1
Universidad de Santiago de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento de Física
E3, Trabajo y energía. .……… 1 Ingeniería Ambiental, Departamento de Ingeniería Geográfica. Ingeniería Civil en Minas, Departamento de Ingeniería en Minas.
2
Coordinación L-4 Profesor Mauricio Aguilera Tapia. Jueves 11, Octubre, 2012
Resumen: En el presente informe, se analizó y calculó las diferentes fuerzas que actúan sobre 2 masas unidas a través de poleas y cuerdas. Luego a través de gráficos y procedimientos matemáticos se pudieron determinar las magnitudes de dichas fuerzas, el trabajo ejercido por cada una de ellas y la energía cinética de cada bloque en un instante de tiempo determinado, para luego establecer y poder concluir alguna relación entre estas variables.
1.
Introducción teórica. Polea.
-
-
-
La polea consiste en una rueda que gira libremente sobre un eje y un canal que rodea su circunferencia, la cual permite el paso de una cuerda u objeto similar. Existen tres tipos de poleas: fija, móvil y polipasto. Polea fija: se produce cuando esta cuelga de un punto fijo, en la cual la fuerza que se ejerce es igual a la resistencia. Esta permite una mejor posición para tirar de la cuerda, ya que cambia la dirección y el sentido de las fuerzas. Polea móvil: en este caso la polea se encuentra unida al objeto y se puede mover verticalmente a lo largo de la cuerda. Dado esto, la fuerza se multiplica, ya que la carga es soportada por ambos segmentos de la cuerda (la cantidad de poleas móviles es inversamente proporcional al esfuerzo para levantar el peso). La fuerza motriz que se emplea es la mitad de resistencia. Polea de polipasto: se utiliza para levantar grandes pesos mediante esfuerzos moderados, se compone tanto de poleas fijas como móviles.
Montaje. Se fija un riel en la mesa con la ayuda de una prensa, se instalan 2 poleas; una polea fija al final de la viga (mirando hacia el suelo) y otra móvil que se sostiene mediante una barra de soporte unida a una base magnetizada a la mesa. Luego se unen cuerpos (bloque y peso) con un cordel y finalmente se instalan los sensores de movimiento, uno para cada cuerpo como muestra la imagen. (Ver figura 1) Se deben tomar en cuenta 3 importantes observaciones: 1. El roce con el aire teóricamente es casi despreciable en una sala de laboratorio, por lo que no se considera. 2. La polea móvil, análogamente, no se debería de mover, pero al realizar los ensayos, su posición no es uniforme y por ende, modifica las condiciones del cordel que afectan en la tensión ejercida en los bloques. 3. Al soltar con la mano el sistema, influye fuertemente en la velocidad inicial de la masa 1, y por ende, nunca será 0.
2
Imagen 1: Montaje del experimento.
o Relación entre las aceleraciones de M1 y M2 (L= Largo de una cuerda a una constante) L inicial = 𝜷 + 2S2 +s1
…………
0 = 2V2 + V1
a1 = - 2a2
---------………[1]
o Tensión. Para el cuerpo 1 se tiene: ∑
N1 – P1 = m1a1 [2], como no hay movimiento en el
eje y, al aceleración es cero, por lo cual [2] = 0. Y en el eje x, (asumiendo que no existe roce cinético)
∑
[3]
A partir de [3] se determina la tensión: T = (507,6 + 0,001 g.) (1,92 + 0,05 ms-2) T = 974 + 3 (N) (Asumiendo que existe roce cinético)
∑
Donde T = m1a1 + [4], para determinar esta tensión, se necesita conocer la fuerza de roce cinético, por el momento quedará expresado, posteriormente (en el análisis) se calculará. Para el cuerpo 2, se tiene: ∑
y ∑
P2 =
[5]
⁄ + 0.2 (N) o Conservación de la energía mecánica. Existe una similitud entre los sistemas termodinámicos y los sistemas mecánicos conservativos, para los cuales se cumple la ley de conservación de la energía (mecánica).
3 En un sistema mecánico conservativo se distinguen dos tipos de energía: cinética y potencial. La energía mecánica es la suma de ambas, y se mantiene constante en ausencia de fuerzas exteriores que realicen trabajo sobre el sistema. Si hay fuerzas externas, el incremento de la energía mecánica es igual al trabajo realizado sobre el sistema por dichas fuerzas. Cálculos teóricos. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Se sabe que el trabajo se define como:
[6]
Cuerpo 1: Utilizando la ecuación [7] se puede sacar el trabajo para el peso (WP), la tensión (WT) y la normal. ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ [7] ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ (*)
⃗
[8]
⃗⃗⃗⃗⃗
Como se dijo anteriormente [2] = 0, por lo tanto, N1 = P1 ⃗⃗⃗⃗⃗ (*)
[9]
(*) Como no hay movimiento en el eje y, la distancia recorrida ( tanto el trabajo tanto de la normal como del peso es nulo. ⃗⃗⃗⃗
) = 0, por lo
⃗⃗⃗⃗⃗
De [4] se despeja: ⃗⃗⃗⃗⃗
[10]
Cuerpo 2: De [6] se obtiene: ( Por último para
) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Energía Cinética. La Energía cinética está asociada a los cuerpos que se encuentran en movimiento, depende de la masa y de la velocidad del cuerpo según la ecuación: K = (1/2) mv2 Donde m es la masa del objeto y v la velocidad del mismo. El valor de k también puede derivarse de lo que resulta la ecuación K = (m•a) • d [11]; a = aceleración de la masa “m” y d = distancia a lo largo de la cual se acelera. Teorema del trabajo de la energía cinética. El trabajo, es una forma de transferencia o cambio en la energía: cambia la posición de una partícula (la partícula se mueve). Éste cambio en la energía se mide a partir de
4 todos los efectos que la partícula sufre, para el trabajo, los efectos son todas las fuerzas que se aplican sobre ella (trabajo neto). El teorema del trabajo y la energía relaciona que el trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de energía cinética de la partícula. W = ∆K = K2 - K1 [12] 2.
Objetivos. 1. Identificar aceleraciones por uso de poleas fijas y móviles. 2. Determinar el trabajo realizado por diferentes fuerzas 3. Identificar la energía cinética. 4. Verificar el teorema del trabajo y la energía cinética.
3. Materiales. Los materiales utilizados fueron los siguientes: 4.
2 sensores de movimiento, sensibilidad: 0,001m 1 cuerpo de madera de masa 88,97. 1 cuerpo metálico de masa 63,69. Hilo. 2 poleas. 1 riel de un metro graduado, sensibilidad: 0,001m 1 base magnética. 2 varas metálicas. 1 nuez. 1 prensa. Balanza, sensibilidad: 0,001g 2 computadores con “Interfaz 500” y programa de software “DataStudio”.
Método Experimental. Errores Sistemáticos: Uno de los posibles errores sistemáticos que se evitó, fue respecto a la calibración del sensor de movimiento, como experimentadores se tomo la precaución de calibrar dicho sensor antes de comenzar las mediciones y cuidar de que apuntara en dirección del cuerpo en movimiento, con la frecuencia correcta. Los errores que se cometieron y luego se solucionaron fueron, no tomar en cuenta la oscilación que producía la masa en suspensión y se repetían los ensayos sin cuidar que la masa quedara relativamente en reposo, esto se vio reflejado en los gráficos, pero se detecto y solucionó. Por otro lado las pendientes de los gráficos de las velocidades no coincidían respecto la relación a1 = -a2 esto fue porque la masa en suspensión era de un diámetro reducido por lo cual el sensor de movimiento no alcanzaba a captarlo, la solución fue fijar a su base un círculo de cartón de gran diámetro pudiendo así el sensor de movimiento captarlo de mejor manera, esto también ayudó a que la masa no oscilara de manera relevante. Aceleraciones: Respecto a la medición de las aceleraciones, estas se medirán con ayuda del software “DataStudio”, al realizar los ensayos los datos obtenidos por los sensores generan en el “DataStudio” 3 gráficos, “Posición vs. Tiempo”, “Aceleración vs. Tiempo” y “Velocidad vs. Tiempo”. Usando el gráfico “Velocidad vs. Tiempo”, se señala la parte recta de la curva y se realiza un ajuste lineal, con esto se determina la pendiente de la curva que corresponde a la aceleración. Este procedimiento se realiza con los gráficos generados en ambos computadores y se comparan. Los datos obtenidos por el sensor que mide el cuerpo 2 (ver imagen 1) deben ser el doble de los datos obtenidos por el computador del cuerpo 1 (ver imagen 1). De esta manera se corrobora la relación [1].
5 Valor de las fuerzas involucradas. Para el cuerpo 1 (ver imagen), se tienen los datos de masa y aceleración (la aceleración fue calculada promediando las pendientes de los gráficos “Velocidad vs. Tiempo” [consultar el anexo]) el valor de T ya fue calculado en [3]. En cuanto a la ecuación [2] en el eje “y” no hubo movimiento, por lo tanto la aceleración es cero, por lo que da: N1-P1 = m•0 N1 - P1 = 0 N1 = P1, como P1=m1g, “m1” y g se conocen, N1 = m1g. Ahora, para el cuerpo 2 (ver imagen 1) no hay fuerzas en el eje x, sólo en el eje y [ecuación 5] en este caso también ya fue expresado en la introducción teórica. Para el peso del cuerpo 2, se sabe que “Peso” se define como la masa por la aceleración de gravedad, por lo tanto: P2 = m2g. Teorema del trabajo y la energía. Se puede demostrar este teorema directamente de las ecuaciones [6] y [12], y luego comparar la equivalencia de los resultados. Partiendo con la ecuación [6], como ya se tienen los valores de las fuerzas implicadas en los cuerpos (1) y (2) [Ver imagen 1] y Δd (0,400 + 0,001 m), se procede a calcular el trabajo, según la fórmula [6], de cada fuerza individual. (Ecuaciones 7, 8, 9, 10) Posteriormente se calcula el trabajo neto, el cual es la sumatoria de todos los trabajos, una vez calculados, anteriormente. Ahora, con la ecuación [12]; se conoce la masa pero se desconoce la velocidad, esta última se obtiene derivando la ecuación K = (1/2) mv2, donde se obtiene la ecuación [11], como se explica en la introducción teórica. Ahora en lugar de la variable velocidad se tiene la variable aceleración, la cual ya es conocida, por lo que sólo se remplazan los valores y se obtiene ΔK. Obteniendo tanto la ecuación [6] como la [12], se comparan ambos resultados para determinar su equivalencia. 5.
Análisis de los resultados. En la tabla 1, se muestra un resumen en Excel de los datos registrados (aceleraciones) con su respectivo error. Se observa que la aceleración de la masa 3 es negativa, esto es debido que en el sensor al “acercarse” el móvil, lo considera desaceleración, este signo puede variar según el sistema de referencia que se tome, en el caso tratado acá se consideró derecha y arriba positivos, e izquierda y abajo negativos.
Tabla1: Resumen de los datos
6 Ahora, volviendo a la relación (1) y considerando el intervalo de confianza de la aceleración obtenida se puede corroborar:
a1=2a2 1,92 = - 2(0,892) Considerando el intervalo de confianza, el resultado debería fluctuar así: [1.87, 1.97] = 2[-0.895, -0.889] Tomando los valores del extremo del intervalo de la aceleración 2: [1.87, 1.97] = [-1.79, -1.78] Considerando el valor mínimo del intervalo de la aceleración 1, como el valor de referencia, se puede sacar el porcentaje de error de los datos obtenidos. ε% ε% ε% = 4,81% Considerando esto, el resultado obtenido tuvo un error de 4,81%. Cálculos de los trabajos (W). Utilizando la ecuación [7], como ya se calculó la tensión y se tiene la distancia, la cual es 0,4 + 0,001 (m) queda: WT = (974 + 3 N) • (0.400 + 0.001m) WT = 389 + 2 (J) Utilizando la ecuación [9] y [10]. Como ya se explicó, en el eje y no hubo desplazamiento, por lo cual: [9]
WP = [(507,6 + 0,001 g.) • (9,807 + 0,001 m/s-2)] • 0 Wp = 0 (J)
[10]
WN = [(507,6 + 0,001 g.) • (9,807 + 0,001 m/s-2)] • 0 WN = 0 (J)
Ahora, para calcular el trabajo de la fuerza de roce [11], se debe conocer dicha fuerza, se sabe que = N1•μd: N normal y μd coeficiente de roce cinético. Investigando, el coeficiente de roce de la madera respecto al metal es de 0.25. Para determinar la Normal, se usa la ecuación [2], como no hay movimiento en el eje y, la aceleración es cero, por lo que [2] se iguala a cero. Despejando: N1 - P1 = 0 N1 = P1, (como P1 = m1g) P1 = (507,6 + 0,001) (9,807 + 0,001) P1 = 4978,0 + 0,5 Ahora volviendo a N1 = P1, se obtiene que N1 = 4978,0 + 0,5, se remplaza en: = N1•μd = [4978,0 + 0,5(N)] • [0,25 + 0,01] = - 1244 + 5 (N) [“-“ debido a la dirección de la fuerza en el eje x]
7 Con el valor de la fuerza de roce determinado, se puede proceder a obtener su trabajo. Wfr = - 1244 + 5 (N) • (0,400 + 0,001 m) Wfr = - 498 + 3 (J) Retomando la ecuación [5] que se dejó pendiente, ahora ya encontrado la fuerza de roce: T = m1a1+ T = [(507,6 + 0,001 g) • (1,92 + 0,02 ms-2)] + [-1244 + 5 N] T = - 269 + 6 (N) Con todas las variables despejadas y conocidas sus valores, se puede determinar la fuerza neta que actúa sobre la masa 1. FNETA = T-
+N–P
FNETA = [- 269 + 6 (N)] – [1244+ 5 (N)] + [4978 + 0,5 (N)] – [4978 + 0,5 (N)] FNETA = - 975 + 1 (N) Por lo tanto el trabajo neto corresponde a: WNETO = - Wfr + WT + WN + WP WNETO = [- 389 + 2 (J)] + [498 + 3 (J)] + [0 (J)] + [0 (J)] WNETO = 109 + 5 (J) Respecto a la energía cinética, como se planteó en [11] K1 = (m•a) • d K1 = (m•a) • 0 K1 = 0 (J) K2 = (m•a)
d K2 = (m•a) 0,400 + 0,001
K = [(507,6 + 0,001 g) • (1,92 + 0,05 ms-2)] • (0,400 + 0,001 m) K= 390 + 4 (J) Por lo tanto K = 390 + 4 (J) Los datos de trabajo y variación de la energía cinética no coinciden perfectos. 6.
Conclusiones. Si se cambiara el cuerpo 1, que es un bloque de madera, por un carro con ruedas, en primera instancia plásticas, habría un notable cambio, pues el roce sería menor, por lo cual el móvil aceleraría más rápido en comparación al bloque de madera. Esto se debe a que el coeficiente de roce cinético de la madera sobre metal es de 0,25, a diferencia del coeficiente entre metal y plástico (ruedas) que es 0,3, lo cual hace que el roce sea menor en el carro con ruedas plásticas que el bloque de madera. Si las ruedas fuesen metálicas, el coeficiente respecto el metal sería aun menor, 0,1, por ende mucho menos roce. Sobre cada cuerpo actúan muchas fuerzas a la vez, las cuales al sumarlas reciben el nombre de fuerza neta, esta equivale a la fuerza de todas las demás. Por consiguiente calcular el trabajo de la fuerza neta, implica que calcular el trabajo de todas las demás fuerzas. En ambos montajes la energía se conserva ya que en las transformaciones, la energía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes y después de cada transformación. En el experimento que se realizó en el laboratorio, su energía esta asociada a las transformaciones de tipo mecánico, por ende cuando existe roce transfiere de un cuerpo a otro la energía en forma de trabajo.
8 Como se cumple este principio de conservación de energía al medir la aceleración que se produce al recorrer cierta distancia para un cuerpo, con una masa determinada debe ser el doble del cuerpo que se encuentra unido a la primera mediante un sistema de polea. En el lanzador del proyectil al lazar un objeto, cuando este cae, la suma de las energías cinética y potencial se mantiene constante, es decir, lo que pierde en energía potencial lo gana en energía cinética. El teorema del trabajo y la energía cinética indica que la rapidez del objeto aumenta si el trabajo neto realizado sobre él es positivo, porque la energía cinética final es mayor que la energía inicial. La rapidez decrece si el trabajo neto es negativo, porque ahora la energía cinética final es menor que la energía cinética inicial.
7. Referencias. - Guía sacada del sitio Web http://fisica.usach.cl/~fisica1y2/fis1y2/exp3fis2.pdf (Experiencia n°3 - Trabajo y Energía, ) - Guía sacada del sitio Web http://fisica.usach.cl/~fisica1y2/fis1y2/anexoteoerror2.pdf (Teoría de errores). - http://www.fullmecanica.com/c/coeficiente-de-rozamiento - Libro FISICA II, versión 1, Autor: Luis Rodríguez Valencia. Departamento de Física. Universidad de Santiago de Chile.
8. Anexo. Gráficos “Velocidad vs. Tiempo”, Ensayo 6
Este gráfico corresponde al que registra los datos de la masa 1, como se observa, la pendiente de la curva entrega la aceleración del cuerpo, en este caso 2,0 + 0,1, debe corresponde al doble de la aceleración entregada por el gráfico siguiente.
9
Este gráfico corresponde al sensor que recopilaba los datos del cuerpo 2, como se observa su pendiente es negativa ya que el sensor considera un acercamiento hacia él como “retroceso” por lo que toma valores negativos. Se puede ver también que el valor de la pendiente es más o menos el doble de la pendiente del cuerpo 1, es decir, la aceleración del cuerpo 1, es dos veces la aceleración del cuerpo 2.
