INTERVAL
Dalam konteks R sebagai universal set ( pemahaman di sebagian besar dasar dan menengah kalkulus ) , ada set khusus lainnya , yang dikenal sebagai interval , yang kita akan sering ditemui. Interval dijelaskan oleh notasi banyak digunakan , yang kami akan segera memperkenalkan memperkenalkan . Sebelum melakukannya , kita memberikan definisi interval yang menyediakan contoh pertama dari definisi matematika abstrak dari jenis yang kita kita akan sering bekerja dengan dengan kemudian dalam teks .
DEFINISI 2 Satu set I , semua yang elemen-elemennya adalah bilangan real , disebut interval interval jika dan hanya jika , setiap kali a dan b adalah elemen 1 dan c adalah bilangan real dengan < c < b , maka c E I.
Interval ditandai antara lain set bilangan real dengan milik mengandung setiap nomor antara dua anggotanya . Semua interval harus melakukan ini dan interval adalah satu-satunya set bilangan real yang melakukan hal ini . Secara khusus , setiap himpunan bilangan real seperti ( 0 , 1,2 ) , atau Z atau Q , yang gagal untuk memiliki properti ini , bukan interval . Interval mudah mengakui , memang, kami akan membuktikan pada Bab 9 bahwa setiap interval dalam R memiliki salah satu dari sembilan bentuk .
DEFINISI 3 Sembilan jenis interval dijelaskan oleh terminologi terminologi dan notasi berikut, dimana a dan b menunjukkan bilangan real : Aku . [X E RLA 5 x 5 b ) , dan boundedinterval tertutup . dilambangkan [ a, b ] , 2 . ( XE RLA < x < b ) , interval terbuka dan dibatasi , dinotasikan ( a, b ) , 3 . ( X ER ( 5 x < b ) , sebuah interval tertutup - terbuka dan dibatasi , dilambangkan [ a, b ) , 4 . ( X E la < x 5 bj . , Interval terbuka - tertutup tertutup dan dibatasi , dinotasikan ( a, b ] , 5 . ( X ER (a I x ) , yang tertutup dan tak terbatas di atas selang , dilambangkan [a , a) , 6 . ( X E la < x ) , selang atas terbuka dan tak terbatas terbatas , dinotasikan (a , a) , 7 . { X ER ( XI b ) , tertutup dan tak terbatas terbatas di bawah selang , dinotasikan ( - oo , b ] , 8 . { x 1 x ER < bf , terbuka dan tidak dibatasi di bawah selang , dinotasikan ( - oo , b ) ,
9 . R sendiri adalah sebuah interval dan kadang-kadang dinotasikan ( - a , a)
Interval muncul dalam berbagai macam konteks matematika matematika dan khususnya yang terlibat dalam laporan berbagai teorema kalkulus . Sebuah aplikasi akrab notasi selang pada tingkat yang lebih elementer dalam mengekspresikan solusi set ke ketidaksetaraan dihadapi dalam aljabar dasar .
Contoh 1 Dengan asumsi bahwa himpunan universal R , memecahkan ketidaksamaan berikut dan mengekspresikan setiap solusi diatur dalam notasi Interval : (a ) 7x - 9 5 16 ( b ) 12x +31 < 5 ( c ) 2x2 + x - 28 5 0
larutan untuk X i (b) 7x - 9 5 16 setara dengan 7x I 25 , yang setara Himpunan solusi adalah ( x E RLX I 91 = ( - m , y ] . E R , maka 1x1 < adalah setara dengan -a < x
0 , ketidaksamaan kuadrat axZ + bx + c < 0 dipenuhi oleh justru angka-angka angka-angka antara dan termasuk akar persamaan persamaan ax2 + bx + c = 0 . Kita menemukan kedua dengan anjak 2x2 + x - 28 menjadi ( 2x - 7 ) ( x + 4 ) , menghasilkan x = $ x = -4 dan sebagai akar . Dengan demikian kita sampai pada solusi set -4 I x I z , yang dinyatakan dalam notasi interval [ -4 , FJ .
Asumsi bahwa U = R dalam masalah seperti contoh sebelumnya biasanya dibuat secara implisit , yaitu, tanpa menyebutkan spesifik . Sebagai catatan akhir pada interval , bantalan pada notasi , kita amati bahwa perlu hati-hati untuk membedakan antara ( 0 , I} , satu set dua elemen, dan [ 0 , 1 ] suatu himpunan tak terhingga . Pernyataan ini menunjukkan sebuah peringatan umum untuk siswa mulai dari abstrak matematika : Sebuah perbedaan kecil antara dua notasi yang mewakili obyek matematika dapat mengecilkan perbedaan besar antara obyek itu sendiri . Kesimpulan yang dapat ditarik adalah bahwa kita perlu selalu membaca dan menulis matematika dengan hati-hati !
