Inegalităţi - idei si metode Autor Mihai Onucu Drimbe Cartea prezintă metodele de bază pentru demonstrarea inegalităţilor: 1. Reducerea 2. Substituirea 3. Exploatarea trinomului de gradul doi 4. Spargerea 5. Folosirea simetriei 6. Normarea 7. Intercalarea 8. Exploatarea ordinii (inegalităţi Cebîşev) 9. Decondiţionarea 10. Apelul la identităţi 11. Reducerea la absurd 12. Coborârea 13. Inducţia 14. Metoda Sturm 15. Limitele 16. Exploatarea monotoniei 17. Exploatarea convexităţii
18.Cvasi-liniarizarea 19. Demonstrarea inegalităţilor integrale
Voi prezenta în continuare câteva paragrafe ale cărţii care mi s-au părut mai interesante, deşi alegerea a fost foarte greu de făcut.
Capitolul 3. Exploatarea trinomului de gradul al doilea 3.3. Principiul trinomului Demonstraţie a inegalităţii CBS
( a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ) 2 ≤ ( a12 + a22 + ... + a n2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ), a1 , a2 ,..., a n , b1 , b2 ,..., bn ∈ R, n ≥ 2. În cazul în care pentru măcar un
i ∈{1,2,..., n}
avem
ai ≠ 0 ,
considerăm funcţia de
gradul doi cu coeficientul dominant pozitiv f ( x) = ( a12 + a 22 + ... + a n2 ) x 2 − 2( a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) x + ( b12 + b22 + ... + bn2 ), x ∈ R
Inegalitatea CBS este echivalentă cu dovedim că
f ( x) ≥ 0
∆f ≤ 0 .
Pentru demonstrarea ei e suficient să
pentru orice x ∈ R . Observăm că
f ( x) = ( a1 x − b1 ) + ( a 2 x − b2 ) + ... + ( a n x − bn ) . 2
2
2
Pentru a avea egalitate în CBS, deci pentru a avea un α ∈ R pentru care
f (α) = 0 ,
∆f = 0 ,
este obligatoriu să existe
aceasta însemnând ca sistemul
a1 x − b1 = a 2 x − b2 = ... = a n x − bn = 0 ,
cu singura necunoscuta x, are soluţie, adică n-uplele ( a1 , a 2 ,..., a n ) şi ( b1 , b2 ,..., bn ) sunt proporţionale. 3.5. Apelul la valoarea de extrem Pentru demonstrarea unor inegalităţi putem apela la extremul funcţiei de grad doi. Daca
f ( x ) = Ax 2 + Bx +C , x ∈R, cu A > 0
(*)
f ( x) = Ax 2 + Bx + C ≥ −
∆ , ∀x ∈ R 4A
inegalitate verificată cu egal pentru Fie inegalitatea
avem
x =−
B . 2A
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca , f (a) = a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = a 2 − ( b + c ) a + b 2 + c 2 − bc , a ∈ R .
punem Cum
∆ = ( b + c ) − 4(b 2 + c 2 − bc ) = −3( b − c ) 2
2
, inegalitatea (*) devine
3 ( b − c ) 2 ≥ 0, ∀a, b, c ∈ R 4
a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ≥
Revenim la inegalitatea CBS
( a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ) 2 ≤ ( a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ), a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ∈ R, n ≥ 2. 2 Punem f (bn ) = ( a12 + a 22 + ... + a n2 )( b12 + b22 + ... + bn2 ) − ( a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) =
(
)(
)
(
)
= A + a n2 B + bn2 − ( C + a n bn ) = Abn2 − 2Can bn + B A + a n2 − C 2 , 2
n −1
n −1
n −1
i =1
i =1
i =1
2 2 unde A = ∑ ai , B = ∑ bi , C = ∑ ai bi .
Cum A>0 inegalitatea (*) devine f (bn ) ≥ −
[
]
A + a n2 1 4C 2 a n2 − 4 AB A + a n2 + 4 AC 2 = AB − C 2 . 4A A
(
)
(
)
Obţinem astfel n
2
2 2 (**) ∑ ai ∑ bi − ∑ ai bi ≥ i =1 i =1 i =1 n
n
n
∑a
2 i
2 n −1 2 n −1 2 n −1 ∑ ai ∑ bi − ∑ ai bi 2 i =1 i =1 i =1 ∑ ai i =1 n −1 i =1
Inegalitate care se poate folosi pentru a demonstra inegalitatea CBS prin inducţie.
Capitolul 7. Intercalarea 7.7. Trucul CBS
( a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ) 2 ≤ ( a12 + a22 + ... + a n2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ), a1 , a2 ,..., a n , b1 , b2 ,..., bn ∈ R, n ≥ 2. Pentru inegalităţi de genul A
A
A
n 1 2 (*) B + B + ... + B ≥ α , unde 1 2 n
A1 , A2 ,..., An , B1 , B2 ,..., Bn , α > 0, n ≥ 2 ,
putem încerca o intercalare care foloseşte un mic „truc” care constă în esenţa în înmulţirea inegalităţii date cu o suma de termeni pozitivi astfel încât expresia din membrul stâng să fie antrenată într-o inegalitate CBS. Pentru
C1 , C 2 ,..., C n > 0
avem, conform CBS,
A1 A2 A + + ... + n ( B1C1 + B2 C 2 + ... Bn C n ) ≥ Bn B1 B2
(
A1C1 + A2 C 2 + ... An C n
)
2
Acum este suficient sa fie adevărata inegalitatea: (?)
(
A1C1 +
A2 C 2 + ... An C n
)
2
≥ α( B1C1 + B2 C 2 + ... + Bn C n )
pentru ca si inegalitatea (*) sa fie adevărata. Deci ( ?) ⇒ (*) ceea ce înseamnă ca e posibil ca inegalitatea (*) sa fie adevărata fără ca inegalitatea ( ?) sa fie adevărată. În aceasta constă şi slăbiciunea acestei metode. Avantajul ei constă în faptul ca inegalitatea ( ?) ne scapă de numitorii din (*) şi cu o bună alegere a numerelor C1 , C 2 ,..., C n
şi de radicalii din ( ?). Morala este că această schemă de intercalare
merită încercată pentru inegalităţi ce folosesc numitori incomozi. Exemple: 1.
a b c 3 + + ≥ b +c c +a a +b 2
2.
a b c 3 + + ≥ , a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 4
a,b,c>0
Capitolul 13. Inductia 13.4 Inductia Cauchy Principiul de inductie Cauchy Fie P(n) un predicat peste N. Daca
P(2) este adevarata, P ( n) ⇒ P ( 2 n)
pentru orice n ≥ 2 si
P (n) ⇒ P ( n −1)
pentru orice n ≥ 4
atunci P(n) este adevarata pentru orice n ≥ 2 . Avantajul inductiei Cauchy in comparatie cu inductia standard consta in faptul ca adesea in cazul unei inegalitati se poate trece mai usor de la cazul n la cazul 2n decat la cazul n+1. Apoi „coborarea” de la cazul n la cazul n-1 ar trebui sa s efaca relativ usor, prin particularizare. Pentru a demonstra inegalitatea mediilor n
x1 x 2 ... x n ≤
x1 + x 2 + ... + x n n
x1 , x 2 ,..., x n > 0, n ≥ 2 ,
prin inductie Cauchy, consideram predicatul P(n): „pentru orice
x1 , x 2 ,..., x n > 0, n
x1 x 2 ... x n ≤
x1 + x 2 + ... + x n n
inegalitate verificata cu egal daca si numai daca P(2) este adevarata deoarece pentru orice
,
x1 = x 2 = ... = x n .”
x1 , x 2 > 0
avem
(x + x ) x1 + x2 2 ⇔ x1 x 2 = 1 2 ⇔ 0 ≤ ( x1 − x 2 ) . 2 4 2
x1 x2 ≤
P ( n) ⇒ P ( 2n), n ≥ 2
Pentru
x1 , x 2 ,..., x 2 n > 0 2n
x1 x 2 ... x 2 n =
n
avem x1 x 2 ... x n ⋅ n x n +1 x n +2 ... x 2 n ≤
n
x1 x 2 ... x n + n x n +1 x n +2 ... x 2 n 2
≤
x1 + x 2 + ... + x n x n +1 + x n + 2 + ... + x 2 n + x + x 2 + ... + x 2 n n n ≤ = 1 2 2n
P ( n) ⇒ P ( n −1), n ≥ 4 n
x1 x 2 ... x n −1 n −1 x1 x 2 ... x n −1 ≤ ⇔ n −1 x1 x 2 ... x n −1 ≤
x1 + x 2 + ... + x n −1 + n −1 x1 x 2 ... x n −1 n
x1 + x 2 + ... x n −1 + n −1 x1 x 2 ... x n −1
⇔ n −1 x1 x 2 ... x n −1 ≤
n
⇔
x1 + x 2 + ... x n −1 n −1
Exemple 1. Inegalitatea lui Huygens n
(a1 + b1 )( a 2 + b2 )...( a n + bn ) ≥ n a1 a 2 ... a n + n b1b2 ...bn
a1 , a 2 ,..., a n , b1 , b2 ,..., bn > 0, n ≥ 2
n 1 1 1 n ≤ + + ... + ≤ n a + a + ... + a 1 + a1 1 + a 2 1 + a n 1 + a1 a 2 ...a n 2. 1 + 1 2 n n a1 , a 2 ,..., a n ∈(0,1), n ≥ 2.
,
⇔
Capitolul 8. Exploatarea ordinii 8.1. Doua teoreme de maximizare Teorema A. Fie
x = ( x1 , x 2 ,...., x n )
si
y = ( y1 , y 2 ,..., y n )
n-uple de numere reale,
n≥2
Daca x si y sunt la fel ordonate, atunci, dintre toate sumele
S ( x, yσ ) ,
cea
maxima corespunde permutarii identice, adica: x1 yσ (1) + x 2 yσ ( 2 ) + ... + x n yσ ( n ) ≤ x1 y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n ⇔
S ( x, yσ ) ≤ S ( x, y ), unde σ ∈ S n
In cazul in care x si y sunt invers ordonate, atunci, din toate sumele
S ( x , yσ )
cea minima corespunde permutarii identice, adica S ( x, yσ ) ≥ S ( x, y ), unde σ ∈ S n
Folosind Teorema A autorul da o foarte frumoasa demonstratie („o perla”) pentru inegalitatea mediilor n
x1 x 2 ... x n ≤
x1 + x 2 + ... + x n x1 , x 2 ,..., x n > 0, n ≥ 2 n
Notam G = n x1 x 2 ... x n , a1 = ( a1 , a 2 ,..., a n )
si
xx x x x ... x x1 xx 1 , a 2 = 1 21 , a3 = 1 23 3 ,..., a n = 1 2 n n , bi = , ∀i ∈{1,2,..., n}. G ai G G G
(b1 , b2 ,..., bn )
sunt strict invers ordonate si atunci, din teorema
A avem: a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ≤ a1bn + a 2 b1 + a3 b2 + ... + a n bn −1 ⇔
n≤
x1 x 2 ... x n x1 x1 x 2 G x1 x 2 x 3 G 2 G n −1 + 2 ⋅ + ⋅ + ... + ⋅ ⇔ G x1 x1 x 2 x1 x 2 ... x n −1 G G3 Gn
⇔n≤
x x1 x 2 + + ... + n ⇔ (*) G G G
Inegalitarea se verifica cu egal daca si numai daca a1 = a 2 = ... = a n ⇔
x x ...x x1 x1 x 2 x1 x 2 x3 = 2 = = ... = 1 2 n n = 1 ⇔ x1 = x 2 = ... = x n . 3 G G G G
profesor Nicolae Stîpeanu
