UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
INFORME SOBRE MATEMÁTICA II APLICADO A LA
INGENIERÍA
Integrantes:
CALDERON MACHADO MIGUEL ANGEL
HUAMANI TORRE JHOEL REYNALDO
MAMANI POMA JUDITH NATALY
TITO FERNANDEZ NAHIMI YURIKO
VILCHEZ-MORALES-MARYORI VILCHEZ-MORALES-MARY ORI YOHANA
Profesor: ASTETE CHUQUICHAICO ROLANDO GANDHI Tema: SUPERFICIES APLICADAS EN LA INGENIERÍA.
Lima - Perú 2018 1
ÍNDICE INTRODUCCIÓN………………………………………………………………… . SUPERFICIES CUÁDRICAS…………………………………………………….. PARABOLOIDE…………………………………………………………… ..……. Definición………………………………………………………………………… .. Paraboloide hiperbólico………………………………………………………….. ... Estructuras laminares de concreto armado………………………………….…… . Paraboloide elíptico…………………………………………………………..… .. Aplicación del paraboloide……………………………………….……………… HIPERBOLOIDE……………………………………………………………… .. Definición……………………………………………………………………….. Historia………………………………………………………………………….. Propiedades…………………………………………………………………….. SUPERFICIE CÓNICA……………………………………………………….. Definición……………………………………………………………………… Aplicaciones…………………………………………………………………… SUPERFICIE ESFÉRICA……………………………………………………. Definición…………………………………………………………………….. Aplicación…………………………………………………………………….. SUPERFICIE CILÍNDRICA………………………………………………… Definición……………………………………………………………………… Aplicación……………………………………………………………………
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SUPERFICIES CUÁDRICAS PARABOLOIDE 1. DEFINICIÓN Supongamos el espacio tridimensional R3 dotado del sistema de coordenadas (x, y, z). Una superficie cuádrica en este espacio es una superficie asociada a una ecuación de segundo grado en las variables x, y, y z, es decir una superficie cuádrica tiene como ecuación que la representa una ecuación del tipo: Ax2 +By2 +Cz2 +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J = 0
2. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO Comúnmente llamada una silla de montar, es una superficie cuya ecuación en forma canónica es: diferentes de cero.
= − , donde a, b, c son números reales
Observaremos la
aplicación de la superficie paraboloide hiperbólico en obras de reconocimiento mundial tales como: Observaremos la aplicación de la superficie paraboloide hiperbólico en obras de reconocimiento mundial tales como:
2.1. ESTRUCTURAS LAMINARES DE CONCRETO ARMADO Eduardo Torroja, pionero en diseñar formas estructurales nuevas y sorprendentes, utilizó magistralmente las estructuras laminares, de las que destacan la lámina cilíndrica del Frontón Recoletos, los sectores de hiperboloide de la tribuna del Hipódromo de la Zarzuela, y la cúpula semiesférica del Mercado de Algeciras. Félix Candela ha sido sin duda el mayor impulsor de las estructuras laminares, se dedicó al diseño y construcción de numerosas estructuras con cascarones de hormigón, convirtiéndose en poco tiempo en el líder mundial de tales estructuras, con obras tan emblemáticas como el Restaurante Manantiales en Xochimilco, cerca de la ciudad de Méjico, o la Capilla de Lomas de Cuernavaca La idea fundamental de las estructuras laminares es : “Evitar en la medida de lo posible los esfuerzos de flexión mediante la forma adecuada”. Así es como la curvatura de la lámina transforma las fuerzas externas en esfuerzos directos o de membrana, situados exclusivamente en la superficie de la cáscara, de tal modo que pueden ser resistidos con un espesor mínimo, de escasos centímetros. La eficacia de la lámina como elementos estructurales se basa en su capacidad para transmitir fuerzas actuando 3
como una membrana, es decir mediante un flujo de fuerzas actuando en su plano medio sin flexión. Por tanto la lámina debe ser diseñada para que se aproxime lo más posible al estado de tensión de membrana, de modo que se reduzca al mínimo la flexión, y pueda considerarse como una perturbación local o unas tensiones secundarias.
3. PARABOLOIDE ELÍPTICO Es una superficie cuya ecuación en forma canónica es:
= + donde
a,b, c son números reales diferentes de cero. En el caso que a = b se llama un paraboloide circular y es además una superficie de revolución. La orientación del paraboloide elíptico depende del valor de c, si c > 0 es orientada hacia arriba, y si c < 0 hacia abajo. Observaremos la aplicación de la superficie paraboloide elíptico en aparatos tales como:
3.1 ANTENAS PARABOLOICAS Las Antenas parabólicas o satelitales; en el término más sencillo son dispositivos de formas muy diversas que, en los emisores y receptores de ondas electromagnéticas, sirve para emitirlas o recibirlas. En otros términos, utilizados por los expertos en telecomunicaciones, o recepción de ondas o simplemente en un sistema radiotransmisor, una antena es un elemento que tiene la misión de lanza al espacio la energía electromagnética suministrada por un generador y conducida por una línea de transmisión apropiada. ¿Por qué las antenas tienen forma parabólica? Recordemos como se define la cónica denominada parábola: Una parábola es una curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un punto concreto, denominado foco, y de una recta concreta, llamada directriz. Un paraboloide es una figura tridimensional obtenida al hacer girar una parábola respecto a una cierta recta, que es el eje del paraboloide. La razón entonces por la cual las antenas tienen esta forma será porque Los rayos paralelos al eje de simetría de la parábola son reflejados por la misma hacia su foco si nosotros construimos un paraboloide y colocamos un receptor de señal en el foco del mismo, podremos enviar señales paralelas al eje del paraboloide con la total seguridad de que todas ellas serán recibidas por dicho receptor. O podemos orientar un paraboloide con un receptor en su foco hacia el Sol para acumular así energía solar, que a pequeña escala puede aplicarse a la cocina y a gran escala en centrales de captación de energía solar. 4
HIPERBOLOIDE 1. DEFINICIÓN Superficie creada al girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes de simetría. La rotación alrededor del eje conjugado produce un hiperboloide de una hoja.
La rotación alrededor del eje transversal crea un hiperboloide de dos hojas.
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2. HISTORIA Una torre de celosía en acero pasó a ser la primera estructura hiperboloide del mundo. Ubicada en la localidad de Polibino, región Lipetsk. Esta torre de asombrosa belleza, patentada en el 1896 por el ingeniero y científico ruso, Vladimir Shújov, considerado uno de los más importantes ingenieros europeos.
Torre de agua de Vladimir Shújov(1896)
Oscar Niemeyer en la obra de la Basílica de Brasilia uso una forma compacta y limpia, un volumen capaz de contemplarse con la misma pureza desde cualquier perspectiva y a la vez, de profunda expresión religiosa. Utilizó en esta, la estructura hiperboloide, construida de hormigón, y parece que con su techo de vidrio se alzara abierto hacia el cielo, la estructura hiperboloide en sí es el producto de 16 idénticas columnas que tienen una sección hiperbólica y pesan 90 toneladas, representan dos manos moviéndose hacia el cielo. Otro de los que también utilizaron la estructura hiperboloide fue el Ingeniero Español Eduardo Torroja, quien diseñó la torre de agua de cáscara delgada en Fedala y la azotea de Hipódromo de la Zarzuela en forma de hiperboloide.
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3. PROPIEDADES DE LAS ESTRUCTURAS HIPERBOLOIDES Las estructuras hiperboloides tienen una curvatura Gaussiana negativa, lo que significa que su forma curva suele ser hacia dentro en vez de rectas o hacia afuera. Al ser una superficie doblemente reglada, se pueden hacer con un entramado de vigas rectas, por lo tanto, suelen ser fáciles de construir y más fuertes que las estructuras curvadas, las cuales no están regladas y en su lugar deben ser construidas con vigas curvadas
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Las estructuras hiperboloides suelen ser más estables frente a las fuerzas externas que los edificios "rectos", pero sus formas a menudo generan grandes cantidades de volumen inutilizable (baja eficiencia). Por lo tanto, se utilizan con mayor frecuencia en estructuras de un sólo propósito como torres de agua, torres de enfriamiento, y estructuras con un fin estético. Estas estructuras son preferidas en las torres de enfriamiento. En la parte inferior, el ensanchamiento de la torre proporciona una gran área donde se evaporará el agua circulada. Al evaporar y elevarse, el estrechamiento a mitad de la torre acelera el flujo laminar y, a continuación, al ensancharse, el contacto entre el aire caliente y el atmosférico permitirá una mezcla por turbulencia.
Torre de telecomunicaciones de Cantón 8
SUPERFICIE CÓNICA 1. DEFINICIÓN Sea C una curva plana y sea V un punto fijo no contenido en el plano de la curva. Si por cada punto de C se hace pasar una recta que también pasa por el punto fijo V se genera una superficie denominada superficie cónica o cono. A la curva C se le denomina directriz, al punto fijo vértice y a cualquiera de las rectas generatriz de la superficie cónica.
Figura n°1: superficie cónica
2. ECUACIONES DE LA SUPERFICIE CÓNICA El vértice divide al cono en dos partes llamadas ramas del cono, muestra porciones de dichas ramas. La figura muestra también la generatriz que pasa por el punto genérico P0= (x0, y0, z0) de la directriz. Si V = (P 1, P2, P3) y P = (x,y,z) es un punto cualquiera en dicha generatriz, diferente de P0, entonces debe verificarse:
0−1 −1 = 0−2 −2 = 0−3 −3 Figura n°2: elementos de la superficie cónica
3. HOTEL RYUGYONG
Figura n°3: vista del hotel Ryugyong
El Hotel Ryugyong es un rascacielos pendiente de inauguración situado en Pionyang, la capital de Corea del Norte. El edificio también es conocido como Edificio 105, debido al número de plantas que tiene. Su construcción se remonta al año 1987, pero se detuvo en 1992 debido a que el país entró en una época de crisis después de la disolución de la Unión Soviética
4. SONDEO DE PENETRACIÓN DE CONO La idea de introducir barras en el suelo para determinar su resistencia es muy vieja. Un método se desarrolló por collin en Francia en 1846. 9
En los tiempos tempranos de la ciencia en mecánica de suelos una prueba de cono se desarrolló, como el nombre indica, utilizó un cono con un ángulo de punta de 90°, descansa sobre una muestra de suelo cohesivo y progresivamente se va cargando. Terzaghi en 1953 retoma un primer experimento hecho en 1929 en new york para determinar la resistencia ala penetración en arenas con el uso de un penetrómetro de cono. El experimento condujo a la determinación de las características de depósito de suelos glaciares. De 30cm de espesor, bajo un lecho rocoso para eliminarlos efectos de profundidad, terzaghi utilizó un mecanismo hidráulico donde la punta fue un cono.
Figura n°4: penetrómetro de cono
La primera oportunidad para iniciar esta técnica, se presentó en el proyecto Texcoco en 1967, se pensó desarrollar un cono eléctrico para explorar con eficiencia una vasta zona del lago Texcoco. Desafortunadamente no llegó a fabricarse porqué en ese entonces se consideró más confiable realizar ese trabajo con veleta. En 1979 se volvió a presentar la oportunidad de desarrollo esta vez para complementar el estudio geotécnico de la presa Tamesí.
5. TIPOS DE ENSAYO DE PENETRACIÓN DE CONO (CPT) CONO MECÁNICO Proporciona los cálculos para la cimientación de edificios mediante medición de la resistencia del cono a intervalos regulares de 20 centímetros, los más usuales son: el cono holandés con un montón cónico y el cono Begemann con fricción del manguito local.
Figura n°5: cono holandés
Figura n°6: cono Begemann
CONO ELÉCTRICO Recoge una información más completa, permitiendo una mejor clasificación de las capas del suelo, por ejemplo, la detección de una capa fina de turba en suelos arcillosos.
Figura n°7: cono eléctrico
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SUPERFICIES ESFÉRICAS 1. DEFINICION: Para empezar a definir que son las superficies esféricas, primero debemos definir que es una esfera. Pues la esfera es aquel cuerpo geométrico que se halla acotado por una superficie de revolución curva y cerrada. Cuyos puntos de dicha superficie se hallan equidistantes de un punto llamado centro. La unión del interior de la esfera y la superficie se le conoce como bola cerrada.
2. ECUACIÓN DE LA ESFERA: Superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos de coordenadas (x, y, z) del espacio cuya distancia a un punto fijo C(a, b, c) que es el centro de la esfera, es una cantidad constante r > 0, es decir, el radio de la esfera. Ecuación cartesiana:
( − ) + ( − ) + ( − ) = En un espacio euclidiano tridimensional, los puntos de la superficie esférica pueden ser parametrizados:
== ++ cossi n si n si n = + cos
El estudio de estas ecuaciones tiene un gran aporte en el ámbito de la topografía y la geología, además ayuda en la localización de puntos GPS.
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3. APORTES: 3.1. Georreferenciación y sistema de coordenadas La georreferenciación es el uso de coordenadas de mapa para asignar una ubicación espacial a entidades cartográficas. Todos los elementos de una capa de mapa tienen una ubicación geográfica y una extensión específicas que permiten situarlos en la superficie de la Tierra o cerca de ella. La capacidad de localizar de manera precisa las entidades geográficas es fundamental tanto en la representación cartográfica como en SIG. La correcta descripción de la ubicación y la forma de entidades requiere un marco para definir ubicaciones del mundo real. Un sistema de coordenadas geográficas se utiliza para asignar ubicaciones geográficas a los objetos. Un sistema de coordenadas de latitud-longitud global es uno de esos marcos. Otro marco es un sistema de coordenadas cartesianas o planas que surge a partir del marco global. Los datasets SIG (sistema de información geográfica) incluyen ubicaciones de coordenadas dentro de un sistema de coordenadas cartesianas o globales para registrar ubicaciones y formas geográficas. De este modo, es posible superponer capas de datos SIG sobre la superficie de la Tierra.
Latitud y longitud Un método para describir la posición de una ubicación geográfica en la superficie de la Tierra consiste en utilizar mediciones esféricas de latitud y longitud. Estas son mediciones de los ángulos (en grados) desde el centro de la Tierra hasta un punto en su superficie. Este tipo de sistema de referencia de coordenadas generalmente se denomina sistema de coordenadas geográficas.
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SUPERFICIES CILÍNDRICAS DEFINICIÓN: Las superficies cilíndricas son aquellas superficies generadas por una recta, llamada generatriz, cuando se desplazan a través de una curva plana (directriz), manteniéndose siempre paralela a sí misma.
La ecuación de una superficie cilíndrica de directriz
y generatriz [ paralela a u → (u1,
u2, u3) y que corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)], se obtiene reemplazando en la ecuación
de la curva directriz las coordenadas de P0, despejadas de la ecuación de . Entonces, si
) , = 0 : { 1(, 2(,,) = 0
las ecuaciones de
y son: y
= + 1 : == ++ 3 2
Despejando las coordenadas de Po se obtiene y reemplazándolas en la ecuación de obtiene:
== −− 2 1 = − 3
→
se
1,−−2,, 2, −−3) = 0 { 21(( −−1, 3) = 0
Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica
FRANKFURT: TORRE WESTHAFEN En primer lugar, Frankfurt o llamado también (Frankfurt am Main en alemán), nombre otorgado por su ubicación a orillas del río Main (río Meno), es la ciudad más poblada e importante del estado federado de Hesse, Alemania. 13
Frankfurt, posee entre sus calles la sede del Banco Central Europeo, del Banco Federal de Alemania, la Bolsa de Frankfurt y una gran cantidad de bancos comerciales, lo que la ha convertido en una metrópolis por su importancia como centro financiero y como núcleo central de la región Rin-Meno. Esta región concentra en su conjunto aproximadamente a cinco millones de habitantes, en la que se destaca una gran proporción de extranjeros, dejando al Aeropuerto de Frankfurt dentro de la lista de los aeropuertos más internacionales del mundo. Uno de los sitios más importantes de Frankfurt es la ubicación de la Torre Westhafen que ofrece un diseño único con su torre cilíndrica hecha completamente de vidrio. La ubicación está llena de vida y el edificio en sí está a solo unos metros del río Main, que ofrece vistas espectaculares desde cualquier punto de la oficina. Este rascacielos de 30 pisos proporcionará la cantidad más notable de luz natural para que trabaje cualquier equipo. El espacio de oficinas está lleno de comodidades, y la estación central de Frankfurt está a solo cinco minutos a pie, con enlaces de autobús también disponibles. La torre Westhafen está rodeada de hoteles internacionales, como el Hotel InterContinental y el Le Méridien Parkhotel; ambos están a solo unos minutos de distancia. El Museo Giersch der Goethe-Universität y Liebieghaus Skulpturensammlung están muy cerca, y esta conveniente área también ofrece una gran variedad de restaurantes a poca distancia.
La torre Westhafen es un espectacular edificio de oficinas, en forma de cilindro, de 109 metros de altura y 37,5 metros de diámetro que, inmediatamente, llama la atención al cruzar el río Main.Esta obra maestra de los arquitectos Schneider y Schumacher (recibió un premio por su diseño) es una reminiscencia de las torres históricas de Frankfurt, que en el pasado marcaron la entrada de la ciudad. 14
Su forma distintiva ha hecho que la Westhafen Tower sea uno de los edificios más conocidos de la ciudad. Los 3.556 elementos triangulares de la fachada forman una brillante cáscara verde de más de 12.000 m². La torre tiene 5 pisos subterráneos, 2 pisos mecánicos y 29 pisos de forma cuadrada que permiten la partición fácil y eficiente del espacio. Círculo y cuadrado se complementan entre sí de una manera creativa. Dispone de 299 plazas de aparcamiento, de 9 ascensores y de 30 jardines de invierno, creados en los espacios abiertos, que permiten reducir el consumo de energía de la torre. Las ventanas triangulares facilitan la ventilación natural de las oficinas y para la refrigeración del edificio se utiliza el agua del río Main.
Detalle de la fachada
Ciudad de Frankfurt
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Bibliografía: Antenas parabólicas o satelitales. (s.f.). Obtenido de http://misistemasolar.com/antenasparabolicas-o-satelitales/ EL PAIS. (s.f.). Obtenido de https://elpais.com/elpais/2017/01/04/el_aleph/1483528157_923387.html Garralón, F. C. (s.f.). EL PARABOLOIDE HIPERBOLICO COMO GENERADOR INAGOTABLE DE . Obtenido de http://oa.upm.es/3708/2/GARRALON_PON_2008_01.pdf gaussianos. (s.f.). Obt enas-parabolicas/ enido de https://www.gaussianos.com/el-porque-de-laforma-de-las-ant PARABOLOIDE HIPERBOLICO. (s.f.). Obtenido de Rubenllera: https://rubenllera.wordpress.com/2014/04/15/paraboloide-hiperbolico/ Saenz, A. (s.f.). LAS CUADRICAS EN LA INGENIERIA. Obtenido de http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Chip%20geo m%C3%A9trico/Cu%C3%A1dricas%20en%20la%20Ingenier%C3%ADa..pdf SUPERFICIES. (s.f.). Obtenido de https://matematicas.uniandes.edu.co/~jarteaga/coordcalvec/material/cap1-superficies.pdf VICEVERSA MAGAZINE . (s.f.). Obtenido de Los cascarones del arquitecto Félix Candela Outeriño: https://www.viceversa-mag.com/los-cascarones-del-arquitecto-felix-candela-outerino/ Jimenez, B. (2015). Métodos de exploración por cono.Recuperado de https://prezi.com/d366e7y0jw2e/metdo-de-exploracion-por-cono-electrico/ (2015). Cono..Recuperado de https://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)
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