VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTÁNEA Y ACELERACIÓN I) OBJETIVOS: 1.1.) Determinar la velocidad media de un móvil que se desplaza al lo largo de un plano inclinado. 1.2.) Determinar la velocidad instantánea de un móvil (rueda de Maxwell), en un punto de su trayectoria. 1.3.) Determinar experimentalmente la aceleración instantánea de un móvil con movimiento rectilíneo uniforme variado. 1.4.) Utilizar correctamente las ecuaciones de movimiento variado. II) MATERIAL A UTILIZAR: 2.1.) Una rueda Maxwell. 2.2.) Una regla graduada en milímetros. 2.3.) Un cronometro. 2.4.) Un soporte con dos varillas paralelas. 2.5.) Un tablero de madera con tornillos de nivelación. 2.6.) Un nivel de burbuja. 2.7.) Papel y lápiz. III) MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL 3.1.) Velocidad Media: La velocidad entre dos puntos de la trayectoria de un móvil, se define como: vm
x t
(1)
donde: x x 2 x1 , representa el desplazamiento del móvil y t t 2 t1 , es el intervalo de tiempo mediante el cual se efectúa el desplazamiento. 3.2.) Velocidad Instantánea: La velocidad instantánea en un punto cualquiera de la trayectoria se obtiene haciendo los intervalos de tiempo tan pequeños como sea posible, acercándose cada vez más al punto en referencia, es decir: x t 0 t dx v dt
v Lim(v m ) Lim t 0
(2)
Para determinar la velocidad instantánea del móvil en el punto P de su trayectoria, basta medir las velocidades medias alrededor de dicho punto. La figura 1 muestra una pista formada por dos varillas inclinadas sobre la cual se encuentra en movimiento el eje de una volante desplazándose sin deslizar desde A hacia B, se determinan las velocidades medias
en un tramo cada vez más corto respecto al punto P, tanto a la izquierda: AP, A1 P, A2 P, A3 P, como por la derecha: PB1, PB2, PB3, PB.
Fig. Movimiento de un móvil sobre un plano inclinado Un grafico de las velocidades medias ( Δx / Δt ), en función de los intervalos de tiempo Δt, se muestra en la figura 2, donde v1 , es la velocidad media correspondiente al intervalo AP;
v 2 es la velocidad media correspondiente al intervalo A1P; etc. Debe tenerse en cuenta que
el móvil siempre inicia su movimiento partiendo del reposo en el punto A. De este gráfico se puede encontrar la velocidad instantánea en el punto P al prolongar la recta hasta que corte en el eje vm (es decir cuando Δt → 0), tal como se muestra en la figura2 vm
x t
v3
v2
v1
t1
t 2
t
t3
Fig. 2. Gráfico velocidad media en función del tiempo. Siguiendo el mismo procedimiento se procede con el tramo PB. En este caso el móvil también inicia su movimiento en el punto A. Trazando un grafico similar a la Fig. 2, se puede hallar el otro valor para la velocidad instantánea en el punto P (teóricamente debería ser el mismo). Esta superposición de gráficos esta mostrado en la figura 3: vm
vp vp
t
Para PB
Para AP Fig. 3. Gráfico velocidad media en función del tiempo para ambos tramos AP y PB. Nota: El modulo de la velocidad (V) se denomina rapidez, gráficamente la velocidad instantánea se representa en la forma tangencial de la trayectoria del movimiento. 3.3.) Aceleración Instantánea: Para encontrar la aceleración de un móvil a lo largo del plano inclinado se grafican las velocidades instantáneas en diferentes puntos de su trayectoria en función del tiempo. Las pendientes de dicha grafica nos dan la aceleración. Para el logro de este objetivo se utiliza un procedimiento que permite encontrar la velocidad instantánea a partir de las velocidades medidas. Consideremos el movimiento uniformemente variado de un móvil que partiendo del punto O pasa por A y B, como se ve en la figura 4. y
va
vb
A
B x
d
Fig.4. Movimiento rectilíneo unifórmenle variado de una partícula. La aceleración media se define como: am
Donde: v vb v a y t t b t a
v t
(3)
La aceleración instantánea se obtiene tomando valores más y más pequeños de Δt, y valores correspondientes más y más pequeños de Δv, de tal forma que: v t
a Lim t 0
a
dv dt
(4)
Una relación que involucra el desplazamiento, la velocidad y la aceleración a lo largo de la trayectoria esta dada por la ecuación: av
dv dx
(5) Cuando la velocidad es constante, a = ac, cada una de las tres ecuaciones cinéticas a = dv/dt; v = dx/dt; y a = v dv/dx pueden integrarse para obtener fórmulas que relacionen: a, v, x, t. Para determinar la velocidad como una función del tiempo se integra la ecuación (4), de la forma:
vB
vA
dv
tB
tA
adt
v B v A a (t b t a )
(6) Para determinar el desplazamiento como función del tiempo se integra la ecuación (6) esto es:
xB
xA
dx
tB
tA
(v A at ) dt
x B x a v A (t B t A )
1 a (t B t A ) 2 2
(7)
Si el móvil parte desde el reposo en el origen de coordenadas, la ecuación (7) se escribe: xB
1 2 at AB 2
(8)
Para determinar la velocidad como una función del desplazamiento se integra la ecuación (5) en la forma:
vB
vA
vdv
xB
xA
adx
v B2 v A2 2a ( x B x A ) Teniendo en cuenta que x B x A d , la ecuación (9) se escribe: (v B v A )(v B V A ) 2ad (10) Por otro lado se sabe que en un movimiento uniformemente variado la velocidad instantánea en el punto medio de AB de la figura 4 es:
(9)
vB v A 2 v Donde i , es la velocidad instantánea en el tiempo: t t t i' B A 2 Reemplazando la ecuación (11)* en la ecuación (10), se obtiene: vi
(11)*
(12)*
vi (v B v A ) ad
(13)
Al sustituir la ecuación (6) en la ecuación (13), obtenemos: vi
d tB t A
(14)
Que corresponde al valor de la velocidad media entre los puntos A y B. Esta velocidad media en el intervalo de tiempo mencionado es igual en igual en valor a la velocidad instantánea en el tiempo t i' (t A t B ) / 2 . Si se traza una gráfica vi t i' , como se muestra en la figura 5, la pendiente de la recta nos da el valor de la aceleración instantánea. vi
θ
Tg a
ti' Fig. 5. Gráfico velocidad en función del tiempo para encontrar la aceleración instantánea
3.4.) Desaceleración: Se utiliza cuando la rapidez (modulo de la velocidad) disminuye. La aceleración es representada por una cantidad positiva o negativa, un valor positivo (+) para indicar cuando la velocidad aumenta, esto puede indicar que la partícula se esta moviendo mas despacio en la dirección (-) . un valor negativo de la aceleración indica que la velocidad disminuye esto puede significar que la partícula se esta moviendo mas lentamente en la dirección (+) ó mas rápidamente en la dirección negativa (-). V) METODOLOGIÁ 4.1.) Para determinar la velocidad instantánea: a) Nivele el tablero horizontal mediante los tres pernos de apoyo, utilizando el nivel de burbuja. b) Coloque las barras paralelas en forma inclinada, buscando un ángulo apropiado de tal manera que la volante ruede sin deslizar por la pendiente. c) Dividida el tramo AB en dos partes, una de longitud L/3 y otra 2L/3 y ubique el punto P tal como se muestra en la figura 6. A continuación dividir los tramos AP y BP en cuatro partes iguales cada una. d) Con la regla medir las distancias AP, A1P, A2P, A3P, en forma análoga las distancias PB, PB3, PB2, PB1, registrando sus valores en la tabla I. e) Soltar la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronometro medir el tiempo que demore la rueda en recorrer el tramo AP por cinco veces consecutivas. Registrando sus lecturas en la tabla I.
f) Dejando libre la volante desde el mismo punto de partida que para el caso anterior, medir los tiempos correspondientes a los tramos A1P, A2P, A3P, por cinco veces consecutivas para cada caso. Registre sus lecturas en la tabla I. g) Siempre poniendo en movimiento la rueda desde el mismo punto de partida que en los pasos “c” y “d”, meda por cinco veces los tiempos correspondientes a los tramos PB, PB3, PB2, PB1. Registrando sus valores en la tabla I.
(a) (b) Fig. 6. Instalación de la pista para encontrar: (a) velocidad instantánea. (b) la aceleración instantánea. Tabla I. Datos y cálculos para determinar la velocidad instantánea. Tramo AP A1P A2P A3P PB PB3 PB2 PB1
Desplazamiento x
1
2
Tiempo 3
4
5
16,00 12,00 8,00 4,00 40,00 32,00 24,00 16,00
9,24 4,90 2,75 1,34 18,23 6,93 5,47 3,97
9,38 4,72 2,75 1,34 18,19 6,87 5,43 3,97
9,15 4,75 2,74 1,33 17,97 6,90 5,45 3,95
9,01 4,73 2,76 1,35 17,85 6,92 5,48 3,96
9,10 4,75 2,74 1,33 17,92 6,89 5,47 3,98
t (s)
t
Vm = x/t (cm)
9,176 4,77 2,748 1,338 18,03 6,902 5,46 3,966
1,744 2,516 2,911 2,990 10,16 4,636 4,396 4,034
4.2.) Para determinar la aceleración instantánea: a) Instale el equipo tal como se muestra en la figura 6b. b) Divida el tramo a recorrer por la volante en puntos que estén situados a 7, 14, 21, 28, 35, 42 cm., respectivamente desde un origen común A. Registre las medidas en la tabla II. c) Suelte la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronometro mida el tiempo que demora en recorrer el tramo AA1, por cinco veces consecutivas. Registre sus valores en la tabla II.
d) Dejando libre la volante en el mismo punto que el paso “c”, mida los tiempos correspondientes para los tramos AA2, AA3, AA4, AA5, AA6, etc. Registre sus valores en la tabla II. Tabla II. Datos y cálculos para determinar a. Tramo AA1 AA2 AA3 AA4 AA5 AA6
Desplazamiento x (cm.)
1
7,00 14,00 21,00 28,00 35,00 42,00
5,37 8,28 10,00 11,59 13,38 14,47
2
Tiempo 3
5,44 5,40 8,30 8,32 10,02 9,97 11,60 11,57 13,40 13,37 14,50 14,48
t (s) 4
5
5,43 8,31 10,00 11,62 13,42 14,51
t
5,39 5,41 8,29 8,30 9,98 9,99 11,58 11,59 13,39 13,39 14,49 14,49
vi (cm/s)
t i' (s)
1,29 1,69 2,10 2,42 2,61 2,90
2,70 4,15 5,00 5,80 6,70 7,25
e) Con los datos de la tabla II y las ecuaciones (12)* y (14)*, elabore la tabla III para determinar las velocidades instantáneas en los puntos medios de los tramos AA1, AA2, AA3, AA4, AA5, AA6. Tabla III. Datos y cálculos para determinar a. d t tA vi Tramo t' B t B t A 2 AA1
1,29
2,703
A1A2
2,42
6,853
A2A3
4,13
9,147
A3A4
4,38
10,793
A4A5
3,89
12,492
A5A6
6,38
13,941
V) CUESTIONARIO: 5.1 .Para determinar la velocidad media e instantánea. a) Con los datos de la Tabla I, trace una gráfica velocidad media en función del intervalo de tiempo, a partir de ella determine la velocidad instantánea del móvil en el punto P. Se encuentra la solución en el grafico de la tabla I b)¿En qué tramo se tiene un mayor valor para la velocidad media y para cuál el menor valor? ¿Por qué?
.El mayor valor para la velocidad media se puede mencionar que se encuentra en el tramo PB debido a que la rueda de Maxwell presenta una aceleración que va aumentando ya que los tramos que se toman tienen un aceleración distinta a la inicial y el menor valor, la tenemos en el tramo AP, pues en este tramo la rueda de Maxwell inicia su movimiento desde una posición de reposo que va aumentando a medida que acelera.
Se observa que en el tramo A comienza del reposo y el tramo B ya se
encuentra en
movimiento a) ¿Qué importancia tiene que las rectas se crucen antes o después del eje de coordenadas o sea cuando t 0 ? La importancia de que: en el punto t 0 se puede observar el valor de la Velocidad de ambas rectas en el punto P ya que al momento de intersecarse se llega una igualdad . Esta velocidad viene a ser la Velocidad instantánea en el punto P. Y si estas rectas no se cruzaran no podríamos hallar la Velocidad instantánea. 5.2.Para determinar la aceleración instantánea.
a)
Con los datos de la tabla II, y utilizando la ecuación. (8), trace en papel milimetrado una gráfica desplazamiento (x) en función del intervalo de tiempo (t²), y a partir de ella determine la aceleración instantánea de la volante. Se puede observar en el GRÁFICO Nº 02.
b)
Con los datos de la tabla II, usando la ecuación. (12)* y (14)* trace en papel milimetrado una gráfica (Vi – t’i), a partir de ella determine la aceleración instantánea de la rueda. Se puede observar en el GRÁFICO Nº 03.
c)
Con los datos de la tabla III, trace una gráfica V i – t’i y a partir de ella obtenga el valor de la aceleración instantánea de la volante. Se puede observar en el GRÁFICO Nº 04.
d)
Compare los valores de la aceleración obtenida en “a”, “b” y “c” ¿Cuál cree Ud. que es el mejor valor para la aceleración? De la gráfica No. 02: a = 0.3952 cm/seg² a = 0.3768 cm/seg² De la gráfica No. 03
De la Gráfica No. 04 a = 0.477 cm/seg² a = 0.3131 cm/seg² a = 0.3716 cm/seg² a = 0.336 cm/seg²
Según mi punto de vista el mejor valor que podemos otorgar a la aceleración vendría a ser: a = 0.3768 cm/s2 ya que esa cantidad se aproxima para los tres gráficos en donde cual se hallo la aceleración e)
¿De que forma influye el ángulo de inclinación de los rieles en la determinación de la velocidad y la aceleración instantánea? ¿Cuál fue el ángulo que utilizo en su experimento?. - Si el ángulo es demasiado grande la volante no rodaría, sino mas bien se deslizaría a través de los rieles. - Si el ángulo es muy pequeño, la rueda no la volante no lograría moverse adecuadamente y se detendría en intervalos de tiempo. - Si el ángulo no es tan pequeño, ni tan grande la rueda podaría sin deslizarse y produciéndome un movimiento adecuado. La manera en que el ángulo influye es que a una mayor pendiente la rueda de Maxwell ya no rota sino que se resbala (se desliza), y en el otro caso que no vea pendiente la rueda no giraría se mantendría en reposo .Si la pendiente es aceptable
(como la pendiente utilizada en el experimento) se experimenta una aceleración en el recorrido, su velocidad aumenta cada ves que el tiempo aumenta ,el ángulo con el cual se ha trabajado en este experimento fue de
16.5
68.5 Tangente de el Angulo nos da el Angulo de 13º aproximado f)
¿Cuáles cree que son las posibles fuentes de error de su experimento? Enuncie y explique. El error que se produjo al momento de tomar los tiempos de los respectivos intervalos este error se da ya sea por la mala manipulación del cronometro o por equivocarse al momento de señalar los tramos respectivos. Este error se puedo haber producido también por la utilización de un equipo en malas condiciones (en especial el carril por el cual se soltaba la rueda de Maxwell) que se encontraba muy suelto o otras alteraciones. La rueda en algunos caso se acercó demasiado a los rieles lo que pudo haber influido para calcular un tiempo mas prolongado que de las otras mediciones. La pendiente: puesto que no permanecía constante debido al movimiento. Las distancias: puesto que no es preciso calcular el punto exacto de medida, puesto que el eje de la volante tiene cierto grosor. Los tiempos: existe un intervalo de tiempo pequeño que se demora en presionar el botón del cronometro.
v.
CONCLUSIONES
Experimentalmente se puede determinar la velocidad media y la velocidad instantánea de un móvil, para esto usamos la recta mínima cuadrática. Todo movimiento que se realiza sobre una superficie que presenta una pendiente diferente de cero presenta una aceleración como se ha llegado a observar en el experimento. El tipo de movimiento que se realiza sobre una superficie inclinada es el movimiento acelerado la cual se comprueba experimentalmente, usando adecuadamente las ecuaciones de movimiento pudiendo hallar una velocidad media, velocidad instantánea, aceleración y desplazamiento. VI)
RECOMENDACIONES: Cuide el ángulo de inclinación de los rieles sea el apropiado, para esto haga varias pruebas antes de iniciar el experiencia. También se recomienda que se organicen bien antes de empezar para que trabaje todo el grupo y todos vean y participen el la realización de la práctica.
Se sugiere también que toda media realizada en la práctica de laboratorio sea verificado para que se tenga con certeza una medida que se aproxime a la medida correcta.
VII)
BIBLIOGRAFÍA:
7.1.) GIANVERNANDINO, V. 7.2.) SQUIRES, G. L. 7.3.) GOLDEMBERG, J. 7.4.) SERWAY. 7.5.) TIPLER.
“Teoría de errores” Edit. Reverte. España 1987 “Física práctica” Edit. Mc. Graw-Hill 1990 “Física Gral. y experimental”, Vol. I Edit. Interamericana S.A. México 1972 “Física” Vol. I (1993) p. 539 – 540. Edit. Mc. Graw-Hill. “Física” Vol. I (1993) p. 517 – 518. Edit. Reverte.
“UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH” SANTIAGO ANTUNES DE MAYOLO “FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y METALURGIA”
ASIGNATURA: Física I INFORME DE LABORATORIO Nº 3 VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD INSTANTÁNEA Y ACELERACIÓN
DOCENTE: GARCIA PERALTA, Alfredo ALUMNO: MOLINA CHAVEZ, Maradona Diego CODIGO: 05-1193-1-AM
HUARAZ
ANCASH
PERU
