Suryo Guritno
ESTIMASI Salah satu bentuk inferensi statistika (pengambilan kesimpulan) terhadap parameter populasi adalah estimasi. Dalam estimasi yang dilakukan adalah menduga/memperkirakan parameter dengan penduga yang sesuai (\u201cterbaik\u201d). Misalnya : sampel
populasi
\u00b5
mean
x
peny. std
\u03c3
s
variansi
\u03c3
s2
proporsi
2
p
x n
ESTIMASI
INTERVAL
Estimasi titik
adalah statistik yang sesuai (\u201cbaik\u201d) untuk menduga/memperkirakan/mengestimasi parameter Misalnya : parameter statistik/penduga / estimasi x
mean
\u00b5
variansi
\u03c32
s2
dev.std
\u03c3
s
proporsi beda mean beda proporsi perbandingan variansi
x
p \u00b51- \u00b52
p1-p2 2
\u03c3 1
2
\u03c3 2
n
x
1
x n
\u2212x
1 1
x \u2212
n 2
s 1 s
2 2
2 2 2
Estimasi Interval
adalah suatu interval tertentu yang memuat parameter dengan probabilitas/keyakinan cukup besar dan ditentukan oleh statistik yan sesuai untuk parameter * Interval yang diharapkan adalah yang terpendek * Misalkan X1, X2, …, Xn adalah sampel random yang diambil dari populasi dengan parameter θ. Interval yang akan dicari adalah a ≤ θ ≤ b dengan
interval konfidensi (1 – α)
P(a ≤ θ ≤ b) = 1 - α
tingkat konfidensi / keyakinan dipilih →100%
a,b harganya ditentukan oleh biasanya 90%, 95%, 99% X , X , …, X
0<
< 1,
0%
dibedakan dua macam estimasi interval, yaitu : * Untuk sampel besar (n ≥ 30) * Untuk sampel kecil (lebih dikenal sebagai estimasi interval untuk parameter populasi dengan /berdistribusi tertentu) ESTIMASI INTERVAL SAMPEL BESAR
* Estimasi interval untuk µ (n ≥ 30) Penduga terbaik untuk µ adalah X X
berdistribusi normal dengan µ
dan
= µ
x
σ
Interval yang dicari adalah a ≤ µ ≤ b dengan
2 x
=
σ
2
n
atau
P(a ≤ µ ≤ b) = 1 - α
a,b tertentu oleh X1, X2, …, Xn dalam hal ini X
1
=
(X + X + … + X )
σ
x
=
σ n
c
45 %
µ
50% ←c
50 %
d→
d
x
45% µ
47,5% c
x
47,5% µ
d
x
c ≤ X ≤d terpendek yang diketahui/dapat dicari interval
P(c ≤ X
≤
d) = 95%
yaitu
Jarak µ ke c harus µ sama dengan jarak ke d x
x
c
d
µ
x
dengan transformasi X
z =
normal biasa
X −µ
σ
normal standar
x
x
mean = 0 variansi = 1 P(-zo ≤ z ≤ zo) = 95% dari tabel normal
0
JADI : P(-1,96 ≤ z ≤ 1,96) = 95% x −µ P(-1,96 ≤ σ ≤ 1,96) = 95% n
P( -1,96 . x
σ
≤ µ≤ x
n
σ
+ 1,96 . ) = 95% n
Interval konfidensi 95% untuk µ adalah : (n ≥ 30) x
-1,96 .
σ n
≤ µ ≤
x
+ 1,96 .
σ n
(1)
jika σ tidak diketahui, diganti dengan s yaitu penyimpangan standar sampel.
Untuk n cukup besar , hampir semua distribusi sampling harga x ini berdistribusi mendekati normal. Dalam hal , s dan X n berdistribusi normal.
Apabila anda perhatikan dengan cermat rumus (1), dengan langk sama akan dapat dicari interval konfidensi (1 - α) untuk σ ataupun p. Perhatikan rumus (1) kembali
μ
adalah
parameter yang akan diestimasi ( = P)
X
adalah
Statistik yang digunakan untuk ( = s) mengestimasi µ
adalah
Penyimpangan standar distribusi (= σ ) sampling harga statistik (dalam hal ini X )
σ n
1,96 adalah
s
angka dari tabel normal yang sesuai dengan tingka X berdistribusi normal keyakinan 95% karena
Dengan demikian, jika ukuran sampel cukup besar, tabel berikut dapat digunakan untuk mencari interval konfidensi (1-α) untuk parameter yan dikehendaki Parameter Statistik (=P)
(=s)
μ
X
1 2
4
s
σ n
σ
s
σ
3
Peny. Std. Dist. Samp. Harga Ket. (= stat σ)
2n
X
p
n
n
μ -μ 1
2
X
1
1 −x n
x
n
X
−
σ
2
n
5
p1
−
p2
X
X
1
2
−
n
1
n
2
x1 n
1
σ
1
2
−
n
1
2 2 2
x x 1 − n + n n 1
2
1
2
x 1 − n n
1
6
σ
1
−
σ
2
s1−
s
σ 2
2n
2
2
1
+ 1
σ2 2n
2
2
2 2
Kalau interval konfidensi (1-α) untuk P adalah S − z
.σ
α
≤ P ≤ S + z
s
2
Denganz
α 2
.σ
α
s
2
adalah harga yang sesuai dengan (1-α) dari tabel distribu
Normal (1,96=z.025 sesuai dengan 95%). maka interval konfidensi 90% untuk σ adalah s – z.05 .
σ
σ
2n s
1+
≤ σ ≤ s + z.05 .
z . 05
2n
s
≤ σ ≤
1+
2n
z . 05 2n
dan 2 σ Interval konfidensi 90% untuk adalah
s 1 +z
2
s ≤σ ≤ 1 +z
2
2
.05
.05
Estimasi parameter jika sampel berukuran kecil sangat bergantung pa distribusi populasi dan juga parameter yang akan diestimasi σ
2
Sebagai contoh, untuk ,mengestimasi µ, σ , µ1-σ µ2 , 2
1
2
2
populasi harus berdistribusi normal, tetapi estimasi untuk µ atau µ1- µ2
ditentukan oleh distribusit
σ2 atau µ1- µ2
ditentukan oleh distribusiχ2
σ σ
2 1 2 2
atau µ1- µ2 ditentukan oleh distribusi F
Untuk mengestimasi p tidak diperlukan asumsi populasi berdistribusi normal. Estimasi dapat dilakukan menggunakan distribusi binomial.
ESTIMASI INTERVAL SAMPEL DARI POPULASI NORMAL
Interval konfidensi (1-α) untuk µ adalah : jika σ diketahui : X
−z α . 2
σ n
≤µ ≤ X +z α . 2
σ n
2
karena
σ N ~ µ, n
X
jika σ tidak diketahui : X
−t α 2
. − ; (n 1)
s
n
≤µ
≤X
+t α 2
. − ; (n 1)
s n
1 − α = persentil 2 untuk distribusi t dengan derajat bebas (n-1) (dicari dengan tabel t)
tα
2
X −µ
karena :
s
~ tn-1
n
distribusi t dengan der. bebas (n-
Interval konfidensi (1-α) untuk µ1-µ2 adalah :
jika σ1 dan σ2 diketahui :
(x
1
−x 2 )−z
x1 − x 2 µx
1−
x2
~ (
N µx
.
α
n
1
−
x2
n
1
2
1
−
x2
σ1
2
,σx
1
−
x2
2
2
α
.
n
2
σ2 +
2
n
1
)
= µ1 −µ 2 2
σx
σ2 + ≤µ1 −µ2 ≤(x 1 −x 2 )+z
2
2
karena :
σ1
=
σ1
n1
2
+
σ2
n2
jika σ1 dan σ2 tidak diketahui : σ1 diganti s1 dan σ2 diganti s2 jika σ1 = σ2 = σ , σ diganti sp dengan s
sehingga
p
=
(n 1 − 1) s12 + (n 2 − 1) s 22 n
1
+
(x 1 −x 2 )−t
n
α
2
2
−
2
;(n1 + n2 − 2)
.s
1 p
n1
+
1 n2
≤µ1 −µ2
≤(x 1 −x 2 )+t
α
.s
1 p
+
1
2
karena =
x
( − x 2 )− (x 1 − x 2 )
1
s
1 p
n1
2
α
2
dengan 2
;γ
s
n 1
2
s1
.
+
n1
s2 n 2
s 1
n 2
s
2
2
2
n 2 n
1
karena :
2
(x
1
2
(1 −µ2 ) −x 2 )− µ 2
s1
n1
2
+
s2
n2
2
)+ t
2
α
2
2
n 1 n
−
≤ µ 1 − µ 2 ≤ (x 1 − x
2
2
2
2
n1 + n 2
n2
+ ν= + s 1
t
, σ1 diganti s1 dan σ2 diganti s2
jika σ1 ≠ σ2
(x 1 − x 2 ) − t
+
1
~
~t
ν
;γ
.
s1
n1
2
+
s2 n 2
* Untuk estimasi σ2, digunakan s2 tetapi jika sampel berukuran kecil distribusi sampling harga-harga s2 tidak diketahui bentuknya. Jalan keluarnya usahakan transformasi ke variabel baru yang distribusinya sudah dikenal. * Jika populasi berdistribusi normal,
(
)
2
n−1s 2
σ
berdistribusi x2 dengan derajat bebas (n - 1)
* distribusi x2 dengan derajat bebas (n-1) adalah distribusi Gamma dengan
α=
n
−1 2
dan
β =2
Sayangnya distribusi x2 bukan distribusi yang simetri, sehingga krite interval terpendek akan sulit untuk diperoleh.
α
2
α
(1-α)
2
2
χ α 1− ; ( n −1 ) 2
χ
2 α
2
;( n − 1)
Sebagai pengganti interval terpendek, interval yang dikehendaki ditentukan oleh pembagian luas daerah di bawah kurva menjadi 3 bag α α , (1-α) dan 2 masing-masng dengan luas 2 sehingga dari P
2 n − 1 )s 2 ( 2 χ α ≤ ≤ χ α ; (n 1) 2 − 1− ; (n − 1) σ 2 2
=1 −α
didapat Interval konfidensi (1-α) untuk σ2 adalah
(n −1 s)2 2
χα
(n 1 )
2
≤σ ≤
(n −1 )s 2 2
χ α 1
(1 )
α
2
α
(1-α)
2
2
χ α 1− ; (n − 1) 2
χ
χ α ≤(n −1 )s ≤χα − σ 2
1
2
2
2
(n −1 )s
2
χα 2
2
≤σ ≤
(n −1 )s
2
2
χ α 1− 2
; (n − 1 )
=(1 −α)
2
2
α
2
2
P
2
