ESCUELA POLITECNICA NACIONAL NACIONAL FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA AREA DE CIRCUITOS ELECTRICOS ELECTRICOS INFORME DE LABORATORIO: ANALISIS DE CIRCUITOS ELECTRICOS ELECTRICOS II Practica # 6 # 6
Tema: Transitorios de primer orden y segundo orden con ondas ondas impulso
Realizado Por:
Ochoa Alumnos: Pablo Andrés Palacios Ochoa René Alexander Palacios Ochoa Crhistian Toapanta Grupo: M 2CII-5 Fecha de Realización: Realización: 2000-01-18 Fecha de Entrega: 2000-01-25
(Espacio Reservado) Fecha de Entrega:
/ Año
/ mes
f. día
Sanción:
Octubre–1999 / Marzo-2000
Recibido por:
TEMA: TRANSITORIOS DE PRIMERO Y SEGUNDO ORDEN CON ONDAS PULSO OBJETIVO: Verificar la respuesta de un circuito de primero y segundo orden, debida a una onda tipo pulso, en base a las gráficas obtenidas en el osciloscopio. SUSTENTO TEORICO RESPUESTA A LAS FUNCIONES SINGULARES La respuesta de una red excitada por la energía inicial almacenada se denomina “comportamiento natural” respuesta libre o transitorio; debido a que las corrientes y los voltajes decrecen a cero después de un intervalo de tiempo. Desde un punto de vista matemático este comportamiento natural es la solución homogénea de la ecuación diferencial. La respuesta de una red excitada por un impulso es muy similar al comportamiento natural de ella. En lo único que altera un impulso a una red es en almacenar energía durante el intervalo de tiempo que dura el impulso. Esta energía almacenada produce la respuesta libre después que ha desaparecido el impulso. Así que después de t=0+ la respuesta al impulso es igual a su comportamiento natural. La respuesta de una red excitada por un escalón puede obtenerse integrando la respuesta al impulso. Alternativamente, la respuesta al escalón obtenida directamente de la ecuación diferencial cuya solución a la integral particular t = ∞ se denomina respuesta forzada. Ahora bien, la respuesta de un circuito que no posee energía almacenada a t(0-) se designan por: h(t) = Y(t) si X(t) = µot r(t) = Y(t) si X(t) = µ -1t siendo X(t) y Y(t) la entrada y la salida del sistema. Los términos respuesta al impulso y respuesta al escalón siempre se refieren al impulso unitario y al e scalón unitario. RESPUESTA AL IMPULSO SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Ahora e(t) = µo (t)
La ecuación diferencial es: i (t )
= ke
t
−
RC
CIRCUITO RC Para el circuito de la figura se supone que el capacitor no tiene carga inicial:
Para el tiempo t = 0 como el capacitor no tiene energía almacenada, se comporta como un cortocircuito. El circuito equivalente es
La corriente para este instante es: i (0)
=
µ o (t ) R
Esta corriente causa que el voltaje a través del capacitor varía desde cero hasta 1/RC ya que: Vc(0 +)
1
0+
∫ C
=
µ o (t )
0−
0+
dt
R
=
1
∫ µ (t )dt = RC o
0−
Para el tiempo t(0+) habiéndose extinguido el impulso; el capacitor actúa como una fuente y hace circular una corriente en sentido contrario. i (0+)
=−
1 RC
µ − 1(t )
Igual a la constante k y la respuesta completa será: h(t )
1 =
R
µ o (t )
1 −
2
R C
t
e
−
RC
µ
−
1t
que puede obtenerse derivando la respuesta. CIRCUITO RL Para hallar el impulso del circuito RL considerando al inductor sin carga inicial, se debe analizar el circuito que se indica en la figura:
Respuesta al impulso: 1. Para t = 0- el circuito está en reposo y la corriente i(0-) = 0. 2. Para el tiempo t = 0 actúa el impulso y el inductor se comporta como un circuito abierto apareciendo todo el voltaje sobre él. 3. Al tiempo t = 0+ el impulso ha desaparecido y la corriente en el intervalo será: i (0 +)
=
1
0+
1
∫ µ (t )dt = L L o
0−
Esta corriente es la inicial después de que el impulso actuó. La ecuación diferencial que se aplica una vez que desapareció el impulso es: iR
+ L
di dt
=
0
Cuya solución es: R
i
=
Ioe
−
t
L
Como Io
=
1 L
Entonces se tiene como solución: i=
1 L
e
−
R L
t
para
t > 0
O también se puede expresar en la siguiente forma:
h(t )
=
i
1 =
R
e
L
−
L
t
µ
−
(t )
1
Esta respuesta también puede obtenerse derivando la respuesta al escalón puesto que: h(t )
=
dr (t ) dt
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN En la figura se indica un circuito RLC excitado por un impulso de voltaje sin energía inicial almacenada. La respuesta de corriente no difiere de la respuesta libre; sino en sus condiciones iniciales que son de otra naturaleza.
RESPUESTA IMPULSO Para el tiempo t = 0- el circuito está en reposo. Para el tiempo t = 0 cuando se produce el impulso, la inductancia actúa como un circuito abierto y el capacitor como un cortocircuito. Todo el impulso de voltaje aparece sobre la inductancia. También existe un voltaje finito sobre el resistor pero es despreciable en comparación con el voltaje infinito del impulso. Entre t = 0- y t = 0+ el impulso de voltaje crea una corriente en la inductancia, cuyo valor es: i (0+)
=
1
0+
1
∫ µ (t )dt = L L o
0−
La derivada de la corriente para el tiempo t = 0+ debe evaluarse para el circuito a t>0, después que el impulso desapareció. Así en la red de la figura el capacitor todavía no se ha cargado.
ec (0+) = 0 e
R
= R
1 L
Por la ley de kirchoff de voltajes: e (0+) L
R =−
L
Circuito para t > 0 La derivada de la corriente i(0+) se puede obtener por los voltajes a través del inductor.
e (0+ ) = L di(0) = − R L
dt
L
⇒
di (0+ )
=
dt
R 2
L
Una vez determinados i(0) y di(0) se pueden combinar para obtener el comportamiento dt natural para dar la respuesta a la función impulso.
PROCEDIMIENTO PRACTICO INSTRUMENTOS UTILIZADOS EN LA PRACTICA Y SUS CARACTERISTICAS
Decade Capacitor:
Marca: Modelo No: Serie: Sistema Decade:
Inductor:
Marca: Inductance: En CC: En AC:
Coronell Dubilier Electronics Division CDA 2 63804 (0 a 0.01 [µf] en pasos de 0.001[µf]), (0 a 0.001 [µf] en pasos de 0.0001 [µf])
EXEL The Superior Electric Company Loading Reactor 0.16 [H] 2 [A], 120 [V] 3 [A], 170 [V]
Resistencia Decade Box:
Marca:
Hickok
Modelo: Sistema Decade:
Dec 720 De (0 a 1) x[1Ω], x[10Ω], x[100Ω], x[1k Ω], x[10k Ω]
Funtion generador:
Marca: Modelo: Tipo de onda: Frecuencia:
BK PRECISION 3011B Cuadrada, triangular y sinusoidal. 2 [MHz]máx
RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PRACTICO Se armaron los circuitos RL y RC, con onda pulso, para lo cual se incluyó en los respectivos circuitos los elementos de protección y maniobra. Primero se armó el circuito RL, con onda pulso, luego de revisar si las conexiones estaban bien realizadas se conectó ambos canales del osciloscopio, un canal para la señal de entrada y otro para la señal de salida. Se tomaron los gráficos de la señal pico positivo y pico negativo mediante la manipulación de los controles del generador de onda. Además se debe tomar en cuenta que todas las gráficas se realizaron para una señal de onda cuadrada. Igual procedimiento se hizo para las gráficas correspondientes al circuito RC. Luego se procedió a armar el circuito RLC con onda pulso. Para este circuito se realizó las gráficas correspondientes a los tres casos de amortiguamiento, los cuales son críticamente amortiguado, sobre amortiguado y subamortiguado. Para que las curvas en el osciloscopio sean correctas se realizaron cálculos previos de modo que se obtengan las relaciones correctas entre ωo y α para cada caso. Los cálculos tenían mayor importancia en cuanto a precisión para el caso críticamente amortiguado, debido a que se debía calcular los valores de capacitancia y resistencia para que ωo sea igual a α. Además para cada una de las gráficas se tomaron los valores de amplitud de voltaje y de periodo en milisegundos. ANALISIS DE RESULTADOS En esta práctica de laboratorio se realizaron 10 gráficas que correspondían a tres tipos de circuitos diferentes, el primer circuito es el RL, para el cual se tomaron dos gráficas de onda pulso, una para pico positivo y otra para pico negativo. El segundo tipo de circuito corresponde al circuito RC, para el cual se hizo lo mismo que para el circuito RL, es decir se tomaron dos gráficas una con pico positivo y otra con pico negativo. El tercer tipo de circuito es el RLC, el cual se subdivide en tres casos que son: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado. Esto depende de los valores de α y de ωo, los cuales dependen a su ves de los valores de capacitancia, inductancia y resistencia utilizados en este circuito, lo cual está indicado en el informe preparatorio.
Comparando las gráficas del informe preparatorio con las obtenidas en el laboratorio se observa que si se ha obtenido los resultados deseados y las características correctas de cada gráfica, de acuerdo a la ecuación que describe el comportamiento de la onda de salida del circuito y que se ha incluido en el informe preparatorio. Las curvas obtenidas en el laboratorio corresponden al comportamiento real de una onda impulso, mientras que las curvas que se presentan en el informe preparatorio corresponden a una aproximación matemática del comportamiento de una onda impulso en un circuito con determinadas características. Por lo tanto no se puede hablar de errores cometidos en la realización de esta práctica. Las gráficas de los circuitos analizados en el laboratorio constan en las hojas de datos y en hojas de papel milimetrado anexas en este informe.
CONCLUSIONES
Se cumplió con el objetivo propuesto para esta práctica, ya que se implementaron los circuitos que se propusieron y se analizó la señal de salida o la respuesta de un circuito de primero y de segundo orden, los cuales fueron alimentados con una señal pulso, mediante la utilización de un osciloscópio.
Los gráficos que se obtuvieron en el osciloscópio son muy similares a las respuestas que se esperaban, es decir a las respuestas del informe preparatorio. La pequeña diferencia está en que las señales del osciloscópio son reales y las señales del informe preparatorio son ideales.
En el circuito RL al cambiar la polaridad de la señal de entrada de positiva a negativa, también cambia la polaridad de la señal de salida, pero la forma de onda es la misma. Esto también ocurre con el circuito RC.
En el circuito RLC el cambio de polaridad de la señal de entrada produce un cambio de polaridad de la señal de salida, sin importar de que caso se trate, es decir que puede ser amortiguado, críticamente amortiguado o subamortiguado.
La señal pulso se puede comparar con el hecho de que en un circuito al cerrar el switch recibe un pulso eléctrico instantáneo, luego se estabiliza a los valores determinados.
En un capacitor o en un indictor que son elementos que pueden almacenar energía, al producirse una señal pulso, físicamente no se puede producir un cambio, es decir no puede almacenar energía, pero teóricamente se puede analizar alguna variación. APLICACIONES
Se analiza este tipo de señales para asemejar lo que sucede en un circuito real con las variaciones de voltaje o de corriente al conectar o desconectar un equipo eléctrico de tal
forma que se puede analizar los efectos que puede producir y de esta forma prevenir daños en los aparatos. En un circuito real se encuentra con este tipo de señales, son instantáneas pero pueden ser perjudiciales de alguna forma, por lo tanto se analiza en forma matemática para asemejarse con la realidad, y de esta forma se puede evitar accidentes, por ejemplo se utilizan circuitos electrónicos en donde se manejan corrientes pequeñas los cuales accionan switch que controlan grandes corrientes, se emplea esto para seguridad del operador.
CUESTIONARIO 1. ¿Cuál es la diferencia entre pulso e impulso? Una señal pulsante o de pulsos es una cuyo valor es despreciablemente pequeño, excepto en cierta región finita de la escala temporal. Es decir que una señal pulsante es “temporal” si existe una época o localidad en cierta parte a lo largo de la escala infinita del tiempo en la que puede decirse que “ocurre la señal”. (Un tipo de impulso es el impulso gaussiano; fig. d). Mientras que un impulso (unitario uo(t)) es infinitamente alto, infinitamente angosto y está caracterizado por su área unitaria. El impulso se representa como una barra vertical gruesa y angosta. El impulso unitario uo(t), se define como la forma del límite del pulso gaussiano. uo(t)= lim t->0 [(1/to) * e –n(t/to)^2 ]. Ejemplos de pulsos:
2. ¿Qué es un tren de pulsos y por qué se utiliza una fuente con este tipo de señal? Consiste en una señal (periódica o no periódica) que consiste en pulsos repetidos que no se sobreponen, además de ser de igual magnitud en cuanto al ancho y alto; donde a no debe ser mayor de T, tal como lo mostrado en la figura.
Al igual que existe tren de pulsos, también existe tren de impulsos, sostenidos en la misma base que el anterior. Su aplicación se la realiza en los sistemas digitales en particular en el sistema binario, es decir la información que se está procesando por lo general se presenta en forma binaria, que puede presentarse por medio de cualquier dispositivo que solamente tenga 2 estados de operación o posibles condiciones. Por ejemplo un interruptor solo tiene 2 estados de operación: abierto o cerrado; podemos hacer que el interruptor abierto represente el 0 binario y que el cerrado represente el 1 binario.
3. ¿Las respuestas para los diferentes casos, satisfacen la resolución teórica? Explicar un caso de primer orden y uno de segundo orden. La solución teórica es una aproximación matemática que se asemeja al fenómeno real que se produce por lo tanto se puede decir que la respuesta que se obtuvo es la respuesta real mientras que la solución teórica se asemeja y se aproxima en un grado bastante aceptable a la señal de onda real. En el caso del circuito RC se obtuvo una señal de salida muy similar a la señal de la aproximación matemática obtenida en el informe preparatorio. Para el circuito RLC la señal del osciloscópio que es la señal de salida del circuito real es prácticamente la que se esperaba al analizar el circuito teórico y obtener la aproximación matemática.
BIBLIOGRAFÍA: ♦ CIRCUITOS, SEÑALES Y SISTEMAS ELECTRONICOS
Maso Zimmermann Compañía Editorial Continental Impreso en México 1962 Consultado: Capítulo: 6 Páginas: 215 a 217, 274 a 275. ♦ CIRCUITOS ELECTRICOS
Joseph A. Edminister; Mahmood Nahvi
Mc Graw Hill Impreso en España 1997 Consultado: Capítulo: 7 Páginas: 162 a 166. ♦ CIRCUITOS ELECTRICOS INTRODUCCION AL ANALISIS Y DISEÑO
Richard C. Dorf Editorial AlfaOmega Impreso en México 1992 Consultado: Capítulo: 8 Páginas: 266 a 276 Capítulo: 9 Páginas: 316 a 319
