HOJA 3: NÚMEROS ENTEROS.DIVISIBILIDAD.NÚMEROS PRIMOS.CONGRUENCIA PROBLEMA 1: (Andalucía 1989) Hallar el número 2
∙ 5 si sus divisores suman 961 Sol: 400
PROBLEMA 2: Un número natural tiene dos factores primos y ocho divisores naturales. La suma de sus divisores naturales es 320. Hallar el número. Sol:
= 7 ∙ 3
PROBLEMA 3: (Cataluña 1987) Hallar un número natural sabiendo que es múltiplo de 30 y que la suma de sus 16 divisores es igual a 1440. Sol: 570
PROBLEMA 4: (Comunidad Valenciana 2003) Encontrar el menor número natural
tal que sea cuadrado perfecto, sea cubo perfecto y
sea una potencia quinta. Sol:
= 2 ∙ 3 ∙ 5
PROBLEMA 5: (Andalucía 1989) Demostrar que 4 con
∈ ,sólo es primo cuando = 1
PROBLEMA 6: Demostrar las siguientes afirmaciones a) La suma de dos números n úmeros naturales consecutivos no es divisible por 2 b) La suma de tres números números naturales consecutivos consecutivos es divisible por 3 c) Enunciar el caso general de estas afirmaciones y demostrarlo o poner un contraejemplo
PROBLEMA 7: (Cataluña 1993) Demostrar que un número natural es cuadrado perfecto si y sólo si tiene un número impar de divisores.
PROBLEMA 8: (Andalucía 1998) Hallar dos números sabiendo que su
es 120 y la diferencia de sus cuadrados es 345600. Sol: 840 y 600 , 600 y 120
PROBLEMA 9: (Andalucía 1983) a) Probar que , =
( ; , )
b) Encontrar dos números enteros positivos cuya suma es 310 y cuyo es 12012 Sol: b)
= 154 = 156
PROBLEMA 10: (Ceuta 2000) Hallar todos los números naturales tales que: Sol:
2066 ≡ 2766
∈ {1,2,4,5,7,10,14,20,25,28,35,50,70,100,140,175,350,700}
PROBLEMA 11: Demuestra que 3+ − 26
− 27 es un múltiplo de 169, para todo natural.
PROBLEMA 12: Demuestra que todos los términos de la sucesión =
2 − 1 son múltiplos de 15.
PROBLEMA 13: Demuestra que 7
− 1 ∙ 6 − 1 es múltiplo de 30, para cualquier valor natural de .
PROBLEMA 14: Demuestra que
= 27 9 − 25 es divisible por 37.
PROBLEMA 15: Demuestra que 11
− 4 es múltiplo de 7, para cualquier valor natural de .
PROBLEMA 16: Demuestra que el número − 4 ∙ es múltiplo de 3, para todo número natural
PROBLEMA 17: a) Escribe los divisores de 1001 b) Dados el número natural y los naturales con: 0 ≤ = ∙ 1000 ∙ 1000 ∙∙∙∙ ∙ 1000 y Demuestra que y son congruentes módulo 1001.
≤ .Sea: = − −∙∙∙∙ −1 ∙
c) Como aplicación, averigua si 312879645 es divisible por 7, por 11 o por 13. Sol: c) 7 y 11 no son divisores de 312879645, 13 es divisor de 312879645
PROBLEMA 18: Demuestra que si natural .
y 5 son coprimos, entonces 3 ∙ − 4 es múltiplo de 100 para todo
