21/06/2015
LEYES DE KIRCHHOFF J. Dimas., C. Vázquez., Vázquez., K. Hernández., C. López., López., J. Sierra., & J. Ballesteros Física II grupo 5a2 Departamento de Ciencias Naturales y educación Ambiental Universidad de Córdoba, Sede Lorica
RESUMEN En la práctica de laboratorio se estudiarán estudiarán las leyes que rigen el comportamiento comportamiento de los circuitos en serie y en paralelo. Para ello se determinan determinan los valores en forma experimental, las medidas medidas de tensión, intensidad de corriente y resistencias resistencias con el fin de deducir las leyes de Kirchhoff en forma experimental. Se utilizan utilizan cuatro resistencias resistencias R 1 = 100Ω, R 2 = 470Ω, R 3 = 1kΩ, R 4=4.7kΩ, se configuran en dos circuitos, circuitos, combinando las resistencias en serie y en en paralelo, con una FEM de 10 .14 V. Se miden las tensiones, y las intensidades para cada circuito con el multímetro. Con los valores obtenidos y registrados en las tablas tablas se compara la teoría teoría relacionada con las leyes leyes de Kirchhoff y el comportamiento de los circuitos en serie y en paralelo.
1. TEORÍA RELACIONADA Circuitos en serie. En la figura 1 se muestra un circuito en serie sencillo. Tres bombillas se conectan en serie con una batería. Cuando se cierra el interruptor casi de inmediato se establece la misma corriente en las tres bombillas. Cuanto mayor sea la corriente en una lámpara, mayor será su luminosidad. Los electrones no se “acumulan” en cualquier lámpara, pero fluye a través de cada lámpara simultáneamente. Algunos electrones se alejan de la terminal negativa de la batería, y algunos se acercan a la terminal positiva, mientras que otros más atraviesan el filamento de cada bombilla. Al final los electrones recorren todo el circuito (pasa la misma cantidad de corriente por la batería). Es el único camino de los electrones en el circuito. Una interrupción en cualquier parte de la trayectoria es un circuito abierto, y cesa el paso de los electrones. Si se funde un filamento de una bombilla, o simplemente si se abre el 1 interruptor, se puede causar esa interrupción.
Suponga que tres resistores ( , ) están conectadas en serie y encerrados en una caja, la cual se indica con la parte sombreada en la figura 2. La resistencia efectiva de los tres resistores se determina a partir de la fem ( ) y de la corriente ( ), registrados en los instrumentos de medición. Con base en (1) la ley de Ohm = (1
=
(2)
Figura 2. Método del voltímetro-amperímetro para medir la resistencia efectiva de varios r esistores conectados en serie. La corriente que circula por cada resistor debe ser idéntica, puesto que existe una sola trayectoria. En consecuencia,
= = = Aprovechando este hecho y considerando que la ley de Ohm se aplica por igual a cualquier parte del circuito, escribimos Figura 1. Un circuito en serie sencillo. La batería de 6 V suministra 2 V a través de cada bombilla.
Resistores en serie. Considere la adición de ciertos elementos al circuito. Se dice que dos o más elementos están en serie si tienen un solo punto en común que no está conectado a un tercer elemento. La corriente puede fluir únicamente por una sola trayectoria por los elementos en serie.
=
= =
=
El voltaje externo (V) representa la suma de las energías perdidas por unidad de carga al pasar por cada resistencia. Por consiguiente,
= (3) Por último, si sustituimos a partir de la ecuación (3) y dividimos entre la corriente se obtiene
= = (4)
1
Hewitt, P. Física conceptual. Décima edición. México: Pearson Educación, 2007
LEYES DE KIRCHHOFF J. Dimas., C. Vásquez., K. Hernández., C. López., J. Sierra., & J. Ballesteros
Circuitos en paralelo. En la figura 3 se ve un circuito en paralelo sencillo. Hay tres bombillas conectadas con los mismos dos puntos A y B. Se dice que los dispositivos eléctricos conectados con los dos mismos puntos de un circuito eléctrico están conectados en paralelo. El trayecto de la corriente de una terminal de la batería a la otra se completa si sólo una bombilla está encendida. En esta ilustración, el circuito se ramifica en las tres trayectorias separadas de A a B. Una interrupción en cualquiera de las trayectorias no interrumpe el flujo de cargas en las otras trayectorias. Cada 2 dispositivo funciona en forma independiente de los demás.
resistores. Por tanto, la corriente total suministrada se divide entre ellos.
= (5) Al aplicar la ley de Ohm a la ecuación (5) se obtiene
=
Como los voltajes son iguales, y podemos dividir la expresión anterior entre ellos
1
=
1
1
1
(6)
En caso de tener sólo dos resistores en paralelo,
1
=
1
1
Al resolver algebraicamente esta ecuación para R se obtiene una fórmula simplificada para calcular la resistencia equivalente Figura 3. Un circuito en paralelo sencillo. Una batería de 6 V suministra 6 V a través de cada bombilla.
Resistores en paralelo. Un circuito en paralelo es aquel en el que dos o más componentes se conectan a dos puntos comunes del circuito. Para obtener una expresión para la resistencia equivalente R de cierto número de resistencias conectadas en paralelo seguiremos un procedimiento similar al expuesto para las conexiones en serie. Suponga que se colocan tres resistores ( , ) dentro de una caja, como aparece en la figura 4.
Figura 4. Cálculo de la resistencia equivalente de cierto número de resistores conectados en paralelo. La comente total I suministrada a la caja está determinada por su resistencia efectiva y el voltaje aplicado:
=
En una conexión en paralelo, la caída de voltaje a través de cada resistor es igual y equivalente a la caída de voltaje total.
=
(7)
La resistencia equivalente de dos resistores conectados en 3 paralelo es igual a su producto dividido entre su suma.
Leyes de Kirchhoff. Una red eléctrica es un circuito complejo que consta de cierto número de trayectorias cerradas o mallas por donde circula corriente. Es complicado aplicar la ley de Ohm cuando se trata de redes complejas que incluyen varias mallas y varias fuentes de fem. En el siglo XIX, el científico alemán Gustav Kirchhoff desarrolló un procedimiento más directo para analizar circuitos de ese tipo. Su método se apoya en dos leyes: la primera y la segunda leyes de Kirchhoff. Primera ley de Kirchhoff: La suma de las corrientes que entran en una unión es igual a la suma de las corrientes que salen de esa unión.
∑ = ∑
(8)
Un nodo es cualquier punto en un circuito donde confluyen tres o más alambres. La primera ley simplemente establece que la carga debe fluir continuamente; no se puede acumular en un nodo. En la figura 5, si llegan 12 C de carga al nodo cada segundo, entonces deben salir 12 C de carga cada segundo. La corriente suministrada a cada ramal es inversamente proporcional a la resistencia de ese ramal.
= = = Esta aseveración se comprueba cuando consideramos que la misma energía debe perderse por unidad de carga, independientemente de la trayectoria seguida en el circuito. En este ejemplo, la carga puede fluir por cualquiera de los tres 3 2
Tippens, P. Física, Conceptos y aplicaciones. Séptima edición. México:
McGraw-Hill, 2011 Ibíd.
2
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Figura 5. La suma de las corrientes que e ntran en un nodo debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de él. Segunda ley de Kirchhoff: La suma de las fem alrededor de cualquier malla cerrada de corriente es igual a la suma de todas las caídas de IR alrededor de dicha malla.
∑ = ∑ (9) La segunda ley no es sino otra forma de postular la conservación de la energía. Si se parte de cualquier punto del circuito y se sigue por cualquier trayectoria o malla cerrada, la energía que se gana por unidad de carga debe ser igual a la energía que se pierde por unidad de carga. La energía se gana gracias a la conversión de energía química o mecánica en energía eléctrica mediante una fuente de fem. La energía se puede perder, ya sea en for ma de caídas de potencial IR o en el proceso de invertir la corriente mediante una fuente de fem. En el último caso, la energía eléctrica se convierte en la energía química necesaria para cargar una batería o la energía eléctrica se convierte en energía mecánica para el funcionamiento de un motor. Al aplicar las reglas de Kirchhoff han de seguirse procedimientos bien definidos. Los pasos del procedimiento general se presentarán considerando el ejemplo planteado en la figura 6. 1.
Elija una dirección de la corriente para cada malla de la red.
2.
Aplicar la primera ley de Kirchhoff para escribir una ecuación de la corriente para todos y cada uno de los nodos. Indique, mediante una flecha pequeña junto al símbolo de cada fem, la dirección en la que la fuente, si actuara sola, haría que una carga positiva circulara por el circuito. Aplique la segunda ley de Kirchhoff ( ∑ = ∑ ) para cada una de las mallas. Habrá una ecuación para cada malla.4
3.
4.
Figura 6. Aplicación de las leyes de Kirchhoff a un circuito complejo.
2. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO Para la realización de la práctica, leyes de Kirchhoff, se dividió en dos partes: Parte 1 En esta se tuvo en cuenta el siguiente circuito a realizar (ver figura 7), cuyo montaje experimental se ilustra en la figura 8.
Figura 7. Esquema del circuito eléctrico con resistencia en serie y en paralelo.
4
Ibíd.
3
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Figura 8. Montaje experimental del circuito.
Figura 10. Montaje experimental del circuito.
De acuerdo al montaje experimental de la figura 8 se realizó el siguiente proceso experimental:
De acuerdo al montaje experimental de la figura 10 se realizó el siguiente proceso:
Una vez montado el circuito de la figura 8 ajustado la fuente a una tensión de 10. 14V, puesto que no se pudo ajustar a solo 10 V, se procedió a medir la intensidad de corriente I , I , I , I que circula en las diferentes ramas de circuito. Lo mismo se realizó para las tensiones (U , U , U , U ) y se anotó los valores correspondientes en la tabla 1 y 2
Con la tensión de la fuente en 10.14V, se procedió a medir las I , I , IT intensidades de corriente que circula en las diferentes ramas de circuito. Lo mismo se realizó para las tensiones (U , U , U ) y se anotó los valores correspondientes en la taba 3 y 4
Tabla 3. Medidas de las tensiones Tabla 1. Medidas de las tensiones
Tabla 4. Medidas de las intensidades de corriente Tabla 2. Medidas de las intensidades de corrientes
Por último se procedió a apagar la fuente de alimentación.
Luego, se procedió a apagar la fuente de energía
3. RESULTADOS Parte 2 En esta parte de la práctica se tuvo en cuenta el siguiente circuito a realizar (ver figura 9), cuyo montaje experimental mostrado en la figura 10.
Los resultados obtenidos durante la realización de la práctica se anotaron en las siguientes tablas: Parte 1
()
()
()
()
0,73
3,41
6
6
Tabla 1. Medidas de las tensiones
Figura 9. Esquema del circuito eléctrico con resistencia en serie y en paralelo.
()
()
()
()
7,3
7,3
6,0
1,3
Tabla 2. Medidas de las intensidades de corriente
4
LEYES DE KIRCHHOFF J. Dimas., C. Vásquez., K. Hernández., C. López., J. Sierra., & J. Ballesteros
Evaluación
Parte 2
()
()
()
0,92
9,22
10,14
Tabla 3. Medidas de las tensiones
1) De las tensiones parciales registradas en las tablas 1 y 3 calcula la tensión total de cada circuito. ¿Qué concluyes? Para el circuito de la figura 7, las resistencias están en serie y en paralelo.
()
()
()
11,4
9,2
2,2
Con las tensiones registradas en la tabla 1, se tiene lo siguiente: Para las resistencias en serie
Tabla 4. Medidas de las intensidades de corriente
= = 0.73 3.41 = 4.14
4. ANÁLISIS Y CONCLUSIONES
Para las resistencias en paralelo
De la tabla 1 y 2 las medidas de las tensiones y medidas de las intensidades de corriente del circuito de la figura 7 a partir, de las mediciones experimentales se pude deducir que:
= = = 6 Luego el potencial total que pasa por el circuito es
Las tensiones que pasan por las resistencias R 3 y R 4 U y U son iguales puesto que, las resistencias se encuentran en paralelo. Hecho que comprueba la teoría relacionada con los circuitos en paralelo. Además las intensidades de corrientes que pasan por las resistencias son diferentes, I > I Las tenciones U y U son diferentes puesto que las resistencias se encuentran en serie, y la corriente es la misma I = I tal como lo demuestra la teoría relacionada con los circuitos en serie. De la tabla 3 y 4 del circuito de la figura 9, que es un circuito mixto, se puede ver que la tensión U es igual a la de la fem, ya que la resistencia de 4.7 kΩ se encuentra en paralelo y la intensidad de corriente es igual a I Las tensiones U y U de las resistencias de 100Ω y 1kΩ son diferentes ya que están en serie y por lo tanto la intensidad de corriente que pasa por estas dos resistencias es igual a I Se puede ver también que I > I como en los datos de la tabla 1 y 2 I > I Lo anterior se puede interpretar así: Para el caso de I > I de la tabla 4. Las resistencia de 4.7 kΩ es mayor que las resistencias equivalente entre 100Ω y 1kΩ lo que quiere decir que a mayor resistencia menor corriente. Esto lo comprueba la ley de ohm de la siguiente manera:
=
= = 4.14 6 = 10.14 Para el circuito de la figura 9, las resistencias están serie y paralelo Con las tensiones registradas en la tabla 3, se tiene: Para las resistencias en serie
= = 0.92 9.22 = 10.14 Nótese que la resistencia equivalente donde se miden las tensiones U y U forma un circuito paralelo con que la resistencia de 4,7kΩ por tanto la tensión resultante UT tiene que ser igual a la tensión U = 10.14 , tal como se ve en la tabla 3 Por consiguiente la tensión total de circuito es
= = U = 10.14 De lo anterior se puede concluir que el potencial total se conserva puesto que es el mismo proporcionado por la fem.
2) De las corrientes parciales registradas en la tabla 2 y 4 calcula la corriente total de cada circuito, ¿Qué concluyes?
La intensidad de corriente es directamente proporcional a potencial aplicado e inversamente proporcional a la resistencia.
De acuerdo al circuito de la figura 7 las resistencias tienen magnitud de:
R = 100Ω, R = 470Ω, R = 1KΩ, R = 4,7KΩ Las resistencias R , R están en serie y paralelo.
R , R están en
5
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= = 100Ω 470Ω = 570Ω
En cualquier punto de unión, la suma de todas las corrientes que entran al nodo debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen del nodo
Ahora la tensión que pasa por las resistencias es:
∑ = ∑
La resistencia equivalente entre R , R es:
∑ ∑ = 0
= = 4.14
= , se obtiene la intensidad de
Utilizando la ecuación
corriente en las resistencias en serie
=
=
=
.
7.26 x 10 − A ≈ 7.3 x10 − A
=
Este valor obtenido para la corriente en las resistencias en serie corresponde al valor obtenido experimentalmente para las corrientes I , I como se puede ver en la tabla 2 Para las resistencias R , R que están en paralelo la resistencia equivalente es:
=
=
= = =
+ . . +
Para el circuito de la figura 7 se puede ver claramente que la corriente que entra R , R y el punto donde se une con las resistencias R , R es igual a la suma de las corriente que sale por R , R . Queda entonces claro la validez de la ley anterior.
∴ = =
. +
()(,) +,
()() + . .
Para el circuito de la figura 9 se tiene: La intensidad de corriente que entra es = 11.4 y esta corriente se subdivide en I1= 9.2mA y I 2= 2.2mA, como se puede ver en la tabla 4. La suma de las intensidades de corrientes I 1 y I 2 es igual a la corriente total que entra en el circuito, ya que
= = 9.2 2.2 = 11.4 . En este caso la corriente total del circuito es
= 11.4 . La carga se conserva pues la corriente que entra IT por el circuito es la misma que sale. Para este caso también se cumple la primera ley de Kirchhoff.
= 824.5 Como la tensión aquí es = = 6 entonces
=
=
.
=
7.27x10− ≈ 7.3x10−
La corriente total que pasa por la resistencia equivalente en paralelo es igual en las resistencias que están en serie, ya que la resistencia equivalente entre R , R queda en serie con respecto a R R y por eso la corriente será la misma. Con lo anterior se puede decir que la intensidad de corriente total que pasa por el circuito es 7.3x10− 7.3 También se puede decir que la corriente entrante en el circuito es igual a la corriente que sale. En este caso se cumple la primera ley de Kirchhoff o regla de los nodos (conservación de la carga) que afirma que:
3) Compara la corriente que entra en el punto A de cada circuito con la corriente que sale del mismo. ¿Qué concluyes? Para el circuito dela figura 7 la corriente que entra como la que sale en el punto A es menor que la que entra y sale del punto A del circuito de la figura 9 En el circuito dela figura 7
R = 100Ω, R = 470Ω, R = 1KΩ, R = 4,7KΩ Para las resistencias en serie R1 R2 la equivalente es: R eqs = 570Ω Para las resistencias en paralelo equivalente es: R eqp = 824.5Ω
resistencia
R R la resistencia
La resistencia total del circuito es:
R = 570Ω 824.5Ω = 1394.5 Ω 6
LEYES DE KIRCHHOFF J. Dimas., C. Vásquez., K. Hernández., C. López., J. Sierra., & J. Ballesteros
Para el circuito de la figura 9
R = 100Ω, R = 1KΩ, R = 4,7KΩ Para las resistencias en serie la resistencia equivalente es:
R eqs = R R = 100Ω 1000Ω = 1100Ω Esta resistencia equivalente queda en paralelo con la resistencia R = 4,7KΩ entonces, la resistencia total del circuito es:
=
= = =
Como conclusión se puede corroborar la validez de la segunda de Kirchhoff: La suma de las fem alrededor de cualquier malla cerrada de corriente es igual a la suma de todas las caídas de IR alrededor de dicha malla. (Ver pág. 2)
∑ = ∑ Esto también quiere decir que la suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier espira, incluso las asociadas con las fem y las de elementos con resistencia debe ser igual a cero. Es decir,
∑ = 0
. + () ()
5. REFERENCIAS
+ . .
=
891.3Ω
En comparación con la resistencia total del circuito de la figura 7, la resistencia total del circuito de la figura 9 es menor y la intensidad de corriente que entra por el punto A es mayor que la del primer circuito, debido a que este último posee menor resistencia que el primero.
Hewitt, P. Física conceptual. Décima edición. México: Pearson Educación, 2007
Tippens, P. Física Conceptos y aplicaciones. Séptima edición. México: McGraw-Hill, 2011
De lo anterior se puede deducir que la intensidad de corriente en el punto A es inversamente proporcional a las resistencias que lo conforman. Como lo dice la teoría relacionada con la ley de los nodos: La corriente suministrada a cada ramal es inversamente proporcional a la resistencia de ese ramal. (Ver pág. 2) 4) Realiza la suma total de las tensiones en cada circuito. Para ello considere positiva la tensión de la fuente y negativas alrededor de cada resistencia (serie) o de la resistencia equivalente (paralelo). ¿Qué concluyes? Para el circuito de la figura 7
∑ = , = 10.14 0.73 3.41 6 = 0
Para el circuito de la figura 9 La tensión total equivalente del circuito es
= = U = 10.14 ∑ = ( ) = 10.14 10.14 = 0
7
22/06/2015
CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR J. Dimas., C. Vázquez., K. Hernández., C. Arteaga., J. Sierra., & J. Ballesteros Física II grupo 5a2 Departamento de Ciencias Naturales y educación Ambiental Universidad de Córdoba, Sede Lorica
RESUMEN En la práctica de laboratorio, se observó el tiempo de carga y descarga de un condensador de 470 µF formando un circuito RC con una resistencia de 10kΩ. Las mediciones experimentales se tomaron con un cronometro y se anotaron los datos en una tabla anotando las tensiones de carga y descarga por cada 10 segundos. El principio a estudiar en esta práctica corresponde a los circuitos RC en que las corrientes pueden variar con el tiempo, el cual consta de una resistencia y un condensador. Las múltiples aplicaciones del condensador en el control de procesos temporales que exigen comprender el desarrollo en el tiempo del proceso de carga y descarga. Los objetivos de la práctica son estudiar las curvas de tensión en la carga y descarga de un condensador y hallar los tiempos de carga y descarga para los condensadores utilizados.
1. TEORIA RELACIONADA
Capacitor o condensador. Es un aparato que sirve para almacenar; por lo general, consiste en dos objetos conductores (placas u hojas), colocados uno cerca del otro pero sin tocarse. Los capacitores son ampliamente utilizados en circuitos electrónicos. Permiten almacenar energía eléctrica que habrá de usarse posteriormente (por ejemplo, en el flash de una cámara fotográfica y para almacenar energía en computadoras cuando falla la corriente eléctrica). Los capacitores también sirven para bloquear picos de carga y energía con el fin de proteger circuitos. Las computadoras usan capacitores muy delgados para la memoria de “unos” y “ceros” del código binario en la memoria de acceso aleatorio (RAM). Un capacitor simple consiste en un par de placas paralelas de área A separadas por una pequeña distancia d. por lo general, las dos placas están enrolladas en forma de cilindro con papel, plástico u otro aislante para separar las placas. Al someterlo a una diferencia de potencial ∆V, adquiere una determinada carga. A esta propiedad se le denomina capacitancia. La capacitancia también es una medida de la cantidad de energía eléctrica almacenada para un potencial eléctrico dado. La capacitancia posee una unidad de medida en el S.I. de Farad [F]. Esto significa que al someter el dispositivo a una diferencia de potencial de 1 Volt adquiere una carga de 1 Coulomb. Esto equivale a una capacitancia de 1 [F].
descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza una 1 resistencia. Los circuitos RC son comunes en la vida cotidiana: se usan para controlar la rapidez de los limpia parabrisas de un automóvil y el tiempo de cambio de las luces de los semáforos. Se emplean también en los flashes de las cámaras, en los marcapasos cardiacos y en muchos otros dispositivos electrónicos. En los circuitos RC no se está tan interesado por el voltaje del “estado estable” final y la carga en el capacitor , sino más bien en cómo cambian con el tiempo estas variables.
Proceso de carga de un capacitor2 En la figura se ilustra un caso de circuito RC
Figura 1. Circuito RC en serie. (C) es la capacidad, medida en faradios esta unidad es relativamente grande y suelen utilizarse submúltiplos como el microfaradio o picofaradios. (Q) es la carga eléctrica almacenada, medida en culombios. (V) es la diferencia de potencial (o tensión), medida en voltios.
Circuito RC. Es un circuito compuesto de resistencias y de condensadores alimentados por una fuente eléctrica. Un circuito de RC de primer orden está compuesto de un resistor y un condensador, es la forma más simple de un circuito RC. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está
Cuando se cierra el interruptor S, la corriente inmediatamente comienza a fluir a través del circuito. Los electrones fluirán desde la terminal negativa de la batería, a través del resistor R, y se acumularán en la placa superior del capacitor. Y los electrones fluirán hacia la terminal positiva de la batería, lo que dejará una carga positiva en la otra placa del capacitor.
1
WIKIPEDIA. Circuito RC. [En línea]. [citado en 19 de junio de 2015] 2
GIANCOLI, Douglas. Física para Ciencias e Ingenierías con Física moderna. Volumen 2.Cuarta Edición. México: Pearson Educación, 2009.pp 687-689.
CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR J. Dimas., C. Vázquez., K. Hernández., C. Arteaga., J. Sierra., & J. Ballesteros
Conforme la carga se acumula en el capacitor, aumenta la diferencia de potencial a través de éste
La corriente se reduce hasta que finalmente el voltaje a través del capacitor igual a la fem de la batería, . Entonces ya no hay diferencia de potencial a través del resistor y no fluye más carga. En consecuencia, la diferencia de potencial V C a través del capacitor aumenta con el tiempo, como se ilustra en la figura 2
Sacando el exponencial
(a) Figura 2. VC como función del tiempo. La forma matemática de esta curva se deduce a partir de la conservación de la energía (o regla de Kirchhoff de las espiras). La fem de la batería será igual a la suma de las
caídas de voltaje a través del resistor (
) y el capacitor :
La resistencia incluye toda la resistencia en el circuito, incluida la resistencia interna de la batería; es la corriente en el circuito en cualquier instante, y es la carga en el capacitor en ese mismo instante. Aunque , son constantes, tanto como son funciones del tiempo. La tasa a la que la carga
fluye a través del resistor
(= ) es igual a la tasa a la que la
carga se acumula en el capacitor. Por lo tanto, se puede escribir:
Esta ecuación se resuelve reordenándola:
La diferencia de potencial a través del capacitor es,
De manera que:
(b)
A partir de las dos últimas ecuaciones anteriores se ve que la carga Q sobre el capacitor, y el voltaje a través de él, aumentan de cero a a valores máximos después de un tiempo muy largo. La cantidad RC que aparece en el exponente se llama constante de tiempo del circuito:
=
=0
=
= Esto representa el tiempo requerido para que el capacitor llegue − a de su carga y voltaje completos. Por lo tanto, el producto RC es una medida de la rapidez con que se carga el capacitor.
(1 ) = 0.63 63%
A partir de las ecuaciones (a) y (b), parece que Q y Vc nunca alcanzan sus valores máximos dentro de un tiempo finito. Sin embargo, llegan al 86% del máximo en 2RC, 95% en 3RC, 98% en 4RC, (ver figura 2) y así sucesivamente. Q y V c tienden a sus valores máximos de manera asintótica.
La corriente a través del circuito de la figura 1 en cualquier instante t se obtiene al diferenciar la ecuación (a)
= 0
= 0, hasta el tiempo t
Ahora se integra desde , cuando cuando una carga está en el capacitor:
Por ende, en
= 0, la corriente es = , como se espera para
un circuito que contiene sólo un resistor (todavía no hay
2
CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR J. Dimas., C. Vázquez., K. Hernández., C. Arteaga., J. Sierra., & J. Ballesteros
diferencia de potencial a través del capacitor). Entonces la corriente cae exponencialmente en el tiempo, con una constante de tiempo igual a , conforme aumenta el voltaje a través del capacitor. Esto se ilustra en la figura 3.
Reordenando
=0
Se integra desde , cuando la carga en el capacitor es Q 0, hasta algún tiempo posterior cuando la carga es Q:
(c)
Figura 3. La corriente en función del tiempo La constante de tiempo RC representa el tiempo requerido para que la corriente caiga a
≈
0.3 7 de su valor inicial.
El voltaje a través del capacitor ( tiempo es
= ) como función del
Proceso de descarga de un capacitor3 Un capacitor ya cargado (digamos, a un voltaje V 0), se descarga a través de una resistencia R, como se muestra en la figura 4
d Donde el voltaje inicial
= . Por lo tanto, la carga en el
capacitor y el voltaje a través de él disminuyen exponencialmente con una constante de tiempo RC. Esto se ilustra en la figura 5
Figura 4. Circuito RC con capacitor cargado Cuando se cierra el interruptor S, la carga comienza a fluir a través del resistor R desde un lado del capacitor hacia el otro lado, hasta que está completamente descargado. El voltaje a través del resistor en cualquier instante es igual al que atraviesa al capacitor:
La tasa a la que la carga deja al capacitor es igual al negativo de la corriente en el resistor , porque el capacitor se descarga (Q disminuye). Así que la ecuación anterior se escribe como
, = /
3
Figura 5. Voltaje en función del tiempo Y la corriente es
También se ve que disminuye exponencialmente en el tiempo con la misma constante de tiempo RC. La carga en el capacitor, el voltaje a través de él y la corriente en el resistor disminuyen todos al 37% de su valor original en una constante de tiempo.
= =
Ibíd.
3
CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR J. Dimas., C. Vázquez., K. Hernández., C. Arteaga., J. Sierra., & J. Ballesteros
2. MONTAJE Y PROCEDIMIENTO
intervalos de 10 segundos y se registraron los valores en la tabla 1
Los procedimientos para la realización de la práctica consistieron en los siguientes puntos.
3. RESULTADOS
Se tuvo en cuenta para realizar la práctica el diagrama para el montaje (ver figura 6) cuyo montaje experimental se ve en la figura 7
Figura 6. Circuito con condensador
t(s)
Uc
Ud
0
0
9.9
5
6.54
3.45
10
8.80
1.19
15
9.5
0.41
20
9.85
0.14
25
9.95
0.04
30
9.97
0.01
40
9.97
0.002
50
9.98
0.002
60
9.98
0.000
70
9.98
0.000
80
9.98
0.000
90
9.99
0.000
100
9.99
0.000
Tabla 1. Tensiones de carga y descarga Figura 7. Montaje experimental del circuito
4. ANÁLISIS Y CONCLUSIONES
Desacuerdo con el montaje dela figura 7, se tomó una resistencia de y un condensador de , el interruptor se colocó en posición apagado. El voltímetro se colocó en un rango de medición de 20V.
10kΩ
470
Luego se fijó la tensión directa de la fuente a 10V Paso seguido se procedió descargar el condensador, haciendo un circuito, usando un cable conexión hasta que la tensión del condensador
= 0
Concluido esto se colocó el interruptor en posición encendido y se mido la tensión de carga del condensador en intervalos de 5 y 10 segundos. Las mediciones se anotaron en la tabla1
Como paso final se colocó el interruptor en posición apagado y se midió la tensión de descarga del condensador en
Evaluación 1.
Usando los datos de la tabla 1 haga una gráfica de U vs t
2.
¿Qué tipo de gráfica se obtiene? Correlaciónela con sus observaciones.
3.
En la curva de carga del condensador, trace una recta tangente en la posición t= 0 determine en que momento La tangente el valor máximo de 10V.
4.
De igual forma trace una recta tangente a la curva de descarga en la posición t=0 y determine su intersección ( con el eje del tiempo
)
5.
Compare los valores obtenidos en ambos casos
6.
Calcule el valor teórico de y compárelo con el obtenido de las gráficas realizadas
7.
¿Qué sucede con las cargas en el condensador cuando se descarga? ¿se pierden?
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CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR J. Dimas., C. Vázquez., K. Hernández., C. Arteaga., J. Sierra., & J. Ballesteros
1. Con la ayuda de la herramienta “Graph” y los valores de la tabla se realizó la gráfica de U vs t, en el proceso de carga y descarga del capacitor
Las gráficas obtenidas son de tipo exponencial, cuando el capacitor empieza a cargarse lo hace de una manera exponencial, al igual que decrece cuando se está desca rgando en la gráfica se puede observar que los valore críticos de cada función lo alcanza en un tiempo largo a manera asintótica, como lo dice la teoría relacionada (ver pág.2)
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CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR J. Dimas., C. Vázquez., K. Hernández., C. Arteaga., J. Sierra., & J. Ballesteros
3. La ecuación de la recta tangente a la curva, que representa la carga del condensador en función del tiempo, está dada por
= 2.1277 + 0
Como se ve e la imagen (línea verde) (y) representa el voltaje y (x) el tiempo, cuando el voltaje toma el valor máximo entonces
ó| % = | − x 100% ó
= |.−.| . x 100%
=
= |−.| . x 100%
10 = 2.1277 + 0 ∴ 2.1277 = 10
= . . x 100%
=10
=4.69 = . Por tanto el valor de
= 0.002x 100% =0.2%
=4.69≈4.7
4. La ecuación de la recta tangente a la curva que representa el proceso de descarga del capacitor (en la i magen, línea gris) se intersecta con el eje del tiempo precisamente cuando .
=4.7
El porcentaje de erros es mínimo, lo que significa que las los resultados son considerablemente válidos. Ahora a manera de comprobación, calculamos que voltaje tendrá el capacitor cuando
==4.7
CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR J. Dimas., C. Vázquez., K. Hernández., C. Arteaga., J. Sierra., & J. Ballesteros
3. La ecuación de la recta tangente a la curva, que representa la carga del condensador en función del tiempo, está dada por
= 2.1277 + 0
Como se ve e la imagen (línea verde) (y) representa el voltaje y (x) el tiempo, cuando el voltaje toma el valor máximo entonces
ó| % = | − x 100% ó
= |.−.| . x 100%
=
= |−.| . x 100%
10 = 2.1277 + 0 ∴ 2.1277 = 10
= . . x 100%
=10
=4.69 = . Por tanto el valor de
= 0.002x 100% =0.2%
=4.69≈4.7
4. La ecuación de la recta tangente a la curva que representa el proceso de descarga del capacitor (en la i magen, línea gris) se intersecta con el eje del tiempo precisamente cuando .
=4.7
5. Tanto para la descarga del capacitor y el proceso de carga la constante de tiempo es la misma.
El porcentaje de erros es mínimo, lo que significa que las los resultados son considerablemente válidos. Ahora a manera de comprobación, calculamos que voltaje tendrá el capacitor cuando
==4.7
Usando la ecuación
= 1 − .
6. Para calcular el valor teórico de
se calcula donde R es la resistencia y C es la capacitancia.
= ,
En la práctica utilizamos solo una resistencia de 10kΩ y un condensador de 470µF.
= = (10kΩ )(470µF) = (10000Ω)(470 x 10− F)
=101−. = 10(1 − ) = 10(0.63) = 6.3 ==4.7 6.3
− [.]) = 1x10 [] (4. 7 x 10 [] []
En el instante , el capacitor tiene una diferencia de potencial de que equivale al 63% del potencial total, cuando el capacitor esté completamente cargado, que es cuando el capacitor tiene una diferencia de potencial igual al de la Fem.
=4.7 [..] [.]
Por tanto la constante de tiempo con se carga el capacitor.
=4.7
Como se puede ver tiene dimensiones de tiempo. Al compararlo con el valor de obtenido en la gráfica se puede ver que es bastante aproximado.
es la medida de la rapidez
En la tabla 1 se puede ver que el capacitor llega a un 99% del total del potencial, a partir de los 25 segundos, es decir, cuando ha trascurridos aproximadamente 25 segundos el capacitor está prácticamente cargado. Haciendo una proporción entre este instante de tiempo y la constante de tiempo
= =5.3 . Lo que significa que el tiempo transcurrido para que el capacitor esté cargado es aproximadamente 5 veces .
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CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR J. Dimas., C. Vázquez., K. Hernández., C. Arteaga., J. Sierra., & J. Ballesteros
Como el proceso de descarga del capacitor el voltaje disminuye en una constate de tiempo , entonces el capacitor se descarga en un tiempo aproximadamente . Tal como lo dice en la teoría relacionada (ver pág. 2)
=
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7. Cuando el condensador se carga la corriente deja de fluir en el circuito, por lo que hay que abrir el interruptor para que el condensador libere la energía eléctrica almacenada. Ahora, al momento de descargar el condensador la circulación de la corriente es contraria a la del proceso de carga, lo que significa que la energía eléctrica almacenada en el capacitor se disipa por la resistencia. Conclusiones En la práctica se pudo comprobar la validez de la teoría relaciona con los circuitos RC, el proceso de carga y descarga del capacitor, se pudo calcular experimentalmente la constante de tiempo tau, ( ) y lo esencial que es para determinar el tiempo de carga, descarga y el funcionamiento para todos los circuitos RC. Gracias a la determinación de esta constante de tiempo, se cuenta hoy en día con dispositivos que reaccionan más rápido (bombillas, abanicos etc.)
Es de gran importancia reconocer como funcionan, las propiedades de los circuitos RC y las leyes que rigen la naturaleza de estos ya que son de gran utilidad en la electrónica moderna. Gran parte de los dispositivos electrónicos que utilizamos a diario funcionan con circuitos RC (como los parabrisas, los semáforos, flas de las cámaras, etc.) y los de usos de importancia médica como los marcapasos. Observaciones El cálculo de la intensidad de corriente en los proceso de carga y descarga del capacitor se omitieron en la práctica de laboratorio, por inconvenientes con el tiempo, puesto que los procedimientos iniciales de la práctica, se repitieron, y solo considero un circuito con una resistencia de 10k , puesto que con las demás se cargaban demasiado rápido y no permitían la toma de datos.
Ω
REFERENCIAS GIANCOLI, Douglas. Física para Ciencias e Ingenierías con Física moderna. Volumen 2.Cuarta Edición. México: Pearson Educación, 2009.pp 687-689. WIKIPEDIA. Circuito RC. [En línea]. [citado en 19 de junio de 2015]
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