SOLUCIONARIO Nº1
MATEMÁTICA BÁSICA 1
ELABORADO POR: ING. FLAVIO PARRA T REVISADO POR : ING. FRANKLIN CUMBAL
SEMESTRE: OCT/2010-FEB/2011
BLOQUE I a) En ejercic ejercicios ios 0.3 de página página 14, 14, resuelva resuelva los proble problemas mas 38, 38, 58, 67, 67, 83
( x 2 )3 (x 3 )2 . Simplifique y exprese su respuesta en términos de exponentes ( x 3 )4
38.- Para
positivos. x6x6
=
1/ 6
1/ 5 ( x −4 ) 58.-
=
[
5
]
1/ 6
−4
x
=
5
67.- Para
=
5 4
4
a 2 b
6 5
2
•
x
4
a 2 b 3
4
a 2 b 3
−4
= 6 5
20
=
(ab c) (a c ) −1
=1
1 x
4
, racionalice el denominador.
( 2 ) 4 (a 2 b 3 ) 4
5
=
a 4 b 4
20
16a 10 b 15 ab
8
−3
83.- Para
x 12
. De la forma exponencial escriba en forma de radicales.
a 2 b
2
=
;
x 12
x 12
. Simplifique y exprese la respuesta en términos de exponentes
−3
2
positivos. De ser necesario necesar io racionalice el denominador. deno minador.
=
a 8 b −24 c 8 a 3 c −6
= a b 5
−24
c
14
=
a 5 c14 b 24
b) En ejercic ejercicios ios 0.4 de páginas páginas 18 y 19, 19, resuelva resuelva los los problema problemass 28, 37, 37, 47, 49 Realice las operaciones indicadas: 28.-
x
−1
2 x
+5
= 2 x x +5 x − 2 = 2x + 3 x −5 37.-
[ (
)() (
x 2 x+5 x
−
x
− 5 = 2(
x)
2
+3
x
) + 4[ 2x( x − 6) ] ]
7
1
−5
= x [2( x 2 − 2x − 35) + 4[2 x 2 −12 x ]] = x [x 2 − 2x − 35 + 8x 2 − 48x ] = x [9x 2 − 40 x − 35] = 9 x 3 − 40 x 2 − 35x 6x 5
47.-
+ 4x 3 − 1 2x 2
=
6x
5
2x
2
+
4x
3
2x
2
1 −
2x
2
=
3x
3
+
2x
1 −
2x
2
49.- ( x 2 + 5x − 3) ÷ ( x + 5)
c) En ejercicios 0.5 de página 21, resuelva los problemas 6, 15, 17, 41, 45 Factorice completamente las expresiones: 6.- 6u 3 v 3 + 18u 2 vw 4 −12 u 2 v 3
= 6u 2 v(uv 2 + 3w 4 − 2 v 2 ) 15.- x 2 + 6x + 9
= ( x + 3) 2 “Trinomio cuadrado perfecto” 17.- 5x 2 + 25x + 30
= 5 x 2 + 5x + 6 = 5( x + 3)( x + 2 ) 41.- ( x + 3) 3 ( x −1) − ( x + 3) 2 ( x −1) 2
= ( x + 3) 2 ( x −1)[( x + 3) + ( x −1)] = ( x + 3) 2 ( x −1)( 2x + 2 ) = 2( x + 3) 2 ( x −1)( x +1) 45.-
y4
−1
= ( y 2 −1)( y 2 +1) = ( y −1)( y +1) ( y 2 +1)
2
d) En ejercicios 0.6 de página 26, resuelva los problemas 25, 28, 39, 48 Simplifique las expresiones: x
25.-
=
2
x
2
x
2
x
2
+
7x
+ 10
6x
+
−
2x
−8
−
3x
−
+
5
=
4
( x + 2)( x + 5) ( x + 5)( x + 1) ( x − 4)( x + 2) ( x − 4)( x + 1)
x =
+
2
x +1 x
+
2
=
( x + 2)( x + 1) ( x + 1)( x + 2)
=1
x +1
6x 2 y + 7 xy − 3y xy − x + 5 y − 5
28.-
=
x 3 y + 4x 2 y xy − x + 4 y − 4
= y (6 x 2 + 7 x − 3 = y( 3x −1)( 2 x + 3) xy − x + 5y − 5 = ( xy − x ) + ( 5 y − 5) = x ( y −1) + 5( y −1) = ( y −1)( x + 5) x 3 y + 4 x 2 y = x 2 y( x + 4 ) xy − x + 4 y − 4 = ( xy − x ) + ( 4 y − 4 ) = x ( y −1) + 4( y − 1) = ( y − 1)( x + 4)
6 x 2 y + 7 xy − 3y
y( 3x − 1)( 2x + 3)
( y − 1)( x + 5) x 2 y( x + 4 ) ( y − 1)( x + 4)
=
=
y( 3x − 1)( 2x + 3)( y − 1) x 2 y( y − 1)( x + 5)
=
( 3x − 1)( 2 x + 3) x 2 ( x + 5)
− 3x 2 −3 + 39.x −1 5 − 4x − x 2 4
4 3x 2 − 3x 2 = −3+ = −3+ ( x + 5)( x − 1) x −1 − ( x 2 + 4 x − 5) x − 1 4( x + 5) − 3( x + 5)( x − 1) + 3x 2 4x + 20 − 3( x 2 + 4x − 5) + 3x 2 = = ( x + 5)( x − 1) ( x + 5)( x − 1) 4x + 20 − 3x 2 − 12x + 15 + 3x 2 − 8x + 35 = = ( x + 5)( x − 1) ( x + 5)( x − 1) 4
x
48.-
x
2
+
−1
5x 3+
1 +
6
x
−
−
7
x
+
2
=
3
3
=
( x − 1) 1 − ( x + 3)( x + 2 ) x + 2 9+x
−
( x − 1) − ( x + 3) ( x + 3)( x + 2)
=
7
x
3 x =
−1−
x
−
3
−
2
+
2
3
( x + 3)( x + 2 ) x
+
=
4
( x + 3)( x + 2 ) x
3
+
2
=
− 12
( x + 3)( x + 2 )( x + 2 )
3 12
= −
( x + 3)( x + 2) 2
e) En ejercicios 0.7 de páginas 34, 35, resuelva los problemas 41, 59, 63, 96 Resuelvas las ecuaciones: x+2
41.-
3 x +2
−
−
2−x 6
= x −2
2−x
− ( x − 2) = 0 3 6 2 ( x + 2 ) − ( 2 − x ) − 6( x − 2 ) 6 2 x + 4 − 2 + x − 6 x + 12 = 0 - 3x
59.-
= -14
3x − 2 2x + 3 3x − 2 2x + 3
=
−
x
=
=0
- 14
x
-3
- 3x + 14 = 0
;
=
14 3
3x − 1 2x +1
3x − 1 2x + 1
=0
( 3x − 2 )( 2 x + 1) − ( 3x − 1)( 2 x + 3 ) =0 ( 2 x + 3)( 2 x + 1) 6x 2
− x − 2 − 6x 2 − 7 x + 3 = 0
- 8x
= -1
;
x
=
(6 x 2 − x − 2) − (6 x 2 + 7 x − 3) = 0
; ;
- 8x
+1 = 0
1 8
−5 7 11 = + 2x − 3 3 − 2 x 3x + 5
63.-
−5 7 11 − − =0 2 x − 3 − ( 2 x − 3) 3x + 5 − 5( 3x + 5) + 7( 3x + 5) −11( 2 x − 3) =0 ( 2 x − 3)( 3x + 5) −15 x − 25 + 21x + 35 − 22 x + 33 = 0 x
=
;
43 16
4
- 16x
+ 43 = 0
96.- Ingreso. El ingreso mensual de una guardería por concepto del cuidado de x niños está dado por: r = 450x , y sus costos mensuales totales son c = 380x + 3500 . ¿Cuántos niños necesitan inscribirse mensualmente para alcanzar el punto de equilibrio? En otas palabras, ¿cuándo los ingresos igualan a los costos?
= Costo total (c)
Ingreso total (r)
= 380 x + 3500
450 x
;
“Punto de equilibrio”
70x
= 3500
;
x
= 50
f) En ejercicios 0.8 de páginas 42, 43, resuelva los problemas 29, 53, 65, 73 Resuelva las ecuaciones: 29.- p ( p − 3) 2 − 4( p − 3) 3 = 0
( p − 3) 2 [ p − 4( p − 3) ] = 0
( p - 3) 2 ( p - 4p +12 ) = 0
;
( p − 3) 2 ( − 3 p +12 ) = 0
53.-
( p - 3) 2 = 0
;
- 3p +12
;
=0
1
−
( x − 2) 2
12
( p - 3) 2 = 0
2
;
x2
−
−1
x ( x −1)
( x −1)( x + 1)
−
=
=
1
;
x −2
=1
+2 =0 x -1 = 0 73.-
x
−
=4
=1
=
11
x
;
x
=
15 7
5
x2
x ( x −1)
−
+2 = 0
= -2 x =1 x
7x - 14
;
2 x2
=0 ;
; - x2 - x +2
( x + 2 )( x −1) = 0 x
=3
2
1
2x 2 - x 2 - x - 2x 2
7
5x - 10
1
2
u
;
Volvemos a sustitución:
65.-
p
p
1 1 = = x - 2 ( x - 2 ) 2 ( u - 7 )( u − 5) = 0
2
x −2
−12u + 35 = 0 u -7 =0 u =7 u -5 =0 u =5
x-2
;
;
2
1
u2
1
p - 3 = 0
+ 35 = 0
x −2
Sustitución: u =
5=
= -12
- 3p
;
"Solución" " No es solución"
2x +1 +1 = 0
5
2x 2
=0
− x ( x + 1) − 2( x −1)( x + 1) =0 x 2 ( x − 1)( x + 1) ;
x2
+x −2 = 0
(
x
+1) = (
2 x
=x
=x2 x =0 4 - x =0 4x
2 x +1)
2
2
(2
;
;
x
x)
= (x)2
4x - x 2
; ;
-x
2
=0
= -4
+2
x
+1 = 2x +1
x(4 - x)
;
;
x
=0
=4
BLOQUE II a) En ejercicios 1.1 de páginas 51, 52, 53, resuelva los problemas 7, 11, 15, 21, 41 7.- Vereda de jardín . Se va utilizar un terreno rectangular de 4m por 8m, para plantar un jardín. Se decide construir un corredor pavimentado en todo el borde, de manera que queden 12 metros cuadrados para cultivar flores. ¿Cuál debe ser el ancho del corredor?
A
= LargoxAncho
12
= 32 - 24x + 4x 2
− 6x + 5 = 0 x -5 =0 x -1 = 0 x2
12 ;
4x 2 - 24x
+ 20 = 0
( x - 5)( x - 1) = 0
;
=5 x =1
= ( 8 - 2x ) ( 4 - 2x )
x
" Solución"
11.- Inversión. Una empresa desea invertir $20000 en dos empresas de modo que el ingreso total por año sea de $1440. Una empresa paga el 6% anual; la otra tiene mayor riesgo y paga el 7,5% anual. ¿Cuánto debe invertir en cada empresa? Recuerde: Interés: I = Cit
6
0.06 x
+ 0.075( 20000 − x ) = 1440
0.06x +1500 - 0.075x
= 1440
;
- 0.015x
= -60
;
x
= 4000
15.- Programa de expansión . En dos años, una compañía iniciará un programa de expansión. Ha decidido invertir $3´000000 ahora, de modo que en dos años el valor total de la inversión sea de $3´245000, la cantidad requerida para la expansión. ¿Cuál es la tasa de interés anual, compuesta anualmente, que la compañía debe recibir para alcanzar su objetivo? Valor acumulado cada año
= Capital + Interés
3´000000 + 3´000000 • i •1 = 3´000000(1 + i )
“Valor acumulado en un año”
3´00000(1 + i ) + 3´00000(1 + i ) • i •1 = 3´000000(1 + i )(1 + i) ”Valor acumulado en 2
años” 3´000000(1 + i )
(1 + i )
2
=
2
= 3´245000
1.08167
(1 + i ) 2 =
;
;
i
3´245000 3´000000
= 0.04x100 = 4%
21.- Punto de equilibrio. Un fabricante de juegos de video, vende cada copia en $21.95. El costo de fabricación de cada copia es de $14.92. Los costos fijos mensuales son de $8500. Durante el primer mes de ventas de un juego nuevo, ¿cuántos debe vender para llegar al punto de equilibrio (esto es, para que el ingreso total sea igual al costo total)? pv Cv
= $21.95 = $14.92
Cf = $8500
r = c
" Punto de equilibrio"
r = 21.95q 21.95q q
c
=14.92q +8500
=14.92q +8500
=1209.10
q
=1209
;
7.03q
= 8500
unidades
41.- Bienes raíces . Una compañía fraccionadota compra un terreno en $7200. Después de vender todo excepto, 20 acres, con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original, recuperó el costo total de la parcela. ¿Cuántos acres se vendieron?
7
= número de acres comprados Costo total = ( costo/acre) • ( número de acres comprados) 7200 + 30 ( x − 20 ) 7200 = x 7200 + 30x ( x - 20 ) 7200 = ; 7200x = 7200x - 144000 + 30x 2 - 600x x 30x 2 - 600x - 144000 = 0 ; x 2 - 20x - 4800 = 0 ; x = 80 x = -60 ( x - 80 )( x + 60 ) = 0 x - 20 = 60 " Se vendieron" x
b) En ejercicios 1.2 de página 58, resuelva los problemas 23, 27, 32 Resuelva las desigualdades: 23.- − 3x +1 ≤ −3( x − 2) +1
− 3x +1 ≤ −3x + 6 +1 ; 0 ≤6 " Solución : Reales "
- 3x + 3x
≤ 7 -1
1
27.- 2x + 13 ≥ x − 7 3
2x −
1 3
x
≥ −7 −13
5
;
3
x
≥ -20
;
x
≥ -12
Solución : [- 12 , ∞ )
32.- 9 − 0.01x
≤ 2 − 0.01x 0.2
≤ 2 - 0.01x 0.01x - 0.002x ≤ 2 - 1.8 x ≤ 25 0.2( 9 - 0.01x )
;
1.8 - 0.002x
;
0.008x
≤ 2 - 0.01x
≤ 0.2
Solución : (- ∞, 25]
c) En ejercicios 1.3 de páginas 60, 61 resuelva los problemas 2, 4, 7 2.- Utilidad. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo de material es de $2.50 y el de mano de obra de $4. El costo fijo constante, sin importar el volumen de las ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista es de $7.40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades.
8
= $7.40 Cv = 6.5q Cf = 5000
pv
Utilidad
>0
r - c
>0
7.40q - ( 6.5q + 5000 ) 0.9q
> 5000 q > 5556
>0 q > 5555.56
4.- Fabricación de camisetas . Una fábrica de camisetas produce N prendas con un costo total de mano de obra de 1.3N y un costo total por material de 0.4N. Los costos fijos constantes de la planta son de $6500. Si cada camiseta se vende en $3.50, ¿cuántas deben venderse para que la compañía obtenga utilidades?
= 3.50N Cv = 1.7N Cf = $6500
pv
Utilidad
>0
r - c
3.5N - (1.7N + 6500 ) 1.8N N
> 6500
>0
>0 N
> 3611.11
> 3612
7.- Inversión. Una compañía invierte un total de $30000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5% y 6.75%. Desea un rendimiento anual que no sea menor al 6.5%. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir a la tasa de 6.75%?
+ 0.05(30000 - x ) > 0.065(3000 0) 0.0675x +1500 − 0.05x >1950 0.0175x > 450 x > 25714.29 0.0675x
d) En ejercicios 1.4 de páginas 64, 65 resuelva los problemas 21, 29, 35 Resuelva las desigualdades. 21.-
5x
2
−
5x − 2 = 0
29.-
0
=
;
5x
=2
;
x
x +9 <5
9
=
2 5
−5 < x + 9 < 5 - 14 < x < -4 3x
35.-
−8
2
3x − 8 2 3x
2 3x
x
Solución : ( - 14 , - 4 )
≤-d
≤ −4
o
x
;
x
≥4
≥ 16
≥d
“Solución”
3x - 8 ≤ -8
;
≤0
3x − 8
<5-9
≥4
≥d
x
-5-9
;
≤0
;
3x - 8 ≥ 8
;
x
≥
16 3
( - ∞, 0 ]
16 , ∞ 3
Solución :
BLOQUE III a) En ejercicios 2.1 de páginas 81, 82 resuelva los problemas 15, 38, 47 15.- Para h ( s ) = 2s 2 s
4 −s2 2s 2
− 7s − 4
− 7s − 4 = 0
=-1
2
s
. Determine el dominio de la función.
( 2s +1) ( s - 4 ) = 0
=4
Df = R - -
38.- Si f ( x ) = 2 x 2 − x +1 , encuentre
1 , 4 2
f ( x ) − f ( 2 ) x −2
2 2 2 ( 2x - x + 1) − 2( 2) − ( 2) + 1 2x − x + 1 − 7 = =
x−2
2
=
2x - x - 6 x-2
=
x−2
( 2x + 3)( x - 2 ) x-2
= 2x + 3
47.- Función de utilidad. Cuando se venden q unidades de un producto (q es no negativo), la utilidad P está dada por la ecuación P =1.25q . ¿Es P una función de q? ¿Cuál es la variable dependiente y cual es la variable independiente? a ) Si es P una función de q b) P es la variable dependiente porque su valor depende de la producción q q es la variable independiente
b) En ejercicios 2.2 de páginas 81, 82 resuelva los problemas 21, 26, 31
10
15.- Evalúe la función:
x− 1 G( x ) = 2 3 x
a) c)
si x ≥ 3 Determine: G(8) , ( 3) , ( - 1) , (1)
si x < 3
= 8 -1 = 7 G(-1) = 3 - (-1) 2 = 2 G(8)
= 3 -1 = 2 G(1) = 3 - (1) 2 = 2
b)
G(3)
d)
26.- Determine el valor de la expresión: 6 !. 2 !
= ( 6x5x 4x3x 2x1)( 2x1) = 1440 31.- Función de costo . En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial de un dado es de $ 850, y todos los otros costos adicionales son de $ 3 por unidad producida. (a) Exprese el costo total C(en dólares) como una función del número q de unidades producidas. (b) ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $1600?
= $3 Cf = $ 850 Cv
( b )
1600
(a)
= Cv(q) + Cf C = 3q + 850
C
= 3q + 850
;
3q
= 750
;
q
= 250
c) En ejercicios 2.3 de páginas 90, 91 resuelva los problemas 7, 17 7.- Si F( t ) = t 2 + 7 t +1 y G ( t )
=
2 t −1
. Encuentre: ( F o G )( t ) y (G o F)( t ) 2
2 = 2 + 7 2 +1 (FoG)(t) = F(G(t)) = F t - 1 t - 1 t - 1 2 4 14 4 +14( t −1) + ( t −1) = + +1 = ( t - 1) 2 t - 1 ( t - 1) 2 4 +14t - 14 + t 2 - 2t +1 t 2 +12t - 9 = = ( t - 1) 2 ( t - 1) 2
(G o F)(t) = G( F( t ) ) = G( t 2 + 7t + 1) =
2 t
2
+ 7t + 1 − 1
=
2 t
2
+ 7t
17.- Utilidad. Cierto expendio de café vende una libra por $ 9.75. Los gastos mensuales son $ 4500 mas $ 4.25 por cada libra vendida.
11
a) Escriba una ecuación r(x) para el ingreso mensual total como una función del número de libras vendidas. r ( x ) = pv . q
= 9.75x
b) Escriba una función e(x) para los gastos mensuales totales como una función del número de libras de café vendidas. e(x) = Cv(q) + Cf = 4.25x + 4500
c) Escriba una función (r-e)(x) para la utilidad mensual total como una función del número de libras vendidas. (r - e)(x) = 9.75x - ( 4.25x
+ 4500 ) = 5.5x - 4500
d) En ejercicios 2.5 de páginas 101, 102 resuelva los problemas 5, 26, 38, 45 5.- En la figura 2.28(a) se muestra la gráfica de y
= f ( x )
f(1) =1 f(-1) = 1 Estime: f(0) = 0 ¿Cuál es el dominio de f? Df = R ¿Cuál es el rango de f? Rf = [0, ∞) ¿Cuál es una raíz real de f? x = 0
a) b) c) d)
26.- Grafique la función f ( x ) = x 2 + 2x − 8 . Determine el dominio y rango, También determine las intersecciones. a) Intersección con eje x: y = 0 x2
+ 2x − 8 = 0
( x + 4) ( x - 2 ) = 0
x
= -4
x
( -4,0 ) ( 2,0 ) b) Intersección eje y: x = 0 y
= ( 0) 2 + 2( 0) − 8
y
= -8
( 0,-8)
c) Tabla de valores. x y
-6 16
-5 7
-3 -5
-2 -8
-1 -9
12
1 -5
3 7
4 16
=2
Df = R
Rf = y
≥ -9
38.- Grafique la función definida por partes. Determine el dominio y rango.
x + 1 si 0 < x ≤ 3 f(x) = 4 si 3 < x ≤ 5 x -1 si x > 5 x y
0 1
1 2
2 3
3 4
4 4
5 4
13
6 5
7 6
Df = ( 0 , ∞ )
Rf = ( 1 , ∞ )
45.- Haga un bosquejo de la grafica.
− 100x + 1000 si 0 ≤ x < 7 y = f (x) = - 100x + 1700 si 7 ≤ x < 14 - 100x + 2400 si 14 ≤ x < 21 x y
0 1000
2 800
7 1000
9 800
11 600
14 1000
14
16 800
e) En ejercicios 2.6 de páginas 108, 109 resuelva los problemas 13, 19 13.- Para y = f ( x ) =
x3
− 2x 2 + x . Determine las intersecciones y simetría. No grafique. x 2 +1
a) Intersecciones 1.- Intersección con eje x: y = 0
− 2x 2 + x =0 ; x ( x 2 - 2x + 1) = 0 2 x +1 ( 0,0 ) x =0 ( x - 1) 2 = 0 ; x -1 = 0 ; x =1 x3
2. Intersección con eje y: x = 0 y
=
(0) 3
− 2 ( 0) 2 + ( 0) =0 ( 0) 2 + 1
( 0,0 )
b) Simetría. 1.- Simetría eje x: y (-y)
−y =
x3
− 2x 2 + x x 2 +1
No Sx
2.- Simetría eje y: x (-x)
15
;
( 1, 0 )
x ( x - 1)
2
=0
y
=
( −x ) 3
− 2( −x ) 2 + ( −x ) ( −x ) 2 + 1
− x 3 − 2x 2 − x y= x 2 +1
;
No Sy
3.- Simetría al origen: x (-x) ; y(-y)
− x 3 − 2x 2 − x −y = x 2 +1
y=
;
x3
+ 2x 2 + x x 2 +1
No So
19.- Para y = f ( x ) = x 3 − 4 x . Determine las intersecciones y simetría. Grafique. a) Intersecciones 1.- Intersección con eje x: y = 0
− 4x = 0 x =0 x2 - 4 = 0 x3
x ( x 2 - 4) = 0
;
( 0,0 ) x2
=4
x
= ±2
( 2,0 )( -2,0 )
2. Intersección con eje y: x = 0 y
= ( 0 ) 3 − 4 ( 0)
y
=0
( 0,0 )
b) Simetría. 1.- Simetría eje x: y (-y) -y
= x 3 - 4x
No Sx
2.- Simetría eje y: x (-x) y
= (-x) 3 - 4(-x)
y
= -x 3 + 4x
No Sx
3.- Simetría al origen: x (-x) ; y(-y) -y
= (-x)3 - 4(-x)
-y
= -x 3 + 4x
y
c) Tabla de valores x y
-4 -48
-3 -15
-1 3
1 -3
3 15
16
4 48
= x 3 - 4x
Si So
17
