Inferencia No Paramétrica-Problemas Resueltos con pruebas de Chi-cuadrado

Casos y problemas

resueltos VI: Inferencia en la media Inferencia no paramétrica IV: Inferencia no paramétrica • •

Contraste de asociación Pruebas de Chi-cuadrado Prueba de McNemar Test G •

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Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales-Casos y problemas resueltos Inferencia No paramétrica: Contrastes de a sociación de variables categóricas Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

Palabras iniciales

Estimados usuari@s: •

•

Este material que pongo a su disposición, está creado a partir de casos e investigaciones reales en distintos ámbitos de las Ciencias Sociales. Los datos han sido cambiados para ajustarlos a un criterio didáctico. Por ello, la información y conclusiones a las cuales llegan, no son necesariamente válidos en la realidad cotidiana, ni sirven de referencia para fundamentar trabajos e investigaciones. Los casos y problemas aquí presentados constituyen una muestra representativa de situaciones frecuentes a enfrentar en investigación social con variables categóricas, en lo referido al test o contraste de asociación o independencia. A saber: 1. Contraste de hipótesis con Chi-cuadrado de Pearson y la corrección de Yates. 2. Contraste de hipótesis con el test G o de razón de verosimilitudes. 3. Contraste, test o dócima de asociación con muestras pareadas mediante la prueba de McNemar.

•

•

La metodología de contraste se hace a través del valor-p, que es el criterio más utilizado en este momento, toda vez que aparece incorporado a muchos softwares de análisis estadístico hoy en boga. Este volumen está dirigido a tratar operacionalmente el tema de los contrastes de asociación a partir de datos de frecuencia, abordando tanto el tema del cálculo

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Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales-Casos y problemas resueltos Inferencia No paramétrica: Contrastes de asociación de variables categóricas Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

Caso 1: Estado civil y síntomas depresivos Sobre la base de los resultados de un estudio, se ha afirmado que las madres casadas presentan menos síntomas de depresión que las solteras. En una muestra de mujeres de 18-19 años con 1 hijo, se recabó la siguiente información, en número de casos, desagregadas por estado civil:

ESTADO CIVIL

SÍNTOMAS DEPRESIVOS

Total

Sí

No

Casadas

45

131

176

Solteras

83

127

210

Total

128

258

386

1.1.

Contraste, con estos datos y un1% de significación, la hipótesis de que el síntoma depresivo de las mujeres está asociado a su estado civil. Construya sus conclusiones respecto del caso. 1.2.

¿Qué significa, en este contexto, cometer error de tipo II?

Solución: 1.1.

Situación típica de resolver a través del contraste de hipótesis de asociación con la prueba Chi-cuadrado. La muestra es lo suficientemente grande como para utilizar Chicuadrado de Pearson, esto es, sin corrección por continuidad de Yates. Significación: α = 0,01 Hipótesis: H0: Los síntomas depresivos de la mujer son independientes de su estado civil

3


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Caso 2: Consumo de cocaína y terapia En cierta universidad de USA, se realizó un estudio con 187 consumidores compulsivos de cocaína, los que fueron aleatoriamente asignados a acupuntura auricular o a terapia de relajación sin acupuntura. Durante el estudio, los sujetos fueron sometidos a exámenes de orina para detectar la presencia de cocaína en el organismo. De 103 sujetos asignados a tratamiento de auriculopuntura, 35 presentaron evidencia de cocaína en la orina, mientras que entre los sometidos a relajación, 51 de un total de 84. 2.1.

A un nivel de significación del 1%, contraste la hipótesis de que el consumo de cocaína durante el estudio resultó asociado al tipo de tratamiento.

Solución:

Se trata de contrastar la posible asociación entre dos variables categóricas, dicotómicas: Evidencia de cocaína en la orina: Sí – No Tratamiento: Auriculopuntura – Terapia de relajación Es aplicable una prueba de hipótesis de asociación con la Chi-cuadrado. Primeramente se llevarán los datos a una tabla de contingencia 2x2.

TRATAMIENTO

Cocaína en la orina

Total

Sí

No

Auriculopuntura

35

68

103

Relajación

51

33

84

Total

86

101

187

Significación:


Caso 3: Salud y sobrepeso El gráfico de la figura presenta, en N° de casos, la evaluación del estado general de salud de una muestra de personas adulto mayor, según si presentan peso normal o sobrepeso. Nº de casos

12 10 08 06 04 02 00

Peso normal Sobrepeso

ESTADO DE SALUD Bueno

Malo

Estado general de salud de adulto mayor, según peso

3.1.

Con los datos del gráfico, analice, al 5%, la existencia de una relación significativa entre peso y estado general de salud en el adulto mayor. 3.2.

¿En qué consiste cometer error de tipo I en este contraste?

Solución: 3.1.

Se cuenta con dos variables dicotómicas, con datos de frecuencia. Por esta razón es aplicable una prueba de hipótesis de asociación con la Chi-cuadrado. Primero se llevarán los datos a una tabla de contingencia 2x2.

ESTADO DE

PESO

Total

5


6

Estadístico de prueba: χ2 obs

=

(12 ⋅ 10 − 8 ⋅ 5 − 0,5 ⋅ 34)2 ⋅ 34 20 ⋅ 14 ⋅ 16 ⋅ 18

= 2,13

Valor p: α* = P(χ 2p;1 > 2,13) = 0,1449 Decisión: Como α* > 0,05 , NO se rechaza H0 al 5%.

Conclusión: El estado general de salud del adulto mayor no está asociado a su peso (p = 0,1449).

3.2.

El error de tipo I es rechazar la hipótesis nula siendo que es veradera.

En el marco del caso consiste en rechazar la independencia entre estado de salud y peso en el adulto mayor, dado que en realidad están asociados.


Caso 4: Deserción estudiantil Una ONG realiza un estudio de deserción estudiantil en la educación superior en una muestra aleatoria de estudiantes de educación superior. Los estudiantes fueron segmentados según género y tipo de carrera y se les hizo un seguimiento a lo largo del primer semestre de estudio, instancia en la que se determinó si habían abandonado o no sus estudios. Las variables estudiadas fueron las siguientes: •

Deserción:

Deserta del sistema: 1 = Sí; 0 = No

•

Género:

Sexo del encuestado: 1 = Hombre; 2 = Mujer

•

Tipo de carrera: Técnica

Carrera de estudio del encuestado: 1 = Profesional; 2 =

Los datos obtenidos de la investigación se analizaron con el test de independencia χ 2 , llegándose a las siguientes conclusiones: •

C1: La deserción se da igual en hombres y mujeres (p = 0,0838)

•

C2: La deserción está asociada al tipo de carrera (p = 0,0184)

De acuerdo a esta información: 4.1.

Indique cuál fue la hipótesis nula en el contraste de la conclusión C1.

4.2.

Para la conclusión C2, ¿cuál fue la decisión en el contraste?

4.3.

Si ambas hipótesis fueron contrastadas al mismo nivel de significación, de los valores usuales en investigación social, ¿cuál es ese valor? 4.4.

Si la correlación entre Deserción y Tipo de carrera fue de negativa y significativa, ¿qué conclusión puede sacar de ello?

Solución:

Se trata del contraste de asociación entre variable categóricas, definidas con dos valores

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Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales-Casos y problemas resueltos

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Inferencia No paramétrica: Contrastes de asociación de variables categóricas Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

Caso 5: Percepción de la situación económica Se hizo en Chile un estudio hacia fines del año 2010 con una muestra informantes dirigentes sociales, 17 hombres y 15 mujeres, a fin de conocer su percepción de la situación económica del país. Los resultados son los siguientes, en número de casos:

Sexo

Percepción de la situación económica

Total

Buena

Aceptable

Deficiente

Hombre

8

6

3

17

Mujer

9

4

2

15

Total

17

10

5

32

5.1.

Con un nivel de significación del 10% realice un contraste de hipótesis para responder a la afirmación de que la percepción de la situación económica está asociada al género del encuestado.

Solución: 5.1.

Primero se calculan los valores esperados bajo la hipótesis de independencia verdadera. Valores esperados:

Sexo

Percepción de la situación económica

Total

Buena

Aceptable

Deficiente

Hombre

9,03

5,31

2,66

17

Mujer

7,97

4,69

2,34

15

Total

17

10

5

32


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Significación: α = 0,10 Hipótesis: H0: La percepción de la situación económica es independiente del sexo del encuestado. H1: La percepción de la situación económica está asociada al sexo del encuestado.

Estadístico de prueba: χ2Yates

=

( 8 · 6 − 9 · 9 − 0,5 · 32)2 · 32 17 · 15 · 17 ·15

= 0,1422

Valor p: α* = P(χ2 p;1 > 0,1422 ) = 0,706 Decisión: No se rechaza H0, al 10%. Conclusión: La percepción de la situación económica es independiente del sexo del encuestado (p = 0,706)


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Caso 6: Estado civil y situación laboral de mujeres Se realiza un estudio para esclarecer la posible asociación entre el estado civil de las mujeres y su situación laboral, conjeturando inicialmente que las mujeres que trabajan remuneradamente fuera del hogar son, fundamentalmente, solteras. Para los efectos, el estudio investigó a 44 mujeres casadas y 34 solteras, independientes entre sí. Los resultados se organizaron en una tabla como la siguiente: Mujeres según estado civil y situación laboral Trabaja remuneradamente

Estado civil

Total

Casada

Soltera

44

34

Sí No Total

78

El análisis de la tabla de contingencia dio los siguientes estadísticos: Estadística Chi2-Pearson Chi2-con corrección de Yates Test-G Chi2-McNemar

valor 5,4985432 4,4638738 5,5293445 2,88

Correlación-fi Q de Yule

-0,265507 -0,502551

p 0,0190 0,0346 0,0187 0,0897 0,0188

Con estos datos, y un 5% de significación, realice el análisis necesario para validar o refutar las siguientes afirmaciones:


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confirman el rechazo de la hipótesis de independencia. Por lo tanto, se puede afirmar, que: La situación laboral de la mujer está asociada a su estado civil (p< 0,05).

6.2.

Las mujeres que trabajan remuneradamente son, fundamentalmente, solteras.

Ya se concluyó que la situación laboral de la mujer está asociada a su estado civil. Falta analizar ahora la dirección de dicha asociación. Para los efectos sirven los dos estadísticos que aparecen en la tabla de estadísticos: el coeficiente de correlación φ y la Q de Yule. Ambos estadísticos son negativos y existe un valor p menor al 5%. Esto hace concluir que la correlación entre estado civil y situación laboral es inversa y significativa al 5%. De acuerdo a la organización de la tabla de frecuencias, esta correlación indica que la situación laboral de “Sí trabaja remuneradamente”, está correlacionada con el estado civil “Soltera”. Aunque la correlación es baja en valor absoluto, es significativa, lo que lleva a poder concluir que: En la mujer, la situación laboral de “sí, trabajando”, está asociada, en forma baja, pero significativa, a las solteras (p<0,05).


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Caso 7: Obesidad en el tiempo En el marco de una investigación de la obesidad, se hizo un seguimiento a 40 adolescentes obesos y 40 no-obesos, todos independientes entre sí. Cuando adultos, se verificó su estado de peso de los mismos, encontrando los siguientes datos:

ADULTOS

ADOLESCENTES

Total

Obeso

No-obeso

Obeso

16

21

37

No-obeso

24

19

43

Total

40

40

-

7.1.

A un nivel de significación del 10%, contraste la hipótesis de que los adolescentes obesos suelen ser adultos obesos. Analice y formule una conclusión en el marco del caso.

Solución: 7.1.

De acuerdo a la descripción y datos dados, se trata de una muestra pareada en una situación antes-después. Por lo tanto, es aplicable el contraste con el estadístico Chicuadrado de McNemar. Significación: α = 0,10 Hipótesis: H0: La obesidad es independiente de la etapa etaria del encuestado. H1: La obesidad está asociada a la etapa etaria del encuestado.


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Caso 8: El debate televisivo, ¿cambió la intención de voto? Se investiga la intención de voto en las elecciones presidenciales en 240 sujetos. Después de un debate de los dos candidatos por televisión, se les volvió a consultar a los mismos sujetos su intención de voto, llegando a los datos de la tabla siguiente:

Intención de voto DESPUÉS del debate Votaría por candidato

Intención de voto ANTES del debate Votaría por candidato

TOTAL

A

B

A

51

45

96

B

80

64

144

131

109

240

TOTAL

8.1.

Con estos datos, y un nivel de significación del 5%, contraste la hipótesis de que el debate televisivo cambió significativamente la intención de voto.

Solución: 8.1.

De acuerdo a los datos dados y descripción del caso, se trata de una muestra pareada en una situación antes-después. Por lo tanto, es ideal realizar el contraste con el estadístico Chi-cuadrado de McNemar. Significación: α = 0,10 Hipótesis:


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Caso 9: Accidentes de tránsito con resultado de muerte Se investiga una muestra aleatoria de accidentes de tránsito, según sexo del conductor (1 = mujer; 2 = hombre) y su hubo o no resultado de muerte (1 = sí; 0 = no). Se desea saber si sexo y accidentes de tránsito con resultados de muerte están o no asociados y la dirección de la asociación, si la hubiera. El análisis de una tabla de 2x2 arrojó los siguientes resultados de estadísticos: χ 2 = 4,2;

Q-Yule= 0,498

9.1.

Sobre la base de estos resultados, construya las conclusiones del caso, al 5% de significación.

Solución:

El estadístico χ 2 se usa en el contraste de asociación. Como la tabla es de 2x2, por ser ambas variables dicotómicas, esta Chi-cuadrado tiene 1 grado de libertad. Por lo tanto, el valor p de la prueba es: 0,0404, rechazándose la hipótesis de independencia, al 5% de significación. Por otro lado, el estadístico Q de Yule indica una dirección positiva de la correlación entre sexo (hombre = 2 y Resultado de muerte (1 = sí), ya que esos son los valores mayores de ambas variables. Por lo tanto, el análisis nos permite afirmar la existencia de una asociación significativa entre sexo del conductor y accidente de tránsito con resultado de muerte (p = 0,0404), verificándose que los resultados de muerte se asocian a los conductores hombres.


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Caso 10: Estrés post-terremoto Después del terremoto en Chile en febrero de 2010, se realizaron una serie de estudios de los fenómenos sociales asociados al acontecimiento. Uno de ellos enfocó el estrés postterremoto de la población en relación al grupo socioeconómico de los sujetos. La tabla adjunta muestra el estado de estrés pos-terremoto según condición socioeconómica de un grupo de personas seleccionadas aleatoriamente.

Condición socioeconómica

Con estrés

Sin estrés

Total

Alta

15

25

40

Media

20

32

52

Baja

60

15

75

Total

95

72

167

10.1.

Con estos datos, y a un nivel de significación del 1%, ¿está el estrés post-terremoto asociado a la condición socioeconómica?

Solución:

Se trata de un contraste de hipótesis de asociación entre variables categóricas. Una es dicotómica (estado de estrés) y otra ordinal de tres valores (Condición socioeconómica). Para el contraste, se requiere una prueba con la Chi-cuadrado en una tabla de 3x2. Como no se tiene una tabla de 2x2 no pueden ser utilizadas las fórmulas de cálculo abreviados. Hipótesis: H0: fo = fe El estrés pos-terremoto es independiente de la condición socioeconómica.


f e =

2ª fila, 1ª columna:

52 ⋅ 95 = 29,6 167

2ª fila, 2ª columna se calcula por diferencia: 52 – 29,6 = 22,4 3ª fila, 1ª columna: se puede calcular por diferencia: 95 – 22,8 – 29,6 = 42,6 3ª fila, 2ª columna se calcula por diferencia: 72 – 42,6 = 29,4

Cálculo del estadístico de prueba: Una vez calculadas todas las frecuencias esperadas, se calcula Chi-cuadrado:

χ2 OBS =

∑

(f o − f e )2 (15 − 22,8)2 (25 − 17,2)2 (20 − 29,6)2 = + + + 22,8 f e 17,2 29,6

(32 − 22,4)2 22,4

+

(60 − 42,6)2 42,6

+

(15 − 32,4)2 32,4

χ2 OBS = 2,67 + 3,54 + 3,11 + 4,11 + 7,11 + 9,34 = 29,88 χ2 OBS = 29,9 Grados de libertad: Para una tabla de 3 x 2 los grados de libertad son:

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Caso 11: Universidades y GSE Se investiga una muestra aleatoria de estudiantes universitarios, según grupo socioeconómico y tipo de universidad en la cual estudian (Estatales –Privadas).

Universidades

Grupo socioeconómico Alto

Medio alto

Medio bajo

Bajo

Estatales

13

17

4

3

Privadas

38

19

2

2

11.1.

A un nivel del 5% haga una prueba de hipótesis con el test G para validar la afirmación que dice que los estudiantes universitarios de las universidades privadas son preferentemente de los estratos socioeconómicos altos.

Solución:

El test G, también llamado “razón de verosimilitud”, es una prueba de Chi-cuadrado, que entrega mejores resultados que el de Pearson. Está dado por:

G=2

11.1.

f

∑ f o ⋅ ln f oe

La tabla tiene un 50% de celdas que no cumplen con la cantidad mínima exigida por la prueba de Chi-cuadrado. Para resolver esto, se fusionará la columna “medio bajo” con “bajo”, quedando así:


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La tabla resultó con una cela con la frecuencia esperada menor a 5, que es el valor mínimo recomendado para la prueba. Pero, así mismo, se acepta hasta un 20% de las celdas que no cumplan con el requisito. Como en este caso. Por lo tanto, se procede al cálculo del estadístico G.

Se calcula en cada celda el valor de: f o · ln

Universidades

f o f e

Grupo socioeconómico

Total

Alto

Medio alto

Medio bajo-bajo

Estatales

-5,11

3,80

3,65

Privadas

6,83

-3,13

-2,15

Total

3,89

El estadístico G es igual a: G=2

f

∑ f o ⋅ ln f oe

G = 2 (-5,11 + 3,80 + 3,65 + 6,83 – 3,13 – 2,15) G = 2 · 3,89 = 7,78

Grados de libertad: Para una tabla de 2 x 3 los grados de libertad son:

ν = (2 – 1) · (3 – 1) = 2 gl. Esta G es una Chi-cuadrado con 2 grados de libertad.


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Caso 12: IVE en España Se seleccionan 50 mujeres españolas y 30 extranjeras residentes en España, que se realizaron una IVE1 . A estas se les consultó si ya se habían realizado una IVE anterior. El resultado es que, de las españolas, 18 ya lo habían hecho anteriormente, mientras que de las extranjeras, un total de 20. 12.1.

¿Existe una diferencia en la realización de IVE anterior respecto de la nacionalidad de las mujeres? Use un 10% de significación.

Solución: 12.1.

Con los datos se construye la siguiente tabla: IVE anterior

Nacionalidad

Total

Española

Extranjera

Sí

18

20

38

No

32

10

42

Total

50

30

80

Hipótesis: H0: fo = fe H1: fo ≠ fe Estadístico de prueba: Usando la forma abreviada del estadístico Chi-cuadrado de Pearson, se tiene: 2 = χobs

Valor p:

(18 · 10 − 20 · 32)2 · 80 38 · 42 · 50 · 30

= 7,07.


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Caso 13: Compra de café En un supermercado se observa a 46 personas que compran café, de las cuales 27 llevan de la marca A, mientras que las restantes 19 llevan marca B. 13.1.

Al 5%, ¿constituye este dato un fundamento para afirmar que las personas compran preferentemente el café marca A?

Solución: 13.1.

Las hipótesis son: H0: las frecuencias observadas son iguales a las esperadas. H1: las frecuencias observadas son distintas a las esperadas. En el marco del caso, la hipótesis nula afirma que la compra del café es independiente de la marca, que las personas compran por igual marca A o B y que las diferencias son debidas al azar. La hipótesis alternativa afirma que hay diferencias en la marca que compran. La situación se puede resumir como sigue: Frecuencia Observada

Marca de café

Total

A

B

27

19

46

Cálculo del valor de Chi-cuadrado. Se calculan las frecuencias esperadas, bajo la hipótesis de que no hay diferencia por marca de café. Como se ve, si no hay diferencia, se espera que de las 46 personas, 23


α* = 0,2367. Este resultado lleva a no rechazar la hipótesis nula. Conclusión:

Con estos datos, no se puede afirmar que los compradores tienen preferencia por una marca de café.

Solución con el test G:

Marca de café

Frecuencia

Total

A

B

Observada

27

19

46

Esperada

23

23

46

Para la primera celda el valor es: 27 · ln

27 = 4,33 23

Para la segunda celda el valor es: 19 · ln

19 = –3,63 23

Estadístico de prueba G: G = χ2 obs = 2 · (4,33 – 3,63) = 1,4

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Caso 14: Salud, ejercicio y sexo Se investiga en una muestra aleatoria de personas algunas variables de sus hábitos de vida, para lo cual se han recogido datos de las siguientes variables: X1 = Estado general de salud (4 = muy bueno; 3 = bueno; 2 = regular; 1 = malo) X 2 = Sexo (1 = femenino; 2 = masculino). X 3 = Nivel de ejercicio diario (0 = Ninguno; 1 = Moderado y 2 = Intenso).

Con las tablas de contingencia correspondientes, fueron calculados los siguientes estadísticos Chi-cuadrado para contrastes de asociación: 14.1.

χ2 ( X1 , X 2 ) = 8,2

14.2.

χ2 ( X 2 , X 3 ) = 4,6

14.3.

χ2 ( X1 , X 3 ) = 6,2

Con esta información, analice y construya una conclusión al 5% para cada una de las parejas de variables.

Solución:

Calculando los valores p de cada estadístico, se tiene: 14.1.

χ 2 ( X1 , X 2 ) = 8,2 Esta tabla tiene 3 grados de libertad. Entonces, α* = P( χ p2; 3 > 8,2) = 0,0421

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Inferencia No Paramétrica-Problemas Resueltos con pruebas de Chi-cuadrado

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