Simulación de la Serie de Fourier mediante el Software MatLab Torpoco Llacza Piero Daniel Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universidad Nacional de Ingeniería
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Resumen-Este documento es el Informe Final para la experiencia de laboratorio N°1 del curso EE513 - Telecomunicaciones I, sección M. La experiencia de laboratorio se realizó en el Laboratorio de Telecomunicaciones de la Universidad Nacional de Ingeniería y estuvo a cargo de la Ing. Virginia Romero Pérez y del Ing. Eladio Jiménez Heredia.
I.
DATOS OBTENIDOS
La gráfica en MatLab de la función periódica en el tiempo que se usó para la experiencia de laboratorio es la siguiente:
Fig. 2 Espectro de frecuencia de la señal
Algunas aproximaciones resaltantes con su respectivo “n” son las siguientes: Para n=3:
Fig. 1 Señal usada en el laboratorio
La señal es un pulso cuadrado impar de amplitud 10Vpp, periodo 20ms y de 5ms de duración. La serie de Fourier de dicha función hallada de forma analítica es la siguiente: ( )
∑[
(
(
))
(
)]
( 1)
Teniendo la función, su serie de Fourier y sabiendo que el espectro de frecuencia para la función usada es la gráfica de su coeficiente , se obtuvo el espectro de frecuencia que fue el siguiente:
Fig. 3 Aproximación para n=3
Para n=30:
El espectro de frecuencia para la misma onda es:
Fig. 7 Espectro de frecuencia variando parámetros Fig. 4 Aproximación para n=30
Para n=100:
Las aproximaciones resaltantes para los mismos valores de “n” son los siguientes. Para n=3:
Fig. 8 Aproximación para n=3
Fig. 5 Aproximación para n=100
Se observa que se presenta el fenómeno de Gibbs para nuestra onda en t= -2.5ms, t=0 y en t=2.5ms. Luego se realizó variaciones en los parámetros de la función como en la amplitud, periodo y la duración. Para una amplitud 20Vpp, periodo 10ms y duración de 8ms, la función es la siguiente:
Para n=30:
Fig. 9 Aproximación para n=30 Fig. 6 Misma onda con distintos parámetros
Para n=100:
Se recomienda graficar todos los armónicos en una sola gráfica para tener una mejor vista de la simulación, además también se recomiendo graficar los armónicos junto con la señal ideal para poder observar correctamente la aproximación. E. ¿Tuvo problemas con la nueva versión de MatLab recientemente instalada en su PC? No, ya que he usado el MatLab previamente en otros cursos de la carrera y ya tengo cierto dominio de la versión instalada en mi PC. F. ¿Logró cumplir los objetivos de la práctica?
Fig. 10 Aproximación para n=100
Sí, los objetivos de la práctica fueron exitosamente cumplidos ya que se mejoró el dominio del MatLab y su pudo obtener una correcta aproximación de una función ideal mediante la serie de Fourier.
II. RESPUESTAS A PREGUNTAS
III. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES
Las siguientes preguntas serán respondidas en base a la experiencia realizada en el laboratorio.
Después de haber realizado de forma exitosa la experiencia de laboratorio se pasará a detallar lo mencionado.
A. De lo observado en el computador y del desarrollo teórico, aproxime el ancho de banda de la señal que se le asignó.
A. Observaciones
Usando el criterio de -3dB y la gráfica de la Fig. 2 se puede observar que el ancho de banda es aproximadamente para n=6 ya que el valor máximo es 1.8 o 5.11dB entonces: ( 2) B. ¿Qué diferencias importantes observa entre la función ideal y la obtenida por la serie de Fourier? Se pueden observar muchas diferencias importantes, como por ejemplo: En los puntos de discontinuidad de la función ideal se presenta el fenómeno de Gibbs. Esto se debe a que la serie de Fourier es una función continua y no presenta puntos de discontinuidad. La función obtenida por la serie de Fourier converge de forma más lenta mientras más pequeña sea la duración del pulso. Si el pulso tiene una mayor duración también las puntas debidas al fenómeno de Gibbs disminuyen su amplitud.
Para la realización del experimento se recomienda tener presente lo siguiente: Se recomienda graficar todos los armónicos en una misma gráfica junto con la señal ideal y con gráficas de distinto color para poder observar correctamente la aproximación. Para poder cambiar cada armónico al presionar una tecla se recomienda usar el comando de MatLab “pause ( )”. Se presentan problemas para la aproximación cuando la duración del pulso es corta debido al fenómeno de Gibbs. B. Conclusiones En base a los resultados obtenidos en el laboratorio se obtuvieron las siguientes conclusiones:
C. ¿Cuántos armónicos fueron necesarios para una mejor aproximación de la función que se le asigno? Para la función que se muestra en la Fig.1 se necesitan al menos 200 armónicos para obtener una aproximación relativamente estable, pero debido a la corta duración del pulso y al fenómeno de Gibbs la función no es muy bien aproximada. D. ¿Qué consideraciones adicionales requirió para su simulación?
Se demostró que una función periódica puede ser correctamente aproximada mediante el uso de la serie de Fourier. La aproximación mejora a medida que aumenta el número de armónicos usados en la serie de Fourier. El MatLab tiene un importante uso en el área de Telecomunicaciones al permitir simular ondas, sus aproximaciones y sus espectros de frecuencia. REFERENCIAS
[1] [2] [3]
Hwei. P. Hsu, Análisis de Fourier, Edición en español, Wilmington, Delaware, U.S.A, ed. Addison-Wesley Iberoamericana, 1987. Diccionario de matemáticas [Online]. Disponible: http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/p/periodicfun ction.htm. Sanjit K. Mitra, Digital Signal Processing Laboratory using MatLab, 1era edición.
