Universidad de los Andes Departamento de Ingeniería Industrial Probabilidad y Estadística I – EXAMEN FINAL
ESTADÍSTICA Media Muestral
�
∩ ∩ ∪ ∪ Ω ∪ → ∩ ∩ ∩ ∩
Teorema de Bayes
∑=1
=
( | ) ( )= ( | ) ( )= (
Propiedades
Mediana Muestral _
_
:
:
( + 1)
=
=
2
2
2
2 ∑=1 � 2
Desviación Estándar (s) y Varianza (s ) =
)
1
�
Coeficiente de Variación
(
;
(
) ( | )
| )= ( | )+ ( | )
Ley de Probabilidade Probabilidadess Totales
é
2
(
( )=1 ( | )=1
é
+1
)
={ 1
2
2}
( )= (
1) + (
2)
P(N1)*P(B|N1)=P(BN1)
=+
Recuerda: Dos eventos mutuamente excluyentes NO NO son son independientes.
=
VARIABLES ALEATORIAS Discretas Función de Probabilidad
1 2 ⋯→ Ω 1 ∪ 2 ∪ ∪ ⋮ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩ ∩∩ ∩ ∩ → → ≤ ≤ ∀ ∈ ≤ ≤ ⋮ ≥ 1 ∗ 2 ∗ ∗ →→ ≥ → ≤ → −∞ 12 1 1 2 1 2 ⋯−1 1 2 3 ∗ 1 2 → ∩ ∩ 2 2 2 ∩ ∩ ∗ ⟷
PROBABILIDAD Axiomas (
)+ (
)+
( )=1 )= (
+ ( ó
)
…
( )=
Teorema
( ) = ( )+ ( ) ) = ( )+ ( )+ ( ) ( )+ ( # ( )= #
(
( (
) )
0
(
)
( )=1
)
( )
( )
0
=
1
( )=
…
Permutaciones Ordinarias
= ;
< ;
( )
( ; )=
( ; )=
(
!
(
)! !
!
!
(
)
( )
Independencia
)= ( )
( )
Función de Distribución Acumulada ( )
= (
( )
)
VALOR ESPERADO Y VARIANZA Propiedades Valor Esperado
Propiedades Varianza
PROBABILIDAD CONDICIONAL
(
< )=
( )= ( )= ( ) ( ± ) = ( )± ( ) ( )= ( ) ( ) ó
…
( | )=
( <
( )=
; )
=
!…
( )
0
( )=1
)!
Particiones Ordenadas
!
( )=
<0 <1
( )
!
Combinaciones (No hay repetición de elementos, Sin reemplazo, Combinaciones No importa orden)
=
)
:
( )= !
Permutaciones (No hay repetición de elementos, Sin reemplazo, Arreglo ordenado)
,…,
0
(
Continuas Función de Densidad de Probabilidad
# ( ; )=
,
0 (0)
( )=
1
_
# (
( )
Función de Distribución Acumulada
Arreglo Ordenado #
( )= ( = ) =0 =1
:
MÉTODOS DE CONTEO Regla de la Multiplicación #
(0) (1)
( )
( | )= ( )
( )=0 ( )= ( ) ( ± )= ( )+ ( ) , ( ( )+ ( )±2 ± + )= ( , )=0 Si , independientes
( , )
Discretas
Continuas
2 2 2 2 ( )
[ ]=
( )
( )
[ ]= [
]
( [ ])
( )
( )
( )
( )
Función Generatriz De Momentos
( )
( )
[
( )
]=
( )
( )
[
]=
( )
( )
Propiedad fundamental de la FGM
( = 0) = (
( )
( )
( )
( )
)
Recuerde: VARIABLES DISCRETAS (DISTRIBUCIONES)
*Definir siempre la VA e identificar su distribución y sus parámetros.
Parámetros
DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA (Probabilidades idénticas)
= ú
=
ñ
=
ñ
ó
HIPERGEOMÉTRICA (Sin reemplazo)
= ú é
BERNOULLI (Éxito o fracaso)
=
é
=
BINOMIAL (# éxitos en n ensayos)
é = ú
GEOMÉTRICA (# ensayos hasta el primer éxito) BINOMIAL NEGATIVA (# ensayos hasta el k-ésimo éxito)
=
é
=
é
POISSON (# llegadas en un intervalo de tiempo )
=
∆
é #
é
.
=
VARIABLES CONTINUAS (DISTRIBUCIONES)
g x (x)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
1 2 1− − ≤ ≤−1 ≥ − − =
,
1
,…
:
(1 ) = 0,1 (1
)
= 0,1,2,… , 0 x n
(1
1 (1 1
)
( )
! = 0,1,… , >0
F.G.M
1
(
)
∗ 2 2 1
:
(1
(1
=é
−1
)
)
1
(1
f x (x)
)
(1
)+
(1
)+
1
(1
)
1
(1
)
(
)
=1
E(X)
Var(X)
2 ≤ ≤ 1 − 2 2 − 2 √ ≤ − ≤ − ≤ − − 2 − − ≤ − ≤ − + ≤≤ 2 2 2 ⎩ = =
1
í á
0
= =
=
+
(
2
1
(
)
12
)
2
#
,
.
)=
=
>0
1
1
0
Recuerde:
( ; )=
( > + | > )=
( > + )=1
( )= (
2(
DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR
Var(X)
2 =1 1
1
) = 1,2,…
Recuerde: (
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL (Tiempo entre 2 arribos consecutivos)
=1
1
Parámetros
DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
E(X)
= í = = á
(
)
)(
(
)(
0
+ )=
(
)=1
<
)
+
)
2(
(
<
)
. .
+
3
+
+
18
)
VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS Discretas
Probabilidades Condicionales
∩ −∞ −∞ ( , )=1
(
( , )=
)=
(
Continuas
∩ −∞ −∞ =1
( , )=
)=
Distribuciones Marginales Discretas
( , )
( )
Continuas
( )
( , )
( )
Distribución Condicional (Continua) |
( , )=
|
( , )=
( , ) ( ) ( , ) ( )
Independencia
( , )=
( )
:
|
( ), entonces ( ) ó
( , )=
|
( , )=
( )
( )=
ó
ó
)
,…,
ó
( )=
,
:
~ ( ,
/ )
~ (0,1)
/
x ~ (
x
)
,
~ (0,1)
=
2 2 2 → ∞ 2 2 −∞ 2 =
( )=
( )
( )
)=
( , )
( )
( )
( ( , )) =
( , )
( )
( , )
( )
Varianza y Covarianza de una V.A.
( )=
(
=
ó á ( , )= (
) ]=
(
)
)
[ ( )]
( ) = ( ) ( )
)
( )=
(
( )
Valor Esperado Condicional
= ( | = )=
|
( ,
= )
|
( ,
= )
( | )
( | = )=
( |
)
variables
aleatorias
)
( )
independientes
( )
generadoras de momentos
( )
( )
Caso Continuo
( ) = [(
1
ó
( )= ,
Sean
=
(
( , )
Suma de VAs independientes
Valor Esperado de una V.A. Caso Discreto
( )
:
( , )
( )=
)
( , )
=
Coeficiente de Correlación
,
∗ ( )=
(
Teorema del Límite Central(
( , )
( )
)
1 = 0 1
( , )
( )=
(
)=
= )
)
1
( )=
|
( ,
|
|
=
( ) ( )
(
| = )=
(
( , )
( , )
≤ = ∫−∞ ∫ ∩ −∞ ∫−∞ →→→ ≥ 1 2 σ2 � 2 � √ i 2 ∑ i √ 1 2 1 2 1 2 1 ∗2 1 1 2 2 (
( ) ( )
+
( )
( )
Suma V.A. Binomiales
~ ~
Suma V.A. Poisson
( (
1 + 2~
=
, ) , ) ( +
1 2,
1 1 1 2 2 2 1 2 ~ ~
=
+
( (
~
) ) (
+
)
)
Suma V.A. Geométricas
1 1 22 =
+
~ ~ ~
é é
función
( ), respectivamente, y sea
Entonces:
( )=
con
( ) ( )
(2, )
1 2 2 →∞ →∞ 2 22
ESTIMACIÓN PUNTUAL (Parámetro ) 1.
SESGO:
2.
MÍNIMA VARIANZA
3.
ERROR CUADRÁTICO MEDIO (ECM)
(
)<
=
4.
(
INTERVALOS DE CONFIANZA: MEDIA POBLACIONAL( ) Intervalo de Confianza Tamaño Distr. Pob. Var. Pob. Muestral (1- )%
)
+
( )
CONSISTENCIA
Lim
5.
= ; lim
1
1
=
(ln
1) 2) 3)
4)
[ ( )(
( )
Desconocida
Pequeño
Cualquiera
Conocida
Grande
Cualquiera
Desconocida
Grande
Desconocida
Normal
(
)
=
(
=
)
~
(
= =#
Media muestral
)
s e l a m r o N
(
a r e i u q l a u C
=
1
=
1
(
⋯ → → 2 → 2 1 2 2 → → :
+
+
+
Pequeños
Conocidas
Cualquiera
Conocidas Desconoci das
Bernoulli
( )
Donde X i es N(0,1) y X i es independiente de X j.
Distribución :
( ),
Distribución
(
:
,
siendo X y Y independientes.
(
respectivamente.
(
.
)
Normales
)
Donde X y Y son Vas independientes con distribuciones
Si
=
# é
1)
;
(
1)
)
)
;(
(
+
)
;(
=
s s o e b d n a m r A G
1- 2
�1 �2 1− +−2 1 1 1 112 2 2 22 �1 �2 1−2 112 222 �1 �2 1−2 112 222 �1 �2 1−2 112 222 +(
1)
+
1)
2
±
+
±
+
±
+
(
.
)
)
y
(
Desco nocida s
̂1 ̂2 ̂ ̂ ̂ ̂ 1−2 1 1 1 2 2 2 1222 2 −1 −1 1222 1−2 −1 −1
Grandes
(1
±
)
+
(1
ESTIMACIÓN DE UN COCIENTE DE VARIANZAS POBLACIONALES Var. Distr. Pob. Intervalo de Confianza (1- )% Pob.
( )
Donde X es N(0,1) y Y es
= , donde
)
ESTIMACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE PROPORCIONES POBLACIONALES p 1 -p 2 Var. Tamaño Distr. Pob. Intervalo de Confianza (1- )% Pob. Muestr.
)
DISTRIBUCIONES Distribución
̂
(1
±
±
Desconoci -das e iguales
)
� ∑==1 2 = ̅ 2 =1
Varianza muestral
±
ESTIMACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES Intervalo de Confianza Distr. Tamaño Var. Pob. Pob. Muestr. (1- )%
=#
;(
;
±
;(
,
>
±
21−2 −12 22 −12
Cualquiera
BONDAD DE AJUSTE
)
±
Grande
=
(
� 1−2 √ � 1−2 −1√ � 1−2 √ � 1−2 √ ̂ 1−2 ̂ ̂
ESTIMACIÓN DE UNA VARIANZA POBLACIONAL ( ) Intervalo de Confianza Distr. Pob. Var. Pob. (1- )%
)] = 0
,…,
Normal
Binomial, Bernoulli, Binomial Negativa
1 1 ∏=1 1 2 2 2 −1 =1 −1 2−1 1− → ℎ ( ,…, ; ) = ( ( , … , ; ) )
Pequeño
ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL (p) Intervalo de Confianza Tamaño Distr. Pob. Var. Pob. Muestral (1- )%
( ; )
ln
( ; ))
ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSIMILITUD Pasos:
Conocida
=0
EFICIENCIA (Cota Rao-Cramer=VarIanza )
=
Normal
)
Cualqui era
;(
);(
)
;
;(
);(
)
1
2
/
2
)
2
Hipótesis Nula
Hipótesis Alternas
Supuestos
2 1−2 1 ≠ 2 1− � ⁄√ 2 11 1−1− 2 2 � 2� 2 1 ≠ 11 2 2 � � 11 ≠ 2 22 2 1 2 2 11 22 ≠ 22 2 2 2 2 2 11 22 ≠ 22 1 12121222 2 22 1 2 2 22 1 2 2 ̂ ̂ � 11 ≠ ≥ 1 11 ≠ − ̂ + + + ≥ 1
:
:
=
Hipótesis Nula
:
>
:
<
:
>
:
<
>
Normalidad desconocido
>
<
grandes, independencia, conocidos. o Normalidad, independencia, conocidos.
,
:
=
=
ó
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES Supuestos Estadístico de prueba
Hipótesis Alternas
<
n Grande Conocido ó normalidad
1)
:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL Estadístico de Región Crítica, Supuestos prueba Rechazar Ho cuando:
2)
=
+
:
:
=
Hipótesis Nula
Hipótesis Nula
<
=
( , Normalidad, , desconocidos
> <
:
/
<1
:
/
>1
: :
=0
(
+(
1)
+
)
=
(
( , ), ( , ) , , , desconocidos
1)
2
1)
=
X es la población que tiene la mayor varianza muestral
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN Y LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Supuestos Estadístico de prueba =
Población Bernoulli ( )
> <
30
:
0
:
>0
:
Población Bernoulli (
,
) Bernoulli ( 30
),
(1
)
=
=
=
P-VALUE
ℎ0 0 ℎ0 0 ℎ0 0 = (
;
<0
ERROR TIPO I
|
)
=
ERROR TIPO II
= (
|
)
í
POTENCIA
=1
+
1
Normalidad, X y Y independientes,
:
=
1
= (
|
)
REGRESIÓN LINEAL REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
= 0 + 1 + : ( ) = 0; ( ) = 2; , = 0 ∀ ≠ ; ~(0, 2) Estimación de parámetros = 0 1 = 2 0 = � 1̅ 1 = ∑(∑ (̅ )(̅)2 �) =
Propiedades de los estimadores (Centrados)
2 (1) =
β1 = β1 = ( ̅ )
E
Hipótesis de interés y prueba asociada
= + ( �)2 = ( �)2 + ( )2 : 1 = 0 : 1 ≠ 0 1 −2 → ⁄ 2 2 = = 1 0 ≤ 2 ≤ 1 ( ;
)
Región Crítica, Rechazar Ho cuando:
2 −1 1−2 −1 1− � ⁄√ 1−1−−1−1 1−2 1−2 1−1− 1−2 +−2 1−2 +−2 1− +−2 1− +−2 2 ⁄22−1 2 1− −12 1−⁄2 −1 2 2 −1 ⁄2 −1 −1 1−⁄2 −1 −1 −1 −1 1− −1 −1 1− 2 1−2 1− 1−2 1− 1−2 1−1− <
ó >
;
=
>
(
<
(
;
)
;
)
;
Región Critica, Rechazar Ho cuando: <
>
ó
>
(
)
<
<
(
)
ó >
;
>
<
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA POBLACIONAL Y LA RAZÓN DE VARIANZAS POBLACIONALES Supuestos Estadístico de prueba
Hipótesis Alternas
:
:
Normalidad, independencia, = desconocidos,
:
=
:
>
: : :
=
:
:
Hipótesis Alternas
2 2 2 2 :
=
Estadístico de prueba
(
;
;
(
)
;
)
Región Crítica, Rechazar Ho cuando: <
(
;
) ó
> <
<
;
>
(
<
>
;
;
;
;
Región Crítica, Rechazar Ho cuando: <
> <
<
>
<
ó
>
(
)
(
)
ó
>
(
)
(
)
)
>
;
;
)
( ;
ó
;
(
;
)
;
REGRESIÓN LINEAL REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
= 0 + 1 + : ( ) = 0; ( ) = 2; , = 0 ∀ ≠ ; ~(0, 2) Estimación de parámetros = 0 1 = 2 0 = � 1̅ 1 = ∑(∑ (̅ )(̅)2 �) =
Propiedades de los estimadores (Centrados)
2 (1) =
β1 = β1 = ( ̅ )
E
Hipótesis de interés y prueba asociada
= + ( �)2 = ( �)2 + ( )2 : 1 = 0 : 1 ≠ 0 1 −2 → ⁄ 2 2 = = 1 0 ≤ 2 ≤ 1 ( ;
)
REGRESIÓN LINEAL MULTIPLE
= 0 + 1 1 + 2 2 + ⋯ + + Estimación de parámetros = 0 + 1 + ⋯ + Hipótesis de interés y prueba asociada = + Recuerde: → → : = 0 : 1 = 2 = ⋯ = = 0 : ≠ 0 : ≠ 0 = −−1 → ⁄ 1 = (
)
( ;
Intervalo de Confianza
1− ( ) = ̂ ± 1−2 −−1 . ̂ (
)
,
)
