INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN MARACAY DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
GUIA DE ESTUDIO MATEMATICA IV PARA LA RESOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Prof. José L. Arana Prof. Jenny Romero
DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En cálculo elemental se aprendió que la diferenciación e integración son transformadas; esto significa, en términos aproximados, que estas operaciones transforman una función en otra. Por ejemplo, la función se transforma, a su vez, en una función lineal y una familia de funciones polinomiales cubicas mediante las operaciones de diferenciación e integración:
∫ También
. Además estas dos transformadas poseen la propiedad de
linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de transformadas. En esta sección se examina un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Laplace. Además de poseer la propiedad de linealidad, la transformada de Laplace tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver problemas de valores lineales. DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea una función definida para
* + ∫
. Entonces se dice que la integral
L
Es la transformada de Laplace L aplace de , siempre que converja la integral. Cuando la integral converge, el resultado es una función de .En los ejemplos siguientes se usa una letra minúscula para denotar la función que se transforma y la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada. Ejemplo 1:
*+ L
De la definición se tiene,
El resultado se deduce del hecho de que
Para
, o bien,
Ejemplo 2:
*+ + , * + *+ *+ L
De la definición,
Evaluando el resultado es,
PARA UN COMBINACION LINEAL DE FUNCIONES
Siempre que ambas integrales converjan para Como resultado de la propiedad dada,
L
L
De la definición antes expuesta se concluye,
+ + L
TRANSFORMADA DE UNA FUNCION CONTINÚA POR PARTES
* + Evaluar L
La función , mostrada en la figura es continua por partes y de orden exponencial para Puesto que se define en dos partes, su transformada se expresa como la suma de dos integrales.
* + ∫ ⁄ ⁄
PROBLEMAS:
Use la definición L
para encontrar la transformada de Laplace,
1
. / * ++ *+ TRANSFORMADA INVERSA
Si representa la transforma de Laplace de una función representa transformada de la Laplace inversa de y y se escribe
, se dice entonces que .
es la
Ejemplo 1:
L
su transformada inversa es
Ejemplo 2: División de término a término y linealidad Evalué la transformada inversa,
} } }
Primero se reescribe la función provista de como dos expresiones por medio de la división término a término, y luego se usa la ecuación
Ejemplo 3:
Fracciones parciales en la transforma inversa.
Existen constantes reales,
, de tal forma que
Puesto que los denominadores son idénticos, los numeradores son idénticos:
⁄ ⁄ ⁄ } } } } } } } } } } } } } } } } } } } Si se establece
, se obtiene, respectivamente,
Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es
Y, por consiguiente,
PROBLEMAS:
} ( √ )()( √ ) } } } } } } } } }
DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL ECUACION DIFERENCIAL Una ecuación diferencial es una ecuación en la que se establece una relación entre una o más variables independientes y una función incógnita y sus derivadas. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN DE DERIVADAS QUE INVOLUCRAN Ecuación Diferencial Ordinaria: Ordinaria: es una ecuación diferencial en la cual aparecen derivadas ordinarias de una variable dependiente respecto a una sola variable independiente. Por ejemplo:
Una ED puede contener más de una variable dependiente,
⁄ ⁄ ⁄
Las derivadas ordinarias se escribirán usando la notación de Leibniz … o la notación prima . Realmente la notación prima se usa para denotar solo las primeras tres derivadas: la cuarta derivada se denota “y” se escribe como
en lugar de
. En general, la
derivada de
Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales: Parciales: es una ecuación diferencial en la cual aparecen derivadas parciales de una sola variable dependiente respecto de dos o más variables independientes. Por ejemplo:
ORDEN DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
El orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación diferencial. Por ejemplo: Segundo orden Primer orden
PROBLEMA 1: Clasificar cada una de las ecuaciones que se dan a continuación: Ecuación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
√
Variable D
Variable I
Tipo
Orden
=0
PROBLEMA 2:
Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo y orden. Ecuación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
. /
Variable D
Variable I
Tipo
Orden
GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL El grado de una ecuación diferencial es la potencia a la cual esta elevada la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial. PROBLEMA 3: Clasifica cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo, o rden y grado. Ecuación 1. 2. 3. 4. 5. 6.
. / ./ ./ . / . /
Variable D
Variable I
Tipo
Orden
PROBLEMA 4:
Clasificar cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, según tipo, orden y grado. Ecuación 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Variable D
./
Variable I
Tipo
Orden
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL
Una ecuación diferencial de orden se dice que es lineal si F es lineal en . Esto significa que una EDO de es lineal cuando la ecuación es:
O también,
Dos casos especiales importantes de este tipo de ecuación son las ED lineales de primer orden y y de segundo orden :
Por lo tanto para que se cumpla que es una ecuación diferencial lineal debe satisfacer simultáneamente las siguientes condiciones:
a) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado (esto es, si están elevadas a la potencia uno) b) Los coeficientes de la variable dependiente y sus derivadas depende solo de la variable independiente. Por ejemplo:
Las ecuaciones son, respectivamente, ED de primero orden, segundo orden y tercer orden. Acabamos solo de mostrar que la primera primera ecuación es lineal en la variable “y” cuando se escribe en la forma alternativa . Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente no lineal. Funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas, tales como , no se pueden representar en una ecuación lineal. Por ejemplo:
Termino no lineal: Coeficiente depende de y
Termino no lineal: Función no lineal de y
Termino no lineal: El exponente es diferente de 1.
PROBLEMA 5: Clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación según orden, grado y linealidad. Ecuación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
. / ./ . /
Orden
Grado
Linealidad
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN DE VARIABLES SEPARABLES Una ecuación diferencial de primer orden de la forma:
⁄
Se dice que es separable o separable o que tiene variables separables.
Considere la ecuación diferencial de primer orden or den variable y, es decir, , la ecuación diferencial
. Cuando f no depende de la
Se puede resolver por integración. Si g(x) es una función continua, continua, al integrar a ambos lado de la ecuación se obtiene,
Donde
es es una antiderivada (integral indefinida) de
.
Ejemplo 1:
Separando variables obtenemos,
Sabiendo que,
Integrando,
Integración por parte
Un problema con valores iniciales. Ejemplo 2:
Resuelva,
,
Separando variables,
Simplificando e Integrando a ambos lados tenemos,
Identidad trigonométrica:
Sen2x= 2senxcosx
La condición inicial con valores iniciales es
cuando
implica que
. Por lo tanto una solución del problema
Ejemplo 3:
Identidad trigonométrica:
Separando variables:
|| | || |
La condición inicial con valores iniciales es
PROBLEMAS:
cuando
implica que
. Por lo tanto una solución del problema
Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias de primero orden de variables separables:
√ √ 5.
( √ )√ ( ) √ . / √√
√ √
ECUCIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN HOMOGENEAS La ecuación diferencial
, - , -- Es una ecuación diferencial ordinaria de primera orden homogénea si las funciones son homogéneas con igual grado son gr ado de homogeneidad.
y
Por lo tanto si una función tiene la propiedad para algún número real de . Por ejemplo es una función homogénea de grado 3, 3, ya que
Para toda
mientras que para
Factor común
Mientras que es no homogénea. En conclusión si ambas funciones son ecuaciones homogéneas del mismo grado, la ecuación deberá estar
y
Además, si y son funciones homogéneas de grado , podemos escribir
Las siguientes propiedades plantean las sustituciones que se pueden usar para resolver una ecuación diferencial homogénea. En concreto, cualquiera de las sustituciones o donde y son las nuevas variables dependientes, reducirán una ecuación homogénea a una ecuación diferencial de primer orden separable.
Ejemplo 1:
Examinamos el grado de la ecuación diferencial,
Para toda
mientras que para
Es una ecuación diferencial homogénea de grado 2, 2,
, - , -
Una vez chequeado el grado de la ecuación diferencial, se efectúa el siguiente cambio, entonces después de sustituir, la ecuación se convierte
Integrando nos queda,
| | | | || , -
División de polinomios
Sustituyendo de nuevo
Ejemplo 2:
Examinamos el grado de la ecuación diferencial, Para toda
mientras que para
Concluimos que es Homogénea de grado 2.
Efectuamos el cambio,
[ ./] [ [ . / . /] | || | ./ || por lo que
Agrupando e integrando queda,
Sustituyendo de nuevo
PROBLEMAS:
, quedando que
Si
||
Obtenga la solución general para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales. Siga cada uno de los pasos indicados en esta misma guía para tal efecto.
( ( ))
(⁄)⁄
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EXACTAS Una expresión diferencial
Es una diferencial exacta exacta en una región del plano si esta corresponde a la diferencial de alguna función definida en . Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
Se dice que es exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. Por ejemplo diferencial exacta:
es una ecuación exacta ya que su lado izquierdo es una
Si hacemos las identificaciones identificaciones
Entonces,
Por lo tanto, sean y y continuas continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una región rectangular definida por , . Entonces una condición necesaria y suficiente para que sea una diferencial exacta es
PASOS A SEGUIR PARA LA OBTENCION DE LA SOLUCION GENERAL DE UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN EXACTA DE LA FORMA
1. Determinar si la igualdad se cumple,
Si es así entonces existe una función para la que
⁄ , -
2. Para determinar integrando
respecto a mientras se conserva constante:
3. Donde la función arbitraria es la constante de integración. Ahora derivando respecto a la variable y asumiendo que, :
Se obtiene,
4. Por último, se integra la ecuación obtenida con respecto a resultado en la ecuación,
La solución implícita de la ecuación es Ejemplo 1:
1. Determinar si se cumple
Es exacta
, luego se sustituye el
2. Integrando
⁄ , ( ) ( respecto a mientras se conserva constante,
3. Ahora derivando respecto a la variable y asumiendo que,
4. Por último, se integra la ecuación obtenida con respecto a ,
Sustituyendo el resultado en la ecuación, concluimos una familia de soluciones
Ejemplo 2:
Al escribir la ecuación diferencial en la forma
Podemos reconocer que la ecuación es exacta
Ahora,
:
[ ] ⁄ ∫ ⁄ ∫
Derivando parcialmente,
Sustituyendo,
La condición inicial
cuando
FACTORES INTEGRANTES
Para una ecuación diferencial no exacta , a veces es posible encontrar un factor integrante µ de de modo que, después de multiplicar, el lado izquierdo de
Es una diferencial exacta. En un intento por encontrar , se vuelve al criterio de exactitud. Si
Si
es una función de exclusivamente, entonces un factor de integración será,
es una función de solamente, entonces un factor de integración será,
Ejemplo 3:
∫
Verificando,
No exacta
Con las identificaciones de obtenemos y
, , al efectuar sus derivadas parciales . Para el primer cociente obtenemos,
Depende de y , por lo tanto no lleva a ninguna parte. Sin Embargo,
Se produce un cociente que solo depende de .
Por lo tanto el factor de integración vendrá dado por,
Multiplicando por
a toda la ecuación resultante, a
Nuevamente comprobando,
Se cumple, la ED es exacta.
Con los pasos antes expuestos se puede llegar a una familia de soluciones,
.
PROBLEMAS: PROBLEMAS: En los problemas determine si la ecuación diferencial que se proporciona es exacta. En caso afirmativo, resuélvala.
. / / 0
) ) ( (
Compruebe que la ecuación diferencial que se proporciona no es exacta. Multiplique la ecuación por el factor integrante indicado y compruebe que la nueva ecuación es exacta. Resuelva.
Resuelva las ecuaciones diferenciales mediante la determinación de un factor integrante adecuado
ECUACIONES LINEALES Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma
Es una ecuación lineal en lineal en la variable dependiente . Cuando
, se dice que la ecuación lineal es homogénea; de lo contrario, es no homogénea.
FORMA ESTANDAR DE UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN
Al dividir ambos lados de la ecuación antes planteada entre el coeficiente principal obtiene una forma útil, la forma estándar, de una ecuación lineal de orden uno:
, se
Se busca una solución de la ecuación en un intervalo para para el cual ambas funciones coeficientes y son continuas.
PASOS PARA LA OBTENCION DE LA SOLUCION GENERAL DE ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN LINEAL DE LA FORMA
∫
Como primer paso se busca el factor integrante, el cual depende solo de , es decir, resolvemos
Luego sustituyendo en la ecuación planteada, el cual es una de las formas equivalentes más fáciles para la obtención de una solución general de una ED de primer orden, nos queda
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Resolviendo la integral a la derecha y despejando a
Es importante aclarar que,
Donde,
Ejemplo 1:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Si dividimos entre , se obtiene la forma estándar
Aplicando,
Sustituyendo nos queda,
Resolviendo
Entonces,
Despejando la solución vendrá dada por,
Ejemplo 2:
De la ecuación se identifica
y
Sustituyendo, nos queda
∫ ∫ ∫ ∫
Por lo tanto,
Despejando,
Pero de la condición inicial se sabe que
cuando
Por consecuencia, la solución es
Ejemplo 3:
La solución para la siguiente función discontinua será. Primero se resuelve la ED para Para
, se tiene
Nos queda,
La primera solución vendrá dada,
en en el intervalo
y luego en el intervalo
.
Luego de evaluar , será
Ahora para
Se llega a
, se debe tener que
. Por lo tanto la solución en el intervalo
, de la ecuación
. Por consiguiente, se puede escribir
Si se recurre a la definición de continuidad en un punto es posible determinar a función anterior sea continua en . El requerimiento de que o . La función queda
Es continua en PROBLEMAS:
.
para que la implica implica que
⁄
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN REDUCIBLES A LINEAL ECUACION DE BERNOULLI Una ecuación diferencial de la forma:
Donde es cualquier número real, se llama Ecuación de Bernoulli. Bernoulli. Para solucionar esta ecuación diferencial vamos a reducirla a una ecuación lineal de orden uno; simplemente realizando la siguiente sustitución:
Despejando a nos queda,
. /
Por regla de la cadena, obtenemos
Sustituyendo y simplificando en la ecuación inicial, nos queda
Es obvio que la ecuación no es más que una ecuación diferencial lineal de primer orden. Resuelva y devuelva el cambio. De ser posible despeje Ejemplo 1:
Organizando en la forma estándar,
Efectuando el cambio,
Despejando a
obtenemos
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Derivando por regla de la cadena,
Sustituyendo,
Dividiendo entre
, se concluye
A continuación tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden. Resolvemos de la forma habitual.
El factor integrante será,
Resolviendo,
Después de la integración y a su vez despejando
Como
, la solución vendrá dada
Despejando a , la solución
PROBLEMAS:
Cada ED es una ecuación de Bernoulli. Resuelva,
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
( ) ( ) Teniendo la siguiente ED de orden homogénea con coeficientes constantes,
Suponga soluciones de la forma : , ,
, λ un número cualquiera y busque las derivadas de …
Sustituyendo las derivadas obtenidas en la ecuación diferencial,
Factor común
Como
entonces deberá buscar las raíces del polinomio
El cual se denomina polinomio característico característico.. Caso 1:
Si las raíces del raíces del polinomio característico son reales y distintas
Entonces las soluciones linealmente independientes son,
…,
,
La solución general de la ecuación diferencial homogénea es:
Donde
son constantes arbitrarias
Caso 2:
Si las raíces del raíces del polinomio característico son reales y algunas se repiten, repiten, digamos multiplicidad de . Entonces para esa raíz repetida las soluciones serán
con
Caso 3:
Si el polinomio característico tiene raíces complejas. complejas. Si también también es raíz, entonces las soluciones serán
es raíz, su conjugada
Y la solución general es al igual que en el caso 1, una combinación lineal de las linealmente independientes. independientes.
soluciones
Aquí deberá aplicarse la Formula de Euler
Caso 4:
Si el polinomio característico tiene raíces complejas repetidas. repetidas. Las soluciones correspondientes correspondientes se escriben de manera similar a como se indico para las raíces reales repetidas y la solución general es al igual que el caso 1, una combinación lineal de las soluciones linealmente independientes.
Ejemplo 1:
Construimos la siguiente ecuación auxiliar,
Por medio de la formula cuadrática se encuentran las raíces,
Por lo tanto la solución para raíces reales distinta vendrá dada por,
Ejemplo 2:
Quedando la ecuación,
Por medio de la ecuación cuadrática tenemos,
√ √ √ √ (√ √ √ √ ))
La solución respecto al caso 3,
Ejemplo 3:
Debe ser evidente de la inspección,
Que una raíz sea y, por consecuencia, consecuencia, 1 y caso 2 para la ecuación diferencial,
Ejemplo 4:
. Así que la solución general del caso
Tenemos que la ecuación,
Posee raíces complejas,
Es obvia la solución
Evaluando para la condición inicial de
para
, obtenemos
Para el estudio de la segunda condición, la solución debe ser derivada
Así pues, evaluamos la condición de
La solución será,
PROBLEMAS:
cuando
./ ./
COEFICIENTES INDETERMINADOS, METODO DE SUPERPOSICION Para resolver una ecuación diferencial no homogénea
Se deben efectuar dos pasos:
1. Determinar la función complementaria . La función complementaria es la solución de la ecuación diferencial homogénea relacionada a la ecuación antes expuesta, es decir
2. Hallar la solución particular . En la presente sección se van a presentar métodos para la obtención de soluciones particulares. 3. Luego la solución general vendrá dada por Método de coeficientes indeterminados
La primera de las dos formas que se consideran para obtener una solución particular de una ED lineal no homogénea se llama método de los coeficientes indeterminados. La idea fundamental que sustenta este método es una conjetura acerca de la forma de , en realidad una suposición informada, motivada por las clases de funciones que constituyen la función de entrada . El método general se limita a ED lineales donde
Los coeficientes son constantes es una constante, una función polinomial, una función exponencial , una función seno o coseno , o sumas finitas y productos de estas funciones.
Las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entradas de
:
El conjunto de funciones que consiste en constantes, polinomios, exponenciales , senos y cosenos tienen notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son de nuevo sumas y productos de constantes, polinomios, exponenciales, senos y cosenos. Debido a que la combinación lineal de derivadas debe ser idéntica a , parece razonable suponer que tiene la misma forma que . En los ejemplos siguientes se ilustra el método. Ejemplo 1:
Paso 1:
√ √ √ √ √ √
Se resuelve primero la ecuación homogénea relacionada cuadrática se encuentra que las raíces de la ecuación auxiliar
. De la formula
Por consiguiente la función complementaria es
Paso 2:
Debido a que la función es un polinomio cuadrático, supóngase una solución particular que también es de la forma de un polinomio cuadrático:
Se busca determinar coeficientes específicos específicos para los cuales ecuación problema. Sustituyendo y las derivadas
es una solución de la
Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene,
Distribuyendo,
Agrupando términos se construye un sistema de ecuaciones,
Resolviendo el sistema tenemos que, particular es,
Paso 3:
. Por lo tanto una solución
La solución general de la ecuación que se proporciona es
√ √ FORMACION DE
POR SUPERPOSICION SUPERPOSICION
Ejemplo 2:
Paso 1:
La solución homogénea relacionada
resulta ser
.
Paso 2:
A continuación, la presencia de en indica indica que la solución particular incluye un polinomio lineal. Además, debido a que la derivada de producto produce y , se supone también que la solución particular incluye a y . En otras palabras, es la suma de dos clases básicas de funciones:
En consecuencia, el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas indica que se busca una solución particular
Donde
y
. Sustituyendo
Derivando y agrupando términos semejantes en la ecuación, se obtiene
De esta identidad se obtienen las cuatro ecuaciones
Al resolver, se encuentra que
Paso 3:
{
. En consecuencia consecuencia
La solución general de la ecuación es
Ejemplo 3:
En el siguiente ejemplo se i lustra que algunas veces la suposición “obvia” para la formación de no es una suposición correcta.
Si se procede como se hizo en los ejemplos anteriores, se puede suponer de modo razonable una solución particular de la forma . Pero la sustitución de esta expresión en la ecuación diferencial produce la expresión contradictoria de modo que claramente se hizo una conjetura equivocada para .
La dificultad aquí es evidente al examinar la función complementaria
Observe que la suposición ya está presente en . Esto significa que es una solución de la ecuación diferencial homogénea relacionada, y un múltiplo constante cuando se sustituye en la ecuación diferencial necesariamente produce cero,
Bajo las circunstancias descritas, se puede constituir la siguiente regla general.
Regla de la multiplicación. multiplicación. Si alguna entonces esa
se debe multiplicar por
elimina esa duplicación.
contiene términos que duplican los términos de , , donde
, ,
es el entero positivo más pequeño que
Con base en la regla, se puede encontrar una solución particular de la forma,
Al sustituir obtiene
y
en la ecuación diferencial y simplificando, simplificando, se
De la ultima igualdad se ve que el valor de ahora se determina como una solución particular de la que se proporciona es
Soluciones Particulares de Prueba
Forma de
PROBLEMAS:
. Por consiguiente,
./ ./
VARIACION DE PARAMETROS Así para resolver,
Primero se encuentra la función complementaria anteriores,
, de la misma forma que en las secciones
Se procede a calcular el wronskiano, wronskiano,
Al dividir entre
, se escribe en la ecuación en la forma estándar
Para determinar a
Donde
y
. Se encuentra
se obtiene,
Una solución particular es
Así la solución general de la ecuación es
y
al integrar
Ejemplo 1:
De la ecuación auxiliar
Con las identificaciones identificaciones
se obtiene,
y
, a continuación se calcula el wronskiano:
Como en la ecuación a resolver, el coeficiente de
Por lo tanto,
Integrando,
Por consiguiente,
Agrupando,
La solución general vendrá dada,
es es 1, se identifica
.
Ejemplo 2:
|| | || | || |
Primero se organiza la ecuación de la forma estándar,
Debido a que las raíces de la ecuación auxiliar complementaria es
Entonces,
son
y
, la función
Para el wronskiano,
Al integrar,
Se obtiene
y
La solución general de la ecuación es
. Por consiguiente, una solución particular es
PROBLEMAS:
√ ⁄ ⁄
Resuelva cada ecuación mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones iniciales .
Resuelva la ecuación diferencial de tercer orden por medio de variación de parámetros.
Analice como pueden combinarse los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial. Ponga en práctica sus ideas.
Crecimiento y Decrecimiento poblacional
1. La población de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al número de personas presentes en el tiempo . Si en cinco años se duplica una población inicial . ¿Cuánto tarda en triplicarse? ¿En cuadruplicarse? 2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad del problema 1 es 10 000 después de tres años. ¿Cuál fue la población inicial ? ¿Cual será la población en 10 años?¿Con que rapidez crece la población en ? 3. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el tiempo . La población inicial de 500 se incrementa 15% en diez años. ¿Cuál será la población en 30 años? ¿Que tan rápido está creciendo la población en ? 4. La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al número de bacterias presentes en el tiempo . Después de tres horas se observo que están presentes 400 bacterias. Después de diez horas hay 2000 bacterias ¿Cuál fue el número inicial de bacterias? 5. El isotopo radiactivo del plomo, Pb-209, decae a una rapidez proporcional a la cantidad presente en el tiempo y y tiene una vida media de 3,3 horas. Si al inicio está presente un gramo de ese isotopo, ¿Cuánto tiempo tarda en decaer 90% del plomo? 6. Un científico prepara una muestra de sustancia radiactiva. Un año después la muestra contiene 3 g de la sustancia; 2 años después hay solo 1 g. Determine la cantidad de sustancia radiactiva que había inicialmente. 7. Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo , determine la cantidad restante después de 24 horas. 8. Determine la vida media de la sustancia que se describe en el problema 7. 9. a) Considere que el problema de valor inicial,
⁄ ⁄
Como el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, la vida media de la sustancia es . b) Demuestre que la solución del problema de valor del inciso (a) se puede escribir como
c) Si la sustancia radiactiva tiene la vida media que se indica en el inciso (a).¿Cuánto tarda una cantidad inicial
de la sustancia en decaer a
?
10. Cuando un haz vertical de luz pasa por un medio transparente, la rapidez a la que decrece su intensidad es es proporcional a , donde representa representa el espesor del medio (en pies). En agua de mar clara, la intensidad tres pies por debajo de la superficie es de 25% de la intensidad inicial del haz incidente. ¿Cuál es la intensidad del haz 15 pies debajo de la superficie?
11. El estroncio 90(Sr-90) es un isotopo radiactivo producido en explosiones de bombas de hidrogeno. El tratado de proscripción de pruebas nucleares sobre la superficie de la Tierra de 1963 se baso en evidencias de contaminación, con Sr-90, de la leche y de los huesos humanos. La vida media del Sr-90 es de 29 años. Suponga que ninguna nueva fuente de Sr90 ha contaminado la atmosfera desde 1963. Determine que fracción del nivel de Sr-90 en 1963 permaneció en la atmosfera en 2003. Determine la fecha aproximada en que el nivel de Sr-90 será solo 1% del nivel de 1963. 12. El bitartrato de hidrocodonio es una droga usada para eliminar la tos y aliviar el dolor. La droga se elimina del cuerpo mediante un proceso de decaimiento natural con una vida media de 3,8 h. La dosis usual es de 10 mg cada 6 horas. Describa y resuelva el problema con valor inicial que modela la cantidad de bitartrato de hidrocodonio en un paciente después de una dosis. Suponga que la cantidad del medicamento antes de la dosis es y que el medicamento es absorbido inmediatamente. Ahora suponga que un paciente toma bitartrato de hidrocodonio solo un día. Suponiendo que inicialmente no hay ninguna cantidad del medicamento en el sistema del paciente, represente de manera grafica la cantidad a lo largo de 2 días. Note que el paciente toma 4 dosis el primer día y ninguna el segundo.
Ley de enfriamiento 13. Se toma un termómetro de una habitación donde la temperatura es de 70°F y se lleva al exterior, donde la temperatura del aire es de 10°F. Después de medio minuto el termómetro marca 50°F. ¿Cuál es la lectura del termómetro en ? ¿Cuánto tarda el termómetro en alcanzar 15°F? 14. Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5°F. Después de un minuto el termómetro marca 55°F y después de 5 minutos la lectura es de 30°F. ¿Cual es la temperatura inicial de la habitación? 15. Un termómetro en el que se lee 70°F se coloca en un lugar donde la temperatura es de 10°F. Cinco minutos más tarde el termómetro marca 40°F. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que el termómetro marque medio grado más que la temperatura del medio? 16. Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20°C, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviente. ¿Cuánto tarda la barra en alcanzar 90°C si se sabe que su temperatura aumenta 2° en un segundo? ¿Cuánto le toma a la barra llegar a 98°C? 17. Dos recipientes grandes A y B del mismo tamaño se llenan con diferentes líquidos. Los líquidos de los recipientes A y B se mantienen a 0°C y 100°C, respectivamente. Una barra metálica, cuya temperatura inicial es de 100°C, se sumerge en el recipiente A. Después de un minuto la temperatura de la barra es de 90°C. Transcurridos dos minutos se retira la barra y se transfiere de inmediato al otro recipiente. Después de permanecer un minuto en el recipiente B la temperatura t emperatura de la barra aumenta 10°. 1 0°. ¿Cuánto tiempo, desde el inicio del proceso, tarda la barra en llegar a 99,9°C? 18. Un termómetro que marca 70°F se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que
19.
20.
21.
22.
23.
24.
después de medio minuto el termómetro marca 110°F y luego de un minuto la lectura es de 145°F.¿Cual es la temperatura del horno? En una habitación la temperatura que marca un termómetro clínico es de 20°C. Para detectar si un paciente tiene fiebre (definida como temperatura corporal de 38°C o más) se coloca un termómetro en la axila del paciente. Si al cabo de un minuto el termómetro marca 27°C en una persona sana (con temperatura de 36°C), ¿Cuánto tiempo se debe dejar en una persona con fiebre para detectarla con un error no mayor que 0,2°C? Un ganadero salió una tarde a cazar un lobo solitario que estaba diezmando su rebaño. El cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por un campesino, en un cerro cerca del rancho junto al animal cazado, a las 6:00 h del día siguiente. Un medico forense llego a las 7:00 y tomo la temperatura del cadáver, a esa hora anoto 23°C; una hora más tarde, al darse cuenta de que en la noche, y aun a esas horas, la temperatura ambiente era aproximadamente de 5°C, el médico volvió a medir la temperatura corporal del cadáver y observó que era de 18,5°C. ¿A que hora murió el ganadero aproximadamente? Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750°C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho 200°C. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocara este material, es de 5°C y que, después de 15 min, la temperatura del material es de 600°C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso? A las 13:00 horas un termómetro que indica 10°F se retira de un congelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de 66°F. A las 13:05, el termómetro indica 25°F. Más tarde, el termómetro se coloca nuevamente en el congelador. A las 13:30 el termómetro da una lectura de 32°F. ¿Cuándo se regreso el termómetro al congelador? ¿Cual era la lectura del termómetro en ese momento? Luis invito a Blanca a tomar café en la mañana. El sirvió dos tazas de café. Blanca le agrego crema suficiente como para bajar la temperatura de su café 1°F. Después de 5 min, Luis agrego suficiente crema a su café como para disminuir su temperatura en 1°F. Por fin, tanto Luis como Blanca empezaron a tomar su café. ¿Quién tenía el café más frio? La razón con la que un cuerpo se enfría también depende de su área superficial expuesta . Si es una constante, entonces una modificación de la ecuación es
Donde y es una constante. Suponga que dos tazas A y B están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura del café es de 1 50°F. El área superficial del café en la taza B es del doble del área superficial del café en la taza A. Después de 30 min la temperatura del café en la taza A es de 100°F. Si , entonces ¿Cuál es la temperatura del café de la taza B después de 30 min? 25. Suponga que en su casa, en una tarde de invierno a la 1:00 pm, se suspende la electricidad por una falla y la calefacción deja de funcionar. Cuando se suspende la electricidad la
a) b)
c)
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27.
temperatura en su casa es de 68°F. A las 10:00 pm ha bajado a 57°F. Suponga que la temperatura exterior es de 10°F. Escriba un problema con valor inicial para la temperatura en su casa suponiendo que la ley de enfriamiento de Newton es válida. Resuelva el problema con valor inicial para estimar la temperatura de la casa cuando se levante a las 7:00 de la mañana del día siguiente. ¿Le preocuparía la congelación del agua en las tuberías? ¿Qué suposición tuvo que hacer acerca de la temperatura exterior? Ya que esta estimación probablemente no es correcta, ¿consideraría incrementarla o decrementarla? ¿Por qué? El café está en una temperatura de 190°F cuando se vierte en una taza de metal. El café se agita continuamente con una cucharita de plástico y después de 3 minutos alcanza una temperatura de 150°F. ¿En qué tiempo el café alcanzara una temperatura de 110°F? 110 °F? La ley de enfriamiento de Newton seria menos adecuada para el problema si el café no se agitara y si la taza fuera de un material que conservara el calor o bien de metal. a) ¿Cómo se modificaría el comportamiento real si no se agitara el café? b) ¿Cómo se modificaría el comportamiento real si la taza fuera de espuma de poliestireno? c) ¿Si la cuchara fuera de metal como se modificaría el comportamiento real? A las nueve de la mañana un pastel a 70°F es sacado del horno y llevado a una habitación donde la temperatura es de 15°F. Cinco minutos después la temperatura del pastel es de 45°F. A las 9:10 am se regresa a interior del horno, donde la temperatura es fija e igual a 70°F. ¿Cuál es la temperatura del pastel a las 9:20 am?
Drenado de tanques 28. Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de una pulgada de diámetro ¿Cuándo se vaciará todo el tanque? 29. Un tanque tiene la forma de un cubo de 12 pies de arista. Debido a un pequeño orificio situado en el fondo del tanque, de 2 pulgadas cuadradas de área, presenta un escape. Si el tanque está inicialmente lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, determine: a) ¿Cuándo estará a la mitad de su capacidad? b) ¿Cuándo estará vacío?
30. Un tanque en forma de cono circular recto, de altura radio , vértice por debajo de la base, está totalmente lleno con agua. Determine D etermine el tiempo de vaciado total si y el factor de fricción/contracción es . 31. Una taza hemisférica de radio R está llena de agua. Si hay un pequeño orificio de radio en el fondo de la superficie convexa, determine el tiempo de vaciado. 32. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la curva alrededor del eje y. Siendo las 11:27 de la mañana se retira un tapón que está en el fondo
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y en ese momento la profundidad profundidad del agua en el tanque es es 12 pies. Una hora más tarde la profundidad del agua ha descendido a la mitad. mit ad. Determine a) ¿A qué hora estará vacío el tanque? b) ¿A qué hora quedara en el tanque 25% del volumen de líquido inicial?
33. El tanque que se muestra en la figura está totalmente lleno de líquido. Se inicia el proceso de vaciado, por una perforación circular de área ubicada en la base inferior del depósito. Si se ha establecido el coeficiente de descarga y la gravedad es .
Determine: a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18,75% de su capacidad b) Tiempo de vaciado total del tanque
34. El tanque que se muestra en la figura se encuentra lleno en un 100%. El líquido escapa por un orificio de de área, situado en el fondo del tanque. Determine: a) Tiempo de vaciado total b) Tiempo para que el volumen de líquido en el tanque descienda .
35. Se tiene un tanque en forma de paraboloide con el eje vertical hacia abajo cuyas dimensiones son de diámetro y altura . El tanque inicialmente está lleno en su totalidad y el líquido escapa escapa por un orificio de 20 cm2 de área situado al fondo fondo del tanque. Determine: a) Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede en el tanque sólo un tercio de su capacidad inicial b) Calcular el tiempo que tarda en vaciarse totalmente.
36. Un depósito en forma de cono circular recto invertido y truncado con de radio menor, de radio mayor y de altura, está lleno en un 90% de su capacidad. Si su contenido se escapa por un orificio orificio de de área, ubicado al fondo del tanque, y sabiendo que el coeficiente de descarga se ha establecido en 0,75. Determine el tiempo que tardará en vaciarse totalmente. 37. El día 15 de julio de 2006, a las 2:25 pm, se pone a vaciar un tanque tanque cilíndrico cilíndrico con eje horizontal, el cual está inicialmente lleno en un 100%. La longitud del tanque es de , el radio . Si el agua fluye por un orificio de área 2 cm2, situado en el fondo del tanque y se ha establecido el coeficiente de descarga en 0,6, determine qué día y a qué hora el taque se vacía totalmente. 38. Un tanque en forma semiesférica de de radio está totalmente lleno de agua. Se retira un tapón que está en el fondo, justo a las 4:27 pm. Una hora después la profundidad del agua en el tanque t anque ha descendido un metro. Determine: a) ¿A qué hora el tanque estará vacío? b) ¿A qué hora quedará en el tanque 31,25% del volumen inicial.
39. El tanque que se muestra en la Fig. 1 está lleno de agua en un 100%: Comienza a vaciarse por un orificio situado en su base inferior de “A” cm2 de área. Si transcurrida 1 hora 6 minutos 40 segundos el nivel libre de líquido ha descendido y el coeficiente de descarga se ha establecido en 0,8. Determine: a) Área del orificio de salida
b) Tiempo de vaciado total
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40. Calcular el tiempo que tarda en vaciarse completamente un tanque de forma cilíndrica de altura y radio a través de 2 orificios de de radio que se encuentran uno en la parte inferior y otro a un cuarto de su altura. Suponga y .
Mezclas 1. Un depósito contiene 200 litros de líquido en el que se disuelven 30 gramos de sal. La salmuera que contiene un gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una rapidez de ; la solución bien mezclada se bombea hacia afuera a la misma rapidez. Calcule la cantidad de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el tiempo . 2. Resuelva el problema anterior suponiendo que se bombea agua pura al depósito. 3. Un depósito grande se llena al máximo con 500 galones de agua pura. Se bombea al depósito salmuera que contiene dos libras de sal por galón a razón de ; la solución bien mezclada se bombea a la misma m isma rapidez. Calcule el número de libras de sal en el depósito en tiempo . 4. En el problema anterior, ¿Cuál es la concentración de sal en el depósito en el tiempo ? ¿En ? ¿Cuál es la concentración de la sal en el depósito después de un tiempo largo, es decir, cuando ? ¿En qué momento la concentración de la sal en el depósito es igual a la mitad de este valor limite? 5. Un tanque con capacidad de 500 galones contiene inicialmente 200 galones de agua con 100 lb de sal en solución. Se inyecta al tanque agua que cuya concentración de sal es de , a razón de . La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razón de . a) Encuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanque para cualquier tiempo. b) Determine la concentración de sal en el instante justo en que la solución alcanza el volumen total del tanque. 6. Un tanque contiene 450 litros de líquido en el que se disuelven 30 gr de sal. Una salmuera que contiene se bombea al tanque con una intensidad de , la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de . Encuentre el número de gramos de sal y la concentración concentración de sal, que hay en el tanque en un instante cualquiera. 7. Un gran depósito está lleno de 500 galones de agua pura. Una salmuera que contiene se bombea al tanque a razón de . La salmuera, adecuadamente mezclada, se bombea hacia fuera con la misma rapidez. a) Halle el número número de libras libras de sal y la concentración concentración de sal en el tanque en un instante cualquiera. b) Determine la cantidad de sal y la concentración al cabo de hora y media de iniciado el proceso de mezclado c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la cantidad de sal en el tanque sea de 632,12 libras? 8. Efectuar el ejercicio anterior suponiendo que la solución se extrae a razón de . ¿Cuánto tiempo demorara el tanque en vaciarse? 9. Un tanque cuyo volumen es de 4000 lts está inicialmente lleno hasta la mitad de su capacidad, con una solución en la que hay disueltos 100 kg de sal. Se bombea agua pura al
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tanque a razón de y la mezcla, que se mantiene mantiene homogénea homogénea mediante agitación, se extrae a razón de . Si se sabe que al cabo de 3 horas y 20 min hay 800 lt más de solución en el tanque, determine: a) El caudal de entrada Q b) Cantidad de sal en el tanque al cabo de 4 horas c) Cantidad de sal y concentración de sal al momento justo de comenzar a desbordarse 10. Considérese un estanque con un volumen de 8 mil millones de pies cúbicos y una concentración inicial inicial de contaminantes contaminantes de 0,25 %. Hay un ingreso diario de de 500 millones de pies cúbicos de agua con una concentración de contaminantes de 0,05 % y un derrame diario de igual cantidad de agua bien mezclada en el estanque ¿Cuánto tiempo pasará para que la concentración de contaminantes en el estanque sea de 0,10%? 11. Un tanque de 400 galones contiene la cuarta parte de su capacidad de salmuera, con una concentración de sal de . Se inyecta salmuera al tanque con concentración de y a razón de . La salmuera, debidamente agitada y homogeneizada en el tanque, fluye a razón de . Si se sabe que al cabo de dos horas y media el tanque t anque alcanza su máxima capacidad, determine: a) El caudal de salida Q b) La cantidad de sal cuando alcanza su máxima capacidad. 12. Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón, a un tanque que inicialmente contiene 400 gal de cerveza con 3% por galón de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior con una rapidez de en tanto que el líquido mezclado se extrae con una rapidez de . a) Obtenga el número de galones de alcohol que hay en el tanque en un instante cualquiera b) ¿Cuál es el porcentaje de alcohol en el tanque luego de 60 min? c) ¿Cuánto demorará el tanque en vaciarse?
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Circuitos en Serie
13. Se aplica una fuerza electromotriz de a un circuito en serie en el que la inductancia es de y la resistencia es de . Calcule la corriente si Determine la corriente cuando Determine . 14. Resuelva bajo la suposición de que y que . 15. Resuelva bajo la suposición de que y y que 16. Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie en el que la resistencia es de y la capacitancia es de Encuentre Encuentre la carga en el capacitor si . Encuentre la corriente 17. Una fuerza electromotriz de se aplica a un circuito en serie en el que la resistencia es de y la capacitancia es de Determine Determine la carga en el capacitor si Determine la carga y la corriente en . Determine la carga cuando .
18. Una fuerza electromotriz.
Se aplica a un circuito en serie en el que la inductancia es de resistencia es de . Determine la corriente si
y la
Análogo de Circuito en Serie
19. Encuentre la carga en el capacitador de un circuito en serie
en
cuando Determine la
primera vez en que la carga del capacitador es igual a cero.
20. Calcule del capacitador en un circuito
en serie cuando
¿Alguna vez la carga en el capacitador es igual ¿Alguna
a cero?
En los siguientes problemas encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito Determine la carga máxima en el capacitor. 21.
22. 23. Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito en serie cuando y 24. Muestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito en serie esta dada por , donde es la impedancia im pedancia del circuito. 25. Use el problema anterior para mostrar que la corriente de estado estable en un circuito en serie cuando
por
y
esta dada
.
26. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito
cuando
y
27. Encuentre la carga en el capacitador de un circuito
en serie cuando
¿Cuál ¿Cuál
capacitador después de un largo tiempo? 28. Calcule la carga en el capacitador y la corriente en un circuito
es
la
carga
cuando
29. Calcule la carga del capacitador y la corriente en un circuito
cuando
en
el
