Integral alan ve hacim.pdf

İntegral Uygulamaları

ÜNİTE

12

Yazar Prof.Dr. Vakı f f CAFEROV

Amaçlar Bu üniteyi çal ıştıktan sonra; • düzlemsel alan ve dönel dönel cisimlerin cisimlerin hacimlerinin belirli integral yardımı ile hesaplanabilece ğini, • küre, koni ve kesik kesik koninin koninin hacim hacim formüller formüllerinin inin belirli belirli integral integral yardımıyla nasıl kolayca bulunabilece ğini göreceksiniz.

İçindekiler • • • •

Giriş Alan Hesabı Hacim Hesabı Değerlendirme Sorular ı

309 309 315 319

Çalışma Önerileri • Ünite içinde çözülmüş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz • Yanlış sonuçlar çıkmaması için alan hesaplarken fonksiyonun hangi aral ıkta pozitif, hangi aral ıkta negatif oldu ğunu belirlemeye çalışınız

• Çok sayıda fonksiyon örnekleri al ıp fonksiyonlar ın grafikleri ile x-ekseni aras ındaki; iki fonksiyonun grafikleri aras ındaki alanları hesaplamaya çal ışınız • Dönel cisimlerin hacimleri ile ilgili de çok say ıda örnek çözmeye çalışınız.

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

İNTEGRAL UYGULAMALARI

309

1. Giriş Geçen ünitede, bir fonksiyonun grafiği ile x-ekseni arasındaki düzlemsel bir bölgenin alanının bulunması probleminin bizi matematiğin ikinci ana kavramı olan integral kavramına nasıl getirdiğini gördük.

İntegralin çeşitli bilim dallarında (mühendislik, fizik, ekonomi...) çok sayıda uygulamaları vardır. Bir ünitede bu uygulamaların hepsinden bahsetmek imkansızdır. Bu ünitede belirli integralin basit uygulamalarından olan düzlemsel alan ve dönel cisimlerin hacmi konularını ele alacağız.

2. Alan Hesab ı Geçen ünitede bir [a, b] aralığında sürekli ve negatif olmayan y = f(x) fonksiyonu için y = f(x) eğrisi, x-ekseni, x = a, x = b doğruları arasındaki alanın

b a

f(x) dx

belirli integrali olduğu ispatlanmıştı. Eğer y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında negatif ise o zaman sözü edilen alan

b - f(x) dx integraline eşittir. a

Eğer c ∈ (a, b) olmak üzere, f(x) fonksiyonu (a, c) aralığında negatif, (c, b) aralığında pozitif ise, o zaman y = f(x) eğrisi, x-ekseni, x = a, x = b doğruları arasındaki toplam alan c

b

a

c

- f(x) dx + f(x) dx , eğer fonksiyon (a, c) aralığında pozitif, (c, b) de negatif ise o zaman sözü edilen alan c a

b

f(x) dx - f(x) dx c

olur. Aşağıdaki şekilleri inceleyerek yukarıdaki formülleri anlamaya çalışınız.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

310


y = f(x) y = f(x)

a

b

●

●

a ●

●

●

c

b

●

a

●

b ●

c

y = f(x) f(x) < 0

Şekil 12.1

b

Bu durumlar A= f(x) dx formülü ile birleştirilebilir. a

Örnek: 1) y = x2 - 3x - 4 parabolü ile x-ekseni arasındaki 2) y = (x - 1)3 eğrisi, x-ekseni, x = -1, x = 2 do ğruları arasındaki 3) y = 1 - x3 eğrisi, x-ekseni, x = 0, x = 3 do ğruları arasındaki alanları hesaplayalım. Çözüm: Aşağıda verilen grafikleri gözönünde tutalım. 1)

Şekil 12.2

x2 - 3x - 4 = 0

⇒

x = -1, x = 4 .

Parabol, apsis eksenini x = -1 ve x = 4 noktalarında keser ve (-1, 4) aralığında x2 - 3x - 4 fonksiyonu negatiftir. Buna göre sözü edilen S alanı aşağıdaki gibi hesaplanır: 4

3 2 S = - (x - 3x - 4)dx = - x - 3x - 4x -1 3 2

4

2

= 125 ≅ 20.83 . 6


-1

= - 64 - 24 - 16 - - 1 - 3 + 4 3 3 2


311

2)

Şekil 12.3

x değişkeni [-1, 2] aralığında değişirken x ∈ (-1, 1) ise (x -1)3 fonksiyonu negatif, x ∈ (1, 2) ise pozitiftir. Buna göre sözü edilen S alanı 1

2

-1

1

S = - (x - 1) 3 dx + (x - 1) 3 dx 1

2

-1

1

= - (x 3 - 3x2 + 3x - 1)dx + (x 3 - 3x2 + 3x - 1)dx 4 2 = - x - x3 + 3x - x 4 2

1 -1

4 2 + x - x3 + 3x - x 4 2

2

= 4,25 1

olur. 3)

Şekil 12.4

1 - x3 = 0

⇒

x3 = 1

⇒

x =1 .

Buna göre, y = 1 - x3 fonksiyonu x = 1 noktasında işaret değiştirmektedir. x in 0 ile 3 aras ında olması gerektiğini hatırlarsak x ∈ (0, 1) iken 1 - x3 fonksiyonu pozitif, x ∈ (1, 3) iken ise negatiftir. Buna göre bulmak istediğimiz alan, A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ


312

S =

1 0

(1 - x3 )dx -

3

4 (1 - x3 )dx = x - x 1 4

= 1 - 1 - 0 - 3 - 81 - 1 - 1 4 4 4

1

4 - x -x 4 0

3

= 1

= 3 + 69 + 3 = 75 = 18.75 4 4 4 4

dır. [a, b] aralığında verilmiş y = f(x) eğrisi ile x-ekseni arasındaki alanı bulma işleminde ilk adım f(x) in bu aralıkta işaretinin incelenmesidir.

?

1) 2) 3) 4)

y = x2 - 4x eğrisi ile x-ekseni arasındaki, y = 9 - x2 eğrisi ile x-ekseni arasındaki, y = x3 eğrisi, x-ekseni, x = -1, x = 2 doğruları arasındaki, y = sinx eğrisi, x-ekseni, x = π /4, x = 3 π /2 doğruları arasındaki alanları hesaplayınız.

Cevaplarınız 10 2 , 36 , 4 1 , ve 4 + 2 olmalıdır. 3 4 2 [a, b] aralığı üzerinde tanımlı , sürekli y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları verilsin ve her bir x ∈ [a, b] için f(x) ≥ g(x) eşitsizliği sağlansın ( f(x) ve g(x) sabit işaretli olmayabilir, şekil 12.5 e bak ınız). O zaman y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = a, x = b doğruları arasında kalan alan b

S = [f(x) - g(x)] dx a

formülü ile hesaplanır.

Şekil 12.5

Örnek: 1) y = 2x - x2 eğrisi ve y = x doğrusu arasında 2) y = x2 ve y = x eğrileri arasında kalan alanları bulalım. A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ


313

Çözüm: 1)

Şekil 12.6

y = 2x - x2 parabolü ile y = x doğrusunun kesişim noktalarını bulalım. 2x - x2 = x

⇒

x2 - x = 0

⇒

x(x - 1) = 0

⇒

x = 0 ve x = 1 .

Grafikler x = 0 ve x = 1 apsisli noktalarda kesişiyorlar. x değişkeni 0 ile 1 arasında iken parabol doğrudan yukarıda kalır. Buna göre istediğimiz alan aşağıdaki gibidir:

S =

1

1

2 3 (2x - x2 - x)dx = (x - x2 )dx = x - x 0 0 2 3

1 0

=1 . 6

2)

Şekil 12.7

y = x2 ile y = x eğrilerinin kesişim noktalarını bulalım. x2 = x

⇒

x4 = x ⇒ x(x3 - 1) = 0 ⇒ x = 0 , x = 1 .

x ∈ [0, 1] iken x ≥ x2 olduğundan arada kalan alan 1

1

1

3

3 S = ( x - x2 )dx = (x2 - x2 )dx = 2 x2 - x 0 0 3 3

olur. A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1

= 2 - 1 - 0 = 1 3 3 3 0

314


Eğer [a, b] aralığının tüm noktalarında f(x) ≥ g(x) eşitsizliği sağlanmıyorsa, örneğin, c ∈ (a, b) olmak üzere, her x ∈ (a, c) için f(x) ≥ g(x) ve her x ∈ (c, b) için f(x) ≤ g(x) ise y = f(x), y = g(x) eğrileri ve x = a, x = b doğruları arasındaki alan c

b

a

c

S = [f(x) - g(x)] dx +

[g(x) - f(x)] dx

olur. Örnek: y x3 , y = x eğrileri arasında kalan bölgenin x = 0 dan x = 2 ye kadar =

olan k ısmının alanını bulunuz.

Şekil 12.8

Çözüm: x ∈ (0, 1) ise x > x3 ; x∈ (1, 2) ise x3 > x olduğundan sözü edilen alan S =

1 0

3

x - x dx +

2 1

= 2 - 1 + 16 - 2 3 4 4 3

4 x - x dx = 2 x2 - x 3 4

3

1

3 22

3 22

3

- 1 - 2 = 29 - 2 4 3 6 3

0

3

4 + x - 2 x2 4 3 ≅

2

= 1

2,95

dir. Genel olarak [a, b] üzerinde sürekli y = f(x) ve y = g(x) grafik eğrileri arasındaki bölgenin x = a dan x = b ye kadar olan kısmının alanı S = formülü ile hesaplanır. A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

b a

f(x) - g(x) dx


2 1) y = x 2

315

eğrisi ve y = 4 - x doğrusu arasındaki alanı bulunuz.

2) y = sinx , y = cos x eğrileri arasındaki bölgenin x = - π den x = π ye kadar2 2 ki kısmının alanını bulunuz. Cevaplarınız 18 ve 2 2 olmalıdır.

3. Hacim Hesab ı Bu bölümde dönel cisimlerin hacimlerinin integral yard ımı ile hesaplanmasını ele alacağız. [a, b] aralığında sürekli y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ele alalım.

Şekil 12.9

ABCD düzlem parçasını x - ekseni etraf ında döndürdüğümüzde tabanları paralel daireler olan üç boyutlu bir cisim elde edilir. Bu cisme dönel cisim denir. Bu cismin hacmi b

V = π f2 (x) dx a

formülü ile hesaplanır. Örnek: 1) y = x eğrisi, x-ekseni, x = 1 ve x = 4 doğruları ile sınırlı , 2) y = ex eğrisi, x - ekseni, x = -1 ve x = 1 doğruları ile sınırlı bölgelerin x - ekseni etraf ında dönmesiyle oluşan dönel cisimlerin hacimlerini bulalım.


?


316

Çözüm: 1) V = π 2) V = π

4 1 1 -1

4

2 x 2 dx = π x dx = πx 1 2

ex 2 dx

=

1 π

-1

e2x dx

4 1

= π 8 - 1 = 15 π ≅ 23,55 . 2 2

= π 1 e2x 2

1

= -1

π

2

e2 - e-2

≅

11,4 .

Şekil 12.10

Örnek: y = x2 - 2x parabolü, x = 1 ve x = 3 doğruları ile sınırlı bölgenin x ekseni etraf ında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulalım. Çözüm: V = π

3 1

2

x2 - 2x dx = π

= π 18 5

-

3 1

x4 - 4x3 + 4x2 dx =

π

x5 - x4 + 4 x3 5 3

3 1

23 + 1 = π 54 - 23 + 15 = 46 π ≅ 9,63 . 15 15 15

Şekil 12.11

?

y = 1 eğrisi, x - ekseni x = 2, x = 3 doğruları ile sınırlı bölgenin x - ekseni x etrafında dönmesinden meydana gelen hacmi bulunuz. Cevabınız

π

6

olmalıdır.



317

Geometriden bilindiği gibi yarıçapı R, yüksekliği h olan dairesel dik koninin hacmi; taban yarıçapları R ve r, yüksekliği h olan kesik koninin hacmi; yarıçapı R olan kürenin hacmi sırasıyla aşağıdaki formüllerle verilir: V = 1 π R2 h, 3

V = 1 π h 3

V = 4 π R3 . 3

2

R + Rr + r2 ,

Şimdi bu formüllerin dönel cisimlerin hacimleri formulünden nasıl elde edilebileceğini görelim.

Dairesel Dik Koninin Hacmi Dairesel dik koniyi ve koordinat sistemini şekildeki gibi alalım. A

R

α

B

●

●

h

0

Şekil 12.12

|AB| = R, |OB| = h olur. Bu durumda koni , [OA] doğru parçasının x - ekseni etraf ında dönmesiyle elde edilen dönel cisimden başka bir şey değildir. Dönel cismin hacim formülünü uygulayabilmemiz için OA doğru parçasının denklemini y = f(x) şeklinde ifade etmemiz gerekiyor. OA nın denklemi y = mx şeklindedir. m eğimi tanα ya eşit olduğundan AB R m = tanα = = ; OA nın denklemi y =R x olarak bulunur. OB h h Buradan, dönel cismin hacim formülüne göre koninin hacmi h

V = π f 2 (x) dx = π 0

=

π .

R2 . x3 h2 3

h 0

h 0

R x 2 dx = h

h π

0

R2 x2 dx h2

2 3 = π . R . h = 1 π R2 . h 3 h2 3

olur. A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

318


Kesik Koninin Hacmi

Şekil 12.13

Kesik koniyi ve koordinat sistemini şekildeki gibi alalım. |OA| = r,

|BC| = R,

|OC| = h

olur. Kesik koni, [AB] doğru parçasının x - ekseni etraf ında dönmesinden meydana gelir. AB nin denklemini bulalım. Doğrunun denklemi y = mx + n gibidir ve m, n sabitleri bulunmalıdır. m = tanα ,

BD R - r = AD h

n = r, tanα =

olduğundan AB nin denklemi y = R-r x + r h olur. Buna göre kesik koninin hacmi olarak, h

V =

π

=

π

0

=

π

=

π

=

π

R - r x + r 2 dx = h

R-r h

2

R-r h

2

h π

0

R - r 2 x2 + 2r (R - r) x + r2 dx h h

x3 + 2r (R - r) x2 + r 2 x 3 h 2

h 0

h 3 + 2r (R - r) h 2 + r 2 h 3 h 2

R - r 2 h + rh (R - r) + r2 h 3 h R2 - 2Rr + r2 + 3Rr - 3r2 + 3r2 = π h R2 + Rr + r2

3

bulunur. A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

3


319

Kürenin Hacmi

Şekil 12.14

Koordinat sistemini şekildeki gibi kürenin merkezinde seçelim. O zaman küre, ABC yarım çemberinin x - ekseni etraf ında dönmesinden meydana gelen bir dönel cisimdir. Buna göre ABC eğrisinin y = f(x) şeklindeki denklemini bulmamız gerekiyor. Merkezi koordinat başlangıcında, yarıçapı R olan çemberin denklemi x2 + y2 = R2 dir. Buna göre ABC yarım çemberinin denklemi y=

R2 - x2

-R ≤ x ≤ R

dir. Buna göre kürenin hacmi, V =π = =

π

π

R -R

f 2 (x) dx =

3 R2 x - x 3

R π

-R

R

= -R

π

2

R2 - x2 dx =

R π

-R

R2 - x2 d

3 3 R3 - R - -R 3 + R 3 3

3 3 2R3 - 2 R3 = π 4R = 4 π R 3 3 3

olarak bulunur.

Değerlendirme Sorular ı 1. f: [-1, 2] → IR, f(x) = |x| fonksiyonunun grafiği ile x-ekseni arasındaki alan kaç birimkaredir? A. 3 B. 5/2 C. 2 D. 3/2 E. 1 A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

320


2. f: [0, π] → IR, f(x) = cosx eğrisi, x = 0, x = π doğruları ve x-ekseni taraf ından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. 0 B. 1 C. 3/2 D. 2 E. π 3. y = ex eğrisi, x = 0, x = 1 doğruları ve x-ekseni taraf ından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. e B. e /2 C. e - 1 D. e + 1 E. 2e 4. f: [1, ∞] → IR, f(x) = lnx eğrisi, x-ekseni ve x = e doğrusu taraf ından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. e B. e /2 C. 1 D. 2/e E. 1/e 5. y = x2 + 2x - 3 parabolu ile x-ekseni arasında kalan alan kaç birimkaredir? A. 32/3 B. 9 C. 9/2 D. 4 E. 5/3 6. y = lnx eğrisi, x = 1 doğrusu ve x-ekseni taraf ından sınırlanan alan kaç e birimkaredir? A. 1 - 2 e B. 2 e C. 1 e D. 1 E. e



7. y = x2 - 1 eğrisi ile y = x - 1 doğrusu taraf ından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. 1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 5/6 E. 1 8. f: [0, 2 π] → IR, f(x) = sinx eğrisi ile x-ekseni taraf ından sınırlanan alan kaç birimkaredir? A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 2 E. 4 9. y = 3x, y = 0, x = 2 taraf ından sınırlanan bölgenin x-ekseni etraf ında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür? A. 6 π B. 12 π C. 24 π D. 36 π E. 72 π 10. y = 1 - |x| eğrisi ile x-ekseni arasında kalan bölgenin x-ekseni etraf ında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür? A. 2 π 3 B. 1 π 3 C. 4 π 3 D. π E. 2 π 11. y = 4 - x2 eğrisi ile x-ekseni arasında kalan alanın x-eksenin etraf ında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür? A. 24 π B. 32 π 3 C. 8 π D. 4 π E. 2 π


321

322


12. y = x3 eğrisi, x = -1 , x = 1 doğruları ve x-ekseni taraf ından sınırlanan alanın x-ekseni etraf ında dönmesiyle oluşan dönel cismin hacmi kaç birimküptür? π A. 7 2 π B. 7 3 π C. 7 4 π D. 7 E. π

Değerlendirme Sorular ının Yanıtları

1. B

2. D

3. C

4. C


5. A

6. A

7. A

8. E

9. C

10. A

11. B

12. B

Integral alan ve hacim.pdf

Recommend Documents