

7 6

EJERCICIO.

Sea

n

I)

i

a)

tn i

in .

=

2n+2

==&

16 ■n ♦2

un entero positivo.

Si

*n .

(0) M Z)+ 4)+

n

es

n = 14

Demostrar que

PAR :

* *

...

=»

n/2

«n-1

♦ („)

* i in .

- 2-E (2J)

J =0

b)

(n )

i

\1 I

(n ) + (n )

+

3*5 '

II)

n-1

Si

n

es

...

n/2 ) f=

+ ( "

2j — I2n_1 = 2j-

.*-*

j* l

IMPAR : (n-l)/2

a)

( " ) M " ) M " ) +

b)

(") + ( 3 ) + ( 5 ) +

♦(„V

...

+

(")

■

2"-1

■

2

■

-

E j =0

^j>

(n+L)/2 ¿ (2

_t)

So l u c i ó n . Sumando (o) y (6 ) en [7.4] : y dividiendo entre 2 Restando (a)-(b)

7.7

TERMINO

/

.n

obtenemos [l](a) y

en [7.4]:

y Dividiendo entre 2 6 ENERAL

2 [ ( " ) + (^ ) + (^ ) +

2[(

obtenemos [I](b) y

•••

]

=

2°

[llj(a) . ) + (3 ) + (5 ) +

] =

2,

[11](b) .

DEL DESARROLLO DE

(a + b)n

Como existen (n + 1) términos en el desarrollo de (a + b)

=

t— 1 ,n . n-k

2J ( J a k=0

k

b

.n . n

•n . n~l

* (0 )a .n . n-k k ..♦(.) a b + k

si denotamos porT^ +^ al término de lugar

l

.n. n— 2

b + (? )a

(k + 1)

... +

2

b

+

•••

/n..n b n

, entonces tenemos que

y ( "

Cap . 10

Binomio de. NiucCon

£1

1er.

término es

Tt = ( ) an

El

2do.

término es

T2 - (") a"

El

3er.

término es

El

k-eSTino termino :

. .

.

573

.

para

k *0

1 b*

,

para

k » 1

Tj * (^ )a° 2 b2

,

para

k » 2

■, # n , n-(k-l) k -1 I. ■ ( )i b K K— 1

Definimos como el TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE (a + b)" (k + l)-és7mo término, [el que ocupa el lugar

al

(k + 1) ] :

TERMINO GENERAL

7.8

EJERCICIO. Solución.

CONDICION:

TERMlN0 GENERAL:

36 - 3k * 21 ,

te correspondiente es

7.9

EJERCICIO.

de x21 en

Hallar el coeficiente

(2x4 - x)9 .

(® )(2x*)9-k(-x)k = (¡J)29"k(-i)k x36‘3k

de donde resulta

q q k i (JíZ C-l)

k35 .

q

=

¿

Luego, el coeficien

i

( 5)2 (-1 )

*

-2016

Hallar el coeficiente del término independiente de x en el desarrollo de

SOLUCIÓN.

C0N0ICI0N:

(x2n - — ) n , para n = 4 . tn . .4 12 El término general de lx - x ) es :

96 - 12k = 0

de donde obtenemos

Por lo tanto, el coeficiente pedido es

7.10 EJERCICIO.

Si mxr , nxy*

,12,. .8 ( „ )(-l) O

TERMINO GENERAL :

■

son dos términos de

hallar m , n , r y i . SOLUCION.

k = 8 . 495

2x^

7

( — j- - --- ) y1

( * )(2x3ÿ ‘ 2)7~k ( - 3 y V l )k

,

574

Introducción al Anál¿&.¿s Matemático

-

(;)27-k (-^)k *21-4S

Se tiene =•

l4 + 7k

mxr cuando el exponente de

k * 2 ;

Cap.10

i/~*4 + 7k es 0 :

-14 + 7k = 0

su término corresp. es( ^ ) 25(-3)2 x13

* 6048x13 =>

Se tiene k ■5

7.11

nxt/4

cuando el exponente de

; su término corresp. es

EJERCICIO.

Por hipótesis:

7.12

n - -20412 , 4 = 21 .

Encontrar la expresión A si el

6to. término del desarro

( -í- + A ) 10 y6

252x5
es

252 x15y"25 .

10-5 5

>

s 10 5 ■= 252 x y

*

= 252 x15i/‘25

=>

A A5 «

x10«/5

A =* x2y .

EJERCICIO.

Al desarrollar

(ax - 2y)m se obtiene como su 5to. térnn

no 70xJi/4 , Calcular el valor de Solución.

/m w T5 = ( 4 )(ax)

de donde

m = 7 .

de donde

a * 1/2 .

7.13

=•

- -20412 xij21

( ^ ) 22(-3)5 xy

T6 ‘ ( “ )(*¥

de donde resulta

21 -4k = 1

=•

lio de Solución.

x21~4k es 1

m - 6048 , r = 13

(-Z
COEFICIENTES:

(4a + m) .

34

10 x y

=»

(;J)a3(-2)4 ^ ) a3(-2)4 * 70

Por lo tanto,

(4a + m)

ficiente del término

SOLUCIÓN.

a3 -3 = 1/8

,

« 9 ,

encontrar el coe-

mxl~pt/1+p .

g

,

. , k

( k )(3x2t/-3)

TERMINO GENERAL:

=> —

(— r + — ) y xJ

EJERCICIO. En el desarrollo de

m - 4 » 3,

. , k (2i/x3)

-

,6 .,6-k,k ,I2-5k 7k-18

= (k )3 CONDICION.

COEFICIENTE 7.1U

1- p

=

12 - 5k

1+ p

=

7k - 18

m =■ (f)36'k 2k k

=>

„ „ 2 = 2k - 6

=■ ( 6 ) 3224 4

*

y

2 *

=>

k > 4

2160 .

EJERCICIO. Hallar el término formado por potencias

iguales de x y y

Binomio de Newion

Cap.10

, 3* de (— y

enel desarrollo So l u c i ó n .

TERMNO BUSCADO: 7

y —j

-

,15

)

3* ( ^ j(3x2«/_l )15 (- i i/2*'4)k

termino genfral

* ( 1kV 3l5 k (-3 )k x30'6k i/3k‘15 .

575

=

(30 - 6k) = (3k - 15) *=» k » 5 ( 15 )*310 (-^ )5 *°i/0 - - 729729 .

15EJERCICIO.

El6to.

CONDICION:

término de

(-

lar (a + n)2 . So l u c i ó n T6 ' ( 5 > < y l * ' VW CONDICION:

n- 5

»

7

n + 5 ■ 17 6to. término es: Luego, 7.16

==>

)

5

-

. (J )2»0-nxn- 3¥n*3

n * 12 . Por hipótesis, el coeficiente del — ----

- ( j ) 2 l°~n » - ( ^ ) 2

* 33a

==>

a * -6 .

(a + n)2 « 36 . EJERCICIO.

So l u c i ó n .

SI en el desarrollo de (2; * - 3x2 )n , el wyor exponen • te de x es 24 , hallar el coeficiente del término que contiene a x . para un valor mlnlmn de ri . TERMINO GENERAL:

cuyo exponente de x es:

„ , n.k , k (£) (2* ) (-3x2) .

-3n + 3k + 2k * 5k - 3n

,

D 5 k * n

Por simple inspección del binoaio dado, el mayor exponente de x se encootrcrS en el último término, es decir, en , ( )(-3x ) =* 2n - 24 = * n - 12 . El coeficiente del término que contienea x4 satisface

4

decir,

^ 12 j22(-3)8

4 « 5k - 36

=*

k = 8 ,

y es Igual a:

* 5k - 3n ,

es

6

6

7.17

EJERCICIO.

Calcular

So l u c i ó n . ■

b

J-l

[

¿ (j) k= 1 J

s

-

S-

5 £ £ [ ( b ) - , k2j ] j-i k = i J 11

.

* tí ¿ 11 k*i

k2 ]

• (d°nde

¿ k2 k=i

- 5 x--6— 6.

■ 55 >

Int/ioduccÁSn a i Ahd t u i i Matemático

576

f

6

S -

E

6

[ 5 ^ > - 5J ] j-l J 5 [ 26 - ( R

7.18 EJERCICIO.

-

fi

5 £ j=l

6

- 5 Z J j-1

( !) J

] - 5 ( ^ )

-

C a p . 10

210 .

En el desarrollo de

( "3 ' *2 )18 . los términos T 7m + 2

y Tj,,, tienen coeficientes iguales. So l u c i ó n

18

_3,i8-(7mu)f

7m+ 2 T

> ( 18

2m

2m-l

• / %\^ - -1 - (-1)

y como (-1) Asi. =»•

7.19

1

2.7m+i

<“ * >

w , - 3 , 1 8 -( 2 m-l) . ,2,2m-l J 1 J

Como los coeficientes deben ser iguales: t «\^

Calcular m .

_

( 18

) ( - l ) 7ln+l

7m+l

Q

7m . 2

« ( 18 ')(—1 )2m-1 2m-l

O n . 2

_

„(.)

-í,1®,) * *(,18, > = * [ 7m+l - 2m-l ] v [ 7m+l » ¿8-(Zm-l) ] 7m+l

2m-l

5m ■ -2(descartado, EJERCICIO.

por (*))

v ( 9m » 18 )

=>

Sea A la suma de los términos pares y B términos impares en el desarrollo de (x +

m■2 .

OD

A

-

<;>xn-1

II

un entero positivo, hallar una ffirmula para So l u c i ó n .

<¡¡lx"

—

n A + B - V O k> . "

y

a-b

Por lo tanto,

X

n-k

♦ (

*

- ¿ (")*n-k (-i)k+l k-0

xn"2

♦

(^)x"-4

SOLUCIÓN.

2

♦

(x + 1)"

-

(-1)

¿ (")xn-k (-i)k k *0

AZ - B2 * (A - B)(A + B) « - (x - l)n (x

7.20EJERCICIO.

2

A -B .

3 Jx11"3 ♦ Í5)xn-5 +

( 2 )

-

la suma de los . Si n es

l)n

Hallar el coeficiente de x6 en

- -(x -i)n

+ l)n • - (x2 - 1)°

-

(1 - 3x + 2x2)8 .

Como esta expresifin no corresponde a un binomio, para apli­

car el TEOREMA DEL BINOMIO, deben.os agrupar dos cualesquiera de ellos, como sl^ gue :

Biiiomiu di Naaton

Cap.10

L 1 ♦ (2*2 -3*) ]°

donde

6 E (®)l8-k (2*2 -3*)k ‘ * k =0

=

k y. < k )(2*2)k "* (-3«c)^ j=0 J

(2*2 - 3x)k

577

¿2

( ® ) (2*2 - 3*)k

k=O . Luego, en (*) tenemos: J x2k-j

que representa la turna de todos los tÍAninos (todos) los

para

voZ o a is

inttiAos de.

j

y

k

k k^ i "í ?k (^)(^)2 (-3) x ^ tales que

0 < j < k < 8

El término que contiene x6 corresponde a la condición del exponente: 2k - j * 6 (e ) Buscaremos todos los valores de Si k k k k k k k k k

*0 * 1 = 2 - 3 = 4 - 5 = 6 - 7 =■ 8

j j j j j j j j j

* * = * = »

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

'•..{a)

y j que satisfagan

(o) y (B) :

descartados ll

M VALIOOS VALIDOS VALIDOS VALIDOS descartados descartados

Luego, existen CUATRO sumandos en (**) con x6 como parte literal, de nodo que el coeficiente de x6 será igual a la suma di ios coercientes de. todos e¿tos cu u a o término6 , a saber (J)(J)23(-3)' + ( ® )( 2 )22t-3)2 ♦ ( ¡ X J í Z 1^ ) 4 ♦ ( 6 )( 6 ) 2°(-3)6 - 81340 . 7.21

EJERCICIO.

Hallar el coeficiente de x8

Solución. r , 2 1 9 . [ 1 M x 2- 0 ]

E

en

(1

+ x2 - x3 )9

(!)i9'k (x2-x3)k

InCi iducc lóii at Aná¿cso liatemático

578

Condición ..

TERMINO EN *8 :

Cap.10

2k + j = 8 j - 2(4 - k) ,

POSIBILIDADES VALIDAS: =>

7.22

COEFICIENTE DE

EJERCICIO.

(k, j)

0 < j < k < 9

- (3, 2)

y

*8 :( ® )(*)(-i)2 + (® )(* )(-1)°

*

2 l 8 (*+-+*)

En el desarrollo de

(4, 0). Luego, en 373

, hallar el coefji

como el término independiente.

SOLUCIÓN.

8

„-l* T8

E

k =0

■

E

k- o B

,P, 16 - 2k

O * 10'“ E

(S x k"j (x-1)^ =■

j=0

a) TERMINO EN x°

Condición

..

/8 ., 2 *8-k , -i (.)(*) (x + X )

z E

k O ( - ))*16-k-2 *1 E <*>( J

k*0 j = ü

16 - k - 2j = 6 2j * 10 - k ,

PüSIBIL. VALIDAS:

(k, j) = (4, 3).

(6. 2) y

0 < j < k < 8 (8, 1) . Luego, en (*),

(J)(J) + (| )(| ) ♦ ( e 708 )(l ) =

COEFICIENTE DE x6 : b) TERMINO INDEPENDIENTE :

Condición ..

16 - k - 2j = 0

Zj = 16 - k ,

0 < j < k < 8

(k, j) = (6, 5) y (8, 4) . Asi, el téAm^no ¿ndipinditn

VALDRES VALIDOS:

■te, en (*), viene a ser la suma

7 23

EJERCICIO.

(^)(^) + (**)(**)

238

Hallar una fórmula sencilla para la suma

E

M")

=

1(?) ♦ 2 (") ♦ 3(") ♦

... ♦ n(")

k=1 SOLUCION.

E

k* 1

Puesto que:

M") - E

••(*)

J

k»l

<

> -

k (£)

=

" E

it("_ j )

C¡>

k- 1

.. (VERIFICAR)

(¿ PORQUÉ ?)

[

C ap. I

l)

Soiomti? cí¿ N&ctutt

579

n-l

n-H

7.2*1

EJERCICIO.

de [7.4](a)

n2

n Z r ; 1) k =0

Hallar una fórmula para la suma

V ) ♦ 3 2 So l u c i ó n .

Como (verificar)

-J—

i —

k♦1

(n

k

_L_ n+1

) -

—n + 1

n y (n + 1 )

t"f_^ (n k +1) n+1

7.25

,

‘k * l }

n+1

(" ) =

k+1

yn „

— -— ( ")

k'

_ L y n+ 1 £

n

- i - (n + 1)

n + 1 k+ 1

(n + 1 ) k

* v( n0+ 1') - (n + 1 1 )0'J ]

n+1 , k '

1 ] '

- 4 [ 2n+1 - 1 ] n+1

SI n es un entero i. 2 , simplificar

EJERCICIO.

2x1(") + 3x2(") +

... + n(n-l)(")

So l u c i ó n . Como

Z

k(k-l)(")

*

k(k-l)(£)

n(n-l)

k*2

n(n-l)(^*)

.

Z k«2 n-2 n(n-l) 2

- n(n-l) Z < V > k=0 7.26

(verificar)

EJERCICIO.

Sea n e N . Simplificar — (n ) + -J— ( n ) + 1x2 o' 2x3 1

So l u c i ó n .

Como

1 (k + l)(k + 2)

k = 0 (k + 1)(k + 2)

n-2

(ü> k

i (n + 1)(n*2)

O

... + ---- ------ (n ) (n + l)(n + 2) n 1 (n + l)(n + 2)

k

n e

c * > k+2

1 (n + l)(n + 2)

+2 n+2

Z

<"*2 > k

580

Introducción al Anítii-ii McUemítico

Cap.10

_ n +2

n+ 2

2

t ke= Q in;2) - (n¡2) - (n;z) ] ■ (n + l)(n + 2) 7.27 EJERCICIO.

El

k=l

. . _. - 1 - (n+ 2)

(n * l)(n * 2)

Simplificar la suma S :

. n+ 1 » k(k+l)

'

1(

2

> + Z(

3

) + 3C

. . n^ l . 4 )+

, , n +l,

■■ +

So l u c i ó n .

s-

z

k=1

k » (k + 1) - 1 ,

< - < : ; >

A ■ ("♦!> £

-

i[)

i

-

A - B

o

k» L

(n + 1) [ ¿

n+1 e k” 2

donde

(¡|) - íp) ]

(n + l ) [ Zn - 1 ]

k =■0

k=1

•*

n,+,1n,+ l , n+1

,n+1 <" *)

Por lo tanto,

■

E

k=1

7.28 EJERCICIO.

e k-o

,,,

in; ' - i

k O

"

„n+1

2

> (n + 1 ) 2

■ a-b

, , - 1 - (n + 1 )

+ 1

Hallar una fórmula para la suma s-

E

SUG:

k3 (")

k» 1

k =

k(k-l)(k-2) + 3k(k-1 ) + k .

So l u c i ó n . S =

E

k( k-l)( k-2) ( " )

+

3 ¿

k(k-l) ( k-2) ( £ )

+

3

k(k-l)(")

+

k(k-l)(k )

♦

¿

k(")

k= 1 n

E

k=3 = n(n-l)(n-2) £ C 3 ) ♦ k-3 k=3

= n(n-1){n— 2)

E

"

k= 2

E



¿PORQUE ?

k* 1

n n -2 3n(n-l) £ ( 1 k= 2

n-3

n -2

k =0

k=0

n -2

n- l n- 1 + n E ( V > k =0 ,n-l (" 3 )+3n(n-l)(^ > n +2

Binomio de. Newion

Cap.10

581

= n(n-l)(n-Z) 2° ^ + 3n(n-l)2n ^ * n2n

7.29

EJERCICIO.

n

So l u c i ó n .

= Z

n +l

n- 1

2n("> -

e 2
n- i e k=o

E

(*)

i POftOuÉ?

Zí"*1 )

tn"1) - < (nn: ! ) + (n:l> * t"'1) > ]

= 2n+l - 2 [ z"'1 - { 1 + 1 + (n-1) } ] ' = Zn = Z56 [ = 28 ]

7.30

2n + 258

>

n- 2

(¿"-2") -

-u

n-3

Calcular el valor de n en la ecuación e k=0

NUMERADOR:

n"(n + 3) 2

EJERCICIO.

2n + 2(n +1)

(*) - 2n + 258

n = 8

Para n e N , probar por inducción matemática 4n (n!) 2n +1

SUG: ( n + 1 ) =

k

(n + 1 - k)

( ) k

,

n

(2n+ 1)!

(*)

y denotar Sn al primer miembro.

SOLUCION.

a) Para n » 1 : ambos mienbros valen 2/3 . b) Tomando como HIPOTESIS OE INDUCCION que (*) es dato, para ri fijo, ,nH 3n+l

k = O 2k + 1 (-Dn +1 , f (-Dk (n + l) 2n + 3k , 0 (2k + I) (n-k + 1) k (-D

n+l

..

DE LA SUC. , Y SEPARANDO EN FRACCIO­ NES p a r c i a l e s :

n 2n + 3

2n + 3

< . (-U 2n + 3

n

+

2k + 1

n . ,,k 2(n + l) _ (-1) j n j 2n + 3 k“ „ 2k +1 k

+ ‘

► — ](") n-k+1 k , n , ,,k n+1 y (-.1¿ ^ n ^ Zn + 3 k , „ n-k + 1 k

f en 1ü 2
liFÍtLiductuón al hi&liiti MdUimít^cü

58?

Cap.IO

y en 'a primera aplicaremos la Hipótesis de Inducción ] _ t i T 1, 2n + 3

n i .j L ü ¿ (2n + l)! 2n*3 ^ . q

2n + 3

T - (-l)n ¿

do,de

^

^-\") -

k=o k+ l k

Z

¿*£V>...“ k*l

riT.

^

ha sumatoria,

(- Dk ("l!)

k-c

¿poroue ?

k+1

- H i k u n n¿ l (-1,k ( n;1 ) n+1 k= l k = - ^ b :í e ( V e - ; 1 ) - (-i!0 :;;;) n+1 k=O 1 - 1]

_ n+ 1 Y

bin.de newton

i

= -^>-n [ o - i ] . - i ^ - 1 n+ 1 n+1

reemplazando este valor de T en Sntl (arriba) , obtenemos

5n+l

"

(-l)n+l 2n + 3

4n + 1 [(n + l)!]2

+

(-l)n+ l

(2n + 3)!

4n+1 [ ( n M ) ! ) 2

2n + 3

(2n + 3)!

Esta es la expresión que debíamos obtener. Por lo tanto, de (a) y (b) y el Principio de Inducción Matemática, concluimos que la fórmula (*) dada, es vá­ lida paAXL todo inteAO n > 1 . SERIE DE EJERCICIOS PRuPUESTOS 1. Desarrollar

fl) (x . 1}6

b) (2x-l)5

c) (2* a)7

d) ( / x + 3 ) 5

e) (2x2 - 3)6

f) (3a2b - 2bc)4

g) (a2 + 2b - 3c)4 2.

Hallar el cuarto término en el desarrollo de

(1 - x)10 .

3.

Hallar el noveno término en el desarrollo de

4.

Hallar el término central en el desarrollo de

(3a2b - Zaj11 . — — 2 12 (/2a - / 3a b

5.

Hallar el exponente

n

e N de

(1 + x)n , si en su desarrollo,

i el coefi -

ciente del quinto término es igual al coeficiente del noveno término. 6.

Hallar el exponente

n

e N de

— 1/2

(a*

-1/2 n

+ xa

)

, si en su desarrollo

la razón del coeficiente del 3er. término al del 2do. es igual a 7.

I

Hallar

n

N si en el desarrollo de

11/2

f 9» - (* l^2//3) ]n , el coeficien

Cap. 10

583

BlHurr.i o di N¿tCÍun

te binomial del tercer término es igual a

105 . _1 2n 8. Hallar n e N si en el desarrollo de (x + x ) , la suma de los coeH cientes del primer,segundo y tercer términos, es igual a 46 . 9. En la expansión de (1 + a)n los coeficientes de1quinto, sexto y séptimo términos forman una progresión aritmética. Hallar n. 2 _i n 10. En el desarrollo de _ (x + x ) , los coeficientesdel cuarto y treciavo términos son iguales. Hallar el término independiente de x . 11.

En el desarrollo de res 2m + 1 y m + ?

12.

Si

20

(1 + x) , los coeficientes de los términos de luga­ son iguales (m > 1). Hallar el valor de m .

rxm ¡/ es un término del desarrollo de

(x2 - zVy )á , hallar m

y

r.

13. En el desarrollo de (x/x + x~^) t el coeficiente binomial del tercer término es mayor que el coeficiente del secundo término en 65 unidades. Hallar el término independiente de x . 14. Hallar el término del desarrollo de

(’/ ? -

15.

Hallar el término del desarrollo de

5 "*20 100 (x + x )

16.

Determinar (101)6 desarrollando

17. Determinar (98)

c

desarrollando

i)“

que no contiene a c . que no contiene a

x .

(102 + l)6 . 2 5 (10 - 2) (a * t)n son 240, 720 y

18.

Los términos 2o, 3o y 4o del desarrollo de 1080 respect. Calcular la suma a + b + n.

19.

Los términos 2o, 3o y 4o del desarrollo de (a + 3b)n son 240, 720 y 1080 respect. Hallar los valores de n, i y b.

20. Hallar los términos na.?A.onaltA en el desarrollo de

(V 3 + /2 )10 .

21. Sin desarrollar (V a + 'í'b)45 , hallar el número de términos de su ex­ pansión que estén libres de radicales. 22.

Oemostrar quela suma de los coeficientes en eldesarrollo de (6a - 5b)n es independiente de n , y es igual a la unidad pcuia todo vato>ide n c Z+ .

23. En el desarrollo de

(

+ *~2®/l5 )n , la suma de los coeficientes bi O nomvales de los últimos tres términos es igual a 79 . Hallar el término independiente de x . ,

24. En el desarrollo de (a3^2 + a”1^3 )0 , la suma de todos los coeficientes binomiales es igual a 128. Hallar el término que contiene a: a5 . 25.

¿Cuál es el valor de k para que el término

+l del desarrollo de la po

tencia (1 + / 3 ) ^ sea al mismo tiempo mayor que los términos inmedia­ tos anterior y posterior ?

In t A

584

o d u C c ló n

a t

A n ó t is ¿ i

H a tím ú tic o

C a p .10

(2x2 * x -- )10 , asi

26.

Hallar el coeficientede x5 en el desarrollo de cuino el término independiente.

27.

Uno de los términos del desrrollo de

28.

Sean px2 y 4x7 dos términos en el desarrollo de Hallar p y ó .

29.

Hallar el coeficiente del término que contiene » x5y7 en eldesar-ollo de 2

2 6

(ax + bxy + cy ), donde a , b , c 30. En el desarrollo de

-7

13 (a + 2 + - )

es aa . Hallar a . (1 + 2x -x2)4 .

son constantes.

[ x2 + x + ^ ] 10, hallar el sumando que contiene

a

x14 y el término independiente, 31. En el desarrollo de

(1 + x2 + 3x3

32. Hallar n c Z+ , si£ SUG:

(k - 1) (

, hallar el término que contenga x6 .

n (k-1) { " ) k=2

) = ( n - 1) (

33. Hallar el valor de la suma

n _ j

=

128(n-l) .

1

) .

10

S=

^

j= l

5

X! t ^ k= 1

10

) +

2líj ] )

J

34. Encontrar unafórmula paracada suma: »

. in «

a)

b)

* n . * .n *

#n»

K , ) + 2 ( )+ 3( ) + 1 2 3

...

+

1(J) + 3( J) + 5(") +

...

+ (2n + l)(¡¡)

n k+ 1 £ £ k =1 j =2

35. Simplificar

k

( J"

)

36. Hallar una fórmu’a para la suma 37. Simplificar lasumatoria

n( ) n

.

S *

E k= 2

S =

Eli (n ) + í ^ ( n ) + Ü-*_L {n , + 2 'l' 3 2 4 38. Hallar una fórmula paracada

SUG:

* v k> =1

a)

¿ k

a)

k2 = k(k-l) + k

39. Hallar, en términos

( ^ 2 )(-i;t+2(|)

.

una

... + i ^ ( n ) 3n de las sumas

bj b)

S -

¿ k (; ; z , k= 1 k = (k + 2)

-2

de n solamente, una fórmula para la suma

+1

n

HinúnUo de Nemícrn

Cap.10

n

22

+1 (k + 6)('T l )

k =0

Simplificar

42. Simplificar

43.

(k + 6) = (k + 1) ♦ 5 .

n n+ j E k(k-l)(k-2)( ) , k= 3 n n S = T ’ --------------- (. ) • k .0 (k + l)(k + 2)(k + 3) k

40. Hallaruna fórmLla 41.

SUG:

585

para la suma

S= l + i (

S =

)+^(")+

21

3

2

...

+

n+1

n í 3

—

n

")

Demostrar que si en el desarrollo de [ x(l + x)n ] cada coeficiente se dj^ vide por el exponente de la x a la cual pertenece este coeficiente, enton ces es la suma de los cocientes así as pbtenidos es igual a SUG:

(211*1 - l)/(n + l) .

Ejercicio [42] previo. n

^j

44. Deducir la siguiente fórmula

(

)*

4

k=0 45. Deducir la fórmula SUG:

,n 2

(„) 0

,n3

+ (,) 1

n .2

+ (,) + 2

Desarrolle ambos miembros de

, n .2

f (n )

=

, 2n

(n )

(1 + x)2n = (1 + x)n (1 + x)n .

46. Dada la progresión aritmética aL , a2 ....... an , an+J ; (n > 3) , demostrar que ? n •> n n •> al * t ^ - 2 + + i*1» ín )fln n ' 0 SUG:

Pasar a la notación E ;*k+i ~ ai * kd , ferencia común. Demostrar que Y,

O t ' 1)k = 0

donde d es la di­

■empleark{£) = n(£ J) .

k-1 n k= l

, n v k ( k ) (-D " 0 ■

hacer

k

- k(k-l) + k , y emplear n n-2 k(k- 1) ( ^ ) =■ n(n- 1) ( k 2 ) .

47. Demostrar que, para n entero > 0 , ,n . .. .n-l „ , n , 2», ,n-2 ( j )x(l-x) * 2 ( z )x(l-x) +

...

. ,n . k,, .n-k ♦ k ( k )x(l-x) + *■ ...

SUG:

Usar la notac. E , y aplicando

k ( |^) ■

,n . n + n( )x = nx. n * - k 5 n .

con traslación de índices, demostrar que el primer miembio es igual a nx-t(l-x) + x ]n'1 .

Cap 10

ln( luducc (un J ( A »uí¿o iJ Matemático

586

48. Probar por inducción matemática que, para todo entero n i 1 : Z

<-nk-‘ ± 0

-

k= 1 n +1

.n,

=-

Cl a v e

,n. ( k-1 )

[ k 1 = (k }

SUG

'

¿ (-Dk (n:1 ) k= L

¿ J k= 1 1 .n , k {k-1) =

1 ¡^71

,n*l, k 5

= (l-l)nt* - [ 1 M - D n+1 ] = (-1)" - 1

Re s p u e s t a s

de

1. a) x6 - 6x5 * 15x4 - 20x3 + 15x2 - 6x + 1 b) 32x5 - 80x4 + 80x3 -40x2 + lOx - 1 c) 128 + 448a + 672a2 + 560a3 + 280a4 + 84a5

+ 14a6

+a7

d) x2/x + 15x + 90 x /x + 270x t 405/x + 243 e) 64x12 - 576x10 + 2160x8 - 4320x6 «■4860x4 - 2916x2 + f)

Z

9)

Z

k=0 j= 0 =■

(;)(k )a8'2k(2b)k'j (-3c)j J

=

a8 + 8a6b - 12a6c + 24a4b2 - 72a4bc + 54a4c2 + 32a2b3 - 144a2b2c + Z16a2bc2 - 108a2c3 + 16b4 - 96b3c + 216b2c2 - 216bc3 + 81c4 .

2. T4 = -120x3 .

(3). T, = 1140480 a1V

4. Hay 13 sumandos ; Ty es el término central = ( = 199 584a9b12 . 5. 4 = n - 8 - n = 12 , (6). (")/("} = 7. n(n - l)/2 =105 - n = 15 . 8- ( q ) + (") + ( " ) = 4 6 9.

729

81aV- 216a6b4c + 216a4b4c2 - 96a2b4c3 + 16b4c4

(n -5) (n - 4) =

10.

n - 15, k = 10,

=*

)(/2a)6(-/3a b2)6 ^ =y

==>

n « 12

0 = n2 ♦ n - 90 = (n + 10)(n - 9) =«

12(n-4)-30 Término buscado

= > 0 = (n - 14)(n + 7) Tu

= ( jjj ) x° = 3 003.

|2m*«tl) v [ 2m = 28 - (m+1) ]

=>

12.

T. Gral.:

k/3 = 1 => k= 8 i m - 10Luego,r = ( ) ( - 2 ) - -448

de

m = 9 ;se descarta

m=

(® >(x2)8~k (-2Vy )k .CONDICION:

m

* 16

13.

n = 13 ,

| (n-k) -

14.

| (15 - k) - k = 0

- 2k = ■ 4k = 0=> k =6 ,

k = 3

n = 9

==>n"14

11.

Y

=

. Luego,_T* = ( 13 ) = 286

T? = ( 15)(-l)k = ( ‘65 )(-l)6 = 5

1 . 3; . . 005.

587

Bínormu da X¿uiton

C a p .10

15. 5(1000

- k) -

20k * 0,k * 200, Término buscado

(^

)

.

16.

10U +6(1010) ♦ 15(108) + 20(106) + = 1061 520 150 601.

17. 18. 20

1010 +4(107) + 8( 103)- [ 109 + 8{105) + 32 ] * 9039207968 n * 5, a * 2, b * 3. a + b + n » 10 . (19). n - 5. a * 2 1 0 ) — io - Ir — k ° ° Térra.Gen. : ( )(/3 ) (/2 ) ; Condición: 10 - k * 3 , k- 2 . y O i k < 10 (a la ver), TERMINOS BUSCADOS: T3 = 210

15(10*) » 6(102) + 1

k * 4 y k - 10 sol ámente y Tu = 32 .

21. T . G r a l ( 4^)(s/a)45 ; Condición: 45 - k » 5 , k » 10 , k y O i k < 45 (a la vez) , = > k * O, 10 , 20 , 30 y 40 . Estoindica que existen 5 términos y solamente cinco, libres de radicales. 22.

T.Gral.: ( " )(6a)n'k (-5b)k ; que es justamente - (6 - 5)

23.

SUMA DE COEF: n

-

n

n-l

=>

n ■= 12 .

k = 5 . TERMINO INDEPENDIENTE:

24.’ 2n = 128 [ - 27 ] => k = 3 . Térm. buscado: Condición:

n - 7 , (* )

( 1°°)(/3)k > (

=» (l00-k + l)/3 > k

S * £ *

Tfi * (

(n )6n*k

1

, in

de donde

Condición:^ ( 1 2 - k ) - | | k

»0

¿ )7*0 = U/3888 .

Condición: | ( 7 - k ) - ^ k

- 5

=^>

a5 / ■ 35 a5 )(/3 )k' 1 y (1“ )(/5)k > (kI“ )(/3)k+l

y (k + 1) > /3(10ü-k) ,

^ (301 - 101/3) < k < i(303 - 101/3) , r aproxih. a 10 k 26. [2iZ + Í1-3X-1)]10 *

k

1 + n + -jn(n-l) = 79,

n-Z

* (n ♦ 13)(n - 12) =■

k "° 1

¿

(n ) + ( n,) + ( n,) * 79 = ► 0

25.

n

despejando ceníes.

k

:

63.03< k < 6.4.03 =► k - 64 .

¿ (10 )(2x2)10_k ¿ ( S ( O k-j (-3*-1)j k= 0 j =0

=

10 k = E E I1k° n ki ) 2 w - k i-3)i *20-k -2i k =0 j = 0 J a)

20 - k - 2j * 5 => 2j = 15 - k y 0 < j < k < 10 => (k, j) = (5, 5), (7, 4) y (9, 3). Asi, existen 3 sumandos con x5 , de modo que su coeficiente será la suma (

b)

)( j )25(-3)5 + (l°)(^ ) 23(-3)4 + (1g)(j)2 (-3)3 -

TERM. INDEP.:

20 - k - 2j =■ 0

==> 2j

=■ 20 - k

716688 y

0 < j < k

< 10

588

Incviduccíón ai A>iá¿cici Ma£tyi*F£ÍG<.'

’=s>

(k, j) = (8, 6) y (10, 5). Asi, el término independiente será

(g°)(g)22(-3)6 M ^ X ^ X O ) 5

=

3 612 924. (27).

28' P ■(^ )( o )22(-l)° + (J)( J)’ 0(-l)‘ =>

4 - (3 X 3 )2M - D 3 29. 30.

( ^ ( ¡ iA

V

Jh ^

m

P

= 20

W

+ (®)(’ )a2bc3 = 6b5c + 60ab3c2 + 60a2l

[ ( 3 )( ^ )3° + (|)(| J32 ] X6 =

32.

n ? ln- 1 ) E (¡!\> k=2

.

155 x6 n-2

■ 128(n - 1)

2n"2 - 27 = >

-

,

E (nk 7 k=0

n -2 = 7

=-

[ - 27 ]

=128

n = 9 .

(33).

6765

a) Ver el EJERCICIO [7.23] , resuelto. b) Usando (a):

(n + 1)2n .

(35).

n+1 36.

.

, . 10,, 2 . x .10., 4. .10., 6 ) ] x14 - 1095 x 14 2 21 4 1 + 5 0 10 8 . .10., 10. Término independiente: ( 0 )(c \ * (10)( 5 ) = 1512 8 6

=■

a =6

* * -8

—

31.

34.

C a p .10

s *

e

■ t -1 - \ )" + l ■

(n:i)i(nn)-k (-i)k

k=0

». s k*-1 ¿ ¿ o k* l

„n+1

2

.

- (2 + n)

1 ^n + l

s o -

k= 2

= 2ntl - (n + 2) . 38.

De la sug. y: tiene

k(£) =

,

k(k-l)(^) = n(n-l)(^_2 ) , se ob ^

S = n(n -1) " ¿

(n*2 ) + n £

k=° b) De la sug. y:

k =0 k(

n +2

("'1) =

n(n-I)2n‘2 + nz"'1 n(n + l)2n-2 .

n+1 ) = (n*-2)(^ ^) , se obtiene la fórmula

S = (n - 2) 2n M + (n + 4) 39.

(nHl)2n -5 ?

,

4 - (n2 + 7n + 14)

(40).

(n - l)(n)(n + 1) [ 2n~2 - 1 ]

Binomíu d¿ Neieton

Cap.10

44.

T-i,2n +l

E

k =o

(

n JI,

)

k = 0

n k = 0

n n ,■ 2 e

k=0

k = 0

k=0

k= n+l

♦

, .2n+l

2n

45.

E

e

k=n +l

=2

( • )^ j =0 J

corresponde al valor

De

...

k >

(1+*)" -

2n^1 « «

<2n; >

*

e

k =■0

j *n , ^ ^, ___

„ . Mn .

L.q.q.d.

se tiene que el coejic-ten-te de xn

¿ (V j =0 J

es decir es:

"E

-

•

[

e

k=0

j + k = n

n-j = k

S

(¡X k= 0

i K

" ( "k<>

Por lo tanto, de (a) y

(2 n) n

'£

k=0

(d)

"

( k> 2

C**k i

" 3*k

para

x

corresponde a k = 0,l,2,

1 es decir que v en a ser LA SUMA DL LOS PRODUCTOS »

) .

n

k= O

zt coeficiente, de

En este último desarrollo,

2n

r,n .)*j n E

J

E , C

E ,

j=0

(

( n" ) * J * j=O J

j=0

X

(;)

= 2(4)

■

(i + x)n(i +x)n

C

TRASLACION OE I NOICES

2n

a) De (1 + x) n =

b)

<

„2n + l

= (1 + 1)

propiedad CONMUTATIVA

2n +1

E

2n^1 *> .

o

,,

2n +l ) 2n + L - (n-k)

2n+ l

n *> ,i

(T> • e

,

(

■ E

2n +l "

- E -

n

2n +1l 2 n+ ( ) 2n+l- k '

E

589

.. , n

de la forma

................ " •

, resulta.

(V ■(V +(V +(")2 +... +(n)2 A 7 A V A

ATA A

012nL.q.q.d

Esta obra se terminó de Imprimir en el mes de Octubre de 1995 en los Talleres Gráficos Top-Job E.I.R.L. Av. Emancipación 160 - Of. 161 Teléfono: 4 28-6652 Lima - Perú