1. El agua de un reservorio es bombeada por encima de un cerro a través de una tubería de 0.90 m. de diámetro, ro, manteniéndo ndose una presión de 2.1 kg/cm2 en la parte más alta de la tubería ue se encuentra a 91 m. sobre el nivel del agua. El caudal bombeado bombeado es de 1.! m"/seg. # la perdida de carga es de 10 m. entre el reservorio # la cumbre $%ué cantidad de energía por segundo en caballos debe proporcionar el motor, sabiendo ue su e&iciencia es 90' # la de la bomba (0') *olución+ a energía ue debe proporcionar el motor es+ E= w . Q . B E= w . Q (
V 1
2
P
+ 1 + z 1 + Pc . ) ----------------.1 2g w
onde w =1000 kg /m
3
3
Q=1.4 m / seg.
V 1=
Q 1.4 1.400 seg . = = =2.20 m / seg A 1 π ( 0.9 )2 0.636 4
P1=2.1
kg 2
cm
agua =21 m. de agua
Z 1= 91m 91 m . Pc= 10 m .
eemplaando estos datos en 1+
2
2.20 E=1000 × 1.4 ( + 21 + 91+ 10) 19.6 E=1000 × 1.4 ( 0.247 + 21+ 91 + 10 )
E=171.145 kg.m / s
Esta energía en caballos, considerando la e&iciencia es+
E=
171.145 75 ×0.90 × 0.80
E=3160 H . P .
2. En una tubería 3oriontal de 0."0 m. de diámetro se tiene un regulador de gasto consistente en una válvula colocada aguas arriba de una estrangulación. a válvula es accionado por un embolo de 0.20 m. de diámetro. *obre la cara superior de este embolo act4a la presión de agua en la parte anc3a de la tubería # sobre la cara in&erior act4a la presión en la parte estrangulada de la tubería. a prolongación superior del vástago de la válvula está conectada a uno de los e5tremos de una palanca, cu#o e6e de giro ueda a
0.1 m. del vástago, en el otro e5tremo de la palanca act4a un peso de 7 kgs. *e uiere saber ué gasto debe pasar por la tubería para ue el sistema esté en euilibrio. El peso del vástago # del embolo es de 7 kgs. 8uede considerarse ue no e5iste perdida de carga en la tubería. *:;<=>
8ara ue el sistema esté en euilibrio, se debe tener+
( 5 + F ) 0.10 =5 ×0.5 *iendo ?@ la di&erencia de presiones ue act4an sobre las caras del embolo. espe6ando+ F =20 kgs.
P=
;omo ABC es el área del embolo+
F 20 20 = = =630 kg / cm2 2 A π ( 0.20 ) 0.0314 4
Bplicando Dernoulli entre 1 # 2+ 2
2
V 1 P 1 V P + + Z 1= 2 + 2 + Z 2 2g w 2g w 2
P1 − P 2 V 2 −V 1 = w 2g
2
+ Z 2− Z 1 ------------.. 1
En el cual+ P1 − P 2 P 638 kg / m 2 = = = 0.638 m.deagua w w 1000 kg / m 3
8or continuidad+
V 2 . A2= V 1 . A 1 2
A 1 d1 V 2= . V 1=V 1 ( ) A 2 d2 z 2− z 1=0
2
=V 1 (
0.30 ) 0.15
por estar en el mismo e6e
eemplaando estos valores en 1+ 2
4 V 1 −V 1 0.638= 19.6 2
15 V 1
2
+0
=0.638 ×19.6 =12.47
V 1=0.912
m s 2
El gasto será+
π ( 0.30 ) Q= v 1 . A 1=0.912 4
=0.91 ×0.07 =0.06384 m3 / s
Q=63.84 lts / s
".
allar la relación en el punto B, en kg/cm2 relativos, cuando la altura de agua sobre el centro del tubo divergente es de 1.20 m. $;uál será la altura de agua, para ue la presión en B sea 0.0"7 kg/cm2 absolutos) ;onsidérese F @ 1 # perdida de carga @ 0.
*:;<=>+ a velocidad del &lu6o en el punto D, de salida es+ v B=√ 2 gh ---------. 1
v B=√ 2 g × 1.2=4.85 m / s
8or continuidad+ 2
A B V A =V B ( ) A A
V A =2.25× 4.85 =10.91
2
0.15 =V B ( ) 0.10
=2.25 V B ----------- 2
m s
Gomando Dernoulli entre 0 # B+ 2
10.91 P A 0 + 0 + 1.2 = + + 0 19.60 w P A w
=1.2−6.08 =4.88 m .de agua
P A =−0.488
kg cm
2
relativos
absoluta.=−( 1.033− 0.035 )
kg cm
relativos =−0.998 2
kg 2
cm
relativos
absoluta. @ H1.0""H0.0"7 kg/cm2 relativos @ H0.99( kg/cm2 relativos, la altura debe variar+ Gomando Dernoulli entre 0 # B+ 0 + 0 + h=
V A
2
2g
P A
+
w
+0
eemplaando 2 a esta 4ltima+
2.25 V 2
(¿¿ B) P A + 2g
w
h =¿
h=
5.0625 V B 2g
2
P A
+
w
8ero tenemos ue+ P A =−0.998 kg / cm P A w
2
h=
−9.98
5.0625 ( 2 gh ) − 9.98 2g
h =5.0625h −9.98 4.0625 h
=9.98
=2.46 m .
∴h
relativos
=−9.98 m. de agua relativos--------.. !
*ustitu#endo 1 # ! en "+ 5.0625 ( √ 2 gh ) h= 2g
2
----------- "
!. En el crouis mostrado en la &igura se sabe ue la perdida de carga en los tres tramos suma 120 m. considerando despreciable la perdida de carga debida a la velocidad, 3allar la cota del punto D # la longitud de cada tramo, sabiendo ue las pendientes 3idráulicas h +¿ ! son+ para AB =0.02 I B" =0.03 I B# =0.08
¿
os puntos ; # son descarga libre. *:;<>+
a presión en el punto B es 0 kg/cm2 relativos, como también en los puntos de descarga ; # . espreciamos la perdida de carga debida a la velocidad seg4n dato del problema. B3ora bien, sea A5C la cota en el punto D, cu#a presión es J kg/cm2, de lo ue se tiene+ P B w
= 70 m . de agua.
Bplicando Dernoulli en cada uno de los tramos+ GBK BD+
100=70 + $ + Pc . AB
-----.. 1
GBK D+
70 + $ =40 + Pc . B#
-----... 2
GBK D;+
70 + $ =20 + Pc .B"
---.--.. "
*umando # ordenando+
% −( Pc . AB + Pc . B#+ Pc .B" )=−110
8ero dato es+ Pc . AB + Pc .B# + Pc . B" =120 m. uego+ % −120=−110 "ota del &u'to B = % =10 m.
;aso pendiente
h + ¿ !
¿¿
h+
--. !
¿ &e'die'te !=¿
donde 3L @ perdida de carga
eemplaando ! en 1+ Pc . AB=20 m .
´ = 20 =1000 m.
∴ AB
0.02
eemplaando ! en 2+ Pc .B# =40 m .
´ = 40 =500 m .
∴ B#
0.08
eemplaando ! en "+ Pc .B" = 60 m.
´ = 60 =2000 m .
∴ AB
0.03
AB =1000 m. B" =2000 m .
B# =500 m.
7. En el sistema de la &igura, la bomba D; e5trae M7 lts/seg. e aceite, cu#a densidad relativa es 0.(2 del reservorio B, para el .
a pérdida de carga de BHD es ( m. de aceite # de ;H, 22 m. a $%ué potencia debe tener la bomba, si su e&iciencia es (0') b ibu6ar la línea de energía total. *:;<>+ a potencia de la bomba será+ B (− B E
¿
w .Q ¿ &ot . Bomba =¿
------------ 1 *iendo Dernoulli de entrada+ B E =
V A
2
2g
+
P A
+ Z A − Pc
w
*e notara ue en la perdida de carga lleva signo negativoI
es di&erente cuando se toma Dernoulli entre dos puntos ónde+ P A =0 I V A =0 I Z A =50− 10= 40 m I Pc= 8 m. ∴ B E
= 0−0 + 40− 8=32 m.
de aceite ------------. 2
El Dernoulli de salida será+ 2
V # P # + + Z # + Pc . B (= 2g w
*e notara ue a3ora la pérdida de carga es positiva,
porue es una carga ue debe vencer la Domba para llevar el Bceite a . ónde+
P # =0 ∴ B(
I
V # =0
I
=0 −0 + 100 + 22 =122m .
Z #=110−10 =100 m.
I
Pc =22 m.
de aceite ------------. "
eemplaando 2, " # demás datos en 1, dividiendo entre J7 kg.m/s para ue nos de en 8.
&ot . Bomba=
820× 0.065 ( 122−32 ) 820× 0.065 ×90 = 0.80× 75 0.80 ×75
&ot . Bomba=80 HP .
8ara 3allar la línea de energía, a las cotas de los angulos B, D, ; # se le suma la carga de 8resión # la de velocidad. *e obtiene, tomando Dernoulli entre dos puntos+ e 2+ V B
2
2g
+
P B
= 32 m .
de aceite.
+ " = 122 m.
de aceite.
w
e "+ 2
V "
2g
P
w
a línea pieométrica es la ue une presiones de los puntos B, D, ; # . M. *e tiene dos placas circulares 3oriontales, de 1 m. de diámetro, paralelas entre sí. a placa in&erior es &i6a # la superior puede desliarse sobre un tubo vertical central. bténgase la magnitud de la &uera total ue 3abría ue 3acer 3acia arriba para ue el gasto de 70 lts/seg. escargue con una separación de 0.02 m. entre las planc3as. El agua 3ace su ingreso por el tubo central # luego &lu#e radialmente 3acia a&uera, con la
velocidad decreciente, para descargar en la peri&erie. espréciese la perdida de carga # el peso propio de la placa. *:;<>+ El agua &lu#e radialmente 3acia a&uera con velocidad variable, pues seg4n el radio, su área transversal super&icie lateral cilíndrica varia. 8or continuidad, la velocidad en un punto de radio
V =
r Q , será+
Q Q 0.398 m/s = = A 2 π ( 0.02) r
----. 1
Gomando Dernoulli entre los puntos " # 2+ V 3
2
2g
2
P3
V 2
w
2g
+ + 0 =
P
+ 2 + 0 w
eemplaando N a este 4ltimo+ 2
0.398
2 g . r3
2
2
P 3
0.398
w
2 g .r 2
+ =
2
+0
2
P3
0.398 1 1 .( 2 − 2 ) = w 2g r2 r3
;omo O @ 1 Gn/m"I
r 2=0.5 m .
I r 3=radio e' &u'tocual)uiera =r P3 será una
e5presión e5presada en Gn/ m2. P3=0.00808 . (
1 1 − 2) 0.25 r
a &uera total ue se necesitara para levantar la placa, debe ser igual al empu6e a5ial+
∫
F = & . dA
onde+ P= P3
I
d A =2 π r . d r
a &uera total, será la integral entre los puntos 2 # 1+ 0.05
F =2 π ×0.00808
1 1 − ) dr ∫ r ( 0.25 r 2
0.5
[
2
r F =0.0509 − loge r 2 ( 0.25 )
]
0.05
0.5
log (¿ ¿ e 0.05− loge 0.5 ) 2
2
0.05 0.5 − −¿ 0.50 0.50 F =0.0509 ¿
[
F =0.0509 0.005− 0.5 + log e (
0.50 ) 0.05
]
F =0.0509 [ 0.005−0.5 + log e 10 ] F =0.0509 [ 1.8076 ] =0.092*o'eladas .
F =92 kgs.
