X ZQ 12 ∗∗3 ∗ [] cos + sen + [ ] cos + sen + 0 0 +33 33 ̇ []∗ sin + cos ] sin + cos 0 0 + [ 00 0 03 [] cos + sen ̈ + 0 + [] cos + sen X ̇ ZZQ ̇ []sin ̈ ̈ []sin ̇ ω ∗ ∗ cos + + 0 − − cos + sen ̇ ℮−− [ + + ] [] 00 cos− + ℮ − s e n +℮ s i n + cos det 0 Ẋ ZZQ ̇ 0 1 ℮−− cos + ̇ + sen
VIBRACIÓN LIBRE 1. Determinar rigideces de columna
Determinar matriz de rigidez
(ejemplo caso particular)
Determinar matriz de masas
Determinar la ecuación del movimiento, ya obtenidas las ctes.
Ecuación diferencial de vibración libre sin amortiguamiento.
De otra manera:
Para sistemas de dos grados de libertad la solución de y será dado por:
Sabiendo que: sistema de ecuaciones lineales homogéneo
Con amortiguamiento
Determinar las frecuencias circulares, circulares, haciendo cero el
Encontrar la matriz modal, normalizando la amplitud de la primera masa a la unidad es decir
Sustituyendo en cada caso el correspondiente , para encontrar la matriz modal que representa las amplitudes de las masas en dichos modos. Las frecuencias circulares obtenidas se ordenan de forma creciente, en donde la p rimera se denomina frecuencia fundamental.
Ecuaciones de movimiento para vibración libre Cualquier movimiento de vibración libre puede expresarse como una combinación lineal de los modos naturales de vibración. Sin embargo se necesitan las condiciones iniciales de movimiento. ( )
̈ ̇ cossin + + sencos [] ∗
Determinar la matriz de funciones modales Q(t), por medio de la ecuación del movimiento de vibración libre.
Sin amortiguamiento
Método de análisis modal o superposición superposición modal. -Se da en el caso de fuerza externa y con presencia de amortiguamiento.
12 ∗3 ∗∗ + 0 0 +33 33 0 0 00 0 03 ̈ + ̇ + ̈ + ̇ + det 0
Determinar rigideces de columna
Determinar matriz de rigidez
Determinar matriz de masas
Realizar la combinación lineal de vectores modales o “combinación lineal de modos naturales de vibración”. Para encontrar constantes A1, A2, B1 y B2 se definen con las condiciones iniciales , sustituyendo en un tiempo cero.
VIBRACIÓN FORZADA.
(Caso particular)
Condiciones iniciales de posición
Encontrando condiciones iniciales, análogo a F=KX:
Seguir el mismo procedimiento anterior. De otra manera:
[]
, donde F es el vector de fuerzas para cada piso.
Se trata de convertir de un sistema acoplado a equivalentes diferenciales. Con propiedades previamente expuestas se puede transformar la ecuación original a la siguiente forma: Determinar las frecuencias circulares cumpliendo:
-Encontrar la matriz modal, normalizando la amplitud de la
1 0
primera masa a la unidad es decir
Sustituyendo en cada caso el correspondiente , para encontrar la matriz modal que representa las amplitudes de las masas en dichos modos. -En caso que pidan las configuraciones modales ortonormalizadas dividir cada vector modal entre su respectiva
amortiguamiento dependen de los desplazamientos y velocidades relativas de las masas con respecto a la base de la estructura. Se sabe que:
uujj uu xxjj xx ̅ √ ∗ ̅ √ ∗ ∗ ̈ ̈ + ̈̇ ++1 ̈ 0 ̈ ̇ ̈ ∴ + + 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗, ∗, ∗, ∗ ∗ ̅ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗, , ∗ , ∗ ∗ ̅ ∗∗ ∗∗ [∗ 0∗] ∗ 2∗ ∗ ∗ ∗ 2√∗ ∗ ∗ ∗ ∗⁄∗ 0 ∗ ̅ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗ 2∗ ∗ ∗ ∗ 2√∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗⁄∗ ∗j ̈ + cj∗̇ + kj∗ ZjT1 ̈ ∗ ∗ ̅ m ̅ ∗ ̈ + 2̇ + ωj ZZjTjT1 ̈ ̈∗+̈∗2+∗∗̇̇+ +∗ ∗∗ T Z j ZjT1 T Z 1 j X ZQ 1 1 ̅ [ ] [ ] X Z Q 2 2 [ ] [ ][] [̇ ̇12] ̅ [̇̇12] 12 ∗3 ∗ T Z 1 j ̈ ̇ ̈ + 2 + ω j T Z j ̇ ̈ +0 +33 033 0 0 00 0 03 [21 ] ̅ [21] det 0 + + ⋯ 980 0 1 ̈ ̇ ̈∆ √ ∗ − ̇∆ + 2 De esta forma se obtiene:
y obteniendo la matriz modal ortonormalizada (Z es vector modal)
Determinar
Masa generalizada
Con
(Z matriz, no vector) , se encuentra una matriz
diagonal
, cada elemento
de la diagonal pertenece a cada modo de vibrar.
Rigidez generalizada Amorti. generalizada
Determinar Masa generalizada Rigidez generalizada Amorti. generalizada
Fuerza generalizada Determinar ecuaciones diferenciales. Debido a que los desplazamientos también se pueden expresar como una combinación lineal de modos naturales de vibración se tiene para un modo “j”:
Fuerza generalizada
En el caso de trabajar con
Cuando se divide entre la masa generalizada se ob tiene:
Determinar ecuaciones diferenciales.
El factor de participación de modo “j” se define por:
Soluciones para q (Después de diferencias finitas) Determinar la ecuación del movimiento, ya obtenidas las ctes. -En caso de ser ortonormalizada se determina como:
En donde
Para encontrar las condiciones iniciales del movimiento:
VIBRACIÓN FORZADA ANTE LA SOLICITACIÓN DEL TERRENO. Determinar rigideces de columna
Determinar matriz de rigidez Determinar matriz de masas
Determinar las frecuencias circulares cumpliendo:
-Encontrar la matriz modal, normalizando la amplitud de la primera masa a la unidad es decir
Sustituyendo en cada caso el correspondiente , para encontrar la matriz modal que representa las amplitudes de las masas en dichos modos. -Se tiene que ortonormalizar dividiendo cada vector modal entre su respectiva , dicha masa se encontrara a partir de los vectores modales PREVIO a ortonormalizar. Ante movimiento de la base S(t) las fuerzas de restitución y de
Se evalúan en t=0 y se sacan las velocidades y posiciones Luego con
Se evalúa para las
y se saca
Se hace diferencias finitas para obtener los Se sacan las ecuaciones con
Y se evalúa para cada Utilizar Z o Z normalizada.
Métodos numéricos para la obtención de la respuesta estacionaria.
Método de las diferencias finitas. Método de la diferencia central.
2∆ ∆ + 2∆ + 3 ∆ + 2∆ 3 ∆ ,
t (s)
∆ ∆
Pj (N) evaluar en evaluar en
∆ ∆,
qi (m)
qj (m)
−
Soluciones para sistemas de gdl amortiguada. Ante una solicitación Solución:
qk (m)
en vibración forzada no
+ cos + − B ̇ 1 Solución complementaria o transitoria:
Solución particular o estacionaria:
Soluciones para sistemas de gdl en vibración forzada.
1 − cos + 1 sin 1 cos
Si no existe amortiguamiento la ecuación se reduce a:
Y la máxima deformación es dos veces la deformación
estática.
Fuerza triangular ascendente o linealmente creciente.
̈ +̇ + + − + − cos +sin + + 1 ̇ + 1 + +
1 + − + cos + 1 sin −cos + + C ∗ [1 12 +2] C ∗ 11 +2 33 D ∗ 1 + 2 D ∗ [1 2 + 2] q t Qt qntt 1 ̅ ∗ ∗ √ 1 1 ∗ ̇ + " ℎ 3− ∆ ̈− + ̇ + ̇ + + ̈ ó + ̈ ;ó ̈ + : : movi m i e nt o de l a bas e t e r e neo : : pos i c i ó n abs o l u t a . + : posición relativa de la mas ∆∗a. :: óó :Ps e udo es p ect r o de acel e r a ci ó n abs o l u t a − cos + sin + ′ ∗ ℎ ∆ 6 ̇ 1 ∆ 1 ̇ + ℎ ó ∗
Ante una solicitación armónica senoidal o cosenoidal.
Si las condiciones iniciales son nulas
Solución:
Solución complementaria o transitoria : Solución particular o estacionaria :
Senoidal
Cosenoidal
Relación de amplitudes de las masas en los modos.
Vector modal
“Zeta” transpuesta Vector de funciones escalares (funciones modales). Expresa la variación del tiempo del modo j
Condiciones iniciales
Excitaciones descritas por funciones matemáticas sencillas.
“Zeta” ortonormalizada
Inercia rectángulo:
Deriva a partir de Kani
Fuerza rectangular o fuerza escalonada.
Espectros
Ecuación diferencial
Espectros (general) Método de Kani
: altura de la columna
Si las condiciones iniciales son nulas
Integral de Duhamel
xt mω1 == Pte−−sen(ωt τ) xdτ̇ + βωx + e− [xcosωt + ω sen ωt] ∫== ∫==
Fuerza impulsiva
si vo=0 en t0=0
