Guía LIMITES

Colegio Carlos Albán Holguín Sede A

GUIA DE TRABAJO Undécimo

Cálculo Guía N. 05 F. Elaboración 09/07/2015F. 1° Revisión___________

1. OBJETIVO(S): Con esta guía el estudiante debe adquirir los conceptos fundamentales del cálculo Diferencial en su etapa inicial como lo son: Límite, continuidad y derivabilidad de una función. Debe conocer e interpretar los resultados ó propiedades básicas de estos temas para poder resolver problemas de la actualidad que involucren estos conceptos para su resolución. 2. CONCEPTOS CLAVES: L ÍMITE DE FUN CION ES En el cálculo infinitesimal, el concepto de límite es la noción más importante, ya que con ésta se modelan muchas situaciones de la vida real, como cambio de velocidad, hallar la recta tangente a una curva en un punto, calcular el área bajo una curva, etc. Además de éste se desprenden las nociones de funciones continuas, derivada e integral de una función, con lo que este concepto debe quedar lo suficientemente claro y se le dedicará un poco más de tiempo. Este concepto lo podemos abordar por una parte de la siguiente manera: Sea

  , esta función no está definida en 2   

pero vamos a observar el comportamiento de la función alrededor del 2, es decir que pasa con cuando x tiende a 2. Para ello veamos algún comportamiento en su tabla de tabulación.

 

X tiende a 2 por la derecha

X tiende a 2 por la izquierda

X f(x)

1.6 9,8

1.7 10,3

f(x) tiende a 2

1.8 10,8

1.9 11,4

      

2

2.1 12,6

2.2 13,2

2.3 13,9

2.4 14,6

f(x)tiende a 2

La gráfica y la tabla de tabulación de la función f nos nos muestra que la función no está definida en 2, pero que me puedo acercar tanto como quiera a 2 y que las imágenes de f en estos puntos se acercan a 12, este comportamiento de una función en un punto dado se determina como el límite de la función f cuando x tiende a 2 y en este caso es 12.

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Veamos otro ejemplo, sea

      

Como lo muestra su gráfica esta función es una recta con un salto en y que cada que nos acerquemos a 1 tanto por izquierda como por derecha sus imágenes tienden a 2. Es decir sus límites laterales son iguales y son iguales a 2. Esto se nota con y . En general los límites   laterales no son iguales. Cuando estos sean iguales podemos decir que la función f tiende a cuando x tiende a el punto a



         

Otra forma de acercarnos a esta definición. Decimos que la función f tiende tiende hacia el límite cerca



de a si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de a pero siendo distinto de a. La siguiente gráfica nos ilustra este concepto.

a a (a)

(b) FIGURA 1

En la FIGURA 1 (a) se muestra un ejemplo de esta situación y en la FIGURA 1 (b) se muestra un ejemplo de cuando no se cumple esta situación. Como no podemos tomar el punto a, entonces debemos tomar intervalos que contengan al punto a, para ello hacemos centro en a y nos desplazamos tanto a derecha como a izquierda del punto a una distancia muy pequeña “ δ” y al tomar este intervalo A con centro en el punto a debemos poder encontrar un intervalo pequeño B alrededor del punto tal que las imágenes de A estén contenidas












(a)

(b) FIGURA 2

En la FIGURA 2 (a) podemos ver el intervalo A, para el cual fue posible encontrar un intervalo B adecuado, es decir que  y en la FIGURA 2 (b) observamos un intervalo A demasiado grande el cual no cumple la condición  .

    

   

Después de tener estas nociones de límite y haberlas representado gráficamente podemos pasar a tener una definición formal de este concepto. Definición:[ -δ de Límite ] ] Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a (salvo posiblemente en a) y un número real. La función f tiene límite cuando x tiende hacia a significa: Para todo

 ℇ   existe    tal que para todo x, si

Cuando la función f tiende hacia el límite cuando x tiende a a es igual a Teorema:

       entonces       ℇ

en el punto ase nota

  

, y se lee límite de f












Sean

   dos números reales y  un entero positivo, entonces            

Por aplicación directa del Teorema1 tenemos los siguientes ejemplos:

   ;  ;     b )  ;         c )       ;          a)

Teorem a2:[Pro pied ades d e los Lím ites]

   dos números reales y  un entero positivo y    funciones con los siguientes límites,     y  , entonces  .          .         .   , suponiendo que   .      . Sean

El Teorema2 es muy útil a la hora de abordar el cálculo de los siguientes límites. es a) b) c) d)

                                

Teorema3:[Límit es de fu ncio nes p olinóm icas, racion ales]












Teorem a4:[Lím ite de un a fun ción rad ical]

    si n es par      



Sea un número entero positivo, el siguiente límite es valido para todo a si es impar y para todo

Con el siguiente teorema ampliamos la cantidad de funciones a las que le podemos calcular límites.

Teorema5:[Límit e de u na fu nción com pu esta] Si

   son funciones tales   y     , entonces       .

Teorem a6:[Lím ite fu nc ion es trig on om é tric as] Sea a un número real en el dominio de la función trigonométrica dada, entonces

            A continuación continuación listamos listamos algunos algunos ejemplos ejemplos de donde donde podemos podemos aplicar aplicar los Teoremas 3 a 6, además de algunos límites importantes : a) b) c) d) e)

                                              












    , la grafica nos muestra que cuando x tiende a 1 por la izquierda  tiende a  y cuando x tiende a 1 por la derecha  tiende a . Sea

En general estos límites se pueden considerar con la siguiente definición.

Definición: Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a a, salvo posiblemente en el propio a, la expresión significa que que para todo existe  un tal que implica que . De forma análoga se tiene que  significa que para todo existe un tal que implica que .

 

       

                 

        

Este ejemplo nos muestra una función que tiende a infinito, es decir sus límites laterales tienden ambos a infinito.

    cuando x tiende a 2 tanto por derecha como por izquierda no existe un número real  tal que    , por

Sea

esta razón decimos que:

                    ,

Si extendemos las dos ramas de esta función hacia el infinito, éstas nunca tocarían la recta este comportamiento es considerado como asintótico, para mayor claridad veamos la siguiente definición. Definición:

 tiende a   – cuando x tiende a a por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta    es una asíntota vertical de la gráfica de . En el ejemplo inmediatamente anterior podemos ver que la función  posee una asíntota en   ,

Si

que es donde se anula su denominador. Veamos otro ejemplo.














 no existe, además podemos   ver que en ,  tiene una asíntota vertical. entonces

En Teoremas antes antes vistos, vistos, observamos que podíamos hacer cálculos entre límites de funciones y esta tiene una relación directa entre sus límites y como se ha introducido un símbolo especial para notar la tendencia de ciertos límites, debemos saber hacer cálculos con este nuevo símbolo, esto se expondrá con el siguiente teorema para límites infinitos.



Teorema:[Pro piedades de lo s lím ites in finitos ] Sean funciones tales que  entonces:

   

       con    números reales,

             ,        ,    , estas mismas propiedades se pueden enunciar para límites laterales y para funciones cuyo límite cuando sea .





Calculemos algunos límites que ilustren el anterior teorema:

     , entonces      b )       , entonces     

a)












  0. b )         a)

Cuando realizamos el cálculo de un límite y obtenemos alguna de las siguientes expresiones llamadas

indeterminadas,

       

debemos realizar una factorización o algún otro

procedimiento para quitar la indeterminación. A continuación citamos algunos ejemplos donde nos dicen como resolver la indeterminación.

             .                . b )              c )          .       d )           a)

FUNCIONES CONTINUA CONTINUA S

  

Si f es una función cualquiera no se cumple necesariamente que . Esto puede  dejar de ser cierto de varias formas, por ejemplo la figura (a) nos indica una forma que es cuando no está definida en a, ahora la figura (b) nos indica otra forma, cuando la función esté definida f no en a, pero que no exista. 

  












un nombre en especial, este es formal de función continua.

“Continuas”.

Las anteriores condiciones inducen la definición

Definición: La función f es es continua en a si:

   

Ahora podemos podemos dar muchos ejemplos ejemplos de de funciones funciones que son son o no son son continuas, continuas, y el trabajo realizado con límites anteriormente nos facilita la tarea. Ejemplos de funciones que son continuas en a: 1. 2. 3.

   ya que     .    ya que     .    ya que      .

Ejemplos de funciones que no son continuas en a: 1. 2. 3.

   no es continua en “a=0” ya que ni siquiera está definida en “0”  no es continua en “a0” ya que   no existe.             no es continua en “x=0”

La definición de continuidad para una función f puede enunciarse de una manera equivalente. Una función f es es c o n t i n u a en en a si y solo si satisface las siguientes tres condiciones:

   está definida.












Como ahora tenemos toda una familia de funciones continuas, notamos que éstas tienen las siguientes propiedades. Teorema: Si f y g son funciones continuas en “a “ a”, entonces

   es continua en “a“a”.    es continua en “a“a”.  es continua en “a Además si    entocnes “a .  ”

Como una conclusión de este Teorema tenemos que toda función polinómica es continua, ya que tenemos  las cuales ya mostramos se puede ver como una suma o resta de funciones de la forma que eran funciones continuas.

  

Teorema: Si f es continua en “a” y g es continua en g(a), entonces

   es continua en ‘a‘a

”.

Hasta ahora sólo se ha hablado de continuidad puntual, es decir de continuidad en un solo punto “a”, pero esta noción se puede extender al Dominio de la función, o por lo menos a alguna parte de este. Definición: Una función f se se dice continua en si f es es continua en todo punto de  forma f es es continua en D si f es es continua en cada punto de éste.



   

. De igual












: nos viene dada por el cociente incremental siguiente: La Tasa D e Variación M edia (T.V.M.) (T.V.M.) T .V .M .

f

f (a

h

h )

f (a )

h

y significa la variación relativa de f con relación a x en el intervalo Gráficamente:

f

P

La tasa de variación media es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y y P ’. ’.

f P 0



h

a

O

a, a  h.

a h

Derivada de una función en un pun to. El límite lím lím h

f (a , h )

0

h

lím lím h

0

f (a

h ) h

f (a )

si existe y es finito, recibe el nombre de DERIVADA de DERIVADA de la

función en el punto "a" y representa la variación de la función f en en el punto x = a. Se representa por f ' (a ). h x a : cuando h tiende a cero, entonces x Si en la definición anterior hacemos a h x tiende a a y la derivada de la función en el punto a nos queda de la forma: "

"

f ' (a )

lím x

a

f ( x ) x

f (a ) a














Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación de la recta en la forma puntopendiente: y y 1 m .( x x 1 ) La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Si la pendiente de la tangente es m t

f ' (a ), la pendiente de la normal será

m N

1 f ' (a )

y la

ecuación de la normal nos viene dada por: y

f (a )

1 f ' (a )

( x a )

Veamos un par de ejemplos donde ilustramos estas situaciones. a) Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por punto de abscisa x = 2.

f ( x)  x 3

en el

Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia definición tendremos:












f '( x)  lím

f ( x  h)  f ( x)

h 0

 lím

 lím

(( x  h) 2  8 x  12)  ( x 2  8 x  12)

h 0

h

h

( x 2  2 xh  h2  8 x  8h  12)  ( x2  8 x  12)

h 0

 lím h 0

h.(2 x  h  8) h

 lím

2 xh  h2  8h

h 0

h



h



 lím(2 x  h  8)  2x  8 h 0

Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: si tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada a cero nos queda: mt  f ' ( x)  0  2 x  8  0 

x4

Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenada correspondiente del punto la obtenemos sustituyendo en la función: f (4)  4 2  8.4  12  4 En consecuencia, el punto de tangencia tiene por c coordenadas oordenadas (4, 4).












La derivada por la derecha en el punto x = a se representa por f ' (a ). Evidentemente, una función es derivable en un punto sí, y sólo sí, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales son iguales. Si las derivadas laterales existen pero no coinciden, se debe a que la función tiene un punto x que en el punto x = 0 tiene por derivadas anguloso. Este es el caso de la función f ( x ) laterales f ' (0  )  1 y f ' (0  )  1.

Derivabilidad Derivabilidad en un intervalo. Una función es derivable en un intervalo abierto abierto (a, b) si es derivable en cada uno de sus puntos. Una función es derivable en un intervalo cerrado a, b si es derivable en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a, b) y derivable por la derecha en x  a y por la izquierda en x  b.

. Continuidad y derivabilidad












f (0  h)  f (0)

h

  1 h 0 h 0  h h     f ' (0 )  f ' (0 ) f (0  h)  f (0) h f ' (0  )  lím lím  lím lím  1   h 0 h 0 h h  f ' (0  )  lím lím

 lím lím

Por tanto, la función f ( x)  | x | no es derivable en el punto x = 0. En consecuencia, las funciones derivables forman un subconjunto de las funciones continuas. Hasta ahora sólo hemos estudiado la derivada de una función en un punto y el resultado es un número real por tratarse de un límite. A partir de la primera derivada de una función o simplemente de la derivada de una función, calcular su derivada que recibe el nombre de derivada segunda y se representa por f ' '. Análogamente Análogamente se definirían definirían la derivada derivada tercera, cuarta, quinta,..., quinta,..., n-ésima, n -ésima, y se representarían por (4 (5 ( n f ' ' ' ( x ), f ( x ), f ( x ),  , f ( x )












OPERACIONES

REGLA

Suma y diferencia diferencia

( f  g ) '  f '  g '

Producto

( f  g ) '  f ' g  f  g '

Cociente

 f  f '.g  f .g '  '  2 g  g 

Producto constante

por

u n a (k. f ) '  k. f '

Comp osición (regla de la ( g f ) '  g '( f ( x))  f '( x) cadena)

A modo de ejemplo, podríamos podríamos comprobar comprobarlas las con la suma y diferencia: diferencia:














En la siguiente tabla reunimos las derivadas de las funciones básicas Derivadas Derivadas de fun ciones elementales: elementales:

F O R M A S SIMPLES COMPUESTAS

TIPOS Constante:

f ( x )

F. Identidad: f ( x )

k x

f ' ( x)  0 f ' ( x)  1












Veamos algunos ejemplos que nos ilustren los conceptos anteriores a) Dada la función

 x 2 , si x  0  f ( x)   x 2 , si 0  x  3 6 x, si 3  x  Determina los puntos en los que la función f es derivable y en cada uno de ellos calcula su derivada. La función f es una función definida a trozos en cada uno de los cuales está definida definida como












2 x , f ' ( x )

si

x

0

0,

si

x

0

2 x ,

si 0

x

6,

si 3

x

3

A continuación continuación se presenta un taller donde donde podrá podrá poner en practica practica los conocimien conocimientos tos adquiridos adquiridos sobre los tema expuestos en la presente guía.












3.-

4.-

lim  x

2

lim  x

1

x 3  8 x2 x 3  1 x 1

 12

5.-

x

2

3

x5  5

x

3 x  1 2

3

x 3  5 x 2  8 x  4

lim  x

14.-

lim 

2 x  33 3 x  22

 6 x 2  12 x  8

15.-

lim x



16.-

lim

x5

7 x

3

2



 72












4.

CRITERIOS DE EVALUACION:

Para evaluar esta guía se debe tener en cuenta los conceptos fundamentales presentados, se deben plantear problemas en los cuales se utilicen los conceptos de: límite de una función, función continua y derivada de una función para presentar su solución.

5.

BIBLIOGRAFIA:

Guía LIMITES

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