ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA DE ELECTRÓNICA EN CONTROL Y REDES INDUSTRIALES
MÉTODOS NUMÉRICOS
TEMA:
MÉTODOS CERRADOS PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
INTEGRANTES
CODIGO
Mayra Cuvi
213
Christian Guangasi
2
Gabriela Mancheno
210
Danilo Vallejo
2
Cristhian Vinueza
2
SEMESTRE: 4
PARALELO: “A”
MARZO 2012 – AGOSTO 2012
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Diseñar una aplicación de computadora que nos permita obtener raíces de ecuaciones mediante los métodos cerrados de bisección, falsa posición y falsa posición modificada.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Establecer las dificultades que se presentan al momento de implementar cada uno de los métodos, y el programa en general. 2. Aplicar los conocimientos previamente adquiridos. 3. Identificar el método más efectivo para resolver el problema planteado. 4. Resolver problemas de acuerdo a especificaciones previas dentro de cada método.
MARCO TEÓRICO MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el sub intervalo que tiene la raíz. Este método requiere de un intervalo el cual contenga la raíz, esto es, que necesita de dos valores iniciales que estén cada uno a un lado de la raíz. Para encontrar un intervalo que tenga un cambio de signo al evaluar la función, se divide cada intervalo creado en dos sub intervalos, se evalúa cada uno de los sub intervalos se hacen más pequeños y la aproximación a la raíz mejora. El método bisección o de mitad es uno de los métodos numéricos más sencillos de comprender y muy versátil para encontrar una raíz real en un intervalo en el que existe una raíz de la ecuación dada, sin embargo, el número de cálculos aumenta sustancialmente a medida que se desea mayor exactitud. Su singular ventaja consiste en que funciona incluso con funciones no analíticas; sin embargo, sólo se debe utilizar el método después de un análisis gráfico. Esta técnica se basa en el teorema del valor intermedio y parte del supuesto que f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Aunque el procedimiento funciona bien para el caso en el que existe más de una solución en el intervalo intervalo ]a,b[ , se considera considera por simplicidad que es única única la raíz en dicho intervalo.
Básicamente, el método consiste en dividir a la mitad repetidamente los sub intervalos de [a,b] y en cada paso, localizar la mitad que contiene a la solución m Para empezar, hacemos a 1 = a y b1=b y calculamos el punto medio del intervalo [a1, b1] y lo llamamos
Como en cada iteración el intervalo es la mitad del intervalo anterior, podemos concluir que en la iteración n la solución m se encuentra en un intervalo de longitud
Error Absoluto
Para n≥1. Esto nos permite tener una idea de que tan cerca estamos de la solución real, incluso podemos usar esto para estimar el número de iteraciones necesarias para alcanzar una precisión dada.
VENTAJAS:
Siempre converge.
Útil como aproximación inicial de otros métodos.
DESVENTAJAS:
No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadas, solo tiene en cuenta el signo de f ( x ), lo que hace que una aproximación x ), intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida.
Convergencia lenta.
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de aproximación es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica. El método de la falsa posición, es análogo al método de bisección, puesto que el tamaño del intervalo que contiene a la raíz se reduce mediante iteración. Sin embargo, en vez de bisecar en forma monótona el intervalo, se utiliza una interpolación lineal ajustada a dos puntos extremos para encontrar una aproximación a la raíz Este método sirve para encontrar la raíz solución real de una ecuación. Al decir que encuentra su resultado hay que tomar en cuenta que no todas las ecuaciones tienen un solo resultado, y que no todas tienen resultado, por lo que hay que tener una idea de la forma de la curva de la ecuación antes de aplicar el método para que sea efectivo. Esta técnica es similar a la bisección, salvo que la siguiente iteración se toma en la intersección de una recta entre el par de valores x y el eje x, en vez del punto medio. Es necesario, para que el método iterativo tenga éxito al momento de encontrar la raíz, que la función a la cual se le desea encontrar raíces, sea evaluada en los dos puntos, la evaluación en un punto debe ser de diferente signo su magnitud a la función evaluada en el otro punto.
Representación geométrica del método de la falsa posición.
Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x se estima mediante:
Esta es la fórmula de la falsa posición. El valor de xr calculado con la ecuación reemplazará, después, a cualquiera de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de la función con el
mismo signo de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu x u siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada.
VENTAJAS:
La elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la secante ya que inhibe la posibilidad de una divergencia del método.
Este método es tan seguro como el método de bisección y tan rápido como el método de la secante.
Con respecto al método de la bisección mejora la elección del intervalo
DESVENTAJAS:
El método de la falsa f alsa posición tiene una convergencia muy lenta hacia la solución
Aunque el método de la falsa posición parecería ser siempre la mejor opción entre los métodos cerrados, hay casos donde funciona de manera deficiente.
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN MODIFICADO
El metodo de la falsa posición modificada consiste en detectar cuando se estanca uno de los límites del intervalo y de esta manera disminuir la naturaleza unilateral de la falsa posicion. Si esto ocurre, se divide a la mitad el valor de la funcion en el punto de estancamiento. La aproximación de la raíz en cada etapa se hace con la fórmula:
Siendo ak y bk los límites del intervalo en cada iteración k ( , con n igual al número de iteraciones totales), donde está contenida la raíz y G = f(bk ) y F= f(ak ).
VENTAJAS:
Detecta cuando en el método de la falsa posición uno de los límites se estancan.
DIAGRAMAS DE FLUJO
MÉTODO BISECCIÓN
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN MODIFICADO
CONCLUSIONES
Los tres métodos llegan a la misma respuesta, pero el método de falsa posición modificada converge más rápido hacia la misma, es decir son necesarias menos iteraciones.
El método de bisección fue la base sobre la que se construyeron los demás métodos.
Mientras más iteraciones iteraciones se realicen en cualquiera de los métodos, el margen de error será menor por lo tanto la aproximación estará más cercana a la raíz real.
RECOMENDACIONES
Usar el método más adecuado de acuerdo al tipo de ecuación y a los requerimientos del problema.
Aplicar éstas herramientas para solucionar problemas aplicables a la vida real.
WEBGRAFÍA http://personales.unican.es/segurajj/mii/p3m2.pdf http://illuminatus.bizhat.com/metodos/falsaposicion.htm http://es.scribd.com/doc/57486703/Metodo-de-Falsa-Posicion http://www.mitecnologico.com/Main/MetodosDePosicionFalsa http://es.scribd.com/doc/5707211/Falsa-Posicion http://www.tamps.cinvestav.mx/~mgomez/teaching/mn/slides/4.pdf
