III
ECUACIÓN DIFERENCIAL DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO Y SU SOLUCIÓN
Ecuación Diferencial del Movimiento Ondulatorio Unidimensional en Medios no Dispersivos Cuando el medio en que se propagan las ondas es no dispersivo, las ondas conservan su forma el desplazarse. Para que ocurra esto, sin importar si es un pulso o tren de ondas, las pérdidas por dispersión y otros mecanismos de disipación de energía han de ser muy pequeñas como para despreciarse. Supóngase una forma de onda transversal dada por la función armónica:
(1)
Al derivar dos veces respecto al tiempo, manteniendo constante la coordenada se obtiene:
Al derivar dos veces respecto a , manteniendo constante , se obtiene: Igualando (2) y (3) y sustituyendo se obtiene:
(2)
(3)
(4)
Esta expresión se donomina “Ecuacion Diferencial del Movimiento Ondulatorio”. Au nque la solucion de esta ecuación es la ecuación (1), tambien satisface, como se demuestrá más adelante, que la función de onda general está dada por:
Sin importar si las ondas son transversales y/o longitudinales en medios no dispersivos.
O sustituyendo ; donde se escribe:
(8)
(9)
Ambas ecuaciones (8) y (9) se conocen como “series de Fourier” e indican que cualqu ier
movimiento ondulatorio periódico, se puede expresar como una superposición de movimientos ondulatorios armónicos de frecuencias Los coeficientes
o londitudes de onda .
se pueden determinar mediante las ecuaciones: (10) ∫ (11) ∫ (12) ∫
Estos coeficientes determinan los valores bien definidos para cualquier movimiento periódico
. Por ejemplo, para una onda “diente de sierra” descrita con seis ondas armónicas, tomando como una constante, la funcion resultante es:
Solucion General de la forma
La ecuación general de la onda (transversal y/o longitudinal) de la forma
(13)
Realmente expresa la superposición de dos movimientos ondulatorios sobre el eje x en sentidos opuestos, esto es:
(14)
Si una onda se propaga en un solo sentido, en la ecuación (14) solo aparece una de las funciones. Sin embargo, cuando se tiene una onda incidente y una onda reflejada se deben incluir ambas funciones. Como se demostrará en esta sección, la ecuación (13) y (14) es solución de la ecuación diferencial de la onda dada por:
Donde es el desplazamiento de las particulas del medio y onda.
la velocidad de propagación de la
Considerese al siguiente cambio de variable:
Sus derivadas respecto a y son:
Si se toma a como una función de ; esto es, , y se aplica la “regla de derivación en cadena” a la derivada
se tiene:
Derivando en cadena nuevamente:
() ( ) ( )
(15)
como una función de ; esto es, aplicando dos veces la “regla de derivacion en cadena” a la derivada funció n de onda , se tiene: () ( ) () ( ) Ahora tomando a
(16)
Igualando (15) y (16)
(17)
es la “solución general” de la ecuacion de onda independientemente de la form de la funcion . Ecuación en la cual se comprueba que la funcion
Ejemplo: Verificar que la ecuación de onda (17) se satisface para una onda sinosoidal:
Derivando dos veces respecto a x y t se tiene:
; ; Sustituyendo en (3) se comprueba que
Ecuación Diferencial del Movimiento Ondulatorio en Medios Dispersivos y Disipativos Excepto las ondas superficiales en el agua, las demas ondas mecánicas, estan dentro de la categoria de “ondas elásticas” en las cuales la perturbación (sea esta una deformación, una
presión o el desplazamiento de un volumen conteniendo muchos átomos) se propaga con una velocidad que depende de las propiedades elasticas del medio. Las ondas elásticas, como ya se ha explicado, involucra el desplazamiento de átomos y moléculas del medio en el cual se porpaga. Este desplazamiento se debe a un movimiento colectivo ordenado en el cual todos los átomos de un volúmen muy pequeño experimentan, esencialmente el mismo desplazamiento. A este movimiento ordenado se superpone la agitación molecular del medio. El resultado neto es que la amplitud de la onda “disminuye ó se atenúa” mientras las ondas se propagan, porque “parte de la
energía de la onda se disí pa” debido a los choques entre las moléculas del medio. En el movimiento ondulatorio si la forma de onda y su velocidad de propagación
(también
llamada velocidad de fase) se mantienen constantes se dice que el medio en que se propaga la
onda es “no disipativo”. Si por el contrario, durante su desplazamiento la onda se esparce o “dispersa”, su velocidad será diferente a la velocidad de fase. Esta velocidad se llama “velocidad de grupo” y relaciona la frecuencia angular con el número de onda de la siguiente forma:
; (17) Conviene señalar que el contenido energético de una onda puede permanecer constante al desplazarse, aunque ésta se disperse. Es decir, el medio puede ser dispersivo y no necesariamente “disipativo”. Tal es el caso de las ondas sonoras en que su velocidad de propagacion es
practicamente independiente de la frecuencia, para un amplio rango de frecuencias que se
extiende hasta alrededor de
Hz. La velocidad de propagación del sonido depende de la
temperatura y de la presión porque la densidad del medio depende de estos factores. La ecuación
diferencial del movimiento ondulatorio en este tipo de medios disipativos, como en una columna de gas por ejemplo, tiene la forma:
Donde
(18)
√ , siendo es una constante llamada “coeficiente de temperatura” del gas y es
su temperatura en kelvins (K).
