Trabajo de Francisco Franco donde se explica su biografia como llegó al poder y trata temas como la mujer, la educación y la televisión de esta época.Descripción completa
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD FACULTAD DE INGENIERÍA IN GENIERÍA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA DE LOS RECURSOS HÍDRICOS
HIDROLOGÍA Preparado por: M. Cs. Jos Fra!"#s"o H$a%&! V#da$rre
[email protected] Cajamarca, Setiembre de 2016 La asignatura tiene los siguientes objetivos a! "ar a conocer conocer la situaci#n actual sobre la informaci#n hidrol$gica hidrol$gica de la %egi$n Cajamarca y el tratamiento estad&stico de la informaci#n hidrol#gica. b! "ar a conocer los m'todos m(s conocidos )ara obtener la escorrent&a su)erficial de una cuenca, median mediante te los conce)to conce)toss de )reci) )reci)ita itaci#n ci#n,, infiltr infiltraci aci#n #n e intens intensida idad, d, y median mediante te m*todo m*todoss em)&ricos y de abstracci#n. c! "ar a conocer conocer los )rocedimientos )rocedimientos )ara reali+ar reali+ar un balance h&drico en funci$n funci$n de la )reci)itaci#n, la eva)otrans)iraci$n y la escorrent&a en una cuenca. d! "ar a conocer los m'todos m(s utili+ados )ara determinar una una avenida m(ima de dise-o. e! nali+ar y determinar los vol/menes de un embalse con fines de a)rovechamiento a)rovechamiento agro)ecuario y )oblacional f! "ar a conocer los m'todos m(s conocidos )ara determinar el gasto s#lido en un ro. g! nali+ar los modelos hidrol#gicos m(s utili+ados.
I. LA INFORMACI'N HIDROL'GICA HIDROL'GI CA ( SU TRAT TRATAMIENTO ).) INTRODUCCION
La hidr hidrol olog og&a &a toma toma en cuen cuenta ta todo todoss los los )ar( )ar(me metro tross ue ue infl influy uyen en en el ciclo ciclo hidr hidrol ol$g $gic ico. o. eneralment eneralmente, e, se estudia estudia este ciclo en un volumen volumen de control control denominado denominado sistema hidrol$gico, hidrol$gico, el cual de manera sim)lificada se denomina cuenca hidrogr3fica. 4l balance h&drico de dicho sistema se )uede resumir, )ara un intervalo de tiem)o dado, siguiendo el )rinci)io de conservaci#n de la masa como 4ntradas 5 almacenamiento inicial Salidas 5 almacenamiento final 7 tambi*n 8 9 7 :S;:t
<1!
1
<=reci)itaci#n 5 8m)ortaciones de agua 5 4scorrent&a su)erficial desde otras cuencas5 guas subterr3neas desde otras cuencas! 9 <4va)oraci#n 5>rans)iraci#n54scorrent&a su)erficial hacia otras cuenca cuencass 5 4)ort 4)ortacio aciones nes de agua agua 5 guas guas subter subterr3n r3neas eas hacia hacia otras otras cuenca cuencas58 s58nfi nfiltr ltraci# aci#n! n! lmacenamiento de aguas subterr3neas5lmacenamiento )or cambio de humedad del suelo 5 lmacenamiento su)erficial en embalses, embalses, en canales y en la )ro)ia escorrent&a su)erficial. Los )ar(metros de la hidrolog&a )ueden ser divididos en tres categoras a! =ar(metros =ar(metros clim3ticos clim3ticos =reci)itaci#n =reci)itaci#n,, eva)otrans eva)otrans)irac )iraci$n i$n y )ar(metros )ar(metros secundarios secundarios ligados ligados a lo )rimeros, como radiaci#n solar, solar, tem)eratura, humedad humedad del aire, viento, insolaci$n, etc. etc. b! =ar(metros de escurrimiento "escargas l&uida y s$lida y )ar(metros secundarios ligados a los )rimeros, como niveles de agua, caracter&sticas de la l a red de drenaje, 3rea de la cuenca, velocidad de flujo, calidad del agua y de los sedimentos trans)ortados, reservorios naturales y artificiales, etc. c! =ar(metros caracter&sticos de la cuenca cuenca eolog&a, to)ograf&a, suelos, suelos, vegetaci#n, urbani+aci#n, etc. ).* MEDIDA DE LA PRECIPITACI'N
4n m*rica Latina la )reci)itaci#n es medida en milmetros y d*cimas, mientras ue en los 4stados ?nidos se mide en )ulgadas hasta las cent*simas. ce nt*simas. 4n el =er, los registros lo reali+a el Servicio Aacional de Beteorologa e idrolog&a
La )reci) )reci)ita itaci# ci#nn es )roba )robable blemen mente te el )ar(me )ar(metro tro de mayor mayor influe influenci nciaa en los estudi estudios os hidrol#gicos, en relaci#n a su distribuci#n es)acial de ah la im)ortancia de tener redes de densidad adecuada )ara su correcta estimaci#n. %esulta fundamental eaminar con detalle el ti)o de lluvias dominantes ue se desean evaluar. Si se trata de lluvias frontales etendidas y con )oca variaci#n es)acial, resulta adecuada una red es)aciada. =or el contrario, lluvias intensas de altas concentraciones, asociada con celdas convectivas necesitan mucho mayor n/mero de estaciones en la red. 4n el caso de tener ambos ti)os de lluvia, resulta conveniente una combinaci#n de )luvi#grafos de base densificados con )luvi#metros )ara disminuir costos. Los errores ue se )ueden atribuir a diferentes causas, en este ti)o de redes, son 8nstrumental de 1M a K M . • 4)osici#n incorrecta del )luvi#grafo KN1K M en mediciones de )la+os largos y hasta el FK M en medici#n de tormentas individuales. Los )rotectores de viento
•
=romedio areal de valores diarios tiene errores del 60M )ara 1 estaci#n cada F00 Om 2, 10M con 1 estaci#n cada 20 Om 2 y PM o menos )ara densidades mayores. 2
•
4n la estimaci#n de )romedios sobre (reas, usando los mismos valores )untuales, dan diferencias de hasta 1IM )ara diferentes diferentes m'todos.
).+ LLUVIAS EN UNA REGI'N
=ara evaluar evaluar la cantidad )romedio )romedio de lluvia sobre un 3rea determinada determinada es necesario necesario basarse basarse en los valores )untuales registrados en cada medidor ue conforma la red meteorol$gica. =ero como la contribuci#n de cada instrumento al total de la tormenta es desconocida, han surgido m*todos ue inte intent ntan an darn darnos os una una a)ro a)roi ima maci ci#n #n de la dist distrib ribuc uci# i#nn de la )rec )reci) i)ita itaci ci#n #n dent dentro ro del del 3rea 3rea en consideraci#n, entre estos m*todos tenemos B*todo de la media aritm*tica, m*todo de >hiessen, m*todo de las isoyetas. 4l B*todo de la media aritm*tica consiste en hallar la media aritm*tica de las cantidades de lluvia conocidas )ara todas las estaciones dentro del 3rea. 4ste m*todo )ro)orciona buenos resultados, si la distribuci#n de tales )untos sobre el 3rea es uniforme y la variaci#n en las cantidades individuales de los medidores no es muy grande. 4l m*todo de >hiessen se em)lea cuando la distribuci#n de los )luvi$metros no es uniforme dentro del 3rea de estudio. 4ste m*todo asigna un 3rea de influencia a cada una de la eataciones dis)onibles en la cuenca y cercana a ellas. Las isoyetas son curvas de igual altura de )reci)itaci#n ue se calculan a )artir de la inter)olaci$n entre )luvi$metros adyacentes. Se miden las 3reas entre isoyetas sucesivas y se les asigna la )reci)itaci#n )romedio entre dichas isoyetas. La lluvia )romedio )ara toda el 3rea es entonces el )romedio )onderado.
)., ESTIMACI'N ESTIM ACI'N DE DATOS FALTANTES FALTANTES
4n algunas estaciones no se registr$ la )reci)itaci#n en un )er&odo ue en las estaciones vecinas. Se han desarrollado algunos m*todos )ara estimar la informaci#n )luviom*trica faltante. 4l m*todo m3s sencillo es el de hacer un sim)le )romedio )romedio aritm*tico entre las estaciones vecinas vecinas a la estaci#n donde se desea obtener el dato faltante, )ero solamente es recomendado cuando la )reci)itaci#n total anual de las estaciones en cuesti#n no var&a en m3s de un 10M . Si )or el contrario, esta variaci#n es mayor ue un 10M, la mejor o)ci$n es darle a cada estaci#n de las QnR estaciones dis)onibles un )eso diferente. P x
1 ; n N ; N 1 P 1 < N ; N 2 ! P 2 ... < N ; N ! P x
x
x
n
n
<2.1!
"onde n Amero Amero de estaciones estaciones )luviom*tr )luviom*tricas icas con datos datos de registros registros continuos continuos cercanas cercanas a la estaci#n estaci#n QR, la cual va a ser com)letada en su registro. = =reci)itaci#n de la estaci#n QR durante durante el )er&odo de tiem)o )or com)letar. com)letar. =1 a =n =reci)itaci#n de las estaciones 1 a n durante el )er&odo )or com)letar. A =reci)itaci#n media anual a nivel multianual de la estaci#n estaci#n QR. A1 a An =reci)itaci#n media anual a nivel nivel multianual de las estaciones de 1 a n. 7tro m'todo es la a)licaci#n de coeficientes de correlaci#n entre los datos de )erodos comunes entre la estaci#n a com)letar y sus vecinas, seg/n la siguiente e)resi#n
J
<2.2!
"onde )reci)itaci#n estimada estimada en la estaci#n QR QR =i )reci)itaci#n en la estaci#n estaci#n QiR durante el )erodo faltante en la estaci#n estaci#n QR coeficiente de correlaci#n de los datos de )reci)itaci#n de la estaci#n RR con los datos de )reci)itaci#n de la estaci#n QiR Por ejemplo:
Donde:
= )reci)itaci#n estimada en la estaci#n QR =, =T, =C )reci)itaci#n en las estaciones estaciones ,T,C ,T,C del )erodo faltante en la estaci#n QR
r , r T T, r C C coeficientes de correlaci#n de la )reci)itaci#n de la estaci#n QR con las de las estaciones ,T y C La informaci#n de datos hidrol$gicos debe cum)lir en al menos dos caractersticas im)ortantes a! Ser re)resen re)resentativa tativa.N.N 4s decir, decir, ue la muestra muestra debe tener tener una longitud longitud o am)litud am)litud suficiente suficiente en el tiem)o. s, )ara el an(lisis de frecuencia de una avenida en ue /nicamente se utili+a la avenida m(ima de cada a-o, es mnimo un registro de 20 a-os. b! Ser homog*nea.N 8m)lica ue la secuencia de datos debe tener un significado com/n en todo el )erodo del tiem)o registrado as, las condiciones de medici#n, el lugar de medici#n, el eui)o, el )ersonal y todas las dem(s variables ue intervienen deben )ermanecer constantes en lo )osible, ya ue de lo contrario contrario se introducir(n variaciones considerables. considerables. 7tros factores ue afectan a la homogeneidad son las construcciones de obras hidr(ulicas aguas arriba del )unto de control, los incendios forestales, el cambio de uso del suelo, cambio de la locali+aci#n de la estaci#n. 4n caso de encontrarse con estos casos se deben hacer las correcciones necesarias y un tratamiento se)arado seg/n las condiciones dadas. Como muchos muchos )roblemas hidrol#gicos reuieren de la estimaci#n de las )robabilidades en ue variar( el escurrimiento fluvial, fluvial, la mejor )rueba ser( con frecuencia la ca)acidad ue se tenga, seg/n la relaci#n utili+ada, )ara re)roducir las caractersticas hist#ricas de la )robabilidad. ).- ANLISIS DE CONSISTENCIA O DE SIGNIFICACI'N
La no homogeneidad e inconsistencia en secuencias hidrol#gicas re)resentan uno de los as)ectos m(s im)o im)ort rtan ante tess del del estu estudio dio en la hidr hidrol olog oga a cont contem em)o )or( r(ne nea, a, )art )artic icul ular arme ment ntee rela relaci cion onad adaa a la conservaci#n, desarrollo y control de recursos hidr(ulicos, ya ue, cuando no se identifica, elimina y no hay homogeneidad en la muestra hist#rica, un error significativo )uede introducirse en todos los an(lisis futuros ue haga obteniendo resultados altamente sesgados.
P
Los medios ambientales hidrol#gicos son afectados grandemente )or factores antr$)icos tales como obras de regado, regado, drenaje, urbani+aciones, urbani+aciones, etc, o )or cambios ines)erados naturales y lentos )rocesos tales como incendios, incendios, derrumbes derrumbes,, llenado llenado de lagos )or sedimentos sedimentos y similares, similares, los ue )roducen inconsistencia en la toma de la informaci#n. 4l an(lisis de la informaci#n hidrometeorol#gica se reali+a en las com)onentes deterministicas transitoria transitoriass de la serie, serie, ue ue son los sa/0os 1 /as 0e!de!"#as .4n cada uno de los cuales se anali+a la consecuencia en los dos )rimeros )ar(metros estadsticos %ed#a 1 des2#a"#3! des2#a"#3! es0&!dar es0&!dar. ?no de los dos elementos m(s im)ortantes a tener en cuenta en el an(lisis de consistencia en relaci#n a los datos eistentes en el )as es la longitud del registro
Los altos o Qjum)R llamados tambi'n resbalamientos, son formas determin&sticas transitorias ue )ermiten a una serie estadstica )eri#dica )eri#dica )asar desde un estado a otro, como res)uesta a cambios cambios hechos hechos )or el hombre, debido debido al continuo desarrollo desarrollo y e)lotaci#n e)lotaci#n en la cuenca o cambios violentos en la naturale+a. Los saltos se )resentan en la media, desviaci#n standart y otros )ar(metros, )ero generalmente el an(lisis m(s im)ortante es en los dos )rimeros. s )or ejem)lo, si un cambio re)entino )resenta una )'rdida o una ganancia en el )romedio de flujos de agua, el salto ocurre en la media, si un nuevo reservorio no incrementa la )'rdida de eva)or eva)oraci aci#n #n en com)ar com)araci aci#n #n con el estado estado anterior anterior del reservor reservorio, io, )ero regula regula los flujos flujos /nicamente, la transici#n es una transici#n aguas abajo en la variaci#n o desviaci#n standart b(sicamente )or un incremento o decremento en la )'rdida )or eva)oraci#n el salto se )roduce en la media y en la desviaci#n standart, constituyendo en la nueva ca)acidad de almacenamiento )ara la regulaci#n del flujo de un ro usualmente re)resenta una transici#n en todos los )ar(metros b(sicos de una serie en una estaci#n de medida medida de estas ca)acidades. 4l an(lisis de los saltos se reali+a desde tres )untos de vista N N N
n(l n(lis isis is vis visua uall de los los ggr( r(fi fico coss orig origina inale les. s. n(lisi isis ddooble ma masa. n(lis (lisis is esta estad dst stic ico. o.
).-.).* A!5/#s#s 2#s$a/.
La informaci$n informaci$n original original se grafica grafica en coordenada coordenada aritm'tica aritm'ticas, s, cuyos ejes re)resent re)resentan an en los ordenadas el valor de la informaci#n <)reci)itaci#n, tem)eratura, descarga u otros! y, en las abcisas el tiem)o
K
La informaci#n de cam)o se refiere a las condiciones de o)eraci#n y mantenimiento de las estaciones hidrometeorol#gicas cambio de o)erarios, traslado de las estaciones, regulaci#n de los ros, estado de e)lotaci#n de una cuenca, vegetaci#n cercana, construcciones /ltimas, etc. 8nformaci#n sin la cual no seria )osible el an(lisis res)ectivo. =ara =ara indi indica carr en este este )rim )rimer er an(l an(lis isis is los los )eri )eriod odos os con con info inform rmac aci#n i#n dudo dudosa sa y cuale cualess son son a)arentemente buenos, se )rocede de la siguiente manera a. Cuan Cuando do se tien tienee esta estaci cion ones es vecin vecinas as,, se com)ar com)araa los los gr(f gr(fic icos os y se ve cual cual )eri )eriod odoo vari variaa notoriamente, uno res)ecto al otro. b. Cuando se tiene una sola estaci#n 'sta se divide en varios )eriodos y se com)ara con la informaci#n de cam)o obtenida. s )or ejem)lo, si se tiene ue una estaci#n des)u's de un cierto tiem)o es trasladada a otro lugar, es muy )robable ue la informaci#n obtenida, )resente un salto entre los datos registrados al inicio y los registrados una ve+ ue se a trasladado la estaci#n. c. Cuando Cuando se tiene datos datos de )reci)itac )reci)itaci#n i#n y escorrent escorrenta, a, se com)aran com)aran los diagram diagramas, as, los cuales cuales deben ser similares en su com)ortamiento. d. Se debe debe mantener mantener en lo )osible )osible el el )er&odo )er&odo m(s m(s largo largo y m(s m(s reciente reciente como el el m(s confia confiable ble uedando uedando a criterio de la decisi#n t'cnica, t'cnica, su selecci#n luego luego de un ehaustivo ehaustivo trabajo trabajo de cam)o en contra de los es)erado en el )as los /ltimos registros son menos confiables ue los antiguos. 4ste an(lisis an(lisis sirve )ues, )ara tener una )rimera )rimera a)roimaci# a)roimaci#nn de la bondad bondad de la informaci#n informaci#n y se)arar los )eriodos dudosos )ara su )osterior an(lisis de doble masa y estadstico. Cuando se dis)one de los registros de )reci)itaci#n o descargas de un gru)o de estaciones de r'gimen hidrol#gico similar las tendencias o saltos constituir(n constituir(n inconsistencias. Cuando estas se )resentan en algunos de ellos, si el efecto es observado en casi todas ellas con mayor o menor magnitud entonces estaremos frente a un fen#meno regional. ).-.).+ A!&/#s#s de do6/e do6/e %asa.
4l an(lisis an(lisis de doble masa masa se utili+a utili+a )ara determin determinar ar la consis consisten tencia cia de la informac informaci#n i#n en lo relacionado en errores ue )uede haberse )roducido durante la obtenci#n de los mismos. La lnea de doble masa no es una lnea de regresi#n. Sin embargo, segn . Bonsalve <1UUU! es )osible utili+ar la gr3fica de doble masa )ara corregir los datos. P aj M a ; M 0 P 0
"onde =aj 7bservaciones de )reci)itaci#n )reci)itaci#n ajustadas a las condiciones actuales de locali+aci$n, e)osici#n o m*todo de observaci#n del )uesto )luviom*trico. =o "atos observados ue deben ser corregidos. Ba =endiente de la recta durante durante el )er&odo correcto correcto de de toma datos. Bo =endiente de de la recta recta en el )er&odo en ue se hicieron las observaciones observaciones =o. =o. Los errores errores )osibles se )ueden )ueden detectar )or el uiebre o uiebres ue )resentan )resentan los diagramas, diagramas, consider(ndose una estaci#n con menos errores consistentes, en la medida ue )resente un menor n/mero de )untos de uiebre. Conviene hacer notar ue en el )as el gr(fico de doble masa no siem)re resulta una lnea bien definida )orue nuestros registros adem(s de ser cortos, incom)letos e
6
inconsistente en muchos casos, se diferencian entre si )or efecto de la to)ogr(fica en la medida ue 'sta origina +onas muy diversas de )reci)itaci#n a )esar de la cercana entre ellas. ?na de las formas de anali+ar las gr(ficas doble masa consiste en seleccionar la estaci#n con informaci#n m(s confiable de todas las estaciones de una cuenca, la ue sirve de com)araci#n )ara los dem(s estaciones, )ara lo cual se )rocede de la siguiente manera a. =lotear =lotear en el eje eje de la abscisa abscisass el )romedio )romedio de de la informaci# informaci#nn anual anual acumulada acumulada de todas todas las las estaciones de la cuenca y, en el eje de las ordenadas la informaci#n acumulada de cada una de las estaciones de estudio. b. "e las gr(ficas doble masa se selecciona la ue )resente menor n/mero de uiebres como la m(s confiable. c. La estaci#n estaci#n elegida elegida en QbR QbR como la m(s confiable confiable se )lotea )lotea en el eje de la abscisas abscisas y, en las ordenadas cada una de las dem(s estaciones. 4n ambos ejes la informaci#n )loteada es la acumulada. Los diagramas de doble masa junto con el an(lisis de los gr(ficos originales sirven )ara determinar el rango de los )eriodos dudosos y confiables )ara )ara cada estaci#n en estudio. Se deben tener en cuenta ue )ara efectos del doble masa, la informaci#n incom)leta se llena )or inter)olaci#n con el )romedio mensual si el an(lisis es mensual, regresi#n lineal o m/lti)le y media 9 varian+a o m'todo de monte Carlo, seg/n sea el caso. ).-.)., A!&/#s#s Es0ad7s0#"o.
abi'ndos abi'ndosee obtenido de los gr(ficos gr(ficos de doble masa masa el )eriodo de )osible )osible correcci#n correcci#n de los datos, datos, im)lica la eistencia de un )eriodo de datos ue se mantendr(n con sus valores originales y auellos ue se modificar3n. Las )ruebas estad&sticas, a las ue se somete las muestras sos)echosas, )ara demostrar si los gru)os de datos divergentes )ertenecen a una misma )oblaci#n hidrol$gica, deben ofrecer homogeneidad de sus medias muestrales es decir, ue sus medias muestrales deben ser estadsticamente euivalentes, )ara cierto nivel de significaci#n. Co!s#s0e!"#a e! /a %ed#a 8Pr$e6a de 9T o de S0$de!0;
Se basa en el )rinci)io de ue si dos gru)os de datos n 1 y n2 )ertenecen a una misma )oblaci#n hidrol$gica, deben ofrecer homogeneidad de sus medias muestrales es decir, ue sus medias muestrales deben ser estadsticamente euivalentes, )ara cierto nivel de significaci#n. Bediante la )rueba de significaci#n Q>R se anali+a si los valores )romedios son estadsticamente iguales o diferentes de la siguiente manera a! C3lculo C3lculo de la la media y desviaci#n desviaci#n Standard Standard )ara )ara cada cada )er&odo, )er&odo, seg/n seg/n
x
1
n 1 1
x n i 1 i 1
n 2 1 x x 2 n j 1 i 2
1; 2 n 1 1 , S < x ! < x x ! 2 1 i n 1 1 i 1 1 1 , S < x ! 2 n 1 2
< xi x ! 2 2 j 1 n
2
F
1; 2
"onde i j
8nformaci#n del )er&odo 1. 8nformaci#n del )er&odo 2. Bedias de los )er&odos 1 y 2, res)ectivamente. "esviaci#n Standard de los )er&odos 1 y 2, res)ectivamente. >ama-o de los )er&odos 1 y 2, res)ectivamente. >ama-o de la muestra n n1 5 n2
x 1 , x 2
S1 <!, S2 <! n1 , n2 n
b! 4stadstico >. 4l )rocedimiento )ara reali+ar esta esta )rueba es la siguiente 4stablecer la hi)#tesis )lanteada y la alternativa )osible, as como el nivel de significaci#n <!. ) 1 2
Calcular la desviaci#n Standard de las diferencias de los )romedios. 1; 2
S S d P
1 1 n1 n2
S P
1; 2
"onde Sd "esviaci#n Standard de las diferencias de )romedios. S= "esviaci#n Standard )onderada. )onderada. 4l valor de >c <> calculado! se calcula con la e)resi#n siguiente T c
"onde
< x1 x 2 ! ó < ! 1 2
<6!
S d
1 N 2 0 <)or hi)#tesis!
Se halla luego el valor de >t <> tabulado! en la tabla con 0.0K, y .L. n1 5 n2 9 2 "onde . L. grados de libertad. >t > tabulado >c > calculado calcul ado A"ep0a"#3! o re"
I
Si V>cV >t cV >t
4l an(lisis de consistencia en la desviaci#n Standard se reali+a con la )rueba QWR o de Wisher. 4sta )rueba basa el an(lisis en el )rinci)io de homogeneidad de variancias y establece ue si dos gru)os de datos n1 y n2, )erten )ertenece ecenn a una misma misma )ob )oblac laci#n i#n hidrol hidrol$gi $gica, ca, sus varian variancia ciass deben deben ser estadstica estadsticamente mente euivalentes euivalentes,, )ara cierto nivel de significaci#n significaci#n dado. "e no ser as&, la )rueba )rueba ser3 significativa o altamente significativa. 4l )rocedimiento es como sigue a! C(lculo de las variancias variancias de ambos )eriodos 1 S < x ! n1 1 2 1
n1
< x
x 1 ! 2
1
i 1
S 22 < x !
n2
< x
1
x 2 ! 2
j 1
b! 4stadstico QWR Se establece la hi)#tesis )lanteada y alterna as como el nivel de significaci#n = 12 22 < variancias )oblacionales! = 12 22 0.0K C(lculo de Wc Fc
Fc
S 12 < x ! 2 2
S < x! S 22 < x! 2 1
S < x !
,
,
Si
S 12 < x ! S 22 < x!
si
S 22 < x ! S 12 < x!
allar el valor tabulado de Wt en las tablas, con X 0.0K
U
.L.A grados de libertad del numerador. numerador. .L." grados de libertad del denominador. denominador. c! Conclusiones Si Wc Wt
Corre""#>! de /os da0os
4n los casos en ue los )ar(metros media y desviaci#n standart resultasen estadsticamente iguales, la informaci#n original no se corrige )or ser ser consistente con UK M de )robabilidades, a/n cuando cuando en el doble masa se observe )eue-os uiebres. Si resulta la media y desviaci#n Standard estadsticamente diferentes, entonces entonces se corrige mediante una ecuaci#n ue )ermite mantener los )ar(metros del )er&odo m(s confiable. Si el )er&odo n1 es el dudoso x Y
x x t 1 S 1 < x !
S < x ! x 2 2
Si el )er&odo n2 es el dudoso x x t 2 x Y
S < x ! x 1 1
"onde Z
=ara com)robar si la informaci#n corregida esta dentro de los limites de ace)taci#n con el UKM de )robabilidades, se anali+a estadsticamente tanto tanto la %ed#a y la des2#a"#3! S0a!dard y, com)ar(ndolo con el )er&odo confiable, re)itiendo el )rocedimiento ya descrito, vale decir desarrollando las )ruebas T y F res)ectivamente, cuyos resultados deben ser confiables. Cabe mencionar mencionar ue la informaci#n informaci#n corregida corregida no ser( una informaci# informaci#nn ideal o naturali+ad naturali+ada, a, )uesto ue mantendr( un nivel de incertidumbre incertidumbre en relaci#n a los valores individuales individuales es decir la magnitud de a-os secos o h/medos )ero )ara )ro)#sito de c(lculo # )rognosis uedar( libre de inconsistencia. =odemos decir entonces ue la informaci#n )erdida no )odr( recu)erarse jam(s, de all la enorme im)ortancia de mantener una red bien manejada y controlada. Aormalmente se asume ue el )eriodo reciente es el m(s confiable, en los )a&ses desarrollados de 4uro)a # m*rica. 4n nuestro )as <=er! sin embargo ocurre a la inversa, )uesto ue la situaci#n econ#mica de los /ltimos a-os y la informalidad eistente hacen afirmar ue los )eriodos recientes en general son los menos confiables. 4s im)ortante tambi'n tener )resente ue frecuentemente los )eriodos de an(lisis de media y varian+a son coincidentes esto es n 1 y n2.
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La serie ue debera considerarse considerarse ser( la de valores valores anuales, )or cuanto el criterio de a)licaci#n de 1 2 2 N 2 y 1 ;2 corres)onden a series inde)endientes y semanales # mensuales aunue se incremente con ello la longitud del registro QnR.
).-.*
TENDENCIAS
ntes de reali+ar el an(lisis de tendencias, se reali+a el an(lisis de saltos y con la serie libre de saltos, se )rocede anali+ar las tendencias en la l a media y en la l a desviaci#n est3ndar. est3ndar. ).-.*.) De4#!#"#3!.
Las tendencias son com)onentes determinsticos ue se definen como un cambio sistem(tico y cont&nuo sobre una muestra de informaci#n hidrometeorol#gica en cualuier )ar(metro de la misma, ue afectan las distribuciones y de)endencias de las serie. =or ejem)lo, si hay un cambio ascendente o descendente en la tem)eratura, )reci)itaci#n, eva)oraci#n o escorrenta, entonces se )roduce una tendencia, se reuiere ue el intervalo de tiem)o sea significativo esto es a largo )la+o. ).-.*.* Prop#edades.
a. Las tenden tendencia ciass no se es)era es)era se re)itan re)itan )or si mismas mismas de la misma misma forma forma o con las misma mismass )ro)iedades. b. Se )ueden se)arar de las otras com)onentes <)eri#dica, aleatoria! de la serie, lo ue hace )osible removerlas y;o incor)orarlas. incor)orarlas. c. =ueden =ueden eistir eistir en cualuie cualuierr )ar(metro )ar(metro de una una serie, serie, media, media, variancia, variancia, y en )ar(me )ar(metro tro de alto alto orden, )ero )or lo general las tendencias se )resentan /nicamente en la media si la informaci#n es anual y en la media y la desviaci#n estandar si la l a informaci#n es mensual. d. Las tenden tendencia ciass )ueden )ueden ser lineales lineales y no lineal lineales, es, )or lo ue cualui cualuier er funci#n funci#n cont&n cont&nua ua de tenden tendencia ciass no lineal lineales es )ueden )ueden ser re)res re)resent entada adass en series series de )otenc )otencias ias o e)res e)resi#n i#n logartmica. ).-.*.+ A!&/#s#s de 0e!de!"#as.
Las tendencias )or lo general a)roimadas )or la ecuaci#n de regresi#n lineal en algunos casos )or )olinomios ue re)resentan tendencias curvilnea o e)onencial. 4n los dos )rimeros )ar(metros de una serie N N
4n la media. 4n la desv desvia iaci ci#n #n esta estand ndar ar..
A; Te!de!"#a e!de!"# a e! /a %ed#a.
La tendencia en la media >m, )uede ser e)resada en forma general )or el )olinomio )olinomio >m m 5 Tmt 5 Cmt2 5 "mtJ 5 ....
<10!
11
4n muchos casos )ara estimar estas tendencias, es suficiente la l a ecuaci#n de regresi#n lineal sim)le >m m 5 Tmt
<11!
"onde >m t
>endencia en la media, )ara este caso >m Z iem)o en a-os, tomado como la variable inde)endiente de la tendencia 1,2,J...n.
m , Tm , C m , "m son los coeficientes de los )olinomios de regresi#n ue deben ser estimados con los datos. Las constantes de regresi#n de estas ecuaciones )ueden ser estimadas )or el m'todo de mnimos cuadrados o )or el m'todo de regresi#n lineal m/lti)le en el caso de )olinomio. =ara calcular y anali+ar una tendencia lineal
N Tm t
T m
S Tm
B m R
<1J!
S t
t . Tm t Tm
R
<1P!
S t . S Tm
donde Tm
n
1
t
n
1
Tm n X n i 1
Y < t !
i 1
n
1 n
t
i
i 1
t .Tm
1 n
n
t .Tm i 1
i
i
<1K!
S Tm
1 n 1
<12!
n
2
1; 2
12
S t
1 n 1
1; 2 2
n
dem3s t =romedio del tiem)o t. H m, o )romedio de los datos corregidos de saltos H S>m "esviaci#n est3ndar de la tendencia >m. St "esviaci#n est3ndar del tiem)o t. % Coeficiente de correlaci#n lineal entre la variable y el tiem)o. b! 4valuaci$n de la tendencia >m =ara averiguar si la tendencia es significativa se anali+a el coeficiente de regresi#n QbR o tambi'n el coeficiente de correlaci#n Q%R. 4n este caso se anali+a % seg/n el estadstico Q>R. 1. C(lcul C(lculoo de estad estadst stico ico >c, seg/ seg/nn R
T C
< n 2!
<1 R 2 !
<16!
donde >C valor del estadstico > calculado. n n/mero total de datos. % coeficiente de correlaci#n. 2. 4n las tablas tablas se se encuentran encuentran el el valor Q>R Q>R tabular tabular al UKM de )robabilid )robabilidades ades,, vale decir decir 0.0K .L n 9 2
J. Concl oncluusion siones es Si
tC
>t
tC
>t m
<1F!
$ \t H
<1I!
"onde H
Serie corregida de saltos.
1J
>m \t
>endencias en la media, obtenida de la ecuaci#n <11! Serie sin tendencia en la media, ue )resenta las siguientes caractersticas
=ara ue el )roceso t )reserve la media constante, se devuelve el )romedio de las Ht, luego las ecuaciones <1F! y <1I! toman la forma \t Hm 5 T m <1U! \t H
T m
<20!
T m
es el )romedio de la tendencia en la media o )romedio de los valores corregidos de
T! Te!de!"#a e! /a d#spers#3!. Segn Salas Q la tendencia en la desviaci#n est3ndar, est3ndar, generalmente se )resenta en los datos semanales o mensuales, no as& en datos anualesR. =or lo ue, cuando se trabajan con datos anuales no hay necesidad de reali+ar el an(lisis de la tendencia en la desviaci#n est3ndar. est3ndar. La tendencia en la dis)ersi#n >s, >s, se e)resa )or la ecuaci#n de regresi#n )olinomial tal como >s s 5 Tst 5 Cst2 5 "stJ 5 ...
<21!
y en forma )articular, )articular, )or la ecuaci#n de regresi$n lineal sim)le >s s 5 Tst
<22!
"onde >s >endencia en la desviaci#n desviac i#n est3ndar. est3nda r. >s \t, valor valor corregido corregido de tendencia tendencia en la media, es decir, decir, datos a usarse usarse )ara el c3lculo de los )ar(metros. t >iem)o en a-os 1,2,J,]n s , Ts , Cs , "s ] Coeficientes de los )olinomios de regresi$n ue deben ser estimados con los datos. =ara calcular y )robar si la tendencia en este )aramento es significativa, se )rocede de la forma siguiente a! La informaci#n ya sin tendencia en la la media <\t ! se divide en )eriodos de datos datos anuales. b! Se calculan las desviaciones desviaciones est3ndar )ara cada )er&odo de toda la informaci#n. 1; 2
1 12 S P
<2J! donde S= "esviaci#n est3ndar del a-o ), es decir de los datos mensuales del a-o ). \= Serie sin tendencia en la media Y P =romedio de datos mensuales del a-o ). ) 1,2,J, ...,12
1P
c! Se calculan calculan los )ar(metr )ar(metros os de la ecuaci#n ecuaci#n de regres regresi#n i#n lineal lineal sim)le sim)le <22! <22! a )artir )artir de las desviaciones est3ndar anuales y el tiem)o t s, seg/n seg/n la )rueba Q>R, con los mismos criterios ue en el caso anterior descrito )ara >m. e; 4liminaci#n de la tendencia en la desviaci#n.
Si % resulta significativo en la )rueba, entonces la tendencia en la desviaci#n es significativa, )or lo ue se debe eliminar de la serie de la siguiente manera Z t
X Y < t ! Tm Ts
< 2P! donde
^t Serie sin tendencia en la media ni en la desviaci#n est3ndarcon las caractersticas 4 <^t ! 0 y [% < ^t ! 1 Las dem(s variables han sido definidas en los )(rrafos anteriores. =ara ue el )roceso )reserve la media y la desviaci#n est3ndar constante, la ecuaci#n toma la forma
Z t
X Y
"onde .Ts y T m res)ectivamente.
Ts
.Ts T m
<2K!
son los )romed )romedios ios de la tenden tendencia cia en la desvia desviaci# ci#nn est3ndar est3ndar y media, media,
La serie ^t es una serie homog*nea y consistente al U0M de )robabilidad. ).B COMPLETACI'N ( ETENSI'N
Los )rocedimientos )ara efectuar la com)letaci#n y etensi#n de datos hidrometeorol#gicos se basan en la a)licaci#n de t*cnicas estad&sticas y matem3ticas. 4n todos los casos, debe anali+arse la confiabilidad de la t*cnica utili+ada. La com)letaci$n se refiere a la determinaci#n de los datos faltantes en la serie incom)leta, mientras ue la etensi#n es el QalargueR de registros cortos
1K
La autocorrelaci$n, llamada tambi*n correlaci#n seriada o serial, consiste en correlacionar datos corres)ondientes al registro de una misma muestra hidrol$gica, considerando un desfase en el tiem)o o desfasaje. =ara la etensi#n se usan modelos de regresi$n lineal sim)le y mlti)le. 4n forma general, el modelo matem3tico m3s usado )ara transferir informaci$n hidrol$gica es el modelo de regresi$n lineal sim)le. yt a 5 b t
<26!
donde yt [ariable [ariable hidrol$gica de)endiente t [ariable hidrl$gica inde)endiente a y b =ar(metros de la ecuaci#n.
b
x y x y N x x
N 1
i
i
i
2 i
1
i
2
i
<2F! a
y1 b x1
<2I! "onde A1 >ama-o del registro comn a ambas series o tama-os del registro corto. y1
x1
r
y
i
N 1
x
i
N 1
x y x y N x x N y y N 1
i
i
2
2 i
1
i
i
1
i
2 i
2
<2U!
i
" N 2 y y S i 1 t < y ! N 1 1 ! i 1 1
1
" N 2 x x S i 1 t < x! N 1 1 ! i 1 1
1
"onde Son Son los estimados estimados de las medias de los )er&odos )er&odos comunes, comunes, de tama-o A1 de las variables yt * t. y1 y x1
16
St
y1 r
S 1< y ! S 1< x !
xt x1
"onde t Serie de registro QlargoR de tama-o A A1 5 A2 A1 >ama-o del registro comn. A2 >ama-o del registro no comn. Criterios de confiabilidad. a! C3lculo del estad&stico >c, segn T C
r
< N 1 2! <1 r 2 !
"onde >c [alor [alor del estad&stico estad&sti co > calculado. calcula do. A1 >ama-o del registro comn de las series. r Coeficiente de correlaci#n. b! C3lculo de >t 4l valor de >t se obtiene de tablas )ara X 0.0K y .L. A1 9 2 c! Criterios de decisi$n Si V >c V _ >t ` r no es significativo, )or lo tanto no hay correlaci#n significativa. Si V >c V >t ` r es significativo, )or lo ue s& eiste correlaci#n significativa entre las variables y t y t, y se )uede usar la e)resi#n
II. ANLISIS DE TORMENTAS TORMENTAS
4l an(lisis de tormentas est( ntimamente relacionado con los c(lculos o estudios estudios )revios al dise-o de obra obrass de 8nge 8ngeni nier er&a &a idr idr(u (ulilica ca.. 4n efec efecto to,, las las dime dimens nsion iones es de esta estass obra obrass de)e de)end nden en )rinci)almente de la intensidad ue tengan las tormentas y de la frecuencia con ue ellas se )resenten en el lugar )ara el ue ue se est3 dise-ando la obra. La duraci#n de un aguacero
1F
4n drenaje urbano y de carreteras un aguacero dura raras veces m(s de algunas algunas horas )or otra )arte en la )r(ctica interesa calcular la intensidad m(ima )ara intervalos ue varan de K minutos a una hora. Ao es econ#mico dise-ar obras hidr(ulicas iem)o b! La "uraci$n Corres)onde Corres)onde al tiem)o ue ue transcurre entre el comien+o y el fin de la tormenta. tormenta. 4n una curva de lluvia acumulada se observa lo siguiente )
t
La )reci)itaci$n total p
tn
#0 $ .dt
4ste ti)o de curva se )resenta )resenta en los )luviogramas o bandas )luviogr3ficas. )luviogr3ficas. 4stas )ueden )resentar )resentar una limitaci$n, )ues su am)litud de registro de l3mina es de 10 mm, ue corres)onde al momento de vaciado del volumen acumulado
1I
hr.
0 2J20
1K00
Wig. 2. =luviograma de una tormenta
ora
Cuadro 2 >abulaci$n de un )luviograma )ara determinar la intensidad 8ntervalo de tiem)o
<1!
Colu Column mnaa 1 corr corres es)o )ond ndee a la hora hora iem)o >iem)o transc transcurrid urridoo entre entre cambios cambios de intensidad intensidad,, e)resado e)resado en minutos minutos intervalo intervalo de tiem)o. Columna Columna J J 4s la la su suma ma de de los intervalos intervalos de tiem)o tiem)o en forma forma sucesiva sucesiva tiem)o tiem)o acumulado acumulado.. Columna Columna P =reci)itac =reci)itaci#n, i#n, en mn, mn, ddurant urantee cada cada interva intervalo lo de tiem)o lluvia lluvia )arcial )arcial Column Columnaa K suma suma de las las lluvi lluvias as ))arc arcial iales es lluv lluvia ia acumu acumulad lada. a. Columna Columna 6 ltura ltura de )reci)i )reci)itaci#n taci#n referida referida a una una hora hora de duraci duraci#n, #n, calcula calculada da )ara )ara cada uno de de los intervalos de tiem)o, e)res(ndose en mm;hr. 4sta columna se construye )or )ro)orci#n directa entre columna
1U
$ mm ; !r 60 min; !r $ <60 ! <
<
llvia parcia pa rcial l < mm ! ! int ervalo de tiempo
col co l . P ! col co l . 2
c! La Wrecuencia 4s el nmero de veces veces ue se re)ite una tormenta de caracter&sticas de intensidad y duraci$n definidas, en un tiem)o generalmente en a-os. d! 4l ietograma o istograma 4s un gr3fico de forma escalonada ue re)resenta re)resenta la variaci#n de la intensidad, en intervalos de tiem)o e)resado en minutos u horas. 4l hietograma de )reci)itaciones se construye a )artir de un )luviograma dividiendo el tiem)o ue dur$ la tormenta en intervalos iguales $ no y midiendo la l3mina de )reci)itaci#n ue ocurri$ en cada uno de ellos. ))
:t
P0 J0 20 10 t
1
2
J
Wig. J. ietograma de )reci)itaciones
4l hietograma de intensidades )uede obtenerse del histograma de )reci)itaciones, dividiendo la altura de )reci)itaci#n de cada barra entre el intervalo :t ue dura la misma. mbos ti)os de histogramas son euivalentes. 8
I0 60 P0 20 t
1
2
J
Wig. P. ietograma de intensidades
Los hietogramas se utili+an en los modelos de lluviaNescurrimiento. *.) INTENSIDAD MEDIA MIMA PARA PERÍODOS DE DURACI'N DIFERENTES
20
=ara una duraci#n %t dada
% p de la altura de %t
lluvia recogida % ) en esta duraci#n es una funci#n de %t, cuyo valor disminuye cuando %t aumenta. 4l inter's de esta noci#n de intensidad media m(ima corres)ondiente a un intervalo de tiem)o %t y reside en lo siguiente 4n igualdad de intensidad, las lluvias ue ocasionan el caudal m(imo en un )unto de la red de drenaje, son auellas cuya duraci#n de )reci)itaci#n es )or lo menos igual al tiem)o ue necesitara el agua )ara escurrir desde el elemento m(s alejado de la cuenca vertiente en cuesti#n hasta el )unto considerado ese tiem)o es llamado Q tiem)o de concentraci#nR de la cuenca )uede variar de unos minutos a una # algunas horas. Si la lluvia contin/a indefinidamente con la misma intensidad m(s all( del Qtiem)o de concentraci#n tcR, el caudal en la salida ser( constante. =ara construir construir las curvas 8ntensidad 8ntensidad 9 "uraci#n "uraci#n 9 Wrecuencia, Wrecuencia, interesa interesa calcular calcular )reviament )reviamentee las intensidades m(imas )ara K, 10, J0, 60 y 120 minutos de duraci#n, dentro del tiem)o total de duraci#n de una tormenta. =ara esto )rimero se ordena en forma decreciente las intensidades m(imas, instant(neas, calculadas anteriormente, con sus res)ectivos tiem)os )arciales. Cuadro J 8ntensidades ordenadas en forma decreciente $ %t
4isten dos casos Cuando Cuando eell tiem)o tiem)o )arcial )arcial tabul tabulado ado de la la intensi intensidad dad m(i m(ima, ma, es mayo mayorr o igual igual al tiem)o tiem)o de duraci#n reuerido. 4n este caso le corres)onde la misma intensidad. =or ejem)lo si se reuiere la intensidad m(ima )ara una duraci#n de K minutos, se determina tomando la corres)ondiente a un %t & K min, ue es el de una duraci#n de 10 min., es decir segn el cuadro J $KY $10Y 21.0 mm;hr. Cuan Cuando do el tiem) tiem)oo )arcia )arciall tabulad tabuladoo de la inten intensi sida dadd m(ima m(ima,, es meno menorr ue el tiem tiem)o )o de duraci#n reuerido. =or ejem)lo si se reuiere la intensidad m(ima )ara una duraci#n de J0 minutos, se determina sumando las )ro)orciones " J0
<10! <21.0!
4s decir
21
210 U0 U0 J0
1J.0
mm ; !r
t $ t $ t $ 2 2 n n " t 1 1 t
donde t t1 5 t 2 5 ... 5 tn y tn es menor o igual ue el tiem)o tabulado )ara ue la suma arroje el valor QtR reuerido. s, )ara una duraci#n de 60 minutos es " 60
<10 ! < 21 .0!
Winalmente, )ara una duraci#n de 120 minutos es " 120
<10! <21.0!
6.1mm ; !r
*.* ANLISIS DE FRECUENCIAS DE LAS TORMENTAS
=ara determinar la frecuencia con ue una determinada tormenta se )uede re)etir en el tiem)o, es necesario contar con un registro )luviogr3fico de no menos de 20 a-os, del cual se obtiene las intensidaes medias m3imas )ara duraciones de K, 10, J0, 60 , 120 minutos u otras diferentes. )artir del registro de )reci)itaciones diarias de la estaci#n, se busca en cada a-o los 2, J $ P d&as de mayor )reci)itaci#n de cada a-o, )ara )roceder a anali+ar sus )luviogramas res)ectivos. 4stos resultados se tabulan en orden cronol$gico como )uede verse en el cuadro P. =ara determinar la frecuencia, el siguiente )aso es ordenar en forma decreciente inde)endiente del a-o de registro y a)licar la e)resi#n <2! Cuadro P 8ntensidades m3imas
AG a-os 1 2 J P K 6 F I U 10 11 12 1J 1P 1K 16 1F 1I 1U 20 21
Su)$ngase ue )or definici#n un evento etremo ocurre si una variable aleatoria es mayor o igual ue un cierto nivel t. 4l intervalo intervalo de recurrencia recurrencia t es el tiem)o entre ocurrencias de t . =or ejem)lo si t 100 mm;hr mm;hr )ara una duraci$n duraci$n de K minutos, minutos, )uede verse verse ue la intensidad intensidad m3ima ecede este nivel tres veces durante el )er&odo de registro
=romedio I.K
2P
t
1F I.K a#os 2
=or consiguiente, el )er&odo de retorno de un evento con una magnitud dada )uede definirse como el intervalo de recurrencia )romedio, en a-os, entre eventos ue igualan o eceden una magnitud es)ecificada. La )roba )robabil bilida idadd ) = < < t ! de ocurrencia del evento t en cualuier observaci#n )uede relacionarse con el )er&odo de retorno. =ara cada observaci#n eisten dos resultados )osibles ya sea Q*itoR t <)robabilidad )! o QfallaR t <)robabilidad 1N )!. "ebido a ue las observaciones son inde)endientes, inde)endientes, la )robabilidad de un intervalo intervalo de recurrencia de duraci$n t es el )roducto de las )robabilidades de tN1 fallas seguidas )or un *ito, es decir <1N)! tN1 ) y el valor es)erado )ara t est3 dado )or $
x
t 1 p
t 1
t 1
p
1 p
Luego 4 1;) es decir, la )robabilidad de ocurrencia de un evento en cualuier observaci#n es el inverso de su )er&odo de retorno P < X & x t !
1 T
=or ejem)lo, la )robabilidad de ue la intensidad m3ima )ara una duraci$n de K min, en la estaci#n . Deber eberba baEe Eerr sea sea igua iguall o ece eceda da 100 100 mm;h mm;hrr en cual cualu uie ierr a-o a-o es a)ro a)roi ima mada dame ment ntee p
1 1 0.11I t I.K
Cu3l es el )er&odo de retorno )ara la intensidad de 101 mm;hr y K min de duraci$n del cuadro K Soluci$n "e las e)resiones <2! y
T
N 1 m
, es decir > 26;J I.F a-os
Cu3l es la )robabilidad )robabilidad de ue un evento con )er&odo )er&odo de retorno retorno de > a-os ocurra al menos una ve+ en A a-os . 4sto reuerir&a una secuencia de A QfallasR sucesivas, de tal manera ue = < t cada a-o durante A a-os! <1N )! A 4l com)lemento de esta situaci#n es el caso reuerido, es decir = < t al menos una ve+ en A a-os ! 1 9 <1 9 )! A
Como ) 1;>, = < t al menos una ve+ en A a-os ! 1 9 <1 9 1;>! A
Do!de J es e/ r#es@o de 4a//a , ue re)resenta el )eligro o la )robabilidad de ue el evento
considerado sea su)erado )or eventos de magnitudes mayores. Con este )ar(metro es )osible determinar cuales son las im)licancias de seleccionar un )erodo de retorno dado )ara una obra ue tiene una vida /til de A a-os.
2K
La 2#da 2#da 0#/ 0#/ 8N; 8N; de $!a $!a o6ra o6ra <#dr <#dr&$ &$/#" /#"aa es un conce)to econ$mico en relaci$n con las
de)reciaciones y costos de las mismas. mismas. La QvidaR de las estructuras debe ser la m3ima )osible )ara contribuir a la buena gesti#n de recurso h&drico. Cu3l es la )robabilidad de ue en la estaci#n . DeberbaEer la intensidad media m3ima eceda 100 mm;hr )ara una duraci$n de K minutos, al menos una ve+ durante los )r$imos 2K a-os
Soluci$n Se ha visto ue = <8 100 mm;hr mm;hr en cualuier a-o! 0.11I, 0.11I, luego segn la e)resi#n
IV. IV. CURVAS CURVAS INTENSIDAD FRECUENCIA DURACI'N
4s )osible )lotear una curva ue relacione la intensidad m3ima, el )er&odo de retorno y la duraci$n de la tormenta. Se han reali+ado estudios de series de aguaceros aguaceros cuyos resultados se han sinteti+ado en f$rmulas, tales como A ; F>r%$/a de Ta/6o0 "
a
b t
"onde 8 8ntensidad m3ima. a, b =ar(metros ue de)enden de)enden de la )reci)itaci#n local y del )er&odo de retorno. t "uraci$n de la tormenta. Cu3l es la intensidad m3ima )ara un )er&odo de retorno de 10 a-os y una duraci$n de PK min, )ara la siguiente informaci#n
26
t
10 112
J0 KU
> 10 a-os. raficar la curva 8 9 W 9 ".
60 J6
120 22
Soluci$n Segn la e)resi#n
2U1K.66 1U.KU t
=ara t PK min, 8 PK.1 mm;hr. T! W$rmula usada usada en ?S "
% T m
t t 0 n
2F
V. FLUJO DE LOS RIOS
4l flujo en un cauce natural es muy com)lejo debido a su morfologa y al trans)orte de agua y s$lidos de acuerdo a su )endiente y los materiales de su lecho. Se )uede clasificar el flujo de un r&o como tridimensional, turbulento y variado no )ermanente. 4n un tramo de longitud muy )eue-a se a)lica f(cilmente la ecuaci#n de la energ&a. 4isten diversos m*todos )ara medir la descarga de agua en un r&o o canal. =ara conocer el caudal a lo largo del tiem)o se establece una relaci$n entre la )rofundidad del agua y el caudal. esta relaci$n se le conoce como curva )rofundidadNcaudal )rofundidadNcaudal o curva de aforo. aforo. -.) MEDICI'N DE NIVELES ( DE CAUDALES
Las mediciones suelen hacerse, como en el caso de las )reci)itaciones, una ve+ al d&a. La )recisi$n de las lecturas de los niveles es la centmetro, y ece)cionalmente al milmetro. Los m*todos habitualmente utili+ados )ara determinar el caudal son N Bedic edici$ i$nn dir direc ecta ta )or )or ca)a ca)aci cida dad. d. N 4)lor 4)loraci aci$n $n del del cam)o cam)o de veloci velocidad dades es con con corren corrent$m t$metr etroo o molinet molinete. e. N "ilu "iluci$ ci$nn med media iant ntee tra+ tra+ad ador ores es u& u&mi mico cos. s. N Bediante Bediante dis)ositivo dis)ositivoss hhidr3u idr3ulicos, licos, tales como vertedero vertedero y aaforad forador or =arshall. =arshall.
Cuadro F B*todos utili+ados )ara medir caudales 2I
T#po de "$rso de a@$a
M0odo $0#/#=ado
%&os kuebradas y arroyos randes canales =eue-os canales Banantiales
Se reali+an aforos )or el m*todo de diluci$n mediante tra+adores u&micos, fluorescentes o isot$)icos. < referencia referencia del tema ydrology ydrology in =ractice )or 4li+abeth B. ShaE, ShaE, )3g. U6N1J0!
-.* CURVA CURVA COTACAUDAL COTACAUDA L
La relaci$n cotaNcaudal de una secci$n )ermite calcular la descarga ue corres)onde a una altura dada de agua. 4sta relaci$n es determinada )or una re)resentaci#n a)roimada del tra+o de la curva de calibraci#n, hecha a )artir de los resultados de las mediciones y a)oyada en el an(lisis de los )ar(metros de escurrimiento. h
h2 h1
k1
k2
k
Wig. K. K. Curva cotaNcaudal cotaNcaudal
N
Worma e e)onencial n & a ! !o
Worma )olin$mica
& a o a1 ! a 2 ! ... a n ! n 2
-.+ HIDROGRAMA
?n hidrograma hidrograma es una gr3fica caudal caudal vs. >iem)o >iem)o ue mostrar3 la tasa de flujo como funci$n funci$n del tiem)o en un lugar dado < en la secci#n de aforo!. Segn ChoE el hidrograma es una e)resi#n integral integral de las caracter&stica caracter&sticass fisiogr3fic fisiogr3ficas as y clim3ticas clim3ticas ue rigen las relaciones entre la lluvia lluvia y la escorrent&a de una cuenca de drenaje )articular.
2U
4isten dos ti)os de hidrogramas de es)ecial inter*s el hidrograma anual y el hidrograma de una tormenta. -.+.) HIDROGRAMA ANUAL
4l hidrograma anual es una gr3fica de caudal vs. >iem)o en un a-o, muestra el balance de largo )la+o de la )reci)itaci#n, la eva)oraci#n y el caudal en una cuenca. 4l volumen total de flujo <3rea bajo la gr3fica del hidrograma anual! anual! es la ca)acidad de la cuenca. 4isten tres ti)os )rinci)ales de hidrogramas anuales, segn el ti)o de r*gimen de flujo del r&o o la corriente anali+ada. a! %*gimen de flujo cont&nuo cont&nuo Caracter&stico de climas hmedos. hmedos. Los )icos ue ue se originan )or las las tormentas se conocen como escorrent&a directa o flujo r3)ido, mientras ue el flujo con )ocas variaciones en los )er&odos sin lluvia se llama flujo base. La mayor )arte de la ca)acidad de la cuenca )ara este ti)o de r&os )roviene del flujo base, lo cual indica ue una gran )ro)orci#n de la lluvia se infiltra en la cuenca y alca+a el r&o m3s tarde como flujo subNsu)erficial. b! %*gimen ef&mero 4isten largos )er&odos durante los cuales el r&o est3 seco. La mayor )arte de la lluvia se convierte en escorrent&a directa y )resenta muy )oca infiltraci#n. 4n este caso, la ca)acidad de la cuenca es el resultado de la escorrent&a directa de tormentas grandes. c! %*gime %*gimenn nival nival 4n este este caso el r&o se alimenta alimenta )or )or el derretim derretimien iento to de nieve, nieve, creando creando un hidrograma ue var&a de manera m3s suave a lo largo del a-o. -.+.* HIDROGRAMA DE TORMENTA
4n los hidrogramas hidrogramas anuales se observan observan )icos de crecientes crecientes.. 4stos re)resentan re)resentan tormentas, tormentas, ue son evento eventoss )un )untua tuales les.. ?n hidrog hidrogram ramaa de tormen tormenta ta )resen )resentar tar33 en detalle detalle de manera manera gr3fic gr3ficaa las consecuencias en el caudal del evento de )reci)itaci#n ocurrido.
k
T recesi$n de flujo base. TC segmento de aumento. C caudal )ico. C" segmento de disminuci$n. "4 recesi$n de flujo base.
C
T
"
4 t
Wig. 6. idrograma generado )or una tormenta tormenta
J0
Wig. F. idrograma mostrando la se)araci$n se)araci$n del flujo base
-., FLUJO ?ASE
4l flujo base se observa en el hidrograma anual. k
=unto de uiebre =unto final de recesi$n
k0 kt
t n d&as to 0
tn
Wig. I. Wlujo base de un a-o hidrol$gico
4l a-o hidrol$gico en el =er se inicia el mes de setiembre. La curva de abatimiento normal o curva de recesi$n de flujo base, usualmente toma la forma de decaimiento e)onencial &t &o e t
<4cuaci#n de Baillet!
"onde kt caudal caudal base en el tiem)o t. Caudal base en el tiem)o t to 0. e 2.F1IJ X Coeficiente de descenso descenso $ coeficiente de descarga, en
log &o
log &t
t log e
J1
Con la e)resi#n
r&o
A.W. A.W.
reserva
reserva
Wig. U. Wlujo base en un r&o Re I6.P
&o
"onde ko Caudal base en el tiem)o t0, en l.).s. X Coeficiente Coeficiente de descarga, descarga, en dias diasN1. %e %eserva, en mJ. -.,.* SEPARACI'N SEPARACI'N DE FLUJO ?ASE
>omando un hidrograma generado )or una tormenta, es )osible se)arar el flujo base, )or m*todos gr3ficos. 4l m*todo de la l&nea recta Consiste en dibujar una l&nea hori+ontal desde el )unto en el cual em)ie+a la escorrent&a directa su)erficial hasta la intersecci$n con el segmento de recesi$n. 4ste m*todo es a)licable a las corrientes ef&meras. ?na mejora a este an(lisis consiste en usar una l&nea inclinada )ara conectar el )unto de inicio de la escorrent&a su)erficial con el )unto en el segmento de recesi$n del hidrograma en el cual se reinicia el flujo base. 4l m*todo del flujo base fijo Se su)one su)one ue la escorrent&a escorrent&a su)erficial su)erficial termina en un tiem)o fijo A des)u's del )ico del hidrograma. 4l flujo base antes de ue em)iece la escorrent&a su)erficial se )royecta hacia adelante hasta alcan+ar el momento del )ico. Luego se utili+a una l&nea recta )ara conectar esta )royecci$n en el momento del )ico con el )unto en el segmento de recesi$n, A d&as des)u's des)u's del )ico. Como una regla )r3ctica, )r3ctica, este tiem)o A en d&as, )uede a)roimars a)roimarsee )or A 0.2 2 0.I2F < en m ! k
C A
T
"
4 t
Wig. 10. Se)araci$n de flujo base fijo en un hidrograma hidrograma
4l m*todo de Tarnes 4n este caso se conoce la ecuaci#n de la curva de agotamiento ue al tra+arse en )a)el semilogar&tmico ser3 una recta de )endiente 9 X . =or tanto, re)resentado el hidrograma en
J2
)a)el semilogar&tmico la )arte final es una recta. =rolongando la recta ue )asa )or el )unto de inflei#n Q4R se obtiene el )unto QR. Se une QR con QBR y ueda desglosada el flujo subterr3neo.
logk 4 B
ko
t Wig. 11. 11. Se)araci$n en un hidrograma utili+ando utili+ando la curva curva de agotamiento agotamiento
-.,.+ HIDROGRAMAS COMPLEJOS Ao siem)re se )uede obtener el hidrograma corres)ondiente a una tormenta aislada, y frecuentem frecuentemente ente hay la necesidad necesidad de consider considerar ar e1 ue resulta resulta de la influencia influencia de dos tormentas tormentas se)aradas. 4n este caso se deben individuali+ar individuali+ar los hidrogramas de cada tormenta, antes de se)arar el flujo base base de la escorrent escorrentaa directa. directa. Wrecuentem Wrecuentemente ente las curvas curvas de de recesi#n recesi#n de la escorren escorrenta ta direct directaa se dibujan dibujan tomando tomando como base un estima estimado do de su duraci# duraci#n, n, )or com)ara com)araci# ci#nn con hidrogramas aislados de otras cuencas cuencas ue tienen la misma duraci#n de la lluvia. Sin embargo, si se )udieran establecer las relaciones dadas en la Wigura 6.F se se )odra usar la ecuaci#n
JJ
Wig. 12. Se)araci$n del flujo base y de la escorrent&a directa directa en un hidrograma com)lejo
VI. INFILTRACI'N
Se denomina as& al movimiento del agua a trav*s de la su)erficie del suelo y hacia adentro del mismo, )roducido )or la acci$n de las fuer+as gravitacionales y ca)ilares. 4n el )roceso de infiltraci#n, se su)one nicialmente ue el suelo est3 seco tal ue la cantidad de agua ue )uede absorver en la unidad de tiem)o
"onde 8 8ntensidad, mm;hr. f ) Ca)acidad de infiltraci#n del suelo, mm;hr. l avan+ar el tiem)o, si la lluvia es intensa, contina hasta originar charcos y comien+a el flujo sobre la su)erficie. este instante se le llama tiem)o de encharcamiento y se denota con t ). "es)u's del tiem)o de encharcamiento, si la lluvia sigue siendo intensa, las fuer+as ca)ilares )ierden im)ortancia frente a las gravitatorias. 4l contenido de humedad del suelo aumenta y la ca)acidad de infiltraci#n disminuye con el tiem)o. dem3s, bajo estas condiciones, la infiltraci#n se hace inde)endiente de la variaci#n en el tiem)o de la intensidad de la lluvia, en tanto ue *sta sea mayor ue la ca)acidad del transmisi#n del suelo, de manera ue 8 f ) si si t t ) ) donde f) decrece con el tiem)o. Los factores ue afectan la ca)acidad de infiltraci#n son N >etur tura del suelo. N Cont Conten enid idoo de de hum humed edad ad inic inicia ial.l. N Cont Conten enid idoo de de hum humed edad ad de satur saturac aci# i#n. n. N Cobertura vegetal.
JP
N N N N N N
?so del suelo. ire atra)ado. Lav Lavado ado de mate materi rial al fino fino.. Com)actaci$n. >em)eratura. >urbi >urbide+ de+,, salin salinida idadd y viscos viscosida idadd del fluido fluido..
B.) MÉTODOS PARA DETERMINAR LA CAPACIDAD CAPACIDAD DE INFILTRACI'N INFILTRACI'N Suelo ti)o 1
Cuenca Suelo ti)o 2
Wig. 1J. ^onificaci$n de una cuenca )ara estudio locali+ado locali+ado de la infiltraci$n .
B.) MÉTODOS DIRECTOS B.).) INFILTR'METRO INFILTR'METRO DE CILINDROS
Consiste em dos cilindros met(licos conc*ntricos. 4l cilindro interior tiene de 22 a J0 cm de di(metro )or J0 cm de altura, el cual se inca a gol)es en el suelo a una )rofundidad ue var&a entre 10 a 1K cm. 4l cilindro eterior tiene tanto un di(metro de J0 cm como una altura de 1I cm m3s ue el interior, el cual se entierra unos K a 10 cm en el suelo. 4l em)leo consiste en verter agua en ambos cilindros )ara crear una l3mina de agua ue desciende debido a la infiltraci#n. Las lecturas se reali+an en el cilindro interior, inicialmente con un intervalo de 1 a J minutos luego de efectuadas las tres a cinco )rimeras lecturas )uede aumentarse en intervalo de tiem)o de K a 10 minutos y transcurrida la )rimera y segunda hora, )ueden ser intervalos de J0 minutos. "ebe re)onerse al agua en los cilindros en forma simult3nea sin )ermitir ue descienda hasta el nivel del suelo. B.).* MÉTODO DE DE PORCHET 8"#/#!dro 8"#/#!dro e"a2ado e! e/ e/ s$e/o;
Se ecava en el suelo un hoyo cil&ndrico de radio Q%R y )rofundidad )or ejem)lo de 60 cm <)uede ser otro valor!, sin llegar a la na)a fre3tica. La su)erficie a trav*s de la cual se infiltra el agua es S % <2h 5 % !
JK
' R 2! R ' p ' R 2
"e donde ' p
R 2
(n
d! dt
2 !1 R 2!2 R
f ) f c 5
"onde f) Ca)acidad Ca)acidad de infiltraci$n en el instante t. fc [alor constante de la ca)acidad de infiltraci#n ue se alcan+a al cabo de cierto tiem)o t. fo [alor [alor m3imo de la ca)acidad de infiltraci#n al comien+o de la lluvia < t 0 !. e 2.F1IJ O Constante ue de)ende del ti)o de suelo iem)o transcurrido desde el inicio inicio de la lluvia. f )
f o
f c Wig. 1P. Curva de infiltraci#n de un suelo segn orton
t
Cuadro I lgunos valores de fo, fc y O )ara usarse en la ecuaci$n de orton
>i)o de suelo grcola normal N "esnudo N Cubierto de vegetaci$n >urba renoNarcilloso N "esnudo N Cubierto de vegetai$n
fo
fc
O
2I0 U00 J 2K
6 9 220 20 N 2U0 2 N 20
1.6 0.I 1.I
210 6F0
2 9 2K 10NJ0
2.0 1.P
8ntegrando la ecuaci#n de orton se tiene
J6
" ' o ' c )t 1 e ! )
F ' c t
<
P6 ! La ue re)resenta la infiltraci#n acumulada, acumulada, e)resada en l3mina, en un un tiem)o t. B.*.* ECUACI'N DE OSTIAOV ( PHILIP *"
% t n
"onde [8 [elocidad elocid ad de infiltraci#n, infilt raci#n, en cm;hr 60 a c a =endiente de la recta de la l3mina infiltrada, infiltrada, acumulada, dibujada en )a)el bilogar&tmico. bilogar&tmico. c L3mina infiltrada en tiem)o de un minuto, en cm. 4scala log L L(mina acumulada, en cm. t >iem)o acumulado, en min. a ^;
L ^ 0 .1
c 1
Wig. 1K.
10 0
t 4scala log
100
=ar(metros de la ecuaci#n de ostiaOovN=hili)
JF
VII. RELACI'N PRECIPITACI'N PRECIPITACI'N ESCORRENTÍA
Cuando ocurre una tormenta en una 3rea de la cuenca, la )reci)itaci#n total Q=)R se re)arte segn la siguiente e)resi#n =) 5 4> 5 W 5 S 5 =) neta
< PI !
"onde =) =reci)itaci#n total. %etenci$n en el follaje. 4> 4va)oraci#n 5 >rans)iraci#n. >rans)iraci#n. W 8nfiltraci#n. S StocO de agua agua almacenad almacenadaa en las de)resione de)resioness del terreno terreno ue contrib contribuye uye la infiltrac infiltraci#n i#n y eva)oraci#n. =)neta =reci)itaci#n neta $ )reci)itaci#n efectiva <=e! $ escurrimiento. 4l escurrimiento se )uede resumir de la siguiente manera 4scurrimiento =reci)itaci#n total 9 =*rdidas La infiltraci#n constituye, en general, general, el t*rmino )redominante de las =*rdidas. =*rdidas. .) COEFICIENTE DE ESCURRIMIENTO
4s la relaci$n entre la )reci)itaci#n efectiva y la )reci)itaci#n total. C
Pe
< PU !
Pp
La )reci)itaci#n efectiva <=e! se )uede obtener mediante el hietograma de intensidades y la curva de infiltraci#n
JI
8, f b
I0 60 P0 20
=e
bsorci$n 0
1
t
J
Wig. 16. =reci)itaci#n efectiva de una tormenta
=e < 8 9 f b b ! :t
< K0 !
4l hietograma de la lluvia neta de una cuenca <=e! se relaciona con el hidrograma registrado en una secci$n de su cauce )rinci)al.
8
t
bsorci$n C.
C.. Centro de gravedad de la lluvia neta.
Lluvia neta
>iem)o de res)uesta k >iem)o de crecida
t
>iem)o base >iem)o de concentraci$n
Wig. 1F.
ietograma e hidrograma de una tormenta .
.* TIEMPO DE CONCENTRACI'N 80";
4s el tiem)o transcurrido desde el final de la lluvia neta y el final de la escorrent&a directa. %e)resenta el tiem)o ue tarda en llegar al aforo la ltima gota de lluvia neta ca&da en el )unto m3s alejado de la cuenca y ue circula )or escorrent&a directa. 4l tiem)o de concentraci#n debe incluir los escurrimientos sobre terrenos, canales y los recorridos sobre la misma estructura ue se dise-a. 4l tiem)o de concentraci#n se )uede determinar de las siguientes maneras ! Bedida directa usando tra+adores N "urante una lluvia intensa, colocar un tra+ador radiactivo en la divisoria de la cuenca. N Bedir el tiem)o ue toma el agua )ara llegar al sitio de inter*s
JU
N 7btener la ca)acidad m3ima de descarga de cada tramo utili+ando el m*todo de secci$n y )endiente. N Calcular la velocidad media corres)ondiente a la descarga m3ima de cada tramo. N ?sar la velocidad media y longitud del tramo )ara calcular calcular el tiem)o de recorrido de cada tramo. tramo. N Sumar los tiem)os recorridos )ara obtener t c. C! 4stimando velocidades N Calcular la )endiente media del curso )rinci)al, dividiendo el desnivel total entre la longitud total. N "e la tabla escoger el valor de la velocidad media en funci$n a la )endiente y cobertura. N ?sando la velocidad media y la longitud total encontrar tc. Cuadro U [elocidades medias de escurrimiento )or laderas
[egetaci#n densa o cultivos 2K K0 60
1 K N 20
F0
=astos =astos o vegetac vegetaci#n i#n ligera P0 F0 U0
110
Sin vegetaci$n F0 12 0 1K 0
1I 0
"! ?sando f$rmulas em)&ricas N W$rmula de ir)ich t c
" (J 0.01UK ! +
0.JIK
<
K1 ! "onde >c >iem)o de concentraci#n, en min. L B3ima longitud del recorrido, en m. "iferencia de elevaci#n entre los )untos etremos del cauce )rinci)al, )rinci)al, en m. N W#rmula de eorge %ivero t c
16 (
1.0K 0.2 P 100 S 0.0P
iem)o de concentraci#n, en min. L Longitud del canal )rinci)al, en Om. = %elaci$n entre el el 3rea cubierta de vegetaci#n y el 3rea 3rea total de la cuenca, cuenca, admensional. S =endiente =endiente media del canal )rinci)al, en m;m. N W$rmula del SCS 0.I0
0.02IF2 ( t c
" 1000 U ! N
1.6F
S 0.K0
"onde tc >iem)o de concentraci#n, en min. L Longitud del del canal )rinci)al, )rinci)al, en m, y se define define mediante 0.60 L 110 rea rea de la cuenca, en has <1000 <1000 has.! A Amero de curva, adimensional adimensional
P0
VIII. EVAPOTRANSPIRACI'N
La eva)otrans)iraci#n es la eva)oraci#n desde todas las su)erficies combinadas con la trans)iraci#n de las )lantas. 4ce)to )or la omisi#n de una cantidad des)reciable de agua utili+ada en las actividades metab#licas, la )reci)itaci#n es la misma ue el uso consuntivo de agua. .) EVAPOTRANSPIRACI' EVAPOTRANSPIRACI'N N POTENCIAL
"ado ue la tasa de eva)oraci#n desde una su)erficie )arcialmente h/meda esta afectada )or la naturale+a del suelo es aconsejable considerar )rimero el caso en ue el suministro de agua es ilimitado. 4sto lleva al conce)to de eva)otrans)iraci#n )otencial, ue =enman <1UK6! define como la cantidad de agua trans)irada en unidad de tiem)o )or un cultivo bajo ue cubre totalmente el suelo, de altura uniforme y al ue nunca le falta agua. 4sta definici#n necesita ser am)liada y calificada en tres as)ectos es)ecifica el cultivo bajo, bajo, =enman discuti# discuti# ue cuando la cobertura cobertura es com)leta, com)leta, la Pr#%ero: no es)ecifica
eva)oraci#n )otencial est( determinada )or el tiem)o, y no est( afectada )or la es)ecie vegetal ue se encuentra en el suelo. 4sta idea se ha com)robado )ara la mayora de los vegetales. =or ejem)lo Tavel
sombrea totalmente el suelo cuando interce)ta toda la energa radiante. 4n verdad a/n un cultivo denso y alto con un elevado ndice foliar )uede absorber como m(imo un UKM de la radiaci#n ue llega., grandes diferencias en el crecimiento vegetativo solo )ueden causar )eue-as diferencias en la tasa de eva)otrans)iraci#n cuando la humedad del suelo es adecuada, esto se com)rob# en trigo. tri go.
Ter"ero: =enman no es)ecifica el cam)o o las condiciones de las (reas circundantes. 4n otras
)alabras no se hace ninguna )rovisi#n )ara el efecto de la energa. 4l clima donde la eva)oraci#n se lleva a cabo es lo ue 'l llama el ambiente en medio del oc'ano, donde la energa no es im)ortante.
P1
Sin embarg embargoo en climas climas (ridos (ridos o semi(r semi(rido idoss la eiste eistenci nciaa de grande grandess cantida cantidades des de energ energa a transforma el conce)to de eva)otrans)iraci#n )otencial, tal como se defini# mas arriba, es ineacto y )oco realista. Si la eva)otrans)iraci#n )otencial reuiere una etensa su)erficie eva)orante o la ausencia de energa, el clima no es (rido. =ruitt <1U60! ide# el t'rmino eva)otrans)iraci#n )otencial m(ima )ara describir la situaci#n en la ue eiste energa. .* NECESIDADES DE AGUA DE LOS CULT CULT IVOS
La determinaci#n de las necesidades de agua de los cultivos es un )aso )revio )ara establecer los vol/menes de agua ue ser(n necesarios a)ortar con el riego. >eniendo en cuenta ue en los /ltimos a-os se ha )resentado la necesidad im)eriosa de etender los regados en la mayor )arte de las +onas (ridas y semi(ridas del mundo, son numerosas las investigaciones ue se est(n reali+ando )ara determinar con la mayor )recisi#n )osible estas necesidades. Las #!2es0#@a"#o!es 1 e!sa1os se d#r#@e! e! dos se!0#dos:
p=redeterminaci#n de necesidades a )artir de f#rmulas em)ricas p"eterminaci#n de necesidades a )artir de mediciones directas 4ntre los m'todos investigados )ara determinar estas necesidades, ui+(s sean los m(s utili+ados los ue ue se basa basann en la eva) eva)ot otra rans ns)i )ira raci# ci#n. n. 4l conc conce) e)to to de eva) eva)ot otra rans ns)i )ira raci# ci#nn como como suma suma de trans)iraci#n de la )lanta y de la eva)oraci#n en suelo y )lanta, ha dado lugar a numerosas f#rmulas de uso frecuente ante las dificultades ue )lantean las determinaciones directas. La diversidad de criterios em)leados )ara el c(lculo de la eva)ortrans)iraci#n )or diversos autores, obliga a conocer los fundamentos de los c(lculos utili+ados en cada caso )ara ue de esta manera, al a)licar estas f#rmulas en diferentes condiciones de medio y cultivo, se haga con la m(ima )recisi#n. La ada)taci#n de las f#rmulas de eva)otrans)iraci#n )ara uso en la determinaci#n de las necesidades de agua de las cosechas y, )osteriormente, su a)licaci#n al riego obliga a establecer las tres eta)as siguientes (
abitualmente, a )artir de datos meteorol#gicos y mediante f#rmulas em)ricas, se determina 'sta, ue W7<1UF6! define q la tasa de evapotranspiración de na sper'icie extensa de -ram.neas
Determinación de la evapotranspiración evapotranspiración de un cultivo de referencia (ETo): (ETo):
verdes de / a 01 cm de altra ni'orme2 de crecimiento activo2 3e sombrean totalmente el selo y en capacidad de campo45
4l m'todo de c(lculo a utili+ar vendr( determinado )or los datos de clima y suelo dis) dis)on onib ible less y )or )or las las cond condici icion ones es )art )articu icula lare ress de uso uso de las las f#rm f#rmul ulas as,, ya ue ue unas unas )ro)orcionan mayor eactitud eactitud ue otras, seg/n las circunstancias. circunstancias. (
Determinación de la evapotranspiración evapotranspiración de cada especie especie cultivada (ETc): (ETc):
4sta se determina mediante el em)leo de coeficientes de cultivo <c! ue corres)onden a la relaci#n entre la eva)otrans)iraci#n del cultivo de referencia <4>o! <4>o! y la q de na determinada especie cltivada2 exenta de en'ermedades2 3e crece en n campo extenso2 en condiciones óptimas de selo2 en el 3e se !a lle-ado a n potencial de m6xima prodcción 4
1UF6!.
.+ EL CLIMA COMO FACTOR DE DEMANDA POTENCIAL DE AGUA
P2
La eva)oraci#n es el )roceso fsico )or el cual el agua e)erimenta un cambio de fase, luido a gas, y es transferido a la atm#sfera circundante. La trans)iraci#n es la eva)oraci#n de agua en los organismos vivos, incluyendo las )lantas. La eva)otrans)iraci#n es la eva)oraci#n simult(nea desde un suelo cubierto de vegetaci#n y desde los tejidos de las )lantas, )rinci)almente hojas. 7curre eva)oraci#n cuando eiste energa )ara cambiar de fase luida a gaseosa, cabida en la atm#sfera )ara albergar el va)or des)rendido de la su)erficie su)erficie y remoci#n del va)or de agua acumulado sobre la su)erficie. La va)ori+aci#n de un centmetro c/bico o un gramo de agua absorbe a)roimadamente uinientas ochenta caloras, este es el calor latente de eva)oraci#n. Las fuentes de energa )ara la eva)oraci#n son radiaci#n solar, radiaci#n solar de onda larga de la atm#sfera u otros cuer)os terrestres y el calor sensible del aire ue rodea la su)erficie h/meda, si 'sta tiene menor tem)eratura ue auel. La remoci#n de va)or junto a la su)erficie ocurre )or sim)le difusi#n, )or convecci#n es)ont(nea, y m(s frecuentemente )or la convecci#n for+ada )romovida )or la turbulencia del aire. Los factores clim(ticos ue causan la eva)otrans)iraci#n )otencial son la radiaci#n solar y terrestre la tem)eratura del aire la humedad relativa y el viento. BeOammel y Truce en1U60 han encontrado ue la im)ortancia relativa de la radiaci#n, humedad y viento en la determinaci#n de eva)oraci#n de tan tanue ue est( est( relac relacio iona nada da I06 I061P 1P,, res) res)ec ectitiva vamen mente te.. Ao tuvi tuvier eron on en cuen cuenta ta la tem) tem)er erat atur ura, a, )osiblemente debido a ue la misma est( afectada, en gran medida )or la radiaci#n. unue este an(lisis estuvo basado en datos de eva)oraci#n de tanue los resultados serian a)roimadamente los mismos )ara la eva)otrans)iraci#n )otencial. 4n cualuier caso la radiaci#n es el factor dominante. La demanda de va)or )or )arte de la atm#sfera es m(ima cuando los cuatro factores )romotores de la eva)oraci#n coinciden en sus m(imos valores. =enman y Schefield en 1UK1 dieron tres causas )or las cuales la eva)otrans)iraci#n )otencial de un cultivo bajo es menor ue la eva)oraci#n desde una su)erficie libre de agua el mayor albedo de la vegetaci#n, el cierre estom(tico nocturno, y la resistencia de los estomas a la difusi#n. La eva)otrans)iraci#n )otencial es a)roimadamente el FKM de la eva)oraci#n desde el agua libre. ., LA VEGETACI'N COMO FACTOR FACTOR DE DEMANDA REAL DE AGUA
Las )lantas se com)ortan fsicamente como un com)lejo sistema de su)erficies eva)orantes. La morfologa de la vegetaci#n altera las caractersticas de la atm#sfera su)erficial y establece un microclima o fitoclima. Las caractersticas ecofisiol#gicas ue determinan el fitoclima son auellas relacionadas con la absorci#n, reflei#n y transmisi#n de energa radiante, y las ue afectan la turbulencia o velocidad del aire entre las hojas. 4ntre las )rinci)ales caractersticas vegetales albedo o coeficiente de reflei#n, la inclinaci#n, tama-o, forma y densidad del follaje, la altura y fleibilidad de las )lantas. 4l fitoclima se manifiesta )or la distribuci#n vertical de los )ar(metros meteorol#gicos ue afectan la eva)oraci#n. La trans)iraci#n en un estrato foliar dado <4f! de)ende del balance de energa L4 %nf f
y de las condiciones de transferencia de va)or, 4f E
y de calor f c
! entre las hojas de ese estrato y el aire circundante. L4 es el calor latente, %nf es la radiaci#n neta de las hojas, ue resulta del balance de radiaci#n entre la )lanta y su ambiente. 4n 'l intervienen fen#menos de reflei#n, transmisi#n y absorci#n de energa radiante a trav's del follaje E y c son los coeficientes de transmisi#n de va)or y de calor en el estrato f y de)enden del r'gimen de vientos y )ro)iedades aerodin(micas de la vegetaci#n. 4l
PJ
intercambio de calor f est( )romovido )or la diferencia de tem)eratura entre las hojas y el aire circundante, > si th es mayor ue >, el follaje cede al aire y el signo de f en el balance de energa es negativo si >h es menor ue > el aire cede calor y las hojas aumentan as la energa )ara eva)orar agua, cambiando el signo de f a )ositivo, si >h es igual a > no hay intercambio de calor y toda la energa )ara eva)orar es )rovista )or la radiaci#n neta. 4l intercambio de va)or 4f es )romovido )or la diferencia de )resi#n de va)or entre las hojas y el aire ue las rodea, e. La trans)iraci#n en un instante dado, 4c, es igual a la suma de la trans)iraci#n de cada uno de los estratos foliares, f, ue com)onen el cultivo. La trans)iraci#n total del cultivo durante un )erodo, 4, resulta de la contribuci#n variable de los diferentes estratos foliares en el transcurso del tiem)o, t. esta trans)iraci#n se suma la eva)oraci#n de agua desde la su)erficie del suelo, cuya intensidad tambi'n est( determinada )or los intercambios de radiaci#n y los fen#menos aerodin(micos ue se establecen en la base del cultivo. Las mismas causas y factores ue )romueven la eva)oraci#n de agua libre act/an en los suelos h/medos y en los cultivos )roduciendo la eva)otrans)iraci#n. La eva)ot eva)otran rans)i s)irac raci#n i#n o demand demandaa efecti efectiva va de los cultiv cultivos os alcan+ alcan+aa sus mayore mayoress valore valoress con vegetaci#n alta, frondosa y oscura en das largos, luminosos, des)ejados, calurosos, secos y ventosos. ventosos. 4n estos casos casos la eva)otrans eva)otrans)iraci )iraci#n #n diaria alcan+a valores de I a 12 mm )or da o m(s. Los valores mnimos se registran en cultivos bajos, ralos, de colores claros, en das cortos, nublados, fros, h/medos y calmos. 4n estas condiciones la eva)otrans)iraci#n es normalmente J mm )or da. .- EL SUELO COMO PROVEEDOR DE AGUA
?n suelo )uede retener entre 1200 y PP00 mJ < 120 y PP0 mm! de agua )or hect(rea en los I0 cm su)eriores del )erfil, des)u's ue ha sido co)iosamente humedecido, ha escurrido el ecedente su)erficial y ha cesado la )ercolaci#n )rofunda. La vegetaci#n s#lo usa una )arte de esta agua, y cuando cesa de etraerla )uede contener a/n entre K60 y 2P00 mJ )or ha
?n r'gimen )osterior cuya tasa es inferior a la demanda, y donde el a)rovechamiento est( restringido o limitado )or los factores ue afectan el flujo de agua al estado luido en el suelo y races. La humedad o el )otencial hdrico al cu(l se )roduce el cambio del )rimero al segundo r'gimen de)ende del balance entre la demanda eva)orada de las hojas
(
4n condiciones de etracci#n de agua suaves no se reuieren muchas races ni )oros muy conductores )ara satisfacer la demanda. ?na gran densidad o n/mero de races )ueden inte interc rce) e)ta tarr )rof )rofus usam amen ente te la red red )oro )orosa sa del del suelo suelo,, acor acorta tarr as as el circ circui uito to del del agua agua y contrarrestar en conjunto la baja conductividad individual de esos )oros.
PP
Wisiol#gicamente, el uso restringido del agua del suelo es normalmente desfavorable al desarrollo y )roducci#n vegetal. La #)tima )rovisi#n de agua es auella ue mantiene en el suelo el nivel de humedad sobre el )unto de marchitamiento inci)iente. .B EST IMACI'N DE LA EVAPOTRANSPI EVAPOTRANSPI RACI'N
continuaci#n se indica la f$rmula de >hornthEaite )ara estimar la eva)otras)iraci$n )otencial <4>=!. "esarrollada en los 4stados ?nidos, )ro)one la determinaci#n de necesidades de agua, mediante la estimaci#n de la eva)otrans)iraci#n )otencial <4>=!, definida como "cantidad de agua que perderá una superficie completamente cubierta de vegetación en crecimiento activo si en todo momento existe en el suelo humedad suficiente para su uso máximo por las plantas"
Los datos meteorol#gicos a utili+ar en el c(lculo de la 4>= son la tem)eratura y la heliofana. 4n )rimer lugar, a )artir de las tem)eraturas medias mensuales, se determina la denominada e2apo0ra!sp#ra"#3! s#! aK$s0ar
a
Siendo S 4va)otrans)iraci$n )otencial media, en mm;d&a t >em)eratura >em)eratura mensual, en GC 8 8ndice cal#rico anual de la +ona "
12
i
1
i
a 0,0000006FK 8J N 0,0000FF1 82 5 0,01FU2 8 50,PU2JU
4l ndice t'rmico de la +ona <8! es un valor anual ue se obtiene mediante la suma de los doce ndices de calor
C
Do!de:
C Wactor de correci$n, mensual A eliofana astron#mica )ara )ara el da medio del mes, segn la latitud latitud
PK
d Amero de d&as del mes Luego 4>= C S
4>= 4va)otrans)iraci$n )otencial en mm;mes
La f#rmula f#rmula de %%4 %%4[4S [4S es muy utili+a utili+ada da en la sierra del del =er/ done la radiaci# radiaci#nn solar es m(s notoria tiene la siguiente e)resi#n
"onde 4>= 4va)otrans)iraci#n )otencial, mm;da %a %adiaci#n %adiaci#n etraterrestre media diaria, mm;da r umedad relativa relativa media mensual, mensual, M;100 t >em)eratura em)eratur a media mensual, C 4L ltitud, m %adiaci#n etraterrestre media diaria <%B"! e)resada en euivalente de eva)otrans)iraci#n eva)otrans)iraci#n
A
"
1K.K 1K.I 16.0 16.P
1K.P 1K.F 16.0 16.K
4isten otras f$rmulas tales como N >urc N ensen a aise N =enman N Tlaney 9 Criddle La ecuaci#n de =enman contiene dos t'rminos el )rimero de energa, ue es funci#n de la radiaci#n, y el segundo aerodin(mico, ue de)ende de la velocidad del viento y de la humedad relativa de la atm#sfera. 4n condiciones meteorol#gicas de calma, el segundo t'rmino es )oco significativo, mientras ue en regiones muy secas con fuerte d'ficit de tensi#n de va)or o sometidas a vientos fueres y secos, est' t'rmino alcan+a gran significaci#n. La f$rmula de =enman es el m*todo m(s eacto de todos los ue utili+an f#rmulas em)ricas )ara calcular la eva)otrans)iraci#n, )ero tiene el inconveniente de reuerir datos meteorol#gicos de los ue no se dis)one en muchas estaciones. . EVAPOTRANSPIRACI' EVAPOTRANSPIRACI'N N REAL
P6
La eva)otrans)iraci#n )otencial es un lmite su)erior de la cantidad de agua ue vuelve a la atm#sfera. =ara determinar la eva)otrans)iraci#n real <4>r! debe tenerse en cuenta ese lmite y tambi'n el agua ue efectivamente eiste en la +ona. ?n balance hdrico, )ara un intervalo de tiem)o, )uede )lantearse as = 4>r 5 4C 5 S "onde = )reci)itaci#n 4>r eva)otrans)iraci#n real 4C ecedentes de agua r _ 4>=
Cuando se conocen los valores de la )reci)itaci#n y de la reserva de agua utili+able, las e)resiones anteriores
>anto el ti)o de cultivo como su estado de desarrollo influyen en la eva)otrans)iraci#n, cuyas diferencias diarias son )roducidas )or el cambio del clima. Cuando se desea estimar el consumo de agua de un cultivo en cualuier +ona y cualuier estado de desarrollo, se usan los denominados coeficientes de uso consuntivo <c! los ue se obtienen de la siguiente manera %c
$Tc $Tc
$TP
4l coeficiente c vara durante el )erodo vegetativo. Como consecuencia, la demanda de agua aumenta gradualmente desde la germinaci#n de la semilla hasta un m(imo en el momento de la floraci#n y formaci#n de granos. 4sta demanda m(ima )uede seguir durante algunas semanas en la mayora de los cultivos. ?na ve+ ue los granos se han formado, disminuye r()idamente el reuerimiento de agua de la )lanta. La W7 < 7rgani+aci#n de las Aaciones ?nidas )ara la limentaci#n y la gricultura!, e)resa el coeficiente c en funci#n de cuatro fases de desarrollo del cultivo Wase inicial "esde germinaci#n y crecimiento inicial hasta el 10M de cobertura vegetal. Wase de desarrollo "esde el final de la fase inicial hasta el F0M a I0M de cobertura vegetal. Wase de fructificaci#n "esde el final de la fase de desarrollo hasta inicio de maduraci#n del fruto. Wase de maduraci#n "esde el inicio de maduraci#n hasta )lena maduraci#n o recolecci#n. Los valores de c se obtienen e)erimentalmente entones 4>c c 4>=
<60!
. CAUDAL MAIMO E HIDROGRAMA DE DISEO .) CAUDAL MAIMO
4l dise-o hidrol$gico )ara el control de aguas est3 relacionado con la mitigaci$n de los efectos adversos causados )or caudales altos o crecientes o m(imas avenidas. Se considera ue una creciente es cualuier caudal caudal alto ue desborde los terra)lenes ya sean sean naturales o artificiales. artificiales. Las
PF
magnitudes de las crecientes est3n descritas )or sus caudales, sus elevaciones y sus vol/menes. 4l caudal m3imo de dise-o se reuiere )ara dimensionar estructuras de regulaci#n i)o de estructura
=uente sobre carretera im)ortante =uente sobre carretera menos im)ortante o alcantarilla sobre carretera im)ortante lcantarilla sobre camino secundario "ren "renaj ajee late latera rall de los los )avi )avime ment ntos os,, dond dondee )ued )uedee tole tolera rars rsee encharcamiento con lluvia de corta duraci$n "renaje de aero)uertos "renaje urbano
=er&odo de retorno
.* MÉTODO RACIONAL
Bodelo m3s antiguo de la relaci$n lluvia 9 escurrimiento escurrimiento <1IIU!. 4l m*todo su)one ue si sobre un 3rea determinada ocurre una )reci)itaci#n de intensidad uniforme en el tiem)o y en el es)acio, llegar3 un momento en ue la cantidad de agua ue cae euivale a la ue sale del 3rea, siem)re y cuando *sta sea im)ermeable. 4l tiem)o en el cual se alcan+a la euivalencia se denomina tiem)o de concentraci#n QtcR. 4n una su)erficie siem)re se es)era )*rdidas )or eva)oraci#n, )or ello el coeficiente QCR ajusta la relaci$n [olumen neto;[olumen total. Su)oniendo un hidrograma triangular, este )roceso se re)resenta
8
8 k
tc
k
tc
kC8 k C8
t
t
Wig. 1I. idrograma del m*todo %acional
Limitaciones de la f$rmula %acional N La inte intennsida sidadd es es con consstant tantee N La lluv lluvia ia es uni unifo form rmee en el es) es)ac acio io N 8gnora 8gnora el el efecto efecto de almac almacena enamie miento nto o reten retenci$ ci$nn tem)ora tem)orall en la su)er su)erfic ficie ie
PI
N 4l coe coefic ficien iente te de de esco escorr rren ent&a t&a es con const stan ante te N 4l caud caudal al tien tienee la misma misma frec frecuen uencia cia de la la )reci )reci)it )itaci aci#n #n.. 4l m*todo )uede ser a)licado a )eue-as cuencas de drenaje agrcola, )ara 3reas ue no ecedan los 1J Om2. &
C " 7
<61!
J.6
"onde k Caudal m3imo, en mJ;s C Coeficiente de escorrent&a, escorrent&a, ue de)ende de la cobertura vegetal, la )endiente y el ti)o de suelo 8 8ntensidad m3ima de la lluvia, )ara una duraci$n igual al tiem)o de concentraci#n, y )ara un )er&odo de retorno dado, dado, en mm;hr rea de la cuenca, en Om2 .+ MÉTODO PRO?A?ILÍSTICO
Cuando no eiste correlaci#n entre observaciones adyacentes, la salida de un sistema hidrol$gico es tratada como estoc3stica, inde)endiente del es)acio e inde)endiente del tiem)o. 4ste ti)o de tratamiento es a)ro)iado )ara observaciones de eventos hidrol$gicos etremos, como crecientes $ seu&as, y )ara informaci#n hidrol$gica )romediada a lo largo de intervalos de tiem)o grandes, como la )reci)itaci#n anual. 4ste m*todo se basa en considerar ue el caudal m3imo anual o la )reci)itaci#n m3ima anual es una variable aleatoria ue tiene una cierta distribuci#n. Su uso reuiere informaci#n de caudales m3imos anuales $ )reci)itaciones m3imas anuales. Aumerosos ti)os de leyes de )robabilidad <umbel, =earson, Aash, Levediev! son efectivamente utili+ados )ara re)resentar la curva acumulada de las l as frecuencias de crecida. 6.J.1 "istribuci$n umbel $ "istribuci#n de [alor [alor 4tremo ti)o 8 <4[8! Consideremos )or ejem)lo, una serie S de observaciones, en nmero infinito < S es una )oblaci#n en el sentido estad&stico del t*rmino!, ue re)resenta valores estadsticamente inde)endientes de una variable aleatoria QaR tenemos en esta serie un gr3n nmero de n muestras ue contengan cada una m observaciones y en cada muestra clasifiuemos estas ltimas )or orden de magnitud decreciente. Cu3l ser3 la ley de distribuci#n estad&stica de la serie de n t*rminos constituidos )or el mayor valor i de cada una de las n muestras etra&das de la serie com)leta S de las observaciones La distribuci#n estad&stica de la serie de los mayores valores i, corres)ondientes a las n muestras antes citadas tienden asint$ticamente hacia una ley sim)le de )robabilidad inde)endiente de la ue rige la variable aleatoria QaR en le serie S. 4sta )ro)iedad significa ue cualuiera ue sea la forma de la ley de )robabilidad de los caudales diarios observados en una estaci#n, la serie de los valores donde cada uno re)resenta el caudal m3imo del a-o estar3 distribuida segn una Qley l&mite de los valores etremosR. 4sta Qley l&miteR corres)onde a una funci$n de distribuci#n de la forma
P < X x ! F < x ! e
e
" x !
<62!
"onde W<! Wunci$n de distribuci#n acumulada x
X
var iable redcida
=ar(metro de escala
PU
[alor central $ moda [ariable ariabl e aleatoria aleato ria W<! 1.0 0 X 5x Nx 5x 0.K
N1
0
1
2
J
Wig. 1U Wunci$n de distribuci#n de umbel
4stimando los )ar(metros del modelo de umbel )or el m*todo de momentos, se tiene x
)
<6J!
0.KFF21, es la constante de 4uler dem3s La varian+a es
S 2
' 2 2
6
"e donde se obtiene )ara muestras muy grandes X 0.FI S x
Los valores de y y wy se obtienen del siguiente cuadro Cuadro AG 11. 11. Bedias es)eradas y desviaciones est3ndar de etremos reducidos A nmero a-os registro 10 1K 20 2K 26 2F 2I 2U J0 J1 J2 JJ JP JK J6 JF JI
=ara un )er&odo de retorno >, dado en a-os, el valor del evento estar&a dado )or
" !
x ln ln 1
1
x ln ln F < x !
$
T
<6U!
6.J.2 "istribuci$ "istribuci$nn =earson =earson ti)o 888 $ distribu distribuci$n ci$n amma de >res >res =ar3me =ar3metros tros 4s utili+ada )ara lluvias o caudales m3imos anuales. La funci$n de distribuci#n de )robabilidad es P < X x! F < x !
x
1 1 * + 1
#e
" x , 1 ! 1
0
" x , 1 ! 1
+ 1 1
dx
x , 1 1
P
y
1
e * + # 1
y
y
+ 1 1
dy
0
2
)
+ 1
"onde
x es la media de los datos, S 2 su variancia y su
n )
x i 1
coeficiente de sesgo, ue se e)resa como
J
n
i
x
n 1 n 2 S J
=ara un )er&odo de retorno >, dado en a-os, el valor del evento estar&a dado )or
K1
x
-
2
2
1 , 1
4isten otras distribuciones utili+adas en hidrolog&a tales como N "istribuc "istribuci#n i#n normal normal su su )rinci)al )rinci)al a)licaci#n a)licaci#n es es el ajuste ajuste de distribucio distribuciones nes em)&ric em)&ricas as de variab variables les media anuales, mensuales, estacionales, etc. ue )ueden ser caudales, )reci)itaci#n, entre otros. N "istr istrib ibuuci#n ci#n log logNno Nnorma rmal. N "ist "istri ribu buci# ci#nn logN logN)e )ear arso sonn ti) ti)oo 888 888.. N "ist "istri ribu buci ci#n #n logN logNu umb mbel el.. N "ist "istri ribu buci# ci#nn gam gamma ma de dos dos )ar )ar(m (met etro ros. s. La manera de verificar si la distribuci#n de los datos observados se ajustan a una distribuci#n te$rica es mediante la )rueba de bondad de ajuste. La m3s utili+ada es el ajuste estad&stico ue se reali+a mediante una de las dos siguientes N =rueb ruebaa ChiNc hiNcuuadra adrado do <} 2! N =rue =rueba ba Smir Smirno novN vNo olm lmog ogor orov ov ., HIDROGRAMA DE DISEO .,.) HIDROGRAMA UNITARIO
4l hidrograma final de escurrimiento de una cuenca es el resultado de la sumatoria de todos los hidrogramas )arciales de las subcuencas infinitesimales ue la conforman, modificados )or el efecto del almacenamiento, mientras se viaja a trav*s de la su)erficie de la cuenca y de sus cauces. Bodelo agregado lineal )ro)uesto )or Sherman en 1UJ2. 7bserv$ ue si las caracter&sticas f&sicas de una cuenca tales como su forma, tama-o, cobertura y )endiente, )ermanecen constantes, las lluvias efectivas <=e! de caracter&sticas semejantes )roducir3n hidrogramas de forma similar y magnitudes de gastos )ro)orcionales a dichas lluvias. H#p30es#s de/ H#dro@ra%a U!#0ar#o
; T#e%po 6ase "o!s0a!0e =ara una cuenca dada, la duraci$n total de escurrimiento directo o tiem)o base
h
k
=e bsorci$n dedeT duraci$n efectiva
4sc. Su)erf. T 4sc. Su)erf.
t
t b t bTtiem)o base
t
Wig. 20. %elaci$n duraci$n efectiva de la lluvia y el tiem)o base del hidrograma.
Si la duraci$n de la lluvia efectiva
K2
Si de de deT, entonces se alargar3 el hidrograma de escorrent&a su)erficial es decir, se incrementa el tiem)o base. 4l hidrograma unitario <?! es un hidrograma t&)ico )ara la cuenca, es la res)uesta a una )reci)itaci#n efectiva de volumen unitario, ocurrida en un intervalo :t. "e all& ue el volumen de escorrent&a bajo el hidrograma se ajusta generalmente a 1 cm <$ 1 )lg.!. :t
.?
=)1mm
k;h
4sc. Su)erf. >iem)o base t bt bT
t
Wig. 21. idrograma unitario de una cuenca dada
=ara dos $ m3s estaciones de una misma cuenca el hietograma a utili+ar es la media de los hietogramas de las estaciones. ?; L#!ear#dad o propor"#o!a/#dad propor"#o!a/#dad Las ordenadas de todos los hidrogramas de escurrimient o
dire direct ctoo con con el mism mismoo tiem) tiem)oo base base,, son son dire direct ctam amen ente te )ro) )ro)or orci cion onal ales es al volu volume menn total total de escurrimiento directo es decir, al volumen total de lluvia neta <[e! <[e! de una cuenca con 3rea . k
ki t :ti
Wig. 22. 7rdenadas de escurrimiento directo directo del hidrograma conocido conocido
[eki :ti
he [e;
"onde [e volumen de escurrimiento directo rea de la cuenca he l3mina de escurrimiento escurrimiento directo Si se determina la l3mina he ,*sta es euivalente a la escorrent&a directa del histograma <=e!.
KJ
h
=e he hi
hi • &ndice de infiltraci$n t de Wig. 2J. Se)araci$n del hietograma hietograma conociendo el escurrimiento escurrimiento directo del hidrograma
Conocidos el escurrimiento directo del hidrograma y del hietograma se )uede determinar el idrograma ?nitario C; S$perpos# S$perpos#"#3! "#3! de "a$sas "a$sas 1 e4e"0os e4e"0os 4l hidrograma ue resulta de un )er&odo de lluvia dado,
)uede su)er)onerse a hidrogramas hidrogramas de )er&odos lluviosos lluviosos )recedentes.
T
h de
de
t
C de
idrograma total
k
T
C
t
Wig. 2P. idrograma total de lluvias )recedentes de igual duraci$n duraci$n
4l ? es un modelo lineal, )or lo tanto es a)licable el )rinci)io de su)er)osici#n 2 cm de escorrent&a )roducir3n un hidrograma con todas las ordenadas dos veces m3s grandes ue auellas del hidrograma unitario, es decir, decir, la suma de dos hidrogramas unitarios. unitarios. 4iste adem3s lo ue se denomina el hidrograma unitario instant3neo <?8! ue es el ? )ara una lluvia cuya duraci$n tiende a cero, es decir, es de ti)o im)ulso. 4n general los hidrogramas unitarios no deben utili+arse )ara cuencas cuya 3rea sobre)ase los K000 Om2, debido a la heterogeneidad es)acial ue )resentan las cuencas mayores. 8ntervalo de tiem)o QdeR de ~ tc ;J# K donde tc es el tiem)o de concentraci#n.
.,.* HIDROGRAMAS UNITARIOS UNITARIOS SINTÉTICOS
dem3s dem3s de los hidrog hidrogram ramas as regist registrad rados os,, eiste eistenn hidrog hidrogram ramas as sint't sint'tico icoss ue son simula simulados dos,, artificiales y se obtienen usando las caracter&sticas fisiogr3ficas y )ar(metros de la cuenca de inter*s.
KP
Su finalidad es re)resentar o simular un hidrograma re)resentativo del fen#meno hidrol$gico de la cuenca, )ara determinar el caudal )ico. .,.*.) HIDROGRAMA UNITARIO TRIANGULAR
falta de informaci#n hist#rica de )reci)itaciones se )uede deducir un hidrograma sint'tico triangular basado en el siguiente )rinci)io Si el volumen del idrograma de escorrenta su)erficial es conocido
tr =e1 tl t )
k)
> bt Wig. 2K. idrograma triangular
4l volumen de escurrimiento *
& p T bt 2
7 <1!
"onde [ volumen bajo el hidrograma unitario triangular k) caudal )ico >bt tiem)o base del hidrograma unitario triangular (rea de la cuenca <1! una unidad de l(mina de escorrenta. "e la ecuaci#n
2 7
T bt
=ara un milmetro <=e 1 mm! de lluvia efectiva el caudal )ico tambi'n es & p
0.KK6 7 t p
KK
t ) tiem)o al )ico del hidrograma unitario triangular, hr dem(s t p
t r
#
2
0.6 t c
t l t p
t r
2
"onde tr duraci#n de de la lluvia efectiva, efectiva, hr tc tiem)o de concentraci#n concentraci#n de la cuenca, cuenca, hr tl tiem)o de desfase de de la cuenca, cuenca, hr dicionalmente T bt
It p
J
falta de mejores datos la duraci#n de la lluvia efectiva, se )uede estimar a)roimadamente )ara cuencas grandes, como t r
2
t c
7 bien, )ara cuencas )eue-as, como t r
t c
.- MÉTODO SECCI'NPENDIENTE
4ste m'todo est( relacionado con la f#rmula de Banning en la cual se incluye la rugosidad del cauce
2.N La lnea de gradiente gradiente de energa, energa, la su)erficie su)erficie del agua, agua, y el fondo o )lantilla del canal, canal, son todos )aralelos esto es S f SE So, donde S f )endiente de la lnea de energa, SE )endiente de la su)erficie del agua, y So )endiente del fondo o )lantilla del canal. 4n general el flujo uniforme ocurre /nicamente en canales )rism(ticos muy largos y rectos, en donde )uede )uede obtenerse una una velocidad terminal del flujo. Las ecuaciones de Che+y y Banning * C RS
*
C
1 n
R 2 ; J
S
. 1 ; 6 R n
"onde [ velocidad )romedio C coeficiente de resistencia de Che+y % radio hidr3ulico S )endiente longitudinal del canal n coeficiente de resistencia de Banning € 1.00 si son utili+adas unidades S8 € 1.PU si son utili+adas unidades inglesas La f#rmula de Banning )ara calcular el caudal es 7 R 2 ; J S 1 ; 2 & n
). TRNSITO DE CRECIENTES ).) INTRODUCCI'N
4l tr(nsito es un )roceso analtico ue se utili+a )ara determinar la forma del hidrograma de una creciente en un )unto deseado de un cauce, embalse o lago, como resultado de una avenida hi)ot'tica o medida en alg/n )unto de aguas arriba. "icho c(lculo es necesario )ara establecer la altura ue alcan+a el )ico de la creciente en un )unto de inter's ubicado aguas abajo, abajo, estimar la )rotecci#n )rotecci#n ue brindara brindara la construcc construcci#n i#n de un embalse embalse y determina determinarr la altura adecuada de un sistema de diues )ara )rotecci#n contra inundaciones, la dimensi#n de un aliviadero y cualuier otro c(lculo relacionado con la creciente. 4l as)ecto conce)tual del tr(nsito se ilustra claramente considerando el tramo entre ambos )untos como un modelo de caja negra, como se muestra en la figura 2F, de tal modo ue dicha caja reem)la+a al tramo de cauce %"
CAJA NEGRA
KF
SL8"
SL8"
8
7
Wig. 2F. Bodelo sim)lificado de un tr(nsito en un cauce cauce # un embalse
Q[olumen de entrada en el incremento de tiem)o %t menos volumen volumen de salida salida en el mismo mismo incremento de tiem)o %t , igual al cambio en el volumen de almacenamiento almacenamiento dentro de la caja negraR 7currir( un cambio en la cantidad de agua dentro de la caja debido a ue se incrementa el nivel del agua a medida ue el flujo )asa. La ecuaci#n de continuidad se e)resa mediante las ecuaciones 8 N 7 dS ;dt
9 ‚ %S ; %t "onde 8 caudal de entrada 7 caudal de salida S volumen de almacenamiento %t incremento del tiem)o
=or conveniencia, generalmente se su)one ue el caudal medio al inicio y al final de un intervalo de tr(nsito )eue-o t es igual al caudal medio durante dicho intervalo. Si utili+amos los subndices 1 y 2 )ara indicar el inicio y el final del intervalo obtenemos " 1 " 2 8 82 % t 1 % t S 2 S 1 2 2
La ecuaci#n
t, m(s se incrementan los c(lculos del tr(nsito. Son ace)tables valores de t entre un medio y un tercio del tiem)o de viaje. 4l almacenamiento es una caracterstica de la caja negra, )or lo ue su determinaci#n de)ende de, si se trata de un tramo de ro, una re)resa y su embalse asociado, o alguna combinaci#n es)ecial de ambos.
).* TRNSITO POR UN EM?ALSE
Se asume ue el nivel de agua en el embalse se mantiene hori+ontal, aunue no siem)re sea 'se el caso. 8nicialmente se conocen los siguientes datos 1. 4l hid hidro rogr gram amaa de entr entrad adaa 2. 4l nivel nivel de la su)erficie su)erficie de agua agua en el embalse embalse en el instante instante en ue ue llega la crecien creciente te
La soluci#n de la ecuaci#n odos los t'rminos del lado i+uierdo de la ecuaci#n KU
se conocen el valor de 2S2;t 5 72 )uede ser calculado el valor de 7 2 se obtiene entonces de la curva de tr(nsito. Se re)ite el )rocedimiento )ara todos los intervalos. 4n la >abla F.J se )resenta )resenta un ejem)lo ejem)lo ilustrativ ilustrativo. o. ay ue hacer hacer notar notar ue el t'rmino t'rmino 2S;t N 7 se calcula f(cilmente como 2S;t 5 7 9 2 7. Cuando la salida del embalse es controlada, el tr(nsito de)ende del m'todo de o)eraci#n de las com)uertas. Bodificando la ecuaci#n
%t
81 82 2
%t 8 R %t
S 2 S 1
"onde 7 es la salida no controlada y 7 % es es la salida controlada. 4n caso de ue 7 fuera cero, la ecuaci#n
4sta /ltima ecuaci#n )uede resolverse con facilidad )ara S 2 y la elevaci#n del embalse. Si 7 no es cero, la ecuaci#n de tr(nsito se transforma como sigue 2 S 1 2 S 2 " 1 " 2 2 8 R 81 82 %t %t
La ecuaci#n
del tr(nsito del hidrograma de la creciente milenaria )or el embalse del %o Ca)a+, ubicado en la regi#n de Los ndes vene+olanos.
"atos 1! Curv Curvaa de alma lmacenam namien iento. to. 4n el cuadro dro 12 se dan dan los los dato datoss de la rela relaci ci##n lmacenamientoN4levaci#n )or sobre el nivel de la cresta del aliviadero <o 1U60 m.s.n.m.!. Cuadro 12 Curva de almacenamiento )ara el ro Ca)a+ ltura sobre la cresta del aliviadero lmacenamientop S 60
2! idrograma de entrada. Se obtuvo del an(lisis de frecuencia de los caudales m(imos y se )resenta en la columna
Cuadro 1J >r(nsito de la creciente mediante 2S;t 5 0 vs 7
t
8
81 5 82
2S1 ; tN0
2S1 ; t50
0
)
*
,
)
)
+
),
)-
))
) -
*
,
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, -
- ),
- ,
,
-
)B
-+
+
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B
*
B*
))B-
) -*
*+-*
*
61
*,
--,
)))
*- +
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B
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B *
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)B
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) B
+ B
B
*
B
+
,,
*,
,
E/ <#dro@ra%a de sa/#da se prese!0a e! /a "o/$%!a 8; de/ "$adro )+.
Sin embargo, debido a la necesidad de dis)oner de alguna relaci#n, se asume ue el caudal de salida y el almacenamiento est(n asociados bajo la forma de una serie infinita
/
m 1
m
d mS
dt m
donde a, y n son constantes desconocidas al inicio. Como es usual en los )rocedimientos num'ricos, la serie se trunca tomando s#lo los 2 )rimeros t'rminos y des)reciando des)reciando todos los dS
otros )ara obtener
4sta ecuaci#n se )uede resolver )ara dS;dt y sustituir la soluci#n en la ecuaci#n
8 7 1
6P
S8 9 <1N!7
0,Kt 1 0,Kt
C1
0,Kt 1 0,Kt
C2
1 0,Kt 1 0,Kt
La ecuaci#n ransito de BusOingum. ntes de )oder usar la ecuaci#n de tr(nsito hay ue establecer los valores de y . 4l )rocedimiento m(s sencillo consiste en a)licar a hidrogramas conocidos el )roceso inverso al tr(nsito. %esolviendo %esolviendo las ecuaciones ecuaciones se obtiene lmacenamiento A Caudal )onderado de entrada y salida " l
0,Kt 81 8 2 71 7 2
S 81 8 2 1 S 7 2 71
?tili+ando hidrogramas conocidos se )ueden obtener valores sucesivos del numerador. Los valores del denominador se logran del mismo hidrograma usando varios valores de . 4n el cuadro 1K se )resenta un ejem)lo de c(lculo los resultados se han graficado en la Wigura J1. 4l valor de se obtiene directamen directamente te del )roceso )roceso anterior anterior )ero )ara dibujar la gr(fica gr(fica es necesario asumir valores de . ?na ve+ estimados y se )uede anali+ar la influencia ue ejercen sobre el )roceso de tr(nsito. La constante )osee las dimensiones de tiem)o y euivale al tiem)o reuerido )ara ue una onda elemental de caudal atraviese el tramo entre la entrada y la salida
decreciente, el fen#meno se invierte. La velocidad [ se )odra obtener sobre la base del caudal )ara una secci#n transversal re)resentativa )ara el tramo. C$adro )-. DETERMINACI'N DETERMINACI'N DE LOS COEFICIENTES 1
[alores de " y " )ara varios valores de 0
0,1
0,2
0,J
>iem)o t0,K "as
8
7
81 5 82
81 N 82
71 5 72
71 N 72
A
A
"
<1! Web.26 am
<2! 2, 2
<6! 12,J
<10! <11! K,0 ]
<12! <1J! K,F ]
<1P! <1K! 6, K ]
<16! <1F! F,2 ]
=m Web.2F am
1P,K F,0 P2,U 2I,P 11,F 60,2
1I,F 1J,U 2I,2 J,P
P,F P,I
6,1 I,0
1,U I,0
P,F P,I
K,6 P,6
K, F 11,J
6, K P, K
6,K 1J,0
F,K P,J
F, 2 1P , F
=m Web.2I am
J1,I 16,K 6P,K 2U,F 2P,0 KK,0
P0,K N2,1 KJ,1 NP,P
F,K K,1
K,2 0,K
16,0 F,K 21,2 K,1
1P,K 6,F 22,0 P,1
1K , U 22 , 6
K, 6 J, 2
1F,K 2J,1
P,6 2,J
1U , 0 2 J, 6
=m
2K,J 2U,1 PF,F
KF,K NP,U
N0,F
N2,U
21,F N0,F
2F,1 N1,1
2 6, F
NP,K
26,J
N2,0 2K,U
Bar.1 am
20,P 2I,P JF,P
K2,2 NP,1
NP,6
NJ,U
1I,I NP,6
26,P NP,6
2K , 6
NP,K
2P,I
NP,P 2J,U
=m Bar.2 am
16,J 2J,I 2I,U 12,6 1U,P 221,U
PJ,2 NJ,F JP,F NJ,J
NP,P NP,1
NJ,6 NJ,2
1P,U NP,P 11,J NP,1
21,I NP,J 1F,P NP,0
2 1, 0 16 , F
NP,J N J,U
20,J 16,0
NP,2 1U,K NJ,U 1K,J
=m Bar.J am
U, J 6, F
1K,J 16,0 11,2 11,F
26,K N2,6 1U,P N1,F
NP,1 NJ,0
N2,6 N1,U
I,1 K,K
NP,1 NJ,0
1J,J NP,0 U,2 N2,I
1 2, F I, F
NJ,I N2,I
12,1 I,J
NJ,6 11,1 N2,6 F,I
=m Bar.P am
K, 0 P, 1
I,2 6,P
U,1 F,F
1P,6 N0,U 11,6 N0,K
N1,I N1,2
N1,P N1,0
J,6 2,2
N1,I N1,2
6,2 P,P
N1,F N1,2
K, U P, 2
N1,6 N1,1
K,K J,U
N1,6 K,2 N0,U J,6
=m
J, 6
K,2
6,0
U, I
N0,6
N1,0
1,2
N0,6
J,2
N0,6
J, 0
N0,F
2,I
N0,I 2,F
N1,2
"
K,0 U,F
"
FIG. +). CURVAS CURVAS DE ALMACENAMIENTO ALMACENAMIE NTO EN EL CAUDAL.
66
"
"
"
"
"
C$adro )B. RELACI'N ENTRE LA VELOCIDAD DE ONDA V
"4L WL?7 4A 4L C?C4 >i)o de cauce %ectangular de gran anchura =arab#lico de gran anchura >riangular
\ L [4L7C8"" B4"8 [
[ E ;[ 1.6F 1.PP 1.JJ
F#@. +*. Tr&!s#0o a /o /ar@o de , s$60ra%os "o! ) e! "ada $!o.
4n la Wig.J2 se ilustra la influencia del )ar(metro sobre el tr(nsito. =ara un valor de 0,K el hidrograma transita a lo largo del tramo sin cambiar de forma mientras ue )ara 0, el tr(nsito es euivalente al caso del embalse. 4l )ar(metro )uede ser considerado como un ndice adimensional del almacenamiento en cu-a dentro del tramo. 4n la Wig. JJ se )resenta un canal de anchura unitaria. 4l )risma de almacenamiento est( dado )or L\ 0, donde \ )rofundidad del flujo, euivalente a 7t, o, con t O, igual a 7. 4l almacenamiento en cu-a es dado )or L:y;2, )ro)orcional a
F#@. ++. Por"#3! L de $! "a$"e de a!"<$ra $!#0ar#a
La magnitud
O* C I* C) I) C*O) T#e%po e! d7as 80;
Ca$da/ de e!0rada I
C I
C) I
C*O
Ca$da/ de sa/#da "a/"$/ado
Ca$da/ de sa/#da %ed#do 8"o/$%!a + Ta6/a .,;
<1!
<2!
<6!
1
2.2
0.JJ
1.PK
0.JI
2.00
2.0
2
2I.P
P.26
1I.F0
1.16
6.0U
11.F
J
2U.F
P.PK
1U.60
P.62
2P . J 1
2P.0
6I
P
20.P
J.06
1J.K0
K.1U
2F . 2 I
2I.P
K
12.6
1.IU
I.KP
J.U0
20 . KI
1U.P
6
6.F
1.01
P.P1
2.KI
1 J. K P
11.2
F
P.1
0.62
2.F1
1.PK
F.62
6.P
I
2.P
0.J6
1.KU
NNN
P.K2
P.6
4l m'todo del tr(nsito )or el cauce discutido au tambi'n )uede usarse )ara el caso de afluentes o tributarios, s#lo ue los valores de y ser(n variables. "etalles de este )rocedimiento est(n fuera del alcance de este libro, )ero se )ueden encontrar en la bibliografa corres)ondiente, corres)ondiente, tal como C%>4% C%>4% y 7"W%4\ <1U60! <1U60! y el ?.S. rmy, rmy, Cor). 7f 4ngineer <1U60!.
Los )rocesos hidrol#gicos son de naturale+a estoc(stica, es decir, ue su distribuci#n en el tiem)o y en el es)acio es tal ue, en )arte son determinsticos <)redecibles! y en )arte aleatorios. lgunas veces, la variabilidad aleatoria es muy grande com)arada con la determinstica, de modo ue se justifica un tratamiento de )roceso aleatorio )uro, tal como cuando una magnitud de una observaci#n del )roceso no est( correlacionada con la magnitud de una observaci#n adyacente, siendo las )ro)iedades estadsticas de todas las observaciones, las mismas. Cuando Cuando no eiste eiste correl correlaci aci#n #n entre entre obser observa vacio ciones nes adyac adyacent entes es,, la salida salida del sistem sistemaa hidrol#gico se considera estoc(stica, inde)endiente en el es)acio y en el tiem)o. 4ste com)ortamiento es t)ico de eventos hidrol#gicos etremos, tal como crecidas o seuas y de datos hidrol#gicos medios sobre intervalos de tiem)o largos, como )reci)itaci#n anual. 4n este ca)tulo se describen los datos hidrol#gicos )ertenecientes a un )roceso aleatorio )uro, mediante el uso de )ar(metros y funciones estadsticas. Los m'todos estadsticos se basan en )rinci)ios matem(ticos ue describen la variaci#n de un conjunto de observaciones observaciones de un )roceso, centrando la atenci#n, m(s bien en las mismas observaciones en ve+ del )roceso fsico ue las origina )).* ELEMENTOS DE PRO?A?ILIDADES EN HIDROLOGIA.
?na variable aleatoria es una variable ue se describe mediante una funci#n de dist distrib ribuc uci# i#nn de )rob )robab abililid idad ades es.. La dist distri ribu buci ci#n #n indi indica ca la )rob )robabi abililida dadd de ue ue una una observaci#n cualuiera cualuiera de la variable obtenga un valor dentro de un rango es)ecfico de . Su)ongamos )or )or ejem)lo ue sea la )reci)itaci#n anual anual en un )unto determinado, determinado, la distribuci#n de es)ecifica el chance ue tiene un valor de )reci)itaci#n anual observado en un a-o dado de caer dentro de un rango )reviamente definido, tal como )or ejem)lo, menos ue 1.200 mm, o entre 1.200 y 1.K00 mm. F0
un conjunto de observaciones 1, 2, ..., n de la variable aleatoria se denomina %$es0ra. Se asume ue las muestras se etraen de una )oblaci#n hi)ot'ticamente infinita de )ro)iedades estadsticas constantes mientras ue las )ro)iedades de las muestras )ueden variar de una a otra. 4l conjunto de todas las muestras )osibles ue se )uedan etraer de la )oblaci#n se denomina denomina espa"#o %$es0ra/ y un evento viene a ser un subconjunto del es)acio muestral, como se ilustra en la Wigura 2.1. s )or ejem)lo, el cam)o muestral de la )reci)itaci#n anual es te#ricamente el rango desde desde cero a infinito infinito )ositivo
FIGURA *.). LOS EVENTOS A ( ? COMO SU?CONJUNTOS DEL ESPACIO MUESTRAL
La )robabilidad de ocurrencia de un evento, =<!, es el chance de ocurrencia de dicho evento cuando se lleva a cabo una observaci#n de la variable aleatoria. Si una muestra de n observaciones )osee n valores en el rango del evento , entonces la frecuencia relativa de es n;n. La frecuencia relativa se constituye en un estimado )rogresivamente mejor de la )robabilidad de ocurrencia del evento a medida ue el tama-o de la muestra se incrementa, es decir = <! lim n;n <2.1! n x este ti)o de )robabilidades se denomina pro6a6#/#dades o6Ke0#2as o pos0er#ores , F1
debi debido do a ue ue de)e de)end nden en tota totalm lmen ente te de obse observ rvac acio ione ness de la vari variab able le alea aleato toria ria.. 4n contra)osici#n a ellas, tenemos las pro6a6#/#dades s$6Ke0#2as o a pr#or# , es decir, cuando se estima la ocurrencia de un evento sobre la base de juicios )ersonales y e)eriencia. La )robabilidad de ocurrencia de los eventos hidrol#gicos se rige )or los siguientes )rinci)ios ). Pro6a6#/#dad To0a/: Si el es)acio muestral ƒ se divide en m (reas ecluyentes o
*. Co%p/e%e!0ar#edad: Co%p/e%e!0ar#edad: Si sucede ue es el com)lemento de , es decir, ƒ N ,
entonces =<! 1 N =<!
<2.J!
+. Pro6a6#/#dad Co!d#"#o!a/: Su)ongamos ue tenemos dos eventos y T, como se
muestra en la Wigura 2.1. Sea el evento de ue en este a-o la )reci)itaci#n sea menor ue 1.600 mm y T, el evento de ue en el )r#imo a-o la )reci)itaci#n sea menor ue 1.600 mm. La uni#n „ T o su)er)osici#n de y T indica ue ambos eventos ocurren, es decir, dos a-os sucesivos con una )reci)itaci#n anual menor de 1.600 mm. Si =
=
<2.P!
=<! Si la ocurrencia de T no de)ende de la ocurrencia de , se dice ue los eventos son #!depe!d#e!0es, y =
F2
%etomando el ejem)lo anterior, si los eventos de )reci)itaci#n fuesen inde)endientes de a-o a a-o, entonces, entonces, la )robabilidad de ue la )reci)itaci#n sea menor ue 1.600 1.600 mm en dos a-os sucesivos es sim)lemente el cuadrado de la )robabilidad de ue la )reci)itaci#n anual en cualuiera de los dos a-os sea menor ue 1.600 mm. La noci#n noci#n de evento eventoss u observ observac acion iones es inde)e inde)endi ndien entes tes es muy im)orta im)ortante nte )ara )ara la inter)retaci#n estadstica correcta de una secuencia de datos hidrol#gicos, ya ue los eventos inde)endientes se )ueden anali+ar sin considerar el orden de su ocurrencia. 4n cambio, cuando los datos datos son de)endientes de)endientes abla 2.1 se dan los valores anuales de )reci)itaci#n <%! registrados
en la estaci#n durante el )erodo 1U11N1UFU, 1U11N1UFU, los mismos ue se han graficado en la Wigura 2.2 abla 2.1, 2J caen en el evento y 1U en el T es decir, n 2J y nT 1U. Luego, =<! … 2J;6U 0.JJJ =
TA?LA *.) PRECIPITACION ANUAL EN LA ESTACION )) ) 8%%;.
44B=L7 2.2 sumiendo ue los datos de la >abla 2.1 constituyen un )roceso inde inde)e )end ndie ient nte, e, calc calcul ular ar la )rob )robab abililid idad ad de ue ue ocur ocurra ra en dos dos suce sucesi sivo voss )reci)itaciones menores ue IIU mm;a-o. Com)are esta )robabilidad estimada con la frecuencia relativa de dicho evento en el en el conjunto de valores de la >abla 2.1. Soluci#n agamos ue C sea el evento )ara el cual % IIU mm en dos a-o sucesivos. "el ejem)lo 2.1 tenemos ue = <% IIU mm! 0,JJJ, asumiendo inde)endencia inde)endencia tenemos =abla 2.1, es encuentran nueve
FP
)).+ FUNCIONES DE PRO?A?ILIDAD ( FRECUENCIA
Si las observaciones de una muestra )ertenecen a la misma distribuci#n de )robabilidades
i
f < ! m
j 1
<2.F! FK
j
La cual es un estimado de =< _ i!, es decir de la )robabilidad acumulada de i. Las corres)ondientes funciones de frecuencias relativas y acumuladas )ara la )oblaci#n se a)roiman como los limites n ` x y : ` 0. 4n el lmite la funci#n de frecuencias 4$!"#3! ! de rela relatitiva vass divi dividi dida da entre entre la long longititud ud del del inter interva valo lo )rod )roduc ucee la deno denomi mina nada da 4$!"#3 de!s#dad de pro6a6#/#dad 48;. f<! lim
f m <! :
<2.I!
n`x : ` 0 La funci#n de frecuencias acumuladas se transforma en la funci#n de distribuci#n de )robabilidades W<! W<! lim Wm<! <2.U! n`x : ` 0 La funci#n de densidad de )robabilidades es la derivada de W<! dW<! <2.10! f<! d =ara un valor dado de , W<! es la )robabilidad acumulada =< _ !, y )uede e)resarse como la integral de la f<! sobre el rango _ / f
p < i !
1
# : f<!d i
i
i :
# / f<!d #/
f<!d
<2.12!
f< i ! W< i :! f< i ! W< i 1!
La com)araci#n entre )< i! y la funci#n de frecuencias relativas observadas f m<i! )ara cada i )uede usarse usarse como una medida del grado de ajuste de de la distribuci#n distribuci#n a los datos datos observados.
Las Las curvas curvas de frecue frecuenc ncias ias relati relativa vass y acumu acumulad ladas as y la funci# funci#nn de distrib distribuci uci#n #n de frecuencias son adimensionales adimensionales y varan en el rango rango 0,1 sin embargo, embargo, de debido bido a ue ue FF
dW<! es adimensional y d )osee las dimensiones de , la funci#n de densidad de )robabilidades f<! dW;d tiene las dimensiones N1 y vara en el rango 0,x. La relaci#n dW<! f<!d se )uede describir definiendo a f<! como la de!s#dad o concentraci#n de )robabilidades en en el intervalo , 5 d. d. ?na de las funciones funciones de densidad de )robabilidades )robabilidades m(s conocidas es la distribuci#n distribuci#n normal o cam)ana de auss f<!
1 w 2‡
< u! 2 ;2w 2 e
<2.1J!
"ond "ondee y w son son )ar( )ar(me metro tros. s. 4sta 4sta func funci# i#nn se sim) sim)lilifi fica ca util utili+ i+an ando do la vari variab able le estandari+ada normal + como + < !;w <2.1P! La distribuci#n normal estandari+ada corres)ondiente )osee la funci#n de densidad de )robabilidades. 1 f<+!
2‡
e
+ 2 ;2
/+/
<2.1K! la cual s#lo de)ende del valor de +
W<+!
#
/
1 2‡
e u
2
;2du
<2.16!
no tiene forma analtica, ya ue es s#lo una variable ficticia de integraci#n. Sus valores se dan en la >abla Cl del )'ndice C.
FIGURA *., FUNCION DE DENSIDAD DE PRO?A?ILIDADES DE LA DISTRI?UCI'N NORMAL ESTANDAR 8 ); EKe%p/o *.+. Cu(l es la )robabilidad de ue la variable aleatoria normal est(ndar sea
FI
menor ue N2, menor ue 1 y ue vare en el rango = < N2 + 1 ! Soluci#n = <+ _ N2! Wabla Cl del )'ndice C C W
4l objetivo de la estadstica estadstica consiste en etraer etraer de un conjunto muy grande de datos unos )ocos valores )ero ue sean sean re)resentativos re)resentativos de las caractersticas del conjunto. 4stos 4stos valores par&%e0ros os es0ad7s0#" es0ad7s0#"os os o sim) se denominan par&%e0r sim)le leme ment ntee es0ad7s0#"os. s )ues, los )ar(metros estadsticos son caractersticos de la )oblaci#n, tal como y w a en la 4cuaci#n <2.1J!. ?n )ar(met )ar(metro ro estad estadst stico ico es el 2a/or esperado E de alguna funci#n de la variable aleatoria
4<!
# fd
/
<2.1F!
4<! es el )rimer momento con res)ecto al origen, una medida del )unto medio o Te!de!"#a Ce!0ra/ de la distribuci#n. 4l estimador muestral de la media es el )romedio aritm'tico de los datos de la muestra
1 n
n
i 1
<2.1I!
i
4n la >abla 2.2 se da un resumen de las f#rmulas )ara calcular algunos )ar(metros de la )oblaci#n y sus sus estimadores muestrales. muestrales. La variabilidad de los datos se mide a trav's de la varian+a w 2 la cual es el segundo momento con res)ecto al )romedio FU
2 2 $ i< x ! j
#
/
<2.1U!
< x ! ' < x!dx 2
/
4l estimador muestral de la varian+a est( dado )or la e)resi#n 1 n 2 2 S
n 1
<
i
!
<2.20!
i 1
en la cual
TA?LA *.* PARAMETROS ESTADISTICOS DE LA PO?LACI'N POBLACIÓN
MUESTRA
). Te!de e!de!" !"#a #a Ce!0 Ce!0ra ra//
=romedio ritm'tico. 4<!
#
/
/
Bediana tal ue W<! 0,K =romedio geom'trico
1
f<!d
n
i
K0 avo. )orcentil de los datos <1 i 1 i !
ntilog 4
n
1;n
*. Var#a ar#a6# 6#/# /#da dad d
[arian+a
w 4< ! 2
2
< n 1
S
i
!2
i 1
"esviaci#n est(ndar Coeficiente de variaci#n Cv
n
1
2
S
w;
Cv
s; .
J. simetra ra n
Coeficiente de asimetra.
n Cs
<
i
! J
i 1
I0
4< ! J wJ
4l grado de simetra de la distribuci#n con res)ecto al )romedio se mide mediante la asimetra, la cual viene a ser el tercer momento con res)ecto al )romedio. /
# < !
J 4i< ! j
J
f<!d
<2.21!
/
FIGURA *.-. EFECTO DE LA DESVIACI'N ESTNDAR ( EL COEFICIENTE DE ASIMETRÍA SO?RE LA FUNCI'N DE DENSIDAD DE PRO?A?ILIDADES
La asimetra se da normalmente en forma adimensional, dividiendo la 4cuaci#n <2.21! entre wJ, cuyo cuociente se denomina Coe4#"#e!0e de As#%e0r7a
1 w
4< ! J
J
<2.22!
el estimador muestral de est( dado )or la e)resi#n C s. n Cs
2
n
< i 1
!J
i
n
<2.2J!
J
O también n
2
n < Cs
i 1
J
i
! Jn<
n
n
!< i
i 1
2 i
i 1
! 2<
n
i 1
n
I1
J i
!
<2.2P!
Como se ilustra en la Wigura 2.K abla 2.2!. EJEMPLO *.,: "ados los datos de )reci)itaci#n anual en la estaci#n )ara el )erodo
1UF0 9 1UFU, calcular calcular los )ar(metro )ar(metross estadsticos estadsticos de la muestra. muestra. Los datos se dan en la >abla 2.1. Soluci#n ?tili+ando la ecuaci#n <2.1I!, el )romedio aritm'tico es n
1
n
i
i 1
1020J 10
1020 mm
La varian+a se calcula mediante la ecuaci#n <2.20! S 2
n
1
< n 1 i 1
i
!2
6K6.KI1 U
F2.UKJ
4l coeficiente de asimetra se calcula usando la ecuaci#n <2.2J! J
n
n Cs
< i 1
i
!
10 p10F.0PI.U6F 0.FKK U p I p1U.6IJ.000
)).- AJUSTE DE UNA DISTRI?UCION DE PRO?A?ILIDADES PRO?A?ILIDAD ES
La distrib distribuci uci#n #n de )roba )robabil bilida idade dess es una funci# funci#nn ue re)res re)resent entaa la )robab )robabili ilidad dad de ocurrencia de una variable aleatoria. justando una distribuci#n a un conjunto de datos I2
hidrol#gicos, una gran cantidad de informaci#n de la muestra se resume en la distribuci#n y sus )ar(metros. 4l ajuste se )uede llevar a cabo mediante el m'todo de los momentos o el de la m(ima verosimilitud.
)).-.) MÉTODO DE LOS MOMENTOS
4l m'todo de los momentos fue desarrollado )or . =earson en 1U02. 4l m'todo considera ue los buenos estimadores de los )ar(metros de la distribuci#n de )robabilidades, son auellos )ara los cuales, los momentos con res)ecto al origen de la funci#n de distribuci#n de )robabilidades son iguales ue los corres)ondientes a los datos de la muestra. Como Como se ilustra ilustra en la Wigura Wigura 2.6 2.6,, si asignam asignamos os a cada cada dato de la muestra muestra una %asa hi)ot'tica igual a su frecuencia de ocurrencia relativa<1;n! e imaginamos ue ese sistema de masas rota alrededor del origen 0 tenemos ue el )rimer momento de cada dato i con res)ecto al origen es el )roducto de su bra+o de )alanca i )or su masa 1;n. La suma de los momentos de todos los datos es el )romedio de la muestra n
i
n i 1
1 n
n
i
i 1
el cual es euivalente al centroide del cuer)o. 4l centroide corres)ondiente a la funci#n de densidad de )robabilidades es u # ,f<,!d, <2.2K! /
/
4n id'n id'ntitica ca form forma, a, )ara )ara dete determ rmin inar ar los los otro otross )ar( )ar(me metr tros os de la dist distri ribuc buci# i#nn de )robabilidades, el segundo y tercer momento de dicha distribuci#n se hacen iguales a los corres)ondientes de la muestra. =earson consider# s#lo los momentos con res)ecto al origen origen )ero )ero )oster )osterior iormen mente te se ha genera generali+ li+ad adoo el uso de la varia varian+a n+a como como segund segundoo momento central w 2 4 < N ! 2, y el coeficiente de asimetra como el tercer momento central estandari+ado 4 < ‰ ! J;wJ, )ara estimar el segundo y tercer )ar(metro de la distribuci#n res)ectivamente, si fuesen reueridos.
IJ FIGURA *.B. ILUSTRACI'N GRAFICA DEL METODO DE LOS MOMENTOS PARA EL AJUSTE DE UN A DISTRI?UCION DISTRI? UCION
EJEMPL EJEMPLO O *.-. Sabi Sabien endo do ue ue la func funci# i#nn de den densida sidadd de )rob )robab abililid idad ades es de la
distrib distribuci uci#n #n e)one e)onenci ncial al es f<! Š e NŠ )ara )ara 0 determi determine ne la relaci relaci#n #n entre entre el )ar(metro Š y e1 )rimer momento momento con res)ecto al al origen, . Soluci#n ?sando la ecuaci#n <2.2K! tenemos/ /
4<!
# f<!d # 2e
/
Š
d
0
8ntegrando la /ltima e)resi#n )or )artes se obtiene 1;Š
4n este caso caso Š l; y el estimador muestral muestral )ara Š es 1; x . La distribuci#n distribuci#n e)onenc e)onencial ial se usa )ara describir describir varios varios ti)os de datos datos hidrol#gicos, hidrol#gicos, tal como el tiem)o entre tormentas sucesivas. dicionalmente, es de hacer notar ue la funci#n f<! Š eNŠ y la funci#n de res)uesta al im)ulso )ara un embalse lineal, u <8! <1;O!e N1;O son id'nticas id'nticas cuando cuando se hace 8 y Š 1 ; O. 4n este es te sentido, sentido, la distribuc distribuci#n i#n e)onencia e)onenciall describe ha )robabilidad del Qtiem)o de )ermanenciaR del agua en el embalse lineal.
)).-.* MÉTODO DE LA MIMA VEROSIMILITUD VEROSIMILIT UD
4l m'todo de la m(ima verosimilitud fue desarrollado )or %.. Wisher en 1U22. 4l m'todo se basa en el criterio de ue, el mejor valor de un )ar(metro de la distribuci#n de )robabilidades es auel auel ue maimi+a la semejan+a semejan+a o la )robabilidad conjunta conjunta de ocurrencia IP n
f< 2 !d... f< n !d ‡ f< i !d n
de los datos de la muestra. Su)ongamos ue el es)acio muestral se divide en intervalos de longitud d y ue se tome una muestra de observaciones inde)endientes e igualmente distribuidas 1, 2 ... n. 4l valor de la densida densidadd de )robabilidade )robabilidadess )ara i es f<i!, y la )robabilidad de ue la variable aleatoria ocurra en el intervalo ue incluye a i, es f<i!d. "ebido a ue las observaciones son inde)endientes, la )robabilidad conjunta de ocurrencia est( dada )or la ecuaci#n <2.K!, como el )roducto f<1!d "ebido a ue d es fija, la maimi+aci#n de la )robabilidad conjunta de la muestra observada, euivale a maimi+ar la funci#n de verosimilitud n
L ‡ f< i !
<2.26!
i 1
"ebido a ue muchas funciones de )robabilidades son e)onenciales, es m(s conveniente trabajar con el logaritmo de la funci#n L lnL
n
lnf< !
<2.2F!
i
i 1
EJEMPLO EJEMPLO *.B: conti continua nuaci# ci#nn se dan los tiem)o tiem)oss observ observado adoss entre entre event eventos os de
tormen tormentas tas sucesi sucesiva vass en una determ determina inada da estac estaci#n i#n.. sumie sumiendo ndo ue el interv intervalo alo entre entre tormentas sigue una distribuci#n e)onencial, determine el )ar(metro )ara dicho )roceso mediante el m'todo de la m(ima verosimilitud. 4l tiem)o entre tormentas, en das, es 2,P0 P,2K 0,FF 1J,J2 J,KK y 1,JF. Soluci#n =ara un valor cualuiera i, la densidad de )robabilidades e)onenciales es f< i ! Še
Š i
"e la ecuaci#n 2.2F, la funci#n log L es lnL
n
n
lnf< ! ln<Šn i 1
Š i
i
!
1
n
n
i
1
4l m(imo valor valor de ln L ocurre cuando cuando 3
1 Š n
n
1
1
IK
i
i
4ste 4ste es el mismo mismo estimad estimador or muestr muestral al )ara 2 ue se obtuvo )or el m'todo de los momentos. 4n este caso, <2,P 5 P,2K 5 0,FF 0,FF 5 1J,22 5 J,KK J,KK 51,JF! ; 6 2K,K6;6 2K,K6;6 P,26 das con lo cual 2 1 ; P 0,2JK ; d.as . 7bs'rvese ue 3
ln L n ln
2
N
2
2
2
i 6ln<0,2JK! 0,2JK p 2K,K6
lnL 1P,F
4n la Wigura Wigura 2.F se muestra la variaci#n variaci#n de funci#n ln L con Š el m(imo valor de Š se ubica en 0,2JK;das, como se ha determinado en forma analtica.
FIGURA *.. FUNCION L!L PARA UNA DISTRI?UCI'N EPONENCIAL 8EJEMPLO *.B;
4l m'todo de la m(ima verosimilitud es el )rocedimiento te#rico m(s eacto )ara el ajuste de una distribuci#n de )robabilidades a datos observados )roduce los estimadores m(s eficientes, es decir auellos ue estiman los )ar(metros de la )oblaci#n con el menor error medio. "esafortunadamente, )ara algunas distribuciones de )robabilidades no eiste soluci#n analtica )ara todos los )ar(metros en t'rminos de los estadsticos muestrales, en cuyo caso, la funci#n ln de L tiene ue ser maimi+ada num'ricamente, lo cual )odra ser muy difcil de lograr. 4n general, el m'todo de los momentos es m(s f(cil de a)licar y m(s ada)table en los an(lisis hidrol#gicos )r(cticos.
I6
)).B PRUE?A DE LA ?ONDAD DE AJUSTE La bondad de ajuste de una distribuci#n de )robabilidades se )uede )robar )or com)araci#n entre los valores te#ricos y em)ricos de las frecuencias relativas o acumuladas. 4n el caso de la funci#n de frecuencias relativas, se usa la )rueba } 2. 4l valor muestral de la frecuencia relativa del intervalo i es f m<i! ni.;n. 4l valor te#rico es )< i! W <i! N W<i N 1 !
}
nf < ! )< !j 2 m m i i c )< ! i 1 i
2
<2.2I!
donde m en la sumatoria es el n/mero de intervalos. A#tese ue el n/mero observado de ocurrencias en el intervalo i es nf m<i! ni y el corres)ondiente n/mero de ocurrencias es)eradas en el mismo intervalo es n)< i!. =or lo tanto, la 4c. <2.2I! viene a ser la sumatoria de los cuocientes del cuadrado de las diferencias entre los valores observados y es)erados del n/mero de ocurrencias y el n/mero de ocurrencias es)eradas en el intervalo. nte ntess de desc descri ribi birr la )rue )rueba ba } 2 se debe debe defi defini nirr la func funci# i#nn de dist distri ribuc buci# i#nn de )robabilidades } 2. ?na distribuci#n } 2 con v grados de libertad viene a ser la distribuci#n de la suma de los cuadrados de v variables aleatorias normales est(ndares inde)endientes + i dicha suma es una variable aleatoria. } 2 v
v
2
i 1
i
+
<2.2U!
La funci#n de distribuci#n 2 se encuentra tabulada en muchos tetos de estadstica, )or ejem)lo <A, 1UFF!. 4n la )rueba } 2, v m 9 ) N 1, donde % es el n/mero de intervalos, p es el n/mero de )ar(metros utili+ados )ara el ajuste de la distribuci#n )ro)uesta. Se seleccione un nivel de confian+a )ara la )rueba, el cual frecuentemente se e)resa como 1 N X, donde X es el nivel de significancia. Se suele usar como valor t)ico )ara el nivel de conf confia ian+ n+aa UKM. UKM. La hi)# hi)#te tesi siss nula nula 0 re+a re+a ue ue la dist distrib ribuc uci# i#nn )ro) )ro)ue uest staa se ajus ajuste te adecuadamente a los datos. 4sta hi)#tesis se recha+a cuando el valor de } c2 calculado )or la ecuaci#n ecuaci#n <2.2I! <2.2I! es mayor mayor ue un un valor limite limite } v,21NX etrado de la distribuci#n } 2 con y IF
grados de libertad, )ara una )robabilidad acumulada de 1 N X. <>abla C2 N )'ndice C!. EJEMPLO *.: ?tili+ando el m'todo de los momentos ajustar una distribuci#n normal a
los datos de )reci)itaci#n anual de la estaci#n dados en la >abla >abla 2.1 )ara el )erodo 1U11N 1U11N 1UFU. rafiue las funciones de frecuencias relativas y )robabilidad incremental y las funciones acumuladas de frecuencia y )robabilidades. ?se la )rueba } 2 )ara determinar la bondad de ajuste ajuste de la distribuci#n distribuci#n normal. S7L?C87A 4l rango de )reci)itaci#n observada en la >abla 2.1 se divide en 10 intervalos. 4l )rimero es % _ 600 mm el /ltimo es )ara % 1.I00 mm. Los intervalos intermedios cubren rangos de 1K0 mm. Los c(lculos se )resentan en la >abla 2.J. 4l histograma de frecuencias se da en la columna 2 la funci#n de frecuencias relativas se )resenta en la columna J, calculada )or la 4c. <2.6! con n 6U. =or ejem)lo =ara i P < U00 U00 N 1.0K 1.0K00 mm !, n i 1P, f m <i! 1P;6U 0,20J. 0,20J. La funci#n de frecuenc frecuencias ias acumuladas
P
Sf < ! W
WB < P !
m
j
m
< J ! f m < P ! 0,1J0 5 0,20J 0,JJJ. 7bs'rvese
1
ue este valor es =< _ 1.0K0 mm!, como fue usado en el 4jem)lo 2.1.
C7L 1 A>4%[ A>4%[ %A7 mm 1 600 2 600NFK0 J FK0NU00 P U00N10K0 K 10K0N 1200 6 1200N 1JK0 F 1JK0N 1K00
2 ni
J f m<i!
P Wm<i!
K ^1
6 W<i!
F )<i!
- o2
1 2 6 1P 11
0.01P 0.02U 0.0IF 0.20J 0.1KU
0.01P 0.0PJ 0.1J0 0.JJJ 0.PUJ
N2.1KF N1.611 N1.06K N0.K20 0.026
0.01K 0.0KJ 0.1PP 0.J01 0.K10
0.01K 0.0JI 0.0U0 0.1KI 0.20U
0.00P 0.1PF 0.00I 0.IU1 0.I0K
16
0.2J2
0.F2K
0.KF1
0.F16
0.206
0.222
10
0.1PK
0.IF0
1.11F
0.I6I
0.1K1
0.01U
II
I
I
1K00N 16K0 16K0N 1I00 1IK0
U 10 >otal =romedio ". St. s
K
0.0F2
0.UP2
1.662
0.UK2
0.0IP
0.11P
J
0.0PJ
0.UI6
2..20I
0.UI6
0.0JP
0.16J
1 6U
0.010 1.000
1.000
2.FKJ
1.000
0.01P 1.000
0.00P 2.JFF
1.1UJ
2FK
=ara =ara ajus ajusta tarr la func funci# i#nn de dist distri ribu buci ci#n #n norm normal al,, hay hay ue ue calc calcul ular ar los los )ar( )ar(me metro tross estadsticos de la muestra 1.1UJ mm y S 2FK mm., como se ilustr# en el 4jem)lo 2.P, los los cual cuales es se usan usan como como esti estima mado dore ress de y w. La vari variab able le norm normal al est( est(nd ndar ar ^ corres)on corres)ondien diente te al lmite su)erior su)erior de cada intervalo intervalo se calcula calcula )or la 4cuaci#n 4cuaci#n <2.1P! <2.1P! y se )resenta en la columna K de la >abla 2.J. s )or ejem)lo =ara i P, ^ < 9 ! ; w <1.0K0 N 1.1UJ! ; 2FK N0,K20. 4l valor corres)ondiente de la funci#n de )robabilidades normal acumulada se lee de la >abla Cl )'ndice C como 0,J01 y se lista en la columna 6 de la >abla 2.J. La funci#n de )robabilidad incremental se calcula mediante la 4c. <2.12!. =ara i P, )< P! =abla 2.J. 4n la Wigura 2.I se )resentan las funciones de frecuencia relativa f m<i! y )<i! y las funciones de frecuencia y de distribuci#n de )robabilidades W m<i! y W<! graficadas en 2.I
IU FIGURA *.. FUNCIONES DE FRECUENCIA PARA LA DISTRI?UCI'N NORMAL AJUSTADA A LA PRECIPITACI'N ANUAL EN LA ESTACION ESTACION 8EJEMPLO 8EJ EMPLO *.; * .;
Los valores se listan en la columna I de la >abla >abla 2.J. 4l valor total de la columna column a I es C2 2 .JJF JJ F . E/ 2a/or 0e3r#"o 2[ ,1
para $!a pro6a6#/#dad a"$%$/ada de ) - 1
2%p))*) @rados de /#6er0ad es De6#do a $e
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1P.1 8Ta6/a C* Ap!d#"e C;:
<#p30es#s !$/a es de"#r $e /a d#s0r#6$"#3! se
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U0
II. FUNCIONES DE DISTRI?UCION DE PRO?A?ILIDADES PARA VARIA?LES HIDROL'GICAS
4n la secci#n anterior se utili+# la distribuci#n normal )ara describir la )reci)itaci#n anual en la estaci#n . 4sta distribuci#n se ajusta bien a ese conjunto )articular de datos, )ero observac observaciones iones de otras variables variables hidrol#gic hidrol#gicas as siguen siguen distribuci distribuciones ones diferente diferentes. s. 4n esta secci#n se )resenta un conjunto de distribuciones de )robabilidades de uso muy com/n en la hidrologa. 4n la >abla 2.P se da )ara cada una, su funci#n de densidad, el rango de la variable, y las ecuaciones )ara el c(lculo de los )ar(metros de la distribuci#n con base en los momentos de la muestra. )*.) DISTRI?UCI'N NORMAL
La distribuci#n normal se origina del teorema del limite central, el cual )resu)one ue si en una serie de variables aleatorias i 'stas son inde)endientes id'nticamente distribuidas con )romedio y varian+a w 2, entonces la distribuci#n de la suma de n de tales variables, \
n
, tiende tiende hacia hacia la distribuc distribuci#n i#n normal normal con )romedio )romedio n y varian+a varian+a nw 2 a
i
i 1
medida ue n crece. Lo fundamental de esta aseveraci#n es ue se cum)le cualuiera ue sea la funci#n de distribuci#n de )robabilidades de . s )or ejem)lo, la distribuci#n distribuci#n de )robabilidades )robabilidades del )romedio )romedio de la muestra n 1 )uede ser a)roimada como una normal con )romedio y varian+a, i n
1 ; n
2
i
n 2
2
n
, cualuiera ue sea la distribuci#n de . [ariables [ariables hidrol#gicas, tal como la
)reci)itaci#n anual, calculada como la sumatoria de los efectos de muchos eventos inde)endientes, tiende a seguir una distribuci#n normal. Las )rinci)ales limitaciones de la distribuci#n normal son su variaci#n sobre el rango continuo N x, x y su simetra, ya ue U1
las variables hidrol#gicas no son negativas y tienden a ser asim'tricas.
)*.* DISTRI?UCION LOG NORMAL
Se dice ue )osee una distribuci#n log normal cuando la variable aleatoria \ log sigue sigue una distrib distribuci uci#n #n norma normal.l. 4sta 4sta distri distribuc buci#n i#n es a)lica a)licable ble a variab variables les hidrol hidrol#gi #gicas cas formadas )or el )roducto de otras variables 1 2 J ... n ,ya ue \ log n
i
log i
n
y
i
, la cual tiende a una distribuci#n normal a medida ue n crece, siem)re
i
ue las i sean inde)endientes y distribuidas id'nticamente. La distribuci#n log normal se ha usado )ara describir la distribuci#n de la conductividad hidr(ulica en medios )orosos
lgunas series de eventos hidrol#gicos, tal como la ocurrencia de )reci)itaci#n, se ajustan a un )roceso =oisson, en el cual los eventos ocurren instant(nea e inde)endientemente sobre un hori+onte de tiem)o o a lo largo de una lnea. 4l tiem)o entre dichos eventos o 0#e%po #!0er//e@ada se describe mediante la distribuci#n e)onencial, cuyo )ar(metro Š viene a ser la tasa )romedio a la cual ocurre el evento. La distribuci#n e)onencial se usa )ara describir el tiem)o nterNllegada de un im)acto o im)ulso aleatorio ue entra al sistema hidrol#gico, tal como la intrusi#n de agua contaminada en las corrientes como )roducto de lavado de contaminantes )or efecto de la lluvia. 4ntre las ventajas de la distribuci#n e)onencial est(n la facilidad de c(lculo de Š , sobre la base de los datos observados y su ada)taci#n a estudios te#ricos, tal como el de modelos )robabilsticos de embalses lineales < Š 1;, donde viene a ser la constante de almacenamiento del embalse lineal!. La desventaja est( en ue esta distribuci#n reuiere de ue la ocurrencia de cada evento sea com)letamente inde)endiente de los eventos vecinos, lo cual )odra no ser cierto )ara el U2
)roceso bajo estudio, as )or ejem)lo, la )resencia de un frente )uede generar muchos cha)arrones, ue m(s m(s bien se )ueden anali+ar anali+ar como un )roceso =oisson com)uesto, com)uesto, en el cual, el )ar(metro Š es considerado considerado como una variable aleatoria y no como una una constante. )*., DISTRI?UCION GAMMA
4l tiem)o tiem)o reueri reuerido do )ara ue ocurra ocurrann eventos en un )roceso =oisson se describe mediante la distribuci#n BB, la cual viene a ser la distribuci#n de la suma de variables aleatorias inde)endientes distribuidas e)onencialmente en forma id'ntica. La distribuci#n amma )osee una conformaci#n ue vara suavemente, similar a la funci#n de densidad de )robabilidades t)icas )resentada en la Wigura 2.J, y es muy /til )ara describir variables hidrol#gicas asim'tricas sin necesidad de efectuar la transformaci#n logartmica. 4sta distribuci#n se ha a)licado, )or ejem)lo, )ara el caso de altura de )reci)itaci#n de tormentas. La distribuci#n amma involucra a la Wunci#n amma ‹<! , la cual est( dada )or ‹<! < 1!Œ < 2!....J.2.1 )ara valores de enteros )ositivos. 4n general, la funci#n amma est( dada )or <bramo Eit+ y Stegun, 1U6K! /
‹<!
#u
1
e
u
du
0
La distribuci#n amma )osee dos )ar(metros, Š y , y tiene su limite inferior en cero. 4sta /ltima caracterstica es una desventaja de la distribuci#n )ara su a)licaci#n a variables hidrol#gicas ue )oseen un lmite inferior mayor ue cero. )*.- DISTRI?UCION DISTRI?UCION PEARSON TIPO III
La dist distri ribu buci ci#n #n =ear =earso sonn ti)o ti)o 888, 888, deno denomi mina nada da tamb tambi' i'nn dist distrib ribuc uci# i#nn amm ammaa de tres tres )ar(metros, introduce en su estructura como tercer )ar(metro su lmite inferior 4. "e ese modo, utili+ando el m'todo de los momentos, tres momentos de la muestra <)romedio, desviaci#n est(ndar y coeficiente de asimetra! se )ueden transformar en los tres )ar(metros, Š , y 4, de la distribuci#n de )robabilidades. 4sta distribuci#n es muy fleible, )ues toma diferentes formas con s#lo variar Š , y 4. 4l sistema =earson de distribuciones incluye siete ti)os, todos, t odos, soluciones )ara f<! en una ecuaci#n de la siguiente forma df<!j d
f<!< d! C 0 C1 C 2 2
<2.J0!
donde d es la moda de la distribuci#n, distribuci#n, es decir, el valor valor de )ara el cual f<! es un m(imo, C0, C1 y C2 son coeficientes a ser determinados. Cuando C 2 0, la soluci#n soluci#n de la UJ
ecuaci#n ecuaci#n <2.J0! <2.J0! viene a ser la distribuci#n distribuci#n =earson =earson >i)o >i)o 888, con una funci#n funci#n de densidad densidad de )robabilid )robabilidades ades de de la forma mostrad mostradaa en la >abla >abla 2.P. 2.P. =ara C 1 C2 0, la soluci#n de <2.J0! es una distribuci#n Aormal. =or lo tanto, la distribuci#n Aormal es un caso es)ecial de la distribuci#n =earson >i)o 888 ue describe una variable no sesgada. Woster <1U2P! fue el )rimero en usar la distribuci#n =earson >i)o 888 en la hidrologa )ara describir la distribuci#n de )robabilidades de caudales instant(neos m(imos anuales. Cuando los datos )resentan una asimetra muy )ositiva, se suele usar la transformaci#n logartmica )ara reducir dicha asimetra. )*.B DISTRI?UCION DISTRI?UCION LOGPEARSON TIPO III.
Se dice ue )osee una distribuci#n logN=earson >i)o 888 cuando sus logaritmos se distribuyen de acuerdo a la distribuci#n =earson >i)o 888. 4sta distribuci#n se ha ado)tado como m'todo est(ndar )ara el an(lisis de frecuencia de los caudales m(imos anuales en ?S
>TL 2.P. W?AC87A4S "4 "8S>%8T?C87A "4 =%7TT8L8""4S ?S"S =% =% 4L ?S>4 "4 ">7S 8"%7L78C7S.
Aombre
Wunci#n de densidad de )robabilidad
%ango
4cuaci#n )ara
el C(lculo de los )ar(metros
UP
Aormal
" < N !2 f<! e) N 2 2w w 2Ž !
Lognormal
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<2.J1 a!
" 2 Š S , ! Cs • N S
<amma de tres )arametros )arametros!
<2.J2! amma
f<!
Š 1e Š
&0
‹<!
"onde ‹ Wunci#n amma
Š
S2 2 S2
1 C[ 2
<2.J2 a! Š
Log =earson 8
f
1
e
Š
‹<!
log & •
Š
Sy
2 Cs
ti)o 888
• N S
2
<2.
+
J2b! 4)onencial
[alores 4tremos
f
1 X
&0
u e) X X N/X
e)
Š X
1
<2.JJ!
6s Ž
N 0.KFF2
<2.JP! La distribuci#n logN=earson >i)o 888 )uede asumir diferentes formas de)endiendo del valor de los )ar(metros, como se muestra en la >abla 2.K
UK
=ar(metro de forma < + !
2 ln 10
0 + 1
+ 1
Sin moda
Nln 10 2 0 Boda mnima
2 0 Sin moda
Worma de ?nimodal
Worma ? Sin moda
Worma invertida ?nimodal
Worma j invertida
4l uso de la distribuci#n logN=earson >i)o 888 se justifica debido a ue arroja buenos resultados en muchas a)licaciones, )articularmente en el caso de datos de caudales )icos. 4l ajuste de la distribuci#n a los datos se )uede efectuar mediante la )rueba } 2, o )or com)araci#n gr(fica con la distribuci#n em)rica. )*. DISTRI?UCION DE VALORES ETREMOS.
Los valores etremos se refieren a los m(imos o los mnimos de un conjunto de datos. s )or ejem)lo, el caudal m(imo anual en una estaci#n determinada es el valor m(s alto registrado durante el a-o en dicha estaci#n. Los valores de dichos eventos m(imos del registro hist#rico constituyen una serie de valores etremos ue se )ueden anali+ar estaN dsticamente. La distribuci#n de los valores etremos, etrados de muestras con cualuier distribuci#n de )robabilidades, converge a una de las tres formas, denominadas >i)o 8, 88 y 888, cuando el n/mero de dichos valores es alto i))et, 1U2I!. Las )ro)iedades de estas tres funciones han sido estudiadas en detalle )osteriormente )or umbel <>i)o 1!, Wrechet <>i)o 88! y Deibull <>u)o 888!. Las tres funciones indicadas son casos es)eciales de una /nica distribuci#n denominada D#s0r#6$"#3! de Va/ores E0re%os Ge!era/ 8VEG; <enOinson, 1UKK!, cuya funci#n de distribuci#n de )robabilidades es W<! e)<1 O
u 1;O ! X
<2.JK! donde O, u y son )ar(metros a ser determinados. =ara 0 se obtiene la distribuci#n de [alores 4tremos >i)o 8, cuya funci#n de )robabilidades se da en la >abla 2.P. =ara 0, se obtiene la distribuci#n de [alores 4tremos 4tremos >i)o >i)o 88, cuyo rango rango de a)licaci a)licaci#n #n es
obti obtien enee la dist distri ribu buci ci#n #n de [alor alores es 4tr 4trem emos os >i)o i)o 888, 888, cuyo cuyo rang rangoo de a)li a)lica caci ci#n #n es N / i)o 8 <[48!, es ilimitada en la >i)o 88 <[488!, es limitada en la )arte interior )or i)o 888 <[4 888!, es limitada en la )arte su)erior )or < u X; !. Las distribuciones [48 y [488 se conocen como distribuciones ?BT4L y W%4C4> res)ectivamente y se suelen utili+ar )ara el an(lisis de los caudales m(imos. La distribuci#n [4888, se conoce como la distribuci#n D48T?LL y se usa )ara el an(lisis de frecuencia de los caudales mnimos. "etalles de la distribuci#n [48 en el )'ndice ". )*.
ANALISIS DE FRECUENCIA.
Los Los m'to m'todo doss esta estad dst stic icos os )res )resen enta tado doss en las las secc seccio ione ness ante anteri rior ores es se usan usan m(s m(s frecue frecuente nteme mente nte )ara )ara descr describi ibirr serie seriess de )roces )rocesos os hidrol hidrol#gi #gicos cos,, tal como como altura alturass de )reci)itaci#n e intensidades, caudales m(imos anuales, crecidas, duraciones de flujos mnimos, etc. 4n esta secci#n se va a anali+ar el ajuste de las distribuciones a datos )untuales, es decir, decir, a observaciones en una estaci#n estaci#n de medici#n en )articular. )articular. ay dos m'todos )ara el ajuste de las distribuciones en el an(lisis de frecuencias el )rimero consiste en una t'cnica de re)resentaci#n directa de la distribuci#n acumulada el segundo considera el uso de factores de frecuencia.
La distribuci#n acumulada )ermite una r()ida determinaci#n de la )robabilidad de ue un evento sea menor o igual ue una magnitud es)ecfica. 4sta )ro)iedad se usa )ara obtener )eriodos de retorno o intervalos de recurrencia )ara los datos observados. Como regla general, el an(lisis de frecuencia s#lo debera llevarse a cabo si las series observadas )or lo menos son de 10 a-os de longitud y no deben usarse etra)olaciones mayores ue el doble del registro observado. "etalles sobre =eriodo de %etorno en el )'ndice ". )*. SERIES DE DATOS HIDROLOGICOS ser#e de 4l conju conjunto nto de datos datos dis)on dis)onibl ibles es ordena ordenados dos cronol cronol#gi #gica camen mente te constit constituye uye la ser#e d$ra"#3! d$ra"#3! 0o0a/. Si de esta serie se seleccionaran todos los valores mayores ue una magnit magnitud ud )reest )reestabl ablec ecida ida o valor valor base base o de refere referenci ncia, a, este este nuevo nuevo conjun conjunto to de datos datos
UF
conform conforman an la denomi denomina nada da ser#e de d$ra"#3! par"#a/ . Cuando la base de referencia se selecciona de modo tal ue el n/mero de valores en la serie sea igual al n/mero de a-os de registro, entonces estamos en )resencia de una ser#e a!$a/ de e"ede!"#a . =or otro lado, se debe debe obse observ rvar ar ue ue una una ser#e de 2a/ores e0re%os incluye el valor m(imo o mnimo ocurrido en cada intervalo de igual longitud en ue se divide el )erodo de registro. La longitud del intervalo se selecciona normalmente igual a un a-o con lo cual, la serie se denomine sim)lemente ser#e a!$a/, ya sea m(ima o mnima. 4l )erodo de retomo > 4 de cada evento de la serie )arcial se relacione con el )eriodo de retomo > corres)ondiente a los eventos de la serie de valores m(imos anuales como sigue >4 ln ! > 1
1
<2.J6!
?na de las las limitaci limitacione oness de la serie de ecede ecedenci ncias as )arcial )arcial est( est( en la dificult dificultad ad de verificar la inde)endencia de las observaciones. Sin embargo, cuando se est( tratando de estimar eventos con )eriodos de retomo )eue-os <> K a-os, como es el caso de drenaje vial y urbano!, se suele usa la serie )arcial. Cuando el )erodo de retomo es elevado, ambas series convergen, )or lo ue en este caso se recomienda usar la serie anual. La diferencia entre ambas series s#lo es de 0.K a-os )ara valores del )erodo de retorno su)eriores a 10 a-os. )*.) SELECCION DEL PERIODO DE RETORNO O NIVEL DE DISEO
4l estudio hidrol#gico )uede tener dos usos fundamentales <1! C7A>%7L "4L ? drenaje, control de inundaciones, control de la )oluci#n, sedimentos, salinidad, etc. <2! ?S7 "4L ? ? \ BA4 BA47 7 abastec abastecimi imient entos, os, riego, riego, hidroe hidroelec lectri tricid cidad, ad, recrea recreaci# ci#n, n, navegaci#n, etc. 4n cada caso, el objetivo es el mismo determinar el caudal de dise-o de entrada, transitarlo a trav's del sistema y determinar si la salida es satisfactoria. 4l dise-o )ara el control del agua normalmente se basa en eventos etremos de corta duraci#n mientras ue el dise-o )ara el uso del agua considera el hidrograma total sobre un )erodo de a-os. 4n la Wigura 2.U, se )resentan los rangos de variaci#n del valor corres)ondiente a la variable de entrada al sistema, denominado Qescala de dise-o hidrol#gicoR. Los factores determinantes en la selecci#n del evento de dise-o son el costo y el grado de seguridad ue se desea dar a la estructura hidr(ulica. La magnitud #)tima )ara el dise-o es auella ue euilibre las consideraciones de costo y seguridad. UI
FIGURA *.. ESCALA DE DISEO HIDROLOGICO.
4n la mayora de los casos, el lmite inferior es cero. 4l valor m(imo es desconocido, )ero finito. =ara )ro)#sitos )r(cticos, se establece un 2a/or /#%#0e es0#%ado VLE , definido como la Qmagnitud m(ima )osible de un evento hidrol#gico en un sitio determinado, basado en la mejor informaci#n hidrol#gica dis)onibleR. 4l conce)to de [L4 se encuentra im)lc im)lcito ito en el conce conce)to )to com/nm com/nment entee usado usado en hidrol hidrolog ogaa de la pre"#p#0a"#3! %&#%a pro6a6/e PMP y la corres)ondiente "re"#e!0e %&#%a pro6a6/e CMP. La 7rgani+aci#n Beteorol#gica Bundial define a la =B= como la magnitud de )reci)itaci#n cercana al limite fsico m(imo ue ocurre )ara una determinada determinada duraci#n sobre una cuenca cuenca dadaR. Sobre la base de los registros registros mundiales, mundiales, la =B= )uede )uede corres)onder corres)onder a un )erodo de retorno de K00.000 a-os Nes decir un factor de frecuencia de 1K. 4l )erodo de retorno vara geogr(ficamente, es usual asignar a la =B= un intervalo de recurrencia de 10.000 a-os, sin embargo, sin bases fsicas. "ebido a ue se desconoce la )robabilidad del [L4, su uso es determinstico. =or ello, es)ecialmente )ara los rangos inferiores se suele usar el )rocedimiento )robabilstico, es decir, se estiman las )robabilidades de ocurrencia usando la informaci#n dis)onible. 4ste m'todo es menos subjetivo y )ermite determinar los niveles de dise-o #)timos. Ao siem)re es econ#mico usar en el dise-o el [L4. 4l valor de dise-o final )odra ser modificado de acuerdo con alg/n criterio t'cnico de ingeniera. 4n la )r(ctica se usan tres )rocedimientos )ara establecer el nivel de dise-o m'todo em)rico, an(lisis de riesgo y an(lisis econ#mico. 4n el m'todo em)rico, se selecciona como magnitud de dise-o el evento etremo del UU
registro hist#rico de A a-os. La )robabilidad de ue dicho evento sea igualado o ecedido una ve+ durante los n a-os siguientes es = A, n
n A n
<2.JF!
s )or ejem)lo, la )robabilidad de ue el caudal m(imo observado en A a-os sea igualado o ecedido en los A )r#imos a-os es 0,K. Si una seua de m a-os constituye el evento crtico observado en un )erodo de A a-os, cu(l ser( la )robabilidad =
n m 1 A m 1 n m 1
n m 1 A n 2m 2
<2.JI!
4l an(lisis de riesgo )arte del hecho de ue la estructura )uede fallar si la magnitud )ara el )eriodo de retorno retorno de dise-o > es ecedida ecedida durante la vida /til de dicha dicha estructura. 4l riesgo hidrol#gico de falla se calcula como sigue % 1 1 )< & > !n
donde
<2.JU!
=< & > ! 1;> n es la vida es)erada de la estructura % es la )robabilidad
de ue un evento
& > ocurra )or lo menos una ve+ en n a-os.
Su)ongamos, )or ejem)lo, ue a una obra hidr(ulica de drenaje urbano se le ha asignado una vida /til de 10 a-o se ace)ta un riesgo de 10M de ue )or lo menos una ve+ en dicho )erodo ocurra un evento ue ecede la ca)acidad de la estructura Cu(l debera ser el )erodo de retorno ue debe utili+arse en el dise-o Cu(l sera la )robabilidad de ue una estructura dise-ada )ara este )erodo de retorno no sea ecedida en su ca)acidad en K0 a-os )licando la 4cuaci#n <2.JU! tenemos 0,10 1 <1 % 1 <1
1 >
1 UK
> UKa-os
!10
% 0,P1
!K0
Luego, la )robabilidad )robabilidad de ue ue la ca)acidad no sea ecedida durante un un )eriodo de K0 100
a-os es 1 0,P1 0,KU 5 KUM 4l tercer m'todo )ara estimar el nivel de dise-o es el an(lisis econ#mico. u se reuiere del conocimiento de la naturale+a )robabilstica del evento hidrol#gico y el da-o ue resultara en el caso de ocurrir el evento, sobre el rango factible del mismo. medida ue se incrementa el )eriodo de retorno, aumenta el costo de la estructura, )ero disminuye el monto de los da-os es)erados. =or lo tanto, se )uede llegar a un )erodo de retorno de dise-o #)timo minimi+ando los costos totales sobre una base anual. continuaci#n continuaci#n vamos a anali+ar el conce)to de riesgo desde el )unto de vista econ#mico, ilustr(ndolo con dos ejem)los, el )rimero se refiere al estudio de diues )ara la )rotecci#n de riberas y el segundo se relaciona con la selecci#n del caudal de dise-o de alcantarillas. )*.).) ESTUDIO DE ALTERNATIV ALTERNATIVAS AS EN EL DISEO DE DIUES
[amos a asumir el estudio de un )royecto de diues )ara la )rotecci#n contra crecientes abla 2.6 se da el nivel de )rotecci#n de cada alternativa conjuntamente con el costo de la medida de )rotecci#n. >TL 2.6. C7S>7S "4 LS L>4%A>8[S "4L S8S>4B "4 "8k?4S.
=ara determinar la relaci#n entre el nivel del agua en el cauce y los da-os es)erados tienen ue anali+arse factores como to)ografa, valor de las )ro)iedades, da-os )otenciales, uso de la tierra y an(lisis hidr(ulico del cauce. 4n la >abla >abla 2.F se resume dicha informaci#n. abra ue determinar la )robabilidad de ocurrencia )ara las crecientes, usando una funci#n de distribuci#n adecuada a la serie de duraci#n )arcial, como se muestra en la Wigura 2.10. 101
Consideremos la alternativa ue brinde una )rotecci#n contra todas las crecientes menores ue IFI m J;s y asumamos ue el )erodo de an(lisis es de 100 a-os. 4n la Wi gura 2.10 se lee directamente el n/mero de veces ue, en )romedio, cualuier creciente va a ser ecedida en 100 a-os. s )or ejem)lo, una descarga de KP m J;s ser( ecedida 61 veces en )romedio, mientras ue una de I2 m J;s s#lo JU veces. 4stos valores se dan en las columnas 2 y J de la >abla 2.I. s )ues, )odemos es)erar unas 22 crecidas <61 N JU! en 100 a-os con magnitudes entre KP y I2 m J;s.
TA?LA *.
RELACION ENTRE NIVEL CAUDALDAOS CAUDALD AOS NIVEL CAUDAL DAOS ESPERADOS SI 8%;
8%+S;
EL CAUDAL OCURRIERA
K,K0 K,I0 6,10 6,P0 6,F0 F,00 F,J0
8M ?s.;
KP I2 1FJ PJU UJP 1.UI2 P.0FI
0 0,J60 2,JP0 12,FI0 P6,020 60,J00 6J,U00
Los da-os resultantes )ara una crecida de KP m J;s son iguales a cero )ero )ara I2 mJ;s, alcan+an una magnitud de 0,J60 BTs. lgunas de las 22 crecientes ue se es)era ue ocurran dentro de ese rango no deben causar casi ning/n da-o. =odramos considerar ue el da-o medio es <0 5 0,J60 BTs.!;2 0,1I0 BTs )or lo tanto, el da-o es)erado en 100 a-os debido a crecientes entre KP y I2 m J;s ser( de 22 0,1IP BTs J,U6 BTs. Los da-os )romedios, calculados como se indica se dan en la columna K de la >abla 2.I y los da-os es)erados en 100 a-os, en la columna 6. 4n el )erodo de an(lisis de 100 a-os, JU crecientes eceden el nivel de I2 m J;s. Los da-os es)erados se com)utan en id'ntica forma y se dan en los renglones ue siguen de la >abla 2.I.
102
W8?% 2.10. S4%84 "4 "?%C87A =%C8L =%C8L =% 4L 4S>?"87 4C7A7B8C7 "4 ?A S8S>4B "4 "8k?4S. TA?LA *.. CALCULO DE LA MAGNITUD PROMEDIO DE DAOS
A8[4L m
C?" L mJ;s
<1! K,K0 K,I0 6,10 6,P0 6,6I 6,F0 6,I6 6,UI F,00
<2! KP I2 1FJ PJU IFI UJP 1.JKU 1.I26 1UI2
de 4C4"4A "7S C7S>7 4C4"4AC8 C8 =%7B4"87S =7TTL4 "4 =%7B4"87 4A =%7B4"87 =% 4L "7S =% 100 7S "4L %A7
4l total de da-os )revenidos )or el sistema de diues hasta el nivel de IFI m J;s ser( igual igual a la suma de los da-os da-os de las crecien crecientes tes menores menores es decir, decir, J,U6 J,U6 5 J1,02 5 U0,0 U0,000 5 FI,00 202,UI BTs. ?sualmente esta magnitud se transforma en un valor medio anual, divi dividi dien endo do entre entre 100, 100, ya ue ue las las crec crecie ient ntes es )ose )oseen en una una ocur ocurre renc ncia ia alea aleato tori ria. a. La determinaci#n de los da-os )romedios )revenidos )ara las otras alternativas se reali+a siN guiendo el mismo )rocedimiento. )rocedimiento. hora ya )odemos com)arar las tres alternativas de diues desde el )unto de vista econ#mico. Si consideramos al sistema de diues como una )arte del mercado com)etitivo )ara la inversi#n de de ca)ital, el nivel econ#mico econ#mico #)timo de de )rotecci#n ocurrira ocurrira cuando los beneficios y costos costos incrementales incrementales se igualan y los beneficios em)ie+an em)ie+an a eceder eceder a los cosN tos. 4ste ti)o de an(lisis no es necesario en una situaci#n de mono)olio como lo es el sistema de diues. Sin embargo, uno de los )rocedimientos recomendados, recomendados, )ara la toma de decisiones consiste en asumir una situaci#n de mercado com)etitivo, y desarrollar el sistema 10J
de diues hasta un nivel tal ue los beneficios y costos incrementales sean iguales, reconoN ciendo ue la diferencia m(ima entre beneficios y costos )uede ocurrir a un nivel inferior del desarrollo
?ENEFICIOS
?ENEFICIOS
PROTECCION
ANUALES
INCRE
%+s
M ?s.
MENTALES M ?s.
C7S>7 A?L "4L
COSTO
?ENEFICIOS
INCREMENTAL
MENOS
M ?s.
COSTOS M ?s.
PRO(ECTO M ?s.
IFI 1.JKU 1.I26
2,0J 2,J6 2,K0
0,JJ 0,1P
1,U0 2,21 2,F2
0,J1 0,K1
0,1J 0,1K 0,22
4n la >abla 2.U se )resenta un resumen de los c(lculos )ara las tres alternativas. ?n nivel de )rotecci#n en el rango de IFI a 1.JKU m J;s arroja un beneficio de 0,JJJ BTs., a un costo de s#lo 0,J06 BTs. anual. 4l costo de la )rotecci#n hasta el siguiente nivel de 1.I26 mJ;s se incrementa a 0,K10 BTs. y el beneficio obtenido s#lo es de 0,1P0 BTs. 7bviamente, s#lo debera considerarse el )royecto hasta el nivel de )rotecci#n de 1.JKU mJ;s. 4n este caso, la diferencia beneficio N costo es tambi'n m(ima. 4s nece necesa sario rio hace hacerr nota notarr ue ue los los valo valore ress anua anuale less de da-o da-oss )or )or crec crecida idass se van van incrementando con el tiem)o. 4sto se debe al incremento de los desarrollos en las )lanicies inundables cuando se )rovee de alguna medida de )rotecci#n. 4ste fen#meno debe ser reconocido y evaluado )ara introducirlo en la estimaci#n de los da-os estimados de la >abla 2.I. . MÉTODOS DE REPRESENTACI'N GRFICA
Las funciones de distribuci#n acumuladas se sim)lifican cuando se usa el )a)el de )robabilidades, elaborado de tal modo ue los )untos se ubican en una lnea recta. s )or ejem)lo, el )a)el de )robabilidades normal tiene un origen en el )unto medio, es decir una lnea de una )robabilidad de K0M luego la escala se desforma hacia ambos lados hasta el infinito. =or lo tanto, una distribuci#n sim'trica, con una forma de S )erfecta en escala aritm'tica se transforma en una lnea recta en el )a)el de )robabilidades. La otra escala se mantiene en unidades aritm'ticas. 4n forma similar, la distribuci#n Log Aormal arroja una 10P
lnea recta en el )a)el de )robabilidades, )ero con una escala logartmica en el eje de las ordenadas. 4n ambos casos, el valor medio de la variable normal ocurre en el )unto K0M, y las variables de igual desviaci#n )or debajo y )or encima del )romedio se ubican en lnea recta. ?n )a)el de )robabilidades es)ecialmente elaborado )ara la distribuci#n de valores etremos de ?BT4L, utili+a en ve+ de la )robabilidad de ocurrencia, su rec)roco, es decir el intervalo de recurrencia, denominado denominado tambi'n )erodo de retorno. La )robabilidad o )erodo de retorno de un evento dentro de una serie se )uede calcular utili+ando alg/n m'todo de )osici#n gr(fica. Cuando Cuando se anali+an anali+an,, )or ejem)lo, ejem)lo, los caudales caudales m(imos anuales, anuales, el I!0er2a/o de Re"$rre!"#a o Per7odo de Re0or!o se define como el tiem)o medio en a-os, con A intentos futuros, )ara ue el mNavo valor de la serie sea ecedido en )romedio una ve+. "icho de otro modo, el )erodo de retorno es el n/mero de a-os en los cuales se es)era ue la variable ocurra )or lo menos una ve+. 4l n/mero medio de ecedencias )ara esa condici#n es como sigue A
donde
m n 1
<2.P0!
n/mero )romedio de ecedencias A n/mero de intentos futuros <)erodos de retorno! n n/mero de valores m el n/m n/mer eroo de orde ordenn de cada cada even evento to enu enume mera rado doss de mayo mayorr a menor. =ara el caso )articular de 1, A > , tenemos
>
n 1 m
<2.P1!
4n la >abla >abla 2.1J se )resentan varios m'todos de re)resentaci#n gr(fica, )ero ninguno toma en cuenta la longitud del registro a diferencia de la formula desarrollada )or ringorten, dada a continuaci#n >
n 1 2a ma
donde n n/mero de a-os de registro m n/mero de orden 0 a 1 ue vara con n, como se indica 10K
1K,K >odos los m'todos de la >abla >abla 2.1J asignan a los eventos un n/mero de orden )ara lo cual los valores se ordenan en forma creciente o decreciente. 4l m'todo m(s eficiente y m(s com/nmente usado )ara la )osici#n de re)resentaci#n gr(fica )ara cualuier distribuci#n es el de Deibull =
m n 1
<2.PJ!
Cuando m va de menor a mayor, = es la )robabilidad de no ecedencia < !. 4n cambio cuando m va de mayor a menor, = es la )robabilidad de ecedencia =< & !.
106
WC>7%4S "4 W%4C?4AC8 4l )rocedimiento m(s sencillo )ara el an(lisis de frecuencia consiste en utili+ar la e"$a"#3! @e!era/ de 4re"$e!"#a )ro)uesto )or ChoE s <2.PP! donde es el )romedio )romedio aritm' aritm'tic ticoo de la serie serie de valore valoress observa observados dos,, s la desviaci#n est(ndar y es denominado 4a"0or de 4re"$e!"#a , el cual de)ende del ti)o de distribuci distribuci#n, #n, del )erodo )erodo de retorno retorno y del n/mero de a-os de registro. registro. =ara la distribuc distribuci#n i#n normal y log normal, el factor de frecuencia es euivalente a la variable ^ estandari+ada, dada en la >abla Cl )'ndice )'ndice C. Los valores de normalmente se )resentan tabulados )ara todas las distribuciones. Luego el )rocedimiento se resume en los siguientes )asos <1! Calcu Calcular lar los los )ar( )ar(met metros ros estad estadst stico icoss de la seri seriee obse observa rvada da x y S . <2! Seleccio Seleccionar nar el )erod )erodoo de retorno retorno desea deseado do )ara )ara . i)o 8 de umbel, )or ser 'sta de uso estandari+ado en [ene+uela, cuyo factor de frecuencia se encuentra tabulado en la >abla 2.1P. EJEMPLO *.: La descarga m(ima anual )romedio en una estaci#n hidrom'trica
con 2K a-os continuos de registro es de 1.000 m9 :s y la desviaci#n est(ndar es de P00 m J;s. 4stime la magnitud del caudal de K0 a-os de intervalo de recurrencia. SOLUCION: "e la >abla >abla 2.1P )ara > K0 a-os y n 2K a-os J,0II )licando la 4cuaci#n <2.PP! resulta k K0 1.000 P00 J,0II 2.2JKm J ;s
La ecuaci#n dada en la >abla 2.P )ara la funci#n de distribuci#n de valores va lores etremos >i)o 8 )uede resolverse )ara el intervalo de recurrencia > y )ara la variable como sigue 1 >
1 W<! 1 e)7 e) X u 6 u
1 X
n ln > N ln <> N 1!
10F
<2.PK!
<2.P6! %eem)la+ando %eem)la+ando estas /ltimas e)resiones en la 4cuaci#n <2.PP! con y u como se da en la >abla 2.P, se obtiene )ara el factor de frecuencia la siguiente e)resi#n
6 Ž
<0,KFF2 ln ln
>
! > 1
< 2.PF!
ay ue hacer notar ue esta e)resi#n de s#lo es v(lida )ara n muy grande, es decir en el limite n ` / . =ara el caso de muestras, vara va ra con el tama-o de la muestra, como se a)recia en la >abla 2.1P. 4n la ecuaci#n ecuaci#n <2.PP!, si hacemos hacemos 0, se obtiene > 2,JJ a-os es decir, en el an(lisis de frecuencia con la funci#n de umbel, el intervalo de recurrencia del caudal medio m(imo anual se designa como k 2,JJ. EJEMPLO *.: 4l caudal )romedio m(imo anual del ro \aracuy, en la estaci#n =uente
Cumari)a es de 1PF m J;s, calculado sobre la base de un )erodo de 16 a-os. La desviaci#n est(ndar es de UP m J;s. 4stimar la magnitud de los caudales m(imos de K0 y 100 a-os. SOLUCION: "e la >abla 2.1P, )ara n 1K K0 J,J21
100 100 P,00K Luego reem)la+ando reem)la+ando los valores de k, S y en la ecuaci#n <2.PP! kK0 1PF 5 UP J,J21 PKUm J;s k100 1PF 5 UP P,00K K2J mJ;s EJEMPLO *.): 4n la >abla 2.1K se dan los caudales m(imos anuales registrados )or
el Binisterio del mbiente y de los %ecursos Aaturales %enovables
N Se asigna asigna un n/mero n/mero de orden orden m a cada cada valor valor de caudal caudal m(imo m(imo anual, anual, ordenados ordenados en forma decreciente, es decir, la magnitud mayor recibe el valor de m 1 abla 2.1K! y la magnitud menor, el de m 16 abla 2.1K!. 10I
N -
-
4n la columna columna abla 2.1K 2.1K se se dan los valore valoress de m )ara cada valor valor de cauda caudal.l. Se calcula al )erodo de retorno > )ara cada magnitud de caudal usando la ecuaci#n <2.P1!. Los resultados se dan en la columna abla 2.1K. Winalmente se grafican los valores de > de la columna i)o 8N umbel, como se muestra en la Wigura 2.1J.
"ado ue los )untos se ajustan a una lnea recta, la funci#n utili+ada se ada)ta a los datos del )roblema. CONFIA?ILIDAD DEL ANLISIS ( LÍMITES DE CONFIDENCIA
"e acuerdo con la teora del lmite central, los )romedios de muestras tomadas de una )oblaci#n con varian+a finita w 2 y )romedio se distribuyen normalmente con )romedio y varian+a w 2;n cualuiera ue sea la distribuci#n de la )oblaci#n. 4l estadstico w; n viene a ser la desviaci#n est(ndar de la distribuci#n de los )romedios y se conoce como el Error Es0&!dar de/ Pro%ed#o . 4n la >abla 2.16 se dan los errores est(ndares )ara los )ar(metros m(s usados usados de una distribuci#n. >TL 2.1P WWC>7% C>7% "4 W%4C?4AC8 W%4C? 4AC8 =% L "8S>%8T?C8 "8S>% 8T?C8†A †A 4>%4B 4>%4 B >8=7 8. =robabilidad acumulativa, =, M
1!;
Como se )uede a)reciar, el error est(ndar, y )or lo tanto la confiabilidad del an(lisis, vienen a ser una funci#n s#lo del tama-o de la muestra. Sobre la base del error est(ndar, es )osible establecer los lmites de confian+a )ara el )ar(metro ue se est( anali+ando, tomando como base la distribuci#n Aormal. =ara ello debemos recordar las )ro)iedades de la variable normal 4l 6IM de las observaciones se ubican en el rango de 8 w el UKM UKM en en el rango rango 8 2w y el UU,FM en el rango x 8 J . =or lo tanto, los lmites de confian+a )ara una )robabilidad del UKM )ara el )romedio se ubic ubican an en el ran rango 9 8 2w n . 4n la )r(c )r(ctitica ca,, la vari varian an+a +a w 2 de la )oblaci#n es desconocida, desconocida, )or lo ue se reuiere de una t'cnica un tanto diferente )ara estimar los lmites de confian+a )ara una muestra con )romedio y varian+a S 2. >TL 2.1F L’B8>4S "4 4%%7% =% LS C?%[S "4 W%4C?4AC8.
Aota Los valores de la tabla se multi)lican )or la desviaci#n est(ndar de la variable )ara )roducir la banda de confian+a. confian+a. 4l lmite su)erior se obtiene sumando al valor de la curva el 112
error al KM. 4l lmite inferior se obtiene restando al valor de la curva el error al UKM. Los /7%#0es de/ error se @ra4#"a! "o%o "$r2as de "o!0ro/ a a%6os /ados de /a "$r2a de 4re"$e!"#as. E! /a Ta6/a *.) se da! /os 4a"0ores prop$es0os por ?EARD 8)B); por /os $e de6e %$/0#p/#"arse /a des2#a"#3! es0&!dar de /a 2ar#a6/e para es0a6/e"er /os /7%#0es de "o!4#de!"#a "o! $!a pro6a6#/#dad de . E/ !#2e/ - por eKe%p/o s#@!#4#"a $e s3/o e/ - de /os 2a/ores 4$0$ros de6er7a! "aer so6re e/ /7%#0e s$per#or 1 e! 4or%a s#%#/ar s3/o e/ - de6er& "aer por de6aKo de/ /7%#0e -. N$e2e de "ada ) 2a/ores de6er7a! "aer de!0ro de /a 6a!da de "o!4#a!=a. ERROR ESTANDAR DE LA DISTRI?UCION DE VALORES ETREMOS TIPO I
Como hemos visto, el error est(ndar de los estimados S e es una medida de la desviaci#n est(ndar de la magnitud de los eventos, calculada de muestras ue varan alrededor de la magnitud verdadera del evento. =or ser las funciones de distribuci#n de frecuencias normal y de valores etremos >i)o 8 de uso muy frecuente en [ene+uela, a continuaci#n se dan los estimados del error est(ndar )ara dichas funciones, de acuerdo con 8>4 <1UFF! A7%BL 2 +2 Se S n
<2.PI!
"onde Se error est(ndar de los estimados S desviaci#n est(ndar de la muestra observada n n/mero de eventos ^ variable normal estandari+ada [L7%4S 4>%4B7S >8=7 8 1 Se <1 1,1JU6 1,100 2 !1;2 S n
<2.PU!
Wactor de frecuencia ajustado )ara el evento de un )erodo de retorno >, ue se calcula mediante la ecuaci#n <2.PF!, o se etrae de las tablas )ara la funci#n de [alores 4tremos >i)o 8. EJEMPLO *.)): Calcular Calcular el error est(ndar est(ndar de estimaci estimaci#n #n y los lmites de confian+a al
11J
U0M )ara k K0, y k100 del ejem)lo 2.U. DATOS:
kK0 PKU mJ;s k100 K2J mJ;s
S UPmJ;s n l6a-os
J,J21 P,00K
SOLUCI'N: )licando la ecuaci#n <2.PU! tenemos 1 =ara kK0 Se <1 1,1JU6 p J,221 1,10 p
=ara k10 Se KI,1U =ara k2,JJ Se 2J,K0 Los lmites de confidencia al U0M, con ^ X 1,6PK )ara X 0,0K son > Se ^, es decir =ara kK0 PKU 1KK
)esar )esar de ue la incertidumbre hidrol#gica natural )uede tenerse tenerse en cuenta tal como se describi# )reviamente, otras clases de incertidumbres son difciles de calcular. menudo 'stas son tratadas utili+ando un Qfactor de seguridadR, WS, o un Qmargen de seguridadR, BS. Si el valor dado )or el dise-o hidrol#gico es L y la ca)acidad real ado)tada )ara el )royecto es C, el factor de seguridad FS
C L
<2.K0!
\ el margen de seguridad es
MSCL
11P
<2. K1!
La ca)acidad real es mayor ue el valor dado )or el dise-o hidrol#gico debido a ue se tienen en cuenta otras clases de incertidumbre tecnol#gica . La magnitud L del evento hidrol#gico ue corres)onde a esta )robabilidad de ecedencia se encuentra al utili+ar un an(lisis de frecuencia de la informaci#n hidrol#gica. 4l valor de dise-o C se encuentra al multi)licar L )or un factor de seguridad asignado, asignado, o sumando a L el margen margen de seguridad ado)tado. ANLISIS DE INCERTIDUM?RE DE PRIMER ORDEN
Buchas de las incertidumbres asociadas con sistemas hidrol#gicos no son cuantificables. =or ejem)lo, la ca)acidad ca)acidad de conducci#n conducci#n de una alcantarilla alcantarilla con una entrada entrada no obstruida )uede calcularse con un )eue-o margen de error, )ero durante una creciente es usual ue la entrada sea obstruida )or basuras y desechos, reduciendo la ca)acidad de conducci#n de la alcantarilla en una cantidad ue no )uede )redeterminarse. La incertidumbre hidrol#gica )uede dividirse en tres categoras, Qincertidumbre naturalR, la cual surge debido a la variabilidad aleatoria del fen#meno hidrol#gico Qincertidumbre del modeloR, la cual resulta de las a)roimaciones hechas en la re)resentaci#n de los fen#menos median mediante te ecuac ecuacion iones es e Qince Qincertid rtidumb umbre re de )ar(me )ar(metro troR, R, la cual cual surge surge de la natura naturale+ le+aa desconocida de los coeficientes de las ecuaciones. La incertidumbre natural en la magnitud del evento de dise-o est( descrita )or la ecuaci#n <2.JU! en esta secci#n se considerar(n las incertidumbres de modelo y de )ar(metro. 4l an(lisis an(lisis de Qincertidum Qincertidumbre bre de )rimer ordenR ordenR es un )rocedimie )rocedimiento nto )ara calcular calcular la variabilidad es)erada en una variable de)endiente calculada como una funci#n de una o m(s variables inde)endientes. Su)#ngase ue / se e)resa como una funci#n de D f<! <2.K2! 4isten dos fuentes de error en /0 )rimero, la funci#n f unci#n f, o modelo, )uede ser incorrecta segundo, la medida de )uede ser ineacta. 4n el siguiente an(lisis se su)one ue no eiste 11K
error de modelo. a)ur y Lamberson <1UFF! demostraron c#mo )uede etenderse etenderse el an(lisis cuando eiste error de modelo. 4ntonces, su)oniendo ue f<! es un modelo correcto, se selecciona un valor nominal de , denotado )or , como una entrada entrada de dise-o y se calcula el valor corres)ondiente de / D f< ! <2.KJ! Si el valor real de es diferente de , el efecto de esta discre)ancia sobre E se estima e)andiendo f<! en una serie de >aylor alrededor de D f<!
df d
1 d 2 f
< !
2Πd
2
< ! 2 X
<2.KP!
donde las deriv donde derivada adass df d , d 2 f d 2 ,..., , se eval/an en . Si se des)recian los t'rminos t'rminos de orden segundo segundo o su)erior su)erior,, la e)resi# e)resi#nn de Q)rimer Q)rimer ordenR resultant resultantee )ara el error en E es E9E La varian+a de este error es SE 2 4
df d
< !
df < ! d
7 2
SE
2
" df S 2 ! d
<2.KK!
donde S2 es la varian+a de . La ecuaci#n <2. KK! )ermite el c(lculo de la varian+a de una variable de)endiente E como una funci#n de la varian+a de una variable inde)endiente , su)oniendo ue la relaci#n funcional Ef<! es correcta. 4l valor SE es el error de estimaci#n est(ndar de E. E. Si E es de)endiente de varias variables mutuamente inde)endientes 1, 2,...,n, )uede demostrarse, utili+ando un )rocedimiento similar al anterior, ue 2
2
2
" df 2 " df 2 " df 2 S 1 S 2 ... S n d d d ! 1 ! 2 ! n
2
SE
<2.K6!
a)ur y Lamberson <1UFF! mostraron c#mo etender la ecuaci#n <2.JUh! )ara tener en cuenta el efecto de la correlaci#n entre 1,2,...,n, si eiste, sobre S 2E. 116
ANLISIS DE PRIMER ORDEN DE LA ECUACI'N DE MANNING
La ecuaci#n ecuaci#n de Banning Banning es frecuenteme frecuentemente nte utili+ada utili+ada en hidrologa hidrologa con el fin de determinar la )rofundidad del flujo
k
.% J S
1
f 2
<2.KF!
n
Si las variaciones en y de)enden solamente de variaciones en k, entonces de la ecuaci#n <2.KK!, 2
Sy
2
" dy Sk 2 ! dk
<2.KI!
)ero dk;dy, dk;dy, est( dado )ara )ara la ecuaci#n ecuaci#n de Banning )or 2 d% 1 d k dy dy J% dy
dk
<2.KU!
debido a ue k es una constante y su)oniendo ue n es constante. Sustituyendo en la ecuaci#n <2.KU!, la funci#n de la forma del canal <2;J%!
2
Sy
d[k
2
" 2 d% 1 d ! J% dy dy
2
<2.60!
la cual es)ecifica la varian+a dela )rofundidad de flujo como una funci#n del coeficiente de variaci#n del caudal y del valor de la funci#n de forma del canal. =ara tener en cuenta tambi'n la incertidumbre en el coeficiente de rugosidad n de Banning y en la )endiente de 11F
fricci#n Sf , )uede )uede )roced )roceders ersee en forma simila similar,r, utili+a utili+ando ndo la ecuaci#n ecuaci#n <2.60! <2.60! , ue 2
Sy
C[k 2 C[n 2 <1 ; P! C[sf 2
" 2 d% 1 d J % dy dy !
2
8*.B);
/a "$a/ represe!0a /a 2ar#a!=a de /a pro4$!d#dad de 4/$Ko 1 "o%o $!a 4$!"#3! de /os "oe4#"#e!0es de 2ar#a"#3! de/ "a$da/ de/ ! de Ma!!#!@ de /a pe!d#e!0e de 4r#""#3! 1 de /a 4$!"#3! de 4or%a de/ "a!a/ es de"#r e/ error d es0#%a"#3! es0&!dar a/ "$adrado.
44B=L7 U.1. U! "a!a/ re"0a!@$/ar de - % de a!"
/e"
se "a/"$/a "o! /a e"$a"#3! de Ma!!#!@: 2
k
.% J S
1 f 2
n 2
-
1
" K0y J 2
$e se res$e/2e "o! /a 0"!#"a de #0era"#3! de Ne[0o! 8Ap!d#"e E; para e!"o!0rar 1*.) % E/ error de es0#%a"#3! es0#%a"#3! es0&!dar es0&!dar es S1 "a/"$/ado "a/"$/ado a/ $0#/#=ar S1 S1 "a/"$/ado "a/"$/ado a/ $0#/#=ar /a e"$a"#3! 8*.+Q; "o! CV .+\ CV!.)- 1 CV s4 . . De /a 0a6/a CB p!d#"e C para $! "a!a/ re"0a!@$/ar 2 d% 1 d dy J% dy
6y Jy < T 2 y! KT
6 2.1U J 2.1U
.+
11I
*
L$e@o
S1
<0.J0! 2 <0.1K! 2 <0.FJF ! 2
0.20F
S1.,B % S# /as "asas es0&! "o!s0r$#das "o!s0r$#das de %a!era $e /os p#sos p#sos se /o"a/#"e! .-% por e!"#%a de/ !#2e/ de a@$a "a/"$/ado s0as se #!$!dar&! s# /a pro4$!d#dad rea/ es %a1or $e *.) *.) ..- *. *.B B%. %. S# /a e/e2 e/e2a" a"#3 #3! ! de /a s$pe s$per4 r4#" #"#e #e de/ de/ a@$a a@$a y es0& d#s0r#6$#da d#s0r#6$#da !or%a/%e!0e e!0o!"es /a pro6a6#/#dad de $e se prese!0e $! #!$!da"#3! e! /as "asas se e2a/a "o!2#r0#e!do 1 a /a 2ar#a6/e !or%a/ es0a!dar#=ada 2 : " y 2.1U 2.6U 2.1U 0.P6 ! 0.P6
P81W*.B; P
" y 2.1U 1.0IF ! 0.P6
P
P8=W).; )F=8).; de /a 0a6/a C) de/ ap!d#"e C: F=8).; .B L$e@o P81W*.B; ).B.), E#s0e $!a pro6a6#/#dad pro6a6#/#dad apro#%ada apro#%ada de ), de $e /as "asas "asas se #!$!de! d$ra!0e d$ra!0e e/ e2e!0o de d#seQo de6#do a /as #!"er0#d$%6res e! e/ "&/"$/o de/ !#2e/ de/ a@$a para d#"
11U
La "orre/a"#3! "orre/a"#3! se define como la asociaci#n entre dos o m(s variables aleatorias, en la
cual, solamente una )arte de la variaci#n total de una variable, denominada depe!d#e!0e, es e)licada )or la variaci#n de las otras variables, denominadas #!depe!d#e!0es involucradas en la estructura de asociaci#n. La )arte no e)licada se debe al efecto de los errores y de las variables ue )udiendo tener alguna relaci#n, no son incluidas en el an(lisis. 4l grado de asociaci#n ue eiste entre las variables incluidas en el an(lisis se mide mediante el coeficiente de correlaci#n
4l an(lisis de correlaci#n se lleva a cabo, siguiendo el )rocedimiento ue se da a continuaci#n 05 Seleccionar el tipo de relación; relación;
La relaci#n eistente entre las variables )uede ser de dos ti)os sim)le y m/lti)le. La relaci#n sim)le es auella en la ue se incluyen solamente dos variables, y f<!. La relaci#n m/lti)le incluye m(s de dos variables, una de las cuales, es la variable de)endiente, de)endiente, y las otras son las variables inde)endientes \ f< 1,2, ... O!. Cada uno de los ti)os de regresi#n se-alados )uede ser lineal o no lineal, seg/n ue la 120
relaci#n sea lineal o curvilnea. La regresi#n lineal es la m(s /til ya ue muchas relaciones curvil curvilne neas as )ueden )ueden ser f(cilm f(cilment entee transf transform ormada adass a una relac relaci#n i#n lineal lineal utili+ utili+and andoo la logaritmaci#n. Luego, los modelos m(s comunes de regresi#n son Smbo lo
> i )o
%LS
Linea l s
%LB
Lin eal B
<2.62! <2.6J! "onde “ variable aleatoria de)endiente <)ron#stico!. y i variables aleatorias inde)endientes. X , a t'rminos inde)endientes <)ar(metros de la regresi#n! , bn coeficientes de regresi#n “ e1 residuo o error y1N y o variable auiliar 1. i
<5 $stimar los par6metros del Modelo
4l m'todo m(s utili+ado )ara calcular los )ar(metros del modelo de regresi#n lineal sim)le, es el de los mnimos cuadrados. Consiste en calcular los )ar(metros en tal forma ue se minimi+a la sumatoria de los cuadrados del error e 1
n
e i 1
2 i
n
n
i 1
i 1
La minimi+aci#n se obtiene derivando la e)resi#n con res)ecto a QaR y QbR, igualando a cero en cada caso y resolviendo el sistema de ecuaciones )ara QaR y QbR. 3
"e la derivaci#n se obtienen las ecuaciones normales, cuya resoluci#n arroja )ara a y b los siguientes valores a y N b x <2.6P!
121
b
i yi a i n i yi i yi n i2 < i ! 2 i2
< i !
<2.6K!
Los )ar(metros QaR y QbR del modelo %LS tambi'n )ueden estimarse en forma gr(fica como sigue
4l valor de QaR viene a ser la interce)ci#n de la recta \ a 5 b con el eje de las ordenadas <[alor de \ )ara 0! y el valor de QbR viene a ser la )endiente de la lnea de regresi#n. =ara calcular los )ar(metros de la regresi#n lineal m/lti)le de variables inde)endientes 4cuaci#n <2.K1! tambi'n se usa el m'todo de los mnimos cuadrados, en la misma forma ue el caso de la regresi#n lineal sim)le introduciendo las transformaciones : i1 i1 : i2 i2 2 ...... iO O :\ y1 y
Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales, a )artir de las cuales se calculan los coeficientes de regresi#n r egresi#n 122
b1:<% 12 !5 b2:<%1%2!5]5bO:<%1%O! :<%y%1! b1:<%1%2! 5 b2:<% 22 !5]5bO:<%2%O! :<%y%2! . . . b1:<%1%O! 5 b2:<%2%O!5]5bm:<% O 2 ! :<%y%O! <2.66! ... 4l sistema <2.KP! se resuelve )ara b 1, b2 ... bm, haciendo b o media. s )or ejem)lo, )ara el caso de dos variables inde)endientes inde)endientes tenemos y“ b o b 1 i1 b 2 12 b o y b1 1 b 2 2
4n la hidrologa no se justifica utili+ar en el modelo de regresi#n lineal m/lti)le m(s de cinco
La )rueba de la significancia se refiere a establecer si la correlaci#n es suficientemente buena como )ara usar el modelo obtenido )ara el )ro)#sito )ro)uesto. Si la correlaci#n es significativa, es decir, si el coeficiente de correlaci#n es estadsticamente diferente a cero, la correlaci#n )uede ser usada. =or lo tanto, las hi)#tesis son o ” 0 1 ” 0 12J
4l estadstico de )rueba ue se usa es el de la distribuci#n QtR, calculado como sigue t
r n 2
1;2
<2.FP!
1 r
2 1;2
Con un nivel de significancia )reestablecido, digamos X 0,0K, se lee en la tabla de la distribuci#n de Student <>abla CP, )'ndice C! el valor de t 0,0K con
” 0
”
se ace)ta 1
<2.FK!
0 se ace)ta 0
<2.F6!
=5 $stimación del >rado de Correlación
4l )rocedimiento m(s sencillo )ara calcular el coeficiente de correlaci#n r, en el modelo de %LS es r b
S Sy
<2.FF!
"onde de 4cuaci#n <2.20! 1;2
<, ,!2 i S n 1 1;2 n
"onde b coeficiente de regresi#n calculado anteriormente S desviaci#n est(ndar est(ndar de la variable S\
desviaci#n est(ndar est(ndar de la variable variable \ 12P
Si reem)la+amos QbR )or las e)resiones matem(ticas utili+adas )ara su c(lculo, se obtienen )ara QrR otra relaci#n de utilidad <[er <[er 4cuaci#n 2.KU!. ”
w y Cov \ [ar [ar\ w w y
<2.FI!
4n esta /ltima /ltima e)re e)resi# si#nn los valores valores de w utili+ados re)resentan la desviaci#n est(ndar de la )oblaci#n, y )or lo tanto, la e)resi#n se utili+a )ara estimar el coeficiente de correlaci#n )oblacional ” . La medida de la correlaci#n en el modelo de %LB se determina )or cualuiera de los siguientes cuatro )ar(metros 1! "esviaci#n est(ndar de los errores o residuos. *; Co Coe4# e4#"#e "#e!0e !0e de "orre "orre/a" /a"#3! #3! %/0#p/e %/0#p/e e/ "$a/ %#de /a aso"# aso"#a"# a"#3! 3! 8( "o!0ra "o!0ra
“ ;. \
Se
de4# de4#!e !e 0a%6 0a%6# #! ! "o%o "o%o /a ra=3 ra=3! ! de /a des2 des2#a #a"# "#3! 3! es0& es0&!d !dar ar de /os /os err errores ores a /a des2#a"#3! es0&!dar de /a 2ar#a6/e o6ser2ada. +; Coe4#"#e!0e de de de0er%#!a"#3! de0er%#!a"#3! %/0#p/e $e $e 2#e!e a ser e/ "$adrado "$adrado de/ "oe4#"#e!0e "oe4#"#e!0e de "orre/a"#3! "orre/a"#3! %/0#p/e. ,; Los "oe4#"#e!0es de "orre/a"#3! "orre/a"#3! par"#a/ par"#a/ /os "$a/es %#de! /a aso"#a"#3! de /a 2ar#a6/e depe!d#e!0e "o! "$a/$#era de /as 2ar#a6/es #!depe!d#e!0es s#e%pre $e es0os /0#%os !o es0! re/a"#o!ados re/a"#o!ados e!0re s#.
4l coeficiente de correlaci#n m/lti)le se calcula en la forma m(s sim)le mediante la siguiente e)resi#n 2 s % 1 e2 sy
1;2
"onde S "esviaci#n est(ndar est(ndar de la variable \ S "esviaci# "esviaci#nn est(ndar est(ndar de los errores, errores, denominado denominado tambi'n tambi'n error est(nda est(ndarr de estimaci#n <[er 4cuaci#n <2.61!!. y
e
12K
2
S
e
\i [alores observados “i \
[alores estimados mediante el modelo.
Bientras m(s se acerue el valor absoluto del coeficiente de correlaci#n a la unidad, m(s )recisos ser(n los resultados ue se obtengan con el modelo de regresi#n. r egresi#n. Sin embargo, el grado de correlaci#n es sensible al n/mero de datos utili+ados )ara el an(lisis de correlaci#n, )or lo ue se han establecido criterios )r(cticos )ara establecer la bondad de ajuste de los modelos de regresi#n sobre la base del coeficiente de correlaci#n, entre los ue tenemos N [aloraci#n del coeficiente de correlaci#n r de acuerdo con ChaddocO y ))olov, como sigue %A7 %"7 "4 %A7 "4 T7A"" "4L "4 r C7%%4LC8†A "4 r =%7A†S>8C7 "4 C""7C ==7LL7[ 0,J Buy bajo 0,J 9 0,K Tajo 0,K 9 0,F Bedio 0,6 8nsuficiente 0,F 90,U Tueno 0,6 Taja 0,U 91,0 Buy bueno 0,I Suficiente % 1,0 Wuncional 0,U Tuena -
?n segundo criterio )ara ju+gar el grado de correlaci#n es a trav's del factor de seguridad f nT siendo T el coeficiente de determinaci#n
J ,0 J,0 J,0NK,0 K ,0 -
GRADO DE CORRELACI'N
2
n r
8nsuficiente ce)table Tueno Buy bueno
4l tercer criterio ue vamos a )resentar es el )ro)uesto )or LAT48A, el cual se basa en el conc conce) e)to to de la deno denomi mina nada da Ga!a!"#a de I!4or%a"#3! al usar el modelo de 126
regresi#n. =ara determinar la ganancia de informaci#n, se calcula )rimeramente la longitud efectiva de un registro etendido )or regresi#n, el cual se com)ara con la longitud del registro utili+ado en el desarrollo del modelo de regresi#n. Si el registro efectivo resultara mayor ue el registro inicial, se habr( ganado informaci#n y )or lo tanto se )uede usar el modelo en caso contrario, habra ue desechar la correlaci#n. Siendo A el )erodo ue se )retende desarrollar, desarrollar, la longitud efectiva A e de un registro etendido )or regresi#n es A e
1
A A 2
1 r 2
<2.FU!
"onde A e Longitud efectiva del registro r egistro ganado )or correlaci#n. A Longitud del registro mayor. mayor. r Coeficiente de correlaci#n entre ambos registros. Longitud del registro menor. menor. La ganancia en informaci#n <! es A , la cual se )retende ue sea m(ima. e
6. A"ep"#o!es para para e/ $so de /os /os %ode/os de re@res#3! re@res#3!
Los modelos de regresi#n ue hemos descrito s#lo se deben usar siem)re ue se den las siguientes condiciones 1! 4l modelo )ro)uesto )ro)uesto sea el ue mejor mejor e)rese la estructura estructura de asociaci#n asociaci#n 2! =ara cada cada valor valor de QR se genere genere un conjunt conjuntoo de valores valores de QyR ue ue se distribuya distribuyann en forma normal con media
y
y varian+a
w
2 y
.
J! Los errores errores se distribu distribuyan yan en forma forma normal, normal, e inde)end inde)endiente iente y )osean )osean una media media igual igual a cero y una varian+a
w
2 e
.
P! 4ista 4ista homoge homogeneid neidad ad de de vvarian arian+a, +a, es decir decir,, ue ue los los vvalore aloress generados generados de \ )ara cada valor de )oseen la misma varian+a [ar
2
< y“ ;1 ! [ar
K! Las muestr muestras as sean sean alea aleator torias ias 6! Los valores de sean sean fijos, medidos medidos sin error 12F
c. Error Error de los los estimad estimados os median mediante te regres regresión ión
=artiendo de la tercera ace)ci#n Los errores se distribuyen en forma normal con media cero y desviaci#n est(ndar S e, )odemos calcular el error del )ron#stico utili+ando la )ro)iedad de la distribuci#n distribuci#n normal, mediante mediante la cual, alrededor del del 6IM de los valores de la variable est(n com)rendidos en el intervalo de una desviaci#n est(ndar hacia ambos lados de la tendencia central el UKM en el intervalo de dos desviaciones est(ndar y el UU,FM en el intervalo de tres desviaciones desviaciones est(ndar. La tendencia central est( dada )or el valor de \ de la ecua ecuaci ci#n #n de regr regres esi# i#nn y la desv desvia iaci ci#n #n est( est(nd ndar ar es el deno denomi mina nado do erro errorr est( est(nd ndar ar de estimaci#n. =or lo tanto, tenemos los siguientes rangos entre los ue )uede variar el )roN n#stico “ Se, con el 6IM de )robabilidades \ “ 2Se, con el UKM de )robabilidades \ “ JSe, con el UU,FM de )robabilidades \ =ara cualuier otro valor de )robabilidad, el factor ue debe multi)licar a QS eR se obti obtien enee de las las tabl tablas as de la dist distri ribu buci ci#n #n norm normal al.. s s )or )or ejem ejem)l )lo o )ara )ara un U0M U0M de )robabilidades, se tiene un valor de 1,6PK, es decir “ 1,6PK S e, con el U0M de )robabilidades. \ EJEMPLO *.)* Se desea )ronosticar los niveles m(imos de un ro en una estaci#n
41 < J00 m2! sobre la base de los niveles en una estaci#n 4 2 ubicada aguas arriba de 4 1 < 1P0 m 2! sobre el mismo cauce, y de los niveles en una estaci#n 4 J < 110 m 2! 12I
ubicada en un afluente aguas arriba de 4 1. Da0os AOS )
1 1 !
b1 S 1 y ;S 2 1 0,JFF;0,260 1,PK b o y b11 J,11F <1,PK0 p 1,PU0! 0,J0P r 1 y Ss 1 y ;S 1 S y 0,JFF;<0,K1 p 0,FP6! 0,UU1 T r 21 y 0,UU12 0,UI2 Se S y <1 r 2 ! 0,FP6<1 0,UI2! 0,01J
12U
4l modelo ser( entonces y“ 0,J0P 1,PK1 e
"e acuerdo con los criterios ado)tados )ara ju+gar la bondad de r, la correlaci#n es muy buena. %egresi#n lineal m/lti)le de 2 variables <4cuaci#n <2.KK!! e1 f e 2, e J
11UPm.
S 1y 0,JFFm2
S 1 0,K10
2 2K0m.
S 2 0,K2F
S 2 y 0,JFJm2
y J,11Fm.
S y 0,FP6
S1 2 0,2KPm2
b 1
.
<1 b! 0,0UP
Luego, el modelo de regresi#n ser( y 0.226 1.J2P1 0.12U2 e
4n este caso, la correlaci#n es tambi'n muy buena, m(s a/n con la introducci#n de la variable 4J en el modelo de regresi#n se obtiene una mejora del )ron#stico. EJEMPLO *.)+: Su)ongamos ue la estaci#n hidrom'trica 4 2 del ejem)lo anterior
)oseyera 20 a-os de registros de niveles m(imos anuales y se desea generar los ocho a-os restantes de la misma variable )ara la estaci#n 4 1. "eterminar si se debe usar el modelo de regresi#n, y cu(l sera la ganancia de informaci#n. SOLUCI'N
1J0
A e
1
A A O O 2
20
<1 r 2!
1
I 12 2
<1 0,UU12!
1U.F a-os
A 20 a-os. 12 a-os. % 0,UU1 anancia Ae 9 1U,F 9 12 F,F a-os. Luego, siendo la ganancia de informaci#n informaci#n de F,F a-os, se recomienda recomienda usar el modelo de regresi#n )ara la etensi#n. REGRESION NO LINEAL
La estructura del modelo de regresi#n no lineal es desconocida. 4n algunos casos es)ecialmente en la regresi#n sim)le, dicha estructura se )uede deducir graficando las variables. "e lo contrario, el modelo tendra ue determinarse )or tanteos. =ara determinar determinar los )ar(metro )ar(metross del modelo, se suele suele usar la transformac transformaci#n i#n logartmic logartmicaa )ara lineari+ar dichas funciones no lineales, obteniendo as relaciones m(s sencillas y una distribuci#n uniforme de los valores en el rango de la curva de regresi#n. dem(s se busca ue las funciones de distribuci#n de las variables se aceruen a la normal. La sumatoria de las desviaciones al cuadrado alcan+a un mnimo )ara determinados valoN valo N res de a 0 y a1, inde)endiente de la forma de )or lo ue no )ierde valide+ la funci#n gen'rica y a 0 5 a1 f<!. >omando la transformada logartmica f<! Ln , # log , se obtiene y a0 5 a1 ln , es decir, e)
<2.I1!
N lgunas veces la gr(fica de la funci#n )arab#lica no se lineari+a en el )a)el doble logartmico
0 a yo a \ o a ambas, en cuyo caso el modelo toma la siguiente siguient e forma \ N y0 a0 < N o!a1 -
<2.I2!
7tras veces se suele usar la siguiente estructura general y a o 1a1 a2 2 Ja J ......... an n
<2.IJ! log y log ao 5 a1 log 1 5 a2 log 2 5...5 an log n ^y log ao 5 a1^1 5 a2^25....5 an^n 4n todos los casos, el c(lculo de los )ar(metros se efect/a en la misma forma ue )ara la regresi#n lineal. EJEMPLO *.),: Se desea calcular el modelo de regresi#n no lineal )ara estimar los
caudales es)ecficos m(imos
^1 log 1 2 grado de urbani+aci#n. ^2 log 2 Re@res#3! Re@res#3! No L#!ea/ S#%p/e
>omando como ejem)lo el modelo y a0 x1a
1
^y log a 0 a1^ 1
)licando las ecuaciones <2.K2!, <2.KJ! y <2.KU! se obtiene a1 0,JK0J log a 0 2,UJ6K r y
0,U2UI
T 0,I6PK
^ y 2,UJ6K 0,JK0J ^ 1 \ I6J,UF 10,JK0J
Re@res#3! Re@res#3! No L#!ea/ M/0#p/e
>omando como ejem)lo el modelo
\ a 0 1 1 2 2 a
a
^y log a 0 a1 log 1 a 2 log 2
)licando las ecuaciones <2.KF!, <2KI! y <2.KU! se obtiene a 1 0,26KF a 2 0,2J0U log a 0 2,PFJU
r y , 1, 2 0,UIJ1 r 2 0,U66K
^y 2,PFJU 0,26KF ^ 0,2J0U ^ 1
2
\ 2UF,FI 10,26KF 0,2J0U 2
La correlaci#n m/lti)le mejora sensiblemente el modelo de regresi#n.
1JJ
REFERENCIAS.
— aan, aan, C.>., C.>., QStatistical QStatistical Bethods Bethods in ydrologyR ydrologyR,, 8oEa State ?niv. ?niv. =ress, mes, mes, 8oEa, 1UFF. — ChoE, ChoE, [.> [.>.,., Baidment, Baidment, ".%. and Bays, L.D. L.D. Q))lied Q))lied ydrologyR, ydrologyR, Bc raENill, raENill, ?S.., 1UII. — jelmfelt, jelmfelt, .> .>.. and Cassidy, Cassidy, .. Qydrology Qydrology for 4ngineers 4ngineers and =lannersR. 8oEa State ?niv. =ress, mes, 8oEa, 1UFK. — ChoE ChoE,, [.>. .>. QSta QStatitist stic ical al and and )rob )robab abililitityy anal analys ysis is of hidr hidrol olog ogyy data data,, Sec. Sec. IN1 IN1 in QandbooO of ))lied ydrologyR, 4d. by [.>. ChoE, Bc raENill, A.\., 1U6P.
II MODELOS HIDROL'GICOS )+.) MODELOS DE EVENTOS Como se ha mencionado, los modelos de eventos simulan el humedecimiento del suelo )or efecto de la lluvia, )ero no simulan el balance en el )erfil del suelo ni el )roceso de secado )or infiltraci#n, )ercolaci#n )ercolaci#n y eva)otrans)iraci#n, eva)otrans)iraci#n, s#lo simulan el hidrograma de crecientes crecientes
Mode/o HEC) 8HEC)); 1JP
4s un modelo de eventos de crecientes, )or tal motivo no simula el balance de agua en el suelo, es decir, no se )uede usar )ara modelaci#n continua, donde se debe modelar el decaimiento de la humedad del )erfil del suelo )or eva)otrans)iraci#n, infiltraci#n y )ercolaci#n. 4ste 4ste modelo ha sido su)erado )or el el modelo 4CNBS )ero su base te#rica te#rica es semejante. La modelaci#n se reali+a de la siguiente forma • Ba)a base to)ogr(ficos, red de drenaje, delimitaci#n de cuencas y de drenaje urbano . Ao se )uede ingresar un hidrograma unitario con 8A haciendo diferente intervalo ue el declarado en 8>. 4n este caso el eceso de )reci)itaci#n se transforma en escorrenta basado en la ecuaci#n de convoluci#n discreti+ada en el intervalo de tiem)o ue se es)ecifiue. "e acuerdo con esto el m'todo es lineal, inde)endiente de la tormenta y de)endiente de las caractersticas de la cuenca. l ser lineal, la escorrenta )roducto de los ecesos )ara diferentes )erodos se )ueden su)er)oner. • Wlujo base mediante la curva e)onencial. • >r(nsito de ondas de crecientes en ros, con el uso de m'todos hidrol#gicos r(nsito de ondas de crecientes en embalses a )artir de la soluci#n de la ecuaci#n del embalse )or iteraci#n # mediante el uso del B'todo C#nico. 4ste m'todo se usa cuando no se conoce la relaci#n cota;volumen. Los m'todos ue su)onen ue la su)erficie del embalse sea hori+ontal trabajan s#lo con la ecuaci#n de continuidad, continuidad, )ues el cambio en almacenaje en un )erodo t es s#lo funci#n de la entrada )romedio menos la salida )romedio. •
C(lculo de )reci)itaci#n media sobre la cuenca y su distribuci#n tem)oral de la siguiente manera la )reci)itaci#n media y su distribuci#n se da como dato )reci)itaci#n hist#rica )or estaci#n generaci#n de tormentas hi)ot'ticas en funci#n de tablas l(mina Nduraci#n =B=
1JK
•
Wusi#n nival a trav's del m'todo del rado;da # Talance de 4nerga. =ara simulaci#n de la fusi#n de la nieve cada subcuenca se discreti+a en +onas de elevaci#n hasta un m(imo de die+.
4n el )lanteo de la simulaci#n, el intervalo de elevaci#n ue se toma )ara las +onas )uede ser cualuiera, )ero en un )roblema este debe ser el mismo )ara todas las +onas y debe coincidir con el intervalo ue se tome )ara tem)eratura. =or cada (rea de elevaci#n em)e+ando )or la m(s baja va un ingreso ue lleva el (rea incluida. 4l euivalente de agua en nieve en mm al inicio de la simulaci#n y la )reci)itaci#n anual normal en esa +ona ! a elegir, )ero el intervalo debe ser el mismo )ara toda la cuenca. Se debe res)etar una limitaci#n en relaci#n al tiem)o al )ico. •
4n el tr(nsito de ondas, simula las ondas naturales suaves no las de fuerte com)onente inercial <)orue no trabaja con las ecuaciones de Saint [enant!.
)+.* MODELOS DE SIMULACI'N CONTÍNUA
Los modelos de simulaci#n continua, desarrollados en la d'cada del 60 y F0 del siglo )asado fueron Standford Datershed Bodel 9 QDatershed 8ntegrated Bodel in %eal >imeR
et al., 1UUP!, y el "anish han sido integrado a sistemas de monitoreo en tiem)o real
Mode/o S0a!d4ord IV
La estructura de este modelo
Aational Deather Service Soil Boisture ccounting Bodel
Wig. 1J.1 %e)resentaci#n %e)resentaci #n esuem(tica del modelo de Stanford 8[. 8[.
1U66!
Na0#o!a/ ea0
Se )uede decir ue luego de su a)arici#n, )ara o)eraci#n en tiem)o real, en el Aational Deather ServiceN%iver Worecast Center de California y Aevada en 1UFJ
Wig. 1J.J 4structura conce)tual del modelo Sacramento Mode/o IHMS 9I!0e@ra0ed H1dro/o@#"a/ Mode/ S1s0e%
4s el modelo continuo desarrollado )or el SB8 QSEedish Beteorological and ydrological 8nstituteR <8BS, 1UUP!. 4s un modelo basado en el T[
)ron#stico. "esde esa fecha se deben ingresar datos )ronosticados de tem)eratura y )reci)itaci#n )ara ue ue el modelo genere genere el hidrograma corres)ondiente corres)ondiente.. • =ron#stico a largo )la+o. 4n este caso no se ingresan datos de )ron#sticos, el modelo usa datos observados )ara igual )erodo en el a-o )revio y los anteriores. 4l modelo genera tantos hidrogramas como a-os hayan dis)onibles o menos, si se desea. >odas las secuencias se iniciar(n en las condiciones de estado del modelo con los datos corrientes, es decir, )ara una condici#n antecedente antecedente de suelo ue es la de la fecha en el a-o actual. Si eso es ra+onable, los corres)ondientes hidrogramas mostrar(n una distribuci#n confiable con la realidad. l igual ue en lo mencionado en modelos ya citados, el 8BS cuenta con los siguientes m#dulos • cumulaci#n y fusi#n nival. • Talance de agua en el )erfil del suelo. • eneraci#n de hidrogramas de escorrenta directa y de flujo f lujo base. • %utinas de tr(nsito. • Suma de hidrogramas de subcuencas. subcuencas. • Subdivisi#n en cuencas de monta-a )or franjas altitudinales )ara el m#dulo de nieve y )ara balance de agua en el )erfil del suelo. 4stas franjas de elevaci#n a su ve+ se )ueden dividir en +onas de diferente vegetaci#n.
1JU
Wig. 1J.J 4structura conce)tual conce)tual sim)lificada del modelo de T[
)+.+ MODELACI'N DE CUENCAS CON DATOS DATOS INSUFICIENTES INSUFICI ENTES 4n los ca)tulos anteriores se han tratado fundamentalmente m'todos de dise-o hidrol#gico en cuencas con datos de )reci)itaci#n y caudales, o, ambos. ?n tema de gran im)ortancia )ara la ingeniera )r(ctica es el relacionado con las estimaciones de caudales de dise-o en cuencas con escasa informaci#n. "esafortunadamente, "esafortunadamente, cuando el ingeniero trabaja en el mundo real del dise-o hidrol#gico es m(s frecuente tener ue tratar con cuencas o (reas con escasas o ninguna informaci#n, donde la matem(tica y sobre todo la estadstica desarrollada basado en el an(lisis de buenas series hist#ricas de lluvias y;o caudales, se deben sustituir )or m'todos eficaces, )ero sim)les ue usan )ocos datos <# ninguno! y el sentido com/n del hidr#logo e)erimentado. 4stos m'todos tienen mucho de ciencia y t'cnica, )ero )ara obtener resultados Qra+onablesR se reuiere de mucho de arte
1P1
