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C álculo F inanciero A plicado U n Enfoque P roff.sionm .
2* Edición A ctualizada
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L A LEY
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L»)|*e7 I'iunirauí, Guillermo ( diculo Financiero Aplicadlo Un enínqiie Prulesiona]. 2da edición acnuiUzada y ampüadaBuenos Aires La Ley 2006 720p ,24xJ6cm (FEDYE)
ISBN 987-03-08B2-1 ! Finanzas. 1 Titulo í .DD 332
Iii'Im ' i's , 1. I rv S A F. el 1ii. mil II. •' ' I I' li. '11»\ \i'| Buenos Anes ' »M l.iiic <1■e l I i(iic picviciic la lev 11 723 lm|MC.so '111 \r*:cmiii.T Pnoied tu Aieeniins LxJos los clercthos reservados Ninjiuna pane ilr esta obn ihjciIc s a repiodiicida u iransinilula en cualqnici l.irma o por oi^dquicr rneiJio eiccifdnicrrn mccánirn irK iiiycnUorulocopiado grabación n LtMlqiner niiu sisirina de arrhivn y recuperación de información, sin el picvio |>enniso por esi^utodei Editor’ All figlus r'seivrd No p in o l lili.* wnik ni.‘ i be icpruducedOI iransmiUed maii) foiinoi hy an> iiicans clcctioni''.ir iiKiTbnnical. ineludingphoiocrrpymgard reccirding ■II b> aii> i.i/nrination .si 'iisrc or icincvii System, . innui pcrniission in vc'rilinp írom Il« publisher Tirida’ 13'.>ii ;j*mplares
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Guillermo López Dumrauf es Doctor de la Universidad de Buenos Ai res con una tesis sobre la estructura de capital óptima de la firma Hn la práctica profesional se desempeña como consultor económico financiero y asesor de empresas y entidades financieras. Desde 199i) es socio del J-sludio Tisocco y Asociados, consultores y auditores de empresas. Es autor de los libros “Finanzas Corporativas" (Grupo Guía. 2003) y “Cál culo Financiero Aplicado" (La Ley, 2003) cuya calidad ha sido ampliamen- ' te reconocida por académicos y practicantes y adoptadas com o texto de cursos de grado y posgrado por varias universidades sudamericanas. 'J ambién colabora como columnista en revistas y diarios especializados en eco nomía y finanzas. El Dr, Dumrauf tiene una amplia y reconocida trayectoria académica y es profesor titular en las más prestigiosas casas de estudio de nuestro país, tal el caso de las universidades del GEMA, ITBA y UBA y el instituto univer sitario ESEADE. En ellas dicta m aterias com o Finanzas Corporativas, Valuación de Empresas, Fusiones y Adquisiciones, Cálculo Financiero Apli cado y Derivados Financieros en programas de Maestría y más recieiitemenre, Opciones Reales en los doctorados de economía y finanzas Du rante el año 2004 dictó un seminario sobre fusiones y adquisiciones en un programa realizado en conjunto por la Universidad del Salvador y la StattUnn’ersiiy ofNew York. También es profesor de la certificacíríi) imerniioo nal ClíA (Certified Imemaiíonal Investment Analysisj en el programa dic tado jior el Instiiiitü Argentino de Ejecutivos de Finanzas en Argentina, Ha sido convocado en numerosas oportunidades como conferencista in ternacional y ha sido expositor en Seminarios en las Universidades del Gema, San Andrés, Torcuato Di Telia, Universidades Nacionales de Córdo ba, Rosario, Lujan y Entre Ríos; Católica de Salta, Universídade Heder.il di. Espirito Santo íBrasilj, Politécnico Grancolombíano ytlniversidad lavei lana (Colombia) Universidad Autónoma Gabriel Rene Moreno y Univeisidad Mayor de San Simón (Üolivia) y la Universidad Nacional de El Salvador (Centroamérlca) donde fue declarado docenre distinguido en 1996 Hoy su interés está concentrado en los procesos de valuación e Implemenidcion de las opciones reales integrando el análisis tradicional por descuciiru de flujos con la simulación de Monte Cario Su tesis doctoral hie desarrollada sobre la base de un niodelu de b o iu ir a r in g - ír a d e a ff para determinar la estnictura de capital óptima de la ñmid
# r P r e f a c io
Esta obra procura ser un puente entre la teoría v la práctica coM'liana Medir ia rentabilidad de una aplicación rinanciera o de una inversión pi •ductiva, así como el cálculo del costo del capital, convierten al cálculo iinanciero en una herramienta indispensable para el profesional de las I ilianzas y los Negocios. La matemática financiera es una disciplina que una vez aprendida, tiene inmediata aplicación en una gran cantidad de píoblemas de la vida real: cálculos de tasas de interés efectivas, eqiiivalentías de rendimienin.s para distintas operaciones, saldos de deuda en un pt*’« tamo, refinanciaciones de obligaciones, rentabilidad de iv-nos, etcét»'ra Cada vez que la inflación asoma su horrible cabeza, se suma la compi' jidad de un contexto inflacionario donde se Itace necesario el cálculo
aparecer en la practica. Niiestio deseo es que este libro quede “gastado" por su manoseo •u j.-, consulta diana, que brinde al lector un conocimiento acabado del rál^ult. financiero y que se convierta en una referencia obligada para avutlar a tomar mejores decisiones financieras
Ginu-ERMo López D umrau'-
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Esie libro está destinado fundamentalmente a los profesionales en rien das econtitnicas y también a los estudiantes de cursos de grado y posigrado. analistas financieros, ejecutivos financieros y otros profesionales que gan uso dei cálculo fínanciero en su labor cotidiana.
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# P a n o r á m ic a d e
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Las categorías que componen las maiemállcas financieras sr eiinientran llenas de detalles; no obstante, el orden de los tenin’; sigue íi estruc tura lógica que debe tener un manual de cálculo financiero, permitiendo al lector transitar con fluidez por la avenida p r¡in c ip a } de la nraiemátrca financiera. * Esta obra ha sido estructurada en cinco partes, üi primera pnri« orli pa de las operaciones simples, que tratan operaciones con un sol'i capital Aquí traíamos el interés simple y el interés compuesto, la ronvrisii»' de tasas de interés y los números Indice También hemos incluido un rnpnulo introductorio, que brinda una panorámica acerca de las aplicaí:i*mes '• las razones por las cuales es importante saber cálculo financiero La segunda parte trata las opcrariones "complejas” tal com»' -r «i^nomma a las rentas En la vuia real hay una cantidad de snuacionec l'amianto en una obra completa, de forma que hemos incluido dos capí'idos que realizan una in trod u cció n al tem a pero tratan do de set In más comprehensiva posible Por último, la quinta parte trata uno de los instrumentos derivados fi nancieros más populares, las opciones Las opciones constituyen uno de los campos más fértiles para la producción de conocimiento en 'as finan zas. y es una disciplina que se encuentra en permanente desarrollo Si bien deben considerarse los dos capítulos escritos sobre opciones comr> de ni vel introductorio, se ha tratado de abarcar los tópicos principales, inclu-
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G uiueráío López Dumkauf
yendo la descripción de las principales opciones y los métodos de valuación por neiicralidad ante el nesgo y el portafólío replicado. También se descri be brevemente la fórmula de Black-Scholes, que tuvo una gran influencia en la forma en que los operadores fijan precios y realizan coberturas con opciones E) último capitulo trata las opciones reales y su aplicación en las finanzas corporativas, que será sin lugar a dudas el tema donde se concen trarán los métodos de valuación en los próximos años. En cada capítulo se ha procurado una inmediata conexión con las si tuaciones reales que enfrenta coiidianamenie ios profesionales que ha cen uso de las matemáticas financieras. Por caso, el efeclo de los coeficien tes de indexacíón creados por los Gobiernos Nacionales en las operacio nes financieras, resoluciones del BCRA y otras operaciones. Se incluyen algunas aplicaciones con planilla de cálculo ripo Excel y también calcula dora financiera del tipo HP 12 C. que permiten resolver los problemas con mayor rapidez.
Cambios en la segunda edición Después del éxito que tuvo Cálculo Financiero Aplicado, un en foqu e profesúm al, y luego de tres años, sentí la necesidad de realizar una actua lización e incorporar algunos cambios, siempre con el afán permanente de mejorar la obra. El liíiro fue integralmente revisado y la pane estructural de la matemática financiera, comprendida entre los capítulos 1 a 9, mantiene esencialmente el mismo orden con algunos pequeños cambios, básicamente la incorporación de ejemplos y explicaciones adicionales. Se agregaron más preguntas y ejer cidos a! final de cada capítulo y fueran corregidos algunos errores en la priniftra etiicjón a partir de sugerencias que realizaron los practicantes, profeso res y finidamemalniente, los alumnos a quienes agradezco por separado. En ranos casos se incluyeron funciones de Excehí) que permiten resolvei mui has situaciones con mayor eficiencia. En general, se mejoró el layü ü íd e l.i obra, se actualizaron algunas figuras yse incluyeron algunas nue vas. En esta ocasión, los apéndices fueren incluidos al final de los capítulos para que el lector obtenga un mayor provecho. En general contienen casos reales, situaciones particulares o análisis matemáticos adicionales. Los cambios más Importantes se producen a partir del capítulo 10 donde se tratan las técnicas de evaluación de proyectos con la incorporación de ejemplos nuevos y una revisión más profunda de las técnicas tradiciona les, en jianicular para los casos de proyectos de inversión con diferente tamaño Los capítulos 11 y 12 que tratan la valuación y la volatilidad de bonos tuvieron varios cambios: se incorporaron \'aluaciones de nuevos bonos y se incluyó una sección para tratar la inmunización de cañeras de bonos, con un ejemplo real con dos bonos argentinos al final del capítulo que los praci icantes podrían encontrar muy interesante.
C a l c u l o h iH A N C ií R O a p l i c a ü u
El capítulo 13 que trata las opciones financieras también fue m ejorado y el capítulo 14 que trata las opciones reales tuvo varios cambios: en los ejem plos ¡nidales se buscó una mayor conexión con la técnica iradíctonaí del valor actual neto, se subrayaron las diferencias entre ésta y la técnica de real opíions y se incluyeron apéndices con 4 casos reales,
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Esta nueva edición condene un capítulo adiciónal. El capítulo 15 trata e) costo del capital, lema particularmente resbaladizo aiín en países con merca dos de capitales desarrollados. En el caso de las compañías que actúan en economías emergentes, con mercados de capitales poco desarrollados y en la mayoría de los casos sin oferta piíblica de sus acciones, el problema es mucho más complicado. El tratamiento del costo de oportunidad del capital a utilizar en un pro yecto o en la valuación de una compañía, es un tema recurrente en un curso de matemática financiera y quisimos dar respuesta al reclamo de lus alumnos y los practicantes. En la estimación de) costo de capital exísie mucho espacio para equivocarse, de forma que en el: mejor de los casas tendremos, tal vez, una estimación razonable. En este capitulo describi mos los argumentos teóricos y los pasos que siguen los practicantes para la estimación del costo del capital en compañías de capital cerrada, donde estamos muy lejos lodaLna de tener un método científico. Quien de.st:uliia algún día un método generalmente aceptado para las compañías de caj»i tal cerrado, ganará tm importante recunocímienio entre la comunidad académica
Apéndice con repaso de matemáticas, fórmulas más utilizadas y respues tas a los problemas de final de capítulo El lector que busque refrescar sus conocimientos de inatemáticu baaica encontrará un apéiidice duiide se e.xplicar, en forma sencillci Idí, tiimni Clones mas toniunes pasaje de términos, poit-nciacíón.,. lugaritinn^ y dn rivadas También hemos destinado una sección para resumir las lYiríiiubs ru.is utilizadas que ser\irán al usuario como una guía rápida. En esta segunda edición se ha incrementado la cantidad de preguntas y ejercicios al final de cada capitulo En total, esta edición coniietur c-en a de 100 preguntas y más de 150 ejercicios, además de las preguntas dt aianevaluación y los ejercicios y ejemplos que aparecen tratados dentro de cuna capitulo. La totalidad de las respuestas y las resoluciones aparecen en un largo apéndice destinado al efecto, donde se detallan las fórnnibs lunizádas y con un comentarlo para los ejercicios más complejos que ayuda a ou resolución paso a paso .
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nmil.£RMO L'J'ItZ L>UM[>Alir
PágiJia web Víirios tópicos tratados en este libro son recogidos en presentaciones del , jpo P ow erP oin t y también pianilias de aiículo. Estas pueden encontrarse en mi uebs/rcpersonal; w-vv^v.dumraufnet.com.ar I os (exins, presentaciones y planillas de cálculo que aparecen en mí site son do acceso publico.
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r e c o n o c im ie n t o s
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Siempre digo que fa parte de los agradecímieníos es una de las que más disfrutamos los autores. En realidad, el placer es doble, ya rjue esta sección se escribe después de l)aber sido consumido por los laberintos del libro...
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Por ello, quiero agradecer a iodos aquellos que se tomaron el {ralíajo de realizar una lectura crítica y crlteriosa deaJgunos capítulos. Tuve la ayuda desinteresada de los siguientes profesores. Carlos Alvarez de Toled»', tpn*»n realizó una cuidadosa revisión de los capítulos vinculados a las operariones .simples. Miguel Delfiner. quien me hizo varios comentarios útiles para el capítulo correspondiente a las opciones financieras. Darío Stefanclli y Felipe Gilabert realizaron una lectura profe.sínnal y haustiva de varios capíiulos y realizaron importantes sugerenctos
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Quiero también agradecer muy especialmente a Juan Ignacio F' 'pntt»'eí; (UNLU), a Paulino Mallo (UNMDP). Marcelo Oelfino (UNC), Adrián T aí.tUn y Luciano Machaín (UNR) por sus ütiies comentarios.
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Tengo una agradecimiento muy especial "en forma contínu-t'' para Néstor Fernández}' Federico Bunsow a quienes les espera una carrera profe.sional y académica absolutamente prometedora. Los imercambios so bre lemas profesionales y académicos con ellos son permanentes y seria injusto remitir su colaboración a un capíitiln específico ^4ésto^ ya va pm su tercer libro y seguramente Federico comenzará muy pronto.
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También tengo una lista de practicantes de las finanzas a quien'’S ag'adecerle sus valiosos aportes y com entarios: José Luis Seoane, Douglas Elespe. Miguel Peres, Gonzalo Mandagarán Rivas, Fteddy Vieytes< y Gu.<:> lavo Seraci, Victoria Giarrizo me proporcionó estadísticas sobre el FBI y Juan Ma nuel Vázquez, Francisco Tesi, Gabriel Serio y Fernando Toledano ine pío-
porcionaron información sobre el mercado de capitales
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Una gran cantidad de alumnos aportaron también su impórtame cola boración para mejorar la obra Varios de ellos se tomaron el trabajo de leer secciones completas de la primera edición del libro para buscar errores y realizar sugerencias En realidad, los alumnos suelen encarar esta tarea cmi mucha responsabilidad y buena voluntad, por lo que merpcen mi más sin cero reconocimiento. Deseo agradecer especialmente a; María Florencia San
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CüttiFRMa lOf’£Z DumIIAUF losé, Marcelo íuncá, Alejandra Massey, Carla Arias, Gabriel Gambetta, Ariel Küasñüsky, Femando Guillermo Dauz, Gonzalo Sposaio. Cecilia CarovíllanO, César Delconttí, Gastón ürbma, Gabriel Delgado, Adnana Sierra y Luís Morís. Mi agradecimiento para Fernando Sagarna y Verónica AJumíra de La Ley por el esfuerzo para que la obra saliera en termino, Verónica, eii su doble eandit'ión de matemática y profesional en ciencias económicas, se constiaiyó en una revisora de lujo. Quiero agradecer al licenciado en matemáticas Gustavo Bíze por la diagraínacíon de la obra, por imprimirle un estilo agradable que facilita su lectur.i y por el cuidado del detalle Loá seres queridos, con justicia, pueden sendr que este tipo de proyectos conspira contra el tiempo para estar en familiay tienen razón. Hijos, ya ven drán las compensaciones. Espero que esta "mala costumbre" sea percibida de acuerdo a lo que deaa el maiemáiico y filósofo Blaise Pascal; "los malos libros provocan malas costumbres, y las malas costumbres provocan buenos libros' Aprovecíiu la oponunidad para agradecer muy especialmente a mi csposu Emilia, quien se tomó el trabajo de leer y revisar la primera edición práctK,ameme en su totalidad. Su condición de profesional eri ciencias ecori-rniicas fue una gran ayuda y el grado en que se involucró en este proyecto me ayudó mucho a mejorar la obra, Fiiúilmente, quiero agradecer a aquelíos que sin saberlo, fueron someti dos a los primeros borradores, cuando en el aula o en la vida real se trataba una ciitísiión ú se .ííiaUzaba imá operación financiera V a todos aquellosque aun igíiurauda ciue sus opinitmes esiabanalimeniaridulaobra. hdn propordv>iiado un Iru'alorable aporre.
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Acerca del Autor .
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Prefacio ....
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Destinatarios ^ Panorámica de la ob ra.
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Reconocimientos....,
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iNTHODt/GCIÓrt AL CAJjCULO Fí NANCIEHO
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1,1. ¿Por qué debemos saber Cálculo Financiero?. 1 2 , El valor tiempo del dinero........—............ Diferencia entre el interés y la tasa de interés Diferencia entre incremento, porcentual y cantidad de veces en que crece un capital.
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Tasas de interés activas y pasivas, Componentes de la tasa de interés ........ .
f.
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El costo del capital en las economías emergentes......i. Remas y valuación de flujos de efectivo.....i........... Reglas para llegar a buen puerto 1,3, Panorámica de las aplicaciones del cálculo financiero. La inflación desimye e! valor déla moneda , Préstamos . El dólar fiiturú y otros contratos de fuimos Tipo de cambio reai, El riesgo país Planes de jubilación y pensión . Opciones. Rendimienfos de tos activaos financieros tn Argentina 111912005..
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C viiLim o lorEi Dummuí Pág. Pcferencias bibliográficas..
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ío'M»duccióri............................... ..................................................... ........ 2
19
1 La cap»!ilizacítSn en el irgiinen simple: caracierisiicas prin cipales ......... ............................................................................... ......
20
Cuadro de marcha progresiva del interés simple.......................
20
Formulas derivadas del momo a interés simple .......................
21
La formula de! monto a interés simple cuando varía la tasa interés................................................. .....................................
23
Arrálíds del m idiiniento y funciones del monto e interés ncnmulado ........................ .......... .................................................
23
rUiro medio ..... ............ ............................................................... ..
26
Tasa fU'’d ia ........... ........... ................................... ... ..................
27
Tasa {»TO[ioicional en el interés simple.....................................
20
Interés civil y comercial.................................................................
29
forma {¡fl contar los intervalos de tiempo en la fiepública Argeniífra................................................................. .................. .
30
Pjcniplos de aplicación del interés simple en la vida reaJ.........
31
2 At nialiracíón en e! interés simple: descuento racional y desrom erciaj...............................
36
«'u n d f de marcha del descuento racional...... ................... ........
37
rcrniiil-*" rliMivadas del descuentcí racional............. ............ .....
37
Anális's del descuento lacional........... ................ .......................
38
.*.n ílis»': de las funciones del descuento racional con deri''adas.
39
I a operación de descuento en la práctica; el descuerno comerrial.............
40
t nmo sp pacta el desruenío en la vida real, la tasa de des cuento nominal.... .......... ............. ................................. . .
43
La equivalencia entre las tasas de interés vencida y de descueiilo pan operaciones con mis de un período....................
44
Uí’«cr««’mn c.iMncrcial y racional; dos medidas difsr»'ntes de una misma operación ............. .............................................. ..
45
Cuadio de marcha del descuento comercial........ ......................
46
Fórmulas derivadas del descuento comercial..... ............ ...........
47
Análisis del descuento comercial.____ ______________ _____
47
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C a l c u l o F in a n C í x r O A r iJ C A t > P
Tág. Tiempo que {arda el descuento en anular Un cap ital o d>>cunienio ................................. — ........ .................. .— 2.3. Equivalencia de capitales en el régimen simple y reernpía'’.o
49 3
4$ Vencímiemocomún .... .............................. ........................ .... ..
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Vencimiento medio ..................... ........... ......... .......................
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Un atajo para calcular el vencimiento medio: la lasa no infiu^ ye en el descuento com ercial......... .......... .......
52 53
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sr , Problem as............... ......... ................................................. ............... ....... .
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Referencias bibliográficas .......... ........ ...............—................
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A p én d ice 2A • Conversión de tasa nom inal anual adelantada rn tasa efectiva de descuento................................................... .............. .....
62
Apéndice 2B - Conversión de tasa nominal anual adelantada tasa de interés efectiva..................................... .................... ..
6,3
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C atitulo 3
iNTERfó CoMrUETlO Introducción...................................... .................. ............. 3,1.
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Capitalización en el régimen compuesto . .............___ _
65 .
66
Rendimientos cíe jos depósitos a plazf‘ fijo en la Rppúbli' a Argén tin a ......... ..................... .................. ..
6 7 /'
Características principales dcl interés com puesto..................
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Cuadro de marcha progresiva del interés com puesto........ . .
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6í)
La fórmula de! monto com puesto cuando la tasa de inteiés 68 Clasificación del régimen compuesto
___ _ ..
69
Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto ...................
69
Aplicaciones del interés compuesto en la vida real ........................
71
Análisis de las funciones monto e interés acum ulado,—
72
Tiempo necesario para que un capital se convierta en muL tipio de sí m ism o......... ............................................ ................... .....
73
Tiem po en que dos capitales, colocad os a diferente tasa, alcanzan igual m onto......................... .................................. . „
73 ■
Comparación entre el monto simple y el monto compuesto.
74..
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V Pag-
41 I a lasa proporcional y equivalenie en los regímenes simple
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I I monto a interés simple y el nionlo a inierés compuesto: comparación gráfica ................................................................... .
76
* lomo fraccionario
77
........................................................................ .
1 1ínteres compuesto y el anatocismo.............................................. 3
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2.
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Pegimen de actualización compuesto....................................... 79 I I valor actual con tasa de interés compuesta................................
79
Análisis de la función del valor actual con interés compuesto con derivadas.....................................................................................
80
L1 d escu ento com puesto con tasa adelantada- cuadro de marcha...................................
01
1 onmilas derivadas del descuento compuesto..............................
82
.'\naJisis del descuento compuesto ....................................................
83
hepresenraciones gráficas del valor actual y del descuento.........
84
/'.nalists de laa funciones del descuento compuesto con deriv'adas .
84
' ‘ornparairiÓM del interés y el descuento en los regímenes ...... 3Íni(ile y í i/inpuesiu
85
l{düción entre la tasa de interés y la tasa de descuerno en el régimen com puesio.....................
85
I quivaJenri j de capitales en el interés compuesto............... ........
86
eiicimienicíCünujri) vencimiento m edio.... ................................
87
• iwnparacion del vencirmenio medio en los regímenes simj)Ic y c.t.nhpiic:s(o ..............
88
' iulida«.l de I veiicimienui medio en la práctica .........................
88
'(esu in en ................. ........ .................................. ................. ........................ ..
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l'reguiitas..................................................................................................
89
Piol>l«-mas....................................................................... kcferiiicias bibliográficas................
92
Apenvlice 3 A - Tasas de crecim iento de! FBI en la Argentina j^'lK^2u04.................
93
CAPírtíLO 4 T.asas de I nterés InCrotmcción..................................................................................
95
4
95
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! as tasas de interés vencidas............................................................
C a i. o m , o F iN A N C if R O A r n C A u r »
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La lasa nomínaJ de la operacidn................. ............... ....... . .... .L..
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La tasa proporcional y la capitalización s u b p e r i r t d i c a ........
La tasa efectiva de la operación................................................ .
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Una fórmula estandarizada para la lasa efectiva que evita confusiones........................ ...................... ........................ .......... ......
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I..3 tasa equivalente.................................................. .......................
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La capitalización continua y la tasa instantánea de ínteres......’jtin
4-2.
4.3
El valor límite de la tasa nominal cuando el número de capítalízaciones tiende a infinito................................................ . .
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El cálculo financiero en un contexto inflacionario: ia tasa de in ierésreal............................................ .......................... .........---------? La ecuación de arbitraie de Fisher........................... .1....... ......... .
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Evolución de las tasas de interés reales en la República Ar gentina........................................................................ ....................... -
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Obtención Je la tasa real en el régimen continuo..........................
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Aplicaciones en el mundo real......................................... .....-....... ..
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Operaciones en moneda eflranjera...................................................
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Teoría de la paridad de las tasas de in terés............. ............—
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Teoría de Ja pandad relativa del poder adquisitivo.................. ....
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El efecto de Fisher internacional..........................................- ...........
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4 4- Tasas de descuento ...................................................... .........................
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Tasas de d escuento nom inal, proporcional y el descuento suljperindicü....... ........ ..............-...... ............*...................................
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l.a tasa efectiva de descuento a panii de la lasa uomfnal de descuento............................................ ............................ -........ ......... 1.a tasa cquivalenie de descuento..................................... ................
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Frecuencia de capitalización y Jas tasas de interés...... -— ............
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Cuadro resiinieii ile la.*» relaciones entre las distintas tasus........
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Ü esiim en................................. ..... ......................................-...............- ........... . Preguntas............................................................. ................... -........... ............. Prohlem as........................................................................................................... Referencias bibliográficas................................................................ - ..... i Apéndice 4A. - Análisis de las operaciones financieras con los datos del di a n o ................................................................................. .................. Apéndice 4B - Teoría matemárlca del interés............... ........................ -
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_ _ _ _ _ _ _ G u i l l e r m o L ó r £ ¿D u \t» M T _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Pág. CvrrruLO 5 I ndices y Coeficientes de Ajuste liUroüuccióii...................................................................................................
141
5
1 Tipos de números índice.................................................................
142
Números índices simples...................................................................
142
Niiineios índices compuestos............................................................
142
5.2
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Indices utilizados con frecuencia en la economía y las fi nanzas ....................................................................................................
142
índice de precios aJ consumidor .......................................................
143
Relación con la evolución del ingreso..............................................
143
índice de Laspcyres.............................................................................
144
Indice de piecios do Paa.sche...............................
144
índice de precio.s mayorista nivel general.......................................
146
índice de upo de cambio re a !.................
152
índice de riesgo-país.......... ...............................................................
154
El índice del mercado de valores (fvíer\'al).....................................
154
Indice de dólar fuiuro INUOL...........................................................
157
Giiericieníes de a|usle diario.............................................
160
IiuIk cs de a)uste por tasas de interés...............................................
160
El tunficicnlp de eslaliilizacíón de refnencia (CER^.....................
162
El ct*elici‘'iilp de variación de los salarios.....................................
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i’M'lileinas .................................................
158
Uelrroncia'. liiMiográfiras...........................................................................
169
CAprrm.o 6 RENTAÍ; TEMrORARlA.S InUoducckin.................................................................................................
171
6
1
Remas lemporarias.........................................................................
172
Una rlasiRcación operauva para las rentas.....................................
174
Rentas de pagos vencidos v de pagos adelantados.......................
175
Renta temporaria mmedialade pagos vencidos............................
175
Fórmulas derivadas de la renta lemporaila inmediata................
178
i< ,i 'i ><1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ C a L C U I U F iN A M C I t R O A P L I C A D O _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ X ^ ^ V Ü
Pág.
6.2.
Renta temporaria inmediata de pagos adelantados........................
i 79
Resolución de rentas con Excel®........................................................
181
Resolución con calculadora flnanclera Hewlett Packard HP 12C ...
181
Rentas d iferídas......................................................................................
181
Rentas anticipadas e imposiciones.....................................................
183
Imposición de pagos vencidos................. .........................................
183
Imposiciones de pagos adelantados..................................................
185
Diferencia entre una renta anticipada y una imposición...............
186
Relaciones y categorías Importantes de las rentas.........................
187
Renta inmediata e imposición........................................................ ..
187
Diferencia entre las cuotas de una renta inmediata y una imposición.................................................... !...............................
187
Cuadro resumen del valor de las rentas temporarias....................
189
Rentas fraccionadas o asincrónicas..................................................
190
Análisis y gráficos de ias funciones de rentas.................................
191
Cálculo de la tasa implícita de una renta con intcrpolaci«'0 lineal.....................................................................................................
1‘H
Un ejemplo del mundo real: estimación de ia renta de |ul»ilación.............................
l«»7
Resumen.....................................................................................................
..
109
Preguntas..........................................................................................................
■%
Problemas........................................................................................................
JOU
Referencias bibliográficas..............................................................................
li\2
C apítuio 7
Reiítas Perpetuas v Rentas Variabues Introducción................................................................................................... 7.1,
-03
Rentas perpetuas......................................................................... ......
A
Renta inmediata de pagos vencidos.................................................
705
Aplicaciones de la renta perpetua: el modelo de los cli\idendos...........................................................................................
-OT
A
Ejemplo real: los ferrobonos argentinos............. ...................
^18
A
Las ganancias de capital no son importantes en el valor «le la perpetuidad............................................................ .................... Rendimientos de la inversión en acciones...................
A
- 11
A
Rentas diferidas.....................................................................
..■ i..!
^ A-r ■^H-^-il/'^ ÍÍJÜfe^’^ÍSSiS ^ IV■ivi'"'^t. in^iTfMiifrtiP^W ffaÉfl^ i^L#'^ 1^'" iV%iafr-;i-^a
\K<'U]
■;^;- ' ~- : :V'-■■■"" ^
^•
J
/ Héntasañlicipadas
211
Ifentas variables lemporaxias en progresión geoméirica......
2H
Uenta inmediata con pagos variables vencidos ..................... .
212
líenlas variables diferidas.... ....................— ......................... .
21 £
iíantas variables anrjcipadas íimposicidn)....... ......................... .
215
lientas variables perpetuas en progresión geométrica ................
21fi
iíemainmediaia, variable, de pagos vencidos.... ............ .
216
lienta variable d i f e r i d a __ ......
221
lienta variable anticipada..........
......
____...........
....... __ .................
221
1- 4. lientas variables temporarias en progresión aritmética ...............
221
lienta inmediata variable de pagos venados _____ _______ _
222
7
Uenta variable diferida---------------------- -------- -------------------- ...
224
Imposición ...........__ ______________ _________________ ....__...
224
*5. lientas variables perpeiuas en progresión ariimética Uenta variable inmediata de pagos vencidos Uenta variable d i f e r i d a Uenta variable anticipada
_......
225
.................
225
__ _____ __ ______ _—..............
225
__ _____________ _—
225
I sq tierna y fórmulas de remas perpetuas y variables
225
Hesuriien ................... ..................... ................... .... ______________ ____
227
i’iobit-nras
228
..... .............................. .
Íícferrnnasbihliopráficas..,.,..;....
_.................. .
>|jérii|iCfe ?A ' Como asimilar una renta variable a una renta de pi go^fijus: d ruétndo de la susiirución de variable.... ................. . Capítulo 8 . .■!
pBfsT.AMOs CON I ntereses sobre Salbo
íi b í istema riances .
.
............ ............................................2
l ónnülas más Utilizadas ...................... ................................. f ’uad ro de inarcha .
Método prospectivo-. —
......—
----------- ---- ------- --- ... —
------ -
í íétodo retrospectivo......-----—----------------- —.................,, Cálcnila riel sai do del préstamo en un período irregular...... ^llempo medio de reembolso ............— . I ondo amcrrizaníe ...........................------ --— ...
------ ...
230 231
‘
^
’
'
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' ‘ . - .‘'í ' ' ■ ' - y . ' . r i '' 'C ■ .
' - Kí u' '
Iníoieses periiJílicos.................................... .................— y.i. ,2íf¿r,
Intereses abonados emre períodos no eonsecurívo$,.:,^.^-:„.'„;'„'¡/.
24b
. -.i'-". '
Hesumen de fdrmuJas para ei sistema f r a n c é s ¿ ¿A ? El recálculo de la cuota del préstamo por l e f í n a n c i a o ó n ; 2 iif ' C o m o los bancos impufan las amortizaciones parciales y Evolución deí valor de ia cuota cuando aumenta el plazo d e La cuota del préstamo establecida com o un poreenraje d el ingreso m ensual............................... .—......... ..................... -
- : í-
X '
V^\A -
-
Efecio de pagos extraordinarios en el valor de la cuota: la cuota "balíocm"
v'«;. '
Efectos de Jos impuestos y los gastos erí la cuota y en el casto . del préstam o............................................................
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' • ' ' ‘í 'S 'V
WM&WMffy
Efecto de Jos gastos de oíorgamienio en el costo efecrivu deí
-~> ,
El costo financiero total del préstamo: castrtiel banco X5$*;,.v. w ..
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Caso de aplicación el coeficiente de estabilización dé refe^ renda iCUTiJ...................................................... ......................... .
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cálculo del saldo del préstamo ^
índexacidn en el sistema francés
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Inconvenientes que surgen con la indexación de préstanios
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8.2. Sistema alemán
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Fórmulas más utilizadas
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Amortización periódica
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Tasa de dmortizaclón en el sistema alemán
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Cuadro de m arciia............... ........... ..........-...... w»..,'..;.......i - ....... ........
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Cálculo del saldo del préstamo; métodos; prGSpeclívo’'y re trnspecuvo
■
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Intereses periódicos
V '- V r
'3 - 1
Cuota periódica........................................ ___________ . . . i . - . . . ' ' Intereses abonados entre períodos no consecutivos Resumen de fórmulas
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Com paración entre el sistem a de am oriizaeión francés y alemán....,
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Responsabilidad del presiam ísia en los sistem as francés y 0.3, Sistema americano.1«
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GulUER^^o López D umraüf
Sistema americano tradicional,,................. ............................
Pág. 269
Cuadro de marcha....................................... ........................................
270
Sisiejnn americano con consiiíución de Fondo de Amorti zación ................................. .......... .....................................................
270
Comparación de la cuota que se abona en el sistema ameri cano de las dos tasas con la cuota del sistema francés...............
270
Sistemas francés, alemán y americano; balance................
272
Preguntas ............................. ..............................................................
273
Problemas........................... ................................................................
273
272
Referencias bibliográficas.................................................................
275
Apéndice 8/' - Cosío financiero total del préstamo - Caso real,
276
Apéndice 81' - Efecto del IVA en la cuota.......................................
278
Capítulo 9 rilÉSTAMOS CON INTEOESES DIRECTOS Introducción..............................................................- ................................—
279
9.1. Préstamos con micieses directos................... ................................—
280
Tasa directa cargada................ ............. —-............... .......................—
280
'X2.
OI.Mencinn de la tasa sobre saldos a partir de la directa cargada r ............. ............................................ ....................................
281
Obicnclón ck la lasa directa a partir de la tasa sobre saldos........
281
l a í '-It íou rn lie r p i cuando se modifica el nünieio de pe n a d o s .................................................................. ...............................
202
lnio?<\sr'; ditrctos descontados.......................................... - ........ .
285
t ibtpncíón de t a partir de la lasa directa cargada........................ .
286
*^.3. Intereses promodindos..... ............................... ......— ......................
287
nela''ión entre la tasa de mteré.s promediados u y la tasa sobr e saldos i :...................................... ................. ..........................-
287
94
Intereses adelantados y amortización vencida
..................
289
9.5
F.1 costo íinan^ino de las distintas modalidades de préstamos.....
290
9.6. Otras modalidades de préstamos utiIÍzad«TS en la práctica...........
9.7
291
El pré^famo ron saldo utilizable....... .......................... ............... ..
291
Préstamos para acthddades específicas ....................... ..................
292
Los sistemas de préstamos y ei impacto en la rentabilidad deí r-apiial propio ........................................................................ .
292
‘í
___________________ CAljOJlO FwAHCfERQ AfUCADQ
>
•;í
.r % : Financiam iento con sistem as qüe calculan ín le re se s süb>e saldo ......................................................................... .
294
Financiamiento con intereses calculados directam ente so b íe el cap ital...................... ....... ................ ....... . 295 Efectos impositivos del tipo de financiamientó ............... .
297
Ranking del ahorro fiscal............... ............ ...................................... .
298
R esu m en............................................................................... ..............
299
Preguntas...................................................................................... ....................... .
299
Problem as..................................... ...............................................................
.
299
Introducción................ .......................... ............ .............. ..................................
.301
10. l.
La tasa de rendimiento contable........... ...... .............. ...........
302
10.2.
El período de recupero (payback)...... .............. H04 .
10.3.
Período de recupero descontado (discounted payback)____ .....
10.4.
El valor actual n e to ........ .......................................... ........
Referencias bibliográficas..........................................3oo
Capítulo 10
^
T écnicas de E vaduación de Proyectos de ¡m'^ERsióN .
306
Como debe interpretarse el VAN....................... ........................... ......
10.5.
¿Cuál es la tasa de interés que debe utilizarse para calcuh»r el VAN?.................................................................. ...i...... ............ .
’.io
La regla de! valor actual iieto: si el VAN es positivo............______
31j
Análisis de la función del VAN........ ....... ........... ...... ................. ......
M.2
El valor terminal en los proyectos de inversión .............................
Vi A
L.a lasa intema de retom o.----- ----------- --------- ... ..... ... ............
^tr<
La regla de decisión de la TIR .............. ...................... ...................
■
''
El supuesto de la reinversión de fondos................. . .............. . . Como calcular la TIR sin am da de calculadoras fin an cieras:.. . Proyectos "convencionales” o "sim ples”: cuando él VAN )’ la TIR coinciden....... .......................................... ................... Diferencias y analogías entre el VAN y la T IR ........ .—
■
10-6. El índice de rentabilidad o relación beneficio-costo ......... —
3! fl ’- l ó ‘3 2 1
.
^21
Regla de decisión del índice de r e n t a b i l i d a d *
222
10.7. Algunas com plicaciones en Jas técnicas de presupuesto de capital................ .............................................................................. -
223
I** inconveniente: proyectos mutuamenteexcluyente.s
.
323
ii
Loí>¿2 PuMRAUf
2'“ íncanvenienre; reinversión de fondos ................................— 3 " inconvenienre: proyectos de endeudamiento
10.8.
10.9.
► »
! I
—
Pig330
--------
330
4'* inconvenieme: la estruaura temporal de la tasa de interés ....
331
5“ inconveniente: TíR múltiples o ausencia de unaTIR.......... .
332
LaTfRm odiRcada............ ............................ ....................................
334
La reinversión de fondos---------- ---------- --------------------- -------
336
Otra forma de calcularlaTIR modificada ..................... ................
337
TIR modificada: ejemplo de aplicación con Excel®.......... ..........
337
¿LiTlR Modificada puede corregirlos errores de la TIR?...........
338
Proyectos con diferente vida: cuando la regla directa del V.LN puede fallar—______ __ _________________ _____________
340
£1 método de la anualidad equivalente____________________
342
lÜ.lO La "duration" en la evaluación de proyeaos-------------------------
343
Más acerca de proyectos con diferente tam año------------ --------
345
lü .ll Cálculo dcl V(\N y la TIR con flujos no periódicos-------------- —
346
10.12 Los proyectos sólo se aceptan sí son buenos proyectos.
^8
10.12 Í.OS proyectos, ía estrategia y la teoría de opciones------
349
Hesumen . ................... .............................................. .................... ....
350
Pregí mías
350
_____ ____________ :........................................
Pf obíemas........................... ..... ................... ............... .....................
352
»
Hefei encías bibliográficas.
356
i
Pági/ias ivcb recomendadas:.
357
I Cu’rruLO 11
I
Irniio&ucci^N A LAValuació.n y Cálculo DE R endimietíto de B onos
I
I I t »
t #
íntrodücción ... . . . ............. .— ............
359
11-1
Conceptos Fundamentales
360
Pagos de capital o principal .......
361
Valor residual............. ........... ..
362
Pagos de interés ----------- -—
363
Detalles en la construcción del flujo de fondos del b o n o ..........
365
Acerca de la forma de contar Jos días cuando e! servicio cae en un día no laborable—........................................................... .
366
Intereses corridos-------------- ----- ------------ --- ----- ---------
367
’
11.2.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ C á IC U K ;^ ^ ^ ^ > N C U : X ■ ( in . f U c > v t > M
’, .~
. . :
V aluación y cálcu io del rencJiíiíjcíiiiCf de la inver&k>ii e ii Valuadán de un bono con pago del principal al final
Mtí
Medidas de rendimientos de la inversión en bonos..*,.........,.,... • r-itiM Concepto de rendimiento al vencimiento (Yield to M au in ly j.....
370
Rendimiento corriente feurrení yíeld) ................... ...... ......... ........3 :1 Ganancias de capital (capital gain yieldj y rendimiento total e sp erad o .................... ....... ..... ................................................. 3V'J~ Rendiniienro total esperado (TIR )........................................ 3 7 1 Consideraciones impositivas......................... .......... ....
37:1
Evolución del precio del bono hasta su v e n c i m i e n t o 374
11.3.
E! rendimiento cuando el bono tiene una opción de rescate anticipado (cad feaiure)......... *...............................7:.....,..,-.^........
37S
Valuación de Obligaciones compradas entre períodos in ter medios .......................................... ....... .................. ........ ........................
3? o
. V'aluación de un bono adquirido entre dos períodos de rema El criterio de la reinversión de los cupones a una tasa "segura’’ ..
!i7'7 3. n
La función "TIR no periódica"........................................ ......... .
11.4.
E)em|>los reales, cálculo ele rendimiento de bonos argeniinos ..
{uü
E|empío reales costo efectivo de financiarse co n ohligacitínes negociables...................................... ................... ................ .
.3ííj
Riesgos asociados a la inversión en b on os............................. .
3H-í
Riesgo de la tasa de Ín te re s................................................... ........ ....
3»i i
Riesgu de reinversión ......................... ....... ........... ...........— Ríesgcib de los bonos con op ciones............................... ,
... .......
3? 7
Riesgo de re:>caie anticipado................................ ....... . ..................
S h-í
Riesgo de inflación......................... ....... .......................... ..... 33c Riesgo de devaluación........................................... ......... ....... . Riesgo de default....................................... .............-............................. 11.5.
3
Riesgo de liquidez................................................... .-..7,......... ..........
3t'7
Riesgo soberano, riesgo país y nesgo de crédito........................ .
33"
Factores que influyen en el riesgo país ............................ .
33b
Cálculo de la stripped yield ........ .............. ................... ......... 3ltÜ El riesgo país y su relación con otras variables e indicadores econdrnícos ........................... ................. .......... ........... . 11-6.
Las Obligaciones Negociables y la calificación del riesgo de crédito ............... .......................... ................................ .......... 3y2
370
C i ’utrPM o LórF7 D ump.auf
Fág. 393
I ?
Cnlificactón de obligaciones negociables en la República 394 395
Preguntas.
395 396
f i i
399 Apéndice 11 A ■ Capitalización del descuento y amortización de la pnnia.................................................................... ............................
.í 400
Capítulo 12 VoiATíUDAD DE TmjLOS CON RENTA FllA 401 402 El riesgo piecio lasa de interés....... .................... ..........................
403
Hi'»nipio dei plazo de vencimiento...... ............. ................ — .....
404
Eicmplo [jara el tamaño del cupón........................ ......-........
405
Ejemplo para la rreciiencia dei cupón...........................................
405
la Ouiatíon (duración) d»’ un bono ........................................ ......
407
Factores que afectan la duralion de un b o n o ................. - .....— Durntion modificada...................................... —.......................... —
409
Derr ací'in matcmaíírn de la ))i raiion V la Dnration M e dí (irada.. ....... .......................................................... .......- ...........
412
'’ igniricaihi'i- ilc Ja duralion.......................- ................. -.................. fp- U' niiralioii v la Duration Mudíficada ron Encfl' ? ....
414
C'^Mdno'í nii iji 'fIR exigida no afect-an en forma simétrica al pierio del bono........................................................... .......... •*'Comexiry...... ................................................... —-................ ..........
12
"408
413
416 417
Factere-s que afectan a la Cnnvexir\' — ....................... ..................
419
Derivadrjn matemática de In Convexity........................................
419
UlUlzarión de la dnration y la convexiiy en el análisis fi nanciero .................................................................... ..................
420
Inmunización He una cmlcra de bonos
421
Inmunización y Dnration........ .
423
................ ................. - ........... ————
425
12 .1 La es tructura ternporal de la tasa de interés — ........................... -
427
IrinuMiización y convexit)'...............................—
C A icm o F ^ N A K C r c R Q Á r . ii> D iE > o
Pág.
.
a
Los bonos cuptín cero y ias tasas de interés corrien tes y
. : '
.427 M étodos para obtener las tasas de interés c o r iie n ie s : bootstrapping ......... ................................................ .
429
¿Por qué es importante la estructura temporal de la tasa »le
• ..'J
■ 431
La curva de rendimientos y el arbitraje...............— .............. Regularidades empíricas en la estructura temporal de la tasa de interés ................... ...................................................... . . v.
434
Teorías sobre la estructura temporal de la lasa de interés^.......
435
La estructura temporal de la tasa de interés en la Repubíi:a Aigentína................................. ....................................... ............... Resum en..................... ....... ................... .............................................. ........
• 438
Preguntas....................... ......... ................................................ .
439
Problemas.............................................................. ....... ...... ....... .................. ..
439
Referenciasbibliograficas............................ .........................................
441.
Apéndice 12A - Inmunización de un portafolio de bonos con Bod'-n 2005 y Doden 2013.................................................................................
T foría de OraoNE.^ Introducción .................................................................... .
...
Resultado de las opciones de comjira 13.2.
-L45
Principales tipos de opciones ________ __ ______ ............... . . . 44i> Opciones de v e n ia ___ ___ _____ __________ _
. ...
44^
...................
44«
Factores que determinan el precio de una opción El precio de la acció n ........................................... .............. 433 El precio de ejercicio............... ..................... ......... . .................
153
La volatilidad..................................... ....... .......... ............................... ; El tiempo de vnda de la opción ....................... .............453 La tasa de imerés libre de riesgo.... ....... .......Vi......................... ... 13.3.
"I
■
•.
^^
j
* v d |j gm-
C apitulo 13
13.1.
0
433
453
Los dividendos................ ....... ........ ....................... ....................... ..
is-i
Ejercicio de la opción antes de su vencimiento
....
455
Opciones de compra que no distribuyen dnridendos*...............
455
Opciones de venta que no distribuyen dividendos
457
El efecto de los dividendos
45H
C iM L it a M O L o p fzD u M R A U f
Pág.
13
13 5.
4
La pariv-iad pul-cali en las opciones europeas............................. .
45Ü
Linnies inferior y superior para el valor de las opciones que no dísifibiiyen dividendos.................................................... ...... .
460
Valuación de opciones con el método binomial......................
464
¿Oué es un mundo neutral al riesgo?................ ............................
468
El atajo de las probabilidades neutras ponderadas....................
*169
471
Diferencias entre la valuación de la opción americana y la opción eu rop ea................
474
Delta o Coeficiente de cobertura: un aviso de cuidado ...............
474
Valuación de opciones con el modelo de Black-Scholes; la formula que ganó el premio N obel........................— .......... .......
476
Supuestos del modelo Black-Scholes...........................................
478
Hjeniplo una op ción de com pra sobre las acciones de Acindai .........................
479
Convergencia del método biiioiniaí a Black-Scholes..................
480
Re:»umen ........................
484
Preguntas............................... ...... ............................................... ................... ,
484
Problemas,....................
484
hefeiencias bibliográficas..................................................
486
Apéndice 13 A - M ontaje de un árbol binomial en una planilla «le n ró n ica ...........................
487
C ai>[TUUj 14 IríTitonncciON a i as O pciones Reales íiurOiiucción ..................................................... ..............................................
489
ínircducción: las opciones en las finanzas corporativas........................
490
14 1.
Valuación de una opción de díferimienio de la inversión inicial .....
491
Primer paso* Calculamos el valor presente sin flexibilidad.......
492
Segundo paso: diseño y análisis del árbol de decisión........... .
494
UsarelV.AN más la técnica DTAvdola la ley de! precio único......
495
Tercer paso: valuación de la opción real con los métodos del ponafolio replicado y neutralidad ante el riesgo..............
496
La técn ica del VAN no valúa correctam ente la opción de diferir............... ...........
499
11.2. Diferencias fundamentales entre los métodos VAN y ROA .........
499
_ _ _ _ _ _ _ _ _
C a l C . iJ I O rin A r jC IfK D A lM lV lK ) _ _ _ _ _ _ _ _ ._ _
■ A A >¡ t:
Obtención ele las lasa» a;usiaclas ai riesgo
*iH''
Inexisiencia de activo negücíado ÍMarketed Asser Disdai/ner)
14.3.
. íiíM.i
Portafolio replicado con los retornos del proyecto,....../--.- ......
Sol
Método de v'aluación suponiendo neiilraljdad ante e! nesgo ...
fíiií
O pciones clasicas; expansión, contracción y abandono de la actividad ............ ............... .......................... ............... .
S«ni
Valuación de la opcion de expansión
S04
Valuación de la opción de abandono
.......... .......
SoT
Valuación de la opción de co n tra e r......... .................. ............ 5on
M.4.
Valuación de la opción com bin ad a............. ................................ .
5) I
Valor de la opción de expansión cuando se pagan dividendos ...
S i4
Revisión del VAN y las técnicas de valuación de op cion es reales.......................... .................................................... .........................
f/17
Tasas ajustadas al nesgo (TAR).................................... .......... ......... ., 6 l7 Probabilidades objetiva.^ y probabilidades hedge ...................... Diferencias entre opciones reales y opciones financieras ....... . Resurnen ............................................... ....................... ................. .............
.ií‘i ^IH *>,.'0
Preguntas.................. . ......... ...... .................. .......................... ....... . ..........- ; Problemas ................. .................... ................................... ...................— Referencias bibliográncas.—.................... .............................................
-' -I V. t
Apéndice A - Caso real en la industria de la construcción' "flo rízonte" ............................................................................ ................................. Apéndice B - Caso real en la industria de la consrruccíón; “C í n ' ' * > w " ' .-Apéndice C - Caso real en la ind u stria a g ro -b io tecn o lcig ica : ‘Agrogen" ........................... ................................................................ Apéndice D - Caso real en telecomunicaciones; "T e ln et"........ .
TyiV 'ó
C apítulo 15 E l C osto de C apital Introducción...................................... ................. .................. ............531 15.1.
¿Qué ren d im ien to debe reco m p en sarn o s una inv^ersión 'Tiesgosa"........................................... ............................. ........ ....... -.....
532
El rendimiento que podemos obtener en una alternativa de nesgo sim ilar............. .............. ........... ....... .....................................
.533
El riesgo de negocio................................ ........................... ...... El riesgo financiero........... ......... ........................ ........ ..... .
5J4 .
f>34
'jU lL L E P M O Ix 'r r ? .f . ^ U M P A U E
l'i
........... ......... ...................
Pág WS
El proceso de esiirnacion del cosio del capiial de las acciones en in [irát tica..................... *.................................................. ...............
*i39
Ln lasa libre de riesgo........................................................................
‘>40
E! capiU'J asseí pricItiR model ICAPM'
I" 4
/lasas de c«no o larg'' pla?o?...........................................................
15.5
i55
Her*)incndaciones de algunas consultoras.............. .............. ....
.M4
Una solución de compromiso...........................................................
544
Le prima por riesgo de mercado......................................................
546
Al guiñemos a favor de incluir el promedio aritm élico...............
546
Argumentos a favor de incluir el promedio geométrico.............
546
Piirnn de riesgo de mercado impiícita fimplied equity risk picmmnl ..........................................................................................
546
l’niiKisde meicado lócales no representativas............................
548
¿Qué har'Mi los consultores en laArgcnlina?.............. ..................
548
R^roinendacione*: de algunas consultoras.............................. .....
549
El coeficienie b e ta ..............................................................................
549
liiiei valo.': de medición .....................................................................
i5 7
C.ile iiki del líela con Excclif*................. ........... ..............................
550
Ln técnica dcl beta comparable........................................................
551
Ali<"i iinti' a.s al hela comparable-betas contables .......................
552
r>imn poinesgo peiís........ ..............................................- ..............
553
liu «iipnrarión dcl riesgo país en la lasa drsruento .....................
553
lin.iM|>('rncioii dcl nesgo país en el flujo de efectivo, con •’scenanos de piobabilidad ponderada................ ...... ...........
555
^Riesgo |iais en la lasa o en tos flujos de efectivo? ......................
558
'"'S
El rosin de la deuda ............................................ ..............................
559
l '9
El WArC \ la estructura de capital... ......... ....................... ..........
5G0
10 Caso leal estimación del costo decapita] de GNX.............. —
561
FI roclo de rnjiital en empresas con acciones sin cotización pública: ¿se. encontrará una solución?........................................
563
15
rtesMinen .................... ...................................................................................
563
Preruiilns
564
. ............................................................. ............................. ..
Problemas .. ..................................................................................................
564
Referenci?^ iubliogiáfiras ............................................................................
566
i
C alculo [
i
Pag Apéndice A
«
Respuestas a las P reguntas y los P robleí-ias DE LOS C apítulos
0 0 0 0
Capítulo 2- Interés sim ple..............
T69
Respuestas a las preguntas....
"169
Resolución de los problemas .
".70
Capítulo 3; Interés com p u esto...... Respuestas a las preguntas.....
=i70
Resolución de los problem as.
576
0 0 0
580 5R0
Capítulo 5: Indices y coeficientes de ajuste.
590 500 59!
Capítulo 6. Rentas tem porarias...................
591
Respuestas a las preguntas........... .......
501 r,qn
npsolüción de los problemas ............... Capítulo 7: Rentas perpetuas y variables ..
50H 598 598
Respuestas a las preguntas...........................................................
6''2 f;n_
Resolución de los problem as.................. — .............. .............
•03
Capítulo 9; Préstamos con intereses d irecto s.................................
r,ny
Respuestas a las preguntas...........................................................
»,1»Q
Resolución de los problem as.......................................................
MO
Capítulo 10; Técnicas de Evaluación de Proyectos de Inversión
51 1 hl i 5j : 018 OIR
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623 62?
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< a p itu lo L í Im to d u c c io n a ívis t» p c io n e s ............... ........v..................... . nci-p vu 'stas. a las [X fg u n f as ------- --
P ís o iL ic ió n de los p io b ie in a s ................................... ....... ........ — ............ C a p tru lí)
14
6^7
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in n o d iic c u in a las o p c io n e s re a le s ................... ......... ........... 6d l
H e s p u e s ta s a la.s p r e g u n ia s .........— .....................— ................ ........ ......... H e s o lu d ó n d e lo s p r o b le m a s ...................... ........................... .................. ..
i .a p itu ío 15. El c o s to
d e l C a p iia i ............. .— ......................... .......... ............... ..
H e s p u e s ra s a las p r e g u n ta s ............. ...................... ..................... ..................... R e s o lu c io n e s d e lo s p r o b le m a s ........................ ..................................... — .
631 632 635 6.35 636
Apéndice B FORMUL^vS M.'ts U tiuzadas de la M atenlí\tio \ F inanciera Capitulo 2: Interés simple.............................................................. ..............
639
Monto y lorrnuias derivadas............. ................ ................. ....... ........
639
Valor actual con tasa de interés ............................................................
639
Valor actual con tasa de descuento ........... ............................. ............
640
Capítulo 3: Interés com puesto............................. .......................................
640
Monto y fórmulas derivadas ............. ............................. .....................
640
Valor actual con tasa de descuento................... ............................ .
540
Capitulo 4: Tasas de Interés................................ ............................ ............
640
Tasas de Interés vencidas, Equivalencias..........................................
641
T.isas de descticnlo. Equivalencias..................... ......... ......................
641
Capítulo 6. Rentas lem poraiias...................................................................
541
Renta temporaria inmediata de pagos vencidos..............................
641
Renta temporaria inmediata de pagos adelantados................... .
641
Renta diferida — ............. .......................................................... .......
642
Imposición de pagos vencidos........................................ ...................
642
Imposición de pagos adelantados.....................................................
642
Capítulo 7, Rentas perpetuas y rentas variables ............................... .......
642
a) Rentas perpetuas con cuotas constantes.......................................
642
b) Con cuotas variables..................................................... ..................
642
Capítulo 8. Sistemas de amortización de préstamos...............................
643
Valor del préstam o.............................. .............................................. .
643
Nüíiiero de períodos
........ .
. ............................. -
Saidu del préstamo al final de un período Sistema a le m á n ......... ............... .................................... ArÉNPiCEC Revnsidn de álgebra...................................... ..................... í ...v.. v-í ......— . Rei.asidM de operaciones con números reales .............. Factor com ú n ................................ Pasaje de térm inos........ .......... ... Común denom inador----- -------Disiributiva.............................. Radicación .................................... Operaciones con "infinito” ......... Logaritmos ................. ........ .
......
Progresiones................. ......... ...... Progresiones aritméticas.............. Tabla de derivadas usuale.s ......
..........
- v
m ..
Capitulo I
I ntroducción
ai
C álculo F inanciero
m ,
“Atofaioíífl tener buen ingen io; lo principal ' es aplica rio bien". \ RenéDescartes 1596-IfeSO Filósofa y matemático francés
T I.
¿Pon QUÉ DEBEMOS SABER CALCULO FjNANaERO?
¿Nos cam bia la vida saber m atem ática financiera? Por caso, ¿es que rio* haremos señoras y señores ricos aJ conocer todos los secretos de la* pro porciones? La fortuna no es algo que necesariam ente provenga de un co n o cim iento m atem ático o de una ínleligencia superior. Muchas veces esta emparentada con el talento para los negocios, sin que esto signifique ha* ber desarrollado una gran destreza m atem ática. Aún así, hay poderosas razones para que conozcamos las herraiTiientas ftindamentales del cálculo financiero o m atem ática financiera (l) La mayoría debería estar de acuerdo en que debemos tener un plan financie ro para ciertas metas en nuestra vida: com prar una vivienda, garantizar la educación de nuestros hijos y el retiro personal se cuentan entre las más importantes. De hecho, todas las personas cuando comienzan su vida pro fesional deberían tener un claro pían financiero con metas definidas; esto los obligaría a actuar en consecuencia y a planificar y ahorrar desde tem prano, Caso contrario, en el futuro leerían que esas metas son cada vez más difíciles de lograr y que tendrán que trabajar más tiempo para conse guirlas. La etapa de mayor productividad del individuo suele darse cu an do la vida profesional está avanzada. En g en era l los individuos suelen gastar más por encim a de su ingreso en la juventud {desahorran, viváendo gracias a "donaciones" que les hacen sus padres) ahorran en la etapa de la mayor productividad (comprando activos) y suelen volver a desaliorrar en
fl) Cálculo Financiero y Matemática Financiera son exactamente lo mismo.Bi general, en la mayoría de los países de habla hispana utilizan el segundó término. Ert Argentina, pnncipairneme en las carreras de grado, también se utiliza Cálculo Financiero.
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C utU ER A iO l OPEZ D UM PJilJf
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ios úliirnos años dé la vida, cuando (os ingresos bajan y loa mayores gastos de la vejez hacen que el consumo vireiva a superar ei ingreso (2). La figura L1 nos dice que debemos preparamos en la etapa del ahorro para « ontar con recursos cuando comienza la vida pasiva. Realizar una buena estimación sobre los recursos con ios cuales contaremos en el ftnuro requiere del uso de la matemática financiera. tagnamMtoimg» aaliMda Bmati*
tfnahoott
3
Figura 1.1Ingreso yconsumo a lolargo de la vida Por otra pane, saber m atem ática ayuda a mejorar las decisiones finan cieras Mejorar las decisiones financieras es, en última instancia, mejorar la asi^rnacidn de recursos, con lo cual toda la sociedad sale ganando. Por ejemplo, imagine que Usted debe elegir entre dos métodos alternativos de producción que conducen a diferentes costos, ingresos y vida útil de los equipos involucrados. Seleccionar la m ejor inversión conduce a un mayor ingreso para distribuir entre los propietarios y esto luego se refleja en un mayoi consumo, mejorando a la econom ía como un todo.
1$ 1.2. El. VALORTIEMPODELDINERO
1>
En las op eraciones finuncíeras siempre hay presente tres elementos: ti capital, el uem pó de la operación y la tasa de interés ¿Como es que el tiem po tiene valor? El tiempo siempre tiene valor pues si hoy coniarnos con $) tenem os la oportunidad de colocarlo a interés por un año, al cabo del cu.il tendremos el peso inicial más el interés ganada: '3
Hoy Si
t arto
1+1
Figura 1.2Valor futuro de unpesocolocado a interés (2) Ia figura t. 1muesaa loqueFranco ModigUaniyAtbenAndo, denominaronia“hipó tesis dei ciclo víur que alude a ia forma en que evoluciona el ingresoyel gasto de un individtiü a lo largo de la \ iJa y q u e puede encontrarse en casi todos tos textos universitarios de
.1 »
ií n %
m^roetvnomia.
(líTROnííCaON At C a ICIHO f l NANCl f Hn
De la misma forma, un peso del futuro vale menos en el preserue. Su pongamos que tenem os a cobrar un peso dentro de un año, p ero {jueit:inos tener el dinero inm ediatam ente. Su disponibilidad inm ediata tendrá un precio, que es el descuento: recibiremos solam ente el valor a ctu a l del peso futuro: 1 afío
Hoy
SI (1 + »
Figura 1.3 Valar presente de un peso fuiu/o En el efemplo anterior sólo había un período en la operación. El valor tiem po del dinero a veces nos da sorpresas, especialm ente cu a n d o liJj" capitalización com puesta de intereses, im agine que a usted le han p r e s a do un peso hoy a una lasa del veinte por ciento anual. Dentro d e 5 años, usted debería casi dos veces y m edía el capital inicial!! La figura 1.4 m ues tra la evolución de un peso a lo largo de 5 años, con capitalización de inte reses para cada año: Moy SI
1.20
2 aflos
3 aAos
1,4 4
1.73
SaAos 2.07
2.5
Figura } 4 Evolución de un peso en 5 años Una pintoresca leyenda acerca de la fuerza del interés com puesto e:> la que nos cuenta sobre la vida de Herrj' Creen n a 3 4 -]9 1 6 ). también cdiha ida com o "1.a bru)a de Wall Street", la m ujer que desafió loa piecoiu'ept.is acerca de la incapacidad de las m ujeres para trabajar y tomar decisíuiu-s en el mundo de las finanzas. Cuenta la historia que Hetty Greeti rean m com o herencia de su padre un millón de dólares y centuplico su vjioi al cabo de 50 años. La filosofía que Creen utilizaba para tomar sus declsiuJM-^ puede ser resumida en sus propias palabras: "Ib n o creo m u c h o en Itis accion es. N u n ca co m p ro a ccio n es tle em prcsiH industríales La con strucción d e in m u eb les y ca m in o s spu Uts cosas epic m e ;gustan. Antes d e d ecid ir u n a inversión p ro cu ro to d a la in form ación y o stld c acerca d e l negocio. No Iioy secretos p a ra h a c e r u n a fo rtu n a . Toda h q u e u s ted d e b e h a c e r es co m p ra r b a ra to y lu ego v en d er m ds caro, acu u m d o rdctun a h n en te y ser persisren íe" ¿Qué podem os aprender de Heiry Creen? Primero, está claro que no era una especuladora. Hetty Creen no buscaba los rendimientos de como plazo. En cambio, Invertía conservadorainente en busca de los rendimien tos de largo plazo. Aunque no se sabe con certeza cuál fue el m o m o ile la riqueza que acumuló a la fecha de su fallecimiento, se dice que su m illón
GuiafRAJOLortz DuMn.M.if heredado se convirtió en casi JOO millones 5] años después. Debemos j>ercatanios que esto puede alcanzarse con una (asa ligeramente superior al 9.5% anual a interés compuesto como puede verse en la figura 1.5. (3) Los beneficios del interés compuesto requieren un horizonte de largo pla zo. El punto clave es que el valor de un capital fijo se incrementa con el paso del tiempo (4).
Monto
F ijara 1 S Evntudñn de I millón al 9.6% anual compue5(o
ella supo uulízai d interés compuesto y aprovechar las oporMiniila/I»? Siempre prestó pero nunca se endeudó. En los momentos de pánico íínaufiero, cuando los precios de los títulos descienden. Herry Gieen siempre supo .sacar [rrnvecho, pues contaha cotr los e.xcedenies de caja ne cesarios. «Itf'en enlemlió que las oportunidades también requieren pre paración y planincncióii cuidadosa. Ella .sicmi'ie estuvo bien preparada. lercero. nunca consumió el capital. l.os "gole.s financieros" suelen hacercent siiiiH»'i'’MPs iiedr«e(iuilíbrio. Ella enlrnrdió que la moderación dd con'■.iMttn prescMir brinda ma3'orconsumo hit no
'. rrnr ro. i ueen prnhi» qite las tmtleres no son "finanripraiTi»>ni«»” inferiores .r) hombre, cuenta la leyemla. batallr» con Jos mejores hombres finan cieros y j»aiu» varias veces. Hoy vivimos un tiempo donde las oportunidades pnrnlnmujei en finanzas son mayores que antaño y esto es en parte gracias aotias “FleltyCreen". Diferencia entre el intet és y la tasa de interés Concepiualmente, b tasa de interés representa el precio d e la unidad de capilal en ¡a unidad de tiempo. En tal sentido, representa el precio por "alquí-
(3) Si el anual compuesto es una buenatosa derendimiento, tpdo depende deia inflaciónque Iluhoenesepedoda rrofundizvemos esietemaenel capitulo5, cuandotrate mos latasa de interósreal. Ni El imetd? compuesto tambiénpuedeexterminaral deudor. Sí hubiéramos recibido 1inilldn en préstamo, ynunca hubiéramosamontado capital opagadointereses, debería mos 100mtUnnesaJ cabode50años.
INTRODUCCION AL CÁLCULO fiNANCILRC»
lar" I peso de capital. Para los cálculos inatemá ticos, la tasa de in teréí siempre es expresada en tanto p o r uno. Por ejemplo, para una tasa de in terés del diez por ciento, sería: 0,10 (en lamo por uno) Multiplicando 0,10 x l= 0,10 En este ejemplo, la tasa de interés y el interés coinciden. Pero es sólo cuando el capital es igual a la unidad: para un capital cualquiera, por ejem plo C=900, entonces 0,10 x 900=90. El in lerés représenla el valor absoluto (el valoren “meLÓlico”) qu e /esului de m ultiplicar la tasa de interés p ar un capital. Recuerde que la tasa de interés siempre expresa un valor relativo mientras qué el Interés represrnia una magnitud absoluta, Ije tasa de interés aparece expresada simbólicamente también en tanto por ciento, generalmente cuando es publicitada en ia.s pizarras de lo- bancos (por ejemplo, podemos verque los baticos publiciian las tasas de interés para los depósitos a plazo fijo como 1% para 30 días, etc.). Diferencia entre incremento porcentual y cantidad de veces en une ciece un capital .. A veces se confunde el porcentaje de rendimiento con la cai‘lid;'M de veces en que crece un capital o un índice de jirecios. La tabla 1.1 adair. la diferencia. Mientras que un Incremento del 100% e.s igual a 2 ver«s dr in cremento en el capital, 1.000% es igual a 10 veces y un incremento de 4.9'‘n% es igual a 49 veces;
Capital al inicio Capital al final
Incremento en porcentaje
200
100%
too
1.000
100
5.000
900% 4.900%
too
lncretpcrio en cantidad tic veces 2 iO 49
la b ia I.| in crem enioporcenlual ein rrenien to medido en cantidad deve< «s
Es fácil verque 1.000 es igual a lOO veces diez; sin embargo, para calcular el porcentaje de Incremento, la cuenta clásica es 1.000/100 - 1, y luego mul tiplicamos este resultado por 100 para obtener el porcentaje de íik remento. Del mismo modo, si un bien subió su precio 10 veces en un año, podemos decir que su precio se incrementó en un 900%. En el capítulo 2. cuandn tratemos el interés simple, aclararemos perfectamente el por qué de este cálculo.
Cjuíllermo López Du^1R.^uf
1
Tasas de interés, activas y pasivas
>
Es común que en la terminología bancada se hable de tasas de interés “activas* y “pasivas*. La tasa de interés activa es aquella que cobra una ínsiitucidri financiera por los préstamos que otorga. Recibe el nombre de "activa" pues los préstamos constituyen el activo de una institución financiera.
m i
La tasa de interés pasiva es aquella que una insUnidón financiera abona por los depósitos. Recibe el nombre de tasa de interés “pasiva" por represeniai los depósitos el pasivo de las entidades financieras. La diferencia entre las dos lasas constituye el denominado "sprend” de la entidad finan ciera con el cual luego debe cubrir los costos de operación y obtener una ganancia.
■’l »
Componentes de la tasa de interés Cf.nceptuaJtnenle. la tasa de interés siempre tiene 3 componentes:
3
ií
• I a inflación; a mayor inflación, mayor tasa de interés, pues los deposi tantes exigen mantener el poder adquisitivo de su dinero (5). • f 1valor del tiempo o interés "puro", que está asociado al concepto de t.isa d»! interés real que veremos en el capitulo 4. Por ahora, diremos que el iiiteré;. “puro" representa el verdadero valor del tiempo. •t i riesgo: a mayor riesgo, mayor debe ser la tasa de interés. Si vamos a invertir en un aciívu riesgoso, demandamos un mayor premio a cambio para compensar el riesgo asumido. Ese premio veremos que se manifiesta en for ma de una mayor lasa de interés.
5 r.l costo riel capital en las economías emergentes
■3
3
3 3
En los textos tradicionales de cálculo financiero o matemática financief.t utilizados en cursos de grado, los dos primeros conceptos son estudiados y analizados en forma e.Kltaustiva El tratatnienin de! nesgo, en general, es reservado para los lexios ile finanzas corporativas Sin embargo, en mis cviisos de calculo financiero, yen particular en temas como la evaluación de proyei tos, pude apreciar la creciente demanda de los alumnos por apren der a eitimar el componente riesgo en la lasa de interés y estimar el costo de capital que debe utilizarse lmi un proyecto de inversión o en la valuación de uiiacompañía. F^or ser Cálculo FmancieroAplicado un texto también desti nado a estudiantes de posgrado y practicantes de las finanzas, le dedicamos un traiamiento especial a este tema en el capítulo 15, donde se aborda la femaií ja del costo de capital y se describen los modelos tradicionales como el CAPfvl. Adícionalinenie. por se un lema de extrema importancia, se descri-
3 ^ 3 .:3
3
Í5) i)el otro lado, podría decirse quelas empresas que aumaicaionsus preaos estarían et>condicione» üe pagar tasas másatlas.
ÍNTKODUCCION Al C aiCULO FuíaNCHUO btín las adapiacíones que en la práctica de la cunsultoría financiera suden realizarse a dichos modelos para su uso en economías em ergentes y [nua empresas cuyas acciones no tienen oferta pública. Rentas y valuación de flujos de efectivo En la vida real, hay muchas situaciones y contratos que involucran c o rrientes de pagos a Intervalos de tiempo más o menos equidisianies. f n cálculo financiero, estas corrientes de pago reciben el nombre d e '•rentas". Por ejemplo, las cuotas de los préstamos, los flujos de caja de un proyecio de inversión. las cuotas de un plan de ahorro y muchos otros casos Dehido a que los flujos de caja se producen en momentos diferentes de tiem po, son diferentes en valor: si por ejem plo queremos saber cuánto valen hoy lü pagos fijos de $100 mensuales, no podemos sumarlos sim plem ente, pues estaríamos sumando peras con manzanas. Como vimos ames, $ 1,20 deniio de un año son equivalentes a $ 1 de hoy cuando la tasa 9e interés es igual di 20% anual. Cuando tenem os varios flujos de caja, debemos convenir todos los flujos que ocurren en diferentes m omentos de tiempo a un punto de tiempo com ún, que podría ser el año 0, el año 2, el año 5. etcétera. El pumo clave es que lodos los cash flows deben ser “d escontad os" (6) {para expresarlos en valor presente) o capitalizados (para expresarlos en valur futuro) a un punto com ún de referencia en el tiempo. Estos temas son [rala das en varios capítulos del libro, pero específicam ente en los capítulos 6 y 7, destinados a rentas. Reglas para llegar a buen puerio Recomendamos tres reglas que deben seguirse para garantizar un saiislaciorio uso del cálculo financiero. 1. Recordar que el tiempo tiene valor. Siempre un peso de lu»y vale rusa que un peso del futuro. 2. El signo igual (=). En muchas operaciones com plejas a veces deiiento> razonar ecuaciones que implican igualdades. Este punto parece ser pero Insisiimos en que debemos cerciorarnos que se verifica la igualdad ciiai itlo Igualamos dos míenrbrosen una ecuación. En particular, |ienaar”en leinú nos de signo igual" puede ser útil cuando trabajamos con polinomius Ciui varios dalos. 3. Saber "moverse" en el eje de tiempo: cuando valuamos una corriente de pagos; a menudo querremos valuarla en diferentes momentos Por eicmplu, querremos saber cuánto vale hoy una corriente de ingresos en un proyei lo de Inversión o querremos saber cuánto vale en el futuro lus aportes que hacemos a un fondo de pensión
(6) Enel CbiiCextoesiricio de cálculo rinancierose le asigna al concepto de"desaicni»* un significado diferente. Esta cuesiidn es aclarada enel capimiu 1.
1 » .
G uiiurmo Loftz DuMPAur Conforme avancemos en la materia» una mgla mas se hará presente: ini f'csrycon ri€ s g o j\^ lc m e n o s q u c u n p c s o a in nesgo.
l.B . rANOlUT.nc\ DE US APíJCAaONES DEL O^LCUl.O FlT')ANaERO ni metHoambiente del cálculo finandeTo por evcelencia es el mercado de capiiales: cUariamente sus operadores utili::an diversas fdrmulas para calcu lar tasas de interés» comparar rendimientos de operaciones, e\^luar posibili dades de arbitraje, calcular rendimientos de bonos o de portafolios, etcétera. También es muy uiilisado por los analistas bancarios, que si bien al trabajar con irmdias operaciones ^.siandariiado.s como es el caso de los préstam csy reajrrir a un proíjrama de computación pam el cálculo de las \'ariables. debenan lenerun conodm ienlo del trasfondo de dichas operaciones. Las empresas lo utilizan para el cálculo de la rentabilidad deunproyect*'de inversión, paraet*alua.rel m sto d e capital y pan? muchas operaciones similares a las que mencionamos en los párrafos anteriores. Por último, el rdlrtjin finannero es utUizado a nivel doméstico, cuando comparamos la jenT^biliíiad de un plazo fijo con la que ofrece un bono o una letra de corto plazo de? r:''b»ejT?o. o cuando e'.’aluamos el c o s to de un préstamo, la cuota '’pje chorar. Y muchas otras oper5cipnes- La figura 1.6 muestra lo? comparados de las Lebac (Letras del Banco Central) y los piaron }«ir*rajías en, un periodo de 1i días, observado en el añn 20í?2fn casi eí pprit>*?o. las Lebacs ofreaan rendimientos superiores: l«b
«■«^1 - r?c í
J f -r> ( OU
Fi^ifr» IJ! CnmpYrarÉrafaü5 lebstcs f pl«wir¡n 3 MdÍ35 - Fo
ínrerK, comparaciones de rendimientos deactívos financieros y descripción deoperací^mc.'í cotidianas en la vida reaL
í.a m fiadón destruye el valor de la moneda Otda vezqiie la ínnaefón aparece, díslorsíona las comparaciones de rendiTbíenins y debemos apelar a técnicas que nos a>aidcn a "despeiar la niebla*'
In t r o d u c c i ó n a lC a l o j io F i n a n c i e r o
en orden a calcular los verdaderos rendirnletUos reales. La inflacídn en la Repüblica Argentina—un fenómenoque parece estar muerto en el mundo de la globaiizacid n— recru d eció fu ertem ente con el a b a n d o n o de la Convertibilidad monetaria y la devaluación del peso en enero de 2002. Como se obscn'a en la figura 1.7 los precios mayoristas subieron m ás Wel ino% desde entonces mientras que el IPC acumuló casi 55% desde la devaluación hasta d iciem bre de 2004. Este fenóm eno suele ocurrir lu eg o de las devaluaciones; los precios mayoristas trepan rápidamente debido a • íu carác ter de transables. es decir comerciables con el resto del mundo (7), mientras que los precios minoristas suelen subir más despacio en una primera etapa. En el largo plazo, los predos se equilibran. Esto presagia nuevos aumentos en el índice de precios al consumidor, aunque la convergencia se ha visto lentiiicada debido al congelamiento de tarifas de serxicios público? que apli có el Gobienio en ese mismo período.
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J.7Evolución preri^smayorisiasy minorisiis- Fuínte: INDEC
Los periodos de inllación aguda, fundamentalmente en la dé* adas del s*’ tenla y del ochenta, obligaron a cam biar varias t'eces la denoniinación del signo innneLaiin. quitándole ceros para poder facilitar lo.s cálculos en las iransardones. Solamente para que el lector tenga una idea, e»- la fnidg 1.2 aparecen las distintas denominaciones con sus equivalencias rt»s|»ecto de) peso actual, que rige desde el 1/1/92: Peso (l•t•92aí ynjgnlg)
Austral ÍIS-«^5« 31-t2-91)
Peso A/pertrnc ti-s-es 3M4Js-es)
Peso Ley ie.l8S |M-70ftr31*5-53>
P is e bloneO» fiadc’ial
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Qua 4 ceros al Oua3o!fcsal Ausral
Í4-1V1B94 ol2»*t2-t?5í*)
Vort»fifi ftK v n a í
Tabl&1.2 Cambios de denominacídnde la moneda argenrina yequívaJencL't!i
f7) Porejemplo.elcuefoesimbícnque al ser exportable, acompaña lnniedjpíam*“i»»<*<*l precio deIddUr. Nadie quierpvender cuero más barato en el país si tienda oporfiníOnrl de venderlo en el exterior obteniendo iin mejor precio. Esto hace que el precio del enero liirne' diatamentesuha para ubicarse en et precio de oportunidad.
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GlüUfKAÚ) Lt\CF2 D ukíRAUF
En todos los casos signiSco una “devaluación" de la moneda vieja frente a la nueva en casi un ciento por ciento. Como la inflación hace que los rendi mientos que ofrecen los activos financiéis pasen a sersólo "aparentes" en el capfi ulo 4 tratamos con detalle la tasa de interés real y cómo deben analizarse los rendimientos efectivos cuando existe inflación. préstamos Las familias suelen recurrir a! pre'stamo bancarío para la compra de propiedades, automóviles y las empresas lo hacen también en forma de préstamos comerciales para financiar inversiones en activos fijos y capital de trabajo. Las modalidades más extendidas son el sistema francés y el sis tema alemán, aunque algunos bancos han implementado líneas de crédito ■c|ue se adaptan a los ciclos del flujo de efectivo del cliente. En la figura 1.8 puede verse la composición de la cuora de un sistema francés en un prés tame por $40.000 a 120 meses, con una tasa nominal anual deJ 12%- Las primeras cuotas están compuestas básicamente por intereses, mientras que, en la.-i últimas la mayOrpanicipación corresponde a la devolución dei capi tal El sistema francés y todas jas otras modalidades serán tratados en el capúidoQ. ■ "
60
120
íBCapital KtInterés Vi^ura ) J Cpmposiciiifi de la cuota del sistcnna francés
, fl dular futuro y otros cDiiiraios de futuros L is conrratos de futuros permiten asegurar el valor de una mercancía t» una moneda Por ejemplo, un importádor puede querer asegurarse el valor de los dólares que tendrá que comprar para pagar una importación y puedí recurrir a estos mercados en búsqueda de una cobertura. También exisu^n contratos de futuros para otras mercancías; ya en 1909, como resulta do de la creciente demanda de un mercado a íémiino de cereales, nació Eíofex, que opera en la Bolsa de Comercio de Rosario. Desde 1992 comenzaron a operarse en el Mercado a Término de Rosario opcíc nes sobre futuros de granos y oleaginosas. En el año 2001 se comenzó a irabatar con productos financieros y hoy existen contratos de futuros para Iales . 0 mo el dólar, el euro y el real. Rofex hoy lidera el mercado de operacioiies de futuros financiéros de Argentina.
iNThODticctON Al C alculo FiN>,HcifRO
En 2002 fue diseñado el INDOL® que es un índice de tipo de cambio Peso-Ddiar a futuro desarrollado por Mercado de Valores de Buenos Aires ñ través de los contratos de futuros para el dólar, el Inversor puede asegurarse una cpilzacidn para la compra de dólares. La figura 1.9 muestra las cotizaciunes negociadas el 4 de Mayo de 2005 para cada fin de mes: 2.9S 2.B4 2.S3 Ui 3 2.92 M
J^2.93
A2,94 * 2.936
t. 2,945
A2.92
2.91
A2.91
2.9
^2,8963 (d«vd* n^Mwioi B(7M)
2,89 08/04/05
28/05/05
17/07/05
05/09/05
25/10/05 > 14/12AJ5
F i g u r a 1 .9 C o i i i a c i c í n d e l d i í l a r f u t u r o I N D O L ®
En el capítulo 5 se describen las características de un contrato de dolar futuro y el papel que juega ia lasa de interés para su estimación. Como se verá, la fijación del precio del dólar ftiiuro es un tema de valor tiempo tld dinero. 0(ru índice de dólar futuro es el DOM.AY, que es una plaza mayulista para la negociación de fuluros Peso-Dólar, desarrollado más recieiui men te por el Mercad o de Valores. r Tipo de cambio real Una de las variables económicas que más ha preocupado a los cíudjdanos argentinos en general, es la cotización de! dólar, fichido a ia iinji nación natural de preservar et poder adquisitivo del dinero, en peiiutJ.o (fe turbulencia económica los agentes económicos son deniandaaies ii<-tus de dólares, lo cual iia llevado la cotización de la dinsa exuanjera a m veles irracionales, como lo fueron el período de la hiperinflacion, tjulio luiidt y más recientemente los primeros seis meses de 20Ü2, Puesto que u cada incremento en el tipo de cambio nominal (devaluación de la moneda nacionai) ha seguido un incremento en los precios internos la pregunta es cual debería ser el tipo de cambio de equilibrio. Sí bien la respuesta a la preguma excede al tratamiento de un texto de cálculo financiero aplicado, lo cierto es que io que nos interesa medir con el tipo de cambio reales el poderatiqiiísi* tivodeja moneda extranjera, y por añadidura, la competitividad inteniaciunai de nuestros bienes. La figura 1.10 muestra el tipo de cambio real caiaii jiiu con base Diciembre 2001=1 donde se pueden observar algunos perítidua de furbuJencía cambiaría seguidos de cierta estabilidad en el tipo de caoii»io nominal que llevó al atraso del tipo de cambio real por vía del incrememu ók los precios internos. La expectativa, luego del aumento de! tipo deCaiubi.»
G uillermo López D umrauf real, es una lenta apreciación del peso frente al dólar en los próximos años. El índice para elaborar el tipo de cambio real es tratado en el capítulo 5.
Figura MO Fvolucióndel tipodecambioreal enero 19n0/mayoZOOS. Base: Piciembrc 2(101 Fiienin; Ehliotación propiaenbaseadatos de EconomaticayMinisteriode Econom/a. r.l riesgo país Oin» dt* los indicadores muy seguidos por los inversores e s el famoso "riesgo que elabora la consultora J. P. Morgan. Este indicador es deno minado E M B I plus (Emerging Markets Bond Index) y será descrito con tnás detalle en el capítulo 5. Conceptuaimente, el riesgo país se define como la diferencia dp rendimientos que debe pagar el bono de un estado soberano por 'íii (iomh. púldicn con respecto a la tasa de interés que promete un bono (le la le so torta de Estados Unidos, que se considera un instrumento de deuda libre de riesgo. Siempre se ha asumido que los bonos del tesoro norteameri cano (T-l'ond) rcpie.sentan un rendimiento libre de riesgo. La figura 1.11 (iesrfilip 1« f ' Mluri(>n del riesgo pais argentino dpsd(’ que se In registra hasta line-s de
p aís"
Figura l.l l F.voUidóndel riesgopaísArgentino 1981-2004 Fuente: elahoraddn propia enbii.soadnto.<íde IPMorgan
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IfVTRODUCClOH al CALCULO flNANCíERO
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La ilusiradóii es dramática. Nuestro riesgo país sólo tuvo registros infe riores a los 500 puntos básicos en 4 años de los 24 examinados; J981 flos primeros "bonex” fll. con 15 puntos básicos!?) 1982,1993 y 1997. l a historia de esta evolución está plagada de hechos económicos y políticos cuya des cripción exceden largamente el objetivo de este libro y que ameritan un examen por separado. En la figura 1.11 además se han m arcado dos líneas horizomsdes distinguiendo dos marcas importantes. La primera marca se ñala la barrera de los 500 bps, ya que en ios noventa, constituyó una esp^-cic de punto de referencia para sumar el riesgo país en las tasas que sr usaban para el descuento de flujos para obtener el valor‘'justo”de una emjtresa La segunda, distingue la barrera de los 1.000 puntos básicos, debido a que cuando el riesgo país se mantiene un cierto tiempo por encima de esta marca, se pierde el acceso al mercado de deuda voluntaria. El índice del riesgo país se describe en el capítulo 5.
Planes de jubilación y pensión El porcentaje de trabajadores que aportan ai régimen de caniialiracíón se encuentra en baja, aún cuando los aportes jubiiatorios. valr- la pena mencionarlo, son obligatorios. No ttidos los irabajadores se preocupan por los pla>»es de reí io. «ino hasta etapas muy avanzadas de sus carrera.s proíesionaies, y en miKlinc casos no se preocupan sino hasta el momento en que ya es driMasin io tarde, lo que Ies impide alcanzar sus metas de retiro. No es menos cierto que en nuestro país, la rentabilidad del si'-'em •de los Pondos administrados ha presentado grandes oscilaciones. En ¡a fipuia 1.12 se observa la rentabilidad histórica anualizada promedio del sistema para el período 1995/2000 y los límites máximos y mínimos entre los rnale.s dehia oscilar la remabilidad de cada uno de los fondos de acu^'ulr t la legislación \igente.
Figura I 12 Sistema de Fondo; de liib iia d d n } pensión - nentabilidad anualizada promedio
.CuiLLEPuMo loptr D umr,\uf
14
3 3 3 riS
Hasta 1997 la rentabilidad promedio se mantuvo en tomo del 20%, a partir del cual se produjo una abrupta cafda hasta llegar a niveles de rentabi lidad negativa en el ejercicio 97/98. Luego la rentabilidad se recupera diurante el período 98/99 para Volver a disminuir en 2000. Las oscilaciones han sido la consecuencia de la precaria situación económica, que desembocó en el d e fa u lt de la deuda pública declarado a principios de 2002, lo cual golpeará fuerte mente las carteras de los fondos, debido a la participación importante de títulos del Gobierno. En la figura 1.13 se ilustran dos magnitudes usualmente utilizadas para comparar el desempeño de los fondos de cada una de las administradoras: la rentabilidad histórica y la rentabilidad anual. La rentabilidad obtenida por cada Administradora se ordena en forma decreciente en base a la ren tabilidad histórica obtenida hasta diciembre de 2000.
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Figura 1.13 Renrabílidad histórica y TemabQidad anua) por Administradora
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L.( rentabilidad de los fondos es un resultado que depende de factores Loyuiíturales y, por lo tanto está sujeto a la suerte que corra la macroeconoinía. No obstante, el hecho de que exista incertidumbre en cuanto a la rentabilidad futura del haber que se cobrará en la Jubilación, no nos exime de realizar una planificación cuidadosa para esta etapa. Recuerde que usted debe considerar el largo plazo y que el periodo de ahorro durante la vida activa suele alcanzar más de 40 años, sí pensamos en una persona que co mienza a trabajar a los 20 y se jubila a los 65. Como veremos, el cálculo línanciero es imprescindible para estimar los haberes jubiíatorios, como se miie:.tra en un ejemplo sencillo que aparece en el capítulo 6 de rentas temporarias. Optíones Uno de los instrumentos derivados financieros que más se han desarro llado en los lili irnos años son las denominadas *'opdones". Las opciones más i topulares son las financieras, aunque en los últimos años las opciones reales han tenido un desarrollo que promete revolucionar el campo de las
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F in a n c ie r o
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^tnan^as corporativas. Las opciones otorgan en general, el derecho d eco m prar o vender un activo pero lo interesante es que no obligan a hacerlo, como los otros derivados financieros como íos futuros y los forwards. Por ejemplo, las opciones de compra otorgan a su poseedor el derecho — pero no la obligación— de comprar un activo a un precio determinado durante un plazo determinado (opciones americanas) o en una fecha determ inada (opciones europeas). Inclusive, muciias compañías dan a sus ernpleadas "stock options" que representan opciones de compra sobre !as mismas ac* dones de la empresa. Sí ía empresa mejora su desempeño, aum entaría su valor de mercado, y sus acciones valdrían más. En ese caso, sí el empfeaLto posee la opción de comprar acciones de la compañía a un precio fijo, y el precio de mercado se sitúa en ese momento bien por encima de ese precio, podría obtener una ganancia muy interesante, de manera que el em pleado tendría el incentivo para mejorar en su trabajo pues de esa manera también mejoraría la eni[>resa y codos se beneficiarían. L a té c n ic a d e la s o p c io n e s s e h a e x te n d id o e n lo s ú lt im o s a ñ o s a I¿j í o p c io n e s re a le s , q u e tr a ta n o p c io n e s s o b r e a c tiv o s r e a le s , ta le s c o m u s o n lu e x p a n s ió n d e u n a p la n ta , e l a b a n d o n o d e u n n e g tjc io , e l c a m b io d e u n n i¿ to d ü d e p r o d u c c ió n y m u c h a s , m u c h a s o tr a s . P u e d e a f ir m a r s e s in iu g a í j d u d a s q u e la té c n ic a d e la s o p c io n e s re a le s es u n o d e lo s c a m p o s m á s fe i (i le s p a ra la in v e s tig a c ió n f in a n c ie r a y a le n ta m o s f u e r te m e n le s u e s iu d u * i* in v e s tig a c ió n p u e s c re e m o s q u e q u ie n la s d o m in e , se g e n e ra rá e n e l í iilu n » u n a v e n ta ja c o m p a r a tiv a . Real options y a lia h e c h o la tr a n s ic ió n d e s d e u n m o d e s to im e r é s a c a d é m ic o e n la d é c a d a d e l n o v e n ta , a u n fu e r te in te ic ;. a c a d é m ic o y e m p r e s a r ia l e n la ú l t im a d é c u v la . £1 in te r é s p o r p a r te tic g e re n te s es c a d a v e z m a y o r y h a y m u c h a in q u ie t u d p o r a p r e n d e r y a p lic a i la s n u e v a s té c n ic a s . H o y , la té c n ic a se u t ili z a c o m o u n c o m p le m e n t o d e h i té c n ic a D C F o V A N p a ra v a lu a r la f le x ib ilid a d q u e tie n e n lo s d ir e c tiv o s e n las d e c is io n e s fin a n c ie r a s . Se d e s t in a n d o s c a p í tu lo s a la s o p c io n e s : e/ c a p í m íu 13 c o n s titu y e u n a in t r o d u c c ió n a la s o p c io n e s fin a n c ie r a s e n g e n e ra l, i i i d u y e n d o u n p e q u e ñ o e je m p lo de v a lu a c ió n , y e l c a p it u lo 14 in t r o d u c e a l le í a l m u n d o d e la s o jic io n e b re a le s .
¿La Bolsa es un juego cic azar o un “casint) a! revés"? Los c a s in o s , p a ra g a n a r d in e ro , p re c is a n q u e e n tre g e n te ; c u á n ta m á s g c í t te e n tra a ju g a r, m a y o re b ^ e rá n las g a n a n c ia s d e l c a s in o , ya q u e la Le y d e Iwa G ra n d e s N ú m e r o s e s tá a s u fa v o r. Si u n d ía s ó lo e n tra ra u n a p e rs o n a u ju g .u . e l c a s in o p o d r ía p e r d e r ese d ía .' P e ro s i esa p e r s o n a v ^ to d o s lo s d ia a . la e s ta d ís tic a v u e lv e a e s ta r a fa v o r d e l c a s in o , y a la la rg a , la p e rs o n a a c a b a ia p e r d ie n d o s u d in e ro . E n c a m b io , p a re c ie ra q u e la B o ls a d e V a lo re s e s c o m o u n c a s in o a l re vé s: q u ié n m a n tu v o u n a c a rte ra d e m e rc a d o c o m p u e s ta p o r a c c io n e s d e c o m p a ñ ía s a m e r ic a n a s d u r a n te e l p e r ío d o q u e v a d e s d e e l 3 1 -2 -1 ^ 2 5 h a s ta e l 3 1 -1 2 -2 0 0 2 o b tu v o u n r e t o m o a n u a líz a d o e n d ó la re s d e U ),6 % a n ,4 *í« , s e g ú n se m ir e lo s r e n d im ie n to s d e la s c o m p a ñ ía s c o n s id e ra d a s g ra n d e j, o pequeñas. L a fig u r a 1.14 r e p r o d u c e e l fa m o s o g r á fic o d e Ib b o t s o n A s s o c ia te s , ip ii: a ñ o tra s a ñ o , r e p r o d u c e e l r e n d im ie n t o d é la s a c c io n e s . lo s b o n o s d c lle s u ii»
ÜUILLERAÍU LÓÍ'EZ D ü MHAUI
lo
las letras del tesoro y la inflación, comenzando con U$S 1 el 31 de diciembre ele 1925 y suponiendo reinversión en el mism o activo hasta el 31 de diciem bre de 2002 (77 años). Retomo
5.2% -3.8% 3.1%
rigura l.l<) Kvrilucióii elelos principales activo.*; en
(1925-2002)
La lecrion que nos deja la Rgura 1.14 e.s que .'ti invcrtimtt.s en bonos del •estiro de Ü.SA (T-Bonds) o letras del tesoro (T-Bills) podemos esperar o b tener algo tná.s que la inflación. Pero invirtiendn en acciones, podem os esperar un premio adiciona! que se ubica en el orden del 5/6% por encima de los bnuo.s del tesoro. Luego de ver io que ha pasado con los principales arijvrt^ (?Ti I.LSA, es lógirn que nos progrntemo.s qiM> Ita ocurrido en la Arg'oiiiiin ili'rtá nucslin mercado efidenl'’ n pr)flernos enc.ontrarnos con '■ u:ilqiiirr cn.sa? La pró.xinia sección lin algunas r'^spvie.stas
HcndiJtiieiUos de los activos rinancieros en Argentina 1991-2005 La década del 90. fue una de las más felices para la República Argentina en nialeria de rendiinientos financiero.';. La figura J.15 muestra la evolii''ión de Irns activos financieros: una cartera de acciones que com pone el índice general de la Bolsa, un índice de bonos, depósitos bancarios a plazo V también aparece la evolución de la tasa de inflación. Estos índices reprede una inveisión de com enzando desde el 31 de marzo de cuando se inicia el Plan de Convertibilidad, suponiendo que las rentas obtenidas .se han aplicado inmediatamente en la inistna dase de itworsión, sin retiro de fondos.
•sentan la evolución cid valor 1191, 1.15
U5S 100,
I.a figura nos dice qtie si alguien mantuvo la cartera del índice general de Bolsa durante 14 años, ganó un 367% en dólares, que equiva len a un rendimienln anual ile! 11.6%. También puede apreciarse que inien-
In t r o d u c c i ó n a lC á l c u l o F i n a n c i e r o
1 7
tras duró la convertibilidad, la evolución de los vaJores de las Inversiruies (y sus rendimientos) reproducen lo que uno puede esperar de un mercado eficiente donde los activos más riesgosos deberían recompensar con ma yores rendim ientos a los inversores. A comienzos de 2002 sobrevino el colapso del Plan de Convertibilidad y los rendimientos en dólares caye ron groseramente, pero La Bolsa volvió a recuperarse. Los rendimientos negativos en ios bonos tienen que ver con el default de la deuda soberana que pulverizó el precio de éstos. La inílación negativa tiene que ver con que después de la devaluación, los bienes han reducido su precio en dóla res (en promedio). '
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« Figura 1.15 Rendimienio principales activos rinanderos marzo 1991marzo 2005 (en dólares» Por supuesto que sería deseable tener series más largas; la (alia O*- da tos en formato adecuado, y los distintos cambios que se han prnd'icíu- en la composición de lo.s índices accionarios por diversas cuestiones le.s restaron representatm dad) com plica la construcción de series r»'pres^nlativas. Los argentinos tam bién nos merecem os una estadística del tipo que se diseña y se mantiene en los países desarrollados.
R eferencias bibliogrArcas FenNANOEZ. Néstor (2001), Concentración y Competencia en el Sisirma Integrado de Fondos y Jubilaciones y Pensiones de Argentina. An ihsis del período 1994/2000. Trabajo Fina] Postgrado de Administración Financie ra, Universidad de Buenos Aires. La información que aparece en este capitulo fue elaborada a panii de datos que pueden obtenerse en las siguientes páginas web: wwiA'mecon.gov.ar íMinisierio de Economía de la Nación).
Capitulo 2
I nterés S imple
“La n ia)
Aibert Einsieúi (i8?^- 185ñl Fííico alcmaii iNTPODUCaON En el coniexio del cálculo linanciero. posible iiablar ik Jo s iipos %l4* rágimeti; siniple y conipoesio. Eniendernos por régimen simple iupjd de los i/Uereses se ca lcu la n siem p re so b re el c a p iia l in icia l d e ¡a o p en u iun. por lo fantu, los intereses que produce dicho capiial son siempre u n a sm n t jija . El régim en simple existe tam o en sentido positivo del tiem po |ca()it.i lizacíón) com o en sentido negativo del mismo (actualizacioit). En la c.ipi lalización x'amos desde el presente hacia el futuro cuando depusitaiuMS una sum a de dinero que gana interés durante un cierto penoda de tuímp»y en la actualización recorrernos el cam ino inv'erso cuando calculanu/-' i i valor presente de un capital limiro 7árnL>ien veremos que eS posible li.ihl.i» de una lasa «le ínierés vencida y una tasa de descuento o aileiiiutada. En la vida real exisien num erosas situaciones donde uos enconHiiit rnos con el ínteres sim ple ¿Quién no lia realizado alguna vez un deposii* i >» plazo fijo en una institución hancaria? En este caso. los depósitos ganan un interés q u ese calcula sobre el capital inicial de la operación, por uii pei ii.dn de tiempo determ inado que puede ser un mes, dos m eses, eiceiera. Huc^lll que no hay capitalización de intereses en el período por el que se realiZii «d plazo fijo, éstos se calcuian de acuerdo a las reglas del interés simple I «* mismo aplica para la mayoría de las ofieraciones financiera* donde cali n laníos el ren«Jimlenlo Implícito para un período determ inado, tai es e! casi* de las letras de tesorería o los ccmiraios de fururos. También los intereses de la caja de ahorro dentro del período de capitalización, los préstamos que calculan intereses directos sobre el capital, ajustes de deudas impositiva» y también aigtinos casos de sentencias Judiciales son ejemplos donde se iipii« a el interés sim ple, , *
G uhiew .io Lúrti D um jw íí
• 1 0
n En eíile capílulo veremos las prirrcípales opciacloires que se realiiau m ediante el régim en sim ple, incluyendo el d escu ento com ercial, üperalotia muy extendida en la práctica. Estableceremos la equivalencia fundamental entre la tasa de interés vencida y la tasa de descuento, y fi nalmente íealizamos una introducción a la equivalencia de capitales que se encueniran expresados en diferentes momentos de tiempo. \
Después de leer este capílulo, usted debería ser capaz de: * Calcular el monto de un depósito a plazo fijo y el Interés de la opera
ción; •Calcular el valor actual y el descuento periódico que sufre en un.; ■-peradon de descuento: • Calcular una tasa proporcional; • Calcular un capital equivalente dando un vencimiento común a docurncMlo«5 que vencen en diferentes fechas.
2.1,
L\
cvnxMJZACiüN FJ^l m.ntlniMRN.simplc: GMlACl ERISnCAS PRINOrALES
1 /.os in icicaeí se calcu lan siem p re sobre el c a p ita l inicia!, de forma que ios ínirreses no generan nuevos intereses {los intereses se devengan pero nn .se acreditan), permaneciendo el capital inicial constante hasta la íedin pti que haya sido convenido su reembolso ( d . 2. Se deduce lie 1. que los iiiíercscs represenian u n a sum a fija , no exis tiendo por lo lamo capitalización de intereses. 3. 1.0? inleicses son proporcionales al capital, al tiempo y a la tasa de «nicié? dv h opciariún. la meiot tormn ríe apreciar las vanabie^: q*»c om iponen una opera(Mn lie simple y su evolución, es obsenfm rl ruadlo de marcha que SI- ilrsaiifitla a continuación:
Cuadro de m archa progresiva del interés simple .•íiiponilretuos un capital Cn = $ 1 que se coloco a interés simple y vere m os cruun se transforma a lo largo de n períodos para obtener ¡a fórmula
"genérira" del monto a interés simple;
(I) I..JI fnución d«rlmomo nliuertKsimple, «r unnvistiSnesuícrom^nle materriática. no «niioM" que se icfitan kis intereses ctel capital (d «sí fuern, cabe pen-sir que podrían esos tnieteses ilerosiiarse enotra instiuiciónconlocml seg»ri''.r?tx;»nri levosintereses, transfor mándose en una operaüón de interés compucslc). Sinemlvití;o. el cantraaxgumento es que en la práctica es posible encontrar ca.«o.sdonde .seretiran los intereses del capital, yen ese c3'-nW»sinteieses no pro<|urennuevos intereses {poi ejemplo, cuando alguienretírala renta que genera algún activo para consumirlai.
■i
I nterís S imple
21
i
•i Período
Capital Inicial
Interés periódico
Monto
I
Co
J(0.¡)r>Co.l
C,^Co*Co.i-Co(J*I)
2
Co(l*l)
I(1.2)=Co.i
C,= Co(J-*-i)*-Co,i= Cod +r./i
3
Co(l+Zi)
IC2.3)-Co.i
Cj^Co(]*2.i)*Co.isCoO ’3.i)
J(n‘ ¡,n}=Co.t
C, = Co//+ÍM-J i /y+Co.»=G>f I+n i)
n
En general, para un período cualquiera que llamaremos "p", el inierés periódico será I(p -l,p )-i y el capital final: C p - C o (1+p.i) Esta expresión se lee como el capital original multiplicado pf^r 1 * "p veces" la tasa de Interés. Por lo tanto, el capital final o m onto del último período será 0\ = Co Ti + n.i) . Para obtener esta expresión solamente multiplicarnos el capí»al origi nal de la operación por el factor de capitalización íi+ m j transforruandn el capital inicial en un capital equivalente final o monto. Ejemplo; se ímierren JIGO durante 5 meses a una lasa de imeiés'del 2% mensual. Al fina) del plazo tendremos-
#
I
? I %
m #
m € '
100 X (uo,o 2 x 5)^ n o Note que para hacer los cálculos siempre expresamos la lasa *n nm-r por mío. Poi supuesto, es común que los datos sobre un temiinncnír' s*: presenten siempre en tamo por ciento, que es la medida en U cual esmmos acostumbrados a pensar. Por ejemplo, para pasar la tasa de in'erés del 2% a tanto por uno. hacemos 2/100 = 0,02.
C
« m -
Fórmulas derivadas del monto a interés simple
m -
Las fórmulas qne se derivan de la fórmula ef-nérica del monto inn’"»s simple sólo requieren simples pasajes de términos. Realizaremo*; algunn<; comentarios respecto a ellas por encontrar que pueden revestir iuteié.
# • • '
Capital inicial
Tasa de Interé.s
Número de . periodos
Irneté.' orum>«tado # '
Co=
.
O í - Co
C/i - Co
Co.n
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i(0 ,fO = Co.J-n
• # '
Otambién ■ 0 0 = '"® ’" ' ÍM
0 también
Co.n
0 también i = ¿ü V 0 C oJ
0 también i(0 ,n )= 0\ - Co
'
G u j l l é r a i o L ó p e zD u m r a u f
9
■‘X
iw 9
(1 + 0.10x5)
i, » 9 9
"
100
F órm u la d e la tasa d e interés
.»
:
->
Sim plem ente, el capital inicial se obtiene actualizando porn períodos el muntü o capital final. Por caso un capital final de $150, que fue obtenido coiy itna tasa de interés del 10% al cabo de 5 periodos, tiene hoy un i^ lor de 150
9
f
fiim u ila d e l C ap iial in icial
.
9 ; „»
9
Esta fórmula es muy intuitiva, ya que es aplicada muchas veces en for ma automática, para obtener porcentajes de rendimiento, aunque sin co nocer su naturaleza. Piense por un momento que usted vende un bien a $150 que adquirió cierto tiempo atrás por S120. El tiempo que media rel^res^mta el periudo de la operación que para nosotros será igual a 1 (1 mes, y bimestre, un período de cierta cantidad de días, no importa realmenre cuánto tiempo, para nosotros representa un período en este caso). .■Viiúi a supongamos que usted quiere conocer el porcentaje de rendimienlo d(- esa operación. El cálculo intuitivo es tomar los 150 y dividirlo por 120, y restar el l (uno);
9 9
.9 :9 9 9 ,....»
— - 1 = 0,25 « 2 5 % 120 la tasa de interés se calcula de esa forma, ya que la fórmula resulta de obteiier la lasa a partir de la fórmula del monto: Cn
(I + ;./i)
Co
M n a 1 y pasamos restando el 1, tenemos la formula que tantas veces :ie u
9
Cn
9
Cú
9 9
-I
F órm u la d j f m i m ero d e p eríod os íiimplernenre, obsen^e que el numerador de la fórmula represenia el inteiés acumulado, de forma tal que también puede escribirse:
•9 9
9 9
P P 9 m_
C n -C o
J(0,n )
C oJ
C oJ
Fórm ula d e l interés acu m u lado Para un capiralinicial de Co, el valor de l(0,n) representa el valor absoluto del interés acumulado, y estará dado por la relación: l(0,n) = Co.cn que quiere
v
ÍNTtRÍS ilMPLE
> decix que ]>*inanius^*’n veces la tasa de interés sobre el capilar. I'or ejem plo. . 100 pesos colocados durariie JO período^ ál 5% /géneraninteresesacunuda' dos por $50; 1(0,10)=^ WOx 0,05 >ü 0=50
‘
lux ídmujla del interés acumiitado también puede razonarse c o m o la díle rencia entre el monto y eicapiíaJ inicial; — UO.n) = Cn ' Co = Co ü +in ) -C o = C o + C o .i.n -C o = Cü.i./ i O com o la suma de iodos los íniereses periódicos: ¡(0,n) = l( 0 ,l)* I(l,2 h ....I(n -}.n )= C o .i-^ Co. h ... C o.i= C ú.i.n
La fórm ula del monto a interés .simple cuando varía la tasa de in te rés En la práctica la tasa de interés no es constante, yianA íén es p o sib leiju e cada tasa se gane por períodos de riempo también diferentes; en e ste Cii .u, no podemos utilizar la fórmula genérica del interés simple puesto quc la tasa es posible que se haya m odificado m ensualm enie. En ese caso, anu dicmos un factor de capitalización stim an d u la s d is iin ia s tasas p a r a ¡,>> d iferen íes p erío d o s d e tiem p o (en el caso d eque sean diferentes, his llainai cí\\QSp¡.p.j.„..pJ.La fórnuiia resn ltam eq u e resulta es: Cn = C o ( l + i,.p , + i„p^ + ............+ i„ .p j De las fórm tilas \isias sacani os una enseñanza iniportanre: en elr¿ ^ h n ,‘n sim p le la s la s a s sie m p r e s e sttnuin. Análisis del rendim iento y funciones del m onto e interés aciimuiuilo coniiiiuación se analizan tres categorías de rendimiento en Jas oj-i raciones a iiuerés simple, j*or considerárselas ele iinpmtancia pracii<-a ni ¡Hieres p e iio d ic o Es el inieres que gana la unidad de capiral entre dos inornenros cunj»-cuiivos; como vimos, en e) régimen simple el interés es constante y pnt.Ie obtenerse mediante la diferencia entre el capital tíel p er ío d o p+1 y el c.ipiral al final del período p; * l(p ,p + l) -
= Cofl+iCp-^Vl - CoCI+ip)
= C o / n * Í ( p + J ) ) - ü + i- P ) J s C o(I
i.p + I - J - i . p ) = C o.i
EJ interés generado en un período cualquiera p, debe ser siempre igiiid al producto del capital inicial por la rasa de interés.
G u iu ír m oL o r ii: D u / . ^ |! . ^ lJ ^
2 4
_ V
b) E l rendim iento efectiva o in ietisidadperiú aica: Para deierminar el rendimiento efecüxT) de un período, tenemos que com* parar el interés de ese período contra el capital que lo generó. Suponga un capiial inicial igual a $100 quese coloca a una tasa de interés del 10% periódi co; según se observa en la tabla 2.1; Capital
Interés periódico
Monto
ino
]Q
no
10%
lio
lU
120
9,09%
120
10
130
8,33 r.
130
10
140
7.69%
Rendimiento efectivo
1?bla 2.I. Interés periódico y rendimienio efectivo en el régimen simple
F.l rpnUimícnlo efectivo se calcula dividiendo el interés periódico por el capital al inicio. /\sí. para el primer período es el 10% (10/I00)-1, pero para el so^undo se reduce al 9,09% pues el inierés periódico sigue siendo de Sin prii> representa un porcentaje menor ruando se lo compara contra un capital de $110 Es claro que mientras el interés periódico se mantenga cansiniu c. cada vez representará un [jorcentaje mertor a medida que el capo ni para generarlo es mayor. Por lo tanto, el lendiiuiento efectivo en el réRimrn .simple es deciecícnie. Por ejemplo, para calcular el rendimiento efectivo del período 4. tendríamos que comparar el ínteré.s periódico (que e-s siempre coiislanie) contra el capital aJ final del periodo 3: Itendm úetjtc =:
C oi
i
Grj.tl + 3 j )
(J + 31)
I * (p - 1)/ •Je la eypresi«*n anterif^r S'' deduce que sí *»I numern«loi es constante y el dcnninirmdtu es ciccicnte (ya que cuando aunienin el uümcro de períodos p también aumenta) el tcndimienlo periódico es rírcreríenre. <) Inicn
iNTERls S imple C oi.n
25
« ; í:
'■Co.i 0
e
ct) F u n cion es m on to e interés a cu m u la d o Para el análisis de las fu n d on es del Jiionio y del Interés, asum irem os que el capital in ic ia l (C o) es ig u a l a $1. lo cual facilitará el razonam iento. La fu nd ón del m onto a interés sim ple C/i=/fí'.nes una fu nción lineal, cre ciente, de la fo rm a y = ¿ ix + b , de forma tal que es una sem irecta de co '’íicicnie angular i>Odennida para valores positivos de i: precisam ente i lepresenta la pend iente de la función y a es la ordenada al origen, q u e en nuestro ejem plo está representada por el capital original de í 1. P or )o 'atUo, la función corta al e je de las ordenadas en 1, y es creciente co n respecto al tiem po, ya que a m edida que aum enta el núm ero de períodos, aum entan tanto el m onto com o el interés acum ulado. Suponiendo en ton ces que el capital inicial C o=$l y la tasa de interés í=0,10, en;la tabla 2 .2 se muestra com o se acum ulan los interesesy el monto, que aparecen en las figuras 2.1 y 2.2: Monto
Período
Interés pcriddlco
Interés acumulado
0
0
0
1
1
0,10
n.io
1.1"
2
0,10
Ü.20
U"»
3
0,10
n.30
i.30
4
O.IO
l),4Ü
1.40
5
0,10
0,50
6
0,10
0.60
'
J.5Í'» 1 r,f)
7
ü,in
0.70
8
O.IO
0.80
1.70 I.Ml
9
0,10
0,510
1.01
10
0,10
l.nn
_1
# # 0
'
0 0
"
0 '^ 0 -" 0
-
0 - ^ 0 - ' 0 - r
f r -
0 .... # -■ 0 # "■
Tabla 2.2 Imerífs perióciieo, inleré.c acu m ulado y m on to en *>1 r-einiert «im r
# -• 0 # ... g r -
Figura 2.1 Furxcidn interés Bcumulado
0 0 -
0 -
0
■
Gniu£RA<ü Lopfz D umiuuf
■p
é
■é
• 5
3
3 3 --
3
-
3
lii función inierés 1(0,n) también es lineal crecieme desde cero (yaque no S.Í devengó interés en el momento cero) y tiene la misma pendiente que u función monto (representada por la tasa de interés) con (a difeien*^ cía que la fu n d ó n m o m o co m ien z a en el capital origina] m ientras que la función interés comienza en cero.
3 3
3 3 3 3 3
3 '3 3 3 3 3 3 ,3 3
3
.3 .3
3 3
Plazo medio Suponiendo que tres capitales C,, C, y C, son colocados durante dife rentes plazos f,. fj y íy respectivamente, se denomina plazo medio "n" al tiempo durante eí cual debe ser colocada la suma de esos capitales, a la misma tasa, de modo que el interés producido sea igual a la suma de los inreieses producidos por cada uno de los capitales C,. Cj y C,: í >
q ) i.n = q
.
í
+ c^/
1/uidiendo ambos inifinliRis por i y despe)andu el valor de n, obienJrenios: ^ „ C,./, t-C
C, -f C, + Cj fsta última fórmula nos permite obtener las siguientes conclusiones: ai el plazo medio es independiente de la tasa de interés común b) el plazo medio es la media aritmética ponderada de los plazos La conclusión b) nos permite establecer una fórmula general para el plazi> medio, que es igual a ia Sumatoria de los plazos ponderados: Í ;/ y » C ,
te, /-I
IrlTÍKfS iJM iif
La fórmula del plazo niediq puede ser establecida para cualquifct unidad comün de plazos, y el valor de la incógnita n. se lefertrá a una unida.i oe (tempo contiin de los plazos f,, y íj En particular, si C, = C, = C.^ podein*.-. sacar factor cornün en la expresión anterior y nos (jiteda: C ^O , + ( j 1 r t , )
//C.
+ r, 4/,
N
Donde N representa la cantidad de capitales (N=3 en este caso) y servamos que en este caso, el plazo medio será el promedio sim ple d« lo^ plazos dados. E jem p lo: Tres capitales de 100, 200 y 300 fueron colocados a la misma tasa del 10% mensual durante 4, 5 y 6 meses, respectivam ente,Calculam os ^\\o\a durante cuanto tienipo tendría que estar aplicada la suma de eso& ca|iiiúles, a la misma tasa, para que los intereses sean iguales a la sum a de; lus Intereses de esos capitales en los plazos dados. ; 100>; 44 2 0 0 x 5 + 300x6 n -------------------------------------- 5,33 100 + 2 0 0 + 3 0 0
Tasa media Suponiendo que tres capitales C,. y Cj sean colocados durante; /r |u'ríodos a tasas diferentes y iy se d e/io m í/ia rasa m er/ia tía u /ia o/tt fHción 'T", la tasa a ¡a q u e d e b e ser cu3locada la su m a d e esos ca p ita les duruftie n períodos, p a r a q u e p rod u zcan un interés q u e igu ale la su m a d e los ¿mereses q u e p ro d u ce ca d a uno de los ca p u a les C,, y Cji
(C, 4 Cj 4 C*3)ál = C,/,/i 4 CjijlJ 4 Cjij/l Podemos sacar factor común n en el segundo término y luego despula mos ia tasa media: Cj J, 4 C, J*2 4 Cj j j C^ 4 Cj 4 Cj De la fórmula se obser\'a que; a) la tasa media es independiente de! plazo común al que ftieron col
I • -i
. -I
i -i: GuiLLinMO
Dt'Mn-Mir
Tn p a rtic u la i, si C, = Q = Q , se pu e d e sacar fa c lo r c o im in C| y la fó rn u iJ a de j se s im p lific a p o i la siguiente.'
[In este iiliim o caso p a rtic u la r, ia tasa m e d ia es el p ro m e d io s im p le d e las lasas dadas. N rep ic.se m a la c a n tid a d de c a p ita le s (N = 3 en este caso)
Ejemplo: Tie.s cnpitale.s de 100, 200 y 300 fu e ro n c o lo c a d o s a las tasas de in te ré s m e nsua les del 10, 20 y 30% , re s p e c tiv a m e n te , d u ra n te u n m es. C a lc u la m o s a h ora c u a l íu c la lasa m e d ia de la o p e ra c ió n : 100 ^ O.fO -r 2 0 i> -11.20-f 3 n 0 x 0.3Q _ ^
ÍüO-r2ÜU-»-3ÜÜ
.
-
la s a p rtn > o rc io n a l en el in te ré s s im p le Hn la p r á riic a es c o tn ú n qu e se re a lic e n o p e ra cio n e s de p la z o fijo p a c ta n d o lin a ta.sn iim n in .il (g e n e ra lm e n te a n u a l) p e re q u e ios in te re se s capííaJicen en ro jm a s iilip e n ó d ic p ; en ese caso es im p re s c in d ib l» ' p r o p n id o n a r ia tasa n n m iiu d al m m iir n in d 'in rje c a p iin liz a n los ini'^reses (2). q u e e< el m o m e n to ilo iu J e la i.asa O» in ie iC '. 'iia b a j T. En este caso la toio nominal fie uno oprra' nUi r? vm//( ¡.1 ¡t,¡, [,>,/« In rnisnin, s in -ie n d o c o m o re fe ie n c ía p a ra el I á lo n ln de h (.isa e rc .u v i d e la o p e ra c ió n H ° s n im e n d o . In d ife re n c ia im p o r ta n te e n tre la la s a n o m in a l y Ja tasa p rn p o m 'o n n l s u lq ie iió d ic a es la no coinc idencia de ¡a im idn dde iiempn en
(¡ne esín e,\pn'UJ
f2) '- f ' nniotui*' por ‘*c.'ipnn|i::.ición d? intei esf's” e) momento en que f^ios se convierten "I* T.Tpií^l. qu- es ®(nmnioni'i en el cual se acreditan
'
iMTEniS SlMfU
j(m) sf tasa nominal
lasa proporcional i{m) = iiíü l CaniWnd da subperHdos cepltanzaclán
Un punto imporlanle es que la tasa proporcional obtenida a partij del dalo de la tasa nominal, es a la vez una íosn efectiva p a ra e l p e r io d o r á p ita ^ liz a c ió n q ue se considera) por ejemplo, una tasa nominal anual del l/’%amiaJ que capitaliza semestraJmente. arroja una lasa semestral del 6%, que e^ a la vez una lasa efectiva y proporcional, pues representa el rendimi* nio que efectivamente obtuve al cabo de un semestre y a la vez es proporcional del 12 % anual:
0,12
5=0,06 sem estral
Otro detalle a observar es que en el régimen simple, las tasas son al mis mo tiempo proporcionales y equivalentes. Recuerde que en el in teros simple las tasas se suman, de forma tal que da lo mismo ganar 6% en un seme«=tre que el 12% en el año. Las ía.sas proporcionales son aquellas que exnresndas en tiempos distintos producen igual interés. Veremos en el próximo oapilulo que no es lo mismo en el régimen compuesto, donde las tasas son sr'lamonte equivalentes. Si en las operaciones intervienen instituciones financieras se utili?.;) ol año civil de 365 días, por lo que la casa proporcional que resulta >'s ligotarnenie menor a la que obteníamos con un año de 36ü días: por ejemplo, para el caso anterior la tasa de 180 días sería: n,l2 =0,0591 = 5,91% 365/ /180 En la práctica, el cálculo suele hacer.se como 0,12 >: 180/365 qi'e más rápido cuando se utiliza una calculadora de bolsillo La considerarión de los días contenidos en el año nos lleva al tema del interés exa-lo. Interés civil y comercial Los mercados finaitcieros exhiben algunas disciepáncias con resp<'cui
a la forma
en que se consideran los días que contiene el año. En algunos
contratos se utilizan 360 días en lugar de los 365 días que el año ' rmtiene. De esta forma, podernos distinguir: Año exacto o civil; cuando se toman 365 días Ano comercial: cuando se toman 360 días Ejemplo: Calcular el interés que .se obtuvo en una operación lonrU depositó un capital de $ 10.000 durante 180 días,^ ganando una ínsa norninal anual del 12% . Resolver por año cí\il y por año comercial.
fe
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^ T .,- , I
• - ^ ^ - Yl^ I^lí íüil
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-i.-. J f ^
Gimllerwo López Dunrauí A ño CivniJ
:m íB
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AñoCoinúickl
180 J = !U .O ()O xO ,12x----- - = 591,78 365
I DQ
/= 10.000 Xo,12 X — = 600 360
t í in íe re s o b re n íd o u tiliz a n d o el a ñ o c o m e rc ia l re s u ira u n p o c o m a y o r 4 ue d o b te n id o u tiliz a n d o el a ñ o c iv il, d e b id o a q u e el re s u lta d o d e l c o
m - a
píe m e es u n p o c o m a y o r al d itid É r p o r 360 en vez de p o r 365. Para c o n o c e r la re la c ió n e n tre los dos. s ím p íe n ie n ie d m d im o s m ie m b ro a m ie m b ro las I e la c io n e s in d ic a d a s a n te rio rm e n te ;
IB f
- m
,
.
J n ie r e s e x a c t o
C í> X
íí■/' ( « } )' X --15 c 3o0
-------------------- * -------------- ¿22. = 0,9863 Interes cúmerctal . . n 365 Co Xj{m) X----
360
y ob;.en'amos que el interés exacto es un 98,63% del interés comercial. Literés exacto ~ Interés c o m e rcia l x 0,9863 -© F o rn ia de c o n ta r lo s im e rv a lo s d e tie m p o en la R e p ú b lic a A rg e n tin a
íB
íB
la
E u la R e p ú b lic a .A rg entina , las o p e ra c io n e s lin a n c ie ra s p o r d e p ú s o o s a |»lazt ti(o se re a liz a n c o n s id e ra n d o el a ñ o exacto, a u n q u e a lg u n o s in s fr u iiie m o s fin a n c ie ro s c o m o c ie ñ a clase de b o n o s u o b lig a c io n e s u tiliz a n el a ñ o r o in e rc ia l y la in b ié n la fo rm a en q u e se c a lc u la n los in rereses en a lg u nos p re s ta m o s , p o r caso los h ip o te c a rio s y p re n d a rlo s N o o b s ta n te v o lv e - . re m o s soEire este te m a en o tra s p a rte s d e l lib ro , es el m o m e n to d e c o m e n - ' ta.r c .im o se c u e n ta n los in té n sa lo s de tie m p o en la R e p ú b lic a A rg e n tin a . N u e s tro C ó d ig o C iv il en e! T ú u lo II, d e l m o d o de c o n ta r lo s in ie n 'a lo s de d e re i ho. e s ta b le c e la fo rm a cíe c o n ta r los plazos y p o r lo c u a l se tra n s c rib e n lus a tíc u io s re s p e c tiv o s “ \rr. 23. Lo.s días, m eses y añ os se c o n ta rá n para to d o s los e fe c to s le ga }i-s p.»r el C a le n d a rio G re g o ria n o . A rt 24 El d ía es el in íe rv 'a lo e n te ro q u e c o rre de m e d ía n o c h e a m e d ia no ch e ; y los p la z o s de días no se c o n ta rá n de m o m e n to a m o m e n to , n i p o r hora;., s in o d e sd e la m e d ia n o c h e en q u e te rm in a el día de su fe ch a. ‘ A rt 25 Los p la z o s de m es o m eses, de año o años, te rm in a rá n el d ía q u e lo s re s p e c tiv o s m eses te n g a n el m is m o n u m e ro de días de su fe ch a .
'- l a
-IB : '--t%
.ASÍ. un plazo que principie el 15 de un mes. terminará el 15 del mes corres pondiente, cualquiera que sea el número de días que tengan los meses o el año. A rt. 26. Si el m es en q u e ha de p r in c ip ia r u n p la z o d e m eses o a ñ o s , c o n s ia re de m á s días q u e el m e s en q u e h a de te r m in a r el p la z o , y si e! p la z o c o rrie s e de sd e a lg u n o de los días en q u e el p rim e ro d e d ic h o s m eses t-xcecie al s e g u n d o , el ú ltim o día d e l p la z o será el ú ltim o día de este s e g u n d o m e s.
>
......... íWríjfii Sl«jP'}{ Art 2H. En los plazos nue señalasen las leyes o jos tribunales, o los Jecre^ (os del Gobierno, se coíiipremJtífáji los días /eiiailos, a nienos qucí el ]H.¡¿ o señalado sea de días úciles, expresándose así". ' Ejemplos de aplicacidn del ínlerés simple en la vida rea!
,
?■
En general, todas las operaciones financieras que liquidan los iniereses sin capiíalízación iníermedía, consiitiiyen ejerriplos de ínteres simple Ve»t* mos algunos a continuacidn. a ) Los d e pósitos a p la z o f i ju l^s certificados de depósito a plazo fijo son insinimentos que especifi can capitales, plazos y tasas de interés. No son negociables y existen en general plazos mínimos de tiempo por los cuales puede consUtuírselos. de forma tal que su liquidez es menor que una cuenta dejahorro. Cuando liácemos un plazo fijo inmovilizamos el dinero por el período de coniíUm • {30, 45, 60 o más días) y entonces la operación se realiza dentro de las reglas del interés simple, ya que no íiay capítalizacidn de intereses. U capiralizadón sólo se produciría si se renovara la operación, pero eniom es habría cai)Ha]iz.ac»on de íiUeieses, y habría interés compuesto.
Ejemplo: Se constituye un plazo fijo por $10 000 contratándose unaTNA def ii»-:! por un plazo de 3ü días. Al fitiaJ de! jilazo, tenemos un mot/to de
10.000 (1 +
0,10 365/30
) = 10.032,19
Note que hemos ganado H2,19 pesos de interés, que correspondeu a un período de 30 días. Trabajamos con un año de 365 días por ser tT vuW ci\nl el que se utiliza en las operaciones de deposites a plazo en el rnerCudo financiero argentino. b/ L o s in te r e s e s en la c a j a d e a h o r r o La mayor parte de las cajas de ahorro permite a suMitular efectuai reti ros de dinero, de tal forma que este tipo de cuentas resulta útiles para aque llas personas que desean obtener un rendimiento por sus ahorros, peto requieren al mismo tiempo ia disponibilidad inmediata de los misnuiS. Esta caracterísííca es la que hace que los bancos en general paguen un in terés modesto, pero a cambio se tiene la flexibilidad de hacer retiros y de pósitos en cualquier momento. La tabla 2.3 muestra el movimiento en Una caja de ahorro donde los intereses se calculan de acuerdo al régimen stinple y se acreditan al final del mes. La lasa nominal anual para el período fue del 3%:
; í
G u il u r m o LúrE2 D u w iu u r
32
Depósitos/
Concepto
Fecha
lixtracdones
30/Ofí/Oi
Saldo
Días
100
31
01/07/0»
D epósito
100
200
30
l5/07/nt
Nma dedóbito
-50
150
16
20/07/01
QéÜilO
200
350
25/07/01
F teraed ón
-100
250
31/07/01
Capitalización de intereses
0,57
250,57
Tabla 2.3 Intereses de la caja de aiiorro Para el cálculo del devenganiienlo de intereses con la TNA del 3%, se calculan los intereses bajo el régimen simple teniendo en cuenta los días liasla fin de enes. Por ejemplo, para el saldo inicial se calculan intereses por los 3 J días de julio, para el depósito de $ 100 realizado el 1/7/01 se cuentan 30 tiías hasta el 31/7, y así sucesiTamente. Para los retiros antepoiisinos ei signo menos y seguimos la misma regla, computando también los día.s que íaltan hasta fin de mes. HUI * n,ü3 K 3I/3G5 + 100 x 0.03 x 30/365 - 5U x 0,03 x 16/365 +
200 X 0,03 X 11/365 - 100
x
0.03
x
6/365 = 0,57
Note que si bien los interc.ses se calculan bajo I.x«: reglas del interés sim ple dentro riel mes, se acumulan aJ capital al final del mismo formando un monto de 250.57 para el mes siguiente. De forma tal que en el próximo mes los inlcrescs se calcularán sobre 250,57 generando capitalización de intereses, por lo que a partir del mes siguiente opera el interés compuesto. cj el tijnsic tic licu/los imposiiiuns Ln /N'lmhnr.tincitín l-cderal de Ingresos Públicos suele cobrar intereses n»mpen.satt»rios y resarcUnrios aplicando las leglas del interés simple en algunos r,asns. Suponga que cierta empresa mantiene una deuda fiscal de JIS.nOO Inu e bes meses y ahora desea saldarla. Si la tasa de interés que robra el fisco es del 3% mensual, el importe a saldar será: 15.Ü0Q X (1+U.03 X 3) = 16.350 ti) el edículo d e indem nizaciones Cn los cálculos de las indemnizaciones laborales, la j'iiisprudenda es tablece que m algunos casos, el monto ric la sentencia debe ajustarse se gún las reglas del inlerés simple, utilizando la tasa de interés activa del Banco Nación. L i tasa de Interés nomina! anual para las operaciones acti vas fluctuó de la siguiente forma: Enero; 10%
Pebrero: 11%
Marzo: 12%
iMTERis S imple
33
Un monto de sentencia de SlOO se ajustaría de la siguiente forma (supo niendo que se trabaja con una convención 30/360 que consiste en considerar un aüo de 360 días y que todos los meses tienen 30 días): 100 K (I
0,10
O .Il
0 ,1 2 ,
12
I
,.-Á
„
02.75
0
Al suponer que todos los meses tuvieran 30 días y el año 3G0, f I divisor es 12 (360/30). Es posible que los Juzgados exhiban algunas discrepancias y establezcan otras formas de computar los plazos y la forma de contar los años, pero como se aprecia, sí no se permite capitalizar intereses, las tasas deben sumarse. Ya hemos visto que en el régimen simple, los intereses siempre se cal culan sobre el capital inicial. También aparecía una tasa proporcioiiaJ. pues muchas operaciones se contratan para un período que no coincide con la tasa nominal. El tema de la tasa nominal de í n t e ^ y sus correspondien tes equivalencias será tratado exhaustivamente en*el capítulo 4. que desti namos a las tasas de interés. Por ahora, diremos que cuando la ta;;a niuninal tiene una sola cap italizació n en el periodo, es a la vez la tasa efectiva del período. Por ejemplo, si usted colocó dinero en una institución contratando una tasa nominal anual del 10% y esta tasa a la vez capitaliza anualmentR. su rendimienro efectivo también será del 10% anual.
€<
C j-
J © ‘-r-í
e) Las tasas d e interés im p lícitas en las con tratos d e fu tu ro En los contratos de futuro, la diferencia entre el precio de coiuado y el precio del futuro suelen reflejar un spread que refleja la lasa de iiveres ipie se observa en el periodo del contrato. La tabla 2.4 muestra las cotizaciones del dólar futuro INDOL® del día 4 de mayo de 2005 para los últimos días hábiles de cada mes (la cotización aJ 4-5-05 refleja la cotización de refe rencia del Banco Central). Para calcular la TNA implícita en cada una de las operaciones, simplemente aplicamos la fórmula de la tasa de interés, dividiendo la cotización futuro por la cotización de referencia 3 luegr* la multiplicamos por "m" (la cantidad de subperíodos dentro del año). Por ejemplo para la TNA implícita para un contrato que vence el 31-5 05 hace mos (í2.91/2,8963)-11365/27=6.39% Pedia
Cotizaddn
Días vno
04/05/05
2.9953
-
-
TNA implicüa
e
r. Cv «I
c*
m r-
31/05/05
2,91
27
6,39%
30/06/05
2,92
57
5.24%
29/07/05
2,93
06
4.94%
31/00/05
2.935
119
4.10%
30/09/05
2.94
149
3,70%
m-
31/10/05
2.945
100
3.4 ITe
Í 5 ''
Tabla 2.4 Cotización del dólar futuro y tasa r>omtnal anual impli'clia
f í
fí-
mm rm
GuiUfRMO Lopf2 DuMftAllF
.^ 3
1 * t
Las [a^as nominales anuales para dejiósitos a plazo fíjo en los bancos urgeminos. para un plazo de 30 días, rondaba el 3%; para 57 días el 3.2% y para 120 dias. el 3,75%. Como se observa, las TNA implíciias en las cotizacio nes dt futuros rellejan esras tasas y hasta un poco mas, impidiendo el arbítra le (comprar futuro y colocar pesos a (asa de interés para al finaJ del contrato cumpi'ai más dólaresj. Volveremos sobre este tema en el capítulo 5. donde iratammos con más detalle el dólar futuro (3). f I i os Utsas d e interés im plícitas d e ios bon os cupón cero
3 t t ,3 ■ 3
: 3 ■ 3
'3 3 '3 '3
3 3 :3 3 3 3 3 3 3
Los bonos “cupón cero" representan títulos que no pagan interés, y su lendimienio se obiien de comprarlos con un descuento. Tal es el caso de las letras del tesoro americano (T-Bilis] o las Lebac que emite el Banco Central de la República Argentina por períodos que van desde 30 días hasta un año. La tabla 2.5 muestra ios TNA implícitas en los precios de corte del día 4 de mayo de 2Ü05. Para comprobarlo, por ejemplo para la emitida por 42 días, hacemos |í IOO/u9,.1507í -]1 s 4.8O%
laulú lirJrac S Uhac $ Lehai. i lirl>ac S Lttiac S
Plazo 42 04 265
343 5-16
Vtmdmienio 15/0b/05 27/07/05 1*5/01/05 12/04/06 (H/lJ/06
Predocone 99.4507 98,7164 95,6103 93.71W 89.1333
Usía ¡mpliciu 4.800% 5,650% 6,300% 7.150% 8.150%
TatiU 2.5 Tj í 4 s lumiiuiiJes anuales im plícitas en ios precios d é la s L ebacs
1 Per supuesto, para cada cotización puede calcularse una lasa efectiva. Por éjtímfilo, para el plazo de 42 días, hay un rendimiento implícito de (100/ W 5 l i 7 ) - In 1.0055% L.' ngura 2.3 muestra que los rendimientos exigidos por el público au mentan con el plazo de veiicijiuentu. Trataremos esta relación en el capítu lo 12, que se la coiiuce como "estructura temporal de las tasas de interés" •‘4. 3 i JE 4*.. í 3% ' ' '■
lü O'Á o
so
too
IM lOa 2W MO 3sa 400 45C 500 sse
600
Ckashkua •!%wniHMÍ«l»
3
Figura 2.3 Curva de tcndtnuentos de Lebacs
3 ■3
3 3 3
ü) Inclusive debe tenerse en cuenta el rendimiento que se obtendrá depositando directa m e n te d ó la r e s .
( '
g ) L o s in íeresó s lie Ííts u r jc u ii fie c ré d ito
Algunas empresas emisoras de tarjetas de crédito calculan los iniercsi-,-. tomando com o base el saldo promedio por día. Suponga que una ta rje ia de crédito tiene un saldo deudor de $1.000,- El décimo día abona $5ú0 y eJ J e t i ' mosexio compra bienes por $250 abonando siempre con la tarjeta. La tusa iiu interés para Imancíar saldos deudores es del 36Si nominal anual VereniOi ahora el cálculo del saldo promedio diario si él período de corte es d e l-io día.-. Y el total de intereses abonados. Los movirnienros realizados con la larjcU aparecen en el siguiente eje de tiempo: 10
30
16
-T ” Saldo
Inicial
2S0
.500
Suido niial 1 OOO- 500-»Z50a420
1.000
Usted puede hacer un cálculo explícito del interés ¿obre cada capiial (como lo hicim os antes en el ejemplo de la caja de ahorrb) hasta el día u directam ente hacer un cálculo del saldo promedio diario, y luego calcular el interés sobre éste. El saldo va cam biando cada vez que se realiza im movimiento, por lo que para obtener el salda promedio se sunian los pmdiicros (n ú m ero d e d ías) x (saldo en cotia ptuzo) y este resultad.* se dividr por el total de días del períodu de liquidación o co n e de la iar|ct,i.
S aldo p r o m e d io d ia r io =
I .0nQ x9-t-5Q 0x6-f?ó0xlS 30
= 775
Note que los diferentes plazos tienen en cuenta la cantidad de días en que el saldo perm aneció en dicho nivel. Por ejemplo, se deben $1.000 du rante 9 días, ya que el día 10 e! saldo deudor baja a) realizar un pago j*or $500. También es de rioiar que en realidad cada uno de los plazos apan-cc dividido por 30, con lo cual el saldo promedio diario es un saldo proirit-iliu ponderado. El cálculo de los intereses entonces es más rápido que la m ecánica que utilizamos en el ejercicio anterior para los intereses de la caja de aJioiiu, ya que ahora sólo tenemos que multiplicar e! saldo promedia diario poi ü tasa de interés proporcionada para los 30 días del período de corte: ¡n iereses a b a n a d o s = 7 7 5 x 0 ,3 6 x -^ s = 2 2 ,9 3 365
*
.
Preguntas de auto-evaluacldn: 1. ¿La fvirmula genérica del monto a interés simple puede usarse en cualquier caso? 2. ¿Por qué las tasas se suman en el régimen simple en vez de m ul tiplicarse?
^
GuiLLtrj.íO Lopee D uk»r.\uf
\
¿Cuál es la diferencia entre el interés exacto y el interés comercial?
4. ¿I’or qué en el régimen simple las lasas son proporcionales y aJ niismo tiempo equivalentes?
2.2. A c t u a u z a c ió n
en
e l in t e r é s s im p l e ; d e s c u e n t o
r a c io n a l
V D ESCU EN TO COM ERCIAL
L-iiamln definimos el monto de un capital, se establecití una relación di recta eiilie el capital inicial y el valor final del mismo, sujeto a un régimen de capiialirindón a una tasa de interés "i" por un número tie unidades de tiempo que llamamos "/i't Supondremos inicialmente una operación genérica de descuento; querentos disponer hoy de una suma de dinero que tenemos a cobrar dentro de J año por $1; por su disponibilidad inmediata, nos descontarán los intereses que representan la diferencia entre el capital disponible dentro de un año y su valor presente. Moy
ILIO)
1 año
0,90
SI
El capital de 0,90 representa el valor presente de la suma de dinero futura, y la diTcrenria entre el capital futuro J e $1 y los 0,90 que recibimos hoy repre senta el ticsciienfo que sr define como la compensación o el precio que debe llagarse lUM hdispnnibiiidad inmediata de un capital antes de su i'encim ienindentro de n unidades tie tiempo. L;l pruresiuic m nsforniarióri de Jos vilort*»! futuros en valores presentes se denomina genéricamente "actualización" y representa la contrapartida del proceso de capitalización. En el régimen simple, se distingue entre un des cuento ra cin n a ly un descuento com ercial. La diferencia entre los mismos railica ei> la forma en como se analiza la operación, siendo en el fondo, exac tamente iguales. Comenzaremos describiendo el llamado descuento ra c io -' nal a los fines leúiicos, para inmediatamente concentrarnos en las facetas del descuento comercial, por ser esta forma J e calcular el descuento la más ex tendida en la práctica y por ser la forma en que el de.scucnlo es percibido por
los agentes económicos. El descuento racional: Es aquel que se practica sobre el v'alor actual o presente del documento (que denominarerno.s V, o Co. ya que es el análogo del capital inicial en el interés simple). En el descuento racional, los intereses se calculan sobre el capital recibido "V":
iNTEilfs S imple D r^VA ji El valor recibido es Igual aJ m om o del documento menos el descuerno: 7 = D i- D r
""
ycom oCn = V-k-Dr=i V-¥V.Ln Si UamamosVral valor actualcon descuento racional, tenemos 1/ r - ---------V
‘
(l + m)
Observe que la fórmula del valor actual con descuento raciona] es exaaam enie igual a la fórmula del capital inicial en el interés sim ple; ya que Vr es igual a Co.
Cuadro d em arcJiad el descuento racional Si observa la siguiente tabla verá com o la función del descuento peiíódico es decreciente;
T
D r=
(1 + in)
Cii-V/-
o - » .)
Dr= O i-tr
1
0
IDO
0
1/(1+i)
l-I/fl+í)=i/(l+i)
90.90
í',09
2
l/(l+i2)
l-l/(Ui2)= i2/a+í2)
8333
3
l/(l +i3)
M/(l+L3)= Í3/(I+Í3)
7S.92
2‘'.077
4
1/ÍI +Í4)
I-I/(l+i4)= ¡ 4 / [ I h
7Í.42
27.57
OO
0
0 1
.
4)
1
1
*0
iíXj
*
Fórm ulas derivadas del descuento racional Las fórmulas son exactam ente las mismas que \imos para el niomu a interés simple y sus fórmulas derivadas. Recuerde que en el descuento ra cional los intereses se calculan sobre el capital recibido en piéstam o. de ahí el nom bre de "racional". " '
'í í i
I
i
G ittL L fM w io L ó p e z D u M R A ijf
Tasa de imerés
A'iilor actual
. C n -V i = --------Vj i
p ..
0 ■ * '.a
f
(1+í.n)
n
Nüniero de perfuJos
Descuerno acumulado
C/j - V = ---------
D(0,/i) = 1/././I
,
»‘lnáU;.is del descuento racional D.'.scmnto p eriódico: El descuento periódico es decreciente. Esto puede observarse si calcu lamos el descuento periódico por diferencia entre valores actuales de un período a «tro, por ejemplo del período 2 al período 3: I Íi+i2)
I
1+ Í 3 - I - / 2
ÍJ+/3)
(I+/2).(l+/3)
Íl + í 2 ) . ( l + í 3)
■ a " a ' »
a «
a
A inedida que crece el número de períodos, el t'alor del denominador crece, por lo tanto el valor del cociente decrece. Infensidad p eriód ica o descuerno c/ecliuo: Se refiere a la proporción que representa el descuento periódico res pecto del valor sobre el que se aplica el descuento, que en este caso es el valor actual que quedó del período anterior. Emonces, dnndiendo el des cuento periódico por el valor actual, tenemos:
» a
a a
a aa
a a a a 9
i ' -I <2m' I -t- i3\ ____ i___
I
” (I + Í3)
(I + /2)
In ien sidad u n itaria: Vi
in (1 irm)n
(1 + m)
,A ■ominuaclón observ'amos en las figuras 2.3 y 2.4 las funciones del valor .iCtual y del descuento acumulado
lí/ T íR fS 5 i m p i e
1/f i.n
V i
1.0
OB 0,6
-
04 0.2
0,0 50
1CX)
.
150
Número de períodos Figura 2.3 Valor aciu al con Je s c u e n io racional
Figura 2.4 D escu em u acum ulado con Jescu eriro rad on al
Andlísis de las ftinciones del descuento racional con derivadas Las funciones del valor actual y del descuento pueden analizarse tarubién con derivadas. La d eriv ad a p rim era nos d ic e si !a fu n ció n crccv o deci t-ce m ien iras q u e la d eriv a d a segu n da nos d ice a cer ca d e la fo r m a d e L¡ Ju u < ción. L afim ción valoractu al Si expresamos la función del valor actual con descuento racional coiuó ü+in)-^ hiaciendo la derivada primera con resp ecto a n, aplicando Ja re^'la de la potencia y la regla de la cadena, tenemos: • l’-DfJ+in}-^ . i < 0 que nos indica una función decrecicnre la derivada segunda, será
(-l).(’2.KC2+irt) * i^ ~ 2 i
^
>Q
al ser positiva la derivada segunda, sabemos que su forma es cóncava. Por lü que podemos afirmar que es una función decrecien te, siendo asimótica a) eje de las abcisas (al principio decrece rápido, para luego hacerlo mas leulamente: esto también puede entenderse sí tenemos en cuenta que ei nu-
G u ilL t R M O lo r E 2P ü M R A ljr
4 0
mcrador clfi la función se divide por un denoniinadoi que crece menos que proporcloijalinente, y en consecuencia, d valor de la función también dis minuyemenos que propoicionalmente). tnfum:if}n descuento racumnl Si Cu = } entonces D = l despejando resulta que D ~
íunrióM D -
•7s n u
l (1 + új)
(I +// i)-l (l + ói)
— = o((I -f- ó?) ' (I+//Í)
inma ios siguientes valores:
r>= n I
) = Cji
Lñ flerikada primera, aplicando la regla
Tor In tanto, la derivada primera sería
'
u’r 4 v'u itv —------ ;-----
— '—- > 0 (1 + m r
V la «leiivad.a segunda es -2 Í^/(ii inP < ó H desrueiUo racional es por |o tanto, una funcifin crecieníecuyo techo es el valor nominal. l.a operación de dc.scuenlo eii la práctica: d descuento comercial Cuandií ios intereses se abonan al Inicio do la operación de descuento, las lasas utilizadas se denominan adelantadas o de descuento, A este tipo de opcraiorta so la denomina "descuento comerciar o "descuento bancatío", sietulo la mós utilizada en la práctica de los negocios. Como el descuento se practica sobre un valor final o monto (el valor final es el v^alor nomina! del documento, sea e.ste un pagaré, un cheque, etc.) 3’ no sobre e! capital que realmente se presta en la operación, resulta UM beneficio adicional para el prestamista, como veremos a continuación. Ejemplo: se tiene un documento de $1 que vence dentro de 1 mes (4), pero se decide de.sconlarlo en una entidad nnanciera, para disponer de (4) En este ejem pio .se fia trabajado con una (esa efectiva de descuento que Uamamos d Icuando ei periodo de la operación es uno solo, la tasa nom inal de descuento yla efectiva de descuen(osnnÍg\iales). '
iNTERÍi SiMrU cíe.Clívo InniedíatameMíe. El (jescuento es cJel 20% mensya!. de forma laí fjue se reciben 80 centavos: Hoy
1 mes
0,80
S( d-0,20
En el descuento comercial los intereses se calculan sobre el val«»r nomi nal del documento, que es asinnlabíe a un capital futuro o monto (c n): ChCn.d.n De fonna tal que el valor actual del documento es igual al valor nominal menos el descuento: I ! V = Cu’Cn.d.n
f
V ^ C n (l-d M ) En nuestro ejemplo, el valor actual recibido es: V - l~ 0,20x 1 - 0 ,8 0 Ob«;cr\'e que p1 descuento se practica, a diferencia del descuemo ra* ional, sobre un valor futuro (el valor nominal del documento, que es el valor, que tendrá el documento dentro de un mes) pero se recibe en préstamo una suma menor (0.80), Por lo tanto el prestamista gana un rendimiento que es igual al descuento fdj sobre la cantidad que efectivamente presta a -d j: . D escu ento V alor actu al ¿Cuál es el rendimiento que obtuvo el prestamista sí cobró el 20% de interés sobre un capital de $1 y en realidad sólo prestó O.BO? Obviamente, es mayor al 20% pues si colocáramos el dinero obtenido en préstamo al 20% apenas alcanzaríamos 36 cenlar^os 0,80 X (1+0,20)^0.96 La tasa de interés implícita o equivalente en la operación anterior puede despejarse fácilmente razonando cuál es la tasa de interés vencida a la que tendríamos que colocar el capital obtenido en préstamo (1-d), para re construir el peso que dio origen a la operación: (D d).(l+i) = i 0,80 X a + i)
i
¡¡íM
G u iL L g R M Q L ó p e z D u m r a ü f
Doníle larítas.^daintjr^ vencida ir^u^u serd .ai qge también arribamos ra2onando el rendimiento que tuvo el prestamisca; /= ■ l-d-
0,20 1 - 0 ,2 0
= 0,25 = 2 5 %
Este tipo de descuento tiene una característica distintiva: la tasa que se litiliza en la operación es una tasa d e descuento o adelantada, ya que se calcula sobre el valor que el documento tendrá en el futura A esta tasa de descuento le corresponda una tasa equivalente "i" vencida, que en nues tro ejemplo resulta ser del 25 %. Por lo tanto, el verdadero costo efectivo de la operación de descuento siempre hay que medirlo en término de tasa de interés vencida. Hay numerosos casos en ja vida real donde aparecen operaciones que tácitamente involucran una tasa de descuento. Por ejemplo, los bienes que *se venden con un precio de lista (que puede abonarse con tarjeta de crédi to). o con un descuento por pago al contado. Suponga que un bien puede adqiiifíráe según las slginentes.condíciones: P ieao lista; IQO Piecio al contado: 10% de descuento Ei precio de lista puede abonarse con tarjeta, y tenemos la opción de abonarlo al contado con un descuento. Supongamos que el resumen de la tarjeta habría que pagarlo dentro de 30 días. Pero la pregunta que debe mos hacernos es: ¿cuál es el interés mensual que terminamos pagando sí no aprovechamos el 10% de descuento? Podemos despejar el costo de fi nanciar la compra con tarjeta con la fórmula para despejar la tasa vencida a partir de la tasa de descuento: Ü.IO = n.l 111=11,11% l-d 1 -0 ,1 0 Si hubiéramos abonado la compra al contado, habríamos desembolsa do líMi I !Ü0 tnenos un diez por ciento). Es fácil ver que de 90 a 100 hay un i i ,11%, leniendo en cuenta que al perder el descuento, terminamos abo nando 100 dentro de un mes y esto implica un costo del 11.11%. Es posible establecer una relación de equivalencias entre lasas de descuento y tasas líe ínieres vencidas, como se obser\'a en la tabla 2.6: —
1 -----10,0% 20.0% 30,0% 40,0% 50.0% 60.0% 70,0% 80,0% 90,0%
i
11,1% 25,0% 423^ 66.79^ 100,0% 150.0% 233,3% 400,0% 900,0%
T abU 2 6 Equivalencia émre rasas vencidas y de descuerno
; •'
-
'
_ Í N T E R f S
^, , |{
Observe como la diferencia entre ambas casas aumenta a medida que aumenta el vafor'nominal de la tasa de descuento. Por ejemplo, para un Sü%de descuento habría que colocar el dinero al 100% para reconstíiuir el capitul que dio origen a la operación. ' ^ Cómo se pacta el descuento en la vida real: la tasa de descuento nominal En la práctica el descuento de documentos se pacta generalmente una tasa nominal anual de descuento, que llamaremos "/fm/' y se proporcio na para la cantidad de días hasta el vencimiento del documento. De la proporción de la tasa nominal de descuento surge una tasa de descuento efectiva “d" para el plazo de la operación. Ejemplo: Se descuenta un documento de $ 2.000 en un banco cuando faltan 35 días para su vencimiento, pactándose una tasa nominal anual de de.5Cuento del 90%, El descuento de la operación es • ? . D = Cn X f { m ) x 365
2.000
X 0,90
X —
= 172,6
365
y el valor actual recibido
V=¡Cn x ( l - f ( m ) x ----- ) 365
2.000
x a -0,90 x - ^ ) = 365
1.827,4
En el Apéndice B de este capítulo fíuede verse una tabla de conversión entre tasas adelantadas y vejícidas para diferentes plazos. Por supuesto, l.i lasa nominal de descuento de! 90 % implicaba una tasa efectiva de des cuento para 35 días de 8.63%:
= / ( mi X
365
== 0 . 9 0 X
365
= 0,0863
En e) capítulo 4 abundaremos sobre las relaciones entre las disiímas tasas, siendo posible obtener una lasa efectiva de interés a partir de una nominal de descuento, o una tasa efectiva de descuento a partir de una nominal de interés, y así sucesivamente (5). ' _ ' .
(5)
Cuando !a capitaU zacian e& co n iín u a, las tasa!¡ de in ierés y de d escuento se igijalao
44
G u i l u r m oL ó p e zD u m u a u f
LaequivaiencJa entre las tasas de interés vencida y de descuento pora opera ciones con más de un período Vimos anteriormente que en Ja operación de descuento surge una tasa de interés vencida implícita o equivalente, que se podía obtener rápida mente medíante la ecuación i = ci/l-d. Esta ecuación de arbitraje servía para operaciones que se contrataban por un solo período y las tasas involucradas eran efectivas. Sí bien en la práctica las operaciones de des cuento se contratan siempre por un solo período (independientem ente fíe cuantos días tenga éste) f6), solamente a los efectos teóricos vamos a definir la relación entre ambas tasas cuando la operación de descuentose corítrata por más de un período, lo que nos permitirá establecer una im portante observación: en eí régim en sim p k , las ta sa s so n siem p re n o m in a les. Para esto basta despejar la tasa de interés vencida i a la que colocada durante n períodos el valor actual (1-dn) vuelve a reproducir el peso que originó la operación: l¡-dii}.(lA Ín} ^ 1 í 3" nulo téruunos obtenemos una expresión que nos permitirá obteiif»r In oquivniencía entre las lasas de inerés y de descuento para diférenip*: períodos. Vaino.s a reproducir la deducción por pasos: i n ¡u in ir tic d: ------- = l + m l - (fn - I r ;;, 1 - tín l - ( l - W n) _ . (I ~í/n)n
I-
dn
d a p a rtir d e i:
1 1 -I- in
■= l - d n
1
dn - l - (U rn )
. i!+ i/i)-l ( l + i/t in
ü = --------- ------
l4
m
l ina observación impórtame es que el valor que adquiere "n” modifica 1.1 relación entre la tasa de interés vencida i y la tasa adelantada d. Vere mos en el próximo capítulo que esto no ocurre en el interés compuesto, donde .se trabaja con tasas efectivas. Volvamos a mirar las fórmulas fina les:
(6) C)»^citnos que se controla por uu periodo pues la operación finaliza cuando se des cuenta el tiocumenlo: no vuelven a practicarse nuevos descuentos sobre el mismo valor nominal.
iN T F R t S S iM P U
\ -d n
4 5
. ¿/=I + in
f j
En rigor de verdad i debería ser denominada ''Jim)" y d debería ser denominada “fím )" en esas ecuaciones. La razón es muy sim ple: tanio í como d resultan ser siempre tasas nomlnaJes cuando el num ero de perío dos d éla operación e.s mayor a uno (y son también efectivas cuando n = i). En el ejemplo que descontábam os un documento con una d = 0,2'J y n = i entonces i = 0,25. Veamos ahora qué ocurre si d si 0,20 perón = 2 Matemá ticamente, al realizar i = d /]-d n , cuanto mayor es el valor que adquiere n. menor es el vaJor del denominador, y en consecuencia mayor es el valor de i. Si descontam os un documento de $ 1 por dos períodos siendo d = 0.2U el descuento efectivo es del 40 % (de forma ral que la lasa efectiva de'descuen to es “dn" por lo cual el valor actual resulta ser de S 0,60; luego deberíamos colocar esta suma durante dos períodos aTiina tasa de interés vencida del 33,33 % para reconstruir el peso inicial (7), de forma tal que i es una lasa nominal, siendo "i.n ’ la verdadera tasa efectiva de la operación: (1-0,20.2) = 0,60
r' m '-
cCr C '
0.60 (1+0.33x21=1 La diferencia i-rí es el interés del descuento o e! descuento del interés. Definiendo la tasa de descuento d como lo que se descuenta a h* unidad de capital en la unidad de tiempo, es decir que se entrega (1-d), que capitali zando a la tasa i debe reconstruir el peso: ( } -d ).(J + i)^ l
C t'
C -
C "
-
De esta relación d e arbitraje p o d em o s verificar que: a) d = i.v la lasa de descuento es igual al valor actual de la lasa ü vint'’»és (ya que v= 1/1+i) b) i = d(l +i) la tasa de interés es igual ai monto de la tasa de de.'?' uenin
« í:
« r .«I
'
c) i - d = d(l+¡) - d = d íl+ j-J) = d.i ' Conclusión; la diferencia entre ambas tasas puede sintetizarse conu» él interés de descuento o el descuento del interés.
« í-
Descuento com ercial y racional: dos medidas diferentes de unr m ism a operación
m -
En realidad, el descuento com ercial y el descuento racional >on dos medidas diferentes de una misma operación. Cuando en el ejemplo ante-
(7) Como .se verá en el próximo capítulo, en el régimen compue.sto el vale» nün'>«‘ro de períodos de la operación, no modifícala relación entre la tasa vencida yla ia~a<íedes-
cuento.
m m-'mm-
•4o
- G lmllfravo Ló I»£2 D u m RAÜF
ñor stx dascontába una suma de $ l por un período y se recibían $0,80; los 20 cemavQs de diferencia representaban el descuento de la operación. ■
"S i
.9
Si et análisis se efectúa a partir del capital inicial de $80 que se obtenían en préstamo, el interés abonado es del 25% y podía considerarse que los intereses eran abonados por período vencido, como supone el descuento raciona! (es como si analizáramos la operación desde abajo hacía arriba). Sí la operación se analiza "desde arriba", o sea desde el valor final de $1 y no desde el valor presente, hay un descuento de 0,20 y representaba un inte rés cobrado al principio de la operación, resultando una tasa de descuento o adelantada de! 20%: ,
1.00
■% ■#
25% da inierAs
20% da dascuanto da 1,00 a 0,80
«
0,BO
1.00
m -9
9 «
9 .9 ..9
é ',9 ;'9 9
9 ' 9
'9 .
0,80 Ntatemáticamente, resulta fácil demostrar que el descuento racional y el couierciaJ son lo mismu, si sustituimos en la fórmula del descuento co(nercial el valoi de Cn: f- = Cn.d.n
y a (a v e z V := C n {h d n } y com o Cn = V/(I~iin)
Siistirv'Yendo Cn en la expresión D, el descuento comercial queda: V /* = ■ cd x n 1 - ihi Cliserve que esta última expresión es igual a la expresión del descuen^ fu rat-iuiia). ya i[tiB M d-dn) = i. entonces quedaría 0 = líc/i. que es igual a la expresión del descuento total para el descuento racional. También puevie oi.serviirse la equivalencia sí reemplazamos en la formula del descueufo racional.
' Cn'
.
^ — X ¡ y .n
1 +7/1
Cómo í/J+bi = d entonces D - Cn.dM que es igual a la expresión del descuento to tal para el descuento comercial.
''9 ' :9
.9 :9 ' '9
9
i^.uaUro dé m archa del descuento comercial Prescindiremos ahora de la notación simbólica para mostrar una rela ción importante. Observe en la tabla 2.7 que el valor actual del documento es ígiial a cero al fínaí del quinto período:
I m TERÍÍ Sl/riOU '
.. ’
■D
'V
Período
Cn
J
Í.OO
0.20
0,80
2
0,80
0,20
0,60
3
0,60
0,20
4
0.40
0,20
0,20
5
0,20
0.20
' o.m
'
V
0,40 ’ .
Tabla 2.7 Evolución del valor actual en el descuento comercial
Como en el régimen simple de descuento éste se calcula siempre sobre el valor final de la operación, el descuento periódico esconsrante.Las relaciones más imporrantes se analizan en la siguiente sección, para fraiar luego el tiempo que larda el descuento en anular el valor del documentn Fórmulas derivadas del descuento comercial
Acontinuación se muestran las fórmulas utilizadas en las operaciones «le descuento comercial, haciendo la salvedad que d es unaTása efeciivra hn I.jí casos en los que las operaciones se pactan con una tasa nominal de desruen lo, ésta tlehe ser proporcionada para el penodü tieja operación. Valor actual
V = C ni[~d n)
Tasa de descuento
:
Número de períodos C n-V
,/ - iríLZ
n - ------- --
V.d
Cn.n
Desellen til aciiiimlado /)((),/i ) = C i u l fi .
.
'y
1 M
Análisis del descuento comercial Como los intereses descontados siempre sc calculan sobre el misnn> valor nominal (o capital final) los descuentos periódicos practicados son siempre iguales (si es que no se modifica la tasa de liesciienio utilizado).. Por lo tanto los descuentos acumulados serían: a) Descuentos acumulados D(0,n) = D(O.l) + Dtl,2) + p{2,3) Por lo tamo D(0,n) = Cu -
+ D (n-l.n) = Cn.ii.n
Dr - (Cn * Cn.d.n) = Cn.d.n
■
De manera que el descuento acumulado es igual a n veces él desuitiito periódico. -
4 8
G u H I E R A íO L ó Í E Z ,D w 4 P ; . M í r
b) lúteusidad periódiea del desciienlo o descuento efectivo: el descuerno efectivo es creciente, ya que si bien el descuento periódico es constante, la proporción en relación al valor presente aumenta en cada período:
J - r f X /7
Al aumentar el número de períodos p, el denominador es menor, y en consecuencia, e! resultado es cada vez ma^nDr. El valor actual en el descuento comercial aparece representado en la figura 2.5. fe una función lineal de la fo rm a je -nx+b válida en el intervalo conipi endido entre n = 0 y n = 1/d; corta a los ejes en los puntos ÍO.l) y (1/ flO) y (ieíjp un coendontc angular igual a (>d), donde d representa la pen diente de la futición, que es decreciente ya que a medida que descontamos él valor nominal por un período mayor, el valor actual desciende. La fun ción de.scuento se observa en la figura 2.6 y también es una función lineal pero credcm e desde n ='Óy teniendo por techo el valor nominal cuando n =¡ 1/d (no puede descontarse más que el capital toral que dio origen a la oper.adón) -
InrfRfs SíMru Tiempo que tarda el descuento en anular uii capital o tlocuriieriIb ; En teoría, como pudo observarse en el cuadro de marcha, el déscuento comercial puede llegar a hacerse Igual o superior al valor de! capital descoii' tado. En el primer caso supondría un valor actual nulo y en el segundo se obtendría un absurdo matemático, ya que el valor actual del documento sería negativo (8). El tiempo en que un capital se anula es igual a la inversa (recíproco) d*: la lasa de descuento (9); para obtener el número de períodos que anula el valor del documento, simplemente Igualamos a 0 (cero) el valor actual: ■ I
Si 1-dn = 0 y despejando el número d e períodos (enemas n = - d
tv m -
p p '-
■
El descuento comercial podría ser tachado de irracional ppr.el caso ex tremo mencionado, pero si recordamos que en la práctica su uso re limita a plazos cortos, dicha circunstancia no se presenta. ■
Preguntas de auio-evaJuacidn: L ¿Por qué la operación de descuento comercial involucra una tasa de interés implícita? 2. ¿Porqué decimos que en el régimen simple las tasas deinter<^* rois siempre nominales?
m -
3. ¿Cuánto tiempo tarda el descuento en ajiular el valor de un docu mentó?
,
■ 2.3.
■ /
■_
'
EQUI\’ALE.NC1A DE CAPITALES EN BU RÉGIMEN SIMPLE. Y REE^tPLAZO DE PAGOS
Se dice que dos capitales son equivalentes en una fecha dad? cuaiidn descontados a la misma tasa, llénen el mism o valor actual. Este es ‘in priii. cipio matemático de amplio uso en las finanzas, y dicha equivalencia pue de ser calculada tanto con ei descuento comercial como con el racionaL
« n
Vamos ahora a extender este principio para ej caso de) reemplazo ile pagos. Cuando por alguna circunstancia un deudor no puede cumplir con una serie de pagos que estaban destinados a cancelar una deuda, es posl-
(8J Esto sola m en te tiene valor co m o curiosidad m atem ática. En la práctica nadi? f r e cuenta un d ocum ento pora no recibir nada o lo que es m ás absurdo, tener que dar dinero tiara no recibir nada a eam bio. (9) Tam bién puede decirse que el valor del d ocum ento se anula cuando la ta.sa es igual a la inversa del n úm ero de períodos. . ..
f i '; '
■ él
50
G u íil ír m o L O f'ír D ü v ifu ü f
ule iá refíníLnciacidn J e lá míaítia á través del vencimiento coínün o el venci m ien to medio.
V encim iento com ún Se habla de vencim iento com ün cu a n d o se reem p laza un con ju n to d e d o p o r uno nuevo (cuyo valor es diferente a la sum a de los docum entos anteriores) y se establece un nuevo plazo de vend m i^m o (este plazo de vencimiento, es “común" para todos los docum en to s reem p lazad o s). E n ton ces se trata de reem plazar a varios capitales C y C ....... por un solo capital "Q ^con vencimiento en un período deierminadc. "r”.
cumentos reemplazándolos
Itecord em os que para que el nuevo pago que va a reem plazar a los anteriores s ea equivalente desde el punto de vista financiero, el valor actual del Tíuevo pago (V ) siem pre debe ser igual al vaior actual de los anteriores pagos. Sup oniend o que el d ocu m ento nuevo quiere reem plazar a otros dos cuyos v encim ientos operaban dentro de uno y diez m eses respectivamente, la expresión del valor actu al del nuevo documento según el descuento ra cional seriar .
C.
Cr
a+i)
(i+ ix io )
En el v e n c im ie n to co m ú n las in cóg n itas pueden ser dos: si predefuvimos el plazo de vencim iento, la incógnita es el valor del nuevo do cu m en to ; sí predefinim os éste último, la incógnita es el plazo de venci m ien to. Una vez obtenido el valor actual del nuevo pago (V) se calcula el valor noniínai del nuevo docum ento (o capital final) utilizando sim plemente la íorinula del in terés simple. Si el nuevo documento se firmará con un vendm íeuio d en tro de 12 m eses, su valor sería:
C,=\/(t + /xl2 ) rlyempío: Se ha docum entado una deuda en 2 pagos a los 6 y 8 meses de plazo, por ím porres de $1,000 y de $10.000 respectivam ente. De común ‘ acuerdo, d eu d or y acreedor deciden reemplazar esos dos pagos por uno soló, a efectivízar dentro de 10 m eses. Determinar el valor de ese nuevo pagó dentro de 10 m eses, sabiendo que el valor de la tasa de interés venci da t;s del 2% m ensual. Resolveremos analizando por descuento com ercial y racional, de acuerdo a las equivalencias que fueron tratadas anteriorm e iile. iii P o r d es c u ern o ra c io n a l
>
"
Él prim er paso es calcular el valor actual de los dos docum entos, para o b ten er el valor aciual del nuevo documento, que se firmará con un ven cim iento a d ie z m eses:
I ntehís S imple
1.000 10,000 = 892,85 + 8.620,69 = 9.5 i 3,55 (I + 0.02 X 6 ), (1+0.02 x 8 ) Luego se calcula el valor nom inal del nuevo documento m ediante la fórmula del m onto a interés simple, para diez períodos:
C,o = 9.513,55 X (1 + 0,02 >: 10) = 11.416,25 El nuevo docum ento, firmado con vencim iento dentro de diez meses por un valor de $11.416,25, es equivalente a los dos docum enios,poi í.ono y 10.000 pesos, que vencían dentro de 6 y 8 meses, respectivamente Un punto muy im portante que debe remarcarse, es que, en e l régim en sim p le, siem p re d e b e ca lcu la rse p rim er o e l v a lo r a c tu a l d e l d ocu m en to, parü d esp u és c a lc u la r su eq u iv a len te en o tra f e c h a fu tu ra. Por ejemplo, el docii“ m entó de $ 1.000 que vencía a los 6 m eses tiene un valor^resem e de 892,85;; la diferencia de 107,15 son los intereses entre el momento 0 y el m es 6; s i ' capItaJizáxamos el valor nom inal del docum ento (1.000) para llevario iliici lam ente a la fecha futura donde vencerá el nuevo documento, esto sería im o rrecto, puesto que se estaría capitalizando los intereses y se transformaría la ' operación en una de interés com puesto.
b) por descuerno comercial Si la tasa de interés vencida es del 2% m ensual, la lasa de descueni,. equivalente es influida por el número de períodos, según vimos antes en este mism o capítulo, donde la obteníam os a partir de la siguiente e>:jnesión; d=-
1+ in
Para e) primer docum ento la d equivalente para 6 meses es;
0,02 1 + 0 ,0 2 x 6
= 0,01785
Y para el segundo docum ento la d equivaleñie para U mesej. es:
— ^= 0.01724
1 + 0 ,0 2 x 8
.
Luego, resolvemos el valor presente de am bos documentos; v = v ,.v , V = 1.000 (1 - o ,O I78 5 X 6)+ ¡0 .0 0 0 ( h 0.01724 >: SJ = 9.513,55
GtJltL£RMO lÓP£2 D umRAUF Que es el mismo valor obtenido a travéwS de la fórnuila del valor actúa] con descuento raciona] que vimos anteriormente, £1 valor nominál del nuevo documento también se calcula igual que antes, mediante la fórmula del mon to a interés simple, para diez penodos:
Q = 9.513,55 (1-f 0,02 X i 0) = 1L416,25 Vencimicnlu medio Se habla de vencimiento medio cuando solam en te se m odijica el p lazo d e vencimiento; no se Ic cambia el valor a los pagos ya que los capitales se reem plazan p or un cap ital C, que es igual a la sum a de los capitales originales. Siguiendo con el ejemplo anterior, donde el valor actual de los dos do cumentos a reemplazar era de 9.513,55, debemos resolver el nümero de períodos que tarda ese valor en igualar la suma de los dos documentos ÍC, -» C=i/.d00) rara obtener el plazo de vencimiento se recurre a la fórmula que obtiene d nóniero de períodos, y que habíamos deducido de la formúla del monto a interés simple: 11 .0 0 0 - 9 . 5 1 3 , 5 5
:7 .8 l
‘*.5 1 3 ,5 5 x 0 ,0 2
la parte fraccíqnarin de la respuesta (0,81 meses), debe interpretarse como el TdTr de un tnes de 30 días, lo que significaría que el plazo sería igual a 7 inpsc« y 2‘1 día.s. «
A diíc»pncia del vpndmiento común, cuando tenemos un problema de tuedí' » ía incógnita puede ser una sola: el número de períodos,
miar nom inal del nuevo documemo es predefinido cvnio Insuma de hs rniai rs anmituiles de Im áoannentos aue reemplaza, y por lo tamo no es
va q u ? c/
'liva incógniia;'
_j---- - _|
/
t 000
10.000
-.81 Observe que el valor del número de periodos cae entre los dos vencírmVmoj, como no podía ser de otra manera. Si lo analizamos desde los límites, e! '*encimiento común nunca podría haber caído en el período 6 o en el 8. £n el primer caso porque el valor presente de 10.000 harían que la suma de los dos documentos seamenor a 11.000 y en el segundo porque en ei período ocho los 1-000 capitalizados harían que la suma sea mayor a ILUOO. Por lo tanto, necesariamente el vencimiento común debe caer entre
ÍNrEPis SíMPU
53
los vencimientos. ¿Más cerca de 6 o de ocho? La fecha del vencimiento comün dependerá de dos cosas: a) el valor nominal de los documemos y bl ia tasa de interés. El lector puede comprobar por su cuenta que: • si el orden de los vencimientos se hubiera invertido, con 10.000 ven ciendo en el mes 6 y 1.000 venciendo en e) mes 8, el vencimiento común se produciría en el período 6,17, • sí la tasa de interés hubiera sido del veinte en vez del dos por cíente, el vencimiento común caería en 7,79. Un atajo para calcular el vencimiento medio: la tasa no influye en el des-^ cuento comercial El último punto de la sección anterior ilustraba una relación n5U3' im portante: aún para grandes cambios en la tasa de ¡hterés vencida, el ven cimiento medio se "corre muy poco” ¿Por qué ocurre esto? Cuando la la.sa de interés aumenta, hay dos fuerzas que juegan en sentido coníratío: por un lado se capitaliza el valor del documento cuya fecha de vencimiento es anterior al vencimiento medio, y por orro lado se reduce el valoi actual del docum ento cuya fecha de vencimiento es posterior al vencimiento medio. En general, el vencimiento medio se mueve hacia la fecha de ven cimiento del documento de mayor valor, pero un aumento en la rasa de interés produce el siguiente cambio: • si el documento con mayor valor aparece después el vencimíeoio medio se anticipa. • si e! documento con mayor valor aparece el aumento de la tasa lo acer ca a su fechá de vencimiento. Lo inverso se cumple para reducciones en la tasa de interés. Estos ?feci son todavía más importantes en el régimen compuesto, y conocer esfa roa- . cíón tiene particular importancia en situaciones de la vida lea), por eí‘'mjd'), en la ''inmunización" de carteras de títulos de renta fija. Esta siluaddn '■•e describe con detalle en el capítulo 12 donde se traía el efecto precio-tasa >.lc interés en los bonos.
m m
« « I:
m
El caso del vencimiento medio en el descuerno comercial planteaim caso
interesante,y¿3quepodemosca/cularloi/uiepe/iííieníemc/ireíielatm/7'jlecohtrato de descuento de In operación. El principio de equivalencia nos díco que el valor actual del nuevo documento es igual a la suma de los valores actuales de los documentos que reemplaza: C a -d .t)^ C ,( J'< L tJ -i- C ,( l~ d .t^
-
Distribuyendo y luego sacando factor coinün queda: C - C d J = C ,’ C rd,t^-i-C j-C ^d.tj Como en el vencimiento medio el nuevo documento simplificar la ecuación y queda:
Cj + Q podemos
■fr
n U M fjv U f'
Finalmente pódennos despejar r l -
^2*^2
C ■
, .
:
1.000 x 6 + 10.000 x 8
. En el ejemplo
lEOOO
— — = /.oí
^ si se in\drtieran los vencimientos, como fue mencionado anteriormen te, el período t hubiera sida de nuevo 6,17 1 0 .0 0 0 x 6 + 1 .0 0 0 x 8 i = ——--------------------- ------------- = 0 ,1 7
ÍLOOO
En el caso particular de que C] = Cj la fórmula quedaría \^
+
NC,
^h+h N
donde N representa el número de documentos. Observe que en estas expre siones no aparece la tasa de descuento de la operación. £1 resultado hubiera sido el mismo ya sea que la tasa de descuento hubiera sido el 2% o el 200%. Sin embargo vimos que cuando aplicábamos el descuento racional un cam bio en la casa de interés vencida tenía influencia, aunque muy poca, en el vencimiento medio de la operación. ¿Por qué en el descuento comercial el canibio en la tasa de descuento no influye sobre el resultado? Ya vimos que para que el descuento comercial y el racional arrojen exactamente el mismo resultado, tendríamos que utilizar para cada documento la tasa equivalente p a n cada período, según el vencimiento de cada documento. Así. tendríamos que calcular la d equivalente a la i en cada período, ya que la relación se ve aJterada por el número de períodos, como fue demostrado anteriormente. En cambio, si utilizamos el descuento comercial y se predefine una tasa de coníraío d, si bien es cierto que cuanto mayor sea ésta menor será el valor presen te de los documentos, in m ed iatam en te a p arece im plícita u n a tasa vencida d e a rb itra je q u e igu ala el valor presente con la su m a d e los d ocu m en tos (ILOOO) siem pre en idéntico plazo. Por ejemplo si hacemos ei cálculo con tasas de descuento de d = 2% y d = 10% mensual, el valor presentede los documentos en cada caso sería: 1.000 (1-0,02 X 6 )+ 10.000 (1- 0,02 x 8) = 9.280 1
(1-0,10 X 6)+ 10.000 (l - 0,10 x 8) * 2.400
Luego, el vencimiento medio en ambos casos sena: ,n =
Cn -Co Cn.d
U.OOO-9 .2 8 0
11.000x0,02
= 7.8181
^
B -£ £ = ll:E £ r ¿ d o o .7 .s ,s i
Cn.d
11.000 ><0.10
Luego, siempre hay Implícita una tasa de interés vencida que h a ce que la colocación de 9.2Ü0 o de 2.400 Í2,37% mensual y 45,83% m ensual) al cance en 7,8181 períodos el monto de $11.000: ' 9.280 (1+0,0237 X 7 ,8 1 8 1 ) - ILOOO 2.400 (1+0,4583 X 7,8181)= U .0 0 0
..
Por lo tamo, la tasa de descuento no influye en el vencimiemo medio ya que si ésta aum enta y con ello disminuye el valor presente de los docu mentos, luego surge una tasa de interés vencida mayor que vuelve a Igua lar el valor presente con la suma de los documentos siempre en el rriísniu plazo. , . . ........ ^ ■ ¿Por qué el cam bio en la tasa de interés sí influye en el vencim íem u medio con descuento racional? La explicación requiere de observar los cambios en el valor de la fun ción vencim iento medio para cam bio en el valor de la tasa de ínierés, dv;rlvando la función De ucuerdo a lo visto, en un caso simple de dos caijii.i les, el venciinienlü medio debe cumplir la condición; (C j+ q ) / (1+it) = q / n + ít,)+ q / ( 1 + ii,)
( 1)
Podemos despejar el tiem po *i’'de la expresión (ÍJ: t = {l^ Cj (1 + ig +
(1+it^)) / (C, ÍM-ih) + C, (Í'-Fif,l.)
(21
reordenando la expresión 2, queda:
L= (t,c , +
-i í i, i, (C, + cp) j (C, + c:^ + 1 (C, t, +
tp )
í3j
verificando en nuestro ejem pló: t = (600(1+80,000+0.02 (48)1 ),Ui)(n / Minou + 0,02 (68.0UU)) = 7.81 Analicem os si es posible afirmar que la función t (i) es creciente u df creciente. Para ello, estudiemos el signo de í(í+Ai) - f ( i ) : t í¡)= (t,C ;+ t,C j+ i 1, t,(C , + C.J) / ÍC, + C ,+ i [C, t, + G, t,)) t(í+A¡) = (t, G, + Cj + (j+Ai) t,
(C, + Cj)) / ÍC, + Cj + (1+Ai) ÍC, L + C,I,I) (41
Restando (3) de (4) y operando^ t(i+Ai)-tíi) = Í-Ai C, C, (t^. (C, t, + Cj t,))) (5)
13»
:
/ ÍUC, + C, + i íC, t. + C, t,)) (C, + C. + (h-Aí I
G üíU ekmu Lor£2. D ümíc^uf
5Ó
Como fi Jenoniinacfur de la expresión es siempre positivo y el numera* dor siempre negativo (excluimos ej caso de t, y t, coincidenles), resulta que i(ifAi; -fíi] es negativo para cualquierAi>Q. de dojide podemos deducir que la función vencimiento medio es decreciente. Si verificamos los cálculos de nuestro ejemplo: 1(0,02) =9C560/I2360= 7,812 t{Ü.2) = 191600/24600 = 7,709 de donde resultaría un At de -0.023; utiioando (5) obtenemos: At =: 0.023 Líniiies d e la función Cuando i tiende a 0, t tiende a (de 31: V
t n ) ^ r t,C i;t3 C j)/ ( c , + c,),
--
que en nuestro ejemplo sería 7,82 Ciian'do i tiende a infinito, t tiende a (de 3): . i = f,(,(C . + c ,) / ( C ,t , + q t , ) que en mieslro ejemplo sería 7,76
Preguntas de íuifo-evaluación: )
vj’or' fii p1 cálculo del vencinuento ennum o el vencimiento medio debemos siempre calcular primero e! valor presente?
2-
'1^'^ tasa no influye en e) vetidmiento m H io en el desruonto coruercial pero sí en el descuento racional?
RESUMIK Bnlei'demos por régimen de interés simple aquel donde los intereses se rakulTFn sobre el capital inicial. En la vida rea) tenemos ejemplos de '"tilriilo de los intereses bajo el régimen simple como los depósitos a plazo fijn, Ins inlrreses de la caja de ahorro en el xnicríor del periodo de capitalizacidn, las ajuste.s de deudas impositivas, indemnizaciones y otros. En las operaciones de descuento, este se practica siempre sobre el va lor pu-unínal de) dorumcnlo. dando lugar a la conocida tasa "adelantada" o de de.scuenlo. «pie involucra una tasa de interés vencida "implfcUa", Esta última rs la que debe considerarse a la hora de establecer el verdadero costo financiero de una operación de descuento. Fot' dllimo, el principio de equívaJencia de capitales nos dice que dos capitales son equivalentes cuando tienen el mismo valor actual Esto es
iNTERts S imple
5 7
relevante en el caso de reemplazo de pagos para el vsnclmienio coinün y el vencimiento medio.
P reguntas 1. Marque la respuesta correspondiente en la siguiente exprerlón: a) En el régimen simple de intereses, el interés periódico es: iconstante /creciente /decreciente). En consecuenda.ias tasas efectivas periódi cas son (constantes/crecientes/decredentes). b) En el descuento comercial, el descuento periódico es: (constante 7 creciente /decreciente). En consecuencia, las tasas efectivas periódicas de descuento son (constantes /crecientes/decrecientes). ■ 2 .'El valor (máximo / mínimo) que puede tomar la tasa utlUíada en una operación realizada por el descuento comercial en-un régimen simple (varía proporcionalmente con la tasa de interés utilizada en la operación / depende del valor que adquiere el importe a descontar /es igual al inver so del número de períodos que tiene la operación). 3. En el régimen simple de interés, la expresión d /l-d n = i perniiie obtener la lasa de interés vencida equivalente en upa operación de des cuento comercial. Señale cuál es la tasa de descuento electiva de 11opera ción cuando n ^ l. sien ese caso d es una tasa nominal o efectiva y a que se debe Por último, explique la relación inversa, es decir para d= í./7j;o,ypn que caso tanto d como i pueden ser tanto lasas nominales y efe< >lvas il® una operación al mismo tiempo4. Un individuo retira todos los meses el interés que le produce >ma cuenta de ahorro y utiliza ese dinero para vivir. Por la forma ei» qtif se realiza la operación, se asem eja a! régimen simple. ¿Por quél ¿Quf tcrulria\ que ocurrir para que dicha operación se transforme en régimen comp'ip.sto? El descuento racional y el comercial son dos medidas difet'uue*: de una misma operación. ¿En qué se diferencian? , 6. ¿Por qué en el vencimiento medio siempre el plazo de vem ImipiUo cae entre los documentos que se reemplazan? ¿Por qué nunca puede caer en un extremo? ¿Cuáles son las dos variables que lo ácercan más a! venci miento de alguno de los documentos que se reemplazan?
P roblemas L Se depositaron $15.000.- durante un lapso de45 días, pudiendo nego ciar una tasa nominal anual del 24%. Calcular el valor PinaJ de la ínvrrsíójt en el momento en que se la retira (use un año de 365 días). Respuesta: 15.443,83
-
-
> íí.
•é "
GuiUERMO iOPEZ D ümR,MJF
. 7 , Al cabo dí^ 30 días se obtuvo un interés de $1.000.^ por un depósito a plazo rijo realizado a una tasa del 20% nominal anual. Se desea calcular el impone de la inversión (use un año de 365 d/as). Respuesta: 60,833,33 3. El interés producido por una inversión realizada hace 30 días es de
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510.000,* Calcular eJ Capííal Inicial que se ha invenido sabiendo que la tasa de interés pactada fue del 22% nominal anual (use un año de 365 días). Respuesta: 553.030,30 4. En un régimen simple de interés se depositó un capital de S I0.000.- al 5% mensual por un lapso de 180 días. Se desea saber el valor final o monto de la operación total, y también que momo obtuvo el inversor si a los 120 días rt'tiró la suma de $500. Considere un año de 365 días (use un año de365 días}.. ■ Respuesta: 13.000 y 14.250
.1 »
■s
5. Se ha efectuado un depósito a plazo fíjo por 50 días al 24% nominal anual de interés, y 20 días más tarde se efectuó otro con igual fecha de vencí»aíenlo pero pactado al 22% nominal anual. La suma de los capitales invertidos fue de $35.000. Se desea calcular el impune de cada uno de los depósitos, sabiendo que al vencimiento se retiraron $35.854.80 (use un año de 365 días). Ri:spuesta;
15.000
y C^^ 20.000
6. Calcule el valor actual de un documento de $100, que es descontado iin mus ames de su venciinieiuo, pactando una tasa nominal de descueníif del 15% anual, en ja mudalidad del descuento comercial. Determine la tdsa dií ílescuerito efectiva, el t oslo financieio de la operación, y luego vuel va a r.-aiizar ef cálculo pero cle.scuniarulu el documento por un período de J idüt.) m eses (se supone que los meses tienen 3H días y el año tiene 365 días). Respuesta: d^^=1,2328% ; Í^ -l ,248% ; d^=2,465% ; í„=2.53% ; V (des contado por 30 días) =98,76 ; V(descontado por 60 días)= 97,53
•«
7 1In título J e valor nominal de $20.000,00 sulrló un descuento bancarío co/í la tasa de 8% anual a 60 días antes de su vencimiento, siendo co brada una comisión de 1,8% sobre el valor nominal. Calcular: a) El valor efectivo recibido por el poseedor del título b) El costo efectivo de la operación rirspuesfa:a) 19.736,98
b)3,21%
8. Es comóri que muchos bienes y servicios se ofrezcan con un precio de lisia (norm<.lmente se puede abonar el mismo con tarjeta de crédito) y
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t r iT iC R E S
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un descuento por el pago al contado. Calcule el costo financiero implícito incluido en lasiguienté lista de precios, suponiendo ijue la liquidación d¿ L. larjeta de crédito deberíá abonai.Ia.30 días después de la compra; Precio Contado
Precio Lista icón tarjeta)
£j0
100
Respuesta; 11,11%
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9. Calcular el vencimiento medio de tres documentos por$6,00ü, 10 000 y 8.000 con vencimiento en 9,5 y 8 meses, siendo la tasa de interés la rnisnia pu todos los casos. Respuesta: 7 meses ■‘--10. Una persona debe afrontar los vencimientos de los siguiemes dt. cumenros (descuento comercial): ; $ 6.000,00 á 30 días de plazo
y
$4.000,00 a 60 días de plazo $ 0.000,00 a 92 días de jilazo ,
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$10.000,00 a 72 días de plazo Sí desea cancelar esas deudas con un único pago de $28.000.'. u u.u deberá ser el plazo para ese ducuinentuy Respuesta: 67 días 11. El futuro del dólar se negocia al 30/6/05 a $2,92. Hoy es 4/5/05 y el dólar de referencia del BCRA es 2.8963. Calcule cuál es la la tasa eféciiv:í ; la TNA implícita en la operación para dicho período íiise un año tle 3o‘ días) Respuesta: i = 0,818% j(m) = 5,24% 12. Teniendo en cuenta que para plazos entre 45 y 60 días pueiíe conseguirse una TNA para un depósiio en pesos de 3,5% y que las TMr. para depósitos en Ü$S para igual plazo es de 0,50%, explique si existe posí bilidad de arbitraje en el ejercicio anterior ¿Cuál debería ser la TNA en pesos para que exista arbitraje? (asuma que no existen costos de emradii y salida y use un año de 365 días! Respuesta: superior al 5,74% 13. Si el Banco Central esta queriendo colocar una letra de! tipo “ciipón cero”pará un plazo de 9Ó días, ¿cuál sería el precio de colocación, si el ■ : mercado está demandando un lendimíenlo del 2% efectivo para 9ti diass Respuesta: 98,039
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lortZ 14. ¿Ccáí será el n xQ m o aam m iado al IG de agosto de 2005 si el 24 de jardo deiciismo año se constxtUTó un plazo fije porSl.OOO en el Banco Generaí f éste paga á 5% anual para ese plazo? (use un año de 365 días)
Resjmesttir 1-00^438 15. Una deuda de S500.000 se cancela mediante tres pagos iguales a los doincuatrojr seis Oleses. Determinar el importe de cada pago» sabiendo que la Casa de valuación es del 2 % mensual de interés simple. R ^ p u ^ c a : 179.835,31 16. Una em presa de artículos para el hogar ofrece un plan de fínancíacíon que consiste en abonar el precio total de la siguiente forma: 30% al contado, 40% a los tres meses y el saldo a los 5 meses. Se ofrece una alternath'a de pago que consiste en abonar mayor parte al contado y el resto en rm ^olo pago a los 5 meses. Teniendo en cuenta que la rasa de interés es iJ^I 2Tn efectivo mensual» determinar que porcentaje del total se abona al
ronradí7. Respuesta: 45,10% 17. Se ha descontado un documento de $ 100.000 bajo las reglas del des* cTt^nto ronierdn!. cuyo vencimiento opera exactamente a los 150 días. .'iTim íjluenida lin sido invertida en otra operación financiera a íntcréssirnple n fa niismn (0 = íl ypnrel niisinoplazo. obteniendo un monto dc5 99.910.* f’íotprrninarla tasadeintercsutiIizadaenamba.soperacÍones. trabajando con meses de 3o días. Respuesta: 1% in. Bri la República Argentina el dólar €*stadnunídcnscc<'iiz.n al 29/12/2003 a 2,'-*.* ['esrís por dólar. Al 12-7-200.5 coliza a 2.08 pcso.s por dolar. Se de.sea Ita sido la revaliiación porcentual del peso frcnleal dólar en dicho período. Respuesta: .3,12.5% 19. Un rapilal de $ 50.000 fue distribuido en do.s invcrsione.s efectuadas a
^0 y 30 días, ya que la segunda fue efectuada 30 días más tarde. La tasa de ’nierd.s nominal anual pactada fue del 6%, y el Interés total que se obtuvo ^•írendió a la suma de $ 394,52 Se solicita determinar el importe de cada iuver.sión. Respuesta: .50.000 y 20.000 20. Üns persona.s con cu rren a un banco y depositan en tre am bas ■'5 120.000.- por un periodo de tiempo de 12 mesc.s. Una de las inversiones se
I f f T O l S S iM P U
d 1
real!z<5 al y la otra ai 2^ mensual y el monto total produddo por ambas fue de 140.S75.67 Calcular el capital y el monto de cada una. Respuesta: Capitales: 8 0 ,0 0 0 )'4 0 .0 0 0 Montos: 90.146 y 5 0 .T 2 S .6 7
Referencias ersuoGRAncAS D e M oraes, E uoides M„ "M atem ática Financeira", capítulo 1,8"* edición. Editora Sulina, Porto Alegre, 1983. Banco Centra! de la República Argentina, Boletín estadístico, año XIIII, NM. abril 2002.
A .
G 'M I U P m O lO P tZ D U .M R A U f
A péndi ce 2 A
CofATRSIÓN OE TASA NOMINAL ANUAl. ADELANTADA EN TASA EFECTIVA DE DESCtrENTQ El pidzo aparece en días. I^s tasas de confíalo son nomínales anuales adelantadas, para un año de 365 días, y se convierten en lasas efectivas dé descuento.
6:; 10% 11%. 12% 13% 7% 15% i j 9U4V Q.0I6% 0.01». O.C?2% 0.025% e.027% 0.03'I% 0.033% 0036% 0,038% 0.041% «033\ 0,038% o.om 0.048% 0,059% 0.0»% 0.066% 0071% 0077% 0082% 3 ONIV. 004«V 0.098% 0088% 0,0í4\ 0.082% 0093% 0,099% 0107% 0.115% 0'23% 4 Q • o.«??% 0088% 0099% 0,110% 0.121% 0.132% 0142% 0153% 0.1(1% i Q0S3V 0&SÍ% 0098% c no% 0123% 0,137% 0,151% 0.184% 0,178% 0192% 0.205% i 0.912% O.DI9% o.nn 0.132% 6.148% 0.1(4% o.m% 0,197% 0.214% 0.230% 0247% I 0.098% DU9\ 0.134N 0153% 0,1?3% 0.192% 0.211% 0.230% 0.?19% 0.768% 0218% 1 fl.119% 0133. 0.193% . Cl?5% 0.197% 0.219% 0241% 0.263% 0?B5% D3H7V 0.329% 9 (M23V 014í<, O.í?» 0197% 6.222% 0.247% 0.271% 0,296% O.JÍl% 0.'I5% 0.370% h1 011?V 4.164« 0I9?V ÍJ\5% 0.247% 0.274% 0,301% 0.329% 0.356% 0384% 0,411% n 0.191% QUl% 3^ »\ o?m 0271% 0301% 0331% 0.367% 0.192% Ú422% 0453% i: au4\ 0.M7T 0230% o.?e3% 0.296% 0.329% 0.362% 0.399% 0427% 0.460% o.4m u Q.1M% o: 14% 0249% 0385% 0.321% 0.356% C,39I% 0427% 0463% 0.499% 0534% u O.llíV 0230% PS07\ 0.345% 0384% 0.431% 0.460% 0499% 0537% 0.575% ts í 203% O.U?\ 0.?8Í% 0329% 0370% 0411% 0.452% 0493% 0514% 0575% 0(16% u Oju*. 4íKr. 03?)% 0351% 0395% 0436% 0,482% 0528% 13570% 0614% 0658% i; J233'- o.:;s% 0.3.'f% 0373% 0.419% 0.466% 0.512% B.5591 0.805% 0852% 0.699% 19 4.2UV 02'»% 03iS% 039S% 0444% 0493% 0.542% 0.692% 0.641% a.690% 0740% n o;»% 0Uil, Q3»4% 0118% 0.486% 0.S21% 0.S73V 0625% O.S77V 0.729% 0.781% ;o 0ju\ 03?í% O.H4% D438% 0.493% 0.548% 0.603% 0.658% 0,712% 0767% 0.82?r% 2i C.289% 0.349% 0.403% 0460% 0.511% 0.S7S% 0,633% 0.690% 0.748% 0605% 0.863% 23 0.301% 04«j?% 0it?% 0482% Q.542% 0.603% 0.663% 0.723% 0714% 0.044% O.Si)4% 23 V.315U 0.3 04Uv 0.04% 0.567% 0630% 0.593% 0,756% 0.819% 0.882% 0.94S% 2» í.3«% Qjviv O-i‘0% 0.528% 0.592% 0.658% 0.723% 0.788% 0.655% 0.921% 0986% 25 0Ji?"- nJM-- f 5' t .4*- 04»K% 0.685% 0.751* 0.8?J% M90\ 09.9% 1.027% n3«r. fl í :,". ft t'ilW. 0.641% 07I2-. 0781% 0.855% U.S26% 0.997% 1.0(8% 2Í 0 Ü C.740% 0.i|4% 01114% 0.962% 1.036% 1110% 2i Í.3U' 4i vU, 4' jr. 0M1% 0«''3% 0767V 0.514% 0^21% 0=97% 1074% 1.151% 3? 6jur. o.ir?. r :*t% 08H) 0.715% C795% 0.874% 0.9S3% i.un% 1112% 1.192% 3’' 5ur. 04S3V (j.5;5% 0859% 0740% 0.622% 0901% 0.986% 1088% 1151% 1.233%
líiTERís S imple Apéndice 2 B
COfA'ERSION DE TASA NOMIPÍAE ANUAL ADELV'TTADA EN XASA DE írrTEHJÉS EFECTIVA El plazo aparece en días. Las tasas de contrato son nominaJes anuales adelantadas, para un año de 365 días, y se convierten en usas efectivas tie Interés. p » a ro 1
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C A P I T U I J 3 3
li'iTERÉs C ompuesto
“La m agnitud de las cantidades de niñero fuirece variar en m odo notable según hayan de ser pagadas o cobradas" ,
Aldous HiixJeyí 1894-1963), po-iOÍnciéí;
I ntroducción Cuando hablamos de interés compuesto nos referimos al régimen t n que hay capital inación de intereses; a diferencia del interés simple, en el régimen compuesto el interés se incorpora al capital y produce nuevos íme reses. Para que el interés se "componga" tiene que haber más de un pcriod'» n subperíodo de capitaiízadón; en un solo período no puede haber inierés compuesto (tendría que haber por ío menos dos). En la vida real aparece el interés compuesto, por ejemplo, cuando renovamos un depósiiu a pla zo fijo; los intereses obtenidos en la primera aplicación se integran al fil pital y producen interés compuesto en el segundo período. Podemos hablar de régimen compuesto en sus dos acepciones , es <'ccir, capitalización y actualización. En la primera partimos de una Mimo le dinero hoy, generando intereses hacia el futuro; en la actualización, peí el cuntrario, una suma de dinero futura es actualizada al presente. A lá /e.: también podemos hablar de una lasa de interés vencida y una i.'sa ai'e lantada o de descuento. Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de: • Calcularmonios y rendimientos cuando hay interés cumpuesror • Calcular medias geométricas o tasas de Interés equivalentes com puestas; • Calcular un valor actual o presente; • Determinar capitales equivalentes.
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GinLi5iiAio Lope?; D(,if,\RAUf B, i . CAPrrÁilZ:AaúN EN EL R£GiMcN COMPUESTO
Suponga que usted posee hoy la suma de $1 y cuenta con la posibilidad dé colocarla en una institución bancaria al 10% de interés durante un año. AI final deJ, mencionado período, la cuenta acumularía $1,10; Jos diez cen tavos Je interés ganados en la operación representan el valor tiempo del dinero, es decir, el pago recibido como consecuencia de sacrificar la dispo nibilidad de una suma de dinero hoy para disponer de un capital mayor en el ñituro: hoy
1 año
$ 1,10
tí
Observe que cuando finalizó el primer período, eJ interés que se obtu vo es el mismo que se habría obtenido en el régimen simple, pues en un período todavía no hay capitalización de intereses. Luego, usted podría renovar la operación sucesivamente, de manera que la suma de dinero ciezca a lo largo de varios períodos. Por ejemplo, si la operación se reno vara durante 5 años, su cuenta acumularía $1,61 segiin puede apreciarse en la l igura 3,1;
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F igu ras ] Monto a interés compuesio.
El momo de la operación depende de dos variables: el tiempo por el cual s«í realiza ésta y la lasa de interés de la operBcióii. Obviamente, cuánIm mayor sea esta última, mayor es el monto final, como puede obser\^arse eii la figura 3.2 donde aparecen los distintos valores que adquíríria el monto para usas de interés del 10, 20 y 30 por ciento respectivamente:
3
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4.003.50 3.00 a 2.50 1 2.00 ^1.50' ' t.oo ■ ' : ’ 0,50 ■ • ■. t : 0,003 '
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s
Número de periodos Figttra 3.2 Monto a interés compuesto con disrintas tu a s de interés.
í AJA-» ut . U-fTEkES v«,UMi'Utiu.» En la iabb-3-.l puede apreciarse la fuerza del ínrerés compuesKj. Míentras que a una tasa del 10% el capital crece un 61% en cinco perínd.-s, a' 30% crece un 270%;
Perlado
Monto (isl0% )
Monto (1=20%)
Momo (i=30%)
1,(K)
1.0
1
1,10
1,2
1,21
1.4
1.7
1,33
1,7
2,2
1,46
2,1
2,9
1,61
2.5
3.7
Tabla 3 1 Momo compuesto para diferentes tasas de interés.
Hendimientos de los depdsítos a plazo lijo en la República Argentina En la figura 3.3 se muestra la evolución que tuvo un depósito de un peso que se constituyó el 31/3/íU hasta el 28/2/2002. Este triplicó su •/aU>i en casi 11 años, abarcando toda la época en que rigió la converUbilidaU monetaria peso-dólar hasta que fue oficialmente abandonada en encu> de 2002. Los datos utilizados para elaborar la función del monto fueiuii obtenidos de la encuesta de ias.is de interés pasivas para depósitos en [n sos que realiza el Banco Central de la Itepúblíca Argentina y también fue ron Utilizadas como referencia (as tasas de interés pasivas para deiJtismt:, en pesos del Banco de la Nación Argentina.
53.5 $3,ü S2.5-
S 2.0 ■ S 1.5 $ 1.0
50.5 so.o
Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Mar- Ma>- Mar91
92
93
94
95
96
97
96
99
00
01
02
Fig;ura 3.3 Monto con rasa pasiva (com enzando con $1 el 1/1/91)
Características principales del Interés compuesto 1, Los intereses siempre se calculan sobre él monto acumulado al final del período anterior, de manera tal que existe capitalización de intereses;
I
GuaLERMü LorE¿ Dümilu«f en sentido estricto, 'capitalización'significa que los intereses se incorpoiaii a l capital, ¡lacwnóo que los intereses produzcan nuls intereses. 2, Se deduce del punto anterior, quedos intereses representan una suma variabie. a medida que la incorporación de los intereses hacen que el capital sobie el que se calcularon, aumente período a período.
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3. Kí capital tiene un crecimiento que es proporcional a su v^aior durante el periodo anterior. La constante de proporcionalidad es ia razón entre el valor e n un período y el anterior {1 + I), Describimos a contimiarión, a fin de poder mostrar las relaciones entre los distintos componentes de una operación a interés compuesto, el cuadro de marcha progresivo del interés compuesto: Cuadro de marcha progresiva del interés compuesto t^pliótlo-
O ip liáK n íciát
In te ré s
Momo perífidicn .
i
Co
l(0 .I)= C o .l
C, = C o+Cn.l = Co { N i)
2
C o (lH )
U l,2 )= C o (l+ i)l
C, = Co(
P
C 4 )(t+ i)* '
l{p -l.p ) = | C on+ i)P-')f
C,. = C a (l+ I)n
. ,
i) +Co (1 4f) i = Co {1 +í
Por lo tanto, la fórmula genérica deí monto compuesto para n peiíodos. resulta .ser: Cn = Co (1+i)" Ejentplo: se depositan $1.000 al 10% mensual durante un período de 5 meses, r.í iMonto al final del quinto mes es
fí H Ii
•l.tKHr íU o. lO)'‘ = Í.UlO^Sl IA Inimula ílel mnnb» c«Miipuc.stn ciiamlo la ta.'ia do iiiieiér. varía En el r*janiplo anterior, suponíamos que la tasa de interés se mantenía ronstante a lo largo de todo el período de la operación. En la práctica esta situacióii tnuy dlíícU que ocurra; lo usual es que la tasa de interés se modifique. En ese caso, deberemos utilizar distintas ta.sas para cada período el momo resultante surgirá de la siguiente ecuación:
Gn = C o ( l + i , ) x ( l + g x
\: ti i
(I + g
Ejemplo: su[jonga que usted depositó $100 en una institución financieray ganó cn una operación el 2% mensual el primer mes, el 3% en el según* do y íinalmer.tc un 5% en el tercero. El monto final al cabo de los tres meses será: lUO (1+0.02) X (J+0,03) X (1+0,05) = 110,3 Como puede apreciar, en el régimen compuesto los factores de capitali zación (1+i) .ícnm/í/p/íc/m.
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h>inRl5 CONSPUESTO
Claslficadón del régimen compueslo En el régimen de interés compuesto y de acuerdo a) tipo de operación, es posible establecer una cJasificación en función déla capitalización inieresesv Esta puede señ al Periódica: los intereses se capitalizan durante n períodos y al iinal de cada uno de ellos. Ejemplo; colocamos un capital de $100 aJ 10% durante 2 períodos: los intereses se capitalizan dos veces: 100(1+0,10)2 = 121 b) Subperiódica: los intereses se capitalizan en forma subperiódíca a lo largo de n períodos, es decir que hay capitalizaciones intermedias dentro de cada período y aparece una “tasa proporcional”. Ejemplo: colocamos un capital de $100 al 10% nominal anual con capitalización sem es'ral y la operación dura dos arlos. De manera que habrá cuatro capitalizaciones, puesto que hay dos semestres en cada año:
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100=^l + 2 ^ j =121.55 Observe que la tasa del 10% nominal anual la dividimos por 2 (dos) para proporcionarla al semestre, para llevarla al niomemo donde se pinduce la capitalización. Este caso es muy común en la práctica, donde las operaciones a plazo fijo se realizan a una tasa nominal anual, pero ia cnpitalización se produce en períodos intermedios. c) Continua: los intereses se capitalizan por instantes de tiempo La naturaleza económica subyacente es que los intereses se capitalizan con tinuamente, sí bien el reflejo de las operaciones se hace en m o m e n to s dis cretos. Por ejemplo, si se colocaran $100 aJ 10% continuo anual, lendríamos: 100 e0-“’= 110,51 No es el momento de tratar aquí Ja capitalización subperiódica de los intereses y el caso límite donde los intereses se capitalizan por instames de tiempo. Estos temas serán tratados con exhaustívidad en el j'trd.vímo capítulo. ■
m m m m m m
n
Fórmulas derivadas del monto a interés compuesto
Capital inicial
Tasa de interés
Número de períodos _ InCn -'lii C o
c=.-=
, ( i + iT
^Co
ln (l + i)
Interés _ acumulado
Coií-t rT-eVí
m
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GuiiiERA.\o Lope?' Dumrauf
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Ta*nbién, lá tasa de interés puede calcularse c o n j^ síguiemeS fórntU' las:;
C oJ Podemos obtener la lasa de interés también por antilogaritmo: I = an
¡ In O i— InCo I
-l
- J
■m
La utilización de la primera expresión suele ser más práctica, al traba* jar con calculadoras de bolsillo que incluyan la función de potencia. , Intereses acu m u lad os
m
Si quisiéramos calcular los intereses acumulados entre el momento 0 y eí moniemo n, simplemente podríamos hacerlo por diferencia entre el , nioncír y el capital inicial: If0.n) = CíxACo Como Cn = Co{l+i)"
.
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”
l(0,n) = Co(l+i)" - Go I(6,n) = Co( ( U i ) " - 11
m
n
Adicionalmente se puede demostrar que los intereses acumulados for man una progresión geométrica creciente. Suponiendo que el capital oríginal lie la operación Co = 1, sumando los intereses de cada período teneiiiüs: ÍULnU I(n.lL + 1(1,2 )> 1(2,3)+ IKui) = l.i + K(Ui)^ + i(l+i)»
i.(l+i)p‘ 4
í{0.n) = i.(l 4 ( l 4 Í } ' V + ( l + i P ^
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La expresión del segundo térmiho es una progresión geométrica de razón q = Iri (recuerde que una progresión geométrica es una sucesión de términos tal que cada uno es igual al anterior multiplicado por la razón). Utilizando la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica creciente: -
^ -1
S^i
q + / r-i 1+/~1
.
JnT£WS COMÍ'UtSTO
i ■'■•;„ ■■: ■ V y finalmente 1(0,n) a (14 í)“ - l
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que resulta ser la expresión genérica de 1(0,n) válida para una capital d e $1; si el capital inicial es diferente de $1, entonces utilizamos Co como expresión para el capital original y llegamos a la misma fórmula descrita anreriarjnrientc en esta sección: r(0,n) = Co((l+i)'‘- 1)
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Aplicaciones del interés compuesto en la vida real
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a) El interés com puesto y las m edias geom érricas
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Hay varios fenómenos de la vida real que involucran una"capítalízacióir compuesta. Por ejemplo, la tabla 3.2 muestra el crecimiento de la población en la República Argentina en la década del noventa. Sí la población pasó detener 32,6 millones de habitantes en 1991 a36,2 millones en 2001, ¿ a qué t a ^ a anual promedio creció la población? ' Año
Población (en habitantes)
1991
32.615-528
2001
36.223.947
^
Tabla 3.2 Población total
Para calcularlo, establecemos la tasa promedio geométrica con la fór mula de la tasa de interés, considerando como monto a la población de 2001 y como capital original a la población de 1991. 36.223.947 ><> -1 = 0,0105 =1,05% wiual 32.615.528
Figura 3.4 P o biácjón total del país,.'Vños 1869-2001 piienie: IMDHC. Censos nacionales de población
GnílltOMO LOPEZ D umr,w ^
72
bi figuia 3 4 rnuesira la evolución de la pobUcióri lutal para el período ! RG9'20ü(. Pelamos para el lector el cálculo de las tasas de crecimiento para cada década y sus conespondienfes tasas equivalentes anuales. b) La pauta de inflación contenida en elprestipiieatú nacional Bn el presupuesto nacional suele incluirse una pauta de inílacidn anual que coMSirluye un.a especie de meta predefinida a alcanzar, que es supera da por la realidad en la mayoría de las ocasiones. Por ejemplo, suponga que se esiahlece una pauta de inflación del 12% para todo el año, mientras que la inllación acumulada hasta abril es del P%. ¿Cuál deberia ser la infla ción mensual de mayo a diciembre para poder cumplir con la menciona da pauta? Simplemente planteamos la ecuación correspondiente donde 1.08 representa el capital inicial de la operación, que "colocado a una in flación mensua!" durante 8 meses alcanza un monto de 1,12 y despejamos la tasa de Inflación mensual: ’ .
(1.081
1.08
(1.12) / / " - J = 0.0045 =0.45% mensual
rdt» dístingiiiinos aquí si los meses tienen más o menos de 30 días, pues el INDtC difunde la tasa de inflación nrensual para cada mes caleiulario, , independientemente de cuantos días tenga éste. Análisis de las funciones monto c interés acumulado En la función del monto alnierés compuesto, el valor de "n" resulta ser, un valor discreto, lo que le da a la función unafo n n a escalonada en la práclira: cow n se observa en la figura por ejem[»lo, cuando depositamos un rn{»ilal (.h‘ TI cu un Iranco, desde el punto de vista contable, el reflejo de la r.Ti Mcitin do la 'juma de dmero solo tiene lugar al filial del [miiner período, í-uíuuilt» -se transforma f»n lo mismo ocurrirá ron el segundo período al lliinl dcl cual se transloi mará en $1,21 y así sucesivamente, como se mues tra en la figura 3.5.
73 .
iNTEBii C ompuesto
No obstante, desde el punto de vista matemático jq función es p x ponencia], y por lo tanto escontinuay aparece representada en la figura 3.5 con forma de curva. ^ Tiempo necesario para que un capital se convierta en m últiplo de sí mis mo SI queremos saber cuál es el número de períodos que necesíl;* un ca pital para convertirse en múltiplo de sí mismo (dupUcarse, iriplicai se, cua druplicarse, etc.) simplemente igualamos la fórmula del monto a interés compuesto pero expresando el monto como un múltiplo del capital inicial (A/.Co) donde M es un múltiplo que podría ser igual a dos, tres, cuatro veces y media, etcétera. M.Co sC od+i)" . ■‘ ■ Despejando M tenemos M s (1+i)"
i ' '
FinaJmeníe, aplicando logaritmos en ambos mieTiibros:
'■
-
;
\nM In (I-h i) Eje/nplo; calcular cuántos meses demoraría un capital deSlO.OOn en du plicarse, sí la tasa de interés es del 1% mensual In 2 Inl 1 +
0,01}
=
69,66 meses
69,66 meses significaría que el capital tarda en duplicarse 69 meses y 20 días, aproximadamente. . Tiempo en que dos capitales, colocados a diferente tasa, aJcan2an igual momo En noviembre de 1987, la entidad financiera S&B tuvo probIen>as para devolver los depósitos a los ahorristas. Muchos de los créditos otorgados no se cobraron generando importantes pérdidas, y cuando el probfema se hizo público, los depositantes acudieron en masa a retirar sus ahorros, pero S&B se negó a reintegrar el dinero, argumentando que era imposible de
volverle a lodos sus depósitos de una sola vez. A cambio, pidió un ijempo para que, con el dinero que constituía el "capital de trabajo" de la compa ñía y que se prestaba a una tasa de interés más alta (tasa activa) qu« la que se pagaba por los depósitos (tasa pasiva), ese capital igualara en el futuro el monto que tendrían los depósitos que ganarían una tasa de interés me nor. El argumento esgrimido fue que los ahorristas deberían esperar un tiempo para que el capira! más pequeño Igualara al capital mayor, ya que devengaban tasas diferentes. Suponga que la tasa de interés para los de pósitos era del 1% mensual y que por los préstamos se cobraba el 3% men-
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. v -"O u iL U O N ío López D u m r au f
suai, 1.0S depósitos totales ascendían a $3*000,000,- mientras que el "capitaí } de tratjaio" de S&BsóIo alcanzaba a $500.000.- ¿En qué tiempo ambos capiíaItís íguajarían su valor en el futuro? Para calcularlo, igualamos las fórrnulas páLfa los montos de ambos capitales con distintas tasas de interés, quedando por dcíspejar la incógnita "n”: • C ,x ( l - f q ) - ^ C jX O + í^ r
c ',
'
n + o r :
In p , ~ In C 2 = n X [in (I f íj ) - In (1 + /,) ] In C, - In C 2
n =
V
l n ( ] + Z 2 ) - l n ( l + í,)
In3.000.000-In 5Q0.0Q0 = 91,37 meses In(1.03)-in 0.01)
ft = ■
P iid em o s c o m p ro b a rlo h a cien d o 3 .0 0 0 .0 0 0 (1 ,0 1 )*‘-^^®* = 50 0 .0 0 0 (1.03)*'J'“ =: 7.447.226,8. Ea la figura 3.6 se observa como los dos capitales igualan su valor en el período 91.37.
Acontinuádóri realizaremos una comparación entre ambos regímeíies en sus aspectos más relevantes, fundamentalmente el rendimiento .efectivo.” A
fNTf RfS COMFUESTCr Monto
Capital ai iíUció liiter¿5 periódico Periodo Single 100
Cum¡JUtfálO
100
Coin->
Siinple
puesto
10
10
Com
,, J(eii,dirrueitCú efectivo
Com
Simple
puesto
lio
no
10%
10%
9.09%
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Sim{jle
puesto
lio
lio
10
11
120
121
120
121
10
12,1
130
133.1
8.33%
10%
130
133,1
JO
13,31
140
146,41
7,69%
10%
Tabla 3.3 Rendimiento en los regímenes simple ycompuesto P e la tabla 3.3 se observa que: • En e! régim en simple el interés periódico se mantiene cotistante^ míentras que en el régimen com puesto es crecte/ife. : ' • El rendim iento efectivo es d ec r ec ien te en el régimen simple, m íenlas que se m antiene co/wímtre en el régimen com puesto, v Sí bien la tasa de interés periódica siem pre era la misma U 0% ], en el régimen simple el interés periódico de $10 representa un porcentaje m t ñor de rendim iento conform e éste se com para contra un monto que au m enta período a período. ^ En cam bio en el régimen com puesto, con la incorporación de los inte reses aj capital en cada periodo de capitalización, los intereses periódicos son crecientes, pues siem pre se calculan sobre el monto acum ulado a¡ ti na! del período anterior, aunque el rendim iento efectivo se m antiene cons tante.
La tasa proporcional y equivalenté en los regímenes simple y conipuesn» Veremos ahora que en el régimen simple, las tasas son proporcionales y a la vez equivalentes, mientras que en el régimen compuesto, son sola m ente equivalentes. Cuando capitalizamos superiddicamenfe, para ohiener la tasa proporcional hacem os:
m
. -
Sea por ejem plo, el 12% nominal anual con capitalización semestral:
0,12
—^ = 0,06 semestral Efectivamente, el 6% sem estral es la tasa proporcional del 12% anual, y a su vez es tam bién una lasa equivalente en el régimen simple, pues en este régimen 6% en el sem estre es igual que el 12% en el año, ya que las tasas se sum an (no hay capitalización de intereses). -
C Í lU lU R M O L ó P £ 2D u M R iV J f
Sin embargo, en el régimen compuesto, el 6% semestral no es equivalente al 12’?o"amial, ya que si obtenemos el 6% en un semestre, y renovamos la operacídn por otro semestre hasta alcanzar un año, obtenemos el 12,36% anual (1,06)^=1,1236 (el monto es mayor debido a la capitaJizacldn de los intereses). Por (o tanto, en ei régimen compuesto las tasas de interés son siempre y solamente equivalentes, ya que trabajamos siempre con tasas efectivas: el 6% semestiai es equivalente al 12,36% anual, no al 12% como era en el régimen simple. En el capítulo 4 profundizaremos el estudio sobre las tasas equivalentes; por ahora sólo diremos que son aquella.s que expresadas en diferentes momentos, tienen el mismo rendimiento efectivo cuando se las compara en un momento cualquiera. Siguieiiílo con el ejemplo anterior, en el régimen compuesto la tasa equivalente al 12% anual sería menor al 6% proporcional semestral (en realidad sería ya que con una tasa semestral menor al 6%,Tnpltalizando intereses igual llegaría al 12% anual, En cambio, en el interés simple, ei 6% semestral es equivalente al 12% anual, y a la vez proporcional. Preguntas de auto-evaluación:
.
L ¿Como puede ser clasificada la capitalización en el interés compueslü? 2. ¿T'or (,|ué en el régiiiien compuesto las tasas son solo equivalen" ■les? . El monto a «nierés simple y el monto a iiueiés compuesto: comparación gráfloi
De la fi{,urá3.T se observa que:
1. Cuando el número de períodos es mayor a l, el monto a interés com puesto es mayor al monto a Interés simple, debido a la capitalización de jo s interc,scs.
- I nterís C ompuesto 'i'
«
77
2i Ambas fundones igualan su valor cuando el número de periodos es igual a uno (recuerde que para que exista interés compuesto debe haber más de un período). 3. Desde el pujuo de vista de la función matemática, cuando el nújnero de periodos se encuentra entre 0 y 1, la función del monto simple es ni8y<'r (1,05) a la deí monto compuesto (1,0488), Esto es irrelevante desde el punto de vista financiero, pues el dinero lo depositamos por un período y retiramo' 1,10 al final de éste sin preocuparnos por lo que ocurre en el interior del peí iodo de capilajización. Desde el punto de vista matemático, lo que hace la función es m'>strar la evolución del monto con respecto al número de períodos; mientras en el léginien simple no hay capitalización y en el compuesto sí. con S I .048 capí
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Monto fraccionario La fórmula tradicional del monto supone que el tiempo (ii) es enteio, pero es posible analizar el ca.so del tiempo fraccionario. Suponiendo
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4
(l+i)"*‘ = (140.10) X (I40,10)‘''5 = U 5 3 6 o si quisiéramos saber cual es el monto en el período 0.5 tal cabo dr medio año) (l4i)f = (140,10)“^ = 1.0488
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4
En la figura 3.6 se observa en la línea continua el valui que leudrír el monto si el período no llegara a completarse, es decir cuál sería eí monto luego de 0.5 perfodos. En la ordenada, hay un valor que se corresponde con la fracción de 0.5 y con la función exponencial. Podemos buscar el valor del monto para cual quier período fraccionario, y sí bien estos valores no corresponderán al final de un periodo de capitalización, nos sirve para calcular el interés "cle-
4 i ,4
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vengado” en un momento determinado cuando hay capitalización com
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puesta (i).
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(I) F.ntérminos matemáticos, en el régimen compuesto, es posible enconrrar el momo cuando aUnnotranscurridun período (yaque trabajamos con una/unciónexponencial). Sin embargo, para que exista Interés compuesto, debe transcurrirsiempre más de unperiodo, de lo contrario no haycapitalización de intereses.
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£1 inierés compuesto y el unatocísmo Cuando hablamos de interés compuesto más de una vez habrá escucha do que la iustícia prohíbe Ja capitalización de intereses en sumas de dinero que son ob/eto de litigio. Nuestro Código Civil en su artículo 623 establecía origínaiiamence la prohibición de cobrar intereses sobre intereses. Uno podria pensar que el argumento podría ser no se puede cobrar el mismo servi cio dos veces, ya que el interés representa el pago de un servicio que es el '‘alquiler del capital**. Si luego se cobra interés de interés, es com o si se estuviera cobrando un servido sobre el propio precio del servicio. En abril de I9U1 lá Ley 23.928 (Ley de Convertibilidad) modiíicó el citado artículo y facultó su cobro por acuerdo entre las partes. En efecto, en el articulo 623 puede leerse: "No se deben intereses sobre intereses, sino por convención expresa que autonce su acumulación al capital con la periodicidad que acuerden las par ces; o cuando liquidada la deuda judidalmente, con los intereses, el juez mandase pagar la suma que resultare y el deudor fuese moroso en hacerlo. Serán válidos los acuerdos de capitalización de intereses que se basen en la evolirdónperiódica de la tasa de interés de plaza”. En el Código de Comercio se autoriza el cobro de intereses sobre intere ses en el Artículo 569, que dice: "Los intereses venados pueden producir intereses, por demanda judid ai «r por una convendón espedal. En el caso de demanda, es necesario que los intereses se adeuden por lo menos un año. Producen igualmente en terres los saldos bquidos de las negocíadones conduidas al ñn de cada aña" Perc en el artículo 370, los prohíbe si se ha intentado la demanda íudú'ial por eí capital y los réditos: "Intentada la demanda judicial por el capitaí y réditos, no puede hacerse acumulación de los que se vayan devengando, para formar aumento de capital que produzca réditos.” 'lam bién se autoriza el anaiorism o legal en los artículos 788, referido a la cueiira corrisiiEe mercantil y el art. 755, sobre la cuenta corriente bancaria: "Art. 7S2- Las panes podrán capitalizar los intereses en periodos que no de 3 meses,. dsterm c:ar ia época de los balances pardales, la tasa deí interés r í a ccmisíón, y acordar todas las demás cláusulas accesorias que no ¿ean prohibidas por la ley". "An.73S. En 2a cuenta corrisite bancaria los intereses se capitalizarán por Ldn>:sire; sa!r¿> esdpuladóa expresa en connario"Cctnc se aprecia, a partir de ia Lsy de Convertibilidad se maodujeron s i ea Código Q tíL eliminando, en gran medida, la ambit z b iz sobre este tema, S n embargo. luego se produjeron fa-rjs fundaron d oon n a plenarta sobre ia famia de capitalización de Íniítíscs.. carne ts d caso "Uzal SA c/Moreno’ luego modificado por el
iHTEHii* COMHJESTO
fallo “Calle Guevara. Raúl (Fiscal de Cámara) $/He;^isíón de P le n a rio " 25/00/2003“. La Cámara Nacional de Apelaciones en lo Comercial modificiá la doc trina plenaria sentada en los autos "Uzal SAc/ Moreno, Enriques/ ejecuii* vo“ del 2/10/91 a través del fallo “Calle Guevara, Raiil'’ en re la ció n a la modalidad de la capitalización de intereses devengados por un crécijtu cuyo obligado se encuentra en mora. Por razones de espacio, el fa llo no es transcripto, pero el lector interesado puede encontrar el texto com p leto en mí website www.diimraufnet.com.ar Preguntas de aiito-evaJuución: 1. ¿Cuál es la finalidad de cíilcular un monto fraccionario? 2. ¿Para qué una entidad querría calcular cóm o los In tereses se devengan diariamente?
3 .2 .
R e g ím e n
de
AcrUAUZAaoN
c o m p u e st o
Es posible establecer valores presentes con tasa de interés com puesta y también con tasa de descuento com puesta. A continuación expI¡caMl(J^ ambas alternativas, si bien el descuento compuesto con tasa de desciieniu o adelantada, no se utiliza en la práctica. El valor aciual con tasa de interés compuesta Cuando definimos el monto de un capital, establecimos una relación directa entre el capital inicial y el valor final del mismo a un momenu» del tiempo "n". sujeto a un régimen de capitalización a una tasa de interés vencida. Si se pretende disponer hoy de un capital futuro, tendremos que dci contarle los inrereses que representan la diferencia entre el capital dts|*>< nibie dentro de n unidades de tiempo y su valor actual. Esta diferencij :>«* denomina descuento y se define como la com pensación o el preciv» t[nidebe pagarse por la disponibi-idad inmediata de un capital antes de ^*l vencimiento dentro de n unidades de tiempo. Estos temas tueron vistor en el capítulo anterior, cuando tratamos el régimen simple. Hareuiui. i*» mismo ahora con el régimen compuesto. Suponga que usted tiene derecho a cobrar la suma de $100 dentro de un año, y que la tasa de interés de oportunidad sigue siendo del 10%. En tonces. esa. suma de dinero vale hoy para usted algo menos, debido a que la disponibilidad inmediata del dinero tiene un precio, que es nuevamen te e! \*alor del tiemoo: 0
nioi
-----S S0.9
-1 sno $1
Guilleiuvío Lortz DuMRAur
SO
El valor de 90,9 representa el valor presente de la suma de diriéro ftjtura. Usted ha renunciado a cierta cantidad de dinero por tener la disponibilidad inmediata de ésta. La iiocidn del valorpresenle o valor actual representa una de las ideas más importantes en finanzas y tiene una multiplicidad de aplica ciones. La figura 3.8 muestra ei valor actual de una suma de $100 que es actualizada con tasasdeinterésdel 10 y el 20 por ciento a medida que aumen ta el niímero de períodos.
El valor ncUia! es menor cuanto más alta es la tasa de inteiés utilizada en el cálculo y cuanto mayor es el número de períodos por los cuales es actualizado. Observe que los valores actuales tienden a cero cuando el n ú m c H i cíe períodos crece, debido a la fuerza del interés compuesto ya sea pnr el tamaño de la tas.i de interés o cuando el número de períodos se alarga. Por rjcmplo, para veinte períodos n.lül
-14.86
V con una tasa de interés del 20%:
= 0.026
Aiuülsis de la función del valor actual con interés compuesto con deriva das rrtmero derivaremos la hincidn con respecto al número de períodos. Siendo la función del valor actual con tasa de interés compuesta l/(l+i)"
^ ^______ ______ ______
Como es una función del tipo a* (donde x es un exponenic variable) la derivada primera es:
iNTEPis C ompuesto Y la derivada segunda es
, ;
a + / r '[ i n a + í ) ''] ’ ) o Como la derivada primera es negativa,'sabemos que la función es decreciente; como la derivada segunda es positiva, sabemos que es cón cava. Si derivamos la función con respecto a la tasa de interés, entonces tene mos una función del tipo a" (donde n es un exponente fijo) y entonces la derivada primera es
(-l)(l + /)='<0 Y la derivada segunda es 2 (l + i)’^’> 0 "
'
1
i
— -
9T
De nuevo, como la derivada primera es negativa; sabemos que la fun ción es decreciente; corno la derivada segunda es positiva, sabemos t|ue es cóncava. El factor de actualización i/fi+0" es uno de los más utilizados en las fi nanzas de empresas, generalmeme cuando se calcula un valor presetue una corriente de ingresos futura, en un proyecto de Inversión, en la njación de precios de activos como bonos o acciones, o en la valuación de enipres-is po» el método de descuento de flujos. Haremos un uso intenso de este laaor d pagos. Ahora describiremos —a los fines teóricos ya que el descuento com puesto no se utiliza en la práctica— el descuento compuesto con tasa adelan tada, de la misma forma que lo hicimos en su momento con el descuento comercial simple.
i
El descuento compuesto con tasa adelantada: cuadro de nrardia El descuento compuesto no es de utilización extendida en la prnclica., pues los descuentos suelen hacerse una sola vez y por un solo período. En el descuento compuesto, aplicamos el descuento sobre el valor íitia! dri documento, pero a diferencia del descuento comercial simple, el descuento de cada período se calcula sobre el valor actual al final del período amerior; t
Monto
l
Cn
2
VaJoractua]
Descuento periódico D{0.l)=Cn,d
V,=Cn(l-d)
CnU-d)
D(l,2) = Cn{l-d).d
V, =Cn(I-d)-Cn{l-d)d = Cn(l-d).(l-d) =CnÜ-d)-’
Cri(l-d)*
>D(2.3)rCn(I-d)»,d
1t
3
:
V,^Cn(l-d)í-Cn(l-dP.d = •Cna-d)*.a-d) = Cna-d)’ ^
m
.33
I
G u i l l e r m oL ó p e zD u m r a u f
En g e n era l, p ara un períod o “p** cu alquiera, el valor actu al será Vp = Cn(l>d|p.
i
I
Y el valor actual para un documento descontado por n penados, será V = C n (l-d K
i
E n latab la3.4 sem u estralam archad el valoractualdeSl alolargo detres períodos: t
Monto
Descuento periódico
v, = (i-o.2 0 )=o,ao
Valor actual
1
0,20
2
0,80
0.80x0,20=0,16
V, = 0,80-0.16=0,64
3
0,64
0.64 x 0.20=0,128
V, = 0,64-0.128=0,512
i
i
Foriiiulás derivadas dej descuento com puesto
.
A partir de la fórmula principal V =.C n(l-d)" pueden derivarse el valor norTiinal (final! del docum ento (Cn), el tiempo y la tasa de descuento:
i
Valor actual ’
Valor nominal
V = A ^ ( l- r í ) V
S
(1 -d )”
Tiempo
Tasa de descuento
i n K - ln / / / í.= --------------- In (l-r í):
}-,s fácil deducir las fórmulas a partir de Ja ftinción del valor actual ,V-.-|
;
n; ji' i '"
- N ü - j y 1^ función del valor nom inal del documento es un sim ple pasaje de térm inos. Veremos el cáJculo para el número de períodos y la tasa de des cuento. Partíeiido de la expresión del valor actual y pasando N dividiendo, tenem os
tV
= (1 - 1/)"
Aplicando logaritm os en ambos términos
in — = l n { l - í i ) “ y nor queda finalniente n
In V -ln A Í In (I-r í)
I n t £r£s C ompuesto Para la tasa de descuento, también partiendo de la expresión V N luego pasa n com o ejqponente inverso y pasando términos queda
Análisis dei descuento com puesto De acuerdo con el cuadro de m archa anterior, los descuentos periódicos se calculan sobre valores actuales (hacem os el descuento sobre un valor que ya fue descontado)* El descuerno del prim er año se calcula sobre el capiial nom inal, y por lo tanto los descuentos son variables y decrecientes en pro gresión geom étrica al igual que los capitales que le dan origen. D escu en to p e r ió d ic o Como vimos en la Tabla, es decreciente. Por ejemplo, el descuento qmse realiza en el período tres, puede o b ten erse por diferencia de vaií)it-i actuales al final de los períodos dos y tres: D (2,3j = (l-d)2 - n -d )* Luego, sacando factor com ún (1-d)^ tenem os :
= { l - d ) í V I ] - ( l - d ) l = (l-d)2.d
Observ'e que a medida que aum enta el exponente en el segundo miefií bro de ja ecuación el valor del descuento es cada vez menor. Poi cjem pJ.j, el descu ento para el próxim o períodc» llevaría com o exponente a 3 v <-! descuento para el penado cuatro Seria; (l-d )^ d
■ In te n s id a d p e r ió d ic a o d es cu en to efectiv o El d escu enta efectivo es constante, pues el descuento periódico repir sem a siem pre la misma propurción sobre el valor que se uiiliZd pam cal cularlo: d a -d f-' (l-d)"-'
= d i:--:' " '-
D escu en tos a c iim u la d o s
' -ir
Podem os calcularlos a partir de la diferencia entre el valor nominal a futuro del docum ento y su valor actual:
■í
D (0,n) = C n - V - C n íl - ( I - d i ”! ■.
■
-■
•- i r 'rN ' ''' .
-■ i h
G u i l l e r a a o L ó r E 2D u m i u u f
K epreseníadonesgráficas del valoractual y deldescuenlo En las ílguras 3.9 y 3.10 se muestran las funciones del valor actual y el descuento con tasa adelantada en los dos regímenes, simple y compuesto. Mientras que en el descuento comercia) el valor actual se anula cuando n=I /d, en el régimen con^puesto el mismo tiende n cero, cuando la funcidn se hace asimótíca al eje de las abcisas. En cuanto a la función del descuento acumulado, en ninguno de los dos casos puede descontarse más que el valor nominal del documento, que re presenta el tedio para el descuento. Mientras en el régimen simple las funcio nes son lineales, en el régimen compuesto son exponenciales y aparecen con fonna de curva.
10
- Descuerno sirrpte ■
15
Número períodos - Descuentocorr|Tueslp
: p g u r a 3 .l0 D escuento Acumulado
Análisis de las Tuncioiies del descuento compuesto con derivadas
hi
Podemos demostrar ia forma de ia fundón dcl valor actual en el des cuento compuesto derivando ésta con respecto a) tiempo. Al ser una fun ción del tipo a* (x es un exponente variable) la derivada primera es
P t Í í'
In t e r é s C o m p u e s t o
85
CJ-d)" lnCl-d)<0 al ser negativa la primera derivada, sa b e m o s que la fu nd ón es decreciente (decrece su valor cuando aumenta el núm ero de períodos n) La derivada segunda es a -d )" In (l-d )ln d -d ) = (l-d )" (ln(l-d)12>0 De forma tal que, al ser positiva la derivada segunda, sabernos que la función es cóncava, cuyo límite es cero cuando n tiende a infinito. En el caso de la función descuento acumulado D (0 ,n )= l-(l-d )’' su prim era deri vada es positiva: {-i) (l-d )M n (l-d ) > 0 y la derivada segunda es negativa, por lo cual concluimos que >a fun ción es creciente y convexa, cuyo límite es uno (como máximo el descuen to puede igualar al valor nominal) cuando n tiende a infinito. ! * - d -d }" lln(l-d|]2< 0
C om paración del in terés y el descuento en Jos régim enes sim ple y com puesto La tabla 3-5 resume una com paración entre los regímenes sim ple v conipuesta tanto para el interés com o para el descuento, para dos categorías: el rendiiniento/descuento periódico y el rendim ienlo/descuento efectivo.
Función
Interés/Descuento periódico '
Rendimiento 1 Descu*'nto efectivo
Interés simple
Constante
Decreciente
Descuento comercial
Constante
Creciente
Descuento lacional
Decreciente
Decreciente
Inferes compuesto
Creciente
Constante
Descuento compuesto
Decreciente
Constante
t i i
T abla 3.5 co m p aracid n regím enes sim ple y confipuestp
Relación é n tre la tasa de interés y la tasa de descuento en el régimen conipuesto AI Igual que en el régimen-simple, existe una equivalencia entre la lasa de descuento y la tasa de interés vencida. Para obtener una a partir do otra, primero igualamos los factores de actualización 1
a+0'
-■ So
y
G uillerkío L ópez D umrauf
Para eliminar la “n" podemos extraer raíz enésima en ambos miembros, y quedaría: -In
= ’^ a - d r
■
Sim plificando con el exponente d éla función desaparece la raíz y que-
da l
A partir de esta expresión se puede deducir una tasa a partir de la otra: d a p artir d e i
/a p a rtir d e d {1 + 1) ==
X a-¿í)
(1 + /)
i-(i-d )
d^
(\-d)
I=
1
d = i—
d
(1 + 0 - 1
(1 + 0
d = l+i
0 -^ )
C omo se aprecia, el régimen compuesto plantea una importante dife rencia con el régimen simple en la relación entre la tasa de interés venci da y la tasa de descuento, ya que ésta no es función del número de perío d os En el régim en com puesto la relación entre la tasa vencida y la adeIdiitiida es constante, ya que las tasas son siempre efectivas. Tal como ve remos en capitalización continua, la tasa instantánea de interés es igual a la taia instantánea de descuento.
Preguntas de aiiio-evaJuacíón: 1 ¿Cuáles son las variables de la función valor actud? 2 En el descuento com puesto la relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento no depende del número de penodos ¿a qué se debe?
3 -3. E q u i v a l e n o a
d e c a p ít a l e s e n e l i n t e r é s c o m p u e s t o
Aplicando el mismo principio que vimos en el capítulo anterior, dire mos que dos capitales son equivalentes si tienen el mismo valor actual. Supongamos tres capitales diferentes, uno se ubica en el período 6, otro
I ntehés C ompulsto
íH
en el período 8 y otro en e! período JO. Ambos serán equivaJenlessí actuafiVados con la niisma lasa d e jnteré;í i, llénen el mismo valor aciual.
i _______ (i + /)‘
( j + í )'•‘
(i + O’”
Sí tienen el mismo valor actual son equivalentes en el m om en to 0 y en todos los momentos; caso contrario no serán equivalentes en ningún mor mentó.
'
Vencimiento com ún y vencim iento medio Igual que en e! régimen sim ple, en el vencim iento común es posible tener dos incógnitas; el valor nominal del documento (N) y el núm ero de períodos; en el vencim iento medio sólo podemos tener como incógnita e) número de períodos por el cual debem os firmar el nuevp documento, pues el valor nominal se preestablece com o la sum a de los docum entos que se reem plazan. . • Ejem plos: a) Se tienen 2 docum entos de $10.000 y $*-10.000 que vencen en 2 y A años respectivamente. En que fecha vencerá el que los reemplace si m ili zamos el 10% sem estral de interés com puesto? ¿Por cuál vaíoi debería ju marse un docum ento que venza en el octavo sem estre y sea ei|uivdleiue desde el punto de vista financiero? Si resolvemos eí problem a utilizando tasas de interés vencidas, teñe mos que el valor actual de los dos docum entos es Co = 10.000/(1,lUÍ- + 40.000 /íl,10)8 _ 25.490,429 Luego resolvernos n con la fórmula para el régim en de inferes cmnpuesto; In O í -in Co
In 5 0 .0 0 0 -In 25.490,4
In (1 -f /)
In(UO)
= 7,{)6 sem estres
Para calcular el valor del docum ento que vence en el octavo senlesiit; y reemplaza a los otros dos, sim plem ente capitalizarnos por ü períuilus t í valor actual Co: 25.490,42
54.6-10,97
b) Suponga que usted quiere refinanciar 4 pagarés de $10.000 cada uno que vencen al fina! de cada año, durante 4 años, descontados al 10% anual. Se desea co n o cer el vencim iento de uno de $50.000 que consolide la deuda. Primero calculam os el valor presente de cada documento que icsulia serCo=31>698,65 (dejam os para el lecto ría com probación correspondieu' le). Finalm ente, volvernos a utilizar la fórmula para el régimen de inteiés com puesto: —
G
n -
u il l e r m o
L c r t z D i ' i- ip a u f
liiC n -ln C o In50.000-In31.698,65 . . — ------------- -- ------------------------------- = 4,78 ÍI/IÍ7Í In(UO) In (l + /■)
Como esie problema Involucra una cnrrienle de 4 pagos Iguales, se po dría haber considerado como una operación de rentas, aunque es un proble ma típico de vencimiento medio. Comparación del vencimiento medio en los regímenes simple y com puesto Volvamos por un momento sobre el ejemplo visto en el capítulo ante rior donde trrtamos el vencimiento medio en el régimen simple. Ejemplo: Se ita documentado una deuda en 2 pagos a los 6 y 8 meses de plazo, por importes de $1.000 y de 510.000 respectivamente. La (asa de iiiiei«s vtMidda es dcl 2% mensual. Re.solvpiemns el ejemplo del vencijnleritü w r d io pero .ahora suponiendo ca}iílaliz.íción mensual. Co=l.n00/(l.l)2)-« 4 10.000 /íl.02)"=9.122.87
InOi -In C o
in 11.0 0 0 -In 9 4 2 2 .8 7
^ I
,l ----------------------- ------------------------------------ = 7 h i ( I + /) ln (1 .0 2 j
Si la lasa de inlcrcs luihiera aumentado al 20%, el vencimiento medio se iihicarí.a ni 7,70. Como se observa, los valores obtenidos en el venci miento medio en el régimen compuesto piescntan valores muy similares a lo' obtenidos eti el régimen simple. Mtíiidnfl rln| vcnciinii'iuu medio en la jiváctira n v e ii '- im ic iii o m e d io e n e l r é g im e n í r m ip u e s iu es d e u t ilid a d e n la •■iil' r»*n! e n p r o b l'm iiis le la c lo n a d o s c o n iu n n im / '.^ r ió n «Je c a ñ e ra s d e l>o• »os. J.H f|U '' la c o m liin a r io n d e d ife re n te s n iiiln s c o n d ire re n ie s v e n c im ie n n>s V e s tn ic in r a s d e flu jo s , p e r m ite a c o ta r la s fln r iu a c io n e s d e r e n d im ie n lo s dp (a r.arl«»rn n á s ic a m e n te . c u a n d o la tasa d e in te ré s a u m e n ta , s i b ie n se ir> fín re e l p re c io (in lo s I m h io s . I os c u p o n e s q u e se c o b ra n d e é s to s p u e d e n r e iiiv o t lir s e n ta sa s ta m b ié n m á s alta.s, y d e fin ie n d o u n a fe c h a a p r o p ia d a p a r a la li q u i d a r ló n d e la c a rte ra , e l r e n d im ie n t o de é s ta a l v e n c i m ie n to q u e d a a c o ta d o e n u n ra n g o . La in m u n iz a c ió n d e c a rte ra s d e b o n o s se tr a ta e n d e ta lle e n el c a p itu lo 12.
.Resumen
El régimen compuesto aparece en la vida real en cada operación don de se renueva un de|uí.siio a plazo que incorpora los intereses ganados en el período anteiior. o también en cada .situación donde se capitalizan los
Í N T E R í sC o m p u e s t o
3^?
in te re s e s , c o rn o p o r ejemplo cuando un deudor se atrasa en el pago de una cuota de un préstamo a un banco. Para que el interés se "componga'’ siempre tiene que haber más de un período o subperíodo de capitalización; en un solo período no puede haber interés compuesto. Vimos que existe interés compuesto cuando avanzamos en seniicio posi tivo del tiempo y también cuando actualizamos una suma de dinero iutura y calculamos su valor actual o presente bajo las reglas del interés compuesto. Particularmente, en las finanzas es muy común que se píense en términos «le "valor presente" y a menudo tengamos que actualizar corrientes d«‘ pag/)s bajo las reglas del interés compuesto. Por último, vimos que la equivalencia de capitales también se da en el régimen compuesto, y ésta se producía en la medida que éstos tuvieran el mismo valor presente.
P reguntas i Relación entre la tasa de descuento y la tasa de interés en ei rópínipn simple de intereses. Comente brevemente en qué difiere Ja m ism a r'»lnrión cuando el régimen aplicable es el de intereses compuestos. 2. ¿Cuál es la finalidad de calcular un monto fraccionario? 3 Describa 3 situaciones en las que es relevante calcular un.i mr-lia gooniélrica, 4. En el régimen compuesto de íntere.ses, ei interés periódico es (cons tante / creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas efectivas periódi cas son (constantes / crecientes/ decrecientes). 5. En el régimen compuesto de descuento, el descuento perjódiro «s: (constante /creciente / decreciente). En consecuencia, las tasas electivas periódicas son (constantes / crecientes / decrecientes). 6. Suponga que usted tiene la oportimidacl de colocar su dínem a plazo fijo al 12% anual por 10 días en el régimen simple, ¿es esta opción inejoi que otra que le ofrece un rendimiento efectivo del 1% mensual?
P roblemas l. El día 5/07/01 se depositan $500 ai 6% mensual efectivo por un plazo de 30 días, renovándose la operación por otros 30 días al 7% efectivo men sual y al finalizar ese plazo se vuelve a renovar el plazo fijo por otros 30 días obteniéndose un 5% mensual. Determinar: a) Capital final al que se arriba aJ final de los 90 días. b) El rendimiento total de !a operación para el período total de coloca ción (90 días).
GlllLLlR>.»0 LOPtZ ^UMR.<^Uf
c) La lasa de interés promedio mensual de la operación. Rfspuesia: a) 595.-15 b) 19,09% c) 5.99% 2 ¿Qué capital colocado durante el período comprendido entre el
0-1 '09 '95 y ¿101/02/96 al 1% mensual ha generado en el régimen de interés compuesto un valor final que supera en $50,50 al que hubiera obtenido si se
hubiera colocada a esa misma tasa pero a ínteres simple? Itrspiiesia. 49.997,52
3 ,A qué tasa debió colocarse el capital al que se refíere el ejercicio anterior en el régimen simple para que el monto fuera igual al obtenido en el régimen compuesio? Rt-spiiesia: i ,02% 4 Una persona desea repamr $150.000 - entre sus 3 hijos que tienen, respectivamente 6, 8 y 10 años, de manera que aJ llegar a la edad de 22 unos, reciba cada uno la misma cantidad. ¿Cuáles deberán ser los impor te.^ que deben ser colocados a ínteres compuesto a la tasa de 5% anual, s ic iu i. i ios in t e ie s e s capitalizado:, anualmente? n.-:,puestu; C = 45.208.flU
C " = 49.841,80
C
= 54-950,20
5 Pm la compra de una propiedad fueron hechas las siguientes pro puestas ai $150.000,00 en efectivo y $100.000,00 al final de 5 años. M $50 000,00 en efectivo y $200.000.00 al final de 2 años. P. egiintas u. ¿Cual es lu piopuesia mas veiuaiosu para el vendedor suponiéndose Hile 1.. usa de inteies es de 5% anual ton capitalización semestral ' li ¿t.iianiti Jeliería uiiecer como un pago en efectivo el autor de la pror>»>eaia menoi pura esui en igualdad de condiciones con su competi dor^ Rt spiiesia: a) lu segunda propuesta b) 3.070,30 6 ¿Si la población de la ciudad X aumenta a razón de 3% por año, cuál será Su población en 2050 si en 1950 tenía 92 400 habitantes? R.'spuesta: 1 775.801,6 7 La población de la República Argenana ascendía a 23.364 431 habi tantes en iS7ü El ultimo censo arrojó que la población era de 36.223 947 nabit.inies segur, datos provisionales del Censo 2001. al ¿A q u é rasa promedio geométnca creció en el período?
I nti M s C ompuisto b) ¿De manienerse dicho crecimiento, a qué cantidad de habilantejí ascenderá la ítepüblica Axgentiua en 2020? Respuestas: a) 1,42% b) 47.352.649,9 8. En el presupuesto nacional se incluye una pauta inflacionaria anual. Si dicha pauta inflacionaria fuera para el presente año del 30%, y teniendo
en cuenca que la inflación acutniilada hasta el mes de junio alcanza el 20%. ¿cuál debería ser el registro de inflación mensual promedio desde julio hasta fln de año para cumplir con la mencionada pauta presupuestaria? Respuesta: 1,34% 9. ¿Cuál es la tasa anual de interés simple equivalente a la lasa de 5% anual de interés compuesto durante 25 años? Respuesta: 9,54%
, J
10. ¿Cuál es el descuento compuesto que se practica sobre un du<'umenro cuyo valor es de $6.900 - siendo que el período de la operación es de 6 años y medio a la tasa de 5% anual capitalizado irímesiralmenie? Su ponga un año de 360 días Respuesta: 1.904,51 11 Un «.úmercianie debe efectuar los siguiemes pagos que iid d>>. u mentado según el siguiente esquema $1.000 000,00 en B meses de plazo $800 000,00 en 1 año de plazo $1.500 000.00 en J años de plazo Resuelve pagarlos en una sola vez con un tlocumerno de $3 50u iiun un a la tasa de n% anual vencido ¿Cuál es la fecha que el coniercianie di iic colocarle al documenlo? R e s p u e s ia : 2 .3 5 ( 2 a ñ u s , -i m e s e s y 6 d ía s i
12 Un ilocumeme de $3.487,20 ha sido rescatado 2 años ante.» de sii vencimiento ¿Cuál fue el descuento compuesto verdadero que hubo, s.ibieiidose que la tasa de inferes es 1,75% mensual? R e s p iie s ia : 1 .1 U ? ,6 0
13 Un tínilo de valor nominal de $1.000.00 fue descontado faliand.i 6 años para su vencimiento ¿Cuál fue el descuento compuesto hancario iabiéndose que la lasa de descuento es del 15% anual efectivo? R e s p u e s ta : 6 2 2 ,8 5
G uiller^\o Lúpez ÜU^i RAUí 14. Un capital de 550.000 es colocado a una lasa de interés del 2% men sual. mientras que ntro capital de $100.000 e.'i colocado a «na la.sa de interés del 1% mensual. ¿En qué período se igualán los montos producidos por am bos capitales? Respuesta: 70,35 meses 15. Un capital de $50.000 se depositó por un lapso de 12 meses, ganando el 2% mensual durante los primeros 8 meses y el 1% mensual durante los úlUmos 3 me.ses. Si el monto al final del mes doce alcanza la suma de 61¿63,46, ¿cuál fue la tasa de interés ganada en el noveno mes? Respuesta: 1,5% 16. Una deuda se documentó en dos pagos de$20.000 ySO.OOO respecliramente, que vencen dentro de 3 y 4 meses ai 7% de interés mensual compues to. Calcular eji qué momento vence un documento único que los reemplaza con un valor nominal de $50.000. Respuesta: 3,59 meses 17. Un cnplial de $100.000.- se invierte una parle al 2% mensual y la otra ni 2,5% mensual, considerando en ambos caso interés compuesto con capiMlÍ7.;ición mensual. A.I cabo de ) 0 meses los montos son iguales. Determinar los importes depositados a cada tasa.
Hcspuesia:47.0(10,92y52.l9D,08 18. Un individuo cotitiata un préstamo-de $10.000.- con tina entidad Rmmriera mrnpronietiéitdose a cancelarlo en tres cuotas fifas mensuales y r^n.cccmivn« que incluyen el 30% nominal anual de interés con capitalizariún mcn-^nnl. L>rterminarel importe de la cuota. Pc^pTicsta: 3.501,38 I!). Calrul'^ en que tiempo se duplica un capital, sí la tasa de interés meiííuai es de) 0,.5%. Respuesta: 138,97 meses 78. C 'ilculf en qué licmpri los intereses generados por un capital al canzarán una suma igual a) triple de éste, si la lasa mensual de interés es Respuesta: U0.41 meses
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RErEmiNCIAS bibuogrAficas Roprirn Ci'ísa, HuB'ryFusrHOLEP Davip (1998) Hatenuíticas Financietnx. 2* edición, México, Continental. I)i MríCFi W), ÜsvAíDo í 199.3). M ateniática Financiera, 3" edición. Buenos Al ies, Kapelusz.
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Í N T E P Í 5C o m p u e s t o
Apéndice 3 A.
T asas de cheomiento del PBI en la Argentina 1900-2004 La tasa de crecimiento del PBI en la República Argentina h a m ostrado ser altamente volátil, como puede verse en la figura 3.11. Períodos d e fuerte cre cimiento fueron seguidos por importantes recesiones:
Figura 3 .1 1 Tasas d f variación del PBI en ArRcntina 1900*200 4
Si com ponem os las tasas año a año, nluendrcm os una funcí**n m m puesta, partiendo de una unidad de PBI a diciem bre de 1900. Puede vet'*íe en la figura 3.12 como ésta, sobre el fina] de 2004 queda ligeram ente por encim a de la rimción de crecim iento com puesto al 3% anual: si crmiparainos el PBI a fines de 2004 con el que se tenía a fin de 1900. obtendríam os una lasa promedio geométrica del 3.1%. La econom ía de USA lainbién creció a una lasa similar en ese período, pero con fluctuaciones mur lio menores.
Figura 3.12 Crecimiento compues
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I n terés “El Instame es la continuidad del tiem po, pues une el tiem po pasado con el tiem po fiituru"
Aristóteles [364 a.C.-3242a (J . fildsofü ycienrifícogriégú
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I ntroducción
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Una transacción financiera siem pre involucra dos partes; una uniiUd con excedentes, que presta sus recursos, y una unidad deficitaria que los recibe- La prim era recibe una com pensación por alquilar su dinero pc»< un determ inado período de tiem po, que representa el costo que la unidad deficitaria acuerda pagar por dicho servicio. El precio del servicio es la tasa de interés, que representa el costo de una unidad de capital en un peí indo de tiempo. Los contratos en los m ercados financieros suelen utilizar las llamadas tasas “nom inales" — el caso de los depósitos a plazo o los préstam os— que suelen tener capitalización interm edia, y generan de este modo una lasa efectiva para un período distinto al que se expresa en la tasa nom inal. Lxislen en la p ráctica cotidiana num erosas situaciones donde es n e c e s ju o determ inar una tasa efectiva en una operación de depósito de d in ero, el costo efectivo de un préstam o o establecer una relación de equivaléíiTía entre varías tasas de interés. Las relaciones de equivalencia suelen ser muy útiles cuando debemos decidir las m ejores operaciones. Este capítulo describe las relaciones fiindamentales de equivalencia entre las tasas de interés vencidas y las tasas de descuento o adelantadas, al trabajar en un mundo donde la capitaliza ción es discreta [al reflejar las variaciones de las sumas de dinero por m o mentos enteros de tiempo) para finalm ente tratar el ejemplo límite de la capitalización continua, muy utilizada en los modelos de valuación de ins trumentos financieros derivados y en los modelos económ icos.
Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de: • Convertir una tasa de interés nom inal én una tasa efectiva, y obtener una tasa a partir de cualquier otra, sea de descuento o interés, a partir de las fórmulas de equivalencias de rasas;
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Guillermo LOí'EZ Dumrauf
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• Calcular los rendimientos de operaciones financieras cuando hay tran sacciones en moneda extranjera; • Calcular ef rendimiento real de una operación financiera, cuando hay inflación: • Calcular el costo efectivo en una operación de descuento.
4 .1 . La s TASAS DE INTBIÉS VETíCIDAS
La tasa de interés, por definición, representa el precio de la unidad de capital én la unidad de tiempo, la s distintas modalidades que aparecen en la práctica financiera cotidiana generan la aparición de diversas tasas de interés, (}ue es preciso definir claram ente para entender su significado. Cómenzáfemos' por explicar estas relaciones en el contexto de la capitali zación por ser el más extendido en la práctica financiera, y luego realiza remos un análisis similar en el contexto de las tasas de de.‘?ruemo, llama das com únm ente "adelantadas”. Cuando hablamos de capitalización, nos referimos aí escenario donde tenem os una cifra de $ l que evoluciona hacia el futuro a lo largo de un ano, ganando un interés. El interés, por tanto, representa la oportunidad que tiene esa cantidad de convertirse en una cantidad mayor en el futuro, que será igual al peso inicial más el interés ganado en dicho período: Ü
$1
1 año
1 +i
Como r.r^ aprecia en el eje de tiempo, la lasa de interés representa el lencIirnieiUo de oportunidad de ese período — la oportunidad de obtener una ganancia en esc período de un año colocando ]ior ejemplo, $1 en una cuenta de ai»nrro— y que como veremos, adopta distintas denominacio nes según el trp«i de operación que se trate. Por ejemplo, en el caso de las tnsa.s vencidas de interés tendremos la tasa nominal, la proporciona!, la pfecUva y la equivalente. En el contexto de la capitalización continua, tam bién puede incluirse a la tasa instantánea.
La tasa nom inal de la operación Hs com ún que cuando una persona realiza im plazo fijo o solicita un p réstam o , contrate con Una entidad financiera una tasa de interés llam a
da "n o m in ar. El caliricalivo de nominal es en principio debido a que es la tasa que está escrita en la operación, sin que por ello signifique la tasa efectiva que se ha de obtener o abonar en ésta. En realidad, y en el caso concreto de los depósitos a plazo fijo, representa una tasa contractual o de referencia que sirve para luego calcularcl verdadero rendimiento efec-
lí 1í
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tivo de la operación. En principio diremos que es una tasa que ftegodamos con el banco si vam os a realizar un depósito a plazo fijo y éste nos dice que por dicha operación nos paga un 12% nominal anual. Sin em bar go, com o la operación se hace por un mes, el verdadero rendímienlo efec tivo es m ensual; el 12% anual sólo sirve como tasa de pacto paia luego calcular el rendim iento m ensual. Lo mismo cuando solicitam os un prés tam o o com pram os un bono que suponen pagos mensuales. Por ejemplo, e! rendim iento m ensual de la operación habría sido del 1% ((1.12/121, Utilizarem os la notación j{m ) para la tasa nominal por ser la de uso más extendido. La tasa nominal es aquella tasa que obtendríamos si no hubiera capíialización subperiódica de intereses, esto es, el rendimiento que habríamos ob tenido en el régimen sim ple. Se dice que la capitalización es periódica cuando capitaliza sólo una vez en el período. , Veremos más tarde cuando tratem os el terna "frecuencia de capitaliza ción” que la tasa nom inal representa más que nada una in ien sidn d d e co m p a ra ció n , antes que una tasa de interés. Es común qiie se haga un plazo fijo por 30, 45 ó 60 días, pero para calcular el rendim iento efectivo para cada uno de esos períodos, siem pre se tom a com o referencia la tasa nonnnal anual (TNA). No obstante el significado ‘'n o m in a r puede tener di.sUmos significados según el contexto que se lo emplee (1). En el ámbito de Cál‘:nlo Financiero su sígnifícadQ es el expresado anteriorm ente y genrralm»>nte se utiliza la lasa nom inal para calcular otras tasas de interés, por pio la lasa efeciiva. com o fue mencionada» antes.
L a tasa n o m in a l es la rasa d e p a cto o d e contrato d e In operación En in práctica se com porta com o sifu era u n a tasa d e referencia qi/eset'tüizo p a r a calcu lar la tasa efectiva. L a tasa n o m in a l j( m ) n o es u n a v erd ad era la sa sino m ás Lnen ie)nc sen tó u n a in ten sid a d o co efic ien te d e co m p a ra ció n Por p u ed en co m p a ra r lasas n o m in a les entre en lid ad és fin a n cia ra -p a u i u n a op era ció n d e p la z o f j o : si el p la z o es el m ism o, ¡a m e jo r oncián siem p re será la tasa n o m in a l m ás alta. C u an do el p erío d o d e cap ita liz a ció n es uno solo, la tasa n om in al y la efectiva son iguales.
{n En el contexto de la economía vías finanzas, la tasa nominalsuele tenernra utilizacidn: si bien en un contexto estricto del cálculo financiero una tasa puede ser afectiva, es común encontrar que en publicaciones especializadas se habla de tasas nominales simple mente aludiendo a suvalor numérico, que en épocas eleInflación puede ser aparentemente alto. Sin embargo, esta tasa "aparente" no refleja correctamente el rendimiento e.xhaustivo de la operación. Más adelante se trata el significado déla tasa aparente yde la lasa leal de una operación.
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Guíllera^o López Dumrauf.
Eli e! punto anterior hacíamos referencia a una tasa que sáio tenía una capitalización porperíodo, de forma tai que la unidad de tiempo en que esta ba expresada la tasa nominal, coincidía con la unidad de tiem po del subperíoda de capitalización. Sin embargo, en la práctica muchas operacioneíí tienen capitalización intermedia, de forma tal que la unidad de liem-
po de la tasa nominal no coincide con la unidad de tiempo del subperíodo de cajriializacidn, dando origen a la tasa proporcionaL
1 .
I
Es decir, que la tasa proporcional i(m) se obtiene a partir de la división entre la nominal periódica por la cantidad de subperíodos de capitaliza ción. Por ejemplo, el 12% nominal anual capitalizable semesiralmeníe es igual aJ 6% semestral ya que hay dos semestres en el año (2): i(m) =
i »
» M i
i#
J(rn)
0.12
^ 0,06 semestral
Necesariamente, su capitalización es subperiódíca, ya que existe más de una capitalización en el periodo de tiempo expresado para la tasa no minal. al proporcionarla la llevamos al momento donde capitaliza (es de cir, dunde la tasa "trabaja"), donde se agregan los intereses al capital. La frecuencia con que los intereses se adicionan al capital es lo que llamamos fVeciu ncia de capitalización y puede variar. De esta forma, podemos tener una tasa nominal anual pero que capitaliza en forma semestral, trimesiraJ, mensual, cada 7 días, etcétera. Eu la capitalización periódica hay una sola capitalización de intereses en el períod o de tiem po de la tasa nom inal; en la cap italización subperiódica hay más de una capitalización de intereses, y por lo tanto el monto que se obtiene es mayor con la capitalización periódica. Por lo lantu, la diferencia de rendimiento entre una y otra capitalización, es la mis ma iiutí existe entre el interés simple y ei interés compuesto. La in fere n cia fu n d u m en ía l entre la cap italización p er ió d ic a y la subperióílicti, es q u e en esta ilUinia no coin cide el p erío d o d e cap ím liz a c ió n co n ¡a u n id ad d e tiem p o en qu e está ex p resad a la tasa n o m ih a i La diferen cia de rendim iento entre una y otra capitalización, es la m ism a q u e existe en treel interés sim ple y el interés com puesto.
♦
La tasa efectiva de la operación La tasa efectiva de una operación representa, como su nombre lo indica, el renJim ienio que efectivamente se ha conseguido en un período determí-
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i2) Suponemos un año comercia] de 360 días, donde hay dos semestres de 180 días. Depen.liendo de tananiral^a decadaoperadéñ. aveces el añoconsideradoes de365 días.
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nado de tiempo, Alíora bien, para definirla, pudiendo ser la tasa efecríva un rendimiento o un costo, y dadas las diferentes formas de cálculo que deben utilizarse según la naturaleza económica de la operación, conviene q u e reali cemos una aclaración; la Uefiünlción más común es la qué alude a s í i obteuclón a partir de la lasa nominal: La casa efectiva es a q u élla q u e ca p italizad a una sota vez en el p erío d o , prod iic e e l m ism o m on to q u e se obtien e a l cap italizar en fo rm a su bp eriód ica con la tasa proporcion al. Es decir, un peso colocado a la tasa de interés i, prod uce en una sola capitalización, el mismo monto que con jlm)/m al capíralizar ‘ ii» ' veces; (i+/)=|^^i +
/=1H -
j( m )
m
jim )'
-1
m
Como se observa, para despejar la tasa efectiva de una operación. ;je igualan dos montos, uno obtenido con la tasa efectiva y otro obtenido con la tasa proporcional; de esta forma se garantiza obtener la tasa efeciíva que corresponde a una tasa nominal j(m). Este procedimiento de igualjr montos es muy común y lo uiilizaremos con frecuencie en ei futuro cuan do establezcamos equivalencias entre factores de capitalización y actiulización. La tasa efectiva es a q u ella q u e a p lic a d a sobre un capital, p rod u ce en u n a sola cap italiz a ció n , et m ism o ren d im ien to q u e se o b iien e c a p i talizan d o en fo r m a su b p eriód ica m veces con la lasa p r o p o r d o n a i Ejem plos; La tabla 4.1 propone una TNA idéntica para diferentes frecueiicias d e , capitalización. Cada uno de ios casos vendría expuesto en un problema del tipo "Dada una TNA del 12% con capíialización cada xx días, calcului >u corres|)ondiente tasa efectiva anual". Calcularemos la tasa efectiva ai nuil (TEA) para cada uno de los casos y luego sacaremos una conclusión. Su ponga eo todos los casos un año de 365 días, ya que la mayoría de las opery raciones del mercado financiero se realizan con el año civnl. . TEA
TNA
Días
12%
180
"i
12%
60
?
12%
30
"T ■.
l abia 4.1 Cálculo de la (asa efectiva anual a panír de la rasa nominal
m
G
u il l e r m o
L
ó p e z
D
u m r a u f
(i i,!
ü + 0 4 2 x l80/365)3“ '^«»^ Ir; 0 4 2 3 6 = 12,36% (l+ 0 4 2 x 60/365)"“ " " - 1 =0,1261 =2,61% ■
.'% -‘í
a +0,12x30/365)3fi5V3o^I ,,0.1268 = 12,68%
De los resultados: podem os obtener com o conclusión que, mante^ niendn in tasa n o m in a l co n sta n te, a m e d id a q u e a u m e n ta la fr e c u e n c ia d e c a p ita lk a c ió n (com o los subperíodos de capitalización son m enores, hay una mayor cantidad de capitalizaciones) la ta sa efectiv a ta m b ié n es ;/m)'or.
Una fdmmín estandarizada para la tasa efectiva que evita confusiones En ocasiones se genera cierta confusión cuando deben definirse los subperíodos dé capitalización. D ebe tenerse particular cuidado con este tema, para lo cual se ofrece como alternativa para el cálculo de la tasa efec tiva una fórmula estandarizada que m osijareinos en un ejemplo. Suponga que un banco le ofrece una tasa nominal anual del 6% para una operación de plazo fijo de 30 días,-y usted quiere calcular la tasa eíecllvapara un plazo de 90 días. La fórmula propuesta es:
donde: t=
número de días que contiene el período de la tasa efectiva solicitada (eí^nom em o al que tengo q ueir”)
p= iMÍnieiode dí.isquc ruiUicneelsubpeilf'dodccapil'^hzaciói» (dónde “e-toy”) Si reemplazamos, l endrcinos: 00
I =1 1+ 0.06X—
r -1 = 0,(II4S=I.4S%
365 J
O bserve qu e siem p re se fla n d o s p a so s : \, I'rim cro siem pre .se proporciona la TNA para llevarla al monieiUo en qtierapitalizan los intereses. Por lo tanto, dividimos la 1 NA por la cantidad desuhperíodos que se encuentran contenidos en un aña; como la capitali zación es cada 30 días, In cafUidad de subperíodos de capitalización conte nidos en un año resulta de dividir a365 por 30 (365/30=12.16666). A| dividir a la tasa nom inal anual por 12,16666, la hemos llevado a! mes, que es el m om ento donde"trabaÍa''. .
ik
l AJ/V,»
L-ÍU
2. Luego debemos ir aj pJazo de la operaddn que nos propone la tasa efectiva. Como ésta es por 90 días, entonces tenemos que preguntamos cuán tos subperíodos de 30 días habrá en 90 días (90/30=:3), y por Jo tanto el expo nente será 90/30 porque habrá 3 capitalizaciones en una operación de 90 días si capitalizamos cada 30. O bservacion es so b re el co n cep to d e Ui ta sa efectiva 1. Hasta el momento hemos calculado la tasa efectiva a partir de un dato que era la lasa nom inal, y para ello utilizamos la fórmula correspondiente. Sin embargo, en ocasiones la tasa efectiva no se calcula a partir de la tasa nominal pues no existe tal tasa de contrato. Por ejemplo, piense que Ud, compró su automóvil actual por $100; luego lo vende al año por SISO, y Ud. ha ganado efectivam ente un 50%. En este caso, para el cálculo de la tasa efectiva se em plea otra fórmula que resulta ser el cociente entre ei valor final y el valor in icial que por otra parte viene dado naturalm en'c por la fórmula de cálculo de la i que resulta derivada de las fórmulas del momo a interés sim ple o com puesto. .
100
, = í ^ _ l = 0 .5 0
ir^
'
2. También en una operación que involucra un’desembolso imcini que luego genera una corriente de ingresos futuros, tiene un rendimiento rípctívo, pero en ese caso la tasa se obtiene mediante un proceso de i»era'’ ion La tasa obtenida es también, una tasa efectiva, entendida com o *^l letídj. miento efectivo de la operación (ver el proceso de obtención en el cajuiuío destinado a Rentas). 3. Una tasa puede ser efectiva respecto de un periodo, pero [Hiede ser siibperiódica respecto de otro período mayor: por ejemplo, ei IO t e ím jvo mensual es efectivo respecto dei mes. pero a la vez ese 10% es nn inndlrniento subperiódico respecto del año: (1+0.10)'^ - 1
r
2,14 = 214% efectivo anual
Así, el 10% efectivo mensual es subperiódico del 214% efectivi am«al. 4. Nunca se proporciona una tasa efectiva. En el caso anterifH, el 10% es electivo del mes, por lo tanto el 10% ya expresa el rendiiniem o en ese m om ento y no debe proporcionarse ya que no supone una capiulizncjón interm edia. Recuerde; sólo se proporcionan las tasas nom inales
O bten ción d e la ta s a n o m in a l a p a rtir d e la ta sa efectiv a Supongamos ahora el problema en orden inverso Usted es rl gerente financiero de un banco, y sus directivos le dicen que debe pagar por ios depósitos una TEA máxim a del 10% (recuerde que los depósitos son los pasivos de los bancos, y que las tasas que se pagan por los depósitos a pla zo fijo son un costo para la institución financiera).
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H 9 f
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VaUlU.tKMO LUrtZ^ UUMKAIIP
TNA
Días 180
10%
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Tabla 4.2 Cálculo de la tasa nommai anual a partir dela efectiva En ese caso, usted debe calcular para cada plazo de capitalización la tasa iiominai anual correspondiente, a fin de que sirva corno tasa contracJuaí n de pacto para cada operación. Debemos entonces despejar la fórínula que permita obtener la tasa nominal a partir de la efectiva, y lo hare m os a partir de la misma ecuación de arbitraje que utilizamos cuando des pejamos la tasa efectiva a partir de la nominal;
Km) =
m
Obsen^e en la última expresión, que la expresión entre corchetes es tí-^al a i(ni), la tasa equivalente a la tasa efectiva i. Cuando elevamos la expitiión (1 + i) al exponeme 1/m llevamos la tasa efectiva que es el dato al siiliperíodo de capitalización. Luego, la tasa nominal es igual a la tasa equivalente multiplicada por m subperíodos: j( in ) = i( m ) m Esto significa que la tasa nominal j(m) es como una tasa a interés sim ple. ya que se obtiene de multiplicar una tasa i(m) por la cantidad de superiodos de capitalización m, que es lo mismo que sumar m veces la tasa ifni). . . . . Aplicando entonces la fórmula para la obtención de la tasa nominal, tenem os: X 365/180 = 0,09758=9,76% ÍCl+0,10)‘'‘36S/6oi,ij
365/60 = 0,9606=9,6% x 365/30 = 0,09568=9.57%
■
j '
Observeque la expresión (140,10)*'<^“^'‘*‘‘'--1=0.0481=4,8J% para 18U días. ' Luego, al nuijEiplicar 0,0481 por 365/100, se obtiene la tasa nominal anual de 0,76%. De los resultados podemos obtener com o conclusión qu e, c u a n d o au m en ta la fr ecu en c ia d e ca p ita liz a ció n , p a r a m a n ten er la tasa e fe c t iv a c o m ían te d e b e d isn iin u lr la tasa n o m in a l.
De nuevo podemos utilizar una fórmula estandarizada donde defini mos:
y lm )-
+
-1
3 65 P
Donde t =
número de días que contiene el período de la rasa efectiva q u e viene dada com o dato . ,
p = número de días que contiene el subperíodo de capitalización Para el caso donde queríam os obtener la TNA con capitalización cada 3n días, teniendo com o dato una tasa efeciiva anual del 10%; 30
j[ m ) =
(1 4 -0 ,1 0 )2 “ - 1 ...
V-..............j J i<3ü=0,0078
— = 0 ,0 9 5 6 30
Vale !a pena an alizar com o se llega al resultad o. O bservé que d entro del corch ete, ap arece 1,10 elevado a la 30/365; e ste cálculo, al elev ar la base a una p o ten cia m en or a uno, es equ ivalente a calcular un rendim íetiío equ iv alente para un período m enor, en e ste caso, 30 días. Inclusive, intuitivam ente es m ás fácil razonar la p ro p orción que rep resenta p/i; por ejem p lo a! h acer 30/385=0,08 y no h acer 1 ¡m com o hicim os antes cuando d esp ejam os la tasa nom inal a partir de la tasa efectiva. Es intuitivo qiie la tasa efectiva del 10% anu al que nos dan com o dato sólo capitalizó un 8% del año. F in alm en te. i(30)= 0,78% rep resen ta la tasa equivalente de Jii días, que cuando la volvem os a m u ltip licar por m, nos d a la tasa nom inal anual:
j { m ) = 0,0078 x ^
= 0 ,0 0 7 8 x 12,16666 = 0,0 9 5 6 ¿ 9,56%
Observe que la tasa nom inal anual es una tasa a Interés simple, ya que el cálculo 0,0078 X 12,1666, es equivalente a sum ar 12,166 veces la tasa de 30 días. ^ ^
G u il l e r m o Lórez D u m p /
uf
jLa lasa equivalente
■’
>
Tasas equi'v-alenres son aquellas que. con capiíalízaciones Intermedias diTerentes, tienen el mismo rendimiento efectivo en cualquier momento. Obviamente, si tienen el mismo rendimiento efectivo en un período, lo ten* drdn en cualquier otro, en consonancia con el principio de equivalencia de rapitalcs ya enunciado en los capítulos de interés simple e interés compues to. La rasa equivalente es a la vez una lasa efectiva; se define a la misma como aquella tasa que al capitalizar subperiódicamente, genera ei mismo rendiiniento que la lasa electiva en un solo período: [ I + íVm;/"* = fi + 0 i(oM = ( i +
1
■
O lainbicn podemos utilizar la siguiente fórmula estandarizada;
4», = ( J + '■ ) '- ! Donde: t=
numero de días que contiene el período de la la-sa efeci iva que viene dada como dato
p - número de días que contiene el subperíodn de capitalización En síntesis, dos tasas pueden ser equivaísnies entre sí, aunque aparente mente sean diferentes cuando están expresadas para distintos períodos de riempo; por ejemplo, una tasa efectiva del 21% bimestral es equivalente al lOTo mensual, al 4.ü0% para un plazo de 15 días, etcétera. Funrlainehtalmentc, la lasa equivalente sirt'e para realizar comparacio nes entre tasas de interés efectivas expresadas para diferentes períodos de tiempo, o para comparar rendimientos de dífcrenlcs adivos que también 'JLieícn estar exprer.ados en diferentes períodos de ticnijio i*nr ejemplo, vol vamos por un momcnln a la tabla dnnde tuvimos que obtener las tasas efectivasanuales a partir délas tasas nomínales, sóloque ahora nuestra incógnita son las lasas efectivas mensuales: TNA
Días
TEM
TEA
12%
180
?
12,36%
12%
60
?
12,61%
12%
30
12,60%
T.ibla r.3 Cálculo ílc la tasa efectiva m«n$ual a partirle la efectiva anua]
Por supuesto, podemos obtener la tasa efectiva a partir de la lasa no minal, conforme vimos anteriormente, pero ahora lo haremos a partir de la tasa efectiva anual utilizando la formula para la lasa equivalente:
4
j
Y
T asas D£ in t é r ís ((i +0,1236)
-1 j = 0,00962 = 0.96%
1 (L+0,1261) '«“ 5/30».11= 0,00980 = 0,90% (í 1+0.1260) '«“ 5/301.1j
0.00986 = 0.986%
¿Es m ejor ganar 0,96% en el mes o ganar 12,36% en el año? Pues bien, es absolutam ente indiferente, pues 0,96% en el mes es equivalente a ganar 12,36% en el año, sí renovamos la operación mensualmente hasta alcanzar los 365 días.
i ■m
Tasas eq u iv a le n tes son a q u e lla s q u e, con c a p ita liz a c io n e s in te r m e d ia s d iferen tes, tien en e l m ism o re n d im ien to efectiv o en c u a lq u ie r m om en to. ,
m « i
¡n te q jr e ía n d o las p iz a r r a s d e lo s b a n c o s
.
Las publicaciones especializadas en econom ía y finanzas suelen tener una sección técnica con num erosos cuadros con información financiera sobre tasas de interés, tipos de cambio, cotizaciones de títulos y moneda*;, etcétera. A continuación se reproduce el siguiente cuadro que brinda ítiformación sobre las lasas de interés que cobra el Banco Nación Argentina para las operaciones activas, descubiertos en cuenta corriente y de-cuen to de documentos, siempre para un plazo de 30 días. Nuestro ejeicicio con sistirá en determinarlo a partir de los datos con ios que contam os, que son laTN A y la TEA. -
m -M A c io n A s a E N r iN A ctiva 7HA
2 9 4 .0 2 ■*30 4.Ó 2_ 2.5.02 3,S.Ó2 ~ S 5 02 7.S.02 B i'd a "
54.75 54.75 M .7 5 S4.7S 5 4 .7 5 " 54.75 54 .7 5
TEA 70.B3 70.B3 70.B3 70,83 70.ÍO 70.83 70.83
O vceifblvrto TNA 60.83 60,83 80.83 60.83 80,83 60,83 60.83
TEA
Dvaeuvnio docwmvrrto TNA
81.05 '8 1 .0 5
54.75 54,75 ecos 54.75 81.05 54.75 ■ * B c b s " 54.75 Sl'jÓS 54.75 81,05 54.75
TEA 70.83 70.83 70.83 70.83 ■r 70.83 70.83 ^70.83
^
~
Figura 4.1 Información Diario Ambito Financiero, 9/5/2002. Por ejemplo, el día 8/5/20Q2 se ofrecía una TNA del 54,75% que corres^ ponde a una TEA del 70,83 según el mencionado cuadro. Por lo tanto, para comprobar la tasa efectiva anual procedemos a utilizar la fónriula corres pondiente;
I = 1+
Jim) m
30
l + 0 ,5 4 7 5 x - :^
365
€ '€
':^AS4S ttSL SANCO OS fwthm
f
30 - 1 = 0,7083
H J iJ iL L c n jv iv .j
\
U íjr t í,
i-f w
D ejam qs para el lector la cornprobacidn de las otras tasas, con la seguri' dad de que contribuirán a su entrenam iento y facilítáxán la interpretacItSn de cuadros en las publicaciones especializadas.
l:n la secció n que tratam os la tasa efectiva observamos que cuando la tasa nom inal anual era constan te, a medida que aum entaba la frecuencia ' con <{ue se capitalizaban los intereses, mayor era la tasa efectiva. La realidad es que cuando “m” tiende a infinito el m onto de la operación al principio-, aum enta y luego tiende a estabilizarse en un valor lím ite f3). En el límite, \ los intereses se capitalizan continuam ente y se dice que hay capitalización continua cuando lo s in terases se ca p ita liz a n e n fo t m a in sta n tá n ea , es d e c ir a c a d a in stan te d e tiem p o . Si bien es cierto esto último, lo quepretendem os reflejar con la capitaliza* ción continua es ía realidad económ ica subyacente en una operación donde se coloca un capital para obtener un monto al cabo de un tiem po, y a ese m onto se llegó capitalizando continuam ente. Para com en zar con el análisis del tema, es conveniente recordar previa m en te ia im portancia del num ero "e" en la matemática. El número "e" es un numero irracional y representa uno de los números más útiles com o base de las ftm cíones exponenciales. Se denota con la letra "e" en honor del m atem á tico suizo Leonardo Euler (1707-1783).
»
9 .
9 '
Se dice que un núm ero es irracional cuando se representa mediante deci males inconm ensurables no periódicos. Además, el número V se utiliza como base del sistem a de logaritmos naturales o neperianos. Utilizamos el número “e” debido a que cum ple la propiedad que hay en una operación financiera: capitalizando continu am enie se alcanza un monto {y este monto es un valor que se estabiliza cuando in tiende a infinito). í ’ara o b ten er el num ero "e" se parte de un binomio de !a forma í l + lVn)*' V se fe va dando valores a “n'. Se podrá notar que a medida que se toman valores de ”n" más grandes, el valor de *'n" crece indefinidam ente, hasta que el valor del binom io se acerca a un cierto valor límite. Ese valor lím ite del binom io cu ando n tiende a infinito se designa con el numero "e", siendo sus primeras cifras 2,718281.....
lim I,->oo
. a
n
( 1)
♦
i:
i? p
(t> Esto puede entenderse sí pensamos que en una operación de plazo fijo donde se aplíci# un capital de 5 I, se contrató un interés del 10%: al fin del período obtendremos $ l, 10 y ni un peso más. E! interés en realidad se capitalizó en forma continua, por instantes de - uemifO, y esa es la realidad económica subyacente en la operadón, si bien la contabilidad lo refiga en íonTia discreta.
J Refómando ahora e) tem a ele )a capitalización subperiódica c o n íasas proporcionales, el monto obtenido era (súponiendo que Co =; 1 y n );
l.iíííL 'j
Cn-
m
(2)
Haremos 2 transformaciones para lograr una expresión simüar a la expre sada en ( 1 ), Entonces:
^
1) En (2) multiplico y divido el exponente p o r''j(in )’' :
2 ) En (2 ), dentro del paréntesis, divido por "jím )" el numeraiim y el denu: m inador de la fracción j(m )/m , obteniendo: /(«I Cn =
m [
j(m )^
Si observam os la expresión encerrada en el corchete, verem os que eí; precisam ente el num ero irracionai V '. Por consiguiente, si considero que la capitalización de los intereses se efectúa en forma continua (ei intervalo de tiempo entre capilalizacíones tiende a cero y entonces m tiende a inhn ito ), en la ex p re sió n d e n tro del c o r c h e te se te n d rá ta m b ié n (píe m / j í m } - > ~ . Todo esto nos lleva a la con clu sión que e! m ayor valor qiit* puede tom ar ese c o r c h e te es e l n um ero V ' E n to n c e s , si el valor del c o r chete es V ' cuando m tiende a infinito, nos queda; Cn =
= e®
Llam am os " 6" a la lasa norríinal cuando existe capitalización coruiimd, que no es otra cosa que la “tasa instantánea". En el caso de que la opera d o n dure n períodos, tendrem os; Cn = e**"'* - e®** que es la expresión del m onto con capitanzación contin.ua. La tasa instan tánea - tam bién denom inada "fuerza del interés" ^ es a q u e lla q u e c a p ita li z a n d o en f o r m a c ó n rin iia , g e n e r a e l m is m o m o n to q u e c a p ita liz a n d o con la ta s a e fe c tiv a en f o r m a d is c o n tin u a :
y:'
e« = (l+ i) La tasa instantánea "5" puede despejarse aplicando logaritmos; 5 in •i.;
. í
= In, ( 1 +i)
c o m o el logaritmo de la base es igual a 1 . tenemos 6 = l o g t u i )
V.k
" í:
G ua i£R ;.\ü López
108
ü u m iu u f
A n álisis lie la fu n c ió n e"-*
La primer derivada con respecto a n es: o* e"* > 0.
sVi Oy la segtin da derivada es
Por lo que podernos decir que es una función creciente ycdncava. Ejemplo en los contratos de futuros o forwards se supone que su pre cio evoluciona de acuerdo a una capitalización continua. Sabiendo que el precio al contado de una mercancía es de $100, calcule cuál será el precio íiituríMjpiitro Je seis meses si la tasa semestral continua de apreciación es del 6%. \ F=I0ue“«'í= 102,53
El valor límite de la lasa noininaJ cuando el miniero de capitalizaciones (¡ende a iitííjiito Vamos a demostrar aliora que como la tasa nominal converge a la tasa inslant.lnea cuando la frecuencia de capitalizianón tiende a inrmito (es decir |iH) y se obtiene por tlefinícíón. la lasa nominal instantánea A. Entonces, cuando los intervalos de capitalización se hacen cada vez más pequeños. Ja freaiencia de capitalización tiende a infinito y puede demostrarse que en el límite, para ni4*», ia tasa instantánea de interés (5) se igual con la lasa instantánea de descuento (5’). Los valores de j(m) y f(rn) se representan en la figura 4.2 donde: para m
U
j(in)
pnmm = l j(ni) = i f(m) = d pata i
n
jirn) = f(m) = 5 = 5'
Cuamlom - 1 iiohaycapitaJizadóndeíntere.se.syilm)=iy fim)=d (en la ngnra i = .^5% y d = 20'.o pues iccuerde del ca[)ílulo 2 qu<> es )a equivalencia que se daba entre las dos tasas para m = li, Pero a medida que m aumenta. w fion ien iin q u e las tasas efectiv as i y d se m an tien en con stan tes (cuyos valores npnreren representadas por las líneas gruesas) en realidad estarnos par tiendo de litsas nominales cada vez más pequeñas para llegar ai mismo lendimienio efectivo; con lasas nominales cada vez más pequeñas, para ll«*gai a la misma i preciso una mayor frecuencia en la capilalizacídn de intereses. A medida que in sigue aumentando seguimos ganando intereses más lcnlam'’nte hasta tender a ««: en este caso tendremos la tasa nominal más pequeña de 0,2232 (obviamente la tasa nominal aliora es más baja necísariamfinte ya que al haber más capitalizaciones de intereses para lle gar a la misma i tengo que partir de tasas nominales cada vez más bajas) que es la ta?sa nominal instantánea y es el caso donde e! interés de interés t/i) ha sido el más alto. 5 es el interés de un instante de tiempo y a es el Interés del Interés. (l+l)=:l-HS4.o.(max)
'íii
T asas de ím E P is En el descuento^ a medida que m aumenta, se precisa que la tasa n«AminaJ de descuento vaya en aumento para mantener d constante, debido a que el descuento se aplica sobre valores descontados, En el límite, cuando m tíendé a infinito la tasa nominal de descuento es igual a la tasa instantánea
6-5'-0,2231
Figura i 2 ValorHmíie de las tasas nomínales /Im) y fim)
PodemOsS hacer la demostración matemática por la regia de LTlopitai Sí recordamos que la tasa nominal de interés j{m) es igual a: 7 0n ) = [(l + 0 - ’ - l ] m La misma fonnula para j(m) puede también expresarse como: V ^
[(1 + 0 ' " - 1 m
En el caso límite para m“>“»
j{ m ) =
1^1
0
0
0
Cuando tenemos una indeterminación de este tipo {0/0) se aplica ía regla de L’Hopital. que consiste en realizar el cociente entre las deVjvadas del numerador y del denominador de j{mj, y entonces nos queda: . ¥
J O fi) =
(l + O"* In(l + 0 ~ / « ' -m
y finalmente, cuando m üende a ««.Km) = In (1+i), siendo ](«>). por denni- , ción, ia tasa nominal instantánea^. En ei apéndice B de este capítulo vol vemos a demostrar esta relación a través de la teoría matemática del inte rés.
■ ^ 'a i.:? r r ,• a s a f f f iy g a B K B B
► i I »
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G u iL irR i.\o
I u 't
López
D umuaue
¿r
ara i^ué no^ sin e saber que la lasa instamánea de interés y la tasa de descuento son iguales cuando m tiende a inñniio? Eli la valuación de vanos activos ñnancieros, como las acciones o los mstrumentos financieros derivados, tales como las opciones, los futuros o ios forvvards. generalmente se asume que sus retornos se producen en forn.a continua, y por lo tanto, se calculan como el logaritmo del cociente de precios (In lo cual genera retornos simétricos. Por ejemplo si una acao o hoy tiene un precio P„=100 y dentro de 1 mes puede subir a S120 o bajar a S83.33, diremos que puede subirun 20%o bajarun 16,66%, porcen tajes (jue no resultan simétricos. Pero si establecemos una convención con-\ (inua en el sentido de que los precios se modifican continuamente, las ' tasas instantáneas de descuento y de interés son exactamente las mismas pero ^ on distinto signo;
I PO
o = In —
100
♦ n
= 0 ,1 8 2 3
5-= In
100
=-0.1823
Preguntas de auio-evaJuación; 1 ¿Qué es una tasa efectiva y cuál es la diferencia con la tasa nomi nal? 2 ¿Que üiferencia existe entre una tasa efectiva y una tasa instantá nea'
# ■1.2 El C4J C l ll.o nM .\N C IF.R ü EN UN CXINTEXTO IN F L ^a U N A R IO : L-\ TA.S‘\ DE irrrETULS REAL
i» -i»
-
#
'
•
Hasia el niomento hemos trabajado en un escenario sin inflación, don de la^ tasas efectivas representaban el verdadero poder adquisitivo de las tasas de ínteres. Cuando hay inflación, la tasa efectiva, tal cual la hemos vnsio. no expresa el rendimiento verdadero de una operación, asumiendo Id lasa efectiva aritenormente vista el nombre de "aparente”, pues su ren dimiento es sólo aparente cuando hay inflación. Así. por ejemplo, si pode rnos iibiener en un banco un 20% efectivo al año pero en el mismo lapso de tiempo la inflación acumulada es del 10%, el 20% que obtenemos en el banc.j no representa el rendimiento real de la operación, ya que con ese dinero no aumentamos nuestro poder de compra en el 20% pues los pre cios de los bienes y servicios han aumentado en un 10%. L> tasa real es aquella que expresa el p o d e r a d q u is itiv o de la ¡asa de Ínteres-, de esta forma, mide el rendimiento exhaustivo de una operación, aJ separar e! componente inflacionario que se encuentra en la tasa de in terés aparente íi,) y de esta manera, dejar solamente el componente de
%
ThSM nc h m k £ i
)i'
inierés "puro" Cuando existe capitalización discreta (4), otuenem os la tasa (te interés real a partir del cociente entre el muniu con tasu d«? .n tcáés d¡*a rente y el imintu con tasa de inflación menos uno:
Un ejemplo intuitivo puede ser útil al respecto. Suponga que hoy cuen ta con un peso y que puede invertirlo en un banco que le paga una tasa de interés dei 20% anual. AJ cabo del año, si la inflación es cero, usted podrid comprar un 20% más de bienes; ese 20% es entonces su rendimiento reai, ya que puede comprar un 20% más de bienes: l-»-0,20 -
1 - 0,20
i + 0.0 Ahora suponga que la inflación general es del 10% ^ cabo de un año Usted sigue obteniendo en el banco el 20% anual, pero como los bienes han aumentado de precio, no puede comprar un 20% más de bienes roniw en el caso anterior. Si volvemos a calcular la tasa real tenemos: , =
1+ 0,10
_ 1 = 0.0009
Su rendimiento real aJiora es del 9,09%. ya que después de una iníld ción del 10% solamente podrá adquirir un 9,09% más de bienes que antes En este caso, como ia tasa de interés aparente es mayor que la lasa de in nación, el rendimiento real ha sido positivo. Pero la tasa real puede aei positiva, negativa o neutra, según la tasa de interés aparente sea mayui, menor o igual a la tasa de inflación. Por ejemplo, si la tasa de inflación hubiera sido del 30%, la tasa real habría sido negativa en un 7,69%: , = _ I = -0 ,0 7 6 9 ' 11 0,30 En la figura 4.3 se observa cual sería ia lasa de inrerés real para lasas tJt inflación del lü% y del 30%;
D T a u ra « i
WTdU Qlnlucum
Figura 4.3 Tasa de inierés real
(4} 1.a tasa real siempre se calcula pnr cociente entre el monto con tasa de ínteres aparcóle yel monto con tasa de lunación, excepto en el caso en que existe capitalización cúiumuf
H2
G uíileraio López D uw ii/\uf
Vbíváinos aJíora por un momento a nuestra fórmula de la lasa de interés rea], para despejar una importante relación:
J + ;r Sí aiTeglamos térrainos podemos expresar r ;( l+ ;r ) = i , - j r /, + ! > = / > *
Si resiaiwos las tasas de interés aparentes entre dos periodos consecutivos-vereniosque - -’ ' ? i, = i, f a, ( 1 + i , }
\■ .
'
-
5Í varía la lasa de inflación de un periodo a otro, para mantener constante la tasa real de interés, la tasa de interés aparente debe modificarse propnrcionalmcnle en una cantidad igual a la variación de la tasa de inflación i'rapitalizada un período por la tasa de inierés real. Si la lasa real de interés apaLreiite es positiva y la tasa de inflación aumenta, la tasa de interés debe------ ^ punieniar en una cantidad mayor para que la tasa real permanezca conslíinte. I 4J ecuación de arbitraje de Fisher El ccoMomisia Irving Fisher estudió la leladón c n i r p b lasa de inierés apárenle, la inflación y la ta.sa real, quien propuso la siguiente ecuación de arbitraje para obtenerla lasa real a partir de las tasas aparente y de inflai ión. o cual(|uieia de ellas a partir de los datos de la»! restantes. Observe tpie se tiédnee de dicha ecuación que la tasa de interés aparente contiene ' una parle de inflación y otra parte de interés real: {H -;rL (l + g > . ( l + / J Despejamio la lasa de inierés aparente, tenemos % ~ < l+ ;r).(l + i j - - l La ecuación anterior también puede ser escrita como
T a s a s D E Ih t e r í s
lU
SI la tasa real y la tasa de inflación son pequeñas, el valor del producto de éstas será muy pequeño y puede ser despreciado. En estos casos, la tasa de Interés aparente puede ser definida como la suma de la tasa de Interés real más la tasa de Inflación y la tasa rea! puede ser definida como la diferencia entre la tasa aparente y la tasa de inflación. K =L+7l
í =/
Evolución délas tasas de interés reales en la República Argentina Las tasas de interés reales en la Argentina han flucmado considerable mente, Para realizar un análisis exhaustivo, veremos que ocurrió durante el período del Pían de Convertibilidad de la moneda nacional, que e?:iableciú, una paridad con la moneda norteamericana de 1 peso = 1 dólar, iniciándose el 1/4/9L Dicho plan produjo una rápida estabilización de los precin.s que duró más de una década hasta que fue finalmente abandonado en enero de 2002 cuando la Ley de Convertibilidad fue derogada por el Congreso y se devaluó la moneda nacional. El período es rico en análisis, pues antes de iniciarse dicho plan, la República Argentina había soportado proceros de ínflacidn'muy aguda, llegando inclusive a la híperinflación en el año 1P89. La figura 4.4 muestra como evolucionó un peso si este se hubiera ínveilido a plazo fijo en una institución financiera ganando una'tasa pasiva en [>esos cada 30 días, la inflación acumulada durante el mismo período y el rendi miento real de ese peso que fue colocado a interés. $3,5
$3.0
T a s a p a s iv a
$2.5 In lla c ió n
$ 2.0
\
$ 1.5 $
1.0
T a s a re a J
$ 0.5 $0,0 M a r-
91
M a r-
92
M a r- M a r-
M a r-
M a r-
M a r-
M a r-
93 94
95
96
9?
93
M a r-
Feb-
99 00
Feb-
Fab-
01
02
Figura 4.4 Tasapasiva, inflación yrasa real comenzando con $l ?11/3/91 Se observa cómo al inicio del plan, la inflación residual generó que el rendimiento real fuera negativo durante los primeros anos, hasta que eh el año 1995, comienzan a ser francamente positivos, ya que inclusive hubo algunos meses con deflación. El proceso vuelve a invertirse a prineipios de 2002, cuando la devaluación de la moneda nacional vuelve a tom ar nega-
i:
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C UI U£ RAlO LóÍ*£Z DuMRaUÍ
uvoi a, los rendimientos reales. La fluctuación mensual de la lasa real puede verse en la figura 4.5, donde se observa que hubo periodos con tasas reales posiiívas y negativas:
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Figura 4,5 Tasas reales mensuales Marzo 1991 -Febrero 200Z
«
W
Hn general, las tasas de interés reales deberían ser por lo menos leve mente positivas para estimular a los ahorristas a depositar sus dineros en los bancos. Piense por un momento que si a usted no lo remuneraran con una tasa que al menos preserve el valor adquisitivo del capital, de pronto sería más rentable comprar los bienes cuyos precios crecen a una tasa más alta A la larga, una tasa real negativa para los depósitos alienta la fuga de los mismos. Es por eso que dicha situación no puede mantenerse en el largo plazo. Por otra parte, cuando la inflación aumenta, este aumento se traslada a la lasa de interés que nosotros hemos denominado “aparente". La razón es sencilla: del lado de los depósitos, una tasa de interés real negativa en el largo plazo produce la salida de los mismos, de forma tal que las insiiiucioiies bancarias suelen reconocer esto incrementando las tasas aparen tes {>agadas por los depósitos {tasas pasivas). Del lado de los tomadores de crédito, podemos decir que las empresas, cuando la inflación aumenta tam bién están en condiciones de pagar una tasa más alta (e) tomador de cré dito paga la tasa activa) pues han subido los precios de sus productos. Obtención de la tasa real en el régimen continuo tJuando el régimen de capitalización era discontinuo, el rendimiento real de una operación se obtenía por cociente entre el monto con tasa ápaj ente y el monto con la tasa de inflación. Si por ejemplo, ¡,=0,07 y ji=0,05 ia tasa real resulta con un valor algo menor a la diferencia entre ambas (í, = 0,019048). Pero en un régimen de capitalización continua, la tasa reai también es instantánea, y como veremos, surge por diferencia entre la tasa aparente continua y la tasa de inflación continua.
Sí consideramos un contexto donde la tasa de interés y la tasa de inriacidn se capitalizan contimiameme, resulta que ja lasa real, calculada a través dei cociente de m on tos pero aliora con tasas instantáneas de interés y d e ijina-. cidn.es:
aplicando logaritmos para despejar la tasa real, queda:
Aplicaciones en el mundo real a) Las ventas de Editorial "Panorama"
I
Muchas veces, para calcular incrementos reales en una variable hay que realizar un análisis del cambio que se produce en Jos precios relativos. Pano rama es una editorial que en los últimos 3 años ha aumentado sus ingrescjs nominales por ventas. Este incremento se debe en parte a los aumentos de precios de sus productos y en parte a la mayor cantidad de unidades vendi das. Los datos son los siguientes: Ventas anuales 2001 (en pesos) = 15 millones Ventas anuales 2004 {en pesos) = 20 millones - -
Inflación en los últimos 3 años = 60% Aumento de precios de la empresa en los últimos 3 años = 20%
‘
Queda claro que el incremento aparente o tasa aparente de crecímienro de las ventas puede calcularse como un simple cociente entre las veñmi
20
■
/ = - - 1 = 3 3 .3 3 %
,
■
V siendo la tasa de inflación del 60%, la variación real de las ventas fue negaliva
1 + 7T
1,60
La pregunta qué debemos hacernos ahora, es cuánto de esta v'ariacidn se debe a la variación en las unidades vendidas, ya que la empresa auniemo sus precios en el mismo período en un 20%. Para ello, debemos pensar en la tasa de variación de precios de los productos de panorama como la tasa de inflación, en la variación porcentual total de las ventas como la tasa aparen te y Juego a partir de esos dos datos, despejam os la tasa real de crecimiemu de las ventas: ' .
16
GuiLUnM O L ópez D u m p a u f l-h ; Ir
l + ;r
1,20
Panorama aumentó sus ventas en términos reales (unidades vendidas) en un l l.J%, pero la explicación la encontramos en el diferente aumento de pt ecios: nuentras Panoram a aumentó sus precios en un 20%. la inflación fue del 60%. Cuando multiplicamos el crecimiento real por el cociente entre las diferentes tasas de crecimientos de precios, podemos explicar la variación real negativa de las ventas:
í,
l 20
-------1 = -1 6 ,6 6 %
I.ÓO
bl El final de la converlibilidad monetaiia y el Decreto 214/02 A través del Decreto 214/02 el Poder Ejecutivo Nacional transformó a pesos todos los depósitos bancarios en dólares estadounidenses, a reizón de $1,40 p o r 1 dólar. Al m ism o tiem po estableció im T o e fic ie n te de indexación (Cneficienle de Estabilización de Referencia. C ER l para el ajuste íle los créditos y depiisitos anteriores a la sanción del Elecreto. Teniendo en cuenta que el coenciente C ER al 5/8/2002 alcanza a 1,3046 y que ade más se reconoció una lasa del 2% nom inal anual, un depositante se reali za las siguietiies preguntas: ]. .d-'uái es el valor del depósito en pesos que a la fecha de la "pesiEb ra d ó n ” alcanzaba a USSID.OOO.- teniendo en cuenta que ios intereses canitaJizan semestralinente? 2. ;/\ cu.ánios dólares equivale el depósito si a! 5/8/2002 el dólar cotiza n. razón de S3.7Ü?
3. sCuál debería ser el ajtiste mensual por mllación im plícito en el CliR para que al final de un período de 3 años a partir del 5/8/2002. que el •ahorrista vuelva a tener la m ism a cantidad de dólares que tenía antes si el dólar cotiza para entonces en $10? 1. lO.iJUO
(1,40) y {1,3046} x (1,01) =18.447,04
2. 18.447,04 / 3,70 = 4.905,69 3. Como la in[laclón es un factor escindible que podemos integrar a las fórmulas tmdícionales, y teniendo en cuenta que los intereses capitalizan semestralmcnte, despejamos la tasa de inflación mensuál implícita en el CER de la siguiente ecuación: 18.447,04 X ( U C E R „ ^ J 3 « x (l,01)s= 100.000 C E R m ensual = 4.63% mensual
:íi
T asas Dt
ín teres
U7
Preguntas de auto-evaluación: 1. ¿Cuándo la tasa de Interés real puede ser mayor que la aparente? Z ¿Por qué ta Inflación es un fenómeno de interés compuesto?
4-3. OrEFiAaoNES en moneda fatranieha La pérdida del poder adquisitivo de la moneda nacional hace que los agentes económ icos busquen refugio en una moneda "dura” para prote ger sus ahorros. Cuando se opera en moneda extranjera eruían siempre cinco i'artables en el análisis: 1. La tasa de interés doméstica. 2. La tasa de interés internacional. 3. La inflación interna. 4. La inflación externa. 5 El tipo de cambio nominal. En general, se puede decir que quien opeia con moneda e?ctranieni !•» I^ace con tre;; Tines posibles: cobertura, arb itraje y e?peciilacis
m
G u iu e a m o Lópf? D umuauf
J a r a cam bio de una unidad de moneda extranjera'/Puestd'qneéí renHímien-' ta sw'np surge de la tom a y la colocación de fondos en plazas diferentes, lo vam os a asimilaj- rarabién a un resultado financiero, para lo cuaJ describire m os una operación donde intervienen las dos monedas, con sus tipos de cam bio y tasas de interés de contrato respectivas. Él rendimiento sw ap puede calcularse dividiendo el tipo de cam bio al que nos comprarían los dólares hoy (lipa de cam bio comprador, TCC,) por el tipo de cambio al que nos ven dieron los dólares en e! m om ento en que los compramos (tipo de cambio yendedQr,TC\o); ■ '. ■>>
5= ------ _ J l
TCV^ Ejempio> Usted puede colocar su dinero^en la plaza dom éstica a una TNA del 10% por un período de 30 días (donde se contraíanlas operaciones con un año iJe 365 días) o colocar el mismo capital, pero en dólares, en la plaza extranjera a u n a TNA del 5% (donde se contratan las operaciones con un año de 360 días). Los tipos de cam bio vigentes en plaza doméstica son: T C G „= 3,45
TCV„ = 3,50
TCC, = 3,55
TCV, = 3,60
Cibviamente, a usted le interesa fundamentalmente en qué plaza ob tendrá el m ayor rendim iento. Este rendimiento siempre se calcula en lé r ^ miru>s de la m oneda "dura" pues es la moneda en que los agentes econó micos suelen aliorrar (mientras que para gastar prefieren usar la moneda ílétúu. Para analizar cuál es la plaza más conveniente debemos tener en enem a dos variables: las u sa s de inrerés y los tipos de cambio de entrada y salida de la operación. Por otra parte, ya que la tasa de interés que pode mos conseguir en m oneda doméstica es mayor que la que conseguim os en riionedá extranjera nos interesará también determinan 1, £ í [ip o d e ca m b io d e p a rid a d , es decir el tipo de cambio a partir del cual las dos operaciones se hacen indiferentes. . 1 E l ren d im ien to s w a p d e equ ilibrio, a partir del cual las dos plazas son equivalentes. > l a regia b á s ic a es q u e la co lo ca ció n en m o n ed a d om éstica será su p erio r a la c o lo c a c ió n en m o n e d a ex tra n jera siem p re q u e la p rim er a g en ere un m o n to m a y o r á la seg u n d a ca p ita liz a d a p o r el sw ap:
1+
TNA^xt 365
> Íi + ™ V 2 360
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■ ______ __________
T asas di ínteres
nv
También podemos expresar la expresióaanterior como
; '
Lo primero que debem os hacer es calcular los rendim ientos que s e obtie nen en cada plaza, en sus respectivas monedas. Un peso invertido en ja plaza dom éstica rendiría: (1+0,10x30/365)= 1,008219 Y en USA (1+ 0,05x30/ 360)= !,004166
' ,
C om o 1,0082 < T i+0,05 x 30/360) x 3,55/3,50) d ec im o s q u e en e s te c a so es m e jo r la p la z a extranjera. En nuestro caso el rendim ientosiw 2p e ra d e3 ,5 5 / 3 ,5 0 -l = 0,01429, m ien tras que el rendim iento sw a p de equilibrio sería menor, com o se m u es i rá a continuación: T 1,0082 = (1+0,05 X 30/360) X (1 + g Despejando/^^^= 0,0040 = 0,4%
'
Para clarificar la relación, vam os a desagregarlos rendim ientos. Si vamos a colocar nuestro dinero en la plaza extranjera, primero deberem os compr
;
\
Lo cual significa que la plaza extranjera es la más ventajosa ya quc po dría vender mis dólares a un tipo de cam bio com prador superior al m o m en to del v en cim ien to de la o p e ra c ió n (3,55) y ob tend ría más pesos (0,2869 x 3.55 = 1 ,0 1 8 4 ) V ^ ^V :
Teoría de la paridad de las tasas de interés Si se supone que los m ercados de capitales son eficientes, no deberían existir oportunidades significarivas de arbitraje de tasas de interés. Por lo tanto, tiene que existir una relación entre los tipos de cam bio al contado, los tipos de cam bio futuros y las tasas de interés de los distintos países. Por ejemplo, si en un país las tasas de interés aum entan, el dinero de los otros países fluiría hacia éste, provocando un aum ento en la oferta m oaeiaiia que deprimiría la tasa de interés. El efecto inverso se produciría enlos {.iiises que tienen salida de capitales y las tasas de interés subirían, generaiidó
GüiuEPMd LóPEt D umfiaüf convergencífi en eí largo plazo. Descontadas ías diferencias de riesgo, íífobas Inversiones deberían producir el mismo rendim iento para que no haya oportunidades do arbitraje, y entonces tiene que ocurrir: T C C ,^ rcv ; D espejando, obtenernos la conocida condición de paridad de las tasas de iniei és. que nos dice que ri lendím iento srmp debe ser igual al diferencíaí de lencllniieiUo en tre las tasas de interés dom éstica y extranjera: T c q _
(i+ D ) íl)
CalcuFando los rp-ndimlentós en térm inos discretos, el tipo de cam bio' fvrrn qijp nn ex ista 'a rb ítra te a i f i n a í d e l p er io d o debería ser calculado con ;1 a riguierite fornuila: . (l+ r j T C Q = 7'CV'o X — O + ty jí) asin ním bs que eí rendim iento sw a v de la moneda extranjera y el M iD renciaJ d^ íasa,s se producen en fo rm a continua, debem os expresar al luiniero ennm el logariuTio del cociente de la variación dcl tipo de cam bio (dcmde el tipo de cam bio com prador debe ser el de paridad) y al diferen cial de tasas com o el cociente entre tíos montos con capitalización conti nua (5j. .'\phnando logaritm os en am bos términos de la expresión (1) tetiem os:
‘t.
n
rr-
I
■í % In 7C K Si d elinim o'í el rend im iento s ir a p corno el logaritmo de In variación tiel tipo de cam bio, la teoría de la paridad de las tasas de interés nos dice que éste es igual a la rlircrencia entre las tasas de interés (donde las tasas de interés i^ c i,,5^ son lasas «nstantáneasj OSA
De un a forma muy general, lo que señala la PTI es que cualquier dife rencia e n tre las tasas de interés de dos paiíses se com pensa por la varia ción de los tipos de cam bio, con lo que se elimina cualquier posibilidad de arbitraje. En nuestro ejem plo, primero debem os calcular las lasas ínstantáneascom o:
(5) Recuerd e que las tasas instaní áneas son Iguales aJ logaritmo natural del monto con tasa efect iva.
lASAS DE {NTERX5 Ln U+g=in 1.008219=0,000185
m
,
V
•
^
Ln a + i\ ,J =ín 1.0041666=0.004 i580 Luego, debem os bajar los exponentes del segundo térm ino aplicando logaritm os, y com o el logaritmo de la base es igual a 1 (uno) queda' In
'3 ,5 1 4 ' 3,50
= 0,008185 - 0,0041580 = 0,0040
Sí la relación se calcula en térm inos discretos, podemos ver que s‘* cum ple tam bién la relación en form a bastante aproximada:
3,514-3,50 3,50
= 0.008219-0.00416
Teoría de la paridad relativa del poder adquisitivo
.
Esta teoría tam bién pretende explicar la variación en el tipo do can^bio, pero a partir de las diferentes tasas de inflación entre los países. Por ejem plo, si la inflación aum enta en Argentina más que en USA, la ^•conomía pierde com petitivídad, dism inuyen sus exportaciones, aum cm an las im portaciones y poj efecto de ia m enor oferta de divisas y la m ayor de manda a! m ism o tiempo, el tipo de cam bio aum enta, reflejando el efecto de la ilinación. Supongam os que el tipo de cam liio actual es de $3,50 por dólar y que la innación esperada en la R epública Argentina para el m es próximo es del 0,5% y que por el m om ento se prevé que la tasa d r ¡nnación en USA será igual a cero. ¿Cuál piensa que será el tipo de cam bio en un año? Con una ínnación del 0,5% la teoría de la paridad del poder ad quisitivo (PPA) supone que el tipo de cam bio será de 3,50 r- 1,005= J.5175 Si la tasa de ínnación en USA no es igual a cero, hay que observar la.s tasas de inHación relativas en am bos países. Por ejemplo, supongam os que se prevé que la tasa de innación en los Estados Unido.s será del 0.2%: si com param os las tasas de innación, diremos que en la ^Vrgentina Ins pre cios están aum entando aproxim adam ente un 0,30% más en un m^’ s. Pm lo tanto, se espera que el precio del dólar aum ente en un 0,30% más y el tipo de cam bio sea de 3,50 X 1,003=3,51 Para que no exista entonces posibilidad de arbitraje al final del perio
do. el tipo de cambio debería ser calculado con la siguiente fórmula (nole que siem pre colocam os el tipo de cam b io com prador TCCj suponiendo que es el Upo de cam bio al cual tendrem os que vender los dólares para pasar a pesos 7 r c ,= r a ^ x
Despejando, el tipo de cam bio dentro de un año será:
:W ..
CtufUEiuio loprz^DüMRAur
rcc, = 3,50 x i ^ = 3,51 /
1,002
■
Otra forma muy Util de ver la PPA relativa, nos señala que la variadón porcentual que se espera en el tipo de cambio es a p r o x im a d a m e n te igual a la diferfcnda entre las tasas de inflación:
TCC, --TCV, TCV, Si calculamos el rendímien to s w a p como el logaritmo natural del cocien -\ te entre los distintos tipos de cambio, nuevamente se cumple que: ^ usa
El efi-cto de Fiáher internacional
' »
-
Eí efecro de Fisher internacional conjuga lo que nos dicen la P T l y la PPA. .Si la PTI nos dice que el rendimienio swap se explica por la diferencia entre las de tasas de interés y la PPA por las diferencias entre las tasas de inflai idn, tenem os: .¡ca p
~ (^’a
^USA)
^USA )
Despejando la ecuación, se obtiene el efecto de Fisher internacional, que nos dice que cuando desaparecen las oportunidades de arbitraje, las^^ lasas de interés reales deben ser iguales entre países y que el tipo de cam bio, ffi el largo plazo, refleja la tasa de interés real: ^.icap
^A
^C/SA
^VSA
El efecto de Fisher internacional nos dice que la tasa de interés, la infla ción / el tipo de cambio inieractüan asociando los aumentos sostenidos de ios tijíos de interés y la inflación al tipo de cambio relativa entre las m one das. íii los rerídimientos reales fueran más altos en un país, el dinero fluiría hació él, provocando un aumento en la oferta de dinero, por lo cual los precias aum entarían y los rendimientos disminuirían. Este proceso conth nuana hasta equilibrar los rendimientos reales. Por supuesto, este e fe c to plantea una relación de arbitrariedad a largo plazo, ya que en el corto plazo podem os tener tasas de interés altas y monedas apreciadas, pero en el largo piazG las variables monetarias no tienen efecto en los precios relativos. Esto es, si la tasa de interés es alta en la Argentina, su moneda dom éstica se apret ia debido al influjo de capitales que genera la posibilidad de tener un rendimiento elevado. Consecuentemente, los capitales entran ai país, com pran m oneda dom éstica para realizar depósitos y el resullado es que ésta se aprecia frente a las demás monedas.
T asas
de
I n t e r ís
12á,
Sin embargo, el riesgo diferencial entre los disíintos países h a c e que e) efecto de Fisher internacional no siempre se cumpla. Los inversoreá suelea reclam ar una prima por el riesgo adicionai de invenir en un país em ergente, denom inada "riesgo país" que en m o m e n to s d e lurbulencis económ ica ha alcanzado niveles im presentables.
Preguntas de auto-evaJuacidn: 1. ¿Qué es el rendim iento swap? 2- ¿Qué nos dice el e f e c t o d e Fisher iníernacíonaJ?
A Vf '" 4 . 4 . T asas DE DESCUENTO
¿
En el conrexío de la capitalización los rendim ientos de las tasas se ca l culan sob re un 'capítal inicial y su rend im iento se expresa a! vencim iento de la op eración . Por tai m otivo las tasas recib en el nom bre de ¡fen cidas. I m tasa ad elantad a viene a ser la a n títes is d e la vencida pues se c a lc u la saha^ un v a lo r fin a l, si bien para ob tener el rendim iento en términos de \asa vencida tam bién hay que esperar al v encim iento de la op eración. Se la llam a “ad elantada" porque se calcula sobre el valor final de un docum ento, o s e a que se cobra en tal sentid o por "adelantado" ya que el valor que e su escrito en el d ocu m en to, es un valor futuro. Sea por ejem plo, la operación de descuento de un pagaré; si el pagaré tiene un valor de $100 y vence dentro de un año. pero su tenedor precLa el dinero hoy. puede negociar el pagaré a través de una operación de dcsCLiento, donde el banco le a n ticip a el dinero que resulta de restar al v^ajíjr nom inal del pagaré el “descuento" ai aplicar la tasa adelantada, 0
1 año
$1
$0,80 d - 0,2 0
Sin em bargo, la capitalización de 0,80 a uña tasa de interés vencida i = 0.20 no produce nuevam ente el peso que dio origen a la operación; 8 0 ü + 0 ,2 0 ) = 96
. 5 Como vimos anteriorm ente tanto en el régimen sim ple com o en el conn puesto, existe una relación de arbitraje que perm ite obtener una tasa de interés vencida a partir de una tasa de descuento y \qceversa. En este caso, lá tasa de interés vencida equivalente a la tasa de descuento del 20%Vesülta ser del 25%:
G uillermo López D umrauf
í ;m
0,20 i =
l-d
0,80
= 0,25
Pero esta fórmula solamente era válida en el caso de una operación que planteaba sólo un período de capitalización. Gomo es posible pensar en con tratos que utilicen una tasa de descuento nominal pero planteen un descuen to subperióclico, vamos aliora a analizarla tasa de descuenta proporcional, efectiva y equivalente. \
Tasas de descuento nominal, proporcional y el descuento subperiódico no el ejemplo anterior suponíamos una tasa d = 0,20 donde había un .solo descuento en el período; en cambio ahora, veremos que — ai menos en teoría— puede haber más de un período de descuento en la unidad de tiem- ’ po ex'pre.sad.-i para la tasa nominEÜ de descuento (6). La tasa proporcional de descuento es igual a la tasa nom inal de des cuento — (}iic llamaremos f(m]— dividida por el número de subperíodos de descuento contenidos en la unidad de tiempo contenidos en la tasa nominal. Por ejemplo, una tasa nominal anual adelantada del 20% con ilescuento semestral originará una tasa proporcional de descuento sem e s tral del 10%;
f{m) m
0,20
=
0,10
La tasa proporcional de descuento del 10% semestral. e.s a la vez una (a."a efectiva de de.scuento semestral. Si aliora descontamos .1;I por un año pero con descuento subperiódico semestral, en un eje de tiempo se vería del "^iguionlc modo:
6 meses 0.90 (1-0.20)=Q.B1 2
n-0.20)=0.90
2
1 año SI
Un pe.sn descontado por un semestre es igual a 0,90 cenfavos; cuando vuelve a practicarse el descuento por otro semestre, se realiza sobre 0.9, generando finalmente un valor actual de 0.81 centavos en el m om ento cero. Cuando comparamos el peso inicial con el valor actual descubrimos que el descuento efectivo para todo el año ba sido de 0,19 (19%). Por lo
(fi) Dpsde p.l punto de \ista maiemáticn es posible e.stablecer una ta.sa efectiva de des cuentoenunrfígimendedescuentossubperiddicos. apartirdeunatasanominal. Sinembar go, es muy difícil que en la práctica se descuente el mismo documento varias veces en el período de tiempo en que e.stn expresada la tasa nominal. El descuento se realiza por un períodode tiempodelemiinndo, seaunme.s, 45días, unaño olo que fuere, pero siempre el períodoes uno sólo, yuose descuenta ei mismo documentovarias veces.
\
T a s a s d e In t ír ís
- 1 2 5
tanto. la lasa electiva de descuento que surge de la tasa nom inal anual de descuento del 20% con descuento subperJódico sem esiral, es del i9% anual. En la próxima sección aparece la fórmula para obtenerla a p a n ir d r Ja tasa nominal.
La tasa efectiva de descuento a partir de la tasa nominal de descuento La tasa efectiva de descuento es aquella tasa que en un solo destento, genera el mismo valor actuaJ que descontando subperíódicamente con tasa proporcional. . '
'-H
m
' - f í -a i9
Como se aprecia, la tasa obtenida a través de la fórmula, es »»tert|v5nienie del 19%. Como se obsen^a. las relacione.»; éntrelas tasas de d#*scuento son muy similares a las que establecim os para las lasas de ínteré •veoí ídas. Por ejem plo, una tasa efectiva de d escu ento puede s e j e !a ' «7 subperiódica respecto de un período mayor; la ta.sa de descuenin ^‘fecuva del 10% semestral, es subperiódica respecto del 19% de d escu cntorlectivo anual. Obtención de la tasa nomlnaJ de descuento q adelantada f(m‘l a partir de la tasa efectiva de descuento d ; / (m ) S ie n d o 1 - d = 1 - m / (m ) = [ l - ( l “
La tasa equivalente de descuento
Es aquella tasa que, desconlanciosubperiüdicameíUe, genera e( tiiisiiio valor actual que descontando con la tasa efectiva de descuento; {l-d (m )T = {l-d ) d {n i) = 1 - (l - d)'"" Por ejemplo, para obtener la tasa de descuento equivalente scmesual a la tasa efectiva anual de descuento del 19%;
OUILIERMO lO Pn PUMR.^Uf w
-
I #
4fm )=; 1 Pvífsüpuesro, la íasa equivaJeníe de descuento, es a la vez una tasa efecti* va de descuento: el i0% es ej descuento efectivo que se produce en el sem es tre.
tv'-:.'--.
Frecuencia de capitalización ylas tasas de inierés A continuación resumimos dos relaciones importantes que fueron trata das anieriorm ente; que ocurre con las tasas efectivas cuando aumenta l a f r e - . cuencia de capitalización mientras las tasas nominales permanecen constan- ' tes, y por otra parte, que ocurre con las tasas nominales cuando se quiere que las efectivas permanezcan constantes al aumentarla frecuencia de capitaliza ción. ^ ^^ Á iguales v a lo r esd e j(m ), p ero u n a m ay orfrecu en cia d e cap italización , autnentii e l m on to, d e b id o a la m a y o r ca n tid a d d e veces q u e se in corp oran los intereses a l c a p it a l ' ,4 igu ales valores d ef(m ), p ero con u n a m ay orfrecu en cia d e descuento, d is m inu ye la tasa efectiva a d ela n ta d a , au m en tan d o el valor actual, d e b i d o a q u e e l descu en to se a p licíi sob re valores q u e y a h an sido descontados.
jun)
flm )
m
i
d
Coitstantfc
constan té
aumenta
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disminuye
a-‘ 5
ir Pifr otra parle, sise pretende mantener constantes tanto la tasa efectiva de interes com o la tasa efectiva de descuento aJ mismo tiempo que aum enta la frecuencia de cajutalización (o la de descuento), las lasas nominales deben líismiuuiry aum entar respectivamente;
f
d
m
j(m)
f(rn)
constanté
constante
aumenta
disminuye
aumenta
Cu adro resum en de las relaciones en tre las distintas tasas A partir delsiguíente eje de tiempo, d o n á e s e m u e s tr z n fa c to res d eca p ita -’ lízación y a ctu alización , puede obtenerse una determinada tasa a partir de cualquier otra que le viene com o dato; simplemente iguale los factores de capiudlzación que contengan las tasas para las cuales se busca la equivalen cia (tam bién puede hacerlo igualando los factores de actualización) y luego despeje una a partir de otra. . .
I
■r
I
Faciórea de capUalizacíón
Fací o res de actiiaiización
0 + ¡)
1+
i.M Y "
"i. ^ (l + ;(m ))'”
/(m) m
( i + « / « ))"
1-
. m
(l-r f)
{i-d j'
{l - ti(m ) )'"
{l - d ( m ) )'
Ejemplcr. Sí usted necesita obtener ia tasa efectiva de interés a pariii de la tasa nom inal anual de descuento, sim plem em e iguale tas fórmula^ v..rrespondiem es donde aparece cada tasa;
ni Finalm ente, la tasa efectiva de interés vencida, calculada a parin de tü tasa nom inal anual de d escuento es:
1+
i =
fO n) -
— 1
\ Si por ejem plo tuviera que d espejar la tasa efectiva a partir de la tasa nom ina] de interés igualaría los siguientes factores; *
Luego es fácil pasar a la tasa efectiva dé interés sim piem enfe pasando el 1 al otro m iem bro; ' ,
m
G
u il l e r m o
L
ó p e z
,■ = 1 1 + ^ 1 m
D
u m íia u f
-1
o el paso inverso, si queremos pasar de una tasa efectiva de interés a una tasa nominaJ de interés, también igualamos los factores que contienen ambas lasas y despejamos i,
lo primero que debemos hacer es pasar el exponenle m al olro miembro pero (m'’ertído:
Luego restamos cl 1:
y rmalmeiilc pasamos el divisor "m'* de la tasa nominal multiplicando a la expresión del otro miembro' j( m ) = [ ( l + í ) ''” - l j m
r»rr:uutns tleaulo-cvaluacjóii; ¿ÍVn qué í’H la práctica puede decirse que no opera el descuento sul'jrcriüdíco?
Resumepí í'nricnios resumir el contexto de las tasas de interés diciendo que exis(en dos grandes grupos: las tasas de interés vencidas y las tasas de des cuento. primeras reciben el nombre de ‘'vencidas” debido a que su ren dimiento se calcula al vencimiento. Las segundas con frecuencia se deno- minan tam bién "adelantadas" debido a que se calculan sobre capitales a restituir en el futuro. Existe una relación de equivalencias entre todas las tasas de forma tal que es posible deducir una tasa de interés vencida a par tir de uíia tasa de descuento, una efectiva a partir de una nominal y vice versa, Efi In práctica los contratos se realizan a partir de tasas nom inales que representan las tasas de contrato de las operaciones, a partir de las
\
T a ÍAS de iNTEfUS . cuales se calculan las casas efectivas. A su vez, es muy im p o rta n te ia equ ivalencia entre estas Ultimas cuando están expresadas para ciíferen' tes períod os de tiem po. A m enudo tenem os que calcu lar una m edia geom étrica p ara d eterm inar el crecim ien to prom edio de u n a variable en el tiem po. Esto no sólo se refiere a categorías del cálculo financiero, sino tam bién a otras variables com o el producto bruto in tern o , la infla ción , el cre cim ie n to prom edio de una p oblación, e tc é te ra . La media geom étrica es en estos casos, lo que en m atem ática fin a n ciera c o n o c e m os por “ta sa equ ivalente". En un contexto con inflación, las tasas de interés sólo son aparentes, por Jo cual debem os deducir las tasas de interés reales para determ inar él verda dero poder adquisitivo de la tasa de interés. En tal sentido, la tasa de interés que obtenem os en una operación financiera, puede ser positiva, negativa o neu.tra, según se encuentre por encim a, por debajo o sea igual a ia tasa de inflación respectivamente. I Existe una relación entre el tipo de cam b io , las tasas de inflación in tern a y extern a y las tasas de in terés entre diferentes países. La teoría de ia paridad de la tasa de in terés nos d ice que la variación en el tipo de cam b io d eb e re flejar la d iferen cia en tre rend im ientos; la teo ría de la p a ridad del poder ad qu isitivo nos d ice que el tipo de cam bio debe reflejar la d iferencia entre las tasas de in flación . El efecto de Fislier tniernad oiial resum e estas relacion es d icién d o n os que en el largo plazo, en el tipo de cam b io se refleja la d iferen cia entre las tasas de interés reales de ios d istintos p aíses.
P reguntas 1. Complete las palabras que fallan: a) Una entidad financiera, si desea m antener la tasa efectiva anual cjmsíanle, d e b e ..........................la casa nom inal anual cuando pasa de c-^pítalizaClones de 45 a 30 días. Por el contrario, s i ......... ........... .......... la tasa nominal anual, a m edida que se in crem en ta la cantidad de capitalización* s. la (asu - efectiva an u al............... ......... b) La tasa real de interés puede ser mayor que la lasa de im<*rés apa rente si la tasa d e .................... . e s ................. . osea una.......^..... ..........de precios. 2. ¿El verdadero costo de una operación de descuento, es una tasa de interés vencida o una lasa de descuento? 3. ¿Cómo se determ ina el tipo de cam bio según la teoría de in paridad del poder adquisitivo? 4. ¿Qué ocurre con la tasa efectiva de descuento cuando aum enta la frecuencia de descuento m ientras la tasa nom inal de descuento perm ane ce constante? •
f '.'
)M)
íJU ilLEftÁ tO LOPtZ PUMfL^UP
^ PnoBLENtAs
|:
I vCalcúlela tasa efectiva anual a partir de una TNA del 10% con capiiaiizacióúcadá: a) 180 días
w-
b) 60 días
-
>
c) 3 0 d ía s
d ) 7 días
9
Suponga un año de 365 días y efectúe una conclusión sobre el efecto que, tiene en el rendim iento efectivo la frecuencia de capitalización. \ Respuesta; a) 10,25% b) 10,42% c) 10,47% d ) l 0,50%
m m
i i »
2.
Se realiza una inversión por tres tramos consecutivos:
a) Por los prim eros 40 días se invierte al 1,75% efectivo para operacio> nes de 30 días; por ios siguientes 35 días se invierte a una tasa de interés equivalente al 20% nom inal anual adelantada, capiiaJizable cada 30 días, y finalm ente, p o r los últim os 45 días ganó un 22% nominal anual de interés co n capitalización cada 35 días. Se pide:
»
I i
t i
i.
a) días,
Cálculo de la lasa efectiva de interés de todas las operaciones a 120
bj Cálculo de la lasa efectiva anual de interés. Respuesta; a) 7,17% b) 23,47% 3. Com plete el siguiente cuadro. Recuerde que para com probar si rea lizó bien ios cálculos, puede calcular una tasa a partir de otra {por ejemplo. SI calcula la TEM y la TEA a partir de la TNA, luego puede com probar si el calcuín es correcto obteniendo la TEA a partir de la TEM)
t >
TNA
Plazo
30%
i 5 días
TEM
45 días
i-
i
TEA
2%
Respuesta: TEM: 2,48% TEA: 34,73% TNA: 24,45% TEA: 27,24% 4.
Complete el siguiente cuadro: TAS.AS DEIhTTERES
» 9 :
'
.
Plazo
TNA
■■■; 15. ^ :
15%
45
TASAS DE DESCUENTO TEM
TNA
TEM
2%
lA S A ÍU tI N 1
Respuesta: TEM de im erés; 1,23% TNA de descuerno; 14,90% T E M de d escu ento = 1,22% TNA de Interés: 24,95% TElVl de interés: 2 ,04% TNA d« d escu en to; 24,21% ^ 5- D eterm inar el valor de la tasa nom inal anual que, utilizada en una operación a plazo fijo con capitalización cada 30 días, corresponde a un a lasy efectiva anual m ayor en u n p u n to a l 50% nom inal anualdedescuentouiilizcida para operaciones a 15 días. R espuesta: 52,21% 6. D eterm inar el valor de la tasa nom inal anual que, utilizada en una op eración a plazo fijo con capitalización cada 30 días, corresponde a una tasa efectiva anua! mayor en un punto al 50% nom inal anual de d escuenfu utilizada para op eraciones a 15 días, sabiendo que para las operaciones de plazo fijo existe un im p u esto so b r e los in tereses del capital del 2%. R esp u esta: 53,2 7 % 7. D ados los siguientes valores de tasas aparentes, confeccionar el cua dro,de tasas reales, considerando una tasa de inflación del dos por cieni») (2%) para 30 días: TASAS REALES
TASAS APARENTES Plazo
TNA
30
30%
TEA
TEA
TNA
R esp u esta: TEA aparente: 3 4 ,4 9 % TEA real: 6,04% TNA real: 5,8fJ% 8. Calcule los rendim ientos reales para los siguientes períodos, teníen»k en cu en ta los datos que se m uestran a com inuaeióm Mes
TNA plazo fijo 30 días
Inflación
IPC
- U2%
Enero 7%
Fehrerp
0.5%
R esp uesta: Tasa rea] de en ero: 0 ,6 9 % Tasa real de febrero: 0,0749% 9, El B anco XX efectúa p réstam os a 90 días con un interés del íreiniá por cien to (30%) anual ad elantad o y d escu enta del préstam o al ororgarío el uno por mil en con cep to de gastos de adm inistración. El Banco ZZ efec* túa préstam os a 75 días con un interés del treinta y cinco por ciento Í33%Í anual ad elantad o sin d esco n ta r gastos de adm inistración. Siendo indiic* rente para el deudor el plazo de! préstam o, indicar cu arserá la operación m ás co n v e n ie n te . ; •;
Respuesta: Banco XX A- '■
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G uilleRúvio Lúi 'EZ D umrauf
132
10. Una empresa cuenta con excedentes financieros por 60 dfasytlene las siguientes alternativas de inversión: a) plazo fijo a 30 días, con TNA del 20% b) por los primeros 30 días se obtiene una TNA de interés del 18% con capitalización cada 30 días y por los 30 restantes, se coloca el producido de la operación anterior a una tasa efectiva del 1% para 15 días.
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c) compra de títulos públicos a $95 con un 1,5% de gastos de compra. Se estima la venta en 60 días a $100,98 con un 1% de gastos de venta. d) compra de documentos de terceros, vencimiento 60 días. Usted deb^ en este caso calcular la TNA de descuento a aplicar para que esta alternativa \ tenga el mism o rendimiento que la mejor de las otras tres. Respuesta: a) 3,31% b) 3,52% c) 3,68% d) 21,60%
’Ú
11. El actual tipo de cambio es de $3,50 por dólar. Si la tasa de interés en USA es iguaKal 5% anual y en Argentina puede conseguirse 10% en el mismo plazo, ¿cuál debería ser el tipo de cambio dentro de un año para que no existan posibilidades de arbitraje? Utilice capitalización discreta. Respuesta: 3,66 12. El actual tipo de cambio es de $3,50 por dólar. Si la ta.sa de infiación en la Argentina es del 5% anual y en Estados Unidos es del 2% en el m ism o |>eriodo, ¿cuál debería ser el tipo de cambio dentro de un año para que no e.’dstan posibilidades de arbitraje? Utilice capitalización discreta. Respuesta; 3,6029 13. Usted tiene la posibilidad de efectuar un depósito a 10 días en la lícpóblica Argcrilina al 10% nominal anua! o nfeciuarla en un Banco de ÍJ.SA al 6,5% nominal anual. Suponga un año de 365 días para el caso ciel inerc.ado aigcntino y de 360 días para e! morcado americano. Usted tiene peso.s V los tipos de cambio son; TCVj^,:::0,993 TCC,, =0,995 L'cterminc: al El monto
obtenido con
cada moneda para
el plazo
de 10 días.
bl Sd e rcio n e la alternativa más ventajosa mediante el teorema del rendimiento sw ap.
c) Calcule el rendimiento swap mínimo a partir del cual se hará más ventajosa a la otra moneda d) El tipo de cambio paridad. Respuesta; a) 1,002739 y 1,001805 b) conviene operación en m oneda extranjera c) 0,00093248 d) 0,99393 14. El índice de precios ai consum idor para los meses de marzo y abril de 2005 fueron 157,39 y 158.16; en el m ism o plazo la TNA que podía ganarse
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IASA5 DE INItKJíi
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en un depósito a plazo fijo por 30 días era del 3%. ¿Cuál fue la lasa real en dicho período si efectivamente se constituyó un plazo fijo?
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Respuestas -0,24% 15. H o y es 6 de mayo de 2005 y la inflación esperada para el m es es de 0,8%. La T N A que puede obtenerse en un depósito a plazo fijo por 30 días es del 3,5%. El dólar futuro se negocia al 31 de mayo a $2,91 y el tipo de cam bio al contado e s T C V = $2,90 (vendedor) y T C C = $2.88 (com prador). La T N A que puede obtenerse en un depósito en dólares en el C itigroup de N u e va York es de 2,75% para 30 días. Calcule cuál es la mejor alternativa entre a) realizar un plazo fijo en m o n e d a dom éstica b) vender dólar futuro c) realizar un plazo fijo en m oneda extranjera. En todos los casos calcule el m ejor rendi m iento al 31 de mayo, en términos reales, asum iendo que su capital hoy e.stá en pesos. Respuesta: L a m ejor alte rn ativa es el plazo fijo en pesos, que rinde 0,00239 (0,24%) real 16. La in flación anual proyectada es del 12%. Sé desea saber cuál debe ría ser la T N A que debería obtenerse en una operación a plazo fijo aju.stable por inflación, capitalizable cada 30 días, si se pretende un rendim iento real del 0,4% para 30 días. Respuesta: 16,29% 17. Sab ie n do que la T N A de interés para un depósito a plazo (¡jo efec tuado el 01/05/05 fue del 4 % para 31 días de plazo, se desea saber: a) cuál debe ser el increm ento de precios al consumidor, si se pretende obtener un rendim iento real del 0,4%. b) cuál será el índice de precios al con su m id or (el índice del It^C) ‘=1 se cum ple el registro de inflación mensual obtenido en a) y teniendo en cuen ta que al 30/04/05 el registro del IP C era de 158,16. Respuesta: a) -0 ,0 6 % IP C m a y o = 158,06 18. U n a entidad financiera cobra el 50% nom inal anual de di'«;(-Ln’nto para operaciones a 30 días. Se pide que determine la tasa efectiva de inte rés m ensual y anual de la operación. Respuesta: T E M = 4,28%
T E A = 66,62%
19. D a d a la tasa efectiva anual de Interés del 5%, calcular la tasa in stan tánea anual (para 365 días) y la tasa instantánea para 180 días. Respuesta: 4,88% y 2,41% 20. Una acción cotiza hoy a $100. Al final de los próximos tres mese-s. su cotización puede aum entar a $125 o puede dism inuir a $80. Calcule las a!'
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UI.IÜERMO LOPEZ UUMRAUf tasas instan táneas trimestrales de interés y de descuento implícitas en estas cotizaciones y demuestre q ue los rendimientos son simétricos si se los calcuia com o el logaritmo del cociente de precios. Respuesta: 5=22,31%
5 ’=-22.31%
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- 21. Se desea calcularel valor de un contrato de futuros para una com m odity cuyo precio de contado es igual a $ 100 y que se entregará dentro de 3 meses. La tasa libre de riesgo es del 5% anua! continua (Utilice un año de 360 días) Respuesta: 101,26-
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22. Hallar el valor presente de un flujo de efectivo de $1 que se produce dentro de 50 años, si se aplica descuento continuo con tasa instantánea del 5% anual. Respuesta: 0,082
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Referencias bibuogrAficas Rvmco Central de la República Argentina, Comunicación "A" 3052. B.inco Central de la República Argentina, Boletín estadístico, año XIIÍI, N“4 .a b ril2002, . .. Decreto 214/02 el Poder Ejecutivo Nacional. M adura, J eff (2000) Adminírrracíd/j Financiera In tern acion al, 6* edición, Thomson, México. El rcMAN, DAiao; Stonehill, Ainuua: M offett, Michael (2000),.Tas Finanzas en las Empresas Multinacionales, ÍP edición, Pearson Educación. México.
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Apéndice
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AnAUSIS de lAS OPEItAaONEs" nNANCIERAs' CON LOS DATOS DEL DIARIO
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En los diarios especializados puede encontrarse información s o b re lu$ distintos activos financieros que se ofrecen en el mercado. Es natural riKc el inversor compare rendim ientos para elegir la m ejor aiternaliva. En generaJ, los activos financieros com piten entre sí, y es muy p ro b a b le cjtie encontrem os que los rendimientos se encuentran bastante alineado^, con jas diferencias lógicas de riesgo y liquidez. No deben dejar de contem plai se y artalizarse los costos de transacción (comisiones, derechos) q u e pue den modificar la decisión sobre una alternativa a favor de otra Los ciivo dros que aparecen a continuación reflejan la información de los rriercados financieros para activos de renta fija, con un solo pago al vencí m ientu, para el día 4 de mayo de 2005 y todos los análisis se realizaron con la in fo i-,, mación de esa fecha.
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Cuadro 1 El cuadro 1 nos m uestra las tasas efectivas m ensuales para los depó.‘>iros en pesos y las TNA para depósitos en dólares. En el prim er caso lúa rendim ientos aparecen directam ente en térm inos de rasas efectivas, dun de se ob sen 'a com o aum entan para plazos más largos. Lo mismo suceile con las TNA para depósitos en dólares, aunque en algunos casos dism inu ye cuando se alarga el plazo de colo cació n (p o re je m p lo , la TNA pasa du 0,44% a 0,40% anual cuando el plazo pasa de 30 a 59 días, pero luegti vuelve a aum entar para plazos de 60 o más días). Es de notar que en el m ercado argentino los rend im ientos en dólares son m enores a los rendi m ientos en pesos (por ejem plo, en dólares puede o b ten erse en un depósi to a 30 días 0,0044x30/365=0,00036s:0.036% m ientras que en pesos la TLM es del 0,32% ). El cuadro 2 muestra los rendim ientos para depósitos a plazo fijo en Nue va York, donde las TNA se ubican en torno de 2,75/2,85% para 30 días {0,23/0,237% efectivas)
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Cuadro 2
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Cuadro 3 ni cundro 3 nos muestra las TNA implícitas para las Lebac en pesos í.on bonos del tipo cupón cero emitidos por el Banco Central de la ^^-pnbiica Argentina), Los rendimientos de un bono cupón se calculan a n-irbr <|p la comparación de su precio con el valor nomina] recibido al ''‘'ncm iJonlo. Por ejemplo, para el plazo ds 4S días, la letra se compra por ■3 val vencimiento se cubran $100. Por In tanto laTMA implícita es (Mno I ;- l.)3G5/'19=l).0474{in (y la lasa eferliva mensual es, si seguíniO‘¡ niu convcnciúíi ex|Minenria! (1+ 0.0474 r 49/3G5)^"'^" -1-0,39% iui las Lc!)acs la rasa se define por licitación y los plazos varían según la puliiica de la entidad moneiarin. Los montos nvmimosson de $1.000 para personas físicas y de $10.000 para las personas jurídicas. Cómo también Lay Leh.acs en ti<>lares, para la compra y la poslpriormnonización en efeclise aplica el Upo de cambio de referencia ciej DCRA. Las comisiones que i'obrar los agentes de bolsa para esta operatoria se iil’ínan en torno d«Í n,5% + IVA sobre el valor nominal, las Lebacs no pagan derecho.s de bolsa y de Mercado, salvo que se compren en el mercado secundario. la s comisiones, incluidas el rV'A, para una inversión de $1.000 representari 1.000 X 0,005 X t,2l=$6.05 (un 0.00605%). Si se tienen en aicnta los costos «le transacción, el rendim iento neto es 1.000 x (1-0.00605)7993,6641=0.00020=0,020% que para 30 días sería (1.00028)»'*"-1 =0,017')o tJbserve que el rendimiento neto de costos de transacción no puede ser calculadn como (íino/99,3664)-l)j(l-0.00605) ya que la comisión opera so bre el valoi nomínaJ y no sobre el rendimiento.
T a s a s d e í n t e r e s
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Cuadro4
if>vtyp ^ .■^^;_~«.^X«it.-T-_ ._/.^
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Cuadro5
El cuadro 4 muestra el valor del dólar futuro INDOL® para cada fin de mes con sus TNA implícitas. Por ejem plo, para el futuro al30 de junio, que tiene un plazo de 57 días (contado entre el 4/5 y el 30/6), la TNA implicita es 1(2,92/2,8963)-1)365/57=5,24% La tasa efectiva mensual, siguiendo una convención exponencial sería (2,92/2.8963)30/57-1=0,448% El Indo! tieiie también costos de operatoria. Los Derechos de Bolsa y de Mercado son «le 0,0951% del monto operado y sólo para la apertura, ya que el cierre de posiciones se encuentra bonificado, cualquiera sea el momento en que «;p produzca. Las com isiones por operación con los Agentes y Sociedide*: de Bolsa son pactadas librem ente entre las partes. Generalm ente se ubiian entre el 0,5% y el 1%. La com isión representa 0.005x1,21= 0,605% y ios derechos 0,0951 %, en total suman 0,70% que se cobran sobre el valor del contrato (1.000x0,70%)=7 dólares. En el ejemplo, cuando se tienen en cueiíia los costos de transacción, el rendimiento neto re.sultaser, para un contiato deUSSl.OOO: L 000x2,92-(1 000 y 0,on7)=2,913 Para calcular ei ren«nni|ento. hacem os (2,913/2,8953)-! = 0,576% para el plazo de 57 días. La i.is.-i efectiva equivalente mensual es (1,00576)'’"'''-1 - 0,30% Es de notar *.[u«' la tasa de interés es uno de los factores principales para fijar el preci-T» d^' lo.s futuros, pero también inlervieneíi las cxpertaiivas. En este caso. licnHjs visto que cuando incluimos los costos de transacción, el rendimiento para un inversor se reduce sensiblem ente. El cuadro 5 nos muestra cuál es el rendimiento de las caurkm ‘»'i. Una caución es un contrato donde hay una compra y venta simultánea de un activo determinado (por ejemplo acciones) donde el tomador de fondos vendé a un precio de contado a un ''colocadoi" (que viene a ser el '‘inver sor" en la operación) y recompra el mismo activo a un precio futuio supe rior en un plazo determinado. La diferencia entre el precio coní-'do y el precio futuro es la tasa de interés. Por ejemplo, si dividimos un»' de los valores ele la última colum na "Futuro" por el valor de la columna Conjado" obtendremos la tasa de interés implícita promedio en esas operacio nes 1(352.479/352.201)-!) =0,078% param i plazo de9 días. En el mes .sevía (1,00078)^"-1 = 0,24% Las cauciones constituyen una interesante hrrma de
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nnanciarse, ya que como se observa, las rasas de interés se acercan a los rendimientos libres de riesgo (alrededor del 4% anuaI/0.33% mensual en la fecha de este análisis)^
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Si bien en la práctica se íratiaja con capitklízaGión discprnjmia, todas las leyes financieras tienen tasas instantáneas,vLa realidad económ ica subya cente en una operación, es que los intereses se producen en cada inñniiésim o de tiempo, aunque Jos con tratos establezcan que la capitalización sea en momentos enteros de tiempo, ya que corresponde al momento en que los intereses se suman al capital. El interés es función del tiempo, de la tasa y del capital, y se deven ga en fo r m a con tin u a cu alq u iera sea la ley u jiliz a d n . Para comprender acabadam ente la forma en que evolucionan los in te resci, es conveniente repasar el concepto de d eriv a d a d e una fu n ción p ara luegu poder utilizarlo en las funciones de interés y monto. intereses obtenidos en un infinitésim o d e tiem po Si f(x+AxJ-fíx)= variación del capital en un infinitésimo de tiem po, es , equivalente al interés obtenido en un infinitésim o de tiempo. Si al m om o Je restamos el capital, obtenem os los intereses ganados en el increm ento del tiempo Ax; si a este resultado lo dividimos por el incremento del tiem po Ax. yAx tiende a cero, obtendrem os los intereses referidos a un infinitésim o de tiempo: « ' m =
/ (x -r Ax)
. ^
dy
I m i ---------------------= / ' ( X ) = - ^
Ax
-
• -.
dx
La derivada de una función f se denota por f ( y se lee "f prima" } y e.^tá definida por: . '
/ '( X ) = - p
dx Esta relación podemos repiasentarla en un gráfico del monto a ínteres compuesto donde f'{x) es el interés de un infinitésimo de tiempo, cuamJu Ax representa una intervalo de tiempo muy pequeño, que tiende a ceru.
1 tO:
GuiiaRMo LúPtz Dumiuuf
$í se puede evaluar í'íx). se dice que í es diíerendable y a Hx) se le d^uomina "derivada de f en x” o la "derivada de f con respecto a x". Tenga presente que dy/dx no se considera como un cociente sino corno un dife rencial; al proceso de determinar la derivada se le denomina diferenciacióiv. Además de f'(x) otras notaciones para la derivada de y = f(x) en son dy/dx (que se lee "de y en de x") y' ("y prima"). Ctilcuío de la tasa d e interés instantánea Sí ahora realizamos el cociente entre el interés ganado en un infini tésimo de tiempo y el capital invertido, obtenemos la tasa de interés de un . infinitésimo de tiempo, que como sabemos recibe el nombre de tasa Ins- \ tantánea: V ^ _ /|X-f- Ax) - /(X) ^ / ’(x) ,/ x
..
.
m
- - De maitera que la (asa instantánea es igual a la derivada de la función r(x) dividida por la función f(x), y como la d erivada d e l logaritm o d e una [unción tam bién es igu al a la d eriv ad a d e la fu n d ó n d iv id id a p o r la fu n ción , icmlrcmos:
/'(X)
Derivada In/(><) = - r “
/(X)
Por lo tanto la lasa instantánea representa la derivada del logaritmo na tural de la función, y siendo la función del monto compuesto iguala
.)• I
fixj - U 41)" que es una función del Upo a * . Comn (3 derivada de una función a’'
(> = d ----- -------= — iix
In a. entonces
------- = Infi + /) (1 + iT
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'"Elálgebra es generosa: a m enudo da más de lo qu e se le pide''.
Jean LeRondD'Aiembert(l7i7-1703j, matemático yffsío) francés. '
Introducción En la vida real solemos prestar aTendón a una cantidad de números índi ce. Los más populares son los índices que reflejan variaciones de prccíns, pero también prestamos atención a oíros como los que reflejan cantidade.s c valores. En general. los números índice relevantes en la economía y las finan zas resumen el cambio que experimentan las variables económicas dur.^me cierto período de tiempo y en particular se utilizan para medir lo.s cambios relativos en precios, en cantidades (ventas de una determinada mercancía t y valores (un índice de confianza). Existe una gran cantidad de variables que son objeto de medición a través de los números índice. Sólo por mencíonai algunas, tenemos; • Precios • Salarios • Construcción • Acciones ^ Tipo de cam bio real • Tasas de interés
• Ventas de supermercados
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• Riesgo país • Confianza del consumidor Existen inclusive índices exóticos como el elaborado por la compañía Me Donald's acerca del precio de su hamburguesa '*BÍg Mac'’ en diferentes paí ses, que es publicado por The Economisí desde 1986 como una medida de la paridad en el poder de compra, siendo la hamburguesa la "canasta representaiíva".
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Guiiuiu^o López DuMfuuf Cuando el índice refleja la varíacídn sobre una sola mercancía se dice que se trata de un índice simple (por ejemplo, el precio de una sola varia ble, como el tipo de cambio) y cuando agrupa un conjunto de elementos recibe el nombre de índice compuesto (por ejemplo, los índices que mi den el nivel general de precios incluyen una gran cantidad de bienes y servidos). La característica común de los índices es que todos se utilizan para medir los cambios relativos que ocurren entre dos penodos. Después de leer este capítulo, usted debena ser capaz de; “ Interpretar un número índice, •l;nrender y conocer cómo se construyen los índices, sus alcances y limi- \ taciones. 1 •Aprender cómo se construye un coeficiente de ajuste diario. 5 .1 . T ipos DE NÚMEROS ÍNDICE
:-
-
Nilmeros índices simples Un número índice simple mide e! cambio relativo en precio, cantidad o valor de un solo elemento entre dos períodos. Se calcula medianie la razón entre el precio, cantidad o valor de un período y el precio, cantidad o valor de un período base. Los números índices que utilizan un período base reciben el nombre de relativos de base fija. Otro tipo de número índice es el llamado relativo de enlace. Este índice puede calcularse de dos formas: en forma directa, es decir utilizando datos no procesadas (por ejemplo, si queremos determinar el cambio anual en la cantidad (por ejemplo, la cantidad de autos o casas consiruidas);lo hacemos directamente comparando las cantidades de un ano con el año anterior) o a través de los índices de las cantidades para esos mismo años. La principal limitación que presentan los relativos simples es que solamente se refieren a elementos individuales, mientras que es de seable poder resumir los cambios respecto de un grupo completo de elememos. ' . . Números índices compuestas Un número índice compuesto mide el cambio relativo en precio, cantidad o valor de un grupo d e elem entos entre dos períodos. Se calcula mediante la razón entre el precio, cantidad o valor de un periodo y el precio, cantidad o valor de un período base.
5.2, ÍNDICES UTILIZADOSCONFRECUENOAENLAECONOMÍA YLASFINANZAS Edste una vasta cantidad de índices que son elaborados tamo por organi zaciones públicas como privadas. A continuación describimos algunos de los
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i-i.i
I ndices y C oeficientes de A i u m
índices que se uúiizan cpaigriaypr ffecueQa'a y cuya evolución es segciida de cerca por profesionales, analistas, eriipresarios y eí püblíco en general, /ndicadepreciosalconsumidor
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Por ejemplo, usted podría preguntarse cuánto ha subida el costo de la canasta familiar en el último añ a Sin duda es muy posible que muchos pre cios se hayan elevado, pero otros se han reducido. ¿Qué ocurrió en promedio? Para saber la respuesta, necesitamos examinar una combinación de artículu.s en lugar de considerarlos de manera aislada. También es muy útil saber si ía s , cantidades consumidas délos artículos ha cambiado y de qué forma. En una economía, de un año a otro, unos precios suben, otros bajan y otros permanecen constantes. Dado que existen millones de bienes y ser vicios, para analizar la evolución general de los precios debemos recurrir a una medida del niveí m ed io d e precios, entendiendo por este una media ponderada de ios precios de los diferentes bienes y servicios de la econo mía. El índice de precios nos proporciona esa medida del nivel m edio de precios. Éste se obtiene dividiendo el valor monetario ide un conjunto de bienes y servicios en un período dado de tiempo par su valor m onetario - ' en un determinado período base y multiplicando el resulladu por cien Ejemplo; Suponga que un individua compra una canasta compuesta por 2 bote llas de coca-cola, un kilo de carne y un corte de peluquería por valor de $ 30. Suponga también que esa misma canasta de bienes y servicios fue de $ 20 hace un año. El índice de precios del día de hoy, tomando como perío do base el día de la anterior compra, para ese conjunto de bienes y scr\ idos será: ’ Costo de un conjimlo
Indice de precios s
da bienes
en un periodo osdo
Costo de ese mismo conjunio en el periodo base
100=isa
Los 150 implican una doble medida; por un lado me dicen que los pi ecios actuales de los bienes y servicios han aumentado respecto del año base un 50%; también puede interpretarse como el cosro de comprar hoy un conjuritu de bienes que adquiridos en el año base representaban un gasto de ÍUIO. pero que hoy cuestan $150. El índice de precios más coiniln es el índice de precios ai consumidor (IPC). ' Ilélación con la evolución del ingreso Para saber si el consumidor ha mejorado o empeorado su nivel de vida, tenemos que relacionar el índice de precios con la evolución de su ingreso monetario. Esto es fácil si suponemos que el gasto del consumidor es igual a su ingreso y lo comparamos en dos períodos. El índice de precios nos dice que ei consum idor estará m ejor en u n período si el gasto en este período supéru
GuiLLERxto López DuMtuur
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al^asto d el período qu e se le com para (suponiendo que su ingreso sea Igual a su gasto). Por ejemplo, el consumidor estará mejor en el período l(uno) si su gastó en ese periodo es inaj'or que en el gasto en el período 0 (iodo medido en los precios del período 1): I p L q l > X p l.q o y por el mismo razonamiento estaría mejor en el período 0 : X po.qo > Z p o .q l A continuación presentamos dos métodos ampliamente utilizados para obtener índices com puestos: el método de Laspeyres y el método de \ Paasclie, ' índice de Laspeyres Compara el costo de comprar las cantidades del período base (cero) a los precios del período corriente (uno), con reladdn a lo que costaba la misma canasta en el período base. Observe que las cantidades son las mismas, pero lo que se compara es la variación de precios: , _ X p Wp
índice de precios de Paasche Este índice compara el costo de comprar las cantidades; del período corriente a Ins prccio.s dcl período corriente, con relación a lo que costaba 1:! canasta dd año 1 en el período base.
Ejemplo: Sean dos bienes, x e y, con sus respectivos precios para los anos 0 V l: , P e río d o
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~ X p W i " í 2 x 5 ) + ( 4 x 7)
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iNDfCEs Y C oeficientes de Aiuste
145
La desventaja del índice de Paasche frente al índice de Laspeyres er. que al utilizar las ponderaciones del año en curso (los porcentajes que representan cada uno de los c o m p o n en tes del índice de precios) éstas deben ser revisa das cada nuevo año. También existen algunos problemas en torno a la representatívidad de los índices de precios. Algunos de ellos aparecen rela cionados con: ♦ Los hábitos de compra y preferencias de compra tienden a cambiar con el tiempo • Cambios en la calidad e introducción de nuevos productos alteran las comparaciones efectuadas en períodos prolongados En Ja Argentina, el índice de precios a! consumidor es medido por el Instituto Nacional de Estadísticas y Censos (INDEC). El LPC base 19^19=100 mide la evolución de los precios de ios bienes y servicios que consumen los hogares residentes en el aglomerado Gran Buenos Aires. El conjunto de bienes y servicios cuyos precios son recopilados para el cálculo del IPC constituye la canasta del índice, que e.s representativa de los gastos de con sumo de los hogares residentes en la Ciudad de Buenos Aires y en M par tidos del Gran Buenos Aires (GBA). El diseño.metodológico del IPC-GBA responde a las recom endaciones de la OiT, en el marco del Síslrnia ele Cuentas Nacionales 1993 (Naciones Unidas. 1996). Eí iPC no es un índice de costo de vida (ICV). Un ICV busca reflejar lo< cambios en el monto de gastos que un consumidor promedio destina para mantener constante su nivel de satisfacción, utilidad, o su nivel de vida, aceptando — entre otras cosas— que puede intercambiar permanentemen te su consumo entre bienes y servicios que ie brinden la misma satisfac ción por unidad de gasto. A diferencia del ICV, el IPC no considera todos los gascos de ios con.sumidores que tienen que ver con el m aníeniiniento de su nivel de vida. Excluye, por ejemplo, los pagos de intereses y amortizaciones de présta mos, y los Impuestos no incluidos en los precios de los bienes. C aracterísticas d el relevan!ienío de precios Todos los días hábiles de cada mes se relevan aproximadamente 80 nno precios en unos 6.000 negocios informantes. El marco muestral para se leccionar los negocios informantes fue elaborado con dalos del Censo Nacional Económico 1994 e información complementaria sobre la apari ción de nuevos centros com erciales. Los grandes comercios, tales como supermercados e hípermercados, fueron seleccionados a partir de listados directos. La canasta del IPC fue proporcionada por la Encuesta Nacional de Gastos de los Hogares realizada entre febrero de 1996 y enero de 1997, cuya población de referencia fueron los hogares residentes en el área geográfica Gran Buenos Aires. La clasificación de íos productos’ de la canasta, según la rinalidad del gasto, da lugar a los siguientes capítulos: » .- .
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■ G u íl u r m ó López D umrauf
Alimentos y bebidas Indumentaria
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'/ivienda y sem cios básicos P.quípamiento y mantenimiento del hogar Atención médica y gastos para la salud 't ransporte y comunicaciones I-sparcimiemo Uducación Oíros bienes y servicios
índice de precios mayorista nivel general
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Ksíe índice también es publicado por e! Instituto Nacional de Estadísti cas y Censos, e intenta medir Jos cambios relativas de los precios que involucran transacdones entre productores e importadores por un lado, y distribuidores, intermediarios o minoristas por el otro. En general, las variaciünes de los precios mayoristas se trasladan a los precios minoristas, dependiendo la rapidez del traslado de la situación macroeconómica en términos de salarios reales, expectativas inflacionarias, legislación sobre precios, etcétera. Por ello su análisis permite realizar conjeturas respecto de la evolución en el corto y mediano plazo de los precios al consumidor. Por caso, una devaluación de la moneda nacional en general produce un au mento mayor en el IPM que en el IPC en el corto plazo, por el impacto inmediato que tiene un aumento del tipo de cambio en los bienes transables, que no suele reflejarse de inmediato en los precios minoristas por los facto res íiiencíonados anteriormente. Por caso, una recesión económica no permiíit ia un traslado a precios inmediato de la suba del tipo de cambio, pero en el futuro, una recuperación del salario nominal podría permitirlo, reflejánciose un aumento en los precios minoristas. Es útil ia observación de algunos rubros determinados del IPM, por caso un aumento en ciertos rubros textiles en la etapa mayorista seguramente se reflejará al poco tiem po en el rubro indumentaria del IPC.
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i: 9 t » I
El Sistema de índices de Precios Mayoristas (SIPM} base 1993=100 está integrado por tres índices: 1. IPIM, índice de precios internos al por mayon mide la evolución de tos precios de los productos de origen nacional e importado ofrecidos en el mercado interno. Los precios observados incluyen IVA, impuestos in ternos, y otros gravámenes contenidos en el precio como el impuesto a los combustibles. . : 2. IPIB, índice de precios internos básicos al por mayor, tiene la misma cobertura qué el IPIM, pero considera los precios sin impuestos. En ambos
V índices las ponderacionesse calcularon considerándo los valores d e prochiccidn netos de exportaciones. t 3. ÍPP, índice de precios básicos al productor: mide la ¿voiuclón de los precios de productos de origen nacional exclusivamente, por lo canto no incluye exportaciones. Pero en las ponderaciones, a diferencia d e lo que sucede con los índices anteriores, se ha considerado tanto la producción
con destino interno como la producción destinada a la exportación. El iralamiento impositivo es e! mismo que en el caso del IPIB. Las ponderaciones del sector primario son valores brutos d é produc ción netos de impuestos, estimados por las Cuentas N acionalesr las del sector manufacturero son valores de produccidn provenientes d el Ceriso Nacional Económico 1994 (que suministró datos relativos a 1993); la ener gía e lé c tric a está p o n d erad a co n la fa ctu ra ció n de las e m p re sa s distribuidoras; y las ponderaciones del sector de productos importados se ' calcularon a f ^ t i r del valor GIF (costo, seguro y fletel de las importaciu- . - nes realizadas durante 1993. Las ponderaciones de cada índice son consis tentes con la cobertura y tratamiento impositivo de cada uno de ellos. P.na el cálculo se utiliza una fórmula de ponderaciones fijas referidaal año base, del tipo Laspeyres. Los precios obser\'ados corresponden aJ día 15 de cada mes salvo c.':cepciones ya que en algunos sectores se traía de promedios mensualé.s híe precios diarios o de varios precios durante el mes) o de precios de ia sem a na que Incluye el día 15.
La elección d e la b ase La elección de un período base de un índice es muy importante. Idealm em ela base debería cumplir dos condiciones: 1. ser bastante reciente y 2. presentar precios estables, a fin de obtener comparaciones sigm'ncativas Una forma de aumentar la estabilidad es utilizar un promedio de d*>> u tres años para el período base No debemos olv'ldar que todas las cotnpa raciones que obtengamos reflejarán variaciones respecto del período qu«; hemos elegido como base. Esto es importante también en las estadísticas financieras. Por ejemplo, cuando se calcula el tipo de cambio “rear paia saber si el dólar está "caro" o “barato" un cálculo simple consiste en coiitparar una serie de cotizaciones nominales contra la cotización de un pe ríodo base, teniendo en cuenta la evolución de los precios en Argentina y' USA. Dependiendo el penodo que se adopte como base, podrá ocurrir que la cotización actual del dólar sea "alta" o "baja". Es posible que si se cnmj*ara la cotización actual contra la cotización que tenía la moneda noiieiaiiericana en ia hiperinflación Argentina de Í9B9, resulte que el dólar es bara to y si se lo compara contra la cotización de finales de los setenta sea caro Como veremos, algunas veces se adopta una base por convención, pues
G u iL L E iu toL ó p e zD u m í i a u f
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por alguna circunstancia particular, una com pañía podría querer com pajar |>ór ejeinplo, sus ventas contra las ventas de determinado período; C orrim iento d e la b a se d e un n ú m ero ítidice Cada tanto se modifica la base de los índices de precios produciendo una mpliira en la continuidad d elasseriesqu e.d esd eel pumo de vista teórico no admite solución cuando se cambia la población de referencia, la clasificación y ponderación de los gastos de consumo, el conjunto de bienes selecciona' dos, etcétera. No obstante, como se necesitan serles continuas para realizar comparaciones de la evolución histórica de los precios, se utiliza un procedía miento de empalme que consiste en transformar la serie vieja en su equiva*\ lente para la nueva base. En el caso de los índices de precios, un objetivo de este cam bio podría ser tener com o'ano base un período más reciente. Otro olijetivo podría ser el permitir que dos seríes de bases diferentes sean com parables al expresarlas ' en la misma base. Para cam biar la base xínicamente se requiere que cada índice sea dividido por el nümero índice del nuevo período base. De forma tal que un índice para un mes que está expresado con una base de un periodo anterior podernos reexpresarlo en una base nueva. A continuación com enta mos el caso del cambio de la base para el índice de precios a! consumidor IPC C HA (Gran B uenos Aires): C oeficiente d e e m p a lm e con la serie ba se l9Sn La nueva base elegida para el IPC fue el año 1999. En la tabla 5.1 se muestra el IPC para octubre de 2000, que fue de 99.74 a nivel general. El mismo mes con base en 1908 hubiera sido de 319.401.4. El coeficiente de empalme surge de comparar, para el mes de octubre de 200Ü, los valores de los índices de ambas bases:
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índices de octubre ric 2000 baso 19HH base 1999 Híve! general alimemos y bebidas
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,
indumeiuaña \’ivienda pquiparnicmoy funcionamiento del hogar atención mtidica y gastos para la salud transporte y comunicaciones esparcimiento educación bienes y servidos varios
coeficiente ib’ empalme
99,74 100,00 95,99 99.41
319,481,4 264.286,5 156.621,2 323.708.1
0,000312193 0,000378377 0,000612080 0.000307098
97,13
354.095,0
0,000274305
. 101,14
' 51Z578,0
0,000197316 0,000350759 0,000213317 0,000120475 0,000300592
lOOpS 90.13 99,52 104.02
286.684,1. 460.018.9 826.062,6 346.050,1
labia 5.1 Índfciísde precios ycoelicicnt? deempaJme
Indices y C o i n c i entes de Ajuste
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Observe cóm o al cam biar la base también se reduce el núniero de dígitos de] índice, tornándolo más sencillo de operar con calcu lad oras de bolsillo. ro c t 2000.1999
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NG_______________
^N C ~~ TO(t 2000.I99S 'NC
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donde; NG = Nivel general Para expresar el mes de octubre con base 99 hacem os: o c iu b v f btisf SB = o ctu b re b a se 98 x De forma tal que el coeficiente de em palm e de las dos series fue de 0,000312193 ya que este es el núm ero que surge de dividir el índice con base 99 entre el índice con base 1988. Este procedim iento perm ite m ante n e rla s variaciones porcentuales anteriores y posteriores al m om ento del cam bio de año base, que fueron m edidas por el sistem a vigente en cada período. Con la aplicación de este procedim iento se logra com patíbilizar la ser rie actual (base 1999} y la arueríor (base 1988) y dar un criterio perfecta m ente definido para determ inar tasas de variación.
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D eflación d e las series cro n o ló g ic a s en las estad ísticas em p resa ] ios Es com ún que algunas estadísticas en la empresa involucren ‘ amidades de dinero com o son las ventas, stocks, y otras categorías, Cuandf» las cifras se establecen en cantidades de dinero, éstas por lo general incluyen cam bios tanto en cantidades com o en precios. Los cambios en ios precios distorsionan la com paración: obsérvese la tabla 5,2 que contiene venías de una com pañía fabricante de autopartes: Años
Ventas en miles de pesos
IPC
Ventas deílacionadas a Díc 95
Ventas en Varfacbuj año base porcenfn.'ii »cal
1995
42.500
100
100,00 ^ 1
n,nn%
1996
43.569
102.3
43.569/102,3 x 100=42.589,44
lorui
".21%
1997
45 0-S8
106,3
45-058/106,3 .v100=42.387,58'
99.74
-<'.26%
1998
40.560
107,3
40.568/107,3 x J 00=37.800,01
88,96
-11.04%
1999
43.569
108,1
43.569/108.1 X 100=40.304,35
94,83
-M7%
42500
Tabla 5.2 Ventas nominales yventas en año base Cuando com param os con un año debem os tener en cuenta la infla ción, ¿SI las ventas aum entaron de un año a otro, se debe a un aumento reai en la cantidad de unidades vendidas o a precios más altos? Para deter minar el aumento o la disminución real, es necesaria una comparación en
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1 5 0
G u illermo López D umrauf
moneda homogénea, por lo cuaJ debemos segregare! componente iníladonario. Sí sólo hubiera un producto, el uso de ventas en unidades en lugar de ventas en dinero evitaría este problema. Pero como las compañías siempre venden varios productos, debemos convenirlas ventas en unidades moneia' fias a “ciftas de cantidad", deflactando las series que se encuentran expresa das en pesos de cada año. Si hiciéramos una comparación rápida, diríamos, por ejem pla que las vientas subieron entre el 97 y el 96 un 3,41% (45.05 millones del año 97 contra 43,5 millones en el año 96) pero esto sólo representaría un incre mento nominal, que no tendría en cuenta la inflación. . Para establecer una comparación genuina hay que hacerlo contra una I “base". Muchas veces el año o el período base para efectuar la compara ción surge por convención; por algún motivo específico (por ejemplo, por que fije un buen año de ventas, o medió alguna circunstancia particular en la vida de la compañía, etcétera.) se quiere efectuar la comparación ' contra un año determinada Asumiremos, a los efectos del ejemplo, que el período base está representado por Diciembre de 1995=100 fasumimos una base de 100 para el IPC de Diciembre de 1995, para facilitar los cálculos). Como queremos comparar en una misma moneda y saber cuál fue el efecio real en la variación de las ventas, procedemos a deflacionar las ci fras de cada año para reexpresarlas en moneda del período elegido como base. El cálculo se muestra en la columna 4 de la tabla, donde aparecen las venias deílacionadas a diciembre de 1995. Observe que al dividir las ventas en unidades monetarias de cada ano por el IPC acumulado desde diciembre de 1995 hasta el final de cada año, en realidad es como si estuviéramos deflactando cada serie de ventas con la tasa de ínílación acumulada desde Diciembre de 1995 hasta Diciembre de c.ida año. obteniendo los mismo:i resultados que los que aparecen en la tabLi 5.2, Por ejemplo, para el año 97. el resultado sería el mismo si hicié ramos.
100
IP C 95 Vent.ts 97 tn S de Dtc 95 =
... .
(l-f laja
■
Venias 97 ■ ■ ■■■
inflación acum ulada
45.058 "■■■- S ' ■ = 42.387,58 95/97> (1.0Ó3)
Es común que la información se presente en términos de variaciones porcentuales respecto del año base, como se muestra en las columnas 5 y 6 de la tabla. En general, SI el resultado es mayor que 100, por ejemplo 102, significa que el rubro creció un dos por ciento, y sí el resultado fuera 95, significa una disminución del 5 % siempre contra el año base. Por ejem plo, al ver que las ventas de los años 96 y 99 representan 100,21 y 94,83 ínmediataraenie sabemos que aumentaron 0,21% y bajaron 5,17% respectivameme, comparadas contra diciembre de 1995:
Venias 99 en p e s o s d e l 95 _ 40.304 l^£T/i/a5 d el 95 -íí
^_
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.
) 7 /^^
5
42.500
’
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Observe que en todos los casos, cuando reexpresamos cifras en la m one da de un año. estamos comparando más bien "cantidades" antes que "pesos", ya que las cifras están expresadas en la moneda de un mismo año. También podríamos querer saber cómo variaron las venías respecto al año anterior. Para ello, simplemente deflactamos la serie de venías corriente por la inflación del año, y luego la comparamos con las ventas del año ante rior. Por ejemplo, si queremos comparar las ventas del año 99 con respecto al año anterior, hacemos: , _
Venias
I9S9 _
( J + ^ , 5^ )
43.569 (1.0074)
= 43.246,5
Como las ventas del 98 fueron de 40.568, decimos quelas ventas aumen taron en términos reales de un año a otro en un 6,6% (43.569/43.246 -1 ).
ín d ice d e venias en su perm ercados Las estadísticas de las ventas en supermercados son elaboradas por el INDEC. A continuación se muestra su evolución en el período Enero 2002' Mayo2002;
Periodo
Ventas loiüles
Respecto período anterior
Respecto a igual período
IPC nivel general
Ene-02
1.032.920
-20.1
-7.3
99.84
Fel)-02
1.025.640
-0.7
-3.3
102,97
Mar-02
1.2.S3.362
222
l.b
107,05
Abr-ü2
LI4B.H00
-8,3
-2.5
118.17
May-02
1.203.000
4.7
1U.4 ■
122,91
Tabla 5.3 Evolución de las vi;nias. enero 2002/tnayo 20fl2 Fueiue: Indcc
La tabla 5.3 muestra un incremento nominal de las ventas si compara mos mayo contra enero del mismo año. Sin embargo, los aum enus en ventas, en períodos inflacionarios pueden deberse más a un aumento de precios que a un aumento en la cantidad de unidades vendidas. Para saber cuál fue el incremento real de las ventas debemos tener en cuenta la infla ción. Si comparamos las venta;; de mayo de 2002 contra enero de! mismo año, hay un aumento nominal del 16,46% (1.203.000/1.032920-1). pero sí tenemos en cuenta que la inflación minorista del período fue del 23,10%
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G uilup Í
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Lope? DuMR.^uF
fl22,9i799,a4-^ 1) hubo una caída de las venta
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Eí indicadorporexcelencia para medir la compeu'tivídad de un países el tipo de cambio real. Con frecuencia los argentinos se preguntan si el dólar está "barato" o "caro". En realidad, cuando hablamos de un dólar alto o bajo nos estamos refiriendo implícitamente al poder adquisitivo del dólar y más precisamente a la depreciación/apreciación de nuestra mone da frente a la moneda norteamericana. Cuando la cotización del dóiaA sube respecto de la moneda argentina, se dice que ésta se deprecia frente' al dólar, consecuentemente, hay que dar más pesos por un dólar. Las con secuencias de esta relación no son menores: nuestros productos se abara tan para los extranjeros, por lo cual aumentan las exportaciones, mientras ' que se encarecen las imporlaciones. por lo cual éstas disminuyen. Sin embargo, ruando el Upo de cambio nominal aumenta (la cantidad de pe sos que debemos dar por un dólar) esto suele generar inmediatamente un fncteniento en los precios internos que compensa parcialmente el abaratniuif'ntn relativo inicial de nuestros bienes, con lo cual p.arte de la compptitividad ganada con el incremento del tipo de cambio nominal se pier de por el incremento de ios precios internos. Esto es, si bien la cotización dei dólar aumenta (por lo cual con un dólar se compran más bienes argen tinos y esto estimula nuestras exportaciones desestimulando las importanones) el incremento de precios internos compensa esta situación ha ciendo menos baratos nuestros bienes para los extranjeros. Por otra parte, el aumento de los precios en Estados Unidos disminuye ia competitividad de los bienes que fabrican los norteamericanos, que es le mismo que de cir que nuestra competitividad mejora. En la República Aigentina el tipo i|f' cambio renl ha tcconocido períodos de fluctuaciones importantes, se};iiM pújele aprurinrse en la figura 5.1 que abarca ei pcríudo i/1/BO hasta el l/H/02;
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Figura 5.1 Argentina. Evolucidn del Hpo de cambio real «lero 13S0/mavo 2005. Ba-«:DÍcíwnb?e20pí ■ Fuenre: elaboración niopia eo base a datos de Economática y Ministerio de Econornía.
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IrmicES Y C oeficientes
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Incrementos írradonaies del tipo de cambio nominal fueron seguidos en general de anclajes del mismo que a la larga llevaron aJ atraso del tipo dé cambio real vía incremento depredes. Cuando el atraso se bacía m uy impor tante, generando fuertes déficit en ia balanza comercia], sobrevenía una devaluacldn de la moneda, que volvía a traer inflación y otra vez atrasaba el tipo de cambio, y vuelta a empezar. La figura 5.1 permite establecer 5 períodos bien diferenciados: 1. Después del atraso cambiarlo al que llevó ia famosa "tablita’’ caiii' biaría de los' 70. se observa un incremento del tipo de cambio real (re de 2001. 2. En junio de 1985 es implementado el Plan Austral, que prácticamente congela el tipo de cambio nominal y conduce a un atraso del tipo dr cam bio en la segunda parte de la década del 80, que termina con un pioceso hiperlnflacíonario. v 3. Se desata la hiperínflación en 1989, y el tipo de cambio real es oí más alto del período analizado. En marzo de 1991 es implementado el Plan de Convertibilidad que logra mantener el tipo de cambio nominal fijo du rante más de una década. El tipo de cambio volvió a au^asarse. tocando niveles similares a los registrados al comienzo de la década del 80. 4. En enero de 2002 se devalúa la moneda nacional y e l Plan de Convertibilidad es abandonado. El tipo de cambio real aumenta fuerte mente. 5. El tipo de cambio real muestra una tendencia permanente a la baja a partir de 2003. Cálculo del Tipo de Cam bio Real
Decíamos en la sección anterior que el lipn de cambio real ciejiendia . no sólo del tipo de cambio nominal sino también de la evolución ue los precios internos en Argentina y en Estados Unidos. Un cálculo más arma do debería incluir la diferencia de productividad entre !ns dos países, qvfc es lo que debería determinar a la larga, el tipo de cambio real (IJ Para calcular el tipo de cambio rea) se procede de*acuerdo a la S'guíeníe ecuación: > r c í? = -
TCN
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'A r g fn iir u t
{ 1) Píeríseque si bienlamoneda deunpaís puede revalúarse frente alamoned^i de ouo pa/s. podiía eompen.sar lapérdlda decompentividad con aumentos enproductividad, que le permitiríanbajar costos yen consecuencia precios. Estoocurrió entre lapónyEstarlos Uní-, dos enel pasado.
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Gu^LUR^AO López D umrauf
. Donde:- S "
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rcR: tipo de cambio real
S S'S^' .
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■_ -.S^; .,/ ^
TCN: tipo de cambio nominal índice de precios al consumidor en la República Argentina
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rPMys^: índice de precios mayoristas en Estados Unidos
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Observe que el primer miembro de la ecuación divide el tipo de cam* . bio nominal por el índice de precios interno, pues de esa forma se deflacta el tipo de cambio para quitarle la pérdida de competitividad por la suba de nuestros precios inrernos. Luego se multíplica por el índice de preciok externo para reflejar ía ganancia de competitividad por los aumentos de precios en Estados Unidos. Se usa el Indice de Precios Mayoristas de EEUU comparado con el IPC nuestro porque lo que se quiere ver es la corapeticividad del país, entonces comparando IPM que es principalmente el índice de los bienes transables (com erciables can el reszo del m undo), con el * ÍPC que Incluye los bienes y servicios no transables de Argentina. Enton ces til índice combinado permite ver la relación de competitividad entre precios internacionales y precios domésticos. Debemos tener en cuenta que los precios internacionales están controlados en su mayoría por los EE.riU. . . índice de rlésgo-país lU riesgo país se define como la sobretasa que debe pagar un estado soberano por su deuda pública respecto a la tasa de interés de un Lnstrun tentó de deuda libre de riesgo. Se asume que la tasa de los bonos del tesoro norteam ericano (T-bond) representan un rendimiento libre de ríes[‘o.
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I,P. Morgan elabora Uri indicador del riesgo país denominado EMBl plus ÍEnierging Markets boncl Index) que es de difusión más extendida en tre los operadores y utilizado para ía toma de decisiones. E! EMBi incluye una ponderación de bonos entre los cuales se cuentan los bonos deí plan braay, Eurobonos y bonos locales emitidas en dólares. La ponderación se establece según un promedio de rentabilidad diaria, monto en circulación y liquidez de cada instrumento. Además deben cumplir con cienos requisitos niínimos como por ejemplo tener una emisión mínima de U$S 500 millo- . nes, la calificación de riesgo ser menor o igual a BBB+/Baal y tener un ven cimiento superior a un año. LKndiceEMBI plus brinda a los inversores una herramienta de medición para el rendimiento y el riesgo que se puede obtener en los mercados emer gentes. ' £1 índice del mercado de valores (Men'al) En todos los países que tienen bolsas de valores existe un índice que mÍd«T la evolución de las acciones cotizantes más representativas. En la
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^ 'Argentina .leñemos e! MervaJ, que representa e] valor de mercado de una cartera de acciünes/seíeccíohada dé acuerdo a la participación, cantidad de cransacciones y valor de cotización en la Bolsa de Comercio de Buenos Aires. La fecha y valor base son: 30 de junio de 1986 igual a $ 0,01. El Indice N-íerval se computa continuamente durante la jornada de transacciones y se e>dtíbe en las pantallas del Sistema de Información Bursátil. La nómina de sociedad y sus ponderaciones se actualizan rrimestralmenie, de acuerdo con la parricí' pación en el mercado de los últimos seis meses. El valor relativo de las accio nes incluidas en el índice es computado en varías etapas. Primero se calculan los siguientes coeficientes de participación.u, ^
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\ N .
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Donde;
■i ■
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nj=
Cantidad de transacciones en la acción"!''.
N=:
Cantidad total de rransacciones en acciones durante los últimos seis meses. ]
Vj =
Valor efectivo negociado en la acción "i" durante los últimos seis meses.
V=
Valor efectivo total operado en acciones durante los últimos seis meses.
P, =
Participación de la acción "i" sobre el total de transacciones y monto efectivo operado.
Todas las acciones cotizantes son consideradas en forma decreciente, de acuerdo con su participación, hasta un acumulado del 8í) %. Entonces, la participación correspondiente al mercado global se ajusta del sigineiue modo: P. ■, - A
Donde:
PAJ. = Participación ajustada de la acción "í". Para obtener la denominada "cantidad teórica" (la cual será utilizada durante el próximo trimestre), se aplica la siguiente fórmula: M
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Colízaríón de la acción T ^Cantidad teórica'de la acción "I*. •
£J Indice se computa, en lonces, de la nianet a siguiente:
’. = Í 2 q . c , /-i l'ond c: =
VHl'jr tiel índice en el p e río d o 't'
0,=:^ "Ciiiíidadledrica’*delaacclón'l". r.^ = í>>M¿3Ción «lela acción 'rcn elp crío rlo '!' liin to CMM el irad icional Merval. aparece en 1999 un nuevo índice "Merval Argentina" respondiendo a una necesidad del nicicado local de teílejar el movltrricnto genuino de empresas locales cuya nclividad tío ligndn a oltos mercados o econom ías de olios países distorsionando el re-u liado final dcl m ism o. Por ello se ha decidido formar un nuevo Indice com puosio por 17 empresas radicadas en el país. Dicho índice se ha fiiado en rir»0.47 para su feclia de inicio que es el 30/12/1999. Se lom ó esta fpciia y c.'ie valor porque fueron los valores originales r^'pbtrados por el Mrii'nl tr-’didotuii justo antes de la incorporación dr* empresas extranjen s r»n el inisnin. Pot lo tanto al primer día del año 2000 rl indice Merval (r.-tnidoiinl y H Indirc Mer\'al Argentina tenían el mismo «p|nr y anihos ••'.lahan cr>nipuesto^ por em presas de bandera nacional. A p aiiir dr allíla disndaciün peiniilí* vrr In evolución bursátil basándonos puta y exclusivnnií'nif' r o las colir.aciones de empresas nacionales. Para dcierm inar la í'M iinm iacinn dcl nuevo índice .se toman los papeles lorale.s que hayan «’perado el 09*^ del volumen total del trimestre. En este caso dicho volum<»n solo será coníorm ado pnr empresas argentinas lo cual elimina la distorsión de las em presas extranjeras, los arbUrajes entre ntcrcados y la •nriuencia de los Cedears.\ ji cartera teórica se recompondrá rnda 3 meses lom ando en cuenta los últimos 6 meses de volumen, presencia y negocia ción de cgda papel. Paralelamente, se hará un monitoreo constante de los papeles IníemOTícs del nuevo índice. Ante cualquier cam bio societario respecto de la nscioDalidad, compra hostil, canje, etcétera, que implique la d esnad nnalización de la empresa, el índice será modificado. Lo mismo sucederá en caso inverso respecto de cualquier empresa extranjera adqui rida por una com pañía nacional.
5 i'A ií.
$
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IH.
IfíOíCts y Coincufins oi Afum índice de ddlar futuro INDOL El INDOLES» es un índice de tipo de cambio Peso-Dólar a fu turo d#^s3rrollado por Mercado de Valores de Buenos Aíres S.A. con e! propósito de brin darle a difcrenies públicos un Instrumento efectivo y am pliam ente díftíndído en el mundo que Ies permita asegurar e! valor del dólar en el futuro yneutralizar el riesgo cambiarlo. Con el ÜíDODE^se podrá operara futuro desde U53 1.000 y con una mínima Inversión ya que tan sólo se deberá disponer de! 10% del monto en concepto de garantía. El activo subyacente del ín d ice es el tipo de cambio de referencia calculado por el Banco Central de la n cp ü biica Ar gentina ÍBCRA), en el Comunicado 'TV' 3500, Todas las operaciones cuentan con la garantía de liquidación del McrvaJ, el Unico mercado que p o see esta característica. Ventajas y ben eficios - ♦ Asegurar un precio en pesos para obligaciones futuras e rrd ó la je s (deudor en dólares) ♦ Comprar hoy dólares con un ingreso futuro en pesos (todo incimduo que debe realizar pagos en dólares en el futuro: vialantcs, vendedores de bienes en cuotas en pesos, etc.) • Aprovechar rendimientos altos en pesos asegurando un cam bio fuuno para el dólar (colocador de fondos, arbítrajistas) * Financiarse vendiendo dólares, asegurando su precio de recomí un (i»*. mador de fondos) * rianificar la compra de bienes en dólares (Importadores) Eicmplo; Supongamos un Inveisor que necesita asegurarse el precio del dólar a fin de agosto para cubrir una posición de U ÍS 10,000. Para ello, a travo de un Agente de Bolsa o Sociedad de Bolsa com prará 10 contratos INDOU?'. v^qu«» cada contrato equivale a USS 1.000. El precio del contrato se liabíhta pnia cada fin de mes y por doce meses consecutivos ípor ejemplo fin de agesto, fin de septiembre, etcétera,) y se determinan por la interacción de la oferta y la demanda. Una vez que el inversor efectúa la orden de compra, el Agente de Bolsa o
Sociedad de Bolsa comprará los 10 contratos. Por ejemplo, un contrato por compra de INDOLC5) a fin de Agosto cuesta S 3.750 (esto significa que el precio de compra de cada contrato equivalente a USS 1.000 a fin de agosto es $ 3.750, o lo que es lo mismo, S 3,75 por cada dólar). Como la orden de compm es en este caso de 10 contratos, el valor de la posición es S 37.500 (10 contratos $3.750). El Único desem bolso inicial que tiene que hacer el inversor para tener esa posición (10 contratos comprados a fin de agosto a S 3.750 cada uno), es la garantía que representa un 10% del contrato como Margen de Garantía Inicial. En nuestro ejemplo son USS 1.000 (10.000 x 10%).
m
í\ G u m E R M oL ó p e zD u m r > . u f
L iq u id a d o n d e las pérd id as y las gananciasi
' ;
Durante eJ día el Mercado de Valores tiene previsto (dentro de lo que es
su esquem a de administración y manejo de riesgos) cálculos de pérdidas y ganancias; por lo cual, el inversor seguramente acordará con su Agente de ' Bolsa o Sociedad de Bolsa la constitución de un depósito adicional para cubrir las exigencias de requerimientos de pérdidas que puedan producirse a lo largo del día. Supongamos que una hora después de com prar los co n tratosa $ 3.750 por unidad, el INDOL® Agosto cotiza a $ 3.700: en ese caso el inversor estará perdiendo $50 por contrato (compró a $ 3.750 un contrato que ahora cotiza a $ 3.700). Por lo tanto el Mercado de Valores requerirá que deposite las pérdidas acumuladas: $ 50 por contrato. En nuestro ejemplo $i 500 (10 contratos x$50). Si en cambio el precio al m om em o del cálculo es S 3.800 el inversor está ganando 550 por contrato, quedando sus ganancias acretiiíadas hasta el final del día. Esas ganancias acreditadas se usarán para com pensar las potenciales pérdidas que surjan al final dei día en la liquida ción diaria de pérdidas y ganancias. Al final del día el Mercado de Valores realiza la liquidación diaria de pérdidas y ganancias, com parando el precio ¿i] momento del cálculo y el precio de cierre del día anterior. La liquidación ai final del día implica que las posiciones que están perdiendo deben poner los pcisos y las posiciones que están ganando pueden retirar sus ganancias (esta:, operaciones son juegos de suma cero: lo que pierde el com prador lo gana el vendedor o lo que gana el comprador lo pierde el vendedor). El precia de futuro confluye con el precio de contado (es el último día hábil del mes), y por lo tanto la liquidación del contrato se realiza com parando el precio de cierre del día anterior contra el Tipo de Cambio de Referencia calculado por el Banco Central, que es el activo subyacente del contrato. La Sumatoria de los pesos que reciba (cuando gano) o que entregue (cuando pierdo) diariamente a !o largo del mes, servirán para com pensar en el últi mo cha hábil del mes la diferencia de precios que exista entre el precio de contado del dólar (según el Tipo de Cambio de Referencia calculado por el Banco Centra! que recordemos es el activo subyacente del contrato) y el precio de com pra a que adquirí los contratos (2). En nuestro ejemplo: ^ ' • Día 1: apertura de la posición (día de compra de los contratos): co m pra a $ 3.750 y precio de cierre a $ 3.700, tendre que depositar $ 50 por contrato • D ía2; el precio de cierre es $ 3.800. cobraré $ 100. • Día 3: el precio baja a $ 3.600, deberán depositarse $ 200. • Día 4: el precio sube a $3.650, cobraré $50.
,
(2) Esto íiupiíca que la cobertura es imperfecia porque, en especial los pequeños inversores, realizarán las transacciones en el mercado Ubre del ddlar a un precio que no necesadameme coincida con el activo subyacente del contrata
I'
• Día 5: al vencimiento el Tipo de Cambio de referencia dei BGFLA es $3.900 (por cada ÜSSli.üüO}, entonces recibiré $250. ' Observe que al vencim iento, el precio del futuro coincide con el precio del contado. Veamos cóm o se com pensan las ganaiiciasy/o pérdidas de nuestra posición en el m ercado de futuros respecto a la cotización en el m ercad o de contado: ('50+ 100'200+50+250)= + $150, Día I (apertura) 2 3 4 5 (vencimiento)
Apertura 3.750 3.700 3.800 3.600 3.650
Cierre 3,700 3.800 3.600 3.650 3.900
Pe'rdída o Ganancia -5 0x 10 =>500 100 X 10 = -1.000 -200
X
10 = - 2.000
50x10=500 250x10 = 2.500
Tabla 5.4 indol: proceso de ajuste a mercado Por lo tamo, si bien en el m ercado de contado^ que és donde se c o m prarán e fe ctiv a m e n te los b ille te s, el p re cio de com p ra de USSl.OOO es $3.900, al recibir $150 com o resultado de la posición en el mercado d e fu turos, el "precio neto" es de $ 3,750 por cada IJ$S1.000 f$3.900-$150), que es ju stam en te el precio ai que com pré mis contratos INDOL® Agosiu ci día de apertura de la posición. Además, ese día, el inversor tendrá liberada la garantía de U $S100 por contrato que depositó al abrir-la posición, Claro que un inversor puede cam b iar de opinión respecto a la tend en cia que tendrá la cotización de la divisa y, por Jo lanio, no esperar al ven ci m iento sino cerrar su posición anticip adam ente. El modo de liaceilo sera tom ando una posición opuesta: en nuestro ejem plo, el inversor com p ra do en 10 contratos INDOL® Agosto $3.750* tendrá que vender 10 coniratos INDOL(I> Agosto. Claro que d ep end erá del precio de venía de los ,ji> contratos, el resultado final por el cierre de su posicldn. El m ism o desarrollo, pero con signos contrarios, es aplicable a un ejem plo de co b ertu ra para un inversor que n ecesite vender dólares a ftnur<» para cubrirse de una poienciaJ baja en el precio, , La figura 5.2 m uestra cuáles eran los valores negociados juna cada fin de mes {los vencirniencos siem pre caen en días hábiles) el 2 de Sejitiem im de 2002:
FigtiriBS.2 índice dáíarfuhiro.Vaioresnegociatlos para fin de mes
G uillerm o López D um ra Of
160
■
COEFIáEffTES DE A;1/ST£ DIARIO
'- ‘ ‘
-
-vV
" En esta sección describimos algunos coeficientes de ajuste diaxio que se utilizan en las operaciones financieras y comerciales y que se elaboran a partir de oíros índices subyacentes, Ímííces de ajuste por tasas de interés El banco Central de la República Argentina elabora diariamente serles estadísticas wncuJadas a las tasasde interés de caja de aiiorros y de depósitos a plazo fífo, en pesos. Para la elaboración de las series, el BCRA realiza una) encuesta diaria de tasas de interés entre Jas entidades financieras. Las seríes estadistica.s son difundidas por el BCRA juntamente con la comunícaciüií habitual de loS resultados de la encuesta diaria de tasas de inte rés (no se cuentan las tasas con valor cero ya que la encuesra es sólo para las ’nieiÍLas remuneradas) y recopiladas mensualrnente en una Comunicación "R" También puede encontrarse dicha información en su página web witnahcr(tsov.nr. , ' Las series se elaboran en base a una tasa de interés efectiva mensual pronredio ponderada de los depósitos en caja de aJion os y a plazo fijo en pe«os, utilizando com o ponderadores los saldos de depósitos en caja de ahorros y las captaciones diarias y el plazo de cnncertación de los depósi tos a plazo. Serie de tasa de interés d e caja d e ahorros R-sle índice de ajuste refleja diariamente la caplíaJizadón de la tasa diarin equivalente a la tasa de interés efectiva mensual prom^'clio ponderada í}r los clí’pnsllos en raja dé aiiorros. correspondiente al segundo día hábil anteiinr al du de aplicadón (los valores de lo^ días no hábdes se deienninmi loniando para el cálculo de la capitalización, la tasa oe ta última enrliatia difundida). En la tabla 5.5 aparecen Ins valere? ds las tasas efectivas men.suaies (por día) que luego son uliUzados para el cálculo de) índice. Fecha
la sa efectiva mensual
29(11/2001
5%
3U/U/2001
5,25%
1/12/2002
5.3%
2/12/2002
5.3%
3712/2002
5%
T-iHa '1.3 Ta.cas e/r.ctñ'as mensuales- EvolucMn
I ndices Y CoEnctEi^TE5
de
Ajum
,lO l'
La fórmula para el índice e s r r /^/íi+zy Luego para el cálculo del índice correspondiente al 1/12/2002 debem os tomar la tasa equivalente diaria ai 5 % mensual que corresponde al 29/11 / 2002 (dos días atrás); (1,05)««®~1=0,00162 y para el índice del 2/12/2002 tomamos ía tasa del 30/11/01 y calcúlanios también su equivalente diaria (1,0525)‘'” t-1=0,Oü 170. En Ía tabla 5.6 se obser va la evolución diaria del índice: -• ■ Fecha
índice Base 30/11/01=100
30/11/2C01
100
1/12/2002
I0 0 (1 .0 0 1 6 2 )= lü 0 j,6 2
2/12/2002
100,162 (i,0017)= lü 0,33
3/12/2002
100,33(1,001722)= 100,50
Tabla 5.6 Cálculo del índice El Banco Central en su C om unicación "A" 1828 punto l . Base 1.4.91, establece una serie de tasas de interés de caja de aliorros y plazo fijo. En la tabla 5.7 aparece la serie de tasas de interés para caja de aliorro:
Fecha
Tasa caja de ahorro
Fecha de la (asa aplicada
2002/01/02
0.15
2001/12/28
2002/01/01
2002/01/03
0,15
2001/12/28
2002/01/02
59.42B9
2002/01/04
0.15
2001/12/31
2002/01/03
59.4169
2002/01/11
GJ5
2002/01/02
59,4449
2002/01/H
0.14
2002/01/03
2002/01/04 ■ 2002/01/05
59.4329
2002/01/15
0.14
2002/01/03
2002/01/06
59,4*509
2002/01/16
0.13
2002/Ü1/03
2002/01/07
59.4iñan
2002/01/17
0,13
2002/01/03
2002/01/08 '
59.4 76«
Fecha índice
fnJjr-.e 1
Tabla 5.7 Series de tasas de interés para cajas de ahorro BCRA En la tabla las tasas y los índices aparecen expresados en porcentiie. Para el cálculo las tasas se tornan redondeadas por dos decimales y los ín dices por cuatro. Por ejem plo para calcular el índice de tasa de caja de ahorro para el 4/01/2002, se tom a el índice inm ediato anterior y se lo capitaliza por la
162
G u d U R M O L r t / > £ 2D u m r a u f'
tasa lié caja cíe ahorro diaria equivalente a la del 2/01/02 (dos días hábiles, aitíeiiores). Cdníd'el indíce y Jas tasas se encuentran expresados en porCtíntajes hay que pasarlos a sistema decimal, dividiéndolos por 100 (cien}: - 1(59,4369/100-2) x (1 +0,15/100)^^-21x100= 59,4449 Lú m ism a metodología es utilizada para calcular las siguientes series, ínclu yendo, según el caso, tasas de interés de caja de ahorro y/o plazo fijo: • Series deTasa de interés de los créditos comprendidos en la Ley 23.370. • Seríes de Tasa de interés de los créditos cuyo costo se encuentra vincu lado al establecido por el uso del Préstamo Consolidado (Sublfmite ClienteA la General) y para restantes operaciones. ' El coeficiente de estabílizacidn de referencia (CER) El “Coefícienre de Esrabilización de Referencia*’ (CER) se crea mediante el articuiü 4“ d el Decreto 214/02 y establece la aplicación del índice de precios sd consuíiiidur (ÍPC) a todas las deudas en dólares estadounidenses u otras monedas extranjeras con el sistema financiero, cualquiera fuere su monto o iiaruraieza, estableciéndose una tasa mínima para los depósitos y una tasa máxima para los préstamos. En los artículos 2 ,3 ,8 y 11 se detalla el alcance para las siguientes operaciones: • iodos ios depósitos en dólares u otras monedas extranjeras existentes en el sistema financiero fueron convertidos a pesos a razón de $ 1.40 por cada ' dólar. • todas las deudas en dólares u otras monedas extranjeras con el sistema rinandero, cualquiera fuere su monto o naturaleza, fueron convertidas a pe sos a l azdn de $ 1,00 por cada dólar. • las obligaciones exigibles de dar sumas de dinero, expresadas en dóla res esiadüunidenses u otra moneda extranjera, no nncuiadas al sistema fi nanciero, Cualquiera sea su origen o nalurale2:a, se convertirán a razón de un dólar estadounidense (U$S i j = un peso ($ I). aplicándose a ellas lo dispuesto enel.‘‘jíículo4® • las deudas en dólares estadounidenses o en otras monedas extranje ras, trátismíUdas por ia entidades financieras en propiedad fiduciaria a fidei comisos financieros, serán convertidas a pesos con la equivedencia estableci. da por el artículo 3" del presente Decreto, aplicándoles lo dispuesto en el artículo 4» del mismo. ^ Resulta Importante aclarar que a todas las operaciones crediticias cele bradas después de la sanción del Decreto 214/02, no serán ajustadas por el CER. El período base elegido para el índice fue lafecha de sanción del decretó 2/0212902 í 1.00). Como normalmente el ÍPC se difunde en la primera semana del mes pero no esta disponible sino hasta el día 4 o 5 de cada mes, el decreto 214/02 el Ministerio de Economía, en su resolución 47/2002 estableció la siguiente forma de cálculo:
1^
"Apartlrdel d ía 7 d e ca d a m e sy e liiltim o d ía d e lm e s,e lC B R se c q n srru írá
en base a la tasa media geométrica calculada sobre !a variación del índ ice de Precios al Consumidor (IPC) del mes anterior” “Para la construcción del CER para los días com prendidos entre el p rim e ro de cada mes y el 6 del mismo, se em pleará la tasa inedia geom érríca ca lc u lada sobre la variación del IPC entre el segundo y el tercer mes anterior al mes en curso." El CER es difundido por el BCRA y puede encontrarse en la página de la entidad (ver referencias bibliográficas al fin del capítulo). La tabla 5.8 m u estra la evolución del CER en los primeros 7 días de su creación. Observe q u e al principio disminuye hasta el día 6 (debido a que arrastra la inflación del mea de diciem bre, que fue negativa) y luego com ienza a crecer, Fecha
CER diario
02/02/2002
1,0000
02/03/2002
1,0000
02/04/2002
0,9 9 9 9
02/05/2002
0,9999
02/06/2002
0,9999
02/07/2002
1,0007
02/08/2002
1,0015
Tabla 5.8 Evolución diaria del CER Puesto que el CER se origina a partir de la sanción del D ecreto 2)4/02. com ienza a calcularse a panír del 1 /02/2002 (3), por lo que para el cálculu de los prim eros 6 días de! m es, d eb em o s lom ar la intlación prom edia geom étrica ocurrida entre noviem bre y d lcienibre (segundo y tercer rncü anterior al mes de febreio). Así, para el mes de febrero se utilizará la varia: ción del mes de dícienibre, o sea 97,60 / 97.60 = 0,9991809. O bserv e que la ín flíicíó n de d ic ie m b re Fue lig e ra m e n te negativa (0.9991009-1 = -0,000819), In que provocó que el CEH ílisnrimryeia hasta el día 6, a partir del cual se aplica la inflación de enero, que fue de) 2,3%. E! CER es calculado teniendo en cuenta la cantidad dé días que tiene el mes en que se aplicará, no la cantidad de días que tiene el m es en que fuc com putada la inflación. En el ejem plo, si bien la tasa de inflación corres ponde ai m es de diciem bre que tiene 31 días, se com putan 28 días para calcular la tasa equivalente diaria que seivlrá para el ajuste diario cleí CEíl, : ya que el mes a aplicar la inflación de diciem bre resulta ser febrero, que
(3) El CER nene valor 1(uno) hasia el 3/2/02 inclusive.
G uíilep^io López DuMm»r
liene 2B dfas. La tasa equivalente diaria 81-0.0819% mensual de dlcienibie es ( 1 - 0 , 0 0 0 8 ■ 0,000029262 de tal forma que para obtener el CER corres pondiente al día *1/02/2002 multiplicamos el CER del 3/02/2002 por el factor que incorpora la tasa equivalente diaria: 1.000 X (1-0,000029262)= 0,999970738 Con la misma tasa equivalente diaria calculamos el CER hasta el día G, que será igual al CER del día 5 multiplicado nuevamente por el factor aníerion 0,9999 X (I-ü.000029262)=0,99988296 Luego, a partir del día 7 y hasta el día 6 de! mes siguiente, el CER es j calailado utilizando la tasa equivalente diaria correspondiente que incor pora la inflación de enero. Para obtenerla, dividimos el IPC de enero por . el de diciembre que aparecen en la tabla 5.9 y calculamos la tasa equivalente para un mes de 28 días:
Año
Mes
'índice de precios majonlstn nivel aenerel
IPC Nivel tíencral CBA
2001
Noviembre
100.40
97.68
2001
L^ídembre
ion.22
97,60
2002
Enero
10G,9n
99,84
20Í12
Febrero
119.03
102.97
Tabla 5.9 índices de prerios mayoristayminorista Q9.RJ \2»
1 = 0 ,0 0 0 8 1 0 7 3 6
Lu^qa, .nplir.nn’.ns ai CER del 6/02/2002 el factor ((ue incorpora dicha tasa equivalente: 0.999 ^ (!,OÜÜ8j0736)=L0007
Fí cneficicnle de variación de los salarios ni Poder Ejecutivo Nacional, a través del decreto 762/2002 exceptuó de In aplicación del Coeficiente de Estabilización de Referencia (C.E.R.) a to dos aquellos préstamos otorgados a personas físicas por los siguientes su jetos: • entidades financieras comprendidas en la Ley * sociedades cooperativas ♦ a.sociadones
21.526
Í N D I C E S Y C o e f i c i e n t e s d e A i u s t e
165
• personas físicas o Jurídicas de cualquier naturaleza Las operaciones exceptuadas— bajo ciertas condiciones— fueron las si guientes: • préstamos con garantía hipotecaria • préstamos personales con o sin garantía hipotecaria • préstamos personales con garantía prendaría • contratos de locación de inmuebles Para que operara la excepción, éstas debían contenerlas siguientes carac terísticas: a) los préstamos que tengan como garantíahípotecaria la vivienda única, famíllary de ocupación permanente, originariamente convenidos en dólares estadounidenses u otra moneda extranjera y transformados a pesos por el Decreto N®214/02 y sus modificatorios, dictados en el marco de emergencia declarada por la Ley N®25,561, sinlím ile de monto. b) los préstamos personales, con o sin garantía hipotecaria, originaria mente convenidos hasta la suma de pesos doce mil ($ 12.000) o hasta la suma de dólares estadounidenses doce mil (U$S 12.000) u otra moneda extranjera y transform ad os a pesos por el D ecreto N® 214/02 y stis modificatorios, dictados en el marco de emergencia declarada por la l ey N''25.56I. c) los préstamos personales con garantía prendaria originariamente con venidos hasta la suma de pesos treinta mil (S 30.000) o dólares esladonriidenses treinta mil (U$S 30.000) ii otra monedaextranjeray transformados a pesos por el Decreto N° 214/02 y sus modincatorios, dictados en el marco de eniei gencia declarada por la Ley N® 25.551. A su vez, en el artículo 2'’ clel mencionado decreto también se exceplno de la aplicación del CER a los conlrntos de locación de inmucbl^'s locatario fuere una persona física y el destino de la locación fu c e el de vivienda única familiar y de ocupación permanente, dejando qiir jas lenovaciones o los nuevos contratos sean pactados librem ente por las par tes. En reemplazo del coeficiente de ajuste CER, se dispuso en el ariíruln 3" que a partir del 1"' de octubre de 2002 las obligaciones de pago mrricionadas se actualizarán en función de la aplicación de un Coeficiente de Varia ción de Salarios (C.V.S.) que confeccionará y publicará el Instituto Nacio nal de Estadística y Censos, dependiente de la Secretaría de Política Eco nómica del Ministerio de Economía. Hasta esa fecha se mantendrán las tasas de interés vigentes a la fecha del presente, de conformidad con las normas legales y reglamentarias aplicables. El CVS se compondrá de la tasa de variación diaria obtenida de la evolu ción mensual del índice de Salarios (I.S), publicado por el INDEC, organis mo que depende la Secretaría de Política Económica del Ministerio de Eco nomía. y devengarán la tasa de Interés nominal anual convenida en el con-
trato de origen vigente ál 2 de febrero de 2002. Cuando la tasa m encionada sea. su p erior al prornedio de Jas tasas vigentes en el sistem a financiero du rante el año 2001 que inform e el BCBA, se aplicará,esta Ultima. EL decreto . 762 fue reglanientado por ei decreto 1242/2002 que crea el CVS y establece p recision es e ii cuanto a su constniccid n y el nivel de las tasas de Interés aplicables.
C oeficiente d eV ariacitíndeSalarios, Composición El CVS es un indicador que mide las variaciones de los salarios tanto del sector publico com o delsectorprivad oen cada mes. ParaJa obtención de los\ salarios está previsto efectuar una encuesta de periodicidad mensual a las' empresas del sector privado y recabar información medíante los circuitos administrativos del sector público.
¡i i
El CVS es un índice del tipo Laspeyres con una estructura que ponderará o cu p a ció n y r a m a d e a ctiv id a d . La información para obtener las ponderacio nes de Ocupación provendrá de la fn c u e s ta Permanente de Hogares y la in- • form ación por ram a de actividad provendrá del Sistema Integrado de ju bila ciones y pensiones, correspondiendo las ponderaciones a masas salariales •en am bos casos. El ÍNDEC pu blicará m ensualm eníe el nivel general del índice de sala rios (iS) y tam b ién las tablas del CVS en ja que se incluirán las casas diarias corresp ond ientes al índice, calculadas de acuerdo con la siguiente fórmula: IS ..-,
IS . Dónde: es la tasa de variación diaria equivalente a la variación mensual que lian tenido lo.s salarios cuando se com para un mes (el mes de referencia) con el mes inm ediato anterior. /5„., e /5^.^son los valores correspondientes al índice de'salarios delm es de lefeieiicía y del mes anterior. k es la cantidad de días que tiene el m es en curso. El índice de salarios (iS) que luego senñrá para el cálculo del CVS, deter mina la variación de los salarios comparando los salarios de un período contra los salarios de un período definido como "base". El salario estará referido a un puesto de trabajo y no a una persona física, y ei INDEC defi niría oportunam ente los conceptos que integran e! salario. Para calcular el índice de salarios, primero se multiplica e! salario del período actual por la "cantidad" del período base, esto para cada elem en to del com puesto, y después sum a cada uno de los valores resultantes. Lue go esta cantidad es dividida por la cantidad que resulta de multiplicar el salario del periodo base por "cantidad" del período base:
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W^ = salario del período actual IV^ = salario de! período base
Q^:= cantidades del período base Los períodos b ase se refieren a un m es y las cantidades refieren n las utilizadas para com p on er el peso relativo que tendrá la ocu pación y la i ama de actividad. Com o cada nüm ero de índice depende de los m ism os salarios tom ados p a ra la com p aración y la cantidad base tam bién es siem p re la mis ma, se puede com p arar el índice de un período directam ente con el índi<*e de otro com o se m u estra a con tin u ació n . .
E je m p lo d e a p lic a c ió n
;
El sím bolo "XWQ" representa la can asta de salarios utilizada para co m p o n er el ín d ice Salarial (IS) y se presu m e asignará mayor p eso según la ocu pación y ía ram a de actividad. Suponga, por ejem plo, que el índk e de un m es es 105 en diciem bre de 2002 y 110 en enero de 2003. el nivel g e n e ral de salarios habrá experim entado un aum ento del 4,76 %, iitilizand i los salarios y las cantidades del m es elegido com o base: ^ yj =
iio _
= 1,0476
Z ” 'o2o
105
Luego para calcular el CVS diario, se divide el IS del mes corrieiife ractual por el índice del m es an terior y se lo eleva a la Uk, lo que penniie o b ten er el coeficien te de aju ste diario {sí al CVS diario le restam os un< - \ !■> m ultiplicam os por cien, obt{3nemos la tasa de variación diaria equivairni''' para el m es corriente). \!k -ii.ni ■no' = 1,0015 C V 5, = JÜ 5 . o sea que la lasa de variación diaria fue dei 0,15 %. Desde el pumo de \ de la posibilidad de pago del deudor de un préstam o ajüstadu por el < puede decirse que al m enos el aju ste que se aplicará a ias cuotas guauiar^) mayor correspondencia con la evolución de su salario, siem pre que la ) m)íi d eraclón elegida resulte rep resen tativ a de la evolución promedio de io5 salarios.
^
Resumen
Existe una vasta cantidad de índices que son elaborados tantp p< r o? ganizaciones públicas com o privadas, y que seguimos de cerca en la vida
G u i l l e r a í o L ó p e zD u m r a u f
coiíiiiana. Los índices más conocidos son los que reflfijaii variaciones de pre cios. pero hay también una gran cantidad dé índices que se utilizan por prolesionales, anaJisías, em p resa rio s y el público en general para a/ustes de operaciones financieras y comerciales. por otra parte, los índices son utilizados como infomiacidn para la toma de ilecisiones. Por ejemplo, a una empresa exportadora le interesa la evoíucjón (iel tipo (le canihío real pue.s es urra medida de su competitívidad y por lo tanto de la posibilidad de vender sus productos al exterior. El índice del riesgo país es d e fundamental importancia para quien tiene que decidir una inversión. La evolución de los precios es importante pues es extremada mente necesario calcular variaciones reales de ventas, costos, salarios y otras \ variables que juegan en la cuenta económica de una empresa. 1 rinalmente, a partir de ciertos índices principales o subyacentes, son ela borados coeficientes de ajuste diario que reflejan la variación geométrica diaria que ha sufrido el índice principal y que son utilizadas en las opera do! iCS financieras o comerciales, que básicamente por cuestiones de contraln. precisarv de un indicador diario de la evolución de precios, stilarios o (asaí de interés.
Preguntas t . ¿Cuál es la finalidad de un número índice? ü. Usté cuatro problemas o consideraciones especiales asociados generulmeule a la obtención o uso de número índices'í. liste cuatro números índice que se utilicen coiniínmente, -i. Desciibaulgunas de las formas de utilización de! índice precios al con -mnidor. ¿ÍVtr tine alalinas veces es deseable correr la base de un miniero ínUict? !<- ¿Para qué sin'e el tipo de cambio real? .
P roblemas
í La tabla sigutenie contiene datos para la cotización del INDOL cada fin de mes (siempre se refieren a días hábiles). El dólar referencia del Ban co Central es de 3,551)2 a] 30/10/2002, fecha de las cotizaciones del INDOL Usted debe comprobar si las tasas de interés nominales anuales implícitas han sido bien calculadas. Fecha
Cotización
TNA UnpUcíta 19,45%
29-11-2002
3.61
,3 1 -1 2 - 2 0 0 2
3.66
31-01-2003
3.70
17,70% .
16,21%
IbV
In d i c e s y C o e f i c i e n t e sd e A i u s t e
U espuesuu 0,194-í 9; o, 17695 y 0,16214 2. Si el CER acumulado al día 7/10/2002 es de 1,3764 ¿cuál debería ser el CER al d ía 1 /1 1/2002 teniendo en cuenta que la inflacidn del mes de septiem bre fue del 1,3%? Respuesta: 0 ,0 0 0 4 3 -C E R : 1,3927 3. Usted debe calcular eí monto de un depósito que se índexa por ei CER. El capital de la operación es de $10,000 y laTNA es del 2%, La operación es por 180 días. Los coeficientes CER son; CER ,„= 1,3784 (valor al Inicio de la operación)
.
CER ,j= 1,3965 (valor al final de la operación)
i
■;
Respuesta: 10.231,23 4. Si e! tipo de cam bio nom inal era de 1 peso por dólar al 31/12.^2001, y al 30/6/2003 asciende a $4 por dólar, cual es e! tipo de cambio real a esta líltima fecha si en dicho período la inflación acumulada en Argentina as cendiera al 80% y la inflación mayorista en USA a 5%? Respuesta; 2,333
'
5. A partir de los datos de la siguiente tabla, calcule el increm ento en el índice de precios utilizando la fórmula de Laspeyre y tomando com o base 100=1993 1994
1993
Bienes Precio
Cantidad
Precio
Cantidad
A
20
4
28
3
.R
40
3 .■
56'
C
15
8
30
, 3 ■■ 12
Respuesta: 162,5%
REFEnÉNCIAS BIDUOGRÁFICAS Stevenson, William (1981) "E stadística p a r a A dm in istración y Econo mía". Editorial Baria, México. Otras fuentes consultadas: Decreto 214/02 (PEN): creación del CER.
,
-
Decreto 410/02 (PEN); operaciones no incluidas en el decreto 214/02.
- 'i2 íL
G uillermo López D umrauf
Decreto 1242/02.(PEN): reglaríientacidn y alcances del CVS. Información estadística sobre el CER y coeficientes de ajuste con tasas de interés puede encontrarse en www.bcragov.ar/pdfs/esiadistica/ce.r2002.xlw. Información sobre ios índices de precios en wvvw.mecon.gov.ar/indec.
También el lector interesado puede encontrar datos sobre información d e bolsa en; ' wivw.puentenet.com
:
vvwvv.tava.com.ar vvww,merval,sba.com.ar www.elaccionista.com -Vi -i
r
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I.
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CAPtrvLú 6
R entas T em porarias “ ¿ a form u lación d e un problema, es m á s im portante qu e su solución".
Albea Einstein (187S-1955j. í Físico aleman
IiTrnoDUcciúN Cuando hablam os de rem as (1) nos referim os a una sucesión de pagos que se producen con intervalos equidistantes de tiempo. Existen n u m ero sas variantes de rentas en la vida real tales com o: • las cuotas que se abonan por los préstam os que oíorgan las entida des financieras ‘ ^ • los depósitos que realizam os a los fondos de pensión y ju bilación con el objeta de formar un capital que luego sustente nuestra vida pasiva • los alquileres de los inm uebles • las cuotas que cobran las instituciones educativas
s ;
^
‘ eí flujo de fondos de un proyecto de inversión ■ el flujo de dividendos que distribuye una empresa • la constitución de un fondo de am onización {s w k in g fiin d ) por par te de una em presa que quiere reunir una sum a de dinero con el fin de amortizar el capital de un préstam o » • los cupones de interés y am ortización que pagan los bonos públicos o privadas • las cuotas que se abonan en un contrato de leasing
ü) En algunos lexiostambíénse utiliza la denominación "anualidades” Preferimos ren tas, ya qué muchas corrienies de pagos Involucran cuotas que se realizan en forma memual,. irímesiral. etcétera. Porejemplo, en lospréstamos es comtín que haya pagos mensuales-
G uíllerak» López [)UMitu/r '
.^ iT l
Y muclioíolrovs cassos; donde existe una corriente de pagos, se encuentra involucrada una renta. En este capítu lo le en señ am os có m a v a lu a r u n a renta. Cuando hablamos de “valuar*" una renta nos referimos al proceso m atem áti co que perniite determinar el valor que tiene dicha corriente de pagos en un momento determinado. Para esto es crucial saber trasladarse a lo largo del eje de tiempo, y nue.siro primer paso será aprender cóm o se calcula el valor actual o presente de una renta temporaria. La renta temporaria inmediata es como ia madre de todas las remas; un conocimiento claro de su deducción y ,su significado facilita iuego abordar las otras. Cada renta Involucra una de ducción matemática de su vaJor, pero se verá que un conocim iento exhausti vo de la renta temporaria inmediata permitirá pasar a las otras rentas sim ple mente aju.stando los detalles correspondientes. Por ejemplo, si el pago es adelantado o vencido, si hay un aplazo o diferimiento de los pagos, sí el número de pagos se extiende indeterminadamente transformándose en una perpetuidad, etcétera. El lema será entonces, "vista una renta, vistas codas las rentns"; pasamos a las demás haciendo los ajustes correspondientes en las fórmulas. Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de: • Calcular el valor de una corriente de pagos en cualquier m om ento del tiempo, V • Aplicar las formulas de rentas temporarias en problemas de la\ida rea!, tales com o planes de jubilación, planes de ahorro previo, el valor actual de una serie de pagos futuros y muchos otros casos. • Calcular la tasa de interés contenida en una renta, que representa una “Lasa implícita'’ a menudo llamada "tasa interna de retorno” • nealízar anal ¡sis de sensibilidad para el valor de las rentas y sus catego rías .asociacJa.s, utilizando funciones de la planilla de cálculo.
G, 1, RENTA.STEMPOR/VAIAS Toda lentn es una sucesión de pagos con vencim iento en épocas eíiu'nlisiante'i y fijas De allí surge el concepto de período, como el interva lo de tiempo que media entre dos pagos consecutivos. Sí llamamos a ios pagos realizados al vencimiento de cada período, una corriente finita ríe n cuotas o pagos se vería de la siguiente forma en un eje de tiempo:
c Fígurí»
c
c
c
c
C.t r.otrient«» de paj^ns a íntervaíos cquidí«lantc< de tiem po
Mencionamos en la introducción que existen en la vida real una gran cantidad dé ejemplos donde se realizan pagos periódicos con distintas fí-
ai
R e n t a s T E M r o f iA R iA S
173
naiidades, pero en todos los casos interesa con o cer el valor d e ja corriente en un m om ento determ inado. Por ejem plo, al solici tante de un crédito bancario le interesaría co n o cer cuál es la sum a de dinero que p u ed e sol icitar en préstam o sabiendo que puede pagar una cantidad fija de d inero en co n c ep to de cu ota; a Ja persona que deposita cantidades fijas de dinero con el ob jeto de form ar un capital en un plan de ahorro le interesaría co n o cer cuál será el m onto que acu m ulará al cab o de una determ inada cantid ad de p e ríodos; aJ Inversor en activos financieros le interesaría aplicar las fórmulas de las rentas para la fijació n de precios de accion es o bonos a través del valor actual de los futuros ingresos esperados y así sucesivam ente. Todas esas rentas tienen un v a lo r q u e puede ser expresado en d iferentes m o m en tos de tiem p o y esto es p recisa m en te lo que verem os a lo largo de este capítulo. ^
N otación sim b ó lic a a u tiliz a r Las fu n cio n e s será n e x p re sa d a s s im b ó lic a m e n te por a rg u m e n io s (parám etros) colocad os a co n tin u a ció n entre paréntesis. vSe reservan las letras m inúsculas para las funciones unitarias (donde las cu otas son siem pre de $1) y letras m a3Tísculas para los valores de cuotas superif»res a la unidad. Estas notaciones son sim bólicas y no son "operables'’, es 'iecir no se efectú an cálcu los con ellas, p ero se revelarán p articu larm em e útiles cuando los p roblem as tien en m u ch os d etalles y resulta con v en ien te un planteo sim bólico previo aJ uso de las fórm ulas que luego pueden utilizar se con seguridad una vez que ha sido planteado correctam ente el proble ma. Las notaciones que utilizarem os tendrán una forma de este i'po f(l.n .i.g ) Cada categoría dentro del p aréntesis tiene un significado que se f o m enta a con tinu ación. ’ ' 1. El prim er lugar dentro del paréntesis indica c a á n lo s p e r ío d o s nipd ia n en tre e l m o m e n to en q u e s e e fe c tú a el p r im e r p a g o con resp ecto y el m o m en to d e la v alu ació n (MV) d e la ren ta. Com o norm alm ente l<»s pagos pueden ser vencidos o adelantados respecto del m om ento en que se rcjntrata la renta, se indica con l(u n o ) si ios pagos son vencidos. y O ícerot sí los pagos son ad elantad os. En cam bio, aparecerá "p+1*' o "p" cuando se trate de una renta diferida. —
2. "n" indica el núm ero de pagos que tiene lá renta. U sarenio' n sí es una renta tem poraria, y « si es una ren ta perpetua. 3. "i” representa la tasa d e in terés q u e se usa para valuar la renta, 4. El cu arto lugar sólo se utiliza en el caso de las ren ta s u o ria h íes , es, d ecir aquellas rentas d ond e los pagos varían p erió d icam en te en p ro g re sión aritm ética o g eo m étrica : utilizarem o s "R ” para la razón de v a ria b ili dad de la.s cu otas que varían en p rogresión a ritm é tica y "g" si las cu otas varían en progresión g e o m é trica . Las ren ta s v ariab les serán tratad as en el próximo capítulo.
[■■74,
GUiUERMO tOP£Z D
u m RAUF
ilíiá díisíñcaciidn operativa paró las rentas La cljisifícacidn délas remas es muy amplia, pero a los fines estrictos de las aplicaciones del cálculo financiero, adoptaremos una que sirva a los propósitos de quien debe enfrentarse con problemas en la práctica. La cla sificación básica de rentas entonces será aquella que tiene en cuenta el m om enio de iniciación de los pagos, por lo cual distinguiremos entre tres tipos de renta; L INMEDIATA cuándo el momento de iniciación de los pagos coincide cbn el de valuación,• 2. DiFERlDÁ cníindQ el momento de iniciación de pagos se difiere res- ) pecio d tl momento de valuación y 3. a n t ic ip a d a cuando el momento de iniciación se anticipa respecto del momento de valuación. Para determ inar sí una renta es inmediata/diferida o anticipada, siempre debem os observar d o n d e se u bica e l m om en to d e in iciación lie lo:i p ag os con resp ecto a l m o m en to d e la vcdimción.
A continuacídn podemos ubicar en un eje de tiempo cada una de las rentas principales. Así, la renta inmediata de pagos vencidos tiene su momeuiQ Ue valuación en el m om ento 0 (cero); la renta diferida tiene su valuación tantos períodos am es de 0 (cero) según e! tamaño del período 'd e diferimiento y la imposición (que es un caso particular de la rem a antícípadal tiene su valuación al final del último periodo (n). En la figura 6,2 se muestra una corriente de n pagos vencidos con dístinins momentos de valuación. Sí valuamos esos pagos en cero, se trataría de uri Valor presente que se calcula com o si fuera una rema temporaria inniédiata de pagos vencidos (por ejemplo, queremos saber cuánto vale IiOv tina corriente de cuotas que pagamos por un préstamo). Si queremos valuar los mismos pagos pero en e! momento final “n", podría tratarse de im plan J e ahorro, donde son depositadas n cuoras que ganan interés has ta el periodo n. Finalmente, si queremos valuar ,1a corriente de pagos en algún momento antes del inicio de los pagos (que aparece como m om en to cero en el eje de tiempo) se tratará de un problema de renta diferida, donde por ejemplo, podría ser el caso de un préstamo con un periodo de gracia. ,
Difarida m
Inmediata M1=MV
Imoosíctón MV n
Q
tUiiirtmianla
'
-
Figura 6.2 Monnentos de vaiuación de una renta de pagos vencidas
r e n t a si£ M F O H j M U A >
|*?-;^Rentas de pagos vencidos y de pagos adelantados Los pagos pueden hacerse aJ principio del período o al final de é s te , dan do jugara las rentas adelantadas y vencidas. Por ejemplo, en un prásiam oii/^ pagos son siem pre vencidos (recibo hoy el préstam o y la prim er cu o ta id abono dentro de un mes) y en general, m uchos servicios se pagan e n cuoui:, que se abonan por adelantado, tal es el caso de los alquileres o las c u o ta s de los colegios privados.
Ei p a g o Sé reaSza a i final da cad a p aflijd o
Figuta 6.3 Pagos vencidos. Los pagos se realizan a) finoi cíe cada periodo (ej.: cuotas dé présjamosj
El p a g o Sé n a liz a ai principia a a ca d a paríodo
'
Figura 6.4 Pagos adelantados. Los pagos se realizan a) comienzo de cada periodo (ej.; las cuotas que se abonan en ios establecimientos educativos) R en ta tem p o raria in m ed iata de pagos ven cid o s V A con tin u ació n se realiza la d ed u cció n sistem ática para la fórmula del valor actual o p resen te de una renta tem p o raria inm ediata de pagos ven cidos. Esta d em ostración es efectuad a con cierto detalle por considerarse que la renta inm ed iata de pagos vencid os es la renta "m adre" de todas las rentas, siendo las dem ás, d erivaciones de ésta, ya que ap arece en la m ayo ría de los p roblem as de m atennática fin a n ciera y su fórm ula se utiliza en una gran cantidad de circu n sta n cia s. Luego verem os que las formulas de ren tas p u ed en d erivarse sim p le m e n te al a d a p ta r algunos com p on en tes co m o el n ü m ero de períod os, el m o m en to de la valuación o la razón de variabilidad de las cu o tas. La figura 6.5 m u estra una co rrie n te de pagos un itarios que se realizan durante n períodos (la lín ea punteada del eje de tiem po sugiere que sigue una cierta cantidad de pagos después del perío do p) que ap arecen actualizados al período 0 con la rasa de interés i:
Guillerkío López Dumrauf
170":m
SI
$1
SI
$1
$1
1 (i + O
(i^ O ' ...
i
■
(1 + /)^
d + O"
Figura 6.5Valor actual de unacorrientede pagos vencidas [.liego de expresar los pagos en el eje de tiempo y actualizarlos aJ m o mento cero, deben seguirse ios siguientes pasos: 1) Sutnauios los valores actuales obtenidos. Observam os que del polinomio surge una piogresión geométrica decreciente, ya que cada tér mino es igual al anterior multiplicado por I/(l+i), que es la r a z ó n d e la p-v[ír"siÓTi y es m en o r a 1 (uno) ya (jiie i/('J+0
1
l
i
(1 + 0
(1 + 0 '
d+O ’
d + O"
2) Ajdicanios la fórmula renta temporaria inmediata matemático nos brinda una términos de una progresión
1 -9
de la progre.sión geométrica: observe que la es una suma de valores actuales. El an álisis' fórmula para calcular el valor de la suma de geométrica decreciente, que es:
;
Donde a^ representa el primer término de la progresión
y q es a
razón de la progresión, que como vimos antes, también es igual a 5t reempíazamos en la fórmula de S resulta:
K f N T A S T e m p o r a r i a s
177
1— a+/T
5 =
(1 + 0 De acuerdo con la nom enclatura utilizada en Cálculo Financiero, lla maremos a esta expresión (2): a iU n ,i) =
q + z r-í (l+ iT /
que representa la expresión de una renta temporaria inm ediata de pagos unitarios vencidos. Esta forma de calcular el valor de una renta para pagos unitarios permite tabular los resultados de dicha expresión p a ra diferen tes valores del número de períodos y de la tasa de irtterés, donde los valo res para pagos unitarios, tasas de interés y períodos diferentes aparecen en las fam osas "tablas financieras", que cayeron en desuso co n la apari ción de las calculadoras electrónicas que traen incorporadas la mayoría de las funciones financieras. No obstante, permite obtener factores de actuaJización que en algunos casos puede facilitar la presentación de traba jos cuando trabajam os con valores actuales. Por ejernplo, es posible tabu lar la expresión a(l,n,i) que en el caso de n=10 e i=10% tendrá un valor de: a (1,10,0,10) = 6,144 Para utilizar la fórmula general, donde los pagos no son iguales a la unidad, sim plem ente multiplicamos la fórmula anterior por la cuota de la renta C. Adoptaremos la letra mayúscula "V” para la expresión, conform e a la notación genérica del cálculo financiero. Suponiendo que la cuota fuera de $100, tendríamos:
=CX
= (l + / r i
100 X
„ = 614,45
(l.lO rx O JO
En la práctica, a veces puede resultar cómodo expresar la fórmuia de la renta temporaria de pagos vencidos de otras formas equivalentes. Po> ejernplor l -
1 q+0"
q+0 í o también
(2) La fórmula de la renta temporaria inmediata de pagos vencidos es una d« las m.'ís utilizadas en el cálculo rinanciero aplicado. ^
G u h U r á ^ oL ó p e zD ü m r a u f
-I (l.«./) = C x | i - ■ ^
i;
(i+ i)" í
Ejemplo: IJáted puede adquirir un automóvil a través del pago de 55 cuotas men suales de S3Q0. Siendo la lasa de interés de oportunidad del 1% mensual (la tasa que usted podria ganar depositando su dinero en una institucidn financiera) se desea saber cuál es el valor actual o presente de las mencio nadas 55 cuotas (debería ser igual aj valor de contado del automtívil) te niendo en cuenta que usted desea saber cuanto representa hoy esa co rrieníe de pagos futura. r (I,5 5 .a 0 1 ) = 3 0 0 x
(1 + 0.01)” X0.01
=12.644.15
Lri misma fórmula podría ser utilizada para otros problemas diferen tes. Por ejemplo, usted podn'a estar queriendo determinar el precio de un activo que le genera una renta de $300 durante 55 meses. Como el valor de lOi. activos debe reflejar el valor presente de su flujo de efectivo futuro, liiilizaría para determinar su valor la fórmula de la renta inmediata y lle garía a la conclusión de que el valor del activo hoy debería ser de $12.644,15. Otra forma de pensar el problema anterior, sería suponer el caso de la educación de un niño que demanda el pago de 55 cuotas mensuales de $300 en una institución privada (suponemos que las cuotas son todas con secutivas, para facilitar el razonamiento). En ese caso, la ciña de $12.644,15 representaría no sólo el valor presente de las cuotas futuras, sino que ade más [íuede ser interpretada como el dinero que el padre del niño debería mantener en una cuenta bancaria que genera el 1% mensual, sobre la cual ser Tfcálizarían extracciones todos los meses hasta agotarla con la exiracHón para la ciiota 55. Formulas derivadas de la renta temporaria inmediata >
\úilpr d é l a cu o ta
P;ira calcular el valor de la cuota realizamos un simple pasaje de térmi nos:
C=y(l,/i./)x
a + in (K / r -1
N ú m ero d e p er ío d o s
• Partiendo de la expresión de ia renta temporaria inmediata
V= Cx
n + íT -l 0 + 0" /
.
^
R £>IT a S TÉMI'0H.<^RIAS
Podemoü d esp ejar el núrnerü de períodos utilizando lo g a ríin ío s, Paia ello prim ero conviene dividir la expresión del valor de la reina p o r ja ¿ñ o la y pasar la rasa de interés m tiUiplicando; luego separam os los rérm iiu is del nu m erador y los divídiinoí. por el denom inador; V¿
l ( i + / r ________
C
a+ o"
(1 + / )"
c
(i+ iy
(1 + / )" =
c C -V i
F in alm en te, p o d em os utilizar logaritm os
n In (l + í)= In
In
C~V i
C C~Vi
l n ( l + /)
Tasa de i ni erés La o b ie n ció n de la tasa de interés se explica en detalle en una próxIiiM secció n . ^
R en ta tem p o raria in m ed iata de p ag o s ad elan tad os Hasta el m om en to hem os consid erad o a los pagos com o vencidos res pecto del m o m en to de in iciació n de los m ism os. Como las cuotas que sty abonan en las in stitu cion es educativas son en general pagos que se reali zan por período adelantado, vam os a ver ahora el caso de los pagos adrlancados. La renta tem poraria inm ediata pero con pagos adelantados es igual a la renta tem poraria inm ediata de pagos vencidos, sólo que en este caso los pagos se realizan por período ad elantad o, de tal m anera que se paga al principio del período la cu ota que antes se ab onab a al final de éste (obser ve en el eje de tiem po que el prim er pago no es actuaJizado por encontrar se al principio del período y el últim o pago, se encuentra al principio ílel últim o período que es el final del períod o n-1).
130
G uillermo LorEZ D umflmjf n-1
51
51
$1
51
Figura S.6Va!ur actual de una corríE-iüe de pagos adelantadi-is
í.tjcgo tipnios los mismos pasos que seguimos para la deducción de !a renta Ictupoinrra inmfdi.Ua de pagos vencidos: sumamos los valores ac tuales y aplicamos la fórmula de la suma de términos de una progresión geométrica decreciente 5 = l -i-
1
1
I U+0
d
+0'
( i - t 'r
j ’l
1 _ _ J ----
i---
{l + i f i (i-t t)
ríe acuerdo con la mtmenclatura utilizada en Cálculo Financiero, lla maremos a esta expresión: i7^Ü.n,íj=i (1 + i) x
á
(M -z T -I
Para utilizar la fórmula general, donde los pagos no son iguales a la unidad, simplemente nmllíplicamos la fórmula anterior por la cuota de la renta
\'(0 ,n ,f)= :C x (H-/)x
(1 + 0 " - l d + 0" /
Volviendo a nuestro ejemplo donde queríamos calcular el valor actual de las cuotas que se abonaban a la institución educativa, por período ade lantado, éste sería:
1^(0,55,0.01) = 3 0 0 X (l,01)x
(1+ 0,01)” X 0.01
= 12,770.6
UesoludOn de rentas con Excel® Ejemplo: supongamos que desee com prar una póliza de segun>s por la cual deberá pagar $ 500 al final de cada mes durante los próxim os ;i0 afios. El costo de la anualidad es $ 60.000 y el dinero pagado devengará un interés del 8 por ciento. Para determ inar si la com pra de la póliza es una buena inversión, use la función VA para calcular el valor actual introduciendo: = VA{0.08/12: 12*20; 500; 0) $ -5 9 .777,15
#
luego ENTER y su resultado er igual a
El resultado es negativo, ya que muestra el dinero que pagaría (flujo de caja negativo). El valor actual de la anualidad f$ 59.777.15) es menor que lo que pagaría ($ 60.000 ) y, por tanto, determ ina que no sería un í buena inversión. ;
f
#
0
También puede utilizar directam ente en el menú la tecla de fundón "/*" e introducir los datos del problema com o se muestra en la figura 6.7;
Figura 6.7 Cáiculo del valor actual con Excel® Resolución con calculadora financiera Hewlett Packard HP12C En este caso debe introducir el valor de ia cuota con un signo nrgati^o y
luego pulsar "PMT": -500 PMT: luego la tasa de interés debe introducii la como 8/12 y luego pulsar "i"; la cantidad de períodos com o la cantidad de meses que hay en 20 años: 12*20 y pulsar "n” y finalm ente pulsar ”PV" para obtener ia respuesta.
0
Rentas diferidas La renta diferida es igual a su correspondiente inm ediata de p a g o s v e n cidos, actualizada por el período de diferim iento. Por ejem plo, si los pagos
é
%
Guilleiuío Lúpez Dumrauf fueran por período vencido, un préstamo que se abona en 6 cuotas, pero que liene ün período de gracia de dos meses, y recién abona la primera cu ota al final del tercer período, se vería de laslguiente m anera en un e/e de tiempo: D
1
1
h H - H -
J
Pariodo de d/fenmiento
C
C
C
^
Bouotas B pago vencido se diñerB por un período "p"
Figura 6.8 Corrience de pagos con periodo de diferimiento w
V(/)+ 1,6,0 = C x ----- — X(1+ 0® /
(1 + 0 ^
Mote que el primer espacio de la notación simbólica ahora es "p + i” por encontrarse el prim er pago a p-fJ períodos respecto del momento de la valu.icidn. 1.a fórm ula es igual a la que utilizamos en una renta tem poraria inm e diata de 6 pagos vencidos y la multiplicamos por l/(l+i)^ para actualizarla por ios dos períodos de diferimiento. Desde el punto de vista estrictam en te m atem ático, el resultado es el mismo si el pago se hubiera considerado i^eni ido respecto del m om ento 3 o adelantado respecto del m om ento 4; én e;>«e úliínio caso, si bien deberíamos haber considerado un período de difenrníenio p = 3. al uiilizar la fórmula para los pagos adelantados se multiplica por (I+i) y se produce una simplificación de términos que getíerau una ecuación equivalente a la utilizada para pagos vencidos al co n siderar un período p=2:
V’(p+l,n,il= Cx Ílíí2-d.x—1—X(l+i) (1 + i)"/
u +if
l^ara la notación simbólica, de aquí en adelante denotaremos con vp el pérf ido de diferimiento, donde i; r= . h l+ f
v r=
1
(1 + 0 '
í:j empío Durante los años noventa, cierta empresa vendía electrodomésticos y equipos dé m úsica en cuotas fijas, permitiendo diferir el pago inicial por
m
r e n t a s T e m p o R . A . R I A S
m
90 días, abonando con tarjeta de crédito. Ciertam ente se trataba de u n a renta diferida, donde el período de diferim iento era igual a 2 (dos) si los p agos se consideraban vencidos. Suponga que usted debía abonar 6 cuotas fija s de $ 100 por un equipo de audío, y que la tasa de la financiacrón era del 2% ; en ese caso, el valor actual de los pagos era:
í /(/7 +
] .6 .0 ;0 2 ) = 1 0 0 x
( H - 0 .0 2 ) ‘ - 1
(I + 0 ,0 2 )‘ x 0 ,0 2
l „ __________
(1 + 0 ,0 2 )'
= 538.39
O en form a equivalente, si usted Jo que quería averiguar era la cu o ta que debía abonar por un bien cuyo precio de contado era de $538.39:
C = 5 3 8.39 X
(l + 0,02)‘ x-0,02
x a + o , o 2 )V=ioo
(1 + 0 ,0 2 ) ‘ - I
R entas an ticip ad as e im p o sicio n e s Esta clase d e rencas se d en o m in an “a n ticip a d a s" p recisam en te p o r an ticip arse sus pagos al m o m en to de la valu ació n . El caso más com ú n es eJ de la “im p o sició n " d on d e el p eríod o de v alu ación es “n", de form a tal que todos los pagos son valuados en el últim o período, conform ando una suma de m ontos a in te rés com puesro. Una im p osició n vencida representa el típico caso de un plan de ah orro con el ob jetiv o de acu m u lar una sum a de dinero ai final de un períod o d eterm in ad o, con un objetivo preciso, com o puede ser ad qu irir un au tom óvil, rep o n er una m aquinaria o am oriizar una deuda. En rigor de verdad, la im posición es una sum a de m ontos a interés com púesto. Casos con creto s de im p osicio n es son los aportes que reaJizaii Joá individuos a los fondos de p ensión con el objetivo de acum ular el caf)íu»l que luego financiará la ju b ila ció n , o los fondos de am ortización (sí/¡L-ifn‘ funcis) que constitu yen las em presas con el objetivo de acum ular el capital necesario para redim ir una obligacitjn con vencim iento al final de didnr plazo de ahorro. Si bien la mayoría de las im posiciones son de pagos ade laniados, com en zarem o s por m ostrar la form ula para el caso de los pagos vencidos y luego pasarem os a ver el caso de los pagos adelantados.
im posición de pagos vencidos Si bien la fórm ula de la im posición, com o se verá luego, es posible ob tenerla d irectam ente al capitalizar por n períodos el valor de la renta in m ediata de pagos vencidos, prim ero realizarem os una dem ostración ex plícita de esto, al capitalizar cada uno de los pagos hasta el período fina!, com o se muestra a continu ación en el siguiente eje de tiem po:
G u iliepm o Lora DuMiwur
134
I-
n-2
n-1
$1
$1
l ■'-+
1
$1
SI
SI
$
1
(1 + 0 ' (I + O"-' (1 + 0 ”- ' ( 1 + 0 " “' Figura 6 ^ Im posición de piigos vencidos
sumar los valores futuros, y aplicar la propirdari conmutativa de la •íiima, obtenemos una progresión geométrica creciente, de razón (1+i). ya que cada término resulta igual al anterior multiplicado por 1+Í: 5 = I + U + i) + ( I + i f + .........( 1 + 0 ”"' AI aplicar la fórmula de la suma de términos para una progresión geométrica creciente, tenem os: j = o, í L z l 7 -1 } al leemplazar a p i y q=l+í nos queda finaímenle : _
n + f)"-l
De aaictrfo con la nom endatura del cálculo firiandero, llamaremos a esta expresión: a + r r -i
J Í L n ,0 = -
V ía fórmfíU general, para e! caso d e díferenlcs de la unidad, 'erfa igual a la anterior multiplicada por la cuota correspondiente:
Á iX f^ -J)= C X
O + íT -i
PdtrtAS l£Mrop>WAi
18j
Imposiciones de pagos adelantados En ia práctica, todaslasImposiciones son de pagos adelantados (3). pues se comienza a ahorrar "hoy" no dentro de un período, Al Igual que en el caso de la renta temporaria, lo fórmula para la imposición de pagos adelantados es igual a la de pagos vencidos, multiplicada por (l+i), ya que se gana ínierós por un período más. Los pagos por período adelantado se verían dr la si guiente forma en un eje de tiempo: n*2
rv1
$1
$1
-'Vv$ 1
$ 1
$1
(14/)
(1 -í í Y (i-i i)
m
(1-* 0 ' P íg ^ a 6.10 Im posición d« pagos adelantados
La suma de términos se vería de esta forma:
S ==(1 + í) -í- (1 -f- i)“ + ......... (1 + i) Observe que ahora el primer período gana intereses por fl-*-!)" y «:l últi mo por (l+i). Finalmente, al reemplazar en la fórmula para la rP’ términos de una progresión geométrica creciente, con una cuota igual C, tenemos: /i(0.n./) = C x (l- f-z ) x Como puede apreciar, la fórmula para el ^'alor de una imposición d« pagos adelantados, es igual al de la imposición de pagos vencidos, miili»pilcada por 1-t-i.
fSJTal vezpodríaasimilarse kjs ahorrosquesereartzanenun fondodepensióncomouna imposición vencida, ya que el aporte se calcula sobre un salarlo quese abona por período venddo.
í(-\- -•, .
m
G ü tL L É iu toL ó p e zD u m r . < u f
í') ‘ ■■■ ..
Puesto que su objetivo es acum ularun capital queíe permita comprar el in raueble que tanto desea, usted quiere determinar el capital acum ula do que resulta de depositaren una institución financiera durante 24 m e ses la suma de 57.341,28, siendo que gana una tasa de interés del 1% m en sual: ■
Vir0.24,0.01) = 7 .341,28x (I,01)x
n
1
----- ^ = 200.000
0,01
Aitémativamente, usted podría haber planteado el problema como la cuota que debería depositar mensualmente para acumular $200.000; en ese caso, puede despejar la cuota con un simple pasaje de términos:
^
200.000 = C ■ . í ;í
^ -
0.0]
■
:
>
despejamos la cuota, resulta C = 7.341.28
■ -í. C = 2 0 0 .0 0 0
(1 .0 I)“ - 1
x d .o i ) = '7.341.28
Si las cuotas se hubieran considerado como vencidas, hubiera sido ne cesaria una cuota más alta, de 7,414,7. En cambio, con pagos adelantados, para formar el mismo capital de $200.000.- se requiere una cuota menor, ya que al depositar la cuota a! principio de cada período y no al final, se gana iriteiés por un período más. Óiferenda entre una renta anticipada y una imposición Idda imposición es una renta anticipada, pues los pagos se anticipan al momento de valuación que se produce en el último período. Pero no toda renta anticipada es una imposición, ya que si bien los pagos pueden antiüparse al momento de valuación, éste puede ubicarse antes o después de n, como muestra en la figura 6 lll y la condición de "anticipación de pagos al momento de valuación" seguiría cumpliéndose: )
Uom«iito d« valuación 0
1
2
Anticipada
Imposición
Anticipada
rv-1
n
n+i
■l— Figura 6 .1 1 D iferencia lemre im pasición y rema anticipada
H
R f NIAS TiMf'ORARJAS'
, 6.2, Relaciones y categorías V.
.la'/
importantes de las rentas
r
-V/
Exisi&una cantidad de relaciones im portantes éntrelas rentas q u e hem os ‘ descrito en las seccion es anteriores y que tratam os a continuación.
Rema inmediata e imposición Una im posición es igual a una renta inm ediata capitalizada p o r n p e ríodos: s (J .n J )
n ^ ir
Va que si capitalizam os el valor de la renta inm ediata a ü , n, i) por a períodos a la tasa de interés i obtenem os el valor de la im posición: íl± ^ x a + z r = ííiiL - i
(I+/)"í
r
i
Obviamente, al actualizar el valor de la im posición, obtenem os la ren ta inm ediata: V
/
"^(1 + /)"
V"
(l + í Y i
R esum iendo, una im p osició n es igual a una renta inm ed iata c a p ita li zada por n períodos a una tasa de interés i: a ( l,n r iX Ü + i)'' - s f l , n , i )
y una rem a inm ediata es ígoial a una im posición actualizada por n pe ríodos a una tasa de interés i: 1 (! + /)"
= a(l,n,i)
Diferencia entre las cuotas de una rem a inm ediata y una im posición , La diferencia entre la cu o ta de una renta inm ediata de pagos vencidos y la cuota de una im p osició n con pagos vencidos es igual a la lasa deinterés "í", m ientras que la diferencia entre la cuota de una rem a inmedtaia de pagos adelantados y la cu ota de una im posición de pagos adelantados ^ es igual a la tasa de d escu ento "d":
a(l,n,i)-'~sÜ,n,i)-^ = i a(0,n ,i)’[':s(0 ,n ,i)‘ ^ d
; v
Recuerde que las fórm ulas an teriores representan la cu ota para una reriia Inm ediata vencida cuyo valor es igual a $1 y ía cuota de unaimpvi-
, .f:
< G ií U u ? jw oL í > r £ Z D v tíí/i» r
155
lició n T en ad a cuyo vaior fina] tam bién e? igual a 51: n(Urifiy^ ' ^ Y
Sí r^giplazamas en íasíónmiJas rcnezuos: ii^ r r
4 K r T -l]_ . n - h o '- i
a -^ iT -i
V en el caso de los pagos adelantados: I —__________ i I —_s____1 i h + / )-^*________ -i| ¡ ________ V_____ v _____
tl+ fT *—I
(l + f)
1 (l + O
(1 + 0 ” —I
(l-*-0
(l-^O
¿Por qué en ei primer caso ía diferencia es iguaJ a ”'í"? Esto es porque la m ota de un'préstam o siempre contiene los intereses que s° cobran por '*?te. mícrtrnís que en una imposición de pago'; vencido'-, las m otas no con tienen inlerés, puesto que aJ a b o n a ra son cuotas puras de rapíín/ que sólo ganarán intereses en el futuro, como por ejemplo lo.*: aportes que se hacen en un fondo de pensión. r>c forma tal que (l+í) representa la a io ta que se abona pnr un présta mo de $1 y si calculárnosla díferenda con la cuota de una im itosicíón vencí' da de 5 1 obtenem os: n + i} - i^ z En cuanto al segundo caso, sí bien es muy difícil encontrar una renta inmediata de pagos adelantados (el pago por adelantado de los servicios educativos podría ser un caso), la cuota de la renta inmediata de pagos adelantados para un V= S J se amortiza con una cuota de C= SI íesto sólo tien" rele''ancta desde el punto de vista teórico puesto qne seria el caso de rra'btr im presíamn d e S J y devoK'erin en fo n n a ínn)edi.^ta. de forma que el pago tam bién sería igual a ? I y no tendría ínierds). inientrns que la cuola adeíaniarla de r*na imposición solo formará A^SJ ai rabo de un período ruando gane interés, de manera que resulta inferior en n percentaje "d*’ rafculado sylue el i'alor final de $1, de manera que (I-d ) impuesto por un penudo resulte un valor de $1. Poi lo tanto 1 - ( } - d ) - ( i d Una renta ínmedrara de pagos adelantados e.s igual a una renta inme diata de pagos vencidos m ultipíicadapor ü -í-Í): -1 íí( J ,q ,0 '< ( l + 0 = fl(0tfíd’) = -------------- 0 + 0
a+/ri
nesiimiendo, Jas reíadones fundamentales de las rentas son lassíguíeníes: 1} Toda renta de pagos adelantados es igual a su correspondiente de pagos venados, capitalizada por un período más (la fórmula es igual a la de pagos vencidos multiplicada por (I+í
2) T ods renus d Ju id m s%igu^J a sv a fr rtz p m d l^ n it inm ediata ^cííí^Uza^ da por p períodos, donde p rcpretenta el número de períodof p o r íjüe se difiere el prim er p a f o,
3J La diferencia enere la cuoU de una renu mmedíara y la cuota de una imposición es igual a la rara de ínteréc ven cid a"ít 4} Una imposición es igual a una rema inmediata capitalizada p^T n nodos a la ta3a de ínieréc ú mientras que una renta inmediata « igual a imposición actualizada por n períodos a la tasa de interés "í*.
Cuadro resumen del valor de la.s rentas temporarias Conociendo la fórmula d éla renta ín rr‘:díara temporaria de pzg:r* v^ncides, podemos ohtener las fórmulas de ías otras rentas adicionando Ir,' (actores de capitalización y aauaíízación correspondíentec. La fila
Diferida
In m e d ia ta
D iferid a
Pagos %'enddos
(i+/)'í (l+ 0 " -i
Pagos adelantados
ím p o ^ 'ció iT
ÍUÍ) 0-^í)
o + ir¡ Im posición
d ril
(l+ 0 "i
íu ‘r
Tabla 6.1 Resum en de fdrmula^ de renras tem porarias
:-ot
En el próximo capítulo repetirem os el esquema completánd'*lo enn las rentas perpetuas y las rentas variables.
l'ío
G u u le r m o LóPfr DüMaAüF - V
lientasfracníonádas o asincrónicas^
-■«j .--iír;
En este tipo de renta Infrecuencia d e h s pagas y las capitalizaciones no C0 inciden, por lo tanto, se las denomina “asincrónicas**. Si bien no es común encontrar contratos con este tipo de rentas, puede asimilárselas por ejemplo, a un proyecto de inversión donde los flujos de fondos se produ* cen con intervalos de tiempo no homogéneos. Para valuar este tipo de renta debe sincronizarse la frecuencia en el pago de las cuotas con eí pe ríodo de capitalización, lo cual se puede hacer de dos formas: 1) calculando una tasa equivalente y 2) en eí caso de una renta con contrato, cambiando este para sincronizar la cuota con el momenio en que se paga la tasa de interés. \ 1) A través del cálculo de una tasa equivalente Calculando una tasa equivalenle .se puede sincronizar la frecuencia de los pagos con él período en que está expresada la tasa de interés. Este método tíent la ventaja de no necesitar cambiar el contrato, pues respeta la equiva-, . Jencíd ñnanciera. Ejemplo: ¿Cuál será el valor actual de una serie de pagos que deben rea lizarse en el lapso de 4 años, con cuotas bimestrales vencidas de $ 10.000 cada una, que se capitalizan cuatrimestralmente al 12% anual? lod o resulta más fácil si convertimos la tasa nominal al bimestre: prime ra la proporcionamos al cuatrimestre, puesto que su capitalización es /cuatrimestral, y luego calculamos su equivalente bimestral: (l+ 0;l2/ 3)“-^ -l =0,0198039=1,98%
r = 10.000
■= 1 8 9 J6 0
(1 + 0,0198)” 0,0198
2 1Reperiodizando la CTiota para hacerla coincidir con el momento en que capitalizan los intereses. En ese caso, las cuotas serán cuatrimestrales, y debe rán corresponder a una renta cuyo valor presente es de $189.560 (debemos tener como dato el valor presente para poder calcular el valor de la cuota: en éste caso, lomamos como valor presente el obtenido en el paso anterior ya que dichas sumas son equivalentes desde el punto de vista financiero). En ese caso, el valor de la cuota seria: r = 189.560
... M 7 3 4 ^ 7
(l+0,12/3)'’ x0.12/3
líimbién podría ocurrir que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en sincronizar eí pago de ía cuota con el momento en que capitaliza la tasa de interés. La diferencia con el método an terior es que este último requiere acuerdo entre deudor y acreedor pues h abría que cam biar elcontrato.
R entas iemporaíoaí Análisis y gráficoá dfilas iiu id ones de rentas
^
'
Se muestran a continuación las funciones de las cuotas y los valores para las rentas inmediatas y andcipadas, por considerárselas las d e másfrecuente utilización práctica. En las figuras 6 d 2 y 6,13 se m u estra cóm u evoluciona el valor de una renta inmediata cuando la cuota C=$ 1 y la evolu ción del valor de la cu ota, cuando el valor de las rentas in m e d ia ta s a(l,n,i)=a(0,n,i)==$l y aum enta el núm ero de períodos hasta 20. En am bos ca s o s la ía s a d e ín ie ré s u íiliz a d a e s d e l2 0 % p e rió d íc o En el caso del valor de ja renta inmediata, se observa que su valor a u m en ta hasta alcanzar un techo, debido a que a pesar de que aum enta el nú m ero de períodos, los pagos futuros tienden a cero en valor presente. El v alor de la renta inmediata de pagos adelantados se ubica por encim a de ia ren ta in m e -" diata de pagos vencidos, pues es capitalizada por un período más. ‘ ■■ 7.0 6.0 5.0
------------- -
0(1.n,í)
4.0 3.0
2.0
1,0 0,0 5
10
15
20
25
Número de períodos
Figura 5,12 Valor de Ja rema temporaria inmediata cuando varía e! número deperíodoi En el caso de los valores de la cuota, siendo que los valores aclu aléi ai l,n,i)=a(0,n,i)=l, estos caen perm aneniem ente hasta tender a cero a medida que el número de períodos se hace mayor. El valor de la cuota de pago;, vencidos se ubica por encim a de la cuota con pagos adelantados, com o se observa en la figura 6.12, pues es necesaria una cuota mayor para obtener mismos valores presentes a( 1,n .i)-a(0,n ,í)= 1,
Figura 6,13 Cual» de una renta inmediata cuando vana el número de
períodos
• ’I 2 L
G u a u o M O L ú r tzD u m r a u f
En lis figura 6,14 se iimestra como evoluciónaél valor de úna ¡mposídón cuando la cuota es unitaria y en la figura 6.15 se muestra cómo evoluciona el valor de la cuota cuarído el valar de Ja Imposición (el valor futuro acumula do) también es igual a uno, a medida que aumenta el número de períodos. En ambos casos la tasa de interés es del 20%.
■ \ v
Mientras el v'aíor de la renta anticipada sube permanentemente, el valor de la cuota desciende permanentemente, pues sería necesario una cuota cada vez menor para alcanzar un valor s(I. n, í)=sf0.n,í)=l a medida que alimenta el número de períodos. El valor de la imposición de pagos adelantados se ubica por encima de la imposición de pagos vencidos, pues es capitalizada por un período más. s(0.n,ij ,n.O
25’
Figura 6.114 Valor de la imposición cuando varia *•! nüxnrin
períodos
Líos valnres de la cuota descienden pormanenterneme. pues siendo que los valores fiunros s(l,n,i)=s(n, n. i)-l, estos caén-pormancnlemcnto has13 tender a cero a medida que el número de perícílos se hace mayor. El úc !:• aíota de pagos vencidos se ubica fvu cu rima do la cuota con p3pos aúclintadus. pues es necesaria una cuota mayor para obtener el mismo vn)r>r fuiuto 5(1, n, l)=s|0, n. i)=l
1
l'i
Ftetir» F. 15 Valor de la cuota de la imposidón cuando varfa d nó»T*«fo de períodos
B
ÍU n t á í T emporarias
m
Cálculo de la lasa implícita de una renta con inteipolacidn lineaTExisten muclios casos de rentas que involucran un flujo de fondos que contiene una tasa de Interés "Implícita" que hace equivalentes a esas co rrientes de dinero en un m om ento dado, en congruencia con ia ley finan ciera del interés compuesto. Todas las rentas que hemos visto hasta aiiora, todos los préstamos que calculan intereses sobre saldo, o los planes de ahorro cuyas cuota' ganan intereses hacia el futuro, o los proyectos de inversión donde existe nn flujo • de fondos futuro tien en u n a tasa d e in terés in trín seca o im p lícita , cuyo cálculo se resuelve por diversos métodos de prueba por ensayo y error (binom io de Nevvton-Rbapson, iteraciones sucesivas, Baü)’, bisección , interpolación lineal reiterada). Describim os aquí el método de la inter polación lineaJ, por encontrario el más intuitivo a ios efectos de su aplica^ clon práctica, i l
E l m étodo d e la in terp olación lin ea l
..
La interpolación proporcional es un método que permite por aproxi mación, al interpolar lin ealm en te, obtener el valor de la tasa de inferés «ie una renta. La mejor forma de mostrarlo es con un ejemplo. Suponga que usted tiene los siguientes datos y le falta la tasa de interés: V = 100 ;C = 6 0 :n = 2 ; i = ? El procedim iento com ienza con un ensayo por prueba y erroi; usied realiza una primera prueba con una tasa del 10% para ver que tnnto se acerca el resultado al valor buscado (V=100). Si con una tasa del in % eí valor presente es de 104,13, evidentem ente necesitam os una tasa d? in(pres más alta que el 10% (más alta en x puntos porcentuales) de foima lal que el valor descontado de la corriente se iguale a 100. Para ello probaim^' con el 20%, obteniendo un valor más bajo que 100, de 91,66. 0,10
104,13
i -OJO+x
100
0,20
91,66
Ahora sabemos que la tasa de interés verdadera se encuentra entre el 10 y el 20%, puesto que con el 10% el valor es mayor a 100 y con el 20% queda por debajo. Esto puede verse en la figüra 6.16 donde para cada valor de la tasa de interés corresponde un valor para la función en la ordenada:
Si p roband o con una diferencia de tasas de 10 puntos porcentuales (0,20 - 0,10) obtuvim os una diferencia entre los valores presentes de 12,47 (104,13 -9 1 ,6 6 ) , luego x puntos porcentuales representan una diferencia de 4,13 n 0 4 .1 3 -1 0 0 ):
o; 1 0
12,47
X
4,13
-i ',5';
Finalm ente, despejam os la incógnita x por regla de tres sim pie:
x = 0 , I 0 x - í ^ = 0,0331 12,47
:
De forma tal que ía i aproximada es 0,10 + X = 0,1331 En realidad, 13,31% es solamente una aproximación de la tasa de inte< fés verdadera, puesto que es un valor que se ubica sobre la línea recta, y no sobre la función que en realidad es una cun^a. Si unimos con una línea v e a a los dos puntos de referencia (0.10;104,13) y (0.20;9l,56), y teniendo en cuenta que la función del valor actual no es una linea recta, sino que tien e pend iente negativa y es cóncava al eje de las y, se com prenderá que i
Ja InterpoJación lin eal es s!c51o una aproximación, y que en el primer calcuío se comete un error de ínterpoláddfl igual a E r r o r d e in te r p o la c ió n : i a p r o x im a d a - íu e r d a d e r a
En tal sentido, la función lineal es una auxiliar para el cálculo de ja 1; ya que el valor de la renta no está medido sobre la recta sino que se e n c u e n tr a s o b re la f u n c ió n . V Como puede apreciarse en los gráficos este error puede ser por exceso o por defecto, según hablemos de una renta cuya función sea decreciente (renta inmediata) o creciente (renta anticipada) respecto de la tasa d e inte rés, ya que la pendiente de la línea no es igual a la pendiente dé la función. A medida que se repite la interpolación con la í que obtuve en el primer cálculo, el arco se vuelve más ptsqueño mejorando la aproximación hasta que se hace tangente en el punto donde se ha encontrado finalmente el valor para la lasa de interés, \ Por ejemplo, al descontar la corriente con el 13,31 % eWalor obtenido es de 99,68 que es un valor bastante aproximado pero todavía subsiste una pe quena diferencia, por lo cual deberíamos continuar la interpolación liasis obtener el valor exacto. ¿Hasta dónde debe continuarse con la interpolación? El método de '‘tan teo" debería continuarse liasia cerciorarse de haber obtenido la lasa de in terés exacta hasta el último dígito; por ejemplo, en el caso anterior, dondcí ia í era 13,06 % no tendría sentido continuar el cálculo cuando los pritneio.v cuatro dígitos después de la coma se repíren: i =^0,130682
i^O. 130678 i=
0.130672
'' '
La función financiera "Tasa" de Excel nos permite calcular nuidiu rápido id rasa implícita en una renta:
Figura 6.17 Tasa implícita de una rema con Excel^
196
G ü iL u r m o L ó r tzD u m í i a u f
OtrosgráficosposIblesparaJalnterpolacldnlined: el error por defecto en el caso de la imposición El caso de la tasa efe Interés contenida en una Imposición nos plantea una Interpolación donde surge un errorpor defecto, según puede apreciar se en la figura 6 ,1 7 . Suponga que el valor de una Im posición es A (U 0 ,ÍM .5 9 3 ,7 4 IacuotaC=100yn=10
rigxira a .l o Inferpolacídn lineaJ. ?rror por
n írrit.iifí+ X
-
1.593,74
0.12
-
1.754.ÍÍ7
l.iiogo. para una diferencia de tasas de 4 puntos porcciuiiales: 0,04
306,21
X
M5,09
145 0 9 x = 0,0 4 x ^ ^ = 0 ,0 1 9 8 5
306,4
-
Con lo cual la i aproximada es 0,08 -i 0,01985= 0,0085 y hay que conti nuar la interpolación hasta encontrar U I verdadera que es del 10%. La función Tasa de ExceKi) nos permite calcular mucho más rápido |a tasa implícita en una renta.
R entas T e m p o íi /^was
Un ejemplo del imiiido real; estimación de Ja renta de jubilación Durante la vida laboral, los individuos realizan aportes a los f'ondos d elu b llad ó n y Pensión, con el objetivo de acum ularun capital que luego sirva para financiar la renta de jubilación durante la vida pasiva, SI supo nemos que un Individuo com ienza a trabajara los 20 aflosy se jubila a los 65, ha realizado aportes por 45 años, que equivale a 540 m eses. Los apor tes son mensuales y una porción de los mismos “capitaliza’*, val e d ecir que gana Intereses y permite formar el capital que luego financia la jubilación. Supongamos que la porción del aporte que capitaliza es de $150 v que la tasa de Interés (4) que gana es de) 0,5% mensual; en ese caso el capital a los 65 años es una Imposición por 540 meses, como se muestra en el eje de tiempo: 65 años
20 años
a" años
IS O s { 1 : 5 4 0 ;0 . G 0 S H 1 3 . 3 9 6 . B 9
V)dAacth/a: 5^0mssM
Vida pasiva: 240masn
Luego, el valor final de los aportes capitalizados ($413.390,891 rcsului ser ei valor presente de las rentas que se percibirán diiranip el penodo de la jubilación. Puesto que la esperanza de vida es de 20 años (240 m i c s ^ s ) para obtener e! valor del haber de la jubilación mensuai sólo tenenms que despejar la cuota de la fórmula de la renta inmediata:
A(l;540;0,005)*Cx
(1 + 0.005)^**-1 = 413.398.89 (1 + 0.005)’*’ 0.005
Despejando, C= 2.961,72 que representa el m onio de la julMlat.i''m mensual. También podemos recurrir a la función de Excel para calcular el valor futuro y corroborar nuestros cálculos:
Figura 6.19 Cálculo del vnlor del valor futuro (Imposición) (4) Es conveniente pensar en tórmlnos de una tasa de interés real.
ivo
VJUI^ti<^^0 LQPE2 UUMRAUf A nálisis d e sen sibilid ad d e l v alor d s una renta con E xcel^
En la vida real, es cam iín realizar un análisis del tipo “que pasa s í.." p ara observar el efecto que tiene un cambio en una variable aislada sobre otra. En m atem ática financiera, y en particular en las rentas, nos pregunta mos por ejemplo, como cam biaría un valor presente o fiiruro si cam bia la casa de interés: o com o cam bia la cuota si se alarga el numero de períodos, etcétera. Este tipo de análisis se conoce como "análisis sensitivo" o "análisis de sensibilidad*. Con la herramienta "tabla" de Excel® es muy fácil realizar algo que íumaría varios cálculos con una calculadora de bolsillo, y aunque con Excel® también pueden montarse los datos en una planilla de cálculo; la función “tabla" es más eficiente. Ejempfor.Deseamos calcular el valor presente de una corriente de J20 cuotas mensuales, la tasa de interés es inicialmente el 1% y la cuota es de $100. El vaior presente de la renta (es una renta temporaria inmediata de pagos vencidos) es - r > í'(U 2 0 ,0 -0 1 ) = 1 0 0 x
q i 0 ) “° - i
( U 0 ) '“ x 0.10
= 6.970.05
En la figura 6.19 se aprecia com o es el procedimiento. Primero, calcule el valor presente de la renta con la función financiera "Valor Actual” de Excel®, utilizando com o tasa de interés, laque figura en la celda A2. Luego haga una referencia a esa tasa escribiendo en la celda A4 "=A2“ y también haga una referencia al vaior presente copiando en la celda B4 "= B 2" Segui damente "pinte" toda la sección que va desde A4 hasta B13. A continu a ción. vaya al menú y pulse “Datos" y luego "Tabla". Aparecerá la ventana de la figura 6.20 que le pide que introduzca una celda de entrada. Elija colum na y leferencle la celda A2. Finalmente, pulse aceptar y aparecerán los lesuUádos de la figura 6.21.
Figura 6.20 Uso de la funcidn Tabla" para el anális» de sensibindad
V
S --
M ■4:-
4
V t.IV « / \ J
' I428J4598 rÍ2Í9,37300” rilílp7525* '[ 9997989214'
Figura 6.21 Resultados del análisis de sensibilidad Los resultados eran los que se esperaban; a medida que la tasa de interés aumenta, el valor presente disminuye. Con Excel® podemos miichos otros análisis sensitivos (por ejemplo, como afecta la tasa de interés en la cuota) en forma eficiente y rápida.
R esumen Cuando hablamos de rentas nos referimos a roda corriente de pagos que se realizan a intervalos equídisfarnes de tiempo. Esos pagos pueden icner diferentes momentos de valuación, dependiendo del problema que se iraie. Por ejemplo, es muy común que se calculen valores actuales de pagos ñiiums en e! caso de un préstamo o de un proyecto de inversión. El caso inverso s« presenta cuando queremos conocer cual es el valor futuro de depositar su mas de dinero en una institución financiera con e) objetivo de acinnuíar ni i capital con un fin especffico, en cuyo caso v^aluamos la corrienle de f)agos eii un momento’^n'’. Existe una cantidad de relaciones importantes entre las rentas, por las cuales podemos obtener una a partir-de otra muy rápidamenie al incor porar el factor rorrespondieiiíe. La clave para la valuación de lemas £•!> saber "moveTse" en el eje de tiempo. En la vida real hay numerosos ejemplos donde aplicamos las fórinului. de rentas. En particular, son muy útiles cuando tenemos que analizar pla nes de jubilación o retiro, cosió de operaciones financieras y muchos orrus casos.
, . ' PREGUNI-AS l. ¿Qué valor arrojó la diferencia entre la cuota de una renta inmediata ' y la cuota de una imposición?
2C«r:
G uiilcrwo Lopo Du^«tiAUr
2:, ¿Cuál es )g rsJacián entre una renta inmediata y una imposición? 3. ¿Por qué el valor de una renta inmediata de pagos adelantados es ma yor que el que resulta cuando los pagos son vencidos?
K■
4, Cuando se extiende el número de períodos, el valor del pago perlddl^ co en una renta temporaria inmediata se reduce permanentemente hasta alcanzar un \Tilor mínimo cuando n tiende a inOníto. ¿Cuál es ese valor y por qué? -
P roblemas ‘i' ¡íí'i
1. Delerniinarelvaloractual de una serie de 24 pagos vencidos, igualesy consecutivos de S 1.000 cada una, si se sabe que las cuotas se abonan al vencimiento de cada período, y que la tas^ de valuación de cada período es > del 1 0 % . •Respiicsía:fl-904,74 2. ídem amcrioi, peto alrom nos ofrecen un plan cuyo primer vencímienio opera en el tercer período posterior a la fecha de oiorgamienio, y la lasa de valuación de cada período es del 8 %. Respuestaí 9.026,71 , 3. Ídem al problema anterior, pero suponiendo pago.s adelantados. El primer vencimiento opera al final del segundo mes siguiente a la fecha del otorgarnienlo. íl€*;pucsla: 9.740,05 ^ 4, Insú piPíondía reunir la suma de $ 15.000.- con el ohjelu de coin[unf’íí» un auto'nnvil. Teniendo en cuenta que la ta.sa nominal anual para depó'a'ios a plazo lijó rondaba en e! 10 % anual. detennine qué suma men sual debería depositar durante 24 meses para reunir la suma de dinero necesaria para la compra del automóvil. Respuesta: suponiendo pagos adelantados. C=562,48
•í; - i
5. ídem anterior, pero suponiendo que José va a contar con una suma adicional de $ 5.000 al cabo de 6 meses de iniciado el ahorro y que íntegra al capital acumulado con el objeto de reunir la suma de dinero pretendi da en menos tiempo. Calcule cuantos meses demoraría José para reunir S J 5.000 si continúa con el mismo ritmo de depósitos. Resjnie.sta! 15,05 meses (15 Ineses y 25 días)
0. Master 5.A. adeuda al banco Databank 3 cánones de S2.144 cada uno, coriespondientes a los meses de junio, julio y agosto. Los vencimientos
K tN IA >
I tlv s i'C / r 'J M í . m a
Operan los días 26 de cada mes y el porceníaje de actualización en caso de mota es del 4% mensual. El 26 de Septiembre la empresa restituye el bien recibido en leasing y se pacta una refínancíación en 5 cuotas fijas de S I.665 cada una- Determíne si la tasa efectiva implícita contenida en la reñnanciadón es similar a la que se utiliza en los casos de mora. Respuesta: 6,28% mensual 7. El 1/1/2002 se ha comprado una propiedad mediante la entrega de 30 documentos iguales, mensuales y consecutivos que vencen a partir del 1/2/02. El importe de cada documento es de $2.000.- hasta diciembre de 200$, y a partir del 1/1/04 inclusive aum entan su importe a $5.000 cada uno. Sabiendo que la tasa de Interés utilizada es del 2% mensual, -cuál es el valor equivalente de contado de la propiedad? ' Respuesta: 57.105,66
m
^
8. José se encuentra evaluando los costos de una Formación completa en ciencias económ icas y desea calcular el valor presente de todos ios co.stos asociados con su educación, losé usaría 4 anos para obtener una licen ciatura, cuyo COSÍO es de $8.000 por qada año. Luego usaría otro.s 2 años para obtener su Master en Administración de Empresas, donde debrria pagar $9.000 por año. Finalmente, un Doctorado Insumiría 4 años más, a un costo de $9.000 por año. Si la tasa de interés de'oportunidad de José es í del 10% anual, ¿Cuál es el valor presente de los costos de la educación? Adicionalmente, calcule cuál debería ser su renta anual equivalente para recuperar la inversión suponiendo que Juan hoy tiene 28 años y e.s|vrr3 trabajar hasta los 65 años (hasta jubilarse). Note que debería paraedo calcu lar también cual sería el valor futuro de los costos de educación al momemo de comenzar a trabajar. Note que la respuesta también puede ser aniplíñcla para reconocer no sólo el valordel tiempo sino tam biénel ingreso clífnrencial que generaría una educación superior. R esp u esta: V alor p r e s e n te = 5 2 .1 3 1 ,2 3 : Valor fu tu io = :l35.214/18 C= 13.931.19 (Se sugiere comparar la respuesta con la rema anual 'jue ui'liene una persona sin estudios universitarios) 9. Para que su hijo reciba U$S 100.000.- aJ cumplir 17 años, usted rcanza depósitos mensuales adelantados a partir de la fecha de naciiniem o, que'ganan el 4% anuaL D icha cantidad debería slervir para financiar b's costos de los estudios universitarios, incluyendo alimentación y vivienda en un país extranjero. Determinar el importe de cada deposito, sabiendo que no se realizan pagos cuando el hijo cum ple 15 años. Suponga un año de 360 días.
i
Respuesta: 341,92 10. ídem problem a anterior, pero ahora suponga que el padre recién comienza a ahorrar cuando el hijo cuenta con 12 años. • Respuesta: 1.503,31
G u iu e r m oL ó p e zD u m r a u f
11. Hl vaioE actual de una renta de 18 cuotas^ valuadas al 4% m ensual, es de $100.000,* Calculan a) El valor de la cuota b) ¿Con qué sum a se cancela la renta, junto con la décima cuota? c) Si no se pagaron las cuotas número 10,11 y 12, ¿d eque importe deben ser las restantes? > Respuesta: C =7.899.33;V ,^=81.083,52 í C=:473,6 12. El valor actual de una renta de 24 cuotas mensuales adelantadas que corresponden a los pagos que se realizan en un Posgrado de Econotnía es de $ 15.000 valuadas al 1% mensual. Si luego de la cuota 16 se de sean pagar S 1.000.- por mes, ¿cuántas cuotas más se deberán abonar?
m
Respuesta: 5,58 13. Un colegio cobra diez mensualidades de $ 500 en carácter de cuota para el ciclo primario. El padre de un alumno ofrece pagarlas diez mensuali dades por adelantado, solicitando Un descuento del 20% por pago en efectivo. £1 colegio rechaza la oferta aduciendo que no precisa efectivo y que no le conviene la propuesta. La tasa de interés de oportunidad del colegio es del 1%. ¿Quién tiene razón? > Respuesta: el colegio 14. En el ejemplo anterior, se modificaría la respuesta si la tasa de interés de oportunidad del colegio fuera del 5% mensual? Respuesta: sí, en ese caso se invierte la respuesta y el colegio debería acep tar _ '
15. Un plan de ahorro establece que deben depositarse 48 cuotas fijas, mensuales y consecutivas, pero sólo se han abonado 30 de ellas. La tasa de interés es del 12% anual con capitalización mensual (año 360 días). Las 18 restantes se depositan regularmente después de transcurridos 5 meses sin depósitos. ¿Cuál ha sido la cuota mensual si al final de la operación la cuenta tiene ua saldo de S 30.0ÜO? Respuesta: 473,6
,r•
R eferencias bibuogrA^^
.
-
pEHitANDEZ, Néstor H., (2003) “Funciones Financieras de Excer, capítulo 3, 1* edición, Errepar, Buenos Aires.
i ít.
C a p ít u l o ?
R entas P erpetuas y R entas V a ria bles
“Piifide las dificultadesíjuÉ examinas en tan cas partes como sea posible para su mejor sulu-^ clón” René Descanes 1596-1650, FiJósofo y maiemáticG francés
I ntroducción En el capítulo am erior tratam os las rencas tem porarias con cuotas co n s tantes. En este capítulo tratarem os el caso lím ite de las rentas perpetuas y extenderem os el análisis para tratar las rentas cuya cu ota varía periód ica m ente en un po rcen taje o en una sum a fija. Las fórm ulas de las rentas perpetuas tienen un uso am pliam ente extendi do en el cam po de las finanzas coiporativas, y acad ém icam ente es tam bién muy utilizada en todo lo que hace a la fijación de precios de activos, funda m entalm ente acciones. En el caso de las rentas variables, su uso tam bién se encuentra muy exten dido principalm ente en la valuación de accion es cuyos dividendos crecen a una tasa determ inada. Tam bién es muy utiiizad ala fórm ula con crecim iento constante para determ inar el fam oso ‘V alor term inal" o “valor continuo" d éla em presa en m archa, cuando se realiza la valuación de una com pañía por el m étodo del flujo de fondos descontado. ' Las fórmulas de rentas variables tam bién son utilizadas en la valuación de com pañías cuando se plantea el crecim iento por fases. Por ejemplo, los negocios "estrella", generalm ente tien en flujos de efectivo que crecen fuerte los prim eros años para luego dism inuir y acercarse a la tasa de crecim ien to de la econom ía en que opera. O tam bién podem os asim ilar los présta mos donde existen cláusulas de ind exad ón a una renta variable, ya que las cuotas sufren el aju ste por índice de precios. Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de:
:
♦ Valuar perpetuidades, en especial acciones.
'
"
'* _.V
"‘i ‘ ' . I,
' • Valuar acciones cuyos dividendos crecen a una tasa constante,
5
' ' ^ •
V '*
^ ’
■204
G u a iE R M O lú r £ Z D U M flAU F'
" Adaptar ta fórmula de la renta temporaria con cuotas variables a situa ciones de la vida real
7.1. Rentas PERPETUAS Una rema perpetua es una serie de pagos que dura y permanece, en principio para siempre. En tal sentido, constituye el caso límite donde el número de períodos tiende a infinito. Como el tiempo "n" es infinito no puede establecerse su monto, pero sí puede establecerse su valor presente. Como consecuencia de ello sólo se conocen fórmulas para calcular su valor actual, la renta y la tasa de interés. A diferencia de las rentas temporarias, donde se conocía el momento de inicio y cuando finalizaban los pagos de renta, en las rentas perpetuas se conoce también el momento de inicio pero no cuando terminan. En la vida real, existen casos de rentas perpetuas como el Premio Nobel. En 1968, el Banco Central de Suecia instituyó en un compromiso econó mico a perpetuidad el premio Banco Central de Suecia en Memoria de Alfred Nobel, encargando la selección de los ganadores a la Real Academia de Ciencias. El testamento de Nobel destina casi toda su fortuna a un fon do que "deberá ser distribuido" en partes ¡guales, como premio a las per sonas que en el año precedente hayan aportado los mayores beneficios a distintas disciplinas, entré ellas, la economía. Existen otros compromisos a perpetuidad cómo el Premio Internacional de Literatura Neustadt, que l(v entrega la Universidad de Oklahoma y la revista World literature Today. Fue establecido en 1969 y es el más importante que se entrega en EEUU a escritores, poetas o dramaturgos no nacidos en el país. Un generoso fondo de la familia Neustadt de Ardmore (Okialioma) y Dallas (Texas), asegura la perpetuidad del premio. Los bonos “C onsor del gobierno inglés también fueron emitidos a perpetuidad, sólo pagan intereses y no cancelan capital. En 1992, el Go bierno Argentino también emitió bonos a perpetuidad (los denominados "Fenobonos") que años más tarde entraron en cesación de pagos cuando fue declarado el d efau lt de la deuda pública Argentina en diciembre de 2001 (1). En 2005, la famosa empresa Coca Cola emitió una obligación a perpetuidad. Con la suposición que una compañía nunca quebrará, ios dividendos sobre sus acciones preferentes pueden considerarse como una perpetui dad. Para la deducción de las fórmulas, seguiremos el mismo camino que utilizamos para presentar las rentas temporarias: primero veremos ia renta
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(I) El lector interesadopuedeverificarestainformaciónenhttp;//infoIeg.mecqn.gov,ar/ lnroíegJntcmeUanexDs/5000'9999/8l03/texact.htm,
R e n t a s P e r p e t u a s y R e n t a s V a m a b i e s
20.J
inmediata, luego la diferida y finalmente Ja anticipada. El esquema de razo namiento será el mismo que utilizamos en el capítulo anterior, con los deta lles del caso. Primero presentaremos el eje de tiempo, luego deduciremos las fórmulas y nnalmente veremos algunos ejemplos.
Renta Imnediata de pagos vencidos En la figura 7.1 se aprecia nuestra ya conocida corriente de pagos unitaria, sólo que esta vez el número de pagos tiende a infinito:
Figura7.1 Valoracrual de una corrienie unUaria de pagos vencidos aperpetuidad Observamos quede! polinomio surge una progresión geométrica decre ciente, ya que cada término es igual al anterior multiplicado por l/ (l4i), que es la razón de la progresión. Puesto que l/(l+ i)< l, cada término disminuyesu valor con respecto al anterior:
r
í
I
(i+ i)
(i+ i)‘
I
S = ------- + ---- —
------- r+ . (i+ i)’
Aplicamos nuevamente la fórmula de la progresión geométrica: ol'.serx'e que la renta perpetua inmediata de pagos vencidos, también es una suma de valores actuales, sólo que ahora no conocemos su final: 1 - -
5 = (i+ O
I
o * ') ' i_ _ L ( 1+0
La expresión 1 /(1+í)" tiende a cero cuando n tiende a infinito, de forma tal que nos queda:
•O ujuckmo L o ra DuMitují
¿ -
1
i
(U i)
(l + / ) - l
•sz
I i
(í+ / )
-m
De dcuerdo coa la nomencldiura utilizada en Cálculo Financiero, llama* remos a esta expresión: * " q
- ■ 'a
.
0(1,' ■^.i) = í que représenla la expresión de una renta perpetua inmediata de pago^ uniiariüs vencidos. Para utilizar la fórmula general, donde los pagos no son iguales a la unidad, sim plemente multiplicamos la fórmula anterior por la cuota C de la renta. Adoptaremos la letra mayúscula ‘*1’” para la expresión, igual que lo liicimos en el caso de las rentas temporarias, con* forme a la notación generalm ente aceptada de la m atemática financiera o cálculo financiero:
""-a
■' i ■'in
A :? í
f Uiu forma sencilla e imuiiiva de mostrar que el \'alor presente de una renca jierpeiua es Igual a C/l es calcular la perfjetuidad como el producto de la la.sa J e interés por el capital que genera la renta:
V' X í = C Esto significa que un capital V, multiplicado por 1, siempre producirá una lenta igual u C. Piense por ejemplo, en un capital colocado en un ban co donde sólo se rciiian los Intereses; el capital siempre permanecería in tacto, y por )o tanto en cada período generaría una cantidad de intereses Iguales a C (2). Ejemplo. Cíeítu activo genera una renta perpetua de $1, siendo la tasa de interés del 1U%. El valor actual de la renta perpeiiia es: O .lO j.
a ¿fc-
II»
- i = 10 0,10
¿Lina corriente
i» .1»
m
(2) jliunca S(>Idocurrid pensar que ladeuda exiei naArgentina genera unpago perpetuo dr tmeíeíi*s7
ÍUmAí í^tRrmMS yRwtas VAHíAgm "
\
:
ao/
^(),(K)22 (U ü ) l^evolucíóti del valor de una corriente perpetua de $ l puede verse en ía figura 7.2, A medida que aumenta el número de períodos, el valor actual acumulado crece al principio y luego se estabiliza cuando el m im ero de pagos alcanza aproximadamente 50 períodos La contribucídn de íós pa gos futuros al valor actual es práciicam enle nula debido al efecto d el inifc’i réi compuesto, que torna despreciable el valor presénte de los pagas futu ros.
Figura 7.2 Vulur acuia) de una currienie de pagos cuando n tiende oinfíiuro
Aplicaciones de la renta perpetua: el modelo de Ips dividendos En general, los modelos de valuación ele acciones se basan también en el descuento del ílujo de fondos, en este caso, el flujo de fondos disponible para el accionista. Se emlende que una vez cubiertos los costos, pugadu los impuestos y realizadas las provisiones para los activos de trabajo y acti vos fijos necesarios para el lunctonamienio del negocio, el remanente pue de distribuirse a los accionistas en la forma de un dlvÍLÍendo en efectivo. Podemos calcular el valor intrínseco o justo de las acciones a partir del flujo de dividendos descontado por e! rendimiento exigido o esperado por el accionista (JLe) pora inversiones de riesgo similar. Supongamos que la compañía no rellene utilidades, por lo tanto no reinvierle en sí misma y reparte todas las uillldadcs como dividendos. SI la compañía no reinvieite, entonces no crece, y por lo íatuo no variarán las exigencias de capiuil de trabajo. Si la cifra de la depreciación se Iguala a la necesaria para U renovación de bienes de uso, entonces la cifra de dividendos se Igualaiá a la utilidad neta después de impuestos y representará una perpetuidad igual a los dividendos del primer año D, como se observa en la figura 7.3
. í
■í . -M
GuiLLERAlO Lóriz D umrauf
203
___ op
D
D
D
D
(i+ke) D (U k ef
D iU k e)\
- \r D íi+ H
T
Figura 7.3 Valor actual de una corriente de dividendos perpetua
Como vimos en el capítulo anterior, el valor de la perpetuidad puede calcularse simplemente dividiendo el flujo de fondos (en este caso los di videndos) por la tasa de interés (en este caso el costo de oportunidad del accionista); p = .R
,
ke
’
Ejemplo: Santa Emilia S.A. es una compañía que ya ha alcanzado su tedio de crecimiento, y como no tiene oportunidades de seguir creciendo, ilislribuye un dividendo anual a perpetuidad de SIO.- siendo el costo de oportunidad de los accionistas del 20% anual.
— = 50 0,20
%
Ejemplo real: los ferrobonos argentinos En ocrubre ele 1991, el Gobierno Nacional emitió bonos en dólares a perpetuidad denominados "FERROBONOS" cuyas principales característi cas (que aparecen en el decreto presidencial 52/92) transcribimos a conti nuación; I ■'
, a) Fecha de emisión: I" de Octubre de 199L b) Vencimiento; Se extenderán con carácter de perpetuidad, sin venci miento. c) Aplicación: Los "FERROBONOS" podrán ser utilizados como medio de pago en Jas ventas de activos de FERROCARRILES ARGENTINOS y FE RROCARRILES METROPOLITANOS S.A. También podrán pagarse los cá-
S I-
R e n t a sP e r p e t u a s y R e n t a s V a r / á b u s
209
nones y/o alquileres de concesiones y/o bienes de FERROCARRILES ARGEN TINOS y FERROCARRILES METROPOUTANOSSA ; ■ Los bonos deberán ser recibidos a su valor nominal e intereses corridos a la fecha de aplicación de los mismos y en la proporciones que indiquen las empresas vendedoras para cada acto jurídico. d) Intereses: Devengarán la tasa de interés que rija en el mercado interbancario de LONDRES (UBOR) para los depósitos en Euroddlares a CIENTO OCHENTA (180) días de plazo. Esta tasa será determinada por el BANCO CENTRAL DE LA REPUBUCA ARGENTINA sobre la base prome dio que surja de las tasas informadas por sus bancos corresponsales en aquella plaza, ai cierre de las operaciones concertadas TRES (3) días hábi les antes de comenzar Cada período de renta. Los intereses se pagarán se mestralmente en dólares estadounidenses. Los Ferrobonos Argentinos fueron emitidos a perpetuidad argumen tando que los ingresos de FERROCARRILES ARGENTINOS no cubrían los egresos operativos excluidos los salarios ni las inversiones mínimas para mantener la capacidad operativa hasta la entrega de las concesiones. La m entablem ente, su historia crediticia no es muy buena: ingresaron en default junto con otros bonos de la deuda pública Argentina en diciembre de 2001. . Las ganancias de capital no son importantes en el valor de la perpetuidad Cuando los inversores com pran acciones de una com pañía esperan obtener dos tipos de ganancias; los dividendos, y las ganancias de capital {si es que el precio del próximo año es mayor al del año corriente). Por caso, para calcular el precio de hoy, descontamos el dividendo y el precio de las acciones dentro de un año:
10 + 50
P
”
(I + í e )
(1,20)
El precio del ario siguiente será igual al dividendo y al precio al final del segundo año, descontados por un año (aliora estamos parados al final del año 1 en el eje de tiempo). p
=
'
^ 2
K
(1 + jtc)
Podemos reexpresar el precio de hoy en función de los dividendos y del precio al final del año 2, reemplazando en la fórmula anterior el precio del segundo año: '
A , D. + fi ( l + k e ) (l + k e y
0 ''
a iu
G u il l e r m o LO pez D u m ra uf
- Finalm ente, la corriente total de dividendos y precios luciría de ja si guiente form a, donde t representa un período lejano, más allá de donde m iésíro s ojos pueden ver: / > = _A —
(1 + te)
A
Dy
Dy
(l + fe)=
(1 + fe)'
(I + A-e)'
(l + k e y
Observe en la tabla 7.1 y en la figura 7.4 cómo a medida que avanza m os en el tiem po, el valor actual de la corriente de dividendos acum ula dos aum enta su participación en el precio toral, a la par que el valor actual del precio futuro tiende a cero. La razón es sencilla: el valor de las accio nes de una em presa está dado fundam entalm ente por el valor actual de sus dividendos, pues si consideram os que venderemos las acciones den tro de muchosL años, lo que obtengamos en aquel m om ento tiene hoy un valor que se aproxim a a cero.
Período
Valor Actual dividendos acumulados
Vüor Actual predo futuro
7b tal
1
8,33.
41,67
50
2
15,28
34.72
50
3
21,06
28.94
50
4
25,69
24,11
50
10
41,92
50
49,99
*
^8,08
50
0,01
50
Tabla 7.1 Valor actual de los diiñdendos acumulados yde] precio futuro
^ y. Si! ■
Yí •í
m
’.P
f#;'10
50
□ Valor Actual dividendos acumulados ■V alor AcUiol prado hjiuro .
' Figura 7.4 Composición del valor actual dela acción Fin alm en te, sí el valor presente del precio futuro de las acciones en m u ch os añ os tien d e a cero, lo que im porta es la corriente de dividendos y
-
RfNTAS Pírpetuas
■ K '
'rvvfji
y
R entaS Variables
2l\
podem os vaJuarlas acciones sim plem ente descontando la corriente de divi* dendos con la tasa de rendim iem o que exige elinversorp ara com prar accio nes de esta com pañía: " ' "
T
/> = J 5 _ = 5 0 0 .2 0
: -y
La ecuación anterior tam bién puede pensarse del siguiente m odo: ios accionistas están dispuestos a pagar $50 por las acciones de la.conipañía, pues com o saben que recibirán un dividendo de $10, pagando $50 están reconociendo im plícitam ente que quieren ganar un 20% (pues diez repre sen ta el veinte por ciento d e cin cu en ta).
R end im ien tos de la inversión en a ccio n e s Ai igual que en las obligaciones, las acciones nos ofrecen dos tipos de rendim ientos: los dividendos y las g anancias de capital. En términos rela tivos, puede calcu larse el "dividend yield" q u e representa la proporción que representa el dividendo actual sob re el precio actual de la acción:
D/v/denr/y/á/J = — = — = 0 ,2 0
P
50
N ote que en el caso de la perpetuidad, para acciones que no crecen, el “dividend yieid" es igual al rendim iento esperado por los accionistas. Le.
R entas d iferidas El valor de la renta diferida es igual a su correspondiente imnediata de pagos vencidos, pero actu alizad a por el período de diférim iento, exacta m en te com o lo vim os en el cap ítu lo an te rio r para el caso de Jas rentas tem p o rarias: V (p
■C
1
= — X - — ------
^
í
(1 + í ) '’
": ^
'
Rentas anticipadas En la introducción d ecíam os que no se con o cen los m ontos de las ren tas jperpetuás, ya que el nüm ero de pagos tiende a infinito. Por lo tanto no existe la Im p osición cuando h a b la m o s de ren tas perpetuas, pues para ser im posición, los pagos d eben estar valuados en el último período (“n"). Sin embargo, es posible plantear el caso de la renta anticipada, donde hay una serie de pagos que se anticipan aJ m om en to de valuación, que se produce
G ü iL U w ^ toL ó p e zD u m i u u f
212
en un momento "t". Para obtener el valoren t, sim plemente capitalizamos el valor de fa renta perpetua inmediata por t períodos, de forma tal que todos los pagos realizados a perpetuidad son valuados en t:
0
l 00
<7(l,oo,í)
-> o(l,w,i)(l+0
Ejemplo: Usted está queriendo valuar una compañía que se encuentra totalm en te financiada con acciones, y reparte un dividendo a perpetuidad de $100. El costo de oportunidad del inversor es del 20%, pero usted quiere calcu lar el valor que tendrá la com pañía dentro de 5 años, pues espera venderla para esa fecha:
100a(l,ao.0.20) = 500.
-► 50nr 1.201V i .244.16
7.2. Rentas variables temporarias en progresión geométrica Hasta el momento hemos visto aquellas rentas cuyos pagos periódicos constituían siempre una suma constante. Podemos considerar ahora aque llas rentas cuyos pagos varían siguiendo alguna regularidad m atem ática: esto es. cuando los pagos varían en una cantidad fija (progresión aritméli^ ca) o cuando varían en una suma variable (progresión geométrica). En el primer caso, decimos que las rentas varían en progresión aritm é tica cuando cada pago es igual al anterior en más o en menos una suma fija R. en cuyo caso la renta v ariará en progresión a ritm étic a crecien te o decreciente, respecüvam enl?.. En el caso de las rentas que varían en progresión geométrica, cada pago es igual al anterior m u ítip licad o p o r un fa c to r q (siendo q mayor, igual o nienor a uno) en cuyo caso hablamos de ren tas v ariables en p rog resión geom étrica creciente o decreciente, respectivam ente. ¿Cuándo aparecen rentas que varían en progresión geométrica o arit mética en la vida real? En el primer caso diremos que en Ja valuación de acciones es muy utilizada la fórmula de Gordon de los dividendos crecien tes; ésta plantea que los dividendos crecen a una tasa constante que transfor ma a la corriente de dividendos en una peq^etuidad creciente en progresión geométrica. En el segundo caso, podemos decir que la cor riente de intereses periódi‘ eos de un préstamo por sistema de amortización alemán, representa una
•■4--
•-Í-.
?U
[U n t a sP e r t e t u Á s y[ U n t a s V a w a b l e s
progresión aritm ética decreciente, puesto que aí amortizarse e l capital en cantidades iguales porperíodo, los intereses se reducen siempre e n una sum a fija-Esto tam bién ocurre a veces con bonos u obligaciones con program as de am ortización periódica del capital. A co n tin u ació n m ostrarem os las deducciones corresp o n d ien tes a las rentas tem porarias y perpetuas, en sus versiones in m ed iata, diferida y anticipada.
p;-'
Renta inmediáta conpagosvariables vencidos La figura 7.5 m uestra el valor actual de una corriente de cu otas varia bles, donde cada pago representado por C crece a una tasa "g ":
'" i c (i+ g )
c (i^ g )'
c(H g r‘
c (i+ g r
(1 + 0
I
c (i+ g ) 0 + 0^ c (i+ g y (l+ iT
Ik*
i?#
C ( l+ g ) " d+O" Figura 7,5 VaJqr a ctu al de u n a ren ta co n cu o ta s variables
Al sum ar los valores actuales tenem os:
C (l+ o
C(l+g)^C(l+gr\2 (1 + / )'
,v , C(l +g)-
(1 + 0 ’
Debido a que la expresión de la sum a de tén n in os resulta ser una pro gresión geométrica, aplicam os la fórmula de la sum a de términos y reémplazando tenem os:
..
G u íl ie r m oL ó p e zD u m r a u f
S~a
iliJl i - i] i-Í£ ± il
Su fónnula resulta ser a + i)
x — ^ ,_ < ií£ )
^
(1+/) Sí sacam os com iin denominador y simplificamos términos, tam biénpodem os obtener una expresión más reducida: 1q +0
V v ( l , - C X-
i-g
Efemplo:
^
Suponga una corriente de pagos que crece a un 5% durante un período de 10 aflús, y debe determ inarse su valor presente. Utilizando la fórmula que acabam os de ver. tenem os: (U Q .0 5 )
l-
(1 + 0.20)
i' = 1 0 x .
0.20-0,05
- = 49,13
que representa el valor presente de una corriente cuyo primer pago es de SIO y luego crece al 5% anual hasta el año diez. Caso especial: qué ocurre cuando g=i Cuando la tasa de crecim iento es igual a la tasa de interés utilizada en la actualización (g=i), la suma de térm inos es igual a:
‘ “
c(l + g )
C (l + g y
(i+ .f
( 1 + .7
(i+ .«)
C (l + g r .....
(1+/)"
, ■
: \
en cuyo caso podemos valuar la renta multiplicando la cuota por n y divi diéndola por el factor de actualización (como a partir del segunda período las cuotas crecen a una tasa igual a la utilizada para calcular el valor pre sente. tenernos n cuotas actualizadas por un soio periodo):
C
(1 0 +
'Xn '
R ^ T A S Í ' í UPBTUAS Y R fN T A S V a k j a b l í s
Rentas variables diferidas
¿
Su valor es exactam en te igual a la ele la renta temporaria, inm edíaía,ya
a+g)
1-
(1+/)
V v ( p + l , / i , í , g ) ' = ^ C X-
i-ü
0 ^ /y
Rencas variables anticipadas (imposición) Su valor es exactam ente igual a la de la renta tem poraria, inmediata, variable de pagos vencidos, capitalizada por (1+i)" en el caso de la im posi ción : l-
A v ( h n , i \ ^ ) = C X-
(1 + g) a + i)
-x(J + /)“
Por supuesto, para que una renta sea anticipada, basta con que el m o m ento de in iciación de los pagos se anticip e al m om ento de valuación, con lo cual, podríam os ten er una ren ta que se valúa en n-rl o en n-1 y sería anticipada, aunque no im posición, ya que para ser im posición debe valuarse siem pre en el últim o período. Resulta ser igual a la inm ediata capitalizada por n períodos:
1-
Av(I,/2,í ,^ ) = C x *
iliilT
(i + O
- x ( l + /)"
Ejem plo: H éctor realiza un ahorro voJuntario depositando todos los meses ei 20% de su salario en una entidad financiera que le paga una rasa de interés efectiva mensual del 1%. Su salario asciende en la actualidad a $2.000, pero éste es ajustado por la tasa de inflación todos los meses. De esa forma, la su m a de dinero que H éctor deposita todos ¡os meses crece de acuerdo a Ja tasa de inflación. Suponiendo que la tasa de inflación mensual se ubique en el 0,5% y que el ahorro será realizado durante 24 meses, debemos cal cular cuánto dinero tendrá acumulado al cabo d^e ese período. ;
1--
A v (í,24 A O 1,0,005) = 400 x-
(1 + 0,005)
-|24
0 + 0,01) J . ^ (i + 0,0I)" = II^|05,9S 0,01-0,005
üuiLLEWvlO CbfEZ D u MIUUF
il6
7.3. UEKrAS VARIABLES PERPETUAS EN PROGRESION GEOMÉTRICA
La fórmula de ía renta perpetua variable en progresión geom étrica tieiie gran aplicación en la valuación de activos financieros com o las acciones y también es utilizada a menudo para obtener el denominado "valor de la con tinuidad” o "valor terminal” de ia firma, asumiendo que a partir de un deter minado momento, el flujo de caja crece a una tasa constante.
Renta iiunediaia, variable, de pagos vencidos St retomarnos la expresión anterior para la renta variable temporaria, puede verse que cuando n tiende a infinito, el segundo término se anula ya que tiende a cero: l-
'0 + g)
(1 + 0
= C X-
i-g' “ Y por lo tanto queda la siguiente expresión, que es la renta perpetua, variable, ele pagos vencidos: V V d .^ O g )--:— i- g La aplicación de esta fórmula requiere de una restricción: i >g; como veremos, en la vida real, siempre i es mayor que g cuando utilizamos esta fórmula con fines de valuación de activos financieros. Ln ap licación d e la ren ta p erp etu a d e p ag os variables p a r a la v alu ación d e acciones con dividen dascrecien íes. La fórmuia de la renta inmediata variable en progresión geométrica, es la fórmula que difundieron Gordon y Schapíro (3) para e! cálculo del valor de las acciones cuyos dividendos crecen a una tasa constante: tam bién lla mada fórmula de valuación de los dividendos {DVTVf, D iv id en d V aluaiion Model). ,
Ai
Por ejemplo, si una firma retiene parte de sus utilidades y reinvierte en sí misma, luego es lógico suponer que las utilidades aumentarán en el futuro y los dividendos crecerán a una tasa g (growíh). Suponga que los dividendos de la empresa Perpetua S.A, para el primer año son D=100 y g=5%, siendo la tasa de rendimiento exigida por el inversor i=10 %. Luego el valor de las acciones de Perpetua sería; S =-
D
100
r-g
0 3 0 -0 ,0 5
: 2.000
(3) Puede consultarse GonooN. Myron, "The Investment, Fíiiandng andtirevaluatíonof t|ieCorporation", Irwing. Homewood, II, 196Z
[ l£ N T A S P e r p e t u a s Y R e n t a s V a r i a b u s
5 :4 .:,
m
Vamos aliora a explicitar lo que se encuentra detrás de esta form ula. pongam os que se trata de calcular el valor de las acciones de u n a firm a que tiene un alto potencial de crecim iento, pues se mueve en un sector donde las posibilidades de expansión le obligan a reinvertír en sí misma una propor ción de sus utilidades, de form a tal que no distribuye la totalidad de las m is mas com o dividendos, sino sólo una parte. El resto es invertido dentro de la m isma em presa para com prar activos de trabajo y seguir creciendo en ventas y resultados. Supongamos que ia com pañía com o un todo crece a una tasa ‘'g" ' ■ (de growth, crecim iento). Es razonable que si las ventas, y todos ios costos y gastos y los activos crecen a una tasa g, ¡os activos tam bién lo hagan. A^oO
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
loo
105,0
1103
115,8
121,6
50
52,5
55,1 :
57,9
60,8
Impuestos
20,0
21,0
.22.1
23,2
24.3
Utilidad neta
30,0
31.5
33,1
34,7
36,5
Dividendos (50%)
15,0
15,8
16.5
17,4
18,2
Venías
"
Costos
Tabla 7.2 Crecimiento de las venias, utilidad neta ydividendos Com o puede verse en la tabla 7.2, cuando la com pañía crece com o un todo al 5 %, los di\ndendos crecen a la m ism a tasa. Por lo tanto, podemos plantear en un eje de tiem po la corriente de dividendos, tal cual h» h ici mos en el capítulo anterior y ahora m ostram os en la figura 7.6:
A
D,(l-^g)^
D,(}+g}i
(l + te ) fiO + g) (l+Áey
(1+A:e)^ A(l■^g)^ (1 + te)*
Figura 7.6 Valor actual de una corriente dé dividendos con crecimiento constarle
••v
2U
G u il l eu m o López D u m r a u f
1‘odemos calcular ahora el precio de las acciones aplicando la fórmula vista en el capítulo anterior 10
k e-s
0 ,2 0 - 0 ,0 5
= 66,66
Note que si la com pañía no creciera, g=0 y entonces el precio de las acciones de Perpetua sería igual al que obtuvimos'¿n el apartado anterior, cuando la firma no crecía. Podemos despejar de la ecuación el rendim ien to esperado por los accionistas atand o hay crecim iento: ,
ke
A 10 = — + £ = --------- + 0,05 = 0,20 P . . 6 6 ,6 6
Críticas a l m o d e lo d e los d iv id en d o s con crecim iento Se han realizado algunas críticas al modelo de los dividendos, tales com o: 1; La fórmula no puede utilizarse a menos que g
R ín t á s Pnu'ETUAS
y -R en t a s
V a r ia b les
Año
D ividendos
g
1931
100
■-
1992
' 105
5,00%
1993
108,
2,90%
1994
109
0,90%
1995
120
10,10%
1996
127
5,80%
1997
135
6,30%
1998
144
6,70%
1999
152
5,60%
2000
163
7,20%
. Tabla 7.3 Crecimúinto de los dividendos por fases Cuando calculam os la m ed ia g eom étrica, haciend o uso de la fórm u la de la tasa de interés en el régim en com puesto, observam os que la tasa d e c re ci m iento fue del 5%.
[lo o j C recim ien to p o r fases A veces las com p añ ías cre ce n p o r fases. Los negocios nuevos, cu ando son exitosos, suelen cre ce r vig oro sam en te en una etapa inicial. Luego la co m p eten cia, la ap arición de p ro d u ctos su stitu tos y un m ercad o satisfech o hace que la tasa de cre cim ie n to se u b iq u e en un nivel m ás cerca n o a la tasa de crecim ien to de la eco n o m ía en su co n ju n to . Suponga que los dividendos de Telefonía Celular cre cía al 5% d urante los prim eros 10 años de vida de la em presa para luego hacerlo al 2% desde el año 11 en ad elante com o i.é m uestra en la fig u ra ? ,? :
Figura 7.7 Crecimiento de los dividendos por fases Suponiendo un dividendo t=10 p ara el prim er año. el d itidendo del año t=10 sería 10 (1,05)8=15,51. El dividendo del año siguiente, correspondien te
G u i u e r k ^ q ló r E ZD u m r a u f
>20
a i período t+1, seria 15,51 x (1,02)= 15,82. Para calcular el valor de las acciones debemos separar la fórmula.eu dos fase-s: una fase para el crecim iento ai 5% durante un período finito de 10 años y otra fase para un crecim iento del 2% a perpetuidad:
\~
( I f 0.05)
(1 + 0, 20) 0.20 - 0,05
15.82 ■* (0.20 - 0,02)x (1 + 0,20)
- = 49,13 + 14,19 = 63.31
Note que el segundo término incorpora el valor de la perpetuidad cre ciente, ajustada por 10 períodos para llevarla ai momento cero. Con respecto a la política de dividendos en la República Argentina, es cierto que ésta ha sido muy errática y que muchas compañías no distribu yen dividendos en efectivo en periodos largos. El modelo de valuación por dividendos ciertamente es inaplicable en estos casos. Las empresas argentinas más estables en materia de política de dividen dos se muestran en la tabla 7.4. Observe que la mayona de las compañías que presentan una política de dividendos estable, son compañías maduras, mu chas de ellas prestadoras de servicios públicos (Utilities).
i I
i
I f: I:
Empresa TELECOM TELECOM TELEFONICA TELEFONICA TRANSGASNORTE TRANSGASNORTE TRANSGASSUR TRANSGASSUR METALURGICATAI+DIL METALURGlCATANDtL METROGAS MEtROGAS GASNATURAL GASNATURAL GASNATURAL GASNATURAL' GASNATURAL niDROFXET. AUGURA HIDROELET. AUGURA \TF \TF YPF CIAARGPETRO CIAARGPErRO CIAARGPETRO LEDESMASA LEDESMASA LEDESMASA LEDESMASA
Dividendos 212.000 212.000 249.6G0 242.824 39.360 14.112 150.954 158.999 41 41 45.540 56.189 53.344 53754 44985 33.180 15.»XX) 4.152 4.152 288.000 282.000 304.000 13.342 12578 13.900 5.129 8J315 9.000 9.000
Tabla 7.4 Empresas argentinas can dividendos estables
Período 31/05/96 31/05/97 31/05/96 31/05/97 31/12/96 31/12/97 31/12/96 31/12/97 31/12/96 31/12/97 31/12/96 31/12/97 28/12/93 29/12/94 30/12/95 3U12/9G 31/12/97 31/12/96 31/12/97 31/12/95 31/12/96 31/12/97 31/12/93 31/12/94 31/12/95 31/03/94 31/03/95 31/03/96 31/03/97
R e n t a sP e r t e t u a s yR ín t a sV a r í a s l e s
m
Renta variable diferida Resulta ser igual a la perpetua inmediata actualizada p o r p p e r ío d o s : 1V v (p + l , n , i \ g ) - C x -
(1 + ^ ) ’ (1 + /)
-X
La perpetua es igual a la correspondiente expresión para la perpetua inmediata actualizada también por p períodos: C V v(p +1, oo, i , g ) - ------- X V^ siendo i-g.,
l ■ v = -----1+ í
■
■' ' ■ l "-
Renta variable anticipada Resulta ser igual a la perpetua inmediata capitalizada por t penodos: > i4v (L o o .í,^ ) = - - ^ X ( l + z)'
Por supuesto, no existe imposición cuando hablamos de rentas perpe tuas, toda vez que no existe un período final. Ejem plo: Suponga que una em presa paga dividendos perpetuos por JlOO que crecerán a razón de g=3% anual. La tasa de interés ¡=13% y usted desea calcular el valor que tendrían las acciones dentro de 10 años a partir de hoy.
100 0 ,1 3 -0 ,0 3
e.
x ( U 3 ) '° = 3.394,6
7.4. RfirTTASVARIABLESTEMPORARIASENPROGRESION ARITMÉTICA Una renta es variable en progresión aritmética cuando cada cuota es igual a la anterior, más o menos una c a n tid a d fija . Sería el caso d e nn p rés ta m o cuyas cu o ta s se in c rem en ta n en u n a su m a f i j a o d ecrecen en u n a su m a fija . El ejem plo inm ediato es el sistem a alem án de amortización, donde los Intereses se reducen en una suma fija que es igual al pioducto de la amortización que se realiza en cada período por la tasa de interés. De esta forma, la cuota del sistem a alem án se reduce en una suma fija perío do a período. Tratamos eí sistema alemán con detalle en el próximo capí tulo.
222 .:
GUILIERA.1Q L ópez D
umrauf
Ren ta uunediata variable de pagos vencidos '
"^
Por ejemplo, si en un préstamo la primera cuota $ 100 y cada cuota crece en relación a la anterior en $ 10, diremos que la segunda cuota Q =; $ 110, y que la razón de la progresión R = 10, Antes de poder calcular el valor de la renta Inmediata para una renta cuyas cuotas varían en progresión aritmética es necesario ver ün arbitrio matemático que nos será de suma utilidad. Para ello, veamos cómo puede calciíiarse el valor de una rem a inmediata con cuotas constantes pero a través d é la resta de dos rentas inmediatas perpetuas: CAlculo d e la ren ta in m ed ia ta tem p oraria a través d e la d iferen cia e/irre a o s ren tas in m ed ia ta s perp etu as. Podemos calcular el valor desuna renta temporaria inmediata a partir de la diferencia de los valores de dos rentas perpetuas en diferentes mom em os de tiempo. Prim ero supongamos una renta perpetua de pagos unitarios que tiene com o momento de iniciación de pagos el momento 0 (cero) y por lo tamo su valor en cero es igual a a(l,«», i). La segunda, tiene como m om ento de iniciación d^ pagos el momento "n” y también se ex tiende hacia eríntinito, teniendo com o valoren dicho momento n, tam bién aU,**, i). o
af 1.00,1)
ai 1.oo.il
Si restamos al valor de la primera renta el de la segunda actualizada por n períodos (que corresponde actualizar puesto que los valores de am bas rentas se encuentran en diferentes momentos de tiempo) obtendre mos el valor de la renta entre 0 y n: a(í,«>.i)-a(i,««.il¡.v"=: a(l,n ,i) 1 1
1
/ / a+0"
'
(l-t-Z r -i
o + o '’/ Ai
Al lora que hemos visto que una renta temporaria inmediata de pagos venchios puede calcularse por medio de la resta de dos perpetuas con distinros momentos de iniciación de pagos, podemos plantear el eje de tiem po para la renta variable en progresión aritmética, cuya razón de varia ción definiremos como R, siendo R una suma fija que puede ser positiva o negativa. ^
R entas Perpetuas y R entas V ariables MI-MV O
1
2 1
3 1
n , 'i
C
C
c
(1)
C.afí,ñ,i)
H
(2)
R .V
1
1
R
Fi
1
R
R
(3) - (4)
- R .}/*
i
1
/
/
R .^ ‘ R y
Factor común: R/¡ 0(1,n,l) R/IVn Como puede observarse en el eje de tiempo, hem’o s descompuesto la renta variable en progresión aritm écica en 4 corrientes, que valuaremos en el m om ento 0 (cero) por separado. (1) Es una renta tem poraria inm ediata de pagos vencidos, cuya cuota es C. ^ (2) Esta renta se obtiene por diferencia entre dos rentas perpetuas: la primera renta perpetua la im a g in a m o s co m en z a n d o al final del período 1 (uno) y se extiende hasta el infinito; su valor al final del período 1 es igual a R/i, pero com o necesitam os valuarla en 0 la ajustamos por v (la actuali zam os por un período). Luego a este valor le restam os la renta perpetua que im a g in a m o s co m en z a n d o al final del período n y se extiende hasta el infinito: su valor en n es igual a R/i pero com o necesitamos valuarla en 0 para restársela a la prim er renta perpetua que habíamos imaginado antes, la ajustam os por V" (la actualizam os por n períodos.) De esta form a — por m edió de la resta de dos rentas perpetuas que im aginam os com enzando en distintos m om entos— habrem os obtenido el valor de Ja corriente de $ R que va de 2 a n. Para las rentas (3) y (4) procedem os idénticamente, ajustándolas siem pre al m om ento de valuación 0 (cero). Sacam os factor com ún R/í.v en el prim er térm ino de las corrientes (2) a (4), y factor com ún R/i.v" en el segundo término. De esta forma nos que da:
Ctí(l,/i, /)-h“ (v- i - - t - ... v")- ~ v"n Cri(l,/tí) +^ d(l,w,/) - ¿ v‘*n i
■, i
G u iL L E f u A O L ó p e zD u m r a u f
m
'
R
„
¿Por qué quedad último término de la ecuadon como y v n es decir multiplicado por"ii veces"? Es lo mismo considerar n o n -í, ya que si se consideran "términos" en general, aunque no existan "n Rs“ al restar n veces la razón actualizada, como la expresión R/ia(l»n.i) que aparece en el segundo término de la fórmula tiene como último término a j v ' al restar la misma expresión en el segundo término de la fórmula se anula un término de cada lado, así que si se consideran n-1 términos o n términos, debe considerárselo en los dos miembros. _ Finalmente sacamos factor común a(l,n,i) en los dos primeros térmi nos y q u e d a :'. " ' ' Vv(l,n, 7?) =
j fl(l,n ,i) ^ v " n
Ejerriplo: F.n los préstamos por sistema alemán (que veremos en el próximo ca pítulo) los intereses decrecen en una suma fija. Suponga un préstamo que se abona en cuatro cuotas, siendo la primera de $35. y que se reducen en $2,5 por mes (R=-2,5). La tasa de interés es del 10% mensual y debemos determinar el valor actual de la r e n t a :- - -
VMW.0.10,-2,5) = í C + —
0,10
1a(1.4.0.1 0 )-—
J
0.10
X —i - - x 4 = 100 ( 1.10)'
Renta variable diferida Es igual a la renta inm ediata de pagos vencidos, actualizada por el pe ríodo de díferimientor para obtenerla multiplicamos la fómula de la renta inmediata por el factor de actualización que com prende el período de díferimíento o aplazo 1^=1/(l-fl)p V v {p + \ j í J , R ) -
C+—
— v "n
u
*
Imposición Es Igual a la renta inmediata de pagos vencidos, capitalizada por n pe ríodos:
c+ U
R
aa,n ,i)--V n a + iy . ■i
R e n t a sP e r p e t u a s yR e n t a s V a r i a b l e s
> i
22$
Por supuesto, también puede calcuiarse la renta anticipada valuando la renta en unperíodo diferente de n pero siempre con elrequisito del momen' to de iníciaddn de pagos anticipándose al momento de vaJuadtín.
-
7 .5 . R entas variables perpetuas en progresión ARiTMÉncA
Podemos obtener las fórmulas directamente de jas respectivas fórmulas para las rentas temporarias variables inmediata, diferida y anticipada, sim plemente analizando el caso límite cuando n tiende a infinito: Renta variable inmediata de pagos vencidos Como la fórmula para la renta temporaria inmediata es:
Vv{l,n,UR) =
a{\,n,i) - ^ n
Cuando n tiende a infinito queda:
Renta variable diferida 'M I
Es igual a la perpetua inmediata actualizada por el período de diferí' miento ■ ^
Renta variable anticipada Es igual a la perpetúa inm ediata capitalizada por t períodos (en las perpe tuas no hay im posición):
Av(I, <»»,/, i?) 5
C+
Esquema y fórmulas de rentas perpetuas y variables L Rentas perpetuas con cuotas constantes, de pagos vencidos
G ü iu e r m o L ópez D um rauf
Diferida
Inmediata \^f rt 1 V1
^í 1 c V
■v-J
Anticipada 1
A ( í . ~ . / ) = - X ( l + / )'
i
------------------ -----------^ ------------------
lin el caso de pagos adelantados, las fónmulas anteriores se multiplican r Ü+D-No hay imposición en perpetuidades. 2.
Rentas perpetuas variables en progresión geométrica
Diferida
inmediata Wfl.«»,i, s) ~
Anticipada
C v'’ AV(l.eo,/,g) = X(1+t)' Vv(p+L«»,/,^) ss----X i-g i-S
3. Rentas perpetuas variables en progresión aritmética
Inmediata Diferida Anticipada
Kv(p +
- ^C + - ~ j a (],«>,/)
|^C + ^ ja (l.o o ,i)
(1+/T
4. Rentas temporarias variables en progresión geométrica
Inmediata
Diferida
Anticipada
’il+g)' " ^ ' 'i- _ (l +/)_ lMl.«,'í,í) =C— i- 8 ■" -i” 'a+g)' Vv(p+l,n,/,g) =C—, (1+/) . 1 i-g (i+
R e n t a sP ¿ R f '£ T U A S yI U n t a sV a r i a b l e s
G.
Rentas temporarias variables en progresión aritmética
íC
Inm ediata
fl(l,n ,z) - — v'‘n
+ -
í ■:
Diferida
V v (p i-l,n J ,R )= ^
Anticipada
A K1./I./,!?) =
C + — 1i3 (l, / i , /) - — V " // i
C+— i
i
i
V /I (1 + /T
RESins'IEN Las fórmulas de las rentas perpetuas tienen un uso ampliamente ex tendido en el cam po de las finanzas corporativas, fundamentalmente en la valuación de acciones. También son muy utilizadas por los practicantes para calcular el “valor continuo" de las operaciones de la empresa. Las fórmulas de las rentas variables en progresión geométrica son también muy utilizadas en la valuación de com pañías cuando se plantea el crecí- ' m iento por fases. Por ejem plo, los negocios “estrella" generalmente íienen flujos de efectivo que crecen fuerte los primeros años para luego dis minuir y acercarse a la tasa de crecim iento de la economía en que opera. También puede asimilarse una renta variable a un préstamo cuyas cuotas se indexan por ínflacjón. En el caso de las rentas que varían en progresión aritmética, tenemos como ejemplo de la vida real los intereses periódicos del sistema de amoilización alemán, que descienden en una suma fija período a período.
P reguntas
;:
^
1. ¿Cuál es el máximo niím ero de períodos en una renta cuya cu ota inicial es $U)0 y cada cuota se reduce en relación a la anteriot en $2? 2. ¿Por qué en una renta que decrece en progresión geométrica en im 10% el número de períodos puede ser mayor a diez? 3. ¿Cómo asimilaría la tasa de ínnación a una imposición o a una renta, . inmediata con cuotas variables?
■■i:
4. ¿Por qué es relevante el cálculo de la perpetuidad para el cálculo del valor de las acciones de una compañía? 5. ¿Tienen fundamento las críticas al modelo de valuación de dividen'dos crecientes? ^ . - -v -á ■‘"V;,
;
^
T¿S
G u i l l e r m oL ó p e zD u m r a u f
Problenws 1. La empresa Memorial S A distribuyela totalidad desús ganancias como dividendos, que representan una corriente regular de $20.000 anuales. Sí la tasa de oportunidad es del 20% ¿Cuánto vale la compañía? , Respuesta: 100.000. 2. Se espera que los dividendos por acción de la empresa Manguinhos crezcan indefinidam ente al 5% anual, acom pañando el crecim iento genpral de la economía. Si el dividendo del próximo año es de $ 10 y el ren dimiento exigido por e) mercado es del 10 %, cuál es el precio actual de la acción? Respuesta: 200.
^
3. Si Manguinhos fuese a distribuir todos sus beneficios podría m ante ner una corriente regular de dividendos de $15 por acción. Cuánto está, por lo tanto, pagando el mercado por las oportunidades de crecim iento de la acción. ,J Respuesta: so .
, .
m
„
4, Usted espera que el próximo año la empresa Pizza Up pague un divi dendo de $20 sobre sus acciones ordinarias. Después de eso espera que los dividendos crezcan a una tasa del 3% anual a perpetuidad. Si usted exige una rentabilidad del 15% sobre su inversión, cuanto estaría dispuesto a pagar por las acciones? Respuesta; 166,66. 5. El ganador de una lotería debe elegir alguno de los siguientes pre mios, teniendo en cuenta que su tasa de interés de oportunidad es dei 10 por ciento: a. i millón ahora; b. i millón y medio dentro de 5 años: c. $ 150.000 para siempre, heredando sus descendientes lo que él no alcance a cobrar; d. $ 200.000 por año, durante los próximos diez años, comenzando el
primer cobro dentro de un añoe. $ 80.000 dentro de un año, que se incrementan a razón del 6 % y se extienden para siempre, heredando sus descendientes lo que él no alcan ce a cobrar. Respuesta: a) l millón b) 0,93 millones c) 1.5 millones d) 1,2 millones e) 2 millones (mejor alternativa).
fe 'S I i
m
. nm
R ín t a sP e r p e t u a s y R e n t a s V a r i a b l e s
22
6. Un préstam o se am ortiza con pagos mensuales durante tres años. El prim er pago se efectúa a los quince (15) meses de recibido el piéstarnfj. Cada pago es inferior aj inm ediato anterior en el tres por ciento (3%) de la primera cuota, siendo el im porte de la última cuota de $ 10.000.- La tasa de ini eres es del seis por ciento (6%) sem estral y las capitalizaciones m ensuales. Calcular el interés contenido en la cu ota N* 20.
Respuesta; 2.022,3. 7. Si se desea reunir una sum a $300.000 al cabo de 10 años, y teniendo en cu enta que actualm ente puede obtenerse en un depósito a plazo una TNA d el 6 p o r c ie n to (6% ) p a ra 30 d ía s, e n que p o rc e n ta je d eb erán Increm entarse Jos depósitos m ensuales sí se realizan en form a adelantada y el prim ero de ellos es igual a $ 1000.- Adicionalm ente, calcule la sum a total de intereses ganados. . .. R espuesta: 1,009% . 8. Para cancelar una obligación que vence dentro de dos años una per sona decide efectuar a partir de hoy un depósito de $50.000 y veiníicuatro (24) depósitos m ensuales vencidos variables, el primero de ios cuales es de $10.000 y cada uno de los restantes m enor q u e el inm ediato anterior en el cinco por ciento (5%). La tasa de interés es del 1% m ensual. Determ inar: a. Im porte de la Obligación; b. Total de intereses ganados en el ipom ento de cancelar la obligación. Se sugiere mirar la resolución en el apéndice de respuestas que incluye una tabla con el descargo de los intereses. R esp uesta:226.444,33 y 3 4 .842,13. 9. Pablo A. quería saber que cuota debía abonar para pagar un présta mo de $ 6.881,11 teniend o en cu enta que la tasa de interés mensual es igual al uno por ciento (1%) y que el préstam o es de 60 cuotas, y que cada una se increm enta en relación a la anterior en $2. Respuesta: 100. 10. Las acciones de H orizonte cotizan a $ 22 al l/i/2002 y se espera que crezcan al 5 % anual. a. ¿Cuál es la tasa esperada de rend im iento al principio de 2002? El dividendo esperado para dicho año sería de $3 b. ¿Cuál fue el d iv id e n d y ie ld esperado y las ganancias dé capital el 1/1/2002? Cuál es la relación entre el d iv id e n d y ie ld y las ganancias de ca pital [ca p ita l g a in yield) bajo la hipótesis de crecim iento? Respuesta: a) 10,63%
b) D Y =Í3,63% y G=5%.
no
G
u il l e r m o
L
ó p e z
D
u m r a u f
11. Calcular el valorxlel dividendo del primer año de una corriente de 12 años cuyo valor presente es de 3.000.000.- calculado con una tasa de oportu nidad del 6% anual. Los dividendos de los primeros cinco años son iguales; los cuatro siguientes crecen en un 5% respecto a la anterior, manteniéndose tos restantes constantes hasta el final. Respuesta: 331.320,46 12. Dos personas se comprometen a abonar 4 cuotas. !a primera per sona, $ 500 más en cada mes, y la segunda, un 3% más en cada mes. Si un periodo antes de la primera cuota la suma de ambas rentas asciende a $ 100.000,^-, valuadas al 2% mensual, ¿cuáles el valor de la primera cuota? Respuesta: 12.480,66
R eferencias BIBLIOGRAFICAS Gordon, Myron, "The Investm ent, F in an cin g a n d th e Valuation o f th e Cordomrion", írwing, Homewood, I I , 1962. L Dumrauf, Guillermo (2003) Finanzas Corporativas, Grupo Guía, Bue nos.4ires.
■■'lí
231
íltNTAS P erpetuas v (U ntas Variabies A p é n d ic e 7 A
2,
-
Cómo asjmiuií una íienta variable a una reni'a de PAGOS fijos: EL MÉTODO DE U SUSTITUCIÓN DE VARIABLE Es posible resolver una renta variable asimilándola a una renta de cuotas constantes. Para ello, transformamos la renta variable en una renta constante modificando la cuota y la tasa de interés. De la deducción que sigue observa remos al final que la tasa i' utilizada en la operación es como una tasa e q u iv a lente que, utilizada en una renta cuya cuota constante será c/q , nos da el mismo resultado que si hubiéramos aplicado la fórmula de la renta variable que ya hemos visto. Llamaremos "q" a la tasa de variación de la cuo ca y consi deraremos los dos casos posibles: q.vl ( la renta es creciente)
1“ CASO : qv
;
Si llamamos a Ja razón
r/P = v ' - —----- 0 + n
(aquí v* es ün valor menor a
uno) Entonces qv tam bién puede escribirse:
gv = (1 + D
Despejando v = —jcr? 0 + 0
:■
Como para resolver la renta vamos a necesitar la tasa í‘, la despejamos de la expresión anterior: f= ÍY Í = i± í CJ
V
'
• ■■V'
■
q
Reemplazamos donde dice qv en la fórmula de la renta inmediata por v'^’ yavpor
c
1
—x q (1 + n
l
1 -0 0 "
—.x- — - X ------ ^ — . q (1 + n 1 - 1/ Si reemplazamos v’ por 1/1+i' en la fracción del denominador podemos eliminaralgunos términos: ;
G u i l l e r a ^ o L o p e ? .D u m r a u f
232
£ i ± ± 2 L = 5 v - L jc lz M l ( / ■ '(i+ O j _____ 1 ~ g '1 + r * i - n '- i (14 (')
i+ r
y fíjialmente queda: c J-(v T c n - .V — - — ■= - f l ( l ,/ z ,0
q
r
q
ia tasa r que utiiizarernos es la que ya fue obtenida a través de í'=
-1
La fórriiuia resuílame implica que podemos resolver una renta de pagos variables transformándola en una de pagos constantes, si modificamos la cuota c por una nueva cuota (que será c/q) y también modificaremos la tasa de interés i por una nueva tasa de interés í’. Está forma de resolver una renta variable com o si fu era una renta de pagos co n sta n tes, resu lta ser equiualentem ents m atem ática. ■ Ejemplo: Suponga que quiere calcular el valor actual de una renta cuya primera cuota c=Í00, i=l 0%, q=l,05 Si resolvemos por la fórmula de la variable, resulta: l-
a + ^ )"
I-
Vv(l;10;0.1 ü;1.05) = c----— = 100 — ,
z '-g '
(+0.05)“
= 744
0,10-0,05
O podemos resolverla asimilándola a una renta de cuotas constantes, en cuyo caso la cuota será lOOyq yla lasa de Interés a utilizar será i'= (l4i)/q -1 = 1,10/1.05-1 =0.0476 l ~ ------ ------r ^l - ( v 0 " —x-^--------
q
100^ 1,05
(1.0476)'^ ,7 .H 0,0476
Como puede apreciarse, las dos conducen al mismo resultado.
2“CASO:qv>l ;í
V
v
, :
Entonces podemos decir que qv = 1+ r (como q .v> l, transformamos el producto de q.v en un factorde capitalización equivalente cuya tasa llamamos i")
R entas P erpetuas Y R entas V ar.>ablei despejando v = (l+rO/q
233
^
reemplazando en la fórmula de la renta inmediata a v ppr y = 1 +í"/q y a q v p o rq v = l+ i” c (H -n ^ K (l + r)" q
-i-a + n
multiplicando por -1 numerador y denominador^ qu ed a:
£ Ü ± n ,a q
t a í"
- ! .£ ,( o ,,,n q
que, com o se observa, resulta una imposición de pagos adelantad‘)s cuya cuota es igual a c/q.
*•
C A P fr ü L O 8
P r ésta m o s c o n I nterjeses so b r e S a ld o
“S i y o te d eb o una libra, tengo un p roblem a; p ero si te d eb o un m illón , el problem a es (uyuZ
Lord JoJin Mayríard Keynes (1883-19^6). ¡
E cünom ísra ingles
Tanto las organizaciones com o los individuos requieren de préstam os de dinero para adelantar consum os o realizar inversiones. Uno de ios préstamos m ás com unes es el que requieren las familias con destino a la com pra de viviendas, que en general suele ser otorgado por entidades financieras bajo el sistem a francés, y en algunos casos, por sistem a alem án. v En n u estro m edio existen diferentes m odalidades de préstam os en cu an to a la d evolución (am ortizaciónj del capital y la form a de cálculo de los intereses. En el co n texto estricto de las Finanzas, "am ortizar” alude al p ro ceso que extingue una deuda m ed ian te el pago del capital, también llam ado frecu en tem en te p r in c i p a l . E n to n ces, cuando hablam os de am o r tizar un p réstam o nos referim os al p ro ce so p o r el cuál se devuelve el cap i tal que originó la obligación. Las m od alidad es m ás extendidas son las que calcu lan in tereses sobre saldos, que en general p odem os clasificarlos del siguiente m odo: 1. Sistema Francés
'^
2. Sistema Alemán 3. Sistema Am ericano
-
Describirem os sistem áticam ente cad a una de estas modalidades, con particular énfasis en los m ás utilizados en nuestro medio. A los efectos de poder establecer una com p aración integral entre los mismos, en todos los casos considerarem os un préstam o por valor de V =$IO O con una tasa de contrato /= id % y se am ortizará en 4 períodos en todos los casos. Esta m e todología perm itirá una com paración directa entre las cuotas resultantes de cada modalidad y también establecer un “ranking” en términos del costo , efectivo para establecer com paraciones con los tipos de préstamo que ve rem os en el próxim o capítulo. La com paración se extenderá para tratar el punto de vista de la em p resa que solícita un préstam o, en cuyo caso el
2K>
G u í i l e r m oL ó p e zD u m r a u f
efecto de paJanca fín a n c ie ro y los ahorros fiscales que generan Jos Intereses serán las variables del análisis. Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de: ♦ Calcular las principales categorías de un préstamo (cuota, valor ac^ lual.etc,) • Calcular el saldo del préstamo en un momento determinado. ■* Calcularelverdaderp costo efectivo del préstamo. • Analizar la conveniencia de uno u otro sistema desde la perspectiva de la empresa (efecto palanca financiero, ahorro fiscal] o desde el punto de vista de un particular.
8 J . S istema FRAi'JCÉs Es uno de los sistemas más utilizados en nuestra plaza financiera y es también llamado sistem a de amortización progresivo, debido a que la amortización del préstamo crece en progresión geométrica. Como los in tereses se calculan sobre saldo, y éste decrece a medida que se va devolvien do el capital, la amortización necesariamente debe crecer con el objeto de mantener la cuota constante. Entonces tenemos que las cuotas de este siste ma están compuestas por dos componentes: Cuota total =: amortización periódica (tp) + interés periódico I {p-l,p }
B Interés □ Capital
Figura 8.l Composición de la cuota en ej sistema francés Observe eri la figura 8.1 cómo la ültíma cuota contiene muy poco inte rés y prácticamente está compuesta sólo por amortización de capital. Esto hace que la cancelación "anticipada* en este sistema— si lo que se busca es un ahorro de intereses— sea conveniente hacerla a! principio de éste, pues una, cancelación anticipada en ios últimos períodos generaría un ahorro muy bajo de intereses.
•í»"* 'X
'
W:
P r é s t a m o s c o ní n t f r é s s o b r e S a l d o
237
Fórm ulas m ás utilizadas • VaJor del préstamo El valor del préstamo en este sistema resulta de calcular el valor ac tual de las cuotas que lo com ponen (y que contienen interés), por lo tanto resulta ser una renta Inmediata de pagos vencidos: V = C f l ( I ,7 Z ,0 = C
a + » r-i d + O " <•
Resulta claro que para obtener el valor del préstamo a partir dol valor de las cuotas que se pagan por éste, la fórmula opera “segregando" a cada cu ota la porción de intereses que contiene; esto es precisam ente lo que hacem os al actualizar las cuotas totales. Para los demás elem entos de este sistema, podem os decir que: • Cuota del préstam o Se deduce de la fórmula del valor del préstam o realizando un simple pasaje de términos
• Número de períodos Recurrimos al uso de logaritmos, debido a que necesitam os “bajar” el exponenie n . A continuación se desarrolla la deducción de la fórmula para su obtención: K=C (1 + í)" /
c
(í+ iT
1
(i+ iT
d+0"
(1+/T
c
(! + /)" =
C-V i n ln(l + i)=ln
/! = ■
C - V 'í ln (l + i)
C -V i
2M
G u i l l e r m oL ó p e zD u m r a u f
T o ia d e interés: d e l p résta m o Puede obtenerse por el método de la interpoladán lineal reiterada o con otros métodos iterativos. La interpolación lineal reiterada fu e descrita en el capítulo de rentas temporarias. La tasa de interés en los préstam os sobre saldos, es siem pre igual a la tasa da interés implícita o TIR que obtiene el prestam ista (1), y puede calcularse por interpolación lineal reiterada o algún otro método iterativo, com o el m étodo de aproximaciones sucesivas. Pero aquí debem os reali zar un com entario im portante: para que el prestamista obtenga un rendi m iento igual a “i" por cada préstam o que otorga, d e b e n e c e s a r ia m e n te rein v ertir la s cu o ta s q u e va c o b r a n d o d e s ú s clientes a la m ism a ta sa es decir . que debe prestar nuevam ente ese dinero a ia misma tasa de interés. Si lo hiciera a una lasa menor, el rendimiento al vencimiento disminuiría, en cuyo caso el cálculo del rendimiento obedecerían una tasa de rentabili dad com puesta obtenida, llamada a menudo "TIR modificada", que descri biremos en el capítulo destinado a las técnicas para la evaluación de pro yectos de inversión- Este cálculo supone reinversiones a diferentes tasas de interés para luego calcular una tasa de interés periódica que represente el verdadero rendim iento obtenido.
Cuadró de m arch a A los efectos de ver ja evolución del reembolso del préstamo por este sistema, se reproduce un cuadro de marcha para un préstamo de $ 100 , a una lasa de interés periódica de! 10 % y amortizable en cuatro cuotas. Esto permitirá una visión intuitiva de como se desarrolla el préstamo y luego se describe el mismo cuadro en términos simbólicos, lo que permitirá esta blecer una serie de relaciones importantes de este sistema, como son los intereses periódicos, la amortización periódica y el total amortizado: Período
Saldo inicial
Interés periódico
Amortización periódica
Cuota
Total amortizado
I
100
10
21,55
31,55
2^55
78.45
7,85
23,7
31,55
45,25
54.75
5,48
26,07
31,55
71.32
28,68
2,87
28,68
31,55
100
TOTAL
26.19
. ■■
Tabla 8.1 Cuadro de marcha, sistema hancés
r
(1) Aveces las entidades financieras cobran comisiones por gastos de otorgamiento que terminan elevando el costo del préstamo. Es por ello que el BCfiAobliga a publicar el "costo financiero total deipréstamo"
P réstam os 'iíS?
con
In t e r é s
so br e
Saédo
En símbolos, el mismo cuadro sería: p
Vp
Up-l,p)
c
‘p
I V
c í, ;=C-V.I
2 v-t,
c
P V-VV---V. (V-vv...-v,).¡
c
n
C
r, = i,
i, = c-íV-l,).l =
r,(l+í)+t,(l+Qi+.^.+£ fl+jji. 1 T =
i, s(J,i,n)= ijd+ij" -1 I
Tabla 6.2 Cuadro de marcha, sistema francés. Deducción de fórmulas t Note que en la última columna (total amortizado) expresamos todas las amortizaciones periódicas en función de ti y quecla una imposición ya que: ^ Tp= tj+ Í2+....+ tp=t,(l+i) + t^a+i)2+...+ t.d+i)*** que resulta ser una imposición de t, por r períodos
Tp =t^
Y Tn resulta ser una imposición de t, por t períodos T n =
a - f iv - t
(1 + i T - í
Del análisis del cuadro de marcha surgen interesantes relaciones ma temáticas que nos permitirán conceptualizar una serie de categorías como el fondo am ortizante (r^), la am ortización periódica { t p ) y el total amortizado a un período dado (Tp). * El fondo amortizante {tj ): constituye la subcuota de amoriízacióií del primer período, y es una díí las variables más importantes del sistema francés, pues, a partir de t i es posible calcular una gran cantidad de cate gorías. Representa el cimiento sobre el que luego se “edifica” la amortiza ción del préstamo. • La amortización periódica (tp): representa la subcuota dé amortiza ción de un período cualquiera, y como puede verse en el cuadro de mar cha anterior, es igual a t i multiplicado por el factor de capitalización fl+i) elevado al número de período considerado menos 1 (uno):
• Total amortizado a un momento determinado (Tp) : representa el total amortizado del préstamo a un período y es una suma de subcuoias de
G u i l l e r \íoL ó p e tD u m r a u f
2 íÜ
amorUzación‘'impuestas" al período p; enlal sentido representa una im p osi ción d e í, p o r p p erío d o s:
Tp-I,
( l + í ) '- !
Obviamente, el total amortizado al período n, es Igual aJ valor nomi nal-del préstamo (Tn = V), y resulta ser una imposición de t, por n perío dos:
Tn- í. • Tasa de am ortización dél préstam o: Es la relación existente entre la cantidad am ortizada en un período y el saldo de la deuda a ese período. Por ejemplo, para el prim er período debería relacionarse t i con la deuda itvicial: ' m, =
' Vi
Y generalizando para un período cualquiera "p"; U pV V (p -l) Divisorfijo En general, para el cálculo de las tasas efectivas de los préstamos en la ilepúblíca Argentina, se utiliza un año de 365 días. No obstante, en su co mún icadón "A" 3Q52, punto 1.5.1., el BCRA estableció un año de 360 días para los préstamos hipotecarios sobre vivienda y prendarios sobre auto motores, que tuvo com o objetivo facilitar el proceso de titulización o securitización pensando en su eventual colocación en el exterior y que fue ran homogéneos con otros títulos, ya que en otros países se utiliza el año ele 360 días. Ejemplo Ün individuo solicita un préstamo hipotecario por $50.000 a devolver en 120 cuotas fijas mensuales. La tasa nominal anual es del 12%. La cuota
que debe abonar por dicho préstamo es
C = 50.000 X
(1,01)'” X 0,01
o.oi)'“ - i
= 717,35
La tasa de Interés del 1% resulta de dividir la tasa nominal anual por 12 {ya que en un año de 360 días resultan 12 meses exactos de 30 días).
iíXi
PRÍ57AMOS CO^f ÍNTERES SOBRE S a LQO
241
C álculo d e l sa ld o d e l p résta m o : m éto d o s p rosp ectiv o y retrosp ectiv o El cálculo dei saldo del préstamo en un momento determ inado es un cálculo muy común en la operatoria bancaria. Esto puede hacerse Jior dos métodos: el método prospectivo y el método retrospectivo q u e describi mos a continuación.
Método prospectivo Consiste en determ inar el saldo del préstam o en un m om en to dado (por convención establecem os que ese m om ento se encu entra al ílnal de un período "p") actualizando las cuotas aún no abonadas co n la tasa de interés del préstam o. Observe en el esquem a siguiente cóm o se actualizan todas las cuotas que se encuentran luego del período "p" hasta el último. En t ^ sentido, en el m étodo p ro sp ectiv o vam os desde el futuro al presente, al actualizar la cantidad “/i-p" cuotas. * C onceptualm ente, la actualización opera de tal m anera que el valor actual de las cuotas aún no abonadas resulta exactam ente igual al saldo de capital puro que se adeuda en el m om ento "p”, com o se observa en la figu ra 8.2:
P=20
p+1
P+2
n + z)
C Í1
Figura 0.2 Saldo del préstamo por el método prospectivo
Ejemplo Un deudor que ha solicitado un préstam o por $40.000, a una tasa del 12% nominal anual por un plazo de 120 meses, desea calcular el saldo de la deuda
G u iiu (u .v oL ó p e t D u m r a u f
iat fi nal déí período 60. La cuota mensual es de $573.88,- Para calcular el saldo, actuaüz irnos las 60 cuotas que faltan abonar; 573.88 a ( l.60,0.01)^25,798,96 Método retrospectivo Aquí se calcula el saldo del préstamo restando al valor total de éste (V) el total amortizado (Tp) al final de un período cualquiera "p". Calcula exac tamente el mismo saldo que el método prospectivo, pero de otra forma: resta al Valor total del préstamo una imposición de p amortizaciones pe riódicas. Normalmente el saldo se calcula por el método prospectivo pudiendo usar como control el método retrospectivo. Es como si fuéramos dél pasado hacia el presente: para calcular el saldo restamos de lo que re cibimos como préstamo todos los pagos de capital que realizamos, capita lizándolos hasta el período p, como se observa en la figura 8.3:
Vp = V - T p = V - ¡ , ~-'*' - ^-
:
'
i
‘ =40.000 -173,88
----- i = 25.798,96 0,01
Cálculo del saldo del préstamo en un período irregular El raso más común es que el deudor se presente un día cualquiera en la institudón bancaria y quiera cancelar el préstamo en ese momento. Como en la práctica no siempre ese momento coincide con el vencimiento de una cuota, debemos hacer un ajuste por el período irregular. Supongamos que el deudor del caso anterior se presenta en el banco 10 días antes de que venza la cuota 61; en ese caso deberemos primero actualizar las 60 ■cuotas que restan y luego realizar el ajuste por el período irregular actuali zando el saldo obtenido en la operación anterior por diez días. Podríamos realizar él primer cálculo actualizando 59 cuotas y a ese valor sumarle el pago de Ja cuota 61 o considerar pagos adelantados a partir de la cuota 61 ; en cuyo caso llegamos al mismo valor actual al final del período 61;
M
PRtST;íJv\OS C O M ÍN T ER E S S 06R E S a LD O
573,88a(0,60A Ü J)-26.0S6,96
o tam bién
V^^=573,88a(l,59,0.0l)-^ 573.88^26.056,96 Luego realizamos el ajuste por los diez días del período irregular, actuali zando el saldo de la deuda al final del período 61 por una tasa equivalente de 10 días a la tasa del 1% mensual: 61
Momento del pago
- - - 1- - -
^
^
120
26.056,96
= 29.970.67
Figura 8.4 Ajuste del período irregular
Tiempo medio de reembolso El tiempo medio de reembolso (TMR) representa la cantidad de perío dos que se demora en devolver la mitad del capital. En el caso del sistema francés, esto se produce siempre después de la mitad del plazo del présta mo, debido a la am ortización crecie n te (naturalm ente, no podría amortizarse la mitad del présmmo en la mitad del plazo, puesto que la amortización creciente en progresión geométrica generaría que al final se amortizara un valor mayor que el préstamo original. Podemos expresar el tiempo medio de reembolso de la siguiente fo r-' ma: como Tn y queremos averiguar cuál es el tiempo que se tarda en reembolsar la mitad del préstamo igualamos Tn/2 con la fórmula deí total amortizado a un período (note que el Tp debe ser igual a la mitad del valor del préstamo): (l-f/)'’ - ! _Tn =_r/, =^(, ---■■ 2
I
Puesto que lo que queremos despejar es el momento (p).en que cance lamos Tn/2, solamente debemos despejar p. Reemplazamos en el niiembro de la izquierda Tn por su fórmula: u
t:z í2
;------ /
Simplificando t, e i luego nos queda:
GlIfUtOMO Ló I'EZ D uw RAUF:
¿44
0 + / T -I
= (l + í ) ' ^ - l
4 i l ^ l i l + i = ( i + í ) '’
Jinalmente, aplicando logaritmos In
"(1 + 0 " ~ 1
= pln(Í+i)
hy (l + i T - 1 + i p(TO/?) = —^
ln(l + /)
;; '
~
El tiempo medio de reejnbolso depende de dos variables: 1) el plazo del préstamo ' 2) la tasa de interés Cuando ambos aumentan, aumenta el TMR: en el primer caso es claro que ai aumentar el plazo del préstamo también aumenta el plazo para amortizar la mitad de éste, y en el caso de un aumento de la tasa de inte rés, al aumentar la participación relativa del interés en la cuota, también alarga el tiempo medio de reembolso. Ejemplo Calculemos el tiempo medio de reembolso para el préstamo de $50.000 que tratáramos anteriormente. , In
(l,0 l)'^ ^ -l
p(r/V/7?)=-
ln{UH)
+I
-i = 76,93
Como se aprecia, el TMR siempre se ubica por encima de la mitad del plazo en el sistema francés. ‘
Fondo amortizante El fondo amortizante (tj) lo podemos calcular como t,=C-Vl como se vió en el cuadro de marcha, o con el sólo dalo de la cuota. Teniendo en cuentaque:
m
JJ}
P r e s t a m o s c o nIn t e r é s s o b r e S a l d o
Tn^V
■■ ■■ -y- ' ^
Podemos expresar esta igualdad como:
Y corno una Im p osición es igual a una renta inm ediata actualíz^ida por n períod os, ten em os:
/,j(l,n,í) = C
í(í,n ./ ) (1 + /)"
Simplificando términos queda:
í, =-
C
(i+ / r
Intereses periódicos Los calculamos multiplicando la tasa de interés por el saldo de deuda. Por ejemplo, si queremos calcular el interés que se paga en un período contenido entre p-i y p, hacemos:
/( p - L p ) = /x V
=ixC
(1 + 0""^'’“'’ “ I íi-ír-n
(l + O
O también 1H p -1 , p) = í X V
-
= /X C —
— -- c
1-
‘1 -
0 + í)
O también a partir de tj, si razonamos el interés periódico como la di ferencia entre la cuota y la amortización que corresponde a ese penodo. Si recordamos que la cuota y Ja amortización periódica tp los podemos ex presar en función de t,, tenemos: / ( p - L p ) = c - t p = / ,( L + o ;- T ,a 4 / ) ^ ~ '
I
Finalm ente, sacan d o facto r com ün ;( p - i,p ) = ( ,[ a + o " - a + ir " J
Ejemplo Se desea calcular el interés comprendido en la cuota 61 del préstamo de $50.000 cuyo saldo al final del período 60 (25,798,96) daJeuiáfamas en - : las secciones anteriores por los métodos prospectivo y fetfospecth b. '&:k
C jU lLlE R ^íO LÓPE2 D U M R A U F
¿il.
^/
l)
=f
X
= 0.01 X 25.798,96 = 257,98
O tíimbién
= 257,98
= 573.88 1—
1L
( i + v r ' '’"'*
(Note que p = 6 l y p -l= 6 0 en la fórmula)
Intereses abonados entre períodos no consecutivos Supongam os que querem os saber la cantidad de intereses abonados a lo largo de un préstam o. Tom em os de nuevo nuestro ejem plo del présta m o de S50.000 con unta TNA del 12% y 120 cuotas. Para calcular los intere ses entre 0 y n, restam os a la cantidad total de cuotas pagas el valor del préstam o, / (0 ,n ) = n C - l / - Como V=Tn, tam bién podem os hacer
7(0,n) =
n C ~Tn
A partir de ahora, para los siguientes casos, siem pre razonarem os de la sigu iente form a: ruíinero d e cu o ta s p a g a s - tota l a m o rtiz a d o a un p e r ío d o Por ejem plo, para los intereses abonados entre 0 y p:
0
p
. p -
,
I
n
-------------------------------- i
>
m p )= p c -T p
Para los intereses abonados entre p y n: 0
p
n '
J{p ,n)^{n -p )C -{T n -T p ) Para los intereses abonados entre p y le
o
P
k
I{p ,k)^{k-p)C -{T k^T p)
Préstam o s
ccn
iN TÉRts
so bré
¿4'
Sa l d o
Vamos a d esarrollar esta úUiina expresiórj ya que nos sirve p ara ca lcu lar la cantid ad de in te rese s ab o n ad a en tre dos períod os c u a le sq u ie ra , si renom bram os co rrecla n ien te a p y a k (por ejernplo, si querem os ca lcu la r los intereses entre 0 y p, es co m o si p=0 y k=p). Por lo tam o, es una fó n iiu la general para calcu lar los in tereses ab on ad os entre períodos no c o n s e c u ti vos. C om o T k y Tp so n dos to tales a m o rtizad o s en d iferen tes p erío d o s, son Im p o sicio n es del fo n d o a m o rtiz a n te l, p o r k y p p erío d o s resp ectív a rn en íe; reem p lazan d o Tk y Tp por sus resp ectiv a s fó rm u las, te n e m o s:
(l +/)‘ -l . (1+/) -í,
l{p ,k ) = { k - p ) C -
Sacand o facto r com ú n t, y d en om in ad or com ú n i dpntro del co rch ete, queda: , ' (i+ / )‘ - a + o '
H p ,k) = {k - p )C -t,
E je m p lo
.
D eterm in am o s ah ora los in tereses a b o n a d o s entre el m o m en to 0 y la m itad del p réstam o :
1(0,p ) ^ p C - T p - p C - í^
(l + i V - \
^(0.60) = 6 0 X 7 1 7 , 3 5 X 2 1 7 , 3 5 X ■ ^
= 2 5 .2 9 0 ,0 9
0,01
R esu m en de fó rm u las p ara el sis te m a fra n cés
C ateg o ría
F ó rm u la u su al
Valor del p réstam o
V = C
1-r
(i+ / r /. F órm u las altern ativ as: V = C
1
1'
7 I (i+ í)"
■■
‘V ■ ;
■ ■■■ ■ .
■ ■ ■ ■ ■
: ; ■
^ ,/V n
t :- .' -
,
>15
'
GuiLLEflM O LOPEZ DUMRAUr
Categoría
Fórm ula usual
Cuota
c = v 'il ± in (i+ í)"-i f
Nu mero de períodos In
C-Vi
n = —^ In (I -h/) S>'\ 'lasa de interés
Interpolación lineal Fórmula de Baily
Amortizáci'Hi periódica
=
(1 + 0 '
Fórm ula alternativa; tp - C - iT , - C ~ i x C
(í + 0
i-ír-ii
-1
(1 + 0 Total am ortizado
Fondo amortizante
rp=t^
(1 + 0 ^ - 1
. c
t, =■
'
(i+ O "
Fórm ula alternativa; /, ~ C —Vi Interés periódico
-i
(I + O
Fórmula alternativa; / ( p - i . p ) = í , 1 ( 1 + 0 '- 0 + í r ' J Intereses entre períodos
Tiempo medio de reem bolso
/ ( p ,k ) ^ (/ c -p ) C -íi
d + iy -a + iy '
In ( i + 0 ” - l + l p iT M R y ^ ’
ln(l + í)
J U S T A M O S CON In t e r j é s s o b u e S a l d d
Categoría
24^
Fórniuia usual
Tasa de amortización
V( p-l ) Saldo del préstamo
Método prospectivo
Vp = C
(1+0
(n-p)
Método retrospectivo
;
Vp=v-Tp=v Tabla 6.3 Resumen de fórmulas para el sistema francés El recálculo de la cuota del préstamo por refinaridación
Existe una cantidad de casos donde es necesario recalcular el saldo de! préstamo. Las causas más comunes son: ^ 1. Cancelación anticipada 2. Atrasos del deudor en el pago de cuotas que motivan una refinanciación 3. Pagos extraordinarios durante la vida del préstamo 4. Cambios en la tasa de interés 5. Alargamiento del plazo Excepto en el caso de la cancelación anticipada, en todos los casos se hace necesario el recálculo de la cuota, ya que significan un cambio en las condiciones contratadas al inicio del préstamo. Ejemplos:
'
a) Cancelación anticipada Un préstamo de $50.000 que fue contratado por 10 años (120 »neses) tiene un TNA del 12% (1% mensual) y la cuota resulta sér de: C= 50.000 a(1.120,0.01)=:717,35
^
;
Puesto que el prestatario decide cancelarlo anticipadamente ¡il final del período 20, podemos calcular el saldo del préstamo mediante el méto do retrospectivo actualizando las 100 cuotas (120 cuotas totales menos 20 que ya fueron pagadas) que faltan pagar:
•?;í' ■2:5¿í- .;
G untfR M O López D ump ^auf
•V'-. Para apreciar com o disminuye el saldo del pre'stamo, observamos cuales serían los saldos al final de (os períodos 20,60 y 100: 20 45.214.06
60 32.248,71
100
12.945,06
120
0
Como vimos antes en la labia de marcha, las cuotas contienen una m a yor porción de intereses al principio, ya que el capital se amortiza en forma progresiva. Esto genera que el saldo de la deuda disminuya lentam ente al prÍncíi»ío, siendo que en la mitad del plazo se deba más de la mitad del préstamo inicial (la mitad seria 25.000 pero al final del período 60 se deben '3 2 .2 4 8 .7 1 )., * b) ciacióu
Atrasos del deudor en el pago de cuotas que motivan una refínan-
Supongamos que al final del período 20 el deudor se atrasa en el pago de las cuotas durante 3 m eses y el banco decide cobrarle en carácter de intereses punitorios el 2% mensual {el doble de la tasa de interés del prés tamo) y $50 en carácter de gastos administrativos. Los bancos suelen ca pitalizar las cuotas que se dejan de abonar por el período de m ora (ver más abajo com entario sobre la Cbmunicación "A“ 3052 punto 1.6.2., inte reses punitorios). En ese caso su nuevo saldo después de los 3 meses de atraso será: , 717,35 5(1,3.0.02) -»•717,35 a (1,97.0.01)= 2.195,39 +44.410,43= 46.605,80 (si la tasa de interés de la mora hubiera sido del 1%, también se podía cal cular ei saldo actualizando 100 cuotas y luego capitalizar este resultado por 3 meses, llegando al mismo resultado) A partir de ese momento, podrían darse dos situaciones: a) que el prés tam o se salde en el período de tiem po originalmente pactado, en cuyo caso lo cuota sufrirá un aumento o b) que se mantenga la cuota original, alargando el plazo del préstamo, (si la tasa de interés de la mora hubiera sido dct 1%, también se podría calcular el saldo actualizando 100 cuotas y luego capitalizar este resultado por 3 meses, llegando al mismo resulta do). a) préstamo saldado en el plazo original: debemos saldarlo en 97 m e ses pues el atraso fue de tres periodos. La tasa vuelve a ser la originalmen te pactada en el préstamo. L a n u ev a c u o ta se ría
C ^ 4 6 .6 0 5 ,8 0 a (l,9 7 ,0.01)^752,816
b) 5 e m antiene la cuota original, alargando el plazo del préstamo: en este caso la incógnita es por cuántos meses se deberá seguir abonando la cuota original de 717,35:
m -i'-
P kcstamos con Interís souiu ía id o n = 105,ü D ebido a que algunas calculadoras redondean el valor calculado de n para el próximo núm ero entero mayor^ en el ejem plo anterior es posible que — aunque sean necesarios 106 pagos para liquidar el préstam o— sola m ente 105 sean de 717,35 y un último m e n o r Hn la práctica, se sigue el proce dim iento de redondear hacia arriba el núm ero de períodos, com o se explica a continuación. E l a ju s te d e l n ú m ero d e p e r ío d o s c u a n d o n n o es en tero Como no es posible que un préstam o se conced a por "105, 8 períodos" se procede a ajustar la cu ota sim plem ente redondeando el núm ero de p e río d o s. P or e je m p lo , sí d e fin im o s n = 1 0 6 , la c u o ta r e s u lta n te será C = 715 ,2 5 . In tereses p u n ito rio s. C o m u n ic a c ió n "A" 3 0 5 2 d e l BCFl^ En su C om unicación "A" 3052 el BCRA reglam entó la aplicación de Jos intereses punitorios por atrasos de los deudores, estableciendo que se con certarán librem ente entre Jas partes. A la vez, en el punto 1.6.2. estableció que en los préstam os am ortízables m ediante pagos periódicos, Jos intere ses punitorios sólo podrán aplicarse sobre el m onto de las cuotas vencidas e impagas y no sobre el saldo de deuda total, en el caso de que la entidad acreedora decida p ercibir dichos servicios sin ejercitar la facultad que se hubiera convenid o de consid erar toda la obligación com o de plazo ven cido. Asim ism o, en su com u nicación "B " 7541 del día 9/10/2002 difundió las tasas de interés prom edio que se cobraron en 2001 para los siguientes ti pos de préstam os: H ipotecarios
12,38%
Prendarios
16,41%
Personales
25,98%
c) Pagos extraordinarios durante la \rida del préstam o Supongam os aiiora que el deudor decide realizar un pago extraordi nario de $10 000 al fina) del período veinte. Como las cuotas adeudadas co n tie n e n intereses que todavía no se han devengado, necesariam ente dicho pago debe im putarse al capital, por lo cual el nuevo saldo de la deu da ai final del período veinte será: V2o= 717,35 aíU O O ,0.01) = - Pago Extraordinario = Saldo ñero
4 5 .2 1 4 .0 6 flO 000) 3 5 .2 1 4 ,0 6
■v V .
' v'
'
'm
G u i l l b r m o L o r izD u M R A u r
Y la nueva cuota resultará, si se mantiene el número de períodos origltmbnenté pactados C= 35.214,06 a(ia00,0.01)=558,69
Como ios bancos imputan las amortizaciones parciales y cálculo del sal do del préstamo Los bancos suelen imputar el pago de amortizaciones parciales a la porción de capital-de las últimas cuotas, disminuyendo en consecuencia, el número de cuotas que resta abonarse. SI volvemos a nuestro ejemplo Inicial de un préstamo de $100 en 4 cuotas fijas de 31,54 a una tasa del 10%, y de repente el deudor quiere hacer un pago extraordinario de $ 20,68, e! saldo de la deuda sería el mismo tanto si fuera calculado a partir del méto do prospectivo o si el banco Imputara el pago extraordinario al capital de la última cuota, en aiy o caso el saldo por pagar sería de $26,07 : V js 31,54 a(l,2,0.10) =
54,75
- Pago Extraordinario =
f28.63)
Saldo neto
26,07
Se observa en la tabla fi.4, que si al final del segundo período (o al princi pio del tercero) se deben 54,75 y se abona por anticipado 28,60, el saldo icsultante es de 26,07, exactamente igual al que Ilegííbamos mediante el mé todo prospectivo. Período
Snido Intcinl
Interés perlátilcn
AmorÜzndón pcrlúdlcn
Cuntft
Ibíal nmnrUzaclo
1
ion
10
21,55
31.55
21.55
2
78,4P
7.85
2.1.7
31.55
45.25
a
54,78
5,'ia
26.(17
31.55
71,32
4
28.01
2.87
26.66
31.55
. \W
TOTAL
26,19 Tabla 8.4 Mattha del préstamo
d) Alargamiento del plazo rinalmente. si por algún motivo se concediera una refinanciación que contemple un plazo más largo, permaneciendo todas las demás x'arlables constantes, la cuota disminuiría. Por ejemplo, supongamos que al final de la cuota 20 , el deudor solicita se le alargue el plazo del préstamo por 10 meses más. de forma que faltarían 110 cuotas. En esc caso la nuex'a cuota sería:
C = 45.214.06 ti(u lO.O.Ol)’' = 679.60
P r íh a m o s c o n In t e r í s s o b r e S a l d o
2 5 3
C 4 5 . 2 I 4 . 0 6 ( ''- ° ‘ i ^ S g ^ = 679,60 {1 .0 1 2 )” “ 1
e)
Cambios en la tasa de Interés
Si la tasa de Interés contratada en el préstamo fuera variable, un tambio en ésta también origina un cambio en el valor de la cuota. Si p o r ejemplo, la tasa de Interés aumentara ai 1,2% al final del período 20, la nueva cuota a abonar a partir del período 21 sería:
C = 45.214,06 a(U 00,0.0I2)*' =778,83
C = 45.214,06
(1,012)'” xO,OI2
= 778,83
(1,012)"” - 1 Una refinanciación puede contemplar variaciones en todas las categortas de! préstamo (tasa de interés, plazo y hasta una quita del capital). En general, las reflnancinclones se pactan muchas veces haciendo una mezclado las tres varlable.s mencianadas, reestructurando la deuda de manera que el deudor pueda pagarla. Andlisis d e sen sibilidad d e la cu ota y los intereses p ag a d o s llesuUn interesante observar en la tabla ft.S corno sr ni*>diRca bt cuota nn este sistema cuando varía el monto del préstamo y el mimero d(’ perio dos. Lo lasa nominal anual considerada en lodos los ca.sos es del 12 %. V\n 13 meco m 15.000 1.333 cacoo 1.777 25-COO ZZ2\ aacoo ZE55 3SCOO ano Í0.000 aS54 4ÍCÜ0 3993 sacüo 5SCO0 mr eacoo 1331 6iW0 1775 7aooo 1319 71COO leM sacoo 7.1C3 85-CCO 7.S52 sacco 7.»6 95.0QD 1441 IKLOOQ 1K5
34 471 7oe w? t.177 1.412 t.&ia ).RI3 allí 2354 1559 1624 aceo 1295 as3t 1756 4.001 4.ZJT 4.472
36 332 .198 654 830 W3 1.163 1.329 1«5 1.661 1.S27 1.9J3 2.159 Z32S Z491 1657 asco ZK9 1155 1321
4a 2S3 395 527 ese 790 922 1.C53 1.185 1.317 1.448 l.WO 1,712 1.N3 1.97S 2107 2233 21*0 2502 2633
60 222 334 415 £56 EG7 779 B9Q i.cm 1.112 1.2:3 1.335 1.U5 1.557 1.663 t-780 1.691 2CC2 2113 224
72 19fi 213 391 .09 M7 681 702 Í60 978 1.075 U73 1.271 1.269 1.46S 1.5S4 1.662 1,750 1.557 1.9SS
Tabla 8.5 SensibUídad del \TÜor de
B4 177 K5 353 •m 530 BIS 706 794
m 971 1.CS9 1,147 1236 1.3:4 1.412 I.ÍDO 1.5S9 1.677 V76S
96 103 241 325 406 43B 56? eso 731 013 894 975 1.0S6 1.138 1.219 1,3» 1.331 1.453 1.544 1.625
103 153 22D nni 360 45G 531 607 R13 759 835 911 587 I.C63 1.1S9 1.215 I.Sit
120 143 215 287 359 •130 503 574 »5 717 789 asi 933 1.C04 1.076 LI48 1.220 1,MI 1,443 t.363 ISIS L<35
132 137 205 274 312 4IQ 479 N7 SI? £34 752 ECI 599 957 i.cr? 1.C04 1.153 1.231 1.^ 1.3S8
156 lie 127 I?3 190 115 m 254 no 328 317 210 394 381 339 431 4¿0 52.4 5tl7 -.43 591 571 .^54 ES' 831 riB 722 ©3 £77 m 751 729 BW SL’S rao 919 ese re: 985 952 P24 1.CS1 1015 fS5 1.11S 1.078 I.C47 U92 U42 1IC8 U4B 1J« UTO U13 1J6? t-31 144 13» 197
la cu ota al m onto y el pla-'P éel
préstamo
ISO t:o 130 240 7.10 TiO 420 4A0 540 fno fSO ,HÜ 840 900 ^0 1«0 1.C80 1.140 1200
:G uillérmo López Dumrauf"
2.54
Evoluoión del vaior de la cuota cuando aum enta el plazo de pago Eli la figura 8.5 se observa cóm o disminuye el m onto de Ja cu ota a m edítia que aum en ta el plazo del préstam o. Suponiendo un préstam o de $40.0()Q con unaTNA=12% (1% mensual), la cuota desciende fuertem ente cu ando pasam os de 12 a 24 m eses, pero luego el descenso es cada vez m enos acentuado. En particular, no se obtienen grandes econom ías al pa sar de un préstam o de 10 años (120 cuotas de $574) a uno de 15 años (180 cu otas de $480) teniend o en cuenta que deberá pagarse por cin co años más. M atem áticam ente, esto se explica por la reducción de los pagos de capital en valor presente. Cuando el núm ero de períodos por los cuales se obtiene el préstam o se alarga considerablem ente (en los países desarro llados son com unes los préstam os de 30 años), el valor de las cuotas tien de a un m ínim o que es el pago del interés (40.000 x 0,01=400). Este análisis es sim ilar al que h icim os en el capítulo corresp ond iente a las rentas , tém pora rías, cu ando variaba el valor de la cuota al m odificarse el núm ero de períodos. •v'íXií
4000 3500 3000 2500
2000 1500
1000
i
500
fj í i r l
0 12
24
36
44
60
72
M
9fi
lOe 120
132 144
IS6
166 180
. Tigura 8.5 Evolución del valor dela cuoia cuando cambia el número de períodos
La cuota del préstam o establecida como un porcentaje del ingreso m en sual " Una operatoria común en los préstamos bancarios es sujetar el momo que se otorga en préstamo a que la cuota de éste no supere un determ ina do porcentaje del ingreso del solicitante. Suponga que un individuo con curre a un banco solicitando un préstamo y puede justificar un ingreso m ensual de $2.000. En ese caso, si el porcentaje máximo del ingreso es establecido en un 20%, la cuota del préstamo no podría superar $400.Suponiendo que la TNA del préstarao sea del 12% (1% efectivo mensual) y que se abona en 120 cuotas, la cantidad máxima a solicitar sería de:
V =400 X
(1.01)'“ - ! (1.01)‘“ x 0 .0 1
^27.880,21
P restam o s
con
I n t e ííís
so bre
S ai
do
E fecto de pagos extraord in ario s en el valor de la cu ota; la cuota “balJoon*' U na de las form as de co n se g u ir un a re d u cció n en la c u o ta de u n p ré s tam o es in tro d u cir en el c o n tra to un pago extraord in ario p re e sta b lecid o . Este d eb e realizarse p o r lo g en eral a in tervalos e q u id ista n tes de tiem p o . Algunos b a n co s de plaza o frecía n p résta m o s a pagar en cu o tas fijas con uii pago extraord in ario cad a 6 m eses, de fo rm a tal de “calzar" éste c o n el in c re m e n to en ios in greso s del deudor, ya q u e en esa fecha percibía el agúi’ naldo. V im os en el e je m p lo a n te rio r q u e un p réstam o de $ 2 7.880,21 por un plazo de 10 añ o s y co n u n a tasa n o m in a l anu al d el 12% , c o rresp o n d ía a una cu o ta m en su al de $4 0 0 , que re p re s e n ta b a un 20 % de los in g reso s del deudor, que eran de $ 2 .0 0 0 .- p o r m es. P u esto que ei aguinaldo s e ría de $ 1 .000 cad a 6 m eses, p o d ría c o n tra ta rs e un p résta m o que c o n te m p le un pago extraord in ario de d ich a ca n tid a d a rea liz a r en form a sem estra l (se rían 20 pagos sem estra le s en d iez a ñ o s). En ese caso, p o d em os o b te n e r el valor d e la cu o ta d esp e ja n d o C de la sig u ie n te e cu a ció n d ond e a p a re ce una segu nd a ren ta in m e d ia ta cuya c u o ta es de $ 1 0 0 0 actu alizad a c o n el G por cien to (2J.
27.880.21 = C
(1,01)'“ - I (1,01)'“ X 0,01
■+ 1 .0 0 0
(1,06)“ - 1
(1,06)“ X 0,06
D esp ejand o C=235,44 C om o se observa, el o b j e t i v o d e e sta b le c e r un pago extraordinario o cu o ta “balloQ ti" es red ucir la cu ota m en su al del préstam o. Si bien desde el punto de vista fin an ciero es equ ivalente, un p réstam o con una cu o ta de $235,44 puede ser m ás fácil de "v en d er" que un préstam o que tien e una cu ota de $400.
E fe cto s de los im p u e sto s y lo s g a sto s en la cu o ta y en el c o sto del p ré s ta mo . Los im puestos y los gastos asociados a un préstam o tienen com o efecto un increm ento en la tasa efectiva que paga elprestatario. Primero verem os el efecto con un caso teórico sencillo, para evidenciar la metodología del cálcu lo del costo financiero total. Com o en la vida real suelen existir más detalles luego tratam os un caso real. " La tabla 8.6 reproduce el préstam o de la tabla 8.1 pero ahora incluyendo el IVA sobre los intereses y el seguro sobre el capital adeudado.
(2) Hemos supuesto que la tasa nominal anuaJ del 12% se proporciona al semestre, resul tando una tasa efectiva semestral del 6%. También puede que el contrato establezca una capitalización mensual, en cuyo caso resultaría una tasa efectiva semestral del 6,15?o, modi ficando ligeramente los resultados de nuestros cálculos.
G uillermo López D umrauf
1
AinorliSaldo interés zación Cuota Total amorti IVA Seguro perió-* inicial zado dica lOO.tX) 10.00 21.55 31.55 21.55 2.1 0.15
2
78.45
7.85
23.70
3
54.75
5.48
26.07
31.55
71.32
1.1
0.08
32.70
4
20.68
2.07
28.68
31.55
100.00
0.6
0,04
32.19
5.50
0.39
132.08
Período
TOTAL 26.19
31.55
45.25
100.00 j 126.19
1.6
0.12
Cuota+lVA^Seguro 33.80 33.31
la b ia 0.6 Cuota con im puestos y gastos de seguro
• Tanto el IVA como el seguro sobre el capital adeudado tienen un efecto eji el costo del préstamo que en este caso resulta ser Ja tasa implícita que iguala el valor presente de la corriente de cuotas con el valor obtenido en préstamo:
1/ =
-
32,19
M
, = 100 = ^ . , . . . . a + A') (l + A-)'
Iterando, la tasa im p lícita k es del 12,2 %.
Efecto de los gastos de otorgamiento en el costo efectivo del préstamo l^.s entidades financieras suelen cobrar comisiones en concepto de gastos administrativos que son calculadas sobre el valor nominal del prés tamo reduciendo el monto del préstamo efectivo. Esto tiene por efecto un incremento del cosco finajicjero real. Suponiendo que los mismos ascien dan al 2 % del valor solicitado en préstamo, el costo efectivo resulta ser la tasa implícita que iguala la siguiente ecuación: S o V - g
=
{i+ k)‘
. 100-2 =
:K,r a+k)
O + kY
Iterando, k = 13J2 %.
El costo ñnanciero total del préstamo: caso del banco XX El Banco Central de la República Argentina, a través de su comunica ción “A" 3052 del 23/12/99, estableció una serie de conceptos compulables
2.0
P r e s t a m o s c o nIn t e r e s s ó d r e S a l d o
para lo que constituye el "costo finandero total” en virtud de los cargos que las entidades financieras suelen cobrar a sus clientes cuando otorgan un préstamo. Los conceptos computabJes, definidos en el punto 3.4.2, de la m encionada com unicación son; • Comisiones por la interm ediación de la entidad en operaciones de com pra-venta de Inmuebles • Gastos de apertura y m antenim iento de cuentas de depósitos aso ciados a las financiaciones • Gastos originados en la evaluación • Impuesto aJ valor agregado sobre los intereses en el caso de que el prestatario sea consumidor final y otros. Por otra parte, no son conceptos compulables:
.
• Gastos de escribanía • Impuestos nacionales provinciales y municipales que graven 1«js prés tam os La metodología para calcular el "real costo financiero total" r.uando hay gastos e impuestos es sencilla; calculamos la tasa implícita (TIR) que igual el valor presente de las cuotas efectivamente desembolsadas (inclu yendo gastos e impuestos asociados) con el préstamo efectivamente reci bido (neto de gastos de otorgamiento, gastos administrativos, etc.) Ejem plo real: el banco XX ofrece un préstam o hipotecario e?i pesos bajo las siguientes condiciones: Capital
80.000
Plazo (meses)
120
Tipo tasa (fija / variable)
Fija
Comisión de Originación
0
Comisión de Administración (sobre cuota total)
0
T.N.A.
9.25%
T.E.A
9,65%
Por otra parte, existen gastos de seguro e impuestos asociados, así coirió gastos de otorgamiento y constitución de hipoteca. Estos cargos asociados transforman com pletam ente el costo financiero total del préstam o: Si bien el BCRA obliga a las entidades financieras a publicitar el CFF, éste suele no coincidir cuando se contem pla la TIR del verdadero flujo de fondos para el cliente. En particular, la TIR de este préstamo es: TIR del préstam o sin gastos de otorgam iento e lüpoteca: 16,09% . TIR del préstam o con gastos de hipoteca y com isiones:
17,5-9%
,3:5.a'
G u iL L E R ^ t üL ó p e zD u m r a u f
C o m o se aprecia, bien diferente de la TNA del 9,25% co n q u e se publiciía el préstam o. En el apéndice 8* de este capítulo aparecen todos los detalles de im p u estos, prim as de seguro y gastos de oiorgam íenío e hipoteca que elevan el COSIO real del préstam o a las m agnitudes señaladas. Rem itim os al lector a su análisis.
Indexacidn en el sistema francés La ultim a parte de nuestro análisis sobre el sistem a francés tratará sobre los eft^ctos de la indexacídn sob re todas las categorías del préstam o y en particular, la cuota. A t o n tin u a ció n a p a re ce en la tab la 8,7 nuestro p réstam o original con sus re;.pectivas categ orías recalcu lad as para d iferentes tasas de inflación. En la p rim era fila ap a rece recalcu lad p el valor del préstam o inicial ya que é ste st. otorga en el m o m en to cero y al m om en to de pagar la p rim er cu ota ei sald o in icia l resu lta igual al original m a s ía inflación acu m ulad a (100 x ' 1,03). jíe s u lta fácil v e rq u e tanto el interés, la am ortización y la cu ota resul tan iguales a sus valores o rig in ales m ultiplicados por 1,03 que es el facto r ín ila cia n a río : .
Amorti Total Cuota Perío InRa- Saldo Interés zación Cuota amorti- IVA Seguro +IVA do perió ción inicial ■i-Seguro 2ado dica 103 l 3% 10.30 22,19 32.49 22.19 2.16 0.15 34.81 2
5%
84.85
8.48
25.63
34.12
47.83
1.78
0.13
36.03
3
10%
65.13
6.51
31.02
37.53
78.84
1.37
0.10
39.00
4
15%
39.24
3.92
39.24
43.16
118.08
0.82
0.0o
44.04
6.14
0.44
153.88
TOIAL 26.19
118.08 147.30
Tabla B.7 Préstamo con indicación
Caso de ap licación: el coeficien te de estabilización de referencia (CER)
w: it""
i'
%
M edíante el d ecreto 214/02 el Poder Ejecutivo Nacional transform ó a p esos t odas fas obligaciones de dar sum as de dinero expresadas en dólares estad o u n id en ses u otras m onedas extranjeras, existentes a la sanción de la Ley N® 25.561. En el artículo 4® del m encionado decreto se crea el "C oe ficie n te de E stabilización de Referencia" (CER) que establece la aplicación d el índ ice de precios al consum idor (IPC) a todas las deudas en dólares estadounid enses u otras m onedas extranjeras con el sistem a financiero, cual q u iera fuere su m onto o naturaleza. Ese decreto preveía inicialm ente un p erío d o de e sp era de 6 m eses durante el cual se seguiría pagando Ja m ism a cu o ta en pesos anterior a la “pesífícación" y una reducción significativa en la
P restam os
con
In t e r e s
so u r e
Sa l d o
25'»
tasa d e interés, corno m ecanism os para aten u ar el im pacto del índexador sob re las cu otas. Sí bien la norm ativa inicial fue cam biando por im perio de Ja realidad eco n ó m ica , el ejem p lo que sigue servirá para ilustrar co n crude za el im pacto de la indexación sob re ios préstam os. A m anera de h ipótesis se ilustra en la tabla 8.B una com paración entre la cu ota ab on ad a por un p réstam o de U$S 40,000 que fue con tratad o a una TNA del 12 % p o r un plazo de diez años, in m ed iatam en te antes de la c re a ción del CER, con la cu ota que resultaría de ap licar el CER al saldo d e dicho préstam o, su p o n ien d o que se acum uló una inflación del 25 % d urante ei plazo de esp era de 6 m eses previsto en el d ecreto 2.14/02 y la cuota cürníen« za a indexarse. Se supone una tasa de inflación prom edio geom étrica del 3,5 % m ensual y que se ap lica una tasa de interés anual m áxim a que tam bién es del 3,5 %. En la tab la 8.8 ap arecen las con d icio n es origínales del con trata y cóm o cam b ian al ap licar el CER: ^ ■ i. : Condiciones originales del contrato
Condiciones bajo el CER
Sistema:
CER acuniuládo
Monto
Francés 40.000
TNA
12%
TEM
1%
Plazo (mesesj
120
25%
TNADec214
3,50%
TEM
0.29 %
Saldo deuda
39.U3
Cuotas restantes
114 -_________ J
Tabla 8.8 Préstamo indexable con CER El decreto establece un período de g rad a de 6 m eses durante e! cual se ab ona la m ism a cu ota anterior a la pesificación, por lo cual supondremos ei caso lím ite asum iend o que el préstam o fue obtenido justo antes de la creació n del ín d ice, y las 114 cu otas sig u ien tes sufrirán el im pacto del Índexador. Las figuras 8.6 y Ü.7 m uestran las evoluciones de Ja cuma origi nal y la cu ota indexada por el CER, respectivam ente:
a interés @Capital
41 61 81 Cuotas restantes
101
Figura 0 6 Compaxadón de la cuora original
ió O
G u iL iE fu ioL ú p e zD u m u a u e
Es fácil observarquc de mantenerse la inflaqidn en el promedio geom é trico señalado, el valor de la cuota originalmente pactada ($573.88) tendría una reducción inicial (producto de la aplicación de una tasa de interés m e nor.) pero luego comenzaría a operar el efecto de la indexación.
Bajo las liipotesís señaladas, la cuota se duplicaría en un período de 36 nteses {$ 1.158,06) ya que el m onto de la actualización superaría al pago en pesos destinado a la am ortización de capital antes de la aplicación de ia norma. Los valores de la cuota que resultan del efecto de la "inflación com puesta" contenida en el CER para períodos prolongados, no resisten el análisis.
Inconvenientes que surgen con la indexación de préstam os El principal inconveniente que surge con la indexación de préstamos es que generalnienle los ingresos de los deudore.s no acompañan el incre mento de las cuotas, o sólo lo hacen parcialmente. Veamos, tomando como base el ejemplo anterior, la situación de un deudor que ha afectado el 30 % de sus Ingresos al pago de la cuota (una cuota de $ 573 sobre un sueldo de $ 1813). y que éstos no crecen durante lo»; próximos 35 m eses' Al cabo de ese lapso, la cuota prácticamente se ha duplicado y ahora representa el 60%
m
P r íh a m o sc o nIn j e r íss o b r e S a l d o
c) Afectación de porcentajes fijos del ingreso afectado ai pago de la cuota d) Reducciones en la tasa d ein terés e) Lim itación del crecim iento del índice a aplicar {cflp)
m
En el caso de a) direm os que en general es de cum plim iento imposible para el deudor. Los casos b) y c) son poco prácticos, pues generalm ente el alargam iento debe ser dem asiado grande para m antener la cuota in va riada. Como se m ostró en la sección anterior, la reducción en la tasa de interés sólo puede funcionar bien m ientras que el índice no crezca dem a siado. Concentrarem os el análisis en la lim itación del crecim iento del índice, que constituye el verdadero " ca p ” a aplicar y del que suelen echar mano las autoridades gubernam entales.
¿Puede utilizarse la fórmula de la renta variable en progresión geométi ica para calcular las variables que intervienen en el sistema francés? En el caso de un sistem a francés com o el de nuestro ejem plo, donde se obtuvieron $ 100 y en el caso de la indexación luego com ienza a abonarse las cuotas que se ajustan por ia razón "g”, no podem os aplicar la fórmula de la renta variable, pues el valor presente de las cuotas ajustadas necesa riam ente es mayor a $ 100 (ya que actualizam os las m ism as cuotas pero ajustadas, lo cual las hace m ayores a las originales). Para ilustrar esta si tu ación, supond rem os que el p réstam o por sistem a francés de nuestro ejemplo es indexado a partir del segundo período por una inflación del 5%, com o se m uestra en tabla 8.9.
Período
biflacidn
Saldo
Inte. rés
Arnortízación perió dica
Cuola+ Seguro IVA+ Seguro
Total Guota amor tizado
IVA 2,1
0.15
1
0%
100
10
21,547
31,55
2
5%
82,38
8,24
24,887
33,12
46,43
L73
0.12
3
5%
60.36
6.04
28.744
34,78
75,18
1.27
0.09
36.14
0.7
0,05
37.27
5,79
0.41
HZ.tO
4
5%
33,2
3,32
TOTAL 26,19
33,2
36,52
108,38
135,97
21,55
108,38
33.8 34,98 1
Tabla 0.9 Préstamo índexable aj 5%
Luego calculam os su valor presente a partir de la fórmula de la renta - , J , variable; l - r (i+ s )T (1 + 0 .
Kv(l,»,í,g) = C X-
i-S
l-
= 31,55 X
1,05
1,10
0,10-0,05
= 107,13 ■
'
.
■ V ;
2
G
u il l e r m o
L ó pe 2 D
umrauf
El v^alor p resen te dé las cuotas (107,13) resulta ser mayor al valor del p réstam o original pues el valor de las cuotas ha aum entado pero sigue actúa* Hzámlvíse con la m ism a tasa de interés (10%). En prim er lugar, d ebem os d ecir que el sistem a francés con Indexacídn, no es u n a ren ta variable en progresión geom étrica — aún cuando la razón "g" se m antu viera co n sta n te— en el sentid o en que ésta fue explicada en el cap ítu lo anterior. En las rentas variables en progresión geom étrica la pri m era cu ota no variaba y las cuotas restantes crecían a una razón "g", aplican do la fíirm ula de la renta inm ediata para cuotas variables de pagos vencidos ob ten íam o s “ r “ que rep resentaba el valor actual de toda la corriente de pagos. En este caso, p o r supu esto podem os aplicar las fórm ulas co rresp o n d ien tes a d icha ren ta y o b ten er cu alquier categoría de ésta (el valor p re sen te, la cu ota de cu alq u ier período, la tasa de interés, el núm ero de p erío dos o la razón de variabilidad de la cu ota). Pero esto, en térm inos de n u es tro ejeinp lo, se ría equ iv alen te a co n tratar un préstam o de $100 donde la prim er cu ota se calcu la en fu nción de este valor a partir de la fórm ula de la ren ta variab le (y n e ce sa ria m e n te serán m enores a las del ejem plo) y no a partir de la fórm u la del sistem a francés. Por caso, en nuestro ejem plo, para un p réstam o de $ 100 cuyas cu otas se indexarían a partir de la segunda al 5 %. el valor de la p rim era cu o ta sería: , _ .
■= l0 0 x
C ---V X l-
(\ + g )
0 .1 0 -0 .0 5 1
[0 +0 J
= 29.44
{ S I
Para el caso donde la primera cuota se indexa, sólo hay que agregar el factor il+ g ) al prim er térm ino de la fórmula de la renta variable en pro gresión geom étrica;
1VV(I,« , í,5 > = C X (l -h g ) X
(1 + g )
(1 + 0 i-8
8.2. S istema ALEMÁN La cu o ta de este sistem a tam bién está com puesta por una parte de am ortización de capital y una parte de interés, pero a diferencia del siste m a francés, la a m o r tiz a c ió n p e r ió d ic a es con stan te y siem p re rep resen ta un en é sim o d e l p résta m o ; debido a ello, y como los intereses se calculan sobre un saldo que decrece siem p re en u n a su m a fija, la corriente de inte reses periódicos representa una progresión aritmética decreciente. Al ser la am ortización constante y los intereses decrecientes, la cuota total del préstam o tam bién es decreciente:
.*>-r
y-'r'
L tr-:
PA.£STAM0S co n lNTfR£S sobre ¿AI.DO C = arnortizadd n periód ica (V/n) + interés p eriód ico I(p> í ,(>)
S INTERES
'
El AMORTIZACION
1
2
3 Número de períodos
4
Figura 6.8 Composición de ia cuma en el sistema alemán
F órm u las m á s Utilizadas
:
í
A co n tin u ació n realizarem os las d ed u cciones de Ia¿ fórm ulas m ás uiilizadas en el sistem a alemán.^
A m orü zacíón p eriód ica (tp) La am ortización p eriód ica (tp) siem pre es igual a un enésim o del total del préstam o (1/n) puesto que todas las cuotas de am ortización son igua^ les a V/n.
tp = Tasa de am o rtizació n en el sistem a alem án Com o en el sistem a alem án la am orrización periódica es siem pre igual a un enésim o del préstam o (V/n), siem pre será el cociente entre este va lor y el saldo del préstam o al final de un período, que com o sabemos dis m inuye en progresión a riim éítca , Por ejem p lo, para ca lcu la r la lasa diam ortización periódica cuando faltan p períodos para term inar de pagar el préstam o, tendríam os r =
V /n (V /n )in -p)
1 n -p
Cuadro de m arch a Podem os tam bién analizar el sistem a alem án a través de su cuadro de m archa: "
1
2ívl
G u iU E iiM üL ó p e zD u m r a u f
Cuota
Total amoitízadü
25
35
25
25
32,5
50
Interés Amortización periódica periddico
Período
Saldo Inicial
i
100
10
2
75
7.5
3
50
5
25
30
75
4
25
2.5
25
27,5
100
Total
25
Tabla 8.10 Marcha del pré5tama Cálculo del saldo del préstam o: m étodos prospectivo y retrospectivo r,
M étodo prosp ectiv o
,
E m este método el saldo del préstamo se calcula multiplicando la cuota de Capital por la cantidad de cuotas que falta pagar. Como la porción de capital es siempre constante, es muy fácil calcular el saldo del préstam o en el sistema alemán. y ( p ) - ( > 1 - p )X — n Por ejemplo, si queremos calcular el saldo de nuestro préstamo al final del m omento l , como faltan pagar tres cuotas de capital, hacem os; V a) = ( 4 - l ) x —
1
= 75
4 M étod o retrosp ectiv o: En el método prospectivo, vamos del pasado hacia el presente, emon^ res calculamos el saldo a través de la diferencia entre el préstamo que re cibimos y el total amortizado del préstamo a un período p:
V( p)
=
V' ^
V (l) = lü O x
V' - p X - = U X
4
^j
= 75
Intereses periódicos El interés de un período (comprendido entre el final del período p-1 y el final del período p) se calcula mulUpUcando la tasa de interés por el saldo del préstamo al final del período p-1;
m m
765
P r é s t a m o s c o nIn t e r é s s o b r e S a l d o
a-t"' ' r
m '
í { p - l , p ) - i x V i p - - l ) = i [/x~ ( í 7“ 1)]x ~ = í X ( ; í ~ p + 1) — n
JI
Si p o r eje m p lo q u erem o s ca lcu la r los in tereses co rresp o n d ie n te s al período dos:
/(1,2) = 0,10 ( 4 - 2 + 1)— = 7^ 4
i
Cuota periódica E f la sum a de los intereses p eriód icos y la am ortización periód ica: V
V
Vr
n
n
^
Q7 = — + i (/ I-p + 1)— = — [l + í(/ I-p + l)J *
n
'
i
Por ejem plo, la cu ota del período tres sería:
$
c, =
; .
■
[l + 0,10(4 - 3 + 1)]= 30
Intereses ab onad os entre períodos no coiiseculivos A veces puede ser interesante saber qué cantidad de intereses s r pagan entre dos períodos no consecutivos, por ejem plo, entre el período cero y el período 50, etcétera. Siendo el interés de un período cualquiera igual a: I(p -lp )=
[/ í-(p -l)]~
Los intereses totales abonados durante el préstamo son iguales a una Sum atoria de intereses periódicos: =
p + l)
V
qué tam bién puede expresarse com o
1 ( 0 ,n ) -
T ] {n - p - t l )
■ ~ ~ y -
n + (n-1) + :(n-2) +.... >-2+1 La Sumatoria nos dice que el Interés del prímer período se pagará por n cuotas de capital que falta abonar, el del segundo período por n *l, él dél tercero por n-2 y así sucesivamente, basta que en el último período paga remos por una sola cuota de capital. Como la Sumatoria de términos rnen-
3oc»
G u il l e r m o Ló pez D
uwrauf
donada forma una progresión aritmética decreciente, podemos utilizar la fórmula de la suma de términos para una progresión aritmética, donde: aj: primer término de la progresión a^: último término de la progresión N; ndmero de términos de la progresión 5 = £ l± Í L . x .v
Ahoi*a podemos expresar los intereses abonados entre cero y n como:
r/A \
V .n
+l
+l
i -------n = Vi -------
Seguimos ei mismo camino para expresar el cálculo de intereses entre otros períodos intermedios:
J
Y ^
V .n + n - { p ~ l ) n
2 f.y
Y
J
V .(/I —p) + l (n - p ) ! ( p , n ) = ‘- i
• 0 ^ J
n
------------- [ k - p )
. 2
m
P restamos
com
I n h r ís
sobre
S aido
Resumen de fórmulas Categoría
Fórm ula
Amortización periódica
Interés periódico
Cuota
V n
! { p - \ ,p ) =
C p = — [l -i-/(n - p + 1)] n
Tasa de interés
Toral amortizado
Intereses entre períodos no consecutivos
Interpolación lineal
T p ^ p n
-
■
n
2
Método prospectivo Vi
^, ~
V
Saldo del préstamo M étod o re:raspecth*o
Tabla B. 11 Fiirraulas del sisrema alemán Comparación enire el sísrem a de am ortización francés y alem án Si bien ambos sistemas calculan intereses sobre saldo, el diferente rit mo de amortización determina que diñeran en la cuota a pagar para idén tico préstamo. De esta manera, para el mismo monto obtenido en présta mo, la cuota en el sistem a francés resulta m enor al principio que la que se abona en el sistem a alem án, pero com o la cuota del alem án decrece en progresión aritm ética, a partir de cierto m om ento pasa a ser inferior a la del ñ nncés (en el sistema alemán se devuelve más rápido el capital, y los intereses decrecientes hacen que la cuota disminuya hasta quedar por de bajo de la cuota del sistema francés).
:K.g
G u il ie r m oL ó p e zD u m r a u f
o Interés ESCapital
2 3 Número de períodos
4
Figura B.9 Cuota sistema alemán
B1Interés S Capital
2 3 Número de períodos
4
, XVilKifT
Figura 8.10 Cuota sistema francés Como se aprecia en las figuras 8.9 y 8.10, para iüéntico préstam o de $100 a devolver en cuatro cuotas, la cuota es más alta al principio en el sistem a alem án ($35) mientras que en el francés siempre es de $31.54 para luego caer y ubicarse en $27,5; por debajo de la cuota que se abona en el sistem a francés. Otras consideraciones serían las siguientes: 1. Siem pre que coincidan las tasas de pacto en ambos sistemas, ten drán idénticas TIR, ya que calculan los intereses sobre saldos de deuda. E.$lo los hace equivalentes desde el punto de vista del costo financiero. 2. Las ctiotas del préstamo, constantes en el francés y decrecientes en el alem án, son distintas en su importe pero equivalentes ya que en ambos casos la TIR coincide con la tasa de interés p a cta d a en el préstamo. 3. En el sistem a alemán se pagan menos intereses, debido a que el rit mo de amortización del capital es mayor que en el sistema francés. 4. En el sistem a alemán se amortiza la mitad del préstamo en la mitad del número de períodos (n), mientras que en el francés la amortización de la mitad del préstamo se produce en un número de períodos mayor a la mitad de "n” debido a la amortización progresiva del capital.
-
P restamos c o n Interes so &re Sa ld o
2^^
ResponsabiJjdacl del prestamista en los sistemas francés y alemán El p restam ista tiene la responsabilidad de reinvertir el c a p ita l q u e re cibe com o am o rtización del préstam o en cada cu ota que co b ra , tanto en el sistem a fran cés com o en eJ alem án. No ocurre lo m ism o c o n el sistem a am ericano, donde el deudor es quien tiene la responsabilidad del capital, ya que lo devuelve recién en el Ultimo período.
8.3. Sistema AMERíCANo En este sistem a se ab on an ú n icam ente intereses calculados sobré sal do, (que siem pre serán iguales a í.V) y el capital se devuelve en una única cu ota al final del préstam o. D ebido ai esfuerzo financiero que significa devolver todo el capital de una sola vez, es posible que el deudor decida facultativam ente (o se obli gue por m edio de un con trato) ah orrar en una institución una sum a de dinero p e rió d ica (cu o ta facultativa) que le p erm ita co m p o n e r el capital del préstam o que tien e que devolver ai vencim iento. De m an era que en el sistem a am ericano podem os tener dos variantes: el tradicional y ccm con s titución de un fondo de am ortización o “sin kin g fu n d '\ Algunas entidades com o el B anco Mundial otorgaron créditos de este tipo a em presas argen tinas en el pasado, tal el caso de Hidronor. A veces las em presas em iten bonos con cláusulas de sinking fund, donde se establece cláusulas conoci das corno “s in k in g f u t id r e d e m íio n ”, proced im iento m ed iante el cual un in stru m ento de renta fija o bono se va am ortizando periód icam ente de form a parcial en las fechas previstas para ello. El prestatario debe ir asig nando ios ingresos que va recibiendo de su actividad a un fideicom iso en donde se m antienen cu entas de reserva para el servicio de la deuda. Sistem a am erican o tradicional En el sistem a am ericano tradicional se pagan solam ente imei eses so bre el capital y éste se devuelve en la última cuota, com o se apref ia en la figura 8.11: t20
100
-
80 w
60
40 -20 ••
o Número de períodos 0 INTERES BAMORTIZACION
vv-r: r:r
Figura 8.11Cuota sistema americano ."■ O: , .
. .
,
...............................................................
G u íil e r m oL ó p e zD u m r a u f
Cuadrv» de marcha En ta tabla 8.12 se observa la marcha del préstamo; sdlo se pagan intere ses y eJ capital se abona al vencimiento. Período
Saldo inicial
Interés Amortizactdn perlddico periódica
Qiota
100
10
lOÚ
10
10 10
100
10
10
loo
10
Total
40
iOO
lio
Total amortizado
100
Tabla S.I2 Marcha del préstamo Siscen ia a m e rica n o co n c o n stitu ció n de Fondo de A m ortización Es lina variante del sistem a am ericano tradicional, aunque en este caso e s posible realizar un ahorro periódico en forma voluntaria, con el fin de co m p o n e r el cap ital del préstam o (V). Así es com o se deposita una sum a de dinero en u n a in stitu ción financiera donde se gana una tasa de interés i* (que es una tasa de interés pasiva) por lo cual esta modalidad a veces es d en om in ad a “sistem a de las dos tasas" puesto que se paga una al banco por el p réstam o y se gana otra en el ahorro voluntario. Como el deudor está pagando en este caso dos cuotas (la de interés del préstam o y ia facul tativa) su cu ota total sería: C = :V i+ C F La CF (cuota facultativa) es la que le perm ite acum ular el valor del prés tam o, y esta corriente de pagos tiene la forma de una imposición para acu m ular \/: V =-C F,s(l,n ,i’)
por lo tanto CF = V .s{l,n,i') ‘
Siendo i' la tasa que se gana en el ahorro de las cu o ta s facu ltativ as para con siiiu ír el fondo ele am ortización.
C o m p aració n de la cu o ta que se a b o n a en el sistem a am erican o de las dos tasas con la cu ota del sistem a francés Si í'= i, p od em os reem plazar en la ecuación de la cu ota total que se pagaría con constitu ción de fondo de am ortización para dem ostrar que la cu ota cota! que se pagaría entonces en esta variante del sistem a am erica no sen a igual a l a cuota que se abonaría por idéntico préstam o en el siste m a fran cés: C V i + V s(l,n ,i)*‘ 5=V (i+ s(l,n,i)-*j
m
m
I^RESTAMOS CON NJTtRES SOHRfc :>Al,DO
sn
y como i + sü,n,í) ‘ = a(l,n,i) ‘ Nos queda entonces C = Van,n,i)'‘ que es la expresión para la cunia dinl sistema francés. Queda demostrado entonces que si ia tasa de interés ganada en el aho rro de la cuota facultativa i' íuera igual a Ja i del préstamo, la cuota total que pagaríamos en esta variante del sistema americano sería igual a la cuota que se abonaría en el sistema francés. Hemos realizado la comparación cnn la cuota del sistema francés puesto que esta última es constante (en el siste ma americano con constitución de fondo de amortización también se paga una cuota constante, que es igual a la cuota del préstamo más ia ciio ta íacu Itativa). Resumiendo; Si - ¡'> i
-C americano < CF
Si
l' = i
C americano = CF
Si
i' < i
C americano > CF
A la vez surge un a nueva tasa efectiva para el tom ador del préstam o cuan do íV i, q u e llam arem o s i" y que p o d em os resum ir a s í : .
Sí
í'> í entonces i" < i
Si
í'= i entonces i“ = i
Sí
V< i entonces
i" >I
Ejemplo Sup onga un créd ito p o r $ 5 0 .0 0 0 .- que tien e una tasa de interés del 1% m ensual y q u e se devuelve en 10 cu otas por sistem a am ericano. Realizare m os los cálcu lo s p ara el ca so d ond e se ahorra un a cu ota facultativa que gan a u n a ,la s a de in te rés i ’ en u n a In stitu ció n financiera, que supondre m os se puede u b icar p o r en cim a o por d eb ajo de ja tasa de interés del cré dito. La cuota que se ab o n aría por id én tico p réstam o en el sistem a francés sería de $ 5.279,10. V am os a d em ostrar ah ora lo analizado m ás arriba a)
i ' - 1,5%
C= 5 0 ,0 0 0 [0.01 + 5 (U 0.0.015)-^ b ) V=0,5%
= 500 + 4.671.71=5:171.71
(V < i)
C= 5 0 M 0 [0,01 t s(l,10,0.005y^
c) V = l %
T
( i ’ > i)
(V
C = 5 0.000 [0,01 + sC l.lO .aúl)-^
=500 + 4,888,53=5.388.53^
^ V =500 4- 4.779.1=5,279,10
Que es la misma cuota que se abonaría por idéntico préstaino cuándo se contrata el sistem a fran cés.
m
G u i l l e r m o L O p e zD u m r a u f
Sistem as francés, alemán y americano; balance Los tres sistemas calculan intereses sobre saldo, y si las tasas de contra to son idénticas, las TIR de estos sistemas también lo son. En tal sentido, el costo financiero es idéntico: apenas difieren en el ritmo de devolución del capital, lo que hace que en el americano y en el francés se pague una mayor cantidad de intereses que en el alemán, pero esto sólo refleja el valor de tiempo. Desde el punto de vista corporativo, debido a que los Intereses pueden deducirse para el pago del impuesto a las ganancias, el americano otorga una mayor ventaja fiscal, seguido por el francés y por el alemán, en ese orden. Volveremos sobre este tema en el próximo capítulo.
'
R esumen
Los sistem as que calculan intereses sobre saldos difieren básicam ente en cu anto al ritm o de am ortización del capital. M ientras en el sistem a am ericano el capital se paga al final, en el sistem a alem án se devuelve todos los períodos un enésim o del préstamo. Entre estos dos sistem as se sitúa el francés donde la devolución del capital es un poco más lenta que en el sistem a alem án. Esto es lo que hace que la cantidad de intereses que se abona en cada sistem a sea diferente, aún cuando el costo finan ciero sea el mismo, en la medida que las tasas de interés de contrato sean iguales. De forma tal que las comparaciones que pueden hacerse pasan más por comparar magnitudes absolutas como la cuota, una variable que puede ser relevante cuando las instituciones financieras establecen ciertas restriccio nes en cuanto a que ésta no puede superar determinado porcentaje del salario. En general, el sistema francés es el más utilizado en los préstamos hipo tecarios. prendarios y personales, aunque el alemán también es utilizado. Mientras que en el sistema francés el deudor siempre abónala misma cuota, por el alemán la cuota inicial para idéntico préstamo sería más alta, requi riendo un mayor esfuerzo ai principio, paia luego ir disminuyendo en una suma fija y finalmente situarse por debajo de la cuota que se abona en e! sistema francés. El sistema americano es mucho menos utilizado en los préstamos bancarios, aunque com o veremos en el próximo capítulo, algunos bancos sue len financiar ciertas actividades con préstamos que se asemejan mucho al sistem a am ericano. Por otra parle, muchas empresas y los Estados Nacio nales emiten muchas obligaciones o bonos del tipo bullet, que tienen el mismo programa de pago de intereses y amortización que un sistema am e ricano. .
P réstamos c o n Intepís sobré Saldo
27a
P reguntas ' • 1. Explique cóm o influyen los siguientes factores en la cu o ta de un prés tamo por sistem a francés: a) increm ento en la tasa de interés b) aum ento d e l plazo de pago c) un pago extraordinario de capital 2. Sí las cuotas de un préstam o se índexan por la tasa de inflación, ¿au m enta su costo efectivo real? 3. ¿Cómo afectan los gastos de otorgam iento y los seguros que inte gran la cuota al costo efectivo de un préstamo? 4. ¿Cuáles son las dos variables que afectan al tiempo m edio de reem bolso en el sistem a francés? ¿ocurre lo mismo en el alemán y el ajnerícano? ' 5. ¿En cuál de los tres sistem as (francés, alemán ^ am ericano) se paga una 'm ayor cantidad de intereses para idéntico préstamo? ¿Difiere el costo efecti vo del préstam o entre estos sistem as? :
P roblemas 1. Calcule el valor de la cu ota que debe abonar por un préstam o fran cés de $100.000, si la TNA es del 12% (año 360 días) y se ab ona en 120 m eses. Respuesta 1.434,70. 2. Con relación aí ejercicio anterior, ¿cuál hubiera sido el valor de la cuota si el plazo de pago se estira hasta 180 m eses y 360 meses (30 años)? Respuesta: 1.200,168 p/100 m eses y 1.020,61 p/30 anos. 3. Con relación al ejercicio N° l, ¿qué cuota habría abonado por idén tico préstam o pero por sistem a alem án? ¿Cuál sería el valor de la última cuota por dicho sistema? Respuesta: 1.833,33 y 841,66. 4. La em presa Cifra S.R.L. adeuda a la AFIP $3.485.56 en concepto de Aportes y Contribuciones Patronales. El plan de pagos establecido por el organism o estatal con siste en un anticip o del 16% y 11 cuotas íijas de $307,59 cad a una, inclu yendo en las m ism as intereses resarcitorios y punítorios. Determ ine la tasa efectiva im plícita de interés de esta opera ción. ;• ^ R espuesta: 2,49% .
,
5. Usted está pensando en com prar una propiedad para lo cual preci saría la ayuda de un crédito por $ 50.000.- Luego de una recorrida por dis tintas instituciones financieras pudo obtener la siguiente Información:
I I #
274
^G ^
le r m o
Ló pez D
umrauf
B an co A TNA
8.95
P lazo (meses)
B anco B
%
9 ,5 %
120
120
G astos O to rg a m ie n to
2%
0%
Gastos H ip o te ca
2
%
2%
E1 síitem a de amortización es francés y los gastos se calculan siempre sobre el monro del préstamo. Existe tam bién un seg u ro d e in c e n d io del 1,5 por mil sobre capital adeudado. Determine la opción más barata, Ftespuesta; flanco A 6. Préstamo por el sistem a francés: diez (10) servicios mensuales ven cidos: interés del uno por ciento mensual; amortización contenida en el sexto seivicio 1 50.000.CaJculan a) Interés contenido en el octavo servicio.
.
b) Saldo de deuda después de abonar el cuarto servicio. Respuesta: a) 1.545,5; b) 304.555,19 7. Usted puede contraer un préstamo por el sistema am ericano por S 100 al 0,8% mensual. Como el préstamo debe amortizarlo de una sola vez en la cuota 24, considera la posibilidad de constituir un fondo de amortización {si/iLing fiind). Suponiendo que pudiera depositar todos los meses la suma que le permite acumular ios $ 100 en un fondo de hipotecas al 1 % mensual, ¿cuál sena el verdadero costo efectivo del préstamo si existiese un mundo donde Si: brinde esa aJlemativa? Respuesta: 0,63% 8. íJ;ited obtuvo un préstam o hipotecario por el sistem a francés el 1 /12/20n0 cuyas condiciones son las siguientes; V = 100, n = 4 i = 10%. A partir de la primera cuota, esta comenzará a tener un ajuste indexatorio que se basa en la aplicación de la inflación acumulada medida por IPC desde que obtuvo el préstamo. La tasa de inflación durante 2001 fue la siguiente; Enero; 5% Febrero; 6% Mar2o:.3%
'
Abril:5% Usted debe indexar el capital adeudado por la inflación acumulada y recalcular el cuadro de marcha del préstamo. Respuesta: ver rabia en apéndice A
‘‘1
pRíSTA/vios CON In t e r es
so bre
Sa l d o
2?S
i). P araesiaren condiciones dej recibir un préstamo de U$S i 0 0 .0 0 0 ;debo ahorrar previamente U$S 25.000 en la m ism a entidad bancaria que o torga el préstamo, a través de 24 cuotas m ensuales adelantadas, reconociéndom e ia entidad una TNA del 3%. Luego el préstam o se otorga a una TNAdel 8,5%, y se devuelve en 120 cuotas m ensuales. En apariencia, la tasa del 8,5% resultaría ser la más baja del mercado. Sin embargo, la entidad reconoce para los depó sitos m ensuales una tasa de interés m ucho m enor a ia que podría ganarse en Otra alternativa financiera, siendo que puede obtenerse una TNA del 8% para depósitos m ensuales en cualquier banco de plaza. Teniendo en cuenta las características de esta operación de crédito y el costo de oportunidad del prestatario, determ ine cuál es la verdadera tasa efectiva del préstam o, Respuesta: 0,73% 10. Calcule la cuota que habría pagado por el sistem a alem án en el caso del problem a 1. ¿En qué m om ento am bos sistem as igualan su cuota? Respuesta: 48,95 H. Un préstam o contiene cuotas de capital constantes de $ 500,- Los intereses de la cu ota 10 fueron de $ 555.- y los de la cuota 75 de $ 230 Averiguar el plazo y el valor del préstamo. Respuesta: n = 120 y V = 60.000 12. ¿Cuál es e] plazo de un préstam o de $ 820.000.- con intereses del 3% m ensual sobre saldos, si se canceló a los 22 m eses con el m onto de uii depósito de $ 274.436 (que fue realizado al m om ento de obtener el présta mo), en un banco que paga el 2% mensual? Respuesta: n = 36 13, Se obtuvo un préstam o de $ 80.000.- que debe ser cancelado en cuotas constantes con un interés del 1,5% sobre saldos. Luego de abonar se la cuota 10, se refinancia eí saldo en 36 cuotas mensuales de capital con s tante más un interés del 1% sobre saldos. La última cuota de este sistema es de $ 1.994,78. ¿Que plazo se pactó en el prim er plan? Respuesta: 60 m eses
R eferencias BiBLioGR.áFiCAS CissEL. R obert, C issel, HELENy F mspohler, Davio. ‘'M atem árícas Financieras", capítulo 6,2® edición, décim a reim presión. Compañía Editorial Contínenca!, México, 1998. M urjoni, OscMt, T ROSSERO A n céu '"Manual d e C álculo F in an ciero’^capítulo 5, 2‘ edición, Grupo M acchi Editor, Buenos Aires, 1993. Banco Central de la República Argentina, Comunicación "A" 3052.
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A j é j c x ^ R.\
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0 905%
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-----------
9.65%
Piimaséeseguroeimpuestos Prima ds S e ^ r o de \6da (menor 6 0 años) %o
1.75
Prima de Seguro de Vida (m2\T>r o iguaJ 60 años) %»
2.6
Prima de Seguro de Incendio %o
0.15
Impuesto Interno sobre prima Seguro de Incendio
0,001
WA
21%
C álcu lo d é l a cuota, lo la l Cuota pura
1024,26
Capital
407,59
1nl<*rés
G16.66
Seguro de Vida
208
Seguro de Incendio
13,5
Prim a Im puesto Inlen io I.V A sobre Seguro de Incendio Com isión Administración I.VA. sobre Comisión de Administración I.V.A, sobre Intereses (si corresponde) Cuota total
13,5 0,0135 2,835 0 0 129,5 1378,11
pR.mA>.ios c o f j l^ m R £ i sos -r e S a l d o
Gi3s:QsdeHipo퀣a A p o rte N 'cia iia J
S
OJDO
D e ie d to de E s critu ra
i
5jP0
C e itifíc a d o d e D o n ú n io 5im p?e
I
2SXX)
C e rtL lc a d o d e \y u a d ó n (M u n id p a J -C a p ita l)
s
40JCC
Foja de pro to c o J o fS3 c /u , p itn n c d io 151
% 45fi0
F o ja de te s tim o n io (S3 c /u , p ro m e d io 1 5 .2 ju e g o s
$
9OX¡0
3
0,00
3
96,00
G astos y H o n o ra rio s n o ta ria le s
3
302.00
In s c rip d ó n L e tra H ip o te c a ria (S120 + IV A )
3
120.00
H o n o ra rio s e s crib a n o ÍIV A ln d u íd o )
S
0,00
T o ta l H o n o ra rio s y G astos CTVA In c lu id o )
% 4 2 2 ,0 0
C o m is ió n de O ríg in a d ó n (IV A in d u id o )
$
208,00
T o ta l G astos a l m o m e n to d e e s c ritu ra
$
6 3 0 ,0 0
Im p u e s to In s c rip d d n RPI -T rá m ite S ím p Ie R e p o s id á n m in u ta s R PI - T r á m ite ^ m p ] e
1 .
178
’G u iíl e r m oL ó p e zD u m r a u f
Apéndice 8B E fecto
del
IVA e n
la cuo ta
Sítmdo z = tasa del IVA, y siendo que este impuesto grava los intereses, las primeras cuotas serían: C,^G+Vi.Z C,= C +fV*tj)iz
G+{V- tj- tjiiz
G eneralizando: Cp = C +{Tn-Tp)iz
Cj. = C + ít.(l^-i)"-l - t , (Ui)p ‘ ~ l liz i
i
C^ = C + t,I(l+ i)« -(l+ ilP M z Ejem plo;U n préstam o de $ 40.000 a unaTNA=12% anual en 120 cuotas. Se desea saber el valor de la cu ota 24 con el IVA incluido. ‘ Saldo iiiicidl 1 4aD0Ü.QD 7 ‘ ^" 39826,12 3 3S65D:49 4 39473.11 39293.95 5 6 39113X0 7 3893075 8 38745.68 9 ■ 38559 2 6 ' 10 38370,55 n 38160 79 12 37988 71 13 37794 72 u 37598 78 37400;89 15 16 37201 jOl 36999.14 17 16 3675574 19 3S5B971 20 3638172 21 351713 22 ■ 35SS9.0a 357*4.79 23 35528.35
' ' In lB ré s' ; 403,00 ^ 3 396.50 334,73 39274 391,13 38970 387.46 38579 383.71 38171 37979 377.95 375.99 374.01 373.01 35979 367.95 365.89 363.81 361,71 359 59 357.45 35520
' lUA 8470 8373 8377 8279 8272 82.14 81.75 8177 8077 8078 80,18 79,76 79.37 7876 7874 78.12 77.70 7777
7574 76.40 7575 75.51 7576 74.61
^. - Amártiiacinn.-. 17378 17572 17778 179.15 18Q74 182.75 104J58 185.43 18879 190.17 19278 19470 19574 19770 19977 201.87 20379 20573 20779 21077 212,17 21479 216.44 218 60
= C + (tj(l+ j)» ' - ü+i)p->lz
C,^ = 573.88 + 173,8 8 ia ,0 1 )‘» -(l,0 1 )« -‘10.21=648,49
^ Cugl3,4 lUA' 657.88 573.83 65772 S73Jffl 657,15 57378 656.78 S73.B8 E5E.40 57378 ^,□ 2 57378 573,88 65574 573.88 655.25 57378 65476 654 46 57378 573.88 65476 573.68 65375 65325 57378 57378 6S274 652.43 573;ffl 65271 57378 65158 57378 651.15 573.86 57378 650.72 57378 65028 573.88 6497* 549,40 57373 , 648.95 57378 573.08 r '5>::£48,4Sí^ti;
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C a p ít u l o s
P r é st a m o s c o n I n t e r e s e s D ir e c t o s "Sí qu ieres saber el v alor d el dinero, traca d e consegu irlo p restado” Benjanjín Frankiin fl706-I79ój. Ciennfíco. político y fildsofo norieanjericano
I ntroducción En el capítu lo an terior vim os los sistem as de am ortización de présíainos que calcu laban intereses sob re saldo. A unque estos sistem as son los de uso m ás extendido, existen otros tipos de préstam os que calculan los intereses d irectam en te so b re el capital de diversas form as, lo cual hace que la tasa á t interés de estos sistem as se transform e en u n a tasa ficticia, toda vez que la verdadera tasa de interés im plícita es d iferente de la tasa de contrato y deber > ser calculada por in terp olación lineal. Tam bién las entidades financieras ponen a disposición de los clientes lín eas de créd ito que no se e n cu a d ra n p e rfe cta m e n te en alguna de la.s m odalidades que hem os descriio. En general, se diseña un tipo de présiu mo cuyo program a de am ortización de capital y pago de intereses se ali nee con el flujo de efectivo del cliente, tal es el caso de los préstam os para el se cto r agropecuario. En este capítulo tam bién se realiza una consideración sobre los efeGios de un d eterm in ad o tipo de p réstam o sob ré la rentabilid ad em presaria, desde el punto de vista del a p alan cam ien to fin anciero y el ahorro fiscal que generan los intereses de una deuda. Aunque los m étodos para la eva* liiación de proyectos de inversión serán tratados exhaustivam ente en el próxim o cap ítu lo, aq u í se m e n cio n a n algunas m edidas de rentabilidad com o el VAN y la TÍR de un proyecto y cóm o éstas se modifican cuando el proyecto es financiado con alguna de las modalidades conocidas. Después de leer este capítulo, usted deberia ser capaz de: • Calcular el verdadero costo efectivo de Jos préstam os con intereses di rectos sobre el capital. • Calcular los efectos sobre la rentabilidad del capital propfo que tiene la elección de un determ inado tipo d e préstam o.
Záo.
G u II LFIVMO Lí ÍPEZ, OUMiUUF
ü.l, Préstv\mos con íntí-reses directos .Se d e n o m in a n p ré s ta m o s c o n in te re s e s d ire c to s a a q u e llo s q u e d e u n a fo rm a u o tra , c a lc u la n lo s in te re s e s d ire c ta n ^ e n te s o b re e l c a p ita l q u e c o m p o n e el p ré s ta m o , y lu e g o los d is trib u y e n e n tre la s c u o ta s . E s to d e te r m in a { jiie e n to d o s lo s caso s la ta sa n o m in a l a la q u e se c o n tra te el p ré s ta m o ie.sulte s e r u n a la sa fic tic ia , ya q u e n o re p re s e n ta el v e rd a d e ro c o s to e fe c ti v o de ! p ré s ta m o , q u e p u e d e c a lc u la rs e si se o b tie n e la tasa e q u iv a le n te so* l ’ re s a ld o p a ra c a d a u n a d e las tasas d ire c ta s q u e se u t iliz a n en es to s s is te m as. E x is te n v a ria n te s , p e ro a q u í d e s c rib ire m o s las q u e c o n s id e ra m o s m á s im p o rta n te s , a s a b e r; a . Tasa d ire c ta c a rg a d a b. Tasa d ire c ta d e s c o n ta d a c . T a sa d ire c ta p ro m e d ia d a
_
.
la s a tU rc c ta c a rg a d a Los in te re s e s se c a lc u la n d ire c ta m e n te s o b re el c a p ita l e n ig u a l fo r m a q u e e l r é g im e n s im p le ; lu e g o e l to ta l d e in te re s e s se s u m a n a l v a lo r d e l p ré s ta m o , y p a ra c a lc u la r e l v a lo r d e la c u o ta se d iv id e )a s u m a de \ ^ I ( 0 , n ) p o r el n ú m e ro to ta l de p e río d o s n . La ta sa d e in te ré s u tiliz a d a se d e n o m i n a V , p a ra d is tin g u ir la d e la " ¡ " q u e re p re s e n ta a la la s a d e in te ré s s o b re s a ld o s ,
V’ + /(0,;t) _ V + V n i
(li-r/i)
C o m o lo s in te re s e s se c a lc u la n d ire c ta m e n te s o b re e l c a p ita l in ic ia l y lu e g o se p ro rra te a n , su rg e d e este s is te m a u n a ta s a e q u iv a le n te s o b re s a l d o s q u e es m a y o r q u e la tasa d ire c ta r, s ie n d o r u n a ta sa fic tic ia , p u e s to q u e si u n o c o m p a ra la ta sa de iu ie ré s s o b re sa ld o s q u e a b o n a p o r p e río d o , se o b s e rv a q u e ésta es m a y o r q u e la ta sa d ire c ta " r" ; p o r e je m p lo ,, si o b s e rv a m o s la c o lu m n a "ta s a s o b re s a ld o s " d e la ta b la 9,1 v e re m o s q u e e n e l p r i m e r p e n o d o se a b o n a el 10% (1 0 /1 0 0 ), p e ro en ei s e g u n d o la ta sa tre p a al 13.3,'l% ya q u e en la p rim e ra c u o ta se c a n c e ló $25 de c a p ita l, p e ro se s ig u e a b o n a n d o u n interé.s fijo de $10. E sta re la c ió n se m a g n ific a c u a n d o o b s e r v a m o s la tasa e q u iv a le n te q u e es a b o n a d a en el ú ltim o p e río d o (40% ) ya q u e s e g u im o s a b o n a n d o SIO d e in te re s e s p e ro a h o ra s o b re u n s a ld o d e
capital de S25 (1).
(1) Los préstamos coninteresesdirectos noconstituyenunverdadero"sistema" U amordzacidnpériddicaque mostramosaquí es solamentealos efectos depoderdespejaran Inte res sobresaldo.
P restam os
Período
Saldo
con
Intereses D
irectos
Tasa sobre T o t.'l Cuota saldos arnoTiiriído
Interés
Ainorüzáddn
100,00
10
25
10%
75,00
10
25
1333%
inicial
2SI
p e rió d ic a
35
25 50
50,00
10
ZS
20 %
35
75
25,00
10
25
'10%
35
10('
TO TAL
40.00
Tabla 9 .) Intereses directos cargados por período
De la observación de la tabla 9.1, surge claramente que la tasa de inte rés sobre saldo que abono en un préstamo de $ 100 que se reintegra en 4 cuotas de $ 35, debe ser mayor al 10 % aparente que me dice lá tasa carga da en forma directa; lo cual sugiere la existencia-de una tasa de interés sobre saldo equivalente que debe ser mayor al 10 % y que calculamos a continuación.
Obtención de la tasa sobre saldos a partir de la directa cargada r Para obtener la tasa sobre saldos, simplemente calculamos mediante el procedimiento de la interpolación lineal reiterada, que es la tasa "im plícita" que actualiza la corriente de 4 períodos de S35. igualándola ál va lor del préstamo de $ 100;
100 =
35
35
35
35
(1+ 1)
(i+ í)'
(1+ / )’
(i+ iT
"
t t 4
Por interpolación 14,96°>\
En este ejemplo, la tasa de interés sobre saldosTesulta casi un 50Td mayor a la tasa directa cargada, que es una tasa "ficticia", pues no repré senla el verdadero costo efectivo de la operación.
Obtención de la tasa directa a partir de la tasa sobre saldos Para obtener r a partir de i. igualamos las fórmulas de las cuotas para los sistemas francés y directa cargada, ¿Por qué obtener r igualando la cuota del sistema de la tasa directa cargada con ia cuota del sistema francés? Siniplemente porque en ambos sistemas la cuota es constante: no hubiéra mos podido obtener una equivalencia en un sistema donde la cuota no
0
Í8 3
G u iller m o López D um rau f
permanece constante, como sucede por ejemplo con eJ sistema alemán o el americano.
.i(l,n,/T' = - + n
■m
»
é ''ñ
' S
I
■"^1
n (l,n ,/ )’ ‘ -----= r n La relación en tre r e i cuando se m odifica el núm ero de períodos
En este tipo de préstamo, como JiemosLVisio, hay una tasa de interés ficti cia y para calcular la tasa verdadera de interés debemos recurrir a una interpolación. Sin embargo, la diferencia entre esta última y la tasa de con trato ficticia no es constante conforme varía e! número de períodos. Debi do a que existe un momento en que dicha diferencia atraviesa por un máxi mo, conviene exam inar esta relación cuidadosamente, debido a sus implicancias económicas para el prestamista y el prestatario. Las tres rela ciones básicas que debemos tener en cuenta son las siguientes:
1. Cuando el número de períodos es igual a l(uno) o cuando tiende a infinito, la i y la r son iguales (si el número de períodos es igual a uno, la casa que se abona es igual por el sistema sobre saldos (francés) que por el método de la tasa directa, y cuando n tiende a infinito, prácticam enie no se a b on a capital, con lo cu al el interés pasa ser un interés sobre saldo. Si n = 1 reemplazamos en la ecuación que nos permite obtener r, el número de períodos por 1(uno); observe que la expresión a (l.l.i)‘‘ es igual a 1+i pues como a(l,l,i) sin el exponente "-1“ representa un pago vencido de $1 que es igual a 1/1+i, al elevar a la menos uno el término se invierte y queda fl+i). Como restamos 1/1, finalmente el miembro del lado izquier do es igual a i, por lo que i=r
si n—>«, la expresión a (l,l,i)'"e s igual a i, y como el segundo término aparece dividido por infinito, tiende a cero, y de nuevo í=r íí(I,oo,í)’ ‘
■m
m ..4 ' 4
n
OO
r
2 La relación entre la i y la r muestra que son iguales en n = 1, para luego i pasar a ser mayor que r, alcanzando una distancia que es máxima en un momento (que es óptimo para el prestamista) y luego vuelven a
P r is t a m o s
Intereses D iREcros
con
¿H i
igualarse cuando el número de perjfodas tiende a infinito, como se obser va en la tabla 9.2 y en la figura 9.1.
Período
Cuota
r
i
1
no
10%
10,00%
2
60
10%
13,07%
3
43.3
4
35
'*
10%
1426%
10%
14,96%
5
30
10%
1524%
6
26.7
10%
1534%
7
24,3
10%
1535%
8
22,5
10%
1529%
_9
21,1
10%
152íÍ
iB § M
10
20
10%
15,10%
n
19,1
10%
14,98%
■'m'
12
18,3
10%
14,85%
Tubia 9.2 Helac'idn entre l í rasa directa y la tasa sobre saklos cuando cam bia el núm ero de perfudos
,
En la figura 9.1 se aprecia cómo la diferencia entre la tasa sobre saldos y la tasa directa es máxima alrededor del período siete, para luego comen zar a disminuir y acercarse nuevamente las tasas cuando el número de períodos tiende a infinito. Esto claramente significa que hay un período óptimo para "calzar" los préstamos desde el punto de vista del presianiista, si es que se desea maximízar la rentabilidad de cada peso prestado. 18% 16% ■ 14 12 %
i (tasa sobre saldos;
y i dilerancla máxima
-
10“/c 8"/- -I
6%
/
r (lasa ciirecia}
-
4% ■ 2% 0%
0
/^o"
20
30
40
50
patiocio dplim ó
Figura 9,1 Diferencia entre “r" y la tasa sobre saldos
60
2S'\
G uillerk\o Lúriz D umrauf
3, La diferencia entre ambas tasas es mayor cuanto menores son la I y la r en vaJorcs nominales: sí por ejemplo la tasa directa utilizada es del 1%, la diferencia con la i equivalente es mayor que si la tasa directa utilizada hubie ra sido digamos, el 10 % Ejemplo: FJ 10 de mayo de 1992, un aviso de una concesionaria de automóviles prom odonaba el siguiente plan de pago para el modelo Peugeot 405: Cantidad de cuotas: 36 pagos mensuales Tasa de interés directa: 0,54 % mensual Precio contado del automóvil: $ 32.000 Primero calculamos la cuota a abonar:
C = 32.ÜOOX
= 1.061.69
36
Luego, !a tasa de interés sobre saldos equivalente es la que iguala la corriente de cuotas ai v^alor contado del automóvil:
..---i
32.000 = 1.061,69 ¿7(1,36,0.. Pesolviéndo por interpolación lineal reiterada, i = 0,98%. Es fácil observar que se comprueba ía relación mencionada anterior mente, pues la tasa sobre saldos no llega a ser el doble (0,98%), pero la diferencia es mayor que en el caso anterior, donde la diferencia entre ta sas no superaba el 50 %.
Nilmero Períodos 12 24 . 36 48 60
Qioía
r
i
2839,5 1506.1 1061,7 839,5 706,1
0,54% 0.54% 0,54% 0.54% 0,54%
0.98% 1.00% 0.99% 0,98% 0,97%
Tabla9.3 Relaciónentre latasa directa ylata.sasobre saldos cuandolas tasas decontratoson“bajas"
I fp ,
V «a
Finalmente, en la tabla 9.4 se muestra una serie de equivalencias en tre la tasa directa y la tasa sobre saldos cuando cambia el número de pe riodos del préstamo.
M í
f
205
Préstamos CON Intereses Directos í\Jt
l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50
1% bO% u% 1,5% 1,6% 1.6% 1,7% 1,7% 1.7% 1.0% ' 1.8% 1,8% 1.8% 1.8% 1.7%
2% 2,0% 2,7% 3,0% 3.2% 33% 3,3% 3.4% 3.4% 3,4% 33% 3,4% 33% 33% 33%
3% 3,0% 4.0% 4.4% 4.7% 4.8% 4.9% 5,0% 5.0% 5.1% 5.1% 5.0% 4,8% 4.6% 4,4%
4% 4.0% 5.3% 5.9% 6,2% 6.4% 6.5% 6,6% 6,6% 6,6% 6.6% 6,4% 6,1% 5,8% 5.6%
5% 5,0% 6.6% 7.3% 7,7% 7,9% 8,1% 8,1% 8,1% 83% 8.1% 7,8% 7,3% 7.0% 6,7%
6% 6.0% 7.9% 8,0% 9.2% 9.4% 9.6% 9.6% 9.6% 9,6% 9.6% 9.1% 0,5% 8,1% 7,8%
7% 7,0% 93% 103% 10,7% 10,9% 11,0% 11,1% 11,1% 1M% 11,0% 103% 9,7% 93% 8,9%
8% 8,0% 10,5% 11,6% 12.1% 12.4% 12.5% 123% 12.5% 12.5% 12.4% 11.5% 10,8% 103% 9,9%
9,0% U.8% 13,0% 13,5% 13.8% 13,9% 14,0% 13,9% 13.9% 13.8% 12,7% 11,9% 11,3% 10,9%
10% 10,0% j;u% 14.4% 15,0% 15,2% 153% 15,3% 15,3% 15,2% 15.1% 13,9% 11,0% 12.4% 12.0%
Tabla 9.4 Equivalencias entre la tasa directa yla tasa solire saldo
i
i i
« i
I i
€ €
i
i
i 9 .2 . I ntereses directos descontados
€
Es el caso donde se descuentan sobre la deuda inicial todos los intere ses del préstamo. Los intereses se calculan bajo las reglas del régim en sim ple sobre un capital nom inal y el prestatario recibe en realidad un "présta m o efectivo" que es igual al capital nom inal que solicita en préstam o m e nos los intereses que le deducen por adelantado.
i
€
Siendo: í = la tasa de interés directa descontada y N = capital n o m in al de la operación;
i
Los intereses totales son iguales a 1(0,n) = N.t.n y el valor que se recibe en préstam o es igual al capital nom inal m enos los intereses totales: V = N - N . t . n = N (l-t.n ) D e form a tal que primero debem os calcular el capital nom inal (N) que d ebem os p e d ir para un préstam o efectivo (V). Supongamos que la tasa t = 10% n = 4 y que queremos recibir $100 com o préstamo efectivo. El ca pital nom ina] de la operación será: N =
V
100
(1-r/i)
(1-0,10x4)
= 166,66
Entonces la cuota que deberá abonarse por el préstamo es igual a N /n = 166,66/4=41,66.
i « ü « m
m
m -'
G u i l l e r \ioL ó i^ e zD u m r .\u f
D tvform a tal que hem os recibido $100 en préstam o que am ortizarem os en 4 cu otas fijas de $41,661; observe que la verdadera tasa efectiva de in te ré s es la q u e iguala la siguiente ecuación: 100=
41,66 (i+ n
41,66
41.66
41.66
- — - T + - — -T- + (i+ i)’ (i+ í)’ (i+ í)'
P or interpolación 24,08% La tasa sob re sald os “i’’ de la operación fue, calculada por interpolación lineal, aq u ella q u e iguala la co rrien te de 4 pagos de $ 41,66 con los $ 100 que se recib iero n en préstam o. O bserve que tanto la tasa de interés directa cargad a com o la casa d irecta d escontad a no expresan el verdadero rend i m ien to o co sto de la unidad de capital en el período. Son tasas ficticias que sólo sirven co m o recu rso para e sta b lecer la cu ota periódica o d eterm inar la su m a realm en te p restad a cu ando ella no coincide con la solicitad a. Si se d esea o b te n e r el co sto efectivo de la op eración siem pre debe hallarse la tasa so b re sald os.
O btención de r a p artir de la tasa directa cargada Puede o b ten erse la tasa directa descontada a partir de la tasa directa cargada si relacionam os los valores actuales obtenidos con el sistem a de la tasa sobre saldos (francés) y de la tasa directa descontada, tenem os: V ^ .C a (l,n ,i) = N ( l~ t n ) C o m o N=nc, podem os reemplazar en la igualdad anterior: V~ C a (J,n ,i) =: n C (l~ tn ) Y sim plificando la cuota C queda n ( j~ t n ) - a ( J ,n ,i) Corno lo que querem os obtener es una expresión que sea igual a la lasa directa cargada (r). invirtiendo los términos, y luego restando y sum ando al primer m iem bro nt, podremos simplificar la expresión (1-nl) en el primer cociente, para que quede 1/n; ~
1 1 -n f
nt
n (\ —n t)
;i(I-7 i/ )
n
(1 - n / )
Y sí recordam os que ¿ i(l,n ,r)" —
n
= r
P restamos cüN Í ntereses D irectos
2.8 >
E nton ces tam bién jTodemos expresar r e n fu n d ó n de t y viceversa: r s=-
t
r=
rn
¿Existen casos de préstam os con intereses d escontados en la vida real? En 1994 un grupo de m ultím edios argentino obtuvo un préstam o de este tipo en el exterior. Lo cu rioso ñ je la operatoria: previo a recibir el présta m o, ía em p resa d eb ía ad ela n ta r los in te rese s. En la p ráctica, el flujo de fondos era igual a un préstam o con intereses descontados. Aunque es poco frecu ente, a veces ap arecen casos de entidad es que otorgan este tipo de préstam os a sus em pleados. Tam bién en algunos estados brasileros, existen organism os g u berna m entales que otorgan este tipo de préstam os para em pleados públicos y ju bilad o s. ( *
9 .3 . I n t k r e s e s
p r o m e d ia d o s
Los intereses prom ediad os representan una modalidad donde los in tereses se calcu lan igual q u e en el sistem a alem án, y luego se distribuyen en partes iguales para cada cu ota del préstam o:
Interés prom ediado =•
/(O.n)
Las cu otas son co n stan tes, y z que están conform adas por una porción de intereses que es co n stan te m ás u n a parte de am ortización de capital tam bién con stan te, igual que en el sistem a alem án. Los intereses periódicos se calcu lan so b re los sald os a fin del período anterior, por lo tanto son d ecrecien tes en progresión aritm ética, pero a ios efectos de su cobro se sum an y se prom edian, por lo tanto se convierten en intereses consraniei para el deudor. D en otarem os cóm o "u" a la ta sa de interés de contrato en este tipo de préstam o para poder distinguirla de la verdadera tasa “i" sobre saldos im plícita en éste. Para calcular los intereses a e un período cualquiera usamos Ja misma fórmula que en el sistem a alem án; / ( / ? - l, p ) = n —
( n - p + I)
. n ■
-
■■
r
:
■■■■■■ • ’
.
n e iá c í d n e n t r e la ta s a d e in t e r é s p r o m e d ia d o s U y la ta s a s o b r e s ó id o s í
La tasa ii d ebe ser m ayor que í para am ortizar idéntico préstam o ya que no p erntanece co n stan te u través del tiem po según se observa en la figura 9.2 íháy im diferim iento de intereses con respecto al sistem a alV> mán): ‘
Güiuíumo Lórtz DuMPJvur
Período i
Interés InIcJol perlrtdlco im in S fíkio
Interés prome* diodo íi,25
1 AniorU- Oiatn Oinfn Tbtnl zacJrtn dst. pcriddfcn nlnmüi pronirdlo arnorUzndn 2't 25 3J.25 25
-J_ J 3
75
7.5
6,25
2'»
m
fi
6,25
2Í¡
30
31.25
75
4
2'j
2,5
0,2'i
2*¡
27,5
31,?.5"
lt)0
'ííTIAL
25
“
32,5
31.25
50
1
laMrt 0 'í Intffrfftrnprnmmlindoi ÍMlMrtílíWI
rijxuríi 9.2 CuoM con }nlpr?te-, pmmetlmdo^
Como puede apreciarse en la figura íi.2, Jus iníereses nhoiiados sobre «aldn son menores al principio que los que se alionarían en tm préstamo por el sísíctiia alemán a la misma tasa de interés de contrato pero Iiicro P'Lsan a ser más altos conformo se avanza en el tiempo. Sí bien el total de interf'so? alionadas es Igtial en ambos préstamos, liay un rljííTjniienla de nitereses que se termina abonando en las últimas cuotas. Como iodo pago ^r» el ftitmn vale menos en el presente, esto determina que la tasa "I" equi■calente sea menor a la tasa "u" de contrato. La verdadera tasa sobre saldos la que iguala la siguiente ecuacidn;
, 00 =
n+/)
(i+ iy
(i+ / y
(1+/)'
P or in terpolación 9,56%
r R É S T A M O S C O M Í M T £ R £ 5 £ 5 D I R E C T O S
239
9.4» líJTEnESES ADEÍ.ANTADOS y AMOnTfZAQÚN VEfODA
i
Esto modalidad es la que originalmente se denomlnd "sistema nleinátr dado que en algunos países de Europa Oriental era cormíri que lo*^ intere ses se abonaran por adelantado respecto de cada período y la aíuortb-acldn ticl capital so realíce por período vencido. De forma tal que es igual ai sistema que en la Eepübllca Argentina se conoce corno alemán- con la linlcn diferoncin respecto al momento en que se pagan los Intereses. Eslo introduce una serle de cambios en la tabla de marclm del préstamo por .sistema alemán que tiicnclonamos a continuación: I. Los Intereses se pagan por período adelantado aunque siguen calcu lándose sobre el saldo fíela deuda al Ipicio dcl período. Por ejemplo, el inte rés del primer [)críodo será: '
l(0,l)=\'.ii
(>otm» los Inlcre.scs se abonan por adelaiifhdó, la tasa del pré.s«am'» es criinn una tasa de descuento (dj; por lo tanto los Intcrese.s son variables y decieclcnle.s en pmgrc.síón aritmética de razón - V.d pues los Intereses se lefluceii petindo n período en el producto de la lasa de descuento por el valor fiel préstamo. 2. Los ÍMtcrc.scs de la lilllma cuota son nulos (el üllimo sr'i-vdcio S'ilo con(lene amor t Iznclón de capital). 3. Iiinln con la entrega del dinero dcl préstamo se deduce el interés corjLvqjniidicntoal fii lnicr período, de forma lal <|uecl préstamo efectivo recibi do es V-V.íl El total nrnoíTlzndr) es creciente al Igual que el sistema nlernán. pues cu cada [iLTíofln se amortiza un enésim o de! préstamo. Por caso, el total aninrllzado al final de un período cualquiera sería: T (p )-p y .—
n
wEl saldo de la deuda al nnnl de un período también lo podemos calcu lar ÍRiinl que en el sistema alemán, por los métodos prosfiectívo ;• reltospectlvo:
M étodo prospectivo:
~Vx
M étodo retrospectivo:
V(p) = V^T(p)
Y la cuota periódica también es igual que en el alemán pero utilizando la tasa de descuento:
29 0
■■■I
sy■ .
í^-V : •
sy-:
G u itL E iu ioL ó p e zD u m r a u f
C(p) = - [ < } + d ( „ - p ) ] n
La tabla de m archa del préstamo sería Interés Amortización períddico periódica
Período
Saldo inicial
Q
lÜO
10
0
10
0
1
100
7.5
25
32.5
25 50
Cuota
Total amortizado
2
75
5
25
30
3
50
2.5
25
27.5
75
4
25
0
25
25
100
Total
25
1 abJa 9.6 In tereses adelantados y am oriizacidn vencid a
Los intereses que se abonan no cambian su valor absoluto con respec to al tradicional sistem a alem án, sim plemente se adelantan un período. No es entonces una sorpresa que ja tasa de interés sobre saldos que corres ponde a este tipo de préstam o es aquella que iguala el flujo de fondos con el dinero recibido com o préstamo efectivo: 90=
i
I
>
» .:
m i
25 (i+í)^
P o r interpolación U , 1 1 %
Observe que el préstamo efectivo es de $90 (100 menos los intereses adelantados) y la tasa de interés sobre saldos que resulta es exactamente igual a la que surgía para una tasa de descuento del 10% a partir de la rela ción i=d//l-d) vista en el capítulo dos;
0,10
t= m .i
M ^ 0 + if a+/V
100-10
I ' i .
(1+/)
1 -r/
1 -0 ,1 0
= ii,n %
Concluimos entonces que la tasa implícita o TÍR de este tipo de présta mo e:i la tasa sobre saldos equivalente a la casa de contrato, que es una tasa de descuento o adelantada. 9 .5 . E l
c o sto
f i n a n c i e r o d e l a s d i s t i n t a s m o d a u d .a d e s
DE PRÉSTAMOS
m
Podemos resumir ahora el costo financiero de las diferentes modalida des de préstam o, com parando las que calculan los intereses sobre saldo con las que calculan intereses directos.
P r es t a m o s
con
I nteheses D
irecto s
Suponiendo que la lasa de contrato (nomina]} para cada sistem a fuera igual al 10%, y el número de períodos n= 4 (para ser coherente con los ejem plos anteriores) el costo financiero de cada uno, ordenado en form a ascen dente sería; SISTEMA
Tasa efectiva
intereses directos promediados
9.56 %
francés
10,0%
alemán
10,0%
amen cano
10,0 %
intereses adelantados
11,11 %
intereses directos cargados
14,96 %
intereses directos descontados
24,08 %
Tabla 9.7 Comparación de costo fínandera para diferentes modalidades de préstamo
9.6. O tius
modalidades de préstamos üTIUZADAS
EÍ4 LA PRÁCTICA Algunos bancos argentinos han ideado algunos sistem as de préstamos que no necesariam ente se idencifícan con alguno de los vistos hasta ahora. Pasam os a describir algunos de ellos, por encontrarlos de cierta origina lidad.
El préstam o con saldo milLzable Se trata de un préstamo cuya cuota de amortización se realiza por un enésimo del préstamo (V/n) al igual que en el sistema alemán y las infereses se calculan sobre saldos, pero con la variante de perniitiile aJ diente utilizar una porción de! préstamo otorgado como si fuera una cuenta co rriente. Este Kie un producto que tuvo una gran aceptación entre los clientes que recurrían generalmente al descubierto bancario para financiar el giro del negocio. E! costo del descubierto bancario es muy alto; esta modalidad les permiiió, mediante la hipoteca de un inmueble, ir retirando dinero en préstamo de acuerdo a sus necesidades con un interés muy inferior al des cubierto bancario. Una vez utilizada una fracción del monto otorgado como préstamo, era obligación cancelar dicha suma en “n" cuotas, pero luego se perntitía la renovación del crédito y el ciclo volvía a Iniciarse. Si bien toda hipoteca tiene costos de transacción, la diferencia en el costo fínandero era muy grande. v ; . :
-
,';í '
G uillermo López
D umilaup
Prestamos para actívidacles específicas Algunos bancos de plaza, como el Banco de la Provincia tie Buenos Aires, tienen algunas líneas de préstamo que buscan ser un traje a medida de las necesidades del cliente. En general, establecen cronograrnas de amortiza ción que se encuentran "calzados" con el flujo de efectivo del negocio, de manera de asegurar su repago. A continuación se m encionan algunos casos. a) Préstamó'para pasturas En este préstamo se pagan intereses anualmente más un 50% del capital ai final del primer año, para saldar completamente el préstamo aJ final del segundo año cancelando el 50% del capital restante. Originalmente preveía una 1 NA del 14%. .
h j P réstam o p a ra siem b ra d e trigo,___
Este tipo de préstamo prevé cancelación de intereses y capital a los 180 días cuando el cereal ya se cosechó, vendió y cobró. LaTNA era del 9%. c) Préstam o p a ra gastos de ex p lotación y/o ad m in istración El cronograina de pagos para este Upo de préstamo era muy particular, por eientplo se pagaban intereses a los 180 días, luego Intereses + 50% del capital a los 270 días y rmalmeme intereses y el saldo del capital a los 365 días. laTM Aeradel 15%. Como se observa, en los tres casos mencionados las tasas son bastante más bajas que en otros bancos y la metodología de cancelación es única. También existe.ti a veces refinanciaciones con cronograrnas de amoríizadón en cuotas a los 210 v 270 días con la cosecha de .soja y maíz respeclívamente, alionando los iniereses en forma bimestral. En general, las ta sas de interés son siempre variables. En épocas de esLabílidad existían otros préstaiiio.s del Banco Bice con
Una tasa muy ventajosa y se otorgaba para compra de hembras. Otro caso eran los préstamos para financiación de exportaciones donde se daba un plazo de IRO a 210 días para cancelar intereses y capital. El importe de estos pré.stnmos erarv en proporción a los kilos de cereal destinados a la venta a algún exportador de primera línea.
9.7. Los SISTEMAS DE PRÉSTAMOS Y EL IMPACTO EN U
RENTABIUDAD
DEL CAPITAL PROPIO
Debido a que las empresas suelen conformar su estructura de capital con diferentes tipos de deuda, y en particular, las empresas suelen recurrir a los préstamos comerciales de mediano plazo para financiar su crecimiento, cree rnos necesario describir brevemente los aspectos financieros e imposiuT'os
que tienen los diferentes sistemas de préstamos y su im pacto en dr>s vária^ bles cruciales: a) La rentabilidad del capital propio b) El aljorro fiscal El ritmo de devolución del capital ajeno es diferente en cada sistema y modifica la palanca financiera puesto que varía según fjue tipo de sistema de amortización se utilice; el retorno del capital propio varía según el tiem po por el cual se usa dicho capital. Como regla general, diremos que cuando el rendiniisnfo de un activo supera el costo de la deuda, el rendim iento del capital propio se inci ementa (efecto leverage) y este efecto depende del ritmo de amortización del c a pital y tam bién del ahorro fiscal que proporcionan los intereses que se pagan por !a deuda (2). Por ejemplo, suponga que usted tiene entre manos un proyecto que de manda una inversión inicial de $ 400 y genera ingresps netos por$ 150 duran te 4 períodos: ' i
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 FF proyecto
-400
150
150
150
150
TIR 18,4%
Tabla 9.B F lu jo de efectivo del proyecto sin finsinciam ienro
Suponiendo que el costo de oportunidad del capital fuera del 15%. el proyecto sería elegible, pues la TIR es del 10,4%. Analizaremos ahora que pasa con el rendimiento del capital propio cuando financiamos el proyec to con distintos sistemas de reembolso de préstamos. Para poder aislar eí efecto leverage del efecto impositivo, consitieraremos primero eí flujo de fondos del capital propio, restando de) flujo de fondos del proyecto los ser vicios de capital e intereses, sin considerar impuestos. Esto nos permitirá apreciar como se modifica el rendimiento del capital propio cuando varía el ritmo de devolución del capital según los distintos sistemas. Pnsleriorrnente, evaluaremos el impacto impositivo por separado (3j. Comenzaremos por aquellos sistemas que calculan intereses s<‘bre sal do y que son los más utilizados en la práctica, ya sea en los títulos de deuda emitidos por las empresas o en los préstamos comerciales.
Posteriormente, sólo a los efectos teóricos, repetiremos el mismo aná lisis para los préstamos que calculan intereses directamente sobre el capí4
(2) La deuda ejerce como un efecto de palanca sobre la rentabilidad del capita1propio, y el ahorro fiscal siempre va a parar al bolsillo de los accionistas. (3) Porsupuesto, los flujos de fondos deun proyecto deben calcularse siempre im puestos. Siempre que el ahono fiscal pueda aprovecharse, éste incrementara la rentabili dadde íos accionistas.
i
4
I I t
G u ia c R M O L ó p e z D u m r a u f
ta!. qiu: este tipo de préstamos no suelen utilizarse para nnanciar inversio nes a gran escala.
Financiainiento con sistemas que calculan Intereses sobre saldo A continuación se muestra en las tablas 9.9 a 9.13, el flujo de fondos de! capital propio neto de los efectos del fínanciamiento.
.Año 0
!f ¡.Amo.-uzadón ífru e re se s ■ — -
1
fFFcu>ícal propio
•300
Año l
Año 2
Año 3
Año 4
25
25
25
25
TTR
10
7.5
5
2.5
115
U7.5
120
122.5
21.03%
TIR
TablaBS Rnanciamientocoa sistemaalemán
.Ano O Ano 1 Ano 2
Ano 3
Año 4
21,55
26.0T
28,63
5,40
2.87
Afnordzadón Intereses F F a pitaí propio
•301
23,70
10
7.85
118,45
118.45
118.45 118.45 21,16%
T u blaS.lO Fin ancíam iem o co n sistem a francés
Añü 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Amortizaddn
0
Intereses FF capiialpropio
-300
0
0
100
10
10
10
10
140
140
140
40
mi
22,81 %
T abla 9.11 Fínanciam iento co n sistem a am ericano
Come puede apreciarse, en la medida que el rendimiento del proyecto es mayor al costo de la deuda, se produce un aumento en la TIR del capital propio. Este aumento es mayor cuanto mayores el grado de apalancamiento. El s iste m a a m e rica n o es aquel que provee el m ayor grado de apaiancainíento, puesto que el capital permanece más tiempo en poder del prestatario.
P restam os
con
InTtRtsts D
2 ‘>5
irecto s
Flnanclumienio con Intereses calculados dircctamentesobree] capital
Año 0 Ano 1 Año 2 Año 3 Año 4 Amortización
25
25
25
25
Intereses
10
10
10
10
115
115
115
115
FF cap propio
-300
Tm
19,6%
Tabla S.12 Intereses Directos Cargados
Amortización ■
*r
intereses
•
f
FF cap propio
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 25 23 25 25 6,25 -300
6,25
6.25
TIH
6.25
118.75 118,75 118,75 118.75 21.3%
Tabla 9,13 Intereses Directos Promediadoi C : X
í. *i.
Amortización Intereses FFcap propio
Ano 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 25 25 25 25 lU
7.5
5
2.S
O
•310
117.5
120
12Z5
125
TIR
2U.41 %
Tabla 9.14 Intereses«AdetanradosyAmortizaciónVencida(.AntizipatizenSinseni
Aniortizadón
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 25 25 25 25
Intereses FF cap propio
-300
1Ó.6
16,6
16.6
16,6
108.3
ioa.3
iaa,3
108,3
IIR
L6.5 %
Tabla 9.15 Intereses Directos Descornados Lil tabla 9.16 resume el efecto de la palanca Unanciera con las disiinias modalidades de préstamo:
Tipo de préstamo .Amerícano Francés Alemán Int. Directos Promediados Int. Adelantados Int DUecios Cargados im Directos Descontados
TIR 22,81 To 21,16% 21,03 % 21,3 % 20,41 % 19,59 % 16,52 %
Tabla 9.16 Efecto Je palanca financierasobre el rendimiento del capital propiu
G U I L lE lU r í O L ó r £ 2DUMRAUr
2 9 6
Tánlo éfsísteina francés como los sistemns aiemán y americano llenen el mismo costo financiero ya que tienen la misma TIR. En cambio, cuando los intereses se calculan en forma directa este apalancainlento disminuye debíclo al efecto de adelantarlos intereses o descontarlos directam ente. El lector puede apreciar en las figuras 9.3, 9.4 y 9.5 que siguen, cómo evoluciona la rentabilidad del capital propio cuando la financiación es con préstamos con intereses sobre saldos, por ser los que se utilizan para financiar inversiones a cierta escala, donde la diferencia en el ritmo de devolución del capital deter mina un mayor apalancaiiiiento.
m
\
.2 . - 3 Nro. de períodos
ü Amortización de capital n Intereses □ Rentabilidad del cap propia
Figura 9.3 Fin an ciación con sistem a am ericaiin
160 MO
120
IDO
'/ «
BO
‘
60
- ’-.'v / - ' •'''/i!
<0 20
'>
0
1
2
3
4
Nro. de periodos R Amortización de capital ■Intereses PRentabilidad de) cap propio Figura 9.4 Financiactón con sistem a francés
Nro. de periodos
n Amortización de capital ■ intereses QRentabflidad del cap propio
Figura9.5 Financiaciónconsistemaalemán
Prestam os
con
I n t ereses D
ir e c t o s
El sisteiDa alemdn es de los tres sistem as que calculan intereses sobre saldo, el que más rápido am ortiza el capital y por lo tanto de los tres, en el que m enos intereses se pagan. Esto hace que su p alanca fínand era sea m enor y tam bién genera un m enor ahorro fiscal. En el caso de los intereses directos, si pudiéram os asignar a cada perío do una cu ota de am ortización, esta sería sim ilar a la que existe en el sistema alem án, para Idéntico valor del p réstam o . Sin em bargo, co m o las tasas de contrato de estos préstam os no son verdaderas tasas de interés, sino que en realidad son "tasas ficticias"; el co sto efectivo de los m ism os es mayor que en los tres sistem as an teriores, cu ando se utilizan id én ticas lasas de contrato (4),
Efectos im positivos del tipo de fin a n d a m ie n io Veamos ahora qué ocurre si incluim os los im puestos en el flujo de efecti vo de nuestro proyecto de inversión. La inclu sión dpi im puesto a la.*^ ganan cias reduce el flujo de fondos hacia los accionistas, porsupu esto. Peio lo que tratam os de m ostrar ahora es la ventaja fiscal que p ro p o rd o n a el endeuda miento, y en particular, cada sistem a de reem bolso de préstam os. En la tabla 9.17 aparece el flujo de efectivo del proyecto n eto de im puestos, ames del financíamiento: ' ’ Año 0
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4
- 400
150
150
150
150
Impuestos 20 %
30
30
30
30
FF d/impuestos
120
120
120
120
FF proyecto
Tabla 9.17 Flujo de efectivo del proyecto neto de impuestos Los intereses representan un gasto deducible en el im puesto p las Ga nancias (5), y por lo tanto cuanto mayor sea la cantidad pagada de intere ses, mayor es la ventaja fiscal. En tal sentido, puede elaborarse un orden en materia de ahorro fiscal para los sistem as de reem bolso de prásiamos que hemos descrito. El ahorro fiscal es calculado com parando síentpre con el desarrollo del proyecto sin deuda y el Valor Actual del Ahorro riscal sSe obtiene descontando la corriente de ahorros fiscales con una tasa cíe inte rés igual a la que devenga la deuda. En la tabla 9,18 aparece la contente de intereses de cada modalidad de préstam o y el ahorro fiscal correspondien te:
(4) E.xccpto con Intereses directos promediados, que es el más barato de lo'i sistemas analizados. (5) En el ejemplo inicial, el flujo de fondos del proyecto fue desarrollado sin considerar el impuesto, que podría tornar inviable el proyecto. Nó obstante, éf ahorro fiscal Opera en la medida que la empresa cuente con utilidades para aprovecharlo.
G u i l l e r m oL ó p e zD u M R A ü f —
--- -------------------------—
SISTEMA
Interés Aliorro interés Aliorro Interés Aliorro Imerés Aliorro VAA. r año Fiscal 2“ año Fiscal 3“ año Fiscal 4* año Fiscal Fiscal
Ftancéb
10
1,57
5.48
1.09
2,87
0,57
10
2 2
7,85
Alernár,
7.5
1,5
5
1
2.5
Americano
10
2
10
2
10
2
10
0.5 2
4.32 4,15 6.34
Tabla 3.18 Ahorro fiscal, préstamos con intereses sobre saldos
La illtim a colum na "V.AA, Fiscal’* representa el valor actual de los aho rros fiscales periódicos, calculados con ¡a tasa del 10%, SISTEMA Protnediacíos Cargados Descontados Adelantados
Interés Abono Interés Ahorro Interés Ahorro Interés Ahorro V.A.A. Taño Fiscal 2* año Fiscal 3“ año Fiscal 4“ año Fiscal Fiscal 6,25 10 10
.1,25 2
10
2
2
6,25 10 10 7,5
1,25 2 2 1,5
6,25 10 10
1,25
5
1
2 2
6,25 10 10 2.5
1,25 2 2 0.5
3.95 6,34 6,SI 4.56
Tabla 3.19 Aliorro fiscal, préstamos con intereses directos riankijig del aliorro fiscal Resulta conducente ahora producir un orden para el ahorro fiscal que generarían los distintos sistemas de préstamos, ordenando éste en forma decreciente, según aparece en la tabla 9.20: Tipo de préstamo Americano Francés Alemán Im. Directos ftcmediados tm. Directos Cargados Int. Directos Descontados int. Addantados
Valor actual del Ahorro Fiscal 6.34 4.32 4.15 3.9G 6.34 6-34 4.56
Tabla 9.20Ahorro fiscal por orden decreciente Luego de analizar los efectos de palanca financiera y ahorro fiscal para los distintos tipo de préstamo podemos emitir la siguiente conclusión: Si i l rendimiento del activo es mayor al costo de la deuda, cuanto m e nor seti el ritmo de devolución del capital, mayor será la amplificación en el renaim iento del capital propio y como mayor serán los intereses paga dos por la deuda, mayor será el ahorro fiscal. Por lo tanto, sí la coyuntura
PKESTA^\05C0M ÍHTERESEá DlRlCTOS ecund m ica es buena p ara la em presa, e! efecio de paJanca fin a n ciera y el ahorro fiscal se sum an.
B esumen Los intereses que se calculan directamente sobre el capital, esconden una tasa de interés que no es la tasa de contrato. En general, salvo para el caso de los intereses promediados, la rasa de interés in>plícíta suele ser mayor que la de contrato, siendo necesario determinarla a través del méto do de la interpolación lineal. Si bien este tipo de préstamos no es utilizado con frecuencia en la práctica, la modalidad de los intereses directos carga dos si se utiliza en operaciones de fínanciamíento para compra de biene.s en cuotas, y en el pasado también ha sido utilizado en la compra fina nejada de automóviles. r El ritm o con que se devuelve el capital en cada tipo d.e préstam o, deter m ina la cantidad absolu ta de los intereses periódicos, y esto tiene dos efec tos cu ando lo m iram os desde la perspectiva de la em presa que utiliza algu no de estos préstam os para financiarse: el efecto de palanca financiera y el ahorro fiscal. La coiicliisíóu es que m ayores son estos dos efectos cuaiiiu más se tarda en devolver el capital, generando una mayor carga de intereses que aum entan el ap alan cain ien io financiero y el ahorro fiscal. Esto puede tener efectos im portantes para la rentabilidad del capital propio, a tavoi cuando la coyuntura econ óm ica es buena, y viceversa.
PnEGUNTAS 1. M encione las dos variables que afectan la relación entre la tasa de interés directa con la tasa de interés sobre saldos. 2. ¿Cuál es el m otivo por el cual cuando el m im ero de períodos íiende a infinito la lasa de interés d irecta y la tasa de interés sobre saldos se igualan? 3. ¿Cuál es e! sistema sobre saldos donde la com pañía se encuentra más apalancada? íí... ■■■■■>4, ¿Cuál es el sistem a sobre saldos que genera un mayor ahorro fiscal? 5. ¿Porqué los préstamos con intereses directos no representaiiun verda dero sistema?
/•■' " •.■ • i''
P roblemas 1. Se desea saber el costo efectivo real defínanciarla compra de un telerisor con un préstamo que calcula Intereses directos cargados, siendo el valen
-'f- -^
x
: ' x
-r xx..v.x'v;:y'r^^,;
GUILtER^^O L ophz D umrauf
JUO
de contado del televisor de $1.000 y que se abona en 6 cuotas mensuales fijas con una tasa de interés directa cargada del 2% mensual. Respuesta: 3,34% mensual 2. Suponiendo un mundo donde el crédito a tasa directa cargada se consigue a una tasa equivalente a la que se abona sobre saldos (suponga un préstamo de $100, una r=10% y n=4}- A dicho préstamo le corresponde una i=.l4,96% para n = 4. Suponiendo que la entidad financiera le reco nozca Jos pagos que usted realizó en el préstamo por intereses directos cargados, calcule cuál sería el momento óptimo para cambiarse de siste ma, teniendo en cuenta que al principio, por el sistema de la tasa directa cargada paga una tasa sobre saldos inferior a la que paga por idéntico prés tamo que abona la misma cuota por el sistema francés. Respuesta: 2^,58 meses 3. Determinar la cuota que debe abonarse para recibir $100.000 neto y amortizarlo en 5 cuotas m ensuales‘que tienen una tasa del 1% mensual directo descontado. Respuesta: 21.052,63 4. Determinar la tasa efectiva resultante sobre saldos de la operación anterior. Respuesta: 1,73% 5. Calcule la tasa de interés implícita sobre saldos de un préstamo de $100.000 que se amortiza en cinco cuotas de capital constantes y que cal cula intereses promediados con una tasa del 1% mensual. Respuesta: 0,9934%
Referencias BiBuoGnAFiCAS M iim o N i O.sCAii, T rosscro Angel (1 9 9 3 ), “Manual de Cálculo capítulo 5, 2 ’’ e d ic ió n , Grupo M a c c h i Editor, Buenos A íre s ,
Financiero",
CAPfrujLolO
^ í
T éc n ic a s d e E va lua ció n de P r o y e c t o s DE I n v e r s ió n
“C u a n d o p u e d e s m e d ir a q u e llo d e h q u e h a blas, y expresarlo con n ú m eros, sabes alg o a cer ca d e e llo : p er o c u a n d o n o lo p u e d es medir, cu a n d o n o lo p u e d es ex p r esa r con núm eros, tu c o n o cim ien to es p o b r e e in satisfacw t ia: p u ed e s e r e l p r in c ip io d e l co n o cim ien to, p er o a p en a s h a s a v a n z a d o en tus p en sa m ien to s a la eta p a d e cien cia”
WíllíamThomson Kelvin (10 £4-1907), Maiemátíco yfísico británico
I otroducción l^ s decisiones de inversión son las m ás im portantes en ias HnanTas cor porativas. Piense que son los activos los que tienen capacid ad de gene rar rendim ientos; por lo tanto, para in crem en ta r la riqueza de los accio nistas, la com pañía debe invertir en aquellos activos que sean capaces d e crear valor. La inversión en m aq u in arias, naves in d u striales, equipos y activos de trabajo requiere de una p lan ificación y una evaluación de las bondades de ésta. Esto es lo que en tend em os por "evaluación de proyec tos” y en una definición más am plia nos referim os al "presupuesto de capi ta r ’, ' „ El presupuesto de capital es im portante porque hace a la a lo c o rid n efi ciente de los recursos: para crear valor d ebem os invertir en aquellos pro yectos cuyo rendim iento superan el costo del capital necesario para lle varlos a cabo. Cuando la com pañía consigue hacerlo, entonces increm enta la riqueza de los accionistas. En este capítulo describim os los m éíotlos lUilízados para medir la rentabilidad de la inversión, ponderando las virtu des y defectos de cada uno y tam bién no referim os a algunos problemas de interpretación que suelen aparecer en las evaluaciones de proyectos. Es Importante destacar una regla en la evaluación de proyectos: la bon dad de una inversión es evaluada prescindiendo de cóm o es financiada, para poder juzgar el m érito del negocio; un negocio es bueno o malo, e l '
G uillermo LOi’EZ D umráuf ñnai iCiíimiento no debe cam biar estoLPor lo tanto, la descripción que reaJíza* m as de los m étod os de evaluación de proyectos suponen inversiones que se realizan con capital propio. H asta fines de los años cin cu en ta, los prim eros m étodos para la eva lu ació n de p ro yectos de inversión se b asab an en resultados que propor cio n ad o s por las cifras de los libros de contabilid ad y no ten ían en cu enta el valor tiem po del dinero. Estos m étod os calculaban una tasa de ganancia co n ta b le a partir de ratios que relacion ab an categorías del estado de re su ltad os y los b alan ces. Una m edida alternativa, que com enzó a utilizarse un po»;o d espu és, es el Período de Recupero de la Inversión {P a y b a ck }. E xam inarem os prim ero los m étodos co n ta b les y el PflybacA:, d escribiend o sus alc an ces y lim itacio n es para luego con cen trarn o s en los m étodos que los an alistas — in satisfech os con las respuestas que b rind aban los m é to dos a n te rio re s— co m ien z a n a usar a partir de los 50 los que hoy pod ría m os d en o m in ar “m étod o s trad icionales" com o el Valor Actual Neto (VAN), Ja Tasa In te rn a de R etorn o (TIR) el Período de Recupero D escontado, el ín d ice de R en tabilid ad y m ás recien tem en te, la Tasa In tern a de Retorno M odificada.
Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de: • D istinguir entre los principales m étodos financieros para la evaluación de proyectos d é inversión, co n o cer sus alcances y limitaciones. • Señalar algunos inconvenientes que pueden aparecer cuando se utiliza el m étodo de la tasa interna de retorno y com o podemos solucionarlo.
• Explicar por qué e! VAN es considerado académicamente como el mejor método. • Explicar com o laT IR modificada constituye una versión m ejorada de la TIR y puede ser un digno com petidor del VAN en algunas circunstancias don de la regla directa de la TIR falla.
10.1. LaTASADE RENDIMIENTOCONTABLE A partir de la inform ación que sum inistran los libros de contabilidad, los analistas han utilizado una serie de medidas de rentabilidad sobre el capital invertido, que van desde simples ratios que relacionan alguna c a tegoría de ganancias obtenida del estado de resultados con alguna m edi da de la inversión inicial obtenida a partir de la información del balance. No existe una medida única, tam bién se utilizan promedios para las m is m as categorías, y algunas versiones m ás refinadas proponen discrim inar cuáles resultados son operativos y cuál es el capital operativo que lo ha generado, a los efectos de certificar la relación "resultado del proyectoínversion del proyecto" (1). La razón del uso de la tasa de ganancia conta-
(1) n método EVA® de la firma Stern&Stewart de Nuevia York establece una medida llamada rtOlC(resultado operativo ajustado por impuestos /Capital empleado).
• ^ 1
T é c n i c a s D£ E v a l u a c ió n D£ P r o y e c t o s
de
I n v ^r s ió h
50:í
ble es sencilla: puede calcularse a partir de las cifras que p ro p o rd o n a n Ioü estados financieros proyectados y es fácil de com unicar, teniend o en cu erna lo fam iliar que resulta una m edida del tipo ‘Tentabilidad sobre el capira) inv e r tid o ". Una m edida con o cid a es la tasa de rend im iento co n tab le que c o n s ísie en dividir el b eneficio m edio esperado de un proyecto, después de a m o rtiz a cio
nes e impuestos, por el valor promedio contable de la inversión:
ry?c =
Uíilidad neta prom edio Inversión media
Se hace referencia a una “inversión m edía" pues debido a la depreciación, el capital invertido dism inuye a m edida q u e transcurre la vida útil del próyec* to. Com o d ijim os, la ventaja de este m étod o radica en su facilidad, ya que utiliza cu entas de resultados provisionales o proyectados. La tasa de rend im iento co n ta b le tien e otras acep ciones. Por ejem plo, a veces se calcula com o un co cie n te en tre el resultado operativo m enos im puestos y el capital em pleado, que es la su m a del capital de trabajo y jos activos fijos netos invertidos Í2). D e esta form a se elim ina el efecto de la estructura efe capira! que apa recía en la m ed id a anterior, pues la utilidad n eta es afectada por el pago de los in tereses de la deuda, y en co n se cu e n cia se produce un ahorro fiscal a partir de la decisión de financiam iento. R ecuerde que el m érito de un pro y e cto sie m p re d eb e ev a lu a rse p re s c in d ie n d o de la d ecisió n de firianciam ie n to ; esto es, el proyecto se rá b u e n o o m alo in d ep en d ien tem en te com o se lo financie. Las p rin cip ales d esv en tajas de las m ed id as de rentabilidad con table so n : • No consid era el valor tiem po del dinero, ya que no tiene en cuenta el h echo de que un peso del p resen te vale m ás que un peso del ñifuro • Es afectad a por las con v en cio n es co n tab les: no trabaja con el flujo de efectivo, sino con beneficios contables, q u e pueden ser muy diferentes y son afectados por las conv en cio n es contables. Las lim itacion es de la tasa de ren d im ien to co n ta b le pueden apreciarse claram en te en la ta b la 10.1 d ond e ten e m o s tres proyectos A, B y C que tien en la m ism a utilidad n e ta p ro m ed io y com o la inversión es de $6.000 en los tres casos, tien en la m ism a tasas d e rentabilid ad con tab le, que c a l cu lam o s com o la utilidad n eta p rom ed ió (3000/3) dividida la inversión
(2) No debe confundirse !a tasa de ganancia contable con el ROA(utilidad neta/aciivt) total), que representaba una medida de rentabilidad de corto plazo calculada con datos his^ tdricos. La tasa de ganancia contable se calcula a partir de datos proyectados para vario.'i años. :
}0A
GuiLiERAvQ López Ü um rauf
neta promedio (3) (5.ü00+4.000f 1.000)/3. que comienza en 6,000 y se va depreciando hasta llegar a 0;
T R C = — — = 33,33?o
3.000
Sin embargo, si bien el flujo de efectivo acumulado es igual en los tres casos (9,000) no vuelve con la misma rapidez: el proyecto A dexoielve 4.000 e! primer añu, 3.000 el segundo y 2.000 el tercero. Si tenemos en cuenta la icgla del valor tiempo del dinero. A es el mejor proyecto, luego sigue C y B se ubica en el último lugar.
Afio l Año 2
Año 3
Total
P io y ecio A
F lu jo de fon d os Utilidad n eta
4.000
2.000
3 .0 0 0 1.000
2.000 0
9 .0 0 0 3 .0 0 0
Proyecto B
F lu jo de fon d os Utilidad n eta
2.000
3 .0 0 0
4 .0 0 0
9.000 3 .0 0 0
F lu jo de fon d os
3 .000
Ptoyecto C
Utilidad neta
0
1 000
1-000
3.0 0 0
1.000
2.000 3 .0 0 0
1 000
9.0 0 0 3 .0 0 0
Tabla lO.l Utilidad neta versus flujo de fondos
L.a otra díHcullad de este método aparece relacionada al uso de los pro medios: ral vez la tasa de rendimiento contable esté escondiendo perío dos donde liubo pérdidas o las utilidades fueron muy bajas. Si bien puede decirse en su defensa que permite comunicar también la rentabilidad de un período específico, tenga siempre presente que el resultado económi co refleja una opinión entre vat ias. En cantbio. el flujo de fondo.s fiistórico (4) es un hecho, una medida única. Los métodos que se explican a con tinuación utilizan siempre el flujo de fondos, ya que al accionista le impovla cuando el dinero está disponible para ser utilizado.
10.2- E l TEníoDo de iiecupeho {payback) El método del período de recupero nos dice ia cantidad de períodos que han de transcurrir para que la acumulación de los flujos de efectivo iguale a
Í3) Si la inversión com ienza con S6.000 y al final del año por la depreciación en linea recta es de $ «1.000, consideram os una inversión neta en el primer año de S 5 .000, en el segun do de $ 3.000 y en ei último de $ 1.000 (41 El flujo de fondos hLslóríco no es vulnerable a las con vendones contables y represen ta efectivam ente, un hecho. En cam bio, es im portante reconocer que el flujo de efectivo proyectado representa una opinión entre varias posibles
T écn icas
de
Ev a lu a c ió n
de
P royectos
de
Invirsioivi
TQ5
la inversWn Inicial. A diferencia de la tasa de rendimiento contable, utiliza flujos de efectivo. Suponga que tiene entre manos un proyecto "A” con el siguiente flujo de fondos:
P ro y e cto
Año 0
yVño 1
A ño 2
A ño 3
A ño 4
A ño 5
A
-600
100
200
200
200
100
m -
Tabla 10.2 Flujo de fondos
El p a y b a ck es igual a 3,5 años ya que será necesario que transcurran tres períodos y medio para recuperarla inversión original. ¿Fácil de calcular, no es cierto? Una ventaja de este método radica en ia facilidad de su cílicuio y la intuición que subyace detrás del mismo.
e -
Desventajas del p ay b a ck El período de recupero tiene una serie de limitaciones que comienzan cuando reparamos que no tiene en cuenta la rentabilidad. Sus inconx^enientes son:
m .'
• No nos dice cuál es la rentabilidad de la inversión, solamente nos dice cuanto tiempo tardamos en recuperaila (5)
á
No tiene en cuenta el valor tiempo del dinero • No considera los flujos de fondos que se generan después de lecuperada la inversión original, con lo cual podríamos desechar buenos proyec tos cuyo flujo de efectivo se produce más tarde. El p a y b a ck elige el que recupera antes la inversión, no el más rentable. Por ejemplo, suponga que cuenta con un proyecto "B ”. alternatii'o ai proyecto ’A’’ y que presenta el siguiente nu|o de fondos: P ro y e c to
A no 0
P
-6 0 0
j
A ño 1
Año 2
Año 3
Año 4
A ño 5
150
150
150
150
150
Año 150
Tabla 10.3 Flujo de fondos
El payback de este proyecto es igual a 4, y siguiendo la regla, elegiría mos el proyecto A por ser el que recupera más rápido la inversión original:
(5) Algunosinterpretan e[ payback com o el momento en quecomienzan aganrr dinero. Se olvidandel valor del tiempo.
m '-
'iOo
Gu^UfRA.«0 ^Lc:)^E2 DuMRAUf
pero de esa forma asignaríamos errdneamenie los recursos, ya que el proyeclo B es claramente más rentable. La razón es que el período de recupero no tiene rm cuenta los ingresos que siguen al momento del recupero de la inver sión original, ya que sencillamente, no mide la rentabilidad.
Si
¿Ei utilizado el Período de Recupero? Algunos estudios que se han hecho en los EE.UU, (6) demuestran que las compañías utilizan el método del Penodo de Recupero corrip complementa rio de otros métodos. Una encuesta tomada de una monografía realizada en la Universidad de Pennsylvariía, mostró que el 28% de las empresas utiliza ban el período de recupero como complemenro de otros métodos. En la Repúblit a Argentina, un ímporíanle banco extranjero establece para las nuevas sucursales que abre, un penodo de recupero máximo de 36 meses (7). Otra compañía muy conocida, ligada a la industria de las telecomunicaciones, utiliza el payback en conjunro con el valor actual neto. El período de recupero es un método intuitivo; algunos razonan su resultado como si a partir del perícuio en que se recupera la inversión se comienza a ganar dinero. Lo cierto es que este método también puede ser utilizada con cierto argumento en economías inestables, con inflación aguda, donde la gran incertidumbre de termina que los inversores aprecien el rápido recupero de la inversión y que a veces esta situación tenga un peso determinante. Sobre el Anal del capítulo realizamos un balance de los métodos donde volveremos a darle una mirada al payback.
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» •• ■ '*
w 10.3. PEnfODO DE RECUPERO DESCONTADO {DISCOVNTBD I - S■ m ,
9 ■ '9
.
PAYBAC^
El período de recupero descontado es una variante mejorada del payback, ya que sí tiene en cuenta el valor tiempo del dinero, a) expresar los flujos de iondcis futuros en valor presente. La diferencia con su primo hermano el puybock, es que la acumulación de flujos que debe igualar la inversión origi nal se encuentra expresada en vtiJor presente, donde cada flujo es desconta do por u n tasa de interés que representa el costo de oponunidad de! inversor. 1.a tasa de Interés de oportunidad es tratada en la sección que se explica el VAN. y profundizada en el capítulo L5. Esto repara el inconveniente del valor tiempo, pero mantiene los otros dos (sigue sin medir rentabilidad y no tiene en cuenta los flujos que se producen después de recuperada la inversión) que señalamos en la sección anterior. Tomando el ejemplo del proyecto B, donde se demoraban 4 períodos en recuperar la inversión original, al des contar cada flujo de fondos poruña tasa de oportunidad del 10%, el recupero de la inversión toma algo más de tiempo. Siendo el factor de descuento igual j /(l+i)í donde J es el período al que corresponde el flujo de efectivo, tenemos:
9 ■ :9
f6 i Véase laobra deS. Bpss. R.W esterbelo y B. Jordán, Fundamentosde Finanzas Corpo-^ nitívas. capítulo 7. Valor presente neto yotros criterios deinversión, (7) Son criterios que emanan de la casa matriz.
I fCHíC^^S D i tV A lU A aúM D£ PKOYECTOS DE I n Ví RSIQ i /
Feiíodo
ISO
Rictor de descuento 0,9090
Viilor descontado 136,3
I5í)
0,826'í
123,9
150
0,7513
112,7
150
0,6830
112,^
15Ü
0,6209
FF
Total
:u >:
578,4
Tabla 10.4 Flujo de fondos expresado en valor presente
Al final del período 5, la inversión nos devuelve $ 578,4. Coma necesi tamos acumular $600 para recuperar la inversión, significa quesera nece sario avanzar en el período 6 para recuperarla totalménte. Para calcular que porción de tiempo dei período 6 se precisa para lograrlo, establece mos la proporción que representa la diferencia que falta para alcanzar ia inversión inicial (600-578,4) respecto del flujo de efectivo del período 5^ expresado en valor presente:
= 0,255
0,255 x 12 meses = 3 meses
150/(1,10)“
Será necesario consumir un 25,5 % del período 6, o sea aproxim ada-, m entes meses si hablamos de períodos anuales, de manera que para recu perarla inversión totalmente harían falta 5 años y 3 meses. Como se pbser- ^ va, cuando expresamos el flujo de efectivo en valor presente se precisan más de 5 períodos para recuperar la inversión original. El método del cliscQUTitedpaybackc o rrig e una deficiencia del pavone/:convencional, pero sigue olvidándose de los ing.'-esos que se producen luego de recuperada la inversión, y sigue sin decirnos nada acerca de la rentabilidad del proyecto. Completada entonces la descripción de Jos métodos “antiguos" para eva luar proyectos de inversión, en las próximas secciones explicaremos los métodos preferidos por los analistas y que suelen entrar “en competencia" a la hora de evaluar la rentabilidad del proyecto.
Preguntas de auto-evaluación: 1. ¿Cuáles son las desventajas de la tasa de ganancia contable? 2. ¿Cuáles son las desventajas delTJaybnc/:?
G uillerm o López D umilaue
10 .4 . E l valor actual neto El valor actual neto (V/VN) se define como el valor que resulta de la difC' if'nda entre el valor pre.sente de los futuros ingresos netos esperados (son descontados a una tasa "/:"qiie representa el costo de oportunidad del capi tal) y el desembolso inicial de la inversión (fFo). La expresión del valor actual tjeto es la siguiente: VviA' = - F F o +
FF,
FF
FF„ -hVT
(l + k )
(1 + ^)^
(I + A:)"
Eti el último flujo de fondos aparece un término “I T ” que en la termi nología financiera se lo conoce como 'Valor terminal". El valor terminal puede Verse como el flujo de fondos que se obtiene si el negocio es liqui dado, o eí valor de la continuidad si el proyecto sigue en marcha, en cuyo caso suele ser utilizada la fórmula de la perpetuidad para estimarlo. Para calcular el VAN, los flujos de efectivo que genera el proyecto (FFj) son descontados previamente con la tasa de interés que representa el costo de oportunidad del capital {k) y luego se resta el desembolso inicial de la inversión. Siittbólicamente, también podemos expresar la ecuación del VAN como: S f 'V V A N = - F F o + - ! - -----íl + i j ' Ejemplo: Supongamos que la compañía Azzurra está pensando en invertir dinero en una cadena de pizzerías que le requiere una inversión de $1000 y genera mi flujo de fondos neto de $500 los dos primeros años y $800 al final de su vida, donde se liquidan las instalaciones y el capilal de trabajo (por lo tanto, en el último valor incluimos el valor de realización de los activos neto de impuestos) Si asumimos que el costo de oportunidad del capital es L=10%, el valor actual neto del proyecto sería’ 500
500
800
(1 + 0,10)
(1 + 0.10)-
(1 + 0.10)
VVWV = - 1 0 0 0 + -
y = 4 6 8 ,8 2
Ejemplos de aplicación con Excel® y con calculadora (uiandera HP 12C Se realiza una inversión por $ 10.000 que generará3.000,4.200 y6.800 en los tres aiios siguientes. Suponiendo que la lasa de oportunidad es del 10%. para calcu lar el VANcon Excel® o calculadora HP 12C:
- Vi
T rcH iC A S OE Ev a lu ac ió n de P ro vec io s de I n ver sió n
J í/ i
Con Excel debe Introducir: =VNA(O.ÍO, -10.000,3.000, 4.200,6.000) es igupJ a 51.180.44, Como Excel®considera aJ período 0 (cero) como un período más. se hace necesario capitalizar dicha cifra j)or la tasa de corte. Así, el VAfJ es igual a 1.188,44x1.1001.307,20.
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Con calculadora financiera HP 12C debe introducir: -10000 y presiona: la tecla azul "g" y luego "CF^” Para los ílujos siguientes debe introducirlos en secuencia: 3000 presionar "g" yluego presionar "CFj". Lo mismo con los siguien tes; 4200gCFj 6800gCFj lOi y finalmente calculamos el VANpresionando la tecla amarUJa “f" y por último presionamos "NPV” (nei present valué).
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Recursos auxiliares lO.i B VAN paso a paso con Excel y calculadora financiera HP17C
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Como debe interpretarse el VAN
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Conceptualmente representa el valor absoluto de la riqueza que "agre ga" un nuevo proyecto de inversión a la empresa en el momento 0 (cero). Esto es, si la empresa realiza un proyecto que tiene un V'/VN de S468.82, la empresa habría aumentado su valor presente en 468,82 luego de realizar el proyecto. Desde el punto de vista del mercado de capitales eficiente pue de interpretarse que los inversores en acciones de Azzurra descontarán la información y estarán dispuestos a pagar más por sus acciones, elevando el valor del conjunto en $468,82.
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El VAN del proyecto de Azzurra debe ser interpretado de la siguiente forma; si invertimos hoy $1000 y rodo sale como hemos planificado, el pro^ yecto nos detmelve en valor presente $1.468,82 (los flujos de fondos futu ros descontados a! 10%); luego, restamos el desembolso inicial de S 1.000 y la diferencia es el VAN. Note que un VAN positivo significa que ya liemos cubierto el costo de oportunidad del 10%. que viene a ser la "tasa obsta'culo" que hay que superar para que valga la pena llevar a cabo el proyecto. Si el mercado de capitales es eficiente y sabe leer, interpretará que como la empresa realizó un proyecto con VAN positivo, el precio de las acciones'cn su conjunto debería aumentar en esa suma, ya que es v'^alor que el proyecto ha agregado a la empresa. En seguida se aprecia como la regla de! VAN aparece íntimamente relacionada con el objetivo de las finanzas; realizan do proyectos que tienen VAN positivo, aumenta la riqueza de los accio nistas;
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Figura 10.1 El VAN y su relación con el aumento del valor para el accionista
310
C uiL U R A iO L0Jȣ2 DUMRAUF
¿Cuál es la tasa de Interés que debe utilizarse para calcular el VAN? Un proyecto siempre debe evaluarse presdndiendo de la forma en que es fínanciado, para que el mérito del mismo caiga por su propio peso. Un pro yecto e; bueno o malo, independientemente de la forma en que se lo financte. En este sentido, el proyecto se evalúa como sí fiiera ñnanciado totalmente con capital propio, ta deñnición más exacta que podemos dar respecto a la rasa de interés a utilizar en el cálculo del VANes: e l ren d im ien to d e o p o m m id a d d e u n a altern a tiv a d e riesg o s im ila r
La tasa de oportunidad del inversor es denominada con frecuencia "tasa de corte" ya que establece una especie de obstáculo en el ordenamientfj de los proyectos de Inversión: aquellos proyectos que tienen un VaN mayor que cero se llevan a cabo; aquellos que tienen un VAN negativo no se realizan, pues su ejecución llevaría a una disminución en la riqueza de la empresa. La regla de decisión del VAN es entonces también llamada "tasa ajustada por el riesgo" "tasa de óportúnidad dél inversor" "costo del capital" o "tasa de descuento” (esta última como traducción de la expre sión "í/ííco«/7rrafe”.Ya hemos aclarado en capítulos anteriores que en el contexto de la matemática financiera la expresión "tasa de descuento" está bien definida y se la utiliza para las operaciones de descuento de docu mentos. Algunos creen entonces que hablar de tasa de descuento es inco rrecto para referirse al cálculo del valor presente del flujo de fondos y prefieren utilizar la expresión "tasa de actualización". Como también ya hemos explicado en un capítulo anterior, esta expresión es menos correcta que decir "tasa de descuento" ya que “actualizar" signifíca hacer presente algo del pasado, como lo entiende la Real Academia Española. Y en el contexto del valor actual neto o descuento de flujos lo que hacemos es expresar ios f l u jo s futuros en su valor presente equivalente. No obstante, por enlenderse que el verbo "actualizar" en matemática financiera se utili za para calcular valores presentes, lo seguiremos utilizando en ese sentido e t i alganos ejemplos. Alfninas veces, para proyectos internacionales, el costo de capital o tasa ajustada por el riesgo viene definido por la casa matriz. Por ejemplo, un importante bancu americano define como costo de capital para los pro yectos de apertura de sucursales el 8.5% anual. Una importante automo triz europea utiliza el 13% anual para sus proyectos de inversión en países considerados “riesgosos". Muchos proyectos son financiados con una mezcla de capital propio y deuda, lo que da origen al costo promedio ponderado del capital, que se conoce como WACC (weighted average cost of capital). Lá tasa de oportu nidad o costo del capital es un proceso que consume tiempo, requiere de cálculos técnicos y agrega en general, mucha información. En general, este punto no es tratado con profundidad en los libros de matemática finandera u e$ soslayado directamente, considerando el costo de capital como un dato para calcular el VAN. Debido a la Importancia del tema, y a que esta obra es destinada también a practicantes y estudiantes de cursos de
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T ecNICaí» l)E fcVAUKCIój-í DE HrOVECTOí Ui ImvHó ION
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posgrado, hemos destinado el capítulo 15 al tratamieiuodel costo de oportu nidad, incluyendo algunos casos reales, con particular énfasis al cuso de lus países emergentes, donde la mayoría de las empresas no tienen calizacidn pública de sus acciones.
La regla del valor actual neto; si el VAN es positivo... La regla de decisión del VAN es muy sencilla: nos dice que debemos aceptare! proyecto cuando el VAN es positivo y rechazarlo cuando es nega tivo. En el primer caso, de aceptarse el proyecto se estaría creando riqueza para los accionistas y en el segundo se destruiría, siempre por el valor del VAN. > 0 A c e p ta r
- 0 ¿ E ip ro y e c to tie n e o p c io n e s ?
< 0 R echazar
Figura 1U.2 Regla de decisión del V,^ ¿Pero qué ocurre cuando el VAN es igual a cero o muy próximo a cero? En los textos este tema suele responderse com o que el proyecto está en un punto de “breakeven". Generalm ente tiende a pensarse com o iina sitúa ción donde el inversor podría ser indiferente a realizar el proyecto o re chazarlo, pues su rendimiento iguala el costo de opurtunidad. En la pidenca, sin embargo, la resolución de esta situación suele incorporar elem en tos que no aparecen en la regla del VAN. El desarrollo de la teoría de opciones reales en los últimos anos nos alerta acerca de las opciones que los proyectos suelen tener (por ejemplo, postergar la realización del proyecto, ampliar la inversión, reducirla, etc.). Los proyectos con opciones abren oportunidades para la empresa que los lleva adelante. La determinación del valor de estas opciones reales requiere a menudo un com plejo y soñsticado cálculo matemático que suele consu mir tiempo y esfuerzo. Pero tenga presente que siempre un proyecto con opciones vale más que otro proyecto idéntico sin ellas. Sí el VAN del pro yecto es decididamente positivo, usted podría ir adelante y evitarse el aná lisis de opciones reales. Pero cuando el mismo se encuentra próximo de cero, puede valer la pena y dar un paso más, para averiguar si las opciones contenidas en el proyecto pueden tornar positivo el VAN cuando se incor pora la flexibilidad con que cuenta la gerencia. En el capítulo lá veremos
G u il l e r m o L ó p e zD u m i u m j f
312
como se valúa una opción a través del método binomial y mostraremos como agregamos el valor de la opción al Valor Actual Neto para determin ai el valor del proyecto con la flexibilidad que nos agregan las opciones. Que existan proyectos con VAN positivo es precisamente lo que hace fun cionar una economía agregada. Los cambios en las regulaciones, en la oferta y la demanda, determinan que aparezcan negocios nuevos y otros dejen de serlo; el empresario sólo debería realizar aquellos con VAN positivo, que son los que aumentarán e| valor de la empresa y por lo tanto, maxímizarán la riqueza de los accionistas. Análisis de la función del VA.N CuandoJo s flujos de fondos son “convencionales" (un flujo de fondos negativo y luego siempre positivos) él VAN es una función decreciente de la tasa de interés de oportunidad: a medida que ésta aumenta, el VAN dis minuye, como se muestra cr la figura 10.3:
Figura 10.3 Funciún del VAN
Observe que el VAN es una función decreciente de la tasa de interés, cuyo forma cóncava respecto de las ordenadas, se explica por las derivadas primera v segunda de la función: mientras la d eriv a d a p rim era es negativa, ¡a d eriv a d a segu n da es p ositiva: p o r otra parte, ¡a fu n ció n n o presen ta un p u n to d e in flexión en su p en d ien te, sin o q u e es con tin u a.
VAN = - r r » +
= F F ,{l+ k )-' + F F , a + i ) - ’ + ...+ F F ,{l + k r "
Sí derivamos con respecto a la tasa de interés k, tenemos dVÁN dk
(1 + * )
(i+ ¿ r
'ítCN íCAS DE Ev a l u a c ió n
de
P royectos
de i n v e r s ió n
JIí
£1 signo de esta derivada es siempre negativo, lo cual nos indica que ía funcidn es decreciente cuando aumenta ia tasa de interés. Esta expresión la podríamos abreviar como:
dVAN _ ^
J.FFj
Donde en el numerador aparece un contador positivo "j", FFj es un flujo de fondos y el denominador es un factor de descuento positivo. Si queremos saber con que “velocidad" cam bia el VAN con respecto ai cambio en la tasa de interés, la respuesta nos la ofrece la segunda derivada:
(¡‘‘ VAN 1 !
dk
r.2
= 2
FF {l + k f
FF (l + k)
FF Ji+2
El signo de la segunda derivada es positivo, de mañera que a niedida que la tasa de interés se hace cada vez mayor, la disminución en el VAN se hace más lenta. Esta expresión la podríamos abreviar como:
d ^A N ^ dk^ ~
n
jU + l)FFJ
^
{i+ k y '^
Este análisis nos conduce a una conclusión im portante: la regla del VAN siempre da la respuesta correcta si se cumplen dos condiciones con currentes: 1. El proyecto es analizado individualmente (no hay otros proyectos que compitan por los fondos) Ti
2. El VAN siempre es una función decreciente de la tasa de interés (para lo cual los flujos de fondos deben ser convencionales o simples) En la tabla 10.5 puede observarse como el VAN es siempre positivo pai a tasas de interés de hasta 30% anual; ai 35% ya es negativo. El VAN es igual a cero en alguna tasa entre el 30 y el 35%: k 0%
5% 10% 15% 20% 25% 30% 35%
40%
VAN S 800,00 $ 620,78
$ 468.82 $ 338,87 $226,05 $ 129,60 $ 44,61 $-30,13 $-96,21
Tabla 10.5 El VíAN co n distintas tasas d e oportunidad
3U
i
G u iiL E R M oL ó p e zD u M R A U f
EJ supuesto de la reinversíón de fondos en el VAN ¿Nos dice el VAN que hacem os con los flujos de efectivo que proporcio na el proyecto? Cuando miram os la m ecánica del VAN pareciera que sola m ente expresam os los flujos de fondos en valor presente; aparentem ente no nos dice nada acerca de lo que se hace con ios fondos que nos ‘'devuel ve" el proyecto. Sin embargo, el supuesto m atem ático Implícito es que se p r o d i a e la rein u ersión d e eso s fo n d o s q u e g en era el p roy ecto a la ta sa d e o p o r tu n id a d que fue utilizada para calcular el VAN. hasta el final de la vida útil del m ism o. Desde el punto de vista delsupu esto de la reinversión de fondos, y en térm inos estrictam ente m atem áticos, la tasa de corte o costo de oportunidad del capital se encuentra “presa" adentro del proyecto ya que si los flujos de fondos son reinvertidos a dicha tasa hasta el final de la vida del proyecto, vuelven a producir el mismo VAN cuando finalm ente son descontados nuevam ente a la tasa k por los "n" períodos que dura el proyecto: V\N -
+
F F ci
+
.....
En nuestro ejem plo: .VAN = - 1 0 0 0 +
500(1 + OJO)^ + 500(1+0.10) + 800 (1 + OJO)-
= 468.82
ni VAN es el valor que resulta de la diferencia entre el desembolso inicial de la inversión y ei valor presente de los futuros ingresos netos esperados. lo d a decisión financiera que pretenda agregar valor a la empre sa, debe tener un VAN positivo. I.l VAN supone que los fondos son reinvertidos a la tasa de opor tunidad hasta el final de la vida del proyecto. El v'alor term inal en los proyectos de inversión Existen alternativas para la estimación del valor terminal del proyecto de inversión o el \^or de una compañía. Si se asume que el negocio ter mina al final de un período determinado, el VT representa el flujo de fon dos neto de im puestos que se obtiene si los activos son liquidados, inclu yendo el capital de trabajo. Sí se asum e que el negocio continda para siempre, generalm ente la fórmula de la perpetuidad creciente es utilizada (8). En ese caso, el valor
'i s Í’kíÍ
(8) h veces t&mbi¿nse mUizaun múltíplodeEBtTDA(eamings beforeInteres! and laxes and depi edadon and amortization].
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T
é c n ic a s dé
Ev a l u a c ió n
m P r o y e c ío s
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(n v í .r sio n
3í:
terminal es calculado com o se muestra en la iigura i u, i d o n d e se obseiva ¿juc la renta perpetua creciente a una razón g que se produce después del per/odo T, se expresa con la fórmula que vimos en el capítulo 7 como una perpetuIdad en T. SI sesu m an el PF^ y el valor de la perpetuidad cuyo primer flujo com ien za en T s l, tenemos aliora una corriente finita de T períodos / luego resolve mos el VAN mediante la forma tradicional:
T+2
T+1
FFi
FFj
FF,
VT» FFt íi-»q) kí1+kV k(1+k)' Figura 10,4Valor terminal En térm inos sim bólicos, queda
(l-h k y
10.5. UTASAlNTERTJADERirrORNO La tasa interna de retorno se define com o aquella tasa que des cuenta el valor de los futuras ingresos netos esperados igualándolos con d desem bolso inicial de la Inversión (m a te m á tic a m e n te , esta d e fin ic ió n e;
e q u iv a le n te a d e c ir q u e la TIR es a q u e lla tasa q u e ig u a la e l LAiV a ceraf. — F F o -I-
FF, (1 -t-ra )
FF. T + (l+ T JR r
F F . + \ 'T (l + 777?y
Que tam bién podemos simbolizar con las expresiones
FFo = y
— -—r j:í(i+ T iR y
o tam bién; —F F o + y -----------— j- = 0
En las expresiones anteriores se observa com o ia TIR es la tasa de inte rés que satisface la ecuación que iguala el VAN a cero o que iguala el valor presente del flujo de efectivo futuro al desembolso inicial de la inversión (9).
(9) Tambiénpodna definirsecomola tasa que igualael valor presente de los Ingresoscon el valorpresente de los egresos.
G u i l l e r m oL ó p e zD u m r a u f
No obstante^ estas definiciones "matemáticas*’ no nos dicen nuiclio acercadel significado económ ico que pretende dársele a laT lR . Para poder entender bien que podemos esperar de esta medida de rendimiento, describiremos sus propiedades y que se pretende saber de ella. 1.a Tin es una medida de rentabilidad periódica de la inversión. A diferen cia del VAN. no mide esta én términos absolutos, sino que lo hace en términos relativos, indicando en principio, cual es el porcentaje de rentabilidad que obtenem os por cada peso invertido en el proyecto. El calificativo de "interna" viene dado porque es la tasa ''implícita" del proyecto, y constituye la incógnita a resolver, ya que debe calcularse a partil de un procedimiento de prueba por ensayo y error como describiremos casi tninediatanienre.
La regla de decisión de la TI R
.
_
Debido a que laTIR es una medida de rentabilidad relativa de la inver sión, la confrontam os con la tasa de interés que representa el costo de oportunidad del capital para saber si un proyecto debe ser elegible o no: > k A ceptar
~ k ¿ E lp roy ecto tiene o p cion es?
< k R ech a z a r
Figura 10,5 Regla de decisión de laTIR Hn el caso de que la TIR se encuentre muy próxima del costo del capiial, el VAN también sería muy próximo de cero, por lo cual nuevamente se aplica In que dijimos con respecto a dar un paso más e indagar si e! proyec ta tiene opciones y cual es su valor. Volvamos ahora al proyectó de la cade na de pizzerías de Azzurra para evaluarlo con Ja TJK: líK)0 =
500
500
800
(I +TIR) lí +TlRf {Umy
LaTIR dcl proyecto es 32,9%, y como supera el costo de oportunidad riel capital
también deberíamos aceptarlo.
;La TIR representa realmente la tasa de rentabilidad periódica que obtenernos en la inversión? ¿Azzurra puede quedarse tranquila y estar se gura de qué obtendrá un 32,9%? Para que esto realmente ocurra, deben cumplirse el supuesto implícito de la TIR acerca de la reinvereión de fon dos, que comentamos a conlinuadóm
T
é c n ic a s de
E v a l u a c ió n
de
I^r o y e c t o s
de
In v e r s i ó n
m
El supuesto de la reiiiversión de fondos En e! criterio de la TIR se supone im plícitam ente que cada flujo de rondos es reinvertido por el núm ero de períodos que falta para finalizar la vida útil del proyecto. Por lo tanto, se supone que cada flujo es reinvertido por ri-j períodos a la TIR; si inultiplicanios y dividimos la expresión con tenida en la Sumatoria por ri+T//y"'^ nos queda: —
(i+r/y?r
^
+
-F F o = 0
Esta últim a expresión es igual a la prim era ya q u e m uestra com o los distintos flujos de fondos son reinvertidos hacia el futuro por el tiempo que falta hasta el período n (el exponente n -j significa que cada flujo |es reinvertído por los períodos que faltan desde j hasta n) y luego son actualizados a la TIR por n períodos. Para él caso que nos ocu pa, la reinversión se vería de esta forma:
_ 500(1 + 0,329)^^- 500(1 + 0,329) + 800 (1 + 0,329)’ El criterio de la TIR supone que los fondos que libera el proyecto son reinvertidos dentro del m ism o o en otros proyectos similares a ia misma TIR. asum iendo que ese rendim iento se m antendrá con stan te durante toda la vida del proyecto. Cuando calculam os antes la TIR del proyecto, nada nos decía que ésta se apartaría del 32,9% ; por Jo tanto, el criterio asume un rendim iento constan te d urante la vida del proyecto. Estas condiciones muchas veces no se cum plen en la práctica, donde un proyecto que pre senta rendim ientos muy grandes en algunos períodos y rendim ientos muy bajos en otros (lo cual nos indica que la TIR es un p r o m e d io p o n d e ia d o de los diferentes rend im ientos que el proyecto gen era en cad a período). O podemos tener un proyecto con una TIR muy grande pero con escasas pipbabílidades de reinvertir los fondos "liberados" a la m ism a TIR. La TIR representa un rend im iento calculado "ex-ante"; la verdadera rentabilidad solam ente se con o cerá con exactitud al final de la vida del mismo y esa rentabilidad será "ex-pos(" que dependerá íundam entalm enté •de la tasa a la que puedan reinveríirse los fondos, En aquellos proyectos cuyo flujo de efectivo es muy dispar es claro que la rentabilidad no se m antiene constante. En aquellos proyectos que tie nen TIR muy altas, ia posibilidad de reinversión a la m ism a TIR dependera en mucho de sus oportunidades de crecim iento, pues la empresa debena encontrar continuam ente proyectos con la misma TIR En general, las com pañías que descubren un buen negocio muestran altas tasas de rendimiento y crecimiento al principio (por ejemplo, telefonía celular) hasta que la apa rición de ia com petencia y los productos sustitutos hace que las tasas de rendimiento converjan h a d a el costo del capital y las tasas de crecim iento hacia el nivel de actividad económ ica general.' ' .
G uílLFíÜw -10 Lól*i;¿ D umkauf
-?ií&
Corivx»calcuiai la XIR sin ayuda de calculadoras financieras Si bien las calculadoras financieras y las planillas electrónicas de cál culo /a traen incorporadas funciones para el rápido cálculo de la TIR, rnost» aremos ahora un procedim iento matemático para obtenerlo sin ayu da d<- calculadoras. Para ello pueden utilizarse d istintos m étodos de apro)iim ación sucesiva, siendo el más com ún el de Ja in terp o la c ió n lin ea l reiterada. Esre consisíe en un procedim iento del tipo ''tanteo” donde ini cialm en te probam os con dos tasas de interés diferentes que nos aproxi men a aquella que iguala el Va N acero , que resultará ser la TIR. Por ejem plo, si probam os con el 20%, el VAN=226,85; esto nos indica que la TIR debe ser un poco mayor, digamos TIR= 0,20 + x (donde x es la incógnita). Com o resultaría muy engorroso probar con una tasa cada vez más alta (21,22,23 por ciento, etc.) hasta encontrar aquella que iguala elVAN acero, d ireciam en te probam os con una tasa lo suficientem ente alta (40%) com o para (fue el VAN sea negativo (-96,209). Por lo tanto, si con el 20% el VAN es mayor a cero y con el 40% es negativo, la TIR debe encontrarse entre estas dos tasas; 0 . 2 0 - ......... -........ 226,85 T1R=
0.20+x — ...........0 0.40 —
.............(-96,209)
Con una diferencia de tasas de 0.20 (0,40-0,20) se tuvo una diferencia en el valor del VAN de 323,06 (226,85-(-96,209)), por lo tanto para el valor de X se tendrá una diferencia de $226.85 0 , 2 0 - ................... 323.06 X
226,85
Finalmente por regla de tres simple, y repitiendo ia Interpolación has ta obtener una aproximación razonable, la TIR es encontrada. Por lo tanto, el valor de X resulta ser x = 0,20 X
226,85 323,06
= 0,1404
El valor de x = 0,1404 sumado al 0,20 con que se calculó el primer valor (226,85) aproximan una TIR del 34,04%. En el ejemplo, la TIR exacta es del 32,9% , por lo que deberá reiterarse la interpolación hasta obtener la TIR exacta, que es la que Iguala el VAN a cero. Hn la figura aparece el perfil del VAN y la TIR. El VAN disminuye confor m e aum enta la ta ja de descuento y su valor resulta ser igual a cero exacta m en te cuando la tasa de descuento es la TIR. Esto merece cierta aclara ción . ( >ue eí VAN sea Igual a cero, no significa que el proyecto no tenga
_______________ TtCNlC/\S DE E va UMCION DE l‘ aüYECTO-> Di \t\^/LUSUm _______ _ ^ 3 ! ‘ *
vaJor, pues el VAN se calcula con la rasa de oporümiciod, que iw debs coniuii dlrse con laTíR. LaTlH es la tasa intrínseca del proyecto, la tasa ‘'implícita" que iguala el valor presente dei flujo de efectivo futuro al desembolso inicial lo que sí es equivalente a un VAN igual a cero.
Cualquier rasa de interés de oportunidad (k) inferior a la TÍR indicará que el proyecto debería aceptarse (además, note que el VAN sería mayen que cero). La situación sería exactamente la inversa si-k ñiera mayor a la TIR. Esto nos conduce a una importante conclusión: Ejemplos de aplícacidn con Excel® y con calculadora financiera HP I2C Se realiza una inversión por $10,000 que generará 3.000,4.200 y6.800 en los tres años siguientes. Para calcular la TIR con Excel® o calculadora financiera HP12C: Con Excel® debe inuoduclr: =TiR( -10.000,3.000,4.200,6.800) es igual a 16,34% Con calculadora financiera HP 12C debe introducir; -10000 g CFo 3000 g CFj 4200 hCFj 6800gCFj lOi y finalmente: pulsar la tecla amarilla "f" yJuego ia tecla'*1RR" Recursos auxiliares 10,2 La TIR paso a paso con Excelt® ycalculadora íiiiaricíera H P J2 C
Proyectos “convencionales” o “sim ples”; cuando el VAN y la TIR coincitíen Se dice que un proyecto es "convencionar o "simple” cuando comienza con un flujo de fondos negativo que representa el desembolso de la invéisíón inicial, y luego se suceden una serie de flujos de fondos siempre posiuvos hasta el final de su vida lítil:
^ F F o f F/q 4- F F , -f ,......,...-!- FF„ + V r
310
G u !L L ffo .^ oL ó p e zD u m i i a u f
Este patrón de flujos hace que la función del VAN sea decreciente cuan do aum enta la tasa de interés de oportunidad. En los proyectos sim ples com o el de Azzurra donde la inversión es analizada individualmente (Azzurra no tenía otro proyecto com petitivo al de la cadena de pizzerías) siempre que sea elegible por el VAN, tam bién lo será por la TIR y viceversa. Esto se debe a que si la TIR es mayor a la tasa de oportunidad el proyecto sería aceptado también por el VAN^ ya que éste sería positivo y por lo tanto el proyecto será aceptado con cualquiera de los dos métodos. Si por ejemplo, la tasa de oportunidad fuera k,, ésta sería m a y o ra la T lR y sería rechazado el pi oyecto también por el criterio del VAN, ya que éste sería negativo, com o se observa en la figura 10.7:
VAN >0
VAN <0
Figura 10.7 Proyectos convencionales: coincidencia entreel VANylaTIR Si el proyecto es “conveneionar y la función del VAN es entonces de creciente respecto de la lasa de interés, las reglas de la TIR y de! VAN nos conducen a la m ism a decisión (aceptación o, breakeven o rechazo) si eva luarnos al proyecto indívidualmenle. Lo mismo aplica para el criterio del índice de Rentabilidad, que se explica en la sección 1.6
La T in es atpiella tasa que iguala el valor presente de los futuros ingresos netos esperados con el desembolso inicial de la inver sión Es una medida de rentabilidad periódica de la inversión
Supone implícilaménte la reinveisión de los fondos que devuel ve el proyecto a la misma TIR hasta el final de su vida No debe confundirse a la TIR con ia tasa de íntejrés para calcular el VAN; ya que ésta representa el costo de oportunidad del inver sor mientras que la TIR es la tasa "intrínseca” del proyecto, que "n ació” con éste.
•^1
T é c n ic a s
w
'M i
de
E v a l u a c ió n
de
P royectos
de
ÍNVEr^ióN
321
• Hs com parada con el costo de oportunidad para determ inar la f leg ib ílid a d del p ro y ecto .
i m
}’^ir ‘^~f
D iferencias y ajiaJogías entre el VAN y la T IR A esta altura es bueno señalar algunas analogías y difeiencias entre los m étodos VAN y TIR ya que sí bien am bos utilizan el m ism o flujo de efecti vo para el cálculo del resultado, m iden aspectos diferentes de la rentabili dad de la inversión.
a. A m b o s u tiliz a n flu jo s de fo n d o s n etos d e im p ue sto s. b. A m b o s tie n e n en c u e n ta e l v a lo r tie m p o d e l d in e ro .
ll :^ l.
c. L a TIR es u n a in c ó g n ita d e l p ro y e cto , q u e em erge de las condiciones p ro p ia s d e l m is m o . E n c a m b io , p a ra e l c á lc u lo d e l VAN es u tiliz a d o e l costo de o p o rtu n id a d d e l in v e rs o r q u e re p re s e n ta u n d a tó q u e vien e d a d o desde "a fu e ra ” ' d. M ie n tra s e l VAN es u n a m e d id a de re n ta b ilid a d en té rm in o s a b s o lu tos, la TIR es u n a m e d id a de re n ta b ilid a d e n té rm in o s re la tiv o s (e l p o rc e n ta je de re n d im ie n to p e rió d ic o q u e se o b tie n e p o r u n id a d m o n e ta ria in v e r tid a ). E n este se n tid o , p ue de decirse q u e e l VAN es u n a m e d id a de re n ta b ili d a d q u e tra d u c e e l o b je tiv o d e l d ire c tiv o fin a n c ie ro , que se e ntie n d e corno la m a x im iz a c ló n d e l valo r. e. E l V AN su p o n e im p líc ita m e n te la re in v e rs ió n de fo n d o s a la tasa de corte, m ie n tra s q ue la TIR s u p o n e im p líc ita m e n te la re in v e rs ió n de fondos a la m is m a TIR.
Preguntas de au to-evalu ación: 1. ¿Cuáles son las difeiencías básicas entre los criterios VAf'J y TíR? 2. ¿Por qué no debe confundirse la TIR con el costo de oportunidad del capital? . 3. ¿Qué condiciones deben darse para que los criterios VAN y TIR produzcan la m ism a decisión? v ^
10.6, E l índice de rentabilidad o relación BENEncio-cósro^ El índice de rentábiiidad (IR ) es un com petidor de los métodos de| VAN y de la TIR. También tiene en cuenta el valor tiem po del dinero. Lo obtC'^ neinos calculando el cociente entre el valor actual de los Ingresos netos esperados y e! desembolso inicial de la inversión. Observe que al igual que el VAN, el IR descuenta los futuros ingresos esperados con el costo de opor tunidad k, p ero en vez de re s ta r e l d esem bobo in ic ia l, éste es u tiliz a d o en e l
G
u u i e RjMO
López DuM fiAUf
cá lcu to c o m o d^ pom í/m dar. De esta forma se obtiene un coeficiente que nos dice ía cantidad de veces que el valor actual de los ingresos futuros represen* la co a respecta al desembolso inicial. Inmediatamente, podríamos pensaren el índice de rentabilidad del proyecto de Azzurra:
y,, = V - Z Í L - = i Í ^ - ¡ {i+ky 1.000
»
FF„
m
Regla de decisión del índice de rentabilidad
m
El proyecto se acepta si el índice es mayor a 1, indiferente si es igual a 1 y no se acepta sí es m enor a 1.
m m
= 147
'
> i A ceptar
m m
- 1 ¿ B lp roy ecto tiene op cion es?
m m
< 1 R ech a z a r
m .
'•3
Figura lO.BRegla de decisidn dd índice de Rentabilidad
■m
-m
Sin embargo, el IR puede no ser una buena medida cuando se analizan proyectos m utuam ente excluyentes (tenemos la alternativa de realizar un proyecto entre dos, pues sólo tenemos dinero para uno). En este caso, de iiuevii lo m ejor es seleccionar el proyecto con mayor VAN. Suponga que se llenen dos proyectos, A y B, que compiten por los recursos: usted tiene $200 / debe elegir el mejor proyecto (no existen dos proyectos A);
Proyect o A B
Valor actual al 10 % -100 -200
400 700
363 636
VAN 2£3 436
m 3,63 3,18
Tabla 10.6 Flujo de fondos, VAN «.índice de Rentabilidad
En el ejem plo, el proyecto A parece ser m ejor al B según el IR. Sin embargo, sí eligiéramos el proyecto A cometeríamos un error. El proyec to mas rentable es el B. que tiene el mayor valor actual neto. Como se verá a continuación, cuando tenemos proyectos mutuamente excluyentes, el análisis del flujo de fondos tncreniental determina que el mejor pro yecto es el B. í
: _____________ T
é c n ic a s de
10.7.
Ev a i u a c íú h
de
P r o yec t o s Df iN /fPiifM N
AIjGUNAS COMPLICACiONES EN LASTÉa<'iCA.3 DE PIU-SUPUESTÜ DE CAPITAL
A continuación m encionam os una cantidad de complicaciones q ue apa recen en la ¡n terprelad ón de los resultados cuando utilizamos ios m étodos del VAN y laTIR . Estas situaciones suelen describirse com o críticas a l m éto do de la TIR, que aplicada com o una regla directa, puede conducir a errores en la aceptación Sin dan do algunos pasos más sobre la m ism a regla, la mayoría de los problem as desaparecen. Los inconvenientes más com unes lo constituyen Jos casos de proyectos m utuam ente excluyentes, cam bios de signo en el flujo de efec tivo, reínversíón de fondos, prestar o endeudarse, flujos no periódicos/ etcétera.
de proyectos de inversión.
embargo, veremos que
1 " in co n v e n ie n te : p ro y ecto s m u tu a m e n te exclu yentes
Vimos que cuando se consideraba individualmente una inversión y el flujo de fondos era convencional, el VAN y la TIR conducían a la misnia decisión. Sin embargo, muchas veces la empresa tiene un conjunto de pro yectos alternativos, puesto que los mismos compiten por los fondos que no son ilimitados; por io tanto existe un racion am ien to d e capital, ftacio nam iento de capital significa que ia empresa cuenta con una suma limita da de dinero para invertir en proyectos y querrá hacerlo en aquellos que presenten el mayor rendim iento. En esos casos, cuando deba elegir entre distintos proyectos, pueden presentarse contradicciones; el método de la TÍR puede sugerir la inver sión en el proyecto A, mientras que según el método del VAN puede ser más conveniente la inversión en el proyecto B. M aíeináíicaineme, la ex plicación de esta contradicción se encuentra en: L a d iferen te hipótesis d e reinversión d e fo n d o s d e a m b o s m éiados, v a q u ee ! \^{Nsu pon e Ui reínversíón a la tasa d e oportunidad, y la TÍR supone la reinversh m a la m ism a TJR. . Por el criterio TIR se supone la reinversión de los fondos a la TIR de cada proyecto en cuestión, es decir cada proyecto reinvertiría fondos a fllí diferentes— a pesar de que los fondos iníennedios de lodos ellos ingresen a la empresa en conjunto para asignarlos a determinados usos— mieiuras que en el VAN se supone ia reinversión ele fondos una tasa uniforme que e í el costo de oportunidad. Si tenemos dos proyectos con riesgos similares, el costo de oportunidad será igual y ser la misma tasa de reínversíón en am bos casos. Sin embargo, la TIR de los dos proyectos podría seguir siendo diferente. Existen tres situaciones que pueden generar dichas conuadicClones: 1. Tamaño diferente de la inversión inicial. 2. Diferente distribiidón temporal del flujo de fondos (ingresos altos al principio y bajos al final).
G u i l l e r m oL ó p e zD u m r a ü f
3.24
3. Diferemevidaiitil. La presencia de cualquiera de estas tres situaciones no necesariam ente implica una contradicción entre ambos métodos, sino cuando alguna de ellas pesa en forma especial, A continuación presentamos tres ejem plos para cada una de ellas, y se verifica que el criterio de la TIR entra en colisión con el V/VN- Como veremos, si se pretende utilizar la TIR com o criterio de selección de proyectos no se podrá estar seguro a menos que se analice la inversión incremental y se calcule su TIR diferencial o kicrem ental. En to dos los efemplos asumiremos que los proyectos tienen un riesgo similar y calcularemos el VAN considerando un costo de oportunidad del diez por dentó (10). 1. El efecto del tamaño de la inversión inicial Suponga (jue usted cu enta con S 200 y tiene entre m anos dos proyec tos. El proyecto A, que podría tratarse de un negocio pequeño, llene uñ '^ riU del 300% , mayor a la TIR del proyecto B. que se trata de una fábrica. Sin em bargo, el proyecto B tiene un VAN mayor: 436 contra 263 del pro yecto A '
Proyecio
Tin
r VAN aJ 10 %
A
-KK)
400
300%
263,63
B
-200
700
250%
436,36
T abla 10.7 VAN y T IR de proyectos m utuam ente excluysm es
¿Qué proyecto deberíamos elegir? ¿el negocio de escala pequeña que g'*nera un mayor porcentaje de rendimiento por cada peso invertido o la Gbricia cuya "masa" absoluta de ganancias es casi el doble? ¿En caso de d»'gir el proyecto menor, (jue hacer con la diferencia si tenernos $ 200 para invertirl El inconvenienle aparece poi la contradicción que arrojarvlos resulta dos cuando usamos los dos métodos al mismo tiempo; si evaluáramos los pioyeclos usando un criterio único, sólo un proyecto resultaría elegido. Por ejemplo, utilizando el criterio del VAN elegiríamos el proyecto B, que tiene el VAN mayor. Pero surgen varias preguntas; ¿no parece que estamos desperdiciando un rendimiento porcentual más alto por no invertir en A? ¿No podríamos invertir 5 100 en dos proyectos A gemelos? ¿si invertimos en A, qué hacemos con la diferencia?
(10) Si los riesgos fuerandifetenies, el costo de oportunidad del capital debe ajustarse .parareflejar las diferendas deriesgo. *
T é c n ic a s
de
E v a l u a c ió n
de
P r-o v e c t o s
de í n v e r s i ó U
E) paso que darem os a eontínuación s e conoce com o ei cálculo de 1?» "tasa de Fisher" (11) y está destinado a o b ten er una respuesta satisfactoria uíilT zando el critefío de la TÍR, ya que por m edio de Ja tasa de F ish er o TIH increm enta! veremos que habríam os arribado a la solución correcta (y vere mos que nos conduce a la m ism a decisión que tom aríam os si aplicam os directam ente la regla de decisión del VAN), E! cálculo de la TIR íncrem ental o tasa de Fisher Si usted quiere utilizar ia TIR com o criterio seleccio nad o r de pi o>ectos de inversión y se enfrenta a la contrad icción señalada, tendrá que dar un paso más: calcular la TIR íncrem ental. Para ello proced em os de la siguiente manera:
Tom am os el p royecto q u e posee e l m a y o r V A N con u n a tasa de c o rte -O (121 y restam os d e s ú s flu jo s de e fe ctivo los f lu jo s de e fe ctivo d e l o tro p ro y e cto : luego a este f lu jo "in c re m e n ta rs e le c a lc u la la TIR, q u e re s u lta ser la TIR Ín c re m e n ta l o tasadeFishen ' Por lo tanto, calculam os el flujo íncrem ental B-A y calculam os su T(R;
m
Proyecto
FFc
FF,
TIR
VANal 10%
B-A
-100
300
200%
173
Tabla 10.8 LaTIR íncremental o tasa de Rsher
■■ ‘é
¡r
:Í I
Como laT IR Íncrem ental es mayor al costo de oportunidad del capital (200% vs. 10%) llevamos adelante el proyecto B. La TÍR Íncrem ental de) 200% debe ser interpretada com o la tasa diferencial obtenida comí* con secuencia de realizar la inversión en B en detrimento de A (como sí B hu biera absorbido a A y analizam os la rentabilidad del flujo diferencial) Los flujos increm éntales de llevar adelante el proyecto B en vez del proyecto A. muestran que la TIR de la inversión íncremental es del 200%. que es mayor a la que hubiéram os obtenido colocando lo que no habíamos invertido en el proyecto A al 10%. Por lo tanto, de esta manera esta mos invirtiendo el "resto" al 200 % y por eso, usted debería preferir f 1 pro yecto B al proyecto A. -
Si
todavía tiene alguna duda, el razonamiento explícito de lo quf* pue de hacerse con flujo fondos eí inversor cuenta con $200 para invertir, y no existen dos proyectos ’A"; si este fuera el caso, huelga todo comentario. Sin embargo, quiere obtener eí
el
de
debería terminar de aclarar el tema:
(U) Enhonor a su descubridor, Irving Fisher, quién tambiéndescubridcíVAN. (12) Secaicula elVANcon una tasa cero para de esa manera determinar cuál es el proj'ecto que tiene el flujo de fondos mayor en términos absolutos, yaque deese flujorestaremos el otro paraobtener el flujo incrementa!.
G u i l l e r m oL ó p e zD u m r a u f
m áxim o provecho de sus $200 y I«i alternativa que tiene es invertir lodo en el proyecto B, donde al cabo de un año recogerá un flujo de fondos de $700 o, invertir $100 en el proyecto A y el excedente de $100 invertirlos a la tasa de oportunidad del 10% obteniendo un flujo de fondos de $110 al final de) año. £I flujo de fondos total de haber invertido en elproyecto A más el resto al 10% sum arían en to ta l$510 (400+110),
ProyectoB 0 1 ---------- ----------------------2 0 0
1 año
Pi oyectoA + $100 a la tasa de oportunidad: 0 1
-------------—
-
,
1 año -------------------------- 1
400 110 ( 1 0 0 510
-100 -100
Proyecto A $ 1 0 0 a i1 0 %
1 700
-200
X 1 ,1 0 )
» m m
m
m
Aliora se aprecia porque conviene invertir en el proyecto B, que gene ra $7l>0 al final del año. De esta forma, invirtiendo la misma cantidad de dineru, el flujo de fondos final es mayor con el proyecto B en 190 (700510). La decisión de elegir el proyecto B entonces está justificada, y es la m ism a decisión que hubiésem os adoptado de aplicar el criterio del VAN directam ente (prim er “round" para el VAN...) Volvamos por un momento al índice de Rentabilidad examinado en la sección L 6. Recuerde que teníamos los mismos proyectos A y B que aca bamos de analizar confrontando los resultados del VAN y laT lR . La regla del IR nos decía que debíamos elegir el proyecto A, ahora podemos reali zar el análisis diferencial tam bién para el índice de rentabilidad. En ese caso, el IR incrcm enial B-A sería 272,7/100 = 2,72 y deberíamos aceptar el proyecto B frente ai A, De nuevo, el criterio de! VAN no se habría equivoca do: la corrección que hacemos al IR nos dice que debemos elegir el pro yecto ü. La aplicación de la regla directa del IR nos conducía a un error ya •que nos decía que el proyecto A tenía ei mayor índice de rentabilidad.
Proyecto B-A
-100
FP,
VANal 10%
IR
300
272,72
2,72
Tabla tO.9VANejfndicedeRentahíUdad
T é c n ic a s
.,
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M.
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E v a l u a c ió n
de
P r o yect o s
de
I n v e r s ió n
_ 2.. Igual inversión original, diferente desarrollo en el flujo cíe fondos En el ejem plo que sigue tenemos dos proyectos que tienen el mismo desembolso inicial pero difieren en cuanto al desarrollo del flujo de fondos, mientras el proyecto A tiene ios ingresos más altos al principioyalfínai tiene ingresos más bajos, el proyecto II presenta el caso inverso: Proyecto
w ‘I v>íUl;f r'^W
de
FF„
FF.
FF,
FF,
xm
VAN a! 10%
-I.OOO
800
500
100
26%
215,6
-I.OOO
100
500
1.000
20,4%
255,4
900
13,4%
39.82
-700
B-A
Tabla lú.lO Va n yTIR de proyectos mutuamenie excluyentes
___Como vuelve a aparecer la contradicción entre ambos métodos, vol vemos a calcular la TIR incremencal B-A y nuevamente, el proyecto B fque es el que tiene el mayor VAN) resulta ser la elección correcta. Luego de ver los ejemplos anteriores, resulta apropiado reflejar en la figura 10.9 las funciones de) VAN de ambos proyectos para ver como evo lucionan los mismos a medida que cambia la tasa de oportunidad. Obser ve el lector que para la tasa del 13,4 % se produce una intersección entre ambas funciones. A esa tasa de interés, llamada ‘Tasa'de Fisher" los VAN de am bos proyectos se igualan, como era de esperarse siendo que dicha tasa representa la TIR increm enta! de un proyecto frente al otro. La TJlí increm em al también establece una zona de concordancia y una zona de contradicción entre ambos criterios de elegibilidad. A la derecha de ia tasa de Fisher, cualquier tasa de interés generaría un VAN más alto para el pro yecto A, y com o este también tiene la TIR más alta, habría concordaricta: ambos seleccionarían el proyecto A. SI la lasa de corte se situara a la izquierda de la casa de Fisher —como ocurre en nuestra ejemplo— entonces aparece una zona de contradicción, pues por el método de la TIR siempre seguiría seleccionando el proyecto A que tiene la TÍR más alta, pero por el criterio del VAN elegiría el proyecto B 500 ’jZonactó cufiuadK
C o s» de oponunídad
Figura 10,9Tasa de Fisher, zonas de concordanda yconiradkddn entreelVANytaTIR
GtMUÉRiVVO L o rfz ÜUMILAUr U-j '■ H1 pferto de H t?sa de rlesOTento en eí VAN depende del desarrollo.del nujo de fondos. En general, aquellos proyectos con ingresos más altos al final, resultarán con VAN más altos frente a aquellos proyectos cuyos ingresos más altos se producen al principio, cuando las tasas de descuento son "bajas". La inversa se cumple cuando las tasas son "altas" (13). 3. Diferente vida útil En este ejeniplo, el proyecto A tiene una vida útil de tres períodos, mienTfas que*el proyecto B supone perpetuidad, es decir generaría fondos por valor de 200 en forma perpetua:
Proyecto
FF„
FF,
FF,
500
600
400
1.000
200
200
200 ,
■-2Q0
-300
-400
-
B*A
FF.
-U>00
FF,
200
a perpetuidad 200
a perpetuidad
'rm
VANat 10 %
21,65%
227.65
20 %
1,000
19J2Q%
772,35
Tabla 10.11VANyllR de proyectos muruamente excluyenles
La T Ill del proyecto B es fácil de calcular: un proyecto con una inver sión de $1.000 que genera un fluío de fondos de $200 a perpetuidad, tiene una rentabilidad del 20%. Su VAN tam bién es fácil de calcular; sim ple m ente restarnos la inversión inicial a la perpetuidad descontada al 10% Í200/0,10-1.000=1.000). En el caso de laTIR íncrem ental, no podem os u ti lizar la función TIR del Excel® directam ente. En este caso es conveniente utilizar la función "Solver" de Excel®, resolviendo para una ecuación que iguale el VAN a cero. Así, para h allarlaT lR de B-Ase procede com o muestra la figura 10.9, siguiendo los siguientes pasos; a) reproducim os los flujos increm éntales en la fila en las celdas que van desde B2 hasta F2; b) en la celda F3 colocam os la perpetuidad de $200 dividida por la tasa ''seinilla" que aparece en la celda B6 (colocam os 10% sólo para que aparezca una perpetuidad en F3): c) F.n la fija 4, desde B4 hasta F4 aparece la renta porpeuia transform ada en finita, ya que e! úUimo flujo es la surina del flujo del año 4 más el valor de la perpetuidad en F3: d) En e! menú Herramienias de Excel® buscam os Solver (sí no aparece esla opción deberá instalar la con la oprión "com plem entos") y en la celda objetivo liacem os referejicía a B7 y para el valor de la celda objetivo tildamos "valores de" y coloca mos o (ya que cuando el VAN se igual a cero habremos encontrado iaTlR ); donde dice "cam biando la celda" hacem os referencia a la celda B6 (que es la T lll que buscam os): c) Finalmente, pulsamos la tecla "Resolver” y apalEce la pantalla de la figura 10,10;
(13) Desde luego, lasas “bajas’' o tasas *altas“es eneste caso unconcepto relativo.
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T í o /icas
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Evaluación
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Figura 10.JOProcedimiento para encontrar la ITR con Solver
Finalm ente, pulsam os "resolver’' y aparece e) resultado de Solver en la figura 10,11: B6
'''/t'19.190288914128^"'"'" ■»»/ “ "Ffí . ' 0
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FF, -200
FF, -300
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FF,
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Figura 10. II Resultado de la TIR con .Solver Chequeo de la tasa de Fisher con Solver Obviamente, la función Solver también podría haberse utilizado p-ua revisar los cálculos de la tasa de Fisher en ios problemas anteriores. For ejemplo, en el problema donde los desembolsos iniciales eran iguales, ráícuíamos muy rápidamente la tasa y verificamos con ei cálculo explícito que hicimos antes.
-G uílurwo López Dumíudi
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Año 3
VAN
J335S. tas.tó t -OAT
500
TIR
_________ _
M.41%
iJíSultodí?
| j| IZ Z Z 4 ~ 3 Z Z
p#“" ^31
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Figura 10.) 2Tasa de Fisher con Solver 2**“ inconv eniente: reinversión de fondos Como fue com entado anteriorm ente, la TIR representa un rendimiento ca lcu lid o "ex-ante"; la verdadera rentabilidad del proyecto solamente se co n o cerá con exactitud al final de su vida. La rentabilidad "ex-posi" de« penderá fundam entalm ente de la tasa a la que puedan reinvertirse los fon dos. Suponga que usted tiene un proyecto cuya TIR es del 50%; la posibili dad dvi m antener ese rendim iento dependerá en mucho de sus oportuni dades de crecim iento, pues la em presa debería poder reinvertirlos en el m ism o proyecto o encontrar continuam ente proyectos con la misma TIR del 50%. Lo m ás probable, es que si usted encontró un negocio "estrella" m ás lard e o m ás tem prano la com petencia y la aparición de productos sustitutos harán que la reinversión de fondos se realíce a una tasa más baja: en ese caso, la rentabilidad al vencimiento será menor que la TIR. La crítica al supuesto de la reinversión de fondos en el sentido de que es práclicam ente im posible la reinversión a tasas altas aparece tratado en forma exhaiUitiva en la sección que explicamos la TIR modificada, que pretende d am o > una m edida de rentabilidad periódica más ajustada a la realidad de las oportunidades de reinversión. 3 ’^'^incunvériíen te: proyectos de endeudamiento La regla de decisión de la TIR necesita invertirse cuando valuamos "pro yectos de endeudamiento". Cuando prestamos o invertimos dinero, siemp ie procuram os obtener la máxima tasa de retorno. En la tabla 10.12 apa rece un proyecto X que tiene un VAN de 90,91 y una TIR del 20%, y por Jo tanto es un buen proyecto y merece aceptarse.
<
Proyecto \r /V .
Año 0
Año 1
-1000
1200
2
1000
-Í200
VANal 10% 90,91 -90,91
TIR 20 % 20%
Tabla 10.12 VAN y TI R de proyectos mutuamente «ucduyentes
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T
íc n ic a s de
E v a l u a c ió n
p e ,'P r o y e c t o s d e
In v e r s i ó n
331
_ Pero elprqyecío Z se trpLtódeiipprpyectq de endeudarpiep cu and o nos endeudam os, el flujo inicial es posílivo (por el m onto que recibimos en prés tamo) y luego sigue una serle de pagos. En estos casos la regla de la T IR es la inversa: deberíam os aceptar aquellos proyectos de endeudamiento s i su T íií es m enor que el costo de oportunidad del capital (en este caso, la m en or tasa a la que conseguim os dinero en préstamo). El proyecto Z tiene una TÍR dél 20% (sí, tiene signo positivo) y un VAN d e -90,91, En este caso, la aplicación de la regla formal de la TIR (aceptar los proyectos que superan el costo de opor tunidad del capital) resultaría en una incorrecta decisión de aceptación del proyecto si lo aceptam os sólo por superar el costo de oportunidad. Observ'e en la figura 10.13 com o al aum entar el costo de oportunidad del capital au m enta el VAN; cuanto mayor sea la diferencia entre éste y Ja TIR del préstam o más conveniente será para el prestatario.
Figura 10.13 El VANylaTIU del proyecto de endeudamiento La crítica que se realiza en estos casos es que laTIR no tiene en cuenta la inversión en los signos del flujo de fondos; no cam bia el signo del resnltado. En realidad, esta crítica no es realmente un problema si recordamus que cuando usted pide dinero en un préstamo, debe pagar un interés, no recibirlo. El problem a desaparece cuando observamos a ja TIR del proyec to de endeudam iento com o una “tasa de pago" que es lo que en realidad representa, y no com o una tasa de rentabilidad.
4*“ inconveniente; la estnictura temporal de la tasa d einterés En el capítulo 12 trataremos la volatilidad de los títulos de rénta fija y veremos que existe una estructura temporal para la tasa de ínteres, en el sentido de que el mercado reclama una tasa diferente para un pago que ha de realizarse en un año dado, variando las tasas de interés año a año. Hn Circunstancias normales, la denominada “curva de rendimientos" que nos indica como varían las tasas a medida que aumenta los plazos, tiene pen diente positiva: es decir, los pagos son descontados con una tasa más aRa conforme nos alejam os en el tiempo. Así. la tasa de interés del segundo \ año es mayor que la de! primero, la del tercero mayor que la del segundo y
G ü iLitrtK íO L ó i ’ ez DUMR/\Uf
jJ 2 - .
así por delanie. La regia de decisión de laTlR nos dice que debemos com pa rar ésta con la tasa de oportunidad para establecer la bondad de una Inver sión. Pero dado que la tasa de oportunidad de hecho estaría cam biando de período a período, ¿con cuál tasa debemos com parar Ja TIR? ¿Con Ja deJ pri mer año? ¿O con la de! segundo? ¿O con la del tercero? Aquí laTIR no es capaz de eludir la estructura temporal de la tasa de interés, a menos que calculem os una media ponderada para las distintas tasas, algo que, por razones de sim plicidad, no siempre suele realizarse.
5’° Inconveniente: TIR múltiples o ausencia de unaTIR Siempre que se analizan proyectos con flujos de fondos "convencionaies" o "sim ples" habrá una sola TIR, pero cuando usted se enfrenta a p ro yectos “no sim ples" donde los flujos de fondos cam bian de signo en más de una oportunidad, pueden ocurrir tres cosas: a) que el proyecto tenga más de un aT IR (esto es, que exista más de una tasa que satisfaga la e cu a ción que con v ien e el VAN=0); b) que el proyecto no tenga una TIR (es decir que no exista una tasa que satisfaga la ecuación VAN=0) y c) que el proyec to igual tenga una sola TIR. Suponga los siguientes proyectos E, F y G:
P royecto
FF,
FF¿
E
-5.0U0
30.000
-30.000
27 % y 3 7 3 %
-2.520
F
-7.000
17.000
-10.000
0% y43%
190
G
-2,000
5.000
-5.01X)
In d e te rm in a d a
-1.587
m
-
VAN a l ! 0 %
T abla 10.13 T IR multiple$
Que los pioyectos E y F tengan más de una TIR tiene una explicación Fimtemática: por la regla de los signos de Descartes: un p o lin o m io p u ed e leiier tantas raíces corno ca m b io s d e signo h ay a en su d e s a rro lla ¿Pero cómo interpretar Jos resultados? La verdad es que no vale la pena: una inversión sólo puede tener un resultado, que es lo que ocurría en los proyectos deMoiiiinados "simples" cuando había un solo cambio de signo en el flujo de fondos. No tiene sentido preguntarse cual de las dos TIR es la correcta, puesto que muy posiblemente ninguna lo es: no tiene sentido decir que el proyecto E rinde el 27% y el 373% de la misma manera que no tiene senti do decir que el obelisco mide 27 metros y 373 metros de altura. En el caso del proyecto G,Ta respuesta sería aun más absurda, puesto que no hay una t I R que satisfaga la ecuación, lo que es equivalente a decir que el obelisco no tiene altura. La respuesta de la TIR en este caso debe desecharse ya que representa un número que no tiene ninguna utilidad; el resultado apenas es verdadero en una eCTración matemática, como se muestra para el pro vecto E en la tabla 10.14:
i
T
é c n ic a s
D£ Ev a l u a c ió n
'^4 'á#V
g •' I V
de
P r oyectos
k
VA N P royecto E
0%
sor»
$ -5.500,00 $ 1.222,22
100%
í 1.375,00
150%
$ 9 6 8 ,0 0
dé
ÍNVEPJK.Jt i
, 33>
i
1
200%
$ 611,11
250%
$ 352,77
300%
$ 171,88
350%
$ 4 5 ,2 7
400%
$-44.00 $ -107,44 $-152,78
450% 500%
'
■
Tabla 10.14 VANdel proyecto Epara diferentes tasas de oportunidad En las figuras 10J 4 , 10.15 y 10.16 puede apreciarse que existe má^ de una TIR en los proyectos E y F, y que no hay una solución para el proyecto G (la solución es indeterm inada pues no hay ninguna tasa de interés que satisfaga la ecuación que iguala el VAN a cero).
Proyecto E
< S -2 000 ^ s *3 000
' C o s t o d e o p ortu n id ad
Figura 10. N17R rmilnples $ 300 1 $200
-
100
-
$
2 $0 <
>$-1000k $-200 ■
S -300 S -400 J
Proyecto F ■
20%
■
4 0 % \ ^ 6 0 “/
Costo de oportunidad Figura 10.15TIR miiltiples
v80%
J3 4
G
u illerm o
Ló p e z D
umr au f
Proyecto G 1Q0SÍ— eee%— aoo% - 4oo%
$ - 2.000
5 -2.500
Costo de oportunidad
Figura 10.16InexistenciadeTIR Observe que el VAN en estos casos también nos da una respuesta con fusa: »;n los tres proyectos, según el rango de tasas de interés que se tome, apareue una zona donde el VAN aumenta a medida que la tasa de interés también io hace, cuando en un proyecto convencional el VAN es una fun ción aecreciente de la tasa de interés. Este efecto es causado por la dismi nución en valor presente dei flujo de fondos negativo que durante cierto intervalo hace que ei VAN aumente. ¿Hay alguna solución para el caso de múltiples TIR d incalculables? Que exista un proyecto con TIR múltiples o que ésta no pueda calcular se no significa que el proyecto no tenga una tasa de rentabilidad {que pue de set tam bién negativa). El atajo clásico para solucionar este problema propone calcular directam ente el VAN. aunque los economistas financie ros han buscado métodos que permitan un cálculo de la rentabilidad pe riódica de la inversión en ios casos en que se produce este inconveniente. Lo principal es aplicar el sentido común y hacer "explícito" el uso que le damo.'i al flujo de fondos que nos devuelve el proyecto. Los gerentes no se sientan a esperar que éste se produzca; de hecho, si pueden torcer las cir cunstancias favorablemente, lo hacen. Por lo pronto, tenemos que pensar com o se reinvertirá el flujo de fondos hasta el final de la vida del proyecto. Luego, comparando el valor acumulado del flujo de fondos al final de la vida Cvin el desembolso inicial, puede calcularse una tasa de'rentafailidad periódica com puesta. Describiremos a continuación el criterio de la TÍR m o d ijíc a d a (TIRM) que justam ente trata esta situación que también nos sirve para definir úna tasa de rentabilidad para los problemas descritos en esta Sección.
10.8. LaTIR MODIHCADA Lo-i econom istas financieros y los textos de finanzas han manifestado por años que el VAN es un criterio superior a la TIR. Sin embargo, los prac ticantes siguen encontrándose cómodos con las medidas de rentabilidad pórceiituales y sigúen utilizando la TIR en la évaluación de proyectos. Los
T
é c n ic a s de
E v a l u a c ió n
de
P r o yect ó s
d e ^í n ^ r s io n
3: í 5
gerentes encuentran"en la tÍR una medida ni^s sencilla dé íirlerEjretary'cbmunícarqueelVAN. V
El criterio de la TIR modificada (TÍRM) es un intento para obtener una medida de rentabilidad periódica cuando se producen los inconvenientes mencionados en las secciones anteriores o cuando se sospecha que los flu jos de fondos no podrán reinvertirse a la misma TIR de! proyecto calculada previamente. Mantiene las bondades de la TIR original pero también resuelve; • los problemas asociados con los proyectos no convencionales • la mayoría de los conflictos asociados con el ordenamíemo o jerar quía de proyectos que compiten por ios recursos. La TIR modificada es definida como la tasa de descuento que iguala el valor actual del valor futuro del flujo de efectivo (el valor.de los flujos capi talizados hasta el final de la vida del proyecto) con el desembolso inicia!; ¿
F f / i + i ) ”- ' - ¿
(
F F o - - ! ^ ----------------------- J i —
( l+ T IR M y
1
+
i
----------------------
E r'valor futuro" resulta de capitalizar hasta el final de la vida los flujos positivos a la tasa que representa el costo de oportunidad del capital (asu miendo que si no podemos reínverlirlos en el proyecto tendremos la tasa de oportunidad "Jt" a mano) y los flujos negativos son financiados a una tasa kd, también hasta el final de la vida del proyecto (14). Es decir, "lleva mos todo hasta el final". Luego, la tasa que descuenta dicho valor terminal por n períodos igualándolos al desembolso inicia! de la inversión, es Ja TÍR modificada (TIRM). Para calcularla, hacemos un pasaje de teniiinos y oh tenem os;
TIRM =
>1
FFo
Observe que la fórmula nos dice que debemos calcular la tasa equiva lente de rendimiento suponiendo la reinversión de fondosposiiiv^os al costo de oportunidad del capital k y el fínanciam ienta de los flujos de fondos negativos a la tasa L'd que se cobra por financiarlos.
(14) Existen otras formas decalcular )aTIRM. 1.afonna que propone actualizar los flujOi negativos con el costo de oportunidad sadescribe más adelante.
G
336
u il l e r m o
Ló p e z D
um rauf
í^aTlRM tiene una ventaja significativa con respecto a su prima hermana la TIR. Es una tasa de rentabilidad compuesta que asume que el flujo de efectiva es reínvertido al costo de capital mientras que la TIR asume la veinversión a la misma TIR. Cuando no podemos reinvertir a la TIR, suponer que la reinversión se realiza al costo de oportunidad del capital es un m ejor supuesto, ya que la oportunidad de reinvertir a k estaría presente, y entonces la TIRM es una m ejor medida de la verdadera rentabilidad periódica del proyecto. Supondremos un proyecto que requiere desembolsos al inicio, luego ge> nera ingresos por un determinado período y más tarde requiere otra inyec ción de dinero para completarlo. La reinversiüii de fondos ■
•
~
.. Juan es un con.stnictor que se encontraba analizando los flujos de fon dos de un proyecto de construcción de viviendas. Como la mayoría de los pinpresarios, tenía inclinación por las medidas de rentabilidad que pudie ran expresarse en un porcentaje. Al serle expuesta la TIR del proyecto, la primera impresión de Juan fue sospechar acerca del 39% como tasa de ren tabilidad anua!. No creía que el proyecto pudiera generar tamaña rentabili dad, y por otra parte le preocupaba el desembolso que habría que realizar en el tercer año. El flujo de fondos del proyecto para la construcción de viviendas era el siguiente:
FF. ~ lO.OÓO
5.000
FF, 10,000
FF3
FF,
-2.000
4,000
5.0JK)
VAN a li o %
TTR
6.494,5
39.4 %
T a h l a l O . lS V A N v ri R
En procura de una medida de rentabilidad que contemple que tal vez no sea posible lo reinversión de (os fondos a la TIR, y que por otra parte incluye ra la forma en que se Rnanciaría el egreso del tercer año, los analistas del proyecto calcularon la TIR modi/ícrtdrt. Mfm forma de hacerlo consiste en suponer la reinversión de los flujos de íondos positivos a una tasa de reinversión segura (por convención se utiliza la tasa de oportunidad del 10% ya que ésta representa la oportunidad de invertir los fondos en un proyecto de riesgo similar) hasta el final del quinto año donde termina el proyecto. Los flujos de fondos negativos se supone son Tinanciados a la tasa que nos cuesta ei capital ajeno, que en este ejemplo es del 8%. De esta forma, los flujos de fondos negativos son vistos como finan ciando el faltatrte de íondos hacia el futuro. El valor acumulado al final resulta ser el valor futuro de los flujos de fondos Por último, se realiza el cociente entre el valor futuro de los fondos acumulados y el desembolso inicial, eleva do al inverso del número de períodos que dura el proyecto:
337
T é c n i c a s d eE v a l u a c i ó nd e P r o y e c t o sd eIn v e r s i ó n
'HRM ■[
5.000(1,10)' + lO.OOO(UO)’ + 4.000(1,10) + 5^000 - 2,000(1,08)^ 10.000
Ltio.ooo J
-i
-1 = 22.6%
27.697i7 representa el valor futuro neto de los flujos positivos y neír afivos que son reinvertjdos al diez-por ciento y financiados al 8% respectivamente. Finalm ente, mediante el cociente entre este valor y la inversión y calculando una lasa equivalente para el período de 5 años, se obtiene la TIR modilicacla. LaTIR M es del 22,6%, inferiora la TIR original del 39,4%. La diferenciase explica por la reinversión de fondos a una tasa inferior ai 39,4% y el efecto de financiarse ai 8%. O tra form a de calcular la T IR m odificada Existe una variante para el cálculo d éla TIRM (aparentem ente es el méto do que se conoció originalmente) que consiste en actualizar los flujos nega tivos con la tasa de oportunidad hasta el m om ento cero, integrándolos al desem bolso inicial (asimilándolos a una inversión), y capitalizar los flujos positivos hasta el final de la vida útil también con la tasa de oportunidad del capital. La TIRM que resulta en este caso es del 21%, algo menor al 22,6% que obtuvimos con el método anterior. TIRM =
tísica
5.000(1.10)' +10.000(1,10)^ +4.000(U O ) + 5.(íOO
30.030,30 11.587.66
10.000 + 2000(1.08)'
-J
- 1 = 21%
m í^ i
El problem a que existe con este método es que al actualizar los flujos de fondos negativos, cuanto más alta sea la tasa para financiarlos, menor serán en valores presentes, con lo cual aumenta la TIR modificada. Entonces, cuanto más alía sea lasa de financiamiento. mejor, lo que no tiene mucho S( ntido, ‘Como vemos, este método no explícita la capitalización del flujo de londos para el financiamiento, cuando la práctica usual sería financiarlo hacia ei futuro (15). TIR modificada: ejemplo de aplicación con Excel® La TIR modificada puede ser calculada muy fácilmente con la función TIRM de Excel®. Suponga que un proyecto requiere una inversión de $120,000
(15) Una dlscusiónsobre el tema puede encontrarse en el artículo déWiuj/w.lR. McDanIel,
ÜANia E McCartv, and KennethA. Jessell, "Discounted Cash Flowwith Expüdt Reinvpstmenl
Rates:Tutoríal and Extensión." TficH/wnctólfléw'citíAugust 1988,369-385.
338
G u u l e r m o L ó p e zD u m r /u f
w y generará flujos de efectivo por 39.000,30.000.21.000,37.000 y ^6.000 pesos durarfleesos cinco aflos de actividades. En ei aflo 6 es necesario financiar una ampliación lo que genera un flujo negativo neto para ese año de -20.000, el séptimo año íermina el proyecto generando un flujo de $40.000. Los flujos positivos se reinvierten al 12% y el flujo negativo se financia al 10%. Para calcular la TIRM simplemente pulsamos el signo/'y buscamos en funciones financieras TIRM; luego completamos la ventana en las casillas “valores” (para los flujos de fondos) “tasa de financiamiento" y '"tasa de reinversión" como aparece en la figura 10.17:
-rompaJW.itf.ta____ ______ 'I".
AA«1"
}" .jicop;
á li'i
.SL . 3?mQ _
ñ
^ r g u r m f c ; d 0 f u n e i¿ n
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i3J.V4t«if«fiwnroOT: l
is
Figura 10.27 TIR modificada con Excel® Un aviso de cuidado: tenga presente que Excel® calcula la TIRM actuali zando los flujos negativos al momento cero (tratándolos como una inver sión) y ello tiene el inconveniente mencionado anteriormente. El argumento para actualizar flujos de Inversión es que sf esta se producirá con seguridad, la casa)jara calcular el valor presente debe ser menor dado el menor riesgo de e ste flujo. Pero ya h em os d escrito lo que ocurre cu ando la rasa de financiamiento aumenta: el valor presente de los flujos negativo^ disminuye, con lo cual aumenta la TIRM cuánto más alta sea la tasa de financiamiento, lo cual no tiene mucha lógica. Otro caso que debe tenerse en cuenta es cuando hay proyectos m utua mente excluyentes y se producen contradicciones entre el VAN y la TIR. Es posible que al calcular e! flujo de fondos incremental para obtener la tasa de Fisher, se produzca más de un cam bio designo en su desarrollo y resulte más de unaTlR o ésta sea incalculable. En esos casos, Usted deberá calcular ei VAN o la TIRM si desea obtener una medida de rentabilidad periódica. ¿La TIR m odificada puede corregirlos errores de la TIR? En una sección anterior describimos una serie de situaciones donde la aplicación de la regla directa de la TIR conducía a un error. Vamos ahora a
w %
«
TáCHiCAi DE Evaluación dl Proyectos de Imveksioii
3 3 ^ -
volver sobre los ejemplos donde mostramos esas compiicaciones d e la para ver com o Ja TIRM puede vérselas con dichos inconveníeiues. Para ello reproduciremos dichos ejemplos realizando una compardcldii eiilre los re sultados que arrojan el VAN, la TIK y la TIRM. a. El problema del tamaño de la Inversión inicial
Proyecto AñoO A
•100
Año I
Año 2
Año 3
VAN
Tin
TlRftl
400
0
0
$263,64
300%
300.0%
250%
250.0%
B
-200
700
O
0
$ 436.36
B-A
•100
300
O
0
$ 172.T3 200.00% 20flLO%
Tabla lü.l6VAN.TIHyTIRMIncrement4iJes f Volviendo a nuestro problema del (amaño inicial, y calculando laTIRM , podernos ver que el VAN es un criterio superior en este caso a la TIR y a la TlRlví pues selecciona el proyecto correcto (B) indicando la cantidad en que cambia la riqueza del accionista. Sin embargo, cuando calcularnos la TIR incremental y la TIUM incrernenial (en la tercera fila) observamos que ambas son capaces de funcionar tan bien com o el método del VAN, selec Clonando el proyecto B. b. Diferente patrón del flujo de fondos
Proyecto Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 VAN al 10%
TIR
TIRM
A
•1,000
800
500
100
S 215,63
2539%
17,4%
B
■1.000
100
500
l.ÜOO
$255.45
20,44%
10,7%
D-A
0
-700
0
900
$ 39,02
1339%
12.2%
Tabla 10. l7V A N ,TIU yTIU M Increm én tales
Aquí Otra vez la TIRM y el VAN dan el mismo resultado, ya que ambos seleccionan el proyecto B. En este caso, no hubiera sido necesario el análi sis increm ental. Las TIRM que aparecen en la tabla 10.16 se calcularon con la función del Excel®, que com o ya hemos dicho, actualiza los flujos dn fondos negativos al m omento cero. En los proyectos A y B no hay cambios de signo en el flujo de fondos, pero sí en el flujo incremental B-A. Observe que si hubiéramos calculado la TIRM incremental de B-A ca p iia liz a n d o eí flu jo d e fo n d o s d e l fin a n cia rn ien to , por ejem plo al 10% (suponiendo que nos cobren el 10% para financiar el flujo negativo) tendríamos al final de! ano tres: -700 (1,10)^+900=53 ¿Pero contra qué com paramos esta cifra si lu Inversión increm ental es cero? No puede calcularse la TIRM por este último
Guii.Uiu.Ao L ópez D u m ilm jí
.V40
método: en este caso, laTIR incremental y laTlRM Increinenial muestran un leSTiUailo que supone comparar $900 del momento 3 contra los $700 del momento l actualizados con la TIR al momento cero en el método TIR y con la tasa de oportunidad en el método, de la TIRM. c. Proyectos no conv encionales
Proyecto
Año 2
TIRl
Año 0
Año l
TIR 2
VAN a I1 0 %
TIItM
-5.000
30.000 -30.000 26,79% 373,2%
$ -2.520,66
5.24%
Tabla 10.18 TIRM para proyectos con TIR múltiples
De n u ev o el VAN y la T IR M n o s d an el m ism o re su lta d o : el p ro y ecto __ d e b e s e r re ch a z a d o , p u es el VAN es n eg ativ o y la T IR M es m e n o r al c o s to de o p o rtu n id a d (la T IR M s e c a lc u ló n u e v a m e n te c o n la fu n c ió n de E x ce l® ). O b se rv e q u e en e s te e je m p lo , la TIR M se c a lc u la su p o n ie n d o q u e el flu jo n e g ativ o del a ñ o 2 se a c tu a liz a p o r dos p e río d o s ai 10% {s u p o n e m o s q u e el fin a n c ia m ie n lo n o s c u e sta el 10% ). P e ro si h u b ié ra m o s c a lc u la d o la TIR M sin a c tu a liz a c ió n de los flu jo s n eg a tiv o s, só lo h u b ié ram o s ca p ita liz a d o el flu jo p o sitiv o del añ o 1 y te n d ría m o s al final del año d os: 3 0 .0 0 0 (1 ,1 0 )-3 0 .0 0 0 = 3 .0 0 0 . C o m p a ra n d o $ 3 .0 0 0 al fin a l del añ o d o s c o n u n a in v e rs ió n in ic ia l d e $ 5 .0 0 0 re su lta u n a T IR n e g a tiv a de -2 2 ,5 4 % U(3 .0 0 0 /5 0 0 0 ) - 1P '2- 1|}. D esp u és de ver estos e jem p lo s, ¿p o d em o s d ecir que la TIRM fu n cio n a ra z o n a b lem en te? No, fíjese que ta m b ién en el p rim er ejem p lo, p ara el d iferen te ta m a ñ o de la inversió n, la regla d irecta fu ncionaba m al (laT IR M se le c c io n a b a el proyecto A). La TIRM in crem en tal fu ncionaba m ejor. Sin em bargo, todavía debem os seguir viendo otros e je m plos an tes de dar un v ered icto.
1 0 .9 . P royectos gon diferente vida: cuando la regia directa
DELVAN PUEDE FAJ.LAR Hasta donde hem os visto, el Y/\N. m ás allá de dar una respuesta confusa en el caso de proyectos no convencionales ídom le el VAN au m en tab a para cierto intervalo de aum ento del costo de oportunidad), siem pre nos daba la respuesta correcta. Vamos a m ostrar ahora un caso donde la regla directa del VAN nos da una respuesta incorrecta, que es el caso de los proyectos con diferente vida. Esto es muy común en las decisiones de reemplazo de m a quinarías, en proyectos de forestación y hasta en los bonos u obligaciones financieras. Ejem plo: una decisión de reem plazo de una niaquínaría envuelve dos proyectos m utuam ente excluyentes: m antener la vieja o com prar una nu e va. Suponga que la com pañía C a lca d o s B eira R ía está evaluando la com . pra de un a m aquinaria para la fabricación de calzado y cu enta con dos
T íc n ic a íd eE v a l u a c ió w d eP r o y e c t o sd eIn v e r s íó n
34]
alternativas: la maquinaria A que tiene una vida útil de 4 añ os y ia maqui naria B que deberá reemplazarse al cabo de 2 anos. Cuando calculamos e] VAN, la TIR y la TIRM de ambas aiternaíivas, ei criterio del VAN nos dice que la maquinaría A es la m ejor alternativa. Afio 1
Afio 2
Año 3
Año 4
TER
VAN a l 10%
'^R^f
A (4 años) ►40.000
8.000
14.000
15.000
17.000
11,77%
S 1.723,93
U.17%
J3 (2 años)
10.000
15.000
15,14'?
$ 1,487,60
11,99%
Proyecto
Afio 0
20.000
►
Tabla 10.19 Proyectos con diferente vida Nuevamente aparece una contradicción entre el VAN y la JíR r oJ pro yecto A dura 4 años y tiene el VAN mayor, pero pdr la TIR elégírfainos el proyecto B. Veremos que el caso de los proyectos con diferente vitia nos plantea un caso donde la regla directa del VAN nos da en primera ínstajicia, una respuesta incorrecta. La pregunta relevante que debemos hacer nos es ¿qué ocurre al final de la vida del proyecto más corto? Lo más pro bable es que la compañía reemplace la maquinaria ai finai del segundo año. Cuando las vidas son igualadas, veremos que tanto el VAN como la TIRM dan la respuesta correcta. Para realizar una comparación apropiada utilizaremos la técnica de la "cadena de reemplazos" que consiste en evaluar el proyecto de 2 años como si al final del segundo ano fuera realizado un reemplazo de la maquinaria por $20.000 generando una nueva corriente de efectivo Idéntica a la ante rior por otros dos anos. En ese caso, eJ flujo dei proyecto B se vería de esta forma: Año 0
Año 1
Año 2
Año 3
Año 4 1
-20.000
10.000
-5.000
10.000
15.000 1
T a b la 1 0 .2 0 F lu jo s d e fo n d o s del p ro y e c to B c o n re em p la z o d e la m á q u in a al fina] del a ñ o 2
Ei flujo de fondos neto del año 2 es de -5000 ya que al final de ese año se produce el reemplazo (15.000-20.000). De esta forma, igualamos la vida de ambos proyectos en un horizonte común de 4 años. Luego calculamos
el VAN, la TIR y la TIR M para el proyecto B con una vida de cuatro años y entonces realizamos una comparación con las tres medidas de rentabili dad. Proyecto
TIR
VAN al 10%
TIRM
A
11,77%
$ 1.723,93
1L17%]
15,14%
$ 2.717,a3 ;
U,90%
B
<
Tabla 10.21 VAN,TÍRyTIRM cuando se igualan yldas
■Ha
G u i l l e b j v í o L ó p e zD u m r a u p
Obsérve que antes de igualar las vidas de ambos proyectos, el proyecto A hubiera sido elegido por el criterio del VAN, mientras que el proyecto B hubie ra sido seleccionado por los criterios de la TIR y la TIRM. lin a vez que se igualan las vidas en 4 años, tanto el VAN como la TIR como la TIRM nos dicen que ef proyecta B es el más rentable. La regla directa del VAN fallaba en este caso, mientras que la TIR y la TIRM, aplicadas directamente, nos daban la respuesta correcta. Si los anteriores "rounds” fueron para el VAN, este es para laTIR El m étodo de la anualidad equivalente Aunque el ejem plo anterior ilustró com o es necesario extender el análisis si estam os com parando proyectos mutuamente excluyentes con vidas dife rentes, en la práctica el e s c u lo puede ser un poco más complejo. Podríamos tener que com parar proyectos de 4 ,5 . y 9 años, en cuyo caso requeriríamos . una larga cadena de reem plazos a lo largo de un horizonte de 180 años (el raiiltiplo com ún para proyectos de 4 ,5 y 9 años de vida). En estos casos, es posible utilizar un procedim iento más sencillo; la anualidad equivalente, que envuelve tres pasos; 1. Se calcula primero el VAN de cada proyecto. De la tabla 10.18 vimos que el VAN A= L 723.93 y el VAN B= 1.487,60 Z Calcular la anualidad equivalente para el VAN de cada proyecto. La fórmula para el cálculo de la anualidad equivalente fue vista en el capítulo de remas tem porarias y en este caso es igual a calcular la "cuota” de una rénta tem poraria inm ediata donde el valor presente es igual al VAN del proyecto. / Anualidad equivalente de! proyecto A: 1.723,93a {1,4,0.10)‘=543,85 Anualidad equivalente del proyecto B: 1.487,60a (1,2,0.10)‘‘=857,14 El VAN del proyecto A tienen una anualidad equivalente de $ 543,85 para 4 años y el proyecto B tiene una anualidad equivalente de $ 857,14 para 2 años. 3. Asumiendo que se realizarán continuos reemplazos al final de la vida de cada proyecto hasta el Infinito, podemos considerar el valor presente de la perpetuidad de cada anualidad equivalente: 543,85 / 0,10= 5,438,50 ’•
857:14 / 0,10= 8.571,41
/
El cálculo de la anualidad equivalente supone que los proyectos pue den ser renovados perm anentem ente dando forma a cash flows infínltos, donde el cash Row es la anualidad equivalente. Considerando vida infini• ca, el proyectó B es el mejor. Cuando tratamos con proyectos que tienen diferente yida, debemos tener cuidado de realizar los ajustes apropiados ya que en estos casos, observam os que el VAN tampoco era un método Séguro- Este ejemplo demuestra que la TIRM a veces puede lidiar con pro-
I tCNfCAi Di: EVAIUACIOH D£ pROyECTOS dE I n v ERSIOM
3-ij
yectos donde la regla directa de! VAN no Aincíona. Puede considerarse una in ejo rraed id a de rentabilidad periódica que la TIK (radicíonal, ya que; a. Perm ite in corp orar una ta.'>a de reinversión más ajustada a la realidad. b. Evita el problem a que tiene la TíR cuando él proyecto tiene flujos no co n v en cio n ales. c. Puede lidiar bastante bien con la mayoría de los problemas cuando tratam os con proyectos m u tu am ente excluyentes. La TIRM puede ser un b u ena m edida al íguai que el Vj\N pero m> es infalible. Vimos que cuando los proyectos diferían en e! tamaño o escala de la inversión, la regla puede conducir a error. También había problemas con la interpretación del resultado cuando los flujos de fondos cam biaban de signo y utilizábam os directam ente la función del Excel®. Aquí jo s analistas deberían utilizar la T íR M increm ental o el VAN, que aún todavía tendría problem as con ios proyectos de vida desigual. ' tn
Sí U sted lo q u e q u ie r e es ten er u n a m e d id a d e la re n ta b ilid a d p erió d ic a d e u n a in versión , e n ten d id a c o m o un p o r c e n ta je d e ren d im ien to, lo m ejor es h a c e r ex p lícita la in terp reta ció n e c o n ó m ic a d e lo q u e o cu rrirá con e l jlu jo d e e fe c tiv o : r e a liz a r la s s u p o s ic io n e s c o r r e c ta s d e ta s a s d e rein v ersió n y fin a n c ia m ie n iü p a r a o b te n e r un v a lo r fu t u r o a l q u e lu eg o p o d e m o s c o m p a r a r con la in versión in ic ia l y d e esta m a n e r a o b te n er u n a m e d id a d e ren t a b ilid a d p e r ió d ic a eq u iv a le n te.
10.10. Dv “DUIIATION” en lA EVAI.UACÍÓNDEPROYECTOS Hemos visto las diferentes técnicas de evaluación de proyectos y es iiora de que hagam os un balance. La regla directa de la TIR se equivocaba en algunas circunstancias pero vimos que la mayoría de los problem as des aparecen cuando ponem os las cosas en perspectiva y damos un paso mas la! com o es calcular la tasa de Fisher o hacer explícita la reinversión dei flujo de fondos utilizando la TIRM . Sin em bargo, todavía los problemas pueden subsistir, com o vimos para él caso del diferente tamaño de la in versión inicial. También la regla directa del VAN puede fallar para proyec tos con diferentes vidas. Todos los casos analizados hasta este momento suponían que los flujos de fondos se m antienen constantes, lo cual supo ne evaluar una inversión en condiciones de certeza. En la práctica, se rea liza un análisis del riesgo del proyecto que incluye el análisis de sensibili dad, análisis de diferentes escenarios con probabilidades ponderadas y hasta la sim ulación de M onte Cario. Un análisis del riesgo dei proyecto se encuentra fuera del alcance de e.sta obra. Pero vamos a tratar el caso de la yaríacíón en la tasa de interés de oportunidad, lo cual nos acerca al con cepto de la *‘d iiratiú n ‘\ que tratarem os en forma detallada en eJ capítulo 12, Para poner las cosas en perspectiva, supondremos eí siguiente ejemplo donde aparecen dos proyectos con diferente inversión inicial:
.7-
G u iL L fiiw oL ó p e zÜ u m r a u e
344
Pmy
0
1
1
TIR
VAN TIRM al 10%
IR
Vay back
D ha Payback
Durarton
A
-2.000
1.000
2j)ao
2B,1% 5f;i,98
24.5%
1.20
1,50
1.66
1.61
D
-4.000
4D00
1.120
22.8% 561.98
17,5%
U4
1,00
139
U9
B-A
-2.0M
3i)00
-800
10,0%
7.0%
1.00
0.67
0,73
0.00
Ourarfon Modlricid a
0.97
Tabla 10.22 Duratíonde proyectos El VAN de ambos proyectos es exactamente igual al 10%. pero las TIR difieren y las otras medidas de rentabilidad también. Para colmo, si calcu lamos la tasa de Fisher también es igual al 10%, que representa el costo de oportunidad. Las diferentes reglas nos dan respuestas distintas: , M é tod o
Pro}'ecto
VAN
A = B
T IR
A
T IR M
A
Tasa de Fisher
A= B
ín d ic e de R entabilidad
A
r^ y b a c k
B
D isco unted Payback
B
Tabla 10.23 Resultados de los distintos métodos
Las reglas del Payback y el Discounted Payback nos dicen que es mejor e! proyecto B. pero ya hemos señalado sus defectos y hemos visto que no son confiables. El proyecto A presenta una mayor cantidad de indicadores favorables. ¿Significa esto que deberíamos elegirlo? No!! Nunca debemos elegir un proyecto por alguna metodología de "desempate” tipo "un m éto do me dice A. el otro B, pero como el tercero me dice A, éste es el mejor". Vamos ahora a refinar un poco el análisis, ya que hasta aquí hemos su puesto que la tasa de Interés de oportunidad no varía durante la vida del proyecto y hemos utilizado la misma tasa para calcular el VAN de ambos
proyectos. Utilizar la misma tasa para calcular el VAN de ambos proyectos supone que ambos tienen el mismo riesgo. Para un examen de este punto, remiti mos al lector al capítulo 15, donde tratamos la estimación del costo de capital. En este capítulo, a los efectos de evidenciar las herramientas de evaluación, hemos supuesto que es la misma para ambos proyectos y que era un dato. Pero ^qué ocurre si la tasa de interés varía? El VAN también se
.T í c n íc a s D £ E v a l u a c i ó n d e P h o v e c t o s D £ Im v e p ^ í ó n
345
modificaría, y es muy claro que una suba en la tasa de Interés inclinaría la decisión por el proyecto A y una disminución la inclinaría por el prr
VANP VANB
Figura lO.lBTasa de Fisher Las últimas dos columnas de la tabla 10.22 nos muestran dos nuevos conceptos: la "duratiorT y la “du ration m o d ifica d a ^ Corno explicarem os en deialle estos conceptos en el capítulo 12, aquí nos limilaremos a decir que cuanto mayor es la duration, mayor es el cambio que sufrirá el valor presente del flujo de fondos (excluida la inversión inicial) para cambios en la tasa de interés (cómo la duration es un concepto que se aplica en bonos, se analiza siempre para un cambio en laTIR exigida por el mercado). En la práctica de la evaluación de proyectos también entran conside raciones estratégicas que no aparecen en la mecánica de las técnic.is vis tas en este capítulo. De todos modos, nos parece importante incorporar como un elemento en el análisis el efecto de un cambio de la tasa de Inte rés en el tiempo. Nuevamente recordamos al lector que el proceso para determinar la tasa de oportunidad o el costo de capital de un negocio es tratado con de talle en el capítulo 15, por lo tanto remitimos a su lectuia.
Más acerca de proyectos con diferente tamaño En los libros de matemática financiera la explicación acerca de las rc' glas de decisión cuando hay proyectos de diferente tamaño remiten al cál culo de la Tasa de Fisher. La razón es simple: los métodos se plantean como si estuviéramos evaluando proyectos en condiciones de absoluta certeza. En este capítulo hemos dimensionado el riesgo-tasa, a partir de la ditration vista en la sección anterior. El estudio de la duration se profundiza en el capí tulo 12. Ya hemos dicho que un análisis del riesgo del proyecto se encuentra
GuiLLEia^O Lú I*E2 DUMOAUf
¿.í ^■- ■- -
íilás allá del aJcánce dé esta obra, pero queremos exponer brevem em e algu n os punios de referencia que pueden sen ítiles cuando existen múltiples pro yectos com pitiendo por ios recursos y sus tamaños dIOerensignificativamente. Un punco de referencia im portante es un ratio que relacione el retorno con el riesgo, por ejem plo el VAN/o. Su p o n g a que se tien e un proyecto A donde debem os invertir 10 m i llones y proporciona un retorno de 20 millones y un proyecto B que cu e sta 1.000 m illon es pero p rop orciona 100 m illones com o retorno. El reto rn o del proyecto A tien e un desvío estánd ar de 10 m illones m ientras que el desvío están d ar del proyecto B es de 100 m illones. G erentes con recu rso s lim itad os por el presupu esto podrían elegir el proyecto A d eb i do a íjiie no tien en otra op ción . G erentes en b u sca de retornos altos con más recu rso s pod rían elegir el proyecto B debido a que genera m ayores reto rn o s. G eren tes con aversión por el riesgo podrían elegir el proyecto A d eb id o a su m e n o r nivel de riesgo. A dicione unos cuantos proyectos m ás c o n 'd ife re n te s riesgos y retornos y,tendrá un problem a com plejo en sus m an o s. ' O bviam ente, el coeficiente de variabilidad (retorno/desvío estándar) nos dice que la m ejor reiacidn retorno-riesgo la tiene el proyecto A: Proyecto A Coef. variabilidad
20 / 10=2
Proyecto B 100/100=1
El proyecto A proporciona 2 unidades de retom o por cada unidad de riesgtt (o por cada cada unidad de retorno requiere sólo 0,5 unidades de riesgo) m ientras que el proyecto B proporciona i unidad de retorno por cada unidad de riesgoSi pudiera replicarse el proyecto A. el gerente inteligente podría crear un portafolio replicado para maximizar los retornos y minimizar el riesgo, gastando 50 millones en 5 proyectos A y obtendría 100 millones de retor no, pero ariiesgando la mitad del capital que arriesga en el proyecto B. Aún cuando no encontrem os 5 proyectos A iguales, si tomamos el ries go y el retorno en consid eración, puede verse que si pueden replicarse proyectos, podem os obtener retornos similares con menor costo y menos riesgo.
10.11 . CAlX:UlJO DELVAN Y lA T IB COK RUIOS NO PERIODIC^^^ A veces es posible que Jos flujos de efectivo se produzcan a intervalos irregulares de tiempo, Volvamos por un momento al proyecto de la cade n a de pizzerfas /Vzzurra y supongamos, solamente a los efectos del ejem plo, que los flujos de efectivo no se producen anualmente sino en las fe chas q u e se observan en la tabla 10,24. Obviamente, com o los flujos de
T f chí Cás de
£ valuacjom d £ P royectos
ül
3^7
¡n v e r s í ó n
efectivo se producen untes, el VAN y iaTJR aum entan con respecto al e je m p lo . original. ^
Proyecto 31/12/01 29/06/02 29/06/03 28/06/04 -ÍOOO
500
500
VAN NO PERIODICO aJ 10%
'HR NO PERÍODÍCA
541,52
47.1%
800
Tabla 10.24VANyT7Rnoperíddícos
Sí contra los pronósticos iniciales, el prim er flujo de fondos se produce más rápidam ente de lo calculado (180 días después de la inversión inicial) y los restantes flujos se producen a 1 y 2 años después fiel primero, no se m antiene la equidistancia y debem os calcular el "VAN p o periódico" y la 'T íR no periódica". Para hacerlo, procedem os a ajustar los expolíenles de los factores de actualización de acuerdo a la siguiente fprma:
Para el prim er flujo el exponente será: C a n tid a d d e d ía s p e r í o d o ir r e g u la r _ 1 8 0 _ ^
Se supone que los flujos de efectivo son anuales, por lo cual considera mos un año civil con 365 días, aunque podría establecerse un período base diferente. Para los períodos siguientes: se sum a l(uno) al valor obtenido en el paso anterior. Note que el exponente del primer período es 0,493. el segundo 1,493 y el tercero 2,493. VAN no periódicó = ~ 1000+
500 (]+ 0,lO )‘'
500 o+A -r
800 (i+kf
-=541,52
Para la TIR no periódica se realiza idéntico cálculo, sólo que la obtene mos por iteración. Tam o el VAN no periódico corno laT lR no periódica son funciones que están incorporadas en Excel® com o puede verse en la figu ra 10.19, La función TIR no periódica es muy utilizada en el cálculo de la TÍR de bonos donde los cobros de los cupones no se produce a intervalos equidistantes de tiem po y ob tener un m ínim o período corniín {trimestres o m eses exactos) es p rácticam en te im posible porque ios intervalos difie ren en períodos de 180, 181, 182, 184 días, etcétera. Entonces Excel® "reperiodiza" los flujos com o si fueran diarios, asum iendo que los días que no hay cobros, el flujo de fondos es cero. Entonces calcula unaTfR diaria, pero inm ediatam ente eleva esa TIR diaria a 365 días y entrega una TÍR anual.
G u il l e r m oL ó p e zD u m r a u f
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Figura 1Q.19T1Rno periódica con Excel
10.12. Los
PROYECTOS SÓLO SE ACEPTAN SI SON BUENOS PROYECTOS
. La regia nü inero u n o en la evaluación de proyectos es que su m érito d eb e c a e r p o r su p ro p io peso, es d ecir que un proyecto es bueno o malo, p re scin d ien d o de co m o es fin a n d a d o .A pesar de ello, existe cierta c o n fu sió n en la g eren cia cu an d o creen que puede a cep tarse un proyecto s im p le m e n te porqu e se fin an cia con deuda barata. explicarem os con un eje m p lo . Im ag in em os q u e usted, com o directivo financiero, ha detectad o un p ro y ecto que d em an d a una inversión de $100 y genera un rendim iento del 20% al año. Pero el rend im iento de otras inversiones con riesgo sim ilar es ciel 30% !! El proyecto es arriesgado, pero usted puede financiarlo to ta l m en te en d eu d an d o la em presa a! 10%. En la figura 10.20 ap arece el flujo de efectiv o del capital propio;
Lo
Inversión Deuda Desembolso
0 1 1 -100 100 0
1año '
FF proyeclo 120 Pago interés+capilal dio Rendimienlo 10
Figura 10.20 Flujo de erecttvo del capital propio
Usted ha ganado $10 sin invertir absolutam ente nada y por lo tanto su tasa de retorno es infinita. Pero si los accionistas pueden conseguir un pro yecto con riesgo similar, pero que rinde el 30%, le dirán a usted que está muy bien ob ten er una tasa de rendim iento del 20%, pero que el 30% es m ejor. ¿Cuál es el costo de capital para analizar el proyecto? jEl 30%! De esta forma, descontando el flujo de fondos del proyecto con eí 30% observamos que su VAN es riegativo y la empresa destruye valor por $7,69:
T é c n i c a sd eE v a l u a c i ó nde
PuoYEaos
d eIn v e h íió n
- 1 0 0 + - ^ = - 7 ,6 9
(1.30)
La equivocación de los gerentes és que creen que el costo del capitPÍ para caicular el VAN del proyecto es el 10% que cuesta la deuda. A bsolutam ente equivocado! El costo del capital es siem pre el rendim iento de u n a alternativa de riesgo com parable, le n g a presente un consejo ; no debe confu nd irse el origen de los recursos con el uso que se h a ce de éstos. En otras palabras, un mal proyecto no se transform a en un buen proyecto sim plem ente por el he cho de que pueda financiarse con deuda barata (16).
1 0.13. Los PROYECTOS, LA ESTRATEGIA Y LA TEORÍA DE OPCIONES Las técn icas de evaluación de proyectos, com o reglas m atem áticas, re presentan una ayuda in d isp ensable para evaluar la bondad de un proyecto individual o para seleccio n ar los m ejores proyectos cuando existe raciona m ien to de capital. Sin em bargo, no son infalibles y com o regias m atemáti cas, nos dan un resultado, que, generalm ente, d eb e se ro b je to de un análisis ulterior. En la p ráctica existen otras variables que deciden la suerte de un proyecto. Por ejem plo, p ie n s e e n lo s e fe c t o s sin érg ic o s q u e podría ten er el lanzam iento de un nuevo producto en una com pañía que produce alim en tos. Es posible que si el producto es un éxito, tal vez cree una sinergia posi* tiva y aum en te la venta de otros productos. En ese caso, el casli flovv relevan te no es solam ente el del nuevo producto, sino el que contiene además el increm en to en la venta de los productos antiguos. Pero tam bién es posible consid erar que el lanzam iento de un nuevo producto genere una reducción en la venta de los productos viejos; este efecto se conoce con el nombre d e "canibaJización”.
Si
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En los últimos años, la aplicación de la teoría de opciones a los activos reales está sugiriendo que en el futuro los proyectos se ordenen teniendo en cuenta también las opciones que contienen. Por ejemplo, la opción de abandonar el negocio liquidando los activos, es una opción cuyo valor debe sum arse al tradicional valor actual neto. O tal vez el negocio funciona m ejor de lo que pensam os y nos ofrece una opción de expansión realizando una inversión adicional. Muchos proyectos se desarrollan en fases, de forma que si la fase l funciona bien, se pasa a la fase siguiente y así sucesivamen te, En tal sentido, podemos considerar a esos proyectos como un conjuntó de opciones compuestas. Tratamos las opciones financieras y las opciones reales en los capítulos 13 y 14, Recom endam os al lector una cuidadosa lectura de e.sos capítulos; las opciones reales ofrecen una potente herra mienta de valuación y estrategia en la evaluación de inversiones.
(16) Para una explicación adicional sobre este lema véase Dumiwuf (2003).
G uilleiuwío López D umrauf
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R esumen A está altura usted podría preguntarse: ¿Por qué utilizar la TIR» con todos ios iriconvenienies que tiene? Los inconvenientes de interpretación que pre• senta laTIR en algunos problemas prácticos, ha generado un marco de análi sis académ ico donde suele realizarse una serie de críticas para justificar la adopción del VAN como el método más apropiado. Si bien es cierto que el VAN no adolece de varios de los probiemas que lian sido descriptos en el caso de la TIU, ambos métodos pueden sercomplementariosynosustitutivos. LaTIR es utilizada con frecuencia en la práctica: los analistas de bonos la utilizan todo el tiempo, los empresarios aprecian una medida de la rentabilidad pe riódica y la TIR nos da una medida rápida de la rentabilidad de la inversión. Su popularidad en la práctica quizás se deba al hecho de que los analistas financieros parecen preferir hablar de tasas de rendimiento antes que de valoras absolutos. Pero por sobretodo, es una medida fácil de comunicar: es más fácil explicar a un pequeño empresario que el rendimiento de una inver—sión es de “tanto por ciento" antes que decirle que el VAN de ün proyecto es de “tantos pesos”. Por otra parte,, d ebe tenerse en cuenta que en el caso del VAN, su cálcu lo previo exige la determ inación del costo del capital, un proceso no exento de d ificultades que puede consum ir mucho tiempo y dinero. No se puede estim ar el VAN, a m enos que se conozca la tasa de descuento, pero aun así puede calcu larse la TIR. Si la TIR de un proyecto es muy alta, segu ram ente exced erá la tasa de corle, y entonces tienda a eludirse el cálcu lo del costo de capital, aceptando el proyecto. LaTIR es una medida que puede utilizarse en la medida que se conozcan bien sus peligros. M ucltos de sus inconvenientes se solucionaban cuando calculábam os la TIR iiicrem ental.
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Como respuesta a los inconvenientes de la TIR ha surgido una medida mejorada com o es la TIR modificada, que es una medida de rentabilidad periódica y que suele darnos la misma respuesta que el VAN excepto en el caso deí diferente tamaño inicial. Todos los métodos que intentan medir la rentabilidad periódica necesariamente dan como resultado un prome dio; laTIR representa una aproximación a la rentabilidad periódica de una inversión que nace con el proyecto. Cuando e! supuesto de reinversión de fondos se aleja considerablem ente de la realidad, la TIR modificada nos aproxima a una medida de rentabilidad periódica más razonable.
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Preguntas
1. Responda a las siguientes preguntas: á) Las TIR de los proyectos A y B son del 40 y 50%, respectivamente. Am bos proyectos tienen flujos convencionales y el mismo valor actual neto a úna tasa del 10%. ¿Cuál de los dos proyectos tiene el flujo de efectivo de m ayor valor absoluto?
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T écnicas de Evaiuácion de Proyectos de Inversjói-j
35)
b) El VAN del proyecío A es mayor que el VAN del proyecto fí cuando el costo de oportunidad es Igual a cero. Ambos proyectos tienen flujos conven cionales e igualan su valor actual neto cuando el costo de oportunidad es Igual aI10%. ¿Cuál de los dos proyectos tiene la TÍR más alta? c) Los proyectos A y B tienen exactamente el mismo desembolso imci¿ii, flujos convencionales y ofrecen la misma'HR, la cual supera el costo de opor tunidad del capital. Los flujos de fondos generados por el proyecto A son mayores que los del proyecto B, pero se producen más tarde. ¿Cuál de los dos proyectos tiene ej VAN mayor y por qué? d) En un proyecto con flujos convencionales o simples, ¿e! período de recupero descontado es siempre inferior al período de recupero (payback). Explique su respuesta. , e) SI un proyecto tiene flujos de efectivo convencionales y e! período de recupero descontado es inferior a la vida del proyecto, ¿qué podemos decir sobre su VAN? í fj Sí un proyecto tiene flujos de efectivo convencionales y un VAN po sitivo que podemos decir de; 1) el período de recupero tíe la inversión 2) el índice de rentabilidad 3) la TIR. 2. Explique por qué aquellos proyectos que tienen un flujo de efectivo mayor al final de sus vidas tiene un VAN más sensible a los cambios en la rasa de interés que el VAN de Jos proyectos cuyo flujo de efectivo es mayor al principio de sus vidas. 3. ¿Qué relación existe entre la TIR y la rentabilidad requerida a un bono o a una acción? ¿Qué relación existe entre la TIR y la tasa efectiva de un préstamo que calcula intereses sobre saldos? 4- Determine sí es verdadera o falsa la siguiente afirmación; "El período de recupero descontado garantiza que todos los proyectos que aceptem os nunca tendrán VAN negativo, aunque es posible que re chacemos un buen proyecto, cuyo VAN es positivo". 5. ¿En qué caso el VAN puede damos una respuesta confusa y cuándo puede fallar? 6. Señale cuales son las dos condiciones que deben cumplirse para que el método de la TIR da la misma respuesta que el VAN; a) ¿Cuándo el flujo de fondos cambia de signo en más de una oponunidad? T b) ¿Cuándo los flujos de fondos se reimaerten a la tasa de corte. i: U
- c) ¿Cuándo la función del VAN es decreciente respecto de la rasa de inte rés? "T- ■' '■ d) ¿Cuándo el VAN arroja una respuesta confusa al cambiar el costo de oportunidad? e) ¿Cuándo el proyecto se considera individualmente?
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G uillermo López D umr -\uf 7. ¿Puede haber un proyecto con una TIP negativa; 8. ¿En qué caso podría la TIR ser m ayor al ro sto del capital y sin em bargo e! proyecto puede ser m alo y d ebería rechazarse? Señ ale la resp u esta co rre c ta: a) Cuando el flujo de fondos cam b ia de signo en m ás de u n a oportunidad. b) Cuando la TÍR es m uy alta. c) Cuando la TIR es n eg a tiv a 9. l^ s siguientes se n te n cia s sobre las reglas del valor actu al neto (VAN) y la tasa interna de ren d im ien to (TIR) son verdaderas cuando co n sid era m os proyectos individuales, excep to... (indique la se n te n cia falsa): a) A ceptar el proyecto si el VAN > 0 y el flujo de fondos es con v en cion al. % - •
b) A ceptar el p royecto si la TÍR > co sto de oportnnldad del capital siem pre que el flujo de fondos se a co n v en cio n al o sim ple. 4
c) A ceptar el p royecto si la T IR > 0 siem p re que el flujo de fondos sea c o n v e n c io n a l. d) M arque d) si no h a m arcado ninguna de las a n lerio ies. 10, Ind iqu e la resp u esta falsa de las que ap arecen a co n tin u ació n s o b re los p roblem as a los que puede dar lugar la ap licación de la regla d irec ta del Valor A ctual N eto (VAN): a) S u p o n e im p lícitam en te qu e los flujos de c a ja van a ser reinvertidos al co sto de oportunidad del capital. b) En los p ro y ecto s de e n d e u d a m ie n to , siem p re es p referib le el VAN m ás alto, ya que au m en ta a m ed id a q u e la tasa de oportunidad tam bién a u m e n ta . c) Con p royectos que tien en vidas d iferentes, el VAN p u ed e dar a veces una resp u esta in co rre cta . di C uando hay p royectos m u tu a m en te exclu yentes, el criterio del VAN da siem p re la m ism a resp u esta q u e la TÍRM (TIR m od ificad a).
P R O B L E ^ i^ S
1. C alcad os Ip an em a está co n sid era n d o dos p lan es de exp ansión m u
tuamente excluyentes. El plan A requiere de 3 5 m illo n e s de p e s o s e involucra la m u d an za a u n a p la n ta m ay o r q u e p ro p o rcio n a rá un flujo de efectivo de 10 m illo n es d e p eso s p o r año d u ran te 2 0 a ñ o s. El p lan B re quiere de 10 m illones de p esos para un proyecto que dará un uso m ás in ten so a la m ano de o b ra y q u e tie n e una c o rrie n te esp era d a d e flu jo de efectivo de 3 m illones de p esos p o r añ o d u ran te 20 a ñ o s. La tasa requerid a de ren d im ien to de C alcados Ip an em a es del 10%.
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T écnicas de Evaluación de Proyectos de Ínvefjiún
353
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a) C alcule el VAN y la T IR de ca d a proyecto. R e s p u e s ta :T lR A ;2 0 ,3 0 % ;T IR B :2 9 ,8 4 % ;V A N A :5 0 4 4 ;V A N B :1 5 ,5 4 .
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b) G rafique los p erfiles del VAN de los p lan es A y B y a p ro x ím e la ta sa de Físh er. c) P ro p o rcio n e u n a ex p lica ció n b a sá n d o se en las ta sa s d e rein v ersíó n y en los co sto s de op ortu n id ad , en cu a n to a la razón p o r ia c u a l el m éto d o del VAN es m e jo r que el m éto d o de la T IR , cu a n d o el co sto d e o p o rtu n id a d es del 10% R e sp u e sta : v er a p é n d ic e de re sp u e sta s-
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2. El proyecto A tien e u n a inversión in icial de 7 .5 0 0 p e so s y se ‘áspera q u e p ro d u zca un flu jo de efectiv o de 2 .5 0 0 p e so s a n u a le s d u ra n te c in c o añ o s. El proyecto B tien e u n a inv ersión in icia l d e ‘3 5 .0 0 0 p e so s y se esp era qu e p rod u zca flu jos de efectiv o de 10.000 p eso s a n u a les d u ra n te c in c o a ñ o s. 4
a) C alcule el VAN, la T IR y el p eríod o de recu p ero de cad a p royecto, s u p o n ien d o u n a tasa requ erid a de re n d im ie n to de 10% . « 4
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b) Si el p resu p u esto alcan zara para realizar los dos p ro y e cto s (son p ro yectos in d ep en d ien tes, no exclu y en tes), ¿los dos p ro y ecto s d e b e ría n se r s e leccion ad os? Sí son p ro y ecto s m u tu a m e n te ex clu y en tes, ¿qu é p ro y ecto d e b e ría ser seleccio n ad o ?
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3. E xam in e los sig u ien tes flujos de efectiv o p ara dos in v e rsio n e s:
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¿C uáles es el plazo de recu p ero de las dos in v ersion es? Si p ara a c e p ta r u n a inversión se req u iere un p lazo m áxim o de recu p ero de dos año.*^. ¿Cuál
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de estas dos es aceptable? ¿Es ésta necesariamente ia mejor inversión? Explique su resp u esta. R e sp u e sta : v e r a p é n d ic e d e re s p u e s ta s .
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4, En la p reg u n ta an terio r, ¿cu ál de las dos in v ersion es es la m e jo r si se re q u ie re u n re n d im ie n to del 5% ? R e sp u e sta : v e r a p é n d ic e d e resp u estas*
G uíuerm o López D umráuf 5. U ñainversión bajo estudio tiene unplazo de recupero de la ínversióni de cinco años y un costo de $1 mílJdn. Si eí rendimiento requerido es del J5%* ícuái es el VAN en el peor de los casos? Explique su respuesta. fíespuesta: - 502.823,26 6. Un bosque puede ser taladlo al cabo de 1 ,4 ó 6 años; cada proyecto de tala lepresem a un proyecto m utuam ente excluyeme. Ordenados por el V'AN, elegiríamos el proyecto de 6 años, por laTlR el de 1 año y por laTJRM el de o años. Iguale las vidas en 12 años y determine cual proyecto debe ser elegido.
Pro yeciii
Año O Añal Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6 TIR VANal 10% TIRM
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11,90%
20.00%
R esp uesta: ver apéndice de respuestas.
7. El Gobierno de El Salvador (Centroamérica) se encuentra analizan do la concesión de un servicio de provisión de energía. A continuación se m uestran los costos de m antenim iento que tendrían las plantas provee doras. El desem bolso inicial del proyecto alcanza a $684.512 y sería total m e n te financiad o con capital propio. El rendimiento libre de riesgo es rf=5%, la prim a esperada ele mercado rm=7% y el beta para proyectos si milares es 1,1. En base a estos datos, el Gobierno entiende que un rendi m iento ju sto para este tipo de proyectos no puede superar el 12,7%. La tasa del im puesto a las ganancias es del 30%. Usted es contratado como consultor del Gobierno y debe calcular eJ ingresa anual para que la TIR del accionista no supere el 12,7% anual, completando los datos que faltan en el cuadro del flujo de efectivo. Para ello deberá utilizar la función Solver de Excel'S), y una vez definida la fila de ingresos, deberá definir la tarifa de luz lenieiído en cu enta que en la ciudad existen unas 200.000 viviendas. Asu ma que no existen valores de recupero y el proyecto tiene una vida útil de cinco años.
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Año 1
Ingresos Costos de , mantenSmiento Depredación Castos totales , . (inane - deprec) Resultado antes de impuestos
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136-902.4 136302.4 136.90¿4 136302,4 136302.4 225.681.4 225.881.4 225.881,4 225381,4 225381.4 l ,■
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Respuesta: ver apéndice de respuestas
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8. Elegir cu al de las siguientes alternativas de inversión es m ás rentable, teniendo en cuenta que existen proyectos mutuamente excluyentes y usted cuenta con $8.000 para invertir. UíiJíce los criterios dej VAN y el índice de Rentabilidad o Relación Beneficio/Cosio. Ei costo de oportunidad es del 10%-
Período Alternativa A Alternativa B Alternativa ClAltemativa D 0
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2.Ü00
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3
3.000
4
6.000
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3.000
2.000
1.800
6.000
2.500
2.000
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^. 2.500 ^
...
Respuesta: ver apéndice de respuestas. 9. Los proyectos A y B tienen el mismo VAN al 10%, igual índice de renta bilidad y TIRM pero diferente TíR, p a y b a c k y d is co iin íe d p a y b a ck . Explique a qué se deben estos resultados y cuál dé los dos proyectos elegiría, dado que usted cuenta con sólo $2.000 para invertir.
Pro yecto Año 0 Año 1 Año 2
TIR
VAN TIRM al 10%
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A . -2.000 1.000 2.000 28,1% 561,98 24,5% 1,28 B
-2.01X1 L909
1.000 33,0% 561,99 24,5% 1.28
Payback
Discounlei.[ Payback
1,50
1,6o
l.tX)
1,32
Respuesta; ver apéndice de respuestas.
'Ai 'Ji'-T-, •fe?■
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10. Bio Epo es una com pañía farmacéutica que está considerando una ampliación de sus equipos e instalaciones para ios próximos años. Existen dos opciones: El equipo A cuesta $15.000 y genera un cash flow de $ 8.0ÜO durante 10 años. El equipo B tiene una vida de 11 años, cuesta $20.000 y genera un cash flow de $ 9.000 por año. El costo de oportunidad del capiiai es del 15%. ¿Cuál opción debería ser aceptada? Siga el procedimiento que con siste en calcular Ja anualidad equivalente para el VAN de cada proyecto y luego asuma reemplazos a perpetuidad. Respuesta: ei pro^'écto A.
G u iu f r m ú Loptz DuMpj\uf
35o
11. U citmpaii/a HocJia ha reaJIzado la evaJuacídn dn loa proyectos A, ñ y Ccon el VAN, el fiullce de rentabilidad y la 'n n . Los resultados son contradic torios y Rocha cuenta con $175 para Invertir. Usted debe detei minar cuál es el mejor proyecto (son Indivisibles) y para ello se le pide que realice el análisis in c rem en ia l y a d e m á s c a lc u le ¡a TIRM íncrem enlal asum iendo que la reínversidn de fondos se producirá a la lasa de oportunidad del 10%. 1 Prr»ycctt> A ñ o 0
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Respuesta: ver njiéudice de respuestas.* REFEnENOAS BIBUOGnÁFICAS SoLOMOfJ, E. (1956) ‘TfieArííhmetfcofCapiíalHiuigeíi/igDecLsio/is" en /ou n u i/ o/BusínesSfVoí 29. N*2. Abril 1956, p. 229-239. TacHnoEw, D.; RoBroiEK. A: MomALPANO, M (19651, *'An Analysis of Gritería for Investmenl and Fínauclng Decisions under Certaint)'”, ManageinentScience 12,151-179. TEiamoBv, D.; Robiciíek, A; MomALBANO, M (1965), "An Analysis ofCriteria for ínvestrnem and Financing Decisions underCertainty" Management Science 12, 151-179. “M athem atical Analysis of Rates of Return under Ceríainty” Management Science 11,395-403. Archct S.H.; D’amdrosio Cli. A. (1970), *Tlie Iheory o f business finance", M acm illan.’i’o ronlo. Es un libro que reúne los níejores artículos sobre finan zas hasta la década del 70, incluyendo algunos sobre las técnicas de evalua ción de proyectos de inversión.
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F ernandez, N.H. (2003), "Funciones Financieras de ExceP. capítulo 4, pri mera edición. Errepar. Buenos Aires. Prm
Augusl 1998.369-305. Páginas web recom endadas; Una nota interesante sobre la Tasa Interna de Retorno Modificada y su comparación con otros métodos puede encontrarse enwwvzfma.org/finprac/ fpef\v9917.pdf
ir '•'Sí: ■M
'\ i a \ \ C K \ D i E v a LUAQO í I Ut Pp.OVtCTü? DE I n v e i u k j í i
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Una p á g in a con m u c h o n ia te r ía ly r fu e d e fie n d e el criterio d e ta TíTi es:
(itip://rncmberG,trípQd.com/-Ray_Marfín/HfvIonuiitinl [Jn p a p e r s o b r e la s ta s a s d e r e t o m o m iU típles es:
H azen , G. (2002) "A new Perspective on M últiple In tern al R ales o í
Return". hUp://fislier.osu.edu/-butler_267/DAPaper3ÍWP03001ll.pdf.
Capítulo I I
I n tr -ODUc c ió n a lA V aluación y C álculo DE Rjen d im ien to de B on os “En tam o las leyes de la m atem ática s e refieren a la realidad, no son ciertas; en tanto son cier tas, no se refieren a l a fea lid a d ”
Alben Einstein (1.879-1955). Físico alemán
I^f^RODUCCI0N Cuando los Gobiernos o las empresas precisan in\porianres cantid a des de dinero para la financiación de sus erogaciones (ya sea obras de in fraestructura, gasto público en general o proyectos de inversión privados, respectivam ente) que requieren grandes desem bolsos, acudir a un solo prestam ista puede tornar difícil reunir una gran suma de dinero. Por tal motivo, suelen recurrir al mercado de capitales y dividen las operaciones de crédito en cuotas parte representadas por títulos que reciben el nom bre de bonos u obligaciones, que son adquiridos por los ahorristas o inversores. Los bonos u obligaciones tienen algunas características distin tivas respecto de los préstamos tradicionales que vale la pena mencionar. • com únm ente, tienen plaiios largos de vencimiento; • las condiciones del préstamo las impone el deudor: se obliga á pa gar periódicamente un interés a cierta tasa enunciada en el título y a res catarlo en la fecha designada; • existe una pluralidad de acreedores que el deudor no indiindualiza, pues los títulos se negocian periódicamente en los mercados de caplíales; • cada obligación tiene un valor nominal y pueden ser emitidas a la par, bajo la par o sobre la par, según el precio que se obtenga en la coloca ción. Su valor de colocación se llama "precio de emisión"; • existe ujia tasa de interés nom inal pactada en las condiciones del préstamo y una tasa de rendim iento implícita que resulta del precio dd título. Este capítulo trata sobre la valuación y el cálculo del rendimiento de los bonos u obligaciones en general, ya sean los bonos gubernamentales o . ’ ' "L .
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O u illíR M O LCVPfcZ DUMR-^U^
públicos com o las denominadas "obligaciones negociables ” qne son bonos VemUídos por empresas. Los principios para la confección del ílujo de fondos, la valuación y el cálculo del rendimiento son exactamente los mismos, de inoclo que la distinción será efectuada al tratar los ejemplos que ilustran cada sección. Los bonos u obligaciones, como hemos dicho, permiten al deudor fijar una serie de condiciones en cuanto aJ pago de los intereses, la devolu ción del capital, las fechas en que éstos toman lugar y otras condiciones que deben figurar en el prospecto de emisión (1). Este suele tener una gran canti dad de detalles con cláusulas respecto del pago dé Intereses y capital, garanuás y restricciones que muchas veces fijan límites al endeudamiento o al pago de dividendos, etcétera. Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz de: . vVfi^conocer las caractérísticas principales de los bonos y construir su flujo de caja. _ „ ^ • Valüarun bono y calcular su rendimiento.
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• Comprender los riesgos asociados a la inversión en bonos.
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l i . l . CONCEFrOS FUNUAMEr^lTALES
Cuando se compra un bono se adquiere el derecho a cobrar una corriente (|p inlerese.s y capital, a lo largo de un período de tiempo. Los bonos suelen e.star representados por una lámina que tiene adheridos cupones (modali dad cartular) para los pagos de interés y capital, aunque en los últimos años se han utilizado certificados de propiedad representativos de dichos títulos (modalidad escritura!). Podemos establecer una clasificación general para los bonos, a los efecto.s de dar un marco al tratamiento de los ternas. Los lHmo.sen general, pueden tener algunas de las siguientes características, por mencionar solo algunas: • Con tasa de interés fija p flotaríte.
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• Contasa creciente ("stepup”')/ - Con capitalización de intereses.; » Con indexacion. ,
Bonos sin intereses (cupón cero). • Con amortización periódica o en un solo pago al vencimiento. Con o sin período de gracia.
" (1) Ai prospecto de emisión selo denomina ’^bond iníieniuit'’.
V a l u a c i ó ny C á l c u l o d eíIe n d im ie n t o d eB o n o s
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• Con opciones* • Con o Sin garantía (bonos del tesoro, activos reales)* Acontinuación describiremos las categorías principaJes componenies de un bono, que luego necesitaremos para diseñar su flujo de caja. Pagos de capital o principal Los pagos de capital representan la am ortización de ia deuda piincípal y suelen realizarse básicam ente bajo dos modalidades: a) Por medio de un pago único al vencim iento de ia obligación a este tipo de bono se lo llama bu//cr (2). b) Por m edio de pagos periódicos que pueden coincidir o no con el pago de los intereses. En el prim er caso tenem os algunos bonos públicos emitidos en dóla res com o los bonos Globales (Par, D íscount. Cuasi Par) Y también dgunas obligaciones negociables em itidas por em presas argentinas. Algunos bo nos bullet fueron emitidos en pesos, com o los Bonte (Bonos delTesoro) y el Bocon Pro 9 (Bonos de Consolidación de deuda con Proveedores del Estado), En el caso de los bono.s con am ortizaciones periódicas de capital se en cu ad ran los Boden (B o n o s O ptativos del Estado N acional), que amortizan el capital en 8 años, con dos años de gracia para el capPal.
120
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100
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Global 2012
B Amortización Hloleré?
80 60 40 20
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0 ^ 9 S 9 9 5 e? ó o 9 9 S f ? 5 9
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1 5 1 1 5 1 1 S I I 3 1 1 8 • Í S I .? S I 4 5 i Figura l l.l Flujo de fondos Global 2012
Í21 Este tipo de bono cotí un solo pago de capital al vencimiento, tiene un flujo de efectivo exactamente Igual a lo que se conoce en cálailo Onanciero como "sistema arneríca*' no de amortización”
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B oden2012
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H í I M Figura 1i.2 Flujo de fondos Boden 2P12
VaJor resid u al
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R ep resenta la p o rció n de) título qüe aún no amortizó (es lo que en los p réstan ios d en o m in am o s el saldo de ia deuda). El valor residual se reduce en cada período de am ortización , en la porción que establezcan las condi c io n e s de e m is ió n . P or e je m p lo , los B od en del G o b iern o A rgentino am o rtiz a n un 12,5% p o r a ñ o a partir del tercer año. El cronogram a de am o rtización d e los otrora conocid os Bonex era similar. El valor residual e s igual e n to n ce s al valor nom in al m enos el total am ortizado hasta ese m o m e n to : VR (t) ^ V alor n o m in a l - T otal a m o r tiz a d o a l p e r ío d o t En €:l caso d e los Bóden, el valor residual disminuye en una suma fija a partir del te rce r año com o se m uestra en la tabla 11.1. Año
A tn o r tíz a d d n
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Tabla n .1 Programa de amortizacióndelos Boden
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V a U M C J Ó N y G á ÍC J Í-O D£ K E N D IM IE M T O D i tJONOS
Por supuesto, los intereses se calculan sobre el valor resid u a i, que st* reduce con cad a pago de capitalPagos de in terés Los pagos de interés g eneralm ente se realizan a intervalos p eríd d icos de tiem p o (en fo rm a se m e stra l, trim estral, m ensual, e tcétera ) y su elen abonarse b ajo dos m odalidades: a) Tasa fija: se ab ona una tasa fija, calculada sobre el valor n om inal deí bono (o cu ando el b ono com ien za a devolver capital, sobre el v alor resi dual). En general, todos los bonos PAR tienen tasa fija y tam bién el Home 02 y el Borne 27. b ) Tasa flotan te: se esp ecifica un a ta sa de referen cia (por ejem p lo, la tasa LIBOR (3) es muy utilizada para este propósito) y en cada período se devengan los intereses con form e ai valor que tien e d icha tasa al com ienzo de éste. Algunos ejem p los son los b o n o s B oden, B ocón previsionai, DiscoLint y FRB), ; En el prim er caso, el inversor o b tien e un flujo de baja previsible y se b en eficia o perju d ica según las tasas de interés bajen o suban; lo contrarío de lo que ocurre con el emisor, que en el prim er caso seguram ente querrá em itir nueva deuda a una tasa m ás b a ja y en el segundo se felicitará por econ om izar in tereses. Los bonos G lobales del G obierno A rgentino — que fueron declarados en default en d iciem bre de 2001— son ejem plos de b o nos con tasa fija en dólares que fueron em itidos originalm ente co n tasas entre el 7 y el 12 por cíen lo anual. Tam bién los B onte y algunos B ocon con tasas del 2% anual. En cu anto a la tasa flotante, ios Intereses de cada período se devengan de acuerdo a una lasa que se d eterm ina al com ienzo de éste. En general, para los bonos argentinos se suele calcular la renta con la tasa UBOR del “período en curso" que es la tasa prom edio que rige en el mercado ínterbancario de Londres la sem ana an terior al com ienzo del período del c u pón. Para el próxim o período de renta seguram ente la tasa habrá cam b ia do y habrá que volver a calcular el cupón de interés. Este tipo de bonos de alguna m anera ajusta sus flujos de caja a tasas más realistas (puesto que la rasa de referencia suele ajustarse reflejando lo que ocurre en el mercaddi' Ejemplos de este tipo son los Boden que pagan una tasa LIBOR y también algunas obligaciones negociables. Tanto para los bonos de tasa fija com o para los de tasa flotante existen variantes, por ejem plo: a) Tasa fija crecien te: son los d en om inad os bonos con cláusula “siep Lip" para ios intereses; estos se calculan con lasas fi|as pero que crecen por tram os. Es el caso dé los bonos par y discount y cuasi par del canje de deu da argentino realizado en 200.“),
(3) UBORes la sigla que significa"Londori InierbankingOÍFeredRaie’"yque represeiítji (á tasa inierbancaria eii el nierciidu de Londres,
G üliU R^^o L ó pez D
umrauf
b) Tasa flotante + puntos porcentuales: en general contienen una tasa Uboi a la que se agrega algunas puntos porcentusUes fijos. Un ejem plo es el bono FilB del Brady Plan» quefue emitido con una lasa Libor de 180 días +13/16. c) Con capitaUzación: capitalizan intereses por un período antes de co menzar a pagar el capital. El ejemplo son los bonos discount y cuasi par del canje de deuda de 2005. Como para el cálculo dél cupón de interés suele haber algunas conven ciones en cuanto a la forma de contar los días, trataremos a continuación las diferentes variantes. ed íc u lo d e lo i cu p on es d e interés con tasa flo ta n te En el caso de los bonos a tasa fija, el valor del cupón está detenninado en lás condiciones de emisión y su cálculo es muy simple, Pero en los casos de (os bonos que tienen una lasa flotante, como es el caso de los Boden, el FHB (4) o en su inonienío los Bonex, donde la tasa es variable, aparece la necesidad de proyectar el valor de los cupones para los períodos futuros, cuya tasa no se conoce en el momento de la valuación. Eli general los prospectos de emisión de estos bonos determinan que los cupones de interés deben calcularse con la tasa de interés corriente. Por ejemplo, en el caso de los Boden, el interés del primer pen'odo a partir del m omento de la compra, se calcula con la tasa LIBOR que "será determina da a las 11.00 hs, en la ciudad de Londres del Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda del Norte del segundo día liábil inmediatamente anterior al Ini d o de cada período de interés y ajustada a un año calendario de 365 o 366 días según corresponda". En ese caso, si el cupón de interés se pagaba por el período comprendido entre un 15 de junio y un 15 de diciembre, se tom a la tasa LIBOR que se fija de acuerdo a las cláusulas de emisión. Pero como pára los demás períodos la tasa de interés no se conoce a prior!, se hace necesario proyectar alguna lasa de interés para los períodos futuros. El procedimiento que suele utilizarse en la práctica es tomar para los perío dos futuros la lasa LIBOR corriente (actual) que es la tasa que rige en el mpinenlo en que se valúa el bono y proyectar con ella los montos de los ciipoites. En la práctica, este procedimiento permite un fácil recálculo de la 1 IR cmr solo cambiar el precio del bono y alterar la tasa de interés proyec tada a medida que esta se modifica. Pero supone que la tasa proyectada se MKUVtendrá constante, algo que no ocurre en la realidad (5), (r«rizfla'ón d e Í05 bon os en la B olsa d e Cojnercio d e Buenos Aires y en e l MAE El precio de un bono en la Bolsa de Comercio de Buenos Aires (BCBA) se expresa corno "cada 100 de valor residuar como si el bono no hubiera
('JU a tas? del FRB era una U B O R de 180 días ♦ 13/16. (5) lá m b ié n suelen realizarse proyecciones con tasas futuras obtenidas a p a rtir de la curva de ren dim ie nto s y otras variantes, a fin de paliar esa lim ita c ió n .
V a l u a c ió n
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C alculo
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R e n d im ie n t o
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Bo n o s
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pagado amortizaciones de capitai. Entonces, para obtener e! precio due real mente debemos erogar para adquirirlo, debemos multiplicar dicha cotiza ción por su valor residual expresado en porcentaje (Cotización BCBA 'í VK %). Por lo tanto en el cálculo de cualquier rendimiento u oda categoría técnica (por ejemplo laTIR o el rendimiento corriente, o la paridad del bono, que se analizan más adelante en otra sección) es necesario multiplicar la cotización por el valor residual y en el caso del valor técnico, sumarle los inleresos cor ri dos hasta el momento de la transacción. E jem p lo: B o á en 2007 Al 3 1 /03/04 el valor residual es 75% PrecioBCBA r$138c/100VR Monto efectivo de la inversión; S103,5 c/lOüVN (138 X 75%) En el caso del Mercado Abierto Electrónico (MAE) no es necesnrlü ha cer la conversión ai valor residual ya que se expresan cada 100 de valor nominal y no cada 100 de valor residual com o en la BCBA. Detalles en la construcción del flujo de fondos del bono La construcción del flujo de fondos del bono es el paso anterior a su valuación o "prícing". En el prospecto de em isión deben especificjirse las características de duración de cada uno de Jos períodos de am ortbacítm y renta, esto es, debe especificarse la form a de contar los días. Este tema merece especial atención, puesto que los mercados exhiben discrenancias cuando se trata de determ inar el número de días que rige para cada año. y para cada período de intereses. Por lo tanto, debe diseñarse cuidadosa mente el flujo de fondos teniendo en cuenta las convenciones adoptadas, puesto que de otra forma, seguirá un precio diferente para el bono. Las convenciones generalmente se refieren a un "actual" (real) que ali'de que debe tomarse la cantidad de días reales para el período de renta, teniendo esto particular importancia para la determ inación de los intereses corri dos. Las principales convenciones para determinar la duración de Jos pe ríodos y del año en que es definido el bono las podemo.s agrupar de la siguiente forma; a ) A ctual/A ctual
^ .
Cuenta los días exactos para cada período y en el denominador toma los días exactos que tiene cada año donde aparece un cupón, distinguien do si es un año bisiesto o un año de 365 días. Por ejemplo, el Boden 2012 cuenta sem estres entre el 3 de agosto y el 3 de febrero, a lo largo de tirr período de 10 años.
Ejemplo: El segundo cupón de interés de los bonos Boden 2012 se calcula c on una tasa LIBOR del 1,86% anual, pagando intereses semestrales. En ese caso, el cupón de Intereses sem estrales al 3 de febrero de 2003, sería:
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G u i u f m o Ló pez D
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= 0,9376 365 ^
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b ) A a[u al/3 6 5 E sta con v en ció n se adopta cuando el bono se definid sobre la base de un a ñ o d e 3 6 5 días, contand o p ara los períodos el nümero exacto de días entre fe ch a s calen d arías consecutivas. “Actual" significa que se cuentan los días e x a cto s q u e tien e el período de renta. Algunas obligaciones negociables utili zan esta con v ención y tam bién los bonos externos en el pasado. c) A ciiialB G O Análoga a la anterior, sólo que el año se define sobre una base de 360 días. E ntre los ejem plos de uso tenem os a los treasury bilis y algunas obli g a cio n e s n egociables. el) s o m o C u en ta los m eses com o si todos tuvieran 30 días con un año de 360 días. Por ejem plo, el Bonfe 02 (Bonos del tesoro) el Gobierno fijó una tasa del 6,125% anua! y estableció la convención 30/360 para el cóm puto de los d ías del período de capitalización. Para los casos donde hay períodos in term ed io s, se cu en ta la cantidad de días reales hasta com pletar un mes de 30 días. Por ejem plo, para contar los días transcurridos entre el 6/11/01 y el 31/12/02, se cu entan los 24 días de noviembre, a diciembre y a enero se les ad ju dican 30 días a cada uno y se cuentan los 3 días reales de febrero, com p ieian d o 87 días. N oviem bre
24
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30
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3 87
A cerca líe la fo rm a de con tar los días cuando el servido cae en un día no la b o r a b le Cuando el pago del cupón cae en un día laborable en e! país donde él b o n o tien e legislación (sea Argentina, USA, Reino Unido u otro país) en general se aplican las siguientes reglás: Tasa ñ ja : el pago se realiza el día hábil siguiente, no devengando inte re ses en eso s días. ^ T asa v a riab le ; el pago se realiza el día hábil siguiente, devengando in te re se s. El períod o siguiente se cuenta desde ese día.
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V a u /a c io n Y C a l c u io
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R e ñ o im ie n t o Df B o n o s
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D iscou ní, FR B : se pagan el día hábil inm ediato anterior, devengando intereses hasta el día del pago.
Un sitio interesante para consultar información de las cláusulas de emisión es v/ww.elaccionísta.com.
Intereses corridos Son los intereses que se han devengado durante el período actual de renta. AI Inicio del período de renta, éstos son iguales a cero, cuando el tiem po com ienza a transcurrir, Jos intereses devengadas pueden calcular se con la siguiente fórmula: Intereses c á n id o s » VR x Tasa a n u a l x
d ía s tra n s c u rrid o s d e l p e río d o de re ñ ía d ía s en e l a ñ o
E jem plo: cálcu lo del cu p ón de interés y los intereses corridos en el Bod en 2013 ' ' Convención de días: Actual / Actual Valor Residual; U$S 100 Tasa de interés período en curso: 3,000% (período^30/10/05-30704/00) Renta sem estral Tasa interés x VR x días del período
- 0.03x100x103
Días del año Intereses corridos (Hoy 9/11/05). Tasa de interés =
x
\/alor residual
0.03 X 100 x 182 365
=
1,50411
365
_
x
Días transcurridos = 1 0 días transcurridos =
1,2246
Preguntas de auto-evaluación: 1. ¿Qué significa la convención actual/actual?
-
2. ¿Cómo se calculan los intereses de los bonos con lasa Roíanle? 3. ¿Cómo se calculan los intereses corridos?
1 1 .2 , VALUACtÓN V CAiCULO DEL RÉNDIMlENTO DE U IN\^RSI0N EN BONOS Una vez que hem os calculado el flujo de caja del bono conform é a las co n v en cio n es d escrip tas en la secció n anterior, p od em os proced er a
36£.
G u iller m o López D umuauf
valuarlo. ¿Qué es valuárun bono? ¿Acaso el bono no tiene un precio de mer cado, que surge de la oferta y la demanda? Cuando liabiamos de "valuar’* un bono, nos referimos a calcular un valor "intrínseco" es decir, el valor que el bono debería tener cuando descontamos su flujo de fondos con una tasa de interés que represente el costo de oportunidad de una alternativa de riesgo comparabie. En tal sentido, el p ricin g á e un bono es un cálculo para determi nar un \^or "normativo". ValuacitSn de un bono con pago del principal al final Desde el punto de vista del inversor, cuando se compra un bono se adquiere el derecho a cobrar una corriente de efectivo compuesta por in tereses y capital, a lo largo de un período de tiempo. , su de en
Una vez diseñado el flujo de caja del bono, procedemos a determinar precio (Pj. Este está representado por el véilor presente de la corriente cupones de interés (C) y amortización del principal o capital fPr), que el caso de un bono del tipo "bullet” sería igual a la siguiente expresión: C
C
C+Pr
(I + ltí/)
ií + k d y
(U k d y
' ’
Ejemplo: El 1/12/2001 Santa Emilia S.A, emitió una obligación por 10 millones Cf*n un cupón del 10% anuaJ y vencimiento del capital al final del quinto año. En ese momento, los inversores de deuda reclamaban un rendimient(’ dei 11% para inversiones de riesgo similar. Utilizando el modelo de valuación del bono, el precio de un bono con VN = 100, sería;
(U l)
10
10
10
no
(1.11)'
(U l)'
( lU ) *
(U l)'
= 96,3
Corno el bono paga 5 cupones fijos de interés y ef capital al final, tam bién podemos utilizar la fórmula de ia renta temporaria inmediata vísta en el capítulo anterior (6) para valuar la corriente de intereses y luego su mar el valor actual del principal: (U l)^ -l
100
( U i y x O .l i
(U l)^
= 96,3
(6) E nla práctica, esta fórníuía nunca puede utilizarse (ísbido a la falta de equidistancia perfecta entre los pagos; Por ello es que se recurre b funciones adaptadas en planillas de cálculo. .V
V a l u a c ió n
y
C á lcu lo
de
R e n d im ie n t o
de
Bo n o s
369
De la ecuación anterior observamos que la corriente de cupones que nos promete el bono, descontada con el 11% tiene un valor presente de $96,3, que representa el precio que debería tener el bono en un mercado efíciente. Pero sí el precio del bono se determina por la acción de la oferta y la demanda, ¿para qué precisamos de un modelo para valuar lo? Sucede que el 11% repre senta la tasa implícita o de arbitraje que iguala la corriente de pagos futuros del bono con su precio actual de mercado; en tal sentido, el 11 % es el rendi miento implícito en el precio del $96,3. ¿Significa esto que los inversores no usan un modelo para determinar el precio del bono? Por supuesto que sí lo usan, y de hecho, el precio del bono está reflejando un conjunto de decisio nes de inversores racionales, en un mercado eficiente. Si el 11% fuera un rendimiento demasiado alto para inversiones con esa clase de riesgo, inme diatamente operaría el arbitraje empujando el precio hacía arriba, ío cual deprimiría su rendimiento. , ¿ P orqu é la tasa d e rendim ien to esp erad a d ifiere d e la tasa d el cupón ? Cuando las obligaciones son emitidas, generalmente las tasas de interés de los cupones se fijan en los niveles de las tasas exigidas por el mercado. Santa Emilia intentó colocar su obligación con uná tasa de interés un poco más baja (10 %) pero el mercado le respondió comprando su obligación bajo la par practicando un descuento (el precio de suscripción representó un 96,3% del valor nominal) y de esa manera los inversores obtuvieron el 11 %
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§ M
Medidas de rendimientos de la inversión en bonos Los bonos ofrecen dos tipos de ganancias en "metálico": los intereses {coupon yield) y las ganancias de capital [cap ital gain yield). Estas ultimas dependen de que el bono puede venderse por un precio más alto al que se pagó en el momento de adquisición Por supuesto, los precios de los bonos también pueden bajar, originando una pérdida de capital. Como el interés generalmente es una suma fija, representa una espe cie de "prima de seguro” (7) para el inversor que lo cubre hasta esa suma por una posible baja en el precio. Digamos por ejemplo, que el inversor en obligaciones de Santa Emilia estaría cubierto de una baja de precio hasta la suma de $10 que es el importe del cupón. Existen también otras medidas de rendimiento relativo que son am pliamente utilizadas por los inversores y por los operadores del mercado, que describimos a continuación.
(7) Keynes, en su celebérrima obra "Teoría gerrera) de la ocupación, el interés y el dlnero“ decía que *‘el cupón de interés era com o una especie de p rim a de seguro que compensa el riesgo de pérdida del capital, en una cantida d igual a la difere ncia entre los cuadrados de la tasa vieja y la nueva" Véase "The General T heory o f E m ploym ent, In iere st and M oney”, John MAYNAfloKEVNES. Nueva York (ps. 196-202).
él
.370
G u u l e o m o L ó pez D
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GoijcepioderendinijentoaJvencimiénto(KwWíoMrtíi/r/0') U na de tas m edidas m ás populares del rendim iento de una inversión en b o n o s es la fam osa tasa interna de retorno (TIR) que en el caso de los bonos q u e a m o rtiz a n el principal al v encim iento es conocid a com o "yield lo m atu rity". Esta representa la lasa que ganaría el inversorsi m antiene el bono h a sta el v en cim ien to reinvirtlendo los cupones a la m isma tasa del 11% y el b o n o n o entra en default (cesación de pagos) (8). Note que está definición no tien e en cu en ta las oportunidades de reinversión con las que contará el Inversor a lo largo de la vida del bono (9). Dijim os que el rendim iento del 1 1 % de las obligaciones de Santa Emilia representaban una tasa "im plícita" ya que ésta es la tasa que iguala el precio del bono con su flujo de ca ja futuro, co m o se m uestra a continu ación:
963-
10
10
(i + Av/)
(I + Ay/)=
10 (l+ k d y
10 (l+ k d y
lio i\ + k d y
\
11%
C o m o vim os an tes, el 11 % es la tasa de interés que iguala el valor p re se n té de la co rrie n te de efectivo que proporciona el bono con su precio hoy. En realidad, k d es la fam osa Tasa in tern a de Retorno cuyo cálculo d e scrib im o s con cierto detalle en el capítulo anterior. Las calculadoras fin a n cie ra s y tam b ién los program as de com putadora ya traen incorpora da tina fu nción para calcu lar la tasa interna de retorno o rendim iento al vencim iiínlo. C aín a c ió n a la par, b a jo la p a r y sob re In p a r Cuando él b o n o cotiza con un precio que es igual a su valor residual, se d ice que cotiza "a la par" y el rendim iemo (TIR) es exactam ente igual a la tasa de t ontrato del cupón j(m ). Como el cupón es una renta fija, cuando el p recio del b on o se en cu en lra por debajo del valor residual, el rendi m ien to se ubica por encim a de la tasa del cupón* y se dice que'cotíza bajo la par. Lo inverso ocurre cuando el bono cotiza por encima del valor resi dual. Estas relaciones se muestran en la tabla 11.2. Cabe acotar que en los b o n o s de tipo bullet con un solo pago al final, el valor residual siempre es igual ai valor nom inal:
(U) P ara m a n te n e r e l re n d im ie m o los cupones deberían reinvertirse en o u o b o n o igual, q u e d e b e ría ser a d q u irid o n e ce sa riam en te a una p a rid a d que sostenga la TIR calculada ex ante.
f£l) D e b e m o s ta m b ié n aclarar que la TIR n o c su n a m e d id a representativa del re n d im ie n to c u a n d o e l b o n o sé v e n d e antes del v e n c im ie n to .
V a l u a c ió n Y C a l c u l o
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R í n d i á -h e n t o
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Bo n o í
A la par
Bajo la por
Sobre la par
n n = | (m)
'riR > j (m)
TÍR < j (m)
Tabla 11.2 Relación entre precio ytasa de interés
Ejem plo: suponga un bono em itido a perpetuidad con un cupón dei 10%. La tabla 11.3 m uestra ios precios del bono cuando las tasas de imerés de m ercado alcanzan valores del 9,10 y 11%. '
Período
Precio
Cupdn
Tasa de interés de mercado
Rendimiento
100
10
10%
10%
so
10
U%
Il'á
n u
10
9%
Q%
T abla 11.3 R elación en tre p recio y lasa de in terés
Cuando las tasas de interés que pagan los activos de riesgo similai son del 10%. el precio del bono es igual a su valor nominal, pues comprando un bono que paga un cupón fijo de $10, obtenem os el 10%. Aliora si de repente suben las tasas de interés en los bancos, no tendría mucho semido pagar $100 por un bono para obtener un 10% de rendimiento, cuando podem os ob ten er el 11% en activos de riesgo similar. Es por eso que la oferta de bonos aum enta, su precio disminuye y es en e s e momento cuan do el bono \melve a conipeiir en rendim iento con los otros activos, pues Jos $10 fijos ctei cupdn aJiora representan un 11% de rendiniiemo cuando el bono cotiza a $90. El proceso inverso ocurre cuando las Lasas de imei ej; disminuyen a! 9% y el rendaniento de los bonos se hace airaclivo, aiiinéntando su dem anda y por lo tanto su preda.
nendim iem o corriente Ít;iírrení3'íe//f) Otra m edida de rentabilidad es el rend im iento corriente o "curreuí y ieU r que relaciona el cupón de interés dei período corriente con el pie* c ío del bono (10): .... ^ CK = - ^ ^
=^
= 1 0 .3 8 %
5 r(10) R ecueitiequeSi to m a la cotización BCBAdebe m u ltiplica rse d id io precio p o rs u v íilo r; resid ual en pórceiU aje. ' ^ /
G uillernío L ópez D umil ^uf
m
Note que el rendiiTiienló corriente solamente considera las ganancias por intereses, pues relaciona el cupón de interés periódico con el precio del bono en un momento dado: en cambió la TIR usa lodos ios cupones del bono para el cálculo de rentabilidad, incluyendo también las ganancias de capital y la rcinversión de los cupones a la misma TIR. Esto hace que la TIR sea mayor que el rendimiento corriente cuando el título cotice bajo la par y menor en el caso inverso como se observa en la tabla 11.4. Obviamente, cuando el precio del bono cambia, también la variación será mayor en la TIR que en el rendimiento corriente. Rajo la par
A la par
Sobre la por
T in = Rendim iento corriente n n > Rendirrúento corriente n n < R eadlm iem o corriente
1
Tabla 1 ,4 Reladdn entre la TIR y el rendim ienta co n ie m e
Si el bono se compra bajo la par, las ganancias de capital y la reinversión de los cupones a la TIR amplían la diferencia entre la TIR y el currentyield. Por el contrario, si el bono se compra sobre ia par, la pérdida de capital y la teinversión a la TIR amplían la diferencia en favor del curmnt yield. Si se cqmpra a la par, el cupón rinde exactamente laTIR y ésta es igual al current yield. El rendimiento corriente es apenas un coeficiente de comparación, que suele utilizarse para compararlo con la tasa de mercado y con el coupon yield de otro bono. El current yield proporciona una medida del rendimien to mirada desde el porcentaje que representa el cupón con respecto al pre cio, pero es una medida incompleta de )a rentabilidad de un bono, ya que no tiene en cuenta: • la reinversión de los cupones y • las ganancias o pérdidas de capital generadas por los cambios en el pieclo del bono. (íanaiicías de capital [ca p ita l gain yield) prendim iento total esperado
Existen dos tipos de rendimíenlo asociados a la inversión en bonos: las ganancias de interés y las ganancias (o pérdidas) de capital. Este rendi miento total podemos expresarlo en “metálico” o sea en valores absolu tos, corno la suma de ios Intereses del cupón más la ganancia posible de capital, o en términos relativos (porcentaje). Esta última se conoce como "eapitál gain yield" y la describimos con un ejemplo. Suponga que los inversores en los bonos de Santa Emilia siguen manteniendo la tasa de rendimiento exigida en el 11% luego de un año. Aliora, para determinar el piedo de las obligaciones de Santa Emilia ai l í 12/2002 tenemos un cupón .ménos, y volvemos a aplicar la fórmula básica;
V a l u a c ió n
96.89=^
10
y
C álcu lo
10
10
de
P^ n d im ie n t o
de
Bo n o s
373
lio
(Ui) (i,a)' (1.1))’ (1.11)'
Para determ inar la ganancia de capital del año obtenida duiante el año 2001, relacionam os el precio dentro de 1 año (al 1/12/2002) con el precio del momento 0 (al 1/12/2001):
^
9 6 ,8 9 -9 6 ,3 96,3
,62%
Rendimiento total esperado (TIR) E) retorno total esperado es simplemente la suma del rendimiento co rriente y la ganancia o pérdida de capital, que resulta igual a la TIR: Rendimiento total esperado (TIR) = CY + G = 10,38% + 0.62% - 11%. Observe que el rendimiento total m uestra un rendim iento corriente que se encuentra por debajo del rendimiento requerido (.10,38% vs> 11%) y una ganancia de capital de 0,62%. En el caso de un bono con premio, el rendimiento co n íen íe ejccedería , al rendimiento exigido pero habria una pérdida de capital. Suponga que Santa Emilia hubiera colocado sus obligaciones cuando las tasas de interés exigidas eran del 8%, manteniendo el cupón del 10%. En ese caso, el pre cio de las obligaciones de Santa Emilia al 1/1/2001: P = I0 x
(1,08)’ - ! (I,08)^x0,08
.
100 (1,08)'
= 107,98
Si la tasa de interés hubiera permanecido en el 8 %. al cabo de un año (1/1/2002), las obligaciones valdrían: P = 10 X
(1,08)"- I (1,08)" X 0.08
100 - = 106,62 (1,08)
Mientras el rendimiento corriente ascendería a 9,26 % (10/1U7,98J la pérdida de capital sería de -1,27% (106.62-107,98/106,62) y el rendimien to total sumaría el 8%, siendo nuevamente la suma del "cunv/zr yie/d" y las ganancias de capital. Consideraciones Impositivas ¿Qué hubiera sido mejor, com prar la obligación de Santa Etnilia “al descuento" {bajo la par) con un cupón del 10 % o comprar otra obligación con un cupón más realista del 11%? _ , Para un Inversor gravado con impuestos personales, podría ser prefe rible el bono de Sania Emilia, que se vende bajo la par, pues pagaría im-
174
G u jl l e r m o L ó PE2 D u m r a u f
p u e s to s s o b r e in te re s e s d e $10, pero los im puestos sobre las ganancias de c a p ita l n o p re c is a pagarlos de inm ediato' de hecho, podría quedarse con e l b o n o h a s ta su v en cim ien to y recién ah í pagar el im puesto. Los im pues to s q u e se p a g a n m ás lejo s en el tiem po tiene un m enor valor presente. E n < a m b io , el in v ersor en el bon o con prem io (sobre la par) tendría q u e p ag ar im p u e sto s so b re intereses de $1 1, aunque el prem io podna utiliza
do para com pensarlos pagos de Impuestos por los intereses. Los inversores r e c o n o c e n e s ta s itu a ció n , p o r lo cual el rendim iento relevante que c o m p u ta n e n sus cálcu lo s, es siem pre después de haber detraído los im puestos. E n u n m e r c a d o de c a p ita le s e fic ie n te , los p recio s de a m b o s b o n o s se a d e c u a iía n p ara o frece r idénticos rendim ientos después de im puestos. E v o lu c ió n d e l p re c io del b o n o h a sta su vencim iento " Los p recio s de los b on os se m ueven hacia su valor par a medida que se a c e r c a s u am o rtiz a ció n final. De esta form a, el precio del bono con premio d ism in u y e m ie n tra s q u e el precio del bon o con d escu ento aum enta. Las~ p rim a s o los d escu en to s tien d en a cero cuando el bono se aproxima al ven c im ie n to {11). En el ejem plo que se reproduce a coniinuacidn se m uestra u n a ev o lu ció n p osible para el precio del bono de Sam a Emilia con el im p a c to d e a u m e n ta r o d ism in u ir un punto porcen tual su rend im iento al v e n c im ie n to . En la p arte su p erior de la figura 11.3 se m uestra cóm o el bono con pri m a re d u ce su p recio y en la parte inferior se m uestra cóm o aum enta el p re cio d el b o n o c o n d escu en to a m edida que faltan m enos años para el v e n c im ie n to . En a m b o s ca so s, al v encim iento am bos b onos alcanzan su t'alor p ar. C laram en te, cu anto mayor sea el tiem po que resta para el ven cim ie n to , m ay o r será el im pacto de los cam bios en el precio sobre el rend im ie n ío -
í i».
(U ) I.OS gobiernos de países sudamericanos, como Argentina han emitido bonos que cotizaran inicialmente muy por debajo de su valor par. Amedida que se acercaba su amortíZaeión final el precio aúmentaba,yaque disminuía elriesgo de Impago, pero fundamentad mente, debido ala función del valor presente.
¥
V a l u a c ió n y C a íc u io d l Pr e n d im ie n t o de B o n o s
Año
Precio del bono coiikd=;ll %
0
Precio del bono con kd-10%
Precio del bono con kd=8%
$ 96,30
$ 100,00
$107.99 $ 106,62 $105,15
1
$ 96,90
$ 100,00
2
$97,56
$ 100,00
3
$98,29
$ 100,00
$103,57
4
$99,10
$ 100,00
$ 101,85
5
$ 100,00
$ 100,00
$ 100,00
■575'
T a b la 11.5 E v o lu ció n del p re cio del b o n o h a sta su v en cim ie n to
Hn el caso del bono que cotizaba b a jo la par, era claro que a medida q ü e'n o s acercam os al vencimiento,Hos flujos futuros sufren un m enor des cu en to y com ien zan a acercarse aJ valor par. ¿Por q u é tam bién converge el bono com prado sobre la par? ¿A qué se debe? Tam bién es un argum ento de valor presente: a medida que van que dand o m e n o s cu p o n es co n rend im ientos superiores a la TÍR exigida, eí precio vuelve a acercarse a su valor par.
EI re n d im ie n to cu and o el b on o tien e una op ción de rescare anticipado
{cali featiire) Suponga por un m o m en io que las obligaciones de Santa Emilia cuyo ren d im ien to fue analizado a lo largo de las seccion es anteriores, fueron em itidas co n una cláusula que les perm ite rescatarlas anricipadam ente a partir del inicio del segundo año. Siendo que tienen un cupón del 10 %. las obligaciones no serán rescatadas m ientras las tasas de interés perm anez can en el 1 1 %. Recuerde el ejem plo; cuando la tasa de interés es del 1J9 ü. las obligaciones de Santa Emilia cotizaban bajo ia par (96,3). Los inversores recon o cen eslo en el precio, asum iendo que el rescate no se producirá; pero el precio de la obligación sería inferior a 96,3 si los inversores pensa ran que el rescate es posible. Seguram ente, anticiparían en él precio a»;tual un rend im iento cercano al 12,19 %. que es la tasa k d implícita que surge de igualar el precio que tiene la obligación con el flujo de fondos del rescate; ^ ■
9 6 ,3 -
10
(\ + kd)
lio (\ -^ kd r
X 12,19%
GU!LURK\0 Lópéz D umraüf
.«ib
U cláusula de rescate anticipado incrementa el riesgo de reinversión de! linio de efectivo del bono, ya que el inversor, en e! caso de producirse el rescate, tendría que reinverlirtodo el capital de golpe. ¿Cuándo sería atracti vo para el emisor rescatar el bono? Seguramente el rescate tendría lugar si las t asas de interés bafaran y el emisor considerara provechoso emitir una nueva obligación con una tasa menor con el consiguiente aliorro de intereses. Con el dinero que obtendría por la colocación de la nueva obligación podría res catarla vieja. En el análisis del rescate, el emisor necesariamente considerara y balancea tos castos y beneficios, pues se pierden ahoixos impositivos al pagar menos intereses y por otra parle en una nueva emisión hay gastos de flotación.
1 1 .3 . V aluación
de
O
b u g a c io n e s co m pra d a s e w i i e
PERÍODOS lOTERMEDIOS
De los casos vistos se observó que el interés se calcula para el período en que fue definido el bono. La importancia déla forma en queinfluye Ja defini ción del período se observa a continuación,, cuando tenemos un bono que se ha comprado entre dos fechas calendarlas}' debemos valuarlo y calcular el úiterés corrido. En la práctica los bonos se compran o venden en momentos intermedios de algún período de su vida. Por ejemplo, pensemos que vamos a valuar el bono en el punto que indica el siguiente eje de tiempo: d
M om en to d e v a lu a c ió n
Figura 11.4 Valuación del bono en períodos iiregulates
VT■ Necesitamos conocer el número total de días que tiene e! primer pe ríodo, Este dato se encuentra en general, en el prospecto de emisión. Tam bién necesitam os con o cer la cantidad de días entre el m om ento de valuación y el momento (1) que llamaremos “p" y establecer cuantos días tiene el período base que llamaremos "d” p: número de días entre el momento de valuación y el momento en que se paga el proxi ni o cupón
.
■- ■
■•
■-
-
d ’: n íim em d e dííis d el período base
”
■■..........
Valuación y Gálojlo de kendimienio
üi oonuí
ji{(
En la práctica, para los descuentos se aplica la tasa de in te rés a u n ) )erío^ do regular y se ajusta vía exponente eí num ero de períodos de acu erd o a la cantidad exacta de días que corresponden al m om ento p. Por ejem plo, sí la tasa de rentabilidad esperada es una tasa LIBOR de 180 días, en to n ces Imy un período base de descuento de 180 días. Suponiendo que faltan 55 días para el vencim iento del próximo cupón (que aparece en el eje en el m om en to 1), el flujo de caja descontado viene dado por:
FU )
V alor resid u a l X
(I + O
L ib a r a n u a l
(1
La alternativa, tam bién seguida en la p ráctica — muy cóm ün en el mercado financiero Argentino— es definir un período base d e descuento de 365 días y utilizar una tasa anual. En ese caso, eí flujo de ca ja desconta do sería:
FU )
V alor resid u a l X
L ib a r an u al IL
{i+ iy
Valuación de un bono adquirido entre dos períodos de renta La valuación de un bono adquirido entre dos períodos de renta re quiere que se cuenten con exactitud los días que median entre cada flujo de caja, desde la inversión inicial (precio) hasta el último cupón. La mejor forma de verlo es con un ejemplo: Usted ha comprado la obligación de la com pañía Amanecer Esmeral da con fecha 11/03/01 que tiene un cupón anual del 10%, con iiUereses semestrales, pagando S95 y quiere determinar su rendimiento. En l-i tabla 11.6 se muestran los cupones aún n o vencidos y los días hasta el venci miento contados desde la fecha de adquisición: y
P e d ia
Días hasta e l i'e n d m ie n to
C upón
15/06/01
96
15/12/01
279
5
15/06/02
461
5
15/12/02
644
105
Tabla 11.6 Días restantes para el vencimiento de los cupones
C
te:
u jl l e r m ü
L o P t2 D
umuaup
Para eUo expresam os el ílujo de efectivo del bono ajustando el exponen-
95^
(1+r//?)
96/365
105 il+ T IR f
(1 + 77;?)
461/365
(1 + r/ ;?)"
Por iteración, resulta una TIR anual de 15.41%. En la práctica, a veces el cálculo de ia TIH requiere de otros detalles. Por ejemplo, debe tenerse en cu enta el plazo de negociación, y cuando se acredita el dinero, pues en algunos casos esto puede demorar 72 horas, por lo cual la TIR se calcula para un período “t + 3" El criterio de la reinversión de los cupones a una tasa ‘"segura” Es com ún que los. in versares se planteen, más allá del resultado que arroja la TIR de un título a partir de su cálculo convencional, cual será la verdadera rentabilidad que obtendrán al vencim iento. Esto nos lleva al cálculo de una tasa de rentabilidad compuesta, cuyo cálculo es muy sim i lar al procedim iento seguido en el capítulo anterior para obtener la TIR Niodificada. Este consiste en suponer la reinversión d e jo s cupones hasta el vencim iento del título a una tasa más o menos segura, como podría ser la tasa que rinden los bonos del tesoro de Estados Unidos o la tasa Dbor. Más allá de cuál sea la tasa apropiada para el análisis, suponga que su ho rizonte de inversión es de 3 años y que piensa mantener las obligaciones de Arsianecer Esmeralda por ese período de tiempo. Usted acaba de cobrar el priiner cupón y reinvierte éste a! 2.5% efectivo para 180 días en un acti vo seguro hasta el vencimiento del título, renovando cada 180 días hasta el 15/12/02. El valor capitalizado del primer cupón para esa fecha sería: 5 X a,025)^^^^^=5.39 Ui ec'uación general nos dice que tenem osj flujos de caja, que se reinv ertirin cada uno por n-j períodos hasta formar el valor terminal: '^ ^ C F ( l + k r - t = VT v' Hacem os entonces lo mismo con los demás cupones y finalmente su m am os los valores capitalizados pará obtener un Víilor final acumulado de 1 2 0 ,7 / com o se muestra en la tabla 11.7. Fechas
Cupón
D ías ha sta vto .
1 5 /0 6 /0 1 1 5 /1 2 /0 1 1 5 /0 6 /0 2 1 5 /1 2 /0 2
5 5 5 105
548 365 183 0
Tasa de le in ve rsió n 2,5% 2,5% 2.5% 2,5%
T abla 11.7 Cupones capitalizados al vendm iento
\^ o r c a p ita liz a d o 5,39 5,26 5,13 105,00 Total 120,77
V a u ía c io n
y
C álculo
de
R£ h i :)ím u n t o
de
Bg h o s
3/'>
tenem os que tener en cuenta que la obligación fue comprada eM 1/3/200] por$95 y que al 15/2/2002 acumularíarnosun valor futuro de 120,77. H1 flujo de fondos se vería de la siguiente forma en nn eje de tiempo:- " 11/3/01
V
-95
15/2/Q2
: * "■ 120,77 644 días
Finalm ente, calculamos el rendim iento equivalente-anual para el perío do de tiempo entre la com pra de la obligación y el valor acumulado'al vene jmíento: " ; 7 V365/644
r i2 0 77V l
95
J
' .
. . ; V. ■■
- I = ] 4 .5 7 % -
Como se observa, la rentabilidad com puesta es menor a la TIR en este caso, ya que suponemos la reínversíón de los cupones a uria tasa iníeríor. JLos resultados inversos habrían sido obtenidos si hubiéramos supuesto la reinversión de los cupones a una tasa superior a la TIR.
Preguntas de auro-evaluacLón:
^
, '
1. ¿Qué representa el "current yield"
‘
2 : ¿Qué sentido tiene suponer Ja reinversión de los cupones a una tasa "segura"? %3. ¿Porqué cuando se acerca el vencimiento el preció del bono con verge a su valor par?
La función "TIR no periódica"
.
;
Como vimos en el capítulo anterior, el progiama Excel cuenta con una función para calcular la TTR cuando los flujos de fondos no son periódicoj». La función TIR no periódica de Excel "reperiodlza’' los flujos de fondos transformándolos en flujos de fondos diarios (supone cobros=:0 en los días que no hay cupones) y luego eleva el resultado a 365 para entregar una TÍH diaria (Usted sólo ve com o resultado la TIR anual, pero Excel prirnero cal- ' cula una TIR diaria y luego pasa a la anual). En la figura 11.5 se alcanza a ,
>
CjllfLLtflW O I.OrE2 DUMP^UfF
ver romo nparece en una ventana la leyenda "lícstilladí» tic la ftírmula = í). 154158586" que es la TIH no periódica para las obligaciones de Amane cer jSsmeraldft.
i Figura ] 1.5 C álculo cié la T IR n o perícSdlco con Excel
M|emplí.)s reales: cálculo de rcmUínlento de bonos mgcnliiios ií t r m dúl C flobal 300 5
A partir tic los dalos contenidos en el siguiente cuntiro, podemos com probar In Till rie los bonos Global serie 2005. Aunque los bonos Global 2005 entraron rri clefaulí en 2002 (12), la metodología para el cálculo del rendiniioiiU) es seguida en gcnernl para todos los bonos que se emiten en la modalidad bullct. Tenga en cuenta que la publicación siempre refiere a las rotizacione.s de/ día anterior, por lo tanto, las que rigieron al 30/10/2002. Imi la tabla ll.n aparece el flujo de fondos: I^ c h ti a tp d ti
D ías n i X T u d m ie n to
V a lo r ro s id tia l
C u p ó n de in teré s
Am orU zacitSn
F lu jo cn|a
O lD ic-C G
35
m
5.5
0
5.5
(l'Mim^aí
2 ir
100
5.5
0
5.5
u .lT > ic -a i
4Dü
in o
5,5
ü
5,5
100
5,5
0
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04 (u ii-ÍV O -M M c-m
7(?>
in o
5,5
0
5.5
íM -lu n -0 5
94i»
100
5.5
0
5.5
rM -nic-Q 5
1131
100
5,5
100
105,5
Tbbia 11 .Q FIu¡o de fondos del G lobal 2005 (121 Uas bn no sG lo bal 2005 seguían cotiza n d o ai31«10*05 n u n p re cio de IIS 5 33 , ya que varios tenedores no aceptaron el canie t los bonístas d e no m in ad os "h o ld -o in s *). El hecho de que cem inu aran c o trn m d o rcíie ia la a e e n d a de p a rte de estos bonistas acerca de ob ten er « íttm a ro lu d d n vía una nueva negociación o vía ju d id a !. El tie m p o tendrá la palabra acerca de si se equivocaron o no en no aceptar las c e n d id o n e s del canje in ic ia l.
“A
m -£Ít .•A‘-
•'J.f-
1|
Valuación y C álculo Dt rUNDiMitfJTO o t Ronos
y¿\
El primer paso consiste en dctcnninar la cnnildad de días entre fechas para (os servicios ele Interés y de Interés y amortización. En c l caso de los Global 2005 paro cl cdnipulo dcl período de rnnia se cuentan los días con In convención "30/3G0" pagándose los Intereses en forma sem estral a partir de una tasa fija dcl U % onunt: 180
Interés^ 100X Ü.H x —
360
= 5,5
En cl cnsn de los Glnbal 2005 In amortización se realizn en un único pago al vcnclrnlcfito: 3,5
2-I
3.3
3,3
____ [t<5J___
Pcsnlviendo con la función TIR no periódica dcl Excel, obtenernos un hícfc/ble remiimionío de) nG,59o//J Esto en realidad solam ente reileja el hecho de que era muy poco lo que estaban dispuestos a pagar los inversores (U$S24 por algo que por contrato debía devolver intereses semestrnles de U$S 5 y un capilal de U$S de 100 ai vencimiento) ya que se descontaba una quila en cl capital, como finalmente ocurrió. La TÍR solam ente es aquella tasa que proporciona la respuesta m atemática correcta (un argumento de arbitraje, como se explica inmediatamente) pero era solam ente urta tasa ficticia, ya quqlos pagos establecidos en cl prospecto de emisión nunca se harían. Valor tdcnico El valor técnico c.*? una forma de expresar el valor de rescate dcl título ni momento actual. Puede interpretarse como el valor que debería tener cl título desde el punto de vista estrictamente técnico, sin tener en cuenta condiciones de mercado. Es igual al valor residual más los Intereses de vengados dcl cupón hasta el momento del cálculo (Interés del cupón co rrido) (13). \rr (t) = VR + Interés del cupón corrido(t)= 100 + 0,11 x 148/360 - 104,5 P arid ad La paridad se expresa como una relación porcentual entre el prodo de mercado del bono y su valor técnico. Es una forma de mostrar qué porcen taje representa el precio del bono sobre el \^íor que “debería tener" desde el punto de \ista técnico:
(13) En el caso de los cupones Im pagos adheridos, que no se han pagado desde m arros a b ril de2002, los bonos negociaron con todos los cupones Im pagos In clu id os en el precio, po r lo cual té cn ica m e nte hay que sum ar al valo r residual los cupones Impagos,
JS 2
G u itL E tu vo L ópez D ümraué D
W it)
24 r = 22.97% 104.5
E i o recio d e l b o n o p rov ien e d e un aj-gumento d e arbitraje En este ejercicio, asumiremos que la TIR del 116,5% es un dalo que nos \nene dado desde afuera y que representa la tasa requerida por el inversor para com prar el bono. Esto es, comprobaremos que el precio del bono en el m ercado es igual a S24 si nuestra tasa de rendimiento exigida fuera de un 11H,5% anual. D escontando cada uno de los cupones con el 116,5% anual ajustado por cada período, el lector puede comprobar que la suma de los valores actuales de los cupones iguala el precio de mercado de $24. A c ontinuación aparece en la figura 11.6 la pantalla con la ventana que .d espliega la función TIR no periódica, donde se observa que la tasa esti m ad a es del 1 Í6 ,5%;
r
ft
» I I
I
» »
Figura 11.6 T Iíl del Global 2005
T IL'del B o d en 2012
'
En la tabla 11.9 puede verse el cálculo del rendimiento de los Boden 2012. que pagan una tasa flotante Libor. El primer período de renta se cal cu la con la tasa Libor del período en curso (4,005%) y los restantes son calculados con la Libor proyectada {4,44%). Este bono sigue una conven ción acrual/actuaJ y cuenta exactamente los días entre períodos. Si Usted está acom pañando los cálculos con una planilla Excel, y quiere cotejarlos con los que aparecen en alguna publicación especializada como Ambito Financiero, tenga en cuenta que los cálculos que aparecen en los cuadros de la publicación m endonada asumen que la fecha en que se produce la erogación del precio (77,5 en este caso) es la de la publicación (14). Como chequ eo, sugerim os com probar que la suma de los valores presentes de los casli flows igualen el precio. (14) En rigor de verdad, el desembolso efectivo del dinero se producegeneralménie alas 7 2 h s d e ! m o m e n io d e la c o m p ra .
V a u /a c jo m V C á l c u io Df R ín d j m j e n t ó í >e B o n o s F«cha liquidació/1 Inicio ptfíodo de renta T isa período en curso (Ü 80R ) Tasa proyeciada (LIBOR) Precio
10 if 12 13 14
15
IB 17 18 19 20
21 22
26/10/05 03/08/04 03/02/05 03/08/05 03/02/06 03/08/06 03/02/07 03/08/07 03/02/08 03/06/08 03/02/09 03/06/09 03/02/10 03/08/10 03/02/11 .03/08/1 i 03/02/12 03/08/12
184
let
26/10/05 03/02/06 4,OOS% 4,-14% 77.5
0 0
12.5
184
o
IBI (64
(2.5
lei (84
182 164
:iñ^
tí
12.5 0 •2,5
0 .
181
12.5
184 i8 i (84 181 184 162
12.5 0 12.5 0 12.5
0
100
0,00000
100
2.23825
67.5
2,20175
87.5 75 75 62.5 62.5 50 50 37.5 37 ;S 25 25 12.5 (2.5
1,76659 1.82653 1,67668 1,65132 1,39890 1.38370 1,1)912 1,10068 0.83334 0,83566, 0,55956. 0,55044, 0.27978* 0,27574'
.0
•77.5, 0,00 . 0.00 “
-
■
0,00
D.OO
0,00
0,00
1,76659 14,42653 1,67668 )4 .)5 I3 2 (.39690 13,68370
1,73 Í3,54 I. 51 12.23 1.16 I I . 04
1.(1912
(3,60068 0.83934 13,32566 0,55956 13,05044 0,27978 12.77674
0,85 9,96 0,53 6,98 0.36 B,09 0.17 7,29 77,50
Tabla 11.9 Rend im ien to düi B o d e n 2 0 1 2
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Ejem plo reales: costo efectivo de fioan ciarse con obligaciones negocia bles El costo efectivo para el emisor de una obligación no es igual ai rendi miento del com prador de ésta, com o podría imaginarse a priori. Sucede que en la emisión de una obligación existe una serie de costos de “Jioldción" que hacen que el emisor reciba una menor cantidad de dinero por la venta de la obligación, aumentando el verdadero costo efectivo de ésta. En diciem bre de 1993 la empresa "Lácreos S.A." emitid obligaciones * negociables por valor de $30.000,000. Como puede observarse, las mis mas fueron vendidas bajo la par, ya que el mercado efectuó un descuen to de $830.000.- A continuación (en la página siguiente) se observa en la tabla 11.10 el flujo de fondos de la colocación, expresado en miles de pesos. '* gí.
La tasa de contrato de la operación fue del 10% anual, y la obligación fue definida para un año de 360 días {convención aciual/360). El descuen to practicado por el mercado llevó el costo de la obligación al 11,63%..Has ta este punto el costo del emisor coincide con Jos rendimientos del Inver sor. Pero los costos de flotación que se detallan dentro de los egresos, lle varon finalmente el costo efectivo de la colocación al 12,85%. En total, los costos de transacción sumaban casi el 3% del valor nominal. El lector pue de com probar los cálculos muy fácilm ente utilizando la función 'TíR no periódica” de la aplicación Excel®.
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Tabla I b 10 Flujo de fondos y costo rinandero de una obligación negociable
Pregunta^ de aulo-evaJuadón: 1. ¿Qué es la paridad de un bono? 2. ¿Por qué el rendimiento del inversor de una obligaddn puede dife rir del costo del emisor? 3. ¿Como afecta la opción de rescate anticipado al predo y por lo tanto al rendimiento de un bono?
1 1 .4 . R
ie s g o s
ASOCIADOS A LM N VERsiúN B 'J BONOS
A pesar de quedas obligaciones o bonos son títulos que prometen un rendimiento a los inversores, existen ciertos riesgos asociados a la inver sión en bonos. El riesgo más conocido es el riesgo tasa de interés, que des cribimos con cierto detalle a continuación.
Riesgo de la tasa de interés El riesgo precio-tasa de interés es el riesgo más conocido en la inver sión en bonos: cuando las tasas de interés aumentan, el precio de los bonos disminuye. Esta relación fue descrí pta en la sección donde mostrá bamos la relación enlce el precio del título y su valor par. Esto era fácil de entender: si usted tiene un bono que le rinde el 10% y de repente las tasas
V a lu a c ió n y C alc u lo de R e n d im ie n t o de B o n o .';
3R5
de los bancos comienzan a aumentar, llegando al 1 X%, seguramente, usted y el resto d élo s inversores, preferirán ganar el 11% y venderán los bonos, con lo cual éstos bajarán de precio. Por supuesto, en un mercado de capi tales eficiente, el precio de equilibrio se situaría en un nivel que el bono le ofrezca el 11% de rendimiento, y entonces las inversiones en bono.s volve rían á com petir con los rendim ientos que pagan los bancos por süs depó sitos. El efecto que tiene la tasa de interés no es igual en todos los bonos. Por ejemplo, un bono cupón cero, que no paga cupones de interés y se vende al descuento, es el bono que más sufriría un incremento en la tasa de inte rés. Todos estos detalles serán profundizados en un capítulo posterior, don de será tratado el tema de la volatilidad de los títulos de renta fija. Hay inversores en bonos que m antienen los mismos hasta el venci miento: en este caso, el riesgo rasa de interés nú es importante, toda vez que el bono tendería siempre a su valor par, como describimos antes. Siem pre que el em isorlio entre en cesación de pagos, el inversor podría espe rar al vencimiento y recuperar el valor nominal,:
I Riesgo de reínversión <
Los bonos producen un flujo de caja que es reinvertido por sus inver sores, en particular los inversores institucionales como los fondos de pei\sión y las compañías de seguros, que persiguen acumular un capital con fines específicos. Cuando las tasas de interés disminuyen, los inversores ganan una tasa menor sobre los flujos reinvertidos, reduciendo el valor del capital futuro. Esta situación es la que se cono ce com o riesgo de reinversión. El riesgo de reinversión depende del tipo de bono. Para Jos bonos de tipo bullet, el riesgo de reínversión se restringe a la reinversión de los cu pones de interés. Para los bonos con un reembolso periódico del capital, el riesgo es mayor, puesto que deben reinvertir no sólo los cupones de intereses sino también parte del capital. Los bonos del tipo cupón cero representan el caso límite pues no tienen riesgo de reínversión, ai no te ner cupones intermedios. >
I I A
A Riesgos de los bonos con opciones
Algunos bonos son emitidos con cláusüias que contienen opciones ya sea para el emisor como para el tenedor del bono. En general, su ejercicio significa una modificación en el flujo de fondos del bono, por lo cual alte ran su riesgo. Comentaremos algunos de estos riesgos a continuación. Riesgo de rescate anticipado Este riesgo está relacionado con el riesgo de reinversión, y se refiere a aquellos bonos que contienen una cláusula que otorga ai emisor el dete-
0,
GujiiEaM O López D umkauf
ch o dt> retirar parcial o totalmente la deuda, antes de que se llegue a la fecha de vencim iento establecida en el Prospecto de Emisión. Naturalmente, esto afecta el riesgo de reinverssdn para el comprador del bono, pues recibe todo el dinero de golpe cuando de otra forma seguiría cobrando una corriente de cu pones hasta el vencimiento. Los inversores reconocen este riesgo, y por lo tanto requieren un rendimiento mayor al ofrecido por igual bono pero sin la opción de rescate, com o fue explicado en la sección donde tratamos el rendi-
mierifu con cláusula de rescate anticipado.
O pción d e venta a n ticip a d a (P iítfeam re) Otorga al tenedor del bono el derecho a vendérselo al emisor al valor par en fechas que se establecen en el Prospecto de Emisión. En algunos casos el em isor debe cumplir con el compromiso con dinero en efectivo y en otros casos se prevé la uiilizacidn de alguna combinación de efecti vo, acciones ii otro activo financiero. Naturalmente, esta opción favore ce al tenedor, lo cual debería revelarse en el precio y el rendimiento del título.
O pción d e C onversión p o r accion es Otorga al tenedor del bono el derecho a convertirlos por acciones d éla com pañía emisora, a un precio determinado por el Prospecto de Emisión. La mayoría de las obligaciones convertibles es rescatable anticipadamen te con una prima, fijando un precio de rescate. Generalmente, hay una "agenda" de precios fijos de rescate (strlke redemption) que declina a lo largo de la vida de la obligación. Esta "cali proyisíon" le permite al emisor forzar una conversión de la deuda en acciones cuando el valor de conver sión excede el valor de rescate, pues los tenedores de estas obligaciones preferirán convertirlas por acciones antes que recibir menos dinero en un eventual rescateEl valor de un bono convertible por acciones es igual a su valor com o obligación más el valor de una opción de compra sobre las acciones de la firma.
Riesgo de inflación
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El riesgo de inflación lo sufren todos los bonos, cada vez que ésta aso m a su horrible cabeza. No obstante, el efecto de la inflación es mayor en los bonos que no son emitidos en una moneda “dura" como el dólar. De esta forma, el riesgo por inflación es descontado en el precio con mayor incid encia en los bonos que son emitidos en monedas que tienden a de preciarse por la inflación no poseen cláusulas de índexación. Los bonos em itid os en pesos por el Gobierno Argentino e Indexados por el CER, cu bren del riesgo de la inflación al inversor, y en los periodos en que se espe ra estabilidad en la cotización dei dólar, son buenas alternativas para ob te n e r una ganancia atractiva en esa moneda.
V a l u a c io h Y C alculo DE R e n d im ie n t o
-Riesgo de devaluación
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de
Bo h ó s
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Los bonos emitidos por empresas o Gobiernos de países que han devaluados sus monedas también tienen el riesgo de devaluación. Esto tam bién es reconocido por los inversores, qué demandan rendimientos mas altos para invertir en este tipo de obligaciones.
Riesgo de default El riesgo de cesación de pagos o default, existe cuando hay posibilida des de que la entidad emisora no pague los cupones de interés o capital ul vencimiento. Este tipo de riesgo es calificado por las agencias de crédito, que someten a las empresas emisoras a rigurosos análisis financieros para luego asignarle una calificación crediticia, que denota la calidad del bono, Profundizaremos este tema en un próximo capítulo. Riesgo de liquidez Este riesgo abarca a aquellos títulos que po tienen un gran mercado y que pueden resultar difíciles de vender cuando se lo precisa. En paríicularT; este es un riesgo que tienen muchas obligaciones de empresas sudameri canas, donde el mercado de capitales no ha alcanzado un desarrollo sufi ciente. En algunos casos, el mercado para estas obligaciones suele ser ex tremadamente ilíquido.
11.5. R iesgo SOBERANO, lUESCO PAIS y RIESGO DECRÉDITO Un indicador que se ha \aielco muy popular en los últimos lienipos en nuestro país es el denominado “riesgo país" que aparece relacionado con la forma en que los inversores perciben el riesgo de una inversión en un bono soberano Argentino. F^ara calcular el riesgo soberano, se calcula la diferencia entre los rendimientos de un título en dólares del gobierno Ar gentino con un título de vencimiento equivalente de la tesorería america na (Treasury Bonds). TIR bon o nrgenfí/io en U S S - T/R T-Bond - Prem io*por riesgo soherario Como parte del riesgo soberano incluye el riesgo de crédito, debemos restarlo para ver qué parte corresponde al riesgo país, como se muestra en la figura 11.7. Si las empresas callficacloras de riesgo poseen criterio^ estandarizados para la calificación del riesgo crediticio, entonces el pre mio por ei riesgo de crédito de un título con clasificación BB puede ser estimado calculando la diferencia entre el rendimiento de los títulos de empresas con clasificación igual a la del bono Argentino en EE.UU. (con lo. cual por encontrarse en EE.UU. no tendrían riesgo país) con ios títulos del
Gufiuw.tv í o n z DuMR,\ur gobierno americano con el mismo venciinienio. Esta diferencia puede ser utilíTadn como un indicador de premio por el riesgo de crédito incluido en im título de un país cuya deuda haya sido clasificada igual que la deuda An^entino.
1
Rwsgo d« crédito
RpndSmíwilp 1 i ^ « íacIq de tet £ 0 ^ íí?í gíífciemc'
R i«ígo sobefpfio R iesgo país
p a s a s i*iu»feKÍas etecíD d« garantías) RendiTíJeoto T -S ívkT ______________________ 1
Figura U.TRiesgo soberano, tirapo -iecrW itc' y riesgo psis l'acturcs que lafluyen en el riesgo país la s primas de rendimiento ntribiiibles al riesgo sobemno. riesgo de cuHÜlo y riesgo país reconocen básicamente la posibilidad de insolvencia del deudor, pero esto está relacionado con una serie de factores intrínse cos que se describen en la tabla X lA l. Factores ín tiín s c e o s
Riesgos políticos
riesgos fmancicros
rrobabilidad de Ircumplhniemo de compiomlscis nnanciems • E xprop iacio ne s
• Riesgo iu iíd ic o • Riesgo flscnl
• Riesgo cam biarlo • Riesgos políticos » Dlsrrífhios •Transíerenda (I5 i ■Cíiierm C o rru p c id n . fim id e
Tabla t i . l t Pactorra qucniecrun el riesgo |mís (15) FI lirago detrnn9rcrenrlAcnrrcs|miidi*Ji)ii Incnpnrldnd general rio Iiw ileucJnres de iiMpafuIctennínndo d«cim tpIlrconstm )hllKnclonM nnnnricrní rM iklo n la fn lin d e d lsiin ril* iiD bhil de in ntnneda en Ia c h a ) estd denomlitdda Ia otillgAcIdii. Imicpciicílentvmerito d« la iTMidklén flnanciern pnrtlcuiarrle) deudor
VALUAOOrJ Y CALCUIO
de
R£NDI/.U£NT0 D[ t’orios
38**
Como vimos el riesgo soberano contiene al riesgo de crédito y al i iesgo país, donde se reflefan una cantidad de factores que los inversores perci ban como riesgosos afectando la calidad de! título Argentino, En la medida que mayor sea el riesgo país que perciben los inversores, éstos se despren derán de Jos títulos Argentinos y su precio descenderá reflejando los ma yores rendimientos requeridos para mantenerlos. Los efectos de \or^ ries gos en el precio del bono (y por lo tanto en su TIR requerida) se pueden extender al caso de todos los bonos en general, apareciendo otros factores adicionales que pueden aumentar/dismi-nulrsu d em a n d a y q u esesin teti zan en la tabla 11.12. TTR de im b o n o
Precio de u n b o n o M enos:
M as;
Dexuento por riesgo ríe crédito, riespo fXiís» liquidez y opciones rícl emisor
Prínui por riesgo de cráiito, riesgo país, liquidezy opciones del emisor
M as; P ri/a n ;x>r
M enos: 7ÍW/1 ‘"resignada''
tm vcntajnsfíxnlesy ofyriones que otorgo ni inivrsot
raijajas pxalesy opciones que otorga al inivrsvr j
1 abin n . 12 Fnciore» quf* influyen en
\aprim a o el descuento
Cálculo lie la stripped ylelU Cuando los pago.s de renta o aipltal aparecen garantizados totai o pniclalmente. In TIR del inmo recoge este efecto, y este es menor al mi.smo icndimienio que tendría el bono si no tuviera garantías. I*ain estim ir cuál sería el reiuiimlenio sin gmaiUías, en el caso de Huios ftarclulmeiiie garanilzndos. puede seguirse los siguientes pasu.s pata dospo|ar ni bono de los efectos de las gm anuas: 1. Itlontiriear y separar los (luios gainnlizmlos do los mi gmaniizndns (en los Uonos Vwv y liiscount del Urady IMan, npateemn gmaiul^ndos los dos piiineuis pagos do interés v el oapitul í'on bonos tiel lesom de Hslndos Unido.s).
2. Obtenemos el [necio ile In porción garoniirmUi. Ctnnti se supime que esta porcldn e.s libro de riesgo, descontamos los cupones de ilKcrestíS giimutiziulos coa \\m taso libie de riesgo, 3. líi pioclo de la porcldn con riesgo sobotanu se obtieite por difelonclfl:
Ptticlii potción no^amntizaihirtptvcio itiUilfki lumo*~ Precio porcitUt gíininfírrídu
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Ct.iJLlEfWO LÓl’EZ'DuMRAUf
vUtia vez obtenido el precio de la porción na garantizada, Jo igualamos a la corrien te de cupones no garantizada y calcuJarnos la TIR correspondiente, q u e recibe el nom bre de “4.'írippeí;fyíetó’'
E l riesgo país y su relación con otras variables e indicadores econdinicos La figura 11,8 muestra cómo evolucionaron el índice Meival y ersiripped spread " (16) desde el año 1994 hasta el año 1999 cuando todavía el riesgo país m ostraba indicadores “presentables” De la figura 11.8 se desprende que parte de la variación del mercado accionario está relacionada con el riesgo país: cuando éste disminuye, las acciones suben de precio y vicever-
Corno veremos más adelante, el riesgo país llegó a ubicarse por enci m a de niveles impensados, luego de las turbulencias políticas y la deva luación de la m oneda en el año 2002. El riesgo país tam bién tiene impacto en la tasa de interés que pagan Jas otijigacíones del sector privado. En la figura 11.9 se observa la relación entre
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9
(16) £1 sírípped spread es la d ifere nd a entre la TIR del bono argentino despojado de garantías y el bo no am erican o de duradóQ equivalente. (17) iistu dlos realizados po r G odíreyy Espinosa señalan que la inQuenda del riesgo sobe ra n o e x plica en p ro m e d io el 40% de la v a rla d ó n del mercado acdonario (ver encuesta reali zada e n la BepúbUcá A rg e n tin a p o r la UniversidadTotcuatoLHTella y eí In stitu to A rgentino de E je cu tiv o s de Finanzas).
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las tasas da contrato promedió de las obligaciones negociables emitidas en cada año con el promedio para el riesgo país aí momento de la aurorízaciOn y el momento de la colocación. ! ’ - '
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1998
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4 ,77
5 ,0 0
— R. P aís Auforizac
1999
Figura 11.9 Tasas de co n trato de obligaciones negociables y riesgo país
Durante el período de turbulencias políticas que llevaron a la renuncia del Presidente de la Nación en 2001, el abandono del régimen de conver tibilidad monetaria, y la declaración del default, el riesgo país trepó con virulencia hasta sobrepasar los 6.000 pumos básicos {60 puntos porcen-tuales). La figura 11.10 compara el riesgo país medido por JP Morgan a través del EMBI (Emerging Market Bond Index Plus) para ia RepiibliCiL Argentina desde que el riesgo país es medido (1981) hasta diciembre dé 2005.
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ÜUM .URMO L ó p e z D u m u m ie
Lfls dos lineas horizontales cruzan ia barrera de los 500 y 1.OUO pinUos Iiíisicos respecllvnínenle. Es de notar que cuando el i Icsro país se mantiene por unos meses sobre los U)00 puntos, el país no logra colocar deuda vo luntaria. ya que se le cierran los mercados intcnincionalcs. La rccstrucliiro* cifhi exllosa de la deuda en 2005 consiguió devolverlo a guarism os presentables. J l.G. Las O dugacionf^ N egociadles y u calificación ÜFX niESGO DE CRÉDITO
Al Igual que los bonos soberanos, las Obligaciones emitidas por las enipi^sns son sujeto de tma calificacldn de riesgo de erddito. Esta cnliricaclón varía desde el "iiivestmente grade” (simbolizada con la letra X , lo cual le otrjrgn a ia obligación ei ser un instrumento financiero con una buena calidad de Inverslónl Iiastalalelra^'D” que simboliza las obligaciones que se encuenímn en cesación de pagos. Existen matices entre las caimcaciones que se muestrair e n la ta b la ll.l3 r Grado
(irado de Inwrsióii íln v eam en t Grade)
Nnia
Capaddnd de papo
Característlcss
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Máxima
Cnpncidnd excepdnnalm entc íiicn c para hacer fmiue a la*; obllgaclonea financieras aiin ante cam bios en la situacídn económ ica general su mercado específico y en los m erca dos Hnanderos.
AA
Muy alta
Fjcpectativa de rie ^ o muy redudda. C.apacidad no vulne rable ante ca m b b s en la siniadón económ ica.
A
Alta
Expectativa de riesgo redudda. Más vulnerable a cambios en lás condiciones econtSmlcas.
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Adecuada
Expectativ a de riesg o b a ja . No o b s ta n te , p u ed e verse afectada fren re a cam H os en condiciones económ icas.
BB
Adecuada
Riesgo de c r é d t a princípalmenie por cam bios adversos en la situación económica, no o b la n te las dííerenies alter nativas financieras p
B
Adecuada
Existe un riesgo significativo pero se m antiene un limitado margen de seguridad. Se cum ple con las nhlípacíones fjnanderas. pero esta capacidad está condicídnada aj medio y a un negocio favorable sostenido.
OCC
Regular
La incnbrablUdad es una posítriÜdad real. La capacidad para cumplir con las obligaciones financieras depende de la capacidad de negocíadón y de un desarrollo fínandero favorable y sosrenído. caso contrario se caería en default.
CC
Baja
Cesación de pagos comienza a ser probable. Requiere para m ejorar signíficallvos cambios en las con deion es econó micas y/o del sector.
c
Baja
0 no pago es inminente, aunque scnialm ente se está cum pliendo las obligaciones, y aún ante m ejoras en la sfcuacidn eom óm ica general o del secioi; no se espera que m ^ore la capacidad de p aga
Especulativo
Alio rie g o de impago
Tabla 11.13Caiíftcacióndel riesgodel aédito (conünüaenla pág. siguiente)
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O rn cterísd lcat U callficncld n de obllpadoncs d e e s a cntcpoifa se basa en la Imposibilidad parda) o total de recuperar una situación de reanudación de pago.
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Tabla I I .I 3 C aJin cadón dcl riesgo del crédito (cont.)
Variables observadas Las Caliricadoraa ele crédito como Moody's o Standard & Poor's, por nom brar sdlo algunas, cuentan con manuales de procedimiento donde se esta blecen los pasos que se siguen en ei procedimiento de calificaddn. Si bien se analizan una gran cantidad de indicadores, una de las relaciones más obser vada es el grado de cobertura de los Intereses, entendida como la cantidad de veces que el resultado operativo ames de intereses e Impuestos tEBÍT, earníngs before ínterest and laxes) cubre los intereses:
EBÍT IfU e re s e s En general, suele utilizarse una medida "normalizada'* de este iiuíicador, que se denomina "ÍNS" (índice Normal de Solvencia) que consiste en calcu lar un promedio de la cobertura y practicar ciertos ajustes a los valores de libros. Además de analizar el índice Normal de Solvencia (que representa una medida norrnalizadadel grado de cobertura),seobservasu tendencia y su estabilidad (medida por el desvío standard de dicho indicador) y otros indicadores económico financieros como los calces de monedas, la liquidez y las garantías adicionales que puede ofrecer la compafiía. Toda esa infor mación es recogida en una matriz que conjuga la Información obtenida para producir una primera ‘‘letra" en lo que suele denominarse el procedimiento primario de la calificación. Por ejemplo, el resto de los indicadores financie ros pueden haber obtenido una calificación nivel 3, pero si el INS es mayor a 0 (ocho), la empresa califica en una categoría inicial A. O tal vez el INS es cercano a 4, pero como tiene los demás indicadores financieros en nivel, también es calificada inldalmente con la categoría A y así sucesivamente son conjugados el INS y el resto de los indicadores financieros para asignar una primera calificación, según se observa en la tabla 1 l.H :
INDICADORES FINANCIEROS
OVTEGORIA TNIOAL
NIVEL 1
NIVEL 2
A
1NS&4
INS £6
INS 2 6 8>INS24
NIVEL 3
B
4>INS^2,5
6 > INS S 3.25
C
2,5 > INS 2 1.5
3.25 > INS ^2
4>INS>Z5
D
INS < 1.5
INS <2
INS
Tabla U.U Cobcrtuni de imereses y calificación del crédito
G u a u o / v ia L ú p e z D
umrauf
C aliñ cacid n deobU gaciunes negociables en la Repüblíca Argentina E n la se cció n an terior se d escribió résuinídainente el proceso prim a rio d e ca lifica ció n de ob lig acion es negociables. ¿Tiene esto correlato con la realid ad si m iram os lo qué realm ente ocurrió? En la figura 11.6 se ob serv a la ca lificació n que tuvieron 210 Obligaciones Negociables en la Re p ú b lica A rgentina desdé 1988 h asta 2000 (18) en un trabajo realizado bajo mi tu te laje en la Universidad de Buenos Aires en 2001. Observe cóm o pue d e d istinguirse claram ente que la m ayor p arted e las obligaciones califica da co m o triple A, tienen todas una cobertura mayor a 4 (cuatro), m ientras q u e c o n u n a cob ertu ra entre 1 (u n o )y 4 (cuatro) se encuentran la mayoría de las o b lig acio n es calificadas con grado "especulativo". Finalm ente, por d eb a jo de 0 (cero) aparecen las obligaciones calificadas con las letras "C “ y “D ” ^
Número de O b serv acion es
F u e n te; C am ísid n N acional de Valores y Bolsa de Comercio de Bu enos Aíres t igura 11.11 C obertura de in tereses y caliilcaciO n de obligaciones n egociables en la Argentina 1988-2000
En síntesis, puede decirse que existe uita correspondencia entre lo que los procedlm ientoá de calificación dicen que hacen, y la evidencia empíri-
I
(18) Véase "O bU gadones N egociables en la Repüblica Argentina:relaciones entre la ca lific a c ió n del riesgo, la so lvencia del em ls ó ry la iasade Interés', U H M 4X ) , Tesis de P osrgrádo e n A d m ín is tra c id n Financiera. U niversidad de Buenos Aires, 2001. ic m d o
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ca observada. Esta calificsición no sólp es im ponanle por represcjjuar iiitó especie de “sello de calidad" sino que suele reflejarse luego en la tasa de Interés que paga la obligación; las obligaciones con menor caliñoac/on sue len pagar una rasa de interés más aJta. Preguntas de auto-evaluación:
1. ¿Qué se entiende por riesgo de reínversíón? 2. ¿Cuáles son los factores intrínsecos contenidos en el riesgo país? 3. ¿Qué características debe tener una compañía para ser calificada com o "invesim em grade"?
Resumen i. 'I En el análisis d ef rendim iento y valuación de bonos u obligaóiones "'d eb em o s tener en cuenta una cantidad de detalles que surgen del pros pecto de emisión como son la tasa de contrato, el programa de amortiza ción de capital y pago de intereses, las fechas en que se realizan estos pa gos y la forma de contar los días. Como los mercados suelen exhibir dis crepancias en cuanto a la forma de contar los días, se debe estar atenío a este tema en orden a producir una valuación correcta. En general, un bono puede producir dos tipos de resultados: las ga nancias de intereses y las ganancias (pérdidas de capital). La medida de rendim iento más popular es la tasa interna de retorno; la relación entre ésta y el precio del bono es un argumento de arbitraje; a mayor TIR exigi da por ios inversores m enor será el precio del bono y viceversa. Existen una cantidad de riesgos asociados a la inversión en bonos (tasa de interés, devaluación, opcío.aes, etcétera) que afectan el precio de éste y por lo tanto su tasa interna de retorno. La diferencia entre la tasa inferna de retorno que paga un bono del Gobierno Argentino en dólares y la tasa que paga un bono del Tesoro Norteamericano es denominada comiínmenre "riesgo país”, y es una medida que además de ser mirada muy de cerca por los analistas y los inversores, suele tener impacto en los rendimientos de otros activos financieros, por caso las Obligaciones Negociables del sec tor privado. Existen agencias autorizadas que otorgan una calificación al bono, que va desde los bonos que tienen mayor calidad {iiw esim enc grade) hasta los bonos que se encuentran en cesación de pagos. Esta calificación suele leflejarse luego en la tasa de interés que paga la obligación.
P reguntas
"
'
1. Explique el significado del térm ino “rentabilidad al venciinlento” (yield to nlaturíry).
Lortz
G u iiL E R A A O
D u m r a ü f
2. ¿Por qué pueden variar las tasas ele interés de los cupones eniitldos por una m ism a organización? si ¿Cómo debe entenderse la cotización de los bonos en la BCBAy como en el N'b\E? 4. ¿Qué se entiende por ganancia de capital y ganancia de intereses? 5. ¿Usted esperaría que las obligaciones que pagan cupones sem estra les se venda a un precio más alto o más bajo que obligaciones equivalen tes que pagan un cupón anual? 6. Explique la diferencia entre riesgo precio / tasa de interés y riesgo de reinversióm 7. ¿Cuál es el tipo de bono que no tiene riesgo de reinversión? ¿Cuál el que tiene mayor riesgo precio/tasa de interés? 8. Conteste por verdadero o falso: a. Cuando el bono cotiza bajo la par, la TIR es mayor que el rendi m iento corriente. b. SI el bono cotiza sobre la par. la I IR es mayor que la tasa del cu pón y que el rendim iento corriente. c. Si el bono cotiza a la par. la TIR, la tasa del cupón y el rendimien to corriente son Iguales. 9. ¿Qué entendemos por "riesgo país‘7
-
'
10. ¿Por qué el precio de un bono comprado sobre la par o bajo la par converge a su valor par al vencimiento?
P roblemas (Por razones de espacio, la mayoría de las respuestas no aparece. Ver resoluciones en Apéndice de respuestas) 1. Suponga que usted compró bonos del tipo b a llet con 3 vencimien tos diferentes: 5. 10 y 30 años, todos con cupones semestrales del 5%. '
a) Calcule el precio de los bonos suponiendo que la tasa de interés exi gida es del 6 % semestral. b) Cuál de los tres bonos se vería más afectado si la tasa de interés au menta y cuál es el motivo? c) Si su horizonte de inversión en bonos fuera de 30 años, ¿cuál de los tres bonos tiene mayor riesgo de reinversión? d) ¿Si el cupón de interés hubiera sido un 10 % anual en vez de un 5 % semestral, usted esperaría que se venda a un precio mayor o menor que el bono con cupones semestrales?
Respuesta: ver apéndice con resoluciones.
V a l u a c ió n y C á lc u lo de h u n d im ie n t o de B o no s
J97
2. La tabla siguiente contiene la cotización de las LEBAC (leiras del Banco Central) correspondientes al día 15/1072002 y que sa le pubUcaclo en el diario Ambito Financiero del 16/10/2002. Usted debe com probar que el rendim iento efectivo anual (recuerde que este aparece com o 'njíí-A, tasa interna de retom o efectiva anual) es correcto: Feclia
Vencimiento
Precio
Días para Vto
TIR£/\
15/10/2002
25/10/2002
99,30
9
32,96%
Respuesta: ver apéndice con resoluciones. 3. La sigu iente tabla co n tie n e in form ació n sobre tres obligaciones emitidas por la com pañía Altos Hornos con un valor nom inal de $1000.. Hoy es 1/1/2002 Cupón
§i
Vencimiento
Años para el vencímienta
5%
2007
5
8%
2017
15
12 5/8
2027
1
' ■^
25
"M i
a. ¿Por qué el cupón varía tan ampliamente? b. ¿Cuál es el valor de cada bono si kd=8%? c. ¿Cuál sería el valor si los cupones fueran sem estrales en vez de anuales?(resuelva sólo para el bono de 5 años). d. ¿Cuál es la tasa nominal y la tasa efectiva de rendimiento dci bono de 10 años? e. ¿Cuál es el precio esperado del bono de 5 años dentro de un iño (1/ 1/2003) y su ganancia de capital si el rendimiento requerido es del 8%? f. ¿Cuál es el rendimiento total esperado del bono de 5 años al 1/1/ 2003? g. ¿Si usted fuera un inversor en condiciones de pagar impuestos ¿cuál de los tres bonos preferiría y por qué? h. Si usted pensara que las tasas de interés van a caer, ¿qué tipo de bo nos compraría para maximízar su ganancia de capital de corto plazo? Respuesta: ver apéndice con resoluciones.
-
4. Suponga que usted compró Ja obligación de 5 años de Altos Hornos y piensa mantener su dinero invertido en bonos por 5 años. Suponga que la tasa de interés se reduce al 5 % y permanece en ese nivel por 5 años, de forma tal que usted reinviérte todos los cupones que el bono le paga al 5 % durante dicho lapso:
G u IU£RMO Ló I>E2 DlJ^íRAUf
a ¿Cuál es SU tasa de rendimiento coinpuesca (TIR modificada)? b. ¿Qué hubiera pasado si la tasa de interés hubiera subido al 10%? c ¿Cómo habrían diferido los resultados si hubiera comprado el bono de 15 años en vez del de 5? R espuesta; ver apéndice con resoluciones. 5. Un bono de VN 1.000 ftie emitido con un vencimiento a 15 años con un cu pón del 8,25% antial con intereses semestrales. La tasa que exige el merca do es del 10,25% efectivo anual. Conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el precio del bono? b) ¿Si el bono tiene una cláusula que le permite al emisor rescatarlo a $ 1.050 después de 5 años, cuál es la ¿“Yield to cali"? c) ¿Usted piensa que es probable que se rescaíe?Respuesias; a) 865,49; b) 12,71% ; c) Ver apéndice de respuestas:------------ . 6. Dados los siguientes datos, calcule laTIR del Badén 2013 ^
-
Fecha liquidación
08/02/00
Inicio período de renta
30/04/05
Tasa período en curso ÍLIBOR)
3,000%
Tasa proyectada ÍUBOR) .
^
Precio
3,00% 80,90
Monte los datos en una planilla de cálculo y utilice la función TIR no periódica de Excel. Respuesta: 9,89% . 7. Dados los siguientes datos, calcule la TIR del Boden 2006. Fecha liquidación
28/10/05
inicio periodo de renta
31/07/05
Tasa período en curso (UBOH) '
3,976% '
Tasa proyectada (LIBOR) Precio
4,43% '
39.6
M onte los datos en una planilla de cálculo y utilice la función TIR no periódica de Excel. Respuesta; 12,26% . 8. Rualice Un análisis de sensibilidad del precio del Boden 2006 con los d atos dél ejercicio anterior, con tasas de interés del 4 al 15%. Para ello, uiíHce la función "tabla" de Excel.
Respuesta: ver apéndice con resoluciones.
V aluación Y C álculo
■i’É I
s:jl
11
'
de
R endimiento
de
B onos
9. Dados los siguiemes datos, calcule laTIR del Boden 2012. Monte los daros en una planilla de cálculo y utilíce la función TIR no periódica de Excel. Esta debería ser de! 8,63%. Fecha liquidación
00/01/00
inicio período de renta
03/02/06
Tasa período en curso (LIBOB) Tasa proyectada (LÍBOR) Precio
4,005% 4,44% 77,5
Respuesta: ver apéndice con resoluciones.
¥
.'ti ih
10. Realice un análisis de sensibilidad con tasas que vayan del 4 al 15% para la "TÍR modificada" y los valores futuros que alcanzarían el bono al vencimiento con el mismo espectro de tasas. Respuesta: ver apéndice con resoluciones.
RHFIÍfí£NCLAS BIBUOGKAFICAS Fabozzi, F ranky Fabozzi, D e s s a ‘’T heH an clbooL ofF L xedln com eS ecu ritieí'. Invin, Illinois, 1995 (Tai vez la obra más completa sobre el rema). F abozzi, F ranicJ. y Fabozzi, D essa, "Boncl M arkets. Anatysis a n d Snace^ies”, Prentice Hall. Englevvood Cliffs, N), 1989.
Dos obras excelentes p a ra las funciones fin a n ciera s d e Excel, inslrucciunes eficientes en Visual Basic y recursos d e p la n illa d e cálculo imu’ ualíosos p a ra an álisis d e sem ihU idad y oíros son: F eunández, N éstor H., " F u n cion es F in a n ciera s d e Exce/", capituli) 6. l» edición, Ed. Errepar, Buenos Aires, 2003. F ern,ández. Néstor H.. "Excelpara contadores", l-‘ edición, Ed. Eijepar, bue
nos Aires, 2003, Otras fu en tes co n su ltad as: Rago M urili.o, Ricardo, "O bligaciones N egociables en la R epú blica /Irgentina; relaciones entre la calificación d el riesgo, la soivencht d el em isor y la tasa d e interés". Tesis de Postgrado en Administración Financiera, Uní versidad de Buenos Aíres, 2001, Instituto Argentino de Ejecutivos de Finanzas, informe niensual. Instituto Argentino del Mercado de Gapitales, informe Diario.
L
G u ille r m o LórE 2 D umrauf
ÍOO
Apéndice 11 A CAPITALÍZACION DEL DESCUENTO Y AMORTIZACIÓN PE lA PRIMA Cuando los bonos se compran con descuento o con prima, se produce un flu jo diferencial que capitalizado produce exactamen te el valor del descuen to o de ía prima, respectivamente Esto se conoce como la "capUalizacídn del desGuento" y la "amorlizacidn de la prima”. Ejemplo: suponga un bono del tipo bulle! que paga un cupón del 10% con vencínuento ai cuarto año. Valor nomináis 100
r caso: bofio co m p rad o con descuento (tasa de rendim iento exigida 12%) -
El precio del bono resulta ser de 10 a(l;4;0.l2)+ 100x (1,12)^=93,92
Resultando el descuento D = 100-93,92 = 6,07 Obsen'^e en el eje de tiempo que los intereses que devenga e! bono'son iguales a 11,27 (93,92 x 0,12), mientras que los intereses de los cupones son de 10 (100 x 0,10). La cilfelencia entre los dos flujos de intereses produce un flujo de fondos diferen cial de $1,27. Si realizamos una imposición de este flujo por cuatros años leñemos exactamente un valor de 6,07, que representa la “capitalización del descuento*’: 1
2
„
3
A 1 1
n.27 iQ __ 1.27
U,27 10_ 1.27
11.27 10 1,27
1U 7 10__ 1,27
1.27 s( i,:'t:0,i2)=n,ó7 2 “ c a s o : hnn o c o m p r a d a co n p rim a (rasa d? ren d im ien to ex ig id a 8%)
En este raso el precio del bono es 10 a(l;4;0.08) +10ü x (1.08)^ = 106,62 TtesuUando la prima P= 106,62-100=6.152 Los intereses que devenga el lv»no son iguales a 8,53 (106,62 x 0,08), mientras que los intereses de los 2, que representa la ''amortización de la prima*': 1 1 1 8,53 ii_ 1.47
1,17 s(i;4:0.Ü8)=6,62
2 1 1 8.53 J0 _ 1,47
3 1 1 8.53 1.47
4 1 1 8,53 JLL 1,47
C a p ít u l o 1 2
VoiATiLiDAD DE T ítulos
con
R enta F ija
"Una tasa da interés deí2% sugiere m¿is temores que esperanzas y ofrece a¡ mismo tiem po un ven dimiento corriente que apenas basta para com pensar débiles temores". L o rd jo h n M ayn ard K e y res (1 8 8 3 -1 9 1 6 ), n c o n o m ís ta inglés
I ntroducción La variación que experimentan los precios de ios títulos de rem a Hja cuando cambia la tasa de Interés suele denominarse “volatilidad”. Si bien la volatilidad puede analizarse también a partir de los cambios reales que han experimentado los precios de los bonos en el pasado — la denominada volatilidad "histórica” (1)— este capítulo se dedica a la volatilidad enteiidida como los cambios que experimentan los bonos como consecuencia de variaciones en las tasas de interés requeridas por el mercado, lo que usuaimente se denomina volatilidad "teórica”. Se examinan las causas que influyen en la volatilidad precio/tasa de interés, describiendo el herramental técnico para calcular categorías que ha menudo aparecen en publicaciones especializadas, como la "duratíon" vía "convexity". Finalmente, veremos que existe una relación entre las taras requeridas a cada título y su duration. ya que e! mer cado suele descontar un pago que se hará en un año determinado, con una tasa de interésS diferente. Esto origina la famosa “estructura temporal de la tasa de imerés'Vque es muy tenida en cuenia por los analistas financieros por motivos que descri biremos en la sección correspondiente. Después de leer este capítulo, usted será capaz d e:' 1, Calcular ja duration. la duration modifíca y la convexity de un título de renta fija.
(l) La volatilidad h istó rica está d ad a p o r el d esvío e s tá n d a r d e las v ariacio n es de los p recio s resp ecto de! p rom ed io en un p erío d o de tiem p o.
402
GutLURMO
L ó P tZ
D
u m r a u f
2, Interpretar qué significa una duraiion en íémiinosdtí la relación precio 7 taSadíTunbono. 3. Comprender com o inmunizar una cartera de bonos. 4- Entender qué significa la estmciura temporal de la tasa de interés, y cuáles son sus implicancias para el análisis financiero de títulos.
1 2 .1 ,V
o l a t iu d a d
Una de las propiedades fundamentales de los bonos libres de opcio nes (2) iS que su valor o precio de mercado varía Inversamente a los cam bios en la tasa de interés. Ya en 1936, el celebérrimo economista británico Jo h n M aynard k'eynes en su fam osa obra “The General Theory of Employinent, Interesi and Money" postuló que el interés de un bono es una especie de "prima de que compensa el riesgo de pérdida de capital, en una cantidad igual a la diferencia entre los cuadrados de la tasa vieja y la nueva" Ip. 202). Esto puede entenderse fácilm ente si pensamos en un mercado de ca pitales eficiente, donde no existe ningún inversor que pagará por el activo m ás de lo que realm ente vale. Suponga por un momento que existe un bono que tiene un cupón del 10% anual y que en ese mismo momento, la tasa de rentabilidad requerida para inversiones con el mismo riesgo se encuentra tam bién en el lü%; seguramente este bono cotizará a la par, pues esta entregando una rentabilidad igual a la que ofrecen otros activo que tienen el m ism o riesgo. Suponga ahora que la tasa de rentabilidad requerida por e! mercado aum enta al 1 l% ; si usted quiere obtener un 11% de rentabilidad comprando el bono anterior, no pagaría $ 100 por dicho bono para obtener solamenie $ 10 que ofrece el cupón. En este caso el precio del bono bajaría hasta ubicar se en aquel precio donde los %0 de renta fija que ofrece el cupón represen ten conio mínimo un 11 del precio que se esta abonando por el bono. Lo inverso sucede cuando la tasa de interés disminuye, digamos, al 9 %; en ese caso el bono que ofrece un cupón del 10% es una excelente inversión y esto es inm ediatam ente reconocido por los inversores, que comenzarán a de mandar dicho bono, subiendo su precio hasta ubicarse sobre la par, deter m inando una Tílt del 9 %. En el caso señalado por Keynes, se refiere al caso de los bonos “Consol*' del gobierno británico, que pagan intereses a perpetuidad. En efecto, si la lasa de contrato que paga un título perpetuo es del 10% y se encuentra 'cotizando a la par, un incremento de la tasa exigida por el mercado Igual ai cuadrado de la tasa vieja (0,10+0,10~)=11%) generará una reducción aproxi*
(2 ) P o r e je m p lo , e x iste n b o n o s c o n o p cio n e s d e rescate an ticipado o co n v ern b ies p o r a c c io n e s . £1 riesgo d e e s to s títu lo s es d ife re n te d e su s equivalentes sin opcion es. ^
►
.í-'tíi
V o l a t il id a d de T ítulo s c o n R enta F iía
>lí)3
"macla de $10 en el precio de! tíiulo (10/0,11=:90.9), perdiendo el rendim iento de todo el año. Pero sí la tasa de interés es ya tan baja como 2%, un incremen^ to de 2 a 2,04%, alcanza para anularla ganancia de interés al bajar el precio del título a $90. Por esta razón Keynes argumentaba que era peligroso comprar bonos cuando las tasas eran bajas. Los precios de los bonos que ofrecen una renta fija (o semifíja) (3) fluc
túan inversamente a los cambios en la tasa de interés. Las preguntas que uno puede hacerse al saber esto serían las siguientes: • ¿Cuán sensible es el precio de un bono frente a los. cam bios en la rasa de interés? • ¿Cómo influye el plazo de vencimiento, el tamaño de los cupones y la periodicidad con que se pagan Jos mismos?" ' Esto puede resumirse en un solo concepta; la uola^iilidad del bono. El riesgo precio tasa de interés
I
Cuando nos referimos a la volatilidad del bono estamos aludiendo a la variabilidad de su precio con respecto al precio que tiene el bono en el m ercad o en un m om ento determ inado. El concepto de "Duration" que definiremos posteriorm ente sendrá para arrojar luz sobre ia volatilidad de un título, ya que a mayor Duration, mayor es la volatilidad del títulii. Mencionaremos ahora tres factores que afectan la volatilidad; • El plazo de vencimiento. - El tamaño de los cupones. • La frecuencia de pago del cupón. Con respecto a la influencia que ejerce cada uno de estos Jactores poi separado, diremos lo siguiente; 1. Dada una tasa de contrato, que fija el valor del cupón, y una yíeld inicial (la Tin que ofrece el bono en el m omento de su emisión, que puede ser diferente a la tasa de contrato del cupón) la volatilidad será mayor cuan10 mayor sea el plazo de vencimiento del bono. 2. Dado un determinado plazo de vencimiento la volatilidad del pre cio será mayor cuanto más pequeño sea el tamaño def cupón. 3. Dado un determ inado plazo de vencimiento, una tasa de contrato que fija el valor del cupón y una yieid inicial, la volatilidad será mayor cuanto menor sea la frecuencia de pago del cupón. En el primer caso se explica por ia incidencia del interés compuesto: cuanto mayor sea el plazo de vencimiento, mayor es la fuerza con laqu e opera el descuento (principalm ente en los bonos emitidos por sistema
(3)
Por e jem p lo , los B o d e n arg e n tin o s, q u e o fre c e n u n a tasa flo tan te tib o r .
■
404
G
u il l e r m o
Ló p e z D
umiuvuf
americano, doi^de el principal se encuentra en e! último período) sobre los últimos cupones de la corriente, deteriorando en mayor medida su valor presente. El segundo caso aparece relacionado con el primero: cuanto menor sea el tamaño de los cupones en relación al último, disminuye el peso relativo del valor presente de los cupones en el valor del título, cobrando mayor impor tancia el valor presente del último período (en el caso de los bonos emitidos por sistema americano esto es más evidente) quedando sesgada la variación del precio del bono más a la variación en el valor presente de los últimos períodos qué a la de los primeros. El tercer caso conviene aclararlo un poco más. Cuanto mayor es la fre cuencia del pago del cupón (digamos pagos semianuaies frente a pagos anu ales) cob ram o s m ás rápid©. El cobro anticipado de los cupones sem ianuaies frente a los cupones anuales, hace que estos "escapen" en par re al castigo que impone el interés com puesto cuando suben las lasa de interés. Por lo tanto, el valor actual de los cupones semianuaies es mayor que el valor actual de los cupones anuales. En los tres casos mencionados, la volatilidad aum enta cuando la D uration del bono es mayor. Esto se perci birá claram ente en los ejem plos a seguir, donde observaremos los cambios en los rendim ientos y precios para un bono emitido por el sistema america no cíe amortización, En la bibliografía suele utilizarse indistintamente el término "yield" o "yield to maturíty" para referirse a la TIR del bono, de manera que salvo éspecincación en contrario, utilizaremos los dos términos.
Ejemplo del plazo de vencimiento Suponga 3 bonos de VN = SlOO, todos con un cupón deJ 10%, pero con ciUerentPS plazos de vencimiento (1,10 y 25 años). Suponiendo que la tasa de rcndimíenio requerida por el mercado es inidalmente del 10 %, a conúnuación ntostramos cuáles serían los nuevos precios de los 3 bonos si la tasa de interés requerida por el mercado aumenta al 11%: P re c io del B o n o P recio del B o n o V encí m íen lo: Ip a ñ o s V en cim ie n to : 2 5 a ñ o s
nn re q u e rid a
P r e c io d el B o n o V e n c im ie n to ; 1 a ñ o
10%
$ lUO.UO
$ 100,00
$ 100,00
n%
$ 9 9 ,1 0
$ 9 4 ,1 1
$ 9 1 ,5 8
A % P recio
-0 ,9 0 %
-5 ,8 9 %
-8 ,4 2 %
Tabla 12 1 Precio y plazo de vencim iento
Como puede observarse, el bono con el plazo más largo de vencimiento es el ntás afectado en términos del cambio porcentual en su precio. Míen-
tras queel precio de un bono con vencimiento a 1 año solo cambia un ü.90%, lafuerza del interés compuesto determina que el precio del borio coi' vend* miento a 25 años disminuya un 8,42 %.
Ejemplo para el tamaño del cupón
Si analizamos el efecto del tamaño del cupón desde el límite conside rando un bono cupón cero (que constituye el caso extremo en términos de tamaño de cupón, puesto que no hay cupones), el plazo pesa de una manera especial, pues se cobra todo de una sola vez al vencimiento, de manera que cuanto más largo es el plazo de vencimiento con mayor fuer za operará el descuento en el precio del bono.
m # '
Supongamos que iniciaJmente se emite un bono cupón cero y el mer cado le exige ínicíalmente uña tasa del 1Q%. En la tabla 1 2 . 2 se .muestra el nuevo precio de los bonos cuando la tasa aumenta ^ 1 1 %: TIR
requerida
Predo del Bono Predo del Bono Predo del Bono Vencimiento: 1 año Vencimiento: 10 años Vencimiento: 2.5 afin<í
10%
$90.9
$ 38,55
$9,23
11%
$90,09
$35,22
$ 7,36
A % Precio
-0,99 %
-8.64 ’
-20,25 %
'■'íBf-
Tabla 1 2 2 Precio y tam año del cupón
De la labia 12.2 pueden derivarse las siguientes conclusiones: • El cambio en el precio para el bono cupón cero con un vencimiento de 1 año es pequeña frente a los bonos que sf pagan cupón, debido a que en un año el interés compuesto no alcanza a cobrar fuerza. • En cambio, para los bonos con vencimiento a 10 y 25 años el rarnbio porcentual en el precio es mucho mayor con respecto al cambio porcen tual en el precio que tenían los bonos con cuponesTlel ejemplo anterior, debido a la intensidad con que opera el interés compuesto.
Ejemplo para la frecuencia del cupón Analizaremos el efecto de la frecuencia del cupón comparando la volatilidad en el precio del bono emitido con un cupón anual del 10 % a 10 años, frente a otro bono emitido con un cupón sem estral á ú 5%, tombién con un plazo de vencimiento a 10 años. SI la yíeld b TIR exigida aumenta al 11% anual (5,35% semestral) los nuevos precios serían:
0 !F
40(>
G u i l u b j c ^ oL ó p e zD u m r a u f
TIR requerida
Predo del Bono Cupón anual 1Q %
Predo dd Bono Cupón semestral 5 %
10%
S 100,00
$ 100.00
11%
$94,11
$95,7
á % Precio
-5,89%
-4.31%
T abla 12.3 P recio y frecu en cia de pago del cu pón
C oino puede observarse, el precio del bono que paga un cupón sem es tral resulta m enos afectado en su precio al cam biar la tasa de interés. Oci a s m e d id a s d e v o la t ilid a d e l v a lo r en el p recio d e un p u n to b á sico y e l v a lo r en la 7111 d e un c a m b io d e p recio Es com ú n que la volatilidad de un título se exprese en térm inos del efecto que tendría un cam bio de un punto básico (1 basis point = 0.01%) en la I IR exigida, sobre el precio del título. También la medida del basis poiní es utilizada para cuantificar la medida del riesgo país cuando se es cu ch an expresiones tales com o "la tasa del riesgo país subió tantos puntos básico i", en estos casos se suele com parar el diferencia] de las tasas de re torno de los b onos argentinos con sus similares del tesoro norteam erica no, considerados libres de riesgo. Puede resultar útil tener en m enta cier tas equivalencias com o las siguientes:
1 Uasispoint = 0.01 %
10 basis poinl=: 0.10%
100 basis point = i %
Para ver el valor en el precio de un pumo básico y el valor en la TIR de un cam b io de precio, supondrem os un bono emitido con un cupón del lu % para un plazo de vencim iento de 5 años. Cuando la TIR exigida es del 10%, e( bono coliza a la par. Si se produce un incremento de un basis point y la tasa aum enta al 10,1%, entonces el precio desciende. Lá variación de -0 ,3 8 representa el precio de un punto básico o visto al revés, el cam bio en el precio de -0 .3 8 representa el valor de un basis point en la TIRv
10%
Predo del Bono Vendmiento: 5 años S 100
10,01%
$99,96
A Precio
-0,038
TIR requerida
Tabla 12.4 Efecio en el precio de un punto básico
4(T/
V o l a t il id a d de T ítlilos c o n R ewTa F iia ' ^LajD//rrtn'íí/í fcluraeián) de un bono
El c o n c e p to de la '‘d u ratio n " fue. desaxcollado o rig in a lm e n te por Frederick Macaulay, quien percibió que el plazo de venciraiemo de un bono sólo daba información acerca de la fecha final en la cual se recibiría el pago del principal del bono, pero no consideraba lodos los pagos inlermedíoí, Como medida representativa de la vida media ponderada de la corrien te de pagos que generaba el bono elaboró un índice que es un promedio ponderado de cada uno de los pagos de un bono, donde el factor de pon deración es el valor presente de cada uno de esos pagos (que al ser dividi dos cada uno por el precio, se <3xpresan com o un porcentaje de éste). íte^ cuerde que el valor presente de todos los cupones es igual ai precio dd bono. Supongamos un bono bullet que paga una tasa de interés dei 10% y vence a los 5 años. La duraiion sería.9,09
7,S1
8 ,2 ó
6.83
;
68,3C
no ' ^
_V,(U0L/ D=
10 (1,10)? V
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^
\ (l^ )y
Observe que los valores de los círculos nos dicen que porcentaje repicsen ta el valor presente de cada cupón sobre el precio. Naiuralineme. kt sum a nos da el 100%. Cada valor es multiplicado por el momento en que sé produ ce él cobro de cada cupón y luego sum am os para o b ten er la duration. Como se aprecia, ésta es m enor al plazo de v-encimiento. La fórmula para calcular la d u ration de un bono emitido por el sistejiia , am ericano es la siguiente: y
iC TJR
■+ -
n.PR i-f-
T ÍR ]
D=Donde: C = cupón de interés deJ bono PR = principal P = precio de mercado del bono m = nümero de pagos por año A continuación se muestran en las tablas 12.5 y 12.6 los cálculos de la duration para dos bonos emiiíclos a la par con cupones del 5% y 10% anual, ambos con vertcimíento a 5 años; x
G u ^ L L E il^ ^ oL ó p e zD u m r a u f
m
rvv
Gqx5n
Valor Actual
10
9,09
0,09
0,09
10 ‘
8.26
0,08
0,17
0,08
0,23
% s/ Precio
% sf Precio Xt
10
7,51
10
6,83
0,07
0,27
no
68,30
0,68
3.42
Duration
4,17
Tabla 12.5 D uration para un cu pón del 10% anual
Cu|x)u r
Valor Actual
% sf Precio X 1
4 .5 5 ™ ^ ^ 4.13
5.1%
0,10
5 .
3,76
4.6%
0.14
5 ■
3,42
4.2%
0,17
65,20
80,4%
■ 5
-
% si Precio
5"
105
5.6%
'" ^ 0.06
Diuaüon '
~
4,0,: 4,49
T abla 12.0 D uration para un cupón del 5% anual
De los ejemplos podemos observar que cuando el tamaño de los cupo nes aumenta la duration disminuye. Cuando el tamaño de los cupones se leduce, en promedio estamos cobrando más lentamente y como veremos, la vnlarilidad aumenta, ya que el precio del bono se torna más sensible a los cambios en las tasas de interés.
Fnclores que sifectaii la duration de un bono La duration está estrechamente ligada al componente tiempo del bono, -<;í"ndo lOvS factores que la induyen: ■* Ui tasa de interés. > El tamañiO del cupón. ' La [recuencia en el pago del cupón. ' El plazo de vencimiento, * El monto de los intereses corridos. La duration de un bono disminuye cuando aumenta ia TIR exigida. - Cuando se incrementa ésta, el valor actual de los flujos más lejanos des ciende proporcionalmente más que el valor actual de los flujos de fondos
m
VoLATiiiDAD DE T ítulos
con
RE^^^A fiiA
^09
más cercanos debido a que ej exponente al que se eleva (1+TIR) es mayor en el primer caso. De este modo, el peso relativo de los flujos m ás cercanos se incrementa, y desciende el de los flujos más lejanos, haciendo que disminu ya la duration. La durad on de un bono aum en ta cuando dism inuye el lam ano del cupón. Dados dos bonos que sólo difieren en ia cuantía del cupón, aquél que pague un cupón mayor, tendrá m enor duración de M acauíay o m odi ficada que el otro para cualquier rentabilidad exigida. Esto es porque cuan do ei importe de los cupones es pequeño, el pago dei principal representa una fracción m ayor de Jos pagos totales: el valor actual del ultimo pago adquiere im portancia al dism inuir el Im porte de los pagos interm edios. El Importe del principal actúa sobre la duración de M acauíay y sobre la m o dificada de m odo inverso a com o lo hace el im porte de los cupones' cuan to mayor es el principal, mayores son estas duraciones. La razón es que cuanto mayor es el principal, en un sistem a am ericano el peso del Ultimo flujo es mayor. — , La duraüon disminuye cuando aum enta la frecuencia con que se pagaji los cupones. Dados dos bonos con el mismo valor nómina!, fraccionar el cupón y adelantar una parte del pago supone desplazar los pesos hacia la izquierda, y por tanto, también su centro de gravedad. Dados dos bonos con cupones del 10% anual y 5% semestral respeciivániente, el del 5% paga la misma cantidad de intereses en el año, pero lo paga antes, y por lo tanto, sus cobros están más "resguardados" de ios efectos del interés compuesto cuan do sube o baja la tasa de interés. La diiration disminuye cuánto mayor es la proporción de los imereses corridos en el precio. Por último, los intereses corridos son esencialmente una inversión en efectivo con una Duration muy cercana a cero, pues ya han sido devengados. Como el precio del un bono siempre los incluye, ':uantQ más grande sea la proporción del precio de un bono que se atribuye a los intereses corridos, menor será la Duration. Duration modificada De la derivada primera del precio del bono con respecto a un t aml)io en la tasa de interés surge el concepto de Duration Modifica. Primern pre-. sentaremos el concepto en forma intuitiva para luego desarrollar un aná lisis formal. La Duration Modificada es un indicador que nos s in e pata estimar cambios en el precio de los bonos cuando se modifica la TIR re querida por el mercado. Para ello solo hay que ajustar la fórmula de la Duration vista anteriormente actualizándola poi la TIR requerida. DM =
D
<17
(1 + ™ )
(1.10)
= 3.79
A partir de la Duration Modificada podemos predecir razonablentenle los cambios porcentuales en el precio de mercado del bono para un deter^
MO-
í-’"
G uillerm o LOrez D ümrauf
m in a d o c a m b io eií la TIR requerida. Para ello, realizam os eJ siguiente c á lcu lo : DM X Variación % TIR = Variacidn % Precio del bono
Entorices, la Diiration Modifica es uncoeficiente que, multiplicado por la variación porcentual enla TIRexigidapor el mercado, noda una estimaciónde lavariaciónporcentual que tendría el preciodel bono. Ejtím plo: Un bono W = 1 0 0 con un cupón del 10%, cotiza inicialm ente a la p ar ya que la TIR exigida por el m ercado es del 10%. La tabla 12.7 nos d ice cuales serían los nuevos precios y ios cambios porcentuales teóricos según la D uration Modificada.’ Por ejemplo, para saber cual sería el nuevo p recio para un áumento^'de 1 punto porcentual en la tasa (del 10 al 11%) h a ce m o s . - - -3.79 X 0.01=3,79% O bserve que el coeficiente de la Duration Modificada tiene en realidad signo negativo: esto se debe a que representa la derivada primera del pre cio del bono con respecto a la tasa y ésta es negativa. r TIR exigida
Precio real
Pronostico s/ Duration modificada
% cambio real en el precio
\blatiUdad s/Duration modificada
\blatílidad en dinero
5%
S 121,6
$ 119,0
21 ,6%
19.0%
$-19.0
t%
$ U 6,B
$115,2
16,8%
15.2%
$ -15,2
i
$ 112,3
$111,4
12,3%
11,4%
$ -11,4
í¡%
$108,0
$ 107,6
9.0%
7,6%
$-7,6
¥
$103.9
$ 103,8
3,9%
3.8%
$ '3.8
»
$ 100,04
$ 100,04
0,0379%
0,0379%
-3,791%
► í
f $
I
10%
$ 100,0
S 100,0
0,0%
0,0%
$ 0,0
I
•lÜ.01 %
$99.96
$99,96
-0.0379%
-0,0379%
3,791%
I
11%
$ 96,3
$ 96.2
-3,7%
-3.8%
$ 3.8
t
11%
$92,8
$92,4
-7.2%
-7.6%
$7.6
$89.4
$ 88.6
- 10,6%
-11,4%
$11,4
$ 86.3
$84.8
-13,7%
-15,2%
$15.2
$83,2
S 8 L0
-16,8%
-19,0%
$19,0
i ;í %
15%
'
' Tabla 12.7 Variacida en el precio según duration modificada
V 'ü u m iD A D DE T ítu lo s c o n R enta F u á
4 II
Observe cóm o para cambios pequeños en laTIR (1 basis point = 0 .0 ] %) {-0 el cam bio porcentual en el precio pronosticado según la duración modifícada es exaciam enie igual al cam bio porcentual en el precio real. La D uraiion M odificada fu nciona bastante bien para pronosticar cam bios porcen tu ales para pequeños cam bios en la T íR ; en cam bio la predicción no es tan buena para cam bios iniportaníes en JaTÍR exigida. -* Esto se debe a la propiedad convexa de la curva precio/yíeld, que es la causa por la cual la aproxim ación de los cam bios en el precio de un bono a través de la duración m odificada, resu lta co n un erro r m a y o r a nieciidü q u e se h a c e m á s g ra n d e el c a m b io en la yiald. Esto puede apreciarse en la figura 12. J donde se m uestra la curva precio/yieid convexa y una recia tangente a la curva en un punto dado que estim a la relación de convexi dad. Por tanto, para cam bios infinitesim ales en la yieid, la duraiiori modi ficada nos da una adecuada mrsdida del cambio en el precio del bono, -
La recta tangente representa los distintos precios que corresponden a distintas yieid según la Duration Modificada; la curva.convexa representa los precios reales que corresponden a distintas yieid; ^ • Para una reducción de la TÍR exigida del 10 al 5%, el precio segiiri Duration Modificada es 119, mientras que el precio rea! es de 121,
• Para un aum ento de la TIR exigida del 10 al 15%, el precío segiin Duration Modificada es de 81, mientras que el precio real es de 83
Precio
121 119 100 83
01
Figu ra 12.1 Precio real y p recio seg ú n D uration Modificada
La conclusión es que la recta tangente que representa a la Duration Modificada subestim a el alza del precio cuando la tasa baja y sobreestima la baja del precio cuando la tasa sube. (4) R e c o r d e m o s q u e 1 0 0 b a s is p o im = 1% y p o r lo ia n to un b a sis p o in t es igual a 0,01 ‘ib.
G u R L E fu .ío L ó p e z D u m íia u f
m
Para obtener un indicador que nos dé con precisión el cambio en el pre cio del bono para un cambio en la tasa de interés, precisamos de la convexity, (|ue tratamos en una próxima sección. Antes de ello, revisaremos el significa do de la duration y la duratíon modificada, así como su tratamiento matemá tica
Derivación matemática de la Duration y la Duration Modificada El concepto de duration se relaciona con la primera derivada del pre cio de! bono con respecto a un cambio en la tasa de interés;
^ ¿ 7nÍ?T7 = o+W +c, (1+W ^+...+C, (I +W ” ^ -r i IK ) Si derivamos el precio de! bono con respecto al cambio en la TIR, tene mos
dTIR
+ ( - 2 ) -----+ ._ . + ( - n ) --------------------------
(1+ r a ) '
(1+ ™ ) - '
Como puede apreciarse, la derivada primera del precio es negativa, lo cual indica que Cuando la tasa de interés aumenta, el precio disminuye. Vamos a mostrar ahora como se relacionan las expresiones Duration y Duratíon Modificada, Sacando factor común l/(l+TIR) en el segundo miembro y multiplicando ambos términos de la expresión anterior por l/P (donde P es el precio) tenemos
{l + TJRy
Puede verse en el segundo miembro, que la expresión qué multiplica a la Duration (D):
l/(l+nu) es piecisamente
VOUTIIIDAD DE TITULOS CON IU mTA F)}A
413
1. L a D uration co m o m e d id a d e ía v olatilid ad d e l precio d el b o n o Sí queremos saber cuál es el cambio porcentual en precio deJ bono (dP/ P) para un cam bio en la tasa de interés (dTIK) multiplicamos Ja Duratíon Modificada por el cambio en la tasa, como lo explicamos anteriormente cuando vimos Ja tabla 12.7
P
D -x d T IR il + TIR)
Si quiere saberse el cam bio absoluto en el precio del bono, debemos hacer
(I + TIR)
2. L a D uraiíon com o fa c t o r d e elasticid ad d e descuento dP dTlR
(1 + 7//?) _ P
d P iP
~dTlR /(I + TIR)
_
h% P L % fa c t o r d e d esa ten tó
Note que dP/dTIR=DuraÜon Modincada; al multiplicar por (I+TITI) vuelve a convertirse en el coeficiente de la Duratíon (-D). Significados de Ja duratíon Ahora que ya hemos visto el análisis matemático de Ja Duration y ía Duratíon modificada, estamos en condiciones de realizar una interpreta ción económ ico financiera más exhaustiva y que será muy útil para (os inversores y operadores de ios mercados de capitales. Los significado.'? ijiás importantes de la Duratíon son: • Es una medida de la vida media ponderada del bono. • Es un punto de referencia acerca de la volatilidad del precio d( 1 bono. • Es el momento en que se recupera la inversión, incluyendo d valor del tiempo. : La Duratíon es una medida de la vida m edía del bono si tenemos en cuenta que ésta considera los cobros d élos períodos intermedios. Mullipilcando la Duratíon por la cantidad de días que tiene el año. podemos expresar esa medida en días. También se relaciona con la volatilidad, ya que sim plem ente dividiendo la D uratíon por (l+ T íR ) obtenem os la Duratíon Modificada, que com o vimos es un coeficiente que nos r»ermite aproximar razonablem ente los cam bios en el precio del bono paia cam bios pequeños en la tasa de interés. Vamos ahora a explorar el tercer signi-
-
■4'Í4'^
“G u it L E R M O L ó p e zD u m r á u f
fíóadti, q u e no es tratado muy a menudo. En la figuta 12.2 aparece el flujo d e fondos de nuestro bono bullei con un cupón deí 10% anual y vencí* m ien io a los 5 años. Su D uration es de 4,17 años. Puede considerarse este p u n to com o el cen tro de gravedad si pensam os en estos flujos com o una barra con p esos a la izquierda y a la derecha; naturalmente, en algún pun* fo ios pesos de ía izquierda se equilibran con los pesos de la derecha: este p u n t o e s 4 j7 .
1500 1000
500
J ' o ¡ «gs
^I
tüiifflrtl i' «.ya BBW
I
'f
■1 Duration=4,17 Figu ra 12.2 D uration d e un bon o
buUe[
Si leinvertim os los cupones que vamos cobrando antes del momento iM ,1 7 y por otra parte descontam os los cupones que se cobran luego de ese m i)m ento para expresar su valor también en t=4,17 puede verse que es lo mism o que si hubiéramos invertido los $100 que pagEunos por eí bono durante 4,17 períodos al 10%:
U)(J,10i*:” + lOtUO)"-*’ +10(1,lO)'*’ + I0(U0)”*^+ -
„ = 100(1.10)"*’ = 148.80
(1.10)“
De forma tal que la Duration también puede entenderse com o el m o m ento en que recuperam os la inversión, incluyendo el rendimiento que habríam os obtenido si hubiéram os invertido el dinero en un activo con riesgo similar. % ■
Cálculo de la Duration y !a Duration Modificada con Excel® En el caso del ejem plo anterior, del bono emitido con un cupón del 10% a 5 años, usted puede calcular ia duración y la duración modificada símpleíTiente utilizando las funciones de Excel o escribiendo en una casi lla las .úguien tes fórmulas: s OURAaONí“3J - 12-2000V 3 4 .1 7
J-12-2005“;0.1;0.1: l) y el resultado d ebería s er Igual a
^DURAClON,M0DlFr3 M 2-2000'i*^ M2-2005',-0.1:0. l;l) Y el resultado debería ser i< 'u a la 3 ,7 9
V o lA tn iD A D D t T m i l Ó S GOH R ifiT A FíjA .
41^
fig u ra 1 2 .3 1‘u n d ó n D u ració n d e Excel
Es de notar que !as funciones de Excel requiereií para su utilización que defina las feclias de liquidación y vencim iento (tenga presente que ios formatos de fecha deben estar en el idioma en que está configurado Excel). En este caso “engañam os" a Excel definiendo dos fechas para que entre ellas haya exactam ente 5 años. En Ja pra'ctíca, esta función es muy poco operativa ya que com o vimos en las secciones anteriores, los cupones se pagan en fechas que no son equidisranles. Para solucionar este problema, le sugerim os diseñar su planilla de cálculo com o se m uestra en la figura 12.4 donde son calculados todos los valores presentes de los cupones que paga el Boden 2012, Luego estos valores presentes se multiplican por los F ech a liquidación Inicio periodo de renta T a sa período en curso (LIBOh) T asa proyectaaa (LIBOR) Precio
Duración Modiííed Ouration Pfom . Pond días
ípywsniiBw 0 6 7 8
g 10
11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22
28/10/05 03/08/04 03/02/05 03/08/05 03/02/06 03/08/06 03/02/07 ca/08/07 03/02/08 03/08/08 03/02/09 03/08/09 03/02/10 03/08/10 03/02/11 03/08/11 03/02/12 03/08/12
-77,5 0 ,0 0 0 ,0 0 0 ,0 0 1,76659 14,426.53 1.67868 1 4 .1 5 1 3 2 1 .39B 90 1 3 ,8 8 3 7 0 1,11912 1 3 ,60086 0.83^ 34 1 3 .32566 0 ,5 5 9 5 6 13,05044 0 .2 7 9 7 8 12,77674
0 ,0 0 0 ,0 0 0 ,0 0 1,73 13,54 1.51 1 2 ,2 3 1.16 1 1 .0 4 0 ,8 5 9 ,9 6 0 .5 9 8 ,9 8 0 ,3 6 6 .0 9 0 ,1 7 7 ,2 9 7 7 ,5 0
3 ,2 5 2 9 7 0 8 1 1 3 ,1 1 8 3 3 3 0 4 8 1167
rP^Bimdp'raiítíl’í l -451 -267 -8 6 98 279 463 644 828 ^ 1010 1194 1375 1559 1740 ' 1924 2 105 2289 2471'" ■
Figura 12.4 D uración del B o d en 2012
0 0 0 16S 3778 700 7674 960 / 11151 . 1019 13689 . ' 919 ■■ 15623 696 17039 38r 18021
•lU v
G u i l l e r m oL ó p e zD u m r a u f
d las que median desde la compra del título hasta el cobro ({por ejemplo, para ef cupón 10 faltan 279 días, que es la cantidad de días entre el 3/08/06 y el 28 /10/05 cuando se compró el título) y se dividen por 365 días y por el precio del título (en el caso del cupón Í0 sería 13,54 x 279/365/77,5). Finalmente, la sum a de todos los valores presentes ponderados multiplicados por los días hasta el cobro y divididos por365, nos da la Duration. El promedio pondera do eii días surge de multiplicar la Duration por 365. i a Duration Modificada surge de dividir la Duration por laTIH. '
Cambios en la TIR exigida no afectan en forma sim étrica al precio del bono Los cambios en la tasa de interés no afectan de una manera simétrica al precio del bono, sino que por el contrario, el cambio porcentual no es siem pre el mismo. ' , : - En los bonos libres d e'o p cio n es.^ T c^ b io porcentual en el precio no es •igual para todos los bonos y depende de las características básicas que ya hemos enunciado: el plazo de vencimiento, el tamaño de los cupones y la frecuencia en el pago de los mismos. En tal sentido, podemos agregar lo siguiente: Para cam bios muy pequeños en la TIR requerida por el mercado, el cam bio porcentual en el precio del bono es aproximadamente igual si ésta aum enta o disminuye. Por el contrario, cuando las variaciones en la tasa de interés son más grandes, la variación porcentual en el precio del bono no es la nfiisma. Una disminución en la TIR requerida del mercado en una determina da cantidad de puntos bá.sicos, produce un aumento porcentual en el pre cio del bono mayor a la disminución porcentual que se produce en el pre cio del bono cuando la TIR requerida por el mercado aumenta en la m is ma cantidad de punios básicos. La explicación es sencilla: observe en la tolda 12.7 que cuando la tasa requerida sube del 10 ni 11%, el precio del bono disminuye un 3,7% (de 100 a 96.2). Para que el bono pueda volver a cotiza a $100 la tasa debería volver al 10%, pero en este caso cuando el bono pasa de 96.2 a 5100 el aumento es del 3,95 %). El precio de un punto básico será diferente dependiendo del valor de la TIR en ese momento, en la curva precio-tasa de cada bono. La sensibilidad del precio a un cambio en la yíeld es mayor cuando esta es baja que cuando es alta (5), como puede verse en la figura 12.5, El cambio en un punto porcentual no produ ce la misma variación absoluta en el precio del bono cuando por ejemplo, ésta baja del 15% al 14% que cuando baja del 4% al 3%. La explicación de esto se vincula con la forma convexa de la curva precio-tasa y matemáti camente aparece representada por la elasticidad precio-tasa.
(5) Esto d e p en d e d e l nivel d e lasas d e in terés y precio del Ululo del q u e p a rta m o s. A nte u n ca m b io p o rce n tu a l e n la tasa d e In terés, el cam b io porcen tual del título es diferente.
a
V o l a t i l i d a dd e T í t u l o s c o nIIín t aF iia
417
Figura 12.5 Efecto en el precio del cam bio de un punto porcencuaJ
Debido a que la convexidad de la curva no es igual para todos los bo nos, la variación porcentual que experimenta el precio ante un cambio en la TIR requerida por el mercado, también es diferente.
Convexity Una aproximación más exacta del comporíamiento del precia de un bono para un cam bio en la TIR requerida, se obtiene considerando la duración modificada más la convexidad {com/exit}') de ia curva. Para ello, sumamos al cambio en el valor que obteníamos por la Duration Modifica da el valor de la Convexity multiplicada por la variación de la tasa elevada a! cuadrado (6) A% P ^ DM
X
ATIR + Convexity
x
ATIR^
La convexity se mide por la diferencia e.xistente entie la línea tangente a la curva precio rendimiento y la curva misma en un punto detemiinado. Esta brecha mide entonces la diferencia entre los precios real del bono dado por la curva, y el precio estimado dádo por la recia que representa ia línea de la Duration Modificada, Ai igual que lo hicimos con la Duration,
(6) 'T u m o s p o rcen tu ales de ca m b io en la> ield ” n o es lo m ism o q u e ja variación p o rce n tual en la yleld. U n ca m b io en un p u n to p o rce n tu al es, por ejem p lo , cu an d o la víeld p a sa del 1 0 a IIl% .
-U 8
’C u itiE R M O L ó p e zD u m í i a u f
Vtírsniós primero, im a aproxim adón intuitiva para la convexií)vpara luego realizar un tratam iento formal. Para calcularla conivxííyri/np/a (Cx), utiliza m os Lt siguí ente x'órniula:
Cf
y " í.(/ + i) — ((1+ i+ m y
Ci = 1+
m jiL p
rm
Di>nde C F representa el flujo de fondos del bono, t e! período de tiem po de cada cupón, y m la frecuencia de pagos por año.
Cupdn
CF
Valor actual CF
■=■ 1 -
10 -
9,09
Valor actual CF x t.fi+11 m.m.P . . . — 0,1818 0,02“^
2
10
8,26
0,06
0,4958
3
10
7,51
0.12
0,9015
Líí+U mmP
4 ,
lú
6,83
0.2
1.3660
5
lio
68,30
0,3
20,490
100,00
Cx = 23,435
T abla 12,8 CálcuJo de la convexidad
Como 23,43 representa la segunda parte de la fórmula de la convexity simple, para obtener la Convexity (CV) nos falta dividir por (l+TITl)^ y tam bién dividir por 2 (ver sección de la derivación matemática de la convexity). ^ Cv ___________
23,435
(l + T//?)-2
(M 0 )"2
==9,6837
E jem p lo para el cam bio en el precio del bono cuando se increm enta la T IR requ erid a por el mercado Suponiendo que la T lR requerida por el mercado se incrementara en un 3%, sum ando los valores que nos dan la Duration modificada y la Convexity deberíamos determinar con exactitud el cambio porcentual en el precio del bono: A %
en el precio del bono por Duration modificada: ■ t: ■
.
.'
4 .■
-
A % en e í precio del bono por Convexity (0,03^ x 9,6837): Total
11,4
%
.1
„
■■
-
...
-
M 7% -10,6 %
'^r
-.X
V o u t í i i d a d d * T ít u io s c o n R enta I'I/ a '
Observe el leqtof que el porcenlaje de variación en el precio real a p a r e c e resaltado en la tabla 12,7 cuando la TíR exigida aumenta del íü a l 13%, y coincide exaccameme con el porcentaje de variación obtenido a través de la suma de la Düraíion Modificada con la Convexity. La Convexiry se mide por la distancia entre la línea que representa la duraiion modificada y la curva Precio-Rendimiento que representa la fun' ción real del precio del bono. Debe interpretarse como la tasa de cambio de la du ration modificada ante variaciones en el rendimiento exigido De manera que la expresión deJ cam bio porcentual en el precio queda expresado com o: A%
-D M X ATIR + F a c ío r d e C onvexity x (A T IR f
En.síntesis, m ientras la Duration M odificada no$ da una razonable aproximación para el cam bio en el precio del bono para pequeños cam bios en laT IR requerida, al adicionarle la convexity obtenemos el cambio porcentual exacto.
Factores que afectan a la Convexity 1. Cuando aum enta la TÍR requerida de un bono,* cae su convexity y viceversa. 2. A mayor Duration, mayor convexity y viceversa. 3. Se encuentra relacionada positivam ente con la volatilidad: mayor volatilidad en los rendimientos genera mayor convexíc^^.
Derivación m atem ática de ia Convexity Si recordamos que lá derivada primera del precio del bono con respec to a la lasa de interés era
dTlR
d + r/ / o"
{[\ -T IR f
y como la Convexity es la derivada segunda, volviendo a derivar la ex presión anterior, nos queda dP dT lR
5
- 2 +6 ■ ■ - + .... - f d ? '+ 1)" ( l + T O )' (H -ra )
La derivada segunda es positiva, lo cual ños sugiere que la función es cóncava (y la curva precio-tasa es* convexa).
O U íU fP M O l ó P t 2 DUM«.^Uf
Lt (unción precio del bono también puede expresarse como una serie de layloi. Si conocemos el precio del bono para una TIR determinada (TIR„), luego el precio pma otra TIR. puede calcularse el precio de las sucesivas derivadas:
r = r ^ i — {TIR - T¡Ra) + {T!R - TiR)^ +.... VdriR “ TldTIR1 d"P
. + ---------- -{TÍR~TÍRV ^ n!d7//?"
Sí lo diferencia TIR-TIR^ es pequeña, pueden despreciarse todos los Humillos posteriores a la segunda derivada sin cometer un eiTor significa tivo: ’ 1 //’ p 1 dr r-r„ + ( ™ - r a . ) + 1 4 i- ( r ;R - ™ ) = VdTIR l'.dTIR'
Para cambios muy pequeños en la tasa de interés (TIR-TIR^ ) el segun do sumando c.s de escasa cuantía y entonces queda obviamente la expre sión de la duration modificada que es la expresión de la primera derivada para variaciones pequeñas en la TIR exigida.
■ir-, >1?.
1 dP r = r . . + --------- ;( T I R - T ¡ R ,) VdTIR
.¡Kj lUíltracíon de la duration y la convexity en el análisis financiero ü i duration no sólo es una medida de la volatilidad del bono, también puede funcionar para el análisis de operaemnes de arbitraje Suponga que un administrador de portalolios tiene una cartera compuesta por varios títulos de renta fija, con diferentes duraiicn. Si por ejemplo, esperara un aumento en ias tasas de interés, seguramente comprará bonos de menor duration por ser aquellos que mostrarían una menor caída en su precio y viceversa. La convexity provee mayor precisión para determinar la variación del precio de un bono, pero para pequeños cambios en las tasas de interés la fHiration Modificada proporciona una medida bastante aproximada de los cambios de precios, de fonna tal que la convexity queda relegada a un pla no más académico toda vez que no afecte los cálculos significativamente.
VouTmoAp DE TlTütas
cqhJ ^ mta Fíía
42Í"
Preguntas de auto-evaluación! L ¿Cuáles son los factores que afectan a ia Duratíon? 2. ¿Porqué los cambios en laT lR exigida no aíeciani de m anera siiné^ trica al precio del bono? 3, ¿Qué es la convexity?
12.2. Inmunización de una cartera p e bonos El valor de un portafolio de bonos depende de 1a estructura de tasas en el tiempo, incluyendo el momento en que el portafolio es liquidado Expli camos con detalle la estructura temporal en una próxima sección , po> ahora sólo diremos que las tasas de interés en cada año rio son iguales. La mayo ría de las veces, la curva de rendim ientos sigue un com portam iento as cend ente. Si el portafolio tiene el mismo retorno en una fecha especificada, no importa com o cambien las tasas de interés, y por lo tanto se dice que está in m u n iz a d o En realidad, veremos que el concepto de inmunización está relaciona do con el concepto de "vencimiento medio" que vimos en e l capítulo de interés compuesto. Podemos inmunizar una obligación con otro bono, o con un portafo lio de bonos,La idea básica es, desde el punto de vista de un inversor, que independientemente de los cambios que se produzcan en las tasas de In terés. el rendimiento del portafolio varíe lo menos posible. Las estrategias de inmunización están íntimamente relacionadas con el co n cep to de duratíon y tam bién, aunque en m enor m edida, el de convcxitv. Supongamos que una compañía debe pagar una obligación N dentro de n períodos. Su valor presente es:
N
P =-
o + ¿r Si la obligación es cubierta por un bono mantenido por la com pañía cuyo precio es igual al valor presente del flujo de.caja futuro: n
Q
■.■’TÍÍ’ííi
CiuiLLEiiMo López DuMiiAUfAltara supongam os que la lasa de interés k cambia a Ar+Al:. Sj realizamos ía ilerivada prim era, el valor presente de la Obligación es:
P t- AP= P + — Ak ilk .
-fiN
= P + AA-
[(l+A-)"*'_
Y el nuevo valor del bono es
dD
B > A B = B + - — AA- = B + A A y --------dk ^ d + i-r' t
SI las dos expresrones son iguales, un cam bio en k no afectará lacob er-
turaí. ,
■
^
^
'
-nN a+ ky
Coiiio el precio del bono y el valor presente de la obligación son igua-
les
N ii + k y Pnriemos sim plificar para obtener la expresión de la Duration sí hace m o s Ioíí siguientes pasos: 1. pividírnos am bos miembros por B y se despeja Ak • ~nN
«
íri'd + A)"' B
B
ü+ky
2. lu e g o se despeja N/(í+k)" del segundo miembro y queda del Jado d eiech u -n / (l+ k ). -
Y _ x'ií a + A - y * ’ B
N
1
ii+ k)ii+ ky B
3. SȒ can celan los signos menos y l/ (l+ k )U l x (l+k) se simplifican para q u ed ar UU+kH
V O L A T lltP A D D£ l lTULOS CQN fU N T A |-1)A
1 B ^ a + + kk yy
"
La "n" que resulta del despeje es la Duration. Inmunización y Duration
-
El análisis que realizaremos supone que la estrucrara temporal es sieni' pre plana (fíat) o que se traslada en forma paralela hacia arriba o hacia abajo. Si esto es cierto, luego ■ "*la condición para que el precio de im activo sea igual al valor futu ro de una obligación N para cualquier cambio en la tasa de interés es que la duration del activo y de la obligación sean iguales”. . La inmunización descrita aplica para la aproximación de primer or den. A continuación veremos algunos ejemplos. ' ' Ejemplo: Calcule la duration de los siguientes bonos, sabiendo que la TIR exigida por el mercado es igual ai 6% anual (el cupón de interés tam bién es anual).
Cupón Vencimiento Valor nominal Precio
Bono A
Bono B
Bono C
6,70%
6,99%
5,90%
10
15
30
1000
1000
1000^
S 1.031,52
$ 1.095,96
$986,24
T abla 12.9 Precio de lo s b o n o s A. B y C
La Idea es inm unizar una obligación que ha contraído la em presa por $1.000 y que vence dentro de 10 años. Como la tasa de interés que se contra tó es del 6%, la obligación valdrá dentro de 10 años: 1.000 a ,0 6 ) ‘“=L790.85 Como el bono A cotiza sobre la par, tenem os que com prar $1.000 de cada bono; para el caso del bono A precisam os com prar 1.000/1.051,52 x 1.000 = 951,00. En los otros bonos hacem os cálculos sim ilares: Bono C
Bono A
Bono B
Precio
$ 1.051,52
$ 1.095,96
$
VN p/comprar $1000 de market valué
$ 951,00
$ 912.44
$ 1.013,96
7,6655
10,0000
14,6361
Duration
T ab la 12,10 D uration de los b o n o s A, B y C
986,24
tiU ÍllE R M O LÓPEZ ÜUMRAUf
4 i4
Puede dem ostrarse que si reínvertimos los cupones que paga cada bono hasta la fecha del vencim iento de la obllgacidn (lü años) y adem ás sum amos el valor presente de los cupones que se pagan después de esa fecha hasta el vencim iento de cada bono, la sum a de estos dos valores multiplicada por el porcentaje adquirido de market valué, iguala el valor que tendría la obliga ción en 10 años, para cualquiera de los tres bonos;
Cupones reinvertidos
$ 883,71
$921,07
PV cupones restaures
1000
$ 1 .0 4 1 ,6 2
. $ 988,53
$ 1.883,11
5 1.962.69
$ 1.766,20
95,10%
91,24%
101,40%
$ l.790,B5
$ 1.790, B5
$ 1.790,85
Total % adquirido de $1.000 de market valué Valor en la duration
$ 777,67
T ab la 12.11 Valor de los b o n o s e n k fech a de la d u ration
5i las tasa de interés cam bia, puede observarse el impacto en la cobertura que proporciona cada bono. Si la tasa de interés se reduce por debajo del 6%, el bono A no cubriría la obligación y el bono C ía cubriría en exceso. Sí la tasa sube, la conclusión es inversa. ¿A qué se debe? La e x p lic a c ió n fu n cio n a en dos sen tid os; la duration y la tasa de reinversión/descuento. En el caso del Bono A, cuando la tasa sube, su m enor duration beneficia la reínversidn de los cupones iniciales y si bien castiga el valor presente de los cupones más lejanos, lo hace en m enor medida que los otros bonos, cuya duration es mayor. En cambio, cuando la tasa baja, los cupones reinvertldos no alcanzan a com poner la suma de 1.790,85 que es el monto de la obligación que vence en el año 10, Con el bono C pasa justam ente lo contrario; al ser el de mayor duration. se bene ficia con tasas bajas (por el efecto en el valor presente de los cupones) dis-
2.700 -t c
Bono A
2.500 -
ra ■2.300 Ti C u
✓ /
Bono B ^
■'2.100 ■
l515 1.900 > 1.700
B on o C
N
1,500 ■ 0%
5%
10%
15%
20 %
Ta$as de interés Figura 12.6 Valor de ios b o n os en ie fech a de la durnUon para d íjerentea lasas
V o l a t il id a d df i itu lo s c u n rí.tN iA n jA minuye su coberiura con tasas más alias hasta que vuelva a anrnem ar con tasas muy altas debido a que com ienza a aum entar ei P^so relativo cié los cupones reinvcriídos y a dism inuir el del valor presente de los cupones m ás lejanos, Ei bono B tiene una duratíon igual a la de la óblígacióii y m uestra una cobertura bastante estable para tasas enire i y iU% y luego com ienza a aum entar para tasas más altas.
Inm unización y convexity
..
Puede dem ostrarse que un portafolio com puesto por más de un bono proporciona una m ejor inm unización que un scSlo bono. Esto se lelucíoiia con el concepto de convexity. Supongamos que la tasa de interés aimieiiía aJ 7%: ¿cuál es la cobertura que proporciona cada bono por separado? ¿cuál es la cobertura que proporciona un portafolio com puesto por los bonos/\ y C?
Bono A
Bono n
Cupones reinvertidos
$ 1.067,81
$ 1.113,71
PV cu|x>nes restanies
JOÍX)
$ 8flS,82
$í6U,ÍM
$ 2.0G7.81
$ 1.999,53
$ 1.591,25
% adquirido de $L000 de niarket valué 0.95100370Í) 0,912444541
I,0139569H‘ $1.613.40
Total
$ 1.966,49
Valor en duratíon
S .‘«0,31
Tabla 12.12 Precio dé los bontis A, n yC
J l i p-
rí'I.l'k
$ 1.0.24,46
.Don j C
La duraiion de un portafolio es igual a la duraüon prom edio pundeiu* da de las duratíon de los activos incluidos en el portafolio, Podemo;; oljíener una determ inada duraiion invírtiendo los porcentajes adecua
' .- .
y l-x = 0,334908
invirtiendo estos porcentajes en cada bono lograremos una m rjor in m unización a partir de la mayor convexidad del portafolio, com o puetie apreciarse en la figura 12,7 (en pág. siguiente). El ejem plo que vimos puede direccionarse en otros sentidos. Si por ejemplo, los cupones que pagaban los b on os A, B y C hubieran sido de 8,8%, 8,9% y 7,4% respectivam ente, y laT IR exigida por el m ercado huhieia sido inicialm enie del 8% (y no del 6% corno en el ejem plo inicial) si tlt repente aum entaba al 10%, la com binación A+C proporcionaba una mejui cobertura que el bono C aislado para tasas b ajas, pero inferior col lei tura
1
G ujllerwo López D umraue 2400 Bono A B o n o C
23Q 0
c
2200
ra 2100
^
'g
2000
£
1900
-
Bono B
•2 €Q 1 8 0 0 ^
1700 1600 1500
-
0%
5%
10%
1S%
20%
T a s a s de in te ré s Figura 12.7 Valor del portafolio y bono individual en la fecha d é la duration ^ para diferentes tasas
para tasas de interés altas. Al ser m ayoría TIR inicial, la Duraíion de los tres bonos hubiera sido m enor (el lector puede comprobar que habría sido de 7,6, 9,75 y 13,7 respectivam ente). Para tasas de interés más altas, el bonob aislado proporciona m ejor cobertura que la com binación A+C. La razón es que para determ inado nivel de tasa de interés los valores presentes de los cu pones más lejanos del bono C sufren más que los del bono B (recuerde que los cupones del bono C tienen también una tasa de interés menor) y este efecto no llega a ser com pensado por la reínversión de cupones del bono A, 2900 2700 Bono A + Bono C §
2500 -
I
2300 -
o ® 2100
-
o 1900 -
Bono B
1700 1500
0%
10%
15%
20%
Tasas de interés F igu ra 12.8 Valor del portafo lio y bono individual en la fecha de la duration para diferentes tasas
VoiATlUDAD DE TíTUtOS CÓM R eNTA FifA
477
El ¿ec'ietü de la inmunización consiste en buscar la mayor convexidad parala cartera d ébanos. Esto se logra com binando bonos que paguen cupo nes más altos al principio combinados con bonos de duration más larga. En el apéndice 12Ale mostramos como hacerlo combinando un Boden 2005 con u n B o d en 20i3.
12,3. U
ESTRUCTURA TEMPORAL DE lA TASA DÉ INTERÉS
En el capítulo anterior examinamos las medidas de rentabilidad de los bonos u obligaciones. Sabemos que la TIR es una medida de la rentabili dad que se obtiene aJ vencimiento si se consiguen reinvertir los flujos de caja hasta el final de la vida del proyecto (o bono en este caso). Si simple mente desea una medida de rentabilidad rápida, puede observar laTIR de la obligación. Con el tiempo, ios econom istas financieros percibieron qué laTIR no los ayudaba mucho en sus análisis. Si quiere entender por qué las obligaciones diferentes se venden a distintos precios, tiene que profundi zar más para entender las íasas corrientes d e interés. Cuando se obsei-vaii los precios de las obligaciones, aparece una relación entre la tasas de inte rés que se exigen para ios títulos de renta fija según su plazo de vencim ien to. Así, la tasa de interés del segundo año puede ser diferente de la del primero, de la del cuarto, quinto, etcétera. La teoría que explica cómo son las tasas de interés para los diferentes plazos, es llamada la te o ría d e l a . estructura tem p o ra l d e la tasa d e interés. Algunas precisiones importante.s en cuanto a Ja estructura temporal son las siguientes: , • La estructura temporal busca evaluar e! precio puro del tiempo, que cam bia de m om ento a mometiro, y es fundamentalm ente, una teoría de tasas "corrientes" o “spot". • Señala la preferencia de los inversores con respecto a los vencimien tos de los títulos.
lá
• Para algunos autores la “Yield Curve" {curva de rendimientos) y estructura temporal son sinónimos. Otros autores distinguen entre la es tructura y la curva representativa de esa estructura, a la que llaman ‘‘yield curve". • Los analistas suelen reemplazar el plazo al vencimiento en años por la Duration como medida del liempo. • En la práctica, la estructura temporal se investiga principalrnente a partir de los bonos cupón cero (curva de rendim ientos de cupones cero) aunque son posibles oíros procedimientos. A menudo se llama curva de rendim ientos (yield curve) a lá represen tación gráfica de la estructura temporal. Los bonos cupón cero y las tasas de Interés corrientes y futuras En 1982, Merrilj Lynch com pró un lote de bonos del Tesoro americanu y descom puso a cada uno de ellos en sus cupones de intereses y capítaí.
G uiLlEU NiO L ú P tZ DUMRAUr
miniando un paquete de flujos de efectivo distintos, uno por cada cupón, t os niijüs de efectivo de los bonos originales se constituyeron en un fon do cerrado adm inistrado por un b anco que emitió certificados de partici pación que eran negociables en el mercado, que al tener la garantía de los bonos del tesoro, eran percibidos com o títulos de alta calidad. Todos los cortiíicados de participación eran bonos de tipo cupón cero. El éxito de estos Utufos provocó que el Tesoro am ericano creara su propio programa de em isión de títulos cu pón cero, que los llam ó Sepárate Trading o f Registered In terestan d Principal ofSecu ritles (STRIPS), Com ó'hem os di cho, en la práctica la estructura temporal se investiga principalm ente a partir de los bonos cupón cero, de forma que com enzarem os describiendo que se entiende por una tasa "corriente" o “contado" de interés con un ejemplo de un bono cupón cero. Suponga que usted podría invertir hoy en un bono cupón cero que le rinde el 10 % al año. Compra hoy el bono al descuento pagando $90,9 y al año el resca tesep ro d u cep o r el valor nom i nal; \
100
9ü,9 =
(1 + h) ■yq 1.a tasa implícita en la obligación que llamaremos ij representa la lasa contado para el primer ano, y es del 10%. Tasa contado del año 1:10% Usted también puede comprar un bono cupón cero con vencimiento a dos años por $81,96. lo cual significa que su tasa contado para dos años es del 22%, que es nuevamente la tasa que iguala su inversión con el valor nominal que se recibe al vencimiento:
81.96 =
100 (1 + A )
Ahora tenemos una tasa para dos años (22%) y a partir de ella pode mos despejar la tasa contado del año dos: Tasa contado del año 2; (1,22)®*5= 10,45% Si usted puede ganar el 10% a un año o el 22% a dos años, evidente mente existe una tasa implícita en el segundo año, que es aquella a la cual usted debería renovar su inversión por un año más, de tal forma que al finalizar el segundo año, usted obtenga lo mismo que si hubiera compra do el bono cupón cero a dos años. A esa tasa se la denomina tasa “futura" o “forward" y representa la lasa a la que el mercado descuenta un pago que se hará en el futuro: (l+ í,)> ''(l+ '/ , ) = { ! + ‘2)
? -s ,
m &
f!
•tp
Vülatiüdad de T itulos con Refrita Fj^a
-\29
. ( i ± Í l i _ , = íW 2 ) _ , .0 ,1 0 9 {! + ■,) (UO ) La tasa futura es la tasa implícita entre las dos tasas contado, necesajía para obtener lo mismo que hubiera obtenido inviniendo dírectam í nle en bonos cupón cero a dos años. Las tasas futuras son entonces las tasas Im plícitas en las tasas de interés de co ñ u d o actuales para diferentes |dazos. Las obligaciones a uno y dos años "com pilen" en el m ercad o de capita les. Sólo pueden coexistir, y lo harán, si la tasa futura para ei segundo año es igual a la tasa exigida o esperada en el año 2. ¿Qué sucede sí u n a obligación ofrece una tasa futura más alta que la tasa esperada?Todo el m und o in\'ertlrá en obligaciones a dos años, ya que asegura una rentabilidad más alta. Lo inverso ocurriría si la tasa futura del segundo ano es m en or que la tasa esperada para el segundo año. Como los inversores tienen las dos, Ja tasa de interés futura debe ser igual a la tasa de interés esperad^!. Resumiendo, podem os decir: • La tasa spot, contado o corrien te es la obtenible en una ínrersíói> efectuada hoy y que finaliza al cab o de n años, sin pagos Interm edios. Es una tasa cotizada en m om ento presente, y puede ser para diferentes pla zos. E stablecen la rentabilidad asociad a a un bono cupón cero para ese plazo. • Una tasa futura o forward. representan a cuánto descuenta cada ano el mercado, un pago que se producirá en el año siguiente.
Métodos para obtener las tasas de interés corrientes*, bootsírappijig La estructura tem poral de la tasa de interés Se construye en general con tasas corrientes (spot o de contado). Lamemabieine)i*&, no existen bonos cupón cero para todos los plazos. Sin embargo, es posible construir la estructura tem poral a través de un m étodo que s e lo c o n o c e c o m o "Bootstrapping" utilizando tam bién bonos con cupones. El procedim ien to habitual consiste en utilizar ios rendim ientos de los bonos cupón cero para diferentes plazos, y cuando éstos se acaban, usar los reiidimíeiuos de los bonos con cupón. A continuación extendemos el ejemplo para el caso de que no exista un bono cupón cero para el tercer año. pero si tenem os un bono del tipo bullet con cupones cuyo vencim iento opera en el tercer año, corno se muestra en la tabla 12.13: Años 1 , - ■. 2 '
3
Cu|,x5n a n u a l
T IR a n u a l
P re cio
0%
10%
90,9
0%
10,4%
81.9
10%
14,3%
90
Tabla 12.13TIHde bonos cupón cero yTIRde bonos con cupón
■-■■■■-'./i
' -'O/ ; V í ‘ V ó-V..
b'.'
.y
G
u il l e r m o
Ló p e z D
umrauf
L a ta sa co rrie n te del prim er año la obtenem os sim plem ente dividien d o el v alo r n om in al por el precio del bono: 100/90,9 -1 ^ 10% efectivo an u al. l a tasa contad o de dos años, Ja obtenem os a partir del bono cupón cero a dos añ o s:
P
100/81,96 - 1 = 22% efectivo parados años (10,45% efectivo anual equiva len te) La tasa contado del segundo año es la equivalente anual del 22% para dos años:(l,22)«'^=10.45%
X
Observe que la tasa futura implícita en el segundo año es del 10,9% (1,10 1,109^1,22).
Podem os d esp ejarla tasa corriente del tercer año, igualando el precio del bono b allet co n su corriente de cupones descontados portas tasas contado p ara los prim eros dos años, de tal m anera que sólo debemos resolver la incógnita p arala tasa contado del tercer año: 95^
10
10
lio
(I + OJO)
(U045)^
(l + b)^
Dei;pejando, íj=12,28% P odem os luego buscar otro bono bullet con vencimiento a 4 años y co n tin u ar con el procedim iento hasta obtener tasas contado para varios añ os. A falta de bonos cupón cero o la posibilidad de construir las tasas corrien tes con el procedim iento que acabam os de señalar, a veces es posi ble rep licar el flujo de efectivo de un bono a partir de otros. Por ejemplo, en la tab la 12.14 aparecen dos bonos tipo bullet, uno con un cupón del 5% y o tro co n un cu pón del 10%. Si se com praran dos bonos con cupón del 5%, tos flujos de efectivo se igualarían para los períodos 1,2 y 3, siendo diferen tes sóUí la inversión inicial y el último cupón com o se aprecia en la colum na del flujo d iferencial: Penada
C u p ó n 5%
C u p ó n 10%
C up ón 5% X 2
F lu jo d ife re n c ia l
0
-70
-áo
-140
-60
I
5
10
10
0
2
5
10
10
0
5
10
10
0
105
lio
210
100
■ 3
•
■. 4 Tat>la
R ep licació n del flujo de fondos en un bono
Pal a d esp ejar la tasa del cuarto año solamente debemos despejar
: 'iX'® h S-i. ".¿fíá l' ■
'
I
V o u t íu d a d de T ítu lo s c o n R enta F i | a
60;
4.n
100 (1 + / J '
Que resulta ser del 13,62%,
-
,
La tasa futura del tercer año sería aquella que iguala la siguiente ecua ción: (I,1 0 )a .l0 4 5 )(l+ f3 ) ==(1,1362)3 í;
= 20,72%
Si observam os la estructura d élas tasas contado, observamos una curva de rendim ientos ascen dente; 10% para el prim er año, 10,45% para el segun do, 12,28% para el tercero y 13,62% para el cuarto. En la práctica, no es táir fácil conseguir bonos con pago de cupones tan equ id íkantes. Un procedi m iento m uy seguido para la obtención de la curva de rendim ientos consiste en utilizar una regresión logarítm ica para establecer la relación entre los rend im ientos y el plazo en años o la Duration de los títulos com o aparece en la figura 12.9. para una curva de rendim ientos obtenida en marzo de 2Ü00. Observe que los bonos D iscount y Par del Brady Plan exhibían un rendim iento inferior para la duration que tenían. Recuerde que en seccio nes anteriores com entam os que tenían garantías sobre le capital y los pri m eros pagos de renta, y esto evidentem ente los hacía más seguros, dism i nuyendo la TIR requerida sobre ellos.
¿Por qué es im portante la e stm ctiu a tem poral de la tasa de interés? Bonos con igual TIR pueden tener diferente valor cuando desconta mos sus flujos de caja con las tasas futuras de cada año, Rustrareinos d
C»L'm.fftMO Lortz Dumumif cnso ( on un ejemplo sencilla Supongamos tin bono VN=J0.000 emilido con cievolucidu de c apital al vencimiento (bulleU con un cupón de Interés al 8% anual. Si la I lU e.x¡g)da es de) 8% anual el bono cotiza a la par, como se muestia en la columna 4 donde el (lujo de fondos descontado es igual al valor nominal de lU.OOU. Puede apreciarse en la tabla 12.15 que ruando el flujo de loiulos es descontado con las lasas forvvard es Igual a lÜ.OtíO:
Niv CurrÚM factor t-'F descon- Tasa descuerno tado spot rnpíin 2 .T 4 I 1 2
na> neo
3 4 5
800 ROO fltX)
6
OOÜ
7
8ü(.l m filX) lOÜOI)
R
i
9 10
0,93 Ü.PP Ü.79 0.74 0.68 0.63 0.-58 0,54 0.50 0,46 IdiaJ
1_____
740,74 685.87 635,07 .588,02 544,47 504.14 466.79 432.22 400,20 5.002.49 10.000
6.04% 6,50% 6,90% 720%
750% 7.70% 7.90% 0,00% e.ioTo
820%
lasa
Factor
fnrward descuento 5 6 6.0-1% n.9i 6.95% 0.88 7,70% n.82 8,11% 0.76 8.71% 0.70 0.64 8,71% 9,11% 0,59 8.70% 0.54 0,50 8,90% 9,10% 0,45
FF descon
Total
tado 7
754.45 705,33 654.87 605,77 557.25 512.62 469,83 432.22 396,88 4.910,79 10.000
labia 12.15 Valor iimtnseco d<* un bono baliei usando tasas Fonvard
Aluna siipomlicinos iju bono V'N=in 000 etnilido con devolución de rnpinl en fi);!'; e interés al 8% anual sobre valor lesidunl. Si descon1 imrt' !;iis Íiují» de caja con las tasas forwaid obsedamos en la tabla 12.16 t|Mf rl precio es diíerente del bono aniciioi (10.177,41):
Ntvi cuf.K>n Ta.sa nijvin 1 J
3 l 5 6 7 8 9 in
'
1 (1% 8% 8% 8% 0% 8% 0% fl%
8% 8%
CiJpíín 1800 1720 16‘K> 1560 1400 1400 132D
1240 1160 1080
Tactor descuerilo 0,94 0,^9 0 02 0.76 0,70 O.W 0,59 0.54 0,50 0 45 Total
IT desron latir» 1697,50 1516,45 1M2.4M 1181.26 1030.91 897,09 775.22 669,93 575,48 491.08 10.177.41
Tabla J 2.16 Valor intrínseco de un bono con programa de amo.mzación con lasa fom ’ard
V o u m iD A D D i T
V j h t a PlfA
La figura 12.10 elaborada a parllr de ios datos de la ta b la 12V15 im s muestra que la TIR supone un rendimiento ron.statue, pero la e s lJU a m a de lasas en el tiempo es ascendente:
'TIR
- Tasa Forward
T^sa Spol
Figura 12.10 Estructura temporal de la (asa de inrerés
La curva de rendim ientos y el arbitraje La curva de rendimientos es m onitoreada perm anentem ente por los operadores ya que las TIR de ios bonos que se ubican por encim a de la curva significan, para las m ismas condiciones de liquidez y riesgo, una posibilidad de arbitraje que implica comprar el bono cuya TIR se ubica por encim a de la curva (cuyo precio es “barato") y vender el bono cuya TIR se ubica por debajo de la curva, es es "caro”, siempre en relación a los rendi mientos que exige el mercado para cada año Por ejemplo, en la figura 12.11 el arbitraje sugerido seria: ‘'vcnria»/ Itono B cuyo precio es alto (ya q u e p a ra la m ism a du ratíon m o d ifica d a el pronird io d e l m e rca d o está o frecien d o TIR m á s a lta s) y co m p re e l b o n o A. cuyo precio es b ajo (ya qu e está ofrecien d o u n a TIR m á s a lta q u e el p ro m ed io d el m ercad o p ara la m ism a d u ration m odificada"’. Arbitrar a partir de jos rendimientos que se apartan de la cun-1 es lo que se denomina una estrategia "pasiva". En circunstancias normales, el hecho de que los operadores estén en procura de diferencias Iiace que los bonos se encuentren "arbitrados" y totios los rendimientos se alineen a la curva. Una estrategia "activa" consiste en especular o predecir los cambios que tendrán las tasas de interés para posicionarse en determinado bono. Por ejemplo, si se piensa que las tasas de interés de largo plazo aumenta rán. el arbitraje consistiría en vender los bonos de plazo más largo para comprar bonos de plazo más corlo.
G
u il l e r m o
Ló p e z D
u m r m if
tir
Bono B
Duraiiu) ModUicada
Figura 12.11 Arbitraje sugerido por ia curva de rendimienros R egiilaj ¡dadés em p íricas en la estructura temporal de la tasa de interés Algunas de las regularidades empíricas que han podido observarse en la estru ctu ra tem poral de la tasa de interés, son las siguientes: ■íe.
• La curva de rendim ientos ("yield curve") más frecuente es la ascenden■■ ,
• Para plazos m enores a 6 m eses, la curva de rendimientos tiene com p ortam ien tos ascen dentes la m ayoría de las veces.Las tasas de interés de corto plazo son m ás variables que las de largo plazo. • Cuando las tasas de interés son históricam ente altas, se crean las con d icio n es para una curva de rendim ientos ascendente. - Los precios de los bonos de largo plazo son más variables que los de corto plazo. Taiiibién se ha observado, que cuando los bonos soberanos se encuen tran en default, la curva suele invertirse, es decir tiene pendiente negati va. La curva de rendim ientos puede tomar diversos comportamientos (ascerid eiu e, d escen d en te, plana y con giba, com o se muestra en la figura 12.12 donde aparece una curva de rendim ientos obtenida a partir de los rend im ientos de las letras del Tesoro Nacional).
Liixa Vencimiento 14/09/01 L£1*E 89 LETE95 : 28/09/01 12/10/01 LEPE 92 09/11/01 LELE 83 23/11/01 LEPE 96 14/12/01 LE PE 94 LEPE 90 . ,15/03/02
Precio 99,9 99,4 98,6 97,5 97,25 95,7 87,5
Días Vto. Rendimiento 0.10% 3 17 0.60% 1,42% 31 256% 59 2,63% 73 4.49% 94 14,29% 185
TabU lá.17 Rendimiento de las tetras del tesoro fl£TES)
TIREA 12,94% 13,79% 18,06% 1656% 14,96% 18,61% 30,14%
Volatikdad Dt T ítulos
con
Renta Fija
35% 30% 25% S 20% p 15% ^ J0%
5% H 0%
0
50
100
150
200
Días hasta vto
Figura 12.12 Curva de rendimiemcs con l^ies
' Teor/as sobre la estructura temporal de la tasa de interés Se han desarrollado varias teonas que intentan explicarla estructura tem poral de la tasa de interés. Todas buscan explicar el comportamiento de la curva de rendimientos y proveen explicaciones interesantes, aunque ningu— na, porsísola, consigue explicar totalmente su forma. Pero todas han aporta do algo y aquí realizamos una breve descripción sobre ellas. L a h ip ó tesis d e la s ex p ecta tiv a s Este m odelo supone que los inversores pueden p ronosticar tasas de interés muy distante y nos dice que la estructura temporal de las tasas ele interés refleja las expectativas del m ercado acerca de las tasas de íriferés futuras de corto plazo: la razón jiara una estructura temporal creciente eí> que los inversores esperan que las tasas de interés corrientes en el futuro serán superiores a las tasas corrientes actuales; y la única razón para una estructura temporal decreciente es que los inversores esperan que las la sas de interés corrientes en el futuro serán inferiores a las tasas corrientes actuales. En este modelo las expectativas s ó b re la s tasas ftituras de corto plazo condicionan a las lasas de largo. En general, la feoría de las expecta tivas trabaja en un período y supone que el inversor es indiferente al ries go y no tiene preferencia por ia liquidez. Si las tasas futuras proj'ectadas fueran estim adores no sesgados de las tasas presentes que existirán ea el futuro, entonces Jos precios futuros de los bonos se podrian conocer con buena aproximación. Un trabajo de Cox, Ingersoll y Ross (1981) estableció que los rendim ientos totales esperad os de b onos de largo plazo, en un horizonte de inversión de corto plazo, tiende a igiíalar la tasa de interés.de , ese corto plazo. ‘
L a h ip ótesis d e la p referen cia p o r la liq u id ez
Esta teoría sugiere que como hay inversores que prefieren invertir a largo plazo y otros a corto plazo, las obligaciones deben ofrecer un premio- ^
4^b '
G U I L I E R . M O L ú r tzD u M P J k u r
a uno y otro pacaíenl arlos a comprarlas. Es decir, para tentar a un inversor adicto aJ corto plazo a com prar una obligación de largo plazo y que renun cie a los beneficios de la liquidez, hay que "sobornarlo" con algún premio. Lo mism o para venderle obligaciones de corto a un inversor que !e gusta invertir a largo plazo. Dicha prim a se denomina prima por la liquidez, Sujionga que hay pocos inversores adictos al largo plazo: entonces la prima por la liquidez será po.sítiva, ya que la la.sa de interés proyectada del bono ,s^rásuperior a la tasa-de interés esperada dej bono. Una prima por la liqui d ez positiva recom pensa a los inversores por prestar a largo plazo con mayore.s tasa de interés a largo plazo. Por supuesto, sise espera qué las tasas de interés dism inuyan en el futuro, la estructura temporal podrá tener penfliente negativa y los inversores todavía tendrían una recompensa por pres tar a largo plazo. _ « : L a hipótesis^fie la .p rim a p o r in fla ció n . Puesto que las ta.sas de inflación futuras no son nunca conocidas con certeza, nadie puede realizar una inversión com pletamente libre de ries•go. Pero com o el inversor a corlo plazo puede aprender de lo que vio el primer año, el próxitno estará en una situación mucho mejor para estimar : la ta.sa de interés del año 2. Por lo tanto, es más arriesgado realizar una inversión por dos años; Invirtiendo a un año incorporamos la última in formación acerca de In infiadón en el año 2. Entonces, las obligaciones a largo deberán ofrecer algún incentivo si quieren que los inversores las com pren, y por lo tanto, la tasa de Interés futura para el año dos debe ser ma yor que la tasa de interés corriente esperada para compensar el riesgo ex tra de la inflación.
Tenría deí liábiíat preferido En este enfoque los inversores tienen preferencias de vencimiento que no coinciden itecesariam ente con las tasas de interés de corto y largo pla zo, Por lo tanto, si los inversores tienen particular preferencia por plazos /de vencimiento determinados, para hacerlo salir de ese "hábitat" de tasas, habrá que pagarles una prima para que compren títulos con vencimientos diferentes a sus rangos de vencimiento preferenles. Si por ejemplo, los inversores tienen preferencias por los vencimientos de largo plazo. Iiabrá i. que pagarles una prima para que compren títulos de corto plazo, y por lo tanto las lasas de interés de corto plazo podrían superar las de largo plazo y los premios de liquidez serían negativos. S egm en tación d el m ercad o Este enfoque nos dice que hay dos clases de mercados para la tasa de interés; el de corto y el de largo plazo, y que son independientes el uno del otro. Por ejemplo, en el primeio tenemos a los bancos comerciales y en el segundo a los fondos de pensión y a las compañías de seguros. La hipóte sis es que en el primer mercado, cuando la demanda de préstamos de corto plazo es baja, los bancos aumentan sus posiciones en títulos de corto pía-
4^7
VoiATJUDÁD DE TITULOS tON RifTTÁ Fl}A
zo, con lo cual su precio com ienza a subir bajand o los rend íniiem os de estos títulos. Lo contrarío se cum ple cuando la dem anda de présíafnos de corto plazo es alta, y los bancos se deshacen de estos títulos aum entand o sus rendim ientos. En el segundo mercado, puede decirse que las com pa ñías de seguros y los fondos de pensión preferirán m a m en e r papeles de largo plazo y m inim izar el riesgo de reinversión, buscando fu nd am ental m ente equilibrar sus com prom isos de largo plazo, con lo cual desecharán los papeles de corto plazo. En el enfoque de la segm entación del m ercado ía estructura tem poral de la tasa de interés subyace la visión d e una ‘'clien tela" para la dem anda de cada tipo de título que influye en la forma de la curva de rendim ientos y se supone que los inversores tien en una fuerte aversión al riesgo.
La estructura tem poral de la tasa de interés en la República Argentin a La forma más com ún que suele m ostrarla estructura temporaJ de la lasa de interés es la ascendente. Pero tam bién puede ekliibir una forma plana, descendente y con giba. La estructura temporal suele tener pendiente negati va cuando los inversores anticipan una cesación de pagos, que Ríe lo que ocurrió con Argentina a com ienzos de 2002. Observe en la figura 12 J .'í cómo la curva de rendimientos construida a partir de los bonos Globales muesu a una pendiente descendente. La interpretación es que los inversores compra rían esos bonos sólo con un fuerte descuento en su precio (que anticipa una quita en el capital de la deuda en una futura negociación) mientras aue de mandarían rendim ientos menores para los bonos con plazos prornedio más largos de vencimiento, asumiendo que en el futuro el país mejorará y podrá negociar su deuda.
90 80 70 ■
_ 60 ¿ 50 E 40 30 20
10 -I 0,00
2.00
4.00
6,00
8.00
10.00
12,00
16.00
D u ra lio n (a ñ o s )
Figura 12,13 Curva de rendímienios. Bonos Globales Argenunos La República Argentina consiguió reestructurar exitosamente su deu da en marzo de 2005, y luego del canje de bonos, la curva de rendimientos para títulos emitidos en dólares, volvía a tener pendiente positiva, conio se observa en la figura 12.14: ‘
438
G u^U E R ^ia LúPÉZ DuMRAUf
Figura 12.14 Curva de rendimientos para bonos en ddlares
Resumen Sí bien hem os m encionado cinco factores que afectan la volatilidad del precio de un rítuio con rema fija, los principales son el plazo de venci miento, el tam año de los cupones y la frecuencia de pago del cupón. El concepto de la "duration" de un bono cobra particular importancia no sólo debido a que representa un indicador de la vida media del bono, sino que a través de la Duraiion Modificada nos permite estimar cambios en el precio de los bonos cuando se modifica laTlR requerida por el mer cado. Para ello sólo hay que ajustar la fórmula de la Duratíon vista anteíio n n e n te actualizándola por la TIR del bono. Sin embargo, ia Duration M odilicada supone que la íunción del valor actual de la corriente de co bros {|e un bono es lineal, y por lo tanto es sólo una buena estimación para pequeños cam bios en la tasa de interés. Una aproxim ación más exacta del comportamiento del precio de un b o n o para un cam b io en la TIR requerida, se obtiene considerando la Duration m odificada más la convexidad de ia curva. Es decir, sumando los valores de la Duration Modificada más la Convexiry, obtendremos el cam bió ptircentual exacto en el precio del bono pana un cambio porcentual en la TIR requerida: En la práctica debem os calcular la Duration de un bono teniendo en cuerna sus características peculiares de emisión, las tasas de contrato y los días contenid os entre períodos, entre otras cosas. Podem os inniunízar una cartera de títulos de renta fija y hacer que el rend im iento fluctúe dentro de cierto rango, sí realizamos la com binación
V o u T iu D Á D D£ T ítu lo s c o n Pvemta Fiia
4S'‘
apropiada. Para eÍío tendremos que tener en cuenta dos erernemos clave; ía duration de la cacieray su convejtity. Los inversores suelen red am ar rendim ientos diferentes para un pago que se ha de realizar en un año determinado. La teoría que explica elidía relación es la denom inada teoría de la estructura temporal de la tasa de interés. En general, la curva de rendim ientos generalmente observada tiene pendiente positiva. Existen diferentes argum entos para explicar su con> portam iento, y todos han aportado algo. Fundam entalm ente, la curva de rend im ientos es p erm an en tem en te observada por los op erad ores ptíi’a establecer oportunidades de arbitraje.
P reguntas
1. ¿Cuáles son las dos cosas que nos dice la Duración? 2. ¿Cómo incide el tam año del cupón en la Duración? 3. ¿Por qué precisam os de la convexity cuando los cam bios en las 71 h . exigidas son significativas? ’ 4. ¿Qué factores afectan la convexity? 5. ¿Cuándo suele verificarse una estructura temporal descencJenie? 6. ¿La Duratíon siem pre aum enta con el plazo de vencim iento? 7. ¿La Duración siempre baja cuando aum enta el tamaño del cupón/ 8. ¿Cuál es el argumento que vincula la duratíon con la inmunización de un portafolio de bonos? 9. ¿Cómo se vincula la convexity con la inm im ización de un portafolio de bonos?
P roblemas (L a m a y o r í a d e la s r e s p u e s ta s a p a r e c e d ir e c t a m e n t e e n e l A p é n d ic e tlti r e s p u e s ta s y r e s o lu c io n e s p o r r a z o n e s d e e s p a c io .)
1. Usted debe calcular la Duralion y la Duratíon Modificada de! siguienre bono bullei cuyos flujos de caja aparecen a continuación. Hecnerde que la aplicación Excel posee una fórmula para dicho cálculo.
Fecliii 10/02/02 io/oa/02 10/02/03 10/08/03 10/02/04
Flujo de Caja -95 10 10 10 no
Ilespueslá: T líl sem estral: i 1,63% ; D uratíon: 1,733; Duratíon Modifi cada: 1,54H.
HÚ
GUlLLER^\0 Ló FEZ D um RaUF
2. En e( ejercicio anterior, ¿qué hubiera ocurrido con la Duralion si la tasa de interés exigida aumentaba ai 15%? Respuesta.* Duration 1,7162289 yDuration Modificada 1,4779151. 3. Hoy es 21/7/2001 y usted se encuentra frente a la siguiente informa ción acerca del rendimiento de bonos del tipo "zero coupon", y quiere de term inar cóm o han sido calculados los rendimientos anuales. Tenga en cuenta que estos bonos, al no poseer un cupón de interés, se venden al descuento, y por lo tanto la "Yield” refleja su rendimiento Implícito. El pri mer bono vence a los 180 días y los otros dos vencen a los 90 días. Los rendimientos anuales de los T-Bonds aparecen calculados para un año de 360 días. Aplique las reglas del interés compuesto para detenninar el ren dim iento:
Bono TB ' TB TB
Cupón Vencimiento Predo 0.0% 17/01/02 ~ “98,561 0,0% 18/10/01 99,289 0.0% 18/10/01 99,356
TIR anual (efectiva) 2,94% 2,90 2,62 %
' Respuesta: ver apéndice de respuestas.
4. La tabla siguiente contiene la cotización de las LEBAC correspon dientes a! día 15/10/2002 y que sale publicado en el diario /Vmbito Finan ciero del 16/10/2002. Usted debe comprobar que el rendimiento efectivo anual (recuerde que este aparece comoTIREA, tasa interna de retomo efec tiva anual).
Vencimiento t'cdia 15/10/2002 25/10/2002
Precio 99,30
Días para vio 9
Tí REA 32.96%
Respuesta: ver apéndice de respuestas-
5.; F re n te a lo s s ig u ie n te s b o n o s c u p ó n d e l te s o ro a m e ric a n o , u s te d d e b e a n lic a r e l p r o c e d im ie n to d e b o o ls ír a p p in g p a ra o b te n e r las ta sa s c o n ta d o o c o r r ie n te s d e c a d a s e m e s tre . La YTM a p a re c e e x p re s a d a c o m o n o m in a l s ó lo a lo s e fe c to s d e c o m p a r a r c o n o tra s la sa s n o m in a le s .
Fecl\a Cupón semestral 0 6 meses 0 12 meses 18 meses 8% 9% { 24 meses
TiR anual (nominal) 10% 9% 8% 10%
Predo 96,6184 92,4556 98.6255 98,2270
Respuesta: /Vño 1: 3,5%¡ Año 2: 4%; Año 3:8,95% ; Año 4:10,04%,
VOUTILÍDAD DE TITULOS CON FUNTA Fl)A
4T1
6. Calcule el precio, la duratíon y la duration modificada de los bonos A y B. El primero paga un cupón anual del 10% y el segundo de 13%, Ambos tienen un valor nom inal de $1.000 y un vencim iento a 10 años. La TIR exigida por el mercado es del 7%, Respuesta: Precio A: 1.210,71 D=7,06; MD = 6,60 Precio B; 1.421,41; D = 6.75; MD = 6,31. 7. Con la ñinción Duración de Excel, calcule la duration para distínlos plazos de vencimiento que van desde 5 Basta 100 años de vencimiento y con cupones que van desde el 0 al 19%. Tome con fecha de liquidación el 21-05-96. Respuesta: ver apéndice de respuestas. r 8. Para el ejemplo de inmunización de los bonos A, B y C que se anaJizd en la seccidn "Inmunización y Duration" suponga que la TIR exigida por el mercado se eleva al 15%. ¿CuáJ es el bono que provee mejor cobertura ante un aumento de la tasa de interés y cuáJ es el motivo? Respuesta: ver apéndice de respuestas.
REFEn£NCIAS BIBUOGRAFICAS Fabozzi, pRANxy Fabozzi, Dessa (1989) “BondM arkets.Analysis andStinieges". Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. F abozzi, F rank y Fabozzi, D essa (1995) ‘T h e H a n d b o o k o f F ixed fu com e Secwríf/es" Irwin Illinois. Cox í., I ngersoll J., Ross S. (1981) "A R e-ex a m in a tio n o f tr a d itio jia l H ypotheses a b o u i ih e Term Structures o f ¡nterest B ates” Journal of Finalice. Septiembre 1981, ps, 769-799. pERfUNDEZ, Pablo (1999) “Valoración de empresas", Gestión 20n0, Bar celona, 1999. 1“ ed., Barcelona, 1999. F ernandez, N. H., T u n cio n es fin a n ciera s d e Excel", cap in ilo 6. I" pdicíón, Ed. Errepar, Buenos Aires, 2003. F erT'íAndez, N. H., “Excel p ara con in dores”, 1® edición, Ed, Errepar, Bue nos Aires, 2003.
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G u iU tR A iO
L0PÉ 2
DUMRAUf
A p é n d ic e ÍN M U N I2A CIÓ N DE UN PORTAFOUO DE BONOS CON
B oden 2 0 0 5 Y B oden 2 0 1 3 Ai ju í v erem o s un caso real de inm unización de carteras de bonos. Si com b in a m o s e ficie n te m e n te un bono con un fu en ep ag o al principio (Boden 2005) q u e a p ro v e ch e las rein version es a tasas altas si es que éstas suben y com p en se el i) n p a cto en v alor p resen te de los cu pones del bono de plazo m ás largo (B o d e n 2 0 1 3 ). La c a rte ra se ad quiere por U $S 97,5 (37+60,5) el 20-3-04 y se liq u id a en la fe ch a d e la duration: 3 0 -4 -0 8 A con tin u ació n aparecen los Qiijos d e fo n d o s d el B o d e n 200 5 y del Boden 2013:
Precio al 29-WH Intd openo d o
Libar 1* pedodo
-67,5 03AI5AM Convendáfl 1,2400% Ifliar actual
Actual/365
9,77% okámbito
1.15%TVlanud
vencimiento"-pías paliado’>Vresítfuá| rxupón Interés ■ r AmoTtizacion -
17Í05W
-37
170 351
03/11/04 03/ü5«)5
184 181
40 40
0,23 0,23
0.23 40.23
0.00
40.00
Tabla 12,18 Flujo de forrdos dei Boden 2005
Prado al 29-34M .. tniaopeHodo Ltoof rpartodo
-60,5 3CU04/04 1,2580% Ubor actual
iu a s fw s fe } ; V v e n cim ie n to . ' ‘^ 'P ü s p eriod a
f
l'-; J : .
17105^ 4 30/10A)4 3om4/os 30M0/QS 30m4/DÓ 30/10/06 j0rt)4/07 30/10107 30/04/01! 30/10/06 30AH/0S 30/10/0£) 30AM/1C1 30/10/10 30/04/11 30briQ/t1 30/04/13Í 30/10/12 30/04/13
16S 348 531 71 3 8QS 1078 1261 1444 1627 1809 1992 2 174 23S7 2S39 2722 2905 3 088 3270
183 182 1B3 182 183 182 183 183 183 18 2 183 182 183 182 183 183 18 3 182
n a anual 11.85% ok ámbito Convención Adual/355
í.15% ^ C apllaj residual 100,0 100.0 100.0 100,0 87.5 87,5 - 75,0 75,0 62.5 62.5 50,0 50,0 - 37,5 37,5 25.0 25.0 12.5 12.5
Cupóri Interés -
-
0.58 0.57 0.58 0,57 0,50 0.50 0,43 0 .0 0.36 .. 0.36 0.29 0.23 0.22 0 .2 2 0,14 0,14 03)7 0,07
Amartizacióñ 0.0 0.0 0,0 12.5 0,0 12.5 0.0 12.5 0,0 12.5 0.0 12J5 0.0 12.5 0,0 12.S 0.0 12,5
1
■ Flujo ca ja '=/-eo .s O.d 0.6 0.6 13,1 0,5 13.0 0.4 12,9 0,4 12,9 0.3 12.» 0 .2 12.7 0.1 12,8 0.1 12,6
Tabla 12.19 Flujo de fondos dei Boden 2013
Y la figu ra 12,15 m u estra que la cartera produce un gran flujo de fon d o s e n lo s p rim e ro s pagos (la am ortización del 40% del Boden 2005) y pa g o s m e n o re s en los sem estres subsiguientes.
Volatilidad DE: T ítuioí cún Renta Fija. ;'
Figura 12.15 Flujo de fondos que entrega la cañera Si los flujos de fondos anreriores a! 3 0 -4 '0 8 son reinverrídos Ijasia esa fecha y los posteriores son actualizados hasta la misma fecha, tenemos doa “corrienies", una que capitaliza y la otra que es actualizada. La suma dú la^ dos co rrien ies es el valor de la cartera al vencim iento. En la tabla 12.dU ap are ce el valor de la cartera al ven cim ien to en la colum na de lotal. A partir del d inero que d esem bolsam os para com prar la cartera ll$ S iJ7, d (37+60,5) y el total, observarnos que la rentabilidad anual fluctúa aproxi m adam ente entre el 10 y el 12% para variaciones en la rasa de interéa de m ercado que van del 1 al 20% y entonces hemos conseguido ínmunizai la carte ra.
vmeremia ''í;..{;q'p^){z3Pión *
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a% 9^/0 10% íl% 12*,i. 1 14% 15% 16% 17% 18^5, 19% 20%
70,8 70.8 72.5 74,1 , 75.8 77.6 79.3 81,1 02.9 84.8 86,7 86.6 90,5 92.5 94,3 96.5 98.6 100,7 102,8 104.9 107,1
'jiiá d J ': 61,8 6 ia 59.2 56,7 54.3 52.1 50.0 48.0 46,1 44,3 42.6 41.0 39,5 38,0 „ 36,6 35.3 34.0 32.8 31.7 30,6 •■^29,6
-í?91lí?iiilít|fl
lO.SS^L 132,7 132,7 . 1Ü.9S1¿ 10.71% 131,7 10.47“,« 130.8 lOZEbv 1305 10.14% 129.7 10.04% 12S.3 129,1 ^ 9 95% 129 0 9.9 Tic 129,1 10,0?% 129.3 i ú. roí ó 129,6 10 22ÍV 130.0 • 10,36% 130,5 10,54% 131,1 10.74% 131 a 10 97ÍÍ 132,6 T1,2í«i 133.5 11.5 0 Í. 134.5 11,30-/» , 135,6 12,13*/» 136.7
Tabla 12.20Valor total y rentabilidad anual de la carrera
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C A PfruLol3
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e o r ía d e
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p c io n e s
“‘E stu dié ¡a ecu ación d iferen cial duran te m ud to s m eses. C om etí cientos d e errores estúpidos q u e m e con du jeron h acia un callejón sin sa li d a. N ada fu n cion aba... Los cálcu los reueiaron q u e e l va lar d e la opción no depen día d d rendi m iento esperado d e la acción, n i d el rendim ien to esperado d e otros activos. Aíe fascin ó “.
Fisdier BlackíJ0.38-J99.5), coaurorde lafórmula queganó el Premio Nobel de Economía en 1997
I .i I
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ll'm iO D U CCIÚ N
Uno de los instrumentos derivados financieros que más se han desa rrollado en los últimos años son las denominadas "opciones";, Las opcio nes más populares son las financieras, aunque en los últimos años las op ciones reales han tenido un desarrollo que promete revolucionar el cam po de las finanzas corporativas. Las opciones otorgan en general, el dere cho de comprar o vender un activo pero lo interesante es que no ofiligan a hacerlo, como es el caso de otros derivados financieros tales como los fu turos y los forwards. Por ejemplo, las opciones de compra y venta otorgan' a su poseedor el derecho —pero no la obligación— a comprar o vender un activo determinado (por ejemplo una acción) a un precio determinado durante un plazo determinado (opciones americanas) o en una fedia de terminada (opciones europeas). Por lo tanto, una propiedad fundamenlal de las opciones es que éstas nunca pueden tener valor negativo, pues nos otorgan un derecho, pero no nos obligan. Los contratos de opciones son instrumentos derivados financieros pues su valor se negocia sobre el valor de un activo subyacente o especie como pueden ser acciones, títulos públicos, índices de acciones o las divisas. Las primeras transacciones de opciones de compra y de venta tu\ieron lugar en Europa y Estados Unidos en el siglo XVIIL En la República Argentina, el organismo que autoriza el funcionamiento de los Mercados de Futuros y Opciones y aprueba los términos y condiciones de los contratos es la Co misión Nacional de Valores. Las opciones cotizan en la Bolsa de Comercio
«
44 ó.
GuiLLERAto Ló pez D umraué
d e B u e iio s A ires d on d e b ásicam en te las transacciones se realizan sobre a c c io n e s de las com p añías m ás grandes y con mayor volurnen negociado (A cindar, G alicia). Las op ciones negociadas en nuestro mercado de valo res s o n todas am ericanas, com o en la mayoría de los mercados. En las o p cio n e s financieras, sus categorías, com o el precio de ejercicio, el p récltí y plazo de ven cim ien to vienen definidos por contrato. Como vere m os en el próxim o capítulo, esto no ocurre con las opciones reales, que b á s ic a m e n te se id en tifican con activos físicos; en las opciones reales no s ie m p re es tan claro cual es el precio de ejercicio o el plazo He vencim iento y a m e n u d o es difícil d etectarlas y definir un m odelo apropiado para valo rarlas. En e ste cap ítu lo realizam os una introducción al mundo de las opciones, ya q u e un tratam ien to com pleto de las distintas clases de opciones y com bi n a c io n e s en tre ellas e stá m u cho más allá del alcance de este libro. Com en z a re m o s d escrib ien d o las clásicas op cion es financieras de com pra y venta, .. s u s x a ia c te r ís tic a s p rincip ales y los posibles resultados.-Luego verem os los “i^ crD res~ q ire'afecrairáirp fK tO y algunos otros detalles, com o por ejem plo, cu a n d o es co n v en ien te ejercer una opción am ericana de com pra o de venta. E sto n os p erm itirá introd u cir el tem a y con o cer sus principales aspectos p ara luego p resen tar el m odelo de valuación de opciones por el m étodo b in o m ia l y fin alm en te d escribir el m érodo de Black Schoíes, cuya fórm ula p ara v alorar op cio n es europeas que no reparten dividendos m ereció el pre m io Noí»el en 1997. Des| >ués de leer e ste capítulo, usted d eb ería serca p a z d e: ►R e co n o ce r los principales tipos de opciones. * C u áles so n los factores que determ inan el precio de una opción. * U iilizar el m étodo binom ial para valuar una opción sencilla. * Ü líiizar la fórm ula de Black Scholes parala valuación de opciones euro p e a s q u e no pagan dividendos.
13.1. P rincipales TIPOS DE OPCIONES H ay dos tipos b ásicos de opciones: las opciones de compra [cali op íion s) y las opc ion es d e ven ia [p iit o p tion s). Una opción de compra eu r o p ea otorga a su p ro p ietario el d erecho a com prar un activo determ inado (por e jem p lo u n a a cció n ) en u n a fecha determ inada, a un precio especificado. La o p c ió n d e v en ta europea da al propietario el derecho de vender un activo d eterm in a d o en una fecha determ inada a un precio especificado. Las op c io n e s a m e rica n a s son iguales a las europeas excepto porque pueden ejer c e r s e en cu alq u ier m o m en to durante el plazo del contrata. E n g e n era l, los ad qu írentes de un a opción de com pra sobre una ac^ c ió n p ie n sa n q u e la a cció n subirá de precio y comprando la opción buscan a s e g u ra rs e u n p recio especificado: los adquírentes de una opción de venta
T eoría d í O icíoneí
-h ;
sobre una acción especulan con que ésta bajará de precia y quieren rarse tam bién un precio especificado, Ei precio especificado en el contrato se lo conoce com o precio de ejerci cio o “strikeprice** y éste puede ser inferior, igual o superiorai precio de m er cado en el m om ento de emitirla. Ei precio de las opciones es un dato objetivo y puede observarse en el m ercado, ya que surge de la oferta y !a dem anda. No obstante, debemos decir que éste en general es fuertem ente influido por el valor que resulia de aplicar la fórmula de fijación de precios de Hlack-Scholes, que tuvo una enorm e inOuencia en ia forma en que los operadores fijan precios y reali zan coberturas con opciones. Los m étodos de valoración de opciones, in cluyendo BíiiS se explican en este capítulo. Por el momento, para facilitar el ra zo n am ien to y para eje m p lifica r los resultados de op eracion es con opciones de com pra y venta que m ostram os a continuación, .e! precio de , la opción será un dato. ■
R esultado de las op cion es de com p ra Considerem os la situación de un inversor que adquiere una opción de com pra e u r o p e a que le otorga el derecho de com prar en la lecha de venci m iento, una acció n de la com pañía M olinos del Norte con un precio de ejercicio de E = lOÜ. Suponiendo que el precio actual de las acciones sea de S = 90 y la fecha de vencim iento es dentro de 3 meses, deberá pagarse por la opción una “prim a" $5 por acción, resultando ia inversión total de 5.5 (la "prim a" es ei precio de m ercado de la opción). A la fecha de vencimiento pueden pasar tres cosas: • Si el precio de la acción es igual a $100, el inversor serta indiferente a ejercer la op ción, ya que de todos m odos perdería el valor de la pn'fná que pago por la op ción ($5). • Si el precio de ia acción es m en or a $ 100, el inveisor decidirá no ejercitarla, pues no ten d ría sen tid o pagar $100 por una m ercaircía que puede adquirirse por m enor valor en el mercado. En este caso, el inveisor lim ita su perdida a $5 que es lo que pagó por la opción. • Si el precio de la acción se situara por encim a de $ IOO, la opción sé ejercería, ya que se obtend ría una ganancia. ‘ La figura 13.1 m uestra el resultado posible de nuestra opción de com pra para una acción de M olinos del Norte que tiene un precio de ejercicio de $100. Si el precio de la acció n resulta ser inferior a dicha cifra, nadie ejercerá la op ción . Si el p recio de la acció n (S) resulta mayor a $100, el resuU ado d e ¡a o p c ió n s e r á ig u a l a l v a lo r d e m e rca d o d e ia acción , m en os los $100 q u e te n em o s q u e p a g a r p a r a a d q u ir ir la y m en o s ¡a p rim a q u e se p a g ó p o r la o p ció n . >genera posiciones que se las co n o ce com o "in the money", "at the m oney" y "oiit of ‘
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utuerm o
Ló p e z D
u m r au e
Ihe money”. Una opción “In the money“ (en dinero) es aquella que propor ciona un flujo de caja positivo a su propielario en el caso de que sea ejer cida inmediatamente. De la misma manera, las opciones cuando estdn *'at íhe money“ o “out of the money" proporcionan un flujo de coja Igual a cero o negativo, respectivamente, si fueran ejercidas inmediatamente. En el caso de la opción decompra.se encuentra “in tlie money" si c! precio de la acción superara el precio de ejercicio S>E, "at the money" sí S=E y "out of the money" sí S
flesutiado
Resultado = Precio d e h acción (S) - Precio d e ejercicio (E) - Precio d e la opción (c) Los resultados de la opción para diferentes precios de In acción se mues tran en la tabla 13.1,
í’iedo de ia ncdón
150
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Precio de la opción
5
5
5
5
Precio de ejercido
ion ino im 100
Resuhado nc(o
•15
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-5
‘labia 13.1 R esu ltadoíideln cpción dccQ in prn
Podemos extraer algunos conclusiones; ♦ El comprador de la opción Umita las pérdidas ni precio de la opción aiam lo d precio de la acción queda por debajo del precio de ejercicio (por einnplo cuando la acción rale $90. la opción no se cjcrclla, pero sólo se pieidc io que se pago por la opción (S5). • Cuando la acción supera el precio de ejercicio, aunque no se recuj'eie lo que se pagó por In opción, se cstani mr|or ejercitándolo que sin
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eo iu a üe
O rc ro N ts
4 4 V
hacerlo (cuando la acción vale 1D2 ejercitando se pierden S3, no hac iéndolo se pierden $5). * Por encim a de un precio de $105, com ienzan Jos resultados positi vos. Ee100
“ou! OÍ Iho money"
"al íhe money*
'in Ihe money"
Cuando adquirimos una opción debemos erogar hoy e! dinero para comprarla. Después esperamos para ver sí al cabo del plazo de vencimien to [o durante dicho plazo en el caso de las opciones americanas) Ir opción acaba teniendo algún valor. Ese período de tiempo tiene un valor conoci do como el *Vme prem ium " y representa dos cosas: un costo hundido que sólo puede ser recuperado si la opción es ejercida con un beneficio y a la vez es un control para cl poseedor de la opción. Una vez ejercitada la op ción, dicho control obviamente se pierde. Opciones de venta Las opciones de venta nos dan el derecho a verulcr un acción o un activo determinado a un precio de ejercicio. Supongamos que tenemos una opción de venta para vender una acción de la compañía Púrpura a un precio de ejercicio de ejercicio E = 300. El precio (prima) de In opción de venta es de $50 por acción. La forma de calcular cl resultado de Ir opción de venta c.s exactamente la inversa que utífizamos para la opción de com pra: la opcirín de venta solam ente tendrá valor cuan do el precio d r m ercado de la acción sea inferior a l ptvcio d e ejerclcip, ya que en eso caso nblnndrernos una ganancia cuando vendamos por $300 una mercanrin cuyo precio de mercado es por ejemplo, $200. En cambio, si cl pícelo cJr murcadn de la acción es de $‘KU), nadie querría vender In acción a S3U0, y In op ción expiraría sin sci ejercitada. í’or lo tanto, cl icsulíndo tic la opción lU* venta en In fecha de vencimiento será Igual ni fjrccio d e ejercicio m enos el precio d e m ercado de. la acción v m enos la prim a pngndi' por In opc»ón (que llamaremos “p^poi Iratnrsc de la prltnn de un pul).
E-S-p
G uíILERmO Ló1'£2 D ummüf' t n las op cid iies de venta es al revés que en las opciones de com pra: la o p c ió ji está "in ih e m oney" “at the money" o "out o f the m oney" següri el p recio de la accidíiSG encuentre por debajo, igual o por encim a del precio de ejercicio: E=300
i n fhe money**
s
*al Ihe money*
"oul oí iha money"
Podem os resum ir los resultados del put en la tabla 13.2 Becio de ejercicip„.
300 300 300 .300
Precio de la acción
100
200
300 400
Precio de la opción - 50
50
50
50
Resultado neto
50
-50
-50
150
Tabla 23.2 HcsuUados de ia opción de venta
Resultados de la com pra de calis y puts O pción de com pra:
(MaxlS^E;0¡~ c)
O pción d e venta:
'(M axfE-S;0h p )
En las ventas de calis y puts los resultados son exactam ente los inver sos, ya que lo que gana el vendedor es exactam ente igual a lo que pierde el com p i ador y viceversa. P o . ( d o n e s en o p cio n es En cada contrato de opciones siem pre hay dos partes: el com prador y el ventiedor o em isor de la opción. Se define como posición larga (long) a la parte que h a com prado la opción mientras que se entiende como posi ció n c tjn a (short) a la parte que ha vendido la opción. El vendedor (em i sor) do u n a o p ció n de venta recib e un ingreso en efectivo por la venta p ero ad qu iere un pasivo potencial a futuro, si los com pradores ejercitan las o p cio n es. Al vencim iento (o durante el plazo hasta el vencim iento en e l caso de las op cion es am ericanas) se conocen los verdaderos resultados p ara fas partes. Por ejem plo sí el com prador de una opción de com pra tie n e un b en eficio , este es igual a la pérdida del vendedor de la opción y vice versa. Las figuras 13.3 a 13.6 resum en las posiciones para los compradores y v en d ed o res d e opciones de com pra y de venta.
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TtCíRlA D£ Oí'CIONtS
Figura 13.3 Resultados compra del caü
figura 13.5 Resultados compra dei put
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/ \ ‘ \
Figura 13.4 Resultados para el vendedor del cali
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/ Figura 13.6 Resultados para el vendedor del pul
P regu n tas de au to -ev a lu a ció n : 1. ¿Qué es una opción de com pra? ^ 2. ¿Qué es una op ción de venta? 3. ¿Qué diferencia existe entre una opción de com pra europea y una am erican a?
] :1.2. F actores que determinan el precio de una opciún El precio de una opción es una fu n d ón de seis factores; C = fíS,E,t,a,rf;D)
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v ^ '
Donde S = precio de la acción; E = precio de ejercid o ; í = tiempo hasra el vencim iento; o = volatilidad del precio de la acción: rf= rasa de interéslibre de riesgo y D = dividendos ; . A continu ación describirnos en detalle com o influyen sobre el p red o de las opciones. ..
4n
CuiLUPJtto L ó r c i D mmfj^uí
El precio de la accidn Cuanto mayor es el precio de la acción, mayor es eí valor de la opción de compra. Esto es claro» pues cu an to m a y orsea la d iferen cia entre el precio d e la acción y su p recio d e ejercicio, m ayor será la g an an cia q u e proporciona^ rd la op ción , tanto sea una opción de compra o de venta. Imagine que usted compró una opción de compra europea sobre las acciones de Moli nos del Norte con un precio de ejercicio de SIOO. cuando el precio de la acción se encontraba en 95. Si el precio de la acción aum enta, también oumemará el precio de la opción, pues las chances de ejercitarla son potencíalmenle ciertas. H precio de ejercicio Cuanto m ayorsea el precio de ejercicio de una opción de compra, menor sera el precio dela-opcíón. puesto que las chances deque el precio de merca do de la acción supere al precio de ejercicio serán menores. Lo contrario se aplica para la opción de venta. Es por eso que las opciones cotizan con pre cios diferentes para precios de ejercid o distintos. La volatilidad La volatilidad es un factor clave en el 'V'alor de la opción. Cuanto mayor es la volatilidad, más cara será la opdón (tanto de compra como de venta) ya que a mayor variabilidad en el precio de la acción, mayor es )a probabi lidad de eierd d o cuando el precio de la acdón se ubique en la zona "in the money". En general, los precios de las acciones de las compañías que com ponen el Nasdaq son muy volátiles, y los precios de las opciones sobre estas acciones son más caros. La posibilidad de desechar los resultados desfavorables y tomar ventaja de los retornos favorables hacen a las op* Clones sobre activos riesgosos más valiosas. El tiempo de vida de la opción Cuanto mayor es el plazo del contrato, mayor es el valor de la opción ya que hay más chances de que en algún momento el precio de la acción se ubique “in the money". El precio de la opdón incluye un elemento lempnrai. que tiende a disminuir conforme se aproxima la fecha de expiración de! contrato de la opdón, ya que disminuyen las probabilidades que tiene el precio de mercado de superar al de ejercicio. Suponiendo que una op ción de compra está por expirar, y todavía el precio de la acción no alcan zó al predo de ejercicio, las chances de que lo haga son muy bajas, y por lo tanto el valor de la opción disminuirá. Como dijimos anteiionnente. en el valor de la opción está contenido el "premio por el tiempo" y es un valor que responde a mantener el control sobre la situación; el poseedor de la opción puede esperar para ejerdtarla o dejar que expire si no le conviene hacerlo.
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O r c iO N £ 5
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La tasa de interés libre de riesgo La adquisición de una opción europea de compra (1) sobre u n a acción es equivalente a comprar la acción, pero financiando parte de la compra con deuda, pues se difiere lama>'or parte de) pago, que es el precio d e ejercicio. El pago inicial viene dado por el costo de la opción (c), m ientras que el pago diferido será el vaJor presente del precio de ejercido (E) a la tasa de interés libre de riesgo. T representa el plazo hasta el vencimiento. El valor presente del precio de ejercicio puede expresarse como
O suponiendo actualización discreta.
E
El uso de la capitalización discreta o continua no modifica demasiado los resultados. Suponiendo que el precio de ejercicio sea igual a 100 y la tasa de interés libre de riesgo anual sea del 5?b. tendríamos que el valor presente del precio de ejercicio calculado por las dos alternativas sería: 1 0 0 e ’^-“^ = 9 5 ,1 2
100
(1,05)
= 95,24
Es muy común que se recurra a la capitalización continua para el cál culo para que sea consistente con otras fórmulas de valoración que asu men matemática continua, como es el caso de las fórmulas deBíack-Scholes y sus derivadas. De estas expresiones se observa que si la tasa de interés aumenta, m e nor será el valor actual del precio ejercicio y por lo tanto mayor será el valor de la opción, ya que la diferencia entre el precio de la acción y e! valor presente de! precio de ejercicio se torna mayor:
c =
-----------------f
(1 + ^ )^ Sin embargo, aquí hay una aparente contradicción, puesto que el p?ede una acción es una función decreciente del tipo de interés (2!, según vimos en el capítulo 7 cuando explicamos los modelos de valuación de acciones por dividendos cuando tratamos las rentas que variaban en pro gresión geométrica. Para que esto suceda el efecto que tiene e! aumento c ío
tu Enrealidad. ]aafirmaciónse cumplesólo paraun cali europeo, yaque lapai idad put eadpostula que P+S,=c+Ee^. (2) El valor de un activo en general responde asuflujo de fondos descontado. AJaumen tar la tasa deinterés, el valor presente de la corriente de efectlw disminuye.
454
G u iller m o López D u m r .\uf
ert ta tasa de ¡níei és sobre el valor presenie del preqo de ejercicio supera el efecto el sobre el precio de la acddn (3), Én el caso de las opciones de venta es al revés, ya que un aumento en la tasa de interés líbre de riesgo disminuye en vaJorpresente el precio de ejerci cio, que es lo que percibimos cuando la ejercitamos. Ei precio de la opción de venta debería reflejar aproximadamente la diferencia entre el valor presente dtíl prfíCío de ejercicio y el precio de la acción:
H
m
(1 + //) En este momento puede aparecer un poco extraño que en la valora ción de opciones inter\'enga una tasa de interés libre de riesgo. La fórmula para valorar las opciones tardó muchos años en obtenerse, hasta que Fischer Black y Myron Scholes realizaron un hallazgo extraordinario, que revolucionaria las finanzas; el valor de la opción no dependía de los rendí- rnientos de la acciónl!
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En una próxima sección de este capítulo explicamos cómo las opcio nes pueden valorarse independientemente de las preferencias por el ries go de los inversores, inclusive como si éstos fueran neutrales al riesgo, por lo cual utilizaremos una tasa de interés libre de riesgo, aunque esto parez ca ahora algo extraño. Los dividendos Cuando se paga un dividendo en efectivo, se reduce el valor del patri monio neto, generando un descenso en el valor de libro de las acciones que, también se refleja en el precio de mercado. Los dividendos entonces siem pre reducen el precio de la acción en la fecha ex dividendo, y por lo tamo reducen el valor de la opción de compra, mientras que provocan un aumento en el valor de la opción de venta. La tabla 13.3 resume la forma en que los factores mencionados afectan el precio de las opciones de com pra y venta:
3i aumenta el preao de la acción la tasa de interés el tiempo hasta la expíradón la volatilidad del precio de la acdón él precio de ejerddo Los dividendos
Precio de la opdón de compra aumenta aumenta aumenta aumenta disminuye disminuye
Precio de la opdón de venta disminuye disminuye aumenta aumenta aumenta aumenta
Tabla 13.3 Efecto enel precio de las opciones decompraydeventa (3) Su llega adicho resultadoderivandoei vatorde laopciónconrespectoaun cambio en ía tasa de interés en la fórmula de Black-Scholes.
T eOHIa D£ O cciones
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Preguntas deaiilo-evaluacióru 1. ¿Por qué cuando aumenta la volatilidad aumenta el valor dé la opciónV 2. ¿Por qué cuando aumentan los dividendos se reduce el valor de la opcidn?
13.3. EíERCICIODELAOPCIONANTES DESU\'ENClMtENTO Las opciones americanas pueden ejercitarse antes de su vencimiento. A príorí podríamos pensar, por ejemplo en el ca so de una opción de com pra, que sí el p recio d e la acción se encuentra suficientemente por encima del precio de ejercicio, convendría ejercitarla antes del vencim iento y embolsar la ganancia inmediatamente. Sin embargOj veremos que esto no es conveniente cuando la acción no paga dividendos. Sin embargo, sí puede resultar ventajoso ejercitar una opción de venta que no paga divi dendos antes del vencimiento cuando el precio de la acción se encuentra por debajo del precio de ejercicio. Recuerde que los dividendos ¡nnuycu en el valor tanto de las opciones de compra como de venta. Opciones de compra que no distribuyen dividendos En esta sección, demostraremos que nunca debe ejercerse una opción americana sobre acciones que no distribuyen dividendos antes del vencimiento. Vale decir, que es mejor mantener ’Viva" la opción y no ejercitarla sino hasta el vencimiento. Los resultados son importantes pues además nos ayudarán a preparar el terreno para el próxírno capítulo, donde trata remos las opciones reales. Para lo que resta del capítulo estableceremos la siguiente convención para distinguir entre opciones europeas y america nas: c =: opción d e com p ra eu ropea C ~ opción d e com pra am erican a Suponga que usted tiene una opción de compra americana sobre ac ciones que no distribuyen dividendos y falta un mes para el vencimiento. El precio de ejercicio es 90 y el precio de las acciones es actuaJmente lOÜ, Parece tentador ejercer la opción y embolsar inmediatamente ja diferen cia ílOO'SOslO). Sin embargo, hay tres razones para no hacerlo: L El valor tiempo del dinero: si el precio de ejercicio se paga dentro de un mes, éste será menor en valor presente. Recuerde que todo peso riel futuro vale menos en el presente; siempre es mejor pagar más ,tarde que
G u i l l e r m oL ó p e zÜ u M R A u r
más temprano Si las acciones no distribuyen dividendos, no se liabrásacrificado ninguiia entrada de dinero.
2. Si el inversor planea conservar las acciones durante un mes, pued ocurrir que el precio de ia acción disminuya; en ese caso, el inversor se felicitará por no haber ejercido la opción, pues en ese caso tendría a ccio nes que valdrían m enos. Si se ejercitara la opción, el seguro que propor ciona contra las bajadas del precio de las acciones con respecto a] precio ; de ejercicio (siempre suponiendo que las acciones se desea conservarlas hasta eí vencim iento de la opción) desaparece.
3. Inm ediatam ente el inversor podría pensar en ejercitar la opción y vender Inm ediatam ente la acción para em bolsar la diferencia. Este argum em o del íijjo "m ás vale pájaro en mano" tam poco conduce a la m ejor estrategia. El argum ento es sencillo: e l in versor o b ten d rá m á s d in e ro s i v en d e ¡a o p ció n en vez d e ejercita rla . ¿Por qué? N ecesariam ente habrá inversores que deseen m antener las acciones y esta rá n d isp u estos a p a g a r p o r la o p ció n la d ifere n cia en tre e l p r e c io d e la a c c i ó h y e l v a lo r p resen te d e l p r e c io d e ejerció d o . Si !a tasa de interés anual libre de riesgo es del 5% y falta un mes para el vencim iento, debem os proporcionarla al mes (0,05/12=0.006) para calcular el valor presente del precio de ejercicio. Dti ese modo el valor de la opción cíe com pra sería; C = 5 -
= 100-
90
= 10.37
(1 + ^ ) m
De ese modo, el inversor obtendría $10,37 en contraposición a los $10 que obtendría ejercitand o la opción y vendiendo inm ediatam ente la a c ción, Para reforzar ia afirm ación, apelam os al argum ento de im posibili dad de arb itraje; la op ció n de com pra necesariam en te tien e que valer .$10,37, de otro modo habría oportunidades de arbitraje. Por ejem plo, el inversor podría vender las acciones por $100, com prar la opción por $10 y la diferencia de $90 colocarla a la tasa libre de riesgo 90(1+0,05/12)=90,37 luego-ejercería la opción de com pra y volvería a tener la acción pagando el precio de ejercid o de $90 y em bolsando ia diferencia de 0,37 sin ningún tipo tie rie.sgo. Si la opción de com pra am ericana sobre acciones que no pagan divi dendos no conviene nunca ejercitarla antes del vencimiento, tiene por lo menos el mismo valor que una opción de com pra europea sobre las m is mas acciones; ; C^ C Puesto que el propietario de una opción de com pra am ericana tiene • siempre la oportunídád de ejercitaria, mientras que el propietario de una : de cpnipra europea sólo puede hacerlo al vencim iento, la opción
T eoría DF. O rao N ts
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de compra americaaa debe tener más valor que la opción de compra eutov pea. > : CZc
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De manera que la opción de compra arnerícana tiene que ser mayor a la diferencia entre el precio de la acción y el valor actual d el precio de ejercicio:
(1 + — )
m
Se observa que sí rf > 0, necesariamente C > S - £ (cuanto mayor es rf menor es el valor actual del precio de ejercicio y mayor se hace la diferen cia).'Si fuese mejor ejercerla antes del vencimiento, entonces C sería igual a S - E, que no es lo que ocurre, por lo tanto deducimos que no conviene el ejercicio antes del vencimiento, ¿Qué ocurre si la acción paga dividendos?
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En este caso sí puede ser conveniente ejercitar la opción de compra antes del vencimiento, ya que el flujo de efectivo que se obtendría cobran do el dividendo podría ser mayor al que se obtiene vendiendo la acción. De hecho, los inversores a veces ejercen la opción de compra para adquirir la acción porque creen que pagará dividendos. Opciones de venta que no distribuyen dividendos A la inversa de lo que ocurría con las opciones de compra, purde ser ventajoso ejercer una opción de venta sobre acciones que no distribuyen dividendos antes del vencimiento. Supondremos que; o p c ió n d e v en ta e u r o p e a P= o p c ió n d e v en ía a m e r ic a n a
Suponga que el precio de ejercicio es de 100 y el precia de las acciones es 80; ejerciendo inmediatamente, un inversor obtiene un beneficio in mediato de 20 pesos. Por el principio del valor tiempo del dinero, sabemos
que recibir 20 pesos ahora es m ejor que recibirlos en el futuro, cuando venza la opción. En general, el ejercicio de la opción de venta será más atractivo cuando S disminuye y aumenta la tasa de interés (piense que si aumenta la lasa de interés, disminuye el valor presente del precio de ejer cicio que voy a recibir en el futuro cuando ejerza la opción).
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El valor tiempo cJel dinero nos explica que como puede ser conveniente ejercitar una opción de venta americana antes del vencimiento. Como es mejor recibir un peso hoy que recibirlo en el futuro, la opción de venta americana tendrá siempre un valor superior a su correspondiente opción de venta euro pea iP > p).
El efecto de ios dividendos Los resultados que hemos visto hasta ahora suponían acciones que no distribuían dividendos. Cuando se distribuyen dividendos, no podemos afirm ar que una opción am ericana no se ejercerá antes del vencimiento, porque los dividendos harán que el precio de las acciones baje de golpe haciend o la Opción menos atractiva. Además, el inversor puede pensar que es conveniente ejercitar la opción sobre una acción porque piensa ‘ q u e ésta puede pagar dividendos y de esta forma obtendría un mayor flujo de efectivo que le com pense ia disminución que se produciría en el precio de ia acción. Por otra parte, se hace más atractiva la opción de venta. Como el pago de dividendos hace bajar el precio de la acción, concluimos enton ces que la distribución de dividendos genera; 1. Hn el caso de las opciones de compra, disminuye el valor de Ja op ción , haciendo que de repente sea más conveniente ejercerla antes del ven cim ien to 2, En el caso de las opciones de venta, éstas aumentan su valor La paridad put-call en las opciones europeas
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í » iI kr
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La paridad pul-cali refleja una de Jas propiedades más importantes de las opciones europeas de compra y venta, ya que nos muestra como pode m os obtener el valor de una opción de compra a partir de la opción de venta y viceversa. Aunque la mayoría de las opciones son americanas, esta propiedad luego veremos que puede ser utilizada no sólo en las opciones financieras, sino que tam bién es aplicable a situaciones de las finanzas corporativas. Recordemos por un momento como seria una operación donde es ad quirida una opción de compra europea y supongamos que se tiene el di nero para com prar la acción a! vencimiento de la opción. SI la opción no vence boy sino que lo hace dentro de tres meses, no precisamos tener todo el dinero hoy, sino sólo el valor actual del precio de ejercicio que es igual al precio de ejercicio a la fecha de vencimiento actualizado por la lasa de interés libre de riesgo EíÜ +rf) (4). Por otra parte, supongamos que existe un inversor que com pra una opción de venta y además posee la acción. R esu m iend o: ^
(4) Suponemos capitalizaddn discreta. Los resultados nodifieren si trabajamos con la tasa equivalenre instantánea COTIcapUalizadóñ coniinua.
4 5 ‘l
T eoría de O pcíones
m
El comprador de un cali en trega hoy la prima de la opción d elcall fe) valor presente del precio de ejercicio (^ .
el
El comprador de un Put entrega h o y ]a p rim a del Pui fp) nnel valurcorrieme del activo (5). Al vencimiento pude ocurrir alguna de estas dos siruaciones; a) que el precio de la acción sea mayor a! precio de ejercicio: ambos inversores terminan poseyendo el activo (el poseedor del cai) lo ejercitará y el cornpradordel put no, porlo tanto ambos acabarán poseyendo la acción); b) que el precio de la acción sea menor a! precio de ejercicio; ambos inversores Eerminan quedándose con el dinero en efectivo, pues el posee dor del cali no ejercitará la opción y el poseedor del put si lo hará, ven diendo la acción. Como las dos posiciones son equivalentes, tenemos la siguiente relación: ^ ' '' . > r ; ^ /
w Sí esta relación es cierta, entonces un Put puede ser visto como un Cal! más el valor presente del precio de ejercicio menos el precio corrienie del activo: ~ . c + B ( l+ r f) ^ S
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5 » y el Cali entonces puede ser visto como un Put más e! precio corrieníe del activo menos el valor presente del precio de ejercicio:
’m S
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c ~ p + S - E /( l+ r f)
' ;*hÍ'í | A plicacion es d e la p a r id a d p u t-ca ll en las fin a n z a s A veces las empresas em iten obligaciones "convertibles". Estas obliga ciones le perm iten al emisor, convertir estos títulos de deuda por acciones de la com pañía, a precios preestablecidos en el prospecto de em isión. Generalm ente esta obligaciones son em itidas can una cláusula de rescate, con precios tam bién preestablecidos para rescatar las obligaciones, que tienden a forzar la conversión de las obligaciones por acciones. La mayo ría de las obligaciones convertibles es rescaiable anticipadam ente con una prima. Sí la firma rescata anticipadam ente la obligación, el propieta rio cuenta con un breve período, en el cual debe decidir si convierte la obligación o la entrega, recibiendo el precio de rescate en efectivo. Más allá de la discusión académ ica que existe acerca de sí las obligaciones convertibles constituyen una forma eficiente de finandam iento (5), una obligación convertible puede ser vista com o una obligación pura más una opción de com pra sobre las acciones de la firma (G+E), o también conio
,
(5) En la liiera lu ra cié F in a n z a s ex iste u n a discuslcin a ce rca de s( las o hllg acio nes co n vei tib ie s co n stitu y en u n a form a d e d eu d a b a r a tá o u n a v en ta diferid a d e u ccio n e s a un p r e d o aira c tlv o .V eá sfcB rea le y & M y crsí2 0 0 0 ). ,
L i M M i i m o LorEt O umpauf
ías accione.'? de la firma má.s una opción de venta sobre las mismas {S+P| ya que si el precio de la.s ncdones es bajo, preferirá entregar la obligación V recibir el dinero en cfeclivo. Esto se debe a que tanto sí el pieclo de las nrdones sube o baja, en ambos casos los resultados son exaclnmente lgua< les, como se muestra en la figura 13.7r
SI 5<£ La opckVn nn Jie AjorcA: Al invArsor enimqarin In cbflqaclón y obtendrlA a cnmblo al dinAro en olecilvo
.'>/ 5.’* ^ La opcIAn «o #*)orce yn ryie al InvAraor al conviéíw convAillf toa (ibligndonos por nociones
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1■ ,d’n r cptfí tirifi u p r jó i i d e c n n t p m fM im iM iri v a le I iim I m c u itift nu c ftrTOi»Mii/Ilí«ii(p riíiiPiIrdiin? j.í'or qiifí una f i f i r M i t fir* verifit nniprirnnn val»; mi RPiuunl, mrt;i que .MI i;(m i’.*í|irilld|p|(lc iMMMpcn?
.3.
PMnlílpcc la puridad pm-cnll y pnrn rpiá nlivcíf
I nnit*M liirprioí y imprnini pmn el valor de las opdone.s que no dl.strILuo yen iIlvIdmuloN nu rícrí'lniicr. miimlmcN t\r este ciiplliild pxpllfnmos Ins cuiaclciísll* f .11 hiUlrns ib' las opclonc'; dr ( oniprn y dr vniiln. así coiiio loa fiiGluics que idPClabnn flu pipHo. En Ion rjrm plos donde mogtuíhmnos los reaidliidos dé comprar o vmitlér o p d o or':, el precio tic la opción (la prima) ern un dalo. Aniw tic describir los nuHodo.s do valuación de opciones, comenznimimn por dcscilhir los llmlles Inferior y superior c n lir los que deberla c! precio de In opción, lo que propoiclomitá uim visión intuitiva de lo< elcttictiuiíi que Intervienen cu la dHcrtidmidOn tlH valor, nn la próxl* u n serd ób desarrollaremns un ejemplo cmi ol rmítodo blnnmlaJ pura lu valuación de opciones que consiste en una nproxlrnndón discreta y más fticll rin riueiutcr que Ins ecuaciones diferenciales cstocóstlcas y las fórnui-
'/‘í.r
TEOR/A d e O rC IO N £5
4o l
las cerradas del tipo Black-Sdioles (6). Flnalmenie, mostramos com o los re sultados obtenidos por el abordaje binomial convergen con los obtenidas por la fórmula de Black-Scholes cuando dividimos el plazo de tiem po hasta el vencimiento de la opción en subperíodos nuiy i>equenos (Instantes dr tiem po) lo cual significa que el número de pasos en el drbol binom ial tienda n Innnflo y la variabilidad en el precio do las acciones se produce en forma compuesta continua. En esta sección analizaremos los límites nióKlino y mínimo para I^s pre cios de las opciones americanas o europeas. Veremos que si el precio de la opción se enciicnírn por encima del límite tndximo o p ordebnjo del lirnile mínimo, esta siluacitín r)o durard mucho tiempo pties se producen oportuni dades para un arbitraje provccJioso. En rcalJílad, el verdadero 'Valor" *lc unn opción se conoce al vcnclmlctito. Por ejemplo, si tenemos una opción |jaia comprar unn acción n un precio de ejercicio tic $1110, y al vcnclm lrnta el precio de la acción se ertcunntrn n $flü, In opchUi tto lendrd nlngiut valor porque no valdría In pena njcrcllnrln. Por el contrarío, si el precio st*encMenlrn por encima del precio de ejercicio, la opción tiene un valor igual al precio tie In acción rneno.s el precio de ojorcido, como vlino.s nnlcrlorrnonte. Veremos que el precio de In opción sieniprn sesItiUicnlrn dos límites, Inferior y supeI leu, que dcsci Ihlmos n continuación. !íl Itmíti' iiifn ío r th ¡as apcUyncs c/e com pu t I'l Kmíle liilrrlor pniM las opciones de coin|un eiiropca.-í que no Jislrl liiiyíMi illvldcndor. es .sleiripre In fllíerenda entre el precie» ile In acd'*n y el vnloí |iiesiíMle riel piecln ili* ejercido, domlu I mpteseiun In canllóml tie peilodie; (|ite ínitaii [>arn el vmidnilento; f " .V
(TV ,y i*"
Ames del vencitiilento, In opción minen puede valer menos que el di m*io que se recibiría .si fuese rjeteidn Inmediatamente. Si pra eienndu. la acción íuvlnn un piedn
(G)
Pi?o«rn:5atc'U?,MmjN(ÍM731.*Thí IMdnporoptinnsflnd CamvraleU.i’rdltltis*
louinalof PollUcal Ecoiimn); N*0h Ma>i>-lunio 19?3. páps 637-659.
GuiiLEfLM O L ó p e z D
umkauf
22u~ 100/(1,05)=24,76 Si p o r ejem plo, el precio de la opción de compra europea fuera de $23, in ferio r al valor redrico de 24.76 un arbitrajista compraría la opción de com p ra por $23 y vendería inmediatamente las acciones, obteniendo un ingreso de 120 - 23=97 Luego colocaría esa suma al 5% durante un año y obtendría 101,85 (97 x 1,05) Si al final del año la acción vale más de $100, la ejercitaría por $100 liquidando la posición corta y obtendría un benefi cio sin riesgo de:
t » ► » I
101.85 > 100 = 1,85
I
Si las acciones valieran menos de $100 al vencimiento, se comprarían en el m ercado y la posición corta se liquidaría. En ese caso el arbitrajista obrendría un beneficio mayor, por ejemplo si el precio de las acciones es $90, este sería; ; ---------
» »
101.85 - 91)= 11,85
»
•
Esias situaciones no podrían mantenerse, pues el arbitraje com enza ría inm ediatam ente y el valor de la opción inmediatamente subiría a $24,76 elim inando cualquier posibilidad de ganancia extraordinaria. La línea del gada de la figura 13.8 representa, por tanto, el limíte inferior para el precio de m ercado de la opción.
p p
p t i
E l lím ite su p erio r d e las op cion es d e com pra La línea diagonal que parle del origen representa el límite superior para el precio de mercado de la opción. No importa lo que suceda, la op ción nunca puede valer más que la propia acción; no tendría sentido pa gar por la opción a comprar una acción más de lo que vale la propia ac ción. I )e lo contrario, todo el mundo correría a comprar la acción y vende ría la op ción . Esta relación vale tanto para las opciones de compra euro peas com o para las americanas:
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i: ^:
1
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Figure 1 3.a U tnires intenor y superior del valor de la op d ó a de com pra
T
e o r ía de
O rcioM E S
De la figura 13.8 puede decirse lo siguiente: • Cuando la acción no vale nada (su precio es cero),/a opc/d/íMmpoccj tiene ningún valor. • Cuando e) precio de la acción aumenta, el p recio d e la o p ció n se acerca a l p recio d e la acción m en os el valor presente d el precio d e ejercicio y m ay or es la p ro b a b ilid a d d e q u e la opción sea ejercitada. Si el precio de la acción es aíro, el ejercicio de la opción es casi seguro y menor es la probabilidad de que e! precio de la acción caiga por debajo del precio de ejercicio antes de que la opción expire. Esto se muestra por la distancia entre la línea punteada y el límite inferior. • Cuando el precio de la acción es exactam ente igual ai precio de ejerci do, la opción no tendría ningún valor si fuese ejercitada hoy, pero si la misnia vence dentro de tres meses, hay una probabilidad de 50 /50 de que el precio sea mayor o menor qué el precio de ejercido, respectivamente. Entonces, si tenemos alguna probabilidad de obtener una ganancia y sí en el peor de los casos el resultado es cero, la opción debe tener algún valor. Por lo tanto, el precio de la opción necesariamente debe ser mayor a su límite inferior mien tras quede tiempo hasta el vencimiento. Este es el premio que el comprador de la opción paga por mantener el con trol p or el tiem po qu e resta hasta el vencim iento d e la opción. Uno de los determinantes de la altura de la línea discontinua lo represen ta la distribución de probabilidad de los precios futuros de las acciones: • a mayor varianza en el precio de la acción, mayor es la probabilidad de que en alg;ún momento el precio se ubique sobre e! precio de ejercicio • cuanto mayor sea el plazo de vencimien to, aumenta la probabilidad de cambios en su precio Lim ites m ín im o y m d ú m o p a r a las op cio n es d e venta q u e n o distribuye d iv id en d os Las opciones d e venta dan el derecho a su tenedor a vender una acción por un precio de ejercicio E. No importa lo bajo que esté el precio de las acciones, la opción de venta nunca puede valer más que el precio de ejer cicio, nadie pagaría un precio más ateo por algo que luego tendría que ven ' derlo a un precio más bajo: PSE En el caso de las opciones europeas, en el momento del vencimiento, la opción puede tener menor valor que el precio de ejercicio. Por lo tanto, su valor debe ser menor que el valor presente de! precio de ejercicio: p<
0 + r fy
G uiller\ ío López ÜUMRAur
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Üe otro modo, un arbitrajista podría obtener un beneficio sin riesgo ven* díendouna opción de venta einvirílendo inmediatamente e! ingreso obteni do a la tasa de Interés libre de riesgo. En el caso del límite mínimo, la opción de venta que no distribuye dividendos nunca puede valer menos que la difelencia entre el valor presente del precio de ejercicio y ei precio de la acción (represenradQ en la figura 13.9 por la línea punteada! que es el resultado de ejercerla inmediatamente: P -
--• J
Al igual que en la opción de compra, el valor de la opción de venta se encuentra entre los limites inferior y superior, de otro modo hay posibili dad de arbitraje. _ ____ _ __; . .
100
J50
200
250
P re d o de te acción
--------- Lírrile Bilerior - - - -Valordel pul Figura 13,9 U m ílcs in feriory valord e ia opción de venta
13.4.
V a l u a c ió n DE OPCIONES CON ELMÉTODO BINOMIAL
E! método binomial para la valoración de opciones fue desarrollado porCox, Koss y Rubínsteín (1976): Como veremos, es muy intuitivo y com bina la matemática sencilla con la teoría de los árboles de decisión. El ár bol binom ial representa diferentes trayectorias posibles que pueden ser seguidas por el precio de las acciones durante la vida de la opción.
Supongamos que hoy el precio de una acción es de $100 y que su volatilidad anual continua es de 36,46%. Queremos valuar una opción de compra sobre esta acción para un plazo de vencimiento de T=3 meses. En option pricing, todas las medidas (tasa de interés, varianza, desvío estándar) son expresadas en años. Si queremos calcularlas en otro perío do de tiempo (ya que los contratos de opciones son por períodos menores al ano) debemos tener en cuenta que la varianza anual es igual ar
T e o r í ad e O r c io N ts
4<>3"
4
a^ T
A
Por lo tamo el desvío estándar es, sí sacamos la raíz cuadrada d éla expresiónanteríor . > . ■. CT^/f SI queremos calcular el desvío estándar para un período inferior al año entonces hacemos o
J aÍ
Donde At representa eí subperíodo de tiempo. Por ejem plo, 3 meses de un año representa un At=0,25. Podemos transformar dicha volatilidad con tinua en discreta para calcular las trayectorias de alza (u) y de baja id) sím; plem ente haciendo;
d = - = e
= 0.833
En realidad. De esta forma, dentro de un período de tres meses, el precio de dicha acción puede subir a $120 o bajar a $83,33 (aJ calcular la trayectoria de baja d=l/u el árbol de eventos se torna recom binante, lo cual facilitará poste riormente ja comparación con el método de Black-Scholes cuand«j traba jem os con varios períodos). Como veremos, la probabilidad de que ocurra un resultado u otro no importa, pues lo que se denominan las "probabili dades neutrales al riesgo" se encuentran ya incorporadas en los precios en las situaciones de alza y baja. En primer lugar supongamos una opción de compra europea con ven cim iento dentro de un período de 3 m eses y con un precio de c¡ercicio E = 105. El precio de la acción hoy es de 100 y si el precio de la acción sube a 120 podrá valer 15 (120-105) o no tendrá valor si la acción baja a 90 ya que expiraría sin ser ejercida, como se muestra en la figura 13.10:
i 'i i
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CuiLLERNíO lóPtl OUMBÁÜt S u p o n d re m o s un m undo neutral al riesgo para ponerle precio a esta op c ió n . A u nque p arezca extraño, verem os que podem os valuar la opción inde p e n d ie n te m e n te d e las preferencias de ios inversores por el riesgo, inclusive s u p o n ie n d o q u e no les im porta el riesgo. El único supuesto que necesitam os t s q u e n o h a y a o p o n u n ld a d e s d e a r b itr a je p a r a el in v ersor i7).
C o m o se replica una cartera lib r e de nesgo El sig u ien te paso es crítico éñ el análisis. Consiste en considerar la c o m p r a de u n a ca rte ra com p u esta por un d e te r m in a d o n ú m ero d e a c c io n e s A (p o sició n larga en accio n es) y la v en ta de una opción de com pra (posición c o r ta en un a o p ció n de com p ra) de m anera que no haya incertídu m bre so b re e l valor de la cartera al final de los tres m eses. Esto es así ya que e! flu jo d e fondos q u e proporcionará d icha cartera (en función de la trayec to ria d e p recios posibles) será el m ism o tanto si el precio de la acción sube h a s ta 3-I20 co m o si b a ja a $90, A esta com binación se la denom ina d elta de la o p ció n . _ _____-
E l n ú m e r o d e a c c i o n e s d rep resen ta la c a n tid a d d e a ccio n es'q u e te n e m o s q u e c o m p r a r p o r c a d a o p c ió n d e c o m p r a q u e e m itim o s o la c a n t i d a d d e o p c io n e s d e c o m p r a q u e d e b e m o s em itir p o r c a d a a cció n q u e p o s e e m o s . E n t a i s e n t id o "zl" r e p r e s e n ta e l c o e fic ie n te d e c o b e r tu r a ( h e d g e r a te ).
¿P o r q u é d e cim o s q u e esta ca rtera resulta libre de riesgo? Porque el flu jo de fondos resulta el m ism o ya sea que el precio de ía acción suba o b a je : I. f.j el p recio de la a cció n sube a $120, la opción de com pra que vendi m o s sería e je r c it a d a p o r su tenedor por lo cual debem os restar su valor del p re cio de la a cció n S 2. bi el p re cio de ia a c c ió n b aja a $90 la opción no tendría valor (el te n e d o r de la op ción no ia ejercita pues no le conviene) La ca rte ra tie n e riesgo cero si el valor de A se elige de form a que el valor fina] de la cartera sea el m ism o para am bos precios posibles:
120 d~ 15=^ 83.33 é - 0 3 6 ,0 7 A ^ 0 ,4 0 9
15 ].
Se c o m p ru e b a fácilm en te que: V
V
i7) í »e otro modo. un Inversor podría obtener ganancias sin ningún riesgo medíante el .arbitraje. ■ ■ . ./-.v'..
Ir
T e o r Iade
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U pgiones
S i e l p r e c io d e las accio n es su b e a $120, el valor d é l a cartera sería: IZO
0,403
^15=^34,00 Si e í p recio d e las a ccio n es b a j a a $90, e l valor d e la cartera s e r ía :8 3,33 x O Jib ) =^34,08 La carrera descripta es considerada libre de riesgo pues nos asegura eí m ism o retorno al v encim iento. O bserve que si hubiéram os razonado el raíio de cobertura a partir de cuantas opciones deberíamos emitir por cada a cció n , el resultado es equ ivalente, ya que por cada acción d eb e n a m o s em itir 2,44 opcion es: 1 2 0 ^ 15 A ^ 83,33 ^ 0 3 6 ,6 7 = 15 A A = 2 ,4 4
/■
'
Cálculo del co e ficie n te de co b ertu ra o *'hédge"
;
Si lla m a m o s u al c o e fic ie n te d e alza y d al c o e fíc ie n re de b a ja : ASu - cu = ASd - c d D esp ejan d o e l coeficien te
Á—
cií —c d S u -S d
El coeficien te de cobertura es igual al cam bio en el precio de la op ción dividido por el cam bio en el p recio de las acciones cuando nos m ovem os entre los puntos de convergencia.
Ya sea que el precio de las acciones suba o baje, el valor de la cartera siem p re es de $34,08 al final de los 3 m eses. Las carteras libres de riesgo d eben ganar una tasa de ínteres libre de riesgo. Suponiendo que esre fuera del 6% anual, podem os calcular el valor de la cartera hoy, que debe ser el valor presen te (0) de 34,08. Como la tasa anual libre de riesgo es del 6%, d eb em os proporcionarla al trim estre (0.06/4=0,015} 3 4 ,0 H
-
= 3 3 .5 7
(i+ 0 ,0 1 5 ) Ahora que ya sabem o s que el valor presente de nuestra cartera es de $33,57, para calcular el precio de la op ción (c) tenem os en cuenta que nues tra Inversión es igual al precio que pagam os por las acciones menos lo que cobram os por la venta d é la opción. El precio de las acciones hoyes de 100,
(8) Cafculamos el vaJorpresentesuponiendoaauáJizacióndiscreta.Busaclelaaciuart' zación compuesta continua no inodifíca demasiado iosTesuJiados.
GmiiERMO LórEZ DuMR.\ur
f
f ' o r i«» l a n í o t e n d r e m o s q u e d e s e m b o l s a r Í 5 0 p a r a c o m p r a r l a s a c c i o n e s IÜÜxO.5) m e n o s el p r e c i o d e l a o p c i ó n i q u e e s l o q u e q u e r e m o s a v e r i g u a r ) e
i g u a l a m o s la c o m p o s i c i ó n d e la c a r t e r a c o n s u v a l o r p r e s e n t e ; 11)0 X 0 . 4 0 9 - c = 3 3 , 5 7 4 0 .9 - c = 33.57 c = 7,32 ¿ P o r q u é el p r e c i o d e b e s e r s i e m p r e 7 , 3 2 ^ T n a u s e n c i a d e o p o r t u n i d a d e s d e a r b i t r a j e , el v a l o r p r e s e n t e d e la o p c i ó n de c o m p ra d e b e ser sie m p r e d e S 7 .3 2 ; c a s o co n tra rio h a b ría o p o itu n id a d para un a rb it ra je p r o v e c h o s o l . S i p u r c a s o . el p i c c i f i d e la o p c i ó n f u e r a m a y o r a $ 7 . 3 2 la c a r t e r a c o s l a iia m e n o s fie $ 3 3 , 5 7 y o i j i c n d r í a u n r e n d i m i e n t o s u p e r i o r al l i b r e d e ries g o . P o r e j e m p i o , si la o p c i ó n c o s t a r a $ 8 . l a c a r t e r a v a l d r í a $ 3 2 , 9 ( 4 0 , 9 - 8 ) p e r o r o m o al f i n a l «le l o s i r e s m e s e s e n t r e g a u n r e t o m o d e $ 3 4 , 0 8 t e n d r í a u n l e n d i r n i e n i o d e 3 . 6 % t r i m e s t r a l ( 3 4 , 0 8 / 3 2 , 9 - 1 ) . E n t o n c e s t o d o el m u n d o s a l í J r í a a c o m p r a r la c a r t e r a , l o q u e i m p l i c a c o m p r a r la a c c i ó n ( q u e s u b i r í a <1<^ p r e c i o ) V v e n d e r l a o p c i ó n d e c o m p r a ( q u e b a j a r í a d e p r e c i o ) q u e v o l v e rí a a 511 p r e c i f » j u s t o d e $ 7 , 3 2
2.
5 t el p r e c i o d e l a o p c i ó n ( u e i a i n f e r i o r a $ 7 , 3 2 v e n d e r a c o r t o l a
c a r t e r a p r o p o r c i o n a r í a u n p r é s t a m o a u n i n t e r é s m e n o r al l i b r e d e n e s g o ( 9 ) . P o r e j e m p l o , si la o p c i ó n c o s t a r a 5 7 . la c a r t e r a v a l d r í a 3 3 . 9 ( 4 0 , 9 - 7 )
V e n t o n r e s u n a r b i r r a j i s l a v e n d e r í a l a s a c c i o n e s y c i i m p a r a n a ta o p c i ó n , l o f n a l l e p e r m i t i r í a r e c o m p r a r l a s a c c i o n e s a) v e n c i m i e n t o Si l a a c c i ó h - s u b e l i e p r e c i o a $ 1 2 0 . e n t o n c e s c o m p r a r á 0 , 4 0 9 x tOS y v e n d e r á la o p c i ó n p o r $ 1 5 c o n lo c u a l v o l v c i í a a t e n e r l a s a c c i o n e s p o r s ó l o $ 2 7 . 9 4 y e m b o l s a r í a s i n n i n g ú n r i e s g o In d i f e r e n c i a d e $ 5 ( 3 3 , 9 - 2 7 , 9 ) - $ i la a c c i ó n b a t a d e p r e c i o . |.a g a n a n c i a p o d r í a s e r m a y o r , y a ( j u c r e c o b r a r í a l a s a c c i o n e s p a g a n d o m e r l o s . Hn a m b o s c a s o s , e l a i b i t r a j e o p e r a r í a y el v a l o r d e l a o p c i u n d e b e r í a situ arse en $ 7 ,3 2
e s u ji i n u n d o n e u t r a l al r i e s g o ? l i e m o s u t iliz a d o p a r a la valuacuV n d e l a ^ o p c io n e s u n p r i n c i p i o g e n e r a l i m p o i i a n t e q u e s e c o n o c e c o m o l a v a l u a c i ó n n e u t r a l al r i e s g o , o a b o r d a j e p r o b a b í l i s i i c o n e u t r o , e n a l u s i ó n a l a s p r o b a b ilid .a d e s n e u t r a l e s al r i e s g o . <|iie e x p l i c a r e m o s i n m e d i a t a m e n t e . É s t e t i p o d e a b o r d a j e n o s d i c e q u e p o d e m o s v a lu a r o p c io n e s sin p é rd id a d e e x a c iitu d , s u p o n ie n d o q u e u n m u n d o d o n d e los in v er so res
son neutrales al riesgo, aunque no
lo
sean real
m e n t e . E n e s t e m u n d o e s f á c i l t r a b a j a r : la r e n t a b i l i d a d e s p e r a d a d e l a s a c -
(9) Sí la opción costar a m enos de $7,32 convendría vender b s a ccio n es y com prar la opdrin para recom pt ar las acciones al v cn d m ienio . De esta Corma nos au top réslam os dinero a una lasa inferior a la libre de riesgo.
TtORlA D£ Opcrowis
ciones es igual a la tasa de interés libre de riesgo y utilizamos esta tasa para descontar su retorno esperado. El atajo de las probabilidades neutras ponderadas Un atajo muy importante para la valuación de opciones en un mundo neutral al riesgo consiste en definir al valor de la opción como una ponde ración de sus valores en las situaciones ascendente (cu) y descendente [ai] descontados por la tasa libre de riesgo. Denotamos la probabilidad de una subida en el precio de las acciones en un mundo neutral al riesgo por p y la probabilidad de baja por 1-p:
Fórm ula d e las p robabilid ad es neutras p on d erad as _ cii.p + c d .(\ - p ) (1 + //) Donde u {upside) representa el coeficiente de ascenso (u=l,20) y d {doufnsíde) el coeficiente de descenso (d=0,033>. A partir de la fórmula an terior resulta fácil despejar las probabilidades de ascenso p y de descenso (l-p ): c.(l+rf)=: cu.p + c d - cd.p c.{(l+rf) - d¡ = cp.(u-d)
H-d
1 .2 0 - 0 ,8 .1 3
Finalineiue. reemplazando los valores de p y l- p en la íormiila de las probabilidades neutras ponderadas obtenemos el mismo valor de la op ción de compra que obtuvimos antes razonando explícüamenfe la com> posición de una cartera libre de riesgo: c u .p + c d .{ \- p) _ 15 t 0,495 + 0 ,v 0,505 _ (1 + // )
(1.015)
~
Esto demuestra que el supuesto de la imposibilidad de arbitraje y el abordaje neutral al riesgo daji el mismo resultado. Observe que los valores posibles ponderados por su probabilidad de alza y baja nos deberían dar al cabo de los tres meses lo mismo que habríamos obtenido colocando $100 a la tasa libre de riesgo: 120 p + 83,33 (l-p) = lüO (1.015) 120 X 0,495 + 03,33 x 0.505 = 101,5
4^,
’
GuuuKAto Lomz DuMiuuf
¿Qu.i son las “probabilidades neutrales al nesgo“if La formula de las probabilidades neutras ponderadas no supone proba bilidades objetivas de alza o de baja en el precio de las acciones en el sentido que las i onocenios J e la esiuJistica. No son Jas probabilidades objetivas en términos de sucesos íavoraOles sobre casos posibles. La razón es que esta mos valuando la opción en función del precio que tendrán las acciones subyacences. Las probahlJidades de los íururos movímicnlos ya están incorporallas en el precio de las acciones.
W
S
i
b ien
no
n e c e s i t a m o s s u p o n e r p r o b a b i l i d a d e s d e a lz a o b a j a e n el p r e
c i o d e Li s a c c i o n e s , p u e s e s t a s ya e s t á n i n c o r p o r a d a s e n la s t r a y e c t o r i a s a s c e n d e n t e y d e s c e n d e n t e , e s n a t u r a l q u e s e i n t e r p r e t e a p c o m o la p r o b a b ilid a d d e u n alza e n el p r e c io y a 1-p c o m o la p ro b a b ilid a d d e u n a b a ja D e f o r m a tal q u e
cu p -tcd .(I-p )
e s el r e s u l t a d o e s p e r a d o d e la o p c i ó n . El
p re c io e s p e r a d o d e las a c c io n e s en el m o m e n to
T, E(St)
es:
E(SU = p 5n -r a - p ) S d -U '
pSu + Sd + pSd E(Sí) - p S(u-íi) + Sd H ee in p lazan d o
-3 ^
U -tf
p
e n la fó r m u la a n te r io r q u e d a
x S iu -^ íI) + Sd
[í
::5 '
E(Sí i = 1 + » / » - d ]v + Sd 5/i 5N+r/; d e r n o s i t a n d o q u e el p r e c i o d e la s a c c i o n e s c r e c e a la ta s a d e i n t e r é s li b r e
I
l i e n e s g o c u a n d o e s i a n l e c e i u o s u n a p r o b a b i l i d a d d e s u b a ig u a l a p, lo q u e e i j u í v a l e a a s u iiiM , c ti u n n i u i i d o n e u t r a l ai r ie s g o , q u e la r e n t a b i l i d a d d e
1
Idá a c c i o n e s e s i g u a l a la l a ^ a l ü i r e d e n e s g o
l. - Ñ A
ü l i j e n v a s o p o r t u n i d a d e s d e m e r c a d o ( 1 0 ) p o r l o c u a l , p o d e m o s v a l o r a r la
i ¡ i
l*u(|{'m os d e c i r r j u e al p c .d e i d i s e i i a t u n a c a l l e r a l i b r e d e r i e s g o , e s t a m o s i n d e p e n d iz a n d o las p i c f e r e n c i a s p o r el n e s g o d e los in v e r s o re s d e su s
.
. % ‘
L í,
c a r t e r a c o m o si n o i r n p u i l a r a n la s p r e í e i e n c i a s d e lo s i n v e r s o r e s p o r el n e s g o , c o n s i d e i a n d o in c lu s iv e q u e s o n n e u tra le s al n e sg o , ya q u e s u s p ie fe re n c ia s p o r el n e s g o nu in ip o ttan .
Utilizar la tasa libre de riesgo en el abordaje piobabilfstico neutro cons tituye una forma conveniente y simple de medu el valor tiempo de! dinero y el iniercam bio riesgo-rendim iento. A pesar de esta conveniencia, es iinporiante recoidar que aunque utilizamos la tasa libre de riesgo para valuar
• -% *'
9 ( I ú| Núie
l - m
q u e p u e d e v cf se co m o u n a
cxienslún d et ceotem a d e la se p a ta c ió n .
TfOlUA Di O
p c io n es
47\
una opción, inaniencr una opción no es algo líbre de riesgo. íis ju stam ente lo contrallo! Poseer solam cm e una opción aislada es más rie.sgosu que m antener el activo subyacente en forma aislada com o se m uestra en el si guiente ejem plo. Usted puede com prar acciones por $9B o puede comprar opciones para adquirir las mismas acciones pagando una prima de i 5 {•{ vencim iento opera dentro de 3 meses. En la tabla 13.4 se m uestran ios tliS' tintos rendim ientos en una y otra aliernaiíva, calculados sobre los monius
'A'-'
de inversión realizados (98 en las acciones y $5 en la opción de compra). kesuUa muy vi.sible que el inversor en opciones com prom ete una canlidail pequeña de dinero con la posibilidad de obtener un alto rendim iento, iimí lando su pérdida a la prima que pago por la opción; lo peor que puede pasar es perder iodo el dinero que pago por el cali. Cuando lo m iram os desde el pum o de vísta cié la variación porcentual de los rendim ientos, el p orcentaje de ganancia o perdida es m ucho mayor en las op cion es que en las acciones. Compra de acciones 15 0
102
yo
i n v e r s i ó n al m u r n e i u o d e c u m p r a
9(1
tifi
ya
H e s u l ra d o ñ e r o
52
4
-8
15 0
102
90
5
5
5
P recio d e ejercicio
10 0
líW
10 0
He s ul ia clo n e t o
45
-3
-15
53.0ÜTu
4,0ü%
-a, i 6%
B00%
-G 0%
-100%
Precia d e
mercado
O p ción d e c o m p ra Precio d e m erca d o P n m a de l c al i
I t e i i d i r n i e n t o e n a c c i o n e s ir»iúiudu neto/ iiivci>ioiii ( I c r i d i m i e n r o e n o p c i o n e s IremluJo nau/v;aur príinaj
iuLtIü 13 4 K ciid in iieniü ^ eii acciu n e» y en o p cion es
El árbol binom ial en dos paso.s Vamos a extender ahora nuestro análisis en dos señlidos. ixmsideruMniús un plazo de lienipo más largo para el vencim iento de la opLion de com pra de nuesiro ejeiiip lo an icrio r y oistinguirem os los lesu liados paia el caso de t|ue la opción lucre am ericana o europea. C onieiizaiernos su poniendo que la opcion es europea. Ahora el árbol binom ial tiene dos pasos, com o sc m uestra en la tlgura 13.11 el precio de las acciones co m ienza en 100 pesos y en cada nno de los dos períodos puede subir un JO por ciento o disim nuii un ]fa,ü(i por cíeiiiu (e! precio ele las acciones es el num ero de ,if riba y el valoi de la oi)CÍóii Sftgiln sea am ericana "C" o enn< pea “c" es el núm ero de abajo). La tasa de im erés libre de riesgo sigue siendo del 1,‘j% irírnest ral y cada período es de tres m eses, Al igual ipu: en
G'-iiiiEíiMO Lopfí DuMiVkur f I e/emplo anict ior. considerarem os una opción de compra con un precio (Ifí p.jercicio de 5105.
rifíMra l í . l l Arlwl binom in) para valuar la opción do com pra
[.{j*: [ T r e c i o ' ; t l ’Mi c a l c i i l a r « i e
ile las o p c i o n e s e n io s
íácilmemc,
nodos
del á r b o l (D.Ey F) puede l a n p o o n al f i n a l de i’recio d e l a s a c c i o n e s es 14<1 y f i n a i e .s
p u e s s o n los r e s u lia d o s
el
los sn js n ie s e s . P or e je m p íf). e n
nodo
H el
p t tr l o l a n í o e l v a l o r d e l a o p c i ó n e s 1 4 4 - 1 0 5 = 3 í i L o m i s m o h a c e m o s c o n ( >s n o í i o s
F y Pd o n d e
la o p c i ó n n o t i e n e v a l o r p n e s e s t á
*out of t l i e nioney"
\a q u e el p r e c i o d e la a r c i m i e s i i i í e n o r a J p r e c i o d e e je r c i C K i -
^
P a r a c a l c i n a r el v a l o r d»* l a o p c i ó n e n l o s n o d o * : i m e m i e d i o s , d e b e m o s
»-V
m i l í 7 . n r i m p r u c p c l i m i c m r » d e t i p o “r o l l - h a c l . " ' j u e c o n s i s t e e n r e t r o c e d e r
•n
p| á r b o l c r d c i i l n n i l n e l v a l o r d e la o i » n o n a p a r t i r d o l a í o r m u l ? d e l a s
p K ib a b ilid a iJn s n e u tra s p o m le r r d a s , C n lo n c e s r e ir o c e d e m o ' en el á rb o l l ' ’i i a o b t e n e r [ i r i i n c r o e l v a l o r d e l n o d o P> ( a p a r t i r d e l o s v a l o r e s d e l a o p c i 'in e n los n o n o s D v R
y el
v a l o r d e ! n o d o C ( a p a ; t i r d e l o s \ a J o r e s d e la
o p i l ó n et t Io> n o d o s F. v F)
Nf'íirt
C =
- /Mxee/ __ 1 ^ 1 ^ 5 x 3 9 4 0 .5 0 5 y O _ ( l - t " ;/ )
"
1.015
N odo C Cómo la opción no tiene vaior on los nodos E y F. tampoco tiene valor en el nodo C.
(' =
+
r)>
(1 + //)
"
0,505 x 0 _ ^
1,015
K'
\n
1 EORlA D£ OrClOMEJ
I inolmcmc, volvemos a retroceder en el árbol y obtenernos el valor de la opción en el nodo inicial que representa el valor de la opción boy y ei alo que buscábamos: N odo A'
(2 ^ ~
p )x g /
(1 + í/)
_ 0,495 ~
X
1 9 ,0 2 -r 0,505
x
0 _
^ 27
“
' ‘
1,015
Del ejem plo podemos observar: • El valor aliora es mayor que cuando calculábamos el valor de la op ción en un período de tres m eses. Al aum entar el plaro de vencimiento también aum enta el valor de la opción. • No conviene ejercer anticipadam ente una opción de com ura que no paga dividendos.
R eiu iirn lp n to .s s im é tr ic o s c u a n d o lo s re to r n o s s e c a lc u la n c o m o ei lo g a iltn io del c o c ie n te d e p r e c io s d e la a c c ió n B n el p ro c e s o de c á lc u ío m u ltip lic a tiv o q u e s eg u im o s en el árb ol b in o m ia l s u p o n ism o s q u e el facto r de d e s c e n s o d era Igual a la in v ersa del factor de a s c e n s o (d=l ^ i),lo q u e g e n e ra un á rb o l re co m b irta n ie , p u es luego de d os tra y e cto ria s, u n a su h a y una ba|3, se a rrib a b a al m is m o v alo r q u e len ta la a c c ió n a m e s de la p rim e ra v a ria ció n lA Jio ra, p ara q u e los p o rc e n ta je s de a s c e n s o y d e s c e n s o sea n ig uales, d e b e m o s m ed ir los re n d im ie n to s a través d el lo g aritm o de la re la d ó n e n tr e el p recio en u n m o m e n io d e te r m in a d o fSt) y el p re cio del m o m e n to p re c e d e n te (S t-1 ). Si e n e l e je m n lo . el p re cio d el accivo p a s a b a de 100 a 120, el re n d im ie n to era d el 2 0 % y si p a sa b a d e 100 a 8 3 ,3 3 el re n d im ie n to era d e -1 6 ,6 6 % .
^ = Í 2 2 . , = o.20 lOü 5,-.
■ ^ = 5 ^ - 1 = - ü,I6 ó 5 .., 100
En e s te ca so , si b ie n los c a m b io s en el re n d im ie n to n o so n s im é trico s cu a n d o las c o m p a r a c io n e s se e fe c tú a n c o n tra la b a s e (q u e es el p recio in icial d e 100) pot^emos ira n s fo rm a rlo s en c a m b io s sim é tr ic o s si c a lcu la m o s la tasa d e v a ria ció n a pai tir del lo g a ritm o del c o c ie n te d e p recio s;
Ln (120 / 100)= 1 8.23%
y U» (0 3 .3 3 / 1 0 0 )= -1 8 ,2 3 %
I j i s ta.S3s d e I 18,23% y - 18.23% son tasas in sta n tá n e a s de variación trim estrales isegura r n e m e le ayu d ará re c o rd a r qu e en el ca p ítu lo 4 v im os q u e la tasa in s ta n tá n e a de in te r é s era Igual a la la s a in s ta n tá n e a de d e s c u e n to ). D e esta form a, c a lc u la n d o el re n d im ie n to a p artir del log ariim n d é la v ariació n de p recio s, o b te n e rn o s re n d im ien to s s im é tr ic o s . Por lo ta n to , los p r e c io s q u e s e d is tr ib u y e n s e g ú n u n a n o rm a l lo g a rítm ica Tendrán re n d im ie n to s q u e s e d istrib u y e n n o rm a lm cn ie .
474
GuUlffUlO l.OP£2 DuMR-Ulf
D iferencias entre la valuación de la npcion am ericana y la opción eu ro pea En el eiemplo anterior vimos que el valor de la opcion de compra euro pea era igual a) de la americana; c=CRecuerde que para opciones de compra que no reparten dividendos, nunca conviene ejercitarlas antes del vencimien to, como explicarnos anteriormente. No es el caso de las opciones J e venta sobre acciones que no reparten dividendos, donde el ejercicio inmediato sí eni provechoso.
:5 > i'
Ej valor de los nodos finales es igual tanto para una opción europea como .tmericaná, pero en los nodos intermedios y el nodo inicial, el valor de la opción americana puede ser diferente del valor de la europea. El valor de los nodos intermedios en el caso de la opción americana es el mayor entre:
V;
-a "
1 11 valor dado por la fórmula de las probabilidades neutras pondera
■ Z J*-
das.
- .5 ''
2. EI valor que resulta de ejercitarla inmediatamente.
-d " ■~j 3
',
- d ^ :-
-d \ d
\
ODserve en la figura 13.11 el nodo B; éste resulta el mayor valor entre 19,02 {.:! valor que se obtiene con la lórmula de las probabilidades neutras) y el resultado de ejercitarla inmediatamente 1120-105=15). Como es mayor e¡ valoi de "esp erar (que se obtiene al aplicar la formula de las probabili dades neutras) mantenemos “viva" la opción y no la ejercitamos en ese niomeuio sino (|ue es|)cninu)s para liacerio Pero, ¿qué hubiera ocurrido si el precio de ojeicichí hubiera sido de 103 en vez de IU5? Si bien el árbol binomial ile dos pasos que hemos visio no presenta situaciones donde Iniluer.i sido mejor eieicltar la opción aiiles del vencimiento, podría haber sido Olió ei casu. jiaiticulanneiiie m las ojiciones de venta sobre acciones tpie no rcjiarten ilividnidos Es ini|>oriaiiic recalcar esta propiedad de las opciones aniel ican.ii con re.S(»ecio a las eurojieas 5i las opciones aniericalias pu-dcii ejercitaisfc a lo largo de la vida de la ojicion (mientras que las europeas sólo fuieJen eiercuarse en la lecha de vencimiento) esto le genera un valur adicional
- d -. Delia o Coeliclenie de coberiura: un aviso de cuidado
--^ >
Cuino vimos, cI coericíente de cobertura o delta de una opción sobre acciom s es igual al cambio en el preao de la opción dividido por el cam bio en el precio de las acciones cuando nos movemos entre los pumos de convergencia cu - c'd Su - Si/ Vimos que este coeflcienre de cobenura nos decía el número de accio nes que debíamos mantener por cada opción enmida a fm de crear una
l '- ^
"
r
'*■'
^
7 lOBiA
D£
O pciones
475
cobertura sin riesgo. El cueficieme Delta de una opción de compra es positivo, mientras que el Delta ile una opdóu de venta es negativa. Porejemp lo, cuan do vimos el árbol con un solo paso, el valor del Delta de la opción de compra en nuestro ejemplo donde era; A =
1 5 -0 1 2 0 -8 3 ,3 3
= 0,41
O sea que inicialmente debíamos mantener 0,4 J acciones por opción emitida, que es lo mismo que decir 2,44 opciones por acción. Pero el Delta varía con el tiempo: si tomamos el árbol binomial de dos pasos descriro en la sección anterior, observaremos que al cabo de un período, sí hay una suba en el piecio de las acciones, en el nodo B. la Delta es:
A =
3 9 -0 1 4 4 -1 0 0
= 0,886
La Delta para los movimientos del precio de las acciones durante el segundo período, si hay una baja en el precio de las acciones, en el nodo C, es:
0-0 A =
1 0 0 -6 9 ,4
=
0
Los resultados son fáciles de entender: si el precio de la acción sube, la cobertura debe alimentar y v-^iceversa. En el caso de lá bajck de precio, si el ejercicio de la opcion cic compra es virmalnience imposible, no necesiutmos mantener acciones para cubrirnos. Los ejemplos con vanos períodos nos permiten ver que el Delta varia con el tiempo. En nuestio caso l itlu varía de 0 ,4 1 hasta 0.8B5 ó 0, lo cual significa quc la cobcu tura inicial no e» perfecta y que necesiramos ajustar periódicam ente la proporción eidre acciones y opciones. ¿Es períecta la cobertura?
'í f
La cobertura con acciones no solamente varia sino que además, debi do a los costos de transacción, y a la díterencia entre el "bid" (oferta) y el "ask" (demaiidaj no puede ser perfecta. Efectivamente, los ojíeiadores cada vez que compran o venden acciones deben abonar comisiones a los agen tes de b o lsa y d erech o s de m ercad o que tornan am ieco n o iiiico un rebalanceo permanente de las jiosiciones. Además, si tienen ijtie to m p u r opciones lo hacen al precio vendedor y si venden tienen que liacerlo ul precio comprador que es más bajo. Estos cosic>s de "tracking'' liacen que ios operadores sólo rebaianceen la cartera cuando el desíasaje cobra c u r ta im portancia
G uillerm o López D umrauf
4/0
13.5. V aluacíón
B lack - S c h o l e s ; lA FORMOLA QUE GANÓ EL PREMTO NOBEL d e o p c io n e s co n el m o d e lo d e
A pesar de su potencial importancia, el desarrollo del m ercado de opcio nes permanecía limitado: hasta com ienzos de Jos setenta, todavía no existía un método aceptable para valuar los contratos de opciones. Tres jóvenes Ph .D ’s (doctores) Flscher Black, Robert M erton y M yron Scholes. conectados con el M assachussets Institute o f Technology, trabajaron en la valuación de opciones en los años setenta. En 1973^ Flscher Black y M y ro n Scholes realiza ban una de las contribuciones científicas m ás Im portantes a la teoría de las finanzas, al obtener una fórmula cerrada para la valuación de opciones euro peas que no distribuyen dividendos. Robert M erton com pletó el andam iaje teórico proveyendo el argum ento de im posibilidad de arbitraje y generalizó ésta en importantes direcciones. Tal vez la fam osa fórm ula - que ha tenido una enorme influencia en la forma en que los operadores del m ercado fijan precios y realizan coberturas con opciones -debería llamarse "Black-ScholesMerton". En 1997 M yron Scholes y Robert Merton recibieron el prem io Nobel de Econom ía (11) por “un nuevo m étodo para la valuación de derivados fi nancieros”. Fischer Black falleció en 1995 debido a un cáncer terminal. De no ser por su tem prano fallecimiento, seguramente también habría sid o laurea do. La fórmula de B& S proporciona una solución para el valor de la o pción en un solo paso, con lo cual es m ucho m ás rápido de calcular que el m étodo binomial. El supuesto subyacente al m odelo de Black-Scholes es qué el pre cio de las acciones sigue un recorrido aleatorio (concretamente un m o v i miento broumiano geométrico). El m ovim iento brovvniano geom étrico fue descrito por el botanista Robert Brown (1827) cuando observó que las partí culas de polen seguían un movimiento aleatorio cuando se las sum ergía en el agua. Albert Einstein en 1905 le dio forma matemática al G e o m e t r ic B r o w n ia n M n tio n . La analogía con el precio de las acciones puede ser descrita de la siguiente forma: im agine que los precios de las acciones son las partículas más pesadas (el polen) que son m ovilizadas por partículas m ás livianas, los traders (el agua en el descubrim iento de Robert Brown). C ad a transacción mueve el precio de la acción ligeramente. Esto significa que los c a m b io s p ro -
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p n rc k m n ie s e n los p re c io s d e las a c c io n e s (re n d im ie n t o s ) e n u n co rto p e r ío d o d e tirtu p o se d is trib u y e n n o r m a lm e n t e , lo cual desde el punto de vista teórico es
razonable. La figura 13.12 (en pág. siguiente) muestra la distribución de los rendimientos de una acción donde se observa que se distribuyen en form a aproximadamente normal.
El movimiento browniano geométrico nos
dice que los retornos de las acciones se distribuyen normalmente. ¿Pero que sucede con el precio de
(11) Si bien se lo conoce como Premio Nobel íNoljei Prize) el verdadero nombre es “Pre mio del Banco de Suecia en Ciencias Económicas en memoria de Aífred Nobel" (Tlie Bankof •Sweeden Prize in EconomicSciences in memorv' oFAlfred Nobel).
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T íorIa üe OrcioNES .Udb
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11.16% 5aii% Rendimientos de la acción
ICEflT.
Figura 13 12 Distribución de ios rendim ieniosd e una acción
las acciones? Puede dernosirarsc que una acción que sigue un moviniienlo brov^miano geométrico tendrá precios futuros que se distribuirán en íonna iognormal (12). Mientras una variable cuyos valores se distribuyen normal mente puede tomar valores positivos y negativos, tal el caso de lo«: rendi mientos, una variable distribuida lognocmalmente sólo puede tomar valores positivos, tal es el caso del precio de las acciones. Como las accirnes no pueden tener valor negativo (por el principio de la responsabilidad limita da) (13) su precio en el futuro sigue lo que se conoce como una distrihiición /ognornifl/. La figura 13.13 muestra como el precio de una acción se distribuye en forma aproximadamente lognonnal:
020 Otí 007 I
lliltlltlUl.lll 24 120
30 750
53 380
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P i e c i o do la a c ci ó n
Figiirn 13.13 Distribución ttel precio de una accit'n
n 2j A veces se dice tam bién que suponer un m ovim iento brou n ian o g eo m éln ' o implic.i €l supu esto de un proceso Iognorm al para ej precio n 3] ( j o s accionista.s lim itan su respons.ibilidad ai capí i ai aporta do
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G uuukaio Lor£- DiíMRfuf
f r .
Obsor\-e que mienrraá que la íiismbucion nomiaJ es sim etnca, con la mcüia. lá mediana y la moda todas iguales, la distribución logiiormal es asi-n em ca con la media, la mediana y la moda todas d iferenies {la loiíiíomial es cargada en la cola derecha!
Supuestos del modelo Btack-Schoies
1
£i rri.xleio de Black-Scholes sigue los mismos supuestos que el modelo binomici f>ero ccnaidera que el precio de! activo se distribuye según una norma] logarionica, por lo que su i>aruinza es p r o p o r c io n a l a i tiem p o . Los ¿upiiesios ael modelo son los siguientes.
^
1. £j precio del activu sigue una distribución normal logarítmica con r^iedia ui' > sigma toi constanies.
»
1 E valor de los lendimienios es conocido y proporcional al paso del tiempo
I
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i. Li negüc/acion de los activos financieros es conunua. 4 No hay impuiestos ni costos de transacción Todos los activos son neriectc.fncnie divisibles
Ií I
L Li tasa de inieies libre de nesgo es constante (supone una estructu ra lemporal plana).
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ti. la.s inversores pueden prestar y endeudarse a la lasa libre á e nesgo
!
7. Hi aciivo no paga dividendos durante la vida de la opcion H L.s opciones son de tipo europeo Otios autores han desanoiladu vanantes para la fórmula que permi ten leiur en cuenta lus dividendos y a r! y o a como funciones del tiempo laa foniiiilas ele Ulack-Scholes para los precios de opciuiies europeas de compro y de venia que no distiiliuyen dividendos son. C a li
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N [-d . ) - SN {-d , )
Para obtener los valores de las opciones de compra y de venta debe mos caLiilar previamente los valores de las variables aleatorias y con las siguientes formulas*
ln(5/A') + riT
d^ ------------- + (j J T
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d.=d^ - c r j f
de
S-precio de la acción, E=precio de e)ercicio, rf=iasa libre de riesgo; T=pla2c- hasta el /encimiento
T e o h i a [>e O r c í O ( ^ £ i
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La tiincion N (J) es la pruhabiltdad de que una variable aiealuría cuit uiu> disuibuciüu normal usiándar N(l).)) (14), sea m enor que d, com o se niuesira en la figura 13 Ü Donde: S=precio de la acción. E=precio de ejercicio, rf=iasa libre de riesgo; T^jilazu hasiael vencnnieiilu
para
La función .Ni./) es la función de distribución de probabilidad una \-ariable normal estandarizada. Entonces, N(d) es la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución normal estándar N(U,1) (l:)t sea menor que d, com o se muestra en la figura 13 14:
Figuru 13 14 Hl áreu d lu izquierda de d re|iresenui N(di
Cuando el precio de las acciones es muy grande, tanto com o d , son muy grandes y Ntr/^) y N(d.) resultan cercanos a 1; eiiioiices, es casi segunj que una opción de com pra se ejercerá y su precio se acerca a S-E que e.^ igual al valot de un contrato a plazo con precio de entrega £ (16). De be cho, obtendríam os un valor sim ilar si reemplazarnos los valores en la Icimula del valor cid cali. Cuando el precio de las acciones se hace muy pequeño, tanto c o i m >> d , se hacen muy pequeños y K(d,) y N(t/p se hacen muy ceicaiioa a cen» dando un piecio cercano a cero para la opción de com pra. Com o Nt-./p y N|-í/^) están muy cerca de i, el precio del piit se ubicara en un valoi imiv' cercano a k S k)empIo: una npeion de com pra sobre las acciones de Acindar Para poder establecer una com paración entre los resultados que singen de usar [tlack-Scboles y el método binom ial, nlilízarem os un ejem plo
( 14) U n a d is irib iic id n n o r m a l e s ta n d a riz a d a n e n e m e d ia c e r o y d e sv ío e s tá n d a r ig u al a un o. (1 5 ) U n a d is tiih iic io n norinH l e s ia iu la r iz a d a lle n e m e d ia c e r o y d e sv io e s tá n d a r ig u al a uno (1 6 ) Los c iin tra iú s a p la z o , cu m u lo s fu tu ro s y lo s fo rw ard s, e s ta b le c e n u n p r e c io de e n tr e g a , q u e e n e s te c a s o es ig u al al p r e c io d e e je r c ic io d e la o p c id n .
•I'UI
G u a iE llM O L ú P£2 D U M R A l'f
real de nuestro mercado de capítaJes para lo cual vamos a caJcular el vaJor de una opción de compra sobre las acciones de Aciiidar. Los siguientes datos corresponden a las opciones de compra de Acindar con precios de cierre al 21 -03-05 publicados en Ambito Financiero; S=6.19
E=r> rf (inensualj=0.249% (2,984% anual continua) Tí:17/252íd).06746 Como las opciones vencen siempre el tercer viernes de cada mes, el veníimienlo de abril se produce el viernes 15-04-05. Para el cálculo del plazo liasta el vencimiento deben contarse los días hábiles, que en este caso son 17, debido a le s fines de semana y ios feriados. ____ l^s analistas suelen utilizar como tasa libre de liesgo alguna variante local; en este caso, la tasa efectiva mensual que figura en el cuadro corres ponde a un promedio de las tasas verificadas en las cauciones bursátiles. La fóniiula de Black-Scholes exige el empleo de una tasa libre de riesgo compuesta en forma continua, de modo tal que convertimos la lasa libre de riesgo del 0,249% mensual a una tasa anual continua;
-■I
c" =1,00249 rf^ ln d ,00249} rf continua niensual=0,02406 (rí continua anual=Ü,02486 x 12 = liimediaiamcnie estimarnos los valores normales unitarios como las densidades normales acumulativas N(d^) y N{dp:
y d , así ■'\i¿
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= 0.3 4 2 4 vUi
0,18237?
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d, = 0 J4 2 4 --0,4570,06746 = 0.2255 c = 6.19 X 0 ,6 3 3 9 - 6 e
Hn.owm ro.061-16)
X 0.5892 = 0,396
Convergencia del mátodo binomial a Black-Sciioles La distribución normal logarítmica de los precios tiene una forma de campana asimétrica y podemos pensar que confoime pasa el tiempo la distribución se va ampliando, que es lo mismo que ocurre con el árbol binomial. La amplitud de un árbol binomial dependerá del tamaño del coeficiente de ascenso y del número de intenralos de tiempo en que se des
T e o r í a o e O c c i o w e s
•181
compone. SI por ejemplo, dividiéramos nuestro árbol binom ial en varios períodos de tiempo a lo largo de la vida de la opción, este se vería c omo lo muesíra la fígura 13.15:
Figura 13.15 Arbol bm om ial y distribución norm al logarítm ica
Un activo cuyos rendimientos se distribuyen normalm ente ti^me una varianza que es constante en cada período. Así, la varianza del período es o^ la varianza para ( años será o*t, mientras que el desvío típico será cr v7. En el ejemplo que utilizamos para explicar corno valuar una opción de compra con el método binomial consideramos sólo dos posibilidades de cambio: que el precio de la acción aumente un 20% o que disminuya un 16,66% en un período de 3 meses. La realidad es que los cambios se produ cen no en 3 meses sino en imervaíos mucho más cortos de tiempo La fórmula de Black-Scholes supone que estos cambios se producen en foima continua. Podríamos considerar entonces muchos retornos posibles si di vidiéramos el tiempo en inter\'alos cada vez más pequeños, siempre con
siderando dos posibles retornos (aumento o disminución) en cada subpe ríodo, aplicando el método binomial Entonces, mientras que el intervalo de tiempo de cada subperíodo de tiempo tenderla a cero, la enmidad de pasos en el árbol binomial tendería a innnilo. Como hemos visto, los coeficientes de alza (1,20) y de baja de (0.P33) los calculábamos a partir de la volatilidad observada en el precio de la ac ción Si esta volatilidad es continua, entonces podemos calcular los coefi cientes de alza y de baja para un número infinilo de suhperíodos de tiem po donde éstos aparecen representados por sus cqiili'alentes continuos
GlllUft0^»O LOPÍZ DuMRAUf donde rrepresenta e! subpenodt» de tiempo. A coiUinuacíón veremos algu nos ejemplos del ai bol binomial con vanos pasos .'i = 1/1< = e
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-j/ ír
Valí, r d e la opción d e com p ra con el m étod o b in o m ia l p a ra m r io s p asos A continuación pasamos a montar un árbol binorriíal en una planilla Excel. Los daifas de entrada son la tasa libre de riesgo expresada para el subperíodo de tiempo, valor de la acción, precio de eiercicio, número de subpenodos o pasos p<>r año (T) durante la vnda útil de la opción y volatilidad representada poi el desvio típ ica A partii de estos datos se calculan los coeficientes de ascenso y descenso y las probabilidades neutras en relación al nesgo. El paso siguiente consiste en diseñar el árbol de eventos teniendo en cuenta los co eficientes de ascen^to y descenso y ruialinenie, calculamos el v'alor de la op ción en cada nodo «Jd árbol retrocediendo a través del mismo con la formula de las probabilidades neutras c=lpcu+{l-p)cd)/(l+rf). Para comparar los re sultado» del valor de un cali sobre Acindar dividiremos los 17 días hábiles que íaltan para el vencimiento de la opción en 5, 10 y 50 pasos en el árbol biriom ijj. S i bien hemos visiu que no conviene ejercitar una opcion de com pra que no paga dividendos antes del vencimiento, debemos recordar que el valor de la opcion en cada nodo es el mayor entre d valor que surge de la mencionada f ó n n u J a y el valor de ejercitarla inmediatamente. Como el dato que noa proporcionaban era una tasa líbre de riesgo mensual discreta, ia convenim os a una tasa libre de nesgo continua para el período de 17 días (In l.o 0 2 4 5 = e ^ '^j donde resulta rí=0,001409 y como el número de pasos que utilizamos es de 5, tenem os que utilizar una tasa libre de nesgo igual a OüUl409'S=ti,028% Tas
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Figura 13 I ti Valor de la o p ció n co n planilla de cálcu lo (co n iin u a d ó n )
Una vez montada en un planilla del tipo Excel, es fácil modelar el árbol binom ial con más pasos por período. Recuerde que con 5 pasos en el ar bol. el método binomial nos provee un resultado estimativo para el valui de la opcion de $0,399 para la opción de Acíndar y qiie Black-Schoies nub proporciona una respuesia de 0,396 (una diferencia de 0,03 ceiitavosi. bi ui árbol binomial es recom binante (recuerde que en los árboles binomiales «i no necesariam ente debe ser igual a 1/u}. puede demostrarse que los lesu lu dos se aproximan a Black-bcholes a medida que aum enta la cantidad dr supbenodus dentro del período principal (en este caso de 17 días hábitesi I’or ejem plo, si dividimos el período de tiempo hasta el vencim ienio en subperíüdos cada vez más pequeños, encontrarem os que el valor obienulu por el método binomial converge a los resollados de Black-Scholes: Biack-Scliole:> Foniiiiid
0,396
5 pasos i»or ano
0,3985
10 pasos por año
0,4008
50 pasos por año
0,3935
10.000 po:>os jxir año
0,396
El lector podiá encontrar en el apéndice 13 A de este capíiulo una explica uOn deralláiia para realizar el inoiiiaje del árbol binomial en jiianiiia ifr i ái-
culti I
Preguntas de nuto-evaliiaciún; 1 ¿Por qué decimos que una cartera puede ser libre de nesgo? 2
¿Por qué utilizamos la tasa de interés líbre de riesgo en el bordaje neutial al nesgo?
3. ¿Qué es el coeficienie de cobertura? •1 ¿Cuándo el método binomial da resultados parecidos a los obte nidos con la fórmula de Black y Scholes?
IS I
Cii'ium.M.» Lortz DuMP^M.if R
esu m en
Las opciones nos dan el dereclio —pero no la obligación— de comprar o vender un activo determinado a un precio especific.ado en una fechadeienninada. Las opciones más conocidas son las de compra (caJI) y las de venia (pul) Las opciones tienen un precio que. en el caso de las opciones sobre arciones, se negocia todos los días en el mercado Son seis los factores que Miíluyen en dicho precio el precio de la acción, el precio de ejercicio, la volatilidad de la acción, el plazo de vencimiento, la tasa de interés libre de nesgo y los dividendos. Vimos que nunca convenía ejercer una opción de compra sobre una acción que no repartía dividendos antes del vencimiento, pero SI podía ser conveniente e|ercer una opción de venia sobre dichas accio nes. Vimos que el valor de la opción podía calcularse a partir del método binomial, suponiendo un mundo neutral ame el riesgo Para eso suponía mos trayectorias de alza y baja durante varios períodos y luego calculába mos el valor de la opcion retrocediendo por los nodos del árbol y aplican do la fórmula de las probabilidades neutras ponderadas. Cuando el tiempo se dividía en infinilos subperíodos, los resultados obtenidos por el método binomial convergían con los obtenidos por la fórmula de Black Scholes, quienes en el año 1973 descubrieron una fór mula cerrada para la valuación de opciones europeas, y que es amplia mente utilizadas por los operadores para fijar precios y coberturas con opciones _
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PítEGUNrA-S I
¿ P o r qnt? el v n lo i U n i ó d e u n p u l c o m o iJe n n c a l! s u b e c u a n d o a u
m e n t a la v o la lilic la tl d e l a c t i v o s u b y a c e n t e ? II ;Por q u é no conviene ejercer una n p r i o n d e cn m p r.T a n t e s del venfimicnlo SI la acción no paga dividendos? ¿Por qué puede convenir en ese ca.so ejercer una opción de venta? 3
¿ C u á n d o u n a n p c io n d e v e n ia e s iá "o u i o í lite « n o n e y "?
•1 /.(<|uc e s e l ''d e l i a " d e u n a o p c i ó n s o b r e a r c i o n e s ?
5. ¿Cómo puede utilizarse el rnélodo del aborclaie neuiral al nesgo para
generar los mismos resullados que los obienido.s medíame Black 5ciioles?
F’ r o b l e m a s
Resuelva los siguientes problemas utilizando el método binomial: 1 El precio de la.s arciones de Frutas del Sur actualiriente es de %W Los analistas del mercado de valores estiman su vaJoi deiiiro de 6 meses
- 'V-' i-
T eoría
de
O
pcio nes
‘185
# 4 1
en $15 o bien en $8. La lasa de interés libre de riesgo es del 5% anual. ¿Cuál c.s el valor de una opción europea de compra a seis meses con un precio de eiercicio de $97 Asuma que no existe posibilidad de arbitraje. Itespuesta: 1.00.
2. El precio de unas acciones actualmente es de $100. Durante c ida uno de los dos próximos períodos de tres meses se espera que suba en un 6 por ciento o que baje en un 5 por ciento. La tasa de interés libre de riesjio es del 5% anual. ¿Cuál es el valor de una opción europea de com pra a seis meses con un precio de ejercicio de SlUl? Asuma que no existe posibilidad de arbitraje. Respuesta: 3,575.
3. Para el caso del problema anterior ¿cuál es el valor de una opción europea de venta con un precio de ejercicio de $101? Adicionalmente ve rifique que los precios de las opciones de compra y venta satisfagan ia pa ridad put-call.
Si SI
S .I
Respuesta: 2,090. 4. El precio de las acciones de Lojas Americanas actualmente es de $50. Durante cada uno de los dos próximos períodos de tres meses se espera que suba en un 10 por ciento o que baje en un 10 por ciento La tasa de interés líbre de riesgo es del 5% anual. a) ¿Cuál es el valor de una opción europea de venta a seis mese ; con un precio de ejercicio de $527
SI S (
b) ¿Cuál es el valor de una opción americana de venta a seis meses ton un precio de ejercicio de S52? Respuesta: a) 3,347 b) 3,624. 5 La siguiente información es para un cali sobre las acciones <>e Grupo Fmancicio Galicia, que aparece en 1a edición del diano Ambito rinancie10 y representan los precios de cierre ai 27/10
•í
5=1,77; E = l,80; o =39% (volatilidad histórica): Pecha de contrato. 28/10/03; Fecha de vencimiento: 19/12/03: Tiempo hasta el vencimiento: 37 días hábiles: Tasa de interés libre de riesgo: 0,326% mensual: Precio del cali: 0,14. En el diario aparece una columna denominada “valor teórico" que señala el valor obtenido por la fórmula de Black-Scholes, que es de 0.096 Comprue be su valor realizando el cálculo con la mencionada fórnnila v señal'- a que se puede deber ia diferencia con el precio de mercado Respue.sia: 0,096.
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A continuación mostraremos como montar un árbol binomtal eri une planilla de cálculo del tipo Excel, para una opción de compra americana cuyo precio de ejercicio es 250, en cualquier momenio en los próximos / períodos. I j ü s factores de alza u=l,5 y d=l/u=0,6666 Com enzando por los nodos ñnales, los valores son definidos com o los máximos entre ei valor deJ activo subyacente o cero. La prim era lila dcl árbol de eventos del activo subyacente muestra com o el valor se incrementa un 50% en cada período (representa en el árbol la diagonal de la trayecto na ascendente a lo largo de los 7 períodos). El valor en ia celda CIO repre sen ta el valor en el p rim er períod o p ara la tra y e cto ria d e s c e n d e n ir (JOO X 0.66) y luego en la fila 10 continúan los valores suponiendo incre m em os del 5u%. 1.a celda Di l representa el valor en el segundo período cor. trayectoria descendente y nuevamente continúa la fila 11 con increniento.-» del 50%. Repetím os el procedim iento hasta com pletare] árbol de eventos dd activo subyacente
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A partir de los valores del árbol, podemos calcular los valores de la op ción en cada período. Por ejemplo, en la celda 119 el valor es el máximo eniie el valor de la celda 19 m enos el precio de ejercicio y cero (MAX(I9-$R53;Ü|. Para todos los valores de la fila 19 luego Tomamos el máximo entre el valor c|ue surge de la fórmula de las probabilidades neutras y el valor del ejercicio inm ediato Por ejem plo, para MJ9. se tom a M AX((I19*5E$4 + I20*$E$.5)/ U + $B S lj;I19-$B I3j y luego se copia esa fórmula para Toda lu lila 19. Pl valor
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G u iL L iiU w t oL ó r fZD u m h u i f
de la celda 120 es cero si el nodo anícrior (H9) es cero, caso contrario lomainns el valor que surge de aplicar la formula de las probabilidades neutras o el valor 110 menos el precio de ejercido. La Fórmula utiliza un condicional (=SI(H9=0;0:MAX( fl20*$E$4fJ2r$E$5)/(l+SB$U ;I10-$B$3)). Esta fórmula luego se copia en el rango C19-126, Finalmente, el valor de la opción america na aparece en la celda B19 que es =MAX({I19‘$ES4+I20'$E$5)/(1+$B$1);H9SBS3). Una vez montada en un planilla del tipo Exceld), es fácil modelare! árbol binomial con más pasos por período. Recuerde que con un paso por trimes tre. el método binomial nos provee un resultado estimativo para el valor de la opción de $21,8, para nuestra opción de siete trimestres y que BlackSellóles nos proporciona una respuesta de 21,4 (una diferencia de 0,40 cen tavos). Si el árbol binomial es recombinante (recuerde que en los árboles binomiales d no necesariamente debe ser igual a 1/u), puede demostrarse que los resultados se aproximan a Black-Scholes a medida que aumenta la .cantidad de supberíodos dentro del período principal (por ejemplo, meses dentro del trimestre, días dentro del trimestre).
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II
Capitulo 14
I ntroducción a las O pciones R eales ¿Etí qué me especializaría yo si estiwiera por empezar de nuevo en el campo délasfinanzas? Ciertamen te no me metería en fijación de pre cios de activos ni ¿nfinanzas corporativas. La Investígación en esas divisionesya ha llegado a lafase de los rendimientos rápidameme decre cientes. Voy a reducir mi consejo a una sola palabra: “opcionesZ M er to n M iü e r (19 23 - 2 0 0 0 ). P re m io N ob el de E c o n o n i f a 1 99 0
I n t r o d u c c ió n
En el capítulo anterior realizamos una introducción a las opciones rinanderas, vimos cuales eran los principales tipos de opciones, los facto res que afectaban su precio, y m ostramos com o valuarlas a partir de los métodos binomial y Black-Scholes. Este capítulo constituye una introduc ción a la valuación de las opciones reales y tiene el objetivo de acercar al lector una de las disciplinas que se constituye en uno de los camfio más fértiles para la Investigación académ ica y donde hay depositadas grandes esperanzas para obtener nuevos y mejores métodos de valuación <'e acti vos reales. Si hay una palabra que identifique a las opciones reales, es flexiN lidad. Cuando calculamos el VAN de un proyecto, simplemente descontamos su flujo de fondos con una tasa que represente el rendimiento que podemos obtener con otra inversión de riesgo similar, pero no captamos la flexibili dad con que cuenta el directivo para cambiar y torcer el rumbo de los ne gocios, Si tenemos flexibilidad para modificar y mejorar un negocio, en tonces esa flexibilidad tiene que tener algún valor. Como veremos, la re gla del valor presente es una especie de pierna ortopédica para detemiínar el valor de un proyecto cuando éste nos presenta opciones. JLas opciones reaJes están, en realidad, por lodos lados. El dtre< tivo fi nanciero a menudo valora opciones cuando debe decidir si amplía un ne gocio que parece promisorio o si conviene abandonarlo cuando las cosas
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GURLUMO L0P£2¡ DUMkAUf
salen mal. O aplazar una inversión para más adelante, cuando se resuelvan las incerl idumbres actuales. Y muchas más. En la valuación de opciones reales, el valor presente del proyecto sin flexibilidad será siempre nuestro punto de partida; el valor de las opcio nes reales se sum a al valor presente, no lo reemplaza, sino que lo com plementa. El valor presente del proyecto será calculado en cada nodo del árbol de decisión, funcionando como el valor del activo subyacente, Como veremos, la hipótesis IVIAD {m a rk eted asset disclalrrwr) es clave en el pro ceso de valuación de opciones reales (1). Comenzando por la evaluación del proyecto con el criterio del valor presente, inmediatamente Introduci remos líi técnica de los árboles de decisión y explicaremos com o valuar una opción a través de dos métodos: la replicación de portafolios y la neu tralidad al riesgo.
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Com o este capíciilo constituye una introducción a la valuación de op ciones reales, por lo cual niantendrenios los ejemplos en el nivel más sen cillo posible para facilitar la comprensión exhaustiva de estas dos técnicas que representan un paso importante para la consideración posterior de opciones más complejas. Como las opciones reales no tienen una cotiza ción en L-l mercado como en el caso de las opciones financieras, su valuación puede Ser más complicada. Puede decirse <¡ue también pueden ser difíci les de detectar; para hacerlo, es necesario calzarse los "anteojos multidiuiensionales de las opciones reales". Después de haber leído este capítulo, usted debería ser capaz de: ^ * Comprender las opciones reales que aparecen en los negocios. ‘ Comprender que el criterio del VAN es insuficiente para una valua ción exliaustiva de un proyecto de inversión. ' Com prender que la técnica de valuación de opciones reales n o s muestni el valor de la flexibilidad, y que también nos dice cuando es el mornenio apropiado para tomar la decisión.
I ntroducción : ias opciones en las finanz/\s corporaítiv.as Exisren .situaciones donde los métodos tradicionales de valuación re sultan insuficientes para valorar los aspectos estratégicos de una inver sión. Tal es el caso de un proyecto de inversión que proporciona algún tipo de flexibilidad futura.
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(1) £nd procesodevaluacióndeunactivo, escomúnquesebusqueunsustitutogemelo que tengael mismopatrónderetornosyqueseanegociadoenel mercadodecapitales, para poder determinar la tasa de descuento apropiada. Lamentablemente, esto no es siempre posible, hipótesis MAD{marketedassetdisclaimer) es una alternativa que tratamos en este capítulo.
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A VtíCc) iu:> einprt'sub efeciüan desembolsos hoy para llevar a cabo una inversidn adicional en t i hiluro. Por ejemplo, una empresa puede conr piar hoy terrenos para construcciones futuras si piensa que la zona se con vertirá en un centro urbano en algunos años. En este caso, cuando la ein presa compra el terreno, en realidad está adquiriendo una opción de com pra por ios oportunidades de crecimiento. A veces los negocios funcionan mejor de lo pensado y la compañía decide expandirlos, en cuyo caso ejercita una opción de expansión, que es también asimilable a una opción de compra. O cal vez e) negocio funcionó mal y sea preferible liquidar los activos, en cuyo caso el directiva ejercita una opción de abandono que es asimilable a una opción de venta. Opcio nes de ampliar negocios, opciones de aplazar inversiones, opciones de abandono, opciones combinadas, son algunos de los muchos ejemplos qiie existen en la vida real. Cuando las opciones de la firma se vinculan con algún activo tangible, se las denomina "opciones realeo". Una opción real está presente en los negocios cuando existe alguna posibilidad ñaura de actuación al conocerse la resolución de alguna mceitiüumbre actual Por ejemplo, muchas Inversiones estratégicas pudrían abrir el poten cial de realizar inversiones adicionales Este upo de oporiuimiades de in versión puede ser bien evaluado a partir del método de valuación de op clones reales. A continuación veremos el ejemplo de ia clásica opción real de aplazo o diferlmiento de la inversión, muy a menudo utilizado en lo dos los libros de real options, ya que permite explícitar claramente el vaJoi de una opción real.
1 4 . 1 . V a l u a c ió n
d e u n a o i *c i o n d e d i f e r i m i e n t o d e
I.NVEHStON
in ic ia l
Supongamos que usted ha detectado ia oportunidad de invenir en el negocio de ia pasta congelada. El negocio requiere de una inversión ini cial de $ 2.000 y las proyecciones indican que las probabilidades de éxiio v fracaso son de 50/50. Las caracierísticas esenciales del negocio son las si guientes: • Inversión inicial = S2.000 Se financia con capital propio. • Los gastos de capital igualan la cifra de depreciación. • Cash flovvs perpetuos (no hay variaciones en el capital de trabajo) • Cash flow del proyecto = S200 hoy con el precio actual del producto • 50 / 50 es ia probabilidad de que el cash flow cambie a $300 o SIGO en un año. según el precio suba o baje A partir de ese momento, jiermanecc rá eri ese nivel para siempre. • Costo del capital s 10% (en función de activo "gemelo").
Guillermo l.úrtz üumrauí
G\;v = ü.5of- 2.1)00+y ] í-0.50 -2 .0 0 0 h Y •■" ¡ [ ;:ru + -t
Prijiier paso; Calculamos el valor presente sin flexibilidad Como vimos en el capítulo 10. el calculo del VAN consiste en estimar el flujo de caja libre del proyecto y luego calcular su valor presente, utilizan do como tasa de descuento el costo de capital de una alternativa de nesgo comparable. Para obtener una estimación, podemos recurrir a la búsque da (le un activo "gemelo"; para que el activo en cuestión sea efectivamente ■gemplo" sus rendimientn.s deberían estar perfectamente correlacionados i on los de nucsiro (uoyecU) de la pasta congelada (y por lo tamo, tendrían rl mismo coencicnie beta (2)) Supondremos inicialmcnte qn«* encontrainos vin activo que cotiza en el mercado a 390,9 y que podra valer $150 en la situación ascendente y $50 en la situación descendente. Dado que nuestro activo gemelo tiene un precio de mercado conocílio. resulta sencillo calcular el rcnüiinicnlo implícito (ke) que los inversores exigen al mismo igualando el precio con el valor presente de los retornos ponderados.
90.9 =
(QO X 1501 0 ,5 0 x 3 0 (l + M .t .J
Are = 10%
(21 Rl ro f íidente bcin repi wenta la sensibilidad en lr« cambio.< en el renilimiento d e la acción m n respecto a los cambios en el lendimlento del mercado accionario en su con|unio
LAS OrCIONES RiAlE5
IflIP.OÜUCaON A
Sliuadón
Retomo del proyecto
Retomo del activo gemelo
Ascendenie
3.000
150
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Descendente
1.000
50
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Tabla 14 I Beiortios del proyecto y del activo gemelo
Teniendo en cuerna que los retornos del proyecto medidos por el valor que tendrá dentro de un año se encuentran perfectamente correlacionados con los del activo gemelo, podemos calcular su valor presente descontan do sus flujos con la tasa del 10%: 300
v r = 0 .5 0 x —
0,10
lüü + 0,50 X — = 0,50x3.000 + 0,50x1.000 = 2.000
0,10
El valor del proyecto es de S2.000, y como exige una inversión inicial de S2-000 el proyecto se encuentra en breakeven ya que el VAN= 0 Esto es lo que nos dice la aplicación de la regla direaa del valor actual neto.
¿Qué es un activo gemelo? La acepción "activo gemelo" (twin security) refiere a un activo cuyos rendimientos están perfectamente correlacionados en todos los es tados de la naturaleza y tiene dos significados según en que contex to de valuación se la utilice: Contexto DCF
"mismo beta"
Contexto option pricing
"mismo retorno"
M N d e l p ro y e c to s in f le x ib ilid a d El VAN del proyecto sin flexibilidad es sencillo. 2.000-2.000=0 pem esto surge de aplicar directamente la regla del VAN sin tenet en cuenta 1 1 flexi bilidad con que cuentan los directivos. Como tenemos la opción de pos tergar la inversión por un año (que es equivalente a tener una npcinn americana de compra) y entonces será exigida con toda certeza una inver sión de $ 2 .000.-, podemos calcular su valor presente con la tasa libre de riesgo del 5% anual y por lo tanto su valor sería hoy de 2.000/1,05=1 904,76 (note que sí invirtiéramos hoy esa suma en un bono líbre de riesgo dentro de 1 año tendríamos S2.000) Por lo tanto, el VAN de nuestro proyecto —que estamos evaluando hoy es 2.000/1,10 -1.904,76 = 1.818,18 - 1.904,76= -86,58 y en consecuencia rechazaríamos el proyecto. El VAN con diferimiento (pero sin flexibilidad) ahora es negativo ya que la Inversión es descontada con la tasa libre de riesgo y el flujo de fóndos futuro es descontado con la tasa ajustada por el
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G uillermo Lüpez D umílaue
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riesgo (iel 10%. Pero seguirnos sin considerarla flexibilidad con que cuenta el direciivo para torcer el riesgo del proyecro, esperando contar con más informacidr. y ver si vale la pena invertir. líecuerde que 1 .01 Q, 13 representa el valor píeseme del proyecto cuando se difiere la inversión I año.
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El V/\N no nos permite evaluar la fle.xíbilidad con la que cuenta el tomador de la decisión y que es examinada a partir de la siguiente sección. El paso sigmejiie es pldntear un árbol de decisión para cuanítficar el valor de las decistoiies en cada rnomenio del mismo y finalmente, recurriremos ai análi sis de las opciones reales. Luego de hacerlo, usted tendrá la sensación de que d ernej lo del es sólo una aproximación grosera del verdadero valor de un provecto.
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.Seguncio paso: diseño y análisis del árbol de decisión
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La lécnica de análisis del árbol de.decisión [D T A D e c is ió n T re e A n a lysis) le permite al directivo modelizar las decisiones; por ejemplo, esperar has ta d uliimo momento para decidir si desembolsa el dinero de la inversión o no, pero con base a la iiiíormación que posee en ese momento. En ese caso, podrá ir adelante con el proyecto o rechazarlo para evitar un resulta
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Noie que el directivo tiene dos aJlernaüvas que se excluyen m utua mente: invertir directamente en el momento cero o esperar un año para hacerlo, con base en su conocimiento de la situación para ese entonces. La labi 1 14.2 muestra los retornos proporcionados por las dos alternativas al final del primer año:
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TaDla 14.2 Retorno» inviniendo direcianiénte y difiríendü U inversión
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iNrkuOWCCK iM A US O l’ClÜNti RULLS
b i e l e s c e n a rio es a s c e ru le n te , o b le n d ie n io s u n le t o r n o de $ Iü ú íV |a u ü í> 2 0 0 0 ) y s i es tIe s c e m J e n te e l r e io r n o ts Ü (c e ro ) p u e s to q u e n o in v e rtire rM o s p a ra e v ita r la [jé itlíd a . N o te q u e s ó lo se in v e r tir á n Í2 .0 0 0 si e l n e g o c io v a le $ 3 .0 0 0 , c a s o c o m r u r io se d e s e c h a rá la in v e r s ió n y e l r e t o r n o es c e ro , l í r c iie r d e q u e 1 .8 1 8 ,1 0 re p re s e n ta e l v a lo r p re s e n te d e l p ro y e c to , q u e fu e c a l c u la d o e n la s e c c ió n a n te r io r .
Nos sentimos tentados a calcular el VAN de la decisión desconiandn los retornos esperados con el costo de capital exigido al activo gemelo obtenido en la sección anterior (recuerde que las probabilidades son de 5 Ü / 5 0 para las situaciones ascendente y descendente en los retornos d e l proyecto); 0 .5 0 x 1 0 0 0 + 0 .5 0 x 0
V A N = ----------------------------- = 454,54
(UO)
O b s e rv e la m o d in c a c t ó n d r a m á tic a q u e tie n e lu g a r e n e l V A N d e l p r o y e c to : s u v a lo r e ra 0 (c e r o ) e n la a lt e r n a t iv a s in f l e x ib ilid a d , y a h o r a h a p a s a d o a $ -l5 4 ,5 -l c u a n d o c o n s id e r a r n o s la p o s ib ilid a d d e c lile r ir la in v e r s ió n P a re c e q u e r e s u lta fá c il c a lc u la r e l V A N d e l p r o y e c to c o n f le x ib ilid a d a p a r t ir d e la d if e r e n c ia e n tr e lo s d o s V A N ; 4 5 4 ,5 4 - 0 = 4 5 4 ,5 4 S in e m b a rg o , c o m o v e r e m o s in m e d la t a m e n t e , e s to n o es c o r r e c to y a q u e lu s r e i o r n o i q u e p r o p o r c io n a la o p c ió n d e d i f e r i r n o g u a r d a n n i n g u n a c o r r e la c ió n c o n lo s r e t o r n o s d e l a c tiv o g e m e lo (y t a m p o c o c o n lo s r e t o r n o s d e l p r o y e c to s in f le x ib ilid a d ) y p o r lo t a n t o e l c o s to d e c a p ita l d e l 1 0 % y a n o es adecuado.
U s a r e! V A N m á s la té c n ic a D T A v io la la le y d e l p r e c io v ín ic o La ta s a d e l 10% e ra la c o r r e c ta p a ra d e s c o n ta r lo s flu jo s d e fo n d o s d e n u e s t r o p r o y e c t o s in n e : í í b ih d a d , p u e s é s tu s e s ta b a n p e r f e c t a m e m r r c o r r e la c io n a d o s c o n lo s d e l a c iiv o g e m e lo . L a le y d e l p r e c io ú n ic o n o s cI ícl * q u e d o s in v e r s io n e s q u e v ie n e n lo s m is m o s r e n d im ie n io s y e s to s se en c u e m r a n [ le r f e c ia m e n t e c o r r e la c io n a d o s , d e b e n te n e r e l m is m o p r e c to . P ero n o es e s to lo q u e o c u r r e c u a n d o o b s e iT a n io s lo s r e to r n o s pro cJucidtj.s al e je r c ita r la o p c io n d e d if e r ir : e n la s itu a c ió n a s c e n d e n te g a n a m o s 5U J00 (3 0 0 0 -2 0 0 0 ) y e n la s itu a c ió n d e s c e n d e n te d e c id im o s n o in v e r t ir p a ra e v i ta r la p é r d id a y p o r lo ta m o el ll u jo d e fo n d o s d e ia o p c ió n es ig u a l a c e ro , m ie n tr a s q u e si h u b ié r a m o s in v e r t id o se h a b r ía n p e r d id o $ 1 ÜOO (1 0 0 0 -
2000 ) . C o m o se o b s e rv a , lo s flu jo s d e fo n d o s p r o p o r c io n a d o s p o r U o p c ió n d e d if e r ir n o se e n c u e n ir a n c o r r e la c io n a d o s c o n lo s flu jo s d e fo n d o s d e ) p ío y e c to , p o r lo c u a l p re c is a m o s o tr a té c n ic a , de fo r m a ta l q u e p o d a m o s le p lic a r lo s flu jo s p r o p o r c io n a d o s p o r la o p c ió n y e s ta b le c e r u n p re c io .
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GuiiLfRMo López Dumrauí
Creencias equivocadas sóbrelas opciones icales *
jíd i
ti *'7*:
Uno de los creencias equivocadas entre algunos analistas es que H uso déla técnica L>TA sumada al VAN es una versión económica má^ correcta que usar el VAN aislado y que de esa manera se cap tura la "opcionalidad". DTA aplica la tasa de descuento correcta para el proyecto cuando no hay flexibilidad, pero ésta es inade cuada para evaluar el proyecto con la flexibilidad proporcionada por la opción de diferir. La técnica del DTA — aplicada sin tener en cuenta el análisis ROA— dará respuestas incorrectas pues supone una tasa de descuento constante a lo largo de lodo el árbol de decisión. La flexibilidad afecta el riesgo de! proyecto y por lo lanío no podemos aplicar la misma lasa que usamos para el proyecto sin nexibilidad.
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Tercer paso: valuación de la opción real con los métodos del portafolio replicado y neutralidad ante el riesgo Una vez construido el árbol de decisión, estamos en condiciones de calcular el valor de ia opción real. Para ello utilizaremos dos métodos: neu tralidad ame el riesgo y portafolio replicado. El primero ya fue explicado cti el capítulo sobre opciones financieras. La comprensión de ambos es .sumamente Importante en la valuación de opciones reales. En general, en los ejemplos que se desarrollan se valúan las opciones con la neutrali dad ante el riesgo y luego se contrastan los resultados con el portafolio teplicado. Veremos que ambos conducen exactamente al mismo resulta do y se basan en un argumento de imposibilidad de arbitraje Inicialment»' trabajaremos con ejemplos que tendrán un solo periodo para ladlitar la ''omprensíón y entrenar al lector. Recuerde que los cálculos sub>’acentes a la valuación de opciones reales se encuentran llenos de detalles. M é to d o d e l p o r ta fo lio re p lic a d o Usamos el método del portafolio replicado justamente para poder re plicar los retornos que nos proporciona la opción. Al final, podremos apre ciar que se obtiene una lasa de descuento ajustada al riesgo com o subproducto del análisis. Este método consiste en replicar imaginariamente un portafolio com
puesto por A acciones de un activo gemelo y 6 activos libres de riesgo (bonos del tesoro de EE.UU.), de forma tai que reproduzcan exactamente los retornos generados por la opción (3).
(í) C om o el p o rtafolio réplica es com puesto por dos aciivtis negociables en el m ercado que generan el m ism o patrdn de retornos que nuestro provecto, lm ie le n to io proyecto, su tasa de re n d im
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iNTRODUCCtÓN A U S OPCIONES R U U S
497
Inidalmente utilizaremos los retornos generados por el a ctiv a gemelo y luego mostraremos que se llega al niísnio resultado utilizando los reíam os del proyecto. Sólo precisamos asumir que no existen posibilidades de arbi traje, y cuando trabajemos con los retornos del proyecto, asumiremos que se cumple la Iiipólesís MAD [m a rk e te d asset disclaim er, in e x is te n c ia del a c iii/o
negociado). Si componemos el portafolio con A acciones del activo gemelo y B bonos •libres de riesgo (que rinden un 5% anual) de forma que reproduz< an los retornos proporcionados por la opción tanto en la situación ascendenlo como en la situación descendente, tendremos: E n Ui s itu a c ió n a s ce n d e n te : A i 5 0 + 8 (1 .0 5 ) = 1000 E n la s itu a c ió n descenden te: A 5 0 + 8 (1 ,0 5 ) = 0 Resolviendo las dos ecuaciones con dos incógnitas, verificamos que ó = 1 0 yB = . 476,2. (S i d e s p e ja m o s A en la p r im e r a e c u a c ió n n os q u e d a á = 1000/150 B (1.05)/150 = 6 ,6 6 6 - 8 0 ,0 0 7 y luego re e m p la za n d o A en la seg un da ecuación nos q u e d a 8 = -4 7 6 ,2 )
La cifra negativa para B significa que pedimos prestados $476,2.* Reem plazando B en la primera ecuación, nos queda el valor de A - 1 0 , Finalmente, multiplicamos el valor de A por el valor de mercado del acti vo gemelo (9ü,90) y sumamos el valor de B para obtener el VAN del pioyecto con fiexibilidad (tenga en cuenta que en este valor ya se restaron los $ 2.000 de la inversión): 1 0 x 9 0 ,9 0 -4 7 6 ,2 = 432,8 El valor presente del proyecto lia pasado de 0 (cero) sin nexibiíidad a 432.0 cuando consideram os la opción de diferir com o se muestra en la figura 1 Por lo tanto, el valor de la opción es igual al valor del proyecto con la flexibilidad de diferir y adelantar el proyecto si el escenario es fai-orable menos el valor del proyecto sin flexibilidad (o alternativam ente aJ VAN del proyecto con flexibilidad menos el VAN del proyecto sin flexibilidad): V a lo r o p c ió n de d if e r ir = to s in fle x ib ilid a d :
d e l p ro y e c to c o n p e x ib ilid a d - VT d e l p ro ye c
2.432.8 -2.000 = 432.0 V a lo r o p c ió n d e d if e r ir = V A N c o n f le x ib ilid a d - VAN s in fle x ib ilid a d :
432.8 - 0 = 432,8
requerida debe ser igual ala del proyecUi. El CAI'Msimplemente geiieralizaestodtcif ndoque todos los títulos con el mismo beta deben tener el ml-smo costo de capital. Por >0 tamo, Identincar un título con un beta apropiado es equivalente a utilizar la técnica del portafolio replicado para encontrar el costo de capital.
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Poi supuesto, es posible que un proyecto tenga un VAN sin flexibilidad negdtñ'o, pero que su VAN con flexibilidad sea positivo y seguiríamos calcu lando eí valor de la opción de la misma forma. A c la ra c ió n p a ra el v a lo r de la o p ció n de d ife rir
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Hemos calculado el \"alor de la opción de diferir comparando el VAN con flexibilidad con el VAN sin flexibilidad que no tenía en cuenta la posi bilidad de diferir la inversión y tomar ventaja de la situación favorable desechando la situación desfavorable. Sí se compara el VAN con flexibili dad con el VAN del proyecto difiriendo la inversión, pero sin tener en cuen ta la posibilidad de invertir sólo en la situación favorable, el valor de la opción podría ser visto como 432,8 - (86,5S)=519,38 pero esto no tiene demasiado sentido, ya que si aplazamos la inversión es porque podemos tomar alguna ventaja.
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La técnica del VaN no valúa correctamente la opción de diferir Ahora demostraremos, con arguraenios de imposibilidad de arbitraje, que la técnica del VAN, aún considerando la posibilidad del diferímiento de la inversión y tomando sólo los retornos en la situación favorable, no valúa correctamente la opción. Para demostrarlo, revisaremos los valores ohtenulos con la técnica del replicated portfolio y la neutralidad al riesgo.
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Nadie pagaría 5454,5 si puede obtener el mismo retorno pagando sólo $432,81 que es el valor que surgía de replicar los retornos con el activo gemelo aiando aplicamos el replicated portfolio: (10 X 90,9 - 476.19) = 432.81 O también utilizando directamente el valor del proyecto (1818,18) como activo gemelo: •^Tk '•
(0.50 X 1018,18 - 476.19) = 432,BlCon la neutralidad al riesgo, el valor presente del portafolio era: 0,f,0 X 1.018,10 - 432,01 = 476,19 Recuerde qut inviniendo la cantidad de acciones á =0,50 el valor del porialolio al vencimiento era de $500 tanto si el valor del activo aumenta como si baja;
-Ü
,# k4
A 3 000 -1 000 = A 1.000 - 0 = 500 Si la opción tuviera un valor mayor a 432,81, (por ej, 454,5) entonces la cartera proporcionaría un rendimiento supenor a! libre de riesgo; 0,í>0 X 1.818,18 - 454,5= 454,5 (el valor de la opción coincide con el valor de la cartera sólo por casualidad)
■■
Recuerde que la cartera entregaba a! vencimiento $500 con toda cer teza. Si el valor de la cartera iuera de $454, luego entregaría una tasa de rendim iento superior a la libre de riesgo: 454,5 (l-rr)=500 donde r= lO'fÓ > rf.
Intrdouccichj
a
iM
Of'CtoNes RtAiís
Pero emonces coxiienzaría iíxmediatajiienie un proceso de arbUiaié que consistiría en replicarla cartera comprando acciones y vendiendo la opción de compra (por lo cual subiría el precio déla acción y bajaría el de la opcian. liasta que la cartera valga finalmente 476,19... Preguntas de aufo-evaJuadtín 1. ¿Por qué el proyecto y el portafolio, si generan los mismos retornos, deben tener el mismo valoren el año 0 para evitar un arbitraje libre de riesgo? , 2. ¿En qué se parece una opción de espera a la actitud del “vva/f atid see” que los empresarios siguen cuando aumenta la inceitidumbre macroeconónilca?
1 4 .2 . DiFERENClyVS FUNDAMEtmLES ENTRE LOS MÉroDOsVAN y ROA
La opción de diferimienio es un buen ejemplo para ilustrar las dife rencias entre el método del VAN y la metodología de las opciones reales (ROA, real options análisis). Cuando utilizamos el método del VAN, las al ternativas se excluyen niufuamente; por ejemplo, tendremos un VAN para el caso base, otro para el caso de diferir la inversión por un año, otro V.AN si diferimos por dos años, y así sucesivamente. En cambio el abordaje ri través de ROA nos permite saber: • Si debemos iniciar el proyecto hoy • El valor que tiene el derecho de diferir la inversión
—
. v,
• Proporciona una regla práctica para maximizar el valor, ya que no^ dice cuíimío hay que diferir .. Además, como la opción permite rnodificai el riesgo de! proyecto, el costo del capital que utilizamos para calcular e) VAN del caso base no no.s sirve y es poi ello que utilizamos otra metodología, como es el caso riel portafolio replicado o la neutralidad ante el riesgo. Obtención de las tasas ajustadas aJ riesgo Si hubiésemos aplicado la tasa de descuenta correcta, ajusfada por el riesgo, a los fiujos de caja esperados del proyecto con la opción de diferimiento, el abordaje por DTA nos hubiera proporcionado la misma res puesta a la que llegamos considerando la opción La tasa de desciientu ajustada al nesgo es calculada como sigue; „
0 ,5 0 x 1 .0 0 0 -hO,5 0 x 0
(1 í- Le-I
500
G
u il l e r m o
Ló
p e z
D
u m r a u e
Siendo ke = Í5.52 S>
.t"; i^'
L i rasa de l 15,52% q u e a p r io n p a rece m u y alta, tie n e q u e v e r c o n la alta mcertiduinbre de! flu jo de fo n d o s (re c u e rd e que p o d ía a u m e n ta r u n 50% al pasar de 200 a 300 o d is m in u ir en u n 50% aJ pa sa r de 200 a 100). O tro p u n to im p o rta n te es qu e la tasa a ju s ta d a a l rie sg o v a ria rá d e p e n d ie n d o d e l lu g a r d e l á rb o l en que nos e n c o n tre m o s , c o m o lo verem os en los e je m p lo s q u e a p a re cen en este m is m o c a p ítu lo .
•h ^\
U lle x ib ilid a d c a m b ia el riesgo del p ro y e c to la tasa de d e sc u e n to a ju s ta d a al riesgo v a ria rá d e p e n d ie n d o d e l lu g a r de l á rb o l e n q u e no s e n c o iu re in o s
In e x is te n c ia de a c tiv o n e g o c ia d o
(Markeled Asset Disclaimcr)
l a uuHz.ación de u n a c tiv o g e m e lo p a ra la o b te n c ió n d e l v a lo r de l p r o yecto c o n fle x ib ilid a d s u e n a m u y a tra c tiv o , p e ro nos in v a d e in m e d ia ta m e n le la fru s tra c ió n c u a n d o ve m o s q u e es casi im p o s ib le e n c o n tra r a c ti vos c o n p re c io s p ú b lic a m e n te d iv u lg a d o s q u e re p re s e n te n u n b u e n s u s ti tu to de l p ro y e c to o e m pre sa s u je to de va lu a c ió n -
I
la s prim eta.s aplicacíonc.s de o p cio n e s reales u tiliz a b a n ios p re c io s de s u p o n ie n d o q u e la v o la tilid a d d e l p ro y e c to s in flr-x ib ilid a d era ig u a l a la v o la tilid a d de l commodit)' en c u e s ti'in Así, p o r e je m p lo , la v o la tilid a d d d p re c io de l p e tró le o o de l o ru era c o n s id e ra d a igual a la v o la tilid a d en el v a lo r de l p o zo de p e tró le o o la m in a de o to . c u ya a b e rtu ra p o d ía ser d ife rid a In fe liz m e n te , la v o la tilid a d de la m in a de o ro OM es ig ua l a In v o la tilid a d de l oro , ya que existen otros [a cto re s q u e d e fi nen su v o la tilid a d , c o m o p o r e je n tp io , sus costos x'ariables y fije s . A ú n m ás, p tu 'd e ser m u c h o m ás d ifíc il e n c o n tra r activos ge m e los en o tia s a c tiv id a des d o n d e m sic|u iera te n e m o s c o m o re fe re n c ia el p re c io de un a cnmmodiry para lo g ra r a lg u n a a d h e re n c ia co n el m e rca d o y d a rle m a y o r o b je tiv id a d a la v a lu a c ió n
crnwiodines m u n d ia le s ,
'ñ
P
Copeland y Antikaiov (2001) nos dicen que estas dificultades pueden ser zanjadas íis u m ie n d o la h ip ó te s is de la "n e g a tiva d e l a c tiv o n e g o c ia d o " {nmrketed asset disclairner) que supone qu e el valor d e l activo s u b y a c e n te es ig u a l a l v a lo r p re s e n te de s u flu jo de fo n d o s d e s c o n ta d o s in f le x ib ili dad, a s u m ie n d o q u e éste s e ría e l v a lo r de m e rc a d o d e l a c tiv o en el caso de tra n sa rse e n los m e rc a d o s de c a p ita le s . Esta a p ro x im a c ió n p a re c e ra z o na ble si pen-sam os qu e no debe e x is tir algo m á s c o rre la c io n a d o c o n los Télornos del a c tiv o q u e los m is m o s re to rn o s del a c tiv o m is m o ; p o r lo ta n to su v a lo r de m e rca do de be ría ser ig u a l a su v a lo r "in trín s e c o " e s ta b le c id o a través de su flu jo de fo n d o s descontado.
r, *■
Poríafolio replicado con los retornos deJ proyecto Sí la hipótesis MAD es correcta, podemos utilizar los retornos (volóres presentes) del proyecto aJ final del primer año para construir e l portafolio réplica. E n la s itu a c ió n ascendente: d 3000 + B (l,0 5 ) = JOOO E n ¡a s itu a c ió n descendente: A JOOO + D (l,0 5 ) = 0 Resolviendo las dos ecuaciones con dos incrjgiiiias, verificamos
j
El valor de la opción es exactamente el mismo valor obtenido a partir del portafolio réplica cuando utilizábamos el activo "gemelo" (la dilerencia es que cambiaba el valor de A y utilizábamos el precio del activo geme lo para replicar los retornos de la opción). Método de vaJuación suponiendo neutralidad ante el riesgo El abordaje de la neutralidad ante el riesgo consiste en formar un por tafolio compuesto por una acción del activo gemelo (o del proyecto, s» usa mos la hipótesis NÍAD) y la venta de una opción de compra. Este portafo lio se lo considera libre de riesgo pues, ya sea tamo si el precio de ta ac ción suba como si baja, el flujo de fondos será exactamente el misino a) final del período. Por ejemplo, si el precio de la acción aumenta, la ganan cia en la acción se compensa con la pérdida en la posición vendida en la opción cuando é.sta es ejercitada por su tenedor. Si el coeficiente de hed^c o cobertura es exacto, la pérdida en el activo subyacente será anulada por la ganancia en la posición vendida en la opción de compra, y el resultado será entonces libre de riesgo. Si e! precio de la acción baja, entotv.e.s la opción no es ejercitada y compensa nuestra pérdida en la acción. Asumiendo la hipótesis de la negación del activo negociado, usaiemos los ÍUijos de fondos y el valor presente dei proyecto en nuestros cálculo.^. Recordemos que el proyecto tenía un valor presente de 1 818.18 y nodín generar un valor de 3.000 en la situación ascendente y 1.000 en la situa ción descendente: u-1.65
50J
G uillermo López D umrauf
Si el proyecto tiene un valor de 3.000 al cabo de un año la opción de diferir lendní un valor de 1.000 (3.000-2.000) y no valdrá nada en la situación des cendente. Calculamos el valor de A Igualando los reromos; A 3 000 -J.OOO= A 1.000 - 0 O bserve q u e la o p ció n g en era un reto rn o de 1.000 si el valor d el p ro y ecto a scie n d e a 3 .0 0 0 , pero su valor es cero cuando éste desciende a 1.000.D esp ejan d o. el c o e fic ie n te de hedge es:
A = 0,50 Poi lo tanto deberíamos mantener 0,50 acciones por cada opción de compra que emitimos (también puede verse como si por cada acción que mantenemos podemos emitir 2 opciones de compra) y el flujo del porta folio sería ig:ual a S500 tanto si la acción sube como si baja. En estas condi ciones su valor presente obtenido con la tasa libre de riesgo del 5%, es Igual a '
£5£ = 4 7 6 .1 9 1.05
Obtenemos el \TiIor de la opción de compra despejando Co, igualando la composición de nuestro portafolio en el momento cero con su valor presente obtenido en el paso anterior: S - A Co = valor presente del portafolio 0.5» K l a i l U a - Co = 47Ó.19 Co = 432,8 Observe que ti resultado coincide exactamente con el que obtuvimos anreruirmenle con el método del portafolio replicado
1 - ti valor presente es el punto de partida para la valuación de las .»pcione> leales 2. La hipótesis de la "inexistencia del activo negociado" es clave en el proceso de valuación de opciones reales
Cálculo del valor de la opción a partir de la fórmula de las probabilida des neutras ponderadas Por supuesto, corno vimos en el capítulo anterior, un cálculo mucho más rápido y cirecto es obtener el valor de la opcion como el valor presen te del producto d¿ las probabilidades neutras en relación al nesgo por los reiorn js esperados. Usando las fórmulas para obtener las probabilidades neutras de ascenso y descenso;
i
I nTHODUCOON
a
lAS OfCrONFS Íví AI E!.
5t',3
(l + r / ) - J 1.05-0.55 p s i-----¿-Í-----= ---------------a 0.4545 y J* ií = 0.545:> ' u -J 1,65-0.55 ni./) + cíf.(1 - p)
1000 x 0,4545 + 0 x 0.5455
(1 + r /)
1.05
c
Nuevamente el resultado es igual al obtenido con el portafolio espejo. Recuerde que el valor de la opción se obtiene por diferencia entre e] valor del proyecto con flexibilidad y el valor de éste sin flexibilidad (o también valor opdón=VAN con flexibilidad - VAN sin flexibilidad) Come/ira/7o s o b re la s p ro b a b ilid a d e s n e u tra s Repetímos lo que hemos dicho en el capítulo anterior las probabilida des neutras en relación al riesgo (o probabilidades de hedge) NO son las probabilidades objetivas en que pensamos cuando estimamos la probabi lidad de ocurrencia de un evento, sino que son las probabilidades implíci tas que ya están incorporadas en los v'alores del proyecto. Observe también que las probabilidades de retornos favorables son inferiores a las probabilidades objetivas (45,45% vs. 50%) y que las proba bilidades de retornos desfavorables son superiores (54,55% vs. 50%). De esa forma, los retornos con certeza equivalente son inferiores a los retot nos objetivos, pero al ser descontados a la lasa libre de riesgo, el valor pre sente del proyecto es ei mismo que si hubiéramos descontado sus llujos con la tasa ajustada por el riesgo. Lo que ocurre, es que como la opción cambia el riesgo dei proyecto, la tasa que utilizábamos para calcular ei VAN ( 10 %) no nos sirve por la asimetría que el ejercicio de la opción introduce en los retornos, y la lasa ajustada por el riesgo sólo se obtiene como na subproducto del análisis.
Preguntas de aulo-evahiacidn: 1. ¿Por qué decimos que las probabilidades neutras en relación al nesgo no son prubdbilid,iües objetivas? 2 ¿Por qué decimos que el método de la neutralidad ante el liesgu descuenta finios ciertos con la tasa libre de riesgo mientras qiu- el método del portafolio replicado descuenta flujos esperados ton una tasa ajustada por el riesgo?
14.3. Opciones cijí^icas; expansión, contpxACCiOny ADANOONO DE lA ACnMDAD Hn e s t a s e c c i ó n e x t e n d e r e m o s n u e s t r o a n á l i s i s p a r a v a l u a r c o n u iia s e r i e d e e j e m p l o s l a s o p c i o n e s r e a l e s c l a s i c a s q u e n o s j i r e s e i i t a u lo s negi» cio s
C a lc u ta r e iT io s e l v a lo r d e c a d a u n a d e e s t a s 0 | > cion es p o r s e p a io d n
'-•'JIUMIA.10 ll»rtZ (
iinaiiiM iiie reaiirai un nnniisis iiuegrni, que mostraiá que leai oplions una U’cnira que nos «lice que es lo mejor que podemos realizar en cada
íiíunctdn cuttruio hacerlo y \uniar los efecios de tas mejores decisiones en un uih calor Los rneiodos de valuación utilizados son el abordaje neutral nnip Pl ripspo v ei portafolio replicado, que será utilizado como control del .nriteríor v p an determinar el valor subyacente del proyecto en cada nodo del árlu»! de decisión. Antilizaremos un negocio que nos brinda al mismo tiempo opciones de expansión, contracción v abandono de la actividad PfHnero analizaremos cada opción por separado para luego analizar to das al mismo tiempo, es decir, la opción combinada u opción de elegir entre opciones
V .ilin n cin n d e la o p c i ó n d e e x p a n s i ó n
S u p o n g a q u e u n n e g o c io c o n u n v a lo r p re s e n te d e $ 1 .6 0 0 n o s o fre c e la o p c ió n d e a m p lia r e l n e g o c io in v ir t ie n d o SIOOÜ, lo c u a l p e r m it ir á in c r e u ie n ia r los \7 ilo re s d e l p r o y e c to e n u n 5 0 % E n este p u n to c o n v ie n e re a li’ ir u n a a c ia ia c ió n im p o r ta n te . C u a n d o d e c im o s q u e la in v e rs ió n n o s p e rin iu r á a u m e n ta r e i v .ilo r d e l p ro v e c to , q u e re m o s d e c ir, q u e el v a lo r p r e cíenle d c l ílu |o d e e fe c tiv o q u e g e n e ra la in v e r s ió n p e r m ite p re c is a m e n le eso, in c r e m e n ta r e l v a lo r q u e ya tie n e e l p ro y e c to en ese n o d o , en u n 50 % P M iem os. p o r lo ta n to , u n a o p c ió n de c o m p ra a m e ric a n a c o n u n p re c io de ''je ic ic io (le %1000 -
El negocio puede aumentar su valor en los pró.ximos dos años un 87,5% poT año ÍU-I.H75) o descender un 62,5% por año íd=0.625i con lo cual teiicmo.s una opción de compra americana a lo largo de dos periodos cuvo piecin de ejpitirio es de .$1.000 - En la figura J4.1 se muestra el árbol de avenios, donde, por ejemplo, en el nodo 1 1 el valor de 5 625 representa el ,ilor del negot lo. representado por el valor presente ioliahilidarlec; olijetivas de suba •, i>aia son de 5t' '' 3U A con«nuiprton se muestra el átbol de eventos que es rnrnim a la« ires opciones ipie v \ .iluareriii'S
1.875
625
In i p -o d o c c i ü n
a las
505
O r u o t iis K i a l l ’;
La línea punteada muestra como el valor presente del proyecto es igual al valor presente de los retarnos esperados a medida que nos movenios por los nodos del árbol de eventos. Por ejemplo, en el nodo B tenemos Iü.5x0.5x5.625+2x0.5x0.5xl.875+0.5x0.5x625|/(l,25)=2.ü00yliiegoenelnodo A |0,5x3.000+0,5xl.0u0)/(l,251 = 1.600 Aunque trabajar con un árbol recombínante no es un mal supuesto, note que no es requisito la recombinancía en una opción real; en los nego cios con activos reales, no necesariamente el árbol de eventos debe ser recombínante. Para que exista recombinancía u=l /d como vimos en el ca pítulo anterior. Seguidamente, debemos transformar nuestro árbol de eventos en un ár bol de decisión, como se muestra a continuación (la diferencia entre el árbol de eventos y el árbol de decisión es que mientras el primero describe el conjunto de eventos y el momento en que se producen, el segundo cuantifíca los resultados de tomar una decisión en ese momento). La figura 14.2 repro duce el árbol de decisión que genera la opción de expansión. Comenzando nuestro análisis en ios nodos finales, observamos que la opción de expan sión sólo tiene t'alor en el nodo D. Los ^'alores de los nodos intermedios son calculados tanto con el método de las probabilidades neutrales coino poi el método del portafolio replicado. MAX|5 825; 5 82Sx < 5 -1 .0 0 0 ] MAXI5.825. 7 4 3 7 5 !*7.437 5
MAX)3 5 8 6 .9 :3 .0 0 0 (1 .5 - 1.000] M AXp.SíB.»; 3 S0O]'3.SM .9
« (i Figura 14.2 Arbol binom ial y valuación de la o pción de expan.sión
La observación inmediata que podemos hacer es que en el nodo B el
valoi de mantener la opción "viva" e.s mayor que el valor de eieicUai la opción antes de su vencimiento. Para calcular el valor de la opción con las probabilidades neutras precisamos calcular primero los valores d e la p r o babilidad de suba y la probabilidad de baja en un mundo neutral ante el riesgo;
^ ( L L '/ l z i =
= o ..-«4
y ■ ■ p = 0,66
G
■'■jf
u
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L ü r£ Z
:ñ'
O ü m r a u í
C á lc u lo d e l v a lo r de ¡a opcum íis iw u e n d o n e u ira lu la d a m e e l nesgo. _
No.lo B: f
p \ c u p ) > í c d 0,34x1812,5 + 0,66x0 ^--------------- -------- = -------------------------------= -586.9 ( l -^ //)
1,05
-9
9 9
En t'l nodo C el valor de la op ción de expansión es cero, p u esto que es cero en los nodos t y F Finalm en te, calcu lam o s el valor de la o p ció n de exp an sión en el nodo A.
9 9 9
Nodo
„
A .
F=
nxcutl\-p)xcd
----------- = (1 + //)
-------------------------------------
0 .3 4 x 5 8 6 .9 + 0 .6 6 x 0 :------------------- = 1 9 0 .0 4 1,05
Conirol mecitanie el método de! poriajolio replicado: C o m en zam o s nu estro análisis con el valor de la o p a ó n en el nodo B:
t
NoAü B ^ 5 625 + B(l,05)= 7 437,5 - Ú¡d75. ti (1.05) ^1.875 a i.7 5 0 ^ í> = 5 562.5 D esp ejan d o resultan ó = 1.4833 y
B = - 863.90
M u ltip lican d o por el valor p resen te del proyecto en B y su m an d o el valor Otí los b o n o s o b ten em o s el valor oel proyecto en el nodo B:
-9
i %
l'. i'o r
del Nodo B 1,4833 x 3 000 - 863.9 = 3.586,9
Valor de la opción en el Nodo B: 3:586,9 - 3.000=586,9 En el c a p itu lo a n ie n o i, v im o s un a p ro p ie d a d im p o r ta n te de las o p c io nes de c o m p ra a n ie ric a n a s de c o m p ra q u e n o pa ga n d iv id e n d o s s o n s ie in p ie MUÍS v a lio s a s “ v iv a s " a m e s q u e e je rc id a s . E sto es lo q u e o c u rre en el n o d o n c o n la o p c ió n de e x p a n s ió n , ya q u e su e je rc ic io in m e d ia to d a ría 3 UUOx 1,5-1 0 0 0 = 3 50Ü, y c o m o n o e je r c ita n d o el v a lo r d e l n o d o b es de 3 .5H 6.il e le g im o s m a n te n e rla v iv a y e s p e ra r H e p e tim o s este a r g u m e n to es v á lid o c u a n d o el a c liv o s u b y a c e n te n o p a ga d iv id e n d o s o el a c tiv o vea re d u c id o su v a lo r p o r a lg ú n o tro m o tiv o
Nodo C a I 875 + B n.05) = 1.875 ■2. 625 + Fi n .0.5) - fí;;5 d !.250 + 0 = 1 250 D esp ejan d o resultan ó = 1 y
.# -
B=0
iN f R O D U C C IO N A LAS O l'C lO W fS R u i f S
SO'
Mulliplicundo A por el valor presente del proyecto en C y sumando el valor de los bonos B obtenemos el valor del proyecto en el nodo C: V a lo r d e l N o d o C: 1 x 1.000 4 í? = 1.000 V a lo r d e la o p c ió n en el N o d o C: 1.0 0 0 - LOGOLO Nodo A:
A3000 ^D (1.05) = 3.586,9 A 2 .000 4 0
= 2.586.9
Despejandoresultan A - 1,2934 y Bs=-279,47 Finalmente, multiplicando A por el valor del proyecto en A y sumando el valor de b obtenemos el valor del proyecto con flexibilidad; J .2 9 3 ii > 1 6 00 - 2 7 9 .4 ^ = ^1 .7 9 0 I V a lo r de la o p c ió n de e x p a n sió n : v a lo r presente d e l p ro ye cto con fle x ib ilid iu í - v a lo r p resente d e i p ro ye c to sin J le x ib ilid a d : 1 .7 9 0 .0 4 -1 .6 0 0 = 190,04 Valuación de la opcion de abandono Puesto que el negocio puede no funcionar tan bien como pensanui:». puede ser úiil calcular el valor de abandonar la actividad. La opción de abandono del negocio es una opción de venia americana donde el preci») de ejercicio generaliiiente es igual al valor de realización de los aclivos. Nuestro negocio piaiuea una opción de abandono por SlflOD en cualquier momento, que se logruriu mediante lu venta de la totalidad délos activos fijos y el capital de trabajo. Aunque a priuri parezca que en este análisis subyace el pesimismo, la opcion de abandono es importante pues [ilaiiicj la posibilidad de salir del negocio para evitar (lerdulas niayures si este nn funciona como se pronosticó inidalmeme.
i i|>ura N 3 Arliiil binoinísl y valuación de la upción de abandono
.1
Guiuermo López Dümraup
50)
Rn 1.1 ligura l«í 3 se observa que la opción de abandono sdlo tendría valor en el nodo F (si abandonamos ei proyecto percibimos 'SI OnO frente a i 625 quesería el valor del fluio de fondos del proyecto), Observ'e que con viene mantener viva la opcion en el nodo C. donde el pul vale 235.71; por tratarse de una opción de venta americana, otro podría haber sido el resul tado. va que a veces conviene ejercer una opción de venta americana antes del vencimiento. C iíkulo d el valor d e la opción asu m ien d o n eu tralid ad a m e e l riesgo:
Nodo B' En el nodo B el valor de la opción es 0 (cero) pues también es cero en los nodos anteriores ÍD y E). Nodo C:
p _ p x c i i + ( l - p ) y .c d _ 0 ,3 4 x 0 + 0,66x375 ~
\m
a + /f )
-j\ ”
"
Finalmcnfe, aplicamos la misma fórmula para el nodo A para calcular <«ntonces él valor de la opción de abandono: _ p
pr=
x c u + (1 -
p ) x c d
_ 0 ,3 4
(1 + //)
X 0 + 0 ,6 6 x 2 3 5 ,7 J
_
= 148,16
1,05
Valor de la opción de abandono P = 143.16
C o rtíro l n ie d ia n le el im ‘lo d o d e l p o rta fo lio replicado: N n e rn n ie n le , yendo desde el f n ia l a l p rin c ip io , com enzarem os nu e stro tU ir tlL s is con el v a l o r de la opción en el nodo C Modo C: ó IP 7 5 + IU 1 .0 5 )= }.S75 - á 6 2 3 + D (L 0 5 } - 1 .0 0 0 /i 1.250 + 0
= ¿125
Despejando resultan ¿y= 0,70 y B=; 535,71 Mulliplicando Aporel valor del proyecto en el nodo C y sumando el valor de B obtenemos el valor del activo subyacente en C: 0,70 XLOOO + 535,71 = 1.235,71 ■p
"4^
D e sp e ja n d o resu ltan A = 0 ,8 8 2 y B = 3 3 6 ,7 1 F in a lm e n te , m u ltip lica n d o A p o r el v alor del p ro y e cto e n el n o d o A y su m a n d o el valor de B o b te n e m o s el v alor del p ro y ecto co n n exibflíd ad ;
0.8 8 2 X 1.600 + 3 3 6 .7 J = 1.748,1 V a lo r de la o p c ió n : VP p ro ye c to co n f le x ib ilid a d - VP d e l p ro y e c to s in f l e x ib ilid a d
9 £ -
1 .7 4 8 . 1 - 1 . 6 0 0 - 1 4 8 , 1
V a lu a ció n d e la o p ció n d e c o n tr a e r El p ro y e cto p re se n ta u n a o p ció n d e c o n t r a e r el ta m a ñ o del n e g o c io liq u id a n d o p arte de los a ctiv o s lijo s y el ca p ita l d e tra b a jo p o r u n total de 5 5 0 0 .- A v e ce s es p o sib le el n e g o cio d e b a re d im e n s io n a rs e ; la o p c ió n d e c o n tra e r el n e g o cio ta m b ié n es u n a o p ció n d e v en ta p o r u n a p a rte de los a ctiv o s. En e ste caso , sí b ie n la d ism in u ció n del ta m a ñ o del n e g o c io g e n e raría un in g reso In m e d ia to de c a ja d e $ 5 0 0 , ten d ría c o m o e fe c to n eg ativ o u n a d is m in u c ió n e n los re to rn o s n e to s q u e p ro v o c a ría u n a d is m in u c ió n del 5 0 % en el valor del n e g o cio , c o m o c o n s e c u e n c ia d e la c o m b in a c ió n d e u n a re d u cc ió n en los in g reso s y ios g a sto s de estru ctu ra .
m.
€
c
Figura i 4,4 Arbol binomial y valuación de la opción de contrección O bserve qu e en el nodo C, el valor d e m a n te n e r la o p ció n viva es m ay o r qu e el valor de eje rcita r la o p ció n a n tes de su v e n cim ie n to .
■ é t^
^
4
GuiLLER-VtO l.OPtZ OUMMUE
.SIO
C tu c iilo d e l v a lo r de la o p c ió n a s u m ie n d o n e u rra iid a d a n te e l riesgo: Noilo H' No liene valor ya que en los nodos D y E la opción vale 0 (cero) p xcti-t-(l- p ) x c d _ 0,34x0i- 0.06x187.5 _
Nodo C
1.05
n + //)
p = P > ^ c i i - t i \ ~ p ) x c d ^ 0.34x0+ 0.66x117.85 _
Nodo A:
(1 + r/)
i
= 117,85
1,05
"
^ ’
Valor de la opción de contracción p = 74
i <
C o 'itr o l m e d ia n te el m é to d o d e l p o rta fo lio re p lic a d o : Nodo B a 5 625 * D (1.05) = 5.625 J.B75-h B 11.05) = 1 H75 'I 3 750 -t
O = 3 ^50
Tu spe)andi> resultan A = 1 y b = (I Hiialinenie, inuliiplicando A [ȟr el valor del activo subyacente y suMMiuivi el Valor fie b obieneintis el valor del proyecto con flexibilidad Valor del nodo II: I x 3.000 -r 0 = 3.000
1
i
.Nodo C
J l 075 -» li (1.05) = I 675
! !I
I
■0 625 t B ( l . 0 5 i = 612.5
D.;spejan
»
'
i -<■
I* <
í I* ^ I*' i
+ 0 = 1.062,5
M .2 5 0
n
Fiiialmenie. multiplicando A por el valor del proyecto en C y sumando el valor de B obtenemos el valor del proyecto en el nodo C Vulor del Nodo C: 0,85 x l.OOO + 267,85 = 1.117,85 N.ido A:
3 000-i B (1,05) = 3 000 . \ 2 0 ( H)
+
O
=
¡
862.1 4
'
D jsp e ia n d u resultan
a
= 0,941
y
B = 168.36
I N f p o ü u c c io n
l A i O p c io N f s M iA irs
.^1)
Finalmeme. muliiplicando A [jor el valor del proyecto en A y sum ando t í valor de B obtenemos el valor del proyecto con llexibilidad: 0.941 X 1.600 + 168,4 = 1.674 V a lo r de la o p c ió n d e c o n tra c c ió n : v a lo r p re se n te d e l p ro ve c to c o n fle x i b ilid a d - v a lo r p re se n te d e l p ro y e c to s in J le x ib ilid a d : 1674- 1600 = 74
Valuación de la opción combinada Puesto que todas las opciones están presentes al mismo tiempo, poilcmos evaluar que es lo que nos conviene hacer en cada situación, f'or lo tanto, podemos elegir entre las tres opciones que tenemos, y luego retro ceder en el árbol hasta el nodo A para valuar la “opción combinada". 1.a figura 14.5 muestra lo que podemos suponer anticipadamente: la opcioii de expansión tiene valor cuando el negocio marcha bien y la opción d«' abandono cuando el negocio funciona mal. Lo interesante de este ejercí CIO, es que nos inoesira (jue la opción de contracción es dominada (lor ia opción de aitanduiio. Observe que en todos los nudos se considera lo me jor opción de las tres SC 25 c * 1.11^ 6 EXPANDih
M AX(3.9U.S. 3 000x1.5 * 1000; 1.000, 3.000x0^ *600] MAXI3 SB0.9, 3 500. 1.000. 2.000j>3 506.S
Fi(^ura 14.5 A.'bul UínoiuiiJ y valuoLion de las upciune^ conibiiiauas
C a lc u lo i i el v a lo r de la o p c ió n a s u m ie n d o n e iilr a iid a d a n te e l riesgo
Nodo
Nodo r
p -
^ 0,3 4 X I 8 1 2 ,5
(1 + r/ • r ”
^‘ H+ i/)
4^0.66x1)
^
I 0.5
= 0 ,34 X o 4- 0.6Óx 37.^ _ ~ 1.05
,
f
I ln W inj^i ........... ......... .^||,|,ar.|./,Ti||})^i;f-'|^-f^^|,-; . , „ - i.U l^ itm .1i.il,'
n,
■, j m ~
, „|
Cj IULlERMO Loi'tz PuMIUUf
3i> Nodo A: / • 'j.
D _
p >^cu
p)y^cd
0,34 X 586,9+ 0,66 x235,7J
¡T ^ )
|
q
W5
C ontrol niedkviLe el método del p o rta fo lio replicado: Comenzamos nuestro anáJisis con el valor de la opción en el nodo B: N odo B: Bn Ui situ a ció n ascendente: A 5.625 + B (1,05) - 7.437.5 En la situ a ció n descendente: A 1.875 + B (1,05) = 1.875 A 5.625 + B (1,05) = 7.437,5 - á .L 8 7 5 + 8 (1 .0 5 )^ 1 .8 7 5 A 3.750 + 0
= 5.562,*5
Despejando resollar) A = 1,4833 y B = - 863,90. Multiplicando por el valor presente del proyecto en B y sumando el valor de los bonos obtenemos el valor del proyecto en el nodo B: Valor del Nodo B: 1,4833 x 3.OÜ0 - 063,9 = 3.586,9
Nodo C: A 1.875 * B (1.0$) = 1875
A1.250 -f- 0 = 075 1tespcjaiKlo resultan A = 0,70 y B = 535,71 Mult iplirando Apor el valor del proyecto en el nodo C y sumando el valor
= 2.351.19
Despejando resultan A = 1,17559
y B = 57,25.
K
Ff iiaJmenle, multiplicando A por el valor del proyecto en A y Sumando el valor de B obtenemos el valor del proyecto con flexibilidad: 1 ,1 7 5 5 9 x 1 6 0 0 + 57,25 = 1.936,19 Valor cíe la opción combinada: valor presente del proyecto con flexibili dad combinada - valor presente del proyecto sin flexibilidad: 1.938,19-1.600 = 338,19 El valor de la opción combinada no es siempre igual a la suma del va- ; lor de las opciones individuales. Finalmente, sumando los valores de las opciones por separado, en contramos que la suma del valor de la opción de expansión y la opcíón de abandono es igual a 338,19. Aunque parezca intuitivo que la suma de las opciones separadas no sea Igual a su combinación, precisarnos analizar la cuestión con más detenimiento. Observe que la opción de contracción siempre fue dominada por las otras dos opciones; esto es, la opción de contracción nunca fue utilizada cuando consideramos el abanico de posi bilidades y por lo tanto ,no tiene ningún valor en la .combinación. Valor de la opción de expansión = 190,04 Valor de la opción de abandono = 148,16 Valor de la opción de contracción = 74
2.500 2.000 1.500 1 000 500
0 r v sin
OpcMn
hextiiridad expansión
Opción
Opción
FV *
PV *
FV .k
abandono
corrttínacla
opción expansión
opción ebanOono
opció/i cont)jnade
Figura 14.6 Valor presente y opción com binada
De lo analizado podemos concluir que: • La técnica ROA no sólo nos dice cuál es el valor de la opciones en cada momento sino también cuando es el mejor moniento para ejercerlas.
:’v><% í’i
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'ívíV'"^'/ "”''' ‘ 5’ ' ' ^ ■ •'^ ^'•;>i’/ ''■^- ' “' . , r -i ■:' ' 1 ' '' ‘ ■''
• i:í método dei portafolio replicado nos permite obtener el valor del activo subyacente en cada nodo del árbol de decisión. • ].as opciones de compra americanas son siempre más valiosas "vivas" antes que ejercitadas, cuando el activo subyacente no paga dividendos o el activo vea reducido su valor por algún otro motivo. • Todas las opciones analizadas {expansión, abandono, contracción) tie nen valor en determinadas circunstancias y en oportunidades una opción es dominada por otra. 'S ?-
'-,
:C5.
• 1 a suma de las opciones dominantes nos da el valor de las opciones combinadas. Valor de la opción de expansión cuando se pagan dividendos
:s 3 ^ %
3^% ,_ / 3
'
^ 4 ,
El valor de las opciones de compra americanas también depende del pago de dividendos. Así, cuando se paga un dividendo en efectivo, su valor desciende ya que el precio de las acciones disminuye haciendo menos atractiva la opción de compra. Imaginemos que el negocio cuyas opciones analizamos en la sección anterior paga a sus accionistas en concepto de dividendos parre del valor generado negocio. Para ejemplificar la situa ción volveremos al ejemplo de la opción de expansión, pero ahora supo niendo que el proyecto devuelve la mitad de su valor al fínaJ del primer año:
:i 3 >
Ma*(3.00O, 3 .0 0 0 x 1 3 - 1.000| Maxp.OOQ; 3 SOOl s 3 .5 0 0 E X l> A N D in
\
0 M ax(2.8123; 2.8 12.5 x13 - 1 OOOj M a*í2.8l2.5; 3.2IB,75) = 3 2 1 6 75 EXif-ANOlR
><í : -í. --í;
A
1 .eoc.
ñ M axJ3373, 8 3 73 x1.5 - l .OÜO) Mo*|337,5. 4 0 6 2 5 Í = 9 3 7 3 C O ííTrrtU AH
MaxJlOOO; 1000 x 1 3 - »000j » 1000 C O N T IN U A R
"V .,
M ax(312 ,5 .3 1 2 3 x 1,6 - lOOOj U « Í 3 1 2 3 , '5 3 12S| * 312,5 CONTINUAN
. ñ f : '. %
1“ año
2* año
Figii, a 14 7 Valuación tle la opción de ex{)ansion para un activo que paga dividendos — V<' -:
%
■A
I^^TkC^r^UCClO^^ A U>.S O l’CjO flH T U ales
Así, al final del primer año, el proyecto paga tin dividendo de Sl fiOfi (3.000/2) en la situación ascendente y de 500 (1.000/2) en la situación descendenie. A partir de ese momento, las tasas de aumento y de descenso siguen siendo las mismas (u = 1,075 y d = 0,625). La solución de este problema resulta un tanto diferente al que segui mos para las opciones que no pagaban dividendos. Comenzando por eí nodo B, nuestro retorno depende de tomar la decisión de expandimos o no hacerlo. Si decidimos expandirnos en el nodo B, entonces el retorno será de 3 .500 e inm edíaiam em e pagamos un dividendo que es igual a la mitad del flujo de fondos del año 1 (1.500). Si no ejercitamos la opción expansión en el nodo fí, su valor será de 3 .000, que es el valor doi activo subyacente (1600 x 1,875). Note que después de haber pagado el dividen do, el ejercicio no puede ser realizado en los nodos E y F, y aunque la opción puede ejercitarse en el nodo D, su valor será menor que si la hubie ramos ejercitado en B. . No utilizamos los métodos de neutralidad ante el riesgo y el portafolio replicado en los nodos D y C, porque la decisión de expansión es tomada antes de pagarlos dividendos y los valores presentes de los retornos si» dividendui. entonces no son relevantes. C á lc u lo íle l v a lo r de la o p c ió n a s u m ie n d o n e u tr a lid a d a m e e l riesgo: N odo A:
_ p X c u -r n - p )X cd __ 0,34 X 500 a + rf) 1,05
C=
^ ^ _ j ^| p
C ontrol m ed ian te el m étod o d el p ortafolio replicado: Nodo A. ó 3.000 ^ B (1,05) ^ 3.500 A l.OOO -r B n 05) e 1 000 á 2.000 +
0
=
2.500
Despejando resultan n = 1.25 y B = -238,09 Finalmente, multiplicando A por el valor del proyecto en A y sumando el valor de B obtenemos el valor del proyecto con flexibilklaci; C25 y< LóOO-2 3 8 .0 9 = 1,701,91 Valor de la opción combinada = valor presente del proyecto con flexk bílidad combinada - valor presente del pioyecto sin fle.Kíbiliciadr 1,761,91 - 1.600 = 161,91
GuillíRMÜ Lopfz D umrauf
516
Observe que este vaJor resuJta inferior a Jos 190,04 que valia la opción de expansión cuando no se pagaban dividendos. Sucedía en ese caso, que si se esperaba un período más para ejercitar la opción de expansión, el valor del a c tiv o subyacente producto de demorar la opción era de 3.586,9 en la situa ción ascendente |ó 3,000 B (1,05) = 3.586,9). E)e hecho, los dividendos son mayores si tomamos la decisión correcta y ejercitamos antes la opción de expansión. Si ejercitamos la opción de expansión al final del segundo arlo, los divi dendos serían menores, ya que se distribuiría como dividendos In mitad de un valor menor, ya que la expansión no se habría producido en el primer año Concretamente se distribuiría (3.000-1.500)x 1,875x0,50=1.406,25 sí no se ejer cita la opción de expansión y 3.000x1,5-1.000-1.500x0,5=1,000 si se ejercita recién al final del segundo año. Como fue mencionado en el capítulo anterior, nunca conviene ejercitar una opción de compra ante.s del vencimiento, ex cepto que pague dividendos. Si paga dividendos, puede ser posible que con venga ejecutarla antes del v e n c im ie n to . ¿Qué hubiera pasado si la opción de expansión se ejercitaba en el nodo D, después de pagar los dividendos aJ final del primer año? Si decidiéramos ejercitar la opción de expansión en el nodo D. después de pagar los dividendos en el período anterior, el valor en el nodo B sería, de acuerdo con el método del portafolio replicado: ó 2.012.5 + n (1.05) = 3.218.75 A.B37.5 r n (1.05) = ii 1.875 ♦ t;
937.5 2.281,5
=
I >ecpcjaii(Jo resultan A = 1,2168 y B = -193.81 I malinenic, nuiltiplicniido A por el valor del proyecto en B (que es de I 50(1 ya que se pagaron 1.500 en dividendos) y sumando el valor del acti vo libre de riesgo (B) obtenemos el valor del provecto con flexibilidad. 1.2168 X J.500 - 193,81 = 1 631,39 ( orno en el nodo C no tiene valor, realizamos los cálculos para el valor del noílo A: ó 1.631,39 + B (1,05) = 131,39 á
500
(1.05)
Á 1.131.39 + 0
=
0
~ 131,39
[»p
y B =-55,30.
Y el valor de la opción es 0,11.31 x 1.600 - 55,30=130.51.
I n tro d u c o o n
14.4.
R
e v is ió n d e l
VAN y
a las O p c iO f íES
317
Ríales
l a s t é c n i c a s d e v a l u a c ió n d e o p c i o n e s r e a l e s
A lo largo de las secciones anteriores, hemos explicado las diferencias entre el método de valuación tradicional del valor actual neto y las técnicas de valuación de opciones reales. Resultó evidente que la técnica del VAN. complementada con el análisis de decisión utilizando árboles binomiales era incorrecta debido a la asimetría que genera el ejercicio de una opción, lo cuai modifica el riesgo del proyecto y nos obliga a la utilización de las técni cas de valuación de real opiions. Algunas diferencias fueron evidentes: • El método del portafolio replicado es equivalente a descontar flujos de fondos riesgosos con lasas ajustadas por el riesgo (recuerde que el valor presente del proyecto de 1.018,18 se obtenía uiilizando una tasa del J 0%í * El método de la neutralidad ame el riesgo descuenta flujos seguros con una tasa libre de riesgo. ' Algunos creen que utilizar el VAN junto con los árboles de decisión alcan za para valuar la opcionaJídad, y que por lo tamo ei VAN y real opiions d a n el mismo resultado. La confusión aparece porque esas dos técnicas junlas, per miten considerar la "opcionalidad" pero no la valúa correctamente. El VAN junto con los árboles de decisión nos dan la misma respuesta cuando no considerarnos la flexibilidad, pero no cuando la ejerciramos y cambiamos el riesgo del proyecto. Lo que ocurre es que al ejercitar una opción cambiamos el riesgo del proyecto, y por lo tanto, la tasa ajustada por el riesgo se modifica en cada nodo del árbol. A continuación explicamos en detalle esta cuesliónTasas ajustadas ai riesgo (TAJi) Vamos a calcular ahora la tasa de reiorno ajustada al riesgo en cada nodo, despejando la lasa que igual el valor presente de la opción con su.s retornos esperados, ponderados por las probabilidades objetivas Supon dremos que el negocio de nuestro ejemplo de también puede expandirse inviniendo S200 lo cual permitirá incrementar su valor en un 20%. La op ción estará presente a lo largo de dos años. M M 5 625: S f 25* 1,2 - 200) h«A.>q5 62S. 6 ' 50}«6A 50 ► 925 E XP A N D IR
M^XI1 B7S: 1.679i1,2.200)
WAXJt .875; 2 050)-175 c - i r s E XP A N D IR
MAXJ62S; 625' 1.2 . 200) 5501-625
e -« Figura I4.B Arbol binom ial y tasas aju.siadas por el riesgo
«.H/IUtRMO l o r i z OllMR-Mf»
5\a
RetrocedemüS por el árbol y calculamos el valor de la opción de expandir con la formula ilc- la probabilidad neutra-
(j + r ; )
^
/.-xr// + ( l - n ) x r d
1.05
0.34 x 175 + O.oti x 0
N o n o C. ( = --------------------- -----------= ----------- ^------ — ---------------= 3ó.t>o (Í + / / I l.O.'í , /I X c / i + ( I / ? ) x c d 0,34 X 409.52 + 0.f)6 x56.6<) Nono .A C ------------------ '------- -- -------------------r : ---------------- = l ó 8 J 8 (li-r/') 1.0.1
En « I nodo H:
l()í, 5^ _
X 92 5 -r 0,50 X 175 (¡f-TAÍi)
FAJi = 34,30% En al nodo C
56,o6 =
0,50x175-1- 0 .5 0 x 0 (I t T A / í }
lAl. = 54 ,-l'l% V fi.jalmenie, la TAH del nodo A
lób,5S =
0,50x409,52 4-0.50x56.66 ( i f rA/?)
TAli = 3Ü,2H%
Ob:.erve que las tasas ajustadas ai riesgo resultan un subproducto de nuestro análisis y varían dependiendo de nuestra localización en el árbol de decisión, porque el riesgo de los resultados también varía Recuerde que esta es la razón principal por la cual la técnica DTA no funciona pues presupone equivocadamente una tasa de descuerno constante Note tam bién que son calculadas ponderando los retornos de la opción por las pro babilidades objetivas, no por las probabilidades neutrales.
ÍNnU)IMíCCION A lAi OpCKíNfS RkAl£V; i
Frobabiiiduilus objetivas y probabilidades hedge Usted detierta haber observado que las probabilidades objetivas (50/50) son dderentes a nuestras "probabilidades de liedge" Mientras lu:> primeras varían a lo largo del árbol de decisión (debido a la probabilidad coinpuesia al pasar de nodo a nodo) las probabilidades de liedge se mantienen constante, siendo más amigables para el trabajo en planilla de cálcu
lo ¿Por qué las probabilidades neutras se manlienen constames mientras que la tasa ajustada al riesgo y los coeficientes de hedge varían? Para res ponder esta ptegunia, lo inejor es establecer las siguientes diferencias entre los dos rneiudus: 1. En el método del portafolio replicado (o si usamos VAN + DTA) la tasa de descuento ajustada al riesgo varia de nodo a nodo, reflejando las aitera Clones en el riesgo de los retornos. 2. La ventaja del abordaje de la probabilidad neutra en relación al nesgo es que las piobabilidades permanecen constances de nodo a nodo, faciliiaiidu su implementacíón en las computadoras personales. £n cambio, las pro babilidades objetivas varían de nodo a nodo, al aparecer la probabilidad compuesta cuando progresamos de un nodo a otro. 3. Las probabilidades neutras en relación al riesgo no dependen de la situación en el árbol, sino que son apenas una función de la lasa libre de riesgo y ele los movimientos ascendentes y descendentes, u y d, variables (odas que permanecen fijas, como vimos en la ecuación de ia probabiii dad de liedge.
Preguntas de auto-evaluación: 1 ¿Por qué las probabilidades objetivas varían de nodo a nodo, mientras que en el abordaje de la probabilidad neutra en rela ción al nesgo las [irobafcilidades permanecen constamesV 2 ¿Por qué decimos que en el método del portafolio replicado lú (asa a)ii.s(ada al riesgo varia de nudo a nodo?
Diferencias entre opciones reules y opciones financieras SI bien en ambos casos las opciones tanto reales como financieras re presentan un derecho y no una obligación de emprender una acción, existe una cantidad de diferencias que enunciamos a continuación: • Las ofidones financierafi aparecieron y se negocian hace más de 30 años, en cambio, las opciones reales son un desarrollo reciente de las linanzas curjiorativas. • El activo subyacente, en el caso de las opciones financieras es un valor mobiliario como una acción, un índice de acciones o un título de
>-¡0
(jf.'iUfn.MO López DuMP^.^^»f
rt'iua; en Ia5 opciones reales, generalmente es el valor presente del flujo de caja del proyecto o negocio • El activo subyacente de las opciones reales en general no es negociado, |)or lo cual no existen como en las opciones rinancieras. precios de ejercicio definidos por contrato, plazos de vencimiento, etcétera. En las opciones rea les la mayoría de las veces no podemos obseivar directamente la variancia de .sus retornos, por lo cual debemos recurrir por ejemplo, a la técnica de simu lación de Monte Carla .. • Las opciones riiiancieras son apuestas secundanas. no .son emitidas por las empresas cuyas acciones constituyen el activo subyacente. En ge neral. cuando un agente independiente emite una opción sobre la com pra de las acciones de una empresa, no tiaic influencia sobre la misma ni .sobre el precio de sus acciones, aunque puede existir algún efecto cuando .«e compensan posiciones ai acercarse los vencimientos de los contratos, tn cambio, las opciones reales pueden afectar el valor del activo subyacente• l,a gerencia controla el activo subyacente de las opciones reales, por ejemplo cuando decide ex|iaiidir o abandonar un proyecto. En general, el acto de aumentar el valor del activo sub>'acente también mejora el valor de la opción. • El ejercido de las opciones reales puede afectar la naturaleza de la incerlidtimbrc a la que enfrenta la empresa, cuando por ejemplo, ejercita una opción de expansión y genera reacciones de la competencia. • Los valores son usiialmenie reducidos en las opciones financieras, mientras que en la.s reales pueden ser hasta millones (muchas veces el pre cio de ejercicio es el desembolso de la inversión inicial de un proyecto) • El tiempo hasta el venrimipiilo aumcnla e) valor de las opciones fiiinocicras; en las reales puede hasta reducirlo • En las opciones financieras, el plazo ha.cta el vencimieiuo viene de(•nidí' por contrato: en las opciones reales muciias veces este no está bien definido
En este capítulo hemos realizado una introducción a la valuación de las opciones reales a través de dos mélodosr el abórdate neuital al riesgo y el portafolio replicado. Vimos que la regla del VAN supone ¡rnplícilamenie oue no hay flexibilidad en la toma de decisiones, pero que la técnica KOA considera esa ílexibiliclad, cliciéndonos no solamente que es lo mejor que podemos hacer en cada situación, sino también ruando es el mejor mo mento para tomarla. Al considerar la combinación de opciones de expansión, abandono y rnnlracción vimos que nos enfrentamos a decisiones mutuamente exclu
ImPODUCCIÓN A LA5 O fClO fUS {U a L£>
!'^ l
yentes — que de hecho lo son— y que ia lécmca ROA nos piopoiciona un valor único al inicio del proyeao, una decisión de Ir adelante o no. v reglas para tomar la decisión óptima, cuando la incertidumbre se resuelve más adelante. Vimos también un ejemplo acerca de como en las opciones de compra americanas no conviene su ejercicio anticipado a menos uue de cline el valor del activo subyacente cuando se pagan dividendos.
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Existen varias diferencias entre las opciones financieras y las or cione.s reales. En particular, en las opciones financieras los datos para su valuación vienen definidos por contrato. En cambio, las opciones reales reouieren de un entrenamiento del valuador para detectarlas y para definir sus ca racterísticas.
PltEGl/NTAS L / Por qué el método del VAN subestima la flexibilidad con la que cuen ta el directivo?
2 . En un partido de fútbol, el centrodelantero adversario se aproxima peligrosamente a nuestro arco. Usted es el último defensor, y debe decidir entre com eter la falta y parar al delantero, o tratar de quitarle la pelota limpiamente, corriendo el riesgo de sufrir el gol. La decisión, ¿es una op ción o una apuesta? ¿Por qué?
K K K
3. Martín M. consideraba la posibilidad de cerrar una de las divisiones (le su empresa y vender los activos por 1 millón. El valor de lo que quedaba de la empresa caería en un 20%. ¿Qué tipo de opción tiene Martín? ¿Cuál es el precio de ejercicio y el plazo á e vencimiento? 4. El año 2002 habla sido muy malo para la compañía Mesbla Puesto que las expectativas a futuro no eran mejores, comenzó una reestrucluraci(3n que involucraba un despido masivo del personal. La compafna olre ció pagar un retiro voluntario que consistía en una indemnización doble ¿Qué tipo de opción tienen los empleados de Mesbla? ¿Cuál es el plazo de vencimiento? ¿Cómo podría razonarse el precio de ejercicio? ¿Crínio su giere plantear en un árbol binomial las trayectorias ascendente y descendenlc?5. Establezca una similitud entre las siguientes categorías para las opciones financieras con las mismas en el caso de las opciones reales:precio de ejercicio: tiempo hasta el vencimiento; volatilidad y valor de' activo
subyacente. P roblemas Para los siguientes problemas utilice ia metodología del abordrje neu tral al riesgo y realice un control con el método del portafolio replicado si lo desea.
1 Utilizando árboles binomiales simples, calcule el valor de una op ción de abandono con las siguientes características: Valor corriente de! • e
521'
G
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IILER m U L0PÉ 2 O U M K A U f
activo siibyacenie=10ü Valor de aüandoiio=8ú 1.5 d:=l/u ; Tuiia libre de nesgo = 5%. Plazo de vencimlenio = 2 años (un período por año)
2 . Uíilizando arboles binomiales simples, calcule el valor de una opción de compra con las siguientes caracterísiicas: Valor comente del activo subya cente = 75; Precio de ejercicio de la opción = 100; Precio de ejercicio de la opción al firiaJ del período 2 = 175; u = 1,9 d=l/u; Tasa libre de nesgo = 5%; Plazo dr vencimiento = 2 años (un período por año) 3. Einiüa M Se encuentra considerando la posibilidad de invertir dinero en un pi oyecto de educación a distancia. Este será realizado en dos años al cubo de los cuales el negocio será vendido a una empresa extranjera a un precio justo. El valor presente del flujo de efectivo sin flexibilidad es de 2 millones de pesos y requiere de una inversión inicial de 1,5 millones. Se espera (|ue la volatilidad anual del proyecto sea del 15%, siendo el costo de capital jguai al 1 2 % . Al final del segundo año, el proyecto ofrece una opcion de expandirlo, aumentando su valoren un 30%, inviniendo 0,5 millones La tasu libre de riesgo es del 5% anual. Usied debe contestar las siguientes pregunias: a) ¿(ajál es el VAN del proyecto sin la opción de expansión? b) .Guál es el valor de la opcion de expansión y bajo qué condiciones debería ser ejercitada? 4 l)n proyecto es realizado en un período de dos años y luego serán vendidos los activos de trabajo y los activos fijos, siendo que estos pueden venderse en cualquier momento dentro de los dos años en 140 millones. La inveision inicial necesaria es de S155 millones Su valor presente sin Hexibilidad es de 150 millones con una volatilidad del 20%. La tasa liore de nesgo ta del 5% anual
a) ¿iZI proyecío debe ser emprendido? b) ¿Cuánto vale la opción de abandono y bajo qué condiciones debería ser ejeicitada? ci ¿Oeberia ser emprendido sin la opción de abandono? 5. Suponga que un laboratorio se encuentra desanollando una nueva droga. Debido a la mceriidumbre del proceso de desarrollo, la demanda que la ilroga tendrá en el mercado, el suceso en animales y seres humanos y el proceso de aprobación ame el organismo correspondieme, ha decidi do crear una estratégica opción de abandono. Si el programa es termina do, puede vender la patente y el proceso a otro laboralono por $100 millo nes. Esie contrato puede ejercitarse dentro de los próximos 5 años. Pasado ese lapso de tiempo, no habrá posibilidad de vender el proceso. El valor esperado de! proyecto es de 5150 millones y su volatilidad esperada es del 30% anua! La tasa libre de nesgo es del 5% anual. Usted debe calcular el valor de la opción de abandono y para ello se sugiere que utilice una pla nilla de cálculo
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U S 0 (» a O N £ > RfcALlS
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Páeiiias web recomendadas Inl vez In página web más completa sobre real options (y la primera pági na creada sobre la disciplina) es la de Marco Guimaraes Días http://www.pucriu.br/marcaind/main.html. El sitio de la Real Oplions Group es wwwrogroup.com donde pueden encontrarse los últimos papers presentados en el congreso de este año en l^ii-s. Hay muchos papers interesantes, entre ellos: M arco A. G. D ías , Petrobras & PLIC - Rio de laneiro. Katia Rocha. IPEA & PUC - Rio de Janeiro, José Paulo Tebteira, PUC - Rio de laneiro Optimal Investment Scale and Tiining in Oilíield Development. A im m B o r i s o n . "Real O ptions Analysis: ¿Where are the Em peror's Cintiles?" Staiiford University.
IN T R O D U C C IO N A LAS O PC /O N fS K í AL£S
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Apéndice A Caso real en ia indusíria de la construcción: "H orizonte En el año 1999 la empresa Horizonte nos encargó la valuacid nd e la com pañía. Horizonte es una empresa frutícola que exporta el 80% d « su produc ción. Una de las Tincas de la fírma se encontraba ubicada sobre u n a ruta muy próxima al aeropuerto internacional y a Ja vez equidistante de ias ciudades de Neuquen yPiottier. "E sta zona que va de una ciudad a la otra había avan zado .(^igniíicativam ente. viéndose claram ente que en un futuro no muy lejano esta rían unidas. Neuquen es la ciudad del país que tiene mayor crecim iento. Todas las cadenas de hiperm ercados y superm ercados están instaladas y también prácticam ente todos los bancos del país. Los negocios vinculados con la energía desarrollan aceleradam ente esta ciudad que h a pasado a ser sum am ente importante. En las proximidades de la estancia se ha con s tituido un barrio privado y según parece esto continuara desarrollándose. Las inmobiliarias de la zona calculan que para una inversión de este tipo el valor de la hectárea es de USS80.000.* El valor de mercado de la hectá rea para su explotación económ ica (que en esa zona es la producción de manzanas, duraznos y peras) era estimado en un rango de USSW.OOO/15.000 según el tipo de finca" (4). En aquel momento. Horizonte no pasaba por su mejor momento, ya que el 60% de su producción se exportaba a Europa y regía ia convertibilidad m onetaria. El euro cotizaba a 0,89 centavos de dólar y apenas se cubrían ios costos operativos. Los directivos con|eturaban que si el desarrollo de las ciudades continua ba, el valor inmobiliario de la tierra superaría su valor com o explotación económ ica.
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Por otro lado, Horizonte poseía un frigorífico y una planta de empaque, en la ciudad de Cipolletti (pegada a Neuquen) y que ocupaban 10.000 metros cuadrados (una manzana). Ambos estaban ubicadas dentro de la ciudad, en un barrio que no se desarrollaba más debido a la ubicación de estos dos inmuebles. Habían sido construidas en ese punto de la ciudad cuando todo era campo. Hace algunos años alguien había proyectado la edificación de un edificio en dicha ubicación, y en otra oportunidad la terminal de ómnibus estuvo interesada en toda la planta. Sin lugar a dudas. Horizonte tenía entonces una opción reai. ya que se podía conjeturar que en algún m omento el valor inmobiliario de la tierra podría superar al valor económ ico del frigorífico y la planta de empaque. ¿Qué tipo de opción piensa usted que tenía entre manos Horizonte?
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H) El párrafo reprodure un e-mail mandado por el presidente de la compañía al Dr Guilieniio Ldper Dumrauí
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G uIUEHmO lói-iz r>UMRAUE
La lictecciún, la riiodelizaciOn y el método apropiado para valuar una opción real requiere que nos calcemos los “anteojos rridimcnsionales’' para poder ver todo lo que hay alrededor. Podemos valuar la opción de Horizonte como una opción de compra, pensando en que existe un desarrollador inmo biliario que estimera dispuesto a entrar en un contrato que le permita, al cabo de deierniinado lapso, adquirir la tierra por un determinado precio de e|crcicio. Naturalmente, debería pagar una prima para rener acceso a ese de recho. 1se es el valor de la opcion El valor de la compañía ísin considerar esta opcioii) ya había sido estimado por el método del descuento del flujo de caja libre L«i que faltaba era agregarle el valor de la opción de aplazar y esperar que se resuelva la mcertidumbre En los modelos de valoración de opciones rcMles los insumos no son tan fáciles de conseguir pero podemos darle una pisia diciéndole que puede buscar pistas en la evolución de los precios de utras Zonas que tuvieron desarrollos similares. También pueden añadirse un para de esiraiagemas más: i Jorizome seguía explotando el negocio y por Jo lanío, existid un "ingreso ue conveniencia". Los ingresos de conveniencia reUdsdii «-I ejercicio de la opción. La resolución anticipada de la incertidumbre le adelantan. Pero tenga por seguro que si existen dos empresas Ay B. idénti cas en sus activos, operaciones y retornos, pero si Aademás nene la opción de vender la tierra algún día por un valor mayor al de explotación económica, el valor “|usfo" de A es mayor al üe B
i M I R u l i li C C O n A lA'» O h C lO N E S K t A l f J
APÉNDJCt B Caso heal hn la inoustíiia pe ia construcción: '’í jN" En üicienibre de lB9ü, la constructora “Cin" adquirió 3 casas en un iiart im residencial por U$S 650.000.- incluyendo los costos de transacción. Inniediatanieme demolió las propiedades y alambró los terrenos. Los vecinos su]*w n/an que su intención era construir un ed ifício d e departamentos. Lo extraño era que ia legislación no permitía construir más de tres pisos en-la zona, cioi lo cual el VAN del proyecto sería negativo. Más inexplicable fue que luego de demoler las casas, los terrenos fueron alambrados y permanecieron abaiuK. nados por vanos años, perdiendo el valor del tiempo y pagando impuestos ¿Nos habremos olvidado de algo que la regia del valor presente no puede explicar? En el año 2003 “Cin" inició la excavación para los cimientos del edificio... pero de 15 pisos!! . L.a constructora había esperado que cam biara el código urbano de zoníficacióu para ejercitar la opción de aplazar la ¡nvársióii. Luego, stguir ron varias compras de casas, seguramente con el mismo destino 1.a oj>dón de aplazo es asimilable a una opción de compra. Algunas caracrerisiicas de este laso son interesantes. • Podía pensarse que el precio de ejercicio se movía hacia arriba por el valor del tiempo, los impuestos sobre la propiedad y los gastos de niaiitcriimienio. • No existía un claro plazo de vencimiento (cómo en otras opciones rea les). • Podía abandonarse el negocio vendiendo iodo por el valor de la tierra (lo cual permitía considerar una opción de elegir o combinada). Además, también podía conjeturarse que la incenídumbre también j k . dría haberse resuelto antes. Digamos, que hubiera pasado si el código hulm:ra permitido construcciones en altura pero sólo hasta 10 pisos? Seguraincnie Cin habría ejercitado la opción siguiendo un argumento de “pájaro en maiu/’, pero es posible que no haya sido la mejor decisión. Este tipo de alternativas jmede también considerarse en el análisis de opciones reales Note lambitMi que si bien en esta ojición no hay un plazo de vencimiento definido, tampoco puede decirse que la opción tiene vida perpetua —al menos para Cin— ya que considerando el valor del tiempo, un peso dentro de 50 años, por hablar de un plazo largo de tiempo, vale hoy menos de 9 centavos, si lo descontamos al 5% anual, la tasa líbre de riesgo promedio geométrica en los últimos tíO años (5).
(5) Los i JST-Bonds de largo plazo han mantenido una rematiilidad promedio geomeirica de alrededor del 5% anual segihi Ibboison&Assuciates
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GlMLlía^^o Lórtz Diimpauf
ArÉNDfCE C GvSO REAL EN LA INDUS1RIA AGRO-BIOTF.a'iOLÓGlCA: "AGROGEN'’ Agrogen es una empresa semíllera, dueña de una línea genética novedosa que elevaría los rendimientos y aportaría alta calidad industrial al grano involucrada Ya lleva dos años de desarrollo en campo experimental; para el lanzamiento de Jas primeras variedades comerciales se necesitan tres años más de ensayos comparativos en distintas localidades.
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El proyecto enfrenta riesgos ’sistémicos', vinculados con la variabilidad anual del mercado desemíilas y'no sistémicos', relativos al marketshare que pueda capturar esta nueva línea genética. Los riesgo.s sistémicos están vincu lados ala volatilidad deJ precio del cornmodity involucrado y de la superficie sembrada, variables correlacionadas entre sí y sobre las que existen buenas estadísticas. Por otra pane, el market share esperado depende de: • el incremento de productividad que realmente aporte esta genética, y que se va a confirmar luego de procesos de selección y pruebas de campo a realizar en los próximos tres años;
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el progreso genético de la competencia; • el cumplimiento de las normas relativas a la protección de la propie dad intelectual. En nuestra piimera evaluación, hemos incorporado este riesgo medíante la simulación de diversos escenarios, aplictindo una distribución discreta, asignando una probabilidad subjetiva a cada uno de ellos. La dirección se debate entre hacer un fuerte commrímenrahora, aceleran do el procesó de selección y desarrollo (iinlrtiendo en activo.s específicos y contratando más personal especializado!, u orientarse hacia alguna de las opciones que se presentan: Abandono 1: vender este stock genético en el estado de desarrollo en que se encuentra actualmente. Z: suspender el programa de mejoramiento genético, no vender semilla, y concentrarse en un negocio alternativo (producir bajo contrato granos de alta calidad industrial): de esta manera se evita el ries go de peiríer el control sobre la propiedad de la innovación genética. Diferir: esperar a que las pruebas de campo confírmen las bondades del producto, a riesgo de que la competencia saque ventaja; esta opción puede ser combinada con la producción bajo contrato. Por su parte, el negocio semillero local presenta una segunda alterna tiva: sí la Innovación genética fuera altamente exitosa, se le abrirían las puertas del mercado internacional de semillas.
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ItnRODUcciON A lAS O pciones R eales Agrogen posee una cantidad de opciones que van desde e l abandono hasta las opciones compuestas. Las opciones compuestas son aquellas cuyo valor depende de otra opción, muy común en los proyectos que se ejecutan por fases. En este caso, si las pruebas demuestran que el producto funciona bien, habrá superado la instancia de la incertidumfare tecnológica, vinculada a los riesgos privados. En general, estas incertidumbres se resuelven con el paso del tiempo, gastando dinero e investigando. Lo interesante de las opcio nes compuestas es que sí bien las fases se desarrollan cionológicamente (primero la fase 1, luego la dos, etc.) su vafór es determinado en el sentido inverso; el valor de la fase 3 viene dado por el éxito y el valor de la fase 4, el valor de la fase 2 viene dado por el valor de la 3 y así hasta llegar a darIe valor a la fase L Agrogen es un típico caso donde se mezclan los riesgos privados ron los riesgos de mercado. El problema es que con los riesgqs privados no tenemos activos transados en el mercado que puedan replicar sus características. La tendencia es asignar probabilidades subjetivas para su tratamiento, y utilizar la metodología tradicional (replicaled portfolio, probabilidades neutrales) para aquellos riesgos donde existen activos negociados en el mercado.
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G o i H I R a i O 1.0P£2 D u m k a o p
AJ'CNDICE D Caso real en telecomunicagones: “T elnet" En la industna de las (elecomunicadones exisien proyectos sobre nego cios cuino el ADSL, la voz sobre IP, celulares, que no se hacen en una sola etapa, {'eneralnieme son “a demanda" y en función de como reaccione el mercado. AdicionaJmenie. existe una cierta "canibalízación" entre estos pro ductos (más internet, menos voz) y también hay un Impacto en los Ingresos y en la metodología J e facturación (por ejemplo, de minutos variables a abo nos fiiOo). Por Otra parte, no está tan claro si conviene o no tener el acceso al cliente. El mcuinbenle vende la infraestructura necesaria a otros ISP y ellos cobran el abono >il cliente. No esta claro cual es el valor allá en el tiempo de tener el cliente o no, esto en base a un escenario de un-bunclling, donde la ultima milla Se desreguia y el incumbente vende infraestructura al ISP pero pierde el control del diente No está claro cuánto vale el acceso al cliente, pero todos, los ISP / las telefónicas pelean por é l ... Teluei se encontraba estudiando el mercado de los teléfonos celulares.. Sin dudas este mercado esta lleno de opciones reales de crecimiento, vincula das a nuevos producios que están aun en investigación y desarrollo, migra ciones del tráfico de voz (y datos en algún momento) de fijo a mtidles, nue vos producios asociados a consumo masivos (ringtones, apuestas, informa ción, m-wallei). Acá el desafío es utilizar las opciones reales para calcular cuanto vale un punto de rnarket share. La propia naturaleza del negocio de las telecomunicadones plantea algu nos inconvenientes en la elaboración de los planes. Cuando debe estimarse el monto de la inversión, generalmente se costea a valor de reposición y no a valor histórico; el problema es que los precios de la tecnología bajan a cada momento, con lo cual un plan en principio intere sante puede de)ar de serlo cuando se analiza el nuevo proyecto competitivo, con nuevos ingresos que usan pane de la infraestructura existente, ahora valuad.I a costa üe reposición (que es menor) De forma que aquí aparece una volatilidad en torno al costo de la tecnología que debe ser estimada para valuar iiiejor los proyectos. Y entender los plazos de ejercicio de las opciones que también se presentan complicados de estimar. Volatilidad y plazo de ejercicio son en esle caso, las dos categorías que más impacian en el valor de la Opción.
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Capítulo 15
El. C osto
de
Capital
A band ona los grandes caminos, sigue los sen deros.
Pilágoras (c. 582-c. 500 a C.l Filósofoymatemá ticogri^’u
InTHODUCOÓN' En la valuación de empresas, la evaluación de proyectos y la fijación de precios de activos reales y llnancieros que producen un flujo de efectivo, es utilizada una tasa de iruerés para calcular el valor presente, siendo este el considerado el valor o “precio justo", ya que el flujo de fondos fue des contado con una tasa de interés que representa el rendimiento que puede obtenerse con una alternativa de riesgo comparable. El método por des cuento de flujos (DCE discoumed cash ílow) es el método más robusto que se conoce hasta el presente para la valuación de empresas y es amplia mente utilizado por los practicantes de las finanzas corporativas y los ope radores del mercado de capitales. La visión del auror no pretende de ninguna manera dar una respuesta definitiva al problema, puesto que existe y seguirá existiendo espacio pata el debate, en un tema donde los espacios para equivocarse son amplios, El objetivo de esie capítulo es blindar una guía que oriente el proceso de estimación del costo del capital que permita arribar a un resultado cohe rente, consistente y fundamenialmeme, defendible. Siempre, en el mejor de los casos, tendremos una buena estimación; en la estimación del costo del capital hay espacio para equivocarse. Si bien en los textos de matemática financiera o cálculo financiero tra* dicionales no suele incluirse tina explicación exhaustiva acerca de! motivo dei uso de una tasa de interés para calcular el VAN de un proyecto, siendo este un libro destinado a estudiantes de posgrado y también a practican-les de las finanzas, la necesidad de una explicación sobre el costo de capi tal surgió casi naturalmente. El costo del capital o tasa de rendimiento (jiie debe requerirse de una inversión con nesgo es un factor clave en la fija ción de precios y valuación de activos en general.
GuaiEPMO Loi’EZ DuMRAur üi primera sección del capítulo se refiere a los factores que deberían ser recompensados cuando invertimos en activos riesgosos. La segunda sección describe eí celebérrimo modelo de valuación de activos ampliamente cono cido comoCAPM IGipiCalA^set Prícing Modef) que, desarrollado en la década del 60, dio una respuesta científica a la forma en que debe calcularse el rendirniento esperado sobre las acciones y es ampliamente utilizado por ios consnliores financieros en todo el mundo. En la tercera sección el proceso que significa estimar el costo del capital, incluyendo los inconvenientes que se presentan en los países emeigcnies y cuando tratamos con compafiías de capiia cerrado, cuyas acciones no tienen oferta pública. Trataremos los ajusles poi riesgo país, la técnica del beta comparable y otras cuestiones que se presentan en nuestros mercados. En la Ultima sección se describe un caso real de estimación del capital propio para una compañía sin oferta pública de sus acciones que actúa en una economía emergente donde se explícita la técnica del comparable. Después de leer este capítulo, usted debería ser capaz der • Comprender cuáles son los factores que deben ser t ecornpensados. Comprender el proceso de estimación del costo del capital. • Realizar los ajustes cuando se trata de empresas de capital cerrado y que operan en países emergentes.
15.1. ¿QUÍ ItENDIMIENTODEBERECOMPENSARNOS UNAIt'fVERSlÚN" riesgosa" Cuando vamos a invertir en un activo riesgoso, demandamos una com pensación por el riesgo. El riesgo no es neutral, no es lo mismo invertir en bonos del tesoro de Estado Unidos que en un negocio que prestará un ser vicio público y que tendrá una clientela cautiva, y a su vez no es lo mismo invertir en el desarrollo de una droga que permitirá retardar el envejeci miento. En el primer caso, el riesgo es prácticamente nulo, como lo avala la historia crediticia de los bonos americanos. La lasa de rendimiento que se le exige a los bonos americanos es conocida puesto qué cotizan en lo dos los dias en los mercados de capitales, de rnajiera que en ese caso no tenemos ninguna duda acerca del rendimiento esperado o exigido de los inversores en estos bonos. Sin embargo, en el segundo caso y en el tercer caso, el riesgo del negocio es mayor y deberíamos demandar un mayor rendimiento. ¿Pero cuál? ¿Cuánto más? ¿Deberíamos demandar un ma yor rendimiento en el negocio del desarrollo de la droga por tener un ries go específico mayor que el del negocio de los servidos públicos? ¿Qué ocu rre si los inversores están diversificados y no les interesa el riesgo específi co de un negocio pero sí su riesgo en relación al mercado en su conjunto? En la próxima sección describiremos el modelo CAPM que dio respuesta a estas preguntas pero primero daremos algunas precisiones acerca del nesgo y los factores que deberían ser recompensados. De manera concep-
lual sabemos y podemos definir cuaJ debe ser el rendí míenlo que debe mos esperar de un activo riesgoso. Este debe ser siempre. El rendbniento que podemos obtener en una alternativa de riesgo símÍK lar Esta definición sugiere por un lado un punto de referencia donde buscar respuestas (el negocio alternativo o rendimiento de oportunidad, que representa la oportunidad que tenemos de invertir el dinero y obtener un rendimiento) y el riesgo. ¿Por qué liablamos de riesgo comparable? Porque si vamos a exigir un mayor rendimiento por e! mayor riesgo, debemos llevar en cuenta ésie último. A mayor riesgo, debemos demandar un mayor rendimiento que lo compense. Pero, ¿cuál es el riesgo que debe ser recompensado? ¿El riesgo de pérdida? ¿El riesgo de la volatilidad del negocio? ¿El riesgo financiero? El rendimiento esperado siempre debe compensar tres factores. • La inflación. • El valor tiempo de dinero. • El riesgo (¿cuál riesgo?). Los dos primeros factores son muy claros y se enseñan en un curso básico de matemática financiera. El tercer factor ha sido motivo de debate durante muchos años en el ambiente académico, y como mínimo, un tema nebuloso en el ambiente de negocios. A nivel empresarial, dependiendo del grado de profesionalización de los directivos, el cálculo del riesgo va desde la intuición hasta la utilización de procesos muy sofisticados En la figura 15.1 se apilan los 3 factores mencionados.
Riesgo
Figura 15.1 Factores que debe recompensar la tosa de rendimtento de un activo riesgoso
En todos los modelos financieros existe una premisa fundamental: tos inversores deiestan el riesgo: tienen aversión por el, por lo tanto, noso-
GuíIL£RmO LOPfZ DUMRAUf
S3-Í
tros mismos como inversores exigiremos mayores rendimientos para inver tir en acrivos con mayor riesgo y viceversa- Podemos, entonces, descompo ner el íeiorno esperado en un activo compuesto p>or como un rendimieiUa libre de riesgo más una pnm a por el riesgo: R eu dim ien io esperado - ren dim ien io Ubre d e nesgo + p rim a p o r riesgo
€ 'S"! •'M I ■■•j
En un sentido de managemem, es natural que se piense en el riesgo como la dispersión de alguna forma de retomo. Por ello, describiremos que se entiende por nesgo de negocio y nesgo financiero.
•- í ;.-
El riesgo de negocio Entendemos por riesgo de negocio, la dispersión del resultado de ope ración antes de intereses e impuestos (en inglés. EBÍT, earn in g s b efa re inferest a n d laxes) alrededor de su media. El riesgo de negocio responde a características propias del negocio o industria, prescindiendo de la forma en que es rinanciado.
i
Una empresa que tiene un resultado operativo muy variable se dice que tiL-ne un alto nesgo de negocio En general, todas las empresas tienen riesgo de negocio, aunque no tengan deuda financiera.
El riesg o fin a n cie ro
El riesgo financiero aparece cuando la empresa se fmancia con deuda financiera. En ese caso debe pagar intereses, y éstos representan una car ga financiera fija que debe abonarse independientemente del desempeño del negocio. Caso contrario, hay consecuencias legales. Esta es una dife rencia importante con las acciones; si no se pagan dividendos, no hay con secuencias legales.
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1»
Al existir cargas financieras fijas, el retorno de los accionistas ve au m entar su dispersión. ObseiTe en la tabla 15.1 que el resultado operativo puede aumentar o disminuir en un 1U0% (de 20 a 40 o de 20 a 0) pero en ese caso, producio del pago fijo que debe realizarse por los intereses de ía óeuda, el resultado antes de Impuestos aumenta o disminuye un 200% (de lü a 3 U o d e 10 a -10)
Resultado operativo
0
2Ü
40
Intereses
10
10
10
Resultado antes impuestos
-10
10
30
Tabla 15.1 Riesgo de negocio y riesgo bnanciero
Pero estos riesgos, ramo el económico como ei financiero, forman parte del riesgo único o específico de (a compañía, y pueden eliminarse mediante
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Fi C osto DE CAfiiAL la (Jiversificudón, Si eiuonces, un iriversor adquiere acciones de una compa' ñía que vende petróleo, estará expuesto al riesgo específico de la industria dcl petróleo; pero si al mismo tiempo compra acciones de una compañía quc compra petróleo, las ganancias con Jas acciones de una compañía se com pensan con las pérdidas de la otra. Si es posible entonces diversificar una cartera de inversiones, y disminuir el riesgo único, ¿cuál es el riesgo que im porta? Los estudios continuaron hasta que en la década del 60, hizosu aparición un modelo para la valuación de activos de capital que se convertiría en una pieza central de las finanzas modernas.
15,2. E l capital asset puicing mopel (CAPM) EJ modelo de valuación de activos de capital (CapUnlAssetPricingMadcl, CAFM) desarrollado simultáneamente en la década del 60 por john Untner. WíKiam Sharpe (196-Ijy/acfc7're;mor, vino a dar respuestas a los imerroganies que subsistían. Basado en el trabajo pionero de Harry Markowitz sobre la teoría del ponafolio en la década del 50, cI capm respondió con Increíble sen cillez aJ interrogante sobre cuá. debía ser la lasa de oportunidad que debía exigírsele a un activo riesgoso. William Sharpe ganó el premio Nobel en 1990 por su trabajo en eí c^pm . El modelo desde entonces ha tenido una enorme influencia sobre la Forma en que debe determinarse el costo del capital sobre acciones y también sobre nuevas inversiones de capital. Antes de su aparición, no existía un método científico para la determinación del rendimiento esperado. Éste era determi nado en gran pane en forma subjetiva, y los métodos variaban de inv'ersor a inversor. El CAPMfue construidu sobrt:1a premisa de que la varianza délos retornos sobre el portafolio de mercado es la medida del riesgo apropiada, y entonces el único riesgo recompensado es el riesgo de mercado o sisteinatico. Como se asume que el inversor se encuentra diversificado en sus inversiones, no demamfa premios por el riesgo único. La medida de esa varianza os el coeficiente beta, que relaciona los retor nos esperados con diclio beta. Bara el capm, la varianza de los retornos sobie el portafolio de mercado es la única medida del riesgo, presuponiendo que el inversor “m arginar en el mercado está bastante diversificado en sus inver siones, y sólo espera ser recompensado por el riesgo no diversificable o de mercado. Maiemdiicamente, el coeficiente beta se define como la covarianza entre los rendimientos de una acciór. cualquiera j y un índice de mercado dividida por la varianza del mercado. O jn i _ /?=
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GuiutR^to López L)UMfuuf Despeiantlo, observe que el beia también puede definirse cotno el coefirierue de correlación entre los rendimientos de una acción J y los rendimien tos del mercado j)or el desvio estándar de los rendimientos de la acción divi dido por el desvio estándar de los rendimientos del mercado. El riesgo sistemático se mide mediante el coeficiente beta, que mide la .srnsibiiidad en los cambios en el rendimiento de una acción con respecto a los cambios en un índice de mercado. £1 beta e,s una medida de la contri bución marginal de una acción al riesgo (fe ia cartera de mercado. En la figura 15,2 se muestra cómo evolucionan los rendimientos de tres accio nes diferentes con respecto a los cambios en el rendimiento del mercado (rm) ^=2 /?=1
|fl = 0.5
10%
mt-rf
Figura 15.2 Beta déla acción
En esta fórmula r es el rendimiento de cada acción (incluyendo cam bios de precio y dividendos) en un período. Cuando la prima del renditniento del mercado accionario en su conjunto aumenta un 10%, la prima de rendimientos de la acción A aumenta el doble (20 %); por cada uno por tiento adicional que crece la prima de mercado, la prima de la acción A aumenta un dos por ciento. De este modo, el coeficiente beta de A es 2.0. (i) Los rendimientos de la acción B varían exactamente igual que los ren dimientos del mercado; por lo tanto su beta es igual a 1 (uno). Finalmen te. la acción C tiene un beta de 0,5; por cada 1 por ciento que crece ia prima del mercado, la prima de B solo aumenta un 0,5%. Lo mismo, pero en sentido inverso, ocurre con cada una de estas acciones cuando el ren dimiento del mercado disminuye.
l UEsraro, peroaveces aparecenaccionesconbetasnegativos, al menos durantecierto twríodt). EnArgentina. Celulosaobservóbetas negativasdurantelosnoventa. Enestoscasos, iosrendimientosdelaacciónvaríanenformainversaalosrendimientosdelmercado, incluir tal acciónenUnporlaíolioreduciría drásticamenteel riesga
m
El C osto de C apital La pregunta que surge ínmediaíamente es ¿cuál debe ser el rendiinient o esperado para un activo Individual teniendo en cuenta su beta? respuesta a esta pregunta se encuentra en el modelo de valuación de activos de capital (CapitalAssetPridngM odet. capm) desarrollado símuíráneamente en la década del 60 por John Untner, Wllliam Sharpe y JackTteynor. Basado en el trabajo pionero de Harry Markovvitz sobre la teoría del portaíó-' lio en la década del 50, eJ capm respondió con increíble sencillez el interrogan te: en un mercado competitivo, la prima por el riesgo de un activo es proporcional a su beta Esto significa que el premio por el riesgo esperado sobre un activo / con un beta igual a pj debe ser Igual a rj ’ r f = P^(rm-rf) donde rj es el rendimiento requerido al activo j. Podemos aJiora despejar eí rendimiento requerido al activo j haciendo un simple pasaje de térmi nos: rj = rf+ P¡(nn-rf) De acuerdo con la ecuación del capm el rendimiento requerido a un activo es igual al rendimiento líbre de riesgo r/niás ün premio por riesgo que surge de multiplicar el beta del activo por la prima de mercado {rmrf). Esta relación lineal entre el rendimiento esperado y el coeficiente beta es conocida como la línea del mercado de títulos (sm l , security market line) según puede verse en la figura 15.3. La pendiente de la línea s m l es igual a (rm-r/)/p: Rendimiento esperado
SMU
A fptvckts a u b v ttiu d o s)
B (pntdt's aobnufiflomtítia)
rm-rf
p-y Figura 15J La Itnea dél mercado de titulas
0-7
G u i U IR m O lOP£^ D^iMK-AUf
L*i ürderidLÍa de la fiijuia 15.3 refleja las f»rimas poi riesyo esperadas para un bera deíerminado. Usted podría invertir en bonos del tesoro norteanieuicano, que se consideran libre de nesgo: en este caso el beta es Igual o muy cercano a cero y el rendimiento obtenido sena r f (riskfree). 0 podría in\enir su dinero en la cartera de mercado, en cuyo caso aspira a obtener rm con un beta igual a 1 (uno). O podría invertir en distinius acti vos con distintos betas (2). El C5HMdice que si los inversores pueden inver tir parle de su dinero en la cartera de mercado y endeudarse o prestar la . .diferencia, están e n c o n d i c i o n e s d e situarse en un punto de la línea del mercado de títulos, una vez que se hayan eliminado todas las oportunida des de arbítrale. .Así, por ejemplo, si las acciones de la empresa tienen un beia= 1,3, deberían ofrecer una prima de rendimiento igual a 1,5 veces la prima de mercado. Si el beca=0,5 la prima debería situarse exactamente en la miiad de la prima de mercado y así sucesivamente
f- E ^ír,
j'
Si la prima por riesgo esperada v-aría en función a beta, todas las inversio nes dc Oerían ubicarse sobre la linea del mercado de títulos El mensaje bási co del cu’Mes que si usted quiere obtener un alto rendimiento, debe estar preparado para correr un mayor nesgo. El c^pw nos dice que para poder calcular el rendimiento esperado que se Iv e.xii;ira a un activo, se deben según -4 pasos i Se estima un rendimiento libre de nesgo
ir/}
2. Se estima el rendiniienio que se espera del mercado (rrni 3 Se calcula el beta de la acción) 4 Se obtiene el rendimiento esperado sumando al rendimiento libre de nesgo u.na prima de nesgo que es igual a beta por la diferencia entre rm V7
Ejemplo Suponga que u:>ted necesita caicuiar ia tasa de descuento para un pro vecto de inversión Suponiendo que r/= 5 %. rm = JO % y la beia de ia a c c i ó n
5 % ^ n o % - 5 % \ i . 2 ~ 11 %
En ia práctica, raramente podremos calcular el rendimiento esperado tan fácilmente Por tal motivo, las próximas secciones se ocupan de tratar los aiiistes que suelen realizarse al c a p m en la práctica, en particular en los l»aísé> que no cuentan con mercados de capitales desarrollados Antes de
121Es muy extraño ver una acción con un beta muy cercano o superior a 2 (dosi
r
L l (.'OSTO O f C
a PITAI
5 í'"*
entrar en e^íos detalles, descrilmeinos brevemente los supuestos en que se asienta el CAPM: 1. Los mercados de capitales son eficientes. En un mercado eficiente, la inform ación relevante siempre se encuentra disponible para todos lo^ inversores y se refleja rápidamente en los precios de los títulos
2. Todos los inversores tienen aversión por el riesgo: siempre preferí* rán más rendim iento a menos, y demandarán un premio por comprar títulos con mayor riesgo. 3. Los inversores tienen la.s mismas expectativas sobre la distribución de la rentabilidad lutura de todos los activos (y sobre la correlación entre las rentabilidades y sobre la volatilidad de todos ellos). Si los inversores luvaeran desacuerdos en cuanto a los rendimientos esperados y los riesgos asociados, sería difícil pensar en un mecanismo de fijación de precios en el cual todos pudieran coincidir. 4. No hay impuestos ni costos de transacción ni restricciones para pres tar o tomar prestado a la tasa libre de riesgo. De otra forma, la posición fiscal de los individuos o los costos de transacción podrían afectar los ixlornos esperados y no pudría haber una bien definida relación eniu el riesgo y el rendimiento esperado 5. Todos los inversores tienen el mismo horizonte temporal.
15 . 3 11 PItOCESíJ D L LbTlM A C lÓ N DIÍJL COSTO OEl. G».PIT.a I D h L-.S.a c c i o n e s B'J LA FR A C IIC A
Para com enzar la discusión, consideraremos la amplia gama (ie opi niones y alternativas que existen a la hora de estimar la tasa de opuriuoidad ü COSIO del capital que se le exige a las acciones. I-a lasa de oporiuiiidad del capital accioi'iario, es por lejos el mayor problema para can su u ir el costo promedio poiideiado del capital o W/\CC (weighted average cosí oí capital) (jiie consiituye el cesto total del capital de la compañía. Li ccm.sirucción de la tasa de descuento o de oportunidad de las acciones ilista mucho de sumar parámetros en una ecuación como mostramos, juir simplicidad. en la sección anterior con el CAPM. Poi el contrario, existe tma amplia gama de opiniones y aliernaiivas y si bien hay acuerdo en la ntilización de los parámetros generales, existen vaitas medidas sobre éstos que pueden co n Ju cii a costos de capital diferentes y existen arguniciXos J e defensa paia cada una de esas vanantes La tahiá 15.2 resume varias de las dificultades que encontramos cuan do queremos estimar el costo del capital a exigir a las acciones y laminen jjara adaptar el CAPM a las economías emergentes
510 lasa fihre ile rlesjp?
G uiliermo
Prima de meicadi
neta
Riesgo país
Cada bcra es estimado i En la rara o en el flujo con un error yademits de efectivo con esce cambian con el tiem narios de p rob ab i f P- Bonds COI» duralidad ponderada? rion similar a ia del ¿Debemos íomar íO' po provecto o la empre (ervalus grandes o pe No está claro cual es cl SI se ura b prima de sn? ¿OT-Bonds de ina- queiVos? wr plazo? fritenak) ideal de me m ercado focal y cl riesgo país influye en ¿Tornamos la prima de dkridn j,¡(» tasas fiaurjB? otro mercado si la pri el riesgo sistemático, nía loca] no es repre H objeriw) es medir el ¿córm lo ajustamos? }0 T-bílk + pilnw íiis- sentatíva? futuro beta, y no eJ lórica T-Bonds sobre ¿Medldss normaliza histdrico r-biJÍs7 ¿Implled Equity Rislc das o medida det mo Premium? Los betas reflejan en mento? ;iRendim lentos coparte d riesgo ñnan* fTierues o promedio? ¿Qué ocurre con un aero }Oué ínlervalo?-2l’roinversor globalizado? ■nodio ijeomi*tríco o Empresas sin oferta .iri cinético? piiblidi de sus accio ¿Ctímo tratar los ries nes deben buscar un gos de namraleTa asi comparable que co métrica, por ejemplo tice en Bolsa. Hay un cuando es una c ía . amplio rango de betas que « p o n a a varios dentro de la misma países? indusnia ¿Los títulos sobre los Desapnlancamiento v que se calcula el ries apalan-amienio por b go país tienen duraestructure de capital rion diíerente a la de b de la Indtisma cnuprera o proyecto en cuestión? ¿T-BílsoT-BontJs?
i
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Lorrz D umrauf
¿Medias geomécricas ntedias aritméticas?
Tabln 15 ? Ijrs problemas para c.stiinar el costo de capital a e-dglr a las accione.s
En suma, hay un considerable grado de iiicerlidumbre en torno a los in^nmrjs a utilizar en una compañía específica, principalmente en la utilización de un beta comparable cuando las acciones de la compañía no tleMPii cotización pública, A continuación, tratamos separadamente cada uno fió los parámetros involucrados, procurando establecer cuál es la alternaIri'a que contiene el argumento más sólido en nuestra opinión.
15.4, La TASA UBRE DE RIESGO En rigor de verdad, se supone que para el rendimiento libre de riesgo in) existen desvíos alrededor del rendimiento esperado (o deberían ser muy pequeños) y tampoco debería existir riesgo de d efa u lt ni riesgo de fc inversión. En la figura 15,4 y en la tabla 15.3 puede obser\'arse la distribución de trecuencias, el rendimiento anual promedio y el desvío estándar para el
período 1926*-1997 donde se observa que los bonos del gobierno y las tenas del tesoro americano son los activos con menor rendimiento pero también con menor variabilidad. ncndlmiento
Estándar
13
20.3
Acciones compañías pequeñas_________
17,7
33,9
Bonos compañías privadas_______
6, i
0,7
Bonos del Gobierno
5.6
9,2
Letras del Tesoro
3.8
3,2
3.2
4.5
Acciones conipaAías grandes__________
inOaclón
■ il
Desvío
Anual promedio
Tabla 15.3 Rendimiento y desvío estándar, USA
Jb .. Ja. Figura 15.4 Dustríbucidn de lo:% rendimientos. OSA
El rendimiento libre de riesgo debe compensar dos factores: • El valor del dinero en el tiempo • La inflación En general, los rendimientos de los bonos del tesoro de Estados Uni dos son considerados activos libres de riesgo. En la práctica existen algu nas variantes para el rendimiento libre de riesgo, que se enuncian a conti nuación: 1. Rendimiento de un título de largo plazo del tesoro de los Estados Unidos (T-Bonds). El argumento que propicia la utilización de esta alter nativa es que un bono de largo plazo se aproxima más a la vida de l.a inver sión bajo análisis. 2- Rendimiento de las letras de cono plazo del tesoro de Estados Uni dos (T-BUIs), Aunque poco utilizada esta variante, el argumento que la sustenta es que siendo el capm un-modelo de riesgo-rendiltliento de Uil solo período, las tasas actuales de corto plazo son instrumentos lazoiiables para prever tasas futuras de corto plazo, ^ 3. Uso de la estructura temporal de las tasas de Interés. Las tasas de corto plazo implícitas en cada año se utilizan como estimaciones de las tasas libres de riesgo esperadas para los períodos futuros. Este argumento sostiene la superioridad de las tasas de corto plazo para prever las tasas futuras de corto plazo.
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López D uM fuur
¿Tasas de coreo o largo p]a2o7 En la práctica, suele tomarse como rendimiento libre de riesgo el ren dimiento de los bonos de largo plazo (también existe una discusión en corno a si deben tomarse bonos de 20 o 30 años) y ajustar por la duratíon (3) de! proyecto o del activo que es objeto de la valuación. La tasa de los bonos de! tesoro de USA es la suma de la inflación esperada y la tasa real esperada. Por lo tamo, al ser una tasa que contiene las expectativas de indac lón en USA. a! ser utilizada como tasa libre de nesgo en la valuación de un activo en otro país, requiere un ajuste por el diferencial de inflactón esperado. Por otra parte, si la duración del proyecto o activo en cuestión es diferen te de la del título libre de nesgo, también debe realizarse un emparejamiento del período óe maduración. La obtención de la tasa libre de riesgo para usar en procesos de x-aluación de activos de capital en países emergentes se miiesrra en la figura 15.5:
' - J - ’'■'•■■ Renainitemo (ilulo libre de nesgo en USA {T -9 o n a i
• l^r
" 3 j LS, ■*t;~3% ^¡. : ■
«:
Dilerenaal ae inllaaón y duración
Tasa libre de nesgo en país emergenie
Figura 13 5 Tasa libre de riesgo en un país emergeaie
Aunque no existe tamo desacuerdo en torno a la tasa libre de riesgo, subisie espacio para el debale. Hay algunos académicos que inclusive re comiendan usar las letras del tesoro de corto plazo (U.S. Treasury Bills). Estos instrumentos representan bonos del tipo “cupón cero" que no tie nen ( Lipón ríe interés y se torapran con un descuerno Pero entonces si debemos calcular la tasa de descuento de un proyecto de ini'ersidn de largo plazo usando las T-Bills aparece inmediatamente la cuestión de una tasa libre de nesgo para cada año, y por io tanto debemos tener en cuenta la forma de la curva de rendimientos .Aunque sólo tene mos T-Bills para dos años, es posible despejar las tasas contado para vanos años, con el piocedimíenio “bootstrapping" que explicamos en el capítu* lo 12
%■)
Un argumento de compromiso fue planteado por MuUins (1982) y Brealey y Myers (1988) que consiste en utilizar la tasa del T-Bond, pero ajustada por la diferencia promedio entre los rendimientos de éste y las TBills. Entonces, la tasa libre de riesgo es calculada como; Tasa libie de riesgo= tasa del T-Bond - premio promedio histórico sobre T-Bills
f
(3) La d u r a tío n es una medida de la vida útil ponderada de una inversión.
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-
El C osto di C apital
54
El problema con este enfoque es que el premio promedio histórico entre lasT-bills y losT-bunds ha sido aproximadamente de 1,3% según Ibhorson, pero con un desvío estándar del 8%. Este argumento propone entonces tornar el rendimiento de los T-Honds y restar el 1,3%, para obtener un ren dimiento normalizado de la tasa libre de riesgo.
D argumento de usar las tasas implícitas (fururas) en la eslrucnira tempo ral, es ciiesiiünado por los analistas, ya que objeiivamente argumentan que las tasas/ont'tírds no sirven como estimadores pues cambian cada semana. V se podría decir que lo mismo ocurre con la supuesta superioridad de las tasas de corto plazo para predecir las tasas de largo plazo. ¿Qué hacen los consulíores en la Argentina? Una encuesta realizada en 1999 por el Instituto Argentino de Ejecutivo de Finanzas y la Universidad Torcuato di Telia, entre tonsuliores, asesores financieros y banca de inversión, reveló que la mayoría utilizaba laTlFt del T-Bond de largo plazo (10 a 30 años); Argentina
EE.UU. Cor^iooauiurs
Asesurc» Fuiaiioert» yP15
10%
0%
9%
0%
•
133’u
9%
17%
CuípU4-
AseMires Finaitcteioe
1-bill a 90 días
431.
T-bonds 3-7 años T.bonds S-10 anos
7% -
T-bonds a 10 anos
üaaca V
10%
5%
U%
33%
33%
-
29%
9%
17%
T-bonds a 20 años
4%
-
5%
0%
u%
T-bonds a 10-30 añoe.
33%
30%
5%
9%
0%
-
40%
13%
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-
0%
9%
-
13%
9%*
l-boiuL» a 30 años 10 años o 90 d u s depende Otro:
lo culcitlii ti airpuraciiñi Briii.iltispura >:mprisas arg zÁu’ inJurac. (L'l pivyK^io No tipacifica Otro N'D
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Tabia 15.4 Encuerna sohw la (asa libre de nesgo en USA y Argemina Fuentes E£.Ull.:Bruner,op cii Aigentinu. encuesta trrPT/tAHFCbrriflra u miCi unacinpieia uiiliza laniu <-Búmlsa lU como d 2u años, por lo que los porcen[a]es suinaii mas del 100*:». *A.sesmea finaiicieros. 2 u»an "uiro*, de los cuales uno esia asignado a * 10 años o 9ii oías.
depenJe”, y el otro di)ú usar uiiii rasa a plazos comparables con los dcl proyc>.io ••fíanca v seguros' un caso usa T-Sjondsa 10 años, y Bradies para empresas argciuinas (en "otro"), por lu que la suma supera el J 00%.
C u iL iE tiM D L ópez D
'4 4
u m u au t
En la Argentina, un 57% cJe las corporaciones usan tasas a 10 o más años, y ninguna usa T'biüs como referencia. En cuanto a los asesores, sólo el 9% utiliza estos últimos; el ^5% de la sub-muestra utiliza bonos a 10 o más años, y un 27%, tasas a 30 años. En cuanto al emparc|amienlo de la duration entre la vida del proyecto o empresa y la duration del bono utilizado, la tabla 15.5 muestra que la gran mayoría de los asesores dicen ponerlo en práctica, no a sí las corpora ciones. Asesores
sf NO ND
Corporaciones Financieros yTEF 29% 64% 50% ]B% 21% -
18%
Banca y Seguros 17% 67% 17%
...
Tabla 15.S Enciiesla sobre el eroparcjamieino por UiiraCion Fuente' Encuesta UTOT/l/VEE
llecomendaciones de algunas consultoras A continuaciúri, en la figura 15.6 aparecen algunas medidas utilizadas por consultoras. Como se verá, persisten diferencias; todas prefieren títu los de largo plazo {de 10 o 30 años) pero mientras algunas utilizan promeflios geométricos, otras utilizan promedios aritméticos, otras promedios de los Ultimos dos años y algunas utilizan la TIR actual.
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Figutn 15,6 Ta.sB líbre de riesgo utilizadas por consultoras- Faírness optnion
Una .solución de compromiso A esta altura, la gran pregunta es cuál debe ser el valor específico a utilizar y cuál es la cifra proyectada que debe usarse er> el largo plazo.
Lo cierto es que las lasas suelen cambiar en cada año, y la tasa que sena utilizada en la valuación de una empresa sería diferente en cada año. ;;Córno hacemos para ponderar esta circunstancia? ¿Usamos algún promedio? Y en ese caso, ¿rendimientos corrientes o promedios? ¿promedio de cuántos años? ¿geométricos o aritméticos? La mayoría de Jos analistas suelen utilizar el rendimiento de un T-Bond de largo plazo y se olvidan de Ja complejidad de la estructura temporal (41. Lds T-Bonds captan de alguna manera Jas variaciones en las tasas pero en un promedio que es su TIR. Para ello, se nos ocurren dos alternativas: • Utilizar la Tin actual del T-Bond de que se ajuste a la duratíon de la ptoyecdón (generalmente el T-Bond de 10 años). • Utilizar la TIB actual del T-Bond que se ajuste a la duratíon de la pi óyeccidn promediado con el rendimiento promedio geométrico de los TBond de plazo similar para un período largo (por ejemplo, la serie calcula da por Ibbotson 1926-2004). *. El argumento para utilizar la TIR actual del T-Bond se basa en que es la que podemos observar ho)'; es un dato concreto, un hecho, y es la medida que nos otorga mayor adherencia al mercado. Si se creyera que ésta no es representativa del rendimiento libre de riesgo para toda la vida de la pro yección. podemos promediarla con alguna medida de rendimiento geomé trico sobre el mismo título para un período más largo. Si tenemos en cuenta que la vida de las compañías puede extenderse por muchos años, enten demos que el promedio geométrico es la mejor medida de largo plazo sí asumimos que la empresa '‘capitaliza’', como de hecho lo hace, al nv repaitir todas sus utilidades como dividendos. En síntesis, tomar la TIR del T-Bond de 10 años íla actual o un prouiédio geométrico para un período más largo) creemos que proporciona una medida razonable. Adicionalmente, utilizar la TIR de 10 anos, no'*' da Un mejor emparejamiento con la cluratjon de la proyección. Ai ser el T-Boiid un título del tipo "bullet" presenta un mayor emparejamiento con la pro yección del Rujo de efectivo de la compañía si se comparan las estructuras de flujos y se asimila el valor de la continuidad al pago del capital del bono (es conuin que se realicen proyecciones de flujos de fondos a 10 aítós con un valor terminal, y su duratíon se parece mucho a la de un bono bullet a 10 años como lo es el T^Bond) Además, realizar proyecciones deí Hujo de efectivo a 10 años tiéne dos ventajas con respecto a una proyección deí¡ años; se explícita el desempeño de la firma por un período más largo y el peso del valor terminal en el precio es menor. Piense como reaccionaria Usted si está Interesado en comprar una empresa y le dicen que el 60% o más de su valor surge de una fórmula del tipo: FCF /WACC-g .
(4) Esiiinadones derendlrnienlos futurosdeT-bills basados enlenditníentos históricos harrsubestimadoios rendimientos deestos tf(ulo.s.
Guihírmo Lopíz Dumk-mji 15.5.
PIUNIA POR HIESCO DE MEHCIADO
Alii) eii los países con mercados de capitales desarrollados subsisten también ddeiencias en torno al cálculo de la prima por riesgo de mercado h'stas se basan Kindamentalmenie en el intervalo utilizado, el uso de promedii» aritmciico o geométrico, o la utilización de un "im plied cqniry n sk prenuun”. Debe también decirse que la prima por nesgo de mercado no exi.ste c orno tal. es una expectativa matemática En tal sentido, las consultolao especializadas estiman una prima p o r n esg o de mercado para el luíiiro Ibbois.m ha calculado la pruna por nesgo de mercado desde 1926 y esta, mediíl.i como un promedio geométrico (histórico) se ha mantenido en torni) del 5,5-6,5% según se trate de compañ/as grandes o medianas A comímiacióa describimos el “ra tion aie’'argum entada para cada uno de ellos
.Arpuinenros a lavorde Incluir el promedio aritmético El úigumento a favor de incluir el promedio aritmético se susien ta en que al lepri-senid una mejor medida del rendimiento en el corto plazo, y sintoniza mas a.herem em entc con el CAPM, que es un modelo de un solo periodo.
Argiuiienins a favordeinchurel promedio geométrico El argumento a favor de incluirel promedio geométrico se sustenta en que ai representa una mejor medida del rendimienio en el largo plazo, asumiendo que la vida de la empresa es muy larga y que la compañía “capitaliza’’
l'riina de riesgo de mercado implícita [im p lied eqm ty rtskp rem iiin ) Oti a medula de la prima de nesgo de mercado que ganó cierta populari dad eu los últimos tiempos es el ¡ntpiied eqiuíy nsA: p rem ian c prima por nesgo implícita por invenir en acciones El concepto es sencillo, en ios piecKiS de las acciones existe un rendmnenio implíciiú que reclama el mercado y puede calculaise a partir «Je tres datos; el nivel del índice de Ulereado, la tasa de creciniientu esperada de las ganancias y los dividen dos y Id tasa de reparto o payoui esperado de los dividendos. Para obiener el implied equity risk premiuin no se precisan datos históricoj o correciL/nes por el nesgo país; este asume, que el mercado esta valuando correctamente los títulos Por e)emplo, si panimos de la fórmula; ^_ Payout X IM _ Dividendos kc-g
ke-g
L'i.inde 1M= nivel del índice de mercado i)art ir del precio y la corriente de dividendos esperada, puede despejar se el rendimiemo impífeito reclamado por el mercado para invenir en accio-
Fi Costo
dí
Capital
5^7
nes; luego por diferenciu entre éste y ía tasa libre de riesgo se obtiene el iniplied equ íiy risk preiníun. Ejcinplu: Suponga que el nivel del S&P 500 Index es 1.000, la tasa de reparto de dividendos esperada (expected dividend yíeld) sobre el índice es 6% y la lasa esperada de crecim iento de las ganancias y los dividendos e s del 3%. Luego podemos resolver para ei rendim iento requerido a las acciones; , Payout X IM 60 ^ nz, no/ ke = — í-------------i e = --------- f 0 , 0 J = 9 % IM * 1 .0 0 0 c 'N
Si la tasa libre de nesgo es del 5% anual, luego el implíed equiiy rIsk prennum es 4% (9%-5%). Este approach puede generalizarse para permitíi realizar proyecciones para un periodo explícito con tasas de crecim iento mab altas y utilizar flujos de caja en vez de dividendos. ' “Por ejemplo, si se espera que en los próximos años las acciones tengan un crecim iento vigoroso y luego éste se estabilice en una tasa más baja, piie de modificarse la fórmula para plantearla en dos estadios, utilizando la foimula de la renta variable en progresión geométrica finita para el primer esta dio, y luego la formula de la perpetuidad creciente para el segundo estadio Ejemplo: Suponga que el índice N4erval es de 1.500 puntos, la tasa de reparto de dividendos esperada (expected dividend yield) sobre el índice e» del 5% y la tasa esperada de cret im ienio de las ganancias y los duádendos cb del 8% para los próximos 5 años. El rendim iento de los bonos del tesoro tle USA es del 4% anual. Luego del quinto año, la lasa de crecim iento será del 3%. Mediante una inierpulauón lineal reiterada, o utilizando la íunción Solver de Excel®, podemos lesolvei para el rendimiento requerido a las acciones: _ [ í l -hO.OS) 1 .5 0 0 = 1 .5 0 0 x (U l5 X
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Revolviendo i.un Ij lum ioi. Solver, resulta ke=8,i7%. In cual implica un i t n p i i e d e q i u í v p i t i n u u n de 1,17% (tí, 17%-4%) F.l im plind eqiiir\' risk¡u em u u n en m ercad os em cr¡fc/¡ies ím ventaja del iniplied equir)' risk prenilum es que se apoya en un dato observable y no requiere de los datos históricos. De esta forma, puede sei utilizado en prácticamente cualquier mercado con las adaptaciones del caso. I'uf ejemplo, las previsiones de i.Tecimienlo de los dividendos y las ganancias podrían realizarse en dólaies. Mientras que el nivel del índice es un daii) disponible. Id tasa de ilividendos y la tusa de creciinienio son msumos mas difíciles de tleiermmar que en mercados más desarrollados. A pesar de esuis dificultades, el método permite hacer — en base a Lis com binaciones emre sus insiiinoh— V'arias apreciaciones sobre el premio t|ue el mercado teclarna
la razón por la cual el íniplíed puede ser diferente de las medidas liisidricas descansa en suponer que el mercado está correciamente valuado en el momento de la estimación. Una vez que hemos estimado el impiied equiry rtsk premium para un mercado emergente, podemos compararlo contra el mismo indicador en un mercado desarrollado y despejar de éste una prima implícita por riesgo país. Por ejemplo, en cálculos realizados por Damodaran en septiembre de 2003 en Brazll utilizando el índice Bovespa, llega a la con clusión de que el riesgo país intrínseco en el impiied equiry lisk premium de Brasil es de 433 puntos básicos: Impiied Equity premium (Brasil) =fl.12% Impiied Equity premium (USA| =3.79Sí, Country Equity Risk Premium (Brasil) =4,33% Primas de mercado locales no representativas En nuestro país, el índice Merval ha sufrido desde su creación modifica ciones por diferentes motivos que le han restado represeníaiividad. Ade más de contener pocas compañías y de ser sus series bastante cortas, la parucipación se encuentra concentrada entre 5 o 6 empresas. Depende del intervalo que se loíne, ia prima por riesgo de mercado puede pasar de posi tiva a negativa. Un camino que se sigue muy a menudo, cuando no existe una prima de mercado local representativa, es lomar la prima de mercado americana, calculada siempre sobre el mismo in.strumento que fue utiliza do para estimar la (asa líbre de riesgo para guardar la consistencia. ¿Uué liacen los consultores en la ArgeiUina? Srglm la encuesta lAFF-DiTrlIa. en 1999. se utilizaba mucho una tasa fija fií'l 7.5'B,5%. aunque también se utiliza mucho la prima americana, medida a {‘artir de im promedio histórico geonrétríco o aritmético. Es posible que en el ii«:nde una tasa fija del 7.5 0,5% haya tenido mucho que ver recomendacio nes de McFdnsey que en aquella época sugería utilizar tales primas en econo mías emei gentes. Cerporacíoci*» l9sarif«d«i3,25% 7«Mniad«M-S% Tasarijsd
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El C osto de CAmAi
54')
Recomendaciones de algunas consultoras
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Si im de utilizarse la prima por riesgo americano por considerársela m ás representativa del premio que demanda un iirversor diversificado, vale ia pena conocer algunas "fairness opinión” que aparecen en la figura 15.7,
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Figura 157 Prima por riesgo de mercado - Fairness opinión
En general, en la práctica se suele utilizar una prima por riesgo ameiícana, calculada como un promedio geométrico o arítmélico para un pe ríodo largo. La consultora Ibbotson & Associates lleva estadísticas desde 1926 y es común que la estimaciones de primas de mercado se bnsen en ellas, ^
15.6. E l coE^aE^rrE beta Intervalos de medición Observando los betas de una industria, de acuerdo a la información que nos suministran consultoras especializadas como Bloomberg. Economatica. Valué Une o Merril Limch, veremos que cuando calculamos los betas para períodos diferentes, existe un considerable rango de variación. Esto general mente tiene que ver con el interv'alo utilizado para el cálculo; algunas consul toras toman intervalos que alcanzan 40 observaciones, otras 60, sin que esté claro cuál es el mejor. El error estándar que podemos observar en una lista dé betas estimados nos dice que el beta real puede moverse también en un amplio rango y que existe también una chance de que caiga fuera de éste. El hecho do que el beta sea estimado con error no es el único problema: también hay evidencia acerca de que los beta.s no son estables todo el tiempo. Hay dos explicacio nes para esto: la inestabilidad se debe a errores de inediGíón (los betas supetestimados tienden a disminuir y los betas subestimados tienden a aumentar) o a cambios importantes en la compañía, como consecuencia de un cambio de manos por adquisición, o a un cambio importante en la e s tructura de capital o un cambio importante en su estrategia.
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mi ly fácil calcular un beta con Excel®. Todo lo que tenemos que tener son las Se ríes de los lendimienios díanos en una planilla de cálculo y luego utilizar la función "Análisis de Datos" que se encuentra en el menú Herra mientas En '.AnálisiA de datos' luego elegimos "regresión" y aparecerá una pantalla como la que se muestra en la figura 15.fl. Luego "pintamos” los rangos de rendimientos (en este caso la vanable Y de entrada representa los rendimientos díanos del Merval y la variable x de entrada representa los rendimientos diarios de Acindar para 40 ruedas entre el 16/2/04 y el 14/4/04) luego puisamos aceptar y aparecerá una pantalla muy parecida a la que se muestra en la figura 15.9.
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El beia aparece en la fila donde dice “Variable x 1" que es precisamente la [lendienie de la recia de regresión. Acindar. para el intervalo analizado, mués
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551
Ira un coeficieiue beia cl« 1,077. Recuerde que eJ beia del mercadosiernpie e* igual a l(uno). S i recordam os la fórm ula del beia, puede com probarse el cálculo ante rior. siniplernem e teniendo en cuenta que para el cálculo de la varianza divi de la Sumatoria de los desvíos por n - 1 en vez de por n para obtener un estim a dor insesgado de la m edia de la población Por lo tanto, si calculam os la covarianza entre los rendim ientos de Acindar yel Merval con Excel, y luego l.i varianza del m ercado tendrem os
Covarianza (Acindar, Merval) = 0,00035045 Varianza Merval = 0,000335
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= 1,05080526
Si a este beta se lo multiplica por (n/n-1) vuelve a obtenerse el beta de 1,077 que obtuvimos utilizando la función regresión de Excel.
La técn ica del h eia cu m p a ra b ie
El mayor problema que delie enfrentarse a menudo en las econuinías emergentes, donde Ja mayoría de las transacciones involucran paquetes de acciones de compañías de capiiai cerrado, es la utilización de un pruxy que consiste en encontrar una compañía "parecida o comparable" con acuoiies que coticen en bolsa y por lo tamo que tenga un beta conocido. El problema de la com paración no está exento de problem as y de hecho es un iiabaju adicional. Cuando hablamos de "comparable" nos referimos a dos aspectos esenciales: el negocio y su operación, y la forma en que se financia. Para el último aspecto existe una solución operativa más o menos sencilla. Para el primero no. Cuando se realiza una com paración entre una firma que n.< cotiza en bolsa con una cuyas acciones tienen cotización en un meicadu más desarrollado, primero se observa que opere en la misma industria; logícamenre si su clientela y sus productos son similares, se comparan sus estructuras de costos. Raram eniese encuentra un buen comparable. Conm entonces la mayoría de las veces el com parable satisfacioiio no se e n a ie n ira, poi lo cual se suele (ornar el beta prom edio de la m ism a ind ustria én (|ue se d esem peña la com pañía
Luego pasamos al segundo aspecto, el financiamiento. Como general mente el promedio la industria posee una estructura de capital díferenre u la de la com pañía, el prncedimienio coiriün consiste en "desapaíancar" el beta de la industria (como si imaginariamente la despofáramus de la deuda financiera) para luego "reapalaiicarlo" para la estructura de capital que ob servara nuesiia com pañía en el futuro, suponiendo que esa esimctura de capital será óptima. Í üs fónmilas para desapalancar y para reapalaiicar el
.......
Gujlifrwo López Dumuaue
55’
beta más utilizadas en la práctica suponen que se cumplen todos los supuestosdelCAJPMyModilglíanl-MílJer (1963) con inipuestos y fueron obte nidas por Hamada {1972J: Reapalancamiento
Desapalancamiento
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De esta manera, se asume que se eliminan las diferencias de leverage. Además, en los procesos de desapalancamiento y reapalancamiento debe utilizarse en el jnirnero la tasa efectiva de impuestos de la industria y lue go cuando se realiza el reapalancamiento se debe usar la tasa efectiva de impuestos que se supone observará la compañía en el futuro. Sobre el fi nal del capítulo se trata un caso real de estimaddn del costo del capital accionario que incluye un ejemplo donde se desapalanca primero y luego vuelve a apalancarse para reflejar la mezcla D/E de la compañía target. Alieniatívas aJ beta comparable: betas contables Como alternatjva.s del beta comparable, otros enfoques han sido pro puestos, Un enfoque alternativo al beta comparable lo constituye el uso de betas contables. Un beta contable se obtiene a través de la compara ción de una medida de rendimiento contable de la compañía y la misma medida de rendimiento contable del mercado. Las dos cuestiones básica.s que surgen para obtener un beta contable son: 1) ¿Cuál es la medida contai»le de rendimiento apropiada? y 2) ¿Cómo debería estimarse el beta? Ya que lo.s betai observados en el mercado son betas apalancados, generalfuetite ce utiliza como medida de rerídimíento contable el ROE ya que re coge el efecto de Ja c.stiuctura de capital En cuanto a la fornta de estimar el beta contable, generalmente se realiza una regresión lineal entre una tolpcdón de ROE’s históricos de la compañía y el ROE de los resultados históricos de las compañías qtie componen el mercado En tal sentido, el procedimiento para obtener el beta contable es muy similar al utilizado para oblenei el beta de mercado pero con medidas de rendimiento contabb’s; _ cov ( l-
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¿Es una buena medida el beta contable del riesgo de mercado que tendtfa la compañía? Para saberlo, tendríamos que comparar los betas obser vados de compañías con cotización pública de sus acciones, con sus betas contables. Sí fueran muy similares, entonces el asunto estaría resuelto para las firmas de capital cerrado: el beta contable sería un buen sucedáneo del beta realmente observado. Lamentablemente, lo.s múltiples estudios que se lum realizado, en su mayoría no exlúben esta conclusión, de fortna tal que el
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uso del beta contable, no se ha revelado hasta el momento com o un st isUttitó del coeQdente beta observado en el mercado.
15.7. Prima por riesgo país No caben dudas que los riesgos asociados a una inversión en un país en desarrollo o emergente difieren significativamente de los que están asocia dos a una inversión similar en Estados Unidos. Debe decirse que en pi incipio hay un riesgo adicional en la obtención del free cashy7ou/para las compañías situadas en determinados países, por lo cual la inclusión del riesgo país es uu factor que debe considerarse en toda valuación realizada en un mercado emergente. Si bien los procedimientos para estimar el valor presente del flujo de fondos futuro de una compañía siguen siendo los mismos, debemos ana lizar cómo incorporar el riesgo extra, que incluye: ' Altos niveles de inflación. Crecimiento irregular del PBI. Control de flujo de capitales. Cambios políticos. Disturbios civiles. • Cambios en los marcos jurídicos de los contratos y las regulaciones. - Expropiaciones. • Corrupción. Estos aspectos componen el denominado "riesgo país" que describiré-^ mos en esta sección. Hay dos alternativas básicas para incorporar al anájjsis el riesgo adicional propio de los mercados emergentes: Incorporar un riesgo extra en la tasa de descuento (el denomina• dor). • Tratar el riesgo en el flujo de efectivo con escenarios de prf>babUidad ponderada (el numerador). En el primer caso, el riesgo país se suma como un premio exlia en la ta.sa de descuento yes el procedimiento habitual que se sigue parios prac ticantes. En el segundo caso, el riesgo país se trata en el numerador de la' ecuación del valor presente, explicitando el riesgo a partir de escenarios de probabilidad ponderada. Para Jas dos aproximaciones existen argumen tos a favor y en contra, que se describen a continuación. incorporación del riesgo país en la tasa descuento El riesgo soberano nonnalmenjte se calcula medíame la diferencia en tre los rendimientos de un título en dólares del país emergente y un t*tul6 de vencimiento equivalente de la tesorería americana trreíZsmjjBonrfrí.
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G uilurmo Lopfz D uwRauf n« i;o«ú país eim rgen ie en USS - 17« T-Band = Prem io p o r riesgo soberano
Si se acepta que todas las empresas incluidas en un país emergente tie nen Igual exposición al riesgo país, éste puede sumarse como un faciorsepalado feII la ecuación delcAi'Ni: íes = rfy riesgo p aís + y3. (rm-rf) ■■■^^
Esio significa la consideración directa del riesgo país en la tasa de oporriinidao del accionista, lo cual implica que la empresa tiene el mismo riesgo que el país, y entonces debe sumarse a la tasa que se obtiene mediante el C^PM. la misma prima que se le requiere a un bono del gobierno. Ejomplo. Suponga que usted estaña considerando en agosto de 2001 una inver sión para realizar aliernaiivamenie en Argentina, Brasil o México. Supon ga taiiibien que el coeficienie bela es 1,2 y la pnma de mercado es igual en los ires países (5%) Si la tasa libre de riesgo es del 5% anual, el rendimien(o que se exige a para la inversión en cada uno de los tres países sena, inclu) endo el nesgo país;
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México
5%
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14%
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Brasil
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Argentina
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País
Riesgo país
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Rendunjenlü exigido
Tabla ! S ' ílcindimieuios cu países emergeiues incluyendo nesgo país
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’ Entendemos que en este enfoque debe utilizarse la prima de riesgo de merc.ido americana a fin de evitar duplicaciones de riesgos (5). L*i incorporación del riesgo país como un factor separado para deiermirieii los rendimientos esperados en un país emergente ha sido criticada por su falta de consistencia teórica. A pesar de ello, esta metodología es ampliamenre utilizada por los practicantes, debido a la sencillez de su aplicación y por ser una medida observable en e! mercado. A continuación describiremos una metodología con mayor abolengo, aunque también más complicada.
(5) Algunos eituJiüS sugierenque pane del riesgodemercado enlos paises emergeniej se debt al nesgo país, porlotanto, sí estese suma corno un factor separado en laecuacióndel L>.l*M no debería volver aconsiderarse enla pelma por el nesgo demercado.
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lucorporadón del rieigo pa/á en til flujo deefecelvo, con escenarios ció proba bilidad ponderada incurporacídn de los riesgos en el flujo de efectivo es un¿L aproxima ción más consísienre desde el punto de vista teórico. El problema es cpie, introducir el riesgo país en el flojo de efectivo, es mucho más dificíl. Cuan do se trabaja con escenarios de probabilidad ponderada, se incorpora el riesgo en el flujo de efectivo con un fundamento más sólido acerca de cómo d valor puede ser creado o destruido, antes que incorporar el riesgo país como una "caja negra" en la tasa de descuento. Ixis argumentos a favor dé incorporar el riesgo país en ti flujo de efectivo son los síguieniesr • Di versificación-, los inversores pueden diversificar m ejor el riesgo airibuible a los países emergentes, tales com o expropiación, devaluación, guerras civiles, etc., a través del gerencia m iento del flujo de efectivo. Si bien la teoría de finanzas nos dice que la tasa de descuento sólo debe refle jar el riesgo no diversificabie {sistemático}, el riesgo díversificable puede ser m ejor manejado en el casli flow , realizando las cotíetturas del caso (6). • Id iosin crasia: El riesgo países idiosincrático y no es igual para todas las industrias l.os exponadores, por ejem plo, podrían l»enefícíarse tm i una devaluacjoii m ientras que los importadores podrían verse perjudica dos. En este caso, un premio por el riesgo extra sobreestim aría el riesgo de algunas em presas y subestim aría el de otras. A veces, el nesgo de una com pañía en un país em ergente a veces puede ser m enor que el del pro pio gobierno {7). • D iferente desarrollo ren w o ra ld e flu jo d e fo n d o s: el flujo de fondas de los títulos utilizados para el cálculo del nesgo país muchas veces es diferente al flujo de fondos de la firma. • Ingresos en otros p aíses: a veces los ingresos de la empresa se produ cen en países distintos de aquél donde está situada la sede de la empresa En ese caso, el riesgo país debería incluir el del país dónde se producen lu.-^ ingresos. Analizando los riesgos específicos y su im pacto en el valor le permite ¿ los directivos pensar en mejores planes para mitigarlos. Por ejemplo, si 1j infraestructura y provisión de energía fuera un punto de riesgo impórtame, un fabricante podría decidir construir varias plantas pequeñas antes que una grande, aunque el costo inicial pueda ser mayor. Este enfoque implica que las com pañías tienen diferente exposición aJ riesgo país (por ejemplo,
(6) Por ejtím plo, la co m p a ñ ía p o d ría e s la b le c e r c o b e rtu ra s au m e n ta n d o su posiciói> en aciiv u s e x tern o s o podría to n n u co b e rtu ra s c o n fu tu ro s y otro s ü eriv ad os fin an cieru s. (7) Las o b lig a c io n e s em itid a s p o r u n a c o m p a ñ ía p e tro lera ra d ica d a en A rgen tin a, su p o o fr e c e r la s a s d e re n d in iie n io m e n o re s q u e la q u e ca rg a b a n los b o n o s del G o b iern u A rgen tin o
Guiuriuso l orcz DuuaAUF empresas exportadoras que perciben ingresos en diferentes países se ve nan beneficiadas con una eventual devaluación) (0). En abril de 1999, la consultora McKinsev realizó la valuación de 11 com pañías brasileras a partir del método de descuento de fiuios usando el cos to de capital global del sector, ajustado por la estructura de capital, que incluyó el diferencial de inflación entre Brasil y utw. El ejemplo no incluyó premio por nesgo país alguno. Los valores obtenidos por d c f se acercaron • mucho a los valores de mercado que habían sido obtenidos un mes antes de la fecha de la valuación. Sí se hubiera incluido el riesgo país en el costo de capital, los valores habrían sido de 50 a 9ü% menores que ios valores de mercado. Para incorporar los riesgos en el flujo de efectivo en forma coherente, debemos usar los factores macroeconómicos para construir escenarios; luego debemos alinear los escenarios específicos con el desempeño que tendrían las compañías bajo esos escenarios. Puesto que los escenarios macroeconómicos en los países emergentes suelen ser más volátiles, lo ideal es hacer varios escenarios. Las variables macroeconóniicas que de ben incluirse para la proyección del desempeño de la compañía son: • In fla ció n .
• Déficit fiscal. • Evolución del l’Bl. • Tipo de cambio. • Tasa de interés. Estas variables a su vez deben trabajarsp con una ligazón coherente, J'nr eiemplo, ei crecimientn y la innación son variables que normalmente irífluvcn en el ti|>o de cambio (el crecimiento del rni genera crecimíenlo en las imponaciones que normalmente hace aumentar el tipo de cambio, ilel mismo modo que la inílación suele estar influida por este). 5i construi m o s un escennrio con una tnsa de inflación hipotética, debemos estar seguri'S de que el tipo de camino refleje esa inílación en el largo plazo; en raso contrario esto conduciría a un atraso cambiaiio, que sería otro posi ble escenario En un escenario de atraso carnbiario, podría pensarse en un estancamiento de las exporlacinne.s Lo mismo con respecto a las tasas de interés: éstas también son afectadas |ior la inflación, de forma tal que de bemos pensar también en términos de las tasa-s de imetés reales de largo plazo. For olía pane, si existe un déficii fiscal agudo debemos preguntar nos acerca de la forma en que será financiado; por ejemplo, si el Gobierno lo va a financiar con deuda y, en ese caso, como impaciará la colocación de Irorios sobre la tasa de interés.
(8) F in n as co m o Ib b o iso n As.sociares utilizan m odelos que incluyen el ii<»ego país de dil^renies form as para d eterm in ar ei ren d im ien io exigido a las a ccio n es. A lgunos de ellas •íi'tr. Country fUsk Mndel. CoutuiySprcadhfodel y ClohallyNesled c*rM.
537
El C osto de CArOAi
En denniiiva, cada una de las variables macrocconómicas conduce a un cambio en el flujo de efeclivo, cuyos ítems más afectados resultan ser las venias, los gastos, el capital de trabajo. los gastos de capital y ios servicios de la deuda. Después de establecer las relaciones, piense en escenarios para el sector. El sector puede ser afectado por cambios en las regulaciones impuestas por los gobiernos, y también pueden depender de los mercados exien«os. Por ejemplo, un fabricante de plásticos que Importa derivados del petróleo, tiene una dependencia de los mercados del petróleo internacional, aunque venda todos sus productos localmente. Lo.s determinantes del riesgo industria dependen de la tecnología, la especialización de ia mano de obra, factores políticos (com o el marco regulaiorio, gremios, impuestos y subsidios! y con menor incidencia, lo.s factores aleaiorios. En este sentido, puede resultar útil evaluar el comporta miento histórico y comparar cómo ha evolucionado la industria con respec to al FBI. Ejemplo: Se trata de determinar el valor de una compañía en una economía emergente que en su producción hace uso de insumos importados. Se ana lizan tres escenarios niacroeconómicos posibles: a) caso base: el país em prende las reformas económicas necesarias y la economía crece vigoro.samente; b) sólo se realizan reformas parciales y la economía crece modes tamente: c) se devalúa la moneda nacional, se entra en recesión y la infla ción aiinienia. Primero se plantean los escenarios, luego se calcula el im pacto de cada uno de ellos en los estados financieros de la compañía, y nnalmente se determina su valor esperado de acuerdo con la técnica de los escenarios con probabilidad ponderada. 1 ®paso: P lantear escenanos C re cim ie n to PBI
li|K) de ca m b io
ü iQ a d ú n
Rerornia.s ecx in ó m icas d e fo n d o C re c im ie n to v igo ro so
5%
2.B
25%
R c fo rin a s p a r c ia le s M o d e sto cr e c im ie n to
2%
3,5
20%
-2%
4.5
30%
D e v a lu a c ió n in íla d ó n a u m e n ta y ca e el PBl
de luicré?
2" paso: Entronizar ¡os escenarios en la com pañ ía C recim ien to v e n tas
A u n icm o e n costo.«;
Caso Rase
15%
15%
R eform as p a rcia le s
5%
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D eL-aluación
15%
G0MIÍR.M0 l.ort2 Di.iMR.Auf
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L'c eáu. rorma el valui total con escenarios de probabilidad pondera da resulta ser üe tilO millones
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En septiem bre de 1998 la consultora McKmsey realizó la valuación de ia compañía brasilera l’áo de .‘^i^iicai utilizando escenarios publicados por el banco de inversión M ein! Lych El primer escenario era el caso base; Ijreveú ui. tuerte apiste fiscal con sofiorte internacional y que la econo mía se recuperaría de! impacio de la lecienie crisis asiatica. El segundo escenario preveía continuar en lecesion poi dos años mas, con altas lasas de ínteres v caída del producto bruto interno y el consumo El tercer esce nario. que finalmenie ocurrió, planteó la posibilidad de una devaluación/ recesion. .Xl primer escenario se le asignó una probabilidad de entre 33 y 5d poi cielito y a los otros dos probabilidades menores. Los escenarios fueroTi mtrodiicidus en el riu)o de efectivo de la compañía y luego se calculó el valor presente con el costo de capital o rendimiento esperado para ei sec tor. apisiailo por mílación E! valor obtenulo superó los $1.000 millones (a un diez poi ciento de su valor de mercado en ese momento) mientras que la metodología de sumar el nesgo país en la lasa de descuento arrojo un \alor de SJ21 millones, muy lepis del valor de mercado Isumando un 8*?!, por nesgo pdjs)
¿Riesgo país en la tasa o en los riu|üs de efeciivo? Hemos descrito algunos argumentos sobre las dos formas de incorpo rar el nesgo país en una valuación El argumento de sumarlo en el flu)o de efectivo supone una forma mas consistente de hacerlo, pero también m u cho más difícil Es posible modelizar algunos componentes del nesgo país en el flup. de efectivo, principalm ente los que tienen que ver con la volatilidad m acroeconóm ica (tipo de cambio, evolución del FBI, rasas de interés, inilación, etc.). En una compañía que exporta es posible calcular también un '‘weighudai>eragecounrr\> n skprem iu m " realizando una ponde ración de! nesgo de oíros países a partir de un mbt de ingresos y otras for-
11 *
DI C a íh a i
mab süfibiiCiiJub de cbiiniur el Hc¿gü país ¿Pero cdmo introducir el nesgo ciel cambio eii las reglas jurídicas, o los disturbios sociales, u las expropiacionesí üs una tarea prácUcainer.ie imposible. En cambio, el riesgo país, medido com o una prima subre los rendimientos dé los bonos locales, éb una medida observable. Una solucidn de compromiso podría sei la siguien le:
incorporar e! riesgo país en tos flujos de efectwo con escenarios de probabiliJtid ponderada cuam lo tosfactores no macroeconámicos tienen muy baja chance d e operar e incorporarto en la tasa cuando esta básicam ente refleje volatilidad rn aaoeconóniua
15.8. E l costo
de la deuda
El costo de la deuda siempre debe calcularse con una base a fter laxes, es decir, después tiel efecto del impuesto a las ganancias. 1^ razón para esto radica en que el interés que la deuda genera es un gasto deducibie para el impuesto a las gananciab. lu que liace que el costo de la deuda después de impuestos sea menor al cobio de la deuda antes de impuestos Suponga que una deuda se contrata a una lasa de interés del y la lasa de impuestos es t = 40% En ese caso, el costo de la deuda ajustado por un puestos resulta ser del h% k d . i l -í) - U .W .(l-a -W ) = 0.06 Piense que si su utilidad neta sujeta a impuestos es de SIOO. usted paga S40 de impuesiüs; pero si financiara sus activos con 5100 de deuda, dedu cin'a de esta utilidad el pago de intereses de $10. con lo cual su pago de impuestos se reduce a 53ü. El ahoiro fiscal resulta ser de $4, y de este moilo. finalm ente la deuda le na costado entonces $6. lo que equivale a un ti%
El ahorro en el pago de impuestos (40-36=4) representa el subsidio que el gobierno otorga a la empresa endeudada, lo que significa que usted aho rra 40 centavos de impuestos por cada peso de interés. Por supuesto, si la empresa tuviera pérdidas, i sena igual a cero y no existiría ningún ahorro fiscal en ese periodo. (9) Si la empresa se encuentra en posición de pagar impuestos, ia deuda genera un ahorro igual a la tasa del impuesto corporativo multiplicada por el m om o de intereses. Entonces, el costo de la deuda siempre debe expo nerse ajustado por el impuesto corporativo: k d .(l-t). Otra consideración importante es que para calcular el costo de la deuda debe tomarse la tasa de interés sobre las deudas nuevas, no el interés por
(9) La empresa puede trasladar el quebranto con ciertos limites a ejeicicios siguienres. pero niienuas espera pierde el valor del tiempo
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GuiiL£R/ao L ó n z DuMRAur
deudas contraídas y pendientes de pago, por io tanto se toma ei costo niarginaJ de la deuda. Normalmente la deuda de Ja empresa puede ser emitida por la empresa misma (por ejemplo cuando se emite una obligación o bono) o contraída con una institución financiera en íorma de un préstamo para ampliar la planta o para financiar una nueva inversión. Las deudas bancarias de largo pla2o, con tasas líe contrato preestablecidas, normalmente pueden incluirse por su va lor nominaJ. ya que no tienen un precio que se refleje en un mercado de capitaJes. Por el contrario, su valor nominal representa el valor exigible por el prestamista. En cuanto a las deudas bancarias de corto plazo, deberían incluirse aquéllas que fonnen parte permanente de Ja estructura de capital, y no para financiar necesidades temporales de capital de trabajo. Hay empre sas que mantienen cierta cantidad de deuda bancada de corto plazo en forma permanente, y este carácter de permanencia hace que se considere a esa porción de deuda de corto plazo como formando parte de la estruc tura de capital.
15.9, E l WACC y
la e s t r u c t u r a d e c a p it a l
Los consultores suelen utilizar un método denominado ”fatget capital stmcíure" para calcular el "valor justo" de las acciones. Este consiste en predefinir los porcentajes de deuda y acciones en el cálculo del WACC, nsuiniendo que se mantendrán durante toda la vida de la proyección. La base para esta recomendación es: * La firma se moverá Jiacia la estructura de capital de la industria, que os la estructura "óptima". • Se estima/caicula la estructura de capital óptima, y luego estos por centajes son mantenidos en toda la proyección.El primer argumento, en forma aislada, no merece mayores comentarios. El segundo argumento es mejor asume que la estructura óptima es estimada, y luego ésta se manléndrá inderinidamente. Esta aproximación tiene como ventaja la utilizarión de un WACC igual durante toda la vida de la proyección De esta ma nera, el valor justo de los activos se calcula por descuento del íree cash fiow con el WACC y luego al restar el valor de la deuda financiera (usualinente, su valor de libros] se obtiene el valor justo (fair valué} de las accio nes. Este approach supone impb'citamente un rebalanceo periódico de la estructura de cap ital para mantener constantes los porcentajes predefinidos del WACC Un modelo más realista debería reconocer que el desempeño de la firma varía año a axTo. y por lo tanto también el valor de sus acciones, ya que éste es calculado descontando los ílujos futuros que se destinan a ios accionistas. Un procedimiento más correcto sería estimar el valor justo de las acciones para luego delcnninar el verdadero porcentaje D/E (si las tasas de interés no muestran grandes cambios, la deuda podría lomarse por su valor de Libros pues resulta exigible por este valor) y luego
en lodo caso, hacer el análisis de la estructura de capital óptima y las coiisideraciones acerca de si en el futuro la firma se moverá hacia ella.
15.10. Caso real: ESTIMAaONDELCOSTODECAPITALDE GNX En esta sección mostraremos como se estim a el costo del capital accionario de una firma de capital cerrado, GNX es una empresa que fabri ca colchones y artículos para el hogar y se financia en su mayor parte con capital propio. Para la estimación del costo del capital propio, se buscó un comparable en el mercado americano. Luego de un proceso de búsqueda, aparece un comparable: CULP INC. El beta observado de esta compañía es de 1,22 pero como su relación deuda/capital propio difiere de la de GMX, se recurrió al proceso de desapalancamiento utilizando su relación D/E y su tasa efectiva de impuestos, lo que condujo a uñ beta desapalancado de 0,90. ; Luego, el beta desapalancado fue reaplancado nuevamente con la rela ción D/E proyectada para GNX (D/E=20%) y su tasa efectiva de impuestos (30%), arribando a un beta de 1,02. En la figura 15.10 se muestra la pantalla que salé de Heuters:
I Rallo» í CamaRn«(Mia| o a ítííjtjf
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Beta desapalancado:
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1 ,2 2 / t(H -0,5Í)(l-0, 32)1 = 0,90 El El beta reapalancado para GNX es 0,90 [(l+ 0,20)(l-0,3)= 1,02
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Relación D/E proyectada
Tasa efectiva de impuestos proyectada Figura 15.10 Inlormacidn drl comparable ■ ,»
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La figura 15.11 repite ia misma figura que aparece en el capítulo 1, don de se maestra la evolución de los rendimienros en USA desde diciembre de 191f5 hasta diciembre de 2003 Obsen'e que los bonos ríendieron en prome dio gcoisiétrico 5,2% y la diferencia entre este rendimiento y las acciones esuivo entre 5,-J-6.2% según se tome los rendimientos de las compañías grandei. o las [lequeñas.
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$10,«J00'
C cxnpañias p o c ju e ^ s Com pciñtas grandcis
$ 1.000
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Figuiii 15 11 Evolución reiidiiniem úsen USA 1925-2003
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l-os siguientes insumos utilizados para construir el costo del capital accionario aparecen en la tabla 15.9 Se utilizó como tasa libre de nesgo un 5.24%, la prima por riesgo de mercado se estimó en 5,25%, se utilizó el beia Cí*mparable y se sumo el nesgo país que existía en ese momento El costo del capital accionario alcanzó un 16,6%
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Risk iree rale MarKét risK premtum B eta Cour.irv nsk premium
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5 .2 4 % 5,25*
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U S Fed eral R e se rv e Ib bo tson & A sscxiaies R eu ters J P M organ
[S2 Tabla i 5.9 Cosío del capital accionario
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El costo de la deuda era aproximadamente del 12% antes de impuestos y la tasa efectiva de impuestos del 30%. Con estos datos se calculó el WACC;
U''.\CC = 0 ,1 2 íl-0 ,3 0 )x 0 .2 0 + 0.ló6xO,SO = 14,96%
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El COSIO de capUal en enipresuscon acciones sin coiizachSn pdblica: ¿se en contrará unu solucidn? La estimación del costo de capital en una compañía cuyas acciones no tienen cotización pública, representa un ejercicio en el que hay mudio espacio para cometer errores. El punto es que al no existir valores de nitticado, no hay forma de observar un beta. El uso de un beta comparable, implica asumir fiieries restricciones pero hasta el momento no ha sido pro puesto un enfoque superador. Usar un beta comparable significa que asu mimos que el proyecto, o la empresa, si cotizara sus acciones en el merca do, su beta sería siempre igual al comparable, en lodos los estados de la naturaleza. Pocos serían tan fanáticos al respecto. Pero tal vezqueile una esperanza, y quiero que esto se interprete como una opinión más intuitiva que fundada. En 1973 Myron Sellóles y Fiicher Black nos decían que el precio de una opción sobre una acción no depen día del rendimietuü de la acción ni del rendimiento de otro activo. En una de las mayores contribuciones a la ciencia económica,‘ B&¡S urgumemaion impecablenieiiie que el precio de la opción dependía de la volatilidad
R esumen
La estimación riel costo del capital es un proceso que no está exento de dificultades. Aún en los mercados más desarrollados, todavía existen, aun que en menor medida, diferentes medidas para los insumos a utilizar para su estimación, aunque prácticamente la lotalidaci de los practicantes utili za el capital asset juicing mudel para la estimación del caplral propio En los países emergentes suelen aparecer tres cuestiones adicionales, la falta de betas para las compañías de capital cerrado, la incorporación de una prima por riesgo país y ptimas o descuenios por comro!, tamaño y liquidez. Pora cada una de estas cuestiones, vanas soluciones han sido pro
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G u ILLÍRX^O Lü PIZ DUMIJkUl
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P roblemas
l. Suponga que la lasa libre de riesgo es del 5% y el rendimiento espe tada del ponafolio del mercado es del 15%. 5i una acción común tiene un beta de 0,60 ¿Cuál es su rentiimienlo esperado de acuerdo con el CAPM? si otra acción común tiene un rendiniiento esperado del 15%. ¿cuál tiene que ser su beta? 2. La tasa de interés libre de riesgo es del 5 % y ia rentabilidad esperada del portafolio del mercado es del 12%. Suponiendo que se cumplen las hipótesis del CAPM: a. ¿Cuál es la prima por nesgo de mercado? b. ¿Cuál es la rentabilidad requerida de una inversión con un beta de 1.5? c. Si una acción tiene un beta = 1 y ofrece una rentabilidad esperada tlH 10%, ¿está sobrcvaJuacla?
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El C osto oí C apital
563
<1. Dibuje UI1 gráfico que muestre como la rentabilidad esperada varia con el beta 3. Suponga que el rendimiento esperado del portafolio del mercado es del 16%. Un instrumento fínanciero tiene una beta de 0,9 y un rendimien to esperado del 14%. Si este activo se localiza sobre la SMÚ ¿cuál es la tasa líbre de riesgo? ¿Cuál es la pendiente de la SML7 4. Usted sabe que el desvío estándar de la rentabilidad del purtafolio de mercado es aproximadamente del 20%: a. ¿Cuál es el desvío estándar de las rentabilidades de un portafolio bien diversificado con un beta de 1,5? b ¿Cuál es el desvío estándar de las rentabilidades de un portafolio bien diversificado con un beta de 07 c Un portafolio bien diversificado tiene un desvío estándar del 15%. >CuáJ es su beta? d. Un portafolio poco diversificado tiene un desvío estándar del 20?-. ¿Su beta será mayor o menor al beta del portafolio de mercado? 5. La com pañía Colatína está contemplando la posibilidad de emitir acciones para financiar un proyecto de expansión. Los analistas financie ros de Colatína han determinado que el proyecto tiene el mismo nesgo que el portafolio de mercado, siendo que éste tiene un rendimiento espe rado del 15% y la tasa libre de riesgo es del 5%. El rendimiento del proyec to se estima en un 20%. £1 proyecto se llevará adelante a menos que' a. El beta de la compañía sea mayor a 1,5. b. El beta de la compañía sea menor que 1.5. c. Cualquiera sea el beta de la compañía, pues lo que importa es el beta del proyecto. 6. Suponga que la tasa libre de riesgo es rf = 5%, la rentabilidad espera da del mercado rm = 12% y el rendimiento esperado de las acciones de Jorques del Sur es k = 15%
a) Calcule ci beta de las acciones de Parques del Sur. b) Si el beta de la acción fuera de 1,5, ¿cuál sería la nueva lasa requeri da de rendimiento? 7. Blanca es una empresa de capital cerrado que fabrica jugos de fruta en un país emergente (D/E = 0.40; i = 0.35) e intenta determinar su beta Dado que ninguna compañía de este tipo cotiza en la bolsa local se bu.sca una comparable en EE.UU. De esta búsqueda surgen tres candidatos oosibles: Food. Sugar y Mcal. Un análisis detallado de la estructura de opera-
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mí 566
GuilirRMO LOPtZ nUMRAU»
cióji y resultados de cada una de las comparables danne a Sugar como el candidato que más se aproxima; Sugar posee un índice D/E = 0,034 y una t = 38%. Su beta a> de 0,8 1 Sabiendo que la tasa libre de riesgo es del 5% y la prima por el nesgo de mercado es del 7%, usted debe obtener el beta comI i a x a b lé p a r a B l a n c a .
8. La t.oronilld S.A. ha establecido una estructura de capital objetivo de 45% deuda y 55% en acciones comunes. Su costo de capital en acciones acomunes es del 18% y su costo de deuda del 9%. Si la tasa de impuestos relevivntei; es del 35%, ¿cuál es el WACC? 9 Las acciones de La Lucila SA. tienen un beta de 1.4. La prima por riesgo del mercado es del y la tasa libre de nesgo del 6%. La razón deuda/aciivos es del 50%. Su costo de deuda ames de impuestos es del 10%. Si la tasa de impuestoi es del 35%, ¿cuál es el WACC?
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I
Apéndice A
R
e s p u e s t a s a las
P regun ta s
DE LOS C
y los
P
ro blem as
a p ít u l o s
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'^ 1 V I
Capítulo 2: Interés simple * Respuestas a las preguntas 1. a) conslanle/decrecientes b) constante/crecientes. 2. máximo / es igual al inverso del número de períodos que tiene la operación. 3. En la expresión d/l-d.n = í la tasa efectiva de descuento es d.n, donde d es la tasa n om in al d e la operación, pues el descuento se realiza pur n periodos. A la inversa, en la expresión d = i/l-t-Ln, la tasa efectiva de inierés es i.n, pues habría que colocar el valor actual recibido durante n períodos a la tasa i para reconstruir el capital de la operación. En ese caso, i es una tasa nom inal y en rigor de verdad i debería ser denominada yd debería ser denominada "fím )" en esas ecuaciones. Cuando n=l entonces tanto d como i son tasas efectivas en las fórmulas de equivalencia.
K
4. AI retirar su dinero periódicamente, no permite que se capitahcen los intereses, por lo cual esta operatoria se asem eja a inierés simple. Si deiara los intereses para que éstos se capitalicen, entonces sí habría inte rés compuesto.
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5. El descuento comercial asume que los intereses se calculan sobre el
valor que tenemos que devolver (que es un valor futuro) y no sobre el va lor que se recibe en préstamo; por el contrario, el descuento racional asu me que los intereses se calculan sobre el valor que recibimos efectivamen te com o préstam o. Son dos form as d iferen tes de p ercibir la m ism a operatoria ya que en deíinitiva se recibe un capital en préstamo y hay que devolverlo con los intereses. • l6.
El vencimiento medio siempre cae entre los vencimientos d»» los documentos que reemplaza pues: a) nunca puede caer en el extremo infe-
• i-
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•L m
GtnuiHMv"» L0PÍ2 r)UMR.Ai(f rior J e vencfinientoa pue¡> el valor preseníe de los documentos que se leeinplazan sería menor a la suma de ios documentos y b) nunca podría caer en el extremos superiot Je vencimientos pues ios valores capitaliza dos Serían mayores a la suma de los valores nomínale:» de los documenios Se inclinaiá el vencimiento medio más a un vencimiento u oiro, rlepencliemlo de a) los valores nominales de los documentos y b) la tasa de ínte res
Kesolucióii de los j)rnblemas
1
0. 24
I5 0 0 d l +
= J5 443,83
^ % j
2
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= —
= 60.833,33
0.20X
30
■3 6 5
3.
5 5 3 .0 3 0 ,3 0
0,22 365
4 Capital a! final de los 6 meses: 10.000(1+0,05x6) = 13 000 Retirando $500 aJ final de los 120 días (cuatro meses): 10.000(1+0,05x6) -5 0 0 (1+ 0.05x2)= 12 450 También puede resolverse haciendo explícita ia operación, calculando el monto al final a e los 120 días, luego restar el retiro de $500, y finalmente sumar los intereses calculados bajo el régimen simple: 10.000
(1+0,05 X 4) = 12.000
Meno:, retiro
-500
Mas intereses
050
(9.5t)0 x 0,05 x 2)
12 450 Note (jue los inrereses del segundo semestre se calcularon sobre 9.500, ya que se :.upone que los 50(i se retiran del capital inicial’ 9.500x0.05x2)=950
A l tNUl>. t A ' 5. C u rn u
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A pRfCUNTAi Y í'KOhltMA, ijo
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Despejando resulta C ,=$15.000 y C.^=$ 20.000. 6. Primero calculamos el valoi actual del documento y la tasa efectiva de descuento para 30 días. Cómo el costo efectivo siempre debem os me dirlo en términos de utia tasa efectiva vencida, obtenemos ésta a partir de la tasa de descuento de 30 días:
.
V/ = IOOj' l - 0 , 1 5 x ^ j = 98.76
í /,0 = 0 .1 5 x —
.365
= 0.012328
Cómo el costo efectivo siempre debemos medirlo en términos dé uiid tasa efectiva vencida, obtenem os ésta a partir de la tasa de descuento de 30 días: ^Iffc
'
*30
1 -r /,^
_
0,012328 1 -0 ,0 1 2 3 2 8
= 0,0124826
Podemos com probar que colocando 98.76 a la tasa vencida de 30 días recom ponem os el capital de SlOO que originó la operación: 98.76 íl.0124B26)=10f) Si el descuento se practica por un período de 2 meses tenemos
v = 10(i l - 0 , l 5 x — I
365
x2
j
1 = 97,53
mo<: rafciJÍai la (asa veiicícia de 60 íJías como e) cocienfe entre el momo v e\ c a p lia l iaidai (100/97.53)-1^2,53%. ^ U tasa de inlerés de 60 días podemos calcularla a partir de la tasa de descuento de 60 días; —
0,02465 1-0,02455
i-d^
= 0,0253
t* también, sí hubiéramos calculado la tasa de InterésS de 30 días para una operación de descuento de 60 días, hubiéramos hecho;
0.012328 i~d„x2
1 -0 ,0 1 2 3 2 8 x 2
= 0,012639
V luego Ü.0I2639 x 2 = 0,0253,
60
20.000 2 0 .0 0 c | l - 0 , O S x ^ J = 1 9 . 7 3 6 ,9 g
V la comisión 20.000 x ü.nio = 350. El valor efectivo recibido es 19.736,98 - 3(10 = 19.376,98. .
. 20.000
19.376.98
8. d =
“ 1== 0.0321
— = 0,10
N
i= - ^ = ü ,n 1- 0.10
O también
100 90
- 1 = 0 .1111
ArÍNDICE A
RtSPUtSTAS A PRtGUHTA^ V pROBllf>.Uj>
Í7.1
9.
6.000 X 9
10.000 X 5 + 8,000 x 8
6.000 + 10.000 + 8.000
^
n - ...........—----------------- ------- — ------- - - f
5 JO. Aplicando la fórmula del "atajo" para el vencimiento inedio; I
^2 -^2
=t
‘
4
5>! • v j m
tendremos:
m
6.000
/ =•
X 30 + 4,000 x 60 + 8.000 x 92 + 10.000 x 7 2 6.000 + 4.000 + 8.000 + 10.000
i
- 67 dí'is
m m .
ll.
2 92
t- T ^ ^ - 1 ^ 0 .8 1 8 %
2,8963
365 j { m ) = 0,00818 X — = 5. ,!4% 57
12- Cuando se realiza un plazo fijo en moneda local es Irigico que se compare su rendimiento en moneda fuerte, en este caso el dólar, {. orno haciendo un plazo fijo directamente en dólares, obtendríamos un rendi miento de 0,005 X 57/365=0,078%, lo que falta saber es que lasa debeiíamos conseguir en pesos para obtener el mismo rendim iento en dólares que se obtenía con el dólar futuro
1+ 1+
j\m)ARG^ 365/57
- 1
0,005 365/57
= 0,818%
J
j ( m ) 5,74% Para una explicación detallada se sugiere ver en el capítulo 4 la sección correspondiente a las operaciones en moneda extranjera.
13.
1.02 = 98,039
7^ = —
14. 1.000 i + 0 ,0 5 X — 1= 1.006,438 l 365 1
m "i
m
i
« r -1
('^lIlHfRMO LoPfZ PtiMIUUf
^/4
1 5 . E \ p r e s a n d o la ig u a ld a d p a r a u n a c o r r i e n c e
d e i r e s p a g o s i g u a le s .
s d lo c jt íb e n io s d e s p e ja r Ja i n c ó g n i t a "A'”:
'f /
•V
X
X
5fM).000- ^^qq2^2) ^ (1 +0.02x4) P rím eío sa c a m o s factor co m ú n
500.000 = A'
1 . 1 ^
1.04
(1
+0,02x0)
X: 1
1.08 ^1.12 _
F ín a lm e n re r e s o lv e m o s p a ra A :
4; 'W ^ 'V ■ “^ ' ‘' í
A --
16,
500.000 2,780321
30 +
95 =
-á \
= 179.835,31
40
30
(1 + 0 ,0 2 x 3
( 1 -1* 0 ,0 2 x 5 )
=A +
(1 0 0 -A) (1
+ 0 ,0 2 x 5 )
A (1 ,1 0 )(1 0 0 -A ) ( 1,10)
4.5094= A 0,10 A =45.1%
tv..
17, lOO.OOO (1 - rf5)(l + 151 = 99.750 (l-r/ 5K l + í5) = 0,9975 C o m o d = i. p o d e m o s r e e m p l a z a r y q u e d a
l-í-í'5 -i5 -/ -2 5 = 0,9975 0,0025 = í'* 25 M
'"S*
%
F i n a l m e n t e , p a s a n d o e l 2 5 d iv id ie n d o y s a c a n d o r a íz c u a d r a d a e n a m ¿ b o s t e r m u .o s q u e i l a
■>'C
i = 1%
M y-
Ai’íMniCf A ' RtsrüfSTAS
a
pRfGwrAs y P ro b iem a s
18.
2.B8 2,97
-1
= 3,03%
19. Como C, + 0^= 50.000, podemos expresar Cj en función de y lue-^ go Igualar la suma de los intereses ganados en cada inversión al inierés total obtenido: ' ^
(5 0 ,0 0 0 - C ,) o ,Ü 6 — + C , 0 ,0 6 — ' 365 ' 3 6 5
= 394,52 ■
\
493,15 - C , 0,009863 + C, 0 ,0 0 4 9 3 15 = 394,52. -C ,0 ,0 0 4 9 3 1 5 = -9 8 ,6 3 Finalmente
= 20.000 y por lo tanto C. = 30.000.
20, Como C^ + C j= 120.000, podemos expresar C, en función de C,
( l 2 0 .0 0 0 - C , X l , 0 i r + C ,(l.0 2 )''= 1 4 0 .8 7 5 ,6 7 ,
(1 3 5.21 9 ,0 0 -C ,U 2 6 8 2 5 )+ C ,1 ,2 6 8 2 4 I = 140.875,67
C ,0 ,1 4 I4 1 6 = 5.Ó56,66 C , = 4 0.000
Como C.^=$ 40.000 luego reemplazando en (C^+C^) = 120,000 resulta C,= $ 00.000 y los ntoníüs son:
8 0 .0 0 0 (1 ,0 ))'-= 9 0 . H 6.00
d 0.000(l,02)" = 50,729.67
'
(
/
G u iu e iu .io Lü p £Z DuMaAur
G^PÍTULO 3: IfíFERÉS COMPUESTO
Respue^itas a ia$ preguntas I. En e! régimen simple la tasa de descuento y la lasa de Interés vendila son tasas nominales, y la equivalencia entre ambas depende del núme ro de períodos por los cuales se realiza !a operación. En el régimen com puesto son tasas efectivas y el número de períodos no modifica la relación fie equivalencia. 2^ Sinre para determinar cual es el monto devengado en un momento delrrminado, mr momento cualquiera del tiempo. De la mhma forma podernos querer saber, en economía y en finanzas, cual es la cantidad aproximada de una variable que se está devengando en ei tiempo, como por ejemplo, la población estimada en un momento determinado si la tasa de ciecimietiio se mantiene constante, o cuales serán los dividendos de la compañía si continúan creciendo a la misma tasa, etcétera. t aJ la tasa a la cual crece el PBI en una década; b) la tasa a la que i rccierfvn los salarios en un período determinado; c) la tasa de inflación «nensua! promedio que hubo en un año. 4. Creciente / Constante. 1. Decreciente y constante. fi b i ine|or oijcíón es el 1% mensual ya que podría renovarlo por doce y ganar más del 12% al año, debido al interés compuesto En camItio. en el régimen simple, el 12% anual es 12% anual, ya que no hay capi talización de intereses. m eses
I te s o lm .ió n d e lü s p r o b l e m a s
1. a) 500 Ü,06)xa,07)x(l.ü5) = 595,45 b) 19,09% c) {1.1909)‘«-1 = 0,0599 o 5,99%
2 . C o íl ,0 1 ) » = C o ( U 0 , 0 1 k 5 )+ 5 0 ,5 (1 ,0 1 )5 - C o n + 0 ,Ü l x 5 ) + 5 0 ,5
Co
Co
ArtHPICE A ' n.tSrUBTAS A pRfGÜN-rAS Y PROftUMAS
Co
0,00101 =
Co
50.5 Co
Co = 49.997,52. 3. 49.997,52(1,01)*= 49.997,52(1+ i x 5). despejando resulla f = 0,íil02. 4. Priinero denominaremos C, C y C" a los capitales iniciales para los tres liijos. Luego, debemos definir los tres capitales en función de uno de ellos, que será C: Como C X (1,05)« = C X (1,05)»« > C x (1,05)'* = C"
x
(1,05)'",
Definimos los tres capitales en función del primero. Por ejemplo C' es igual al primer capital colocado durante dos años al 5 %; C'= C x (1,05)^y C^sCxíLO SlV Luego expresamos la igualdad en función de C
C + C x l ,0 5 ' + C x l , 0 5 '=150.000 C(l + 1,05'+ 1,05')= 150.000 C(1 +1,1025 +1,21550625)= 150.000 C X 3.32800625 = 150.000 C=
150.000 3.31800625
= $45,208,00
C '= 4 5 .208x 1,05'= $49.841.80 C = 4 5 .2 0 8 x 1 ,0 5 '= $ 5 4 .9 5 0 ,2 0
5. 1“ Propuesta: 150.000 + 100.000 X v'®=: 150.000 + 100.000 X 0,7811984 = $228-119,80
jüUlff'-MO LOífl 2 ' P r o j u c -ifa ;
50 ÜOO r 200.000 X
= 50.000 + 200 000 x 0,9059065 = 231.19Ü.ÜÚ
L i propuesta mas ventajosa es la 2*. por lo cual, la primera propuesta debería oltecer un pago mayor en efeciiv'o por 53.070,30 que es la dilerenc ¡a .
6
92-lu0n.03)“*'= 1 775.801,6 i
7 J)
" 3 6 '^'^3 ^4 ^ r = { - 1 = 0 . 0 1 4 2 = 1 ,4 2 % ' 2 J.3Ó -I 4 3 1 1
b; 36.. 23.9-17 x |1,Ü142)‘*= -l7.352.o«l9,9
8
(I,20,).r ( l-^ 7 r J J= íi.3 0 ^
=l
l i l i ! ) * - 1=0,0134 =1.34%
I 1.20 1
= (¡ r I ^ 25),
9
in
n
d e s p e ja n O o
resulta i = 0,0954
= C j, I 'I ( !- r l ) .0 .Í '4 ) '‘ I
= 6 00011 -0.7239834) n
= S 1 .9 0 1 .3 1
1 I Siendo C = 3 500 000 C = I 000 000 C ' = 800 000 y C " = 1.500 000 rerierrios. iog3 /i
'_________ 1 I.Oó'"■■
"""" "
logl.Oó
l.Oé
------------
Í2 íí2 2 íí!l
1.06’
Y
A l'fN D I C l A • fUsrUESTAS
A
P k ICUNT a í N P»Uíait*;^.S
_ log3.50Q .Q (K )-log3Q 5]1.6n ^ 6.544068Ü-6 ,4 8 4 5 9 J logl,Oó 0,0253059 n =■ 2.3S (2 años, 4 meses y 6 días).
12.
D, = C j 1 -
(1 4 0,0175)-'
/), = 3 4 8 7 ,2 0 (1 -0 .6 5 9 4 8 8 ) D, = 3 4 8 7 .2 0 x 0 .3 4 0 5 6 2 D, = 1 187.60 13.
Aplicando Ja formula: p , = o ,\ i- ( i- d y \
Tendremos =1
0 ( ) 0 .0 o ll- íl- 0 .1 5 ) “j
D , = ] 0 0 0 ( l - 0 ,8 5 “) T)> =1 0 0 0 (1 -0 .3 7 7 7 1 5 ) />, = 1 OfKixO.02285 I\ = So22.S5
14
In !0 0 0 0 o - l n 50 000 „ ^ „ = --------------------------------= 70.3.'»/ne.ic'.i l n a . 0 2 ) - l i i (1 .0 1 )
15 50 0 0 0(1.02)''íl.n i)M l+ i) = 61.263,46 i = 1,54;.
16. Aplicando la fórmula para el tiempo en que dos capitales producen monto, tenemos
Ig u a l
G uilurmo López D umiwuf
5fio
In ÍOO.OOO-In 50.000
In C[ - in Cy ln(I + /2) - l n (1 + /,) Podem os
1(10.000(1,01)
= 70,35
In 1 ,0 2 -In i.ül
comprobarlo haciendo 50,000(1,02)” -^*= 201.384,187 y = 201384,187
17. El capila) se colocó ganando las siguientes tasas 50,000 (1.02)8 X (1+i) X (1,01)3 = 61.263,46 60.358.0.9 X (1+1) = 61.263,46 i = (6l.263.46/60.358,Ü9)-l = 0,015 = L5% 18 Como e$ un problema de vencimiento media ya que el valor no minal del nuevo documento iguala la suma de los valores nominales de los documentos que reempla2a. tenemos
n =:
In O í-In
Co
1m( í + i ) = ln 3 0 .()Q Q -ln [2 0 .()0 U / (I,0 7 )^ + 3 0 .0 0 0 / (1 ,0 7 )^ ] ^
In0.ü7) 19 ( I 0 0 . 0 n 0 - X ) ( l ,0 2 ) '" = X ( l ,0 2 5 ) '"
J 4 2 .8 2 4 ,6 2 - X 1 .4 2 Q 2 4 6 = X 1 ,5 5 9 6 5
H 2 .8 2 1 .6 2 = X 2 .3 8 7 9 0
X = 4 7 .8 0 0 .9 2
y por
lo t a n t o 1 0 0 .0 0 0 -X = 5 2 1 9 9 ,0 7
2 0 . I-n lta r e s o lu c ió n .
(^ A PíiiiLo 4 : T
a sa s d e in t e r é s
Respue.stas a las preguntas 1. a) Una entidad financiera, si desea mantener la tasa efectiva anual corisianíe, debe... disminuir,., la lasa nominal anual cuando pasa de capílaHzaciones de 45 a 30 días. Por el contrario, si ...pertfianece jija.,., la tasa
ArtNpiC£
RtsruESTAS Á PatCüNTM y PRoeiíMAs
nominal anua!, a medida que se incrementa Ja cantidad de capíializacm' nes, la lasa efectiva anual ...aum enta. b) La tasa real de interés puede ser mayor que la tasa de interés apa rente si la tasa de ...inflación... es ...negativa— , o sea una ...d eflacióji... de precios. 2.
Es una tasa de Interés vencida, siempre.
3. La Variación en el tipo de cambio se determina por la dífereiiC'a en las tasas de Iníladón entre los países. A, Disminuye.
Resolución de los problemas 365 1 .a)
,
180V«o
I H - 0 . 1 0 jr ^ 365 J
- 1 = 0,1025
365
b)
c)
(
l
60 1 + O.IOj :----365
- 1 = 0,1042
J
30 V » l + 0 ,l0 x ----- 1 = 0.1047 365 365
d)
I
I 1 -hO .lO jc-^ ’ - 1 = 0,1050 365 i
35
2.
.<0
(l + 0.0175)i5 xl l-o ,2 0 x — ] ’°x| It0,22x 365
= 0,071768=7,1768%
t'365 = U + 0 .0 7 1768)ñ5 - 1 s= 0,2346= 23,46%
365
J
5S.
G u i t i P-»'0 L o .'t . D iiM RjM jf
■ % ''C
'
í I + 0.30a —
! ' ’ - ! = O-O^^tS o 365 I
(
I I ;.0 3 0 > — ! " - I = 0,3473 o 3-),73% I .............. 3t)5 I
/
— 136^ =1 n - 0 0 2 ) '* ’ - 1 i— ^ = 0 .2 4 - 1 5 2 4 . 4 5 %
(l T 0.><2)>>^ - I = 0 .2 7 2 4 o 2 1 ,2 4 %
También podría haberse hecho.
45 [ ) f 0 .24 45-c— I ■ - I = 0.2724 o 27,24% 365
JU
íí
15
1 ^ 0 .1 5 v -^ ! 3o 5
- 1 =00123
1.23%
Para d.^spejar la TNA de descuento es mas cómodo igualar factores 15 ■' — '
I I i0 ,l5 i^ 7
3fXi I
• ' í
Luego despe|ii!ido
■ »>
7. . . =
X A
' K 1 «í [ 9C 1 ^ ^
i f
d ^ 1-
I
1 365
= O .I490t^ 14.ó0%. 15
{
15
1 - 0 I - 1 6 X -----
\ii
= 0 .0 1 2 2 = 1.22%
365
\
X:.
V,
L -^
í
Luego puede obtenerse la lasa efectiva de descuento mensual a partir de f!iu)
X
í
36.*¡
Para olifener jtni) a partir de la tasa efectiva de descuento mensual
A rt N f)ic i A - ^ES^tJtsT^s
-n - 0 .0 2 ) ^
P r ic u m t m
a
y
PnofttfMAS
i/r<
45
D espejando, j(nij=ü,2495. I.uego la lasa efectiva mensuaJ a panir de j(m); iíí
í l + 0.2495.V —365 ¡T
- I = 0.0204 o 2.0-1%
Finalm ente despejam os f(rn) a panir de la tasa efectiva de descuento m ensual:
( 1 - 0 .0 2 )
—
45
A—
Jo!)
)■
,
Despejando. f(m)=^0,242I ó 24,21%.
/JO
5.
Í
^ 0,50
+ 0.01
h Joj/ 'J I)
l
Jo 5 / / I5
j
Despejando, j(ni)=0,5221 ó 52,21%.
Jos /Jo
\ j
u
A ': 3c5
í
2 , , ,
-
0 .5 0
0 .0 2 ) 1
JD
0 .0 1
JOS/ MJ
Pasando el exponenie del primer m iem bro invertido y el 1 (uno) íes cando, queda. -
1
......
í, [
Despejando, j(m) = 53,2?% ,
, -J 6 5 ) l3
+0 0
365/15)
)
7. Para la taíia efectiva ap are nte :
(t-
Para la
l
Ü,3U
- 1 = 0 .3 4 4 9 o 3 4 ,4 9 %
TEA real
• , (».3449j - 1 = 0 . 0 6 0 4 (1,02)"
o 6 ,0 4 %
Para ía TNA real: i , „ , = [(1,0604)^'''^" - 1
í
= 0 .0 5 8 8 o 5 ,8 8 %
H. C alcule los re n d im ie n to s reales pa ra los sig u ie n te s p e río d o s , te n ie n d o en cuen ta los da to s que se m u e s tra n a c o n tin u a c ió n : M es
TNA p la z o fijo 3 0 d ía s
E n e ro
6%
F eb re ro
-7 %
i+
- 0 .2
%
0 .5 %
0 ,0 6
I - 0,002
1-t
I n í l a d ó n s e g ú n IP C
- 1 = 0 .0 0 6 9
0,07 365/ /30
1.005
- 1 = 0 ,0 0 0 7 4 9
n 4 El B a n co 5CX e fe c tú a p ré sta m o s a 90 días c o n u n in te ré s d e l tre in ta p o r c ie n to (30% ) a n u a l a d e la n ta d o y de scue nta de l p ré sta m o a l o to rg a rlo el u n o p o r m il en c o n c e p to de gastos de a d m in is tra c ió n . E l B an co Z Z e fe c túa ¡rréstam os a 75 días c o n u n in teré s del tre in ta y c in c o p o r c ie n to (35% )
'«<■*' j í j
V
AríNDicE A' Respuestas a Preguntas y Probiemas
535
anual adelaniado sin desconíar gastos de administración. Siendo indife' rente para el deudor el plazo del préstamo, indicar cual serü la opei ación más conveniente. Banco X X
0,30
..100 l -
= 92,60 V
P ré s ia m o m e n o s gastos: 9 2 ,Gü - (100 x 0,001) = 92,50
100
í = ---------- 1 = 0 ,0 8 1 9 2 ,5
92 5
r/ = —
100
t
- 1 = 0 ,0 7 5
«C fí 100
1
-
^^
0,35 365/
= 92,80
__
fI
La lasa de descuento efectiva de 90 días sería: 90/ /73
0,35
I--
d = l -
= 0,0856
V
y el costo efectivo de 90 días, medido por la tasa de interés vencida, seria; 0,0856
1-0,0856
■= 0,0936
Resultando más conveniente realizar la operación con el Banco XX. , 60/ \
10. a)
1+
0,20 3¿3/
/JO
/30
- l = 0.0331o 3,31% 7
Hi
■íáo
cuauRxiO Loi'tr I iuxíR-mo !
bl
i
0.18
t(i,0 1
- 1 = 0.03519
o
3,52'
,
d r n l:-----------O . O l ) ) _ I, = , ------í 95 1 il - 0.0!5i 1
ci
-> d) f , . . .SI. 11
= 11,0368)
Despe,'.indo f(m) = 0 216 = 21,60%
,- , ( I t Ol O) , 11 3 o t i x ------------- = j,o h U -<■Ü .05)
\a
q u e d e h a b e r c o lo c a d o un d ó la r e n U SA , al ñ n d e a ñ o le n d n a m o s
1 i)5 d o l a i t s . q u e r n u i i i p l i c a d u b p o r 3 ,6 6 s i g n i f i c a r í a n : l ,ü 5
a
3 , 6 6 6 = S 3 ,f i5
q u e s e n a la m i s m a c a n t i d a d d e p e s o s q u e l e n d r í a m o s d e h a b e r a p l i c a d o n u e s t r o d in e r o e n A rg e n tin a
3 ,S ü x I J O
= 3 ,8 5
O L -serv ,: q u e e l c á l c u l o s e h iz o c o n c a p i r a h z a c i ó n d i s c r e t a , y q u e r e f l e i a lo q u é d i c t la t e o r í a d e la P l 'l , e n e l s e n t i d o d e q u e el tip o d e c a m o i ü d e b e
•■ÉL
r ía r e i l e t a r la d i l e r e n c i a d e t a s a s d e i n i e r e s ts i e l c á l c u l o s e h a c e c o n c a p i i o h c a c i J í i c o iu m u a , e s t o u ltim o se v e rific a t jc a c ia m e n ie i
(1-M ),05i
11 3,:
,
li ^ U.02)
A -ft
Vu q u e d e a c u e iü G a la l e o n a d e la p a n d a d d e ! p o d e : a d q u is it i v o si e s t e AC r n a n t i c i i c . p a r a c o m p r a r lo s m i s m o s b i e n e s , u n b i e n e n U 6 A q u e c o s t a
9
USS 1,02, q u e n iu i i ip li c a d o s 1,02 a 3.6029 = S3.675 q u e s e r í a lo q u e c o s t a r í a u n fin a i d e l a ñ o 3.5Ú x 1,05 = 3 675
por
s ig n in c a ria n .
b i e n e n la
A r g e r d in a ai
13
9 3'
C iiciilaiT JO S p r i m e r o lo s r e n d i m i e n t o s e n ca da plaza í
ll'
l flJ.lÜ A ----3Ó5
9 9
9
"
3,60Jy
b a u n d ó la r , c o s t a r í a a l fin a l d e l a ñ o
i
- •1I==1 U .O IJ2739 = 0 ,2 7 %
A hínOioi
I + 0,065 X -
a
10
* RtiPUísrAS
a
P ríguntas
y
I^poriimas
] - 1 = 0,001805 0,1 = 0.18%
360 J
l)) El rendimieniu en peso:> para la operación en dólares, contemplan do lasa de inieres y lendimíentu s w a p es:
1,001805 .1
0 995 ----- = 1,003822 pesos 0,993
Como 1,003822 > 1.002739 conviene moneda extranjera.
(
cj
= íl+'iiJ
- 1 = 0,00093248 l.(H)I805
d) Como tenemos pesos, debemos convertirlos a dólares con el Upo de cambio vendedor ul inicio rCV^^^ü.ííSS. de forma tal Ljue. 1/0,993 = 1,00704 dolares que capitalizados por la tasa en dólares representan a los diez días 1,00704 X 1,001805=1,00086 TCCj = 1,00886
X
r e q = 1.002739
El momo ai \encimiemo en pesos, dividida por el monto al vencimiento en dólares, nos da el upo de cambio de paridad: TCC,
=
= 0.9^>393 l,0()S86
(SI el dólar hubiera cotizado al vencimiento de la operación a 0.99393 ambus plazas serían equivalenies)
14 Calculamos la lasa real dividiendo el monto con tasa de inieies efectiva por el cociente de índices de precios (el codenie es igual a Uii): | V .- 0 , O 3 x i ? - l
, = :-------- j - l i - I = ~0.0í)2-l = -0 ,2 4 % '
i .i S .lo
157,39
G uillermo L órez D u m r a u í
58 8
15. a) Rendmiiento real que se obtendría realizando un plazo fijo en moneda doméstica: f
30
l + 0,035x —
,
-----1 =-^.00239 = 0.239% (1
+ 0,008)“
bj Rendiniienfo real que se obtendría realizando una venta de dólar
futuro; 2.91 2.90
— -1 - -0,00319 = -0,319%
(1 + 0,008)“ c) Rendimiento real que se obtendría realizando un plazo fijo en dóla
res; 25
1+0,0275 X
30
(1 + 0,008)“
X j " - ^= -0.00131 = -0,131% 2,90
SI además tmiera que convertir los dólares nuevamente en pesos, y el típn de cambio comprador se mantuviera al 31 de mayo, ei rendimiento real en pesos sería:
1+0,0275 X
30 V» 365 j
(1 + 0.008)“
2,90
16, La inflación anual proyectada es del 12%. Se desea saber cuál debe-^ ría ser la TNA que debería obtenerse en una operación a plazo fijo ajustable por innación, si se pretende un rendimiento real mensual del 0,4%.
l+
= (1.12X1,004)’
ArfNDiCE A • RtsrutsTAS a P reguntas y Problemas JO 2É5 365
(U2)(l,004) 30
TNÁ^
3^
30
=
0.1629=16,29%
Se hubiera alcanzado el mismo resultado si se calculaba la tasa equiva lente de inflación para 30 días y luego se despejaba la TNA de la ecuación siguiente:
= (U 2)lS (1,004) 1 + 77V.4X '365
1+ 0.04X — = i----------- 2 ^ -1 = -0,0006 = 0,06% (1 + 0,004)
i7. a)
Es de notar que el rendimiento efectivo y la inflación de mayo respon de a un período de 31 días. Si el período al que corresponde el registro de inflación y el rendimiento efectivo no coincidieran, habría que calcular una equivalencia para expresarlos en un momento común. b) 158,16 X (1-0,0006)=158,06.
18. t-*fi ~
30 V 1-0.50X— -1 = 0,0428 = 4.28% 365
= 11 - 0.50 X — I “ -1 = 0.6652 = 66,62% 365 19. (5.3„. ■"(363) = ]n(l + 0,05) = 0,04879 = 4,8S% Para calcular la tasa continua delBO días, tenemos que recordar que la tasa instantánea es una tasa nominal: 365
^
=1,05
365
'
.S'»0
C í lM lU K M O L ó P f ZÜ U M H . \ U f
í„ .„ , = Ü,ü :.| 0 6 = 2.-41 % Ei Je notar que si hubiéramos utilizadc un año de 360 días, la tasa inatancanea semestral sena exaciameme la mitad de la lasa insiantánea anual
20. Si bien los rendimientos no son simétricos cuando se los calcula en términos üiscreKiS (125/IOü-l=+25% y (80/100-l=-20%) al calcularlos en forma coniinua a través del logaritmo del cociente de precios (que es lo mismo que calcular el logaritmo de 1+ rendimiento) se obtienen retornos simen icos Esta forma de cálculo es de practica usual entre los operadores del mercado financiero, ya que se supone que los precios de los activos \arian coniinuamente. y por lo tamo trabajamos con tasas instantáneas de interés y de descuento, que como vimos, son iguales cuando la frecuen cia de capitalización/ actualización tiende a infinito JrcJn —
100
in - ^
= 0 ,2 2 3 1 = 2 2 .3 1 %
= - 0 . 2 2 3 1 = -2 2 ,3 1 %
lüO 0.05
2 J F ^lüO ^ ^ = 101,257
l — I,
= 0,0X2
CaI’I í LiLO 5. iNlJlCtS YCOEFiCiENTES DF AllCTfc Kespiiesta.. a las prcgunias 1. ^(tídir los cambios relativos en precios pero también cantidades (ven tas de una determinada mercancía) y valores 2. Los liábitos lie compra y preierencias de compra tienden a cambiar con el iiempo, los cambios de definición, la imroduccion de nuevos pro ductos y /os cambios en la calidad 3. al índice de precios al consumidor b) índice de precios mayoristas, c) índice d ‘ salarios, d; índices financieros, como el Menal
_____________AftUOlO A - KtSPUÍSTAt A PrIGUNTaS y p R O B tiM A > ____ ^ :>! 4 I'ara ajustar precios de servicios, como los alquileres, como referen cia para ajustes de contratos, salarios y operaciones fínancieras. La ley de Convenibtiidail piohibió iu inüexadón aunque esta opera para las opera Clones expresamente previstas en el artículo 214/02. 5 Para realizar comparaciones de la evolución histórica de los precios 6. Esencialmente, es visto como una medida de la competiiividad Jerinesiros bienes para el cuiiiercio con el resto del nuirido. Resolución de ios problemas 1. |(3,6I/3,5532MI x 365/30 = 0.19449 |(3.66/3.5532}-!l x 365/62 = 0.17695 1(3.70/3,5532)-1i x 365/93 = 0.16214 2 Primero calcularnos la inflación equivalente diaria de septiembre I1.013)*'-"'-! = 0,00043 Y luego "capiializainos” el CEU del 7/10/2002 para llevarlo al 1/11 /2002. 1,3784 X ( i +0,00043)«= 1,3927 3 10.000 X {l+ 0,02xl80/ 365jx l.3965/1.3784 = 10.231,23 4 Como disponem os como dato las tasas de inflación en vez J e los índices, deflaciam os por la inflación argentina y luego a)iislamos por la inflación en USA. t n -^ n .0 5 ) = :..33.3 TCR - ( I -rO,80.)
5
( : 8 x 4 ) . (3 6 x 3 ) + ( 3 0 x 8 )
/-/^3vi=-(2 n x -l) + (4 (Jx 3 ) + ( !5 x S ) = I,b25 = Ió2,.i‘,l
C-U-ÍTIUX) 6; KftvnASTEMPOIWRLAS Hespuesias a las preguntas 1. 1.a lasa ile ínteres vencida 2 1.a imposición es una rema inmediaia capitalizada por n periodos, mientras que la renta inmediata es una imposición actualizada por n pe ríodos.
G
u il l e r m o
L o rE ¿
D uM R A U f
3. Porque es actualizada por un período menos, ya que lodos los pagos se realizan al principio de cada período, en vez de al final. 4. El producto de la tasa de Interés por cl valor de la reñía, que es igual al interés en valores absolutos. Es como un préstamo donde sólo se pagan los intereses Resolución de los problemas
].
J .OÜO.;f
r
= 8.984,74
" l.OQO.r-í®^ -----L X— (t,08}'"x 0,08
(1,08)-
= 9.026.71
3. I.OOOx-ü^í?^;---- í^x(l,08)— i - j - = 9.748,85 (I,08.)'S'0,08 (1.08)’
c Ü ± »-'i » ' ^ r - ‘ .v(U0.10/12)=rS.0(K) 0.10/12
'
^
.suponiendo pagos adelantados: 562,48.
5- 5
r (I + 0.10/12) + 5'J()0 JT(U 0,10/12)-* = 15 (iqq
68.Ó60.08 x [( l.y 0 8 3 3 r - 1]+ 5000 x ( l + 0.008 33 1''* = 15.000 68 060,08 t (I.Ü 08333)* - 68.060,08 + 5000 .r (l -t 0.00833)'’-^ = j 5 OW)
(l,00833.3j""‘ .r [5.000+ 68.060.08 x (1.00833)*J= 83.060.08 { I.C108333)'"* .X[76.534.63]= 83,060.08 n.008333)'^ = J.0852 ( / r - 6) In (1,008333)= In 1,0852 ;» = 15.85
AptNDiCf. A ' R espuestas 6.
a
P regupttas v P roblemas
Deuda actualizada: ,(l-f0 .0 4 )-~ l (1,04) = 6.960.42 2.1440,04
6.960,42 = L 665 jc ( I + O 'v por Interpolación, I « C,20% 7. Se abonan 11 documentos de $2.000 durante el año 2002 y 12 duran te 2003, también de $2.000. La corriente de 23 documentos de $2.000 la actualizarnos por 23 períodos y luego actualizamos por 7 períodos la co rriente de documentos de $5,000, también con la fórmula de la rema in mediata. Esta última corriente es actualizada finalmente por 23 períodos, pues la fórmula de la renta Inmediata los había actualizado al comienzo de los pagos, que era el final del período 23. 2 .00 ÜJC
- -f 5.000 a:
^(1,02)” a0,02
8, 8.000.
{ u o / í o .i o
-
i
(l,02y;c0,0Z ' (1,02)''
= 57.105,66
( U 0 ) '.x 0 .1 0 ' ( U ü ) '
(1,10)Vo.io (1,10)^ 25.358,92 + 10.568.55 + 16,103,75 = 52.131,23 que representan dentro de diez años la suma de 135.214,9P al capitalizar con el 10 %. (El lector puede comprobar como se llega al mistno resultado haciendo una imposición). ,35.214,98=
C = 13.931,19
(1.10)” - 1
G
^
o
i u
£
r a
»o
L
ó p e z
D
u m h a ü
»
'„ « a l
■
• U ______ ¡ 1 .^ 2 ^ ' ^
10Oü(X) = C
0,04
(
12
12
Podemos despejar C de la ecuación anterior o aplicando la fórmula de la cuota d<’ una imposición de pagos adelantados, tenemos: J (l-r/)" - I n + o
C - MU.n.i) -
= 100 0 0 0
] 0.003333333 = 341,92 0 ,0 0 3 3 3 3 3 3 )^ - 1 (1,00333333)
lü r = /l(0;/i,í)
= IIX).000
1 ♦> í%
If ^
i «' * *s íí «c 9
\
(I f /)" -1 (1-m ) 0,003333333________ ]_
(1,00333333)“' -1 (1.00333333)
= 1.503,31
11. El primer paso consiste en calcular el valor de la cuota constante de una corriente de lü meses, que actualizada al 4% mensual, iguala el valor (le i lOO.uüO.^ = 1 0 0 .0 0 f)
(1.04)'“a-0.04
= 100.()0() — —
(1.04)"*-1
= 7.899,33
(l 04 )* -1
V = 7 89Q.33- ^ ■7 , -----^ = 53.184,19
(1,04 )*jc 0,04
mas cuota 10. Toial
7.899.33 61.083,52
(debemos sumar el valor de la cuota diez ya que se paga en ese momento junro con el valor actual de las B cuotas que se adeudan).
A({^aJli:l A - lusPiifsiAj A PhtcüNTAS v PuotitMAS Oirá lornid de calcuJar d valor de las cuoras adeudadas incluyendo la cuota 10, es calcular d valor actual de 9 cuotas adelantadas, es decir resol ver la renta coiou si fuera una rem a inniedíata de pagos adelantados.
\ '= 1 '(0 ;9 ;0 .Ü 4 ) = 7.899.33
( l.0 4 f -1 (l.04)’ jc0,04
a'1,04
= 61.083,52
Como no se pagaron las cuotas 10, 11 y 12 se nos cobra un Interés so bre el saldo adeudado a) lina) del período 9, por lo cual debemos calcular primero y luego capitalizarlo ai 4% por tres meses: (l 04 V - 1
V; = 7 .8 9 9 .3 3 -^ ^ 4 ^ ------- = 58 734.13 (1,04 )"r 0.04 58.734.13
X (1,040= 66 067,92
Y finalm enie debem os calcular el valor de la nueva cuota, que lógica m ente será mayor, ya que se pretende redimir la deuda en ia cantidad de pagos previam ente establecidos (18) por lo cual el nuevo número de f»e nodos es n=6 y el sálelo üe la deuda es 66.067.92:
C = 66 067,92
íl.Ü 4 ,r -l
¡ 2.603.24
r M i^ ^ ( i.O i) - .c ^ l:2 1 ^ U 3 0 .n o o 0.01
0.01
r 43.730278 + C ! 9 .6 147-47 = 30 000
C= 473.0
12 Como debem os necesariam ente calcular el saldo de la deuda al linal del mes 16, debem os calcular ia cu ota contratad a en la renta En general, en todas las instituciones educativas los pagos se realizan por ad elantad o, de form a tal que el eje rcic io respontle a una realidad del m ercad o.
C = 15.000
I ~A------- =699.11
(l.O ir .v ü .O l ( 1 .0 !) " -
( 1. 01)
Luego calculam os el saldo al llnaJ del mes 16, por lo cual debemos ac tualizar las 8 cuotas que restan:
G
u il l e r m o
V,, = K(l;8,0.01) = 699,1 i
L ú rE Z
D
l j m iu u f
— — = 5.402.85
(l,0l)*x0.01
Y' como se desea pagar $ 1.000 a partir del mes 17, provocará una re ducción en la cantidad de pagos, por lo cual debemos calcular nuevo “n” Para calcular el nuevo niímero de períodos, introducimos 1.000 como el valor de la nueva cuota que actualizada por ‘*n"períodos iguala la suma de S 5.402,B5:
V,, = 1.000-fe°'^
'
{l,0l)"x0,0l
=5.40185
l^ni despejar la incógnita podemos dividir los dos términos del nume rador por el denominador y despejando, quedará una sola ''n"; , ., .. (l,ül)" 1 = 5.402,85 (l,0l)",t0.01 (I,ü 1)"a 0.01
100 (1,01)"
94,5971 = -
= 5.4028
100
(1,01)"
(L O ir =
lUO
94,5971
Finalmente, el "n" debe ser despejado metliamc logaritmos. F.n el caso del expolíenle, al aplicar logaritmos nos queda el expnnente por el logañtrao de la base, y en el otro miembro donde tenemos un cociente, nos queda el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denomina dor;
n X ln(l,0i) = In100-In94,5971 Inl00-ln94.597l
;i=;------- — i-------------- 5^ 82 m eses
In 1.01
(tiempo fraccionario)
Como el resultado es una fracción y el númera de cuotas siempre debe ser entero por contrato, en general se redondea a 6 meses y se resuelve para la nueva cuota. En teoría, también podría calcularse el valor de la
A r fNOiC£ A - R espuestas a P ueguntás y PKOBitM.\$
üliínia cuota dejando las restantes Invariables, siempre inanteniencio lá equivalencia íinancíera. 13. Analizado desde el punto de vista del valor presente de las JO men sualidades al 1% mensual, su valor equivalente hoy sería: 500 a (U 0 ,0.01) = 4.735,65 El padre del alumno ofrece 4.000 at contado (5.000 menos un 20%J que obviamente no es equivalente y el colegio no lo aceptaría’ Por otra parte» la rasa implícita que iguala la corriente de 10 pagos fijos de 500 a ios S4.000 que ofrece el padre, es de , 500a(l,10,1) =4.000
'
Resolviendo por Interpolación lineal, i = 4,277% mensual.
14. SI el colegio consiguiera invertir los fondos al 5% mensual le con vendría aceptar la propuesta, ya que la tasa implícita, como vimos en el ejercicio anterior es menor. Por otra parte, el valor presente con el 5% es de 3.860,86 y el padre está ofreciendo 4.000.
15. Es conveniente plantear la ecuación de valor en forma simbólica para facilitar el análisis déla operación. Recuerde que se depositan prime ro 30 cuotas, luego los depósitos cesan pero el monto acumulado sigue ganando intereses. Por lo tanto, dicho monto es impuesto por 23 meses (5 donde no hay depósilo.s más los IB donde conlimian éstos) y finalmente sumamos la imposición de los 18 depósitos cuando estos se reanu'ian. Luego reemplazamos las expresiones simbólicas por sus respectivas fór mulas y despejamos la cuota:
C5(l;30,0,0i){l.01)'"'’' + Cj (I;1 8:0,01) = 30,000
c í i ^ a o . , ’’ . c M l ] : i : i = 3 o . o o o 0,01 O.OI
C 43,730278 + C 19.614747 ==30,000
C « 473,6
5o«
G u IIU H m O lÓP£^ f)UMAAUF
C aí^íI dlo 7: Heñías ferpeums y vaíuabiís Hespiitisia.s a las preipintas I, Si st reducen en $2. como la lílíinia cuo(a no puede ser igual a cero, (lene i|ue -.er igual a Cn = C,*2 (n-l)= 100-2(50-1). í
%
2, Esfü es debido a que en la progresión geométrica decreciente la fun ción nu es lineal, por lo tanto, el valor de decreclinieriio absoluto en cada cuota es menor en cada peri'oilo 3 En i;l caso de la imposición, puede pensarse en un plan de ahorro donde hay una tasa J e interés que se gana en el período de ahorro pero además existe una a/us(e de las cuotas por el valor del bien (por ejemplo, en un plan de ahorro previo por un automóvil, donde las cuotas sufren un rqusíe en rundún del precio del auro)
í r%: ■
4 En las compañías maduras, donde los resultados y los flujos de fon dos son estables tiene sentido utilizar la perpetuidad para el cálculo del valor
1-
5, Tienen fundanienio cuando la corriente de dividendos es muy ímpredecible pero no desde el punto de vista de necesitar una g constante o la crítica que se Je hace en cuanto a la necesidad de que kg > g para su uiihzacióa.
% i.
Hesolución de los problemas 1 20.tJO0/0,2íi= 100.000.
t . 2. ]0/|0,10-0.05)=200. 3. Valor oportunidades de crecimiento = Valor con crecimiento - valor sin creciniiemo = 200 - 15/0,10 = 50
4. 20/(0,15-0,03)^166,66.
i I
5- El ganador de una lotería debe elegir alguno de Jos siguientes pre mios: a- j millón b.
J,.5/ÍU 0J* = 0,33 millones
c 150.000/0,10 i 1.5 millones d. 200.000 a f l,10,0.10) = 1,2 millones e fí0.000/(0,10-0,06) = 2 millones (mejor alternativa)
A l't N O IC t A - ÍU S I'U ÍS lA S A P k LCUNTAS V lV ,O B IlM A i
G.
y)^j
El piéstaiiio llene 36 cuüios Lái üidiria cuuta es C( 1*0,03)^’' - J O.üOü
Por lo lanlü, C
lü.üÜO / f l ‘0 ,0 3 )» c 29.039.5J
l'ara calcular el Íiiíeiés comenido en la cuoia número veiníe. pode'
MIOS calcular d saldo al final del período 19, y luego mulllpiicailo ]>or la tasa de Interés. Para ello, primero precisamos la cuota 2Ü (ya que es la ¡irP mera que se paga partiendo del final del período 19). U podemos caJculat
a partir del valor de b primera cuota: 29.039,51 (i-(J,03j”' = 16.279,36 O también haciendo = /{l-0,03)‘*= J0.0ü0/{l-0,03)'« = 16.279.36 (pasando de la líhírna cuota directamente a la 19).
^ [ (1-0.03) íli-O .O l)
- = 202.229.49 W (U 7,0.0l-0.03) = 16.279,36 x — 0,01-(-0.03) Pinatmenie, el interés de la cuota veinte es 202.229,49 x 0,01 = 2.022,3.
7. La fórmula para obtener la suma de $300.000 es una ímposicidni de cuotas variables, donde tenemos que despejar g (note que el factor de ca pitalización para obtener Ja imposición es 121 por tratarse de pagos ade lantados: 11
^
n + g)
I2Ú
(1 + 0,005)
Probando con g= 0,015 (1,5%), Av = 417.067.59. Probando con g= 0.01 (1%), Av = 297.678.99. Debemos interpolar para obtener el g aproximado; 0 ,0 1 5 ......................... - 417.067,59 0 ,0 1-x ......................... 300.000 0,01 ............................. 297.678,99 Con una d iferen cia entre valores de g de 0,005 icjiemos: 0 ,0 0 5 ........................... 119.388,6 X
................................... 117.067,59
X = 0,005 X 117.067,59 / 119.388,6 = 0.0049.
.i' .-'J
Guilurmq López Dumílmif Por lo tanto, el g apro.ximado es O.ü 15-0,0049 = 0.01009 d 1,009%,
150.000 (1 + 0 , 0 + 10.000 -
(1 - 0 .0 5 )1 ” (14-0.01) J
0 ,0 1 -(-0 ,0 5 )
(1,01)'*
= 63.486 J 3 + 162.957,60 = 226.444.33 N'oíe que g termina con signo po.sitívo en el denominador del segundo miemhro, pues con>o en la fórmula el divisor e.s 'i-g" y g = -0.05, se Iransíoirna en positivo. Para calcular los Intereses ganados, recurrimos a la íórla suma de términos de una p'rogresidn geométrica decreciente, para caícular el valor absoluto de la suma de cuotas, donde la primera es igual a lÜ.OOO:
rmila de
í
l- o " 1 - 0 95'* ^ i_ y _ = 10.000- ■ = 141.602.19 ' I-«7 1-0,95
Intereses ganados: Total obligación - valor suma de cuotas = 226.444,33 -141.602,19 - 50.000 = 34.842.13 A continuación aparece una tabla con el descargo de los intereses que comprueba ios cálculos anteriores. 21 22 JI 29 tí le 17 IB »s M 19 12 11 10 9 8 2 9 5 4 3 2 ( 0 TOTAL DíptÍJilo fcicidl Titlit lnl«r«if I
Cuttta Faelor perfodiei eiphalliaelAn 10.000,00 1.2B 8 SOOOn 1.24 9 025,00 i 23 8 573,75 1J2 8 145.06 t.2l 7.737,81 UO 7 350.92 1.18 1.17 6 M3.37 8 *34.20 1.18 8 302 «9 1.15 5 887.37 1 14 S S88.00 1.13 5 403 60 U2 5 133.43 1.10 < 876.75 IJ)9 4 832 01 l.OB 4 401.27 J.07 4 181.20 (.06 3 972 14 1.05 3.773.54 1.04 3384 5« 1.03 3 405.8? f.C3 3235,34 1.01 3 073.57 Í.C0 »41 802.20 SOOOO.OO 1,27
Cuota cilnioraoat InlaToue* 2871 63 12 571 63 11024.80 2J24 80 2 097.34 11 122.34 I0 4B1.80 1887.85 9.040,12 1-895.06 9055.58 1817.75 8 705.73 1J54 81 8 188 55 1 205 18 7.702 11 1087 90 7 244,55 942.05 8814.18 87602 6 409.38 72UÍ «028.83 «25.03 5.870 49 53707 5.333,63 4S6.88 5 018.78 383.87 317,49 4.718.75 4 438.43 057.23 4 174.78 202.82 3.828.78 153.22 3 893.48 1.08.82 68.45 3 <74 0? :057.89 32,35 3 073J7 182 >S7 $0 21.355.41 82 488.73 13.485 73 34.142.14
Ar£ND»C£ A - lUsruEm s a Preguntas y Pr q biím as 9.
6.881,11= (C + 2/0,01).a(1.60,0,01) - 2/0.01 (l,01)-«o 60 6.881,11 = (C + 200) 44,955 *6.605,39 C = 100
10.a)
b)
= — + 0,05 = 0,1863 22 £)}' = — = 0.1363 22
Como se supone que la compañía crecerá al 5% coríio un todo, el pre cio al final del año 2002 sería 22 Ü,05)=23,10 y la ganancia de capital tam bién sería del 5% (23,10/22)-1 Note que llega también:al precio de 23.10 calculando el valor de la perpetuidad que comienza con el dividendo del próximo año (3 x (l,05)/(0,1863-0,05)=23,10 Si las ganancias y los dividen dos crecen a la misma tasa, luego el valor de las acciones también lo hace.
11. Respuesta: para despejar el valor de la primera cuota conviene des componer la renta general en tres rentas diferentes: a) La primera renta es una renta de 4 cuotas constantes (en realidad son 5, pero dejamos la última cuota para la segunda renta, para que repre sente la primera cuota de una renta de cuotas variables. b) La segunda renta es variable en progresión geométrica donde la ra zón es g = 1,05. c) La tercera es otra renta de cuotas constantes cuya cuota fija es ctp. Entonces tenemos: 1-
3.000.000 =
+ C(1.05)'
— —+C
(1,06) .r 0,06
J.05Y l -.T—
0 .0 6 - 0 ,0 5
(1.06) ‘
+
(1.06)’ - 1 (1.06)’ a0,06 (1,06)’
Observación: la segunda tenia aparece actualizada por 1 /(1.06)‘' ya que su primer pago es vencido y se produce en el mes 5; como la fórmula de la renta la actualiza al final del mes 4, es necesario actualizarla por cuatro
<-•0^
G
u il u r m o
L ó pe z D
um kaue
m eses más para expresarla en el nioineniü ceio. Lo miamo ocurre con la lerceid rema, que es actualizada por 9 meses.
3 OtKi.OOO = C 3,-16510603 + C 3.666456d9 -f C 1.92311523 3.01)0.000 = r 9 .0 5 4 ó 7 7 o 4 C= : 3 3 1 320.-46
12 Como son dos rentas que com ienzan con la misma cuota, y sabe mos que el valor actual de ambas remas totaliza $ 100.000.-, sim plemente Igualamos a dicha cantidad la suma de los valores actuales de ambas ren tas, donde la primera es variable en progresión aritmética con razón R = 500 y la segunda es variable en progresión geométrica con razón q = 1,03
1100 000 = X
I (1-M)"
i}
+c-
- 1 - ^' .
110 0 0 0 0
= [[ [i
c
-p —
W l; 4 ;0 .0 2 ) - 4 - ^ — !—
0 .0 2 )
0 .0 2 (1,02)^
1,03
I 1.02
0 ,0 2 -0 .0 3
100 000 = [ÍC -P 25.000)3.80773045 -92.384,53915]-p C 3.97962 C = 12 480.66
CAPn
ui.o B: Préstamos con intereses sobre saldo
Respuestas a las preguntas 1. a) aumenta b) disminuye c) disminuye si el préstamo se extingue en el plazo OI iginalm ente contratado. 2. No. pero el deudor puede sentir el im pacto si sus ingresos no se indexan en la misma medida. El costo real permanece constante. 3 Los dos conceptos provocan un incremento en el costo efectivo: los gastos de otorgam iento reducen la cantidad inicial recibida en préstamo mientras (jue los segtiros incrementan la cuota.
APEn ÜICÍ a • kfcSPmSTAS A I^REGUNTa S Y f'RObíEMAS
d OJ
4. El plazo del présiuino y la lasa de interés. En el alemán no ocurre K> m ism o pues siem pre se cancela la mitad del préstamo en la mitad del pla zo, m ientras que en el am ericanc se cancela todo el capital al final. 5. En el sistem a am ericano, ya que amortiza el capital al vencimiento. Luego sigue el francés y después el alemán. El costo financiero es el mismo en ios tres sistemas si la tasa de contrato es igual, ya que los iniere^ses se calculan sobre saldos. Sólo difieren en el rimo de devolución del capital.
Resolución de los problem as 1. 1.434,70 (sim plem ente usam os la fórmula para la cuota). 2. 1.200,16H para 180 meses y 1.028,61 para 30 años^Cuando el núm e ro de periodos se extiende por un período muy largo, el valor de la cuota converge al Ínteres sobre el préstam o (100.000 x 0,01) que significarfa una perpetuidad. 3 F^or la parle de la amortización, 100.000/120=833,33 más un interés de l.OOO flOO.OOO x 0,01) siendo la prim era cuota de 1.833,33. La última tendría la mism a am onización pero e! interés sería de 8,33 (833,33 x 0 .0 1> por lo tanto la cuota final sería de 841,66. 4 Luego de pagar el anticip o queda un saldo de 2.927,87 (3 485,56 menos el 16%) que es financiado en 11 cuotas fijas de 307,59.
“ (l+ í)' La lasa de interés implícita en la ecuación es del 2,49%. 5 Usted esta pensando en comprar una propiedad para lo cua! precisaría la ayvida de un crédito por $ 50.000.- Luego de una recorrida poi distintas instituciones financieras pudo obienerla siguiente información' Banco A
Baiico B
8,95 %
9.5 %
Piazo (meses)
120
120
Gastos Otorgamiento
2%
0%
Gastos Hipoteca
2%
2%
TNA
Los gastos se calculan siempre sobre el monto del préstamo. Existe lam bién un seg\iro de Incendio del 1.5 por mil sobre capital adeudado Determi ne la opción más barata
GUILLERMO López Duf^JLAUr
o 'J 4
[ o primero que debemos hacer es calcular las tasas efectivas mensuales con un divisor de 360 días, según la nonnariva del BCRA para los criíditos hipotecarios. Como el seguro se calcula sobre el capital adeudado al igual c¡ue los intereses, podemos sumarlo en la tasa: lasa Banco A:
Ü.U895 + 0,0015 = 0,00895 360/30
i■A u
lasa Banco B:
0,095 360/30
+ 0,0015 = 0.009416
Luego calculamos las cuotas respectivas Cuota Banco A: 681,41 Cuota Banco B; 697,24 Finalmente, despejamos las tasas implícitas por interpolación lineal, tomendo en cuenta que e! préstamo efectivo recibido en ambos casos es menor por e! descuento de los gastos .sobre la suma nominal otorgada (50.0U0 menos el 4 [)or cien to en el caso del Banco A y 50.0U0 menos el 2 por ciettto en el caso del Banco B). Banco A: 4S.00()= ¿
681,41
5 Despejando, i = 0,970%, Banco D: 49 000 =
Despejando, i = 0.903%, i
I
6. Para resolverlo, utilizamos la fórmula de los intereses periódicos:
i(p-l.í>) = í,1(1+ 0 "-d+í)'''J '(7t, = ',[(i + o.oi)"’-(i+o.oi)‘-']
AríNDiCE A ' lUsrucsTAS A Preguntas y Príoplímas
€
Corno nos falta pero tenemos la amortización del sex^to servicio, pode^ mos despejarlo con la fórmula de la amortización periódica:
tp
=
r , ( l
+
/)
€ í
r-i
50.000 = í,(l,0 1 )‘ , = _ « _ = 47.573.28 ( 1 + o .o ir Luego reemplazamos en la fórmula de los intereses periódicos:
/( 7 .g) =47.573,28[(J + 0.01)“’ - a + 0,01)*“‘j=1.545.5 .'Ü El saldo de deuda aJ final del período cuatro, lo calculamos con el mé todo prospectivo, recordando que C - t , (1+1)''
m m
C = 47.573,28 (1,01)''» = 52.550,49 V, -■=52.550,49 a (l,10,0.01) = 497.721.76
7. Cuota total = 100 x 0,008 + 100 s( 1,24,0.01) ‘ = 0,8 + 3.70 = 4,507
La (asa que satisface la ecuación es 0,63%. menor a la de contrato del préstamo, puesto que la tasa ganada en el aliorro supera la lasa del orésiamo americano.
B.
AtnordIbial zaclón Cuota Amortizado periódica 22,62 . 22.624 33,12 49,00 26.380 35,11
Mes
Tasa de Inflación
Saldo inida]
Interés
Enero Febrero
5%
105 87.32
10,50 8,73
Marzo
3%
62.77
6,28
29.089
36.17
70.89
AbrU
5%
34,52
3.45
113,41
26.19
34,521 113,41
37,97
TCTTAL
142,37
6%
bOo
I;.
G u il if b m o Lo p e : D u m k a u f
ü. t s una típica operación de fondeo bancano, donde el banco antes de otorgar un préstamo se fondea a una tasa baja, para luego realizar el préstamo. £I deposiianie renuncia a un rendimiento mayor durante el periodo de ahorro, esperando obtener luego un préstamo en condiciones mas ventaiosas. Una forma de ver esto es analizando la operación en el niom eiuo en que efectívam em ese recibe el préstamo, teniendo en cuenta que se ha dejado de ganar durante el período (le ahorro:
la masa de dinero diferencial
■ I
Por ejemplo, para ahorrar $ 25.000 deberían haberse depositado: C = J5.000 5(0.24.0,03/12)-^ = 1.009,5 Luego, sí esa cuota podría ganar una TNA del 8 % (0,66% mensual], podría haberse formado un capital de 26.354,25 al final del período 24; L00U.5 5(0.24,0.00/121 = 26.354,25 La diferencia de 1354,25 (26.354,25 -25.000) constituye el costo de opor tunidad er« dinero del ahorrisra al final del período 24, que es el momento donde recibe el préstamo de $ 100.000.- La tasa de interés para dicho prés tamo es del 8.5% anual (0,007% mensual) al que corresponde una cuota de; C = 100.000 a (0,120,0,0070)-> = J.239,85 Si ahora consideramos que la realidad económica subyacente es que bien medido hemos recibido un préstamo de 98.645,75 (1 0 0 .0 0 0 - 1.354,25), el verdadero costo del préstamo es, por interpolación lineal reiterada. 98.645,75= 1.239.85 x a(1.120.i) f'or inierpoíacidn: 0,007347 = 0,73%
10. Poi el sistema alemán la primera cuota hubiera sido: C = 100.000/120+100.000 X 0.01 = 1.833,33 En ei sistem a francés se com ienza ab onand o una cu ota m en or (1.434,70) pero los intereses del sistema alemán se reducen en progresmn aritmética hasta que ambas cuotas se igualan. Para determ inar ese m o mento, igualamos la fórmula de la cuota del sistema alemán con el valor de la cu o tj del sistema francés y despejamos p; 1.434,70 = V/n|l+ i(n-p+l)l l 434,70 = 833,33 H+0,01 (120-p+l)]
A - lUil'UESIAS A PKfOUNTAS y PnCbUWAi'
MO
— — ~1 = 0.01(120-/ 7 + 1) 833,33 ' p = 40,95
11. Los imereses de un sisrerna alemán se reducen en progresión arílmé* rica, por lo ramo los intereses de la cuota 75 deben ser iguales a los de la cuota 10 menos el producto déla lasa de interés por el valor de 65 cuotas de amor* lizaddn:
230 = 5 5 5 -6 5 / A-500 32.500/= 325 =
32.500
0,01
Una vez despejada la tasa de interés, podemos igualar el valor que tene mos com o dato de uno de los intereses de las cuotas con la fórmula respecti va para el ínteres periódico del sistema alemán y despejar n. Por ejemplo, igualando el interés de la cuota IG: H p -U p ) -~ [n ~ ( p -l) ]i
n
555 = 500í/ / -(10-l)]0,01 555 = 5 n - 4 5 77
= 120
V = l 'JO X 500 = 60,000.
12, Sabem os que el préstamo fue cancelado a los 22 meses con la si guíente suma: 2 7 4 .4 3 6 (1,02)^* = 4 2 4 .2 7 2 .4 7 (el monto del depósito bancario que fue realizado al m om ento de obtener el préstamo). Por lo ta n to V jj= 4 2 4 .2 7 2 .4 7 y el to tal a m o rtiz a d o al mes 22 es l„ = 8 2 0 .000-424.272,47= 3 9 5 .7 2 7 ,5 3 .
Corno el toral amortizado es igual a 7/;
^ p o d e m o s re
^ i
pniplazar y obtener r,; 0,03 /. =395.727,53= 12.959.05 (1,03)"'- I
¡ar
V como 7II = V= 820 000, ya tenemos todos los elementos para despe en la fornuiia del toral amortizado al final del préstamo Tn =
(1
Tn i
Y fin a lm e n te , a p lic a n d o lo g a ritm o s , o b te n e m o s el v a lo r de n;
,1 In 7'"^’ ^ +l|
In(H-í)
820.000^0,03 A In --------------------+ I 12.959,04 = 36 ln(l,03)
m eses
L3 oabemos el monto del préstamo y la tasa de interés de contrato, tarnlH'én sabemos que las cuotas originalmente eran constantes, por lo que deducimos que se nata de un sistema francés. Pero no sabernos el pla zo por el que se pactó el préstamo originaJ, aunque nos dan el dato de la última cuota del préstamo refinanciado. El préstamo se refinanció en 20 cuotas de capital constante, con interés sobre saldos, de manera que sabe mos que fue utilizado el sistema alemán. Apartir de la fórmula de la cuota para el sistema alemán, podemos deducir el valor del préstamo al final del período 10; C „ = -| l+ i(n -p + l)) n
Podemos de.spejar el valor del préstamo al final del período 10:
Cjo 1+ rín -p + l)
V=■
1.994J8 36 = 71.100,96 1+ 0,01(20-20 + 1)
Sabiendo el valor del pré.stamo originaJ (üü.OOO) y el saldo al final del período 10 (71.100,96), podemos deducir el total amortizado a ese período
A P E N D IC E A
-
R
e s pu es ta s
a
P
r e g u n t a s
y
P
r o b l e m a s
m .f
y luego despejar r,; a partir de la ariiortización del primero período podemos despejar el valor de la cuota* Finalmente, con el valor de la cuota, ¡a t^rsa de Interés y el valor del préstamo original, puede despejarse el número de pe ríodos po r el que fue contratado originaimeme el préstamo; T , o ^ ^ - K o = 8 0 . 0 0 0 - 7 1 . 1 0 0 . 9 6 = 8 .899,04
Y siendo la fórmula del total amortizado: ( l+ i) '- !
^10 “ ^ ■
A =-
0,0 1 5 (1 ,0 1 5 )'
= í|
(I,0 1 5 )'"-l
- = 8.899,04
0,015
8 .8 9 9 ,0 4 = 831,47 -i
Como V =Tn y T„ = t,
i
------
í^ £ + l = (l + /)'’
Aplicando logaritmos en ambos íénnínos; ( t
In -^£ + 1 |= nln(l + i)
Inl -=-£ + 1
In
lii(l + í)
80 .0 0 0 — o ,0 1 5 + 11 8 3 1,47
ln(l,015)
= 60 meses
Capiiulo 9: P réstamos con intereses directos
Respuestas a las preguntas 1.
El valor de la lasa de interés directa de contrato y el plazo del présta
mo. 2. Cuando el número de períodos tiende a infinito, lo único que se paga en la cuota es el interés sobre saldo, que se iguala con el interés que se paga calculando directamente intereses sobre el capital.
o !0
G u u u k A io
L
ó p e z
D
u m r a u f
J Hl ainencano, luego el francés y por úlcinio el alemán. 4. ídein respuesta anterior 5. .-\J calcularse los intereses en forma directa sobre el capital, y abo narse siempre la misma suma independientemente de que el capital adeu dado disminuye con cada atnoriización, no constituye un verdadero siste ma. S i lo sena si sus partes estuvieran inierconectadas, como ocune con los sistemas sobre saldos, donde el interés disminuye al disminuir el saldo del presiaino. Resolución de los problemas 1. Siendo la cuota con intereses directos igual a 1000 k (1+0,02*6)/ 6=186,66, la tasa equivalente sobre saldos es la que igual (a siguiente ecua ción. 1000=y
186,66
Por interpolación lineal í = 3,34% mensual.
2. Recuerde que mientras en el sistema francés siempre se paga un 14,96% solire saldo, en el caso de los intereses directos cargados se comien za pagando un 10% y la lasa va aumentando jxir período (ver capítulo 9).
14.96%
Lo mejor en este caso, para saber en que momento se iguala el monto de inierests (SlOj es buscar la fórmula en el sistema francés que calcule los intereses periódicos y aparezca un periodo “p' que podamos despejar. To mamos entonces la siguiente fórmula y luego la igualamos a Jos intereses que pagamos cuajido se calculan directamente sobre el capital:
AríNPici
A ' fU^put¡TA.i A P r ( cuntas
y
F kobifmas
óll
Como la cuota que ¿e pagaría por el sistema francés con una tasa de! 14.96% sería de 34.99, t, = 20.03 f34.99.0,H 96 x 100)
10 = 20,03[n.M9ó)" -(1.1496)''"'] (1.1490)"^'=(1,1496)^-0.50 (/í + I)ln (l.l4 9 6 ) = In 1.2465
P =
In 1,2465 In 1,1496
- 1 = 2,58
3. Para recibir 100.000 neto de los intereses descontados, tenem os Í00.000 = N X (1-0.01 X 5). Donde N = 105.263.15 Por lo lanío, la cuota que debe abonarse es 105.263.15/5 s 21.052.63
4. lQ0.ÜQQ=y
21.052,63
-
Por interpolación lineal i = 1.73%.
5.
o 20.600 100 0 0 0 = y ----------
Por interpolación lineal i = 0,9934%.
O.PH ui o 10; T écnicas de E v.4Iilación OF í ’KOVhCl'OS D£ INVEHSION Kespuestas a las preguntas I. a) A tiene el mayor flujo de efectivo pues si ambos proyectos tienen Igna! VAN al 10%, a medida que k disminuye el VAN de A aum enta mas rápido hasia un valor de k=0 (Compruebe graficando las funciones desde cada Tin ha»ia k-0). b; li c) A. pues con k = 0 el VAN sería mayor y lienei^ la misma TIR. d) No, sicm pie se requerirá más tiempo con el PD que con t i I! pues el primero acumula flujos descontados.
2) Aquellos provéelos con flujos de efectivos más altos al final de su vida, sufrirán con mayor crudeza la suba de la tasa de ínierés por el efecto del interés compuesto. Esto no ocurre cuando el flujo de efectivo es mayor at principio, pues el interés compuesto no opera con la misma fuerza
‘
31 Es oxactanienie la misma medida de rentabilidad. En el caso del bono o ra acción, su precio nos indica una rasa implícita de rendimiento (que iguala el valor pre-senie del FF a su precio) y en el caso de los préstamos, re p r e .s e n ta la-TIR del banco. 4) Cierto. El período de recupero garantiza un VAN = 0 pero no tiene en cuenta los flujos de efectivo después dei recupero. Podría descartarse un buen proyecto. 5) En proyectos no simples, cuando sube k, el VAN disminuye generan do una respuesta confusa. 1.a regla directa del VAN puede fallar cuando tratamos con proyectos de diferente vida útil (recuerde el ejemplo del ca{7ÍlUlO 11) G. c) y e) 7 Sí, por ejemplo -100 = 00 La TIR es -25% 0. í\).
lu, d)
Resolución de los problemas
1.a) VAN al 10% TIR
Nueva planta
Mano de obra intensiva
50,14
15,54
28,30%
29,84%
A r E N D ic tA - R espuestas a P r e g untas y P ro blem as
6D
b)
fs-
C l!,
-Nueva piania —« —Mano de obra Intensiva Tasa de corle
Nueva planta
5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50%
09,62 50,14 27,59 13,70 4,54 -1,84 -6,50 -10,03 -12,79 -15,01
Mano de obra Intensiva 27,39 15,54 8,78 4,61 1,86 -0,05 -1,45 -2.51 -3,34 -4,00
c) El valor de las lasas de reinversión no modifican los resultados obte nidos por el VAN con las mismas tasas; piense que en el VAN ia lasa de corte utilizada está "presa”. Si planteamos la reinversión con una tasa más alta, luego esta tasa es utilizada para actualizar el valor futuro obtenido, volviendo a obtener el mismo VAN que hubiéramos obtenido calculándo lo directam ente.
'«S
5 ^
iU ,
2. a)
Proyecto A B
Período recupero -3 -3,5
VANal 10%
TDl
$ 1.976,97 $ 2.907,87
19,86% 13,20%
■
m
b) Si los proyectos son independientes y tienen riesgo similar (por eso el VAN es calculado en ambos casos con el diez por ciento) ambos proyec-
m .]
oí 4
G u !lle r a \ o L ó p e z D u m r a u f
tos deberían ser aceptados, siempre que no existan restricciones de capital, En el caso de existir restricciones de capital y plantearse la exclusión, el pro yecto B sena aceptado a la tasa requerida del 10%. Sin embargo, note como para rendimientos apenas superiores al diez por ciento, la decisión cambiaria drásticamente para elegir el proyecto A. Esta situación ilustra el cuidado que debe tenerse de elegir directamente a partir del dato que proporciona el cál culo directo del VAN con una sola tasa de corte.
-V A N A ------- VANB
3. Inversión A: -t52+48 = 100 precisa $48 del segundo período 48/63 = 0,75 años o sea que tarda 1,76 años. Inversión B: 4 1 155+4 = lüO precisa$4 del tercer periodo 4/110 = 0,035 o sea 2.03 años, Desde el punto de vista del periodo de recupero de la inversión, la in versión B iio sena aceptada. L'ero el Período de Recupero, entre otras co sas, no tiene en cuenta el valoi tiempo del dinero. Cuando éste es tenido en cuenta, la TIR de h es mayor que la de A (38,29% versus 38.04%) En el próximo punto se calcula c! VAN.
4. V.AN A = 573,18 VAN B = 583.96
5. Sí sanemos ípie al menos la inversión se recupera, el VAN en el peor de los casos debe ser -l.OOO.OOO + 0 + 0 + 0 +0 +0 + 1.000.000 Si k - 15% el peor V.AN es - 1.000.000 +
I ívwy fyin , = - 5 0 2 823 ^6
(U 5 )’ 6. El flu)o de efectivo Igualando las vidas en 12 años seria:
A P fN D iC í A • RíSPUfSTAS A pR fC U N T A S Y pR Q flt £m a S
i‘iuyu;tu
a
1 iiñú
-lOUO
4 años
-lOÜO
6 años
-lUÚU
1 2 3 200 200 200 U 0 0 ü 0 0
B 9 200 200 0 600 Ú 0 0 0
4
5
6
7
200
200
200
200
600
0
Ú
0
0
1000
6J5
10
11
200
200
1200
0
Ü J60Ü
O
0 2000
Si los tres proyectos los expresamos en una vida común para 12 años, queda;
Proyecio I año
TIR
VANal 10%
■niuvi
20 .00 %
$681.37
14.90%
años
12.50%
$ 199,52
11,68%
t) años
1220 %
$201.74
11,70%
4
7. Teniendo en cuenta que Jos costos totales nncluyendo la depreciacídn, que luego debe volver a sumarse en el flujo de efectivo) suman $225.681, y que la TIH debe ser del 12,7%, podemos usar la runcidn Solver de Excel para decerminar el valor de los ingresos anuales que generen di cha TIR teniendo en cuenta los costos totales y la tasa de impuestos dt-J 30%, Para ello, diseñamos un flujo de fondos y colocamos un ingreso ten tativo de 300.000; con dicho ingreso, la TIR debería ser del 5,24%. Luego vamos al menú Herramientas, pulsamos Solver (si no está instalada debe rá hacerlo con complementos y luego tildar herramientas para análisis)y definimos como celda objetivo aquella donde aparece la TIH del 5.24%; luego donde aparece la ventana "cambiando las celdas" leferenciamos la tila donde aparecen los ingresos y ñnaJmenie, como la taiifa debe ser igual todos los años, en la ventana "sujeto a las siguientes restricciones" establecem os igualdades entre todos los ingresos.
3D: 000.0 i 3ÜOOOOÍ)
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“I ^ 4 512
I 3 5 9 0 3 a { i36 9 0 2 -I 159 I3á 0 !~ 1S3
1*I36 502.< I
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Í3B-9(« 4 159 1390 T I » I g . i ? !
136902 4 1691390
Finalmente, pulsamos "Resolver" y deberíamos ver una ventana similar a la que sigue donde los ingresos por año suman 394.409,5. Para dennir la larifa, solamente debemos dividir esta canUdad por la cantidad de viviendas: 394.409,5/200.000= 1.97. Inórelo*____ _______
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391 409,5
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'
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VANA
VANO
VANC
VAND
VANC+D
$2,W9.55
$805.41
$894,82
S2.ll6t,40
$2.956.22
Por la regia de! VAN, si leiiemos $8.000 para invertir, lo haríamos en el provecto combinado C+D. Utilizando el criterio del índice de Rentabili dad, D parece la alternativa más conveniente: A
D
C
D
C+D
VA Rujo fondos
10.650
8.805
4-095
6.061
10-956
(iiversión
B.OOO
8.000
4.oon
4 000
8.000
1,33
1.10
1,22
1,52
1,37
lud Retuaí)ílidad
Sin embargo, como se observa a continuaciún. el índice de rentabili dad no es un buen criterio seleccionador cuando tenemos proyectos mu tuamente excluventes. Calculado el índice de rentabiltdad mcreinental. se (*bsrn'a claranrentc que D no es mejor proyecto Calculado un índice de lentabibdad incremcnlal, por ejemplo el que corresponde a A-D es 1,15, de ínrma tal que A sería mejor proyecto que Ü. Si hemos de gastar $8.000, In alternativa de invertir en $4.000 en C y $4.000 en D es la más conve niente.
El VAN de ambos proyectos es exactamente igual, aunque también resulta claro que el proyecto A es más sensible a los cambios en la tasa de interés, debido a qué sus flujos más altos se próducert más tarde Desde el punto de vista del "riesgo tasa" el proyecto A es rná.s riesgoso Observe que la TIRM es igual ya que supone reinversión a la tasa de oportunidad del 10%, que es la que igual el VAN de ambos proyectos. El dinero vuelve tam-
ArENDíCE A - lUSrUfSTAi A rREGUNTA5 Y PROSUMA.'» bién más tarde, corno lo expresa el discountedpay'back. La introducción del riesgo tasa en el análisis, nos obliga a realizar consideraciones sobre el futuro de la tasa de interés; si la tasa baja, el VAN del proyecto A resultaría ex-post, más alto que el VAN del proyecto B, y se daría lo contrarío si la tasa aumenta. Observe que por la TIR hubiéramos elegido el proyecto B. Planteado en tér minos de las tasas de reinversión, llegarnos a conclusiones parecidas. Sí la tasa baja al 5% al final del primer año, los retornos que mostrarían los proyec tos al final del año 2, serían: Proyecto A; LOGO (l,05)+2.Ü00=3.Ü50 Proyecto B: 1.909 (1.05)+1.000=3.004 Y sí la lasa sube al 20%: Proyecto A: 1.000 U,20)+2.000 = 3.2OO Proyecto B; 1.909 (l,20j+1.00Ü = 3.291
10. Se calcula primero el VAN de cada proyecto con la tasa de opt)rtunidad del 15% VAN A =: 25.150,15 VAN B = 25.168.92 Luego se calcula la anualidad equivalente para el VAN de cada proyecto. Anualidad equivalente del proyecto A: 25.i5{),15 a{l,10,0.15)-*=:S.011,22 Anualidad equivalente del proyecto 8:25.168,92 a(l,Í1.0.15)'*=4 809.00 Asumiendo que se realizarán continuos reemplazas al final de la vida de cada proyecto hasta el infinito, podemos considerar el valoi piesente de la perpetuidad de cada anualidad equivalente: 5,011,22 / 0,15= 33.408,13 4.809,00 í 0,15= 32.060,00 El cálculo de la anualidad equivalente supone que los proyectos pue den ser renovados permanentemente dando forma a cash flows iniiniios. donde el cash flow es la anuaJídad equivalente. Considerando vida infiTUta, el proyecto A es el mejor.
o>{>
C u tL iE R .v io L ó p e z D u M f u u f
i L El proyecío C es superior al proyecto A y también al proyecto B, como lo nuiesira laTIR incremental y también laTIRM incremental.
Proyecto
Añü U
AAo 1
Año 2
A
-100
W
64
-15¿)
ÍJO
\AN a]
10%
IR
TIR
TI RAI
S
$ 59.91
1,60
42%
28.6%
90
93
$76,07
1,51
37%
26.1%
1.46 1.28
34%
24.9%
25%
19,6%
20%
17.1%
-175
lOú
lüO
lio
5 81,20
C-A
-75
36
36
C-B
i -25
)Ü
10
45 17
$21.29 S5.13
1.21
C apítulo 11: O bugaciones o bonos Respuestas a las preguntas 1. Es lo mismo que la TIR, aunque a veces se reserva esa expresión so lamente para los bonos del upo ‘'bullet". 2 Esto es debido a la tasa que se fija en el prospecto de emisión, que aornialm ente contem pla condiciones de mercado. 3. En la Bolsa de Comercio de Buenos Aires es igual a la cotización BCBA (que se expresa coinu si el bono no hubiera tenido amortizaciones) multi plicado ptjf su valor residual expresado en porcentaje. En el caso del MAE i,e. expresan cada 100 de valor nominal y no cada 100 de valor residual como en la BCBA. 4. Por ganancia de capital (o pérdida) entendemos la diferencia entre e! precio del bono en un momento con respecto al precio que pagamos al comprarlo; la ganancia de intereses es el cupón de interés que paga el bono. Ambos también pueden expresarse en porcentajes, en cuyo caso hablaliiüs de! capital gain yield o del current yield. 5. Las obligaciones que pagan cupones semestrales se venderían a un precio mas alto que las que pagan cupones anuales, ya que pem iiien co brar la misma cantidad de dinero en menos tiempo. 6. El liesgo precio / tasa se refiere a la caída en el precio que experi menta el bono cuando sube la casa de interés. El riesgo de reinversión se refiere a la posibilidad de que cuando tengamos que reinvertir los cupo nes que cob ram o s, las tasas de interés sean m enores, con lo cual la reinversion se producirá a tasas de interés más bajas. 7. El bono cupón cero. También es el que tiene mayor riesgo precio / tasa de interés?
APCNOICI A ' rit^PUtSTAS A P r EGUNTaS y PllOSlíMAS
6 1 ^ " )
8 . a.VerUuJeto. b, Palsü. c. Verdadero. 9. La diferencia entre el rendim iento que paga un bono en dólares aigentino y el reridirnienio de un bono de la tesorería de USA. co n v en ci m ien to equivalente, 10. En el caso del bono com|)rado bajo la par, a medida que nos acer cam os al vencim iento, ios flujos futuros sufren un m enor descuento y c o m ienzan a acercarse al valor par. En el caso del bono com prado sobre la par, tam bién es un argumento de valor presente: a medida que van q u e dando m enos cupones con rendim ientos superiores a la TIR exigida, el precio vuelve a acercarse a su valor par. I
Uesolucldn de los problem as 1. Suponga que usted com pró .bonos del tipo b u llet con 3 ven cim ien tos diferentes. 5, lü y 30 años, todos con cupones sem estrales del 5%. a) 5 años: 5 a ( l ,10.0.06)+100 x (1.06)-‘° = 92,64 10 años: 5a{ 1,20,0.06)+ 100 x (1.06) 2“ = 88,53 30 años: 5 a (l,60,0.061 + 100 x (1.06) " = 83.84 b) El de 30 años, por el efecto del interés com puesto, principalm enie en el último cupón que contiene el pago del capital. c) El de 5 años, que tiene que reinvertir 5 veces a lo largo de un periovlu de 30 años. dj A un precio m enor ya que es preferible recibir la mitad del inieie^ antes, corno es el caso del cupón sem estral. Puede com probarse si se des cuentan los flujos de efectivo dcl bono con cupón ani^ J a una tasa anua) efectiva equivalente al 5% sem estral. 2. (100/99,3Q)^‘^^*-l= 0,3296 El rendim iento es correcto 3. La sig u ien te tabla co n tie n e in form ació n so b re tres o b lig acion es em itidas por la com pañía Altos Hornos con un valor nom inal de SlüOU. H oyes 1/1/2002. Años para el vencimiento
Cupón
Vencimiento
5%
2007
5
a%
2017
15
12 5/8
2027
25
G
uiu frm o
L ó n z D u m iu u f
a. Esto es porque Altos Hornos coloca la lasa del cupón reflejando las lasas de interés al momento de la emisión. b 800.2 (5 años); 1000 (15 años); 1493,7 (25 años). c. 25a(U0.0.0392)+10ü0 x (l.O392) '“=084.36 (Los (lujos de efectivo del bono se descuentan con la tasa semestral efectiva equivalente al 0% anual: 1.00)'’*-! = 0,0392. ti La misma en ambos casos (8%) pues es la tasa de rendimiento anual implícita en su precio y coincide con la tasa nominal anual. En cambio, si el cupón fuera semestral, la tasa efecii\’a anual sería del 8%, pero la nomi nal anual sería igual a 0.0392 x 2 = 0,0781. e 900,6. La ganancia de capital sería igual a (900,6 - 880,2)/880,2 = U,0232. f. La ganancia de capital más el currení yicid; 0,0231 + 50/900,6 = 0,079. g. Si los intereses y las ganancias de capital están gravados, seria prefe rible el bono de 5 años, pues el impuesto a las ganancias se aplicaría sobre un menor monto de intereses. Además, como cotiza al descuento, las ga nancias de capital pueden diferirse liasia el momento en que se realicen, con lo cual los impuestos serían menores en v-alor presente. n Ll bono de 25 años. 4 a) A no
F lu jo d e c a ja
Factor capitalización
capiLalIzado
1
V ^or
5
1,216
6 .0 7 7 5 3 1 2 5
2
5
1.158
5,7118125
3
5
1,103
5.5125
1
5
1,050
5 .2 5
5
105
URM =
127,63
88.02
1.000
105
Total
1 2 7 .0 2 8 1 5 6
- 1 = Ü,Ü771
1>) LaTlRM hubiera sido del 8,2%. rl En el caso de la reinversión al 5%. laTIRM habría sido menor a laTlIl del 8%. lo contrario sigue si se hubiera reinvertido al 10%.
5. a) 865.49 (la tasa efectiva semestral utilizada para el descuento de lliijos es la equivalente del 10,25% anual: (1,1025)°-* >1=5% La ecuación para riblener el precio de! bono es;
APENDICE A * R espuestas
a
Preguntas
y
Problemas
621
15 años (30 semestres): P = LÜOO x 0,oa25/2aU3Q,ü.05)-»-1.000 x
(1.05) “-855.49
b) 12,71%, que es la TIR que resulta de descontar el flujo de fondos de 5 arios. Incluyendo el picdo de rescate en el quinto año. c) Como el bono llene un cupón del 8,25%, no será rescatado si las lasas perm anecen en el 10%. Los inversores reconocen esto, y valúan el bono suponiendo que no será rescatado. Si pensaran lo contrario, antici parían una lasa del 12.71% y ofrecerían en consecuencia un precio menor. El rescate anticipado incrementa el riesgo de reinversíón, y si la tasa cae mucho por debajo del 8,25% (debe tenerse en cuenta los costos de emi sión) seguramente sería rescatado. De esta forma, la TIR del bono es lige ramente mayor que un bono similar sin cláusula de rescate anticipado. 6. Observe que el valor presente de los cash flows, descontados con la TIR, igualan el precio del título. Esta es una comprobación impórtenle, y además confeccionar la planilla de este modo permite direccionai otros cálculos (Duration, análisis de sensibilidad, etc.). r e c r ía liqu ioación Intelo p erio d o d e rem a
30/04/05
T a s a p sr lo o o e n cu rso (Lll T a s a p ro y e cia d a (ü B O R )
Pwíodo' 0 6
P re cio
íeeiul';*i‘iJídsfcllpflrt
20/10/05
• AftióflBadátl' Valonresldual
183
0
100
7
30/10/05 30/04/05
182
1 2 ,5
8 7 .5
9
30/10/06 30m 4A )7
183 182
12.5
6 7 ,5 75
8 10 11 12 13 14 15
0
0
30/10/07
183
30/04/08
183 183
1 2 .5
75 6 2 ,5
182 183
1 2 .5
6 2 .5 50
30/10/08 30/04.'D9 30/10rT39
16 17
30A)4/10 30/10/10 30/04/11
ia
30/10/11
19 20 21
30/04/12 30/10/12 30/04/13
0
0
1B2
1 2 .5
133 162 183
12 ,5
0 0
183 183
12.5
182
1 2 .5
0
50 3 7 .5 3 7 ,5 25 25 12,5 1 2 ,5
0
•--'henlá.-f 1 .5 0 4 1 1 1 ,4 9 5 8 9
1J1B10
Ceahbow v C M ^ i i s a ' • 80 .9 0 0 0 1 .5 0 4 1 1 3 .9 9 5 9
1 ,5 0 1 3 .3 5
1 ,3161
*,20
1 .3 0 8 9 0 1 ,1 2 8 0 8
1 3 .8 0 8 9 1 .1 2 9 1
H .9 8 •>.93
1 ,1 2 8 0 8 0 .9 4 0 0 7
1 3 .6 2 8 1 0 .9 4 0 1
l o .r e •».71
0 .9 3 4 9 3 0 ,7 5 2 0 5 0 ,7 4 7 9 5 0 ,5 6 4 0 4
13.4.149 0 .7 5 2 1 1 3 .2 4 7 9
»>.65 «'.52
0 .5 6 4 0 1 3 ,0 5 1 0 0 ,3 7 6 0
»».3S
1 2 .8 7 6 0 0 ,1 8 8 0
«'.97
0 ,5 5 0 9 6 0 .3 7 6 0 3 0 ,3 7 5 0 3 0 ,1 8 8 0 1 0 ,1 6 6 9 9
1 2 .6 8 7 0
",2i «MO «25 8 3 ,9 0
7, Fecha llquJOación Inicio poriodo de reñía Tasa periodo en curso (Li Tasa proyocíBda (LOOR) Precio ’DloifcüpOn , - Amortliacien Va(tjflrsiiíu*l, '■ >■flema 28/1 (VD5 30/01/06
-3 9 ,6 163
40
40
0 .7 9 7 3 8
4 0 .7 9 7 4
3 9 .6 0 3 9 .6 0
622
GuiufRMO López f>i;íwtRAUf
39.60 40.39 40.29 40 19 40 09 40,00 39,90 39.61 39 72 39 62 39,53 39,44 39 36
4S 5% 61* 7% dv 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%
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Iniciú p tjrío o o Od r e m a
0 3 /0 2106
T a s a p e f íc u o e n C urso
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Precio
O ia s c ^ p o n
> A m o n u n c id o
V a Jo rre s id u B J
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-77.5 100
0.00000
0.00
0 00
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2.23825 2.20175 1,76659 t.92653 1.67868 1.65132 1,39890 1,38370 1,11912 1.10086 0.83934 0.82566 0 55956 0,55044 0,27978 027674
0.00 0.00
0.00 0,00
164
0
ICO 87.5 87.5 75 75 62.5 62.5
102
12.5
so
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0
181
12.5
181
12.5
184
0
50 37.5 37.5 25 25 12.5 12.5
182
12.5
0
0
1.76559 14,42653 1.67868 14.15132 1.39690 13.88370 1.11912 13,60068 0,83934 13,32556 0 55956 13,05044 0.2797B 12.77674
10, yqlPiesfMiHros
4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 13% 14% 15%
Eaaax!
0
6,26% 6.77% 7,20% 7,79% 8,31% e.82*/i 9,35% 9,67% 10,40% 10,93% 11.46% 12,00%
116.91 120,73 124,69 128,78 133,01 137,39 141.91 146.59 151.42 156.42 161,58 166,92
1.73 13,54 1.51 12.23 1.16
11,04 0,65 9.96 0.59 e.se
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6.09 0 17 7,29 77,50
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623
F íia
Respuestas a los preguntas 1. La vida promedio ponderada del bono y una medida de su volariiídad precio / tasa. 2. Cuanto m enor es el cupón, mayor es la Duration. 3. Debido a que la Duration Modificada es una aproximación linea), y la función precio / rasa de inrerés es convexa. Para cambios pequeños en la lasa de Inierés la Duration Modificada es una buena aproximación. 4. La TIR y la Duration: cuando aum enta la TIR requerida de un bono, cae su convexity y viceversa. A niayor Duration, mayor convexiry y vice versa. 5. G eneralm ente cuando los Inversores perciben que el país entrara en cesación de pagos 6- No, no siem pre. Por ejernfilo el lector podría probar alargando el plazo de v e n cim ien to en un b on o bulJet y notará que ai p rin cip io la duration aum enta y para plazos largos com ienza a descender. Esto es de bido a que el peso relativo de los valores presentes de los cu p ones más lejanos tiende a disminuir cuando aum enta el plazo de vencim iento, 7. Al principio baja y luego se estabiliza. Esto también se debe ai peso relativo de los valores presentes de los cupones más lejanos que tiende a dism inuir cuando aum enta el plazo de vencimiento. 8. Para inm unizar una cartera de bonos, la duration de la cartera (que es el promedio ponderado de los bonos que la com ponen) debe ser la fe cha de la liquidación de ésta. Si se com binan adecuadam ente los bono5, cualquiera sea el cam bio en la tasa de inierés, el valor final de la reinversÍQii de cupones se com pensa con los efectos que genera en el valor presenté de los cupones a cobrar después de la duration. 9. Con una cartera de bonos puede lograse una mayor convexidad para el valor de la cartera en la fecha de la duration, y por lo tanto, una mayoi protección para los cam bios en las tasas de interés.
R e s o lu c ió n d e lo s p r o b le n io s l. l.as fórmulas de Duration > Duration Modificada requieren el cáJeulo del rendim iento del título. Siendo la TIR del bono de 11,63% semeslraL
G u iu ¿ !iM o J^ ^
Ó24
I., O u ra n o n y la D u ra .lo n Modlflcada se obtenidas en forma analítica y también con a
Plazo
Fechas
Flujos
-95
lai
10/02/02 lO/Ofl/02
0.89229916
10/00/03
10 10 10
21,5240031
lOfOZfí»
lio
283,31040-1
io/(É'/a3
365 546 730
j’ FF rtl+ T lR )'
16,0407441
1,73570658 1,55402616
Por flx,' Excel TIR semestral Duranon Modified duration j
.
11,63% 1,7332726
semestral
1,5432908
"años"
"años"
I
2Si el rendimiento exigido aumenta al 15%, se reducen tamo la Duration como la Duration Modificada, En el menú herramientas de Excel puede utilizar la función "Buscar Objetivo” Y definiendo cl3 para el valor de la tasa con e¡ valor de 0,15 y luego cambiando la celda c6 donde figura el precio, la duration y la duration modificada se calculan automáticamente entregando los valores de: Duration 1,7162289 y Duration Modificada 1,4779151, 'S 'jP id B ír m iJ - fjB irtd fl N 'I
3[ í j __J m ■z_“36s
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1 t.«3390B
H't
3. {100/98.561)-’^'»'*”- U 0,0294 (100/99.289)»”'» "- I = 0.0290 (100/99.356)^*"'*’ - 1 = 0,0262
ín w liV i {
— ^ --------
-------
- ------
i..''-:/'
A
p ín d ic e a
-
RtspUEJTAs
A
Preguntas
y
PRorvLEMAs
4. (lÜ0/99,30)^«í'®-1=0,3296.
Qjpdn semestral
n R anual (nominal}
Precio
6 meses
0
10%
96,6184
12 meses
0
9%
92,4556
18 meses
8%
8%
90,6255
24 meses
9%
10%
98.2270
Fecha
Tasa contadlo para un semestre; 100/96,6184 - 1 = 3,5% Tasa contado para dos semestres (1 año): (100/92,4556) - 1 = 8,10% Tasa contado del segundo semestre: (I.OSIG)®-® -1 = 4%
La tasa futura del segundo semestre puede despejarse a partir de las tasas contado; (1,035) X (l+íp^) = 1,0816 ( =
4,5%)
Tasa contado para tres semestres; despejamos i, del flujo de efectivo del bono de 18 meses:
108
8
98,6255 = -
(1,035) (1,0816) (l + i,)-
Por despeje, i^ = 8.95%. La tasa futura del tercer semestre puede despejarse a partir de las lasas contado: (1,0816) X (l+ípj) = (1,0895)^ (ip3 = 19,6%)
Tasa contado del cuarta semestre: despejamos del bono de 24 meses:
98.2270 = —
,
-
(l-f 0,035) (1.0816)
Por despeje,
=10,04%.
.
del flujo de ef'íctivt»
(1 + O.OS95)*
.
(T+ fj^
Glmiuíoho LóPtz DuMR.uif La lasa tucura del cuano semestre puede despejarse a partir de las tasas contado:
(1,QS16) K (UÍISKI+I f,) = (1.1004^ (i„ = 13.5%)
6.
Los siguíenies resultados se calculan utilizando las funciones de Excel - a p ic a l t PHraUda ^ MotLOiinuion
JMQF/excp) - -PiEfip*^
A
S -54,27
7,06610
6,6057frl752
6,605704752 S 1.210.71
B
S -60,92
6,7535
6,311718253
6,311718253 S 1.421,41
7. Tomando como fecha de liquidación el 21-05-96, los resultados mues tran que lá duración al principio aumenca y luego disminuye, y en el caso del cupón, la duración primero disminuye y luego se escabiliza.
Duración para diferentes maruricy en años - M m p/vtó^'T-fí í .Fpcfip <
5 10
15 20
25 30 35 40 45 50 53 60 65 70 75 60 85 90 95 100
20/05/01 19/U5/06 18/C6/11 16/05/16 15/05/21 14/05/2G 13/05/31 n/05/36 10/05/41 09/05/46 U0/f6/51
(Ai/05/56 C6/U5/61 14/05/66 Ü.1/05/71 01/05/76 30/W/81 29/M/86 28/W/91 26/ai/96
’Pivaiion 4,51 7,48 8,01 3,03 8,77 8,43 8.14 7,94 7,81 7.73 7.63 7.66 7,6-1 7.63 7.62 7.61 7.61 7.61 7.60 7.60
Duraiion {Bferenies cupones Cupdii " - PwpUqií ■' 0% 21.00 1% 13,12 2% 10,79 3% 9,67 4% 9,01 5% 8,58 6% 827 7% 8,05 a%
IJS l
9% lOTo 11% 12% 13% 14% 15% 16% J7% 16% 19%
7.73 7.61 7,52 7,44 7,37 7.31 7,26 7,21 7.17 7,14 7.10
.
8. El bono A, que para una TIR del 15%, entregaría $2244,69. Los bo nos 0 y C entregarían $1.961,89 y $ 1.651,12 respectivamente.
A l ÍN n iL T í A
-
A
P r IGUNTaS y
^ 'K O B L t ^ ^ A i
Tasas de interés
CaIJÍTULO 13: iNTRODUCaÚN A LAS OpaONES Respuestas a las preguntas 1. Porque al aunremar la volatilidad mayor es la probabilidad de que tamo un pui como un cali se sitúen en la zona "in üie money** 2. Por dos motivos: 1) el efecto del valor tiempo del dinero en el precio de ejercicio y 2) si se piensa mantener la acción durante el plazo que dura la opción, no ejercitándola antes del vencimiento nos cubrimos de posi bles bajas en ei precio de la acción. En cambio, por el efecto del valor tiem po del dinero, si conviene ejercitar la opcion de venta, y obtener inm edia tamente el efectivo. 3. Cuando el precio de la acción se encuentra por encima del precio de ejercicio. 4 Représenla el coeficiente de cobertura, que se calcula ntedianie d ratiü de la variación del [irecio de la opción dividido por la variación de precios de la acción. Recueide que delta no permanece constanie a lo lar go del plazo de vencimiento 5. Dividiendo los períodos de tiempo en siibperíodos cada vez m eno res. De esa fomia, con el método binomial se arriba a resultados parecidos a los obtenidos mediante Black Acholes.
Resolución de los problemas Resuelva los siguientes problemas luílizando el método binomial:
C ^ ; -
L\ ■'-
Íiín 11111111^^*1 _«feiaVi-A.---------------’..:i^^’
••-•
\..^^^..-i-
.
. t*^>r-..*^--i '
.
.
.
. .
j ; f í ' ÍM.
GuíiLfRMO Lorfz DuMRMlf_
02S ^
_ (!-<- >/) - ^ w-í/
- o 1? 14 1 .5 -0 ,8 0
y J -p = 0 . 6 7 8 5
cu .p -^ c d .jl- p ) _ 6 X 0,3214 + 0 _ j gg (I + cO
'
(1.025;»
2. Precios al final de los 3 meses: siruación ascendente: 106 situación descendente: 95. Precios al finaJ de los 6 meses: situación ascendente: 112,36 situación descendente: 90.25 Precio situación ascendente-descendeníe: 100,70. p = íl l ¿ W
M -d
,l £ i2 5 z í2 5 1 .0 6 -Ü .9 5
= 0.5 6 8
y 1-p = 0,4318. Valor de la opción ai final del primer año:
cu.p + c d . ( l ~ p) " =—
11,36 ,T 0 ,5 6 8 + 0
( ¡;;/ ) - =—
¡ m
,
—
V alor de la o p c ió n e n el rn o / iie n to c e r o :
_ cu p - h n l ( l - p) _ 6 .3 7 3 j : 0 ,3 6 8 -f O
(í\ -^ )
^
(1.0! 25)
I00.70
rut * ojon ój -100 70)
95 THit« 4.753
F
<Í025
rui^lOTS a o t-90,25)
-i.—
ai
MW.
AriMDtcE A - R-EsruíSTAS A Preguntas y rpvOoiiMM Cálculo del valor de la. opción asum iendo neutralidad a m e e l riesgo:
cu.p ■i'cd.il-p)
0 + 0 3 0 x 0 ,4 3 1 8
NJmínR'
pui ^
---------------------- -- ------------- ------- ---- 0,128 (1+r/) (1,0125)
. ^ ^ Nodo C:
cii,p -v c d .(l~ p ) 0 3 0 x 0 .5 6 8 + 10.75x0.4318 , pui - — ^-7:---- 7:— — ~ -------- ------- = 4,/53 (1 + r/) (1,0125)
Nodo Ar
c«.p + c ¿ . ( l - p ) 0,128x 0.568 + 4,753x0,4318 ------------------7.-7:^^ :-----(1,0125) (1+r/)
Verificación de la paridad put-call: c + E/(li-rf) = p-i S 3.575+ 101/(1,0125)^2.098 + 100 y también: c = p + S - B/d-rrf) 3,575=2,090 + 100 - 101/(1,0125)^
4. El precio de las acciones de Lojas Americanas es de S5Ü. Durame cada uno de los dos próximos períodos de tres meses se espera que suba en un 10 por ciento o que baje en un 10 por ciento. La tasa de interés libre de riesgo es del 5% anual. a) ¿Cuál es el valor de una opción europea de venta a seis meses con un precio de ejercicio de 552? b) ¿Cuál es el valor de una opcion americana de venia a seis me-^es con un precio de ejercicio de $52?
'
,
G U IL U R M O l.O l'E Z D U N iR A U f
C(jJru ¡o d e¡ valor d e la opción a su m ien d o n eu tralidad an te el riesgtX’
=
p.
= 0.5625
1,10-0,90
u -d V U~!i) = M 7 5 l\jra Id opción europea: ,
,
, , Nodo L.:
. , Nodo A:
c u .p * c d .O - p )
0 + 2.5^ 0.4375
(1 + r/)
(1.0125)
cu .p + c d . ( l ~ p ) pul = — --------------- — il-trf)
2,5 x 0 .5 6 2 5 + 11,5x0.4375 . .„ ----------------------------------------- 6.358 (1,0125)
cu p + cc/.(i -/ )) 1,08x 0.5625 + 6.358x 0.4375 _ piit = — í---------------- ------------------------------------------------- -- 3.347 ll + r/) (1,0125)
En el i.aso de ser una opción am ericana, el mayor valor que toma en los nodos Ü y C siempre es el mayor entre el que surge de aplicar el m éto do de la neutralidad al riesgo y el valor que resulta de ejercitarla inmedia tam ente. En el nodo B no conviene ejercitarla inmediatamente pues el valor de la acción es de 55, pero en el nodo C, el valor de e|ercitarla inme diatam ente es igual a 7 (52-45), por lo tanto esto modiñea el valor para el nodo
.Nodo .-¡i.
cu.n + cd .(l - p ) 1.08X 0.5625 + 7 x 0,4375 , . p m = ---- ----------------— = ------------------------------------ = 3,624 (l + i/) (1,0125)
+ rT ctJ t
av7
= -0.00843
2
d , =c/, -c r-T r = -0 ,1 5 7 9
lü s hinciones acumuladas N(d,) y N(dj) pueden calcularse fácilmente con Excel. Finalmente, el valor de la opción es
r . S N ( d ,) - E e ''^ N (d 2 )^ 0,096
Al'írjnivl A “ fUsi'UtSTA^ a FRECUt-iTAi y PRÓbt tMAS
Cat'íTIno 14. IrTrRODucciONa Ijw opciones miAi.ES Reipuesras a las pieguntus 1. El van rio iiene en cuerna la flexibilidad que tiene el directivo para expandir, contraer, abandonar el negocio o diferir la inversidn, entre otras. Tampoco nos dice cual es la mejor de estas decisiones ni cual es e! me|oi m om ento para tomarlas. 2. Es una opcídn. El defensor tiene la opción de com eter falla y ser expulsado, o ir al todo o nada y tratar de quiiarle la pelota limpiamente Sería una apuesta si sólo contara con esta líliima posibilidad. 3. Martín tiene una opción de contracción, cuyo precio de ejercicio es la diferencia entre el millón que recibe menos la disminución del valor de la empresa. El plazu de vencimiento no es fácil de determinar; solamente sabem os que la opción tendrá vigencia mientras las condiciones del sec> lor en que se desenvuelve la empresa de Martín se mantengan. Una fuerte recesión o una fuerte expansión pudrían hacer más atractiva la opción o que no tenga ningún valor. 4. Los empleados de Mesbla tienen una opción de venta europea, l.os retiros voluntarios siempre se ofrecen por un período de tiempo d etenninado. El precio de ejercicio podría razonarse como la indemnización reci bida m enos el valor presente de los ingresos futuros que se obtendrían hasta conseguir un nuevo trabajo En un árbol binomial podrían plantear se condiciones de descenso (profundización de la recesión y menores opor [unidades de conseguir empleo) y de ascenso (recuperación de la e co n o mía y mayores opoiiunidades de conseguir empleo). En uno y en otro cuso la opción de venia perdería y aumentaría de valor, respectivamente. 5.
C a ifg u iÍJ
, Valor oel acovo subyacenlé
Opciones financieras
Üpaones reales.
Precio de una acción
V'^lor presente del flujo de fondos íutuia.
Precio de ejercicio
Valores reducidos, ileñnidos por conoaio
Valores altos, nonnalmente una Inversión o un valor de liquidación de acuvos en l4is opdones de abandono.
Tiempo hasu el ver»cimiento
Definido por coniraio, no más de ÍJ meses
Usualmenie no definido, a veces puetlen ser muchos años.
Volatilidad
Observada en et mercado
Usualmenle no observada. Aveces puede esomarse a partir de un proceso de simulación de Monte Cario.
|
|
...
. '•
•
. ■-
V -
J,
.fe
V
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.s ■ ■ 1^' ■
. ' '.
G uillermo Lo tez D umiuvue
Resolución ele los problemas 1.03-0.666 _
(l + i f ¡ - d
y ü-pj
=
,^
1,5-0,666
n-J
0.54 150
Pul =0
M inn Pul =9,-i0 L
F
66.66
¿4.44
Pui^35J6 OSO-44. ¿4)
Pul =18^88
cu.p + cd.{i - p) _ 0-t 0,46 + 35^6 x 0^4 _ ^^ N od o C :
fe .
(I + r/)
(1.0125)
( n o te q u e n o c o n v i e n e el e je r c i c i o in m e d ia t o e n e l N o d o C y a q u e 8 0 6 6 .6 6 = 1 3 .3 4 ) .
cu.p-\-cd^l-p) ( 1 ../ )
,
' y (]-p ) =
n -d
0;r 0,46 +18.288-r 0,54
---------------
1.9-0.5263
0.38,2
0,6187.
2 7 0,75
Q
^ C = ü 9 7 5 ( 270. 75- 175)
A i'f N D ic E A - R e s p u e s t a s
^
a
P reg untas
y
Probi
emas
95.75x0.3812+0 , ------------------ ----------------= 3 4 ,7 6
c iL D -^ c d X ^ -p )
(c o n v ie n e el e je rc ic io in m e d ia to en el N o d o B ya q u e 1 4 2 ,5 -1 0 0 = 4 2 ,5 ).
, .
N o d o A:
^
C =
c u .p + c d . { \ - p ) í — ------- ^
{{■ v rf)
^
42.5x 0.3812 + 0 ^ :------------------ == 1 5 ,4 2 9 (1,05)
3.e°'*= l,1610porloianto. u=l,1618d=l/u=0,86
1.05-0.86 = 0.63 i U 6 1 8 -0 .8 6
{l + r f ) - d
y ( l- p ) = Q ,Z l. 2,70 M a x |2 .7 0 ;2 .7 0 x l,3 0 J i}= 3 .0 |
2,323
C^0.Í86
C=QJI i3.0t~2.7C) M a .x |2 ;2 x U -G J )= ? ,
C=0
NodoB:
c = c u . p y c d . ( l - p ) ^ ^ x 0 f i l _^ ( ^ (\*rf) (1,05)
(c o n v ie n e el e je rc ic io in m e d ia to en e l N o d o B ya que (2.323 >< J.3 -0,5)2,323=0,1969).
(í+ rf)
(1,05)
Valor opción expansión = 0,118 millones. VAN sin flexibilidad; 2 - 1,5 = 0,5 millones. VAN con flexibilidad: VAN sin flexibilidad + Valor opción expansión; 0,5
oJ-{
G u iL líK M O lOPE¿ D U m Ha UF
u= 1.2214
u~J
d = l/u = 0.0187
E= HOmillones.
1,2 M - 0 . 8 1 8 7
y(l-jO = o ,u 5 .
2 2 3 ,7 7
Modo i 2
cu.p + c d . { l - p )
0
+ 0 .415
x 39.45
p u f^-------------------------------------------------------------- 1J^ O /
(1 + r/)
(1.0125)
¡conviene el ejercicio ínmedíalo en e) Nodo C ya que 140-122,81=17,19).
c u .p + Cil.(\ - p ) a:
/ ... =
0 + 0 , 4 1 5 x l 7 ,1 9
=
^
( , 0 Ü 5 ) ■■ =
Valor .>pddn abandono = 6.79 millones. VAN sin flexibilidad. -155+150= - 5 millones. VAN ron flexibilidad, VAN sin flexibilidad + Valor opción expansión: -5 + 6,79= 1,79 millones.
5 Primero se calculan las trayectorias de alza y baja; u = e“-“ = 1,34986 y d = 1/4 = 0,74082 (note que fueron calculadas con capitalización conti nua) y las probabilidades de alza y baja: p = 0,512 y l-p = 0,488 Luego se desarrolla el árbol de eventos y fínalmente el árbol de decisión. El valor de la opción se calcula retrocediendo hasta el nodo inicial con la fórmula de la.s probabilidades neutras. El valor de la opción de abandono resulta de 6,55 millones.
s a ¡a
APEMOICE A - (US>»HtSfAS ^ PkíGUNÍaS y PKOblíívUS g 369 202
‘* í - r w .
273
150 aa
ni
61
0 0 8 39 0
,>-.4 .,
498 273 150 82 45
0.00 0 0 18 ■55
672 359 202 in
61 33
0.00 0.00 0.00 0.00 39.01 66.53
u
C\pmJLO 15 . E l costo del Capdal Hespiiesias a las preguntas 1. La inflación y el valor del tiempo. Las letras y los bonos del tesón* americano son ctDnsiderados instrumentos libres de riesgo. 2. La prima por nesgo de mercado, es una expectativa matemática, 121 mercado no nos asegura un premio por invertir en un portafolio de accio nes, sim plemente esperamos obtener un premió por encima del lemliniiento libre de riesgo, ya que estamos inviniendo en activos artiesgados. La historia demuestra que este premio, a la larga, se veritica. El implied equity risk piemium es el rendimiento implícito que podemos observar en el mercado, dadas las expectativas de dividendos y crecimiento de la firma. Para ello relacionamos estas dos categorías con el nivel del índice de mercado y despejamos el rendimiento implícito, 3. Que si el activo cotizara, sus rendimientos (de mercado) estarían perreciam enie correlacionados con los rendimientos del comparable en todos los estados de la naturaleza. 4. A partir de la diferencia entre las TIR de un bono de un país emer gente y un bono del gobierno de USA con similar duración 5. Deben utilizarse valores de mercado ya que de esta manera pode mos calcular lo que efectivamente nos cuesta el capital. Por ejemplo, si
;
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u il l e r m o
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iVi^'.|||;|p->.^.;.:^ .-...^-iaL..», '
ó p e z
iiiTII I*
Dumoauí
rmiUmos acciones por las cuales luego pagaremos dlwdendos, tiene más sentido comparar ios dividendos con el precio que obtuvimos por ellas (juc comparar los dividendos con el patrimonio neto, que está afectado por rodas las convenciones contables. (>. En utilizar porcentajes preestablecidos de deuda y acciones para el nnanciamiento de la firma. S e su p o n e que esta mezcla es la óptima. 7. Simplemente debido al mayor riesgo. Resoluciones de los problemas 1. k = 0.05 + (0,15-0,05) X 0,6 = 0,11 k = 0,05 T (0,15-0,05) X 1.0 = 0,15 igual aJ rendimiento de mercado, ya que beta= 1. 2. a) rp = (rm-rf) = (0,12-0.05) = 0,07 b) k = 0,05 + (0,12-0.05) X 1.5 = 0,155 c) Sí. está sobrevaluada. Debería ofrecer un rendimiento del 12%, ya qu“ tiene el mismo riesgo que el mercado. Con un beta = 1, k = 0.05 + (0,12-0,05) X1 = 0,12 d) SUL
M5
.1. rf (0.15-xf)0,9 = 0.14 y rf = 0,05 Pendiente: 0,09/beta = 0.09/0,90 = 0,10.
el)
P - PpM
seguramente el beta será menor a uno, ya que al
estar poco diversificada no seguirá perfectamente a los rendimientos de! mercado. 5. La respuesta correcta es b). Lo que importa es el beta del proyecto, que no podría superar 1,5, en cuyo caso el rendimiento esperado del pro yecto superaría el 20%.
6,
^
= ^2 =
nn 0,2
= 1.35
7. El primer paso debe ser siempre desapalancar el beta de la compa rable debido a las diferencias en la estructura de capital: 0 ,8 4
Bu = 7 ------------ ^---------------5 =
0,731
V lu e g o re a p a la n c a m o s e l b e ta d e l
[1 + 0 . 2 4 ( 1 - 0 . 3 8 ]
activo con la relación de endeudamiento de Dulces del Plata para obtener el beta comparable:
^
= 0.73 l[j + 0,40(1 - 0,35]= 0.921
8. 0,09 X (1-0,35) X 0,45+0.18 x 0,55 = 12,53%. 9. Primero calculamos ke con la fórmula del CAPM: ke = 0,06^0,07x1, r 0,158 y luego WACC = 0.100 x (1-0.35) x 0.50+0,158 x 0,50 = 11,15%.
^ V,
1
I
I
I
i -
i
- o %
Apéndice B
F ó r a a u u s s\As U t í l i z a d a s d e M a t e m á t ic a F in a n c ie r a
la
En este apéndice se resumen las fórmulas más utilizadas de la mate mática financiera cjorrespundleiues a los capítulos 2 a 8. No se describen las fórmulas que aparecen en los demás capítulos debido a que sus resulta dos no son producto en general de una fórmula específica, sino que re quieren en general de cálculos indirectos o iteraciones, como es el caso del VAN o de la TIR, o de la tasa implícita en los préstamos con intereses directos, etcétera.
Capítulo 2: Interés simpií Monto y fórmulas derivadas
Capital inicial C o=
(I-I-J.n)
Tasa da interés Cn - Co 1 = ----------Cú.n
Nliniero de períodos Cn - Co n = ----------Co.i
interés acumulado /tO, n )= Co.i.n
Valor actual con lasa de interés
Valor actual
0 ■»■/./])
Tasa da inlerés
Ndmerodc períodos
Cn-V
Cn-V n — ----------
K./1
V.i
Desalentó aciamtiuiiú
Ao.„i
G u iiL E fu » o L ó p e z D u m u a u e
f-K '
Valor actual con tasa de descuento
■J'asa de Interés
Valor actual
V = C n il-d n )
Descuento acumulado
Número de períodos
, Cn - V a = ---------
C n -V 11 = --------V .d
Cn.ri
Catítulo 3; Ir^ERÉs compuesio Monto V fórmulas derivadas
Capital iidciat
Tasa de Interés
Co = ---------
i - n f^ - 1 VCo
(1 + /)"
Interés acumulado
Niuncro de periodos liiO i-ln Co
/(Glri)= C a l l - n T - C o
In (H i)
Valor actual con tasa de descuento
j
V alor
V alor
j
actu al
n o m in a l
1
l =/V(I-r/)"
rV=-----(i-c^r
C
a p ít u l o
T a sa d e d e s c u e n to
1
j i_ _ _ _ _ _ _
T ie m p o
In V - In A' n=---------
4 : T a sa s
in(l-d)
1 / V' 1£/=1 - —
d e iptter és
Debido al su uso extendido de las lasas de interés vencidas se propor cionan las fórmulas estandarizadas para evitar confusiones en los cálcu los
A r f N D iC E B - F ó r m u l a s
más
U
641
t iu z a d a s
Tasas de interés vencidas. EquivaJencias r
lasa efecUva a partir Ue tasa nominal
lasa nominal a partir de lasa efectiva
/ -[i+
365/ p
^
1
. L , = l a - n ) '’" - lj3 ó 3 / / .
Tasa equivalente
Tasa real
l + ;t
Donde: t = número de días que contiene el período para el cual se taJcula la tasa efectiva p = número de días que contiene el subperíodo de capitaJizadón Tasas de descuento. Equivalencias
Tasa efectiv’a a partir de tasa nominal
Tasa nomina! a partir de tasa efectiva
tí = J - fí
l'asa equivalente
i.m
ni
1 Capítulo 6. Rentas temporarias
Renta lemporaita inmediata de pagos vencidos
l^(l.;i,/) = C x
(1 + í)’ i
Renta temporaria inmediata de pagos adelantados
K(0,/i.í) = C x (1 + í)x ■•— (l + iT i
' a t U . i H A l v I L J Í ‘ k~
Ue)iu ilueitOa , - {1 r I r - J )
>,
Imposícmn de pago?» venauo;»
Imnoiicion üe pago:, «tuelantudos H('o. Mt) = r x c ; - / ) x
C A P n iiL o
7
R
e n t a s
— i
p e iP E r u A S
yh
l .n t a s
v a r ia b l e s
a) Remas perpemas con cuotas constantes Reniu ¡rrn,íaiau¡ de fhi^os uencuws V (l^j)zz-
t>, C o n c u f i a s
varianles
t v( 1 «> (, g t =.
I
—
Rcriuii len.porarui con cuocui carminen en proK^esion f^eumenu.n
1‘/ v i l n , i , ^ } = C X —
n -g ) I (i
0 J
‘ -g tientas ¡nmediatn tenw ornna cor. ruoias vana/dei en progresión anrm eiica
i
I
I
R\
Vr(l 'i.«,/? = I r T — I
P
Af’rNl>U.Í li - K^Kiv^UIaí Mí j IJTH.'¿a I>aí
CAj»m/iiJ H. SisTtMtó i>kAwojriizacion dl nrásiAM» Vulor ilei presiuiiio
(I-^/)'’ i
( urna C - V' -
íi-r-/)"i
(\rir-\
Numero de periodos
In
c C-Vi )
In (1 -r /)
Saldo del presumo al final de un periodo _ (l-r / ) '" '" ’ - !
Vp = C
(It , ) - ' " i
Sisiema aleuiaii
SaUio clet f/reiiamo al final Je un p e n o ilc p \
V ( p ) = (II - p ) ^ — n Cuí/ía C p — ~ [l T
- /' t 11]
Apéndice C
R e v is ió n
de álgebra
Revisión de operaciones con números reales ‘i-
Factor común Un polinomio que tiene un factor o varios factores comunes en todos sus términos, se puede escribir como el producto de el o los factores co munes por un paréntesis dentro del cual figura el polinomio fomiado por los cocientes de cada término del polinomio original por el factor o facto res comunes. Sea la siguiente expresión: 16 a4 b2 + 8 x a2 b.
■
Los factores comunes son 2, a y b, entonces 2 a b (8 o3 b + 4
4
a)
■y
Note que en el paréntesis se escribe el polinomio tal que multiplicado por el factor común nos torelve a dar el polinomio original. Sea en cálculo financiero una expresión del tipo
i I
ri +íJ + (1+iF + ü+iP Podemos sacar como factor común (1+i) y quedaría (1+iL 11+ {) + i} + (Ui)^
^#5
Pasaje de términos
Si un número está sumando en un miembro pasa al otro miembro res tando y viceversa. SI un número está en un miembro multiplicando pasa al otro miembro dividiendo y viceversa. Podemos demostrar e'itas rela ciones despejando la x de la siguiente expresión: 5 x - 3 = 2
0 ^—
-
5x=2+3 2 + 3
,
A' = ------- = l
I i ái
Ü
G lJ I U lK M i
c j
Ijp fz D
w MK--.lU
fcn calculo nnanciero f i común <]ue ueüamob oe^pejar. por eieinpio el piral inicial iCu» ue la rorinuta Oei inonio /CVi; C n = Cc> V11 - r i ) Ln
--- = í i - r , l LJ \
Cn
y Miialnienre
. = ------- 1
Co
Com ún d enom inador
a
[f _ a r h
2
L
c
Q "^9 ~
c
3 _ 2 - 3 _ 5
~ 9
9
De la misma manera, pueden separarse los dos íemunos del numera dor en dos fracciones, resperarido ei denom inador a - t? _ ü
-
h
c
2 -1-3 _ 2
c
9
9
3 _ 5 9
^
En cálculo financiero, a menudo det>eremos sacar común denominajo r lie exp.esiaiie.s raics corno n r l)
1
(I - 1
11 • ; r . i
u >. i".i
IN
- I 1
r ./
i Taiiibier. puede ser iml separar los lerrnmos del numerador para p<>I der oü iene. una sola ‘ ii" en la expresión 11“ . )" - 1
Hecofd
ir lam oien
(li-f)"
1
1
||t i )" . í
/
que en niafemancas,
1
ÍL = £ ^ — £ h r J
C •
Dé Ai Gí s Ka
l'or «;|empio, 8 4
4
-J
Esie npo du operación cornUn en los despejes que se realizan en Jas rónnuius de reiUdá, como veremos en el capliuiu currespondience
Disiríbuiiva Propiedad dlsiribuuva de iu muUiplicacion con respecic a la suma ne números enteros. El producic de una suma indicada de números enteros por otro mime ro entero es igual a la suma de los proaucios de cada sumando por dicho num ero a ic-rd) = a.c + a.d y con respecío a la suma de números enteros a. (c-d) = a c - a.d 1. SUMA. Para sumar dos números con SIGNOS IGUALES, se suma el valor rium énco y se antepone el signo común. Ej.
7
iy 5 j
= t [ 7 t 5 ) = -hl2
- 6 -r (-9) = - fo + ^ ) = • 15 Para sumar dos números con SIGNOS DIFERENTES, se resta el valur numérico menor deí valor numérico mavor. El signo que se aniejione es el del nuineio de mayor vaior riumericc. Ej
I- 13 1- (-5) = 1- ( 13 - 5 1 = f 8 + *1 I I-IH) = - ( U i - 4 ) = - 14
2. RESl'A Para Restar un numero de otro, se cambia el signo y se siiiiut Ej
i 4 - ( - 6 ) = 14 + 6 = 2 0
-fi - (-9) = - 0 + S = 1 -11- (7) = - b ’T ( 7) = - 15
3. MllI.TIPÜCACION V DIVISION: Se nuiliiplica o dm de el valor m. m e n e o y se am tp o n e el signo u» si lus dos mimeius I IENEN IGUAc Sn.»NO, En canioio, se am eponc el signo H si los dos números I'IENEN SIGNO í í JST iN l u
G uilLEaM O LOFEZ DUMILMir
<>4n
Ti
(+3) {<7) = (+2D (-2)
(-B) = (+16)
(-5) . (+3) = (-15) (-4) , (+2) = (-8) ídem para la div'isit5n.
4. PÜTENCMCION: Cuando (a.a.a.a.a) se abrevia corno a^ se dice que ‘a" es una base y que "5" es un exponeme. Las leyes maiemáticas de los rxponentes son; (7) Sittna d e expo/ientes: ).a aplicarnos cuando tenernos dos factores con la misma base
Por ejemplo, será común uiiliz.ar expresiones tales como CJ+if x (1+i)^ í> htP b'\h^ =
= b-^
Los factores con exponetues negativos aparecen cuando queramos i’X}>res3r un factor de capiiaJización con tasa de desatento en vez de usar una tasa de interés vencida. Por ejemplo, a una lasa de descuento del 20% •e'^ernos que le cories|)onde una lasa de interés vencida del 25% (1-0.20) >^¡.25
h ) Ile sta de c x fio n e n te i' 1.a aplicamos cuando tenemos dos factores con la misma base, al igual que en la suma de exponentes 6
*
í
o
c :c
=c
6-4
c :c - c
5 -< )
=c
2
= c
-4
Por ejemplo, (l + 0*' ------ TT “ (l + i)
')*
o también
APÍNOICÉ C ' lUviSION DE AlGEfcl'A
64?
i
c) Multiplicación d e exponentes:
-2r3
^^10
En cálculo financiero, por comodidad expondremos como (I.IO) * lo que podríamos haber expuesto como 1/1,10 ya que:
1 Uü d)
= (U 0 )‘
Exponenie cero: El resultado es siempre UNO. a“ = l
f e .:r e)
Exponenie negativo: SigniHca invertir la base. .2 25
Por ejemplo, es muy común que al factor de actualización 1/11+i). por comodidad en la escritura lo expresemos en alguna ecuación como ( l + !) ■ '=
f)
‘ U+i)
Pasaje de exponentes a l o n o m iem bro
Cuando los exponentes pasan al otro miembro mantienen el signo pero se invierten. Por ejemplo, el exponente -2 de la primera expresión pasa al otro miembro como -1/2:
(l-< í,n ,,) = U + 0
g) E xponenie fr a ccio n a rio : Implica escribir la base como una opera ción de radicación en la cual el índice es el denominador del exponente.
GwKttRMu LOf-U OuNtR-M-T
<7'* = V j
S i -se !it ne
’ ¿era
a
J-* = \ ü '
Por eieiupio, un lacror cor’ iina lasa de inieres de! tipo (Iri)*'* lamDien puede tíxp»»nerse como
Ij [
t
i
Hadicucion Indice
—
^
" s / :i
=
X
i
i
r liicaxiüc.
idU
si s o lo ¿I
i"
=
fl
Operaciones con '■iníiniio'' En cal.,alo financiero en al^junas operaciones, aparecerá una expre sión Jei Upo “un numero dividmo por 0(Hi que tiende a infiniio' En esie caso el valor de liicii.í exfiresion lenderá a un valor de cero i -1 . = 0
Por üi.d pane, coaui.ner numero d'ViJido p»ui ü (cero) dara un valor inoeterniinadc, que lendera latnnieii a inñnilo—
oo
'.oganrnios
i lados (los números reales y positivos “n" y “b". se llama iogariuiiu del nunifero “.i" tii base "D" al numero "x', siendo “x" el numero al cual hay .pje elevai “b" pura obtener “n” ii
-
X.
Sí y
5Ó U ) i i
lf‘ -
n
Ai'Et-toic.1
C ' Rj v i j i o n üt AtuíUv
Por e j e m p lo ln^4 = 2 st y s ó lo s í 2*' = 4
ün cálculo ñiianciero. utilizamos logaritmos, por ejemplo, para despelar el nUinero de períodos en una operación de interés compuesto. Sea por ejeniplu Cu
Cn
Y el numero de periodos
n =
In O i -I n C r í
In (l-r/)
L o g a n ín w s d ecim a les: Son los que tienen por base al número 10. bn estos casos, se omite la escritura de la base. I o g l 0 0 ü = 3 pues 10»= I.OÜO l ogOlO =-1 p i i e s i ü ‘ = — = 0,10 10 L o g a n im a s N eperian os: IJaniados lamDien logaritmos naturales, son los que llenen por base al número "e" El número "e" es un número inracitrnal de intinitas cifras decim ales no periódicas; las primeras sorr e = 2,71829... Este
nume r o
“e ” se
obt i ene
al
resolver
un
bi nomi o
tl d
upo I 1T - I = e cuando "n“ tiende a infinito l
nI
1T - I =
lim
1
e
/I I
P r o p ie a o íi e s J e las l o g a n i m o s
1) Logantriiu vie un prnducu Es igual a la suma de los logaritmos de los faci(»res log «a b c) = log a -» log L
log c
2) Logaritmo de un cociente. Es igual ai logaritmo del diMdendo me nos el logaritmo del üivmsoi log (Ili II ) = log 111 - log II 3) l.ogaruiiio de una potencia: bs igual al expolíente moliipiicado poi ei loganiuio de la base
GuiLiERMO Loprz DuMP.vur log a" = n , log a
4) L o g a ritm o de u n a r a í r Es ig u a l al lo g a ritm o d e l ra d ic a n d o d iv id id o p o r el ín d ic e de la ratz.
l0E¿> ,o -j '/r¿t = — x _ = —í
, X,lo g Ü
Cainhios de base en logaritmos.^ Suponga que el logaritmo de! número en ba.se “a'^.sea "x”; y que eí logaritmo de ese mismo número en base “b" -Sea “y” Entonces, por definición, es: N
log, n = X -♦ a* - n log^ n = y
= 11
,\n = a' = br
(1)
Si en (I) aplico logaritmo con cualquier base, lendré;
Xlog, = y log^ V - V —^ logb
(2)
Por In l a n í o , p o d e m o s d e c i r q u e el l o g a r i t m o d e u n r m m e r o e n b a s e s •J’í U i u a s da p o r rc . s u l ta d o l o g a r i t m o s p r o p o r c i o n a l e s , s i e n d o
—— lo g ¿
el c o -
^ b-íeiu e de p tn p orciotialid ad . Si e n la r e l a c i ú n b s ] , quedará;
(2)
tom ásem os
la
base
"b"
entQ nce.s, d e b i d o
a
que
APÍNDICE C- l Uv t SI ÓN DI Algebpjk Si se conocen los logaritmos de Jos números en base "b", para calculaurlos en base “a" bastará con multiplicarlos por la constante
1
la cual
recibe el nombre de nódulo. Eri el caso e s p e c ia l en que se relacione a los logaritmos decimales con los naturales (o neperianos) tendremos, en Ja igualdad [A) tomando a - ey b=10;
1
lo g ,n = log,o«.
log.o^ y como e = 2,71820... y log„ e = 0,43429, en () será:
log, n = Iog,o
I
0,43429
log, n = log,o n.2,30259
(I)
y también será. l
log n = log, //.2,30259 Con lo cual quedará que:
log/i = log, n.0,43429
(ID
De los recuadros I y II surge que: —Para calcular el logaritmo natural de un número bastará con rriulli* pbcar al logaritmo decimal por 2,30259. —Para calcular el iogaritmo decimal de un número bastará con multi plicar al logaritmo natural por 0,43429,
Progresiones progresiones aritméticns: Una sucesírtn numérica forma progresión aritmética cuando sus tér minos se van obteniendo al sumarle al anterior im número constante (i) llamado razón de progresión. La progresión 2, 5, 11.14, 17, 20, 23, 26 es aritmética, cuya razón es "3".
mM
O'-',
G í MIURMO LOPÍZ DuMfUHF
LoS préstam os por sistem a de am ortización alemán constituyen un cfeíiiplo de progresión am m eiica decreciente, ya que los intereses se re* iiu cea en una sum a fija periodo a período. CaJcuK» de un término cuaiquiera: Un término cualquiera "a^“ se pue de calcular haciendo: í7, = u, + r ( « - I ) dSi. el 7" termino será:
a , = 2 + ( 3 í 6 ) = 2 + 18 = 20 Suma de lodos los términos: Se obtiene mediante la fórmula: 5 ' = - ! ------- ^-n
2
En el ejem plo dado, será:
2+26 28 5 = --------- 9 = — 9 = 14.9 = 126
2
2
P rog resion es g eo m Jir íc a s : Son aquellas en las cuales cada uno de los términos se obtiene multi plicando al anterior por un número constante “q“ llamado razón. La pro gresión 3, 6, 12, 24, 28, 96 es geométrica de razón q=2 pues cada término es igual al anterior multiplicado por 2. Por ejemplo, los intereses que se acum ulan en el régimen de interés compuesto, constituyen una progre sión geoinéinca creciente. También el valor presente de las cuotas de un préstaiTu* constituyen una progresión geométrica, que en este caso es decred en li-. C álcu lo d e un térm in o c u a lq u ie r a : Cualquier térm ino obtener directam ente haciendo.
se puede
F.n el ejemplo anterior, el 5“ término es:
.1, =3.2** =3. xl 6 = 48 S u m a d e toiíos los térm in os: En una progresión geom étrica finita, la suma de los términos de ésta se calcula así: ^ = ó , ---------Para progresiones crecientes. •7-1
A p IN U I C í
S
i —¿r ^—
-
C ' fUviSíÓPJ ot Alccbra
Para prugreslones decrecientes.
Sí la progresión geométrica tiene infinitos términos, con una razón í)< q< 1, la úliim a fórmula expresada se transforma del sjguíem e m odo: 5 = a
l - g * - ^ 1 - « I - '? ' ' '1 - 1 ? l-í¡ 1 -1 ?
“ i-n" i-1]
Obser\'e que en el 2« término del resultado, si n -» “ entonces q "-^ 0 por ser 0< q <1, con lo cual se anula todo ese término quedando en ton ces; 5
= \-q
(cuando n-»«>l
.
Tabla de derivadas usuales Si la función es:
Su derivada es: D y '^ O
l)y = a
2) y' = 1 3) y
3) y'= n ►X" ‘
X"
4) y = a . X"
4) y ' = a . 11. X" ‘
1 5) V = — = A' Á
5) y'= ( - n ) . x-“ ' . 1 6) v’ = A
7) y = a*
7) y'=
8) y = e‘
8) y'= e*
9) y = u . u
9) y'= u , 11 + u . u '
u
. log^ a ,
u '.v-u y
10) V = V'
10) r = —
11) y = u -p V
l l ) y ’ = u' + v‘
-----
12) y = u - V
12) y’ = u’ - v '
13) y = a"
13) y’ = a". log^a . u'
14) y = e"
1 4 )y ’ = e“. u '
15) y = log. u
15) / = - . « '
u
II iBti ni i f if c
iiÜin*fc**#^Í*
li G
l o s a r io
Análisis de sensibilidad; Análisis del efecto que sobre la rentabilidad de un proyecto ejercen variaciones de las ventas, de los costes y de otras variables. Anualidad; Inversión que produce una corriente de flujos de tesorería durante un número limitado de períodos. Arbitraje; Compra de un título y venta sim ultánea para obtener un beneficio sin riesgo. Arbol de decisidn: diagrama que ayuda a la solución de problemas que envuelven decisiones secuenciales. a través de alternativas y consecuen cias At-üie-m oney: opción cuyo precio de ejercicio iguala su precio de mercado Bailón paym ent un pago adicional, mayor a los demás, que reduce el saldo de la deuda Beta de una acción; coeficiente que mide la sensibilidad en los cam bios del rendimiento de una acción con respecto a los cambios en el ren dimiento de un índice del mercado accionario. Cali option: opción de compra sobre un activo específico Coste de oportunidad del capital (tasa mínima, coste de capitaJj; Ren tabilidad esperada de la inversión financiera a la que se renuncia por in vertir en un proyecto económico de riesgo similar. Cupón: pago de interés periódico de un bono CurrentYield; porcentaje querepresenta el interés absoluto de un bono sobre su precio de mercado Curva de rendimientos: representación gráfica de la estructura tem poral de la tasa de interés Defaulí: cesación de pagos Desviación standard o típico; Raíz cuadrada de la varianza; una medi da de la variabilidad. Dilución; Disminución de la proporción de beneficio y activos a que da derecho cada acción. *
e
65Í
ClIUlERAtO lOPEZ D u m MMF
Discribucídn Jogarífmlca: Disfrihución ele prohabilidod asimétrica, d on d e las variables solamente toman valores positivos. Distribución normal: Distribución de probabilidad simétrica en forma de campana que queda completamente definida a panir de su media y su desviación típica. Dívfdend Vield; porcentaje que representa el dividendo absoluto de
una acción sobre su precio de mercado. Dividendo de capital: Dividendo que representa una recuperación de capital. Dividendo en acciones; Dividendo en forma de acciones en lugar de en efectivo Dividendo extraordinario: Dividendo que puede repetirse o no. Dividendo: Pago de una empresa a sus accionistas. EDIT (earnings before Lnterest and laxes): ganancias antes de intere ses e impuestos. EDT (earnings before laxes): ganancias antes de impuestos. Equity; término que se utiliza para referirse aJ valor de mercado de la firma. estructura temporal de las tasas de interés: la relación entre las rasas de interés de los títulos de deuda con sus vencimientos. Indentnre Dond: prospecto de emisión del bono. internai líate of Ileiiirn (lílR): lasa interna de retorno. I.everage financiero: refiere al efecto de “palanca" que ejercen las car gas fijas de intereses sobre la rentabilidad del capilal propio Utilización de la lleuda para aumenrar la rentabilidad esperada del capital propio. El apólancarnienio financiero se mide por el rano deuda a largo plazo/deuda a largo plazo más capital pro[)io. Markef rísk |)remíiun: prima por riesgo de mercado Premio esperado por Invertir en activos riesgosos (aedones). Markeled Assei Disclaimer (MAD): situación donde el activo no es negociado en el mercado y jior lo tanto no se conoce su precio. Mercado de capilal: Mercado financiero (en particular, mercado de lílultís a largo plazo). Mercado efidenle: Mercado en el que los precios de los títulos re/lejan instantáneamente la información Mercado monetario: Mercado de activos financieros a corto plazo y de ba|o riesgo. Mercado secundario: Mercado en el que se cotizan, es decir, se pueden comprar y vender, títulos anterionnente emitidos y ya en circulación.
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___________ G í-OSARJO_____________ ________________
Motllíleíl Internal flaie of Ilenim (MIIlIl)í tasa interna de retorno dinciida. Net Preseiit Valué (NPV): valor actual neto. Opcidn ainericima; opción que puede ser ejercitada en cualquier m omentó hasta su expiración. Opción europea; opción que sólo puede ser ejercitada al vencimiento. Paridad técnica: refiere a la com paración entre el valor de m ercado del bono y su valor técnico. Pul opilon: opción de venta sobre un activo específico. liado de distribución de dividendos: Proporción del beneficio por a c ción que se reparte en forina de dividendo. Real Opiiuns: opciones reales. Representa opciones sobre activos tan gibles. Uisk fiee rate; tasa libre de riesgo. S|>read: diferencia de precio al cual los bancos compraat un activo y el precio al cual lo venden. Tasa de descuento: tasa que se aplica sobre el valor nominal del docu mento para calcular un descuento. Tasa efectiva: representa el costo o rendimiento efectivo de una op e ración. Generalmente representa una lasa compuesta, que contiene inte rés de interés. Tasa equivalente; representa siempre el equivalente de otra tasa efec tiva. expresada en otro momento de tiempo. Tasa ü b o r: tasa del jiara préstamos iníerbancarios de Londres Sus si glas significan “London liiterbanking Offer Rale". Tasa Nominal: tasa de contrato de una operación. Valor terminal: el valor de un proyecto de inversión al final de su vida Para proyectos con vidas muy largas, el valor terminal se refiere al valoi presente del Rujo de efeclivü más allá del período de evaiiiación explícito V^arlanza: la suma de los cuadrados de las desviaciones con resj>ecin ii los retornos esperados, ponderados por su probabilidad de ocuri encía VV.4CC (weightcd average cost of capital): Costo [iromeilio ponderadu del capital. Yield 10 Matiiriiy; Rentabilidad al vencimiento. Se utiliza para lefeiírse a la tasa interna de lentabilidad de una obligación.
