Hukum 1 Kirchoff tentang arus (Kirchoff current law/kcl)
HUKUM KIRCHOFF Hukum II Kirchoff tentang tegangan (Kirchoff voltage law/KVL)
Hukum 1 Kirchoff tentang arus (KCL)
Menyatakan bahwa: Jumlah semua arus yang menuju titik percabangan (simpul) dan yang meninggalkan titik percabangan adalah nol atau jumlah semua arus yang menuju titik percabangan percabangan (simpul) (simpul) sama dengan yang meninggalkan meninggalkan titik percabangan. percabangan. Secara matematis ditulis:
N
∑i k =0
k
=0
Hukum II Kirchoff tentang tegangan (KVL)
Menyatakan bahwa: Jumlah aljabar penurunan tegangan tegangan pada suatu jalur tertutup adalah nol. Atau Jumlah aljabar penurunan tegangan pada elemen dikurangi jumlah aljabar penurunan tegangan pada sumber untuk suatu jalur tertutup adalah nol. Secara matematis dapat ditulis:
n1
N
∑ V = i - ∑ E = 0 k
k
k = 1
K = 1
Atau
∑ v= 0 Atau
∑ E + ∑ iR = 0 Atau
∑ v + ∑ iR = 0
Rangkaian Listrik Pada Loop Majemuk A.
Rangkaian Dua Loop
Pada Loop I, menurut KCL dan KVL:
i1R1+(i1-i2)R3+E3-E1=0 (R1+R3)i1-R3.i2=E1-E3
Pada Loop II, menurut KCL dan KVL:
i2R 2+(i2-i1)R3-E3+E2=0 (R 1+R 3)i1-R 3I2=E2-E3
Pada persamaan diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa :
Pada Loop I Koefisien i1=ΣR Pembentuk loop 1 Koefisien i2=- ΣR bersama antara loop I dan loop II Konstanta ΣE= Σ tegangan sumber pada arah i 1 Pada Loop II Koefisien i2=ΣR Pembentuk loop II Koefisien i1=- ΣR bersama antara loop II dan loop I Konstanta ΣE= Σ tegangan sumber pada arah i 2 Ada 2 cara Untuk menyelesaikan persamaan linier simultan: Dengan metode Cramer.
1.
Pada loop I, menurut KCL dan KVL berlaku: i1R 1+(i1-i2)R 3+E3-E1=0 (R 2+R 3)i1-R 3I2=E1-E3 R 11i1-R 12i2=v1
2.
Pada loop II, menurut KCL dan KVL berlaku: I2R 2+(i2-i1)R 3+E3-E2=0 -R 3i1+(R 2+R 3)i2=E3-E2 -R 21i1+R 22i2=V2
3.
Determinan matriks utama R
det R
R 11 R 12 =
R 21 R 22
Determinan matriks termodifikasi R 1 dan R2. det R 1
det R 2
10.
=
=
R 11.R 22 - R 12.R 21
=
V1
R 12
V2
R 22
R 11
V1
R 21
V2
Kuat arus pada loop I adalah: i1 = det R 1
det R
13.
Kuat arus pada loop II adalah:
i2 =
det R 2 det R
=
V1.R 22 - R 12.V2
=
R 1V2
V1R 21
−
Contoh Soal Tentukan kuat arus yang melalui E 1, E2, dan
E 1 = 6 V
R 1 = 4
R 3 = 1 0
E 2 = 9 V
?
R3
Penyelesaian: 1) Kita tetap tetapkan kan 2 buah buah loop loop dengan dengan arah loop loop searah searah jarum jarum jam (abcdefg), dan arah arus berlawanan dengan arah loop.
E 1
4) Loop I: E1-i2R 3-iR 2-iR 1=0 E1-i2R 3-i(R 2+R 1)=0 6-10i2-10i=0 10i2+10i=6….(1) Loop II: ΣE+ ΣiR=0 -E2+I2R 3=0 -9+10i2=0 i2=0,9 A …..(2) Substitusikan (2) ke (1) 10(0,9) +10 i=6 i=(6-9)/10=-0,3 ampere i=i1+i2 i2=i-i1=-0,3-0,9=-1,2 ampere
b
R 3 i2
e
i1
Jadi, Kuat arus yang melalui baterei E1 sebesar -0,3 A Dengan arah dari b ke a. Kuat arus yang melalui baterei E2 sebesar sebesar -1,2 A dengan arah dari d ke c. kuat arus yang melalui R3 sebesar 0,9 A dengan arah dari e ke b.
Contoh Soal:
Berapakah kuat arus yang mengalir pada masing-masing loop? Penyelesaian: Pada loop I, menurut KCL dan KVL berlaku: (8+2)i1-2i2=16-10 Pada loop II, menurut KCL dan KVL berlaku: -2i2+(3+2)i2=10-2 Dua persamaan simultan: 10i1-2i2=6 ….(1) -2i1-5i2=8 ….(2) Cara I (eliminiasi dan substitusi) – Kuat arus di loop I dan II ditentukan dengan metode eliminasi dan substitusi. Persamaan (1) dan (2) untuk mengeliminasi i1, yakni:
Cara II (Cramer): Kuat arus di loop I dan II ditentukan dengan metode cramer
(i)Determinan matriks utama R: 10 −2 −2 5
det R=
( 10) ( 5)
− ( −2) ( −2)
50 − 4
46
(i) Deter Determinan minan matri matriks ks termodif termodifikasi ikasi R1 R1 dan R2: det R1=
6 −2 8 5
det R2=
10 6 −2 8
( 6) ( 5)
− ( −2) ( 8)
( 10) ( 8)
30 + 16
− ( 6) − 280 + 12
46
92
(i) Kua Kuatt Arus Arus pada pada loop loop I adalah adalah:: I1
detR1
46
detR
46
(i) Kua Kuatt arus arus pada pada loop loop II adala adalah: h: I2
detR2
92
detR
46
Jadi, kuat arus pada loop I adalah I ampere dan loop II adalah 2 ampere
Materi Pengayaan B. Rangkaian Lebih dari dua Loop Untuk rangkaian listrik yang memiliki loop lebih dari dua, untuk menganalisis dengan metode arus mata jala adalah sebagai berikut. 3. Ubah Ubahlah lah sumber sumber arus yang yang paralel paralel dengan dengan resistans resistans menjadi menjadi sumber sumber tegangan yang seri dengan resistans 4. Tent Tentukan ukan sebuah sebuah ubahan ubahan (variabel) (variabel) arus arus untuk untuk setiap loop dan tentu tentukan kan arah arus semua sama untuk seluruh rangkaian. 5. Tu Tulisl lislah ah siste sistem m persam persamaan aan dari dari KVL: KVL: R 11 i1 – R 12 i2 – R 13 i3 - ... – R 1N i N = V1 -R 21 i2 – R 22 i2 – R 23 i3 -... –R 2N i N=V2 -R 31 i1 – R 32 i2 – R 33 i3 - ... R 3N i N=V3 -R N1 I1- R N2 i2 – R n3 i3 - ... –R NN i N=Vn
Keterangan: Rxx=∑R pembentuk loop x Rxy=∑R bersama antara loop x dan loop y Vx=∑ tegangan sumber dalam loop x yang ditentukan menurut arah arus ix Persamaan menjadi linear simultan untuk rangkaian listrik 3 loop adalah:
R 11 i1 – R 12 i2 – R 13 i3 =V1 -R 21 i1 – R 22 I2 – R 23 i3=V2 -R 31 i1 – R 32 i2 – R 33 i3 =V3
R11 Dalam bentuk matriks R 21 R31
R12 R 22 R32
i1 v1 R 23 i 2 = v 2 R33 i3 v3 R13
1. Men Menyele yelesa saika ikan n sistem sistem persam persamaan aan seperti pada dua, untuk menyelesaikan persamaan linear simultan dapat dilakukan dengan metode eliminasi, substitusi, dan cramer. Berikut akan dibahas langkah-langkahnya: b. Meto Metode de cr cram amer er 3) De Dete term rmin inan an R Untuk menghitung determinan:
− R12 − R13 R11 − R12 det R = − 21 + R 22 − R 23 − R 21 + R 22 − R31 − R32 + R33 − R31 − R32 R11
• Determinan Rk R11 - V1 - R13 det Rk = R21 - V2 - R23
dengan K=1,2, atau 3. pada persamaan di atas K=2
Selanjutnya kuat arus ke –K adalah:
=
det R k
i1 =
det R 1
ik
det R Arti dari persamaan di atas untuk 3 loop adalah : det R
, i2 =
det R2 det R
, dan i3 =
det R3 det R
• Eliminasi dan substitusi Langkah-langkah dengan metode eliminasi dan substitusi pada dua loop diatas adalah sebagai berikut. 4) Untu Untuk k mengeliminas mengeliminasii persamaan persamaan (1) dan (2) (2) digunakan digunakan KPK (kelipatan persekutuan terkecil) dari R11 dan R21. 5) Kedua persama persamaan an yang diperoleh diperoleh langkah langkah (1) dikurangk dikurangkan, an, sehingga yang ada tinggal persamaan yang hanya mengandung variabel i2 dan i3. 6) Untu Untuk k mengeliminasi mengeliminasi dari persama persamaan an (1) dan (3) digunaka digunakan n dari R11 dan R31. 7) Kedua persama persamaan an yang diperoleh diperoleh langkah langkah (3) dikurangk dikurangkan, an, sehingga yang ada tinggal persamaan yang hanya mengandung varibael i2 dan i3.
1) Kedua persamaa persamaan n yang diperoleh diperoleh langkah langkah (2) dan (4) dieliminas dieliminasii dengan langkah seperti langkah (1) atau (3), maka persamaan hanya ada 1 variabel i3, sehingga i3 diperoleh, 2) Hasil i3 disubstitu disubstitusikan sikan ke dalam dalam persamaan persamaan yang yang diperoleh langka langkah h (2) atau (4), diperoleh i2. 3) Hasil i2 selanjutnya selanjutnya disubstit disubstitusika usikan n ke dalam persamaan persamaan pertama, pertama, diperoleh i1. Catatan: Yang menjadi pivot tidak harus koefisien i 1 pada persamaan pertama, tetapi dipilih koefisien i1 yang terkecil di antara persamaan-persamaan yang ada.
Contoh Soal: Tentukan Kuat arus masing-masing loop pada rangkaian di samping.
Penyelesaian: b. Den Dengan gan mengg mengguna unakan kan metod metode e cramer cramer 1) Penen Penentuan tuan persa persamaan maan linear simult simultan an Pada loop I adalah: 6i1-2i2-4i3=20-10→6i1-2i2-4i3=106 pada loop II adalah: -2i1-8i2-2i3=10-2→-2i1-8i2-2i3=8 pada loop III adalah: -4i1-2i2+10i3=-8 + 2→-4i1-2i2+10i3=-6 2) Det Determ ermina inan n matriks matriks utama utama R: R: −2 −4 det R = − 2 8 − 2 − 4 − 2 10 = (6)(8)(10 ) + (−2)( −2)( −4) + (−4)( −2)( −2) − (−4)(8)( −4) − (6)( −2)( −2) − ( −2)( −2)(10 ) = 480 − 16 − 16 − 128 − 24 − 40 = 256 6
1) Kua Kuatt arus arus pada loop loop I adal adalah: ah: −2 −2 det R1 = 8 8 − 2 − 6 − 2 10 = (10(8)(10) + (−2)(−2)(−6) + (−4)(8)(−2) − (−4)(8)(−6) − (10)(−2)(−2) − (−2) − (−2)(8)(10) = 800 − 24 + 64 − 192 − 40 + 160 = 768 10
i1
=
det R1
=
768
= 3 A
4) Kuat arus pada loop II adalah: −4 −2
6 10 det R2 =
−2 8 − 4 − 6 10 = (6)(8)(10) + (10)(−2)(−4) + (−4)(−2)(−6) − (−4)(8)(−4) − (6)(−2)(−6) − (10)(−2)(16)
i2 =
det R2 det R1
512
=
256
= 2 A
1) Kuat arus pada loop III adala adalah: h: 6 det R3 =
−2
−2
10
8 8
−4 −2 −6 =(6)(8)(-6)+(-2)(8)(-4)+(10)(-2)(-2)-(10(8)(-4)-(6)(8)(-2)-(-2)(-2)(-6) =-288+64+40+320+96+24=256 i3 =
det R3 det R
=
256 256
= 1A
Jadi arus pada loop I, II, dan III masing-masing adalah 3 A, 2 A, dan 1A
a. Ell Ellimi imina nasi si dan Subst Substit itusi usi x1 6i1 - 2i2 - 4i3 = 10 → → 6i1 − 2i2 − 4i3
= 10 x( −3) − 2i1 − 8i2 − 2i3 = 8 → 6i1 − 24i2 − 6i3 = −24 22i2 − 10i3 = 34 ......(1)
x18 − 2i2 − 8i − 2i3 = 8 → → −4i1 + 16i 2 − 4i3 = 16 x1 − 4i1 − 2i 2 + 10i 3 = −6 → → −4i1 − 10i 2 + 10i 3 = −6 18i 2 - 14i 3 = 22 2
.......(2)
Dari persamaan (1) dan (2) : x18 → → 396i2 − 180i3 = 612 22i2 - 110i3 = 34 x22 18i2 + 14i3 = 22 → → 396i2 − 308i3 = 484
-
128i3 = 128 i = 1 .............(3)
Persamaan (3) disubstitusikan (2): 22i2=34 + 10i3=34 + 10(1)=44 I2=2 ……..(4) Persamaan (4) dan (3) disubstitusikan ke persamaan awal: 6i2-2i2-4i3=10+2i2+4i3=10+2(2)+4(1)=18 I1=3 …….(5) Dari persamaan (3), (4), dan (5), maka diperoleh arus pad loop I, II, dan III masing-masing adalah 3 A, 2 A, dan 1 A.
SELESAI
