Problema 1: Introducción de un nuevo Producto Una empresa empresa que produce produce motores motores y equipo equipo relacion relacionados ados está estudian estudiando do intro introduc ducir ir al me merca rcado do un nu nuevo evo model modelo o de alta alta calid calidad. ad. Los Los estud estudios ios de mercado y análisis financieros preliminares han determinado que el precio de venta ven ta del produc producto to será será de $25 $250 0 y los costos costos fijos fijos anuale anuales s ascend ascenderá erán n a $1.000.000. No se conocen con eactitud los costos varia!les" compuestos por el costo de mano de o!ra directa y el costo de componentes" as# como la demanda anual proyectada del motor" y los estudios han arrojado los siuientes antecedentes pro!a!il#sticas de estas tres varia!les% a& 'osto de mano de o!ra directa por unidad c1
Costo Costo de de Man Mano o de Obra Obra Direct Directa a por por unid unidad ad $ $ $ $ $
43 44 4! 4" 4#
Proba Probabil bilida idad d 10% 0% 40% 0% 10%
!& (l costo de componentes componentes c2 va desde $)0 hasta hasta $100 por unidad y queda queda descrito por una distri!uci*n de pro!a!ilidad uniforme. c& La de dema mand nda a que que se proy proyec ecta ta qued queda a de desc scri rita ta por por un una a dist distri ri!u !uci ci*n *n de pro!a!ilidad normal" con una media de 15.000 unidades y una desviaci*n estándar de +.500 unidades. ,e requiere estimar la conveniencia de introducir al mercado de este nuevo producto a trav-s de una simulaci*n de 1000 operaciones anuales. Nota% Utilidad /recio de enta c1 c2& 3 4emanda 1.000.000 4eterminar% a& La utilidad esperada !& La pro!a!ilidad de que se producan p-rdidas c& La pro!a!ilidad de que eistan utilidades superiores a $)00.000 anuales d& 6asta cuánto puede descender el precio de venta de forma que la utilidad esperada sea nula e& (l intervalo de confiana al 758 para la utilidad promedio po!lacional
Practicas en Crstal all f& 'omente si usted usted considera que los los resultados o!tenidos o!tenidos de esta simulaci*n simulaci*n permiten tomar decisiones y qu- recomendaciones har#a al respecto.
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a& La utilidad esperada 'orresponde a 922.9+5") /romedio&
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!& La pro!a!ilidad de que se producan p-rdidas
La probabilidad de que se produzcan perdidas corresponde al 8.82% c) La probabilidad de que existan utilidades superiores a $800.000 anuales
La probabilidad de que se produzcan ganancias superiores a $800.000 es del 44.41%.
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d) Hasta cuánto puede descender el precio de enta de !or"a que la utilidad esperada sea nula #rstal all no es capaz de realizar este calculo. e) &l interalo de con!ianza al '(% para la utilidad pro"edio poblacional e la tabla de la si"ulaci*n se obtiene que+ &l pro"edio de la utilidad esperada es X =922.9+5") La desiaci*n estándar "uestral de la utilidad esperada es s = 523.893,56 ,a"a-o de la "uestra n=1000 &l interalo de con!ianza al '(% de la "edia poblacional se puede esti"ar co"o+ =
media poblacional
X
1, 96
-
s
s = desviación estándar muestral
� �X + 1, 96
s
para 95% de confianza ( a = 5%
ee"plazando los alores en esta !*r"ula/ se obtiene el interalo de con!ianza siguiente+ 690.275 ≤
≤ 755.217
&sto signi!ica que existe una probabilidad de '(% de que la "edia poblacional se encuentre dentro de este interalo de con!ianza. !) #o"ente si usted considera que los resultados obtenidos de esta si"ulaci*n per"iten to"ar decisiones qu reco"endaciones ara al respecto. &l interalo de con!ianza de la "edia poblacional 3utilidad esperada real) es aun a"plio para to"ar decisiones. eco"endara a"pliar la longitud del eercicio de la si"ulaci*n/ por ee"plo a n5(000 o "ás perodos/ con lo cual la desiaci*n estándar debiese dis"inuir/ asi"is"o/ el interalo de con!ianza.
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Practicas en Crstal all Problema : &ctividades &' ' C D( Un proyecto tiene cuatro actividades% :" ;" '" y 4 que de!en realiarse secuencialmente" cuyos respectivos tiempos de terminaci*n enfrentan incertidum!re" y constituyen procesos estocásticos. (n la siuiente ta!la se presentan las distri!uciones de pro!a!ilidad que descri!en el tiempo requerido para terminar cada una de las actividades%
&ctividad
Distribución de probabilidad
:
(mp#rica
;
'
?ei!ull
4
(ponencial
Par)metros *tiempo en semanas+ 58 9 258 ) 158 a l#mite inferior > ! l#mite superior 9 c moda 5 parámetro de localiaci*n 10 parámetro de escala = a parámetro de forma + 1@ media 7
'onstruir en 'rystal ;all un modelo de simulaci*n del proyecto con cuatro procesos estocásticos /assumptions&. 4eterminar lo siuiente% a& (l intervalo de confiana 58&.
del tiempo de terminaci*n del
proyecto /
!& La pro!a!ilidad de que el proyecto se pueda terminar en >5 semanas o menos. c& ,i el proyecto tarda más de +0 semanas se de!e paar una multa acumulativa de $1.000.000 por cada semana de atraso. 'alcular la multa esperada por retraso para este caso. Notas% ara la simulaci*n en 'rystal ;all" en el menA Bun @ Bun references utiliar% ,emilla 12>5 en @ ,amplin @ Cnitial ,eed alue 'orrida de tamaDo 500 en opci*n% @
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,olución: -ntrada de los datos en -.cel A 6 Actividad
A
B trian*u%ar
C -ei$u%%
Duración de actividades B C 5 12 Tie!" de Actividad 5 6 7 8
D 9
Duración Actividad 32
#r"$a$i%idad
6ro"edio 6,3
25& 35& 25& 15&
'(ite in)eri"r '(ite su!eri"r +"da
3 7 5
'"ca%iación sca%a /"ra
10 6
D !"nencia% 1 =19
9 0,11
&si/nación de distribución de probabilidades orecase en Crstal all( *2+
A 6 Actividad
A
B trian*u%ar
C -ei$u%%
Duración de actividades B C 5 12 Tie!" de Actividad 5 6 7 8
D 9
Duración Actividad 32
#r"$a$i%idad 25& 35& 25& 15&
'(ite in)eri"r '(ite su!eri"r +"da
3 7 5
'"ca%iación sca%a /"ra
10 6
D !"nencia% 1 =19
6ro"edio 6,3
9 0,11
: continuaci*n se muestra la forma en que se asinaron las respectivas pro!a!ilidades. or cada distri!uci*n se de!e estar so!re la celda de duraci*n de actividades /celdas verdes& y estas no de!en llevar f*rmulas" para el Forecase se de!e estar so!re la celda de duraci*n total de la actividad /celda celeste& y esta" por o!liaci*n" de!e llevar formula que en este caso es la formula de suma. Laboratorio “Modelos Matemáticos”
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Practicas en Crstal all *2+ a asi/nación de la duración de las actividades &' ' C D es arbitraria(
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Lueo se asinan las condiciones iniciales eiidas por el profesor" en este caso% EenA Bun @ Bun references utiliar% ,emilla 12>5 en @ ,amplin @ Cnitial ,eed alue 'orrida de tamaDo 500 en opci*n% @
Finalmente se hace correr el prorama con la opci*n run.
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(l resultado entreado por el reporte es el siuiente%
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Se puede visualizar esta informacin ! m"s eli#iendo la opcin $%reate &eport'( Crystal Ball Report
Simulation started on 14/6/10 at 1:43:43 Simulation stopped on 14/6/10 at 1:43:44 Forecast: Duración Actividad Summary: Display Range is from 21,96 to !,3 Semanas "ntire Range is from 21,96 to 99,30 Semanas #fter 00 $rials, t%e Std& "rror of t%e 'ean is 0,40 Statisti(s: $rials 'ean 'edian 'ode Standard De+iation )arian(e S-e.ness /urtosis oe& of )ariaility Range 'inimum Range 'aimum Range idt% 'ean Std& "rror
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)alue 00 3,43 33,12 *** !,!! !,94 1,99 9,0 0,2 21,96 99,30 ,34 0,40
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Practicas en Crstal all 5er(entiles: 5er(entile 0 10 20 30 40 0 60 0 !0 90 100
Semanas 21,96 2,1 2!,9 30,0 31,1 33,12 34, 3,42 40,6 46,6 99,30
Se puede verificar si las )ssumpions fueron in#resadas de forma correcta( Assumptions
Assumption: Actividad A
Cell: B4
ustom distriution .it% parameters: Single point Single point Single point Single point $otal Relati+e 5roaility
#rs ta l all 7tudent &dition ot !or #o""ercial 9se /<(0
Relati+e 5ro& 0,20000 0,30000 0,20000 0,10000 1,000000
,00 6,00 ,00 !,00
Activ idad A
/2;2 /1:( /08: /000 (/00
(/:(
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;/(0
14
:/2(
8/00
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Practicas en Crstal all Assumption: Actividad B $riangular distriution .it% parameters: 'inimum 3,00 i-eliest ,00 'aimum ,00
78D13 78D1 78D14
Sele(ted range is from 3,00 to ,00
#rs ta l all 7tudent &dition ot!or #o""ercial 9se
Activ idad B
4/00
(/00
;/00
:/00
1:/04
1'/<'
Assumption: Actividad C eiull distriution .it% parameters: o(ation S(ale S%ape
10,00 6,00 4
78D1 78D1! 78D19
Sele(ted range is from 10,00 to ;
#rs ta l all 7tudent &dition ot !or #o""ercial 9se
10/00
Activ idad C
12/<(
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14/;'
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Practicas en Crstal all Assumption: Actividad D "ponential distriution .it% parameters: Rate 0,11
78D22
Sele(ted range is from 0,00 to ;
0/00
Activ idad D
10/<;
20/:2
<1/08
41/4(
Bespuestas% a& (l intervalo de confiana del tiempo de terminaci*n del proyecto / 58&. Un intervalo de confiana tiene un l#mite superior de confiana y un l#mite inferior de confiana" estos l#mites se hallan calculando primero la media muestral X " lueo se suma cierta cantidad a X para o!tener el L,' y la misma cantidad se resta a X para o!tener el LC'. (n nuestro caso se desea construir un intervalo de confiana del 758 y se hace la preunta G'uántos errores estándar se de!e mover por encima y por de!ajo de la media muestralH. 4e!ido a que la ta!la I contiene valores solo para el área que está por encima o por de!ajo de la media se de!e dividir el 758 en dos produciendo 0"+950. Lueo se halla el valor de I correspondiente a un área de 0"+950 el cual es 1"7=. :s# para construir un intervalo de confiana del 758 simplemente se especifica un intervalo de 1"7= errores estándar por encima y por de!ajo de la media muestral. (ste valor del 758 es llamado coeficiente de confiana. (n nuestro caso calcularemos el intervalo de confiana para una muestra rande" para estimar /media po!lacional& cuando /desviaci*n estándar& es
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conocido%
X
Z
X
en donde
X
/desviaci*n estándar de la media
n
muestral&. (l valor de I se de!e sacar de la ta!la I de la siuiente manera% (ntrando con 0"+950" encontrado el valor" se !usca en la columna I la fila correspondiente a esa área" en este caso 1"7 lueo se su!e por la columna para o!tener 0"0= por lo tanto el I !uscado es 1"7=.
s (ntonces el intervalo de confiana ser#a% X
Z
X
X
X
Z
X
X
Z
X n
1, 96
X n
n
1 , 96
n
4e la ta!la de estad#sticas se pueden o!tener los valores de
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Z
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X = y
X
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Forecast: Duración Actividad Summary: Display Range is from 21,96 to !,3 Semanas "ntire Range is from 21,96 to 99,30 Semanas #fter 00 $rials, t%e Std& "rror of t%e 'ean is 0,40 Statisti(s: $rials 'ean 'edian 'ode Standard De+iation )arian(e S-e.ness /urtosis oe& of )ariaility Range 'inimum Range 'aimum Range idt% 'ean Std& "rror 35 , 43
n X
X
1, 96
8 , 88
35, 43
1, 96
8 , 88
500 34 , 6516
)alue 00 3,43 33,12 *** !,!! !,94 1,99 9,0 0,2 21,96 99,30 ,34 0,40
500 36, 2084
(l consultor tiene un 758 de confiana de que la media po!lacional esta comprendida entre >+"=51= semanas y >="20)+. 'omo las semanas no se aproiman se puede interpretar que la media po!lacional esta entre >+ semanas y + d#as aproimadamente y >= semanas y un d#a. (s decir el proyecto de!er#a terminarse" con un nivel de confiana del 758" como m#nimo en >+ semanas y + d#as y como máimo en >= semanas y un d#a.
34 , 6516
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36 , 2084
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Practicas en Crstal all !& La pro!a!ilidad de que el proyecto se pueda terminar en 3! semanas o menos.
6ay un >)"=8 de que el proyecto se pueda terminar en >5 semanas o más por lo tanto la respuesta es que hay una pro!a!ilidad de =1"+8 /1008J>)"=8& de terminar el proyecto en un plao inferior a >5 semanas. Cmaen del cálculo directo.
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Practicas en Crstal all c& ,i el proyecto tarda más de 40 semanas se de!e paar una multa acumulativa de $1.000.000 por cada semana de atraso. 'alcular la multa esperada por retraso para este caso. desde
39,!3 40,21 40,9 40,96 41,34 41,2 42,10 42,4! 42,!6 43,24 43,62 44,00 44,3 44, 4,13 4,1 4,!9 46,2 46,6 4,03 4,40 4,! 4!,16 4!,4 4!,92 49,30 49,6! 0,06 0,44 0,!1 1,19 1, 1,9 2,33 2,1 3,09 3,4 3,!4 4,22 4,60 4,9! ,36 ,4 6,12 6,0 6,!! ,2 ,63 !,01 !,39 !,
4asta
40,21 40,9 40,96 41,34 41,2 42,10 42,4! 42,!6 43,24 43,62 44,00 44,3 44, 4,13 4,1 4,!9 46,2 46,6 4,03 4,40 4,! 4!,16 4!,4 4!,92 49,30 49,6! 0,06 0,44 0,!1 1,19 1, 1,9 2,33 2,1 3,09 3,4 3,!4 4,22 4,60 4,9! ,36 ,4 6,12 6,0 6,!! ,2 ,63 !,01 !,39 !, 9,1
arca de c%ase
40,02 40,40 40, 41,1 41,3 41,91 42,29 42,6 43,0 43,43 43,!1 44,1! 44,6 44,94 4,32 4,0 46,0! 46,46 46,!4 4,22 4,9 4,9 4!,3 4!,3 49,11 49,49 49,! 0,2 0,62 1,00 1,3! 1,6 2,14 2,2 2,90 3,2! 3,66 4,03 4,41 4,9 ,1 , ,93 6,31 6,69 ,0 ,44 ,!2 !,20 !,! !,96
nuer" seanas atras" 0,02 0,40 0, 1,1 1,3 1,91 2,29 2,6 3,0 3,43 3,!1 4,1! 4,6 4,94 ,32 ,0 6,0! 6,46 6,!4 ,22 ,9 ,9 !,3 !,3 9,11 9,49 9,! 10,2 10,62 11,00 11,3! 11,6 12,14 12,2 12,90 13,2! 13,66 14,03 14,41 14,9 1,1 1, 1,93 16,31 16,69 1,0 1,44 1,!2 1!,20 1!,! 1!,96
#r"$a $i%idad
0,01000 0,009000 0,002000 0,009000 0,012000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00!000 0,00000 0,002000 0,003000 0,003000 0,00000 0,004000 0,00!000 0,003000 0,006000 0,010000 0,00000 0,004000 0,001000 0,006000 0,003000 0,003000 0,003000 0,003000 0,004000 0,003000 0,001000 0,001000 0,00000 0,002000 0,001000 0,001000 0,006000 0,001000 0,003000 0,002000 0,002000 0,003000 0,001000 0,000000 0,002000 0,004000 0,001000 0,003000 0,002000 0,001000 0,002000 0,002000
u%ta es!erada
2(8 <.(;( 1.((0 10.<84 18.<'1 1<.<80 11.4(1 18.;84 24.<84 2<.'88 :.;11 12.((< 1<.;'0 24.:11 21.284 4(.('' 18.2<; <8.:4( ;8.<;4 <;.0:; <0.<:; :.':< (0.110 2;.1'2 2:.<28 28.4;( 2'.;01 40.'84 <1.8:4 11.004 11.<82 (8.80; 24.280 12.(1' 12.8'8 :'.;;0 1<.;(; 42.10< 28.82; 2'.(84 4(.(1< 1(.((0 0 <2.;1( ;;.:4( 1:.0;( (2.<<2 <(.;4; 18.202 <:.1;1 <:.'1' 1.<;'.2:0
&l alor esperado de la "ulta por el retraso en este caso es de $1.<;'.2:0
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