Informatica intensiv

i+ + ;

wh i le lx [ j j >p i vo t ) j - - ; i f t i c j } schimb (x [i ],x[j ] ); ) m~ i ; )

lnitial, cet doi indiei i ~i j sunt inii ializa1i eu extremitatile vec torul u i (i= 1, j=5) s! pivotul are valoa rea 3 Elementu Jd in poz itia i (3) nu este ma i mic decat pivotul: indicele i nu avanseaza (i= 1). Eleme ntul din pozitia j (2) nu est e mai mare decat pivotul. indice le j nu avansea za U=5). Valo rile di n pozitiile i ~i j se interschim ba. Eleme ntul d in poz itia i (2) es te ma i mic dec at pivotu l; indicele i avan seaza pan a la primu l element mai mare decat pivotu l (i=2). Elementul d in pcz ftia j (3) nu este ma i mare decat pivotuf. ind icel e j U=5) nu avansea za. Valorile d in pozttiile i si i se interschimba Elernentu l d in pozitia i (3) nu este ma l mic decal pivotul. indicele i nu avanse aza (i=2) . Elementul din poziua j (4) este mai mare c ecat pivotu! ind.cele j avanse aza pima ta pr imul element mai m ic decat pivotul 0=3). Valonle d in pozitiile i $~ j se interschirnba Elementu l din pozuia i (1 ) est e m al m ic oecat pivotul. indicele i avanseaza la primul elem ent rna; mare decat pivotul (i=4). Elementul din pozitia j (3) nu este rna! mare decat pivotu! indicele j nu avanseaza U=3). Indicele i fiind mai ma re deca l indi cele l. algoritmul se terrnina.

j 1

2

I : q --1

34 5 ]=-3-c~!q

4- 1

Obs erv atie . i n ambe le cazur i algoritmu l continua cu divizare a vectoru lui i n subvecto rii eu mdicii [1,2] ~i [4,5] ~ i rearanjarea elementelor i n eei doi subveetori . Complexitatea algoritmului de sorta re rapida Pentru divizarea problemei in subprobleme se calcuteaza mijloeul intervalului de indiei ~ i 0 (D( n))~0(1 ) . Pentru comb inarea solutiilor se pareurg e vec torul cu ajut orul celor doi indici, de la primul elem ent pana la ultimul element, ~ i 0 (D(n))=0(n x0(1 ))=O(n) Timpul de executi e este T( n)~ 2xT( n/2)+n . k Considerand ca n=2 , rezulta :

Informatica

53 k

k

k-1

k· 1

k

k-1

k

k

T(n)=T( 2 '\+2 = 2x(T (2 )+ 2 ) +2 = 2xT(2 ) +2 +2 = .., = x-z k· i, k k 2 k·2 k·2 k k k k 2 x2 x(T(2 )+ 2 ) +2 +2 = 2 x(T(2 )+ 2 ) +2 +2 +2 = kx2 = log2n xn . Ordinul de comp lexitate al algoritmulu i este 0(n xlog2n) .

1.4.5. Sortarea prin interclasare (McrgcSort) Algoritmul de interclasare se executa pe doi vectori, ordonati du pa acelasi criteriu, pentru a obtine un al treile a vector, ca re sa contina elementele primilor doi vectori, ordonate dup a acelasi criteriu. Algoritmul de sortare prin interclasare S8 bazeaz a pe observatia ca orice vector care contine un singu r eleme nt este un vector sortat. Algoritmul de interctasare S8 poate foiosi pent ru sorta rea unui vector cu ajutoru l metod ei di vide et im pcra, asUel: PAS 1. Se des com pune problem a in subprob leme I __ I I i r-; sirnilare, prin lrnpartirea vectorului in doi subvec tori , avan d rnultime a indicilor [s ,m] ~i [m+1 ,d] , unde m este indice le din mijlocul intervalului: rn= (s +d) /2 . PAS2. Daca subv ectorul contine un singur element, atunei S8 consic era sortat (cores punde cazu lui de baz a) : altfe l, se continua des compunerea lui in subvectorii care au mult irnea indicilor [s ,m] si rnultirnea indicilor [m+1 ,d] . PAS3 . Se cornbin a solutiile celor doua subprobleme . prin intcrcla sarea celor doi vectori sorta ti, obtinandu -se un vec tor sort at. Vectorul care S8 sorteaza este K . Prin subprogramul interclaseaza () S8 realizeaza combinarea solutiilor prin interclasarea subvectorului x , care are multimea indicilo r [s,m] . cu subvectorul x , cafe are mult imea indicilor [m +1,d), in vecto rul auxiliar v . Vectorul v S8 copiaza in vectorul x , cafe are multirnea indicilor [s,d). # inc lude < i o s t r e am . h > i nt x l l OO] ,n ; vo id d.l v Lz e az a t Ln t; s , i n t d , i n t &m) {m= ( s +d ) / 7. ;} vo i d inte rc laseaza f i n t s, i n t d , i n t m) lint i =s , j=m+l, k =l ,v [ lOO] ;

while

(i< ~ m

&& j <=d )

l i f t x l i l c x l i J } { v l kl e x li L : i ++ ; ) e lse l v [ k ] =x [ j ]; j ++ ; } k l I-; } if t i c e m] whd L e (i<=m) { v [ k ] = x { i ] ; iH ; k ++ ; } e ls e

whi le

(j< ;:;d)

{v {k ] = x [ j l;

for (k= l , i=s ; i <= d ; k ++ , i ++ ) void MergeSort ( i n t {int m ;

s, i n t

j++ ;

x [ i l ~ v l k j; }

d)

if ( s
irltcrc]ascaz a{ s ,d ,m); } }

k ++ ; }

54

Tc hnici de programarc

v o i d main ( ) tint 'i : c o u e c cv n e " ; c i n » n ; fo r (i =l ; i <=n ; i + + J { CQu t « "x [ "« i « " J= ";c i n »xl iJ ; } MergeSort ( 1 , n ) ;

cou t « "v e c t o ru l s ortat "« e n d l ; f o r ( i =l ; i <=n ; i ++ l cout « X [ i ] « " "; }

Comp lexitatea algoritmului de sortare prin interclasare. Pentru divizarea problemei in subprobleme se calculeaza mijlocul intervalului de indici si 0(0(n))=0(1) . Pentru comb inarea soluti ilo r se executa interclasarea a doi vec tori ~i O(O(n))=O(n) . Timpul de exe cutie k este T(n)= 2xT( n/2)+n . Ccnsiderand ca n= 2 , rezulta : k

k

k· 1

k·1

k

k-1

k

k

T(n )=T( 2 ·1+2 = 2x(T(2 )+ 2 ) +2 = 2xT(2 ) +2 +2 = ... = 1<'-2 k. t. k k 2 k·2 k-2 k k k k 2x2 x (T(2 )+ 2 ) +2 +2 = 2 x(T(2 )+ 2 ) +2 +2 +2 = k x2 = 109 2n xn. Ordinul de comp lexitate al algoritmului este 0(n xI092n). Observatie. in cornparatie cu algoritmii de sortare prin metoda selectiei directe si prin metoda bulelor, care au ordinul de complexi tate O(n \ algoritmii de sortare care folosesc strategia divide et impera sunt mai eficienti . 1. Sa S8 rearan jeze elementele unui vector astfel incat in vector sa S8 gaseasca mai Intai numere le impare ~i apoi numerele pare. Se vor realiza doua versiuni ale programului, cate una pentru fiecare metoda de sortare care toloseste strategi a divid e et imp era . 2. intr-un fisier text sunt scrise urrnatoar ele informatii: pe primul rand nurnaru l de elevi din class - n , iar pe urrnatoarele n randuri urm atoarele tnformatii despre un elev: nurnele, prenume le .!iii mediile semestriale la disciplina informatica. in cadrul unui rand da teIe sunt separate prin spatiu . Sa se scrie un program care sa realizeze urrn atoarele cerinte, Fiecare ce rinta va fi rezolvata printr-un subproqrarn. Ordonarea elementelo r vectorului ~ i cautarea unu i elev in vector se vor face falosind algaritmii cei mai eficienti.

a. Se citesc date le din fisie rul text ~ i se calculeaz a media anuala a fiecarui elev. b. Se rearanjeaza datele i n ordinea alfabetica a numel ui ~i prenu melui elevilor. c. Pentru numele si prenumele unui elev, eitite de la tastatura , se afiseaza mediiIe semestriale .!?i media anuala . d. Se seriu inforrnatiite obtinute in urma pre lucrarilor intr-un alt fisier text.

1.4.6. Problema turnurilor din Hanoi Pe trei tije notate cu A , B ~ i C se pot mo nta discuri perf orate de dile rite dirnensiuni, lnitial pe tija A (tija surs a) sunt asezate unele peste altele n diseuri in ordinea descrescatoare a diametrelor, iar cel elalte tije sunt goaIe. Sa se afisez e toate rnutarile care trebuie lac ute ca discurile de pe tija A sa fie aranjate pe tija B (tija de stinatie) in aceeasi ord ine in care erau pe tija A , l olosind tija C ca tija de manevra. 0 mutare nu se poate lace decat cu un disc si el nu poat e II asezat pe 0 tija decat peste un disc cu diametrul mai mar e. Sa analizam ~ Se ~ Se ~ Se ~ Se ~ Se ~ Se ~ Se

mutarile care trebuie lacute pentru n= 3: rnuta discu l de pe tija A pe tija B (1). rnuta discul de pe tija A pe tija C (2). rnuta discul de pe tija B pe tija C (3). rnuta discul de pe tija A pe tija B (4). muta discul de pe tija C pe tija A (5). rnuta discul de pe tija C pe tija B (6) . rnuta discul de pe tija A pe tija B (7).

55

III fnrrn n licu B

~ c:L~_-J 6 A

c> 3

c

...... :

2

,~ ~ ~ I

• •

•

. _._ _Mi'

cI

c

r-L

-3=J

B

ir~ q~ ~

II

\ - 1-

C

6

6

1

~

la ell edo . diseurij>(lij5' .· .....di>!!!lnalie

,~

~~

...

I -L

Folosind metoda divide el impe ra problema initiala va fi descornpusa in subprobleme astfel: PAS1. Se mul a primele n -1 diseuri de pe tiia sursa pe l iia de rnanevra. PAS2. Se mula diseul eu diametrul eel rnai mare de pe tija sursa pe liia destinatie. PAS3. Se mula eele n-1 discu ri de pe tiia de rnanevra pe Iiia destinatie. # inclu de < i o s t r e arn . h > vo i d hanoi ( i n t n , c h a r a , c h a r b , c har c ) {if (ne e L) cout « " t1u t a r e a : " " « b<
A

1.4.7. Gencrarea modclclor fractale Modelele fractale sunt mode le mat emati ce care descriu fc no me ne sau obie cte care au 0 structura perio dica . Ele pot fi folosite si in qrafica, pentru desenarea unor forme geometrice complexe .

in descrierea

rnaternatica a forrnei geometrice se porneste de la un nucl eu, care, in urma unui praces iterativ. este generat succesiv la scan diterite. Nurnarul de iteratii reprezinta ord inul c urboi . Un exemplu ciasic este forma geometrica cunoscuta sub numele de curba lui Kocl] care se qenereaza astlel: PAS1 . Se porneste de la nu cl eul care este un triunghi ec hilate ral , cu latura avand lungimea finita L. PAS2. Fiecare latu ra a triunghiului este impartita in trei segmente egale . Segmentul din mijloc este eliminat ~i i nlocuit cu un unghi car e are latur ile egale cu e1. PAS3. Pent ru fiec are iteratie se repeta Pasul 2. pentru fiecare segment al figurii obtin ute.

57

Informatidi

Se obtine 0 constructie perfect requlata. Dupa fiecare iteratie cresc: nurnarul de unghiuri , numarul de laturi ale poJigonului si perirnetrul poligonului. Notarn eu p perimetrul nucleu (triunghiul eehilateral de la care se porneste). in procesul de constructie a curbei , la fiecare iteratie , fiecare latura Lj a triunghiului echilateral este impartita in trei segmente de lungime egala (L,I3) ,i este lnlocuita cu 4 astfel de segmente (4xL;/3). Dupa n iteratii, perimetrul poligonului va fi p x(4/3)". Pentru realizarea constructiei se folosesc urrnatoarele 3 elemente:

~

6

generator (n=1)

initiator (n= O)

nucleu

L ,X 2,Y2

Pentru construirea poligonului trebuie desenata fiecare latura. Pentru fiecare latura se cunosc: coordonatele X1 si Y1, lungimea segmentului L si , unghiul a. Coordonate!e X2 ,i Y2 se pot determina: X2=X1 + Lxcos(a) Y2=Y 1+Lxsm(a) i . " X1,Y a i Pentru desenarea seqrnentului se foloseste functia Lf.ne ( ) _ " " . irnplernentata in biblioteca graphics .h: line (xl , y L , x2, y2) .

,1

Desenarea poligonului lnsearnna desenarea fiecarei laturi , care este determinata de coordonatele X1 ;;i Y1, lungimea segmen tului L ;;i unghiul a. Problema se reduce la generarea datelor care caracterizeaza fiecare latura ;;i la desenarea unei linii folosind aeeste date. Generarea laturilor poligonului este un proces recursiv i n care initiatorul care are lungimea L este inlocuit cu generatoru!. Generatoru l este format din patru segmente, fiecare segment avand lungimea L/3. Acest proces poate fi descompus in patru procese . Folosind metoda di vid e et impera pentru a genera curba lui Koch de ordinul n , problema ini\iala va fi descompusa Tn patru subprobleme, astfel (subprogramul Koc h ( »): PAS1. Se genereaza prirnul segment, care este un segment cu lungimea L/3 si eu aceeasi orientare cu a initiatorului. El devine initiatcrul curbei lui Koch de ordinul n-t . PAS2. Se qenereaza al 'doilea segment, prin rotirea segmentului obtinut cu 60° spre stanga (subprogramul stanga ( »). Ei devine initiatorul curbei lui Koch de ordinul n-1 . 0 PAS3. Se qenereaza al treilea segment, prin rotirea segmentului obtinut cu 120 spre dreapta (subprogramul dreapta (»). El devine initiatorul curbei lui Koeh de ordinul n-1 . PAS4 . Se genereaza al patrulea segment, prin rotirea segmentului obtinut eu 60° spre stanqa (subprogramul stanga ( i) . EI devine initiatorul curbei lui Koch de ordinul n-1 . Proeesul de descompunere se termina cand se ajunge la ordinul 0 si se va desena (subprogramu l deseneaza ( i) .

S8

obtine initiatorul, care

Pentru desenarea pol igonului, se construieste nucleu l (se genereaza cele trei laturi ale triunghiului echitateral de lung ime L) si pentru fiecare latura se construieste curba lui Koch de ordinul n (subprogramul n u cle u _ Ko c h (») . # inc l ude <.i o s Lr e a m. h > # inc lude # include< gruphi c s. h> int x, y; fl o a t a lf a ; v o id s r.e n o e ( f l o a t u nq h i ) {a l [<:1-1
58

Tehnici de programare

voi d dre~p ta( f l o a t unghi) ( a l f a - =u ng h i'M_ PI / 18 0 . ; ) v oid de seneaza( f l o a t L ) {x l =x; y l =y; x +=( i n t) (L * c o s(alfal; y+=( i n t) (L* s i n( a lfal ; line i x , y , x l , y l ) ; }

v o i d Koch (i n t D , float L) {if (n==O) dc sonoaa a t t. j • else ( Koch (n - l , L / 3 ) ; stang a(60) ; Ko ch (n - l , L / 3 ) ; d reapta(120) ; Koc h ( n - l , L / 3 ) ; stanga(60); Koc h (n - l , : ,I3 ) ; }} vo i d nu c l eu_Ko ch ( i n t (1 , float L) (Ko c h (n , L ) ; d r eapLa(120) ; Koch (n , L I; dr eap ta (1 20) ; Koch (n , L I ; dreapta(120 ) ; } v o i d main ( ) {int n.L;

CQu t« "n = " ; cin» n ; cout« "L= " ; cin» L ; nucleu_ Ko ch (n . L l ; } 1. Desenati praful lui Cantor, care este generat astfel : un segment de lungime a L, care este paralel cu axa Ox , este Irnpartit in cinci segmente egale, din care se elimina segmentul din mijoc - ~ i se repeta aces t proces de n ori pentru fiecare segment rarnas. 2. Desenati curba lu i Koch , definita prin urrnatoarele trei elemente , i n care fiecare segm ent al generatorului are lungimea L/4 , unde L este lungimea segme ntului initiator.

D

initiator (n=O)

nucleu generator (n =1) 3. Desenat i c urba dragonului , definite prin urmatoarele trei eJemente, in care fiecare segment al generatorului are lungimea Usqrt(2), unde L este lungimea segmentului initiator.

initiator (n=O)

4.

Sa

<: generator (n =1)

u- D

curba de ordinul n= 2

nucleu

se deseneze figura geometrica obtinuta astfel : se deseneaza un patrat cu latura L, se deseneaza un patrat care uneste mijloacele laturilor patratulu i initial ~ i se repeta acest proces de n ori pentru fiecare patrat obtinut. 5. Sa se deseneze covoru l lui Si erpin s ki , astfel : se deseneaza un patrat cu latura L, S8 i mparte acest patrat i n 9 patr ate egale , se hasureaza patra tul din mijloc si se repeta acest proces de n ori pentru fiec are patrat neh asurat.

In fo rm a l ieu

59

I. 5. Metoda greedy 1.5.1. Dcscricrea mctodei greedy Metoda greedy se poate folosi pentru problemele in care, dandu-se a multi me finita A trebuie deterrninata a multime ScA care sa in deplineasca anumite conditi;'Metoda furnizeaza a sinqura solutio reprezentata prin elemen tele rnultirnii S. Ca ~i in cazul metodei backtracking, solutia problemei este data de un vecl or S = {X" X2, .. ., xn} ale caru i element e apartin Insa unei singure multim i A . Spre deoseb ire de metoda backtracking , metoda Greedy nu gaS8!?te decal 0 sinqura solutie si, i n general, aceasta solutie este solutia optima.

I StumllJl. de C!llZ I Scop ident ificarea problemelo r in care solutia optima este a s ubm ultirne inclusa i nt r-o multim e data, care trebuie sa i ndeplineasca anum ite conditii,

Enuntul problemei 1: Sa se repartizeze optim 0 res ursa (de exemp/u, a sa/a de spe ctacole, a set« de contetinte, a sa/a de sport) mai multor activita!i (spectacole, ptezentiui de produse, respectiv me ciuri) care Gancuraaza pe ntru a ouine resursa respective. Mul\imea A este forrn ata din cele n activitati. Fiecare activitate i (1'; i,; n) are un limp de incepere t i ~i un t imp de terminare ti l unde t i < f j ~ i ocupa resursa in interval ul de limp [1;,1;]. Dou a activit ati i si j sunt camp atibile da ca interv alele lor de acupare [1;,1;] si [lj.fj] sunt disjuncte, adica daca I; ,; ~ sau daca Ij '; I;. Cerinta problemei este de a selecta a multime rnaxirnala de activitati campatibile. in acest caz, rnultirnea S este fermata din activitatile care vor folos i resursa, iar conditia pe care trebuie sa 0 Indeplineasca elementele rnultirnii S este ca ele sa fie act ivitati comp atibile. in plus , pentru ca repart izarea resursei sa fie optima, tre buie ca mu ltimea S sa cant ina maximul de elemente car e i nde plinesc aceasta conditie . Enuntu l prob lemei 2: Sa se ocupe optim un mijloc de transport (de exemp lu, UIJ rucsac, lin auto cam ion) care are a capacitate maxima de ocupare (ca re poale Iran sporta a grell/ate maxima G) Cll n obiec te, fieeare obiec t avand qreutete e 9 j §i lin profit obtinut in urma transport ului ct. ier din fiecare objec t plltand sa se ia a ttectiune XjE[G, IJ . Mul\imea A este fermata din cele n obiecte . Fiecare obiect i (t s isn) are a efic ienta a tr an sportu lu i e; care reprezinta profitul pentru a unitatea de greutate. Ce rinta prob lemei este de a selecta a rnultirne de obiecte astlel inca t eficienta transportului sa fie maxi ma Mul\imea S este ferm ata din obiectele care vor ocupa mijlocul de transport, iar conditia pe care trebuie sa o Indeplineasca elementele multirnii S este ca, prin contributia adusa de fiecare obiect la eficienta transportului , sa se obtina 0 eficienta maxima, iar greutatea obiectelor selectate sa fie eqa la cu greutat ea maxima a transportulu i.

Enuntul prob lem ei 3: Pentru aou« tnuttkn! de numere intregi nonute : C cu n e/emente, C = lci.c: .. ., cn} §i A cu m eiem ente , A = {a l,a 2, ... , arnJ, §i nsm, sa se sele eteze a submuttime de n num ere din tnununee A. astfel inca t expresie : E = C1 x x 1 + C2 x X2 + ... + Cn x Xn in care xj EA , sa aiba valoarea maxima .

in acest caz , multirnea S = {X 1 ,X2,

. . . , x- }, i n car e x.eA. trebuie sa i ndeplin easca conditia: E = C1 x x 1 + C2 x X2 + ... + c n x xn = E max Criteriul de alegere a elementel or Xi este urrnatorul: daca in rnultimea A ma i exista eleme nte care au acelasi sem n cu coeficientul c i, se va alege elementu l aj pentru care termenul Cj x Xj

60

Teh nici d e programarc

are valoarea maxima (deoarece acest termen S8 aduna fa valoarea expresiei), iar daca in Ci, S8 va alege elementul aj pentru care termenu! C j x Xj are valoarea mini ma (deoarece acest termen S8 scade din valoarea exp res iei) ,

mu ltim ea A nu mai exista elemente care au acelasi semn cu coeficientul

Enu ntul problem ci 4: Sa S8 plateasc a 0 suma 5 cu un numar minim de bancnote cu valori date . Se conski ers cil din fiecare tip de bencnote 58 paate totosi un numar nelimitat de boncnote , iar pentru ca problema sa aiNi solutie, varn considera ca exist« §i bancnote ell veioeree 1.

Multirnea A este fermata din cete n valori distincte ale bancnotelo r. Cerinta prob lemei este de a selecta 0 multirne minima de bancnote pentru plata sumei s. in acest caz , rnultirnea S este torrnata din valorile cu care se va face plata, iar con ditia pe care trebu ie sa 0 indephneasca elementele rnu ltirnii S este ca, prin adunarea sumelor partiale platite cu bancnotele cu valorile alese , sa se obt ina suma de plata s. Pentru ca nurnarul de _ bancnote sa fie cat rnai mic, trebuie sa se caute ca plata sa se faca in bancnote CU valori cat rna i mario Meto da greedy co ns t ruiosto solutia prin se lectarea, di nt r-a m ul time de elem ente, a elementelor care indepli nesc 0 an urnita conditio. Pentru ca clementele care s e se lecteaza sa apart ina solutiei optime , la pasul k s e alege candidatul optim pentru elementul Xk al s o luti ei. Spre deaseblre de metoda backt racking , la met oda greedy, alegerea elementului solutiei este l revoca bi la (nu se mai paate reveni asupra alegerii Iacute).

Xk

al

Metoda greedy paate duce la obtinerea solutiei optirne i n cazul problemelar care au proprictatca de optim local , adica solutia optima a problemei cu dimensiunea n a date lor de intrare co nti no solut ii!e optime ale sub problemelo r similare cu problema initiala, dar de dim ensiune mai mica. Metoda greedy se mai nurn este ~i metoda optimului local . Pas!l algo ritm ului gre ed y s unt: PA51 . Se init ianzeaza rnult imea S cu multtrnea vida: 5 +-0 . PAS2, Cat t imp S nu este solutie a prob lemel 'Ii A ,.0 , exe c uta : : PAS3 . Se alege din rnultimea A elementul a care este candi datul optim al solutiei. : PAS4, Se elirnina elementul a din multirnea A. : PAS5. Dac a el poate fi eleme nt al solutiei , atun ci elementul a se adauqa la : multimea S. Se revine la Pasul 2. PAS6 , Dace multimea S este solu tla problemei , at unc i se afiseaza solutia: altfe l, se afis eaza mesajul "Nu s-a gasit sotutie" Algaritmul greedy este un algoritm iterativ , care determina solutla optima a problemei in urma unor succesiuni de alegeri care reduc dimensiunea problemei respective: se alege elemen tul x, al solutiei, apo i element ul x, al solutiei , s.a.m.d. Altfel spus , elementul X k al so lutie i este determinat prin alegerea, din elementele rarnase in rnu ttirne a A, a candidatului opt irn pentru elementul x , al solutiei, iar determinarea urmatoarel e n -k elemente ale solu tiei (rezalvarea subprobleme i) se face numai dupa ce a fast determinat elem entul Xk al sotutiei. Alegerea tacuta pentru elementul x, al solutiei paate depinde de alegerile facute pentru determinarea pr irnelor k-1 elemente ale sol utiei , dar nu depinde de alegerile ulterioare. Pentru ca alga ritmul greedy sa conduce la obtinerea solutiei aptime, trebu ie sa fie i ndeplinite doua cond itii:

I n for mat icii

61

1. Alegerea op tirnulu i local pentru fiecare element al solutie i duce la alegerea solutiei optime globa le. 2. Solutia optima a prob leme i contin e solutiile optirne ale subproblemelor. Aceas ta lnseamna ca , pen tru a fi siquri ca algoritmul greedy con struieste solutia opt ima a problemei , trebuie sa S8 demonstreze ca sunt i ndeplinite cele doua conditii .

i n rezolvarea multor probleme folosind strategia greedy , pentru a alege optimul local care sa duca la alegerea solutiei opt ime globa le, rnu ltim ea A es te o rd onata d u pa c rite riu l ca nd idat ului opt im. Ordonarea multimii dupa criteriul candi datului optim inseamna rearanjarea elementelor rnultim ii A astfe l lncat, dupa extragerea un ui element, urrnatorul element din multimea A sa reprezinte elementul care este eel mai indreptatit sa fie ales ca elemen t al multimi i S. De exemplu: ~ In cazu l re part lzarii o ptime a unei res urse , 0 act ivitate nu poate Incepe cecat daca se term ina cea anterioara. A repartiza optirn resursa i nsearnna a or ganiza cat mai mu lte act.vitati. Din multirnea activitatilor se alege Tntotdeauna activitatea care are tirnpu l de terminare ca t mai mic . in acest caz , candidatu l optim este activ itatea care are timpu l de termi nare cel mai mic , iar ordonarea activitatito r dupa criteriul eand idatulu i optim inseamn a ordonarea crescatcare dupa timpul de termin are. -7 in cazul o cuparil o ptima a mi jl oeulu i de tr a ns p o rt , trebuie ea eficienta transportului sa fie max ima. Din mu ltimea obiectelor, se aleg obieetele care au eficienta de tra nsport cat mai mare . i n acest caz . cand idatul optim este obiectul care are eflcien ta transportului cea mai mare , iar ordonarea obiectelor cup a crite riul can didatului opt im lnsearnna ordonarea descrescatoare dupa eficienta transportu lui. -7 in cazul pla l ii un e i s ume eu un nu mar min im de banenotc ell va loarc da ta, ca sa se Ioloseasca cat ma i putine bancnote, trebuie ea plata sa se faca i n cat ma i multe bancnote eu valcare foarte mare. in aces t caz . candidatul optim este bancnota cu va loarea cea mai mare , iar ordonarea dupa criteriul candid atului optim Inseamna ordonarea descrescatoare dupa valoa rea bancnotelor .

1.5.2. Implementarea metodei greedy Pentru impleme ntarea metodei greedy se vor folo si doua subprogram e: -) sub programu l sort () - care ordoneaza rnultimea A dupa crite riul can d idatului op tim: -7 subprogramu l greedy ( ) - care imp lem enteaz a metoda propriu-zisa . i n exemple le urrnatoa re , date Ie de intrare vor fi citite dintr -u n fisier text.

Exemplul 1. Prob lema planificarii oplime a activitatilor. Se folosesc urrnatoare'e date si structuri de date: -7 Pen tru nurn arul de elemente ale celo r doua rnultirni se folos esc var ia bilele n - numarul de activitati (nu rnarul de elemente ale multimii A) ~i m - nurnarul de activitati selectate pent ru a form a solutia prob lemei (nurnarul de elemente ale multirnii S). -7 Pentru mult irnea activitatilor (rnultlrnea A) se foloseste vec torul a , ale carui elemente sunt de tip i nregistrare activitate - ca re contine trei campu ri. x ~ i y pentru era la car e i nce pe activitatea, respectiv ora la care se term ina activi tatea - si k pentru numa rut acti v.tatii (este folo sit ca un identifieator al activitati i). -7 Solutia (multirnea S) va fi rnernorata In vectoru l s . i n fiec are element al vecto rului s se me moreaza ind icele elementului selecta t din vectorul a . oupa ce a fost sortat dup a criteriul candidatului optim. Se folosesc urrnatoarete subprograme :

62

Tc hn ici d e p rogram arc

~ Subprogramul citest e () - pentru citirea date lor din fisierul text. in fisierul text, pe

~ ~ ~

primul rand este scris nurnarul de activitati n , iar pe urrnatoarel e n randuri - perechi de numere intregi , separate prin spatiu, care reprezinta ora de i nceput ~i ora de sfarsit ale unei activitati. Fiecarei activitati i S8 atribuie ca identificator nurnarut de ordine de la citirea din fisier. in urma executiei acestui subprog ram , S8 creeaza vec torul activitatilor - a . SUbprogramul sort ( ) - sorteaza vectorul a crescator oup a timpul de terminare a activitatilor (carnput y ). Subproqrarnul g r e e d y ( ) - implementeaza strategia gree dy pentru aceasta problema. Subprog ramu l a fis ea za ( ) - afiseaza solutia problemei lolosind inform atiile din vectorul s - indicele fiecarei activitati selectate.

Strategia g reedy este irnplernentata astfel: PAS1 . Se irutializeaz a vectorul s cu indicele primului eleme nt din vectorul a (se selecteaza , ca prima activitate , activitatea care are ora de terminar e cea ma i mica). PAS2 , Pen tru urmatoarele n-1 elemente ale vectorului a, executa PAS3 . Daca ora la care i ncepe activitatea din elementul curent al vectorului a este mai mare sau eqala cu ora la care se terrnina ultima activitate adaugal a la solutie (i n vectorul s), atunci activitatea este adauqata la solutie. Mullimea activltatllor Acti vitat ea

1

2

3

4

5

6

7

8

Or a de incepere

9

12

8

10

16

14

20

19

Ora de te rminare

11

13

10

12

18

16

22

21

Mu1limea activitatilor ~ a ce a fast sortata Acti vi t atea

3

1

4

2

6

5

~-

8

Ora de incepe re

8

9

10

12

14

16

Ora de termi nare

10

11

12

13

16

18

21

7

19 ~ 22

So lu tia problemei 3

4

2

6

5

8

Ora de in cepere

8

10

12

14

16

19

Ora de terminare

10

12

13

16

18

21

Ac tivitatea

Pr ogramul este: #i nclude < [ s t r e a m . h > st ruc t a c ti v i t a t e {int x, y , ki }i activitat e a[ 20j ; int n ,m , s[201 ; fstream f ( g r e e dyl. t x t" , ios: : in ) ; vo id cites te() {int i ; f » n; fo r l i :::; l ; i < =n ; i + I' ) { f» a [ i J . x» a [ i j .y ; a l i ] . k :::; i ;} void so rt ( ) {i nt i ,j ; act i vitdte au x ; for (j:::;l ;i
f. c l o s e () ; }

i f (a [i ] . y > a [ i ] . y ) { a u x =a [ i ] ; a[ i] = a[ i] ; a l j l e aux j j j

Informatica

63

void greedy ( ) l i n t i, j ; 3 [ 1] = 1 ;

j

e

L:

for {i =2 ; i< =n ; i+ +} if m=j ; )

la [ i].x> =a [s [ j] ] .y)

( j ++;

s lj le t

i j

vo id c f i s eaz c ( ) {cou t.c c " Plan i fic a r ea acti vi t a r i j.or- : " « e n d l ; for (i n t i =l;i< =m;i ++ ) cout«" Ac t i vi t a t e a ''c a [s[ i]] . k«" 'i n c ep e la ora " ; couti c c a I s L'i l j x
void main( )

{ci t e s t e ( ) ; sart() ; greedy( ) ; af i sea z a () ; }

------.--..

i ntr-o sala de spectacole trebuie planificate n spectacole care au lee In aceeasi zi, fiecare spectacol avand 0 ora la care trebuie sa tnceapa ~i 0 durata de desfasurare. Scrieti un program care sa planifice optim OCUw parea salii de spectacol e.

Exemptul 2. Problema ocuparil optime a mijlocu lui de transport (problema rucsacului ). Se folosesc urrnatoarele date si structuri de date: -7 Pentru nurnarul de elemente ale celor Mul!imea obiectelor - G=20 doua rnultirni se folosesc variabilele nOb iectul 1 2 3 4 5nurnarul de obiecte (nurnarul de element e 5 4 4 8 10 ale multirnii A) ~i m - numarul de obiecte Greutatea selectate pentru a forma sotutia problemei Profitul 10 20 10 10 22 (nurnarul de elemente ale multimii S). Eficl t ~ P . _ ' IClen a 2 5 2,5 1,25 2,2 ~ entru greutatea maxima care S8 poate ' transporta, S8 Ioloseste variabila G, iar Mul~imea obiectelor dupa ce a fast sortata pentru greutatea obiectelor care se mai pot Obiectul 2 3 5 1 4 selecta, se foloseste varlabila Gr (greutaGreutatea 4 10 5 8 4 tea rarnasa). Variabila Gr este initiatizata 20 10 22 10 10 cu valoarea G (initial, greutatea obiectelor Profitul care se pot selecta este greutatea maxima Eficie nt a 5 2,5 2,2 2 1,25 de transport), iar dupa ce s-a construit ' Solutia problemei solutia, variabila Gr are valoarea 0 (nu se mai pot selecta obiecte, deoarece a fost ObJectu l - - 1 ocupata toata capacitatea de transport). Gr eutatea 4 4 10 5 8 -7 Pentru multirnea obiectelor rA) se folo. 1 1 1 0,2 0 seste vectorul a t ale carui elemente sunt Fractiunea

4

2 0 de tip inreqistrare obi e ct , care contine Greutatea 4 4 10 patru carnpun: g - greutatea obiectului, c - profitul obtinut In urma transportului. e - eficienta transpartului ~i k - nurnarul obiectu lui (este folosit ca un identificator al obiectul ui) -7 Solutia (rnultirnea S) va fi rnemorata In vectorii s si x in fieeare element al vectorului s se rnemoreaza indicele obiectului selectat din vectorul a, dupa ce a fast sortat dupa criteriul candidatu!ui optim, iar In elementul din vectorul x care are acelasi indice eu cel din vectorul s se mernoreaza fractiunea de eantitate care se va lua din obiectul selectat. Elementele vectorului x sunt initializate cu valoarea 0 (vectorul este declarat global).

64

Tch n ici de programa r c

Se folosesc urmatoa rele subprograme : ~ Subprogramul citeste ( ) - pentru citirea datelo r din fisierul text in fisierul text. pe primul rand este scris nurnarul de obiecte n ~ i greutatea maxima a transportul ui G, iar pe urrnatoarele n randuri - pere chi de numere rea le, sepa rate prin spatiu, care reprez inta greutatea si profitul tran sportu lui un ui obiect. Fiecarui obiect i S 8 atribuie, ca identificator , nurnarul de ordine de la citirea din fisier. Pentru fiecare object S 8 catculeaza eficien ta tran sportului. In urma exec utiei acestui subprogram S 8 creeaza vectorul obiectelor , a. -7 Subprogramu l sort () - sorteaza vectorul a , crescato r dupa eficienta transportului obiectelor (carnpul e ). ~ Subprogramul greedy ( ) - impleme ntea za strategia greedy pentru ace asta problema . -7 Subprogramul afiseaza () - afiseaza solutia problemei folosind info rrnatiile din vectorii s si x - indicele fiec arui obiect setecta t ~i fractiunea din greutate ca re se va transporta. Strategia g reedy este irnple rnen tata astfel: PAS1. Se initializeaza greutatea Gr cu valo area G !?i selectare a ob iec telo r in cepe cu obiect ul cu ce a ma i ma re eficie nta a transpo rtului (pri mul obiec t din vectorul a). PAS2. Ca t timp rnai exista obiecte care nu au fost selectate ~ i greutatea obiecte lor selec tate nu este greutatea maxim a, executa PAS3 . Dac a greuta tea obiectului din elementu l curent al vec tor ului a este mai mica sau eq ala cu greutatea ramasa, Gr , atunc i obiect ul este adauqat la solutie, lua ndu-se intreaga cant itate dispo nibila din obiect : altfel , S8 ia din obiect fractiunea eqa la cu greut atea rarnasa Gr . Se actualizeaza greutatea Gr dirninuand-o cu greutatea obiectului care a fast adauqat in rucsac. Programul este: #include < t s t r c a m. h > struct obi eeL {int r:. ; float 9 ,c ,e ; } ; obi e c t a [ 2 0] ; int n ,m,s [20 l; fl o a t G.G r. xI20) ; fstream f ("grccdy2 . LXL", i os: :in ) ; void citeste ( l {int. i; f »n » G; fo r ( i l;i<=n ; i ++ l {f» o l i ] .g »a l i J . c : a l i ] . k - i ; a[i ] . c e a l i l .c /a [i J . g; } f . c l o s e (); } v o id o o r t. ( ) {in t i ,j ; o b i e c L a ux; for (i =l ;i
void a Li s ea z a () {for ( i n t i=l;i< =m;i ++)

Iufurrnat icu

65

{c out « "Ob i e c t u l ''c a l s l i l I . k c c" i n c a n t i t .at ea cout«x [ i J * a [ s [1 J J . g<
Algoritmul greedy furn izeaza s olutia op tima numai in caz ul probl emei continue a ru csac ul ui . De exemplu , pentru patru obiecte: a (20 kg , 110 lei), b (9 kg , 4 5 lei), c (9 kg, 45 lei) 'ii d (6 kg , 30 lei) 'i i greutatea maxima de transport 25 kg ' -7 Solutia greedy: obiectu l a - profitul transpo rtului = 110; -7 Solutia optima: obiectele b , c 'ii d - profitul transportulu i = 120. ------.,.--.....

intr-un rucsac S8 pot transporta maximum G kg. Exista n obiecte , fiecare obie ct avand greutatea g; 'ii valoarea Vi. Obiectele pot fi fractionate . Scrieti un program care sa gaseasca obiec tele care trebuie trans portate in rucsac , astfel inc S8 obtina cea mai valoroasa incarcatura .

atsa

Excmplul 3. Problema expresiei de va loarc maxima . Se folose sc urrnatoare.e date si structuri de date: -1- Pentru rnultimea coeficientilor C se foloseste vectorul c cu n elemente , iar pentru multimea numerelor A se foloseste vectorul a cu In elemente . Elemente!e vectori lor sunt de tip i n t -1- Pent ru calc ula rea valori i expresiei se foloseste variabila exp , car e este init ializata cu va/oare a 0 (este va riabila qlobala) , iar pentru a nurnara elementele selec tate din mult imea A se foloseste variab ila k . care este initializata cu valoa rea O. Se folosesc urmatcarele subprograme : -1- Subprogramul c i te ste ( ) - pentru citirea date lor din fisierul text. i n fisierul text, pe primul rand sunt scrise doua numere intregi , n si In, ca re rep rezinta nurnarul de elemente ale celor doua rnultimi , pe rand ul al doilea ce i n coeflcienti, iar pe randul al treilea cele m numere intregi din rnultirnea A . Valorile numerice de pe un ran d sunt separate prin spatiu . in urma executiei acestui subprogram se creea za vec torii C si a . -1- Subprogramul so rt ( ) - se foloseste pentru a sorta crescato r cei doi vectori c ~ i a. -7 Subprog ramu l gre edy ( ) - implernenteaza strategia greed y pentru aceasta prob lema si afiseaza solutia in timp ce 0 cons truieste . Strategia g reedy este irnplernentata astfel : PAS1 . Se calculeaza termeni i pentru care valorile coeficientului c s si ale nurnarului aj sunt pozitive. Pentru ca expresia sa fie maxima , parcurgerea celor doi vectori se face de la ultimul elemen t catre primul element (de la cele mai mari nume re pozitive, catre cele mai mici numere pozitive). Se rncmorea za, in variabila p , indicele elementu !ui din vectorul C care urma sa fie selectat la terminarea parcurgerii, lar i n variabila r - indicele elementului din vectorul a care urma sa fie selectat fa terminare a parcurgerii. PAS2. Se ca lculeaza termen ii pentru care valorile coeficientutu i c i si ale nurnarului a j sunt negative. Pentru ca expresia sa fie maxi ma, parcurgerea celo r doi vectori se face de la primu l eleme nt catre ultirnul element (de la cele mai rnari numere negative, catre ce le mai rnici numere nega tive).

.IJI14

66

Tchnici de programarc

PAS3 . Coeficient ii ramas i pot fi numai pozitivi n=5 ~i m=7 -> Emax = 97 sau numai negat ivi. in cazul in care sunt lndlc i 1 2 3 4 5 6 numa i negativi, in rnultirnea A au rarnas -2 -1 3 4 5 Cj numai nume re pozitive. Termenii care S8 catcuteaza fiind negativi, pentru ca 5 -5 -4 -1 2 7 expresia sa fie maxima vor trebui sa aiba -5 -4 5 7 Sj valoarea cat m ai mica ~i vector ii S8 vor n=6 ~i m= 7 -> Em• x = 77 parcurge in continuare , catre ultimul 2 3 4 5 6 element (coeficlentii sunt numere negati- Ind ici 1 ve din ce i n ce mai mici, iar numerele din C, -5 -4 -3 -1 4 5 vectorul a sunt numere pozitive din ce in a, -5 -4 1 2 3 4 ce mai mari). in cazul i n care coeficientii -5 -4 4 6 1 2 Sj rarnasi sun t numai pozi tivi, in multirn ea A au rarnas numai numere negative. n=6 si m=7 -> Emax = 21 Termen ii care S 8 calculeaza fiind nega- lndi cl 1 2 3 4 5 6 tivi, pentru ca expresia sa fie maxima vor -2 -1 3 4 5 5 Cj trebui sa aiba valoarea cat mai mica !iii -6 -5 -4 -3 -1 1 vectorii se vor parcurge astfel: vectorul c Incepand de la elementul p catre prirnul 2 -6 -5 -3 -1 1 Sj element, iar vectorul a incepand de la elementul r catre primul elemen t (coeficientii sunt numere pozitive din ce i n ce rnici, iar numerele din vectorul a sunt numere negative din ce i n ce mai mari).

a,

7

181

8

r..

7

151

a,

Programul este: #i nc l ude < f s t r e arn . h > int n,m,p,r , c [ 2 0 J ,a [2 0 J , Cxp; fst r e am [ ( "g rc~ cd y 3 . t x t: " , Lo s e : in ) ; vo i d c i t e s t e(} {int i; f » n »m; f or ( i ::= l ; i < =n ; i ++ J f » c [ i] ; f o r ( i = l ; i < =m; i ++ ) Ec- c -al i.L: f .c l ose ( ) ; ) vo i d s o r t ( i n t v[], int n) {i n t i , j , a ux ; f or (i=l;iv[j)) {a u xe v l i.L: v l i Lev l j l : v l j l e au x i L} vo i d greedy ( ) // indici : i-vector c, j-vector a, k-vector b {int i =n , j =m, k =O; cou t«

" E=

";

wh i le (cli]>O && a[j] >O && k
if

l i.L

'a

Ic[i)
lj l : i

++ ;

j ++ ; }

7

2

I

mai

III furmatica { k+ + ;

67 c out «

" ( " « c [ i ] « " ) " ( " « a [ j ]« i++ ; j + + ; }

" )+";

e xp e e c l i ] *a [ j J;

else {i =P i j = r ; while (k
cout « " ( " « c f i ] « " ) * ( " « a [ j ] « " ) + " ;

exp+=c[iJ "a l j l : i--;

j - -; } }

cout« ' \ b ' « " = " «exp; } v oid main { )

{c i t e s t e ( ) ; sort(c,n); s ort (a,rn ); g ree d y ( } ; } Justificarca criteriului candidatului optim Consi derarn cazu l in care cc eficientii sunt numere intregi pozitive care au fast ordonat e crescato r si exista eel puti n n numere pozitive in rnultirnea A. Conform criteriului candidatului optirn, rnultimea A a fost ordonata crescator. Daca C={C1,C2, ..., cn} cu Ci;;Cj, pentru iE1). in cel mai bun caz , in expresie ordinea nume relor din rnultirnea S difera numai prin valorile din pozitiile i si j , cu i O. Dar, E2 - E1 = Ci x (Xj • Xi) + Cj x [xi - Xj) = (c] • c.) x (Xi - Xi) < 0 ~ i E2
3. 4.

5.

6.

1. Justific ati criteriul prioritatii de alegere pentru cazul in care coe flcientii sunt poz itivi ~ i i n mu ltirnea A nu exista decat numere nega tive. 2. Justificati eriteriul prioritatii de alegere pentru cazul in care coe ficien tii sunt neg ativi ~ i in mu ltimea A nu exista dedit numere poz itive. Refaceti programul astfe l l ncat sa se determ ine val oarea minim a a exp resie i. Fiind data a multime A eu n numere reale, sa se determine a subrnultirne a sa care are proprietatea ca suma elementelor subrnultirnli este maxima. lndi cati e. Subrnultimea va fl fermata din toate numerele pozitiv e. iar daca nu exista numere pozi tive, din cel ma i mare nurnar din rnultirne. Fiind date multirnea de nume re reale A = {a"a2, ... , am} ~i n , grad ul unui polinom, cu n-crn , sa se seleeteze , din multimea A, a submultirne de n+1 numere pentru coeficientii polinornutui, astfel i ncat valoarea polinomului P(x) i ntr-un punct X preeizat sa fie maxima. La un cabinet medical, in sala de asteptare, se gases c n pacienti, Timpu l neces ar pentru consultarea unui pacient i este ti. Cunosc and nurnarul de pacienti n si timpul neces ar pentru fiecare consul tatie ti. scriet i un progra m care sa afiseze ord inea de tratare a pacientilor, astlel inca! timpul total de asteptare al paci entil or sa fie minim. lndicatie. Deoa rece timp ul de asteptare al unui pacient este egal cu suma timp ilor de consutt atie ai pacientilor tratati i nainte a sa, ordonarea pacientilor dupa criteriul

68

Tehnici de progra marc candidatului optim Insearnna ordonarea cresca toare dupa timpul de consultatie. Dernonstrati ca solutia obtinuta astfel este solutia optima .

Exernplul 4. Prob lema platii un c i sume cu un nu m ar minim de bane note cu valor! date.

Se folosesc urrnatoarele date si structuri de date: -7 Pentru valo rile banc notelor se foloseste vectorul a cu n elemen te (n reprez inta nurnarul de tipuri de bancnote). -7 Pentnu sum a care trebuie platita se foloses te variabila s. Se Iolcsesc urmatoarete subprog rame:

-7 Subprogramul

n=4 ~i S=147 --> Nurn ar total ba nc note= 9

Iso[ I s

I

pentru Valoare bancn ota 10 1 1 citirea datelor din fisierul text. In fisierul _ text , pe prirnul rand sunt scrise doua nuNumar de bancnote 2 4 1 2 mere i ntregi, n ~j 5 , iar pe randul urrnato r cele n valo ri ale bancnotelor. Valorile nume rice de pe fiecare rand sunt separate prin spatiu. -7 Subprogramul s o r t ( ) - se foloseste pentru a sorta descrescator vectorul a -7 Subprogramul g r e e d y ( ) - irnplernenteaza strategia greedy pent ru aceast a problema ~ i afiseaza solut ia in lim p ce 0 construieste. cite ste ()

_

Strategi a greed y este irnplernentata astfel: PAS1 . Selec tarea ban cnotelor in ce pe cu ba ncno ta cu valoa rea cea mai ma re (prim a valoare din vect oru l a). PAS2 . Cat t im p nu a fost platita toata suma , exe c uta PAS3 . Dac a 0 parte din suma rarnasa poate fi platita in bancnote care au valoarea elementului curent din vectorul a. atunci S8 determina nurnarul maxi m de bancnote cu care se face plata (catul dintre suma rarnasa ~ i valoare a bancnotei) si S8 calculeaz a restul din surna care rnai rarnane de platit. PAS4. Se trece la urrnatoarea valoare a bancnotei si S8 revine la Pasul 2. # inc lude < f s t r e a~ . h >

i n t n,m,S, a{ 2 0 ]; f stream f ("g rcedytl . t x t" . i os: : in ) ; v o id c i t.e s t e () {i n t i ; [ »n»5 ; f o r ( i = l ; i < = n ; i - ~ ~ ) f »a [i); f . c l o s e ( ); } v oid s o r t. t ) { i nt i,j,aux; f or ( i=l ;i
c

t . e

s

e

a

o

r

t I nl

: gre e d y ( ); }

69

Informatica

Obsorv atie . i n plata sumei S cu bancnote de valori date pot sa apar a doua cazuri (presupunand ca in moneda respectiva exista bancnote cu valorile precizate marjos): 1. Suma este 48 ,i bancnotele au valorile 15. 5 si 4 (n=3). Algoritmul greedy nu va gas i nici o solu tie. deoa rece va alege 3 bancn ote cu valoarea 15 , rarnan and un rest de su rna cu va loarea de 3 , pentru care nu rnai exists ba ncnote ca sa S8 pla teasca. in realitate ,

problema are a solutie: 2 bancnote cu valoarea 15, 2 bancnote cu valoarea 5, , i 2 banenote cu va loare a 8 .

2. Suma este 22 , i bancnotele au valorile 9, 7, 5 , i 1 (n=4). Algoritmul greedy nu va gasi sol utia optima, deo arece va alege 2 bancnote cu valoarea 9 , ~i 4 banc note cu va loarea 1, in total 6 bancnote . Solutia optima este de a plati cu 4 bancn ote: 3 bancnote cu valoarea 7 ~i 0 ban cn ota cu valoarea 1. Me toda greedy care nu furnizeaza solutia optima a problem ci S8 numeste me toda euris tic a greedy .

Ce relatie trebu ie sa existe intre valorile bancnotelor pentru ca solutia greedy sa furnizez e solutia optima? Co m plexitatea algoritmului greedy Algoritmul greedy propriu-zis are complexitatea O(n ), deoarece se parcurg cele n elemente ale rnultirnii A pentru a alege fiecare dintre cele m elemente ale solutiei. Aigoritmul de sortare folosit pentru aranjare a elementelor mult unii A dupa criteriul candidatului optim are complexitatea 0(nxlog2 n) daca se alege un algontm de sortare eficient, cum este de exemplu algoritmul QuickSort. Complexitatea metodei greedy este O(n) + 0(n xlog2 n)= 0(nxtog2n). Metoda greedy se rocomanda in urmatoarele cazuri: -7 S8 doreste numai obtinerea solutiei optime si suntem siguri ca aplicand strateg ia gree dy S8 obtme solu tia optima;

-7 se doreste obtinerea unc i SOIU!ii accept abile. nu neaparat optirne, , i aigontmul greedy este mult mai eficient decal al\i algoritmi - care pot duce la obun erea mai mu tter solutii sau

a solu tiei optirne.

,i

1. Un automobilist porneste dintr-un ora, A trebuie sa ajunqa i n ora sul B. Re zervor ul autoturismului, daca est e plin, Ii perm ite sa pa rcu rqa n kilometri. Pe harta sunt trecute m stat ii de alimentare ~ i

distantele dintre ele . Automobilistul doreste sa opreasca la cat mai putine statii pentru alimenta rea autoturismului. Scrieti un program care

sa

dete rmine statiile de ben zin a la

care trebuie sa S8 opreasca pentru alimentare. 2. l ntr-un camping exista k casute care pot fi inchiriate 365 de zile din an. O rice turist poate inchiria 0

casuta pen tru exact

m z ile consecutive din an . Campingul a ad unat solicit arile

a n turisti pe un an intreg , cu un a n i na inte. Fieca re turist precizeaza prima zi cu care dorest e sa i nchi rieze a cas uta (1, 2, ...). Sa se determine nurnarul maxim de turisti care vor putea fi primiti in camping ( k ~ 1 0 0 , m$20, n ~ 1 0 0 0 ) . (Concursul Nemes Tiharne r, 1998) 3. Un turist tre buie sa strabata un traseu de munte. Pe harta, zona prin care trebuie sa treaca a re 0 forma dreptunqhiula ra . care este trnparuta , prin caro iaje , in subzone, ca re au fiecare 0 anurnita ina 1time. Zona prin care trece turistul poate fi reprezentata printr-o matrice ale carei ele mente rnernoreaza inaltimea fiecarei subzone . Turistul porneste din sud, din orice subzona de pe harta, ~i trebuie sa

Nord

2 2

,jl. . 3

1 1 0 1

1 2 4

2

Suo

3

.r, 2 3

70

Tch nici de program arc ajunga in nord, in orice subzona de pe harta , astfel tncat sa urce cat mai putin pe intreg traseul. EI poate trece dintr-o zona in alta, numa i rnerqand i n cir ectiile: Est, Nord-Est, Nord, Nord-Vest si Vest. Datele de intrare sunt dimensiunile matricei >;i matricea Inaltirnilor - si se vor citi din fisier.

4.

Intr-o fabrica s-a automatizat procesul de productie si, la sfarsitul zilei de munca, piesele

sunt adunate de roboti industriali. Fiecare robot poate strange un anumit nurnar de piese . Harta halei a fost lrnpartita printr-un caroia] >;i poate fi reprezentata printr-o rnatrice (nxm ) ale carei elemente pot avea valorile: a (pentru locurile in care nu exista masini) >;i 1 (pentru locurile in care exista rnasini). Robotii se deplaseaza in spatiut de deasupra rnasinllor , corespunzator aceluiasi caroiaj. Robolii pornesc din coltul din stanqa sus (1,1) >;i trebuie sa duca piesele i n coltul din dreapta jos (n.rn). Robotii sunt proqramati astfel i ncat sa se deplaseze dea r la dreapta sau in jos. Sa S8 scrie un program care sa determine nu rnarul minim de robof care trebuie porniti pentru a strange toate piesele fabricate intr-o zi. (Concursul Nemes Tihamer, 1998) 5. intr-un depozit al rnonetariei statului sosesc n saci cu monede. Seful depo zitului cunoaste nurnarul de monede din fiecare sac ~i vrea sa modifice continutut sacilo r, prin mutarea de monede dintr-un sac in altul, astfe l lncat, la starslt, sa fie in fieca re sac acel asi nu rnar de monede. Sa S8 scrie un program care sa determine, daca este posibil, nurnarul minim de rnutar i prin care fiecare sac sa cantina acelasi nurnar de monede, altfel sa S8 afis eze un mesa] . Fiecare mutare S8 afisea za sub forma: sac initial, sac final, f)umarde monede . (n,;2000, iar nurnarul total de monede '; 1.000.000 .000) (ONI Oradea , 1998)

1.6. Metoda programiirii dinarnice 1.6.1. Descricrea metodci prugramiirii dina rn ice Me toda pr oqrarnarii din am ice S 8 poate folosi pentru problemele in care trebuie sa fie gasita solutia optima si care au urrnatoa rele caracteristici : 1. Sotutia optima se alege dintr-o rnultirne de solutii. fiecarei solutii puta nd sa i se asocieze o valoare . Alegerea solutie i optime Insearnna alegerea solutiei care are valoarea optima (minima sau maxima ). 2. Problema poate fi descornpusa in subp rob leme simila re cu problema i ni tiala ce respects princ ipiul optirnalitatii : solutia problemei este optima daca ea coniine solutiile optime ale subproblemelor.

3. Subproblemel e i n care se descompun e problema nu s u nt indep end ente 4. 50Iu!i. problemei este data de un vec to r 5 = (x " X2, ... , xml si: -7 exista 0 multirne finita A din care se poate alege un element Xi al solutiei: -7 fiecare etapa de determinare a unui element Xi al solutiei se bazeaza pe rezultatele etapelor in care s-au determinat elementele anterioare ale solutiei; -7 nurnaru l de posibilitati de a alege un element Xi al solutiei se reduce din cauza cerin telor de optimizare si a restrictiilo r impuse solutiei. Metoda c la s l c a de rezolvare a acestor probleme este de a cauta toate so lutiile problemei si de a alege . dintre solutille qasite , solutia optima. Algo ritmul de gene rare a tuturor solutiilor tnsea rnna generarea tuturor subrnuttimi lor de indici ai multirnil A cu n elemente >;i are ordi nul d e c omp!exitate 0(2") . Acest ordin de com plexitate este inacceptabil pentru 0 dimensiune mare a datelor de intrare n.

III fn f

ill a I icii

71

(Swoon de CalZ I Scop : identificarea probl emelor care po l fi descompuse ill subprobl erno similare care nu s unl i ndepen dente ~i ca re resp ecta pr incipiul optirnalitati l, solu tiilo r putand sa Ii se asocieze 0 va loare, iar solutia optima deterrnin andu -se prin calcul area valorii optime . Enuntul problem ei 1: Se conskiere un triunghi de numere naturale ' a11 ell n tinii. Pomind de to numerut din linia 1, mergfmd in j os pana fa a21 finia n. sa se determine a setectie de etemonte astrel incat suma e/ementelor sa fie maxima . Trecerea to Iinia urmatoare se poate face nume! mergfmd in jos, direct sau pe diagonala, la dreapta . a n1 8 ij

I

a 22 a n2

.. ann

Metoda clas ica de rezolvare a acestei probleme este de a calcula toate sume le care se pot forma respectand restrictia de deplasare in triunghi si de a alege, dintre sumele gasite , suma care are valoarea eea rnai mare . Mul\imea datelor de intrare 0 reprezinta rnultirnea A fermata din elemente le aij ale triungh iului. Valoa rea asociata unei solutii este su ma elemc ntelor. Valoarea solutiei optime este valoarea maxima (s uma elementelo r tr ebui e sa fi e m axim a). Sol ut ia problemei este data de un vector S :::: {X1 , X2, ' .' , xn}, unde xjEA. Pentru canstruirea solutiei S8 porneste de la elementul a1 1 ~ i se merge in jos , pana la linia n. Trecerea la linia urrnatoare nu se poate face decat direct, in jos sau pe diaqonala, la dreapta, astfel lncat succes orul elementului aij nu poate fi decat elementul ai+1 ,j sau eleme ntul ai+1,j+1. Problema poate fi descompusa in subprobleme: subproblem a i este alegerea elementului Xi al solutiei de pe linia i a triunghiu lui. Res trictia impusa pentru sol utie este ca elementu l Xi al solutie i sa se obtina , prin deplasarea in triunghi, numai pe doua direcni, de la elementu l anterior, limita nd rnultirnea elementelor din care se alege elementul Xi al solutiei numai la elementele din triunghi care se gasesc lntr-o anurnita pozitie fata de elementul anterior al solutiei. Pentru a respecta princi piul op nrna titat ii. suma elementelor alese anterior trebuie sa fie maxima. Subproblemele nu s unt independ ente deoa rece i n subprob lema i alegerea elementului Xi al solutiei se bazeaz a pe alegerile Iacute in subprobleme le anterioare . Enuntul p ro ble me i 2: Df111du-se un §ir de num ere sa se determine subsirul crescator de lungime maxima . Fiind dat un sir de numere a- , a2, .. _, an, se defineste ca subsir crescator , sirul aj1, ai2, ..., aik, cu ai1 ~ aj2 :S:; .. . :s:; aik ;;i 1 s i1 < iz < ... :s:;i k. De exernplu . i n sirul de nume re 1, -2, 3, 2, 4 , 4 , un subsir crescator este 1,3 , 4, 4 . Motoda clas ic a de rezolvare a acestei probleme este de a genera fiecare subsir al multimii A ~ i de a verifica daca este subsir crescator. Dintre subsirunle crescatcare gasite se alege apoi subsirul care are lungimea cea mai mare. M u l~ i me a

datelor de intrare a reprezinta rnultirnea fermata din elementele sirului: A={a1, a2, .. ., an} . Val oarea asocia ta unei solutii este lungimea subslrulul cres cat or. Valoarea solutiei optime este valoarea maxima (Iun gim ca su bsiru tui tre buie sa fie ma xim a). Solut ia prob lemei este data de un v ector S = {X1 , X2, .. ., xm}, unde XiEA . Prob lema poate fi descornpu sa in subprobleme: subprob lema i este de a gasi subsirul crescator de lungime maxima care i ncepe cu elementul ar. Restrictia impusa pentru solutie este ca elementul aj cu care incepe subslrul sa alba valoarea rnai mica sau eel mult eqala cu cea a succesorului sau in subsir (aj), iar in rnultimea A nurnarul lui ordine (i) trebu ie Sa fie mai mic c ecat numarul de ord ine al succesorului (j) , tirnitand rnultirnea elementelor din care se alege succesorul aj . Metoda cea mai sirnpla de a gasi subsirul de lungime max ima care i ncepe cu

72

Tc h nici d e p r ogramarc

elementul aj este de a cauta printre subsirurile de lungime maxima descoperite in subproblemele rezolvate anterior, eel mai lung subsir care ince pe cu un element a] ce poate fi succesor in subsir al elementului a r, obtinandu-se un nou subsir, de lungime mai mare, care i ncepe cu elementul a.. Pentru a respecta principiul optimatitatii, lungimea subsirurilor descoperite anterior trebu ie sa fie max ima. Subproblemele nu su nt in dependcnte deoarece i n subproblerna i alegerea subsirului care i ncepe cu elementul ai al solutiei se bazeaza pe alegerile tacute in subproblemele anterioare. Enu nt u l pro bl emei 3: 0 (eava Cll Iungimea L trebuie sa se contectione ze din n bucet! do (eava. tiecere ouest» avand lungim ea ai. 0 bucot« de (eava nu poate Ii tiiiata. Sa sa gase asca. aoc« exisla , soil/ ria de a obtine teev« de lungime L prin sudarea unor bucet) de

!eava cu tunqimee e, Metod a clasica de rezolvare a acestei probleme este de a genera toate tevile care se pot forma cu cele n bucati de teava cu lungimile date si de a verifica daca lungimea tevii obtinute este eqala cu L. Mullimea dale lor de intrare 0 reprezinta rnultirnea A fermata din lungimile bucatilor de teava a.. Valoarea asociata unei solutii este lung imea tevii . Valoare a solutiei optime este L (Iungimea !evii co nstruite trebuie sa fie L). Solu t ia problemei este data de un vec to r S = {x, . X 2• •• •• xm}, unde x;EA . Problema poate fi descornpusa in subprobleme: subproblema i este de a gasi toate tevile care se pot confections adauqand bucata de teava cu lungimea a: la tevile care au fost construite in subproblema anterioara. Restrictia impusa pentru tevile care 58 constr uiesc este ca ere sa nu depasea sca lungimea L. Aceasta restrictie lirniteaza rnultirnea tevllor construite anterior. Pentru a respecta pri nc ipi ul optimalitatil, constructia tevilor eu ajutorul bucatii de teava eu lungimea ai se bazeaza numai pe tevile construite in subproblema anterioara, iar subproblemele nu sun t independente. En untu l pro btemai 4: lntr-un rucsac S 8 poate transporta a greutate maxima G $i exista n obiectc, fieeare obiect avand qreuuitee g; § i un profit obtinut in urma trenspottutu! c; iar obioctete nu pot fi fractionate. Sa se setecteze obiectote care vot fi trenspotteto in mesne, astfel incat sa se obtine profitul maxim (problema discrotii a rucsecutui y.

Metoda clas ica de rezolvare a acestei probleme este de a genera toate posibilitatile de a incarca rucsacul aieqa nd obiecte din cele n obiecte ~i de a verifica daca greutatea obiectelor nu depaseste greutatea de incarcare a rucsacului G. Dintre variantele de incarcare a rucsacului se alege cea care are profitul eel mai mare. Multirnea datelor de intrare a reprezinta rnultirnea A fermata din cele n obiecte ai care pot fi transportate in rucsac. Valoarea asociata unei solutii este pr ofit ul t ran sportului. Valoarea solutiei optirne este valoarea maxima (prof itul t rebui e sa fie maxim ). Solut ia problemei reprezinta lncarcatura optima a rucsacului si este data de un vec tor S = {X1. X2•.. .• x m}, unde xkEA ~ i 1skSm. Problema poate fi descornpusa in subprobleme: subproblema i este de a verifica daca obiectul a: poate fi element al solutiei, Restriqia irnpusa pentru solutia care se construieste este ca obiectul a: sa nu aiba a greutate mai mare decat greutatea disponibila a rucsacului ~i profitul lui sa fie mai mare sau egal cu profitul utimului obiect adauq at in rucsac 3i.1. Aceasta restrictie lirrnteaza multimea elementelor din care se alege elementul Xk al solutiei. Pentru a respecta princ ipi ul opt irnalitati i. elementu l Xk al solutiei S8 determine prin alegerea dintre doua obiecte a celui care are profitul mai mare. Subproblemele nu sunt inde pend ente dc oarece rezolvarea subproblem ei i se ~ bazeaza pe rezolvarea subproblemei i-1 (elementul Xi al solutiei este determinat in ~ functie de elementul X i-1 al solutiei).

73

lnfu r mu t icii Metod a proqramar it dinami ce so bazoaza pc descompunerea unci pro bleme in sub pro ble me s imilar e problcmci initiale, care nu sunt in de pc n dc n tc , ~i c on st ru iosto so lutia rozolvand fie care subprobtorna, prin selecta rea, dint r-o m ultirne d e c lemente, a el em entel o r ca re indep linesc

0

anurnita co nd it ie. .Pen tru

ca elementele care se selec teaza sa apartina sotutiet optima, la pasul k alegerea se face in f un cti e de valoarea op tima a unci functii asociate solutlei ~ i se baze aza pe ale ge rile care s -au facut pana atu nc i (pe elementele solutl ei care au fost desc operite anterio r). Etapcle de rezol var e a un ci p ro b lem a p ri n metoda p roq ra rna r!i d ina m ice s u nt: PAS1. Se dernonstreaza ca problema are 0 substructure optima (prin reducere la absurd). PAS 2. Se caracterizeaza structura unci solutii optime (descompune rea problemei in subprobleme). PAS3. Se defineste re cursiv va loarea so lut iol opt ime. PAS4. Se calculeaza valoarea solutiei optirne intr-o rnaniera "de jos i n sus" ("bottom-up·') . PASS. Se con struieste solutia optima din inforrnatiile obtin ute prin calcu larea valorii solutie i optime.

Obso rv atio. Valoarea solutiei optime este definite recursiv in functie de valorile optime ale subproblemelor. Daca pentru calcularea functiei recursive s-ar folosi un algoritm recursiv, ordinul de complexitate ar fi 0 (2"), la fel ca si in cazul metodei clasice de rezolvare. Din aceasta cauzn, ca!cularea functiei recursive S8 face "de j os in sus " obtina ndu-se un algo ritm itorativ : PAS 1. Se rezolva subproblema obtinuta din descompunerea problemei initia te care are cea mai mica dimensiune ~i S8 mernoreaza soluti a ei. PAS 2. Cat t imp nu s·a ajuns la rezolvarea proble mei cu dimensiunea n , exec uta : S8 rezo lva 0 subproblems de dimensiunea i folo sind solutiile obtinute in subproble mete cu dimensiune mai mica decat i.

1.6.2. lmplcmentarca mctodci prugrarnarii dinamice Pentru impleme ntarea metodei proqrarnari i dinamice S8 vor foios i subprogramele: -7 subprogramul ini t () - care initializeaza variabilele de rnernorie ~i structurile de date folosite pentru constru irea solutiei; -7 subprogramul p_ dinamica () - care calculeaza valoarea solutiei optune; -7 subprogramul afiseaza ( ) - care afiseaza solutia problemei foJosind intormatiile obtinute prin calcularea valorii solutie i optime . in exempJele urrnatoare datele de intrare vor fi citite dintr-un fisier text.

Excrn plul 1 . Proble ma surnei maximo in tr iunghi. Cerinta problemei este ca pentru calcu lul sumei sa se porneasca de la elementul a11 si sa se rnearqa in jo s, pana la linia n. Trecerea la linia urrnatoare nu se poate face decat direct, in jos, sau pe diaqonala , la dreapta , astfel lncat succesorul elementului aij nu poate fi decat elementul ai+l, j sau elementul ai+1,j+1. PAS1 . Pro blema are sub struc ture optima . Fie un sir de n numere din triunghi, care respecta conditiile de deplasare in triunghi ale problemei, si care tormeaza suma maxima. in subproblema i a fast ales numarul de pe linia i pe baza sumelor maxime calculate in subproblernele anterioare, altfel se contrazice ipoteza ca sirul forrneaza suma maxima .

T ch nici de programarc

74

PAS2 . Desc om puncrea probJem ei in subproblem e. Se deterrnina pe rand sumele maxime ale numerelor care apar pe trasee le care pornesc de pe ultima linie n catre varf si ajung pe linia i (t s is n-t). Pe linia i , suma maxima pentru fiecare element S8 va calcula pe baza sumelor max ime care s-au calculat i n subpr oblemele ante rioar e (sum ele de la linia n pfma la linia i+ 1). Aceste sume sunt sume le max ime pentru fiecare linie ~i principiul optirnalitatii este respectat. PAS3 . Valoarea solutie i fiind suma etementelor selectate , functia recursive care defineste s uma m axima pornind de la elementul au al triunghi ului este prezentata alaturat,

aij oaca len , h "js i S(i,j) =

{ a;j + max(S(i+1,j), Sli+1,j+1)) daca t stsn-t

PASS . Pentru a calcula valoarea solutiei optirne intr-o maniera de "de jos in su s ", S8 va forma un tri u nghi al s ume lor ma xim e, pornind de la baza (Iinia n ) catre varf (Iinia 1). Sumele maxime de pe linia n sunt ega te fiecar e cu elementul corespunzator de pe linia n a triun ghiului. Valoa rea maxima a sumei elementelor este 51 1. PASS . Pentru reconstituirea elemen telor solutiei, se foloseste 0 ma trice p , i n care se mem oreaza directia de deplasa re (valoarea 1 pentru deplasarea in jo s si valo area 2 pentru depiasarea pe diaqona la). Matricea peste defin ita alaturat .

p(i,j)

={

1 daca 5(1+1 ,j) > S(i+1,j+1) 2 caca 51i+1,j ) ~ 5(1+1,j+1)

Se tolosesc urrnatoarele date ~ i structuri de date : -7 Pentru nurnaru l de Iinii ale triungh iului se foloseste variabila n. -7 Pentru me morarea triunghiului se folose ste matricea a , pentru [ memorarea sumelor maxime - matrices s . iar pentru memo- ;1 1t rarea directiei de deplasare - matricea p . Toate aceste matri - a 21 ce sunt patrate , cu dimensiunea n .

o

:l n l Hil l Se folosesc urrnatoarele subp roqrame : -7 Subprograrnul c i tes te () - pentru citirea datelor din fisierul text. in fisierul text , pe primu l rand este scris numarul de linii, n , iar pe urmatcaree n rand uri numerele de pe fiecare Iinie a triungh iului. Numerele sunt separate prin spatiu . in urma executie i ace stui subprogram se creeaza matr icea triunghiului a. -7 Sub programul ini t () - irutializeaza linia n a matricei s cu elementele de pe linia n a triungh iului. -7 Subprogramul p_ dinamica - calculeaza valoarea solutiei optime (elementul 5 11 at matricei sumelor). -7 Subprogramu l a f isea z a () - afiseaza suma maxima ~ i solutia prob lemei folosind info rrnatiile din rnatricea p .

Strategia proqrarn ar li di namice este implementata astfe l: PAS1 . Se initializeaza linia n a matri cei sume lor max ime S cu ele mentele de pe linia n a matr icei triunghiului a . PAS2. Pentru urrnatoare ie linii ale matricei sume lor maxime incepand cu linia n-1 pana la linia 1, ex ec uta: PAS3 . Se calculea za suma maxima astfel: daca suma maxima S(i+1,j) - de sub elementul curer.t din triunghi - est e mai mare cecat suma maxima S(i+1 ,j +1) - de pe diagonala elementului curen t, atunci la elementul

Informatica

75 curent se aduna suma 5(1+1,j) si directia de deplasare este 1; altfel, la elementul curent se aduna suma 5(1+1 ,j+1) 'Ii directia de deptasare este 2.

Matricea t riunghiului - a Suma maxima = 20 1 2 3 4

Matricea sumolor

1

maxime - S 1 2 3

4

20

0

0

1

2

3

4

1

1

0

0

0 0

1

5

2

4

2

0

0

2

15

1

0

0

2

1

1

0

3 4

5

4

3

0

3

11

10

8

.s,

3

.z,

1

2

0

4

6

2

5

4

4

6

2

5

4

0

0

0

0

0

0

0

0

Matricea d irectiei de doplasaro - p

Prog ramul este : #include < £ s t r e a m. h > int n , a [20 J [2 0 1 , p [ 2 0 ) [20) , $[20] [ 2 0J ; fstream f ( "pdl .tx t " , i o s : : i n ) ;

void c.i t e s t e () {int i , j ;

f » n;

for ( i = l ; i < =n; i ++ ) for ( j~ l;j < ~i; F+ ) f» a [i ) [j ) ; f. cl ose () ; ) void .i n.i t ( ) (for (i n t i= l ;i<=n ii++) S ln Jli l""'a[n l [i ] ; } void p,..cd i n a mi c a U {int L j ;

for (i=n-l ;i> = l ;i -- ) for ( j ~ l ; j<= i ; j+ +) if

($[i +I ] [j j>Sfi+l j [j+l)1 [ S [ .l J [ j ]~a[ i J [j ]+S [l+l ) [j ] ; p[ i) [j J ~ l ; ) else ( S r i ] [ j ] ~ a[ i ) [ j ) + s[i+ l] [j+1J ; p il l [j]~2 ; )

void a f Ls ee za () {int i ,j , q = l, r = l; cou t-c-c't Su ma ma xima= "« S [ l J ll J«" = " « a [ l ] [ 1 ] « "+ " ; for {i=l ,j= l ;i
q~q+ l ;

{c i t e s t e ();

i n it () ; p_dinamica(); a f Ls e a z a ll r }

Exemplul 2. Problema sirului de lungime maxima . Pentru a determina sirul de lungimea maxima, trebuie calculat a, pentru fiecare element a j al sirului, lungimea celui rnai mare subsir crescator care se poate forma lncepand cu el, dupa care se alege subsirul cu lungimea maxima. PAS1 . Problema are s ubs tructu ra optima . Fie un sir crescator de m numere din sirul initial A care incepe cu numarul aj si respects conditia ca este subsir al sirului A , 9i care are lungimea maxima dintre toate subsirurile cresc atoare care i ncep cu numarul a., In subproblema i se alege subsirul crescator de lungime maxima care incepe cu nurnarul ai astfel: S8 adauqa la numaru l a: subsirul cu lungime maxima dintre subsirurile din subproblemele ante-

76 rioare care in cep cu numarut aj, cu ar ::; aj lungimea max ima.

Tch nici lie progra lllarc ~i

kj , altfel

S8

contrazice ipoteza ca subsirul are

PAS2 . Des co mpu nerc a p roblemei i n subpro bleme . Se determine pe ran d lungimea ma xima a unu i sub sir crescator care in cepe cu elem entul a, din sir, porn ind de la subsirurile crescatoare de lungime maxima care inc ep cu elementul an, p~m a la subsirurile care i ncep cu elem entul ai+1. Pentru eJementul aj din sir, lung imea maxima a subsirurilor crescatoare care S8 pot form a, Incepand cu el. S 8 va calcula pe baza lung imilor max ime care s-au calculat in subproblemele anter ioare . Aceste lungim i sunt lungimile maxime pent ru fiecare subsir care se poate forma i ncepand cu acel eleme nt si principiul optimalita\ii este respectat. PAS3 . Valoa rea solutie i fiind lungi mea subsirului crescator , functia recur sive L(i ) ; care define ste lun g im ea m ax im a a subsirului car e se poate forma pornind de la elementul aj al slrului este prezentat a ataturat.

1 daca i- n {

1 + m ax(L(j)) daca ar s; aj . L n :?i i< j:$"11

PAS4 . Pentru a calcula valoarea solutiei optime i ntr-o man iera "d e j os i n s us ", se va forma un vector al lungi mi lor ma xime. pornind de la ultirnul element din sir (elementul n) catre prim ul element din ~ir. in acest vector se va memora i n pozitia i lungimea max ima a unui subsir crescator care se poate forma inc epand cu elementul aj al sirului. Cum lungimea maxima a unui subsir cresca tor care se poate forma cu un singur eleme nt este 1, lungimea max ima corespunzatoare elementul ui an se initializeaza cu valoarea 1. PASS. Pentru reconstituirea elementelor solutiei, se foloseste vectorul p in care, in pozitia i, se mernoreaza indicele elementului urmator din subsirul de lungime maxima care incepe cu aj. Se folosesc urrnatoarele date ~i structuri de date : -7 Pentru numarul de elemente ale sirului se foloseste vari abila n . ~ Pentru me morarea sirului de num ere se foloseste ve ctorul a , pent ru me mora rea lungi miter maxi me - vectorul L , iar pentru me mo rarea indicelu i ele rnentului urmato r din subsir - vectoru! p . Tal i acesti vectori au dimens iune a n. Se folosesc urmatoarel e subp rog rame: -7 Subprogram ul ci t.e s t.e () - pentru citirea datelor din fisierul text. in fisierul text. pe primu1rand este sensa lung ime a sirului - n , iar pe urrnato rul ran d cere n numere din sir. in urma executiei acestui subprogram se creeaza vectorul pen tru sirul de num ere - a. ~ Subpro gramul i n i t () - initializeaza eleme ntul n al vectorilor L ;;i p . ~ Subpro gramul p_ di namica - calculea za valoarea solutiei optime (Iungi mea maxima a subsirurilor care incep cu fiecare elemen t aj din sir). ~ Su bprogramul cau ta_ solu t .i a ( ) - caut a cea rnai mare lungime maxima a unui subsir pentru a gasi ele me ntut cu car e i ncep e subsirul. ~ Subpro gramul af i s e a za ( ) - afiseaza tungim ea sirului gasit si so lutia problernei folosind informat iile din vector ul p . Strategia p roq rama rl i d inam ice este irnplement ata astfel: PAS1 . Se initiahzeaza elementul n al vectorului lunIndici 1 2 3 ~ gimitor maxime cu 1 ;;i al vectorutui p cu n . PAS2. Pentru urmiit oarele ele mente i ale vect oa 41~ -2 3 rulu i, Jungimi tor max ime Ince pand cu eleL 4 3 mentu l n-1 pana la elem entul 1, ex ec uta: 3 5 PAS3. Sc irutializeaza lung imea maxima p 3 a sub sirului car e in cepe cu acest Subsirul

-_. 6 ~- -".-

4 2

4

4

3

2

....1-

5

6

6

4

4

77

I nfo rmaticii

element cu valoarea 1 :;;i pozit ia cu care i ncepe subsiru l cu pozitia elementului in sir. PAS4. Se calculeaza lungimea max ima a subsirului care i ncepe cu elementul curent din sir, astfel : pentru toate elemen tele j din sir care urmeaza dupa elementul i, exe cuta PASS. Daca 3j este mal mic decat 3j 9i lungimea subsirului care ince pe cu 3j este mai mare decat lungimea subsir ului ca re incepe cu ar, atunc i L(i) este egal cu 1+LU) ~ i indicele elementului care ormeaza i n subsir dupa elementul a: este j . PAS6. Se deterrn ina cea mai mare lungime maxima L(k). Subsi rul de lungime maxima va fncepe cu elementul a k. Progra mul este : # in c l u d e < f s t r e a m. h > in t n ,k ,a [20J , p [ 2 0 J , L [ 2 0 ]; fs tream f( "pd2 .txt " , i o s : :in );

void c Lt.e s t.e L) t i nt l ; f» n; for ; i< "'n ;i ++)

f » a [ i ]; f . c l a s e () ; }

v o i d ini t() { L [ n l ~l;

p[ nl ~ n ; )

void p _d i n a mi c a () tint L j ;

f or

(i = n - l ; i >= l ; i - - )

{ c [ i ] ~ 1; for

if

p [i J~l ;

( j ~ i t l; j < = n; j + + )

(a [ i J<~a[ i J { L [ i]~ L [ j ] + l;

&&

L[i] < ~ L[ j J)

p [iJ ~ i ; } ) }

void cau ::a~~solut i a () {in t i, rl\iJ.x "= - l ;

for

( i ~ l ; i< = n ;i+ - t)

(ma z
Exemplul 3. Problema tc vii. Oaca se poate constru i 0 teava de lungim ea 0 folosind bucati de teava cu lungimea 8 1, a2, .. , a., atunci se poate construi ~j a teava cu lungimea D+a i+1 folosind bucat i de teava cu lungimea ar , az. ... , a t, ai +1. PAS 1. Problema are substructura op t ima . Fie a teava care s-a obtinut prin sud area bucatii de teava cu lungimea a., la a teava care a fast obtinuta anterior din bucati de teava cu lungimea a], ~i care are lungimea mai mica decat L. In subprobtema i se aleg dintre tevile obtinute anterio r numa i acelea care au lungimea mal mica cecat L-a j, altfel 5e contrazice ipoteza CEt se paat e construi noua teava .

78

T chnici de program arc

PAS2. Descompunere a probl em ei in s u bproblem e. Se determi ne pe rand lungimile tevilor care 58 pot forma cu bucata de tea va cu lungimea ar, pornind de la teava torrnata numai cu buca ta de teava cu lungimea a1, pana la tevile formate cu primele i ~1 bucati de teava . '[evile forma te nu depasesc lungimea L ~i principiu l optimalitatii este respectat. PAS3. Valoarea solutie i fiind lungimea unei tevi, functia recur siva care defineste lungimea tev ilor care se pot forma cu bucata de teava cu lungimea a: este prezentata alatura t,

-1

T(i,j )=

caca 1=0

{ .. ar oaca T{i ,j - ai} :;C,O pentr u 'tsrsn ~i 1 :S:j~L

PAS4. Pentru a calc ula valoarea solutiel optime intr-o rnani era "d e jos in sus", S8 vor forma toate t8vile cu lungimea ma i mica sau eqala cu L , porni nd de la teava care S8 poate construi cu bucata de teava cu lungimea a 1, ~i adau qand la tevile obtinute, pe rand , urrnatoarele n-1 bucati de teava cu lungimea ar. Pentru a tine evidenta tevilor care s-au constru it in subproblema i se foloseste un vec to r al lu ngim ilor tev il or care se constru iesc - T, care are lungimea loq ica L. i n acest vector se va memora in pozit ia j lungimea ultimei bucati de teava care se ada uqa la una dintre tevile constru ite anterior pentru a obtine 0 teava cu lungimea j . Princ ipiul optirnalitatii este resp ectat prin mo dul In care se constru ieste 0 teava cu lungimea j: prin adau qarea unei bucati de teava la una dintre tevile confection ate in subproblema anterioara .

PASS. Pentru reconstituirea elemente lor solutiei. se foloseste vectorul T. Pomind de la eleme ntul din pozitia L care corespunde tevii cu lungimea L , se scade bucata de teava cu lungimea T(L), obtinandu-se lungimea tevii la care a fost adauqata aceasta bucata de teava (indicele din vectorul T). Procesul continua pana se obtine teava cu lungimea O. Se folosesc urrnato arele date ~i structuri de date: --7 Pentru nurnaru l de bucati de teava se foloseste variab ila n , pentru lungimea tevii care trebuie confec tionata. variabila L , iar pentru lungimea maxima a une i tevi care se poate forma adauqa nd 0 noua bucata de teava la tevile construite anterio r - variabi la max. Variabila ma x are initial valoarea 0 (nu s-a constru it nici 0 teava), iar la sfarsit, daca problema are solutie , are valoarea L (Iungimea tevii care trebuie confectionata) . -7 Pentru memora rea lungimi i fiecare i bucati de teav a se fo loseste vectorul a , de lungime n, iar pentru me morarea tevilor care se pot confectiona , vectorul T, de lungime L . Se folosesc urmatoarele subproq rams : -7 Subprogramul ci tes te () - pentru citirea datelor din fisierul text. i n fisieru l text, pe primu l rand sunt scrise numa rul de bucati de teava - n ~i lungimea tevii - L , iar pe urrnatorul rand, lungimile celor n bucati de teava . in urma executiei acestui subprogra m se creeaza vector ul cu lungimile bucatilor de teava - a , -7 Subprogramul ini t () - initializeaza elementul 0 al vectoru!ui T si variab ila ma x . -7 Subprogramul p_ d ina mi c a - calculeaza valoarea solutiei optime (lunqimile tevilor ce se pot obtine adauqand fiecare bucata de teava ail . -7 Subprogramul s oLu t.ae () - verifies daca s-a gas!t solut ia probleme i. -7 Subprogramul afiseaza () - daca este posibil sa se confectioneze teava . afiseaza lungimile bucatilor de teava din care se confectioneaza. Strategia p ro qrarna rll d ina m ice este irnplementata astfel : PAS1. Se initializeaza elementu l 0 al vectorului T cu -1 si variabila max cu valoarea 0 PAS2. Pentru fieca re bucat a de teava cu lungimea ai i ncepand cu bucata de teava cu lungimea a1 pana ta bucata de teava cu lungimea an, exec uta:

79

Info r m atica

PAS3 . Pentru tevile cu lungimea j lncepand cu teava cu lungimea ma x pana la teava cu rungimea 1, exe cuta: PAS4. Dac a adauqand la teava cu lungimea j bucata de teava cu lungimea a: S8 obtine 0 teava care va putea fi folosita la confection area tevi i cu lungimea L, atu ne i constru irea tevii cu lungimea j+ aj in cepe cu buc ata de teava cu lungimea aj. Se rev ine la Pasu l 3. PASS. Se deterrnina lungimea maxima a unei tevi care S8 poa te construi din tevi le construite anterior, astfel: daca adauqand la tea va cu lungimea maxima bucata de teava cu lungimea ai, S8 obtine a teava cu lungimea mai mica decat L, atunei lungimea maxima a unei tevi care S8 poate construi va fi manta cu lung imea bucatii de teava ar; altfel , ea va fi L. Se revine la Pasul 2. PAS6 Dad) nu exista solutie (nu exista 0 bucata de teava cu care se poate i ncepe construirea tevi i de lungime L), atunci se afiseaza un mesa j de infor mare; altfe l, se trece la Pasu l 7 pentru a afisa solutia. PAS7 . Pentru fiecare teava cu lungimea i din care s-a obtin ut teava flnala , incepand de la teava cu lungimea L , pana la teava cu lungimea 0, executa: PASa . Se afiseaza lungimea bucatii de teava cu care incepe constru irea tevii i: T(i) . PAS9. Se calculeaza lungimea tevii rarnase , scazand lung ime a bucafii de teava din lungimea i L=10 indici 1 234 5 n=5

a

UIiliIiliJ

indici vecto rul T = l un gi me tea v a ma x

al i)

in itial

0

1

2

3

4

5

6

7

a

9

10

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a{1)

-1

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

2

a(2)

-1

0

2

0

2

0

0

0

0

0

0

4

a(3)

-1

0

2

3

2

3

0

3

0

0

0

7

a(4)

-1

0

2

3

2

5

0

5

5

5

5

10

a(5)

-1

0

2

3

2

5

6

5

6

6

6

De exemplu, dupa ce s-a luat in considerat ie ;;i bucata de teava de lung ime a(2) se pot construi levi cu lungimea 2 (din bucata de teava a(1)=2) ;;i cu lung imea 4 (din bucatile de teava a(1)=2 si a(2)=2), lungimea maxima a un ei l evi fiind 4. l.ua nd u-se i n cons ideratie si bucata de teava de lungime a(3 )=3 se pot construi le vi cu lungimea 2 (din bucata de teava a(1) =2). cu lungimea 3 (din bucata de teav a a(3)=3), cu lung imea 4 (din buca tile de teava a(1)=2;;i a(2)=2 ) ;;i cu lungimea 5 (din bucatile de lea va a(1)=2;;i a(3) =3 ).

Pro gram ul este : #include < f s t r e a rn. h > int L,n , maz ,T[2 0 ] , a [2 0 ] ; fst ream f( l' p d 3 . t x t ", i o s : :in ) i void c .i t es t e \) {int .i : £»L»n ; for ( i =l;i <= n; i ++ ) £»a [i ] ; f . c l os e ( ) i ) void i ni

to

( T [ O ] ~-l;

ma x e Oj }

Tch nici d e prog ramarc

80 vo i d

p ~dinamica()

tint i ,j , r:; f or ( i = l ;i <=!l ;i~ +) { fo r (j=;ctax ;j>=O ;j - -) i f (T[jJ '=0 && j + a[iJ< =L) T[j +a[i]J=a[i] ; if (ma x e a [i]
v oid a fise a za {} {i f (! solutie()) c out«" Te a v rl nu se p o ate c onf e cti or..a " ; el se f or ( i n t i=L ;i != O; ) {cou t .c-C'Bu c e t a d e "
i~it(j ;

p_di namica ( ); a fi s e a za() ; )

Excmplul 4. Problema discreta a rucsaculu i.

PAS1 . Fie un sir de m obiecte a carer greutate nu depa seste greutatea de tncarcare a rucsacului G si care asiqura profitul maxim al transportului. in subprob lema i a fast ales obiectul i numai daca greutatea sa nu cepaseste greutatea de lncarcare dlspon ibila ~i profitul adus de el este rnai mare decat al obiectului adauqat anterior i n rucsac . altfel se contrazice ipoteza ca incarcarea rucsaculu i asiqura profitul maxim. PAS2 . Des c om puncr ea problemei in subp ro blc me . Se determ ine pe rand profitul maxim adus de fiecare obiec t aj pentru fiecare greutate de i ncarcare disponibi la (de la 1 la G) pernind de la obiectul a- . pana la obiectul an, pe baza profiturilor maxime aduse de primele i-1 obiecte. PAS3 . Valoar ea solutiei fiind profitul, functia recursive care defineste profitul ma xim C(i,j) obtinu t prin lncarcarea optima a rucsaeului eu primele i obiecte, avand disponibila greutatea de inca rcare a rucsacului j , este prezentat a alaturat. C(i,O ) reprezinta profitul maxim al unui rucsac cu greutatea disponibila 0 (care { Oceca ;-0 ~i 1::;;isn nu permi te adauqarea niciunui obiect i). C(O,j) reprez inta profitul maxim al unui 0 dace i=O ~i 1$j$G rucsac gol cu greutatea dispon ibila j C(i,j) = (care nu contine niciun obiect). . max(C(I-1j-g(i))+c(i), C(i-1,j)) daca g(l) $) . C(j-1.il in rest PAS3 . Pentru a calcu la valo area solutiel optime in tr-o man iera "de j os in su s ", se va forma a m atrice a profi tu rilor maxima C, pornind de la primul obiect (Iinia 1), pana la ultimul obiect (Iinia n). Matricea C are dimensiunea n xG . Elementu l C(i ,j) rnernoreaza profitul maxim obtinut in subprob lema i pentru 0 greutate disponibila j . Pe linia i, profitul maxim pentru fiecare greutate de tncarcare j se deterrnin a pe baza profitu rilor maxime ce s-au calculat in subprob lemele anterioare (profiturile maxime de la linia 1 pana la linia 1-1). Aceste profituri sunt maxime pentru fiecare linie ~i principiul optirnalitatii este respectat. Valoarea maxima a profitului este e nG (profitul maxim obtinut pentru un rucsac cu greutatea disponibila G ocupat prin alegerea din cele n obiecte a obiectelor care aduc profitul maxim). PAS4 . Pentru reconstituirea elementelor solutiei, se foloseste matricea p cu dimensiunea n xG. Elementu l p( i,j) rnernoreaza obiectul ales in subproblema i pentru 0 greutate disponibila l

Infurmuticii

81

Se folo sesc urrnatcare le date ~i structuri de date globale: -7 Pentru nurnarul de obiecte S8 toloseste variabila n. iar pentru greutatea rucsacului, variabila G. "" Pen tru rnultimea obiectelor (A) se foioseste vectorul a ale carui ele mente sun t de tip Inregistrare obiec t care coniine doua carnpuri: g - greutatea obiectului si c - profitul obtin ut in urma transportului. -7 Pentru memora rea profituriJor S8 folcseste matricea C, iar pentru memorarea obiectelor alese lntr-o subproblerna S8 foloseste matricea p. Ambele rnatrice au dimensiunea nxG .

Se folosesc urrnatoarele subprograme: "" Subprogramul ci teste () - pentru citirea datelor din fisier ul tex t 1n fisie rul text, pe primul rand este scris nurnarul de obiecte n l?i greutatea maxima a transportului G, iar pe urrnatoarele n randu ri perechi de numere intregi, separa te prin spat iu, care reprez inta greutatea :;;i profituJ transportului unui obiect. In urma executiei acestui subprogram se creeaza vectorul obiectelora -7 Subprogramul p_ d inami c a - calculeaza vaJoarea solutiei optime (profitul maxim obtinut pentru un rucsac cu greutatea cisponibila G ocupat prin alegerea din cele n obiecte, a obicctelor care aduc profitul maxim). -7 Subprogramul afiseaza ( ) - afiseaza profitul maxim si solutia problemei folosi nd inforrnatiile din rnatricea p .

Ob ioc tu l

n =4 G=10 Greutatea

Profitul

Obi ect

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

20

1

0

20

20

20

20

20

20

20

20

20

2

3

40

2

0

20

40

40

60

60

60

60

60

60

50

3

0

20

40

60

60

60

60

70

90

90

45

4

0

20

40

45

60

65

85

85 105 105

~

-

Matricea C Greutatca di sponibil a

-3 -

6

-

- --~ - -

4

4

- -

Mat ricea p G re uta tea di s p o nlblla Obiec t

1 2

r-r-r-r-r

3

4

5 6

7

8

Solutia

9 10

Obi ect ul

Gr eutate a

Profitut

4

45

I

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

4

2

0

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

40

3

0

1

2

2

2

2

2

3

3

3

1

2

20

4

o

2

4

2 4

4

4

4

4

4

T otal

9

115

1

Strategia pr o qrarn ari i dinami ce este irnplementata astfel: PAS1 . Pentru fiecare obiect i lncepand cu prirnul obiect pana la ultimul obiect (n), executa: ! PAS2. Pent ru greutatea disponibila j Incepand de la 1 pana la G , exe cuta: PAS3. Se ca'culeaza profitu l maxim pentru greutatea disponibila j luand in consideratie profitul care s-ar putea obt ine prin adauqarea obiectului i: dac a greutatea obiectului i este mai mica sau eqala cu greutatea disponibila si profitul adus ta greutatea j este mal mare cecat profitul ad us de obiectul i- 1, atun ci profitul pentru obiectul i ~i greutatea j este ega I cu profitul obiectului i adunat la profitul calculat pentru obiectul i~1 ~i greutatea j dirninuata cu greutatea obiectului i ~i in

82

T eh nici de rrou ramare matricea P se rnernoreaza obiectul I; alt fel, profitul pentru obiectul I si greut atea j este egal cu profitul obiectului ;-1 ~I greutatea j ~I in matricea p se rnernoreaza obiectul i-1 ales pentru greutatea j .

Programul este: #in cl ude < f s t r e wn. h > s tru c t ob iec t lint g , c ; }; obiect a[20] ; int n ,G ,p[20] [201 , C [ 2 0 ] [201 ; fs tre am f ( " pd4 . t xt " , i os : : in ) ; vo i d citeste() l int i ; f »n»G ; fo r ( i = l; i <=f!.; i .;- + ) f »a[1] . g» 3 i i J . c ; f c Lo s e Lj r } v oid P dinamica() {for ( i n t i =1 ;i<=n ;i4·t) f o r ( i n t j=l ;j<=G ; j ++) i f ((a [ .i ] . g <= j ) && (o i l] .c +C[ i- l] [j -a [i ] .g] >C[ i {C [ i ] U ]=a[i] .c+C[i -l] [j -a[i] . g ]; p [i else { C [ i ] [jl =C[i-ll Ij] ; p l Ll [j]=p[i -l] [j] v o id a f i s ec z a () lint i=n ,j=G ,~ ; coucc-cv p ro Ej t tctal= "« :::[r: ] fG] « e n d l wh i l e ip[i][j)'=OI { k=p [ .l ] [jJ ; cout« " Ob i e c t u l "« k«" eli g.:-eutatea " « a [ k j . g; cou t« " 5i pro fi :.ul "« a [ k ] . c«endl ; j - v a [p [ i ] [j 1] . g ; while ( p l i ] [j] = =k) i --; I I v o i d mai n ( ) {ci t e s t e ( ); p_dinamica() ; afisea za() ; ) c

- l ] Ij ] ) I ] [ j]= i.; I ; I)

;

Complexitatea algoritmului proqrama rii dina mice

Algoritmul proqrarnarii dinamice are complexitatea O{n xm) deoarece se rezolva cele n subprobleme, iar pentru fiecare subproblerna se calculeaza cele m elemente ale valorii asociate solutiei. 1. Se dau n numere naturale ~i un numar natural 5 . Sa se gaseasca , daca exista, solutia de a obtine numarul 5 ca surna de numere naturale dintre cele n numere date . 2. Sa se afiseze eel rnai mic numar cu exact n divizori. 3. Se citesc de la tastatura doua siruri de caractere S1 ~ i S2. Sa se insere ze spatii in sirul 51 astfel tncat -daca se suprapun cele doua siruri, numarul de caractere care coincid sa fie maxim . 4. Se dau doua siruri de caractere A si B de lungime n, respectiv m . i ntr-un sir de caractere se pot executa nurnai urrnatoarele trei operatii prin care se poate transforma un !iiir: S(I) - sterqe caracterul din pozitia i, 1(I,e) - insereaza caracterul c in pozitia I ~I M(i,c) Inlocuieste caracterul din pozitia i cu caracterul c . Sa se transforme sirul A in sirul B folosind un nurnar minim de operatii. Problema se va rezolva in doua variante: a) transformante se vor aplica de la stanp a la dreapta; b) transformarile se vor aplica de la dreapta la stanq a.

83

I n 1"0 r ill a tica

5. Se dau doua siruri de num ere X=(x , . xz•. ..• xm} ~ i y =(y , . y z•. ..• yrn} . Sa se determine eel mai lung subsir comun al celor doua siruri . $irul Z=(z, . zz. .... Zk} este s u bsir co m un al sirur ior X ~i Y dac a el este sub sir al sirulu i X si subsir al sirului Y. De exemptu , daca X=( 1,2,3,2,2, 1,4} ~i Y=( 2,1.3,1.2,4}, sirul Z=(2 .3.1,4} este un subsir comun al celor doua siruri , lnd icati e Valoarea asociata solutiei este lungimea unui subsir comun , iar functia recur siva defineste valoa rea lungimii maxime a unu i sub;;ir comun L (i.j) unde i .este indicele elerne ntului cu .care mcepe s Ub~ l ~ ru l X. tar J est e indicele ele mentului cu care in cepe subsi rul Y. 6. Se da un

~i r

{Odaca

L(i,j) =

i=O sau j=O 1+L(i. 1,j-1) daca i, O, jeO 'ii XI = Yi max(L(i,j·1), L(i-1,j) ) daca i. O, j,O 'ii x'*Yt

de n matrice A, . A z. .. .. A n 'ii trebuie sa se calculeze produsul lor : A, xA zx

... xA n. Fiecare ma trice A i. cu 2:5ISn, are Pj·1 linii ~ i Pi coloane (doua mat rice A ~ i B S8 pot lnmulti numai daca numarul de coloane din matricea A este egal cu numarul de linii din rnatncea B ). Sa se puna i n acest produs paranteze le potrivite astfel Incat nurnarul de Inmultiri sa fie minim (deoarece Inrnultirea matricelor este asoc iativa, inserarea parantezelor nu rnod ifica rezultatu l). lndic atie . Fiind date doua matrice A p,q ~i Sq,r, matrice a prod us Cp,r con fine elementele: 'I

c ij =

La;" x h"j k=d

Timpul necesar pentru calculul mat ricei produs este determ inat de nurnarul de Inrnultiri scalare : 3ikXbkj . De exemplu , pentru produsul A1 XA 2 XA 3, in care rnatricele au dimensiunile 10x20 , 20 x5 si, respectiv, 5x40 , nurnaru l de Inmultiri scalars pentru paranterizarea ((A, xAz lx A31 este 10 x20 x5 +10 x5 x40=12 00. iar pent ru paranterizarea (A ,x(A zxA 3ll este 10x20 x4 0+20x5 x40=12000 (de 10 on mai mare decat in exemplul anterior). V aloarea aso ciata solutiei este nurnarul de Inrnultiri scata re, iar tunctia recu rsive m (i,j ) defineste nurnaru l minim de i nm ultiri scalare pentru calculul mat ricei produs A iX. . .x A o daca i= j m(l,j) = { min{ m(i,k) + m(k+1,j) + pi·l xp kxPi I iSk
1.7. Compararea metodclor de construire a algoritmilor Meto d ele backtracking , greedy ~i programarea dinamic a se recornand a i n cazul problemelor care au urrnatoarele caracteristici: -7 solutia poate fi data de un vecto r sau a matrice cu elemente de tip int reg; -7 elem entele solutiei apartin unui subdomen iu hmitat. Algoritmu l backtracking are cea mai mare complexitate (complexitatea exponentials ), iar algor itmul greedy, cea mai mic a. Alegerea uneia dintre aceste metode se face i n functie de cerinlele problemei : -7 Oaca se cere determinarea tutur or sol ut iilor , se va alege metoda backtra cking .

84

Teh n ici de programarc

-7 Daca se cere determ inarea so l ut lei o pt ime ,

S8 va alege metoda gree dy . daca S8 poate demonstra ca ea furn izeaza un rezuJtat corect: altfel , S8 va alege metoda pr o qram arii di namice .

Metodcle grccdy slproqrarnaroa dinamica S 8 folosesc in problemele in care trebuie gasita solutia optima. In ambeJe metode alegerea elementului x, al solutiei este irevocabil a si poate duce la obtinerea solutiei optime in cazul probleme lor care au proprieta tea de optim loc al, adica solu tia optima a problemei cu dimensiunea n a datelor de intrare co ntino solutiil e opt ime ale s ubprobleme lo r similare cu problema initiala, dar de dimen siune mai mica. Deosebirea dintre cele doua metode consta in modul in care este constru ita solutia : 1.

in cazul metodei p rcqrarnarii

dinamice , S8 po rneste de la structura probleme i initiate care corespunde solutiei optime globale si se descompune ace asta problema in subprobleme in care se deterrnina sotutiile optime ale subproblernelor (optimul local). Ea se poate aplica in problemele in care opt imu l g lobal irnptica opti rnul local. Din aceasta cauza, etapa cea mai dificila la aceasta metoda este cea de determinare a structurii solutie i optirne . Oaca se cunoaste structura solut iei optime, metoda q ar antcaza o bti ne rea s o l ut io ! optime a problemei prin determinarea optimului local.

2. i n cazu l metodei g ree dy , se porneste de la solutiile optime locale si pe baza lor se construie ste solutia optima globala. Prob lema este desc ornpu sa in subpr oblerne ~ i solutia este construita trepta t: se porneste de la rnultimea vida ~i se alege pe rand pentru fiecare eleme nt al solutiei candidatul optim pentr u acea subproblerna. Alegerea solutiilor optime locale nu qaranteaza l nsa ca solutia globala obti nuta este si solutia optima, deoreee opt imul loca l nu implica intotd eauna opti mul global. Din ace asta cauza, pentru a fi siguri CB. solutia aleasa este solutia optima , pentru fiecare problema trebuie sa se demonstreze ca modul de alegere a cand idatul ui optim (oplimul local) implica optimul global. Metoda gre edy este mai sirnpta decal metoda proqrarnarii dinamice deoarec e la fiecare pas se trateaza numai subproblema curenta , jar ordinul de complexitate este mai mic decat in cazul proqra rnar ii dinarn ice. Metod ele greedy ~ i backtracking construiesc treptat solutia problernei, Deos ebirea dintre cele doua metode consta in modul in care se construieste solutia . in cazul metodei greedy, cand S8 alege elementul Xk al solutiei, daca elementul a, care este candidatul optirn al solutiei nu este element al solutrei, el este indepartat din rnultirnea elemen telor candidate la solutie (A). in acest mod el nu va mal fi verificat alunci cand se alege un alt element al solutiei. micsorand foarte mult ordinul de complexi tate al algoritmului . Pentru a obtine solutia dorita folosind un algoritm cat mai eficient se pot co mbina metodele lnva tate. Excm plu . Problema pla' ii unci sumc eu un numa r minim de bancnotc eu valori date . Proble ma a fost rezotvata cu ajut orul metodei greedy . Folosi nd aceasta metoda este posibil sa nu obtineu nicio soluue. sau solutia obti nuta sa nu fie solutia optima . Problema poate fi rezo lvata co rnbinand metoda greedy (prin ordonarea vectorului eu valo rile banenotelor dupa criteriul candidatului optim ) cu metoda backtracking. Solutia optima va fi printre primele solutii generate. Apelul subpro gramului btU se va opn imedial ce se depaseste nurn arul minim de bancnote Prin combinarea celor do ua metode se obtm e un algoritm mai efic ient decat algoritmul backtracking, care va permite gasirea sol utiei optime.

85

In formaticii

Metode le divide at irnpera si programarca dinarnica S8 bazeaza pe descomp unerea probleme i i n su bprobtcm e s imilarc c u pro bl em a initi al a. Oeose biril e dintre ce re doua metode sunt: Divide et irnpera Programarea dinamica

1. Subproblemele Subprcble mele sunt ind ependen te si IlU se cunase de la lnceput s ub prob lerne le care apar in urma descompunerii. De multe ori descompunerea in subprob leme depinde de distributia datelar de intra re si es te posibil ca in aceeas i problema, pentru date de int ra re diferite, sa S8 cbtina descompuneri diferite (de exemplu , algoritmul cautaru binare sau algori tmul sortarn rap ide) .

Subprob leme le nu sunt ln depen den te 9i i n descompunerea initiala exista subprobleme comune unor subprob leme de dime nsiuni mai mari, Pentru a se putea rezolva prob lema trebuie s a se c unoa s c a, de la inceput, s ubpro b teme le in care se descompune problema iniiiala. Aceasta pres upune cuno asterea structurii probleme i initiate 9i a relatiei de recurenta care dete rmina sorutla .

2. Asigu rarea oflc ientei rnetodel Este eficienta numai oaca este respec tata regula de descompunere a problemei in subprobleme independente. Daca nu este asiqurata independen ta problemelor, metoda devine ineficienta oec arece, in apelurile recursive, aceeast subproolema este rezolv ata de mai rnulte ori

Este eficienta num ai caca a subproblerna es te rezotv at a 0 ain qura data, s olutla sa es te mernorata 9i Io tos fta po ntru a ob tlne s olutille

celor lalte s ubproblc me

3. Modul de de scompu nerea ill subprobleme Descompunerea se face tntr-o marne-a "de sus in jo s" (jop-down"): prob lema ini~ia la este descomcosa i n subprob leme din ce in ce mai mici pana se : btin subprobleme ell rezolvare imediata. se rozorva aceste subprobleme , dupa care se combina solutiile subproblernelo r de dimensiuni din ce in ce mai mari.

Descompunerea S8 face int r-o rnaniera "de jos in sus " ("bottom-up"): se rezolva problemele de dirnensiunile cele mai mici care apar i n problema initiala, se mernoreaza solutiile Jar si se rezolva subprobemele de dimensiuni din ce in ee mai mari prin eombinarea sotutiilor probleme lor rna ! mici si memora rea nail or solutf

4. Algoritm u l Algoritmul este rccursiv.

Algoritmu l este iterativ.

Din cauza acestor deose biri aceste metode se folosesc pentru clase diferite de probJeme . De exemplu, pro blema determi nar!i termenului n al sirului lui Fibon acci . Rezolvarea acestei probleme prin metoda divide et impera este ineficienta deoarece pentru a calcula termen ul f n rrebuie sa S8 ca!culeze termenii f n-1 ~i fn-z. Dar, In calculul termenului f n-1, reapa re calculul termenului fn -z, iar in calculu l ambilor termeni apare calculul termenului fn -3 s.a.rn.d. in acest caz, 5e recornanda metod a proqrarnarii dinamice , calculand pe rand termenii ta. f4, ... . fn, pornind de la termenii f1=fz = 1. Formula de recurenta este: fi = fi-1+fi-2, pentru 3:::;;i -;::;n. Deoarece termenul f i nu depinde decat de doi termeni fi-1 :;;i fi-Z, nu este neces ar sa se memoreze intregul sir de termeni, ci pentru fiecare subproblerna i, numai terme nii obtinuti In subproblernele i-1 'ii i-2.

I JE:~nmTI.1ULSlJre I Adev arat sau Fals : 1. in algor itmu l meto dei backtrackin g initializ area elernen tului k al solutiei 58 face cand se revine de pe nive lul k+1 la nivel ul k .

86 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13. 14.

T chnici de program ar c Algaritmul metodei backtracking se incheie daca s-au testat toate valari le posibile pentru primul element at solutiei . in algoritmul backtracking. dupa gasirea unei solutii, S8 revine la nivelul anterior at solunei, i n algoritmul backtracking . trecerea de la nrve lul k la nivelul k -1 al solutiei se face cupa ce s-a u gasi t toate valorile pos ibile pentru nive lul k . in algoritmul backtracking initial izarea nivelului k al solutiei S8 face eu valoarea de pe nivelul anterior al solutiei, i n algo ritmu l bac ktracking . daca s-a trecut la nivelul k al solutiei. i nse am na ca s-au gasit primele k -1 elemente ale solu tiei. in algoritmul backtracking, trecerea la nive lul k+ 1 al sol utiei se face dupa ce au fost testate toate valo rile posibile pe ntru nivelul k al solutiei, in impleme ntarea recur sive a metode i backtracking reve nirea din autoap el este echivalenta eu reve nirea la nivelul anterior al solut iei din varia nta ite rativa. in implemen tarea recursiva a metodei backtracking autoapelul este echivalent eu trecerea la nivelul urrnator al solutiei din varianta iterativa. Divide et impera este metoda prin care problema ini\ial a se descompune in subprobleme care nu sunt independente. Prin metoda divide et impera se gase ~te solutia optima a problemei. Metoda proqrarn arii dinamice porne ste de la solutiile optime locale si, pe baza lor. construie ste solutia optima globala. in metoda proqrarn arii dinamice descompunerea in subprobleme S8 face .ce susin jos", Metoda greedy se bazeaza pe teorema ca optrmul local implica i ntotdeauna optimul global.

Aleqeti: 1. Algoritmu l care implementeaza metoda backt rack ing este : a. polinomia l

b. logaritrnic

c. expon ential

d. linia r logaritmic

2.

Algoritmul care impleme nteaza metoda sortarii rapide este : b. logaritmic c. patratic a. liniar

3.

Algoritmul care implementeaza metoda cauta rii binare este : b. logaritmic c. patratic d. liniar lagaritmic a. liniar Se utilizeaza metoda backtracking pentru genera rea anagramelor cuv ant ulu i rnasca . Sa se precizeze cuvantul precedent si cuvantul urrnator sec vente i camas , camsa , caams: a. csaam l?i casma b. csama ~i casma c. csaam si casma d . csaam ~ i caasm Se utilizeaza met oda backtracking pentru generarea tuturor num erelor cu 4 cifre distincte care se pot forma cu cifrele O. 2. 4 si 8. Sa se precizeze nurn arul prece dent ~i nurnarul urrn ato r secven tei 2840 4028 4082 : a. 248 0 ~i 428 0 b. 2804 si 4280 c. 2804 si 4208 d . 2480 ~i 4280 Se utilizeaza metoda backtracking pentru generarea siru lui de opt paranteze rotunde astfel i ncat e le sa formeze 0 succesiune corecta. Sa se precizeze sirul de paran teze preceden t ~i sirul de para nteze urrnator secv entei (0(0)) (000) (O())O: a. ((0 0 )) si O((())) b . ((0 » 0 ~i O((())) c . ((0))0 si (())(O ) d . ((O()) ) ~ i (O)(()) Se utilize aza metoda bac ktracking pentru gene rarea sub rnuttirnilor mult irnii (1,2 ,3). Sa S 8 precizez e submultimea precedenta !?i submultirnea urmatoare secventei de subm ultirni ( 1) ( 1,3) (1.2) : a. 0 si (2,3) b. 0 si (2) c. (2,3) ~ i (1 ,2.3) d . 0 ~i (3)

4.

5.

6.

7.

d. liniar logaritmic

In fo r m a t ira

87

a.

Daca se utilizeaza met oda backtracking pentru a genera toate permutarile de 5 ob iecte ~ i primele 4 per rnutari generate sunt: 54 3 2 1. 5 4 3 1 2. 5 4 2 3 1, 5 4 2 1 3, atunci a cincea permu tare este: a, 5 4 3 2 1 b. 5 3 4 2 1 C. 5 4 1 2 3 d . 5 4 1 32 (Bacalaureat - Sesiunea speciala 2003 ) 9. Se cere dete rm ina rea tut uror rnodalitatilor de planific are in zile diferite a 4 probe (rezistenta. aruncarea sulitei, sarituri , tir) in oricare dintre cete 7 zile din sa ptarnana . Prob lema este echivalent a cu: a. generarea cornbin arilor de 4 obiecte luate cats 7 b. generarea aranjam entelo r de 4 obiecte luate cate 7 c. generarea cornbinarilor de 7 obiecte luate cate 4 d. genera rea aranjame ntelor de 7 obie cte luate cate 4 (Bacalaureat - Ses iunea spec iala 2003) 10, Generarea tuturor siru rilor de 3 elemen te, fiecare eleme nt putand fi on care num ar din multirnea {1 ,2 ,3,4,5,6), se realize aza cu ajutor ul unui algoritm echivalent cu algoritmul de generare a: a. aranjamentelor c. cornbinarilor d. produ sului cartezian b . perrnut arilor (Bacalaureat - Sesiunea specials 200 3) 11. Se cere determinarea tut uror rnoda litatilor distincte de asezare In linie a tuturor cetor n sportivi aflat i la 0 festivitate de premiere , Problema este echivalenta cu genera rea : a. partitillo r unei mult imi de n obiecte b. aranjamentelor de n obiecte luate cate 1 c. perrnuta rilor de n obiecte d. submultirnilo r unei mult.rni cu n obiecte (Bacalaureat - Sesiunea iunie-iulie 2003) 12. Conditia ca doua dame Q ~i D (de tip structural sa se afle pe ace easi diaq ona la a table i de sah este : a . (Q. l inie ==D. l i n i e ) II (Q. c o l oa na ==D. c o l o a na ) b. ab s (Q.linie- D. l i n i e l ==ab s (Q. c o l oana- D.coloana ) c . Q. l i n i e -O .linie == Q. c o l o a na - O. c oloana d. a b s (Q . lin i e - D . c o l o a n a ) = =ab s { D . l in i a - D .~ o ~ oa~a ) (Bacalaureat - Sesiunea iunie-iulie 2003) 13. Se cere determi narea tutu ror numerelor formate cu cifre aflate in ordi ne strict crescato are, cifre alese din tr-o rnultime cu k cifre distincte date. De exemplu, pentru cifrele alese din rnultirnea {1,5 ,2) se obtin nume rele 1, 2,1 2,5 , 15, 25,1 25 (nu neaparat i n aceasta ordine ). Prob lema este echivalenta cu gen erarea: a. partitiilor unei rnultirni b. aranjame ntelor de 10 obiecte luate cate k c. permuta rilor de k ob iecte d. subrnultirnilor nev ide ale unei multirni (Bacalaureat - Sesiunea august 2003) 14. Cineva do reste sa obtina ~i sa prelucreze toate nume rele forma te din trei cifre din sirul 2, 9, 4 ~i Ie genereaza exa ct i n ordinea 222, 229 , 224, 292, 299, 294 , 242, 249, 244, 922, 929, 924 , 992, 999, 994, 942, 949, 944, 422, 429, 424, 492, 499 , 49 4, 442 , 449 ,444 . Daca doreste sa obtina prin acelasi procedeu numerele formate din 4 cilre , atunci dupa nurnaru l 4944 va urma : a . 4949 b . 9222 c . 4422 d . 4924 (Bacalaureat - Simulare 2004) 15, Un etev foloseste me toda back track ing pentru a genera subrnul tirnile multimii {1,2,5,6,9}. Cate solutii (submultimi) care obligatori u contin elementul 2 ~ i nu contin eleme ntul 6 a gen erat? a, 7 b. 16 c. 6 d. 8 (Bacalaureat - Sesiunea spe ciala 2004)

88

Teh nici de programurc

16. Pentru a determ ina toa te rnoda litatile de a serie pe 9 ca surna de numere natur ale nenule distincte (abstractie facand de ordinea termenilor). un elev folo seste metoda back tracki ng qen er and, in ac easta ordine , toate solutiile: 1+2+6. 1+3+5 . 1+8. 2+3+4 , 2+7, 3+6 si 4+5 . Aptic and exact acee asi meto da , el de te rrnma solutiile pentru scrierea lui 12. Cate solutii de form a 3+ ... exista?

a. 7

b. 1

c. 2

d. 4

(Baca laureat - Sesiun ea iunie-iulie 2004) 17 . Pe ntru proble ma ant erioara , care este a opta sol utie deterrninat a? a. 2+3+7 b. 3+4+5 c . 1+5+6 d. 1+ 11 (Bacalaureat - Sesiune a iunie-iulie 2004) 18 . Pentru problem a ante rioara stabi liti care este solutia cu pro prieta tea ca imediat dupa ea este qenerata solutia 3+4+5? c. 2+ 10 d. 4+8 a. 3+4 +6 b. 2+3+7 (Bacalaureat - Sesiu nea iunie-iulie 2004) 19. Se gener eaza toate pe rrnutarile distincte de 4 obiecte nu me rot ate d e la 1 la 4 , avand prop rietatea ca 1 nu este vec in cu 3 (1 nu se afla imed iat dup a 3, ~ i nici 3 imediat dupa 1) ~i 2 nu este vecin cu 4. Cate astle l de permut ari se qenereaza? a. 12 b. 24 c. 6 d. 8 (Bac ala ureat - Sesi unea augusl 2004) 20. Se cere sa se determine to ate mcdalitatile distincte de a programa n sp ectacole i n z zile (de exemplu , doua spectacole .Micul Print " ~ i . Pacata" se pot programa in trei zile, mart i, miercuri si jo i, astfel: "Micul Print " - rnarti si .Pacala" - miercuri sau : .Micul Print" - miercuri ;;i .P'a cala" - rnarti : "Micu! Print" - miercuri ~i ..Pac ala" - joi: "Micul Prin]" - rnarti ~ i "Pacala" - joi : .Micul Print" - joi si .P'a cala" - miercuri etc .). Rezolvare a se bazeaza pe algoritmul de generare a: a. combinarilor de n obiecte luate cate z b. aranjam entelor de n obiecte luate cate z d. aranjamentelor de Z obiecte luate cate n c. cornbina rilor de Z obiecte !uate cate n (Bac alaureat - Simulare 2005) 21. Se considera algont mul care dete rmina toate pe rrnuta rile distinct e de n obiec te (numerotate de la 1 la n) i n care nu exista poz itii fixe . 0 permu tare (p " p z, .... Pn) are puncte fix e daca exista cel put in 0 cornponenta Pi=i . De exemplu , pentru n=5 , permutarea (2.3,5,4 ,1) are puncte fixe deoarece P4=4. Pentru n=4 , stabilliti cate permu tari tara puncte fixe exista. c. 10 d . 12 a. 8 b. 9 (Bacalaureat - Sesi unea speciala 2005 ) 22. Se consid era algoritmul care determina toate perrnutarile distincte de n obiec te (nume rotate de la 1 la n) in care pe once pozitie de rang par se ana 0 valoare para. De exernplu, pentru n=5, primele trei perrnutari generate in ordine \exicografica sunt (1,2,3,4,5), (1,2,5 ,4,3), (1,4,3,2,5). Pentru n=4, nurnarul total de astfel de perm utari este: a. 2 b. 4 c. 8 d . 12 (Bacalaureat - Ses iunea iun ie-iulie 2005 ) 23. Se conside ra algoritmul care genereaza . in ordine strict crescatoare, toate numerel e formate din n cifre distincte (cifrele de la 1 la n), numere in care pe fiecare pozitie para 58 afa 0 cifra irnpara . Pozitia se nurnara de la stanqa catre dreapta , pornind de la pozitia 1. De exernp lu. pentru n=4, prime le trei numere generate sunt: 2143 , 2341 . 4 123. Pentru n=5 , primul numar generat este : c . 12345 d . 13254 a. 21345 b. 2 1435 (Baca laureat - Scsiunea august 2005)

l nfu r mat icii

89

24. Se genereaza toate subrnultirn ile formate din doua elemente ale rnultimii (5 ,6,7,8) i n ordinea: 56, 57 , 58 ,67, 6 8, si 7 8. Daca se utilizeaza exact aceea"i metoda pent ru a genera submult imile de trei elemente ale multirnli (2,3,4,5,6), atunci penu ltlma multime generata es te: c. 456 d. 2 5 6 a. 3 45 b . 356 (Bacal aureat - Simulare 2006)

Miniproiecte : Pentru realizarea m iniproiectelo r S8 va lucra in oc h ip a. Fiecare miniproiect va con tine: 3. doua metode pc ntru con struirea algoritmului (care sunt precizate in cazul pnmelor 8 miniproiecte); b. justificarea Io losirii metodelor care au fast alese pentru rezolvarea problemei; c. explicarea metode lor folosite pentru construi rea agoritmului; d. compararea celor doua metode din punct de vedere al corectitu dinii solutiei: e. compa rarea celor doi algoritm i din punct de vedere al cornplexitatii. 1. Rezolva!i problema acoperirii tab lei de sah de dimensiunea n xn cu un cal care porneste din patratul de coordonate (x ,y) folosind meto da backtracking si metoda greed y. 2. Rezolvati problema cost ruirii tevii de lungime L din bucati de teava de lungimi a: folosind me toda back tracking si metoda proqrama rii dinarnice. 3. Rezolva ti prob lema gas irii unui traseu pentru a ie;;i din labirintul de dimensiunea nx rn, stiind ca se porneste din patratul de coord onate (x,y), folosind metoda greedy si metoda backtrac king. 4. Rezolvati problema platii unei sume cu bancnote cu valori date , pentru fieca re valoare de bancnota avand la dispozitie un anumi t nurnar de bancnote, fo losind metod a proqrarnarii dina mice si metod a backtracking. 5. Rezolvati problema turistului care trebu ie sa gaseasca un traseu de munte in care sa urce cat mai putin , folos ind metoda proqrarnari i dina mice ;;i metod a greedy. 6. Rezolvati problema deterrninarii sumei maxime l ntr-un triunghi folosind metoda greedy ;;i metoda proqrarnarii dinarnice . 7. Rezo lvati prob lema dete rrninarii unui subsir crescator de lungime maxima folosind metoda greedy si metoda proqramari i dinamice. 8. Se dau n paralelipipece avand fiecare dimensiunile a r, b i ;;j c., Sa se cons truiasca un turn de lna ltime maxima prin suprapunerea acestor paralelipipede. Un paralelipiped poate fi asezat pe orice fa\a Un paralelipi ped poate fi aranja t peste un alt paralelipiped numa i daca fata lui nu depaseste fata paralelipipedului pe care este pus. Rezolva ti prob lema folosind metoda bac ktracking ;;i meto da proqrarnarii dina mice . 9. Pe 0 tabla de sah de dimensiunea n xn un cal porncste din patratu l de coor dona!e (X1,Y1) si trebu ie sa ajunqa in pat ratul de coordonate (X2,Y2) Sa se gaseasca traseul de lungime minima . 10. 5 e dau n piese de domino, fiecare piesa i fiind descrisa prin perechi de doua numere (Xi,Yi). Sa se gaseasca 0 secventa de lungime maxima de piese i n care oricare doua piese alat urate au inscrise la capetele cu care S8 lnvecineaza acelasi nurna r.

2. Implementarea structurilor de date 2.1. Tipuri de date specifice pcntru adresarea memoriei Memoria intern a a calculatorulu i este orqanizat a sub forma unor locati i de dimensiunea unui octet, numerotate consecutiv, pornind de la O. Aceste nurnere, ex prim ate in hexazecimal, S8 numesc adrcse de rnernorie- Locatiile de me morie pot fi mani pulate individual sau in grupuri contigue. Spatiul de memorie este gestionat de sistemul de operate. Fiecaru i program aflat in exec utie, sistemul de ope rare Ii rezerva (aloca) propriul spatiu de memorie. Daca programul apeleaza subprograme, acestea pot fi privite ca blocun care contin instructiuni ,i date (variabile de memorie ,i structuri de date), carora sistemul de operare trebuie sa Ie aloce spatiu de memorare in interiorul zanei de memorie rez ervata programului principa l (ca re

corespunde fisierului sursa). Spatiul de memorare este Irnpartit in patru segmente, iar proceso rul are aece s la toate ce le patru segmente , ale carer adrese Ie qestioneaza prin inte rmediul unor req istri: -7 segment u l d e cod - in ca re S8 in ca rca ins tructiu nile programului care se executa ;

adresa de inceput se pastreaza in registrul CS; -7 seg m e nt u l de dat e - in care se inca rca anum ite date ale progra mului care se executa (de exemplu , variabilele globale) ; adresa de inceput se pastreaza in registrul OS ; -7 se g mc nt u l d e s t iva a sistemului - in care se inca rca adresel e de reveni re din subprograme , i variab ilele locale cu care lucreaza subprograme le; pentru gestion area sa se folosesc doi reqistri: SS (in care se pastreaza adresa de la baza stivei) SP (in care se pastreaza adresa de la varful stivei); ~ ex traseg ment ul de date - in care se incarca alte date ale programului; adresa de inceput se pastreaza in registrul ES.

,i

Siste mul de ope ra re aloca spatiu datel or in mai mu lte zone de mernorie- in functie de modul in car e a u fost de clarat e in program

zona de a dre~~ ibe~~~~

~

va ria bile locale (alocarea implicita)

I

stiv a siste mu lui (s tack ) 7 I(varia bile gIObal:t(alocarea implic ita)

-.

segmen tu l d e da te r e g i ~ trii

I variab ile

I

loc al e static e (aloc are cu stati c)

pr o ce s or ului

variab ile lo c al e (alocare cu reg is ter )

I

I

o dat a rnanipulata de prog ram prin inte rmediul unei varia bile de memorie e ste carac teri za ta de mai multe at rib ute - pe ca re Ie prirneste in momentul in care este declarata in program : -7 Nurnele- Este identificatorul folosit pen tru referirea da tei in cadrul prog ramului (in

exemplu - a). -7 Adres a- E ste ad resa de memorie interna la care se aloca spatiu da tei res pe ctive , pe ntru a stoca va loarea datei (in exemplu , da tei i se aloca ad resa adr in stiva siste mu lui).

Informatica

91 2 octeti

..

/ ~

valoarea date;

-

a = nume dat40000000011 0010 t- - - - - - - ' void sb ( )

lint

a ~ 100 ;

.. .}

ad r = adresa zonei de memorie

ad r+2

Memoria intema

-7 Valoarea Este continutul, la un momen t dat, al zonei de memorie rezervate datei (In exemplu - 100 (10) = 1100100(2)) .

-7 TipuL Determina: domeniul de defi nit ie inte rn al datei (rnultirnea In care poate lua valori data). o pe rato rii care pot fi aplicaf pe acea data si mo dul i n care data este reprezentata i n mem oria lntorn a - metoda de codificare in binar a valorii datei (in exemplu, tipul este unsigned int domeniul de definitie intern al datei este intervaluJ [0, 65535]) , operatorii care pot fi aplicat i pe aceasta data sunt operatorii perrnisi de tipul nume ric - aritmetici, relationali, logici, logici pe biti etc. - ~i reprezentarea datei in memoria intern a S8 face prin conversia nurnarului din zecimal in binar). -7 Lungimea. Este dirnensiunea zonei de memorie alocate datei ~ i se mascara in octeti. Ea depinde de modu l de reprezentare inter ns a tipului de data (in exemplu, datei i se aloca un grup contiguu de 2 octeti ). Pentru a afla dimensiunea zanei de memorie alocate unei variabi le de memorie se poate folosi operatorul sizeof{) . 7 Durata de viata Este perioada de timp i n care variabilei i se aloca spatiu de memorare (In exemplu, data a este a variabila eu durat a loc al a careia i se aloca spatiu de memorare numai pe dura ta de executie a blacului i n care a fost decla rata, adica pe durata de executie a subprogramu lui sb ).

Pentru a putea manipula 0 data , prog ramul trebuie sa identifice zona de memorie in care este stocata. Identificarea acestei zone se poate face atat prin numele datei (a), cat si prin adresa la care este mernorata (adr). Pentru a putea manipula datele cu ajutorul adreselor de memorie , In limbajul C++ sunt imple mentate urrnatoarele tipuri de date: -7 tipul pointer sau adrosa -7 tipul roferinta Se poate folosi un nou criteri u pent ru elasifiearea datel or:

I

,

criterilJlsernrifjq~liei

Operanzii sau da te Ie care fac ob iectuJ ope rat iilo r de prelucrare. Sun! date ale carer valori sunt tolosite ca operanzi in cecru! expresiilor.utilizete pentru calcu larea rezultatelorcerutede problema.

contlnutului

I

\, Adresele sau da te le c are pe rmit ad resarea ope ranz ilor. Sunt date ale carer valori sunl folosite pentru localizarea pe suportul de memorarea datelor care sunt preJucrate(operanzii).

2.2. Tipul de data pointer Pointerul este

0

va riabila de mem oria in care se m emoreaza

0

ad resa de memorie.

Obsorvatle. Un pointer se asociaza intotdeauna unui tip de data (de exernpl u: int, char , fl oat etc.) numit tip de baza . Se spune ca un pointer ind ica a zona de memorie care

92

Impl cm en turcu st r ne tu r ilo r d e d ate

contine 0 data care are tipul de baza . Este necesar sa S8 asocieze pointeru lui un tip de data deoarece el mernoreaz a numai 0 adres a si, pentru a manipula cont inutul unei zone de memorie, compilatorul treb uie sa cuncasca dimensiunea zanei de memorie care incepe de la acea adresa ~ i sernnificatia continutului, adica ce algoritm de decodificare trebuie sa folosea sca pent ru a trans forma secventa de biti (din acea zona de memorie) intr-a data.

2.2.1. Decl ararea variubi lelor de tip pointer Decl arare a une i varia bile de tip pointer S8 poate face prin instructiunea decl ar ativa :

t i p_ d a t a

II

lipul datei stocate la adresa merr-orata in pointer (Hpu l de baza )

*n u rne va r iabila ;

1

-

.,.

numele var iabiJei de tip pointer in care se mernoreaza adresa unei variab ile de memoria care are tipul de bez a operatorul de referl nt a

Exernp lu :

*p ; in t *q ; f l oa t *r ;

cha r

S-au deflnit trer variabile de lip adresa (pointeri): p catre tipul cha r, q catre tipul inl si r catre tipul fl oat. Nume le acestor variabile de memori e sunt p , q si r , iar tipul de baza al fiecarei variabile de tip pointer este cha r , int, respectiv fl oat. A sadar, p esl e 0 variab ila de tip adresa a unei loca tii ce confine un caracter care ocupa 1 octet , q este 0 variabila de tip adresa a une i 10ca\H ce contine 0 data numerics i ntreaqa care ocupa 2 octeti, iar r este 0 variabila de tip adr esa a unei lcca tii ce contine 0 data nurnerica reata care ocupa 4 octeti . Se poate declara un po inter catre ti pul de data i nreg ist rare (adres a un ci Inreqist rari). Exe m plu :

struct punet {in t x ,y ; }; pun c t; *p; S-a definit variab ila p de tip adresa catre tipul inregistrare pun ct , ad ica 0 adresa a unei locatii care contine doua date numerice intregi de tip int ce ocupa 4 octeti. Pointerul zero are v alo area 0 si i ndic a zo n a de mem ori a d e la adresa O. Pentru Iimbajul C++ adresa 0 i nseamna 0 adresa care nu este valid a pent ru date , adica 0 ad rcsa in exi st en ta.. Altfel spus , pointerul zero nu indi ca nimi c, Ac est tip de pointer este folosit ca t erm in ator in structurile de date care sunt prelucrate cu ajut orul pointe rilor.

2.2.2. Constante de tip adresii a

cons tanta de t ip ad resa este un pointer al ca rui co ntinu t nu p oat e fi m odificat.

Exc m pl u. Con stanta 0 - car e sernn.fica .adresa nula" (adresa inex istenta sau adres a nealoca ta) - este utila, in unele cazuri, pentru initializarea valcrii unui pointer. in locul cons tantei numerice literale 0, se poate folosi co ns ta nta s imboli ca predefi nita NULL. Observa tie La declararea unui tabl ou de mem ori a, acestuia i se aloca 0 zona de memori e de dimensiune fixa, lnc epand de la 0 anumita adresa de memorie . Ad resa de la care se aloca zona de m em or ie este 0 const ants (nu poate fi rnodificata) !?i ea este asociata eu

Informaticii

93

numele tabloului de memorie. Nu mele tabloului de memoria este tolos it de compi latorul C++ ca a constants s irn boli ca de tip adrosa (pointer catre tipul de baza dat de tipul elementelor tabloului) . Tablau l de memorie este 0 structure de date ornoqena , adica 0 colectie de elemen te de acelasi tip, si fieca re element ocupa acelas i nurnar de octeti . Acest mod de memorare perm ite determina rea adresei fiecaru i element pornind de la adresa sirnbolica a tabloului , care va reprezenta ~i adres a primul ui element. Identificarea unui element de tablou de memorie 58 face folos ind pentru fiecare element un grup de indici (nurnaru l de indici fiind ega 1 cu dimensiunea tabloulu i), adresa elementului calcu'andu-se fa\8 de un element de referinta care este adresa tabloului. Deoarece adresa tablou lui este si adresa primului element, In limbajul C++ numer ot ar ea indicilor s e face p ornind de la 0, indicele reprezentand deplasarea elernentului fala de adresa tabloulu i.

Exemplul 1:

int v [5] ;

Zona de memorie alocata unui vecto r are dimensiunea n x slzeofttipbaza). De exemp lu, vectorului v i se va aloca 0 zona de memor ie de 5xsizeof(int)=5x2=10 octeti. ldentificarea unui eleme nt de tablou de memorie se face folosind un singur indice (i). Oaca adresa tabloulu i v este adr, ea este si adresa elementu lui vIOl, iar adresa elementului v[i] este: adr + ix s izeo ftt ipj baz a}.

.--. 2 octet i

+V[O]~ adr

adr+2

adr+4

adr+6

adr+8

adr este a adresa de me morie care are valoarea c on stantei sim bo li cev Pentru exemp lul de rnai sus, adresa elementului v[2] este : adr + 2xsizeof(int) = adr + 2x2 = adr + 4.

Exem plul 2:

04

~

.>:OI a[O][

adr

1

linia 0

I

a[0][ 1] 1

f

1

adr+2

I

a[ 1][0] adr+4

adreste

0

linia 2

linia 1

I a[1][1]

t

adr+6

4 0cteti

. ',.

•

1

linia 3

t~

z octeu

04~

I a[2][1] I

....

a12][0]

..

a[3][0]

d +12 a r

1

I

f

~I

a[ 3][11

adr+14

coloana 0 coloana 1

adresa de memorie care are valoarea consta ntei simbolice

a

Alocarea memoriei unei ma trice se face In mod contiguu , memor area elemente lor facan du-se linie cu linie, astfel Incat matr icea apare ca un vector de linii. Daca matr icea are m linii si n coloane , ea va avea mxn eleme nte. De exemp lu, matricea a are 4 x2=8 elem ente ;;i este rnernorata ca un vector eu m elemente de tip vector cu n elemente , care au tipul de baza al matricei (in exemplu, un vecto r cu 4 elemente de tip vector cu 2 de elemente de tip int). Zona

94

Implem entarea st ru ct ur ilor de dale

de memorie alocata unei matrice are dimensiunea m x n x stzeofttipbaza). in exemplu, rnatricei a j se aloca 0 zona de memorie de 4x 2x sizeof(int) =4 x2 ><2=1 6 octeti. Identificarea unui element al rnatricei se face folosind doi indici (i ~i j ). Adresa tabloului este ~i adresa prirnului element, a[O][O] . Daca adresa tabloului este adr, adresa elementului a~]m este: adr + ixn xsi zeof(ti p_baza) + j xsi zeof(lip _b aza)= adr + (i xn+j) xsizeof(ti p_ baza) , Pentru exemplul de mai sus, adresa elemen tului a[3] [1] este: adr + 3x2xsizeof(int) + 1xsizeo f(int) = adr + 3 x2 x2 + 1x2 = adr + 14.

2.2.3. Opera tori pcntru variabile de tip pointer Pe variabilele de tip pointer se pot aplica urmii toarele tipuri de operatori: ~ oper at ori speci fic i, ~ o peratorul de at rib uire , -7 o pera tori ar itme tici , -7 o pe rato ri re latio na l l.

2.2.3.1. Operatori i specifici Operatorii specifici variabilelor de trp pointer sunt:

-7 Operato rul & - operatorul de ad resare . Se aplica pe 0 vanabila de memorie sau un element de tablo u de memorie l?i furnizea za ad resa variabilei de memorie, respectiv a elementului de tab lou . Rezultatul obtinut prin ap licarea acestui operator este de tip pointer. Operatia se nurneste referentier ea un c i va ria bile de me morie. ~ Op erat orul * - op eratorul de redi rect ar e . Se ap nea pe 0 variabila de tip pointer ~i furnizeaza va loarea var iabil ei de memorie care se g ase ~te la adr esa rnemorata i n pointer. Rezultatu l obtinut prin aplicarea acestui opera tor este de tipul date i asocia te pointerului. Operatia se nurneste do re torentie rea unui pointer.

I nume variabila de memorie (continut)

& - operatorul de adre sare rcf c re nt ierea

...

variabi lei de memorie

adresa variabila de memorie (pointer)

'* - operatorul de redi rectare +------7~~-""-'-'==------' dereterennerea pointerului Observa tii : 1. Pointerii reprezinta adrese ale une i zone de me morie (co ntinutul unei variabile de memorie p de tip pointer este 0 adresa de me mori e). 2. Acce sul la 0 zona de memorie se poate face fie folosind identificatorul asociat zonei de memorie (nu me le var iabilei de mem orie), fie aplic and operatorul de redirecta re • pe adre sa zonei de memorie (co ntinutul adresei de memorie indicate de un pointer p se refera cu lo p). 3. Dimens iun ea si sernnific atia continutului unei zon e de mem orie indicate de un pointer dep ind de tipul poin terului.

Exemplul1

int a =1 0, *p =&a ; cou t « p « e nd l «a« e n d l ; cout« p«endl« \ u« e n dl;

95

In forma tica

S-a definit 0 variabila de memorie de tip int (a) ~i 0 variabila de tip pointer catre tipul int (*p) careia i s-a atribuit ca valoare adresa variabilei a. in memoria interna se vor aloca doua zone de memorie: una de 2 octeti, pentru variabila de memorie identificata prin numele a, in care S8 pastreaza a valoare numerica lntreaqa, ~ i una de 2 octeti pentru variabila pointer identificata prin nume le p, in care S8 pastreaza 0 adresa de memorie (i n exemp lu, adresa variabilei de memoria a). Continutul Beeslor zone de memoria asta prezentat in figura . I

t

:1

2 octe\i

4

~ --adC=

I

2 Geteti

~

10

~0

Memoria interna Ptin instructiun ea cout-oc - p i se afiseaza continutul variabilei de memorie a . Referirea la aceasta variabila de memorie S8 face nu prin numele variabilei, ci prin operatorul de redirectare '/< aplicat pe variabila pointer p in care este rnernorata adresa variabilei a. Aceasta instructiune are acelasi efect ca ~i instructiunea cou t -oc a , . Prin instructiunea ccut-ocp, se afiseaZ3 0 constants hexazecirnala care reprezinta 0 adresa de memorie (adresa ad r la care este memorata variabila a). Aceasta instructiune are acelasi efect ca si instructiunea cout« &ai.

Exemplul 2 in t a = 10 , b~20 , * p = & a ; b= *P i I +va riabilei b i 58 atri buie v aloarea d e la adresa memorat a in variabila p , ud i ca ve Lce re e v a r i.abi.Le i. a -Joe ! cou txc a-cc ' u« b i Ilafi$ea z a 10 10 *p =l OOi I Joevariabilei a c a r ei a dresa este memorata in point. e rul p (adica , variabilei a ) i S ~ at~i bui e va10area 1 0 0 * / cout« a« " u« b i //afi~ea ~ 5. :00 10 Observa tie Daca tipul de data indicat de pointer este tipul i nregistrare , data conune mai multe carnpuri . Operat orul de red ircctare prin ca re se furnizeaza co ntin utul unui camp este operatorul -> si se numeste operatorul de selectie indiracta mcmbrului unci structun

a

- > EI coniine doua refer inte: una la con tinutul adrese i indicate de pointer si alta catre un membru al l nreqistrarii (carnput). Rezu ltatul furn izat de expresie este valoarea rnembru lui selec tat (a carnpu lui). Este un op erato r bi na r care are prioritate maxima ~i asociativitatea de la stanqa la dreap ta .

Exemplu str u ct pu~ct t i n t X ,Y i } i punc t a = { 3 ,~ } , *p= &a ; cou t « a . x«" " « a . y« endl ; cou t -oc p - c-x-c-c" "« P - >-f ;

/ / a fi$e aza 3

/I a ::i.'?eaza 3

Observatii 1.

Operatorul * se poate folosi in ambii membri ai unei operatii de atribuire:

,nt a ~10 ,b ~ 2 0 , *q= *p;

* p~ & a , * q= & b ;

II II

( 1) (2)

4 4

96

hup lcmcntarcu strncturilor de date

d e 12 ad re s a me~o rata in va ri a bil a q , ~ d ica v a r i a b ilei b , i se atribuie v a Loa r ee de La acir e s a memo r a t a 1.:1 vari abila p , adlca valoarca va~iabilei a c c ucc c acc'' "« 0 ; //a :i:;;eaz a 10 1 0 /~

v~riaDilei

~a~ 10 I "p

P

adr_3

~~ 20 q • b adr b q

-

Memoria intern a (1) 2.

I >

~~ 1O

p

*p

a

I

· ad r_3 : *q=*p

,.~ tb v

Memo ria i ntorna (2)

Constructia rp (p fiind un pointer catre un tip de data) poate aparea i n orice expres ie in locul unei variabile de memorie care are acelasi tip ca si eel asoc iat pointerului :

int a ""lO, *p=&a; *r-'= *p +S; /+ Lnc remence a z a cu 5 ve Loe r ee va r i ab i.Le i. de 1a aci r e aa memorat~ i ~ ~a riati~3 P , ad ic ~ valoarea va r i 0b ilei a */ c our.c-c a-c-c'' "
Ope ratorii si & sunt operatori unar i si au prioritate mai mare deca t operatorii aritmetici, relationa li, logici ;;i de atribuire. I\:

in t a=iO , *p"""' &a ; *p += l ; j k i l l c r e m e nt e a z~ co. 1 valoarea va ri a b ~ lai de ],a adresa memora t a in p , a dic5 vaJ. oa r e a va riabil e i a " j cou t c'
4.

j/af':;;caz,'j 1 1

Asociativ ita tca operatorilor unari este de la drcapta la s tanqa . Din aceasta cauza. trebuie folositi cu grija operatorii unari ;. liii ++ (respectiv - -). Astfel, * p++ incrementeaza cu 1 adresa rnernorata i n variabila p, si nu valoarea de la adresa rnernorata i n p :

in t .1--=10 , * .r:= &a ; / - .i nc r eme nt.ea z a ell 1 v a.i oa re.s va r La bi. Le .i. de La ad r e s a memo r a t.a in p , ad.ice ve Loa r e a var i.eb i Le i a ',1 courc c a , / 100 f =-$eaza 11 {*1:. ) ++ ; I ' .i ncr cmcnt.eez a cu 1 va Loa r ea va r i.abi.Le.i de La ec re ee

++* p ;

r.emo r e t a in p, cout« a ;

5.

eo f cs

i nc reraen tea za co. .1 va roe ree ve r i.ab i Le i

a *1

Datorita tehnicii de suprainc arcare a operatorilo r permisa de limbajul C ++ , caracterul • (asterisc) este folosit ~ i ca operator de redirectare (operator unar) si ca operator de multiplicare (operator aritmetic). Pentru a Inrnulti valorile memorate la dcua adrese de memorie indicate de doi pointe ri P si q este obligatori u sa se foloseasca parantezele:

i n t a ,b= 10 ,c=20 , *p= &b, *q= &c ; eJ..=;( *pl *( *q) ; /"vi;lrLJ.bi1 0 i a i

sc a t ri.bu i.e pr c.dus u l d.lr.t ro va.Loa r ca de

13. udreec mcmor at a in .0 , ~d':"ca vatoa ree va'r i.ab i.Le i. b, s i. vo tce ree de la adresD memO~ az a i n g, ndica valoa~e~ variabilei c f i cout« a ; Ila:i~eaza 200

Iulurm at icii Con siderand declaratia: int <1 ,0 , * p ;.;;;& a; instructiu'b=a+ 1O; nile de atribuire din tabelul aiaturat sunt echiva lente: a b; Asadar, local izar ea une i date memo rate intr-o varia- a++; a-a+5 ; bita de memo rie se poate face prin:

-7 adresare directa - folosind numele variabilei de b-a*a;

97 ._- _ ._ - - - <-> b-* +10; <-> * p~ b ; ,-> ( *p )++ ; <-> *:e-*~ <-> b ~ ( *I' ) * (~£LL <-> *p L 5 ;

a *-5 ; memorie (in exemplu a); -7 ad resare lndlrocta - folosind 0 variabi la de tip pointer In care este mernorata adresa zone i de memorie In care este stocata data (In exempJu, p).

----.... ......-.....

1. Scrieti un progra m In care declarati 0 variabila de memorie de tip f loat ~i un pointer catre tipul float , cititi de la tastatura valoarea variabilei ~i l i afisati valoarea folosind cele doua metode de adresare : adresarea directs ~i adres area indirecta. 2. Scrieti un program in care declarati - 0 variabila de memorie de tip inregistrare care va contine doua carnpur i, coresp unzatoara numitoruJui ~ i nurnaratorutui unei fractii, ~i 0 variabila de tip pointer catre tipul imegistrare -' , citit i de la tastatur a valorile carnpur ilor din i nregistrare ~ i afisaf valorile acestor carnpuri folosind cele doua metode de adresare: adresarea directa ~i adresarea indirecta.

2.2.3 .2. Operatorul de atribuire Unei variabile de tip pointer i se poate atribui numai 0 valoare care reprezinta 0 adresa de mem orie. Ea poate fi exprirnata prin: -7 0 adresa de mamorie obtinuta prin apl ic area operatorului de ad resare pe 0 variab ita de memorie definita anterior, de acelasi tip cu tipul de baza al pointerului . Dupa operat -a de atribuire , variab i!a de tip pointer va adresa zona de memorie in care este stocata variabila de memorie . -7 0 alta variabila de tip pointer care se retera la acelasi tip de baza. Dupa operatia de atribuire , cele doua variabile de tip pointer vor adresa aceeas i zona de memorie. -7 0 constanta de tip adresa de acelasi tip cu tipul de baza al pointerului. - Num ele unui tablo u de m em ori e este a constan ts de tip adresa. Dupa opera tia de atribuire, variab iJa de tip pointer va adresa zona de memorie in care este stocat primul element al tab loului - in cazul vecto rulul. elementul cu indice!e O. ~ Constanta 0 sau const anta sirnbolica predefinita NULL - care corespunde pointerului ze ro - poate fi atribuita oricaru i tip de pointer. -7 Rezulta tu l un ei expres ii c onstr uite cu operanzi de tip adrosa a unor date definite anterior ~i care apartin tipului de baza al pointerului . Observatie . Un ui pointer i s o po ate atribui un pointer de all t ip dedit l ipu l de baza numai daca se aplica operatorul de conversie expliclta de tip . Acest operator trebuie aplicat ln sa cu foarte mare precautie , deoarece de multe ori rezultatul obtinut nu este cel dorit. int ~=1 0 , *p = &a ; float *q; q= ( f l o a t * ) p ; //Nerr,ori a Lnt e rnz (1) / ~ t i p u l exp re s j c i (ELoa t.v j p e s t c f1oat * , ad i.cei p ointer cat re tLpu I float, :;.;i in eccs t mod po i .nt e r-u-L u i. q i s -a putut c t ri. bu.i. a dr c c a memor a t.S in p o .i.nLe ruI p "/ c o o t-cc vqc-cendj • 1/ Af i s ea za 1 .401 29 l:J e -iJ tl , un n uma r rea l .

98

Implcmc utarea struct urilor de date

I ~ Pointerul q i ndi ca 0 zona de me~ rie de tip fl oat de 4 octeti , din car e p rimi i 2 oc t.c t i con r in repr e zentarea in comple men t fa t a de 2 a nu mar'u Lui. i n t r e g 1 0 , La r urma t .or.i.L 2 oc t.e t ; 0 valoa r e r ezLdua La . ru st. r u e t i unea de af i$are face conver s i a valorii memora te , d i n r epreze ntarea i n f o rmat i n t e r n in r e pr ezentar e a in forma~ extern , interpre t and- o ca pe un numar r e a l reprezentat in virguia mobila sirrp l a precizie * / *q = l O: cout« *q « endl ; II Afi$eaza 10

1/ l-lemo r La Ln t.e r na (2)

p== ( i nt*) q ;

I/pointerului p i s -a a t ribuit a d r e s a memorata in poi nte rul q cou t«* p; II Afi$ea za Of u n n u ma r i n t reg . /~Poi n t e r u l p indica 0 zona de memorie de tip in t de 2 octe t i , ca re re prezinta pr.imi i 2 octet;. i di n grupu l de 4 oc t et;.i in care a fo s t r e pre zental in v.i rqu La mob i.La s Lmp.La precizie nurre ru l real 1 0 . j nst ruc t.Lunea de

face conversia valorii memorate din r ep r e ze n t a r ea in f o rma t rep~ezentarea in fo~,at e xtern , in~erpret and -o ca pe un nu~ar intreg r e p r e ze n t a t i~ complement fat a de 2 ~ I

afi~are in~ern

in

20cteti

)

adr 20cteti

p

)

adr

Memoria interna (1)

q

...I i

.> )'

(

: :e\y :::et~L

..

2 octet i

+

j

.

reprezentat in vi rqula

m~~i1a sjmpla precizie

1 a_/_'_ad_r_4~ .1 4

Memoria iriterna (2)

q Exernpl ul 1: c ha r c = 'A ' , *p;

p=&c;

:*\ar~abilei

P

~e

tip pointer ca:re caracter i se at ibuie

adres a v ari a bilei de memorie c ~ I cou t-c-cc-oc" "
In 1"" f ill a t ira

99

-7 cons tanta sirnbo lica a; -7 operato rul de adre sare & aplica t pe nume le va riabilei a ; -7 operatorul de ad resare & aplicat pe identlficatorul primului elemen t al vectorului a[O], iar urrnatoarele operatii de atribuire sunt ech ivalente: p=a <-> p=&a <-> p = &a [OJ ~ i *p <-> a[O] int a[lOI , i ,k-l , *p ; f or (i:0 ; i <10 ;1++) a[ i] =k++ ; p =a ; j Jvar i a b i l ei p i s e a tr ibu ie nurne l e vecto r u lu i d , ca re e s t e 0 c o n s t a n t a simbol ica de t i p adre sa * / cout.cc ep-;c" " p=&a <-> p=a[ O] <-> p=&a[O] [0] ~i *p <-> a[O ] [0 ] i n t a[lOJ [lOJ ,i ,j ,k~l, *p ; f or (i=O ;i
Exemplu l 5: i nt a[4][Sl,i ,j ,I:-1, *p ; =or {i=O ;.i<4 ;i++) for (j-O ;j
cou t « *p « " "« a rO] {O]« e nd l ; /afl~eaz a

1

1 -

v a Lo e rce e Lemen t u Lu.i a[O l [ OJ

Exe m pl ul 6: .i n t; * q ;

q=O;

II pointerului q i

=out«*q « endl ;

/~nu

5e atr ibuie consta nta

afi~eaza

ni~ic ,

0

deoarece pointerul q are

a Lo a r-e a 0 s i e I fit; i n d i c a n i.c i 0 a d r- e s S d e rnemo r Le ... / II pointer~lui q i 5e atribuie constanta simbolica NULL c out«* q; !knu afi~eaza nimic deoarec e pointerul q are va Loa r e a NULL s L el nu indica n i ci G adresa. de memo r i e ... / v

q= NULL;

~

Unui pointer nu i se poate atribui valoarea unei constante intregi , Atcntie • chiar daca este a con stanta hexazc cim ala, deoarece programato rul . . nu are acces direct la adresele de me morie pentru a Ie gestio na. .Jnei date nu poate sa ii atribuie 0 adresa de memorie decat sistern ul de ope rare .

~ Deoarece nu m ele tabl oului d e memorie este folos it de cornpila-

~ toru l C++ ca

0 constanta simbolica de tip adresa , une i variabile de tip tablou nu i se poate atribui a alta variabila de tip tablou sau un : ointer ca in exe mp lul urrnator : I

100

IIlIJllcIllcnta rca s t r nct u r ilor dc datc

i n t a [ 1 0], b [ 1 0 ], *!p &b ; II Er o are ! Une i cons t arrt e nu i

a=b; a=p ;

;;i care sa

se poa t.e mod.i f i.ca va Lo ar ea

Scrieti un program in care declarati 0 va riabi la de memorie de tip i nreqistrare. care ccntine coua campuri cores punzatca re numitorulu i ~i nurnaratoru lui unei frac fii si 0 variabila de tip poin ter catre tipu l inregistrare realiz eze urrnatoare !e:

a. atri buie pointerului adresa variabilei inregistrare; b. citeste de la tastatura valorile pentru numerator ~i numitor; c . afise aza fractia simp lificat a - rez ultatele S8 obtin in do ua va rian te , folosind cate una dintre cele doua metod e de ad resare (adresare a directs ;;1 apoi adresarea indi recta) ;;1 S8 co rnpara rezultatele obtinute .

2.2.3.3. Operatorii aritmetic i Operatiile aritmetice permise asupra pointerilor sunt: -7 Aduna rea ~ i sc ade rea un ei co nstante - operatorii + si -. -7 Increm entarea ~i dec rementa rea unui po inter - operato rii ++ ~i --.

-7 Sciiderea a d oi po interi de ace tasi lip - operatorul -. ~

~

T oate operatiile aritmetice cu pointeri catre un tip de baza se execu-

Atcntie ~ ta co n s i d e ra~ d unilalea egal ii cu sizeof(lip_b azii) , adica eqala cu ~ nu rnarul de octeti necesari pentru a memora a data care are tipul

tip_ baz a . De exernp lu , incrementarea unui pointer catre tipul int va considera unitatea

eqala cu 2 (numarul de octeti necesari pentru reprezentarea tipului int)

~i

noua adresa se

va obtine prin adunarea constantei 2 la adresa initia la mernorata de pointer. O peratorul pentru ad una rea sau scadorea un ci cooatallte est e:

p + k sau p - k unde p este un pointer catre tipul tip_ baza care rnernoreaza a ad res a ad r, iar k 0 co nsta n-

ta Rezultatul este a adresa care se calcuteaza aslfel : ad r+k xsi zeof(tip_baza ), respectiv ad r- kxsi zeof(lip_ba za). Obssrvatie : Operatia de adunare este cornutativa: p+k = k+p . O peratorul pe ntru incrementarea si decremcntarea unui pointe r este:

p++ sau p- unde p este un pointer catre tipul tip _b aza care memoreaza a adresa adr. Rezu ltatul este

a adresa care se calculeaza aslfe l: ad r+sizeof(lip_baza ), respectiv ad r -s izeof(lip_baza). Op eratorul pentru sc ade ro a a do i po inte ri este :

p q unde p si q sunt doi pointeri catre acelasi tip de baza, care indica elementele aceluiasi tablou de memorie, adresa rnernorata de p fiind mal mare decat cea rnernorata de q (p indica un element de tablou situat in memorie dupa elementul indicat de pointerul q). Re zultatul este un nurnar intreg care reprezinta nurn arul de cleme nte aflate intre p ;;i q . O pe ratiile aritmetice cu pointeri au sens numai dac a adresele in di ca te de pointerii op cr an zi si de pointerul rezultatului expresiei sc p astrcaza i n s pa tiu l de ad rcsc ale unu i ta bl ou de m em ori e . Sin-

10 1

ln furmatic ii

gura exc eptie acceptata este cea a pointe rului ca re indica adresa unui element situat imediat dup a ultimu l element al tabloului. Exemplul 1 - in cazu l in care operatorii aritmet ici se aplica pe pointeri care nu-s: pas treaza valorile in spatiul unui tablo u de memorie, rezultatele obtinute nu a u nic i un fel de releva nta. i n t d =10 , *p = &c, * g =p; cou t.c-cp'<-;" "
i n t a[2 0 ] J n . ~ p , * q , a u x ; cou t« " n = " ; c i n » n ; for (p=a ; p
*p o;; * q ;

vq-ca u x r }

Obso rv ati e. Prin definitie , operatorul in dice al tabl oul ui ([ ] ): 7 se aplica pe doi ope ranzi x :,i y (x[y] sau y[x]), x fiind un pointer si y un intreg ; -7 realizeaza adun area dintre pointerul x ;;i constanta y , obt inand adre sa elementului y al ve ctorului de la adre sa x ; -7 rezu ltatul furni zat este va loarea ind icata de pointerul obtinut , adica valoare a elementului y al vectorulu i de la adresa x : x[y]=y [x] ='( x+y). Este un op era tor binar ~i are priorita te maxim a si asocia tiv itatea de la sta nqa la dreapta . Eleme ntul i al vecto ru lui a poate fi identificat pri n a[i], de oarece ope ratorul indi ce al tablo u lu l ([]) ex ecut a suma dintre pointerul a (0 adresa) si constanta nurnerica i. Prin apli carea acestu i operator se obtine va loarea de la adres a elementului i. Deoarece operatia de adunare dint re un po inter si 0 constanta este comutativa , urrnatoarel e expresii sun t echivalente si se pot fo losi pentru iden tificarea elernentului i al vectoru lui : a [i] <-'> * ( a+ i ) <-'> * ( i + a ) H i [a ] Un element al matricei a poa te II identilicat, folosind cei doi ind ici i :,i j , prin a[i][j] . Asociativitatea operaton..Iu i ind ice al tab lo ul ui fiind de la stanqa la dreapta ~ i prior itatea sa fiind cea ma i mare , ca lcularea adresei elementu lui se va face asttel : ma i Inta i se executa su ma dint re pointerul a si constanta i si apoi suma dintre rezultatul obt inut anterior si constanta j . Prin a plicarea opera toril or indi ce al tab lo u l u i se obtine adresa elementului din linia i ~ i coloana j , urrnatoarele expresi i fiind echiva lente : a l i ] [j] <-'> *( a[i]+j) <-'> (*(a+i) ) [ j] <-'> *(*(a+i) +j) <-'> *(& a [ O] [ O] + n * i + j )

2.2,3.4 . Operatorii relationali Operatorii relationali care pot fi aplica f asup ra pointerilor sunt: -7 Operatorii de in eg ali t ate : <, > , <= ~i >= 7 Operatorii d e eg alita te == :,i !=. Evaluarea unui ope rator relational aplicat pe doi pointeri p ;;i q se face prin anal iza diferentei p-q .

102

lmplem cntareu st r uct u ri lor d e date

Exemplu - Se afiseaza ordinea in care apar doua valori x ~i y lntr-un vector cu numere intregi. Se folosesc doi pointeri p si q catre elementele vectorului. Se parcurge vectorul folosind poin teru l p pen tru loc alizarea valorii x si poin terul q pentru loc alizarea valo rii y. Stabilirea ordinii de aparitie in vector S 8 face prin compar area celor doi pointeri (a adreselor memorate in pointeri). int x ,y , a[lOO] , *p=a , *q =a ; c out« " n = " ; c Lroc-n :

f or ( ; p
{c o u t-ccv e Lernen t u I " " ; cin» *p ; }

cout«" p r i ma va l oar e = "; c i n » x ; ccc ccc? a doua va .J.oa r e= " ; c i n » y; p =a ; while (*p! =x ) pit ; while ( *q !=y) q++ ; if (p>q) c ou t-ccv va l ca r e e "
"« X i

e lse cou t« " va l oa r e a "« x« " apare i nain tea valorii "« y;

2. 3. 4. 5.

Scrieti urmatoarele programe, in care prelucrarea vectorilor se va face cu ajutorul pointerilor. Elementele vectorilor se citesc de la tastatura. 1. Se sterqe elementul cu valoarea k dintr-un vector cu nume re intregi . Valoarea nurnarului k se citeste de la tastatura . Se inserea za elementul cu valoarea x inaintea elementului cu valoarea y . Valorile numerice x ~i y se citesc de la tastatura . Se insere aza elementul cu valoarea x dupa elernentul cu valoarea y. Valorile numerice x si y se citesc de la tastatura. Se ordoneaza crescator elementele vectorului. Se afiseaza elementele comune din doi vectori a ~i b - a sinqura data.

2.3. Tipul de data referintii Acest tip de data permite folosirea mai multor identificatori pentru aceeasi variabila de memone. Declararea unei variabile de tip referinta 58 poate face prin instructiunea declarativa: t ip da ta

tipul

datel ~lcare se

retera vanabila de memorie defi nita

j -\

&n u me v a r iab il a

opera torul de referentiere

Exemplu:

=

n u me v a r i a bi l a re fer ita i

numele vana:ei de

m:mon~la care se refer.

vanabila de memorie de flmta

numele variabile i de memorie care se defi neste prin referinta la 0 alta vanabila de mem orie

in t a=10 ; in t &b =ai sau int a=10 , &b=a i

Variabila de memorie b este 0 referinta catre variabila de memorie a. Aceasta lns eamna ca, prin referinta, variabilei de memorie (a) i s-a mai dat un nume (b). Cele cou a variabile de memorie (a ~i b) au aceteasi atribute (adresa de rnernorie. lungime. valoare, tip etc.), cu exceptia numelui. Chiar daca In program s-au declarat doua variabile de memorie (a ~i b) , se tucreaza cu 0 singura zona de mernorie, care poate fi identificata cu doua nume diferite, iar urrnatoarele doua instructiuni vor afisa aceleasi valeri:

103

In fo rmati ca

cou t «" a c out«" b

= =

"« Zl« " a d r e s ,J. l u i a = u« &a « endl; "« b«" ad r e s a lui b = "«&0 ;

Orice operatie de modificare a valorii variabilei referite prin numele b, va mod ifica valoarea variabile i ide ntificate prin numele a, deoar ece ambele num e de variabile S8 refera la continutul acele iasi zone de memorie. Urmatoar ele doua instructiuni vor afisa aceleasi valori: b~15 ;

c o u t .c-C' a

cou t «" b

"« a« "a d r e s a l'..ii a= "«&a«endl; "« b « "a d r e s a lui b= "«&b ;

Observatil : 1.

Tipul de data referinta, la le i ca si tipul de data pointer, co nti ne 0 ad rc s a. Pentru a avea acces prin refe rinta la 0 var iabila de memorie nu este insa nevoie sa S8 totoseas ca adr esa de memorie, ci num ele variabilei referinta.

Exem pl u: i n t a = 1 0 ,b=2 0 0 ; I/ s - a u dec la rat d aua variabile in tregi int &x =a ; I/s -a declarat 0 referinta 1a var iabila a Ils -a decla rat un pointer ca re indica v a r i a bi la a i nt ~ p = & a ; i nt
20

20

20

20

:-:=30 ; cou t-c-ca c c" "
2.

Operatorii aritmetici apli cati pe variabile reterinta nu rnodifica va loarea adresei referite, ci valoare a rnerno rata la adresa variabilei referite. Operatori i relationali aplicati pe variab ile ret ennta nu comp are valo rile adre selor referite , ci valorile memorate la adrese le variabil elor referite.

Exe rnplu : i n t a = lO , b =20 ,& x=a ,&y=b ; "« x« e nd l ; "« x«endl ; x=- -x ; x-r-=x-2 ; cout« a«" "« x«endl; i f ( x ! = y") c ou e -ccv ede v e r at " «endl ; :-:=+ +y ; ccue c -ce -c-c'' "
x=30 ; c o ut« a «" x++ ; c ou t « a « "

~

1.

Ilafi~ea z5

30

!/af igeaza 31 Il a :i g e a z a 90

30 31 9C

I/ a f i$e a z a adevara t !/a fi ge a z a 21 21 Ilaf i ~ e a z 5 21 21 Ila f i~eaza adevar at

Refe rin ta tr ebuie lnit iallza ta c hiar i n m om entu l dec la rari i ei.

~ ExemPlu: i nt

a , &~ ;

II Eroare : va r i a b il a

re £erin~a

nu a f cst

ini~ i a:izata

104 2.

Impl cmcnta r ca st r nct nrilor tic da te

Dupa ce a fost lnitializata, referinta nu mai poate fi rnodificata (nu S8 mai poate schimba adresa de mem orie la care S8 refera).

Exem plu : int a=lO ,b= 100 ,&x =a ; c ou ti-oc a-oc " " « Y.« e nd l;

! faf i$eaza 10

10

x nu i se poat e a t rLbu i. ad r e s a va r i a b ilei de memorie b , d eoa r ece var i a b i la X , pr i n ae f i n i~i e , S0 r e fe r S La va ri a o i La de me mor i e a s i. memo r e aa a c d r o s e e i. -k I / k Eroare : va .r i ab i.L e L .re f'e r i nt.a

x = &b ;

/ '" Care ct : va r Lab i Le i r c Ie r i n t'a x: i s c p o a t e a t r-Lbu i valoarea va riabilei dc memoric b , aceasta 'i.nse:nndnd ca vari2:.bilei referite de x (variabila a ) i s e a::.ribuie valoarea variabile_ b -.. /

x=b ;

c ou ti-c-ca-c-c"

3.

Nu

S8

/ /afi$e a za 100

"
poa te crea un pointer la

0

100

referint a.

Exe mp lu : i nt a =]O ,&:-:: =a ; i n t "P=/. ; / . Ero are: po.i r.r.e r u Lu i p nu i se poa te a t r Lou i edreee memor~ta ~n variacila x , deoarece nIT~el e variabile~ x nu identific ~ 0 adre s5 , ci 0 valoa re i~tre ag5 mB~orat5 l a adre sa var i abilei a ' j int * p ~.: &x ; /* Corect : po.i n t er-u Lui. p i se poa t .e a t r i.bu L ad rc s a va r La b i Le i. r ere rf nt a x , ace a s ta fi Ln c d e rap t: ad r e s a va ri. abi Le i a * / 4.

Nu es te perrn isa dec lararea un ei referinte la 0 ad resa exprirnata printr-o rc fe rin\a sau pri nt r- un po i nte r.

Exemplu : int in t fcre in t

a=10 ,b= :00 , "' :;-.)"-' &a , -q-o. b . &:-:= a ; &y = F. x ; / ": Er-oar-e : S- Co r e ct: s -a dec1arat var iabi1a y ca 0 re fe r i.md 1a

variabila x, CZlre este 0 r e f e r i ::'1;:a :a va~ iabi1a a; var i a b i l a .y se re fera In vu riabila a ~ / i n t &z=q ; I '" Eroa:ce : s -a dec La r a t; va ri abila 7. , ca re tr e b u i e sa s e r-e f e r e In. I) va r i ab i.l. e de tip i n t, ca 0 re fo rL n ta 1 5 ve r.i a b i l a po i n t e r q ca r e ml2mor eaza 0 a d r e s a ~/ in t & z = ~ q ; / ~ Co r e ct : s -a decla ra t vu r i a b ila z , care t r e b u i e sa se re fere la 0 va r iabil a de rip in t , ca 0 re f e r inta la 0 va riabila a cn re I acrc sc e s t.e .i nd i.c a t S de po i n t e r-u L q (e d i.cf variabila 0; ~ / c o u t-ocac-c" "« " p« " " « x«" " < x y-c-ce rid L : l/afJ.fjea7d 10 10 10 10 ccc e-cct.c-c '' "«" q« " "
20 20 oou t.c-c a c -c" I/afi~eaza 30 30

x-30 ; p~r.z ;

"
"
b~2QO ;

co u t c-ca -c-c" /ln fi ~eaz 5

5.

20 2 0 "
"
"
"
Tip ul referintei si tipul va riab ilei la care sc re fora tr cbuie sa fi e aco las i 9i refe rinta ~ j ob iec tu l la ca re face referirea trcbu ie sa fie de ace las i tip. Astfel , daca referinta

105

Inform aticii

sa

este 0 variabila de memorie, referirea trebuie S8 taca tot la 0 variabila de memorie , si nu, de exemplu , ta 0 cons tanta, chiar daca aceasta este de acelasi tip cu reter inta. Tn cazu l in care nu S8 respecta aeeste reguli, comp ilato rul va va atenticna. Aceasta lnseamna CEt pro gramul va putea fi executat, dar rezu ltatul obti nut nu va fi eel asteptat, deoarece S8 creeaza 0 variabila de memorie tern pora ra , cu tipul referintei, careia i S8 atrib uie valoarea variabi lei referite, respectiv a cons tantei , jar variabila referinta va adresa aceasta variabila tamporara, si nu variabila referita , respectiv cons ta nta:

Exemp lu: char c :. ' A ' ; float & w ~ C i ! / e c h i_v a l e n t e u : char c"" ' J\ ' ; float t.emp wc , float s a e t / / t f:>mp f i ind v a rLab L'l.a de memc r i e t.e rnpor-a r a cout.c-cac-c '' "
emp ,

65 13 13

A

A B &3""' temp ; t e mp o r-a ra

Scrieti un program in care declarati a var iabila de memorie de tip f loat ~ i a referinta catre aceasta variabila de memorie , cititi de la tastatura si afisati va loarea variabilei de tip float - folosind cele doua nume ale vari abi lei de memorie.

Ulililalea tipului de data rotcrinta Tipul de data referinta este utiI in transm iterea datelor intre modulul apelant ~i subprogam prin intermediul parametrilor de cornunicatie. in tirnpul executiei subprogramulu i, date1e cu care el lucreaza (variab ilele locale si parametrii cu care a fast ape !at) sunt pastrate In stiva . lnstructiunile subprogramului pot mcdifica aceste date . Madificarile se executa asupra valorilor mem orate In stiva. Cand se terrnina executia subproqrarnului. spatiul ocupa t in stiv a de pararnetri ~i de variabilele locale est e elib erat ~i - i n cazul parametrilor de iesire sau de int rare-iesire - S8 pierd valorile calcu late i n subprogram .

v oid sb ( i n t a} { a ''''c.. + 2 ; cou t -oc e-o c e n d Lr : ) vo i d main( ) {int a =2 ; sb(a l ; cout« a ; }

l / a fi$'2' a;:a 'l // afi~ea z~ 2

Folosind transfcrul parametrului pr in referinta, in mome ntu! apelarii subprogramului, in suva este incarcata adresa de merno rie la care se g ase~te valoarea parar.iet rului. Subprogramu! va lucra direct in zona de memorie in care se qaseste data. Asada r, atat modulul ape!ant cat ~ i subprogramul lucreaza asupra aceleiasi date , ~i orice modificare a valorii acest ui parametru tacuta in subprogram se va reflecta si In modulul apelant. La terminarea executiei subprogramului, este eliberata din stiva zona in care este rnernorata adresa pararnetrului. void sb( i n t v o i d mai n e)

&il )

{int

coc t.ccc-ccendr r i j s b( a ) ; cout« a; }

{ Q= 0 + 2; a~ 2 ;

// afi ~ ea=5

·1

/ ! il fi ~e a z ~

4

Intre moduluJ apelant ~i subprogram se pot transmite ~i parametri de tip aorosa Daca adresa este transrnisa prin valoare si ea este modificata in subprogram , noua valoare se pierde la ter minarea executiei subprogramului .

v o i d sb (i n t void ma Ln I}

*r )

{i nt x""' Lj; p""' &x cout« * p«endl;} {int a=2 , *p= &-'i ; sb (p) ; cou t cc vp r }

/ / a f .i$ e a za 4 //af.i:;; eaza 2

106

lmplcmcnturcu structurilor de
Folosind transferul parametrului prin retormta pentru pointer, i n momentu l apelarii subprogramului , i n suva este incarcata adresa de memorie a pointeru lui ~i subproqrarnul va lucra direct in zona de memarie i n care se qaseste painteru!. Asadar, atat madulul apelant cat ~ i subprogramu l lucreaza asupra aceleiasi date, ~ i orice modificare a adresei memorate in pointer facuta i n subprogram S8 va reflecta ~i in modulul apelant. La terminarea executiei subprog ramulu i, este eliberata din stiva zona i n care este mernorata adresa pointerului.

void sb( i n t *&p ) tint x = 4 ; P= &X i cou t« *p«endl;} void ma in() ti nt a=2 , *p = &3. i sb(p} ; cou t -oc - p r }

//a fi$eaza 4 / /afi -? e a za I;

2.4. Alocarca dinamica a mcmoriei Decla rarile de date i n cad rul programului folosesc alocarea statica a memorieL Aloca rea sta tlca a rnc moriei se face in timpul cornpilarii , in functie de modul in care a fo st declarata variabila de memorie sau s tr uct ura de date, iar in tirnpul e xecuti ei programului nu mai poate fi modiflcata. Variabilele care folosesc alocarea statica a memoriei se numesc varia bile statice . Sistemul de operare Ie aloca spat iu i n segm entul de date sau i n stiva sistemului, i n functie de mad ul i n care au lost dec larate i n progra m (globale sau loc ale) . Structu rile de date stat ice au un mare dez avantaj, deoarece i n timpul executiei proqramului pot sa apar a urmatoare te cazuri: -7 spatiul alocat structurii este insuficient si este posibil ca sa se depaseasca ace st spatiu ~ i sa se intre in spat iul de memorie alocat altar date ; -7 spatiul alocat stru cturii este mult m ai mare docat este necosar ~ i memoria inte rna nu este utilizata eficient. Aces t dezavantaj poate fi climinat prin folosirea alocarii dinamice a memorie i. Alocaroa dinamlca este metoda prin care unci varia bile de memorie sau unci structuri de date i se atribuie sp atiu de memorie - sau S 8 elibereaza spatiul de memorie ocupat d e ea in timpul exncutioi programului, in fun ct ie de nec esttati , Variabilele care folosesc alocarea dina mica a memoriei se numesc varia bile dinarnice . Spatiul de me morie alacat va fi in zona de adrese libere (Heap) . Sistemul de aperare atoca unei date zon a de memorie i n Heap sau elibereaza spatiu l de me morie aloca t datei, in urma unor c ereri de alocare de memorie ~I de eliberare de memorie din program . Mecanismul prin care programatorul folo seste alocar ea dina rnica a memoriei este urrnatoru l: 1. Se de c lar a a vari abll a de m em ori e de tip pointer catre li pul de data al variabilei dinam ice . < t i p _ d e _ b a z a> * "': n u me _ p o i n t e r > ; La comp ilarea programului , va riabilei pointer i se va areca spatiu in seg mentul de date sau i n sliva sisternului, i n funct ie de madu l in care a fast declar al in program (global sau local). i n variab ila pointe r S8 va memora adresa variabilei dinamice .

2. in momentul in care in prog ram trebuie folosita variabila dinamica se cere si stemului de oporare sa ii alac e spatiu in Heap . Pentr u cererea de alocare de memorie se toloseste operatorul new : "" new < t i p _ d e _ b a z a> ;

Sistemul de operare cauta i n Heap a zona de memorie libera, de dimensiunea tipului variabilei dina mice, ~ i atribu ie pointeru lui adresa acestei zon e.

Informaticii 3.

107

in

momentul In care In program nu mai este folosita var iabila di namica se ce re sistcmu lui de operare sa elibercze spat iul de memorie pe ca re i I-a alocat in Heap. Pentru cererea de elibe rare a mernoriei S 8 toloseste operatoru l delete :

delete ; Siste muJ de operare declara ribera zona de memo rie care a fost alocata variabilei dinamice , si con side ra ca var iabila pointer nu mai este initia lizata cu 0 adresa de memorie, iar valoa rea ca re a fost mernorata in variabila dina mica S 8 pierde . Observatie Operatorii new si delete sunt operatori u nari si au prioritatea si asociativitatea acestui tip de operatori.

[ Swd!:Ji.lI.lJ. de

OSlZ

I

Seop : exem plifica rea modului in care puteti folosi aloca rea dina rnica a memoriei Enunt ul problemei 1: Se citesc de la tesieture trei numere intregi - a, b §i c - care reprezinte marimile lalurilor unu i triunghi. Sa se eiiseze aria triungh iului. Se foloseste alocarea dinamica a variabileJor clementare . Pentru referire a marimi lor latur ilor se fol osesc pointer ii a , b si c catre tipul int , iar pent ru referire a ariel si a semiperimet rului se folosesc point erf aria ~i sp catre tipul float. ftinclude < i o s t r c a m. h > #i nc lud e void mai n ( ) ti n t *a, *b,* c; f loat ~ a r i a , ~sp ; lise declara poi n te ri i (1) a '"'" new in t; b = new int; c = new int ; l ise a l oca memo rie pen tru ar i a = new f l o a t ; sp = new float; l /variab i lcle dinamice (2) I /se cite sc de 161 t .as te cur-s va Lo r.i Le v a r i.ab i Le l o r o l nam i.ce I l folo s i t e pell t ru lat u ril e t r iunghiu lui ccu t o cv a -. " ; cin» *a; cout« " b = " ; ci n » *b ; c o u t c-c vc -. "; c in»* c ; l i s e calcu lea za va10 rile variab ilelor din ami ce fo103ite pentr u / /~; emip eri m etru s L a rie *s p = (* a +* b + *c ) 12 . ; *a r i a =sqrt {* s p * ( *s p - *a )* ( *s p - *b l k ( *Sp_ *c) ) ; / I s e a f i s ea z e vel oa r e a va rLab i.Le i di namic e folo s i t e pe n tru arie c out« " a r i a = "
Enunt ul problemei 2: Se citesc de la tastatura coordonatclo a (Joua puncte din plan - a b. Sa se etiseze distnnte dintre cele cou« puncte .

:ji

Se toloseste alocarea dinarnica a structurii de date de tip i nregist rare . Pentru referirea coordonatelor celor doua puncte se folose sc pointer ii a ~i b catre tipul i nregistrare punc t., iar pentru refer irea distantei se foloseste pointe rul d catre tipul float. #includ e <.i.o s t r e a m. h > #i nc lude · st ruc t punct {i n t X, Y i } ; punc t e e , *b ; f loat *d; /Ise cecl e r a p o .in t e r i i. ( 1) v o i d mai n () { I Isealoca memo r ie pentru variabi lele d i narn i c e ( 2 ) a = new pun ct: ; b = new punct ; d = new fl oa t ;

108

lmplcmcntarca st r nc t n r ilor de dat e

lI se c i t e s c de 1a

tasta t u ~ a va lo r i le v a ~ i ab il el c r dip.amic~ / /folo s i te pen t ru coo r done t.e Le punc t e Lo .r a s i, b CQut« " c oc r d o flil Le l e puncct:! ui a - x : " ; cin» -3 - >y.i cout«" - y: cin» a ->y ; cou t« " c oc !"d o na t e l e pUrlc -c.:llui b - Yo : " - cin» b - >x i co o cc-c" - 'J : ". c.i.noc-b - c-y : / /:::::::: ca Lcu LcazS va Loz u-e a va r i.ab.i.Lc.; di nam i c e fo Los.i t;e pont ru d.i st.e.nt.a *.j =- sqrt (pow {a- > x - b - > x , 2 ) +pow (a- > y - b - > y, 2 ) ); ! / 51? a ~i$ e a z a. va Loa rea va r Lab iL e L di. nami.c e £010 3 i t.e pent r u d t s uant a c out«" d i s t a n t a d i n t re punc te le a 3i beste "« *d ; I I s e c Li b e r ec zu z cria d e memor Le n Ioc a t a v e r i ab iLeLc r d i.n um.L c c (3) d el ete i:J ; del ete b ; delete d ; }

Enuntul p roblem ei 3: So citesc de la Insta/ura n numero intrcgi cam sa mem oreaza intr-uo vee/or. Sa se iovorsozo voctor ut in el insus! §i sa so etiseze vectotul dupa inversare.

Se totoseste alocarea dinarnic a a s tructurii de date de tip vec to r. Pentru refer irea nurnarului de elemente ale vectorului se toloseste pointerul n catre tipul int, iar pentru referirea variabilei prin intermediul careia S8 mterschirnba d0\13 elemen te ale vectorului se foloseste pointeru l aux catre tipul int. Pentru referirea vectorulu i S8 foloseste pointerul p catre tipul int r n]. Acest pointer indica 0 zona continua de nxsi zeof(int) octeti, n reprezentand valoarea citita de la tastatura pentru numarul de elemen te ale vectorului ~i care este referita de pointerul n . Pointe rii q !?i r catre tipul int se folosesc pentru a parc urge zona de memorie atocata vec torului in vedere a prelucrarii elernentelor lui. #i n c l u de < i 0 s t r e a m. ~ >

#i r.c l ud e< ma t h . h > v oid ma i n ( ) / / .'H] d oc La r S po i.n t.c r.i i (1) l in t *p,* q, * (, * n,* a u x; //!; e; a Loc a memo ri.e pe nt. ru vo r iab i.I o I e dLn emi .ce (2) ne .ne w int; au x -n e v i n t ; c c u t c -cvr. > " ; c in» * n; p = n ew int[* n] ;

l i se fo r

c ite~c

de la tus: a tu r5 vulorile pent r u

e lemen~ele

ve ctorulu~

(q ""-" p ; q
{cou t «" e J e me n t u l =- " « q- p + l « " = " ; cin» -- q ; } I / se .int.e r s ch i.mba e l eme n t.e Le vec t.o r u Lu i. fo= (q"" p , .:=p +*;;- l ; ::.<.: ; q .,.. +, r - -) { *a u :-:"-*q; * q ""*r; * ro--*a u x ;} ,/SE' e c' t s e e z a e l crnc n t e Le .... e c t or u Iu ; for {q = n ; q
fr-.?!\

Scrie ti urrnatoa rele programe in care Iolc siti aiocare dinamica a rnernoriei: Cit iii de la tastatura temperatura, presiunea ~ i nurnaru l de mali ai unui gaz l?i calculati volumul lui. b. Citl\i de la tastatura nurnaratorul ~ i numitorul a oc ua fractii, calcul ati sum a si produ sul celor dou a fractii, simplific ati rezu ltatele obtin ute si apoi afisat i suma si produs ul. c. C,ti\i de la ta statur a coordo natele a doua cclturi ale unui dreptung hi (coltu l din stanpa sus si coltu l din dreapta jos ) 'ii afisati dimensiunea diaqonalei drept unghi ului. 3.

109

I II for m a ti cii

d. Cititi de la tastatura temperaturile medii zilnice din luna precedenta 'ii afi'ia\i temperatura medie a lunii , si zilele In care temperaturile au fast ma i ma ri decat media.

2.5. Clasificarea structurilor de date Organizarea in structuri de date a dale lor prelucrate de algoritmi sirnplifica mutte dintre operatiile de prelucrare . Atunci cand orqanizati datele l ntr-o structura de date , trebuie sa identificati modu l in care puteti ave a acces la ele ~i operatiile pe care Ie puteti executa cu datele din colectie. Procesul de organiza re a datelor in colectii este un proces care S8 desfasoara pe trei niveluri care inte ractioneaza i ntre ele, pomind de la nivelul concep tual:

nivel conceptual (ni v elull a care se dezvolta imaginea rnentala a structurii de date: modul in care trebuie organizate datele !1i relatn!e care exlsta intre ele)

-U-nivellogic (ni velull a care se alege un model de implementare a structurii conceptuale)

.Dnivel fizi c (nivelulla care sunt stocate datele in memoria calculatorului §i care Impllca anum ite caracteristici ale operatillor de accesare §i de prelucrare a datelor din cotect!e . in functle de modul in care sunt memorate datele ~i de algoritmii implementati in limbaj pentru acces ar ea, citirea §i scrierea datelor in memorie)

Ati studiat structurile de date irnplementate la ni ve l fizic In limbajul C++ : -7 ta bloul de memori e - structura de date omoqena , liniara, intern a si ternporara: -7 flst erut -. structura de date ornoqena, liniara . externa si permanenta: -7 sirul d e c arac te re - structure de date omoqena, liniara, inte rna ~i ternporara: -7 inrcgistrarea - structura de date neomoqena, interna si ternpora ra A~i ~i

rnai studia t si 0 structure de date log-ica-Iista - structure de date omoqena , liniara, interna ternporara ~i 0 metoda de implementare ta nivel logic a listei folosind vectoruL

( Studiu de ca.z I Sco p : exemplificarea modului I n care identificati structura de date pe care pen tru a rezo lva problema .

0

tolosit i

Enuntul probl emci 1. 0 firma ao transport arc lin perc cia 10 I17CJ§ini CII cepeciteti de transport ciitetite. Trobuio sa so doformine cete dintro ecesto ma§il1i au Goa rna; mare capacitate de transport. Pentru rezolvarea problemei trebuie stabilita st ructura de date care se va folosi : -7 La nivel c o ncept ua l - capacitatile de transport ale masinilor reprezinta un sir de numere Intregi, aranjate lntr-o ordine aleatorie, in care trebu ie cautat numarul ce l mai mare ~i de cate ori apa re In sl r.

1~20--1

40

I

50

on

20

I

40

I

50

I

40

I

30

I~

-7 La nivel lo gi c - implementarea perrnisa de Iimbaju l C++ a unei colectii de date omogene este vectorul , fiecare numar Intreg fiind un element al structurii. Pentru rezolvarea proble -

110 mei S8 vor folosi urmatoni algoritmi: algoritmul pentru parcurgerea vectorului la memorarea numerelor, algoritmul pentru determinarea valorii maxime dintr-un ~i r de numere si algoritmul de cau tare in vector a elementelor cu 0 valoare prec izata (valoarea maxima).

int a [10 ]; 7 La nivel fizic - numerele vor fi memorate intr-o zona continua de memorie interna , fiecaru i nurnar alocandu-i-se acelasi spatiu pentru memorare. Identificarea unui element al structurii se face prin numar ul sau de ordine (indicete).

I

20

o[O J

I

40

I

a[l ]

I

50

0[21

30

1 20

0[3]

0[4 ]

I

40

1---::5-: 0-

a[5]

a[6J

40

30

40

of7 ]

0[8 J

a[9J

Daca se doreste pastrarea datelor memo rate (capac itatile de transport ale rnasinilor din parcul auto ) pentru prelucrarea Jor ulterior, S8 vor salva intr-un fisier text, de unde vor fi restaurate in memoria interna intr-un vector, la fiecare prelucrare (executie a programului).

Observatie i n structur a de date folosita (vectorul), i ntre elem entele structurii exista 0 ~i un predecesor. Acest tip de structure este 0 structura liniara

relat ie de ordine in care fiecare element are un succesor

--.~ 3, = primul ele me nt (nu are predecesor)

a, an = ult imul elem ent (nu are succesor)

a , = eleme nt succesorul sau este 3;+1 predecesorul sau este ai_1

Enuntul pro blemei 2. Un profesortrebuie Sa celcuteze media semes/ ria/a a Iiec etu! elev din clasa §i sa obtin« a {isla eu nume/e, prenumele §i mediile etevilot. in ordinea oescrescetoere a modiifor. Pentru rezolvarea problemei, trebuie stabilita structura de date care S8 va tolosi: ~ La nivel con ceptu al - elevii din cia sa reprezinta un si r de enti tati care sunt caracterizate de 0 li sta d e propri et ati (atri bute): nume ,?i prenume (care identifica unic elevul), cinci note ~i media sern estriala.

1

Num e Ang hel

... 30

Pre nume Maria

Not a 1

Nota 2

Nota 3

Nota 4

...

9

...

10

9

...

...

10

Vlad

Miha i

7

6

8

...

...

Nota 5

...

Med ia

9,5

... 7

-7 La nivel logic - implementarea permisa de limbajul C++ a unei colectii de date omagene este vectarul , fieca re lista de atribute ale unui elev fiind un element a l structurii. Pentru implement area listei de atribute (care este fermata din date nea magene : nume le ~ i prenumele sunt siruri de caractere , notele sunt numere intregi, iar media este un nurnar real) se va folosi structura de date de tip inregistrare , fieca re atribut fiind me morat intr-un

camp. Pentru rezolvarea problernei se vor folosi urmatorii algoritmi: aigoritmul pentru parcurgerea vec torului la memor area listei de atribute a fiecarui elev si la aflsarea med iilor, algontmul pentru calcularea rnediei antmetice ,?i algoritmul de sortare a elementelor vectorului in functie de valoarea unui atribut din Iista de atribute. struct e 2-ev

{char n ume[20J , pren[20j ; unsigned nota[5] ; fl oat meo t a , } ;

e Lev clas2. [30 ];

111

Inform atica 7

La nivel fizi c - listele de atribute ale fiecarui elev vor fi memorate int r-o zona continua de memorie inte rna, fiecarei liste de atribute alocandu-i-se acelas i spatiu pentru memorare. Identificarea unei liste de atribute I n cadrul structurii se face prin nurnarul sau de ordine

(indicele), iar identificarea unui atribut din lista se lace prin numele carnpului.

:?i i n cazul

acestui exemp lu, daca se doreste pastrarea datelo r memorate (Iista de atribute a fiecarui elev din ciasa), pentru prelucrarea lor ulterior, se vor salva intr-u n fisie r text, de unde vor fi restaurate In mem oria interna lntr-un vector de i nreqistrari, la fiecare prelucrare (executie a prog ramului).

~::;@9

nota[O]

I

I

I

I mL l

clasa[i } .n u me

c l a s a [ i ] . no ta[2]

Observatie i n structura de date folosita pentru lista de atribute , int re eleme ntele structurii exista 0 rela tie de ordine In care fiecare element are un singur predecesor !iii nici unul, unul sau mai multi succesori. Entitatea e/ev (corespunde unui eleme nt din vec torul c1asa) are ca predecesor entitatea clasa ~ i ca succesori entitatile : nume, pren, nota ~ i media. Entitatea nume are un singur predecesor (entitatea elev) ~i nici un succesor . Entitatea nota are un singur predecesor (entitatea e/ev) si cinci succesori (nota{O], nota{I], nota{2], nota{3] si nora{4]) . Structu rile de date de tip in registrare pot Ii ierarhizate pe unul sau mai multe niveluri. Ace st mode l de re prezen tare a datelor se numeste arbore cu radacina , iar acest tip de structura de date este o structura ierarhizata .

I

~

~

L...::F--J

G:;J

Nive lul 1 ...

Nive lul 2

.

Nivelul3 Nivelu l4

intr-o structure de date ierarh izata. datele pot fi grupate pe mai multe nive luri. Eleme ntul a1 se gase ~te pe nivelul 1. El nu are predecesor, dar are trei succesori: 311, a12!iii an · care se qasesc pe nivelul 2. Elementul a12 are un singur predecesor (a- ) si trei succeso ri: am . a122,i a123· Elementele a111 . a112, a121, a123,i a131 de pe nivelul 3,i elementele a1221 si a1222 de pe nivelul 4 nu au succesori.

o

matrice cu n linii ~ j m coloane este si ea 0 struct ura de date ierarh izata pe trei niveluri: pe primul nivel e ste ma tricea ca re are n succesori: liniiie, care sunt pe nivelul 1. Fiecare

112

I mp l emen t area st ruct u r i lo r d c date

linie are ca predecesor matricea si ca succesori cele m elemen te de pe gasese pe nivelul 3.

J

---

I

l ini a 0

1

'l

Matricca

Iinia 1

I a[O][O] I a[0][1J 1

L lin ia 2

linie, care S8 Nivelul 1

I

linia 3

I

Nivelul 2

~ ~I \. I a[3][OJ 1a[3][1]

..

I a[1][0] I a[1][1]

0

N ive IuI 3

;---'a[=2]:7[0::::]'I-a"'[2"']["' 1]:0\1

. En untul prob lem ei 3. 0 oersoens oorosto sa vizileze §aple obiective luristice caro se gasesc in sopte locolitari, po care Ie notisn: cu A, B. C, E, F, G §i I. in tre cele §
tara

ie stabilita strucl ura de date car e se va folosi. Localitatile reprezinta entitati care pot fi legale sau nu prin cai de aeces. Fiecare cale de aeces este caracterizata de dist anta dintre eele doua localitati. Pentru a reprezent a la nivel conce ptua l aceast a structure de date vern reprezenta in plan harta zcnei turist ice prin intermediuI unor eremente geome- '--">~-,-,~,,.,.."--'----' ==__,....__,....----_c--,.....:>-_,::-__,....-' trice, astfel: localitatile se reprezinta prin cercuri i n interiorul carora vom scrie identificatorul locatitatii, iar caile de acces prin linii drepte care unesc anurnite puncte. Acest model de reprezentare a datelor se numeste grit!. Obs erv atie . i n structura de date toloslta pentru a reprezenta la nivel conceptual entitatile (Iocalitatile), int re elementele structurii exista 0 relatie de ordine in care fiecare ~ elemen t are mai multi predece sori ~i mai multi succeso ri. Acest tip de structura de p.~ date este 0 retea , Din studiul de caz anterior putem folosi un nou criteriu pentru clas ifica rea structurilor de date :

I

r----;c~--,---------"i¥ Liniare

Fiecare element are un succe sor ~i un predec esor, exce ptand primul elemen t, care nu are decat succesor, ~i ultimul element. care nu are oecat predecesor .

.

criteriul relatiei de ordine lerarhizate (arborescente)

""

Intre elemente exista 0 relatie de subordonare , i n care fiecare element are un predecesor unic $i poate avea unul sau mai multi succe sori. cu exceptia primului elemen t (numit radik iml ), care nu are prede cesor, sl a ultimelor eleme nte (numite term inale), care nu au succ esor .

Retea

Intra el em~ nte exts.a 0 relatie de subordonare, i n care fiecar e elemen t poate avea mai multi predeces ori ~ i mai multi succesori.

I II formuticii

113

2.6. Lista liniarii Pe Itmga criteriile studia te pentru clasificarea structurilor de date , mai exista ~i urrnatoarele criteri i :

r Implementarea in limbajul de programare I

...

...

Structuri implicite

Structuri explicite Structura creata la ni vel conceptual nu este lrnplernentata la ni velullimbajului de

Slructura creata la nivel conceptual este lrnptementata la nivelul Jimbajului de prog ram are. Repr ezentarea sa este irnplicita $i nu ma i nec esit a inforrn atii su plimentar e pentru localizarea

program are. Repre z entarea sa S8 fa ce folosind st ruc turile impl icite implementate in Iim baj , fiind neces are info rrnatii suplimentare pentru loc alizarea co m po nentelo r.

compone ntelor .

I

.-

Dispunerea elementelor in memorie

...

Structuri dispersate

Structuri contigue

Elernentele sunt di sp use in zone contigue de rnernorie, care permit localizarea uneia dintre ere foJosind 0 adresa de ref erinta §,i deplasarea fa ~a de adresa de rete rinta .

I

.-

I

Elementele sunt dispuse i n zone dispersate de rnemo rie; pentru a putea localiza elementele in structure. trebuie sa se memoreze pentru fiecare element §,i adresa la care se 9aS8$te.

Aloearea memoriei interne

Structuri statice _Dimensiunea zonei alocate este fixa. Alocarea ei se face in ttrnpul ccmpl lar ll . in functie de modul in care a fast dectarata structura. iar i n timpul execune! programului nu rna! poate fi rnodifi ca ta ,

.-

I

Strueturi dinamice Dimensiunea zonei alocate nu est e f ixa. AJocarea sau eliberarea zonelor de memorie folosite de structure se face i n timpul executlei programului, in functie de numarul de componente ale structurii.

Usta liniara este 0 struc tu re d e d ate logic a, e u da te omogcne , in care fie c are ele me n t are un s ucces o r ~ i un pred ec esor, exc eptand primul el ement, care nu are dedit s u cce sor, ~ i ultimul ele me nt, c are nu are decat pred cc esor.

l.ista llnia ra, la fel ca ~i ve ctorul, din punct de vedere conc eptual este 0 structure de date ornoqona tiniara . intre c ele dou a

structuri ex ista

urrnatoarele deoscbi ri :

Cri teriu l

Vecto r i

Lis te

Implementarea

Sunt structururnpuctte Fiind 0 struc ture Ilzlca . este Irnplementata in limbajul de programare. Nu necesita informatii suplimentare pentru 10calizarea elementelor structurii in memoria interna. deoarece mecanisrnul prin care este impleme ntata fizic asigura identificarea elementelor.

Sunt structuric xplici te . Fiind ostructura loq lca , trebuie ateasa 0 metoda de implementare folosind structurile fizice existente. Necesita informatii suplimentare pentru localizarea elementelor structurii in memoria intema. deoarece mecan ismul prin care este implementata fizic nu asigu-

III lim baj

ra identifica rea eiernentetor.

..

114 Criteri ul Dispunerea elementelo r

in me mo rie

Al ocarea rnemoriei

.

Implcm enta r c: st r u ct u r i lor de date Vecto r;

Liste

Sunt structu ri co nt ig ue . Pot fi structuri d ispersa te . Predece sorul, Predecesor ul, eleme ntul ~i eleme ntul !iii succesorul nu sunt in locatii de succesorul se gasesc in locatii memorie contigue . Proqramatorul trebuie sa cont igue prin mecan ismu l de defineasca rnecanis mul prin care elernentele implementare a stru cturii de date la structurii vor fi legate unele de allele pentru nive l fizic. a putea fi recasite i n rnemorie. Sunt structu ri stance.

Sunt str ucturi stat ic e sau d inamice, in funct ie de implementarea alea sa.

Se defineste lungimea Iistei (n) ca fiind numarul de elemente ale listei. Lista vida este lista care are lungimea 0 (nu are nici un element). Elementele listei se mai numesc ~i noduri

[ SmmlllL de caz I Seop: exemplificarea modului in care identificati date Iis ta tiniara.

0

aplicatie in care folositi ca structure de

Enunt uri le problem elo r pentru care trebuie aleasa structura de date si eoneeput elgoritmul pentru prelu crarea lor: 1. lntr-o bibliateea exist« a colectie de eaf1i arganizale in ardinea alfabe tiea a autari/or. Un canor paate imp rumuta 0 carte (se extrage 0 carte din co/eerie) sau poate inepoie 0 carte (se inseteeze 0 carte in co/eerie). Toate aeeste operaNitrebuie exeeulate astfel ineat sa se pestreze organizarea in ordine alfabetiea a au/orilor. 2. La 0 benzinerie s-a forma / 0 coeoe de esteptere. Ma §inile sunl servil e in ordinea venirii: prima ma§in8 sos ite esle setvits, ier ultima ma§ina venue se 8§8la fa sfar§itul cozii. Toate aeeste operetii trebuie executate astfel inca! sa se pestreze ordinea in care au sosit m osinite § i S-8U esez»! la coeds. 3. lntr-o stive de cen: volume/e sun t asezare in ordine a alfabetiea a tiuutito r. Trebuie extrese 0 carte din stiv» tara a deranj a modul in ca re sunt ordonate carti1e in stive . Toate aeeste proble me au in eomu n urrnatoarele caracte ristici: -7 Elementele colectiei sunt omoqene jtnreqlstrarl eu aceeasi structura l . -7 Conceptual sunt structu ri liniare i n care fiecare element are un succ esor ~i un predecesor , cu exceptia primului ~i a ultirnului element , care au numai succesor, respectiv numai predecesor. -7 Structurile de date se rnodifica folosind aceiasi algoritmi de prelucrare se insereaza ~ j se extrag elemente, pastrancu-se a anumita ordine de aranjare a elemente lor.

Daca s-ar alege sotutia de a grupa aceste elemente intr-o stnrctura de date de tip vector , alqontmii de prelucrare (de actualizare a vectorilor) vor necesita multe deplasari de elemente care consurna tirnp de prelucrare. Caracteristicile operatiilor de prelucrare a vectorilor sunt: 7 Vectorul este 0 structura de date care are lungimea fizica fixa, iar implementarea lui la nivel fizic este un proces prin care se face conversia locatiel concep tuale a unui element , in locatia reala, din mem oria intem a. -7 Orice operatie de adauqare sau extragere a unui elemen t din colectie mod.fica lungimea logics a vecto rului. -7 Pentru a insera un element in colectie . trebu ie deplasate toate elementele spre dreapta , ln cepand cu pozitia inserarii, -7 Pentru a extrage un elemen t din colectie , trebuie deplasate toate elementele spre stanqa, de la sfarsit , pana in pozitia din care se extrage.

115

I n formaticii

n cazul structurilor liniare care trebuie s a-~i pastrezo i n timpu l exploatarll ordon area du pa un anumit criteriu, mecanismul vectorilo r este gre oi. in aeeste cazuri, S8 poate alege ca solutie de implementa re a structurii de date lisla tiniara ce deg reveaza progr amatorul de ordonarea dupa indice a structurii, irnpusa de vectori . mplementarea structurilor de date cu ajutor ul liste lor are urrnatoarele avantaje: ~ alocarea dina mica a memoriei - care gestionea za memoria rnult mai eficien t: -') algoritmii de.prelucrare - care sunl mull mal eficienti (se executa mul l mai punne opera!" pentru mserarea ~I sterqerea urun element).

$

.... W?,.e-

On fun ctie de modul i n care

I

S8

aloca memoria interna,

S8

pot folosi metodele:

I

Metode de implementare a listelor

in functie de modul in care sun! aranjate eleme ntele i n lisla, S8 pot folosi metodele:

I

y.

.t. nu m ai statica i

I

Me tode de implementare a listelor

statica

Meto da de impl ementar e

Ava ntajul alocarf di nam ice a rnem ori ei

stati ca secventialii - at ati ca inlantulta

nu nu

otnamtca inlantuita

da

y. dinamica Ava ntaj ul alg o ritrni lor

de prelucrare

nu da da

Implementarea statica secventia la nu aduce niciunu l dintre avantajele listelor, fiind 0 implementare In care lista este prelucrata la fel ca un vector. i n implementarea l nl ant ui ta nodurile listei nu m ai sunt s tocate succesiv i n mem orie. Acea sta implementare se poate face atat static, cat si dinam ic, int re cele doua irnplernentari existand urrnatoa rele diferente: ~ In implem ent area statlc a, noduriIe Iistei ocupa un bloc contiguu de locatii de m emarie (zona de memorie aloca ta vectorului); ~ In imple mentarea dina mica, nodur ile liste i ocupa loc atii di sp ers at e din memorie (a carer adresa poate fi pastrata cu ajutorul pointeri lo r). i n c1 asa a X-a ali tnvatat modul i n care puteti implementa stat ic listele liniare. Algoritmii pe ntru prelucrarea unei Iiste inlantuite sunt aceiasi . atat in cazul im plementarii stance , cat ~i i n cazul irnplernentarii dinamice.

2.6.1. lmplcmentarca dinarnicii a listclor in limbaj ul C++ Exemplu - a lista este ferma ta din 5 cuvinte (noduri), fiecare cuvant avand maxim 4 caractere. Nodurile listei se exploateaza i n ordine altabe tica : Usta = ("alfa", "beta", "gama", "teta", "zeta"]

116

Implcmcntarca st r u ct u r i lo r de date Memoria

mterna

5 locat ii de mcmorie dispersato identificate prin adrese le adr1, adr2, adr3 , adr4, adrS --::"""'be-.'a'c-',.::.;, "9 a:" a"

l

nodul 2 la adresa adr2

l--.----"zeta"

I

[jjfL1

nodul 3 la adresa adr3

nodul5 (ult im )

I

" tet a"

I

'

nodul 1 ( prim la adresa adr1

nodu l4 la adresa adr4

Deoarece nodurile listei nu sunt aranjate succe siv, ci aleatoriu, In memorie , trebuie irnplemental un mecanism prin care sa S8 precizeze ordinea reala a acestor nod uri (ordinea in care S8 lnlantuie in llsta} . Aceasta tnsea mna ca: 7 treb uie cunoscut locul din care in cepe lista (lan tul de nod uri), adica pozitia primului nod din lista (nodul p rim ) - i n exemplu, nodul "alfa"; 7' trebuie cunoscu t locul i n care S8 terrnina lista , adica poz itia ultimu lui nod din lista (nodul ultim ) - in exemplu , nodul "zeta "; 7 pentru fieeare nod din lista, cu except ia ultim ului nod, trebui e cun oscut nodul care este succesorul lui - de exemplu, pentru nodu ! "gama" trebuie cunoscut ca succe sorul sau este nodu l "teta" . Metoda totosi ta pe ntru implementare este ca un nod al listei sa cantina do ua tipuri de inferrnatii: info rrna tia propriu -zi s a si i nforrnatia

Infor~atia

propnu~zlsa

. Il nfOrm a! la p:ntru legatura

de legatura - ad resa prin car e S 8 ide ntifica nodu l care urrneaza i n stru cture . lnfo rrnatia de legatura mern orat a i n ultirn ul nod (in carnpul de adresa) este const anta NULL (care semnifica tapt ul ca ultimul nod nu se leaga de nimic) . Memoria interna adre sele nodurilor adr1, adr2 , adr3, adr4 , adrS r:! - '"" 'b-e-ta-''-- 1'a"", -- dr-'31 i " ama" l~dr4 1-'--,''-'a-:-,t:-a",,''---''a,d-:-r-::" 21 adr2

,

.......................:::::::::::::::::::::::

dr3

1

"zeta" !NULL

adrS

,

adr1

i..

1

"teta"

,

;

~

adr4

L ~ +. ; [nlantuirea nodurilor Iistei in implementarea dinarnica Lista l iniara intantuita este 0 s tructure loqica de date , parcursa Iin ia r , care are doua extrernitati (i n ceput si sfarsit), in care Iiecaru i element i se asociaza 0 in format ie s up l imenta ra referitoare la locul eleme ntului urmator , din punct de vede re logic. Un nod al lister va fi de tipul inregi strare ce contine un camp cu inforrnatia pentru leqatura care este ad resa succeso rului exprimata print r-un pointer. struc t nod

{< t i p 1> < t i p _ 2>

< i ~ fo
11 > , , 21 > , < i n f o 22 > ,

, ; , < i n f o 2n > ;

117

Info rm ati cii < t.i p~m>

< i n f o _ ml>, < i n f o_ m2>,

< i n f o_ mn>;

nod " u rm r L :

nod *prim , *u l t i m , *p ; Carnpurile < i n f o _ i j> sunt carnpurile cu inforrnat ii, iar carnpul urm este un cam p de tip pointer catre tipul de baza nod ~i cont ine intorrnatia de leqatu ra (adresa urrnatorutui nod din lista). Aeest tip de i nre gistrar e se nurneste inregistra rea au to re ferita. S-au declarat variabilele de tip ad resa a unei i nreqistrari de tip nod: -7 *prim ~i *ul t i m pent ru a memora adresa primulu i nod , respectiv a ultirnu lui no d ; ele va ajuta sa ldentificati extrernitatile listei; -7 * p pen tru a memo ra adresa unui nod curent din lista (este folosit pentru parcurgerea listei). in lisle, algoritm ii de inserare si eliminare a unor nod uri din structura S8 sirnplifica foarte mult 7 Inserarea unui nod consta in alocarea zonei de mem orie in care S8 scrie nodul si legarea lui la structure (stabilirea legaturii eu predeeesorul si eu sueeesorui lui). ?' Eli min area unui n od consta in ruperea nodului din structur e, prin legarea predeceso rului sau cu suc cesorul lui, ;;i eliberarea zone! de memorie pe care a ocupat-o.

2.6.2. Clasifica rca listclor

- I

' --:L-;is-:te - :7 1in-:ia-re-

!

."

."

."

Liste generale Nu exlsta restnctii pentru operatiile de mserare $i sterqere a elementelor din lista (se pot face in ortce pczitie a listei),

Uste restrictive Exista restrictii pentru operatiile de inserare $i sterqere a elementelar din lista (se pot face numal la extrernitati).

.

Stiva Operatiile de introducere si extragere a elementelor se pot face numai printr-una dintre extrernltati.

.

Usta simplu Inlantuita Fiecare element pastreaza legatura cu un singur vecin (de obicei. succesorul).

.

..

I

Coada Operatia de introducere a elementelor se face pe la 0 extremitate, tar extragerea elementelor - prin cealalta extremitate.

Lista dublu inlantulta Fiecare element pastreaaa legatura cu ambii vecini (succesorul $i predecesorul).

.

Usta circulara Este 0 flsta in lantuita in care elementul ult im se leaga de elementul prim .

A lgoritmii ce se p ot fo l os i po nt ru p re lu crarea Ii stelor: -7 initiali za rea Ii stci - se creeaza lista vida ; 7 c rca rea list ei - se adauqa repetat elemente la lista, porn ind de la lista vida; -7 insera rea unui c le me nt i n li sta - la i nceput, la sfa rsit , in inte rior; -7 ste rqe rea u n u i c le m ent d in l ista - la inceput, la starsit, in interior; -7 pa rc u rge rea liste i - se v iziteaza elementele tistei pentru a obtine inforrnatii: -7 c auta rc a in lista a unui cl eme nt care lndepline ste anumite co nditii: -7 sorta re a un ei liste ; -7 c o ncate n arc a a doua liste; -7 d ivi zar ca in dou a liste .

118

Im plcm cn tarca st r uct u ri l o r d e date

2.6.3. Agoritmi pcntnt prcillcrarca listclor simplll inlantllitc Lista simplu inlanluita

prim info

ultim

I urm ~ I

II. I

. f

In 0

I lI rm- 1

r.:::

I

info urm "--_---''-----J

info

INULL~

In Implementarea alqoritrnilor urrnatori S8 considers ca inforrnatia propiu-zisa este fermata nurnai dintr-un camp i n car e S8 rnernoreaza un nurnar i ntreg: ' s truc t n od {int in fo ; /linf o r ma 1;. ia p r c p r Lu-e z l s a nod *u r m;} ; l/in f orma1;;ia pent r u Leqe t u r a n od *pr i rn, *u l t i m, ~p ; j/pointe ri pe n tru e x p lo a t a r e a l i s tei in t x; . / /pen t ru valoare a ce s e atriliuie c empuIu i, eli I n fo rmat.L'i

in lista v id a atat nodul prim cat ~i nodul ult im nu exista, ~i adresa lor are valoarea NULL: prim = ult im ",. NULL; Starea de ll sta vida trebuie cunoscuta atune! cand S8 elirnina noduri din lista , deoarece in (isl a vida nu mai exista noduri care sa fie eliminate. Aceasta stare S8 testea za prin conditia : p r im = = NULL. Pentru testarea unei liste daca este vida se poate implementa functi a operand este_ v i d a ( ) care va furniza valoarea 1 ("adevarat"), daca lista este vida , ~i valoarea 0 (.tals") daca Iista nu este vida. i nt e s cejvLd e ( no d " p r i m) {return p rim ==NULL i l

2,6.3 .1. lnitializarea listei Prin acest algo ritm se c reeaza lista v ida . in acest caz, atat nodul pr im cat ~ i nodul ultim nu exista, ~ i Ii se atribuie adresa NULL. Imp lementarea algo rit mului. Se foloseste functia procedurala i n i t () ai carei parametri prim ~i ul tim de tip nod se transmit prin referinta. deoarece sunt pararnetri de iesire. v oi d i n i t (nod * &p r i m, n od *&u l t i m) {p r i m = ul t im=NULL i l

2,6.3.2 . Crearea listei Deoarece in alqoritrnii de prelucrare trebuie sa se cunoasca adresa prirnului nod, este importanta adauqarea prim ului nod la lista vida. Pasii alg oritmului de crcare a unei liste sunt: PAS1 . Se adauqa primul nod la lista (nodul pri m). PAS2 . Cat t imp mai exista informatie, exec uta : se adauqa un nod la lista.

2.6.3.3. Adauqaraa primului nod la lista in Iista cu un singu r nod , adres a de legatu ra a nodului pri m are valoarea NUL L - ~ i atat nodul pr im cat si nodul ultim au aceeasi adresa. Pasii executati i n aces t algoritm sunt: PAS1 . Se cere alocarea de memorie pentru nodul p r im. PAS2 . Se scrie inforrnatia in nodu l pr i m. PAS3 . Adresei de leqatura a nodului pr im i se atribuie valoarea NUL L. PAS4 . Nodului ul tim i se atribuie adresa nodului p r im. Implementarea algoritmulu i. Se foloseste Iunctia procedurala adauga_nod O ai carei parametri prim ~i ul t i m de tip nod se transmit prin referinta, deoarece sunt parametri de iesire. vo id ad a u g _n o d ( nod * &p r i m, no d *&u l t i m) {p r i m = new nod i p r i m- >info= x i pr im- >urm= NULL i ulti m=p rim ; }

Informatica

119

2.6.3.4. Adauqarea unui nod la lista Pentru adauqa rea unui nod p la lista , in functie de cerinte le problemei, S8 poate folosi unul dintre algoritm ii urrnatori : 1. ad auqaraa in fata pr imul ui nod ; 2. adauqarea dupa ultim ul nod ; 3. ad auqaroa l nt r-o po ziti e in in ter ioru l li stei.

Adauqare in tala primului nod Pasii executati in acest algoritm sunt: PAS1 . Se cere aloearea de memorie pentru nodul p. PAS2 . Se serie inforrnatia in nodu! p. PAS3 . Nodul p se leaqa de nodul prim. PAS4. Nodul p inserat devine nodul prim. Adauqare in fata pri mului nod

I

prim

1

ultlrn

~

inf o p

ij

info

@rnJ

G;3--+ info

~

] NULL ~

p devine nodul prim

Implementarea algor itm ului . Se foloseste functia procedurala adaugayrimO al carei parametru prim de tip nod S8 transmite prin reterinta, deoarece este parametru de intrare-iesre. void ada u ga...J'Jritn(n o d *&p r i m)

{no d * p ~ n e w no d ; p -> i nf o=x ; p -> urm=p r im ; pr i m~p;} Adauqare dupa ultimul nod Pasii executati in acest algoritrn sunt: PAS1. Se cere aloearea de memorie pentru nodul p. PAS2 < Se serie intorrnatia in nodul p. PAS3 . Nodul peste nod terminal (nu se leaga de nimie - adresa de legatura este NULL) . PAS4 . Nodul ul tim se leaqa de nodul p adaupat. PASS. Nodul p adaugat devine nodul ul tim. Adauqarea dupa ultimul nod

I

p rim

ultim info

urm ~ .......................................... ,

p devine nodul ultim

p ..

~

inf o

~

Im plemen ta rea algoritm ulu i. Se foloseste functia procedurala adauga_ultim() al carei parametru ul tim de tip nod se transmite prin referinta, deoarece este parametru de intrare- iesre. void a d a u ga...;..ult im( nod *&u l t i rn } {nod *p= ne w nod i p->info=x ; p~ >urm=NULL ;u lt im-> urm=p ; u l tim=p ; }

120

Im plemcnta rea struct u r ilur d e dat e

Adauga re a i n interiorul li st ci S8 poate face in doua modur i: a. dup a nodul cu adresa q ; b. in ainte de nodu l cu adresa q. Ad au g area i n i nterio ru l listei du pa nodul c u adrcsa q

Pasii aiqoritrnu lul sunt: PAS1. Se cere alocarea de me morie pentru nodul p . PAS2 . Se sene inforrnat ia in nodu l p . PAS3 . Nodul p se leaqa de succesorul nodului q . PAS 4. Nodu l q se leaqa de nodu l p adauqat. PASS. Daca nod ul q a fast ultimul nod , nodul p ad a uqat devine nodul ul tim. Adauqare dupii nodul q prim

I,I!

·, nl o

q->urm

I urm ,~ fIL' ~~·n~'~_l~~j Jl···.. In . I 0 I u rm J ur · . ~~ "':".f~' j, ••••

q p

ultim

I NULL,I

I""I' - ·' nI o-,..-----,

L~j. m iinfo lm"t¢r¢j:".J

Implemcntarca algoritmului. Se foloseste functia procedurala ada uga_ dupa () ai carei parametri sunt de tip nod : q (adresa nodului dupa care se face adauqarea), care se transmite prin valoare , deoarece este parametru de intrare, !iii ul tim (adresa ultirnului nod), care S8 transmits prin referinta, deoare ce este parametru de intrare-iesire.

void adauga. du pa( n od *q , { n o d " p v new nod ; p-csi.n f o e x :

r:.od

p -c-u rme q -c-u r m:

*& ul t i m)

q-c- u rur-p ,

i f

(q·== ul tim ) u l.f Ltr r-p r )

Adaugarca in inte riorul Iistei inainte de nodul de adresa q Pentru a adauqa nodu l p l nainte a nodului q , trebuie sa leqarn predecesorul nodului q de nodu! p . Dar, predecesorul unui nod nu este cunoscut. Adauqarea unui nod in lista inseamna, de fapt , inserarea i n lista a informatiei pe care 0 contine , i ntre alte doua informatii, !?i anume : informatia din predecesorul nodului q trebuie sa fie anterioara ei, iar informatia din Adaugare inaintca nodului q

(1) prim

q

I'_ _v 1_--'-_u_rm_ + +_ p

II

q- xurm

I NULLII

.v,,2.......,--,-_u_rm_ff_v_3_ ..lI_u_r_mf f = =V=4== = = = = =

•..

v2

ultim

I urm

f

(2)

p rim

I NULUI

121

In furmatica

nodul q trebu ie sa a urmeze. Ast fel, in lista nu se va adau qa nodul p i nainte de nodul q, ci dupa el, interschirnban d apoi informatiile lnt re cele doua nod uri. Pasii algoritmului sunt: PAS1 . Se cer e alocarea de memorie pent ru nodul p . PAS2 . Se cop iaza info rm alia din nodul q in nodul p . PAS3. Se sene In nod ul q inforrnatia care trebuie adauqata la 115t3. PAS4. Nodul p se leaqa de succesor ul nodu lui q . PASS . Nod ul q se leaqa de nod ul p adauqat. PAS6 . Daca nodul q a fast ultimul nod , nodu l p adauq at devine nodul u l t i m. Implementarca algoritmului. Se foloseste functia procedurala a d a u g a _ in_ f a t a () ai carei parametri sunt de tip nod: q (adresa nodului inaintea caruia S8 face adauqarea), care S8 transmite prin valoare, deoarece este parame tru de intrare, :;;i u l ti m (adresa ultimului nod) , care S8 transrnite prin referinta, deoarece este parametru de intrare-iesire. vo id oda u ga i n fa t a( n od *q, n od *&u l t i m) {nod * p~ new n o d; p ->infc~q -~info ; q- >inf o =x ; p - > urm~q -> u rm ; q- >u rm=p ; if ( q o:·~"'u l t i m ) uLt.Lmvp r }

2.6.3 .5. Parcurgerea listei Prin acest algoritm se viziteaza fiecare nod al listei , pornind de la primu l nod , pana la ultirnu l nod , in ordinea de lnlantuire a nodurilor - furn izata de adresa urm din nodu l vizitat. l.is ta se parcurge pentru a prelucra informatia stoca ta In noduri . Implementarea alg or itm ului. Se foloseste functia procedurala parcurge () al carei parametru prim de tip nod se transmite prin va!oare, deoarece este parametru de intrare. v oid p e rc u qe (noel " p rim ) {for (nod e p vp r i.m : p ! ""-NU L L ; ;'Y"' f) '- > lJ t:""m ) I/~e

p r e l u c r c ca za p->info;}

Atat vectorul , cat si lista sunt structuri liniare , iar algoritmii de parcurgere sunt asernanatori: Vc cto ru l Lis t a i de tip int pentru indlcele elementului P de tip pointer catre tipu l nod a! listei pent ru adr esa eleme ntul ui cu rent din usta curent din vector I uent ru oarcurocre p-prim - adresa primului nod din lista i=O- indicele prirnului element din lnitializarea vector ~c~!ia bi l~ p-p->u rm - pointeru lui i se atr ibuie i-i+1 _ se incrementeaza indcele Trecerea la eleadresa nodului urrnator m entu l urrnato r i- n - indicele i are prima valoare mar p NULL - adresa rnemorata in pointeru l Conditia de mare decat cea a ultirnului element p este cons tanta NULL tenninare Varia bila tolosfta

2.6.3.6. Cautarea unui nod in lista intr-o lista se poate cauta: 1. Nodu l care indeplineste 0 anurnita conditie , pe care 0 notarn cu co n ditie si care este exprimata pri ntr-o expresie lc qica ce contine eel putin un camp cu informatie din nod ; valoarea cond itiei este dependenta de intorrnatia stocata In ned . Alg oritmul este: se parcurge lista lncepand de la primul nod, in ordinea de lnlantuire a nodurilor, pana se gasel?te nodul care lndepl ineste conditia sau pana s-a ajuns la sfarsitullistei . 2. No du l care se gase~te intr-o anum ita pozit ie in tist a pe care 0 notarn cu poz. Algoritrnul este : se parcurge lista i ncepand de la primul nod, fn ordinea de inantuire a nodurilor, pima cand s-au parcurs po z noduri sau pana s-a ajuns la sfarsitull listei Implementarea algoritrnu lui . Se foloseste a tunctie operand cu tipul pointer catre tipul nod. In ambele variante:

122

Im pleme n ta r ea str uc t urilor de date

~ i S8 transmite prin valoare, deoarece este parametru de intrare ; -7 variabila lccala p de tip pointer catre nod se foloseste pentru parcurgerea listei - este initializata cu adresa prirnului nod ; -7 adresa nodului gasit S8 rnernore aza In po inte rul p care va fi ret urnata de functie .

-7 parametrul functiei este prim de tip nod

Varianta 1 nod *c a u t (n o d *p r i m) {for (nod * p~p r i m; p !=NULL && !c ond i t i e; p=p ->urm) ; return P i } Varianta 2 - Va riabi la lccala nr de tip int se foloseste pentru a nurnara pozit iile parcu rse - este inltializata cu valoarea 1. no d " c e u t t n od *p r i m, int p a z)

{n o d *p =p r i m; i n t n r= l; for ( ; p ! =NULL && n r
p=p ~ > u rm ,nr + +) ;

r etu rn p i }

2.6.3.7. Eliminarea unui nod din lista Dupa eliminarea nodu lui din pozit ia p din lista S8 va elibera zona de memorie ocupa ta de nod. Elim inarea unui nod S8 face numai daca lista nu este vida . Pentru eliminarea unu i nod din lista , In functie de situatie, se poate folosi unul dintre algori tmii urm ato ri: 1. e li m ina re a p rim u lui nod ; 2 . e li m ina rea ultimu lui no d ; 3. e lim ina re a unui no d d i n interi orulli stei. Eliminarea primului nod

Pas ii executati In acest algoritm sunt: PAS1 . Se salveaza adresa nodului prim In pointerul q. PAS2 . Succesorul nodulu i prim devi ne nodul prim. PAS3. Se cere eliberarea lonei de memorie de la adresa memorata In po interul q . Eliminarea primului nod p rim ·····...

u ltim

~ i:~?~ >f..~.~. ~ ~ info ~-i-n-fo ..,~ .'

".

succesorul nodului prim devine nod ul pri m

Implementa rea algoritm ului . Se foloseste functia proced urala e liminayrim O al carei para metru p rim de tip nod se transmi te prin referinta. deoarece este parametru de intrare-iesire. v oid e l imina_prim(nod * &p ri m) {no d q =pr im ; p rim"'p r i m->urm ; delete q ; } Eliminarea ultimului nod

Pasii executati In aces t algo ritm sunt: PAS1 . Se salv eaza ad resa nodului ulti m in pointerul q. PAS2. Se cau ta predeceso rul ultimu lui nod , prin parcurgerea liste i in ce pand de la primul nod , pim a la pred ec esarul nod ului te rm inal (nodul care nu se leaqa de nimic adres a de leqatura are valoarea NULL) PAS3. Predeces orul nodulu i ult im devine nod termin al (adresa de legatura este NULL). PAS4 . Predecesorul nodul ui ultim devine nodul ultim . PASS . Se cere el ibe rarea zo nei de memorie de la ad resa rnernorata I n po interul q .

123

Informatica Elim in area u lt im u lui nod p rim

--

.....

Im plemenlarea algoritmului . Se foloseste functia procedurala elimina_ultimO al carei parametru ul tim de tip nod S8 transmite prin referinta, deoarece este parametr u de intrare-iesire , v o id elim ina_ultim(nod · p r i m, n o d * &u l t i m) {nod *p ,* q =u l t i m; fo r (p=p r i m; p ->urm- >u r m l =NULL ; p=p ->u rm) ; p- >u r m=NULL ; ultim =p ; de le t e q i } Eliminarea unui nod d in inte rio r u l l istei

Pentru a elimina nodu l p aflat in interiorul listei, trebu ie sa leqa rn predecesorul nodului p de succesorul lui. Dar, predecesorul unui nod nu este cunoscu t. Elimin area unui nod din lista l nseam na de rapt elim inarea din lista a inforrnatiei pe care 0 con tine. Astfel, din lista nu S8 va elim ina nodul p , ci succesorul Sc3 U (care este cunoscut), dup a ce lnforrnatia din el a fast copiata in nodul p, Pasii executati in aces t algoritm sunt PAS1 . Se salveaza adre sa succesorul ui nodu lui p in pointe rul q . PAS2. Se cop iaza i n nodu l p toata informatia din succesorul lui (lnforrnatia propriu -zisa ~i inforrnatia de legatura). PAS3 . Se cere eliberarea zone i de memorie de la adresa memorata in poinl erul q. PAS4. Daca suc ceso ru! nodului p era nodul ultim , atunc i nodu l p devine nodu l ultim . Im plementarea algoritmului. Se foloseste functia procedura la el imina () ai carei parametri sunt de tip no d : p (adresa nodului care se elirnlna), care se transmite prin valoare, deoarece este param etru de intrare, ~ i ul ti m, care se transmite prin referinta , deoare ce este parametru de intrare-iesire. v o i d elimina(nod *p, n o d * &u l t i m) lnod *q =p - >u r m; p - > i ~ f o= p -> u r m - > i n fo ; p ->urm =p-> u r m ->u~m ; dele te q i i f ( p - > u r m= ~ NULL ) ultim=p ; }

2.6.3.8. El iberarea spatiului de memorie ocupat de llsta Oaca in cadrul unei aplicatii care prelucreaza mai multe liste, nu mai este necesara una dintre ele, se va elibera int regul spatiu ocupat de lista. Prin acest algor itm se viziteaza fiecare nod allistei , pomi nd de la prim ul nod, pima la ultimul nod, i n ordinea de lnl antui re a nodurilor _ furnizata de ad resa urm din nod ul vizitat, si se elibereaza zona de memorie ocupata de fiecare nod. Pas li executati i n acest algoritm sun t: PAS1 , Se initializeaza pointeru! p cu adresa primului nod din hsta - prim (p <-prim). PAS2. Cat l imp nu s-a parcurs toata lista (p ONULL) executa : i PAS3. Se salveaza adresa nodu lui p i n pointe rul q . PAS4. Se trece la succesoru! nodu lui p (p <- p ->urm). j PASS . Se cere eliberarea zonei de memorie de la adresa rnernorata i n pointerul q. Se revine la Pasul 2. PAS6 . Primu l nod nu ma i are adresa alocata (p r i m <- NULL ).

i

i

124

Implementa r ea strnclu ri lo r de date

Imp lcrnenla rea algoritm ul ui. Se foloseste functia procedurala eliberareO al carei parametru este prim de tip nod. Fiind parametru de intrare-iesi re 58 transmite prin referinta void el ibe ra r e( r.od * &p r i m) {n o d *p =p r i m, *q ; while (p ! =NULL) pr im=NUL L ; }

{q -:-o p;

p =p ->unn ; delete q ; }

2.6.3.9. Lisle ordonale in functie de cerintele aplicajiei listele gene rale pot fi c1asificate astfel:

I

I

Liste gen erale

+

Ordonate

Nodu rile listei sunt ordonate pe baza valor ii unui camp cu informatie numit camp c heie. Operatiile de adaupare de noi noduri si de mod ificare a valorii campului c hele trebuie sa S8 taca astfel tncat sa S8 pastreze ordonarea.

J. Ncordonate Nu exista a ordine a nodurilor in Hsta. Operatiile de adauqare de noi noduri $i de rnodificare a valorii campurilor cu infermati! S8 fae fara restrictii, Adauqa rea S8 face de obicei pe la 0 extremi tate a listei ,

i n cazul listelor ordonate , daca mtorrnatia din nodul listei este 0 data elementara , chela de ordonare va f data elementara. Oaca intormatia din nodul listei este 0 inregistrare, chela de ordonare va fi unul dintre carnpu rile inreqistrar!i. Pentru prelucrarea listelor ordonate putet i folosi : -7 algoritmul de sortare prin insortie: -7 algoritmul de interclasare a doua Iiste ordonate . Algorilmul de sortare prin insertio Acest algoritm se foloseste pentru l ntretinerea unei liste ordonate. Se porneste de la lista care contine un singur nod (considcrata 0 lista ordonata) si orice adauqare a unui nod la lista se face intr-o pozitie prin care S8 pastreaza ordonarea in hsta. in implementarea algoritmului s-a foJosit a lista pentru care campul cheie este de tip numeric intreg, iar ordonarea este crescatoare cupa valoarea carnpului cheie. Oeoarece in acest algoritm nu este necesara informatia despre adresa ultimului nod, din subprograme au fast eliminate prelucranle care se refera la acesta. Numerele care trebuie memorate in nodurile listei se citesc de la tastatura pana se citeste valoarea a (are sernnificatia ca nu rnai exista lnformatie de adauqat). Vari an t a 1 - Se porneste de la lista care coniine primul nod cu inforrnatie . Pa§ii executati in acest algoritm sunt: PAS1 . Se adauqa primu l nod cu informatie la lista . PAS2 . Cat t im p rnai exista inforrnatie de adauqat exec uta PA S3. Se cauta nodul in aintea caruia trebuie adauqat noul nod . PAS4 . Oaca s-a ajuns la sfars itul tistei, at unc i se adauqa noul nod ca ultimul nod din lista: altfe l, se adauqa noul nod i n tata nodului qasit . Se revine la Pasu! 2. Im plernentarca algoritm ului . #include < i o s t r e a~ . h >

struct n o d {int i nfo ; nod * u r m;}; int n ; void a da u qa __no d (nod *&p r i-m) { p r Lm-c n e w noti , p r i.rrr-c- i n f'o '
125

In fo r illa t icii voi d

a d a \] 9 a _j. n ~f a t a ( n o d *q ) {n od ep vn ew n od ; p-c- u rmv q - c- u rmr P..... >i nfo =q - >i n [ c i q- >i nfo=n ; q -c-u rm ep r I void a d eru q ai u Lt Ern Lr iod *q } {n o d *p= n e w no d ; p,.->in f Q=n; q- > urrn=p; p -> u r m=NULL ; } nod * c au t.a (n od * p c.b n l {n o d * q =p r i m ; while (q - > i n f o urm! ""NULL) q - q - c- u r m. retu r n q ; }

void

Df i s ar~(nb d

*p r i m)

{for ( nod * p =p r i m; void main ()

p ! =NUL L ;

p wp - c-ur ru) cout.ccp - oL n to c c '' " ;}

{n o d *p r i m,* q;

cou t .c-c vn uma r "; cin»n; aci d uga_ncd (prim ) ; / /S e a dau g a primu l nod c o u

t

c

c

vn u m a

r

";

while (n ! =0 )

c

i. ncc-n

/ /C ~lt

:

t i mp ma i. e x t s t

z

.i.nEo rm e t. Le d e a cle u qe t;

( q =c a u t a (p r i m); I/S~ caut ~

no d u l q in a i nt e a c~ rui a trebu j.e adb ug at n odu l p /I Dac5 s - .« a j un s I a a f a rs i.t.u .I Ld s t. o i. 2 d a uga:.;..ult irn( q) ; I lnodul p s e a de.uqf ce ul tirn n od else adau ga in ra ta (q) ; I in odul p se aciau q a i n f a t.a rrcciu.Lu L q if

(q-c i n I'o -cn)

cou t.c -cv n uma r- "; c i n » n ; } a f is a r e f p r im Lr } li Se afi o;> cClzJ.in f o n na ;': i i l e din l i E;ta

Varianta 2 - Se porneste de la lista care contine un nod santine la (un nod care ma rcheaza sfarsitul liste i). Acest nod con tine ln ca rnpul cheie 0 inforrnatie care are 0 valoare care face ca el sa fie intotdeauna ultimul nod din lista (de exemplu , In cazu l unei liste ordonate crescator, I n care ca rnpul folosit pen tru ordonare este de tip i nt, se ada uqa un nod care are In acest camp cea mai mare valoare pen tru tipul int - MAXI NT). Cand se va afisa lnfo rrnat.a d in lista. ultimul nod din lista nu S 8 mai af iseaza. Pasii executati in acest algoritm sunt: PAS1 . Se adauqa nodul santinela la lista. PAS2 . Ca l limp exista info rrnatie de adauqat ex ecut a PAS3 . Dac a infcrmatia care se ada uqa tre buie sa fie la i nceputul listei, atu nc i se adauqa noul nod ca prirnu l nod din list a si S8 rev ine la Pasul 2; a ltfe l, S8 trece la pasul urmator. PAS4. Se cauta nod ulTnaintea caruia trebui e adauqat nou l nod. PASS. Se adauqa noul nod in fata nodul ui gas it S8 revine la Pasul 2. tmp lemcnta rca al go ritm ului. #include < i o ::; t r czun . li> #include < v 2 l u e s. h > struc t nod {int info ; n od * u n n; }; int n ; v o i d a d auqa s a n t. Lne La (no a v Sp r Lm) {p r i m=new nod ; pri m-> inro"'-MAX.I NT ; pl~ i m- > u r m =-'- NUL L ; } vo id e da uqe p t i m .t n'od * &p r i m) {n o d * p =new nod ; p -c- Ln I'o cn , p -c-u r m- p r im . p ri.rn e-p i } void adauga~in_ fata (nbd *q ) {n o d * p ~new nod ; p-> lJrm =q-> lJrm ; p->i ll£o= q ->lnfo ; q - > i n £ o = !l; q ->urm =p ; }

126

I m plem cn ta r cu srructu ril or dc datc

nod *c a u t a (flo d * p r j m) { n od *p =p r i m; fo r ( ;p - > info < n i p ~p-> u r m) ; retur n pi } v oid a f is a re (n o d *p r i m) / I Nu se a fi g ea za Intcrma t.La d i n u ltimul nod {f o r (n o d *p = p r i m; p -> u rm ! =NULL ; p=p ->urm) c o u t «p-> :i. n f o « " " ; } v oi d ma in ()

{ nod *p r i m, *q ; ad a uga _s antinela( pr im ) ; / IS e adauga nodul santi nela cou t .c-c vn uma r " ; cin»n ; wh i le (n != O) II Cat timp mai e x ista i n f o r ma tri e d e a d a u ga t {i f (n-cp .r i ru-o Ln f o ) j *Dac a .i nf o rrnat.La tr ebuie sa

fie

10.

incepu tu l li s tei */ a d a u g a_p rim( pr in) ; /I n o du l p seada uga co. p r i m n o d e l s e { q = c a ~ t a ( p r i m J; I/Se c aur a no d u I q Ln a.Ln t e a ca r u i a t r eb u t etac au c c t rro d u.l, a d a ug a ~ i n ~fata

0

(q) ; } / I nodu l p s e ad auga in f a t a n odu lu i q

cout« "numar "; c in»n;} a f i s a.re (p r i m) ; }

Algoritmul de interciasare a doua liste ordonate Acest algoritm fo lo sest e ace lasi princip iu ca ,i aigoritmul de inte rclasare a doi vectori ordonati . Cele do ua liste sunt ordonate dupa ac elasi ca mp cheie ~j crite riu de ordonare ~i S8 obtine 0 a treia lista care contine infcrmatia din primele doua liste ordo nata dupa acelasi criteriu, folosind ace las i camp cheie. Pasii ex ecutati i n acest algo ritm sunt: PAS1 . Se creea za Lista 1 ,i Lista 2 ordonate dupa acelasi criteriu si dupa acelasi camp cheie. PAS2. Se adauqa primul nod la Lista 3 astfe l: daca in co nfo rmitate cu criteriul de ordonare folosit treb uie ad auqata intorrnati a din pri mul nod al Listei 1, at u nci se adauqa inforrnatia din nodul p rim al l.iste i 1 ;;1 In Lista 1 S8 trece la succesorul nodul ui prim , iar in Lista 2 la nodu l p rim ; altfe l , S8 adauqa inforrnatia din nodul pr im al Liste i 2,i i n Lista 2 se trece la succesorul nodulu i p rim , iar i n Lista 1 la nodul pr im . PAS3. Cat timp nu s-a ajuns la starsitul List ei 1 sau al Liste i 2, exec uta : PAS4. Se adauqa la Lista 3 un nod dupa ultimu l nod astfel : d ac a i n conformitate cu criteriul de ordonare folosit trebuie adauqata informatia din nodul curent al Listei 1, atunci S8 ada uqa inforrnatia din acest nod ;;i in Lista 1 S8 trece la succeso rul nodului curent, altfel , se adauqa informatia din nodul curent al Liste i 2 ,i i n Lista 2 se trece la succesa rul nadulu i curent. Se revine la Pasul 3. PASS . Da ca s-a ajuns la sfarsi tul l.istei 1. at unc i la Lista 3 se ad auqa dupa ultimul no d nodurile rarna se in Lista 2; altfe l, la List a 3 se ad aug a dupa ultimul nod nodurile rarnase in List a 1. Imp leme ntarea algoritm ului. i n implementa rea algoritmulu i s-au folosit liste pentru care carnpul cheie este de tip numeric intreg , iar ordonarea este crescatoare dupa valoarea carnpului cheie . Numerele care trebuie memorate i n nodurile listelor se citesc de la tastatura in variabila n pana se citeste valoarea a (are semnificatia ca nu mai exista intorrnatie de adauqat). Din subprogramele i n care nu este necesara informatia despre adresa ultirnului nod au fost eliminate prelucrarile care se retera la acesta. Cele trei liste se ldentifica prin adresa primului nod (p rim! , p r i m2 si respectiv prim3). Deoarece in acest algoritm nu este necesara intormatia despre adresa ultimului nod, din subprograme au fast eliminate prelucrarile care se refera la acesta Pentru parcurgerea celor doua liste se folosesc pointerii q ~i respectiv r , iar pentru lista care se creeaza prin interclasare - pointerul p .

Informa tica

127

#include s t r u c t nod t int in fo ; nod *u r m,'}; i nt n ; vo id a d auga,..:..Dod (nod * &p r i m) { p r i.rne n e w nod ; p r i.m-c-i.n f o e n : p r i.m-c-u r me Ntrl.L r }

v o i d adaug3_in:....-f at a (no d *q ) {nod * p = new hod ; p -> u rm=q ->urm; p ->info=q->info ; q - >info=n ; q - c-urm e-p r } v o i d adauga ultirn (nod * q )

{n od *p =new nod ; p->info~n ; q-> u rm ~p; p ->urm=NULL; } nod *c a u t a {n o d *p r i m) {n od *p =p r i rr.; while {p - > i n f o < n && p ->urm ! =NULL ) p =p - > u r m; r e t urn p i } v oid creare(nod *&p r i m) liSe creeaz a 0 l ista ordonata {nod *q ; oou t .c-cvn u ma .r " ; cin » n ; e da uq a j nod (prim) ; cout«" n u rua r " ; c i n» n ; whi le (n ! =O} {q =c a u t a (prim ) ; i f (q ->irlfourm ; } } v o i d ma i n {) {n o d vp r i. rnL , *pr im 2, *p r i m3, *q , "r , *p ;

crea re(priml ) ; c reare(prim2) ; i f (prim)- >info>9r~m l->in fo) {n = p r i ml - > i n f o ; qe p .r im L - o u r m, r~ pri m2 ; } e lse { n = p r i rn2 - > i n f o ; r =pr im2 ->urm ; q =pr iml; ) adaug a nod (pr i m3 ) ; p=prim3 ; wh i le (q ! = O && r ! = O) {i f (r -> info >q - >i nfo) {n e q-o Ln f o , q e-q - c- u r rrij } else {n= r- >i n f o ; ra r -c- u rm r j :ldau!;Ja~ulti m{p ) ; p vp - c-urm r I if

(ql ~O)

wh i l e e lse wh i l e

(q !=OJ

{n =q - > i n f o; adau qa u Lt irn tp I • p vp -c-u rrn . ,q =q - >u rm ; )

t r ! = 0 ) {ne r -c-Ln fo , a dauga _ult i.:Tl (p ) ; p-p-c-unn. rvr-c-urm . I a£isareip rim3J ; ) / /Se afi$eaza info rma\=. i ile din lista interc lasata

2.6.3.10. Prelucrarea listelor simplu inlantuite Rezolvarea problemelor i n car e orqanizati datele sub forma de liste presupune folosirea algo ritmilor prezentati, astfel: 1. Se creeaza lista prin folosirea urrnatorilor algoritmi : -7 Se adauqa primu l nod la lista vida (algoritm ul pentru ad auqa re a la llsta a primului nod ). 7 Se adauqa cate un nod la lista. Pozitia in care se ada uqa nodul depinde de cerintele problemei. Daca lista nu este ordonata, adauqarea se poa te face la starsitul

128

lmplcmcn tarca structurllor de date sau la inceputul lisle i (algori tm ul pe nt ru ada uqa ro la i nc ep ut ul sau la s ta rs it u' list ei ). Daca lista este ordonata , S8 parcu rge mal in tai lista pentru a gas i pozi tia de ins erare (a ig o ritm u l pentru c auta roa unui nod i n tista) dupa ca re S 8 inse reaza noul nod In po zit ia gas ita (a lgo ritm u l pentru ada uqaro i n i nte r io ru l li stei ).

2.

Sa intretino l ista prin folosirea urrnatorilor algoritmi : -,) Se adauqa noi nod uri la lista . Ca ~i la crearea liste i, i n functie de cerintele probleme i S8 va folosi unul dintre algoritm ii de ada u qare. -,) Se elirnina noduri din lista . Mai inlai se parcurge lista pentru a gas i nodul care se elimina (al goritm ul pentru ca ut arc a un ui nod i n lista ) dup a care S8 elirnina nodul din pozitia gasita folosind unul dintre alg ori tm ii pent ru climi nare - in fu nctie de po zitia in ca re a fast gasit nodul. 7 Se mod ifies inforrnatia dintr-un nod al listei. Mai i ntai S8 parcurg e lista pentru a gasi nodul in care se va mod ifica informatia (aigoritm ul pe ntru cau ta rca unui n od in lista). Oaca lista nu este ordonata sau daca inforrnatia care se rnodifica nu face parte dintr-un camp cheie dintr-o lista ordonata, se rnodifica valoarea carnpulu i respe cl iv. Daca lista este ordonata si, prin modificarea valori i carnpului, se poate distruge aceasta ordonare, se modifica valoarea carnpului, se salveaza inforrnatia din nodul listei l ntr-o variabila intermediara , 58 elirnina din vechea pozitie (algoritm ul pe ntru c li m inarca un ui nod di n Hat e). se parcurge lista pentru a gasi noua pozitie (algo ritm ul pen tr u cautarea unui nod in lista) ~i 58 insereaza nodul in pozitia gasi!a (algoritm ul pentru ada uq arc a un ui nod la lis ta).

3.

Se obtin inforrnatii din Iista Se par curge lista (algo rit m ul de parc urge re a li sl ei) si se vizitea za fieca re nod allistei pentru a extrage din el inforrnatiile necesare.

[Swmu de cmz I Seop: exempl ificarea modului i n care , pentru rezolvarea prob leme i, folositi algo ritmii de prelu cra re a listelor simplu l nlantuite ~ i implementarea lor cu ajutorul subprogramelor. Enunt ul pro bl em c i 1. So citosto dintr-un fi§ier taxt lin sir do numere separate prin spatia cu care se creeazD 0 listfi simplu inlan tllita in ordinea in care sunt citite numoroto din tisior. Sa so vcrifico (facti tiste coutine numoi numere distincte §i opo! sa se tuiouqe dupa fiecam Ill/m ar impar "din lista vetonroe 100 §i sa S8 etiseze numctete din tiste. Penuu testarea prog ramu!ui se vor folosi aou« setuti do numere: (2, 5, 10, 3. 8) §i (2. 5. 10. 5, 8, 7) . Nodur ile listei nu sunt ordonate conform unui criteriu . Nume rele se vor cit: din fisier ~ i 58 vor scrie in lista prin adauqare dupa ultimul nod . Proble ma se desco mpune i n urrnatcare le subproblerne. iar algoritmul de rezolvare a unei subprobl ems este implemental cu ajuto rul unui SUbprogram:

iE1l Se crteste

primul num ar din fisier si se adauqa primul nod la lista (nodul prim ) subprogramul adauga no d () . ~ Cat tim p mai exis ta num ere in fisier exec uta : se cite ste un nurnar din fisier si 5e adauq a un nod cu num arul respe ctiv dupa ultimul nod din lista - subpr ogramul adauga ul t im () . ~ Se ver ifica daca num erele din lista sunt distincte, astfel: se parcu rge lista de la primul nod pana la penultimul nod si se venfica daca nurnarul din nod ul curent mai exista i n . nodu rile care urmcaza dup a el pana la sfarsitul listei - subproqrarnul distin cte () . ~ Se parcurge lista de la primul nod pana la starsitul ei si daca numar ul din nod este impar se adauqa dupa el un nod care contine valoarea 100 - subproqrarnul p rel ucrare ( ) .

129

Info rmatic a

~ Se parcurge lista de la primul nod pana la sfarsitul ei si se afis eaz a inforrnatia din fieca re no d - sub prog ram ul afi s are ( ) . #inc lude < f s t r e am . h > struct n o d t int i nfo ; n o d * u r m;) ;

fs tream f( " Li s r.e l . t xt" , i 0 5 : : in ) ; in t n i void a d a u g a ,.;n o d (nod *&p r i m, nod *&u l t i m)

{p r i m=new nod ; prim ->info=n ; p rim ->urm=NULL ; ul t im=p r i m; } void adauga_ultim(nod *&u l t i m)

{nod

* F ~new

nod ; p->in fb=ri ; p-> u r .m=NULL; u lt i rn->urm= p ; ultim=P i }

v o id ud auga~dupa(nod * &q, nod *&u l t i m) {n o d *p zonew nod ; p ->info =100 ; p ->urm=q ->urm ; q ->urm=p ; if (q==ultim) illtim=p ;} d l s t l ~ c t e ( n o d *p r i m) {f or (n o d *p """p r i m; p->urm!:=.NULL ; p=p ->u rm)

in t

fo r

(nod * q =p - > u r m; q !=NULL ; q =q->urm) if (p ->info==q->info ) retu r n 0 ;

re turn I ; } v o i d prelucrare(nod *p r i m, nod * &u l t i m) {fo r (no d *p =p rim ; p ! o;,o NULL; pe p -c-u r m) if (p ~ >infD %2 = = 1 ) adauga_dupa(p ,ultim) ; } v o i d a f is a.r e (nod " p r.Lm ) { for (nod * p=p r i m; p! =::oNULL ; p ep-c -urm) c cutx-cp - o i n foc c '' ". void ma in () {n od e p r Im , * u l t i m; f > > n adauga nod(prim ,ultim} ; wh i le (f »n ) adaugaultim(ultim) ; f of o s e t j , if i st t t p Lm ccc l sun t ti

cout-ocendf , }

i

{ d

L n c

e

r

l

)

c

.c -c

v z

I

c

m

e

n t

e

e

d

i . s

n c

t e v

c

c

e

n

c n

.

else cou t-cc ve Iement.e Le n u s un t dt s t i n c t e.vccen d f • prel uc~a re (prirr ,u ltim ) ;

afisare(pr im ) ; }

Enuntul problemei 2. Se citeste dintr-un tisier tex t un numet cu maxim 20 de cifre. Sa se verifice daca nurnarul esle palindrom. Pentru testarea programului se var folosi oou«

numere: 1234321

§i

12345.

Se vor crea doua liste: una cu cifrele nurnarului citite din fisier. prin adauqa re dup a uJtimul nod, iar a doua, cu cifrele memora te Tn nodurile primei liste prin adauqare In tata primului nod ;;i S8 vor campara cele doua liste. Din fisier se va citi fiecare cifra a nurnarului intr-o variabila de tip char si se va obtine cifra scazand din codul ASCII al caracterului citit codul ASCII al cifrei O. Cele doua liste se identifies prin adresa primului nod (prim 1 si respec tiv prim2) ~ i prin adresa ultimului nod (ultim1 ~ i respectiv ultim2). Problema se descompune in urrnatoare!e subprobleme , iar algor itmu l de rezolvare a unei subprobleme este implementat cu ajutorul unui subprc qrarn citeste primul nurna r din fisier ~i se adauqa primu l nod la Lista 1 (nodul prim1 ) subprogramul adauga n od ( ) . [E] cat timp mai exista caract ere in fisler, executa: se cites te un caracter din fisier, se converteste In cifra si se adauqa un nod cu citra respectiva dupa ultimul nod din Lista 1 - subp rogramul a d au g a u l t i m () . ~ Se ada uqa primul nod la Usta 2 (nodul pr im2 ) care va contine infor matia din primul nod al Liste i 1 (prim 1) - subpro gram ul adau ga nod()

IE] Se

130

Im(ll em entarea st ru ct u r ilor de date

~ Se parcurge Lista 1 de la succesorul primului nod pana la sfarsitul ei ~i se adauqa un nod cu citra respectiva inaintea primului nod din Lista 2 - subprogramu l adauga prim () .

~ Se parcurg simultan ambe le liste de la primul nod pana la sfar~ it ~i se v erifica daca sunt eg ale cifrele memorate i n nod ul curent din cele doua lisle - subprogramul p alindrom ( ) .

#includ e < f s t r e a m. h > s t r uct n od ti n t in f o ; nod - u r mr l • f s t r e a m f( "1 is ta 2 .t xt " , i o s : :i n ) i int n ; v o id adauga no d {nod * &p r i m, nod * &u l t i m) {p r i ;no:= new nod ; p rim->infoo=C1 ; prim->urm=NULL ; ul tim=prirn. ; } vo i d adaugu_u ltim (nod * & u l ~ i m ) {n o d *p =new nod : p ->info=n ; p ->urm=NULL : ultim ~ > urm=p ; ul t im=p ; } vo i d acta ug a_ prim (nod *&p r i m) { n o d - p v n ew nod ; p- >i n f o=n ; p -c- u rm ep r Lm, p r Lm-p r j i n t pa l i nd r om(nod *p r i ml, nod *p r i m2 ) { nod " p , *q ; f o r (p=priml , q =p rim2 ; p ->urm! =NULL ; p=p-> u rrn, q =q - >u r m) if (p ->in fo !=q->info) r eturn 0 ; r eturn I ; } v o i d ma i n ()

{cha r c ; nod * p r i m l , * u l t i ~ l , * p r i rn 2 ,* u l t i m 2 ,* p ; r » >c • n=c - 'O ' ; adauga nod Lpr Lm l s u Lt i mLj r whil e (f»cl ( n =c - ' O' ; a d a u g a _ u l t i m(u l t i ml ) ; } f . c l o s e ( ) ; n=priml ->info ; adauga _ nod(~rim2 ,ul~im2l ; f o r (p=priml - >u rrn ; p != NULL ; p=p->u r ml {n=p - > i n f o; ada u ga _p rim (pr i m2 ) ; } if (pa l ,indrom (p rim l ,pr im2) ) cOllt«" Es Le pa lindro m" ; el s e co ut« " Nu estc p a lind rorn " ; } Enuntul problemei 3. Se citeste dintr-un fi§ier text un :;ir do numere separate prin spa(iu cu care so creeaz8 0 lista simplu inl8n(uita in ordinea in care suni cilite numerele din Iisler. Se moi cnest« de /0 tastatura un numar x. Sa se caute $i sa se $tearga din list» nodu/ care contine acest nutner. Pentru testarea program II/IIi se va tolosi situt de nllmere: (2, 5. 10, 3, 8). iet pentru x patru vetori: 2. 5, 8 $i 7. Nodurile listei nu sunt ordo nate conform unui criteriu . Numerele se vor citi din fisier ~i se vor scrie i n lista prin adauq are dupa ultimul nod. Problema se descompune i n urrnatoarele subprobleme, iar algoritmii pentru rezolvarea subproblemelor sunt irnplementati cu ajutorul subproqrarnelor:

[i>] Se citeste

valoar ea pentru x de la tastatura. ~ Se citeste prirn ul nurnar din fisier si se adauqa primu l nod la lista (nodul prim ) subprogramul ada u g a nod ( } . ~_ C a t timp rnai exi sta numere i n fisier ex ec uta: se citeste un nurnar din fisier ~i se adauqa un nod cu nurnarul respectiv oupa ultimul nod din lista - subprogramul a d a u g a u l tim () .

~ Dac a prim ul nod din lista contine numarul x , atunci se elirnina primul nod (subprogramul e limi n a _ p r i m ( )) ; altfel , se cauta predeceso rul nodulu i ca re contine nurna rul x (subprogramul cau ta () ) si da ca se g ase~te aces t nod, atunc i se sterqe nodul care urmea za d u p a el (subprog ramul el imin a _ u rm () ).

Informa tic a

131

~ Se parcurge lista de la primul nod pana la sfarsitul ei si se afiseaza inforrnatia din fiecare nod - subprog ramu l a f Ls er-e () . #i n cl u d e struct nod tint info ; n o d - u rm r j •

f s t r e a m f ( " lista3 . t xt " , ios:: in ); i nt n ,x ; void edauqa nod (n od *&p r i m, nod *&u l t i..'u ) {p r i m=new nod ; u l t i m=p r i m; prim->info=n ; p rim->ur.m=NULL ; } v oid adauga_u l tim(nod *&u l t i m)

{nod *p =-new nod ; p ->info =n ; p ->urm=NULL; n od

* cauta {nod

ult~r.l ->urm=p ;

ult.i.m=p ; }

~p )

&& p ->urm->info!=x) p=p->urm; return p ; } v o i d elirnina prim (n od *&p r i rr.} {nod *q =p r i m; prim=prim ->urm ; del ete q ; } void elimina_urm(nod *p ) {nod *q =p - > u r m; p ->urm=p->urm->urm ; delete q ; } vo i d afisare(nod · p r i m) {f o r {nod *p =p r i m; p ! =NULL ; p =p - > u r ml cout« p - > i n f o«" ": cout«endl;} void mai n ( ) {n o d e p r i m, "u l c i m, "'p ; cou t.c-c" x e " ; cin» x; f »o ; adauga~nod (prim , u ltim) ; while (f»n) Ddauga_ul~im(ultirn) ; f . c l o s e ( ) ; if (prim-> info==x) elimina prim(prim) ; e lse {p =c a u t a (p r i m) ; if (p - >u r m! =NULL ) elimina_urm (p ) ; } afisa=e(prim ); } { w h i l e ( p - > u~m ! =NULL

Enuntul problemei 4. Se citeste dintr-un tisier text un ~ir de numere separate prin spatiu cu cam se creeaza 0 Iista simplu inlantuila in ordinea in care sunt cilite numerele din tisier. Sa se eiimine din tist» vetotite care se reoete, in afara de prima lor aparitie. Pentru leslarea programului se va tolosi §irul de numere: (2, 4, 9, 9. 9, 6, 2, 9, 9) . Nodurile listei nu sunt ordonate conform unui criteriu. Numere le se vor cifi din fisier ~ i se vor scrie in lista prin adauqa re dupa ultirnul nod. Problema se descompun e in urrnatoarele subprobleme, iar algoritmii pentru rezolvarea subproblemelor sunt irnplernentat i cu ajutorul subprogramelor:

:E1I

Se citeste primul nurnar din fisier si se adauqa primul nod la lista (nod ul prim ) subprogramul adauga nod ( ) . ~ Cat timp mai exista nume re in fisier executa : se citeste un nurnar din fisier ~i se adauqa un nod cu nurnarul respectiv dupa ultimul nod din lista - subprog ramul adauga ul ti m () .

~ 5 e elimina din lista valorile care se repeta, astfel (subprogra mul prel ucrare () ): Pentru un pointer p care indica fiecare nod din lista , in cepand cu primul nod pfma la p.enultimu l nod , exe cuta : -7 Se initializeaza pointerui q cu adresa nodul cure nt (indicat de pointerul p). -7 Cat timp pointerui q nu indica ultimu l nod, executa: daca nodul indicat de pointeru l p contine acelasi nurnar cu succeso rul nodului indicat de pointerul q ,

132

lmplcrn enrarea st r uc t ur ilo r d c date

atunci S8 elimina succesorul nodului q (- subpro gramu l e Li.m.i .na u rm n ): allfel, pointerul q indica succesorul nodulu i. ~ Se parcurg e Iista de la primul nod pana la sfarsitul ei ~ i se afiseaza inform alia din fiecare nod (subprogramu l afisare ( ) ). #incl u de struct n o d lin t in f o; :

!

nod

f s t r e am

* u rm ; } ;

f { " lis~a 4 .t x t " , i o s : : i n ) ;

int n ;

voi d adau g a n od (nod *&p r irn , nod * &u l t i m) {p r Lm- n e w nod ; pr Lm-c-Ln fo e x , prirn->unn=NULL i ultim=prim ; } v oid a dauga _ult im{nod * &u l t i m}

{nod *p =n ew nod ; p- >info=x ; p->urm=NULL ; u lt im->urrn=p ; u ltirn=p ; } v o i d e limina _ urm (n o d *p } { n o d * q=p - > u r m; p-> u r :n=p-> urm ->urm ;

delete q; }

void p~el u crare (no d *p r i m) {::o d *p ,* q ; fo r ( p =p rim ; p - >u rm!~ NULL ; p=p - > u rm)

{n=p->i n f o; q =P i whi l e

{i f

(q! =NULL)

(q-> urm!=NULL && q ->t: rm-> info="'-'n) elimi na_urm(q) ;

e l s e q =q ->urm; } } } void a fisare{ncd * p r i rn) {f o r (nod

u Ym) cou t ccp - c- Ln f o -cc" "; cou t« e ndl;} void ma i n {} { ~ o d *p r i m, * u l t i m; f» n; ad aug a_nod( p r i m,ultiml ; while (f » :1) a dauqa_u l t i rn (u l t i m); L c l o s e (} ; p re I ucr a re (p r i m) ; afisa r e (p r im) ; }

En untu l prob lemei 5. Adunarea a dOlla potinooma. Se citesc oimr-ut: Iisier text de pe prima linie un numar n1, care teprezinte numiuut oe coeiicienti nenuli oi utiui palinom, apai do pe urmatoarele 111 linii coeticientii nenuli §i gradlll, de pe tinie urmatoare un numar n2 care repte ziate numetut do coeticienti nenuli ai cetui de al doi/ea palinom §i apai de pe utmetoetele lmii coeticientii nenuli §i gradul. Sa se creeze cu acesto intormetit ooue listo simplu inlernuite §i sa se adune cele doue palinoame. Coeticiontut §i gradul tiecetui termen din polinomul suma se vor salva intr-un tisier. Pentru testarea programului se vot folosi 4 2 3 potinoernete -lOx +5x -3x ~j 3x +7/+x +2. Se vor crea coua liste in care se vor memora cele doua polinoame. lnformatia utila va fi mernorata intr-o inregistrare cu doua carnpuri: un camp pentru coeficient si un camp pentru grad. Ambele liste se creeaza prin citirea datelor din fisier ~i adauqare dupa ultimul nod. in a treia lista se va memora palinomul obtinut prin adunarea celor doua polinoame . Cele trei liste se identifica prin adresa primului nod (prim1, prim2 ~i respectiv pri m3) si prin adresa ultirnului nod (ull im 1, ul li m2 ~i respectiv ull im3). Problema de creare a listei surna a polinoamelor se descompune in urrnatoarele subprobleme, iar algoritm ii pentru rezolvarea subproblemelor sunt impiernent ati cu ajutorul subprogramelor: n 1 si coeficientul ~ i gradul primului term en din primul polinom. Se adauqa primul nod la lista L1 (nodul prim1 ) - subprogram ul a da uga nod () . Pentru urrnatoare le n1-1 perechi de numere din fisier , executa : S8 citesc din fisier coeficientul ~i gradul unui termen al primului polinom si se adauqa un nod cu inforrnatia respect ive dupa ultimul nod din lista L 1 - subprogramul adauga_ ul tim () .

IE] Se citesc din fisler E?]

133

Inform at icii

~ Se citesc din fisier n2 ~i coeficientu l si gradul primului termen din al doilea polinom.

Se adauqa primul nod la lista L2 (nodul prim2) - subprogramul adau ga nod ( ) . ~ Pentru urrnatoarele n2-1 perec hi de numere din fisier, exec uta : S8 dtesc din fisier coef icientul ~ i gradul unui termen al celui de al doilea polinam ~ i se adauqa un nod cu informatia respective dupa ultirnul nod din lista L2 - subprogramul adaug a _ u l tim ( ) . ~ Se adauqa primul nod (prim 3) la lista L3 cu urrnatoarea inforrnatie: daca gradul din primul nod din lista L1 este egal cu gradul prirnului nod din lista L2, at unci gradul este egal cu gradul nodulu i din Lista 1, iar coeficientul este egal cu suma coeficientil or din nodurile celor doua liste ~ i in ambele liste se trece la nodul urrnator : allfel , daca gradul din primul nod din lista L1 este mai mare decat gradul primului nod din lista L2, atu nc i gradul este egal cu gradul nodului din Lista 1, iar coeficientul este egal cu coeficientul nodului din Lista 1 ~i in Lista 1 se trece la urrnatorul nod; altfe l, gradul este egal cu gradul nodul ui din Lista 2, iar coeficientul este egal cu coeficientul nodului din Lista 2 ~i in Lista 2 S8 trece la urmatorul nod - subprogramul adauga n od () . ~ Cat tim p nu s-a ajuns la sfarsitul Listei 1 si al Listei 2, exec ut a: se adauqa un nod la lista L3 dupa ult imul nod, cu urrnatoarea inforrnatie : daca gradul din nodul cure nt din lista L1 este egal cu gradul nodului curent din lista L2, at unci gradul este egal cu gradul nodulu i din U sta 1, iar coeficientul este egal eu suma ccefi cientilor din noduril e celor doua liste ~i in ambele liste se trece la nodul urrnator : allfel, daca gradul din nodul curent din lista L1 este mai mare decat gradul din nodul curen t din lista L2, at unci gradul este egal cu gradul nodului din Lista 1, iar coeficientul este egaI cu coeficientul nodului din Lista 1 >;i in Lista 1 se trece la urrnatorul nod; allfel, gradul este egal cu gradul nodului din Lista 2, iar coeficientul este egal cu coeficientul nodului din Lista 2 ~i in Lista 2 S8 trece la urmatorul nod - subprogramul adaug a _ u l tim () . #i nclude < f s t r e a m . r.> f stream f1 ( " l ista5 . t xt " , ios: : in ) , f2 t vp o Lj nom. r x t ", ios : : o u t } ; struct n od lint e ,g ; nod e u r rrr j , int e ,g ,:1 ; voi d a d a ug a nod { no d *&p r i.."TI, n o d *& u l t i m) { p r : ~=new ~od ;

v oid

ultiffi~pr:n ;

adaug2 _ul~im {ncd

prim ->u=m~ NULL ;

pr i ~- > c = c ;

prim- >g=g ; }

*& u l t i ~ )

{ ~ od *p =n e w n od ; p- >u r m=NULL; ultL~ ->urm=p ; u ltin~? ; p - >c =c ; P ->9=9 ; } void c r ea r e (nod *&p d .:n, nod *&u l t i ml {f l » c » g; a da uga _ n o d lp r i m,ultim ) ; f or ( i n t i '-".2 ; t c-n , i -'- t ) { £ l » c» gi a dzru q a ul t i m {u l t i rn) ; } } void a d u n a r e (noel - p r irn I. nod *p r i m2 , n o d * &pr im3 , I1 C'Jd * &u 1 t irr,3 .1 { no d *p = p r i ml , *q =p r i r:12; if lp - >g ==q - >g) {g =p - >g ; c =p- >c +q - >c ; p =p->u r m; q=q -> u r m; } else i f (p ->g>q- >g) {g =p - >g ; c=p ->c ; p=p - >ur m; } else {g =q- >g; c = q - >c ; q=q ->urm ; } adauga no d( prim3 ,u ltim3 ) ; while (q l =NULL && p != NULL ) { i f ( p - > ~ = = q - > g) { g ~ p - > g ; c=p ->c+q ->c ; p =p ->Jrrn ; q=q ->u r~ ; } else if (p - > g > q - > g) { g =p- > g; cep ->c • p =p - >u r rn; } e lse { g ~ q - > g; c=q ->c ; q=q -> urm ; } adau qa u l t i m (u l t i m3 ) ; }

if

{p ! ~ NUL L )

whi le (p ! =NULL ) else

( g =p - >g; c=p->c ; ad aug a ulti m (u l t i m3 ) ; }

Implcmentarea structurilor de date

134

while (q !=NULL) ( g=q- > g; c v q -c-c r edeuqe \J1tim(ultim3) ; } ) void afisare{nod *p r i ml (for (nod *p =p r i m; p !=NULL; p =p - >u r rn) c ou t « p - >c« " "« p - >g«endl; cou t« e n d l; ) voi d salvare(nod *p r i m) {f or (no d *p =p r i f:l ; p ! =NULL; p =p - >u rm ) f2 «p->C« " "« p - >g«endl;} v oid main () ( n o c *p r i ml ,* u l t i rnl ,* p r i m2 ,* u l t i m2 ,* p r i m3 ,* u l t i m3 ; int l"11 ,n2 ; f l oc-n L: n=n l; creare {priml ,ultiml ) ; afisare (prim l) ; fl »~2 ; n=n2 ; creare (prim2 ,ultim2) ; af i s ar e {prim2 ) ; a dunare (priml ,prim2 ,prim3 ,ult im3 ) ; afisare lprim3 ) ; salvare {prim3 ) ; ~l . c l o se ( l ; f 2 .c l o s e() ; }

Enuntul problem ei 6. Reuniunea !ji intersectie a doua muttimt. Se citesc dintr-un fi~ier text do pe prima linie un numar n1, care reprezintfJ numeru! de elemente ale ptimei tnuttimi. apoi de pe urmatoa rea tinie elementele muuimit, de pe linia urmetoere un numer n2 numerut de elemente ale celei de a doua muttim), epoi de pe urmatoa rea tinie elemen tele muttnni'. Sa se determine reuniunea §i intetsectie celor doua multimi. Pentru testarea programului se vor folosi doua seturi de date de introte: mu/rimile A ={1,2,3,4,5} §i B={4,5,6,7} §i multitnite A ={1,2,3} §i B={4,5}.

Se vor crea doua liste in care se vor memora cele doua rnultirni. Ambele liste se creeaza prin citirea datelor din fisier ~i adauqare dupa ultimul nod. in a treia lista se va memora reuniunea celor doua multirni, iar in a patra lista - intersectia. Cele patru liste se identifica prin adresa primului nod (prim1, prim 2, prim3 "i respectiv prim4 ) "i prin adresa ultimului nod (ultim1, ull im 2, ullim3 " i respectiv ultim4). Pentru determinarea reuniunii se vor executa urmatorii pasi: Pas 1. Se adauqa primul nod la Lista 3 (nodul prim 3) care contine numarul din primu l nod al Listei 1 (p ri m 1). Pas2 . Se parcurge Lista 1 de la succesorul primului nod pana la sfars itul ei " i se adauqa un nod cu num arul respectiv dupa ultimul nod din Lista 3. Pas3 . Pentru liecare nod din Lista 2, exec uta : se parcurg e Lista 1 si daca nurnarul din nodul curent din t.ista 2 nu S8 gas8iite in Usta 1, atunei se adauqa un nod cu nurnarul respectiv dupa ultimul nod din Lista 3. Pentru determinarea int ersecti ei se vor executa urrnatorii pasi: Pas1 . Se initializeaz a Lista 4 ca lista vida (prim 4=NULL si ult im 4=NULL ). Pas2 . Pentru fiecar e nod din t.ista 1, executa : se parcurge Lista 2 si daca nurnarul din nodul curen t din Lista 2 se gase" te in Lisla 1, at unci se adauqa un nod cu numarul respectiv ca prim nod in Lista 4 (nodul prim4 ). Pas3 . Daca s-a adauqat primul nod la Lisla 4, atu nci pentru un nod din Lista 1 de la succesorul nodului curent pana la ultimul nod , executa : se parcu rge t.ista 2 ~i dac a numarul din nodul curent din Lisl a 1 se gase"te i n Lista 2, at unci se adauqa in Lista 4, un nod cu nurnarul respectiv, dupa ultimul nod . #include < : s t r e a ~ . h >

struct nod t i nt i n :o ; nod - u rn. r } ,

fstream f( "lista 6 .: ~ : t " , i o s : : i n) i nt x ; voi d adau ga_ nod( nod * & p r i ~ , n o d

; * & ~ l t im )

III fnrill a ticii

135

{p r i rnvn e w n od i pri rn -c- Ln f oe x r pr irn - >u r m=NULL ; u LtImep r i.mr I void a d a u g a_ultim( nod *&u l t i m) {no d - pe new nod ; p- c- Ln f c -cx, p ->unn=NUL L ; u l t i m- >u r m=p ; u l t i m=p ; } voi d c r e a r e {no d * &p r i m, n o d * &u l t i m)

l i n t n ; f »n»x ; ada uga_flod (p rim, ultim) ; fo r (i n t i =2 ; i <=rl ; i +i ' ) {f» x; a dauga_ulti rn( u l t im) ; } } v oid r eun i u n e (n o d *p r i ml , nod *p r i m2 ,

~o d

* &p r i m3 , no d * &u l t i m3 )

{no d *p ,* q ; int g a 5 it ; xep r i.mL'- o i.n f o r adauga ~.nod (p r im.J , ul tim3) ; f o r (p =prim l ->unn ip !=NULL i p-p->urm) l x=p->info i a dauga u ltim{ul tim3) ; } f o r (p = p r i m2 ; p ~ ~ NULL ;p = p ~ >u r~) (for (q =p r i ml, g a s i t =O; q !=NULL && !gas ~t ; q=q- > u r ~ ) i f ( p - > i n f o = = q - > i ~ f o ) ga3it=l ; if ( ! g a s i t i { x e p -c-Ln f o , adauga_ult.i:ntultim3) ; } } } voi d .i n t e r s cc t Le Lnod e p r i.rnL, nod * p r i m2 , nod * &p r i m4 , nod * &L:. l t i m4 } ( n o d *p ,* q ; int gasit ; ?r im ~=NULL ; ultim4=NULL ; f o r (g a s i t= O, p ""'p r i m1; p ! =NULL && i qas i t , p =p ->urm) fo r (q=prim2 ; q != NULL && ~ g as i t ; q=-q->u r m) i f (p - >info==-q->info) {g a s i t = l ; x ~p - > info ; } if (g a s i ':) ( a d a u ga n on (p r i m1 , u l : i m4 ) ; f or ( ; p ! ~ O ; p=p - >u ern) {for (ga s i t =O, q =-p r i m2 ; q! =- NULL && !gasit ; q=q- >u r m) if (p ->info=- =q->info) gasit= l; i f (g a s i t } {x =p - >i n f o ; adauga_ultim(ultimt;) ; } } }} void a :i s a re(nod * p r i m) {for {nod * p = p r i m; p!:-:"NULL ; p =p- >u r m} c out« p - > i n f o «" cou t « e n d l ; } v o i d mai n () II

{ ~ od

.

* p r i m l ,* u l t i m l ,* p r i m 2 ,* u l ~ i m 2 ,* p r i m 3 , * u l t i m 3 ,* p r i m 4 , * ~ I t im 4 ;

c cee ce (p r .iml , ul timl) ; c r ee r e (prim2 , ul tim2} ; f _close ( ) ; r cuni.une (priml , prim2 , pr im.S, u l t i m3 ) ; ccuccc vne cnt u ne e - " ; afisa re (prim3) ; Ln t c r sec t i e (p r im l , p r i.mz , p r i.mq , u Ltim-1) ; c o u t-cc" Intersectia= " ; if {prim4l=NULL) afiSar~(p r ~~j.:) ; ~ else cout«" Mu l t l :ne 2. vida " ; }

'*"

Scrieti cate un program care sa rezolve cerintele flecarei probleme. Fiecare problema se va deseompune i n subprobleme ~i algoritmul pentru rezolvarea unei subprobleme se va implementa cu un subprogram. Datele se transmit intre subprograme eu ajutorul parametrilor de comunicatie ~i nu al variabilelor globale. Dupa executarea unei operatii de preluerare a lisle; simplu i nlant uite. se vor afisa numerele din nodurile listei pentru a se verifica daca operatia de preJucrare s-a executat corect. Se vor alege seturi de date de intrare astfel l ncat sa se verifice algoritmul pe toate traseele lui. Pentru urmatorii 18 itemi in nodurile listelor se rnernoreaza numere i ntregi. Sirul de numere se citeste dintr-un fisier text in care sunt serise pe acelasi rand. separate prin spatiu 1. Se creeaza 0 lista i n care ordinea de acces este cea i n care sunt citite numerele. Se mai citesc de la tastatura c oua numere x ~ i y . Se insereaza i n lista numarul y ina intea nurnarului x. 2. Se creeaz a 0 lista i n care ordinea de aeces este inversa celei i n care sunt citite nurnerele. Se elimina din lista eel mai rnic nurnar si eel mai mare nurnar. o

Tenui

0

---

136

1m ilcm cntarca st r ucturilor de date

3. Se cree aza 0 lista ~i S8 afise aza in ordinea inve rsa citirii din fisier num ai numerele pare . 4. Se creeaza 0 lista in care ordinea de acees este cea in care sunt citite nurnerele din fisier. Se mai citeste un nurnar n de la tastatura. Se afiseaza elementul cu nurnaru! de ordine n din lista . Oaca nu exi sta, S8 afiseaza un mes aj de informare. 5. Se creeaza 0 lista in care ordinea de acees este cea in care sunt citite numerele din fisier . Se insereaza inaintea fiecarui nurna r facto rii sai primi. 6. Se creeaza 0 lista in care ardinea de acees este cea in care sunt citite numerele din fisier . Se insereaza i ntre fie care pereche de nod uri eel rnai mare divi zor com un al celor doua num ere. 7. Se creeaza doua lisle in care ordinea de acces este cea in care sunt citite numerele din fisiere. Se creeaza a treia lista prin concatenarea llstei care are cele mai putine elemente la lista care are cele mai multe elemente. Daca listele au acelasi numar de elemente , se va adauqa lista a doua la prima lista. 8. Se creeaza doua liste in care ordine a de acces este cea in care sunt citite numerele din fisiere. Se creeaza a treia lista prin concatenarea celei de a doua liste la prima lista. Se elirnina din a treia lista numerele care S8 repeta. 9. Se creeaza 0 lista in care ordinea de acces este cea in care sunt citite numerele din fisier. Se divizeaza lista in doua liste: una care coniine numere care sunt palindrom si una care contine numerele care nu sunt palindrom. Se salveaza lista cu numere palindrom intr-un alt fi~ie r. Daca nu au existat numere palindrom, in fisier se va sene un mesaj de informare. in lista care nu confine numere palindrom se insereaza cupa fiecare numar inversul sau. 10. Se creeaza 0 lista in care ordinea de acces este cea in care sunt citite numerele din fisier. Se afiseaza numerele care au ultimele trei cifre identice, se elimina din lista numerele care au ultimele trei cifre consecutive si se insereaza valoarea 10 inaintea numerelor care au suma ultimelor trei cifre eqala cu 10. 11.8e creeaza 0 lista in care ordinea de acces este cea in care sunt citite numerele din fisier. Se afiseaza numerele care au mai mult de doi divizori primi, se insereaza divizorii proprii in tata numerelor care au mai mult de trei divizori proprii si se elirnina din lista numerele care au eel putin doua cifre identice. 12. Se creeaza 0 lista numai cu numerele prime din fisier. Se afiseaza eel mai mare numar prim ;;i eel mai mic nurnar prim. Se verifica daca lista contine numai numere distincte ;;i se afiseaza un mesaj de informare . Daca lista nu contine numai numere distincte , se elirnina numere din lista astfel tncat sa contina numai numere distincte. Se salveaza lista creata intr-un alt fisier. Daca nu au existat numere prime in fisier, se va scrie un mesaj de informare . (lndicatie. Se va crea 0 lista ordonata crescator ~i se vor afisa numerele prime din prirnul nod ~i din ultirnul nod) . 13.Se creeaza coua liste cu numerele citite din fisiere. in primul fisier numerele sunt ordonate crescatcr, iar in al doilea fisier numerele sunt ordonate descresca tor. Se creeaza a treia lista prin interclasarea primelor coua. 14.Se creeaza 0 lista in care ordinea de acces este cea in care sunt citite numerele din fisier. Sa S 8 inverseze ordinea de acces in lista, astfel incat parcurgerea sa se taca de la ultimul nurnar catre primul nurnar. (lndicatie. Se rnuta ultimul nod la inceputul listei ;;i apoi, pana se ajunge la numarul memorat la adresa care a fost a primului nod se insereaza nodul ulti m dupa ultimul nod inserat.) 15.Se creeaza 0 lista in care ordinea de acces este cea in care sunt citite numerele din fisier. Sa se afiseze in ordine inversa numerele din lista. (Indlcatle. Se implernenteaza un algoritm recursiv de parcurgere a listei.)

137

I II forma tid

16. Se creeaza a lista ordonata cu numerele din fisier si se divizeaza apoi lista in doua Iiste: una cu numere pare ~i una eu numere impare . 17.;n fisie r sunt memo rate foarte multe nume re (maxim 10.000). Foarte multe dintre aceste numere S8 repeta (exists max im 100 de numere distincte). Se creeaza 0 lista ordonata crescator numai cu numerele distincte si eu frecventa lor de apa ritie. Se aflsea za eel mai mare numar si eel mai rnic numar . Se calculeaza media aritrnetica a nurnerelor care au valoarea cea mai mare sau au valoarea cea rnai mica ~i se afiseaza numai num erete care sunt mai mari decal media aritrnetica. 18.Pentru doua rnultirni de numere A ~i B sa se determine diferent ele A-B ~i B-A. 19. 5e citeste dintr-un fisier text un nurnar cu ma xim 20 de cifre. Se creeaza a lista cu cifrele nurnarului, S8 elirruna din lista cifre te pare ~i se afiseaza nurnarul astfel obtinut. 20. Se calculeaza produsul a doua polinoame. lnforrn atiile desp re cele doua polinoame S8 citesc dintr-un fisier. (Indicat ie. Pentru fiecare nod din prima lista se parcurge a doua lists iii. daca produsul coefic ientilor nu este nul, se creeaza un nod i n iista a treia care va avea coeficientul egal cu produsu l coeficie ntilor ~i gradu l egal cu sum a gradel or. l.is ta a treia este a lista ordo nata descresca tor dupa grad .) 21. 8 e creeaza dou a liste cu n noduri ~ i respectiv m nodur i care cont in nume re in tregi ge nerate aleatoriu in intervalul [a.b] . Valorile pentru nurnarul de noduri n, si respect iv rn, si pent ru limitele intervalului , a ~i b , se citesc de la tastatu ra. Sa se afiseze numai numerele distincte din cele doua liste !;)i nurnarul care are cea mai mare trecventa de aparitie in cele doua liste.

2.6.4. Algol'itmi pcntru prelucrarca listclor circulare simplu inlan!lIite Algoritmii de ad au qare a primului n od la tista vida si de ada uqare d u pa ullimul nod sunt la fel ca si cei de la listele simplu l nlantuite: Lista circulara simplu ln tantuua u ltim

prim

I

info

-,-

I urm

I,

info

I urm~ r:

info

I urm

I

I'.

info

I urI"l I

2.6.4. 1. C rcarc a list c i Deoareee in algoritmii de preluerare trebuie sa se cunoasca adresa prirnului nod, este importanta adauqarea primul ui n od la lista vida. Pasii algo ritnl ului de croaro a unei liste sunt: PAS 1. Se adauq a primul nod la lista (nodul prim ) PAS2 . Cat limp mai exists inforrnatie exec uta : se adauqa un nod la lista dupa ultimul nod. PAS3. Se leag a ultim ul nod de primul nod. Impl cm cntarea algori tmu lu i. Se folose ste functia procedurala c rea re ( ) at carei parametru este prim de tip no d : care se transrnite prin reterin ta deoa rece este parametru de intrare-ieslre. 8e foloseste variabila globala n pentru citirea inforrnatiei din nod. Se considera ca nu mai exista into rmatie atunci cand valoarea citita pentru n are valoarea O. vo i d c rea re (n od *&p : i o ) ( n o d *u l t i m; cin» n; adau ga _n o d , p r im , u l ~ iffi ) ; wh i le ( n ! ~ O ) (cin» n; a d a ~ g a_ u l t i ~ ( u l tire ) ; } ul t.i m-c-u r-mop r-a m }

138

Im plcmenta r ca strudurilor de date

2.6.4 .2. Pa rcurgerea listei Deoa rece lista circu lara nu contine un ultim nod care sa fie conside rat ca terminator al listei, S8 va con sidera ca nod care terrnina lista nodul prim . Pasi i algoritmului de prelucrare a unei liste circu lare sunt: PAS1 . Se prelucreaza primu l nod din lista (nod ul prim ). PAS2. Pentru l iecare nod din lista ln cepan d de la succesoru l nodulu i prim pan a la prim ul nod, executa: S8 prelucreaza nodul curent. Implementarea algoritmului. Se foloseste functia procedurala parc urge (J al carei parametr u p rim de tip nod S8 transmite prin valoa re deoa rece este pa rametru de intra re.

v o id p a r cug e (no d *p r i ffi ) { l i s e prel ucreaza prim->info ; f or (nod * p~prim- >urm ; p r =pri m; p =p- >urm) I /s e prelucreaza p->info; }

2.6.4.3 . Eliminarea unui nod din listii Daca S8 elirnina din lista nodul care urmsa za dupa nodul curen t p tre buie sa S8 ve rifice daca aces t nod nu este nodul prim , ca sa nu S8 piarda adresa prim ului elemen t din lista. Pasii algoritmului de eliminare a nodului urrnator nodului curent sunt: PAS1. Se salveaza adresa succesorului nodului p i n pointerul q. PAS2. Se leaqa nodul p de succesorul succesorului lui. PAS3 . Daca succesorul nodulu i p era nodul prim , atunci succesorul nodului pr im devin e nodul prim . PAS4 . Se cere eliberarea zonei de memorie de la adresa mernorata in pointerul q . Implementarea algoritmului. Se foloseste functia procedurala elirnina_urm() ai carei parametri de tip nod sunt: p (pentru adresa nodului precedent nodului ce S8 elirnina), care se transmite prin valoare deoarece este parametru de intrare si prim, care se transmite prin referinta. deoarece este parametru de intrare-iesire.

v o i d elimina._urm(nod *p, n od *& p r i m) {n o d *q =p-> u rm; p->urm= p->urm->urm i if (q===prirn) pr im==pr im ~>urIll i delete q ; }

I Swmu de CBlZ I Sco p: exemplificarea modului in care, pentru rezolvarea problemei , foloslti algoritmii de prelucrare a listelor circulate simplu Inlantuite si implementarea lor cu ajutorul subprogramelor. Enunt ul probl emei. Sa ciuiste dintr-un fi§ier text un sir de numere separate prin spti tiu cu ctue S8 creeaza a lisla circutare simplu inl antuila in ordinea in care sunt citite numerete din fi§ier. Sa se §tearga numerele p are din lista §i sa S8 etiseze numetoio din iiste. Pentru leslarea proqrtnnutu) se vor tolosi doua seiut! de nutnere: (2. 2, 3, 4, 4) si (2. 2, 2, 4, 4). Problema se descompune in urrnatoarele subprobleme, iar algoritmii pentru rezolvarea subproblemelor sunt implernentati cu ajutorul subprogramelor:

f1l Se creeaza lista circulara simplu Inlantuita -

subprcqramul creare ( ) .

~ Se parcurge lista de la succesorul primului nod pana la primu l nod si daca nurnar ul din succesorul nodului curent este par, at unei se elimina succesorul nodului curent subprogramu l eLa mi n a u r m ( ) ; altfel se trece la succesorul nodului curent. ~ Daca nurnarul din nodul prim este par. atunei se elirnina nodul prim si lista este vida subprogramu l e Li.mi.n a_ p r i m ( ) .

139

Infor matica

~ Dac a lista nu este vida (subprogramul es te vida () }, atunci S8 afiseaza numerele din fiecare nod (subprogramul afisare ()) . #inc lude struct nod {int in fo ; n od *u r m ;}; fstream f( "li s t a7 . t x t " , i o s : : i n } ; int x ;

void a da u ga nod (n od *&p r i m, nod *&u l t i :nl {p r i :n=new no d ; pr im-> i n fo =x ;

p r i m- > u r m ~ NULL;

u l t i m=p r i m; }

void a cla ug a _u l t i m(nod * &u l t i m ) {n o d " p e new n od ; p- c- Lnf oe x , p ->unn=NUL L ; u l t i m- >urm=p ; u L t..inr- p , } void c reare(nod *&p r i m) {n o d *u 1 tim ; I c->x , a d a u ga.. ..n od rpr im , u lt im ) ; while (f »x ) adauga~)1 1 t im(u ltim) ; u l t Lm- c-u rme-p rLm , } ' v o i d e Li.m.ina __urm( n o d *p, n o d *&p r i m) {rio d *q =p - >u r :n; p -c-u rmcp -c-urm- o u rm ,

if (q ==p r i m) p r im=prim- >u rm ; delete q ; } vo i d e Ld.m.i.na p i .im t n o d * &p r i m) {n o d *q = p r i m; pr irn=NULL ; delete q ; } a.n t; e s t .e vLda ( n o o ep r-Lrn ) {return pr i m= =NULL ; } v oid 2-fisar e( n od *p r i m) Lcou t.c-cp r i.m -o Ln Fo -cc " ", for {nod *p "" p- >u rm; p >=p rim;p =p->u rm ) coutxc c - c- Lnfcoc'' "; cout«endl ;} void ma i n () { no d e p r i.m, *p; c r ee.r-e.Ip r i .m j , afi s ar e (p r i m);

for (p =p r i m- >u r m; p ! =p r i lll;) if (p - >u r m->i n f o% 2=-"'O) e l i rn i n u.....urm(p ,prim) ; else p=p- >u rm ; i f (p r i m-c -I u Co %2== O)elimina ,:-,"prim (p rim} ; i f (! este_v .i.da (p r im ) ) a f L s a r e (pr i m) ; }

_

--

-----.--.... Scrieti cate un program care sa rezolve cerintele fiecarei probleme. Fiecare problema se va descompune i n subprobleme ~i algoritmul pentru rezolvarea unei subprobleme se va implementa cu un subprogram. Datele se transmit intre subprograme eu ajutorul parametrilor de cornunicatie ~i nu al variabilelor globale. Se creeaza liste ci rcu lare sim plu ln lan tu tte in noduriIe carora se rnernoreaza numere intregi. Sirul de numere se citeste dintr-un flsier text in care sunt memorate pe acelasi rand, separate prin spatiu. Dupa executarea unei operatii de prelucrare a listei, S8 vor afisa numerele din noduri pentru a verifica daca operatia s-a executat coreet. Se vor alege seturi de date de intrare astfel l ncat sa se verifice algoritmul pe toate traseele lui. Pentru urmatorii 4 itemi Jistele se creeaza asttel lncat ordinea de acces sa fie cea in care sunt citite numerele din fisier. 1. Sa se insereze , dupa fiecare nurnar divizibil cu cea mai mare citra a sa, valoarea cifrei, ~ i sa se elim ine numerele care au ultime le doua cifre consecu tive . 2. Sa se verifice daca num erele sunt in progres ie geometr ica si sa se afiseze primul termen al progre siei geometriee. (Observat ie. Daca numerele sunt i n progresie geometrica, nu este ob ligatoriu ca sirul de numere citit din fisier sa lnc eapa cu primul termen al progresiei geom etrice.) 3. Sa S8 insereze in tre doua numere pare din llsta media lor aritrnetica pana can d nu mai exista perechi de numere pare .

140

Implcm cn ta r ca structuril or de d ate

4. Din lists circul ara creata sa se creeze alte dOU8 liste circulate simplu inlant uite - una cu numerele divizibite cu cea mai mare citra, iar alta cu numerele divizibi le cu cea rnai mica cifra - ~i S8 verifice daca cele doua liste cont in numere comune. 5. Se creea za 0 lista ordonata crescat or si S8 creea za apoi din ace asta lista 0 lisla cu numerele care sunt patrate perfecte.

sa

2.6.5. Algoritmi pcntru prclucrarea listclor dublu iulantuitc in cazu l listelor dubl u Inlantuite intorrnatia de legatura trebuie sa contin a ~ i adresa succes oru lui nodului (pointerul wa n t catre tipul nod):

struct nod lint .info ; nod * a n t , *u r m; } ; nod " p r i m, - u l t j-n , *p;

//inforrna\:ia propriu -zisa pentru leg5 tur~

//irlforma~ia

Alg oritmi i de la listele simp lu ln lantui te S8 rnod ifica prin adauqarea instructiunilor care Int retin ~i adresa de leg atura cu predecesorul nodulu i. Algoritmul de ada uqare a unui no d pin inte rio rul liste i i na in tea un u i no d q se sirnplifica deoar ece se cuno aste adresa atat a succesorului, cat ~ i a predecesorului. Lista dublu lnlantulte

prim

NULL I

i nfo

•I

an t

2.6.5.1. Adauqarca primului nod la lista Impl emen tarea alqoritrnului . Se foloseste functia procedurala adauga_nod O ai carei parametri prim ~ i u l tim de tip nod se transm it prin re ferin ta deoarece sunt parametri de lesire. void adaug_nod (nod *&p r i m, nod *&u l t i m) {p r 'im = new nod , pr im-> .i n foe x r pr.l.m->an t =-NULL; p r i rn- >u rm =NULL; ultim=pri:n ; }

2.6.5 .2. Adau qar oa unui no d la lista Ad5ugare in Ia ta prirnului nod

Implementarea algoritmul ui . Se foloseste functia procedurala adaugayrimO al carei parametru prim de tip nod. se transmite prin referinta deoarece este parametru de intrare-iesre v oid adauga_prim (:1oa *&p =i m) {n od *p =new nod ; p -c-Ln foex , o »an =NULL; p ->urm =p r i rn; p.r i.mvp i } Adflllga re dupa ultimul nod

Im plementarea algoritm ului. Se foloseste functia procedurata adauga_ul tim () al carei parametru u l tim de tip nod se transmite prin refennta deoarece este parametru de intrare-iesire. void adauga_ultim(~od * &u l t i m) {n od ~ p =new ~od ; p -> i~ fo = x ; =u l t i rn; =NULL; u.l t i.m-c-u rmvp , ultim=p ; }

141

lufnrm aticii Adauqarc a in in tc rio ru l liste i [ p rim

I- . . -f~-{~J-+B ..- 1 I ultim

a) dupa nodul cu adresa q Nodul p care se adauqa se insereaza lntre nodul q ~i nodul q-surm. Succesorul sau este nodul q-surrn, iar predecesorul sau nodul q . Nodul p va fi succesorul nodului q ~i predecesorul nodului q -surm . Implementarea alg oritmului. Se foloseste functia procedurala adauga_ dup a ( ) ai carei parametri sunt de tip nod: q (adresa nodului dupa care S8 face ada uqare a), care S8 transmite prin valoare deoarece este parametru de intrare ~i u l t i m (adresa ultimului nod), care S8 transmite prin referinta deoarece este para metru de intrare-iesire. v o i d ada ug a~dupa (nod *q , n6d -* &ul tim)

{n o d i f

p -> in f o= x ;

PT<9~ m=q ~ > u rm ;

p~>a~t= q ;

(q ==u l ti m) u ltirri.=p; e l s e

q;;j>j.lriTL~>ant= p ;

q->.urxn= p ; }

*p~ n e w

nod ;

b) l nai n te de nodu l de adrcsa q Nodul p care S 8 adauqa S8 insereaza intre nodul q-sant si noduJ q. Succesorul sau este nodul q. iar predecesorul sau nodul q-sant. Nodul p va f succesorul nodului q-e-ant ~i predecesorul nodului q. Implementarea algoritmului. Se foloseste functia procedurata adauga_in_ fa t a () ai carei parametri sunt de tip nod: q (adresa nodului inaintea caruia se face adauq area), care se transmite prin valoare deoarece este parametru de intrare.

v o i d adau g a~ in _ fa t a(nG d *q ) {ne d kp=n e w nod ; p ~> i nf o= x ; p -c-u r m- q ,

p-ec-an

t e q- c

-an

L,

q-c-an c-c-u.rm-e p ,

q·;.>ant= p ; }

2.6.5.3 . Parcurgerea listei Viz itarea fiecaru i no d al listei se poa te face In doua moduri: -7 pom ind de la primul nod, pima la ultimul nod, In ord inea de i nla ntuire a nodurilor furn izata de adres a urm din nodu l vizita t; -7 pornind de la ultimul nod, pima la primul nod, in ord inea de inlantuire a nodu rilor fu rnizata de adresa ant din nodul vizitat Implementarea algoritmulu i. Se toloseste functa procs durala parcurge-inainte (), respectiv parcurge-inapoi () , al carei parametru prim, respec tiv ul ti m, de tip nod , se transm ite prin valoare deoa rece este parametru de intrare. v oid pa r cuqe .i na i.n t e.Lri od e pr i m) {for (no d * p =pr i m; p !=NULL; p=p- > u r m) lise prelucre Dza p->i nfo}

vo i d p a r cuge _in apoi( n o d *ll l t i m} {for (nod * p =u l t i m;-p ! >=NULL ; p=p ->ant ) l i s e p r el.uc r ea za p->info}

2.6.5.4. Eliminarea unui nod din lista Eliminarca primului nod Implementarea algo ritm u lu i. Se Ioloseste functia procedurala eliminayrim() al carei parametru p r i m de tip nod se- transmite prin referinta deoarece este parametru de intrare-iesire void el i mi na__ pr im( n o d *&p r i m) {n o d *q =p r i m; prim->urm- >a n t =NULL ; prirn=p rim->u rm; dele te q ; }

142

I mplem enta rea strn ctnrilor de date

El iminarea ultimului nod Implementarea algoribnului. Se toloseste functia procedurala e limina_ ultim () al carei parametru ul t i m de tip n od S8 transmi te prin referinta deoarece este param etru de lntrare-iesire . v o id e L i mi n a u L t Lm t rrod. * &u l t i m) {n od * q=u l t i~; ultim~>ant->urm~NULL; u l tim=ultim->ant ; d elete q;}

Eliminarea unu! nod din interiorul listei Pen tr n a eli mi na nodul p al lat in interiorul listei, treb uie sa legam pr edeee sor ul nodului p (p-s ant) de sueeesorul lui (p -s urm ). Sueeesorul nodului p-e-ant va fi nodul p-x urm , iar predecesorul nodului p- o-urm va fi nodul p -sa nt. Implementa rea algoritm ulu i . Se foloseste functia procedurala ed.imi.na () al care i paramet ru este de tip nod: p (adresa nodului care S8 elimina) , ca re S8 transm ite prin valoare deoarece este parametru de intrare. v oid el i min a (nod * p ) {nod *q=:=p ; p:-c->a nt - >u r m:=p - >u rm ; p -ourm - c-a n ue p - c- en t , de lete q ; }

Seop: exe mplificarea modului in care, pentru rezolvar ea pro blemei, folositi algoritmii de prelu crare a listelor dublu Inlantuite ,;;i implementarea lor cu ajuto rul subpro gramelor.

Enunt ul p rob lem ei 1. Sa citeste dintr-un fi§iBr text un sir de numere separate prin spetiu cu care se ereeaza 0 !ista dublu inlanfuita in ordinea in care sunt citiie numerele din tisier. Sa se adauge va/oarea 1 dupa fiecare numer par §i sa se §tearga apoi numerele pare din lista. Sa se etisoze numerele din lista dupa fiecare operatic de prelucrare, in ambele moduri (de fa primulla ullimul, si de la ullimul fa primu/). Penlru les/area programufui se va folosi $irul de numere: (2, 2, 5, 3, 4, 4). In prelucrarea tistelo r dublu inlantuite trebuie lnt retin ute atat adre sa primulu i nod , cat si adresa ult imu lui nod . Pro blem a se de sco mp une in urrn atoarele subp rob leme, iar algoritm ii pentru rez olvare a subproblernelor sunt implementati eu aju torul subprogra melor:

lP11

Se creeaza lista du blu inlantuita - sub programu l creare () . ~ Se adauqa un no d eu valoarea 1 dupa l iee are nurna r p ar, a stlel (s ubp rogramu l pr e l u c r a re 1 (» ): 1 -7 Se p areurge lista de la primul nod pana la pe nul timu l nod si, da ca nurn arul din nodul eure nt es te par, se adauqa dupa el un no d eu valoa rea 1 - subp rogramu l ada u g a ~d u p a ( ) . -7 Dac a nurn arul din nodu l ul tim este par , atu nc i se ad auq a dupa el un nod ca re con : tine valoa rea 1 si aeest nod devin e no dul u ltim - sub program ul a d auga ul tim () . ~ Se elirnina nodurile cu numere pare, astfel (su bpro gramu l p r e l u c r a r e _ 2 0): -7 Se pa reurge lista de la sueeesorul pr imului nod pa na la penu ltim ul nod si , da c a nu rna ru l din nodul eurent este par, at u ne i se elim ina di n lista (su bp ro gra mul el imi na ~ urrn (») ; altfe l , se trece la sueee sorul n odului eurent. -7 Oac a nurna rul din nodul pri m este par, atunci se elimin a din lista si suecesorul sau devine nodul prim - subprogramul e li mina _ pr i m ( ) . # i n c lude < f s tr e a m . h > st ruc t n od ( i nt i n f o;

nod *a n t , *u r rn ; ) ; f stream f ( " l i s t a8 . tx t " , i o s : : in ) ;

i n t X;

143 .:....:...::.

InliJrm :l!k.a'--voi d adauga nod (no d *&p r i mr n o d * &u l U .m) {p r i m=- n e w n od i p r im ->i nfo = x ; p r i m- >u r m=NULL i pr i m->a n t =NULL ; ul tim=p r i rn; }

vo id a d a u ga u l t im(nod *&u l t i m) {n o d *p ; p=n e w n od ; p -> info= x ;

p ->unn=NULL; p-> ant =ult im ; ultim - >urm=p; ultim=p ; }

vo i d ada uga_dupa(n od *p ) { ~ od

*q=n e w n od ; q -> inf o = x ; q - >u rm =p - >u rm ; q - >a n t =p ; p ->urm- >an t=q ; p ->urm=q ; } v o i d elim i n a p r i m {n o d *&p r i m) {n o d *q =p r i m; prim->urm- >a n t =NULL ; p r i m=prim-> urID ; de lete q ; } void elim i n a( nod *&p ) {n o d *q =p; p ->ant->ur~=p-> ~ rm ; p ->urrn->ant =p ->ant ; p =p - >u rm ; de lete q ; } void crea rc{nod * &p r i m, l1oc * &u l t i m)

{f» x ; adauga noc(prirn ,ultirnl ; whi le ( f » x)

adauga_ult L~{ultim) ; }

void pr e lucrar e _ l ( n o d *p r i m, n o d *&u l t i ml

{fo r (nod *p =-p r i mi p - >u rJn! +=NULL ; p =p - >u r ml i f { p - > i n fo% 2=~O} ad a u g a~d u p a ( p) ; if (ultim- >i nf o %2 =- =- O) a d a u g a u l tim ( u l t i m) i }

v o i d p xe l u c r-are vz (n od *&p r.i m) {fo r ( n o d *p =p r i m- > u r m; p - > u r m ! =NULL i ) if ( p - > i n f o % 2 ~ = O ) c l i mi n a( p) ; e lse p =-p->urm; i f (p rim- >i n fo%2==O) e l ~mi n a~rim(pr i m) ; } v oid a f i s a r e~urm(nod * p r i ~ }

{for

(nod *p =p r i m; p !:=cNULL; p =p - >u rm)

c o ut«

p~ > i n [ o «"

" ; c ou t «end l ; }

v oid a fi s a r e ant {nod * u l t i rn) {f or (no d *p =u l t i mi p > NULLi p =p- >a n t l c out-ccp - c- Ln Coc c " "; cou t « e ndl; } void maine ) {n o d *p r i m,* u l t i m,* p ; creare (p r i.rn, ultim) ; a f i s a r e j u rm (prim) ; a f i.s a rejen t (ul tim) ; :-:=1; p re Lu crar e 1 (prir:-: ,t;lt im) ; a r Lsare urm tp r im) i afisa re a n t (ult i m) i p re Luc r e r e _ 2 (p r im) i a fisa re_'1rJn (pr .irn j r e f i s ar e _ an t. (ul t. Lm) ; }

Enuntul problem ei 2 - Calcularea rezistentai ec hlv alente Sa se cotcuteze rezisiente echiv etente in tre pun cteie A $i B pentru citc uiiut electric din figura.

n,

s,

u,

R il l

:~-ER" Pentru calcularea rezistentei echivalente se porneste de la ultimele rezistente - Rn ~i Rn-1 care sunt legate in serie. 5 e calculeaza rezistenta lor echivalenta Re1, care va fi legata i n paralel cu rezistenta Rn·2. Prin calcularea rezistentei echivalente a celor coua rezistente legate i n paralel, R cl o;i R n-2, se va obtine 0 noua rezistenta echivalenta R c2 care este leqata in serie cu rezistenta Rn-3. Calcularea rezistentei echivalente a circuituiui electric este un proces repetitiv i n care alterneaza calcularea unei rezistente echivalente a doua rezistente legate i n serie eu calcularea unei rezistente eehivalente a doua rezistente legate in paralel. Pentru a ~ti care dintre variantele de calcul se alege, se foloseste variabila 5 care are valoarea 1 daca rezistentele sunt legate in serie, ~ i valoarea 0 daca sunt legate i n paralel.

144

Implem entarea st ructu r ilor de da te

Va lorile pentru rezistente S8 citesc dintr-un fisier text in care sunt memorate pe acela si rand, separate prin spatiu , Se creeaza a lista dublu Inlantuita in care ordinea de aeces este cea in care sunt citite nurnerele din fisier. Lista S8 parcurge de la ultimul nod pana la primul nod . #inc l ud e struct nod {f loat in fo ; n o d *a n t , * u rm ; } ; fst ream f I vre z i s t.ent.e t x t vi Los : : i n ) ; f l oat X i c

void a da uga nod (nod *&prim, nc d *&u l t i m) { p r ~=new nod ; pr i m-> i nf o=x; prirn- >urm=NULL; prim- >an t =NULL; ultimzprim ; } vo id adauga (no d * &u l t i m) {n o d *p ; p e n e w nod ; p- c- Lnf o e x , p- >u r m=NULL ; p - >ant= ul t i m; u l t i m - > u rm~~; u l tim=p ; } voi d c rea r e (n od *&p r i m nod * &u l t i m} ( f» x; a d a u g a nod(p ri m ,~] .ti m ) ; whi le ( f »x) adauga(u l t i rn) ; } float R {n o d * u l t i m) {int 5= 1 ; float r=ul t im->info ; nod * p = u l t i m - > a ~ t ; l

while (p ! ~NU LL ) if ( 5) {r +=-p- > i n f o;

p=p - >a n t ; s=O; } else {r = (r *p - >i n f o ) j {r +p - > i n f o ) ; p =p ->ant ; s=l ; } return r ; } void main(} {n o d e p r irn , *u l t i m; c r ea r-e {p r i m, u Lt.Lml ; f. c l o s e () ;. ccc e-ccv nez t s t ent.a e c h iva Leri t .a> "« R ( u l t i m);} ~

*

Rcco mandare. Listele dublu l nlantuite se folosesc i n prob lemele in ca re , pentru prelucrarea lnformatiilor: -7 se executa frecevent operatii de inserare ~i de eliminare de noduri; -7 lista trebuie parcurs a i n am bele sensuri. Exe m plu. i n problemele i n care trebuie prelucrate numere foarte ma ri (pentru memorarea carora nu pot fi folosite tipur ile de date implementate) se folosesc listele dubl u l nlantuite : -) pentru operatiile aritmetice (adunare, scadere , lnrnultire) Iistele in care sunt memorate cele doua numere vor fi parcurse de la ultimul nod , pima la primul nod ; -) pentru compararea a doua numere sau determinarea nu rnarulu i de cifre ale nurn arulu i, listele i n care sunt m em orate numere le vor fi parcurse de la primul pima la ultimu l nod. Scrieti cate un program care sa rezolve cerintele fiec arei probleme. Fiecare prob lema se va descompune in subprobleme si algorilmul pentru rezolvarea unei subprob leme se va implementa cu un subprogram . Datele se transmit intre subprogra me cu ajutorul param etrilor de com unicate si nu al variabilelor globa le. Se creeaza liste d ublu I nlant uite in nod urile carora se rnerno reaza numere i ntregi. Sirul de numere se citeste di ntr-un fisier text in care sunt m emorate pe acelasi rand , separate prin spatiu. Dupa execut area unei operatii de prelucrare a listei, se vor afisa numerele din nodu ri pentru a verifica daca opera tia s-a execut at core ct. Se vor aleg e seturi de date de intrare astfel incat sa se verifice algoritmul pe toate traseel e lui. Listele se creeaz a astfel ln cat ordinea de acc es sa fie cea in care sunt citite numerele din fisier. 1. Sa se elimine numerele prime $i sa se insereze intre fiecare pereche de num ere rarnase cel mai mare divizor eomu n al lor. 2. Sa se calc uleze eifra de cont rol a fiec arui nurna r ~i , da ca numarul este diviz ibil cu cifra de cont rol , citra este ada uqata du pa nurnar; alttel, numarul este elim inat din lista . Citra

Inform aticii

145

de control a unui numar este suma repetata a cifrelor numarulu i pana cane S8 obtine 0 suma mai mica decat 10. 3. Sa S8 mo difice adresele din nodurile Iistei astrel inca t sa S8 obtina doua liste !iniare dub lu inlantuite care sa cantina numerele din pozitiile pare, respectiv din poz itiile impa re. 4. Se citese dintr-un fisier doua numere foarte marioSa S8 scrie urrnatoare le subprog rame pentru prelucrare a nume relor: a. calcu larea sume i, a diferentei §i produsu lui nume relor; b. com para rea a doua numere (subprogramul trebuie verifice daca cele doua nume re sunt egale , iar daca nu sunt egale, sa precizeze care nurnar este mai mare) ; c. ver ificar ea nurn arului daca are un nurnar par sau un numar irnpa r de cif re , fara sa se numere cifrele nurnarului: d. determina rea nurna rului de cifre ale unui nurnar: e. verific area nurnarutui daca este palindrorn.

sa

2.6.6. Algoritm i pcntrn prelucrarca stivclor Cele coua ext rernitat i ale stivei se numesc varf ~ i baz a , Accesul la nodurile stive i (adauqarea. extragerea sau con sultarea unui nod) este permis numai printr-o sinqura extrem itate nurnita varf si ultirnul nod inserat este primu l nod extras (se extrage cea mai noua inforrnatie adauqa ta ). La 0 operatie de adauq are a un ui nod , varful stivei stivei urea, iar la 0 oper atie de extragere a unui nod , varfu l stivei coboara . Implementa rea dinamica a stivei se face la fer ca a unei liste Iiniare, cu deosebirea ca : -7 varful stivei va fi indicat de pointe rul va r f catre tipul nod ; -7 pentru adauqarea unui nod, se poale Iolosi numai algoritmul de adauqaro in fata primului nod ; -7 pentru extragerea unui nod se poate folosi numai algoritmul pentru eliminarea primului nod . Altfe l spus , prelu cr are a unei stive se face de la varf spre baza si se prelucr eaza Intotdeauna nodul din varful stive i . Acces ul la informatia din acest nod se face cUva r f - >i nf o . st.va vida este stiva care nu contine nici un nod ~ i adresa nodu lui vart are valoarea NULL (v a r f ~ NULL; ) . i n sliva vida nu se mai pot exec ula operatii de extragere de nodu ri. Stiva poate sa ajunqa sa fie vida In doua cazuri: la inltializare sau dupa extragerea ultimului nod . Pentru testa rea unei stive daca este vida , S8 poate imple menta functia operand es te _v ida ( ) care va furniza valoa rea 1 ("adevarat") , daca stiva este vida , si valoarea 0 ("fals ") daca stiva nu esle vida. int 8s t c_v i da (no cl *v a r f ) {return var f=~ NUL L ; }

Penl ru prelucrari cu autorul sl ivei putet i folosi urrnatorii algoritmi: -7 lniti alizarea s tive i: -7 ada uqa rea u nu i n od la stiva : -) ex trage rea unui n o d d in s tiv a: -) co ns u lta re a n odului din v a rfu l stive i.

2.6.0 .

nitial izarea s ti ve i

Prin acest algoritm so c roo aza st iva vida. varf are valoa rea NULL.

in acest

caz . nodul v arf nu ex ista si poin terul

Im pl em entarea algorit m uJui. Se foloseste functia procedura la ini t () al carei parametru varf se transm ite prin referinta, deoarece este para metru de iesire.

146

Implementarea strue t u r ilor de date vo id i n it{ no d * &v a r f ) {va r f = NULL;)

2.6.6.2. Adauqaraa unui nod la stiva Nodul se adauqa la stiva ca predec esar al varfului. Pasii algoritmului sunt: PAS 1. Se cere alocarea de memorie pentru nodul p . PAS 2. Se scrie informatia i n nodul p . PAS 3. Nodul p se leaqa de nodul varf. PA S4. Nodul p a da uqat devine nod ul var f . Impleme ntare a algoritm ului . Se foloseste functia procedu rala ada uga () al carei parametru

varf

S8

tra nsmite prin reterinta, deoarece este parametru de intrare-iesire.

voi d adau g a( nod * &va r f ) {no d *p =n e w no d i p ->in f o ~ x ; p - >u r m=va r fi

var.f~p ; }

2.6.6.3. Extrag erea unui nod din stiva Nodurite se extrag din stiva pentru a putea consulta informalia care e xi sta in nodur ile urmatoare. Un nod S8 poate extrage numa i in cazul in care stiva nu este vida. Se poate extra ge numai nod ul din varful stivei (se elibereaza spatiul care a fost ocu pat de nod ). i n varfu l stivei va aju nge succesorul nodului extra s, Pasi i algoritmu lui sunt: PAS1 . Se salvea za adresa nodului v a r f i n pointerul p . PAS 2. Succesorul nodu lui varf devine nodul varf . PAS 3. Se cer e elibera rea zonei de memorie de la adresa mernorata in po interul p . Im plementa rca alq oritmu lui , Se foloseste functia procedurala extrage ( ) al care: parametru var f se transmite prin referinta, deoarece este parametru de intrare-iesire. vo id e xtr a g e (nod *&v a r f ) {n o d *p =v a r f ; va r f =va rf - >u rm ; d e l ete p ; }

2.6.6.4. Prclucrarea stivei Prin acest algoritm se consulta informatia din fiecare nod al stive i. Deoarece nu poate fi co nsultata de dit inform alia di n vartut st ivei , pentru a ajunge la un nod trebuie sa se extraga toale nod urile p;ma la et. Imp lementarea alg oritm ului. Se foloseste functia procedurala prelucrare() al carei parametru varf de tip nod se transmite prin referinta, deoarece este parametru de intrare-iesire. v oid prelucrare{nod * &va r f ) {whi l e (va rf! =NULL) { l i s e p r e lu creaz5 v arf->inf o e xtr a ge (va rf ) ; ) }

Seop exempliticarea modului i n care, pentru rezolvarea problemei , folositi algoritmii de prelucrare a stive lor ~i implementare a lor cu ajutorul subprogramelar .

Enunt ul pro bl em ei. Se citesie dintr-un tisier text uri sir de numere separate prin speiiu care se depun intr-o stive in ordinea in care sunt ciiite numerete din tisier. Sa se etimine nunuuut de la baza sitvei §i numerele ttimese in stiv» sa so scrie intr-un tisier text. Pentru testarea programului se va lolosi §irul de numere: {t , 2. 5. 3. 4). in prelucrarea stivelor, pentru a putea ajunge la inforrnatia care treb uie prelucrat a, trebuie extrase toate nodurile, pan a la nodul care confine acea informatie, deoarece nu poate fi prelucrata decat inforrnatia din varful stivei. Pentru a nu se pierde informatia din nodur ile

147

Informatica

extrase, ele vor fi descarcate intr-o alta stiva (de rezerva ), iar dupa prelucrarea inforrnatiei, nodurile vor fi i ncarcate din nou i n stiva.

..

Con su lta rea nodului care c ont ine n um aru! 3 '

5

4

_

oes c arc a

consulta

•

1 stiva

....

(

5

Inca rc a

W

W

varl r

W

stiva de rezerva

- 3 W

- W

W

stiva

Iv arl

4

[~_3:Jva rl

3 2

_

varl r

-

stiva de rezerva

2

1

varl_r= NULL

stiva

stiva de rezerva

Problema se de seomp une i n urrnatoarele subprobleme , iar algoritmul de rezol vare a unei subprobleme este imple me ntat cu ajuto rul unui subprogram:

rP1l

Se creeaza stiva cu numere le citite din fisier (nodul ve r -f) - subprogram ul c rea re ( ) ) Se descarca stiv a Intr-o alta stiva (nc dul va rf r ) pan a la penu ltimu l nod (subprogramu l d e s ca rc a (» ). ~ Se extrag e ultimu l nod din stiva - subp roqrarnul ext rage () . ~ Se l ncarca in stiva (nodul v arf) nodurile din stiva de rezerva (nodul varf r ) - subprogramu l i n c arca ( ) . ~ Se seriu numerele din stiva (nodul var f ) i n fisierul text - subprogram ul salv e aza () .

~

# i n c l ude < f s t r e &~ . h >

s t r u c t nod {i nt info ; nod * u rm ;} ;

fst ream f1 ( "stival .t xt " , i o s : : i n ) , £2 ( " stiva2 .txt " , i o s : : o u t ) ; i nt x; vo i d in it (no d * &v a r f l { v a r f = NULL; } voi d a d a ug a (n od *&va r f ) {nod *p= n e w nod ; p-> i n f o =x; p->urm=varf; va rf~~ ; } i n t este vida(nod * va r f ) {retu r n varf==NULL ; } v o i d extrage (nod * &v a r f ) {n o d *p = v a r f ; var f =varf->u rm ; d e lete p i } void crcare{nod * &va r f ) {i n i t (va r f ); wh i le (fl »x) adauga(varf) ; } voi d d~sca rca(nod * &v a r f , n o d * &v a r f _ r ) { Ln i t I va r f vr ) ; while (va r f -c-u rm! =-NULL) {x=va r £- >i n f o ; ext raqe (varf) ; adauga (var f rl ; } } void inca rca (nod *&v a r f , n o d * &v d r f r) {wh 1 l e (le s te_vi6a(varf_T )) ( x =v a r f _ r - > i n f o ; extrage(varf~r ) ; adauga(varf ) ; } } vo i d salveaza(nod *&v a r f ) ( wh i l e ( !este vida {v a r f l ) { f zccv a r f -o i.n fo -cc" "; ex t.r aqe (varf) ; } ) void ma i n () ( ne d " v e r f , " va r f r ; c rea r e (va r f) ; fl . cl o s e () ; _ descarca (v a r f va r f r) ; e xtrage(varf) ; -<:I - t> incarca{varf ,var[_r} ; salveaza(varf); f2 . c l o s e {) ; } j

Fieeare problema se va deseompune in subproblerne ~i algorilm ul pentru rezolvarea unei subprobleme se va impleme nta cu un subprogram. Datele se transmit i ntre subproqrarne cu ajutorul pararnetrilor de cornunicatie ;;i nu al varlabilelor globale. Se creeaza stiv e in nodurile carora se merno reaza inforrnatia (numere sau caracte re). lnforrnatia se citeste dintr-un fisier text i n care , nume rele sau caracterele, sunt memora te pe acelasi rand, separate prin spatiu. Se vor alege seturi de date de intrare astfel tncat sa se verifiee algoritmul pe toate traseele lui.

148

lmplcm cntarcu s t r uct u r ilo r de date

1. intr-o stiva sunt memorate numere din intervalul [1,10J, ordonal e crescator, iar i ntr-o alta stiva, numere din intervalul [20,30]. ordonate crescator. Sa S8 concateneze cere dOUE! de numere, pastrand ordonarea crescatca re. (Ind icatio. Se rastoarna a doua stiva intr-o a treia stiva , S8 rasto arna si prima suva in a treia , peste numerele din prima stiva , !?i S8 extrag numerele din a treia stiva.) Se cornp ara doua stive fara a pierde conti nutullor i n urma extragerii de noduri. 5e elirni na din stiva numerele pa re. Se rnernoreaza intr-o suva un ~i r de litere mici. Se citeste de la tastatura 0 litera mica a alfabetului - lit. Sa se creeze doua stive: una va contine literele din stiva initiala care preced in alfabet litera lit ~ i alta va conune literele din stiva ini!iala care succed in alfabet litera lit Sa se afiseze in ordine inversa num ere !e dintr-o lista linlara sim plu l nla ntuita. (Ind icat ie . Se incarca nume rele din lista lntr-o stiva, i n ordinea de parcurgere a listei, !?i apoi S8 extra g ~i se afiseaza numerele din stiva.) Se ordoneaza crescator un ~ir de numere, cu ajutorul a doua stive . Determinati complexitatea algoritmului. (Indicat ie. Se folosesc doua stive. Se serie un nurnar in Stiva 1. Se citeste un numar. Daca nurnarul din varful Stivei 1 este mai mare decal numarul citit, atunci noul nurnar se adauqa la Sliva 1; altfel , se descarca din Stiva 1 in Sliva 2 numere pima cand in varful Stivei 1 ajunge un nurnar rnai mare decal nu rnarul citit, S8 adauqa la Sliva 1 numarul citit , si S8 lncarca in Sliva 1 numerele din Stiva 2.) Sa S8 verifice daca 0 expr esie aritrnetica ce contine paranteze este balansata. adica daca fiecare parante za deschisa este i nchisa coree! De exemplu, exp resia (a+b+(cI[d-e]})+ (dis) este balansata, iar exp resia (a+b+{cI[d -e}])+(d/s) nu este balansata , (lnd icatie. Se codifica paranlezele 1-(; 2- [; 3-{; 4-); 5-J; 6-)). Daca stiva nu esle vida ~; daca difere nta dintre codul dintre paranteza citita ~i codul parantezei din varful stivei este 3, atunci se elimin a nodu! din varful stivei: aittel , S8 adauqa la stiva codul parantez ei citite . Daca stiva este vida la term inarea evaluarii expre siei, inseamna ca expr esia este balansata .) ~i ruri

2. 3. 4.

5.

6.

7.

~() rit 1II DC

irn

Cele doua extr ernitati ale coz ii S8 nu mesc ca p ~i baz a . Ada uqarea de noduri la coada se face pri n nod ul baza , iar extragerea ~ i consultarea unui nod est e perrn isa nu mai prin extremitatea cap (se extrage cea rnai veche intormatie adauqata). Imp lementarea dina mica a cozii se face la tel ca a unei liste liniare , cu deosebirea ca: -) primul nod al cozii va fi indicat de pointerul catre tipul nod . iar ult imul nod at co zii va fi indicat de pointerul ,i. catre tipul nod : -7 pentru adauqarea unui nod . se poate folosi numai algoritm u l de adauqa re dupa ul timu l no d ; -7 pen tru extrager ea unui nod se poate folosi num ai algoritm u l pent ru elimina rea prirnului n od . Altle l spus , prelu cr area unei cozi se face d e la ca p s p re baza ~ i se prelucreaza intotdeaun a nodul d in ca p ul cozii. Accesul la inforrnati a din acest nod se face cu c.ap-c-Lnfo r"'

iaa es te coada care nu confine nici un no d si ad resa no d ului cap are va loarea NULL (ca p ~ N UL L ; ) . in coada vid a nu se mai pol execut a ope ratii de ex tragere de noduri. Coada poate sa ajunqa sa fie vida in doua cazuri : la in itlaliza re sau dupa ext rage re a ultimul u i n od . Pentru testarea unei cozi daca este vida se po ate implem enta functia operand este_ v i d a () ca re va furniza val oarea 1 ("adevaran. dad! este vida , :;;i valo area ("fa ls") daca nu este vida .

°

III fo rill 'I tid

149

int e ste_v ida(nod *c a p ) {return c a p == NULL ; } Pentru preluc rari cu ajuto rul coz ii puteti folosi urrnatorli algorit mi: -7 lnitlallzar ea cazii ; -7 adauqa roa unui nod la coada: -7 ex t rage re a unui nod din coa d a: -7 con su lta rea nodului di n cap ul co zii.

2.6.7.1.lnitializarca cozii Prin acest algoritm se creeaza co ada car e con tlne un nod . in acest caz , nodurile cap

~i

baza vor avea aceeasi ad resa . Implem entarea algori tmului. Se foloseste functia procedura la i ni t {} ai carei parametri cap si ba za S8transmit prin referinta, deoarece sunt parametri de iesire. v o id init{nod *&c a p, nod *&b a za )

{ca p =n ew nod ; cap->info=x ; cap->llrl11=NULL ; baza=-cdp ; }

2.6.7.2. Adiiugarca unui nod la coada Nodul se ada uqa la coada ca succesor al bazei. Pasii algo ritmului sunt: PAS1. Se cere aloca rea de memorie pent ru nodul p . PAS2. Se scrie intorm atia in nodu l p PAS3. Nodul p se leaga de nodu! baza PAS4. Nodu l p adauqat devine nodul b aza . hnp lcm entarea alg oritmului. Se foloseste functia procedu rala adauga () al carei parametru baza S8 transmite prin referinta deoarece este parametru de intrare -iesire. void ada~ ga(nod * &b a z a ) {no d *p =n ew no~ ; p->in:o=x ; p ->urm~ NUL L ; Da=~->urm~p ; ba z3 =9 ; }

2.6.7.3. Extraqcroa unui nod din coada Nodurile S8 extrag din ccada pe ntru a putea consu lta inforrnatia care exista in nodurile urrnatoare . Un nod S8 poate extrage numa i in cazul in care coada nu este vida . Se poate extraqe num ai nodul din capul cozii (se eliberea za spatiul care a fast ocupal de nod). i n capul coz ii va ajunge succesorul nodulu i extras . Pasii algoritmu lui sunt: PAS1. Se salveaza adresa nodului cap in pointeru l p . PAS2. Succ esor ul nodului cap devine nod ul cap. PAS3. Se cere elibera rea zone ! de memorie de la adresa rnernora ta i n pointerul p .

lmplernentaroa alg oritmului . Se foloseste functia procecurala extrage () a! carei metru cap S8 transmite prin referinta, deoa rece este parametru de intrare-iesire. voi d extraq e (Ilo d * &c a p ) {n o d *p
para~

2.6.7.4. Prclucrarea cozii Prin acest algoritm S8 consults informatia din fieca re nod al cozii . Deoarece nu poate fi con s ulta ta decat i nfo rrnatia din ca pul cozii , pentru a ajunge la un nod trebuie se extraqa toale nodurile pan a la el. Implementarea algo ritrnului. Se foloseste functia procedurala prelucrareO al carei parametru cap de tip nod se transmite prin referinta, deoarece este parametru de lntrare-iesire. void preluc~are{nod *&c a p ) {wh i le (cap!=NULL) { l i s e prclucreaza c a p- >i n f o ext rage(cap ) i )}

Implem enta rca str uct u r ilor de date

150

Scop exemplificarea modului in care, pentru rezolvarea probleme i, folositi algoritmii de prelucrare a cozilor ~i implementarea lor eu ajutorul subp roqrarnelor .

Enun t ul proble mei. Se citeste dintr-un fi§ier text un §ir de numere separate prin speiiu care S8 depun tntr-o coeoe in ordinea in care sunt citite din tisier. Sa S8 a/imine numiuut din mijloeul eozii, daea numerul de noduri este impar, §i eele oou« numere din mijloe, daea numetut de noduri este par, iar num erele (amase in cooos sa se sctie lnlr-un tisier text. Pentru testarea prog ramufui se vor folosi doua seturi de numere: fl , 2, 5, 3, 4) §i fl , 2, 5, 4) . in prelucrarea cozilor, pentru a putea ajunge la intormatia care trebu ie prelucrata, trebuie extrase toate nodurile pima la nodul care contine acea informatie, deoarece nu poate fi prelucrata decat informatia din capu l cozii. Pentru a nu S8 pierde intorma tia din noduri le extrase, ele vor fi descarcate l ntr-o alta coada (de rezerva), iar dupa prelucrarea lntorrnatiei, nodu rile var fi descarc ate in continuare in coada de rezerva. pana cand coad a initiala dev ine vida. Consulta rea n odul ui ca re confine numaru l 3

coada

coada

2---l.--,,----,---=---,---,,--,---=nSUl~~

~ cap

coada

baza

ocscarca

eap =NULL

cap \ aza

desca rc a

coada de rezerva

coada de rezerva

C1IU c aPJ

Problema se des com pune i n urmatoarele subprobleme, iar algo ritmul de rezo lvare a unei subprobleme este imp lementat cu ajutorul unui subprogram: [E1J Se creeaza coa da cu numerele citite din fis ier (nodurile cap :;;i baza) - subproq rarnul creare () . ~ Se descarca coada in tr-o alta coad a (nodurile c ap _ r sl ba z a_ r) pana la nodu rile care trebuie elimin ate - subproqra rnul de scarca 1 () . Se ex trage nodul sau se extrag nodu rile din mijlocul eozii - sub prog ramul extrage () . lE1l Se descarca res tul nodurilor din coada (nodul c ap ) in eoa da de rez erva (nodul ba z a r ) - sub proqrarnul de s c arca 2 () . ~ Se seriu numerele din eoada de rezerva (nodul c ap r ) i n fisi erul text - subprogram ul s a l v eaza ( ) .

§

#1 nclude < f s t r e o rn . h > str uct nod t i nt info ; n od *u r rn; }; fs t r e a m fl( " c oadal .tx t " , 1 o s : : i n ) , f 2 ( " c o a d a 2 . t x t", ios : :ou t );

i n t x s n , i,j ; v oid in it {no d *&c a p , no d *&ba z a ) {c a p =n e w nod ; cap ->in £o ~ x ; ca p ->u ~m= NULL ; baza=cap ; } int este vi d a{nod *c a p ) {r e tu r n cap==NULL; } v o id adauga(nod *&b a z a ) {no d *p =new nod ; p ->in fo =x ; p ->u rm =NULL ; baza ->u rm=p ; baza=p ; } v 01d ext rage(nod -& c a p ) {no d *p =c a p ; cap=cap->u rm ; del ete p ; } v oid crea re{ nod * &c a p , n o d *&b a z a ) {f l» x; i nit( cap ,baza) ; n ++ ;

151

I II forill a tiea while

( f l » x)

{ a d a u g a (baz a) ;

n ++ i } }

void desc a rca_l(nod *&c a p , no d *&c a p_ r, nod *&b a Za _ L) {x v c e p - o i n f o , ext ra g e(cap) ; ini t ( ca p _r , ba z a _~r) ; i + +; while (i i n f oi extra ge(cap) ; a d au ga{baza r ); i ++;}} voi d desc a rc 3_2(nod *&c a p , noc *&ba za _ r ) {whi le (! e ste vida (cap)) {x=c a p- >i n f oi e xt r age(cap} ; a dauga(baza ~ r) ; } } v o id sa l v e a z a(nod *&c a p ) {whil e { ! este vi da (c a p } ) { f 2« c a p - >i n f o «" "; e x t ra g e (cap ) ; } } void main ()

(nod *c a p ,* ba z a ,* c ap r, *ba za r ; crea r e (cap,ba za ); f l . c los e ( ) ; if

(n%2==O)

j=n/Z -l ;-e l s e j=~/2 ; e xtrage(cap) ;

descarca_l(cap ,cap_~ ,baza_r) ; if (n %2==0) e x t r a qe (cap) ;

~

~ , " " ~

descarca_2(cap ,baza_T) ; salveaza{cap_r) ; f2 . c l o s e ( } ; J ~

Fiecare problema se va descompune in subp robleme ~i algoritmul unei subproblems S8 va implementa cu un subpro- , -f gram . Datele se transmit in tre subprograme cu ajutorul parametrilor de cornunic atie si nu al varia bilelor glo bale. Se creea za cozi in nodur ile caro ra se memoreaza numere intregi . Sirul de numere S8 citeste dintr-un fisier text i n care sunt memorate pe acelasi rand, separate prin spatiu. Se vor alege seturi de date de intrare astfe l i ncat sa se veri fice alg oritmul pe toate traseele lui. 1. Se elirnina din coada nume rele pare. 2. Se verifica caca numerele dintr-o coada sunt ordonat e (cresca tor sau descrescator). 3. Se concateneaza doua cozi, adauqano a doua coada la sfar§iitul primei coz i. 4. Se formeaza din doua cozi 0 a treia coada care contine rnai intai numerele pare din pozitHle impare din prima coada si apo i numerele impare din pozitiile pare din a doua coada. 5. Se inverse aza ordinea numerel or dintr-a coada cu ajutorul unei stive .

Tem«

'>::::J pentru rezolva rea

2.6.8. Aplicatii practice 1. Ana liza lexi cal a a unui text. Sa se afiseze. i n ordine alfabetica, cuvintele dintr -un text ~i frecventa lor de aparitie i n text. 2. Exista co ua automate care elibe reaza bonuri de ordin e pen tru 0 coada de aste ptare. Pe fiecare bon de ordine este trecut nurnarul bonului ~ i momentul la care a fost eliberat (exprimat in ora , minut si secunda). Bonur ile au numere unice . Deservirea persoanelor S8 face in ordinea momentului de eliberare a bonurilor. Sa S8 organi zeze 0 coada de asteptare pe baza bonur ilor emise de cere dou a automate. 3. Jocul lui Josephus . i ntr-un grup de n copii, acestia sunt aranja ti in cerc ~i sunt nurnarati ince pand cu primul copi l pana la nurnaru: k . Cop ilul care are numa rul k iese din joe. iar nurnaratoarea ince pe din nou de la 1 cu urrnatorul copi l. Sa S8 afisez e ordinea de iesire din joc a copiilor. Se vor implementa doua solutii, folosind 0 structure de date de tip: a) cca da: b) lista circulara simplu lnlantuita.

4. Sa S8 simuleze , cu ajutorul unei stive, 0 rnasina de adunat si muJtiplicat. Numerele S8 introduc i ntr-o stiva - si operatia S8 inche ie atunei cand S8 citest e de la tastat ura operatorul n +" (pentru adunarea numerelor) sau operatorul n *" (pentru l nrnuttirea numerelor). Se ma i folosesc : caracterul .A", pentru a anula ultimul nurnar introdus, ~ i caracterul n C~, pentru a anula toate numerele introduse.

_152 _ _ __ _ _ _ _______ _ _ _ --'-Ir:.:.: " I'l cl11 ellta fea Sl f llet IIfilllf de dal e

sa

5. Un automo bil trebu ie parcurqa un traseu care forrneaza un poligon, cu intoarcere la statia de pom ire. Pe trase u exista n statii de alimentare cu carburant care formeaza varfurile poligonului. Fiecare statie de alimentare i este caracterizata de coordonatele (x;,y;). Automobilul consurna 1 litru de carburant la fiecare 20 km ~i nu exista restricne pentru capaeitatea rezervorului. Se citesc dintr-un fisier text urrnatoarele informaui: de pe prirnul rand nurn arul de statii n , de pe urmatorul rand un sir de n numere Cj care reprezinta cantitatea de comb ustibil cu care este alimentat la statia i, iar de pe urrnatorul rand n perechi de num ere X j ~ i Yi care reprezinta eoordonatele statiei i. Din ee punet trebuie sa piece automobilul astfel incat sa parcurga traseul cu intoarcere in punctul de pornire ~i sa nu n3mana tara combu stibil.

Pent ru exercitiile urrnatoa re, daca nu lolosese urrnatoarele dat e:

S8

struct no d tint inf o ; n od * u r m;} ; r. o d * p r i m ,* u l ~ i m /* p ,* q/* r /* u / int x , k ;

specifica sernnificatia variabilelor de mem orie, se

* v :: /* c a p ,* b a z a ;

Raspundoti : 1,

Analizati din punet de vedere al cornplexitatii algoritmii pent ru prel uerarea listelor. Se va folosi i n determinarea cornplexitatii timpul maxim de exec utie Pentru compararea algoritmilor com pletat i urrnatorul tabel: Lista sim p!u i n l a n~ Li sla dublu inf an!uita Neordon ata Ord onata Neordonata Ordonata Cau t a (L ,k) Ad a ~g ~hL ,~)L _____

Elimina L,x ~u cce s o r u l

(h><)

PredecesorullL,Xl MinimJ l 1 Ma xim (L ) 2.

-

0 lista simp lu in lantuita ccntine , in ard ine, urrnatoarele naduri: 2 - ) 4 - ) 6 - ) 8 - ) 10 - ) 12 - ) 14 - ) 16 - ) 18 _.) 20 . Ce se va afisa in urma executiei urma toarei sec vente de prog ram? for { p ~ p ~ i re , k = 1 ; k < 5 ; k ~ ~ , p = p- > u r m );

co u t «

p - > i~f o ;

3.

0 lista simp lu in lantuita contine, i n ordine . urmatoa rete nodu ri: 1 - ) 2 - ) 3 - ) 4 --t 5 -» 6 -o 7 ~) 8. Ce se va afisa i n urma executie i urrnato arei sec vent e de program? for {k =O,p::.:;prim;p->urm !::.;;NULL ; p~p->u rrn) if (p -> i n f o%2) k += p->i nf o ; cout« k; 4. Ce se va afisa i n urma executiei urrnatoarei secvente de program , daca lista sirnplu inlantulta conf ine. in ardine , urrnatoar ele noduri: 1 - ) 2 - ) 3 - ) 4 - ) 5? Dar dac a naduri le ei sunt, i n ord ine: 1 - ) 0 - ) 3 - ) 0 - » 5? f or (p =p r i m; p-> i~f o!= O ;p=p -> u rm : ; c out« p - >i n r o;

5.

Ce se va afisa in urma exec utiei urrnatoarei secv ente de progra m, dac a lista sirnplu contine , in ordine , urrnatoarele nadur i: 1 - ) 2 _.) 3 - ) 7 - ) 8 - ) 9? Dar daca nodurile ei sunt, in ordine: 1 - ) 2 - ) 4 - ) 5 ~) 7 -~) 8?

inlan~uita

f or ( ~ = O , p = p r i m ; p - > i n f o ! = O ; p = p - > u rm )

Informatica

153

i f f p -c-urm -'> 'i n f o r p -' > .i n.f o e -eL ) cou t cc k ,

k++;

Adevarat sau Fals: 1. 2. 3.

Daca p este prim ul nod al listci, pentru a afisa informatia din al doil ea nod se executa secventa de instructiuni; p e p - c- u r m, cou t -cc p- c- Ln fo • Daca peste pr im ul nod al listei, pentru a afisa infcrrnatia din al doilea nod se executa instructiunea: cou t-cc p- c- u rm- >info; Dac a p est e primul nod al Iiste i, pentru a afisa inforrnatia din al treilea nod S8 executa instructiunea: c ou t.c -cp - »u r m- c- u rm- >i nfc :

Aleqeti: 1.

Daca p este primul nod al liste i, iar q al doile a nod al listei, prin ce instructiune se leaqa nodul p de nodul q ? a. p'urm ; C. p=q->urm ; d . p -c-u rm e q : 2. Care din tre urmatoarele variante realizeaza corec t leqaturile in cazu l inserarii unui nod nou in tr-o lista simplu lnlantuita, daca nodul nou are adresa p, iar nodul dupa care se tnsereaza are adresa q? a. o -c-u rme o : q ->urm=p ->urm ; b . p ->urrn=q -> urm ; q ->urm=p ; C. q -c-u rme p -c- u rm : d . p->urm=q->urm ; p->urm=q ; 3. Daca p este primul nod al listei, ce instructiune trebuie executata pe ntru a afis a intorrnati a mernorata in al treilea nod? a . c ou t « p - >u r m- >u rm- >i n f o - >i n f o ; b. c o u t« p - > u :::- m - > i n f o ~ > u r m ~ > i n f o ; c. cout« p - > u .rrn- > u r :n- >i n f o; d . cout« p ->u rm ->u rm->u rm ->info ; 4. Daca p , q si r sunt trei nod uri co nsecutive ale listei , pentru a intersch imba nodul q cu nodul r , care dintre sec ventele de instructiuni este corecta ? a . r ->unn=q ; q ->urrn=r ->urm ; p -c-urrno r : b . p - >u r m= r ; r->unn=q ; q-c-urrrr-r'-c-u rrru c.

q -c- u .rme r -c-u rm .

r -c- urrn-iq .

p ->unn=r ;

d. .r-c-u r me -q , p-c-urme r : q -c-urrn-ir -c-urm . 5. Daca p este un nod al listei " i q un pointer catre tipu l nod, care dintre secventele de instructiuni urrnatoa re realizeaza corect leqaturile astfel i ncat sa se elimine din lista cele doua nod uri care urrneaza dupa nodu l p? a . p ~>u rm=p->urrn->unr,->urm ->urm ; b. p- c- u rm- p- ou rm- c -u rm . C. p->unn->urm=p->urm-> urm ->urm ; d . q =p->unn ; p -c-u rme q -c-u.rm-c-u.rrn: 6. Daca L1 este 0 lista orqanizata ca stiva . stab iliti care este adresa corecta de extragere din stiva:

a.

7.

de lete p ; p=p ->urm ; b. r =p ->urm ; p=r ; delete p ; c . r =p ; p e p-c-u rm : delete p ; d . r e -p - c- u r m: p=r ; delete r ; Ca re dintre urmatoarele secvente de progr am ca lculeaza , in variabila k , suma elementelor din lista simp lu inlantuita: a. for {k= O, p=p r i m; p !=NULL; p = p ->urrn) k+ = p-c-i n f o : b. fo r ( k= O, p""p r i m; p->urm ~ =NULL ;p = p -c-u rm I k+=p-> info ; c. k =O ; p=pri:n ; while (p! =NULL) { k + = p->info ; p = p -c-u rrr u } d . p=pr im ; k = p ->in fo ; do { p = p-c-u rm, k+= p ->info ; } while (p ->unn! =NULL ) ;

i n urrnator!i 7 iterni , variabilele p si q mernore aza adresele de i nceput ale listeJor liniar e simplu lnlantuite nevide L1 si respectiv L2. Elem entele listelor sunt de tipul no d. (Baca taureat - 5e siunea iunie-iu lie 2003)

154 8.

Implernentarcu struct urilor de datc

Trebuie mutat primu l element al listei L1 imediat dup a primul elem ent al listei L2, in rest listele ramanand neschi mbate. Car e dintre urrnatoarele atribuiri sunl nec esare ~ i in ce ordine se etectueaza? 1) r eq- ourm . 2) r-ep - ourm , 3) q-c-urmep , 4) p=r ;

5) p- >urm=r ; 6) p- >urm =q- >urm; a. 1 6 3 4 b. 1 3 5 c. 2 6 3 4 d. 2 3 6 4 9. Trebuie mulat primul element al listei L1 imediat dupa primu l elem ent al Iistei L2, i n rest listele rarnanand nesch imba te. Care dintre urrnatoarele atribu iri sunt necesare ~i in ce ord ine se ete ctuea za? 1) r =q- >urm; 2) r =p->urm; 3) q- c-urm-p , 4) p e r r

5) p->urm=r ; 6) p- >urm =q- >urm, a. 1 6 3 4

b. 1 3 5

c. 2634

d. 236 4

i

10. Daca la sfarsitu l exe cutarii secventei alatu rate valoarea r =p- >u nn r"'l'Nh':w ~ i var iab ilei r es te nu la, atu nci lista L 1: whil e J .t:'! = p && r ) a. are eel putin doua elemen te b. este vida r';'i->UDn i 'l! c. este incorect constituit a d . nu este circulara '"' 11. Functia egale(ad1 ,ad2) returneaz a valoarea 1 dac a ~ i numai daca inforrnatiile utile mem orate la adr esele ad1 ~ i ad2 coincid, altfel return eaza valoarea O. Secventa alaturata calculeaza i n variabila l ntreaqa n nurnaru l de elemente din lista L1: a. disli ncte consec utive aflate la i nceputullistei n =O; r=p ; b. egale consecutive aflate la inceputul listei while (e ga l e (r , p) && r } c. care sunt egale cu primul element { r = r - >u Lln: n-l-+ ; } d . car e sunt egale doua cate doua 12. Daca L1 este 0 coada , cu p adresa primului elem ent si u adresa ultimu lui element, iar r este adresa unui eleme nt ce urrneaz a a fi adauqat i n coada , stabiliti care dintre urrnatoarele es te 0 ope rali e co rec ta de adau qare : a. rvu - c- urm. u= r ; b. r- >urm::o: p: pe r : C. u -o u rme r : u e r • d. r - c- u rmeu , u e r : 13. Pent ru a uni listele L1 ~i L2 plas and lista L1 in continuarea listei L2 , se etectueaz a ope ratiile : a. r e q : whil e (r -> u rm ) { r e r - c-urm, r -> u rm=p ; } b. r

urm) r-e r'- c -u rmr r -c-urm- p : d. r =p : wh il e ( r - >urm) r =r ->UnTIi r - >urm::o::q i 14. Pentru a determina nurnarul de elemente ale liste i L1 se utilize aza 0 variabila intreaqa n astfel : a . n =O: .r e p , while ( c- -c-u rm) {r e r -c-urm . n++ ; } b . n =O: r ep r while ( r) r e r -c-urm: n+ ... ; C. n =O: r e p s while ( r) { r e r -ourm. n + t- ; } d . n =O; r =p ; do { n + + : } while I rl

in urmatorii 6 itemi, variabilele p ~i u rnernoreaza adresa primului, resp ectiv a ultimului element al lisle i Iiniare simplu ln lantu ite nevide L. Elementele listelor sunt de tipul nod. (Bacalaureat - Sesiune a august 2003) 15. $t iind ca L este fermata din 4 elemente, atunc i adresa penultim ului elem ent este : a . p-c- u rm- c- u.rm- > b . p -c-urrn- o u r m C. p- >u r m d . p - >u rm->urm-> urm 16. Elerne nte le din lista L aflate la adre sele q si r sunt vecine (consecutive) i n lista c aca si num ai daca: a . q - >u rm r-c-u rrn b . r- >u r m == q && q ->u nm = = r C. q->u rm d . q == r r I I r - >unn q

Intorm atica

155

17. Stiind ca este cefl nita 0 functie cnf astfel incat cnt(a1,a2) returnea za nurnaru l de elemente situate i n lista i ntre elementele de la adresa a1 si a2 (fara a nurnara elementele de la adrese le respective), care dintre urmatoarele ex presii arata al cate lea este elementul memo rat la adresa q in lista L? a . c n t (p ,q ) +2 b . c nt (q ,u) +2 c . cnt (q ,u)+ l d . cnt (p , q) + l 18. Este defini te 0 fun ctie min astfe l tncat min(a 1,a2) returneaza valoarea 1 daca 'Ii numai daca eel putin unul dintre elementele memorate la adrese le a1 ~ i a2 S8 afla in lista L ~i returneaza valo area a in caz contrar. Care dintre urrnatoa rele expresii are valoa rea 1 daca ~j numai daca elementul de la adresa q S8 afla in lista L? a . min{p , q)

b. min(q ,u}

c . min (p ,u )

d. mi n (q ,q )

19. Un element aflat la adresa q face parte din lista L daca la starsi tul executarii secve ntei alaturate va riabila r are valoarea : a. 1 b. p e. q d. NUL L ! 0 20. Lista L are exac t doua elemente daca: a . p-> unn= =u b. u ->urm==NUL L / ! u->u rm c . P'''' U d. p ->u rm==NUL L / ! p ->urm 21. Daca in variabila p este rnernorata initial adresa primului nod a l unei liste simplu Inlantuite cu eel putin 10 elemente, pentru a obtine in variabila p adresa pen ultimului nod al listei S8 executa secven ta: b. while (! p- >unn) p ->u rrn; a. while ( ! p ) p->urm ; C. wh ile (p- >urm->urm ) p - c-u rm, d . while (p - >u rm) p - >u rm ; (Baealaureat - Sesiunea speciala 2003) 22. Stiind ca intr-o lista circular a simpl u inlanluita cu eel putin doua elemente. adresele p si q reprezinta adresele a do ua elemente distincte din lista, atunci elementul memo rat la adresa p este succesorul elementului memorat !a adresa q in lista daca si numai daca: b . q ->u rm =:::., p a . p-> u nn == q ; C. p ->urm == q -c-urrn , d. q - c -urm-o u rrn == p (Bacalau reat - Sesi unea speciala 2004) 23. Daca lntr-o lista circulara simplu inlantuita . cu eel putin 4 elemente, se cunoaste adresa p a unui element din nsta, atunei este accesibila adresa element ului din lista precedent celui aflat la ad resa p ? a. Nu. b . Da, in orice situatie . c. Da, numai daca p este adresa prirnului element al listei. d . Da, numai daca p este adresa ultimului element al listei . (Bacalaureat - Sesiunea iunie-iulie 2004) 24. intr-a lista liniara simplu i nlantuita nevida , pentru eliminarea elementului ee urmeaza dupa elementul aflat la ad resa p (elementul de la adresa p nu este nici primul, niei ultirnul) un elev utilizeaza trei instructiuni simple (nestructurate). Care dintre instructiunile urrnatoa re poate fi una dintre cele trei? a . p ->unn-> urm = p ; b . d i s po s e (p ) c. p ->urm = p->urm- >u rm ; d . p- c-urm = p (Bacalaureat - Sesiunea iunie-iulie 2004) 25. Noduri!e unei liste dubl u inlantuite retin in carnpurile info, adp si ad u 0 inforrnatie numerica, adresa noduJui precedent si respectiv adresa nodului urmator. Stiind ca lista este eoreet construita si ca doua noduri p ~ i q ale acesteia se lnvecineaza, atunci: a . p- >adp==q - >ad u b . p ->adu ==q ->adu C. p -c-e du we q d . p - >a d p ==q ->adp (Bacalaureat - Simulare 2006)

156 _ _ _______ _ _ _ _ _ _ ---'I=1llplclI1 C II ta rca st.-nctn rHo.- dc da te ___ 26. Daca intr-o lista liniara simplu inlantuita adresa de inceput a listei este p , iar adresa de sfarsit este u , atunci transfonna rea llstei in lista circulara S8 realizeaz8 prin instructiunea : a. p -c-u rm -.u b . p cu- o-u rm C. u - c-u r rnvp d . ue p - c- u r m (Bacalaureat - Ses iunea iunie-iulie 2004 ) 27. Se considera 0 lista simplu Inlantuita ale carei noduri retin in carnpul urm adresa nodului urmator allistei sau NULL daca nu exista un nod urmato r. Pentru inserarea unui nod aflat la adresa p irnediat dupa un nod al listei aflat la adresa q, 58 utilizeaza unele dintre urmatoarele atribuiri: 1) p -c-ur me q , 2) q->u rm =p ; 3) p=q- >urm; 4) q=p -> urm ; 5) p- >unn = q - >u r m; 6) q - >urm= p - >u r m; . Stabiliti care dintre acestea S8 utilizeaza ~i in ce ordine: d. 23 c . 52 a . 36 b . 24 (Bacalaureat - Simulare 2006) 28. Variabila vf mernoreaza adresa elementului din varful stivei . Fiecare elemen t al stivei rnernoreaza intr-un camp ad r adresa urrnatorului element din stiva. Variabila q poate memora adresa oricarui element al stivei. Sa se realizeze elirninarea elementulu i din varful stivei: b. q =v f-> a dr ;vf =q - >ad r ; d e l e t e q ; a . q - >a d r =v f; v f - >a d r =q;delete q ; d. q= v f ; v f =q- >a dr ; delete q ; c . q =v f; v f =v f - >a d r; d elete 'If ; (Bacalaureat - Simulare 2003) 29. 0 lista tiniara simplu i nlan\uita cu adresa de i nceput merno rata i n variabila p este vida daca: b. p ~~ NULL I lp a. *p ==NULL I ! "" P d . e p ! =NULL / "p c. P ! =NUL L I p (Bacalaureat - Sesiunea spec iala 2003 ) 30. i ntr-o lista dub lu in lantuita cu cel pu tin 4 ele mente, fiecare ele»acu-:>adp ; men t rel ine i n carnpu l adp ~ i adu adresa eleme ntul ui precep""'q->odtJ; dent si respectiv urrnat or din lista. Daca p reprezinta adresa p- >ad p=NOLI ,; primu lui element din lista, iar q e ste de acelas i tip cu p , atunci delete q ; secventa alaturata realizeaz a: a. interschim barea pr ime lor doua compo nente b . elim inarea primu lui element d. eliminarea ult irnului elemen t c . elimin area ce!ui de-a! doilea element (Bacalaureat - Sesi unea specia la 2005) 31. i ntr-o lista dublu inlan! uita cu cel putin 4 elemente, fiecare eleme nt reline i n carnpu l ad p ~ i adu adresa eleme ntului precedent ~i resp ect iv urrnator din llsta , Daca p reprez inta adresa pr imulu i elemen t din lista , atunci p ->adu->adu->adp este a. adresa primu lui element b. adresa celui de-al doilea element c . adresa celu i de-al treilea eleme nt d . adresa celui de-al patrulea elemen t (Bacalaureat - Simulare 2005) 32. Intr-o lista circulara simplu i nlantuita fiecare element refine i n carnpul next adresa eleme ntului urmat or. Stiind ca. pentru variabi la p ce rnernoreaza adresa unui element oareca re din lista, este adev arata relatia p ->ne xt=p , atunci lista este fermata din: a. zero componente b. 0 components c . 2 componente d. minim 3 componente (Bacalaureat - Sesi unea august-septembne 2005 ) 33. Daca vf ind ica ultimu l nod al stivei , care dintre urrnatoa rele expresi i trebuie sa fie adeva rate , pentru ca stiva sa fie vida? a. v f ==NULL b. v f - >urm ==O

q;. ; p-

c.

v f - c-u r me e Nu L l,

d.

vf ~ ~O

Informati d

157

34. Daca v f indica ultimul nod al stivei, jar q urrnatoarele secve nte de instructiuni extrage a. q e v f-c-u r rn : v f = q -> u r m; d e l e t e q; c . q =vf ; v f = q -> u r m; d e l e t e q ;

un pointer catre tipul nod, care dint re nodul d in varful stivei? b . c.=v :: ; v : =v f ->urm ; d e l e t e q ; d . q =v f ;v f = q - >u r m ; d e l e t e q ;

35. Daca variabila cap rne moreaza adresa primului nod din coa da si va riabil a b aza rnernoreaza adresa ultimului nod din coada, ca re dintre urrnatoa rele exp resii trebuie sa fie adevaratc . pentru a avea 0 coada vida? a. be z a e v NlfL l .

b . cap-> urm= == ba z a

c . cap==b az a

d . c ap = = NUL L

Miniproiccte: Observatie: Pentru realizarea urrnatoarelo r miniproiecte S8 va lucra i n echipa. Protesorul va numi ccnducatorii de proiect, le va distribui proiectele si le va aloca un buget pentru realiza rea lor (pentru simpli!icare , buge tul va fi folosil numa i pentru plata membrilor ech ipei care vor realiza proiectul). Conducatorii de proiect vor negocia cu profesorul termenul de predare a aplicatiei, echip a cu care 0 vor realiza, si , daca este cazul, bugetul care Ii s-a alocal initial. Pe timpu l realiza rii aplicatiilor, membrii echipelor pot migra de la a echipa la alta. cu co nditia sa rarnana incadrati Intr-una dintre echipe, iar miqratia sa se faca numai cu accep tul conducatortlor echi pelor int re care migreaza. Fiecare echipa va fj to rrnata din : -7 Condu catoru! pro ie ct ulu i I~i va forma echipa ~i va distribui sarcinile pentru fiecare membru, negociind initial suma repartiza ta din bugetul alocat pentru realizarea sarcini i. Va fixa termene de executie pentru fiecare memb ru al echipei ~i va urma ri rnodulin care sunt respectate aceste tenn ene. In cazul In care unul dintre membrii echipei nu i~i realizeaza core ct :?i la timp sarcinile, va redistr ibui a parte dintre sarcini lntre ceilalti rnernbri ai echipe i, renegociind suma din buget alocata fiecaruia dintre ei La sfarsit , va da calificative fiecarui membru al echipei , In functie de modul in care si-au respecta t termenele, de modul in care au cooperat cu ceiialti membrii ai echipei si de calitatea lucrarilor executate. -7 Ana listu l va analiza cerinte!e info rmatio nale ale aplicatie i. va determina functiile apli catiei ~i va elabora modul de rezolvare (datele ~i structurile de da te folos ite, procesele in care este descornpusa aplicatia - care vor f implementate cu subprograme - si meniul care asiqura intertata cu utilizatorul ). In rea!izarea acestor sarcini va f ajuta t ~i indrurnat de conducatorul proiectului. -7 Grupul de pro g ram atori (numarul lor trebuie sa fie stabilit in funct ie de dimensiunea proiectu!ui) va implernenta in Iimbajul de programare solutia qasita de analistul echipei. Conducatorul proiectului Ie va repartiza subprogramele pe care Ie vor realiza ~ i specificatiile fiecarui subprogram: datele de intrare , datele de iesire si functia subprogramului. -7 Testo ru l va testa aplicatia . EI va trebu i sa aleaqa set uri de date de intrare astfel incat sa gaseascii erorile de loqica ~i de executie ale aplica tiei , -7 Documcnta ristu l va Intocm i docurnentatiile aplicat iei : documentatia pentru beneficiar si docurnentatia pentru pro iectantul aplicatiei La terminarea pro.ectului membri i echipelor vor prim i note pentru evaluarea activ.tatii lor. Sistemul de evaluare trebuie sa tina cant de venitu rile rea lizate pentru munca depusa , de calificativul obtinut de !a conducatorul de proiect si de ca!itatea muncii eva luata de profesor. 1. Pentru biblioteca scolii sunt aduse carti de la mai multe edituri. Cartile trebuie organ izate i n ordinea alfabetica a autor ilor , ~i pe fiecare autor in ordinea alfabetica a titlurilo r. Este posib il ca pen tru acelasi autor ~i acelasi titlu sa se prirneasca ma i mu lte exempla re. Se va folosi cate 0 stiva pentru fiecare autor, In care se va simula teancul de titluri primite , pentru fieca re titlu rnernorandu-se si numarul de exe mp lare . Numele autorilor si adresa

158

Implcm cnta rca st ruct ur ilor de da te

varfului stivei de carti asociate S8 vor memora i ntr-o lista ale carei elemen te contin in info rmati a utila do ua carnpuri : un camp de tip sir de car acte re pentru numele auto rulu i si un camp de tip pointer cate tipul nod al stivei pentru varful stivei. Scrieti a aplicatie care sa asigure urrnato arele ope ratii prin intermediul unui meniu : a. Distribuirea pe autori si titluri a unui teanc de carti sosit de la 0 editura. b . Afisare a titlurilor si a nurnarului de exemplare ale unui autor al ca rui nume se citeste de la tastatura. c. Afisarea in ordine alfabetica a autorilor si a numarului de titlu ri si de exemplare pent ru fiecare auto r. d. Numele autorilor cu cale mai multe, respectiv cu cere rnai putine titluri. e. Numele autorilor cu cele ma l mu lte, respectiv cu cele ma i putine exemplare. 2. La un concurs participa mai multi candidati identificati du pa nume ~i prenume . Fiecare candidat primes te la i nscriere un nurnar de identificare. Concu rsul consta i n trei probe , notele putanc lua valori de la 1 la 10. Rezultatul concursulu i se stabileste pe baza mediei aritrnetice a notelor primite. Trebu ie prevazute doua varian te de admitere a candidatiler: sunt adrnis i toti candid atii care au a medie mai mare decat m ~i sunt admlsi, i n ordinea med iilor, primii k candidat i (valorile pentru m si k se citesc de la tastatu ra). Scrieti 0 aplicatie care sa asigure urrnatoa rele operatii prin intermediul unui rneniu: a. Inscrierea unui no u cand idat la concurs. b. Retragerea unui candidat din concurs. c. Completarea notelor ~ i calcularea mediei pentru fiecare candid at. d . Modifica rea infor rnatiilor despre un candidat. e. Afisarea candi datilor adrnisi i n fiecare dintre cele doua variante in ordinea descres catoa re a medi ilor. f. Afisarea candidatilor adrn isi in fiecare dintre cere dou a va riante i n ordinea alfabetica a numelui si prenumelui . 3. Intr-un depou exista 0 linie pe care se gasesc mai multe locomotive , aranjate in ordine a in care au intrat in depou, ~i a linie pe care se TRIAJ LOCOMOT IVE gasesc mai multe vagoan e, aranjate i n ordinea i n linia de linia de care au intrat in depou. Fiecare locornotiva ~i intrare i e~ i re fiecare vagon are un num ar de identificare. In plus , pentr u fiecare vagon este preciza ta ~ i clasa (clasa 1 si clasa 2) Pentr u linia care contine locomotivele exi sta un tria] cu k linii de rnanevra . Valoa rea k lin ii de rnan evra pentr u k se citeste de la tastatura. in triajul vagoanelor exista 0 linie de intra re ,,1 0 linie de iesire pe care depla- TRIAJ VAGOANE sarea se poate face numa i in sensul saqetilor si 0 linie de linia de linia de ma-nevra pe care dep!asarea se poate face in ambele intrare ies.re sensuri. Scrieti 0 aplicatie care sa asigure urrnatoarele operatii prin inter-mediul unui meniu: a. Intrarea unei locomotive in depou. l ,inia de _ b. Afi~area locomotivelor din depou . Jm anevra c. lntrarea unui vagon in depou . d. Afisarea vagoanelor din depou , precizandu-se cate vagoane sunt de c1asa 1 ~i cate sunt de clasa 2. e. Formarea unei garnituri. Garnitura este fermata dintr-o locornotiva cu numarul de iden-tificare p n vagoane , dintre care m vagoane sunt de clasa 1 (valorile pent ru p. n si m se citesc de la tastatura).

"i

Inform atica

159

2.7. Graful 2.7.1. Definitia matcmaticii a grufului Se nurneste graf (G) 0 perec he ordonata de rnultirni (X,U), unde X este 0 rnultirne finita ~i nevld a, iar U 0 multirne de perechi formate cu elem ente distincte din mu ltirnea X (familie de subrnultimi cu doua elemente din rnultimea X). Terminologie:

-7 Elem entele rnultirnii X se nume sc varfuri sau noduri. Mulfirnea X se mai nurneste

~i

multirnea varfurilor sau rnultimea nodurilor grafului G. Ea este de forma :

x = {X1J X2, X3, ... , Xi• ... , X

n}

unde Xi reprez inta nodul i al grafulu i G care are n noduri . -) Ordinul grafului reprezinta numarul de noduri ale grafului, n :

ordinul grafului = eard(X) = n

-7 Elementele rnultimii U sunt perech i de nocuri , adica submultirn i eu doua elemente din rnultirnea X ~i se noteaza cu Uk . Elementul Uk este definit de perechea de forma {x;, Xj} , unde x, XJ EX ~i X;*XJ (elemente distincte din rnultirnea X). Elementul u, leaqa nodurile x, ~ i xJ si se noteaza astfel : [X;, Xi). Multirnea U este de forma: U={U1. U2, U3 , ....

ue, "

OJ

Um}

Clasificarea grafurilor: Criteriul de clas ificare folosit este proprietatea de simetrie a rnultirnii U .

Mul\imea U are proprietatea de s imetrie daca §i numai daca, pentru orico per ee he d e noduri (x;, Xj), daca [x, Xi}E U, at un ei §i (xi ' X;}E U in functie de prop rietatea de simetrie, grafurile se clasifica In : ~ Grafuri neorientate. Un graf G=(X,U) este un graf neorientat daca multirnea U are pro prietatea de simetrie. Mu1limea U este fermata din pereehi neord onate {xi, x;}. ~ Grafuri orientate. Un graf G= (X ,U) este un graf orientat daca rnultimea U nu are proprietatea de simet rie. Mu ltimea U este fermata din pe re c hi ordo na te { Xj, Xi}. Pentru a identi fica tipu l de graf pe care 11 veti folosi pentru a repre zenta datele , daflniti rel atla dintre noduril e grafului si verificati daca relatia are proprietatea de sirnet rie, astfel: ~ Daca nodul X In relatie eu nodul y irnplica ~ i ca nodul y este In relatie cu nodul x, atunci grafu l este neoriental. ~ Daca nodul X In relatie cu nodul y nu irnplica ~i ca nodul y este In relat ie cu nodu! x, atunci grafu l este oriental.

I S1bul.dlJi.u de CSlZ I Seop: identifiear ea tipul ui de graf pe care 11 folositi pent ru a rezolva problema . Enuntul problemei 1. Pe neno unui jude! exist» mai muite locetitet) care sunt legate prin sose te pe care S8 citcule in ambele sensuti. Sa se identltice traseele pe care se poate ajunge de la localitatea A la tocalitatea B.

Irnplernentarea strueturilor de da te

160

Nodunle grafului sunt localitatile. Relatia care se stabileste lntre nodu rile grafului este: nodul x este in relatie cu nodul y, daca exista 0 sosea care lea qa direct local itatea asociata ncdului x cu localitatea asociata nodului y. Relatia are proprietatea de simetrie, deoa rece soseaua care leaqa direct localitatea asociata nodului x cu localitatea asociata nodului y leaqa direct ~i localitatea asociata nodului y cu localitatea asociata nodului x. Pentru reprezen tarea caller de cornunicatie dintre lccalitati S8 va folosi un graf nooriontat . Enuntul problem ei 2. Pe haria unui cartier existe rna! multe itite rsectii care sun! legate de strezi. Pe unele strezi S8 paale circula in ambefe sensuri. pe alte strez! numei tnu-u» anumit sens . Sa S8 identifice traseele prin care se poate ajunge de la iniersectie A la intersectie B.

Nodurile grafului sunt intersectii'e. Relatia care se stabileste lntre nodur ile gralului este: nodul x este In relatie cu nodul y , daca exists trafic care leaga direct intersectia asociata nodului x cu intersectia asociata nodu!ui y (se poate circula de la nodul x la nodul V). Relatia nu are proprietatea de simetrie deoarece, daca exista 0 strada care leaga direct intersect.a asociata nodului x cu intersectia asociata nodului y §i pe aceasta strada exista trafic de la nodul x la nodul y , nu este obligatoriu ca pe acea straca sa existe trafic si de la nodul y la nodul x. Pentru reprezentarea traficului auto dintre intersectii S8va folosi un graf ori entat . En u ntul p rob lemel 3. La nivelul unui grup de persoene se face un studiu social. intre persoane se stabilesc retetii de prietenie, dar §i releti: de simpatie . Sa se descrie eu ajutorul grafului rotntiile dintre porsoane.

Nodurile grafului sunt membrii grupului de persoane. intre persoane se pot stabili relatiile: -j- Relatia de prietenie este 0 relatie definita astfel : persoana x este In relatie cu persoana y , daca este prietena cu ea. Relatia este sirnetrica deoarece, daca persoana x este prietena cu persoana y , atunci si persoana y este prietena cu persoana x (relatia de prietenie presupune reciprocitate ). Pentru reprezentarea relatillor de prietenie dintre membrii grupului se va folosi un graf noorientat . -j- Relatia de simpatie este 0 relatie defin ita astfel: persoana x este In relatie cu persoana y , daca 0 simpatizeaza. Relatia nu este sirnetrica deoarece , daca persoana x simpatizeaza persoana y, nu este ob ligatoriu ca persoana y sa simpatizeze persoana x (relatia de simpatie nu presupune reciprocitate ). Pentru reprezentarea relatiilor de simpatie din tre membrii grupului S8 va folosi un graf o rienta t .

~.

$

1. Prin ce tip de graf va fi reprezentat un grup de persoane lntre care s-au stabil it relat ii de vecinatate?

~. 2. Prin ce tip de g r~f va fi reprezentat un grup de persoane Intre- C>care s-au stabilit relatii de cunostinta? 1'11111 1 -j-

r

n-rri-nt:

srminoloqre

Elementele multirnii U (perech ile de noduri) S8 numesc mucn u. Multirnea U se mai nurneste si Itimea muchiilor grafului G. 0 muchie, fiind un element din rnultirnea U, este ce terrninata de 0 subrnultirne cu doua eleme nte din multimea X: muchia k a grafului ( ), care uneste nodurile Xi ~i Xj , este determinata de subrnultirnea {Xi, xi} ~i se noteaza cu x"j ' [x., Xj] ~i [ Xj , Xi ] reprezinta aceeasl muchie a grafului. Graful G are m muchii : nurnar ut de muchi i = ca rd (U) = m

161

In fo rmatica -7 Numim noduri adiac ent e orice pereche de nodu ri care forrneaza

0 muchie - {Xi,Xj} EU . Fiecare dintre cele doua noduri (x, ~ i Xj) este nod inc ident cu muchia Uk = [x;,Xj] . -7 Nodurile vec in e unui nod Xi sunt toate nodurile Xj care sunt adiacente eu el. -7 Se nurneste nod ext rem al unei muchii oricare dintre cele doua nod uri care S8 gasesc la capatul muchiei . Nodurile Xi ~ i Xj sunt extrernitatile much iei [Xi . Xj]. -7 Se numesc rnuchi i i nc iden te do ua muchii U j 9i Uj care au 0 extremitate comuns nadul Xk. Un graf neari entat G este definit de 0 pereche de rnultirnl: rn ult irnea nodurilor sale - X ~i rn u lti rnea muchi ilor sal e - U. EI poa te fi con siderat ca o rnultirne de noduri din care unele pot fi unite doua cate doua printr-o muchie.

Grafu l S8 reprez in ta In pla n prin intermediul unor elemente geometrice: n od uril e se reprezinta prin cercuri, iar muchiil e prin linii drepte care unesc anumite cercuri .

0"

~

Nodul xi al grafulu i G

Muchia Uk=[Xi,Xj] a g rafului G

' - Nodul Xj al gratului G Elemenlele mult irnii X (nadurile) se identiflca cu ajutarul unar etic hete , care pot fi numere sau litere. Pentr u simp lificare , vom folosi ca etichete un sir de numere consecutive, lncepand cu nurnarul 1. De exemplu, pentru un grat cu n noduri, vom tolosi etiche tele: 1, 2, 3, ..., n-1, n. 0 muchie se va nota cu [i ,j] , unde i ~i j sunt etichetele nodurilor incidente cu muchi a. De exemplu , muchia [2,3] este muchia care uneste noduri le cu etichetele 2 ~i 3 Exem plul 1: in gratu ! G, =(X" U, ) din figura 1: -7 Ordin ul gratu lui este 8. -7 Graful are 8 naduri (n=8) ~i rnultim ea nodurilor este X,={1,2,3A,5,6,7 ,8} -7 Graful are 9 muchii (m=9) ~i mu ltimea muchiilor este Fig . 1 U ,={[1,2]. [1,3] , [1 A], [2,3], [2,5], [3A], [3,5], [6,7]. [6,8]) . -7 Nodu l 1 este n od adia cent cu nodur ile 2, 3 ~i 4, iar nodu l 6 este adiacent cu nodurile 7 ~ i 8. Nodurile 3 ~i 4 sunt adiacente deoarece perechea de noduri [3A] EU , . Nadu rile 5 ~ i 6 nu sunt adiacente deoarece perechea de nodur i [5 ,6] ~U ,. -7 Nodul5 este nod inci dent cu muchiile [2,5] si [3,5], dar nu este incident cu muchia [1,2]. -7 Nodul 3 este nod extrem much iilar [1,3], [2,3], [3AJ ~i [3,5]. -7 Muchii le [1,21 si [2,3] sunt m uc hii inciden te deoarece au un nod comun (nodul 2). Muchiile [1 A] ~i [2 ,3] nu sunt muchii incidente deoarece nu au un nod comun .

~ ~

~

Teorema 1 Daca graful neorientat G are n noduri (x " X2, ..., xo) , atunci nu m arul total de grafuri neorientate care sepot forma cu aceste nod uri esteg:

(J= 2c~

b

Dem c nstratle. Notam cu X multimea nodurilor grafului, cu U rnultirnea muchiilor, cu A multimea tuturor subrnultirnilor de doua elemente din X ~ i cu B multimea {O,1}. Multimea A are urrnatoarete elemente (subrnu ttimi) :

162

Implemen tarea st r net u r ilor d e date [1,2J,

[1,3], [2,3].

[1,4], [2,4].

[1,n]

0- 1 sub mulpm i

[2,n]

0-2 submulturu

[0-1,0]

Nurna rut total oe su bmultirnieste: (n- I) +( n -2) + ... + 1 =

1 sub rnuhirne

n x( n - I) 2

Notarn cu a - card{A):;;i cu b - card(S). Fieca rui graf ii putem asocia 0 funcue f:A ~B de finita a taturat. lovers, unei functii f:A ~ B ii putem atasa un grat, astfel: f(1x,y})=1 daca si numai da ce [x,y]e: U, Rez ulta ca numarul total de grafuri care se pot forma cu n noduri este egal cu 3

numarut de funct ii f. Dar. numarul de functii f:A-) B este ega! cu b

,

C'

" 1' da ca [x.y]

E

U

f( { x.y l)=

_

unde b=2:;;i a=

{ O. caca [x ,yJ e. U

C~

in gra!ul G , - cu ce noduri este adiacent nodu l1? i n gra!ul G, - cu ce muchii este incident nodu l 1? 3. Dati exemple de doua noduri adiacente ~i de ooua noduri care nu sunt adiacente in gra!ul G,. Dati exe mplu de doua muchii incidente ~i de doua muchii care nu sunt incidente in gra!ul G ,. Desenati gra!ul G,=(X" U, ) definit astfel: X, ={1 .2 ,3,4 ,5,6,7 ,8} U, ={[1,2J, [1 ,3), [1 ,5], [2,3]. [2 ,5J, [3,4), [4 ,5J, [4 ,6], [4 .7)}. Desenati gra!ul traseelor rutiere care la c legatura int re localitati le Brasov, Bucuresti, Buzau, Ploiesti ~ i Constanta. Oaca exists mai multe trase e rutiere i ntre doua localitati (de exemplu, Bucuresti ~i Brasov), adauqati la gra! noduri pentru localitatile care identifica unic aceste trasee (de exemplu , Valenl i de Munt e, Tarqoviste si Pitesti), Desenati gra!ul judetelor din Roman ia (intre doua jude te exista a muchie daca cele 1.

4. Go 5.

6.

7.

~ 2 doua judete sunt invecinate). Cate grafuri se pot construi cu 3 rnuchii? Desenati toate grafurile care se pot construi cu 3 muchii. 4 3 5 9. Pentru graful G J din figura 2, precizau ordinul, num arul de noduri, nurnarul de muchii ~i multimile X3 ~i U3 . 6 7 10. Structura unei molecule de substanta chimica poate fi reprezentata Fig . 2 printr-un gra! neorientat , i n care nodurile sunt atomii ~ i grupa rile din care este cornpus a molecula, iar muchiile sunt leqaturile dintre ele . in figura 3 este prezentat gra!ul rnoleculei de apa H20 . Reprezentati gra!urile moleculelor de H2S04 , NH3, CH4 ~i C2H4. H H

8. C;'~J'

/\

2.4.2.2. Gradul unui nod al grafului neorientat

Fig. 3

Nodul unui gra! este cara cterizat pnn grad. Gradul unui nod Xkal gra!ului G esle egal cu nurn arul muchiilor incidente c u nodul ~i se not oaza c u d(xk) ' Tcrminologie : ~ ~

Se nurneste nod terminal un nod care are gradul egal cu 1 - d(xk) = 1 (este incident cu 0 sinqu ra muchie). Se nurneste nod izolat un nod care are gradu l ega l cu 0 - d(xk) = 0 (nu este adiacent cu nici un alt nod al grafului, adica nu S8 g a se ~ te in extremitatea nici unei muchil) .

Info rmat ica

163

Exemplul1 :

®

Graful G 4 =(X 4 ,U 4 ) din figura 4 este defin it astfel : X 4={1 ,2,3,4 ,5,6 ,7,8,9, 10,11} U,={[ 1,2], [1,4J, [2,3J, [2,5], [3,4J, [3,5], [5,6J, [5,7J , [5,8J, Fig . 4 [7,9] }, in graful G 4 : -7 G rad u l nodu lui 5 este 5, deoar ece are 5 muchii incide nte: [2,5J, [3,5], [5 ,6J, [5,7] ~i [5,8J -7 Nodu l 9 este nod te rm inal, de oarece are gradul 1 (0 sinqura muchie tncide nta: [7,9]) . -7 Nodu l 10 este no d izolat, de oarece are gradul 0 (nic io mu chie incidental.

G4,

@

Exe mplul2 : Fie graful G5=(X S.Us), unde X s={1 ,2.3,4,5,6.7,8} si Us={[1 ,2J, [1,5], [2,3], [2,5J, [3,4], [3,5J, [4,5], G, .,,",," [4,6], [4,7J). Din lista much iilor unu i graf neorientat , putef preciza urmatoarele inforrnatii: -7 Determinati gr adul unu i nod - nurnarand de cate on apare eticheta nodului i n lista de muchii. Nodul 5 are gradul 3 (in multirnea muchiilor, eticheta 5 apare de 3 on: [1.5J, [2,5J, [3,5J). -7 Det errninati dace un nod este terminal - verificand da ca eticheta lui apare 0 singura data . Nodul 7 este no d terminal (eticheta lui apare numai intr-o sinqura muchie : [4 ,7]) . -7 Deterrninati da ca un nod este izo lal - verificand daca eticheta lui nu apa re i n lista de muchii. Nod ul 8 este nod izol at (eticheta lui nu apare in lista muchiilo r). -7 Deterrnin ati nu rn aru l de nod uri izolatc (n -) astfel: nurna rati etichetele distincte care apar in lista mu ch iilor (n 2) ~i n1=n-n2 . i n graful G s, i n lista de muchii exista 7 etichete distincte. Nurn arul de noduri izo late este 1 (8-7).

Observatie: intr-un graf cu n noduri, oricare ar fi nodul egal cu 0 ~i m ai mic sa u egal cu n-1 (O';d (xk)'; n -1).

Xk ,

gradul sau este rnai mare sau

-------------- .-----.. 1. in g raful G 4 : precizali gradul nodu lui 3 ~ i identificati nodu l cu gradul cel

mai mare, nodurile izolate si nodurile terminale. 2. in graful G 3 : identiflcati nodu rile care au gradul 2, precizati cate noduri au gradul impar si care este nodul cu gradul eel mai mare. 3. in graful G s: precizat i grad ul nodulu i 3, identificati nodurile izolate si nodurile term inale , precizati cate noduri au grad ul 2 ~i cate noduri au gradu l impar.

Teorerna 2 Daca gra ful G are m rnu chl i (Ul, U2, ... , um) ~i n noduri (x-, X2, .. . , Xo ) , atunci in tre gradul nodu rilc r si numarul de muchii exista urrnatoarea relatie: suma gra dalor tuturor noduriJ or

grafului este cgala cu dublul numarului de muchii:

i: d( 'J ~ 2 m

;,- 1

Dem on stratie. Fiecare muchie Uk = [xj, Xi] coresounde unei unitati din gradul nodului Xi ~i unei unita\i din gradul nodului Xj . Rezulta ca fiecare muchie contribute cu 2 unitati la sum a gradelor.

Exemplu . in gratul G 4 : d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) + d(6) + d(7) + d(8) + d(9) + d(10) + d(l l ) = 2+2+3+2+4+1+2+ 1+1+0+0 = 18 = 2x9 = 2xm

... Propozltla 1. Pentru orice graf G , nurnaru l nodu rilor de grad impar es te par. Demon st ratie. Suma gradeJor nodurilor fiind un numar par, aceast a surna trebuie sa contina un numar par de termeni care sunt numere impare.

Exemplu . in graful G 3 exista 4 noduri cu grad impar (3, 6 , 8 ~i 9).

164

Imp lcmcntarca st r ucturilor d c da tc

Propozitia 2. Numarul minim de much ii, rnm tn, pe care trebuie sa Ie aiba un graf neorien tat, cu n noduri, ca sa nu existe noduri izola te, este: III "''''

=[

II ;

I]

sa

sa

Dernon stratl e. Pentru ca un nod X j nu fie izolat , trebuie ca d(X r);:::.1. Pentru ca toate noduri le nu fie izolate, trebuie ca suma gradelor sa fie mai mare sau egala cu n . Dar, suma gradelor este dub lul nurnarului de muchii - m . Insearnna ca , pentru n par - mmin=n/2 , jar pentru n impar - m min=(n+1 )/2 .

Teorema 3 Daca gralul G are

n nod uri (na), atunci eel putin doua noduri au acetasi grad.

Dernonstratte - prin reducere la absurd. Presupunem cit nu este adevarat. Cum, oricare ar fi nodul xe. O ~d( xk)~ n -1 , ln searnna eel sinqurul sir de n numere, diferite intre ele doua cate c oua. care pot reprezenta gradele unghiurilor este 0, 1, 2, ... , n-l . Deoarece un nod es te lzotat, eel ma i mare grad al unu i nod nu poate fi decat n-2 (nodul nu se poate lega de el Insusi s! de nodul izolat). Rezulta ca sirul de numere definit mai sus (singurul ~ir care se poate defin i) nu poate reprezenta sirul gradelor in graf.

1. in graiul G, ,, verificati ca este Indeplinita relatia dintre gradul nodurilor si nurnarul de muchii ale gralului . ldentiflcati nodurile cu grad impar ~i verificati ca nurnarul lor este par. 2. Daca un graf are 8 noduri, care este nurnarul minim de muchii pe care trebuie sa Ie aiba, ca sa nu fie noduri izolate. Oesenati un graf care, avand nurnarul minim de muchii stabilit, nu contine noduri izolate . Daca un graf are 9 noduri, care este nurnarui minim de muchii pe care trebuie sa Ie alba, ca sa nu fie noduri izolate. Desenati un graf care avand numarul minim de rnuchii stabilit nu contine noduri izolate.

,}

2,7,2.3, $irul grafic Se nurneste sir g rafi c un sir s de n numere intregi pazilive (d" d" .." do) care pot reprezenta gradele unui graf neorientat, cu n noduri. Propozitia 3

Cond itllle necesare ca un ~ir de n numere intregi pozitive (d" d" ..., dol sa fie un sir grafic sunt: (1) d,,; n-r , penlru once i=1,n; (2) suma d, + d, + ... + do trebu ie sa fie un numar par. Demo nstratle. Neces itatea ccn ditiei (1) rezutta din faptul ca grad ul ma xim al unui nod dintr-un graf cu n noduri poate fi n -t . Necesitatea conditie i (2) rezulta din Teo rema 2 - suma gradelor fiind ega la cu dub lul numa rului de rnuch!i, este un nurnar par .

Ac es te conditil nu sunt intotdeaun a ~i suficientc . Pentru a verifica dac e sirul de numere este sir graf ic, se face ana liza sirului de numere . Exem ple: (a) s=(1,1,2,3,3,4,5,5,7,8) Acest sir nu indeplineste una dintre conditiile necesare - (2) " suma numerelar este 39. (b) s=(1,1,1,2,2.3,5,6,8,9) Acest sir lndeplineste condltiile necesare (suma numerel or este 38 l}i fiecare nurnar este mai mic sau egal cu 9: 9=1 0~1 ) . Aceste cond itii nu sunt tnsa suficiente . Din analiza sirului rezutta ca nodul 10, avand gradul 9, este legal de toate celelalte 9 naduri . Nadurile 1, 2 si 3 sunt naduri l erminale. Ele nu pot f leqate decat de nadul 10. Rezulta ca gradul maxim

165

III fo r illa Iicii

pe care i l poate avea oricare dintre celela lte sase noduri este 6 (ele nu se pot lega de ere insele si de nodurile 1, 2 ~i 3). Dar nodul 9 are gradul 8, ceea ce este imposibil. (c) s=(1,1,1,2,3,4,5,6,6,9) Si aeest ~i r Ind eplin este conditiile necesare (suma numerelor este 38 ~i fiecare numar este mal mic sau egal cu 9). i n plu s, fala de sirul (b), avand aceleasi gra de pent ru nod urile 1, 2, 3 ~ i 10, i nde plineste ~ i condit ia ca celelalte nod uri sa alba grad ul mai mic sau ega I cu grad ul max im posibil (6). Dar , exis ts doua nod uri cu grad ul 6. Ele trebuie sa se leg e arnandoua de nodul 4, la care este legat si nodul 10. Nodul 4 trebu ie sa aiba eel putin gra dul 3. Dar nodul 4 are gradu l 2, cee a ce este impo sibil. (d) s=(1,1,1,3,3,4,4,5,5,9) Acest ~ i r i ndeplineste conditiile nec esare (suma numerelor este 38 si fiecar e numar este ma i rnic sau ega l cu 9) ~i este un sir grafic caruia i se poa te asocia grat ul G, =(X6 ,U6 ) , cu 18 muchii , definit astfel. X6 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,1O} U6 ={[1 ,10], [2,10], [3.1OJ, [4,8J, [4,9J, [4,10), [5.8], [5,9], [5.1OJ. [6,7J , [6,8J, [6 ,9], [6,10). [7,8J, [7,9J, [7,10), [8,10J, [9,10]}. ~

Precizat i daca sirurile s,= ( l ,1,2,2,4) ~i s,=(0,1,1,1,4) pot fi siruri gratice. Pentru sir ul care este sir grafic, gasiti un graf care i S8 poate as ocia .

2.7.3. Graful oricntat Spre deosebire de gratul neorienta!, In gratul orientat pere c hile de nod uri s unl ordo nale . Gratul orientat se mai nurneste ~i digraf.

2.7.3.1. Terminologie ~

Elementele rnultirnii U (perechile de nodur i) se nume sc arce. Mul\imea U se mai nurneste ~i rnultirnea arcel or gratului G. Un arc, fiind un element din multirn ea U, este determinat de 0 submultirne ordonata, cu doua elemente, din multimea X: arcul k al gratului (Uk), ce uneste nodurile x; ~ i Xi ' este determinat de subrnultimea {x;,x,} ~i se noteaza cu [x ;, xi] ' [ x;, xi] ~i [Xi, Xi] nu roprezinta ace las i arc aJ g rafulu i. Gratul G are m aree: nu m aru l de arce = ca rd( U) = m

-7 Se numesc n oduri adia ccntc in graful G oricare din perechile de noduri care tormeaza un arc - (X"X,) EU sau (xj,x,)e U. Fiecare dintre cele doua noduri (x, si xi) este nod inc ide nt cu arcul U k =

[ Xii Xj]

sau cu arcul U k

=[ Xj , X i].

Xj sunt ex trem itati le arcului [ Xi, Xj]. Nodul X i este extrcrnitatea initial a a arcului, iar nodul Xj este extremitatea finala a arcului . Se numesc arce incidcnte co ua arce u, ~i Uj care au 0 extremitate com uns - nodul Xk. Se num este suc cesor al nodului Xi orice nod la care ajunge un arc care iese din nodul Xi. MUI~ime a succcsorilor nodului Xi este fermata din rnultirne a nodurilor la care ajung arcele care ies din nodul Xi. Se noteaza cu S ( Xj) si se defineste ca multirnea: S(x) = {Xi EX (X;, xj)e U}

-7 Nodurile Xi si ~ ~

I

~

Se nurneste prcdcccsor al nodului Xi orice nod de la care intra un arc in nodul Xi Mul1imea predecesor ilor nodului Xi este fermata din multimea nodurilor de la care ajung arcele care intra in nodul Xi . Se noteaz a CU P(' si S 8 defineste ca m uttimea: P(x) = { Xi e X I (xj, x;)e U)

e,

166

IlIIplclllcntarca st r nct ur ilor dc datc

-7 Mul~irnea arce lor care ies din nodul U+(x,) = {u=(x,.

Xj)

Xi S8

IUEU} .

-7 Multimea arcelor care intra in nodul x,

I

noteaz a S8

CU

U+(X i) ~j

noteaza cu

U -(X i)

S8

!?i

de fine ste ca rnultimea S8

define ste ca rnutti-

mea U"(x ,) = {u=(x;. x,) UEU}

-7 Nodul sursa a l grafului este nodul care are rnultimea succesorilo r fermata din toate celelalte noduri, mai putin el, jar mu ltimea predecesorilor sai este mul timea vida.

-7 Nodul destinatie al gralu lui este nodul care are multimea predeceso rilor fermata din toate celelalte noduri, mai putin el, iar rnultimea succesorilor sai este rnultirne a vida. Observatii 1. card(S(x))=card(U+( x)) ~i card(P (x ))=card(U"(x)) 2. Pentru nodul sursa al qrafului card(S (x))=c ard(X).1 ~i card( P(x ))=O. 3. Pentru nodul destinatie al gralului card( P(x))=ca rd (X)- 1 ~i car d (S( x))=O. 4. Daca un graf are un nod sursa , atunei nu poate ave a un nod destinatie, ~i inve rs. Un g raf o rientat G es te d efinit de 0 per eche de rnulti m i : rnultim ea nodurilor sal e - X m ultlmea a rcelo r sa le - U . EI p o ate fi co ns ide ra t ca 0 multirn e d e noduri din ca re un el e pot fi unite doua ca te dou a, p ri n unul sa u d ou a arce .

~j

G raful orientat se rep rezinta in plan prin intermed iul unor elemente geometrice: nodurile se reprezinta prin ce rcuri, ia r arcel e prin linii drepte care unesc a numite cercuri si care a u 0 saqsata la ca patul ca re core spunde extrernitatii finale a arcului.

0 "'- Nodul x i al g rafu l u i G

~ ' - Nodu l

Xj

Arc ul uk=[xi,X j] al g ra ru l u i G

al grafului G

Exemplu :

:;>

t; , in graiul G, =(X" U, ) - din figur a 5: -7 Ordinul grafului este 5. -7 Gral ul are 5 nod uri (n=5) si rnultim ea nodurilor este X, ={ 1,2,3,4,5} . -7 Gralul are 7 arce (m=7) si multirnea arce lo r este U, ={[1 ,2], [1,4 J, -7

-7 -7 -7

~ 2 5

3 Fig 5 {2,3J, [4,1], [4,3], [5,2], [5,31}. . Nod ul 1 este nod ad iacent cu noduri le 2 si 4, iar nodul 3 este adiacent cu nodurile 2, 4 ~i 5. Nodurile 3 si 4 sunt adiacente deoarece perechea de noduri [4 ,3JEU, . Nodurile 5 ~ i 4 nu sun t adiacente, deoa rece nici una dintre perech ile de noduri [4,5J si [5,4] ~ U, . Nodul 4 este nod in cident cu arcele [1,4], [4,1J ~i [4,3]. dar nu este incident cu arcul [1,2]. Nodul 2 este ex t re m itatea initial a a arcului [2,3J ~i ex tr em ita tea fln al a a arculu i [1,2Jsi [5,2J. Arcele [1 ,2J ~ i [5 .2] sunt ar ce in cide nte deoarece au un nod comun (nodul 2). Arce le [1,4J ~i [2,3] nu sunt arce incidente, deoarece nu au un nod comun. 4

-7 Multim ea s uccesori lo r nodu lui 1 este fermata din noduri le 2 si 4. Nodul 2 este no d s uccosor al nodului 1, dar si al nodului 5. Nodul 1 este nod succesor al nodu lui 4, dar ~i

nodul4 este nod succesor al nodului 1. Nodu l 3 nu are succesori.

-7 Mul!im ea pred eces oril or nodului 3 este fermata din nodurile 2, 4 si 5. Nodul 2 este nod pred ecesor al nodului 3. Nodul 1 este nod predecesor al nodului 4 , dar si nodul 4 este nod pred ecesor al nodului 1. Nodul 5 nu are prede cesori .

167

Inform a ti ca Tcorema 4 Daca graful oriental G are fI noduri (X" X2, "', xo), atunci nu rnarut total de grafllri orientate care se pot fanna ell acoste noduri osto g:

g ='"

.~~I':'U 2

Dem onstratie. Se dernon strea za la fel ca Teorcma 1, eu deosebirea ca multimea Beste {D,1,2,3} card( B)=4 , ia r fu nctia f este de finita atatur at

f(l x.Y I) =

3' daca [x,Y]

E

U ~ i [y,x]

2, daca [x,y)

E

U

E

U

{ 1, oaca [y,x) E U 0, daca [x,y] e U ~ i [y.xj e U

1. 2.

in graful G, - cu ce noduri este adiaeent nodul 2? i n graful G, - cu ee arce este incident nodul 2? 3. Dati exemplu de doua nodur i adiacente in graful G, . 4. Dati exemplu de doua noduri care nu sunt adiacente in grafu l G, . 5. Da!i exe rnplu de doua aree incidente i n graful G, . 6. Dati exemplu de doua aree care nu sunt incidente in graful G7. 7. in graful G, precizati ce fel de extremitate este nodul 4 pentru fiecare arc cu care este incident. Preciaati rnultirne a succesorilor ~i rnultirnea predecesorilor nodului 4. 8. Desen ati qraful G, =(X" U, ), defimt asttel. G, X, ={ 1,2 ,3,4 ,5,6,7} . U, ={[ 1,2]. [1,5], [2 ,1J, [2,4J, [3,4J, [4,3J, [5 ,3], [6 ,5J, [6,7], [7,5] }. 9. Cate grafur; orientate se pot eonstrui cu 3 aree? Desenali 10 dintre aceste grafuri. . 10. Pentru graful G, din figura 6, precizati ordinul, numarul de ( \ II G, noduri, nurnarul de aree ~j rnultirn ile Xg ~i Ug.

(JF-

2.7.3.2. Gradele unui nod al grafului orientat Nodul unui graf orientat este caracterizat prin grad ul intern

Fig. 6 ~i

gra du l ex te rn .

Gradul intern al unui nod Xi al grafului G este egal eu nurnarul arcelor care intra in nodul x, (arce de forma [x" x,)) ~i se noteaza cu d(x). Gradul extern al unui nod Xi al grafului G este ega I cu nurna rul arcelor care ies din nod ul

x, (arce de forma

[ Xi, Xj))

~i se noteaz a Cll d+(x).

Tcrrninologie :

-7 Se nurneste nod terminal un nod care are surna gradelo r eqala cu 1 (gradul intern sau gradul extern ega l cu 1 ~i gradul extern , respectiv gradul intern, ega l eu 0 - d+(x,) = 1 ~i d'( x,) = 0 sau d"(x,) = 1 si d+(x,j = 0). Nodul terminal este incident cu un singu r arc.

-7 Se nurneste nod izolat un nod care are surna gradelor eqala eu 0 (gradul intern si gradul extern egal e eu 0 - d+(x,) = d'( x,) = 0). Nodul izolat nu este adiacent cu niei un alt nod al grafului, adica nu se g as e ~t e la extremitatea niciunui arc.

Observ atii: + ' . • 1. d (x)=ea rd( S(x)) ~ I d (x) =c ard( P{x)). 2. Daca graful are n noduri , pentru un nod sursa al grafului d+(x)=n-1 ~i d"{x)=O, iar pentru un nod destinatie al grafului d-(x)=n -1 ~i d+(x) =O.

168 Exemplul 1:

l mplemcnta r ca structuri lor de d a te 5

Gra!ul G , 0 =(X lO,U lO ) din figura 7 este definit astfel: X lO={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1OJ UlO={[ l,2] , [1,4]. [2,1], [2,3], [2,5]. [2,6], [2,7]. [4,l J, [7,2], [8,9), [9,8] j . in gra!ul G lO : -') Gradu l intern al nodului 2 este 2, deoarece are 2 arce care intra: [1,2J ~ i [7,2]. Grad ul ext ern al nodului 2 este 4, deoarece are 4 arce care ies: [2,1J, (2,3], [2,5] ~ i (2,7]. -') Nodul 5 este nod terminal deoarece are suma gradel or eqala cu 1 (gradul intern este 1 ~i gradul extern este 0) ~ i un singur arc incident: [2,5]). -7 Nodul 10 este nod lzo tat , deoarece are gradul 0 (niciun arc incident). Exemplul2 : (." Fie graful Gl1=(X ll ,U l1), unde X ll={ l ,2,3,4,5,6,7,8) si Ull={[l ,2J, (1,5]. [2,1], [2 ,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,3]. [4,5J , [4,6], [4,7], [5,4]). Din lista arcelo r unui graf orientat, puteti preciza urma toarele inforrnatii: -7 Gradu l ex tern al unui nod - numarand de cate ori apare eticheta nodului in Iista de arce, ca prim elemen t din perec he. Nodul 3 are gradul extern 2 (in rnultirnea arcelor, eliche ta 3 apare de 2 ori ca prim elem ent: (3,4J ~i (3,5]). -') Gradul intern al unui nod - nurnarand de cate ori apare eticheta nodului in lista de arce, ca al doilea element din pereche . Nodul 5 are gradul 4 (i n multirn ea arcelor, eticheta 5 apare de 4 ori ca al doilea element: (l ,5J , [2,5), (3,5J ~ i (4,5]) . -7 Mul~ im ea succesorilor un ui nod este fermata din nodurile a carer etich eta apare ca al doilea element i n perechile i n care primul element este nodul preciza!. Mul\imea succeso rilor nodului ± este p , 5, 6, 7) .- arcele: [1,3]. [1 ,5], [1,6] si [1,7]. --7 M u l~imea pre dccc so rilor unui nod este fermat a din nodurile a carer eticheta apare ca prim elem ent in pe rechile in care al doilea ele me nt e ste nodu l precizat. M ulttrnea predec esorilor nodu!ui ;). este {2, 4) - arcele: [2,;).] si [4 ,;).J. Exe mplu l3 C " Fie gra!urile G 12 =(X 12 ,U12), unde X 2={1,2.3,4} si U' 2={[l ,2], [1,3], [l,4J (2,3J, [3,4J, (4 ,3]), ~i G13 =(X 13,U"j, unde X13={1,2,3,4) ' ~i U13={[2,1]. [2,3J, (3,1], [3,4J, [4,lJ, [4,3]). Din lista r: IJ muchiilorunui graf, puteti preciza urmatoare le informatii: -') Nodul s urs a al unui gra! apare pe primul lac din pereche de n -t ori - ~i niciodata pe locul al doilea. i n gra!ul G 12 , nodul 1 este nod sursa. Desenati gra!ul G 2 pen tru a ' veri fica ace asta afirrnatie . -') Nodu l destinati e al unui gra! apare pe al doilea lac din pereche de n-l ori - si niciodata pe primul lac. In gra!ul G 13 , nodul 1 este nod destinatie. Oesenati gra!ul G13 pentru a verifica aceasta afirm atie . Observatie l ntr-un gra! cu n noduri, oricare ar fi nodul Xk, oricar e dintre gradele sale este mai rnaresau egal cu 0 ~i mai mic sau egal cu n -1 (O,;d+(xk) s n -t ~i O,;d -(xk) s n-t ). 1, In graful Gg - preciza ti gradul intern ~i gradu l extern ale nodul ui 5, identificati nodul cu gradul extern eel rnai mare si nodunle cu gradul intern eel rnai rnic. 2. in graful G lO - identificati nodurile care au gradul intern 1, precizati cate noduri au gra dul intern egal cu gradut extern, care sunt nodurile terminale ~i care sunt nodurile izolate.

Info rm atica

169

3, i n gralu l G l l - preciza ti gradu l intern si gradul extern ale nodulu i 4, ldenti flcati nodurile izolate ~ i nodurile terminate, identificati nodurile care au gradul extern maxim ~i nodurile care au grad ul intern ega l cu gradul extern . Tcororna 5

Daca gralul orienta t G are m ar ce (u, . U2, .... Um) ~ i n no duri (x-, X2..... Xo) . atunci i ntre gradele nodurilor ~ i nurnarul de muchii exista urma toarea relatie: suma gradelor interne ale tuturor noduriJor este egala cu suma gradelor exteme ale tuturor nodurilor ~i cu numarui de arco : II

II

L d +( \j)= L d -( \ i)= m j,.,1

j"' l

Demons tratl e. Fiecare arc Uk ;; [Xi. Xj] corespu nde unei un ttati din gradul extern al nodului Xi ~ j unei unitali din gradul intern al nodului Xj_ Rezulta ca fiecare arc contribuie eu 0 unitate la suma gradelor interne ~j eu 0 unitale la suma gradelor externe.

=

Exem p lu. i n gralul G g : d+(1 ) + d+(2) + d+(3) + d+(4) + d+(5) + d+(6) 1+3 +1+2+2+ 1 d' (1) + d' (2) + d' (3) + d' (4) + d'(5) + d' (6) = 1+2+ 2+2+2+1 = 10, m fiind ega l cu 10 --------

=10 si

~ In graful G 11 verificati ca este Indeplinita relatia dintre gradurile nodurilor

~

si nurna rul de arce ale grafului .

2.7.4. Rcprezcntarca

~i

implemcntarca grafllilli

Exista ma i multe moduri de reprezentare la nivel logic a unui graf, care pot fi implem entate i n memoria unui calculat or, lolosind diverse tipuri de structun de date . Aceste reprezentari pot fi folosite in algoritmii care pre lucreaz a grafuri si, implicit, in programele prin care vor fi impJernentati in calculator acesti algoritmi. Printre rnodurile de reprezentare a unui graf se numara: -7 re preze ntarea prin ma tricea de a d iaconta : -7 reprezenta rea prin ma tricea de incidon ta : -7 reprezentarea prin Iista muehiilor (areelo r) ; -7 reprezentarea prin Iista de adiacenta (Iistele veeinilor); -7 reprezentarea prin matricca costurilor. Fiecare reprezentare prezinta avantaje in ceea ce prives te utilizarea efi cienta a memoriei interne , in fun ctie de tipul grafului (cu noduri put ine . dar cu muchii mu lte - sa u cu noduri mu lte , dar cu mue hii putine) ~i din punet de vede re al eficientei algoritmilor de prelucrare (i n functie de aplica tie). in urrnatoa rele rep rezent ari se con side ra ca gralu l G= (X.U) are n nod u r i ~i m mu chii.

2,7.4,1, Reprezentarea prin matricea de adiaccnta Matricea de ediaccnta a unu i gra f es te 0 matrice patrata binara de ordinul n (A,I,Il), a le care i e lemente a iJ sunt definite astfel :

I. dad Ii, il E U a j,J = { o.Jacali."j Jrl U Implementarea qraf ului prin matricea de adiacent a se face printr-un tablou bidimensional (0 matrice patrata cu dimens iunea n), asttet: i nt

a «r:>]l< :1> ] ;

170

Implemcutarca structurrln r de datc ;

Exempl e: Graful ncorientat G 1

2 1

0

1

2 3

1

0

1

1

4

1

0

5 6 7

0

1

8

.s. 0 0

0 0 0

3

4

1

1

5 - 60 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 .z, .,Jl._ 0 0 0 -~ 1 0 0 0 1 -,-::,-

7 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0

--~-

1

0 0

- 1,-.s,

G ra fu l oriental Gg

1 - '-_ 2 . 3 --'-" 0 1 1 0 0 2 1 1 3 0 0 0 4 0 1 0 5 1 0 0 0 0 0 6

4 0 1 0 0

5 0 0

0 0

0

1 1 1

6 0 0 0 0 1 0

0

Proprietati le matricei de adiacenta : 1. Ele mentele de pe dia go nala pr incip als au val oa rea 0 - din definitia grafului re zulta ca

oriee muehie (arc) [i. j) trebuie sa respeete conditi a i,.j . 2. i n cazul unui g ra f n eorientat , matricea de adiac erita este 0 m atri c e s irne t ric a fata de diagonala principa ta. deoarece , dac a exista rnuchia [i , j] , atu nci exis ta ~i muchia U, i]. Accas ta r e prez entare es te recorn and ata p en t r u probl em ele in c are se tc stc aza pre zenta u n c i m u c hii sa u a unui ar c in tre d ou a n o duri , se ca lcu loa z a gradul unui n od etc . - deoa rece pe r mi te un ac c es r apid la n odu r i le s i m u chi i le (arc ele) unui graf.

Algoritmi pentru reprczenta rea grafurilor fo losind matricea de adiacenta Din matr icea de ad ia centa pute ti obt ine urrnato arel e inform at ii: Graf neoricntat Suma elemente lo r matr ice i de aotacenta esle eqala eu 2xm (dubtul numarului de muchii ). Gradul unu! nod i este egal cu suma elementelor de pc lin ia i (sau cu su ma eleme nte lor din colo ana I). Nodurile adiaccntc nodului i sunt nodurile j U=1 .n) pentru care clc me ntc le din linia i sun t eqale c u 1 (altl l lls t l Mal pot f definite ca ncdurile j U=1,n) pc ntru care clemente lc din co loa rta is unt c gale ell 1 (aU][iJ=1)

Numaru! de vcctn! at nodului i este egal eu cradul nodului. Muchia [i,j] a grafului reprezmta un element al matrieei de adtacenta care Indephneste conditia: afiJOl = 1 (sau aUlfil = 1)

Graf orientat Suma elcmcnte lor m atrj c ot de adiacen ta este ecala cu m (numaru! de arc e). Gradul extern al nodului i este egal eu suma oreme nte tor de pe linia i Gradul intern alnodulul i este egal cu suma eleme nte lor din co loana i. Succcsorii nodului i sunt nodurile j (j=1,n) pentru care elementele din lini a i sunt egale cu 1 (a[ilUl =1) Predeeesorii nodului i sunt nodurile j U=1 ,n) pentru care elementele din eoloa na i sunt egale cu 1 (aUJ[i] =1). Noduri le adiacunte nodului i sunt nodurile j U=1 ,n) pentru care elementele din linla i sau din col oan a i sunt egale cu 1 (a[i]U]=1 sau a(j][i]=1 ) - reuniunea dintre multimea succesorilo r si multimea predeceso rilor nodutui. Numarul de vecini ai nodu lui i este egal eu eardinalul multimii de noduri adiacente nodului i. Arcul [l,j] al grafului reprezinta un element al matricei de adiacenta care lnd eplineste conditia: afilfil = 1

171

Inform aticii Exemplu Se considera graful din FIgura alaturata . ldentificati matricea de adiace nta a gratului a)

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

b)

0 1 1 1

1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

c)

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 0 0

dI

0 1 0 1

~

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

(Bacalaureat - Sesiunea specia ls 2003) Raspunsul coreet este matricea a). Pentru a identifica mat ricea de adiacenta a grafului din fiqura , S8 vor elimina pe rand variantele incorecte, prin verifica rea urrnatoa relor conditii: 1. Matricea trebuie sa fie binara - toate matriceJe indeplinesc aceas ta con ditie ; 2. Elemen tele de pe diagonala principala trebuie sa aiba v aloarea 0 - matricea b) nu Indeplineste ace asta conditie . 3. Deoarece graful este neorient at, matricea trebuie sa fie s irnetr ic a - matricea c) nu lndeplineste acea sta conditie 4. Din analiza grafu lui S8 observa ca doua noduri au gradul 2 si dou a nodu ri au gradu l 3; in matricea de adiacenta treb uie sa existe dou a linii care sa contina doua elemente cu valoarea 1 $i doua linii care sa cantina trei element e cu valoarea 1 matricea d) nu ind epllnes te aceasta conditie.

2. 3.

4.

1. Scrieti matric ea de adiacen ta a gratului G4 . Folosin d informatiile din matrice a de adiacenta , deterrninati: gradul noduJui 5, nodu rile izolate si nodu rile terminale . Scrieti matricea de adiacenta a gratului neorientat G14=(X ,4,U 14 ), unde X 14={1 ,2,3,4} si U 14 ={[1,2]. [2,3], [3,4], [4,1]). Ce prop rietate are acest qraf? Scrieti matricea de adia centa a grafului Ga. Folosind inforrnatiile din matricea de adiacenta, deterrninati: gradul intern al nodului 5, gradul extern al nodului 4, succe sorii si predecesorii nodului 2 ~i predecesorii nodului 3. Scrieti matricea de adiacenta a grafului G 11. Folosind intorrnatiile din matricea de adiacenta, deterrninati: gradul intern al nodului 5, gradul extern al nodului 2, nodurile adiacente nodului 5, succesorii ~ i predecesorii nodului 4, nodurile terminale ~j nodurile izolate. Scrieti matricea de adiace nta a qrafului orientat G1 5 din figura 8. Scrieti matricea de adiac enta a grafului G 12. Cum iden:05 tificati in matricea de adiacenta nodul sursa al grafului? Fig. 8 Scrie ti matr icea de adiacenta a gratului G 13. Cum identificati i n matricea de adiacenta nodul destinatie al grafu lui?

@

5. 6. 7.

®

Implcmentarea algoritmilor pcntru reprczentarea grafurilor cu matricca de adiacenta 1.

Crearea matricei de adlaconta prin introducerea dateler d e la tastatura , Det erminarea gradului unui ned. Salv area matricei de adiaconta intr-un fisier te xt.

Se citesc de la tastatura muchiile (arcele) unui graf orientat (neo rientat) , se creeaza matricea de adiacent a a grafului, se aflseaza nodu rile izolate $i terminale $i se salveaza matricea de adiace nta in fisierul text grall.txt, pentr u gratul neorientat, si graI2.txt , pentru gratul orientat. In fisierul text se scriu, pe primu! rand, ordinul grafului, si pe urrnato arele randuri, li /matrtcei de adiacen ta. Functia sc rie () se foloseste pentru a scrie matricea de

172

Implcm eutu re n st ru ct u r ilor d e da te

adiacenta in fisier. Deoarece matricea de adiacenta a lost dectarata ca va riabila ql oba la, elerne nte le ei sunl initlatlzate cu valoarea O. Pentru testarea programelor se lolosesc gralul neorienlat G, ;;i gralu l orientat G, . Gralul neorienlat Functia grad () se 10105e;;te pentru a determina gradul unui nod. #include <= s L r e a m . ~ >

int a[10J [10J , n, :C.; fstr eam f( "grafl .t xt " , i o s : . ou ti j , v oid .sc r i e t ) t i n t i ,j ; f «n« e n d l ; f o r {i = l; i < = n; i + T ) (for ( j - l ; j <- n ; j+ + ) f« a [ i ] rj J« " " . f « e nd 1 ; ) f. close () ; } int q r a dt Ln t; i) lint j ,g-O ; f or {j =1;j<=n ;j++) g+ =a[i] [jl ; retu rn g i l v oid main () t i n t i ,j ,k ; cou t .ccv nu.m ar de nodur i " ; cdrco-n , c c u t-oc't numa.r de muchii

II.

c in» r1;

f o r \ ~ = l; % < =m ; k T T )

{c ou t -cc vp r LmuI ned e L much i.e I "« k«";

" ; c i n» i ;

cou t .c-c va L do i.Lea nod e L mucn i e i "
c ou t« e nd l « " Nod u r i l e t e r mi n a l e su nt : It ; f or {i = l; i <=n ; i ++ ) if (grad(il==l) cout« i « "

II .

sc rie{) ; }

Graful orlontat Functia g rad_ i n t () se foloseste pentru a determi na gradul intern al unui nod, iar functia grad_ e xt () S8 foloseste pentru a determina gradul extern al unui nod. # i nc l ude i n t a [101 [10 ] , n ,!n ; fs t r e a m f ( " g :,- u f 2 . L: t", i o s : :ou t ) i

v oid sc r ie{) { l i e s : €' Lderrt i c a cu cea de La q r a f u I neor-Len t e t j i n t qrad ext{ i n t i) { J.n t j ,g ~Q ; f or ( j = l ; : <= n i j -t l ) g't=a:i] l j l : r eturn g i } in t g rad_int( i n t i) t i n t j ,-:j=O; f or {j = l ; j < = n i j + +} g + =a[j] [i] ; re turn g i } v oid main () ti n t i , j , :: ; c o u t .c-C'riume r de nodu r.i " ; cin » :1; c ou t -ccvn umar de arce "; cin» rn; fo r (k=::' ; k<=rn ; kH-} {co u t.c-cv nodu I. initial a L a r cu Lu i, " < x k -oc '" : " ,' c i n » i ; cout« " n o d u 1 final a1 ar c u l u i " « k« " : " ; ci n» j; al i ] [ j]=l ; } co u t.c -C'No d u rLl e Lzo La t e sun t : " ; for (i= l; i <,....n,· i t·+ ) i f (g r ad_int ( i. ) +g r a d_e x t (i) =:-::0 ) c out-oc k-cc'' " ;

c out«endl «" Nod u r i l e t e r mi n a l e ,sunt : " i f or ( i = l; i < = n i i +-+ ) i f

serie () ; }

(g rad int.(i)+g r a d _e xt(i)==l)

ccu t -c-c j.c-c ''

";

173

[II fo rm aticii

2.

Cr earea matricci de ad iacenta prin citi rea datelor din fisie r. Determina rea n urnarului de vecin i ai un ui nod. Afisarea m uc hii ior (arc elor] graf ului.

Se citesc din fisierele text create anterior rnatncele de adiacenta ale celor doua qrafuri graft .txt, respectiv graf2.txt. Se afiseaza nodurile care au cei rnai multi vecini (cele mai multe noduri adiacent e). Se determine numarul de muchii (arce) ale gralului ~ i se afiseaza much iile (arcele). Functia ci tes te () se foloseste pentru a citi matricea de adiacenta din fisier, Grafu! neorientat Functia n r _ m() S8 foloseste pentru a determ ina nurnarul de muchii ale grafului. La afisarea muchi ilor, pentru a nu S8 aflsa de ooua ori aceeas i muchie , S8 parcurge matricea de adiacanta numai cteasupra diagonalei principale. #include int a[lC) [lO],:> ; fstr e a m f( ' ·g~a~l v oid c i t.e s t e t ) lint i ,j ; f »:i. ;

.txL ' · , i o s : ; i n! ;

for ( i = l; i < ~ n; i + + )

fo r (j=l ;j<=n ;j++) int nr_m() t int 1 ,j ,m=O ;

: »a [=- ; l i l .

f . c l o s e () ; }

for { i = ~ ; i < = n ; i + + )

for (j=l ;j<=n ;j+ t) s+ =a. [ i] [ j] ; r e t u r n m/2 ; } int g r a d ( ti n t; .i.) { I / es t e ident iea ell cea de 1a exemp l ul an t er t or j void main () lint i ,j ,ma:-: ; c t t.e s t e t j , max-qr a d t l j • for ( i ~ 2 ; i < = n ; i + + ) if (g r a d( i»ma x) ~ a x = g r a d (i ) ; cec e ccv n c d u r aLe eu c eI rna I mul t i vec rni sun t : " ; for {:i = l; i <"'" rl; H · + ) if (g r a d{ i)=o=max) c o u t cc Lc -c'' It; cout«e ndl«" Gr n f u l a r e "« n r m( ) « " muc h i i " « e ndl; cou t.c-C'H u c h i i Le gr a f u lui s un t : "; for (.L= l; i <= n; i ++ ) f o r ( j -= i + l ; j <=n ;j ++ ) i f (a l i J [ jJ""=l) cout« i«" -"« j« " " ; }

Graful orientat Functia n r _ a ( ) se foloseste pentru a determina numa rul de arce ale grafulu i. Functia vecini ( ) se Ioloseste pentru a determina nurnarul de vecini ai unui nod. La afisarea arcelor , se parcurge toata matr icea de adiace nta. #include < f s t r e a m. h > in t ,,[10J [IO],n ; f s tream f( "g:-ilf2 .t xt " , i o s : : i n ) ; v o i d c it.e s t.e t ) { I l e s t e Lden t i.c a eu cea de in t nr_a() lint i ,~ ,m=O ;

2.,]

q re fu l n ecr Len t a t. }

f or ( i = ! ; i < = n ; i ~ · )

f or (:=1;j<=n ;j++) :n+ =a.[i] [jl ; r eturn m; } int vecini( i n t i) t i n t .1 , 1.'=0 ; f or l j =- l ; j <=n ; j ++ l if (a, [ i ] [j]o;.;=l I I ,J~jJ[i:'-"o:::l) v ++ ; vo i d ma i n () li n t i ,: ,maz ; c Lt.e s t.e t y , mexe-ve c i n i (::./ ; f or ( i - 2; i <= n; i ,..'t- ) i f {ve::::in~{ii>:na::) me x-vs c In LtLi , c c u t-c c vt.o d u r i 113 cu eel ma i. mu.l t i vec i n i sunt : "; for ( i = 2. ; i <= n ; ':'+ + } if {v12cini(i )==:naxj c ou t « i«" It ; c o u t « endl«" Gr a f u l ar e " « rr!:"_ a. ( « " aree "« e nd l ;

return v ; }

174

Implementarea strneturilor d e datc

oou t.c-C'Ar c e Le g rafulu l s un t : " ; for ( i = l; i < ~ n; i++ ) for

3.

{ j ~ l; j < = n; j + + )

if (a [i ) U J=o:: l) cout« i « "-"« j«" ";}

Crearea ma tr ice i de adiacenta prin ci t irea m uchiilor (arcelo r) di n fi si er. Determ inarea veci nilor unui nod.

Datele se citesc din fisierul text graf3.!x!, pentru graful neorientat, ~i graf4.txt, pentru grafu l orientat. In fisier sunt scrise , pe primul rand , despartite prin spatii, numarul de nod uri ;;i numaru l de muchi i (arce) ale grafu lui, ~i apoi pe cate un rand, separate prin spatiu , cele doua nodur i terminale ale fiecarei muchi i (arc). Se afiseaza vecinii fiecaru i nod. Functia ci teste () S8 Ioloseste pentru a citi datele din fisier , iar functi a vecini () pentru a determina vecini i unui nod. Fisierele text S8 creeaza cu ajutorul unui editor de texte. Pentru testa rea programelor se folosesc graful neorientat G , ~i graful orientat Gg . Gr aful neorientat.

#include int a [lO] [1 0 ], n, ffi; fstream f ( " q r a f L . txt " , ios : : in ) i void ci teste ( ) {int k ,i , j ; f » n»m ; for ( k ~ 1 ; k < ~m; k + + ) ( f» i» j; ali] [j] ~l ; a[l] [i]=1 ; ) f . cl o s e () ; ) void ve c i n i{ i n t i } (fo r (int j ~l ;j< ~ n ; j++ ) if ( a [ l ) [j] ~ ~1) cou t-oc j c-c'' " ; ) void main ( ) {int i ; c i t e s t e l ) i cout«" Ve ci n i i f i .cca r -u I nod sunt : "
Graful ori ental. #include < f s t r e a m . h > int a [l OJ [lO ) , f1, m; fstream f( " gr a f4 . txt " , i o s : :in }i vo id c i t e s te() {int k , i ,j ; f » n» m; for ( k = 1; k <=m; k + + ) ( f » i» j; a[,][jJ=1 ; ) f. c l o s e () ; ) void vecini ( i n t i) ffor (int j=l;j<=n ;j++) .i.fit a l i ] [j ]==1 II a [ j ] [l J= =1) ccu c-oc j c-c'' ";} void main () {int i ; citeste() ; oou t-oc vve c i.n i i. fi e ce r-u i nod s unt : "
4.

Gen er area matricei de ad iacenta .

Pentru a testa programele care preluc reaza grafuri implementate cu mat ricea de adiacenta , puteti sa generati aleatoriu matricea de adiacenta Functia gene rare () qenereaza matricea de adiacenta a unui graf neorientat , cu n noduri ~i m muchi i. #i nclude < i o s t r e a m. h > #include < s t d l i b . h > int a ll01 POL n ,D ; void qene r-are () tint k =O , i , j ; randomize(); while ( k
175

In limn a tica vo id rnai n ( ) {CQut« " n= "; c i n» n ; cout«"m= "; c i n» m; whi le (m>n - (n -l) /2) {cout.c-c vm« "; c i n» m;} qenc r a r e () ; .. . }

1. intr-un fisier este sensa 0 matrice patrata, astrel: pe primul rand , un nurnar care reprezinta dimensiune a matricei , ~i pe urmat oarele rancuri. valori numerice despartite prin spatiu - care reprezinta elementele de pe cate 0 linie a matricei. Sa S8 verifice daca aceasta matrice poate fi matricea de adiace nta a unui graf . in caz afirmativ, sa S8 prec izeze daca graful este orien tat sau neorientat gen ereze aleat oriu ma tricea de ad iacen ta a unui gr af orie ntat. 2. Scrieti un program care

sa

3. Scrieti un progr am care cite ste dintr-un fisier matricea de adiacenta a unui graf neorientat ~i care deterrnina nurnaru l mini m de muchii care trebuie adauqate pentru ca graful sa nu conti na noduri izol ate. 4. Scrieti un progra m care citeste, din doua fisiere lext , gl .lxI ~i g2.lxI , matricele de adia centa a doua grafuri , G.=(X.U.) si Gb=(X.Ub), ~i care determina matricea de adiacenta a g raf ul u; reuni une Gr=(X,Url , unde U,= U. V Ub, care se salveaza in fisierul g3.lxI ~i matricea de adiacenta a graful ui in ter sectle G,=(X,Ui), unde U,= U. n Ub, care se salveaza in fisierul qa.txt. 5. Scrieti un program care cites te din fisierul lext graf2.lxI informatii desp re un graf oriental (de pe prima linie - nurna rul de noduri, apoi malricea de ad iacent a) ~i de la tastatura 0 rnult im e A de num ere care reprezinta etichetele unor nod uri din graf - ~ i care afiseaza mu ltirnea arcelor ce au 0 extrernitate ln tr-un nod din rnuttimea A si 0 exl remitate in rnutirne a X-A (X fiind rnultim ea nodurilor grafulu i). Pent ru leslarea programului , se vor folo si graful Gg ~i rnultimea A={1 ,3,4,6).

2.7.4.2. Reprezentarea prin matricea de incidenta Matricea de lncidonta a unu i graf ncorientat es te a ma tri c e binara cu n Iinii c a lo an e ( A II,m), ale ca re i elemen te a ij s unt d efin ite as tfel :

.

~i

m

_ { L JaCfI 1i. .i JE lJ O. Jac" li. .i I ~ U

.I ' , J -

Implemenl area grafului neorienla l prin malr icea de incid enta se face printr-un tablau bidimensional (0 mal rice cu dimensi unea n xrn ), astfel: int a l cn> ] [ ] ;

,;fD ~

Grafu l G, Fig .9

Graful ncoricntat G 1 1

2 3 4

5

6 Proprletatile matricci de lncidonta a 7 grafului neorientat:

1

2

34

5

6

7

8

9

1 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 1

~ 0 0

.s, 0

0 1 1 0 0 0 0 0

.s,

1 1. Pe fiecare coloana exista doua ele- 8 mente cu valoarea 1 (pe liniile i ~i j care corespund nodurilor incidente cu much ia), iar restul elementelor au valoarea O.

176

lmplcm entarca st r uct u r ilor de d a te

2. Matrieea de incidenta are 2xm etement e egale eu 1, deoareee fieeare muehie este incidenta cu doua nodur i.

Matricca de incidenta a unui graf orientat este 0 matrice cu n linii §oi m caloane (A n,m), ale carei c leme nte au s unt definite as tfe l: 1' dac a nodul i este extremitat ea final a a arcului j a

i, J

=

-1 , dac a nodul j este extremitat ea in il ni~i a arcului j { 0, dac a nodul i nu este extremitat e a arc ulu i j

lmplementarea grafului neorientat prin matricea de incidenta bidimensional (0 matr ice cu dim ens iunea n xrn ), astfel : int

a [ < ~ >]

S8

face printr-un tablou

[ ] ; Gralnl orientat G,

1

Gralnl G,

2 3 4 5

Fig.10

6

1 r-'1 -1 0 0

ri10

2 --1 1 0 0 0 0

3 0 -1 1 0

ri10

4 0 -1 0 1 0 0

5 0 1 0 -1 0 0

6 0 0 1 0 -1 0

7 0 0 -1 0

r-10

8 0 0 0 -1 1 0

9 0 0 0 0 1 -1

10 0 0 0 0 -1 1

Proprietatile matricei de incidenta a grafuJui orientat: 1. Pe fiecare coloana exista un element cu valoarea 1 (pe linia i care corespunde extrernitatii finale a areului) o;i un element eu valoarea -1 (pe linia j care care eorespunde extrerrutatn initials a arcului), iar restul eleme ntelor au valoarea O. 2. Matricea de incident a are m elemente egale cu 1 ~ i m elemente egale cu -1 , deoarece fiecare arc are 0 extrem itate finala ~ i 0 extremitate in i~ial 21. Suma elementelor matricei este O. A ceast a reprezentare este roc orn and at a pe nt ru g ra f urile care a u u n nurnar ma re d e noduri ~i u n nurnar m ic de m u c h ii.

Algoritmi pentru reprezentarea grafurilo r folosind matricea de incidcnta Din matricea de inciden ta puteti obtine urrnato arele info rmatii: Graf neoricntat

Graf orientat

Gradul unul nod ; este egal eu s uma ele me ntelo r de pc linia t.

Gradu! intern al unul nod i est e ega l ell num arul de cle m ent e eu va toa rea 1 d e pe tini a; Gradu t extern at unul nod i este ega t cu num aru l de c lem ent e eu va loa rea -1 de pe lin ia i. Sucecsorii nodului i sunt nodurite j 0=1 ,n) pentru care eleme ntc lc din li nia j sunt ega lc eu 1 in cotoana k (k=1,m) in care etementele de pe

Nodurlle adiaeentc nodulu i i sunt nodurile j 0= 1,n) pentru care c lementel e di n linia j su nt eg ate eu 1 in cotoana k (k=1 ,m) in care ~i etementele de pe tinia i au valoa rea 1:

>[i][ k]

= 1 ~ i ' O][ k] = 1.

Iinia i au valoarea -1: altl lkl = -1 ~i al l lkl =1 Predcecsorii nodu fui i sunt nodur ile j 0=1,n) penru care elc mentcle di n Iinia j sunt ega Ie ell -1 in coloan a k (k=1.m } in care etemen lete de pe

linia i au varo arca 1: alll l kl

= 1 ~ j ' Ul[k] =-1.

177

Informatica .

..

~.

Grafneorientat

-

Graforientat Nodurile adiacente nodu lui i sunt date de

Numarut de vecini at noduJui j este ega l ell qradul nodului Muchia k - Il.ll a grafului este deterrninata de doua elemente ale matncef a{i}kj] ~i a[j]k;} , care

reuniunea dintre rnultimea succesorilor si multimea predecesori lor nodulu i. Numaru! de vec!n! a! nodul ui i esle egal ell cardinalul multimil de noduri adiacente nodului i. Arcul k = [i,j] al grafului este determina t de ooua elemente ale matr icei, a[i}kj] si a[j]kJJ, care

indeplinesc conditia a[i][k]

indeplinesc conditia a[i][ k]

=1 ~ i aO][k ] =1,

~i

sem nifica faptul ca mu chia k este inci denta ell n odurile j §i ~

2. 3.

4. 5.

6. 7.

=-1 ~i allllkl =1, s!

sernnifica faptul ca arc ul k les e din nodul i § i in t ra in nodulj

1. Scrieti matricea de incidenta a grafului neorientat G4 . Folosind inferrnatiile din matricea de incidenta, deterrninati: gradul nodului 5, nodurile izolate si nodurile terminale. Scrieti matricea de incidents a grafului neorientat G Ce proprietate are acest graf? Scrieti matricea de incidents a grafului G8 _ Folosind inforrnafiile din matricea de incidenta , determinati: gradul intern al nodului 5, gradul extern al nodului 4 , succesorii ~ i predecesorii nodului 2 si predecesorii nodului 3. G", Scrief matricea de incidents a grafului orientat G16 din figura 11. ~. Scrieti matricea de incidenta a grafului G 11 . Folosind informatiile din matricea de incidenta ceterm inati: gradul intern al r:t\ ("';\ nodului 5, gradul extern al nodului 2, nodurile adiacente \...'!J \...3..J nodului 5, succesor ii ~i predecesorii nodului 4, nodurile termiFig. 11 nale si nodurile izolate . Scrieti matricea de incidenta a grafului G13 . Cum identificati, in matricea de incidents, nodul sursa al unui graf? Scrieti matricea de incidenta a grafului G14 . Cum identrficati, in matricea de lncidenta, nodul destinatie al unui graf?

,4.

Implementarea algoritmilor pentru reprezentarea grafurilor cu matricea de inc identa 1. Crearea matrice i de in ci denta pr in int rod u cerea datel or de la t astat ura. Det er minarea gradului unu i nod. Salva rca matricci de in cld en ta i nt r-un fi si er text.

Se citesc de la tastatur a muchiile (arcele) unui graf orientat (neorientat). Se creeaza matrices de incidenta a grafului. Se afiseaza gradul nodului p a carui etichet a se introduce de la tastatura. Se salveaza matricea de incidents in fisierul text graf5./xt, pentru graful neorientat, si graf6.txt, pentru graful orientat. In fisierul text se scriu pe primul rand ordinul grafului si nurnarul de rnuchii, iar pe urrnatoarele rancurt, ltniile matricei de incidenta. Functia scrie ( ) se foloseste pentru a scrie matricea de incidenta in fisier . Pentru testarea programelor se folosesc graful neorientat G, ~i graful orientat Gg . Graful neorientat. Functia g ra d () se foloseste pentru a determina gradul unui nod. # include < f s t re e m . f-> i n t a[ l OJ [lO j,n ,m ; fstream f( Hgraf5 .txt " , i o s : i ou t. j • v o i d s c r i e () { i n t i , j ; .f-ocn-c-c " "« m«en d l ; for ( i = l ; i
f« e ndl ; )

h u plemc ntarca st rncl ur ilor de dare

178 int g r a ct (i n t

i)

lint g=O , k; f or ( k= l; k< =m; k ++ ) g +=a {i ] [k] ; return g ; } v oid main () l i n t i ,j ,p , r.; c out.cc vn uma r de n oduri " ; cin» n ; couexc vn umar de rau ch .ii. " . cin» m; for ( k = l; k < ~~; k + + )

{co u t« "p r i mu l nod a l muc hi e i "« k«": "; cin» i ; c out« " a l doile a nad al muchiei "« k« ": "; cin» j ; a[i] [k] =l; a[j] [ k ]=l ; }

c out«" nod u l = It; cin» p ; c ou t «" Gr a d u l nodul u i "« p«" este "« g r a d {p )«endl; sc r Le () ; } Graful o rlontat . Functia g r ad_ i ot () se toloseste pentru a determina gradul intern al unui nod, iar functia gra d_ex t () se foloseste pentru a determina gradul extern al unui nod. #include i nt a l l O] [10] , n , m; f s tream f( "graf6 .t x t " , i o s : : o u t ) ;

io t serie ()

{ / /est e .i.de n t i.c e ell cea de la graful neo r i e n t a t

}

int grad int{ i n t i) l i nt g=O , k : f or ( k = l; k < ~m ; k ++ )

if ( a[ i] [k j

ee

L} g++ ;

return g ; }

int grad_e xt (i n t i) (int

g~O ,

k,

for ( k ~ l ; k < ~ m ; k ++ )

if (a[ i]

[ k} ~~ - l)

g++ ;

return g ; I

void main () tint i , j , p ,k :

ccut-cc vn urna r de nodur i "; ctn»>n . ccutx-cv nume r de much i i ". cin>>m; fo r ( k ~ l ; k < ~; k + + )

{CQut«" n od u l i n i t i a l al a r c ul ui "« k«" : ccu e-oc vn o d u j

It ;

cin» i;

f i n a l a I a rc u l u i "« k« " : " ; c in» j;

ali ] [kJ=- l; a[ j] [k ]=l ; }

CQut«" n odu l = " ; cin» p ; c o ut« " Gr a d u l inte r n a 1 nod ul u i "« p« " este "« g r a d_ i n t {p l«endl; c ou t «" Gr a d u l exte rn a1 n odului "« p«" est e "« g r ad_ c x t (p }«endl ; scr ie () ; } 2. Crea rea matricei de in c identa prin citi rea da te lor din un ui nod .

fi~ier.

A fi sarea v ecinil or

Se citesc din fisierele create anterior (graf5.txt, respectiv graf6.txn matricele de incidenta ale celor doua grafuri ~ i se afiseaza vecinii unui nod x a carui eticheta se introduce de la tastatura. Functia c i teste () se foloseste pentru a citi matricea de incidenta din fisier. Graf ul ncorien tat. Functia vecini. ( ) se totoseste pentru a determina vecinii unui nod. #i. nc l ude in t arlO] [lO],n ; fst ream f{ "gra£5 .txt " , i o s : : i n ) ; v o id c t t.e s r e () lint i ,k ; f »~ »m ; f or ( i = l ; i <= n ; i t + ) f or {kv Ls kx em r k t-t I f » a [ i ] [ k ] ;

f . c l o s e () ; )

I nfunnatica void veci ni( i n t {int k ,j ;

179

i)

for ( k= 1; k <= m; k H I if ( a [i ] [ k] ==1) for ( j = l ; j<=n ; j++) if (j != i && a[j ][k]==l ) cou ccc j cc '' H;) void main ( )

(int P i cout«" no d u l = It; c in» Xi citeste() ; cou t«" Ve c i n i i nodului "« x«" sunt nodu ril e " ; vec i n i( x) ; } Gralul orientat Vectorii binari s ~i p se folosesc pentru a memora succesorii, respectiv predecesoni nodului x . Elementul i are valoarea 1 daca nodu l i este succesor, respectiv predecesor al nodului x ; altfel, are valoarea O. Functille succ () ~ i pred () se lolosesc pentru a determina in vectori i 5 ~ i p succesorii, respectiv predecesorii unui nod. Functia vecini () se foloseste pentru a determina vecin ii unu i nod, prin reuniunea mu ltimii predeces orilor ~j a succesorilor.

#include int a [ 1 0 ] ('.0 ] ,n ,m ,s [1 0 J ,p [1 0 ] ; fstream f ( flgraf6 .tx t " , i o s : : i n ); void c i.t.es t e ( ) { / / e s t e .i den t i.ce c u cea de 1 a g raful neo.rIe nt.e t

}

void succ( i n t i) {for (int k=l ik<=m ik++) fo r (i n t j ~l; j < = n ;j ++) if ( j ! = i && a[ j] ( k J = = l ) s lj J= ] ; )

if l a [ i] ( k]=.= - l)

vo id pred (i n t

i ) {for l i n t k=l ; k<=m ;k++) if (a [ i ] [ k]==l) for (i nt

j~ l;j<=n;j++)

if ( j ! = i

&&

a [j][k]=~ -l)

p[j] = l ; )

void veci~i ( i n t i ) lint j ; s~CC {i Ji pr ed (i ) ; f or ( j ~ l ; j <~ n ; j ++ )

if

( j ' ~i

vo i d main () l i n t X i cout«" n o d u l = " c out«" Ve c i n i i n o dului

i

&&

( s[j]= ~ l

I I p[j)==l ) ) cou t-oc j-cc" "; )

cin» z ; c i t e s t e () ; sunt nodurile " ; vecini (x ) i }

"« X«"

3. Crea rea matricei de ln ci denta prin citi rea mu ch iilor (arcel or) d in fis ier. Pre lucrarea in form atiilor as oci at e muchiilor.

Datele se citesc din fisierul text grafT. txt , pentru gralul neorientat, ~ i grar8.txt, pentru graful orienata!. in fisier sunt scrise, pe primul rand, despartite prin spatii, numarul de noduri si nurnarul de muchii (arce) ale gralulu i, ~ i apoi, pe cate un rand, separate prin spatiu, cele doua noduri terminale ale fiecarei muchii (arc) ~i lungimea muchiei (arcului). Se afiseaza muchiile (arcele) care au lungimea mai mare decal lungimea medie a muchiilor (arcelor) din graf. Se foloseste vectorul d pentru a memora lungimea fiecarei muchii (arc). Functia c i. teste () se foloseste pentru citi datele din fisier. functia rne di e () pentru a determina lungimea medie a muchiilor (arceor) din graf iar functia afisare () pentru a afisa much iile (arcele) care au lungimea mai mare decat media. Fisierele text se creeaza cu ajutorul unui editor de texte. Pentru testarea programelor se foloses c gralul neorientat G, ~i gral ul orient at G g. i n aceste grafuri se asociaza fiecarei much ii (arc) 0 valoare pentru lungime . Graful neorientat #include< f s t r e a m . ~ >

int a[ 1 0 ] [1 0] , d [ 1 0 ] , n , m;

fstream f ( " g r a f7 . txt

II I

ios: : in ) ;

180

Implcmentarca st r uc t u r ilor de date

vo id c i t e s te i) t i n t k , if j , 1 ; f » n » :ll; fo r «

~ l ; k < "'l1l; k ++ )

{ f » i» j » l ; a li ]

[k ]~l ;

a[jJ (kJ=l ;

d[ k ) ~l ; )

f. c lose () ; ) fl o a t media () l i n t i ,5=0 : f o r ( i = l; i < =m; i + + ) 5 + = d [ i ] ; r e t ur n

( fl o a t ) s / f:",; )

v oi d af i seaza () t i n t i ,k: fl o at dm=me d i a ( ); fo r ( k= l : k<=m; k++ ) if

(d [ k ] >dm l { f o r ( i = l ; i < = n ;i +-q i f

( a[ i] [ 1:] =: = :')

coc e cc i c c "

or .

cou t « " cu lung imea "« d [ k l « e n d l ; } } v oid mai n () {c Lt e s t e ( ) ; o o u t .c-C'He d i.a Lu nq i m.iI e s t.e : "« me d i a ccu t .c-cvxu ch .i i. Le s un t: "
o«

end l ;

Graful orientat

#i n c l ude < f s tr e am. l: > i n t a r l O] 115J , d I 1 5 ] , n , m; fs t r e a m f( "graf8 .txt " , i o s ; :in ) ;

v o id c i t e s t e ( ) t int k , i,j , l ; f » n »m ; fo r ( k ~ l; k < =m ; k ++ )

( f » i» j » l ;

al i] [ k]= -l ; a[ j ] [ k ]= l ;

d :'~ ' =l; )

f. cl o s e () ; ) f l oat medi a( ) {/ / e s r e Ld e n t Lce c u c ee de 1a 9 :-a: 1;1 r.e o r i.e n c v oid e f i.seaz a t j t i n t i ,k /x ,Y i fl oat d~=ffiedia() ; f o r ( k= l i k <=mi k ++ ,

~t

}

if ( d [ k » dm) {for ( i =1; i <= ni i ++ ) {if (al i) ( k]== - l i xe L: if (ali] [ \;]~=ll 'r " ; ) ccu u-ccx-o c v-o'
{c i teste () ; c ou ecc vtce d t a Lu nq i.rnL; e s t e : "« me d i a () «end 1 ; cou t c c vA r ce l e aun t.: "
4. Creare a matricei de in cidenta prin citl rea datel or di n matric ea de adiaconta. Afi sarea mu ch iil or ~ i a no d urilo r izo late. Matricele de adiacenta se citesc din fisierele text create anterior: graft .txt , pentru graful neorientat, si graf2.txt , pentru graful oriental. Se creeaza matricele de inctdenta ale celor doua grafuri, se afiseaza muchiile (arcele) ~ i nodurile izolate. Se salveaza ill fisierul text graf9 .txt , respectiv graf1O.txt, informaliile despre muchii, astfel: pe pnmul rand, despartite prin spatii, nurnarul de noduri ~ i nurnarul de rnuchii (arce) ale grafului, si apoi, pe cate un rand, separate prin spatiu, cele doua noduri terminale ale fiecarei muchii (arc). Se folosesc matricele a pentru matricea de adiacenta ~ i b pentru matricea de incidenta ~ i functiile ci te s te () pentru a citi matricea de adiacenta din fisier, salvea za () pentru a salva in fisierul text inforrnatiile despre muchiile (arcele) grafului, t ra ns fo rr.t a () pentru a obtine matricea de incidenta din matricea de adiacenta, af iseaza_ n Oduri_ i zo l a t e () pentru a afisa nodurile izolate, !?i a f i s e a z a _ mu c h i i () pentru a afisa muchiile (arcele). Pentru testarea programelor S8 folosesc graful neorientat G, si graful oriental Gg.

181

Informatica Graful neorientat

#include int .[lOI(lOI ,b[lO] { ZOI , n , m; fst re a m £1 ( "g ra f l . t x t ", i o s : : in ) , £2 ( " g r a £ 9. t xt " I ios : : ou t ) i void c i t e s t.e ( ) tint i ,j ; f Lo o-n : for (i =l; i <=n ; i ++ } for (j ~ l; j < ~ n; j ++ ! { n » . [ i ] [ j] ; i f ( a [ i ] [ j l ~ ~ l ) mt + ; } mo'rr.l2 ; fl . close () ; ) void t r a n sfo rma () tint i ,j , k=l; for (i=l ; i <=n; i++ ) for ( j ~ l ; J < i ;j ) if (a [i ) [ j J ~ ~ 1) ( b l i l Ik J~l ; blj l [ k) ~l ; kt+ ; ) ) void afi s eaz a mu c hii () {for {i n t 1:=1 ; k<=~ ; kt + ) {cout«" LvJu c h i a "
for

(i=l ;i<=n ;i+~)

{for ( k= l ,x = O; k <=m && x ==::O ;l:++) if {!x} cou c-c-c r -cc" " ;}} void sa lvea za ( )

if

(b [ i lLk] = =l)

x= l ;

( f 2« n« I, "
i =l ; i < = n ; i f+)

i f {b[i ] [k ]=o;;=l) f2 « i « " ";

f 2« e n d l ; }

f2 . clos e () ; ) void main ()

{c i t e s t e J) ; t r a ns forma () ; a f i.s e a a a unuc h .ii. Lj r cou t.c-C'Ho d u r i. J e .i z 0 1 21 t.e .s u n t : " ; afi seaz3_nodu ri_i z ol a t e () ; s e l voaz e () ; }

Graful orientat

#include int a[lOI 110 I , b [lOj [2 0 I , n , m; fs tream f1 {"grafl .t xt " , i o s : . an ) , f 2 ( " g raf 9 . t x t " , i o s : :out ); void c i.Le s t e j ) {int i ,j ; f l »n ; f or ( i= 1; i<""n ; i + +) for (j ~ l; j < ~ n; j +t ! { f l » a [ i ] [ j]; if i a [ .i ll j ] ~ ~ l ! m++ ; ) f l. e l o s e () ; ) void tra nsforrna() {int i , j I k e L: for ( i= l ; i < =n ; i ++ ) for : j ~l; j< ~ n ; j++) if (al i ) [ jj~~l i {b.l L] [k l ~-l ; bljl lkJ~l ; k++ ; ) ) void afis eaz a arc e() {in t L, k , x , y ; for (ko;;= l ; k <=m ; k+ +) {cout«" Ar c u l " «k« " : "; f or ( .i~l; i < ~ n ;i+ + ) (if (b [ i ) [ k ) ~ ~ - l ) x ~i; if (b [ i) [k l ~ ~l) yv.i • } cout« x«" - "« y«endl; }} void a f l s ea za ~oc url~ l z ol a t e ()

l int i ,k ,x ;

182

Im plementa rca str uctur ilor de date

fo r ( i = l i i <= n ii++) {fo r ( k~ l , x =O ; k < =m && x ~ = O ; if ( ! xl c cu e-cc f .c-c'' " ; } ) v o i d sal v e a z a () li n t i ,k ;

k+ + )

if (b[ i] [ k] ==l I I b [ i ]

[ k ] ~ - l)

x=l ;

f2 «n« " " « rn« endl; fo r ( k= l ; k<=mi k++l {for ( i ~ l; i<=n ; i ++)

(if (b[i) [ k]== - lj

x~i;

if

(b[i] [ k ] == l) y=i ; }

f2 « z« " "« y«endl ;} f2 . close () ; } void main () ( c iteste( ) ; t r an s f orma {); e f i s ee z a a rc e(J ; cou c-ocvNod u r i Le i z olat e s unt : " ; af i seaza nodu r i sa lve a z a( ) ; }

.i zc Le t e () ;

1. int r-un fisier text este scrisa a matrice , astfel : pe prim ul rand - doua numere separate prin spatiu, care reprezinta num arul de linii si numarul de coloane ale mat ricei, si, pe urrnatoa rele randuri - valori numerice despartite prin spatiu , care reprezint a eleme ntele de pe cate 0 linie a rnatricei , a. Scrieti un program care verifice daca aceasta matrice poate fi matricea de incidenta a unu i graf neor ientat. in caz afirmati v. sa S8 afiseze cate noduri izolate are graful (ln dicatie. Se verifica urmatoarele cond itii: a) sa fie a matrice binara: b) suma elementelor de pe fiecare coloan a sa fie ega la cu 2; c) sa nu existe doua coloane identice. Un nod este izolat daca sum a elementelor de pe linia sa este egala cu 0). b. Scrieti un program care sa verifice daca aceasta matrice poate fi matricea de incidents a unui graf orientat. in caz afirmativ, sa se determine cate nod uri care au gradul intern ega l cu gradul extern exista (lndicatie. Se verifies urrnatoarele conditii: a) pe fiecar e coloana sa nu existe cecat 0 valoare e9a la cu 1, una eqala cu -1 ~i restul egale cu 0; b) sa nu existe doua coloane identice. Un nod are gradul intern ega I cu gradul extern daca suma elemen telor de pe linia sa este eqala cu 0). 2, Scrieti un program care citeste din fi ~ier ul text graf6.lxl matricea de incidenta a grafului orientat ~ i care : a. aftseaza nurnarul de vecini ai unui nod p a carui eticheta se citeste de la tastatura: b. genereaza mat ricea de adiacenta a grafu lui din mat ricea de incidenta ~i a salveaz a in fisierul graf6a.txl .

sa

2,7.4,3, Reprezentarea prin lista muchiilor Lista muchiilor unui gra f este fe rmata din m el em ente ca re contin, fi ecare, ca te 0 pereche de doua noduri , Xi!§i Xi, care Iorrnea za 0 m uch ie, ad ica pentru ca re [X i, Xj)E U, Imp lementarea acestui tip de reprezen tare se poate face folosind una dintre urrnatoarele structu ri de date :

-7

Matricea muchiilor u c u dimensiune m x 2, in care fiecare linie coresp unde unei muc hii (arc) ~ i in fiecare lin ie se inregistreaza i n ce le doua coloane etichete le nodurilo r care se gasesc la extr ernitatile muchiei (arcului) . int u [] [2] ; Referirea la nodurile adiacente much iei (arcului) i se face prin u [i 1 (01 - extremltatea initiala a muchiei (arcului), respectiv u [ i J [1 ] - extrem itatea finala a muchiei (arcului).

183

I n fo r m at i ca

Vcctorul muchiilor u cu dimensiunea m ale carui elemente sunt Inreqistran, fiecare i nregistrare fiind fermata din doua carnpuri x ~i y ce con tin etichetele nodurilor care se gasesc la extrernitatile much iei (arcului). Pentru elementele vectorului se defineste tipul de data muchie, de tip i nregistrare.

7

s t ru c t muchie { i n t x, y ; } ;

muchie u[] ; Referirea la a muchie (arc) i se face prin u [i ] , iar la unul dintre nodurile adiacente muchiei (arcului) se face prin u [ i] • x - extremitatea initiala a muchie (arcului), respectiv u [i 1 . y - extremitatea finala a muehiei (arcului). Implementarea cu matrice

o 1 2 3 4

5 6

7 8 9

1 2 3

1 1 1 2 2 3 3

4

Graful neorientat G 1

3 4 4

Implementarea cu vector de lnroqlstrari Muchi ile

5

6

7

6

8

~

- -- - - - - - ---"------ - - - - - -

lmplementarea cu matrice

o 1

1

......!.... 2

2 2 1 3 -".2 ..!4 _.3 ..2~5 3 5 6 4 2 5 7 4 8 5 3 9 5 6 10 6 5

Graful orientat G, Im pJeme nta rea cu vector de inregistrari

-

Arcole ~

-

Exemple : Daca implementarea se face folosind matricea, atunci pentru oriee muchie (arc) i, u [i ] ( 0 ] ":f:. u [i] [1] . Oaca implementarea se face folosind vectorul de lnreqistrari, atunci pentru oriee muchie (arc) i,u [i ] . x" u [ i ] .y . Acea sta re prezentare este recomandata pentru problemele in care se face prelucrarea succesiva a m uchiilor (arcelor). Are avantajul ca permite adauqarea la tipul de data muchie ~i a altar cam pur; (Iungime, cost, timp etc.), corespunzator unor ma rimi care pot fi asoc iate muchiilor (arce lor).

184

Implcmenturea st r uct u r ilnr de da le

Algorilmi p enlru reprez enlarea grafuri lor f ol o sind li sta much iilor Din lista muchiilor puteti obtine urrnatoarele informat ii: Graf neorienta t

Graf orie nta l

Gradul unui nod i este egal , in funct ie de implementare, cu num a rul de apa ri tli al e et lch et cl no d ului in matrice. respectiv in carnpurile vectorul ui de tnreqist rari .

Gradu l extern al nodului i este egal, in functie de implernentare. cu numaru l de aparit f ale etic hetel nod ului i n coloana a matricei. respectiv in pnmul camp , in vectoru l de lnreqistrari. Grad ul in tern al nodu lu i i este ega l, in functie de tmptementare, eu nurn aru l de apa ritf ale etichetci nodu lui in coloana 1 a matricei. respectiv i n al doilea cam e. in vectorul de inre ci strari. Succesorii nodului i sunt, in funcl ie de implementare, euchetete j di n coloana 1 pentru care u[k][O]=i, respectiv etichetele j din carnpui (I{k] y pentru care u[k].x=i (k=l ,m). Prcdecesorii nodu lui i sunt , i n functie de implementare. etichetele j din colo ana 0 pentru care u[k][1 ] =i , respectiv etichetele j din carnpul (I{k]x pentru care u[k].y=i (k=l, m). Nodu ri lc adiaccntc nodului j sunt date de reuniunea dintre multirnea succesorilor ~i multi mea predece sorilor nodului. Num aru! de vecini ai nod ului i este ega l eu cardinalul rnultimi i de nodur i adiaeente nodului l.

Nc d urile adiacc ntc nod ulu i j sunt , in functie de implernen tare. etiehele le j din coloan a 1, pentru care u[k][O] =i , sau din coloana 0, pentru care u[k][1]=i, respectiv etich etele j din carnpul u[kj.y, pe ntru care u [k] .x=i , sau din campul u{k]x. pentru care u[k] .y=i (k=1.m).

Nurna ru l de vccin i ai nodulu i i este egal eu

gradul nodului.

2. 3.

4.

G" 5. 6.

7.

a

1. Scrieti lista muchiilor a grafului G4 Folosind informatiile din lista muchiilor, deterrninati: gradul nodului 5, nodurile izolate si nodur ile lerminale. Scriet i lista muchi ilor a grafu lui neorienlat G 14 . Ce proprietate are acest graf? Scrieti lista muchiilor a grafului Ga. Folosind inforrnatiile din lista muchiilor , deterrninafi: gradul inlern al nodului 5. gradul extern al nodului 4. succesorii ~ i predece sorii nodului 2 si predecesorii nodului 3. Scrieti lista muchiilor a grafulu i G ll . Folosind informatiile din lista muchiilor. determina ti: gradul intern al nodului 5, gradu l extern al nodului 2, nodurile adiacente nodului 5, succes orii si predecesorii nodului 4, nadurile termi nale si nodurile izolate . Scriet i lista muchiilor a grafului orientat G" din figura 12. F010- ~f2\ sind inforrnatiile din lista muchi ilor. identificati nodurile izolate. 1 ~0 Scrie ti lista muchiilor a grafului Gn Cum identificati, in lista _ 7 muchiilor. nodul sursa? 3 6 Scrieti lista muchiilor a grafului G ,4. Cum identificali, in lista muchiilor, nodul destina tie? Fig . 12

0

0

Im plementa rea algorit m ilo r pe ntru reprczen tarea grafur ilor eu Ils ta m uehii lor 1. Crea rea matrieei eu lista much ii lo r prin intro dueerea datelo r de la tas tatura, Deter minarea g ra dul ui u nu i n od. Salv area intormatillo r des pre m uch ii i ntr- un fls ier text.

Se citesc de la tastatura muchiile (arcete) unui graf oriental (neoriental). Se creeaza matricea eu muchii le grafului. Se afiseaz a nodurile izolate lij terminaIe. Se satveaza matricea eu muchiile grafului i n fisierul te xt grafll ./x/ , pentru graful neor ientat, ~i graf 12.tx/, pentru graful orientat. in fisierul text se vor scrie, pe primul rand, ordinul grafului l?i nurnaru l de muehii, iar

185

Informatica

pe urrnatoarele randuri, nodurile de la extrernitatile unei muchii (arc). Functia scri e () S8 foloseste pentru a scrie inforrnatiile din matricea muchiilor in fisier. Pentru testarea prcqramelor se lolosesc graful neorientat G, si graful orientat Gg. Graful neo rientat . Functia gra d () se foloseste pentru a determina gradul unui nod. #i nclu de < f s t r e a m. h > int a[lO J [2] , n, m; fs tr eam f t vq r a f l l c t x t t'v Lo s : : o u t ); int g r ad( i n t i) lin t k , g=O; fo r (k ~l ; k<=om ;k"+) i f (af k] [OJ==i I I ark]

[ lJ~~i)

g++ ;

return g ; }

void sc r i e ()

lin t k ; f «n« " "<
ccutioc vn uma r de nodur i "; c.i r c c-n : couccc vnuma r d e rnuchii " ; c i n>>m; fo r {k=l; k <=m; k ++ ) {cout«" p ::i mu l n o d a1 mu c hi ei u« k« ": " ; cin» i ; c ou t« " a l do i lea no d a1 muchiei "« k«" : "; cin» j; ark ] [ 0 ] =;' ; ar k] [l ]=j ; } cout« "Nodu r i l e izol a te s unt : IT; f or (i =l ; i <=n ; i ++} if (g r a d{ i)==O) c ou t « i«" c out«endl « " No d u r i l e t e rmi n al e s unt : " ; f or {i = l; i <=n ; i ++ J if {q r a d Li l e e L] c cc ccc t c -c" If ; scrie () ; } II .

Graful oriental Functia grad_ int () se foloseste pentru a determina gradu l intern al unui nod, iar functia grad_ext () se foloseste pentnu a determina gradul extern al unui nod. #inc lude int a[lOJ [2j,n ,m ; fs tre a m f ( " g r a f 1 2. tx t" , i o s : :out ); i nt grad int( i n t i ) l int q =O,k ; fo r {k=l; k < =m; k ++ l i f (a [ k ] [l]==i) g++ ; return g ; } in t grad_ e xL( i n t i) li n t g =O, k ; f or ( k= l ; k <'=In; k+ + l if (a l k ] [Ol==i) g++ ; return g ; } v oid sc ri e() { I l e s t e identic 5 e ll cea de l a gr af u l neorie n t a t v oid main ()

l int i ,j , k ; cou't-ocv numa r de ncdur i. "; c i n» ni c c u ec c vmcnar de arce "; cin>>m;

f o r (:'< =1 ; kc -m : k+ -r ) {c o u t «" n o ciu l initial a1 a rcului "« k« ": "; c in» i; cou t .c-cvn o d u L final a L arcului "« k«" ': " ; cin» j; ark] [ O ] ~ ;' ; a rk] [ :l ~ j ; } cou t« " No d u r i l c iz o late sunt : It; f o r ( i = l; i < =n; i ++ j i f ( g ~ a d _ i n t{ i ) + g r a d_ e z: t( i } = = O ) coc e c -cd c -c" If; c ou t« e ndl«" No d u r i l e t erminale sunt : " ;

f o r (i =l ; i <=n i i +';' } if (g r a d_ i n t( i) +g r a d e x t{ i)==l) cout« i «" sc r ie () ; }

If;

186

Implementare a struct urilor de date

2. Grearea vecto rului de m uc hii prin c itirea m uchiil or (arcelor) din fi sier, Prelucrarea info rmati ilo r asociate muchiil or. Datele se citesc din fisierele text create anterior : grafT.!x!, pentru gratul neorientat, si grat8.!x!, pentru gratul oriental. Pentru un nod p a carui eticheta se citeste de la tastatura , S8 aflseaza eel rnai apropiat vecin (sau cei mai apropiat i vecini , dace exists mai multi) la care S8 poate ajunge din nodul p. in cazul grafului neorientat, eel mal apropiat vecin este nodul adiacent nodului p care tormeaza cu acesta muchia care are lungimea cea mai mica ta\a de muchiile incidente cu ceilalfi vecini . in cazul gratului orientat, eel mai aprop iat vecin la care S8 poate ajunge din nodul peste nodul succesor nodului p care forrneaza cu acesta arcul care are lungimea cea mai mica fata de arcele incidente cu ceilalti succesori. Functia ci teste () S8 foloseste pentru a citi datele din fisier. Pentru testarea programelor S8 Iolosesc gratu l neorientat G , si gratul orientat G g . Graful neoricntat. Functia izolat () determine daca nodul este izolat. #include < f st r e a m . h> struct muc hie t int x, Y, d;}; muchie u [2 01; i n t n, m; fstream f ( "g ra f7 . t xt Jt I Lo s : : in ); void ci t.e s t e t) {int k; f» n» rn; for (k~ l ; k<~m ; k++ ) f » u [ k ] . x » > u [ k] . y »u t k l . d : f . close () ; } int i zola t ( i n t i ) lint k ,g~O ; for (k~ l ;k< ~m ;k++ ) if ! U[ k ) . F ~i II u [ k ]. y ~ ~i ) g++ ; return void main ( ) {int k ,p /min ; ci tes te () ; cou t-oc vtco d u L : " . cin» p; if (i2 0 1at(p }) cout«" Nod u l "« p«" nu a re vecini " ;

g~ ~O;)

else {ke I ;

while {u l k lc x l e p & & u l k l mi. n eu [ k ] . d :

. y ! ~p )

kH ;

for ( k++ ; k<=ffi ; k++ ) if ( u[k] , F~P II u [ kl .y ~ =p ) if (u l k l d -cmi .n ) rni n =u [k ] . d ; cout«" Di s t a n t a mi nima e st e "<
v

Graful oriental. Functia suce () determine daca nodul are succesori.

#include struct a rc tint x ,Y ,d ; } ; arc u [2 0J ; int n, nl; fstream f ( " g r cif8 . txt " , ios: : in ) ; void c iteste ( ) {f l e s t e identic~ C ll c ea de 1 a gra f ul neor ie n tat } int succ( i n t i ) ti nt k ,g =O ; for { k= l ; k <=ffi ; k++;' if (u [ k ] . x==i ) g+ + ; return g != O; }

187

Infor m a tica vo i d main ()

{in t k , p , mi n ; cite ste( ) ; cou t «" Nod u l : "; ci n» p ; if ( ! slice (p) ) cout« " No d u l u« p«" nu are ve c ini l a c ar e s a se p oa t a a junge " ; else

{ ke L : wh ile (u l kl . x ' =p ) k++ ; min =u [ k] . d ; for (k+ + ; k<=m ;k++) if {u ] k'] . x==p && u [k] . d
2.7.4.4. Reprezentarea prin lista de adiace nta Lista de adlacenta este fer mata din Iistele L, (1::;i'::;n) ca re c ont in toti vecinii unui nod Xi la care se poate ajunge direct din n odul Xi, ad ica to at e noduril e Xj pentru care [Xi,Xj] EU. Obs erv at ie. in cazul graful ui neorienta t, lista li a vec inilor unui nod Xi al grafu lui este fermata din nod urile Xj ad iacente nodului Xi . i n caz ul graful ui orien tat, lista li a vecinilo r unui nod Xi al grafului este fermata din nodurile Xj care sunt succesorii nodului Xi. Implementarea ac estui lip de reprezenlare se poate face : -7 static , folosind una dintre urrnatoarele structuri de date : A . Matricea lis te i de adi acenta B. Vectorii liste i de ad iace nta -7 dinamic , cu ajutorullistelor lnlantuite.

Graful nco ricntat G , ~_o d

lmplementa rca statica A. Matricea Iistei de adiaconta L cu 2 Iinii si n+ 2xm coloane pent ru graful neorientat, respectiv cu n+m coloane pentr u graful orie ntal, defm ita ast fel :

-

l.ista de adiacenta 2,3,4 1,3,5 1,2 ,4,5 1,3 2, 3

1 2 3 4 5 6

7, 8

7 8

6 6

188

Implcm cnta rcu structuril or d e dat e

Prim a lin ie contine etichetele nodurilor ~i listele de adiacenta ale fiecarui nod; este fermata din doua secnuni: Grafu l orientat G g a. Primele n coloane contin etiche tele nodurilor: Nod Li sta de ad ia ce nta L[O] [ i]= i (1';i.;n). 1 2 b. Urrnatoa rele m x2 caloa ne , respectiv m coloa1,3 ,4 2 ne , co ntin in ordine cele n liste de ad iacenta 3 5 ale celo r n noduri. 4 2,5 - A do ua Iini e cont ine inforrnatiiie necesa re pentru a 5 3, 6 identifica in prima linie lista de ad iacenta a fieca rui 5 6 nod ; este fermata din c oua sectiuni: a. Primete n coloane contin , in ordine, pen tru fieca re nod i (1 ::;i::;n), indicele coloanei din prima linie din care in cepe llsta de ad iacen ta a nodului: L [1] [i 1= j , unde j este indice le coloa nei de unde in cep e lista de adiacenta a nodului i. Daca nodul este izolat, se va memora valoarea 0 - L [1 ] [i] =0 (nu exis ta lista de adiacenta pentru acel nod). b. Urrnato arel e mx2 caloane. respectiv m caloane, contin in ordine mformatii despre modul i n care se in lant uiesc eternenteie din lista. Daca nod ul L[O ] [ i ] se gase~te i n interiorul listei, atunci L[l ] [ i ] =i +1 (indicele urrnatorului element din lista) . Daca nodul L [0 ] [i] se gas e'ite la sfars itul listei , atunci L [ 1] [i] = 0 (s-a term inat lista de adiacenta a nodului i). Matricea este defin ita astfel : a} pentru graful neorientat in t L [ 2 ] [ + 2 k <;n>; i b) pentru graful orient at: i n t L [2 ] [+J ; -

Gralu l neoriental G, Nod uril e

...

A

L4

L3

L2

L1

Ls

L,

L7 L,

8 2 3 4 1 3 5 I1 2 4 5 26 10 11 0 13 14 0 16 17 18 0 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ~

~

--------

Ind icii colo ane lo r

Grafu l orienlal G, Noduri le r

A

,

L1

1 2 3 4 5 6 2 7 8 11 12 14 16 0 1 2 3 4 5 6 7

--

L2

,--L, ~

1 9 8

L3

L4

Ls

L,

3 4 5 2 5 3 6 8 10 0 0 20 0 22 0 0 9 10 11 12 13 14 15 16 -.,..--

----

Ind icii co loan clor

B . Vectorii Iistei de adiacenta: un ve cto r L cu dirnensiunea m x2 , pen tru gratul neorientat, respectiv cu dimensiunea rn, pentru gratul orienta t, care conti ne listele de adiacen ta ale fiec arui nod, si un ve ctor cap , cu dime nsiunea n . care contine indicii de la care incepe lista vecinilor fiecarui nod in vec torul L. Indicii din vecto rul cap corespu nd

etichetelor nod urilor . Ce i doi vectori sunt defini ti ast fel: a) pen tru gratu l neorientat: int cap [ ':'"1> j , L (2 "'<:n> J ; b) pentru graful orientat: in t c ap ~ J , L [ 1 ;

lntorrnutic a

189

7

8

L

L3 Graful orientat G,

1

cap

234 2 S

C-1 J

»>

1

2

I

1=U

J /

[JQ

6

I

\

4 S 6 7 8 9 10 [ 3] 4 ] 6 '-y-l '----y---I '-y-l '-------y--J '-------y--J '-y-l L1 L2 L3 L4 L5 L6

n1 1

L

3

S 8

5_U TIT iJ

Ls I

Observatie . Fiecare lista de vecin i Lr, contine indicii coloanelor j in ca re de 1 in matricea de adiacenta (a [ i] [j] ~ 1 ) .

S8

gasesc valori

lrnplernentarea dlnarnica Lista de adicenta a fiecarui nod S8 memoreaz3 intr-o lista simplu in!antulta, ale carei elemente sunt de tip nod (informatia utila mernoreaza eticheta unui nod din iista), iar adresa primului elem ent din fiecare lista S8 memoreaza intr-un vector L care are lungime a lcqica egala cu nurnarul de nodu ri n si ale carui eleme nte sunt de tip pointe r catre tipul nod: stru c t n o d {int i n f o; Ho d

*

u.em ; } ;

n od *L [< n >] ;

L

2 1 2 3

_I

.~1 41fj 5

4

~s ic1

5

-t--·f:II~--ITJI.O 5

6

Gr aful orientat G,

190

Im pleme nt a rea str uetur ilor de date L

2

1 1 2

3 4 5

1 1 2

G ratul neorientat G 1

7

8

6

7 8 Acoasta reprezen tare este recornandata pentru grafurile care au un nurnar mare de noduri ~i un nurnar mic de muchi i.

A lgoritmi pcntru roprozcntaroa g rafurilor fo losind Hst elo de ad iacenta Din lista de adiacerita irnplornontata static cu rnatr ice puteti obtine urmatoarele intorrnatii: Graf neo rie ntat

Graf oriental

Lung imea ustc! de adiacenta a nodu!u i l neizolat , cu eticheta mai mica decaf n , este egala cu dife renta dintre pr imu l indic e j (j=i+1 .n1) diferit de 0, din prima sectiu ne a liniei a doua (L [1] [j] :t-O), ~i indicele caloanei din care in cepe

Lungimea listei de adiacenta a nodului i neizclat. cu eticheta mai mica cecat n, S8 calculeaza la fel ca l?i in cazul grafutui neorientat. Pentru nodul n lung imea listei de adiacenta este egala eu (n+m +1 - L[1][n] ), Gradu l exte rn al nodului i este egal eu lungimca li stei de adtacenta a nodu lui. Gradul intern al nodului i este egal, eu numarul de aparitii ale etichetei nodului in a doua secnune a pr imei linii a matrice i (L[OlU] =i, cu j=n+1 ,n+m).

lista de adiacenta a nodului i (L[1l Ol . L[1][i]) Pentru nodu Jn . lungimea liste i de adiacenta este eqala eu diferenta dmtre nurna rul tota l de eoloane, plus 1, si indicele coloanei din care incepe lista de adiacenta a nodu!ui n (n+2x m +1 - L[1][n] ). Lungimea listei de aolacenta se mai poat e determina prin numarare a in linia a doua a elementelor diferite de 0, lncepand cu elementul din coloana L[1][i] ), la care se adauqa 1 Gradul unui nod i este egal cu lunqlmea Iistei de adiacenta a nodului sau cu numarul de aparitii ale et ichetei nodu lui in a doua secttune a primei linii a matricei (L[ O] U]=i, cu i=n+1,n+2*m) . Nodurile ad iacen te nod ulu i i sunt nodurile a carer eticheta apare in lista de adiacenta a nodului i

Succeso rii no d ulu l i sunt nodurile a carer etiche ta apare in lista de adiacenta a nodului i Pr ed ec esorii n od ului i sunt nodurile j i n a c arer lista de adiacent a aoare nodul i.

191 . - .

Info rm a tica Graf neorientat

Graf orientat

Nurna rul de vect n t at uodutu ! i este egal ell

Mllchia [i,j] a grafu lui reprez inta nodul ; ~ j un nod l din lista de adiacenta a nodului i din prima Iinie a

Nodurile adia c ente nod ulu i j sunt date de reuniunea dintre multimea succesorilor ~i multimea prede cesorilor nodului . Num ar ul de vc ctn! ai nodu lui j este egal ell cardinalul mu ltimi i de nod uri ad iacente nodului i. Arcul [i ,j] al grafului rep rezinta nod ul ; s! un nod j din lista de ad iacent a a nodului i din vectorul L

matrioei (U Oll i1El;).

(U Ollil EL,)

aradul nodului,

Din lista de adiacenta imptomontata static eu doi vectori puteti obtine urrnatoarele intormatii: Graf ncorientat

Graf oriontat

Lu ng im ca listei d e adiacenta a nod ului i neizolat. cu eticheta ma i mica decat n, este egala cu difere nta dintre primu1indice j U=i+1,n-1) diferit de 0, din veeto rul cap (cap[jl;tO), ~ i indice le elemen tului de la care in cep e lista de adiac enta a nodului i (capO] - cap[i] ). Pentr u nod ul n, lungimea listei de ad iace nta est e ega li3 eu diferenta dintre nurn arul tota l de elemente ale vectorul L, plus 1, ~i indicele elementului din care ineepe lista de aoiacenta a nodului n (2xm +1 - cap [n]) .

L un gimc a li st ci de adiacenta a nodului ; neizolat. cu eticheta ma i mica decat n. se calcule aza la fel ca ~ i in cazu1grafului neo rientat . Pentru nodul n . lungimea listei de adia cent a este egala eu (m +1 • ca p[n] ). Gr adu l extern al nodu tui I este ega l eu lun gimea li stei de aot ac on ta a nodulu i. Grad ul int ern at nod ului r este ega l eu num arul de apa ritii ale et iche te i nod ului in

vsctoullistei l (l UJ=;, cu j=1 .m).

Gradu l unui nod ; este egal eu lungi mea Iiste i de adiacenta a nod ului sa u cu nurna rul de aparitii ale et ichetei nodului in vectorullistei L

(l Ol =;, cu i=1,2·m). Nodurile adia centc n od utul I sunt nodurile a ca rer eticheta apare in lista de adiacenta a nodului i din vectorul L.

Nurn aru! de vecinl a! no d ului f este ega! cu qradu l nodului . Muc hia [i,j] a grafului reprezinta nodul ; ~i un nod j din lista de adiacen ta a nodului i din vectorul L

Suc cesorii n odulul I sunt nodu rile a carer eticheta apare in list a de adia centa a nodului i din veeto rul L. Pr ed cccsori i nodulul r sunt nodurile j in a carer lista de adiacenta din vectorul L apare nodu li. No d ur il e adiacente no dutul I sunt date de reun iunea dlnt re mu ttirnea succesorilor ~ i mult imea pred eces orilor nodulu i, Num arul d e veci ni at no dut ulr este ega l eu eardina lul multimii de nod uri adiacente nodu lui l. n rc u! li.Il a! grafulu i reprezinta nodu l i :;; i un nod j din lista de adiace nta a nod ului i din veetoru l L

(L01EL,)

(l !ilE L,).

Din lista de adiacenta irnp lernentata d inamic putet i obtine urrnatoarele inforrnatii; Graf n eori entat

Graf o rio n ta t

Nu m aru l de ele mente d in toate listele simplu inla nlu ite este egal eu 2xm ( du blul nu ma rului de m uchli), Lung ime a nst e! de adlacenta a nodului ; este eqala eu numeru ! de nod uri ale listei ce are adresa nodului p rim ecata cu un.

Num aru t de ele me nte din t oate liste 1e simp1u Inlantuite este ega l eu m { n um aru l de a rce). Lung im ca Iis tei de adtacen ta r este ega la cu num arul de noduri ale Iiste i care are adre sa

nodului prim eoata cu l [i]

192

Im plcmen tu r ca st r uet u r ilo r de date Graf neoriontat

Graf orientat

Gradul unui nod i e ste ega l ell lungimea listei de a dlacenta .

Gradul extern a! nodului i este egal eu lungimea Iiste i de adlacenta a nodului. Gradul intern al nodului i este egal, ell numaru l de aparitii ale etichetei no dulu i in toate Iistele simplu Inl antuite. Succesorii nodului ; sunt nodurile a care r etichet a apare in lista ce are adresa nodului

Nodurile adiacente nodului ; sunt nodurile a

carer eticnet a apare in lista ce are adresa nodului prim egala ell L[i].

Numarul de vecini at nodului i este egal cu

qradul nodului. Muchia Ii.Il a grafului reprezinta nodul i ~ i un nodj din lista ce are adresa nodului prim eQala cu L[i]

2. 3.

4.

6.

prim egala eu L[i ]. Predecesorii nodului ; sunt nodurile j in ale care r liste (ee au adresa nodului prim egala ell LOll apare nodul i. Nodu rile adiacente nodu lui i sunt date de reuniunea dintre rnultime a succesorilor sl multimea predecesorilor nodulu i, Numa ru! de vecini ai nodului j este egal cu cardinalul rnuttirnii de nod uri adiacente nodului i. Arcul [i.j] al grafului reprezinta nodul i ~i un nod j dinlista ce are adresa nodului primegala cu L[i].

1. Scr ieti lista de adiacenta (Iolosind eele trei me tode de imp lemenlare) a grafulu i neorientat G4 . Folosind lnforrna tiile din lista de adiacenta, deterrninati: gradul nodului 5, nodur ile izolate si nodurile terminale. Scrieti lisl a de adiac enta a grafului orientat G Se vor folosi eele Ire i melo de de implementare. Ce prop rietate are aeest graf? Scrieti lista de adiacenta a qrafului orientat G8 (foloslnd eele trei meto de de impleme ntare). Folosind lntorrnatiile din lista de adiacenta, determinati: gradul intern al nodului 5, gradul extern al nodulul 4. sueeesorii ~ I predeeesorii nodului 2 ~ i pred eeesorii nodului 3. Scrieti lista de aoiacenta a grafu lui orientat G ll . Se vor folosi eele trei metode de implementare . Din lista de adlacenta , deterrninati: gradul intern al nodulu i 5. grad ul extern al nodului 2 , nodurile adiacente nodului 5, succesorii si predecesorii nodului 4, nodu rile terminale ~ i nodurile izolate. 1'ft_ "'-' Scrieti lista de adiacenta a graiu lul orlentat G' 8 din figura 13. Se vor folo si eele trei met ode de implementare . Scri eti lisla de adiacenta a gralului G 13. Se vor folosi eele trei melod e de im pleme ntare. Cum identificati - i n fieeare impleFig 13 men tare a lis tei de ad iacenta - nodul sursa al grafului?

,4.

7. Scri eti lista de ad iacent a a qrafului G". Se vor folosi eele trei melo de de im pleme ntare. Cum identifi cati - in fieeare imp lementare a listei de adiacenta - nodul destinatie al gral ului?

Implementarea algoritmilor pentru reprezcntarca grafurilor cu lista de adiacenta 1. Crearea listei de adiacenta in implementare statica prin citirea Iistelor de vecini din flsi er. Determinarea gradului unui nod. Obtine rea matricei de adiacenta din matricea Iistei de ad iac ent a, in tr-un tisier text se gasese urrnatoarele informatii desp re un gra! neorienta t (~ i varianta orie ntat) : pe prima linie, valorile pentru nurnar ul de noduri n !?i numarul de rnuchii m, despa rtite orin spauu , iar pe urrnatoare le n linii, de spartite prin spatiu , nurnarul de veeini ai unui nod si lista vecinilor (:;;i varianta nurnarul de succe sori ai unui nod si lista succesorilor).

193

Informatica

Se citesc din fisierul text aceste informatii ~ i se creeaza lista de adiacen ta irnplernentata cu rnatrice, respectiv cv vectori. Se afiseaza nodur ile cv gradul eel mar mare (liii varianta cu gradul extern cel mai mare ). Se obtine matricea de adiace nta din lista de adiacenta. Se salveaza apoi matricea de adiacenta intr-un fisier text. in fisierul text S8 scriu: pe primu l rand ordinul grafului, iar pe urmatoarele randur i - liniile matricei de adiacenta, Functia citeste() se folose ste pentru a citi listele de adiacenta din fisier , functia g rad() pentru a determ ina gradul (~i varianta gradul extern ) al unui nod . functia g rad_ma x ( ) pentru a determ ina gradul ma xim ( ~ i varianta gradul extern max im) al nodurilor din graf , funct ia transpune ( ) pentru a obtine matricea de adiacenta din lista de ad iacenta , iar func tia scrie ( ) pentru a scrie matricea de adiacen ta in fisier . lnforrna tiile 58 citesc din fisierul text grar13.txt, pent ru graful neorientat, ~ i qrett a.txt, pentru graful orientat, ~i se satveaza in fisierul text grar15 .txt , pentru graful neorien tat, ~ i grar16.txt , pentru graful oriental. F i ~ i e re l e text grar13.txt si qrett a.txt se creeaz a cu un editor de texte . Pentru testarea programelor se folosesc graful neorientat G , ~ i graful orientat G, .

Graful neo ric ntat

~i

g raful oriental _ impl cmcntarca cu matricc

#i nc l ude < f s t r e a m. h > i nt n, m , ~[ 3 J [ 50J , a [ 1 0 J [10 J ; //pentru graful n e o r i e r. t a t: fstr e am £ 1 ( " qraf13 .t xt " , i o s : :in l , £ 2 ( "g r af l.') . L:{t " , i o s : :out ); // pe n t r u g r a f u l o rienta t // f s t r e a m f l ( "gru f l lJ . t x t " , i o s : :in ) , f 2 (" g r z,. f 1 6 . t z t ",ios: :ou t ); v o id c i t.e s te () tint L j , x , k ; f l »n»:n ; fo r (i = l; i < o=n; i ++ ) L[1J [ij ""i ; j =- n+l ; for ( i = l; i <= n; i ++ )

{rI o>x , if

( F ~O) L [2 ] [i) = O; e l s e { L [ 2 ] [ i]=j ; f or ! k = l ; ~ < = x ;

k~ +1

{ f l» L [ l } [j] if ( k '~ " 1

~ [ ] [j) = j + l ; else L [ J [j; =O;

J++ ; ) ) )

::1 . close {} ; } int g rad {i n t i ) lint g ,j=L[2 ] [i] ; i f (1,[ 2J ( i. ; = =O) 9 =0 ; else { g o= "2.; while (!'[ 2j [j J ! =Ol { g ++ ; j ++ ;)} return c; ; } int ~!:"ad_ma;·; () tint i ,I;:ax=C; f or ( i = l ; i< =n ; i+f) if iq rad\ i1 >max m a x = g ~ 2 d{i) return :n2X ; l void t r aaa pune ()

lint i ,j ; f or (i =1 ; i< =n ; { j = L [ 2 J [i} ; if

i+ + )

(L[ 2j [ i. ; ! = O) {wh a Le ILl 2] [j] ~ o' O I {a l i ) [L [l ] [jJJ = l; a l L] ( L[ l J )j]]= l ; )})

j++ ; }

;

194

I m p lc m cnta rca st r ucru r llor de d ate

void s c r ie()

(int i ,j ; f 2« n« e nd l ; for {i""l ; i<~n ; i ++) {for (j = l ; j<~n ; jT +1 £ 2« a [ i ) [j ] « " " . f2 « e n d l ; ) £2 . close () ; ) void main () {inti; citeste () ; cout«" Gr a d u l eel mai maTe este "« g r a d _ma x () « e n d l ; oou t-c-C'N o d u r i.Le vc u gradul eel ma l mare s1Jnt~ : " ; for ( i=l i i< = n; i·j· ,,,) if (g r a d (i) -o- q r ad max {} [" ccc ecc r -c-c '' t r an spun e t-j • scrie() ; }

".

Gra fu l nc ori en tat si qra f ul o rie ntat - im p lem c ntarea eu vocto ri . #include < f s t r e a rn. h > int n,m , L[ SO] , a r l O] [ 1 0] , c a p ( 1 0 ); /Ipentru graf ulneCrienat fstre am fl ( " g r a £1 3 . txt " , ios: : in ) , £ 2 ( "gr-af1 5 . txt " , ios: : out ) ; I/pentrugraful o r l e n a:: / I f s t r e a mfl ( " g r a f 1 4 . t x t " , ios : : in ) f2( " g r a f 1 6 . txt " , ios: : out ); void ci tes te ( ) lint i , j =l , x , k ; fl »n »m; f

for { i = l; i < ~ n ; i + + )

{ fl »x ; if ix ~ ~O I cap[ i] = O; else {c a p Ci ]""']; for (k ~l;k<~x ;k H f lo close () ; } int g r a d ( i n t i ) (int g ,j ; if ( c a p[ i J ~ ~ O ) g~ O ;

I

( fl » L [j ]; j ++ ; ) } )

else {if ( Lcn j

{ j ~ i + l;

while ( c a p [ jJ=~O &&j<= n) j++ ; i f ( j==n+l) g=2 -A- m+l ::" c a p [ i J ; II g =m+l -cap[ i ] ; pentr u grafu l else g ~cap[j ]-cap[iJ ;}

orientat

else g =2*m+l -cap [ il ; } return g ; } int grad max() ( / /este Loe n t tcc cu e ea de l a implementarea e u mar r i.ce j void t ran s p u n e ( ) ti nt i, j; for ( i = l ; i< =o ; i ++) for ( j ~ O ;j
2. Crearea list ei de adiace nta i n implem en tare sta tica din m atricea de adiacenta. Salv area listel or de adiacanta intr-un fi sior.

Se citeste din fisieru l ereat anterior (grafI5.lxI, respectiv grafI6.lxl) matricea de adiacenta a grafului ~ i se obtine din ea lista de adiacenta irnplernentata cu matrice, respectiv cu vecto ri. Sc salveaza listele de adiacenta 1ntr-un fisier text (grafI7.lxl, respectiv grafI8.lxl) , astfel: pe prima linie, valorile pentru nurnarul de noduri n ~i nurnarul de muchii rn, despartite prin

195

Inform atica

spatiu, iar apoi. pe urrnatoarele n Iinii, despartite prin spatiu, nurnarul de vecini ai unui nod si lista vecinilor pentru graful neorientat , respectiv nurnarul de succesori ai unui nod si lista succesorilor pentru graful orientat. Functia ci teste () S8 foloseste pentru a cif matricea de adiacenta din fisier. functia transpune () pentru a obtine lista de adiacenta din matricea de adiacenta, iar functia scrie () pentru a scrie nstere de adiacenta in fisier,

Pe nlru teslarea progra melor se lolose sc gralul neorientat G,

~i

gralul oriental G9 .

Graful neorientat ~i gra fu l o riental - implemc ntarca cu m atri cc

#include < f s t r e a m. h > in t

n ,m ,L[ 3 ] [ 5 0 J, a [ l OJ [lO J ;

/Ipe nt r u gr a f u l neorientat fs t r e am f l( " g raf 15 " , i o s : : i n ) , f 2 ( " g r a f 1 7 . t x t " , i o s : : o u t ) ; //pentru gr a ful orie nta t Il f s t r e a m f 1 ( "grafI6 _t xt " , i o s : : in ) , £2 ( "graf I8 . tx t " , i o s : : o ut ) ; v o i d c i, t este () {int L j ; £ 1»n ; for ( i = !; i <= n ; i T+ ) for l j ~ l; j < ~ n; j ++ ) f fl» a [ i ] [j] ; i f l a [ i ] [ j] ~ ~ l) m l + ; ) fl . c l o s e l) ; m=m/ 2 ; } //numai pen tru graful neori entat v oid transpune { ) {int i ,j ,k ,g ; f o r ( i ~ l; i < ~ n ; i. t+ ) L[ lJ [ l ]~ i. ; ke-n -t I r f or ( i = l ; i < = n ; i + ' ~ ) ffor l j~ l, g ~ O; j < ~ n; j + + )

if (a[ iJ [j]~~ l) { L [ l ] [ k] ~ j ; L [ 2 ] [ kJ ~ k - l ; k++ ; g++ ; ) I g~ ~O) L[2] [il ~O ; e l s e f L [ 2 ] [ iJ~ k -g ; L[2] [ k -1J~O ; ) ) ) i nt grad( i n t i ) {I / i d e n t i c a eu e e a de la ~~lerr£ntarea eu rna t r i ee } void s c r Le () {in t .i ,j=l , J.: ; f2 «n« " "« m«e nd l; f or (i= 1 ; i <=n ;i++) if (L[2 J [i] ~ ~O) f2 «0 « e n d l ; el se { f 2« g r a d ( i) -cc'' " ; f or (k ~l ;k <~grad(il ; k++, j ++ ) f2 «L[ 1] [ j J«" " ; f2 « e n d l ; ) f2 . c l o s e ( ) ; ) v oid main () {c i t e s t e ( ) ; tr a n s p une ( ) ; seri e() ; } if

Graful ncorientat

~i

g raful orientat _ im plcmcntarea cu vecto ri

#i n cl u d e int n ,m ,L[ 50 j,cap[lO] , a[10 1 [lOJ ; I /pcnt. r u graful neo r i e n ta t f s t r e a m £1 ( " g ra f13 ; tx t " , i os : : i n ) , £2 ( " g ra f I S . txt " , i o s : : ou t ) ; I/pentru graful orientat // f s t r e a m fl ( " graf14 . t x t; " , i os : : i n ) , £2 ( "gra f16 . txt " , i o s : : au t ) ; void cites t e ( ) (/ / e s t e roen t.t ca eu cea de 10. imp.Icrnente rea c u me t rLce l v oid t r a n s p u n e() {i n t i , j,k=l ,g ; f ar ( i = l ; i <=n; i + + ) { fo r ( j ~ l; g ~ O; j < ~ n; j ++ ) if (a[ i l [j] ~ ~l) { L j kl e j s k++ ; g++ ; ) if ( g ~ ~ O ) ca p[ i] ~O ; el se cap[ i J ~ k -g ; ) ) i n t g rud{ i n t i ) { I l i de n ~ i c a eu cea de l a L~pl~£ntarea ell vectori }

196

Imp lemcntareu st r uct u r ilor lie da te

v o id sc r i e {) { i n t i I j ; £2 «n. « " "
{f 2« q r a ci ( i) « " "; f e r ( j= O; j
3. Crearea listei de adiace nta in implementare dinami ca prin citirea lis tei muchiil or din fi sier. Determ in area veci nilor ~ i a gr ad ului unu i nod. inlr-un fisier text se gasesc urmatoarele mformatii despre un graf neo rienta t (~i variant a orientat) : pe prima linie, valorile pent ru nurnaru l de noduri n si nurnarul de muchii m, iar de pe urrnatoarele m linii, cate 0 pereche de numere de spartite prin spa tiu, care reprezinta etichetele nodu rilor ce tormeaza a muchie (arc). Se citesc din fisierul text aceste informatii ~i se cree aza lista de adiacen ta implernentata dinamic. Se afiseaza vecinii ~i gradul fiecarui nod . se Ioloseste pentru a initializa cu va loarea NULL eleme ntele vectorulu i L Functia ini (pointerii nodului prim al listei de adiacenta a fiecarui nod din graf) , functia adauga _ nod 0 pentru a adauqa un nod ina intea nodulu i p r im la lista simplu Inlantuita a unui nod din qraf, functia c r ea re ( ) pentru a crea lista de adiacenta, functia g rad () pentru a determina gradul (~ i var ianta , gradu l extern) al unui nod, functia af isa r e _ v ec i n i ( ) pe ntru a afisa veci nii fiecarui nod, iar functia afisa r e _ g r a d () pentru a afisa grad ul fiecaru i nod. lnforrnatiile se citesc din fisierul text graf11 .txt pentru graful neorientat ~i graf12.txt pentru graful oriental. Pentru testarea progra melo r se l olosesc graful neorientat G , si graful orientat G g . # i n cl u de < f s t r e a rIl. h> st ru ct nod t i nt i n f o ;

to

nod * u r m.

j ,

nod * L [ 2 0 ] ; i n t n ,m ,' f stream f l ( " g r afl l . t x t " , i o s : : i n ) ; voi d init () { :» n» ~; f or ( i n t :=l ; i<=r. ;i++) L[i}=NULL; } voi d a da ug a_nod( ::1od *&p r i :n, int y)

{Lod *p =n e w nod ; p- >i nfo:o:y ; p - >u r m=pri m; pr~ rn= p ; } v oid c r e e r e () t i n t Y. ,y ; wh i le (f » x »y) ( a d a u g a _ n o d ( L [ x . , y ); a d a u g a _ l1 o d {L [ y ], x );} f . close () ; } v o id af~sare_vecini() {for (i n t ~=: ;i< =n ;i -+) { co u

t

c c v v e c Ln

i i.

nodc Lu

i.

" < x L c -c '" :

" ;

f o r (nod *p '""'L [ i l ; p ! =cNULL ; p=f:- >u r m) cou t « p - >l nf c« " cou t «endl ; }} i nt g r ati ( i n t i) t i n t 9"'0 ; fo r

(nod * p = :" [ =-- ]; p ! =NULL; p = p ->urm)

g++ ;

r e t urn g ; }

vo id afis are grade(} {fo r (i n t i = l ; i <= n; i ~+ ) cout«" Gr a d u l n o du lu i "« i« ": "« g r a d (i ) « e nd l ; ) v oi d main () {i n i t : l ; c r ea r e t ) , afis are_v e c ini() ; afisa r e _9ra d e{) ; }

It .

I nformati cii

19 7

1. Scrieti un program care citeste listele de adiacenta ale gratului din fisierul text graf I 3.txt, penlru gratul neorientat, respectiv din fisierul grafI4.txt , pentru gratul orienlat, ~i care afiseaz a nodurile izolate. Liste le de ad iacen ta S8 implementeaza dinamic ~i static, in cele doua var iante. 2, Scrieti un program care citeste listele de adiacenta ale gratului din fisierul text graf I 3.txt, pentru gratul neorientat, respectiv din fisierul grafI4.txt, penlru gratul orienlat , ~i care afiseaza muchii le (arcele) gratului. Listele de adiacenta se implernenteaza dinamic ~i static in cele dOUc3 variante . 3, Scrieti un program care citeste din doua fisiere text, respectiv din g5.txt un grat orientat, reprezentat prin lista muchiilor, ~i din fisierul g6.txt un grat orientat, reprezentat prin lista vecinilor, si care verifica daca cele doua qrafuri sunt identice (lndicat ie. Se reprezinta ambele grafun prin matricea de adiacent a si S8 cornpara cele ooua matrice de adiacenta),

2.7.4,5 , Aplicatii practice 1. i ntr-un grup de n persoane s-au stabilit doua tipuri de relatii: de prietenie si de vecinatate. Scrieti un program care sa citeasca matricele de adiacenta ale celor doua grafuri dintr-un fisier text (pe primul rand, nurna rul de persoane, ~i pe urma toare te randuri, in ordine, liniile fiec are i matrice de adiacenta) ~i care sa afiseze: a. persoanele care sunt §i i prieten e !?i vecini (lndic atie. Se deterrnina rnuchiile din gratul intersectie a celor doua graturi neorientate); b. eel mai mare nurnar de persoane care S8 qasesc intr-un grup de vecini prieteni (lnd icat ie. Se determine gradul maxim in gratul intersectie a cetor c oua grafuri.) Pentru testarea programului forrnati un grup cu 10 dintre coleg ii vost ri ~ i descrie ti cu ajuto rul a doua graturi cele doua tipuri de relatii. 2. intr -un grup de n persoane s-a stabilit 0 relatie de cunosti nta: persoa na x este in relatie cu persoana y daca 0 cunoa ste pe aceasta. Relatia de cun ostinta nu este reciproca. 0 celebrit ate este 0 persoana care este cunoscuta de toate persoanele din grup , dar care nu cuno aste nici 0 perscana (este un nod destinatie al gratulu i). Un necunoscut este 0 persoan a care cuncaste toate pers oanele din grup dar nu este cunoscuta de nici 0 perso ana din grup (este un nod sursa al gratu lui). Un singuratic este 0 persoana care cunoaste 0 sinqura perscana din grup sau este cun oscuta de 0 sinqura pers oana din grup (este un nod term inal al gratul ui). Un strain de gru p este 0 persoana care nu cunoaste nici 0 persoana din grup ;;i nu este cun oscuta de nici 0 perscana din grup (este un nod izolat al gratului). Dernonstrati ca in grup nu poate exist a decat 0 sinqura celebritate ;;i un singur necunoscut. Scrieti un program care sa citeasca dintr-un fisier matricea de adiacenta a grafului ;;i care sa afiseze : a. daca exista 0 cefebritate , sa se precizeze persoana, iar daca nu exista, sa se precizeze: persoana care cunoaste cele rnai putme persoane ~ i persoana care este cunoscuta de cele mai multe persoane; b. daca exista un necul1oscut, sa se precizeze persoana , iar daca nu exista. sa se precizez e: persoana care este cunoscuta de cele rnai putine persoane si persoana care cunoa ste cere mai multe persoane ; c. daca exista sin qurotici, sa se precizeze persoanele; d . daca exista strbini de grup, sa se precizeze persoanele; e. cate perso ane cun osc dear doua persoane din grup iii sunt cunesc ute la randul lor de trei persoane din grup (nodurile care au gradul intern egal cu 3, iar gradul extern egal cu 2);

198 f. g.

Implcmcntarca structurilor d e da te cate persoane sunt cunoscute de un nurnar de membri egal cu nurnarul de membri pe care Ii cunosc (nodurile care au gradul intern ega l cu gradul extern); care sunt persoanele care S8 cunosc reciproc (pe re chile de nodur i intre care

exista arce duble). 3. La graful judetelor, adauqati un nod cu eticheta 0, care reprez inta exteriorul tarii, ~i muchiile corespunzatoare , care evidentiaza judetele limitrofe. Creati cu un editor de texte fi~ieruljudete .txtcare sa ccntina urrnatoarele inforrnatii: pe primu l rand , numarul de judete. pe urmatoarele rand uri matricea de adiacenta , pe urrnatorul rand , in ordinea etichetelor nodurilor, denumirile judetelo r separate prin spatiu (pentru judetele care au un nume format din mai multe cuvinte folositi ca separator Iinia de subliniere). pe urrnatorul rand numele vecinilor Rornanie i separate prin spatiu, si apoi, cate un rand pen tru fiecare judet limitrof, in care scrieti separate prin spatiu urmatoarele inforrnatii: eticheta nodului ~i tara (tarile) cu care se i nvecineaza, precizate prin nurnarul de ordine din lista numelor. Scrieti un program care sa citeasca aceste inforrnatii din fisier ~i sa Ie transpuna intr-o implementare a grafului , adecvata problemei , si care sa aflseze: a. judetele care au cele mai multe judete vecine - se va preciza nurnarul maxim de vecini si numele judetelor care au aceasta proprietate; b. judetele care au cele mai putine judete vecine - S8 va preciza nurnarul minim de vecini ~i numele judetelor care au aceasta prcprietate: c.

judetele de la granita - pentru fiecare judet se va preciza numele sau si numele tarilor cu care se lnvecineaza.

4. Intr-o zona turistica exista n localitati. intre unele localitati exista legaturi directe, fie

prin sosele nationale, fie prin sosele judetene. l.eqaturi!e directe sunt caracterizate de lungimea drurnului, rnasurata i n kilometri . Se vor folosi doua graluri : Go=(X ,U o) pentru leqaturile prin sosele nationale ~i GJ=(X,UJ) pentru leqaturile prin sosele judetene, Cele dou a grafuri se vor citi din doua fisiere text, care contin pentru fiecare legatura directa, pe cate un ra nd, separate prin spatiu , cele doua etichete a le noduri lor asociate localitatilor si distants dintre localitati. Scrieti un program care sa citeasca aceste inforrnatii din fisier si sa Ie transpuna intr-o implementare a grafului, adecvata prebleme i, si care sa afiseze: a . localitatile la care nu ajung drumuri nationale (nodurile iz olate, in primul graf) ; b. cea mai scurta leqatura directa dintre doua localitati - se va prec iza eticheta nodurilor asociate localitatilor, distanta dintre local itati ~i tipul scselei prin care se asiqura leqatura : c. pentru doua localitati prec izate , a ~i b (etichetele noduri lor a si b se citesc de la tastatura) , sa se precizeze daca exista leqatura directa . daca exista . sa se rnai precizeze tipul soselei si distanta dintre locahtati: d . pentru 0 localitate p (eticheta p a nodului se citeste de la tastatura ), sa se afiseze toate localitatile cu care are leqaturi directe ~i distants pana la aceste localitati (ln d icat ie. Se dete rrnina grafu l reuniune a celor doua grafuri .); e. loca litatea care a re cele rnai multe leqaturi directe cu alte localitati - ~i sa se afiseze localitatile cu care are lega turi (nodul cu gradul maxim in graful reuniune). 5. intr-un munte exista n grote . Fiecare grat a i se qaseste la lnaltimea h; fa\a de baza munte lui. Intre unele grote exista comunicare directa, prin intermediul uno r tuneluri . Exista si grote care cornunica cu exteriorul. Desenati a retea ipotetica de grote ~i construiti matricea de adiacenta a grafului neorientat asociat {grotele sunt nodurile, ja r

Info rmuticii

199

tunelurile sunt muchiile) . In altimile grotelor S8 vor memora intr-un vector. Gasiti 0 modalitate de a evide ntia grotele care comunica cu exteriorul. (Ind icat ie. Adauqati la graf nodul 0, care reprezinta exter iorul munte Jui.) Scrieti matricea de adiacenta ~ i vectorul cu Inaltirnile grotelor, in fisierul text grote.txt. Scrieti un program care sa citeas ca matricea de adiacenta si vectorul din fisier - ~i care sa afiseze : a. numarul de tunelu ri de comun icare (nurnarul de muchii ale gratului); b. grotele care au leqatura cu exteriorul (nodurile i pent ru care exista muchie cu nodu l 0); c. grotele care cornunica direct cu cele mai multe grote (nodurile cu eel mai mare grad); d. grotele care nu co rnunica prin tune luri cu alte grote (nodurile izolate); e. ce a mai ina Ita grat a si cea mai [oasa grata ca re cornu nica cu exterio ruJ ; f. pentru a grot a a carei etiche ta se citeste de la tastatu ra, sa se afiseze grote le cu care cornunica direc t, precizand pentru fiecare tunel daca suie, cob oara sau este la acelasi nivel cu grota . 6. Reteaua de strazi dintr-un oras este fermata din strazi cu dou a sensu ri ~ i strazi cu sens unic de circulatie , Ea poate fi reprezentata printr-un graf orientat, i n care intersecfiile sunt nodurile, iar arcele - sensul de circulat ie pe strazile care leaga doua inter sectii (traficul auto) . Nodurile sunt intersectii de eel putin 3 strazi. Pentru a stabili prioritatea i n intersectii si pen tru a fluidiza traficul intersecuile vor fi modernizate. Pentru mod ernizare se vor folosi panouri cu semne de circulatie, semafoare - :;;i se vor amenaja sensuri giratorii . Pentru fiecare strad a din ca re se poate intra in intersectie , se rnonteaza in intersectie un panou cu semn pentru prioritate. Pentru fieca re strada pe care nu se poate intra din intersecue se rnonteaza in intersectie un panou cu semnul de interzicere a circ ulatiei , i n toate intersectiile vor fi montate panouri cu sem ne de circulatie , corespunzator strazilor incidente cu intersectia. Fiecare dmtre aceste mijloace de modemizare are un cost panoul cu semn de circulatie - costul c t , sernaforul - costul c2. ~i sensuI giratoriu - costul c 3. Pentru a stabili modu l in care este rnodernizata fiecare intersectie, intersectiile au fost c1asificate in intersec tii rnici (intersectii cu 3 strazi, i n care var fi mantate numai panouri cu semne de circulatie). intersectii mari (intersectii cu 4 strazi, care vor fi semaforizate ) :;;i intersectii foarte mari (intersectii cu peste 4 strazi, in care se vor am enaja sensu ri giratorii). Desenat i o retea ipotetica de strazi :;;i construiti matricea de adiacenta a grafu lui orientat asociat. Scrieti matricea de adiac enta in fisierul text strazi.txt . Scrieti un program care sa citeasca matrice a de adiace nta din fisier :;;i care sa afiseze: 3 . inte rsectiile la care nu se poat e ajunge din nici 0 alt a inte rsec tie (nod urile care nu au predecesori ); b . inte rsectiile de la care nu se paate ajunge la a nici 0 alta intersectie (no durile care nu au succesori ); c. daca exista intersects tara nici a intersecue succesor sau tara nici 0 intersectie predecesar, sa se corecte ze desenu l retelei (prin adauqarea unui nurnar minim de arce), astfel i ncat sa nu existe asemenea intersectii - :;;i sa se actualizeze si fislerul strazi.txt. d. intersectiile la ca re se poat e ajunge dire ct din cele mai mu lte intersectii (no durile care au ce l ma i mare grad intern ); e. inte rsec tiile de la care se poate aju nge direc t la cele ma i multe inter sectii (nodurile ca re au cel ma i ma re g rad extern ); 1. num aru l de strazi pe care se circula i n ambele sensuri (nurnarul de pe rechi de noduri i ~ i j pentru care . i n matric ea de adiacenta, elementele a[i][j) ~i aOWl sunt ega!e cu 1);

200

Irnplcm cntn rc u st r uct ur ilor de date

g, numarul de intersectii mici, mari si foarte mari (clasificarea nodurilor i n functie de nurnarul de noduri adiacente: noduri eu 3 noduri adiacente , cu 4 noduri adiacente ~ i cu cel putin 5 noduri ad iacente ); h. numar ui de pan ouri eu semne pentru prior.tate care S 8 var folosi (suma grade lor interne ale nod urilor): i. nurnarul de panouri eu semne pentru interzicerea circul atiei care S8 vor folosi (diferenta dintre suma grade lor externe ale nodurilor ~ i nurna rul de straz i cu sens dub lu de circulatie): j. numa rul de sema foare care se vor men ta (suma grade lor interne ale nodurilor care au 4 nodur i adiacente ); k . costul de rnoder nizare necesa r pentru fieca re lnterse ctie ~ i costul total al modernizarii. 7. Pe un munte exista mai multe parcele eu Ianete ale saten ilor. Unele tanete au aeces direct la dru mul satesc, all ele nu. i ntre propr ielarii parcel elor veci ne exista relatie de prieten ie - sau nu . Dac a do; propr ietari vecini sunt prieten i, i ~ i perm it unul altuia accesu l pe propr ia parcela. Pent ru a transporta fanul, saten ii care nu au acces la drum ul satesc , trebu ie sa trea ca peste parcelel e all or sate ni, ca sa ajunqa la el. Un proprietar este co nsiderat izolat daca nu are aeces direct la drumu l sate sc si nici nu este i n relatie de prieteni e cu vr eunul dintre vecinii lui. Se vor folosi dou a grafuri: unul pentru a repreze nta relatia de vec inatate a fan etelor, iar allul penlru a reprezenta relatia de prietenie dinlre proprietari. Desenati 0 harta ipotetica a fane\elor si stab iliti relatii ipotetice de prieten ie i ntre vecini. Constru iti rnatrice le de adiacen ta ale celor doua grafuri asoc iate. Scr ieti malricele de adiacenta in fisierele texl Ien ete.txt ~i prie teni.txt. Scrieti un prog ram care sa citeasca matricele de ad iacenta di n fisiere ~ i care sa furnizeze urrnatoarele informatii a. daca exista prop rietari izolati, sa se afise ze lista propriet arilor vecin i cu care trebuie sa stabileasca relatii de priete nie, pent ru a ajunge la drumul satesc, !iii sa se iden tif ice vecin ii care au acces direct la drumul satesc; b. care este proprietarul eel mai neprietenos (care are eel ma i mare procent de vecini cu ca re nu este prieten). 8. Se anal izeaz a rniqrat ia unei specii de pasari catatoare pe perioada unui an. Migra\ia are doua etape : rniqrat ia de toarnn a, can e pasarile migrea z8 din zone Ie reci catre zonele calde (migra\ia de la rece la cald), si rniqratia de prirnavara. cand pasarile miqreaza din zone le calde cafre zonele reci (miqratia de la cald la rece). Fiecare etapa a miqratiei va fi reprezenta ta printr-un graf oriental. in graful rniqratiei de la rece la cald, nodurile care apart in zonei reci au numai succesor i, iar nodurile care apartin zone: calde au numai predec esori. i n graful rniqratiei de la cald la rece nodurile care apartin zonei calde au num ai succesori, iar nadurile care apart in zonei reci au numa i predecesari. Fiecarui nod i se asoc iaza coordonate le geogra fice. Oesena ti cate 0 harta ipotetica pentru fiecare etapa de rniqratie. Construiti. cu un ed itor de texte, fisieru' migraliel. /xt, care va contine pe prima linie n1, nurnarul de noduri ale prirnului graf, pe urrnatoarele n1 linii, matricea de adiacen ta a graf ului, ~i apoi, pe urrnatc arele n1 linii, coordonatele geografice ale fiecarui nod de pe harta (sunt 6 entitati de intorrnatie, separa te prin spatiu: doua valori nume rice i ntregi pentru latitudine, in grade ~i minute, ~ i un caracte r pentr u ernisfera, doua valori nume rice intregi pentru longitudine. i n grade si minute . si un caracter pentru meridian). Construiti cu un editor de texte fisierul migratio2.txt, care va cont ine acelas i tip de informat ii, pentru cel de al doilea graf al miq ratiei. Scrieti un program care sa

201

Informa tica

citeasca aceste informatii din fisier, sa Ie transpuna intr-o implementare a grafului adecvata prob lemei (rec om and are - implementare prin matrice de adiacenta si vector de structuri pentru coordonatele geografice) si care sa afiseze urrnatoarele inforrnatii: a. daca cele doua grafu ri sunt corecte (daca a[i][j]= 1, atunc i au][i]=O - , i produsul dintre gradul intern , 1 gradu l extern ale fiecarui nod trebui e sa fie 0; in plus, treb uie ca nodu rile din zon a calda sa coincid a - i n ambe le grafuri); b. dac a in gra ful rniqratiei de la rece la cald exista un nod destinatie al grafului - , i ce sern niflcatie are exis tent a lui pentru rniqratie ; c. daca pasarile s-au rein tors i n aceleasi zone , prirnavara (nodurile din zona rece coincid in cele do ua grafu ri); i n caz con tra r, sa S8 specifice no lle locatii aparute i n zona rece in care a ajun s specia respective: d. sa S8 obtina matricea de adiacenta a har1ii rniqratiei, pe in treaga perioada a anului , prin reuniunea celor coua grafuri (daca dupa rniqratia de primavara au aparut noi locatii pe harta in zona rece, se vor adauqa la primul graf ca noduri izolate).

2.7.5. Grafuri spccia le Se definesc urrnatoarele grafuri specia le: -') g raful n ul; -') g ra ful c om pie!.

2.7.5.1. Graful nul Graful G=( X,U) se nurn este graf nul daca m ultim ea U es te v ida (U=0), adi c a graf ul nu are mu chii. Reprezent area sa in plan S8 face prin noduri izolate . Exemplu: Graful N=(X.VJ - unde rnultirnea X={1,2.3.4} este rnultimea nodurilor, iar mult imea V=0 este mult imea muchiilor - este un graf nul (graful are nod uri dar nu are muchii) - figura 14.

.

Observa tie . Matricea de adiacenta a unui graf nul e ste mat ricea zero (nu ' contine nici un element eu valoarea 1).

(1) @ 0)

0

Fig. 14

2.7.5.2. Graful complet Un gTat e ll n nod uri este un g Taf compl et daca are proprieta tea ca, orica re ar fi do ua n od uri ale gra fului, ele s un t ad iacente. EI S 8 no toaza ell K n. Ob serv atli . 1. S8 poate construi un sin gur gra f neoricn tat co m plet, ell n noduri , deo arece i ntre doua noduri , x si Y. exista 0 singura muchie [x,yj . in figura 15 este prezentat graful neorientat complet K4 . EI are 6 muchii. Desenati grafurile neorientate complete Ks si K6. Nurnarati cate much ii au aceste grafuri.

CD:0 ~

Fig. 15

Teorema 6

Nurnarul m de rnu c hii ale unui grat neo rientat ca mplet , e ll n noduri (Kn), es te: 11 -1

111 = I1X -

-

!

202

Im plementarea structurilor de date

ncmon st rat!e . Nurnarul de muchii cstc cat de numa rul de subrnultimi de 2 clemente care se pot forma dintr-o rnultirne cu n clemen te, aoica m =

C/~

2. Se pot construi mai multe grafuri orientate com plete, cu n noduri , deoa rece dOU3 noduri x ~ i y pot fi adiacente In trei situatii: exista arcul [x,V], exista arcul [Y,x] sau exista arcele [x,Y] si [y,x] .

Teorema 7 Nurnarul de grafuri orientate complete care

S8

pot construi cu n noduri este egal cu

Dem on stratie Deoarece nurnarul de subrnultimi de 2 nooun care se pot forma dintr-o muttime de n

noduri este a=

CI~ ' ~ j pentru fiecare pereche astfel deflnita S8 pot defini trei situatil de adiacenta.

a rezurta ca numarul de grafur i complete ca re se pot co nstrui este de 3 .

Exemplu . Pentru n=4 se pot 6 defini 3 =72 9 graluri orientate complete. In l igura 16 sunt prezentate patru dintre acestea . Definit i alte patru gralur; complete cu 4 noduri.

~M~~ ~~~~ Fig . 16

Obsorvatii

in cazul matrice i de adiacenta a unui graf neorientat complet , valoarea fieca rui element care nu se gase~te pe diagonala principa la este 1. 2. in cazul matricei de adiacenta a unui graf orientat complet - pent ru orice pereche de noduri , ; ~i j . dilerite l ntre ele (iej} - a[i]UJ=1 sau aO][i]=1 . 3. Nurnarul minim de arco in tr -un graf ori enta t comple t ell n noduri este ega 1 ell nurna rul de much ii ale grafului neorientat complet Kn. 4. Numarul maxim de aree intr-un graf oriental complet ell n noduri este ega l cu dublul nurnaru lui de muchii ale graf ului neorie ntat complet Kn. 1.

Algoritmi pe ntru prelucrarea grafurilor comp lete 1. Al goritm pentru a determina nurnarul minim d e aree ca re trebuie ad auq ate la u n g ra f o rienta t , pentru a obtin o un graf o rie ntat camplet.

A lg oritm u i. Se nurnara perechile de nod uri i si j (i:,t:j) int re care nu exista nici un arc. Impl em entarea algo ritm u lu i i n program , inforrnatiile despre graful orientat se citesc din fisierul text gc.txt: de pe prima linie numarul de noduri , ~ i apoi , de pe urmatoarele randuri matricea de adiacenta.

#i n c l ude i n t n ,a[lO J [ l OJ ; fstream £( "gc.t xt" , i o s : : i n );

voi d c.l t e s t e t ) void main ()

{ l i s e c .i t e s.t.e ma t r i .ce a d e arf i a cen t.a d i n f i s Le r }

{int i ,j ,m "-'Oi c i t e s t e O f or ( i =2 i i <=n ; i ++) fo r ( j ~ l ; j < .l ; j ++ 1

i

.If (a [ L]

[J J ~~O

&&

a[j ]

[ .l J ~ ~ O I

m++ ;

cout«" Numa r u l de are e ca re trebuie ada ugate este "« m;}

203

lnformatica

2. Alg oritm p entru a determ in a nurnarul m axim de nodu ri izolate p e care poate Ie cantina un graf n eori cntat care are n noduri ~i m muchii.

sa

Algoritmui. Se identifica graful compl et care S8 poate forma astfel l ncat sa consume cat mai multe muchii (mrna x) din cele m muchii ale grafu lui (mma xsm). Graful complet astlel obtinut are nl noduri: 111 - 1

mma\ =nl x -

-

2

SIIl

Numa rul de nod uri nl este partea intreaqa din radacina pozitiva a ecutiei de gradul II: III = 1+ " I + Mx m ] [ 2

Pentru diterenta de muchii rarnase (m-mma x ) mai este necesar un nod, pentru a lega aceste rnuchii de nodurile grafulu; complet care s-a fonmat. Numarul de noduri izolate este: n - nl - l, #inc lude < i o s t r e am. h >

ffinc l ude voi d ma i n () ( i n t m, n , n l : c o u t«" mu c h i i= " ; c in» rni ccu e .c-cvn o d a r i> " ; cin» n; nl-l i n tl{( 1+ s q r t(1+8-mIJ/ 2) ;

cou t « "Numarul ma x i m de no dur i izolate

e ~t e

"« n- n l - l ;}

1. Scrieti un program care citeste , din fisierul text graf.-cl. txt, inforrnatii despre un graf neorientat (de pe prima linie, nurnaru l de noduri, apoi mat ricea de adiacenta) , ~i care verifica daca este un graf com plet. 2. Scrieti un prog ram care citeste, din fisierul graf_c2.txt. info rrnafii des pre un graf orientat (de pe prima linie , nurnarul de noduri, apoi matricea de adiacenta) - si care verifies daca este un graf complet.

2.7.6. Grafuri derivate dintr-lIll graf Se definesc urrnatoarele grafuri : -7 graful pa rt ial; -7 su bgraful ; -7 graful c om plem en tar.

2.7.6.1 . Graful partial Fie graful G = (X,U)

~i

multimea VS;;U. Graful Gp = (X,V) se nu m csto graf partial al gratulu; G.

Altfel spus, un graf partial al grafului G esto 01In susi s au un graf ca re s-a obtinut prin climinarea unor mu chii (aree) din graful G.

Exemple : 1. Pentru graful neorientat G, = (X" U,), definit anterior , graful G, p = (X" U, p), definit astfel: -7 rnultimea n odurilor este X,={1 ,2,3,4,5,B,7,8}. -7 multim aa muchiilor este U,p ={(1,2], [1,3], [1,4J, [2,3], [2,5J, [3,41 , [B,7]}. este subqraf al grafului G , - figura 17. Grafu l

G,

~

®!Ec:> ~

~~®

Fig. 17

~'@

~

Graful partial G, p

GI (I

204

lmpl cm cn tarcu s t r uc ru r ilo r lie da te

2. Pentru graful orientat G IO=(XlO.UlO) definit anterior, grafu l G10p = (Xr o, U1CP) definit astfel: -7 rnu lt irne a nodurilor este X lO={1 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10j, -7 rnultlm ea arcelo r este U, oP=([2,3) , [2,5J, [2,6), [2,7J. [4,1], [7,2), [8,9] , [9,8)}, este subgraf al grafului Gl 0 - figura 18.

5 Grafu l

~ ......

G, o

.J

4

~

5

Grafu i

® partial G 10P

9

Fig . 18

Teorcma 8 m Numarul de grafuri partiale al e unui gra f c u m m u chii (a rce) este eg a1cu 2 . Dcmc nstratle. Grafurile partiale se pot obtine: tara eliminarea une! much ii (arc) - obtinandu-se gratul initial; prin elim inarea unei muchii (unui arc) - obpna ndu-se grafurile partiale cu rn-1 muchii) ; ..: prin elimi narea a m- 1 muchii (arce) - cbtinandu-se grafurile partial e cu 0 muchie (un arc): ~i a tuturor muchiilor (arcelor ) - obtinandu-s u un graf partial numai cu nod uri ~ i rara rnuchi i (arce), adica gratu l vid: Numarul de grafuri partiale care se pot obtine cu m mucnu (arce):

em," cm - l

Numarul de grafuri pa rtiale care se pot obtine cu m -t muchii (arce ):

'" '"

Nurnarul de grafuri part iale care se pot obtine cu m -z muchii (arce). :

(,m -~

Nurn arul de gra fur i parti ale care se pot obtine cu 0 muchie (un arc ):

cl

Nurn arul de grafuri pa rtials care se pot obtin e Nurn arui total de grafu ri part iale este :

rara

nici 0 muchie (nici un arc ):

C::: + c:::- + c:::I

l

+ .. + C~l1 +

C: 1

=

'"

2'''.

Algoritmi pentru prelucrarea grafurilor partiale

1. Ge ne ra re a tut uror gra furilor partia le ale unui graf neorien tat. Algo ritmul. Se fotoseste m etoda backtracking . i n stiva se vor genera muchi ile partial, Deoare ce grafu l partial poate avea p much ii (O,;p,;m), se va apela repetat gramul bt ( ) , la fiecare apel qenerandu-se variantele cu p much ii. Fiecare apel al gramulu i bt ( ) trebuie sa gen ereze C:: de muchii (arce) din graf . La fiecare apel al gramului, solutia se obtine atunci cand i n stiva s-au gene rat cele p muchii ale partial . Evidenta muchiilor este pastrata i n matricea de incide nta .

grafului subpro subprosubprografului

Implc m entar ea aigoritm u lui. Se cites te din fisierul text graf i S.txt mat rice s de adiace nta a unui graf necrientat, Pe ntru fiecare graf parti al S8 afise aza muchiile . Matricea de incide nta b se obtin e din matricea de adiacenta cu functia t r an s fo rma re () . I n variabila nr se cont orizeaza nurna rul de grafuri partial e generate , in functia ti pa r () se afise aza graful partial general. Pentru testa rea programuiui se Ioloseste grafui G,. #inc lude < i 0 s t r E a~ . ~ >

f s tre a m f ( "g :::-a ::::" 3 . :x t " , ':c ,s : : i :-d ; typedef i ~t 3 t i v A [ l OOJ ; in t ;l ,ffi,p ,k , ev , as ,a lClflO] ,o[lOlf 20] ,nr ; s tiva ~l ; void ci t.e s te (}

205

III fo r ma ticii t int L j 1»n»x ; for (i= ; < =n ; i + '~ ) ; j < = n ; j + + } { f l» a [ i ] [jJ ; i f

f or { = m=~ / 2 ;

void

(a:i] [jl == l) m+-i- ; }

.c l os e () ; }

~ra n s fo ~mare(j

tint i, j , k = l;

f or

(i = l ; i < = n ; i ~ +)

for ( j ~ l ; v o i d i n i t l)

j < i ; j ++ i

if

(a[ l ]

[j ] ~ ~l i

{b [ i ]

I k ] ~l;

b[j]

I k]~ l;

b+ ; II

{ 3 t [ k ] ~ 0;}

int succ e sor- ( ) (s t [ k l
{if

{ s t [ k ] = s :: [ k ] 1-1;

return l ; } else r e t urn OJ }

i n t va li d i l {i f

fo r

( k>: (i n t

&&

s l: [ k ]
i=l ;

return 0 ;

r e t ur n I i } in t solu :: ie () { r e t u r n i:==p ; } v o id t i p e r t ) t i nt .i ,j ; n r-t e s

c out« " Gr a f u l p art i a l

"< Xn.r-c-ce rid L, o o u t.c -cvlqu c h i.a I e : ".

f or l l = l; i < = p; i ~ · + ) {for ( j ~ l ; j < ~ n; j ++ )

cou t c c'" , c o ut« endl;} v oid b t I )

if

(bl j ] [ st[ i J ] == l ) cou t.cc j -c-c'' ".

"; }

{ / / p u r t e a f i x tl a a Lqo r i .tmu Lu.i ba c k r r -a c k i n q }

void main ( ) ( c i t e s t e {) ; t r a n s f o :r8ar e { ; f or (p=r.; p>=O ;p - -) b L() ; }

2. Ver ifi carea d aca un g raf G p este graf part ial al unu i graf G. Al goritmu l Se verifica daca cele doua grafuri au acelasi nurnar de nodur i si daca graful G p nu contine muchii care nu exist a in graful G. Im plementar ea al gori tmu lui. Se cilesc , din doua fisiere text glp .txt ~ i g2p ./x/, inforrnatii despre doua grafuri neorientate (sau orientate ): de pe prima linie, nurnaru l de noduri, si apoi, de pe urm atoarele randuri , rnatricea de adiacen ta. Matricele de ad iacent a ale celor doua grafuri sunt a ll}i a 2, cu dimensiu nea n, respect iv m. Functia grafp () verifies daca grafu l G p est e graf part ial al grafului G. # i n clude < i c s t r e a m . h > f stre a m fl ( " g l p . c x: " , i o s : : i n ) ,f2 ( " g 2 p . : xt " , i o s : :in ); in t Cl ,n , a1[ :0) [:0] , a 2[:O : [10) ; i n t g ra f p () {i f (m t e n ) r eturn 0 ; el s e f or ( i n t i=l i i< =n ;it--t-) f o r (i n t j~l ; J <~n ;j"+) if (a 2[i) [ j ' ~1 && 01 l i l [j]~ O i r e t urn 0 ; r e turn 1 i } v oid ma i n ( ) l i nt i , j ; f l »~l ; for { i = l ; i < = n ; i + ~ )

f o r {j = l ; j < = n ; j .... +) £1» a 1 l i l [ ""'] ; : 1 . c l o s e () ; i:"2 »;r: ; f o r i-i=l ; i<=;lI ; 'i 1·) f o r f j = 1; j <=m; j ++ ) f2 »5.2[:'] [j} ; :2 . c l o s e () ;

206

Implem entarea strncfn rilor de d a te

if (grafp(J ) oou b-ocv e s t e q r a f partial

"; else cout«" n u c ste gra f p artia l " ; J

3. Ob t inerca unui g raf partia l G p al unul graf G. Algoritmui. Se elimina din graful G much iile, in functie de conditia irnpusa de problema . Reprezentarea eea mai adecvata pentru graf este matricea de adiacenta , i n care S8 atribuie valoarea 0 elementelor a [i] [j] ,i a [j] [i], corespunzatoare muchiilor [I,j] care trebuie eliminate ..

Im pl em entarea algorltmu lui. Se citesc, din fisierul text g3p.txt, informatii despre graful neorientat: de pe prima linie nurnarul de noduri n ~i eticheta unui nod x , ~i apoi, de pe urrnatoarele rand uri, matricea de adiacenta a grafu!ui. lnforrnatiile despre graful partial obtinut se scriu in fisierul text g4p .tx/, astfel: pe primu! rand nurna rul de noduri n , 1numarul de muchii m si pe urrnatoarele m rand uri - muchiile, sub forma de perechi de etichete de nodur i oespartite prin spatiu. Cerinta este sa S8 obtina subgraful prin eliminarea tuturor muchi ilor cafe au la extrernitati un nod cu grad par !?i nodul x. in vectorul v S8 mernoreaza nodurile care au grad par . Funct ia ci t.e s t.e () S8 foloseste pentru a citi intormatiile despre matricea de adiacenta a grafului din fisierul text. funct ia scrie () pentru a scrie In fisierul text informatiile despre lista muchiilor grafului partial , functia grad () pentru a determina gradul unui nod , iar functia graf_ p a r t i a l () pentru a obtine graful partial. Pentru a obtine graful partial , se cauta toate much iile care au la extrernitati un nod cu gradul par si nodul x (muchiile [v[i),x) pentru care a[v[i)] [x]~~l),i se elimina aceste muchi i. Pentru testa rea programu!ui se va folosi graful G3 si nodul 6. itinclude < i o s t r cem . h > fstream f 1 ( " g 3p . t x t", ios: : in ) f £2 (H g 4p . t x t " , ios: : out ) ;

int a[2 0] [20 ] , n, m, x , v [l O]; void c i t este(} { / / s e c i t. e s r.e rna t.r i cea de ad i acen \-.3 d i n f i.$ i er ) int g r a d (int i ) tint j , g = O; for ( j=l ; j <~n ; j++) g+=a [i ] [j ] ; return g ; } void graf~part i a l ( ) tint .i , k~ O ; for ( i =l ; i< =n ; i++) i f (g rad (il %2--0) ( k++; v[ k ]- i ; ) for (i = l ; i<=k ;i++) i f ia[v [i]j l x] - ~ l ) { a l v j i I ] [x )-O ; a [x ] l v [j ]] - O; m-- ; ) ) void csc ri. e j ) {int i, j; f2 « n« " "« m«endl;

for (i =l ;i<=n ;i+ +) for ( j - l ; j
207

lnfurm utica

de pe prima linie nurnarul de noduri, apoi matricea de adiacenta, ~ i ca re verifies daca

unul dintre grafuri este graf partial al celuilalt. in caz afirmativ, se afiseaza care este graful care este graful partial. (lnd ica tie . Daca cere doua grafuri au acelasi ardin n , se identifica graful care are mai multe rnuchii (m) sl num arul de muchii ale celuilalt graf - p (rnzp). Pentru grarul cu m muchii, se genereaza taate matricele de adiacenta ale grafurilor partiale cu m muchii ~ i n noduri - ~i S8 verifies daca una dintre ele este identica cu matr icea de adiacenta a celuilalt gra!.) 3. Scrieti un program care cites te din fisieru l text graf19.txt matricea de adiacenta a unui graf neorientat !?i care genereaza un graf partial prin eliminarea muchiilor care au la extremitati un nod ce are gradul minim ~j un nod ce are gradul maxim in graf. lnforrnatiile despre graful part ial obtinut se scriu intr-un fisier text sub forma listei de rnuchii . Pentnu testarea programului se va folasi gratul G4.

,1

2.7.6.2. Subgraful Fie graful G = (X,U). Graful Gs= (Y,V) se num esta subg raf al gr afului G dac a Y ~ (subgrafu l contine num ai noduri ale grafulu i) 9i mu chiile (arc ele) din multimea V sunl t0 3t8 muchiile (arcel e) din rnultimea U care au ambele ext rernitati in multirne a de no duri Y. Se spune c a subg raful Gs esle ind us sau general de multirnea de noduri Y. Altfel spus, un subg raf al grafului G esle el insu si sau un graf care s -a obtinu t prin suprirnarea din graful G a unor nod uri ~ i a tuturor muchiilor (areelar) incidente cu

aces te noduri. Exernpl e: 1. Pentnu graful neorientat G, = (X"U ,) , definit anterior, gratul G t s = (Y"V,). definit aslte l: ~ rnultlmea nodu rilor este y ,=(1,2.4 ,5,6.7). ~ rnultim ea muchi il or este V, =([1.2]. [1 A]. [2.5]. [6,7]}. este subgraf al grafului G, - figura 19. Gratul

G,

~ ~ q~ ~ ~ 0 '@

cifiJ

(; "

Subgratul G ts

Fig . 19 2. Pentru graful arientat G lO =(X lO, U lO) . definit anterior, gratul GlOS= (YlO ,VlO) definit astfel: G ~ multimea nodurilor este Y1O={1,2,3,6,7,9,1OJ. -7 multlmoa arcclor este V lO=([ 1,2], [2,1], [2,3], [2,6], [2,7], [7,2]}. este subgrat al gratului GlO - figura 20. 5)

~@ q ~ ® ® Fig . 20

-

Subgraful Gt os

Teorerna 9 n Nurnaru l de sub grafuri ale unui graf cu n nod uri este ega I cu 2 -1.

208

Implemcntureu st r uct u ri lor de date

n em cn atret re. Subg rafurile se pot obtme : prin elirmnare a niciunui nod (obtinandu-se grafu! initial ): a unui nod (obhnan du-se subg rafurile cu n-1 noduri): ...; a n-1 noduri (obtinandu- se subqraf urile eu un nod): Numaru! de subg rafuri ca re se po t obtine eu n nod uri: Numarul de subgrafu ri care se pot obtine eu n-1 nocun: Numarul de subgrafu ri care se pot obtine eu n-2 nod uri: Nurnarul de sub grafu ri care se pot obune eu 1 nod " Nurnarul tot al de subgrafuri este : C~ +

l

c::-r + <:::-1+ .

+ e ll

;;

2" _1.

Algoritm i pentru prelucrarea subgrafuriJo r 1. Genera rca tuturor s ubg raf urilo r unui g raf.

Alg or itmui. Se foloseste metoda backtracking . in stiva se genereaza nodurile subgrafului. Deoareee subqraful poate avea p noduri (15p5n), se va apela repetat subprogramul b t () , la fiecare apel generandu -se variantele eu p noduri. Fieeare apel al subprogramului bt () trebuie sa genereze C~ de noduri din gral . La fieeare apel al subprogramului, sotutia se obtine atunci cand In stiva s-au generat cere p noduri ale subgrafulu i. Pentru nodurile generate in stiva se afiseaza muehiile (areele) care exista in graf. Implem entar ea alq orltmulul . Se citesc , din fisierul text gra fl./x/ , matricea de adiacenta a unui graf neori entat, respectiv, din fisierul graf2.txt, matric ea de adiac enta a unui graf oriental. Pentru fieeare subgral general. se afiseaza numarul de noduri ,i muehiile (arcele). in variabila n r se conto rizeaza nurnarul de subqrafuri generate . in functia tip ar () se afise aza subqraful general. Pentru testarea programelor se l olosese gralul neorientat G, si graful orientat G g ff include < f s t r e a m. h >

f s tr e am f{ "g ~a ': =- .t x t " , i o s : : i n ) ; 1/ f s tre a m f( "g:-a f2 . t.x :. " , i o s : :i n j ; pen t r u q r-a f u L o ri .ent .a t t ype def i ;. t s : ~va{lOCJ ; int n. , !=' , ,(,ev ,a s ,3[lOl [10, . r. r .

s:Lva st ; v oid c it e s t e ( ) ( I / s e c it ~ ~ t e ma t r icea de a d i ac enta din f i ~ i e r} v oid .i n.i t I I ( 3 t [ k ] = O;) int 2\1CCe SOr ( ) {if ( s t[ k J: && s~[ k :
cou t « " S Lb g r afu L "« n r«endl«" Nod u r j J. e:" ; (i=l ;i <=p ;iH') cout.c -cs t l i l c c " or; c ou t « e ndl ; t.c-c v i i I! t t fo r (i= : ; i<=p ; :..,.. _) fo r c o u

M u c h

L

e

:

" ;

fo r ( j = j + l; j < = Pi j + ~ ,

c c u

II

c-c

vA

r

c e

L e

:

"

;

p

f or { j = : ; j < = p ; ~ + ~ ,

e

n

r

u

q

pe ~ ~ ru

r

a

f

u

L

c

r

L c n

t

a

t

gra f ul o rie nt a t

I II form a tid if (a l st [L ] ] cout«endl;}

209 [ s t li ] ]~ ~1 i

c out« s L [i j «" - "« s t [J J« "

" .

void b t ( ) { / / p art e a fix 3 a a I'qo r i t mu Lu i. back tr a cki n g } v o id mai n () t c Lt oa t o t j : for ( p ~ n ; p > ~ 1; p - - 1 btl ); )

2. Verificarea daca un graf G s este sub graf al unui graf G. Algoritmul. Se verifica daca : -7 nurnarul de noduri din graful G s este rna! mic sau cel mult ega l cu nurnarul de noduri din graful G : -7 etiche tele nodu rilor din graful Gs exista printre el ichetele grafului G : -7 intr a nodurile din graful G s exists muchiile dintre nodurile din graful G si numai acelea. Im plemen tarea alg o ritmu l ui. Se citesc , din dou a fisie re te xt glslxt ~i g2s.lxt. inforrnatii despre doua grafuri neo rientate (orientale ): de pe prima Iinie nurnarul de noduri ~i apoi, de pe urrnatoarele randuri, matricea de adiacenta . i n fisie rul g2s txI pe ultim ul rand, du pa matricea de adiacenta, este mem orat un sir de numere care reprezinta etichet ele ncdu filar din acest graf. Matricele de adiace nta ale celo r doua grafur i sunt a l ~i a2 , cu dim ensiun ea n , respectiv m. In vectorul v S8 merno reaza etichet ele nodur ilor celui de aJ doilea graf . Fu n ctia subg ra f () verifica da c a graful G s este subgraf al grafului G. #include <. i. c s t r e am. ~ >

i nt ol, n ,a1[10] [ 1 0 1, a 2 [ 1 0J [101,v[10 ]; f str e am fl( " g l s .txt " , i o s : : i n) ,f2( "q2 s .: xt " , i o s : : i n } i in t s ubq r a f () {i f (m>n ) r e t u r n 0 ; el se { fo r ( i n t i = l; i <=m; lH-) i f (v[ i} >nJ r e t urn 0 ; f o r (i n t i = l ;i <=-:D i i +-l- ) for (i n t j=l;j <=::n ; j ++ ) if (a.2 [ i ] [ j ]! =al[v [ i )) [v[j }] l r eturn 0 ; ) return I ; } void ma in ( ) l i n t i, ji fl »n : fo r ( i = l ; i ~ = n ; i + + ) fo r ( j ~ l; j < ~ n ; j ++ ) fl » al l i J Ij ]; :l . c l o s e () ; f? »rn i fo r (:i =I ; i<=ru ; .1. -! +) f or ( j = l ; j < o;; m; j + + ) £2 »a2[i] [j ] ; fo r ( i =l; i < =nl ; i +T } f 2 » v [ i } ; f2 . c l o s e ( ) ; if ( s u b (j r a f ( ) ) c cu t-cc ve s t c s ubq.ra f " ; e l se cou t o cv r:u e s t e subgr'af " ; )

3. Verif icarea da ca doua matri ce de adiaconta pot reprezenta ma tr icele de ad iacenta ale unu i graf ~i ale unui s ubgra f al aces tu ia. Algor itmu i. Ma tricele de adiacenta ale celor coua grafuri au dimensiunea n , res pectiv p . Se identifica graful care are ordinul mai mare (n) ~ i grad ul cetuilalt graf - p (nz p). Pentru graful cu n nod uri se genereaza toate matrice le de adiacen ta ale subgrafurilor cu p noduri ~i S 8 verifica dac a una dintre ele este identic a cu matricea de adiace nta a celuila lt graf). Generarea tuturor subgra fur ilor cu p noduri S8 face cu m et od a ba cktracking . In stiva S8 vor ge nera nodurile subgraf ului. Impl ementa re a algoritmului. Se citesc din doua fisie re l ext, graf_ls.txt ~ i gra f_2s .txt. inforrnatii despre mat ricele de adiacenta a doua grafuri neo rientate : de pe prima linie,

210

Im plcme n ta rea st r uc t u r ilor de dat e

numarul de noduri, apo i matricea de adiacen ta. Se verifica dac a unul dintre grafuri este subgraf al celuilal!, iar in caz afirmativ, se identifica care este graful ;;i care este subgraful. Matricele de adiacenta ale celor doua grafuri sunt a l si a2. Variabila x S8 foioseste pentru a identifica reialia dintre cele doua grafuri: daca are valo area 0, a doua matrice de adiacenta se asociaza unui posibil subqraf, iar daca are valoarea 1, prima matrice de adiacenta se asocia za unui posibil subgra f. Variabila loqica ga s i t S8 foloseste pentru a determina daca una dintre matricele de adiace nta reprezinta matricea de adiacenta a unui subgraf: are valoarea 0 - False , daca nu este subgraf si valoarea 1 - True daca este subgr af. in matricea b se va construi matricea de adiacenta a unui subqraf format cu nodurile gene rate in stiva. Functia ze ro ( ) se toloseste pentru a initializa cu 0 elementele matricei b - inain te de generar ea fiecarui subqraf. Functia tipa r () S8 toloseste pentru a genera matricea b ~i pentru a a campara cu rnatricea asocrata unui posibil subgraf. Functia furnizeaza un rezultat logic : 1 - true , daca matrice a qenerata ~i matricea asoc iata unui posibtl subgraf sunt egale : altfel , are valoarea a - False . Rezultatul acestei functii este atribuit variabilei gasi t . Subprogramul bt ( ) se executa atat timp cat nu s-a generat 0 matrice de adiacenta egala cu cea asoci ata unui posib il subqra! (gasi t==O) ;;i se mai pot cauta solutii pentru matricea generat;; (k > O). #i nclude in t n ,p ,al[lOj [lO} ,a2DO] [ lO} ,b(2.0] flO] ,v[lO] ,n r , x ,as ,ev , k , ga si': ; fstrea m fl( "grafl_s " t:-~t " , i o s : . Ln ) , f 2 (" g r a f 2 _ s. t x t"/io s : : i n ) ; typedef int stiva[lOO] ; s t Lve s t : v o id zero ()

{for (in t i=l ; i <=p ;i+ +) fo r (int i~ ] ;j<-p ;j ++) v o i d i n i t ( ) ( s t [k ]=O; )

b ii J

iiJ~O ; )

i nt succ e sc r () {if (st [ kJl & & s t.j k jc s t j k -iL] ) r e t urn 0 ; for ( i n t i-l ;i< k ;i ++) if l st[k]==st[i] ) retu r n 0 ; return 1 ; } int sol\Jtie() {return k ==p ; } int t Jpa rt j tint i ,j ; z e ro t j , if (,;==0) {for ( i = l; i < = p ; i + + ) for ( ~ = l;

<=p ;j~+)

if

(alfstfi]] l s t l j l l e

if

{a2{i]

s

l I b[iJ [jJ=l ;

for ( i = l; i <=p; i ++ ) for l ; - I ; : < = p ; j ~ + )

else (for

(j~

:=b[':'] [j.)

return

a; }

i-. ;i<=p ;i+~)

for j=l ;j<=p ;j++)

if (a2 s t I i

; [st[jJJ==lj brio fi; =l ;

for ( i - : ; i < - p; i T ~ ) for ( ~ = .Io ; j < = p; j - + ) if (al(i~ [j) !"-b[5..) {jl return O; } r eturn I ; } v oid b t. t ) {1 / p .J. r t e a fixa a e Lqo r i tmu Lu i be c k t r ac k.i nq } v oid main () tint i ,j /m ; I I o c-n : for { i = l ; i < = n ; i ~ T )

f or (j=l ; j<=n ; j

t-+)

': 1»a 1 I i ] [j

J; :"1 " close ()

;

211

I II fo rmuticii f2 »p ; for ( i = l ; i <=p ; i ·l · t

'

f2 » a 2[i ] [ j ] ; f2 . c l o s e () ; {m=n; n=p ; n=H\ ; x=l ; }

for ( j ~ l; j < ~ p ; j ++ )

if

(p >n)

else x -=- O;

b t () ; if (gasit)

if

( x ) cou t .ccv p r ima matrice de ad j acent a e s t e a sub g r a f ulu i "; else cout« "a doua ma;:rice de a.d i a c e n t a este a subgrafului "; else c out« "nu este subgraf " ; } ------.... ~ 1. Scriet i un program care citeste din fisierul text grafl6.txt matri cea de adiacenta a unui graf orientat - ~ i care gen ereaza taate subgrafurile ca re S8 pot obtine. lnforrnatiile despr e subgrafuri se vor salva in fisie rul text gralsI6. txt. Pentru fiecare subgraf generat se va scrie, pe un rand , text ul Subgraful x are p nocun (unde x este nurnarul de ardi ne al subgrafului generat, iar p numa rul de noduri) ~i pe randut urrnator textul Arcele - urm at de lista de arce a subg rafului general. 2. Scrieti un program care citeste din doua fisiere text , gralls.txt si gral2s.txt inforrnat ii desp re matricele de adiacenta a do ua grafuri orientate (de pe prima Iinie numarul de noduri, apoi matricea de adiace nta) ~i care verifies daca unu l dintre grafuri este subgraf al cel uilalt. in caz afirmativ , se precizea za ca re este grafu l si ca re este subgraful. 3. Scr iet i un program care cite ste din fisierul text grafl6.txt matricea de ad iacenta a unui graf orient at - ~i care genereaza subgraful care S8 obtine prin elimin a rea nodulu i ca re are cei ma i mu lti vec ini.

2.7.6.3. Graful complementar Fie graful G = (X,U) ~ i rnu lt lrnea de muchii (arce) V. Gra!u! Gc = (X,V) se numeste graf complomentar al grafu lui G daca are proprietatea ca doua noduri sunt adiacente in gra ful G c, nu m ai dacii nu sunt ad iace nte in graful G (U " V = 121). Altfel spus , un graf com p leme ntar al qr afului G contine aceleasi noduri ca dar nici 0 muchi e din ac est graf.

~i

graful G,

Exemple : 1. Pentru graful neorientat G, = (X" U,), definit anterior, graful Grc = (X" V, ), definit astfel : -7 rnu ltirnea nodurilor este X ,={1.2,3 ,4,5,6,7,8j . -7 multirnea muchi ilor este V, ={[ 1,5]. [1,6], [1.7], [2,4]. [2,7], [5,7], [5,8]}. este graf complementar al grafulu i G, - figura 21. Graful

G,

~ ~

~ 6

8

rl L....(

G, c

~GrafUIcompleme ntar 0

c.,

6

(.;\

4

5

8

Fig. 21

2. Pentru graful orie ntat GlO=(XlO,U lO), definit anterior, graful Gl 0c= (XlO,VlO) , definit astfel: G10c -7 multlm ea nodurilor este X,o={1.2 .3,4.5,6,7,8,9,1OJ. -7 rnu ltirnea arcelor este V,o={[1.3J, [1,5J, (2,4J, [2,8J, [3,2J, [4.2J, [5,2J, [5,6J , [7,1]. [8.2J, [9,31 . [9,10]) este graf comp lementar al qrafului G10- figura 22.

212

Implem entarea s t r net nr ilur de date 5 1

Gratul

G,o Fig . 22 Scrieti un program care citeste din doua flsiere text graCi c.txt si graf_2c.txt inforrnatli despre doua grafuri neorientate - si varian ta orientate - (de pe prima linie. numaru: de noduri, apoi matricea de adiacenta) $i care verifies daca unul dintre graturi este grat complementar al celuilalt graf. (Indlc at ie. Oaca cele doua grafuri au acelasi nurnar de nod uri, S8 determine graful inter sectie, care va trebui sa fie gratul vid).

2.7.6.4. Aplicatii practice 1. Din grupul de n persoane inlre care s-au stabilit relalii de prietenie. afisati, pentru fiecare persoana , persoanele cu care nu este in relatle de priet enie . (lndicatie. Se genereaza gratul cornplementar.) 2. Din grupul de n persoane intre care s-au stabilit relatii de cunostinta, elirnmati strainii de grup ~i singuraticii. (Indicatie. Se genereaza un subgrat al qrafului initial, pnn eliminare a tuturor nodurilor izolat e sau terminale.) 3. La gratul judetelor, construiti un vector in care rnernorati. pentru fiecare judet, un indice pentru provincia istorica din care tace parte (1 - Munterua, 2 - Moldova etc.). Obtineti din graful judetelor , subqrafurile provinciilor istorice. Precizati provincia istorica ce contine cele mai multe judete , ~ i provincia istorica ce coniine cele mai putine judete . 4. Din gratul grotelor. obtineti subgratul grotelor care se gasesc la a Inaltirne h , cu h1$h:'5 h2. Venficati cate dintre aceste grate cornunica direct cu exteriorul rnuntelui. Valorile pentru lnaltirnile h1 si h2 se crtesc de la tastatura. 5. in reteaua de strazi a orasului, doua strazi se inchid pentru a fi reparate . Etichetele intersectiilor care sunt legate de aceste strazi se citesc de la tastatura. Sa se veritice daca, prin inchiderea acestor strazi, traficul auto nu este perturbat, in sensuI ca vor exista intersectii la care nu se mai poate ajunge. (lnd ica tie. Se genereaza gratul partial al traficului, prin elimina rea arcelor dintre nodurile precizate. l?1 se verifica caca exista noduri care au gradul intern egal cu 0.) 6. Se citesc, din doua fisiere text doua matrice de adiacenta a doua grafuri care au acelasi nurnar de noduri . Sa se verifice daca aceste matrice pot reprezenta matricele de adiacenta a relatiei de vecinatate. respectiv a relatiei de prietenie pentru satenii care au tanete. (Indicalie. Se verifica daca gratul cu mai putine rnuchii este grat partial al celuilalt graf).

213

Info rm atica

2.7.7. Concxitatca grafu r ilor 2.7 .7.1. l.antul intr-un graf G= (X,U) se d efineste lan tut ea fiind 0 s ue eesiune de noduri care au proprietatea ca, oricare ar fi dow! noduri succesi ve, ele sunt adia cente. G raf u l neorientat Daca mu ltirnea noduri lor unu i graf neorientat este X={X" nodul i, - L(I, .ikJ - va fi defini t prin rnultimea L(I, .I, )= i l" orice i (1<;i<;k) , ia r muc hiile [1 , ,1,], [12,13] , [1 3 ,14 ] , ... , [1,., ,1,] E

traseu prin care

S8

X2 , 12

, x.}, un lant de la nod ull- la I; . .. . , I, } , unde I,EX pentru U. Lantul poate fi interpretat ca un

parcurg anumite muchii ale grafului, traseul fiind ordinea in care

S8

parcurg aces te muchii: [1, ,12], [1 2,13] , [13 ,14 ] , ... , [l k• k ] . Fiecare pe reche de noduri succesive din "l Ian! reprezin ta pa rcur ge rea une i much ii. Daca exista L( x;,xj) , se spune ca nodul Xj es te

accesibil din nodul

Xi .

Graful orientat Daca multirnea nodurilo r unui gra f orien tat este X={X" X2, x o}. un lant de la nodul 1, la nodu l Ik - L(I, .lk) - va fi definit prin rnultimea L(I"I,) =[I 12, , I; , ... , Ik] , unde I;EX , pent ru " ca , oricare ar fi doua arce orice i (1s isk). Arcele [1 , ,1 2 ] , [12,1,], [1 3 ,1 4 J, ..., [lk• ] au proprietatea "I, succesive, ele au 0 extremitate comuns. La defi nirea unui lant, nu S8 line cont de oric ntarea arc el or , ci numai de faptul ca doua nod uri sun t legate de un arc .

Terminologie : ~ Lungimea unui lant reprezinta nurnarul de parcurgeri ale muchiilor, respectiv arceJor. De exemplu , lungimea lantului L(I ,) este k-1. Daca a muchie (un arc) este parcursa de "I dintre parcu rgerile sale . ma i multe ori, S8 va numara fiecare -7 l. antu l de lungime minima dintre nodul Xi ~i nodul xJ - L min( x j,X j) - este lantu l cu nurnarul minim de muchii (arce) , din rnultirnea nevida de lanturi L(x" x,). ~ Ext rernitat ile unu i Ian! sunt formate din nod ul cu ca re lncepe si nodul cu care se terrnina lantu l (1, ~ i Ik ) . ~ Sublantu l este fo rmat dintr-u n sir continuu de nod ur i din lant. De exemplu , pen tru lantul L(I" Ik)= {I 12 , ... , I" ..., I" " ', Id , L, (I" I,), definit astfel : L, (I;, 1,)= [1" 10+1, ..., 1" " I,l este un sublant allan"tului l. Exemple:

G 19. 1. Pentru graful neori entat G19= (X 19 ,U , definit astfel: '9) ~ rnuttirn ea nodurilor este X , 9={1 ,2,3A ,5,6 ,7,8}. ~ rnultirnea m uc hiilo r este U 19 =([1 ,2], [1,5], [1,6], [2,3J, [2,5], [2 ,6], [3,4], [3,6], [3,7), [3,8], [4,8], [5,6], [6,7J, [7,8]}. L , (1,7)= (1, 2 , 3 , 8 , 4, 3, 6, 5, 2, 3, 7} este un lant lntre nodul cu elicheta 1 §i nodu l cu eticheta 7 (figura 23 ). Lungimea lantului este 10. ~ G", 2. Pentru gra ful orientat Gzo = (X'O,U20), definit astfel: ~ multlm ea nodu rilo r este X 2o={ 1 ,2,3A ,5,6 ,7}. ~ mullimea ar celor este U 20 =([1 ,2] , [1 A ), [2,3J, [2A], , '-~J..J [3,6], [3,7], [4 ,1J, [4,5] , [5,2], [SA], [6,3], [6,5], [7,6]}. L , (1,5)= (1, 2, 5, 6 , 3, 6 , 7, 6, 5) est e un lant intre nodul cu eticheta 1 si nodu l cu elicheta 5 (figura 24 ). Lungimea lantu lui este 8.

214

lmplcmcutarca structurilor de date Clasificarea lanturilor - in functie de :

Noduri

I

Elementare Conl in numai noduri distincte doua cate dou a: 1,-0"-12 : 1 1 ~IJ7 ; ... ; I,;t.lk: 12"~ [3; . . . ; Ik. 1",lk - acelas i nod poat e fi parcu rs a singura data.

~

Muchii (arce) Simple Toate muchiile (arcele) din lant su nt

diferite i ntre ele: [1,,1,] ~ [1,.1,1: (I,.I,J ~ [I, .I,J: ...; [1 ,,1,) ~ [I" .IJ; ...: [lk •2 .1 k.,1;t. [1" "'1<] - aceeas! much ie (arc) peate fi parcursa 0 sinqura data .

Neelementare

Compuse

Con tin noduri care se repeta - prin acelasi nod se poate trece de rnai rnurte ori.

in lant se pot re peta u ne le much ii (aree) - aceeasi mu chie (arc) poate fi parcursa de mai multe ori .

~

Exemple: 1. Pentru graful neorientat G 19 : -? l.an tul L , (1,7) definit anterior este un lant neelem entar , deoa rece se repeta nodul cu eticheta 3. Este un lant campus , deoarece in lant se repeta muchia [2 ,3) -? l.antul L, (1,7) = {1, 2, 3, 6, 7} esle un lant elementar deoa rece fiecare nod este parcurs a sinqura data. -7 l.an tul L, ( 1,7) = {1, 6, 3, 2, 6, 7} esle un lant simplu , deoarece nicio muchie nu se repeta, dar este un lant neelementar, deoarece se repeta nodu l cu el ichel a 6. 2. Pentru graful oriental G,o : -? l.antul L , (1,5) definil anlerior esle un lant neelementar, deoarece se repeta nodul cu el ichel a 6. Este un lant campus, deoarece i n lant se repeta arcul [6,7]. -? l.an tul L, ( 1,5) = {1, 2, 3. 7, 6, 5} este un lant elementar, deoarece fiecare nod este parcurs 0 sinqu ra data . -? l.antul L, (1,5) = {1, 2, 4, 5, 2, 3,6, 5} este un lan] sirnplu , deoarece niciun arc nu se repeta, dar este un lant neelementar deoa rece se repeta nodul cu eticheta 2. Teorem a 10 Daca un graf confine un Ian! i nt re doua noduri, x ~i y, atunei contine un Iant elem entar intre nodurile x si y. Dern on strati e Consideram lantul L(x,y)=! x, 11, 12..... Ik, YI . oa ca tantul nu este elementar, el confine eel putin un nod z care se repeta - exista i ~ i j , astfe l inca! I;; IJ; z: L(x,y)= {x, 1" 12, ..., lr. ..., 11_ "', Ik• V}. Nodul z apartinand lantului L(x,y), tnseerrma ca el este acces ibil din nodu l x, iar nodul y este accesibi l din nodul z. l nseamna ca din tant se poate elimina sublantul care leaga nodul z de el Insus i: L(x ,y)= ~x . 11. 12, ..., Ii, Ij+1. "', Ik, y } in ace tas! mod , se pot elimina din lant , tcate sublantunle care leaqa un nod de el tnsusi, obtinandu-se i n final un lent in care fiecare nod nu apa re decal 0 sinqura data , adica un lant elementar.

Exemplu : i n graful neorien tal G '9, lantul L ,(1 ,7) este un lant neelementar. Prin eliminarea din acest lanl a sublantului {B, 4 ,3}, se obtine lantul {1, 2, 3, 6, 5, 2, 3, 7}, care esle un Ian! neelemenlar. Prin eliminarea din acest lant a sublantului {6, 5, 2, 3}, se obtine lantul {1 , 2, 3, 7}, care este un lant elemen tar.

215

Informatica Tcorcma 11

Dacii un Ian! esl e elemenlar, alunci este ~ i Ian! simplu. oemcnetrat !e - prin recuc ere la absurd. Presupunem ca lantut elementa r este Jan! campus . Daca este lant campus, el treb uie sa parcurqa de dou a on aceeasi muchie (arc), ceea ce ar insemna sa treaca de doua ori prin nodurile adiacente muchiei (arcului). l.antut fiind elementar, nu trece lnsa de doua ori prin acelasi nod.

Algoritmi pentru determinarea lanturilor elementare intr-un graf 1.

Afi ~a rea

lanturilor elementare dinlre doua noduri.

Algorilmu l. Pentru generarea lanturilor elementare intre nodul x ~ i nodul y , se foloseste metoda backtracking . Nodurile lantului elementar vor fi generate in stiva. Primul nod din stiva este nodul x. Conditia ca un nod adauqat in stiva sa taca parte din solutie (sa fie valid) este sa formeze 0 much ie (un arc) cu nodul adauqat anterior in suva ~i sa nu mai existe in stiva (conditia ca lantul sa fie elementar). Solutia se obtine atunci cand nodul adauqat in stiva este nodul y. Imp lementa rea algoritmului. Se citeste din fisierul text graf1 .txt matri cea de adiacenta a unui gral neorientat . respectiv , din fisierul graf2.txt matric ea de adiacenta a unui gral orientat. Se mai citesc de la tastatura doua valori numerice care reprez inta etichetele a do ve nodur i din grar. Se cauta toat e lanturt le elementare care exista tntre cele coua noduri ~ i se afise aza. Oaca nu exists nici un lant elemen tar, se afiseaza un mesaj . Functia c i t es t e () se foloseste pentru a cif matricea de adiacen ta din fisier . Variabila este se foloseste pentru a verifica daca s-a gasit un lant elementar intre cele doua noduri (are valoarea 0 - False, dacii nu s-a gasft un lant elementar). Pentru testarea programelor se lo losesc gralul neorientat G, ~i gralul orientat G, . #i nclud e typedef stiva[lOO] ; int a[20] [ 20] ,n ,k ,as ,ev ,Y.. ,y , este=0 ; .stiva st ; f s t r e am f( "grafl .txt " , i o s : : i n) ; v o id c Lt e s t e t ) { l i s e c i.t e s t e ma t r Lceu de ad i a ccn t a din f i s Le r I v oid init() { s t [ k } ~ O ;} int succ e s o r () { i f (st[ k] l ) Ilconditi a ca doua noduri s ucc e si v e sa f i e a d i a c e n t e i f la [s t[ k-1 ] 1 Ist:[k l j ==O) r eturn 0 ; ! /pe n t r u gr a f ul orie n t a t Il if (e l s t j k ] ] [st[k -1] J ~ ~0 && a Ls t Lk -T l ] [st lk J ] ==O) return 0 ; f or (i n t i~l ;i
r e t ur n I ; } int solutie() { return st[k}==y ; } lise ob~ine solu~ia atunci c and ultimul nod adaugat in stiva e s te y void t.Lpa r ()

{f or (i n t i=l ,este=l ; i<=k ;i ++) cout«s t[ i] « " " ; cout«endl;} void bt () {/ I p a r t e a fi xa a a lg o r i t mu l u i } { k = 2; init () ; wh i l e (:<>1) ( a s =-1 ; ev=O ; while {a s && l e v )

216

Impl em entarea st r uct u r ilur de date {a s =s uc c e s o r ( };

if {a s ) ev=va lid ( ) ; } i f ia s ) i f ( s o l u t i e ()) t i p a r ( ) ; e ls e { k++ i in i t () ; } e l se k - - ; } } v oid ma i n e) ( c i t e s t e ( ); cou c-oc " >;» "; ct rc- >x , c o u t«" y = ". c i n» y ; st[l] =z:; bt () ; i f ( ! est e) cout«" Nu e x Ls t a l an t " ; }

2.

A fi~a rea

tutu ror lanturilor elementare din g rato

Algoritm ul. Pentru generarea tuturor lanturilor elementare din grat, se vor genera lanturile elementare dintre nodul x (t sxs n) ~i nodul y (1$y$n), folosind metoda backtracking . care se va apela pentru fiecare pereche de noduri x 'Ii y (x>,y) . Imp leme nta rea al gori tmului. Se citeste din fisieru l text grafl.txt matricea de adiacenta a unui grat neorientat, respec tiv, din fisierul graf2./xt matricea de adiace nta a unui graf oriental. Se cauta toate lanturile elementa re care exista In graf si se afiseaza. Daca nu exista nici un lant elementar, se afiseaza un mesaj. Pentru testarea programelor se folosesc graful neorientat G, si graful orientat G, . #include < f s t ~ e a m . h >

typedef sLi va[lOOj ; int a[20] [20} , n, k , a s , ev , x , y , e st e =O; s :: ':" v a st ; fstream f( " =J=a:'~ .t xt " , i o s : :in ) ; void c Lt e s ce t ) ( l I l a te l c a l n e x e mpL u I p r e ce d ent; void Lnj t () { f /1<.1 Ee L C 3 in e x e rnp Lu L pr e c edent: } i n t .succe sc r t ) { / / La fe l c e i n e x emp Lu L pre ce d e n t

in t va La d {) { l i l a te l c a i n e xernp lu .l. p r e c edent } i n t s oL u t i.e ( ) { / / La f e L c a in e x e mpl ul p rece d en t } void t i po r ( ) { I l I a fel ca i n e x e mpl u l pre cedent } void bt() { I / pa r t e a fi x 5 a algo r ~ tmu~ u i - c a i n e xempl u l preceden t } void ma in () { c Lt e s r.e t j • fo r :x=l ; x < = ~ ; x~+j for (y=l ; y<= n ;y++) i f ( z !~y) { 3 t [ 1 : = ~; btl) ; } if

3.

(!este) cou t c c vt tu e x t s-;c Lan t ur ;

e Ier-enc a r ev r }

Ver ifi carea u nu i sir de et ichete de noduri daca Iorrnoaza un Ian! simp lu.

Algor itm ui. Se verifica daca : ~ sirul de etic hete poate forma un lant (daca fiecare pereche de noduri consecutive din lant este leqata prin much ie. respec tiv arc); ~ lantul este simp lu (se verifies daca muchiile formate cu noduri le din lant nu se repeta). Impl ementarea alg or itmului . Se citesc din fisierul text graf3 .txt lista muchii lor unui graf neorientat. respectiv , din fisierul graf4 .txt lista arcelor unui graf oriental. Se citeste apoi, de la tastatura, un sir de k numere , care reprezinta etichete ale nodurilor din graf. Se verifica daca acest sir de noduri poate reprezenta un lant simplu in graf. $iru l de numere citite de la tastatura se mernoreaza in vectorul v . in vectorul z cu Inreqistrari de tip muchie, se memoreaza muchiile (arcele) pe care Ie formeaza doua noduri succesive din sirul de numere. Pentru a identifica doua muchii (arce) identice, perechile de etichete care torrneaza 0 muchie sunt memorate ordonat. Functia ci t e s t e () se fotoseste pentru a citi intorrnafiile din fisier 'Ii pentru a Ie memora in matricea de adiacenta a grafului , functia La rrt. () se

\n 1'0 rm a tica

217

toloseste pentru a verifica daca sirul de numere poate reprezenla un lant din graf, functia si mp lu () se toloseste pentru a verifica daca lantul este un lant simplu. Pentru testarea programe lor se folosesc graful neorientat G, si graful orientat G, . #includ e s truct ~u chie t in t x, y; };

mi.:chie <: [10 J ; i n t < ,n ,m ,a [ 1 0 ) [ 10 ) , v [ 1 0 ]; fst re a m f { "g r a f J. t x L" , ios:: i n ) ; v oid ci t este {/

t i nt i ,x ,y ; f »n»m ; f or {i <; i <9n ; i ++ ) { f» x» y ; a [x ] I y ]~ l; aryl Ix] =l ; ) f . c l o s e ();) i n t lant () { f o r (int i = L i
b.

c.

d.

e. f. g.

1. Scrieti un program care citeste dintr-un fisier text lista much iilor unui graf nearientat (g ra /3. /xI) sau varianta graf orientat (g ra /4.IX/), ~i care: a. Ve rifica daca un ~ir de k numer e citite de la tastatura reprezinta un lant ele me nt ar pentru graf . Cauta toate lanturile elementare cu lungimea d ~ i Ie afiseaza. Valoarea numerics d se citeste de la tastatura. Daca nu exrsta nici un lant elementar cu lungimea d, se afiseaza un mesaj. Cauta toate lanturile elementare . eu lungimea cea mai mica, ce exista intre coua noduri x si y, ~i Ie afiseaz a. Etichetele nodurilor se citesc de la tastatura. Daca nu exista nici un lant elementar , se afiseaza un mesaj.. Cauta toate lantunle elementare intr e doua noduri x si y , care tree printr-un nod z care are gradul minim in graf. Etichetele celor doua noduri se citesc de la tastatura. Daca nu exista nici un lant elementa r. se afiseaza un mesaj. Cauta toate lanturile elementare de lungime maxima ~ i afisea za cate lanturi s-au gasit ~i care sunt ele . Daca nu exista nici un lant elementar , se afiseaza un mesaj. Cauta ~i afiseaza eel mai lung lant elementar care este format din noduri care au etichete cu numere consecutive, ordonate crescator. Cauta si afiseaza eel mai scurt lant elementar care trece prin p noduri si prin q rnuchii (arce) date. Se citesc de la tastatura urmatoarete valori numerice: p - nurnar de noduri, un ~ir de p numere , care reprezinta etichete ale nodurilor din graf t q - numar de muchii ~i un slr de q perechi de numere, care reprezinta muchii (arce) din graf.

2. int r-un fisier text sunt memo rate informatii despre doua grafuri neorientate G' ~i G" : pe primul rand nurnarul de noduri ale celor ooua grafuri (n, ~ i nz), pe urrnatoarele n,

218

lmplcmenturca st r uct ur tlor de dale

rand uri mat ricea de adiacenta a grafu lui G', iar pe urm atoa rele n2 randuri matricea de adiacenta a grafului G " . Scrieti un program care citeste din fisierul text informatiile despre cele cou a grafu ri ~i care determina doua noduri p si q (p din graful G' ~ i q din graful G" ) care - daca se leaga printr-o much ie - asiqura leqatura , printr-un Ian! de lungimea k , i ntre doua noduri precizate x ~i y (x din graful G' ~ i Y din grafu l G" ). Valorile pentru x , y ~ i k se citesc de la tastaura.

2.7.7.2. Ciclul Un Ian! care are toate muchiile distincte doua cate doua extrornitaf care coin cid - se numesto ciclu .

~i

Ciclul este un Ian! simplu ([1, ,1,) '" [1, ,13 ); [1,,1,) '" [13,I, J; ...; [I" I,l " [I,." I,J; ...; [I,." I,.,J " [1,., ,1 ,)), in ca re extremitatile coincid : 1,=lk_ Un graf far a cicluri se nurne sts graf ac iclic . Daca toate nod uriIe unui ciclu sunt distincte doua cate doua , cu excepti a extrernitatilor, ciclul S8 nurnes te cic lu clcme nta r.

Exem pl e: 1. Pentru graful neo rientat G 19 : ~ Lantul L, (1,l ) ={1, 2, 3, 6, 2, 1) nu este un ciclu deoarece in Ian! se repeta muchia [1,2). ~ Lantul L s(1 ,l ) = {1, 2, 6, 3, 7, 6, l)=C, este un ciclu neelementar deoar ece se repeta nodul cu eticheta 6. ~ l.ant ul Lo(l ,l ) = {1, 2, 3, 7, 6, 1)=C 2 este un ciclu eleme ntar deoarece nu se repeta niciun nod .

2. Pentru graful orie ntat G, o: ~

l.antul L4 ( 1,1) ={1, 2, 4, 5, 2, 1} nu este un ciclu deoarece i n lant se repeta arcul [l ,2J . l.an tul L5(1,1) = ( 1, 2, 5, 6, 3, 2, 4, l }=C, este un ciclu neelementar deoarece se repet a nodul cu etic heta 2. ~ t.ant ut L6 (1,1) = {1, 2, 3, 6,5,4 , 1} este un ciclu eleme ntar deoarece nu se repe ta niciun nod. . G~ .. 3. Un circuit elec tric poate fi reprezentat cu ajuto rul unui graf orientat G 21 , i n care nodu rile rete lei sunt nodurile grafu lui, iar sens ul arce lor este dat de sensu I ales pentru curentul electric - figura 25. ~

"

R,

--.

11 I 12

R,

+'• I,

E,

R, R, 2 ~ I,

E,

R,

1

4 :;

l~

4

Rs

1~5' Ie" E 2

Fig. 25

Un ochi al retele i electrice repre zinta un ciclu in graful orientat. Fiecare arc k are asociate trei rnarirni: rezistenta R k, intensitatea curentului Ik ~ i tensiunea electromotoare a sursei Ek. Semnul curentului electric este dat de sensul arcului: daca arcul intra in nod, curentul electric are semnul plus, iar daca arcul lese din nod , curentul electric are semnul minus.

219

l nfo r rn a tica Pentru fieca re nod din grat , se aplica teorema lntal a lui Kirc hhoff: I'

2:1, = 0 k= l

unde peste suma dintre gradul intern si gradul extern ale nodului. Pentru fi ecare cic lu din grat, se aplica l eor ema a doua a lui Kirchhoff: " 2:E, 1;", 1

=

q 2:1, x R, 1;= 1

unde q este nurnarul de arce ale ciclului. ......-----. ....-..... Pent ru circu itul electric din figura 25, S8 considera cunoscute urrnatoarele marirni: R" R2, R3. Rs. Rk, I" E, ~i E2. Scrieti un program care sa calculeze - in graful circuitului electric - rnarirnea rezistentei R4. Teorema 12 Daca un g raf coniine un ci clu, atunci contine ~ i un ciclu elementar. Demons t ratie - Ia fel ca derno nstr atte de la Teorerna 11, de la sub capitoul Lant uri.

Doua lantu ri - L 1={ 11, 12, .•" Ij, ... , Ik.1, I k, Ii } ~ i L'1={I'1 ' 1'2, ..., ( i l " " I'k_1, I'k t I'd care au aceeas i l ungime k, formeaza acetasi ciclu daca ex is ta un nu rna r i ntreg j , astfel incat li= I' (i+j) mod k+1, pentru orice i=1, 2, 3,... , k.

Exemp lu : in gratul neorientat G' 9 lanturi L,= :I" I" 13 , I" 1, 1 = { 1, 2, 6, 5, 1} ~i L ,={ I " 12, 13 , 14 , I', ) = {2, 6,5, 1, 2 ) care au lungimea 4 , forrneaza acelasi ciclu. Se observa 1,=1 ~i 1,=1. Din (1+j) mod 4 + 1 = 4, rezulta ca j=2. Verificam daca pentru acest j si pentru orice i= 2, 3, 4, exista doua noduri cu aceeas i eticheta in ambele lanturi: ;=2 <> (2+2) mod 4 + 1 = 1; dar: 1, =2 si 1.,=2 => 1,= .1, . i=3 => (3+2) mod 4 + 1 = 2; dar: 13=6 si 1,2=6 c> 13 =1.2. i=4 c> (4+2) mod 4 + 1 = 3; dar: 14= 5 ~ i 13 =5 => 1, =13 . In gratul neorientat G ' 9 lanturi L,= {I" 12 , 13 , 14 , I, ) = : 1,2, 6, 5, 11 ~i L ,=:;" I" 1.3 , 14 , I , ) = { 2, 5,6 ,1 , 2 } care au lungimea 4, nu forrneaza acelasi ciclu . Se obse rva 1,=1 si 14 =1. Din (1+j) mod 4 + 1 = 4, rezulta ca j=2. Veriflcarn daca pentru acest j ~ i pentru orice ;= 2, 3, 4, exista doua noduri eu aceeasi eticheta in ambele lanturi: , i=2 <> (2+2) mod 4 + 1 = 1; dar: 12=2 ~i 1,=2 => 12= I , . i=3 => (3+2) mod 4 + 1 = 2; dar: 13=6 ~i ;'2=5 => 13" ;'" Algoritm pentru determinarea ciclurilor elemenlare intr-un grar Alg oritmul. Se qenereaza toate lanturile elementare care pornesc din nodul x (t sxsn), tree prin eel putin trei noduri si se pot inehide eu nodul x. Pentru generarea aeestor lanturi elementare se foloseste metoda backt rack ing , care se va apela pentru fiecare nod x . Solutia se obtine atunei cane nodul adauqat in stiva formeaza 0 muehie (un arc) cu nodu x - ~i stiva contine eel putin 3 noduri. trnplem entar ea algoritm ului. Se citeste din fisierul text graft .txt matrieea de adiacenta a unui grat neorientat, respectiv , din fisierul graf2./xt matricea de adiacenta a unui graf orientat . Se cauta toate ciclu rile elementare care exista in graf ~ i se afiseaza . Daca nu exista niei un ciclu elementar, se afiseaza un mesaj. Pentru testarea programelor se lo losesc gratul neorientat G, si gratul orientat G9 .

220

Implementa rea stru cturllor d e d a t e

#in clude < f s t ream .L>

typedef s tiv a [lOO J ; int a[2 0 J [20 ] , 0 , k a s , ev , x , e s t e e O, s t i v a st ; i

fstream f( "g ra f l .txt " , i o s : :i n ) ; ( I I :;; e c i t.c s t c me t .r i cee d e e d a a cent.a d in f.i s i.e rI

void citeste() void .i n i t Cl

{ / / es t e ident i c a c:.:: cea de 1a a f i $area l a n t;:ur i lor elen;e:1tare } int s u c c e s o r ()

{! Ze s t e .i d e n t L o a CD CEa de La c L i se rce Lan t u ..ri L c r e Lemen t a r e } int va Li d () { / / s-s t e Ldent t ca ell cea c e La af t s e re a Lan t ur i.Lo r element are } i nt ~') o l 1J r, i e ( ) {return a [ s t[ k] ] j x ]== l && k>2 ; } lise ob;;:ine solut;:iaatunci canci ultimlJl nodadaugat este ad iacent //nodu lui x ~i in s t i vb cxist~ eel pu~i n troi Docturi void t Lpa r () {f or (i n t i=l , e st e= lii <= k; i ++ ) ccut«s t [i]« " "; cou t« x«endl;} void bti} { / I p a r t e a fix a a e Lqc r i t.mu l ui. v oid main () { c i t e st e.t I :

,

for ( z=1:x<=n ;x++j { s t j Ll e x : bt () ; } i f (Le s t.e j oou t.c-cv Nu e x i.s t.e n.i c i. u ri c .icl.uve L eme ri ua r" i }

1. i n exemp lul prece de nt, sunt afisate lanturi care tormeaza acelasi cicl u (acelas i ciclu este afisat de mai multe ori: deosebirea consta do ar in nodul cu care se i ncepe ~i se i nchei e ciclu l). Modificati programul astfel tnca t sa se elimine afis area inforrnatie i redu ndante (afisarea aceluia si cicl u de mai multe ori ). 2. Scrieti un progra m care cites te din fisier ul te xt graI3 !x! lista muchiilor unui graf neorientat - si afiseaza to ate cicl urile elementare care trec printr-un nod cu grad ul minim . 3. Scrie ti un prog ram care citeste din fisieru l text graI3. !x! lista muchiilor unui grat neo rientat si care verifica daca un sir de k numere citite de la tastatura reprezinta un cic lu eleme nta r pent ru graf . 4. Scrieti un program care citeste din fisierul text graI4.!x! lista arcelor unui graf orientat si care:

a. Cauta toate cicluri le elementare care exista in graf !?i Ie afiseaza. Daca nu exists nieiun eic!u ele mentar, S8 afiseaza un mesaj. b. Ca uta toate cicluri!e elementare care tree prin toate noduri le gra fului si Ie aflseaza. Daca nu ex ista nici un eiclu elementar care trece prin toate nodurile grafului, se afiseaza un mesaj. c. Cauta toate ciclurile elementare de lungime ma xima care tre e prin nodul x - ~ i Ie afiseaza. Etieheta nodulu i se cite ste de la tastatura . Oaca nu exista nici un cielu elementa r care sa trea ca prin nodul x , se afiseaza un mesaj.

2.7.7.3. Drumul Intr-un gral orientat G= (X,Uj se doflnosto un drum ca f ii n d a succesiune de noduri care au proprietatea ca - oric are ar f i doua nod uri succes iveele sunt legate print r-un arc . Daca , intr-un graf orientat , rnultimea nodur ilor este X ={X1, X2, ... , xn}, iar multirnea areelor este U=(U" U2, ..., Urn}, un drum de la nodul d , la nodu l dk - D(d k) - va f definit prin "d

221

Infonnaticii

rnultim ea nadurilar D(d k) = {d d" ..., dkJ, unde d,EU, pentru orice i (t si sk ), iar arcele "d[dk- l ,dk)"E U. Drumul poale fi privit ca un lant In care parcu rgerea [d d, ], [d 2,d 3 ] , [d 3 ,d4], ..., " S8 faca in sensu ! arcului care leaqa nodurile. Oaca exista de la un nod la altu l trebuie D(xj,xj), S8 spune ca nodul Xj este ac cesibil di n nodu l x..

sa

Terminolog ie :

-7 Lungimea unui drum este data de nurnarul de arce care i l compun . in cazu l in care arcele au asociate lunqirni, lungimea unu i drum este data de suma lungimilor arce lor care iI com pun . -7 Drumul de lu n gim c minima dintre nadu l d, ~i nadul dJ - Dm,"(d" dj) - este drumul cu numa rul minim de aree din m ult imea nevida de drum uri D(di,dJ} . -7 Subdrumul este format dintr-un sir cantin uu de nod uri din drum. De exem plu, pent ru lantu l D(d d k)= {d d" ..., d, ..., dj , ... , dk:, 0, (d" dj ) definil astfe l: D, (d" dj) = :d" d,., , _ " " dj_1 , dJ ) - este un subdrum al drum ului D.

Drumul elementar este drum ul in care nodurile sunt distincte doua cate doua , Dru mul simplu este drumu l i n care arcele sunt distincte dou a cate doua. Exe m ple - Pen tru graful arientat Gzo. -7 l.antul L,( 1,6) = (1, 2, 5, 6) nu este un drum dea arec e parcurgerea nu se face i n sens ul saqetilor, -7 l.antul L 8(1,6) = (1 , 2, 3, 6, 3, 6) = 0 , este un drum neelementar, deoarece se repeta eli cheta nadurilar 3 si 6 - si campu s, deaarece prin arcul [3 ,6] s-a trecut de doua ori. -7 l.antul L,( 1,6) = (1 , 2, 3, 7, 6) = 0 , este un drum elementar, deaarec e nu se repeta nici un nod . -7 t.antul L9 (1,6) = (1, 2, 4, 5, 2, 3, 6}= D, este un drum sirnplu , deoa rece nici un arc nu a fost parcu rs de doua ori. dar este un drum neelemen tar, deoarece se repeta nod ul cu etich ela 2. Teorema 13 Daca un grat neorientat confine un drum intre doua noduri, x §i atunci, contine §i un drum elementar, Intre nodu rile x §i y.

y,

nemon strat!o - la fel ca demonstratia de la Teorema1 1 de la subcapitolul Lanturi.

A l g o r it m i pentru determina rea drumurilor elem cntare intr-un g raf orientat 1. Aftsarea drumuri lor el em entare din grato Algoribnul. Se va folosi algoritmul pentru determinarea tuturor lanturilor elementare din graft la care elementul solutiei generat in stiva, la nivelul k (k>1), va fi considerat valid numai daca trecerea de la nadul de pe nivelul k-l la nodul de pe nivelul k se face, In graf, in sensul arcului. Implementarea algoritmu lui. Se cite ste din fis ierul graf2tx t mat ricea de adiac enta a unui graf orientat. Se ca uta toate drum urile elemen ta re care exista i n graf - si se afiseaz a. Dac a nu exista nic i un drum ele mentar , S8 afiseaza un mes aj . Pentru testarea prog ramului se folos este graful oriental Go-

#inc lude typedef

stiva [~OC] ;

int a l20J [ 2 0 } , n , k , a s , e v , x , e s t e =O; s r j va st : f s t r e a m f( "griJ.r 2 . t x t " , i o s : : i n ) ; vo id c i t.e s t.e.l ) { / I s e c it.e s t e rna t r i cee de c d i ac en t a d i n f La i.e.r }

222

Im plemcnt a r ea str uct u rt lor dc d atc {/ / coenttce ell c ea de 'La atLsaroa Larrt.u.r i.Lo r'< e Lemerrt .ar e ]

void ini.t ()

int s u c c e s o r () {! lea c e e vcte 1a af i se rce Lan t.u .ri.Lo r c Iemcnt ar-e ) int valid ( ) {if i k > l ) if (a[ st[ k - 1J] [ s t [ kJ ]~= O I return 0 ; for {i n t i"'=l ; i
int s o l u t i e ( ) {return st[kl ''''''''"y; } void t i p a r

{)

{for (i n t i = l , e s t e ""=l ; i <= k ; i ++ ) cou t «st[ i]« "

II.

cout« x«endl;}

void bt O { / lpar teo fi xa a a Lq o.r i t rnul ui } void main () {c i teste fi ; f or (x=l; x<=n ;x++J f o r Cy~l ; y < ~ n ; y H I if ( x! ~y l i f { ! es t e I cout«" Nu e xi s ta " ; }

( s t [ l l ~x ;

bt. () ; }

2. Algoritmul Roy -Warshall de determ inare a rnatricei drumurilor. Matricea drumurilor este 0 matrice patrat a binara de dimen siune n (n rep reze ntand ordinul grafulu i), delinita astlel: a[ilDl ~ { 1, daca exista d rum de la nodul i la nodul j 0, daca nu exista drum de la nodul i la nodul j lnforrnatiil e din rn atri ce a drumurilor se pot folosi pentru a verifica daca exi sta drum i ntra doua noduri al e grafului Algoritmul. Daca nu exists un arc de la nodul i la nodul j , con siderarn ca exista d rum de la nodu l i la nodul j , daca exista un nod k (ksel ~i k*j) care are propri etatea ca exi sta un drum de la nodul i la nodul k ~i un drum de la nodul k la nodul j . Matneea ~ 2 drumurilor S8 obtine din matricea de adiacenta prin transformari 3 4 5 sueeesive, astfe l: se gene:eaza toate nodurile k (1;;k;; n), iar pentru fieeare nod k se genereaza toat e perechile de noduri i (Lek) ~, j (jek ) Fig , 26 si se verifica daca a li ] [kJ~l ~i ark] [j]=1. in eaz afirmativ, i n matri cea de adiacenta S8 atribuie valoarea 1 elernentului a [i] [j]. 3 4 5 1 2 G" Pentru graful G" din figu ra 26 matrieea de adiacenta sutera 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 urmatoarele cinei transformari. La fiecare transformare , daca 2 0 1 1 0 1 0 3 dru mu l de la nodul i la nodul j trece prin nodu l intermediar k 0 0 0 0 1 4 (drumu l treee de la nodul i la nodul k si de la nodul k la nodul 0 0 0 1 0 J), atunci el ementului a [i] [j ) i se va atribu i valoarea 1. 5

k=1 1 2

3 4 5

0 0 1 0 0

k=2

2345 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

1 2 3 4

5

0 0 1 0 0

2 1 0 1 0 0

k=3 345 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0

k=4

2 1 2 3

~ 1 1

4

0 0

5

1 1 1 0 0

1 1 1 1

1 2

3

1 0 0

4 1 1 1 0 1

5 0 0 0 1 1

-

1 2 3 4

5

-

1

1 1 0 0

2 1 1 1 0 0

-- - -

5 3---- - 1 1 1 0 0

4

1 1 1 1 1

3

1 1 1

1 1 1 0 0

~ - ~-

4

0

k=5

3 1 1

2

-

5 1 1 1 1 1

~ - - _ .

0

4

5

1 0

0 1 0

CeQ1 IQ

"

223

I n f orm al ica

Interpretarea datelar din matricea obtinuta in urma transfo rma rilor se lace astfe l: exista drum de la nadul i la nadul j daca a [i 1 [ j 1~ 1. De exemp lu, exista drum de la nadul 2 la nadul 4 . dar nu exists drum de la nadul 4 la nadul 2. Implem entarea alg oritm u l ui. Se citeste din fisieru l graf20.txt matricea de adiace nta a unui gral oriental. Se afiseaza toate perechile de naduri din gral intre care exista un drum . Functia ci teste () se foloseste pentru a citi matricea de adiacenta din fisier, Functia transforma () S8 foloseste pentru a transforma matricea de adiacenta in matrieea drumurilor. Matricea de adiacenta va suferi n transforrnari succesive (pentru fiecare noua valaare a lui k) , astlel: fiecare element a [i 1 [ j], cu Leek ,i j"k , este inlacuit cu valoarea produsului a [iJ [k ] *a [k] [j] - ceea ce este echivalent cu a atribui valoarea 1 acestui element daca ali ] [k]~l, i a rk] [ j]~1. Functia afiseaza() se foloseste pentru a afisa toate perechile de noduri i !?i j intre care exists drum. Aceste perech i sunt identificate in matricea drumurilor ca fiind indicele pentru linie si indicele pentru colcana ale elemente Jor care au valaarea 1. Pentru testarea pragramului se Ioloseste graful arientat G" .

#i nclude int a[20 ] [20],n ; fstream £( " g r a f 20. txt " f Lo s : : in ) ;

void cit es te()

{l i se

c i tc~ te

mat r i cea de ad iacent5 din

f i~ ie r }

void t r e ns tc rme () . {for (int k=l; k<= n ; k++} for {int i = l; i <= n; i + + ) for{int j = l ; j<=n;j++ l

i f {a [ i ] [ j]~ ~ O && .il e k && j! ~ k ) a li. ] [ j ] ~ a [i. ] [k] *a[kl [j ] ; ) vo id a f i ae a z a t) {c o ut« " Ex i s t a drum intre perechi lede nodilri " « e nd l ; for (int j.::-""l,- i<=n ;i ·i+) f or (int j =l ; j <"-" n;j++-} i f (a [i. ] [ j ] ~ ~ l && .i ! ~j) cou t;e ;e;" ( " «i.« " , "« j «" ) "«" " ; ) voi d main() { c i.te s t. e t L : t. c a n a r o r ma ri . a f Ls eaz a Ll : } Complexitatea algarilm ului Ray -Warshall Algoritmul de transformare a matricei de adiacenta Tn matricea drumurilor are ordinul de complexitate O(n xnxn)= O(n\ deoarece fiecare stru'ctura repetitiva for se executa de n ori, iar structurile fo r sunt imbricate.

Scrieti un program care citeste , din fisierul text graf4 .txt, lista muchiilar unui graf orientat - ~ i care a. Verifica daca un sir de k numere cit ite de la tas tatura reprezinta un drum elementar pentru graf. b. Cauta to ate drumurile elementare cu lungimea cea mai mica dintre dou a noduri x :;;i y :;;i le afiseaza . Etichetele nodurilor se citesc de la tasta tu ra, Daca nu exista niciun drum elem entar, sa se afiseze un mesaj . c. Cauta toa te drumurile elementare de lungime maxima :;;i afiseaza cate dru muri s-au gasit :;;i car e sunt ele. Daca nu exists niciu n drum ele mentar, sa se afise ze un mesa j.

2.7.7.4. Circu itul lntr-un graf ori entat un drum care are toate arcele distincte doua ca te doua ~i extrernitati care coincid se nurneste c ir cuit. Circuitul este un drum simplu (arcele sunt distincte doua cate doua ([d"d2I t~[d"d 31: [d ,]t[d 3,d4 ] : ... ; [d , ] t [dk_ ki; ...; [dk~"d k~ 11~t[d k~1,dJ) in care extrernitatile caincid (d,~d k). "d "d "d

224

Implement area st r uc t u r ilor de date

Circuitul oternentar este circuitul i n care toate nodu rile sunt distincte doua cate doua, cu exceptia primulu i ~ i a ultimulu i - care coincid. Exe m ple - Pentru gral ul orientat G 20 : -7 Lantul L 1O(1,1) ={1 , 2, 3, 6, 3, 6, 3, 7, 6, 5, 4, 1) nu este un circuit, deoarece arcele [3,6) ~i [6 ,3) au lost parc urse de doua ori. -7 Lantul L,, (1,1) = {1, 2, 3, 6, 3, 7, 6, 5, 2. 4, l}=C, este un circuit neelementar, deoarece se repeta eticheta nodurilor 3 si 6. -7 Lantul L' 2(1,1) = { 1, 2, 3, 7, 6, 5, 4, 1) =C2 este un circuit elementar , deoarece nu se repeta eticheta niciunui nod .

Toorerna 14 Daca u n graf co nt ine un ci rcuit, atunc i contine

~i

un c ir c uit elem en tar.

Demcn st rati e - Ia fel ca dernonstratia de la Teorema11 de la subcapitolul Lanturi.

Algoritm pentru determinarea circuitelor elementare intr-un graf orientat Al goritim ul. Se foloseste acelasi algoritm ca

~i

in cazul determinarii ciclurilor elementare intr-un

graf orienta t, cu deosebirea ca se tine cont de orienta rea arcului care lea qa dou a nod uri.

#i nc l ude ~fs tYe am .~> typedef st i v a [lOO] ; in t a [ 20J (20] , :l, k, a s, e v, x ,e s t e= O; stiva st ; f s tre am f ( "gra::2 . t x t " ios : : in ) ; vo i d c i t e s t e t ) { l i s e c i t e s t;e ma tr Lcea de ad Lac ent.e di n f i.s i e r } void ini t ( ) {! / i de n ti c B cu cca de la a f l.so rce Lantu r j Lo.r c l e ment.e r e l i n t succe so r () { / / Jcenr t ca C'J cea de La af i serca Lant.u r i Lor e Lement a r e } in t VC11id () ( i f l k > l ) i f (a [st [k-l IJ l sr I kl 1~~O I r e tu rn 0 ; fo r ( i n t i =l ;il ; } I /se ob t i.n e s o Lu t La a tunc i, caner ultimul nod a c<'fJugat e s t e acl i a c en t / In od"u lui x $1 1n e r Iva e x i ar e eel pu t Ln ooua nodu r i void t1E-'u I ( ) {for {Ln t; i =l,este"-:' ;i<=}: ;i++ } cout cc s t Li l c-c " " ; c o ut« x« endl ;} void b t () ( / /pa r t e a f i x a <;). e I q o r j trn c Iu i } v oid ma i n ( ) {c ,i t e s t e ( \; f or ( x = l ; x < =n ; z -<--'-) {s '..: [ l ] =x; b t l ) ; } if ( ! e s t e ) c ou t.c -C'N u c x i s t e c Lr cu i :''3 '' ; } I

Scriet i un program care cite ste, din fisieru l text graf4. txt , lista arcelor unu i gra f orientat - si care : a. Cauta toate circu itele elementare care exista in gra f si Ie afiseaza. Oaca nu exi sta niciun circu it elementa r, se afiseaza un mesaj . b. Cauta toate circu itele elementare de lungime maxima care trec printr-un nod x si Ie afiseaza. Eticheta nodului se citeste de la tastatura. Oaca nu exista nic iun circuit elemen tar ca re sa treaca prin nodu l x , S8 aflseaza un mesaj . c. Cauta toate circuite le elementare care trec prin toate nodurile grafului ~i Ie afiseaza . Daca nu exista nici un circu it ele mentar care trece prin toate nodurile grafulu i, se afiseaza un mesa j .

225

InI'll rill a t icil

d. Cauta toate circuitele elementare care tree numa i prin noduri ca re au gradul intern ega l cu gradul extern - ~i Ie afisea za. Daca nu exists niciun circuit elementar, se afiseaza un mesaj.

2.7.7 .5. Graful conex Un graf G S8 numeste graf conex daca are propri etatea Ca l pentru ariee pereche de noduri diferite intre ele, exlsta un lant care sa Ie lege.

Altfel spus, un graf este conex daca , pentru orice pereche de noduri {x, Xj}, care au proprietatea XjTXj exista un lant de la Xi la XJ. Exemple: 1. Graful neorientat G ' 9 = (X,.,U' 9) definit anterior este un graf conex, deoarece oricare ar fi doua noduri din rnultim ea X" ele pot fi legate printr-un lant. De exemplu, (1,2) "" {1,2} sau {1,5,2}; (1,3) "" {1,2,3} sau {1,6,3}; (1,3) "" {1,2,3} sau {1,6,3}; (1,4) "" {1,2,3,4} sau {1,6,7,4}; (1,5) "" {1 ,5} sau {1,2,6 ,5} etc. 2. Graful orientat G 20 = (X20,U20) definit anterior este un graf cone x, deoarece oricare ar fi doua noduri din rnult imea X" ele pot fi legale printr-un lant. De exemplu , (1,2) "" {1 ,2} sau {1,4,2}; (1,3) "" {1,2,3} sau {1,2,5,6 ,3}; (1,3) "" {1,2, 3} sau {1,2,5,6,3}; (1,4) "" (1, 4) sau (1,2,5,4); (1,5) "" (1,2,5) sau {1,4,5} etc. 3. Graful neoriental G 23 = (X23,U23) - figura 27 - defimt astfel: G" -7 rnultimea nodurilor este X23={1,2,3,4,5,6,7,8}. ' - - " I 6 \ _ ... -7 rnult imea muchiil or este U23 ={[1 ,2J , [1,4J, [2,3J, I 1 "2 \ 1 5 I I [2,4J, [3,4J . [5,6J , [5,7J}. I I .... ,/ 3 / \ . __ ~ " I nu este con ex, deoarece nu exista niei un lant intre un \. 4 ... -' nod din rnultirnea C,={ l ,2,3,4} ~ i un nod din multi rnea C1 C2 C2={5,6,7}, sau din muttimea C3={8}. Fig . 27 Daca un graf G=(X,U) nu este conex, se poate defini un subgraf conex al grafului G, adica se poate defini a rnultirne X'eX care sa indues subgraful G'=(X',U'), ce are proprietatea ca este conex .

'~ ' -_

~

It@\ C3

Dac a un graf G=(X,U) nu este co nex, se nurn est o componenta conexa a grafului un sub qraf co nex al sa u C=(X',U'), m aximal in rap ort cu aceasta pro prietate [contine numa rul ma xim de nod uri din G ca re au proprietatea di sunt legat e cu un lant}, Altfel spus, subgraful conex C este a components conexa a grafului caca are proprietatea ca nu exists nici un lant, al grafului G, care sa uneasca un nod x, al subqrafului C (X, EX') cu un nod x, care nu apartine subgrafului C (X,EX-X'). Observ ati e: Un graf conex are

0

sinqura cornponenta conoxa (grafuJ insusi).

Exemplu - i n graful neorientat G23 definit anterior, fiecare dintre cele trei rnultimi de noduri, C l , C2 si C3 , induce cate 0 components conexa . Daca un graf este defin it prin multimea nodurilor si rnultirnea muchiilor, -7 rnultirnea nod ur ilor este X23={1,2,3,4,5.6,7,8}. -7 rnul tim ea m uchiilor este U23 ={[1Z], llAJ, [231. [2.4J , [3.41, [~'§l , [~J} . pentru identificarea componentelor conexe, procedati astfel: PAS1. Se formeaz a prima components conexa , pornind de la prima muc hie. Se scriu nodurile incidente cu muchia i n prima cornponenta conexa - C,={l ,2} - ~ i se marche aza rnuchia: [12]. Componenta conexa C l este componenta cure nta.

226

Implementa rea struetllri lor de date

PAS2.

Se parcu rg celelalle rnuchii. Dad; se qaseste a much ie nernarcata, care contine noduri din com ponenta conexa curenta, 58 adauqa nodu rile la cornponenta : C,; {1,2,4,3), se rnarche aza much ia: [11], ~ , !L±], QAj. PAS3 . Daca rna! exista much ii nemarcate , S8 identifica prima muchie nernarcata si S8 formeaza urrnatoarea componenta conexa, scriind nodurile incidente cu muchia - C, ;{5,6} ~i S8 rnarcheaza mu chia: [5•.6.1. Componenta conexa C 2 este componenta curenta. PAS4. Se parcurg celela lte muchii. Daca se gase, te a muchie nernarcata care contine nod uri din componenta conexa curenta, S 8 adauqa noduri le la cornponenta: C,;{5,6,7} si se marcheaza muchia: [w. PAS5 . Se executa Pasul 3 ,i Pasul 4 pana se marcheaza toate muchiile, ldentificand urrnatoarete componente conexe . PAS6. Se verifica daca t0 3 t8 nodurile din rnultirnea nodu rilor 58 reqasesc i ntr-o components conexa. Daca exists noduli care nu apartin unei componente conexe, acestea sunt noduri izolate, , i vor forma, fiecare dintre ele, a compcnenta conexa. C3 ;{8}.

,i

Teorema 15 Numarul minim de muchii

mmin

necesar e pentru c a un cortex este n..... 1 .

g ra f

neo rient at,

eu n

n o du r i . s a f l e

Altfe l spus , intr-un graf neorientat con ex cu m rnuchii 9i n no duri: rnzn -d . Demonstratie. Notarn cele doua prop czitii, astfel: (1) - G raf ul G neorientat, cu n noduri, are n -1 muchii si este conex . (2) - Grafu l G neorientat , cu n nodu ri, este conex ~i minima l cu aco asta proprietate (d aca se Inlatura orice mu chie din graf , el devine neconex). Trebu ie sa oernoostra-n ca (1).:;::>(2) - Se foloses te pnncipiu l inductiei matematice (se note aza cu Pi propozitia i): P1 - Gr aful G1, cu un nod 9i nici 0 muchie (m = 1-1=O), este conex sl este mini mal cu aceasta prop rietate (nu ma i exist a much ii care sa fie elimin ate ) P2 - G rafu l G2, cu doua nodu ri 9i a muchie (m ::2-1=1), es te cone x (muchia nu poate lega cecat ce te doua noduri) 9i este minima l cu aceasta propne tate (prin elimina rea muchiei, noduri le sunt izolate cbtinan du-se coua componente conexe). P3 - Graful G3, cu tre i nod uri si c oua muchii (m=3 -1 =2), este conex (cele d oua muchii sunt Inctdente: unul dintre nod uri este adiacent cu ce \e doua much ii - ;;i prin el va trece lantu l care leag a celelalte doua nod uri) ~ i este min ima l cu aceasta proprietate (prin el imina re a unei muchii, unul dintre noduri este izolat, obtmandu -se doua com ponente conexe ). Pn - Graful G n, cu n noduri ;;i n-1 muchii, este conex ~i min imal cu aceasta pro prietate (se presupune adevarata ). P n+1 - Considerand prcpozitia Pn adevarata . trebuie sa demonstram ca grafu l G n+1 , cu n+1 noduri ~i n+2 muchi i, este conex 9i m inimal cu aceasta propr ietate. Prin adauqarea un ui nod s! a unei mucb li la grafu l G n, se poate obtine un graf con ex . Nod ul adauqat se leaqa cu much ia noua de graful G n (;;i, im plicit, la lanturile din acest graf) , obtinandu-se un nou graf con ex . Presupunem graful obtinut nu este min imal cu aceasta propri etate. Inseamna ca, pr in eliminarea une i much ii, se obtine un graf conex. Daca eliminarn muchia adauqata, se izole aza nodul n+ 1, cbtina ndu-se doua com ponente cone xe . Daca se elirni na a much ie din graful G n, se obtin dOU8 comp onen te conexe, deoare ce graful G n est e m inima l cu aceasta proprietate . Rezulta graful G n este minimal cu aceasta proprietate .

ca

ca

Exemple de grafuri conexe cu n noduri 9i nurna r minim de much ii: ~ Fiecare nod es te legat de aile doua. cu exceptla a doua nod uri term inale Exis ta n-2 noduri cu gradul2 ~i doua noduri cu qr adulf ; 1lI " ,in ::::

2x( n -2 ) +2 x l 2

n- t

227

Informatica ~

Un nod este legat de celela lte n-1 noduri. Exista un nod cu gradul n-1 IX( I1 - I) +(I1 -I)xl Ill",;"

=

2

~i

n-1 nod uri cu gradul1 .

n -I

Propozitia 4 . Daca un graf cu n noduri are p compo nente conexe , atunci nurnarul minim de muchii care trebuie adauqate , ca sa devina conex, este p-1. Demonstratle Putem considera fiecare cornponenta conexa ca un nod a! unui graf cu p nodun. Numaru! min im de muchii necesare pentru ca acest graf sa fie conex este p-1 .

Propozitia 5 . Daca un graf conex cu n noduri are n-1 muchii, atunci orice pereche de noduri este leqata printr-un lant, ~i nurnai unul. Dem onstratie - prin redu cere la absu rd. Graful G fiind conex , rnsc amna ca exista eel puttn un lant care leaqa cricare dou a nod uri, x ~ i y . Presupunem ca exista eel putin dou a lantur i i ntre ncdurile x ~ i y : L1 ~ i L 2. Insearrme ca . suprimand a much ie din lantul al do ilea. graful rarnane conex , deoa rece nod uriIe x ~i y vor fi legate prin lantul L1. lnsearn na ca un graf cu n noduri s! n-2 muchii este conex , ceea ce cont raz ice Teorema 15. Rez ulta ca cele doua nodu ri, x ~i y , nu sunt legate decaf printr-un singur tent

Propozitia 6. Daca un graf neorientat cu n noduri ~i m rnuchii este conex, nurnarul maxim de much ii care se pot elimina pentru a obtine un graf partial conex este: m -n+1 . Demonstratle. Oeoarece numaru l minim de much ii necesare pentru ca un graf sa fie conex este n-1, atunei din graf se pot elim ina restu l much iilor: m-n+1 .

Teororna 16 Un graf neorientat conox cu n noduri ~i n...:.1 muchll este aciclic ~ i maximal cu aceasta proprietate. Demonstratle: Notam eele coua propozi tii, astte l; (1) - Gra ful G neor ientat, cu n noduri, este conex ~ i are n-1 muchi i. (2) - Gra ful G neo rientat , cu n noduri, este aciclic si maxima l cu aceas ta prop rietate Trebuie sa dernonstram ca (1)::::>(2). 1) Este acieli c - prin reducere la absurd . Presupunem ca acest graf confine eel putin un ciclu. C= lX l , X2 , X3 , ..., Xi, x, f. Insearnna ca, daca vom lnlat ura din graf muchia [x - . X2], se obtine un graf conex - nodul va fi legat de toate celelalte nodu ri din ciclu prin lantul L :;; ~X2 , X3, ..., Xi, x- } - ceea ce cont razice teo rema anterioa ra. CEl un graf cu n noduri ~i n-1 muehii este eonex si minimal eu acees ta proprietate . 2) Este maximal eu acea st a pr opriet ate (daca S8 adauqa 0 noca mue hie, grafu l nu mai este aciclic) - prin reducere la absu rd. Pres upu nem prin adauparea une i m uchii oarecare [x,y], se obtine un gra f aci clic. Graful fiind conex , tnseamna ca Intre nodurile x ~ j y exista un Ian! L(x,y) elx , .., z, ... , y:, tar prin adauqarea muchiei [x.yjlantu l se i nchide, torman d un ciclu Ceqx, ..., Z , . .. , y , x ) - ceea ee cont razice presupunerea ca gra ful este aciclic.

ca

Propozit!a 7 . Daca un graf neorientat conex are n noduri ~i m rnuchii, nurnarul de much ii care trebuie eliminate , pentru a obtine un graf partial eoncx aciclic , este egal cu m-n+1 .

n emon stratr e. Din Prop ozitia 6, rezutta CEl - i nlaturand din graf m-n+1 muchii - se obtine un graf partia l conex , iar din Teo rema 16 rezulta ca acest graf este acidic. Graful fiind eonex , lnseamna ca Intre oricare do ua noduri. Xi ~ i Xj , exista un lant elementar ~ i numai unu \ (Propozitia 5). Orice noua muehi e [ Xi, Xj] adauqata va forma eu acest lant un ciclu elemen tar. Propozitia 8 . Daca un graf are n noduri, m muchii si p compo nente conexe, nurnarul de much ii care trebu ie eliminate, pentru a obtine un graf partial aeie lic , este egal cu m -n+p. Demonstratie. Fiecare cornponenta con exa i

(1:s:i ~

p) va avea nj noduri

~i

m, muchii, iar:

228

Implcmcnt urcn st r ucru r ilu r d e
:;;i 2)n j = 111

.

;"'1

Nurnarul de muchii care trebuie eliminate din compon enta conexa i, pen tru a obtine un graf part ial cone x aciclic . este egal cu rn, - n: +1 (Propo zina 7). Rezulta numarul total de rnuchii care trebuie eliminate din grat, pentru a obfine gra f partial conex acidic, este egal cu :

ca

I'

II

I(m,- n + I) = I i

j ", 1

II

Ill , -

In, + P = m- 11 + "

i=]

j "' l

Propozltia 9. Pentru a obtme, dintr-un gra! neerientat cenex, doua componente conexe, nurnarul minim de muchii care trebuie inlaturate mm in este egal cu gradul minim din graf: Hl mln = grad m in . Dem onstrati e. Ce le d OUE! co m ponente conexe ale unui graf neo rientat con ex G=(X,U) S8 obtin astfel: ~ Componenta con exa C1=(X1,U1) S8 formeaza dintr-un nod izolat Xi - pent ru a elim ina un numer minim de mucnu, nodul S8 alege dintre nodurile care au gradul minim: X, = {Xi } ~ i U,=0 . ~ Cam panenta conexa C 2=(X2,U2) se forrneaza din restul nodurilor din graf: X2=X-{Xi} ~i card( U,}=rn-grad min

Teorema 17 Numarul maxim de muchii rnmax d intr- un graf neorientat , cu n noduri ~ i p componente conexe, este :

= -,-I,' ',-_- -'.I':.c)_x-,: ( ,' ',-_- -'.1'_+:........:. 1)

m ru3\

2

-

Dernon strati e - prin reducere la absu rd. Numarul maxim de rnuchii corespunde unor p-1 com ponente cone xe forma te din naduri izolate s! a cc mponenta conexa ferma ta cu n-p+1 nod uri. Pentru ca sa se ab!ina nurnarul maxim de rnucttii. ultima componenta trebuie sa fie un graf comp let K n_p care are nurr-arul de much ii m:

+,

(n -p ) x (n -p +l )

III

:::0

"--'-"-7'---'--"-

2

Sa pres upu nem ca exis ta Ins a un graf format din p-2 componente conexe forma te din noduri izolate ~i cu dou a cornponen te conex e C, cu n, noduri ~i muchii ~i C2 CU na noduri ~i 1n2 mu ch Ii, cu n , ~ n 2~ 2, n, + " 2 = n-p+2 care are numarul maxim de muchii m, + m z = m max Cele doua componente conexe pe ntru a avea un numar maxim de muchii trebuie sa fie qrafuri complete: C, =K n1 ~i C2=K n2 Modificam ace st qraf rnutand un nod din companenta C2 i n componenta C, . in com ponenta C, acest nod trebuie unit prin much ii cu cel e n, nod uri ale componentei. Nurnarul de muchii ale componentei C, va fi m, + ", . in componenta C2 prin eurnmarea nodului. se inliHura ~i cere na - 1 rnuchii care iI uneau cu celelate noduri din graf. Numarul de muchii ale componentei C2 va fi m 2- "2 + 1. Numarul tota l de muchii al nou lui gra f este + n, + m 2 - ttz + 1 ~ 1n1 + m2 + 1 = m max+ 1. Concluzia contrazice ipoteza ca gratu l initial avea nurnarul maxim de muchii. lnsearnna ca graful care are nurnarul max im de muchii es te cel care conune p-1 compo nente conexe form ate din noduri izolate s! o cornpcn enta conexa forrnata cu n- p+1 noduri care este graful complet K n_p

In,

In,

+'.

2.7.7.6. Graful tare conex Un gra! orientat G se nurneste gra! tare conex daca are proprietatea ca, pentru ori ce perech e de noduri diferite i nt re ele, exi sta un drum care sa le leg e. Aille l spus , un gra! orientat este tare conex caca - pentru orice pereehe de noduri { Xi, Xj} , ca re au proprietatea x /*Xj - exista un drum de la Xi la Xj.

229

Informatid Exemple : 1.

Graful orientat G20 = (X 20,U 20 ) , detinit anterior, este un graf tare conex, deoarece exista un circ uit elementar care trece prin toate nodu rile grafulu i: (1,2,3,7,6,5,4 ,1): altfel spus , oricare ar fi doua noduri din multimea X 20 , ele pot fi legate pri ntr-un drum .

2.

Graful orientat G' 4= (X' 4, U 24) - figura 28 - definit astfel: -7 multimea nodurilor este X' 4=(1,2,3,4,5,6). -7 rnultlmea arce lor este U'4 =([ 1,2], [1,41, [2,31 , [3, 1], [4,5], [5,4]). nu este conex, deoarece nu exista niei un drum lntre un nod din multirnea C, =(4,5} ~ i un nod din rnultimea C,=(1,2 ,3}, sau din rnultirne a C,=(6}. Daca un graf orie ntat G=(X,U) nu este tare conex , se poate defi ni un subqraf tare conex al grafului G, adica se poate defini a rnultirne X'eX care sa induca subgrafu l G'=(X',U'), ce are proprietatea ca este tare con ex .

G'4

- -, -, C3

,

,

-

-

C1

Fig. 28

Daca un graf G=(X,U) nu este cone x, se nurn este componenta tare conexa a grafului un subgraf con ex C=(X' ,U') al sau, maximal i n raport cu acea sta propri etate [confine nurnarul maxim de noduri din G care au proprietatea ca sunt legate printr-un drum ). Altfel spus , subgraful tare conex C este 0 cornp onenta tare conexa a grafului daca are propr ietatea ca nu exists niei un drum al grafului G care uneasca un nod Xi al subqrafului C (X;EX') cu un nod xJ care nu apartine subgrafului C (XJ EX-X') .

sa

Exem plu - i n grafu l orientat G24 defini t anter ior, fiecare dintre cele trei multirn i de noduri C 1 , C 2 si C 3 - induce cate 0 cornp one nta tare ccnexa . Observatie : Un graf tare conex are 0 sinqura cornponenta tare conoxa (graful insusi) .

Terminologie : -7 Subqraful predecesorilor unui nod este format din ace I nod si din multimea noduri lor din care este accesibil nodu l. -7 Subgraful succesorilor unui nod este format din acel nod si din rnultirnea noduri lor care sunt accesibile din el. Observatie: Componenta tare conexa di n care face parte un no d este data de intorsectla dintre subgraful predecesorilor l?i subgraful succesorilor ace lu i no d. Daca un graf este definit prin multirnea nodur ilor si rnultimea muchii lor, -7 multirnea no duril or este X 24=(1 ,2,3,4,5,6). -7 multirnea arcelor este U'4 =([1 ,2], [1,4J, [2,3J, [3,1], [4,5], [5,4]). pentru identi ficarea componentelor tare conexe procedati astfel: PAS1. Se identifica subgrafu l succesorilor primului nod din primu l arc (1n exe mp lu, nodu l 1), folosind algo ritmul de deter minare a unei componente conexe: S, =(1 ,2,3,4,5). PAS2. Se ide ntifica subgraful predecesorilor primului nod din primul arc (i n exemp lu, nodul 1), folos ind algoritmul de determinare a unei componente conexe , in care se iau i n calcu l num ai nodurile care apar in arc in a doua pozitie: P1={1,2,3}. PAS3. Se determine com ponenta ta re conexa - prin intersectia celor doua rnult imi de noduri: C ,= S,n P, ={1 ,2,3). PAS4. Se identifica, in multimea arcelor, primu l nod care nu face parte din compone nta tare conexa evidentiata anterior (in exemp lu, nodul 4) ~ i se reiau Pasul 1, Pasul 2 si Pasul 3, pentr u a determina subgraful succesorilor, respecti v subgraful predece-

230

Im p lcrncn ta rca stru ct ur ilor dc date

sorilor nodul ui si apoi urmatoarea cornponenta conexa . prin intersectia celor doua rnultirni (in exempl u, nodul 4 ~i S2={4,5), P2={1 ,2,3 A, 5} ~i C2= S2" P2 ={4,5)). Se repeta acest pas pana cane nu S8 mai identifica in rnultirnea arcelor niciun nod care sa nu apartina unei componente tare conexe. PAS5 . Se verifica daca toate nodurile din rnultimea noduri lor se reqasesc intr-o components tare consxa. Daca exista noduri care nu apartin unei componente tare canexe, acestea sunt noduri izolate - si vor forma , fieca re dintre ete 0 com pone nts conexa. C,={6}. Graful componentelor lare conexe ale unui graf care nu esle l are c onex G=(X ,U) 58 obtine prin reducer ea fiecarei co m ponente conexe la u n no d. Identificarea grafului componentelor tare canexe este utila in rezolvarea uno r prob leme, prin descompunerea problemei in subprobleme (rezolva rea problernei pentru fiecare componenta tare conexa) ~i combinarea solutiilor - strategia di vide et im pera.

Exe mplu: T'C,c ~ .", in graful oriental G25= (X25,U'5) - figura 29 - definit astlel : ~ mult imea no durilor este X 25={ 1 ,2,3A ,5,6,7}. ~ multi m ea arce lo r este U' 5 ={[1.2], [1 A], [2,3], [3,11, [4,5], [5,61, [6A ], [7,5J, [7,3]} 1i':';\ Gc" componentele tare conexe sunt C , ={1,2,3), C,={4 ,5,6} ~i C,={?}, .'. iar graful componentelor tare conexe Ge2S = (Xe2S ,Ue2S) - figura 30 - este definit astfel. ~ mu lt irnea nodurilor este Xc 25={ C C" C,} . ~ rnultirnea arc elor este Uc25 ={[ c, " C2], [C " C , I, [C " C z]}.

Algorilmi pentru delerminarea conexitatii grafurilor

, C3 Fig . 29

Fi g. 30

1. Deter min area c ompone nte lor co nexe in t r-un graf. Alg o ritmul. 0 components conexa este fermata din toate nodurile intre care exista un lant elemen tar. Deoarece un nod nu poate sa apartina decat unei componente conexe, se va folosi un vector cu n elemente - pentru a memora nodurile care au fast deja inregistrate intr-o componenta conexa . Initial, elementele vectoru lui au valoarea 0 (nici un nod nu a fost i nregistrat intr -o cornponenta conexa), iar daca un nod x va fi adauqat la 0 components conexa, valoarea elementului x din vector va fi 1. Pentru a verifica dac a exista un lant elementar intre dow! noduri x si y se folosese metoda backtracking. Observ ati e, Acest algoritm poate fi folosit atat in grafurile neorientate, cat si in grafurile orientate. Mai poate fi folosit ~i pentru a verifica daca un graf este conex: fie se verifica daca intre nodul 1 si fiecare dintre celelalte noduri ale grafului exista un lant elementar , fie se verifica daca prima components conexa obtinuta contine toate nodu rile grafului. Im pl em enlarea algoril m ul ui. Se citeste din fisierul graf19 .txt matricea de adiacenta a unui graf neorientat (varian ta din fisierul graf20.txt - rnatricea de adiacenta a unui graf orientat) ~i se aflseaza componentele conexe. In vectorul v se mernoreaza nod urile care au fost deja inregistrate tntr-o cornponenta conexa. Variabila este se foloseste pentru a verifica daca s-a gasit un lant elementar intre coua noduri (are valoarea a - False, daca nu s-a gasit un lant elementar). Varia bila rn se foloseste pentru a nurnara componentele conexe identificate. Functia ci te ste () se foloseste pentru a citi matricea de adiacenta din fisier. Functia cornponen t e ( ) se foloseste pentru a afisa componentele conexe ale grafului: pentru fiecare

Informatica

231

nod x (1:5""n) care nu a fast afisat intr-o cornponenta conexa (v I x l =0), se cauta toate nodurile y (1:5y:5n si y*x ) care sunt legate cu un lant elementar de nodul x . Pentru un nod y gasit, se rnarcheaza in vectorul v faptul ca a fast adauqat la a components conexa (v [yJ ~ 1 ) . Pentru testarea programului se folosesc graful neorientat G, ~ i graful neorientat G22. #include < fs t r e a m.h > t ype d e f st iva[lOOJ ; in t a[20] [20] ,n,k ,as ,ev , x , y ,v[20) ,este=O ; stiva st ; f stream f ( "gr8a£19 . txt " , ios : : in) ; void c.l t e s t e t ) { l i s e c Lt.es t;e matricea de ad i ecen t a din r Ls Le r j void init() {/ / i de nt i c a ell cea de 1a afi$area lanturilor elementare } i nt succesor() {I / i de n t i ca ell cea de 1a afi$area lan~urilor elementare l int valid (} {I l i de n t i c a eu cea de 1a afi$area lanturilor elementare } int so Lu t.Le () {re turn st l k l ==y ; } lI s e obtine solu1;.ia atunci cand ultimul nod aciaugat in stiv;§. este y void t i.pe r t ) {e s t e = l ; ~ Iidaed exista solut;.ie (un lant intre nodur ile x $i y ), ! /ve r i ab i.La este va avea v aJoarea 1. v o id bt(} { l l i d c n t i c a cu cea de 1a af i sa r ea Lant ur Ll.c r e Lemen t a r e } v oid cOffiponente{) {i n t m""' O; f or ( x ~ l; x < ~ n; x + + )

if

( v[ xJ ~~OI

(m++ ; s t [ l J ~ x; v l x l e L, c cu t -ocvCompon e n r a conexa "
n ,

fo r ( y ~ l; y < = n ; Y + - 1

if (x!=y l (este =O; bt l ); if {e s t e )

{ v [ y } ""l; cout-ccy-;c"

" ;}}

cout«endl ;}} void main() t c Lce s t e t j • componente () ;}

2. Detenninarea co m po ne nte lor c onexe i ntr-un gr af oriental. Alg oritmui. 0 components conexa este fermata din toate nodurile intre care exista un drum, eel putin de la un nod la altul (drumul nu trebuie sa asigure leqatura in ambele sensuri). Altlel spus, daca exista un drum de la un nod x la un nod y , cele doua noduri x ~ i y apartin aceleiasi componente conexe - chiar daca nu exista si un drum de la nodul y la nodul x . $1 in acest algoritm se foloseste un vector cu n elemente pentru a memora nodurile care au fast deja ln reqistrate intr-o cornponenta conexa . Pentru a verifica dac a exists un drum de la nod ut x la nod ul y se tolososte mat ricea drurnurilor. Pentru graful G 22 din Figura 26, in matricea drumurilor se observe ca exists drum de la nodul 1 la oricare celelalte patru noduri din grar. Graful are a sinqura cornponenta conexa .

. .

.

,4 1 2 3 5 Impl cmentarca algoritmului. Se citeste din fisierul graf20.txt 1 1 1 1 1 1 matricea de adiacenta a unui graf orientat lii se determina 2 1 1 1 1 1 daca graful este conex. Oaca nu este, se afiseaza compo1 1 1 1 1 nentele conexe. in vectorul v S8 rnemoreaza nodurile care au 3 0 0 1 1 0 fast deja Inregistrate Intr-o components conexa. Functia 4 5 0 0 0 1 1 ci tes te () se foloseste pentru a citi matricea de adiacenta in fisier. Functia t rans forma () se foloseste pentru a transforma matricea de adiacenta in matricea drumurilor. Functia component e () se foloseste pentru a afisa componentele conexe ale grafului: pentru fiecare nod i (hi:5 n) care nu a fast afisat intr-o cornponenta conexa

232

Implcmcntareu st r uct ur ilur d e date

(v [ i ] =O), se cauta toate nodunle j (1Sj'; n ~i io'i) la care ajunge un drum ce porneste din nodul i . Pentru un nod j gasit, se rnarcheaza in vectorul v faptul ca a fast adauqat la a cornponenta conexa (v [j ] =1). Pentru testarea programului se foloseste graful orientat G" .

#include typedef stiva[lOOl ; int a(20] [20j,n ,v[20] ; fstream f ( "gra ::20 . txt " , ios : : in) ; vo i d c i. t c s te () {/ I se ci t e s t.e mer r tcea de ad.i ac errt.a din fi s ie r } void transfonna () (for (in t k=l i k<=n ;k++) for (int i=l ; i <=n ;i ++) for (int j= l ; j < =n ;j++) if (a [ i ] (j]==O && i !=k && j ! = k ) ali] [j]=a[i] [ k] ' a r k ] [j] ; ) v oid ccmponente(} tint i ,j ,m=O ; fo r ( i nt i=l ;i<=n ;i+T ) if (v[i)==O) {m.... --- i v[i)=l ; c ou t-ccv Ccn-ponen t a ccnexe "
3. Detenn inar ea com pon entelor tare co nexe in tr-un graf orien tal. Algo ritm ul. 0 cornponenta tare conexa este fermata din toate nodurile i ~i j intre care exista un drum elementar de la nodul i la nodul j , dar ~i de la nodul j la nodul .i.. Se foloseste un vector cu n elemente, pentru a memora nodurile care au fast deja inregistrate i ntr-o cornponenta tare conexa . Initial, elementele vectorului au valoarea 0 (nici un nod nu a fast inregistrat intr-o cornponenta conexa), iar daca un nod L va fi adauqat la a cornponenta conexa, valoarea elementului i din vector va fi 1. Pentru a verifica daca exista un drum elementar de la nodul .i, la nodul j , se pot folosi doua variants ale algoritmului: Vari an ta 1. Se fo losese metoda backtracking. Imp lementarea algo ri tm ulu i. Se citeste din fisierul graf20.txt rnatricea de adiacenta a unui graf orientat - ~i se determina daca graful este tare conex. Oaca nu este, se afiseaza componentele tare conexe. Variabila e s t e l se foloseste pentru a verifica daca s-a gasit un drum elementar de la nodul i la nodul j (are valoarea a- False , daca nu s-a gasit un drum elementar), variabila este2 se foloseste pentru a verifica daca s-a gasit un drum elementar de la nodul j la nodul .i. (are valoarea a - False , daca nu s-a gasit un drum elementar), iar variabila e s t e se foloseste pentru a verifica daca s-a gasit un drum elementar de la nodul x la nodul y (are valoarea a- False , daca nu s-a gasit un drum elementar). Tn vectorul v se rnemoreaza nodurile care au fast deja in registrate intr-o components tare conexa. Variabila m se foloseste pentru a numara componentele conexe identificate. Functia c i. te ste () se foloseste pentru a citi matricea de adiacenta din fisier. Functia c omponen te () se foloseste pentru a afisa camponentele tare canexe ale grafului: pentru fiecare nod i (1.$.i.$.n) care nu a fost afisat intr-o cornponenta conexa (v [ i ] =0 ), se cauta toate nodurile j (1,;j';n ~i j;ti) care sunt legate cu un drum elementar care porneste din nodul i , dar !?i de la care porneste un drum care ajunge i n nadul i . Pentru un nod j qasit, se rnarcheaza in vectarul v faptul ca a fast adauqat la a components tare conexa (v [ j J =1). Pentru testarea programului se foloseste graful orientat G'2.

233

III form a tid #inc lude typedef st i va [ l OOI ; int a[20 } [20J , n, k ,us ,ev , x , y ,v[2 0 J , c s t e l, e s t e 2, e s t e -= O; s t L va s t : f stream f( " g r a f1 9 . t x t " ,io:s : :i n };

v oid c i t e ste() {l i s e c i te ~t e mat r i c e a d e adiac en ;a di n f i s i e r } void i ni t() {/ I :"de n t i c a ell cea d e la afi~a :-e a drumur i l o r elementa re } int succ e s o r() {/ I i den t i ca cc cea de 1a afi 9 a ~e a d rumurilor elementa re } in t va l i .d () { / / Ident i.ca eil c e a de la af i s e ree d rumurilor e Lemen t e r e I int ao Lu t i.e L)

{re t urn s t[k] ===OY i }

lI se ob t i n e solutia atune i cand ultimul nod adaugat in stiva este y vo i d

t

Lpe r ()

{e s t e = 1;)

s olu~ ie (u n d ~um intre nodurile x $i y j , // va r i a bi l a este va avea val oarea 1 void bt ( ) { / i i d c n t i c 5 ell cea de La af i s ar-ee d r umu r i.Lo r e Lemen t e r c } void coxponen t e () l i n t i ,j , m=O i

// d a c3 ex ista

fo r ( i = li i <= n; i + + )

if

( v[ iJ ~~O)

{m+ + ; v [ i ] = l ; cou t c c vCc mp o neri t a co ne x e for ( j = l ; j <= n ; j t + ) i f (j ! ;;o: i ) {z = i; y = j ; s t l l l e x • cstc;;o:O ; b tl) ; x = j; y .... i : s t j l j ex : es te=O ; bt (} ; if (estel & & E: 3 ': e 2 ) {v[j ]=l; cou t cou t « e n d l ; } }

voi d ma i n ()

"
"
II.

c s t.c l. ee s t e : e ste2=este ; c -cj c-; " " ; }}

{c .i teste () ; component.e () ; )

Var ianta 2. Se fotoseste matricea drumurilor. 5e deterrnina dOU8 matrice ale drurnurilor: una corespunzatoare grafului G ~i alta core spunzatoare unui graf i n care toate arcele au sensu l invers decal i n graful G (Gt - graful lranspus al grafu lui G). Din intersectia celor doua matrice, se va obtme 0 matrice in care vor fi evidentiate numa i drumurile care exista in ambe le sensuri, intre oricare doua noduri i ~ i j . Pent ru graful Gn din figura 26, prin inversarea arcelor se obtine graful transpus G22t din figura 3 1. Malricele de adiacenta ~ i matricele drumurilor pentru cele dou a grafur i ~ i matricea intersectie sunt preze ntate ma i jos. Matri cea de adiacenta G22

1

2 3 4

5

1 0 0 1 0 0

2 1 0 0 0 0

3 0 1 0 0 0

4 0 0 1 0 1

5 0

~ 0 1 0

Matricea de adla ce nta G22t

1 2 3 4

5

1 0 1 0 0 0

2 0 0 1 0 0

3 1 0 0 1 0

4 0 0 0 0 1

5 0 0 0 1 0

~

1 1 1 1 0 0

Matricea 1 1 1 2 1

3 4

5

1 1 1

2 1 1 1 0 0

3 1 1 1 0 0

4 1 1 1 1 1

5 1 1 1 1 1

drumu ril or G22t 2 3 4 5

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

0 0 0 1 1

0 0 0 1 1

Matri cea intersec tie

1 2 3 4

5

1 1

e-!1 0 0

.

~ Fig. 31

Matricea d rum u ri lo r G22

1 2 3 4 5

_

2 1 1 1 0 0

3 1 1 1 0 0

45 0 0 0 0 0 0 1 1 1 I 1

G22t '~

234

Implem enta re a structurilor de d a te

Interpretarea datelor din mat ricea intersectie se tace astfel: doua noduri i ~i j fac parte din aceeasi cornponenta tare conexa - daca exista drum de la nodul i la nodul j (a [i] [j] ~ 1) . Pe matricea intersectie se pot identifica cele doua componente conexe : C1={l, 2,3} ~ i C2={4 ,5}. Im pl ementarea algoritmului . Se citeste din fisierul graf20.txt matr icea de adiacenta a a unui graf orientat. Se foloseste matricea ap in care S8 rnernoreaza arcele i n sens invers si matricea drumurilor obtinuta din aceasta. Pentru a identifica nodurHe i si j intre care exista un drum atat de la nodul i la nodul j , cat ~i de la nodul j la nodul i , se obtine matricea b care este intersectia celor doua matrice ale drumurilor: a ~i ap. Functia ci teste ( ) S8 foloseste pentru a citi matricea de adiacenta din fisier. Functia transforma_ s ( ) S8 foloseste pentru a transforma matricea de adiacenta a in matricea drumurilor, iar functia transforma_p () pentru a transforma matricea de adiacenta ap in matricea drumur ilor. Functia intersectie () se foloseste pentru a obtine intersectia celor coua matrice ale drumurilor. Functia compone nte () se foloseste pentru a afisa camponen tele canexe ale grafului: pentru fiecare nod i (15i5n) care nu a fast afisat Intr-o components conexa (v [i] =0 ), se cauta in matricea intersectie a drumurilor b toate nodurile j (lSjSn ~ i jo'i) la care ajunge un drum ce porneste din nodul i. Pentru un nod j gasit, se marcheaza in vectorul v faptul ca a fast adauqat la a cornponenta tare conexa (v (j] ~1 ) . Pentru testa rea programului se toloseste grafu l orienta t G". #include typedef s t i va [lOO j; int a[20] [20 ] , n , v [20] ,ap[lDJ [ l D] , b [ l D] [ l O] , n r; fstrearn f( "g re f19 .txt " , i o s : :in ); void c Lt c c t e () { / Isecite;;;te mat r i cee de e d i a cen t

a

di n .f .i e .i.er l

void predecBso r() {for (int i = l ;i<~n ;i++) for l i n t j=l ;j<=D ;joHl april [j )=a[ j] I i ] ; } vo.i.d vtr arre f'o rrne s.I ) j

{for (int k=l ; k<=n ;k++) for {int i =1 ; i<=r: ;i++) for (int j~l ; j<=n ;j++} if( a l i ] [j ]==O && i! = k && j! =k) al i ] v oid

I j ) ~a [ i ]

l le]* a [ k ] [j ] ; ]

t ran s fo ~ma ~ ( )

(for (int k= l ; k<=n ; k++ l for (int i=l ; i <=n ; i+ + ) for (int j=l ;j<=n ;jl- +I if (a p l i ] Ij]~~O & & .i l e k && j != k ) apri l [ J ) =a p [ i ] [ k ] * a p [ k] [ j] ; ) vo id i n t e r s e c t i e ( ) {for {int i = l; i <=Jl; .L++ } for l i n t j ~l ; j<~n ;j oH) b l i ] [j ] = as [i ] [j] *apli ] [j] ; )

void cornp'onerrt e () {for (int i = l ; i<= n ; i+ +) if

(v[i] ~=O)

( n r + +; v[i ] =l ; cout« endl«" Comp oo E: n t a "« n r«" : "« i.« " for t i n t j=l ;j<=n ; j+ ·I:) if (bli ]

[j ]~ ~l

&&

i != j l

{coutx-c j c-c'' ";

v[j] ~ l; ) } )

void main () {c i t e ste ( ); predecesor{) ; t r a n s f o r m a ~ s i n t e Ls e c t i e ( ) ; componente() ; }

( ) ;

t r a n s f o rm a ~p ( ) ;

Infonnaticii

235

1. Scrieti un program care citeste din fisieru l text graf3.!x! (graf4.txt) lista muchi ilor (arcelor) unui gral neorientat (orientat) - si care ve rifica daca graful este conex ~i afiseaza un mesaj de informare . 2. Scrieti un program care citeste din fisierul text graf14.!x! lista de adiacenta a unui graf orientat - ~i care verifica daca grafu! este tare conex si afiseaza un mesa j de informare. 3. Cornparati, din pu nct de vedere al eflcientei , cei doi algoritmi de determinare a componentelor tare con exe dintr-un gral oriental. 4. Scrieti un program care citeste din fisierul text graf2.!xt mat ricea de adiacenta a unui graf orientat - -?i ca re determine graful componentelor tare conexe !?i nurnarul minim de arce care trebuie adauqate pentru ca gralu l sa devina tare can ex. Solutiile pentru arcele care trebu ie adauqate S8 vor salva in fisierul text graf_comp.txt. lndi cati e: CeJe p componente tare conexe vor f nodur i in noul graf - !?i vor fi reprezentate printr-un vector eu p elemente de tip inregistrare : struct camp {int n ; int v flO ] ; } ; camp cIlO] ; iar arcele vor fi reprezenate prin matrice de adiacenta . a cornponenta conexa , c [i] are c [i] . n noduri ; un nod j al componentei i fiind c [i] . v [ j ] .

2.7.7 .7. Aplicatii practice 1. Din grupul de n persoane intre care s-au stabilit relatii de prietenie sl de vecinatate, determinati grupurile de prieteni , grupurile de vecini si grupurile de vecin i prieteni, (In dicat ie. Se deterrruna componentele conexe pentru fiecare gral.) 2. Folosind informatiile din graful judete lor deterrninati nurnarul minim, respect iv numarul maxim, de judete prin care trebuie sa treaca un turist care tranziteaza prin Roman ia, stiind ca vine din Ungaria si trebuie sa ajunqa in Bulgaria. (Ind ica t ie. Se deterrnina un lant de lungime minima , respectiv maxima , Tntre doua judete limitrafe , care sunt la granila cu cele doua lari.) 3. Din gralul grotelor stabilif grotele care vor fi inundate de un parau subteran care izvoraste dintr-o grata a carei eticheta se citeste de la tastatura. Precizati tunelul (sau tunelurile) prin care paraul va ajunge In exteriorul muntelui. (Ind icatie. 0 grata este inundata daca se qaseste la acelasi nivel sau la un nivel mai jos decat 0 grata in care exists apa Se transforms graful neorientat intr-un graf orientat, in care arcele vor pune in evidenta relatia: grata x este in relatie cu grata y daca apa curge de la grata x la grata y. In acest graf determinati toate drumurile care pornesc din grata din care izvoraste paraul). 4. i n reteaua de strazi a orasului, patru strazi se inchid pentru a fi reparate. Etichetele intersectiilor care sunt legate de aceste strazi se citesc de la tastatura . Sa se verifice daca prin i nchiderea acestor strazi nu se izoleaza unele zone ale orasuiui de alte zone . (lndlcat ie. Se gene reaza graful partial al traficului , prin eliminarea arce lor dintre nodurile precizate ~ i se verifica daca graful obtinut este tare conex .)

2.7.8 . Parcurgcrca grufului Parcurgerea grafului reprezinta operatia prin care sunt exam inate in mod sistemat ic nodurile sale , pornind de la un nod dat i , astl el lncat lieca re nod accesibi l din nodul i pe muchiile (arcele) adiacen te sa fie atins 0 sinqura data . Vecinii unui nod sunt repreze ntati de toate nodurile adiacente lui si accesibile d in el.

236

I m plcrn c nta rca stru cturllor d e date

Vizitarea sau traversarea unui graf este operatia prin care S8 parc urge graful trecandu -se de la un nod i (nodu l curent) la nod uriIe vecine lui, intr-o anurnita ardine , in vederea prel ucrarii inforrna tiilor asocia te nodurilor. Pentru parcurgerea grafurilor , exista urrnatoarele doua metode : 1, Metoda d e p arc u rge re "i n latirne" - Breadth First (BF ). Se viziteaza mai Intai un nod initial i, apoi vecinii acestuia . apo i vecinii nevizitati ai acestora, 9i asa mai departe pana cano se parcurg toate nodurile grafu lui. 2. Meto d a de parcu rg er e "in adancime" - Depth First (OF ). Se viziteaza mai Intai un nod initial i , dupa care se parcurge primul dintre vecinii sai nevizltati, de exemplu j, dupa care se trece la primul vecin nevizitat al lul j , ~i asa mai departe - pana cand se parcurge Tn adancime ramura respectiva. Cand s-a ajuns la capatul ei, S8 revine la nodul din care s-a plecat ultima data, ~i S8 parcurge urrnatorul sau vecin neviz itat.

' G" Ex em pl u - pentru graful neorientat G" = (X'6,U'6) - figura 32 - definit astlel: -7 mu lt irne a noduril or este X26={1 ,2,3,4,5 ,6,7,8,9j. -7 rnu ltirnea rn uchiilo r este U26={[1,2], [1,3], [1,4], [2,5], [3 ,5], [3 ,6], [3,7], [4 ,7], [5,8] , [6,8J, [6,9]} Graful G' 6 poate fi parcurs astfe l, pornind din nodul 1: 1. In cazul metodei de parcurgere SF - "in la\ime", vor fi parcurse pe rand nodurile:

Fi g. 32

1,2, 3, 4,5 , 6, 7,8 ,9 2. I n cazul metodei de parcurgere OF - "in adancirne", vor fi parcurse pe rand nodu rile:

1, 2, 5, 3, 6, 8, 9, 7, 4

2,7,8.1. Parcurgerea in latlme - Breadth First Pentru aceasta metoda de parcurgere a unui graf cu n noduri, S8 folosesc urrnatoarele structuri de date si date elementare : 1. Vari abil ele d e mem ori e: n pentru nurnarul de noduri ale grafulu i, k pentru nodul care 58 prelucreaza . i si j pentru parcurgerea matricei de adiacenta si a vectorilor. 2. Matri cea de ad la ca nta a g raf u l ui a. 3. Vect orul de v iz itare vi z i ta t . EI contine n elemen te in car e S 8 i nreqistreaza nodurile vizita te . Elementele vectorului vizi ta t [i] sunt definite astfel:

. it a t "1 { 1, da ca no dul i a fast v izita t I =

\'I ZI

0, daca nodul i nu a fo st v izitat

inca

4. Coada de asteptare c a noduril or parcurse. Coada de asteptare c gestioneaza nodurile prelucrate. Pentru coada de asteptare se foioseste implementarea statica cu un vector c cu n elemente. Pentru gestionarea cozii de asteptare S8 folosesc dou a variabile de memorie p rim si ul tim care joaca rolul de indicatori pentru a memora adresa primului element din lista (capul cozii) ~i , respectiv , adresa ultirnului eleme nt din lista (coada cozii). in aceasta coada de asteptare vor fi inregistrate nodurile vizitate, in ordinea i n care au fast vizitate. Initial, caada de asteptare contine un singur element care corespunde nodului cu care lncepe parcurgerea qrafulul, iar valoarea indicatorilor p rim ;;i ul t im este 1. Pe rnasura ce se parcurge graful , se cornpleteaza urmatoare.e elemente ale vecto rului c . Atunci cand se prelucreaza un nod k de la capul cozii de asteptare, prin coada cozii de asteptare se introduc toate nodurile i vecine cu nodul k care nu au fast vizitate Inca . Al g oritmul pentru parcurgerea gra fului este urrnatorul: PAS1 . Se citesc din fisier , valoarea pentru variabila n ~i matrice a de adiacenta a grafului.

237

In f orma tiea

PAS2 . Se initiatizeaza cu 0 elemente le vectoru lui de vizitare vizi ta t , deoarece initi al nici un ul din tre nod uri nu a fa st vizitat. PAS3. Se int roduce de la ta statura valoarea variabilei de memorie k . corespunzatoare primu lui nod eu care incepe parcurgerea grafului. PAS4 . Se lnitia lizeaza coada de astept are c (indicatorii ~i continutul primului elemen t intradus i n coad a de asteptars), astfel: p r Ime-L, u l t im ~l l}i c [prim] «-k, deoarece, in coada de asteptare c este i nregistrat doar nodul k cu care incepe parcurgerea. PASS. Se actualizeaza vect orul v i zi ta t - atribuind elementului k al vectorului valoar ea 1, deoa rece a fost vizitat (v i z i tat [k] <-1 ). PAS6. Cal li m p coada nu este vida (p r im<=u 1 tim) executa PAS7. Se extrage urrnatorul element din coada de asteptare , corespunzator nodu lui caru ia i S8 vor vizita vecin ii (k e-.c [pr J.m] ;) . PASS . Pentru toa te nodurile i vecine ale varfu lui k , nev izitate inca , executa PAS9. Se incrementeaza valoarea indicatorului u l t i m, pentru a inreg istra urrna torul nod care va tre bui vizitat prin adauqare la coada cazii de astepta re [u L t irnt-ul ti m+ 1 ; ). PAS10 Se acauq a la sfarsitu l coz ii de aste ptare c , nodu l i vecin nodu lui k care nu a fast inca vizita t (c [u l tim ] ~ i ;) . PAS11 P rin adauqarea nodului j la coad a de asteptare c se considers ca ace st nod a fost vizitat - !?i se actualizeaz a elementul din vectorul de vizitare care corespunde acestui nod (v i z i ta t [i] <- 1 ; ). Se revine la Pasul 6. PAS12S e pre qateste indicatorul pri m pentru a se extrage urrnato rul nod din coada de aste ptare , ai carui vec ini vor fi vizitati (p r-L me-pr-L m- t r ). Se revine la Pa sul 7. PAS13 S e afisea za lista nodurilor vizitate, i n ordinea in care au fost vizitate , prin extragerea lor din vec torul c , porni nd de la elementul 1 ~ i pana la elem entul n . Pentru graful G 26 • pornind din nodul 1. nodu rile in coada de v iz ita t

0 2

1

1

0 3

0 4

0 6

0

5

a~t e p tare

0 7

sunt adauqate astfel:

0 8

0 9

10

' ~~'"l-~"""""'''''---''

C L...:.. 1 -'-_ .,....,J_ _.l......~..L...--,-...L_--c.l ~ l nit ia lizarea cozii de a;;teptare cu primul nod: prirn= l ; ul tim=l.

v.i z i t ;:H.' I~ _ 1

1 10

3

1 C

v iz itat

I

I

I

•

!

'

!

!

I

U

I

U

!

U

I

U

I

10 C

vi zi t a t

I

I

I

'

!

!

!

_

!

...

I

...

I

10 C

pri m= 3

e> ul t i rn= 7 .

238

Implemen tarea st ru ct uri lur lie date

c

viz i ta t

'--'--'--::--.J'---:--'--'--'-O--'--:--'_,O--'--:--'---'o----'

10

c Prelucrarea nodului: prim=5 viz i ta t

~

ul tim=B .

'--'--'--::--.J'--:---'---'--'-o--'--:--'_,o--'--:--'_,,:-,

10

c Pr elu c rarea nodului : prim= 6 e> ul t i m= 9. v iz i ta t L--'---'----'----.JL--'-----'-----'-----'_-'----'-----=---'_,-'----L----=---'- '------' c

10 c viz i ta t '--'--'--::-~'---:---'---'--'-o--'--:--'_,o--'--:--'_,':-'

10

c

prim= 9 :..:::- u l tim=9.

10 prirn-1 0 ::::::) ul tim-9 . Tcnninarc : pr irn> ul tim

Pentrn imp lementarea algoritmului se lo loses c subprog ramele : -7 functia pro cedural a ci teste creeaza matri cea de ad iacenta , prin preluarea inferrnatiilor din fisierul f (dimensiunea matricei de adiacenta l? i matricea); -7 functia procedurala ini t init ializeaza coada de astepta re cu primul nod vizitat ; -7 functia operand este_vida te ste aza coada de astepta re daca este vida; -7 lunclia procedurala adauga adau qa un nod la coada de astepare : -7 funct ia proce durala e l i mi n a elimina nodul prelucrat din coada de asteptare: -7 functia procedurala prelucrare prelucreaza primul nod din coada : adauqa la coada de asteptare tal i vecinii nevizitati ai acestu i nod ~i apoi iI etimina din coada de asteptare: -7 functia procedura la afisare afiseaza nodur ile grafului i n ordinea pre lucr arii.

Pentru testarea programului, S8 tolose ste grafu l neo rientat G26, a carui matrice de adia centa se citeste din fisieru l text graf21 .txt.

int n , a [10] [10] , v i z i t a t [20) , c [20] , p r i m, u Lt Irn , 1: , fst ream f{ "graf21 .t: xt " , i o s : :in ) ; void citeste() { l i s e c i t.e s t.e ma t r i.cea de ad i e ce n t.a din f Ls Le r } void init( i n t k) { p r j mcu Lt.Lmc l , c l u Lr Lm l e k : v i z i t a t l k l e- Lr I

239

I II for ma tid i n t est e v i d a ( ) {retur n ul t im