Informe Proyecto 3 Control 1 Ball Beam

INFORME DE LABORATORIO NO. 3 CONTROL 1, JUNIO 2017

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Control del sistema no lineal Ball & Beam aplicando t´ tecnicas e´ cnicas de linealizaci´ linealizacion o´ n Angie Cely, Santiago Cuervo, Juan V elez e´ lez Universidad Distrital Francisco Jos e´ de Caldas Facultad de Ingenier´ Ingenier´ıa ıa Bogotá, a, Colombia

Resumen — En este document documento o se describe describe el an´ analisis, a´ lisis, dise ˜ dise ˜ no ´ Ball & e implementaci implementación o´ n del del sistem sistema a de cont contro roll de la plan planta ta Ball Beam consistente en una esfera que se desplaza sobre una viga movil. o´ vil. El obje objeti tivo vo del del contr control ol es aplic aplicar ar una una se ˜ nal nal a la viga viga tal que la inclinaci´ inclinacion o´ n de esta haga que la bola se equilibre en la posici´ posicion o´ n indicad indicada a por la refere referenci ncia. a. El an´ analisis a´ lisis y dise ˜ dise ˜ no del sistema se hizo partiendo del modelo matem´ matematico a´ tico linealizado de la planta, y tras concluirse que el sistema es inestable en lazo abierto y oscilatorio oscilatorio para cualquier cualquier ganancia ganancia constante constante K en lazo cerrado, se plantearon dos controladores: un compensador en adelanto y un controlador PD.

Los Los cont contro rola lado dore ress se impl impleme ement ntar aron on median mediante te sist sistema emass electronicos o´ nicos anal´ analogicos o´ gicos empleando empleando amplificadore amplificadoress operacionales, operacionales, y otros componentes discretos; la posici´ posicion o´ n de referencia deseada se consid considera era consta constante nte y del valor del punto punto de lineali linealizac zaciion o´ n escogido, que para el caso fue el centro de la viga. Esta posici´ posicion, o´ n, representad representada a por una tensi´ tension o´ n consta constante, nte, es comparad comparada a con la tensi´ tension o´ n del sensor de posicion o´ n de la bola, que para el caso es un potenciómetro ometro lineal hecho con grafito grafito,, de forma forma que la resta resta entre estas es la se ˜ se ˜ nal de error que entra al controlador, el cual producir´ producira´ la se ˜ se ˜ nal de control necesaria para estabilizar la bola en la posici´ posicion o´ n de referencia, aplicando tensi´ tension o´ n a un motor DC que causa el movimie movimiento nto angular angular de la viga. viga. En las siguient siguientes es secciones se especificar´ especificaran a´ n las condiciones de dise ˜ dise ˜ no del sistema y el hardwa hardware re necesar necesario io para para su funcio funcionam namient iento, o, junto junto con la comparaci´ comparacion o´ n entr entree las simu simulac lacio ione ness reali realizad zadas as con con la ayud ayuda a de MATL MATLAB AB y los valor valores es obten obtenid idos os en la impl impleme ement ntac aciion o´ n experimental del sistema.

´ I. I NTRODUCCI ON

A

Pesar de que una gran cantidad de sistemas din amicos a´ micos f ´ısicos ısicos se modelan modelan mediante mediante ecuacione ecuacioness diferenci diferenciales ales lineales, la realidad es que para cualquier caso la condición de linea linealid lidad ad es una ideali idealizac zacii on o´ n meram merament entee te´ teorica, o´ rica, pero que que perm permit itee obte obtene nerr en much muchos os caso casoss una una muy muy buena uena aproximaci´ aproximacion o´ n del sistema real. Hay otros casos sin embargo en que el compor comportam tamien iento to altam altament entee no lineal lineal del sistem sistemaa hace hace que una aproxi aproximac maci´ ión o n line lineal al para para todo todo el rang rango o de operaci´ operacion o´ n no sea posible, y por tanto se deben aplicar t ecnicas e´ cnicas de contr control ol no lineal lineal,, o de ser posible posible lineali linealizar zar en torno torno a un punto punto de operac operaciion. o´ n. En este este docume documento nto se descri describe be el an´ analisis a´ lisis de un sistem sistemaa no linea lineall cl´ cl asico: a´ sico: el sistema sistema Ball & Beam; su modelamie modelamiento nto matemático, atico, linealiz linealizaci´ ación o n en torno al punto de operaci on o´ n mediante series de Taylor y dise no n˜ o de dos controladores a partir del modelo linealizado. El esquema general de la planta se muestra en la Figura 1. Esta consiste de una viga sobre la cual se desliza una esfera.

La viga est a´ acoplada en un extremo a un punto de pivote y al otro a un brazo mec´ mecanico a´ nico mediante el cual se controla su angulo a´ ngulo de inclinaci on o´ n respecto al eje horizontal al punto de pivote α. El brazo brazo mec mecanico a´ nico se manipu manipula la median mediante te el giro giro de un motor DC, por lo que el angulo a´ ngulo α está relacionado al a´ ngulo del eje del motor θ . angulo

Fig. Fig. 1. Esquem Esquemaa f ´ısico ısico de la planta, tomado de [1].

Como elemento de sensado se fabricó un potenciómetro ometro lineal usando grafito como elemento resistivo, y escogiendo la esfera de un material conductor. La posici on o´ n de la bola se obtiene como se muestra en la Figura 2: a medida que la bola rueda a lo largo de la viga act ua u´ a como el terminal de barrido de un potenciómetro, ometro, constituyendo as´ı un transductor de posición on traslaci traslacional onal a tensi tensi on. o´ n. Para Para el modelo modelo consider considerado ado en este este proyecto se consider o´ unicamente u´ nicamente como salida del sistema la posici´ posicion o´ n de la bola, por lo que no fue necesario implementar sensores de posici on o´ n rotacional. Al plan plante tear ar el mode modelo lo mate matem m atic a´ tico o de la plan planta ta,, que que se describir´ describira´ con detalle detalle en la siguie siguiente nte secci´ seccion, o´ n, se encont encontrro´ que la planta es inestable en lazo abierto, y oscilatoria para cualquier valor constante de ganancia, por lo que se plantearon dos controladores que pudieran modificar el comportamiento del sistema seg un u´ n los criterios criterios establec establecidos: idos: un control control PD para para introd introduci ucirr un cero cero en la trayec trayector toria ia direct directaa y mejora mejorarr la estabi estabilid lidad ad del sistem sistemaa y un compen compensad sador or en adelan adelanto to para para inse insert rtar ar un cero cero y un polo polo en punt puntos os con conveni venien ente tess


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proporciona a su salida, conectada a la resistencia de base del par complementario, la corriente de justa para que al motor se aplique la tensión indicada por el controlador. B. Materiales y Descripci´ on de Hardware

Los elementos utilizados para el desarrollo del Proyecto se describen a continuaci o´ n: DC de 280 rpm, 6VDC : actuador del sistema encargado de ejercer torque en respuesta a señales eléctricas que cause el movimiento angular de la viga y traslacional de la esfera. • Esfera metálica: cuya posici o´ n traslacional es la variable a controlar, y que cumple la funci o´ n del terminal de barrido del potenciómetro lineal. • Soporte de madera: superficie sobre la que se armó la planta. • Brazo articulado en madera: para acoplar mec a´ nicamente el movimiento angular del motor al movimiento angular de la viga. • Amplificadores operacionales: son utilizados en diversas partes del circuito en configuraciones de restador, amplificador inversor, integrador, derivador, sumador y seguidor. • Trimmers: usados como resistencias variables para ajustar las ganancias de los controladores. • Transistores de potencia BJT (TIP 31C, TIP 32C): Son utilizados como buffer de corriente entre el circuito de control y el motor. • Resistencias: utilizadas a lo largo del circuito para asegurar las condiciones de balance, ganancias, polarización, y demás en los amplificadores, adem a´ s de los divisores de tensión para los potenci ometros. ´ • Condensadores electrol´ıticos: empleados para configurar las ganancias de los controladores I y D, y como filtros pasa bajos para filtrar el ruido generado por el sistema mecánico.

• Motorreductor Fig. 2. Diagrama del sensor resistivo, tomado de [2].

que permitan modificar el LGR de la planta. El dise n˜ o de ambos controladores se hizo describiendo el comportamiento deseado en términos de cantidades en el dominio del tiempo. ˜ del sistema de control de forma Para realizar el diseno anal´ıtica se requiere un modelo matem a´ tico para la planta; la obtención de este, el diseño de los controladores, y de la implementación circuital se detallan en la siguiente secci o´ n. I I . D ESARROLLO A. Descripci´ on del Funcionamiento

El presente trabajo describe un sistema de Control para el sistema Ball & Beam. La planta a controlar consiste de un motorreductor DC de 280 rpm a 6V acoplado mecánicamente a una viga mediante un brazo articulado, la viga, sujeta en el extremo opuesto al del brazo a un punto de pivote, se mueve angularmente para modificar la posici o´ n de una esfera que se desliza sobre ella. El objetivo del sistema de control es lograr que la esfera alcance el equilibrio en un punto determinado de la viga definido mediante una tensi o´ n de referencia, para esto el controlador producir a´ una señal tal que sobre el motor se aplique la tensi o´ n apropiada en magnitud y polaridad, manipulando as´ı la velocidad y sentido de giro del motor; la variable de control, y la variable controlada son por tanto tensiones dado que se usa un sensor resistivo para medir la posici o´ n de la esfera en la viga, actuando as ´ı el sensor como un transductor electromec a´ nico. La salida del sensor se realimenta hacia un circuito restador, que tambi e´ n toma como entrada la tensión de referencia representando la posición angular deseada, produciendo a su salida la se n˜ al de error. La se n˜ al de error es la entrada del circuito de control. Los controladores se implementaron mediante amplificadores operacionales en configuraci o´ n de amplificador inversor, derivador y filtros activos. Los circuitos de suma y resta se implementan también con amplificadores operacionales en configuraci o´ n de sumador-restador. Dada la reducida corriente de salida que es capaz de dar un amplificador operacional es necesario el uso de un driver de corriente a la salida del circuito de control, este se implementa mediante un par complementario de transistores BJT de potencia conectados entre +Vcc y -Vcc de modo que sean capaces de poner sobre la carga tensiones positivas y negativas, y un seguidor de tensi on ´ que recibe como entradas la se n˜ al de control (entrada no inversora) y la tensi o´ n sobre el motor (entrada inversora), por lo que el amplificador

NOTA: El diagrama de los circuitos de control se presenta en el Ap´ endice I

El desarrollo del proyecto consiste de las etapas de análisis de la planta y diseño e implementación del sistema de Control, aspectos que se abordar a´ n a continuaci o´ n. C. Dise˜ no del circuito de Control

A continuación se muestran los c a´ lculos realizados para el dise n˜ o de los circuitos con amplificadores operacionales que componen el sistema de control. 1) Amplificadores Multientrada: Se requiere diseñar dos amplificadores multientrada, uno para realizar la resta entre la tensi o´ n de referencia y la tensi o´ n de salida, y el otro para sumar las salidas de los controles P, y D. El diagrama circuital para ambos casos se puede observar en el Apéndice I, siendo el restador del lazo de realimentaci o´ n etiquetado como como IC1, y el sumador de las señales de


control como IC5. Se procede al c a´ lculo de los valores de los componentes de los circuitos:

del lazo de realimentaci o´ n: se establece la ecuación de salida deseada:

• Restador

V o = V ref − V sns Donde V ref es el voltaje de referencia, y V sns es el voltaje de salida del sensor. Para realizar el dise n˜ o de este Amplificador, y que este se comporte de la manera deseada minimizando pérdidas y errores, se debe cumplir el criterio de balance:

A+ = A − + 1 Donde A + es la sumatoria de ganancias en la entrada no inversora, y A− es la sumatoria de ganancias en la entrada inversora, para nuestra ecuaci o´ n de salida se tiene que:

A+ = 1; A− = 1 Dado que no se cumple la condici o´ n de balance matem a´ tico, se modifica el circuito a n˜ adiendo una ganancia de compensación de valor 1 conectada a 0V a la entrada no inversora del amplificador:

3

2) Amplificador Inversor y Derivador:

Los amplificadores operacionales inversor y derivador del control PD se encuentran en el Apéndice I etiquetados como IC2 e IC3, respectivamente. Se procede a calcular el valor de los componentes de estos circuitos:

• Amplificador Proporcional : la funcio´ n de transferencia del circuito del amplificador inversor en el dominio de la transformada de Laplace es:

V OP (s) R10 + R18 =− E (s) R8 Siendo E (s) la transformada de la funcio´ n de error. Considerando que las entradas serán invertidas en el circuito sumador de las se n ˜ ales de control ya descrito, la ganancia del proporcional ser a´ :

R10 + R18 R8

K p =

Según diseño del controlador, el cual se detallará en una sección posterior, K p = 4,9. Se escogen R8 = R10 = 10kΩ, entonces:

10kΩ + R18 10kΩ Despejando se obtiene R 18 = 3,9kΩ. 4,9 =

V o = 1 × V ref + 1 × (0 V ) − 1 × V sns Se escoge una resistencia R6 de 120k Ω. Dado que las ganancias son todas de magnitud 1, las resistencias R3 , R4 y R5 tendrán el mismo valor.

• Amplificador Derivativo : la funcio´ n de transferencia del circuito del amplificador derivador en el dominio de la transformada de Laplace es:

V OD (s) R12 + R19 =− E (s) X C 2

• Sumador

de las se ˜ nales de control: se establece la ecuación de salida deseada:

Donde:

X C = 2

vo = −vOP − vOD Donde vOP es el voltaje de salida del amplificador del control proporcional y vOD es el voltaje de salida del amplificador del control derivativo. Para nuestra ecuaci o´ n de salida se tiene que:

A+ = 0; A− = 2 Dado que no se cumple la condici o´ n de balance matem a´ tico, se modifica el circuito a n˜ adiendo una ganancia de compensación de valor 4 conectada a 0V a la entrada no inversora del amplificador:

vo = 4 × (0 V ) − vOP − vOD Se escoge una resistencia R20 de 100k Ω. Dado que las ganancias de la entrada inversora son todas de magnitud 1, las resistencias R 11 y R 14 tendrán el mismo valor. La resistencia de balance R 15 se calcula como:

R15 =

R20 = 25kΩ 4

1 s C 2

Por lo que la ganancia del derivativo es:

K D = (R12 + R19 ) C 2 Según diseño del controlador K D = 10,2. Se escogen C 2 = 2,5µF y R 12 = 100kΩ, entonces:

10,2 = (100kΩ + R19 ) 2,5µF Despejando se obtiene R 19 ≈ 3, 9MΩ. 3) Circuito Compensador con filtros RC activos:

El circuito que describe la funci o´ n de transferencia del compensador se muestra en el Apéndice I. La funció n de transferencia del circuito compensador empleado es:

V OC (s) R24 C 1 s + = E (s) R23 C 2 s +

1

R21 C 1 1

R22 C 2

Por lo que la ganancia del compensador es:

K c =

R24 C 1 R23 C 2


Y el polo y cero del compensador:

1 1 = s + αT R22 C 2 1 1 = s + T R21 C 1 Se escogen C 1 = C 2 = 2,5µF y R24 = 100kΩ, por diseño del compensador, que se detallar a´ posteriormente:

K c = 30,2114;

1 1 = 1,2242; = 9,246 T αT

Reemplazando valores en las ecuaciones se obtiene:

R21 = 371kΩ; R22 = 49kΩ; R23 = 3,8kΩ D. Modelamiento Matem´ atico de la planta

Antes de realizar el diseño de los controladores se requiere tener un modelo matem a´ tico de la planta a controlar. Para obtener la ecuaci o´ n dinámica del sistema se usar a´ la formulaci o´ n Lagrangiana, que se define en términos de la diferencia entre la energ´ıa cinética y potencial. Se plantean las ecuaciones de energ´ıa para la bola: La energ´ıa cinética de la bola será la suma de la energ´ıa debida a su movimiento traslacional y rotacional, la ecuaci on ´ es: 2

 

1 1 r˙ K = Mv 2 + J 2 2 R

Donde M es la masa de la bola, v es la velocidad lineal de la bola, r es la posicio´ n de la bola respecto al punto de pivote, J es el momento de inercia de la bola, y R es el radio de la bola. El término de la velocidad lineal al cuadrado v 2 se define en términos de las componentes en X y Y del vector de posición como:

v 2 = r˙x2 + r˙y2

4

La ecuacio´ n dinámica del sistema empleando la ecuaci o´ n de Lagrange se obtiene de la siguiente expresi o´ n:

rx = r cos(α); ry = r sen(α)

 J

Donde α es el a´ ngulo de la viga respecto al punto de pivote. Sustituyendo en la ecuaci o´ n de la energ´ıa cinética:

K =

1 1 1 r˙ M r˙ 2 + Mr 2 α˙ 2 + J ( )2 2 2 2 R

Ahora se calcula la energ´ıa potencial de la bola, la ecuaci o´ n que la define es:

V = −Mgrsen(α) Donde g es la aceleraci o´ n gravitacional. Se calcula la Lagrangiana L como la diferencia de la energ´ıa cin ética con la energ´ıa potencial:

1 1 1 r˙ L = K − V = M r˙ 2 + Mr 2 α˙ 2 + J ( )2 + Mgrsen(α) 2 2 2 R

∂ ˙r

∂ L =0 ∂r

R2



+ M ¨ r + M gsen(α) − Mr(α˙ 2 ) = 0

En la expresio´ n se puede ver que debido a los términos sen(α) y α˙ 2 la ecuacio´ n dinámica es no lineal, y por tanto para aplicar las técnicas de control lineal planteadas se requiere linealizar la ecuacio´ n en torno a un punto de operación. Se escoge linealizar en torno al punto r∗ = 0,17 m que es el centro de la viga, en este punto α∗ = 0 rad, y α˙ ∗ = 0 rad/s. Se linealizar a´ la expresi o´ n para r¨:

Mr(α˙ 2 ) − Mgsen(α) r¨ = J + M R





2

Aplicando linealización basada en el desarrollo en series de Taylor:

∂ ¨ r(r∗ , α∗ , α˙ ∗ ) (r − r∗ ) + ... ∂r ∂ ¨ r (r∗ , α∗ , α˙ ∗ ) ∂ ¨ r(r∗ , α∗ , α˙ ∗ ) (α − α∗ ) + (α˙ − α˙ ∗ ) ∂α ∂ α˙ r¨ ≈ ¨r(r∗ , α∗ , α˙ ∗ ) +

Lo que resulta en:

r¨ ≈

−M gcos(α∗ ) (α − α∗ ) J + M R





2

Reemplazando valores y reescribiendo se obtiene la ecuaci o´ n linealizada:

 J



+ M ¨ r + Mgα = 0

La relacio´ n entre el a´ ngulo de la viga α y el a´ ngulo del eje del motor θ se puede expresar de forma aproximada como:

Derivando y reemplazando se obtiene:

v 2 = r˙ 2 + r 2 α˙ 2

−

Resultando finalmente:

R2

Donde:

 ∂L 

d dt

α≈

d θ L

Donde d es la longitud de la palanca anexa al eje del motor y L es la longitud de la viga (no condundir con L de la ecuaci o´ n Lagrangiana). Por lo que la ecuación dinámica en términos de la entrada del sistema ( a´ ngulo del eje del motor θ ) y la salida (posición de la bola r ) queda:

 J



d + M ¨ r + M g θ = 0 R L 2

Aplicando transformada de Laplace se obtiene la siguiente función de transferencia de la planta en lazo abierto:

G(s) =

R(s) −Mgd 1 = J Θ(s) L R + M s2



2



Mediante mediciones se obtuvo que la masa de la bola M es de 0.016 Kg, el radio R es de 0.008 m, la palanca se hizo de longitud d de 0.05 m y la viga de longitud L de 0.34 m. El


momento de inercia de la bola J se calcula seg u´ n la ecuacio´ n ´ del momento de inercia de una esfera s olida:

J =

2 MR2 = 0,4096 × 10−6 Kg m2 5

Reemplazando estos valores en la funci o´ n de transferencia G(s) se obtiene finalmente:

1,02941 G(s) = s2 A partir de esta función de transferencia se hará el diseño de los controladores.

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se aleje mucho del punto de linealizaci o´ n. Recordando que la función de transferencia de un controlador PD en cascada es:

C (s) = K d s + K p Se halla la función de transferencia en lazo cerrado con controlador de la siguiente forma:

Go (s) =

(K d s + K p )



1,02941

1 + (K d s + K p )

s



2



1,02941

s2



El diagrama de bloques del sistema con control PD se muestra en la Figura 4.

K p E. Dise˜ no de los Controladores

Para decidir qu e´ controladores podr´ıan hacer que la planta se comporte de la forma deseada se obtuvo el Lugar Geom e´ trico de las Ra´ıces de esta, del cual se pueden hacer conclusiones en cuanto al problema de diseño. El LGR se muestra en la Figura 3.

R(s)

+

+

−

C (s)

G(s)

Y (s)

K d s

Fig. 4. Diagrama de bloques del sistema con control PD

Al desarrollar los polinomios de numerador y denominador, se obtiene:

Go (s) =

1,02941(K p + K d s) s2 + 1,02941(K p + K d s)

As´ı, la ecuaci o´ n caracter´ıstica del sistema es: Fig. 3. LGR para la funcio´ n de transferencia

G(s)

Se observa que la planta es oscilatoria, pues tiene dos polos en el origen y ning u´ n cero, por lo que las ramas del LGR tienen comportamiento asint o´ tico; no es posible adem a´ s lograr estabilizar el sistema empleando s o´ lo control proporcional, por lo que se han de buscar otras estrategias. A continuaci o´ n se exploran dos alternativas: un control Proporcional Derivativo y un Compensador en Adelanto. 1) Control Proporcional Derivativo:

Se propone un control PD puesto que se vio que la planta es inestable para cualquier controlador proporcional, y que al tener dos polos en el origen no hace falta implementar acción integral pues el error de estado estacionario ya es cero para entradas escaló n y rampa, y el añadir acci o´ n integral, en lugar de mejorar el comportamiento de la planta la har ´ıa aún más inestable. La acci on ´ derivativa, al a n˜ adir un cero en la regio´ n izquierda del plano complejo ”hala”las ramas del LGR, posibilitando as´ı estabilizar y controlar el sistema para alg ún valor de las ganancias K p y K d . Se decidio´ disen˜ ar el controlador procurando que el sistema se comporte como un sistema sobreamortiguado ( ζ > 1), buscando as´ı que durante la respuesta transitoria la bola no

s2 + 1,02941K d s + 1,02941K p Se escogen dos polos reales y distintos de modo que el sistema tenga comportamiento sobreamortiguado. Los polos escogidos son: -10 y -0.5. Con los polos escogidos, la ecuaci o´ n caracter´ıstica deseada ser a´ :

(s + 10)(s + 0,5) = 0 Expandiendo el polinomio:

s2 + 10,5s + 5 = 0 Para calcular las ganancias del controlador que satisfacen esta ecuación, se igualan los coeficientes del polinomio de la ecuación caracter´ıstica deseada a los de la ecuaci o´ n caracter´ıstica del sistema en lazo cerrado con el controlador y se resuelven las ecuaciones para las ganancias:

10,5 = 1,02941 K d 5 = 1,02941 K p Resolviendo, obtenemos las ganancias del controlador:

K p = 4,857

;

K d = 10,2

Para verificar el dise n˜ o se examina el LGR del sistema con el control PD en lazo cerrado. Este se muestra en la Figura 5. Se observa que los polos escogidos son ahora los polos dominantes del sistema, pues los polos en el origen son anulados por ceros en el origen.


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Fig. 5. LGR del sistema con control PD en lazo cerrado

2) Compensador en Adelanto:

El compensador en adelanto se propone puesto que se requiere modificar el LGR de la planta para que las ramas pasen por puntos del plano complejo deseables por sus caracter´ısticas temporales. El compensador en atraso no aplica para el caso, puesto que el error en estado estacionario del sistema no requiere mejora, y en cambio s´ı se requiere modificar dr a´ sticamente su LGR. Para este dise n˜ o se buscará que el sistema se comporte de forma subamortiguada, con un sobrepico menor al 20 % y un tiempo de establecimiento menor a 2 segundos. La función de transferencia del compensador en adelanto es: 1 s + T C (s) = K c 1 s + αT

LGR pase por el punto deseado se debe cumplir la condici o´ n de a´ ngulo y de magnitud, cuyas expresiones son:

 C (−3 ± 4,5 j) +  G(−3 ± 4,5 j) = 180◦

Con α < 1 .

|C (−3 ± 4,5 j)| × |G(−3 ± 4,5 j)| = 1

El diagrama de bloques del sistema con compensador se muestra en la Figura 6.

R(s)

Fig. 7. Regio´ n de polos deseados en el Plano complejo

s+ 1 T

K c s+

+

C (s)

1

Y (s)

G(s)

αT

Al evaluar estas expresiones se encuentra que el compensador debe contribuir en fase con un a´ ngulo de 67.39◦ . Para encontrar los valores del cero y el polo del compensador se emplea el método de la bisectriz descrito por Ogata [3]. El diagrama del proceso se muestra en la Figura 8.

−

Fig. 6. Diagrama de bloques del sistema con compensador

Las expresiones para los criterios establecidos son:

ts (2%) =

4 ζωn

π ζ

;

M p = e

√ − − 1

ζ2

× 100%

Con estas ecuaciones, reemplazando los valores por los deseados, se obtienen las siguientes condiciones:

0,456 ≤ ζ < 1

→

β ≤ 62,8◦ ;

2 ≤ ζωn < ∞

Se escogen polos en la regi o´ n de polos deseados del plano complejo mostrada en la Figura 7. Los polos escogidos son: −3 ± 4,5 j . Basta ver el LGR de la planta para verificar que ninguna de las ramas pasa por los polos escogidos, por lo que es necesario que el compensador contribuya en fase y magnitud para lograr cumplir con los criterios temporales establecidos. Para que el

Fig. 8. Método de la bisectriz para el c a´ lculo del polo y el cero

Se aplica el teorema del seno para calcular el polo y cero:

sen(95,54) 1

αT

=

sen(28,15) 5,4083


sen(95,54) sen(28,15) = 1 5,4083 T 1 1 Despejando se obtiene αT = 11,4 y T = 2,5647. Estos valores se reemplazan en la ecuación para la condicio´ n de magnitud, de donde se despeja K c , obteniéndose K c = 59,9. Se verifica el diseñ o al igual que con el controlador PD con la revisio´ n del LGR del sistema compensado, este se muestra en la Figura 9. Se observa que los polos escogidos son ahora los polos dominantes del sistema, pues los polos en el origen son anulados por ceros en el origen, sin embargo la presencia del cero del compensador a la derecha de los polos dominantes causar a´ , como se verá en la siguiente secci o´ n, que el sobrepico exceda el valor calculado, sin embargo colocar el cero a la izquierda de los polos dominantes habr ´ıa requerido de una ganancia mayor, y dado que el valor obtenido para esta es ya considerablemente grande, y que la salida de los amplificadores operacionales est a´ limitada por la tensi o´ n de alimentación, se opta por dejar el controlador como se acaba de plantear.

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Al sistema modelado (agrupado en un subloque, en la imagen Ball and Beam Model) se le aplica una entrada escal o´ n y se observa su respuesta usando el bloque scope (Figura 20). El resultado es el de la Figura ??.

Fig. 11. Esquema completo de la planta en lazo abierto aplicando entrada escalón unitario

Fig. 12. Respuesta al escaló n unitario de la planta en lazo abierto no linealizada Fig. 9. LGR del sistema compensado con adelanto de fase

III. S IMULACIONES Habiendo realizado el modelamiento matem a´ tico y el dise n˜ o de los controladores, se procede a la verificación por simulación. A continuación se muestran diversas respuestas de la planta, con control y sin control, a entradas escal on ´ y rampa unitaria. La simulaci o´ n del sistema no lineal en lazo abierto fue hecha en Simulink por la facilidad de implementaci o´ n para sistemas no lineales. Las simulaciones del sistema linealizado se realizaron mediante las funciones de MATLAB step para ´ y lsim para la respuesta a obtener la respuesta al escal on entrada rampa.

Se observa que la planta, como era de esperarse, es inestable en lazo abierto, por lo que es necesario el uso de controladores. Dado que el disen˜ o de los controladores se hizo bas a´ ndose en el modelo linealizado, conviene visualizar tambi e´ n la respuesta en lazo abierto del sistema linealizado para comparar con el modelo sin linealizar. Al realizar la simulación de la planta resultante en lazo abierto, pero e´ sta vez linealizado se obtiene la curva de la Figura 13

Usando la herramienta Simulink de MATLAB, primero implementamos el modelo matem a´ tico no linealizado insertando la ecuación dinámica del sistema en el bloque Fcn. El modelo de la ecuaci o´ n mediante bloques se muestra en la Figura 10.

Fig. 13. Respuesta al escal o´ n unitario de la planta en lazo abierto linealizada

Fig. 10. Modelo no linealizado de la planta en lazo abierto

Las curvas resultantes son pr a´ cticamente id e´ nticas, verificando as´ı que el modelo linealizado deber´ıa ser una buena represen-


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tación del modelo no lineal, y que los controles diseñados ´ diseñ o. Estos como ya se dijo deber´ıan funcionar segun se verificarán sobre el modelo linealizado, observando las respuestas del sistema con control a entradas escalón y rampa unitaria. En la Figura 14 se muestra la respuesta del sistema con control PD a una entrada escalón. El sistema se comporta según diseño y muestra una respuesta sobreamortiguada. El error en estado estacionario es cero, tal como era de esperarse de la funci o´ n de transferencia de la planta, que indica que el sistema tiene dos polos en el origen, por lo que a entrada escalón y rampa el error en estado estacionario es cero.

Fig. 16. Respuesta al escal o´ n unitario del sistema compensado con adelanto de fase

Fig. 14. Respuesta al escalón unitario del sistema con control PD

Fig. 17. Respuesta a entrada rampa unitaria del compensado con adelanto de fase

A pesar de que en la implementación la referencia será de un valor constante, se verifica en simulaci o´ n también la respuesta a entrada rampa, esta se observa en la Figura 15. Se verifica que el error a entrada rampa es tambi e´ n cero.

Al igual que en el caso del compensador, debido a que el sistema es tipo 2, sigue sin error en estado estacionario a la referencia. IV. R ESULTADOS A. Controlador PD

En la Figura 18 se muestra el montaje del sistema.

Fig. 15. Respuesta a entrada rampa unitaria del sistema con control PD

Ahora se observa el comportamiento del sistema con compen´ en este caso, segu´ n sador en adelanto con entrada escal on, diseño, la respuesta del sistema es subamortiguada, como se ve en la Figura 16. A pesar de que se diseño´ para un máximo sobrepico menor al 20 % en la respuesta se observa que este es del 40 %, esto probablemente debido, como ya se mencion o´ anteriormente, al cero del compensador a la izquierda de los polos dominantes, que seg u´ n Ogata [?] impide que los polos dominantes sean realmente dominantes. El criterio de tiempo de establecimiento s´ı satisface los criterios de dise n˜ o. Por u´ ltimo se muestra en la Figura 17 la respuesta a entrada rampa del sistema con compensador en adelanto

Fig. 18. Montaje del sistema de control y planta

La implementación del sistema tuvo severas dificultades en cuesti o´ n de ruido, producido por la carga inductiva que es el motor, al estar en un constante estado de cambio de polarización y de encendido y apagado, por lo que se muestran u´ nicamente los resultados de los que se puede obtener alguna conclusión. La Figura 19 muestra la respuesta del control PD


a una perturbacio´ n que lleva la bola a la posici o´ n correspondiente a 1.3V (cerca del extremo de la viga).

Fig. 19. Respuesta obtenida experimentalmente a una entrada escalón (una perturbación)

La referencia es de valor constante de 0.75V correspondiente al punto de la mitad de la viga. Como se observa el control logra que la posición de la bola siga la referencia, sin embargo con error de estado estacionario, y el ruido debido a la constante conmutaci o´ n del motor es notable. El error de estado estacionario se puede justificar en la baja sensibilidad del motor y de los amplificadores a voltajes bajos. Se presenta también un sobrepico de alrededor del 20 % por tanto cumpliendo con el criterio de diseño. V. C ONCLUSIONES En este proyecto se implement o´ un sistema de control PD analógico para el sistema no lineal Ball Beam. Se realizaron ´ del los cálculos de dise n˜ o pertinentes para la implementaci on circuito restador del lazo de realimentaci o´ n y del circuito sumador de las acciones de control garantizando el balance eléctrico y matemático del Amplificador; se fijaron además rangos de tensi o´ n para el error mediante divisores resistivos procurando evitar la saturaci o´ n de los amplificadores durante la caracterización de la planta. El controlador PD se implement o´ mediante circuitos con amplificadores operacionales operando como amplificadores inversores, y derivadores; el dise n˜ o de cada uno de estos circuitos se realizó en el dominio de la frecuencia por facilidad de c a´ lculo para cada una de las ganancias obtenidas en el dise n˜ o del controlador, la implementaci o´ n se hizo empleando potenciómetros lineales para el ajuste de las ganancias procurando dejar los valores aproximadamente iguales a los calculados; las dos acciones se sumaron mediante el circuito sumador y se aplicaron a la planta mediante un driver de corriente implementado con un par complementario de transistores BJT y un circuito seguidor. Se construyó la maqueta empleando materiales de bajo costo (MDF y madera), teniendo en cuenta los criterios establecidos para la linealización, de modo que el a´ ngulo de la viga fuera lo más pequen˜ o posible. Para el modelamiento del sistema se hall o´ la ecuación dinámica a partir de ecuaciones de energ´ıa de Lagrange, encontrándose que el sistema era no lineal, e inestable, y por tanto requer´ıa de un proceso de linealizaci o´ n para el dise n˜ o de los controladores. El proceso de linealizaci o´ n aplicado fue la linealización Jacobiana basada en la aproximaci o´ n por series de Taylor a la función no lineal, y mediante simulació n se

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verific o´ que el comportamiento del sistema linealizado no variara significativamente respecto al no lineal. El dise n˜ o del controlador se hizo imponiendo criterios en el tiempo para poder hacer más observaciones de la respuesta obtenida respecto al modelo te o´ rico, además no era posible emplear los métodos de sintonizaci o´ n de Ziegler-Nichols, debido a que la planta en lazo abierto es inestable, y a que para toda ganancia constante el sistema es oscilatorio. Mediante simulaciones en el software MATLAB se verificaron los diseños hechos para el controlador, y se mostr o´ que estos cumpl´ıan satisfactoriamente los criterios temporales establecidos, salvo por el criterio de máximo sobrepico en el compensador, lo que se puede justificar en la presencia del cero del compensador a la derecha de los polos dominantes. Se piensa que se habr´ıa podido implementar un control en el espacio de estados ma s´ eficiente, al considerar como variable de control no s o´ lo la posicio´ n de la bola, sino el a´ ngulo de la viga y del motor. A continuacio´ n unas conclusiones generales obtenidas de la implementaci o´ n del proyecto:

• El sistema en la pr a´ ctica probo´ ser tan inestable como se

dedujo del modelo matemático, y fue bastante desafiante lograr un control apropiado de la planta. El mejor comportamiento experimental se obtuvo cerca del punto de linealización, lo que puede justificarse en el hecho de que para este punto de operacion ´ se diseñaron los controladores. • El control PD implementado consigue estabilizar la planta y seguir el punto de referencia, sin embargo con error de estado estacionario, esto probablemente debido a la imprecisió n del sensor y a la baja sensibilidad de los amplificadores, y del motor, a los bajos voltajes de la señal de error cerca del punto de linealizaci o´ n. ´ de la • Con el objetivo de tener una mejor comprensi on dinámica de la planta experimentalmente, se probaron diversos controladores adem a´ s de los planteados en el documento. Entre ellos un control PI, y control PID. La acció n integral que an˜ aden estos controladores no permit´ıa que el sistema alcanzara el equilibrio, y era frecuente que oscilara en torno al punto de referencia, o que incluso se volviera completamente inestable y oscilara de extremo a extremo de la viga. • Otro control implementado experimentalmente pero no diseñado, fue la conexi o´ n en serie del control PD y del compensador en adelanto a la planta. Manipulando las ganancias de los controladores se obtuvo una respuesta estable muy similar a la obtenida con el control PD. • El ruido generado por el cambio de polaridad constante del motor impidi o´ obtener buenas mediciones del comportamiento del sistema, y tambi e´ n indujo fuerte ruido eléctrico en el circuito de control, que imped ´ıa el correcto funcionamiento del sistema, por lo que fue necesario colocar condensadores en el orden de cientos de µ F entre las fuentes de alimentaci o´ n y filtrar las se n˜ ales de error y referencia para su observaci o´ n. • Experimentalmente no se pudo obtener verificaci o´ n del control por compensación en adelanto de fase, puesto que


los resultados de las mediciones no fueron concluyentes, y no se logro´ estabilizar el sistema. Las mediciones para este control se hicieron antes de los filtros para corrección del ruido, por lo que probablemente el fallo no estuvo en la implementaci o´ n del controlador. • El potenciómetro lineal implementado con grafito funcionó como deb´ıa, sin embargo es sensible al desgaste, y por tanto no se garantiza repetibilidad de las respuestas obtenidas. • Habr´ıa sido deseable emplear un motor de menor velocidad, pues los grandes cambios de a´ ngulo θ a bajos voltajes contribu´ıan a la inestabilidad del sistema, y los tiempos de establecimiento y sobrepico fueron mayores de los establecidos por dise n˜ o. ´ a la viga pues los efectos • Fue necesario a n˜ adir friccion del deslizamiento de la bola a u´ n en estado estacionario afectaban de manera notable la estabilidad del sistema. R EFERENCIAS [1] University of Michigan, Carnegie Mellon University, University of Detroit Mercy, Control Tutorials for Matlab & Simulink , Ball & Beam: System Modeling. [2] W. Wang, Control of a Ball and Beam System , 2007. [3] K. Ogata, Modern Control Engineering , 3rd ed. Prentice Hall, 1997.

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A P E´ NDICE I D IAGRAMA C IRCUITAL En la Figura 20 se muestra el diagrama circuital completo del sistema implementado.


Fig. 20. Diagrama circuital del sistema general

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Informe Proyecto 3 Control 1 Ball Beam

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