INTRODUCCION
Hidrodinámica: Estudia la dinámica de fluidos incompresibles. Etimológicamente, es la dinámica del agua, puesto que el prefijo griego "hidro" que significa "agua". Aun así, también incluye el estudio de la dinámica de otros líquidos. Para ello se consideran entre otras cosas la velocidad, presión, flujo y gasto del fluido. Para el estudio de la hidrodinámica normalmente se consideran tres aproximaciones importantes: Que el fluido es un líquido incompresible, es decir, que su densidad no varía con el cambio de presión, a diferencia de lo que ocurre con los gases. Se considera despreciable la pérdida de energía por la viscosidad, ya que se supone que un líquido es óptimo para fluir y esta pérdida es mucho menor comparándola con la inercia de su movimiento. Se supone que el flujo de los líquidos es en régimen estable o estacionario, es decir, que la velocidad del líquido en un punto es independiente del tiempo. Por lo tanto es de suma importancia tener conocimiento acerca de los subtemas 2.2.1 Y 2.2.2 que nos hablan acerca de la ecuación de la continuidad y asi mismo de la ecuación del gasto.
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HIDRODINÁMICA Un fluido en movimiento presenta en algunos casos condiciones muy complejas y por lo tanto el fenómeno no puede ser expresado de una manera exacta en alguna forma matemática debido a las condiciones exteriores variables. Cuando un líquido llena perfectamente un conducto de sección transversal circular ejerce una cierta presión sobre el mismo, se dice que el conducto está trabajando como tubo. En otros casos el líquido que circula no puede llenar completamente el tubo, entonces se dice que está trabajando como canal.
Conservación de la masa: a partir de la cual se establece la ecuación de continuidad para una vena líquida a lo largo del conducto. Q = VA = V1A1 = V2A2 =...... VNAN Q = caudal V = velocidad media del flujo A = área de la sección transversal del flujo
2.2.1 Ecuación general de continuidad o Ley de Castelli
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Ecuación: Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.
Continuidad: Duración o permanencia de una cosa sin interrupción. Flujo unidimensional En la mecánica de los fluidos se considera que la cantidad de masa es invariable con respecto al estado de movimiento. Sobre esta consideración se basa en la ecuación de la continuidad, propuesta de tal forma por Benedetto Castelli, estableciéndose entonces que la materia fluida no puede ser creada ni destruida por ningún proceso hidrodinámico. Una demostración objetiva de este principio se puede lograr considerando un conducto como el que se muestra en la figura siguiente
A través de este conducto pasa un fluido incompresible de la región 1, que tiene un área transversal A1 a la región 2 con área transversal A2. Como A1 y A2 son diferentes, las velocidades V1 y V2 también los son. Si se considera el desplazamiento de la región BB’ a la región CC’ en un tiempo dt, entonces por el principio de la conservación de la materia, se tiene que P1 A 1 ds1 P2 A2 ds 2 = dt dt
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Pero como el fluido es homogéneo e incompresibles, entonces ρ1 = ρ2 y por lo tanto esta expresión se reduce a A1
ds 1 ds =A 2 2 dt dt
Donde
ds1 dt
y
ds2 dt
son las velocidades medias V1 y V2 , respectivamente.
Sustituyendo en la expresión anterior se tiene
A 1 V 1=A 2 V 2 Expresión que denota el principio de continuidad. Haciendo uso del concepto de gasto o caudal, (Q =VA) se observa que Q1=Q2=Q3 =Qn
Esto significa que el gasto que pasa por un conducto se mantiene constante, aun cuando existan cambios en la sección a lo largo de este. Para comprender el significado de esta ecuación veamos la figura 3.
Fig. 3 La cantidad de líquido que pasa por el punto 1 es la misma que pasa por el punto 2, por lo tanto G1 = G2, o bien A1V1 = A2V2: (ecuación de continuidad)
La tubería de la figura 3 reduce de manera considerable su sección transversal entre los puntos 1 y 2. Sin embargo, entre la cantidad de líquido que pasa por los puntos 1 considerando que son incompresibles, evidentemente y 2 es la misma. Para ello, en el tubo de mayor sección transversal, la velocidad del líquido es menor a la que adquiere al pasar al punto 2, donde la reducción del área se
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compensa con el aumento en la velocidad del líquido. Por tanto, el gasto en el punto 1 es igual al gasto en el punto 2. Ecuación diferencial de la continuidad Si se considera un volumen de control diferencial en un espacio tridimensional, como el que se muestra en la figura, se puede hacer un balance de la masa que atraviesa ese volumen, de la siguiente manera
Considerando las componentes de la velocidad en las direcciones x, y, z como u, v, w respectivamente, se analiza el flujo a través del prisma mostrado en la figura que tiene dimensiones dx, dy, dz. La masa de fluido que entra a través de una de sus caras, por ejemplo, dxdz, en la dirección “y”, por unidad de tiempo es la siguiente masa p vol p dx dz dy = = dt dt dt Pero como v=
dy dt
Entonces la masa será masa = p dx dz v dt Por lo tanto, el flujo de masa que sale por la cara opuesta, según la figura, es el mismo más el cambio que pueda ocurrir en la dirección del flujo, es decir
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pv dx dz +
∂ ( pv dx dz ) dy dy
Efectuando la diferencia entre la masa de fluido que entra y la que sale, se tiene
Haciendo lo mismo para las otras direcciones, se obtiene lo siguiente: Dirección x −∂ ( pu dy dz ) dx dx Dirección z −∂ ( pw dx dy ) dz dz Para encontrar la “masa total neta” que entra al prisma, se suman los flujos en las tres direcciones de la manera siguiente −∂ ∂ ∂ ( pu dy dz ) dx− ( pv dx dz ) dy− ( pw dx dy ) dz=¿ dx dy dz −∂ ∂ ∂ pu dx dy dz− pv dx dy dz− pw dx dy dz =¿ dx dy dz
( dx∂ pu+ dy∂ pv + dz∂ pw ) dx dy dz
−
Asimismo, el cambio de masa por unidad de tiempo dentro del fluido es ∂ p dx dy dz dt Igualando esto con la masa total neta que entra al prisma, se obtiene lo siguiente
Por lo tanto,
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( dx∂ pu+ dy∂ pv + dz∂ pw )= ∂∂ pt
−
Esta es la ecuación diferencial de continuidad en tres dimensiones. En forma compacta esta ecuación se representa como −∇ ∂ pq=
∂p ∂t
Donde “∇ ” es un operador diferencial llamado gradiente que se define como ∇=
∂ ∂ ∂ + + ∂ x ∂ y ∂z
y “q” es el vector velocidad definido como ^ v ^j+w k^ q=u i+
Si el fluido es incompresible, ρ sale del operador diferencial quedando, ∇ q=
1 ∂p p ∂t
o bien en la forma desarrollada,
( ∂∂ ux + ∂∂ vy + ∂∂wz )= 1p ∂∂tp
−
Por otro lado, si la densidad permanece constante con respecto al tiempo, es decir ∂p =0 ∂t Entonces ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂ y ∂z o en forma compacta,
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∇ q=0
Que es la ecuación diferencial de continuidad para flujo permanente. En dos dimensiones, para en un plano horizontal, la componente vertical de la velocidad es nula, es decir, ∂w =0 ∂z Por lo que la ecuación de la continuidad, queda como ∂u ∂v + =0 ∂x ∂ y Finalmente en una sola dirección, por ejemplo en x ∂u =0 ∂x La cual corresponde al flujo “uniforme” en una dirección.
2.2.2 Ecuación del gasto Definición de gasto: Cuando un líquido fluye a través de una tubería, es muy común hablar de su gasto, que por definición es: la relación existente entre el volumen de líquido que fluye por un conducto y el tiempo que tarda en fluir.
Cuando se observa el agua que pasa por un río o se imagina la que pasa por una tubería, el primer cuestionamiento que suele formularse, es acerca de la cantidad de agua que pasa por ese conducto. Esta idea de cantidad de agua conducida tiene un significado integral ya que implica el conocimiento del movimiento en conjunto de las partículas que constituyen la masa del fluido. Sin embargo, para poder comparar o hacer estimaciones, es necesario referir esta cantidad de materia en movimiento al tiempo, definiéndose de esta manera, el
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concepto de gasto o caudal como la cantidad de materia o masa que atraviesa un lugar en cierta unidad de tiempo. En el caso de los líquidos, los cuales se consideran prácticamente incompresibles, la cantidad de materia se puede indicar como el volumen. Entonces, el gasto se define como el volumen que pasa por un punto en el espacio, en un determinado tiempo, es decir Q=
vol t
Datos: Q= gasto o caudal (L3/t) Vol.= volumen (L3) t= tiempo (t) En un sistema unidimensional se puede tener una expresión para el gasto, considerando por ejemplo, la sección transversal de un tramo de un conducto de área A por el cual pasa un volumen Vol. como se muestra en la figura:
Como el volumen se define como Vol = AL, entonces al sustituir en la expresión del gasto, se tiene Q=
AL t
Pero como V=
L t
Donde v es la velocidad con que se mueve la masa o el volumen. Entonces Q=VA
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Que es la expresión que define el gasto o caudal que circula en un conducto en una dirección dada. Otra definición de gasto y expresión es la siguiente: El volumen del agua que pasa por una sección recta es la unidad de tiempo, se llama gasto” y se designa con la letra Q Q= Vol .A (m3/s) 1 m3/s = 1000 (lts/seg) Si el diámetro de un conducto es d, entonces el gasto será: π Q= d 2 4 Cuando el gasto es igual en todas las secciones de un conducto, se dice que el régimen de escurrimiento es permanente. Cuando el régimen es permanente y el conducto tiene el diámetro variable, la velocidad es diferente para cada sección e inversamente proporcional a ella, de tal manera que: Q= A1 V 1=V 2 A 2 … … …= A n V n
La ecuación de caudal también se expresa de la siguiente manera considerando que la velocidad media puede variar de punto a punto en la sección transversal: A
Q=∫ VdA 0
v = velocidad media en un punto dA = área del flujo con velocidad v A = área total del flujo
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La ecuación anterior es difícil de integrar por lo que se suele expresar el caudal de la siguiente manera: N
QI =¿ ∑ v i ai i=1 N
Q=∑ ¿ i=1
N = número de franjas en que se ha dividido la sección transversal.
CONCLUSION Una vez concluida la investigación de los subtemas 2.2.1 Y 2.2.2 que nos hablan acerca de la ecuación de la continuidad y así mismo de la ecuación del gasto se concluyó que estos subtemas son de gran importancia para nuestra formación académica de ingeniería civil ya que la hidrodinámica que forma parte de la materia hidráulica básica tiene numerosas aplicaciones industriales, como diseño de canales, construcción de puertos y presas, fabricación de barcos, turbinas, etc y por lo tanto un mal cálculo de dichas ecuaciones podrían causarnos graves daños en el diseño o construcción de dichas obras.
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BIBLIOGRAFIA
Hidráulica General. Sotelo Gilberto
Dinámica de fluidos. Mc Graw Hill
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