INTRODUCCIÓN
El método de trisección topográfica; consiste en determinar las coordenadas de un punto “P” siempre y cuando desde él sean visibles tres puntos físicos notables, tales como antenas de radio, de TV, torres de iglesias o simplemente hitos; y que pertenecen a una red topográfica o geodésica.
En topografía se necesita el implantar puntos porque la distancia existente entre los de tercer orden es demasiado grande para realizar tareas concretas. Se hace necesario establecer por métodos topográficos nuevos puntos, denominados vértices topográficos, de modo que la distancia entre ellos no supere la que necesita el trabajo concreto.
La aplicación fundamental del método de trisección topográfica consiste en permitir la densificación de redes existentes. También puede aplicarse para comprobar la bondad de las mismas o en los trabajos preliminares de enlace a un determinado sistema de coordenadas.
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MARCO TEÓRICO PROCESO EN LA APLICACIÓN DEL METODO DE TRISECCION TOPOGRAFICA 1. Para calcular las coordenadas de un punto “P”, es necesario las coordenadas de tres puntos.
2. En el de se hace estación punto P y miden los ángulos αyβ .
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proceso campo, en el se
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3. Mediante cálculos triviales, se obtiene
´ ; BC ´ AB
y el ángulo
^ B :
θ ;Z yZ AB CB ^ ^ De donde: A + C = 360° - ( θ+α + β )
4.
Mediante una serie de cálculos elementales: ´ 1 AB∗sin β 1 = + ^ ´ ^ ^ ^ ^ tan A BC∗sin α∗sin ( A + C ) tan( A + C) ´ 1 BC∗sin α 1 = + ^ AB∗sin ´ ^ ) tan( ^ ^ tan C β∗sin ( ^ A +C A + C)
5. Procediendo a calcular θ1 y θ2 :
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θ 1=180 °−( ^ A +α )
^ β) θ 2=180 °−( C+
6.
Haciendo propio con ZCP:
lo ZAP Y ZAP ¿ ZAB +
^ A
ZAP ¿ ZCB -
^ B
´ y CP ´ AP :
7. Calculando
sin θ 1 ´ ´ AP= ∗ AB sin α
(
)
sin θ 2 ´ ´ CP= ∗BC sin β
(
)
8. Coordenadas del punto “P” ´ XP = XA + AP∗sin Z
AP
´ XP = XA + AP∗cos Z
AP
9. Verificación:
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´ XP = XC + CP∗sin Z ´ XP =XC + CP∗cos Z
AP
AP
METODO DE TRISECCION TOPOGRAFICA MULTIPLE Puede darse el caso que en vez de tener un punto desconocido tengamos varios como por ejemplo P1, P2, P3 para determinar sus coordenadas. Este problema se denomina método de trisección topográfica múltiple y es la cual desarrollamos en campo. Se considera múltiple por ser más de uno los puntos a determinar.
Para
datos coordenadas A(X, Y), B(X, Y), C(X, Y) y los ángulos α β
1
la
,
β
resolución
,
2
β
3
numérica
tenemos
.
Formulas:
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como
1
iniciales las , α , α , 2
3
tan v=
´ AB∗sin β 1∗sin β 2∗sin β 3 ´ BC∗sin α 1∗sin α 2∗sin α 3
^ ^ Para calcular A + C : 1 ^ )=tan 1 ( ^ ^ )∗tan(45 °−v ) tan ( ^ A −C A +C 2 2
MATERIALES Y EQUIPOS 1. TEODOLITO: Es un aparato que posee múltiples usos en topografia se u sa principalmente para medir ángulos horizontales y verticales, alineación de punto en un plano horizontal o vertical, así como medida aproximada de distancias por medio del principio de estadia.
COMPONENTES CLÁSICOS DE UN TEODOLITO: A. BASE Constituida por: Una plataforma que involucra los tornillos nivelantes. El limbo horizonta, que contiene el transportador respectivo, el cual puede girar respecto al eje principal, sin embargo dicho movimiento puede ser bloqueado por el tornillo de fijación de la base. B. ALIDADA Constituida por: Una estructura en forma de Y que va montada sobre la base y puede girar respecto al eje principal, sin embargo dicho movimiento puede ser bloqueado por el tornillo de fijación de la aliada.
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El anteojo (telescopio) que puede girar respecto al eje horizontal; dicho movimiento puede ser bloqueado por el tornillo de fijación del anteojo.
OBJETIVO FUNDAMENTAL DE UN TEODOLITO: La medición de ángulos es la tarea más importante que se realiza con un teodolito; para dicho efecto se utilizan los llamados “limbos”, que son placas circulare de vidrio de algunos milimetros de espesor en cuya superficie llevan grabados trazos o líneas muy finas que definen la graduación del transportador y por ende del instrumento.
2. TRIPODE: Es un instrumento topográfico que sirve para dar soporte, fijación, estabilidad y lograr mayor precisión a la hora de utilizar los instrumentos topográficos tales como el Nivel de ingeniero, teodolito.
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Este instrumento puede ser fabricado de metal, aluminio, madera, siendo los de madera los de mayor precisión; cuenta con cuñas en sus patas que se pueden introducir en el suelo dándole una buena fijación las cuales le dan estabilidad. Sus patas cuentan con tornillos de presión (rosca derecha) que sirve para su extensión, su plataforma tiene diversas formas tales como triangular o circular.
3. JALONES Es un instrumento de metal de unos 2m de largo con diámetro de 2 pulgadas, por ser de metal es muy pesado. Este tipo de material se utiliza para obras que van a durar un buen tiempo ya que se necesitan varios jalones. Sirve básicamente para determinar la geometría del terreno a trabajar, nos indica la ubicación del punto topográfico distante ya que a una distancia mayor no es fácil la visibilidad de un punto en suelo; también son utilizados para determinar puntos intermedios alineados.
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4. ESTACAS Estos instrumentos de dimensiones de 30 centímetros de largo y diámetro de y 2pulgadas de diámetro. Son utilizados para la fijación de los vértices de un terreno en el cual se trabaja y se realiza un levantamiento topográfico.
PRÁCTICA DE CAMPO PROCEDIMIENTO DEL TRABAJO Para realizar la Trisección topográfica con nivel, partimos con la localización de tres puntos (A, C y D) obteniendo sus coordenadas con GPS; para luego ubicar cuatro puntos, luego nos ubicamosen una primera estación (punto 1), y visamos hacia los puntos A y C obteniendo el ángulo horizontal (P1), luego visamos los puntos C y 2 obteniendo otro ángulo horizontal (Q1), luego nos ubicamos en una
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segunda estación (punto 2) y visamos los puntos C y 1 obteniendo el ángulo horizontal (P2), luego visamos los puntos C y 3 obteniendo el ángulo horizontal (Q2) y se repite el proceso hasta llegar al último punto a estacionar (punto 4). C A
D
1
P1 Q1 P2 Q2 2
P3 Q 3 3 P4 Q4 4
Ahora si con todos estos ángulos obtenidos (ángulos correspondientes a los puntos 1, 2, 3 y 4), procedemos a calcular sus coordenadas.
DATOS RECOGIDOS EN CAMPO: PUNTO A: ( X = 620 883 , Y = 9 258 574 ) PUNTO C: ( X = 620 948 , Y = 9 258 580 ) PUNTO D: ( X = 621 045 , Y = 9 258 552 )
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'
P1=60 ° 2 40 ' ' Q1=52 ° 32' 50 ' ' P2=101 ° 4' 5 ' '
'
60 ° 2 50' '
,
'
60 ° 2 35' '
,
'
52° 33 05' '
,
,
'
101° 4 0 ' '
,
'
101° 4 10 ' '
,
Q2=46° 25' 30' '
,
46 ° 25 30 ' '
P3=94 ° 35' 10' '
,
94 ° 35 0 ' '
'
'
Q3=141 ° 51' 30 ' '
'
52° 33 05' '
,
'
46 ° 25 30 ' ' '
94 ° 35 10 ' '
,
141° 51' 20 ' '
,
'
141° 51 15 ' ' P4 =22° 22' 5 ' ' Q4 =83 ° 39' 15' '
22° 22' 5 ' '
,
83 ° 39' 20 ' '
,
22° 22' 10 ' '
, ,
83 ° 39' 10' '
TRABAJO DE GABINETE:
CÁLCULO DE LADOS: ´ =L1= √( 65)2 +(6)2=65.276 AC 2 2 ´ CD=L 2= √ ( 97) +(−28) =100.960
PROMEDIO DE ÁNGULOS: '
P1=
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''
'
''
'
60° 2 40 +60 ° 2 50 + 60° 2 35 ' ' =60° 2' 41.67 ' ' 3
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,
'
Q1=52 ° 33 0 ' ' P2=101 ° 4' 5 ' ' Q2=46° 25' 30' '
P3=94 ° 35' 6.67 ' ' '
Q3=141 ° 51 21.67 ' ' '
P4 =22° 22 6.67 ' ' Q4 =83 ° 39' 15' '
∢ ACD:
CÁLCULO DEL ÁNGULO ´ =√ (162)2 +(−22)2=163.487 AD
Aplicando la ley de cosenos: ´ 2= AC ´ 2+ CD ´ 2−2. AC ´ . CD ´ .cos (∢ ACD) AD 2
2
2
163.487 =65.276 +100.96 −2 ( 65.276 )( 100.96 ) cos (∢ ACD) ∢ ACD=158 ° 37' 39.24 ' ' CÁLCULO DE “ β 1+ β 2 ”:
( Pi +Q i ) +∢ ACD+(¿ β1 + β 2)=900 °
∑¿
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'
''
'
''
602° 33 6.68 +158 ° 37 39.24 + β 1+ β 2=900° β 1+ β 2=138 ° 49' 14.08' ' CÁLCULO DE “ V”: tan ( v )=
L1 . Sen Q 1 . SenQ 2 . Sen Q3 . Sen Q4 L2 . Sen P1 . Sen P 2 . Sen P3 . Sen P4
tan ( v )=
23.04617352 32.56536605
v =35° 17' 11.94 ' '
CÁLCULO DE “ β 1−β 2 ”: 1 1 tan ( β 1−β 2 )=tan ( β1 + β 2 ) . tan( 45° −v ) 2 2 1 tan ( β 1−β 2 )=0.4556466755 2 β 1−β 2=48 ° 59' 32.82 ' ' CÁLCULO DE “ β 1 ” y “ β 2 ”: β 1+ β 2=138 ° 49' 14.08' ' β 1−β 2=48 ° 59' 32.82 ' ' Resolviendo este sistema se obtiene: β 1=93 ° 54 ' 23.45 ' '
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'
β 2=44 ° 54 50.63 ' '
CÁLCULO DE LOS “ Ci ”:
L1 A
ß1
C1 + β 1 + P1=180 ° '
C1 =26 ° 2 54.88 ' '
P1 1
C2 +Q 1 + P2=180 ° C2 =26 ° 22' 55 ' '
C3 +Q 2 + P3=180 °
'
C3 =38° 59 23.33' '
C 4 +Q3 + P4=180 ° C 4=15 ° 46' 31.66' '
C5 + β 2 +Q 4 =180°
'
C5 =51° 25 54.37 ' ' CÁLCULO DE DISTANCIAS:
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C C1
Cálculo de
A´ 1 y C´ 1
:
L1 A´ 1 C´ 1 = = Sen P1 Sen C1 Sen β 1
65.276 A´ 1 C´1 = = ' '' ' '' Sen(60 ° 2 41.67 ) Sen(26 ° 2 54.88 ) Sen( 93° 54 ' 23.45' ' )
A´ 1=33.084 C´ 1=75.165
C
Cálculo de
´ C´ 2 y 12
1
´ C´ 1 C´ 2 12 = = Sen P2 Sen Q1 SenC 2
Q1 P2 2
´ 75.165 C´ 2 12 = = ' '' ' '' Sen(101 ° 4 5 ) Sen(52 ° 33 0 ) Sen(26 ° 22' 55 ' ' )
C´ 2=60.803
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C2
:
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´ 12=34.033
C C3
C C5 L2
Cálculo de
´ C´ 3 y 23
: ß2
P3 3
Q2
´ C´ 2 C´ 3 23 = = Sen P3 Sen Q2 Sen C3
2 Q4 4
´ 60.803 C´3 23 = = Sen(94 ° 35' 6.67' ' ) Sen(46 ° 25' 30' ' ) Sen(38° 59' 23.33' ' )
C
C´ 3=44.192 ´ 23=38.379
C4
Q3 3 P4
Cálculo de
´ C´4 y 34
:
´ C´ 3 C´4 34 = = Sen P4 Sen Q3 Sen C 4
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4
D
´ 44.192 C´ 4 34 = = ' '' ' '' Sen(22 ° 22 6.67 ) Sen(141 ° 51 21.67 ) Sen(15 ° 46 ' 31.66' ' )
C´4=71.722 ´ 34=31.570
Cálculo de
D´ 4
:
L2 D´ 4 = Sen Q 4 Sen C 5
100.96 D´ 4 = Sen(83 ° 39' 15' ' ) Sen (51° 25' 54.37 '' )
D´ 4=79.424
Luego las distancias son: A´ 1=33.084
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C´ 1=75.165 C´ 2=60.803 C´ 3=44.192 C´4=71.722 D´ 4=79.424 ´ 12=34.033 ´ 23=38.379 ´ 34=31.570
CÁLCULO DE COORDENADAS:
Coordenadas del Punto 1:
C A
YC - YA = 6 ß1-
XC - XA = 65
1
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( 656 )=5° 16 26.03' ' '
∅=arctan
∆ X = A´ 1. cos ( β1−∅ )=33.084 . cos (88 ° 37' 57.42' ' ) ∆ X =0.789
∆ Y =− A´ 1 . Sen ( β 1−∅ )=−33.084 . Sen(88 ° 37 ' 57.42' ' ) ∆ Y =−33.075
Entonces el punto 1
¿ ( X A + ∆ X ; Y A + ∆ Y )=(620 883.789 ; 9 258540.925)
Coordenadas del Punto 2:
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C
YC - Y1 = 39.075
XC - X1 = 64.211
1
Q1 -
2
=31 ° 19 19.96 ' ' ( 39.075 64.211 ) '
∅=arctan
´ .cos ( Q1−∅ )=34.033 . cos (21° 13 40.04 ) ∆ X =12 '
''
∆ X =31.724
´ . Sen ( Q 1−∅ ) =−34.033. Sen(21° 13' 40.04' ' ) ∆ Y =−12 ∆ Y =−12.323
Entonces el punto 2
¿ ( X 1 + ∆ X ; Y 1 + ∆ Y )=(620 915.513 ; 9 258528.602)
Coordenadas del Punto 3: ING. CIVIL
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C
YC - Y2 = 51.398
Q2
2 ∅=arctan
-Q2 XC - X2 = 32.487
=57 ° 42 15.68' ' ( 51.398 32.487 ) '
´ . cos ( ∅−Q 2 ) =38.379 .cos (11 ° 16 ' 45.68 '' ) ∆ X =23 ∆ X =37.638
´ . Sen ( ∅−Q2 )=38.379. Sen(11 ° 16 ' 45.68 ' ' ) ∆ Y =23 ∆ Y =7.507
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3
Entonces el punto 3
¿ ( X 2 + ∆ X ; Y 2+ ∆ Y )=(620 953.151; 9258 536.109)
Coordenadas del Punto 4:
C
YC - YD = 28
D
XD - XC = 97 ß2-
4 ∅=arctan
( 2897 )=16 ° 6 4.69' ' '
∆ X =− D´ 4 . cos ( β 2−∅ ) =−79.424 . cos (28 ° 48' 45.94' ' ) ∆ X =−69.591
∆ Y =−D´ 4 . Sen ( β 2−∅ )=−79.424 . Sen (28 ° 48' 45.94' ' )
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∆ Y =−38.278
Entonces el punto 4
¿ ( X D + ∆ X ; Y D + ∆ Y )=(620 975.409 ; 9 258513.722)
Luego las Coordenadas son:
Punto 1: (620 883.789 ; 9 258540.925) Punto 2: (620 915.513 ; 9 258528.602) Punto 3: (620 953.151; 9 258536.109) Punto 4: (620 975.409 ; 9 258513.722)
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