PROLOGO
En este informe se hablara acerca de las cuerdas vibrantes, realizar el experimento pedido en el manual colocando una fuerza en un extremo de una cuerda y hacer que se formen nodos. Variar Variar la fuerza para poder tener una mayor claridad de si la teoría se asemeja a lo experimental. Al final se podrá saber saber cmo se produce una una onda estacionaria así como entender el comportamiento de una onda transversal.
1) OBJETIVOS: •
Estudiar experimentalmente la relacin entre la frecuencia, tensin, densidad lineal y lon!itud de onda de una onda estacionaria en una cuerda
• • •
tensa. "onocer cmo se produce una onda estacionaria en una cuerda tensa. Entender el comportamiento de una onda transversal. "omprender cmo act#a el principio de superposicin de las ondas.
2) MARCO TEÓRICO: $%&A '(A%)VE()A* Es un tipo de onda mecánica, la cual se define como una perturbacin que viaja por un material o una sustancia que es el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las partículas que lo constituyen sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda. En las ondas transversales los desplazamientos del medio son perpendiculares o transversales a la direccin en que la onda viaja por el medio. +anteniendo una traza comparamos la ma!nitud del desplazamiento en instantes sucesivos y se aprecia el avance de la onda. 'ranscurrido un tiempo la persistencia de la traza muestra como todos los puntos pasan por todos los estados de vibracin. )in embar!o para conocer cmo cambia el desplazamiento con el tiempo resulta más práctico observar otra !ráfica que represente el movimiento de un punto. *os puntos en fase con el seleccionado vibran a la vez y están separados por una lon!itud de onda. *a velocidad con que se propa!a la fase es el cociente entre esa distancia y el tiempo que tarda en lle!ar. "ualquier par de puntos del medio en distinto estado de vibracin están desfasados y si la diferencia de fase es - diremos que están en oposicin. En este caso los dos puntos tienen siempre valor opuesto del desplazamiento como podemos apreciar en el re!istro temporal. Este tipo de onda transversal i!ualmente podría corresponder a las vibraciones de los
campos el/ctrico y ma!n/tico en las ondas electroma!n/ticas. 0na onda electroma!n/tica que puede propa!arse en el espacio vacío no produce desplazamientos puntuales de masa. )on ondas transversales cuando una onda por el nodo se junta con la cresta y crea una !ran vibracin.
Fig. 01: ondas transversales en una cuerda
1(2%"212$ &E )01E(1$)2"23% "ombinar los desplazamientos de los pulsos individuales en cada punto para obtener el desplazamiento real es un ejemplo del principio de superposición4 cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto de la cuerda en cualquier instante se obtiene sumando el desplazamiento que tendría el punto si slo estuviera presente la primera onda, con el desplazamiento que tendría si slo estuviera presente la se!unda. &icho de otro modo, la funcin de onda y 5 x , t 6 que describe el movimiento resultante en esta situacin se obtiene
Fig. 02: Traslape de dos pulsos de onda (ambos arriba de la cuerda) que viajan en direcciones opuestas.
sumando las dos funciones de onda de las ondas
individuales. y ( x , t ) = y ₁ ( x ,t ) + y ₂ ( x , t )
51rincipio de superposicin6
+atemáticamente, esta propiedad aditiva es consecuencia de la forma de la ecuacin de onda, que toda onda físicamente posible debe satisfacer.
Específicamente, la ecuacin de onda es lineal 7 es decir, slo contiene la funcin y 5 x , t 6 a la primera potencia 5no hay t/rminos en y 5 x , t 68, y 5 x , t 69:8, etc/tera6.
1or lo tanto, si cualesquiera dos funciones y 95 x , t 6 y y 85 x , t 6 satisfacen la ecuacin de onda por separado, su suma y 95 x , t 6 9 y 85 x , t 6 tambi/n la satisface y por ello es un movimiento físicamente posible. 1uesto que este principio depende de la linealidad de la ecuacin de onda y la propiedad de combinacin lineal correspondiente de sus soluciones, tambi/n se denomina principio de superposición lineal . En al!unos sistemas físicos, como un medio que no obedece
la ley de ;oo
$%&A E)'A"2$%A(2A E% 0%A "0E(&A En una onda que viaja por la cuerda, la amplitud es constante y el patrn de la onda se mueve con rapidez i!ual a la rapidez de la onda. Aquí, en cambio, el patrn de la onda permanece en la misma posicin en la cuerda, y su amplitud fluct#a. ;ay ciertos puntos llamados nodos que nunca se mueven. A la mitad del camino entre los nodos hay puntos llamados aninodos donde la amplitud de movimiento es máxima. &ado que el patrn no parece estarse moviendo a lo lar!o de la cuerda, se denomina onda esacionaria. 51ara enfatizar la diferencia, una onda que sí se mueve por la cuerda es una onda !ia"era.6
El principio de superposicin explica cmo la onda incidente y la reflejada se combinan para formar una onda estacionaria. Estas ondas que viajan en diferentes direcciones, lo hacen con la misma rapidez de propa!acin, lon!itud de onda y amplitud.
Fig. 03: Onda estacionaria en una cuerda.
En ciertos instantes, como los dos patrones de onda están exactamente en fase entre sí, y la forma de la cuerda es una curva senoidal con el doble de amplitud que las ondas individuales. En un nodo, los desplazamientos de las dos ondas, incidente y reflejada, siempre son i!uales y opuestos, y se cancelan. Esta cancelacin se llama iner#erencia
desruci!a. En los antinodos, los desplazamientos de las dos ondas, incidente y reflejada, siempre son id/nticos, dando un desplazamiento resultante !rande7 este fenmeno se llama iner#erencia consruci!a .
*a distancia entre nodos o antinodos sucesivos es media lon!itud de onda, λ /¿ 8. 1odemos deducir una funcin de onda para la onda estacionaria, sumando las funciones de onda y 95 x , t 6 y y 85 x , t 6 para dos ondas con amplitud, periodo y lon!itud de onda i!uales que viajan en direcciones opuestas. Aquí, y 95 x , t 6 representa una onda incidente que viaja a la izquierda por el eje = x , lle!ando al punto x > - y reflejándose7 y 85 x , t 6 representa la onda reflejada que viaja a la derecha desde x > -. *a onda reflejada del extremo fijo de una cuerda se invierte, así que anteponemos un si!no ne!ativo a una de las ondas4 y ₁ ( x , t ) =− Acos ( kx + ωt )
y ₂ ( x , t ) = Acos ( kx − ωt )
5$nda incidente que viaja a la izquierda6
5$nda reflejada que viaja a la derecha6
$bserve tambi/n que el cambio de si!no corresponde a un desfasamiento de 9?- o π radianes. En x > -, el movimiento de la onda reflejada es Acosωt 7 y el de la incidente, − Ac osωt , que tambi/n podemos escribir como Acos (ωt + π ) . *a funcin de onda para la onda estacionaria es la suma de las funciones de ondas individuales4 y ( x , t ) = y ₁ ( x ,t ) + y ₂ ( x , t )= A [− cos ( kx + ωt ) + cos ( kx − ωt )]
1odemos replantear los t/rminos coseno usando las identidades para el coseno de la suma y la diferencia de dos án!ulos4
cos ( a ± b ) =cos a cos b ± sena senb
;aci/ndolo y combinando t/rminos, obtenemos la funcin de la onda estacionaria4
.
y ( x , t ) = y ₁ ( x ,t ) + y ₂ ( x , t )=( 2 Asenkx ) senωt
$ bien,
y ( x , t ) =( Aswsenkx) senωt
5$nda estacionaria en una cuerda, extremo fijo en x>-6
*a amplitud de la onda estacionaria,
Asw
, es dos veces la amplitud A de
cualquiera de las ondas viajeras ori!inales4 Asw =2 A
*a ecuacin de onda estacionaria, tiene dos factores4 una funcin de x y una de t . El factor Aswsenkx
indica que, en cada instante, la forma de la cuerda es una
curva senoidal. %o obstante, a diferencia de una onda que viaja por una cuerda, la forma de la onda permanece en la misma posicin, oscilando verticalmente se!#n el factor senωt . 'odos los puntos de la cuerda están en movimiento armnico simple, pero todos los que están entre cualquier par sucesivo de nodos oscilan en fase. Esto contrasta con las diferencias de fase entre oscilaciones de puntos
adyacentes, que vemos en las ondas que viajan en una direccin. 1odemos usar la ecuacin de onda estacionaria para determinar las posiciones de los nodos7 /stos son los puntos en los que
senkx =0
desplazamiento siempre es cero. Esto sucede cuando decir, usando k =2 π / λ ,
x =0,
π 2 π 3 π , , ,… k k k
, de modo que el
kx = 0, π , 2 π , 3 π , … , es
x =0,
λ 2 λ 3 λ , , ,… 2
2
2
5%odos de una onda estacionaria en una cuerda, extremo fijo en x>-6 En particular, hay un nodo en x > -, como debería ser, ya que este punto es un extremo fijo de la cuerda. A diferencia de una onda viajera, una onda estacionaria no transfiere ener!ía de un extremo al otro. *as dos ondas que la forman transportarían individualmente cantidades i!uales de potencia en direcciones opuestas. ;ay un flujo local de ener!ía de cada nodo a los antinodos adyacentes, y de re!reso7 pero la razn media de transferencia de ener!ía es cero en todos los puntos
$) RE%RESE&TACIÓ& ES'(EMTICA: • • •
• • • •
Armar el equipo que se indica en el manual de laboratorio. "olocar una cierta cantidad de masa en el vasito. ;acer funcionar el vibrador y varias lentamente la distancia del vibrador hasta la polea hasta que se forme un nodo muy cerca al vibrador. +edir la distancia * desde la polea hasta el nodo inmediato al vibrador. Anotar el n#mero n 5n#mero de nodos6. (epetir los pasos anteriores con @ distintas masas mas. (ealizar el cuadro que se pide en el manual de laboratorio.
*) C+C(+OS , RES(+TA-OS: 9. .uer/a0.)
&odos0n)
+oniud0)
.recuencia0# )
+oniud de Onda
Veocidad0! )
-.B % -.CBB9 % -.?DD % -.BBD8 % -.DBD % 9.8B % -.C@ %
8 8 8 8
-.@B m -.@B m -.@9B m -.@-B m -.@ m -.@ m -.D-B m
C?.DD B-.9D B9.8?C@ C8.B9DB C.?-B BB.B-98 C.D8DD
-.C8 -.C@ -.@9B -.@-B -.@ -.@ -.CD
8-.@CD 8.8CD8 9.BC 8B.D8 8.?? ?.8B? 8.D8
u=
m l
&onde mF es la masa de la cuerda y lF la lon!itud de la cuerda desde el ori!en hasta el balde Entonces4 u=
m 0.0008 kg = >?.C89x9-GC
86 fi!ura 95anexo 96
*os antinodos 5%6, son puntos en donde la ener!ía cin/tica es nula y en los nodos 5A6, es donde se presenta la ener!ía cin/tica máxima. En una onda estacionaria, la velocidad de cada punto es la misma, menos el nodo donde se presenta la ener!ía cin/tica máxima de los puntos que oscilan en forma transversal a la onda 5A >-6.
*a ener!ía potencial está relacionada con la amplitud, puesto que a mayor amplitud mayor ener!ía potencial y esto se da en los antinodos ya que son los que tienen ener!ía potencial, además están más alejados de la posicin de equilibrio.
3)
Fuerza vs Frec. al cuadrado 3000 2500 f(x) = - 107380.75x^3 + 224715.03x^2 - 151712.44x + 35151.63 2000 R² = 1 .recuencia a2 cuadradoo
1500 1000 500 0 0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
.uer/a
4) RECOME&-ACIO&ES: a6 Al momento de sujetar la cuerda con el vibrador, tratar de no dejar una parte de la cuerda al aire porque eso cambia un poco la lon!itud exacta donde se forma el nodo. b6 $bservas bien cuando la cuerda queda en un solo plano 5vertical6 para así no tener problema en los si!uientes cálculos. c6 (ealizar el experimento con fuerzas no muy lejanas, para así poder tener una mejor !rafica y ajustar mejor la !rafica.
5) CO&C+(SIO&ES , COME&TARIOS: •
1ara el cálculo de la frecuencia característica de la onda transversal dependen de la velocidad de propa!acin y de la lon!itud de la onda.
•
*a onda resultante es la suma de las ondas incidentes y reflejadas.
•
En una onda estacionaria el patrn de la onda no se mueve, pero si lo hacen los elementos de la cuerda.
•
)i las frecuencias asociadas son muy altas las velocidades tambi/n lo serán.
•
En una cuerda vibrante en los antinodos la ener!ía es totalmente potencial, y la ener!ía cin/tica cero.
•
+ientras que en los nodos las ener!ía cin/tica es máxima y la ener!ía potencial es cero
•
1ara ajustar la !rafica por mínimos cuadrados de fuerza y frecuencia se omitieron 8 puntos para poder ver mejor que tipo de forma tenia la !rafica.
6) BIB+IO7RA.8A: a6 b6 c6 d6 e6
+anual de *aboratorio de Hísica )erIay @ed, *ibro para ciencia e in!enieríaF https4::es.Ii
6) Ane9os: Ane9o 1: Enera en as Ondas Esacionarias Ener!ía de una cuerda con extremos fijos
Enera cin;ica:
*a densidad de ener!ía cin/tica en un medio material con nodos en sus extremos en el cual se presenta una onda estacionaria es, k (¿¿ n x ) sen 2 ( w n t ) 2
2
2
μk =2 ρ w n A n sen ¿
1ara el caso de una cuerda se tiene,
dk μ = 2 w2n A 2n sen 2 (k n x ) sen2 ( wn t ) A s dx A s
)iendo A s el área de su seccin transversal y μ su densidad lineal.
Enera poencia:
*a densidad de ener!ía potencial en un medio material con nodos en sus extremos en el cual se presenta una onda estacionaria es,
k w
¿ ¿ 6 (¿¿ n x ) cos2 ¿ 2 2 2 μU =2 β k n A n cos ¿
"omo,
V =
√
β ρ
y
kV =w , se concluye
2 2 2 2 2 2 2 Lue, 2 β k n An =2 V ρ k n A n=2 ρ w n An
1or lo tanto,
k
(¿ ¿ n x )cos 2 (w n t ) 2 2 2 μU =2 ρ w n An cos ¿
En el caso de la cuerda,
dU μ = 2 w2n A 2n cos2 ( k n x ) cos2 ( wn t ) A s dx A s
