"Año de la consolidación del Mar de Grau" ”DEFORMACION DE VIGAS”
DOCENTE: Vera Lazaro, Alejandro. •
CARRERA: Ing. Civil CURSO: Resistenia II ESTUDIANTES: Aosta !"#iga,Aladanne Alvares Rodrig"esz.$ar%ar&en Rodrig"esz.$ar%ar&en Cata#eda $oreno, '"lio (UILIC)E CASTA*EDA, Ant+on%. OLANO $ENDE!, ell% Lis-et+.
A*O LECTIVO:
/012031/ INTRODUCCION
Para ara abordar rdar el análisi lisis s de las vigas igas hipere erestát táticas icas o estátic ática amen mente indeterminadas resulta necesario analizar las deformaciones que experimentara la viga, luego de ser cargada, las distintas cargas sobre la viga generan tensiones de corte y flexión en la barra, y a su vez la hacen deformarse. El análisis de las deformaciones tiene básicamente dos objetivos. Por una parte, el resolver las incógnitas en vigas hiperestáticas y por otra parte, las deformaciones en s, deben ser limitadas. !os envigados de madera o acero, por ejemplo pueden quedar correctamente dise"ados por resistencia, vale decir, no se romperán bajo la carga, pero podrán defo deform rmar arse se más más allá allá de lo dese deseab able le,, lo que que llev llevar ara a cons consig igo o el cola colaps pso o de elementos de terminación como cielos falsos o ventanales. #o resul esulta ta extr extra" a"o o enton ntonce ces s que que much muchos os dime dimens nsio iona nami mien ento tos s determinados por la deformación y no por la resistencia.
qued queden en
En el presente presente trabajo trabajo analizar analizaremos emos los m$todos como la doble doble integrac integración, ión, parámetros lineales y área de momentos para calcular las deformaciones en vigas de dos ejercicios propuestos. %i bien es cierto ahora se cuenta con soft&are que permite rápidamente calcular dichas deformaciones, principalmente se utilizan para limitar tiempo' es por ellos que haremos acceso a algunos de ellos para comprobar resultados.
O4E'TIVOS:
(. )eter etermi mina narr las las defl deflex exio ione nes s máx máximas imas en los los sist sistem emas as simp simple leme ment nte e apoyados.
DE5OR$ACION EN VI6AS !a viga ante la acción de cargas externas, ubicadas en uno de los planos principales de inercia y actuantes por la normal con su eje, hace que el eje de la viga se deforme en forma de curva en el plano de cargas. El eje deformado de la viga recibe el nombre de lnea elástica o elástica. !a deformación de la viga se caracteriza por dos magnitudes* (. )eflexión )eflexión o flecha, que es el desplazamiento desplazamiento vertical de un punto de la viga, desde su posición inicial hasta su nueva ubicación en la lnea elástica. +. Pend Pendien iente te o ángul ángulo o de giro, giro, que que es el ángu ángulo lo que que gira gira cada cada secci sección ón transv transvers ersal al alrededor del eje neutro en relación a su posición inicial y se determina por la tangente trazada al punto indicado en la lnea elástica respecto a la lnea horizontal de su posición inicia inicial. l. El despl desplaz azami amien ento to de la secció sección n transv transvers ersal al de la viga viga a lo largo largo de su eje longitudinal se desprecia, por ser una magnitud muy peque"a en comparación con la deflexió deflexión. n. !a deflexió deflexión n se simbolizará simbolizará por la letra y , mientras mientras que la pendien pendiente te por θ -figura .(/. Por ejemplo, para vigas de concreto armado, su deflexión máxima es y ≤ -!0 123/ máx .
!a ecuaci ecuación ón y = f-x/ , que expresa la dependencia entre la deflexión y debido a las cargas dadas y la coordenada x , se denomina ecuación de la lnea elástica. En base a un conocido principio acerca de la interpretación interpretación geom$trica de la derivada, tenemos que tgθ = dy 0 dx . En la práctica, generalmente la pendiente de las secciones transversales 3
θ ≤( , razón por la cual se puede asumir que tg θ ≈ θ , lo que implica que θ = dy 0 dx . Entre la curvatura de la lnea elástica, el momento flector y la rigidez de la sección transversal de la viga, existe la siguiente dependencia expresada en la fórmula .(.
)onde*
ρ-x/ 4 radio de curvatura de la lnea elástica de la viga en el punto ubicada a una distancia x del inicio de coordenadas -figura .+/ (15 6-x/ 4 momento flector en el mismo punto de la viga E7 z 4 rigidez de la sección transversal de la viga
)e la dependencia obtenida, se desprende la siguiente ecuación diferencial aproximada de la lnea elástica de la viga*
.7 $ETODOS . $ETODO DE LA L A DO4LE INTE6RACION %i integramos una vez la ecuación .+, obtendremos la expresión para determinar la pend pendien iente te y si integ integram ramos os una una vez más, más, obten obtendre dremos mos la ecua ecuació ción n para para obten obtener er la deflexión. 8omo resultado de la doble integración surgen constantes de integración, las cuales serán necesarias determinarlas en función de las condiciones de los apoyos y del Principio de continuidad continuidad de la lnea elástica en los extremos de los tramos. %i la viga tiene un solo tramo cargado, entonces tendrá + constantes de integración y si tiene n tramos, en consecuencia tendrá +n constantes de integración. (93 :ecordamos, que en base al Principio de continuidad de la lnea elástica, en cada sección transversal de la viga, su deflexión y pendiente serán ;nicas, es decir, tendrán un mismo valor si es extremo de dos tramos de integración. )e esta manera, siempre se podrán determinar las constantes de integración, siendo más tedioso el cálculo cuando se tiene un n;mero elevado de tramos.
.3 $ETODO DE LOS 8ARA$ETROS INICIALES El m$todo de parámetros iniciales nos permite escribir una ecuación de deflexión o pend pendien iente te,, aplic aplicabl able e a todo todos s los los tramos tramos de la viga, viga, por por ello ello esta esta ecua ecuació ción n se llama llama universal o generalizada. !a ecuación universal de la lnea elástica, que considera todos los tipos de cargas -momento puntual, carga puntual y carga distribuida con intensidad variable/ para una viga de sección constante, de acuerdo a las direcciones positivas de las cargas y ejes -figura .+3/, tiene la forma de la ecuación .1
)onde*
)eflexión, pendiente, momento y cortante en el inicio de las coordenadas, denominados parámetros iniciales. !os parámetros iniciales pueden pueden ser positivos, positivos, negativos o iguales a cero y se determinan a trav$s de las condiciones de borde o extremo en el inicio de la viga y las cargas actuantes actuantes en dicho punto. En la figura .+3,a todos los parámetros iniciales son positivos. !o relacionado con los otros componentes de la ecuación del m$todo de parámetros iniciales, su signo se determina en dependencia a que tal tipo de carga originará un momento flector positivo o negativo en la sección con el eje <=. El ;ltimo componente de la ecuación, expresa la influencia de la carga distribuida de intensidad variable &- ξ/ , donde ( + c ≤ ξ ≤ c , que fija la posición de esta carga en la viga. El smbolo x 〉a indica, que el mencionado componente será considerado solo cuando x > a . Esto implica, que para determinar la deflexión en cualquier sección con coordenada x , en la ecuación solo se considerarán las cargas ubicadas a la izquierda de dicha sección. %i en lugar lugar de las cargas cargas de inten intensid sidad ad varia variable ble &- ξ/ , act; act;an an carg cargas as que que var varan an
linealmente, tipo trapecio -figura .+3,b/, entonces la ecuación universal de deflexiones se simplifica y será la expresada en la fórmula .9
)onde*
!a ecuación de la pendiente se obtiene fácilmente a trav$s de la ecuación de la deflexión, por medio de una derivada respecto a x . %i además de las cargas externas indicadas, tambi$n act;a un momento distribuido de intensidad intensidad variable m- η/ -figura .+(/, entonces la ecuación universal de la lnea elástica tendrá la forma de la ecuación .2
%i se toma como inicio de coordenadas coordenadas el extremo derecho derecho de la viga y orientamos el eje de las abcisas de derecha a izquierda, entonces para las pendientes se asumirá como ley de signos lo opuesto a lo anterior, en la cual se consideró como inicio de coordenadas el extremo izquierdo de la viga.
.9 $ETODO DEL AREA DE $O$ENTOS $ O$ENTOS !os dos teoremas que constituyen la base de este m$todo fueron enunciados en la ?niversidad de 6ichigan en (@A1 y resultan ser muy ;tiles para el cálculo de pendientes y defle deflexio xione nes s en vigas, vigas, espec especial ialmen mente te cuand cuando o se anali analiza za su respu respues esta ta ante ante carga cargas s concentradas. BE<:E6C (. %i se tienen dos puntos C y D de la curva elástica de un elemento sometido a flexión, la diferencia en pendiente de las tangentes a la curva en esos dos puntos es igual al área del diagrama 60E7 entre ellos.
BE<:E6C +. !a distancia medida verticalmente verticalmente de un punto D, sobre la curva elástica de una viga a la tangente trazada en otro punto C de la misma, es igual al momento estático con respecto a D del área del diagrama 60E7 entre dichos puntos
.9 6EB<)< )E !C 7FC 8<#G?FC)C Este m$todo consiste en cambiar el problema de encontrar las pendientes y deflexiones causadas en una viga por un sistema de cargas aplicadas, por otro problema en que se averiguan las fuerzas de corte y momentos de una viga especial, llamada viga conjugada, que está cargada con el diagrama 60E7 de la viga original. En relación con el m$todo del área de momentos tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero y, por consiguiente, en todos los casos se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión de cualquier punto de la elástica. %u aplicación se fundamenta en dos proposiciones. P:
!a tabla de equivalencias se puede explicar de la siguiente manera* si el apoyo es simple habrá rotación pero no deflexión, lo cual implica que en la viga conjugada debe haber corte pero no momento, o sea las condiciones que ofrece el mismo apoyo simple. En el caso de empotramiento, no hay giro ni deflexión, de tal manera que en la viga conjugada no puede haber ni corte ni momento, lo cual se logra dejando dicho extremo libre. En cambio, si el extremo de la viga real está libre por ser un voladizo, tendrá rotación y deflexión, obligando a empotrarlo en la viga conjugada para que all se presenten corte y momento. En los apoyos interiores de la viga real no hay deflexión, pero la pendiente debe ser la misma hacia un lado y hacia el otro, por consiguiente, este tipo de apoyo se debe de reemplazar en la viga conjugada, por una articulación que brinda momento nulo e igual fuerza de corte a ambos lados. 8uando se presenta una articulación en la viga real, el raciocinio inverso es completamente válido, de ah que deba de reemplazarse por un apoyo interior en la viga conjugada. Puede ser que al convertir la viga real en conjugada, esta ;ltima sea inestable, la cual mantendrá su equilibrio inestable al cargarlo con el diagrama 60E7. Hay que tener en cuenta, que conviene que en todos los casos la viga conjugada sea determinada, debido a que una viga conjugada indeterminada requerirá una viga real inestable
