INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCI INTERDISCIPLINARIA PLINARIA DE B IOTECNOLOGÍA IOTECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ACADEMIA DE FÍSICA Y MATMÁTICAS GUIA EXTRAORDINARIO Y ETS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Problemario Tipo para el primer examen parcial Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales ⎛ 1 ⎞ dP + 2tP = P + 4t − 2 1. y (ln y − e − xy ) dx + ⎜⎜ + x ln y ⎟⎟ dy = 0 ¸ 2. y dt ⎝ ⎠ Resuelva la ecuación diferencial, sujeta a la condición inicial respectiva. dy 3. y dy = 4x(y2 + 1) 1/2 dx, y(0) = 1 ; 4. x 2 y(1) = 1/2 2 xy 3 y 4 , dx dy 5. = y 3 − x 3 , y (1) = 2 xy 2 dx 6. Resuelva la ecuación diferencial, determinando primeramente un factor de integración: (8x 2y3 – 2y 4)dx + (5x 3y2 – 8xy 3)dy = 0 7.Resuelva la siguiente ecuación diferencial de segundo orden: -3y’’ + 8y’ + 4y = 3x 2 + 5x 8. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadriplicará? 9. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20°C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorará en alcanzar los 90° C si se sabe que su temperatura aumentó 2° en 1 segundo. ¿Cuánto demorará la barra en alcanzar los 98°C? 10. A un recinto de 8000 ft 3 de volumen entra aire con 0.06% de dióxido de carbono. El flujo de entrada es 2000 ft 3/min y sale con el mismo flujo. Si hay una concentración inicial de 0.2% de dióxido de carbono, determine la concentración en el recinto en cualquier instante posterior. ¿Cuál es la concentración a los 10 min? ¿Cuál es la concentración de estado estable, o de equilibrio, del dióxido de carbono?
Problemario Tipo para el segundo examen parcial Resuelva los problemas por el método de variación de parámetros. 1. 2x2y’’ + 5xy´+ y = x 2 – x ; 2. x2y’’ -2xy’ + 2y = x 4ex 3. Encuentre la transformada de Laplace de f(t). 0 ≤ t < π / 2 ⎧ 0, 4 −3t = ( ) f t f t t e sen t = + ( ) 5 6 ⎨ a) , b) t ≥ π / 2 ⎩cos t , 4. Encuentre la transformada inversa de Laplace de F(s). s + 3 s 2 + 1 a) F (s ) = (s + 2) 2 + 4 b) F (s ) = s (s − 1)(s + 1)(s − 2)
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Resolver el problema de valor inicial respectivo: 5. y’’ – 4y’ = 6e3t – 3e-t, y(0) = 1, y’(0) = -1 6. y’’ – 2y’ + 5y = 1 + t, y(0) = 0, y’(0) = 4 Con la ecuación de Laplace, resuelva la ecuación integral o integrodiferencial: t
7.
t
∫
f (t ) + (t − τ )f (τ )d τ = t
8.
∫ f (t −
f (t ) = te t +
τ
0
)d τ
τ
0
9. Una pesa de 4 libras estira 2 pies un resorte. La pesa se suelta, partiendo del reposo, a 18 pulgadas arriba de la posición de equilibrio; el movimiento que resulta ocurre dentro de un medio que ocasiona una fuerza de amortiguamiento, numéricamente igual a 7/8 por la velocidad instantánea. Emplee la transformada de Laplace para deducir la ecuación de movimiento x(t) 10. En un circuito LRC, L = 1 h, R = 20 Ω, C = 0.005 f, E(t) = 150 V, t > 0, q(0) = 0, i(0) = 0, Utilice la transformada de Laplace para calcular q(t), ¿Cuál es la corriente i(t)?
Problemario Tipo para el tercer examen parcial Desarrolle la función en una serie apropiada de senos o cosenos.
⎧ x − 2, − π < x < 0 ⎩ x + 2, 0 ≤ x < π
1. f ( x ) = ⎨
2. f(x) = cos(2x), - π/2 < x < π/2
⎧− 3, 3. f ( x ) = ⎨ ⎩3,
− π < x < 0 0 ≤ x < π
Use separación de variables para hallar soluciones para las ecuaciones diferenciales parciales ∂u ∂ u ∂ u ∂ u ∂ 2u ∂ 2u 5. 6. y + =0 x 4. 0 + = + 3 = 0 ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x 2 ∂ y 2 Resuelva la ecuación de onda sujeta a las condiciones: u (0, t ) = 0, u (L, t ) = 0 u (0, t ) = 0, u (π , t ) = 0 7.
u ( x ,0) = 0,
∂u = senx ∂t t = 0
8.
u ( x ,0) =
1 x (L − x ), 4
9. Resuelva la ecuación de calor sujeta a las condiciones:
∂ u =0 ∂ t t = 0
u (0, t ) = 0,
u (π , t ) = 0,
u ( x ,0) = senx u ( 0, t )
10. Resuelva la ecuación de calor sujeta a las condiciones expresadas. Suponga una varilla de longitud L.
t > 0
0 < x < π
= 0, u ( L , t ) = 0
u ( x,0) =
⎧1, 0 < x < L / 2 ⎨ ⎩0, L / 2 < x < L
