Ball and Beam

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´ INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ´ EN CENTRO DE INVESTIGACION ´ COMPUTACION

Control Dual PD con compensador no-lineal para el sistema mesa esfera

Tesis que presenta el M. en C. Sergio Galvan Colmenares para obtener el grado de Doctor en Ciencias de la Computaci´ on

Directores de Tesis:

Dr. Marco Antonio Moreno Armendáriz Dr. Floriberto Ortiz Rodr´ıguez (ESIME Zacatenco)

México D.F. 29 de Julio del 2013.

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Dedicatoria A Frida, el amor de mi vida, por su apoyo, cari˜ no y motivaci´ on.

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Agradecimientos Hace cuatro a˜ nos cuando inicié el doctorado, el final se ve´ıa muy lejano y el camino parec´ıa muy complicado. Hoy que he logrado mi objetivo, el principio me parece cercano y el camino recorrido lo observo sencillo. Esta sensaci´ on, estoy seguro, la debo en gran manera al apoyo de muchas personas e instituciones. En forma especial quiero agradecer a los siguientes: A mi asesor, el Dr. Marco Antonio Moreno Armend´ ariz por su apoyo incondicional, sus m´ ultiples consejos y sus valiosas ense˜ nanzas. A mi codirector, el Dr. Floriberto Ortiz Rodr´ıguez, por toda su motivaci´ on, su enorme confianza, y su paciencia. A mis compa˜ neros y amigos, por todo su apoyo, su compa˜ nerismo, y sus valiosas sugerencias y comentarios. Al CONACYT por el apoyo econ´ omico que me otorg´ o durante estos cuatro a˜ nos, al Centro de Investigaci´ on en Computaci´ on, por la gran oportunidad de realizar mis estudios en la mejor instituci´ on de computaci´ on del pa´ıs. Finalmente, a mi familia, mis pap´ as, hermanas, por su gran cari˜ no y motivaci´ on. También a mi esposa por su paciencia, confianza, y por todas esas alegr´ıas y preocupaciones que compartimos.

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Resumen El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad y consta de una esfera que puede moverse libremente sobre el plano. Esto lo hace atractivo para poner a prueba m´ ultiples estrategias de control. Este trabajo discute un método de regulación para el sistema mesa-esfera, el problema es dise˜ nar leyes de control las cuales generan un voltaje u para los servomotores, los cuales mueven la esfera de su posición actual hacia la posición deseada. Los controladores son construidos agregando compensadores no-lineales a controladores tipo PD. As´ı es posible mejorar la precisión del control. Para llegar a esto, primero se describe en que consiste el modelado del sistema a controlar, as´ı como el modelo dinámico al cual es transformado y se describen las propiedades de los elementos que conforman el modelo dinámico. También se hace mención del método empleado para encontrar las leyes de control. Se explica las diferentes representaciones del sistema a controlar y se establecen sus respectivas ventajas y desventajas. Para asegurar la estabilidad del sistema completo acoplado,se emplea el método directo de Lyapunov. Para ello se realiza una transformación del sistema mesa esfera, al modelo general la ecuación dinámica de un robot manipulador. Se plantea el desarrollo matemático para obtener la ley de control propuesta, analizando el sistema en lazo cerrado. Por u ´ltimo, se ilustran los resultados obtenidos mediante simulaciones numéricas. Se muestran las gráficas del desempe˜ no del controlador propuesto, se observa el comportamiento de la posición y velocidad de la esfera en cada uno de sus ejes de referencia. También se realizan diversas simulaciones comparando con otros dos métodos para validar las leyes de control propuestas.

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Abstract The ball and plate system has four degrees of freedom and consists of a ball that can move freely on the plate. This makes it attractive for multiple testing control strategies. In this thesis, the normal proportional derivative (PD) control is modificated into a new dual form for the regulation of a ball and plate system. First, to analyze this controller, a novel complete nonlinear model of the ball and plate system is obtained. Second, an asymptotic stable dual PD control with a nonlinear compensation is developed. Finally, the simulation results of ball and plate system are provided to verify the effectiveness of the proposed methodology.

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Índice general Dedicatoria

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Agradecimientos

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Resumen

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Abstract

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1. Introducci´ on 1.1. Motivación . . . . . . . . . . 1.2. Planteamiento del Problema . 1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . . 1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . 1.4.1. Objetivo General . . . 1.4.2. Objetivos Particulares 1.4.3. Aportación . . . . . . 1.5. Estructura de la tesis . . . . . 1.6. Estado del arte . . . . . . . . 1.7. Trabajos relacionados . . . .

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2. Marco Te´ orico 2.1. El sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Dinámica y Control de un Robot Manipulador . . . . . . 2.3.1. Modelo mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Control tipo PD de un Robot Manipulator . . . . 2.4. Análisis de la Estabilidad de los Sistemas no-lineales . . . 2.4.1. Estabilidad de los Puntos de Equilibrio . . . . . . 2.4.2. Aproximaciones Lineales de los sistemas no-lineales 2.4.3. Estabilidad en el sentido de Lyapunov . . . . . . . 2.4.4. Principio de Invariancia . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Lógica Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Aplicaciones de la lógica difusa . . . . . . . . . . . 2.5.2. Teor´ıa de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Funciones de Pertenencia . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. El Controlador Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Fusificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Defusificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL

I

3. Control Dual PD con compensador 3.1. Dise˜ no del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Transformación del modelo mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Análisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 28 33 35

4. Evaluaci´ on y discusi´ on 4.1. Fase de simulación: Modelado Matemático . . . . . . . . 4.2. Fase de simulación a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Control PD con Compensador y sin compensador 4.2.2. Control con lógica difusa . . . . . . . . . . . . . 4.3. Resultados de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Conclusiones y trabajos futuros 5.1. Art´ıculos aceptados y en revisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Referencias

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Índice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Sistema barra esfera construido por Berkeley Robotics Laboratory [38] . Ball and Beam Balancer construido por la universidad de Lakehead [43] Ball and Beam module construido por Quanser [39] . . . . . . . . . . . . Ball and Beam construido por Hirsch [40] . . . . . . . . . . . . . . . . . A Robotic Ball Balancing Beam construido por Lieberman [41] . . . . . Mesa-esfera construido por Cheng [42] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trayectorias: (a) estable, (b) inestable y (c) asintóticamente Ejemplos de conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . Función de pertenec´ıa de un conjunto difuso triangular . . . Función de pertenec´ıa de un conjunto difuso trapezoidal . . Estructura de un modelo difuso . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.1. Esquema de control del sistema mesa-esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.1. Bloque de simulink del sistema completo a lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Resultados de Simulación; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . 4.3. Resultados de Simulación; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-y . . . . . . . . . 4.4. Resultados de Simulación; Desplazamiento de la mesa sobre el eje-x . . . . . . . . . 4.5. Resultados de Simulación; Desplazamiento la mesa sobre el eje-y . . . . . . . . . . . 4.6. Esquema de control PD Dual con compensador en Simulink . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Bloque de simulink del controlador fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Bloque de simulink de la funciones de membresia de posición . . . . . . . . . . . . . 4.9. Bloque de simulink de la funciones de membresia de velocidad . . . . . . . . . . . . . 4.10. Bloque de simulink de la funciones de membresia del par . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Bloque de simulink de las reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12. Resultados de Simulación; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x sin compensador 4.13. Resultados de Simulación; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y sin compensador 4.14. Resultados de Simulación; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x con compensador 4.15. Resultados de Simulación; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y con compensador 4.16. Comparación tres metodos; Posición de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . . . . . 4.17. Comparación tres metodos; Velocidad de la esfera sobre el eje-x . . . . . . . . . . . . 4.18. Comparación tres metodos; Se˜ nales de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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II

. . . . . estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Índice de tablas 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Constantes de los controladores PD . . . . . . . . . . . . Simulaciones con el control PD Dual con Compensador Simulaciones con el control de logica difusa . . . . . . . Simulaciones con el control PD Dual sin Compensador .

III

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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on 1.1.

Motivaci´ on

La motivación principal de este trabajo es mostrar la importancia del dise˜ no de controladores para sistemas no-lineales, as´ı como las ventajas y desventajas que conlleva el usar este tipo de controladores. También se pone énfasis en como el modelado de un sistema f´ısico que es descrito mediante ecuaciones matemáticas, puede utilizarse para dise˜ nar las leyes de control necesarias para que se comporte de acuerdo con los requerimientos propuestos, tomando en cuenta las limitaciones propias del sistema y de los dispositivos utilizados para alcanzar dichos requerimientos.

1.2.

Planteamiento del Problema

Hoy en d´ıa el control de procesos es usado en una gran variedad de ámbitos por la eficiencia y seguridad que dan a los sistemas en general, dicho control se realiza ya sea por medio de dispositivos f´ısicos o de software, de los cuales existe una gran diversidad, entre ellos se encuentra el controlador PD que es utilizado extensamente en la industria por las importantes funciones que realiza, las cuales permiten un amplio control de los m´ ultiples sistemas existentes. En la actualidad son muchas las funciones y problemas se trabajan mediante el control de un proceso, ya sea para controlar lo posición de un objeto, el nivel de una sustancia, o la temperatura de un l´ıquido, estos controles pueden ser mediante los métodos clásicos de control después de linealizar el sistema a controlar, o por las nuevas técnicas como la lógica difusa, redes neuronales, etc... También se realizan controladores para sistemas no-lineales, determinando las leyes de control para los diversos procesos. Lo anterior lleva a la siguiente pregunta: ¿Cómo poder realizar el control de la posición mediante 1

´ CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

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un esquema de control que considere todos el modelo completo y acoplado no-lineal del sistema mesa-esfera?

1.3.

Hip´ otesis

Es posible desarrollar un sistema de control, para un sistema no-lineal sin tener la necesidad de tener que hacer el proceso de linealizar el modelo, y que mediante la comparación con otros métodos se demuestre que el control propuesto alcanza el valor deseado en menor tiempo.

1.4.

Objetivos

1.4.1.

Objetivo General

Dise˜ nar un control PD con compensador no-lineal, para control de regulación del sistema mesaesfera y su análisis de estabilidad mediante el método directo de Lyapunov.

1.4.2.

Objetivos Particulares

1. Realizar un estudio del estado del arte sobre los trabajos que utilizan el sistema mesa-esfera. 2. Dise˜ nar las leyes de control para en un sistema de control en cascada para controlar la posici´ on de la esfera sobre la mesa. 3. Desarrollar el análisis de estabilidad de un control PD con compensador no-lineal. 4. Llevar a cabo simulaciones en Matlab del sistema, considerando el modelo completo y acoplado.

1.4.3.

Aportaci´ on

La principal aportación de esta tesis es el desarrollar el análisis de estabilidad del sistema nolineal completo y acoplado. Para ello adicionalmente se realiza la transformación del modelo del sistema a la forma de la dinámica de un robot manipulador.

1.5. ESTRUCTURA DE LA TESIS

1.5.

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Estructura de la tesis

La conformación de la tesis es la siguiente:

En la Introducción se explica con detalle la motivación de la tesis, se plantea de forma general cual es el problema de control, cuál es su relevancia y se detalla cada uno de los objetivos particulares.

En el Cap´ıtulo 2 se describe en que consiste el modelado del sistema a controlar, as´ı como el modelo dinámico al cual es transformado y se describen las propiedades de los elementos que conforman el modelo dinámico, por u ´ltimo se hace mención del método empleado para encontrar las leyes de control. Se explica las diferentes representaciones del sistema a controlar y se establecen sus respectivas ventajas y desventajas.

En el Cap´ıtulo 3 se describe la aportación principal de esta tesis, a saber, condiciones para la estabilidad del sistema mesa-esfera bajo una acción PD más un compensador no-lineal. Se plantea el desarrollo matemático de la ley de control propuesta, analizando el sistema en lazo cerrado.

El Cap´ıtulo 4 ilustra los resultados obtenidos mediante simulaciones numéricas. En este cap´ıtulo se observa de manera gráfica el desempe˜ no del controlador propuesto, se muestra el comportamiento de la posición y velocidad de la esfera en cada uno de sus ejes de referencia. También se realizan diversas simulaciones comparando con otros dos métodos, para validar las leyes de control propuestas.

En el Cap´ıtulo 5 se discuten los resultados obtenidos en esta tesis, es decir, cuales son las implicaciones de los resultados obtenidos, el impacto de estos, además de detallar cual a sido la principal aportación en el campo de control no-lineal. En esta sección también se mencionan los trabajos futuros que se puede desarrollar a partir de este trabajo de tesis. Finalmente se describe un listado de los art´ıculos que se encuentran aceptados y en revisión derivados de este trabajo.


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1.6.

Estado del arte

Los sistemas de control son una parte integral de la sociedad moderna y muchas aplicaciones que nos rodean hace uso de un sistema de control. Un ejemplo de un sistema que utiliza la teor´ıa de control es el sistema mesa-esfera. El sistema mesa-esfera es un modelo muy popular e importante de laboratorio y muy utilizado en la ense˜ nanza de la ingenier´ıa de control del sistemas.

El presente trabajo de tesis, trata del modelado, análisis y control visual de un sistema mesaesfera. El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad y consta de una esfera que puede moverse libremente sobre el plano. Esto lo hace atractivo para poner a prueba m´ ultiples estrategias de control. En nuestro caso, incorporamos un sistema de visión y un controlador proporcionalderivativo mas un compensador no-lineal. Debido a la naturaleza del objeto a manipular en algunos sistemas, como es el caso del sistema mesa-esfera, es casi imposible utilizar sensores convencionales (ultrasónicos, infrarrojos, de presión, etc.) que permitan adaptarse a su entorno y proporcionar información adecuada para realizar una determinada tarea, ya que esta depende de un conocimiento a priori de su espacio de trabajo y de la localización del objeto a manipular. Una caracter´ıstica importante del sistema mesa-esfera es la incorporación del sistema de visión, el cual tienen como ventaja principal mimetizar el sistema de visión humana que es capaz de obtener rasgos del objeto a manipular. Esta información será usada por el controlador.

Muchos investigadores han investigado el problema de regulación en el sistema mesa-esfera. El sistema mesa-esfera es uno de los mas famosos e importantes modelos de laboratorio para la ense˜ nanza. El sistema mesa-esfera es una planta multi-variable, la cual es la extensión de el tradicional sistema barra-esfera [1]-[6]. El sistema barra-esfera tiene dos grados de libertad el cual consiste en una esfera rodando sobre una barra r´ıgida. De otra manera, El sistema mesa-esfera tiene cuatro grados de libertad el cual consiste en que una esfera puede rodar libremente sobre una mesa r´ıgida. Este sistema no a atra´ıdo demasiado la atención ; la principal desventaja de este sistema es la dificultad de construirlo. Sin embargo, se considera que este sistema tiene un enorme potencial como mesa de pruebas para diferentes estrategias de control como control con redes neuronales [7], lógica difusa [8]-[12], [13] y [6], control convencional [14], análisis de estabilidad [15] y [16], control no-lineal [17]-

1.7. TRABAJOS RELACIONADOS

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[19], control con modos deslizantes [20],[21] y [22], etc. El objetivo de esta investigación es desarrollar un control PD para regulación con compensación de los términos no-lineales del sistema, capaz de controlar la posición de la esfera sobre la mesa para ambos ejes (x, y). La posición inicial de la mesa es aquella donde no existe inclinación en ninguno de los ejes. Para mover la esfera de la posici´ on inicial a la posición deseada, se generan inclinaciones del plano mediante un servomotor para cada eje. La posición de la esfera sobre la mesa será medida mediante una cámara, ver todos los detalles en [13]. Se ha trabajado con una versión del sistema barra-esfera, este sistema tiene dos grados de libertad y nuestro grupo de investigaci´ on a obtenido muy buenos resultados [23]. En este trabajo fue realizado usando el prototipo del sistema mesa-esfera [24], en esta tesis se analizara la estabilidad del control PD para regulación con el modelo no-lineal completo del sistema mesa-esfera.

As´ı que con el fin de mejorar la precisión del control y la estabilidad del sistema, se introduce un compensador no-lineal, y se utiliza junto con PD para controlar el movimiento de la esfera sobre el plano.

Las dificultades para controlar el sistema son los siguientes: 1. El sistema mesa-esfera tiene 8 variables de estado, que es dif´ıcil de ser representado por un modelo matemático preciso y ser controlado de manera eficaz por algoritmos de control tradicionales. 2. El sistema es no-lineal e inestable.

Las principales aportaciones de este trabajo son la introducción de un nuevo algoritmo de control para el sistema mesa-esfera y el análisis de estabilidad.

1.7.

Trabajos relacionados

En [25], una nueva función de Lyapunov es propuesta la cual puede ser utilizada para dise˜ nar un esquema de control estable (switching control). Ellos introdujeron nuevos conceptos acerca de sus métodos de control mediante Lyapunov. Ellos implementaron herramientas para encontrar un


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esquema de control que sea asintóticamente estable para el sistema mesa-esfera. En [19], presentan un método de control de modos deslizantes para el sistema barra-esfera. Los autores dise˜ naron un modelo deslizante estacionario y uno dinámico del sistema. El primero usa el modelo simplificado del sistema barra-esfera para dise˜ nar el modelo estacionario, el segundo es un controlador dinámico de modos deslizantes para el sistema, los autores usan el modelo completo para dise˜ nar estos controladores. En [26], el objetivo de control es controlar un brazo de robot para alcanzar el objeto deseado mediante un sistema de visión. Este estudio incluye también un análisis de estabilidad mediante Lyapunov. En esta tesis incluiremos un análisis similar de estabilidad mediante el método de Lyapunov, transformamos el sistema completo del mesa-esfera en una estructura dinámica de robot. En [27] discuten la concepción y desarrollo de un sistema mesa-esfera basado en los principios de un dise˜ no mecatronico. Ellos dise˜ nan un controlador basado en el modelo lineal del sistema mesaesfera, un controlador PID controlador es adecuado para obtener una respuesta muy rápida. Ellos desarrollan su propio prototipo usando la herramienta para prototipos de control en tiempo real del programa dSpace. En [22] los autores presentan un control servo-visual para el sistema mesa-esfera para guiar a la esfera a su trayectoria deseada. Un controlador de modos deslizantes es dise˜ nado. Muchos autores prefieren los técnicas de control difuso, tales como [28], ellos proponen un esquema de control difuso jerárquico y ellos proponen algoritmos genéticos para controlar y ajustar el valor de las funciones de membrec´ıa de salida del controlador difuso para optimizar la trayectoria de la esfera. En [29] y [15], los autores usan un control PD con compensador exacto para realizar la sincronización de dos sistemas barra-esfera, después una red neuronal de función radial es aplicada para aproximar el compensador no-lineal. En este trabajo la sincronización puede ser en paralelo y serie y ellos también discuten la estabilidad del esquema de sincronización. En [31] G. Wang y Z.S. Sun han realizado una investigación preliminar sobre el sistema mesa-esfera, en el que se detecta la posición de la esfera mediante una cámara, un motor paso a paso se utiliza como mecanismo, y el controlador ha sido dise˜ nado utilizando el método de control difuso.

El sistema de mesa-esfera en [32] se ha dise˜ nado para propósitos educativos y desarrolla para control de seguimiento a través de control geométrico y controladores PID. HUMUSOFT [33] es un sistema mesa-esfera que está disponible comercialmente.


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El sistema es un punto de referencia para poner a prueba diferentes sistemas de control nolineal. La regulación de la salida (output regulation) del sistema mesa-esfera incluye el control de la regulación y el control de seguimiento de trayectoria. El control de regulación es mantener la esfera en una posición deseada sobre la mesa y el seguimiento de una trayectoria se trata de que el control mueva a la esfera para seguir un trazado geométrico sobre el plano. Ambas tareas son dif´ıciles, especialmente cuando los problemas de la precisión deseada del seguimiento sea alta.

Arroyo [38] construyó el sistema denominado Barra esfera en 2005, como se observa en la Figura 1.1. El sistema emplea el sensor de hilo resistivo para medir la posición de la bola. El sensor de posición act´ ua como un limpiador similar a un potenciómetro.

Figura 1.1: Sistema barra esfera construido por Berkeley Robotics Laboratory [38]

Quanser [39] en el 2006 desarrollo un sistema barra esfera donde la se˜ nal del sensor se procesa en un DSP. Se utilizó un motor de corriente continua con un reductor. El sistema estaba controlado por un controlador PD. Este sistema es fácil de construir, y el controlador PD era fácil de dise˜ nar. Aunque la posición de la pelota fue controlada por el controlador PD, el ángulo de inclinación de la barra no fue medido ni controlado. Por lo tanto, el sistema puede no ser muy robusto. El Departamento de Ingenier´ıa Eléctrica de la Universidad de Lakehead construyó un sistema llamado el Ball and Beam


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Balancer [43], como se muestra en la Figura 1.2. El sistema emplea un motor de CC con una caja de cambios integrada, un sensor de la posición del alambre resistivo, y un codificador digital. El sistema ten´ıa una entrada (entrada de tensión del motor) y dos salidas (la posición de la bola y el ángulo de inclinación de la barra). El sistema puede ser muy robusto debido a que el método de espacio de estado con el controlador dise˜ nado.

Figura 1.2: Ball and Beam Balancer construido por la universidad de Lakehead [43]

Quanser [39] presenta su producto comercial llamado ball and beam module, que se muestra en la Figura 1.3. El módulo de barra y esfera consistió en el sensor de posición hecho por cables resistivos y un servo motor de corriente continua con una caja reductora. El sistema podr´ıa ser controlado por un controlador PID o un controlador de espacio de estado. Hirsch [40] construyó su Ball on Beam System en 1999. Una fotograf´ıa del sistema se muestra en la Figura 1.4. El sistema emplea un sensor ultrasónico para medir la posición de la bola. El ángulo de la viga se midió mediante el uso de un potenciómetro. El motor con una caja de cambios fue impulsado con un circuito amplificador operacional de alta potencia. El sistema está controlado por un controlador PD. El sistema de Hirsch era fácil de construir debido a la configuración mecánica sencilla. Lieberman [41] construyó un sistema llamado A Robotic Ball Balancing Beam’, que se muestra en la Figura 1.5. El sistema es similar al sistema barra esfera [40]. La diferencia entre los dos sistemas es que el sistema de Lieberman utiliza un sensor de la posición del alambre resistivo, y el sistema de Hirsch utiliza un sensor de posición ultrasónico.


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Figura 1.3: Ball and Beam module construido por Quanser [39]

Figura 1.4: Ball and Beam construido por Hirsch [40]

Cheng [42] desarrolló un prototipo de mesa-esfera, figura 1.6. El sistema se construye mediante dos actuadores magnéticos de suspensión de dos grados de libertad. Para obtener un rendimiento de control, emplean un microprocesador de un solo chip, sirviendo como n´ ucleo de control. Realizan el dise˜ no del control a lazo cerrado, y el análisis de estabilidad mediante Lyapunov. Varios escenarios de operación dinámica, incluyendo oscilatoria, estabilización y seguimiento de la trayectoria circular ponen a prueba para verificar el funcionamiento del sistema y su capacidad. El modelado del sistema se reduce de forma que el sistema queda desacoplado, y as´ı resulta más fácil realizar el control.

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Figura 1.5: A Robotic Ball Balancing Beam construido por Lieberman [41]

Figura 1.6: Mesa-esfera construido por Cheng [42]

Cap´ıtulo 2

Marco Te´ orico En este cap´ıtulo se describe en una primera parte el modelo del sistema mesa esfera, el cual consta de cuatro ecuaciones diferenciales, obtenidas mediante el método de Lagrange, después se describen las principales caracter´ısticas del controlador PD, este controlador es el seleccionado para controlar la posición de la esfera sobre la mesa, como se trata de un sistema no-lineal y acoplado se le agrega un compensador para la parte no-lineal, este compensador es encontrado a partir de la transformación del sistema en una ecuación que representa la dinámica de un robot manipulador, cuyas caracter´ısticas se describen en este cap´ıtulo, por u ´ltimo se mencionan las definiciones de estabilidad en el sentido de Lyapunov.

2.1.

El sistema mesa-esfera

Para el sistema mesa-esfera descrito en la Figura 2.1, una esfera es puesta sobre una superficie lisa donde podrá rodar. El modelado del sistema mesa-esfera es presentado anteriormente en [24], en esta tesis se desarrolla el modelo completo del sistema mesa-esfera, tomando en cuenta el sistema acoplado, para el análisis de estabilidad se convertirá el modelo en la forma de una ecuación general para representar sistemas mecánicos de la forma descrita en la ecuación (2.1).

M (q)¨ q + C(q, q) ˙ q˙ + G(q) = B q¯ + Dπ

(2.1)

En ausencia de fricción o de otros disturbios, la dinámica del sistema mesa-esfera puede ser obtenida mediante el método de Lagrangiano. 11

´ CAPÍTULO 2. MARCO TEORICO

12

Figura 2.1: Sistema mesa-esfera

La energ´ıa cinética del sistema es: 1 1 mv 2 + Icdm w2 2 cdm 2 µ 2 ¶ 1 1 1 x˙ + y˙ 2 1 = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) + m(xθ˙x + y θ˙y )2 + Icdm + Icdm (θ˙x2 + θ˙y2 ) 2 2 2 R 2 Ec =

(2.2) (2.3)

donde Ec es la energia cinetica de la esfera; m es la masa de la esfera; Icdm es el momento de inercia de la esfera; R es la velocidad de la esfera; (x˙ 2 + y˙ 2 ) es la velocidad lineal de la esfera; x y y son la posición de la esfera sobre la mesa; θx y θy son posiciones angulares de la mesa; w es la velocidad 2 2 angular de la esfera; (θ˙x + θ˙y ) es la velocidad angular de la mesa.

Por otro lado, la energ´ıa potencial debido a la gravedad es: Ep = −mG(x sin(θx ) + y sin(θy ))

(2.4)

donde Ep es la energ´ıa potencial de la esfera; G es la aceleración debido a la gravedad. De (2.3) y (2.4), la ecuación de Lagrange es: 1 1 1 L = m(x˙ 2 + y˙ 2 ) + m(xθ˙x + y θ˙y )2 + Icdm 2 2 2

µ

x˙ 2 + y˙ 2 R

¶

1 + Icdm (θ˙x2 + θ˙y2 ) 2 − mG(x sin(θx ) + y sin(θy )) (2.5)

2.1. EL SISTEMA MESA-ESFERA

13

Las ecuaciones de Lagrange de movimiento son: · ¸ ∂ ∂L ∂L − =0 ∂t ∂ x˙ ∂x

(2.6)

· ¸ ∂L ∂ ∂L − = τx ∂t ∂ θ˙x ∂θx

(2.7)

· ¸ ∂ ∂L ∂L =0 − ∂t ∂ y˙ ∂y

(2.8)

# " ∂L ∂ ∂L − = τy ∂t ∂ θ˙y ∂θy

(2.9)

donde τx y τy son el torque aplicado a la mesa. El sistema completo mesa-esfera esta dado por las ecuaciones (2.10),(2.11),(2.12) y (2.13): µ ¶ Icdm m+ 2 x ¨ − mxθ˙x2 − my θ˙x θ˙y + mG sin θx = 0 R

(2.10)

¢ Icdm + mx2 θ¨x + 2mxx˙ θ˙x + mxy θÿ + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙y + mGx cos θx = τx

(2.11)

µ ¶ Icdm m + 2 y¨ − my θ˙y2 − mxθ˙x θ˙y + mG sin θy = 0 R

(2.12)

¡ ¢ Icdm + my 2 θÿ + 2my y˙ θ˙y + mxy θ¨x + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙x + mGy cos θy = τy

(2.13)

¡

donde: x: Representa la posición de la esfera sobre el plano en el eje x y: Representa la posición de la esfera sobre el plano en el eje y θx : Representa la posición angular de la mesa en el eje x θy : Representa la posición angular de la mesa en el eje y τx : Torque aplicado al plano en el eje x τy : Torque aplicado al plano en el eje y G: Aceleración debido a la gravedad R: Radio de la esfera M : Masa de la esfera Icdm : Momento de inercia de la esfera es 25 M R2


14

2.2.

Controlador PD

Un tipo de controlador que funciona como un amplificador con una ganancia constante k se conoce como control proporcional, ya que la se˜ nal de control a la salida del controlador está relacionada con la entrada del controlador mediante una constante proporcional. El controlador de tipo Proporcional derivativo (PD) presenta la siguiente función de transferencia (2.14):

G(s) = KP + KD s

(2.14)

donde KP , KD son las constantes proporcional y derivativa. El control proporcional es un tipo de controlador básico, pero utilizado ampliamente en la industria y en muchos de los aparatos de uso cotidiano. La gran extensión de su uso radica en que no se necesita conocer mucho sobre teor´ıa de control o modelado matemático de sistemas para utilizarlo de forma eficiente, dado la facilidad de sintonización, si los requerimientos de desempe˜ no no son muy estrictos.

Una de las desventajas de los controladores P y PI, es que su respuesta al escalón presenta un sobrepaso máximo muy grande. Esto es generalmente indeseado, con mayor razón en sistemas como el presentado en este trabajo, en donde un sobrepaso grande puede convertirse en sacar la esfera fuera de la mesa. Además de esto, el sobrepaso demanda un esfuerzo extra para los motores y para las partes mecánicas de la mesa, ocasionando desgaste de los mecanismos y desperdicio de energ´ıa. Si en un control proporcional se intenta disminuir el sobrepaso se debe de disminuir la ganancia proporcional (KP) y esto implica que el sistema sea más lento y que tenga un error en estado estacionario mayor. Por otra parte, el controlador PI por s´ı mismo tiene el efecto de aumentar el sobrepaso máximo. Si se intenta reducir, se disminuyen las ganancias proporcionales (KP) e integral (KI), lo que tendr´ıa como consecuencia el aumento en el tiempo de asentamiento del sistema y en el tiempo en el que el sistema llega al error cero en estado estacionario. El controlador proporcional y derivativo (PD), soluciona el problema del sobrepaso máximo a˜ nadiendo una acción correctiva que es proporcional a la derivada del error de posición.

´ 2.3. DINAMICA Y CONTROL DE UN ROBOT MANIPULADOR

2.3.

Din´ amica y Control de un Robot Manipulador

2.3.1.

Modelo mec´ anico

15

En este trabajo se transforma el modelo completo y acoplado del sistema mesa-esfera en la forma de la dinámica de un robot manipulador r´ıgido de n eslabones conectados de manera serial[46], la cual se escribe como:

M (q)¨ q + C(q, q) ˙ q˙ + G(q) + F (q) ˙ =τ

(2.15)

donde q ∈ < es el vector de variables articulares y determina la posición de los eslabones, q˙ ∈
m1 ≤k M (q) k≤ m2

(2.16)

donde m1 , m2 son escalares constantes positivos, y k M (q) k es la norma euclidiana del vector. Propiedad 2. La matriz de fuerzas centr´ıpetas y de Coriolis es antisimétrica, S(q, q) ˙ = M˙ (q) − 2C(q, q) ˙

(2.17)

Por lo que la siguiente relación se satisface xT [M˙ (q) − 2C(q, q)]x ˙ =0

(2.18)

Propiedad 3. El vector de fricción es acotado, es decir,

kF (q)k ˙ ≤k con k constante

(2.19)


16 Propiedad 4. El vector de gravedad es acotado, es decir,

kG(q)k ≤ gb

(2.20)

con gb constante

2.3.2.

Control tipo PD de un Robot Manipulator

La estructura de un control PD tradicional es: τ = −KP (q − q d ) − KD (q˙ − q˙d )

(2.21)

donde KP , KD ∈
2.4.

An´ alisis de la Estabilidad de los Sistemas no-lineales

La estabilidad es una de las caracter´ısticas más importantes de los sistemas dinámicos. Al analizar la estabilidad de dichos sistemas, surgen diferentes problemas seg´ un la manera en que se la caracterice y los sistemas en consideración. Por ejemplo, considerando sistemas lineales y estacionarios, existen métodos para poder determinar su estabilidad, como el criterio de la respuesta al impulso, el criterio de Routh y el de Nyquist. Sin embargo cuando se tratan sistemas no-lineales, estos métodos no tienen validez. La riqueza dinámica de los sistemas no-lineales presenta ciertos fenómenos que no se evidencian al estudiar los sistemas lineales [34]-[35]. Uno de estos fenómenos es la existencia de m´ ultiples puntos de equilibrio aislados. Un sistema lineal puede tener un solo punto de equilibrio aislado, y por lo tanto un solo estado de régimen estacionario que “si el punto es asintóticamente estable ”atrae al estado del sistema independientemente del estado inicial. En cambio, los sistemas no lineales pueden tener varios puntos de equilibrio, y la convergencia a uno estable depende del estado inicial. Debido a esto, resulta

´ 2.4. ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS NO-LINEALES

17

importante estudiar la estabilidad de los diferentes puntos de equilibrio de los sistemas no-lineales para poder entender mejor el comportamiento del mismo. En este trabajo se presenta la estabilidad de los puntos de equilibrio de los sistemas no-lineales mediante el estudio del comportamiento del estado en un entorno de los mismos. Para ello se presenta el concepto de estabilidad en el sentido de Lyapunov como as´ı también una introducción de los métodos de Lyapunov para el análisis de estabilidad.

2.4.1.

Estabilidad de los Puntos de Equilibrio

Un punto de equilibrio de un sistema dinámico es estable en el sentido de Lyapunov si todas las soluciones que nacen en las cercan´ıas del punto de equilibrio permanecen en dichas cercan´ıas; de otra forma resulta inestable. El punto de equilibrio además es asintóticamente estable si las soluciones además de permanecer en las cercan´ıas del mismo, tienden hacia el punto de equilibrio a medida que transcurre el tiempo. Considérese el siguiente sistema autónomo:

x˙ = f (x)

(2.22)

Suponiendo que x ∈ D es un punto de equilibrio de 2.22; o sea f (x) = 0 , se pretende caracterizar y analizar la estabilidad de x . Por conveniencia se considera x = 0 lo cual no representa una pérdida de generalización ya que cualquier punto de equilibrio x 6= 0 puede ser trasladado al origen mediante el cambio de variable y := x − x con lo que se tiene:

y˙ = x˙ = f (x) = f (y + x) := g(y)

(2.23)

con g(0) = 0 En esta nueva variable y, el sistema y˙ = g(y) tiene como punto de equilibrio al origen del espacio de estados. En consecuencia , de ahora en más se considerará que f (x) satisface f (0) = 0 y se estudiar´ a la estabilidad del origen del espacio de estados x = 0 como punto de equilibrio. Definicion 1: Si φ(t; t0 , x0 ) representa la solución de 2.22 dada a partir de la condición inicial x(t0 ) = x0 a partir del instante inicial t = t0 , entonces el punto de equilibrio x = 0 de 2.22 es: Lyapunov estable si para cada ² > 0, hay un δ = δ(²) > 0 tal que


18

kx(0)k < δ ⇒ kφ(t; t0 , x0 )k < ², ∀t > 0

(2.24)

Inestable si no es estable.

Asint´ oticamente estable si es estable y δ se puede elegir de modo que

kx(0)k < δ ⇒ l´ım φ(t; t0 , x0 ) = 0 t→∞

(2.25)

Figura 2.2: Trayectorias: (a) estable, (b) inestable y (c) asint´ oticamente estable.

En la Figura 2.2 se muestra una representación gráfica de la definición 1 para los tres casos de estabilidad definidos. Una vez definidos los diferentes tipos de estabilidad de los puntos de equilibrio, es necesario encontrar métodos para determinar la misma.

2.4.2.

Aproximaciones Lineales de los sistemas no-lineales

Usualmente, el primer paso en el análisis de sistemas no-lineales es realizar una linealización en torno a un punto de equilibrio y analizar el comportamiento del modelo lineal. Entonces el siguiente teorema establece condiciones bajo las cuales es posible extraer conclusiones sobre la estabilidad del origen como punto de equilibrio del sistema no-lineal a través del análisis de estabilidad del modelo linealizado en torno a dicho punto de equilibrio [34]-[35]. El Teorema se conoce como método indirecto de Lyapunov. Teorema 1 (M´ etodo Indirecto de Lyapunov): Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema


19

no-lineal dado por x˙ = f (x) donde f : D →
A=

∂f (x)|x=0 ∂x

(2.26)

Entonces, notando con λi a los autovalores de A(i = 1, ..., n). El origen es asintóticamente estable si 0, para uno o más autovalores de A. Este Teorema brinda un simple procedimiento para determinar la estabilidad del origen como punto de equilibrio de un sistema no lineal a través de su modelo incremental lineal. Sin embargo, todav´ıa es posible extraer más información del sistema linealizado como lo muestra el siguiente teorema: Teorema 2 (Hartman-Grobman): Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema no-lineal dado por x˙ = f (x) donde f : D →
A=

∂f (x)|x=0 , ∂x

(2.27)

continua sobre D. Entonces, si A no tiene autovalores nulos o imaginarios con parte real nula, existe un homeomorfismo h, es decir una función que tiene inversa y ambas continuas definida en un entorno abierto U del origen, tal que para cada x0 ∈ U , hay un intervalo abierto I0 ⊂ < que contiene al cero de modo que para todo x0 ∈ U y t ∈ I0 :

h(φ(t; t0 , x0 )) = eA(t−t0 ) h(x0 )

(2.28)

donde φ(t; t0 , x0 ) representa la solución de x˙ = f (x) dada a partir de la condición inicial x(0) = x0 a partir del instante inicial t =0 . Es decir, que h transforma las trayectorias del sistema no-lineal en las del sistema linealizado, preservando la parametrización, o sea el sentido en el que se recorren. Este teorema no solo brinda información sobre la estabilidad del punto de equilibrio sino que


20

también permite conocer cualitativamente el comportamiento de las trayectorias en un entorno del mismo. Ninguno de ambos teoremas establece condición alguna cuando
2.4.3.

Estabilidad en el sentido de Lyapunov

De la teor´ıa clásica de la Mecánica, es sabido que un sistema es estable si su energ´ıa, una función positiva, es continuamente decreciente, o sea tiene derivada negativa, hasta que el sistema alcanza su estado de equilibrio [36]. El segundo método de Lyapunov es una generalización de este hecho. Lyapunov demostró que ciertas otras funciones aparte de la función energ´ıa pueden ser usadas para la determinación de la estabilidad del punto de equilibrio de un sistema. Antes de presentar el teorema de Lyapunov se necesario revisar algunos conceptos. Sea V : D → <. un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio D ⊂ 0 en D. V (x) se dice que es una funcion semidefinida positiva si V (0) = 0 y V (x) > 0en D. V (x) se dice que es una función definida negativa si −V (x) es definida positiva. V (x) se dice que es una función semidefinida negativa si −V (x) es semidefinida positiva. La derivada temporal de V sobre las trayectorias de 2.22 se denomina derivada orbital, se denota V˙ (x), y está dada por:

∂V ∂V V˙ (x) = x˙ = f (x) = ∇V (x) • f (x) = ∂x ∂x

· ∂V ∂x1

∂V ∂x2

...

  f1 (x)    ¸ f2 (x)   ∂V   ∂xn   f3 (x)   f4 (x)

(2.29)

La derivada de V sobre las trayectorias del sistema depende de la ecuación vectorial de estado del sistema. De este modo, V˙ (x) será diferente para diferentes sistemas. Si φ(t; t0 , x0 ) representa la


21

soluci´ on de 2.22 dada a partir de la condición inicial x(0) = x0 a partir del instante inicial t = t0 , entonces d V˙ (x) = V (φ(t; t0 , x0 )) dt

(2.30)

Consecuentemente, si V˙ (x) es negativa, V será decreciente sobre las trayectorias solución de 2.22. Ahora se está en condiciones de presentar el segundo método o método directo de Lyapunov: Teorema 3 (M´ etodo directo de Lyapunov): Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema x˙ = f (x) y sea V : D → < un campo escalar continuamente diferenciable definido en un dominio D ⊂
Una función V (x) que cumple con las condiciones impuestas en el teorema anterior se denomina funci´ on de Lyapunov. Este método es una herramienta de análisis muy poderosa. Sin embargo, presenta dos desventajas. La primera es que no hay un método sistemático para hallar una función de Lyapunov por lo tanto hay que proponer una función candidata a función de Lyapunov y probar si la misma cumple con los requisitos de estabilidad. La segunda es que el teorema solo brinda condiciones suficientes por lo tanto el hecho de no encontrar una función candidata a Lyapunov que satisfaga las condiciones de estabilidad o de estabilidad asintótica no significa que el origen es inestable o no asintóticamente estable. Se puede demostrar que si V (x) es una función de Lyapunov, el conjunto de los x tal que V (x) = c, para alguna contante c > 0 es una hypersuperficie cerrada (denominada superficie de Lyapunov o superficie de nivel) en el espacio de estados que encierra al origen. El uso de las superficies de Lyapunov hace que el teorema sea fácilmente interpretable. Las superficies que corresponden a constantes decrecientes 0 < c2 < c1 , se encuentran ´ıntegramente contenidas para el caso de <2 . La condición V˙ (x) ≤ 0 se puede interpretar geométricamente a través de 2.29 ya que la misma significa que el producto escalar entre el gradiente de V y el campo vectorial f es negativo:


22

∇V (x) • f (x) ≤ 0

(2.31)

Teniendo en cuenta que f es un vector tangente a la trayectoria solución, la condición V˙ (x) = ∇V (x) • f (x) ≤ 0 significa que cuando una trayectoria cruza una superficie de Lyapunov, esta trayectoria lo hace hacia adentro y nunca vuelve a salir. Además cuando V˙ (x) < 0 las trayectorias se mueven desde una superficie hacia otra interior correspondiente a un c menor. Cuando c decrece, las superficies de Lyapunov correspondientes se achican hacia el origen mostrando que las trayectorias se aproximan al origen a medida que transcurre el tiempo. En cambio, si V˙ (x) ≤ 0 no se puede asegurar que las trayectorias converjan al origen, pero se puede concluir que el origen es estable ya que las trayectorias quedaran contenidas en alg´ un entorno ² del origen si la condición inicial x0 esta dentro de alguna superficie de Lyapunov contenida en dicho entorno ² [34]-[35].

2.4.4.

Principio de Invariancia

Cuando V˙ (x) es semidefinida negativa, todav´ıa es posible determinar la estabilidad asintótica del origen como lo muestra el siguiente corolario del Principio de Invariancia de LaSalle: Corolario: Sea x = 0 un punto de equilibrio de 2.22. Sea V : D → <. una función definida positiva continuamente diferenciable sobre el dominio D ⊂
2.5.

L´ ogica Difusa

La cantidad y variedad de aplicaciones de la lógica difusa han crecido considerablemente. La lógica difusa es una lógica alternativa a la lógica clásica que pretende introducir un grado de vaguedad en las cosas que eval´ ua. En el mundo en que vivimos existe mucho conocimiento ambiguo e impreciso

´ 2.5. LOGICA DIFUSA

23

por naturaleza. El razonamiento humano con frecuencia act´ ua con este tipo de información. La lógica difusa fue dise˜ nada precisamente para imitar el comportamiento del ser humano. La lógica difusa se inició en 1965 por Lotfi A. Zadeh, profesor de la Universidad de California en Berkeley. Surgió como una herramienta importante para el control de sistemas y procesos industriales complejos, as´ı como también para la electrónica de entretenimiento y hogar, sistemas de diagnóstico y otros sistemas expertos [37]. La lógica difusa en comparación con la lógica convencional permite trabajar con información que no es exacta para poder definir evaluaciones convencionales, contrario con la lógica tradicional que permite trabajar con información definida y precisa.

¿En qué situaciones es u ´til aplicar la lógica difusa? La lógica difusa se puede aplicar en procesos demasiado complejos, cuando no existe un modelo de solución simple o un modelo matemático preciso. Es u ´til también cuando se necesite usar el conocimiento de un experto que utiliza conceptos ambiguos o imprecisos. De la misma manera se puede aplicar cuando ciertas partes de un sistema a controlar son desconocidas y no pueden medirse de forma confiable y cuando el ajuste de una variable puede producir el desajuste de otras. No es recomendable utilizar la lógica difusa cuando alg´ un modelo matemático ya soluciona eficientemente el problema, cuando los problemas son lineales o cuando no tienen solución.

2.5.1.

Aplicaciones de la l´ ogica difusa

Actualmente la lógica difusa tiene un sin n´ umero de aplicaciones que afectan nuestra vida cotidiana de alguna u otra manera, pero en ocasiones no nos percatamos. La lógica difusa se ha desarrollado en diferentes áreas y a continuación se mencionan algunas: Control de sistemas: Control de tráfico, control de veh´ıculos, control de compuertas en plantas hidroeléctricas, centrales térmicas, control en máquinas lavadoras, control de metros (mejora de su conducción, precisión en las paradas y ahorro de energ´ıa), ascensores, etc. [37]. Predicción de terremotos, optimización de horarios [37]. Reconocimiento de patrones y Visión por ordenador: Seguimiento de objetos con cámara, reconocimiento de escritura manuscrita, reconocimiento de objetos, compensación de vibraciones en la cámara, sistemas de enfoque automático [37].


24

Sistemas de información o conocimiento: Bases de datos, sistemas expertos [37].

2.5.2.

Teor´ıa de conjuntos difusos

La l´ ogica difusa permite tratar con información que no es exacta o con un alto grado de imprecisión a diferencia de la lógica convencional la cual trabaja con información precisa. El problema principal surge de la poca capacidad de expresión de la lógica clásica.

Conjuntos Cl´ asicos Los conjuntos clásicos surgen por la necesidad del ser humano de clasificar objetos y conceptos. Estos conjuntos pueden definirse como un conjunto bien definido de elementos o mediante una funci´ on de pertenencia µ que toma valores de 0 ó 1 de un universo en discurso para todos los elementos que pueden o no pertenecer al conjunto [37]. Un conjunto clásico se puede definir con la función de pertenencia mostrada en la ecuación (2.32).

µA (x) =

  0

Si x ∈ /A

 1

Si x ∈ A

(2.32)

La necesidad de trabajar con conjuntos difusos surge del hecho que existen conceptos que no tienen l´ımites claros. Un conjunto difuso se encuentra asociado por un valor ling¨ u´ıstico que está definido por una palabra, etiqueta ling¨ u´ıstica o adjetivo. En los conjuntos difusos la función de pertenencia puede tomar valores del intervalo entre 0 y 1, y la transición del valor entre cero y uno es gradual y no cambia de manera instantánea como pasa con los conjuntos clásicos [7]. Un conjunto difuso en un universo en discurso pude definirse como lo muestra la ecuación (2.33).

A = {(x, µA (x)) | x ∈ U }

(2.33)

Donde µA(x) es la función de pertenec´ıa de la variable x, y U es el universo en discurso. Cuando más cerca este la pertenencia del conjunto A al valor de 1, mayor será la pertenencia de la variable x al conjunto A, esto se puede ver en la figura 2.3

´ 2.5. LOGICA DIFUSA

25

Figura 2.3: Ejemplos de conjuntos difusos

2.5.3.

Funciones de Pertenencia

Aun cuando cualquier función puede ser válida para definir un conjunto difuso, existen ciertas funciones que son más com´ unmente utilizadas por su simplicidad matemática, entre éstas se encuentran las funciones de tipo triangular (2.34), mostrado en la figura 2.4, trapezoidal (2.35) mostrado en la figura 2.5, gaussiana,etc.

   0       x−a µ(x) =

m−a

 b−x   b−m      0

P ara x ≤ a P ara a < x ≤ m P ara m < x ≤ b P ara x > b

Figura 2.4: Funci´ on de pertenec´ıa de un conjunto difuso triangular

(2.34)


26   0        x−a    b−a µ(x) = 1     d−x    b−c     0

P ara x ≤ a P ara a < x ≤ b P ara b < x ≤ c

(2.35)

P ara c < x ≤ d P ara x > d

Figura 2.5: Funci´ on de pertenec´ıa de un conjunto difuso trapezoidal

2.5.4.

El Controlador Difuso

La lógica difusa se aplica principalmente en sistemas de control difuso que utilizan expresiones ambiguas para formular reglas que controlen el sistema. Un sistema de control difuso trabaja de manera muy diferente a los sistemas de control convencionales. Estos usan el conocimiento experto para generar una base de conocimientos que dará al sistema la capacidad de tomar decisiones sobre ciertas acciones que se presentan en su funcionamiento [37]. Los sistemas de control difuso permiten describir un conjunto de reglas que utilizar´ıa una persona para controlar un proceso y a partir de estas reglas generar acciones de control. El control difuso puede aplicarse tanto en sistemas muy sencillos como en sistemas cuyos modelos matemáticos sean muy complejos. La estructura de un controlador difuso se muestra en la figura 2.6.

´ 2.6. FUSIFICACION

27

Figura 2.6: Estructura de un modelo difuso

2.6.

Fusificaci´ on

La fusificación tiene como objetivo convertir valores reales en valores difusos. En la fusificación se asignan grados de pertenencia a cada una de las variables de entrada con relación a los conjuntos difusos previamente definidos utilizando las funciones de pertenencia asociadas a los conjuntos difusos [37]. Base de Conocimiento La base de conocimiento contiene el conocimiento asociado con el dominio de la aplicación y los objetivos del control. En esta etapa se deben definir las reglas ling¨ u´ısticas de control que realizarán la toma de decisiones que decidirán la forma en la que debe actuar el sistema. Inferencia La inferencia relaciona los conjuntos difusos de entrada y salida para representar las reglas que definir´ an el sistema. En la inferencia se utiliza la información de la base de conocimiento para generar reglas mediante el uso de condiciones, por ejemplo: si caso1 y caso2, entonces acción1.

2.7.

Defusificaci´ on

La defusificación realiza el proceso de adecuar los valores difusos generados en la inferencia en valores crisp, que posteriormente se utilizarán en el proceso de control. En la defusificación se utilizan métodos matemáticos simples como el método del Centroide, Método del Promedio Ponderado [37].

Cap´ıtulo 3

Control Dual PD con compensador En este cap´ıtulo se desarrolla el dise˜ no del controlador de la posición de la esfera sobre la mesa, primero se obtienen las leyes de control mediante una configuración cascada, se determinan cuantos controladores se necesitan para realizar la tarea deseada, después se transforma el modelo del sistema mesa-esfera en la forma de la ecuación dinámica de un robot manipulador para poder realizar el análisis de estabilidad, con el modelo transformado se realiza el análisis de estabilidad mediante el método directo de Lyapunov con lo cual se obtiene las ecuaciones del compensador no-lineal.

3.1.

Dise˜ no del controlador

Para realizar el dise˜ no del controlador se considera primero el modelado del mesa-esfera descrito en el capitulo 2. ¶ µ Icdm ¨ − mxθ˙x2 − my θ˙x θ˙y + mG sin θx = 0 m+ 2 x R

(3.1)

¢ Icdm + mx2 θ¨x + 2mxx˙ θ˙x + mxy θÿ + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙y + mGx cos θx = τx

(3.2)


(3.3)

¡ ¢ Icdm + my 2 θÿ + 2my y˙ θ˙y + mxy θ¨x + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙x + mGy cos θy = τy

(3.4)

¡

En la Figura 3.1 se muestra el diagrama de control a lazo cerrado con compensador. El dise˜ no 28

˜ DEL CONTROLADOR 3.1. DISENO

29

Figura 3.1: Esquema de control del sistema mesa-esfera

del controlador PD se realizó en configuración cascada, teniendo dos lazos de control para cada uno de los ejes (x, y), La configuración cuenta con un lazo externo de control el cual calcula el error de posición de la esfera para obtener el valor de salida del controlador PD1, esta salida es la posici´ on angular deseada de la mesa para cada uno de sus ejes(θx , θy ), el lazo interno de control determina el error de la posición angular de la mesa para obtener el valor de la salida del controlador PD2, esta salida es el par aplicado a la entrada del modelo del sistema mesa esfera. Primero se define la variable q, como un vector que contiene la posición de la esfera (x, y) y la posición angular de la mesa (θx , θy ):   x     θx    q=  y     θy

(3.5)

Por lo tanto q T se define como: · qT = x

¸ θx

y

θy

(3.6)

Para el caso de regulación la velocidad q˙ = 0, por lo tanto el error de reguación se define como: El error de regulación eje x: x = x∗ − x

(3.7)

CAPÍTULO 3. CONTROL DUAL PD CON COMPENSADOR

30 El error de regulación eje y:

y = y∗ − y

(3.8)

La ley de control del eje x, es de la siguiente forma: Para obtener el valor de entrada al sistema mesa-esfera, se considera el valor del controlador PD mas el valor de un compensador no-lineal πx . Por lo tanto, se tiene que la ley del lazo interno de control se describe como sigue, Ux = kpmx (θx∗ − θx ) + kdmx (θ˙x∗ − θ˙x ) + πx

(3.9)

para el lazo externo, la ley de control es descrita de la siguiente forma, θx∗ = kpex (x∗ − x) + kdex (x˙ ∗ − x) ˙

(3.10)

La ley de control del eje y, es de la siguiente forma: Para obtener el valor de entrada al sistema mesa-esfera, se considera el valor del controlador PD mas el valor de un compensador no-lineal πy . Por lo tanto, se tiene que la ley del lazo interno de control se describe como sigue, Uy = kpmy (θy∗ − θy ) + kdmy (θ˙y∗ − θ˙y ) + πy

(3.11)

para el lazo externo, la ley de control es descrita de la siguiente forma, θy∗ = kpey (y ∗ − y) + kdey (y˙ ∗ − y) ˙

(3.12)

Donde kpmx ,kdmx y kpmy ,kdmy son constantes positivas de los controladores de la mesa, kpex ,kdex y kpey ,kdey son ganancias de los controladores de la esfera.

Para problemas de regulación el objetivo de control es estabilizar la esfera en una posición deseada (x∗ , y ∗ ), por lo tanto (x˙ ∗ , y˙ ∗ ) = (0, 0). Tomando en consideración esto, las leyes de control pueden ser simplificadas sustituyendo la ecuación (3.10) en la ecuación (3.9) para el eje x de la siguiente forma:

˜ DEL CONTROLADOR 3.1. DISENO

Ux = kpmx [(kpex (x∗ − x) + kdex (x˙ ∗ − x)) ˙ − θx ] + kdmx (θ˙x∗ − θ˙x ) + πx

31

(3.13)

Para el eje y sustituimos la ecuación (3.12) en la ecuación (3.11): Uy = kpmy [(kpey (y ∗ − y) + kdey (y˙ ∗ − y)) ˙ − θy ] + kdmy (θ˙y∗ − θ˙y ) + πy

(3.14)

Se calcula θ˙x∗ , derivando la ecuación 3.10: θ˙x∗ = kpex (x˙ ∗ − x) ˙ + kdex (¨ x∗ − x ¨)

(3.15)

Y se calcula θ˙y∗ , derivando la ecuación 3.12: θ˙y∗ = kpey (y˙ ∗ − y) ˙ + kdey (¨ y ∗ − y¨)

(3.16)

Como x˙ y y, ˙ representan a la derivada, se tiene que las constantes kpex y kpey se transforman en kdex y kdey , reescribiendo las ecuaciones (3.15) y (3.16) de la siguiente forma:

θ˙x∗ = kdex (x˙ ∗ − x) ˙ + kdex (¨ x∗ − x ¨)

(3.17)

θ˙y∗ = kdey (y˙ ∗ − y) ˙ + kdey (¨ y ∗ − y¨)

(3.18)

Sustituyendo ecuación 3.17 y 3.18 en 3.13 y 3.14, respectivamente.

h i Ux = kpmx [(kpex (x∗ − x) + kdex (x˙ ∗ − x)) ˙ − θx ] + kdmx (kdex (x˙ ∗ − x) ˙ + kdex (¨ x∗ − x ¨)) − θ˙x +πx (3.19)

h i Uy = kpmy [(kpey (y ∗ − y) + kdey (y˙ ∗ − y)) ˙ − θy ] + kdmy (kdey (y˙ ∗ − y) ˙ + kdey (¨ y ∗ − y¨)) − θ˙y +πy (3.20) Desarrollando las ecuaciones, tenemos:


32

Ux = kpmx kpex x∗ − kpmx kpex x + kdex kpmx x˙ ∗ − kpmx kdex x˙ − kpmx θx + kdmx kdex x ¨ −kdmx kdex x˙ + kdmx kdex x ¨∗ − kdmx kdex x ¨ − kdmx θ˙x + πx

Uy = kpmy kpey y ∗ − kpmy kpey y + kdey kpmy y˙ ∗ − kpmy kdey y˙ − kpmy θy + kdmy kdey y¨ −kdmy kdey y˙ + kdmy kdey y¨∗ − kdmy kdey y¨ − kdmy θ˙y + πy

(3.21)

(3.22)

Como se enunció anteriormente que en los problemas de regulación x˙ ∗ = 0, por lo tanto x ¨∗ = 0, entonces:

Ux = kpmx kpex x∗ − kpmx kpex x − kpmx kdex x˙ − kpmx θx − kdmx kdex x˙ − kdmx kdex x ¨ −kdmx θ˙x + πx

(3.23)

y y˙ ∗ = 0, por lo tanto y¨∗ = 0, entonces: Uy = kpmy kpey y ∗ − kpmy kpey y − kpmy kdey y˙ − kpmx θy − kdmy kdey y˙ − kdmy kdey y¨ −kdmy θ˙y + πy

(3.24)

Sustituyendo ecuaciones 3.7 y 3.8, tenemos:

Ux = kpmx kpex x − kpmx kdex x˙ − kpmx θx − kdmx kdex x˙ − kdmx kdex x ¨ − kdmx θ˙x + πx

(3.25)

Uy = kpmy kpey y − kpmy kdey y˙ − kpmy θy − kdmy kdey y˙ − kdmy kdey y¨ − kdmy θ˙y + πy

(3.26)

y

Ordenando las ecuaciones:

Ux = kpmx kpex x − (kpmx + kdmx )kdex x˙ − kdmx kdex x ¨ − kpmx θx − kdmx θ˙x + πx

(3.27)

´ DEL MODELO MESA-ESFERA 3.2. TRANSFORMACION

Uy = kpmy kpey y − (kpmy + kdmy )kdey y˙ − kdmy kdey y¨ − kpmy θy − kdmy θ˙y + πy

33

(3.28)

Se definen las siguientes constantes: Para el eje x: a1 = kpmx kpex

a2 = (kpmx + kkdmx )kdex

a3 = kdmx kdex

a4 = kpmx

(3.29)

a5 = kdmx y para el eje y, tenemos: b1 = kpmy kpey

b2 = (kpmy + kkdmy )kdey

b3 = kdmy kdey

b4 = kpmy

(3.30)

b5 = kdmy Finalmente Ux y Uy pueden escribirse de la forma:

Ux = a1 x − a2 x˙ − a3 x ¨ − a4 θx − a5 θ˙x + πx

(3.31)

Uy = b1 y − b2 y˙ − b3 y¨ − b4 θy − b5 θ˙y + πy

(3.32)

y

3.2.

Transformaci´ on del modelo mesa-esfera

Sustituyendo las ecuaciones (3.31) y (3.32) en las ecuaciones (3.1-3.4).

¡

¶ µ Icdm ¨ − mxθ˙x2 − my θ˙x θ˙y + mG sin θx = 0 m+ 2 x R

(3.33)

¢ Icdm + mx2 θ¨x + 2mxx˙ θ˙x + mxy θÿ + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙y + mGx cos θx = Ux

(3.34)


(3.35)


34

¡

¢ Icdm + my 2 θÿ + 2my y˙ θ˙y + mxy θ¨x + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙x + mGy cos θy = Uy

(3.36)

Igualando todas las ecuaciones a cero, tenemos: µ ¶ Icdm m+ 2 x ¨ − mxθ˙x2 − my θ˙x θ˙y + mG sin θx = 0 R

¡

(3.37)

¢ Icdm + mx2 θ¨x + 2mxx˙ θ˙x + mxy θÿ + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙y + mGx cos θx − a1 x + a2 x+ ˙

a3 x ¨ + a4 θx + a5 θ˙x − πx = 0 µ ¶ Icdm m + 2 y¨ − my θ˙y2 − mxθ˙x θ˙y + mG sin θy = 0 R

¡

(3.38)

(3.39)

¢ Icdm + my 2 θÿ + 2my y˙ θ˙y + mxy θ¨x + (mxy˙ + mxy) ˙ θ˙x + mGy cos θy − b1 y + b2 y+ ˙

b3 y¨ + b4 θy + b5 θ˙y − πy = 0

(3.40)

Se determina la matriz de inercias M (q):      M (q) =    

m+

Icdm R2

 0 2

0

0

0 Icdm m+ 2 R b3

mxy

a3

Icdm + mx

0

0

0

mxy

0

−mxθ˙x

0

a5

0

−mxθ˙y

0

mxy˙ + mxy ˙

2my θ˙y + b2

0

       

(3.41)

Icdm + my 2

La matriz de coriolis C(q, q): ˙     2mxθ˙x + a2  C(q, q) ˙ =  0   0

−my θ˙x



  mxy˙ + mxy ˙     ˙ −my θy   b5

(3.42)

´ 3.3. ANALISIS DE ESTABILIDAD

35

La matriz B:  0

   −a1  B=   0  0

0

0

a4

0

0

0

0

−b1

 0   0     0   b4

(3.43)

La matriz de gravedades G: 

 mGsenθ x      mGx cos θx    G(q) =    mGsenθ   y    mGy cos θy

(3.44)

La matriz de compensadores D: 

 0

   πx  D=   0  πy

       

(3.45)

Por lo tanto el modelo del sistema mesa-esfera puede ser descrito de la forma:

M (q)¨ q + C(q, q) ˙ q˙ + G(q) = Bq + Dπ

3.3.

(3.46)

An´ alisis de estabilidad

Antes de realizar el análisis de estabilidad, se determina si las matrices M y B pueden ser consideradas para ser funciones candidates de Lyapunov. Primeramente la matriz M es no simetrica para probar que es definida positiva, son calculados los determinantes menores de la matriz. Si las constantes m > 0, R > 0, Icdm > 0, y M es un matriz cuadrada, entonces se tiene que todos los determinantes menores de M son mayores que cero, además como la posición de la esfera es mayor que cero (x, y) > 0, se tiene que la matriz M satisface las condiciones (3.47,3.48) para ser función candidata de Lyapunov.


36

V (0) = q˙T M (q)q˙ = 0

(3.47)

V (q) = q˙T M (q)q˙ > 0

(3.48)

La matriz B es no simetrica para probar que puede ser utilizada como función candidata de Lyapunov, se determina la forma cuadratica de la siguiente manera:

q¯T B q¯ = a4 θx2 + a1 xθx + b4 θy2 + b1 yθy

(3.49)

La posición de la mesa es (θx , θy ) > 0, y las constantes (a1 , a4 , b1 , b4 ) > 0. Si B es una matriz cuadrada, entonces la forma cuadratica satisface:

V (0) = q¯T B q¯ = 0

(3.50)

V (q) = q¯T B q¯ > 0

(3.51)

Después de demostrar que aunque las matrices M y B no cumplan con las caracteristicas de simetria, se pueden considerar para formar parte de la función de Lyapunov. Por lo tanto, La estabilidad del sistema en lazo cerrado se establece en el siguiente teorema. Despues de escribir el modelo del sistema mesa-esfera en la forma de una ecuación 3.46, podemos realizar el análisis de estabilidad mediante el método de Lyapunov. Teorema 3.1. Considerando el sistema mesa-esfera (3.1-3.4) descrito en la forma de robot manipulador (3.46) y las leyes de control (3.31) y (3.32), si los compensadores πx y πy son:

πx =

  a2 x˙ − mxθ˙x + mxx˙ θ˙x − mxθ˙y + my x˙ θ˙y

  −mxθ˙x − mxθ˙y   b2 y˙ − my θ˙y + my y˙ θ˙y − my θ˙x + mxy˙ θ˙x πy =   −my θ˙y − my θ˙x

if x˙ 6= 0 if x˙ = 0

(3.52)

if y˙ 6= 0 if y˙ = 0

entonces el sistema mesa-esfera a lazo cerrado es asintoticamente estable, l´ımt→∞ x ¯ (t) = 0 l´ımt→∞ y¯ (t) = 0

(3.53)


37

Demostraci´ on. Si la matriz M (q) es una matriz que en su forma cuadratica es definida positiva, B en (3.49) esta en su forma cuadratica, y recordando que θx y θy son no negativos, la siguiente funci´ on descrita en forma cuadratica es usada como la función candidata de Lyapunov.

V (q, q) ˙ =

1 T 1 q˙ M (q)q˙ + q T Bq + mGxsenθx + mGysenθy 2 2

(3.54)

Para asegurar que la energia potencial EP = mG(xsenθx + ysenθy ) sea positiva, dejamos que θx ≥ 0 y θy ≥ 0, V (x, x) ˙ ≥ 0. Calculando la derivada con respecto al tiempo de la función candidata y recordando que x∗ y y ∗ son constantes, entonces:

1 dV = q˙T M (q)¨ q + q˙T M˙ (q)q˙ − q˙T Bq + mGxsenθ ˙ ˙ x + mGx cos θx + mGysenθ y + mG cos θy 2 (3.55) Despejamos de la ecuación 3.46, la matriz de inercias M (q)¨ q:

M (q)¨ q = Bq + Dπ − C(q, q) ˙ q˙ − G(q)

(3.56)

Sustituyendo la ecuación 3.56 en 3.55: 1 dV = q˙T [Bq + Dπ − C(q, q) ˙ q˙ − G(q)] + q˙T M˙ (q)q˙ − q˙T Bq 2

(3.57)

Desarrollando la ecuación 3.57:

dV = q˙T Bq + q˙T Dπ − q˙T C(q, q) ˙ q˙ − q˙T G(q) + 21 q˙T M˙ (q)q˙ − q˙T Bq

(3.58)

Factorizando términos semejantes: 1 ˙ q˙ dV = q˙T [Bq − Bq + Dπ − G(q)] + q˙T M˙ (q)q˙ − q˙T C(q, q) 2

(3.59)

Eliminando términos y agrupando, tenemos: i 1 h ˙ q˙ dV = q˙T [Dπ − G(q)] + q˙T M˙ (q) − 2C(q, q) 2 A partir de la ecuación 3.60, diferenciamos la matriz de inercias M (q):

(3.60)


38





 0   0  M˙ =    0  0

0

0

2mx

0

0

0

m(x + y) 0

0

  m(x + y)     0   2my

(3.61)

h i La ecuación 3.61, se sustituye en M˙ (q) − 2C(q, q) ˙ : 

 0

  h i  0  ˙ M (q) − 2C(q, q) ˙ =  0   0  0    2mxθ˙x + a2  2  0   0

0

0

0

  2mx 0 m(x + y)   −  0 0 0   m(x + y) 0 2my

−mxθ˙x

0

a5

0

−mxθ˙y

0

mxy˙ + mxy ˙

2my θ˙y + b2

−my θ˙x

(3.62)



  mxy˙ + mxy ˙     ˙ −my θy   b5

Desarrollando la ecuación 3.62 y separando términos variables de las constantes:

 0    −4mxθ˙x  =  0   0

2mxθ˙x

0

2mx

0

2mxθ˙y

0

m(x + y) − 2mxy˙ − 2mxy ˙

−4my θ˙y



 0    2a2    0   0

0

0

2a5

0

0

0

0

2b2

0

  0    0    2b5

Se define una nueva matriz P :

2my θ˙x



  −2mxy˙ − 2mxy ˙ + m(x + y)   −  2my θ˙y   2my (3.63)


39



 0

   −2a2  P =   0  0

0

0

0

−2a5

0

0

0

0

0

0

−2b2

−2b5

       

(3.64)

Derivando la ecuación 3.5, tenemos que:      q˙ =    

Por lo tanto

 x˙   · θ˙x   T  q˙ = x˙ θ˙x  y˙   θ˙y

¸ y˙

θ˙y

(3.65)

1 T q˙ P q˙ se calcula multiplicando primero q˙T P : 2 

 0

· q˙T P =

x˙ θ˙x

y˙

 ¸   −2a2   θ˙y  0   0

0

0

0

−2a5

0

0

0

0

0

0

−2b2

−2b5

· T

q˙ P =

       

(3.66)

¸ −2a2 θ˙x

−2a5 θ˙x

−2b2 θ˙y

−2b5 θ˙y

(3.67)

Despues se multiplica la ecuación 3.67 por q: ˙  · q˙T P q˙ =

¸ −2a2 θ˙x

q˙T P q˙ =

−2a5 θ˙x

−2b2 θ˙y

−2b5 θ˙y



x˙      θ˙x       y˙      ˙ θy

2 2 −2a2 θ˙x x˙ − 2a5 θ˙x − 2b2 θ˙y y˙ − 2b5 θ˙y

(3.68)

(3.69)

Por u ´ltimo multiplicando la ecuaci´ on 3.69 por (1/2),tenemos que: 1 T q˙ P q˙ = 2

2 2 −a2 θ˙x x˙ − a5 θ˙x − b2 θ˙y y˙ − b5 θ˙y

(3.70)


40

Después de la ecuación 3.63, se calcula:



=

1 T q˙ 2

0    −4mxθ˙x    0   0

2mxθ˙x

0

2mx

0

2mxθ˙y

0

m(x + y) − 2mxy˙ − 2mxy ˙

−4my θ˙y



2my θ˙x

  −2mxy˙ − 2mxy ˙ + m(x + y)    q˙  2my θ˙y   2my (3.71)

De la ecuación 3.71, primero se realiza:

 0

· x˙ θ˙x

y˙

 ¸   −4mxθ˙x   θ˙y  0   0

 ˙  −4mxθx = 2 4my θ˙y

2

2mxθ˙x

0

2mx

0

2mxθ˙y

0

m(x + y) − 2mxy˙ − 2mxy ˙

−4my θ˙y



2my θ˙x

  −2mxy˙ − 2mxy ˙ + m(x + y)     2my θ˙y   2my (3.72)

 2mxx˙ θ˙x + 2mxθ˙x + 2mxy˙ θ˙y + mθ˙y (x + y) − 2mθ˙y xy˙ − 2mθ˙y xy− ˙   2my x˙ θ˙x − 2mθ˙x xy˙ − 2mθ˙x xy ˙ + mθ˙x (x + y) + 2my y˙ θ˙y + 2my θ˙y

(3.73)

Luego multiplicamos la ecuación 3.73 por q: ˙

 x ˙       θ˙x  2mxx˙ θ˙x + 2mxθ˙x + 2mxy˙ θ˙y + mθ˙y (x + y) − 2mθ˙y xy˙ − 2mθ˙y xy− ˙         2my x˙ θ˙x − 2mθ˙x xy˙ − 2mθ˙x xy ˙ + mθ˙x (x + y) + 2my y˙ θ˙y + 2my θ˙y  y˙    θ˙y 

 ˙  −4mxθx  2 4my θ˙y

2

(3.74)


2

2

41

2

= −4mxx˙ θ˙x + 2mxx˙ θ˙x + 2mxθ˙x + 2mxy˙ θ˙y θ˙x + mθ˙y θ˙x (x + y) − 2mθ˙y θ˙x xy˙ − 2mθ˙y θ˙x xy− ˙ 2

2

˙ + mθ˙x θ˙y (x + y) + 2my y˙ θ˙y + 2my θ˙y 4my y˙ θ˙y + 2my x˙ θ˙x θ˙y − 2mθ˙x θ˙y xy˙ − 2mθ˙x θ˙y xy

2

(3.75)

2 2 2 2 = −2mxx˙ θ˙x − 2my y˙ θ˙y + 2mxθ˙x + 2my θ˙y + 2mxθ˙y θ˙x + 2my θ˙y θ˙x − 2mxy˙ θ˙y θ˙x − 2mxy ˙ θ˙x θ˙y

(3.76) Finalmente multiplicando la ecuación 3.76 por 12 , obtenemos:

2

2

2

2

= −mxx˙ θ˙x − my y˙ θ˙y + mxθ˙x + my θ˙y + mxθ˙y θ˙x + my θ˙y θ˙x − mxy˙ θ˙y θ˙x − mxy ˙ θ˙x θ˙y

Por lo tanto de la ecuación 3.60, tenemos que el termino

1 T 2 q˙

h

(3.77)

i M˙ (q) − 2C(q, q) ˙ q˙ es igual a la

suma de las ecuaciones 3.77 y 3.70:

2 2 2 2 2 2 = −a2 θ˙x x˙ − a5 θ˙x − b2 θ˙y y˙ − b5 θ˙y − mxx˙ θ˙x − my y˙ θ˙y + mxθ˙x + my θ˙y + mxθ˙y θ˙x + my θ˙y θ˙x −

mxy˙ θ˙y θ˙x − mxy ˙ θ˙x θ˙y (3.78) De la ecuación 3.60, calculamos el termino −q˙T G(q): 

 mGsenθx

· −

¸ x˙ θ˙x

y˙

θ˙y

   mGx cos θx    mGsenθ  y  mGy cos θy

       

˙ ˙ = −mxGsenθ ˙ ˙ x − mxθx G cos θx − myGsenθ y − my θy G cos θy Por u ´ltimo se calcula el termino q˙T Dπ de la ecuación 3.60:

(3.79)

(3.80)


42

 ·

 0      πx         0    πy

¸ x˙ θ˙x

y˙

θ˙y

(3.81)

= πx θ˙x + πy θ˙y

(3.82)

Por lo tanto, para obtener la derivada de la función de Lyapunov, sumamos las ecuaciones 3.78, 3.80 y 3.82:

2 2 2 2 2 2 V˙ = πx θ˙x + πy θ˙y − a2 θ˙x x˙ − a5 θ˙x − b2 θ˙y y˙ − b5 θ˙y − mxx˙ θ˙x − my y˙ θ˙y + mxθ˙x + my θ˙y +

˙ mxθ˙y θ˙x + my θ˙y θ˙x − mxy˙ θ˙y θ˙x − mxy ˙ θ˙x θ˙y + mxGsenθ ˙ ˙ x − mxθx G cos θx + myGsenθ y−

my θ˙y G cos θy (3.83) Factorizando θ˙x y θ˙y :

h i 2 V˙ = −a5 θ˙x + θ˙x πx − a2 x˙ + mxθ˙x − mxx˙ θ˙x + mxθ˙y − my x˙ θ˙y − mGx cos θx − mxGsenθ ˙ ˙ x + mxGsenθ x h i 2 −b5 θ˙y + θ˙y πy − b2 y˙ + my θ˙y − my y˙ θ˙y + my θ˙x − mxy˙ θ˙x − mGy cos θy − myGsenθ ˙ ˙ y + myGsenθ y (3.84) Sustituyendo los compensadores:   +a2 x˙ − mxθ˙x + mxx˙ θ˙x − mxθ˙y + my x˙ θ˙y πx =   −mxθ˙x − mxθ˙y

Si x˙ 6= 0

  +b2 y˙ − my θ˙y + my y˙ θ˙y − my θ˙x + mxy˙ θ˙x πy =   −my θ˙ − my θ˙

Si y˙ 6= 0

y

Por lo tanto dV es:

x

(3.85)

Si x˙ = 0

Si y˙ = 0

(3.86)


43

2 2 V˙ ≤ −a5 θ˙x − b5 θ˙y − mG(xG ˙ sin θx + y˙ sin θy )

(3.87)

Si a5 > 0 y b5 > 0 por lo tanto V˙ es una función semidefinida negativa, si el sistema se encuentra en un punto de equilibrio, entonces [x, ˙ y] ˙ = [0, 0], por lo tanto:

2 2 V˙ ≤ −a5 θ˙x − b5 θ˙y

(3.88)

Se concluye que el sistema es estable. Para probar si es estable asintoticamente, se usa el teorema de LaSalle’s en la siguiente región:

Ω = {[x, θx , y, θy ] | dV = 0}

(3.89)

Desde (3.54), dV = 0 si y solo si θ˙x = θ˙x = 0. Para una solución θx,y (t) que pertenece a Ω para todo t ≥ 0, es necesario y suficiente que θx = θy = 0 para todo t ≥ 0. Se concluye que en el sistema de control a lazo cerrado la condición inicial esta en Ω para cada x(t) ∈ Ω para todo t ≥ 0. Finalmente, el origen del sistema de control a lazo cerrado es estable asintoticamente en [x, θx , y, θy ] = [0, 0, 0, 0] Comentario 3.1. En [48], [49], [50] y [51], los autores proponen controladores proporcional integral derivativo; Sin embargo, el controlador propuesto es diferente, ya que tiene cuatro alternativas din´ amicas seleccionadas por el controlador en funci´ on de los valores de x e y en el sistema mesaesfera, que se llama Control Dual PD.

Cap´ıtulo 4

Evaluaci´ on y discusi´ on En este cap´ıtulo se llevan a cabo diversas simulaciones empleando el controlador PD Dual no-lineal mas el compensador. Se realizan comparaciones con otros métodos para observar el comportamiento de nuestro método con respecto a los demás.

4.1.

Fase de simulaci´ on: Modelado Matem´ atico

Antes de que las leyes de control sean aplicadas al sistema real, se realizan simulaciones. Para estas simulaciones el modelo del sistema mesa-esfera descrito por (3.1-3.4) es usado. Estas ecuaciones son necesarias solo para los resultados de simulación. Para la aplicación real no son requeridas.

Resultados de simulación a lazo abierto, utilizando el modelo completo y acoplado del sistema mesa-esfera.

Figura 4.1: Bloque de simulink del sistema completo a lazo abierto

En la figura 4.1, se muestra el bloque que contiene el modelo completo del sistema mesa-esfera, en la simulación se le aplico a la entrada un par constante, para obtener la respuesta del modelo a lazo 44

´ A LAZO CERRADO 4.2. FASE DE SIMULACION

45

abierto. En la figura 4.2 se tiene la respuesta de la salida del modelo en el eje x, se puede observar que la esfera al no tener un valor de referencia a seguir, su posición crece exponencialemente. En la figura 4.3, se tiene el comportamiento de la esfera en el eje y, que al igual su comportamiento es alejarse exponencialmente, por lo cual se concluye que este sistema es inestable a lazo abierto.

Figura 4.2: Resultados de Simulaci´ on; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-x

Figura 4.3: Resultados de Simulaci´ on; Desplazamiento de la esfera sobre el eje-y

En las figuras 4.4 y 4.5 se grafica la posición de la mesa con respecto a la respuesta después de aplicar un par a lazo abierto, el comportamiento en el eje x es similar en el eje y, aproximadamente las dos respuestas se estabiizan en π/2 radianes, por lo cual se puede concluir que la mesa quedo a 90o por lo cual la esfera es arroja fuera de la mesa.

4.2.

Fase de simulaci´ on a lazo cerrado

En esta sección se realizaron diferentes simulaciones utilizando tres métodos de control. El primero es el control propuesto en esta tesis, el cual consta de dos lazos de control en cascada más un

´ Y DISCUSION ´ CAPÍTULO 4. EVALUACION

46

Figura 4.4: Resultados de Simulaci´ on; Desplazamiento de la mesa sobre el eje-x

Figura 4.5: Resultados de Simulaci´ on; Desplazamiento la mesa sobre el eje-y

compensador no lineal, el cual fue determinado mediante el análisis de estabilidad. El segundo método fue emplear los mismos dos lazos de control pero en este caso no se le a˜ nade un compensador para las no linealidades. Por u ´ltimo se realizan simulaciones con dos lazos de control en cascada pero en lugar de utilizar controladores PD se sustituyen por controladores mediante lógica difusa. A continuación se presentan los esquemas de cada uno de estos controladores.

4.2.1.

Control PD con Compensador y sin compensador

En la figura se muestra el dise˜ no del controlador mediante los bloques de simulink, el bloque denominado “BPsystem” contiene el modelo del sistema mesa esfera transformado en la forma de la ecuación dinámica de un brazo manipulador (3.46) , los bloques de nominados “compensador x” y “compensador y” contienen las ecuaciones del compensador (3.52) que se determino después de realizar el análisis de estabilidad del sistema mediante el método directo de Lyapunov. Las simulaciones con el método PD sin compensador se realizaron con el mismo esquema solo que el

´ 4.3. RESULTADOS DE SIMULACION

47

switch que tienen los compensadores se cambian para anularlos. Las constantes proporcionales y derivativas empleadas se describen en la siguiente tabla 4.2.1

Figura 4.6: Esquema de control PD Dual con compensador en Simulink

4.2.2.

Control con l´ ogica difusa

En la figura 4.7, se muestra el bloque empleado de simulink para el control del sistema measesfera. El modulo está constituido por dos entradas y una salida. La primera entrada representa el error de la posición de la esfera y la segunda entrada corresponde a la velocidad de la esfera. La salida del modulo representa el par aplicado al modelo del sistema mesa-esfera. Se empleo el método de lógica difusa del tipo Mandani. El método de defusificación elegido fue del centroide. En la figura 4.8, se muestran las funciones de pertenencia empleadas para la entrada de la posición de la esfera. La figura 4.9, contiene el conjunto de funciones de pertenecia empleadas para definir al entrada de la velocidad de la esfera. La salida del modulo del controlador de lógica difusa es mostrado en la figura 4.10. En la figura 4.11, se observa el conjunto de 25 reglas utilizadas en las simulaciones [44]

4.3.

Resultados de simulaci´ on

En esta sección se realizan las simulaciones del método propuesto y de otros dos métodos (Lógica difusa y PD sin compensador no-lineal), mediante Simulink para probar el modelo (3.1-3.4), donde M = 0,11 kg, R = 1,27 cm y G = 9,81 m/s2 . Considerando que el movimiento de la esfera lento y que no muestra tendencia a deslizar (smooth bearing), debido a la baja velocidad y aceleración de

48


Figura 4.7: Bloque de simulink del controlador fuzzy

Figura 4.8: Bloque de simulink de la funciones de membresia de posici´ on

la mesa, la interacción de los movimientos de la mesa se consideran desacoplados, por lo tanto son aplicados dos controladores PD uno para cada eje. Primero se realiza el experimento A mostrado en las Figuras. 4.12 y 4.13, en el cual se estan realizando la simulación del control PD no-lineal sin compensador, y se obtiene como resultado un error de 0.02 con respecto al valor de referencia. Después se realiza el experimento B mostrado en las Figuras 4.14 y 4.15, en el cual se estan realizando


49

Figura 4.9: Bloque de simulink de la funciones de membresia de velocidad

Figura 4.10: Bloque de simulink de la funciones de membresia del par

la simulación del control PD no-lineal con compensador, y se obtiene como resultado que se elimina el error con respecto al valor de referencia y se muestra un buen comportamiento de nuestro sistema de control. Para comprobar las ventajas de la doble controlador PD Dual con compensador no-lineal, se realizaron varios experimentos de regulación. Un primer conjunto de experimentos se llevaron a cabo

50


Figura 4.11: Bloque de simulink de las reglas

Figura 4.12: Resultados de Simulaci´ on; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x sin compensador

utilizando el método propuesto, que implementa las leyes de control (3.31 y 3.32), estos experimentos se repitieron utilizando el controlador de doble PD sin compensador, es decir, en las ecuaciones (3.31 y 3.32). Por u ´ltimo, el controlador propuesto se compara con un controlador de lógica difusa [47] utilizando los mismos experimentos. Se muestran los detalles de la simulación en las figuras 4.16 y 4.17, en donde la posición, la velocidad y las se˜ nales de control son mostradas para el control dual PD con compensador, control Dual PD sin compensación, y la respuesta del controlador de lógica difusa. La figura 4.16 muestra la posición de la esfera en el eje x, en este experimento la


51

Figura 4.13: Resultados de Simulaci´ on; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y sin compensador

Figura 4.14: Resultados de Simulaci´ on; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-x con compensador

posición inicial es 0,02587 m y la posición final es 0,4375 m, se observa que el control Dual PD con compensador alcanza el valor deseado más rápido que los otros dos métodos . La Figura 4.17 muestra el comportamiento de la velocidad de la esfera en el eje x, en este experimento, la velocidad inicial es 0, la respuesta del control Dual PD con compensador logra estabilizarse más rápidamente que los otros dos métodos. La Figura 4.18 muestra el comportamiento de las se˜ nales de control sobre el eje x, donde el control de doble PD con compensador muestra un mejor comportamiento. La Tabla 4.3, muestra el tiempo en alcanzar la posición deseada la esfera. El eje y muestra un comportamiento muy similar como en el eje x por lo tanto, sólo se presentan los gráficos de las del


52

Figura 4.15: Resultados de Simulaci´ on; Velocidad y desplazamiento sobre el eje-y con compensador

Figura 4.16: Comparaci´ on tres metodos; Posici´ on de la esfera sobre el eje-x

eje x. La Tabla 4.3, muestra el tiempo que le toma a la esfera el alcanzar la posición deseada. En esta tabla se realizan las simulaciones tomando los mismos puntos de inicio y final de la posición de la esfera, empleando un controlador con lógica difusa. Dado que el eje y muestra un comportamiento muy similar como en el eje x por lo tanto, sólo se presentan los gráficos de las del eje x. La Tabla 4.3, muestra el tiempo que le toma a la esfera el alcanzar la posición deseada al igual que en los métodos anteriores. Esta simulación se puede llevar a cabo, mediante el empleo de las leyes de control determinadas en este trabajo. La conclusión después de realizar los experimentos en


53

Figura 4.17: Comparaci´ on tres metodos; Velocidad de la esfera sobre el eje-x

Figura 4.18: Comparaci´ on tres metodos; Se˜ nales de control

los tres diferentes métodos, es que se encontró una mejora en el tiempo en que la esfera alcanzaba la posici´ on deseada.


54 PD1 PD2 PD1 PD2

eje eje eje eje

x x y y

Kp=11 Kp=325 Kp=11 Kp=325

Kd=0.5 Kd=0.1 Kd=0.5 Kd=0.1

Tabla 4.1: Constantes de los controladores PD

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Inicial (x0 , y0 ) (0,041, 0,455) (0,257, 0,477) (0,470, 0,470) (0,480, 0,251) (0,464, 0,022) (0,249, 0,020) (0,032, 0,038) (0,018, 0,250) (0,239, 0,247) (0,410, 0,460) (0,274, 0,025) (0,472, 0,235) (0,290, 0,062) (0,252, 0,108) (0,025, 0,248) (0,020, 0,020) (0,472, 0,020) (0,020, 0,472)

Final (x, y) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,12, 0,12) (0,12, 0,12) (0,12, 0,12) (0,12, 0,12) (0,43, 0,43) (0,43, 0,43) (0,43, 0,43) (0,47, 0,47) (0,47, 0,47) (0,47, 0,47)

Tiempo 2,05 2,8 3,05 2,75 2,05 2,6 2,9 2,6 2,65 3,2 2 3,1 2,9 2,8 2,95 3,25 2,9 2,9

Error (8,7e − 4, 8,8e − 4) (8,5e − 4, 7,6e − 4) (8,7e − 4, 8,7e − 4) (8,4e − 4, 9,5e − 4) (8,7e − 4, 8,4e − 4) (9,6e − 4, 8,2e − 4) (9,2e − 4, 9,2e − 4) (8,2e − 4, 9,7e − 4) (9,2e − 4, 9,1e − 4) (9,4e − 4, 9,3e − 4) (9,5e − 4, 9,4e − 4) (8,4e − 4, 9,0e − 4) (9,5e − 4, 8,8e − 4) (9,6e − 4, 8,9e − 4) (8,8e − 4, 9,7e − 4) (9,2e − 4, 9,2e − 4) (9,2e − 4, 7,8e − 4) (7,8e − 4, 9,2e − 4)

Tabla 4.2: Simulaciones con el control PD Dual con Compensador

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Inicial (x0 , y0 ) (0,041, 0,455) (0,257, 0,477) (0,470, 0,470) (0,480, 0,251) (0,464, 0,022) (0,249, 0,020) (0,032, 0,038) (0,018, 0,250) (0,239, 0,247) (0,410, 0,460) (0,274, 0,025) (0,472, 0,235) (0,290, 0,062) (0,252, 0,108) (0,025, 0,248) (0,020, 0,020) (0,472, 0,020) (0,020, 0,472)

Final (x, y) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,12, 0,12) (0,12, 0,12) (0,12, 0,12) (0,12, 0,12) (0,43, 0,43) (0,43, 0,43) (0,43, 0,43) (0,47, 0,47) (0,47, 0,47) (0,47, 0,47)

Tiempo 2,95 2,95 2,9 3 3,05 3,1 3 3,15 2,5 3.35 2,5 3,85 2,9 3,85 4,45 4,65 4,65 4,65

Error (8,7e − 4, 4,1e − 4) (1,6e − 7, 7,6e − 4) (7,8e − 4, 6,8e − 4) (7,8e − 4, 2,5e − 6) (2,3e − 4, 9,4e − 4) (3,3e − 6, 9,2e − 4) (9,7e − 4, 9,9e − 4) (9,2e − 4, 3,4e − 6) (8,8e − 4, 8,5e − 4) (8,1e − 4, 0,005) (9,3e − 4, 0,001) (8,2e − 4, 2,9e − 6) (4,9e − 4, 0,0615) (4,5e − 5, 8,0e − 4) (8,8e − 4, 2,6e − 6) (9,6e − 4, 9,6e − 4) (3,6e − 6, 9,6e − 4) (9,6e − 4, 3,6e − 6)

Tabla 4.3: Simulaciones con el control de logica difusa


No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Inicial (x0 , y0 ) (0,041, 0,455) (0,257, 0,477) (0,470, 0,470) (0,480, 0,251) (0,464, 0,022) (0,249, 0,020) (0,032, 0,038) (0,018, 0,250) (0,239, 0,247) (0,410, 0,460) (0,274, 0,025) (0,472, 0,235) (0,290, 0,062) (0,252, 0,108) (0,025, 0,248) (0,020, 0,020) (0,472, 0,020) (0,020, 0,472)

Final (x, y) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,25, 0,25) (0,12, 0,12) (0,12, 0,12) (0,12, 0,12) (0,12, 0,12) (0,43, 0,43) (0,43, 0,43) (0,43, 0,43) (0,47, 0,47) (0,47, 0,47) (0,47, 0,47)

55

Tiempo 3,8 3,85 3,85 3,85 3,85 3,85 3,8 3,85 3,85 4 3,6 4 4 3,95 4,05 4,1 4,1 4,1

Error (9,1e − 4, 9,2e − 4) (2,8e − 5, 9,2e − 4) (8,9e − 4, 8,9e − 4) (9,3e − 4, 7,5e − 6) (8,7e − 4, 8,9e − 4) (1,8e − 6, 8,9e − 4) (9,6e − 4, 9,3e − 4) (9,0e − 4, 1,0e − 6) (9,2e − 4, 9,8e − 4) (7,8e − 4, 9,5e − 4) (9,5e − 4, 6,3e − 4) (9,9e − 4, 2,8e − 4) (3,5e − 4, 9,6e − 4) (5,3e − 4,9,7e − 4) (9,0e − 4, 8,0e − 4) (8,2e − 4, 8,2e − 4) (0, 8,2e − 4) (8,2e − 4, 0)

Tabla 4.4: Simulaciones con el control PD Dual sin Compensador

Cap´ıtulo 5

Conclusiones y trabajos futuros Se dise˜ naron nuevas leyes de control para controlar la posición de la esfera sobre la mesa, mediante controladores PD en cascada. En este trabajo, un nuevo control PD con compensador exacto para regulación es presentado, este nuevo esquema garantiza la estabilidad a lazo cerrado del sistema. Para comprobar esto, primero se realizó el análisis de estabilidad mediante el método directo de Lyapunov. El compensador exacto requiere tener un conocimiento preciso de las no linealidades del sistema, sin embargo, la metodolog´ıa de cómo obtenerlo se presentó en detalle. Por otra parte, el resultado de las simulaciones muestra su excelente rendimiento, dado el mejor comportamiento en comparación con los otros controladores seleccionados. El control PD Dual con compensación no-lineal se ha presentado para resolver el problema de regulación del sistema mesa-esfera. Para utilizar estos controladores, se obtuvo un nuevo modelo dinámico en la forma de un robot manipulador. El modelo no-lineal propuesto es muy u ´til para dise˜ nar y validar diferentes algoritmos de control que a continuación se pueden extrapolar a los problemas con las mismas caracter´ısticas, una de las ventajas de trabajar con un modelo no-lineal es que la dinámica completa se puede ver, por lo que es posible analizar el comportamiento del sistema en cada punto de equilibrio. Primero se describió en un modelo del sistema mesa esfera, el cual consta de cuatro ecuaciones diferenciales, obtenidas mediante el método de Lagrange, después se enunciaron las principales caracter´ısticas del controlador PD, este controlador fue seleccionado para controlar la posición de la esfera sobre la mesa, como se trata de un sistema no-lineal y acoplado se le agregó un compensador para la parte no-lineal, este compensador es encontrado a partir de la transformación del sistema en una ecuación que representa la dinámica de un robot manipulador. Se desarrolló el dise˜ no del controlador de la posición de la esfera sobre la mesa, obteniendo las leyes 56

´ 5.1. ARTÍCULOS ACEPTADOS Y EN REVISION

57

de control mediante una configuración cascada, se determinaron cuantos controladores se necesitan para realizar la tarea deseada, modelo del sistema mesa-esfera en la forma de la ecuación dinámica de un robot manipulador se utilizó para realizar el análisis de estabilidad, mediante el método directo de Lyapunov con lo cual se obtiene las ecuaciones del compensador no-lineal. Al utilizar el primer método de Lyapunov, una nueva función de Lyapunov se presenta, con esta función la estabilidad asintótica del sistema a lazo cerrado puede ser garantizada. El compensador exacto requiere tener un conocimiento preciso de las no linealidades del sistema, sin embargo, la metodolog´ıa de cómo obtenerlo se presentó en detalle. Por otra parte, el resultado de las simulaciones muestra su excelente rendimiento, dado el mejor comportamiento en comparación con los otros controladores seleccionados. Como trabajo futuro, se desarrollará un regulador PD con un compensador inteligente además de incorporar un observador.

5.1.

Art´ıculos aceptados y en revisi´ on

1. PD regulation for Ball and Plate System, World Automation Congress - Special session – 9th International Symposium on Intelligent Automation and Control (ISIAC), enviado el 17 de octubre del 2011. 2. Dual PD control regulation with nonlinear compensation for a ball and plate system, International Journal of Advanced Robotic Systems, enviado el 14 de abril de 2013. 3. PD visual control with nonlinear compensation for a ball and plate system, Congreso Nacional de Control Automático AMCA 2013, enviado el 3 de junio de 2013.

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Ball and Beam

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