Curso de Análisis de Estructuras de Mampostería Juan José Pérez Gavilán E. Instituto de Ingeniería UNAM
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Selección del tipo de análisis Use el método simplificado de análisis NTCS 7
si
Se requiere un análisis dinámico modal espectral NTCS 9
La estructura cumple los requisitos NTCS 2.1
no NTCS 9 Análisis dinámico
Análisis dinámico
h≤30 m o Zona I y H≤30 m
si
𝑀 2 𝑖 𝑆𝑖
𝑆=
La estructura es regular según NTCS 6
𝑀
𝑀 𝑖=1 𝑊𝑒𝑖
𝑊𝑒𝑖 =
𝑊 𝜙 𝑖𝑇 𝐖𝐽
Se puede usar el método estático de las NTCS 8 o bien Apéndice A con ISE
NTCS 7 Método Simplificado 𝑗 𝑗 𝑖 𝑉𝑟𝑖 ≥ 𝑉𝑢 𝑗 𝑗 𝑉𝑢 = 𝑖=𝑁 𝐹𝑖 × 1.1 𝑊
H≤20 m o zona I y h≤30 m
no
NTCS 8 Método Estático 𝑉𝑟𝑖 ≥ 𝑉𝑢𝑖 𝑗 𝑗 𝑗 𝑉𝑢 = 𝑉𝑑 ± 0.3𝑉𝑝 × 1.1 𝑗
𝑗
𝑄′
𝜙𝑖 forma modal 𝑖-ésimo modo
no
si
2
𝜙 𝑖𝑇 𝐖𝜙 𝑖 𝑊𝑜
𝑉𝑏 ≥ 0.8𝑎 si
> 0.9
NTCS A, Zonas II y III Efectos de sitio e interacción suelo estructura (ISE)
𝑑 dirección de análisis 𝑝 dirección perpendicular 𝑗 entrepiso 𝑁 número de niveles
zona I y h≤30 m
las NTCS 8 o bien Apéndice A con ISE
Selección del tipo de análisis
NTCS 7 Método Simplificado 𝑗 𝑗 𝑖 𝑉𝑟𝑖 ≥ 𝑉𝑢 𝑗 𝑗 𝑉𝑢 = 𝑖=𝑁 𝐹𝑖 × 1.1 𝐹𝑗 = 𝑐
𝑊𝑖 ∙
𝑊𝑗 𝑗
𝑊𝑖 𝑖
𝑐 de Tabla 7.1 Grupo A, 𝑐 × 1.5
NTCS 8.1
NTCS A, Zonas II y III Efectos de sitio e interacción suelo estructura (ISE)
NTCS 8 Método Estático 𝑉𝑟𝑖 ≥ 𝑉𝑢𝑖 𝑗 𝑗 𝑗 𝑉𝑢 = 𝑉𝑑 ± 0.3𝑉𝑝 × 1.1 𝑗
𝑉𝑑 = 𝐹𝑗 =
𝑎
𝑄′
𝑗 𝑖=𝑁 𝐹𝑖
𝑊𝑖 ∙
× 𝐹𝐴𝑇𝑗 𝑊𝑗 𝑗 𝑊𝑖 𝑖
𝑇 < 𝑇𝑏 NTCS 8.1
𝑎(𝑇, 𝑄′) NTCS 3 con 𝑇 = 2𝜋 𝑄′
fin
𝑊𝑖 𝑥 𝑖2 𝑔
𝐹𝑖 𝑥 𝑖
𝑄, 𝑇 × 𝑓𝑅 ≥ 1 NTCS ec.4.1 𝑓𝑅 [1,0.7] factor de reducción por irregularidad según NTCS 6 2 pa | pm, rh, ce 𝑄 = 1.5 ph 1 − Grupo A, 𝑎 × 1.5 md 0.006 mc, pa, rh Δ × Q/H ≤ 0.0035 0.0025 mc, pa | mc, ph, rh 0.002 mc, ph, ri NTCM .3.2.3.2
fin
𝑑 dirección de análisis 𝑝 dirección perpendicular 𝑗 entrepiso 𝑁 número de niveles 𝑥𝑖 desplazamiento del nivel 𝑖 relativo a la base 𝑗 altura del nivel desde la base 𝐻 altura total 𝑊𝑖 peso del nivel 𝑖 𝑗 𝑉𝑟𝑖 Cortante resistente del muro 𝑖 en la Dir. de análisis, entrepiso 𝑗 𝑉𝑏 cortante en la base 𝑊𝑒𝑖 peso modal efectivo 𝐹𝐴𝑇𝑗 factor de amplificación por torsión ver Cap 9 pa: pm: ph: rh: ri: mc: md: ce:
piezas macizas piezas multiperforadas piezas huecas refuerzo horizontal refuerzo interior mampostería confinada muros diafragma castillos exteriores
Obtención de las fuerzas sísmicas
Coeficiente sísmico reducido Peso total Cortante basal
Coeficiente sísmico reducido (MÉTODO SIMPLIFICADO)
Zonificación
Tipo de piezas
Método estático
Factor de comportamiento sísmico (Mampostería confinada NTCS)
Factor de comportamiento sísmico (Mampostería confinada NTCM)
Factor de comportamiento sísmico (Mampostería reforzada interiormente NTCS)
Factor de comportamiento sísmico (Mampostería reforzada interiormente NTCM)
Reducción de las fuerzas sísmica (Q’ de las NTCS)
Corrección por irregularidad (NTCS)
Condiciones de irregularidad (NTCS)
Condiciones de regularidad (NTCS)
Condiciones de regularidad (NTCS)
Estructura irregular y fuertemente irregular (NTCS)
Aproximación del periodo de la estructura
Peso del nivel j Desplazamiento del nivel j Fuerza sísmica del nivel j Aceleración de la gravedad
Ejemplo
Niv 5 4 3 2 1
m 20 16 12 8 4
𝑊 t 18 18 18 18 18 90
·𝑊 t·m 360 288 216 144 72 1080
Cálculo del periodo 𝑓 𝑉 𝑘 t t t/m 30 30 2910 24 54 2910 18 72 2910 12 84 2910 6 90 2910
Δ m 0.010 0.019 0.025 0.029 0.031
Δ es el desplazamiento relativo de entrepiso Δ = 𝑉/𝑘
0.633 𝑇 = 2𝜋 = 0.554 s 9.81 × 8.301
𝑢 m 0.113 0.103 0.085 0.060 0.031
𝑓·𝑢 t·m 3.402 2.474 1.522 0.718 0.186 8.301
𝑤 · 𝑢2 2 t·m 0.231 0.191 0.129 0.064 0.017 0.633
Aspectos teóricos Ecuación de movimiento de una estructura con excitación en la base
Se propone que la solución puede aproximarse como
Lo que resulta en
con
Matriz de rigideces y de masas (estructura de cortante)
𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2 −𝑘2 𝑘2 + 𝑘3 −𝑘3 𝐤= −𝑘3 𝑘3 + 𝑘4 ⋮
… ⋱ −𝑘𝑁 −𝑘𝑁 𝑘𝑁
En ese caso
o
Y después de algo de álgebra
Ejemplo de cálculo de periodo (mismo marco que antes) Usando
Resumen
• Para el método simplificado, el coeficiente sísmico reducido se obtiene directamente de una tabla en función del tipo de pieza, la zona de desplante y la altura de la edificación • Para el método estático, es necesario – Aproximar el periodo fundamental de la estructura. La aproximación del periodo supone una aproximación de primer modo , i.e. la estructura puede idealizarse con un solo grado de libertad. La matriz de rigidez tridiagonal supone una estructura de cortante. La hipótesis es en general buena para estructuras de baja altura y niveles con rigideces y masas iguales. – Se determina la ordenada espectral – Se determina el valor de Q que depende del tipo de mampostería (simple, confinada o reforzada interiormente) y el tipo de pieza. – Se reduce la ordenada espectral por Q’, que esta en función de Q y del periodo – Q’ debe reducirse para tomar en cuenta las condiciones de regularidad de la estructura
Método simplificado (NTCS)
• El método supone que todos los muros fallan simultáneamente (hipótesis plástica) • Dado que los muros esbeltos fallan por cortante ante mayores deformaciones que los muros largos, es necesario tomar en cuenta que la resistencia de los muros esbeltos no se alcanza.
Método simplificado (NTCS)
• Para aplicar el método, se deben cumplir los requisitos de la sección 2.1 • Se hará caso omiso de los desplazamientos horizontales, torsionales y momentos de volteo • Se verificará únicamente que en cada entrepiso la suma de las resistencias al corte de los muros de carga proyectados en la dirección en que se considera la aceleración, sea cuando menos igual a la fuerza cortante total que obre en dicho entrepiso, calculada según se indica en la sección 8.1 pero empleando los coeficientes sísmicos reducidos que se establecen en la tabla 7.1 para construcciones del grupo B. Tratándose de las clasificadas en el grupo A habrán de multiplicarse por 1.5
Requisitos para la aplicación del método simplificado
i.e. la estructura es a base de muros
Dado que se ignora La torsión
Requisitos del método simplificado
Requisitos del método simplificado
Los muros esbeltos fallan a desplazamientos mayores que los muros mas argos Por esa razón no alcanzan su resistencia cuando el resto de la estructura ya falló
Requisitos del método simplificado
Requisitos del método simplificado
Se supone diafragma rígido
Se ignora el volteo
Ejemplo
Cinco niveles Zona II del DF Piezas multiperforadas de barro de 15 cm de espesor
Propiedades, análisis de carga 5.1.1
Losa de azotea
Propiedades de los materiales Material y propiedad
Piezas Resistencia a la compresión (𝑓𝑚∗ ) Resistencia al cortante (𝑣 ∗ ) Mortero tipo I (𝑓𝑐′ ) Modulo de elasticidad de la mampostería, para sismo 𝐸𝑚 = 600𝑓𝑚∗ Concreto clase 2 para castillos (𝑓𝑐′ ) Modulo de elasticidad del concreto 𝐸𝑐 = 8000 𝑓𝑐′
Kg/cm
2
60 5 150 36000 200
Concepto Losa maciza de peralte total h = 10 cm. Aplanado de yeso de 2 cm. de espesor. Impermeabilizante. Enladrillado y entortado. Relleno de tezontle de 8 cm. De espesor. Loseta de barro. Carga adicional Total
Carga Kg/m² 240 30 15 50 120 30 40 525
113137
Losa de piso
Escaleras Concepto
Losa maciza de peralte total h = 10 cm. Aplanado de yeso de 2 cm. de espesor. Recubrimiento de Piso con Loseta de Barro Carga Muerta Adicional Total
Carga Kg/m² 240 30 30 40 340
Concepto Rampa y descanso h = 12 cm. Aplanado de yeso de 2 cm. de espesor. Recubrimiento de Piso con Loseta de Barro Escalones (forjados) Carga Muerta Adicional RCDF-2004 Total
Carga 2 Kg/m 288 30 30 216 40 604
Propiedades, análisis de carga
Muros
Cargas vivas Concepto
Carga Kg/m 587 77 39 703
Mamposteria, motero, aplanado Castillos Dinteles y trabes Peso volumétrico 1803 Kg/m
Uso Entrepiso Azotea pendiente < 5% Escaleras
Máxima (CVm) 2 Kg/m 170 100 350
Accidental (CVa) 2 Kg/m 90 70 150
3
Requisitos Revisemos los requisitos para aplicar el método simplificado. La relación entre longitud y ancho de la planta del edificio:
+
Longitud en planta (𝐵𝑋 )= Ancho en planta (𝐵𝑌 ) = 𝐵𝑋 ≤2 𝐵𝑌
15.94 6.84
NP indica que No Pasa el requerimiento
Altura total 𝐻𝑒 = 𝐻𝑒 /𝑏 <= 1.5
m m
2.33 > 2 NP
La relación entre la altura y la dimensión mínima de la base del edificio
+
12.5 1.83
< 13 m > 1.5
NP
Centro de masas MURO No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Piso Esc 1 Esc 2 Esc 3
Wm T 4.62 1.59 1.59 3.17 3.17 2.36 3.17 3.17 1.59 1.59 4.62 1.74 2.02 2.29 1.11 1.85 1.11 1.74 2.02 2.29 43.32 2.71 5.70 1.14 99.69
Excentricidades
Centro de rigideces Dir X
Xi cm 0.00 2.85 2.85 4.20 6.60 7.90 9.20 11.60 12.95 12.95 15.80 2.17 1.43 2.58 5.97 7.90 9.83 13.63 14.38 13.23 7.90 7.90 7.90 7.90
Yi Wm*Xi Wm*Yi Cm T·m T·m 3.35 0.0 15.5 5.595 4.5 8.9 0.425 4.5 0.7 5.66 13.3 17.9 5.66 20.9 17.9 1.675 18.6 4.0 5.66 29.2 17.9 5.66 36.8 17.9 5.595 20.6 8.9 0.425 20.6 0.7 3.35 73.1 15.5 6.7 3.8 11.6 3.35 2.9 6.8 0 5.9 0.0 3.35 6.6 3.7 0 14.6 0.0 3.35 10.9 3.7 6.7 23.7 11.6 3.35 29.1 6.8 0 30.3 0.0 3.445 342.3 149.2 4.445 21.4 12.1 6.22 45.0 35.5 7.4 9.0 8.4 787.5 375.3 (xcm,ycm)= 7.90 3.76
MURO No. 12 13 14 15 16 17 18 19 20
L m 2.57 2.99 3.39 1.64 2.74 1.64 2.57 2.99 3.39
Yi cm 6.70 3.35 0.00 3.35 0.00 3.35 6.70 3.35 0.00
23.92
∑=
H/L
FAE
AXE 2 cm 3855 4485 5085 1873 4110 1873 3855 4485 5085
Yi AYE 2 cm m 25829 15025 0 6273 0 6273 25829 15025 0
0.97 0.84 0.74 1.52 0.91 1.52 0.97 0.84 0.74
1.00 1.00 1.00 0.76 1.00 0.76 1.00 1.00 1.00
∑= 34705
94253
YCR=
2.72
m
Centro de rigideces Dir y
esx= XCR -XCM=
0.00 m esx=0.10BX= 1.59 m
Ok
esy= YCR -YCM
1.05 m esy=0.10BY= 0.80 m
NP
MURO No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
L m 6.84 2.35 2.35 4.69 4.69 3.49 4.69 4.69 2.35 2.35 6.84 45.33
Xi cm 0.00 2.85 2.85 4.20 6.60 7.90 9.20 11.60 12.95 12.95 15.80
H/L 0.37 1.06 1.06 0.53 0.53 0.72 0.53 0.53 1.06 1.06 0.37
FAE 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 ∑= XCR=
AYE cm2 10260 3525 3525 7035 7035 5235 7035 7035 3525 3525 10260 67995 7.90
Xi AXE cm2 m 0 10046 10046 29547 46431 41357 64722 81606 45649 45649 162108 537161 m
Revisión global VmR Ton 174.6 330.9
Descripción Esfuerzo cortante de diseño de la mampostería
𝑣 ∗ = 5.0 kg/cm
2
Área total de los muros en la dirección X 𝐴 𝑇𝑋 = 𝐴𝑥 = 35880 cm2 Área total de los muros en la dirección Y 𝐴 𝑇𝑌 = 𝐴𝑌 = 67995 cm2 Peso total de la estructura con 𝐶𝑉𝑎 , Incluye ½ muros de PB
𝑊 = 533 Ton
Esfuerzo promedio a compresión de los 𝑊 muros 𝜎=
𝐴 𝑇𝑋 +𝐴 𝑇𝑌
Factor de resistencia
14.8 kg/cm
2
𝐹𝑅 = 0.70
Esfuerzo cortante resistente 𝜏𝑅𝑚 = 𝐹𝑅 0.5𝑣 ∗ + 0.3𝜎 ≤ 𝐹𝑅 1.5𝑣 ∗ = 4.87 kg/cm2 Cortante resistente
𝑉𝑟𝑥 = 174.6 kg
Cortante resistente
𝑉𝑟𝑦 = 330.9 kg
Factor de carga
𝐹𝐶 = 1.10
Coeficiente sísmico reducido para la zona II, piezas macizas, altura de edificación entre 7 y 13 m 𝑐𝑆𝑅 = 0.19 Carga total para análisis sísmico
𝑊𝑆 = 504
Cortante sísmico en la base en ambas direcciones 𝑉𝑢 = 𝐹𝐶 𝑐𝑆𝑅 𝑊𝑠 = 105.38 Ton
> >
Vu Ton 105.4 105.4
VmR / Vu 1.6 3.1
Ok Ok
Modelación con columna ancha
Columna: 𝐴 = 𝐴𝑚 + 2𝑛𝐴𝑐 , 𝐼 = 𝐼𝑚 + 2𝑛(𝐼𝑐 + 𝐴𝑐 𝑑)
Elemento rígido, Impone la condición de sección plana antes y después de la deformación
Modelación con columna ancha
Modelación con columna ancha
Modelación con columna ancha, ¿cuándo dividir un muro para modelar?
Sec 3.2.3.2 Cuando dividir muros para modelar secc 3.2.3.2 ... En muros largos, como aquéllos con castillos intermedios, se deberá evaluar el comportamiento esperado para decidir si, para fines de análisis, el muro se divide en segmentos, a cada uno de los cuales se les asignará el momento de inercia y el área de cortante correspondiente.
Se calculó la rigidez lateral de un muro usando una barra Y dos barras unidas con un elemento rígido
? Rigideces laterales con Una y dos barras
Error en rigidez lateral cuando se divide el muro Solo podrán dividirse muros cuya longitud dividida entre la altura de entrepiso sea al menos 1.4 (L/H ≥ 1.4). Los muros esbeltos no deben dividirse porque se reduce considerablemente su rigidez lateral, que depende básicamente de su rigidez a flexión. Los muros largos pueden dividirse sin afectar considerablemente su rigidez lateral, ya que depende de la rigidez a corte, que es la misma antes y después de dividir el muro. Se considera en la recomendación, un error máximo en la rigidez lateral del 20%
L/H que produce un error 20% en K La rigidez lateral de muros con restricción al giro dependen mas de su rigidez a corte por eso se afectan menos al dividirlos
Empotrado Voladizo
G=0.4 E G=0.2 E 1.632 1.155 1.915 1.354
Modelación con columna ancha
A
3.5
B
C
3.5
1 1
1
3 1 2
3 1 3
Modelación con columna ancha A
B
C
A
B
C
2.5
2.5 Eje 1 A
B
C
Eje 3
Eje 2
Modelación con columna ancha Ejes A y C 3
Ejes B 2
1
3
2
1
Experimentos numéricos
Muro de estudio
Secciones de estudio
Modelo de referencia
Modelos con columna ancha
M1-FR1
M1-FR3
M1-FR2
M1-FR4
Sección
Cortante S4-N3
S4-N2
28.4%
42.1%
31.9% 35.5%
27.8% 35.0%
21.6%
12.3% 9.8% 16.3%
4.9%
5.4%
1.1%
30%
-6.8%
-5.3% -6.1% -12.4%
-17.6% -15.4% -22.6%
-26.0% -25.5%
-10.7% -5.7%
45%
S4-N1
S3-N3
S3-N2
S3-N1
-30% -17.8%
-13.3%
5.2% 11.0%
10.0% 13.4%
15%
S2
S1
-15% -3.9% -8.3%
Error
Modelos con columna ancha, resultados de cortante
60%
0%
-45% M1-FR1
M1-FR2
M1-FR3
M1-FR4
Sección
Momento S4-N3
S4-N2
S4-N1
-8.6% -12.4%
-86.7%
-54.6% -16.7%
-89.3%
0%
-200% 85.7%
83.1% 79.7%
63.0%
49.9% 53.4%
33.5% 40.4%
36.7%
54.2%
23.3% 26.2%
17.9% 24.0%
12.1%
10.9% 16.2%
16.3% 3.1%
1.2%
100%
S3-N3
S3-N2
-8.4%
-60.8% -11.8%
-100%
S3-N1
S2
S1
-3.0%
Error
217.3%
305.7%
Modelos con columna ancha, resultados de momento
400%
300%
200% M1-FR1
M1-FR2
M1-FR3
M1-FR4
Modelos con columna ancha, resultados de carga axial
120%
89.1%
103.2%
150%
48.3%
90%
M1-FR1
13.0%
8.7%
30%
18.9%
M1-FR2 M1-FR3
M1-FR4
-27.2%
-25.4%
-30%
-9.7%
-7.5%
-7.4%
0% -7.5%
Sección
Carga Axial
S3-N2
S3-N1
-60%
S2
Error
60%
Sec 3.2.3.2 modelación con elementos finitos Los muros podrán modelarse con elementos finitos lineales (4 nudos) tipo membrana, siempre que la formulación de dichos elementos pueda representar adecuadamente la flexión en el plano del muro, o elementos lineales tipo membrana. Los elementos tendrán las propiedades mecánicas de la mampostería y un espesor igual al espesor del muro. Se utilizará un solo elemento por panel, siendo un panel el área de muro delimitada por castillos y dalas, siempre que la relación de aspecto del elemento no sea mayor a 2, en cuyo caso se propondrá una malla de elementos que cumpla este requisito. Los elementos contiguos tanto en el plano del muro como fuera de él, deberán ser continuos en los nudos. Los castillos se modelarán con elementos prismáticos tipo barra con la sección transversal del castillo y las propiedades mecánicas del concreto de que están hechos. Los elementos barra deberán ser continuos en los nudos de todos los elementos finitos contiguos. Ver Fix xx
Requisitos para una buena malla
Modelación con elementos finitos
Elemento finito
M1-EF1
M1-EF3
M1-EF2
M1-EF4
Fuerza cortante (EF)
Momento flexionante (EF)
Fuerza Axial (EF)
Torsión
Excentricidad de diseño
Torsión
Diafragma rígido
Equilibrio antes de la deformación (por desplazamientos pequeños)
Torsión
Usando las siguientes identidades trigonométricas
Y suponiendo que
Torsión Haciendo dichas consideraciones
El cortante total sobre los elementos se puede escribir como
Procedimiento simplificado de diseño 1) A partir de un análisis sísmico estático, calcular las fuerzas cortantes de entrepiso considerando un sistema de fuerzas equivalentes obtenidas de un espectro de diseño sísmico 2) Calcular las fuerzas en los elementos estructurales (momentos flexionantes, fuerzas axiales, cortantes, etc.) producidas por los cortantes directos aplicando estáticamente las fuerzas calculadas en el paso anterior, en algún punto de cada uno de los pisos de un modelo tridimensional de la estructura e impidiendo su giro alrededor de un eje vertical.
Procedimiento simplificado de diseño 5) .Calcular los Factores de Amplificación por Torsión, FAT, de los elementos resistentes flexibles y rígidos, respectivamente, con las ecuaciones siguientes, que para el caso del RCDF serán:
Procedimiento simplificado de diseño
7) Calcular las fuerzas de diseño en los elementos estructurales. Para esto, las fuerzas en los elementos estructurales (momentos flexionantes, fuerzas axiales, cortantes, etc.) producidas por los cortantes directos calculados en el paso 2, se multiplican por los correspondientes FAT calculados en el paso 5. Esto es:
