DINAMICA ESTRUCTURAL SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
Componente de un sistema dinámico básico: 1. Masa 2. Pr Prop opie ieda dade dess Elás Elástitica cass (F (Fle lexi xibi bililida dadd o Rigid igidez ez)) 3. Mecan canism ismo de per perdida de energía o Amortiguamiento.
Ecuación de movimient movimiento: o: Principio de A’lembert: Equilibrio de las fuerzas actuando sobre la masa.
Las fuerzas resistente son dependientes del desplazamiento.
Ecuación de movimient movimiento: o: Fuerza Inercial: Fuerza de amortiguamiento: amortiguamiento: Fuerza elástica:
Influencia de la fuerza gravitacional
Influencia de la fuerza gravitacional Desplazamiento total: Causado por el peso y el
desplazamiento dinámico adicional
Fuerza en el resorte:
En el t=0 sin fuerza dinámica se nota que
Influencia de la fuerza gravitacional Por derivación de la ecuación
donde
no varia con el tiempo, es evidente que:
Conclusión: Comparando con la ecuación de movimiento inicial, se demuestra que la la ecuación es expresada con referencia a una posición de equilibrio estático, por ende, el sistema dinámico no es afectado por las fuerzas gravitacionales. Los desplazamientos son referidos a la posición de equilibrio estático. Las deflexiones totales, esfuerzos etc, son obtenidos por la agregación de las correspondientes cantidades estáticas.
Influencia de los apoyos en la excitación. a i c n e r e f e r e d o j i f e j E
Equilibrio de fuerzas
Fuerza inercial
La ecuación se debe expresar en términos de una sola variable.
Influencia de los apoyos en la excitación. a i c n e r e f e r e d o j i f e j E
El signo negativo nos indica que la fuerza es opuesta a la aceleración del terreno. En ingeniería este signo no tiene gran interés, ya que solo interesa el máximo valor absoluto del desplazamiento. Una forma alternativa es derivando la ecuación
Vibración libre El sistema no se le aplican fuerzas, fuerz as, pero depende de las condiciones iniciales de Desplazamiento y velocidad.
Sistema lineal de segundo orden, homogéneo tiene como solución: C es una constante Se deriva z.
Se divide entre
se obtiene la ecuación característica
Vibración libre Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos
Que consiste en dos raíces:
Entonces se tiene dos soluciones: La suma es la solución general: C1 y C2 se obtiene de las condiciones iniciales inicia les
Sistema no amortiguado Si no existe amortiguamiento c = 0 en la ecuación Entonces queda: y Donde i es el operador Estableciendo.
Frecuencia natural no amortiguada
Sustituyendo en la solución general, se obtiene
Sistema no amortiguado Aplicando las identidades de euler
Estableciendo valores C1=C2=1 y C1=1,C2 =-1, se suman y restan las ecuaciones de identidad.
Sistema no amortiguado Los valores de las constantes A y B pueden ser obtenidas de las condiciones Iniciales de desplazamiento z(0) y velocidad z’(0) en el tiempo t= 0.
Sistema no amortiguado La solución de la ecuación representa un movimiento armónico que se representa gráficamente de la siguiente forma.
Ciclos por segundo (Hz)
Periodo en segundos (seg)
Sistema no amortiguado Una forma alternativa de expresar el movimiento vibratorio vibrator io no amortiguado es la siguiente.
Donde ρ es la amplitud o máximo desplazamiento del movimiento y θ es ángulo fase.
Sistema amortiguado Retornamos a la ecuación:
La naturaleza naturaleza de las soluciones soluciones depende depende de la cantidad cantidad debajo de la raíz cuadrada. 1. Raíz Raíz es es posi positiva tiva (Siste (Sistema ma sobream sobreamort ortigu iguado ado)) 2. Raíz Raíz es igual igual a cero cero (Siste (Sistema ma con con amortig amortiguam uamien iento to critic critico) o) 3. Raíz Raíz es es nega negativa tiva (Sistem (Sistemaa suba subamor mortigu tiguado ado)) Sistema con amortiguamiento critico
Este valor es llamado amortiguamiento critico
Marca el limite entre el movimiento oscilatorio y no oscilatorio.
Sistema amortiguado El amortiguamiento viscoso no dimensional es definido como.
Fracción de amortiguamiento critico es expresado en términos t érminos de porcentajes por ejemplo Dividiendo la ecuación dinámica entre la masa, utilizando el amortiguamiento natural y el factor de amortiguamiento obtenemos.
Estableciendo nuevamente la ecuación característica, para la solucionar la la ecuación. o
Sistema amortiguado La solución de la ecuación ahora depende de si. 1. < 1 Amortiguamiento menor que el critico 2. = 1 Amortiguamiento critico > 1 Amortiguamiento mayor que el critico 3. Amortiguamiento critico La prim primer eraa solu soluci ción ón es igu igual al::
Pero Pero exi exist stee una una seg segun unda da solu soluci ción ón que que se se obti obtien enee por el método de reducción de segundo orden.
Entonces la solución general queda:
Sistema amortiguado Amortiguamiento mayor que el critico Utilizando la ecuación
Y la solución general
Se obtiene:
Sistema amortiguado Amortiguamiento menor que el critico Este caso es de mayor interés, ya que las l as estructuras tiene un amortiguamiento menor que el amortiguamiento menor que el critico Utilizamos la ecuación La cual puede ser escribida como donde
Frecuencia natural Amortiguada, la cual meno menorr que que Wn Wn y es es despreciable para muy pequeños
Sistema amortiguado Amortiguamiento menor que el critico Utilizando la ecuación general Resulta Se utilizan las siguiente identidades para eliminar la parte imaginaria.
Estableciendo valores C1=C2=1 y C1=1,C2 =-1, se suman y restan las ecuaciones de identidad y se utiliza el método reducción de segundo orden para comprobar las soluciones, finalmente la solución general es igual a la suma de las soluciones.
Sistema amortiguado Amortiguamiento menor que el critico Los valores de las constantes A y B pueden ser obtenidas de las condiciones Iniciales de desplazamiento z(0) y velocidad z’(0) en el tiempo t= 0.
Una forma alternativa de expresar esta ecuación es de la l a siguiente forma:
Amplitud
Ángulo fase
Sistema amortiguado Amortiguamiento menor que el critico La respuesta de un sistema subamortiguado, sujeto a un desplazamiento inicial con velocidad inicial igual a cero, c ero, se muestra en la siguiente figura.
Td
Sistema amortiguado Decremento logarítmico El amortiguamiento interno de una estructura puede ser experimentalmente calculado, a partir del movimiento vibratorio de un sistema subamortiguado, estableciendo dos amplitudes máximas consecutivas, por ejemplo Z1 y Z2. Z 2. z 1 = ρ cos(ω d t + θ )e
−
γω t
z 2 = ρ cos(ω d t + θ )e
−
γω ( t +T d )
Dividir z1 entre z2 y se le aplica el logaritmo
δ =
ln(e ln(e
−
−
γω ( t )
γω ( t +T d )
δ = ln e δ =
)
+
e γω (t ) δ = ln γω t γω e e −
)
γω T d
−
2
1 − γ
T d
Se rempl remplaz azaa Td en Función de la frecuencia f recuencia
=
2π
−
Para valores pequeños De amortiguamiento
γ
T d
δ = ln e
+
γω T d
γ 2π δ = ω d Se remplaza Wd
δ = 2π
Sistema amortiguado Decremento logarítmico
Relación lineal
Para determinar el numero de ciclos para un 50% de reducción de amplitud de desplazamiento puede ser obtenida de la siguiente relación.
Sistema amortiguado Ejemplo:: Se tiene las siguientes propiedades de un sistema Ejemplo sis tema Dibuje la respuesta en el tiempo para las condiciones iniciales z=0.1m y z’ = 0
en el tiempo igual a cero. Solución:
Amortiguamiento menor que el critico, se utiliza la siguiente ecuación
Calculamos frecuencia amortiguada
Sistema amortiguado Ejemplo Se requiere la velocidad del sistema sis tema derivando la ecuación
Las constantes constantes A y B son encontradas encontradas remplazando remplazando las frecuencias frecuencias y evaluando evaluando Las ecuaciones en z=0.1 y z’=0 en t= 0; Donde surge dos ecuaciones con dos incógnitas. Esto resulta A=0.1 y B = 0.0204.
Modelamiento en MATLAB Modelamiento de sistema de vibración libre Simulink
