Colegios TRILCE
La INTELIGENCIA como primera opción
Nociones Básicas de la Geometría del Espacio Introducción
B
Hasta el momento conocemos fguras geométricas geom étricas ubicadas sólo en un plano, tales como el triángulo, el cuadrilátero, el círculo, etc. Sin embargo, en nuestra vida cotidiana observamos que en nuestro entorno existen objetos que no están ubicados en un solo plano; tales como una caja, una columna, un edifcio, etc. Esto nos hace ver la necesidad de analizar la orma y extensión ex tensión de los objetos ubicados en el espacio, lo cual se puede hacer representándolos mediante fguras geométricas espaciales denominados denomi nados ‘‘sólidos ‘‘sólidos geométricos’’, para esto también será necesario tener un manejo adecuado de las rectas, planos, ángulos diedros, etc., y sobre todo paciencia, orden y perseverancia por parte del alumnado.
L P Notación.- Plano P: P: P Determinación de un plano Un plano ‘‘P’’ queda determinado por uno de los cuatro casos. 1. Teorema Tres puntos no colineales determinan un plano.
Figura en el plano P
Figura en el espacio P
B
Conceptos previos A) PUNTO
B) RECTA
Representación gráica de un punto.
Representación gráica de una recta. L
P
Notación.- Recta L: L A
C
A
Notación.- Punto A
B A
C) PLANO
Notación.- Segmento de recta AB o AB
Se denomina superfcie plana o plano a una superfcie tal que la recta que une a dos puntos cualesquiera tiene todos sus otros puntos en la misma superfcie. Todo plano se supone de extensión ilimitada. La mayor parte de los objetos planos que observamos son porciones de plano de orma rectangular; por esta razón y ante la imposibilidad de representar los planos indefnidos adoptaremos la representación convencional convencional por regiones paralelográmicas paralelográmicas que es el aspecto que tiene aproximadamente los rectángulos vistos en perspectiva desde cierta distancia. San Miguel - Faucett - Pershing - Escardó
Si A, B y C son puntos no colineales. A, B y C determinan el plano P.
2. Teorema Una recta y un punto, que no pertenece a ella, determinan un plano. A
L
P
Si A ∉ L
A y L determinan al plano P.
III Bim. / GEOMETRÍA / 5TO 5TO.. AÑO 187
La INTELIGENCIA como primera opción
Colegios TRILCE
3. Teorema
Punto M : Pie de la recta secante
Dos rectas secantes determinan un plano. L1
Q
L
⇒ L y
Arista
3. Recta paralela a un plano P
Si L1 ∩ L2 = {Q}
P : Secantes
Q
L2
P
Si L ∩ P = {M}
Si
L1 y L2 determinan al plano P. ⇒
P∩
Una recta y un plano son paralelos si no tienen ningún punto en común.
Q=L
P y Q son secantes.
L
4. Teorema Dos rectas paralelas determinan un plano.
Posiciones Relativas de una Recta y un Plano P
1. Recta contenida en un plano
L1 L2 P
Una recta está contenida en un planocuandotodoslospuntosde dicha recta pertenecen al plano.
Si L1 // L2 L1 y L2 determinan al plano P. P
Posiciones Relativas de dos planos A. Planos Paralelos Dosplanossonparalelosoparalelos entre sí, cuando no tienen un punto en común, es decir, no se intersecan.
P
El Dato
A
Dos rectas son no coplanares si no son paralelas ni secantes.
Observación Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, dicha recta está contenida en dicho plano.
POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Si A ∈ P y B ∈ P P
⇒ L //
B
L
Si L ∩ P = ∅
1. Rectas Secantes
L⊂ P
⇒
a
b
P
2. Recta secante al plano Q
Si
P∩ Q=∅ ⇒ P // Q ∅ : Vacío o Nulo
Una recta se denomina secante a un plano, si sólo tiene un punto en común con el plano, al cual se le denomina punto de intersección o traza de la recta sobre el plano.
a y b son secantes y pertenecen al plano P.
2. Rectas Paralelas
L B. Planos Secantes Son dos planos que tienen una recta en común denominada arista o traza de un plano sobre el otro.
III Bim. / GEOMETRÍA / 5TO. AÑO 188
P
M P
n
m
m y n son paralelas y pertenecen al plano P.
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Colegios TRILCE 3. R e c t a s Alabeadas
La INTELIGENCIA como primera opción Cruzadas
o
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS Es el ángulo determinado por dos rayos respectivamente paralelos a las rectas dadas y cuyo origen es un punto cualquiera en el espacio.
a P
d
O m
b
Q
B
A
Si OA // m y OB // n
n
a∈ P b∈ Q “d” : distancia entre a y b
P
Recta perpendicular a un plano Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas contenidas en dicho plano.
“ ” es el ángulo entre m y n
OTRA FORMA Por un punto de una de ellas se traza una recta paralela a la otra determinandose así el ángulo que se busca. l
m
a
Si n // m
n
L1
P
L2
P
“ ” es el ángulo entre l y n
P
Si a
⊥ L1 y L2 →
a
⊥ al plano P.
ÁNGULO ENTRE UNA REC TA Y UN PLANO
Observación
Es el ángulo ormado por la proyección ortogonal de la recta respecto al plano.
Si una recta es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.
A
l
Si AH
H Te o r e m a d e perpendiculares
las
tres
a
P
“ ” es el ángulo entre l y el
Si H
A E
b
Si se cumple: a ⊥ plano Q b está contenida en el plano Q HE ⊥ b “F” es un punto cualquiera de a.
P P
TEOREMA DE TALES EN EL ESPACIO
F
Q
⊥
EF
⊥
D
P
Q
R
P // Q // R →
B
C
AB DE = BC EF
E
F
b
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III Bim. / GEOMETRÍA / 5TO. AÑO 189
La INTELIGENCIA como primera opción
En una circunerencia de diámetro AB; se traza AF perpendicular al plano de la circunerencia. Si la cuerda BC de la circunerencia mide 6 m y AF = 8 m, calcula la longitud del segmento que une el punto medio de AB con el punto medio de FC.
1)
Colegios TRILCE Si ABCD ⊥ ABMN ⇒ CB ⊥ BO Si AB = l ⇒ OB = l 2/2; BC = l CBO: (OC2 = (BC2 + (BO2 ( 32 = l2+ (l 2/22
AF ∆ ABC ⇒ AF ⊥ AM FAM rectángulo: AM = l 3 FAM notable: x = 30° Rpta.: 30 3)
Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares. Calcula la distancia entre los puntos medios de AD y MC (M punto medio de EF si AB = 4 u.
⇒3=
3l2 ⇒ 2
l=
2
2pABCD = 4 2 u Rpta.: 4 2 u
Resolución: Resolución:
E M
F
Q
F 8 A
H
N 2
C
M
A
x
4 3
B
O
6
C Si AF ⊥ C ⇒ AF ⊥ AC AB diámetro ⇒ m ACB = 90° MH // AF ⇒ MH ⊥ C ⇒ MH ⊥ HO Pero: AH = HC y MH = FA/2 = 4 (T. Puntos medios En ACB: AO = OB ∧ AH = HC ⇒ HO = 6/2 = 3 En
MHO: x2 = 32 + 42
P
2
x=5 Rpta.: 5
2
H
3
C 4
D
2
MN // AF ⇒ MN ⊥ AB; MN ⊥ ABCD ⇒ MN ⊥ NC
En MNC: QH // MN ⇒ QH ⊥ NC; QH = MN/2 ⇒ QH = 2; NH = HC (Teorema puntos medios ⇒ En el trapecio DANC: PH es mediana ⇒ PH =
4+2 ⇒ PH = 3 2
Como QH // MN
2
QH ⊥ ABCD QH ⊥ PH
⇒
T. Pitágoras: x2 = 32 + 22 ⇒ x = 13 Rpta.: 13 u 4)
Los cuadrados ABCD y ABMN se encuentran en planos perpendiculares, siendo “O”centro del cuadrado ABMN. Calcula el perímetro de ABCD si CO = 3 u.
Resolución: C
B l
l
l
x 2l
D M
3 B
M
l
C III Bim. / GEOMETRÍA / 5TO. AÑO
A
l
O N
Indica verdadero (V o also (F. según corresponda: I. Una recta y un punto, que no pertenece a ella, determinan un plano. ( II. Dos rectas secantes no orman un plano. ( III. Dos rectas paralelas determinan un plano.( a VFV d FFF
PHQ:
F
A
1
⇒
Resolución:
190
B
2
⇒
Por el vértice A de un triángulo equilátero ABC se traza AF perpendicular al plano del triángulo, además 2 AF = AB. Calcula el ángulo que orma FM con el plano del triángulo si “M” es punto medio de BC.
2)
4
Nivel I
c FVF
Indica verdadero (V o also (F según corresponda: I. Tres puntos cualquiera determinan un plano. ( II. Una recta y un punto determinan un plano. ( III. Dos puntos no colineales orman un plano. ( a VVV d FVV
3
b VVV e VFF
b VFF e VFV
c FFF
Indica verdadero (V o also (F según corresponda: I. La intersección de un plano y una esera nos da un círculo. ( II. Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano. ( III. Todo plano tiene porciones limitadas. ( a VFV d VVV
b FFV e VVF
c VFF
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Colegios TRILCE 4
Calcula el máximo número de planos que determinan 5 puntos no colineales en el espacio. a 4 d 10
5
b 6 e 15
b 10 e 25
b 11 e 15
b 2L2 e L2/6
B 11 Si OA es perpendicular al plano “P”, OA = 5, r = 2 y “T” es punto de tangencia. Halla AM si TM = 8. A
Calcula la proyección de AB sobre el plano ‘‘P’’ si ‘‘A’’ pertenece al plano ‘‘P’’, AB = 50 y BH = 48.
L
P
Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares y cuyos centros son P y Q, respectivamente. Calcula la distancia PQ si AB = 4 u.
a 9 d 95
r O T b 12 e 97
M c 93
12 En el gráico “A”, “B” y “C” pertenecen al plano “Q”. Si PA, PB y PC orman en el plano ángulos de 45°, 30° y 53°, además PC = 15, calcula PA/PB. P
A H
9
b 14 e 24
A
D
a a2 2 /2 b a2 2 /4 c a2/4
C
d 3 a2/8 e a2 2
14 Si AB y CD son dos segmentos ortogonales que miden 6 y 8 cm respectivamente, calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de AD y BC. A D B C
a 3 d 6
b 4 e 8
c 5
Q
P
a 7 d 18
B
C M
P
B
A
F
c L2/2
c 12
a 2 u b 2 2 u c 2 u d 3 2 u e 5 2 u 8
a L2 d L2/4
13 En el gráfco, BF es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si AB = BF = BC = a y “M” es punto medio de CD. Halla el área de la región sombreada.
c 15
Con “K” rectas paralelas se determinan 66 planos como máximo. Halla “K”. a 10 d 13
7
c 8
10 Sea ABC un triángulo equilátero de lado “L”, por “B” se levanta la perpendicular BT al plano del triángulo tal que BT = L/2. Calcula el área de la región triangular ATC.
¿Cuántos planos como máximo orman 6 rectas paralelas? a 1 d 20
6
La INTELIGENCIA como primera opción
c 16
a 2 d 3/4
b 2 /2 c 2 /4 e 5/6
15 En la fgura se muestra un cubo. Calcula la medida del ángulo que orman PQ y MN.
Calcula la proyección de AC sobre el plano ‘‘Q’’ si ‘‘B’’ pertenece al plano ‘‘Q’’, AN = 4 u, MC = 6 u y AC = 26 u.
N
A M
B
M
Q
C a 12 u d 26 u
Q
N
b 24 u e 10 u
c 13 u
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a 45° d 30°
P b 60° e 120°
c 90°
III Bim. / GEOMETRÍA / 5TO. AÑO 191
La INTELIGENCIA como primera opción
Nivel II 16 Indica si es verdadero (V o also (F según corresponda: -
Tres puntos determinan siempre un plano. ( Dos rectas determinan siempre un plano. ( Unplanoquedadeterminado cuandounarectasedesplaza paralelamente a sí misma. (
a VVV d FVF
b VVF e FFF
c FFV
17 ¿Cuántos planos como máximo determinan 8 puntos no colineales en el espacio? a 28 d 56
b 20 e 60
c 36
18 ¿Cuántos planos como máximo determinan 10 rectas paralelas en el espacio? a 45 d 96
b 90 e 68
c 120
19 La distancia de un punto “A” a otro “B” contenido en un plano “P” es 8 m. La distancia de “A” al plano “P” es 5 m. Halla la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano “P”. a 4 m b 3 m d 39 m e N.A.
c 37 m
20 Si la distancia de un punto a un plano “Q” es 6 u y la distancia del punto a una recta contenida en el plano es 9 u. Halla la distancia desde la proyección de dicho punto al plano hacia la recta. a 2 6 u b 3 5 u c 4 6 u d 2 7 u e 5 3 u III Bim. / GEOMETRÍA / 5TO. AÑO 192
Colegios TRILCE 21 En la igura, A'B' = 12 y la dierencia de las distancias de B y A al plano P es 5. Halla AB. A
A'
B
26 Dos puntos “A” y “B” situados a uno y otro lado de un plano distan de él 3 m y 5 m. Si la proyección de AB sobre el plano mide 6 m, calcula AB. a 9 m d 13 m
B'
b 10 m e 14 m
c 12 m
P
a 10 d 13
b 11 e 15
c 12
27 Se traza PQ perpendicular a
22 SetieneunplanoQ,unsegmento de recta AB de 8 m situado en el plano y un punto ‘‘P’’ que dista 12 m del plano. Halla la distancia de AB al pie de la distancia de “P” al plano “Q” si AP = BP = 13 m. a 2 m d 5 m
b 3 m c 4 m e 5,2 m
23 La recta L es la intersección de 2 planos X e Y perpendiculares entre sí; además L es paralelo a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y. Si la distancia entre R y L es 8 m y entre L y S es 15 m, calcula la distancia entre R y S. a 10 m d 17 m
b 12 m e 19 m
a 16 cm b 17 cm c 18 cm d 20 cm e 23 cm 25 La distancia de un punto “P” a una recta contenida en un plano es de 13 cm, y además la distancia de la recta al pie de la perpendicular que va de “P” al plano es 12 cm. Calcula la distancia de “P” al plano. b 1 cm e 8 cm
a 15 m d 25 m
b 17 m e 30 m
c 20 m
28 En un plano se ubican los puntos A y B, exterior al plano se ubica el punto P de modo que AP y BP orman ángulos que miden 30° y 45° con dicho plano. Si AP = 4, calcula BP. a 2 d 3 2
b 3 e 4
c 2 2
c 15 m
24 Calcula la longitud de un segmento exterior a un plano sabiendo que su proyección sobre el plano mide 15 cm y las distancias de sus extremos al plano se dierencian en 8 cm.
a 3 cm d 6 cm
un plano “H” (“Q” en el plano “H”). Haciendo centro en “Q” se traza una circunferencia de radio 9 m; y por un punto “B” de ésta se traza la tangente BC que mide 8 m. Calcula PC si PQ = 12 m.
c 5 cm
29 Una habitación tiene 4 m de altura y en un punto del techo se sujeta una cuerda de 8 m de longitud y con el extremo libre se traza una circunerencia en el piso procurando tener bien tensa la cuerda. Calcula el área del círculo ormado. a 18 m2 b 24 m2 c 36 m2 d 48 m2 e 52 m2
30 Se tienen los cuadrados perpendiculares ABCD y ABEF. Halla DE si BC = 2. a 3 d 2 3
b 4 e 4 3
c 2 2
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Nivel III 31 Tresplanos paralelos determinan sobre una recta secante L 1, los segmentos AE y EB, sobre otra recta secante L2 los segmentos CF y FD. Si AB = 8, CD = 12 y FD - EB = 1, halla CF. a 6 d 4
b 8 e 2
c 9
35 Calcula el máximo número de planos que determinan 8 rectas paralelas y 6 puntos en el espacio. a 48 d 96
b 25 m e 59 m
c 49 m
A
B D
P
a 8 u d 4 u
b 6 u e 2 u
c 7 u
34 En la fgura, la circunerencia está contenida en el plano P y tiene un diámetro de 8 m. Si la distancia de A al plano es 3 m, calcula la distancia más larga de A a la circunerencia sabiendo que la más corta mide 5 m. A 5m P
a 12 m b 15 m c 3 17 m
d 89 m e 16 m
37 Dado un triángulo ABC, se traza BP perpendicular al plano que lo contiene. Calcula la longitud delsegmentoqueunelospuntos medios de AB y PC si BP = 10 u y AC = 24 u. a 12 d 13
b 13 e 15
c 15
38 Dos puntos “A” y “B” se encuentran a uno y otro lado de un plano. Si las distancias de “A” y “B” al plano miden 6 y 2 cm respectivamente, halla AB si la proyección del segmento AB sobre el plano mide 15 cm.
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C
M D
A
N
a Todos los planos paralelos a un plano dado son paralelos entre sí. b Todos los planos paralelos a una recta, son paralelos entre sí. c Si un plano intersecta a una de tres rectas paralelas, también intersecta a las otras dos. d Si una recta es paralela a un plano la paralela trazada a dicha recta por un punto del plano, está contenida en el plano. e Por cualquier punto exterior de un plano sólo puede trazarse un plano paralelo al primero.
33 En la fgura, OA es perpendicular al plano P. Si OA = 4 u, OB = 3 u y AD = 29 u, calcula DB.
O
c 84
B
36 ¿ C u á l d e l a s s i g u i e n t e s proposiciones es alsa?
32 Se tiene un cuadrado ABCD de lado 7 m. Si se levanta por C la perpendicular CE, y EB mide 25 m, calcula EC + ED. a 24 m d 50 m
b 72 e 106
39 Si ABCD - EFGH es un hexaedro regular, calcula la medida del ángulo que orman EM y DN.
F
G
E
H
a 60° d 90°
b 45° e 120°
c 30°
40 En la fgura, G es el baricentro de la región triangular ABC y PG es perpendicular al plano que contiene al triángulo ABC. Si m PBA = m CBP; AC = 12 y PG = 17, calcula la distancia de P a AB. P
C B
G A
a 3 2 d 5
b 26 e 30
c 23
41 Con “n” rectas paralelas y 6 puntos en el espacio se han determinado como máximo 125 planos. Halla “n”. a 8 d 12
b 10 e 15
c 11
a 15 cm b 16 cm c 17 cm d 18 cm e 20 cm III Bim. / GEOMETRÍA / 5TO. AÑO 193
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42 Si los planos “P”, “Q”, “R” y “T” son paralelos, halla k - n si n + k = 8.
P
C a
n
Q a+3
B
k
R a+6
a 8 u d 16 u
L1
D
C b 6 2 e 9
c 3
-
Si una recta es paralela a un par de plano, entonces dichos planos son paralelos entre sí. ( - Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí. ( - Por un punto exterior a un plano sólo pasa una recta paralela a dicho plano. ( - La intersección de 3 planos es siempre una recta. ( b FFFF e FVFF
c FVFV
III Bim. / GEOMETRÍA / 5TO. AÑO 194
E
c 12 u
b 120° e 135°
50 La fgura muestra un cubo de arista “a”. Calcula la menor distancia entre BE y FH. B A
C D
c 90° F
L2
44 Indica si es verdadero (V o also (F según corresponda:
a VVVV d VVFF
b 10 u e 6 u
46 E n u n c u a d r a d o A B C D , con diámetro AB se traza la semicircunerencia perpendicular al plano del cuadrado. Si M, N y P son puntos medios de AB, AC y CD respectivamente, calcula m MNP. a 100° d 150°
B
a 6 d 3 2
H
c 3
43 El ángulo entre L1 y L2 es 60°. Si DA = AB = BC = 6, calcula CD. A
G
equilátero ABE se encuentran en plano perpendiculares. Calcula la distancia entre los puntos medios de BE y AD siF AB =8 u.
10
b 2 e 6
A
45 El cuadrado ABCD y el triángulo
T
a 1 d 4
D
47 Las rectas L1 y L2 son alabeadas y orman un ángulo de 60°, además AB es la menor distancia entre ellas (A ∈ L1; B ∈ L2. Si se ubica “P” en L1 y “Q” en L2; AB = 2 5u; AP = 4u; BQ = 6u, calcula el área del triángulo PBQ. a 12 2 u2 b 24 u2 c 24 2 u2
E a a 3 /2 b a 3 /3 c a 2 /3
G H d a 6 /2 e a 6 /3
d 12 u2 e 36 u2
48 Las rectas L1 y L2 son alabeadas y ortogonales siendo AB la menor distancia entre ellas (A ∈ L1; B ∈ L2; además se ubican R y S en L1 y L2 respectivamente, AB = 17; AR = 2 3; BS = 2 13. Calcula RS. a 10 d 11
b 9 e 12
c 8
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