HIDRAULICA BASICA UNIDAD 3 MODELOS HIDRAULICOS
ÍNDICE TEMA introducción 3 Modelos hidráulicos 3.1 Similitud geométrica, cinemática y dinámica 3.1.2 !eyes de similitud. similitud. "ondiciones de #roude, #roude, Euler y $eynolds P$&'!EMAS 3.1.3 Planeación y construcción de modelos hidráulicos 3.2 #lu)o en ori*cios, com+uertas y ertedores P$&'!EMAS 3.2.1 "oe*cientes de elocidad , contracción y gasto y sus a+licaciones P$&'E!MAS 3.3 is+ositios de medición 3.3.1 Tu0o de Pitot P$&'!EMAS 3.3.2 Tu0o de enturi P$&'!EMAS 3.3.3 $otámetro "onclusión 'i0liogra45a
Pagina 2 3 1% 1( 1 12% 22 2 2/ 2/ 2/ 2 31 3( 3 3
1
Introducción En mecánica de 6uidos el riguroso tratamiento matemático de los +ro0le +ro0lema mas, s, con 0ase 0ase e7clu e7clusi siame amente nte en los método métodoss anal5t anal5tico icos, s, no siem+re +ermite llegar a la solución com+leta, a menos 8ue se +lanteen hi+ó hi+óte tesi siss sim+ sim+li li*c *cad ador oras as 8ue, 8ue, adem además ás de rest restar ar gene genera rali lida dad d a la solución, +ueden llegar a 4alsear los resultados a tal grado 8ue no tengan relación alguna con el com+ortamiento real del 4enómeno. Por otra +arte, de0ido a la ariedad de +ro0lemas, muchas eces resulta di45cil esta0lecer las condiciones de 4rontera +reias a cual8uier solución matemática. En otros casos, las soluciones anal5ticas se de0en +lantear de tal manera 8ue no se ignoren los as+ectos 45sicos del 4enómeno y 8ue determinados +untos de la res+uesta 8ueden su+editados a la e7+erimentación. e7+erimentación. En es este te tra0a tra0a)o )o de ine inest stig igac ació ión n se es estu tudi diar ara a y reso resol ler erá á algu alguno noss +ro0lemas de lo mencionado anteriormente.
2
3.- Modelos Hidráulicos !os mode modelo loss hidr hidrául áulic icos os han enco encont ntrad rado o crec crecie ient nte e a+li a+lica caci ción ón +ara +ara contr controla olarr y modi*c modi*car ar dise9o dise9oss anal5t anal5tico icoss de estruc estructur turas as hidrául hidráulica icas. s. Mediante el uso de modelos 45sicos es +osi0le e7+erimentar a costos relatiamente 0a)os y con econom5as su0stanciales de tiem+o, hasta o0tener condiciones ó+timas.
!o anterior en ning:n caso signi*ca 8ue una técnica su0stituya a la otra. Ser5a un error su+oner 8ue una serie de resultados y de reglas sencillas o0tenidas de la inestigación e7+erimental su+la un tratamiento racional del mismo, +udiendo ocurrir 8ue dichos resultados tuieran alide; solo en el interalo de alores +ara el cual se e4ectuaron las mediciones. Adem Además, ás, aun cuando cuando 4uera 4uera +osi0l +osi0le e hacer hacer un estudi estudio o e7hau e7hausti stio o del 4enó 4enóme meno no,, resu result lta a nece necesar sario io toma tomarr en co cons nsid ider erac ació ión n una una se seri rie e de 4ac 4actor tores de 5ndo ndole a+r a+rec eciiati atia 8ue 8ue limit imitan an la e7tra+ tra+ol olac aciión y generali;ación de las res+uestas. !a adecua adecuada da com0in com0inaci ación ón del análi análisis sis matem matemáti ático co y la eri* eri*cac cación ión e7+erimental +ermite su+erar esos o0stáculos, restringiendo la hi+ótesis a a8uellas cuya e7+eriencia y ra;onamiento 45sico han mostrado no tener serios e4ectos so0re las caracter5sticas esenciales del 4enómeno. Mientras el tratamiento em+5rico recalca el desarrollo alge0raico de una 4ormula deducida de la inestigación e7+erimental, a menudo con +oca )usti*cación 45sica, el análisis racional intenta una solución com+leta +ara la 4unción correcta y las constantes numéricas inolucradas. Por otra +arte, la mecánica de 6uidos em+lea los +rinci+ios del análisis dime dimens nsio iona nall +ara +ara inco incor+ r+or orar ar las las ari aria0 a0le les, s, 8ue 8ue la e7+er 7+erie ienc ncia ia ha demostrado como esenciales, en una e7+resión adimensional 0ásica, sistemática y matemáticamente ordenada< asimismo, toda e; 8ue sea 3
+osi0le se desarrolla, al menos a+ro7imadamente, la interrelación 4uncional de los di4erentes miem0ros de esta e7+resión. Por :ltimo, 1a inestigación e7+erimental suministra las constantes numéricas y la eri*cación esencial so0re la e7actitud del análisis< tam0ién trae consigo el estudio de las caracter5sticas del 6u)o aunadas a las +ro+iedades del 6uido y a las condiciones de 4rontera o geometr5a del mismo. As5, +or e)em+lo, el estudio e7+erimental com+leto del em+u)e de un 6u)o so0re un cilindro signi*car5a ariar la elocidad v
0
y utili;ar arios 6uidos de distintas caracter5sticas, as5 como cilindros de di4erente diámetro, +ara determinar el coe*ciente de arrastre en cual8uier condición imagina0le. =na inestigación en este sentido re+resentar5a un tra0a)o 4ormida0le casi im+osi0le de reali;ar< sin em0argo, una +laneación adecuada de las com0inaciones de las diersas aria0les 8ue ocurren en cada +ro0lema +ermite llegar a generali;aciones realmente e7traordinarias con el menor es4uer;o, costo y tiem+o< muchas eces con una +resentación muy sim+le. Para este caso +articular es su*ciente estudiar la ariación del coe*ciente de arrastre, mediante la sim+le ariación del +arámetro adimensional >llamado de $eynolds> 8ue inolucra todos estos 4actores, +ara o0tener una relación sencilla. !a técnica seguida +ara encontrar las com0inaciones +osi0les se a+oya en el em+leo de +arámetros dimensionales 4ormados con las di4erentes aria0les del +ro0lema, 8ue +ermite la trans+osición de los resultados de un modelo 45sico a la estructura real. !a teor5a de la similitud 8ue satis4ace esta necesidad 4ue esta0lecida +or ?line@ Si dos sistemas o0edecen al mismo gru+o de ecuaciones y condiciones go0ernantes, y si los alores de todos los +arámetros y las condiciones se hacen idénticas, los dos sistemas de0en de e7hi0ir com+ortamientos similares con tal de 8ue e7ista una solución :nica +ara el gru+o de ecuaciones y condiciones. !os +rinci+ales +arámetros dimensionales de utilidad en la dinámica de 6uidos se o0tienen de las ecuaciones del moimiento de los 6uidos. Bo o0stante lo anterior, si se conocen las aria0les im+ortantes 8ue interienen en un +ro0lema, el llamado análisis dimensional un constituye un +rocedimiento sencillo y +uramente matemático +ara determinar los +arámetros más a+lica0les en cada caso. (
!a e7+erimentación se 0asa en la construcción y o+eración de un modelo reducido a escala cuyo tama9o se su+edita a 4actores como es+acio dis+oni0le, ca+acidad de las instalaciones del costo del modelo, e4ectos de escala, etcétera. Para la o+eración se re8uieren los a+aratos y dis+ositios 8ue midan las caracter5sticas hidráulicas del escurrimiento@ gastos, elocidades, +resiones, tiem+os, etcétera.
Laboratorio de hidráulica que contiene odelo! hidráulico! a e!cala
Modelo "ara el di!e#o hidráulico
Modelo hidráulico
3.1- Similitud geométrica cinemática ! dinámica. Similitud geométrica "onsidere dos 6u)os, como los mostrados en la *g. . 1, 8ue se designaran como modelo y +rototi+o. Mientras 8ue el +rimero tiene, en general, dimensiones menores 8ue el segundo y es el 8ue se re+roduce en el la0oratorio, el segundo re+resenta la estructura real +or construir.
"igura #.1. Siilitud dináica entre do! $u%o! del odelo & el "rototi"o 'a & b(
!a similitud geométrica im+lica, de un modo estricto, 8ue sea igual la relación de todas las longitudes homologas en los dos sistemas. Esto es, si dentro de los 6u)os ciertas dimensiones se seleccionan y además, se designan con " al +rototi+o y con al modelo C#ig. .1D, la similitud geométrica signi*car5a, +or e)em+lo, 8ue le =
S p Sm
onde le es la escala de l5neas 8ue cuanti*ca el tama9o relatio de los dos sistemas. =na consecuencia de la similitud geométrica e7acta es 8ue la relación de áreas y ol:menes en am0os sistemas se +uede e7+resar en términos del cuadrado y del cu0o de le , esto es@ 2
A e =le
2
V c =le
En algunos casos, es 4acti0le 8ue la similitud geométrica e7ista solo en lo 8ue se re*ere a las dimensiones so0re +lanos hori;ontales y las dimensiones erticales +ueden 8uedar distorsionadas con otra escala de l5neas Ccomo el caso de los modelos de r5os o de +uertosD donde el conserar las misma escala de l5neas en las tres direcciones signi*car5a tener tirantes muy +e8ue9os en los modelos. Se tendr5an as5, +or e)em+lo, escalas de l5neas de dimensiones erticales y hori;ontales, como sigue@ l ev =
leh=
H P H m B v Bm
=
S p Sm
…
…
-
!a similitud geométrica se e7tiende tam0ién a la rugosidad su+er*cial de las +aredes 8ue limitan al 6u)o, +ues si el modelo tiene un tama9o l
igual a un décimo del +rototi+o (¿¿ e =10 ) , entonces la altura de las ¿ +royecciones de las rugosidades de0e estar en la misma relación. Esto es di45cil de lograr en la +ráctica, +or lo 8ue en ocasiones es necesaria una distorsión geométrica en la dimensión longitudinal de la conducción res+ecto a las otras dos dimensiones, con o0)eto de lograr la misma relación de +érdidas de energ5a en am0as estructuras.
Similitud cinemática ! dinámica. La !iilitud cineática entre dos sistemas de 6u)o se inter+reta como la
seme)an;a geométrica entre l5neas de corriente de am0os 6u)os, sin distorsión o con ella. !a similitud dinámica im+lica 8ue haya similitud dinámica im+lica 8ue haya similitud geométrica, o 0ien, distorsionada, además 8ue sea la misma relación de las 4uer;as dinámicas en +untos homólogos. En la !iilitud dináica al igual 8ue en la similitud geométrica, e7isten
escalas de elocidades, iscosas, de 4uer;as, tiem+os, densidades, iscosidades, etcétera, 8ue miden la relación entre las caracter5sticas de los 6u)os o +ro+iedades de los 6uidos utili;ados en los mismos y re4eridas a dos +untos $ homólogos, 8ue se designaran con el s5m0olo hasta ahora utili;ados, +ero a9adiendo el su05ndice e 'e!cala(.+or e)em+lo
pe , μe , v e
se re*eren a los +ro+iedades de los 6uidos 8ue se
utilicen en el +rototi+o y el modelo. /
Además +or de*nición sa0emos 8ue@
$#.1a% le
v e=
t e
$#.1&% t e=
l e ve
$#.1c% Qe = Ae V e
$#.1d% le
ae =
2
t e
$#.1e% pe =
y e ge
$#.1d% v e=
μ e pe
"on las de*niciones de escala antes dadas, la ecuación e8uialente +ara el +rototi+o es
$#.'% 2
∂(
¿
vm 2
∂ sm
) +
( )
l e ∂ v m v e t n ∂ t m
!os términos entre +aréntesis, de esta ecuación, relacionan las di4erentes escalas utili;adas y es igualmente alido utili;ar los rec5+rocos Ce7ce+tuando el ultimoD.+or e)em+lo igualando el +rimero con el 8ue corres+onde al de la aceleración conectia Cde alor de 1D, +or de*nición de escalas, resulta lo siguiente@
$#.3% 2
2
p p v p Pm v m = p p pm
Esto es, +ara 8ue haya similitud dinámica, +or lo 8ue res+ecta a la 2
4uer;a de +resión, es necesario 8ue el +arámetro Eu= pv / p
sea el
mismo en el modelo y en el +rototi+o. En general, " re+resenta la di4erencia de +resiones ") entre dos +untos de 6u)o o entre un +unto y la +resión atmos4érica. Este +arámetro es adimensional y es la relación entre la 4uer;a de inercia y la de0ida al gradiente de +resiones.
3.1.'- (e!es de similitud. Condiciones de "roude )e!nolds ! Euler "uando se diide la 4uer;a 8ue act:a en un 4enómeno hidráulico +or la 4uer;a de inercia Csiem+re está +resenteD, se o0tiene un numero 1%
adimensional el cual de0e ser el mismo en el modelo y +rototi+o en +unto homólogos, cuando se cum+la la similitud dinámica. !as e7+resiones adimensionales, en el lengua)e hidráulico se les designan como leyes de similitud. Por medio de un ra;onamiento análogo se o0tuieron cuatro +arámetros adimensionales a sa0er@ 2
fuerzadeinercia p v Eu= = fuerzade presin ! p
ℜ=
fuerzadeinercia vl vl = = fuerzaviscsa μ / p v
2
fuerzade inercia v " r = = fuerzagravitacinal gl 2
S=
aceleracinlcal l = fuerzadeinercia vt
El +rimer +arámetro de los o0tenidos arri0a se llama n:mero de Euler y rige a8uellos 4enómenos donde son +re+onderantes los cam0ios
!p
de las +resiones. "on p= # / g y h =! p / # , se escri0e com:nmente as5@
$#.*% 2
2
p v v Eu= = ! p gh
Parámetro 8ue tiene im+ortancia en 4enómenos de 6u)o ocasionados +or una gradiente de +resiones donde la densidad y la aceleración del 6uido interienen +rimordialmente en el 4enómeno y las 4uer;as iscosas +ierden im+ortancia. 11
Es decir, el moimiento de+ende de la 4orma del 6u)o, con una con*guración +rácticamente inaria0le de las l5neas de corriente. Esto ocurre en +ro0lemas de 6u)o a +resión como en la tu0er5as, ori*cios, álulas, com+uertas, distri0ución local de +resiones so0re un o0stáculo, etcétera. •
El segundo n:mero se llama de Re&nold! y se acostum0rar a escri0ir@ $#.#% vl ℜ= v
Es álido en a8uellos 6u)os a +oca elocidad donde las 4uer;as iscosas son las más im+ortantes. =n n:mero de $eynolds grande indica una +re+onderancia marcada de las 4uer;as de inercia so0re las iscosas, como +or e)em+lo > el 6u)o tur0ulento, en 8ue la iscosidad tiene escasa im+ortancia y el 4enómeno de+ende solo del n:mero de Euler. "uando este es +e8ue9o de+ende de am0os n:meros. El n:mero de $eynolds se usa a menudo como el criterio de seme)an;a en la +rue0a de modelos de naes áreas, cuer+os sumergidos en un 6u)o, medidores de gasto, transiciones en conductos, etcétera, en los cuales las caracter5sticas del 6u)o están su)etas a e4ectos iscosos. •
El tercer n:mero se llama de *roude y en general se re+resenta como la ra5; cuadrada de la relación de 4uer;as, es decir@ "r =
v √ gl
El n:mero de #roude tiene im+ortancia en 6u)os con elocidades grandes 8ue ocurren +or la acción e7clusia de la graedad< tal es el caso del 6u)o tur0ulento a su+er*cie li0re, donde los e4ectos iscosos son des+recia0les. A medida 8ue aumenta el n:mero de #roude, mayor es la reacción inercial de cual8uier 4uer;a< en tanto disminuye, mayor es el e4ecto de la 4uer;a graitacional. "uando el 6u)o es hori;ontal, la acción del +eso desa+arece y con ella la in6uencia del n:mero de #roude. •
#inalmente, en a8uellos +ro0lemas de 6u)o no +ermanente en los 8ue la +eriodicidad del 4enómeno es im+ortante, el n:mero llamado de
12
Strouhal caracteri;a su acción. Si se considera 8ue la 4recuencia del 4enómeno +eriódico es +,-.t) se tiene 8ue
$#.+% S=
fl v
onde t re+resenta una dimensión t5+ica del cuer+o o0struyendo el 6u)o y / una elocidad t5+ica dentro del 6u)o. Este n:mero es im+ortante en 6u)os relacionados con la 4ormación de órtices, moimiento de ondas, e4ectos de i0ración en cuer+os colocados en un 6u)o, etcétera y re+resenta la ra5; cuadrada de la relación de una 4uer;a hidroaerodinámica C8ue act:a +ara restaurar el e8uili0rio en la con*guración de un 6u)oD y la 4uer;a de inercia de la masa oscilante del 6uido. "omo ya se ha05a se9alado, +ara lograr similitud dinámica es necesario 8ue los n:meros antes de*nidos resulten iguales en el modelo y en el +rototi+o. En la +ráctica no se +ueden satis4acer todos los +arámetros de manera simultánea y se da +re4erencia a a8uel o a8uellos 8ue tengan mayor im+ortancia en el 6u)o.
Si!tea! de "re!i0n1 En este caso, los cam0ios de +resión se de0en a
una com0inación de los e4ectos dinámicos +roducidos +or la aceleración, iscosidad y graedad. En el caso com:n de un 6u)o de densidad constante, el e4ecto de graedad es una distri0ución de +resiones hidrostáticas, su+er+uesta a una +resión aria0le de0ida a otros e4ectos, de ah5 8ue el n:mero de $eynolds sea el más im+ortante y de0a ser igual en modelo +rototi+o, esto es@
$#.,% V e l e ve
=1
onde V e es la escala de elocidad y v e de iscosidad cinemática< resulta entonces lo siguiente@
$#.% 13
V e =
V e le
=
μe pe l e
!a escala de tiem+os es
$#.1% 2
le le t e= = V e v e
!a de aceleraciones
$#.11% 2
2
V e v e μe ae = = 3 = 2 3 t e l e pe l e
!a de las 4uer;as iscosas
$#.1'% 2
μe
2
μe " e = me a0= p e l e 2 3 = pe l e p e 3
F +or :ltimo de+resiones
$#.13% 2
" e μe Pe = = A e pe l2e
Al utili;ar el criterio de seme)an;a de $eynolds +uede demostrarse 8ue las 4uer;as graitacionales se anulan y no tiene, +or lo tanto, e4ectos so0re las caracter5sticas del 6u)o. Sin em0argo, en la mayor5a de los estudios con modelos el n:mero de $eynolds ar5a desde
6
1 $ 10
a
1(
6
20 $ 10
, +or la cual la utili;ación de este criterio de seme)an;a es +oco
usual en la +ráctica.
/)0(EM2 #.1 =n dis+ositio de inestigación se encuentra sostenido +or una 0arra cil5ndrica de %.1 m de diámetro, la cual a su e; está su)eta a una lancha y sumergida erticalmente en aguas +ro4undas a 1G", donde la elocidad, +or el moimiento de la lancha, alcan;a 3mHseg. Se desea determinar la 4uer;a de resistencias en la 0arra Cinducida +or el moimientoD con un modelo geométricamente similar, de %.%3 m de diámetro, en un t:nel de iento de +resión aria0le, donde es +osi0le lograr elocidades hasta de 3%mHseg, a una tem+eratura de 1G". Solución
Su+oniendo 8ue el t:nel de iento se o+era a 3%mHseg, se +uede o0tener la densidad del aire, re8uerida +or la condición de 8ue el n:mero de $eynolds sea igual en los dos sistemas. Para la tem+eratura de 1G" las escalas de iscosidad de am0os 6uidos, de elocidades y de l5neas son, res+ectiamente
μ p
μe = = μ m
−4 1.18 % 10 −6 2.0 % 10
2
=0.59 % 10
1
V e =
pe =
V p V m
=
μe V e le
3 30
= 0.1
2
=
( 0.59 % 10 ) 0.1 % 5
=118.0
2
4
e0ido a 8ue la densidad del agua es p=101.87 &g∗seg / m , la de aire de0e ser pm=
101.87
2
2
1.18 % 10
=0.8633 &g∗seg / m
4
"omo la densidad del aire a +resión atmos4érica estándar es %.12 &g∗seg / m , el t:nel de0e controlarse con una +resión de atm, 2
4
a+ro7imadamente, +ara alcan;ar la densidad deseada.
e la ecuación C.12D la escala de 4uer;a es " e =
( 0.59 % 10 2)2 1.18 % 10
2
=29.5
!a 4uer;a de resistencia en +rototi+o será entonces@ " p =29.5 "m
/)0(EM2 #.3 eterminar las escala de elocidad, gasto y 4uer;as, +ara un modelo construido a escala le =100 de una o0ra de e7cedencias 8ue 3
descargara un gasto de
m ' 10000 seg
1
Solución
El 4enómeno 8ue se +resenta está su)eto a la ley de #roude, +or lo 8ue si se a+lica la Ec. C.1(D la escala de elocidades resulta@ V e =√ 100=10
& sea, 8ue +ara o0tener las elocidades del +rototi+o se necesita multi+licar +or 1% las elocidades medidas en el modelo. e la Ec. C.1D, la escala de gastos ale@ 5 /2
Qe =100 =100 000
Entonces el gasto 8ue de0erá 6uir en el modelo es 100 <
¿ seg 3
m Q m= =0.1 =¿ seg 100000 10000
!a escala de 4uer;as, +ara # e =1 , de la Ec. C.1-D resulta ser 3
" e =1 % 100 =1000 000
3.1.3- /laneación idráulicos
!
construcción
de
modelos
El uso de modelos 45sicos a escala reducida, llamados sim+lemente modelos hidráulicos, im+lica 8ue éstos de0en ser seme)antes al +rototi+o, +ara lo cual de0e satis4acerse las leyes de similitud Ieométrica, "inemática y inámica, 8ue en con)unto relacionan magnitudes 45sicas homólogas de*nidas entre am0os sistemas.
1-
"uando se a a reali;ar una com+aración con res+ecto a la similitud geométrica se de*nen +untos homólogos so0re los cuales se de*nen magnitudes tales como elocidad, +resión, etc.< de igual manera se de*nen lados, su+er*cies y ol:menes homólogos. !a similitud geométrica im+lica una relación constante +ara cual8uier longitud !, esta relación es denominada escala de l5neas de longitudes. "uando la com+aración entre el +rototi+o y modelo es con res+ecto a un moimiento, se esta0lece entonces la similitud cinemática< ésta se cum+le cuando los +atrones la 4orma de los +atrones de 6u)os homólogos son iguales en cual8uier tiem+o, es decir, hay similitud en el moimiento de los sistemas. Es +or esto 8ue la relación de elocidades entre estos +untos de0e ser constante y es denominada escala de elocidades. Es un re8uisito 8ue se cum+la con la similitud geométrica +ara 8ue se cum+la la similitud cinemática. El moimiento de un 6uido en el modelo y el en el +rototi+o, +ara 8ue sea similar en 4orma com+leta, no es su*ciente con 8ue se cum+la con las similitudes geométrica y cinemática, tam0ién es necesario tomar en consideración la acción de 4uer;as so0re las +art5culas de un 6uido, tales como 4ricción, tensión su+er*cial, graedad o +eso, 4uer;as de inercia, de "oriolis, etc. !o anterior im+lica 8ue la relación de 4uer;as homólogas tam0ién de0e ser constante, esta0leciéndose as5 la escala dinámica de 4uer;as. En el dise9o de estructura hidráulicas comunes se ha determinado cuales son los 4actores t5+icos 8ue go0iernan su com+ortamiento y +or lo tanto su modelación y dise9o. A continuación se +resentan algunos e)em+los@ Tipo de estructura factores de diseño típicos
1. ES4)5C45)2S C0N4)0( a. tomas 0. Muros de contención c. "om+uertas d. Atagu5as e. iisoras de aguas
DE
Descarga ni6eles de agua. elocidad, +érdidas, +resión. C4uer;asD, i0raciones, inesta0ilidades órtices, demanda de aire, sedimentos. Jielo, caitación, olea)es. Patrones de 6u)o
1/
'. a. 0. c.
C0ND5CCI0N ertederos "anales T:neles
3. DIS/2)2D0)ES ENE)8I2 a. Am+liaciones a0ru+tas
Ni6eles de agua 7erdidas.
elocidades, +erdidas, entrada. e aire, caitación.
DE Ni6eles de agua 7erdidas.
0. i4usores c. Pantallas
Presión, i0ración, demanda de aire. "aitación, a0rasión, olea)e.
3.'- "lu9o en ori:cios com7uertas ! 6ertedores "on el *n de tomar en cuenta los +arámetros no considerados en la 4ormulación teorice de un 4enómeno, suelen considerar coe*cientes de corrección a los alores teóricos o0tenidos 8ue +ro+orcionen alores reales. El 6u)o a traés de ori*cios, ertederos y com+uertas son e)em+los t5+icos donde estos coe*cientes encuentran a+licación. >
"oe*ciente de descarga.
El coe*ciente de descarga K"dL es la relación entre el caudal real 8ue +asa a traés de un dis+ositio y el caudal real. "d caudal realHcaudal ideal >
"oe*ciente de elocidad.
El coe*ciente de elocidad K"L es la relación entre la elocidad media real en la sección recta de la corriente y la elocidad media ideal 8ue se tendr5a son ro;amiento. " elocidad media realHelocidad media ideal >
"oe*ciente de contracción.
El coe*ciente de contracción K"cL es la relación entre el área de la sección recta contra5da de una corriente y el área del ori*cio a traés del cual 6uye el 6uido. 1
"c área de 6u)o contra5doHárea de ori*cio Se cum+le 8ue
"d "N"c
"lu9o en ori:cios
2%
"lu9o en com7uertas. O"d 0Na 2NgNy1 21
"d coe*ciente de descarga ' ancho de com+uerta A a0ertura de com+uerta F1 +ro4undidad del 6u)o aguas arri0a de la com+uerta.
"lu9o en 6ertederos
0 ancho del ertedero h carga de aguas arri0a del ertedero "d coe*ciente de descarga Cen un ertedero son contracciones laterales +uede em+learse "d %.1 Q %.%/ hHRD.
22
/)0(EM2S
/ro&lema de 6ertidor 23
3.'- Coe:cientes de 6elocidad contracción ! gasto ! sus a7licaciones. 2(
!os coe*cientes de elocidad, en un ori*cio, son 0ásicamente e7+erimentales. Sin em0argo, en teor5a es +osi0le encontrar la magnitud del coe*ciente de gasto +ara un ori*cio circular a +artir de moimiento a+licada so0re un olumen de control limitado +or la 4rontera del control del chorro en contacto con el aire, la sección contra5da y, dentro del reci+iente, +or una su+er*cie semies4érica de radio igual al del ori*cio C*gura3.2.1>1D. Para hacer lo anterior, se designa como 1 la elocidad de una +art5cula so0re la semies4era de radio $, tra;ada en la #ig. 3.2.1> 1 cuya direcciones radial al centro de la semies4era. !a su+er*cie de la semies4era ale@
$3.;% A 1=2 ( )
2
F la corres+ondiente a la sección contra5da@
$3.+% A 0=* 0 A =* 0 ( )
2
"ig. 3.'.1-1 Deri/aci0n del coe2ciente de contracci0n "ara ori2cio de "ared delada1
e la ecuación de continuidad se o0tiene@ v 1=
A 0 A1
V
Sustituyendo las ecuaciones C3>D y C3>-D en esta resulta 8ue@
$3.,% 2
1
v 1= * 0 V 2
Para a+licar la ecuación de la cantidad de moimiento, es necesario conocer la elocidad media so0re la semies4era en la dirección del escurrimiento. !a com+onente +aralela al e)e del ori*cio de las elocidades v , so0re la su+er*cie de la semies4era, ale v 1
1
cos +
< es
decir, 8ue la ariación seg:n la ley cosenoidal como se muestra en la #ig. 3.2.1>2. e este modo, la media de las com+onentes de la elocidad, so0re la su+er*cie semies4érica, se o0tiene +or la igualación del V 1 ( )
olumen del cilindro
2
con el olumen encerrado +or la su+er*cie
de ley cosenoidal< ósea@
V 1=
()
2
∬ cos + dA A
√ ) − r cos + = 2
F, con
V 0=
Fig. 3.2.1-2 di!tribuci0n de la! co onente! de la
+
v1
)
2 v1
2
dA =2 (r dr ,
entonces@
)
∫ √ ) −r rdr ) 2
2
3
0
!a integración conduce al estado siguiente@ V 0=
¿−
−2 v 3 )
2 v 1 3 )
3
3
3 1
[ ( ) −r ) ] 2
2 2
[ − ) ] 3
#inalmente se tiene 8ue@ 3
V 0= v 1 2
$3-% 2
Sustituyendo la Ec. C3>/D en la C3>D resulta@ V 0=
* 0 3
V
$3-1%
Por tanto, es +osi0le ealuar los coe*cientes , 8ue interiniera en la ecuación de la cantidad de moimiento. Por una +arte, el coe*ciente ,
+ara la sección contra5da ale 1, +ues se su+one 8ue la distri0ución
de la elocidad coincide con la media< sin em0argo, el coe*ciente , +ara la semies4era tiene un alor distinto de 1 y resulta al sa0er@
$3.11% +
∬v 1=
2 1
cos + dA
A 2
A V s
e la #ig. 3.2.1>2, dA =2 (r dr y además 2
2
r r 2 sen + = 2 - cos +=1 − 2 ) ) 2
"on estas e7+resiones y considerando la Ec. C3>/D el alor de , es@ 1
2
2
* 0 V 3
( ) 2
r 1− 2 )
1=
¿
2 (r dr )
1 2
A V s
2
2
[
∫¿ 0
* 0 V ()2
1 2
A V s
2
=¿
2
−
]
() 4
2
F de la Ec. C3>1%D resultan entonces 8ue@ 2-
$3.1'% , 1=
9 2
2
2
2
( ) * c V
2
* c V
() 8
2
=
9 8
=1.125
Es necesario conocer las 4uer;as 8ue im+ulsan al olumen de agua limitado +or la sección contra5da y las ecuaciones de la es4era< en un +unto E so0re la semies4era act:ala +resión ". la ecuación de 'ernoulli +ara la l5nea de corriente, a+licada a este +unto, es@ 2
p v a H = z + + # 2 g
Si se ace+ta 8ue la carga H es muy grande en com+aración con el radio del ori*cio, +uede entonces des+reciarse 4 y, +or tanto, so0re toda la semies4era la +resión será constante y de alor@
(
2
v p= # H − 1 2g
)
Por lo cual la com+onente en la dirección del moimiento del em+u)e o 4uer;a total, so0re la su+er*cie de la semies4era, es @
$3.13%
(
2
)
v pA= # H − 1 A 2g
En la sección contra5da act:a la +resión atmos4érica, +or lo 8ue la 4uer;a so0re dicha sección será cero. !a masa del l58uido descargada a traés del ori*cio es # * AV g c
2/
!a cual se acelera desde la elocidad media V s so0re la semies4era, e7+resada +or la Ec. C3>1%D, hasta la elocidad media V en la sección contra5da. As5, de acuerdo con las Ecs. C3>/D, C3>1%D, C3>12D y C3>13D, la ecuación de la cantidad de moimiento se e7+resa como sigue@
[ ( )]
# A H −
1
* c V
2g
2
2
(
# g
= A * c V V −
9
* c
8 3
V
)
Por otra +arte, de la Ec. C3>2D se tiene 8ue 2
V H = 2 + * v 2 g 1
"on lo cual resulta@ 2
[
]
V 3 1 2 1 2 * c − * c + * 0− 2 = 0 2g 4 4 * v
& 0ien eliminando la carga de elocidad, se tiene 8ue@
( ) 3 4
−
1 4
2
* c −2 * 0 +
1 2
* v
=0
Por tanto@ 2
* c −4 * c +
2 2
* v
=0
e0ido a 8ue
* 0
de0e ser menor 8ue 1, la ra5; alida en estas
ecuaciones la corres+ondiente al signo negatio del radical< asi, se o0tiene la ecuación@
$3.1*% 2
√
* c =2− 4 −
2 2
* 0
En la ta0la 3>1 se +resentan los alores de * v y * d calculados de la Ec. C3>1(D, +ara di4erentes alores de * v y de la de*nición * d .
* v
42(2 3-1 C0E"ICIEN4ES DE 82S40 DE (2 EC. 3-1* 1 %. %./ %.%. %.
* c
%./
%.%
%.1
%.31
%.(-
%.(
* d
%./
%.(
%.%3
%.12
%.21
%.31
/)0(EM2. Mediante un análisis dimensional se com+rue0a 8ue los coe*cientes de elocidad, contracción y gasto, son 4unción e7clusiamente del n:mero de $eynolds. e acuerdo con los resultados de di4erentes inestigadores +ara ori*cios circulares sus alores tienen la ariación mostrada en la #ig. 3.2.1>(. Se o0sera 8ue +ara n:meros de $eynolds $e1% , los coe*cientes
* v , * c y * d
son
inde+endientes
de
dicho n:mero
y
ad8uieren los alores constantes siguientes@ * v =0.99 * c =0.605 * d=0.60
e la ta0la 3>1 se tiene 8ue +ara * v =0.99, la Ec. C3>1(D +ro+orcionan los alores * c =0.60 y
* d=0.594
8ue coinciden +rácticamente con los
coe*cientes e7+erimentales arri0a indicados. 3%
Por de*nición de contracción, +ara un ori*cio circular se o0tiene $3.1#% .=
√
1
* v
. c
F con * c =0.605 , .=1.285 .c o 0ien .c =0.778 . . "uando se trata de ori*cios rectangulares de +oca altura los coe*cientes * v , * c y * d
, son +rácticamente los mismos en la #ig. 3.2.1>(. En este
caso Cen lugar de . D en el numero de $eynolds se utili;a la misma dimensión a del ori*cio y en la ecuación C3>1(D corres+ondiente a su área A = a/ C / es la dimensión del ori*cioD.
31
3.3- Dis7ositi6os de medición $tu&o de
/)0(EM2S 32
1.>=n tu0o de Pitot, teniendo un coe*ciente de %./, se em+lea +ara medir la elocidad del agua en el centro de una tu0er5a. !a altura de +resión de estancamiento es ./m y la altura de +resión estática en la tu0er5a es de (.m. "uál es la elocidadU
Solución= Si el tu0o se ada+ta y +osiciona correctamente, un +unto de elocidad cero C+unto de estancamientoD se desarrolla en ' en4rente del e7tremo a0ierto del tu0o Céase *gura >1D. A+licando el teorema de 'ernoulli desde A en el l58uido en re+oso asta ' se tiene
(
)(
2
pA v A pB + +0 = +0 +0 0 0 2g
)
Entonces, +ara un 6uido ideal des+roisto de 4ricción 2
V A pB pA = − 2g 0 0
ó A
√ ( 2g
)
p/ pA − 0 0
Para el tu0o real de0e introducirse un coe*ciente c 8ue de+ende de la 4orma del tu0o. !a elocidad real +ara el +ro0lema anterior seria A
c
√ ( 2g
p/ pA − 0 0
)
%./ √ 2 g ( 5.58− 4.65 )
(.1/ mHs
/)0(EM2 '.> A traés de un conducto 6uye aire, y el tu0o de Pitot estático 8ue mide la elocidad está conectado a un manómetro di4erencial conteniendo agua. Si la desiación del manómetro es 1% cm, calcular la elocidad del aire, su+oniendo 8ue el +eso es+ec5*co del aire es constante e igual a 1.22 VgHcm 3 y 8ue el alor del coe*ciente del tu0o es %./ Solución= Para el manómetro di4erencial, 33
CP'>PADH R C1%H1%%D C1%%%H1.22D /2 m aire. Entonces, %./ √ 19.6 ( 82 ) 3.3 mHs
3.3.' 4u&o de 1/22D.
Se +uede deducir una e7+resión +ara la ra+ide; de 6u)o 1 en 4unción de las áreas transersales A1 y A2 y la di4erencia de altura h en los tu0os erticales, 8uedando v 2=
√( (
2 g ! H
1−
A 2 A1
)) 2
3(
e esta 4órmula, +odemos concluir 8ue entre mayor sea la di4erencia de alturas entre los dos tu0os, mayor de0e ser la elocidad del 6uido en el estrechamiento. Tam0ién +odemos er Cun +oco más di45cilmenteD 8ue a mayor di4erencia entre las áreas 1 y 2, es mayor la elocidad en la +arte estrecha. Se +ueden medir directamente las +resiones en la +arte normal y en la +arte angosta del conducto, colocando manómetros en dichas +artes. Se +uede demostrar 8ue a+licando la ecuación de 'ernoulli, la elocidad del l58uido se o0tiene con la siguiente e7+resión@
Además de determinar la elocidad de los 6uidos en un conducto, el e4ecto enturi tiene otras a+licaciones@ el suministro de gasolina de un motor con car0urador se consigue utili;ando un tu0o de enturi< los rociadores o atomi;adores, como los utili;ados +ara +intar, tam0ién a+lican este e4ecto.
/)0(EM2 1.- Por un tu0o de enturi, 8ue tiene un diámetro de 1 +ulgada +or la +arte ancha y W +ulgada en la +arte estrecha, circula agua. El énturi tiene conectados dos tu0os manométricos 8ue marcan una di4erencia de alturas del agua J 3% cm. "alcule@
3
2 1 #igura e)em+lo 1
XJ
aD "uántos metros c:0icos de agua +or segundo circulan +or el tu0oU
Solución. El gasto de agua 8ue circula a traés del tu0o de énturi está re+resentado +or la ecuación de continuidad@ $1% Q = A v = A v 1
1
2
2
A1, 1 y A2, 2 re+resentan las áreas y elocidades en la +arte ancha y angosta de la tu0er5a, res+ectiamente. Para conocer el gasto es necesario encontrar el alor de una de las dos elocidades en la ecuación anterior, +or lo 8ue es necesario utili;ar una segunda ecuación 8ue las contenga, +ara lo cual utili;amos la ecuación de 'ernoulli@ $'% 1
P1− P2= 1 ( v 2− v1 ) 2
2
2
El término corres+ondiente a la di4erencia de alturas no a+arece +or8ue es una tu0er5a hori;ontal, +or lo 8ue h1 y h2 están a la misma altura. Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas y P1 Y P2 se calcula a +artir de la di4erencia de alturas J 8ue es dato, entre los dos tu0os 3
manométricos instalados +ara tal +ro+ósito en el tu0o de énturi, utili;ando +ara ello la ecuación re+resentatia +ara un 6uido estático, P1 Y P 2 2gJ, como es el caso de los dos tu0os manométricos midiendo la di4erencia de +resión entre dos +untos +ara un 6u)o en moimiento estacionario. es+e)ando 1 de la ecuación C1D y sustituyendo en la C2D, o0tenemos@ v 1=
A2
v2
A1
Por lo 8ue
( )
2
A 2 2 v 1= ' v2 A 1 2
F la ecuación C2D 8ueda@
( ( ))
A 2 1g ! H = 1 v 2 1 − A1 2 1
2
2
es+e)ando 2 de la ecuación anterior@
v 2=
√( ( ) ) √( ( ) ) √ ( ( 2 g ! H
1
−
A 2 A1
2
2 g ! H
=
−
1
d2 d1
4
=
2 $ 9.8 m
−
1
/
/ s (0.3 m) = 2.93 m / s
3 4 pulg 1 pulg
)) 4
Entonces el gasto, ecuación C1D, será@ −4
2
−4
3
Q= A 2 V 2=2.85 $ 10 m $ 2.93 m / s =8.35 $ 10 m / s =0.835 <¿ s
/)0(EM2 ' =na 0om0a manual de rociado a0sor0e l58uido de un de+ósito, 8ue se encuentra conectado al tramo más angosto de la 0om0a, a traés de un tu0o 8ue tiene una altura, h / cm, como se muestra en la *gura. El diámetro en la +arte ancha es de 2. cm, el diámetro del tu0o en la +arte angosta es de 3 mm y el l58uido en el 3-
2ire h
(>?uido
de+ósito tiene una densidad de %.- grHcm3. "onsiderando una densidad de 1.371%>3 grHcm3 +ara el aire en la 0om0a, calcular@ aD !a di4erencia de +resiones entre las +artes ancha y angosta, P, m5nima +ara elear el l58uido desde el de+ósito a una altura h. 0D !as elocidades m5nimas 1 y 2 entre las +artes ancha y estrecha de la 0om0a.
Solución inciso a% !a altura h 8ue su0e el l58uido desde el de+ósito está directamente relacionada con la di4erencia de +resiones entre la +arte ancha y estrecha de la 0om0a. $1% ! P= 1 2 g ! h
onde Z es la densidad del insecticida l58uido en el de+ósito. Entonces, 3
2
! P=750 3g / m $ 9.8 m / s $ 0.08 m=588 Pa =0.085 l/ / pulg
2
"omo +uede o0serarse la m5nima di4erencia de +resiones es su*ciente +ara su0ir el l58uido y me;clarse con el 6u)o de aire. Por esa ra;ón uno +uede sacar el l58uido de un re4resco con un +o+ote al hacer un +oco de ac5o con la 0oca.
Solución inciso &% Si eti8uetamos con el Bo. 1 a la +arte ancha y el 2 a la estrecha, la di4erencia de +resiones, de acuerdo con la ecuación de 'ernoulli es@ $'% 3/
1
! P= P 1− P2= 1 ( v2 −v 1 ) 2
2
2
e0ido a 8ue 1 y 2 son incógnitas, tenemos 8ue usar otra ecuación 8ue las contenga y esta es la ecuación de continuidad
$3% A 1 v 1= A2 v 2
es+e)ando 1 de esta :ltima y sustituyendo en la anterior C2D o0tenemos@
$3% 2
2
v 1=
A 2 2
A1
2
v 2
F ! P=
1 2
(
2
2
1 v 2−
A 2 2
A1
2
)
1
v 2 = 1 v 2 2
( ) 2
2
1
−
A 2 2
A 1
es+e)ando 2@ v 2=
√
2! P
( ) 2
1air
−
1
A 2 2
A1
=
√
2 $ 588 Pa 1.3 3g
/m
3
(
1
−
0.003 0.025
4 4
)
=30 m / s
Para calcular 1 recurramos a la ecuación de continuidad C3D@ v 1=
A 2 A1
2
v 2=
0.3
2
2.5
30 m
/ s =0.42 m / s = 42 cm / s
"omo +uede o0serarse de los resultados, la elocidad en la +arte estrecha de la tu0er5a, / 5, es tal 8ue la +resión de0e ser muy 0a)a y se +resenta el 4enómeno de caitación 8ue +ermite 8ue las gotas de l58uido se +ulericen. 3
Se de)a como e)ercicio +ara el alumno calcular la +resión en P1 y reco+ilar in4ormación so0re el 4enómeno de caitación de0ido a la 0a)a +resión en un tu0o de énturi. rotámetros
Este instrumento es un medidor de caudal en tu0er5as con ca5das de +resión constante y de área aria0le. "onsiste de un 6otador 8ue 4unciona como indicador y se muea li0remente en el interior de un tu0o ertical cónico, el tu0o +osee un e7tremo angosto en la +arte in4erior. Por este e7tremo se encuentra la entrada del 6uido, cuando el 6u)o se actia, en ese momento el 6otador comien;a a 4uncionar hasta 8ue el área anular, entre la +ared del tu0o y el 6otador, sea tal 8ue la ca5da de +resión dentro del tu0o ertical sea su*ciente +ara e8uili0rar al 6otador. "uando se trata de +resiones 0a)as, el tu0o cónico es de idrio y +ara hacer mediciones cuando e7isten +resiones altas, el tu0o es de metal, este se encuentra graduado con una escala lineal. e+endiendo de la +osición en la 8ue se indi8ue 8ue se e8uili0re el 6otador, el caudal o gasto del 6uido en la tu0er5a será distinto. El 4undamento so0re el 4uncionamiento del rotámetro se 0asa en 8ue el em+u)e reali;ado es directamente +ro+orcional al des+la;amiento del ém0olo, 0asándose en el +rinci+io de Ar8u5medes 8ue dice@ KTodo cuer+o sumergido en un l58uido, e7+erimenta un em+u)e ertical y hacia arri0a al +eso del l58uido, desalo)ándoloL. !a altura en la 8ue se des+lace el 6otador será e8uialente a un determinado 6u)o. "uando a+arte del caudal es necesario conocer la elocidad del des+la;amiento, se +uede des+e)ar en la 4órmula de la continuidad, la cual es@ OA, des+e)ando la elocidad, 8ueda@ OHA< en esta 4órmula, Ocaudal, elocidad, A[rea del rotámetro.
(%
C0NC(5SI@N En conclusión !a condición 4undamental 8ue de0e cum+lir un modelo hidráulico es la de re+roducir adecuadamente las condiciones naturales. Si se trata de estudiar una +resa deriador, +rimero de0e re+roducirse el r5o en un modelo hidráulico. El modelo es tam0ién un r5o y como tal de0e cum+lir las leyes de la hidráulica 6uial. Es más de0e re+roducirse correctamente el r5o 8ue estamos estudiando
(1
